Топологија и комбинаторика квазиторусних многострукости и К степена

Abstract

Предмет проучавања ове докторске дисертације су квазиторусне многострукости и К-степени. Ове тополошки веома занимљиве многострукости су уопштења торус- них варијетета и предмет су проучавања многих математичких дисциплина: торусне геометрије, симплектичке геометрије, торусне топологије, алгебарске геометрије, алгебарске топологије, тополошке комбинаторике, теорије конвексних политопа, итд. У овој тези је акценат стављен на могућност да ове објекте проучавамо комбинаторним методама, узимајући у обзир геометрију торусног дејства и комбинаторику простих политопа који представљају просторе орбита ових многострукости. Објекти којима се бави ова дисертација су нашли примену како у математици, тако и у другим примењеним областима. Зато су они предмет интензивне научне пажње. Оригинални научни допринос ове тезе је у новим резултатима о квазиторусним мно- гострукостима у односу на класична питања алгебарске топологије: степене пресликавања међу многострукостима, улагањима и имерзијама многострукости у еуклидске просторе. Методи који се користе у овој тези осликавају дубоку везу између онога што сматрамо класичном математиком и торусном топологијом. У том смислу, методи које овде користимо имају потенцијал да у скорој будућности прошире досадашња знања о овој класи многострукости, али такође и да се искористе у неким другим проблемима, као што су теорија бордизама. У прва три поглавља су на елементаран начин изложене основне особине симплици- јалних комплекса, политопа, торусних варијетета и квазиторусних многострукости, као и најважнији резултати о њима. Акцентован је комбинаторни приступ који нам омогућава да ове апстрактне објекте схватимо као природне. Четврто поглавље дисертације проучава степене пресликавања међу квазиторусним многострукостима. Техника која се користи базирана је на резултатима Хаибао Дуан-а и Схицхенг Wанг-а који су користили пресецну форму за формулисање конкретног услова за постојање пресликавања одреденог степена. Добијени су веома интересантни резултати, а посебно је класа квазиторусних 4-многострукости погодна за проучавање.

Кохомолошки прстен ових многострукости је такав да је у многим случајевима било могуће одредити скуп свих могућих степена пресликавања. Резултати су добијени у терминима елементарне теорије бројева, ослањајући се на класичне резултате о бројевима који се могу записати као сума одреденог броја потпуних квадрата. Описани су скупови могућих степена пресликавања међу многострукости за велики број конкретних многострукости као што су ЦП^2, ЦП^2.ЦП^2, С^2 × С^2, итд. У петом поглављу рачунају се Стифел-Wхитнеy-еве класе ових многострукости, дуалне класе, а потом се оне користе као опструкције за тотално коса улагања и имерзије.Главни резултат је да оне првенствено зависе од дејства торуса, јер су конструисани примери многострукости над истим политопом од којих једна има тривијалне, а друга нетривијалне карактеристичне класе. Пажња је посвећена многострукостима над кубом коју представљају нове примере у којима је доња граница блиска горњој граници за тотално коса улагања, а за које се тачно могу одредити еуклидски простори минималне димензије у које се ове многострукости могу имерзовати и уложити. У Додатку је кратко изложена теорија о дејствима група и основне особине еквиваријантних пресликавања.

The main objects studied in this doctoral thesis are quasitoric manifolds and spaces arising as the images of polyhedral product functors. Quasitoric manifolds are particularly interesting as topological generalization of non-singular toric varieties. They are a research topic of many mathematical disciplines including toric geometry, symplectic geometry, toric topology, algebraic geometry, algebraic topology, theory of convex polytopes, and topological combinatorics. These objects have already found numerous applications in mathematics and sciences and they continue to be intensively studied. In this thesis we put some emphasis on combinatorial methods, focusing on the interaction of the geometry of toric actions and combinatorics of simple polytopes. This connection of geometry and combinatorics is based on the fundamental observation that convex polytopes naturally arise as orbit spaces of toric actions on quasitoric manifolds. Our main original contributions in this thesis are related to classical topological questions about degrees of maps between manifolds as well as their embeddings and immersions into Euclidean spaces. We follow the general scheme characteristic for Algebraic Topology where a topological problem is reduced, often by non-trivial reductions, to a question of arithmetical, algebraic, or combinatorial nature. We believe that the novel applications of this scheme developed in the thesis, especially the new techniques and calculations, have a potential to be applied on other problems about quasitoric manifods. Here is a summary of the content of the thesis. For the reader’s convenience and for completeness, in the first three chapters we give an elementary exposition of the basic theory of simplicial complexes, convex polytopes, toric varieties and quasitoric manifolds. The emphasis is on the fundamental constructions and central results, however the combinatorial approach, utilized in the thesis, allows us present the theory in a direct and concrete way, with a minimum of topological prerequisites. The mapping degrees of maps between quasitoric manifolds are studied in Chapter 4 with a particular emphasis on quasitoric 4-manifolds. Utilizing the technique pioneered by Haibao Duan and Shicheng Wang, which is based on the intersection form and the cohomology ring calculations, we demonstrate that a complete information about mapping degrees can be obtained in many concrete situations. The theorems and the corresponding criteria for the existence of mapping degrees are formulated in the language of elementary number theory. It is amusing that the question whether a number appears as a mapping degree between concrete 4-manifolds is directly linked with classical results from number theory such as whether a number can be expressed as a sum of two or three squares, etc. This approach allows us to analyze many concrete 4-manifolds, including CP2, CP2♯CP2, S2×S2, etc. In Chapter 5 we calculate the Stiefel-Whitney classes of some concrete quasitoric manifolds and their duals. This information is used to determine cohomological obstructions to embeddings and immersions of these manifolds in Euclidean spaces. As an initial observation we showed that the calculations are highly dependent on the action of torus. Indeed, there are examples of quasitoric manifolds over the same polytope which exhibit a very different behavior and different complexity of the associated characteristic classes. Focusing on the quasitoric manifolds over the n-dimensional cube, we are able to produce quasitoric manifolds which are very complex in the sense that they almost attain the theoretical minimum dimension for their embedding or (totally skew) immersion in Euclidean spaces. The thesis ends with an appendix with an outline of the theory of group actions and equivariant topology.