UNIVERZITET U BEOGRADU
MATEMATIČKI FAKULTET
 
Beograd, MMXVI
Miloljub Albijanić
APSTRAKCIJA I PRIMENA 
MATEMATIČKE ANALIZE U NASTAVI
NA TEHNIČKIM FAKULTETIMA
DOKTORSKA DISERTACIJA
UNIVERSITY OF BELGRADE
FACULTY OF MATHEMATICS
 
Belgrade, MMXVI
Miloljub Albijanić
ABSTRACTION AND APPLICATION OF  
MATHEMATICAL ANALYSIS IN TEACHING 
ON TECHNICAL FACULTIES
DOCTORAL DISSERTATION
PODACI O MENTORU I ČLANOVIMA KOMISIJE
Mentor
prof. dr Miodrag Mateljević,
redovni profesor Matematičkog fakulteta u Beogradu i
dopisni član SANU
Datum odbrane
Članovi komisije
prof. dr Miodrag Mateljević,
redovni profesor Matematičkog fakulteta u Beogradu i
dopisni član SANU
prof. dr Gradimir Milovanović
redovni član SANU
prof. dr Miloš Arsenović
redovni profesor Matematičkog fakulteta u Beogradu
SADR ˇZAJ
REZIME v
RESUME vi
UVOD vii
1. ELEMENTI FILOZOFIJE MATEMATIKE 1
1.1. Pismo i logos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Pitagorina sˇkola, priroda i broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Platonova Akademija i Aristotelov Likeion . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Aksiomatsko i deduktivno zasnivanje geometrije . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5. Apstrakcija i primena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1. Pojam apstrakcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2. Tri sˇkole matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.3. Intuicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.4. Primena matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.5. Matematika i kultura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2. ELEMENTI MATEMATI ˇCKE ANALIZE NA TEHNI ˇCKIM
FAKULTETIMA 26
2.1. Program matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima . . . . . . . . . . . 26
2.1.1. Uporedivanje kurikuluma Univerziteta u Berlinu sa elektrotehnicˇkim
fakultetima u Srbiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.2. Uporedivanje kurikuluma Univerziteta u ˇStutgartu sa tehnicˇkim
fakultetima u Srbiji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Elementi matematicˇke analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1. Matematicˇka logika i skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Sadrzˇaj iii
2.2.2. Matematicˇka indukcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3. Funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.4. Dekartov pravougli koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.5. Kompleksni brojevi i kompleksna ravan . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.6. Trigonometrijske funkcije i polarne koordinate . . . . . . . . . . . . 60
2.2.7. Polarne koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.8. Granicˇni procesi i primene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.9. Velikani teorije i primene – Njutn i Lajbnic . . . . . . . . . . . . . . 97
3. EMPIRIJSKO ISTRA ˇZIVANJE I REˇSAVANJE ZADATAKA 106
3.1. Analiza upitnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.1. O nastavi matematike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.1.2. Metodologija istrazˇivanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.3. Osnovni nalazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.4. Diskusija nalaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.1.5. Zakljucˇak i preporuke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.2. Analiza testa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.2.1. Racˇunanje i rezonovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2.2. Analiza resˇavanja zadataka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.2.3. Diskusija nalaza i zakljucˇak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4. PET TEMA IZ MATEMATI ˇCKE ANALIZE 154
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1.1. Jensenova nejednakost i drugi problemi . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.2. Tejlorova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.2.1. Tejlor-Lagranzˇova jednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.2.2. Ojlerova formula i trigonometrijske funkcije . . . . . . . . . . . . . 194
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure . . . . . . . . . . . 196
4.3.1. Njutn–Lajbnicova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.3.2. Tejlorova formula sa ostatkom u obliku integrala . . . . . . . . . . . 204
4.4. Furijeovi redovi i primene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.4.1. Konvergencija u L2 normi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.4.2. Ravnomerna konvergencija Furijeovih redova . . . . . . . . . . . . 230
4.4.3. Uvod u Furijeove transformacije i granicˇne probleme . . . . . . . . 232
4.4.4. Jednacˇina treperenja zˇice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Sadrzˇaj iv
4.4.5. Definicija Furijeovog reda i primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.5.1. Dve primene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5. PREDLOZI INOVACIJA U NASTAVI MATEMATI ˇCKE ANALIZE NA
TEHNI ˇCKIM FAKULTETIMA I ZAKLJU ˇCNA RAZMATRANJA 260
5.1. Rezultati istrazˇivanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.2. Predlozi i inovacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.2.1. Planiranje nastave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
5.2.2. Pazˇnja, belesˇke i postavljanje pitanja . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.2.3. Stvaralacˇka memorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.2.4. Graficˇko predstavljanje i inteligentni pogled . . . . . . . . . . . . . 265
5.2.5. Dobro predavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.2.6. Nastavna sredstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.3. Zavrsˇna recˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
LITERATURA 275
MILOLJUB ALBIJANI ´C – BIOGRAFIJA 281
IZBOR IZ BIBLIOGRAFIJE RADOVA 282
PRILOZI 283
REZIME
Osnovni koncept rada jeste povezanost apstraktne teorije i primenjene matematicˇke analize
u univerzalnom matematicˇkom sistemu. Matematika je dozˇivela veliku prakticˇnu primenu, na
primer, primenu matematicˇke statistike, numericˇke analize, primene u elektrotehnici, doprinos
razvoju racˇunarstva i dr. Istovremeno, u naucˇnom pogledu, uzdigla se do nesluc´enih apstrakcija
(topolosˇki prostori, vektorski prostori i drugo). Zbog ovih cˇinjenica neophodno je unapredivati
nastavu matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima ali i same metode nastave.
Rad sadrzˇi teorijsko i empirijsko istrazˇivanje. Teorijsko istrazˇivanje rasvetljava pojmove
apstrakcije i primene i daje primere iz sledec´ih nastavnih tema: Lagranzˇova teorema, konveksnost
i posledice; Tejlorova formula; Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure; Furijeovi
redovi i primene; Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene. Empirijsko istrazˇivanje sastoji se
iz dva dela: upitnika i testa. Ovo istrazˇivanje otkriva kako odnos teorije i primene dozˇivljavaju
studenti, kako vide nastavu matematike i koja nastavna sredstva koriste. Istrazˇivanje otkriva i
kako studenti resˇavaju jednostavne probleme i koju vrstu zadataka uspesˇnije resˇavaju.
Uzorak cˇini 429 studenata elektrotehnike, gradevine i masˇinstva za Upitnik i 450 studenata
istih fakulteta za Test. Studenti koji su ucˇestvovali u istrazˇivanju pohadaju Univerzitet u Beogradu,
Univerzitet u Novom Sadu i Univerzitet u Nisˇu.
Rezultati istrazˇivanja su potvrdili da studenti tehnicˇkih fakulteta imaju pozitivan odnos
prema matematici i da njen znacˇaj vide kroz primenu, odnosno njenu upotrebnu vrednost. Studenti
imaju jasno definisane stavove o tome da je dobro predavanje nastavnika ono koje je razumljivo,
razgovetno i koje motivisˇe studente da u njemu ucˇestvuju. Isticˇu znacˇaj primera koji imaju ele-
mente primene. Vizuelna prezentacija povec´ava uspesˇnost resˇavanja zadataka. Istrazˇivanje poka-
zuje da studenti nisu stekli vesˇtinu da znanje iz matematicˇke analize primene u resˇavanju zadataka
i problema.
Teorijskim rasvetljavanjem pojmova apstrakcije i primene, a zatim prikazom pet tema mate-
maticˇke analize, potvrdeno je da su apstraktna teorija i primenjena matematicˇka analiza medusobno
povezane i objedinjene u univerzalnom matematicˇkom sistemu.
Na osnovu nalaza formulisane su preporuke koje se odnose na inovativne pristupe u nastavi
kao sˇto su planiranje nastave i unapredivanje sadrzˇaja, postavljanje pitanja, inteligentni pogled,
poboljsˇanje predavanja i korisˇc´enje nastavnih sredstava.
Na ovaj nacˇin potvrduje se da metodicˇki dobro postavljena nastava pomazˇe boljem razume-
vanju odnosa izmedu apstrakcije i primene matematicˇke analize.
Kljucˇne recˇi: Matematicˇka analiza, nastava, apstrakcija, primena, Lagranzˇova teorema, kon-
veksnost, Furijeovi redovi, fiksna tacˇka.
RESUME
The main concept of this thesis is the connection of abstract theory and applied mathemati-
cal analysis in the universal mathematical system. The Mathematics is being applied practically in
great number of cases, for example, in the application of mathematical statistics, numerical analysis,
application in electrical engineering, contribution to computer developing etc. At the same time, in
scientific perspective, it reached the level of incredible abstractions (topological spaces, vector spaces
et al.). Due to these facts, it has become necessary to advance the teaching of mathematical analysis in
technological universities, but also the very methods of teaching as well.
This thesis contains both a theoretical and an empirical research. The theoretical research sheds
light onto the notions of abstraction and application and gives examples from next teaching subjects:
Lagrange’s Theorem, Convexity and Consequences. Taylor’s Formula. Hardy’s Approach to Calcula-
ting Surfaces of Flat Shapes. Fourier’s Series and their Application. Banach Fixed-Point Theorem and
its’ Application. The empirical research consists of two parts: a questionnaire and a test. This research
shows how the relation between theory and application is seen by students, how they perceive the teac-
hing of mathematics and which learning instruments they use. The research also shows how students
solve simple problems and which type of problems they solve more sucessfully.
The sample consists of 429 students of electrical engineering, construction and mechanical en-
gineering for the Questionnaire and 450 students of the same universities for the Test. Students that
participated in the research are studying at the University of Belgrade, University of Novi Sad and
University of Nisˇ.
The results of the research confirmed that students from technological universities have a favo-
urable attitude towards mathematics and that they see its significance in its application, i.e. in its use
value. Students have clearly defined attitude on the idea that a good lecture by a professor is one which
can be understood, which is well articulated, and which motivates students to take part in it. They point
out the significance of examples that have elements of application. Visual presentations also enhance
the success in solving problems. The research shows that students did not acquire the skill to apply
their knowledge of mathematical analysis in solving tasks and problems.
Theoretical clarification of notions of abstraction and application, followed by a displayfive to-
pics of mathematical analysis confirm that abstract theory and applied mathematical analysis are in-
terconnected and conjoint in the universal mathematical system.
On the basis of results recommendations are defined concerning innovational approaches to
teaching, such as planning the lectures and meliorating the contents, asking questions, and also an
intelligent prospect, lecture improvement and learning instruments application.
This way, it is confirmed that a methodically well organized lecture helps a better understanding
of the relation between abstraction and application of mathematical analysis.
Key words: mathematical analysis, lectures, abstraction, application, Lagrange’s theorem conve-
xity, Fourier’s series, fixed point.
UVOD
U dvadesetom veku matematika je imala veliku primenu – matematicˇka statistika,
racˇunari, primene u elektrotehnici, pa sve do telekomunikacija i svemirskih letelica. Sa
druge strane, isti period obelezˇen je apstrakcijom kakvu svet nije video. Na primer vektor-
ski i topolosˇki prostori. Podrucˇja gde se izmene u nastavi relativno brzo prate (ili bi tako
trebalo da bude) jesu, na primer, tehnicˇke i medicinske nauke. Zaostajanje u tim obla-
stima znacˇi manje moguc´nosti primene u ocˇuvanju zdravlja ili zˇivota ljudi. Modernizacija
tehnologije zahteva hitnu modernizaciju fundamentalnih nauka, odnosno matematike i
egzaktnih i prirodnih nauka. Tako nas put vodi ka modernizaciji i same nastave.
Problem istrazˇivanja predstavlja procena na koji nacˇin apstraktna matematicˇka teo-
rija uticˇe na primenu i kako se nastava mozˇe oplemeniti i unaprediti razumevanjem ovih
pojmova. Predmet istrazˇivanja je nastava matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima
– odnosno elektrotehnicˇkim, gradevinskim i masˇinskim fakultetima u Srbiji. Istrazˇivanje
odnosa izmedu apstrakcije i primene matematicˇke analize veoma je znacˇajno, aktuelno
i interesantno jer obuhvata teorijski pristup i razjasˇnjavanje pomenutih pojmova, zatim
neposredan uvid u nacˇin izvodenja nastave. Istrazˇivanje mozˇe da doprinese poboljsˇanju
izvodenja nastave i primene matematicˇke analize u nastavi.
Rad je utemeljen na dosadasˇnjim dostignuc´ima naucˇnih stvaralaca.
Dekart je na velicˇanstven nacˇin povezao geometriju i algebru. Ideja uvodenja koor-
dinata kojima se predstavljaju parovi brojeva otvorila je moguc´nost crtanja grafika funk-
cija. U nastavi to je danas najbolji nacˇin vizualizacije teorije. Dekart smatra da je istina
ono sˇto mi shvatimo vrlo jasno i vrlo razgovetno. Otuda i njegov prvi princip filozofije
mislim, dakle jesam (R. Dekart, 1636, Rasprava o metodi sa dodatkom Geometrija).
Slavni matematicˇari, Njutn i Lajbnic, podarili su cˇovecˇanstvu infinitezimalni racˇun,
diferenciranje i integraciju, cˇiji zajednicˇki naziv je kalkulus. Diferenciranje pogodne krive
koje dovodi do vrednosti nagiba te krive a integracija do povrsˇine ispod te krive donose
veliki matematicˇki napredak. Njutn je svoje rezultate opisao u rukopisu De Methodis Se-
rierum Fluksonum 1671, ali ga objavljuje tek 1711. Lajbnic svoje otkric´e objavljuje u
Uvod viii
delu Nova Methodus pro Maximis et Minimis, 1684. ˇCinjenice da su istovremeno dosˇli
do otkric´a, a nezavisno jedna od drugog govori u prilog stavu Platonista da u prirodi sve
postoji samo josˇ nije otkriveno. Na ovaj nacˇin izgraden je temelj moderne matematicˇke
analize. Dalji razvoj teorije matematike uzdigao se u nesluc´ene apstraktne visine ali i pri-
mene. Diferencijalni i integralni racˇun su temelj i ovog rada. Pisanje matematicˇkog teksta
zahteva jednostavne simbole, a Lajbnic nam je podario oznake d za diferencijale i

