Tema ovog rada je simetrijski zasnovana analiza sistema čiji atomi (čvorovi)
imaju nenulte magnetne momente (spinove), a čija je dinamika diktirana Hamiltonijanima
kvadratne forme po spinovima, tj. spin-spin interakcija je zadata tenzorom
drugog reda. U ovoj oblasti se obično koristi isključivo translaciona periodi
ˇcnost kristala, dok se ostale simetrije naknadno razmatraju. Stoga je osnovni
cilj ove studije uključivanje kompletne simetrije sistema, pre svega u modeliranje
magnetnih Hamiltonijana, a potom i u nalaženje njihovih mogućih rešenja u smislu
kvazi-klasičnih osnovnih stanja i odgovarajućih nisko-energijskih (heli)magnonskih
spektara. Da bi se to efikasno postiglo, rad je metodološki zasnovan na strogom
formalizmu koji tretira sisteme čije su geometrijske konfiguiracije invarijantne na
podgrupe Euklidske grupe, a interakcije obuhvataju proizvoljan nivo susedstva. Polazeći od osobina Lijeve algebre ugaonih momenata, u kvantno-mehaničkom prostoru
stanja definiše se dejstvo grup...e, koje, usled principa invarijantnosti hamiltonijana,
izdvaja aksijalno-vektorsku reprezentaciju uz odgovarajuća ograničenja na tenzorsko
polje interakcije. Zajedno sa tim, hermitičnost hamiltonijana omogućava generalizaciju
Morijinih pravila na sve dozvoljene komponente interakcije. Zbog velike dimenzije
kvantnog prostora stanja, koja se skalira eksponencijalno sa brojem čvorova,
rešenja ovakvih modela su, osim u najjednostavnijim slučajevima, aproksimativna.
Tako, ograničavanjem probnog skupa varijacionog problema na separabilna stanja
energija postaje funkcional po klasičnim vektorima (na čvorovima), koji, u opštem
slučaju, nemaju med¯usobno jednake dužine. Kako je potonji uslov podrazumevan u
aproksimaciji srednjeg polja, u radu se razmatraju mogu´cnosti da ovako nad¯eno
osnovno stanje bude regularno, tj. invarijantno na neku spinsku grupu. U tu
svrhu se pokazuje da se klasifikacija spinskih grupa može izvršiti korišćenjem realnih
trodimenzionalnih reprezentacija (spinske reprezentacije) kojima se direktno
određuju i sva regularna uređenja (međusobno jednakih dužina). Polazeći dalje od
pretpostavke da je model takav da je optimizovan regularno ured¯enim klasičnim spinovima na ˇcvorovima, a ˇcuvaju´ci njihovu prirodu ugaonog momenta, izvedeno je
preslikavanje u bozonsku sliku otklona od osnovnog stanja. Time se dinamika niskoenergijskih
pobuda svodi na svojstveni problem odgovarajuće beskonačno dimenzione
dinamičke matrice koji se, opet zahvaljujući simetriji, lako rešava metodom modifikovanih
grupnih projektora. Kako, međutim, u opštem slučaju grupa simetrije
može biti smanjena, predlaže se algoritam za rešavanje svojstvenog problema dinami
čke matrice koji efektivno koristi celu grupu. Za monoperiodične sisteme koji
su opisani jednom od 13 familija linijskih grupa detaljno se analiziraju transformaciona
svojstva tenzora interakcije i Morijina pravila, dok se pojmovi izotropnosti
i homogenosti prilagođavaju kvazi-jednodimenzionalnoj geometriji. Izdvaja se
prototipni Hamiltonijan koji pored XXZ Hajzenbergovog člana ima i Džalošinski-
Morijin vektor usmeren duž ose sistema. Pored tenzora, podrobno se klasifikuju
spinske reprezentacije i uređenja prve (najvažnije) familije linijskih grupa; uređenja
ostalih familija se dobijaju iz prve, u radu predloženim algoritmom. Konačno, navedeni
teorijski koncepti se primenjuju na nedavno sintetisanim 13C nanotubama čiji su
nuklearni spinovi putem lutajućih elektrona spregnuti dugo-dometnom Ruderman-
Kitel-Kasuja-Josida interakcijom. Dobijena raznolikost helimagnetnih faza koje se
kontrolišu naponom, osim toga što ukazuje na univerzalno ponašanje svih nanotuba,
kandiduje ih, takođe, za spintroničke uređaje.
Subject of this work is symmetry based analysis of systems whose atoms (sites)
have non-vanishing magnetic moments (spins), and whose dynamics is governed by
Hamiltonians of quadratic forms in spins, i.e. spin-spin interaction is given by the
second rank tensor. Commonly, in this field, the translational periodicity of a crystal
is used only, while the other symmetries are considered afterwards. Therefore, the
main aim of this study is inclusion of the full symmetry of systems in the modeling
of the magnetic Hamiltonians first, and then in finding their possible solutions,
in particular the quasi-classical ground states and the corresponding low-energy
(heli)magnons spectra. To achieve this efficiently, the work is methodologically
based on rigorous formalism treating the systems whose geometrical configurations
are invariant under the subgroups of the Euclidean group, and whose interactions
involve arbitrary levels of neighbours. Starting from the properties of the angular
momentum Li...e algebra, in quantum-mechanical state space group action is defined,
which, due to the invariance principle for Hamiltonian, singles out the axial-vector
representation and its constrains on the interaction tensor field. Together with that,
the hermiticity of Hamiltonian enables us to generalize the Moria’s rules on all of
the allowed components of the interaction. Because of the large dimension of the
quantum state space, which is exponentially scaled by the numbers of sites, the solutions
of such models are approximate, except in the simplest cases. Thus, restricting
the trial set of the variational problem to the separable states, the energy becomes
a functional over the site classical vectors, which, in general case, do not have mutually
equal lengths. Since, in the mean-field approximation the latter condition is
defaulted, in this work, the possibilities that the ground state found in this way is
regular, i.e. invariant under a spin group, are considered. For this purpose, it is
shown that the classification of the spin groups can be performed using orthogonal
three-dimensional real representations (spin representations), by which all the regular arrangements (of mutually equal lengths) are directly determined also. Further
on, starting from the assumption that a model is optimized by the regularly arranged
classical site spins, and preserving their angular momentum nature, the mapping in
the bosonic picture of deviations from the ground state is derived. Thereby, the
dynamics of the low-energy excitations is reduced to the eigenproblem of the corresponding
infinite-dimensional dynamical matrix, which, owing to symmetry again, is
easy to solve by the modified group projectors technique. However, since in general
case the symmetry group can be lowered, the algorithm for solving the dynamical
matrix eigenproblem, which effectively uses the whole group is proposed. For
monoperiodic systems, described by one of the 13 families of the line groups, the
transformational properties of interaction tensors are analysed in detail, while the
notions of isotropy and homogenity are accommodated to the quasi-one-dimensional
geometry. The Hamiltonian prototype, which besides the XXZ Heisenberg term has
also the Dzyaloshinskii-Moria vector directed along the system axis, is singled out. In
addition to the tensors, spin representations and arrangements of the first (the most
important) family line groups are classified thoroughly; the arrangements of the rest
of the families are to be obtained from these by the algorithm proposed in the work.
Finally, the specified theoretical concepts are applied to the recently synthesized 13C
nanotubes, whose nuclear spins are coupled by the long-ranged Ruderman-Kittel-
Kasuya-Yosida interaction via itinerant electrons. Besides the obtained diversity of
the gate-voltage controlabille helimagnetic phases reveals a universal behaviour of
all the nanotubes, it makes them to be the candidates for spintronic devices, too.
