Диференцијске схеме за решавање једначине субдифузије

Abstract

У последње време порасло је интересовање за моделирањем физичких и хемијских процеса једначинама у којима се појављују изводи и интеграли разломљеног реда. Једна таква једначина је једначина субдифузије која се добија из дифузионе једначине заменом класичног извода по временској променљивој изводом реда а; где је 0 < а < 1: Предмет ове дисертације јесте почетно-гранични проблем за једначину субдифузије и његова апроксимација коначним разликама. Најпре је разматран једнодимензиони проблем. Показана је егзистенција и јединственост слабог реxења. Доказана је стабилност и изведена оцена брзина конвергенције имплицитне и схеме са тежином. Посебна пажња је посвећена дводимензионом проблему субдифузије, како са Лапласовим, тако и општим диференцијалним оператором другог реда. Претпоставка је да његови коефицијенти задовољавају стандардне услове елиптичности што гарантује постојање реxеша у одговарајућим просторима типа Собољева. У том случају су, поред горе поменутих, постављене још и адитивна и факторизована схема. Испитана је њихова стабилност као и брзина конвергенције у зависности од глаткости улазних података и генералисаног решења.

In recent years there has been increasing interest in modeling the physical and chemical processes with equations involving fractional derivatives and integrals. One of such equations is the subdiffusion equation which is obtained from the diffusion equation by replacing the classical first order time derivative by a fractional derivative of order a with 0 < a < 1: The subject of this dissertation is the initial-boundary value problem for the subdiffusion equation and its approximation by finite differences. At the beginning, the one-dimensional equation is observed. The existence and the uniqueness of weak solution is proved. The stability and the convergence rate estimates for implicite and the weighted scheme are obtained. The main focus is on two-dimensional subdiffusion problem with Laplace operator as well as problem with general second-order partial differential operator. It is assumed that the coefficients of the differential operator satisfy standard ellipticity conditions that guarantees existence of solution in appropriate spaces of Sobolev type. In that case, apart from above mensoned, we constructed the additive and the factorized difference schemes. We investigated their stability and convergence rate depending on the smoothness of the input data and of generalized solution.