Varijacioni racun u optimizaciji oblika elasticnih tela

Abstract

Varijacioni racun je matematicka disciplina u kojoj se, opisno govoreci, radi o određivanju funkcija takvih da druga velicina, koja zavisi od tih funkcija, postiže minimum, odnosno maksimum. Ova grana matematike je od svog zasnivanja u osamnaestom veku, pa sve do danas, budila interesovanje kod mnogih velikih matematicara i naucnika, a razlog tome možemo tražiti u cinjenici da se razliciti matematicki problemi mogu jednoobrazno ispitivati principima varijacionog racuna. Predmet istraživanja u ovoj doktorskoj disertaciji je optimizacija oblika elasticnih tela primenom varijacionog racuna. Disertacija se sastoji iz osam glava, od kojih svaka sadrži izvestan broj sekcija. U prvoj glavi su navedeni osnovni elementi varijacionog racuna, sa posebnim osvrtom na varijaciju funkcije i Ojler–Lagranževu jednacinu, zbog njihovog znacaja u teoriji varijacionog racuna. Takođe, dat je kratak istorijski osvrt na problem optimizacije oblika elasticnih štapova. U drugoj glavi je dat matematicki model problema optimizacije oblika elasticnog štapa, pri cemu se ispituju vrednosti parametara opterecenja koje daju netrivijalno rešenje odgovarajuce integro-diferencijalne jednacine. Pokazano je da nelinearne jednacine ravnoteže, za proizvoljnu površinu poprecnog preseka štapa, imaju tacku bifurkacije u najmanjoj sopstvenoj vrednosti odgovarajuceg linearizovanog sistema jednacina. Treca glava je posvecena uslovima za egzistenciju rešenja jednacina koje određuju optimalni oblik štapa, pri cemu je korišcen Pontrjaginov princip maksimuma. U cetvrtoj glavi se razmatraju prvi integrali sistema jednacina koje odre- đuju optimalni oblik štapa. Određena je grupa infinitezimalnih transformacija koje ostavljaju invarijantnim njima odgovarajuci varijacioni princip. Tako đe, pokazano je da se dobijeni rezultati poklapaju s rezultatima dobijenim u radu [8], za specijalni slucaj kada nema sile koja deluje na stub. U petoj glavi prikazani su rezultati numericke analize sistema jednacina kojima se određuje optimalni oblik stuba. Razmotreno je i ponašanje odgovarajuceg sistema diferencijalnih jednacina za tzv. postkriticno stanje stuba. Od šeste glave pa do kraja disertacije analizira se generalizacija problema određivanja optimalnog oblika štapa koji je najotporniji na izvijanje, pri cemu se u razmatranje uvodi smicanje. Proces optimizacije koji je sproveden takođe je baziran na Pontrjaginovom principu maksimuma. Sedma glava tretira ponašanje štapa u slucaju kada je opterecenje takvo da dolazi do izvijanja štapa. Ispitane su tacke bifurkacije nelinearnog sistema koji opisuje postkriticno ponašanje optimalno oblikovanog štapa. Takođe, za nelinearne jednacine velikih deformacija optimalno oblikovanog štapa formulisan je varijacioni princip cija je Ojler–Lagranževa jednacina identicna sa jednacinama velikih deformacija. Time je rešen tzv. obrnuti problem varijacionog racuna, kod kojeg treba pronaci funkcional ako su date Ojler– Lagranževe jednacine. U osmoj glavi je predstavljeno numericko rešenje sistema nelinearnih diferencijalnih jednacina koje opisuju velike deformacije štapa. Određene su i uštede materijala koje optimizacija donosi. Zahvaljujem svojim mentorima prof. dr Cemalu Dolicaninu i prof. dr Teodoru Atanackovicu na ogromnoj pomoci i velikodušnim savetima tokom mog studiranja, a narocito tokom rada na ovoj doktorskoj disertaciji. Pored mnogobrojnih njihovih obaveza, ipak bi stalno nalazili vreme za mene i pomagali mi, upucujuci me na odgovarajucu literaturu, a cesto i poklanjajuci mi knjige za citanje i ucenje, na cemu sam im od sveg srca zahvalan. Imati takve ljude za svoje mentore je velika privilegija i cast. Naravno, posebnu zahvalnost dugujem svojoj porodici i iskrenim prijateljima na podršci, strpljenju i razumevanju u toku svih ovih godina.