za
integrale. Njegove recˇi to jasno saopsˇtavaju. ,,Sve visˇe sam uveren u korisnost i ozbiljnost
ove opsˇte nauke i vidim da je vrlo malo ljudi shvatilo njene razmere. Ta se karakteristika
sastoji od odredenog pisma ili jezika. Neznalica nec´e moc´i da upotrebljava to pismo ili c´e
u pokusˇaju da se njime sluzˇi postati ucˇen“.
Kako je rekao Kant, lepota je najvisˇe dobro. Ta recˇenica me je posebno inspirisala
da razmisˇljam o matematicˇkoj apstrakciji i primeni koja sadrzˇi svoju unutrasˇnju lepotu,
sklad i harmoniju. ˇCesto sam postavljao pitanje, koju teoremu mozˇemo smatrati lepom?
Smatram da Lagranzˇovu teoremu krasi lepota. Ako se posmatra zajedno niz teorema:
Rolova – Lagranzˇova – Tejlorova dozˇivljava se jedan objektivan osec´aj matematicˇkog uz-
dizanja. Kod prve, u odredenoj tacˇki, prava paralelna x-osi dodiruje krivu. Kod druge, to je
opsˇtije, prava paralelna secˇici dodiruje krivu i kod trec´e, josˇ opsˇtije, kriva dodiruje drugu
krivu. Radi se o jednom elegantnom nizu generalizacija, a tema su dodiri. Lagranzˇova
teorema daje i izuzetnu vizuelnu predstavu. O lepoti neke teoreme mozˇe suditi samo onaj
matematicˇar cˇije je znanje i razumevanje visoko iznad iskaza teoreme, jer lepota se uzdizˇe
i otkriva iznad znanja i razumevanja. Ovde valja dodati da je sam Lagranzˇ, bez obzira na
veliko deo i slavu bio skroman, blagorodan i prijatan cˇovek. Posebnu inspiraciju za dublje
izucˇavanje teorema diferencijalnog racˇuna stekao sam u toku cˇitanja knjige Les Structures
Fondamentales de L’analyse, livre IV, Fonctions D’une Variable R’eelle, koju su napisali
N. Bourbaki, cˇuvena grupa francuskih matematicˇara, poznata pod pseudonimom Burba-
kisti. Po mom misˇljenju to je i najbolja knjiga iz serije, koju je ova cˇuvena grupa napisala.
Problemi koji su resˇeni u radu delom su formulisani u ovoj knjizi. Valja istac´i da je in-
teresovanje za integralni oblik ostatka kod Tejlorovog polinoma nastalo cˇitanjem ovog
dela.
Matematicˇki tekst koji je napisan jednostavno i jasno laksˇe se cˇita i razume. U tom
smislu uzor je bio Hardi, profesor matematike na Univerzitetu Kembridzˇ, i njegovo delo
A Course of Pure Mathematics (1945). Jednostavni pedagosˇki pristup na mene je osta-
vio trajni uticaj. Hardi o lepoti matematike kazˇe: Matematicˇar je, kao i slikar ili pesnik,
kreator modela. . . Matematicˇki modeli moraju biti lepi.
Prilikom razmisˇljanja o apstrakciji i primeni matematicˇke analize vazˇno je istac´i
primer koji ove pojmove ilustruje. Furije i njegovo delo The´orie Analytique de la Cha-
leur iz 1822, postali su izvor svih savremenih metoda matematicˇke fizike, koje se odnose
na resˇavanje parcijalnih jednacˇina pri datim uslovima. On je ustanovio da se odredena
funkcija mozˇe izraziti trigonometrijskim redom. Apstraktno uzdizanje teorije Furijeovih
Uvod ix
redova ali i primene izvodenjem jednacˇine zˇice koja treperi prenose nam A. Deitmar,
2004, A First Cource in Harmonic Analysis; Stein E., Rami Shakarchi, 2002, Fourier
Analysis, an introduction, Princeton University Press i А. Н. Тихонов, А. А. Самар-
ский, 1977, Уравнения математической физики. Naizgled apstraktna teorija potekla
je od fizicˇkog problema i pokazuje nam cˇvrstu povezanost matematike i prirode.
Vazˇnu ulogu u kreiranju stila pisanja podarili su mi Zoricˇ, Fihtengoljc i Kudrjav-
cev. Posebno isticˇem njihova dela: В. А. Зорич, Математический анализ, часть I и
II; Г. М. Фихтенгољьц, Курс диференциальното и интеграљьного исчиснения,
том I, II и III. Л. Д. Кудрявцев, Математический анализ, том I и II. Kod Zoricˇa
posebno dobro je obradena konveksnost a Fihtengolje me je naucˇio da obratim pazˇnju na
detalje.
Poseban uticaj na mene i inspiraciju za pisanje rada imali su matematicˇari Beograske
matematicˇke sˇkole. Kada procˇitate da je profesor Velike sˇkole Dimitrije Nesˇic´ studentima
prenosio ljubav prema predmetu, imao jasno izlaganje, usmeravao je pazˇnju, ucˇio ih da
razlikuju glavno od sporednog, uzˇiveo se u nauku koju je predavao onda vas nec´e izne-
naditi da je njegov naslednik Mihailo Petrovic´. Petrovic´ je doktorirao pred komisijom u
kojoj su bili Ermit, Pikar i Penleve. Slusˇao je predavanja kod Poenkarea. Svoje znanje pre-
neo je grupi naucˇnika koja je zatim doktorirala kod njega i tako nastaje Beogradska mate-
maticˇka sˇkola. To su Karamata, Pejovic´, Mitrinovic´ i mnogi drugi. Zbog toga sam zˇeleo
da u radu prikazˇem nejednakosti Petrovic´a i Karamate jer se odnose na konveksne funk-
cije kojima sam se bavio. Sa druge strane Petrovic´ se bavio diferencijalnim jednacˇinama
i primenama, a Karamata visˇe teorijskom matematikom sˇto je u skladu i sa temom ovog
rada.
Pripadnici Beogradske matematicˇke sˇkole danas, medu kojima su profesori Miodrag
Mateljevic´ (dopisni cˇlan SANU), Gradimir Milovanovic´ (redovni cˇlan SANU), Milosˇ Ar-
senovic´, Milosˇ ˇCanak, Jovan Vukmirovic´ i Dobrilo Tosˇic´, narocˇito su me motivisali da
pisˇem ovaj rad.
Profesor Miodrag Mateljevic´ osnovao je seminar i predvodio cˇuvenu grupu, za
koju pisˇe u knjizi posvec´enoj Larsu Alforsu u izdanju Americˇkog matematicˇkog drusˇtva:
,,Mnogo godina, sva poznata jedinstveno ekstremalna preslikavanja imala su oblik Teich-
muller-ovih preslikavanja ali sa kvadratnim diferencijalom koji u opsˇtem slucˇaju nije inte-
grabilan. U svom radu Grupa (koju je predvodio M. Mateljevic´), dramaticˇno je promenila
situaciju u ovoj oblasti.“1
Profesor Mateljevic´ je posvec´en naucˇnim radovima, seminaru, ali i metodici nastave
matematike. Uticao je na mene da se posvetim pedagosˇkom pristupu i detaljima kao sˇto
1 American Mathematical Society, University Lecture Series, Volume 38, Lectures on Quasiconformal
Mappings, Second Edition, Lars V. Ahlfors with additional chapters by C. J. Earle and I. Kra, M. Shishi-
kura, J. H. Hubbard.
Bozˇin. V., Lakic´. N., Markovic´. V., Mateljevic´, M., The unique extremality. Journal d’Analyse 75(1998),
pp 299-338.
Uvod x
su Uvodenje trigonometrijskih funkcija, Izoperimetrijska nejednakost, konveksnost, kom-
pleksne funkcije i dr. Posebno isticˇem knjige Kompleksna analiza, tom I i tom II. Mnogi
elementi zajednicˇkog rada utkani su u ovaj rad.
U okviru Beogradske matematicˇke sˇkole znacˇajno mesto zauzima i grupa okupljena
oko Dragoslava Mitrinovic´a. Tu posebno izdvajam profesore Gradimira Milovanovic´a
i Dobrila Tosˇic´a. Ako je grupa oko Matematicˇkog fakulteta usmerena visˇe na teoriju
za ovu grupu se mozˇe rec´i da je visˇe fokusirana na primenjenu matematiku. Moram da
naglasim da su me profesori Gradimir Milovanovic´ i Miodrag Mateljevic´ naucˇili kako se
pisˇe naucˇni rad, u duhu Mitrinovic´eve edicije: Uvodenje mladih u naucˇni rad. Oni su me
ohrabrili i podsticali da napisˇem i ovaj rad. U tom smislu, zˇelim da izdvojim knjigu G. V.
Milovanovic´a, Numericˇka analiza i teorija aproksimacija, monografija iz 2014.
Sa profesorom Dobrilom Tosˇic´em zajednicˇki sam napisao udzˇbenik Elementi dife-
rencijalnog i integralnog racˇuna 2012. godine. Nasˇa zajednicˇka saradnja odvija se u duhu
Njutnovih recˇi: posvec´enost ucˇenju i radu su najvec´e nade cˇovecˇanstva.
Profesor Milosˇ Arsenovic´ uputio me je u literaturu, na pristup i probleme koje su
razvijali Burbakisti. Njegovi pedagosˇki saveti su unapredili pisanje ovog rada, a njegov
rukopis sa problemima Burbakista doprineo je da ga detaljno proucˇim i resˇavam.
Profesor Jovan Vukmirovic´ mi je uzor od prvih studentskih dana. Razgovori koje
sam u toku izrade vodio sa njim prevazisˇli su dimenzije ovog rada. Narocˇito smo diskuto-
vali o Supremumu, Lagranzˇovoj teoremi, Nejednakostima i Fiksnoj tacˇki. Mnogo sam iz
ovih razgovora naucˇio. Njegov pedagosˇki princip je da se kroz zadatke predmet najbolje
naucˇi. Knjige koje su uticale na kvalitet rada su: J. Vukmirovic´, Matematicˇka analiza I,
zbirka zadataka i M. Asˇic´, J. Vukmirovic´, Zbirka zadataka iz matematicˇke analize II.
Profesor Milosˇ ˇCanak, sa svojim knjigama Matematika i muzika i Put u petu di-
menziju, uneo je dodatnu motivaciju da se bavim filozofijom matematike. Njega inspirisˇe
lepota matematike i uticao je da pojedine matematicˇke pojmove dozˇivim, na primer, Tej-
lorov polinom poredim sa stepenom dodira i bliskosti. U ovaj rad uneo je duh koji nose
magijske stepenice posvec´enja.
Na osnovu teorijskog istrazˇivanja odnosa izmedu apstrakcije i primene ocˇekuje se
pomak u razumevanju matematicˇkih pojmova i njihove prakticˇne primene. Studenti su
svojim odgovorima, u okviru empirijskog istrazˇivanja, oznacˇili i probleme u procesu
izvodenja nastave i metodicˇkom pristupu. Resˇavanje zadataka ukazuje na teme koje zahte-
vaju bolji metodicˇki pristup i bolje razumevanje primene matematicˇke analize. Istrazˇivanje
je pokazalo da postoji nerazumevanje odnosa izmedu primene matematicˇke analize i te-
orijskog predavanja na cˇasu; da postoji problem sa korisˇc´enjem literature i da se za pri-
premu ispita najvisˇe koriste belesˇke i zbirke zadataka, a da se druga literatura gotovo ne
koristi. Pedagosˇki rad je zasnovan na entuzijazmu pojedinaca i nema osmisˇljenog puta za
priblizˇavanje matematicˇke teorije.
Uvod xi
Istrazˇivanje ima dva cilja: naucˇni i drusˇtveni. Naucˇni cilj jeste stvaranje nove naucˇne
informacije koja doprinosi cˇovekovom razvoju, kao i stvaranju novog pedagosˇkog isku-
stva. Ocˇekivani rezultat jeste jedan od pravaca unapredivanja metodike nastave matema-
tike. Drusˇtveni cilj je primena rezultata istrazˇivanja, doprinos razumevanju odnosa ap-
strakcije i primene; ali i unapredivanje metodike nastave matematike na tehnicˇkim fakul-
tetima. Ovo istrazˇivanje takode daje inspiraciju i podsticaje za dalja istrazˇivanja u oblasti
metodike nastave matematike na drugim fakultetima i univerzitetima.
Generalna hipoteza. Metodicˇki dobro postavljena nastava matematike pomazˇe bo-
ljem razumevanju odnosa izmedu apstrakcije i primene matematicˇke analize.
Generalna hipoteza se operacionalizuje preko posebnih hipoteza:
(i) Studenti tehnicˇkih fakulteta imaju pozitivan odnos prema matematici.
(ii) Studenti tehnicˇkih fakulteta matematici prevashodno dodeljuju upotrebnu vred-
nost.
(iii) Predavanje nastavnika je dobro ukoliko je razumljivo, razgovetno i ako mo-
tivisˇe studente da u njemu ucˇestvuju. Istovremeno, predavanje sadrzˇi primere
sa elementima primene.
(iv) Matematicˇka literatura je vazˇno nastavno sredstvo ali se ona, osim zbirki zada-
taka koje sluzˇe za neposredno pripremanje ispita, ne koristi.
(v) Uspesˇnost u resˇavanju zadataka ne zavisi od vrste fakulteta (ETF, GF, MF).
(vi) Vizuelna prezentacija zadataka povec´ava uspesˇnost resˇavanja problema.
(vii) Studenti nisu stekli vesˇtinu da znanje iz matematicˇke analize primene u resˇa-
vanju zadataka i problema.
(viii) Apstraktna teorija i primenjena matematicˇka analiza med-usobno su povezane i
objedinjene u univerzalnom matematicˇkom sistemu.
Proces naucˇnog istrazˇivanja sproveden je u nekoliko koraka:
(1) Na samom pocˇetku naucˇnog istrazˇivanja formirano je misˇljenje da metodika na-
stave ima vazˇnu ulogu u razumevanju matematicˇkih pojmova i teorije. Zatim je
izgradena ideja da je veoma vazˇno istrazˇiti odnos izmedu apstrakcije i primene
matematicˇke analize. Na osnovu prethodnog znanja, takvim rasudivanjem, po-
stavljen je problem: kako u nastavi matematicˇke analize metodicˇki prevazic´i ovu
podelu i povezati apstrakciju i primenu?
(2) Induktivnom metodom prikupljena je naucˇna grada, izvrsˇena je analiza i putem
zakljucˇivanja dosˇlo se do radne pretpostavke – hipoteze, koja je utemeljena u
prethodnom naucˇnom saznanju. Hipoteza je pomoc´u posebnih hipoteza podvrg-
nuta proveri.
(3) U radu se koriste kvalitativne i kvantitativne metode prikupljanja i obrade po-
dataka. U analizi filozofskog utemeljenja matematike preovladuje induktivna
metoda, a za razmatranje odredenih tema u nastavi matematike visˇe se kori-
sti deduktivni metod. Podaci u okviru empirijskog istrazˇivanja obraduju se sta-
tisticˇkim metodama. Istrazˇivanje je multidisciplinarno i obuhvata matematiku,
Uvod xii
filozofiju, pedagogiju i psihologiju. Sintezom dobijenih rezultata izveden je za-
kljucˇak. Istrazˇivanje je obavljeno na elektrotehnicˇkim, gradevinskim i masˇinskim
fakultetima u Novom Sadu, Beogradu i Nisˇu, u periodu od oktobra do decembra
2013. godine. Uzorak je na nivou druge i trec´e godine studija tehnicˇkih fakulteta
u Srbiji (uzeti su u obzir studenti koji su polozˇili ispit koji obuhvata diferenci-
jalni i integralni racˇun funkcija jedne promenljive. Anketom je obuhvac´eno 429
studenata, a zadatke je resˇavalo 450 studenata.
Doktorski rad Apstrakcija i primena matematicˇke analize u nastavi na tehnicˇkim
fakultetima sastoji se od pet delova.
Matematika treba da odgovori na dva povezana pitanja. Imajuc´i u vidu da ukljucˇuje
merljive objekte, postavlja se pitanje kako se ona uzdizˇe do nivoa univerzalnosti, sigur-
nosti i nuzˇnosti? Sa druge strane, kako se objasˇnjava sposobnost cˇiste matematike da
opisuje i dode u kontakt sa prirodnim svetom? Prvo pitanje vodi ka filozofiji matematike
koja objasˇnjava matematicˇko rezonovanje. Drugo pitanje povezano je sa primenom mate-
matike. To je povezanost izmedu matematicˇkih osobina prirodnog sveta i nasˇeg saznanja
i spoznaje same matematike.
Euklidska geometrija je prvi primer formalizovanog deduktivnog sistema i postala
je uzor za sve takve sisteme. Ima i snazˇnu estetsku privlacˇnost. Najjednostavniji od svih
beskonacˇnih objekata je sistem prirodnih brojeva, koji oznacˇavamo sa N, sˇto poticˇe od
recˇi numerus. Ukoliko skup N sadrzˇi neki broj, on onda sadrzˇi i sledbenika. To je prirodni
proces. Zbog ovih cˇinjenica u radu je dat uvid u Euklidov geometrijski sistem, a prikazane
su i Peanove aksiome skupa prirodnih brojeva.
Ovo izlaganje pomoglo je da se napravi uvod u filozofsko razmatranje pojma ap-
strakcije, time zapocˇinje nasˇe penjanje ka visˇim nivoima, ka opsˇtosti. Svedoci smo cˇinje-
nice da je takvo penjanje u matematici sasvim uobicˇajeno. Na primer, kada kazˇemo da
je operacija sabiranja komutativna, to se odnosi na prirodne, cele, racionalne, realne ili
kompleksne brojeve. U radu se zatim upoznajemo sa tri sˇkole matematike: platonizam,
formalizam i konstruktivizam. Otvara se cˇuveno pitanje da li po prirodi matematicˇki poj-
movi postoje nezavisno od nasˇeg misˇljenja? U daljem razmatranju rasvetljava se i pojam
intuicije u matematici.
Penjanje stepenicama ka visˇim nivoima apstrakcije otvara pitanje: da li se odozgo
bolje vidi? Odnosno, kada se matematika uzdigne do metafizicˇkih visina, ima li primenu u
fizici ili prirodi uopsˇte? Ideja je da se pokazˇe da je ovaj put simbolicˇkih stepenica dvosme-
ran, odnosno da su apstrakcija i priroda povezane matematicˇkim univerzalnim sistemom.
ˇCovek u svim vremenima i podnebljima nosi sa sobom istovetno duhovno stanje
– znanje o smislu zˇivota, o prirodi, o dusˇi, o duhu, o Bogu. ˇCovekovo bic´e pocˇiva na
sistemu drevnih istina. Na ovoj, a priori duhovnoj bazi izgradeni su nauka, umetnost, reli-
gija, drusˇtvo, poezija, moral. Dosadasˇnje saznanje – basˇtina – predstavlja temelj kulture.
Matematika, kao vodec´a nauka u razvoju nasˇe civilizacije, integrisana je u kulturu.
Uvod xiii
Drugi deo Elementi matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima dragoceno su ve-
zivno tkivo za integrisanje filozofije matematike sa konkretnim temama iz matematicˇke
analize. Zbog toga je prikazan kratak pregled pojedinih tema iz matematicˇke analize.
Posˇto su u prvom delu dati elementi filozofije matematike, prirodno je da ih i primenju-
jemo u nastavi. Na primer, elementi matematicˇke logike daju dobar temelj za formalizam
sa primerom formalnog nacˇina dokazivanja – metodom svodenja na protivrecˇnost. Obrada
principa matematicˇke indukcije ima za cilj da se uocˇi i objasni razlika izmedu empirijske
i matematicˇke indukcije. Tu c´e se videti da primeri dokazivanja metodom matematicˇke
indukcije zapravo predstavljaju deduktivni pristup ili metodu cˇistog dokaza.
Matematicˇka teorija pocˇiva na sistemu aksioma pa su prikazane aksiome realnih
brojeva. Naravno, dat je uvod, koji rasvetljava cˇinjenicu da postoje brojevi, npr. √2 koji
nisu racionalni. Funkcija predstavlja temeljni pojam matematicˇke analize. Prozˇima gotovo
cˇitavu matematiku i zato je znacˇajna u nastavi na razlicˇitim nivoima. Vazˇno je navesti
definiciju funkcije, jer se znacˇenje pojma menjalo tokom istorije duzˇe od dva veka. Kao
sˇto je Dekartova metoda uvod u moderno zasnivanje nauke, tako je i njegova analiticˇka
geometrija, koja je povezala geometriju i algebru, uvod u razvoj moderne matematicˇke
analize. Zbog toga je vazˇno istac´i koordinatni sistem i moguc´nost crtanja grafika realnih
funkcija, sˇto daje izuzetno vizuelno predstavljanje.
ˇCini se da je u filozofskim raspravama pojam beskonacˇnosti najuzbudljiviji. Tek u
matematici on dobija pravu formu. Sve je pocˇelo sa brojanjem, pa onda sa prebrojava-
njem cˇlanova odredenih skupova. Sa ovom temom prirodno su povezani granicˇni procesi,
razlikovanje beskonacˇno male i beskonacˇno velike velicˇine, shvatanje epsilon-delta for-
malizacije. Smatra se da onaj ko razume definicuju granicˇne vrednosti u duhu epsilon i
delta, odnosno dokaze koji zahtevaju upotrebu istih, ima smisla (osec´aj, intuiciju, talenat)
za matematiku. Zbog toga je dobro ukratko prikazati granicˇne procese nizova i funkcija.
Najdublju vezu izmedu apstrakcije i primene cˇini pojam izvoda funkcije. Sa druge
strane, izvod i integral su medusobno inverzni operatori, pa je uveden pojam integrala. Na
ovaj nacˇin matematika se uzdigla do univerzalnih visina.
Trec´i deo rada Empirijsko istrazˇivanje i resˇavanje zadataka posvec´en je empirij-
skom istrazˇivanju nastave matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima u Srbiji. Stati-
sticˇka analiza empirijskog istrazˇivanja sastoji se iz dva dela. Jedan deo je prikaz rezultata
Ankete, koja sadrzˇi misˇljenje studenata o matematici, nastavi matematike i korisˇc´enju
udzˇbenika. Anketu je radilo 429 studenata elektrotehnicˇkih, gradevinskih i masˇinskih fa-
kulteta u Srbiji. Studenti su nam otkrili svoje videnje odnosa prema matematici i njenoj
primeni u strucˇnim predmetima, o tome kakav treba da bude dobar nastavnik matema-
tike i kako treba da koriste udzˇbenike, zbirke zadataka i druge knjige. Drugi deo sastoji
se od analize rezultata resˇavanja devet zadataka koji su rasporedeni u nekoliko celina:
granicˇni procesi i diferencijalni racˇun, integrali, Tejlorov polinom i dva teorijska zadatka.
Zadatke je resˇavalo 450 studenata pomenutih tehnicˇkih fakulteta. Rezultati su zabrinja-
Uvod xiv
vajuc´i. ˇZelja da se razmatra nastava matematicˇke analize pretvara se u poziv na delovanje
u smislu preduzimanja koraka za unapredivanje nastavnog procesa. Osim sopstvenih re-
zultata ovo istrazˇivanje ima za cilj i podsticanje drugih da nastave istrazˇivanje na ostalim
poljima nastave matematike, da pisˇu radove iz nastave matematike na fakultetima i da
nastupaju na konferencijama sa odredenim saopsˇtenjima. Istrazˇivanje mozˇe da se prosˇiri
i na druge oblasti, poput motivacije studenata.
ˇCetvrti deo Pet tema iz matematicˇke analize posvec´en je Lagranzˇovoj teoremi, kon-
veksnosti i posledicama, Tejlorovom polinomu, Hardijevom pristupu izracˇunavanja povr-
sˇine, Furijeovim redovima sa primenom i Fiksnoj tacˇki sa dve primene. Ove teme izabrane
su na osnovu resˇavanja zadataka studenata. Lagranzˇova teorema izabrana je zbog znacˇaja
vizuelnog predstavljanja u nastavi i lepote matematicˇke teorije. Druge oblasti izabrane su
na osnovu predlozˇenih zadataka koje studenti nisu uspesˇno resˇili. Ovim pristupom daje
se podsticaj i drugim istrazˇivacˇima da posvete pazˇnju razlicˇitim matematicˇkim oblastima
i da se na taj nacˇin poboljsˇava sadrzˇaj nastave matematike na tehnicˇkim i drugim fakulte-
tima. Sa druge strane, izabrane teme imaju jedan zavidan nivo apstrakcije a istovremeno
mozˇemo da ih primenjujemo kako u nastavi tako i u objasˇnjavanju prirodnih pojava. U
radu je naznacˇeno da apstrakcija i primena nalaze jedinstvo u matematicˇkom univerzal-
nom sistemu. Ovi primeri prilog su takvom pogledu na svet.
Peti deo Predlozi inovacija u nastavi matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima
i zakljucˇna razmatranja sadrzˇi rezultate istrazˇivanja i predloge inovacija. Na osnovu po-
stavljenih hipoteza, pomoc´u opisanog procesa naucˇnog istrazˇivanja i dobijenih rezultata
u doktorskom radu Apstrakcija i primena matematicˇke analize u nastavi na tehnicˇkim
fakultetima izveden je Zakljucˇak. Preporuke koje se odnose na inovativne pristupe u na-
stavi obuhvataju planiranje nastave i unapredivanje kurikuluma, postavljanje pitanja, in-
teligentni pogled, poboljsˇanje predavanja i korisˇc´enje nastavnih sredstava.
1.
ELEMENTI FILOZOFIJE MATEMATIKE
1.1. PISMO I LOGOS
Na tlu Mesopotamije, u Vavilonu, radala se civilizacija – pismo, matematika kao
prakticˇna vesˇtina i astronomija (belezˇenje rezultata osmatranja).1 Zora istorije osvetlila je
dve vrste pisma – piktografsko i fonetsko. Piktografsko pismo (ideogramsko, hijeroglif-
sko) karakteristicˇno je za egipatsku i kinesku kulturu. Sled misli ili objasˇnjenja pocˇiva
na jednostavnim slikovnim predstavama predmeta ili osobina. Fonetsko pismo (linearno,
slogovno) koristi posebne znake – slova – za zapisivanje pojedinih glasova ili slogova i
pogodno je za stvaranje slozˇenih zapisa.
,,Konacˇno, ta vrsta pisma je i ovladala savremenom civilizacijom. Linearno, odno-
sno slogovno pismo (c´irilica i latinica), koje je danas najrasprostranjenije u svetu, razvili
su iz egipatskih hijeroglifa Fenicˇani, mali narod sa obala jugoistocˇnog mediterana, sre-
dinom drugog milenijuma pre nasˇe ere. Sam naziv alfabet poticˇe od naziva prvih slova
fenicˇanskog pisma, alef i bet, a koji su ostali isti ili slicˇni – alfa i beta, odnosno a i b
– u svim sledec´im pismima – prvo u grcˇkom, od kojeg se razvila c´irilica, a potom i u
rimskom, od kojeg se razvila savremena latinica.“2
Slika 1 – Egipatski simboli vecˇnosti
U Vavilonu se pisalo na glinenim tablicama, a u Egiptu su koristili papirus, znatno
savrsˇeniju tehnologiju, pretecˇu danasˇnjeg papira, dobijen od biljke istog imena. U XV
1 Mesopotamija na grcˇkom znacˇi izmedu reka, ili preciznije, zemlja izmedu Tigra i Eufrata.
2 Bozˇic´, Milan, 2010, Istorija i filozofija matematike, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 11.
1.1. Pismo i logos 2
veku, tacˇnije 1450, pojavljuje se revolucionarno otkric´e – Gutenbregova sˇtamparija. Prva
sˇtampana knjiga bila je Biblija. Univerziteti i knjige postaju glavni nosioci saznanja.
Visˇevekovni napredak matematike – od Lajbnica, preko Bula, pa do Tjuringa ili fon Noj-
mana, dovodi do revolucionarnog razvoja informacionih i komunikacionih tehnologija
koje c´e promeniti svet.
U poredenju sa moguc´nostima sˇtamparske masˇine kreiranje digitalnog sadrzˇaja kao
sˇto su recˇi, muzika, numericˇki podaci, fotografije, video i dr., koje je moguc´e distribuirati
nadaleko i nasˇiroko, predstavlja revolucionarni skok. Pojedinci i institucije dobili su moc´
da stvaraju, oblikuju i sˇalju informacije. Programeri neprestano usavrsˇavaju softvere za
razlicˇite primene. Sedrik Vilani navodi primer programa TEX za pisanje matematicˇkog
teksta. Ovaj program kreirao je 1989. godine Donald Knut, profesor Univerziteta Sten-
ford. Njega koriste svi matemaricˇari da bi napisali i razmenili svoje radove.
,,Knutov jezik i njegove izvedenice su slobodni softver cˇiji je kod svakom dostu-
pan. Matematicˇari razmenjuju samo izvorne fajlove, cˇiji se tekstovi sastoje jedino od zna-
kova ASCII (American Standard Code for Information Interchange), koji su poznati svim
racˇunarima sveta. Ti fajlovi sadrzˇe, izrazˇene strogim jezikom, sva uputstva potrebna da se
rekonstruisˇu tekstovi i formule do najsitnijih pojedinosti. Zahvaljujuc´i softveru, Knut je
savremenik koji je verovatno najvisˇe promenio svakodnevnicu matematicˇara.“3
Na primer, Ojler je dao sledec´u formulu objavljenu 1774. godine
e−1 = 1+ 1
1+
1
2+ 1
1+ 1
1+ 1
4+ 1
1+
1
1+
1
6+ 1
.
.
.
Ova formula se u TEX-u pisˇe na sledec´i nacˇin:
\begin{gather*}
e-1=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}
{4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{\vdots}}}}}}}}}
\end{gather*}
Matematika je nastala na starom Orijentu, u Vavilonu i Egiptu, i bila je vezana za
svrhu, odnosno prakticˇne potrebe. To matematicˇko naslede, ali i pismo i likovnu umetnost,
preuzeli su Grci na pocˇetku VI veka pre nove ere i strukturno su ga preoblikovali. Drugi
3 Sedrik Vilani, 2013, ˇZiva teorema, Centar za promociju nauke i Matematicˇki institut SANU, Beograd,
str. 49.
1.2. Pitagorina sˇkola, priroda i broj 3
veliki preobrazˇaj dogodio se na Zapadu u XVII veku, kada su pronadeni slovni racˇun –
formula, analiticˇka geometrija i infinitezimalni racˇun.
Zapadna misao pocˇinje sa Grcima, koji su pojedinca definisali na osnovu njego-
vih sposobnosti da razmisˇlja. Tragali su za savrsˇenstvom, sˇto iziskuje napor, disciplinu i
inteligenciju. Grcˇko-helenisticˇka paideia razvila je kao nacˇin razmisˇljanja retoriku, gra-
matiku i logiku.4 U Grcˇkoj knjizˇevna dela predstavljaju odskocˇnu dasku za humanizam;
govornisˇtvo je bila vesˇtina koja se negovala u pozorisˇtima ili na politicˇkim skupovima.
Umetnost se odslikavala u skulpturama od kamena i kolosalnim gradevinama. Arhitektura
je tehnicˇku vesˇtinu stavila u sluzˇbu izuzetnog senzibiliteta i tezˇila je izrazˇavanju duhovnih
vrednosti (prefinjeni sklad razmera). Ne zaborivaimo muziku i muzicˇke lestvice, kao sˇto
je na primer, Pitagorejska.
,,Najvazˇniji pojam koji prozˇima grcˇku filozofiju jeste logos. Taj izraz izmedu osta-
log znacˇi recˇ i mera. Na taj nacˇin tesno su povezani filozofsko raspravljanje i naucˇno
istrazˇivanje. Eticˇka doktrina koja se temelji na toj vezi vidi dobro u znanju koje je rezultat
nepristrasnog istrazˇivanja.“5
Otac grcˇke filozofije i matematike je Tales iz Mileta – jedan od Sedam mudraca
(grcˇki: Sofoi); recˇ sofos oznacˇavala je mudrost. To su bile intelektualne vesˇtine koje su
visˇe pretendovale na snalazˇljivost nego na spekulativnost.6 Za Talesa se smatra da je umeo
da odredi visinu egipatskih piramida (merenjem duzˇine senke predmeta, koristec´i slicˇnost
trouglova), kao i da proceni udaljenost broda na moru posmatrajuc´i ga sa obale. Prema
predanju, on je predvideo pomracˇenje Sunca i govorio je da sve stvari poticˇu iz vode.
1.2. PITAGORINA ˇSKOLA, PRIRODA I BROJ
Pitagora je osnovao sˇkolu sa unutrasˇnjim krugom sledbenika – bratstvom, koje nazi-
vamo pitagorejci ili mathematikoi (naziv mathema poticˇe iz Egipta, i odnosio se na vrstu
zemlje koju su egipatski svesˇtenici koristili u ritualima), sˇto je oznacˇavalo ono sˇto se ucˇi.
Pitagorejsko drusˇtvo je preraslo u tajno bratstvo inicijacije (posvec´enja), buduc´i model
vec´ine tajnih drusˇtava. Trogodisˇnje iskusˇenisˇtvo prethodilo je prijemu u prvi stepen, ali
je tek drugom stepenu matematicˇarima bilo dozvoljeno da vide Majstora i razgovaraju
4 Za Pitagoru se mozˇe rec´i da je prvi matematiku predstavio kao slobodnu nauku (paideia). Prema
Aristotelu – cˇovek po prirodi tezˇi znanju i naziv paideia oznacˇava nauku kojom se ljudi bave radi nje same,
a ne radi koristi ili uzˇitka.
5 Rasel, Bertrand, 2003, Mudrost Zapada, Dereta, Beograd, str. 14. Prema recˇniku (Riz, Viljem, 2004,
Filozofija i religija. Istocˇna i zapadna misao, Dereta, Beograd), logos je grcˇki termin koji znacˇi um, recˇ,
govor, diskurs, definicija, princip ili racio.
6 Sofisti – sophists, poticˇe od grcˇke recˇi sophistes – onaj koji obec´ava da c´e ljude ucˇiniti mudrim. So-
fisti su profesionalni ucˇitelji koji su isˇli od grada do grada i druge poducˇavali retorici, gramatici, poeziji,
gimnastici, matematici i muzici.
1.2. Pitagorina sˇkola, priroda i broj 4
sa njim.7 Sa Pitagorom rada se novi duh. On je grcˇki matematicˇar, astronom i mistik;
osnivacˇ kulta koji se mozˇe iskazati krilaticom susˇtina svih stvari je broj. U pitagorejskom
nacˇelu Broj su sva nebesa, dostizanje krajnje granice svodenja sveta na red i srodnost sa
umom. U zanatskim procesima oni su ponovo nasˇli otelovljenje broja, odnosa i proporcije.
Pitagorejci su podesˇavali ritam svakodnevnog hoda po skladnim proporcijama. Broj je
supstancija stvarnosti i mozˇe se najpogodnije demonstrirati u muzici. Odnosi duzˇina zˇica
na liri, tada najpopularnijem muzicˇkom instrumentu, odreduju tonske intervale koje zˇice
proizvode kad osciluju.
Za pitagorejskog mislioca dusˇa je harmonija, bolje rec´i usaglasˇenost, zasnovana
na brojcˇanoj proporciji. Oblikovanje umetnicˇke grade pocˇinje time sˇto razum kombi-
nuje elemente u odredenim proporcijama (elementi su boje u slikarstvu, posebni tonovi u
muzicˇkoj lestvici, recˇi, sa svojim osobinama – jasnoc´om i smislom, u poeziji i retorici).
Red i simetrija prisutni su u svakom podrazˇavanju jer na najdubljem nivou, svet je po pri-
rodi matematicˇki. ,,Knjiga prirode ispisana je brojevima – harmonija prirode je harmonija
brojeva. Ona govori nasˇem oku razmerama, olicˇenim u gradevinama nasˇih hramova, ona
sˇapuc´e nasˇem uhu zvucima lire... Takva harmonija ispoljava se u sastavu cele vasione.“8
Izuzetna matematicˇka otkric´a pitagorejaca jesu: cˇuvena Pitagorina teorema – kvadrat nad
hipotenuzom jednak je zbiru kvadrata nad dvema katetama, i teorema o uglovima trougla
– zbir uglova u trouglu jednak je zbiru dva prava ugla.
NAPOMENA. Stari Egipc´ani i Vavilonci koristili su brojeve pre Grka, medutim, nisu
racˇunali sa brojevima kao apstraktnim pojmovima vec´ su ih vezivali za prakticˇne svrhe
kao sˇto je merenje kolicˇine zˇita, povrsˇine zemlje itd. Pojedinacˇni brojevi, sami za sebe,
nisu imali pravog smisla vec´ su bili povezani sa konkretnim objektima, osobama ili pred-
metima.
Sa razvojem ljudske civilizacije javljaju se i apstraktni pojmovi, strukture i procesi
kao sˇto su pismo ili crtezˇi. Pojam broja dobija apstraktan smisao tek kada je ukljucˇen u
skup brojeva i kada se mogu posmatrati medusobni odnosi cˇlanova tog skupa (kao sˇto su
operacije i poredak).
PRIMER 1. Neka polazni skup sadrzˇi jedan element i to basˇ sam broj jedan, u oznaci 1. Prvi
korak u apstraktnom procesu sabiranja zapravo je dodavanje polaznom skupu josˇ jednog elementa,
tj. sabiranje brojeva 1 i 1, cˇime se dolazi do broja dva, u oznaci 2, i pisˇe 1+ 1 = 2. Dobijenom
skupu od dva elementa, sabiranjem broja dva i jedan, prikljucˇuje se broj tri, u oznaci 3, i pisˇe
2+1 = 3. Tako se proces mozˇe nastaviti bez kraja i dolazi se do apstraktnog skupa svih prirodnih
brojeva, u oznaci
N= {1, 2, 3, . . . ,n, n+1, . . .}
7
ˇCanak M., 1996, Teorija tonaliteta u svetlosti matemati cˇke teorije muzike, doktorska disertacija, Uni-
verzitet u Beogradu.
8 Milankovic´, Milutin, 2007, Kroz carstvo nauka. Slike iz zˇivota velikih naucˇnika, MST Gajic´, Beograd,
str. 43.
1.2. Pitagorina sˇkola, priroda i broj 5
Operacija sabiranja pojavljaje se vec´ pri samom apstraktnom shvatanju prirodnih
brojeva i susˇtinski ucˇestvuje u definisanju pojma prirodnog broja.
Ove cˇinjenice bile su inspiracija za matematicˇara Peana da odredi sistem aksioma,
koji predstavljamo u pojednostavljenom obliku, poznat kao Peanove aksiome:9
(i) Prirodni brojevi cˇine neprazan skup N u kome svaki element n ima jednog jedi-
nog neposrednog sledbenika, u oznaci n+1.
(ii) Postoji jedan jedini element u skupu N, oznacˇimo ga sa 1, koji nije sledbenik
nijednog elementa.
(iii) Aksioma matematicˇke indukcije. Skup (podskup) M elementa iz N, za koje vazˇi:
a) 1 pripada skupu M;
b) ako m pripada skupu M, onda i njegov sledbenik pripada skupu M;
jednak je sa skupom N svih prirodnih brojeva.
Za opsˇti pojam sabiranja prirodnih brojeva m i n mozˇemo zamisliti konkretan stvarni
model. Jednom skupu, koji ima m elemenata, dodajemo n elemenata drugog skupa i na
taj nacˇin dobijamo novi skup koji ima s elemenata, a broj s zove se zbir brojeva m i n
i oznacˇava sa m+ n = s. Sada se jednostavno proveravaju dalje osobine sabiranja kao
apstraktne matematicˇke operacije, kao sˇto su:
m+n = n+m komutativnost i,
(m+n)+ k = m+(n+ k) asocijativnost.
Opsˇti pojam mnozˇenja prirodnih brojeva m i n shvata se kao zbir brojeva m, n puta.
Recimo,
m+m = m ·2
m+m+m = m ·3
.
.
.
m+ · · ·+m︸ ︷︷ ︸
n puta
= m ·n
Medutim, nec´emo se baviti pocˇetnim poimanjem mnozˇenja vec´ c´emo jednostavno
rec´i: proizvod prirodnih brojeva m i n je prirodni broj p, u oznaci
m ·n = p.
Za proizvod takode vazˇe osobine komutativnosti i asocijativnosti.
Medu prirodnim brojevima postoji prirodni poredak, gde je 1 najmanji prirodni broj,
a 2 je sledec´i vec´i broj dobijen dodavanjem jedinice na broj 2, itd. Kao sˇto smo videli u
Peanovim aksiomama, neposredni sledbenik bilo kog prirodnog broja n je broj n+1, koji
se dobija dodavanjem jedinice na broj n. Zato se pisˇe
1 < 2 < 3 < · · ·< n < n+1 < · · ·
9 Duzepe Peano (Giuseppe Peano), 1858–1932.
1.3. Platonova Akademija i Aristotelov Likeion 6
Tako se uspostavlja relacija manje, u oznaci <.
Aksiomatsko apstraktno zasnivanje skupa prirodnih brojeva trajalo je vekovima, od
egipatskih svesˇtenika do Peana.
1.3. PLATONOVA AKADEMIJA I ARISTOTELOV LIKEION
Platonova Akademija i Aristotelov Likeion bili su Oksford i Kembridzˇ (ili Harvard
i Jejl) anticˇkog sveta. ,,Platon je bio idealista, koji je stvorio prve zamisˇljene utopije,
fundamentalne teorije oblika i besmrtnosti, uticajnu kosmogoniju, sˇiroku kritiku znanja,
i cˇuvenu analizu ljubavi... Nasuprot njemu Aristotel je bio onaj koji je praktikovao na-
dahnut zdrav razum, sistematizujuc´i znanje. Njegova enciklopedijska dela se krec´u od
metafizike i etike do politike, knjizˇevne kritike, logike, fizike, biologije i astronomije.“10
Platona su zaokupljale dve teme: teorija ideja i pravedna drzˇava. Platon je smatrao da
su cˇiste ideje, poput dobrog, istinskog i lepog, savrsˇene, vecˇno nepromenljive tvorevine
duha; one su nematerijalne. Delo Fedon ili o dusˇi sadrzˇi logicˇko utemeljenje ucˇenja o
idejama, gde se spoznaje samostalnost i snaga cˇistog misˇljenja, i razdvaja se od svih dru-
gih psiholosˇkih instanci.11 Nakon upoznavanja sa pitagorejskom tradicijom Platon postaje
duboko ubeden da realnost za kojom traga naucˇna misao mora biti izraziva putem mate-
maticˇkog misˇljenja, jer je matematika najprecizniji i najpotpuniji nacˇin misˇljenja za koji
smo sposobni. Ovo potvrduje i natpis na ulazu u Akademiju: Neka niko ko ne poznaje
geometriju ovde ne ulazi.12 Platon razlikuje osetom opaziv krug, koji je netacˇan i kad je
najtacˇnije nacrtan, od savrsˇenog, idealnog kruga na koji se misli.Takode isticˇe da trou-
glovi nisu materija vec´ matematicˇki zakon, simetrija i oblik.13
Akademiju je osnovao voden politicˇkim motivima. Svoju sˇkolu je zamislio kao me-
sto na kome c´e se, ucˇenjem i vaspitavanjem, odgajati grcˇka politicˇka elita. Postepeno se
Akademija orijentisala na obrazovanje uopsˇte, a politicˇki motiv je postao potpuno spo-
redan. Platon je smatrao da u obrazovanju ,,prvih deset godina treba posvetiti izucˇavanju
aritmetike, geometrije, astronomije i harmonije da bi umu postala bliska saznanja do ko-
10 Dejvis, Norman, 2005, Evropa. Jedna istorija, Vega media, Novi Sad, str. 111.
11 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 72.
12 Bozˇic´, Milan, 2010, Istorija i filozofija matematike, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 82.
13 Sokrat, Platon i Aristotel tri su giganta grcˇke klasicˇne filozofije. U osnovi Sokratove doktrine je
lezˇalo ucˇenje o tome da cˇovekova srec´a, odnosno njegovo blagostanje, zavisi neposredno od cˇovekove
dusˇe. Medutim, kada cˇovek propusti svoju srec´u to je zato sˇto ne zna sˇta je dobro. Dobro se dakle sa-
znaje, spoznaje. Najvazˇnije Sokratovo dostignuc´e je uvodenje hipoteze u filozofsko, pa zatim i naucˇno
misˇljenje. Sokrat je u sredisˇte pazˇnje uveo tvrdenja, tj. pretpostavke o cˇinjenicama. Metod zapocˇinje onim
pretpostavkama koje deluju kao najistinitija hipoteza ili postulat o odredenoj temi, te se zatim razmatraju
logicˇke posledice te hipoteze. Ako se naide na kontradikciju, hipoteza otpada, a u suprotnom – hipoteza
se smatra okvirno potvrdenom. Tako je nastala i Sokratova sklonost ka tome da vazˇenje iskaza podupire
upecˇatljivim primerima, paradigmama, odnosno – induktivna argumentacija. Sokrat nije nisˇta pisao, ali ga
Platon najcˇesˇc´e pominje.
1.4. Aksiomatsko i deduktivno zasnivanje geometrije 7
jih se mozˇe doc´i samo razmisˇljanjem“.14 Zatim sledi pet godina izucˇavanje dijalektike,
tj. vesˇtine raspravljanja, postavljanja pitanja i davanja odgovora, cˇime se stizˇe do susˇtine
stvari. Akademija je uspela da radi cˇitavih 916 godina! To vreme trajanja nadmasˇuje i
danasˇnje najstarije univerzitete poput Bolonje, Pariza, Oksforda i Kembridzˇa.
Aristotel se obrazovao u Platonovoj Akademiji, da bi posle nekoliko godina po-
stao profesor, a zatim je i sam pokrenuo rad na Asosu. Smatrao je da su zemaljska tela
sacˇinjena od cˇetiri elementa: zemlje, vode, vazduha i vatre. Aristotel je napisao siste-
maticˇna dela iz botanike i zoologije. ,,Naglasˇavajuc´i vazˇnost znanja stecˇenog putem ra-
cionalnog ispitivanja cˇulnog iskustva, Aristotel je podrzˇavao razvoj empirijskih nauka –
fizike, biologije, zoologije, botanike i drugih disciplina koje se zasnivaju na posmatranju
i istrazˇivanju prirode i belezˇenju podataka.“15
Kako legenda kazˇe, Aleksandar Makedonski, cˇiji je ucˇitelj bio Aristotel, sˇalje ga
nazad u Atinu da osnuje ustanovu po ugledu na Akademiju. Aristotel je osnovao Licej
(Lyceum), u duhu evropske intelektualne i naucˇne tradicije, pa se mnoge sˇkole i danas
nazivaju tim imenom.
1.4. AKSIOMATSKO I DEDUKTIVNO ZASNIVANJE GEOMETRIJE
Euklid je napisao kapitalno delo – Elemente, knjigu koja je suvereno vladala duzˇe
od bilo koje druge, izuzev Biblije16. Elementi – rukopis nad rukopisima, sinteza je do-
tadasˇnjih znanja iz matematike. Euklidovi elementi nesumnjivo su jedna od najvec´ih knjiga
koja je ikada napisana i jedan od najsavrsˇenijih spomenika grcˇkog uma.17 Prema Raselu,
izgleda da geometrija sˇto se visˇe proucˇava izaziva visˇe divljenja. Vesˇtina matematicˇkog
dokazivanja poticˇe od Grka, sˇto nam pokazuje red teorema i logicˇka struktura Euklidovih
elemenata.
Zahvaljujuc´i Elementima geometrija je vekovima dozˇivljavana kao savrsˇenstvo pre-
ma kome se ravnalo svako drugo sistematizovano znanje.18 U trinaest knjiga na deduk-
tivan nacˇin izlozˇeno je sve geometrijsko znanje onog vremena. Elementi izrazˇavaju tada
preovladujuc´i filozofski stav da aritmetika nije dovoljna da opisˇe svet, ali da geometrija
jeste. Kada ga je vladar Egipta upitao da li bi geometrija mogla biti pojednostavljena,
Euklid je odgovorio da nema kraljevskog puta do matematike.
Prvih sˇest knjiga odnosi se na planimetriju, sledec´e cˇetiri bave se problemima teorije
brojeva i aritmetike, a poslednje tri stereometrijom. Svoje elemente je zavrsˇio sa konstru-
isanjem tzv. Platonovih tela. Prvi zapis o tome da postoji latinski prevod datira iz 480.
14 Bozˇic´, Milan, 2010, Istorija i filozofija matematike, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 83.
15 Peri, Marvin, 2000, Intelektualna istorija Evrope, Clio, Beograd, str. 32.
16 Euklid je zˇiveo u Aleksandriji oko 360. p.n.e – oko 290. p.n.e. prema knjizi: C. J. Scriba, P. Schreiber,
2000, 5000 Jahre Geometrie, Springer.
17 Bertrand Rasel, 1998, Istorija zapadne filozofije, Narodna knjiga Alfa, Beograd, str. 204.
18 Zoran Lucˇic´, 2009, Ogledi iz istorije anti cˇke geometrije, Sluzˇbeni glasnik, Beograd, str. 33.
1.4. Aksiomatsko i deduktivno zasnivanje geometrije 8
godine. Vizantijski car jednu kopiju poklonio je Arapima 760. Na arapski jezik Elementi
su prevedeni oko 800. godine. Prvi latinski prevod koji josˇ postoji uradio je Adelard od
Bata 1120. godine. Na Zapadu, od tada pocˇinje budenje matematike, da bi u vreme rene-
sanse dobila novi polet.
Euklid je uocˇio da se izvodenje i dokazivanje matematicˇkih saznanja sastoji od niza
logicˇkih ispravnih zakljucˇaka, pri cˇemu se istinitost konacˇnog zakljucˇka zasniva na vec´
dokazanoj istinitosti prethodnih zakljucˇaka (tvrdenja). Ocˇigledno je da taj niz istinskih
zakljucˇaka ima svoj pocˇetak, tj. da postoje saznanja koja ne treba dokazivati. Pozˇeljno je
da su ta saznanja jednostavna i intuitivno razgovetna, u skladu sa zdravim razumom.19
Euklid je formulisao pet postulata i devet aksioma iz kojih je logicˇkim zakljucˇivanjem
(dedukcijom) izveo gotovo sva do tada poznata geometrijska saznanja. Navodimo postu-
late:
(i) Pretpostavlja se da je moguc´e od svake tacˇke do svake druge tacˇke konstruisati
pravu liniju.
(ii) Pretpostavlja se da se svaka prava, sledujuc´i njen pravac, mozˇe neogranicˇeno
produzˇavati.
(iii) Pretpostavlja se da se u nekoj ravni oko svake njene tacˇke mozˇe opisati krug
bilo kojeg poluprecˇnika.
(iv) Pretpostavlja se da su svi pravi uglovi medu sobom jednaki.
(v) Ako jedna prava presecajuc´i druge dve komplanarne prave obrazuje sa njima
s iste strane dva unutrasˇnja ugla kojima je zbir manji od zbira dva prava ugla,
tada se te dve prave, neogranicˇeno produzˇene, seku sa one strane secˇice sa koje
je taj zbir uglova manji od zbira dva prava ugla.20
Definicije koje je navodio Euklid nisu bile dovoljno jasne i logicˇki korektne. Prosto
iz razloga sˇto je pokusˇavao da blizˇe odredi pojmove kao sˇto su tacˇka, prava i ravan, a to
su osnovni pojmovi u geometriji, koje prihvatamo kao takve i koji se ne definisˇu.
Aksiomatizovati geometriju, ili neku drugu naucˇnu disciplinu, znacˇi saznanje te
nauke tako logicˇki urediti i sistematizovati da se mogu, primenom odredenih pravila
logicˇkog zakljucˇivanja, izvesti iz nekoliko temeljnih tvrdenja (aksioma i postulata) za
koje se ne zahtevaju dokazi. Izbor aksioma treba da bude sˇto manji, da budu jednostavne
i intiuitivno prihvatljive.
Aksiome imaju svojstvo nezavisnosti, tj. nijedna od njih ne mozˇe se izvesti iz pre-
ostalih aksioma. Sistem aksioma ima svojstvo potpunosti, odnosno – sve tvrdnje unutar
naucˇne discipline moguc´e je dokazati ili odbaciti na temelju datih aksioma. Bitno je i svoj-
stvo neprotivrecˇnosti, tj. ne mogu se iz datog sistema aksioma dokazati suprotna tvrdenja.
19
ˇZeljko Pausˇe, 2007, Matematika i zdrav razum, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 82.
20 Dragomir Lopandic´, 2011, Geometrija: ˇZuta knjiga, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 12.
1.4. Aksiomatsko i deduktivno zasnivanje geometrije 9
Sistem Euklidovih aksioma nije potpun. To je prvi primetio Arhimed i u svom delu
O lopti i valjku dodao je novih pet postulata koji su omoguc´ili da se zasnuje teorija mere-
nja geometrijskih figura.
Euklid iz Aleksandrije, najznacˇajniji matematicˇar anticˇkog doba, prikazao je geo-
metrijski, na primer, formulu
(a+b)2 = a2+2ab+b2.
Ako se pravim linijima presecˇe kvadrat (videti sliku), cˇitav kvadrat jednak je zbiru dva
kvadrata i dva pravougaonika koje ove linije prave (Propozicija 4, Knjiga II).
1Φ
A B
C D
E
F G
H
Slika 2 – Kvadrat binoma i zlatni presek
Opisao je cˇuveni Zlatni presek ili Bozˇansku srazmeru: Duzˇ je podeljena tako da je
odnos cele duzˇi prema vec´em delu isti kao odnos vec´eg dela prema manjem.
Ako datu duzˇ AB delimo nekom tacˇkom H tako da vazˇi AB · BH = AH · AH . Navodimo
Euklidovu konstrukciju. Za dato AB konstruisˇe se kvadrat ABCD. Neka je tacˇka E sredisˇte AC.
Tacˇku F na produzˇetku CA dobijamo tako sˇto konstruisˇemo k(E,EB)∩ p(CA) = F . Zatim se
konstruisˇe kvadrat AFGH i tacˇka H je zˇeljena tacˇka na duzˇi AB i vazˇi AB ·BH = AH ·AH .
Ako je manji deo duzˇi AB duzˇ HB jednak duzˇini 1, a vec´i deo duzˇini Φ, na osnovu od-
nosa (Φ+1) :Φ=Φ : 1 dobija se
Φ=
1+
√
5
2
.
Mnogo kasnije, Leonardo iz Pize – Fibonacˇi (fillus Bonacci – Bonacˇijev sin, oko 1170–
1250), nagovesˇtavajuc´i budenje renesanse napisao je knjigu Liber abaci21 (Knjiga racˇunanja), u
kojoj se pojavljuje niz brojeva
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, . . .
danas cˇuveni Fibonacˇijev niz. Ako podelimo svaka dva uzastopna cˇlana Fibonacˇijevog niza, pri-
blizˇavamo se broju Φ, tj. broju koji simbolizuje zlatni presek. Ovakva otkric´a stvorila su nevidljivu
21 Fibonacˇi u ovoj knjizi upoznaje Evropu sa indijsko-arapskim pozicionim decimalnim sistemom
belezˇenja brojeva. Uvodi cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i nulu; upoznaje Zapad sa standardnim postupcima
mnozˇenja i deljenja.
1.4. Aksiomatsko i deduktivno zasnivanje geometrije 10
vezu izmedu razlicˇitih nauka i umetnosti, vezu zasnovanu na tajnom kodu ili bozˇanskoj propor-
ciji.22
PRIMER 1. Konstruisati geometrijski broj√2.
RESˇENJE. Na slici je konstruisan pravougli trougao cˇije su katete 1 i 1 i hipotenuza√2.
Na slici desno je konstruisan pravougli trougao ABC upisan u polukrugu. Iz tacˇke C spusˇte-
na je hipotenuzina visina hc koja deli hipotenuzu AB na odsecˇke p i q. Vazˇi poznati Euklidov stav
h 2c = pq, tako da za p = 1 dobijamo hc =
√
q.
1
1 12
Slika 3 – Euklidov stav
NAPOMENA. Ne mogu se konstruisati svi realni brojevi, na primer, brojevi π i e. S druge
strane, mozˇe se konstruisati broj 4√2, tj. najpre se konstruisˇe √2, a zatim
√√
2.
Ovom se mozˇe dodati jedno interesantno zapazˇanje. U konstrukcijama je dozvo-
ljeno korisˇc´enje lenjira i sˇestar. Kada se konstrusˇe krug poluprecˇnika 1, njegov obim je
2π . Tada duzˇinu polukruga interpretiramo kao π . Mozˇe se postaviti pitanje. Da li je ovo
konstrukcija?
Slika 4 – Sfera i Arhimedova spirala
22 Susˇtina lepote i postojanja nalazi se u broju. ,,Otkriti susˇtinu znacˇi biti inteligentan. Najvisˇi proizvod
inteligencije je forma. A forma je simetrija i red i odred enost, jer to su bitna svojstva lepote i harmonije.“
(Gilbert, Katarina, Everet, Helmut Kun, 2004, Istorija estetike: revidirana i prosˇirena, Dereta, Beograd,
str. 64). Bozˇansku proporciju odlikuju harmonija, sklad, stvaranje, obnavljanje i lepota. Pojavljuje se u
prirodi u geometrijskim oblicima, od DNK i ljudskog embriona – do svemira. U arhitekturi zlatni presek
daje gradevinama izvanrednu simetriju koju mozˇemo videti na egipatskim piramidama, na Partenonu i na
evropskim gotskim katedralama. Umetnicˇki stvaraoci slikari, muzicˇari i pesnici inspiraciju za stvaranje dela
nalazili su u bozˇanskoj proporciji.
1.4. Aksiomatsko i deduktivno zasnivanje geometrije 11
Arhimed je slavni matematicˇar antike, koji nam je podario mnosˇtvo dokaza.23 Sma-
tra se jednim od najvec´ih matematicˇara svih vremena. U njegova izuzetna dostignuc´a
iz cˇiste i primenjene matematike, fizike i mehanike, ubrajaju se dokaz o tezˇisˇtu trou-
gla i cˇetvorougla, metod iscrpljivanja (rani oblik integracije), geometrijsko resˇenje kubne
jednacˇine, dokaz o povrsˇini odsecˇka parabole preko opisanih i upisanih pravougaonika,
ili dokaz da se priblizˇna vrednost broja π mozˇe odrediti pomoc´u opisanog i upisanog
poligona sa 96 stranica, odnosno
310
71
< π < 31
7
.
U delu O sferi i cilindru, u prvoj knjizi, pokazao je da je povrsˇina sfere jednaka
povrsˇini cˇetiri velika kruga te sfere, odredio je formulu za povrsˇinu odsecˇka sfere i doka-
zao da je zapremina sfere jednaka dvema trec´inama zapremine oko nje opisanog cilindra.
U drugoj knjizi najvazˇniji rezultat je opis konstrukcije koju Arhimed koristi da
odredi ravan koja sferu deli na dva segmenta cˇije su zapremine u unapred zadatom od-
nosu.24 Poznata je cˇuvena Arhimedova spirala. Bavio se osnovnim zakonima hidrostatike
i formulisao Arhimedov zakon: Svako telo koje plovi u tecˇnosti istiskuje onoliko tecˇnosti
koliko je i samo tesˇko. ˇCuvene su njegove recˇi pred smrt izgovorene rimskom vojniku: Ne
diraj moje krugove.
NAPOMENA. Mnoga interesantna otkic´a nastala su iz prakticˇnih potreba. Naime, He-
ron Aleksandrijski u delu Diopta (theodolite) predstavlja problem iz geodezije kako da se
pronade razdaljina izmedu dve tacˇke, od kojih je samo jedna pristupacˇna, ili izmedu dve
tacˇke koje su vidljive ali nisu pristupacˇne. On takode pokazuje kako da se povucˇe normala
od date tacˇke do linije koja ne mozˇe da se dosegne i kako da se pronade povrsˇina polja
bez ulaska u njega. Tako je otkrio i formulu za povrsˇinu trougla
P =
√
s(s−a)(s−b)(s− c),
gde su a, b i c duzˇine stranice, a s je poluobim datog trougla. Ova formula pojavljuje se
u delu Geodesy, a njen dokaz u delima Diopta i Metrica. U Diopti pokazuje kako da se
prokopa tunel ispod planine na taj nacˇin sˇto se radi istovremeno sa obe strane planine.
Od Euklida do danas medu matematicˇarima i filozofima vodile su se zˇucˇne rasprave
o Euklidovim aksiomama i Euklidovom petom postulatu o paralelnosti. To traganje do-
velo je do jednog od najpoznatijih matematicˇkih otkric´a neeuklidske geometrije. Konacˇno
su u XIX veku Lobacˇevski, a nezavisno i Boljaj i Gaus, zamenili peti Euklidov postulat
sledec´om aksiomom:
Aksioma Lobacˇevskog. Kroz tacˇku A van prave p postoje dve prave koje su kom-
planarne sa pravom p i koje sa njom nemaju zajednicˇkih tacˇaka.
23 Arhimed je zˇiveo u Sirakuzi na Siciliji od 287. p.n.e – 212. p.n.e.
24 Bozˇic´, Milan, 2010, Istorija i filozofija matematike, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 105.
1.5. Apstrakcija i primena 12
Time je stvorena nova geometrija, kasnije nazvana geometrijom Lobacˇevskog ili hi-
perbolicˇkom geometrijom.25
Slika 5 – Peti postulat
1.5. APSTRAKCIJA I PRIMENA
1.5.1. Pojam apstrakcije
Intelektualna tradicija Zapada pocˇivala je na anticˇkom modelu sedam vesˇtina (sep-
tem probitates), odnosno trivijumu (retorika, logika, gramatika) i kvadrivijumu (geome-
trija, aritmetika, muzika, astronomija). Pre Gutenbergovog otkric´a sˇtamparske masˇine,
knjige su se tesˇko umnozˇavale, bile su retke i skupe. ,,Za svakodnevni zˇivot ljudi tog vre-
mena cˇitanje nije bilo neophodno, pa ni korisno. Za vec´inu stanovnisˇtva, odrastanje je
podrazumevalo ucˇenje kroz oponasˇanje istih drusˇtvenih navika, prakticˇnog rada i vesˇtina
starijih.“26
U delu Metafizika Aristotel isticˇe pitagorejski odnos brojeva prema stvarima. Jed-
nom se kazˇe da su brojevi same stvari, drugi put da su u stvarima, a trec´i put da su stvari
sastavljene od brojeva, izgleda bez pravljenja razlika izmedu tih iskaza. Prema njemu su
pitagorejci proglasili brojeve supstancijalnim bic´ima (ousia) stvari ili njihovim iskonom
(arche), sˇto je pojam koji se primenjuje za praelemente starih jonskih filozofa prirode.
Aristotel cˇak pravi misaoni skok recˇima celo nebo je harmonija i broj.27 Smatrao je da
matematicˇki predmeti nastaju apstrakcijom. Abstractio doslovno znacˇi odvlacˇenje, pa se
mozˇe govoriti o odvucˇenim pojmovima. To je prvi put da se upotrebljava taj pojam. Pri
tome ostaje nejasno da li je apstrakcija sama po sebi dovoljna da bi nastala neka geo-
metrijska tvorevina ili se tome pridodaje idealizacija.28 Latinski termin abstractus znacˇi
odvojen. Apstrakcija oznacˇava i ostavljanje po strani odredenih aspekata ili osobina neke
stvari, tako da preostanu samo odredeni aspekti na koje se usmerava pazˇnja.
25 Nikolaj Ivanovicˇ Lobacˇevski, ruski matematicˇar, 1792–1856. Janosˇ Boljaji, madarski matematicˇar,
1802–1860.
26 Entoni Gidens, 2007, Sociologija, Ekonomski fakultet, Beograd, str. 495.
27 Oskar Becker, 1998, Velicˇina i granica matematicˇkog nacˇina misˇljenja, Demetra, Zagreb, str. 9.
28 Oskar Becker, 1998, Velicˇina i granica matematicˇkog nacˇina misˇljenja, Demetra, Zagreb, str. 18.
1.5. Apstrakcija i primena 13
Trebjesˇanin isticˇe da je apstrakcija ,,misaoni proces dobijanja onoga sˇto je apstraktno,
zamisˇljeno, opsˇte. Apstraktan je kvalitet koji je cˇulno neopaziv i odvojen od neposredne,
konkretne stvarnosti. On je nastao misaonim izdvajanjem nekih bitnih od drugih, nebit-
nih karakteristika“29. Trebjesˇanin daje i Jungovo videnje pojma apstrakcije. ,,Po Jungu, to
je intelektualni proces vadenja ili izdvajanja nekog sadrzˇaja (znacˇenja, oznake, svojstva)
iz jedne konkretne, osobene, jedinstvene sinteze (spoja) razlicˇitih elemenata. U procesu
apstrakcije izdvaja se bitan sadrzˇaj, ono sˇto je susˇtina i oslobada se veze sa onim sˇto nije
bitno, sˇto je slucˇajno. Ukoliko je neki pojam apstraktniji utoliko ga je tezˇe predstaviti i
utoliko je on blizˇi ideji. Konkretan pojam mozˇe se lako i ocˇigledno predstaviti.“30
Pojam apstrakcije uz to obuhvata i uzdizanje ka opsˇtim pojmovima, odnosno na ono
sˇto se misli kao matematicˇko opsˇte vrste.31 Apstraktno je znacˇi uspinjanje u vec´u opsˇtost.
Zbog toga je matematika smatrana visˇom, duhovnijom formom nauke. Zbog ovoga se
matematicˇar razlikuje od fizicˇara (filozofa prirode) koji pred sobom ima nesˇto konkretno,
prvi osetni svet promenljivih stvari.
Nasˇa sposobnost da primamo predstave o predmetu je cˇulnost. Ona nam obezbedu-
je opazˇaje. Neposredni cˇulni dozˇivljaj samo jednog, posebnog svojstva predmeta, jeste
oset. Na primer zvuk, miris, ukus, toplota itd. Opazˇanje je osnovna kognitivna funkcija
(saznajna psihicˇka aktivnost) pomoc´u koje jedinka odabira, povezuje i organizuje razno-
vrsne osete u celovitu i smisaonu mentalnu reprezentaciju nekog dela sveta i na taj nacˇin
tumacˇi njegovo znacˇenje. Primeri opazˇanja su oblik, boja, velicˇina, brzina, tvrdoc´a i sl.32
Razum (lat. intelectus, ratio) je sposobnost da se misˇljenjem razumeju i dokucˇe poj-
movi, znacˇenja, odnosi i smisaone celine, kako u sluzˇbi saznanja tako i prakticˇnog zˇivota.
Pomoc´u razuma predmeti se zamisˇljaju i od njega proizilaze pojmovi. To je sposobnost
logicˇkog i analiticˇkog misˇljenja, kao i kriticˇkog i razboritog rasudivanja. Nije podlozˇan
uticaju emocija, zˇelja, interesa i potreba.
Um (lat. ratio) je najvisˇa sposobnost shvatanja celovite, sinteticˇke spoznaje sveta i,
prema Kantu, sˇira je saznajna moc´ u odnosu na razum jer obuhvata intuiciju, saznanje
ideja i obrazovanje metafizicˇkih pojmova. Pomoc´u sinteticˇkih ideja um unosi visˇi red i
jedinstvo u razumom sredene podatke.33
29
ˇZarko Trebjesˇanin, 2011, Recˇnik Jungovih pojmova i simbola, Zavod za udzˇbenike, HESPERIAedu,
Beograd, str. 40.
30
ˇZarko Trebjesˇanin, 2011, Recˇnik Jungovih pojmova i simbola, Zavod za udzˇbenike, HESPERIAedu,
Beograd, str. 40.
31 Oskar Becker, 1998, Velicˇina i granica matematicˇkog nacˇina misˇljenja, Demetra, Zagreb, str. 82.
32
ˇZarko Trebjesˇanin, 2008, Recˇnik psihologije, Stubovi kulture, Beograd, str. 318.
33 Imanuel Kant (Immanuel Kant, 1724–1804) je 1784. godine opisao susˇtinu prosvec´enosti:
,,Prosvec´enost je za cˇoveka izlaz iz sopstvene nezrelosti u kojoj se nasˇao svojom krivicom. Nezrelost je
nemoc´ da se sluzˇimo svojim razumom bez vodstva nekog drugog. Tome smo sami krivi, posˇto uzrok toj
nezrelosti ne lezˇi u nedostatku razuma, nego u nedostatku odlucˇnosti i hrabrosti da se njime koristimo bez
pomoc´i drugih. Sapere aude! Imaj hrabrosti da se sam sluzˇisˇ svojim razumom! – predstavlja geslo pro-
svec´enosti“.
1.5. Apstrakcija i primena 14
Prema Nikoli Kuzanskom pocˇetak je analiza i tumacˇenje procesa opazˇanja u kojem
se duh prvobitno pasivno odreduje, ali odmah razvija specificˇne energije i snage. Sama
dusˇa pomoc´u perifernih organa sˇalje razlicˇite species koji se, na osnovu uticaja objekata i
prirode primaoca, preobrazˇavaju u raznoliko mnosˇtvo utisaka. Zatim se duh (spiritus), koji
nije visˇe vezan za razlike pojedinih cˇula, prilagodava sadrzˇajima raznih oblasti, uporeduje
ih i povezuje. Ta veza, koja je u organu uobrazilje josˇ neodredena i zamrsˇena, konacˇno se
u organu uma uzdizˇe do jasne odredenosti.34
Razum u sistemu Kuzanskog ima sposobnost apstrakcije u saznanju stvari. Upore-
divanje datih opazˇanja i njihovo sredivanje po raznim vrstama slicˇnosti je njegovo svoj-
stveno postignuc´e. Medutim, misao sada prelazi granice onog sˇto se mozˇe opaziti i gru-
pisati, odnosno, prelazi sa strane razuma na stranu uma, i visˇe nije ratio vec´ intelekt, nije
razum nego intelektualno gledanje (visus intellectualis).35 Intelekt svojim pogledom obu-
hvata jedinstvo principa, kao i neogranicˇene raznolikosti konsekvenci koje su u njemu
sadrzˇane. Tako se stizˇe do egzaktnih i preciznih tvorevina. To je uzdizanje od konacˇnoga
ka beskonacˇnome. ,,Ako duh ocrtava pojam kruga, ako on izmisˇlja liniju cˇije su tacˇke pod-
jednako udaljene od jednog zajednicˇkog centra, onda lik koji tako nastaje nema posebno,
materijalno bivstvo nigde izvan uma.“36
Intelekt priziva, izaziva i podsticˇe cˇula; i osposobljava ih za prijem slike spoljasˇnjeg
bivstva. Tako je on i pogonska snaga i konacˇni cilj ukupnog saznanja.37 To je opsˇta sagla-
snost izmedu matematike i prirode ili harmonija izmedu ideje i stvarnosti. Za Leonarda i
Keplera priroda je harmonicˇan poredak saglasan sa umom.
Za Bertranda Rasela ono sˇto karakterisˇe duh jeste svest. ˇCovek na razlicˇite nacˇine
biva svestan. Prvi od tih nacˇina je opazˇanje, posredstvom koga sa oseta prelazimo na
stvar koju on predstavlja. Sve ono sˇto opazˇamo, toga smo svesni. Drugi nacˇin je me-
morija. Zatim misˇljenje koje predstavlja formu svesti sastavljene od ideja. Ideja je u ru-
kama naucˇnika bila vazda nesˇto uzvisˇeno i apstraktno, a cˇija upotreba daje cˇoveku jedno
posebno dostojanstvo. I najzad dolazimo do verovanja, odnosno svesti o istinitom ili
lazˇnom.38
,,Sa dolaskom modernog doba, misˇljenje uglavnom postaje slusˇkinja nauke, odno-
sno organizovanog znanja; i premda je misˇljenje tada postalo izrazito aktivno, shodno
kljucˇnom ubedenju novog veka da mozˇemo znati samo ono sˇto sami pravimo, sada ma-
tematika, neempirijska nauka par exellence u kojoj se duh igra sa samim sobom, postaje
34 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 36.
35 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 45.
36 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 37.
37 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 60.
38 Bertrand Rasel, 2008, Analiza duha, Otkrovenje, Beograd, str. 16.
1.5. Apstrakcija i primena 15
nauka svih nauka, buduc´i da ona nudi kljucˇ za zakone prirode i univerzuma koji se kriju
iza pojava... Dekart je smatrao aksiomom da postoji (do toga je dosˇao one cˇuvene noc´i
kada je dozˇiveo otkrovenje cogito ergo sum – mislim, dakle postojim) temeljan sklad
izmedu zakona prirode (koji su skriveni pojavnim svetom i varljivim cˇulnim opazˇanjem) i
zakona matematike.“39 Kako navodi Hana Arent, nasˇa sposobnost misˇljenja se ne dovodi
u pitanje, mi smo ono sˇto smo oduvek bili – bic´a koja misle. Procesom misˇljenja ljudi
prevazilaze granice znanja ali ga ne koriste samo kao instrument znanja i delovanja.
Naucˇni metod obuhvata dva pristupa znanju koji se obicˇno uzajamno upotpunjuju –
induktivni (empirijski) i deduktivni (racionalni). U induktivnom pristupu, koji se koristi u
deskriptivnim naukama kao sˇto su biologija, anatomija, geologija, hemija ili fizika, opsˇti
principi se izvode iz analiziranja podataka sakupljenih putem posmatranja i eksperime-
nata. Bitne osobine induktivne metode zastupao je Bekon, koji je podatke cˇula smatrao
temeljima znanja.40
Kampanela smatra da je filozofija zapisana jedino i samo u knjizi prirode, koja lezˇi
otvorena pred ocˇima svih nas: ali slova pomoc´u kojih treba da odgonetnemo tu knjigu
za njega nisu linije, trouglovi i krugovi nego subjektivni kvaliteti i opazˇanja pojedinacˇnih
cˇula. Indukcija koja tezˇi da bude i osnova univerzalnih aksioma i principa nije nisˇta drugo
do skup pojedinacˇnih posmatranja.41
Prema Loku cˇulno opazˇanje (senzacija) i samoopazˇanje u dusˇi (refleksija) cˇine izvor
i sadrzˇaj nasˇeg svekolikog saznanja.42 Obrazovanje apstraktnog pojma utemeljeno je u
sposobnosti uporedivanja, kao i spajanja i razdvajanja primitivnih elemenata opazˇanja.
Izvesnost i evidentnost nasˇeg znanja pocˇiva na intuiciji, gde duh ne mora da se mucˇi do-
kazivanjem i ispitivanjem, vec´ primec´uje istinu kao oko svetlost. Pravi metodski ideal u
procesu saznanja je dedukcija, a eksperiment i empirijsko istrazˇivanje su sredstva sazna-
nja. ,,Ako se u toj stvarnosti nade sadrzˇaj za koji vazˇe uslovi utvrdeni u matematicˇkoj
definiciji, onda za njega nuzˇno vazˇe i svi zakljucˇci, vezani za njih; ako se on ne nade,
ipak, istinitost matematicˇkog suda kao takvog ni najmanje nije umanjena, posˇto se on
odnosi na sasvim drugi objekat nego sˇto je taj empirijski prisutan.“43 Uzor koji trazˇimo
dat je u samom misˇljenju, pa ga misˇljenje ne mozˇe promasˇiti. Klasicˇni oblici empirizma
vide misˇljenje kao nesˇto sˇto prethodi delanju, a delanje kao primenu misˇljenja. Iskaz o
stvarnim predmetima pocˇiva na verovatnoc´i.
39 Arent, Hana, 2010, ˇZivot duha, Sluzˇbeni glasnik, Beograd, str. 18.
40 Sir Fransis Bekon (Sir Francis Bacon), 1561–1626.
41 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 184.
42 Dzˇon Lok, engleski filozof, zˇiveo je od 1632–1704.
43 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba II, Izdavacˇka knjizˇarnica Zo-
rana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 194.
1.5. Apstrakcija i primena 16
Prema Gotfridu Lajbnicu postoje izvesna nacˇela istine koja ljudi univerzalno pri-
hvataju.44 Ona su zbog toga nazvana opsˇti pojmovi, pa se zato zakljucˇuje da ova nacˇela
valja zasnivati na utiscima koje dusˇe dobijaju zajedno sa postojanjem. ,,Izvoran dokaz
nasˇih istina poticˇe iz samog razuma, dok se druge istine dobijaju iz iskustva ili na osnovu
cˇulnog posmatranja. Nasˇ je duh sposoban da sazna i jedne i druge, ali je on izvor prvih,
i ma koliko mnogobrojni bili posebni ogledi koji potvrduju neku univerzalnu istinu, ipak
indukcijom se zauvek ne bismo mogli ubediti u nju, ne prihvatimo li njenu nuzˇnost na
osnovu uma.“45 ˇCula mogu da sugerisˇu, opravdaju i potvrde te istine, ali ne i da dokazˇu
njihovu stalnu i vecˇnu pouzdanost. Sposobnost ljudskog duha da otkrije istinito sazna-
nje zahteva trud i pazˇljivo promisˇljanje, mada mozˇe biti urodena, a cˇovek darovit. Prema
Lajbnicu urodene istine kad se uzmu kao prirodno svetlo uma, nose svoje karakteristike
u samima sebi, poput geometrije, posˇto su sadrzˇane u neposrednim nacˇelima koja i vi
sami smatrate neospornim.46 Na primer, ideja broja je urod ena, a zatim dolaze ideje ce-
loga, ideja dela i ideja protezˇnosti. Stvari jednoobrazne i lisˇene svake raznovrsnosti, kao
vreme, prostor i drugi predmeti cˇiste matematike, uvek su samo apstrakcije.47 Konkretna
protezˇnost postoji samo zahvaljujuc´i apstraktnoj.
U deduktivnom pristupu, koji se koristi u matematici i teorijskoj fizici, istine se
izvode uzastopnim koracima iz prvih principa, nesumnjivih aksioma. Aksiome su nepo-
sredno izvesni sinteticˇki osnovni stavovi a priori. U postupku razvoja teorije odredeni
pojmovi se cˇesto definisˇu. Strogo uzev, definisati znacˇi samo izlozˇiti prosto i iscrpno po-
jam jedne stvari u njegovim granicama.48 Definicije su jasno izlozˇene ideje. Potpuno po-
klapanje izmedu podrucˇja posmatranih cˇinjenica i podrucˇja a priori dokazanih pravila
predstavlja ideal koji se ne mozˇe smatrati potpuno ispunjenim ni na jednom stupnju raz-
matranja.49
Deduktivni postupak zakljucˇivanja, ili dokaz (ili potpuno svedocˇanstvo), znacˇi da
premisa (pretpostavka) implicira zakljucˇak. Ako podemo od istinitih stavova, zakljucˇak
mora biti istinit. Ako gradimo teoriju od pocˇetka, premise cˇine neprotivrecˇan sistem ak-
sioma koji je kristalno jasan i u njega nema sumnje, dakle istinit je. U daljem, pomoc´u
dokaza (implikacija) izvodi se istinitost drugih postulata, stavova i tvrdenja. Ono sˇto je u
cˇistoj matematici neprotivrecˇan i istinit sistem aksioma, u primenjenoj matematici su iz-
vesni stavovi istiniti na osnovu zakona, recimo, mehanike ili fizike, i iz kojih se dedukuju
dalji zakljucˇci.
44 Gotfrid Lajbnic (Gottfried Wilhelm Freiherr (baron) von Leibniz), nemacˇki filozof, matematicˇar, pro-
nalazacˇ, pravnik, diplomata i politicˇki savetnik, zˇiveo je od 1646. do 1716.
45 Gotfrid Lajbnic, 2010, Novi ogledi o ljudskom razumu, Dereta, Beograd, str. 18.
46 Gotfrid Lajbnic, 2010, Novi ogledi o ljudskom razumu, Dereta, Beograd, str. 35.
47 Gotfrid Lajbnic, 2010, Novi ogledi o ljudskom razumu, Dereta, Beograd, str. 48.
48 Granica ovde znacˇi tacˇnost koja podrazumeva upotrebu ne visˇe oznaka vec´ samo koliko je nuzˇno za
potpunost pojma. Recˇ prosto znacˇi da za odredbu tog pojma nije potreban neki dodatni dokaz.
49 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba II, Izdavacˇka knjizˇarnica Zo-
rana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 382.
1.5. Apstrakcija i primena 17
Prema Kantu sve nasˇe saznanje pocˇinje sa iskustvom ali ipak ne proisticˇe sve sa-
znanje iz iskustva. Saznanja koja su apsolutno nezavisna od iskustva zovu se saznanja a
priori i razlikuju se od empirijskih saznanja, koja imaju svoje izvore a posteriori, tj. na
osnovu iskustva. Um je ona moc´ koja pruzˇa principe saznanja a priori. ,,Lako se mozˇe
pokazati da u ljudskom saznanju zaista ima takvih nuzˇnih i u strogom smislu opsˇtih, tj.
cˇistih sudova a priori. Ako se hoc´e neki primer iz nauka, onda se samo mozˇe ukazati
na sve stavove matematike.“50 Kantov drugi stav, da se matematika bavi predmetima i
saznanjima samo ukoliko se oni mogu predstaviti u opazˇanju, osporen je, stvaranjem no-
vih matematicˇkih teorija, poput geometrije Lobacˇevskog, teorije skupova, matematicˇke
logike, teorije grupa i drugih algebarskih struktura itd. Matematika je prirodna nauka, po
svojoj prirodi primenjena, jer se odnosi na svet, ali i visˇe od toga – matematika je i nauka
sama po sebi, nezavisna od primene.
Sam Kant u jednom trenutku kazˇe: ,,Slavni Lajbnic izgradio je jedan intelektualni
sistem o svetu, ili je josˇ i visˇe, verovao da je saznao unutrasˇnju osobinu stvari na taj nacˇin
sˇto je upored-ivao sve predmete samo sa razumom i apstraktnim formalnim pojmovima
njegovoga misˇljenja.“
,,Platon se sluzˇio izrazom ideja tako da se jasno mozˇe videti da je on pod tim izrazom
podrazumevao nesˇto sˇto se ne samo nikada ne dobija od cˇula, vec´, naprotiv, nesˇto sˇto
daleko prevazilazi pojmove razuma kojima se bavio Aristotel, jer se u iskustvu nikada ne
nalazi nesˇto sˇto tome izrazu odgovara. Ideje, kod Platona, praslike su samih stvari, a ne
samo kljucˇevi za moguc´a iskustva, kao sˇto su kategorije. Prema njegovom misˇljenju, one
su proizasˇle iz najvisˇeg uma, odakle su bile dodeljene ljudskom umu...“51 Kant isticˇe da
je Platon vrlo dobro primetio da nasˇa moc´ saznanja ima znatno visˇu potrebu od saznanja
iz iskustva pomoc´u zakona sinteticˇkog jedinstva. Po svojoj prirodi nasˇ um se uzdizˇe do
saznanja koja idu isuvisˇe daleko od predmeta iskustva.
Prema Kantu lestvica saznanja pocˇinje sa percepcijom (perceptio), koja – ako se
odnosi na subjekat – cˇini osec´aj (sensatio), ako je objektivna ona je saznanje (cognitio).
Saznanje je ili opazˇaj ili pojam (intuitus vel conceptus). Opazˇaj se odnosi neposredno
na predmet i pojedinacˇan je, pojam se odnosi na predmet posredno, posredstvom jedne
oznake, koja mozˇe biti zajednicˇka vec´em broju stvari. Pojam je empirijski ili cˇist pojam,
a cˇist pojam ima svoje poreklo jedino u razumu (ne u slici cˇulnosti). Pojam koji sve ovo
prevazilazi jeste ideja ili pojam uma. Josˇ uzvisˇeniji je pojam ideala.
,,Ono sˇto je za nas jedan ideal, to je za Platona bila ideja bozˇanskog razuma, jedan
pojedinacˇni predmet u cˇistom opazˇanju toga razuma, ono sˇto je najsavrsˇenije u svakoj vrsti
moguc´ih bic´a i sˇto je praosnov svih praslika u pojavi. Ali ne iduc´i tako daleko moramo
priznati da ljudski um, sadrzˇi u sebi ne samo ideje vec´ i ideale koji, dodusˇe, nemaju,
kao platonski ideali, stvaralacˇke snage, ali ipak imaju prakticˇnu snagu (kao regulativni
50 Imanuel Kant, 2012, Kritika cˇistog uma, Dereta, Beograd, str. 39.
51 Imanuel Kant, 2012, Kritika cˇistog uma, Dereta, Beograd, str. 258.
1.5. Apstrakcija i primena 18
principi) i lezˇe u osnovi moguc´nosti savrsˇenstva izvesnih dela.“52 Ideja daje pravilo, ideal
je praslika, a merilo je postupanje bozˇanskog cˇoveka u nama.
Na primer, vrlina i ljudska mudrost u svojoj potpunoj cˇistoti su ideje, a mudrac
jeste jedan ideal, to jest jedan redak cˇovek koji postoji u mislima, ali koji se potpuno
podudara sa idejom mudrosti. Uporedujemo se sa postupanjem bozˇanskog cˇoveka u nama
da bi sebe ocenili i popravili, ali nikada ga ne mozˇemo dostic´i u svojoj savrsˇenosti. Ideja
o skupu principa svih moguc´nosti stvari, data a priori, koja je potpuno odredena, jeste
ideal cˇistog uma ili transcedentalni ideal. Na primer beskonacˇnost, jedinstvo, vecˇnost.
Kant ovako stizˇe do najvisˇeg bic´a, ideala, koji je bez nedostatka, pojam koji celokupno
ljudsko saznanje zavrsˇava i krunisˇe, cˇiji se objektivni realitet zaista na ovome putu ne
mozˇe dokazati.53 Zato Kant postavlja tri pitanja: ˇSta mogu da znam? ˇSta treba da cˇinim?
ˇCemu mogu da se nadam?
Time sˇto misˇljenje postaje sve slicˇnije apstraktnim oblicima koje nalazi u sebi, ono
razvija i stvara sigurne matematicˇke nauke.54 Jedinstvo matematicˇkog pojma ukljucˇuje
lepotu i tako u dusˇi nastaje unutrasˇnje savrsˇenstvo. Lepo, putem imaginacije, povezuje
cˇulni i inteligibilni svet. Matematicˇki objekti mogu da apstrahuju svaku stvarnost. Ap-
straktni pojam je rezultat cˇistog misaonog postupka, kojim stvaramo nove i samostalne
sadrzˇaje koji prelaze granice svih podataka oseta. Apstraktni temelji daju nauci sigurno
saznanje.
1.5.2. Tri sˇkole matematike
Matematika je beskrajno slozˇen i tajnovit svet. Istrazˇivanje tog sveta je strast. Ljudi
spolja posmatraju sa cˇudenjem tog matematicˇara i ocˇarani su time sˇto su takav cˇudan lik
i tako cˇudna delatnost dosˇli na svet i odrzˇali se hiljadama godina.55
,,Unutrasˇnja logika razvoja matematike podsec´a nas mnogo visˇe na rad jednog jedi-
nog intelekta, koji sistematski i dosledno razvija svoju misao, sluzˇec´i se mnosˇtvom ljud-
skih individualnosti samo kao sredstvom. To je slicˇno orkestru koji izvodi simfoniju ne-
kog kompozitora. Tema prelazi od jednog do drugog instrumenta, a kad jedan od izvodacˇa
treba da prekine svoj deo, preuzima ga drugi i svira je s besprekornom preciznosˇc´u.“56
52 Imanuel Kant, 2012, Kritika cˇistog uma, Dereta, Beograd, str. 389.
53 Imanuel Kant, 2012, Kritika cˇistog uma, Dereta, Beograd, str. 431.
54 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 39.
55 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 2.
56 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 50.
1.5. Apstrakcija i primena 19
Ako radimo matematiku svaki dan, ona nam se cˇini kao najprirodnija stvar na svetu.
Ako zastanemo da razmislimo o tome sˇta radimo, cˇini se da je najzagonetnija stvar na
svetu. Postoje tri matematicˇka pravca: platonizam, formalizam i konstruktivizam.57
Platonisti, poput Kurta Gedela, smatraju da su brojevi apstraktni, nuzˇno postojec´i
objekti, nezavisni od ljudskog uma. Matematicˇki objekti su stvarni, postoje u prirodi ne-
zavisno od toga znamo li za njih ili ne. Beskonacˇni skupovi, krive i drugi objekti mate-
maticˇke teorije, potpuno su odredeni i imaju odredene osobine, i neki od njih su poznati
dok su mnogi nepoznati. Oni postoje izvan prostora i vremena fizicˇke egzistencije. Svako
smisleno pitanje o nekom matematicˇkom objektu ima svoj odgovor, bez obzira na to da li
smo u moguc´nosti da ga ustanovimo ili ne. Matematicˇki objekti postoje nezavisno od uma
koji ih posmatra. Racionalisti su sposobnost rasudivanja smatrali urodenom odlikom ljud-
skog uma, kojom se istine mogu shvatiti a priori, nezavisno od opazˇanja. ,,Postojanje ma-
tematicˇkih objekata u carstvu ideja nezavisnih od ljudskog uma nije bila nikakva tesˇkoc´a
za Njutna i Lajbnica; kao hrisˇc´ani uzimali su samo po sebi postojanje Bozˇanskog Uma.
U takvom kontekstu postojanje idealnih objekata, kao sˇto su brojevi i geometrijski oblici,
nije bio nikakav problem.“58
Formalisti veruju da matematicˇkih objekata nema. Matematika se sastoji od aksi-
oma, definicija, i teorema – drugim recˇima – od formula. Formulama se mozˇe dati fizicˇko
tumacˇenje. ,,Teoriju skupova razvio je Kantor kao novu i fundamentalnu granu matema-
tike samu po sebi. ˇCinilo se da je zamisao skupa – proizvoljne kolekcije pojedinacˇnih
objekata – tako jednostavna i fundamentalna da bi mogla biti kamen temeljac od kojeg
se mozˇe izgraditi cela matematika.“59 Kasnije je Rasel (a pre njega i Kardano) dosˇao do
cˇuvenog paradoksa i zˇeleo je da preformulisˇe teoriju skupova i da matematiku postavi na
temelje logike. ,, ˇCista matematika je klasa svih iskaza oblika p implicira q, gde su p i q
iskazi koji sadrzˇe jednu ili visˇe promenljivih, istih u oba iskaza, i gde ni p ni q ne sadrzˇe
druge, osim logicˇkih konstanti“60 Rasel nije uspeo da cˇitavu matematiku svede na logiku,
iako se pravila logike kao sˇto su kontradikcija ili pravila implikacije, smatraju objektivnim
i nespornim.
Konstruktivisti pravom matematikom smatraju samo ono sˇto se mozˇe dobiti pomoc´u
konacˇne konstrukcije. Brouver je smatrao da nam je prirodne brojeve dala fundamentalna
intuicija, koja predstavlja ishodisˇte sveukupne matematike. Prirodni brojevi su temelj od
57 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 322.
Napomena. Okvirno su prikazana tri pravca. Oni se ipak medusobno preplic´u. Ima i drugih misˇljenja o
ovom pitanju.
58 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 330.
59 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 334.
60 Bertrand Russell, 1903, The Principles of Mathematics, W. W. Norton & Company, Inc. New
York, p. 3.
1.5. Apstrakcija i primena 20
koga se konstruisˇu svi smisleni matematicˇki pojmovi. Ovaj pravac podrzˇava veoma mali
broj matematicˇara.
Pod uticajem Hilberta i Burbakista, u dvadesetom veku, u matematici prevladao je
formalizam. Ali matematicˇari su vec´inom verovali, i veruju i dalje, u platonizam. U novije
vreme raste protivljenje formalizmu. U novijim matematicˇkim istrazˇivanjima vidljiv je
zaokret prema konkretnom i primenljivom. U tekstovima i traktatima poklanja se visˇe
pazˇnje primerima, uz manju strogost u formalnom izlaganju.
1.5.3. Intuicija
Navodimo nekoliko odredenja pojma intuicije.
(i) Intuitivno znacˇi vizuelno. Objekti o kojima se radi mogu se videti i predstaviti
graficˇki i vizuelno, nezavisno od stroge (formalne, apstraktne) verzije. Time in-
tuitivno daje izvestan kvalitet strogoj verziji. Ovde treba biti oprezan jer vizu-
elizacija nas mozˇe navesti na zakljucˇak da neke tvrdnje smatramo ocˇiglednim,
a u stvari su one sumnjive ili pogresˇne.
(ii) Intuitivno znacˇi razumno i uverljivo u nedostatku dokaza. Do toga se dolazi na
osnovu iskustva stecˇenog u slicˇnim situacijama ili povezanim temama. To je
slutnja i nagovesˇtaj za moguc´i dokaz.
(iii) Intuitivno znacˇi integrativno u odnosu na detaljno ili analiti cˇko. Kada o mate-
maticˇkoj teoriji razmisˇljamo globalno, i uvidamo da su neke tvrdnje istinite jer
se uklapaju, tada razmisˇljamo intuitivno.
Smatra se da je matematicˇar Kosˇi imao izuzetnu intuiciju. Na primer, znao je Kosˇijevu
integralnu teoremu, iako tada josˇ nije bio formalizovan integral kompleksne funkcije po
konturi. Kako je to moguc´e? Kosˇi je bio veliki matematicˇar i mogao je da se osloni na
svoju intuiciju. Bio je takav genije da je podsvesno znao da tvrdenje vazˇi.61
Intuiciju ipak treba prihvatiti uz sumnju jer mozˇe da bude jedan od nesavrsˇenih me-
hanizama ljudskog mozga, sˇto dalje mozˇe dovesti do velikih zabluda.
,,Bit matematike je njena sloboda, rekao je Kantor. Sloboda da konstruisˇe, sloboda
da pravi pretpostavke. Ti aspekti matematike priznaju se u formalizmu i konstruktivizmu.
Pa ipak, Kantor je bio platonista, verovao je u matematicˇku stvarnost koja nadilazi ljudski
um. Te konstrukcije, ti zamisˇljeni svetovi, namec´u nam tada svoj red. Moramo priznati
njihovu objektivnost; oni su delom poznati, a delom zagonetni i tesˇko saznatljivi; delom
se, mozˇda i ne mogu saznati. To je istina koju vidi platonista.“62
61 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 398.
62 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 407.
1.5. Apstrakcija i primena 21
1.5.4. Primena matematike
Kako fizicˇari gledaju na matematiku? Profesor Vilijam Tejlor (William F. Taylor)
medunarodni je autoritet u inzˇenjerstvu i profesionalno podrucˇje mu je u oblasti fizike,
hemije i nauke o materijalima. Tejlor smatra da ne stvara matematiku vec´ da je koristi.
Po njegovim recˇima, mnogo toga sˇto je u poslednje vreme razvijeno u matematici, daleko
je iza granice neposredne primene. Matematika je sama po sebi, model. Tejlor smatra da
se naucˇna metoda mozˇe podvesti pod indukciju, dedukciju i verifikaciju. ,,Indukcija se
odnosi na moju svest o opazˇanjima drugih i o postojec´im teorijama. Dedukcija se odnosi
na konstrukciju modela i na fizicˇke zakljucˇke koji su iz njega matematicˇki izvedeni. Ek-
sperimentatoru je potreban model da bi mogao da pripremi svoje eksperimente. Inacˇe ne
bi znao gde da trazˇi. Radio bi u tami. Teoreticˇaru je potreban eksperimentator da mu kazˇe
sˇta se dogada u stvarnom svetu. Inacˇe bi njegovo teoretisanje bilo prazno. Izmedu njih
dvojice treba da postoji odgovarajuc´a komunikacija i mislim da zaista i postoji.“63
U fizici i tehnologiji matematika igra ulogu moc´nog alata za rasudivanje u kom-
pleksnim situacijama. Znanje u tehnicˇkom smislu, kako ga shvata Tejlor, podrazumeva da
se mozˇe izraziti simbolima. Matematicˇke primene mogu se ostvariti i odlukom. Stvaramo
razlicˇite matematicˇke strukture, a zatim namerno ispitujemo razlicˇite pojave fizicˇkog sveta
u njima. Sve cˇesˇc´e mozˇemo cˇuti da se na univerzitetima predaje matematicˇko modeliranje.
Pretpostavimo da imamo primenu, recimo, teorije parcijalnih diferencijalnih jedna-
cˇina u matematicˇkoj teoriji elasticˇnosti. Sada mozˇe da se postavi pitanje ima li teorija
elasticˇnosti primenu van same teorije. Pretpostavimo da je to teorijsko inzˇenjerstvo. A
da li je ta teorija zanimljiva inzˇenjeru u praksi? Pretpostavimo da jeste – omoguc´ava mu
izvrsˇenje analize naprezanja, na primer, automobilskih vrata da bi se zadovoljili standardi
za cˇvrstinom. A kao sˇto znamo, automobil ima osnovnu primenu – prevoz ljudi. Na ovaj
nacˇin prati se primena matematike od apstraktnog nivoa do nivoa potrosˇacˇa.
Kako smo videli u prethodnom stavu, cilj matematike jeste njena prakticˇna primena.
Neoplatonisti bi rekli da je tesˇko poverovati da jedna superiorna (duhovna) delatnost mozˇe
nac´i svoje opravdanje u inferiornoj (materijalnoj) delatnosti. Neki autori smatraju da je
naucˇni ideal objedinjavanje znanja o formiranju matematicˇkih sistema i fizicˇkih zakona.
U Uvodu matematicˇkih principa prirodne filozofije, ser Isak Njutn isticˇe da su stari
autori u istrazˇivanjima prirodnih stvari pridavali veliki znacˇaj mehanici, a novi, koji su
odbacili supstancijalne forme i okultne sadrzˇaje, nastojali su da prirodne pojave objasne
zakonima matematike. Zanatsko umec´e u mehanici povezano je sa preciznosˇc´u. ,,Jer se i
crtanje pravih linija i krugova, na cˇemu se zasniva geometrija, ticˇe i mehanike. Geometrija
ne poducˇava kako se povlacˇe ove linije, ona to zahteva. Ona, naime, trazˇi da nedovoljno
upuc´en najpre sam izucˇi da ih precizno povlacˇi, pre nego sˇto stupi na prag geometrije,
63 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 45.
1.5. Apstrakcija i primena 22
zatim poducˇava kako se putem ovih operacija resˇavaju problemi. Povuc´i prave linije i
nacrtati krugove jeste problem, ali ne geometrijski. Od mehanike se zahteva resˇenje ovog
problema, a u geometriji se ucˇi kako da se ta resˇenja koriste.“64
Pitanje odnosa izmedu moguc´eg i stvarnog susˇtinski odreduje odnos izmedu deduk-
cije i iskustva. ˇZan Pijazˇe65 dodaje da je to pitanje velikog dela istorije naucˇne misli.
Oblast misˇljenja i oblast bivstva su po svom obimu razlicˇite, tako da nikad ne mogu biti
dovedene do potpunog poklapanja; ipak, izmedu njihovih sadrzˇaja postoji opsˇta harmo-
nija, usled koje se svi odnosi bivstva projektuju i predstavljaju u ljudskom duhu po merilu
samog tog duha.66 Preimuc´stvo i plemenitost duha su u tome sˇto je za njega vezana ujedno
sva lepota i savrsˇenstvo univerzuma.67 ,,Svekolika mislec´a delatnost znacˇi samo prihvata-
nje i prenosˇenje odredenja koja su, po sebi i za sebe, izvornije prisutna u svetu stvarnosti.
Oblicˇje i pokret, boja i ton, prostorni poredak tog skupa, kao i vremenski poredak uza-
stopnosti: sve su to stalne i gotove svojevrsnosti samih objekata; zadatak se sastoji samo u
tome da se pokazˇe put kojim se krec´e pretvaranje tih osobina stvari u duhovne osobine...
Nacˇin na koji se predmeti prevode u duh pojmic´emo, ako promislimo o tome da dusˇa
u sebe ne prima njihovu potpunu stvarnost nego samo njihov oblik. Same stvari u sebi
sjedinjuju, ukoliko su sazdane od materije i oblika, jedan materijalan i jedan inteligibilan
faktor.“68
,,Istina je da imamo obicˇaj da medusobne odnose nauka zamisˇljamo kao pravolinij-
ski sled: matematika, fizika (u sˇirem smislu), biologija, pa psiholosˇke i drusˇtvene nauke
tako dolaze jedna za drugom po principu hijerarhije, u cˇuvenom nizu sve vec´e slozˇenosti
i sve manje opsˇtosti koji je zamislio Ogist Kont. Samo tada se postavljaju dva pitanja. Na
prvom mestu, na cˇemu se zasniva matematika? Na samoj sebi, tu se svi slazˇu, ili na logici,
koja se takode oslanja na samu sebe. Medutim, dok se to mozˇe cˇiniti jasnim sa jedne tacˇke
posmatranja, bilo metafizicˇke, bilo usko aksiomatske, to objasˇnjenje prestaje da zadovo-
ljava cˇim potrazˇimo uslove pod kojima je aksiomatika moguc´a. Tada nuzˇno dolazimo
do toga da se pozovemo na zakone ljudskog uma, sˇto je jedno eksplicitno (Poenkare,
Brensˇvik, itd.) ili implicitno pozivanje na psihologiju. Na drugom mestu, i na drugom
kraju niza postavlja se pitanje cˇemu tezˇe istrazˇivanja geneticˇke psihologije? Upravo tome
da nam objasne kako se konstruisˇu uvidi i pojmovi prostora, broja, reda, i tako dalje, to
jest logicˇke i matematicˇke operacije. ˇCim napustimo jedno cˇisto normativno i aksiomat-
64 Isak Njutn, 2011, Matematicˇki principi prirodne filozofije, Akademska knjiga, str.7.
65
ˇZan Pijazˇe, sˇvajcarski razvojni psiholog i filozof, zˇiveo je od 1896–1980.
66 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 48.
67 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 50.
68 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 55.
1.5. Apstrakcija i primena 23
sko stanovisˇte, linearni niz saznanja postaje kruzˇan, jer linija koju pratimo, u pocˇetku
prava, polako pocˇinje da se zatvara prema sebi.“69
NAPOMENA. Medusobni odnosi nauka slikovito se mogu uporediti sa prostim linij-
skim i algoritamskim sˇemama, ali takode i sa razgranatim linijskim sˇemama. Grananje je
osnovna osobina medusobnih odnosa nauka.
Slika 6 – Fibonacˇijeve ortogonalne spirale
Po prirodi stvari, ovaj epistemolosˇki krug je izraz kruga u naukama: objasˇnjenja
psihologije se pozivaju na objasˇnjenja biologije, a ova na objasˇnjenja fizike i hemije;
objasˇnjenja fizike se oslanjaju na matematiku, a matematika i logika se zasnivaju jedino
na zakonima uma.70 ,,Preko matematike i psihologije, nauka asimiluje stvarnost u okvire
ljudskog uma i tako sledi jedan idealisticˇki pravac. S druge strane, matematika, u stvari,
asimiluje cˇulne datosti sa prostornim i numericˇkim shemama i na taj nacˇin materiju pod-
vodi pod sistem sve slozˇenijih i sve koherentnijih operacija koje dedukciji omoguc´avaju
da vlada iskustvom, pa cˇak i da ga objasˇnjava.“71
Pijazˇe postavlja pitanje: Kako je moguc´a matematicˇka nauka, strogo deduktivna i
istovremeno sasvim prilagodena iskustvu? To je oduvek i centralni problem epistemolo-
gije. Matematika se slazˇe sa fizicˇkom stvarnosˇc´u. Raznovrsne strukture i odnose u materi-
69
ˇZan Pijazˇe, 1994, Uvod u geneticˇku epistemologiju: I. Matematicˇko misˇljenje, Izdavacˇka knjizˇarnica
Zorana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 42.
70
ˇZan Pijazˇe, 1994, Uvod u geneticˇku epistemologiju: I. Matematicˇko misˇljenje, Izdavacˇka knjizˇarnica
Zorana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 42.
71
ˇZan Pijazˇe, 1994, Uvod u geneticˇku epistemologiju: I. Matematicˇko misˇljenje, Izdavacˇka knjizˇarnica
Zorana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 43.
1.5. Apstrakcija i primena 24
jalnom svetu fizicˇari precizno izrazˇavaju matematicˇkim jezikom. Izmedu fizicˇkog univer-
zuma i apstraktnih okvira geometrije i analize postoji harmonija. Za tu harmoniju se mozˇe
rec´i da je unapred uspostavljena jer do saglasnosti matematike i stvarnosti ne dolazi samo
u trenutku otkric´a nekog fizicˇkog zakona. Matematicˇke sheme mogu vremenski unapred
anticipirati iskustveni sadrzˇaj. Geometrijski i analiticˇki oblici elaboriraju se bez obazira-
nja na stvarnost. Ukoliko su oni deduktivno koherentni, iskustvo ih nec´e opovrgnuti vec´
c´e se tacˇno uklopiti.72 ,,Predi ne samo preko cˇulnih stvari nego i preko inteligibilnih obje-
kata, napusti oblast razuma i uzdigni se – ljubavlju prema jedinom i najvisˇem dobru – do
tog samog dobra, koje je iznad svekolikog bivstva, iznad sveg zˇivota i sveg razuma.“73
,,Misliti prirodu kao inteligibilni kristal, kako se to danas usuduju najbolji medu
nama, mozˇda je put istine – put na kome sija svetlo matematike.“74
1.5.5. Matematika i kultura
Kultura jednog drusˇtva obuhvata kako nematerijalne aspekte – verovanja, ideje i
vrednosti koji cˇine njen sadrzˇaj, tako i materijalne aspekte – objekte, simbole ili tehno-
logiju kojima se sadrzˇaj kulture izrazˇava.75 Kultura je visˇe od medijuma za prenosˇenje
znanja i uverenja. Ona je medijum putem kojeg osoba dozˇivljava svet. Temeljni znacˇaj za
sve kulture imaju one ideje koje odreduju sˇta se smatra vazˇnim, vrednim i pozˇeljnim.
Kultura je ukupan zbir ljudskih sistema simbola koje mozˇemo svrstati u nekoliko
grupa:76
– sistem jezicˇkih kodova – govorni, pisani, notni, slozˇeni matematicˇki izrazi, racˇunarski
algoritmi, sˇahovski i drugi zapisi;
– vrednosti – shvatanje o tome sˇta je dobro a sˇta losˇe;
– uverenja – stavovi o obrazovanju, radu, religiji itd.;
– norme – ponasˇanje ljudi;
– zalihe znanja – naucˇni rad, akademsko pisanje i iskustvo;
– fizicˇki predmeti – knjige, umetnicˇke slike i umetnicˇki predmeti, gradevine i dr;
– tehnologija.
Prema Karlu Poperu svet se sastoji iz tri dela:
72
ˇZan Pijazˇe, 1994, Uvod u geneticˇku epistemologiju: I. Matematicˇko misˇljenje, Izdavacˇka knjizˇarnica
Zorana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 50.
73 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str.78.
74 Oskar Becker, 1998, Velicˇina i granica matematicˇkog nacˇina misˇljenja, Demetra, Zagreb, str. 156.
Mozˇete se upoznati sa pojmom fraktala sa izlomljenom, a finom strukturom koja se opisuje pomoc´u Ha-
usdorfove fraktalne dimenzije. Stevan Pilipovic´, Dora Selesˇi, 2012, Mera i integral: fundamenti teoriji
verovatnoc´e, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 85.
75 Entoni Gidens, 2007, Sociologija, Ekonomski fakultet, Beograd, str. 24.
76 Dzˇonatan H. Tarner, 2009, Sociologija, Mediteran Novi Sad, FPN Beograd, str. 106.
1.5. Apstrakcija i primena 25
Prvi svet je fizicˇki svet, svet mase i energije, kamenja i zvezda. Drugi svet je svet sve-
sti. Misli, osec´aji, svest, sve su to nefizicˇke stvarnosti. Trec´i svet je jezik, teorije, drusˇtvena
svest, nematerijalna kultura cˇovecˇanstva. To je svet u kome se nalazi matematika. Postoja-
nje predmeta koji se zove matematika jeste cˇinjenica, a ne pitanje.77 Ovaj pogled zapravo
je veliko trojstvo: duh, dusˇa i telo.
Matematika je objektivna stvarnost koja nije ni subjektivna ni fizicˇka. Ona je idealna
(to jest, nefizicˇka) stvarnost koja je objektivna (izvan svesti bilo koje osobe). Zapravo, pri-
mer matematike je najsnazˇniji, najuverljiviji dokaz postojanja takve idealne stvarnosti.78
Adler belezˇi istinsku radost umetnika. ,,Novi matematicˇki rezultat, potpuno nov, koji
nikad pre niko nije naslutio ili razumeo, negovan od prve privremene hipoteze, kroz la-
virinte pogresˇno pokusˇanih dokaza, pogresˇnih pristupa, neobec´avajuc´ih pravaca i kroz
mesece i godine tesˇkog i delikatnog rada – nema nicˇega, gotovo nicˇega, na svetu sˇto mozˇe
pruzˇiti takvu radost i osec´aj moc´i i dusˇevnog mira, da se mozˇe uporediti sa onim sˇto osec´a
njegov stvaralac. A velika matematicˇka gradevina je trijumf koji sˇapuc´e o besmrtnosti.“79
77 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 410.
78 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 409.
79 Philip J. Davis, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden marke-
ting, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 58.
2.
ELEMENTI MATEMATI ˇCKE ANALIZE NA
TEHNI ˇCKIM FAKULTETIMA
2.1. PROGRAM MATEMATI ˇCKE ANALIZE NA TEHNI ˇCKIM FAKULTETIMA
Predavacˇi imaju tendenciju da se oslanjaju na sopstvena sec´anja na ono sˇto su
ucˇili kad su bili u sˇkoli. Madutim, iz mnogo razloga, situacija danas je znatno druga cˇija.
Nastavni plan treba posmatrati u ovom trenutku.1
Baumslag isticˇe nekoliko vazˇnih cˇinjenica. Studenti koji dolaze iz sˇkole nisu dovoljno
pripremljeni. U srednjoj sˇkoli dokazi su dati samo kao nebitna forma i ne ocˇekuje se
da ih daci razumeju, a kamo li da znaju. Dolaskom na univerzitet, gde saznaju da su
definicije i dokazi veoma vazˇni delovi kursa, oni shvate da su na gubitku. Promene u
sˇkolama, promene u nastavnom programu, smanjen kriterijum i vec´i obim upisa doveli
su do toga da su na fakultetima primani slabiji i manje pripremljeni studenti. Oni su
manje spremni na borbu da pronadu resˇenje. Radije odustaju posle kratkog pokusˇaja da
problem resˇe. Istovremeno, umesto visˇe studentima se posvec´uje manje vremena, sˇto
narocˇito pogada slabe studente. Finansiranje studija nije povec´ano srazmerno broju
i potrebama. Svi ovi razlozi doprineli su olaksˇavanju i pojednostavljivanju nastave i
samog predmeta.
Susˇtinska odlika modernog univerziteta jeste izvrsnost. Na univerzitetu uvek je bio
cilj da studenti dobiju znanje i najvisˇi moguc´i standard akademskog uspeha. Od njih
se ocˇekuje da izadu u drusˇtvo i da proizvode nove ideje i nove tehnologije. Ukoliko
se standardi kurseva dramaticˇno spuste i prilagode slabim i losˇe obrazovanim studen-
tima, univerzitet nec´e uspeti u najvazˇnijoj obavezi da iznedri izvanredne diplomce,
sposobne, masˇtovite, sa sˇirokim opsegom znanja i vesˇtina. Tesˇko je prilagoditi kurs do-
brim studentima i mozˇe se dogoditi da c´e im biti dosadno. Zbog toga postoji misˇljenje
da treba brinuti o pametnim studentima. To c´e sigurno uspeti. Pametni prolaze dobro i
nose se uspesˇno sa tesˇkoc´ama. ˇSta je resˇenje?
Ne smemo zanemarivati bolje studente i za njih treba obezbediti zahtevne kurseve.
Na univerzitetu moraju da se obezbede kursevi koji odgovaraju razlicˇitim student-
skim sposobnostima i interesovanjima. Pored toga treba imati u vidu kurseve koji tek
1 Baumslag B., 2000, Fundamentals of Teaching Mathematics at University Level, Imperial College
Press, London, p. 6.
2.1. Program matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima 27
ocˇekuju studente. Svaka faza studija treba da bude dizajnirana prema studentima koji
su prosˇli u narednu fazu, a gradivo da se nastavi tamo gde je prethodno zavrsˇeno.2
Prema Posneru nastavni program sadrzˇi visˇe elemenata, medu kojima su:
1. podrucˇje i redosled ucˇenja – matrica ciljeva za pojedine nivoe obrazovanja koji
su grupisani prema podrucˇjima;
2. silabus – plan kursa koji obicˇno sadrzˇi obrazlozˇenje, teme, resurse i evaluaciju;
3. pregled sadrzˇaja – lista obuhvac´enih tema;
4. standardi – lista znanja i vesˇtina koje poseduju studenti nakon zavrsˇetka sˇkolova-
nja;
5. udzˇbenici – nastavni materijal korisˇc´en u nastavi.3
Marsˇ isticˇe da kurikulum cˇine predmeti koji su najkorisniji za savremeni zˇivot, a
prema Smitu to su ishodi koje studenti treba da postignu.4
Termin silabus uglavnom se vezuje za univerzitetsku nastavu, odnosno univerzitet-
ske kurseve sa znacˇenjem nastavnog programa, programa kursa, nastavnog plana, pre-
gleda sadrzˇaja, pregleda i rasporeda predavanja. Drugi autori smatraju da je silabus deo
kurikuluma koji je usmeren na specifikaciju nastavnih jedinica, sˇto zavisi od specifikacije
nacˇina ucˇenja tih jedinica, cˇime se bavi metodika.
Ishodi definisˇu ono sˇto ucˇenik treba da zna, razume, vrednuje, i sˇto je u stanju da
uradi... Kurikulum se ne bavi toliko pitanjem sˇta c´e se ucˇiti, kako i kada, koliko pi-
tanjem sˇta c´e biti naucˇeno. Kurikulum je u susˇtini program aktivnosti nastavnika i
ucˇenika usmerenih na ostvarivanje odredenih ciljeva i ishoda obrazovanja.5
Pazˇnja se usmerava na ono sˇto student cˇini u situacijama interakcije i organizova-
nog ucˇenja, poput opazˇanja, resˇavanja problema, razmena ideja i iskustava, razumevanja,
rezonovanja, kriticˇkog misˇljenja, konstruisanja, eksperimentisanja, stvaranja alternativa, i
dr.
Za kreiranje programa nastave i njegove strukture isticˇu se tri dominantna pristupa:
(i) Pristup usmeren na sadrzˇaj, odnosno program (content based/programe based).
To je tradicionalni pristup u kome se popisuju oblasti ili teme koje c´e se pre-
davati. Ovaj pristup opravdava se cˇinjenicom da nije moguc´e predvideti koja
vrsta znanja c´e biti potrebna u blizˇoj ili daljoj buduc´nosti. Smisao obrazovanja
u tom duhu jeste da obezbedi opsˇte, univerzalno i strukturirano znanje koje se
prezentuje putem sˇirih principa, pojmova i teorija.
2 Baumslag B., 2000, Fundamentals of Teaching Mathematics at University Level, Imperial College
Press, London, p. 14–22.
3 Miomir Despotovic´, 2010, Razvoj kurikuluma u stru cˇnom obrazovanju, Filozofski fakultet, Univerzitet
u Beogradu, str. 21.
4 Miomir Despotovic´, 2010, Razvoj kurikuluma u stru cˇnom obrazovanju, Filozofski fakultet, Univerzitet
u Beogradu, str. 21.
5 Miomir Despotovic´, 2010, Razvoj kurikuluma u stru cˇnom obrazovanju, Filozofski fakultet, Univerzitet
u Beogradu, str. 29.
2.1. Program matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima 28
(ii) Pristup usmeren na aktivnosti i iskustvo ucˇenja (activities based/experience ba-
sed). U ovom pristupu primarni uticaj ima izbor i organizacija metoda, tehnika,
strategija ucˇenja i nastave. On omoguc´ava razvoj opsˇtih sposobnosti, kriticˇkog
misˇljenja, formulisanja i resˇavanja problema.
(iii) Pristup usmeren na ishode (outcome based). Najvazˇnije je sˇta c´e biti naucˇeno.
Obrazovanje i ucˇenje pripremaju studenta za razumevanje konteksta, za funk-
cionisanje u njemu. Krajnji efekat ucˇenja je unapred i jasno definisan i postaje
primarna stvar u procesu ucˇenja.6
Ideja nam je da u ovom delu prikazˇemo strukturu kurikuluma matematicˇke analize
na elektrotehnicˇkim, gradevinskim i masˇinskim fakultetima u Srbiji (Univerzitet u Beo-
gradu, Univerzitet u Novom Sadu i Univerzitet u Nisˇu). Analiza kurikuluma izvrsˇic´e se
poredenjem sa Univerzitetom u Berlinu i Univerzitetom u ˇStutgartu.
2.1.1. Uporedivanje kurikuluma Univerziteta u Berlinu sa elektrotehnicˇkim fakulte-
tima u Srbiji
Kada se uporede ciljevi ucˇenja matematicˇke analize na Univerzitetu u Berlinu (Fa-
kultet za elektrotehniku i matematiku) sa ciljevima i ishodima na elektrotehnicˇkim fakul-
tetima u Srbiji, uocˇava se sledec´e: za prvi predmet u prvoj godini studija na Univerzitetu
u Berlinu postoji tzv. preporucˇeni preduslov koji podrazumeva dve stvari. Prvo, neop-
hodno je intenzivno znanje matematike iz srednje sˇkole. Drugo, preporucˇuje se ucˇesˇc´e na
tronedeljnom kursu pre pocˇetka zimskog semestra. Preporucˇeni preduslovi nisu samo na-
znacˇeni na pocˇetku studija vec´ za svaki matematicˇki predmet i preporuka je da se sledec´i
predmet slusˇa ako su prethodni polozˇeni.
Zasˇto su ovi preduslovi vazˇni? Zbog toga sˇto je za pocˇetak nastave na univerzitetu iz
matematicˇkih predmeta vazˇno predznanje. Tronedeljni kurs pomazˇe da se buduc´i studenti
prilagode zahtevima fakultetske nastave. Ovih preduslova na elektrotehnicˇkim fakulte-
tima u Srbiji nema. Kod nas se organizuje prijemni ispit za upis na fakultete (60 bodova)
i vrednuje uspeh iz srednje sˇkole (40 bodova). Upisom su pripreme za buduc´e studente
zavrsˇene.
Ciljevi ucˇenja na Univerzitetu u Berlinu veoma su znacˇajni. Interesantno je da po-
sle prve godine studija cilj ucˇenja podrazumeva homogenizaciju gradiva iz srednje sˇkole.
Na daljim nivoima, pored majstorstva i istrazˇivacˇkog majstorstva, ciljevi sadrzˇe elemente
rezultata u primeni koji treba da se postignu. Na primer, primena matematike za modelo-
vanje inzˇenjerskih problema, upravljanje dinamicˇkim problemima i slicˇno. Ciljevi ucˇenja
su pogodili susˇtinu nastave matematicˇke analize. U poredenju sa formalno postavljenim
6 Miomir Despotovic´, 2010, Razvoj kurikuluma u stru cˇnom obrazovanju, Filozofski fakultet, Univerzitet
u Beogradu, str. 70.
2.1. Program matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima 29
ciljevima i ishodima na elektrotehnicˇkim fakultetima u Srbiji, ovaj pristup sadrzˇi znacˇajan
iskorak i mozˇe da bude uzor u izradi stranica predmeta i pripreme za nastavu.
U okviru obaveznih predmeta koje studenti pohadaju, sadrzˇaj predmeta na Univerzi-
tetu u Berlinu je obimniji i zahtevniji od sadrzˇaja na elektrotehnicˇkim fakultetima u Srbiji.
To govori o znacˇaju matematike za studije elektrotehnike i primenu. ˇSto se literature ticˇe,
interesantno je da se preporucˇuje eksterno udzˇbenik od istog autora za sve predmete ma-
tematike, a da su profesori u obavezi da pored udzˇbenika studentima pripreme i skripte u
papirnom i elektronskom obliku.
Na Univerzitetu u Berlinu za Linearnu algebru za inzˇenjere predvideno je 60 sati
predavanja i vezˇbi, zatim 90 sati samostalnog rada i 30 sati za pripremu ispita, sˇto je
ukupno 180 sati rada. Analiza I za inzˇenjere obuhvata 90 sati predavanja i vezˇbi, zatim
120 sati samostalnog rada i 30 sati za pripremu ispita, sˇto je ukupno 240 sati rada. U
Analizi II takode je predvideno 240 sati rada ukupno. U planu za Integralne transformacije
i parcijalne diferencijalne jednacˇine to je 180 sati rada ukupno, kao i za Analizu III.
Ispit na Univerzitetu u Berlinu cˇine pismeni ispit i uradeni domac´i zadaci.
2.1.2. Uporedivanje kurikuluma Univerziteta u ˇStutgartu sa tehnicˇkim fakultetima
u Srbiji
Univerzitet u ˇStutgartu ima isti program matematike za gradevinski i masˇinski fa-
kultet. Kada se uporede ciljevi ucˇenja sa tehnicˇkim fakultetima u Srbiji, interesantno je
sledec´e. Ciljevi ucˇenja na Univerzitetu u ˇStutgartu su eksplicitni i glase: Studenti c´e biti u
stanju da samostalno primene svoje znanje na kreativan i kriti cˇki nacˇin. Studenti c´e pose-
dovati matematicˇku osnovu za razumevanje kvantitativnih modela iz inzˇenjerskih nauka.
Studenti c´e biti u stanju da koriste matematiku, zajedno sa strucˇnjacima iz inzˇenjerskih
oblasti.
Na tehnicˇkim fakultetima u Srbiji ciljevi su dati kao nabrajanje oblasti kojima stu-
denti treba da ovladaju. ˇSto se ishoda ticˇe: Ovladavanje matematicˇkim aparatom neop-
hodnim za teorijske i strucˇne predmete (GF, BG i NI), Podizanje opsˇteg obrazovnog nivoa,
formiranje radnih navika i sistematicˇnosti u radu, kao i izosˇtravanje kriticˇnosti. Student
treba da razume gradivo u meri koja mu je dovoljna za primenu pri resˇavanju konkretnih
problema, i za uspesˇno prac´enje nastave strucˇnih predmeta (MF, BG). Uporedivanjem ci-
ljeva i ishoda dolazimo do jasnog zakljucˇka da Univerzitet u ˇStutgartu predvida znacˇajne
rezultate u primeni matematike koji treba da se postignu. Tehnicˇki fakultet, formalno,
ima slicˇne ideje za obrazovne ciljeve i ishode. Cilj: Osposobljavanje studenata za ap-
straktno misˇljenje, generalizaciju i sticanje matematicˇkog znanja za primenu u tehnici.
Ishodi: Student je osposobljen za primenu matematicˇkih modela u strucˇnim predmetima.
Na sledec´im nivoima ishodi se predvidaju za primenu matematike u struci i inzˇenjerskoj
praksi.
2.1. Program matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima 30
U sadrzˇajnom smislu primec´uje se da na MF u Beogradu, ali ni na GF u Nisˇu, nije
predvideno izucˇavanje Furijeovih redova. ˇSto se literature ticˇe, na Univerzitetu u ˇStutgartu
u ponudi je visˇe udzˇbenika za navedeni predmet, od kojih se jedan poklapa sa Univer-
zitetom u Berlinu. Na tehnicˇkom fakultetu u Novom Sadu ponudeni su udzˇbenici koji
pokrivaju razlicˇite oblasti, autora koji su predavacˇi. Na Univerzitetu u Nisˇu postoji jedna
specificˇnost, u ponudi literature je Zbirka zadataka autora Milicˇic´a i Usˇc´umlic´a, sa preko
cˇetiri hiljade zadataka, sˇto je neprimereno za pripremanje ispita. Na Masˇinskom fakultetu
u Beogradu, pored profesora koji predaju matematiku u ponudi je udzˇbenik Elementi di-
ferencijalnog i integralnog racˇuna od autora D. Tosˇic´a, M. Albijanic´a i D. Milenkovic´, za
Matematiku 2.
2.2. Elementi matematicˇke analize 31
2.2. ELEMENTI MATEMATI ˇCKE ANALIZE
2.2.1. Matematicˇka logika i skupovi
Tezˇnja za objedinjavanjem matematicˇke teorije zasniva se na misaonim konstrukci-
jama na kojima bi se mogla zasnivati cˇitava matematicˇka nauka. Vazˇno je pronac´i sistem
aksioma, pravila zakljucˇivanja i omoguc´iti deduktivnu izgranju matematicˇkih teorija.
Istinitost aksioma oslanja se na neposrednu intuiciju i iskustvo, a pravila zakljucˇivanja
na matematicˇku logiku. Logika je nauka cˇiji je jedan od vazˇnih predmeta istrazˇivanje
ispravnosti potpunih svedocˇanstava – dokaza. Osnovna ideja, u ovom delu, jeste da se
prihvate termini istinitosnih vrednosti, i to tacˇno  i netacˇno ⊥. Takode je vazˇno da se
razume metoda svodenja na protivrecˇnost. Konstante i ⊥, cˇiji operacijski deo cˇine cˇetiri
binarne operacije ∧, ∨, ⇒ i ⇔ i jedna unarna operacija ¬ je iskazna algebra
p q p∧q p∨q p ⇒ q p ⇔ q
     
