Uopštena rešenja nekih klasa frakcionih parcijalnih diferencijalnih jednačina

Abstract

Doktorska disertacija je posvećena rešavanju Košijevog problema odabranih klasa frakcionih diferencijalnih jednačina u okviru Kolomboovih prostora uopštenih funkcija. U prvom delu disertacije razmatrane su nehomogene evolucione jednačine sa prostorno frakcionim diferencijalnim operatorima reda 0 < α < 2 i koeficijentima koji zavise od x i t. Ova klasa jednačina je aproksimativno rešavana, tako što je umesto početne jednačine razmatrana aproksimativna jednačina data preko regularizovanih frakcionih izvoda, odnosno, njihovih regularizovanih množitelja. Za rešavanje smo koristili dobro poznate uopštene uniformno neprekidne polugrupe operatora. U drugom delu disertacije aproksimativno su rešavane nehomogene frakcione evolucione jednačine sa Kaputovim frakcionim izvodom reda 0 < α < 2, linearnim, zatvorenim i gusto definisanim operatorom na prostoru Soboljeva celobrojnog reda i koeficijentima koji zavise od x. Odgovarajuća aproksimativna jednačina sadrži uopšteni operator asociran sa polaznim operatorom, dok su rešenja dobijena primenom, za tu svrhu u disertaciji konstruisanih, uopštenih uniformno neprekidnih operatora rešenja. U oba slučaja ispitivani su uslovi koji obezbeduju egzistenciju i jedinstvenost rešenja Košijevog problema na odgovarajućem Kolomboovom prostoru.

Colombeau spaces of generalized functions. In the firs part, we studied inhomogeneous evolution equations with space fractional differential operators of order 0 < α < 2 and variable coefficients depending on x and t. This class of equations is solved approximately, in such a way that instead of the originate equation we considered the corresponding approximate equation given by regularized fractional derivatives, i.e. their regularized multipliers. In the solving procedure we used a well-known generalized uniformly continuous semigroups of operators. In the second part, we solved approximately inhomogeneous fractional evolution equations with Caputo fractional derivative of order 0 < α < 2, linear, closed and densely defined operator in Sobolev space of integer order and variable coefficients depending on x. The corresponding approximate equation is a given by the generalized operator associated to the originate operator, while the solutions are obtained by using generalized uniformly continuous solution operators, introduced and developed for that purpose. In both cases, we provided the conditions that ensure the existence and uniqueness solutions of the Cauchy problem in some Colombeau spaces.