UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA U NOVOM SADU Vera Miler Jerković PRIMENA UOPŠTENIH INVERZA U REŠAVANJU FAZI LINEARNIH SISTEMA DOKTORSKA DISERTACIJA Novi Sad, 2018. УНИВЕРЗИТЕТ У НОВОМ САДУ  ФАКУЛТЕТ ТЕХНИЧКИХ НАУКА 21000 НОВИ САД, Трг Доситеја Обрадовића 6 КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА Редни број, РБР: Идентификациони број, ИБР: Тип документације, ТД: Монографска документација Тип записа, ТЗ: Текстуални штампани материјал Врста рада, ВР: Докторска дисертација Аутор, АУ: Вера Милер Јерковић Ментор, МН: Проф. др Биљана Михаиловић, Проф. др Бранко Малешевић Наслов рада, НР: Примена уопштених инверза у решавању фази линеарних система Језик публикације, ЈП: српски Језик извода, ЈИ: српски и енглески Земља публиковања, ЗП: Република Србија Уже географско подручје, УГП: АП Војводина Година, ГО: 2018. Издавач, ИЗ: ауторски репринт Место и адреса, МА: Нови Сад, Факултет техничких наука, Трг Доситеја Обрадовића 6 Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога) 5/116 /49/1/9/0/0 Научна област, НО: Примењена математика Научна дисциплина, НД: Фази математика, примењена линеарна алгебра Предметна одредница/Кqучне речи, ПО: Фази линеарни системи, уопштени инверзи, сингуларна матрица УДК Чува се, ЧУ: Библиотека Факултета техничких наука, Трг Доситеја Обрадовића 6, Нови сад Важна напомена, ВН: Извод, ИЗ: Предмет изучавања докторске дисертације јесте постављање универзалне методе за решавање фази линеарних система применом блоковске репрезентације уопштених инверза матрице. Пре свега, постављен је потребан и довољан услов за екзистенцију решањa фази линеарног система. Затим је дата тачна алгебарска формa решења и на крају је представљен ефикасан алгоритам. Датум прихватања теме, ДП: 26.10.2017. Датум одбране, ДО: Чланови комисије, КО: Председник: др Тибор Лукић, ванредни професор Члан: др Петар Ђапић, доцент Члан: др Ивана Јововић, доцент Потпис ментора Члан, ментор: Проф. др Бранко Малешевић Члан, ментор: Проф. др Биљана Михаиловић Образац Q2.НА.06-05- Издање 1 UNIVERSITY OF NOVI SAD  FACULTY OF TECHNICAL SCIENCES 21000 NOVI SAD, Trg Dositeja Obradovića 6 KEY WORDS DOCUMENTATION Accession number, ANO: Identification number, INO: Document type, DT: Monigraphic publication Type of record, TR: Textual printed material Contents code, CC: PhD thesis Author, AU: Vera Miler Jerković Mentor, MN: Professor Biljana Mihailović, PhD; Professor Branko Malešević, PhD Title, TI: Application of generalized inversis on solving fuzzy linear szstems Language of text, LT: Serbian Language of abstract, LA: Serbian, English Country of publication, CP: Republic of Serbia Locality of publication, LP: Provice of Vojvodina Publication year, PY: 2018 Publisher, PB: Author’s reprint Publication place, PP: Novi Sad, Faculty of Tehnical Sciences, Trg Dositeja Obradovića 6, Novi Sad Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes) 5/116 /49/1/9/0/0 Scientific field, SF: Applied Mathematics Scientific discipline, SD: Fuzzy Mathematics, Аpplied linear algebra Subject/Key words, S/KW: Fuzzy linear systems, generalized inverses, singular matrix UC Holding data, HD: Library of the Faculty of Technical Sciences, Trg Dositeja Obradovića 6, Novi Sad Note, N: Abstract, AB: Thе subject of research of thesis is setting universal method for solving fuzzy linear systems using a block representation of generalized inversis of a matrix. A necessary and sufficienf condition for the existence solutions of fuzzy linear systems is given. The exact algebraic form of any solutiof fuzzy linear system is established. Accepted by the Scientific Board on, ASB: 26.10.2017. Defended on, DE: Defended Board, DB: President: Tibor Lukić, PhD, associate professor Member: Petar Đapić, PhD, assistant professor Member: Ivana Jovović, PhD, assistant professor Menthor's sign Member, Mentor: Branko Malešević, PhD, full professor Member, Mentor: Biljana Mihailović, PhD, associate professor Obrazac Q2.НА.06-05- Izdanje 1 PREDGOVOR Predmet istrazˇivanja doktorske disertacije jeste postavljanje originalne metode za resˇavanje fazi linearnih sistema primenom uopsˇtenih inverza matrice. Fazi linearni sistem (FLS), u zapisu A˜X˜ = Y˜ , gde su elementi matrice A˜ i vektora X˜ i Y˜ fazi brojevi, prvi su posmatrali Buckley i Qu [10] krajem prosˇlog veka. Nekoliko godina kasnije, Friedman i dr. [20] predstavili su metodu za resˇavanje kvadratnog i regularnog fazi linearnog sistema oblika AX˜ = Y˜ , gde je matrica A realna i regularna matrica koeficijenata, a X˜ i Y˜ vektori fazi brojeva, pri cˇemu je vektor X˜ nepoznat. Primena fazi linearnih sistema je sˇirokog spektra: inzˇenjerstvo [43], statistika [35], ekonomiji [45], itd. Idejni tvorci uopsˇtenih inverza matrice su E.H. Moore [34] i R. Penrose [41]. U literaturi se najcˇesˇc´e proucˇavaju sledec´ih osam tipskih osobina uopsˇtenih inverza ma- trice: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1k}, {5k}, {6k}, koje pojedinacˇno ili u kombinaciji jedne sa drugima, odred¯uju razlicˇite tipove inverza. Najprimenljiviji uopsˇteni inverz ma- trice je {1, 2, 3, 4}-inverz proizvoljne kompleksne ili realne matrice, koji je definisan kao resˇenje sistema cˇetiri matricˇne jednacˇine. Ovaj inverz je u literaturi poznat pod imenom svojih idejnih tvoraca kao Moore-Penroseov inverz. Detaljan pregled teorijskih rezultata o uopsˇtenim inverzima i njihovim primenama mozˇe se pronac´i u literaturi [9, 11, 22, 25, 31]. Friedman i dr. [20] prezentovali su metod za resˇavanje kvadratnog fazi linearnog sistema koji je zasnovan na definicijama slabih i jakih fazi resˇenja. Efikasnost ove metode i smislenost definisanja slabih fazi resˇenja mnogi autori dovode u pitanje [6, 24], jer se pokazalo da slaba resˇenja uopsˇte nisu resˇenja fazi linearnih sistema. Takod¯e, dovoljan uslov (predstavljen u [20], pogledati dodatno objasˇnjenje u [21]) za postojanje jedinstvenih resˇenja kvadratnih FLS-a nije i potreban uslov [3]. Ovo je bio jedan od motiva istrazˇivanja, cˇiji su rezultati prezentovani u ovoj doktorskoj disertaciji. U disertaciji se predstavlja efikasna metoda za resˇavanje fazi linearnih sistema, koja razjasˇnjava pitanje odred¯ivanja jakih fazi resˇenja. Takod¯e, ova originalna metoda daje tacˇnu algebarsku formu bilo kojeg resˇenje fazi linearnog sistema kao i algoritam koji i opisuje postupak resˇavanja. Sadrzˇina doktorske disertacije podeljena je u pet poglavlja. U prvom poglavlju doktorske disertacije predstavljene su definicije fazi skupa i fazi skupovnih operacija, njihova reprezentacija preko odgovarajuc´ih funkcija pripadnosti, kao i adekvatni primeri. Zatim, predstavljen je pojam fazi broja svojim definicijama i osobinama, uz odgovarajuc´e primere. Posebna pazˇnja, u ovog poglavlja, posvec´ena je fazi linearnim sistemima. Pored definisanja i pregleda osobina fazi linearnog sistema, ovde je prezentovana osnova za resˇavanje istih. Osnovna metoda, za resˇavanje fazi linearnih sistema, bazirana je na ideji da se ovaj sistem zameni klasicˇnim linearnim sistemom i na taj nacˇin dod¯e do resˇenja. Kako se fazi linearni sistem, kao i klasicˇni linearni sistem, mozˇe posmatrati kao kvadratni i pravougaoni, u ovom delu poglavlja, prezentovan je pregled dosadasˇnjih metoda za resˇavanje prvo kvadratnih fazi linearnih sistema, a zatim i pravougaonih fazi linearnih sistema. Kao prezentacija nekih metoda, naveden je primer kvadratnog fazi linearnog sistema koji je resˇen upotrebom tri ra- zlicˇite metode, poznate u literaturi. U drugom poglavlju predstavljaju se uopsˇteni inverzi matrice. Navedene su defini- cije, osobine i teoreme koje najbolje opisuju uopsˇtene inverze matrice. Predstavljena je i blokovska reprezentacija uopsˇtenih inverza matrice. Koristec´i ovu tehniku, uopsˇteni {1}, {2}, {3} i {4}-inverzi matrice, kao i njihove kombinacije, prezentovani su preko blokova. Grupni inverz je, takod¯e, predstavljen pomoc´u blokovske reprezentacije. Navedeni su primeri za klasicˇno odred¯ivanje uopsˇtenih inverza date matrice. Takod¯e, kroz primere, prezentovana je i tehnika blokovske reprezentacije za odred¯ivanje nekih uopsˇtenih inverza date matrice. U ovom poglavlju opisana je i EP matrica svojom definicijom, teoremama i osobinama. Kod ove specificˇne matrice, pokazano je koji uopsˇteni inverzi matrice su jednaki. U trec´em i cˇetvrtom poglavlju predstavljen je originalni doprinos ove doktorske disertacije. U trec´em poglavlju opisana je metoda za resˇavanje fazi linearnih sistema pri- menom najpoznatijeg uopsˇtenog inverza matrice - Moore-Pernoseovog inverza, odnosno, primenom uopsˇtenog {1, 3}-inverza matrice i uopsˇtenog {1, 4}-inverza matrice. U ovom ii poglavlju formulisan je i dokazan potreban i dovoljan uslov za egzistenciju resˇenja fazi linearnih sistema, na osnovu kojeg je napravljen algoritam za resˇavanje fazi linearnih sistema, sa odred¯ivanjem tacˇne algebarske forme resˇenja fazi linearnih sistema. Efikas- nost ove metode ilustrovana je brojnim numericˇkim primerima. U cˇetvrtom poglavlje je prezentovana metoda za resˇavanje kvadratnog fazi li- nearnog sistema, cˇija matrica koeficijenata mozˇe biti regularna ili singularna, upotre- bom kombinacije uopsˇtenih {1}, {2} i {5}-inverza matrice koja se naziva grupni inverzi matrice. Demonstrirana je i metoda za resˇavanje kvadratnog fazi linearnog sistema upotrebom uopsˇtenog {1}-inverza matrice. Kao poseban deo ovog poglavlja, prikazano je resˇavanje fazi linearnih sistema cˇija je matrica koeficijenata EP matrica. Efikasnost metode ilustrovana je brojnim numericˇkim primera. U petom poglavlju izvedeni su zakljucˇci ovog istrazˇivanja. ******** Zahvaljujem se mentorima prof. dr Biljani Mihailovic´ i prof. dr Branku Malesˇevic´ na ukazanom poverenju, velikoj podrsˇci, dostupnosti u svakom trenutku, otvorenosti i ulozˇenom trudu i vremenu. Posebno im se zahvaljujem na tome sˇto su me uveli u ovu interesantnu i aktuelnu oblast matematike. Zahvaljujem se cˇlanovima komisije prof. dr Ivani Jovovic´, prof. dr Tiboru Lukic´u i prof. dr Petru -Dapic´u koji su svojim sugestijama dali doprinos konacˇnoj formi dok- torske disertacije. Zahvalnost dugujem prof. dr Mirjani Popovic´ i dr Milici Jankovc´ na nesebicˇnoj podrsˇci i korisnim savetima. Najviˇse se zahvaljujem svom suprugu, sinovima, roditeljima i bratu na velikoj ljubavi, razumevanje i bezuslovnoj podrsˇci. Istrazˇivanje je finansijski podrzˇano od strane Ministarstva prosvete, nauke i tehnolosˇkog razvoja Vlade Republike Srbije, u okviru projekta ON 175016. Vera Miler Jerkovic´ iii Abstract The topic of research of this thesis is presentation of the original method for solving fuzzy linear systems using generalized inverses of a matrix. Development of science and technology has motivated investigation of methods for solving fuzzy linear systems, which parameters are rather represented by fuzzy numbers than numbers. Buckley and Qu [10] observed the fuzzy linear system, in the form A˜X˜ = Y˜ , at the end of the last century. After them, Friedman et al. [20] proposed a method for solving a square FLS, in the form AX˜ = Y˜ , which matrix A is matrix of real coefficient and X˜ i Y˜ are fuzzy number vectors, while X˜ is unknown. E.H. Moore [34] and R. Penrose [41] presented generalized inverses of matrices, in the middle of the last century. The next generalized {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1k}, {5k}, {6k}-inverse are using individually or in combination with each others. The most pop- ular generalized inverse is the Moore-Penrose inverse of a matrix which is defined as a unique solution of the system of four matrix equations. The overview of theoretical aspects and applications of generalized inverses, can be found in textbooks [9, 11]. The goal of this thesis is to present the method which, using the block representa- tion of generalized inverses of matrices, formulates a necessary and sufficient condition for the existence of solutions of fuzzy linear systems and gives the exact algebraic form of any solution. In addition, an efficient algorithm for determination all solutions of fuzzy linear systems is presented. The thesis is organized as follows. In the first chapter, the basic properties, definitions and theorems about fuzzy sets, fuzzy numbers and fuzzy linear systems are recalled. In the second chapter a brief review of generalized inverses of a matrix and a block representation of generalized inverses is given. In the third chapter, we present a new, original method for solving a general fuzzy linear system, using the most popular a generalized inverse of a matrix - the Moore-Penrouse inverse. Especially, this method using generalized {1, 3}-inverse or generalized {1, 4}-inverse when the arbitrary, real coefficient matrix of a fuzzy linear iv systems is the full rank matrix by columns or rows. The algorithm for solving a fuzzy linear system based on the Moore-Penrose inverse of a matrix is given. The proposed method is illustrated by numerical examples. In the four chapter, we present a new method for solving a square fuzzy linear system, using the group inverse of a matrix as well as using arbitrary generalized {1}-inverse. We, also, give method for solving a square fuzzy linear systems which real coefficient matrix is EP matrix. The proposed method is illustrated by numerical examples. In the fifth chapter, the conclusion of the thesis is given. v Sadrzˇaj 1 FAZI LINEARNI SISTEM 1 1.1 Fazi skup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Fazi broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Fazi linearni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Kvadratni Fazi Linearni Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1.1 Fridmanov metod za resˇavanje kvadratnih i regularnih FLS-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1.2 Ezzatijev metod za resˇavanje kvadratnih i regularnih FLS-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1.3 Allahviranlov metod za resˇavanje kvadratnih i regu- larnih FLS-a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Pravougaoni Fazi Linearni Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2.1 Abbasbandyjev metod za resˇavanje pravougaonih FLS-a 22 1.3.2.2 Asadyev metod za resˇavanje pravougaonih FLS-a . . . 23 2 UOPSˇTENI INVERZI 24 2.1 Uopsˇteni inverzi matrice i njihove kombinacije . . . . . . . . . 25 2.2 Blok reprezentacija uopsˇtenih inverza matrice . . . . . . . . . 31 2.3 EP matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 METODA ZA RESˇAVANJE FLS-a UPOTREBOM MOORE- PENROSEovog INVERZA MATRICE 44 3.1 Struktura uopsˇtenog {1, l}-inverza, l ∈ {3, 4}, matrice S . . 45 3.2 Potreban i dovoljan uslov za postojanje resˇenja FLS-a . . . 58 3.3 Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4 METODA ZA RESˇAVANJE KVADRATNIH FLS-a PRI- MENOM UOPSˇTENOG INVERZA MATRICE 72 4.1 Resˇavanje FLS-a upotrebom grupnog inverza matrice . . . . 73 vi 4.2 FLS sa EP matricom - Jednakost Moore-Penroseovog in- verza, Drazinog inverza i grupnog inverza matrice . . . . . . . 85 4.3 Resˇavanje FLS-a upotrebom uopsˇtenog {1}-inverza matrice 90 5 ZAKLJUCˇAK 100 Bibliografija 101 vii POGLAVLJE I 1. FAZI LINEARNI SISTEM 1.1. Fazi skup Do danasˇnjih dana, fazi teorija se veoma razvila i pronasˇla primenu u mnogim oblastima. Prve temelje fazi skupova i fazi operacija postavio je Lotfi A. Zadeh [47] 1965. godine. Fazi skup (eng. fuzzy set) se u literaturi definiˇse na viˇse nacˇina, u za- visnosti od skupa vrednosti funkcije pripadnosti. Najzastupljenija definicija fazi skupa (uobicˇajenog fazi skupa) je data pomoc´u njegove funkcije pripadnosti (eng. member- ship function) koja elementima univerzalnog skupa dodeljuje realne brojeve iz inter- vala [0, 1]. Vrednosti (stepeni pripadnosti, eng. membership grades) koje se funkcijom pripadnosti dodeljuju elementima univerzalnog skupa takod¯e mogu biti zatvoreni in- tervali realnih brojeva iz [0, 1], uobicˇajeni fazi skupovi definisani na intervalu [0, 1], elementi parcijalno ured¯enog skupa L, te na taj nacˇin dobijamo intervalno-vrednosne fazi skupove, fazi skupove tipa 2, L-fazi skupove, koji nec´e biti razmatrani u ovoj doktorskoj disertaciji. Viˇse detalja moguc´e je pronac´i u literaturu [15, 16, 23, 47, 48]. Definicija 1. Fazi skup M na univerzalnom skupu X je definisan funkcijom µM : X → [0, 1] koja se naziva funkcija pripadnosti fazi skupa M , a njene vrednosti µM(χ) predstavljaju stepen pripadnosti elemenata χ fazi skupu M . Υ(X , [0, 1]) predstavlja familiju svih fazi skupova na univerzalnom skupu X sa vrednostima u intervalu [0, 1]. Uobicˇajeno je da se fazi skupovi imenuju i po obliku 1 grafika funkcije pripadnosti, koji mogu biti u obliku trougla, trapeza, zvona, zvezde, itd. U praksi se najcˇesˇc´e upotrebljavaju trougaoni i trapezoidni fazi skupovi. U sledec´em primeru prikazujemo trapezoidne fazi skupove. Primer 1. [23] Posmatrajmo tri fazi skupa M1, M2 i M3 koji predstavljaju grupe ”mladih osoba”, ”osoba srednjeg doba” i ”starijih osoba”. Funkcije pripadnosti µMi , i ∈ {1, 2, 3}, koje su trapozoidnog oblika, definisane su na univerzalnim skupom X = [0, 100] na sledec´i nacˇin: µM1(χ) =  1, χ ≤ 20, (35− χ)/15, 20 < χ < 35, 0, χ ≥ 35. µM2(χ) =  0, χ ≤ 20 ∨ χ ≥ 60, (χ− 20)/15, 20 < χ < 35, (60− χ)/15, 45 < χ < 60, 1, 35 ≤ χ ≤ 45. µM3(χ) =  0, χ ≤ 45, (χ− 45)/15, 45 < χ < 60, 1, χ ≥ 60. Fazi skupovi M1, M2 i M3 su ilustrovani na Slici 1. Operacije nad fazi skupovima dajemo sledec´om definicijom: Definicija 2. Za proizvoljne fazi skupove M1,M2 ∈ Υ(X , [0, 1]), cˇije su funkcije pri- padnosti µM1 i µM2, definisane su sledec´e operacije: • fazi-komplement: Komplement fazi skupa M1 jeste M1 ako vazˇi da je za svako χ ∈ X : µM1(χ) = 1− µM1(χ); • fazi-presek: Presek dva fazi skupa M1 i M2 (M1 ∩M2) definisan je za svako χ ∈ X sa: µM1∩M2(χ) = min{µM1(χ), µM2(χ)}; 2 Slika 1: Trapezoidni fazi skupovi • fazi-unija: Unija dva fazi skupa M1 i M2 (M1 ∪ M2) definisana je za svako χ ∈ X sa: µM1∪M2(χ) = max{µM1(χ), µM2(χ)}; • fazi-podskup: Fazi skupa M1 je podskup fazi skupa M2 (M1 ⊆M2) ako i samo ako za svako χ ∈ X vazˇi: µM1(χ) ≤ µM2(χ); • fazi-jednakost: Dva fazi skupa M1 i M2 su jednaka (M1 = M2) ako i samo ako za svako χ ∈ X vazˇi: µM1(χ) = µM2(χ); Sledec´im definicijama predstavljamo osnovne karakteristike fazi skupa. Definicija 3. Za proizvoljni fazi skup M ∈ Υ(X , [0, 1]), cˇija je funkcija pripadnosti µM , definiˇsemo: • nosacˇ (eng. support): supp(M) = {χ ∈ X | µM(χ) > 0}; • visina (eng. height): h(M) = sup χ∈X µM(χ); • jezgro (eng. kernel): ker(M) = {χ ∈ X | µM(χ) = 1}. Definicija 4. Za proizvoljni fazi skup M ∈ Υ(X , [0, 1]), cˇija je funkcija pripadnosti µM , i α ∈ [0, 1], definiˇsemo: 3 Slika 2: Osobine fazi skupa M • α-presek (eng. α-cut): αM = {χ ∈ X | µM(χ) ≥ α}; • strogi α-presek (eng. strong α-cut): α+M = {χ ∈ X | µM(χ) > α}. Na Slici 2 prikazane su osobine fazi skupa M . Nosacˇ fazi skupa M je klasicˇan skup elemenata χ ∈ X takvih da je µM(χ) > 0, te na osnovu Definicije 3 i 4 nosacˇ fazi skupa M je jednak strogom 0-preseku koji obelezˇavamo sa 0 + M . Prazan fazi skup je onaj fazi skup cˇiji je nosacˇ prazan, odnosno µM(χ) = 0, za svako χ ∈ X . Fazi skup, cˇiji se nosacˇ sastoji od samo jednog elementa skupa X i vazˇi µM(χ) = 1, naziva se fazi singlton (eng. fuzzy singleton). Jezgro fazi skupa M sastoji se od elemenata cˇiji je stepen pripadnosti jednak 1, pa se cˇesto naziva 1 − presek i obelezˇava sa 1M . Visina fazi skupa M je supremum vrednosti funkcije pripadnosti µM na celom prostoru X . Fazi skup, cˇija visina iznosi 1, naziva se normalizovanim fazi skupom. Ukoliko je visina fazi skupa M manja od 1, odnosno h(M) < 1, takav fazi skup se naziva subnormalizovanim fazi skupom. U sledec´em primeru prikazujemo karakteristike fazi skupova definisanih u Primeru 1. Primer 2. Fazi karakteristike fazi skupova M1, M2 i M3, definisanih u Primeru 1, za α ∈ [0, 1], su: Fazi skup M1: • visina: h(M1) = 1, 4 • nosacˇ: supp(M1) = (0, 35), • jezgro: ker(M1) = [0, 20], • α-presek: αM1 = [0, 35− 15α], α ∈ (0, 1], 0M1 = X , • strogi α-presek: α+M1 = (0, 35− 15α), α ∈ [0, 1), 1+M1 = ∅. Fazi skup M2: • visina: h(M2) = 1, • nosacˇ: supp(M2) = (20, 60), • jezgro: ker(M2) = [35, 45], • α-presek: αM2 = [15α + 20, 60− 15α], α ∈ (0, 1], 0M2 = X , • strogi α-presek: α+M2 = (15α + 20, 60− 15α), α ∈ [0, 1), 1+M2 = ∅. Fazi skup M3: • visina: h(M3) = 1, • nosacˇ: supp(M3) = (45, 100), • jezgro: ker(M3) = [60, 100], • α-presek: αM3 = [15α + 45, 100], α ∈ (0, 1], 0M3 = X , • strogi α-presek: α+M3 = (15α + 45, 100), α ∈ [0, 1), 1+M3 = ∅. Za reprezentaciju fazi skupova veoma su vazˇni α-preseci, koji su u stvari klasicˇni skupovi. U nastavku predstavljamo osobine α-preseka. Tvrd¯enje 1. Za bilo koji fazi skup M ∈ Υ(X , [0, 1]) i α1, α2 ∈ [0, 1] takve da je α1 < α2, vazˇi: • α1M ⊇ α2M i α+1 M ⊇ α+2 M , • α1M ∩ α2M = α2M i α+1 M ∩ α+2 M = α+2 M , 5 • α1M ∪ α2M = α1M i α+1 M ∪ α+2 M = α+1 M . Tvrd¯enje 2. Za α ∈ [0, 1] i fazi skupove M1,M2 ∈ Υ(X , [0, 1]) vazˇi: • α+M ⊆ αM , • α(M1 ∩M2) = αM1 ∩ αM2 i α+(M1 ∩M2) = α+M1 ∩ α+M2, • α(M1 ∪M2) = αM1 ∪ αM2 i α+(M1 ∪M2) = α+M1 ∪ α+M2, • α(M) = (1−α)+M , • α(M) 6= αM i α+(M) 6= α+M . • Za fazi skupove M1,M2 ∈ Υ(X , [0, 1]) vazˇi: – M1 ⊆M2 ⇔ αM1 ⊆ αM2, za svako α ∈ [0, 1], – M1 ⊆M2 ⇔ α+M1 ⊆ α+M2, za svako α ∈ [0, 1], – M1 = M2 ⇔ αM1 = αM2, za svako α ∈ [0, 1], – M1 = M2 ⇔ α+M1 = α+M2, za svako α ∈ [0, 1]. 