Tačna talasna i solitonska rešenja generalisane nelinearne Šredingerove jednačine
Exact spatiotemporal traveling and solitary wave solutions for the generalized nonlinear Schrödinger equation
Метаподаци
Приказ свих података о дисертацијиСажетак
Напредак у нелинеарној оптици умногоме зависи од наше способности да нађемо
нова решења разних диференцијалних једначина које се природно јављају у
системима где светлост интерагује са нелинеарном средином. Иако су рекреирање
ових система кроз експеримент и компјутерска симулација система два најчешћа
и плодотворна приступа, крајњи циљ остаје да се нађу егзактна решења ових
система.
Циљ ове тезе је да комбинује раније технике налажења егзактних решења
диференцијалних једначина и примени их на нелинеарну Шредингерову
диференцијалну једначину (НШДЈ). Конкретно, настао је недавно пробој у
применама одређених техника експанзије у налажењу одређених егзактних
решења НШДЈ. Упркос ограничењу у комбиновању решења због нелинеарности
система и чињенице да не могу општа решења да се нађу, сама чињеница да
можемо идентификовати нека егзактна решења је од великог значаја за област,
посебно код евалуирања какве су појаве могуће у таквим системима.
Ова теза ће се фокусирати на примену технике Ф-експа...нзије користећи се
Јакобијевим елиптичним функцијама (ЈЕФ) да би се решиле разне форме НШДЈ
са нелинеарношћу трећег степена. НШДЈ са нелинеарношћу трећег степена је од
фундаменталне важности за област нелинеарне оптике јер описује путовање
светлости кроз материјал са Керовом нелинеарношћу. Одређеним
модификацијама технике Ф-експанзије можемо наћи егзактна решења за широку
класу система.
Системи које ја презентујем у тези имају одређен скуп заједничких особина. Све
једначине имају једну лонгитудиналну промењиву, или просторну или временску,
због параксијалне апроксимације, и до три трансферзалне димензије, такође или
просротне или временске понаособ. Ако су све трансферзалне вариабле просторне
vii
онда суму њихових других извода множим са коефицијентом дифракције β, а ако
је нека од варијабли темпорална, онда говорим о коефицијенту
дифракције/дисперзије. Та два коефицијента (дифракција и дисперзија) могу да се
нормализују у један до на знак. У случају аномалне дисперзије коефицијенти
имају исти знак, а у случају нормалне дисперзије супротан знак. Осим ова два
коефицијента редукована у један, имамо такође и коефицијент χ који одређује
јачину нелинеарности трећег степена, и коефицијент γ који одређује добитак (за
позитивно γ) или губитак сигнала у нашем систему...
The progress of the field of non-linear optics greatly depends on our ability to find
solutions of various differential equations that naturally occur in the systems where light
interacts with nonlinear media. Though re-creating the systems through experiment and
performing computer simulations are the two most common and fruitful approaches, the
ultimate goal remains to find exact solutions of these systems.
The goal of this Thesis is to combine the work done in the field of finding exact
solutions to certain classes of non-linear differential Schrödinger equations (NLSE).
Most notably, there has been a breakthrough as of late in applying various expansion
techniques in finding certain exact solutions to various NLSE. Despite the limitations of
combining said solutions due to the non-linear nature of the solutions and the fact that
not all solutions can be found using these techniques, the very fact that we can identify
certain exact solutions is of tremendous importance to the field,... especially when it
comes to evaluating the kinds of functions and behavior that are possible within such
systems.
This Thesis will focus primarily on applying the F-expansion technique using the Jacobi
elliptic functions (JEFs) to solve various forms of the NLSE with the cubic nonlinearity.
The NLSE with a cubic nonlinearity is one of fundamental importance in the field of
nonlinear optics because it describes the travelling of a light wave through a medium
with a Kerr-like nonlinearity. Through certain modification of the technique we can find
exact solutions in a very large class of systems.
The systems I present in this Thesis will share a certain set of common properties. All of
the equations I will tackle have a single longitudinal variable, either temporal or spatial,
due to the application of the paraxial wave approximation, and up to three transverse
dimensions, again both temporal and spatial. If all the transverse variables are spatial I
x
assign to the sum of their second derivatives a diffraction coefficient β whereas if one of
them is temporal, I speak of the diffraction/dispersion coefficient. The two coefficients
can be normalized into one, up to their sign. In the case of anomalous dispersion, the
two coefficients have the same sign. In the case of normal dispersion, the two
coefficients have the opposite signs. Apart from these terms which are present in the
ordinary wave equation of linear optics, we also have the third order nonlinearity whose
strength is determined by a parameter χ and we also have the term γ which describes the
gain of loss of the signal inside our system...