Примена форсинг методе на доказивање комбинаторних тврђења

Abstract

Пол Коен је конструисао модел за који је доказао да у њему важе ZF аксиоме, али не и аксиома избора. Ипак, Халперн и Леви су доказали да у том моделу важи BPI (исказ да свака Булова алгебра има ултрафилтер). Тај доказ се темељи на Халперн Лојхлијевој теореми, која представља ремзијевско тврђење о бојењу производа дрвета. Касније је Харингтон пронашао далеко једноставнији доказ Халперн Лојхлијеве теореме коришћењем форсинга. Касније су пронађене многе друге примене Халперн-Лојхлијеве теореме. Овде се Халперн-Лојхлијева теорема изводи из чињенице да у Коеновом иметричном моделу моделу важи BPI и показује се како се тај модел може користити уместо Халперн-Лојхлијеве теореме за доказивање тврђења која се иначе доказују применом Халперн-Лојхлијеве теореме. Другим речима, даје се метода која представља алтернативу Халперн Лојхлијевој теореми у њеним применама, при чему тај апарат има исту снагу као Халперн-Лојхлијева теорема. Та метода је апстрахован у виду теореме која важи у ZFC и у чијој формулацији нема метаматематичких појмова. Такође, дају се још неке замене за Халперн-Лојхлијеву теорему, које нису доказиве у ZFC, али које су апсолутне за одређену класу тврђења. Применом једне од теорема апсолутности из овог текста се добија алтернативни доказ Халперн-Лојхлијеве теореме. Наводе се и могућности примене изложених теорема апсолутности у теорији пољских простора и математичкој анализи. Такође, дата је одговарајућа теорема која важи у ZFC и у чијој формулацији нема метаматематичких појмова.

Pol Koen je konstruisao model za koji je dokazao da u njemu važe ZF aksiome, ali ne i aksioma izbora. Ipak, Halpern i Levi su dokazali da u tom modelu važi BPI (iskaz da svaka Bulova algebra ima ultrafilter). Taj dokaz se temelji na Halpern Lojhlijevoj teoremi, koja predstavlja remzijevsko tvrđenje o bojenju proizvoda drveta. Kasnije je Harington pronašao daleko jednostavniji dokaz Halpern Lojhlijeve teoreme korišćenjem forsinga. Kasnije su pronađene mnoge druge primene Halpern-Lojhlijeve teoreme. Ovde se Halpern-Lojhlijeva teorema izvodi iz činjenice da u Koenovom imetričnom modelu modelu važi BPI i pokazuje se kako se taj model može koristiti umesto Halpern-Lojhlijeve teoreme za dokazivanje tvrđenja koja se inače dokazuju primenom Halpern-Lojhlijeve teoreme. Drugim rečima, daje se metoda koja predstavlja alternativu Halpern Lojhlijevoj teoremi u njenim primenama, pri čemu taj aparat ima istu snagu kao Halpern-Lojhlijeva teorema. Ta metoda je apstrahovan u vidu teoreme koja važi u ZFC i u čijoj formulaciji nema metamatematičkih pojmova. Takođe, daju se još neke zamene za Halpern-Lojhlijevu teoremu, koje nisu dokazive u ZFC, ali koje su apsolutne za određenu klasu tvrđenja. Primenom jedne od teorema apsolutnosti iz ovog teksta se dobija alternativni dokaz Halpern-Lojhlijeve teoreme. Navode se i mogućnosti primene izloženih teorema apsolutnosti u teoriji poljskih prostora i matematičkoj analizi. Takođe, data je odgovarajuća teorema koja važi u ZFC i u čijoj formulaciji nema metamatematičkih pojmova.

Paul Cohen constructed a model (Cohen's symmetric model) for which he proved that the axioms of ZF hold in it, but not the Axiom of Choice. Nevertheless, Halpern and Levy proved in that in the Cohen's symmetric model BPI (the statement that every Boolean algebra has an ultrafilter) is true. That proof was based on the Halpern-Läuchli theorem, a Ramsey-Theoretic proposition about the partitioning of tree products. Later, Harrington found another proof of the Halpern-Läuchli theorem using forcing. Later, many other applications of the Halpern-Läuchli theorem were found \cite{rs}. Here, Halpern-Läuchli theorem is derived from the fact that BPI holds in the Cohen's symmetric model, and it is shown how that model can be used instead of the Halpern-Läuchli theorem to prove statements which are otherwise proved by applying the theorem. In other words, a mathematical method is given. That method is an alternative to the Halpern-Läuchli theorem in its applications, whereby that method has the same power as the theorem itself. This method is abstracted by ZFC theorem without metamathematical notions in formulation. Also, a relative consistency with ZFC, of some principles which are stronger than the Halpern-Läuchli theorem, is given. This provides a new proof of the Halpern-Läuchli theorem from the axioms of ZFC. Corresponded ZFC theorem without metamathematical notions in formulation is also given.