1.2. Fazi broj D. Dubois i H. Prade su 1978. godine [14], predstavili pojam fazi broja (eng. fuzy number), njegovu funkciju pripadnosti i definisali osnovne aritmeticˇke operacije, kao sˇto su sabiranje, oduzimanje, mnozˇenje i deljenje. Neznatno drugacˇiju definiciju fazi broja predstavili su Goetshel i Voxman 1983. godine [18]. Dijkman i dr. [13] su 1983. godine predstavili osam klasa fazi brojeva, odredili devet operacija nad njima kao i vezu izmed¯u tih operacija. Fazi brojevi su specijalni predstavnici fazi skupova, cˇije detaljnije osobine c´emo dati u nastavku ove doktorske disertacije. Fazi brojeve, koji c´e biti definisani u nastavku, obelezˇavac´emo sa x˜, y˜, u˜, v˜, itd. Delovi teksta koji slede objavljeni su u [27, 28, 33]. Definicija 5. Fazi skup u˜ sa funkcijom pripadnosti u˜ : R → [0, 1] naziva se fazi brojem ako su ispunjeni sledec´i uslovi: • u˜ je polu-neprekidna sa gornje strane, 6 • u˜(x) = 0 izvan nekog intervala [c, d], • Postoje realni brojevi a i b takvi da c ≤ a ≤ b ≤ d – u˜(x) je monotono rastuc´a na [c, a], – u˜(x) je monotono opadajuc´a na [b, d], – u˜(x) = 1 za a ≤ x ≤ b. Skup svih fazi brojeva obelezˇen je sa E . Kako je funkcija u˜ : R → [0, 1] polu- neprekidna sa gornje strane ako i samo ako je {u˜ ≥ α} zatvoren skup za sve α ∈ (0, 1], dobijamo da je α-presek za svako α ∈ (0, 1], u stvari klasicˇan skup, ogranicˇen zatvoreni interval, obelezˇen sa [u˜]α, takav da vazˇi: [u˜]α = [u(α), u(α)], α ∈ (0, 1], gde je u(α) = inf{x ∈ R : u˜(x) ≥ α} i u(α) = sup{x ∈ R : u˜(x) ≥ α}. Nosacˇ fazi broja u˜, definisan sa supp(u˜) = cl(x ∈ R : u˜(x) > 0), gde cl oznacˇava zatvaranje skupa, je ogranicˇen skup. Koristec´i oznake u i u, fazi broj u˜ se mozˇe definisati u parametarskom obliku kao par funkcija (u, u), gde je u : [0, 1] → R neopadajuc´a, sa leva neprekidna funkcija, dok je u : [0, 1]→ R nerastuc´a, sa leva-neprekidna funkcija i u(α) ≤ u(α), za svako α ∈ [0, 1]. Definicija 6. Za proizvoljne fazi brojeve u˜ = (u(α), u(α)) i v˜ = (v(α), v(α)), i realni broj k, za svako α ∈ [0, 1], definiˇsemo: • sabiranje: [u˜+ v˜]α = [u(α) + v(α), u(α) + v(α)]; • mnozˇenje skalarom: [ku˜]α = [ku(α), ku(α)], k ≥ 0[ku(α), ku(α)], k < 0; • jednakost: u˜ = v˜ ⇐⇒ ∀α ∈ [0, 1] (u(α) = v(α) ∧ u(α) = v(α)) . Primer 3. Odrediti zbir i razliku fazi brojeva u˜ i v˜ datih sa u˜(α) = (1 + α, 4− 2α) i v˜(α) = (0.5α, 2− 1.5α). Kako se svaki fazi broj mozˇe predstaviti kao par funkcija (u, u), sledi da je u(α) = 1+α, 7 Slika 3: Sabiranje i oduzimanje fazi brojeva u(α) = 4−2α, v(α) = 0.5α i v(α) = 2−1.5α. Koristec´i prethodnu definiciju sabiranja i oduzimanja fazi brojeva (pogledati Definiciju 6), dobija se da je za svako α ∈ [0, 1]: [u˜+ v˜]α = [1+1.5α, 6−3.5α] i [u˜− v˜]α = [−1+2.5α, 4−2.5α]. Na Slici 3 prikazani su zbir i razlika fazi brojeva u˜(α) i v˜(α). 1.3. Fazi linearni sistem U mnogim oblastima primenjene matematike, inzˇenjerstva, ekonomije dolazi do potrebe za resˇavanjem sistema linearnih jednacˇina, cˇije je parametre potrebno pred- staviti fazi brojevima. Ova cˇinjenica nas navodi na na postojanje veoma jakog motiva za usavrsˇavanjem metode pomoc´u koje c´e se resˇavati fazi linearni sistem (FLS). Fazi linearni sistem, u zapisu A˜X˜ = Y˜ , gde su elementi matrice A˜ i vektora Y˜ i nepoznatog vektora X˜ fazi brojevi, prvi su posmatrali Buckley i Qu 1991. [10]. Nekoliko godina kasnije, Friedman i dr. [20] su 1998. predstavili metodu za resˇavanje kvadratnog, regu- larnog FLS-a oblika AX˜ = Y˜ , sa realnom matricom koeficijenata i vektorima fazi brojeva X˜ i Y˜ , pri cˇemu je X˜ nepoznati vektor. Abbasbandy i Alavi [1] 2005. i Ezzati [19] 2010. daju razlicˇite metode za resˇavanje FLS-a oblika AX˜ = Y˜ . Pod uticajem Firiedmana i dr., Allahviranlo [4] je 2004. predstavio metod za resˇavanje kvadratnog, 8 regularnog FLS-a, a Allahviranlo i Ghanbari [7] uvode 2012. metod za dobijanje nje- govih algebarskih resˇenja. Assady [8] je 2005. dao metodu za resˇavanje pravougaonih FLS-a. Allahviranlo i Kermani [5] 2006., Abbasbandy i dr. [2] 2008. i Otadi i dr. [37] 2015. takod¯e su se bavili ovim problemom. Nikuie [36] je 2013. proucˇavao singularne FLS-e. Wang i Zheng [49] su 2006. resˇavali nekonzistentne fazi linearne sisteme. Friedman i dr. su definisali slaba i jaka resˇenja fazi linearnog sistema [20]. Efikas- nost ove metode mnogi autori dovode u pitanje. Ezzati je 2010. pronasˇao primer na kojem je pokazao da slabo resˇenje nije vektor fazi brojeva [19]. Allahviranlo i dr. su 2012. takod¯e, prikazali na primeru da slabo resˇenje, dobijeno Friedmanovom i dr. metodom, nije vektor fazi brojeva [7]. Lodwick i Dubois 2015. navode da slaba resˇenja nisu uopsˇte resˇenja fazi linearnih sistema [24]. U nastavku slede osnovne definicije, osobine i teoreme vezane za fazi linearne sisteme. Viˇse detalja moguc´e je pronac´i u literaturu [6, 15, 19, 20]. Delovi teksta koji slede objavljeni su u radovima [27, 28]. Neka je sa Mn×n obelezˇena klasa svih kvadratnih n × n realnih matrica, n ∈ N i sa Mn×nr podklasa od Mn×n koja sadrzˇi matrice cˇiji je rang r, r ≤ n. Neka Mm×n obelezˇena klasu svih m× n realnih matrica, m,n ∈ N i Mm×nr obelezˇava podklasu od Mm×n koja sadrzˇi matrice cˇiji je rang r, r ≤ min{m,n}. Matricu A = [aij] ∈ Mm×n nazivamo nenegativnom matricom ako su joj svi elementi nenegativni, odnosno ako vazˇi aij ≥ 0, za svako i, j. Matricu |A| = [|aij|] ∈ Mm×n nazivamo matricom apsolut- nih vrednosti elemenata matrice A. I predstavlja jedinicˇnu matricu reda m × n, dok O predstavlja nula matricu reda m× n. Vektor fazi brojeva obelezˇavac´emo sa X˜ = (x˜1, x˜2, . . . , x˜n) T cˇije su komponente fazi brojevi, tj. x˜i ∈ E , za svako i = 1, 2, · · · , n. Vektore fazi brojeva obelezˇavac´emo i sa Y˜ , U˜ , itd. Klasicˇan funkcionalni vektor oznacˇic´emo saX = (x1, . . . , xn,−x1, . . . ,−xn)T , gde su njegove komponente xi i xi funkcije na intervalu [0, 1]. Klasicˇne funkcionalne vektore obelezˇavac´emo i sa Y , U , itd. Definicija 7. Neka je dat vektor fazi brojeva Y˜ = (y˜1, y˜2, . . . , y˜m) T , y˜i ∈ E, i = 1, . . . ,m i realna matrica koeficijenata A = [aij]m×n. Sistem jednacˇina: 9 a11x˜1 + a12x˜2 + . . .+ a1nx˜n = y˜1, a21x˜1 + a22x˜2 + . . .+ a2nx˜n = y˜2, ... am1x˜1 + am2x˜2 + . . .+ amnx˜n = y˜m. (1) gde je X˜ nepoznati vektor fazi brojeva X˜ = (x˜1, x˜2, . . . , x˜n) T , x˜j ∈ E, 1 ≤ j ≤ n, naziva se Fazi Linearni Sistem (FLS). Fazi linearni sistem (1), u matricˇnom obliku, za vektore fazi brojeva X˜, Y˜ gde je X˜ nepoznato, predstavlja se kao: AX˜ = Y˜ , (2) gde je A = [aij] ∈Mm×n. U Definiciji 8 definisana su resˇenja FLS-a. Definicija 8. Vektor fazi brojeva U˜ = (u˜1, u˜2, . . . , u˜n) T, gde su u˜j, 1 ≤ j ≤ n, fazi bro- jevi dati u parametarskoj formi (uj(α), uj(α)), sa α-presecima [u˜j]α = [ uj(α), uj(α) ] , α ∈ [0, 1], zove se resˇenje FLS-a (1), ako za svako α ∈ [0, 1] vazˇi[ n∑ j=1 aiju˜j ] α = [y˜i]α, i = 1, 2, . . . ,m. Na osnovu Definicije 6, ocˇigledno je da su za svako α ∈ [0, 1], sledec´i uslovi su zado- voljeni: n∑ j=1 a+ij uj(α)− n∑ j=1 a−ij uj(α) = yi(α), i n∑ j=1 a+ij uj(α)− n∑ j=1 a−ij uj(α) = yi(α), gde su a+ij = aij ∨ 0 i a−ij = (−aij) ∨ 0, za i = 1, . . . ,m i j = 1, . . . , n. Da bi se resˇio FLS (1), dovoljno je resˇiti sledec´i intervalni sistem za svako α ∈ [0, 1] [7]: 10 a11[x˜1]α + a12[x˜2]α + · · ·+ a1n[x˜n]α = [y˜1]α, a21[x˜1]α + a22[x˜2]α + · · ·+ a2n[x˜n]α = [y˜2]α, ... am1[x˜1]α + am2[x˜2]α + · · ·+ amn[x˜n]α = [y˜m]α, (3) gde je [X˜]α = ([x˜1]α, [x˜2]α, . . . , [x˜n]α) T i [Y˜ ]α = ([y˜1]α, [y˜2]α, . . . , [y˜m]α) T , za α ∈ [0, 1]. Matricˇna forma familije intervalnih sistema je A[X˜]α = [Y˜ ]α, α ∈ [0, 1]. Resˇenje je intervalni vektor [U˜ ]α, α ∈ [0, 1], cˇije su komponente n intervala [u˜j]α = [uj(α), uj(α)], uj(α) ≤ uj(α), za svako α ∈ [0, 1], takve da (uj, uj) odred¯uje parametarsku formu fazi broja u˜j, za 1 ≤ j ≤ n. Prethodno opisan postupak cˇini osnovu za resˇavanje fazi linearnih sistema. Prvo se dati FLS (1), gde je matrica A ∈ Mm×n, zameni sa familijom intervalnih sistema (3), i onda, ako resˇenje sistema (1) postoji, za resˇavanje (3), za svako α ∈ [0, 1], dovoljno je resˇiti familiju 2m× 2n klasicˇnih linearnih sistema: SX(α) = Y (α), α ∈ [0, 1], (4) gde su za svako α ∈ [0, 1] elementi matrice S = [skp], 1 ≤ k ≤ 2m, 1 ≤ p ≤ 2n, definisani sa: skp =  a+ij, k = i, p = j ili k = i+m, p = j + n,a−ij, k = i+m, p = j ili k = i, p = j + n, i gde su klasicˇni funkcionalni vektori dati sa: X = (x1, x2, . . . , xn,−x1,−x2, . . . ,−xn)T , Y = (y 1 , y 2 , . . . , y m ,−y1,−y2, . . . ,−ym)T , i pri cˇemu je vektorX nepoznat. Familiju klasicˇnih linearnih sistema (4) obelezˇavac´emo skrac´eno sa SX = Y . Matrica S mozˇe se predstaviti i na sledec´i nacˇin: S =  B C C B  , (5) gde su matrice B i C date sa B = [a+ij]m×n i C = [a − ij]m×n, gde su a + ij = aij ∨ 0 i a−ij = (−aij) ∨ 0, za sve i, j ∈ {1, . . . , n}. Matrica S naziva se pridruzˇena matrica 11 FLS-u (1). Familiju sistema SX = Y mozˇemo predstaviti i u zapisu: B C C B  X −X  =  Y −Y  , (6) gde su vektori X, X, Y i Y definisani sa: X =  x1 x2 ... xn  ; X =  x1 x2 ... xn  ; Y =  y 1 y 2 ... y m  ; Y =  y1 y2 ... ym  . Fazi linearni sistem (1) koji ima resˇenje (pogledati Definiciju 8) nazivamo konzi- stentnim (saglasnim) FLS-om. Familija klasicˇnih linearnih sistema (4) mozˇe da ima jedno, beskonacˇno resˇenja ili da bude bez resˇenja. Med¯utim, resˇenje, kada postoji, ne mora da bude adekvatno za definisanje vektora fazi brojeva. Nas c´e, u buduc´e, interesovati samo ona resˇenja familije sistema (4) koja su adekvatna za definisanje vektora fazi brojeva i zvac´emo ih reprezentativnim resˇenjima. Ovim resˇenjima c´emo se detaljnije baviti u Poglavlju III. U slucˇaju kada je matrica S regularna (m = n), resˇenje familije sistema (4) jeste oblika X = S−1Y . Med¯utim, ovo resˇenje je adekvatno za reprezentaciju vektora fazi brojeva X˜ samo ako FLS (1) ima resˇenje. Poznato je u literaturi da je nenegativnost matrice S−1 dovoljan uslov, ali ne i potreban uslov za postojanje resˇenja FLS-a (1), za (posebno) dat vektor Y (pogledati Teoremu 23 , Poglavlje III), sˇto se i ilustruje kroz sledec´i primer. Primer 4. [28] Resˇimo sledec´i 2× 2 fazi linearni sistem: x˜1 + 3x˜2 = (3.5 + 6α, 15.5− 6α) −2x˜1 + x˜2 = (−15.5 + 7α,−1.5− 7α) . Matrica koeficijenata A i matrice B i C su: A =  1 3 −2 1  , B =  1 3 0 1  , C =  0 0 2 0  . 12 Matrica S je oblika: S =  1 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 2 0 0 1  , dok su vektori X, −X, Y i −Y : X =  x1 x2  ; −X =  −x1 −x2  ; Y =  3.5 + 6α −15.5 + 7α  ; −Y =  −15.5 + 6α 1.5 + 7α  ; Familija sistema (4), odnosno (6) je oblika:  1 3 0 0 0 1 2 0 0 0 1 3 2 0 0 1   x1 x2 −x1 −x2  =  3.5 + 6α −15.5 + 7α −15.5 + 6α 1.5 + 7α  . Klasicˇan inverz pridruzˇene regularne matrice S je: S−1 =  − 1 35 3 35 − 6 35 18 35 12 35 − 1 35 2 35 − 6 35 − 6 35 18 35 − 1 35 3 35 2 35 − 6 35 12 35 − 1 35  . Jedinstveno resˇenje familije sistema SX = Y jeste X0 = S−1Y : X0 =  x01 x02 −x01 −x02  = S −1Y = S−1  3.5 + 6α −15.5 + 7α −15.5 + 6α 1.5 + 7α  =  2 + 3α 0.5 + α −8 + 3α −2.5 + α  . Kako je x0i (α) ≤ x0i (α), za α ∈ [0, 1], i = 1, 2, i kako su x01 i x02 su monotono rastuc´e funkcije, dok su x01 i x 0 2 monotono opadajuc´e funkcije, levo-neprekidne na jedinicˇnom intervalu, X0 je adekvatni vektor za predstavljanje vektora fazi brojeva X˜0 = (x˜01, x˜ 0 2) T . 13 Jedinstveno resˇenje posmatranog FLS-a dato je sa x˜01 = (2 + 3α, 8− 3α), x˜02 = (0.5 + α, 2.5− α), odnosno, fazi brojevi x˜01 i x˜ 0 2 su dobro definisani, jer su za svako α ∈ [0, 1], njegovi α-preseci su dati odgovarajuc´im intervalima: [x˜01]α = [2 + 3α, 8− 3α], [x˜02]α = [0.5 + α, 2.5− α]. Napomena 1. (i) Friedman i dr. [20] koriste termin ”jako fazi resˇenje” da imenuju resˇenje X0 familije sistema SX = Y adekvatnog za reprezentaciju vektora fazi brojeva X˜0, koje je resˇenje FLS-a, odnosno, resˇenje familije intervalnih linearnih sistema (3). (ii) Allahviranlo i Ghanbari [7] upotrebljavaju termin ”algebarsko resˇenje” da imenuju resˇenje X˜0 fazi linearnog sistema, koji u isto vreme mora biti i vektor fazi brojeva. (iii) Da bi resˇenje X0 familije sistema SX = Y bilo adekvatna reprezentacija vektora fazi brojeva X˜0, neophodni uslovi moraju biti zadovoljeni: (1) za svako α ∈ [0, 1], i svako i = 1, . . . , n, vazˇi: x0i (α) ≤ x0i (α), (2) za svako i = 1, . . . , n, x0i (odnosno x 0 i ) su monotono neopadajuc´e (odnosno, monotono nerastuc´e) levo-neprekidne funkcije na jedinicˇnom intervalu. Prethodna dva uslova obezbed¯uju da je X0 jako fazi resˇenje sistema SX = Y , sˇto je ekvivalentno cˇinjenici da je X˜0 vektor fazi brojeva, koji je u isto vreme i resˇenje FLS-a (1). U nastavku doktorske disertacije sledi pregled najzastupljenijih metoda za resˇavanje n× n fazi linearnih sistema. 1.3.1. Kvadratni Fazi Linearni Sistemi Kvadratni FLS-i, po prirodi pridruzˇene matrice, mogu se podeliti na singularne i regularne. Vec´ina istrazˇivacˇa posvec´ena je resˇavanju kvadratnih i regularnih FLS-a. U ovoj sekciji predstavljamo tri najpopularnije metode za resˇavanje kvadratnog i regularnog FLS-a: Friedmanovu [20], Ezzatijevu [19] i Allahviranlovu [7] metodu. 14 1.3.1.1 Fridmanov metod za resˇavanje kvadratnih i regularnih FLS-a Ideja ove metode jeste da se FLS (1), gde je matrica koeficijenata A = [aij] ∈ Mn×n regularna, zameni familijom klasicˇnih linearnih sistema (4), gde je S = [skp] ∈M2n×2n. Naredne teoreme i definicija detaljnije je moguc´e pogledati u radu [20]. Teorema 1. Matrica S je regularna ako i samo ako su obe matrice A = B − C i |A| = B + C regularne. Teorema 2. Ako matrica S−1 postoji, ona mora imati istu strukturu kao i matrica S (5), odnosno S−1 =  D E E D  . Matrice D i E definisane su kao D = 1 2 [ (B + C)−1 + (B − C)−1] i E = 1 2 [ (B + C)−1 − (B − C)−1]. Teorema 3. Jedinstveno resˇenje familije sistema (4) za proizvoljno dat vektor Y je reprezentativno resˇenje X0 = S−1Y ako i samo ako je S−1 nenegativna. Kao sˇto je vec´ poznato u literaturi, nenegativnost matrice S−1 je restriktivan uslov (klasa nenegativnih matrica sa ovom osobinom je klasa nenegativnih uopsˇtenih permutacionih matrica (Teorema 4 u [20])), ali to nije potreban uslov za postojanje resˇenja od (1), za (posebno) dat vektor fazi brojeva Y˜ (pogledati [3, 21, 28]). Sledec´om definicijom, koja je kritikovana od strane drugih autora (pogledati [6, 19, 24]), uvodi se pojam jakih i slabih fazi resˇenja FLS-a (1). Definicija 9. Neka je sa X0 = {(x0i (α), −x0i (α)), 1 ≤ i ≤ n} obelezˇeno jedinstveno resˇenje familije sistema (4). Vektor fazi brojeva U˜ = {(ui(α), ui(α)), 1 ≤ i ≤ n}, definisan sa: ui(α) = min{x0i (α), x0i (α), x0i (1), x0i (1)} ui(α) = max{x0i (α), x0i (α), x0i (1), , x0i (1)}, (7) naziva se fazi resˇenje sistema (1). 15 Ukoliko su (x0i (α), x 0 i (α)), 1 ≤ i ≤ n svi fazi brojevi i x0i (α) = ui(α), x0i (α) = ui(α), 1 ≤ i ≤ n, tada U˜ predstavlja jako fazi resˇenje. U suprotnom, U˜ je slabo fazi resˇenje. Slaba resˇenja nisu resˇenja od (1) [6]. Friedman i dr. [20], na osnovu Definicije 9, tvrde da slaba resˇenja uvek daju vektor fazi brojeva, sˇto ipak nije uvek slucˇaj [6] (pogledati Primer 5). Primer 5. [6] Dat je 2× 2 fazi linearni sistem: x˜1 + x˜2 = (y1(α), y1(α)) x˜1 + 2x˜2 = (y2(α), y2(α)) , gde su y 1 (α) i y1(α) dati sa: y 1 (α) =  −14 + 8α, 0 ≤ α ≤ 12 ,−11 + 2α, 1 2 ≤ α ≤ 1, y1(α) =  −1− 13α, 0 ≤ α ≤ 12 ,−6− 3α, 1 2 ≤ α ≤ 1, a, y 2 (α) i y2(α) dati sa: y 2 (α) =  −24 + 12α, 0 ≤ α ≤ 12 ,−21 + 6α, 1 2 ≤ α ≤ 1, y2(α) =  −2− 18α, 0 ≤ α ≤ 12 ,−7− 8α, 1 2 ≤ α ≤ 1, Prvo moramo resˇiti sledec´u familiju sistema (4), kada je 0 ≤ α ≤ 1 2 : 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 2   x01 x02 −x01 −x02  =  −14 + 8α −24 + 12α 1 + 13α 2 + 18α  , i familiju sistema (4), kada je 1 2 ≤ α ≤ 1: 1 1 0 0 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 2   x01 x02 −x01 −x02  =  −11 + 2α −21 + 6α 6 + 3α 7 + 8α  . Kada resˇimo ove dve familije klasicˇnih linearnih sistema dobijamo: x01(α) = −4 + 4α, 0 ≤ α ≤ 1 2 , −1− 2α, 1 2 ≤ α ≤ 1, x01(α) = −8α, 0 ≤ α ≤ 1 2 , −5 + 2α, 1 2 ≤ α ≤ 1, 16 Slika 4: Fazi broj x02(α) i nefazi broj x 0 1(α) i x02(α) = −10 + 4α, x02(α) = −1− 5α. Kako je x02(α) ≤ x02(α), za α ∈ [0, 1], i kako je x02 monotono neopadajuc´a funkcija a x02 monotono nerastuc´a funkcija, levo-neprekidne na jedinicˇnom intervalu, zakljucˇujemo da je x02 fazi broj, dok x 0 1 nije fazi broj jer je x 0 1(α) < x 0 1(α), za α > 1 3 , i x01 nije monotono neopadajuc´a funkcija a x01 nije monotono nerastuc´a funkcija za α ∈ [12 , 1] (pogledati Sliku 4). Prema tome, X0 = (x01, x 0 2) T nije vektor fazi brojeva. Prema Definiciji 9 dobijamo: u1(α) =  −4 + 4α, 0 ≤ α ≤ 1 4 , −3, 1 4 ≤ α ≤ 3 8 , −8α, 3 8 ≤ α ≤ 1 2 , −5 + 2α, 1 2 ≤ α ≤ 1, u1(α) =  −8α, 0 ≤ α ≤ 1 3 , −4 + 4α, 1 3 ≤ α ≤ 1 2 , −1− 2α, 1 2 ≤ α ≤ 1, i u2(α) = −10 + 4α, u2(α) = −1− 5α. Ocˇigledno je da je u˜2(α) fazi broj, dok u˜1(α) nije fazi broj (pogledati Sliku 5). Mozˇemo zakljucˇiti da kada je U˜ slabo fazi resˇenje on nije uvek vektor fazi brojeva, sˇto je u suprotnosti sa Definicijom 9. 