Б-сплајн хексаедарски елементи за електромагнетско моделовање

Abstract

У овој тези je размотрена формулација тродимензионе (3Д) методе коначних елемената (МКЕ) уз употребу Б-сплајн функција и коришћење хексаедарских елемената. При томе су Б-сплајн функције коришћене и за геометријско моделовање и за моделовање електричног поља. Будући да нова формулација омогућава независно геометријско моделовање и моделовање поља, проучене су и формулисане две варијанте методе, и то метода која користи хијерархијске полиномске функције за моделовање поља и метода која користи Б-сплајн функције за моделовање поља. Обе варијанте методе користе Б-сплајн функције за геометријско моделовање. Испитана је и веза између две варијанте методе. Како би 3Д геометријски модели могли да се користе у МКЕ потребно је параметризовање и дискретизовање геометрије. Ова тема је додатно размотрена имајући у виду специфичности моделовања геометрије помоћу Б-сплајн функција. Будући да је најзахтевнији део МКЕ алгоритма попуњавање МКЕ матрица, изведени су изрази за њихово попуњавање и приказани у детаљима. Формулисане методе су примењене на неколико погодних примера који у одређеној мери илуструју реалне инжењерске проблеме као што су нетривијална геометрија, избор функција за апроксимацију поља и слично. При томе су методе упоређене или са аналитичким решењем или са референтним нумеричким решењем. Дат је и пример реалистичне анализе МКЕ конвергенције без употребе референтних решења и модела. На крају су дате смернице за могуће побољшање уведених метода и правци даљег истраживања.

This thesis presents a novel three-dimensional (3D) formulation of the finite element method (FEM) which utilizes B-spline functions and hexahedral elements. B-spline functions were used for both geometric modeling and electric field modeling. Since this novel formulation enables independent geometric and field modeling, two variations of the FEM were studied; the first utilizes hierarchical polynomial functions for field modeling and the second utilizes B-spline functions for field modeling. Both variations of the method utilize B-spline functions for geometric modeling. Possible relations between the two variations of the method were also studied in detail. In order to use 3D geometric models as input for the FEM analysis, further efforts to parametrize and discretize the geometry were needed. These topics were discussed in detail having in mind specificities of the B-spline functions when used for geometric modeling. Since FEM matrix assembly is the most demanding task in implementation of the FEM algorithm, detailed analytic expressions for entries in the FEM matrices were given. Formulated methods were illustrated using several suitable examples which resemble difficulties met in real-life engineering problems (non trivial geometry, fieldapproximation choices, etc.). The calculated results were compared either with the analytical solutions, or with the high quality numerical solutions. An example of realistic FEM convergence analysis, which does not use referent solutions and models was also given. Concluding remarks state future research directions and possible improvements of the proposed methods.