Бипроизводи у моноидалним категоријама
Biproducts in monoidal categories
Author
Zekić, MladenMentor
Petrić, ZoranCommittee members
Baralić, ĐorđeŽivaljević, Rade
Lipkovski, Aleksandar
Stojadinović, Tanja
Metadata
Show full item recordAbstract
Централно мјесто у овој дисертацији заузимају резултати кохеренције за одређене типове затворених категорија. Резултати кохеренције у теорији категорија обично
служе да обезбиједе једноставан поступак одлучивости за једнакост стрелица у некој
категорији. Приступ кохеренцији кога ћемо се овдје придржавати подразумијева постојање вјерног функтора из слободно генерисане категорије A извјесног типа у категорију
B која омогућава лакшу провјеру једнакости стрелица. Категорија B, која је истог типа
као и A, обично представља формализацију одређеног графичког језика.
Поред кохеренције, други најважнији појам којим се бавимо у дисертацији је бипроизвод. Појам бипроизвода у категорији обједињује појмове копроизвода и производа.
Главни резултати у овој тези су теореме кохеренције за три типа затворених категорија
са бипроизводима – симетричне моноидално затворене катеогорије са бипроизводима,
компактно затворене категорије са бипроизводима и компактно затворене категорије са
инволуцијом и бипроиз...водима.
Осим тога, у тези је изложен нови доказ познате Кели-Меклејнове теореме кохеренције за симетричне моноидално затворене категорије. Методе које користимо у том
доказу су у потпуности доказно-теоретске, а један од кључних елемената у њему је теорема о елиминацији сјечења. У свим наведеним резултатима кохеренције графички
језик је заснован на категорији једнодимензионалних кобордизама.
Коначно, у тези дајемо одређене критеријуме за постајање бипроизвода у моноидалним категоријама. Притом се ослањамо на недавно истраживање које карактерише
извјесни тип моноидалних категорија са коначним бипроизводима користећи постојање
десних дуала одређених истакнутих објеката. Наши критеријуми представљају уопштење овог резултата.
Central place in this thesis occupy the coherence results for certain types of closed
categories. Coherence results in category theory usually serve to provide a simple decision
procedure for equality of arrows in some category. The approach to coherence that we follow
here implies the existence of a faithfull functor from a freely generated category A of certain
type to the category B in which an equality of arrows can be easily checked. Category B,
which is of the same type as A, usually represents formalisation of some graphical language.
Besides coherence, the second most important notion we consider in this thesis is the
biproduct. The notion of biproduct in a category incorporates notions of coproduct and
product. The main results in this thesis are coherence theorems for three types of closed
categories with biproducts – symmetric monoidal closed categories with biproducts, compact closed categories with biproducts and dagger compact closed categories with dagger
biproducts.
Fur...ther, we present a new proof of the well-known Kelly-Mac Lane coherence theorem
for symmetric monoidal closed categories. The methods we use in that proof are completely
proof-theoretical, and one of the key elements in it is the cut-elimination theorem. In all the
above coherence results, the graphical language is based on the category of one-dimensional
cobordisms.
Finaly, we give certain criteria for existence of biproducts in monoidal categories. In this
regard, we rely on recent research that characterizes certain type of monoidal categories with
finite biproducts by using the existence of right duals of some distinguished objects. Our
criteria are a generalization of this result.