17 Slika 5: Fazi broj u˜2(α) i nefazi broj u˜1(α) 1.3.1.2 Ezzatijev metod za resˇavanje kvadratnih i regularnih FLS-a Ezzati [19] je primetio da resˇenja nekih pridruzˇenih sistema (4), gde je S ∈ M2n×2n, dobijena Friedmanovom metodom, nisu odgovarajuc´a za reprezentaciju vektora fazi brojeva, te ni resˇenja polaznog fazi linearnog sistema (1), gde je A ∈Mn×n regularna matrica. U cilju resˇavanja sistema (1), Ezzati prvo resˇava sledec´i sistem: A(X +X) = (Y + Y ), (8) gde je X + X = (x1 + x1, · · · , xn + xn)T i Y + Y = (y1 + y1, · · · , yn + yn)T . Dalje se pretpostavlja da je resˇenje ovog sistema -D = (d¯1, d¯2, · · · , d¯n)T = (x1 + x1, x2 + x2, · · · , xn + xn)T . Koristec´i cˇinjenicu da je AX˜ = Y˜ ekvivalentno da (B − C)X˜ = Y˜ , sledi za svako α ∈ [0, 1]: BX(α)− CX(α) = Y (α), BX(α)− CX(α) = Y (α), gde su matrice B i C definisane na vec´ pomenuti nacˇin. Ubacivanjem smene X = -D−X u prvu, i smene X = -D −X u drugu gornju jednacˇinu dobijaju se sledec´e jednacˇine, 18 za α ∈ [0, 1]: (B + C)X(α) = Y (α) + C-D(α), (B + C)X(α) = Y (α) + C-D(α). Ukoliko inverz matrice B + C postoji, resˇenje FLS je, za svako α ∈ [0, 1], definisano sa : X(α) = (B + C)−1(Y (α) + C-D(α)), (9) X(α) = (B + C)−1(Y (α) + C-D(α)). (10) 1.3.1.3 Allahviranlov metod za resˇavanje kvadratnih i regularnih FLS-a Allahviranlo predstavlja novi metod za resˇavanje kvadratnog i regularnog FLS [7], koji se zasniva na cˇinjenici da su α-preseci FLS-a (1) familija intervalnih linearnih sistema (3). Allahviranlova metoda za resˇavanje kvadratnog FLS-a bazira se na posmatranju sledec´eg sistema, za svako α ∈ [0, 1]: Definicija 10. Sistem n× n: a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn ∈ [y˜1]α , a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn ∈ [y˜2]α , ... am1x1 + am2x2 + . . .+ annxn ∈ [y˜m]α , (11) gde je matrica koeficijenata A = [aij], 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n realna matrica reda n i gde [y˜i]α = [ y i (α), yi(α) ] oznacˇava α-presek fazi broja y˜i, za 1 ≤ i ≤ n, naziva se α-inkluzivni intervalni linearni sistem (α -IILS). Allahviranlo dalje definiˇse: x∗i (α) = n∑ j=1 g+ij yj(α)− n∑ j=1 g−ij yj(α), (12) x∗i (α) = n∑ j=1 g+ij yj(α)− n∑ j=1 g−ij yj(α), (13) 19 za svako i = 1, . . . , n i svako α ∈ [0, 1], gde je matrica G = [gij]n×n inverzna matrica matrice A, odnosno G = A−1, g+ij = gij ∨ 0 i g−ij = (−gij) ∨ 0, za sve i i j. Na osnovu sledec´e teoreme, Allahviranlo daje dovoljan uslov za postojanje i jedinstvenost algebarskog resˇenja FLS-a (1). Teorema 4. Neka je D = |A| i vektor Θα = (θ1(α), θ2(α), · · · , θn(α))T resˇenje sis- tema DΘα = Wα, gde je Wα = (w1(α), w2(α), · · · , wn(α))T , α ∈ [0, 1] i neka za i = 1, 2, · · · , n vazˇi wi(α) = yi(α)− n∑ j=1 a+ij x ∗ j(α) + n∑ j=1 a−ij x ∗ j(α), (14) gde su a+ij = aij ∨ 0 i a−ij = (−aij) ∨ 0, i, j = 1, . . . , n. Pretpostavimo da familija zatvorenih intervala definiˇse α-preseke fazi brojeva za svako i = 1, 2, · · · , n: {[x∗i (α) + θi(α), x∗i (α)− θi(α)] | α ∈ [0, 1]} . (15) Tada, vektor fazi brojeva X˜ = (x˜1, x˜2, · · · , x˜n)T , gde su α-preseci [x˜i]α fazi broja x˜i definisani sa (15), predstavlja jedinstveno algebarsko resˇenje FLS-a (1). U sledec´em primeru, fazi linearni sistem je resˇen pomoc´u Friedmanove, Ezzatijeve i Allahviranlove metode [27]. Primer 6. [27] Dat je 2× 2 fazi linearni sistem: x˜1 + 3x˜2 = (3.5 + 6α, 15.5− 6α) −2x˜1 + x˜2 = (−15.5 + 7α,−1.5− 7α) . Matrice A, B i C ovog FLS-a su: A =  1 3 −2 1  , B =  1 3 0 1  , C =  0 0 2 0  . Friedmanova metoda Inverzna matrica matrice S definisane sa (5) je (pogledati Primer 4): S−1 =  − 1 35 3 35 − 6 35 18 35 12 35 − 1 35 2 35 − 6 35 − 6 35 18 35 − 1 35 3 35 2 35 − 6 35 12 35 − 1 35  . 20 Resˇenje X0 = S−1Y familije sistema (4), S ∈M2n×2n, je adekvatano za reprezentaciju vektora fazi brojeva, te je resˇenje FLS-a X˜ = (x˜1, x˜2) T dato sa x˜1 = (2 + 3α, 8− 3α), x˜2 = (0.5 + α, 2.5− α). Ezzatijeva metoda Inverzna matrica zbira matrica B i C jeste matrica (B + C)−1 =  −0.2 0.6 0.4 −0.2  . Vektor -D je -D = (10, 3)T , a zatim koristec´i jednacˇine (9) i (10) dobijamo: x1 x2  =  −0.2 0.6 0.4 −0.2  y1 y 2 +  0 0 2 0  10 3  ,  −x1 −x2  =  −0.2 0.6 0.4 −0.2  −y1 −y2 +  0 0 2 0  10 3  . Sledi da je resˇenje FLS-a X˜ = (x˜1, x˜2) T : x˜1 = (2 + 3α, 8− 3α), x˜2 = (0.5 + α, 2.5− α). Allahviranlova metoda Koristec´i jednacˇine (12) i (13), dobijamo: [x˜∗1]α = [1.143 + 3.857α, 8.857− 3.857α], [x˜∗2]α = [−1.214 + 2.714α, 4.214− 2.714α]. Na osnovu (14) dobija se: w1(α) = 6(1− α), w2(α) = 3.429(1− α). Resˇavanjem sledec´eg klasicˇnog linearnog sistema DΘα = Wα, gde je D = |A|: θ1(α) + 3θ2(α) = 6(1− α), 2θ1(α) + θ2(α) = 3.429(1− α), 21 dobija se jedinstveno resˇenje Θα = (0.857(1 − α), 1.714(1 − α))T . Na osnovu (15), resˇenje je vektor fazi brojeva X˜ = (x˜1, x˜2) T , definisan α-presecima: [x˜1]α = [2 + 3α, 8− 3α], [x˜2]α = [0.5 + α, 2.5− α]. 1.3.2. Pravougaoni Fazi Linearni Sistemi U ovoj sekciji prezentujemo dve metode za resˇavanje m× n fazi linearnih sistema (1): Abbasbandy i dr. [2] metoda i Asady i dr. [8] metoda. 1.3.2.1 Abbasbandyjev metod za resˇavanje pravougaonih FLS-a Abbasbandy i dr. posmatrali su pravougaoni fazi linearni sistem (1), cˇija je matrica koeficijenata A ∈ Mm×n punog ranga, odnosno, resˇavali su familiju klasicˇnih lin- earnih sistema (4), cˇija je matrica S ∈ M2m×2n punog ranga. Oni su pronasˇli samo jedno resˇenje FLS-a upotrebom uopsˇtenog inverza matrice, tacˇnije upotrebom Moore- Penroseovog inverza (videti Definiciju 13). Sledec´e teoreme i posledice predstavljaju osnovu Abbasbandyjeve metode [2] : Posledica 1. Matrica S je punog ranga po vrstama (kolonama) ako i samo ako su obe matrice A = B − C i B + C punog ranga po vrstama (kolonama). Teorema 5. Moore-Penroseov inverz nenegativne matrice S, koja je punog ranga, jeste oblika S† =  D E E D  , gde su matrice D i E oblika D = 1 2 [ (B + C)† + (B − C)†] i E = 1 2 [ (B + C)† − (B − C)†] . Posledica 2. Minimalno resˇenje familije sistema (4) je X0 = S†Y . Teorema 6. Vektor X0 = S†Y je reprezentativno resˇenje familije sistema (4), gde je matrica S pridruzˇena matrica konzistentnog FLS-a (1) u kome je vektor fazi brojeva X˜ nepoznat a vektor fazi brojeva Y˜ proizvoljno dat, ako i samo ako je matrica S† nenegativna. 22 1.3.2.2 Asadyev metod za resˇavanje pravougaonih FLS-a Asady je posmatrao FLS (1), cˇija je matrica koeficijenata A ∈ Mm×n, m ≤ n, i oslanjajuc´i se na Friedmanov metod postavio je uslove za postojanje jednog resˇenja FLS-a. Resˇenje je pronasˇao koristec´i metodu najmanjih kvadrata. Svoju metodu je potkrepio sledec´om lemom i teoremom [8]: Lema 1. Rang matrice S je 2m ako i samo ako rang obe matrice A = B−C i B+C iznosi m. Teorema 7. Vektor X0 = ST (SST )−1Y je reprezentativno resˇenje familije sistema (4) , gde je matrica S pridruzˇena matrica FLS-a (1) u kome je vektor fazi brojeva X˜ nepoznat a vektor fazi brojeva Y˜ proizvoljno dat, ako su nedijagonalni elementi matrice (SST )−1 nenegativni. 23 POGLAVLJE II 2. UOPSˇTENI INVERZI Med¯u prvim tvorcima teorije o uopsˇtenom inverzu matrice bili su E.H. Moore (1920.) [34] i R. Penrose (1955.) [41]. U literaturi [9, 11] se najcˇesˇc´e proucˇavaju sledec´ih osam tipskih osobina uopsˇtenih inverza matrice: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1k}, {5k}, {6k}, koje pojedinacˇno ili u kombinaciji jedne sa drugima, odred¯uju razlicˇite tipove inverza. Pojam uopsˇteni inverz matrice mozˇe se zameniti pojmovima generalizovan inverz ma- trice ili pseudoinverz matrice. Uopsˇteni inverz matrice, koji ima najˇsiru primenu, naziva se Moore-Penroseov inverz matrice. Postoji viˇse ekvivalentnih definicija ovog inverza [9, 34, 41]. Moore-Penroseov inverz matrice, uopsˇteni {1, 3}-inverz matrice i uopsˇteni {1, 4}-inverzi matrice imaju minimax osobine i iz tog razloga s upotrebljavaju prilikom resˇavanja linearnih sistema. Takod¯e, uopsˇteni {1, 3}-inverz matrice upotre- bljava se kod resˇavanja linearnih sistema upotrebom metode najmanjih kvadrata [42]. Uopsˇteni {1, 2, 5}-inverz matrice (grupni inverz) i uopsˇteni {1k, 2, 5}-inverz matrice (Drazinov inverz) imaju primenu kod resˇavanja singularnih diferencijalni jednacˇina, kod Markovljevih lanaca, itd. Uopsˇteni {2}-inverz matrice upotrebljava se prilikom resˇavanja sistema nelinearnih jednacˇina. Viˇse o primenama ovih inverza mozˇe se pronac´i u [9, 11, 26]. 24 2.1. Uopsˇteni inverzi matrice i njihove kombinacije U ovom delu predstavljaju se definicije, osobine i teoreme vezane za uopsˇteni {1}, {2}, {3} i {4} -inverz matrice, kao i za njihove kombinacije. Uopsˇtene {5} i {1k}- inverze nec´emo razmatrati ponaosob ali c´emo ih koristiti u kombinaciji sa drugim uopsˇtenim inverzima matrice. U nastavku predstavljamo definicije uopsˇtenih inverza matrice (viˇse detalja dato je u [9, 11, 17, 25]). Delovi teksta koji slede objavljeni su u [28, 30]. Neka je data F realna matrica, dimenzija m × n, sa rangom r (F ∈ Mm×nr , r = rang(F )). Matrica F ∈Mm×n je matrica punog ranga ako i samo ako vazˇi rang(F ) = r = min{m,n}. Sistem od cˇetiri Penrosove jednacˇine za matricu F predstavljen je sa: FGF = F, (P1) GFG = G, (P2) (FG)T = FG, (P3) (GF )T = GF, (P4) gde je matrica G ∈ Mn×m nepoznata. U slucˇaju kada F ∈ Cm×nr , gde je sa Cn×n obelezˇena klasa svih m × n kompleksnih matrica, m,n ∈ N i sa Cm×nr podklasa od Cm×n koja sadrzˇe matrice cˇiji je rang r, osobine (P3) i (P4) zamenjuju se, redom, sa: (FG)∗ = FG, (GF )∗ = GF, gde je matricaG ∈ Cn×m nepoznata. Oznakom F ∗ obelezˇavamo konjugovano transpono- vanu matricu matrice F . Za kvadratnu, realnu matricu F sa rangom r i indeksom k (F ∈ Mnr , r ≤ n, r = rang(F ), ind(F ) = k), dodatne matricˇne jednacˇine su definisane sa: FG = GF (P5) F kGF = F k. (P6) F kG = GF k (P7) FGk = GkF (P8) 25 Definicija 11. Broj k je indeks matrice F , u oznaci ind(F ) = k, gde je k najmanji nenegativan broj takav da vazˇi jednakost rang(F k) = rang(F k+1). Definicija 12. Za bilo koju matricu F ∈Mm×n, neka je sa H{i, j, . . . h} oznacˇen skup svih matrica G ∈ Mn×m koje zadovoljavu matricˇne jednacˇine (Pi), (Pj), . . . , (Ph) iz sistema matricˇnih jednacˇinama (P1) do (P8). Matrica G ∈ H{i, j, . . . , h} se zove uopsˇteni {i, j, . . . , h}-inverz matrice F i obelezˇava se sa F (i,j,...,h). Iz Definicije 12, jasno je da se matrica G, koja zadovoljava po jednu matricˇnu jednacˇinu iz skupa jednacˇina (P1) do (P5), naziva uopsˇtenim {1}, {2}, {3}, {4} ili {5}- inverzom matrice F , redom. Kada matrica G zadovoljava matricˇnu jednacˇinu (P6), (P7) odnosno (P8), naziva se uopsˇtenim {1k}, {5k} odnosno {6k}-inverzom matrice F . U nastavku dajemo najprimenljivije kombinacije uopsˇtenih inverza matrice. Definicija 13. Za bilo koju matricu F ∈ Mm×n, neka je data matrica G ∈ Mn×m koja zadovoljava sistem od cˇetiri matricˇne jednacˇine od (P1) do (P4). Matrica G naziva se Moore-Penrose inverz matrice F i obelezˇava se sa F † ili F (1,2,3,4). Resˇenje sistema sacˇinjenog od cˇetiri matricˇne jednacˇine (P1) - (P4) uvek postoji i jedinstveno je. Koristic´emo oznaku F (1,3) za uopsˇteni {1, 3}-inverz matrice F , koji zadovoljava dve matricˇne jednacˇine (P1) i (P3). U opsˇtem slucˇaju, ova matrica nije jedinstvena. Slicˇno, sa F (1,4) obelezˇavac´emo uopsˇteni {1, 4}-inverz matrice F , koji zadovoljava dve matricˇne jednacˇine (P1) i (P4), koji takod¯e, ne mora biti jedinstven. Definicija 14. Za bilo koju matricu F ∈ Mn×n, cˇiji je ind(F ) = k, neka je data matrica G ∈Mn koja zadovoljava sistem od tri matricˇne jednacˇine (P2), (P5) i (P6). Matrica G naziva se Drazinov inverz matrice F i obelezˇava se sa F♦ ili F (1 k,2,5). Resˇenje sistema sacˇinjenog od tri matricˇne jednacˇine (P2), (P5) i (P6) uvek postoji i jedinstveno je. Definicija 15. Za bilo koju matricu F ∈ Mn×n, cˇiji je ind(F ) = 1, neka je data matrica G ∈Mn koja zadovoljava sistem od tri matricˇne jednacˇine (P1), (P2) i (P5). Matrica G naziva se grupni inverz matrice F i obelezˇava se sa F ] ili F (1,2,5). 26 Resˇenje sistema sacˇinjenog od tri matricˇne jednacˇine (P1), (P2) i (P5) kada postoji je jedinstveno. Ukoliko je matrica F regularna matrica, tada su Moore-Penroseov inverz, Drazi- nov inverz i grupni inverz matrice F jednaki su sa klasicˇnim inverzom matrice F , odnosno F † = F♦ = F ] = F−1. U slucˇaju kada je indeks matrice F jednak 1, Drazi- nov inverz i grupni inverz matrice F su jednaki, odnosno F♦ = F ]. Postoji nekoliko nacˇina za odred¯ivanje Moore-Penrosovog inverza, grupnog inverza i Drazinovog inverza neke matrice. Moore-Penroseov inverz matrice mozˇe se izracˇunati upotrebom singularno vrednosne dekompozicije (SV D) [9, 17]. SV D-a matrice F , F ∈Mm×nr , definiˇse se na sledec´i nacˇin: F = U  Σ 0 0 0 V T , gde su matrice U i V odgovarajuc´e unitarne matrice (realna matrica je unitarna ako su joj inverzna i transponovana matrica jednake) i matrica Σ dijagonalna matrica. Dijagonalni elementi se nazivaju singularnim vrednostima i dobijaju se tako sˇto se odrede kvadratni koreni sopstvenih vrednosti matrice FF T ili matrice F TF . Moore- Penroseov inverz realne matrice F je: G = F † = V  Σ−1 0 0 0 UT . U Primeru 7 prikazujemo postupak odred¯ivanje Moore-Penroseovog inverza date matrice pomoc´u SV D. Primer 7. Za datu matricu F =  1 0 −1 2 1 1 2 0 3 1 0 1  odrediti Moore-Penroseov inverz koristec´i SV D metodu. Matrice U , Σ i V su: 27 U =  −427 996 505 791 −140 219 −203 626 −663 862 −239 434 −382 453 − 23 800 95 177  , Σ =  3227 831 0 0 0 391 148 0 0 0 193 199  , V =  −809 957 −273 908 − 38 671 −261 596 − 17 207 − 45 149 −613 744 377 798 237 547 − 7 486 −314 659 −527 689 −259 859 379 419 −259 859 0  . Moore-Penroseov inverz matrice F je oblika: F † =  − 7 33 − 5 33 14 33 − 1 33 4 33 2 33 4 33 17 33 − 8 33 2 3 1 3 −1 3  . Teorema 8 i Teorema 9 opisuju postupak dobijanja Drazinovog inverza date ma- trice pomoc´u Jordanove forme i karakteristicˇnog polinoma, redom. Detalje Teoreme 8 mogu se pronac´i u [9], dok se detalji Teoreme 9, kao i Posledice 3, mogu pronac´i u radovima [25, 30]. Teorema 8. Neka je F ∈Mn×nr , r = rang(F ), ind(F ) = k. Ako se pretpostavi da je Jordanova forma matrice F sledec´eg oblika  D 0 0 N  = E−1FE, gde je matrica E regularna, matrica D regularna reda r i matrica N nilpotentna takva da je Nk = 0. Tada se Drazinov inverz matrice F mozˇe prestaviti na sledec´i nacˇin: F♦ = E  D−1 0 0 0 E−1. Ako je ind(F ) = 1, onda je N = 0. Za matricu F ∈Mn×n, indeksa ind(F ) = k, neka je dat minimalni polinom: µ(x) = xm + cm−1xm−1 + . . .+ ckxk, 28 za ck 6= 0. q-polinom definiˇsemo na sledec´i nacˇin: q(x) = − 1 ck (xm−k−1 + cm−1xm−k−2 + . . .+ ck+1). Vezu izmed¯u minimalnog polinoma i q-polinom dajemo sledec´om formulom: µ(x) = ckx k(1− xq(x)). (16) Teorema 9. Za kvadratnu matricu F ∈ Mn×n, cˇiji je ind(F ) = k i odgovarajuc´i q-polinom, jedinstveno resˇenje sistema od tri matricˇne jednacˇine (P2), (P5) i (P6), iskazano preko q-polinom, je dato sa: F♦ = F k · (q(F ))k+1. Ukoliko je ind(F ) = k ≤ 1, Drazinov inverz je jednak grupnom inverzu date matrice F (F♦ = F ]). Ukoliko je ind(F ) = 0, matrica F je regularna i tada vazˇi F♦ = F ] = F−1. U sledec´em primeru prikazujemo q-polinom metodu za odred¯ivanje Drazinovog inverza date matrice. Primer 8. Za datu matricu F =  2 4 6 5 1 4 5 4 0 −1 −1 0 −1 −2 −3 −3  odrediti Drazinov inverz upotrebom q-polinoma. Matrica F je indeksa 2 jer je rang(F 2) = rang(F 3) (prema Definiciji 11). Minimalni polinom matrice F jeste polinom oblika µ(x) = x4−2x3+x2 pa je c2x2 = x2. q-polinom matrice F je q(x) = 2− x. Lako se proverava da vazˇi (16): µ(x) = c2x 2(1− xq(x)) = x2(1− x(2− x)) = x2(1− 2x+ x2) = x4 − 2x3 + x2. 29 Upotrebom Teoreme 9, Drazinov inverz matrice F dobija se pomoc´u izraza F♦ = F k · (q(F ))k+1. Posˇto je k = 2, matrice F 2 i (q(F ))3 su oblika: F 2 =  3 8 11 11 2 7 9 9 −1 −3 −4 −4 −1 −3 −4 −4  , (q(F )) 3 =  −1 −11 −20 −8 −2 −7 −17 −5 −5 −2 1 −19 7 10 17 25  , pa, sledi da je Drazinov inverz matrice F : F♦ =  3 −1 2 2 2 1 3 3 −1 0 −1 −1 −1 0 −1 −1  . Posledica 3. Za kvadratnu matricu F ∈ Mn×n, cˇiji je ind(F ) = 1 i odgovarajuc´i q-polinom, jedinstveno resˇenje sistema od tri matricˇne jednacˇine (P1), (P2) i (P5), iskazano preko q-polinoma, je dato sa F ] = F · (q(F ))2. U Primeru 9 prikazujemo q-polinom metodu za odred¯ivanje grupnog inverza date matrice. Primer 9. Odrediti grupni inverz matrice F =  1 0 −2 −1 1 0 0 1 −2  , upotrebom q-polinoma. Minimalni polinom matrice F jeste polinom oblika µ(x) = x3− 3x. q-polinom matrice F je q(x) = x 3 . Indeks matrice F je 1 (k = 1) jer je rang(F ) = rang(F 2) (prema 30 Definiciji 11). Lako se proverava da vazˇi (16): µ(x) = c1x 1(1− xq(x)) = −3x(1− x · x 3 ) = −3x(1− x 2 3 ) = x3 − 3x. Grupni inverz matrice F dobija se pomoc´u izraza F ] = F · (q(F ))2 (pogledati Posledicu 3). Posˇto je matrica (q(F ))2 oblika: (q(F ))2 =  1 9 −2 9 2 9 −2 9 1 9 2 9 −1 9 −1 9 4 9  , dobijamo da je grupni inverz matrice F : F ] =  1 3 0 −2 3 −1 3 1 3 0 0 1 3 −2 3  . 2.2. Blok reprezentacija uopsˇtenih inverza matrice Predstavljanje uopsˇtenih inverza matrice putem blokovske reprezentacije prvi je uveo C. A. Rohde 1964. godine [44]. V. Peric´ je 1982. godine [42], oslanjajuc´i se na Rohdeov metod, razmatrao uopsˇteni {1, 2, 3}-inverz matrice i uopsˇteni {1, 2, 4}-inverz matrice i nazvao ih desnom, odnosno levom reciprokom matrice. Takod¯e, posma- trao je uopsˇteni {1, 2}-inverz matrice i uopsˇteni {1, 3}-inverz matrice i nazvao ih g12- reciproka, odnosno g13-reciproka matrice. B. Malesˇevic´ je 1998. godine [25], u svojoj magistarskoj tezi, predstavio viˇse tipova uopsˇtenih inverza matrice pomoc´u Rohdeove metode. U nastavku, prikazujemo uopsˇtene inverze matrice predstavljene pomoc´u blok matrica (za detalje pogledati [25, 30, 42, 44]). Delovi teksta koji slede objavljeni su u [30]. 31 Neka je matrica F ∈ Mm×n. Prosˇirena matrica matrice F elementarnim trans- formacijama po vrstama i kolonama svodi se na matricu sledec´eg oblika: F Im In 0  ∼  Er Q P 0  , gde je Im jedinicˇna matrica reda m a In jedinicˇna matrica reda n i gde je Er ∈Mm×nr matrica sa r jedinica na prvih r mesta glavne dijagonale i na svim ostalim mestima sa nula elementima. Matrice P and Q su realne, kvadratne i regularne matrice (Q ∈ Mm×m i P ∈Mn×n). Matrice Q i P zadovoljavaju sledec´u jednakost: QFP = Er =  Ir 0 0 0  . (17) Matrica Er predstavlja normalnu formu matrice F . Uopsˇteni inverz matrice F , G ∈ H{i, j, . . . , h}, mozˇe se definisati putem blok reprezentacije: G = P ·  Z0 Z1 Z2 Z3  ·Q, (18) gde su Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n. Dimenzije podmatrica Z0, Z1, Z2 i Z3 su r × r, r× (m− r), (n− r)× r i (n− r)× (m− r), redom. Proizvodi matrica Q ·QT i PT ·P postoje u sledec´im oblicima: Q ·QT =  W1 W2 W3 W4  , (19) i PT · P =  T1 T2 T3 T4  , (20) gde su podmatrice dimenzija W1 ∈ Mr×r, W2 ∈ Mr×(m−r), W3 ∈ M(m−r)×r, W4 ∈ M(m−r)×(m−r) i T1 ∈ Mr×r, T2 ∈ Mr×(n−r), T3 ∈ M(n−r)×r i T4 ∈ M(n−r)×(n−r). Matrice W4 i T4 su regularne. Sledec´im teoremama predstavljamo uopsˇtene inverze matrice pomoc´u blok reprezenta- cije [30]. 