Gedel o aksiomatizaciji teorije skupova

Abstract

Cilj ovog rada je da ispita detaljeGedelove (Kurt Gödel) platonistiˇcke pozicije u filozofiji matematike, argumente koji se iznose za i protiv nje, kao i posledice koje ova pozicija ima za formulisanje novih aksioma teorije skupova. Razmotri´cemo neke konkretne predloge novih aksioma koje je Gedel ponudio, pre svega jake aksiome beskonaˇcnosti ili aksiome velikih kardinala, kao i Gedelovu sugestiju da centralni princip na kojem bi trebalo da poˇcivaju sve nove aksiome teorije skupova jeste princip refleksije. Osim toga, uporedi´cemo Gedelova gledišta o novim aksiomama sa nekim savremenimgledištima da bismo videli da li se i u kojoj meri ova poslednjamogu smatrati unapre ¯ denjima Gedelovog programa. Prva glava ovog rada je uvodnog karaktera i ne donosi ništa novo. U njoj ´cemo da uvedemo pojmove i rezultate na koje ´cemo se ˇcesto oslanjati u nastavku rada. Poslednji deo ovog uvoda sadrži nešto detaljniji pregled ˇcitavog rada nego što smomogli da pružimo u ovom rezimeu. Glave 2 i 3 posve´cene su detaljima Gedelovog platonistiˇckog stanovišta, glavnim kritikama koje su mu upu´civane i nekimmogu´cim odgovorima na njih. Posebno ´ce nas zanimati Gedelov pojam intuicije koji je bio meta mnogih kritika. Pokaza´cemo da se ovaj pojam ne treba da razume kao "misti ˇcna sposobnost neposrednog uvida" u strukturu apstraktnog matemati ˇckog sveta, i da u Gedelovim radovima do 1959. godine ova sposobnost predstavlja ništa drugo nego ˇcin razumevanja osnovnih matematiˇckih pojmova. Slede´ca glava, ˇcetvrta po redu, posve´cena je analizi dve vrste opravdanja novih aksioma, onako kako ih je Gedel razumeo. Reˇc je o unutrašnjem i spoljašnjem opravdanju. Vide´cemo da nijednoj od ovih vrsta opravdanja Gedel ne daje preimu´cstvo, kako se to ˇcesto smatra, i da izme ¯ du njih postoji povratni odnos koji ´cemo da objasnimo u ˇcetvrtom odeljku ove glave. U glavi 5 ispita´cemo jedan po našem mišljenju neuspešan argument u prilog matematiˇckom platonizmu koji delimiˇcno poˇciva na pogrešnom razumevanju Gedelovog stanovišta. Šesta glava posve´cena je Gedelovoj sugestiji da je princip refleksije centralan za teoriju skupova i da bi u izvesnom smislu svi kandidati za nove aksiome trebalo na njemu da poˇcivaju. Ispita´cemo ovaj princip u razliˇcitim kontekstima i videti da ako se on razume u odre ¯ denomsmislu, onda je svaka njegova do danas poznata formulacija preslaba da uˇcini ono što se od nje oˇcekuje. Poslednja, sedma glava ovog rada posve´cena je nekim savremenim gledištima formulisanja novih aksioma teorije skupova i njihovoj filozofskoj pozadini