 ⊥ ⊥  ⊥ ⊥
⊥  ⊥   ⊥
⊥ ⊥ ⊥ ⊥  
p ¬q
 ⊥
⊥ 
Definicija iskazne formule.
(i) Sama iskazna slova i konstante , ⊥ su formule
(ii) Ako su A i B formule onda su i A∨B, A∧B, A⇒ B, A⇔ B i ¬A takode formule.
(iii) Iskazne formule mogu se graditi samo konacˇnom primenom (i) i (ii).
Iskazna formula A je tautologija ako i samo ako za sve vrednosti svojih iskaznih
slova formula A dobije vrednost .
Iskazna slova p, q, r, . . . i njihove negacije mogu se interpretirati kao strujni relejni
prekidacˇi. Simboli , ⊥ kao ukljucˇen, iskljucˇen. Na primer, ako su A i B iskazne formule
koje su vec´ interpretirane kao relejne prekidacˇke mrezˇe (sheme) A i B
tada se formule A∨B, A∧B interpretiraju kao sledec´e sheme
A
B
A B
Slika 1 – Relejne mrezˇe
2.2. Elementi matematicˇke analize 32
PRIMER 1. Spisak vazˇnijih tautologija:
p ⇒ p zakon refleksivnosti
p∨¬p zakon iskljucˇenja trec´eg
¬(p ⇒ q)⇐⇒ p∧¬q zakon negiranja implikacije
(p ⇒ q)⇐⇒¬p∨q zakon uklanjanja implikacije
(p ⇒ q)⇐⇒ (¬q ⇒¬p) zakon kontrapozicije
(p ⇔ q)⇐⇒ ((p ⇒ q)∧ (q ⇒ p)) zakon uklanjanja ekvivalencije
(¬p ⇒ (q∧¬q))⇒ p zakon svodenja na apsurd
¬(p∨q)⇐⇒¬p∧¬q De Morganov zakon
¬(p∧q)⇐⇒¬p∨¬q De Morganov zakon
(p∧ (p ⇒ q))⇒ q modus ponens
p∧ (q∨ r)⇐⇒ (p∧q)∨ (p∧ r) zakon distribucije
PRIMER 2. Metodom svodenja na protivrecˇnost, dokazati da je iskazna formula modus po-
nens tautologija(
p∧ (p ⇒ q))⇒ q (modus ponens)
DOKAZ. Pretpostavimo suprotno da iskazna formula modus ponens nije tautologija, odno-
sno za neke vrednosti slova p i q formula ima vrednost ⊥. Odnosno, τ(F) =⊥.
Posˇto je implikacija, to se mozˇe desiti samo u slucˇaju τ(p∧ (p ⇒ q))= i τ(q) =⊥.
Konjukcija ima vrednost tacˇno ako oba cˇinioca te konjukcije imaju vrednost , odnosno
τ(p) = i τ(p ⇒ q) =.
Posˇto je τ(p) = onda se iz formule
τ(⇒ q) = dobija da je (q) = (jer bi za τ(q) =⊥ bilo ⇒⊥=⊥).
Ako formula nije tautologija, onda je τ(q) = ⊥ i τ(q) =  sˇto je protivrecˇnost ili kontradikcija.
Zakljucˇak: Navedena formula jeste tautologija.
PRIMER 3. Metodom dovodenja na konjuktivni oblik dokazati da je iskazna formula modus
tolens tautologija.
((p ⇒ q)∧q))⇒ p (modus tolens)
DOKAZ. Ekvivalentnim transformacija dobija se:
(eliminacijom spoljne implikacije ⇒ na osnovu (A ⇒ B)⇔ (¬A∨B))
((p ⇒ q)∧¬q)⇒¬p ⇔¬((p ⇒ q)∧¬q)∨¬p
(negiranjem konjukcije, primenom De Morganovog zakona ¬(A∧B)⇔¬A∨¬B)
⇔ (¬(p ⇒ q)∨¬(¬q))∨¬p
(na osnovu ¬¬q = q i primenom ¬(A ⇒ B)⇔ A∧¬B)
⇔ ((p∧¬q)∨q)∨¬p
(primenom distribucije ∨ prema ∧)
⇔ ((p∨q)∧ (¬q∨q))∨¬p
2.2. Elementi matematicˇke analize 33
(distributivnost ∨ prema ∧)
⇔ ((p∨q)∨¬p)∧ ((¬q∨q)∨¬p)
(asocijativnost, komutativnost i asocijativnost ∨)
⇔ ((p∨¬p)∨q)∧ ((¬q∨q)∨¬p).
Ovde se staje jer poslednja formula jeste tautologija zbog cˇinjenice da je vrednost
τ(p∨¬p) = i τ(¬q∨q) =.
To znacˇi da i pocˇetna, ekvivalentna formula, jeste tautologija.
Skupovi i operacije
Pojam skupa i pojam elementa (cˇlana) skupa, kao osnovni pojmovi koji su intuitivno
jasni, ne definisˇu se. Oni imaju oslonac u iskustvu i zdravom razumu. Dalji sistem aksi-
oma i definicija omoguc´ava deduktivnu izgradnju opsˇte teorije. Tako se u opsˇtoj teoriji
skupova pojam skupa i njegovih elemenata uzdizˇe na visˇi nivo apstrakcije. Uz odredene
interpretacije skupova i njihovih elemenata i pomoc´u vazˇnog pojma funkcije (preslikava-
nja) mogu se razviti i opisati ranije izgradene matematicˇke teorije. Ideja vodilja je da se
odredeni skupovi organizuju kao strukture, tj. da se uvedu odredeni odnosi medu elemen-
tima datog skupa. Postoje razlicˇiti tipovi matematicˇkih struktura, pa se govori o algebar-
skim strukturama kojima se uvode i opisuju operacije medu elementima skupa, zatim o
uredenim strukturama kojima se uspostavlja poredak izmedu elemenata skupa, pa o me-
tricˇkim strukturama kojima se definisˇe polozˇaj i medusobna udaljenost izmedu elemenata
skupa.
Kada se govori o matematicˇkim strukturama i uvodi osnovni trocˇlani skup {alge-
barske strukture, uredene strukture, metricˇke strukture}, onda je ovo istovremeno primer
Apolonijevog univerzalnog sistema koji se mozˇe primeniti i nac´i u nauci, umetnosti, pri-
rodi, kao i kod samog cˇoveka.7
Skup i njegovi elementi (cˇlanovi, tacˇke) osnovni su pojmovi matematike.
Skupove oznacˇavamo velikim latinicˇnim slovima A,B, . . . ,X ,Y, . . . , a elemente ma-
lim slovima a,b, . . . ,x,y, . . . ˇCinjenicu da element a pripada skupu A oznacˇavamo sa a∈ A
ili A 
 a. U protivnom pisˇemo a ∈ A. Ako a1,a2, . . . ,an pripadaju skupu A, onda zapisu-
jemo a1,a2, . . . ,an ∈ A. Prazan skup nema nijedan element. obelezˇava se sa ∅.
Sa A = {x|P(x)} ili A = {x : P(x)} oznacˇava se skup svih elemenata x koji imaju
osobinu P.
7 Milosˇ ˇCanak, 2014, Das Geheimnis der Apollonischen Beru¨hrungsprobleme, XII Oster Symposion
zur Geschichte der Mathematik, s. 44-58, Miesenbach.
2.2. Elementi matematicˇke analize 34
Ako je n prirodan broj, skup A = {x1, . . . ,xn} od n elemenata x1, . . . ,xn je konacˇan.
Prazan skup je konacˇan (ima nula elemenata). Skup je beskonacˇan ako broj njegovih
elemenata nije konacˇan.
Za skup B kazˇe se da je podskup ili deo skupa A, ako je svaki element skupa B takode
element skupa A, tj. ako iz x ∈ B sledi x ∈ A, i oznacˇava se B ⊂ A ili A ⊃ B.
B ⊂ A ⇔ (∀x)(x ∈ B ⇒ x ∈ A).
Ako su A i B dva skupa, unija skupova A i B (u oznaci A∪B) jeste skup cˇiji su
elemenati svi elementi skupa A i svi elementi skupa B, i samo oni.
A∪B = {x| x ∈ A∨ x ∈ B}
Unija skupova A1, . . . ,An obelezˇava se sa
n⋃
i=1
Ai.
Slika 2 – Podskup skupa, unija i presek skupova
Presek (zajednicˇki deo) datih skupova A i B (u oznaci A∩B) jeste skup svih eleme-
nata koji pripadaju i skupu A i skupu B, i samo takvih.
A∩B = {x| x ∈ A∧ x ∈ B}.
Za dva skupa se kazˇe da su disjunktni ako nemaju zajednicˇkih elemenata.
Slika 3 – Razlika skupova i komplement skupa
Razlika skupova A i B, u oznaci A\B, jeste skup svih elemenata koji pripadaju skupu
A i ne pripadaju skupu B.
A\B = {x |x ∈ A∧ x ∈ B}.
Ako je A ⊂ S, komplement skupa A u odnosu na skup S jeste skup
AC = {x |x ∈ A∧ x ∈ S}, odnosno AC = S\A.
2.2. Elementi matematicˇke analize 35
Oznaku AC koristimo onda kada se skup S podrazumeva (jasan je iz konteksta).
Razlika skupova A i B mozˇe se zapisati kao A\B = A∩BC.
Simetricˇna razlika oznacˇava se AB = (A\B)∪ (B\A).
Partitivni skup skupa S, u oznaci P(S), jeste skup svih podskupova skupa S.
Kako je prazan skup podskup svakog skupa, i kako je svaki skup podskup samog
sebe, iz gornje definicije sledi da ∅ ∈ P(S) i S ∈ P(S).
Za skupove A,B,C,S,P(S) vazˇe sledec´a tvrd enja:
A∪A = A, A∩A = A,
A∪B = B∪A, A∩B = B∩A,
(A∪B)∪C = A∪ (B∪C), (A∩B)∩C = A∩ (B∩C),
(A∪B)∪C = (A∪C)∪ (B∪C), (A∩B)∩C = (A∩C)∩ (B∩C),
A ⊂ B ⇒ A∪B = B, A ⊂ B ⇒ A∩B = A,
(A∪B)∩C = (A∩C)∪ (B∩C), (A∩B)∪C = (A∪C)∩ (B∪C),
A∪AC = S (A ⊂ S), A∩AC =∅, (A ⊂ S),
(A∪B)C = AC ∩BC (A,B ⊂ S), (A∩B)C = AC ∪BC (A,B ⊂ S).
Ako su A,B ∈ P(S), tada su AC,A∪B,A∩B takode elementi skupa P(S).
PRIMER 4. Dokazati da za skupove vazˇe de Morganova pravila
(A∪B)C = AC ∩BC
(A∩B)C = AC ∪BC
gde su A,B ⊂ S.
DOKAZ.
x ∈ (A∪B)C ⇔ x /∈ A∪B
⇔ x /∈ A∧ x /∈ B
⇔ x ∈ AC ∧ x ∈ BC
⇔ x ∈ AC ∩BC.
PRIMER 5. Dokazati A ⊆ D∧B ⊆ D∧C ⊆ D ako i samo ako A∪B∪C ⊆ D.
UPUTSTVO. Odgovarajuc´a tautologija je
(p ⇒ s)∧ (q ⇒ s)∧ (r ⇒ s)⇔ (p∨q∨ r ⇒ s)
Dekartov proizvod dva skupa X i Y jeste skup Z cˇiji su elementi uredeni parovi sa
prvom komponentom iz skupa X i drugom iz skupa Y, tj.
Z = X ×Y = {(x,y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y}.
2.2. Elementi matematicˇke analize 36
Dekartov proizvod nije u opsˇtem slucˇaju komutativna operacija, tj. X ×Y = Y ×X .
Dekartov proizvod kao skupovna operacija vodi nas u visˇe dimenzija u teoriji sku-
pova. Dekartov proizvod n skupova X1, . . . ,Xn je
X1×·· ·×Xn =
{
(x1, . . . ,xn) | x1 ∈ X1∧ . . .∧ xn ∈ Xn
}
.
Dekartovi proizvodi X ×X ,X ×X ×X , . . . obelezˇavaju se redom sa X 2,X3, . . .
Ako su X i Y dva skupa, binarna relacija u skupu X ×Y jeste svaki njegov podskup.
U specijalnom slucˇaju Y = X binarna relacija je svaki podskup skupa X ×X .
Neka je ρ binarna relacija u skupu X ×Y. Kaˇzemo da je x u relaciji ρ sa y (u oznaci xρ y)
ako je (x,y) ∈ ρ , sˇto skrac´eno pisˇemo (x,y) ∈ ρ ⇔ xρ y.
Na primer, relacije >,<,, su binarne relacije u skupu realnih brojeva R.
Neka je S proizvoljan skup i ρ relacija u skupu S.
ρ je REFLEKSIVNA ako i samo ako xρ x,
ρ je SIMETRICˇNA ako i samo ako xρ y ⇒ yρ x,
ρ je ANTISIMETRICˇNA ako i samo ako xρ y∧ yρ x ⇒ x = y,
ρ je TRANZITIVNA ako i samo ako xρ y∧ yρ z ⇒ xρ z.
Relacija ekvivalencije (RST). Relacija ρ zove se relacija ekvivalencije ako je REFLEK-
SIVNA, SIMETRICˇNA i TRANZITIVNA.
Relacija ekvivalencije na nekom skupu S mozˇe se poistovetiti sa podelom skupa S na dis-
junktne delove – klase ekvivalencije. Svi elementi jedne klase su u relaciji, a bilo koja dva elementa
iz razlicˇitih klasa nisu ekvivalentna.
Relacija poretka (RAT). Relacija ρ zove se relacija poretka ako je REFLEKSIVNA, ANTI-
SIMETRICˇNA i TRANZITIVNA.
Aksiome skupa realnih brojeva
U nastavi matematike se izucˇavaju razlicˇiti skupovi brojeva i operacije nad njima.
Skup prirodnih brojeva N= {1,2, . . . ,n, . . .}.
Skup celih brojeva Z= {0,1,−1,2,−2,3,−3, . . . ,n,−n, . . .}, n ∈ N.
Skup racionalnih brojeva Q=
{ p
q
∣∣∣ p,q ∈ Z, q = 0
}
.
Racionalni brojevi mogu se predstaviti u obliku konaˇcnog decimalnog zapisa ili u obliku
beskonacˇnog periodicˇnog decimalnog zapisa.
Skup iracionalnih brojeva I= {√2,√3,e,π, . . .}. Iracionalni brojevi su oblika beskonacˇnog
neperiodicˇnog decimalnog zapisa.
2.2. Elementi matematicˇke analize 37
Skup realnih brojeva R=Q∪ I.
Izmedu ovih skupova vazˇe relacije N⊂ Z⊂Q⊂ R.
Skup racionalnih brojeva svuda je gust. Na primer, za dva racionalna broja a i b, a < b,
racionalni broj a+b
2
je izmedu njih, odnosno
a <
a+b
2
< b, a,b ∈Q.
Algebarska struktura skupa prirodnih brojeva (dve racˇunske operacije sabiranje i mnozˇenje)
nema moguc´nost resˇavanja jednostavnih jednacˇina tipa m+ x = n i mx = n za sve vrednosti pri-
rodnih brojeva m i n.
Prva jednacˇina ima jedinstveno resˇenje u skupu celih brojeva, a druga u skupu racionalnih
brojeva ima: (1) jedinstveno resˇenje x = n
m
, m = 0; (2) beskonacˇno mnogo resˇenja za m = n = 0 i
(3) za m = 0 i n = 0 nema resˇenja.
U skupu racionalnih brojeva postoji metricˇka struktura odnosno medusobne udaljenosti bro-
jeva d = |b−a| 0, a,b ∈Q.
U Pitagorino doba pojavio se problem u vidu cˇinjenice da dijagonala kvadrata nije samer-
ljiva sa stranicom. ˇCinjenica da √2 nije racionalan broj, prema predanju, ,,dosˇla je glave“ jednom
ucˇeniku.
PRIMER 6. Dokazati da
√
2 nije racionalan broj.
DOKAZ. (I nacˇin) Pretpostavimo suprotno, da je √2 = p
q
i da su p i q uzajamno prosti
brojevi. Tada je 2 = p
2
q2
, tj. p2 = 2q2, pa je p paran broj. Ako napisˇemo p = 2r, onda je 4r2 = 2q2.
Odatle je q2 = 2r2, sˇto znacˇi da je i q paran, tj. q = 2s. ˇCinjenica da su p i q parni suprotna je sa
pretpostavkom da su p i q uzajamno prosti. Kontradikcija.
DOKAZ. (II nacˇin) Posmatrajmo jednacˇinu p2 = 2q2, gde su p i q uzajamno prosti brojevi.
Zbog toga se q ne mozˇe zavrsˇavati sa 0 ili 5. Ako se q zavrsˇava sa 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ili 9, onda
se 2q2 zavrsˇava redom sa 2, 8, 8, 2, 2, 8, 8, 2. Medutim, ne postoji prirodan broj p cˇiji se kvadrat
zavrsˇava sa 2 ili 8, pa jednacˇina p2 = 2q2 nema smisla.
Aksiome skupa realnih brojeva utemeljili su Kantor, Dedekind i Vajersˇtras. Aksiome uklju-
cˇuju operacije sabiranja i mnozˇenja, poredak u skupu realnih brojeva i odnos relacija  i  prema
sabiranju i mnozˇenju.
Posebna uloga prirodnih brojeva, kao dela racionalnih odnosno realnih brojeva, opisuje se
tzv. Arhimedovom aksiomom, dok se tzv. aksiomom neprekidnosti racionalni brojevi nadopunjuju
iracionalnim brojevima i tako dobija skup svih realnih brojeva.
Aksiome realnih brojeva. Pod skupom realnih brojeva podrazumevamo skup R u
kome su definisane dve binarne operacije + i · (koje zovemo sabiranjem i mnozˇenjem) i
binarna relacija  tako da vazˇe sledec´e aksiome:
2.2. Elementi matematicˇke analize 38
(i) svojstva sabiranja
a+b = b+a
(a+b)+ c = a+(b+ c)
a+0 = a
a+(−a) = (−a)+a = 0.
(ii) svojstva mnozˇenja
a ·b = b ·a
(a ·b) · c = a · (b · c)
a ·1 = a
a ·a−1 = a−1 ·a = 1, a = 0
a · (b+ c) = a ·b+a · c
(iii) svojstva uredenja
a a
a b ili b a
a b i b a povlacˇi a = b
a b i b c povlacˇi a c
a b povlacˇi a+ c b+ c
0 a i 0 b povlacˇi 0 a ·b.
(iv) aksioma neprekidnosti
Ako su X i Y neprazni podskupovi skupa R, takvi da je za sve x ∈ X i y ∈ Y
ispunjeno x  y, onda postoji takav c ∈ R da vazˇi x  c  y za sve elemente
x ∈ X i y ∈ Y .
Napomena. Aksioma neprekidnosti ima mnoge ekvivalente. Najcˇesˇc´e se koristi tzv.
aksioma supremuma koja glasi:
Svaki neprazan i sa gornje strane ogranicˇen podskup X skupa R ima supremum.
Da bi se ovo razumelo u daljem tekstu je objasˇnjenje pojmova supremuma i infi-
numa.
Definicija ogranicˇenog skupa. Za skup X koji predstavlja neki neprazan podskup
skupa realnih brojeva kazˇe se da je ogranicˇen sa gornje strane ako postoji realan broj
M takav da je x  M za svaki x ∈ X . Tada se M zove gornje ogranicˇenje skupa X ili
majoranta skupa X.
Ako za skup X postoji realan broj m takav da je m x za svaki x ∈ X, tada se kazˇe
da je X ogranicˇen sa donje strane, pa se broj m naziva donje ogranicˇenje skupa X ili
minoranta skupa X.
Ako je X ogranicˇen i sa gornje i sa donje strane, tada kazˇemo da je X ogranicˇen,
odnosno postoje m,M ∈ X takvi da je m xM, za svako x ∈ X.
2.2. Elementi matematicˇke analize 39
Element A ∈ X je najvec´i ili maksimalni element skupa X ⊂R ako je x A za svaki
x ∈ X .
Element a ∈ X je najmanji ili minimalni element skupa X ⊂R ako je a < x za svako
x ∈ X
A = maxX ⇐⇒
(
A ∈ X ∧ ∀x ∈ X (x A)
)
a = minX ⇐⇒
(
a ∈ X ∧ ∀x ∈ X (a x)
)
.
Oznake maxX i minX cˇitamo maksimum X i minimum X .
Ako je M jedno gornje ogranicˇenje skupa X , gde je X podskup od R, to c´e svaki broj
b > M biti gornje ogranicˇenje, pa tako postoji beskonacˇno mnogo gornjih ogranicˇenja za
svaki skup koji je ogranicˇen sa gornje strane. Slicˇno vazˇi za donja ogranicˇenja. Dakle, sˇto
je manje gornje ogranicˇenje, odnosno sˇto je vec´e donje, tim je ono preciznije. Najprecizije
c´e biti (ako postoji) najmanje gornje ogranicˇenje X , tj. ono gornje ogranicˇenje M takvo
da za sva druga gornja ogranicˇenja b skupa X vazˇi M  b. Slicˇno m je najvec´e donje
ogranicˇenje skupa X ako za sva druga donja ogranicˇenja a vazˇi m  a. Najmanje gornje
ogranicˇenje skupa X (ako postoji) nazivamo gornja meda (ili supremum), a najvec´e donje
ogranicˇenje (ako postoji) donja meda (ili infimum) i oznacˇavamo ih sa supX i infX
supX = min
{
b ∈ R |∀x ∈ X (x b)}
infX = max
{
a ∈ R |∀x ∈ X (a x)}.
Arhimedova aksioma. Za svaki x ∈ R postoji n ∈ N tako da je x < n.
Drugim recˇima, skup prirodnih brojeva nije ogranicˇen odozgo. Takode vazˇi da skup
celih brojeva nije ogranicˇen ni odozgo ni odozdo.
Arhimedov princip. Neka je h > 0 proizvoljno fiksiran broj. Za svaki realan broj x
postoji jedinstveni ceo broj k takav da vazˇi
(k−1)h x kh.
DOKAZ . Skup Z nije ogranicˇen ni odozgo ni odozdo. Skup{
n ∈ Z
∣∣∣ xh < n
}
je podskup skupa celih brojeva koji je ogranicˇen odozdo. U njemu postoji minimalni
element koga oznacˇavamo sa k. Tada vazˇi
k−1 xh < k.
Posˇto je h > 0 dobija se
(k−1)h x < kh.
Jedinstvenost broja k ∈ Z sledi iz jedinstvenosti minimalnog elementa.
2.2. Elementi matematicˇke analize 40
Posledice Arhimedovog principa.
(1) Za svaki ε > 0 postoji n ∈ N tako da vazˇi 0 < 1
n
< ε .
(2) Ako je broj x ∈ R takav da je x 0 i za svaki n ∈ N vazˇi x < 1
n
onda je x = 0.
(3) Za svaka dva realna broja a,b∈R, a < b, postoji racionalan broj r ∈Q tako da
vazˇi a < r < b.
(4) Za svaki x ∈ R postoji jedinstveni broj k ∈ Z tako da vazˇi k  x k+1.
PRIMER 7. Odrediti infX i sup X gde je X = {x ∈ R | 0 < x 1}.
RESˇENJE. Broj 0 je minoranta (donje ogranicˇenje) skupa X = {x ∈R | 0< x 1}. Potrebno
je josˇ dokazati da je broj 0 najvec´e donje ogranicˇenje.
Uzmimo a = 1
n
, n ∈ N. Broj a ∈ X jer je 0 < 1
n
 1, n = 1,2, . . .
Ako pretpostavimo da je broj ε > 0 donje ogranicˇenje skupa X , onda vazˇi
1
n
> ε , n ∈ N.
Odavde je n < 1
ε
, n ∈ N, sˇto je suprotno Arhimedovoj aksiomi da za svaki realan broj (u
nasˇem slucˇaju 1
ε
) postoji prirodan broj vec´i do njega, odnosno n > 1
ε
. Kontradikcija!
Posˇto ε > 0 nije minoranta onda je broj 0 najvec´e donje ogranicˇenje tj. inf X = 0.
Kako je broj 1 maksimum skupa X onda je
maxX = supX = 1.
PRIMER 8. Neka je A =
{
n
n+1
∣∣∣ n ∈ N
}
. Tada je infA = 1
2
, supA = 1.
RESˇENJE.
(i) n
n+1
 1
2
, ∀n ∈ N, tj. x 1
2
, ∀x ∈ A, pa je minA = infA = 1
2
.
Broj 1 je majoranta skupa A. Potrebno je josˇ dokazati da je 1 najmanja majoranta.
Ako je L < 1 majoranta skupa A, onda je x L, ∀x ∈ A, tj. n
n+1
 L, ∀n ∈ N. Sledi
n
n+1
−1 L−1 ⇒− 1
n+1
 L−1 ⇒ 1
n+1
 1−L ⇒
n+1 1
1−L ⇒ n
1
1−L −1, ∀n ∈ N,
a prema Arhimedovoj aksiomi postoji prirodan broj vec´i od bilo kojeg realnog broja. Kontradik-
cija! Broj L < 1 nije majoranta pa je broj 1 najmanja majoranta. Odavde sledi da je sup A = 1.
PRIMER 9. Neka je X = {nan |0< a< 1 i n∈N}. Skup X ima maksimum i nema minimum.
Dokazati. Nac´i sup X i inf X .
2.2. Elementi matematicˇke analize 41
DOKAZ. (maxsup) Neka je xn = nan, 0 < a < 1, n ∈ N. Ispitajmo kada je xn  xn+1, tj.
xn
xn+1
 1.
xn
xn+1
=
nan
(n+1)an+1
=
n
(n+1)a
 1.
Poslednja nejednakost zavisi od parametra a pa razdvajamo slucˇajeve:
a ∈
(
0, 1
2
]
∨
(
1
2
,
2
3
]
∨
(
2
3 ,
3
4
]
∨ ·· ·
Ako je a ∈
(
0, 1
2
]
onda je x1  x2  x3  · · ·
Ako je a ∈
(
1
2
,
2
3
]
onda je x1  x2  x3  x4  · · ·
Ako je a ∈
(
2
3 ,
3
4
]
onda je x1  x2  x3  x4  x5  · · ·
.
.
.
Ako je a ∈
(
k−1
k ,
k
k+1
]
onda je x1  x2  · · · xk  xk+1  · · · Odavde sledi da je
xk = maxX = supX .
(inf) Oznacˇimo sa α = infX .
Neka je
nan = nb2n, gde je b =√a
= bn ·nbn
= bn
(
bn +bn + · · ·+bn︸ ︷︷ ︸
n puta
)
 bn
(
1+b+b2 + · · ·+bn−1)
= bn · 1−b
n
1−b
 bn · 1
1−b
= c ·bn, gde je c = 1
1−b > 0.
Dobili smo da je
n ·b2n  c ·bn.
Pretpostavimo da je
inf
{
cbn |n ∈ N}= λ > 0
Za neko n ∈ N vazˇi cbn < λb jer
λ
b nije minoranta (jer je λ najvec´a minoranta). Odavde je
cbn+2 = cbnb2 < λb b
2 = λb < λ
2.2. Elementi matematicˇke analize 42
sˇto je kontradikcija!
Sledi da je inf{cbn}= 0, pa je inf{nb2n}= 0, odnosno
inf{nan}= 0, n ∈N ili
infX = 0
2.2.2. Matematicˇka indukcija
Empirijska indukcija
Posmatranjem ili eksperimentisanjem u prirodnim naukama dobijaju se podaci koji
se odnose na neku pojavu. Iz ovih posebnih slucˇajeva, u obliku radne hipoteze ili zakona,
izvodi se stav za koji se ocˇekuje da dovoljno tacˇno opisuje ovu pojavu u svim slucˇajevima.
Ovako zakljucˇivanje zove se indukcija.
Drugim recˇima, indukcija je zakljucˇivanje kojim se iz stavova koji se odnose na
ogranicˇen broj pojedinih slucˇajeva iste vrste izvodi jedan opsˇti stav, tj. stav koji se od-
nosi na sve slucˇajeve te vrste. Takav metod zakljucˇivanja takode se naziva empirijska ili
nepotpuna indukcija.
Izvesnost zakona, utvrdenog navedenim putem, zavisi od broja posebnih ekspe-
rimenata (ogleda, opita, zapazˇanja), kao i od broja potvrda zakona o kome je recˇ. Ovakvim
nacˇinom se mozˇe doc´i do istinitih stavova, ali i do neistinitih zakljucˇaka.
Princip matematicˇke indukcije
Jedan sud P(n) istinit je za svaki prirodan broj n:
1◦ Ako je istinit za prirodan broj 1 i
2◦ Ako implikacija P(n)⇒ P(n+1) vazˇi za svaki prirodan broj n.
Tacˇka 1◦ cˇesto se zove baza indukcije, a tacˇka 2◦ induktivni korak.
U matematicˇkoj praksi se koristi i sledec´a formulacija.
Jedan sud P(n) istinit je za svaki prirodan broj n n0 :
1◦ Ako je istinit za prirodan broj n0  1 i
2◦ Ako implikacija P(n)⇒ P(n+1) vazˇi za svaki prirodan broj n n0.
Postoji uopsˇtenje u obliku tzv. transfinitne indukcije:
Jedan sud P(n) je istinit za svako n:
1◦ Ako je istinit za P(1), P(2), . . . ,P(k) i
2◦ Ako iz pretpostavke da su tacˇni sudovi P(n),P(n+1), . . . ,P(n+ k−1) izlazi da
je tacˇan sud P(n+ k).
2.2. Elementi matematicˇke analize 43
Princip matematicˇke indukcije zasnovan je na svojstvu: Svaki neprazan podskup od
N ima najmanji element.
Metod matematicˇke indukcije ima sˇiroke i raznovrsne primene. Intuicijom ili na neki
drugi nacˇin nasluc´uju se odredene formule i relacije kod kojih je argument prirodan broj.
Ovom metodom dobijena formula deduktivno se dokazuje.
Po misˇljenju Kolmogorova, razumevanje i umenje pravilnog primenjivanja mate-
maticˇke indukcije dobri su kriterijumi logicˇke zrelosti koja je sasvim neophodna mate-
maticˇaru.8
PRIMER 10. Dokazati da za svaki prirodan broj n vazˇi 1+2+ · · ·+n = n(n+1)
2
.
(i) Za n = 1 jednakost koju dokazujemo postaje 1 = 1(1+1)
2
i tacˇna je.
(ii) Pretpostavimo da je tacˇna formula P(n), tj. 1+ 2+ · · ·+ n = n(n+1)
2
je tacˇno za neko
n ∈ N. Dokazˇimo da je tacˇna formula P(n+1), odnosno
1+2+ · · ·+n+(n+1) = (n+1)
(
(n+1)+1
)
2
.
Tada je
1+2+ · · ·+n+(n+1) = n(n+1)
2
+(n+1) pretpostavka
=
(n+1)(n+2)
2
=
(n+1)
(
(n+1)+1
)
2
.
Dakle, vazˇi P(n+1). To znacˇi da je formula P(n) tacˇna za svako n ∈ N.
NAPOMENA. Na levoj strani formule P(n) je zbir aritmeticˇke progresije cˇiji je prvi cˇlan
a1 = 1 i n-ti an = n. Zbir je Sn = n2 (a1 +an) =
n
2
(1+n) .
PRIMER 11. (Bernulijeva nejednakost)9 Neka je a > −1 i a = 0. Dokazati da za svaki pri-
rodan broj n 2 vazˇi (1+a)n > 1+na.
(i) Za n = 2 nejednakost je (1+a)2 > 1+2a koja je ekvivalentna sa a2 > 0. Kako je a = 0,
ova nejednakost je tacˇna.
(ii) Pretpostavimo (1+a)n > 1+na. Tada je
(1+a)n+1 = (1+a)n(1+a)
> (1+an)(1+a) zbog pretpostavke, kao i zbog a >−1
= 1+(n+1)a+na2
8 Mitrinovic´ D. S. (urednik), 1963, Matemati cˇka biblioteka: Uvodenje mladih u naucˇni rad III, Zavod
za izdavanje udzˇbenika, Beograd, str. 110.
9 Jakob Bernuli (Jacob Bernoulli), sˇvajcarski matematicˇar (1654–1705)
2.2. Elementi matematicˇke analize 44
> 1+(n+1)a jer je a = 0,
sˇto je i trebalo dokazati.
PRIMER 12. Oznacˇimo sa P(n) sledec´i iskaz: Aritmeticˇka sredina proizvoljno izabranih n
pozitivnih brojeva je vec´a od geometrijske sredine tih n brojeva ili njoj jednaka. Dokazati.
DOKAZ. Primenimo metod matematicˇke indukcije. Za n = 2 imamo P(2) : a+b
2