32 Teorema 10. (uopsˇten {1}-inverz) Neka su za matricu F ∈Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇnu jednacˇinu (P1) ako i samo ako vazˇi: G = P ·  Ir Z1 Z2 Z3  ·Q, gde su Z1 ∈Mr×(m−r), Z2 ∈M(n−r)×r i Z3 ∈M(n−r)×(m−r) proizvoljne podmatrice. U slucˇaju kada je m = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po vrstama, pod- matrice Z1 i Z3 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (21) postaje oblika: G = P ·  Ir Z2  ·Q. U slucˇaju kada je n = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po kolonama, podmatrice Z2 i Z3 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (21) postaje oblika: G = P · [ Ir Z1 ] ·Q. Teorema 11. (uopsˇten {2}-inverz) Neka su za matricu F ∈Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈Mm×m i P ∈Mn×n takve da vazˇi (17). Matrica G ob- lika (18) zadovoljava matricˇnu jednacˇinu (P2) ako i samo ako podmatrice Z0 ∈Mr×r, Z1 ∈Mr×(m−r), Z2 ∈M(n−r)×r i Z3 ∈M(n−r)×(m−r) ispunjavaju matricˇne jednacˇine: Z20 = Z0, Z0Z1 = Z1, Z2Z0 = Z2 i Z2Z1 = Z3. Posledica 4. (uopsˇten {1,2}-inverz) Neka su za matricu F ∈Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇne jednacˇine (P1) i (P2) ako i samo ako vazˇi: G = P ·  Ir Z1 Z2 Z1Z2  ·Q, (21) gde su Z1 ∈Mr×(m−r) i Z2 ∈M(n−r)×r proizvoljne podmatrice. 33 U slucˇaju kada je m = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po vrstama, pod- matrica Z1 dimenzionalno nestaje. U tom slucˇaju, matrica G (21) postaje oblika: G = P ·  Ir Z2  ·Q. U slucˇaju kada je n = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po kolonama, podmatrica Z2 dimenzionalno nestaje. U tom slucˇaju, matrica G (21) postaje oblika: G = P · [ Ir Z1 ] ·Q. Teorema 12. (uopsˇten {3}-inverz) Neka su za matricu F ∈Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Neka je odred¯ena i kvadratna matrica QQT u vidu blok matrice oblika (19). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇnu jednacˇinu (P3) ako i samo ako podmatrice Z0 ∈ Mr×r i Z1 ∈Mr×(m−r) zadovoljavaju matricˇne jednacˇine: (W1 −W2W−14 W T2 )ZT0 = Z0(W1 −W2W−14 W T2 ) i Z1 = −Z0W2W−14 . Posledica 5. (uopsˇten {1,3}-inverz) Neka su za matricu F ∈Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Neka je odred¯ena i kvadratna matrica QQT u vidu blok matrice oblika (19). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇne jednacˇine (P1) i (P3) ako i samo ako vazˇi: G = P ·  Ir −W2W−14 Z2 Z3  ·Q, (22) gde su Z2 ∈M(n−r)×r i Z3 ∈M(n−r)×(m−r) proizvoljne podmatrice. U slucˇaju kada je m = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po vrstama, pod- matrice W2, W4 i Z3 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (22) postaje oblika: G = P ·  Ir Z2  ·Q. 34 U slucˇaju kada je n = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po kolonama, podmatrice Z2 i Z3 dimenzionalno nestaje. U tom slucˇaju, matrica G (22) postaje oblika: G = P · [ Ir −W2W−14 ] ·Q. Posledica 6. (uopsˇten {1,2,3}-inverz) Neka su za matricu F ∈ Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Neka je odred¯ena i kvadratna matrica QQT u vidu blok matrice oblika (19). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇne jednacˇine (P1), (P2) i (P3) ako i samo ako vazˇi: G = P ·  Ir −W2W−14 Z2 Z2(−W2W−14 )  ·Q, (23) gde je Z2 ∈M(n−r)×r proizvoljna podmatrica. U slucˇaju kada je m = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po vrstama, podma- trice W2 i W4 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (23) postaje oblika: G = P ·  Ir Z2  ·Q. U slucˇaju kada je n = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po kolonama, podmatrica Z2 dimenzionalno nestaje. U tom slucˇaju, matrica G (23) postaje oblika: G = P · [ Ir −W2W−14 ] ·Q. Teorema 13. (uopsˇten {4}-inverz) Neka su za matricu F ∈Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Neka je odred¯ena i kvadratna matrica P TP u vidu blok matrice oblika (20). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇnu jednacˇinu (P4) ako i samo ako podmatrice Z0 ∈ Mr×r i Z2 ∈M(n−r)×r zadovoljavaju matricˇne jednacˇine: ZT0 (T1 − T2T−14 T T2 ) = (T1 − T2T−14 T T2 )Z0 i Z2 = −T−14 T3Z0. Posledica 7. (uopsˇten {1,4}-inverz) Neka su za matricu F ∈Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Neka je 35 odred¯ena i kvadratna matrica P TP u vidu blok matrice oblika (20). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇne jednacˇine (P1) i (P4) ako i samo ako vazˇi: G = P ·  Ir Z1 −T−14 T3 Z3  ·Q, (24) gde su Z1 ∈Mr×(m−r) i Z3 ∈M(n−r)×(m−r) proizvoljne podmatrice. U slucˇaju kada je m = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po vrstama, pod- matrice Z1 i Z3 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (24) postaje oblika: G = P ·  Ir −T−14 T3  ·Q. U slucˇaju kada je n = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po kolonama, podmatrice T3, T4 i Z3 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (24) postaje oblika: G = P · [ Ir Z1 ] ·Q. Posledica 8. (uopsˇten {1,2,4}-inverz) Neka su za matricu F ∈ Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Neka je odred¯ena i kvadratna matrica P TP u vidu blok matrice oblika (20). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇne jednacˇine (P1), (P2) i (P4) ako i samo ako vazˇi: G = P ·  Ir Z1 −T−14 T3 (−T−14 T3)Z1  ·Q, (25) gde je Z1 ∈Mr×(m−r) proizvoljna podmatrica. U slucˇaju kada je m = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po vrstama, pod- matrica Z1 dimenzionalno nestaje. U tom slucˇaju, matrica G (25) postaje oblika: G = P ·  Ir −T−14 T3  ·Q. U slucˇaju kada je n = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po kolonama, podmatrice T3 i T4 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (25) postaje oblika: G = P · [ Ir Z1 ] ·Q. 36 Posledica 9. (uopsˇten {1,3,4}-inverz) Neka su za matricu F ∈ Mm×nr , r < min{m,n}, odred¯ene regularne matrice Q ∈ Mm×m i P ∈ Mn×n takve da vazˇi (17). Neka je odred¯ena i kvadratna matrica P TP u vidu blok matrice oblika (20). Matrica G oblika (18) zadovoljava matricˇne jednacˇine (P1), (P3) i (P4) ako i samo ako vazˇi: G = P ·  Ir −W2W−14 −T−14 T3 Z3  ·Q, (26) gde je Z3 ∈M(n−r)×(m−r) proizvoljna podmatrica. U slucˇaju kada je m = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po vrstama, pod- matrice W2, W4 i Z3 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (26) postaje oblika: G = P ·  Ir −T−14 T3  ·Q. U slucˇaju kada je n = r, odnosno kada je matrica G punog ranga po kolonama, podmatrice T3, T4 i Z3 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica G (26) postaje oblika: G = P · [ Ir −W2W−14 ] ·Q. Teorema 14. (Moore-Penroseov inverz) Neka su za matricu F ∈Mm×nr odred¯ene realne, regularne, kvadratne matrice Q i P takve da zadovoljavaju (17) i cˇiji su proivodi matrice Q·QT i PT ·P definisani sa (19) i (20). Jedinstveno resˇenje sistema matricˇnih jednacˇina (P1), (P2), (P3) i (P4) dato je sa: F † = F (1,2,3,4) = P ·  Ir −W2 · −W−14 −T−14 · T3 T−14 · T3 ·W2 · −W−14  ·Q. (27) U slucˇaju kada je m = r, odnosno kada je matrica F punog ranga po vrstama, podma- trice W2 i W4 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica F † (27) postaje oblika: F † = F (1,4) = P ·  Ir −T−14 · T3  ·Q. (28) 37 U slucˇaju kada je n = r, odnosno kada je matrica F punog ranga po kolonama, podmatrice T3 i T4 dimenzionalno nestaju. U tom slucˇaju, matrica F † (27) postaje oblika: F † = F (1,3) = P · [ Ir −S2 · S−14 ] ·Q. (29) U sledec´em primeru, prikazan je postupak odred¯ivanja Moore-Penroseovog inverza matrice upotrebom blok reprezentacije. Primer 10. Odrediti Moore-Penroseov inverz matrice F , date u Primeru 7. Elementarnim transformacijama na vrstama i kolonama prosˇirene matrice F I3 I4 0  odred¯uju se regularne, kvadratne matrice P i Q, koje su oblika: P =  1 0 0 1 0 1 0 −3 0 0 0 1 0 0 1 0  , Q =  −1 3 −2 3 2 3 1 3 5 3 −2 3 2 3 1 3 −1 3  , takve da je QFP = E3. Proizvodi P TP i QQT su oblika: P TP =  1 0 0 1 0 1 0 −3 0 0 1 0 1 −3 0 11  , QQT =  1 −5 3 −2 3 −5 3 10 3 1 −2 3 1 2 3  . Podmatrice T1, T2, T3 i T4 dobijamo od matrice P TP i one su oblika: T1 =  1 0 0 0 1 0 0 0 1  , T2 =  1 −3 0  , T3 = [ 1 −3 0 ] , T4 = [ 11 ] . Matrica F punog ranga po vrstama, podmatrice W2 i W4 dimenzionalno nestaju, pa je 38 Moore-Penroseov inverz matrice F oblika (28)(pogledati Teoremu 14): F † = F (1,4) = P ·  Ir −T−14 · T3  ·Q = P ·  1 0 0 0 1 0 0 0 1 − 1 11 3 11 0  ·Q =  − 7 33 − 5 33 14 33 − 1 33 4 33 2 33 4 33 17 33 − 8 33 2 3 1 3 −1 3  . U slucˇaju kada je matrica F regularna, kvadratna matrica, m = n = r, Moore- Penroseov inverz matrice F (F †) izjednacˇava se sa klasicˇnim inverznom matrice F (F−1). U tom slucˇaju, matrica F † (27) je oblika: F † = F−1 = PQ. Teorema 15. (grupni inverz) Neka su za matricu F ∈Mn×nr , cˇiji je indeks jednako 1 (ind(F ) = 1), odred¯ene realne, regularne, kvadratne matrice Q i P koje zadovoljavaju (17) i cˇiji proizvod zadovoljava: Q · P =  V1 V2 V3 V4  (30) gde je V4 ∈ M(n−r)x(n−r) regularna podmatrica. Jedinstveno resˇenje sistema od tri matricˇne jednacˇine (P1), (P2) i (P5) dato je sa: F ] = P ·  Ir −V2 · V −14 −V −14 · V3 V −14 · V3 · V2 · V −14  ·Q. (31) Sledi primer koji opisuje odred¯ivanje grupnog inverza matrice pomoc´u blok reprezenta- cije. Primer 11. Odrediti grupni inverz matrice F date u Primeru 9. Elementarnim transformacijama na vrstama i kolonama prosˇirene matrice F I3 I3 0  odred¯uju se regularne, kvadratne matrice P i Q: P =  1 0 2 0 1 2 0 0 1  , Q =  1 0 0 1 1 0 −1 −1 1  , 39 takve da je QFP = E2. Proizvod QP je oblika: QP =  1 0 2 1 1 4 −1 −1 −3  Podmatrice V1, V2, V3 i V4 su oblika: V1 =  1 0 1 1  , V2 =  2 4  , V3 = [ −1 −1 ] , V4 = [ −3 ] . Matrice V2 · V −14 , V −14 · V3 i V −14 · V3 · V2 · V −14 su oblika: V2 · V −14 =  −23 −4 3  , V −14 · V3 = [ 13 13 ] , V −14 · V3 · V2 · V −14 = [ −23 ] . Na osnovu Teoreme 15, grupni inverz matrice F je oblika: F ] =  1 3 0 −2 3 −1 3 1 3 0 0 1 3 −2 3  . 2.3. EP matrice H. Schwerdtfeger [46] je 1950. godine uveo pojam EP matrice. EP matrice su od velikog znacˇaja jer su kod ovih matrica Moore-Penroseov inverz, Drazinov inverz i grupni inverz matrice izjednacˇeni, pa je samim tim i primena u resˇavanju sistema linearnih jednacˇina ili sistema diferencijalnih jednacˇina olaksˇana. Takod¯e, jedan od bitnijih razloga sˇto se proucˇavaju EP matrice jeste njena osobina komutativnosti sa Moore-Penroseovim inverzom [11, 40]. Viˇse detalja nalazi se u literaturi [9], [11, 12, 38, 39, 40, 46]. Definicija 16. Neka je data matrica F ∈ Mn×nr . Ako je zadovoljeno F †F = FF † tada se matrica F naziva EP matricom. Teorema 16. Matrica F ∈ Mn×nr je EP matrica ako i samo ako postoji invertibilna matrica M takva da je F T = MF . 40 U slucˇaju kada je matrica F ∈ Cn×n, uslov u prethodnoj teoremi se zamenjuje sa F ∗ = MF . Teorema 17. Neka je F ∈Mn×nr . Matrica F je EP matrica ako i samo ako je grupni inverz matrice F jednak Moore-Penroseovom inverzu matrice F , odnosno F ] = F †. Posledica 10. Svaka singularna EP matrica je indeksa 1. Teorema 18. Neka je F ∈ Mn×nr . Matrica F je EP matrica ako i samo ako je Drazinov inverz matrice F jednak Moore-Penroseovom inverzu matrice F , odnosno F♦ = F †. U sledec´em primeru prikazan je postupak odred¯ivanja uopsˇtenog inverza EP ma- trice. Primer 12. [30] Odrediti Moore-Penroseov inverz, Drazinov inverz i grupni invez matrice F =  1 1 1 0 0 1 2 0 1 1 1 0 2 −1 −1 0 1 −1 1 1 0 1 −1 1 1  . Rang matrice F je 2. Indeks matrice F je 1 jer rang(F ) = rang(F 2) (prema Definiciji 11). Pretpostavku da je matrica F EP matrica dokazujemo pomoc´u Definicije 16. Kako je matrica F † oblika: F † =  1 9 1 9 1 9 0 0 1 9 25 144 7 144 1 16 1 16 1 9 7 144 25 144 − 1 16 − 1 16 0 1 16 − 1 16 1 16 1 16 0 1 16 − 1 16 1 16 1 16  , 41 proizvod matrica F i F † je isti kao proizvod matrica F † i F , odnosno: F · F † =  1 3 1 3 1 3 0 0 1 3 7 12 1 12 1 4 1 4 1 3 1 12 7 12 −1 4 −1 4 0 1 4 −1 4 1 4 1 4 0 1 4 −1 4 1 4 1 4  i F † · F =  1 3 1 3 1 3 0 0 1 3 7 12 1 12 1 4 1 4 1 3 1 12 7 12 −1 4 −1 4 0 1 4 −1 4 1 4 1 4 0 1 4 −1 4 1 4 1 4  pa, sledi da je matrica F EP matrica. Kako je matrica F EP matrica, vazˇi da je F † = F♦ = F ] (Teorema 17 i Teorema 18). Kako su sva tri uopsˇtena inverza jednaka, dovoljno je odrediti samo jedan uopsˇten inverz matrice F . Odredic´emo grupni inverz matrice prema Teoremi 15. Elementarnim transformacijama na vrstama i kolonama prosˇirene matrice  F I5 I5 0  odred¯ujemo regularne, kvadratne matrice P i Q, koje su oblika: P =  1 0 −2 1 1 0 1 1 −1 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1  , Q =  2 −1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −2 1 1 0 0 1 −1 0 1 0 1 −1 0 0 1  , takve da je QFP = E2. Proizvod QP je oblika: QP =  2 −1 −5 3 3 −1 1 3 −2 −2 −2 1 6 −3 −3 1 −1 −3 3 2 1 −1 −3 2 3  . Podmatrice V1, V2, V3 i V4 su oblika: V1 =  2 −1 −1 1  , V2 =  −5 3 3 3 −2 −2  , V3 =  −2 1 1 −1 1 −1  , V4 =  6 −3 −3 −3 3 2 −3 2 3  . 42 Matrice V2 · V −14 , V −14 · V3 i V −14 · V3 · V2 · V −14 su oblika: V2 · V −14 =  − 712 14 14 1 4 −1 4 −1 4  , V −14 · V3 =  −1 3 − 1 12 0 −1 4 0 −1 4  , V −14 · V3 · V2 · V −14 =  25 144 − 1 16 − 1 16 − 1 16 1 16 1 16 − 1 16 1 16 1 16  . Na osnovu Teoreme 15, grupni inverz matrice F je oblika: F ] = F † = F♦ =  1 9 1 9 1 9 0 0 1 9 25 144 7 144 1 16 1 16 1 9 7 144 25 144 − 1 16 − 1 16 0 1 16 − 1 16 1 16 1 16 0 1 16 − 1 16 1 16 1 16  . 43 POGLAVLJE III 3. METODA ZA RESˇAVANJE FLS-a UPOTREBOM MOORE- PENROSEovog INVERZA MATRICE U ovom poglavlju disertacije predstavljamo originalnu metodu za resˇavanje fazi linearnog sistema (1), cˇija je realna matrica koeficijenata proizvoljne dimenzije m×n. Osnova ove metode je u zameni fazi linearnog sistema (1) familijom klasicˇnih linearnih sistema (4), sˇto u stvari predstavlja Friedmanovom i dr. [20] pristupu za resˇavanje FLS-a. Friedmanova definicija slabih resˇenja je sporna, te je izazvala veliku polemiku autora [6, 24], a u radovima [3, 19] je pokazano da ovako definisana slaba fazi resˇenja ne zadovoljavaju jednacˇine fazi linearnog sistema (1), dakle, ne mogu se nazivati njegovim resenjima. Takod¯e, dovoljan uslov, predstavljen u [20], za postojanje jedinstvenog resˇenja kvadratnog, regularnog FLS-a nije i potreban uslov [3, 21]. Ovo je ujedno bio i podsticaj za istrazˇivanje iz kojeg je nastala ova doktorska disertacija. U ovom poglavlju predstavljamo metod za odred¯ivanje svih resˇenja FLS-a, sa jasno i precizno formulisanim algoritmom za njihovo odred¯ivanje, koji u dosadasˇnjim radovima, koji se zasnivaju na Friedmanovom pristupu, nismo pronasˇli. Upotrebom blokovske reprezentacije uopsˇtenih inverza matrice, formulisan je potre- ban i dovoljan uslov za postojanje resˇenja, dobijena je tacˇna algebarska forma resˇenja (tzv. jakih fazi resˇenja, algebarskih resˇenja) i dat je efikasan algoritam za odred¯ivanje svih resˇenja fazi linearnog sistema, cˇija je matrica koeficijenata realna. Ova nova metoda se ilustruje brojnim numericˇkim primera, med¯u kojima je i primer motivisan 44 primenom u problemima odlucˇivanja i agregacije intervalnih podataka. Originalni rezultati su publikovani u [28]. 3.1. Struktura uopsˇtenog {1, l}-inverza, l ∈ {3, 4}, matrice S U ovoj sekciji predstavljaju se vazˇni originalni teorijski rezultati za resˇavanje m×n fazi linearnog sistema (1), publikovani u [28]. Primenom blokovske reprezentacije uopsˇtenih inverza dat je potreban i dovoljan uslov za blokovsku strukturu uopsˇtenog {1, l}-inverza, l ∈ {3, 4}, matrice S, pridruzˇene matrice m × n fazi linearnom sis- temu (1). Takod¯e, dokazana je teorema koja obezbed¯uje dovoljan uslov za dobijanje reprezentativnog vektora resˇenja X0 sistema (4), za dati proizvoljni reprezentativni vektor Y , kada je S{1,l}, l ∈ {3, 4}, nenegativna matrica. Sve teoreme su prikazane i za opsˇti m× n FLS. Definicija 17. [7] Neka je A = [aij] ∈ Mn×n, i |A| = [|aij|] ∈ Mn×n. Matrica A je kompletno regularna ako su obe matrice A i |A| regularne. Definicija 17 implicira da je kvadratni FLS singularan ako matrica A nije kom- pletno regularna matrica, odnosno, ako je matrica S singularna. Definicija 18. Neka je A = [aij] ∈Mm×n, i |A| = [|aij|] ∈Mm×n. Matrica (ii) A je kompletno punog ranga po vrstama ako su obe matrice A i |A| punog ranga po kolonama. (iii) A je kompletno punog ranga po kolonama ako su obe matrice A i |A| punog ranga po vrstama. Lema 2. Neka je A = [aij] ∈Mm×n. Matrica S je punog ranga po kolonama (vrstama) ako i samo ako je matrica A kompletno punog ranga po kolonama (vrstama). Dokaz. Neka je A = [aij] realna matrica dimenzija m× n i |A| = [|aij|]. Kako je A = B−C = [a+ij]− [a−ij] i |A| = B+C = [a+ij] + [a−ij], koristec´i elementarne transformacije, dobija se: S =  B C C B  ∼  B − C C C −B B  ∼  B − C C 0 B + C  . Ocˇigledno, tvrd¯enje vazˇi. 45 Isticˇemo da ukoliko je vektor fazi brojeva X˜ = ( x˜1, . . . , x˜n) T resˇenje FLS-a (1), tada jeX = (x1, . . . , xn, . . . ,−x1, . . . ,−xn)T resˇenje familije klasicˇnih linearnih sistema (4). Med¯utim, ako je dato resˇenje sistema (4), X = (x1, . . . , xn, . . . ,−x1, . . . ,−xn)T , tada dobijene funkcije xi, xi, i = 1, 2, · · · , n, ne moraju biti odgovarajuc´e za para- metarsku reprezentaciju ni jednog vektora fazi brojeva, pa u tom slucˇaju, FLS (1) nema resˇenje u skladu sa Definicijom 8. Tada se mozˇe pristupiti trazˇenju aproksima- tivnih resˇenja, sˇto nije predmet izucˇavanja ove doktorske disertacije. Ako je vektor X = (x1, . . . , xn, . . . ,−x1, . . . ,−xn)T takav da pridruzˇeni vektor X˜ = ( x˜1, . . . , x˜n) T je vektor fazi brojeva, tada je X reprezentativni vektor za X˜. Sa druge strane, za dati vektor fazi brojeva X˜ = ( x˜1, . . . , x˜n) T , njegov reprezentativni vektor je uvek X = (x1, . . . , xn, . . . ,−x1, . . . ,−xn)T . Ocˇigledno, familija klasicˇnih linearnih sistema (4) mozˇe imati beskonacˇno resˇenja ili jedinstveno vektor resˇenje. Med¯utim, resˇenje, ako postoji, ne mora da bude reprezentativni vektor nekog vek- tora fazi brojeva. Prema tome, posmatrac´emo samo reprezentativna resˇenja familije klasicˇnih linearnih sistema (4). Rec´i c´emo da je FLS (1) konzistentant fazi linearni sistem ako ima resˇenje (pogledati Definiciju 8). U Teoremi 19 dajemo potreban i dovoljan uslov za blokovsku strukturu uopsˇtenog {1, l}-inverza, l ∈ {3, 4}, pridruzˇene matrice S FLS-u (1). Teorema 19. Neka je A matrica koeficijenata FLS-a (1) kompletno punog ranga po kolonama (vrstama). Uopsˇteni {1, l}-inverz, l ∈ {3, 4}, pridruzˇene matrice S je: S(1,l) =  D E E D  , (32) ako i samo ako D = 1 2 [ (B + C)(1,l) + (B − C)(1,l)] , (33) E = 1 2 [ (B + C)(1,l) − (B − C)(1,l)] . (34) 1. Kada je matrica S punog ranga po kolonama, tada je l=3. 2. Kada je S punog ranga po vrstama, tada je l=4. 46 Dokaz. Neka je A matrica koeficijenata FLS-a (1) kompletno punog ranga po kolonama (vrstama) i S pridruzˇena matrica oblika (5). Prema Lemi 2, dobija se da je matrica S punog ranga po kolonama (vrstama). ⇒ Pretpostavimo da je uopsˇteni {1, l}-inverz matrice S (S(1,l), l ∈ {3, 4}) oblika (32), gde su matrice D,E ∈Mn×m. Dokaz, da matrice D i E zadovoljavaju jednacˇine (33) i (34), sledi. Osobina (P1) daje:  B C C B  D E E D  B C C B  =  B C C B  . Mnozˇenjem prve dve matrice dobija se: BD + CE BE + CD CD +BE CE +BD  B C C B  =  B C C B  . Odnosno, (BD + CE)B + (BE + CD)C (BD + CE)C + (BE + CD)B (CD +BE)B + (CE +BD)C (CD +BE)C + (CE +BD)B  =  B C C B  . Sledi da je (BD + CE)B + (BE + CD)C = B, (BD + CE)C + (BE + CD)B = C. Sabiranjem i oduzimanjem prethodnih jednacˇina, dobijaju se: (BD + CE)(B + C) + (BE + CD)(C +B) = B + C, (CD +BE)(B − C) + (CE +BD)(C −B) = C −B. Prva jednacˇina ekvivalenta je sa (35), dok je druga ekvivalentna sa (36) (B + C)(D + E)(B + C) = B + C, (35) (B − C)(D − E)(B − C) = B − C. (36) Osobina (P3) daje: B C C B  D E E D T =  B C C B  D E E D  . 