Бипроизводи у моноидалним категоријама

Abstract

Централно мјесто у овој дисертацији заузимају резултати кохеренције за одређене типове затворених категорија. Резултати кохеренције у теорији категорија обично служе да обезбиједе једноставан поступак одлучивости за једнакост стрелица у некој категорији. Приступ кохеренцији кога ћемо се овдје придржавати подразумијева постојање вјерног функтора из слободно генерисане категорије A извјесног типа у категорију B која омогућава лакшу провјеру једнакости стрелица. Категорија B, која је истог типа као и A, обично представља формализацију одређеног графичког језика. Поред кохеренције, други најважнији појам којим се бавимо у дисертацији је бипроизвод. Појам бипроизвода у категорији обједињује појмове копроизвода и производа. Главни резултати у овој тези су теореме кохеренције за три типа затворених категорија са бипроизводима – симетричне моноидално затворене катеогорије са бипроизводима, компактно затворене категорије са бипроизводима и компактно затворене категорије са инволуцијом и бипроизводима. Осим тога, у тези је изложен нови доказ познате Кели-Меклејнове теореме кохеренције за симетричне моноидално затворене категорије. Методе које користимо у том доказу су у потпуности доказно-теоретске, а један од кључних елемената у њему је теорема о елиминацији сјечења. У свим наведеним резултатима кохеренције графички језик је заснован на категорији једнодимензионалних кобордизама. Коначно, у тези дајемо одређене критеријуме за постајање бипроизвода у моноидалним категоријама. Притом се ослањамо на недавно истраживање које карактерише извјесни тип моноидалних категорија са коначним бипроизводима користећи постојање десних дуала одређених истакнутих објеката. Наши критеријуми представљају уопштење овог резултата.

Central place in this thesis occupy the coherence results for certain types of closed categories. Coherence results in category theory usually serve to provide a simple decision procedure for equality of arrows in some category. The approach to coherence that we follow here implies the existence of a faithfull functor from a freely generated category A of certain type to the category B in which an equality of arrows can be easily checked. Category B, which is of the same type as A, usually represents formalisation of some graphical language. Besides coherence, the second most important notion we consider in this thesis is the biproduct. The notion of biproduct in a category incorporates notions of coproduct and product. The main results in this thesis are coherence theorems for three types of closed categories with biproducts – symmetric monoidal closed categories with biproducts, compact closed categories with biproducts and dagger compact closed categories with dagger biproducts. Further, we present a new proof of the well-known Kelly-Mac Lane coherence theorem for symmetric monoidal closed categories. The methods we use in that proof are completely proof-theoretical, and one of the key elements in it is the cut-elimination theorem. In all the above coherence results, the graphical language is based on the category of one-dimensional cobordisms. Finaly, we give certain criteria for existence of biproducts in monoidal categories. In this regard, we rely on recent research that characterizes certain type of monoidal categories with finite biproducts by using the existence of right duals of some distinguished objects. Our criteria are a generalization of this result.