√
ab.
Ova nejednakost je tacˇna jer je (√a−√b)2  0. Pretpostavimo da je P(n) tacˇno. Izaberimo proi-
zvoljno n+1 pozitivan broj i oznacˇimo izabrane brojeve tako da vazˇi a1  a2  · · · an+1. Neka
je a = a1 +a2 + · · ·+an
n
; g = n
√
a1a2 · · ·an. Po indukcijskoj pretpostavci vazˇi a g. Procenjujemo:
a  an+1 + · · ·+an+1
n
= an+1, a mozˇemo an+1 prikazati u obliku an+1 = a+ δ , za neko δ > 0.
Sada je
A =
a1 +a2 + · · ·+an+1
n+1
=
na+an+1
n+1
=
na+a+δ
n+1
= a+
δ
n+1
,
G = n+1√a1a2 · · ·an+1 = n+1
√
gn(a+δ ) n+1
√
an(a+δ ) = n+1
√
an+1 +anδ .
Odavde sledi da je Gn+1  An+1, tj. G A. Dakle,
n
√
a1a2 · · ·an  a1 +a2 + · · ·+an
n
(a1,a2, . . . ,an > 0).
PRIMER 13. Ako je
(a1  a2  · · · an > 0)∧ (b1  1,b1b2  1, . . . ,b1b2 · · ·bn  1)(∗)
onda vazˇi
b1a1 +b2a2 + · · ·+bnan  a1 + · · ·+anI(n)
DOKAZ. (i) Ako je bn  1, onda je bnan  an, pa iz tacˇnosti I(n−1) sledi tacˇnost I(n).
(ii) Pretpostavimo da je bn < 1. Posˇto je b1  1, za neko k ∈ {1,2, . . . ,n− 1} je bk  1,
bk+1 < 1. Iz pretpostavke (∗) je
a1  a2  · · · ak−1  ak+1  · · ·an > 0,
b1  1, b1b2  1, · · · ,b1b2 · · ·bk−1  1,b1b2 · · ·bk−1(bkbk+1) 1,
b1b2 · · ·bk+2  1, . . .b1b2 · · ·bn  1,
pa iz tacˇnosti I(n−1) sledi
b1a1 + · · ·+bk−1ak−1 +bkbk+1ak+1 +bk+2ak+2 + · · ·+bn 
 a1 + · · ·+ak−1 +ak+1 + · · ·+an
Kada obema stranama ove nejednakosti dodamo ak vidimo da je za dokaz tacˇnosti I(n) dovoljno
dokazati da vazˇi
ak +bkbk+1ak+1  akbk +ak+1bk+1,
a ova nejednakost je ekvivalentna sa (bk −1)(ak −ak+1bk+1) 0.
Znacˇi, I(n−1)⇒ I(n) je tacˇno.
2.2. Elementi matematicˇke analize 45
2.2.3. Funkcija
U matematici termin funkcija prvi je pocˇeo da upotrebljava Lajbnic (1673. godine),
koji je opisao zavisnost geometrijskih velicˇina. Za danasˇnji zapis matematicˇke funkcije
zasluzˇan je Leonard Ojler. Pored funkcije, termini koji se upotrebljavaju su preslikavanje,
pridruzˇivanje, transfromacija, operator i dr.
Funkcija je jedna od onih matematicˇkih pojmova koji prozˇimaju gotovo cˇitavu ma-
tematiku, a time i njenu nastavu na raznim nivoima. Na pitanje sˇta ucˇiniti da se otklone
nepravilnosti u shvatanju pojma funkcije kod studenata, prof. Stankovic´ kazˇe: prvo se
mora dati tacˇna definicija sa jasnim objasˇnjenjima svih recˇi u njoj. Mora se insistirati
na tome da je funkcija definisana pomoc´u dva skupa (u nasˇoj definiciji to su skupovi X
i Y ) i nacˇina opredeljivanja (pridruzˇivanja) elemenata drugog skupa elementima prvog.
Posebno treba ukazati na cˇinjenicu da se dobija druga funkcija ako se izmeni skup origi-
nala X . Ako se izmeni skup slika Y , takode se dobije drugo preslikavanje. Neophodno je
podvlacˇiti razliku izmedu analiticˇkog izraza i funkcije. Pri radu kod svake funkcije, treba
stalno insistirati na utvrdivanju sva tri elementa koji se definisˇu.10
Ako su X i Y dva skupa, funkcija (preslikavanje) f skupa X u skup Y jeste podskup
skupa X ×Y . Preslikavanje f skupa X u skup Y , u oznaci f : X → Y , predstavlja pri-
druzˇivanje svakom elementu x ∈ X tacˇno jednog (jednog jedinog) elementa skupa Y . X je
domen funkcije f , a Y je skup vrednosti funkcije.
Koristi se notacija: (i) (x,y) ∈ f , (ii) y = f (x), x ∈ X , ili (iii) x → f (x).
Slika 4 – Funkcija Slika 5 – Opsˇti prikaz funkcije
Definicija funkcije. Funkcija f jeste preslikavanje skupa X u skup Y (X ,Y = ∅)
ako i samo ako je f ⊂ {(x,y) | x ∈ X ,y ∈ Y} i ispunjeno je
(∀x ∈ X)(∃y ∈ Y ) (x,y) ∈ f (definisanost f na cˇitavom X );
(x,y1) ∈ f ∧ (x,y2) ∈ f ⇒ y1 = y2 (jedinstvenost druge komponente).
Skup vrednosti preslikavanja oznacˇava se sa f (X) i vazˇi f (X) = { f (x) |x ∈ X}.
10 Bogoljub Stankovic´, 1998, Funkcija i njena uopsˇtenja, Nastava matematike XLIII, 1-2, str. 2-10.
2.2. Elementi matematicˇke analize 46
Opsˇtije, za A ⊂ X uvodimo f (A) = { f (x)|x ∈ A} ⊂ Y . Takode, za B ⊂ Y uvodimo
f−1(B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B} ⊂ X .
Ako su u preslikavanju f : X → Y skupovi X i Y podskupovi skupa realnih brojeva,
odnosno X ⊂ R i Y ⊂ R, takvu funkciju zovemo realna funkcija realne promenljive.
PRIMER 14. Dirihleova funkcija χ data sa
χ(x) =
{
1 (x je racionalan broj)
0 (x je iracionalan broj)
definisana je na skupu R. Skup vrednosti preslikavanja je Rf = {0,1}.
Na primer, χ(2) = 1, χ(4/3) = 1, χ(
√
2) = 0, χ(π/2) = 0.
Definicija kompozicije funkcija. Neka je f : X → Y i g : Y → Z. Kompozicija ili
proizvod preslikavanja f i g je preslikavanje g◦ f : X → Z odredeno sa
(g◦ f )(x) = g( f (x)), x ∈ X .
NAPOMENA. U opsˇtem slucˇaju g◦ f = f ◦g, kada su g◦ f i f ◦g definisane.
Slika 6 – Kompozicija preslikavanja
Ako je f : X →Y , g : Y → Z, h : Z →U, tada je h◦(g◦ f ) = (h◦g)◦ f , tj. za proizvod
preslikavanja vazˇi asocijativni zakon.
PRIMER 15. Date su funkcije f :N0 →N, gde je f (n) = n+1, i g :N0 →N, gde je g(n) = r,
ako 3|(n− r) i r ∈ {0,1,2} (funkcija g je ostatak pri deljenju brojeva iz N0 sa 3).
a) Nac´i f ◦g i g◦ f .
b) Pokazati da je ( f ◦g)◦ f = f ◦ (g◦ f )
RESˇENJE. a) ( f ◦g)(n) = f (g(n)) = f (r) = r+1 ∈ {1,2,3}
(g◦ f )(n) = g( f (n)) = g(n+1) = r ∈ {0,1,2}
Primetimo da je f ◦g = g◦ f .
2.2. Elementi matematicˇke analize 47
b) Kompozicija funkcija(
( f ◦g)◦ f)(n) = ( f ◦g)( f (n))
= f (g( f (n))) (= f ◦ (g◦ f ))
= f (g(n+1))
= f (r) = r+1.
Neka je f : X → Y. Ako vazˇi implikacija f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2, kazˇemo da je f
jedan-jedan preslikavanje (injekcija).
Implikacija f (x1) = f (x2)⇒ x1 = x2 mozˇe se napisati i kao
x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2) jer vazˇi (p ⇒ q)⇔ (¬q ⇒¬p).
Neka je f : X →Y. Ako je f (X) = Y, kazˇemo da je f preslikavanje skupa X na skup
Y (sirjekcija).
Neka je f : X → Y. Ako je f jedan-jedan i na preslikavanje, tada je f bijekcija
(obostrano jednoznacˇno preslikavanje).
PRIMER 16. Neka je funkcija f : R→ R data sa
f (x) = max{0,2x}.
a) Ispitati da li je f jedan-jedan i na.
b) Ako je f : R→ [0,+∞) ispitati da li je jedan-jedan i na.
RESˇENJE. a) Funkcija f nije jedan-jedan jer postoje x1 i x2 za koje x1 = x2 ⇒ f (x1)= f (x2),
na primer,
−2 =−1 ⇒ f (−2) = f (−1) = 0.
Funkcija f nije na jer sve realne brojeve preslikava u pozitivne realne brojeve i nulu.
b) Za f : R→ [0,+∞) funkcija nije jedan-jedan (isto kao pod a)), a jeste na jer vazˇi
f (R) = [0,+∞).
Slika 7 – Inverzno preslikavanje
Definicija inverzne funkcije. Ako je f : X → Y jedan-jedan i na, preslikavanje
odredeno formulom y = f (x), x ∈ X , onda postoji inverzno preslikavanje f −1 : Y → X ,
definisano formulom f −1(y) = x, y ∈ Y.
2.2. Elementi matematicˇke analize 48
Ako funkcija f : X →Y ima inverznu funkciju f −1 : Y → X , skupovi f (X) i f −1(Y )
su f (X) = Y i f−1(Y ) = X .
Ako f ima inverznu funkciju f −1 pri cˇemu je f (x) = y i f−1(y) = x , tada vazˇi
f−1( f (x)) = x i f ( f−1(y)) = y.
Na osnovu f (x) = y je f−1( f (x))= f−1(y) = x.
S druge strane, na osnovu f−1(y) = x , vazˇi f ( f−1(y))= f (x) = y.
PRIMER 17. Dati su skupovi
A = {1, 2, 3, 4, 5} i B = {1, 4, 9, 16, 25}
i funkcija f : A → B data sa
f :
(
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
)
.
Ispitati da li f ima inverznu funkciju.
RESˇENJE. Da bi data funkcija f imala inverznu funkciju ispitujemo da li je jedan-jedan i
na? Za x1 = x2 ⇒ f (x1) = f (x2) pa je f jedan-jedan. Kako je f (A) = B f je na.
Data funkcija f ima inverznu f−1 datu sa
f :
(
1 4 9 16 25
1 2 3 4 5
)
.
Definicija monotonosti. Neka je X ⊂ R.
Funkcija f : X → R je rastuc´a na X ako
(∀x1,x2 ∈ X)
(
x1 < x2 ⇒ f (x1) f (x2)
)
.
Funkcija f : X → R je opadajuc´a na X ako
(∀x1,x2 ∈ X)
(
x1 < x2 ⇒ f (x1) f (x2)
)
.
U slucˇaju da vazˇi stroga nejednakost < (ili >) kazˇe se da je funkcija strogo rastuc´a
(strogo opadajuc´a). Ako je funkcija rastuc´a ili opadajuc´a na X kazˇe se da je monotona
na X.
Vazˇi sledec´a teorema:
Teorema o monotonosti inverzne funkcije. Neka su A,B ⊂ R i neka je f : A → B
strogo monotona i na. Tada vazˇi:
(i) Funkcija f ima inverznu funkciju f −1,
(ii) Ako je f strogo rastuc´a na A, onda je f−1 strogo rastuc´a na B,
(iii) Ako je f strogo opadajuc´a na A, onda je f−1 strogo opadajuc´a na B,
2.2. Elementi matematicˇke analize 49
DOKAZ . Neka je f : A → B strogo rastuc´a i na, onda za svaki x1 i x2 iz A vazˇi
x1 < x2 ⇒ f (x1)< f (x2).
Posˇto su za razlicˇite originale, slike razlicˇite f je jedan-jedan i ima inverznu funkciju.
Dokazˇimo da je f−1 strogo rastuc´a na B, odnosno za svaki y1 i y2 iz B vazˇi
y1 < y2 ⇒ f−1(y1)< f−1(y2).
Ako bi bilo f −1(y1) f−1(y2) onda vazˇi
f ( f−1(y1)) f ( f−1(y2))
pa je y1  y2 sˇto je suprotno sa y1 < y2. Mora biti
f−1(y1)< f−1(y2).
2.2.4. Dekartov pravougli koordinatni sistem
U sedamnaestom veku deduktivni metod je formulisao Rene Dekart, francuski ma-
tematicˇar koji se smatra osnivacˇem moderne filozofije.11
Slika 8 – Rene Dekart
U svom cˇuvenom delu Rasprava o metodi (1637) Dekart objasˇnjava metodu kartezi-
janske sumnje. Odlucˇuje da c´e sumnjati u sve u sˇta se sumnjati mozˇe. ,,Dok sam zˇeleo da
mislim da je sve lazˇno, bilo je nuzˇno, da ja koji sam to mislio, budem nesˇto; i primec´ujuc´i
da je ova istina, mislim dakle postojim, tako pouzdana i tako izvesna da ne mogu da je
obore ni sve najekstravagantnije pretpostavke skeptika, ja sam zakljucˇio da bih je mogao
prihvatiti, bez ikakve sumnje, kao prvi princip filozofije za kojim sam tragao.“12 Iz ovoga
11 Rene Dekart (Rene Descartes), Renatus Cartesius, 1596–1650
12 Bertrand Rasel (Bertrand Rasel), 1998, Istorija zapadne filozofije, Narodna knjiga, Alfa, Beograd, str.
511.
2.2. Elementi matematicˇke analize 50
proizilazi da su sve stvari koje mi shvatamo vrlo jasno i vrlo razgovetno istinite. De-
kart misˇljenje upotrebljava u sˇirokom smislu kao sumnju, razumevanje, shvatanje, potvrd
ivanje, odricanje, htenje, masˇtu i osec´anje. Misao je susˇtina uma. Prema njemu, postoje
tri vrste ideja: (1) one koje su urodene, (2) one koje dolaze spolja, (3) one koje sam ja
otkrio.13
Dekart je pokusˇao da postavi temelje nauke i moderniteta, dajuc´i im izvesnost po-
moc´u jezika i broja, sˇto je izrazio u analiticˇkoj geometriji. Analiticˇka geometrija, poznata
i kao kartezijanska, geometrijske probleme prevodi u algebarsku formu, tako da se mogu
primeniti algebarske metode za njihovo resˇavanje. Dekart je dosˇao na ideju da oznacˇava
koordinate (lineae ordinatim applicatae) kojima c´e predstaviti parove brojeva, sˇto je otvo-
rilo moguc´nost za crtanje grafika funkcije. Prvi put svoje delo objavljuje 1637. godine u
Raspravi o metodi, u dodatku pod nazivom Geometrija.
Brojna osa
Neka je u ravni data prava i na njoj jedna tacˇka, u oznaci O. Neka je na pravoj data
josˇ jedna tacˇka E, tako da vektor #   «OE orijentisˇe datu pravu i neka je | #   «OE|= 1. Vektor #   «OE
cˇesˇc´e obelezˇavamo sai.
Slika 9
Na ovaj nacˇin svaka tacˇka prave jedinstveno je odredena. Tacˇkama poluprave OE, u
smeru vektorai, pridruzˇujemo pozitivne realne bojeve, a tacˇkama poluprave OF , u smeru
vektora −i pridruzˇujemo negativne realne brojeve.
Na primer,
Slika 10
Prava na kojoj je odredena tacˇka O i vektori = #   «OE definisˇu realnu brojnu osu.
Izmedu tacˇaka brojne ose i skupa realnih brojeva postoji obostrano jednoznacˇno
preslikavanje.
13 Bertrand Rasel 1998, Istorija zapadne filozofije, Narodna knjiga, Alfa, Beograd, str. 513.
2.2. Elementi matematicˇke analize 51
Intervali su podskupovi realnih brojeva, na primer, u oznaci
Slika 11 – Intervali
Pravougle koordinate
U Dekartovom koordinatnom sistemu tacˇka O(0,0) oznacˇava koordinatni pocˇetak.
Jedinicˇni vektori #«i i #«j za koje vazˇi ( #«i , #«j ) = 90◦ (ugao od #«i ka #«j suprotno kretanju
kazaljke na cˇasovniku) odred uju pravce osa Ox i Oy i jedinstveno odreduju koordinate
tacˇke u ravni.
Slika 12 – Pravougle i polarne koordinate
Svakom paru realnih brojeva x u y odgovara jedinstvena tacˇka ravni cˇije su koordi-
nate ti brojevi, i obratno, svaka tacˇka ravni ima definisane koordinate x i y.
Sistem odsecˇaka [a1,b1], [a2,b2], . . . [an,bn], . . . naziva se sistem umetnutih odsecˇaka
ako vazˇi a1  a2  · · · an  · · · bn  · · · b2  b1, odnosno
[a1,b1]⊃ [a2,b2]⊃ ·· · ⊃ [an,bn]⊃ ·· ·
Kantorova teorema o umetnutim odsecˇima. Svaki niz In = [an,bn], n∈N umetnu-
tih odsecˇaka ima neprazan presek.
DOKAZ . Iz pretpostavke o nizu umetnutih odsecˇaka vazˇi da je an  bm, za sve pri-
rodne brojeve n, m. Na osnovu aksiome neprekidnosti postoje α i β takvi da je
α = sup{an| n 1} i β = inf{bm| m 1}.
2.2. Elementi matematicˇke analize 52
Tada je ocˇito α  β jer je recˇ o nizu umetnutih odsecˇaka ili zbog an bm, n,m∈N. Svaka
tacˇka ξ koja ispunjava uslov α  ξ  β pripada svim odsecˇcima In, n ∈ N.
Skup Γ f svih uredenih parova
(
x, f (x)) naziva se grafik funkcije f , u oznaci
Γ f =
{(
x, f (x)) | x ∈ X}, gde je X domen.
PRIMER 18. a) Napisati jednacˇinu prave linije L koja sadrzˇi tacˇke A(x1,y1) i B(x2,y2).
b) Nacrtati grafik linearne funkcije.
RESˇENJE. a) Promenljiva tacˇka M(x,y) pripada pravoj L. Vektori #   «AM = (x− x1, y− y1) i
#  «AB = (x2 − x1, y2 − y1) su kolinearni (imaju isti pravac), pa je
#   «AM = λ #  «AB
x− x1 = λ (x2 − x1), y− y1 = λ (y2 − y1)
x− x1
x2 − x1 =
y− y1
y2 − y1 odnosno
y− y1 = y2 − y1
x2 − x1 (x− x1) (jednacˇina prave kroz dve tacˇke)
gde je a = y2 − y1
x2 − x1 koeficijent pravca prave.
Slika 13 – Prava kroz dve tacˇke
Drugi oblici jednacˇine prave su
y− y1 = a(x− x1) (jednacˇina prave kroz jednu tacˇke)
y = ax+b (eksplicitni oblik jednacˇine prave)
Ax+By+C = 0 (opsˇti oblik jednacˇine prave).
b) Funkcija f : R→ R data formulom f (x) = ax+ b, a,b ∈ R naziva se linearna funkcija
(cˇesˇc´e se kazˇe prava linija).
Slika 14 – Grafik linearne funkcije
2.2. Elementi matematicˇke analize 53
PRIMER 19. Funkcija apsolutna vrednost
f (x) = |x|=
{
x, x 0
−x, x < 0 i vazˇi |x|= x · sgnx.
Slika 15 – Apsolutna vrednost
Za apsolutnu vrednost vazˇi nejednakost trougla:
Za a,b ∈ R vazˇi ∣∣|a|− |b|∣∣ |a+b| |a|+ |b|.
Uopsˇteno, za x1,x2, . . . ,xn ∈ R vazˇi
|x1 + x2 + · · ·+ xn| |x1|+ |x2|+ |x3|+ · · ·+ |xn|.
PRIMER 20. Neka je y = ax2 +bx+ c, a = 0 kvadratna funkcija i D = b2 −4ac.
a) Dokazati da vazˇi{∀x ∈ R y 0}⇐⇒ {D 0, a > 0}.
b) Nacrtati sˇest slucˇajeva kvadratne funkcije.
DOKAZ. Iz jednakosti
y = a
(
x+
b
2a
)2
+ c− b
2
4a
y = a
[(
x+
b
2a
)2
− D
4a2
]
i uslova D 0 i a > 0 sledi da je y 0 za sve x ∈ R.
Obrnuto, neka je y 0 za sve x ∈ R. Potrebno je dokazati D 0 i a > 0.
Pretpostavimo da uslov D  0 nije ispunjen, tada je D > 0 i kvadratni trinom ima realne
korene x1 i x2. a kvadratna funkcija menja znak pri prolasku kroz tacˇku x1 i x2. Znacˇi da mora biti
D 0 i y 0 za sve x ∈R, pa sledi da je a > 0.
b) Resˇenje je dato na slici 16.
NAPOMENA. Za D > 0 kvadratna funkcija ima dve realne i razlicˇite nule. Za D = 0 ima
jednu realnu (dvostruku) nulu. Za D< 0 nema realnih korena. Za korene jednacˇine ax2+bx+c = 0
vazˇe Vijetove formule
x1 + x2 =−b
a
, x1 · x2 = c
a
.
2.2. Elementi matematicˇke analize 54
Slika 16 – Grafik kvadratne funkcije (sˇest slucˇajeva)
PRIMER 21. Nacrtati grafik
a) stepene funkcije y = xn, n ∈N,
b) funkcije y = 1
x
i y = 1
x2
, x = 0.
RESˇENJE. Funkciji je definisana za x ∈R. Razdvajamo slucˇajeve za n parno i n neparno.
Slika 17 – Stepena funkcija za n parno i n neparno
Neka je X ⊂ R.
Funkcija f : X → R je parna ako vazˇi
f (−x) = f (x).
Grafik parne funkcije je osnosimetricˇan u odnosu na y-osu.
Funkcija f : X → R je neparna ako vazˇi
f (−x) =− f (x).
2.2. Elementi matematicˇke analize 55
Slika 18 – Funkcija y = 1
x2
i y = 1
x
, x = 0
Grafik neparne funkcije je centralnosimetricˇan u odnosu na koordinatni pocˇetak.
NAPOMENA. U primeru 21. funkcije y = x2, y = x4, y = 1
x2
(x = 0) su parne,a funkcije
y = x3, y = x5, y =
1
x
(x = 0) su neparne.
PRIMER 22. Nacrtati funkcije f (x) =√x, x 0 i f (x) = 3√x.
RESˇENJE. Neka je f : [0,+∞)→ [0,+∞) data sa
f (x) = xn, n je paran broj.
Inverzna funkcija funkcije f je n-ti koren iz x u oznaci f−1(x) = n√x, n parno, x 0. U nasˇem
primeru f je y =√x, x 0.
Slicˇno je za f : R→ R, dato sa
f (x) = xn, n neparno.
Inverzna funkcija funkciji f je n-ti koren iz x u oznaci f−1(x) = n√x, n neparno.
Slika 19 – Koren funkcije y =√x, x 0; y = 3√x i y =−√x, x 0.
2.2. Elementi matematicˇke analize 56
PRIMER 23. a) Definisati eksponencijalnu i logaritamsku funkciju.
b) Nacrtati grafike funkcije f (x) = ax, a > 0, a = 0 i f (x) = loga x, a > 0, a = 1, x > 0.
RESˇENJE. a) Eksponencijalna funkcija za a > 1.14
Za pozitivne racionalne argumente x = m
n
eksponencijalna funkcija definisˇe se kao n√am.
Za pozitivne iracionalne argumente x definisˇe se kao supremum skupa {ar : 0 < r < x i r
racionalno}. Za x = 0 je a0 = 1.
Za negativne argumente x je ax = 1
a−x
. Funkcija je strogo rastuc´a. Skup vrednosti joj je
(0,∞).
Eksponencijalna funkcija za 0 < a < 1.
Funkcija se definisˇe kao
y =
1(
1
a
)x .
Mozˇe se dokazati da eksponencijalna funkcija za sve x,y ∈ R zadovoljava
ax+y = ax ·ay
axy = (ax)y
(ab)x = ax ·bx (a,b > 0).
Grafik eksponencijalne funkcije prikazan je na slikama 20 i 21.
Slika 20 Slika 21
Logaritamska funkcija
f (x) = loga x (a > 0, a = 1)
definisˇe se kao inverzna funkcija eksponencijalne funkcije y = ax (a > 0, a = 1).
Grafik logaritamske funkcije prikazan je na slici 22.
Ako je a > 0, a = 1, onda je y = loga x (cˇita se: logaritam broja x za osnovu (bazu) a)
ekvivalentno sa ay = x, tako da je a loga x = x i y = loga a y. Specijalno, 1 = loga a i 0 = loga 1, zbog
a1 = a i a0 = 1.
14 D. Dugosˇija, 2011, Visˇa matematika u devet lekcija, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 24.
2.2. Elementi matematicˇke analize 57
Slika 22
PRIMER 24. Dati su skupovi
A = {(x,y) | |x|+ |y| < δ}, B = {(x,y) |
√
x2 + y2 < δ} i
M =
{
(x,y) | max{|x|+ |y|} < δ}.
Dokazati da je A ⊂ B ⊂ M.
Slika 23
DOKAZ . Neka je (x,y) ∈ A, to znacˇi da je |x|+ |y|< δ , odnosno x2 + y2 +2|x| |y|<
δ 2, a odavde sledi x2 + y2 < δ 2 sˇto daje
√
x2 + y2 < δ 2, pa sledi da je (x,y) ∈ B.
Znacˇi (x,y) ∈ A ⇒ (x,y) ∈ B, pa je dokazano da je A ⊂ B.
Na slicˇan nacˇin, ako je (x,y) ∈ B, to znacˇi da je |x|+ |y|< δ , odnosno x2 + y2 < δ 2,
a odavde sledi x2 < δ 2 ∧ y2 < δ , odnosno max{|x|, |y|} < δ , pa sledi da (x,y) ∈ M.
Dokazano je A ⊂ B ⊂ M.
2.2.5. Kompleksni brojevi i kompleksna ravan
Navedimo jednu od osobina skupa realnih brojeva: Ako x ∈R, tada je x2  0, tj. ako
je x realan broj, tada x2 ne mozˇe biti negativno. Na osnovu toga jednacˇina
x2 +1 = 0
2.2. Elementi matematicˇke analize 58
nema resˇenja u skupu realnih brojeva. Da bi ova jednacˇina imala resˇenja, a sa njom i
mnoge druge algebarske jednacˇine, pristupa se prosˇirenju postojec´eg skupa realnih bro-
jeva. Time se dolazi do skupa kompleksnih brojeva. Definisˇe se broj i takav da je i2 =−1,
a zatim se formiraju izrazi oblika x+ iy (x,y ∈ R), i sa njima se racˇuna kao sa realnim
brojevima. Definicija skupa kompleksnih brojeva glasi:
Skup svih kompleksnih brojeva jeste skup uredenih parova realnih brojeva, u oznaci
C= {(x,y)|x,y ∈ R}, u kome za z1 = (a,b) i z2 = (c,d) vazˇi:
1◦ jednakost kompleksnih brojeva z1 = z2 ⇔ a = c∧b = d,
2◦ operacije sabiranja i mnozˇenja odred ene su pomoc´u sledec´ih jednakosti:
(a,b)+(c,d) = (a+ c,b+d),
(a,b) · (c,d) = (ac−bd,ad+bc).
Za operacije sabiranja i mnozˇenja kompleksnih brojeva vazˇe zakoni komutativnosti,
asocijativnosti i distributivnosti.
Slika 24 – Vektorsko predstavljanje kompleksnog broja
Za kompleksan broj z = (x,y) neutralni elementi za operacije sabiranja i mnozˇenja
su redom kompleksna nula, u oznaci (0,0), i kompleksna jedinica, u oznaci (1,0), za koje
vazˇi z+(0,0) = (0,0)+ z = z, z · (1,0) = (1,0) · z = z.
Suprotan broj kompleksnog broja z, u oznaci −z, jeste kompleksan broj takav da je
z+(−z) = (0,0) i vazˇi −z = (−x,−y).
Reciprocˇan broj kompleksnog broja z = (0,0), u oznaci w = 1
z
, jeste takav kom-
pleksan broj za koji vazˇi z · 1
z
= (1,0). Za z = (x,y) reciprocˇna vrednost je
w =
1
z
=
( x
x2 + y2
,
−y
x2 + y2
)
.
Kompleksnom broju (x,y) se dodeljuje tacˇka u pravouglom koordinatnom sistemu
Oxy cˇije su koordinate x i y. Ravan u kojoj se predstavljaju kompleksni brojevi je kom-
pleksna ili Gausova ravan.
2.2. Elementi matematicˇke analize 59
Kod ovakvog nacˇina prikazivanja brojevi oblika (x,0) predstavljeni su tacˇkama x-
ose. Ako se uzme da je ta ista x-osa brojevna prava na kojoj se predstavljaju realni brojevi,
uvida se da su realni broj x i kompleksni (x,0) predstavljeni istom tacˇkom x-ose. Zbog
toga se kompleksni broj (x,0) identifikuje sa realnim x, tj. uzima se da je R⊂C. Ovim se
ne narusˇavaju osnovne operacije koje vazˇe za realne i kompleksne brojeve jer, na osnovu
definicija operacija u skupu C, vazˇe jednakosti
(x,0)+(x1,0) = (x+ x1,0); (x,0) · (x1,0) = (xx1,0).
Kompleksni broj i = (0,1) naziva se imaginarna jedinica i vazˇi i2 =−1.
Slika 25 – Karl Fridrih Gaus15
Svaki kompleksni broj z = (x,y) mozˇe se predstaviti u algebarskom obliku
z = x+ iy, gde je x = Re z realni deo i y = Imz imaginarni deo kompleksnog broja.
Modul ili apsolutna vrednost kompleksnog broja z = x+ iy je broj |z|=
√
x2 + y2.
15 Fridrih Gaus (Gauss, Johann Karl Friedrich), nemacˇki matematicˇar (1777–1855).
Zajedno sa Arhimedom i Njutnom smatra se najvec´im matematicˇarem svih vremena. Radio je na pro-
blemima iz nebeske mehanike, geodezije i elektriciteta. Dao je izuzetan doprinos u vodec´im oblastima iz
matematike kao sˇto su kompleksni brojevi, teorija povrsˇi, aproksimacija, hiperbolicˇka geometrija i dr. Medu
prvima razmatrao je neeuklidsku geometriju.
Svoja dragocena otkric´a zabelezˇio je u dnevniku na 19 strana. Koristio je tajne znakove i simbole koje je
bilo tesˇko odgonetnuti. Na primer, jedna zapis izgleda ovako:
EYPHKA! num =++.
Prva recˇ podsec´a na Arhimedov usklik Eureka! Zapis oznacˇava da je svaki prirodan broj zbir najvisˇe tri
trougaona broja.
Videti u: Petkovic´ M, Petkovic´ Lj, 2006, Matemati cˇki vremeplov: prilozi za istoriju matematike, Zmaj,
Novi Sad, str. 47-51.
2.2. Elementi matematicˇke analize 60
Neka je z = x+ iy (x,y∈R). Za kompleksan broj z = x− iy kazˇe se da je konjugovan
broju z.
Za sve kompleksne brojeve vazˇi:
|z| 0, z1 + z2 = z1 + z2,
|z1z2|= |z1| |z2|, z1− z2 = z1− z2,
|z1 + z2| |z1|+ |z2|, z1z2 = z1 z2,
|z|= |z|,
(z1
z2
)
=
z1
z2
(z2 = 0),
z = z,
z1
z2
=
z1z2
z2z2
=
z1z2
|z2|2 (z2 = 0).
z · z = |z|2,
2.2.6. Trigonometrijske funkcije i polarne koordinate
U koordinatnom sistemu posmatramo radijus vektor #    «OM, duzˇine | #    «OM| = r, a na
osnovu Pitagorine teoreme je
r2 = s2 + t2, r =
√
s2 + t2.
Slika 26 – Koordinate radijus vektora
Neka je
a =
s
r
=
s√
s2 + t2
, b = t
r
=
t√
s2 + t2
.
Tada je a2 +b2 = 1. Koordinate (a,b) pripadaju jedinicˇnoj kruzˇnici.
Posmatrajmo na jedinicˇnoj kruzˇnici luk PE sa pocˇetkom P i krajem u tacˇki E. Luk je
pozitivno orjentisan. Njegova duzˇina je l i dodeljujemo mu broj l. Broj π definisˇemo tako
da je duzˇina jedinicˇne kruzˇnice 2π .
2.2. Elementi matematicˇke analize 61
Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus definisˇemo kao koordinate tacˇke E(a,b)
jedinicˇne kruzˇnice, u oznaci E(a,b) = E(cos l, sin l).
Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus produzˇuju se periodicˇno naR, sa periodom
2π i vazˇi sin(2π + l) = sin l, cos(2π + l) = cos l.
Na ovaj nacˇin definisane su trigonometrijske funkcije:
sin : R→ [−1,1], cos : R→ [−1,1].
Osnovna formula je sin2 l + cos2 l = 1.
NAPOMENA. (1) Luku l odgovara ugao α pa je definicija trigonometrijskih funkcija
za ugao α , 0 α < 360◦ istovetna sa prethodnom.
(2) Trigonometrijske funkcije za pravougli trougao OSM definisˇu se sa
sinα = |MS||OM| =
t
r
, cosα =
|OS|
|OM| =
s
r
(vidi sliku ??.
Slika 27 – Negativno orjentisan luk Slika 28 – ˇCitanje vrednosti
Posmatrajmo tacˇku jedinicˇnog kruga F , simetricˇnu tacˇki E u odnosu na apcisnu osu.
Luk PF sa pocˇetkom u P i krajem u F ima duzˇinu l ali je negativno orjentisan pa mu
dodeljujemo broj −l. Na osnovu simetrije u odnosu na apscisnu osu vazˇi
sin(−l) =−sin l, cos(−l) = cos l
tg l = sin l
cos l (tangens), cos l = 0, l =
π
2
+ kπ , k ∈ Z
ctg l = cos l
sin l (kotangens), sin l = 0, l = kπ , k ∈ Z
Grafici trigonometrijskih funkcija
Slicˇnost trogulova daje nam vrednosti za tangens i kotangens
a : b = 1 :
(
b
a
)
; a : b =
(a
b
)
: 1
sin(−x) =−sinx cos(−x) = cosx
2.2. Elementi matematicˇke analize 62
Slika 29 – Specijalne vrednosti
Na osnovu definicije trigonometrijskih funkcija, periodicˇnog produzˇenja, parnosti i
racˇunanje vrednosti mozˇe se pristupiti crtanju grafika trigonometrisjkih funkcija
PRIMER 25. Nacrtati grafik funkcije y = sinx, x ∈R.
RESˇENJE. Vrednosti koje uzima promenljiva x su realni brojevi 0  x < 2π na pozitivnom
delu x-ose. Vrednosti funkcije y = sinx su −1 y 1.
Zamislimo da ,,procˇitane“ vrednosti za sinus prenosimo u koordinatni sistem.
Slika 30 – Sinusoida
PRIMER 26. Nacrtati grafik funkcije y = cosx, x ∈ R.
RESˇENJE. Slicˇno, kao u prethodnom primeru dobija se grafik funkcije.
Slika 31 – Funkcija cos
2.2. Elementi matematicˇke analize 63
PRIMER 27. Nacrtati grafik funkcije f (x) = arc sinx, −1 x 1.
RESˇENJE. Funkcije sin i cos su na ali nisu jedan-jedan. Ako sa L oznacˇimo interval
[
−π
2
,
π
2
]
i sa K interval [0,π] tada
sin
∣∣∣
L
:
[
−π
2
,
π
2
]
→ [−1,1] cos
∣∣∣
K
: [0,π]→ [−1,1].
Funkcija f :
[
−π
2
,
π
2
]
→ [−1,1] dato sa f (x) = sinx, jeste na i jedan-jedan i ima inverznu
funkciju
g = f−1 : [−1,1]→
[
−π
2
,
π
2
]
g(x) = f−1(x) = arc sinx
i zovemo je arkussinus.
Vazˇi da je f (g(x)) = f ( f−1(x)) = x.
Slika 32 – f (x) = sinx, x ∈ [−π/2,π/2] Slika 33 – f (x) = arc sinx, x ∈ [−1,1]
PRIMER 28. Funkcije
y = sinx, −π
2
 x π
2
i y = arc sinx, −1 x 1
graficˇki se mogu prikazati na sledec´i nacˇin.
Slika 34 – Graficˇki prikaz sin i arcsin
Sa slike 34 vidi se da je f (x) = sin x monotono rastuc´a na
[
−π
2
,
π
2
]
. U blizini tacˇke π
2
razmaci izmedu vrhova susednih strelica su manji nego razmaci pocˇetaka strelica
f (β )− f (α)
β −α → 0
(
α ,β → π
2
)
,
odnosno izvod tezˇi nuli; to c´e biti kasnije proucˇavano.
2.2. Elementi matematicˇke analize 64
Za graficˇko prikazaivanje arc sinx treba strelice postaviti u suprotnom smeru. Domen od
arcsin x je [−1,1], a skup slika
[
−π
2
,
π
2
]
.
Jedinicˇna kruzˇnica u kompleksnoj ravni definisˇe se sa T = {z : |z|= 1}. Duzˇina luka
je l i zavisi od z; l = l(z) : T → [0,2π).
Slika 35 – Jedinicˇna kruzˇnica Slika 36 – Broj π
NAPOMENA. Duzˇina luka l definisˇe se kao supremum duzˇina upisanih poligonalnih linija.
(Broj π). Broj π definisˇe se kao duzˇina polukruzˇnice K+.
2.2.7. Polarne koordinate
Neka je T jedinicˇna kruzˇnica. Pogodno je uvesti funkciju cis, gde je
cis l = cos l + isin l
cis l = z, cis : [0,2π)→ T,
Funkcija cis je inverzna funkcija od l. Preslikava uzajamno jednoznacˇno [0,2π) na
T i periodicˇna je funkcija sa periodom 2π .
Teorema 1. (o cis-u)
(a) cis peslikava R na T ;
(b) cis preslikava interval I = (−π ,π ] uzajamno jednoznacˇno na T .
Za oznaku orjentisanog luka koristimo lz, z ∈ T .
Posledica 1. (Trigonometrijska polarna forma kompleksnog broja). Svako z ∈ C,
z = 0 mozˇe se predstaviti u obliku
z = r(cosϕ + isinϕ), gde su
r = |z|, ϕ ∈ R.
2.2. Elementi matematicˇke analize 65
DOKAZ . Ako z ∈ C, z = 0 onda z|z| ∈ T ; na osnovu Teoreme (o cis-u)
z
|z| = cisϕ, odnosno
z = |z|(cosϕ + isinϕ).
Ako izdvojimo realni i imaginarni deo kompleksnog broja
x = r cosϕ
y = r sinϕ
Sistem definisˇe polarne koordinate (r,ϕ) kompleksnog broja z = (x,y).
Broj ϕ ∈ R naziva se Argument kompleksnog broja, a oznacˇava se sa Argz.16
Ako je Iα = [α,α +2π), na osnovu Teoreme o cis-u i periodicˇnosti funkcije cis sa
periodom 2π , cos injektivno preslikava Iα na T .
Teorema 2. (Jedinstvenost trigonometrijske forme, JTF). Neka je α ∈R. Svaki kom-
pleksni broj z ∈ C, z = 0 mozˇe se jedinstveno predstaviti u obliku
z = |z|cisϕ, ϕ ∈ Iα .
Za ϕ ∈ Iα kazˇemo da je grana argumenta. Ako ϕ ∈ [0,2π) ili ϕ ∈ (−π ,π ] onda ϕ
zovemo glavna grana argumenta, u oznaci ϕ = argz.17
Na osnovu JTF najcˇesˇc´e se koristi
z = |z|cisϕ, −π < ϕ  π , z ∈ C.
Skalarni proizvod vektora a i b definisˇe se sa 〈a,b〉 = Re(ab). Rotacija za ugao
θ ∈ R definisˇe se sa Rθ z = (cisθ) · z. Rotacija Rθ je izometrija.
Iz |cisθ |= 1 sledi
Rθ z ·Rθζ = (cisθ)z(cisθ)ζ = (cisθ)(cisθ) · zζ = zζ
〈Rθ z,Rθζ 〉= 〈z,ζ 〉
i specijalno
|Rθ z−Rθ ζ |=
∣∣∣(cisθ)(z−ζ )
∣∣∣= |z−ζ |.
NAPOMENA. Rotacija za ugao θ mozˇe se predstaviti u sledec´em obliku
Rθ z = (cisθ)z = (cosθ + isinθ)(x+ iy)
= xcosθ − ysinθ + i(xsinθ + ycosθ)
= (xcosθ − ysinθ , xsinθ + ycosθ).
16 Arg je visˇeznacˇna funkcija.
17 O Argumentu videti visˇe u M. Mateljevic´, Kompleksna analiza 1, Beograd, 2009.
2.2. Elementi matematicˇke analize 66
Teorema 3. (Adiciona).18
cis(α +β ) = cisα · cisβ , α,β ∈ R.
DOKAZ . Kako je cis periodicˇna funkcija dovoljno je da se pretpostavi da su α,β ∈
[0,2π).
Luk izmedu kompleksnih brojeva a i b na jedinicˇnoj kruzˇnici oznacˇic´emo sa
lab = lab(t), α  t  β .
Neka su a = cisα , b = cisβ i c je tacˇka jedinicˇne kruzˇnice, takva da je c = Rαb.
Duzˇine lukova su |l1a| = α , |l1b| = β . Kako je Rα izometrija, Rα1 = a i Rαb = c,
pa je |lbc|= α .
Duzˇine lukova l1b i lac su jednake i zbog toga je duzˇina |lac| = β , pa je duzˇina luka
nastalog nadovezivanjem l1a i lac
|l1c|= α +β , α +β < 2π
|l1c|= α +β −2π , za α +β  2π .
Slika 37 – Adiciona teorema
S obzirom na definiciju
c = cis(α +β ), i kako je c = Rαb = cisα cisβ sledi
cis(α +β ) = cisα cisβ .
Odavde je
cos(α +β )+ isin(α +β ) = (cosα + isinα)(cosβ + isinβ )
= cosα cosβ − sinα sinβ + i(cosα sinβ + sinα cosβ );
18 Pedagosˇki pristup definiciji trigonometrijskih funkcija, uvodenju polarnih koordinata, dokazu Adici-
one teoreme i dr. nalazi se u M. Mateljevic´, Kompleksna analiza 1, Beograd, 2009.
Formula cis(α +β ) = cisα ·cisβ vodi nas do teorije funkcionalnih jednacˇina i pitanja: koje sve funkcije
zadovoljavaju f (α +β ) = f (α) · f (β ).
2.2. Elementi matematicˇke analize 67
Dobijaju se tzv. adicione formule
cos(α +β ) = cosα cosβ − sinα sinβ
sin(α +β ) = cosα sinβ + sinα cosβ .
Dokaz ove dve adicione teoreme bazira se na dve vazˇne cˇinjenice:
(a) Rα je izometrija
(b) Duzˇina luka je aditivna funkcija.
II Nacˇin. Na jedinicˇnom krugu uocˇimo sledec´e tacˇke P(1,0), A(cosα,sinα),
B(cosβ ,sinβ ), S(cos(α +β ),sin(α +β )) i Q(cosα,−sinα).
Slika 38
Luk koji pocˇinje u tacˇki P i zavrsˇava se u tacˇki S ima duzˇinu |α + β |. Luk koji
pocˇinje u tacˇki Q i zavrsˇava se u tacˇki B ima duzˇinu |α +β | (smer je pozitivan, suprotno
kretanju kazaljke na cˇasovniku). Tetive koje odgovaraju ovim lukovima jednakih duzˇina
imaju iste duzˇine pa vazˇi
PS2 = QB2(
cos(α +β )−1)2 +(sin(α +β ))2 = (cosβ − cosα)2 +(sinβ + sinα)2
a odavde posle kvadriranja i korisˇc´enja osnovnog identiteta cos2 t + sin2 t = 1 dobija se
−2cos(α +β ) =−2cosβ cosα +2sinβ sinα,
odnosno
cos(α +β ) = cosα cosβ − sinα sinβ .
Ako zˇelimo cos(α −β ) onda je
cos(α −β ) = cos(α +(−β ))
= cosα cos(−β )− sinα sin(−β )
= cosα cosβ + sinα sinβ .
2.2. Elementi matematicˇke analize 68
Za β = α ,
cos2α = cos2 α − sin2 α
sin2α = 2sinα cosα.
Za α =
ϕ
2
,
cos
2ϕ
2
= cos2
ϕ
2
− sin2 ϕ
2
= cos2
ϕ
2
−
(
1− cos2 ϕ
2
)
= 2cos2
ϕ
2
−1; odnosno
2cos2
ϕ
2
= 1+ cosϕ; slicˇno i,
2sin2 ϕ
2
= 1− cosϕ.
Dobijene jednakosti su formule snizˇavanja stepena (ili formule polovine ugla).
Teorema 4. (Moavrova formula).
(cisϕ)n = cisnϕ, ϕ ∈ R, n ∈ N.
Dokaz se izvodi matematicˇkom indukcijom.
Za n = 1, cisϕ = cisϕ .
Pretpostavimo da za neko n ∈ N vazˇi
(cisϕ)n = cisnϕ dokazˇimo da vazˇi
(cisϕ)n+1 = cis(n+1)ϕ
(cisϕ)n+1 = (cisϕ)n · cisϕ
pp
= cisnϕ · cisϕ
at
= cis(nϕ +ϕ)
= cis(n+1)ϕ.
PRIMER 29. Izracˇunati
(
1
2
− i
√
3
2
)6
.
(
1
2
− i
√
3
2
)6
=
(
1
2
+ i
(
−
√
3
2
))6
=
(
cos
5π
3 + isin
5π
3
)6
= cos10π + isin10π = 1.
2.2. Elementi matematicˇke analize 69
Skup resˇenja jednacˇine zn = a je n-ti koren kompleksnog broja a.
Za prakticˇno resˇavanje zadataka napisac´emo
z = ρ cisϕ, a = r cisα
zn = ρn cisnϕ = r cisα
ρn = r, nϕ = α +2kπ , k ∈ Z
ρ = n
√
r, ϕ = α +2kπ
n
, k = 0,1, . . . ,n−1
zk =
n
√
r cis α +2kπ
n
, k = 0,1, . . . ,n−1.
PRIMER 30.
z =
√−1 =√cosπ + isinπ
z = cis π +2kπ
2
, k = 0,1
z1 = cis
π
2
= i; z2 = cis
3π
2
=−i
PRIMER 31.
z = (−8i)1/3
zk = 2cis
⎛
⎝−
π
2
+2kπ
3
⎞
⎠ , k = 0,1,2.
2.2.8. Granicˇni procesi i primene
Konacˇno i beskonacˇno
Matematicˇki nacˇin misˇljenja nije nisˇta drugo nego princip analizirajuc´e metode, i
utoliko je naziv analiza za visˇu matematiku novog veka koja nastaje u XVII veku du-
blje opravdan. ,,On je povezan sa idejom mathesis universalis, koja je uz pomoc´ algebrae
speciosae (slovnog racˇuna koji je pronasˇao Vijet19, a sam ga je Dekart poboljsˇao) pri-
menljiva na sve vrste brojeva i velicˇina, i nadalje sa njegovim idealom matematizacije
fizike, u kojoj se do svega dolazi postavljanjem aksioma i algebarskim racˇunom. Tako
je matematika Dekartov metodicˇki izbor.“20 Pored toga matematicˇki nacˇin misˇljenja nije
samo analiticˇan nego i graditeljski i to metodom koja ima odredena pravila i nemilosrdno
19 Frensis Vijet (Franc¸ois Vie`te), francuski matematicˇar, zˇiveo je od 1540–1603.
20 Oskar Beker (Oskar Becker), 1998, Velicˇina i granica matematicˇkog nacˇina misˇljenja, Demetra,
Zagreb, str. 25. Algebrae speciosae sastoji se od slovnih simbola koji imaju opsˇte znacˇenje, oni mogu
2.2. Elementi matematicˇke analize 70
dosledan postupak. Nasˇ duh pocˇiva na jedinstvenoj i stalnoj celini jednog apsolutnog
bivstva i jednog subjektivnog postignuc´a misˇljenja i imaginacije koji sadejstvuju u nasta-
janju matematicˇkih pojmova. ,,Ako se pojam kontinuuma prvenstveno dovodi u vezu sa
prvim momentom, onda onaj drugi momenat tek stvara pojmove broja i mnozˇine, pa tako
i moguc´nost mere“21. Merenje tako postaje prvi zadatak razmatranja i otvara pitanje: Ako
postoji beskrajno prostiranje da li nuzˇno postoji i nesˇto najmanje u njemu? Te suprotno-
sti uzajamno se uslovljavaju i mogu se pretpostavljati ili zamisˇljati samo zajedno. Tako
dolazimo do pojma tacˇke kao logicˇke suprotnosti cˇistog apsolutnog protezanja.
Bezgranicˇnost prostora i vremena pruzˇa nam sigurno jemstvo da u njima nema posla
sa stvarima vec´ sa idejama cˇistog razuma. Misˇljenje neprestano tezˇi ka tome da prevazide
svaku dostignutu tacˇku, te tako postaje osnova i izvor za svaku vrstu beskonacˇnosti.22
Prostor i vreme su cˇisti apstraktni pojmovi i predstavljaju najvisˇi rang u sistemu saznanja.
Veza izmedu apsolutnoga i pojmova nasˇeg saznanja, prema Kuzanskom,23 upore-
duje se odnosom koji postoji izmedu kruga i pravilnog poligona. Krug nije nisˇta drugo
nego mnogougao sa beskonacˇno mnogo strana. Granicˇna vrednost mozˇe se dokucˇiti po-
sredstvom neogranicˇenog procesa priblizˇavanja. Nezavrsˇenost tog procesa nije nedostatak
vec´ svedocˇanstvo snage i osobenosti uma, koji mozˇe samo u beskonacˇnom objektu doc´i
do svesti o svojoj vlastitoj sposobnosti. Ono sˇto je neogranicˇeno postaje osvetljeno. ,,Sada
beskonacˇnost visˇe nije granica, nego je samopotvrda uma.“24 Sada duh ocrtava pojam
kruga kao zamisˇljenu liniju, cˇije su tacˇke podjednako udaljene (d) zajednicˇkog centra, a
lik koji tako nastaje nema posebno, materijalno bivstvo nigde izvan misˇljenja. Istina se
dokazuje tek na ovom nivou. Tako se misˇljenje uzdizˇe do apstraktnih pojmova i oblika i
razvija siguran put matematicˇke nauke.
,,Saglasnost do koje u podrucˇju metafizike dolazi izmedu konacˇnog i beskonacˇnog,
izmedu sveta i boga, unutar ucˇenja o saznanju odrazˇava se u jednom novom odnosu koji se
sada stvara izmedu cˇulnosti i misˇljenja.“25 Protivnici Platona se ipak slazˇu u uverenju da
matematika ne zavisi od cˇulnog iskustva. Postavlja se pitanje: da li se pojam beskonacˇno
pojavljuje u iskustvu i da li se to mozˇe dogoditi, dok se u matematici smatra neophodnim?
oznacˇavati cˇiste brojeve ili duzˇine, povrsˇine, vreme, tezˇinu itd.; pred nama danas su tako dobro poznate for-
mule. Dekart je shvatio njihovu univerzalnu primenljivost, sˇto je izrazio u fundamentalnom pojmu mathesis
universalis (Ibid, str. 56)
21 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 196.
22 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba II, Izdavacˇka knjizˇarnica Zo-
rana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 320.
23 Nikola Kuzanski (lat. Nicolaus Cusanus, nem. Nikolaus von Kues, 1401–1464) nemacˇki kardinal i
filozof u doba renesanse, napisao je delo De Docta Ignorantiae (O ucˇenom neznanju).
24 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 29.
25 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba I, Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana
Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 31.
2.2. Elementi matematicˇke analize 71
Prebrojiv i neprebrojiv skup
ˇCinjenica da svaki prirodan broj ima svoje sledbenike znacˇi da je skup prirodnih
brojeva beskonacˇan skup, tj. da prirodnih brojeva ima beskonacˇno mnogo. Pojam bes-
konacˇnosti dobio je na znacˇaju krajem XIX veka, kada je Kantor zapocˇeo sistematsku ana-
lizu matematicˇke beskonacˇnosti, sˇto je dovelo do zasnivanja moderne teorije skupova.26
Osnovna podela skupova je podela na konacˇne i beskonacˇne skupove. To da li
razlicˇiti konacˇni skupovi imaju isti broj cˇlanova definisˇe se na jednostavan nacˇin. U ma-
tematici to je bijektivno preslikavanje jednog skupa na drugi, ili sparivanje cˇlanova datih
skupova. Postupak je zavrsˇen kada se iscrpe cˇlanovi bar jednog skupa. Ako su nakon n
ponavljanja postupka sparivanja istovremeno iscrpljeni cˇlanovi oba skupa, kazˇe se da su
posmatrani skupovi istobrojni i da imaju n cˇlanova.27
Kada je recˇ o beskonacˇnim skupovima, postupak sparivanja nikad se ne zavrsˇava,
ali misaono se mozˇe izvesti. Na primer, moguc´e je spariti cˇlanove skupa svih prirodnih
brojeva i skupa svih parnih prirodnih brojeva.
1 2 3 4 5 · · · n n+1 · · ·
2 4 6 8 10 · · · 2n 2n+2 · · ·
ili
1 2 3 4 5 · · · n n+1 · · ·
2 ·1 2 ·2 2 ·3 2 ·4 2 ·5 · · · 2n 2(n+1) · · ·
Na ovaj nacˇin svaki prirodan broj n sparen je sa parnim brojem 2n. Prema pojmu istobroj-
nosti kod konacˇnih skupova mozˇemo zakljucˇiti da su skup svih parnih prirodnih brojeva i
skup svih prirodnih brojeva istobrojni, tj. da imaju isti broj cˇlanova. To se kosi sa nasˇom
intuicijom o konacˇnim skupovima, i stavom da je deo manji od celine, ali imajte na umu
da sada ne razmatramo konacˇne vec´ beskonacˇne skupove!
Opisanim postupkom sparivanja pokazuje se i da skup svih neparnih prirodnih bro-
jeva i skup svih prirodnih brojeva imaju isti broj elemenata, iako je skup svih neparnih
prirodnih brojeva samo deo skupa svih priodnih brojeva. Matematicˇari su izdvojili termin
ekvipotentnost dva skupa koji oznacˇava istobrojnost u smislu ranije opisanog sparivanja.
Skupovi A i B su ekvipotentni ukoliko postoji bijektivno preslikavanje skupa A u
skup B.
Kod konacˇnih skupova pojam ekvipotentnosti poklapa se sa intuitivnom predstavom
o jednakom broju elemenata skupova. Uspostavljanje bijekcije izmedu prirodnih brojeva
i nekog drugog beskonacˇnog skupa, ili ispitivanje ekvipotentnosti, obicˇno se zove prebro-
javanje cˇlanova tog skupa.
26 Georg Kantor (Georg Cantor), 1845-1918. Studirao je u Cirihu i u Berlinu kod Vajersˇtrasa. Kreirao je
teoriju skupova i razvio je transfinitnu teoriju brojeva zasnovanu na matematicˇkoj beskonacˇnosti.
27
ˇZeljko Pausˇe, 2007, Matematika i zdrav razum, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 109.
2.2. Elementi matematicˇke analize 72
Kada se utvrdi ekvipotentnost posmatranog skupa i skupa prirodnih brojeva, kazˇe se
da je posmatrani skup prebrojiv skup.
Navedeni primeri skupova svih parnih i neparnih prirodnih brojeva su prebrojivi
skupovi. Skup svih celih brojeva je prebrojiv skup.
1 2 3 4 5 6 7 · · · 2n 2n+1 · · ·
0 1 −1 2 −2 3 −3 · · · n −n · · ·
Jedno od prvih Kantorovih otkric´a bilo je sledec´e saznanje. Skup racionalnih brojeva je
prebrojiv skup, tj. ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva.
Trebalo je dokazati da se svi racionalni brojevi mogu poredati u odredeni niz. Prvo
c´emo poredati pozitivne racionalne brojeve na nacˇin prikazana na slici 39.
1
1
,
2
1
,
1
2
,
3
1
,


2
2
,
1
3 ,
4
1
,
3
2
,
2
3
,
1
4
,
5
1
,


4
2
,


3
3
,


2
4
,
1
5 ,
6
1
,
5
2
,
4
3
,
3
4
,
2
5 ,
1
6 ,
.
.
.
Slika 39 – Niz racionalnih brojeva Slika 40 – Georg Kantor
Zatim izbacimo (precrtamo) sve cˇlanove koji se ponavljaju i dobili smo trazˇeni niz.
Sada se mozˇe uspostaviti bijekcija izmedu skupa prirodnih brojeva i ovog skupa, pa se za
njega kazˇe da je prebrojiv. Skup svih racionalnih brojeva mozˇe se poredati u niz. Neki su
pozitivni cˇlanovi racionalnih brojeva vec´ poredani u niz koji je prethodno prikazan
a1,a2, . . . ,an, . . .
Kada dodamo negativne racionalne brojeve i nulu, dobija se niz
0,a1,−a1,a2,−a2, . . . ,an,−an, . . .
Na ovaj nacˇin dobijamo da je skup svih racionalnih brojeva prebrojiv skup.
ˇSema racionalnih brojeva na slici zapravo predstavlja tzv. Labdomu, koja je vrlo sta-
rog porekla, pretecˇa Paskalovog trougla; javlja se i u muzici, kao i u nauci o harmoniji.28
28 Videti u: ˇCanak M., 2012, Put u petu dimeziju, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 71–74.
2.2. Elementi matematicˇke analize 73
Kod treperenja zˇice, pored treperenja cele duzˇine, uocˇavamo i treperenje pojedinih
delova – dve polovine, tri trec´ine, cˇetiri cˇetvrtine itd. Ova slika potpuno odgovara brojev-
noj shemi lambdome.
Slika 41 – Lambdoma
Broj elemenata konacˇnog skupa naziva se kardinalni broj skupa. Matematicˇari su se
usaglasili u tome da se mozˇe govoriti i o kardinalnom broju beskonacˇnog skupa, pri cˇemu
ekvipotentni skupovi imaju isti kardinalni broj. Za skupove ekvipotentne skupu prirodnih
brojeva, njihov kardinalni broj oznacˇava se sa ℵ0 (alef – nula).
Sada mozˇe da se kazˇe da postoji visˇe vrsta beskonacˇnosti, tj. da prebrojiva bes-
konacˇnost nije jedina beskonacˇnost. Najznacˇajnije Kantorovo otkric´e u analizi beskona-
cˇnosti bilo je saznanje da skup realnih brojeva nije prebrojiv, sˇto znacˇi da mu se pripisuje
visˇi nivo beskonacˇnosti nego sˇto je prebrojiva beskonacˇnost.
Ne mozˇe se uspostaviti obostrano jednoznacˇno preslikavanje izmedu elemenata skupa
svih prirodnih brojeva i skupa svih realnih brojeva, odnosno skup realnih brojeva je bes-
konacˇan neprebrojiv skup.
Dokaz se zasniva na beskonacˇnom decimalnom zapisu realnih brojeva, a ako je taj
zapis konacˇan dodaju se nule. Pretpostavimo da smo sve realne brojeve pored ali u niz
gde je mi ceo deo realnog broja, a iza decimalnog zareza brojevi ai j ∈ {0,1,2, . . . ,9}.
m1, a11 a12 a13 a14 a15 · · ·
m2, a21 a22 a23 a24 a25 · · ·
m3, a31 a32 a33 a34 a35 · · ·
m4, a41 a42 a43 a44 a45 · · ·
m5, a51 a52 a53 a54 a55 · · ·
.
.
.
Dijagonalnim postupkom Kantor je pokazao da postoji realni broj koji nije u nave-
denom nizu, tj. takav decimalni broj koji se razlikuje od svakog broja u datom nizu. Pri
njegovoj konstrukciji dovoljno je iza decimalnog zareza uzeti broj a1 koji se razlikuje od
a11, a nije ni 0 ni 9. Sledec´a cifra a2 se razlikuje od a22 (i nije 0 ili 9), pa se a3 razlikuje
2.2. Elementi matematicˇke analize 74
od a33 itd.
m, a1 a2 a3 a4 a5 . . .
Tako konstruisani broj sigurno se razlikuje od prvog cˇlana niza posˇto nemaju istu
prvu decimalu; razlikuju se od drugog jer je razlicˇita druga decimala itd. Znacˇi, razlikuje
se od svih brojeva u navedenom nizu. To je suprotno pretpostavci da smo sve realne
brojeve pored ali u niz.
Prema tome, postoji i neprebrojiva beskonacˇnost, tj. beskonacˇnost visˇeg nivoa od
prebrojive beskonacˇnosti. Tako je Kantor pokazao da je moguc´e definisati beskonacˇne
skupove sve visˇeg i visˇeg nivoa koji imaju sve vec´e i vec´e kardinalne brojeve.29
Nizovi realnih brojeva
U ovom delu uvodi se stroga definicija nizova po ugledu na Kosˇija. Teorija nizova
daje nam pravi uvid u pojmove beskonacˇno i beskonacˇno malo.30
Slika 42 – Ogisten Kosˇi
Definicija niza realnih brojeva. Funkcija f : N → X zove se beskonacˇni niz ele-
menata iz X , ili jednostavno niz. Vrednosti funkcije, u oznaci f (n) = xn, n = 1,2, . . . su
cˇlanovi niza, a xn je n-ti ili opsˇti cˇlan niza.
Umesto x1,x2, . . . ,xn, . . . niz cˇesto oznacˇamo sa (xn).
Kada je X ⊂ R, govorimo o nizu realnih brojeva.
29 Bogoljub Stankovic´, 1975, Osnovi funkcionalne analize, Naucˇna knjiga, Beograd, str. 26.
30 Ogisten Kosˇi (Augustin Louis Caushy), roden je 1789. u Parizu i zˇiveo je do 1857. Bio je veliki ma-
tematicˇar i sa Ojlerom i Kejlijem deli titulu najproduktivnijeg matematicˇara svih vremena. Sa 27 godina
postao je cˇlan Pariske akademije nauka. Dao je vrhunske doprinose u kompleksnoj analizi, diferencijal-
nim jednacˇinama, teoriji funkcija, nizova, granicˇnih vrednosti, beskonacˇno malih itd. Kosˇi je u svom radu
iz 1821. uveo strogost u analizu. Bavio se pitanjima funkcija, nizova i njihovim granicˇnim vrednostima,
beskonacˇno malim i dr.
2.2. Elementi matematicˇke analize 75
PRIMER 32. (Harmonijski niz) Niz realnih brojeva 1,1
2
,
1
3
,
1
4
, . . . ,
1
n
,
1
n+1
, . . . , cˇiji je opsˇti
cˇlan xn =
1
n
naziva se harmonijski niz. Svi cˇlanovi tog niza su u ε-okolini tacˇke 0, pocˇev od nekog
n > N.
Definicija otvorene okoline. Otvorena okolina tacˇke a ∈R, u oznaci U(a) ili V (a),
predstavlja otvoreni interval koji sadrzˇi tacˇku a.
Specijalno, otvorena epsilon31 okolina tacˇke a ∈ R jeste interval
U(a) = (a− ε,a+ ε), ε > 0 ili
U(a) = {x ∈ R |a− ε < x < a+ ε}= {x ∈ R ∣∣ |x−a|< ε}.
Definicija granicˇne vrednosti i konvergentnog niza. Broj a ∈ R je granicˇna vred-
nost niza (xn), ukoliko za svaku okolinu V (a) tacˇke a postoji takav broj N (izabran u
zavisnosti od V (a)) da svi cˇlanovi niza, cˇiji je indeks vec´i od N, pripadaju okolini V (a)
tacˇke a.
Niz realnih brojeva je konvergentan ako ima granicˇnu vrednost, a divergentan ako
je nema.
Granicˇna vrednost niza oznacˇava se sa
lim
n→+∞xn = a, odnosno xn → a, (n →+∞).
Logicˇkim simbolima se mozˇe zapisati
a = lim
n→+∞xn ⇔ (∀ε > 0)(∃N(ε) ∈ N)(∀n ∈ N)(n > N(ε)⇒ |xn−a|< ε).
PRIMER 33. Niz xn =
1
n
, n = 1,2, . . . , konvergira i ima granicˇnu vrednost nula.
Neka je dato proizvoljno ε > 0. Na osnovu Arhimedove aksiome postoji prirodan broj N(ε)
vec´i od 1
ε
, odnosno N(ε)> 1
ε
, pa vazˇi 1
N(ε)
< ε . (Mozˇe se i precizirati N(ε) =
[
1
ε
]
+1.)
Tada za sve n > N(ε) vazˇi nejednakost 0 < 1
n
<
1
N(ε)
< ε .
Na taj nacˇin, za sve n > N(ε), ispunjeno je∣∣∣∣1n −0
∣∣∣∣= 1n < ε , sˇto je ekvivalentno limn→+∞
1
n
= 0.
31 Priroda ili susˇtina ovog broja najcˇesˇc´e se opisuje kao ,,proizvoljno mali unapred zadat broj“.
2.2. Elementi matematicˇke analize 76
PRIMER 34. Ako je |q|< 1 onda je lim
n→+∞ q
n = 0. Dokazati.
DOKAZ. Neka je 0 < q < 1, onda mozˇe da se napisˇe da je q = 1
1+h
, h > 0. Na osnovu
Bernulijeve nejednakosti
(1+h)n > 1+nh, n 2, h >−1,
vazˇi nejednakost
0 < qn < 1
1+nh
<
1
nh
Za proizvoljno ε > 0 mozˇe se izabrati N = N(ε) tako da za svako n > N(ε) vazˇi da je qn < ε .
Da bi ovo bilo ispunjeno dovoljno je da bude
1
nh < ε ⇐⇒ n >
1
hε , pa biramo
N(ε) =
[
1
hε
]
+1.
Pokazujemo da je za sve n > N(ε) ispunjeno qn < ε . Naime,
qn <
1
nh+1 <
1
N(ε)h <
1
1
hε ·h
= ε .
Sledi da je
lim
n→+∞ q
n = 0, 0 < q < 1.
Za −1 < q < 0, pisˇemo
lim
n→+∞ q
n = lim
n→+∞(−k)
n (gde je q =−k i 0 < k < 1)
= (−1)n lim
n→+∞ k
n = (−1)n ·0 = 0.
NAPOMENA. Zbir prvih n cˇlanova geometrijskog niza
Sn = a+aq+aq2 + · · ·+aqn−1, |q|< 1
je
Sn =
a−aqn
1−q = a
1−qn
1−q .
Naime, posˇto je Sn = a+aq+aq2 + · · ·+aqn−1 onda je qSn = aq+aq2 +aq3 + · · ·+aq n. Oduzi-
manjem, Sn −qSn = a−aqn, odnosno Sn = a1−q
n
1−q .
Sa S oznacˇavamo sume beskonacˇnog opadajuc´eg geometrijskog reda, pa je
S = lim
n→∞
Sn =
a
1−q
jer je lim
n→+∞ q
n = 0.
PRIMER 35. Neka je a > 1. Dokazati da je lim
n→+∞
n
an
= 0.
2.2. Elementi matematicˇke analize 77
DOKAZ. Kako je a−1 > 0, koristec´i Njutnovu binomnu formulu32
an =
(
1+(a−1))n =
n
∑
k=0
(
n
k
)
(a−1)k
=
(
n
0
)
+
(
n
1
)
(a−1)+
(
n
2
)
(a−1)2 + · · ·+
(
n
n
)
(a−1)n

(
n
2
)
(a−1)2
=
n(n−1)
2
(a−1)2
0 b
an
 n
n(n−1)
2
(a−1)2
=
2
(n−1)(a−1)2
Kako je
lim
n→+∞
2
(n−1)(a−1)2 = 0, onda je limn→+∞
n
an
= 0.
Osobine konvergentnih nizova
(i) Konvergentan niz ima jedinstvenu granicˇnu vrednost.
(ii) Ako je lim
n→+∞xn = a i limn→+∞yn = b i a < b, tada postoji broj N(ε), tako da za sve
n > N(ε) vazˇi xn < yn.
(iii) (Teorema o dva zˇandara) Ako je lim
n→+∞xn = a, limn→+∞yn = a i xn zn  yn, n∈N,
tada je lim
n→+∞zn = a.
DOKAZ . (iii) Ako je lim
n→+∞xn = limn→+∞yn = a, za svako ε > 0 postoje N
′ i N′′ takvi
da za sve n > N′ vazˇi a− ε  xn i za n > N′′ vazˇi yn  a+ ε . Tada za n > max{N′,N′′}
dobijamo a− ε  xn  zn  yn  a+ ε ili |zn−a|< ε , odnosno lim
n→+∞zn = a.
Definicija beskonacˇno malih nizova. Brojevni niz (αn), cˇija je granicˇna vrednost
nula, naziva se beskonacˇno mali niz, u oznaci lim
n→+∞αn = 0.
Svaka linearna kombinacija beskonacˇno malih je beskonacˇno mala.
Proizvod beskonacˇno malog niza i ogranicˇenog niza jeste beskonacˇno mali niz.
Proizvod konacˇnog broja beskonacˇno malih nizova jeste beskonacˇno mali niz.33
Lema. Brojevni niz (xn) ima konacˇnu granicˇnu vrednost jednaku broju a ako i samo
ako je αn = xn−a, n = 1,2, . . . beskonacˇno mali niz, odnosno lim
n→+∞αn = 0.
32 Njutnova binomna formula
(a+ b)n =
n
∑
k=0
(
n
k
)
an−kbk
mozˇe se dokazati matematicˇkom indukcijom.
33 Dataljni dokazi nalaze se u Dobrilo Tosˇic´, Miloljub Albijanic´, Danijela Milenkovic´, 2012, Elementi
diferencijalnog i integralnog racˇuna, Sluzˇbeni glasnik, Beograd, str. 78.
2.2. Elementi matematicˇke analize 78
DOKAZ . Neka su dati brojevni niz (xn) i broj a. Ako je αn = xn − a, n = 1,2, . . . ,
onda uslov lim
n→+∞xn = a, po definiciji granicˇne vrednosti niza, za svako ε > 0 postoji broj
N(ε), tako da za sve n > N(ε) vazˇi |xn −a| < ε. To je ekvivalentno sa |αn| < ε, a sˇto je
definicija granicˇne vrednosti lim
n→+∞αn = 0, odnosno (αn) je beskonacˇno mali niz.
Na osnovu leme mozˇe se rec´i: Broj a je granicˇna vrednost niza (xn) ako i samo ako
se mozˇe napisati xn = a+αn, n = 1,2, . . . , gde je (αn) beskonacˇno mali niz.
Niz (xn) je ogranicˇen ako postoje brojevi m i M takvi da je za svako n m xn M,
tj. (xn) je ogranicˇen ako su svi njegovi cˇlanovi u nekom intervalu oblika [m,M].
Osobine granicˇnih vrednosti nizova mogu se iskazati sledec´im tvrdenjem:
(i) Ako dati niz (xn) konvergira, tada konvergira i niz (|xn|), pri cˇemu zapisujemo:
iz lim
n→+∞xn = a sledi limn→+∞ |xn|= |a|. Obratno ne mora da vazˇi.
(ii) Algebarske kombinacije limesa. Ako nizovi (xn) i (yn) konvergiraju, odnosno
lim
n→+∞xn = a, limn→+∞yn = b, tada vazˇi:
(a) lim
n→+∞(λxn +μyn) = λa+μb;
(b) lim
n→+∞xnyn = limn→+∞xn limn→+∞yn;
(c) Ako je yn = 0, lim
n→+∞yn = 0, onda je limn→+∞
xn
yn
=
lim
n→+∞xn
lim
n→+∞yn
.
(iii) Konvergentni niz (xn) je ogranicˇen.
Definicija monotonog niza. Niz (xn) je neopadajuc´i (nerastuc´i) ukoliko iz m < n
sledi da je xm  xn (xm  xn). Ukoliko su ove nejednakosti striktne, tj. xm < xn (xm > xn),
kazˇemo da je niz (xn) strogo rastuc´i (opadajuc´i).
Vajersˇtrasova teorema. Ogranicˇeni i monotoni niz (xn) je konvergentan.34
DOKAZ . Pretpostavimo da je niz (xn) rastuc´i i ogranicˇen. Za a= sup{xn|n∈N} vazˇi
xn  a za sve n∈N. Posˇto je a najmanje gornje ogranicˇenje, a−ε nije gornje ogranicˇenje,
pa postoji broj N(ε) takav da je xN(ε) > a − ε. Posˇto (xn) raste, bic´e
xn  xN(ε) za n > N(ε), pa je a−ε < xn  a za n N(ε) tj. tim pre a−ε < xn  a+ε za
n N(ε),
34 Karl Vajersˇtras (Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm), nemacˇki matematicˇar (1815–1897).
Jedan je od vodec´ih nemacˇkih matematicˇara XIX veka i jedan od osnivacˇa moderne analize. Dao je dopri-
nos u oblasti elipticˇkih i Abelovih funkcija, teoriji analiticˇkih funkcija, konvergenciji redova, varijacionom
racˇunu i dr. Bio je cˇlan Berlinske i Pariske akademije nauka.
2.2. Elementi matematicˇke analize 79
sˇto znacˇi da su skoro svi cˇlanovi niza (xn) u ε-okolini tacˇke a. Prema tome, zakljucˇujemo
da je lim
n→+∞xn = a.
PRIMER 36. Dokazati da je niz
xn =
(
1+ 1
n
)n
,
monotono rastuc´i i ogranicˇen, a to znacˇi da ima konacˇnu granicˇnu vrednost.
Ako primenimo Njutnovu binomnu formulu dobija se
xn =
(
1+
1
n
)n
= 1+n · 1
n
+
n(n−1)
2
· 1
n2
+ · · ·
· · ·+ n(n−1)(n−2) · · · (n− k+1)k!
1
nk
+ · · ·+ n(n−1) · · ·1
n!
1
nn
= 1+1+
1
2!
(
1− 1
n
)
+ · · ·+ 1k!
(
1− 1
n
)(
1− 2
n
)
· · ·
(
1− k−1
n
)
+ · · ·
+
1
n!
(
1− 1
n
)
· · ·
(
1− n−1
n
)
.
Ukoliko umesto n stavimo n+1, dobija se formula za xn+1 i vazˇi
1− s
n
< 1− s
n+1
, s = 1,2, . . . ,n−1; n = 2,3, . . . ,
sˇto znacˇi da je niz xn rastuc´i, odnosno xn < xn+1.
Vazˇe sledec´e nejednakosti:
1− s
n
< 1, s = 1,2, . . . ,n−1 i
2n−1 = 1 · 2 ·2 · · ·2︸ ︷︷ ︸
n−1 cˇinilac
 1 ·2 ·3 · · ·n = n!,
pa je 2n−1  n! ⇒ 1
n!
 1
2n−1
. Za n > 1 i na osnovu navedenih nejednakosti dobija se
xn  2+
1
2! +
1
3! + · · ·+
1
n! < 2+
1
2
+
1
22
+ · · ·+ 1
2n−1
< 1+
+∞
∑
n=0
1
2n
= 1+
1
1− 1
2
= 3, odnosno xn < 3.
Niz xn je monotono rastuc´i i ogranicˇen odozgo, pa je konvergentan. Njegovu granicˇnu vred-
nost definisˇemo sa
e = lim
n→∞
(
1+ 1
n
)n
, e ≈ 2.718281828459045 . . . (2 < e < 3).
PRIMER 37. Niz zn = 1+
1
1! +
1
2! + · · ·+
1
n! → e.
DOKAZ.
xn =
(
1+ 1
n
)n
=
(
n
0
)
·1+
(
n
1
)
· 1
n
+ · · ·+
(
n
n
)
· 1
nn
=
2.2. Elementi matematicˇke analize 80
= 1+
1
1! +
n(n−1)
n ·n ·
1
2! +
n
n
(n−1)
n
(n−2)
n
· 13! + · · ·+
n(n−1) · · ·
n ·n · · ·n ·
1
n! 
 1+ 1
1! +
1
2! + · · ·+
1
n! = zn
wn =
(
1+ 1
n2
)n2+n
 1+
(
n2 +n
1
)
· 1
n2
+
(
n2 +n
2
)
· 1
n4
+ · · ·+
(
n2 +n
n
)
· 1
(n2)n
=
= 1+
n2 +n
n2
· 1
1! +
(n2 +n)
n2
(n2 +n−1)
n2
· 1
2! + · · ·+
+
(n2 +n)
n2
(n2 +n−1) · · ·(n2 +1)
n2 · · ·n2 ·
1
n!  1+
1
1! +
1
2! + · · ·+
1
n! = zn
Znacˇi xn  zn  wn.
Posˇto xn → e
wn =
(
1+ 1
n2
)n2
·
(
1+ 1
n2
)n
→ e ·1 = e
Sledi zn → e.
Kosˇijev kriterijum konvergencije. Niz (xn) ima konacˇnu granicˇnu vrednost ako i
samo ako vazˇi
(∀ε > 0) (∃N(ε) ∈ N), ∀n > N(ε), ∀p ∈ N : |xn+p− xn|< ε ili
(∀ε > 0) (∀N(ε) ∈ N), ∀m,n > N(ε) : |xn− xm|< ε.
Granicˇna vrednost funkcije i neprekidnost funkcije
Neka je f : X → R, X ⊂ R realna funkcija.
Za funkciju y = f (x), x ∈ X, u daljem tekstu, najcˇesˇc´e se koristi skrac´ena notacija,
gde se izostavlja domen za koji se pretpostavlja da je maksimalni domen definisanosti
podskup skupa realnih brojeva. Posebno, kada je to bitno, isticac´e se domen.
Otvorena okolina tacˇke a, u oznaci U(a), jeste otvoreni interval koji sadrzˇi tacˇku a,
sˇto c´e se u daljem tekstu koristiti. ˇSuplja okolina tacˇke a je u ˚U(a) =U(a)\{a}.
Neka je X ⊂ R. Tacˇka a za koju postoji niz razlicˇitih tacˇaka xn ∈ X , n = 1,2, . . . cˇija
je granicˇna vrednost a, u oznaci lim
n→+∞xn = a, naziva se tacˇka nagomilavanja skupa X .
Ako je tacˇka nagomilavanja a jedna od beskonacˇno udaljenih tacˇaka, +∞, ili −∞
ona se naziva beskonacˇno udaljena tacˇka nagomilavanja skupa X .
Ako a = +∞ znacˇi da je skup X neogranicˇen odozgo i, analogno, za a = −∞ skup
X je neogranicˇen odozdo.
Tacˇke nagomilavanja mogu, ali ne moraju, pripadati skupu X . Na primer, za interval
(a,b) tacˇke a i b su tacˇke nagomilavanja skupa (a,b) a ne pripadaju navedenom intervalu.
2.2. Elementi matematicˇke analize 81
NAPOMENA. Tacˇka a je tacˇka nagomilavanja datog skupa X ako i samo ako svaka
njena okolina sadrzˇi beskonacˇno mnogo elemenata skupa X .
Ekvivalentan je i sledec´i iskaz: Neka tacˇka a je tacˇka nagomilavanja datog skupa X
ako i samo ako svaka njena okolina sadrzˇi bar jednu tacˇku skupa X razlicˇitu od tacˇke a.
Hajneova definicija granicˇne vrednosti.35 Tacˇka A je granicˇna vrednost funkcije
f (x), x ∈ X u tacˇki a, (ili kad x → a), ako za svaki niz tacˇaka xn ∈ X, razlicˇitih od a,
n = 1,2, . . . koji ima granicˇnu vrednost a, u oznaci lim
n→+∞xn = a niz vrednosti
( f (xn))
funkcije f u tacˇkama xn, n = 1,2, . . . ima svoju granicˇnu vrednost A, odnosno vazˇi
lim
n→+∞ f (xn) = A.
U tom slucˇaju pisˇemo lim
x→a f (x) = A ili f (x)→ A za x → a.
Ako koristimo logicˇku simboliku mozˇe se napisati
lim
x→a f (x)=A⇔
(∀xn ∈ X\{a}, n=1,2, . . .)( lim
n→+∞xn=a ⇒ limn→+∞ f (xn)=A
)
.
Ako je A konacˇan broj, onda funkcija f (x) ima konacˇnu granicˇnu vrednost.
PRIMER 38. Data je funkcija f (x) = sin 1
x
.
Slika 43 – Grafik funkcije y = sin 1
x
Ona je definisana na skupu X ∈ R\{0}. Da li postoji granicˇna vrednost lim
x→0
f (x)?
Ako se posmatraju dva niza xn = 1
πn
i x′n =
1
π/2+2πn
, n = 1,2, . . . dobija se
lim
n→+∞ xn = limn→+∞x
′
n = 0,
35 Hajne Edvard (Heine, Heinrich Edward), nemacˇki matematicˇar (1821–1881). Napomena. Ovaj pristup
mozˇe se nac´i kod: Кудрявцев Л. Д. 2005, Краткий курс математического анализа I, Дифферен-
циальное и интегральное исчисления функций одной переменной, ФИЗМАТЛИТ, str. 95.
2.2. Elementi matematicˇke analize 82
gde je xn ∈ X , x′n ∈ X , n = 1,2, . . . .
Kako je f (xn) = sinπn = 0, za n = 1,2, . . . i f (x′n) = sin
(π
2
+ 2πn
)
= 1, za n = 1,2, . . . ,
onda je
lim
n→+∞ f (xn) = 0, limn→+∞ f (x
′
n) = 1,
pa ne postoji granicˇna vrednost funkcije u tacˇki a = 0.
Kosˇijeva definicija granicˇne vrednosti. Neka je funkcija f : X → R, X ⊂ R. Broj
A je granicˇna vrednost funkcije f (x) za x → a, u oznaci lim
x→a f (x) = A, ako za svako ε > 0
postoji takvo δ = δ (ε) da za svako x koje zadovoljava nejednakost 0 < |x−a| < δ vazˇi
| f (x)−A|< ε .
Slika 44 – Kosˇijeva definicija granicˇne vrednosti
Koristec´i logicˇke simbole mozˇe se krac´e napisati na sledec´e nacˇine:
lim
x→a f (x) = A ⇔ (∀ε > 0)(∃δ (ε)> 0)(∀x ∈ X)
(
0 < |x−a|< ε ⇒ | f (x)−A|< ε)
lim
x→a f (x) = A ⇔
(∀V (A))(∃ ˚U(a))( f (X ∩ ˚U(a))⊂V (A))
lim
x→a f (x) = A ⇔
(∀V (A))(∃ ˚U(a))(∀x ∈ X ∩ ˚U(a))⇒ f (x) ∈V (A)).
NAPOMENA. Hajneova i Kosˇijeva definicija granicˇne vrednosti su medusobno ekvi-
valentne.
PRIMER 39. Zasˇto je lim
x→0
x
x
= 1?
Smatram da je ovo osnovni limes tipa ,,nula kroz nula“. Izraz x
x
nas intuitivno navodi na
to da je u pitanju neodredeni oblik ,,nula kroz nula“. Medutim, pazˇljivom analizom konstatujemo
da x = 0, ali da x tezˇi nuli. Na primer, niz 0.1,0.01,0.001, . . . tezˇi nuli kada napisˇemo, na primer,
0.001
0.001
= 1. Posˇto je utvrdeno da x = 0 (iako tezˇi nuli), mozˇe se skratiti navedeni izraz, pa se dobija
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
1 = 1.
PRIMER 40. Dokazati da je lim
x→0
sinx
x
= 1.
2.2. Elementi matematicˇke analize 83
Posmatra se jedinicˇni krug sa centrom u koordinatnom pocˇetku i neka je argument
x ∈
(
0, π
2
)
. Argument x je duzˇina kruzˇnog luka ÂM.
Slika 45 – Uz primer 6 Slika 46 – Aproksimacija luka
Dokazˇimo nejednakost
sinx x tgx, x ∈
(
0, π
2
)
.
Prvi deo sin x < x vazˇi, jer je sin x = NN, a velicˇina duzˇi NM je manja od duzˇine lukaÂM.
Potrebno je dokazati nejednakost
x tgx.
Duzˇina luka dela kruzˇnice je supremum duzˇina upisanih poligonalnih linija.
Luk ÂM mozˇe se aproksimirati upisanom poligonalnom linijom, pa na osnovu nagiba (ili
stava: naspram vec´eg ugla je vec´a stranica trougla) vazˇi
MN1 < MP1
N1N2 < P1P2
N2A < P2K
Sabiranjem se dobija
MN1 +N1N2 +N2A < MP1+P1P2 +P2K = tgx.
Luk mozˇemo podeliti na n delova i potrazˇiti granicˇnu vrednost kad n → ∞.
Dobija se x tgx.
NAPOMENA. U udzˇbenicima je klasicˇan dokaz uz korisˇc´enje povrsˇine kruzˇnog isecˇka.36
Kako je
sinx x tgx, sinx > 0, x ∈
(
0, π
2
)
, onda je
36 Na osnovu definicije trigonometrijskih funkcija za x∈
(
0, π
2
)
i povrsˇina kruzˇnog isecˇka PiÔAM i PΔOAB
vazˇi
PiÔAM =
r2πα
360◦ =
x
2 , PΔOAB =
1 · tgx
2 =
tgx
2 ,
2.2. Elementi matematicˇke analize 84
Slika 47 – Grafik funkcije f (x) = sinx
x
1 x
sinx
 1
cosx
, odnosno
1 sinx
x
 cosx
/ · (−1)
−1−sinx
x
−cosx
0 1− sinx
x
 1− cosx = 2sin2 x
2
.
Kako je 2
(
sin x
2
)2
< 2
( x
2
)2
=
1
2
x2, dobija se 0 < 1− sinx
x
<
1
2
x2.
Odavde, na osnovu lim
x→0
1
2
x2 = 0 sledi lim
x→0
(
1− sinx
x
)
= 0, odnosno
lim
x→0
sinx
x
= 1.
Posˇto je f (x) = sin x
x
parna funkcija jer je
sin(−x)
−x =
−sinx
−x =
sinx
x
,
granicˇna vrednost vazˇi i za x ∈
(
− π
2
,0
)
.
PRIMER 41. Dokazati
lim
k→+∞
(
1+ 1
x
)x
= e, lim
x→0
(1+ x)
1
x = e.
DOKAZ. Posˇto je lim
n→+∞
(
1+ 1
n
)n
= e, a prema Arhimedovoj aksiomi za svaki x∈R, postoji
n ∈ N tako da vazˇi n x < n+1, odnosno
1
n
 1
x
>
1
n+1
, x > 0, n ∈ N
1+ 1
n
 1+ 1
x
> 1+ 1
n+1
.
pa je x2 <
tgx
2 , odnosno vazˇe nejednakosti:
sinx x tgx, sinx > 0, x ∈
(
0, π
2
)
.
2.2. Elementi matematicˇke analize 85
Koristec´i ponovo Arhimedovu nejednakost(
1+ 1
n
)n+1
>
(
1+ 1
x
)x
>
(
1+ 1
n+1
)n
.
Kada n →+∞ i x →+∞ krajnje granicˇne vrednosti tezˇe broju e (dalji dokaz se prepusˇta cˇitaocu!).
Za lim
x→0
(1+ x)
1
x uvodi se smena 1
x
= t.
Definicija beskonacˇno male. Funkcija α(x), x ∈ X naziva se beskonacˇno mala kad
x → a ako vazˇi lim
x→aα(x) = 0.
Simboli o i ∼. Neka su date funkcije f : X →R i ϕ : X →R.
[1] fϕ → 0 oznacˇava se simbolom f = o(ϕ) (Peanova oznaka).
[2] fϕ → ,  = 0 oznacˇava se simbolom f ∼ ϕ .
Na primer, za x2 = o(x) je x+ x2 ∼ x, kada x → 0,
ˇCesto se za x → ∞ uvodi smena 1
x
= t, pa t → 0.
Za stepene x,x2,x3, . . . najcˇesˇc´e se upotrebljava xm = o(xm−1) ili xm+1 = o(xm), kada
x → 0. Takode sinax ∼ ax, 1− cosx ∼ 1
2
x2 itd. Postavlja se pitanje zasˇto se uvode o i
∼? Zbog toga sˇto c´e se, recimo Tejlorov polinom, mnogo komfornije koristiti pomoc´u
Peanovog oblika ostatka.37
Definicija neprekidne funkcije. Neka je data realna funkcija f : X → R, X ⊂ R, u
oznaci y = f (x). Funkcija f je neprekidna u tacˇki a ∈ X ako vazˇi lim
x→a f (x) = f (a).
To znacˇi sledec´e: Ako za svaki niz xn ∈ X , xn → a, sledi f (xn) → f (a),
n = 1,2, . . . , odnosno da su kod neprekidne funkcije f , limes i funkcija zamenili mesta
ili je limes ,,prosˇao kroz“ funkciju, tj.
lim
x→a f (x) = f (limx→a x) = f (a).
Ta cˇinjenica je josˇ ocˇiglednija u sledec´em zapisu
lim
n→+∞ f (xn) = f ( limn→+∞xn) = f (a).
(niz xn → a, niz vrednosti funkcije f (xn)→ f (a)).
Koristec´i se logicˇkim simbolima, mozˇe se zapisati
lim
x→a f (x)= f (a)⇔(∀ε>0)(∃δ >0)(∀x∈X)
(|x−a|<δ ⇒| f (x)− f (a)|<ε).
37 G. H. Hardy (M. A., F. R. S. Fellow of Trinity College Emeritus Professor of Pure Mathematics in
the University of Cambridge Hon. Fellow of New College), 1945, A Course of Pure Mathematics, Oxford,
Ninth edition (prevod na ruski jezik), str. 182.
2.2. Elementi matematicˇke analize 86
Slika 48 – Ilustracija neprekidnosti funkcije f (x) u tacˇki a
Funkcija f je neprekidna u tacˇki a ako i samo ako(∀V ( f (a)))(∃U(a))( f (U(a))⊂V ( f (a)))(∀ε > 0)(∃U(a))(∀x ∈U(a))(| f (x)− f (a)|< ε).
Iz jednakosti lim
x→a f (x) = f (a) sledi da je limx→a
( f (x)− f (a))= 0.
Ako koristimo oznake Δx = x− a i Δy = f (x)− f (a) = f (a+Δx)− f (a), tada je
lim
Δx→0
Δy = 0.
Ako je funkcija f (x), x ∈ X neprekidna sleva i neprekisna zdesna onda je za a ∈ X i
lim
x→a−0
f (x) = lim
x→a+0
f (x) = f (a) funkcija f (x) neprekidna u tacˇki a.
PRIMER 42. Elementarne funkcije neprekidne su na svom domenu. Na primer:
a) f (x) = x2, x ∈ R
b) f (x) = 1
x
, x ∈ (−∞,0)∪ (0,+∞)
c) f (x) = sinx, x ∈ R
d) f (x) = ax, a > 0, a = 1.
RESˇENJE. a) Neka je
y = f (x+x)− f (x)
= (x+x)2 − x2 = x2 +2x(x)+ (x)2 − x2
=x(2x+x).
Ako x → 0, onda i y → 0.
b) y = 1
x+x −
1
x
=
−x
(x+x) · x . Ako x → 0 onda y → 0.
c) U svakoj tacˇki a ∈R
|sin x− sinx|=
∣∣∣∣2cos x+a2 sin
x−a
2
∣∣∣∣
 2
∣∣∣∣sin x−a2
∣∣∣∣ 2
∣∣∣∣x−a2
∣∣∣∣= |x−a|< ε .
2.2. Elementi matematicˇke analize 87
Da bi vazˇilo sinx− sina|< ε dovoljno je uzeti |x−a|< δ = ε .
d) Neka je f (x) = ax, a > 1, x ∈R.
Potrebno je dokazati da f (x+h)− f (x)→ 0, kada h → 0, odnosno
f (x+h)→ f (x), h → 0
| f (x+h)− f (x)| = ∣∣ax+h −ax∣∣
= ax|ah −1|
Preostaje nam da pokazˇemo da ah → 1. Uvodenjem smene h = 1
t
, t → ∞ (jer h → 0) dobija
se a
1
h → 1, a za n = [t] sledi da a1n → 1, tj. n√a → 1, a > 1.
Posˇto vazˇi sledec´a procena
1 n
√
a
n
√
a ·1 · · · · ·1 a+n−1
n
<
a+n
n
(jedinice pod korenom n−1 puta)
1 n
√
a a
n
+1
Posˇto je a
n
+1 → 1, dobija se da n√a → 1, a > 1.
Odavde sledi da ax+h −ax → 0, h → 0, pa je funkcija f (x) = ax, a > 1, x ∈R, neprekidna.
Klasifikacija prekida. Neka je f : X →R. Oznacˇimo levu i desnu granicˇnu vrednost
sa
lim
x→a−0
f (x) = f (a−0) i lim
x→a+0
f (x) = f (a+0).
Funkcija f je neprekidna u tacˇki a ako i samo ako je definisana u tacˇki a i vazˇi
f (a−0) = f (a) = f (a+0).
Prekid ima razlicˇite slucˇajeve:
(i) Otklonjiv prekid. Leva i desna granicˇna vrednost su konacˇne i jednake. U tacˇki a
funkcija nije definisana ili je f (a) razlicˇito od f (a−0) i f (a+0).
PRIMER 43. Za funkciju f (x) = x · sin 1
x
vrednost f (0) ne postoji jer f (x) nije definisana za
x = 0
lim
x→−0
x · sin 1
x
= 0, lim
x→+0
x · sin 1
x
= 0
jer je ∣∣∣∣x · sin 1x
∣∣∣∣ |x| → 0, x →±0.
(ii) Prekid prve vrste. Leva i desna granicˇna vrednost su konacˇne i razlicˇite pa postoji
skok
f (a+0)− f (a−0).
U tom slucˇaju f (a) mozˇe biti jednako f (a−0) ili f (a+0), razlicˇito od njih ili funkcija u
tacˇki x = a nije definisana.
2.2. Elementi matematicˇke analize 88
Slika 49 – Funkcija f (x) = xsin 1
x
PRIMER 44. Data je funkcija
f (x) = sgnx =
⎧⎨
⎩
1, x > 0
0, x = 0
−1, x < 0
Funkcija signum prekidna je u tacˇki x−0.
Slika 50 – Funkcija je signum Slika 51 – Funkcija ceo deo
PRIMER 45. Funcija f (x) = [x]. Funkcija ceo deo prekidna je za svaki ceo broj x.
(iii) Prekid druge vrste. Ako za funkciju f u tacˇki prekida a ne postoji leva\ili desna
granicˇna vrednost, odnosno
lim
x→a−0
f (x) =±∞ i/ili lim
x→a+0
f (x) =±∞,
tada funkcija f u tacˇki a ima prekid druge vrste.
2.2. Elementi matematicˇke analize 89
PRIMER 46. Funkcija f (x) = 1
x
, x = 0 ima prekid druge vrste u tacˇki x = 0.
Lokalne osobine neprekidnih funkcija.
(i) Ako su funkcije f : X → R, g : X → R neprekidne u nekoj tacˇki a ∈ X, onda su
neprekidne i funkcije λ f (λ ∈ R), f +g, f ·g i f
g
(g = 0) u toj tacˇki.
(ii) Ako je f : X →R neprekidna u tacˇki a∈X, onda je f ogranicˇena u nekoj okolini
U(a) tacˇke a.
(iii) Ako je f : X → R neprekidna u tacˇki a ∈ X i f (a) = 0, onda su u nekoj okolini
tacˇke a vrednosti funkcije ili samo pozitivne ili samo negativne.
(iv) Ako je f : X → Y neprekidna u tacˇki a i g : Y → R neprekidna u tacˇki
b = f (a) ∈ Y , onda je kompozicija g◦ f definsana i neprekidna u tacˇki a.
Neprekidnost na intervalu. Funkcija f : I →R neprekidna je na intervalu I ako je
neprekidna u svakoj tacˇi x ∈ I.
Globalna svojstva neprekidne funkcije cˇine osobine, opisano govorec´i, vezane za
cˇitav domen.
Teorema o meduvrednosti (Bolcano-Kosˇi). Ako je funkcija f : [a,b] → R nepre-
kidna na [a,b] i ima na krajevima odsecˇka vrednosti razlicˇitog znaka odnosno ako je
f (a) · f (b)< 0, tada postoji tacˇka c ∈ [a,b] takva da je f (c) = 0.
Koristec´i logicˇku simboliku formulacija teoreme je( f ∈C[a,b] ∧ f (a) f (b)< 0)⇒ (∃c ∈ [a,b])( f (c) = 0).
DOKAZ . Pretpostavimo da neprekidna funkcija f na krajevima odsecˇka [a,b] uzima
vrednosti raznih znakova, recimo f (a) < 0 i f (b) > 0. Odsecˇak delimo na pola tacˇkom
a+b
2
.
Ako je u toj tacˇki vrednost funkcije f nula, onda je to nadena tacˇka c. Ako nije, onda
jedan od odsecˇaka[
a,
a+b
a
]
ili
[
a+b
a
, b
]
ima svojstvo da na njegovim krajevima funkcija f ima vrednosti razlicˇitog znaka. Taj
odsecˇak oznacˇavamo sa [a1,b1].
Nastavljamo opisani postupak tako sˇto ga podelimo na pola itd. Kao rezultat u ne-
kom koraku dobic´emo tacˇku c, takvu da je f (c) = 0, ili se dobija niz umetnutih odsecˇaka
[an,bn] koji prema Kantorovoj teoremi ima neprazan presek. Tu tacˇku oznacˇavamo sa c.
Pri tome vazˇi
lim
n→+∞an = c = limn→+∞bn
2.2. Elementi matematicˇke analize 90
i prema konstrukciji nizova f (an)< 0 i f (bn)> 0. Odavde je
lim
n→+∞ f (an) 0 i limn→+∞ f (bn) 0
pa zbog neprekidnosti funkcije f vazˇi
f
(
lim
n→+∞an
)
 0 i f
(
lim
n→+∞bn
)
 0,
tj. f (c) 0 i f (c) 0. Sledi da mora biti f (c) = 0.
NAPOMENA. Opisani postupak u dokazu teoreme je jedan jednostavan algoritam za
nalazˇenje korena f (x) = 0 na odsecˇku, u cˇijim krajevima neprekidna funkcija ima vred-
nosti razlicˇitog znaka.
Vazˇi i uopsˇtenje ove teoreme.
Opsˇta teorema o meduvrednosti (Bolcano-Kosˇi). Neka je f : [a,b]→R neprekidna
funkcija i na krajevima odsecˇka f (a) = A i f (b) = B. Tada, za svaki broj C izmedu A i B,
postoji tacˇka c ∈ [a,b] takva da je f (c) =C.
Dokaz ove teoreme svodi se na dokaz prethodne primenjen na neprekidnu funkciju
F(x) = f (x)−C, na [a,b]
za koju je ispunjeno F(a) ·F(b) = (A−C)(B−C)< 0. Prema tome postoji tacˇka c, takva
da je F(c) = 0, odnosno f (x)−C = 0, tj. f (c) =C.
Vajersˇtrasova teorema. Ako je f (x) neprekidna na [a,b] tada je f ogranicˇena na
[a,b].
DOKAZ . Mozˇe se nac´i interval [a,δ1] na kome je f ogranicˇena, jer iz neprekidno-
sti funkcije f u tacˇki x = a sledi da za dato ε1 > 0 mozˇemo nac´i δ1 > 0 tako da je f
ogranicˇena, tj. vrednosti funkcije f su izmedu f (a)− ε1 i f (a)+ ε1.
Pretpostavimo da funkcija f nije ogranicˇena na [a,b]. Tacˇke intervala [a,b] delimo
na dve klase L i D. Tacˇka x ∈ L, ako je na [a,x] funkcija f ogranicˇena, a pripada D ako f
nije ogranicˇena. Svako x ∈ L je manje od svakog y ∈ D.
Neka tacˇka β ∈ [a,b], (β < b) deli ove dve klase tako da su sve tacˇke levo u klasi L
i sve tacˇke desno u klasi D. L i D dele [a,b] na dve disjunktna podintervala [a,β ] i (β ,b]
ili [a,β ) i [β ,b].
Skup L postoji jer je f neprekidna u tacˇki a i zato ogranicˇena na [a,δ1]. U tacˇki β
funkcija f je neprekidna, pa je ogranicˇena na intervalu [β − δ , β + δ ] za neko δ > 0.
Birali smo δ tako da je a < β −δ < β +δ < b.
To znacˇi da je na intervalu [a, β +δ ] funkcija f ogranicˇena pa β +δ ∈ L. Time smo
pokazali da ne postoje tacˇke skupa D, tj. skup D je prazan. Kontradikcija! Posˇto je D
prazan i tacˇka b ∈ L.
Funkcija f je ogranicˇena na [a,b].
2.2. Elementi matematicˇke analize 91
NAPOMENA. Slucˇaj β = b je trivijalan.
Posledica. Neprekidna funkcija f na intervalu [a,b] dostizˇe maksimum i minimum.
DOKAZ . Neka je M najmanji broj za koji vazˇi f (x)M, x ∈ [a,b].
Pretpostavimo da je f (x) < M za svaki x ∈ [a,b]. Funkcija g(x) = 1
M− f (x) nije
ogranicˇena jer imenilac mozˇe uzeti proizvoljno male vrednosti. Funkcija g je neprekidna
u svakoj tacˇki x ∈ [a,b]. Na osnovu prethodne teoreme sledi da je g ogranicˇena. Kontra-
dikcija!
Teorema o inverznoj neprekidnoj funkciji. Neka je funkcija f : [a,b]→R, nepre-
kidna i strogo monotona na [a,b], tada je inverzna funkcija f −1 strogo monotona i nepre-
kidna na intervalu sa krajevima f (a) i f (b).
PRIMER 47. Funkcija f (x) = loga x, a > 1, x > 0 je neprekidna kao inverzna funkcija
funkcije f (x) = ax, a > 1, x ∈R.
Slika 52
NAPOMENA. Kada shvatimo susˇtinu pojma neprekidnosti i neprekidnost elementar-
nih funkcija onda se mogu izracˇunati i slozˇenije granicˇne vrednosti.
PRIMER 48. Dokazati
lim
x→0
ln(1+ x)
x
= 1 i lim
x→0
ex −1
x
= 1.
DOKAZ. Na osnovu neprekidnosti funkcije ln vazˇi
lim
x→0
ln(1+ x)
x
= lim
x→0
1
x
ln(1+ x) = lim
x→0
ln(1+ x)
1
x
(nep ln)
= ln lim
x→0
(1+ x)
1
x = lne = 1.
2.2. Elementi matematicˇke analize 92
Na osnovu lim
x→0
ln(1+ x)
x
= 1, smenom ex −1 = t dobija se lim
x→0
ex −1
x
= 1.
Za ovu priliku dajemo i jedan drugi dokaz za
ex −1
x
→ 1, x → 0
Uvodimo smenu x = 1
t
, t →+∞, x →+0. Potrebno je dokazati
e
1
t −1
1
t
→ 1.
Kad t →+∞, prema Arhimedovoj aksiomi postoji n ∈N, n > t pa dokazujemo
e
1
n −1
1
n
→ 1, n →+∞
Kako niz
(
1+ 1
n
)n
→ e i rastuc´i je, a niz
(
1+ 1
n
)n+1
→ e i opadajuc´i je, tj. niz
(
1+ 1
2n−1
)2n
→
e i opadajuc´i je, onda vazˇi nejednakost
n
⎛
⎝
((
1+
1
n
)n) 1n −1
⎞
⎠< n
(
e
1
n −1
)
< n
⎛
⎜⎝
((
1+
1
2n−1
)2n)1n
−1
⎞
⎟⎠ , n ∈N
n
(
1+ 1
n
−1
)
< n
(
e
1
n −1
)
< n
((
1+ 1
2n+1
)2
−1
)
1 < n
(
e
1
n −1
)
< n
(
2
2n−1 +
1
(2n−1)2
)
Posˇto i desna strana tezˇi broju 1, sledi da je
lim
n→+∞
e
1
n −1
1
n
= 1, tj.
lim
x→0
ex −1
x
= 1.
Ravnomerna neprekidnost
Neprekidnost funkcije se definisˇe u tacˇki, a ravnomerna neprekidnost funkcije se
definisˇe na intervalu.
Funkcija f : I → R je ravnomerno neprekidna na intervalu I, ako za
(∀ε > 0)(∃δ > 0)
(
|x′ − x′′|< δ , x′,x′′ ∈ I ⇒ ∣∣ f (x′)− f (x′′)∣∣< ε
)
.
PRIMER 49. f (x) = x2 nije ravnomerno neprekidna na R, jer je
∣∣∣∣ f
(
n+
1
n
)
− f (n)
∣∣∣∣> 2, ∀n ∈ N,
2.2. Elementi matematicˇke analize 93
a za dovoljno veliko n je
d
(
n+
1
n
,n
)
=
∣∣∣∣n+ 1n −n
∣∣∣∣= 1n < δ .
Znacˇi, za ε = 2 ne postoji δ .
PRIMER 50. f (x) = logx nije ravnomerno neprekidna na (0,1) jer za ε ∈ (0,1) ne postoji
odgovarajuc´e δ > 0. Dovoljno je primetiti da
d(e−n,e−n−1) = e−n − e−n−1 = e−1
en+1
→ 0 (n → ∞),
dok je ∣∣ f (e−n − f (e−n−1)∣∣= 1.
PRIMER 51. f (x) = 1
x2 +1
jeste ravnomerno neprekidna na R, jer je
| f (x)− f (y)| = |y
2 − x2|
(x2 +1)(y2 +1)
= |y− x| |x+ y|
(x2 +1)(y2 +1)