47 Odnosno,  BD + CE BE + CD CD +BE CE +BD T =  B C C B  D E E D  , odakle se dobijaju sledec´e jednacˇine: (BD + CE)T = BD + CE, (37) (BE + CD)T = BE + CD. (38) Jednacˇine (37) i (38) ekvivalentne su sa sledec´im jednacˇinama: (BD)T + (CE)T = BD + CE, (BE)T + (CD)T = BE + CD, odnosno sa DTBT + ETCT = BD + CE, ETBT +DTCT = BE + CD. Sabirajuc´i i oduzimanjem prethodne dve jednacˇine, sledi da je: (DT + ET)BT + (ET +DT)CT = B(D + E) + C(E +D), (DT − ET)CT + (ET −DT)BT = C(D − E)−B(E −D), odnosno ((B + C)(D + E))T = (B + C)(D + E), (39) ((B − C)(D − E))T = (B − C)(D − E). (40) Osobina (P4) daje: D E E D  B C C B T =  D E E D  B C C B  , odnosno  DB + EC DC + EB EB +DC EC +DB T =  DB + EC EB +DC EB +DC EC +DB  . 48 Sledi da je (DB + EC)T = DB + EC, (41) (DC + EB)T = DC + EB. (42) Jednacˇine (41) i (42) ekvivalentne su sa: (DB)T + (EC)T = DB + EC, (DC)T + (EB)T = DC + EB, odnosno sa BTDT + CTET = DB + EC, CTDT +BTET = DC + EB. Sabiranjem i oduzimanjem prethodnih jednacˇina dobijamo:( BT + CT ) DT + ( CT +BT ) ET = D(B + C) + E(C +B),( BT − CT)ET + (CT −BT)DT = E(B − C)−D(C −B), odnosno ((D + E)(B + C))T = (D + E)(B + C), (43) ((D − E)(B − C))T = (D − E)(B − C). (44) Ocˇigledno je da jednacˇine (35), (36), (39), (40), (43) i (44) impliciraju sledec´e jed- nakosti (B + C)(1,l) = D + E, (B − C)(1,l) = D − E, pa, sabiranjem i oduzimanjem prethodne dve jednacˇine, dobija se D = 1 2 ( (B + C)(1,l) + (B − C)(1,l)) , E = 1 2 ( (B + C)(1,l) − (B − C)(1,l)) , za l ∈ {3, 4}. 49 ⇐ Dokazujemo da za matrice D i E, odred¯ene sa (33) i (34), matrica oblika G =  D E E D  , jeste S(1,l), l ∈ {3, 4}. Sabiranjem i oduzimanjem (33) i (34), dobija se D + E = (B + C)(1,l) i D − E = (B − C)(1,l), za l = 3, 4. Sledi da je (B + C)(D + E)(B + C) = B + C, (45) (B − C)(D − E)(B − C) = B − C. (46) Za l = 3 sledi: (D + E)T(B + C)T = (B + C)(D + E), (47) (D − E)T(B − C)T = (B − C)(D − E). (48) Za l = 4 sledi: (B + C)T(D + E)T = (D + E)(B + C), (49) (B − C)T(D − E)T = (D − E)(B − C). (50) Dokaz osobine (P1), odnosno SGS = S, dajemo u nastavku. Jednacˇine (45) i (46) impliciraju da je B = 1 2 (B + C) + 1 2 (B − C) = 1 2 (B + C)(D + E)(B + C) + 1 2 (B − C)(D − E)(B − C) = (BD + CE)B + (BE + CD)C, i C = 1 2 (B + C)− 1 2 (B − C) = 1 2 (B + C)(D + E)(B + C)− 1 2 (B − C)(D − E)(B − C) = (BE + CD)B + (BD + CE)C, 50 prema tome  B C C B  D E E D  B C C B  =  B C C B  , pa tako jednacˇina SGS = S vazˇi, odnosno osobina (P1) je zadovoljena. Osobinu (P3), odnosno (SG)T = SG dokazujemo u nastavku. Jednacˇine (47) i (48) impliciraju: BD + CE = 1 2 (B + C)(D + E) + 1 2 (B − C)(D − E) = 1 2 (D + E)T(B + C)T + 1 2 (D − E)T(B − C)T = DTBT + ETCT = (BD + CE)T, i CD +BE = 1 2 (B + C)(D + E)− 1 2 (B − C)(D − E) = 1 2 (D + E)T(B + C)T − 1 2 (D − E)T(B − C)T = DTCT + ETBT = (CD +BE)T, dakle  B C C B  D E E D T =  B C C B  D E E D  , pa je (SG)T = SG, tj. osobina (P3) je zadovoljena. Osobinu (P4), odnosno (GS)T = GS dokazujemo na sledec´i nacˇin. Jednacˇine (49) i (50) impliciraju: DB + EC = 1 2 (D + E)(B + C) + 1 2 (D − E)(B − C) = 1 2 (B + C)T(D + E)T + 1 2 (B − C)T(D − E)T = BTDT + CTET = (DB + EC)T, i DC + EB = 1 2 (D + E)(B + C)− 1 2 (D − E)(B − C) = 1 2 (B + C)T(D + E)T − 1 2 (B − C)T(D − E)T = CTDT +BTET = (DC + EB)T, 51 dakle  D E E D  B C C B T =  D E E D  B C C B  , odnosno (GS)T = GS, pa je osobina (P4) zadovoljena. Na osnovu prethodno dokazanog, ocˇigledno je da je G = S(1,l) za l ∈ {3, 4}. Sledi dokaz teoreme za opsˇti m× n fazi linearni sistem. Teorema 20. Neka je A matrica koeficijenata FLS-a (1). Moore-Penroseov inverz pridruzˇene matrice S (S†) je oblika: S† =  D E E D  , (51) ako i samo ako je D = 1 2 [ (B + C)† + (B − C)†] , (52) E = 1 2 [ (B + C)† − (B − C)†] . (53) Dokaz. ⇒ Pretpostavimo da je Moore-Penroseov inverz pridruzˇene matrice S (S†) oblika (51), gde su matrice D,E ∈ Mn×m. Dokaz, da matrice D i E zadovoljavaju jednacˇine (52) i (53), sledi. Osobina (P1) daje jednacˇine (35) i (36) (pogledati dokaz Teoreme 19). Osobina (P2) daje:  D E E D  B C C B  D E E D  =  D E E D  . Dalje, sledi da je (DB + EC)D + (DC + EB)E = D, (DB + EC)E + (DC + EB)D = E. Sabiranjem i oduzimanjem prethodnih jednacˇina dobija se: (D + E)(B + C)(D + E) = D + E, (54) (D − E)(B − C)(D − E) = D − E. (55) 52 Osobina (P3) daje jednacˇine (39) i (40) (pogledati dokaz Teoreme 19), dok osobina (P4) daje jednacˇine (43) i (44) (pogledati dokaz Teoreme 19). Ocˇigledno je da jednacˇine (35), (36), (54), (55), (39), (40), (43) i (44) impliciraju sledec´e jednakosti: (B + C)† = D + E, (B − C)† = D − E, pa, sabiranjem i oduzimanjem prethodne dve jednacˇine, dobija se D = 1 2 ( (B + C)† + (B − C)†) , E = 1 2 ( (B + C)† − (B − C)†) . ⇐ Dokazujemo da za matrice D i E, odred¯ene sa (52) i (53), matrica oblika G =  D E E D  , jeste S†. Sabiranjem i oduzimanjem (52) i (53), dobija se D + E = (B + C)†, (56) D − E = (B − C)†. (57) Dokaz osobine (P1), odnosno SGS = S, osobine (P3), odnosno (SG)T = SG, i osobine (P4), odnosno (GS)T = GS, pogledati u dokazu Teoreme 19. Dokaz osobine (P2), odnosno GFG = G, sledi. Jednacˇine (56) i (57) impliciraju: (D + E)(B + C)(D + E) = D + E, (D − E)(B − C)(D − E) = D − E. Odnosno, D = 1 2 (D + E) + 1 2 (D − E) = 1 2 (D + E)(B + C)(D + E) + 1 2 (D − E)(B − C)(D − E) = (DB + EC)D + (DC + EB)C, 53 iE = 1 2 (D + E)− 1 2 (D − E) = 1 2 (D + E)(B + C)(D + E)− 1 2 (D − E)(B − C)(D − E) = (DC + EB)D + (DB + EC)C. Prema tome, jednacˇina GFG = G, odnosno osobina (P2), vazˇi. Na osnovu prethodno dokazanog, ocˇigledno je da je G = S†. Teorema 21 obezbed¯uje dovoljan uslov za dobijanje reprezentativnog vektora resˇenja X0 sistema (4), za bilo koji proizvoljni reprezentativni vektor Y . Teorema 21. Neka je matrica koeficijenata A kompletno punog ranga po kolonama (vrstama) konzistentnog FLS (1) za dato Y˜ . Ako je S(1,l), l ∈ {3, 4}, nenegativna matrica, tada, jedno od resˇenja familije klasicˇnih linearnih sistema (4) jeste reprezen- tativni vektor X0 definisan sa: 1. X0 = S(1,3)Y , kada je S matrica punog ranga po kolonama, 2. X0 = S(1,4)Y , kada je S matrica punog ranga po vrstama, a pridruzˇeni vektor fazi brojeva X˜0 je jedno od resˇenja FLS (1). Dokaz. Za dato Y , neka je X0 = (x01, . . . , x 0 n, . . . ,−x01, . . . ,−x0n)T resˇenje familije sis- tema (4), dobijeno pomoc´u X0 = S(1,l)Y , za l = 3, 4. Prema Teoremi 19, sledi da S(1,l) ima istu strukturu kao i S, odnosno: S(1,l) =  D E E D  , gde su D = [dij] ∈ Mn×m i E = [eij] ∈ Mn×m . Prema tome, za svako i = 1, . . . , n i svako α ∈ [0, 1], dobija se x0i (α) = m∑ j=1 dij yj(α)− m∑ j=1 eij yj(α), (58) x0i (α) = m∑ j=1 dij yj(α)− m∑ j=1 eij yj(α). (59) Stoga, x0i (α)− x0i (α) = m∑ j=1 (dij + eij) ( yj(α)− yj(α) ) . (60) 54 Kako za svako j = 1, . . . ,m i svako α ∈ [0, 1] vazˇi: yj(α) ≥ yj(α), i dij ≥ 0 i eij ≥ 0, za svako i i j, dobija se x0i (α) ≥ x0i (α), za α ∈ [0, 1] i i = 1, . . . , n. Kako su dij i eij nenegativni, za svako i, j, prema (58) i (59), sledi da za svako i funkcija x0i (α), odnosno x0i (α), je neopadajuc´a, odnosno nerastuc´a, i levo-neprekidna kao linearna kombinacija neopadajuc´ih, odnosno nerastuc´ih, funkcija na jedinicˇnom intervalu. Prema tome, X˜0 = ( x˜01, . . . , x˜ 0 n) T je vektor fazi brojeva. Kako je SX = Y familija konzistentnih sistema, sledi da je X0 jedno od njegovih resˇenja, i prema konstrukciji matrice S, sledi da je X˜0 resˇenje FLS-a (1). Sledec´a teorema obezbed¯uje opsˇti rezultat za m× n FLS. Teorema 22. Neka je A matrica koeficijenata konzistentnog FLS-a (1), za dato Y˜ . Ako je S† nenegativna matrica, tada jedno od resˇenja familije klasicˇnih linearnih sis- tema (4) jeste reprezentativni vektor X0 = S†Y , i pridruzˇeni vektor fazi brojeva X˜0 je jedno od resˇenja FLS (1). U literaturi je vec´ poznato da nenegativnost matrice S−1 nije potreban uslov za postojanje resˇenja fazi linearnog sistema (1). Prema tome, potrebno je odrediti potreban i dovoljan uslov za dobijanja resˇenja FLS-a (1). Prvi bitan korak jeste pronalazˇenje jednog vektora fazi brojeva, koji c´e biti pocˇetni vektor za odred¯ivanje svih resˇenja. U nastavku, predstavljajamo takve fazi vektore. Uvodimo sledec´e oznake A(1,l) = H = [hij], l = 3, 4. H ∈ Mn×m i |H| = [|hij|]. Kako je, H = H+−H− = [h+ij]− [h−ij] i |H| = H+ +H− = [h+ij]+[h−ij], matricu SH ∈M2n×2m definiˇsemo na sledec´i nacˇin: SH =  H+ H− H− H+  . (61) Teorema 23. Neka je matrica koeficijenata A = [aij] ∈ Mm×n konzistentnog FLS-a (1) kompletno punog ranga po kolonama (vrstama), za dato Y˜ i H = [hij] = A (1,l), za l = 3 (l = 4). Neka je X∗ = SHY , gde je matrica SH oblika (61). Sledec´a tvrd¯enja vazˇe: (i) X˜∗ = (x˜∗1, . . . , x˜ ∗ n) T je vektor fazi brojeva. 55 (ii) Ako je |A |(1,l) = |A(1,l) |, tada X˜∗ je resˇenje FLS-a (1). Dokaz. (i) Odredimo prvo X∗ = SHY . Za svako i = 1, . . . , n i svako α ∈ [0, 1] vazˇi: x∗i (α) = m∑ j=1 h+ij yj(α)− m∑ j=1 h−ij yj(α), (62) x∗i (α) = m∑ j=1 h+ij yj(α)− m∑ j=1 h−ij yj(α). (63) Oduzimanjem (63) i (62), za svako α ∈ [0, 1], dobijamo: x∗i (α)− x∗i (α) = m∑ j=1 |hij| ( yj(α)− yj(α) ) . (64) Kako za svako j = 1, . . . ,m i svako α ∈ [0, 1] vazˇi: yj(α) ≥ yj(α), i |hij| ≥ 0, za svako i i j, dobija se x∗i (α) ≥ x∗i (α), za α ∈ [0, 1] i i = 1, . . . , n. Kako su |hij| nenegativni, za i, j, prema (62) i (63), sledi da za svako i funkcija x∗i (α), odnosno x∗i (α), je neopadajuc´a, odnosno nerastuc´a, i levo-neprekidna za svako α ∈ [0, 1]. Prema tome, X˜∗ = (x˜∗1, . . . , x˜ ∗ n) T , gde je x˜∗i = (x ∗ i , x ∗ i ), i = 1, . . . , n, je vektor fazi brojeva. (ii) Sa druge strane, sabiranjem (62) i (63), za svako α ∈ [0, 1], dobijamo: x∗i (α) + x ∗ i (α) = m∑ j=1 hij ( yj(α) + yj(α) ) , i = 1, . . . , n. (65) Kako je H = [hij] = (B − C)(1,l) = A(1,l), za l = 3 (l = 4), i matrica A kompletnog punog ranga po kolonama (vrstama) (sˇto znacˇi da je A† = A(1,3), odnosno A† = A(1,4), pogledati Teoremu 14 i jednakosti (29) i (28)) i koristec´i osobinu (A†)† = A sledi ( A(1,l) )(1,l) = H(1,l) = (H+ −H−)(1,l) = B − C = A, za l = 3 (l = 4). Analogno, {1, l}-inverz matrice |A| punog ranga po kolonama (vrstama) oznacˇen je sa G = [gij] = (B + C) (1,l) = |A |(1,l), za l = 3 (l = 4), i ako se dodatno pretpostavi da je |A |(1,l) = G = |H | = |A(1,l) |, tada sledi da je (|A |(1,l))(1,l) = |H|(1,l) = (H+ +H−)(1,l) = B + C = |A|, za l = 3 (l = 4). 56 Primenom Teoreme 19, sledi da je S = S (1,l) H , gde je S =  B C C B . Kako je SX = Y familija konzistentnih sistema, jednacˇina (65) je ekvivalentna sa yi(α) + yi(α) = n∑ j=1 aij ( x∗j(α) + x ∗ j(α) ) , i = 1, . . . ,m, (66) i jednacˇina (64) (iz dela (i) ovog dokaza) je ekvivalentna sa yi(α)− yi(α) = n∑ j=1 |aij| ( x∗j(α)− x∗j(α) ) , i = 1, . . . ,m. (67) Ocˇigledno, za svako i i j vazˇi a+ij = aij + |aij| 2 i a−ij = |aij| − aij 2 , pa, sabiranjem i oduzimanjem (66) i (67), za svako α ∈ [0, 1], dobijamo tvrd¯enje. Napominjemo da pomoc´u Teoreme 21 dobijamo jedno od resˇenja familije klasicˇnih linearnih sistema (4), koji je reprezentativni vektor X0, uz uslov da je S(1,l), l ∈ {3, 4}, nenegativna matrica. Upotrebom Teoreme 23 (i) dobijamo X∗ pomoc´u nenegativne matrice SH te je zato X ∗ uvek vektor fazi brojeva i on mozˇe biti resˇenje FLS-a (1) ili c´e se pomoc´u njega dobiti sva ostala resˇenje (ukoliko postoje) FLS-a (1). Sledi teorema za opsˇti m× n fazi linearni sistem. Teorema 24. Neka je A = [aij] ∈ Mm×n matrica koeficijenata konzistentnog FLS-a (1), za dato Y˜ i neka je H = [hij] = A †. Takod¯e, neka je X∗ = SHY , gde je matrica SH oblika (61). Sledec´a tvrd¯enja vazˇe: (i) X˜∗ = (x˜∗1, . . . , x˜ ∗ n) T je vektor fazi brojeva. (ii) Ako je |A |† = |A† |, tada X˜∗ je resˇenje FLS-a (1). Primetimo da su osobine nenegativnost matrice S†, uslov predstavljen u prethod- noj teoremi |A |† = |A† | i S† = SH med¯usobno ekvivalentni. Dakle, ako je poslednji uslov zadovoljen, dobija se da je X∗ = X0. Med¯utim, generalno vazˇi da S† 6= SH , pa X∗ nije resˇenje familije sistema SX = Y , ali se svi reprezentativni vektori mogu dobiti, pa i ako S† nije nenegativna, sˇto c´e i biti ilustrovano primerom (pogledati Primer 14) jer, kao sˇto je gore vec´ objasˇnjeno, X∗ = SHY je uvek reprezentativni vektor za vektor fazi brojeva X˜∗, pa i kada FLS (1) nije konzistentan. 57 3.2. Potreban i dovoljan uslov za postojanje resˇenja FLS-a U ovoj sekciji dokazana je teorema kojom se obezbed¯uje potreban i dovoljan uslov za postojanje tacˇne algebarske forme resˇenja fazi linearnog sistema (1). Predstavlja se i efikasan algoritam, na osnovu kojeg se resˇava m×n FLS, gde su matrica koeficijenata A, kao i vektor fazi brojeva Y˜ , proizvoljno dati. Rezultati su publikovani u [28]. Zbog prezentacije opsˇte metode za resˇavanje fazi linearnog sistema (1), najvazˇnije algebarske cˇinjenice naglasˇavamo josˇ jednom: X0 = (x01, . . . , x 0 n, . . . ,−x01, . . . ,−x0n)T jeste resˇenje 2m× 2n familije sistema SX = Y ako i samo ako su zbir X 0 + X0 i razlika X 0 − X0 pridruzˇenih n × 1 vektora X0 = (x01, . . . , x 0 n, ) T i X 0 = (x01, . . . , x 0 n) T resˇenja sledec´ih familija m× n klasicˇnih linearnih sistema: A(X +X) = Y + Y , (68) |A|(X −X) = Y − Y . (69) Ako je X 0−X0 nenegativno i ako su sve komponente od X0 i X0 adekvantne funkcije, u analiticˇkom smislu (levo-neprekidne/neprekidne, strogo monotone/monotone), takvo dobijeno resˇenje X0 je reprezentativni vektor od X˜0, koje je resˇenje FLS-a (1). Obr- nuto, ako je X˜0 resˇenje FLS-a (1), tada zbir i razlika pridruzˇenih n×1 klasicˇnih vektora X 0 = (x01, . . . , x 0 n) T i X0 = (x01, . . . , x 0 n) T moraju biti resˇenja sledec´ih familija sistema (68) i (69), pa je posledicˇno, X0 resˇenje familije sistema SX = Y . Neka je A = [aij] ∈ Mm×n, matrica koeficijenata i neka je |A| = [|aij|]. Takod¯e, neka je A† = (B − C)† = D − E = H = [hij]. Ocˇigledno, ako je m = n i A kompletno regularna (pogledati Definiciju 17), sledi da je A† = A−1 = (B − C)−1 = D − E = H = [hij], dok za m 6= n i A kompletno punog ranga po kolonama (vrstama), sledi da je A† = A(1,l) = (B − C)(1,l) = D − E = H = [hij], l = 3 (l = 4). 58 Lema 3. Neka je A matrica koeficijenata konzistentnog FLS-a (1) za dato Y˜ = ( y˜1, . . . , y˜m ) T . Neka je X∗ = SHY , gde je SH oblika (61). Tada je (68) familija konzistentnih klasicˇnih linearnih sistema i vazˇi A(X ∗ +X∗) = Y + Y . Dokaz. Neka je X˜0 jedno od resˇenja konzistentnog FLS-a (1). Prema tome, za svako α ∈ [0, 1] zbir vektora X0 + X0 je resˇenje familije sistema (68), pa je (68) familija konzistentnih sistema. Iz definicije X∗, dobija se (62) i (63), pa sledi da je X ∗ +X∗ = H ( Y + Y ) , gde je H = A†. Jedno od resˇenja familije sistema (68) je X ∗ + X∗, pa sledi da je A(X ∗ +X∗) = Y + Y . Ocˇigledno, Lema 3 implicira da ako je A(X ∗ +X∗) 6= Y +Y , FLS (1) nema resˇenja. Prema tome, A(X ∗ +X∗) = Y+Y je potreban uslov (ali ne i dovoljan) za konzistentnost FLS-a (1). Jednakost A(X ∗ +X∗) = Y +Y ekvivalentna je sa konzistentnosˇc´u familije sistema (68), pa tako u slucˇaju kada je matrica A regularna, ovaj uslov je zadovoljen za svako dato Y˜ . Med¯utim, u slucˇaju kada je matrica A singularna ili pravougaonog oblika, konzistentnost familije sistema (68) zavisi ne samo od matrice koeficijenata A nego i od posebno datog vektora fazi brojeva Y˜ . Verifikaciju konzistentnosti familije sistema (68), umesto Kronecker - Cappelijevom teoremom, proveravac´emo ispitivanjem jednakosti A(X ∗ +X∗) = Y + Y . U Teoremi 25 predstavljen je potreban i dovoljan uslov za postojanje resˇenja FLS-a (1), cˇija je matrica koeficijenata A proizvoljna. Sˇtaviˇse, tacˇna algebarska forma resˇenja je ustanovljena. Teorema 25. Neka je A matrica koeficijenata FLS-a (1) za dato Y˜ = ( y˜1, . . . , y˜m ) T , takvo da je za X∗ = SHY , gde je SH oblika (61), zadovoljeno A(X ∗ + X∗) = Y + Y . Neka su Λ = (λ1(α), . . . , λn(α)) T i Θ = (θ1(α), . . . , θn(α)) T , α ∈ [0, 1], resˇenja sistema AΛ = O i |A|Θ = W , redom, gde O = (0, . . . , 0)T je m × 1 nula vektor, i W = (w1(α), . . . , wm(α)) T , α ∈ [0, 1], definisan sa W = Y − [A+ A− ]X∗, gde je [A+ A− ] m× 2n matrica. Sledec´a tvrd¯enja vazˇe: (i) Za svaki 2n × 1 vektor X∗Λ = (x∗Λ1 , . . . , x∗Λn ,−x∗Λ1 , . . . ,−x∗Λn )T , definisan sa X∗Λ = X∗ + 1 2 Λ i X ∗Λ = X ∗ + 1 2 Λ, vazˇi: A ( X ∗Λ +X∗Λ ) = Y + Y . 59 (ii) Za svaki 2n×1 vektor X∗Λ,Θ = (x∗Λ.