Zakoni održanja i njihova stohastička aproksimacija

Abstract

Matematički modeli dati pomoću parcijalnih diferencijalnihjednačina danas čine važan pristup modeliranju različitih fenomenaiz fizike, biologije, mehanike itd. Kao promenljive u modelu ranije suse javljale samo determinističke veličine, dok se danas one čestokoriste zajedno sa stohastičkim procesima. Modeli su generalnonepotpuni opisi nekih pojava i stohastički procesi mogupredstavljati neke efekte koji su prisutni u samoj pojavi ali nedostajuu modelu. I primećeno je da dodavanjem adekvatnih stohastičkihveličina u deterministički problem nekada dobijamo rešenja sa boljim karakteristikama u odnosu na rešenja bez stohastičkih veličina. postoje i slučajevi gde deterministički modeli nemaju rešenja dok ihnjihove stohastičke aproksimacije imaju.U ovoj disertaciji bavimo se 2x2 sistemima zakona održanja i njihovimstohastičkim aproksimacijama. Upoznajemo se sa raznim zakonimaodržanja iz teorije elastičnosti, hromatografije, elektroforeze, saizentropskim i Born-Infeld sistemom. Za svaki od prethodnih sistema se određuju neke njihove važne osobine, rešavaju Rimanovi problemi i nalaze njihova elementarna rešenja. Takođe, podsećamo se nekihosnovnih pojmova o stohastičkim procesima i pravimo stohastičkuperturbaciju sistema zakona održanja. Sama stohastička perturbacija jeurađena korišćenjem adekvatnog stohastičkog izvora, dodatnimmodifikacijama početnih uslova i simetrizacijom sistema. Kaorezultat dobija se stohastički Košijev problem. NJega rešavamoprimenom metode isčezavajuće viskoznosti na nizu novihaproksimativnih problema, a viskozni član puštamo u nuluSkorohodovom teoremom. Tako dobijamo neko rešenje na novojstohastičkoj bazi. Vraćanje na originalnu stohastičku bazu se vršipokazivanjem jedinstvenosti po trajektorijama i primenom YamadaWatanabe teoreme. Kako je stohastičko rešenje dato na slučajnomintervalu, njegove lokalne i globalne procene postojanja rešenja sudate u verovatnoći. Na kraju, za konkretni sistem iz teorijeelastičnosti, čiju stohastičku aproksimaciju dobijamo bez primenesimetrizacije, pokazujemo da stohastičko rešenje konvergira u nekomadekvatnom smislu ka determinističkom rešenju, kad stohastički šum ide u nulu.

Mathematical models that use partial differential equations today make an important approach to modeling various phenomena from physics, biology,mechanics, etc. In the past, only deterministic quantities appeared as variablesin the model, while today they are often used together with the stochasticprocesses. Generally, models are incomplete descriptions of some phenomena,and stochastic processes may stand for some effects that are present in thephenomenon itself but missing in the model. And it has been observed that byadding adequate stochastic quantities to a deterministic problem, wesometimes get a solution with better features comparing to the solutionwithout stochastic quantities. And there are cases where deterministic modelshave no solutions, while their stochastic approximations have them.In this dissertation we deal with 2x2 systems of conservation laws and theirstochastic approximations. We get acquainted with the various conservationlaws from the theory of elasticity, chromatography, electrophoresis, isentropicand the Born-Infeld system. For each of the previous systems, some importantroperties are determined, the Riemann problems are solved, and their elementary solutions are found. Also, we get reminded of some basic concepts concerning stochastic processes and make a stochastic perturbation of the system of conservation law. The stochastic perturbation itself was made byusing an adequate stochastic source, additional modifications of the initial conditions and symmetrization of the system. As a result a stochastic Cauchy problem is obtained. We solve it by applying the method of vanishing viscosity to a sequence of new approximate problems, and the viscosity term goes to zero by using the Skorohod’s theorem. That is how we get some solution on a new stochastic basis. Returning to the original stochastic basis is done by showing pathwise uniqueness and applying the Yamada-Watanabe theorem. Since the stochastic solution is given on a random interval, its local and global estimates of existence are given in probability. Finally, for a concrete system from the theory of elasticity, whose stochastic approximation we obtain without using symmetrization, we show that the stochastic solution converges in some adequate sense to the deterministic solution, in the zero-noise limit.