Varijacioni racun u optimizaciji oblika elasticnih tela
Докторанд
Kačapor, EnesМентор
Dolićanin, ĆemalAtanacković, Teodor
Чланови комисије
Milovanović, IgorĐorđević, Dragan
Petrović Torgašev, Miroslava
Метаподаци
Приказ свих података о дисертацијиСажетак
Varijacioni racun je matematicka disciplina u kojoj se, opisno govoreci,
radi o određivanju funkcija takvih da druga velicina, koja zavisi od tih funkcija,
postiže minimum, odnosno maksimum. Ova grana matematike je od
svog zasnivanja u osamnaestom veku, pa sve do danas, budila interesovanje
kod mnogih velikih matematicara i naucnika, a razlog tome možemo tražiti
u cinjenici da se razliciti matematicki problemi mogu jednoobrazno ispitivati
principima varijacionog racuna.
Predmet istraživanja u ovoj doktorskoj disertaciji je optimizacija oblika
elasticnih tela primenom varijacionog racuna. Disertacija se sastoji iz osam
glava, od kojih svaka sadrži izvestan broj sekcija.
U prvoj glavi su navedeni osnovni elementi varijacionog racuna, sa posebnim
osvrtom na varijaciju funkcije i Ojler–Lagranževu jednacinu, zbog
njihovog znacaja u teoriji varijacionog racuna. Takođe, dat je kratak istorijski
osvrt na problem optimizacije oblika elasticnih štapova.
U drugoj glavi je dat matema...ticki model problema optimizacije oblika
elasticnog štapa, pri cemu se ispituju vrednosti parametara opterecenja koje
daju netrivijalno rešenje odgovarajuce integro-diferencijalne jednacine. Pokazano je da nelinearne jednacine ravnoteže, za proizvoljnu površinu poprecnog
preseka štapa, imaju tacku bifurkacije u najmanjoj sopstvenoj vrednosti
odgovarajuceg linearizovanog sistema jednacina.
Treca glava je posvecena uslovima za egzistenciju rešenja jednacina koje
određuju optimalni oblik štapa, pri cemu je korišcen Pontrjaginov princip
maksimuma.
U cetvrtoj glavi se razmatraju prvi integrali sistema jednacina koje odre-
đuju optimalni oblik štapa. Određena je grupa infinitezimalnih transformacija
koje ostavljaju invarijantnim njima odgovarajuci varijacioni princip. Tako
đe, pokazano je da se dobijeni rezultati poklapaju s rezultatima dobijenim
u radu [8], za specijalni slucaj kada nema sile koja deluje na stub.
U petoj glavi prikazani su rezultati numericke analize sistema jednacina
kojima se određuje optimalni oblik stuba. Razmotreno je i ponašanje odgovarajuceg
sistema diferencijalnih jednacina za tzv. postkriticno stanje stuba.
Od šeste glave pa do kraja disertacije analizira se generalizacija problema
određivanja optimalnog oblika štapa koji je najotporniji na izvijanje, pri
cemu se u razmatranje uvodi smicanje. Proces optimizacije koji je sproveden
takođe je baziran na Pontrjaginovom principu maksimuma.
Sedma glava tretira ponašanje štapa u slucaju kada je opterecenje takvo
da dolazi do izvijanja štapa. Ispitane su tacke bifurkacije nelinearnog sistema
koji opisuje postkriticno ponašanje optimalno oblikovanog štapa. Takođe, za
nelinearne jednacine velikih deformacija optimalno oblikovanog štapa formulisan
je varijacioni princip cija je Ojler–Lagranževa jednacina identicna
sa jednacinama velikih deformacija. Time je rešen tzv. obrnuti problem varijacionog racuna, kod kojeg treba pronaci funkcional ako su date Ojler–
Lagranževe jednacine.
U osmoj glavi je predstavljeno numericko rešenje sistema nelinearnih diferencijalnih
jednacina koje opisuju velike deformacije štapa. Određene su i
uštede materijala koje optimizacija donosi.
Zahvaljujem svojim mentorima prof. dr Cemalu Dolicaninu i prof. dr
Teodoru Atanackovicu na ogromnoj pomoci i velikodušnim savetima tokom
mog studiranja, a narocito tokom rada na ovoj doktorskoj disertaciji. Pored
mnogobrojnih njihovih obaveza, ipak bi stalno nalazili vreme za mene i
pomagali mi, upucujuci me na odgovarajucu literaturu, a cesto i poklanjajuci
mi knjige za citanje i ucenje, na cemu sam im od sveg srca zahvalan.
Imati takve ljude za svoje mentore je velika privilegija i cast. Naravno, posebnu
zahvalnost dugujem svojoj porodici i iskrenim prijateljima na podršci,
strpljenju i razumevanju u toku svih ovih godina.