Вероватносни рачуни секвената и класификација некласичних логика заснована на ентропији

Abstract

После кратког уводног прегледа, рад је подељен на два дела. Први део се бави присуством вероватноће у логици (в. [16], [17], [18], [19], [22], [23] и [24]), а други је посвећен примени ентропије у класификацији поливалентних логика (в. [14], [15], [20], [21] и [25]). Основна идеја која доминира првим делом рада јесте обогаћивање Gentzen- овог рачуна секвената класичне логике исказа једним вероватносним оператором дефинисаним над секвентима Γ ⊢ Δ како би се изразила чињеница да "вероватноћа истинитости секвента Γ ⊢ Δ припада интервалу [а, б] ⊂ [0, 1]". Уводимо следеће системе: LKprob, LKprob(ε), NKprob i LKfuzz. Основна форма секевната у систему LKprob је Γ ⊢ b, a Δ са горе датим значењем. Систем LKprob(ε) се фокусира на Suppes-ове форме Γ ⊢ n Δ које омогућавају формализацију реченице "вероватноћа истинитости секвента Γ ⊢ Δ припада интервалу [1 - nε,1] ⊆ [0, 1]", за неки n ∈ N. Систем NKprob представља природно-дедукцијски аналогон рачуну секвената LKprob. Модели засновани на Carnap–Popper–Leblance-овој семантици дефинисани су за сваки од ових рачуна уз одговарајуће резултате сагласности и потпуности. Коначно, рачун LKfuzz је уведен са опџтијом формом секвената Γ ⊢ х Δ, где је х елемент коначне мреже, са циљем да се опише једно расплинуће рачуна LK. Значење секвента Γ ⊢ х Δ је "да је х мера расплинућа секвента Γ ⊢ Δ". Модели за LKfuzz су дати са резултатима сагласности и потпуности, а доказ-теоретски третман рачуна LKfuzz укључује и теорему елиминације сечења. Други део рада истражује чињеницу да сваки логички систем повезан са партицијом индукованом одговарајућом Lindenbaum–Tarski–јевом алгебром омогућава дефинисање његове ентропије. Дефинишемо ентропију логичког система базираној на геометријској расподели мера над одговарајућом партицијом скупа формула. Ова дефиниција омогућава класификацију поливалентних исказних логика у односу на њихову ентропију. Асимптотске апроксимације ентропије неких бесконачновалентних логика су такође дате. Размотрени примери укључују Lukasiewicz-еву, Kleene-јеву и Priest-ову тровалентну логику, Belnap-ову четворовалентну логику, Gödel-ове и McKay-еве m-валентне логике, и Heyting-ову и Dummett-ову бесконачновалентну логику.

After a brief introductory survey, this work is divided into two parts. The first part deals with presence of probability in logic (v. [16], [17], [18], [19], [22], [23] and [24]), and the second one is devoted to the application of entropy in classification of many–valued logics (v. [14], [15], [20], [21] and [25]). The basic idea, dominant in the first part of the work, is to enrich the Gentzen’s sequent calculus LK for propositional classical logic by a kind of probability operator defined over the sequents Γ ⊢ Δ in order to express the fact that ”the truthfulness probability of Γ ⊢ Δ belongs to the interval [a, b] ⊂ [0, 1]”. We introduce the following four systems: LKprob, LKprob(ε), NKprob and LKfuzz. The basic form of sequents in LKprob is Γ ⊢ b, a Δ with the above given intended meaning. The system LKprob(ε) is focused on the Suppes-forms Γ ⊢ n Δ enabling to formalize the sentence ”the truthfulness probability of Γ ⊢ Δ belongs to the interval [1 - nε,1] ⊆ [0, 1]”, for some n ∈ N. The system NKprob presents a natural deduction counterpart of the sequent calculus LKprob. The models founded on Carnap– Popper–Leblance probability semantics are defined for each of these calculi and accompanied by the corresponding soundness and completeness results. Finally, the calculus LKfuzz is introduced with a more general form of the sequents Γ ⊢ х Δ, where x is an element of a finite lattice, with the aim to describe a fuzzification of LK. The meaning of Γ ⊢ х Δ is that ”x is the fuzziness measure of Γ ⊢ Δ". Models for LKfuzz are given with soundness and completeness results, and a proof– theoretical treatment of LKfuzz includes the cut–elimination theorem. The second part of the work explores the fact that each logical system associated with the partition induced by the corresponding Lindenbaum–Tarski algebra makes it possible to define its entropy. We define the entropy of a logical system based on geometric distribution of measures over matching partition of set of formulae. This

definition enables the classification of many–valued propositional logics according to their entropies. Asymptotic entropy approximations for some infinite–valued logics are proposed as well. The considered examples include Lukasiewicz’s, Kleene’s and Priest’s three–valued logics, Belnap’s four–valued logic, Gödel’s and McKay’s m– valued logics, and Heyting’s and Dummett’s infinite–valued logics.