Оцене раста градијента за функције добијене уопштеним репрезентацијама Пуасоновог типа
Gradient estimates for functions with general Poisson’s representations
Докторанд
Mutavdžić, Nikola M.,Ментор
Mateljević, MiodragЧланови комисије
Knežević, MiljanArsenović, Miloš
Božin, Vladimir
Svetlik, Marek
![](/themes/MirageNardus//images/creativecommons/arr.png)
Метаподаци
Приказ свих података о дисертацијиСажетак
У овој дисертацији разматрамо оцене градијента за хармонијска и хармонијска
квазиконформна пресликавања, као и за хармонијске функције у односу на фамилију
метрика, међу којима је и хиперболичка метрика. Као мотивација за ово истраживање,
приказани су неки нови резултати који говоре о Липшиц-непрекидности квазиконфор-
мних пресликавања, која задовољавају Лаплас-Градијентну неједнакост. Прецизније,
пресликавања која разматрамо су решења Дирихеловог проблема за Пуасонову једна-
чину и представљају уопштење хармонијских пресликавања. Осим лопте, посматране су
уопштене области у којима су дефинисана решења Дирихлеовог проблема, а такође и
уопштени кодомени. Најављени су нови резултати, који су формулисани за области C1,α
глаткости, и на домену и на кодомену.
Поред представљања главних резултата, дат је преглед општих појмова из диферен-
цијалне геометрије са подсећањем на својства хиперболичке геометрије у n-димензионој
лопти. Такође су наведене особине хармонисјких и субхармониских функци...ја у односу
на хиперболичку метрику, који су аналогни неким класичним резултатима из хармо-
нијских функција и Хардијеве теорије. Испоставило се да постоји разлика у понашању
градијента хиперболичких хармонијских функција у односу на еуклидски хармонијске
функције. Сличан закључак и за фамилију Tα хармонијских функција. Заправо, добија
се да су решења Дирихлеовог проблема за Tα хармонијске функције Липшиц-непрекидна
када је гранична функција Липшиц-непрекидна. Овако нешто не важи за хармонијске
функције. Такође је разматрано својство Хелдер-непрекидности решења Дирихлеовог
проблема за Пуасонову једначину у случајевима еуклидске и хиперболичке метрике.
Представљене су верзије Шварцове леме на граници за плурихармонијска пресли-
кавања у Хилбертовим и Банаховим просторима. Ови резултати су последице верзије
Шварцове леме за хармонијска пресликавања из јединичног диска у интервал (−1, 1)
са изостављеном претпоставком да се тачка z = 0 слика у себе. Такође, приказана је
верзија Шврцове леме на граници за хармонијска пресликавања из лопте у лопту, не
обавезно истих димензија. У доказу је коришћена верзија Шварцове леме за функицје
више променљивих, којим се првим бавио Бургет. То уопштење је изведено интеграцијом
Пуасоновог језгра по тзв. поларним капама. И у овом случају је изостављена претпо-
ставка да се тачка z = 0 слика у себе, што представља уопштење резултата до којег је
недавно дошао Д. Калај. На крају овог поглавља, доказано је да се аналоган резултат
не може формулисати у случају хиперболички хармонијских пресликавања. Ова чиње-
ница се може протумачити и као доказ да се Хопфова лема не може фомулисати за
хиперболички хармонијске функције.
Међу различитим верзијама Шварцове леме, изучаване су оцене модула за класе
холоморфних функција f на јединичном диску, чији индекс If испуњава одговоарајуће
геометријске особине. Ове класе су уопштење звездастих и α-звездастих функција, које
је претходно изучавао Б. Н. Орнек. Испитивањем доказа ових специјалних случајева
представљен је метод који се базира на примени Џекове леме, и који се може применити
у одређеним општијим ситуацијама. Као пример изведене су оштре оцене модула холо-
морфне функције f чији индекс If као кодомен има вертикалну траку, као и модула
извода функције f у тачки z = 0. Дата је и оцена раста модула холоморфних функција
на диску U, које сликају тачку z = 0 у себе и чији је кодомен вертикална трака.
In this PhD thesis we investigate bounds of the gradient of harmonic and
harmonic quasiconformal mappings. We also discuss such bounds for functions that are har-
monic with respect to the hyperbolic metric or certain other metrics. This research has
been motivated by some recent results about Lipschitz-continuity of quasiconformal map-
pings that satisfy the Laplace gradient inequality. More precisely, the mappings we consider
are solutions of the Dirichlet problem for the Poisson equation and can be considered as a
generalization of harmonic mappings. Besides the ball, we also work with general domains on
which solutions of the Dirichlet problem are defined, as well as general codomains. Finally,
we announce new results that have been formulated for regions of C1,α-smoothness, both as
the domain and the codomain.
Besides presenting the main results, we give an overview of general notions from differential
geometry and recall some of the properties of hyperbolic metric in an n-dimensi...onal ball. We
also state properties of harmonic and sub-harmonic functions with respect to the hyperbolic
metric, which are analogous to some classical results from the theory if harmonic functions
and Hardy’s theory. It turns out that the gradients of hyperbolic harmonic functions behave
differently from those of euclidean harmonic functions. A similar conclusion is obtained
for the family of Tα-harmonic functions. Namely, unlike the space of harmonic functions,
the solution of the Dirichlet problem in the space of Tα-harmonic functions is shown to be
Lipschitz-continuous when so is the boundary function. In addition, we investigate Hölder-
continuity of the solution of the Dirichlet problem for the Poisson equation in the euclidean
and hyperbolic metric.
We will present versions of the Schwarz lemma on the boundary for pluriharmonic map-
pings in Hilbert and Banach spaces. These results will follow from the version of the Schwarz
lemma for harmonic mappings from the unit disc to the interval (−1, 1) without the assump-
tion that the point z = 0 maps to itself. Furthermore, we show a version of the boundary
Schwarz lemma for harmonic mappings from a ball to a ball, not necessarily of the same
dimension. The proof uses a version of the Schwarz lemma for multivariable functions, first
considered by Burget. This result is obtained by integrating the Poisson kernel over so-called
polar caps. The assumption that point z = 0 maps to itself is again not needed, thus yielding
a generalization of a recent result by D. Kalaj. At the end of this section, it is demonstrated
that the analogous result is false in the case of hyperbolic harmonic functions. In a certain
sense, this means that the Hopf lemma is not valid for hyperbolic harmonic functions.
Amongst various versions of the Schwarz lemma, we have been investigating bounds of
the modulus for classes of holomorphic functions f on the unit disc whose index If fulfils cer-
tain geometric conditions. These classes are a generalization of the star and α-star functions,
previously investigated by B. N. Örnek. Our method is based on using Jack’s lemma and can
be applied in certain more general cases. As an illustration, we derive the sharp bounds for
the modulus of a holomorphic function f with index If whose codomain is a vertical strip,
as well as bounds for the modulus of the derivative of f at point z = 0. Moreover, we give
a bound for the rate of growth of the modulus of holomorphic functions on disk U that map
point z = 0 to itself and whose codomain is a vertical strip.