Θ1 , . . . , x∗Λ,Θn ,−x∗Λ,Θ1 , . . . ,−x∗Λ,Θn )T , definisan sa X∗Λ,Θ = X∗Λ + Θ i X ∗Λ,Θ = X ∗Λ −Θ, gde se X∗Λ dobija uslovom (i), vazˇi: A ( X ∗Λ,Θ +X∗Λ,Θ ) = Y + Y , |A| ( X ∗Λ,Θ −X∗Λ,Θ ) = Y − Y . (iii) X˜ = ( x˜1, . . . , x˜n ) T , x˜i = (xi, xi), i = 1, . . . , n, je resˇenje FLS-a (1) ako i samo ako postoje Λ = (λ1(α), . . . , λn(α)) T i Θ = (θ1(α), . . . , θn(α)) T , takvi da AΛ = O i |A|Θ = W , za svako α ∈ [0, 1], i familija intervala {[x∗i (α) + 12λi(α) + θi(α), x ∗ i (α) + 1 2 λi(α)− θi(α)] |α ∈ [0, 1] } odred¯uje α-preseke fazi brojeva, i x˜i = (x∗i + 1 2 λi + θi, x ∗ i + 1 2 λi − θi), za sva i = 1, . . . , n. Dokaz. (i) Neka je Λ resˇenje AΛ = O. Neka je X∗Λ = (x∗Λ1 , . . . , x ∗Λ n ,−x∗Λ1 , . . . ,−x∗Λn )T , za svako Λ, 2n × 1 vektor definisan sa X∗Λ = X∗ + 1 2 Λ i X ∗Λ = X ∗ + 1 2 Λ. Kako je A(X ∗ +X∗) = Y + Y , odnosno X ∗ +X∗ je jedno od resˇenja familije linearnih sistema (68), sledi da je A ( X ∗Λ +X∗Λ ) = A ( X ∗ + 1 2 Λ +X∗ + 1 2 Λ ) = A ( X ∗ +X∗ ) + AΛ = Y + Y . (ii) Neka je Θ resˇenje sistema |A|Θ = W , ne nuzˇno jedinstveno. Za svako Θ, neka X∗Λ,Θ = (x∗Λ,Θ1 , . . . , x ∗Λ,Θ n ,−x∗Λ,Θ1 , . . . ,−x∗Λ,Θn )T je 2n × 1 vektor definisan sa X∗Λ,Θ = X∗Λ + Θ i X ∗Λ,Θ = X ∗Λ − Θ, za neko X∗Λ dobijeno pod (i). Prema (i) sledi da je X ∗Λ +X∗Λ jedno od resˇenja familije sistema (68) pa sledi A ( X ∗Λ,Θ +X∗Λ,Θ ) = A ( X ∗Λ −Θ +X∗Λ + Θ ) = Y + Y . Da bi se verifikovala druga jednakost (tj. |A| ( X ∗Λ,Θ −X∗Λ,Θ ) = Y − Y ), prvo c´emo pokazati da je vektor W = (w1(α), . . . , wm(α)) T , α ∈ [0, 1], definisan sa W = Y − SX∗, gde je S = [B C ] m× 2n matrica i B = A+, C = A−. Dokazac´emo da je W = SX∗ − Y , gde je S = [−C −B ] m × 2n matrica. Kako je X∗ + X∗ jedno od 60 resˇenja familije sistema (68), sledi Y + Y = A(X ∗ +X∗) = AX ∗ + AX∗ = [A − A ]X∗ = [B − C C −B ]X∗ = [B C ]X∗ + [−C −B ]X∗. Sada, posˇto je 2W = Y − Y + SX∗ − SX∗, dobija se: |A|(X∗Λ,Θ −X∗Λ,Θ) = |A|(X∗Λ −Θ−X∗Λ −Θ) = |A|(X∗ + 1 2 Λ−Θ−X∗ − 1 2 Λ−Θ) = |A|X∗ − |A|X∗ − 2|A|Θ = [−|A| − |A| ]X∗ − 2W = [−(B + C) − (B + C) ]X∗ + Y − Y + SX∗ − SX∗ = [−B − C −B − C ]X∗ + Y − Y + [B + C B + C ]X∗ = Y − Y . (iii) (⇐) Pretpostavljamo da je X˜ vektor fazi brojeva, definisan sa x˜i = (xi, xi) = (x∗i + 1 2 λi + θi, x ∗ i + 1 2 λi − θi), i = 1, . . . , n, za neko Λ i Θ takvo da vazˇi AΛ = O i |A|Θ = W . Prema (ii), sledi da X∗Λ,Θ = X = (x1, . . . , xn, . . . ,−x1, . . . ,−xn)T je resˇenje familije sistema SX = Y (4), sˇto znacˇi da je X˜ resˇenje FLS-a (1). (⇒) Pretpostavimo da je vektor fazi brojeva X˜ proizvoljno resˇenje FLS-a (1), tada X i X moraju zadovoljavati familije sistema (68) i (69). Kako je resˇenje u obliku Moore-Penroseovog inverza matrice, postoje n× 1 vektori V1 i V2 takvi da vazˇi: X +X = A†(Y + Y ) + V1, X −X = |A|†(Y − Y ) + V2. Vazˇe sledec´e oznake H = A†, G = |A|†. Sabiranjem i oduzimanjem prethodnih 61 jednacˇina, i uzimajuc´i u obzir da je X∗ = SHY , dobija se, redom: X = 1 2 ( ( A† + |A|†)Y − (|A|† − A†)Y + V1 + V2) = 1 2 ( (H + |H|)Y − (|H| −H)Y + (G− |H|)(Y − Y ) + V1 + V2 ) = H+Y −H−Y + 1 2 (G− |H|)(Y − Y ) + 1 2 (V1 + V2) = X ∗ + 1 2 (G− |H|)(Y − Y ) + 1 2 (V1 + V2) = = X ∗ + 1 2 V1 − 1 2 ( (G− |H|)(Y − Y )− V2 ) , i X = X∗ + 1 2 (G− |H|)(Y − Y ) + 1 2 (V1 − V2) = X∗ + 1 2 V1 + 1 2 ( (G− |H|)(Y − Y )− V2 ) . Sada, neka su Λ i Θ n× 1 vektori takvi da je Λ = V1 i Θ = 1 2 ( (G− |H|)(Y − Y )− V2 ) . Na osnovu prethodnih razmatranja, jasno je da vazˇi: X = X ∗ + 1 2 Λ−Θ, (70) X = X∗ + 1 2 Λ + Θ. (71) Sabiranjem (70) i (71), dobija se X +X = X ∗ +X∗ + Λ. Kako su X +X i X ∗ +X∗ resˇenja familije sistema (68), vazˇi Y + Y = A(X +X) = A(X ∗ +X∗ + Λ) = A(X ∗ +X∗) + AΛ = Y + Y + AΛ, prema tome, AΛ = O. Oduzimanjem (70) i (71) dobija se X −X = X∗ −X∗ − 2Θ i 62 X −X, jedno od resˇenja familije sistema (69), pa je Y − Y = |A|(X −X) = |A|(X∗ −X∗ − 2Θ) = |A|(X∗ −X∗)− 2|A|Θ = 2W + Y − Y − 2|A|Θ. Ova cˇinjenica implicira da vazˇi |A|Θ = W . Prema tome, trvd¯enje je zadovoljeno. Na osnovu prethodno dobijenih rezultata, predstavljamo efikasan algoritam koji opisuje originalni metod za resˇavanje m × n fazi linearnog sistema, cˇiji su matrica koeficijenata A i vektor fazi brojeva Y˜ proizvoljno dati. Algoritam 1 Korak 1. Odred¯ujemo X∗ = SHY . (↔ Za svako i = 1, . . . , n izracˇunati (62) i (63).) Ako je zadovoljeno A(X ∗ +X∗) = Y + Y , sledi Korak 2. Korak 2. Za svako resˇenje Λ = (λ1(α), . . . , λn(α)) T , α ∈ [0, 1] familije klasicˇnih homogenih sistema AΛ = O, gde je O = (0, . . . , 0)T , m × 1 nula vektor, racˇunamo sledec´e: x∗Λi = x ∗ i + 1 2 λi, i x ∗Λ i = x ∗ i + 1 2 λi, za i = 1, . . . , n, gde su x∗i i x ∗ i odred¯eni u Koraku 1. Korak 3. Odred¯ujemo W = (w1(α), . . . , wm(α)) T , α ∈ [0, 1], definisano sa W = Y − SX∗, gde je X∗ dobijeno u Koraku 1 i gde je S = [B C ] (B = A+, C = A−) m× 2n matrica. ( ↔ Za svako i = 1, . . . ,m odrediti : wi(α) = yi(α)− n∑ j=1 a+ij x ∗ j(α) + n∑ j=1 a−ij x ∗ j(α).) Korak 4. Ako familija klasicˇnih sistema |A|Θ = W , gde je W = (w1(α), . . . , wm(α))T , α ∈ [0, 1], ima resˇenje Θ = (θ1(α), . . . , θn(α))T , α ∈ [0, 1], tada za i = 1, . . . , n 63 izracˇunati: xi = x ∗Λ i + θi, i xi = x ∗Λ i − θi. Ako za neko Λ i Θ, za sva i = 1, . . . , n, familija intervala {[x∗i (α) + 12λi(α) + θi(α), x ∗ i (α) + 1 2 λi(α) − θi(α)] |α ∈ [0, 1]} odred¯uje α-preseke fazi broja, tada vektor fazi brojeva X˜ = (x˜1, x˜2, . . . x˜n) T jeste resˇenje FLS-a (1). U suprotnom, FLS (1) nema resˇenja. Korak 5. Za sva odred¯ena Λ i Θ, dobijena Korakom 2 i Korakom 4, biraju se samo ona koja su dopustiva, odnosno ona za koja za svako α ∈ [0, 1] vazˇi: θi(α) ≤ x ∗ i (α)− x∗i (α) 2 , za svako i = 1, . . . , n, a x∗i (α) + 1 2 λi(α) + θi(α), (odnosno, x ∗ i (α) + 1 2 λi(α) − θi(α)) moraju biti ogranicˇene nerastuc´e (odnosno, neopadajuc´e) levo-neprekidne funkcije, za svako i = 1, . . . , n. Ukoliko ne postoje takva Λ i Θ, FLS (1) je nekonzistentan i tada se mozˇe pristupiti trazˇenju njegovih aproksimativna resˇenja. 3.3. Primeri Prethodno opisanu originalnu metodu ilustrujemo kroz nekoliko numericˇkih primera. U Primeru 13, posmatrana su dva slucˇaja singularnog FLS-a. U prvom slucˇaju, ma- trica A je regularna matrica dok je u drugom slucˇaju matrica |A| regularna matrica. U Primeru 14 je prikazana univerzalnost predlozˇene metode. Naime, u ovom primeru prikazano je da ako je pocˇetni vektor resˇenje X0 = S†Y , cela procedura mozˇe da se uradi analogno. Primer 15 prikazuje slucˇaj u kojima fazi linearni sistem nema resˇenje. Na kraju, u Primeru 16 je prikazana primena dobijenih rezultata kod problema odlucˇivanja. Algoritam 2 (napisan za softver Python) mozˇe koristiti za odred¯ivanje Moore-Penroseovog inverza matrice punog ranga. Primeri su publikovani u [28]. Algoritam 2. Pravougaona matrica punog ranga 1. Ulaz: Matrica A je dimenzija (m× n) 2. Izracˇunati matrice P i Q upotrebom (17) 64 3. Izracˇunati podmatrice W2, W4, T3 i T4 upotrebom (19) i (20) 4. Odrediti uopsˇteni {1, 3}-inverz matrice A upotrebom (29) 5. Odrediti uopsˇteni {1, 4}-inverz matrice A upotrebom (28) Primer 13. a) Neka je dat sledec´i fazi linearni sistem: x˜1 − x˜2 = (−3 + 2α, 1− 2 √ α) −x˜1 − x˜2 = (−3 + √ α + α, 1− α−√α) . Matrica koeficijenata A je regularna, iako je matrica |A| singularna. Prema tome, Moore-Penroseov inverz i klasicˇan inverz matrice A su izjednacˇeni i oblika: A† = A−1 = H =  0.5 −0.5 −0.5 −0.5  . Izracˇunajmo X∗: x˜∗1 = (−2 + 1.5α + 0.5 √ α, 2− 1.5√α− 0.5α), x˜∗2 = (−1 + 1.5 √ α + 0.5α, 3− 1.5α− 0.5√α). Kako je A regularna, familija homogenih sistema AΛ = O ima samo trivijalno resˇenje Λ0 = (0, 0) T . Prema tome, dobija se da je X˜∗Λ0 = X˜∗. Dalje, za svako α ∈ [0, 1], dobijamo: w1(α) = −3 + 2α− (1.5α+ 0.5 √ α−2) + (−1.5α−0.5√α+ 3) = 2−α−√α i w2(α) = √ α+ α− 3 + (−1.5√α− 0.5α+ 2) + (−1.5α− 0.5√α+ 3) = 2− α−√α. Sledec´a familija klasicˇnih sistema: θ1(α) + θ2(α) = 2− α− √ α θ1(α) + θ2(α) = 2− α− √ α , ima beskonacˇno mnogo resˇenja Θ = (θ1(α), θ2(α)) T , α ∈ [0, 1], takvih da je θi(α) ≤ x∗i (α)−x∗i (α) 2 = 4−2α−2 √ α 2 , i = 1, 2, za svako α ∈ [0, 1], sˇto je potrebno da uslov xi(α) ≥ xi(α) bude zadovoljen za i = 1, 2 i svako α ∈ [0, 1]. Neka je klasa funkcija na [0, 1], gde je 0 ≤ Ci ≤ 1, za i = 1, 2, 3 definisana sa: θ1(α) = 2C1 − C2α− C3 √ α, θ2(α) = 2− 2C1 − (1− C2)α− (1− C3) √ α. 65 Iako je podklasa ovih funkcija za C2 +C3 = 2C1 dopustiva, resˇenje za dati fazi linearni sistem dobic´e se samo ako je monotonost xi i xi obezbed¯ena, dakle za C3 = 0.5. Prema tome, racˇunajuc´i xi = x ∗ i + θi i xi = x ∗ i − θi, za i = 1, 2, dobija se klasa resˇenja sa beskonacˇnim brojem resˇenja X˜ = (x˜1, x˜2) T u sledec´em obliku, gde je 0 ≤ K ≤ 1, α ∈ [0, 1]: x˜1 = ((1.5−K)α− 1.5 +K, − √ α− (0.5−K)α + 1.5−K), x˜2 = ( √ α + (−0.5 +K)α + 0.5−K, −(0.5 +K)α + 1.5 +K). b) Neka je dat FLS, gde je A singularna matrica a |A| regularna matrica: x˜1 − 2x˜3 = (1 + 3α, 7− 3α) −x˜1 + x˜2 = (−8 + 3α,−2− 3α) x˜2 − 2x˜3 = (−5 + 4α, 3− 4α) . Moore-Penroseov inverz matrice koeficijenata A je A† = H: H =  0.2222 −0.3333 −0.1111 −0.1111 0.3333 0.2222 −0.2222 0.0000 −0.2222  . Kako je X∗ reprezentativni vektor za X˜∗, dobijamo: x˜∗1 = 1 9 (5 + 19α, 43− 19α ) , x˜∗2 = 1 9 (−41 + 20α, −1− 20α ) , x˜∗3 = 1 9 (−20 + 14α, 8− 14α ) . Dalje, Λ = (4f(α), 4f(α), 2f(α))T , f(α) ∈ F∗, je resˇenje sistema AΛ = O, gde F∗ (zavisi od X˜∗) oznacˇava klasu funkcija na jedinicˇnom interval y = f(α), takvih da su adekvatne funkcije x∗Λ i x∗Λ ogranicˇene nerastuc´e, odnosno neopadajuc´e, levo- neprekidne funkcije. Sledi: x˜∗Λ1 = 1 9 (5 + 19α + 2f(α), 43− 19α + 2f(α) ) , x˜∗Λ2 = 1 9 (−41 + 20α + 2f(α), −1− 20α + 2f(α) ) , x˜∗Λ3 = 1 9 (−20 + 14α + f(α), 8− 14α + f(α) ) . 66 Za svako Λ, sledi w1(α) = 20 9 (1 − α), w2(α) = 129 (1 − α) i w3(α) = 129 (1 − α), α ∈ [0, 1]. Kako je matrica |A| regularna, sistem |A|Θ = W ima jedinstveno resˇenje Θ = (10 9 (1−α), 2 9 (1−α), 5 9 (1−α))T , α ∈ [0, 1], koje zadovoljava potreban uslov θi(α) ≤ x∗i (α)−x∗i (α) 2 , za svako i = 1, 2, 3 i svako α ∈ [0, 1]. Upotrebom Koraka 4, moguc´e je dobiti celu klasu resˇenja SS: SS = { ( x˜1, x˜2, x˜3 )T | x˜i = (x∗Λi + θi, x∗Λi − θi), y = f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1]}, koje sadrzˇe beskonacˇno mnogo vektora fazi brojeva X˜ = (x˜1, x˜1, x˜3) T , gde za f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1], sledi: x˜1 = ( 15 9 + α + 2f(α), 33 9 − α + 2f(α) ), x˜2 = (−39 9 + 2α + 2f(α), −3 9 − 2α + 2f(α) ), x˜3 = (−15 9 + α + f(α), 3 9 − α + f(α) ). Na primer, ako se uzme da je Λ1 = (−163 ,−163 ,−83)T , f1(α) = −43 , α ∈ [0, 1], dobija se resˇenje X˜Λ1 (pogledati Sliku 6): X˜Λ1 = ((−1 + α, 1− α ), (−7 + 2α,−3− 2α), (−3 + α,−1− α ))T . Primer 14. Dat je 2× 3 fazi linearni sistem. 2x˜1 − x˜3 = (α, 2− α) x˜1 + 3x˜2 = (4 + α, 7− 2α) . Matrice B, C i S, sa celobrojnim vrednostima, prethodnog FLS-a iznose: A+ = B =  2 0 0 1 3 0  , A− = C =  0 0 1 0 0 0  , S =  2 0 0 0 0 1 1 3 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0  . 67 Slika 6: Primer 13 b) Matrica S(1,4) = S†, cˇiji je r(S) = 4, odred¯uje se pomoc´u (28). Matrice P , Q i podmatrice T3 i T4, sa racionalnim vrednostima i preciznosˇc´u na tri decimale, date su sa: P =  1 0 0 0 0 −0.5 0 1 0 0 0 0.167 0 0 1 −2 6 0 0 0 0 1 −3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1  , Q =  0.5 0 0 0 −0.167 0.333 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1  , T3 =  0 0 6 −15 −0.5 0.167 0 0  , T4 =  46 0 0 1.278  . 68 Uopsˇteni {1, 4}-inverz pridruzˇene matrice S je oblika: S(1,4) =  0.391 0.022 0 0 −0.130 0.326 0 0 0 0 0.217 −0.043 0 0 0.391 0.022 0 0 −0.130 0.326 0.217 −0.043 0 0  . Jedno od resˇenja familije sistema SX = Y je X0 = S(1,4)Y dato sa: X0 =  0.087 + 0.413α 1.304 + 0.196α −0.130 + 0.130α  , X0 =  0.935− 0.435α 2.022− 0.522α 0.174− 0.174α  . Kako su x0i ≤ x0i , i = 1, 2, 3, i kako su x0i , i = 1, 2, 3 monotono rastuc´e funkcije i x0i , i = 1, 2, 3 monotono opadajuc´e funkcije, X0 je reprezentativni vektor od X˜0 = (x˜01, x˜ 0 2, x˜ 0 3) T , sˇto je i jedno od resˇenja posmatranog FLS-a, dato sa: x˜01 = ( 0.0868 + 0.413α, 0.9345− 0.4347α ), x˜02 = ( 1.304 + 0.1957α, 2.0219− 0.5218α ), x˜03 = (−0.1303 + 0.1304α, 0.174− 0.1739α ). Sada, cela procedura, opisana Algoritmom 1, mozˇe da se primeni na X˜0, umesto na X˜∗. Primenom Koraka 2, dobija se Λ = (−6f(α), 2f(α),−12f(α))T , f(α) ∈ F0, α ∈ [0, 1]. Dalje, po Koraku 3, sledi W = (0, 0, 0)T , α ∈ [0, 1]. Primetimo da X˜0, pa i svi X˜0Λ, su vec´ resˇenja FLS-a. Prema Koraku 4, sledi da je Θ = (−3g(α), g(α), 6g(α))T , g(α) ∈ F0Λ, α ∈ [0, 1], takvo da su zadovoljena potrebna ogranicˇenja: −3g(α) ≤ 0.424(1− α), g(α) ≤ 0.359(1− α), 6g(α) ≤ 0.152(1− α). (∗) Resˇenje X˜ = (x˜1, x˜2, x˜3) T FLS-a, gde f(α) ∈ F0, g(α) ∈ F0Λ, α ∈ [0, 1], takvo da je (∗) zadovoljeno, ima sledec´u formu: x˜1 = ( 0.0868 + 0.413α− 3f(α)− 3g(α), 0.9345− 0.4347α− 3f(α) + 3g(α) ), x˜2 = ( 1.304 + 0.1957α + f(α) + g(α), 2.0219− 0.5218α + f(α)− g(α) ), x˜3 = (−0.1303 + 0.1304α− 6f(α) + 6g(α), 0.174− 0.1739α− 6f(α)− 6g(α) ). 69 Primer 15. Dat je fazi linearni sistem: 2x˜1 − x˜2 = (α, 2− α) 2x˜1 + x˜2 = (−2 + α, 1− 2α) . Matrica koeficijenata A je regularna, dok je matrica |A| singularna. Prema tome, A† = A−1 = H =  0.25 0.25 −0.5 0.5  . X∗ je dato sa: x˜∗1 = (−0.5 + 0.5α, 0.75− 0.75α), x˜∗2 = (−2 + α, 0.5− 1.5α). Kako je A regularna, familija homogenih sistema AΛ = O ima samo trivijalno resˇenje Λ0 = (0, 0) T . Prema tome, X˜∗Λ0 = X˜∗. Dalje, za svako α ∈ [0, 1], imamo da su w1(α) = 1.5− 1.5α i w2(α) = 1− α. Sledec´a familija klasicˇnih sistema 2θ1(α) + θ2(α) = 1.5− 1.5α 2θ1(α) + θ2(α) = 1− α , nema resˇenje. U ovom slucˇaju mozˇe se pristupiti trazˇenju aproksimativna resˇenja datog fazi linearnog sistema, sˇto nije predmet ove doktorske disertacije. Primer 16. Razmatra se skup od dve razlicˇite valute, Valutai, i = 1, 2 i tri ra- zlicˇite menjacˇnjice, Menjacˇnjicaj, j = 1, 2, 3, sa merama vazˇnosti svake od valuta po menjacˇnjici: Valuta1 Valuta2 Menjacˇnjica1 0.5 0.5 Menjacˇnjica2 0.7 0.3 Menjacˇnjica3 0.6 0.4 , gde su spojene razlike deviznih kurseva (informacije se nepotpune, aproksimativno uzete (kupovni, srednji, prodajni kurs)) u svim tim menjacˇnjicama poznate. Odgo- varajuc´i FLS je: 70 0.5x˜1 + 0.5x˜2 = (0.75 + 1.25α, 3.25− 1.25α) 0.7x˜1 + 0.3x˜2 = (0.85 + 1.15α, 3.15− 1.15α) 0.6x˜1 + 0.4x˜2 = (0.8 + 1.2α, 3.2− 1.2α) . Prema tome, H =  −1.6667 2.3333 0.3333 3.3333 −2.6667 0.3333  . Dobija se: x˜∗1 = (−3.16667 + 5.16667α, 7.16667− 5.16667α ), x˜∗2 = (−5.63333 + 7.63333α, 9.63333− 7.63333α ). Kako je Λ0 = (0, 0) T jedinstveno resˇenje sistema AΛ = O, α ∈ [0, 1], sledi da je X˜∗Λ0 = X˜∗. Dalje, za svako, α ∈ [0, 1], imamo: w1(α) = −5.15α + 5.15 = 5.15(1− α), w2(α) = 4.756668− 4.756668α = 4.756668(1− α), w3(α) = 4.953334− 4.953334 = 4.953334(1− α). Sledec´a familija linearnih sistema: 0.5θ1(α) + 0.5θ2(α) = 5.15(1− α) 0.7θ1(α) + 0.3θ2(α) = 4.756668(1− α) 0.6θ1(α) + 0.4θ2(α) = 4.953334(1− α) , ima jedinstveno dopustivo resˇenje Θ = (4.16667(1− α), 6.13333(1− α) )T , α ∈ [0, 1]. Jedinstveno resˇenje FLS-a je X˜ = (x˜1, x˜2) T , gde su x˜1 = ( 1 + α, 3 − α), x˜2 = ( 0.5 + 1.5α, 3.5− 1.5α ), α ∈ [0, 1]. Fazi-vrednosne razlike deviznih kurseva (kupovni, srednji, prodajni) su trougaoni fazi brojevi i to za Valuta1 je (1, 2, 3), dok za Valuta2 je (0.5, 2, 3.5). 71 POGLAVLJE IV 4. METODA ZA RESˇAVANJE KVADRATNIH FLS-a PRI- MENOM UOPSˇTENOG INVERZA MATRICE U cˇetvrtom poglavlju disertacije prezentujemo metodu za resˇavanje kvadratnih fazi linearnih sistema (1) upotrebom uopsˇtenih inverza matrice. Prvo, prikazujemo novu metodu za resˇavanje kvadratnog FLS-a, koja se zasniva na upotrebi grupnog inverza matrice. Originalni rezultati su publikovani u [29]. Zatim opisujemo postupak resˇavanje specijalnog slucˇaja kvadratnog fazi linearnog sistema, kada mu je pridruzˇena matrica S singularna EP matrica. Originalni rezultati ovog dela su publikovani u [32]. Na kraju ovog poglavlja predstavljamo uopsˇtenje metode za resˇavanje kvadratnog FLS upotrebom bilo kojeg uopsˇtenog {1}-inverza matrice. Originalni rezultati su publikovani u [33]. Podsec´amo da za bilo koji vektor fazi brojeva X˜ pridruzˇeni 2n × 1 klasicˇan funkcionalni vektor X = (x1, . . . , xn,−x1, . . . ,−xn)T naziva se reprezentativnim vek- torom vektora fazi brojeva X˜. Pridruzˇeni n × 1 klasicˇni funkcionalni vektori X i X definisani su sa X = (x1, . . . , xn) T , odnosno sa X = (x1, . . . , xn) T . Ako je vektor fazi brojeva X˜ resˇenje FLS-a (1), cˇija je matrica koeficijenata A ∈Mn×n, tada pridruzˇeni 2n× 1 funkcionalni vektor X = (x1, . . . , xn,−x1, . . . ,−xn)T , mora biti resˇenje familije klasicˇnih linearnih sistema (4), gde je matrica S ∈M2n×2n oblika (5). Indeks matrice A, obelezˇen sa ind(A), jeste najmanji nenegativni broj k za koji vazˇi rang(Ak+1) = rang(Ak) (pogledati Definiciju 11). Napominjemo da kada je 72 matrica A ∈ Mn×n regularna tada je njen indeks jednak 0 (ind(A) = 0), a rang joj je n (rang(A) = n). Indeks nula matrice iznosi 1 (ind(O) = 1) jer je A0 = In i kada je matrica A nula matrica, a rank nula matrice je 0 (rang(O) = 0). Rang jedinicˇne matrice In je n (rang(In) = n). Prema Definiciji 11 zakljucˇujemo da je matrica A ∈ Mn×n indeksa 1 ako i samo ako rang(A1) = rang(A2). Takod¯e, matrica A je indeksa 0 ako i samo ako je rang(A1) = rang(A0) = n. Grupni inverz matrice A ∈ Mn×n postoji ako i samo ako je ind(A) ≤ 1, gde trivijalno kada je ind(A) = 0, njen grupni inverz je jednak njenom klasicˇnom inverzu (A] = A−1). Teorema 26. [9] Kvadratna singularna matrica A = [aij] ∈Mn×n ima grupni inverz (A]) ako i samo ako je ind(A) = 1. Lema 4. Neka je data matrica A = [aij] ∈ Mn×n, |A| = [|aij|] ∈ Mn×n, i pridruzˇena matrica S ∈M2n×2n. Tada vazˇi: ind(S) = 0 ako i samo ako ind(A) = 0 i ind(|A|) = 0. Dokaz. Friedman i dr. [20] dokazali su da je matrica S regularna ako i samo ako su obe matrice |A| i A regularne. Kako za bilo koju regularnu matricu vazˇi ind(A) = 0 (rang(A1) = rang(A0) = rang(In) = n), tvrd¯enje vazˇi. 4.1. Resˇavanje FLS-a upotrebom grupnog inverza matrice Prvi deo ovog poglavlja posvec´ujemo prikazivanju metode za resˇavanje kvadratnog fazi linearnog sistema (1, cˇija je matrica koeficijenata A ∈ Mn×n, upotrebom kombi- nacije uopsˇtenih {1}-inverza, {2}-inverza i {5}-inverza, koja se naziva grupni inverz matrice. Pomoc´u blokovske reprezentacije grupnog inverza matrice formulisan je potre- ban i dovoljan uslov za postojanje resˇenja kvadratnog fazi linearnog sistema, dobijena je tacˇna algebarska forma resˇenja i prezentovan je efikasan algoritam za odred¯ivanje svih resˇenja kvadratnog fazi linearnog sistema. Ovu novu metodu ilustrujemo kroz brojne numericˇke primere. Originalni rezultati su publikovani u [29]. Teoremom 27 dajemo potreban i dovoljan uslov za blokovsku strukturu grupnog inverza matrice S, pridruzˇene singularne matrice kvadratnom FLS-u (1), kada je ind(S) = 1. Grupni inverz date matrice S u nastavku obelezˇavamo sa S]. 73 Teorema 27. Neka je S pridruzˇena matrica kvadratnog, singularnog FLS-a (1) cˇiji je ind(S) = 1. Grupni inverz singularne matrice S ∈M2n×2n definisan je sa: S] =  D E E D  (72) ako i samo ako D = 1 2 [ (B + C)] + (B − C)]] i E = 1 2 [ (B + C)] − (B − C)]] . (73) Dokaz. ⇒ Neka je S kvadratna, singularna matrica pridruzˇena FLS-u (1) oblika (5). Pretpostavimo da je grupni inverz matrice S (S]) dat u obliku (72), gde su matrice D,E ∈Mn×n. Dokazˇimo da su matrice D i E definisane sa (73). Osobina (P1) daje jednacˇine (35) i (36) (pogledati dokaz Teoreme 19). Osobina (P2) nam daje jednacˇine (54) i (55) (pogledati dokaz Teoreme 20). Osobina (P5) implicira: B C C B  D E E D  =  D E E D  B C C B  . Prema tome BD + CE = DB + EC, BE + CD = DC + EB. Sabiranjem i oduzimanjem poslednje dve jednacˇine dobijamo jednacˇine (74) i (75): (B + C)(D + E) = (D + E)(B + C), (74) (B − C)(D − E) = (D − E)(B − C). (75) Ocˇigledno je da jednacˇine (35), (36), (54), (55), (74) i (75) impliciraju: (B + C)] = D + E, (B − C)] = D − E, pa, sabiranjem i oduzimanjem prethodne dve jednacˇine, dobijamo: D = 1 2 ( (B + C)] + (B − C)]) , E = 1 2 ( (B + C)] − (B − C)]) . 74 ⇐ Sledi dokaz da ako su matrice D i E oblika (73), tada matrica G =  D E E D  , jeste S]. Sabiranjem i oduzimanjem jednacˇina D = 1 2 [ (B + C)] + (B − C)]] i E = 1 2 [ (B + C)] − (B − C)]], dobijamo: D + E = (B + C)], (76) D − E = (B − C)]. (77) Dokaz osobine (P1), odnosno SGS = S, dat je u dokazu Teoreme 19. Dokaz osobine (P2), odnosno SG = GS, dat je u dokazu Teoreme 20. Dokaz osobine (P5), odnosno SG = GS, sledi. Jednacˇine (76) i (77) daju: (B + C)(D + E) = (D + E)(B + C), (B − C)(D − E) = (D − E)(B − C), pa je BD + CE = 1 2 (B + C)(D + E) + 1 2 (B − C)(D − E) = 1 2 (D + E)(B + C) + 1 2 (D − E)(B − C) = DB + EC, i BE + CB = 1 2 (B + C)(D + E)− 1 2 (B − C)(D − E) = 1 2 (D + E)(B + C)− 1 2 (D − E)(B − C) = DC + EB, sˇto implicira da vazˇi SG = GS, odnosno osobina (P5), cˇime je kompletiran dokaz tvrd¯enja G = S]. Posledica 11. Neka je data matrica A = [aij] ∈ Mn×n, |A| = [|aij|] ∈ Mn×n, i pridruzˇena matrica S ∈M2n×2n oblika (72). Tada vazˇi: ind(S) ≤ 1 ako i samo ako ind(A) ≤ 1 i ind(|A|) ≤ 1. 