Глобални минимум времена кретања механичких система са ограниченим управљањима и реакцијама веза

Abstract

Предмет истраживања ове докторске дисертације је формирање нових аналитичконумеричких поступака у циљу одређивања глобалног минимума времена кретања како материјалне тачке, тако и холономних и нехолономних механичких система константне и променљиве масе, са ограниченим управљањима и ограниченим реакцијама веза у општем случају. Посебна пажња у дисертацији биће посвећена одређивању диференцијалних једначина кретања нехолономних механичких система у конфигурационом простору Vm , а затим, водећи рачуна о чињеници да се само оно време које је присутно у једначинама реономних веза и на оним местима где се јавља као последица замене зависних координата помоћу тих веза, може разматрати као допунска координата, изведене су диференцијалне једначине кретања нехолономних механичких система у проширеном конфигурационом простору Vm1 . Формулисани проблеми оптимизације решени су у оквиру теорије оптималног управљања, користећи Понтрјагинов принцип максимума и теорију сингуларних оптималних управљања. У поступку одређивања решења постављеног двотачкастог граничног проблема (TPBVP), неопходно је претходно одредити процену интервала вредности непознатих граничних фазних и спрегнутих координата. Имајући у виду да не постоји теорема о јединствености и егзистенцији решења постављеног TPBVP, природно се намећу следећа питања која ће бити разматрана у оквиру ове докторске дисертације: да ли постоји решење постављеног TPBVP, да ли је могуће, у општем случају, одредити процену интервала вредности свих непознатих граничних фазних и спрегнутих координата, као и да ли се може одредити општи нумерички поступак за одређивање свих могући решења TPBVP? Затим, биће разматрани различити, већ постојећи, нумерички алгоритми (shooting method, Nelder Mead method, genetic algorithm, differential еvolution, simulated annealing, random search, C-GRASP algorithm) у циљу изналажења оптималних вредности параметара који утичу на тачност и брзину конвергенције решења уз дату упоредну анализу решења нумеричких алгоритама за глобалну оптимизацију. Такође, урађене су и одређене модификације постојећих, односно развој нових, у циљу добијања што поузданијег нумеричког алгоритма за глобалну оптимизацију имајући у виду предности и мане већ постојећих нумеричких алгоритама. У досадашњој литератури и публикованим научним радовима нису разматрана постављена питања коју су од суштинског значаја при одређивању глобалног минимума времена кретања како материјалне тачке, тако и холономних и нехолономних механичких система. Одговори на постављена питања, дати у овој докторској дисертацији, представљају крајњи циљ истраживања, а самим тим и научне доприносе успешном реализацијом истих.

The research topic of this doctoral thesis is the establishment of new analytical-numerical procedures to determine the global minimum time for the motion of both the particle and the variable and invariable-mass holonomic and nonholonomic mechanical systems, with limited controls and limited reactions of constraints in a general case. Special attention is directed to determining differential equations of motion of nonholonomic mechanical systems in the configuration space Vm and, thereafter, taking into account the fact that only the time which is present in the rheonomic constraints and at the locations where it occurs as a consequence of the substitution of dependent coordinates by the help of these constraints, can be considered as a supplementary coordinate, differential equations of motion of nonholonomic mechanical systems in the extended configuration space Vm1 are derived. The formulated optimization problems are solved within the framework of the optimal control theory, using Pontryagin’s maximum principle and the singular optimal control theory. In the procedure of seeking a solution to a set up two-point boundary value problem (TPBVP), it is needed first to estimate the interval of values of unknown boundary phase and conjugate coordinates. Taking into account that there is not a theorem on the uniqueness and existence of the solution to a set up TPBVP, it is reasonable that some questions are imposed to be considered in this doctoral thesis: Is there a solution to TPBVP, is it possible, in a general case, to estimate the interval of values of all unknown boundary phase and conjugate coordinates, and is it possible to determine a general numerical procedure for determining all potential solutions of TPBVP? Thereafter, considerations involve different, already existing, numerical algorithms (shooting method, Nelder Mead method, genetic algorithm, differential evolution, simulated annealing, random search, CGRASP algorithm) in order to find optimum values of parameters that affect the accuracy and rate of the convergence of solution, along with given comparative analysis of the solutions to numerical algorithms for global optimization. Also, certain modifications are carried out of the existing, i.e. development of new ones, in order to obtain as reliable numerical algorithm as possible for global optimization, keeping in mind advantages and disadvantages of the existing numerical algorithms. In the current literature and published scientific papers the questions posed have not been considered and they are of fundamental importance when determining the global minimum time for the motion of both particle and holonomic and nonholonomic mechanical systems. The responses to posed questions, given in this doctoral thesis, represent the ultimate objective of the research, and thereby a scientific contribution to its successful accomplishment.