Generalized stochastic processes with applications in equation solving

Abstract

In this dissertation stochastic processes are regarded in the framework of Colombeau-type algebras of generalized functions. Such processes are called Colombeau stochastic processes.The notion of point values of Colombeau stochastic processes in compactly supported generalized points is established. The Colombeau algebra of compactly supported generalized constants is endowed with the topology generated by sharp open balls. The measurability of the corresponding random variables with values in the Colombeau algebra of compactly supported generalized constants is shown. The generalized correlation function and the generalized characteristic function of Colombeau stochastic processes are introduced and their properties are investigated. It is shown that the characteristic function of classical stochastic processes can be embedded into the space of generalized characteristic functions. Examples of generalized characteristic function related to gaussian Colombeau stochastic processes are given. The structural representation of the generalized correlation function which is supported on the diagonal is given. Colombeau stochastic processes with independent values are introduced. Strictly stationary and weakly stationary Colombeau stochastic processes are studied. Colombeau stochastic processes with stationary increments are characterized via their stationarity of the gradient of the process.Gaussian stationary solutions are analyzed for linear stochastic partial differential equations with generalized constant coefficients in the framework of Colombeau stochastic processes.

U disertaciji se stohastički procesi posmatraju u okviru Kolomboove algebre uopštenih funkcija. Takve procese nazivamo Kolomboovi stohastički procesi. Pojam vrednosti Kolomboovog stohastičkog procesa u tačkama sa kompaktnim nosačem je uveden. Dokazana je merljivost odgovarajuće slučajne promenljive sa vrednostima u Kolomboovoj algebri uopštenih konstanti sa kompaktnim nosačem, snabdevenom topologijom generisanom oštrim otvorenim loptama. Uopštena korelacijska funkcija i uopštena karakteristična funkcija Kolomboovog stohastičkog procesa su definisane i njihove osobine su izučavane. Pokazano je da se karakteristična funkcija klasičnog stohastičkog procesa može potopiti u prostor uopštenih karakterističnih funkcija. Dati su primeri uopštenih karakterističnih funkcija gausovskih Kolomboovih stohastičkih procesa. Data je strukturna reprezentacija uopštene korelacijske funkcije sa nosačem na dijagonali. Kolomboovi stohastički procesi sa nezavisnim vrednostima su predstavljeni. Izučavani su strogo stacionarni i slabo stacionarni Kolomboovi stohastički procesi. Kolomboovi stohastički procesi sa stacionarnim priraštajima su okarakterisani preko stacionarnosti gradijenta procesa. Gausovska stacionarna rešenja za linearnu stohastičku parcijalnu diferencijalnu jednačinu sa uopštenim konstantnim koeficijentima su analizirana u okvirima Kolomboovih stohastičkih procesa.