75 Na osnovu Posledice 11 i Leme 4 mozˇe se zakljucˇiti da vazˇi da je ind(S) = 1 ako i samo ako (ind(A), ind(|A|)) ∈ {(0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Sledi teorema koja obezbed¯uje dovoljan uslov za dobijanje reprezentativnog vektor resˇenja X0 familije klasicˇnih linearnih sistema (4) za bilo koji proizvoljni reprezenta- tivni vektor Y . Teorema 28. Neka je S pridruzˇena matrica, cˇiji je ind(S) = 1, kvadratnom, konzis- tentnom i singularnom FLS-u (1), za dati Y˜ . Ako je S] nenegativna matrica, tada, jedno od resˇenja familije klasicˇnih linearnih sistema (4) jeste reprezentativni vektor X0 = S]Y , i tada vektor fazi brojeva X˜0 jeste jedno od resˇenja FLS-a (1). Dokaz. Dokaz je analogan dokazu Teoreme 21. U nastavku odred¯ujemo jedan vektor fazi brojeva, koji c´e sluzˇiti kao pocˇetni vektor za odred¯ivanje svih resˇenja. Neka je A] = M = [mij] ∈ Mn×n i |M | = [|mij|]. Kako je M = M+ − M− = [m+ij] − [m−ij] i |M | = M+ + M− = [m+ij] + [m−ij], matricu SM ∈M2n×2n definiˇsemo na sledec´i nacˇin: SM =  M+ M− M− M+  , (78) gde su M+ = [m+ij] i M − = [m−ij], za svako i, j = 1, . . . , n. Dokaz Teoreme 29 dajemo u matricˇnoj formi. Napominjemo da je X ≥ X je zadovol- jeno ako i samo ako vazˇi da je xi ≥ xi, za svako α ∈ [0, 1]. Teorema 29. Neka je A ∈ Mn×n matrica koeficijenata kvadratnog, konzistentnog i singularnog FLS-a (1) za dato Y˜ , takva da vazˇi (ind(A), ind(|A|)) ∈ {(0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Neka je X∗ = SMY , gde je matrica SM oblika (78) i gde je M = A]. Sledec´a tvrd¯enja vazˇe: (i) X˜∗ = (x˜∗1, . . . , x˜ ∗ n) T jeste vektor fazi brojeva. (ii) Ako je zadovoljeno |A |] = |A] |, tada X˜∗ jeste resˇenje FLS-a (1). Dokaz. (i) Neka je X∗ = SMY . Vazˇi da je: X∗ = [M+ M−]Y, (79) X ∗ = [−M− −M+]Y. (80) 76 Oduzimanjem (80) i (79) dobijamo: X ∗ −X∗ = [−M− −M+]Y − [M+ M−]Y = [−(M+ +M−) − (M+ +M−)]Y = [−|M | − |M | ]Y, pa je X ∗ −X∗ = |M | (Y − Y ) . (81) Kako za svako α ∈ [0, 1] vazˇi Y ≥ Y i matrica |M | je nenegativna, dobijamo da je X ∗ ≥ X∗, za svako α ∈ [0, 1]. Prema jednacˇinama (79) i (80), jer su matrice M+ i M− nenegativne, vazˇi da je za svako i, x∗i (α) (odnosno x ∗ i (α)) neopadajuc´a (odnosno nerastuc´a) i levo-neprekidna funkcija kao linearna kombinacija neopadajuc´ih (odnosno nerastuc´ih) levo-neprekidnih funkcija na jedinicˇnom intervalu. Prema tome, X˜∗ = (x˜∗1, . . . , x˜ ∗ n) T , gde je x˜∗i = (x ∗ i , x ∗ i ), i = 1, . . . , n, vektor fazi brojeva. (ii) Sabiranjem jednacˇina (79) i (80) dobijamo: X ∗ +X∗ = [−M− −M+]Y + [M+ M−]Y = [ (M+ −M−) − (M+ −M−)]Y = [M −M ]Y. Sledi da je X ∗ +X∗ = M ( Y + Y ) . (82) Uslov (ind(A), ind(|A|)) ∈ {(0, 1), (1, 0), (1, 1)} implicira ind(S) = 1 (Posledica 11 i Lema 4). Prema Teoremi 27 sledi da je matrica S] oblika: S] =  D E E D  , gde su D+E = |A|] i D−E = A]. Kako je A] = M, i sluzˇec´i se pretpostavkom da je |A |] = |A] | = |M |, tada je |M | = M+ +M− = D + E i M = M+ −M− = D − E. Dobijamo da su matrice D i E izjednacˇene sa matricama M+ i M−, redom (D = M+ i E = M−). Kako je S] = SM , sledi da je matrica SM oblika: SM =  D E E D . 77 SX = Y je familija konzistentnih sistema, pa je X∗ je jedno od njegovih resˇenja. Jednacˇina (82) implicira: Y + Y = A ( X ∗ +X∗ ) , (83) dok, (81) implicira: Y − Y = |A| ( X ∗ −X∗ ) . (84) Za svako A, A ∈ Mn×n, vazˇi A+ = 1 2 (A+ |A|) i A− = 1 2 (|A| − A). Sabiranjem i oduzimanjem (83) i (84) dobijamo: Y = A+X ∗ − A−X∗ = [−A− − A+]X∗, Y = −A−X∗ + A+X∗ = [A+ A−]X∗. Prema tome, tvrd¯enje vazˇi. Sledi teorema kojom je dat potreban i dovoljan uslov za postojanje resˇenja kvadratnog FLS-a (1), cˇija je pridruzˇenja matrica ind(S) ≤ 1. Lema 5. Neka je A matrica koeficijenata kvadratnog i konzistentnog FLS-a (1) za dato Y˜ = ( y˜1, . . . , y˜n ) T . Neka je X∗ = SMY , gde je SM oblika (78). Tada je (68) familija konzistentnih klasicˇnih linearnih sistema i vazˇi A(X ∗ +X∗) = Y + Y . Dokaz. Dokaz je analogan dokazu Leme 3. Teorema 30. Neka je A matrica koeficijenata kvadratnog FLS-a (1), takvog da je ind(S) ≤ 1, za dato Y˜ = ( y˜1, . . . , y˜m )T . Neka je X∗ = SMY , gde je SM oblika (78), takvo da vazˇi A(X ∗ + X∗) = Y + Y . Neka su Λ = (λ1(α), . . . , λn(α))T , i Θ = (θ1(α), . . . , θn(α)) T , α ∈ [0, 1], resˇenja sistema AΛ = O i |A|Θ = W , redom, gde O = (0, . . . , 0)T je n× 1 nula vektor, i W = (w1(α), . . . , wn(α))T , α ∈ [0, 1], definisan sa W = Y − [A+ A− ]X∗ ( gde [A+ A− ] je n× 2n matrica). Sledec´a tvrd¯enja vazˇe: (i) Za svaki 2n × 1 vektor X∗Λ = (x∗Λ1 , . . . , x∗Λn ,−x∗Λ1 , . . . ,−x∗Λn )T , definisan sa X∗Λ = X∗ + 1 2 Λ i X ∗Λ = X ∗ + 1 2 Λ, vazˇi: A ( X ∗Λ +X∗Λ ) = Y + Y . 78 (ii) Za svaki 2n×1 vektor X∗Λ,Θ = (x∗Λ.Θ1 , . . . , x∗Λ,Θn ,−x∗Λ,Θ1 , . . . ,−x∗Λ,Θn )T , definisan sa X∗Λ,Θ = X∗Λ + Θ i X ∗Λ,Θ = X ∗Λ −Θ, gde je X∗Λ dobijeno pod (i), vazˇi: A ( X ∗Λ,Θ +X∗Λ,Θ ) = Y + Y , |A| ( X ∗Λ,Θ −X∗Λ,Θ ) = Y − Y . (iii) X˜ = ( x˜1, . . . , x˜n ) T , x˜i = (xi, xi), i = 1, . . . , n, je resˇenje FLS-a (1) ako i samo ako postoje Λ = (λ1(α), . . . , λn(α)) T i Θ = (θ1(α), . . . , θn(α)) T , takvi da AΛ = O i |A|Θ = W , za svako α ∈ [0, 1], i familija intervala {[x∗i (α) + 12λi(α) + θi(α), x ∗ i (α) + 1 2 λi(α)− θi(α)] |α ∈ [0, 1] } odred¯uje α-preseke fazi brojeva, i x˜i = (x∗i + 1 2 λi + θi, x ∗ i + 1 2 λi − θi), za sva i = 1, . . . , n. Dokaz. Koristec´i cˇinjenicu da je M = A], dokaz ove teoreme je analogan dokazu Teoreme 25. Algoritam 3 Korak 1. Odred¯ujemo X∗ = SMY . (↔ Za svako i = 1, . . . , n izracˇunati (79) i (80)). Ako je zadovoljeno A(X ∗ +X∗) = Y + Y , sledi Korak 2. Korak 2. Za svako resˇenje Λ = (λ1(α), . . . , λn(α)) T , α ∈ [0, 1] familije klasicˇnih homogenih sistema AΛ = O, gde je O = (0, . . . , 0)T , n × 1 nula vektor, racˇunamo sledec´e: x∗Λi = x ∗ i + 1 2 λi, i x ∗Λ i = x ∗ i + 1 2 λi, za i = 1, . . . , n, gde je x∗i i x ∗ i odred¯eno u Koraku 1. Korak 3. Odred¯ujemo W = (w1(α), . . . , wn(α)) T , α ∈ [0, 1], koje je definisano sa W = Y − SX∗, gde je X∗ dobijeno u Koraku 1 i S = [B C ] (B = A+, C = A−) je n× 2n matrica. ( ↔ Za svako i = 1, . . . ,m odrediti : wi(α) = yi(α)− n∑ j=1 a+ij x ∗ j(α) + n∑ j=1 a−ij x ∗ j(α).) Korak 4. Ako je resˇenje Θ = (θ1(α), . . . , θn(α)) T , α ∈ [0, 1], familije klasicˇnih sistema |A|Θ = W , gde je W = (w1(α), . . . , wn(α))T , α ∈ [0, 1], tada za i = 1, . . . , n odrediti: xi = x ∗Λ i + θi, i xi = x ∗Λ i − θi. 79 Korak 5. Za sva odred¯ena Λ i Θ, dobijena Korakom 2 i Korakom 4, biraju se samo ona koja su dopustiva, odnosno ona za koja za svako α ∈ [0, 1] vazˇi: θi(α) ≤ x ∗ i (α)− x∗i (α) 2 , za svako i = 1, . . . , n, a x∗i (α) + 1 2 λi(α) + θi(α), (odnosno, x ∗ i (α) + 1 2 λi(α) − θi(α)) moraju biti ogranicˇene nerastuc´e (odnosno, neopadajuc´e) levo-neprekidne funkcije, za svako i = 1, . . . , n. Primeri U nastavku prikazujemo primere kojima ilustrujemo efikasnost prethodno opisane metode za resˇavanje kvadratnog fazi linearnog sistema. U Primeru 17 resˇen je singu- larni FLS, takav da su mu obe matrice A i |A| singularne i ind(S) = 1. U Primeru 18, Primer 13b, je ponovo resˇen pomoc´u grupnog inverza matrice A. Primeri su publiko- vani u [29]. Dajemo Algoritam 4 (napisan za softver Python) koji se koristi za odred¯ivanje grupnog inverza matrice A, ind(A) ≤ 1, putem blokovske reprezentacije matrica. Algoritam 4. Matrica A je singularna sa ind(A) = 1 1. Ulaz: Matrica A je dimenzija (n× n) 2. Odrediti matrice P i Q upotrebom (17) 3. Odrediti podmatrice V1, V2, V3 i V4 upotrebom (30) 4. Odrediti grupni inverz matrice A upotrebom (31) Primer 17. Dat je singularni 2× 2 fazi linearni sistem: −2x˜1 + x˜2 = (−1 + 3α, 3− α) 4x˜1 − 2x˜2 = (−6 + 2α, 2− 6α) . Primenom Algoritma 4, grupni inverz matrice A odred¯en je na sledec´i nacˇin: M = A] =  −0.125 0.0625 0.25 −0.125  , 80 gde su matrice P , Q i podmatrice V1, V2, V3 i V4 date sa: P =  1 0.5 0 1  , Q =  −0.5 0 2 1  , i V1 = [ −0.5 ] , V2 = [ −0.25 ] , V3 = [ 2 ] , V4 = [ 2 ] . Vektor fazi brojeva X˜∗ = (x˜∗1, x˜ ∗ 2) T je: x˜∗1 = (−0.75 + 0.25α, 0.25− 0.75α ), x˜∗2 = (−0.5 + 1.5α, 1.5− 0.5α ). Korakom 2 dobijamo da je resˇenja familije klasicˇnih sistema AΛ = 0, Λ = (2f(α), 4f(α))T , za proizvoljnu funkciju f(α), α ∈ [0, 1], gde je f(α) ∈ F∗ ( F∗ oznacˇava klasu dopus- tivih funkcija koje zavise od X˜∗, takvih da su adekvatne funkcije x∗Λ i x∗Λ ogranicˇene nerastuc´e, odnosno neopadajuc´e, levo-neprekidne funkcije, za svako i = 1, . . . , n). Sledi: x˜∗Λ1 = (−0.75 + 0.25α + f(α), 0.25− 0.75α + f(α) ), x˜∗Λ2 = (−0.5 + 1.5α + 2f(α), 1.5− 0.5α + 2f(α) ). Za svako Λ i α ∈ [0, 1], dobija se: w1(α) = −1 + 3α− (1.5α− 0.5)− 1.5α + 0.5 = 0, w2(α) = −6 + 2α− (α− 3)− α + 3 = 0. Primetimo da je W = (0, 0)T , α ∈ [0, 1], sˇto znacˇi da dobijeno X˜∗ i X˜∗Λ, za svako Λ = (2f(α), 4f(α))T , f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1], jeste resˇenje posmatranog FLS-a. Opsˇta forma bilo kojeg resˇenja sledec´e familije klasicˇnih linearnih sistema: 2θ1(α) + θ2(α) = 0 4θ1(α) + 2θ2(α) = 0 , jeste Θ = (g(α),−2g(α))T , gde g(α), α ∈ [0, 1] je proizvoljna funkcija na jedinicˇnom intervalu. Neka g(α) ∈ F∗Λ, α ∈ [0, 1] (F∗Λ zavisi od X˜∗Λ). Dodatno potrebno 81 ogranicˇenje je: θ1(α) ≤ x ∗ 1(α)− x∗1(α) 2 = 1− α 2 , θ2(α) ≤ x ∗ 2(α)− x∗2(α) 2 = 1− α. Kako je θ2(α) = −2θ1(α), α ∈ [0, 1], dobija se 0.5α − 0.5 ≤ θ1(α) ≤ 0.5 − 0.5α, za svako α ∈ [0, 1]. Na posletku, X˜ = ( x˜1, x˜2)T ∈ SS, gde je f(α) ∈ F∗, g(α) ∈ F∗Λ, i 0.5α− 0.5 ≤ g(α) ≤ −0.5α + 0.5, za svako α ∈ [0, 1]: x˜1 = (−0.75 + 0.25α + f(α) + g(α), 0.25− 0.75α + f(α)− g(α) ), x˜2 = (−0.5 + 1.5α + 2f(α)− 2g(α), 1.5− 0.5α + 2f(α) + 2g(α) ). Na primer, (pogledati Sliku 7) za dopustivo g(α) = α−1 4 , i Λ = (1 − 0.5α, 2 − α)T , α ∈ [0, 1], dobija se: x˜1 = (−0.5 + 0.25α, 1− 1.25α ), x˜2 = ( 1 + 0.5α, 2− 0.5α ), za g(α) = α−1 4 , i Λ = (−4,−8)T , α ∈ [0, 1], dobija se: x˜1 = (−3 + 0.5α, −1.5− α ), x˜2 = (−4 + α, −3 ), za g(α) = α−1 4 , i Λ = (6, 12)T , α ∈ [0, 1], dobija se: x˜1 = ( 2 + 0.5α, 3.5− α ), x˜2 = ( 6 + α, 7 ), itd . U nastavku, odred¯ujemo grupni inverz pridruzˇene matrice S. Matrice P i Q i subma- trice V1, V2, V3 i V4 su: P =  1 0 0 −0.5 0 1 −2 0 0 0 1 0 0 0 0 1  , Q =  0 0.25 0 0 1 0 0 0 0 −0.5 1 0 −2 0 0 1  , 82 iV1 =  0 0.25 1 0  , V2 =  −0.5 0 0 −0.5  , V3 =  0 −0.5 −2 0  , V4 =  2 0 0 2  . Grupni inverz pridruzˇene matrice S je: S] =  0 0.0625 0.125 0 0.25 0 0 0.125 0.125 0 0 0.0625 0 0.125 0.25 0  . Sledi da je: X0 =  x01(α) x02(α) −x01(α) −x02(α)  = S ]Y = S]  −1 + 3α −6 + 2α −3 + α −2 + 6α  =  −0.75 + 0.25α −0.5 + 1.5α −0.25 + 0.75α −1.5 + 0.5α  . Upotrebom Teoreme 28, posˇto je S] nenegativna, resˇenje posmatranog FLS-a jeste X˜0 = (x˜01, x˜ 0 2) T , dato sa: x˜01 = (−0.75 + 0.25α, 0.25− 0.75α), x˜02 = (−0.5 + 1.5α, 1.5− 0.5α). Sva druga resˇenja FLS-a mogu se odrediti primenom Algoritma 4, pocˇevsˇi od X˜0 (napominjemo da nenegativnost matrice S] implicira X˜0 = X˜∗). 83 Slika 7: Primer 17 - 6 X˜∗=((0.25α−0.75,−0.75α+0.25),(1.5α−0.5,−0.5α+1.5))T X˜ ∗Λ1 ,Θ X˜ ∗Λ2 ,Θ X˜ ∗Λ3 ,Θ Λ1=(−4,−8)T Λ2=(1−0.5α,2−α)T Λ3=(6,12)T g(α)=0.25α−0.25 g(α)=0.25α−0.25 g(α)=0.25α−0.25 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8   @ @@     c c c   A AA @ @@ Primer 18. Posmatrajmo singularni fazi linearni sistem: x˜1 − 2x˜3 = (1 + 3α, 7− 3α) −x˜1 + x˜2 = (−8 + 3α, −2− 3α) x˜2 − 2x˜3 = (−5 + 4α, 3− 4α) . Grupni inverz matrice A je: M = A] =  0.33 0 −0.67 −0.33 0.33 0 0 0.33 −0.67  . Sledi da je x˜∗1 = (−1.67 + 3.67α, 5.67− 3.67α ), x˜∗2 = (−5 + 2α, −1− 2α ), x˜∗3 = (−4.67 + 3.67α, 2.67− 3.67α ). Resˇenje familije klasicˇnih linearnih sistema AΛ = 0 je Λ = (4f(α), 4f(α), 2f(α))T , f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1]. Stoga, sledi da je: x˜∗Λ1 = (−1.67 + 3.67α + 2f(α), 5.67− 3.67α + 2f(α) ), x˜∗Λ2 = (−5 + 2α + 2f(α), −1− 2α + 2f(α) ), x˜∗Λ3 = (−4.67 + 3.67α + f(α), 2.67− 3.67α + f(α) ). 84 Za svako Λ i α ∈ [0, 1], dobija se: w1(α) = 8− 8α, w2(α) = 2.67− 2.67α, w3(α) = 5.33− 5.33α. Familija klasicˇni linearnih sistem: θ1(α) + 2θ3(α) = 8− 8α θ1(α) + θ2(α) = 2.67− 2.67α θ2(α) + 2θ3(α) = 5.33− 5.33α , ima jedinstveno dopustivo resˇenje Θ = (2.67 − 2.67α, 0, 2.67 − 2.67α)T . Stoga, za proizvoljno resˇnje X˜ = (x˜1, x˜1, x˜3) T , gde je f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1], je: x˜1 = ( 1 + α + 2f(α), 3− α + 2f(α) ), x˜2 = (−5 + 2α + 2f(α), −1− 2α + 2f(α) ), x˜3 = (−2 + α + f(α), −α + f(α) ). Na primer, ako uzmemo da je Λ1 = (−4,−4,−2)T , α ∈ [0, 1], dobija se sledec´e resˇenje: X˜Λ1 = ((−1 + α, 1− α ), (−7 + 2α, −3− 2α ), (−3 + α, −1− α ))T . 4.2. FLS sa EP matricom - Jednakost Moore-Penroseovog inverza, Drazinog inverza i grupnog inverza matrice Od posebnog interesa su fazi linearnih sistemi sa pridruzˇenom matricom S ∈ M2n×2n indeksa ind(S) = 1 i za koje vazˇi osobina S†S = SS†, gde je S† Moore- Penroseov inverz matrice S. Ovaj tip matrice naziva se singularna EP matrica i za nju je karakteristicˇno da su joj Moore-Penroseov inverz, Drazinov inverz i grupni inverz jednaki (pogledati Poglavlje II). Originalni rezultati publikovani su u [29, 32]. Lema 6. Neka je data matrica A = [aij] ∈Mn×n i |A| = [|aij|] ∈Mn×n i pridruzˇena matrica S ∈ M2n×2n, oblika (5). Matrice A i |A| su EP matrice ako i samo ako je matrica S EP matrica. 85 Dokaz. (⇒) Pretpostavimo da su matrica A i matrica |A| EP matrice. Dokazˇimo da vazˇi S† · S = S · S†, gde su matrice S i S† oblika (5) i (51), redom, i matrice D i E date sa: D = 1 2 [ (B + C)† + (B − C)†] i E = 1 2 [ (B + C)† − (B − C)†] . Kako se matrice A i |A| mogu predstaviti sa A = B−C i |A| = B+C, prema Definiciji 16, vazˇi: (B − C)†(B − C) = (B − C)(B − C)†, (85) (B + C)†(B + C) = (B + C)(B + C)†. (86) Sabiranjem leve strane ove dve jednakosti dobijamo: (B − C)†(B − C) + (B + C)†(B + C) = ((B + C)† + (B − C)†)B + ((B + C)† − (B − C)†)C = 2DB + 2EC, dok sabiranjem desne strane gornjih jednakosti dobijamo: (B − C)(B − C)† + (B + C)(B + C)† = B((B + C)† + (B − C)†) + C((B + C)† − (B − C)†) = 2BD + 2CE, sˇto znacˇi da je 2DB + 2EC = 2BD + 2CE. (87) Oduzimanjem jednacˇina (86) i (85), leve strane, dobijamo: (B + C)†(B + C)− (B − C)†(B − C) = ((B + C)† − (B − C)†)B + ((B + C)† + (B − C)†)C = 2EB + 2DC, dok oduzimanjem jednacˇina (86) i (85), desne strane, dobijamo: (B + C)(B + C)† − (B − C)(B − C)† = B((B + C)† − (B − C)†) + C((B + C)† + (B − C)†) = 2BE + 2CD, 86 sˇto znacˇi da je 2EB + 2DC = 2BE + 2CD. (88) Jednacˇine (87) i (88) impliciraju: D E E D  B C C B  =  B C C B  D E E D  , sˇto dalje implicira da je S† · S = S · S†, za matrice S i S† oblika (5) i (51), redom, pa prema Definiciji 16 sledi da je matrica S EP matrica. (⇐) Pretpostavimo da je matrica S EP matrica. Tada, prema Teoremi 17 sledi S† = S]. Matrica S† je oblika (51) (Teorema 20), dok su matrice D i E definisane sa: D = 1 2 [ (B + C)† + (B − C)†] i E = 1 2 [ (B + C)† − (B − C)†] . Matrica S] je oblika (72) (Teorema 27), dok su matrice D i E definisane sa: D = 1 2 [ (B + C)] + (B − C)]] i E = 1 2 [ (B + C)] − (B − C)]] . Kako vazˇi: S† = S] =  D E E D  sledi da je (B + C)† = (B + C)], odnosno (B − C)† = (B − C)]. Kako je matrica A = B −C i matrica |A| = B +C, prema Teoremi 17 dobijamo da su matrice A i |A| EP matrice. Za FLS-e (1) sa pridruzˇenom singularnom EP matricom vazˇe tvrd¯enja Teorema 27, 28, 29 i 30. U nastavku dajemo primere kvadratnih FLS-a, cˇija je matrica koeficijenata A EP matrica. Primer 19. [29] Dat je fazi linearni sistem: x˜1 − 2x˜2 = (−7.5 + 0.5α, 0.5− 7.5α) −2x˜1 + 4x˜2 = (−1 + 15α, 15− α) . Matrica A je EP matrica jer vazˇi da je A†A = AA† (prema Definiciji 16), odnosno: A†A = AA† =  0.2 −0.4 −0.4 0.8  . 87 Grupni inverz, Drazin inverz i Moore-Penroseov inverz matrice A su jednaki i oblika: M = A] = A♦ = A† =  0.04 −0.08 −0.08 0.16  . Primenom Algoritma 3, odred¯ujemo X˜∗ = SMY : x˜∗1 = (−1.5 + 0.1α, 0.1− 1.5α ), x˜∗2 = (−0.2 + 3α, 3− 0.2α ). Za resˇenje Λ = (4f(α), 2f(α))T , α ∈ [0, 1], familije klasicˇnih linearnih sistema AΛ = 0, za proizvoljnu funkciju f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1], gde F∗ oznacˇava klasu funkcija na jedinicˇnom intervalu takvih da su adekvatne funkcije x∗Λ i x∗Λ ogranicˇene nerastuc´e, odnosno neopadajuc´e, levo-neprekidne funkcije, za svako i = 1, . . . , n. Dalje dobijamo: x˜∗Λ1 = (−1.5 + 0.1α + 2f(α), 0.1− 1.5α + 2f(α) ), x˜∗Λ2 = (−0.2 + 3α + f(α), 3− 0.2α + f(α) ). Za svako Λ i α ∈ [0, 1] sledi da je W = (0, 0)T , α ∈ [0, 1]. Posmatrajmo resˇenje Θ = (θ1(α), θ2(α)) T , α ∈ [0, 1], sledec´e familije linearnih sistema: θ1(α) + 2θ2(α) = 0 2θ1(α) + 4θ2(α) = 0 , takvo da za svako α ∈ [0, 1] budu zadovoljena sledec´a ogranicˇenja: θ1(α) ≤ x ∗ 1(α)− x∗1(α) 2 = 0.8− 0.8α, θ2(α) ≤ x ∗ 2(α)− x∗2(α) 2 = 1.6− 1.6α. Kako je θ1(α) = −2θ2(α), α ∈ [0, 1], ubacivanjem g(α) = θ2(α), α ∈ [0, 1], dobijamo X˜ = ( x˜1, x˜2) T ∈ SS, gde je f(α) ∈ F∗, g(α) ∈ F∗Λ, α ∈ [0, 1] i 0.4α − 0.4 ≤ g(α) ≤ −0.8α + 0.8, za svako α ∈ [0, 1], pa je: x˜1 = (−1.5 + 0.1α + 2f(α)− 2g(α), 0.1− 1.5α + 2f(α) + 2g(α) ), x˜2 = (−0.2 + 3α + f(α) + g(α), 3− 0.2α + f(α)− g(α) ). Matrica S je EP matrica sa ind(S) = 1 (jer je ind(A) = ind(|A|) = 1 i matrice A i |A| su EP matrice) pa je prema tome Moore-Penroseov inverz matrice S je jednak 88 grupnom inverzu (koji je jednak Drazinovom inverzu) matrice S (S† = S] = S♦), i oblika je: SM = S † = S] = S♦ =  0.04 0 0 0.08 0 0.16 0.08 0 0 0.08 0.04 0 0.08 0 0 0.16  . Kako je matrica S] nenegativna, X0 = S]Y je reprezentativni vektor od X˜0, dat sa: x˜01 = (−1.5 + 0.1α, 0.1− 1.5α), x˜02 = (−0.2 + 3α, 3− 0.2α). Vektor fazi brojeva X˜0 je resˇenje FLS-a jer je X˜0 = X˜∗ (kao sˇto je objasˇnjeno u Primeru 17). Da bi se dobila druga resˇenja, Algoritam 3 se primenjuje na X˜0. Primer 20. [32] Dat je fazi linearni sistem: x˜1 − x˜2 = (α, 2− α) −x˜1 + x˜2 = (−0.3 + α, 1.7− α) . Matrica A je EP matrica (prema Definiciji 16), pa, sledi da su grupni inverz, Drazin inverz i Moore-Penroseov inverz matrice A jednaki. Primenom Algoritma 4, sledi da je grupni inverz matrice A: M = A] = A♦ = A† =  0.25 −0.25 −0.25 0.25  . Zatim, primenom Algoritma 3, odred¯uje se X˜∗ = SMY : x˜∗1 = (−0.425 + 0.5α, 0.575− 0.5α ), x˜∗2 = (−0.575 + 0.5α, 0.425− 0.5α ). Za vektor resˇenja Λ = (2f(α), 2f(α))T , α ∈ [0, 1], familija klasicˇnih linearnih sistema AΛ = 0, takvih da f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1], dobija se X˜∗Λ: x˜∗Λ1 = (−0.425 + 0.5α + f(α), 0.575− 0.5α + f(α) ), x˜∗Λ2 = (−0.575 + 0.5α + f(α), 0.425− 0.5α + f(α) ). 89 Za svako Λ i α ∈ [0, 1] sledi W = (0.85, 0.85)T , α ∈ [0, 1]. Posmatra se resˇenje Θ = (θ1(α), θ2(α)) T , α ∈ [0, 1], sledec´e familije linearnih sistema: θ1(α) + θ2(α) = 0.85 θ1(α) + θ2(α) = 0.85 , takvo da za svako α ∈ [0, 1] budu zadovoljena sledec´a ogranicˇenja: θ1(α) ≤ x ∗ 1(α)− x∗1(α) 2 = 0.5− 0.5α, θ2(α) ≤ x ∗ 2(α)− x∗2(α) 2 = 0.5− 0.5α. Kako je θ1(α) = −θ2(α)+0.85, α ∈ [0, 1], ubacivanjem g(α) = θ2(α), α ∈ [0, 1], dobija se X˜ = ( x˜1, x˜2) T ∈ SS, gde je f(α) ∈ F∗, g(α) ∈ F∗Λ, α ∈ [0, 1], i 0.5α + 0.35 ≤ g(α) ≤ −0.5α + 0.5, za svako α ∈ [0, 1], pa je x˜1 = (−0.425 + 0.5α + f(α)− g(α) + 0.85, +0.575− 0.5α + f(α) + g(α)− 0.85 ), x˜2 = (−0.575 + 0.5α + f(α) + g(α), 0.425− 0.5α + f(α)− g(α) ). Moore-Penroseov inverz matrice S je jednak grupnom inverzu (koji je jednak Drazinom inverzu) matrice S (S† = S] = S♦). Grupni inverz matrice S je: SM = S † = S] = S♦ =  0.25 0 0 0.25 0 0.25 0.25 0 0 0.25 0.25 0 0.25 0 0 0.25  . Kako je matrica S] nenegativna, X0 = S]Y je reprezentativni vektor od X˜0, dat sa: x˜01 = (−0.425 + 0.5α, 0.575− 0.5α ), x˜02 = (−0.575 + 0.5α, 0.425− 0.5α ). Vektor fazi brojeva X˜0 je resˇenje FLS-a, X˜0 = X˜∗ (kao sˇto je objasˇnjeno u Primeru 17). Da bi se dobila druga resˇenja, Algoritam 3 se primenjuje na X˜0. 