Semi-Fredholm operators on Hilbert C*-modules

Abstract

In the first part of the thesis, we establish the semi-Fredholm theory on Hilbert C∗- modules as a continuation of the Fredholm theory on Hilbert C∗-modules which was introduced by Mishchenko and Fomenko. Starting from their definition of C∗-Fredholm operator, we give definition of semi-C∗-Fredholm operator and prove that these operators correspond to one-sided invertible elements in the Calkin algebra. Also, we give definition of semi-C∗-Weyl operators and semi-C∗-B-Fredholm operators and obtain in this connection several results generalizing the counterparts from the classical semi-Fredholm theory on Hilbert spaces. Finally, we consider closed range operators on Hilbert C∗-modules and give necessary and sufficient conditions for a composition of two closed range C∗-operators to have closed image. The second part of the thesis is devoted to the generalized spectral theory of operators on Hilbert C∗-modules. We introduce generalized spectra in C∗-algebras of C∗-operators and give description of such spectra of shift operators, unitary, self-adjoint and normal operators on the standard Hilbert C∗- module. Then we proceed further by studying generalized Fredholm spectra (in C∗-algebras) of operators on Hilbert C∗-modules induced by various subclasses of semi-C∗-Fredholm operators. In this setting we obtain generalizations of some of the results from the classical spectral semi-Fredholm theory such as the results by Zemanek regarding the relationship between the spectra of an operator and the spectra of its compressions. Also, we study 2×2 upper triangular operator matrices acting on the direct sum of two standard Hilbert C∗-modules and describe the relationship between semi-C∗-Fredholmness of these matrices and of their diagonal entries.

У првом делу тезе успостављамо полу-Фредхолмову теориjу на Хилбертовим C∗- модулима као наставак Фредхолмове теориjе на Хилбертовим C∗-модулима коjу су увели Мишченко и Фоменко. Полазећи од њихове дефинициjе C∗-Фредхолмових оператора, даjе- мо дефинициjу полу-C∗-Фредхолмовог оператора и доказуjемо да ти оператори одговараjу jеднострано инвертибилним елементима у Калкиновоj алгебри. Такође, даjемо дефиници- jу полу-C∗-Ваjлових оператора и полу-C∗-Б-Фредхолмових оператора и добиjамо с тим у вези више резултата коjи генерализуjу пандане из класичне полу-Фредхолмове теориjе на Хилбертовим просторима. На краjу, разматрамо операторе са затвореном сликом на Хилбертовим C∗-модулима и даjемо потребне и довољне услове да композициjа два C∗- оператора са затвореном сликом има затворену слику. Други део тезе посвећен jе генера- лизованоj спектралноj теориjи оператора на Хилбертовим C∗-модулима. За C∗-операторе дефинишемо генерализоване спектре у C∗-алгебри и даjемо опис таквих спектара у кон- кретном случаjу оператора помака, унитарних, самоадjонгованих и нормалних оператора на стандардном Хилбертовом C∗-модулу. Затим настављамо даље проучаваjући генера- лизоване Фредхолмове спектре (у C∗-алгебрама) оператора на Хилбертовим C∗-модулима индукованим различитим подкласама полу-C∗-Фредхолмових оператора. У овом контек- сту добиjамо уопштење неких резултата из класичне спектралне полу-Фредхолмове теори- jе, као што су Земанекови резултати у вези релациjа између спектара оператора и спектара њихових компресиjа. Такође, проучавамо 2 × 2 горње триjангуларне операторске матрице коjе делуjу на директноj суми два стандардна Хилбертова C∗-модула и описуjемо однос између полу-C∗-Фредхолмности ових матрица и њихових диjагоналних елемената.