Фигуративни бројеви као математички модел за репрезентацију законитости међу природним бројевима и развијање конструктивног мишљења

Abstract

Један од основних дидактичких принципа у настави математике је принцип очигледности који подразумева стицање знања визуелизацијом објеката. Визуелизација и репрезентација су од изузетне важности у процесу учења математике и решавања математичких задатака. Још од античког периода датира мишљење чувених филозофа да посредством чула треба доћи до сазнања. Питагорејци су применом очигледности показали да је збир свих непарних бројева од 1 до 2n – 1 једнак n2. Бројни су примери истицања важности очигледности која је само прелазна тачка ка апстрактном мишљењу. У том контексту фигуративни бројеви могу бити одличан апарат за уочавање законитости међу бројевима и развијање визуелно-логичког приступа решавању математичких задатака. Фигуративни бројеви поседују једноставну дефиницију, сликовни приказ и многобројни скуп лако уочљивих законитости између својих чланова. Велики број законитости је установљен у претходном периоду али се стиче утисак да у тој области има још много до сада не откривених веза и релација. Током студијско истраживачког рада обављена су истраживања повезаности фигуративних бројева међусобно као и са природним бројевима, графовима, алгебарским функцијама. Резултати ових истраживања приказани су у 5 научних радова од којих је један публикован у научном часопису међународног значаја. У овој докторској дисертацији изложене су теоријске основе и методолошки оквир истраживања ефикасности увођења фигуративних бројева у наставу математике. Фигуративни бројеви са својим сликовним приказом доприносе визуелизацији и сагледавању законитости међу бројевима, чиме обезбеђују остваривање принципа очигледности. Обављена истраживања су показала да ученици нису у довољној мери навикнути да уочавањем законитости међу бројевима решавају постављене задатке. Такође су показала да након рада са фигуративним бројевима ученици примењују визуелно‒логички приступ проблему и у знатно већој мери успешно решавају задатке са бројним низовима и скуповима. Током истраживања, при раду са ученицима, користили смо савремене технологије што је показало да су ученици у могућности да сврсисходно користе рачунаре и програмске пакете у настави. Такође смо примењивали рад у сарадничким групама. Ученици су током рада на часовима организовани у мале трочлане групе које су састављене од ученика различитог нивоа математичког знања. Такве групе су препоручене од многобројних истраживача ефикасног учења. У дисертацији су описана истраживања која су обављена са ученицима основне и средње школе, њихови резултати и закључци до којих смо дошли. Обавили смо пет истраживања која су обухватила укупно 1148 ученика. Резултати обављених истраживања публиковани су (осим једног који је у процесу рецензије), у домаћим и међународним научним часописима и зборницима научних конференција. Истраживања су показала да фигуративни бројеви могу бити веома добро средство за представљање парадигми и развијање конструктивног мишљења. Дисертација садржи 51 став и 14 теорема у којима су исказане законитости међу природним и фигуративним бројевима, фигуративним бројевима међусобно, фигуративним бројевима и алгебарским функцијама, графовима. Наведене законитости упућују на могућност формирања математичких модела за презентовање разних проблема у области теорије бројева. Наведени су модели који повезују троугаоне бројеве са савршеним бројевима, Питагориним триплетима, Паскаловим троуглом и Фибоначијевим низом бројева.