4.3. Resˇavanje FLS-a upotrebom uopsˇtenog {1}-inverza matrice Trec´i deo ovog poglavlja posvec´en je uopsˇtavanju prikazane metode za resˇavanje kvadratnog fazi linearnog sistema (1) primenom bilo kojeg uopsˇtenog {1}-inverza ma- 90 trice. Originalni rezultati su publikovani u [33]. Potrebno je naglasiti da se primenom bilo kojeg uposˇtenog {1}-inverza matrice mozˇemo resˇiti FLS (1) proizvoljnih dimenzija. Sledi teorema koja predstavlja dovoljan uslov za dobijanje resˇenje FLS-a (1), cˇija je matrica koeficijenata A ∈Mn×n. Neka je A(1) proizvoljni uopsˇteni {1}-inverz matrice A. Uvodimo sledec´e oznake: A(1) = N = [nij], i |N | = [|nij|]. Neka je matrica SN ∈M2n×2n, definisana sa: SN =  N+ N− N− N+  , (89) gde je N+ = [n+ij], i N − = [n−ij], za svako i, j = 1, . . . , n. Teorema 31. Neka je kvadratni FLS (1), cˇija je matrica koeficijenata A ∈ Mn×n, konzistentan. Neka je X∗ = SNY , gde je matrica SN oblika (89) i gde je N ∈ Mn×n proizvoljni uopsˇteni {1}-inverz matrice A, N = A(1), i matrica SN oblika (89). Sledec´a tvrd¯enja vazˇe: (i) X˜∗ = (x˜∗1, . . . , x˜ ∗ n) T je vektor fazi brojeva. (ii) Ako je |N | jedan od uopsˇtenih {1}-inverza matrice |A|, tada X˜∗ jeste resˇenje FLS-a (1). Teorema 32. Neka je A ∈ Mn×n matrica koeficijenata kvadratnog i konzistentog FLS-a (1) za dato Y˜ = ( y˜1, . . . , y˜n ) T . Neka je X∗ = SNY i W = Y − [A+ A−]X∗. Sledec´a tvrd¯enja vazˇe: (i) Ako je X˜ = ( x˜1, . . . , x˜n ) T , x˜i = (xi, xi) = (x ∗ i+ 1 2 λi+θi, x ∗ i+ 1 2 λi−θi), i = 1, . . . , n, vektor fazi brojeva, za neko Λ = (λ1(α), . . . , λn(α)) T i Θ = (θ1(α), . . . , θn(α)) T , α ∈ [0, 1], takvo da AΛ = O, gde je O = (0, . . . , 0)T je n × 1 nula vektor i |A|Θ = W , tada X˜ jeste resˇenje FLS-a (1). (ii) Za bilo koji resˇenje X˜ = ( x˜1, . . . , x˜n ) T , x˜i = (xi, xi), i = 1, . . . , n, FLS-a (1), postoje Λ = (λ1(α), . . . , λn(α)) T i Θ = (θ1(α), . . . , θn(α)) T , α ∈ [0, 1], takvi da je AΛ = O, gde je O = (0, . . . , 0)T je n × 1 nula vektor i |A|Θ = W , i X = X∗ + 1 2 Λ + Θ, X = X ∗ + 1 2 Λ−Θ. 91 Kroz nekoliko numericˇkih primera sledi demonstracija efikasnosti predstavljene metode za resˇavanje kvadratnih FLS-a (1) upotrebom bilo kojeg uopsˇtenog {1}- in- verza matrice. Zbog jednostavnosti, posmatramo trougaone fazi brojeve. U Primeru 21 resˇavamo FLS, cˇija je matrica koeficijenata A kompletno regularna, pa je prema tome, resˇenje jedinstveno. U Primerima 22 i 23 posmatramo FLS-i, cˇija je matrica A regularna, u prvom slucˇaju, i matrica |A| regularna, u drugom slucˇaju. U Primeru 24 prezentujemo FLS cˇije su obe matrice A i |A| singularne. U Primeru 25 prikazano je resˇavanje FLS-a kada je ind(A) = 2 i ind(|A|) = 1. Primer 21. [33] Dat je 2× 2 fazi linearni sistem: x˜1 + 3x˜2 = (3.5 + 6α, 15.5− 6α) −2x˜1 + x˜2 = (−15.5 + 7α, −1.5− 7α) . Matrice A, B i C ovog FLS-a su: A =  1 3 −2 1  , A+ = B =  1 3 0 1  , A− = C =  0 0 2 0  . Kako su obe matrice A i |A| regularne, sledi da je ind(A) = 0 i ind(|A|) = 0. Klasicˇan inverz matrice A jeste matrica: N = A−1 = A† = 1 7  1 −3 2 1  . Primenom Algoritma 3, Korakom 1, odred¯ujemo X∗ = SNY i dobijamo da je: x˜∗1 = (1.143 + 3.857α, 8.857− 3.857α), x˜∗2 = (−1.214 + 2.714α, 4.214− 2.714α). Kako je A regularna matrica, familija homogenih linearnih sistema AΛ = O ima samo trivijalno resˇenje Λ0 = (0, 0) T . Prema tome, sledi da je X˜∗Λ0 = X˜∗. Primenom Koraka 3, dobijamo W = (w1(α), w2(α)) T , α ∈ [0, 1], odnosno: W = (6(1− α), 3.429(1− α))T . Familija klasicˇnih linearnih sistem |A|Θ = W ima jedinstveno resˇenje Θ = (0.857(1− α), 1.714(1− α))T , α ∈ [0, 1], jer je |A| regularna matrica. Da bi se dobio vektor fazi 92 Slika 8: Primer 21 brojeva, odnosno da bi xi(α) ≥ xi(α) bilo zadovoljeno za i = 1, 2 i svako α ∈ [0, 1], Θ mora da zadovoljava sledec´i uslov θi(α) ≤ x ∗ i (α)−x∗i (α) 2 , i = 1, 2, za svako α ∈ [0, 1]. Dobijeno Θ je dopustivo, pa, prema tome, sledi da jedinstveno resˇenje ovog FLS-a, dobijeno Korakom 4, X˜ = (x˜1, x˜2) T , jeste oblika (pogledati Sliku 8): X˜ = ((2 + 3α, 8− 3α), (0.5 + α, 2.5− α))T . Primer 22. [33] Dat je sledec´i fazi linearni sistem: 2x˜1 − x˜2 = (3α, 7− 4α) −2x˜1 − x˜2 = (3α, 7− 4α) . Matrica koeficijenata A je regularna sa ind(A) = 0, dok je matrica |A| singularna sa ind(|A|) = 1. Klasicˇan inverz matrice A je: N = A−1 = A† =  0.25 −0.25 −0.5 −0.5  . Odred¯ujemo X∗ = SNY i dobijamo pridruzˇeni vektor fazi brojeva X˜∗: X˜∗ = ((−1.75 + 1.75α, 1.75− 1.75α), (−7 + 4α, −3α))T . 93 Kako je Λ0 = (0, 0) T jedinstveno resˇenje familije klasicˇnih linearnih sistema AΛ = O, X˜∗Λ0 = X˜∗. Dalje, za α ∈ [0, 1], dobijamo: w1(α) = 3α− 2(1.75α− 1.75) + (−3α) = 3.5− 3.5α, w2(α) = 3α + 2(−1.75α + 1.75) + (−3α) = 3.5− 3.5α. Sledec´a familija sistema ima beskonacˇno mnogo resˇenja Θ = (θ1(α), θ2(α)) T , α ∈ [0, 1]: 2θ1(α) + θ2(α) = 3.5− 3.5α 2θ1(α) + θ2(α) = 3.5− 3.5α . Klasa resˇenja linearnih funkcija, definisanih na [0, 1], prethodne familije sistema je: θ1(α) = C1 − C2α, θ2(α) = 3.5− 2C1 − (3.5− 2C2)α. Ova klasa funkcija je dopustiva ako je monotonost xi i xi obezbed¯ena sa potrebnim uslovima θi(α) ≤ x ∗ i (α)−x∗i (α) 2 , i = 1, 2, za svako α ∈ [0, 1], stoga C1 = C2 = C, gde je 0 < C < 1.75. Prema tome, racˇunajuc´i xi = x ∗ i + θi i xi = x ∗ i − θi, za i = 1, 2, dobija se klasa resˇenja sa beskonacˇnim brojem resˇenja X˜ = (x˜1, x˜2) T , za 0 < C < 1.75, u sledec´oj formi: x˜1 = ((1.75− C)α− 1.75 + C, (−1.75 + C)α + 1.75− C), x˜2 = ((0.5 + 2C)α− 3.5− 2C, (0.5− 2C)α− 3.5 + 2C). Primer 23. [33] Dat je singularni fazi linearni sistem dimenzija 3× 3. x˜1 − x˜3 = (−8 + 10α, 10− 8α) x˜1 + x˜2 + 2x˜3 = (−29 + 20α, 20− 29α) 3x˜1 + x˜2 = (−27 + 22α, 22− 27α) . Matrica koeficijenata A je singularna sa ind(A) = 1, dok je matrica |A| regularna sa ind(|A|) = 0. Resˇenja se dobijaju upotrebom grupnog inverza singularne matrice A, cˇiji je indeks 1. Grupni inverz matrice A je oblika: N = A] =  1.5 0.5 0 −3.5 −1 0.5 −0.5 0 0.5  , 94 pa, sledi da je X˜∗: x˜∗1 = (−26.5 + 25α, 25− 26.5α ), x˜∗2 = (−68.5 + 68α, 68− 68.5α ), x˜∗3 = (−18.5 + 15α, 15− 18.5α ). Resˇenje familije klasicˇnih linearnih sistema AΛ = 0 je Λ = (2f(α),−6f(α), 2f(α))T , f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1]. F∗ (zavisi od X˜∗) oznacˇava klasu funkcija na jedinicˇnim intervalom y = f(α), takvih da adekvatne funkcije x∗Λ i x∗Λ su ogranicˇene nerastuc´e, odnosno neopadajuc´e, levo-neprekidne funkcije, za svako i = 1, . . . , n. Sledi: x˜∗Λ1 = (−26.5 + 25α + f(α), 25− 26.5α + f(α) ), x˜∗Λ2 = (−68.5 + 68α− 3f(α), 68− 68.5α− 3f(α) ), x˜∗Λ3 = (−18.5 + 15α + f(α), 15− 18.5α + f(α) ). Za svako Λ i α ∈ [0, 1], dobija se W = (33.5 − 33.5α, 103 − 103α , 121 − 121α)T , α ∈ [0, 1]. Sledec´a familija klasicˇnih linearnih sistema: θ1(α) + θ3(α) = 33.5− 33.5α θ1(α) + θ2(α) + 2θ3(α) = 103− 103α 3θ1(α) + θ2(α) = 121− 121α , ima jedinstveno resˇenje Θ = (21.25 − 21.25α, 57.25 − 57.25α, 12.25 − 12.25α)T , za α ∈ [0, 1]. Skup resˇenja SS ovog FLS-a ima beskonacˇno mnogo resˇenja X˜ = (x˜1, x˜2, x˜3) T ∈ SS, za f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1], dato u obliku: x˜1 = (−5.25 + 3.75α + f(α), 3.75− 5.25α + f(α)) ), x˜2 = (−11.25 + 10.75α− 3f(α), 10.75− 11.25α− 3f(α) ), x˜3 = (−6.25 + 2.75α + f(α), 2.75− 6.75α + f(α) ). Na primer, ako se uzme da je Λ = (0.5(1 + α), −1.5(1 + α), 0.5(1 + α))T , α ∈ [0, 1], resˇenje X˜ = (x˜1, x˜2, x˜3) T (pogledati Sliku 9) je dato sa: x˜1 = (−5 + 4α, 4− 5α ), x˜2 = (−12 + 10α, 10− 12α ), x˜3 = (−6 + 3α, 3− 6α ). 95 Slika 9: Primer 23 Primer 24. [33] Dat je sledec´i FLS: −2x˜1 + x˜2 = (−1 + 3α, 3− α) 4x˜1 − 2x˜2 = (−6 + 2α, 2− 6α) . Obe matrice A i |A| su singularne sa ind(A) = ind(|A|) = 1. Znacˇi da je matrica koefi- cijenata A kompletno singularna. U ovom primeru za odred¯ivanje resˇenja upotrebic´emo Moore-Penroseov inverz singularne matrice A, koji je oblika: M = A† =  −0.08 0.16 0.04 −0.08  . Dobijamo da je X˜∗ = ((−1.2 + 0.4α, 0.4− 1.2α ) , (−0.2 + 0.6α, 0.6− 0.2α ))T , pri- menom Algoritma 3, Korak 1. Korak 2 nam daje Λ = (2f(α), 4f(α))T , f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1], pa je X˜∗Λ = (x˜∗Λ1 , x˜∗Λ2 )T , odnosno: x˜∗Λ1 = (−1.2 + 0.4α + f(α), 0.4− 1.2α + f(α)) , x˜∗Λ2 = (−0.2 + 0.6α + 2f(α), 0.6− 0.2α + 2f(α) ) . Korak 3 daje W = (0, 0)T , α ∈ [0, 1], sˇto znacˇi da je dobijeno X˜∗ resˇenje datog FLS- a, i da je, takod¯e, X˜∗Λ, za svako Λ = (2f(α), 4f(α))T , f(α) ∈ F∗, α ∈ [0, 1]. Na 96 kraju, primenom Koraka 4, dobijaju se sva resˇenja |A|Θ = W , Θ = (g(α),−2g(α))T , α ∈ [0, 1], gde je g(α), α ∈ [0, 1], proizvoljna funkcija na jedinicˇnom intervalu. Za svako Λ i α ∈ [0, 1], zahteva se da g(α) ∈ F∗Λ, (F∗Λ, α ∈ [0, 1], zavisi od X˜∗Λ), i da za svako α ∈ [0, 1] ispunjena dodatna potrebna ogranicˇenja: θ1(α) ≤ x ∗Λ 1 − x∗Λ1 2 = x∗1(α)− x∗1(α) 2 = 0.8(1− α), θ2(α) ≤ x ∗Λ 2 − x∗Λ2 2 = x∗2(α)− x∗2(α) 2 = 0.4(1− α). Kako je θ2(α) = −2θ1(α), α ∈ [0, 1], sledi 0.2α − 0.2 ≤ θ1(α) ≤ 0.8 − 0.8α, za sva α ∈ [0, 1]. Na kraju, dobija se X˜ = ( x˜1, x˜2)T ∈ SS, gde je f(α) ∈ F∗, g(α) ∈ F∗Λ, α ∈ [0, 1], i 0.2α− 0.2 ≤ g(α) ≤ −0.8α + 0.8, za svako α ∈ [0, 1]: x˜1 = (−1.2 + 0.4α + f(α) + g(α), 0.4− 1.2α + f(α)− g(α)) , x˜2 = (−0.2 + 0.6α + 2f(α)− 2g(α), 0.6− 0.2α + 2f(α) + 2g(α) ) . Na primer, za dopustivo f(α) = −0.15α i g(α) = −0.1 + 0.1α, α ∈ [0, 1], dobija se resˇenje: X˜ = ((−1.3 + 0.35α, 0.5− 1.45α ), (0.1α, 0.4− 0.3α))T . Primer 25. [29] Posmatrajmo sledec´i fazi linearni sistem: x˜1 − x˜2 = (−4 + 3α, 2− 3α) x˜1 − x˜2 = (−4 + 3α, 2− 3α) Matrice A i |A| su singularne, s’tim da je ind(A) = 2 i ind(|A|) = 1. Matrice A i |A| su: A =  1 −1 1 −1  , |A| =  1 1 1 1  . U Tabeli 1 dati su grupni inverz, Drazinov inverz , Moore-Penroseov inverz i bilo koji uopsˇteni {1}-inverz ovih matrica. U Tabela 1, kolona F (1), predstavlja uopsˇteni {1}- inverz matrice A i matrice |A|, koji se dobija pomoc´u Teoreme 10. Prema Algoritmu 3, da bismo resˇili pocˇetni FLS potrebno je da odredimo uopsˇteni inverz matrice A. Na primer, ako uzmemo da su a = 0, b = −2 i c = 2 dobic´emo uopsˇteni {1}- inverz matrice A oblika: 97 F F ] F♦ F † F (1) A, ind(A) = 2 −−  0 0 0 0   14 14 −1 4 −1 4   1− a+ b+ c a b c  , a, b, c ∈ R |A|, ind(A) = 1  14 14 1 4 1 4   14 14 1 4 1 4   14 14 1 4 1 4   1− a− b− c a b c  , a, b, c ∈ R Tabela 1: Uopsˇteni inverzi matrica A i |A| A(1) =  1 0 −2 2  . Prema Algoritmu 3 sledi: x˜∗1 = (−4 + 3α, 2− 3α ), x˜∗2 = (−12 + 12α, 12− 12α ). Resˇenje familije sistema AΛ = 0 je Λ = (2f(α), 2f(α))T , f(α) ∈ F ∗, α ∈ [0, 1], gde F∗ (zavisi od X˜∗) obelezˇava klasu funkcija na jedinicˇnom intervalu y = f(α), takvih da adekvatne funkcije x∗Λ i x∗Λ su ogranicˇene nerastuc´e, odnosno neopadajuc´e, levo-neprekidne funkcije, za svako i = 1, . . . , n. Sledi: x˜∗Λ1 = (−4 + 3α + f(α), 2− 3α + f(α) ), x˜∗Λ2 = (−12 + 12α + f(α), 12− 12α + f(α) ). Za svako Λ i α ∈ [0, 1] dobijamo: w1(α) = 12− 12α, w2(α) = 12− 12α. Sledec´i familija sistema: θ1(α) + θ2(α) = 12− 12α θ1(α) + θ2(α) = 12− 12α . 98 ima beskonacˇno mnogo resˇenja Θ = (g(α), 12 − 12α − g(α))T , α ∈ [0, 1], gde je g(α) proizvoljna funkcija na jedinicˇnom intervalu. Za svako Λ zahteva se da g(α) ∈ F∗Λ (F∗Λ zavisi od X˜∗Λ), α ∈ [0, 1], ispunjava dodatna ogranicˇenja: θ1(α) ≤ x ∗Λ 1 − x∗Λ1 2 = x∗1(α)− x∗1(α) 2 = 3(1− α), θ2(α) ≤ x ∗Λ 2 − x∗Λ2 2 = x∗2(α)− x∗2(α) 2 = 12(1− α). Na kraju dobijamo X˜ = ( x˜1, x˜2) T ∈ SS, gde je f(α) ∈ F∗, g(α) ∈ F∗Λ, i 0 ≤ g(α) ≤ 3− 3α, za svako α ∈ [0, 1]: x˜1 = (−4 + 3α + f(α) + g(α), 2− 3α + f(α)− g(α)) , x˜2 = (f(α)− g(α), f(α) + g(α) ) . Na primer, za dopustivo f(α) = 1 i g(α) = 2− 2α, α ∈ [0, 1], dobijamo: x˜1 = (−1 + α, 1− α ), x˜2 = (−1 + 2α, 3− 2α ). 99 POGLAVLJE V 5. ZAKLJUCˇAK Glavni doprinos ove doktorske disertacije jeste formulacija precizne i efikasne metode na osnovu koje se mozˇe resˇiti bilo koji konzistentan fazi linearni sistem. U slucˇaju singularnosti fazi linearnog sistema, za resˇavanje istog upotrebljavaju se uopsˇteni inverzi matrice. U ovoj disertaciji, prestavljena je originalna metoda za resˇavanje pravougaonih fazi linearnih sistema, cˇija je matrica koeficijenata proizvoljna i realna matrica, upotrebom Moore-Penroseovog inverza matrice. Takod¯e, prezento- vana je i metoda za resˇavanje kvadratnih fazi linearnih sistema, koja, u odred¯enim slucˇajevima, mozˇe da koristi grupni inverz matrice, koji je u tim slucˇajevima jed- nak Drazinovom inverzu matrice ili jednostavno proizvoljni uopsˇteni {1}-inverz ma- trice. Predstavljena je originalna metoda i dat potreban i dovoljan uslov za postojanje resˇenja fazi linearnog sistema, kao i tacˇna algebarska forma opsˇteg resˇenja. Uz prilozˇeni algoritam i brojne numericˇke primere ilustrovali smo efikasnost ove metode. 100 Bibliografija [1] S. Abbasbandy, M. Alavi, A method for solving fuzzy linear systems, Iranian Journal of Fuzzy Systems, 2, 37–43, 2005. [2] S. Abbasbandy, M. Otadi, M. Mosleh, Minimal solution of general dual fuzzy linear systems, Chaos, Solitions and Fractals. 37, 1113–1124, 2008. [3] T. Allahviranlo, A comment on fuzzy linear systems (Discussion), Fuzzy Sets and Systems, 140, pp:559, 2003. [4] T. Allahviranlo, Numerical methods for fuzzy systems of linear equations, Applied Mathematics and Computation. 155, 493–502, 2004. [5] T. Allahviranlo, M.A. Kermani, Solution of a fuzzy system of linear equation, Applied Mathematics and Computation. 175, 519–531, 2006. [6] T. Allahviranlo, M. Ghanbari, A.A. Hosseinzadeh, E. Haghi, R. Nuraei, A note on Fuzzy linear systems, Fuzzy Sets and Syst. 177, 87–92, 2011. [7] T. Allahviranlo, M. Ghanbari, On the algebraic solution of fuzzy linear systems based on interval theory, Applied Mathematical Modelling. 36, 5360–5379, 2012. [8] B. Asady, S. Abbasbandy, M. Alavi, Fuzzy general linear systems, Applied Math- ematics and Computation. 169, 34–40, 2005. [9] A. Ben-Israel, T.N.E. Greville, Generalized Inverses, Theory and Applications, Springer, New York, 2003. [10] J.J. Buckley, Y. Qu, Solving systems of linear fuzzy equations, Fuzzy Sets and Systems 43, 33–43, 1991. [11] S.L. Cambell, C.D. Meyer, Inverses of Linear Transformations, Siam, Philadel- phia, 2009. [12] S.L. Cambell, Some Remarks on EP Matrices and Generalized Inverses, Linear Algebra and Its Applications, 3, 275–278, 1970. 101 [13] J.G. Dijkman, H. van Haering, S.J. de Lange, Fuzzy numbers, Journal of Mathe- matical Analysis and Applications, 92(2), 301–341, 1983. [14] D. Dubois, H. Prade, Operation on fuzzy numbers, Internat. J. of Systems Sci., 9, 613–626, 1978. [15] D. Dubois, H. Prade, Fuzzy Sets and Systems: Theory and Applications, Aca- demic Press, New York, 1980. [16] D. Dubois, H. Prade, Fundamentals of Fuzzy sets, The Handbooks of Fuzzy Sets Series, vol. 1, Kluwer Academic Publishers, 2000. [17] G. Golub, W. Kahan, Calculating the singular values and pseudo-inverse of ma- trix, J. SIAM Numer. Anal., Ser. B, 2(2), 205–224, 1965. [18] R. Goetshe, W. Voxman, Topological properties of fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems, 10, 87–99, 1983. [19] R. Ezzati, Solving fuzzy linear systems, Soft. Comput. 15, 193–197, 2011. [20] M. Friedman, M. Ming, A. Kandel, Fuzzy linear systems, Fuzzy Sets and Syst. 96, 201–209, 1998. [21] M. Friedman, M. Ming, A. Kandel, Author’s replay (Discussion), Fuzzy Sets and Systems 140, pp: 561, 2003. [22] I. Jovovic´, B. Malesˇevic´, A note of solutions of the matrix equations AXB=C, Scientific Publications of the State University of Novi Pazar, ser. A: Appl.Math.Inform. and Mech., 6, 45–55, 2014. [23] G.J. Klir, B. Yuan, Fuzzy sets and fuzzy logic-Theory and Applications, Pretice Hall, New Jersey, 1995. [24] W.A. Lodwick, D. Dubois, Interval linear systems as a necessary step in fuzzy linear systems, Fuzzy Sets and Syst. 281, 227–251, 2015. [25] B. Malesevic´, Grupna funkcionalna jednacˇina (magistarski rad). Matematicˇki fakultet, Univerzitet u Beogradu, 1998. 102 [26] B. Malesevic´, I.Jovovic´, M.Makragic´, B.Radicic´, A note on solutions of linear systems, ISNR ALgebra, ISSN:2090-6293, Article ID 142124, 1–6, 2013. [27] B. Malesˇevic´, B. Mihailovic´, V. Miler Jerkovic´, Metode resˇavanja nesingularnih fazi linearnih sistema, The second Conference on Mathematics in Engineering: Theory and Applications, 110–116, Novi Sad, June 23-24th 2017. ISBN 978-86- 7892-945-8. [28] B. Mihailovic´, V. Miler Jerkovic´, B. Malesˇevic´, Solving fuzzy linear systems using a block reprezentation of generalized inverses: The Moore-Penrose in- verse, Fuzzy Sets and Systems, accepted, Available online 10 November 2017. DOI:10.1016/j.fss.2017.11.007. [29] B. Mihailovic´, V. Miler Jerkovic´, B. Malesˇevic´, Solving Fuzzy Linear Systems using a Block Representation of Generalized Inverses: The Group Inverse, Fuzzy Sets and Systems, on revision. [30] V. Miler Jerkovic´, B. Malesˇevic´, Block representation of generalized inverses of matrices, Proceedings of the fifth Symposium ”Mathematics and applications”, or- ganized by Faculty of Mathematics, University of Belgrade and Serbian Academy of Sciences and Arts, 1, 176–185, 2014. [31] V. Miler Jerkovic´, M. Jankovic´, B. Banjac, B. Malesˇevic´, B. Mihailovic´, Appli- cations of the generalized {1,4} inverse in restoration of blurred images, The 5th ICGG Conference MoNGeomentrija 2016, 62–68, Belgrade 23-26 June 2016. ISBN 978-86-7466-613-5 [32] V. Miler Jerkovic´, M. Jankovic´, B. Malesˇevic´, B. Mihailovic´, Solving Fuzzy Linear Systems with EP matrix using a block representation of generalized inverses, 13th Symposium on Neurel Networks and Applications (NEUREL), Belgrade Novem- ber 22-26, 2016. ISBN 978-1-5090-1530-6/16. [33] V. Miler Jerkovic´, B. Mihailovic´, B. Malesˇevic´, A new method for solving square fuzzy linear systems, EUSFLAT 2017, The 10th Conference of the European 103 Society for Fuzzy Logic and Technology, 278–289, Warsaw, Poland, September 11-15, 2017. DOI 10.1007/978-3-319-66824-6 25. [34] E. H. Moore, On the reciprocal of the general algebraic matrix, Bulletin of the American Mathematical Society, 26, 394–395, 1920. [35] H.T. Nguyen, B. Wu, Fundamentals of Statistics with Fuzzy Data, Springer Berlin Heidelberg, 2006. [36] M. Nikuie, Singular fuzzy linear systems, App. Math. and Comp. Intel. 2, 157–168, 2013. [37] M. Otadi, M. Mosleh, Minimal solution of fuzzy linear systems, Iranian Journal of Fuzzy Systems. 12, 89–99, 2015. [38] M.H. Pearl, On normal and EPr matrices, Mich. Math. J., 8, 1–5, 1959. [39] M.H. Pearl, On normal and EPr matrices, Mich. Math. J., 8, 33–37, 1961. [40] M.H. Pearl, On generalized inverses of matrices, Proc. Camb. Philos. Soc., 62, 673–677, 1966. [41] R. Penrose, A generalized inverses for matrices, Mathematical Proccedings of the Cambridge Philosophical Society, 51, 406–413, 1955. [42] V. Peric´, Generalizirana reciproka matrice (in Serbo-Croatian), Matematika (Za- greb), 11, 40—57, 1982. [43] S.S. Rao, L. Chen, Numerical solution of fuzzy linear equations in engineering analysis, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 43(3), 391– 408, 1998. [44] C.A. Rohde, Contribution of the theory, computation and application of general- ized inverses (PhD disserattion), University of North Carolina at Releigh, 1964. [45] R. Saikia, D. Sarma, A Case study on an Economic problem by using Fuzzy linear Equations,IJSRSET, 1(6), 391–394, 2015. 104 [46] H. Schwerdtfeger, Introduce to linear algebra and theory of matrices, Groningen, 1950. [47] L.A. Zadeh, Fuzzy sets, Information and control, 8(3), 338–353, 1965. [48] H.J. Zimmermann, Fuzzy set theory and its applications, Kluwer Academic Pub- lishers, 1992. [49] K. Wang, B. Zheng, Incosistent fuzzy linear systems, Applied Mathematics and Computation. 181, 973–981, 2006. 105