Неједнакости Коши-Шварца и Грис-Ландауа за елементарне операторе и трансформере типа унутрашњег производа на Q и Q* идеалима компактних оператора

Abstract

Неједнакости Коши-Шварца и Грис-Ландауа за елементарне операторе и трансформере типа унутрашњег производа на Q и Q∗ идеалима компактних оператора Резиме: Листа од раније познатих и недавно установљених Cauchy-Schwarz-ових неједнакости за елементарне операторе, σ−елементарне трансформере и трансформере типа унутрашњег производа допуњена је следећом варијантом Cauchy-Schwarz-ове неједнакости у Schatten-von Neumann-овим идеалима: ZΩ AtA∗ t dµ(t) 12q − 1Z2 Ω AtXBt dµ(t)ZΩ Bt∗Bt dµ(t) 1 2r − 12 p 6 ZΩ A∗ t At dµ(t) 12q XZΩ BtBt∗ dµ(t) 1 2r p за све X 2 C p(H) и све p, q, r > 1 такве да је 2 p = 1q + 1r, уколико су фамилије оператора fAtgt∈Ω, fA∗ tgt∈Ω, fBtgt∈Ω, fBt∗gt∈Ω јако квадратно интеграбилне, такве да су RΩ AtA∗ t dµ(t) и RΩ Bt∗Bt dµ(t) (ограничено) инвертибилни оператори. Разматраће се такође и друге варијанте оваквих неједнакости, омогућене додатним условима комутативности и нормалности операторних фамилија fAng∞ n=1, fBng∞ n=1, fAtgt∈Ω и fBtgt∈Ω, односно степеном p-модификације унитарно инваријантних норми, као и примене ових неједнакости на одређене проблеме у теорији оператора, укључујући норма неједнакости за генерализоване функцијске деривације Pick-ових оператор вредносних функција и оператор вредносних Fourier-ових трансформација комплексних мера, као и неједнакости Grüss-Landau-овог типа.

List of already known and recently established Cauchy-Schwarz inequalities for elementary operators, σ−elementary transformers and inner product type transformers is complemented by the next variant of Cauchy-Schwarz inequality in Schatten-von Neumann ideals: ZΩ AtA∗ t dµ(t) 12q − 1Z2 Ω AtXBt dµ(t)ZΩ Bt∗Bt dµ(t) 1 2r − 12 p 6 ZΩ A∗ t At dµ(t) 12q XZΩ BtBt∗ dµ(t) 1 2r p for all X 2 C p(H) and for all p, q, r > 1 which satisfes 2 p = 1q + 1r, if families of operators fAtgt∈Ω, fA∗ tgt∈Ω, fBtgt∈Ω, fBt∗gt∈Ω are strongly square integrabile, such that RΩ AtA∗ t dµ(t) and RΩ Bt∗Bt dµ(t) are (boundedly) invertible operators. Enabled by some additional conditions of commutativity and normality for operator families fAng∞ n=1, fBng∞ n=1, fAtgt∈Ω and fBtgt∈Ω, as well as by the degree of p-modifcations of unitary invariant norms, some others variants of those inequalities will also be considered, including their applications to the certain problems in operator theory, norm inequalities for generalized function derivations of Pick operator values functions and operator values Fourier transformations of complex measures, as well as some Grüss-Landau type inequalities.