 |y− x|
( |x|
x2 +1
+
|y|
y2 +1
)
 |y− x|
(
1
2
+
1
2
)
= |y− x|.
Za dato ε > 0 treba uzeti da je δ = ε .
Kantorova teorema o ravnomernoj neprekidnosti. Svaka funkcija f : [a,b] → R
koja je neprekidna na odsecˇku [a,b] ravnomerno je neprekidna na njemu.
Definicija Lipsˇicovog uslova.38 Za funkciju f : X → R, X ⊂ R, kazˇe se da zadovo-
ljava Lipsˇicov uslov na X ako postoji konstanta L > 0, takva da vazˇi∣∣ f (x1)− f (x2)∣∣ L|x1 − x2| (∀x1,x ∈ X).
Teorema. Ako funkcija f : X → R zadovoljava Lipsˇicov uslov, tada je ona ravno-
merno neprekidna na skupu X.
Fermaov metod
Pjer de Ferma je razvio metod pronalazˇenja maksimuma i minimuma funkcije.39
Isticˇemo deo koji je znacˇajan za dalji razvoj diferencijalnog racˇuna.
38 R. D. S. Lipschitz (1832–1903), nemacˇki matematicˇar.
39 Pjer de Ferma (Pierre de Fermat), roden je 1601. u Bomon de Lomanj u Francuskoj i zˇiveo je do
1655, matematicˇar i pravnik u parlamentu u Tuluzu. On je pored Dekarta veliki matematicˇar XVII veka.
Delo Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam (Method of Finding Maxima and Minima), koji je
razvio 1629, pronadeno je u njegovom rukopisu iz 1637.
Mooris Kline, 1972, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Oxford University Press,
New York, str. 345.
2.2. Elementi matematicˇke analize 94
Neka je PT odgovarajuc´a tangenta grafika funkcije f (x), gde je tacˇka T na x-osi, a
P dodirna tacˇka tangente i Γ f . Projekcija tacˇke P na x-osu je tacˇka Q i T Q je projekcija
duzˇi T P na x-osu.
Fermaov plan bio je da se pronade duzˇina T Q, pri cˇemu se zna pozicija tacˇke T i iz
toga mozˇe da se konstruisˇe T P.
Neka je QQ1 uvec´anje T Q za velicˇinu E. S obzirom na to da je trougao T QP slicˇan
trouglu PRT1, sledi da je
T Q : PQ = E : T1R.
Medutim, Ferma je primetio da su velicˇine T1R i P1R priblizˇne ili ,,skoro iste“, za malo E,
i da zbog toga mozˇe da se pisˇe odnos
T Q : PQ = E : (P1Q1 −QP).
Na osnovu modernog zapisa funkcije (Ojlerova oznaka) f (x) vazˇi sledec´e:
T Q : f (x) = E : [ f (x+E)− f (x)].
Iz ove jednakosti dobije se
T Q = E f (x)f (x+E)− f (x) .
Ako se brojilac i imenilac podele sa E, a E tezˇi nuli, dobija se T Q.40
Ferma je primenio ovaj metod na mnoge komplikovane probleme. Metod ima forme
diferencijalnog racˇuna koji se bavi komplikovanom teorijom granicˇnih procesa. Dekart je
predstavio slicˇan metod u knjizi La Ge´ome´trie. To je bio algebarski metod i nije ukljucˇivao
koncept granicˇne vrednosti, dok Fermaov metod to sadrzˇi. Dekartov metod odnosi se na
krive oblika y = f (x), gde je f (x) jednostavniji polinom. Ferma je imao uopsˇteniji metod,
ali ga je Dekart kritikovao i pokusˇao da ga predstavi preko svojih ideja. Ferma je tvrdio
da je njegov metod superiorniji i video je prednost u malom E.
40 Morris Kline, 1972, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press,
New York, p. 345.
2.2. Elementi matematicˇke analize 95
Valja napomenuti da je Isak Barou takode dao metod za pronalazˇenje tangente na
krivu.41 Svojim geometrijskim metodom oslobodio se velikog tereta racˇunanja. On se
1669. povukao sa pozicije profesora, u korist mladog kolege Isaka Njutna, i okrenuo se
teolosˇkim istrazˇivanjima.
2.2.9. Velikani teorije i primene – Njutn i Lajbnic
Isak Njutn je zavrsˇio cˇuveni koledzˇ Svetog Trojstva (Trinity College) Univerziteta
u Kembridzˇu.42 Danas na njegovom ulazu stoji natpis: Tisˇina, ovde spava veliki ser Isak
Njutn. U naucˇna istrazˇivanja odvela ga je knjiga Tajne prirode i umetnosti, autora Dzˇona
Bejta. Izabran je za profesora na Triniti koledzˇu sa 26 godina, a cˇlan Kraljevskog drusˇtva
postao je tri godine kasnije. Titulu ser je dobio kao upravnik kovnice novca zbog zasluga u
ocˇuvanju funte. Od 1703. do 1727. godine bio je predsednik Kraljevskog drusˇtva. Njutn je
uzdizao principe vrednog rada i posvec´enosti ucˇenju kao najvisˇe nade cˇovecˇanstva.43 Oni
koji zˇele da razumeju gradu sveta moraju da se potrude da svedu svoje znanje na najvec´u
moguc´u jednostavnost. Na osnovu Njutnovog rada uspostavljen je naucˇni metod.44
Pretpostavlja se da je na Njutna ogroman uticaj imalo cˇitanje Dekartove Geome-
trije. ,,Njutnov najvec´i matematicˇki proboj bilo je shvatanje da narocˇito manipulisanje
pogodnom jednacˇinom mozˇe da dovede do tacˇne vrednosti nagiba krive linije koja je
predstavljena tom jednacˇinom. Ovaj metod manipulacije je susˇtina diferenciranja. Drugi
postupak koji se izvodi sa jednacˇinom (postupak od tada nazvan integracija) vodi mate-
maticˇara do povrsˇine ispod krive koja je predstavljena tom jednacˇinom. Za ova dva po-
41 Isak Barou (Isaac Barrow), 1630–1677, profesor na Univerzitetu Kembridzˇ, bio je dobar poznavalac
grcˇkog i arapskog jezika; imao je priliku da prevede Euklida i Arhimeda ili da poboljsˇa neke prevode.
Njegovo najznacˇajnije delo je Lectiones Geometricae.
42 Isak Njutn je roden u trec´em satu posle ponoc´i, na Bozˇic´ 1642. godine. Sam Njutn je podrzˇavao ideju
da je nesˇto u vezi sa njegovim rodenjem bilo cˇudesno. Pojedini autori kao zvanicˇan datum njegovog rodenja
u savremenoj epohi upisuju 4. januar 1643, po savremenom gregorijanskom kalendaru, posˇto Britanija nije
kalendarsku reformu prihvatila sve do 1752. godine. Njutn je zˇiveo do 1727.
43 Njutn je pokusˇavao da pronade kamen mudrosti, a najvazˇnije mu je bilo otkrivanje univerzalne istine.
Na proslavi tri stotine godina od Njutnovog rodenja Majnard Kejnz je istakao u svom cˇuvenom govoru da
je on univerzum shvatao kao kriptogram koga je napravio Svemoguc´i Bog. Solomonov hram, najslavljeniji
simbol mudrosti i vere, izgraden oko 1000. godine pre nove ere u Jerusalimu za Njutna je paradigma cˇitave
buduc´nosti sveta. Verovao je da osnovni postulat intelektualnog zˇivota predstavlja cˇinjenica da neke stvari
nikada nec´e biti saznatljive.
44 Na samom pocˇetku naucˇnog istrazˇivanja postulira se ideja – cˇesto zasnovana na nadahnutom uvidu.
Zatim se ona razvija u radnu pretpostavku, putem zakljucˇivanja – ovaj postupak zove se induktivni metod.
Prakticˇne posledice ove pretpostavke moraju se matematicˇki dedukovati i ideja eksperimentalno proveriti.
Ukoliko postoje nesaglasnosti izmedu pretpostavke i rezultata eksperimenta, ili posmatranja, pretpostavka
se mora izmeniti a eksperimenti ponoviti, sve dok se ne postigne sklad izmedu zakljucˇivanja i posmatranja,
ili dok se pocˇetna ideja ne odbaci. Ukoliko su zakljucˇivanje i prakticˇna verifikacija konacˇno u skladu,
pretpostavka dobija unapredenje i postaje teorija. Dobra nauka omoguc´ava uvodenje novih ideja koje mogu
da unisˇte staru teoriju ili da zahtevaju korenite promene. (Vajt, Majkl, 2010, Isak Njutn. Poslednji cˇarobnjak,
Zavod za udzˇbenike, Dosije studio, Beograd, str. 35).
2.2. Elementi matematicˇke analize 96
stupka, diferenciranje i integraciju, zajednicˇki termin je kalkulus, ili infinitezimalni racˇun,
a oni predstavljaju moc´no oruzˇje u rukama matematicˇara i naucˇnika.“45 Svoje rezultate
Njutn sumira u knjizi pod naslovom De Methodis Serierum Fluksionum (O metodi nizova
i fluksija). Za osnovnu operaciju uzima diferenciranje i pravi niz matematicˇkih postu-
paka za izracˇunavanje povrsˇina, izracˇunavanje duzˇina krivih i odredivanje maksimuma i
minimuma funkcije. Njutn je do 1687. otkrio tri cˇuvena zakona i formulisao Zakon gra-
vitacije, i svoje pronalaske sumirao u delu Philosophiae naturalis principia mathematica
(Matematicˇki principi prirodne filozofije, tj. fizike).
Slika 53 – Isak Njutn i Gotfrid Lajbnic
Potpuni proboj do neogranicˇene mathesis universalis usledio je sa Lajbnicom, nema-
cˇkim filozofom, matematicˇarem i pronalazacˇem.46 On je u cˇetrnaestoj godini upisao Uni-
verzitet u Lajpcigu. Njegov prvi doprinos matematici razvio se iz dela Habilitationsschrift
(druga doktorska disertacija u Nemacˇkoj iz filozofije). ,,Sanjao je o enciklopedijskom, uni-
verzalnom umetnicˇkom matematicˇkom jeziku kojim bi se moglo izraziti svako podrucˇje
znanja, o pravilima izracˇunavanja koja bi otkrila sve logicˇke veze izmedu izrazˇenih is-
kaza. Konacˇno, sanjao je o masˇinama koje mogu obavljati izracˇunavanja i osloboditi um
za kreativno misˇljenje.“47
Izabran je 1673. godine u Londonsko kraljevsko drusˇtvo, na osnovu toga sˇto je uspeo
da predstavi racˇunarsku masˇinu koja mozˇe da izvede cˇetiri osnovne aritmeticˇke operacije.
Iako je Paskal konstruisao masˇinu koja mozˇe da sabira i oduzima, Lajbnicova je bila prva
45 Vajt, Majkl, 2010, Isak Njutn. Poslednji cˇarobnjak, Zavod za udzˇbenike, Dosije studio, Beograd, str.
87. Njutn je pronasˇao revolucionarno otkric´e diferencijalnog i integralnog racˇuna skoro istovremeno sa
Lajbnicem, mada nezavisno od njega. U to vreme Njutn je imao losˇ obicˇaj da ne publikuje svoje radove vec´
da pusti da rukopis kruzˇi medu prijateljima. Ovo je kasnije otvorilo neresˇen spor izmedu njega i Lajbnica
o tome ko je zapravo pronasˇao kalkulus. Diferenciranje i integracija su uzajamno inverzne matematicˇke
operacije i ne moraju da budu u korelaciji sa geometrijom, odnosno sa izracˇunavanjem bilo kakvih geome-
trijskih velicˇina.
46 Gotfrid Lajbnic (Gottfried Wilhelm Freiherr (baron) von Leibniz), 1646–1716.
47 Davis, Martin, 2003, Na logicˇki pogon: poreklo ideje racˇunara, Jasenski i Turk, Zagreb, str. 16.
2.2. Elementi matematicˇke analize 97
koja mozˇe da mnozˇi i deli. ,,I sada, kada konacˇno smemo da pohvalimo masˇinu, da c´e ona
biti korisna svima koji se bave racˇunanjem, a to su, kao sˇto znamo, knjigovode, upravnici
poseda, trgovci, nadzornici, geografi, pomorci, astronomi... Jer nije dostojno cˇoveka da
kao rob gubi vreme u racˇunanju koje se pouzdano mozˇe prepustiti bilo kome ko se sluzˇi
masˇinom.“48
Lajbnic oznacˇava intelekt kao osnovu nuzˇnih i opsˇtih istina, a prepoznavanje po-
sebnog se prepusˇta cˇulima i spoljnom opazˇanju. U sadrzˇaj iskustva ne mozˇe se uneti
opsˇti ili posebni sadrzˇaj koji nije sasvim razjasˇnjen u samom duhu. Sama priroda stvari
je priroda duha i njegovih urodenih ideja. ,,Svaki stav iskustva pruzˇa nam samo primer
i ovaploc´enje nekog nuzˇnog aksioma. Tako se mozˇe rec´i da su sve, kako izvorne, tako
i izvedene istine, u nama, zato sˇto sve izvedene ideje i sve istine, koje iz njih slede, re-
zultiraju iz odnosa izmedu izvornih ideja, koje su u nama. Iz prozˇimanja i sinteze opsˇtih
principa proizlazi istina posebnoga i cˇinjenicˇkoga.“49 Iz osnovnih racionalnih pojmova
i nacˇela proizlazi predmetno saznanje pojedinacˇnoga. Prema Lajbnicu, kod razgovetnih
primitivnih predstava mozˇe da postoji samo intuitivno saznanje, dok je misˇljenje kod onih
slozˇenih simbolicˇko, koje sadrzˇaj prikazuje znacima i njihovim povezivanjem. Slozˇeni
sadrzˇaj rasˇcˇlanjuje se do izvornih intuitivnih istina. Kad govori o definiciji, Lajbnic isticˇe
da krajnji kriterijum za istinu jedne ideje ne treba trazˇiti u njenom podudaranju sa spolj-
nom stvari vec´ samo u snazi i moc´i samog razuma. Kod razgovetnih primitivnih predstava
mozˇe postojati samo intuitivno saznanje, dok se kod onih slozˇenih misˇljenje odvija putem
znakova (simbola).50 Lajbnic odbacuje misˇljenje da je svekoliko saznanje verna kopija
neke postojec´e stvarnosti. On kazˇe da ,,ideje nisu slike nego simboli realnosti“. Odredeni
izrazi imaju stvarstveni temelj (fundamentum in natura), dok na primer recˇi jezika ili
odredeni znaci pocˇivaju na konvenciji. Onaj ko pronikne u odnos izmedu pojma i recˇi
stekao je uvid u temelj saznanja. A duh ima takvu snagu misˇljenja da iz svojih vlastitih
delatnosti mozˇe da izvodi rezultate koji sasvim odgovaraju stvarnim posledicama u stva-
rima. ,,Vecˇne istine vazˇe po sebi i za sebe i sasvim nezavisno od toga da li se za njih,
u svetu cˇinjenica, mozˇe nac´i nekakva direktna adekvatnost.“51 Svet pojava realan je u
onoj meri u kojoj on predstavlja harmonicˇno slaganje sa cˇistim pravilima uma, i istina
cˇulnih stvari dokazuje se intelektualnim principima povezivanja i ukupnosˇc´u svih ostalih
zapazˇanja.
Ogroman uticaj na revolucionarno otkric´e diferencijalnog i integralnog racˇuna, skoro
istovremeno sa Njutnom – mada nezavisno od njega, ima Lajbnic. ,,Izgleda da je dovrsˇenje
48 Davis, Martin, 2003, Na logicˇki pogon: poreklo ideje racˇunara, Jasenski i Turk, Zagreb, str. 20.
49 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba II, Izdavacˇka knjizˇarnica Zo-
rana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 101.
50 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba II, Izdavacˇka knjizˇarnica Zo-
rana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 103.
51 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba II, Izdavacˇka knjizˇarnica Zo-
rana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 122.
2.2. Elementi matematicˇke analize 98
i uzor takvog jasnog saznanja dat u analiticˇkoj geometriji; jer tu jednacˇina funkcije, koja
cˇini definiciju jedne odredene tvorevine, u jednoj jedinstvenoj racˇunskoj formuli krije ce-
lokupno obilje svojih obelezˇja, koje nadmasˇuje svaku cˇulnu sposobnost razlikovanja“.52
Lajbnicova notacija53 koju je razvio, koristi se i danas za integrale

i diferencijale d.
Pokazuje jednu vrstu problema koji se mogu resˇiti korisˇc´enjem limesa – to su problemi
odredivanja povrsˇine ispod krivih. Druga vrsta problema koji se resˇava korisˇc´enjem li-
mesa jeste promena brzine tela koje se krec´e. Davis nam prenosi sledec´e Lajbnicove recˇi:
,,Sve visˇe sam uveren u korisnost i ozbiljnost ove opsˇte nauke i vidim da je vrlo malo
ljudi shvatilo njene razmere. Ta se karakteristika sastoji od odredenog pisma ili jezika...
Neznalica nec´e moc´i da upotrebljava to pismo ili c´e u pokusˇaju da se njime sluzˇi i sam
postati ucˇen.“54
Pojam izvoda. Neka je f data funkcija u okolini U(x0) tacˇke x0 ∈ R, x ∈ U(x0).
Funkcija f (x)− f (x0)
x− x0 je definisana u okolini U˚(x0), gde je U˚(x0) =U(x0)\{x0}.
Definicija izvoda. Ako postoji granicˇna vrednost
lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x− x0
ona se zove izvod funkcije u tacˇki x0 i oznacˇava sa f ′(x0).
NAPOMENA. Uobicˇajen zapis prvog izvoda u tacˇki x po definiciji je
y′ = lim
h→0
f (x+h)− f (x)
h ili y
′ = lim
Δx→0
f (x+Δx)− f (x)
Δx = limx→0
Δy
Δx .
PRIMER 52. Nac´i izvod funkcije
a) f (x) = sinx
b) f (x) = ex.
RESˇENJE. a) Prema definiciji izvoda funkcije vazˇi
f ′(x) = lim
h→0
sin(x+h)− sinx
h =
= lim
h→0
2sin h
2
· cos
(
x+
h
2
)
h
52 Ernst Kasirer, 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba II, Izdavacˇka knjizˇarnica Zo-
rana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad, str. 109.
53 Simbol za integrale

zapravo je modifikovano S od suma, a simbol d podsec´a na recˇ diferencija.
Kao da notacija sve napravi sama. Lajbnicova notacija je bolja od Njutnove i brzo je prihvac´ena sˇirom
Evrope. Kada se govori o Lajbnicu, vredi pomenuti da se on interesovao i za uopsˇtenja pojma izvoda. U
pismima Lopitalu (1695) i Volisu (1697) Lajbnic je ucˇinio nekoliko napomena o moguc´nosti razmatranja
diferencijala i izvoda reda 1
2
.
54 Davis, Martin, 2003, Na logicˇki pogon: poreklo ideje racˇunara, Jasenski i Turk, Zagreb, str. 29.
2.2. Elementi matematicˇke analize 99
= lim
h→0
sin h
2
h
2
· cos
(
x+
h
2
)
= lim
h→0
cos
(
x+
h
2
)
= cosx.
b) Koristec´i definiciju izvoda dobija se
f ′(x) = lim
h→0
ex+h − ex
h
= lim
h→0
ex(eh −1)
h
=
= ex · lim
h→0
eh −1
h = e
x.
Definicija diferencijabilnosti. Funkcija f , definisana u nekoj okolini U(x0) tacˇke
x0 ∈ R, diferencijabilna je u toj tacˇki ako se njen prirasˇtaj
Δy = f (x0 +Δx)− f (x0), Δx = x− x0
u okolini te tacˇke mozˇe predstaviti u obliku
Δy = A ·Δx+o(Δx), Δx → 0,
A je konstanta.
Teorema o neprekidnosti. Ako funkcija f ima izvod u nekoj tacˇki, onda je ona i
neprekidna u toj tacˇki.
Ova teorema tvrdi da iz postojanja prvog izvoda funkcije f u tacˇki x sledi neprekid-
nost funkcije f u tacˇki x zbog toga sˇto iz Δx → 0 sledi da Δy → 0.
DOKAZ . Ako je funkcija y = f (x), x ∈ X , diferencijabilna u tacˇki x0, tada vazˇi
Δy = A ·Δx+o(Δx), Δx → 0.
Odavde sledi lim
Δx→0
Δy = 0, sˇto znacˇi da je funkcija f (x) neprekidna u tacˇki x0.
NAPOMENA. Obratno, ako je funkcija neprekidna u nekoj tacˇki, ne znacˇi da u toj
tacˇki ima izvod.
Za izvod funkcije y = f (x), x ∈ X , upotrebljavaju se sledec´e oznake55
y′ = f ′(x) (Lagranzˇova oznaka),
dy
dx =
d
dx f (x) (Lajbnicova oznaka),
y˙ = ˙f (x) (Njutnova oznaka).
Koriste se i oznake y′x ili y′t kada se naglasˇava po kojoj promenljivoj je izvod.
55
ˇZozef Lagranzˇ (Joseph–Louis Lagrange), francuski matematicˇar (1736–1813).
2.2. Elementi matematicˇke analize 100
Teorema o diferencijabilnosti. Funkcija f je diferencijabilna u nekoj tacˇki ako i
samo ako u toj tacˇki ima konacˇan izvod.
DOKAZ . Pretpostavimo da funkcija f ima konacˇan izvod f ′(x0) u tacˇki x0, odnosno
postoji konacˇna granicˇna vrednost lim
Δx→0
Δy
Δx = f
′(x0). To znacˇi da je
Δy
Δx = f
′(x0)+α(Δx), α(Δx)→ 0, Δx → 0.
(Leva strana jednakosti nije definisana za Δx = 0, tako da funkcija α(Δx) nije defi-
nisana za Δx = 0. Zato je potrebno da se dodefinisˇe α(Δx) u tacˇki 0, i neka je α(0) = 0).
Δy = f ′(x0)Δx+α(Δx) ·Δx, α(Δx)Δx = o(Δx) kad Δx → 0,
Δy = f ′(x0)Δx+o(Δx), Δx → 0.
Ova formula znacˇi da je funkcija f (x) diferencijabilna.
S druge strane, pretpostavimo suprotno, da je funkcija f diferencijabilna u tacˇki x0,
odnosno da je ispunjeno
Δy = A ·Δx+o(Δx), Δx → 0,
Δy
Δx = A+α(Δx), α(Δx)→ 0, α(Δx) =
o(Δx)
Δx .
Odavde sledi da je lim
Δx→0
Δy
Δx = A.
PRIMER 53. Ispitati neprekidnost i diferencijabilnost funkcije y = |x|, x ∈ R.
RESˇENJE. Funkcija y = |x| je neprekidna u tacˇki 0, jer je Δy = |Δx| i zbog toga je lim
Δx→0
Δy =
0. S druge strane, lim
Δx→+0
Δy
Δx
= 1, lim
Δx→−0
Δy
Δx
= −1, pa granicˇna vrednost kolicˇnika Δy
Δx
kad
Δx → 0 ne postoji.
Geometrijski smisao izvoda. Neka je funkcija f definisana u nekoj okolini U(x0)
tacˇke x0, neprekidna u toj tacˇki i y0 = f (x0) i tacˇka A ima koordinate A(x0,y0).
Neka je Δx takav prirasˇtaj za koji x0+Δx ∈U(x0). Prirasˇtaj funkcije f odreden je sa
Δy = f (x0 +Δx)− f (x0), a tacˇka B ima koordinate B
(
x0 +Δx, f (x0 +Δx)
)
.
Prava koja prolazi kroz tacˇke A i B je secˇica (prava tetive AB) i njena jednacˇina je
y =
Δy
Δx(x− x0)+ y0.
Da bi secˇica kad Δx→ 0 tezˇila tangentnom polozˇaju (razlicˇitom od vertikalne prave),
neophodno je i dovoljno da postoji konacˇna granicˇna vrednost lim
Δx→0
Δy
Δx , odnosno da po-
stoji konacˇan izvod.
2.2. Elementi matematicˇke analize 101
Granicˇni polozˇaj secˇice jeste tangenta grafika funkcije u tacˇki A i ima jednacˇinu
y = f ′(x0)(x− x0)+ y0.
Slika 54 – Geometrijski smisao izvoda
Iz neprekidnosti funkcije y = f (x) u tacˇki x0 sledi da je lim
Δx→0
Δy = 0 i na osnovu
|AB|=
√
(Δx)2 +(Δy)2 sledi da je lim
Δx→0
|AB|= 0, odnosno tacˇka B tezˇi tacˇki A po grafiku
Γ f funkcije f . Pri tome je f ′(x0) = tgα , gde je α ugao koji obrazuju x-osa i tangenta
funkcije u tacˇki A.
Prvi izvod se cˇesto naziva brzina promene funkcije. Po analogiji sa mehanicˇkim
tumacˇenjem izvoda, prvi izvod je trenutna brzina promene funkcije. Naime, srednja brzina
promene je Δy
Δx
, a trenutna se dobija kada Δx → 0. U mehanici (kinematici) je funkcijom
s = f (t) opisano pravolinijsko kretanje materijalne tacˇke, gde je s rastojanje tacˇke od
pocˇetka O. Izvod s′ = dsd t je trenutna brzina te materijalne tacˇke. Ove cˇinjenice znacˇe:
izvod funkcije koristi se svuda.56
Vazˇe sledec´e formule:57
[1] (u+ v−w)′ = u′+ v′ −w′,
[2] (uv)′ = u′v+uv′,
[3] (cu)′ = c ·u′,
[4]
(u
v
)′
=
u′v−uv′
v2
,
56 Фихтенгольц Г.М. 2001, Курс дифференциального и интегрального исчисления I, (в 3
томах), Физматлит, str. 220.
57 Detalji dokaza ovih formula, kao i druge teoreme diferencijalnog racˇuna, mogu se nac´i u: Do-
brilo Tosˇic´, Miloljub Albijanic´, Danijela Milenkovic´, 2012, Elementi diferencijalnog i integralnog ra cˇuna,
Sluzˇbeni glasnik, Beograd, str. 195–241.
2.2. Elementi matematicˇke analize 102
[5] ako je funkcija f neprekidna i strogo monotona u okolini tacˇke x0 i ima u tacˇki
x0 izvod f ′(x0) = 0, tada inverzna funkcija f −1(x) ima izvod u tacˇki y0 = f (x0) i vazˇi
d f−1(y)
dy
∣∣∣
y=y0
=
1
d f (x)
dx
∣∣∣
x=x0
.
PRIMER 54. Dokazati da je
(lny)′ = 1
y
, y > 0 i (arcsin y)′ = 1√
1− y2 , −1 < y < 1.
RESˇENJE. Posˇto je za
y = ex, x ∈ R inverzna funkcija
x = lny, y > 0 onda je
( f−1(y))′ = 1
( f (x))′ , odnosno
(lny)′ = 1
(ex)′
=
1
ex
=
1
y
.
Slicˇno, kako je za y = sinx, x ∈
[
−π
2
,
π
2
]
, njene inverzane funkcije arcsin y = x, y ∈ [−1,1], onda
je
(arcsin y)′ = 1
(sinx)′ =
1
cos x
=
1√
1− sin2 x
=
1√
1− y2 , |x|<
π
2
, |y|< 1.
[6] Neka je funkcija y = g(x) definisana u nekoj okolini U =U(x0) tacˇke x0, a funk-
cija z= f (y) definisana u nekoj okolini V =V (y0) tacˇke y0 = g(x0) i pri tome je f (U)⊂V .
Ako funkcija y = g(x) ima izvod u tacˇki x0 i funkcija z = f (y) ima izvod u tacˇki
y0 = g(x0), tada slozˇena funkcija z = f
(
g(x)
)
ima izvod u tacˇki x0 i vazˇi z′(x0) = f ′(y0) ·
g′(x0), odnosno z′x = z′y · y′x, tj.
dz
dx =
dz
dy ·
dy
dx .
PRIMER 55. Nac´i izvod funkcije y = xα , x > 0, α ∈R.
RESˇENJE. Kako je xα = eln xα = eα lnx, onda je
(xα )′ = (eα lnx)′ = eα lnx · (α lnx)′
= eln x
α ·
(
α
1
x
)
= α · xα 1
x
= αxα−1.
Na osnovu definicije diferencijabilnosti, Δy = f ′(x)Δx+α(Δx) ·Δx, α(Δx)→ 0
kad Δx → 0.
2.2. Elementi matematicˇke analize 103
Definicija diferencijala. Sabirak f ′(x)Δx naziva se diferencijal funkcije f u tacˇki x
i oznacˇava se sa dy = f ′(x)Δx.
Dodatno, za y = x, dy = dx, tako da koristimo formulu dx = Δx. Formula za dife-
rencijal funkcije ima oblik dy = f ′(x)dx.
Geometrijski dy se mozˇe shvatiti kao prirasˇtaj po tangenti; dve velicˇine Δy i dy
razlikuju se onoliko koliko se razlikuju ordinata funkcije i njene tangente. Iz formule
diferencijala dy = f ′(x)dx sledi da je dydx = f
′(x), pa se tako izvod funkcije mozˇe pisati i
u sledec´em obliku:
y′ =
dy
dx .
PRIMER 56. Neka je funkcija f definisana sa
f (x) =
{
xsin 1
x
(x = 0)
0 (x = 0)
Da li je ovako definisana neprekidna funkcija f i diferencijabilna?
RESˇENJE. Nalazimo izvod funkcije
f ′(x) = sin 1
x
− 1
x
cos
1
x
, (x = 0).
U tacˇki x = 0 mora se primeniti neposredno definicija izvoda pa je kolicˇnik
f (t)− f (0)
t −0 = sin
1
t
(t = 0).
Za t → 0, ne postoji granicˇna vrednost od sin1
t
pa f ′(0) ne postoji.
PRIMER 57. Neka je funkcija f definisana sa
f (x) =
{
x2 sin 1
x
(x = 0)
0 (x = 0)
Da li je funkcija f diferencijabilna?
RESˇENJE. Izvod funkcije je
f ′(x) = 2xsin 1
x
− cos 1
x
(x = 0).
U tacˇki x = 0, trazˇimo izvod po definiciji pa je∣∣∣∣ f (t)− f (0)t −0
∣∣∣∣=
∣∣∣∣t sin 1t
∣∣∣∣ |t|.
Za t → 0 dobija se f ′(0) = 0.
Funkcija f je diferencijabilna u svim tacˇkama.
2.2. Elementi matematicˇke analize 104
Pojam integrala
U mnogim je slucˇajevima moguc´e nac´i izvod date funkcije, sˇto je pokazano putem
brojnih primera. Medutim, mozˇe se postaviti i obrnuto pitanje: kako nac´i funkciju cˇiji je
izvod poznat.
Neka je data funkcija y = f (x), x ∈ X . Zadatak je da se pronade takva funkcija F(x),
za koju vazˇi: F ′(x) = f (x). Resˇenje tog problema ima tri dela:
(1) Prvi deo je odgovor na pitanje da li takva funkcija F(x) postoji. Takva funkcija
ne postoji uvek, posebno u slucˇaju kada je funkcija prekidna. Utvrdic´e se jednostavno
pravilo: Ako je f neprekidna na intervalu (a,b), tada uvek postoji funkcija F za koju vazˇi
F ′(x) = f (x), x ∈ (a,b). (Dokaz c´e kasnije biti dat).
NAPOMENA. Moguc´e je da funkcija nije neprekidna na nekom intervalu pa da ipak
bude integrabilna. Svaka ogranicˇena funkcija f (x) u intervalu [a,b] sa konacˇnim brojem
prekidnih tacˇaka izmedu a i bje integrabilna u tom intervalu.
(2) Drugo, da li je funkcija F(x) jedinstvena? Odgovor na ovo pitanje ne predstavlja
problem, svaka funkcija oblika F(x)+C jeste resˇenje jer je
(
F(x)+C
)′
= F ′(x) = f (x) (C = const),
pa resˇenje nije jedinstveno vec´ se razlikuje do na konstantu.
(3) Trec´e, kako funkciju F(x) formalno nac´i? Nalazˇenje izvoda, ako je ona kombi-
nacija elementarnih funkcija relativno je jednostavno. Medutim, obrnuti zadatak je veoma
tezˇak, sˇto c´e biti predmet daljeg razmatranja.
Definicija primitivne funkcije. Funkcija F : X → R gde je X interval, naziva se
primitivna funkcija ili integral funkcije f : X → R, ako je
F ′(x) = f (x), za sve x ∈ X .
Na primer, za funkciju f (x) = x njene primitivne funkcije su
F1(x) =
x2
2
, F2 =
x2
2
+1, F3 =
x2
2
+4, itd.,
jer vazˇi (
x2
2
)′
= x,
(
x2
2
+1
)′
= x,
(
x2
2
+4
)′
= x
na intervalu (−∞,+∞).
Uopsˇte, ako funkcija f (x) ima primitivnu funkciju F(x), primitivne funkcije su i sve
funkcije oblika F(x)+C, gde je C proizvoljna konstanta, jer je
(
F(x)+C
)′
= F ′(x) = f (x).
2.2. Elementi matematicˇke analize 105
Obratno, ako su F1(x) i F2(x) dve primitivne funkcije za f (x) na intervalu X , tada je
F ′1(x) = f (x) i F ′2(x) = f (x),
pa je
(
F1(x)−F2(x)
)′
= F ′1(x)−F ′2(x) = 0,
odakle sledi da je F1(x)−F2(x) = C, gde je C neka konstanta. Prema tome, ako je F(x)
primitivna funkcija za f (x), tada su sve primitivne funkcije date sa F(x)+C, gde je C
proizvoljna konstanta.
Definicija integrala. Ako je F ′(x) = f (x), x ∈ (a,b), odnosno (F(x)+C)′ = f (x),
tada familiju funkcija F(x)+C nazivamo integral od f (x), u oznaci
f (x)dx = F(x)+C.
Na osnovu definicije integrala je
dF(x) = F ′(x)dx = f (x)dx,
dF(x) =

