Translation invariant Banach spaces of distributions and boundary values of integral transform

Abstract

We use common notation ∗ for distribution (Scshwartz), (Mp) (Beurling) i {Mp} (Roumieu) setting. We introduce and study new (ultra) distribution spaces, the test function spaces D∗E and their strong duals D'∗E’*.These spaces generalize the spaces D∗Lq , D'∗Lp , B’* and their weighted versions. The construction of our new (ultra)distribution spaces is based on the analysis of a suitable translation-invariant Banach space of (ultra)distribution E with continuous translation group, which turns out to be a convolution module over the Beurling algebra L1ω, where the weight ω is related to the translation operators on E. The Banach space E’∗ stands for L1ωˇ ∗ E’. We apply our results to the study of the convolution of ultradistributions. The spaces of convolutors O’∗C (Rn) for tempered ultradistributions are analyzed via the duality with respect to the test function spaces O∗C (Rn), introduced in this thesis. Using the properties of translationinvariant Banach space of ultradistributions E we obtain a full characterization of the general convolution of Roumieu ultradistributions via the space of integrable ultradistributions is obtained. We show: The convolution of two Roumieu ultradistributions T, S ∈ D’{Mp} (Rn) exists if and only if (φ ∗ Š) T ∈ D’{Mp}L1(Rn) for every φ ∈ D {Mp} (Rn). We study boundary values of holomorphic functions defined in tube domains. New edge of the wedge theorems are obtained. The results are then applied to represent D’E’* as a quotient space of holomorphic functions. We also give representations of elements of D’E’* via the heat kernel method.

Koristimo oznaku ∗ za distribuciono (Svarcovo), (Mp) (Berlingovo) i {Mp} (Roumieuovo) okruženje. Uvodimo i prouavamo nove (ultra)distribucione prostore, test funkcijske prostore D∗E i njihove duale D'∗E'*. Ovi prostori uopštavaju prostore D∗Lq , D'∗Lp , B'∗ i njihove težinske verzije. Konstrukcija naših novih (ultra)distribucionih prostora je zasnovana na analizi odgovarajuićh translaciono - invarijantnih Banahovih prostora (ultra)distribucija koje označavamo sa E. Ovi prostori imaju neprekidnu grupu translacija, koja je konvolucioni modul nad Beurlingovom algebrom L1ω, gde je težina ω povezana sa operatorima translacije prostora E. Banahov prostor E'∗ označava prostor L1ω˅ ∗ E'. Koristeći dobijene rezultata proučavamo konvoluciju ultradistribucija. Prostori konvolutora O'∗C (Rn) temperiranih ultradistribucija, analizirani su pomoću dualnosti test funkcijskih prostora O∗C (Rn), definisanih u ovoj tezi. Koristeći svojstva translaciono - invarijantnih Banahovih prostora temperiranih ultradistribucija, opet označenih sa E, dobijamo karakterizaciju konvolucije Romuieu-ovih ultradistribucija, preko integrabilnih ultradistribucija. Dokazujemo da: konvolucija dve Roumieu-ove ultradistribucija T, S ∈ D'{Mp} (Rn) postoji ako i samo ako (φ ∗ Sˇ)T ∈ D'{Mp} L1 (Rn) za svaki φ ∈ D{Mp}(Rn). Takođe, proučavamo granične vrednosti holomorfnih funkcija definisanih na tubama. Dokazane su nove teoreme ”otrog klina”. Rezultati se zatim koriste za prezentaciju D'E'∗ preko faktor prostora holomorfnih funkcija. Takođe, data je prezentacija elemente D'E'∗ koristeći heat kernel metode.