Гребнерове базе за коначно генерисане идеале над неким класама ненетериних прстена

Abstract

У овој тези бавимо се испитивањем постојања Гребнерових база за коначно ге- нерисане идеале у прстенима полинома над неким класама прстена који нису Нетерини. Теорија Гребнерових база је врло развијена и позната за случај прстена полинома над пољима или над Нетериним прстенима. Случај када је базни прстен ненетерин је мање заступљен. У том смислу, прстени којима ћемо се овде бавити су валуациони прстени Крулове димензије 0, валуациони домени Крулове димензије 1, као и генерализација ових последњих, Приферови домени Крулове димензије 1. Такође су предмет изучава- ња фон Нојман регуларни комутативни прстени као и (p − 1)-нил-чисти комутативни прстени. Добијене закључке можемо применити и на Безуове и Булове прстене, као поткласе Приферових и фон Нојман регуларних прстена, редом. Теза се већински фо- кусира на прстене полинома са једном неодређеном.

n this thesis we deal with the existence of Gröbner bases for finitely generated ide- als in rings of polynomials over some classes of rings which are not Noetherian. The theory of Gröbner bases is highly developed when we observe the ring of polynomials over a field or over a Noetherian ring. The case when the base ring is non-Noetherian is less examined. In that sense, the rings which will be of interest here are valuation rings of Krull dimension zero, valuation domains of Krull dimension one, also the generalization of the last: Prüfer domains of Krull dimension one. Von Neumann regular commutative rings and (p − 1)-nil-clean commutative rings will also be a matter of discussion. The conclusions of the thesis can be applied to Bezout and Boolean rings, as these form the subclasses of Prüfer and von Neumann regular rings, respectively. The thesis is mostly focused on rings of polynomials with one indeterminate.