F ′(x)dx = F(x)+C i
(
f (x)dx
)′
= f (x).
Postupak nalazˇenja primitivne funkcije F(x) za datu funkciju f (x) naziva se inte-
gracija.
Vec´ je istaknuto da Apolonijev sistem pocˇiva na tri stuba. Za neodredeni integral
mozˇe se rec´i da pripada tom sistemu jer resˇavanje integrala pocˇiva na tri moc´i – tri metode
integracije:
(1) metod smene,
(2) metod parcijalne integracije i,
(3) metod integracije racionalnih funkcija.58
58 Visˇe o metodama resˇavanja integrala mozˇe se videti u: Dobrilo Tosˇic´, Miloljub Albijanic´, Danijela
Milenkovic´, 2012, Elementi diferencijalnog i integralnog ra cˇuna, Sluzˇbeni glasnik, Beograd, str. 310.
3.
EMPIRIJSKO ISTRA ˇZIVANJE I RE ˇSAVANJE
ZADATAKA
3.1. ANALIZA UPITNIKA
3.1.1. O nastavi matematike
Razvoj matematike, od pocˇetka do danasˇnjih dana motivisan je potrebom primene
ali i svojim sopstvenim tezˇnjama i istrazˇivanjima. U starom Egiptu dominirala je prakticˇna
potreba, a u staroj Grcˇkoj zahtevi teorije. I danas se govori o cˇistoj ili primenjenoj ma-
tematici, sˇto upuc´uje na to da podsticaji za razvoj matematike dolaze od nje same, ili od
drugih naucˇnih i tehnicˇkih disciplina.
U dvadesetom veku matematika je imala veliku primenu – matematicˇka statistika,
racˇunari, primene u elektrotehnici, pa sve do telekomunikacija i svemirskih letelica. Sa
druge strane, isti period obelezˇen je apstrakcijom kakvu svet nije video. Na primer vek-
torski i topolosˇki prostori. Podrucˇja gde se izmene u nastavi relativno brzo prate (ili bi
tako trebalo da bude) jesu, na primer, tehnicˇke i medicinske nauke. Zaostajanje u tim
oblastima smanjuje moguc´nosti primene u ocˇuvanju zdravlja ili zˇivota ljudi. Moderniza-
cija tehnologije zahteva hitnu modernizaciju fundamentalnih nauka, odnosno matematike
i egzaktnih i prirodnih nauka. Tako nas put vodi ka modernizaciji i same nastave.
Zoru srpske matematike najavio je Dimitrije Nesˇic´, profesor Velike sˇkole. Zahva-
ljujuc´i svojim licˇnim osobinama, studentima je prenosio ljubav prema predmetu, slu zˇio
se jasnoc´om izlaganja, usmeravao je pazˇnju studenata i ucˇio ih da razlikuju glavno od
sporednog, uzˇiveo se u nauku koju je predavao.1
Mihailo Petrovic´ je doktorirao u Parizu. Profesori su mu bili cˇuveni Poenkare, Pikar
i dr. Doktorsku tezu iz diferencijalnih jednacˇina odbranio je 1894. pred komisijom u kojoj
1 Dragan Trifunovic´, 1996, Dimitrije Nesˇi c´ – zora srpske matematike, Arhimedes, Beograd, str. 19.
Dimitrije Nesˇic´ (1836–1904). Studije je zapocˇeo na Liceju u Beogradu, nastavio na Velikoj tehnicˇkoj
nsˇkoli u Becˇu, a zavrsˇio na Politehnicˇkoj sˇkoli u Karlsrueu. Bio je pravi posvec´enik prosvetnog hrama,
human, plemenit, cˇovek andeoske dusˇe. Smatran je idealnim cˇovekom. Njegov student i naslednik u Velikoj
sˇkoli bio je Mihailo Petrovic´.
3.1. Analiza upitnika 107
su bili Ermit, Pikar i Penleve. Po dolasku u Beograd izabran je za profesora namesto svog
profesora Dimitrija Nesˇic´a. Njegova su predavanja bila razumljiva, odrzˇavao je nivo koji
je pristupacˇan slusˇaocima. Kod onih koji su zˇeleli sˇire znanje podsticao je samostalni rad.
Odlikovala ga je neposrednost, skromnost i vedrina duha. Harmoniju svojih duhovnih
osobina uneo je u svakodnevni zˇivot. Naucˇni rad je smatrao prvom duzˇnosˇc´u nastavnika
univerziteta, jer bez nauke nema uspeha ni u nastavi, a ni napretka uopsˇte. Sa Milutinom
Milankovic´em delio je ne samo kabinet vec´ i univerzalni matematicˇki svet. On je predavao
teorijsku matematiku, a Milankovic´ primenjenu matematiku. Zasluzˇno priznanje dobio
je 1939. godine za svoj naucˇni rad u svim oblastima matematicˇkih nauka i stvaranje
matematicˇke sˇkole na Beogradskom univerzitetu.2
Njegovi doktoranti uspesˇno su razvijali nastavu matematike na matematicˇkim i te-
hnicˇkim fakultetima u Srbiji. Na tehnicˇkim fakultetima, pre svega na elektrotehnici, do-
prinos razvoju nastave dao je Dragoslav Mitrinovic´, pristupom koji je povezivao teoriju i
primenu. On je 1961. godine pokrenuo ediciju Uvodenje mladih u naucˇni rad u izdanju
Zavoda za udzˇbenike.
Nastava matematike u Srbiji pripada tzv. tradicionalnoj sˇkoli (definicija – teorema –
dokaz).
Prema Kejt Veberu sastoji se iz niza profesorovih instrukcija, a studenti pasivno uz-
imaju belesˇke i materijal je rasporeden u strogom logicˇkom redosledu. Pojedini au-
tori smatraju da takav DTD pristup daje studentima pogresˇnu sliku o prirodi matema-
tike; da krije druge procese koji se koriste u matematiˇckom rezonovanju; da negira
moguc´nost korisˇc´enja intuicije.
Tradicionalni stil DTD nije jedina pedagosˇka paradigma vec´ postoje razlicˇite pedagosˇke
tehnike. Studija ucˇenja u ucˇionici nepotpuna je bez istovremenog sagledavanja drusˇtvene
i kulturne prakse, bez nastavnih materijala i postupaka profesora. Stil profesora iz pret-
hodne studije pokazuje da on ima direktan uticaj na nacˇin na koji studenti pokusˇavaju
da naucˇe materijale.3
Kolmogorov isticˇe vazˇnu cˇinjenicu koja karakterisˇe nastavnika matematike. ,,Od na-
stavnika matematike i u visˇoj i u srednjoj sˇkoli zahteva se visˇe nego samo temeljno po-
znavanje nauke koju predaje. Matematiku mozˇe da predaje samo onaj cˇovek koji je i sam
njome odusˇevljen i koji je shvata kao nauku koja je zˇiva i koja se razvija. Verovatno,
2 Mihailo Petrovic´ (1868–1943). ˇSkolovao se u Prvoj beogradskoj gimnaziji, a diplomirao je na
Prirodno–matematicˇkom odseku Filozofskog fakulteta u Beogradu 1889. Nastavio je sˇkolovanje u Parizu
na Ecole normale supe´rieure. Doktorat je odbranio na Sorboni 1894. Petrovic´evu matematicˇku sˇkolu (ili
Beogradsku matematicˇku sˇkolu) osnovala je grupe koja je doktorirala matematicˇke nauke kod njega. To su
Tadija Pejovic´, Radivoje Kasˇanin, Jovan Karamata, Milosˇ Radojicˇic´, Konstantin Orlov, Dragoslav Mitri-
novic´, Vojislav Avakumovic´, Dragoljub Markovic´ i dr.
3 Keith Weber, 2004, Traditional instruction in advanced mathematics courses: a case study of one
professor’s lectures and proofs in an introductory real analysis course, Journal of Mathematical Behavior
23 (2004) 115–133. http://www.journals.elsevier.com/the-journal-of-mathematical-behavior
3.1. Analiza upitnika 108
mnogi srednjosˇkolci znaju kako kod takvih nastavnika matematika postaje zanimljiva, a
blagodarec´i tome laka i pristupacˇna.“4
Nastavnik, cˇija licˇnost ima intelektualni i emocionalni uticaj na studente kada im se
obrac´a, predstavlja za njih odlucˇujuc´i element u obrazovanju.5
Profesori, istrazˇivacˇi i dizajneri u okviru matematicˇkog obrazovanja u nastavi dele
zajednicˇke ciljeve za razumevanje i unapredivanje nastave matematike i ucˇenja stude-
nata. Profesori izvode nastavu i upuc´uju kako treba da je ucˇi, istrazˇivacˇi proucˇavaju
kako ljudi ucˇe i kako se izvodi nastava, a dizajneri razvijaju nastavne materijale za
podrsˇku profesorima i studentima. Svaki od navedenih strucˇnjaka razvija sopstveni
put, metodu i strucˇnost. Veoma retko oni razmenjuju svoja iskustva i znanje. Svaka
perspektiva mozˇe mnogo da ponudi drugima. Postoji cˇvrsto uverenje da mogu da se
razviju bolje metode i da ih kreiraju bolji materijali za nastavu ako se znanja udruzˇe.6
3.1.2. Metodologija istrazˇivanja
Predmet istrazˇivanja je nastava matematicˇke analize na tehnicˇkim fakultetima –
odnosno elektrotehnicˇkim, gradevinskim i masˇinskim fakultetima u Beogradu, Novom
Sadu i Nisˇu. Istrazˇivanje odnosa izmedu teorije i primene matematicˇke analize veoma je
znacˇajno, aktuelno i interesantno. Istrazˇivanje mozˇe da doprinese poboljsˇanju izvodenja
nastave i primene matematicˇke analize u neposrednoj nastavi. Period sprovodenja istrazˇi-
vanja trajao je od oktobra do decembra 2013. godine.
Cilj istrazˇivanja i hipoteze. Istrazˇivanje ima naucˇni i drusˇtveni cilj. Naucˇni cilj je-
ste stvaranje nove naucˇne informacije koja doprinosi sˇirenju saznanja. Drusˇtveni cilj je
primena rezultata istrazˇivanja, doprinos razumevanju odnosa apstrakcije i primene; ali i
unapredivanje metodike nastave matematike na tehnicˇkim fakultetima. Ovo istrazˇivanje
takode daje inspiraciju i podsticaje za dalja istrazˇivanja u oblasti metodike nastave mate-
matike na drugim fakultetima i univerzitetima.
Ovim istrazˇivanjem autor je hteo da utvrdi kako studenti dozˇivljavaju trenutni odnos
apstraktne teorije i primene, tj. da li su predavacˇi uspeli da unaprede svoja izlaganja do
te mere da studenti budu zadovoljni nacˇinom rada, ili je potrebno dodatno raditi na me-
todicˇkom pristupu. Ovaj deo istrazˇivanja formalno bi se mogao tretirati kao utvrdivanje
istinitosti generalne hipoteze: Metodicˇki dobro postavljena nastava matematike pomazˇe
boljem razumevanju odnosa izmedu apstrakcije i primene matematicˇke analize.
Pomoc´u prethodno navedena tri dela upitnika autor utvrduje istinitost cˇetiri posebne
hipoteze:
4 Mitrinovic´ D. S. (urednik), 1963, Matemati cˇka biblioteka: Uvodenje mladih u naucˇni rad III, Zavod
za izdavanje udzˇbenika, Beograd, str. 110.
5
ˇSa´rka Hosˇkova´, 2010, Innovation of educational process of mathematics of military officers, Procedia
Social and Behavioral Sciences 2 (2010) 4961–4965.
6 Susan Magidson, Building bridges within mathematics education: Teaching, research, and instructio-
nal design, Journal of Mathematical Behavior 24 (2005) 135–169, Elsevier Ltd.
3.1. Analiza upitnika 109
(i) Studenti tehnicˇkih fakulteta imaju pozitivan odnos prema matematici.
(ii) Studenti tehnicˇkih fakulteta matematici prevashodno dodeljuju upotrebnu vred-
nost.
(iii) Predavanje nastavnika je dobro ukoliko je razumljivo, razgovetno i ako mo-
tivisˇe studente da u njemu ucˇestvuju. Istovremeno, predavanje sadrzˇi primere
sa elementima primene.
(iv) Matematicˇka literatura predstavlja vazˇno nastavno sredstvo ali se ona, osim
zbirki zadataka koje sluzˇe za neposredno pripremanje ispita, ne koristi.
Instrument. Studenti su odgovarali na pitanja o nastavi matematike, koja se sastoji
iz tri dela:
A. Opsˇti stavovi o matematici.
B. Nastava matematike.
C. Nastavna sredstva.
Za popunjavanje upitnika posebno predznanje iz matematike nije bilo potrebno.
U prvom delu studenti su imali priliku da iznesu svoj stav prema matematici kao
licˇni dozˇivljaj i kao ocenu nastave matematike na fakultetu.
Deo B je posvec´en nastavi matematike. U nizu od sedam pitanja studenti su imali
zadatak da procene primenljivost i originalnost gradiva, kao i kvalitet nastave. U ovom
delu im je bilo omoguc´eno da se izjasne o tome sˇta bi po njihovom misˇljenju unapredilo
nastavu matematike.
Trec´i deo upitnika sadrzˇi pitanja o primeni racˇunara i internet tehnologija u nastavi,
kao i pitanja o udzˇbenicima i literaturi koju koriste za izucˇavanje matematicˇke teorije i za
pripremu ispita.7
Uzorak obuhvata 429 studenata druge, trec´e i cˇetvrte godine studija (uzeti su u obzir
studenti koji su polozˇili ispit koji obuhvata diferencijalni i integralni racˇun funkcija jedne
promenljive, a koje se na ovim fakultetima realizuje na prvoj godini studija u okviru
jednog ili dva semestra). Struktura studenata u upitniku po starosti, univerzitetu i fakultetu
koji pohadaju data je u tabeli 1.
Tabela 1 – Struktura uzorka
Godina studija Univerzitet Fakultet
2 3 4 BG NI NS ETF GF MG
N 71 260 93 164 162 103 122 183 113
Kao dodatna grupa ispitanika u istrazˇivanje su ukljucˇeni studenti Matematicˇkog fa-
kulteta, njih 59, kako bi poredenjem pojedinih rezultata mogli da zakljucˇimo da li je neki
stav opsˇte prirode ili je razlicˇit kod matematicˇara i kod nematematicˇara.
7 Tekst upitnika mozˇe se videti u Prilogu 1.
3.1. Analiza upitnika 110
Obrada podataka. Posle sprovedenog istrazˇivanja odgovori su evidentirani i napra-
vljena je odgovarajuc´a baza. Pomoc´u statisticˇkog paketa SPSS formirane su tabele koje u
sebi sadrzˇe procentualne zastupljenosti odgovora. Pri tom, u tabelama rezultata se nalaze
procenti odgovora na osnovu celokupnog uzorka, ali i zastupljenosti odgovora u odnosu
na godinu studija, univerzitet i fakultet. Na osnovu uporedivanja ucˇestalosti odgovora u
sledec´im odeljcima iznec´emo osnovne zakljucˇke.
3.1.3. Osnovni nalazi
A. Opsˇti stavovi o matematici
Da li je po misˇljenju mnogih velikih naucˇnika matematika apstraktna i vecˇna istina,
izvan svake sumnje?
Josˇ od Vavilona i Egipta do dostignuc´a modernih matematicˇara fond matematicˇkog
znanja stalno se povec´ava. Razvoj se krec´e u dva pravca. Razvijaju se postojec´e teorije
i dokazuju nova tvrdenja i stvaraju se nove teorije. ,,Taj sjaj i elegancija matematicˇkih
teorija toliko su snazˇni, vitalni i neumoljivi, a uspesi njihove primene na nauku i tehno-
logiju toliko ocˇigledni da se visˇe uopsˇte ne pitamo u cˇemu je njihova stvarna vrednost i
sˇta oni uopsˇte znacˇe.“8 Jednostavno recˇeno, ako matematicˇko znanje prikazˇemo kao drvo
saznanja, koren i deblo cˇine temeljno znanje za sve grane, grancˇice i listove. ˇSto se pri-
mene ticˇe, vrednosno opredeljenje matematicˇara jeste da sluzˇi za dobro cˇovecˇanstva, iako
znamo da je tokom istorije bilo zloupotreba poput stvaranja i korisˇc´enja ubojitog oruzˇja
cˇija je namena unisˇtavanje ljudi i stvari. Razvojni put matematike ne mozˇemo odvojeno
posmatrati jer apstrakcija donosi primenu, a iz primene su proizasˇle nove teorije i mate-
maticˇki rezultati koje njihovi osnivacˇi nisu mogli predvideti.
Matematika razvija logicˇko i apstraktno razmisˇljanje kod studenata. Vodi ka samo-
stalnom misˇljenju i doprinosi punom intelektualnom razvoju. Nastava se zasniva na
aktivnom usvajanju resˇavanja zadataka i problema, uz prihvatanje vesˇtine primene.
Matematika stvara uslove za razumevanje kvantitativnih i prostornih odnosa prema
stalnom usvajanju matematicˇkih termina, figura, simbola i operacija. Nastava matema-
tike znacˇajno uticˇe na razvoj apstraktnog razmisˇljanja i logicˇkog rasudivanja, dovodi
do tacˇnosti u izrazˇavanju, a na poseban nacˇin doprinosi formiranju voljnih osobina
karaktera (tacˇnost, izdrzˇljivost, konzistentnost) i na taj nacˇin stvara uslove za razume-
vanje i bavljenje prakticˇnim situacijama. Matematika kod studenata razvija intuitivno
razumevanje pojma beskonacˇnosti, na primer kod granicˇne vrednosti nizova i funkcija
ili u geometriji.9
8 Vladimir Devide, 1975, Stara i nova matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 20.
9
ˇSa´rka Hosˇkova´, 2010, Innovation of educational process of mathematics of military officers, Procedia
Social and Behavioral Sciences 2 (2010) 4961–4965.
3.1. Analiza upitnika 111
Na pitanje ˇSta je za vas matematika? studenti elektrotehnicˇkih, gradevinskih i ma-
sˇinskih fakulteta10 ubedljivo odgovaraju da je matematika primenjena nauka. Dodatna
grupa Matematicˇkog fakulteta prednost daje stavu da je matematika kraljica nauka.11
Tabela 2 – ˇSta je za vas matematika?
Uku- Fakultet
pno ETF GF MasˇF
429 133 183 113
Primenjena nauka 57.6 60 62 48
Kraljica nauka 24.5 20 27 25
Apsolutna i vecˇna istina 19.1 19 20 19
Nesˇto drugo 14.2 17 9 20
Apstraktna teorija 12.8 19 9 12
Nema odgovor 1.2 2 1 2
Slika 1 – ˇSta je za vas matematika?
Studenti tehnicˇkih fakulteta naveli su i druge interesantne odgovore. Na primer:
Matematika je osnov svega, princip. Matematika je alat (moc´an i koristan alat, instru-
ment, aparat) koji resˇava inzˇenjerske probleme (primenljiv u ostalim naukama, olaksˇava
izucˇavanje drugih nauka, za resˇavanje konkretnih problema u tehnici). Matematika je apa-
rat koji pomazˇe fizicˇarima da komuniciraju sa prirodom. Matematika je jezik kojim se opi-
suje tehnicˇki svet ljudi. Nauka koja daje odgovor na sva pitanja u prirodi. Temelj drugih
nauka. Produbljuje svest. Matematika je ljubav (prva, jedina i najvec´a). Nesˇto nepoznato,
beskonacˇno i nestvarno.
10 Umesto naziva fakulteta koristic´e se skrac´enice ETF, GF i MasˇF. Tekst Ankete prikazan je u Prilogu
1. Odgovori studenata ETF, GF i MasˇF prikazani su u celini u Prilogu 3 u elektronskom obliku. Odgovori
studenata Matematicˇkog fakulteta – dodatne grupe, prikazani su u Prilogu 4 u elektronskom obliku.
11 Studenti su kod ovog pitanja imali moguc´nost da zaokruzˇe visˇe ponudenih odgovora.
3.1. Analiza upitnika 112
Studenti matematike napisali su recimo Matematika je pramajka prirodnih nauka.
Matematika je vezˇba za razmisˇljanje. Matematika je lepota. Umetnost. Magija.
Tabela 3 – Odgovori studenata matematike
Total
59
Kraljica nauka 52.5
Primenjena nauka 49.2
Apsolutna i vecˇna istina 39.0
Apstraktna teorija 27.1
Nesˇto drugo 13.6
Nema odgovor 01.7
Slika 2 – Odgovori studenata matematike
Izmedu stavova Matematika koju izucˇavate na fakultetima za vas licˇno je: Povec´anje
opsˇteg znanja ili Osnov za izucˇavanje strucˇnih predmeta, studenti tehnicˇkih fakulteta ube-
dljivu prednost daju drugom stavu.
Slika 3 – Matematika kao opsˇte znanje ili osnov za strucˇne predmete
U velikoj meri studenti prepoznaju da postoji konkretna primena matematike i da
ona nije samo apstraktna teorija.
3.1. Analiza upitnika 113
Slika 4 – Matematika na fakultetu
Za stavove Voleo sam matematiku u srednjoj sˇkoli i Volim matematiku na fakultetu,
studenti su vec´inom pozitivno odgovorili, ali ,,vide“ se i odredene blage promene smanje-
nja afiniteta prema matematici.
Slika 5 – Voleo sam matematiku u srednjoj sˇkoli
Slika 6 – Volim matematiku na fakultetu
Slika 7 – Voleo sam i volim matematiku
3.1. Analiza upitnika 114
Sa slike 5 vidimo da je procenat onih koji su voleli matematiku u srednjoj sˇkoli
70.1%. Na pitanje da li im je predznanje iz srednje sˇkole dovoljno 66.7% ispitanika od-
govorilo je potvrdno.
Istovremeno studenti daju prednost stavu da je gradivo obimnije od onoga sˇto im
je potrebno. Ova dva faktora mozˇemo navesti kao neke od razloga za smanjenje afiniteta
prema matematici.
Slika 8 – Gradivo je mnogo obimnije od onoga sˇto mi je realno potrebno
Interesantno je primetiti da studenti sa napredovanjem u studijama imaju sve manje
problema zbog nedostatka predznanja. Na slici 9 vidimo da je na drugoj godini studija
procenat onih koji mogu/ne mogu da prate nastavu skoro jednak, dok je na cˇetvrtoj godini
ta razlika znacˇajnija.
Slika 9 – Nivo predznanja po godini studija
Ovakav rezultat je ocˇekivan predstavlja posledicu toga sˇto studenti koji upisuju isti
fakultet dolaze iz srednjih sˇkola razlicˇitih obrazovnih profila i sa razlicˇitim predznanjem.
Na fakultetu se u velikoj meri nadoknaduje propusˇteno, i pri zavrsˇetku studija vec´ina
studenata ima ujednacˇeno znanje iz matematike.
Studenti su takode saglasni sa stavom: Znanje iz matematike olaksˇava mi izucˇavanje
/ polaganje strucˇnih predmeta.
NAPOMENA. Studenti blagu prednost daju stavu da je gradivo obimnije od onoga
sˇto im je potrebno. Istovremeno, podeljeno je misˇljenje o tome da li matematika gubi na
znacˇaju opsˇtom upotrebom kompjutera. Male razlike primec´uju se kod studenata GF, koji
3.1. Analiza upitnika 115
Slika 10 – Matematika pomazˇe u strucˇnim predmetima
racˇunare koriste za matematicˇke proracˇune na gradevinskim objektima. Oni daju blagu
prednost stavu da matematika gubi na znacˇaju zbog upotrebe kompjutera u poredenju sa
obrnutim stavom studenata ETF-a.
Matematika se uzdigla u kraljevsku umetnost, sˇto omoguc´ava i njeno korisˇc´enje iz-
van same matematike. Platon bi rekao da je matematika aristokratija duha i karaktera.
Vrednost ucˇenja matematike zasniva se u usvajanju njenih metoda i rezultata, ali i u ra-
zvijanju logicˇkog i estetskog nacˇina misˇljenja i zakljucˇivanja. ˇCar je u njenoj unutrasˇnjoj
lepoti.
Ovim stavom upotpunjuje se vazˇnost i znacˇaj matematike, i matematicˇkih teorija kao
sˇto su diferencijalni i integralni racˇun ili diferencijalne i parcijalne jednacˇine, bez kojih
danas nije moguc´e sagraditi most, zgradu, razmenjivati mejlove, pretrazˇiti internet, poslati
komunikacioni satelit u orbitu ili analizirati drusˇtvene pojave. ˇCitav niz grana matematike,
od matematicˇke statistike preko teorije informacija, operacionih istrazˇivanja, linearnog i
nelinearnog programiranja, pa do teorije igara, duzˇe vreme su neophodni alati ekonomista,
organizatora proizvodnje ili sociologa.12
Matematika je uzdignuta iznad Himalaja i trasirala je put razvoju cˇiste matematike
ili egzaktne nauke, odnosno apstraktne nauke. Na ovom mestu vazˇno je istac´i da cˇista
matematika resˇava probleme primenjene matematike, a sa druge strane, primenjena ma-
tematika omoguc´uje neocˇekivane uvide u prirodu – u samu bit i susˇtinu cˇiste matematike.
Bertolino nam prenosi recˇi Lobacˇevskog: ,,Nema ni jedne matematicˇke grane, ma koliko
da je apstraktna, koja se jednom ne bi mogla primeniti na pojave stvarnog sveta.“13
Biti na kraljevskom prestolu nauka za Davida Hilberta znacˇi ,,Wir mu¨ssen wissen.
Wir werden wissen“. U prevodu to je: ,,Moramo znati. Znac´emo.“14 Gedel je na to 1931.
rekao nec´emo znati!
Matematika u sebi samoj nosi veliko bogatstvo i lepotu i nisu joj potrebna uverenja o
tome da je apsolutna i vecˇna istina, ili visˇe vrednovanje, jer ionako zauzima najvisˇe mesto
12 Vladimir Devide, 1975, Stara i nova matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 25.
13 Milorad Bertolino, Matematika u tokovima istorije, Univerzitet Beograd, Publikacija Elektrotehnicˇkog
fakulteta, Ser. Mat. Fiz. No 602 – No 633, str. 179.
14 Vladimir Devide, 1975, Stara i nova matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 27.
3.1. Analiza upitnika 116
medu naukama. To ne iskljucˇuje moguc´nost da onaj ko se njome bavi bude uspesˇan i u
nekoj drugoj oblasti.
Matematika sama po sebi verovatno ne daje garanciju da mozˇe cˇoveka ucˇiniti srec´nim
i blazˇenim, ali sigurno mozˇe doprineti zadovoljstvu, pa i srec´i, cˇoveka koji se njome bavi,
jer ona u sebi nosi istinu i lepotu koju on otkriva.
B. Nastava matematike
Glavni cilj univerzitetskog obrazovanja je da studenti budu samostalni, da su u stanju
sami da ucˇe, potpuno samostalno cˇitaju tekstove i knjige i samostalno resˇavaju probleme.
Oni treba da naucˇe kako da ucˇe, da uz pomoc´ kurseva poboljsˇaju svoje metode istrazˇivanja
a predavacˇ tako organizuje svoja predavanja da olaksˇa studentu ucˇenje. Vesˇtina studiranja
treba da bude ugradena u u proces obrazovanja.
Baumslag predlazˇe deset pravila nastave:15
Poducˇavajte na pravom nivou – pocˇetak kursa je podesˇen na nivo studentskog znanja i
odrazˇava nivo univerziteta koji je kompatibilan sa sposobnostima studenata (predava-
nje razume visˇe od polovine studenata).
Grupa studenata treba da bude ujednaˇcena ako je to moguc´e. Ne mogu da slusˇaju
zajedno ekonomisti i fizicˇari, jer nemaju isto predznanje ni sposobnosti.
Obratite pazˇnju na skrivene a ocˇigledne stvari. Nesˇto sˇto mozˇe izgledati za mate-
maticˇare ocˇigledno za studente mozˇe biti prikriveno. Ovde treba obratiti pazˇnju na
jezik.
Uveriti se da su studenti aktivni. Matematika je predmet u kome se aktivno ucˇestvuje.
Ako slusˇa predavanje i aktivan je, rasvetljava grubu ideju i kako stvari funkcionisˇu, on
c´e razumeti i pamtiti. Stvari koje ne razume os tavlja za kasnije resˇavanje. To c´e pitati
za vreme diskusije ili c´e resˇiti samostalno. Jedna od vrednosti predavanja je da student
pravilno koristi materijale. Tempo predavanja mora da se prilagodi kako studenti ne
bi sveli na puko prepisivanje sadrzˇaja sa table, bez razmisˇljanja o matrerijalu. Ideja je
da student ima dovoljno vremena da zapisˇe i razmisˇlja o najvazˇnijim tacˇkama. Neki
predavacˇi su pokusˇali da studentima daju kompletne belesˇke, ali to nije bilo efikasno i
sledec´a predavanju su bila dosadna.
Napraviti zahteve. Visok standard trazˇi visoke zahteve. Ne preterane, razume se.
Podsticati studente i pruzˇiti im moguc´nost da postavljaju pitanja.
Motivisati studente. To mogu biti zanimljivi primeri od znacˇaja za njihovo polje studi-
ranja.
Ucˇiniti predavanja intersantnim. Predavanje treba da bude uzbudljivo i prijatno.
Posˇtovati studente – to su ljudska bic´a, sa problemima, strahovima i tesˇkoc´ama. Oni
su vodeni strahom i zadovoljstvom. Treba im ohrabrenje. Uverite se da znaju da ste na
njihovoj strani. Vasˇa briga i interes mogu da obezbede jaku motivaciju. Ako shvate da
im profesor zˇeli uspeh onda je vec´a sˇansa za njihovo dobro ucˇenje. Uz to vazˇno je da
studenti razumeju da c´e im taj kurs pomoc´i da ostvare svoje potrebe.
15 Baumslag B., 2000, Fundamentals of Teaching Mathematics at University Level, Imperial College
Press, London, p. 83-91.
3.1. Analiza upitnika 117
Profesori imajte na umu ucˇenje. I profesor mora da nastavi da ucˇi. Kad sam pokusˇava
da resˇi problem mora da shvati da i ucˇenik ima iste probleme. Tako se zadrzˇava ljubav
prema matematici. A profesor ima dovoljno znanja o temi koju predaje. ˇSta je glavna
preporuka?
Naucˇiti dobro predmet. ˇSto visˇe znate o predmetu, cˇak i ako vam je metoda losˇa je
bolje od situacije da ne znate dobro sadrzˇaj nastave. ˇSto se metoda ticˇe ne treba biti
dogmata. Razlicˇite metode imaju svoje porednosti u odredenim situacijama.
Korisˇc´enje simbola u nastavi matematike vrlo je znacˇajno. Simboli mogu veoma do-
bro i korisno da posluzˇe za sazˇeto, koncizno, jasno i cˇisto formulisanje mnogih definicija
i teorema, kao i za njihovo dokazivanje. Najcˇesˇc´e su to oznake za implikaciju ⇒, ekviva-
lenciju ⇔ i kvantifikatore ∀ svaki i ∃ postoji (bar) jedan. Na primer, definicija granicˇne
vrednosti funkcije
lim
x→a f (x) = A ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x) (0 < |x−a|< δ ⇒ | f (x)−A|< ε)
Oprez! Ovako napisanu definiciju vec´ina studenata slabo razume. Zato je neophodno de-
taljnije objasˇnjenje uz odgovarajuc´u graficˇku ilustraciju.
Funkcija matematicˇkog jezika oslanja se dobrim delom na njegovu konciznost, na
njegove sazˇete i sugestivne notacije. ,,Jedna od najvazˇnijih osobina matematicˇkog jezika
jeste moguc´nost lakog i tacˇnog prevoda sa jednog prirodnog jezika na drugi.“16
Kao sˇto smo vec´ videli u analizi opsˇtih stavova o matematici, studenti tehnicˇkih fa-
kulteta vec´inom vide matematiku kao osnov za izucˇavanje strucˇnih predmeta (70.4%).
Veliki broj je takode potvrdio da im je znanje iz matematike olaksˇalo izucˇavanje tih pred-
meta (76.2%). Vezano za nastavu i gradivo koje je predavano kada je trebalo da studenti
procene primenljivost u strucˇnim predmetima, dobili smo rezultate prikazane na slici 11.
Slika 11 – Odnos matematike i strucˇnih predmeta
Ovde se zakljucˇuje da kod studenata postoji svest o tome da je matematika vazˇna
za strucˇne predmete. ˇStavisˇe, prethodni rezultati ohrabruju jer navode na zakljucˇak da je
gradivo iz matematike u velikoj meri prilagodeno potrebama strucˇnih predmeta.
Ljudi uvazˇavaju matematicˇare i uzdizˇu matematiku zbog tacˇnosti i resˇavanja pro-
blema putem preciznih pravila zakljucˇivanja. Kod nekoga isti razlozi mogu izazvati od-
bojnost prema matematici i umanjenje priznavanja vrednosti matematicˇara.
16 Solomon Markus, 1974, Matematicˇka poetika, Nolit, Beograd, str. 65.
3.1. Analiza upitnika 118
Ispostavlja se da studenti tehnike, iako vide primenu matematike i matematicˇkih
teorema, oni u njima ne sagledavaju lepotu i eleganciju izvodenja dokaza. Dokazi sluzˇe
iskljucˇivo za teoretisanje, a ne da bi na njih ostavili utisak.
Zapravo, na pitanje Koliko ste saglasni da su dokazi teorema u matematici elegantni
i lepi? studenti su negativno odgovorili.
Tabela 4 – Dokazi teorema su elegantni i lepi
Ukupno Fakultet
ETF GF MasˇF
n 417 132 173 112
Ne uopsˇte 18.2 13 24 16
Ne, uglavnom 27.1 28 30 21
I da i ne 33.6 37 27 40
Da, delimicˇno 16.3 16 16 18
Da, veoma 04.8 06 04 04
Slika 12 – Dokazi teorema su elegantni i lepi
Kada smo trazˇili da navedu formulaciju jedne upecˇatljive teoreme, nije odgovorilo
46,6%, a 31,9% je odgovorilo: Pitagorina teorema. Samo je jedan student dao formulaciju
Lagranzˇove teoreme.
Naravno, Pitagorina teorema je opsˇtepoznata josˇ iz osnovne sˇkole. Medutim, iz teo-
rema visˇe matematike nijedna se nije mogla izdvojiti kao teorema koja ostavlja utisak.
U ukupnom utisku prilicˇno je ujednacˇeno misˇljenje o tome da li dokazi gube na
znacˇaju zbog opsˇte primene kompjutera u svim oblastima. Studenti ETF-a i GF-a imaju
suprotstavljene stavove, dok je na MasˇF zastupljenost i pozitivnog i negativnog odgovora
slicˇna.
3.1. Analiza upitnika 119
Slika 13 – Dokazi gube na znacˇaju opsˇtom primenom kompjutera
Na pitanja o tome da li su dokazi teorema korisni, ili da ne znaju cˇemu sluzˇe, studenti
masˇinskih fakulteta su dali relativno ujednacˇene odgovore. ˇCak 50% njih je reklo da su
im dokazi veoma korisni, a 48% nije potvrdilo da ne znaju cˇemu oni sluzˇe. Studenti sa
ostala dva fakulteta ostali su podeljenog misˇljenja o korisnosti dokaza, ali je u oba slucˇaja
malo vec´i procenat onih koji znaju cˇemu ti dokazi sluzˇe.
Za dodatnu grupu su dokazi u matematici ubedljivom vec´inom originalni (64.9%),
elegantni i lepi (54.4%). Interesantno je da su i korisni (50%). U formulaciji teorema bili
su darezˇljiviji. Na primer, bez odgovora – 16.9%, Pitagorina teorema – 8.5%, Banahova
teorema – 5.1%, Lagranzˇova teorema – 3.4%, Stoksova teorema – 3.4% itd.
Ne smemo zaboraviti da dodatnu grupu cˇine buduc´i matematicˇari koji vec´ osec´aju
naklonost ka matematici kao nauci.
Postavlja se pitanje ima li u matematici mesta za masˇtu i slobodnu kreaciju, tj. da
li ima mesta ljudskom elementu, a time i umetnicˇkom nadahnuc´u? U matematici nije sve
jednoznacˇno determinisano. Vrhunski matematicˇari raspravljaju se o pravcima razvoja ili
popravljaju dostignute rezultate. A tek teorije o metodici nastave sadrzˇe razlicˇite pristupe.
,,Matematicˇari su ljudi i njihovo stvaranje je ljudsko – ono u sebi nosi nesigurnost, ali i le-
potu, i prolaznost, ali i vecˇnost, i naucˇni, ali i umetnicˇki pogled.“17 Umetnost pripisujemo
samoj prirodi ili izrazu koji otkrivamo u umetnicˇkim delima poput slike, kompozicije ili
arhitektonskih dela. Matematika je u osnovi prirodna nauka iz koje se razvila u posebnu
disciplinu. Stari Grci su tragali za skladom i harmonijom medu brojevima. Takvi odnosi
imaju svoje mesto u ritmu i metrici poezije, u muzici, u likovnim umetnostima i u arhitek-
turi. Bozˇanska srazmera – zlatni presek smatra se skladnim i prijatnim za oko. Poznata je
uloga perspektive u slikarstvu, narocˇito u periodu renesanse (npr. Rafael – Atinska sˇkola).
Veliki slikari, npr. Leonardo da Vincˇi i Direr, brinuli su o proporcijama ljudskog tela.18
Za matematiku se kazˇe da ima pretezˇno logicˇki karakter, nasuprot pretezˇno intuitiv-
nom karakteru umetnosti. U stvari, intuicija je od bitne vazˇnosti i u matematici, a poezija
17 Vladimir Devide, 1975, Stara i nova matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 42.
18 Vladimir Devide, 1975, Stara i nova matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 45.
3.1. Analiza upitnika 120
ima svoju unutrasˇnju logiku. Otkric´e u matematici rezultat je cˇudesnih snaga u kojima, po
svemu sudec´i, nesvesno prepoznavanje lepote igra vazˇnu ulogu.19
Matematicˇari kazˇu da je dokaz odredene teoreme elegantan, lep ili skladan. To znacˇi
da dokaz, osim sˇto je logicˇki korektan i besprekoran, sadrzˇi i odredeni estetski kvalitet.
Unutrasˇnja lepota mozˇe biti podstaknuta dokazom koji sadrzˇi najbolji put. Ako se radi o
teoriji, to mozˇe biti u izboru polaznih aksioma i definicija. Ovde se radi o arhitekturi ma-
tematike, o umetnosti njenog komponovanja i njene izgradnje. Prava matematika uvek je
lepa, a prava umetnost istinita. Svaki oblik ljudskog delovanja tezˇi za Istinom i Lepotom. U
glavi cˇetiri bic´e detaljno obradena Lagranzˇova teorema koju krasi lepota sa posledicama.
Prema Devideu, jedan stari francuski matematicˇar je rekao da matematicˇka teorija
ne mozˇe da se smatra savrsˇenom pre nego sˇto se ucˇini veoma jasnom.20 Ovom misˇljenju
dodaje se strogost koja odgovara potrebi nasˇeg razuma i uma. Osim toga, strogost nije
neprijatelj jednostavnosti i jasnoc´i. U mnogim primerima stroga metoda je jednostavna i
lako razumljiva. U matematici cˇujemo stalni poziv Tu je problem, potrazˇi resˇenje. Mozˇesˇ
ga nac´i cˇistim razmisˇljanjem.21
Ako teoremu nazovemo problemom, a kraj dokaza resˇenjem problema, put od pro-
blema do resˇenja bi bio sam dokaz. Matematicˇka teorija je potkrepljena nizom preciznih
pravila, i kao takva trebalo bi da obezbedi dobro razumevanje. Ispostavilo se da cˇak 27%
od svih ispitanih studenata ne razume dokaze delimicˇno ili u potpunosti. Medutim, je
matematika nauka koja daje odgovor na sva pitanja, kako su neki od ispitanika proko-
mentarisali, odakle onda dolazi problem nerazumevanja? Kako je predznanje studenata
na zavidnom nivou, ostaje da utvrdimo da li problem poticˇe od prezentovanja teorije.
Kejt Veber je sproveo istrazˇivanje na Murray State University. Tradicionalni pristup
kurseva visˇe matematike podrazumeva paradigmu koja se mozˇe opisati kao ,,definicija
– teorema – dokaz“ (DTD). Sastoji se iz niza profesorovih instrukcija, a studenti pa-
sivno uzimaju belesˇke i materijal je rasporeden u strogom logicˇkom redosledu. Poje-
dini autori smatraju da takav DTD pristup daje studentima pogresˇnu sliku o prirodi
matematike; da krije druge procese koji se koriste u matematiˇckom rezonovanju; da
negira moguc´nost korisˇc´enja intuicije.
Kejt Veber je vrsˇio istrazˇivanje izucˇavanja matematike na univerzitetskom nivou. Prvo
sˇto je primetio bilo je pisanje definicija, primera, dokaza i povremenog crtanja dija-
grama. Studenti su prepisivali sadrzˇaj predavanja u sveske. Pitanja su retko postavljali
i retko su ucˇestvovali u diskusijama. Profesor je zadavao domac´e i pomoc´u defini-
cije sugerisao kako da se oni resˇe. Predavanje se razlikovalo od klasicˇnog jedino u
tezˇnji profesora da ilustruje razloge za dokaz, da bi studenti mogli samostalno da iz-
vedu slicˇne dokaze. Prvo zˇelim da ucˇenici shvate logiku dokaza. Ideja vodilja jeste da
napisˇemo sˇta imamo i gde smo se uputili, rekao bi profesor. Ne mozˇe svaki dokaz da
se izvede putem definicija, vec´ se mora upotrebiti neka nejednakost ili vec´ dokazana
lema, sˇto se dodatno pojacˇa moguc´nosˇu korisˇc´enja i u drugim dokazima.
19 Solomon Markus, 1974, Matematicˇka poetika, Nolit, Beograd, str. 30.
20 Vladimir Devide, 1975, Stara i nova matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 68.
21 Vladimir Devide, 1975, Stara i nova matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb, str. 70.
3.1. Analiza upitnika 121
Profesor pretpostavke navodi na pocˇetku table i rezultat na dnu. Izmedu zapisuje ras-
pakovane definicije koje se odnose na pretpostavke, zatim dopisuje pomoc´ni alat koji
c´e nas dovesti do cilja, crta sliku i objasˇnjava zasˇto taj put dokaza ima logicˇku struk-
turu. ˇZelim da budem veoma jasan u svome radu, da bi studenti mogli da obavljaju
korake sami. Profesor je tokom predavanja bio je recˇit i retko je pravio gresˇke. Takode
je bio popularan medu studentima i dobijao je o svom radu visoke ocene na kraju
kursa.
Studentu je vazˇno da poseduje sintaksnu vesˇtinu i da zna da raspakuje definicije i da
ih logicˇki upotrebljava za izgradnju dokaza. Ta vesˇtina sama po sebi nije dovoljna. Od
studenta se zahteva stratesˇko znanje da bi se setio poteza koji mozˇe da bude koristan
za dokaz, uz promisˇljanje moguc´ih alternativa. Ovo stratesˇko znanje studentima se
predaje eksplicitno. Kognitivna struktura za resˇavanje dokaza mozˇe da se upotpuni
konceptom slike.
Profesor je naveo i nekoliko instrukcija za rad sa studentima:
– Ako je studentu analiza previsˇe tesˇka, bic´e frustriran i odustac´e od kursa.
– Studenti moraju imati elementarno razumevanje logike da bi mogli da prate na-
predni matematicˇki kurs. Razumevanje logike i naprednih matematicˇkih konce-
pata ne mozˇe se pojaviti tek tako.
– Postoje osnovne simbolicˇke vesˇtine (tehnika dokaza, rad sa nejednakostima)
koje studenti treba da savladaju pre resˇavanja tezˇih problema.
– Studenti ne mogu intuitivno razumeti napredne matematicˇke koncepte bez do-
voljnog iskustva i rada sa ovim konceptima na sibolicˇkom nivou.
Istrazˇivanje je pokazalo da studenti ucˇe o naprednim matematicˇkim konceptima na
najmanje tri kvalitativno razlicˇita nacˇina.
1. Studenti prirodnog tipa koriste svoje postojec´e intuitivno razumevanje mate-
maticˇkih pojmova da daju smisao – odredenju koncepta i tome pridruzˇuju for-
malni rad.
2. Studenti formalnog tipa izgraduju svoju intuiciju ispitivanjem logicˇke strukture
koncepta.
3. Studenti proceduralnog tipa ispisˇu dokaz na osnovu prac´enja procedure i kasnije
daju smisao svojim tehnikama i konceptima. Kada napisˇu dokaz, ne razumeju
zasˇto su vazˇne napisane cˇinjenice, ali su ispunili zadatak.
Istrazˇivanja su pokazala da studenti mogu biti uspesˇni ili neuspesˇni uz korisˇc´enje bilo
kog od ova tri nacˇina (Pinto & Tall, 1999; Weber, 2003). Tradicionalni stil DTD nije
jedina pedagosˇka paradigma vec´ postoje razlicˇite pedagosˇke tehnike. Studija ucˇenja
u ucˇionici nepotpuna je bez istovremenog sagledavanja drusˇtvene i kulturne prakse,
nastavnih materijala i postupaka profesora. Stil profesora iz prethodne studije pokazuje
da on ima direktan uticaj na nacˇin na koji studenti pokusˇavaju da naucˇe materijale.22
David A. Yopp istrazˇivao je ulogu dokaza u nastavi matematike. Jedan od nacˇina da
se profesori matematike ukljucˇe u razvoj kurikuluma jeste zahtev da ucˇestvuju na pa-
nelima gde se diskutuje o nastavi matematike. Drugi je direktan pristup, odnosno da
iznose misˇljenje o nastavi. Tema ima mnosˇtvo, a jedna od njih mozˇe da bude iznosˇenje
stavova o korisnosti dokaza, nacˇinima dokazivanja i o nivou potrebe dokaza. Takve
22 Keith Weber, 2004, Traditional instruction in advanced mathematics courses: a case study of one
professor’s lectures and proofs in an introductory real analysis course, Journal of Mathematical Behavior
23 (2004) 115–133. http://www.journals.elsevier.com/the-journal-of-mathematical-behavior
3.1. Analiza upitnika 122
diskusije otvaraju pitanja koja se prilikom pisanja naucˇnih tekstova ne vide. De Vilers
(1999) postavlja pitanje o tome kakav je smisao dokaza unutar same matematike koji
se potencijalno mozˇe koristiti u ucˇionici? Analizira Belsa koji isticˇe
(i) verifikaciju ili opravdanje (utvrdivanje istine);
(ii) rasvetljavanje (objasˇnjenje zasˇto?) i
(iii) sistematizaciju (organizovanje u sistem aksioma i velikih rezultata).
De Vilers utvrdivanje istine grupisˇe u otkri´ce (inovacija ili pronalazak novog rezultata),
komunikaciju (prenos matematicˇkog znanja) i intelektualni izazov (realizacija i kon-
strukcija dokaza). Proces prema studentima mozˇe biti objasˇnjenje – otkric´e – intelek-
tualni izazov – verifikacija i sistematizacija. ˇSenfeld smatra da je to jasno razmisˇljanje,
nacˇin komunikacije i razmene ideje sa drugima, nacˇin razmisˇljanja do dolaska na ra-
zumevanje.
Hana i Janke tvrde da postoji susˇtinska razlika izmedu naucˇne matematike i nastave.
Oni smatraju da intelektualni izazov treba ublazˇiti istrazˇivanjem znacˇenja definicija,
pretpostavki i posledica i ugradivanjem poznatih stvari u novi okvir i pogled iz svezˇe
perspektive. Kako isticˇe Hersˇ, svrha dokaza u istraˇzivanju jeste da ubedi, a u ucˇionici
da objasni! Pri tome treba nac´i pravu meru, jer uloga dokazivanja u nastavi je izgradnja
logicˇke vesˇtine razmisˇljanja.23
Slika 14 – Dobro predavanje je razumljivo
Sada dolazimo do vazˇnog pitanja. ˇSta je neophodno za dobro izvodenje nastave,
dobro predavanje? Prvi i najvazˇniji uslov jeste da profesor veoma dobro poznaje oblast
koju predaje. To znacˇi da zna sadrzˇaj koji izlazˇe, da mozˇe da ga izlozˇi bez korisˇc´enja
pripreme, ali da mora i pripremu imati nadohvat ruke.
Slika 15 – Dobar predavacˇ animira vec´inu studenata
23 David A. Yopp, How some research mathematicians and statisticians use proof in undergraduate
mathematics, Journal of Mathematical Behavior 30 (2011) 115–130.
3.1. Analiza upitnika 123
Studenti veoma dobro znaju da je predavanje dobro ako profesor nastoji da ga stu-
denti razumeju. Medutim, i pored toga sˇto c´e profesor izlagati jasnim jezikom i odgo-
varajuc´im tempom, to nije jedini faktor koji uticˇe na kvalitet predavanja. Sve vec´i broj
istrazˇivanja pokazuje da je danasˇnja omladina pod velikim uticajem kompjutera i televi-
zije.
Slika 16 – Dobar predavacˇ ima zanimljiv pristup
Za studente predavanje je dobro ukoliko profesora gradivo iznosi na zanimljiv nacˇin
(89.4%). Pri tome bi trebalo da ukljucˇuje i animira studente (62.5%).
Interesantno je da se istakne da je predavanje dobro ako profesor posebno napo-
mene da su odredene oblasti vazˇne (82.8%). Na slikam 17 i 18 predstavljeni su rezultati
o povezanosti stava o dobrom predavanju sa primerima i primenama.
Slika 17 – Dobro predavanje sadrzˇi primere
Slika 18 – Dobro predavanje objasˇnjava primenu
Dodatna grupa mladih matematicˇara se apsolutno slazˇe oko neophodnosti primera
(96.6%), i uvida u primenljivost (91.5%) dok im ostali faktori znacˇe u podjednakoj meri.
3.1. Analiza upitnika 124
Uvodenje Bolonjske konvencije 2006. godine na fakultetima u Srbiji dovelo je do
rekonstrukcije izvodenja nastave i kumuliranja ocene. Kao jedan od zahteva navodi se i
aktivno ucˇesˇc´e studenata u nastavi. Iako to od studenata iziskuje prisustvo na predava-
njima, vezˇbama i drugim oblicima izvodenja nastave, oni to prepoznaju kao prednost u
savladavanju gradiva.
Slika 19 – Dobro predavanje ukljucˇuje diskusiju studenata
Ukljucˇivanje studenata u razlicˇite diskusije narocˇito potpomazˇe da studenti interak-
tivno ucˇe i da daju sebi visˇe slobode da u direktnom dijalogu sa profesorom iznesu svoje
kriticˇko misˇljenje ili da razjasne moguc´e nejasnoc´e.
Studenti smatraju predavanje losˇim ako profesor:
– prepisuje sadrzˇinu na tablu (77%);
– koristi slajdove (62.3%);
– brzo prelazi gradivo (84.7%);
– dugo se posveti jednoj oblasti pa nema vremena za drugu (63.2%);
– u prvi plan isticˇe oblast kojom se sam bavi (73.1%).
Iako studenti zˇele da ih profesor animira, da bude zanimljiv i da uvodi nesˇto novo,
korisˇc´enje slajdova kao vid prezentacije matematicˇke teorije studenti i dalje ne vide kao
dobru ideju. Neumerenost u posvec´enosti bilo vremenu bilo gradivu, takode se nec´e do-
pasti studentima. Zanimljivo je da su na stav: predavanje je losˇe ako profesor matema-
tike predavanje prilagodi iskljucˇivo ispitu, studenti razlicˇito odgovorili. To upuc´uje na
zakljucˇak da su studenti preovladujuc´e zainteresovani da polozˇe ispit, u poredenju sa sti-
canjem znanja. O tome mozˇe da se obavi posebno istrazˇivanje. Ovu cˇinjenicu potvrdila
je i dodatna grupa studenata matematicˇkog fakulteta! Bilo bi veoma interesantno obraditi
temu motivacije u nastavi matematike.
Na pitanje o tome koje bi promene unapredile nastavu matematike, dobili smo veliki
broj raznovrsnih odgovora. Osim zˇelje za animiranjem, prakticˇnim primerima i smanje-
njem obima i konkretizacijom gradiva, interesantno je da se veliki broj studenata izjasnio
da bi zˇeleo da se povec´a broj cˇasova. Time bi se tempo predavanja usporio, a studenti bi
imali visˇe vremena za utvrdivanje gradiva. Pored toga sˇto zˇele da budu ukljucˇeni u di-
skusije i aktivniji rad na cˇasu, jedan broj njih je u upitniku cˇak predlozˇilo resˇenje tog pro-
blema. Naime, podela studenata na manje grupe bi po njihovom misˇljenju mogla znacˇajno
da unapredi nastavu.
3.1. Analiza upitnika 125
C. Nastavna sredstva
Studenti koji su imali nastavu uz korisˇc´enje racˇunara (interaktivni pristup) postigli
su bolji rezultat u poredenju sa studentima koji su imali nastavu na tradicionalni nacˇin.
Ovo govori o tome da interaktivni pristup mozˇe stimulativno da uticˇe na studente da brzˇe i
bolje razumeju u poredenju sa tradicionalnim metodama. Razlog mozˇe biti bolja vizuelna
prezentacija, koja im deluje zanimljivo pa laksˇe apsorbuju gradivo. Racˇunari su vazˇni i
zbog toga sˇto zˇivimo u tehnolosˇkom dobu i oni se koriste za razlicˇite oblike ucˇenja.24
Grupa profesora istrazˇivala je program za ucˇenje Learning Units, odnosno Interac-
tive Platform for Learning Calculus (PIAC). Zakljucˇili su da informacione i komu-
nikacione tehnologije mogu da sluzˇe kao alat za podrsˇku ucˇenju. Da bi se racˇunarski
programi koristili, neophodne su odgovarajuc´e smernice i aktivnosti da bi se potpuno
podrzˇao proces. To je novi nacˇin ucˇenja, uz inovativna nastavna sredstva. Takav na-
stavni dizajn ima cˇetiri elementa:
1. Sadrzˇaj koji obuhvata detaljan prikaz matematicˇkih tema. Ukljucˇuje koncepte, pro-
cedure, primere prac´ene odgovarajuc´im kontekstom.
2. Tehnolosˇki resursi koji predstavljaju interaktivna ucˇila, koja sluzˇe kao pomoc´ i
sadrzˇe tekst, slike, skripte, veb stranice, video, softvere i druge resurse.
3. Aktivno ucˇenje pod koordinacijom nastavnika.
4. Resˇenja za savladavanje problema sa informacijama o odredenim postupcima za
resˇavanje problema.
Didakticˇka strategija ukljucˇuje korisˇc´enje elementarne matematike i istorijski kon-
tekst. Pored tradicionalnih elemenata kao sˇto su kalkulus koncepti, procedure, primeri,
teoreme i dokazi, ovaj pristup ukljucˇuje anagrame, matematicˇke igre, istorijske pro-
bleme, pricˇe i zagonetke. Za ucˇenje se koriste razlicˇite strategije poput studije slucˇaja,
izgradnje modela, predstavljanja i uopsˇtavanja. Izgradnja takvih modela zasnovana je
na visˇe elemenata.
(i) Kompetentnost, odnosno kognitivne sposobnosti za odredenu matematicˇku oblast,
koje obuhvataju vesˇtine, sposobnosti i koncepte. Kod kompetentnosti profesori
i studenti znaju postupke i procese potrebne da se postignu ciljevi ucˇenja i kako
da se stecˇeno znanje primeni na resˇavanje matematicˇkih problema u realnom –
fizicˇkom svetu, kako da se prilagodavaju novim situacijama i kako da uspostave
relaciju sa drugim matematicˇkim konceptima.
(ii) Istorijska prezentacija. Daje se uvod o nastanku i razvoju matematicˇkog kon-
cepta. Takav pristup omoguc´ava uvid iz originalne perspektive i iskustvo u ucˇenju
(sˇto koristi nastavi). Ovde se ukljucˇuje istorijski pogled, rasvetljava se povod za
razvoj takvog matematicˇkog koncepta i opisuju se ljudi koji su odigrali vazˇnu
ulogu u njihovom razvoju.
(iii) Pozadina obuhvata dodatne materijale koji su bitni za razumevanje pojmova u
analizi. Mogu biti iz raznih oblasti matematike, kao sˇto su algebra, geometrija
trigonometrija, analiticˇka geometrija i dr.
(iv) Sadrzˇaj obuhvata informacije o matematicˇkim temama. Ukljucˇuje definicije,
matematicˇke procedure, teoreme, leme, dokaze, primere, kontekst, pouke. Uz
24 Aminah Ahmada, Tan Sin Yinb, Loh Yue Fangc, Yap Hui Yend, Khoh Wee Howe, Incorporating
Multimedia as a Tool into Mathematics Education: A Case Study on Diploma Students in Multimedia Uni-
versity, International Conference on Mathematics Education Research 2010 (ICMER 2010). Elsevier Ltd.
3.1. Analiza upitnika 126
to, neophodna je izgradnja iterativnih sˇema da se povezˇu definicije, teoreme,
dokazi i primeri, kao i identifikacija osnovnih komponenti i povezivanje ideja.
(v) Nastavna sredstva za podrsˇku. Ovde je posebno vazˇno da studenti poseduju
racˇunare i softvere. Interakcija je problem uz dodatne sposobnosti, da ih koriste,
da manipulisˇu algoritmima i da analiziraju podatke.
(vi) Aktivnosti studenata orijentisane su ka sticanju znanja, na analizu, tumacˇenje,
konceptualno organizovanje, komunikaciju i sistematizaciju. U modelu ucˇenja
svaki student ima svoj tempo ucˇenja. Identifikuje se prethodno znanje, dalji ra-
zvoj i primena koncepata, jacˇanje i obnavljanje znanja.
(vii) Resˇenja za svaku od aktivnosti u procesu ucˇenja.
(viii) Povratne informacije o uspesˇnosti resˇavanja zadataka.
(ix) Evaluacija, vrednovanje, pregledanje domac´ih zadataka, ocenjivanje.
Ovakva vrsta ucˇenja treba da bude dostupna u svakom trenutku, ali ne mora da se
zasniva samo na racˇunarima i softveru. Vazˇno je da studenti imaju ideju sˇta i kako c´e
da ucˇe.25
Napomena. U pojedinim situacijama studenti treba da koriste racˇunare u smislu da
se programski provere neki rezultati i da se nacrta grafik, sˇto ih ohrabruje u ispitivanju
funkcija, resˇavanju jednacˇina, nejednacˇina i dr. Vazˇno je napomenuti da se na primer u
Francuskoj matematika predaje na tradicionalan nacˇin – tabla i kreda.
Udzˇbenici u nastavi treba da doprinose laksˇem savladavanju pojmova i oblasti. Da
li je tako u praksi? Vrlo cˇesto, udzˇbenici napisani uz oskudno poznavanje matematike i
slabo razumevanje, mogu ucˇiniti veliku sˇtetu studentima.
Tabela 5 – Korisˇc´enje udzˇbenika, zbirki i belesˇki
Ukupno FakultetETF GF MasˇF
n 429 133 183 113
Dovoljni su za pripremu ispita 58.5% 62 58 55
Koristim udzˇbenik 17.9% 24 17 12
Koristim ih delimicˇno 15.9% 19 16 12
Vezˇbam samo zadatke iz zbirke 18.9% 17 22 16
Nisu dovoljni, koristim i drugu literaturu 14.2% 9 16 17
Koristim belesˇke 41.7% 48 40 37
Uglavnom ih ne upotrebljavam 5.4% 5 4 7
Na pitanje o korisˇc´enju udzˇbenika, zbirki i belesˇki, studenti su ubedljivo odgovo-
rili da im je to dovoljno za pripremanje ispita (58.5%). Slicˇne odgovore daje i dodatna
grupa studenata matematike. Mozˇe se rec´i da studenti koriste literaturu iskljucˇivo vezanu
za pripremanje ispita. Korisˇc´enje belesˇki ubedljivo dominira. Ovde se postavlja ozbiljno
pitanje o zatvorenosti i uskom pogledu na nastavu. Naime, to je u direktnoj korelaciji
25 Marı´a Andrade-Are´chiga, Gilberto Lo´pez, Gabriel Lo´pez-Morteo, Assessing effectiveness of learning
units under the teaching unit model in an undergraduate mathematics course, Computers & Education 59
(2012) 594–606, Elsevier Ltd.
3.1. Analiza upitnika 127
Slika 20 – Korisˇc´enje udzˇbenika, zbirki i belesˇki
sa cˇinjenicom da se na katedrama matematike ne preporucˇuje dodatna literatura, osim
udzˇbenika cˇiji pisci su sami predavacˇi. Uz veliki napor je na ETF-u pronaden jedan izu-
zetak. Kao dodatna literatura predlozˇen je jedino Demidovicˇ.
Osim pitanja o zatvorenosti nastave i usmeravanju samo na ucˇenje iz udzˇbenika,
nasˇe istrazˇivanje je pokazalo da se racˇunari u nastavi matematike vec´inom ni ne koriste
(52.2%). Na pitanje o tome koji se softver koristi u nastavi matematike, u najvec´em broju
odgovora (nesˇto visˇe od cˇetvrtine ispitanika, a oko dve trec´ine onih koji su dali odgovor)
naveden je Matlab.
Da je Matlab koristan u resˇavanju matematicˇkih problema potvrdila je dodatna grupa
u kojoj visˇe od 50% ispitanika koristi ovaj program. U razgovoru sa profesorima, i prou-
cˇavanjem kurikuluma pojedinih predmeta, primetili smo da dodatna grupa ima u okviru
nastave iz predmeta Uvod u numericˇku analizu kratku obuku za rad u Matlabu, koja se
odnosi na probleme interpolacije i na resˇavanje sistema jednacˇina. Kako ova grupa ne
smatra da upotrebom racˇunara matematika gubi na znacˇaju, mozˇe nam posluzˇiti kao dobar
primer unapredivanja nastave. Po iskazima studenata, van fakulteta Matlab i Mathematica
koriste se u jednakoj meri.
Josˇ jedan bitan rezultat privlacˇi nasˇu pazˇnju. Danas gotovo da nema mladih ljudi
koji ne koriste internet za svoje potrebe, bilo da je to pretraga odgovarajuc´ih informacija
ili komunikacija putem elektronske posˇte i drusˇtvenih mrezˇa. Medutim, visˇe od polo-
vine (51.7%) se izjasnilo da retko, skoro nikad, na internetu ne pretrazˇuju stranu litera-
turu. Treba napomenuti da je pretraga stranih knjiga i cˇasopisa u bazama poput Cobson-a
omoguc´ena studentima drzˇavnih univerziteta, a koji su nasˇi ispitanici.
Interesantno bi bilo izvrsˇiti ispitivanje koliko su studenti uopsˇte upoznati sa mo-
guc´nostima korisˇc´enja racˇunara a zatim, posle odredenog vremena, proveriti da li se
korisˇc´enje ovakvih baza povec´alo.
3.1. Analiza upitnika 128
Pisanje udzˇbenika zavisi od nastavnih planova i programa, ali pre svega od znanja i
licˇnih sposobnosti nastavnika i njegove posvec´enosti pisanju. Broj udzˇbenika i knjiga iz
oblasti matematicˇke analize veoma je skroman. Uocˇava se da studenti koriste iskljucˇivo
udzˇbenik nastavnika koji predaje, ukoliko postoji. Nema preporucˇene dodatne literature,
osim retkih izuzetaka. Pogledi na matematicˇku literaturu na taj nacˇin su ogranicˇeni. Do-
datni rad mozˇe biti posvec´en analizi literature koja se koristi u nastavi, sˇto ovde nije cilj.
3.1.4. Diskusija nalaza
Za poboljsˇanje nastave matematike studenti predlazˇu aktivniji rad profesora; animi-
ranje studenata, bolju literaturu; da se predavanja izvode na tabli; da se navode primeri
primene; da se smanji program itd. 26
Modernizacija tehnologije povlacˇi za sobom i hitnu modernizaciju nastave funda-
mentalnih nauka (matematike i egzaktnih prirodnih nauka). Resˇavanje problem nastave
u praksi nije tako jednostavno. Uglavnom postoje tri moguc´nosti, a nijednu od njih ne
smemo zanemariti. Prva: da se deo obimnog nastavnog materijala odbaci; druga: da se
delovi nastavnog programa prosˇire novim oblastima; i trec´a: da se izmene metode izlaga-
nja nastavnog materijala.
Matematicˇari uglavnom smatraju da se nastava nec´e unaprediti smanjenjem planova
i programa, iako predvideni broj sati nije dovoljan za obradu gradiva. Takode je tesˇko
dodavati nove oblasti bez izvesnih ustupaka u smislu smanjenja. Do pomirenja ovih su-
protstavljenih stavova mozˇe da dovede progres u nastavnim metodama. Na primer, na
Elektrotehnicˇkom fakultetu dobro osmisˇljeno predavanje iz Laplasovih transformacija
mozˇe da usˇtedi vreme za resˇavanje problema iz teorije obicˇnih i parcijalnih diferenci-
jalnih jednacˇina. Medutim, ne treba biti naivan i verovati da se takvim izlaganjem mozˇe
studentu pruzˇiti sve sˇto mu je potrebno u inzˇenjerskoj praksi. Takode se mozˇe uvezˇbati
tehnika provere resˇenja zadataka na racˇunaru, korisˇc´enjem softvera kao sˇto su Mathema-
tica, Matlab, Wolfram, Derive, Geogebra sˇto je odredeni broj studenata i napisao u svojim
odgovorima.
Sve su to dobra pomoc´na sredstva za poboljsˇanje nastavnog procesa. Medutim,
kljucˇni element dobre nastave jeste ucˇenje kako se razmisˇlja ili izlaganje materijala uz
