Комбинаторне Хопфове алгребре

Abstract

Над многим класама комбинаторних објеката природно се могу увести множење и комножење који задају структуру Хопфове алгебре. Позна- те су Хопфове алгебре посета, пермутација, дрвета, графова и друге. Многе класичне комбинаторне инваријанте, као џто су Мебијусова функција посета, хроматски полином графа, Ден-Сомервилове релације, изводе се из одговарајуће Хопфове алгебре. Теорију комбинаторних Хопфових алгебри засновали су Агиар, Бергерон и Сотил у раду из 2003. године. Терминални објекти у категорији комбинаторних Хопфо- вих алгебри су алгебре квазисиметричних и симетричних функција. Ове функције се појављују као функције генератрисе у комбинаторици. Предмет изучавања ове дисертације је комбинаторна Хопфова алге- бра хиперграфова и њене подалгебре градивних скупова и клатера. Ове алгебре појављују се у различитим комбинаторним проблемима, као што су бојења хиперграфова, партиције симплицијалних комплекса и комби- наторика простих политопа. Изведене су структурне везе између ових алгебри, као и њихових непарних подалгебри. Применом теорије кара- ктера дат је један метод за добијање интересантних нумеричких иденти- тета. Уопштене Ден-Сомервилове релације за застава ф-векторе Ојлерових посета доказали су Бајер и Биљера. Ове релације дефинисане су у свакој комбинаторној Хопфовој алгебри и одређују њену непарну подал- гебру. У дисертацији се решавају уопштене Ден-Сомервилове једначине за комбинаторну Хопфову алгебру хиперграфова. По аналогији са Роти- ном Хопфовом алгебром посета, дефинише се Ојлерова подалгебра Хоп- фове алгебре хиперграфова. Добијена је комбинаторна карактеризација Ојлерових хиперграфова, која зависи од нерва припадајућег клатера. На тај начин добијена је једна класа решења Ден-Сомервилових релација за хиперграфове. Ови резултати примењени су на Хопфову алгебру сим- плицијалних комплекса.

Multiplication and comultiplication, which dene the structure of a Hopf algebra, can naturally be introduced over many classes of combinatorial objects. Among such Hopf algebras are well-known examples of Hopf algebras of posets, permutations, trees, graphs. Many classical combinatorial invariants, such as M obius function of poset, the chromatic polynomial of graphs, the generalized Dehn-Sommerville relations and other, are derived from the corresponding Hopf algebra. Theory of combinatorial Hopf algebras is developed by Aguiar, Bergerone and Sottille in the paper from 2003. The terminal objects in the category of combinatorial Hopf algebras are algebras of quasisymmetric and symmetric functions. These functions appear as generating functions in combinatorics. The subject of study in this thesis is the combinatorial Hopf algebra of hypergraphs and its subalgebras of building sets and clutters. These algebras appear in dierent combinatorial problems, such as colorings of hypergraphs, partitions of simplicial complexes and combinatorics of simple polytopes. The structural connections among these algebras and among their odd subalgebras are derived. By applying the character theory, a method for obtaining interesting numerical identities is presented. The generalized Dehn-Sommerville relations for ag f-vectors of eulerian posets are proven by Bayer and Billera. These relations are dened in an arbitrary combinatorial Hopf algebra and they determine its odd subalgebra. In this thesis, the generalized Dehn-Sommerville relations for the combinatorial Hopf algebra of hypergraphs are solved. By analogy with Rota's Hopf algebra of posets, the eulerian subalgebra of the Hopf algebra of hypergraphs is dened. The combinatorial characterization of eulerian hypergraphs, which depends on the nerve of the underlying clutter, is obtained. In this way we obtain a class of solutions of the generalized Dehn-Sommerviller relations for hypergraphs. These results are applied on the Hopf algebra of simplicial complexes.