korisˇc´enje primera koji podsticˇu misˇljenje!
Na osnovu prethodne empirijske analize svih rezultata upitnika mozˇemo doneti za-
kljucˇke o prihvatanju ili odbacivanju posebnih hipoteza, a zatim i generalne hipoteze.
Na osnovu nalaza o tome da studenti vole matematiku, odnosno da se za stav voleo
sam matematiku u srednjoj sˇkoli izjasnilo 70.1%, a da je stav volim matematiku na fakul-
26 U Prilogu 3 mogu se videti i drugi predlozi studenata.
3.1. Analiza upitnika 129
tetu potvrdilo 54.1% (i da i ne odgovorilo je 29.7%) mozˇe se zakljucˇiti da je potvrdena
hipoteza da studenti tehnicˇkih fakulteta imaju pozitivan odnos prema matematici.
Na pitanje sˇta je za vas matematika? Vec´ina studenata tehnicˇkih fakulteta je odgovo-
rila: primenjena nauka. Uzimajuc´i u obzir da su svesni cˇinjenice da matematika olaksˇava
izucˇavanje/polaganje strucˇnih predmeta (76.2%) mozˇe da se zakljucˇi da je prihvac´ena hi-
poteza da studenti tehnicˇkih fakulteta matematici prevashodno dodeljuju upotrebnu vred-
nost.
Najvazˇniji uslov za dobro predavanje jeste da profesor veoma dobro poznaje oblast
koju izlazˇe studentima. To znacˇi da oblast poznaje visˇe od onoga sˇto predaje i da mozˇe da
je sagleda u sˇirem kontekstu, u odnosu na druge oblasti i primene. Empirijsko istrazˇivanje
ubedljivo pokazuje da je dobro predavanje razumljivo, sa odgovorom da 96.7% (da, ve-
oma i da, delimicˇno); predavanje je dobro ako profesor nastoji da ga studenti razumeju
(89.4%), da animira vec´inu studenata (62.5%) i da ukljucˇuje studente u diskusiju (71.7%).
Ove cˇinjenice potvrduju hipotezu: Predavanje nastavnika je dobro ako je razumljivo, raz-
govetno i ukoliko motivisˇe studente da u njemu ucˇestvuju.
Empirijsko istrazˇivanje rasvetljava cˇinjenicu da studenti koriste belesˇke i zbirke za-
dataka jer su im najpotrebniji za pripremanje ispita. Ovim je potvrdena hipoteza: Mate-
maticˇka literatura je vazˇno nastavno sredstvo, ali se, osim zbirki zadataka koje sluzˇe za
neposredno pripremanje ispita, ne koristi.
Preporuka autora jeste da treba dodatno upuc´ivati studente na moguc´nost ucˇenja iz
raznolike literature, koja ih mozˇe uputiti na konkretne primene u oblasti kojom se bave.
Tako bi se postiglo da studenti daju apstraktnoj teoriji vec´i znacˇaj i da objedine stecˇeno
znanje, da bi u rukama imali najkvalitetniji ,,alat“ za rad. Takode treba dodatno uticati na
profesorski kadar da se visˇe posvete interaktivnom radu jer se pokazalo da na studente to
deluje podsticajno.
3.1.5. Zakljucˇak i preporuke
Nastava se mozˇe poboljsˇati, ali ne treba biti preveliki optimista. Ne mogu se ocˇekivati
cˇuda, jer josˇ niko nije dosˇao do novog genijalnog metoda nastave. Matematika je tesˇka
nauka, ucˇi se pojedinacˇno a moguc´nosti za poboljsˇanje nastave su ogranicˇene.
Prvo, potrebno je pazˇljivo izabrati i precizno opisati nastavni sadrzˇaj koji se izucˇava.
Takav opis je od velikog znacˇaja i vrednosti a izuzetno tesˇko ga je postic´i. Veliki deo rada
treba ulozˇiti na pripremu kursa. To se radi zbog toga sˇto vec´ina studenata laksˇe studira uz
pomoc´ predavanja u odnosu na ucˇenje direktno iz udzˇbenika. Za nastavu je potrebno da
se profesor pripremi tako dobro da je u stanju da drzˇi predavanje uz povremeni pogled na
belesˇke. Predavacˇi osmisˇljavaju, pripremaju i dostavljaju materijale, a studenti slusˇaju na-
stavu i pokusˇavaju da apsorbuju ideje. Da li je dovoljna samo imitacija znanja iz predmeta
3.1. Analiza upitnika 130
koji student pohada? Takav student verovatno je pazˇljivo naucˇio kako se sprovode proce-
dure i algoritmi ali josˇ uvek nema pravilno razumevanje same matematike. Pored toga,
neophodno je da studenti razumeju i neku drugu temu, na primer iz inzˇenjerstva, da se
pripremaju za samostalan rad i misle svojom glavom. Posvec´enost odrzˇavanju standarda
postizˇe se i odrzˇavanjem zahtevnih kurseva za bolje studente.
ˇSta treba da se ucˇi? ˇSta sadrzˇaj kurseva matematike treba da bude? Ovo zavisi od tipa
studenata. Ako govorimo uopsˇte, onda je studentima kojima matematika ne uticˇe direktno
na njihovu karijeru u buduc´nosti potrebno manji nivo matematike na isti nacˇin na koji nam
je potrebno razumevanje politike, ekonomije i prve pomoc´i za nasˇ svakodnevni zˇivot.
To je tzv. meka matematika koja obuhvata: spisak tipicˇnih problema, koji se mogu resˇiti
korisˇc´enjem matematike, pametno korisˇc´enje racˇunara, korisˇc´enje tabela i odlucˇivanje
izmedu alternativa, odredeno razumevanje dokaza i logike, elementi teorije brojeva, teme
iz istorije matematike, malo programiranja, elemente kalkulusa, i dr.
Sa druge strane kalkulus je centralni deo matematike i fizike koji proucˇavaju stu-
denti tehnicˇkih fakulteta. Tu su metode nalazˇenja maksimuma i minimuma, pronalazˇenje
povrsˇine, zapremine i dr. Tu se ukljucˇuje i vektorski racˇun, linearna algebra, diferenci-
jalne jednacˇine, teorija transformacija, kompleksna analiza, numericˇke metode, statistika,
operaciona istrazˇivanja i dr. ˇSteta je za studenti ove tvrde matematike da ne proucˇe meku
matematiku, ali u praksi to se retko cˇini. Tako bi studentui razumeli ukupnu strukturu, po-
zadinu i istoriju matematike. Za inzˇenjere nije pametno da im matematika bude samo alat
koji koriste kad im je potreban. Matematika za inzˇenjerske nauke treba da sadrzˇi visok
stepen strogosti. Ta strogost podrazumeva da koriste i dokazuju teoreme, ali i da pazˇljivo
proveravaju uslove pod kojima ona vazˇi. Kontekst u kome se sprovode inzˇenjerskie aktiv-
nosti je matematicˇki. Sposobnost da potrazˇite primer u knjizi i primenite ga na konkretan
slucˇaj je veoma korisna vesˇtina. I ucˇenje algoritama je vazˇna vesˇtina. Pretvoriti izvestan
problem u matematicˇki je veoma vazˇna vesˇtina koja treba da se ucˇi. Uz sve to malo na-
stave istorije matematike. U susˇtini potreban je detaljan, svestan i pazˇljiv rad za dizajnira-
nje kursa. Potrebno je da se odlucˇi koji delovi su vazˇni i interesantni za studente i njihove
potrebe. Uz to vazˇno je da se odredi redosled tema i problema koji c´e biti izlozˇeni.
Primenjena matematika je od vitalnog znacˇaja u mnogim oblastima. Trazˇi se po-
znavanje statisticˇkih metoda i metoda matematicˇkog modeliranja. Ideje i tehnike koje se
naucˇe u jednoj temi i mogu da se prenose na visˇe slucˇajeva.
3.2. Analiza testa 131
3.2. ANALIZA TESTA
Opsˇti stavovi o odnosu apstraktne teorije i primene vrlo su jasni iz analize upitnika.
Medutim, postavlja se pitanje da li studenti, iako uocˇavaju veliku primenu i matematiku
klasifikuju kao primenjenu nauku, znaju stecˇeno znanje i da primene. U cilju provere
odgovora na ovo pitanje za studente je pripremljen test iz matematicˇke analize.
Cilj istrazˇivanja i hipoteze. Cilj ovog istrazˇivanja jeste da se utvrdi da li su studenti
osposobljeni da resˇavaju jednostavne probleme, koju vrstu zadataka uspesˇnije mogu da
resˇe i sˇta ih u tome podsticˇe. Ovo c´e biti ispitano pomoc´u tri posebne hipoteze,
(i) Uspesˇnost u resˇavanju zadataka ne zavisi od vrste fakulteta (ETF, GF, MasˇF).
(ii) Vizuelna prezentacija zadataka povec´ava uspesˇnost resˇavanja problema.
(iii) Studenti nisu stekli vesˇtinu da znanje iz matematicˇke analize primene u resˇa-
vanju zadataka i problema.
Ove tri hipoteze testirac´emo kvantitativnom analizom broja osvojenih poena na te-
stu.
Instrument. Studenti su imali na raspolaganju 45 minuta da urade test koji se sastoji
iz 9 zadataka iz matematicˇke analize, a koji obuhvataju nekoliko celina: granicˇni procesi,
diferencijalni racˇun, integralni racˇun, Tejlorov polinom. Kompletan test mozˇe se videti
iz Prilogu 2. Zadaci su od studenata zahtevali razlicˇite tipove odgovora: zaokruzˇivanje (2
zadatka), dopunjavanje (1 zadatak), zaokruzˇivanje i odgovor (1 zadatak), obrazlozˇenje (2
zadatka), resˇavanje sa konkretnim rezultatima (3 zadatka).
Iako se test sastoji od 9 zadataka, bilo je moguc´e osvojiti maksimalno 11 poena.
Svaki tacˇan odgovor donosio je jedan poen, s tim da se na zadatku 2 moglo osvojiti 3
poena jer se on sastoji iz 3 dela.
Uzorak. U ispitivanju je ucˇestvovalo ukupno 450 studenata sa univerziteta u Beo-
gradu, Novom Sadu i Nisˇu. Kao i u slucˇaju upitnika, ispitivacˇku grupu cˇinili su studenti
elektrotehnike (133), gradevine (204) i masˇinstva (113). Vremenski period sprovodenja
testa isti je kao i u slucˇaju upitnika.
Posle resˇavanja testa, u bazi podataka smo imali rezultate za 450 studenta, ali i za 114
studenata Matematicˇkog fakulteta, koji cˇine dodatnu grupu. Statisticˇka analiza podataka
izvrsˇena je u programskom paketu SPSS.
Obrada podataka. Programski paket SPSS jedan je od cˇesto korisˇc´enih paketa za
statisticˇku analizu podataka. Prva verzija ovog programa pojavila se 1968. godine i tada je
skrac´enica SPSS znacˇila Statisticˇki paket za drusˇtvene nauke (Statistical Package for the
Social Scienciens). Kasnije, sveopsˇtom upotrebom programa u raznim oblastima, akronim
SPSS dobio je drugo znacˇenje (Statistical Paroduct ande Service Solutions). Ovaj softver
u osnovi ukljucˇuje moguc´nost da se racˇunaju:
– deskriptivne statistike, tabele, frekvencije,
3.2. Analiza testa 132
– dvoparametarske statistike: ocˇekivanja, t-testovi, ANOVA, korelacije, neparame-
tarski testovi,
– predvidanja numericˇkih ishoda: linearna regresija,
– predvidanja sa identifikovanim grupama: faktor analiza, klaster analiza.
Populaciju, odnosno glavni skup koji posmatramo, cˇini pomenutih 450 studenta
tehnicˇkih fakulteta. Numericˇka karakteristika elemenata populacije, obelezˇje, jeste broj
osvojenih poena na testu iz matematike. Za posmatranu populaciju prvo c´e biti izdvojene
tabele frekvencija. Svaka tabela sadrzˇac´e frekvenciju odgovarajuc´eg broja poena, tj. broj
studenata koji su osvojili posmatrani broj poena na testu. Zatim, relativnu frekvenciju koja
predstavlja kolicˇnik broja studenata sa odgovarajuc´im brojem poena i ukupnog broja ispi-
tanika. Kumulativna frekvencija se dobija sabiranjem frekvnecija ishoda koji posmatramo
i svih frekvencija ishoda koji su mu prethodili. Na primer u nasˇem slucˇaju, ako posma-
tramo broj osvojenih poena 3, onda bi kumulativna frekvencija predstavljala ukupan broj
studenata koji su na testu osvojili 0, 1, 2 i 3 poena. Kumulativne relativne frekvencije
se dobijaju kumuliranjem relativnih frekvencija ili kolicˇnikom kumulativnih frekvencija
i ukupnog broja studenata. Mnozˇenjem relativnih frekvencija sa 100, dobijamo procentu-
alno ucˇesˇc´e odgovarajuc´eg obelezˇja u rezultatu. Ovo nam omoguc´ava da na jednostavan
nacˇin formiramo i graficˇki prikaz rezultata pomoc´u histograma raspodele obelezˇja.
Za dokazivanje gorenavedenih hipoteza testirac´emo rezultate razlicˇitim metodama.
Radi utvrdivanja da li postoji, ili ne, razlika u postignuc´ima medu fakultetima, koristic´emo
metod analize varijanse (krac´e ANOVA). Preciznije, ovo bi bila analiza odstupanja medu
uzoracˇkim sredinama. Postupak se sastoji u tome da se ukupna varijansa za posmatrani
skup podataka podeli na komponente. Svaka od komponenti se odnosi na odredeni izvor
varijacije. Kako je vec´ recˇeno, poredenje rezultata zˇelimo da izvedemo po tipovima fa-
kulteta, zato se ova vrsta uticaja naziva faktor, a vrsta fakulteta (ETF, GF, MasˇF) su nivoi
faktora. S obzirom na to da postoji samo jedan faktor, ovakva analiza naziva se jednofak-
torska ANOVA. Ukupna varijacija, cˇiju c´emo dekompoziciju izvrsˇiti, predstavlja ukupnu
sumu kvadrata odstupanja realizovanih vrednosti od uzoracˇke sredine populacije (koja
predstavlja aritmeticˇku sredinu svih podataka).
Dekompoziciju varijacije kod jednofaktorske analize varijansi sprovodimo pomoc´u
dve komponente: suma kvadrata odstupanja izmedu grupa (fakulteta) i suma kvadrata od-
stupanja unutar grupa. Suma kvadrata odstupanja unutar grupa naziva se i rezidualna suma
kvadrata ili gresˇka. Kolicˇnik sume kvadrata sa odgovarajuc´im brojem stepeni slobode daje
sredinu kvadrata. Ove sredine kvadrata nam sluzˇe za odredivanje F-kolicˇnika, kojim testi-
ramo hipotezu da ne postoji razlika izmedu grupa. Ovaj tip hipoteze se na osnovu rezultata
testa prihvata ili odbacuje. Znajuc´i vrednost test-statistike i prag znacˇajnosti testa, dono-
simo odluku. Vrednost test statistike dobijamo iz rezultata, a prag znacˇajnosti testa, koji
predstavlja verovatnoc´u da odbacimo nultu hipotezu kada je ona tacˇna, biramo pre testa i
uglavnom c´emo koristiti da je ta vrednost 0.05.
3.2. Analiza testa 133
Veliki broj programa za obradu podataka odluku donosi na osnovu p-vrednosti testa.
Ova p-vrednost testa je najmanji nivo znacˇajnosti sa kojim se nulta hipoteza mozˇe odbaciti
na osnovu podataka iz uzorka. Ukoliko je p-vrednost manja od praga znacˇajnosti, nultu
hipotezu odbacujemo, u drugim slucˇajevima je prihvatamo. Ukoliko rezultat pokazˇe da
se uzoracˇke sredine znacˇajno razlikuju od grupe do grupe, mozˇemo ispitati koja se to
grupa razlikuje od ostalih. U paketu SPSS za to ispitivanje koristi se test visˇestrukog op-
sega. Ovaj test se zasniva na Fisˇerovom testu najmanjih znacˇajnih razlika. Za dati nivo
znacˇajnosti odreduje se nivo moguc´eg odstupanja. Poredenjem sa realizovanim vredno-
stima utvrduje se da li je razlika medu sredinama znacˇajna ili ne.
Drugi deo analize testa odnosi se na ucˇestalost u resˇavanju konkretnih zadataka.
Tako smo za svaki zadatak ponaosob sproveli istrazˇivanje o frekvencijama, relativnim i
kumulativnim, kako bismo imali uvid u to koje zadatke su studenti laksˇe resˇavali. Neke
od rezultata smo grupisali.
Posebna analiza je izvrsˇena za uspesˇnost resˇavanja zadataka u vezi sa diferencijal-
nim racˇunom, sa resˇavanjem teorijskih zadataka i zadataka 2, jer se on sastoji iz tri dela.
Kod ispitivanja uspesˇnosti resˇavanja pojedinih zadataka mozˇe se takode proveriti i da li
postoji zavisnost izmedu vrste fakulteta i uspesˇnosti izrade zadatka. To se mozˇe sprovesti
pomoc´u χ2-testa nezavisnosti. Testira se nulta hipoteza o nezavisnosti nasuprot alternativi
da postoji zavisnost izmedu tipa fakulteta i odgovora. Velike vrednosti test statistike, od-
nosno male vrednosti p-vrednosti testa, navode nas na odbacivanje nulte hipoteze. Inacˇe,
hipotezu o nezavisnosti prihvatamo. U sledec´im odeljcima dac´emo detaljniju analizu do-
bijenih rezultata.
3.2.1. Racˇunanje i rezonovanje
Danasˇnji studenti ne znaju visˇe da racˇunaju. To je zamerka koju sadasˇnjoj nastavi
matematike cˇesto upuc´uju fizicˇari i inzˇenjeri. Treba priznati da je ona opravdana. Kad
vidimo studenta druge ili trec´e godine (tehnicˇkog fakulteta) kako se cˇitavih deset mi-
nuta mucˇi vrsˇec´i neku smenu promenljive ili parcijalne integracije, to deluje veoma ne-
prijatno.27 Dijedone dodaje da je iskustvo vezano za predavanje, recimo matematicˇkih
metoda u fizici, pokazalo da je matematicˇarima visˇe stalo do strogosti nego do efika-
snosti. Na vec´ini fakulteta nije proisteklo skoro nisˇta visˇe od nastave apstraktne analize,
jedva zasladene primenama, koja je svakako vec´i naglasak stavljala na principe nego na
racˇune.28
27 Dragoslav S. Mitrinovic´, 1988, Matematika u obliku metodi cˇke zbirke zadataka sa resˇenjima 3,
Gradevinska knjiga, Beograd. Dodatak: Dijedoneovo misˇljenje o programu matematike za prvi stepen stu-
dija, str. 279–283.
28 Dragoslav S. Mitrinovic´, 1988, Matematika u obliku metodi cˇke zbirke zadataka sa resˇenjima 3,
Gradevinska knjiga, Beograd. Dodatak: Dijedoneovo misˇljenje o programu matematike za prvi stepen stu-
dija, str. 279–283.
3.2. Analiza testa 134
Ove cˇinjenice govore u prilog misˇljenju da je najpre potrebno ,,znati racˇunanje“ pa
tek onda polagati pravo na pristup modernoj matematicˇkoj analizi. Ovim se odmah otvara
pitanje A sˇto znacˇi ,,racˇunati“? Izraz racˇunanje (calculus) podrazumeva algebarski i pri-
blizˇni racˇun. Algebarski racˇun karakterisˇe postupak cˇiji cilj je dobijanje jednakosti, a pro-
totip predstavljaju formule za resˇavanje jednacˇina. Formule imaju fascinantno dejstvo na
korisnike matematike. Koliko sam puta imao posla sa inzˇenjerom ili fizicˇarem za koga
je matematika trebalo da bude neka vrsta automatskog isporucˇioca formula za resˇavanje
problema, kazˇe Dijedone.29
Tri meduzavisne komponente cˇine karakteristicˇan sklop matematicˇkog uma: pri-
jem matematicˇkih informacija, njihovu obradu i pamc´enje matematicˇkih relacija i me-
toda resˇavanja problema. Kljucˇna komponenta je obrada matematicˇkih informacija koja,
izmedu ostalog, obuhvata:
1. logicˇko misˇljenje primenjeno na kvantitativne i spacijalne odnose, brojeve i sim-
bole;
2. brzu generalizaciju matematicˇkih simbola, relacija i operacija;
3. tezˇnju ka jasnim jednostavnim i racionalnim resˇenjima.
Postoje tri vrste matematicˇara koji se susˇtinski razlikuju u nacˇinu misˇljenja. U prvoj
grupi su analiticˇki umovi koje odlikuju logicˇko-matematicˇke sposobnosti i nesˇto slabiji
prostorni faktor sposobnosti. Drugi matematicˇari rezonuju pre svega geometrijski i kod
njih je dominantan spacijalni faktor. Naravno, postoje i harmonicˇni matematicˇki umovi sa
ujednacˇenim sposobnostima. Geometrijski nacˇin razmisˇljanja je redi i cˇesto neotkriven.
Treba imati na umu da mnogi izuzetno nadareni pojedinci lako gresˇe u brzom racˇunanju
jer su usmereni na planiranje resˇavanja problema, a ne na tacˇnost u racˇunu.30
Smisao za diferencijalni i integralni racˇun – infinitezimalni racˇun, odnosno za mate-
maticˇku analizu, podrazumeva neophodnost apstraktnog misˇljenja. Treba naucˇiti razlike
izmedu onoga sˇto je veliko i malo, vec´e ili manje. To je vesˇtina rukovanja nejednakostima.
Time se sticˇe izvesna intuitivna ideja o operacijama infinitezimalnog racˇuna. Da bi se sti-
glo do ovog stadijuma, neophodna je sposobnost da se daju precizne definicije pojmova
koji se koriste i da se one upotrebe za gradenje korektnih dokaza.
Kao sˇto vidimo, algebarski racˇun je prelazna faza u razvoju jedne matematicˇke te-
orije koja se ranije ili kasnije u izucˇavanju zamenjuje rasudivanjem. Nastava matematike
cˇesto je zapostavila pojmovna rasudivanja. Moderni okvir obelezˇio je zamenu racˇunskog
rasudivanja sa pojmovnim rasudivanjem. Ovaj fenomen je jedan od opsˇtih zakona razvoja
matematike. Medutim, racˇunanje je josˇ uvek veoma znacˇajno. Racˇunanje danas, preko
29 Dragoslav S. Mitrinovic´, 1988, Matematika u obliku metodi cˇke zbirke zadataka sa resˇenjima 3,
Gradevinska knjiga, Beograd. Dodatak: Dijedoneovo misˇljenje o programu matematike za prvi stepen stu-
dija, str. 279–283.
30 Mirjana Repac, 2012, Matematicˇki daroviti u srednjosˇkolskoj klupi: kako vide sebe i svoju sˇkolu? U
knjizi: Ana Altaras Dimitrijevic´ (priredila), Darovitost: pogledi i ogledi, Filozofski fakultet, Univerzitet u
Beogradu, str. 187-188.
3.2. Analiza testa 135
primera, vrlo lepo ilustruje datu teoriju i priblizˇava je tehnikama primene. S druge strane,
pravi racˇun – priblizˇni racˇun, kamen je temeljac infinitezimalne analize. On se javlja u
primeni, prilikom merenja raznih velicˇina, ili kada se procenjuje gresˇka.
Na primer, x pripada intervalu (a,b) zapisujemo sa
a < x < b ili,
∣∣∣∣a+b2 − x
∣∣∣∣< b−a2 , a < b.
Kako ovu cˇinjenicu razumemo? Neka je dat interval (a,b) koji mozˇemo i geometrijski predstaviti.
Sredina intervala je tacˇno a+b
2
. Ako x pripada intervalu (a,b), tada je x basˇ na sredini, levo
od sredine ili desno od sredine. Duzˇina od sredine do tacˇke a je a+b
2
−a = b−a
2
. Takode, duzˇina
od sredine intervala (a,b) do tacˇke b je b−a+b
2
=
b−a
2
To znacˇi, ako je x levo ili desno od sredine razlika a+b
2
− x < b−a
2
ili x− a+b
2
<
b−a
2
, sˇto se
zajedno mozˇe zapisati∣∣∣∣a+b2 − x
∣∣∣∣< b−a2 , a < b.
Naravno da se do ovog rezultata mozˇe doc´i ekvivalentnim transformacijama, ali za razu-
mevanje pogodna je i geometrijska – vizuelna interpretacija, gde se vidi da je x u okolini tacˇke
a+b
2
.
Po analogiji, studenti onda bolje razumeju pojmove iz definicije granicˇne vrednosti funkcije,
na primer |x−a|< δ , ili x ∈ (a−δ ,a+δ )
ili definiciju kruga u kompleksnoj ravni |z− z0|< r ili jednacˇinu kruzˇnice |z− z0|= r.
Slika 21 – Krug Slika 22 – Kruzˇnica
3.2. Analiza testa 136
3.2.2. Analiza resˇavanja zadataka
Devet zadataka resˇavalo je 450 studenata Elektrotehnicˇkog, Gradevinskog i Masˇinskog
fakulteta u Beogradu, Novom Sadu i Nisˇu. Devet zadataka vrednovano je sa ukupno 11
poena.31
Ukupan broj poena po tipu fakulteta prikazan je u tabelama 6, 7 i 8, i to za elektro-
tehnicˇke fakultete, gradevinske fakultete i masˇinske fakulteta, respektivno.32
Tabela 6 – Ukupan broj poena – ETF
Poeni Frekvencija Rel. frekvencija Kum. frekvencija Kum. rel. frekvencija
0 4 0.0301 4 0.0301
1 8 0.0602 12 0.0902
2 17 0.1278 29 0.2180
3 23 0.1729 52 0.3910
4 19 0.1429 71 0.5338
5 14 0.1053 85 0.6391
6 14 0.1053 99 0.7444
7 13 0.0977 112 0.8421
8 6 0.0451 118 0.8872
9 4 0.0301 122 0.9173
10 8 0.0602 130 0.9774
11 3 0.0226 133 1.0000
Slika 23 – Ukupan broj poena – ETF
31 Tekst zadataka za studente prikazan je u Prilogu 2.
32 Napomena: Relativna frekvencija dobija se kada se frekvencija podeli sa ukupnim brojem. Analogno,
kumulativna relativna frekvencija dobija se kada se kumulativna frekvencija podeli sa ukupnim brojem.
3.2. Analiza testa 137
Tabela 7 – Ukupan broj poena – GF
Poeni Frekvencija Rel. frekvencija Kum. frekvencija Kum. rel. frekvencija
0 15 0.0735 15 0.0735
1 23 0.1127 38 0.1863
2 28 0.1373 66 0.3235
3 39 0.1912 105 0.5147
4 44 0.2157 149 0.7304
5 19 0.0931 168 0.8235
6 15 0.0735 183 0.8971
7 11 0.0539 194 0.9510
8 7 0.0343 201 0.9853
9 2 0.0098 203 0.9951
10 1 0.0049 204 1.0000
Slika 24 – Ukupan broj poena – GF Slika 25 – Ukupan broj poena – MasˇF
Tabela 8 – Ukupan broj poena – MasˇF
Poeni Frekvencija Rel. frekvencija Kum. frekvencija Kum. rel. frekvencija
0 9 0.0796 9 0.0796
1 18 0.1593 27 0.2389
2 30 0.2655 57 0.5044
3 27 0.2389 84 0.7434
4 15 0.1327 99 0.8761
5 7 0.0619 106 0.9381
6 3 0.0265 109 0.9646
7 2 0.0177 111 0.9823
8 1 0.0088 112 0.9912
9 1 0.0088 113 1.0000
3.2. Analiza testa 138
Na osnovu svih pojedinacˇnih rezultata formirani su i objedinjeni rezultati. Tako u
tabeli 9 mozˇemo videti frekvenciju i procentualne relativne frekvencije za fakultete po-
jedinacˇno, ali i ove podatke na nivou celokupnog uzorka. Na prvi pogled reklo bi se da
rezultati nisu basˇ ohrabrujuc´i. ˇCinjenica da nijedan od studenata sa Gradevinskog, a isto
tako i Masˇinskog fakulteta, nije uspeo da tacˇno uradi celokupan test jeste zabrinjavajuc´a.
ˇStavisˇe na Masˇinskom fakultetu cˇak ni 10 poena niko nije osvojio. Ovo nas svakako na-
vodi na to da izvrsˇimo poredenje kurikuluma i nasˇeg testa, da bi utvrdili da li se uzrok ova-
kvih rezultata krije u tome sˇto se neka nastavna jedinica na ovom fakultetu ne obraduje.
Naravno, ovo c´emo proveriti i pomoc´u analize rezultata za zadatke pojedinacˇno. Treba
imati na umu i to da nije u pitanju samo jedan masˇinski fakultet, vec´ tri sa razlicˇitih uni-
verziteta, pa c´emo obratiti pazˇnju i na uskladenost programa. Da test nije bilo nemoguc´e
uraditi potvrdili su studenti elektrotehnicˇkih fakulteta. ˇCak tri rada su bila potpuno tacˇna,
ali u ukupnom rezultatu 3 od 450 cˇini samo 0.67%.
Tabela 9 – Ukupan broj poena – svi smerovi
Broj poena ETF GF MasˇF Ukupno
0 4 (3.01%) 15 (7.35%) 9 (7.96%) 28 (6.22%)
1 8 (6.02%) 23 (11.27%) 18 (15.93%) 49 (10.89%)
2 17 (12.78%) 28 (13.73%) 30 (26.55%) 75 (16.67%)
3 23 (17.29%) 39 (19.12%) 27 (23.89%) 89 (19.78%)
4 19 (14.29%) 44 (21.57%) 15 (13.27%) 78 (17.33%)
5 14 (10.53%) 19 (9.31%) 7 (6.19%) 40 (8.89%)
6 14 (10.53%) 15 (7.35%) 3 (2.65%) 32 (7.11%)
7 13 (9.77%) 11 (5.39%) 2 (1.77%) 26 (5.78%)
8 6 (4.51%) 7 (3.43%) 1 (0.88%) 14 (3.11%)
9 4 (3.01%) 2 (0.98%) 1 (0.88%) 7 (1.56%)
10 8 (6.02%) 1 (0.49%) 0 (0.00%) 9 (2.00%)
11 3 (2.26%) 0 (0.00%) 0 (0.00%) 3 (0.67%)
Ukupno 133 (29.56%) 204 (45.33%) 113 (25.11%) 450 (100.00%)
Slika 26 – Ukupan broj poena – svi smerovi
Radi stvaranja bolje slike o rezultatima treba da pogledamo tabelu deskriptivnih
statistika i blizˇe objasnimo tabele 6, 7 i 8 i slike 23, 24 i 25.
3.2. Analiza testa 139
Tabela 10 – Medijana i standardna devijacija
Fakultet Broj Uzoracˇka Medi- Moda Standardna Koeficijent Min Maks
sredina jana devijacija varijacije
ETF 133 4.72932 4.0 3.0 2.71675 57.4448% 0 11.0
GF 204 3.51961 3.0 4.0 2.13685 60.7127% 0 10.0
MasˇF 113 2.68142 2.0 2.0 1.72826 64.4533% 0 9.0
Ukupno 450 3.66667 3.0 3.0 2.35965 64.354% 0 11.0
Vec´ smo videli da se podaci mogu predstaviti i tabelarno i graficˇki. Medutim, za bolje
razumevanje rezultata potrebne su nam deskriptivne statistike. Kako smo videli, tabela 10
sadrzˇi vrednosti ovih statistika za grupe pojedinacˇno (ETF, GF, MasˇF) i za celokupan
uzorak. Pre same analize ove tabele treba kratko podsetiti sˇta koja statistika znacˇi.
Jedna od osnovnih mera statisticˇkog uzorka jeste uzoracˇka sredina. Ona predsta-
vlja prosek, tj. aritmeticˇku sredinu svih podataka, i predstavlja dobru ocenu za ocˇekivane
vrednosti obelezˇja. Dalje, kada imamo sortirani uzorak, srednja vrednost po polozˇaju, tj.
ona koja sve vrednosti obelezˇja deli na dva jednaka skupa, naziva se medijana. Moda ili
modus je ona vrednost koja se u uzorku javlja najcˇesˇc´e, tj. koja ima najvec´u frekvenciju.
Manje korisˇc´ene u tabelarnom a visˇe u graficˇkom predstavljajnju rezultata jesu vrednosti
tri kvartila koje skup realizovanih vrednosti obelezˇja dele na cˇetiri jednaka dela. Naravno,
medijana je jednaka drugom kvartilu. Najmanja i najvec´a vrednost u uzorku predstavljaju
minimum i maksimum. Pored ovih vrednosti tu su i mere varijacije. Mere varijacije su
pokazatelji odstupanja vrednosti obelezˇja od srednje vrednosti. U metodologiji smo po-
menuli da je ukupna varijacija jednaka sumi kvadrata odstupanja vrednosti od uzoracˇke
sredine, dok je varijansa (disperzija) prosecˇna vrednost ovih odstupanja. Standardna de-
vijacija, kao kvadratni koren varijanse, cˇini prosecˇno odstupanje pojedinacˇnih vrednosti
od uzoracˇke sredine.
Sledec´a cˇesto korisˇc´ena mera varijacije jeste koeficijent varijacije. On predstavlja
kolicˇnik standardne devijacije i uzoracˇke sredine, pa samim tim ukazuje na to koliko
procenata iznosi ovo odstupanje od srednje vrednosti. Poredenjem koeficijenata varijacije
zapravo poredimo varijabilnost razlicˇitih uzoraka.
Tabela 10 sadrzˇi najvec´i broj ovih statistika, pa mozˇemo izvuc´i neke osnovne za-
kljucˇke. Kao sˇto smo vec´ uocˇili, na masˇinskim fakultetima je maksimalni broj poena 9,
na gradevinskim 10, a studenti elektrotehnike su uspeli da resˇe celokupan test. Na svim
fakultetima je bilo onih koji nisu bili uspesˇni u resˇavanju ijednog od zadataka. Na osnovu
uzoracˇke sredine osvojenih poena vidimo da su studenti elektrotehnike i u tom pogledu
bili najuspesˇniji (4.73%), dok je test na masˇinskim fakultetima uraden najlosˇije (2.68%).
ˇStavisˇe, ako pogledamo kumulativne relativne frekvencije iz tabela 6, 7 i 8 videc´emo da
je na masˇinskom fakultetu visˇe od 90% studenata imalo manje od polovine moguc´ih po-
ena, na gradevini je bilo nesˇto visˇe od 80% takvih slucˇajeva, a na elektrotehnici izmedu
3.2. Analiza testa 140
60% i 70%. I histogrami na slikama 23, 24 i 25 to pokazuju, pa mozˇemo uocˇiti da su,
osim u slucˇaju elektrotehnike, poeni visˇe grupisani oko manjih vrednosti. U slucˇaju elek-
trotehnicˇkog fakulteta osipanje je vec´e, a to je u skladu i sa rezultatima za standardno
odstupanje.
Medutim, iako je numericˇka vrednost standardnog odstupanja vec´a u slucˇaju elek-
trotehnicˇkih fakulteta, na osnovu koeficijenta varijacije zakljucˇujemo da u odnosu na ce-
lokupan uzorak po fakultetima ova je varijacija najmanja. ˇStavisˇe, na osnovu koeficijenta
varijacije zakljucˇujemo i da je varijacija ocena u slucˇaju gradevinskog fakulteta za oko
5.7% vec´a nego u slucˇaju elektrotehnike, dok je za masˇinstvo ta vrednost oko 12%. U
terminima varijacije poeni sa masˇinskih fakulteta imaju slicˇnu varijaciju kao celokupna
populacija. Bez obzira na to, gledajuc´i globalnu sliku – 3.67 poena nije zavidan rezultat.
Interesantno je primetiti i to da su na razlicˇitim fakultetima najbolje uradeni zadaci
sa razlicˇitim rednim brojem. O tome c´emo rec´i visˇe pri pojedinacˇnoj analizi zadataka.
Za tumacˇenje rezultata nekada je zgodno pogledati i graficˇki prikaz. Na slici 27 dat
je takozvani box-plot dijagram.
Slika 27 – Box-plot dijagram
Ovaj tip dijagrama predstavlja pravougaoni dijagram. Na osnovu kvartila racˇunaju
se unutrasˇnje i spoljasˇnje granice dijagrama. Pravougaonik se crta izmedu prvog i trec´eg
kvartila i uspravnom crtom se obelezˇava polozˇaj medijane. Ako je medijana blizu sredine
pravougaonika, ima smisla ispitivati da li je raspodela podataka simetricˇna. Horizontalne
linije od pravougaonika levo i desno iscrtavaju se do unutrasˇnjih granica. Sve vrednosti
obelezˇja izmedu unutrasˇnjih i spoljasˇnjih granica oznacˇavaju se kruzˇic´ima.
Na slici 27 prikazani su box-plot dijagrami po fakultetima. Na sva tri dijagrama
medijana je pomerena visˇe ulevo. Tada kazˇemo da je raspodela poena pomerena udesno,
time je i asimetricˇnost raspodele poena potvrdena. Zanimljivo je primetiti da u slucˇaju
gradevine i masˇinstva imamo jedan, odnosno dva kruzˇic´a respektivno. Ovi kruzˇic´i pred-
stavljaju vrednosti koje znacˇajno odskacˇu od drugih, i u literaturi se josˇ nazivaju autlajeri.
3.2. Analiza testa 141
Iz tabele 9 vidimo da su autlajeri dva studenta masˇinstva, sa visˇe od 7 osvojenih
poena, i jedan student gradevine, sa 10 osvojenih poena. Ako uporedimo vrednosti za
uzoracˇke sredine i pravougaonike dijagrama, primetic´emo da oni nisu pozicionirani oko
istih vrednosti, pa se prirodno namec´e pitanje da li je razlika u proseku osvojenih poena
znacˇajna ili ne?
Kako smo vec´ naveli, u metodologiji izrade zadataka u cilju provere jednakosti sre-
dina medu fakultetima, koristic´emo metod analize varijansi. U ANOVA tabeli 11 prika-
zani su svi neophodni podaci, tj. vrednosti suma kvadrata odstupanja i njihove sredine,
zatim F-kolicˇnik i p-vrednost.
Tabela 11 – ANOVA tabela
Izvor Suma kvadrata Df Sredina kvadrata F-kolicˇnik p-vrednost
Izmedu grupa 264.292 2 132.146 26.42 0.0000
Unutar grupa 2235.71 447 5.00158
Ukupno (Corr.) 2500.0 449
Kako imamo tri nivoa faktora, to c´e broj stepeni slobode izmedu grupa biti 3−1 =
2. Za sumu kvadrata odstupanja unutar grupa, iz istog razloga, broj stepeni slobode je
450−3 = 447. Na osnovu dobijene p-vrednosti za prag znacˇajnosti od 5% zakljucˇujemo
da postoji statisticˇki znacˇajna razlika izmedu artimeticˇkih sredina po fakultetima. Ovaj
zakljucˇak sledi iz toga sˇto za male vrednosti verovatnoc´e p odbacujemo nultu hipotezu
da razlike ne postoje. Ovim testom smo utvrdili da razlike postoje, ali ne i koja se to
uzoracˇka sredina znatno razlikuje od drugih. U SPSS-u za ispitivanje odgovora na ovo
pitanje koristimo test visˇestrukog opsega. Rezultati dobijeni ovim testom su prikazani u
tabelama 12 i 13.33
Tabela 12 – Metod: 95% test najmanje znacˇajne razlike (homogenost)
Fakultet n Uzoracˇka sredina Homogenost grupe
M 113 2.68142 X
G 204 3.51961 X
E 133 4.72932 X
Tabela 13 – Metod: 95% test najmanje znacˇajne razlike (poredenje)
Faktor poredenja Znacˇajnost Razlika ± granica
E - G * 1.20972 0.48984
E - M * 2.04791 0.562319
G - M * 0.838192 0.515413
33 X oznacˇava da je grupa homogena.
∗ oznacˇava statisticˇki znacˇajnu razliku.
3.2. Analiza testa 142
Ovaj test se zasniva na proveri najmanjih znacˇajnih razlika, pa pri pragu znacˇajnosti
od 5%, kad dobijamo 95%-ni interval poverenja, zakljucˇili smo sledec´e: postoji znacˇajna
statisticˇka razlika izmedu svaka dva para fakulteta. Time smo dosˇli do zakljucˇka da treba
da odbacimo prvu pomoc´nu hipotezu koja tvrdi da uspesˇnost u resˇavanju zadataka ne
zavisi od fakulteta.
U daljem tekstu prikazana je analiza resˇavanja pojedinih zadataka. Ideja zadatka 1
jeste da se analizira razumevanje pojma granicˇne vrednosti.
Zadatak 1. Da li sme da se skrati razlomak x
x
kada x → 0?
Resˇenje. Da. Razlomak sme da se skrati na osnovu definicije granicˇne vrednosti.
Izraz
x
x
nas intuitivno navodi na to da je u pitanju neodred-eni oblik ,,nula kroz nula“.
Med-utim, pazˇljivom analizom konstatujemo da x 	= 0, ali da x tezˇi nuli. Na primer, niz
0.1,0.01,0.001, . . . tezˇi nuli iako je, kada napisˇemo na primer 0.001
0.001
= 1. Posˇto je utvrd-eno
da x 	= 0 (iako tezˇi nuli) mozˇe se skratiti navedeni izraz, pa se dobija
lim
x→0
x
x
= lim
x→0
1 = 1.
Prvi zadatak resˇilo je 29.32% studenata ETF-a, 9.31% GF i 14.16% MasˇF. Rezultati
su prikazani u tabeli i graficˇki.
Tabela 14 – Zadatak 1
0 1 Ukupno
ETF 94 (70.68%) 39 (29.32%) 133 (29.56%)
GF 185 (90.69%) 19 (9.31%) 204 (45.33% )
MasˇF 97 (85.84%) 16 (14.16%) 113 (25.11%)
Ukupno 376 (83.56%) 74 (16.44%) 450 (100.00%)
Slika 28 – Zadatak 1
Zadatak su u potpunosti resˇili (sˇto je donelo 2 poena) oni studenti koji su, osim
zaokruzˇivanja potvrdnog odgovora, dali i obrazlozˇenje.
3.2. Analiza testa 143
Od studenata koji su uspesˇno resˇili zadatak objasˇnjenje je dalo 24.81% studenata
ETF-a, 6.86% GF-a i 7.96% MasˇF-a.
Uocˇeno je (s pravom!) da postoji problem kada se strogo definisˇe pojam granicˇne
vrednosti. Vizuelno predstavljanje je vazˇno za objasˇnjenje. Kada se napisˇe
lim
x→a f (x) = A ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x) (0 < |x−a|< δ ⇒ | f (x)−A|< ε)
leva strana lim
x→a f (x) = A znacˇi da funkcija f tezˇi granicˇnoj vrednosti A, za x tezˇi a. A
desna strana formalne definicije znacˇi: ako za svako dato ε mozˇemo da nademo δ takvo
da za 0 < |x−a|< δ povlacˇi | f (x)−A|< ε , onda mozˇemo da kazˇemo (pisˇemo)
lim
x→0
f (x) = A.
Primer lim
x→0
x
x
= 1 je prirodni uvod za resˇavanje primera
lim
x→0
x2 −a2
x−a , limx→0
(x+1)3 −1
x
, ili lim
x→0
√
1+ x−√1− x
x
= 1
lim
x→0
(x+1)3 −1
x
= lim
x→0
x((x+1)2 +(x+1)+1)
x
=
= lim
x→0
(x2 +3x+3) = 3.
Na ovom su primeru studenti matematike pokazali zavidan nivo razumevanja, sˇto
potvrduje 62.28% studenata koji su resˇili zadatak. Naravno da zabrinjava sˇto taj zadatak
nisu resˇili svi studenti Matematicˇkog fakulteta.
Tabela 15 – Zadatak 1 – dodatna grupa
0 1 Ukupno
K 43 71 114
37.72% 62.28% 100.00%
Slika 29 – Zadatak 1 – dodatna grupa
Zadatak 2. Da li su date funkcije diferencijabilne u tacˇki x = 0?
3.2. Analiza testa 144
y
x1
f (x) = x2
y
1 x
f (x) = x|x| f (x) = |x|
Resˇenje. Funkcija f (x) = x2 je diferencijabilna (ima izvod) u tacˇki 0. Diferencijabilna je i
funkcija f (x) = x|x|. Funkcija f (x) = |x| nije diferencijabilna u tacˇki 0. Popularno se kazˇe da nije
glatka vec´ da ima sˇpic. Ako uvelicˇamo grafike funkcija u okolini tacˇke 0 to c´e se josˇ bolje videti.
Zamisˇljamo kao da posmatramo pod lupom.
NAPOMENA. Iz ovog primera sledi da proizvod dve funkcije mozˇe da bude diferen-
cijabilna funkcija, a svaka od njih pojedinacˇno to ne mora da bude.
Zadatak 3. Na slici su prikazani grafici dve funkcije x → f (x) i x → f′(x). Koji grafik
odgovara kojoj funkciji?
Resˇenje. Ideja za resˇavanje ovog zadatka jeste u razumevanju prvog izvoda, preciznije na
grafiku posmatramo kada je prvi izvod jednak nuli, kada je prvi izvod vec´i od nule (funkcija raste),
ili kad je prvi izvod manji od nule (funkcija opada). Funkcija f = cosx+1.
3.2. Analiza testa 145
Zadatak 5. Dat je grafik racionalne funkcije. Zaokruzˇiti tacˇan odgovor.
(a) f (x) = x
2 −4
x2 −1
(b) f (x) = x
2 −1
x2 −4
(c) f (x) = x
2 −1
x2 −2
(d) f (x) = 2x
2 −4
x2 −4
Resˇenje. Tacˇan odgovor dobija se na osnovu poznatih osobina funkcije kao sˇto su oblast
definisanosti, nule, asimptote. Tacˇan odgovor je pod b).
Rezultati za 1, 2, 3 i 5 zadatak dati su zbirno i detaljnije je vrednovan zadatak 1.
Naime, ukupan broj poena u ovom delu bodovanja je 7. Prvi zadatak boduje se sa 2 poena
(za tacˇan odgovor jedan poen i obrazlozˇenje jedan poen), drugi sa tri poena (za svaki deo
pod a), b) i c) po jedan poen), trec´i i peti zadatak po jedan poen.
Tabela 16 – Rezultati za 1, 2, 3 i 5 zadatak
Relativna Kumulativna Kum. rel.
Poeni Frekvencija frekvencija frekvencija frekvencija
0 31 0.0689 31 0.0689
1 51 0.1133 82 0.1822
2 90 0.2000 172 0.3822
3 94 0.2089 266 0.5911
4 83 0.1844 349 0.7756
5 61 0.1356 410 0.9111
6 19 0.0422 429 0.9533
7 21 0.0467 450 1.0000
Sa histograma broja osvojenih poena u zadacima 1, 2, 3 i 5 (slika 30) vidimo da
je raspodela osvojenih poena priblizˇno normalna. To je i prirodno ocˇekivati kao zˇeljeni
rezultat. Medutim, ova grupa zadataka ima josˇ neke znacˇajne karakteristike. Na primer,
zadatak 2 jeste onaj za koji je najvec´i broj studenata masˇinstva dobio poene. Za elek-
trotehnicˇki fakultet isto vazˇi za zadatak 3. Zadatak 3 jeste vrednost modus i na nivou
cˇitave populacije, pa mozˇemo rec´i da je razumevanje prvog izvoda kao pokazatelj mo-
notonosti kod studenata na najzavidnijem nivou (u odnosu na ostalu problematiku testa).
Iznenadenje u negativnom smislu predstavlja zadatak 5. Njega je bilo moguc´e resˇiti i bez
3.2. Analiza testa 146
Slika 30 – Rezultati za 1, 2, 3 i 5 zadatak
poznavanja diferencijalnog racˇuna, metodom eliminacije odgovora. Medutim, uspesˇnost
u resˇavanju ovog zadatka je bila samo 53.11%. Ovako losˇ rezultat jeste posledica malog
procenta tacˇnih odgovora 30.97% studenata masˇinstva.
Zadatak 4. Od kartona oblika kvadrata stranice a treba odrezati cˇetiri osencˇena kvadrata
kao na slici, tako da se od ostatka mozˇe napraviti kutija bez poklopca najvec´e zapremine. Odredi
dimenzije kutije.
Resˇenje. Ako oznacˇimo ivice kutije sa x i a−2x, tada je zapremina jednaka
V (x) = (a−2x)2x
Korisˇc´enjem prvog izvoda za nalazˇenje maksimuma dobija se
V ′(x) = (a−2x)(a−6x),
V ′(x) = 0 ⇒ x = a/2 ili x = a/6.
Prema tome, posˇto je za x = a/2 osnova kutije 0, dimenzije kutije imaju osnovu 2a/3 i visinu
a/6.
Za zadatak 4 rezultati su slabi. Ovde je, osim sˇto primenjujemo diferencijalni racˇun,
zahtevano postavljanje problema (nije dovoljna samo vizuelna predstava da bi se izveo
zakljucˇak). To govori u prilog cˇinjenici da studenti imaju tesˇkoc´e u pravilnom postavljanju
problema. Setimo se cˇuvenog pitanja na predavanjima: ˇCemu to sluzˇi?
3.2. Analiza testa 147
Tabela 17 – Rezultati za zadatak 4
0 1 Ukupno
ETF 110 23 133
82.71% 17.29% 29.56%
GF 172 32 204
84.31% 15.69% 45.33%
MasˇF 109 4 113
96.46% 3.54% 25.11%
Ukupno 391 59 450
86.89% 13.11% 100.00%
Slika 31 – Rezultati za zadatak 4
Interesantno je primetiti da dodatna grupa (Matematicˇki fakultet) takode pokazuje
tesˇkoc´e u postavljanju problema, jer je zadatak resˇilo tek 23.68% studenata.
Zadatak 6. Ako je f (x)≡ 0 za x ∈ [a,b], onda je
b
a
f (x)dx = 0. Da li vazˇi obratno tvrd-enje?
(Neka je f (x) neprekidna funkcija na [a,b] i
b
a
f (x)dx = 0 sledi da je f (x) ≡ 0 za x ∈ [a,b].)
Obrazlozˇiti.
Resˇenje. Obrnuto tvrd-enje ne vazˇi, na primer
2π
0
sinxdx = 0.
3.2. Analiza testa 148
Zadatak 9. Tacˇka x ∈ R je fiksna tacˇka funkcije f : R→ R ako vazˇi f (x) = x.
Nac´i fiksnu tacˇku linearne funkcije f : R→ R, date sa f (x) = ax+b, a,b ∈ R.
Resˇenje.
ax+b = x, a,b ∈ R; dobija se ax− x =−b, odnosno x(a−1) =−b
Razmatraju se jednostavni slucˇajevi
(1) a 	= 1, x = b
1−a je fiksna tacˇka,
(2) a = 1, razmatramo slucˇajeve:
1◦ b 	= 0, nema fiksnu tacˇku. 2◦ b = 0, x = α , α ∈ R beskonacˇno mnogo resˇenja.
Zadaci 6 i 9 su teorijskog tipa. U poredenju rezultati testa izmedu studenata tehnicˇkih
fakulteta i dodatne grupe sa Matematicˇkog fakulteta, uocˇava se jasna razlika u smislu
izrazˇeno boljeg resˇavanja kod studenata matematike. Naravno, ovom rezultatu ide u pri-
log to sˇto se studenti matematike u znatno vec´oj meri bave apstraktnom teorijom, a da
poznavanje kontraprimera teorema studenti dozˇivljavaju kao teorijsko a ne kao prakticˇno
znanje.
Istovremeno zabrinjava cˇinjenica da se nastava matematike izvodi klasicˇnom meto-
dom teorema, dokaza, primera, a da studenti nisu uspesˇni u resˇavanju teorijskih zadataka.
Tabela 18 – Rezultati za zadatke 6 i 9
Relativna Kumulativna Kum. rel.
Poeni Frekvencija frekvencija frekvencija frekvencija
0 336 0.7467 336 0.7467
1 87 0.1933 423 0.9400
2 27 0.0600 450 1.0000
Tabela 19 – Rezultati za zadatke 6 i 9 – dodatna grupa
Relativna Kumulativna Kum. rel.
Poeni Frekvencija frekvencija frekvencija frekvencija
0 13 0.1140 13 0.1140
1 33 0.2895 46 0.4035
2 68 0.5965 114 1.0000
Poredec´i rezultate teorijskih zadataka po fakultetima, najvec´u uspesˇnost pokazali su
studenti elektrotehnike, a najmanju studenti masˇinstva.
Ideja sa zadatkom 7 jeste da se ,,vidi“ da li studenti povezuju matematicˇko gradivo
sa elementima primene.
3.2. Analiza testa 149
Slika 32 – Rezultati za zadatke 6 i 9
Slika 33 – Rezultati za zadatke 6 i 9 – K
Zadatak 7. Izracˇunati
2π
0
sin mxsinnxdx, m,n ∈ N, m 	= n.
Resˇenje. Ovaj integral se resˇava rastavljanjem proizvoda sinusa na razliku kosinusa, tj.
2π
0
sin mx · sinnxdx = 1
2
2π
0
(
cos(m−n)x− cos(m+n)x)dx
=
1
2
1
m−n sin(m−n)x
∣∣∣2π
0
− 1
2
1
m+n
sin(m+n)x
∣∣∣2π
0
= 0,
Tabela 20 – Rezultati za zadatke 6 i 9 po fakultetima
0 1 2 Ukupno
ETF 81 32 20 133
60.90% 24.06% 15.04% 29.56%
GF 154 44 6 204
75.49% 21.57% 2.94% 45.33%
MasˇF 101 11 1 113
89.38% 9.73% 0.88% 25.11%
Ukupno 336 87 27 450
74.67% 19.33% 6.00% 100.00%
3.2. Analiza testa 150
Slika 34 – Ukupno za zadatke 6 i 9
(vazˇno je da m 	= n).
Ovaj integral mozˇe se resˇiti pomoc´u trigonometrijske transformacije (sˇto se pokazalo
kao dodatna potesˇkoc´a), ili je jednostavno moglo da se napisˇe da je rezultat integrala 0, uz
objasˇnjenje da je skalarni proizvod ortogonalnih funkcija 0, ukoliko su studenti upoznati
sa tim pojmom.
Tabela 21 – Rezultati za zadatak 7
0 1 Ukupno
ETF 112 21 133
84.21% 15.79% 29.56%
GF 185 19 204
90.69% 9.31% 45.33%
MasˇF 111 2 113
98.23% 1.77% 25.11%
Ukupno 408 42 450
90.67% 9.33% 100.00%
Slika 35 – Rezultati za zadatak 7
Zadatak 7 je dodatna grupa resˇila sa 37.72%, sˇto se takode ne smatra ohrabrujuc´im,
jer studenti Matematicˇkog fakulteta termin skalarnog proizvoda srec´u u visˇe predmeta.
3.2. Analiza testa 151
Zadatak 8. Za t → 0 vazˇi Maklorenova formula:
et = 1+ t + t
2
2!
+ · · ·+ t
n
n!
+o(tn).
Odrediti a, b i c ako je
x · e−1/x = ax+b+ c
x
+o
(
1
x
)
, kada x →+∞.
Resˇenje.
Uvodenjem smene t =−1
x
, t → 0,
xe−1/x = x
(
1− 1
x
+
1
2x2
+o
(
1
x2
))
= x−1+ 1
2x
+o
(
1
x
)
= ax+b+ c
x
+o
(
1
x
)
Odavde sledi da su
a = 1, b =−1 i c = 1
2
.
Ponasˇanje funkcije u okolini neke tacˇke vazˇno je za prakticˇno racˇunanje i procenji-
vanje gresˇke aproksimacije. To je smisao zadatka 8, pri cˇemu je data formula za racˇunanje,
ali pojavio se problem rezonovanja ili problem povezan sa zadatkom 1.
Rezultati su izrazˇeno slabi.
Tabela 22 – Rezultati za zadatak 8
0 1 Ukupno
ETF 107 26 133
80.45% 19.55% 29.56%
GF 180 24 204
88.24% 11.76% 45.33%
MasˇF 110 3 113
97.35% 2.65% 25.11%
Ukupno 397 53 450
88.22% 11.78% 100.00%
Rezultati dodatne grupe veoma su dobri.34
34 Svi rezultati testa za studente ETF, GF i MasˇF prikazani su u prilogu 5 elektronske forme, a rezultati
testa za studente Matematicˇkog fakulteta prikazani su u prilogu 6 elektronske forme.
3.2. Analiza testa 152
Slika 36 – Rezultati za zadatak 8
Tabela 23 – Zadatak 8 – dodatna grupa
0 1 Row Total
K 17 97 114
14.91% 85.09% 100.00%
Ukupno 17 97 114
14.91% 85.09% 100.00%
Slika 37 – Zadatak 8 – dodatna grupa
Navedene znacˇajne razlike otvaraju pitanje izucˇavanja ove nastavne jedinice na tehni-
cˇkim fakultetima.
3.2.3. Diskusija nalaza i zakljucˇak
Ovde c´emo izneti znacˇajno zapazˇanje. Prilikom statisticˇke analize broja dobijenih
tacˇnih odgovora, tj. osvojenih poena po zadacima pojedinacˇno, dobili smo interesantan
rezultat. Naime, osim frekvencija tacˇnih odgovora za svaki zadatak je χ 2-testom neza-
visnosti proveravano da li broj tacˇnih odgovora, zavisi od vrste fakulteta. Zapravo, nulta
hipoteza jeste hipoteza nezavisnosti, i tvrdi da broj tacˇnih odgovora ne zavisi od vrste
fakulteta. Hipotezu o nezavisnosti odbacili smo u svim slucˇajevima, osim u zadatku 2 u
trec´em delu. Sa verovatnoc´om 0.1514, koja je vec´a od praga znacˇajnosti 0.05, prihvatili
3.2. Analiza testa 153
smo nultu hipotezu nezavisnoti. Dakle, samo u ovom slucˇaju studenti su davali slicˇne
odgovore.
Postavlja se pitanje zasˇto? Zadatke 2, 3, 4 i 5 prati vizuelna prezentacija (slika).
Ako posmatramo zadatke 2, 3 i 5, uocˇavamo da su znacˇajno bolje resˇeni od drugih. Ovi
zadaci su bolje resˇeni jer studenti, koristec´i sliku, laksˇe dolaze do resˇenja. To nije slucˇaj
za zadatak cˇetiri, gde se zahtevao dodatni medukorak i postavljanje problema, pa resˇenje.
Treba naglasiti da su studenti gradevinskih fakulteta bolje resˇili zadatak cˇetiri. Na ovaj
nacˇin, uz sveukupnu analizu testa, potvrdena je hipoteza:
Vizuelna prezentacija zadataka povec´ava uspesˇnost njihovog resˇavanja.
Rezultati u celini nisu dobri. U proseku su studenti osvojili jedva trec´inu poena. Bez
obzira na to sˇto na osnovu analize upitnika studenti vide matematiku kao primenjenu na-
uku, nisu uspesˇno resˇili zadatke vezane za primenu. Dodatno rezultati za zadatak cˇetiri
zabrinjavajuc´e losˇi, osim malo boljeg rezultata koji su pokazali studenti gradevine. Stu-
denti ne koriste prvi put tehnike diferencijalnog racˇuna, a rezultat je izostao. Na osnovu
ukupne analize testa, i resˇavanja pojedinacˇnih zadataka, dokazana je hipoteza:
Studenti nisu stekli vesˇtinu da znanje iz matematicˇke analize primene u resˇavanju
zadataka i problema.
4.
PET TEMA IZ MATEMATI ˇCKE ANALIZE
Resˇavanje zadataka i pokazani rezultati studenata obavezuju da se pitanju unapredi-
vanja nastave matematicˇke analize posveti znacˇajna pazˇnja. To je motivacija da se obrade
cˇetiri teme iz oblasti matematicˇke analize za koje su studenti pokazali losˇe rezultate.
I ne samo to. Tema rada jeste odnos izmedu apstrakcije i primene. Ovih pet tema
ilustruju susˇtinu odnosa teorijske i primenjene matematike. Da bi ovo razumeli, morali
smo naporno da radimo, sˇto bi rekao profesor ˇCanak, to je put Sv. Jovana Lestvicˇnika.
,,Ideja Lestvice, tog stupnjevitog uzrastanja u duhovno savrsˇenstvo, uzeta je od po-
znatog starozavetnog videnja praoca Jakova. Simbolicˇki, Jakovljeva lestvica, koja stoji na
zemlji, a vrhom doticˇe nebo, po kojoj se andeli bozˇji penju i silaze i na cˇijem se vrhu
nalazi Gospod, treba da oznacˇi cˇovekov put ka visinama bozˇanskog savrsˇenstva i vezu
izmedu zemlje i neba“.1
,,I prezrevsˇi svoju slabost, smerno se latih posla“. Ovaj citat Sv. Jovana Lestvicˇnika
naveo je matematicˇar Milosˇ Radojcˇic´ na pocˇetku svoje knjige Jovanovo Jevandelje. I
on je prezreo svoje slabosti, licˇno preveo Jevandelje sa grcˇkog i napisao o njemu delo
neprolazne vrednosti.
Kao sˇto je vec´ ranije navedeno Lagranzˇovu teoremu krasi lepota. Postavlja se pitanje
sˇta je u njoj lepo? Za mene lepo je sledec´e: Ako se posmatra zajedno niz teorema Rolova
– Lagranzˇova – Tejlorova dozˇivljava se jedan objektivan osec´aj matematicˇkog uzdizanja
(prof. Presˇic´ koristio je termin vinuc´e i vinuti se). Kod prve, u tacˇki ξ , prava paralelna x osi
dodiruje krivu. Kod druge, to je opsˇtije, prava paralelna secˇici dodiruje krivu, a kod trec´e,
josˇ opsˇtije, kriva dodiruje drugu krivu. Radi se o jednom elegantnom nizu generalizacija a
tema su dodiri. Lagranzˇova teorema daje i izuzetnu vizuelnu predstavu. Posˇto je jedna od
najvazˇnijih teorema diferencijalnog tacˇuna, u ovoj glavi bic´e prikazana zajedno sa svojim
posledicama. Motivaciju za ovu temu dala je cˇuvena francuska grupa Burbakista.
Kako je vec´ konstatovano, na nekim fakultetima ne obraduje se tema Tejlorov poli-
nom. Dodatno, zadatak 8, imao je za cilj da student uz malo promisˇljanja rutinski primeni
datu formulu. Mozˇe se rec´i da dati Maklorenov polinom nije obicˇna formula vec´ da je
1
ˇCanak M., 2012, Put u petu dimeziju, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 38.
155
zadatak iziskivao mali napor da se uocˇi smena t = −1
x
. Ovo se pokazalo kao potesˇkoc´a.
Ideja Tejlorove formule jeste aproksimacija funkcije u okolini neke tacˇke polinomom
odredenog stepena. Cilj je da takva aproksimacija bude doneta uz malu gresˇku – odstu-
panje. Povec´avanjem stepena polinoma postizˇe se vec´e priljubljivanje i bliskost u okolini
tacˇke dodira.
Drugi problem uocˇen je kod teorijskog pitanja u zadatku 6. Problem je razume-
vanje definicije odredenog integrala. Zbog toga je predlozˇena tema Hardijev pristup za
izracˇunavanje povrsˇine, da bi studenti razumeli pojam odredenog integrala i jednostavnim
putem stigli do velicˇanstvene Njutn–Lajbnicove formule.
Prvo, ovaj nacˇin mozˇe biti dobar postupak jer povezuje neodreden i odreden inte-
gral, odnosno teoriju i primenu. Vizuelnim predstavljanjem studenti direktno uvidaju pri-
menu odredenog integrala na izracˇunavanje povrsˇine. Istovremeno c´emo cˇitaoca dovesti
do Njutn–Lajbnicove formule, pomoc´u koje se racˇuna povrsˇina, uz korisˇc´enje vrednosti
funkcije neodredenog integrala u krajnjim tacˇkama. To je impresivno!
Neocˇekivano mnogo tesˇkoc´e izazavao je integral koji se resˇava trigonometrijskom
transformacijom (pretvaranje proizvoda u zbir). Zadatak 7 takode je povezan sa pojmom
ortogonalnosti. Od studenata, posebno elektrotehnike, ocˇekivalo se da odmah napisˇu re-
zultat. Kako to nije bio slucˇaj, obraduje se tema Furijeovi redovi i primene.
Slika 1 – Anri Poenkare
Ovo je centralna tema u cˇetvrtom delu. Ideja je da se ovde pokazˇe izgradnja ma-
tematicˇkog sistema i povezanost matematike i prirode. Pokazac´e se da je naizgled ap-
straktna teorija zapravo potekla od fizicˇkog problema treperenja zˇice ili provodenja to-
plote. Ovde matematicˇki model i prirodna pojava zatvaraju apstraktnu teoriju i prime-
njenu matematiku u jedinstven matematicˇki sistem. Apstrakcija i primena postaju jedno.
U ovom delu je prikazano to uzbudljivo putovanje.
Peti uocˇeni problem odnosi se na teorijski zadatak 9. U zadatku, u prvoj recˇenici,
data je definicija fiksne tacˇke. Zahtev je bio lagan: primeniti datu definiciju na linearnu
156
funkciju. Studenti su odmah videli nepoznat pojam fiksne tacˇke i dalje nisu razmisˇljali o
postavljenom problemu. Zbog toga je obradena tema Fiksne tacˇke sa dve primene.
Smatram da se ovom temom penjemo na visˇe nivoe apstrakcije. Da bi to uspeli, pe-
njemo se po uputstvima Poenkarea.2 Na prvom nivou, koji predstavlja pripremu, definisˇe
se metricˇki prostor, zatim sledi sazrevanje – faza u kojoj se resˇava problem, povezuju se
osobine konvergencije, kompletnosti, vektorski prostori i stizˇe se do Banahovih prostora.
Onda nastupa prosvetljenje – kreativni proboj. Na scenu stupa Stefan Banah sa cˇuvenom
teoremom o fiksnoj tacˇki. U cˇetvrtoj fazi je potvrda ili prikazivanje primene fiksne tacˇke
na resˇavanju integralnih jednacˇina, sistema jednacˇina, numericˇke matematike... O presve-
tli tetrakisu. Krenimo.
2 Anri Poenkare (Jules Henri Poincare´), 1854–1912. Predavao je na Sorboni. Bavio se topologijom,
elipticˇkim funkcijama, diferencijalnim jednacˇinama, stepenim redovima, termodinamikom i mehanikom.
Bio je cˇlan Pariske akademije nauka i visˇe drugih akademija. Anri Poenkare bio je ne samo jedan od
najtelentovanijih matematicˇara svih vremena nego je posedovao i izuzetan dar za pisanje. Kazˇu da ga u
lepoti pisanja matematike josˇ niko nije nadmasˇio. Imao je narocˇitu sposobnost da na jednostavan nacˇin
predstavi matematiku drugima.
Videti u: Petkovic´ M, Petkovic´ Lj, 2006, Matemati cˇki vremeplov: prilozi za istoriju matematike, Zmaj,
Novi Sad, str. 67–68.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 157
4.1. LAGRAN ˇZOVA TEOREMA, KONVEKSNOST I POSLEDICE
Za ove opsˇte teoreme diferencijalnog racˇuna vazˇnu ulogu imaju zatvoreni i otvoreni
intervali: Zatvoreni interval [a,b] je skup vrednosti x za koje vazˇi a  x  b. Otvoreni
interval (a,b) definisan je nejednakostima a < x < b.
Razmatrac´emo funkcije f (x) neprekidne u zatvorenom intervalu [a,b] i diferencija-
bilne u otvorenom intervalu (a,b) (postoji izvod funkcije f ′(x) za a < x < b).
Teorema A. Ako je f ′(x0)> 0 onda je f (x)< f (x0) za sve vrednosti x < x0 dovoljno
blizu x0 i f (x)> f (x0) za sve vrednosti x > x0 dovoljno blizu x0.
Slika 2 – Rastuc´a funkcija
DOKAZ . Kolicˇnik
f (x0 +h)− f (x0)
h → f
′(x0), h → 0.
Na osnovu pretpostavke f ′(x0) > 0 sledi da su f (x0 + h)− f (x0) i h istog znaka.
Odavde, za h < 0,
f (x0 +h)− f (x0)< 0, f (x0 +h)< f (x0).
Dobija se
f (x)< f (x0), x0 −δ < x < x0, za neko δ > 0.
Za x uzima se x = x0 +h, h < 0 i h → 0.
Slicˇno se dobija i za h > 0.
Slicˇno ovoj, mozˇe se formulisati i teorema za slucˇaj f ′(x)< 0.
Tvrdenje teoreme A. mozˇe se iskazati i na sledec´i nacˇin: Ako je f ′(x) > 0 u okolini
tacˇke x0 onda f (x) strogo raste na intervalu (x0−δ , x0 +δ ) za neko δ > 0.
Rolova teorema. Ako je f (x) neprekidna na zatvorenom intervalu [a,b]; diferen-
cijabilna u otvorenom intervalu (a,b) i na krajevima intervala a i b njene vrednosti su
jednake, tj. f (a) = f (b), tada u otvorenom intervalu postoji tacˇka ξ , ξ ∈ (a,b) u kojoj
f ′(ξ ) = 0.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 158
DOKAZ . Pretpostavic´emo, bez umanjenja opsˇtosti, da je
f (a) = f (b) = 0.
Jer, ako je f (a) = f (b) = k, k = 0, mozˇe da se razmatra funkcija
ϕ(x) = f (x)− k.
Postoje dve moguc´nosti. Ako je f (x) = 0 na intervalu (a,b) onda je f ′(x) = 0 za
a < x < b i tvrdenje je ocˇigledno.
Slika 3 – Rolova teorema
Ako f (x) nije svuda jednaka nuli onda postoje vrednosti gde je pozitivna ili nega-
tivna. Pretpostavimo da postoje vrednosti gde je f (x) pozitivna, x ∈ (a,b). Tada postoji
najvec´a vrednost funkcije f (x) na (a,b) i oznacˇic´emo je sa
M = max
(a,b)
f (x).
Neka je ta maksimalna vrednost u tacˇki ξ ∈ (a,b).
Ako bi f ′(ξ ) bilo pozitivno ili negativno, po Teoremi A, onda bi u okolini tacˇke ξ
postojala vrednost x za koje bi bilo
f (x)> f (ξ ) = M,
sˇto je suprotno odredenju broja M. Sledi, mora biti
f ′(ξ ) = 0.
NAPOMENA. Rolova teorema otvara jedno od osnovnih pitanja matematike o razlici izmedu
egzistencije nekog objekta i njegovog efektivnog odredivanja. Na primer, funkcija y = x(ex − 2)
ispunjava uslove Rolove teoreme i to f (0) = f (ln 2) = 0. Ali ako hoc´emo da odredimo tacˇku
ξ ∈ (0, ln 2) potrazˇimo izvod y′ = (x+1)ex −2 onda za resˇavanje jednacˇine (x+1)ex = 2 moramo
da koristimo numericˇku matematiku. Dodatna napomen je da mozˇe postojati i visˇe vrednosti ξ sˇto
dalje sˇiri problematiku na temeljna pitanja egzistencije i broja resˇenja problema.
Lagranzˇova teorema. Ako je f (x) neprekidna na zatvorenom intervalu [a,b] i dife-
rencijabilna u otvorenom intervalu (a,b), onda postoji ξ ∈ (a,b) za koje vazˇi
f (b)− f (a) = (b−a) · f ′(ξ ).
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 159
DOKAZ . Lagranzˇova teorema o srednjoj vrednosti smatra se jednom od najvazˇnijih
teorema diferencijabilnog racˇuna. Geometrijski, grafik funkcije f (x), x ∈ [a,b] ima secˇicu
AB, kao na slici 4. Teorema tvrdi da postoji tacˇka T u kojoj je tangenta na krivu paralelna
secˇici. Odnosno f ′(x) je tangens ugla, koji sa x-osom obrazuje tangenta, a
f (b)− f (a)
b−a
je tangens ugla koji sa x-osom obrazuje secˇica AB. Pojedini autori smatraju da je ovo
jedna od najlepsˇih teorema.
Slika 4 – Lagranzˇova teorema
Ideja dokaza jeste da obrazujemo pomoc´nu funkciju F(x) na koju c´e se primeniti
Rolova teorema. Dovoljno je tacˇku B spustiti na pravu y = f (a), a da tacˇku A ne pome-
ramo.
Posmatrajmo pomoc´nu funkciju
F(x) = f (x)− k(x−a).
Potrazˇimo k tako da vazˇi F(a) = F(b). Primetimo da je
F(a) = f (a) i F(b) = f (b)− k(b−a).
Odavde, prema ideji da vazˇi
F(a) = F(b), odnosno
f (a) = f (b)− k(b−a),
dobija se da je k,
k = f (b)− f (a)b−a .
Na ovaj nacˇin, na pomoc´nu funkciju
F(x) = f (x)− f (b)− f (a)b−a (x−a)
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 160
primenjuje se Rolova teorema i vazˇi da postoji tacˇka ξ za koju je F ′(ξ ) = 0, tj.
F ′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a)b−a
F ′(ξ ) = f ′(ξ )− f (b)− f (a)b−a = 0,
odnosno
f (b)− f (a) = (b−a) f ′(ξ ).
Navedena formula naziva se i Lagranzˇova formula konacˇnih prirasˇtaja.3
Slika 5 – ˇZozef Lagranzˇ
Ako se uvede smena θ = ξ −ab−a , a< ξ < b, tada je 0< θ < 1 i vazˇi ξ = a+θ(b−a).
Lagranzˇova formula mozˇe se zapisati u obliku
f (b)− f (a) = f ′(a+θ(b−a))(b−a), 0 θ < 1.
Ako se oznacˇi da je b−a =x i a = x, sledi da je b = x+x, a formula postaje
f (x+x)− f (x) = f (x+θx) ·x.
3 Generalizacija Lagranzˇove teoreme sa primenama mozˇe se nac´i u radu: M. Mateljevic, M. Svetlik, M.
Albijanic, N. Savic: Generalizations of the Lagrange mean value theorem and applications, Filomat 2013,
Filomat 27:4 (2013), 515–528 DOI 10.2298/FIL1304515M, http://www.pmf.ni.ac.rs/pmf/publikacije/
filomat/2013/27-4/F27-4-1.pdf
Smatra se da Lagranzˇovu teoremu krasi lepota.
Mozˇe se primetiti sledec´e:
a) Moguc´e je da nekom matematicˇaru ova teorema nije narocˇito lepa.
b) O lepoti neke teoreme mozˇe suditi samo onaj matematicˇar cˇije je znanje i razumevanje visoko iznad
iskaza teoreme, jer lepota se uzdizˇe i otkriva iznad znanja i razumevanja, ona je kategorija iznad znanja i
razumevanja.
ˇZozef Lagranzˇ (Joseph Louis Lagrange), 1736–1813. Opsˇte je misˇljenje da su Lagranzˇ i Ojler bili najvec´i
matematicˇari XVIII veka. Laganzˇ je razvio varijacioni racˇun i radio je na diferencijalnim jednacˇinama,
numericˇkim jednacˇinama, teoriji elipticˇkih funkcija, analiticˇkoj mehanici i dr. Bio je cˇlan Berlinske i Pariske
akademije nauka. Bez obzira na veliko delo i slavu bio je skroman, blagorodan i prijatan cˇovek.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 161
Jednakost ostaje i za b < a, sˇto znacˇi da vazˇi i za x < 0.
PRIMER 1. Dokazati da vazˇi:
a) sinx < x, x > 0,
b) cos x > 1− x
2
2
, x > 0,
c) sinx > x− x
3
6 , x > 0,
d) cos x < 1− x
2
2!
+
x4
4!
, x > 0.
DOKAZ. (a) Na osnovu Lagranzˇove teoreme vazˇi:
sinx− sin0
x−0 = cosξ < 1, 0 < ξ < x
pa je sinx
x
< 1, odnosno sin x < x, x > 0.
Slicˇno se dobija i sinx > x, x < 0.
(b) Neka je
f (x) = cosx−1+ x
2
2
f (x)− f (0)
x−0 = f
′(ξ ) =−sinξ +ξ > 0, ξ ∈ (0,x) (prema (a)).
cosx−1+ x
2
2
> 0, pa je
cosx > 1− x
2
2
, x > 0
Za x < 0,
cosx−1+ x
2
2
x
=−sinξ +ξ < 0 (prema (a))
pa se dobija cosx−1+ x
2
2
> 0, jer je x < 0, odnosno cosx > 1− x
2
2
.
Mozˇe se napisati
cosx > 1− x
2
2
, x = 0.
(c) i (d) se dokazuje slicˇno, a primenom Lagranzˇove teoreme dolazimo do prvih cˇlanova
razvoja funkcije log(1+ x), ex, arc tgx itd.
PRIMER 2. Ako je f : (0,+∞)→ R diferencijabilna i f ′(x)→ 0 (x →+∞) onda i
f (x)
x
→ 0 kad x →+∞.
RESˇENJE. Neka je xn ↑ +∞, odnosno 0 < x1 < x2 < · · · < xn →+∞. Na osnovu ˇStolcove i
Lagranzˇove teoreme je
lim
n→+∞
f (xn)
xn
= lim
n→+∞
f (xn+1)− f (xn)
xn−1 − xn = limn→+∞ f
′(ξn)= 0, (ξn ∈ (xn,xn+1), ξn →+∞).
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 162
Sledi
f (x)
x
→ 0 (x →+∞).
PRIMER 3. Ako f : I →R ima ogranicˇen izvod na intervalu I, onda je f ravnomerno nepre-
kidna na I.
DOKAZ. Pretpostavimo da je
| f ′(x)|  k, ∀x ∈ I.
Tada je ∣∣∣∣ f (x)− f (y)x− y
∣∣∣∣= | f ′(ξ )| k, ∀x,y ∈ I, pa je
| f (x)− f (y)|  k|x− y|, ∀x,y ∈ I.
Za dato ε > 0, mozˇe se izabrati δ = εk , pa
|x− y|< δ ⇒ | f (x)− f (y)| < ε (za x,y ∈ I).
Kosˇijeva teorema. Ako su f ,g : [a,b]→ R neprekidne, diferencijabilne na (a,b) i g
strogo monotona onda je
f (b)− f (a)
g(b)−g(a) =
f ′(ξ )
g′(ξ )
za neko ξ ∈ (a,b).
DOKAZ . Neka je, na primer, g(a)< g(b).
Svakom x ∈ (g(a),g(b)) odgovara neko t ∈ (a,b), tako da g(t) = x. Na osnovu La-
granzˇove teoreme
f (b)− f (a)
g(b)−g(a) =
f (g−1(g(b)))− f (g−1(g(a)))
g(b)−g(a) =
d f (g−1(x)
dx
za neko x ∈ (g(a),g(b)). Dalje je
d f (g−1(x)
dx =
d f (g−1(g(t)))
dx =
d f (t)
dx =
d f (t)
dg(t) =
f ′(t)
g′(t)
,
za neko t ∈ (a,b).4
Teorema o znaku izvoda i monotonosti. Da bi diferencijabilna funkcija f na odre-
denom intervalu bila rastuc´a (opadajuc´a), potrebno je i dovoljno da je njen izvod u svim
tacˇkama intervala vec´i ili jednak nuli, f ′(x) 0 (manji ili jednak nuli, f ′(x) 0).
Ako je izvod funkcije f u svim tacˇkama intervala pozitivan (negativan), onda funk-
cija f strogo raste (strogo opada).
4 Vukmirovic´ J., Matematicˇka analiza 1, zbirka zadataka, Zavod za udzˇbenike, Beograd, 2009, str. 105.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 163
DOKAZ . Razmatrajmo slucˇaj kada je na intervalu (a,b) izvod funkcije f ′(x) 0 za
sve (a,b). Tada funkcija raste. Neka su x1 ∈ (a,b) i x2 ∈ (a,b), pri cˇemu je x1 < x2. Tada
po Langanzˇeovoj teoremi sledi
f (x2)− f (x1) = f ′(ξ )(x2− x1) (x1 < ξ < x2),
odakle vazˇi i f (x2)− f (x1) 0, odnosno f (x1) f (x2), sˇto znacˇi da je funkcija rastuc´a.
Obrnuto, pretpostavimo da funkcija f raste na intervalu (a,b) i da u tacˇki x0 ∈ (a,b)
ima izvod. Ako je Δx > 0, tada vazˇi f (x0 +Δx) f (x0), odakle sledi
f (x0 +Δx)− f (x0)
Δx  0,
prelaskom na granicˇnu vrednost kada Δx → 0 dobija se f ′(x0) 0.
Teorema se analogno dokazuje i za opadajuc´e funkcije.
Neka je data funkcija f na nekom skupu X ⊂ R i x0 ∈ X. Tacˇka x0 naziva se tacˇka
lokalnog maksimuma (minimuma) funkcije f , ako postoji takva okolina U(x0) tacˇke x0, u
kojoj za sve x ∈ X ∩U(x0) vazˇi nejednakost
f (x) f (x0)
( f (x)  f (x0)).
Ako za sve x ∈ X ∩U(x0) i x = x0 vazˇi
f (x)< f (x0)
( f (x)> f (x0))
tacˇka x0 naziva se tacˇka strogog lokalnog maksimuma (minimuma).
U daljem tekstu je uobicˇajeno da se kazˇe samo kratko maksimum i minimum. Te
tacˇke nazivaju se tacˇke ekstremuma.
Fermaova teorema (potreban uslov za ekstremum). Ako funkcija f u tacˇki ekstre-
muma ima izvod, taj izvod je jednak nuli.
DOKAZ . Ako f ima u c lokalni maksimum, znacˇi da f (x) f (c) za x ∈Uδ .
Kako je f ′(c) = lim
x→c
f (x)− f (c)
x− c i,
x < c ⇒ f ′(c)> 0, x > c ⇒ f ′(c)< 0,
pa mora biti f ′(c) = 0.
Analogno se dobija i ako f u c ima lokalni minimum.
Ako je funkcija f definisana u nekoj okolini tacˇke x0, i u toj tacˇki postoji izvod koji
je jednak nuli, ta tacˇka naziva se stacionarna tacˇka (ili kriticˇna tacˇka).
Mozˇe se jednostavno rec´i da su stacionarne tacˇke ili tacˇke u kojima je f ′(x) = 0
samo kandidati za ekstremum.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 164
Dovoljan uslov za egzistenciju ekstremuma. Neka je funkcija f diferencijabilna u
nekoj okolini U(x0) tacˇke x0, ukljucˇujuc´i eventualno i samu tacˇku x0, i neka je funkcija f
u tacˇki x0 neprekidna.
Ako je u levoj okolini tacˇke x0, odnosno za x< x0, izvod funkcije pozitivan, a u desnoj
okolini, odnosno za x0 < x, izvod funkcije negativan, tada funkcija f u tacˇki x0 ima lokalni
maksimum. Slicˇno, ako je u okolini tacˇke x0 za x < x0, f ′(x) < 0 i za x > x0, f ′(x) > 0,
funkcija ima lokalni minimum. Ako izvod f ′(x) ima isti znak i u levoj i u desnoj okolini
tacˇke x0, onda f u toj tacˇki nema lokalni ekstremum.
DOKAZ . Neka je f ′(x) > 0 za x < x0 i f ′(x) < 0 za x > x0. Na osnovu Teoreme o
znaku i monotonosti sledi da je funkcija u levoj okolini tacˇke x0 monotono rastuc´a i vazˇi
f (x)< f (x0), a u desnoj monotono opadajuc´a pa je f (x)< f (x0). Odavde sledi da je tacˇka
x0 tacˇka maksimuma funkcije f u okolini tacˇke x0.
Znak drugog izvoda i max/min. Neka funkcija f u tacˇki x0 ima prvi izvod jednak
nuli i definisan drugi izvod. Ako je f ′′(x0) < 0, onda funkcija f u tacˇki x0 ima lokalni
maksimum, a ako je f ′′(x0)> 0, onda funkcija f u tacˇki x0 ima lokalni minimum.
DOKAZ . Po definiciji drugog izvoda je
f ′′(x0) = lim
x→x0
f ′(x)− f ′(x0)
x− x0 .
Na osnovu pretpostavke je f ′(x0) = 0, pa sledi
f ′′(x0) = lim
x→x0
f ′(x)
x− x0 .
Neka je recimo, f ′′(x0)< 0, izraz f
′(x)
x− x0 je negativan u nekoj okolini tacˇke x0.
Za x < x0 sledi da je f ′(x)> 0, a za x > x0 sledi da je f ′(x)< 0. Znacˇi da u tacˇki x0
funkcija f ima lokalni maksimum.
Definicija konveksne funkcije. Funkcija f : (a,b) → R, definisana na (a,b) ∈ R,
je konveksna5 ako za sve x1,x2 ∈ (a,b) i realan broj λ ∈ (0,1) vazˇi nejednakost
f (λx1 +(1−λ )x2) λ f (x1)+(1−λ ) f (x2).
Ako za funkciju f : (a,b)→ R vazˇi obrnuta nejednakost
f (λx1 +(1−λ )x2) λ f (x1)+(1−λ ) f (x2).
tada je funkcija konkavna.
Ako se umesto napisˇe <, kazˇe se da je funkcija strogo konveksna ( ili umesto se
napisˇe >, funkcija je strogo konkavna).
5 Osnovno znacˇenje konveksno-ispupcˇeno povezano je sa konveksnim socˇivima i ogledalima. Intuitivna
ideja je da konveksna funkcija okrec´e svoju ispupcˇenu stranu u negativnom smeru y ose.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 165
Svaka tacˇka x koja se nalazi izmedu x1 i x2, odnosno ako je x1 < x < x2, mozˇe se
napisati u obliku
x = λx1 +(1−λ )x2 (0 < λ < 1).
Slika 6 – Konveksnost
Vrednost izraza λ f (x1)+(1−λ ) f (x2) se dobija kao ordinata funkcije (x), koja je
jednacˇina prave kroz dve tacˇke (x1, f (x1)) i (x2, f (x2)).
Iz jednakosti x = λx1 +(1−λ )x2 izlazi
λ = x2 − x
x2− x1 1−λ =
x− x1
x2 − x1 .
Na osnovu toga nejednakost iz definicije konveksnosti postaje
f (x) x2− x
x2 − x1 f (x1)+
x− x1
x2− x1 f (x2).
Posˇto je x1 < x < x2, posle mnozˇenja poslednje nejednakosti sa x2− x1, dobija se
(x2− x1) f (x) (x2− x) f (x1)+(x− x1) f (x2), odnosno
(x2− x) f (x1)+(x1− x2) f (x)+(x− x1) f (x2) 0.
Uvodenjem pogodne smene, x2− x1 = (x2 − x)+(x− x1) gornja nejednakost, posle
elementarnih transformacija, postaje
f (x)− f (x1)
x− x1 
f (x2)− f (x)
x2− x
(
x1 < x < x2, x1,x2 ∈ (a,b)
)
.
Izvedena nejednakost je druga forma definicije konveksnosti na intervalu (a,b).
Geometrijski, to znacˇi da je koeficijent pravca tetive koja spaja tacˇke (x1, f (x1)) i (x, f (x))
manji ili jednak od koeficijenta pravca tetive koja spaja tacˇke (x, f (x)) i (x2, f (x2)).
Ako pretpostavimo da je funkcija f : (a,b)→R diferencijabilna na (a,b) i ,,prolaskom“
granicˇne vrednosti kroz poslednju nejednakost kad x → x1, a zatim kad x → x2, dobija se
lim
x→x1
f (x)− f (x1)
x− x1  limx→x1
f (x2)− f (x)
x2− x ⇒ f
′(x1)
f (x2)− f (x1)
x2− x1 .
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 166
Slicˇno, za x → x2 dobija se
f (x2)− f (x1)
x2− x1  f
′(x2).
Objedinjavanjem dobijenih nejednakosti vazˇi
f ′(x1) f (x2)− f (x1)
x2 − x1  f
′(x2),
cˇime je dokazana monotonost funkcije f ′.
Sa druge strane, za strogo konveksne funkcije, primenom Lagranzˇove teoreme do-
bija se
f ′(x1) f ′(η) = f (x)− f (x1)
x− x1 <
f (x2)− f (x)
x2− x = f
′(ξ ) f ′(x2)
za x1 <η < x< ξ < x2, odnosno stroga konveksnost povlacˇi strogu monotonost (rasˇc´enje)
prvog izvoda.
Mozˇe se zakljucˇiti: Ako je diferencijabilna funkcija f konveksna na intervalu (a,b),
tada f ′ raste na (a,b), a u slucˇaju stroge konveksnosti funkcije f njen izvod f ′ strogo
raste na (a,b).
S druge strane, za a < x1 < x < x2 po Lagranzˇovoj teoremi vazˇi
f (x)− f (x1)
x− x1 = f
′(η) i f (x2)− f (x)
x2 − x = f
′(ξ ),
gde x1 < η < x < ξ < x2 i ako vazˇi f ′(η) f ′(ξ ), tada je ispunjena nejednakost iz druge
definicije konveksnosti (ili stroge konveksnosti ako je f ′(η)< f ′(ξ ))
Na ovaj nacˇin je dokazana sledec´a teorema:
Konveksnost i rast prvog izvoda. Da bi diferencijabilna funkcija f na intervalu
(a,b) bila konveksna na (a,b), potrebno je i dovoljno da njen izvod f ′ raste na (a,b).
(Pri tome, strogoj konveksnosti odgovara strogo rastuc´a funkcija f ′).
Konveksnost i znak drugog izvoda. Funkcija f : (a,b)→R koja na intervalu (a,b)
ima drugi izvod konveksna je ako i samo ako na (a,b) vazˇi f ′′(x)  0 (Ako je f ′′(x) > 0
na (a,b) to odgovara formulaciji strogo konveksne funkcije).
Analogno, f je konkavna ako je i samo ako f ′′(x) 0.
NAPOMENA. Dokaz je direktan na osnovu
f ′′(x) = ( f ′(x))′
pa se primenjuje prethodna tgeorema.
Konveksnost i tangenta. Da bi neprekidna funkcija f na intervalu (a,b) bila kon-
veksna potrebno je i dovoljno da tacˇke njenog grafika nisu ispod tacˇaka tangente konstru-
isane u proizvoljnoj tacˇki tog grafika. Funkcija f je strogo konveksna ako su tacˇke njenog
grafika iznad tangente.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 167
Analogno, f je konkavna akko tacˇke njenog grafika nisu iznad tacˇaka tangente.
Slika 7 – Konveksna funkcija
DOKAZ . (neophodnost). Neka je x0 ∈ (a,b). Jednacˇina tangente na grafik funkcije
f u tacˇki (x0, f (x0)) glasi:
y = L(x) = f (x0)+ f ′(x0)(x− x0).
Zbog toga je na osnovu Lagranzˇove teoreme
f (x)−L(x) = f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x− x0)
=
( f ′(ξ )− f ′(x0))(x− x0), ξ ∈ (x0,x).
Posˇto je funkcija f konveksna, onda f ′ ne opada na (a,b) i razlika f ′(ξ )− f ′(x0) je
istog znaka kao i znak x−x0. Zbog toga je f (x)−L(x)  0, za x ∈ (a,b). Ako je funkcija
f strogo konveksna, tada je f (x)−L(x) > 0 za x ∈ (a,b) i x = x0.
(Dovoljnost) Ako za sve x,x0 ∈ (a,b) vazˇi
f (x)−L(x) = f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x− x0) 0,
tada je
f (x)− f (x0)
x− x0  f
′(x0) za x < x0,
f (x)− f (x0)
x− x0  f
′(x0) za x > x0.
Na taj nacˇin za sve x1,x,x2 ∈ (a,b), takve da je x1 < x < x2 vazˇi
f (x)− f (x1)
x− x1 
f (x2)− f (x)
x2− x ,
sˇto je druga definicija konveksnosti.
Problem (N. Bourbaki). Neka je f diferencijabilna i konveksna na (a,b), a 0.
(1) Pokazati da f (x)− x f ′(x) opada (strogo) na (a,b).
(2) Ako f ima konacˇnu granicˇnu vrednost s desna, onda je
lim
x→a+0
(x−a) f ′(x) = 0.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 168
(3) Funkcija f (x)
x
na (a,b) ili raste ili opada ili postoji c ∈ (a,b) tako da f (x)
x
opada na (a,c) i raste na (c,b).
(4) Pretpostavimo da b →+∞. Ako je
β = lim
x→+∞
( f (x)− x f ′(x)) konacˇan,
onda je konacˇan i limes α = lim
x→+∞
f (x)
x
. Prava y = αx+β je asimptota funkcije f i lezˇi
ispod tog grafika.
DOKAZ . (1) Ako f ima drugi izvod lako se dokazuje da h(x) = f (x)− x f ′(x)
opada, jer je
h′(x) = f ′(x)− f ′(x)− x f ′′(x) =−x · f ′′(x)< 0.
Slika 8
Neka je x1 < x2. Treba dokazati da h(x), x ∈ (a,b) opada i bez pretpostavke o
postojanju drugog izvoda funkcije f .
h(x2)−h(x1) = f (x2)− x2 f ′(x2)− f (x1)+ x1 f ′(x1) =
= f (x2)− f (x1)−
(
x2 f ′(x2)− x1 f ′(x1)
)
=
= f (x2)− f (x1)− x2 f ′(x2)+ x1 f ′(x2)− x1 f ′(x2)+ x1 f ′(x1)
= f (x2)− f (x1)− f ′(x2)(x2− x1)− x1
( f ′(x2)− f ′(x1))
= f ′(ξ )(x2− x1)− f ′(x2)(x2− x1)− x1( f ′(x2)− f ′(x1)) (Lagranzˇova teorema)
= (x2− x1)
( f ′(ξ )− f ′(x2))− x1( f ′(x2)− f ′(x1))< 0,
jer, na osnovu teoreme konveksnost i rast prvog izvoda, vazˇi
f ′(ξ )− f ′(x2)< 0, ξ < x2
f ′(x2)− f ′(x1)> 0, x1 < x2
(2) Dodefinisˇimo funkciju f , f (a) = f (a+0) = c . Sledi
(x−a) f ′(x) = f
′(x)
f (x)− f (a)
x−a
· ( f (x)− f (a)) = f
′(x)
f ′(ξ ) ·
( f (x)− f (a)
)
.
I slucˇaj. Ako je za neko dovoljno malo x−a, f ′(x)< 0, onda je f ′(ξ )< f ′(x) < 0
i time ∣∣∣∣ f
′(x)
f ′(ξ )
∣∣∣∣ 1,
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 169
dok f (x)− f (a)→ c− c = 0 kada x → a+0. Znacˇi, (x−a) f ′(x)→ 0.
II slucˇaj. f ′(x) > 0, za svako x ∈ (a.b). Onda je f rastuc´a na (a,b). Neka je c ∈
(a,b). Za x < c je 0 f ′(x) f ′(c). Posˇto x → a mozˇe se (ne umanjujuc´i opsˇtost dokaza
pretpostaviti da je x < c. Znacˇi
|(x−a) f ′(x)| |x−a| f ′(x)→ 0.
(3) Oznacˇimo h(x) = f (x)
x
. Sledi
h′(x) = x f
′(x)− f (x)
x2
=− f (x)− x f
′(x)
x2
=−g(x)
x2
.
U (1) je dokazano da je g(x) rastuc´a funkcija na (a,b). Postoje tri slucˇaja za g(x):
U prvom slucˇaju je g(x)< 0 ∀x ∈ (a,b), pa je h′(x)> 0, tj. h(x) je rastuc´a, . . .
(4) f ′(x) je monotono neopadajuc´a zbog konveksnosti f (za x > a). Razlikujemo
dva slucˇaja: (a) f ′(x) je neogranicˇena na (a,+∞); (b) f ′(x) je ogranicˇena na (a,+∞).
Prvi slucˇaj (a).
Kada x →+∞, onda ϕ(x)→−∞ (videti sliku 9).
Slika 9 Slika 10
Pretpostavljajuc´i suprotno, da je za svako x > c tacˇka N uvek iznad neke tacˇke S (na
y osi). tj. da je ϕ ogranicˇeno dolazimo do toga da je f ispod prave q koja spaja tacˇke M i
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 170
c, q(x) = γx+δ za neke γ , δ
f (x) γx+δ (x c)
f (x)− γx−δ  0 (x c),
a izvod ( f (x)− γx−δ)′ = f ′(x)− γ →+∞
(dovoljno je samo  1) da se dobije:
f ′(x) = f (x)+ψ
x
,
f (x)− x f ′(x) = f (x)− x
( f (x)+ψ
x
)
=−ψ →−∞
pa postoji β u slucˇaju (a) (ψ < ϕ).
(b) Jednacˇina tangente u tacˇki L je
y = f ′(x)(t− x), t > a
gde je t nezavisno promenljiva za t = 0 vrednost je ψ ,
ψ = x f ′(x)− f (x)
−ψ = f (x)− x f ′(x)
(odsecˇak na y osi je −ψ ako je E ispod x ose). U slucˇaju (b) −ψ → β kad x →+∞ tj.
β = lim
x→+∞( f (x)− x f
′(x)) a − ψ
x
=
f (x)
x
− f ′(x)
i prelaskom na limes dobija se
0 = lim
x→+∞
f (x)
x
− lim
x→+∞ f
′(x), pa je
lim
x→+∞
f (x)
x
= lim
x→+∞ f
′(x) = α.
Prava y = αx+ β je asimptota funkcije f . Asimptota je ispod funkcije f jer je f
konveksna.
Teorema B. Neka je f (x) neprekidna funkcija na zatvorenom intervalu [a,b] i dife-
rencijabilna na otvorenom intervalu (a,b).
Funkcija je strogo konveksna ili strogo konkavna na [a,b] ako i samo ako za svako
α , β (a α < β  b) postoji tacˇno jedno ξ ∈ (α,β ) (koje zavisi od α i β ) takvo da je
f (β )− f (α)
β −α = f
′(ξ ).
DOKAZ . (⇒) Neka za α , β (a  α < β  b) postoji tacˇno jedno ξ ∈ (α,β ) (koje
zavisi od α i β ) takvo da je
f (β )− f (α)
β −α = f
′(ξ ).
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 171
Slika 11 – Secˇica preseca krivu
Neka je g prava linija koja sadrzˇi tacˇke A(a, f (a)) i B(b, f (b)).
Ako je f (c) = g(c) za neko c ∈ (a,b) onda je
f (c)− f (a)
c−a = f
′(ξ1) = f (b)− f (a)b−a i
f (b)− f (c)
b− c = f
′(ξ2) = f (b)− f (a)b−a .
Sledi, za α = a, β = b postoje dve tacˇke ξ1 i ξ2 sa navedenim svojstvima, pa f ne
ispunjava navedeni uslov. Znacˇi,
(i) f (x)< g(x), ∀x ∈ (a,b) ili
(ii) f (x) > g(x), ∀x ∈ (a,b).
Slika 12 – Grafik funkcije ispod secˇice
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 172
Pretpostavimo da vazˇi uslov (i), odnosno
f (x)< g(x), ∀x ∈ (a,b).
Dokazujemo da je f konveksna.
Pretpostavimo suprotno, da f nije konveksna. Onda postoje α,β ∈ [a,b], α < β
takvi da je
f (λ )> h(λ ) za neko λ ∈ (α,β ),
gde je h linearna funkcija cˇiji grafik sadrzˇi tacˇke (α, f (α)) i (β , f (β )).
Za pravu h vazˇi da je h(a) < f (a) ili h(b) < f (b), jer bi u suprotnom bilo f (λ ) >
g(λ ) sˇto je suprotno pretpostavci. (Naime, ukoliko je h(a) f (a) = g(a) i h(b) f (b) =
g(b), pa vazˇi i h(x) g(x), a x b. Odatle je na osnovu f (λ )> h(λ ) f (λ )> g(λ ).)
Neka je h(a)< f (a), kao na slici 12. Znacˇi,
δ1 ≡ f (λ )−h(λ )> 0
δ2 ≡ f (a)−h(a)> 0.
Neka je 0 < δ < min{δ1,δ2}.
Postavim pravu ψ paralelnu pravoj h takvu da je
ψ(λ ) = h(λ )+δ .
Prava ψ secˇe f u makar jednoj tacˇki (u, f (u)) gde je α < u < λ jer je ψ(α)> f (α),
ψ(λ ) < f (λ ). Takode prava ψ secˇe f u nekoj tacˇki (v, f (v)) gde je λ < v < β i u nekoj
tacˇki (w, f (w)) gde je a < w < α .
Slika 13
Sledi da postoje dve tacˇke ξ1 ∈ (w,u) i ξ2 ∈ (u,v) takve da je
f ′(ξ1) = f (u)− f (w)
u−w =
f (v)− f (w)
v−w i
f ′(ξ2) = f (v)− f (u)
v−u =
f (v)− f (w)
v−w.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 173
Znacˇi, na intervalu [w,v] postoje dve tacˇke za koje vazˇi
f ′(ξi) = f (v)− f (w)
v−w , i = 1,2;
sˇto je kontradikcija sa pocˇetnom pretpostavkom da postoji samo jedno takvo ξ .
Zakljucˇak. Funkcija f je konveksna.
NAPOMENA. Funkcija f je strogo konveksna jer za konveksnu funkciju koja nije
strogo konveksna postoje tri tacˇke (α, f (α)), (β , f (β )), (γ, f (γ)) koje lezˇe na istoj pravoj
pa pocˇetna pretpostavka o jedinstvenoj tacˇki ξ ne bi bila ispunjena. Iz datog uslova sledi
da je f strogo konveksna.
Slika 14 – Primer grafika konveksne funkcije
(⇐) Dokazˇimo obrnuto. Ako je f strogo konveksna (ili strogo konkavna) onda za
svako α , β (a α < β  b) postoji tacˇno jedno ξ (koje zavise od α i β ) takvo da je
f (β )− f (α)
β −α = f
′(ξ ).
Pretpostavimo da je f strogo konveksna i da postoje dve tacˇke ξ1, ξ2, α < ξ1 < ξ2 < β ,
za koje vazˇi
f (β )− f (α)
β −α = f
′(ξ1) = f ′(ξ2).
Sledi
f ′(ξ1) f ′(ξ ) f ′(ξ2)
za svako ξ ∈ (ξ1,ξ2) pa je f ′(x) = const. za sve x ∈ [ξ1,ξ2], jer je f ′(ξ1) = f ′(ξ2).
Funkcija f je prava linija na intervalu (ξ1,ξ2). Znacˇi, f nije strogo konveksna, sˇto je
kontradikcija.
Definicija prevojne tacˇke Neka je f : [a,b] → R neprekidna funkcija. Tacˇka c ∈
(a,b) u kojoj funkcija f menja konveksnost naziva se prevojna tacˇka.
Teorema C. Neka je c ∈ (a,b) prevojna tacˇka funkcije f : [a,b]→ R koja je nepre-
kidna na [a,b] i diferencijabilna na (a,b).
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 174
Slika 15 – Strogo konveksna funkcija
Tada za neko α , β (a < α < β < b) postoje bar dve tacˇke ξ ,η ∈ (α,β ) (ξ = η)
takve da vazˇi
f (β )− f (α)
β −α = f
′(ξ ) = f ′(η).
DOKAZ . Neka je prava g(x) (x ∈ (a,b)) tangenta funkcije f utacˇki c. Tada postoji
δ > 0 takvo da je
f (x)−g(x)> 0 (x ∈ (c−δ ,c))
f (x)−g(x)< 0 (x ∈ (c,c+δ ))(1)
ili
f (x)−g(x)< 0 (x ∈ (c−δ ,c))
f (x)−g(x)> 0 (x ∈ (c,c+δ ))(2)
gde je δ birano tako da je (c−δ ,c+δ ) ⊆ (a,b).
Pretpostavimo da vazˇi (1) (vidi sliku 16).
Slika 16 – Prevojna tacˇka
Neka su tacˇke u i v izabrane tako da vazˇi
c−δ < u < c < v < c+δ .
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 175
Neka je h prava koja sadrzˇi tacˇke M(u, f (u)) i K(c, f (c)).
(i) Ako je tacˇka L(v, f (v)) ispod prave h, tj. f (v)< h(v) onda postoji w ∈ (c,v) tako
da je f (w) = h(w). (Ovaj slucˇaj je prikazan na slici 16).
(ii) Ukoliko je f (v)> h(v), onda treba postaviti pravu h tako da sadrzˇi tacˇke (v, f (v))
i K(c, f (c)). U tom slucˇaju je h(u)> f (u), pa je h(λ ) = f (λ ) za neko λ ∈ (u,c).
Pretpostavimo da vazˇi (i).
Obrazlozˇenje zasˇto postoji tacˇka w. Prava KL ima manji nagib nego prava koja sadrzˇi
tacˇke K i (x, f (x)) za neko x ∈ (c,v) jer je prava g(x) tangenta krive f u tacˇki c.
Ostaje da se zakljucˇi:
f (c)− f (u)
c−u =
f (w)− f (c)
w− c
pa postoje razlicˇite tacˇke ξ i η gde ξ ∈ (u,c), η ∈ (c,w) za koje vazˇi
f (c)− f (u)
c−u = f
′(ξ ) i f (w)− f (c)
w− c = f
′(η)
na osnovu Lagranzˇove teoreme.
Primeri primene Lagranzˇove teoreme na konvergenciju stepenih redova
PRIMER 4. Neka je f (x) =
+∞
∑
n=1
αnx
n
. Ako red
∞
∑
n=1
αnx
n konvergira na (−r,r), onda i red
∞
∑
n=1
nαnx
n−1 konvergira za x ∈ (−r,r).
RESˇENJE. Neka je 0 < x < x+h < r. Redovi
∞
∑
n=1
αnx
n i
∞
∑
n=1
αn(x+h)n
apsolutno konvegiraju.
Obrazlozˇenje: postoji x1 ∈R takvo da je x+h < x1 < r; iz konvergencije reda
∞
∑
n=1
αnx
n
1 sledi |αnxn1| K, ∀n ∈N za neko K.
Sada je
|αnxn|= |αnxn1| ·
∣∣∣∣ xx1
∣∣∣∣
n
 K ·
∣∣∣∣ xx1
∣∣∣∣
n
a red
∞
∑
n=1
∣∣∣∣ xx1
∣∣∣∣
n
konvergira na osnovu Kosˇijevog kriterijuma. Sledi da red
∞
∑
n=1
αnx
n
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 176
konvergira, a slicˇno
|αn(x+h)n| K ·
∣∣∣∣x+hx1
∣∣∣∣
n
(n ∈ N).
Prema Lagranzˇovoj teoremi je
(x+h)n − xn
h
= nξ n−1n , gde je x < ξn < x+h
pa je
f (x+h)− f (x)
h
=
∞
∑
n=1
nαnξ n−1n
apsolutno konvergentan red jer apsolutno konvergira red
∞
∑
n=1
αn
(x+h)n − xn
h
.
Iz apsolutne konvergencije reda
∞
∑
n=1
nanξ n−1n
sledi da red
∞
∑
n=1
nanx
n−1
apsolutno konvergira, jer je x < ξn i vazˇi
∞
∑
n=1
n|an| |x|n−1 
+∞
∑
n=1
n|an| |ξn|n−1 <+∞
(x je proizvoljno izabrano iz (−r,r)).
PRIMER 5. Ako red
∞
∑
n=1
αnx
n konvergira u intervalu (−r,r) onda red
∞
∑
n=1
nλ αnx
n konvergira ∀x ∈ (−r,r) i ∀λ ∈ R.
RESˇENJE. Na osnovu dokazanog u prethodnom zadatku red
∞
∑
n=1
nαnx
n−1
konvergira, a time i red
∞
∑
n=1
nαnx
n = x
∞
∑
n=1
nαnx
n−1.
Dalje iz konvergencije reda
∞
∑
n=1
nαnx
n sledi konvergencija reda
∞
∑
n=1
n(nαn)x
n−1 =
∞
∑
n=1
n2αnx
n−1
itd. Indukcijom zakljucˇujemo da
∞
∑
n=1
nkαnx
n konvergira za proizvoljno k ∈ N; konvergencija je
apsolutna. Za neko k je ispunjeno
|nλ αnxn| |nkαnxn|.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 177
PRIMER 6. f (x) =
∞
∑
n=1
αnx
n je neprekidna funkcija za ∀x ∈ (−r,r), ako je definisana na tom
intervalu.
RESˇENJE. Neka je 0  |x| < r, 0  |x|  |x1| < r, h takvo da vazˇi 0 < |x + h| < x1 < r.
Dokazˇimo da je
lim
h→0
| f (x+h)− f (x)| = 0; f (x+h)− f (x) = h
∞
∑
n=1
nαnξ n−1n ,
ξn je izmedu x i x+h. Posˇto red
∞
∑
n=1
nαnx
n−1
1
apsolutno konvergira vazˇi
∣∣ f (x+h)− f (x)∣∣  |h|
∞
∑
n=1
n|αnxn−11 |= |h| ·C,
gde je sa C oznacˇena suma poslednjeg reda. Znacˇi∣∣ f (x+h)− f (x)∣∣  |h| ·C,
pa je f neprekidna funkcija u tacˇki x.
PRIMER 7. Za svako x iz (−r,r) gde je
f (x) =
∞
∑
n=1
αnx
n
konvergentan, postoji f ′(x) i vazˇi jednakost
f ′(x) =
∞
∑
n=1
nαnx
n−1.
RESˇENJE. Neka je 0 |x| < |x1|< r,
ϕ(x) =
∞
∑
n=1
nαnx
n−1.
Ovaj red apsolutno konvergira za |x|< r. Uzimamo da je h takvo da vazˇi |x+h|< |x1|< r, bic´e
ϕ(x)− f (x+h)− f (x)
h
=
∞
∑
n=1
nαn(x
n−1 −ξ n−1n ),
gde je ξn izmedu x i x+h. Dalje je prema Lagranzˇovoj teoremi
xn−1 −ξ n−1n = (n−1)ηn−2n (x−ξn),
ηn izmedu x i ξn. Sledi∣∣∣∣ϕ(x)− f (x+h)− f (x)h
∣∣∣∣ |h|
∞
∑
n=1
n(n−1)|an||xn−21 | |h|
∞
∑
n=1
n2αn|x1|n−2 = |h| ·S1,
gde smo koristili da je |x−ξn|< |h|, pa se dobija
ϕ(x)− f (x+h)− f (x)h → 0 kad h → 0
sˇto znacˇi da postoji f ′(x) i da je jednak ϕ(x).
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 178
PRIMER 8. Ako je
f (x) =
∞
∑
n=1
αnx
n
definisano ∀x ∈ (−r,r) i ako je
φ(x) =
∞
∑
n=1
αn
n+1
xn+1
onda je φ(x) definisano ∀x ∈ (−r,r) i φ′(x) = f (x).
RESˇENJE. Na osnovu dokazanog u prethodnom zadatku φ′(x) postoji i jednako je f (x),
∀x ∈ (−r,r). (φ(x) je definisano za x ∈ (−r,r) jer
∞
∑
n=1
αnx
n apsolutno konvergira za x ∈ (−r,r) i
vazˇi ∣∣∣∣ αnn+1x
n+1
∣∣∣∣ rn+1 |αnx
n| |αnxn|, (n n0) za svako x ∈ (−r,r).
PRIMER 9. Neka je φ(x) =
∞
∑
n=1
xn
n2
. Dokazati da za 0 < x < 1 vazˇi
a) φ(x) =−
x
0
log(1− t)
t
dt,
b) φ(x)+φ(1− x) = π
2
6 − logx log(1− x).
RESˇENJE. a) − log(1− t)
t
= 1+ t
2
+
t2
3 + · · · Ovaj red uniformno konvergira na [0,x] jer∣∣∣∣ t
n
n+1
∣∣∣∣ x
n
n+1
, a red
∞
∑
n=1
xn
n+1
konvergira. Sledi
−
x
0
log(1− t)
t
dt =
∞
∑
n=1
x
0
tn
n+1
dt =
∞
∑
n=1
xn+1
(n+1)2
=
∞
∑
n=1
xn
n2
.
b) Funkcija φ(x)+φ(1− x)+ log x log(1− x) ima izvod jednak nula, konstantna je,
lim
x→+0
φ(x) = 0
(jer je log(1− t)
t
ogranicˇeno),
lim
x→+0
φ(1− x) =
∞
∑
n=1
1
n2
zbog uniformne konvergencije reda
∞
∑
n=1
xn
n2
na [0,1].
Vrednost funkcije je
π2
6 =
∞
∑
n=1
1
n2
.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 179
4.1.1. Jensenova nejednakost i drugi problemi
Jensenova nejednakost. Neka je f : I → R konveksna. Za proizviljne t1, t2, . . . , tn ∈ I
i λ1,λ2, . . .λn > 0, takve da je
λ1 +λ2 + · · ·+λn = 1 (n 2) vazˇi
f (λ1t1 +λ2t2 + · · ·+λntn) λ1 f (t1)+ · · ·+λn f (tn).
DOKAZ . Izvodi se indukcijom. Nejednakost vazˇi za n = 2.
Neka je
s1,s2, . . .sn+1 ∈ I, γ1 > 0, . . . ,γn+1 > 0, γ1 + · · ·+ γn+1 = 1.
Mozˇemo pisati
γ1s1 + · · ·+ γn+1sn+1 = γ1s1 + · · ·γn−1sn−1 +(γn + γn+1)qn, gde je
qn =
γnsn
γn + γn+1
+
γn+1sn+1
γn + γn+1
∈ I, jer se q nalazi izmedu sn i sn+1.
Koristec´i indukcijsku pretpostavku dobijamo.
f (γ1s1 + · · ·+ γn+1sn+1) γ1 f (s1)+ · · ·+ γn−1 f (sn−1)+(γn + γn+1) f (qn),
a iz konveksnosti f je
f (qn) γnγn + γn+1 f (sn)+
γn+1
γn + γn+1
f (sn+1).
PRIMER 10. Dokazati Hn  Gn  An  Kn, ako je
Hn =
n
1
a1
+ · · ·+ 1
an
, Gn = n
√
a1 · · ·an,
An =
a1 + · · ·+an
n
, Kn =
√
a21 + · · ·+a2n
n
(a1, · · · ,an > 0)
(Hn, Gn, An, Kn nazivaju se harmonijska, geometrijska, artitmeticˇka i kvadratna sredina.)
RESˇENJE. Nejednakost Gn  An je direktna posledica Jensenove nejednakosti. Treba uzeti
λ1 = λ2 = · · ·= λn = 1
n
,
f (t) = et (t ∈ I = R)
i et1 = a1, . . . ,etn = an.
Nejednakost Hn  Gn se svodi na Gn  An. (Uvesti smenu
1
a1
= b1, . . . ,
1
an
= bn
i izvrsˇiti unakrsno mnozˇenje)
Nejednakost An  Kn je posledica Jensenove nejednakosti. (Uzeti f (t) = t2).
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 180
PRIMER 11. Nac´i minimum funkcije
F(x,y,z) =
x3
x2 + y+ z
+
y3
y2 + x+ z
+
z3
z2 + x+ y
na skupu X = {(x,y,z)
∣∣∣ x 0, y 0, z 0, x+ y+ z = 1}.
RESˇENJE. Iz uslova x+ y+ z = 1, dobije se y+ z = 1− x, x+ z = 1− y i x+ y = 1− z, pa je
F(x,y,z) =
x3
x2 − x+1 +
y3
y2 − y+1 +
z3
z2 − z+1 , odnosno
F(x,y,z) = g(x)+g(y)+g(z), gde je g(t) = t
3
t2 − t +1 .
Funkcija g(x) je konveksna na [0,1] jer je
g′(t) =
t2(t2 −2t +3)
(t2 − t +1)2 , g
′′(t) =
6t(1− t)
(t2 − t +1)2 i g
′′(t) 0 za t ∈ [0,1].
Primenom Jensenove nejednakosti, dobija se
g(x)+g(y)+g(z)
3 
(
x+ y+ z
3
)
= g
(
1
3
)
=
1
7
.
Za x = y = z =
1
3
minimum funkcije F je 1
7
.
Mozˇe se prikazati i geometrijska interpretacija
L(x) = s(x− t0)+g(t0), t0 ∈ (0,1).
Slika 17
Grafik konveksne funkcije g je iznad tangente L pa vazˇe nejednakosti
g(x)  s(x− t0)+g(t0)
g(y) s(y− t0)+g(t0)
g(z) s(z− t0)+g(t0)
g(x)+g(y)+g(z)  s(x+ y+ z−3t0)+3g(t0) = s(1−3t0)+3g(t0)
pa je za 1−3t0 = 0, t0 = 13
g(x)+g(y)+g(z)  3g
(
1
3
)
=
1
7
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 181
PRIMER 12. Nac´i minimum funkcije
F(x,y,z) =
x3
1+ y+ z− x2 +
y3
1+ x+ z− y2 +
z3
1+ x+ y− z2
na skupu
X =
{
(x,y,z)
∣∣∣ x > 0, y > 0, z > 0, x+ y+ z = 1
}
RESˇENJE. Kako je y+ z = 1− x, x+ z = 1− y i x+ y = 1− z, dobija se
F(x,y,z) =
x3
2− x− x2 +
y3
2− y− y2 +
z3
2− z− z2 .
Mozˇe se napisati
F(x,y,z) = xg(x)+ yg(y)+ zg(z) gde je
g(t) =
t2
2− t − t2 , t ∈ (0, 1).
Funkcija g(t) je konveksna na (0,1) jer je
g′(t) =
t(4− t)
(2− t − t2)2 , g
′′(t) = 2 · 4+6t
2 − t3
(2− t − t2)3 , g
′′(t) 0, t ∈ (0, 1).
Primenom Jensenove nejednakosti
xg(x)+ yg(y)+ zg(z)  g(x2 + y2 + z2), x+ y+ z = 1
Cilj je da se dokazˇe da je
g(x2 + y2 + z2) 1
14
, odnosno
g(t) =
t2
2− t − t2 
1
14
, t ∈ (0, 1)
14t2  2− t − t2
15t2 + t −2 0, pa je t  13 ili t −
2
5
Slika 18
Poslednja nejednakost ispunjena je za t ∈
[
1
3 , 1
)
, pa je
x2 + y2 + z2  13 ,
3x2 +3y2 +3z2  1
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 182
3x2 +3y2 +3z2  (x+ y+ z)2
2x2 +2y2 +2z2  2xy+2xy+2yz, na osnovu
x2 + y2  2xy
x2 + z2  2xz i
y2 + z2  2yz
Mozˇe i korisˇc´enjem kvadratne i aritmeticˇke nejednakosti√
x2 + y2 + z2
3
 x+ y+ z
3
=
1
3
Zasˇto smo procenjivali
g(x2 + y2 + z2) 1
14
?
Odgovor je jednostavan. Jednakost se dostizˇe za
x = y = z =
1
3
, a tada je
x2 + y2 + z2 =
1
3 i
F
(
1
3
,
1
3
,
1
3
)
=
1
14
i ova vrednost je trazˇeni minimum funkciju F .
Nejednakost M. Petrovic´a. Neka je f : [0,+∞)→R konveksna funkcija i x1,x2, . . . ,xn
niz pozitivnih brojeva. Tada je
f (x1)+ · · ·+ f (xn) f (x1 + · · ·+ xn)+(n−1) f (0).
DOKAZ . Oznacˇimo sa
γ = x1 + · · ·+ xn i λi = xiγ .
Vazˇi da je
n
∑
i=1
λi = 1,
xi = (1−λi) ·0+λiγ (i = 1,2, . . . ,n)
Iz konveksnosti funkcije f sledi
f (xi) (1−λi) f (0)+λi f (γ)
Sabiranjem za i = 1,2, . . . ,n dobija se
f (x1)+ · · ·+ f (xn) (n−1) f (0)+ f (γ).
Niz a majorira niz b. Neka su a= (a1,a2, . . . ,an) i b= (b1,b2, . . . ,bn) dva konacˇna
niza realnih brojeva. Niz a majorira niz b, u oznaci a  b, ako je
a1  a2  · · · an, b1  b2  · · · bn,
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 183
a1 +a2 + · · ·+ak  b1 +b2 + · · ·+bk, k = 1,2, . . . ,n−1
a1 +a2 + · · ·+an = b1 +b2 + · · ·+bn
Karamatina nejednakost. Neka su a = (a1,a2, . . . ,an) i b = (b1,b2, . . . ,bn) nizovi
brojeva iz (α,β ). Ako je a  b i ako je f : (α, β )→ R konveksna, onda je
f (a1)+ · · ·+ f (an) f (b1)+ · · ·+ f (bn).
DOKAZ . Oznacˇim sa ci podeljenu razliku funkcije f u tacˇkama ai i bi, tj.
ci = Δ f (ai, bi) =
f (bi)− f (ai)
bi−ai .
Zbog konveksnosti funkcije f sledi da je
c1  c2  · · · cn.
Oznacˇimo sa
Ak = a1 +a2 + · · ·+ak, Bk = b1 +b2 + · · ·+bk, ; A0 = B0 = 0.
Kako je a  b dobija se
Ak  Bk, k = 1,2, . . . ,n−1 i An = Bn.
Vazˇi da je
n
∑
i=1
f (ai)−
n
∑
i=1
f (bi) =
n
∑
i=1
(
f (ai)− f (bi)
)
=
n
∑
i=1
ci(ai −bi)
=
n
∑
i=1
ci(Ai −Ai−1 − (Bi−Bi−1)
=
n
∑
i=1
ci(Ai −Bi)−
n−1
∑
i=1
ci+1(Ai−Bi)
=
n−1
∑
i=1
(ci− ci+1)(Ai−Bi).
Posˇto je ci  ci+1 i Ai  Bi dobija se da je
n
∑
i=1
f (ai)−
n
∑
i=1
f (bi) 0.
U visˇe posledica Lagranzˇove teoreme i problema konveksnosti javljaju se nejedna-
kosti slicˇnog tipa, kao one koje se razmatraju u sledec´em odeljku razni problemi, ali se on
mozˇe razmatrati i sasvim samostalno.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 184
Razni problemi
PRIMER 13. Dokazati nejednakost
x3 + y3 + z3 +3xyz x2y+ x2z+ y2z+ z2x+ z2y, x 0, y 0, z 0.
DOKAZ . Kako je
x3 − x2y− x2z+ xyz = x(y− x)(z− x),
data nejednakost ekvivalentna je sa
x(y− x)(z− x)+ y(x− y)(z− y)+ z(x− z)(y− z) 0
Pretpostavimo da je 0 x y z. Onda je
x(y− x)(z− x)+ z(z− x)(z− y) y(y− x)(z− y)(∗)
Iz uslova
y2 + xz x2 + yz ⇐⇒ x(z− x) y(z− y) sledi x(y− x)(z− x)  y(y− x)(z− y)(a)
Iz uslova z2 + xy y2 + xz ⇐⇒ z(z− x) y(y− x) sledi
z(z− x)(z− y) y(y− x)(z− y)(b)
Kako je z2+xy x2 +yz, sˇto je ekvivalentno sa (z−x)(z+x) y(z−x), onda vazˇi jedan
od uslova xz+ y2  x2 + yz ili z2 + xy  y2 + xz. Sledi da je nejednakost (∗) tacˇna,
odnosno tacˇna je data nejednakost.
PRIMER 14. Dokazati nejednakost
1
a+b +
1
b+ c +
1
c+a
 1
2a
+
1
2b +
1
2c
DOKAZ . Vazˇe nejednakosti izmedu harmonijske i aritmeticˇke sredine pa se dobija
1
a
+
1
b
2
 2
a+b ∧
1
a
+
1
c
2
 2
a+ c
∧
1
b +
1
c
2
 2b+ c
Njihovim sabiranjem dobija se trazˇena nejednakost.
PRIMER 15. Ako je a > 0, b > 0, c > 0 i a+b+ c = 1 dokazati da vazˇi
(
1
a
−24a2
)
+
(
1
b −24b
2
)
+
(
1
c
−24c2
)
 1
DOKAZ . Neka je a < b < c. Onda je
f (a)+ f (b) 2 f
(
a+b
2
)
gde je f (x) = 1
x
−24x2.
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 185
f (a)+ f (b) 2 f
(
a+b
2
)
⇔ 1
a
+
1
b −
4
a+b −24a
2−24b2 +12(a+b)2  0
⇔ (a−b)
2
ab(a+b)−12(a−b)
2  0
⇔ (a−b)2
(
1
ab(a+b)−12
)
 0
Ova poslednje nejednakost vazˇi jer je
√
ab a+b
2
, a+b 2
3
(na osnovu a < b < c) pa je
1
ab(a+b) 
27
2
> 12.
Ostaje da se dokazˇe
2 f
(
a+b
2
)
+ f (c) 1, odnosno 2 f
(
1− c
2
)
+ f (c) 1.
Oznacˇimo c− 13 = d. Posˇto je
1
3 < c < 1, onda je 0 < d <
2
3
2 · 2
1− c −48
(
1− c
2
)2
+
1
c
−24c2−1 0, 1− c = 23 −d,
⇔ 42
3 −d
−12
(
2
3 −d
)2
+
1
d + 13
−24
(
d + 13
)2
−1 0
⇔ 12
2−3d −
4
3
(2−3d)2 + 3
3d +1 −
8
3
(3d +1)2−1 0
⇔ 12
2−3d −6−
4
3(2−3d)
2 +
16
3 +
3
3d +1 −3−
8
3(3d+1)
2 +
8
3 −1+1 0
⇔ 18d
2−3d −
4
3
(4−12d+9d2 −4)+ −9d
3d+1 −
8
3
(9d2 +6d +1−1) 0
⇔ d
(
18
2−3d +16−12d−
9
3d +1 −24d−16
)
 0
⇔ d
(
18
2−3d −36d−
9
3d+1
)
 0
⇔ d
(
18
2−3d −9−36d−
9
3d+1 +9
)
 0
⇔ d
(
27d
2−3d −36d+
27d
3d+1
)
 0
⇔ 9d2
(
3
2−3d −4+
3
3d +1
)
 0
⇔ 9d2 3(3d+1)−4(2−3d)(3d+1)+3(2−3d)
(2−3d)(3d+1)  0
4.1. Lagranzˇova teorema, konveksnost i posledice 186
⇔ 9d2 36d
2−12d+1
(2−3d)(3d+1)  0
⇔ 9d2 (6d−1)
2
(2−3d)(3d+1)  0.
PRIMER 16. a > 0, b > 0, c > 0, a+b+c = 3 ⇒ 2−a
3
a
+
2−b3
b +
2− c3
c
 3. Dokazati.6
DOKAZ . (I) Dokazac´emo da je φ(a)+φ(b) 2φ
(
a+b
2
)
gde je φ(x) = 2
x
− x2.
Neka je 0 < a < b < c, a+b+ c = 3, tada je
φ(a)+φ(b) 2φ
(
a+b
2
)
⇔ 2
a
−a2 + 2b −b
2  8
a+b −
(a+b)2
2
⇔ 2
a
+
2
b −
8
a+b  a
2 +b2 − (a+b)
2
2
⇔ 2(a−b)
2
ab(a+b) 
(a−b)2
2
⇔ (a−b)2(4−ab(a+b)) 0
sˇto je tacˇno jer je a+b 2 i ab
(
a+b
2
)2
.
(II) Dokazujemo da vazˇi
2φ
(
a+b
2
)
+φ(c) 3, sˇto je ekvivalentno sa
2φ
(
3− c
2
)
+φ(c) 3.
Posˇto se ocˇekuje da znak jednakosti vazˇi za c = 1, pogodno je oznacˇiti c− 1 = x ili
c−1
2
= t. Treba dokazati da vazˇi
2φ(1− t)+φ(1+2t) 3 (Ovde je 0 t < 1)
⇔
(
4
1− t −4
)
+
(
2
1+2t
−2
)
−6t2  0
⇔ t
(
4
1− t −
4
1+2t
−6t
)
 0
⇔ t
(
12t
(1− t)(1+2t)−6t
)
 0 ⇔ 6t2(1− t +2t2) 0.
6 XIX Juniorska balkanska matematicˇka olimpijada
4.2. Tejlorova formula 187
4.2. TEJLOROVA FORMULA
Razmatra se sledec´i zadatak. Neka je data funkcija y = f (x), x ∈ X , koja u okolini
U(a) tacˇke a ima sve izvode do reda n, sˇto implicira da su svi izvodi do reda n− 1 ne-
prekidni u okolini U(a). Potrebno je nac´i polinom Pn(x), stepena ne vec´eg od n, takav da
vazˇi
Pn(a) = f (a), P(k)n (a) = f (k)(a) (k = 1,2, . . . ,n),
Rn(x)
def
= f (x)−Pn(x) = o
(
(x−a)n),x → a.
Funkcija Rn(x) naziva se ostatak.
U slucˇaju n = 1, polinom P1(x) se mozˇe zapisati u obliku
P1(x) = f (a)+ f ′(a)(x−a),
jer je P1(a) = f (a), P′1(a) = f ′(a) i
R1(x) = f (x)−P1(x) = f (x)− f (a)− f ′(a)(x−a)
= Δy− f ′(a)Δx = Δy−d-y = o(Δx),
kad Δx → 0, gde je Δx = x−a, Δy = f (x)− f (a).
Neka je, po analogiji, polinom Pn(x), koji zadovoljava trazˇene uslove, dat u sledec´em
obliku
Pn(x) =C0 +C1(x−a)+C2(x−a)2 + · · ·+Cn(x−a)n.
Ako u ovu jednakost stavimo x = a, dobijamo Pn(a) =C0. Uslov zadatka je Pn(a) =
f (a), pa je C0 = f (a). Nalazˇenjem prvog izvoda
P′n(x) =C1 +2C2(x−a)+3C3(x−a)2 + · · ·+nCn(x−a)n−1
i izracˇunavanjem vrednosti za x = a, dobijamo
P′n(a) =C1, odnosno C1 = f ′(a).
Uopsˇte, izvod polinoma Pn(x) reda k je
P(k)n = k!Ck +(k+1)k · · ·2Ck−1(x−a)+ · · ·n(n−1) · · ·
(
n−(k−1))Cn(x−a)n−k
i njegova vrednost za x = a je P(k)n = k!Ck, odakle uz uslov zadatka sledi da je
Ck =
f (k)(a)
k! (k = 1,2, . . . ,n).
Postavlja se pitanje da li polinom Pn(x) sa ovim koeficijentima C0 = f (a) i Ck =
f (k)
k! (a) zadovoljava i drugi uslov Rn(x) = f (x)−Pn(x) = o
(
(x−a)n), x → a. Na osnovu
jednakosti Rn(x) = f (x)−Pn(x) vazˇi
Rn(a) = R′n(a) = · · ·= R(n)n (a) = 0.
4.2. Tejlorova formula 188
Posˇto funkcije f i Pn imaju izvode do reda n, i koji su do reda n−1 neprekidni, mozˇe
se izracˇunati granicˇna vrednost kolicˇnika lim
x→a
Rn(x)
(x−a)n primenom Lopitalovog pravila.
Dobija se
lim
x→a
Rn(x)
(x−a)n = limx→a
R′n(x)
n(x−a)n−1 = · · ·= limx→a
R(n−1)n (x)
n!(x−a) = limx→a
R(n)n (x)
n!
= 0.
To znacˇi da se funkcija (ostatak) mozˇe napisati u obliku Rn(x) = o
(
(x−a)n).
Na taj nacˇin je dokazana sledec´a teorema:
Tejlorova teorema. Ako funkcija y = f (x), x∈ X , ima sve izvode do reda n u okolini
U(a) tacˇke a, tada je u okolini tacˇke a
f (x) = f (a)+ f
′(a)
1! (x−a)+ · · ·+
f (n)(a)
n! (x−a)
n +o
(
(x−a)n), x → a.
Polinom
Pn(x) = f (a)+ f
′(a)
1! (x−a)+ · · ·+
f (n)(a)
n! (x−a)
n =
n
∑
k=0
f (k)(a)
k! (x−a)
k,
gde je f (0)(a) = f (a), naziva se Tejlorov polinom, a formula
f (x) = Pn(x)+o
(
(x−a)n)
je Tejlorova formula funkcije u tacˇki x = a.
Funkcija
Rn(x) = f (x)−Pn(x)
je ostatak reda n dat u Peanovom obliku, Rn(x) = o
(
(x−a)n).
Ako je tacˇka a = 0, dobija se Maklorenova formula
f (x) =
n
∑
k=0
f (k)(0)
k! x
k +o(xn) (x → 0).
Tejlorova formula u specijalnom slucˇaju svodi se na Lagranzˇovu formulu, a polinom
na pravu liniju, tj. tangentu krive u tacˇki razvoja.7
PRIMER 1. Napisati Maklorenovu formulu za funkciju f (x) = sinx.
7 Za primere primene Tejlorovog i Maklorenovog polinoma videti u: Dobrilo Tosˇic´, Miloljub Albijanic´,
Danijela Milenkovic´, 2012, Elementi diferencijalnog i integralnog ra cˇuna, Sluzˇbeni glasnik, Beograd, str.
223–226 i 280–285. Takode dobri primeri mogu se videti u: Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов
В. И., Шабунин М. И. , 2003. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. ФИЗМАТ-
ЛИТ. str. 350–364.
Bruk Tejlor (Brook Taylor), 1685–1731, bio je engleski matematicˇar.
Kolin Makloren (Colin Maclaurin), 1698–1746, bio je sˇkotski matematicˇar.
4.2. Tejlorova formula 189
RESˇENJE. Kako je (sinx)(n) = sin
(
x+
nπ
2
)
, sledi da je
f (n)(0) = sin nπ
2
=
{
0 (n = 2k),
(−1)k−1 (n = 2k−1),
gde je k = 0,1,2, . . . Zbog toga je
sinx = x− x
3
3! +
x5
5! −·· ·+(−1)
n−1 x2n−1
(2n−1)! +o(x
2n), x → 0.
PRIMER 2. Napisati Maklorenovu formulu za funkciju f (x) = cosx
RESˇENJE. Za funkciju f (x) = cosx dobija se analogno
(cos x)(n) = cos
(
x+
nπ
2
)
⇒ f (n)(0) = cos nπ
2
=
{
0 (n = 2k−1),
(−1)k (n = 2k).
Odavde izlazi
cosx = 1− x
2
2! +
x4
4! −·· ·+(−1)
n x
2n
(2n)! +o(x
2n+1), x → 0.
PRIMER 3. Napisati Maklorenovu formulu za funkciju f (x) = ex.
RESˇENJE. Za funkciju f (x) = ex je (ex)(n) = ex, odakle je f (n)(0) = 1, pa vazˇi
ex = 1+ x+ x
2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
+o(xn), x → 0.
Ako umesto x stavimo −x, dobijamo
e−x = 1− x+ x
2
2!
−·· ·+(−1)n x
n
n!
+o(xn), x → 0.
Na osnovu dobijenih rezultata vazˇe i formule
chx = e
x + e−x
2
= 1+
x2
2! + · · ·+
x2n
(2n)! +o(x
2n+1), x → 0,
shx = e
x − e−x
2
= x+
x3
3! + · · ·+
x2n−1
(2n−1)! +o(x
2n), x → 0.
PRIMER 4. Napisati Maklorenovu formulu za funkciju f (x) = (1+ x)α (α ∈R).
RESˇENJE. Ako je f (x) = (1+ x)α (α ∈R), imamo
f (n)(x) = α(α −1) · · ·(α − (n−1))(1+ x)α−n.
Zbog toga je f (n)(0) = α(α −1) · · ·(α − (n−1)), n = 1,2, . . . i f (0) = 1.
Odavde sledi (kada je |x|< 1)
(1+ x)α = 1+αx+ α(α −1)
2! x
2 + · · ·+ α(α −1) · · ·
(
α − (n−1))
n! x
n +o(xn)
= 1+
(
α
1
)
x+
(
α
2
)
x2 + · · ·+
(
α
n
)
xn +o(xn).
4.2. Tejlorova formula 190
PRIMER 5. Napisati Maklorenovu formulu za funkciju f (x) = ln(1+ x).
RESˇENJE. Neka je f (x) = ln(1+ x). Tada se dobija
f ′(x) = 1
1+ x
= (1+ x)−1, f ′′(x) = (−1)(1+ x)−2.
Uopsˇte je
f (n)(x) = (−1)n+1(n−1)!(1+ x)−n,
odakle je f (n)(0) = (−1)n+1(n−1)!, n = 1,2, . . . i f (0) = 0.
Prema tome, vazˇi
ln(1+ x) = x− x
2
2
+
x3
3 −·· ·+(−1)
n+1 x
n
n
+o(xn), x → 0.
4.2.1. Tejlor-Lagranzˇova jednakost
Pretpostavimo da funkcija f ima neprekidne izvode do reda n u okolini U(a) tacˇke
a i da postoji (n+1)-vi izvod u okolini U(a) tacˇke a.
Tejlorovu formulu mozˇemo prikazati u obliku
f (x) =
n
∑
k=0
f (k)(a)
k! (x−a)
k +Rn(x),
gde je Rn(x) ostatak, tj. razlika funkcije i Tejlorovog polinoma. S druge strane Rn(x) je
beskonacˇno mala reda n+1 u okolini tacˇke a, tj. oblika
Rn(x) =
(x−a)n+1
(n+1)!
·λ (x).
Na taj nacˇin Tejlorova formula postaje
f (x) = f (a)+
n
∑
k=1
f (k)(a)
k! (x−a)
k +
(x−a)n+1
(n+1)! ·λ (x).
Ako x fiksiramo, onda je λ (x) konstanta. Oznacˇimo je sa λ . Formirajmo pomoc´nu funk-
ciju ϕ(t), gde je a < t < x,
ϕ(t) = f (x)− f (t)−
n
∑
k=1
f (k)(t)
k! (x− t)
k − (x− t)
n+1
(n+1)! ·λ
= f (x)− f (t)− f
′(t)
1! (x− t)−
f ′′(t)
2! (x− t)
2−·· ·− f
(n)
n! (x− t)
n− (x− t)
n+1
(n+1)! ·λ .
Jednostavno se dokazuje da je ϕ(x) = ϕ(a) = 0 i da je
ϕ ′(t) =− f
(n+1)(t)
n! (x− t)
n+
(x− t)n
n! λ .
Primenom Rolove teoreme zakljucˇujemo da postoji takvo t = ξ izmedu a i x da je
ϕ ′(ξ ) = 0. Dakle,
− f
(n+1)(ξ )
n!
(x−ξ )n + (x−ξ )
n
n!
·λ = 0 ⇒ λ = f (n+1)(ξ ).
4.2. Tejlorova formula 191
Prema tome, dobili smo ostatak Tejlorove formule u Lagranzˇovom obliku
Rn(x) =
(x−a)n+1
(n+1)!
f (n+1)(ξ ) (a < ξ < x), ili
Rn(x) =
(x−a)n+1
(n+1)!
f (n+1)(a+θ(x−a)) (0 < θ < 1).
Na osnovu navedenog dobija se Tejlor-Lagranzˇova jednakost
f (x) =
n
∑
k=0
f (k)(a)
k! (x−a)
k +
(x−a)n+1
(n+1)! f
(n+1)(a+θ(x−a)) (0 < θ < 1).
PRIMER 6. Funkcija f (x) = ex, u okolini tacˇke x = 0, mozˇe se aproksimirati Tejlorovim
polinomom
ex = 1+ x
1!
+
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
+Rn(x)
gde je gresˇka u Lagranzˇovom obliku
Rn(x) =
xn+1
(n+1)! · e
ξ , |ξ |< |x|.
Vazˇi sledec´a nejednakost
∣∣Rn(x)∣∣ = |x|
n+1
(n+1)!e
ξ < |x|
n+1
(n+1)!e
|x|.
Za svako fiksirano x ∈ R, ako n → ∞
|x|n+1
(n+1)! → 0 pa vazˇi razvoj
ex = 1+ x
1!
+
x2
2!
+ · · ·+ x
n
n!
+Rn(x),
za svako fiksirano x ∈ R.8
Mozˇe se pisati
ex =
+∞
∑
n=0
xn
n! , x ∈ R.
8 Niz an =
xn
n!
, x > 0 je opadajuc´i (za dovoljno veliko n, preciznije za n > x) i ogranicˇen sa donje strane
jer je
an+1
an
=
x
n+ 1
< 1 za n > x i an > 0.
Kako je
an+1 =
xn+1
(n+ 1)!
=
x
n+ 1
· x
n
n!
=
x
n+ 1
an
odnosno an+1 =
x
n+ 1
· an pa prelaskom na granicˇnu vrednost gde je lim
n→+∞an = A, dobija se A = 0 ·A ⇒
A = 0, odnosno lim
n→+∞
xn
n!
= 0.
4.2. Tejlorova formula 192
PRIMER 7. Funkcija F(x) = sinx ima n-ti izvod dat sa
f (n)(x) = sin
(
x+
π
2
·n
)
, n =,2, . . .
pa je Lagranzˇov oblik ostatka u Tejlorovom razvoju u okolini tacˇke x = 0 jednak
Rn(x) =
sin
(
ξ + π
2
(n+1)
)
(n+1)! x
n+1.
Za fiksirano x ∈R vazˇi da je
|Rn(x)| =
∣∣∣∣∣∣
sin
(
ξ + π
2
(n+1)
)
(n+1)! x
n+1
∣∣∣∣∣∣
|x|n+1
(n+1)! → 0, kada n →+∞.
Na taj nacˇin razvoj funkcije
sinx = x− x
3
3! +
x5
5! −·· ·+(−1)
n−1 x2n−1
(2n−1)! +Rn(x)
vazˇi za svako fiksirano x ∈ R.
Mozˇe se pisati
sinx =
+∞
∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+1)! , x ∈ R.
PRIMER 8. Funkcija f (x) = cosx ima Lagranzˇov oblik ostatka dat sa
Rn(x) =
cos
(
ξ + π
2
(n+1)
)
(n+1)! x
n+1
pa vazˇi
cosx =
+∞
∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)! , x ∈ R.
Zanimljivo je naglasiti tri moguc´a didakticˇka tipa primera.
a) Aproksimirati funkciju x → f (x) Tejlorovim polinomom datog stepena u okolini
tacˇke x = a i oceniti gresˇku u datom intervalu. (Trazˇi se gresˇka!)
b) Odrediti stepen k Tejlorovog polinoma za funkciju x → f (x) da bi gresˇka aprok-
simacije u datom intervalu bila manja od zadatog malog broja, na primer 10−6. (Trazˇi se
stepen polinoma!)
c) Kolika treba da bude velicˇina intervala (a−δ ,a+δ ) da bi pri aproksimaciji funk-
cije x → f (x) Tejlorovim polinomom datog stepena gresˇka bila manja od zadate? (Trazˇi
se velicˇina intervala!)
PRIMER 9. Za funkciju f (x) = sinx vazˇi razvoj
sinx = x− x
3
3! + · · ·+
(−1)n−1x2n−1
(2n−1)! +(−1)
n x
2n+1 cos(θx)
(2n+1)! .
4.2. Tejlorova formula 193
Koliko cˇlanova polinoma (Maklorenovog) treba uzeti da se izracˇuna sinx za ∀x ∈ [0,π/6] sa
tacˇnih 8 decimala? Zatim izracˇunati sin20◦.
RESˇENJE. Za gresˇku Rn(x), pri cˇemu x ∈ [0,π/6], imamo procenu
|Rn(x)| = |x|
2n+1|cosθx|
(2n+1)! <
(π
6
)2n+1
(2n+1)! .
Nejednakost |Rn(x)|< 10−8 ispunjena je za n 5. Ako je n= 5 i x= 20◦, tj. x= π9 , dobijamo
sin20◦ ≈ 0.3420201433 (sve su cifre tacˇne). Dakle, dobili smo vec´u tacˇnost jer je argument π/9
manji od π/6.
PRIMER 10. Ako je f [0,1] → R dva puta diferencijabilna i | f ′′(x)|  1 za x ∈ [0,1] onda
postoji prava g(x) = ax+b (0 x 1) takva da je
| f (x)−g(x)|  1
16 , ∀x ∈ [0,1].
RESˇENJE. Neka je ϕ : [0,1]→R, ϕ(x) = f (x)− f (0)−( f (1)− f (0))x; vazˇi ϕ′′(x) = f ′′(x),
|ϕ ′′| 1, ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 0. Funkcija ϕ dostizˇe [0,1] apsolutni maksimum i apsolutni minimum,
ϕ(a) = M (apsolutni maksimum), ϕ(b) =+m (apsolutni minimimum). Neka je npr. a < b. Postoji
c ∈ (a,b) takvo da je ϕ(c) = 0.
Tejlorov polinom
ϕ(x) = ϕ(a)+ϕ ′(a)(x−a)
1!
+ϕ ′′(ξ )(x−a)
2
2!
,
ϕ(x) = ϕ(b)+ϕ ′(b)(x−b)
1!
+ϕ ′′(η)(x−b)
2
2!
.
Posˇto je ϕ ′(a) = 0, ϕ ′(b) = 0 uzimajuc´i x = 0, a u prvom i x = c i u drugom dobijamo
0 = ϕ(a)+ϕ ′′(ξ )(0−a)
2
2
, 0 = ϕ(a)+ϕ ′′(ξ )(c−a)
2
2
tj.
|ϕ(a)| a
2
2
, |ϕ(a)| (c−a)
2
2
odakle sledi
|ϕ(a)|
( c
2
)2
2
i slicˇno
|ϕ(b)|
(
1− c
2
)2
2
;
znacˇi
|ϕ(a)| c
2
8 , |ϕ(b)|
(1− c)2
8 ,
odakle je
M−m = c
2
8 +
(1− c)2
8 
1
8 .
4.2. Tejlorova formula 194
Treba uzeti pravu
h(x) = M+m
2
, 0 x 1.
Vazˇi
|ϕ(x)−h(x)|  1
16 za x ∈ [0,1]
odnosno ∣∣∣∣ f (x)− f (0)− ( f (1)− f (0))x− M+m2
∣∣∣∣ 116 , za x ∈ [0,1].
NAPOMENA. Navedena aproksimacija je najbolja sˇto se vidi iz sledec´eg primera. Neka je
f (x) = 1
2
(
x− 1
2
)2
.
Pretpostavimo da je g(x) = ax+b prava takva da je
| f (x)−g(x)|  c, ∀x ∈ [0,1]
i pri tome x < 1
16. Tada je
g(0)  f (0)− c, g
(
1
2
)
 f
(
1
2
)
+ c, g(1)  f (1)− c
tj. b 1
8
− c, a
2
+b c, a+b 1
8
− c. Sledi
b 1
8
− c
c a
2
+b/ ·2
a+b 18 − c
⎫⎪⎪⎪⎪⎬
⎪⎪⎪⎪⎭
Sabiranjem ove tri nejednakosti, dobija se 3c 1
4
−2c, a time c 1
16. Kontradikcija!
4.2.2. Ojlerova formula i trigonometrijske funkcije
Tejlorov razvoj za funkcije cos, sin i exp dat je formulama
cosx =
+∞
∑
n=0
(−1)n x
2n
(2n)! , x ∈ R
sinx =
+∞
∑
n=0
(−1)n x
2n+1
(2n+1)!
, x ∈ R
ex = exp(x) =
+∞
∑
n=0
xn
n! , x ∈ R.
Funkcija exp monotono je rastuc´a na R i izgleda potpuno razlicˇito od funkcije sin i
cos. Ako zamenimo realnu promenljivu x sa kompleksnom promenljivom z, definisˇe se
ez = exp(z) =
+∞
∑
n=0
zn
n!
, z ∈ C.
4.2. Tejlorova formula 195
Zamenom z = ix dobija se
eix =
+∞
∑
n=0
(ix)n
n! .
Kako je (i)2n = (−1)n , (i)2n+1 = i(−1)n , onda je
eix =
+∞
∑
n=0
(ix)2n
(2n)! +
+∞
∑
n=0
(ix)2n+1
(2n+1)! =
+∞
∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)! + i ·
+∞
∑
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+1)!
Na ovaj nacˇin dobijena je fundamentalna Ojlerova formula
eix = cosx+ isinx, x ∈ R.
Lema 1. (Eksponencijalno-polarna forma, EPF). Svako z ∈ C, z = 0 mozˇe se pred-
staviti u obliku z = |z|eiϕ , ϕ ∈ R.
Kako funkcija cis injektivno preslikava Iα = [α,α +2π) na T dobija se
Teorema 1. (Jedinstvenost eksponencijalno-polarne forme, JEPF). Svako z∈C, z =
0 mozˇe se jedinstveno predstaviti u obliku z = |z|eiϕ , ϕ ∈ [α,α +2π).
Najc´esˇc´e za glavnu granu argumena uzima se argz ∈ (−π ,π ], pa se JEPF mozˇe
napisati:
Svako z ∈ C, z = 0 mozˇe se jedinstveno predstaviti u obliku
z = |z|eiϕ , ϕ ∈ (−π ,π ].
Iz Ojlerove formule eix = cosx+ isinx, x ∈ R sledi
cosx =
eix + e−ix
2
i sinx = e
ix − e−ix
2i
.
Ove formule su motivacija da se definisˇe homolomorfno produzˇenje
cosz =
eiz + e−iz
2
i sinz = e
iz − e−iz
2i
.
Periodicˇne su i vazˇi
cos2 z+ sin2 z = 1;
(cosz)′ = i
eiz − e−iz
2
=−sinz
(sinz)′ = cosz.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 196
4.3. HARDIJEV PRISTUP ZA IZRA ˇCUNAVANJE POVRˇSINE RAVNE FIGURE
Jedna od najvazˇnijih primena integrala jeste izracˇunavanje povrsˇine ravne figure
ogranicˇene linijama.9 Za elementarne figure, kao sˇto je trougao, povrsˇina se izracˇunava
korisˇc´enjem standardnih formula i tehnika. Ako je figura malo slozˇenija, ali se mozˇe po-
deliti na trouglove, opet je racˇunanje dosta jednostavno.
Slika 19 – Godfri Hardi
Pretpostavimo da je povrsˇina odredene figure ogranicˇena grafikom neprekidne ne-
negativne funkcije y = f (x), x ∈ (0,K), K > 0 (cˇiji grafik Γ f je iznad x-ose), y-osom,
ordinatom tacˇke x i x-osom. Geometrijski, problem izracˇunavanja navedene povrsˇine je
zapravo odredivanje povrsˇine krivolinijskog trapeza P(OXMP) (videti sliku 20).
Pretpostavimo da tacˇke grafika Γ f imaju sledec´e koordinate
P
(
0, f (0)),R(a, f (a)),M(x, f (x)),M1(x+Δx, f (x+Δx)),N(b, f (b)).
9 Miloljub Albijanic´, Danijela Milenkovic´, Dobrilo Tosˇic´, 2013, simpozijum Matematika i primene,
Matematicˇki fakultet, Univerzitet u Beogradu, 2013 ,Vol. IV(1), Hardijev pristup izra cˇunavanja povrsˇine.
Godfrey Harold Hardy, 1877—1947.
Jedno od najiskrenijih priznanja sˇta je cˇista matematika dolazi iz Hardijevog pera:
Nikada nisam napravio nisˇta korisno (prakticˇno).
Matematicˇari koje je Hardi ucˇio bili su mu slicˇni. Ipak je Hardi stvorio nesˇto vredno, sˇto i jeste najvisˇa
tezˇnja u matematici – da se postigne trajno umetnicˇko delo.
Videti u: Davis Philip J, Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Dozˇivljaj matematike, 2004, Golden
marketing, Tehnicˇka knjiga, Zagreb, str. 83.
O Lepoti matematike Hardi kazˇe:
Matematicˇar je, kao i slikar ili pesnik, kreator modela... Matematicˇki modeli, kao i slikarski ili pesnicˇki
moraju biti lepi.
Petkovic´ M, Petkovic´ Lj, 2006, Matemati cˇki vremeplov: prilozi za istoriju matematike, Zmaj, Novi Sad,
str. 136.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 197
Ako se posmatra krivolinijski trapez OXMP, njegova povrsˇina je funkcija od x, u
oznaci Φ(x). Jasno je da vazˇi
Φ(x+Δx)−Φ(x) = P(XX1M1M)
= P(XX1T M)+P(MTM1)
= Δx · f (x)+P(MT M1).
¢
Slika 20 – Odredeni integral
Povrsˇina P(MT M1) je manja od povrsˇine |Δx|λ (Δx), gde je λ (Δx) najvec´e rastojanje
tacˇke luka (MM1) od prave p(MT ). Sa druge strane, kako je f (x) neprekidna, onda
λ (Δx)→ 0 kad Δx → 0. Na taj nacˇin
Φ(x+Δx)−Φ(x) = Δx( f (x)+μ(Δx)),
gde je |μ(Δx)|  λ (Δx) i λ (Δx) → 0, za Δx → 0. Odavde sledi da je Φ(x) neprekidna.
Vazˇi i visˇe od toga
Φ′(x) = lim
Δx→0
Φ(x+Δx)−Φ(x)
Δx
= lim
Δx→0
( f (x)+μ(Δx))= f (x).
Zakljucˇujemo da je ordinata krive y= f (x) jednaka izvodu povrsˇine Φ′(x), pa povrsˇina
Φ(x) predstavlja integral ordinate f (x).
Sada se mozˇe formulisati pravilo za nalazˇenje povrsˇine krivolinijskog trapeza oznacˇenog
sa (OXMP). Najpre se izracˇuna Φ(x) kao integral od f (x), pri cˇemu se proizvoljna kon-
stanta C bira tako da je Φ(0) = 0. Tada je Φ(x) trazˇena povrsˇina.10
10 G. H. Hardy, (M. A., F. R. S. Fellow of Trinity College Emeritus Professor of Pure Mathematics in
the University of Cambridge Hon. Fellow of New College), 1945, A Course of Pure Mathematics, Oxford,
ninth edition (prevod na ruski jezik), str. 263.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 198
4.3.1. Njutn–Lajbnicova formula
Neka je f neprekidna nenegativna funkcija, i neka je figura ogranicˇena linijama Γ f
(grafikom funkcije f ), x = a, x = b i x-osom.
F(x) je integral od f (x) ako je
F ′(x) = f (x), F(x) =

f (x)dx.
Ako je f  0, tada je povrsˇina figure jednaka F(b)−F(a).
Prema prethodnom razmatranju, figura (OXMP), ogranicˇena grafikom funkcije f ,
pravom x= 0, ordinatom x i x-osom, ima povrsˇinu F(x). Analognim razmatranjem povrsˇina
figure (OARP) je F(a) i povrsˇina figure (OBNP) je F(b). Razlika F(b)−F(a) je povrsˇina
figure (ABNR). Zbog prakticˇnog racˇunanja povrsˇine pogodno je imati oznaku, jer ne
mozˇemo uvek eksplicitno nac´i F(x), pa se zato uobicˇajeno pisˇe
P(ABNR) =
b
a
f (x)dx.
Broj
b
a
f (x)dx zove se odredeni integral; a i b su donja i gornja granica; f (x) je
podintegralna funkcija, a interval (a,b), interval integracije.
Veoma je impresivno da odreden integral zavisi od vrednosti funkcije F u krajnjim
tacˇkama integracije a i b.
Funkcija F(x) =

f (x)dx cˇesto se zove i neodreden integral. Povezanost odredenog
i neodredenog integrala data je Njutn–Lajbnicovom formulom
b
a
f (x)dx = F(b)−F(a).
Kao sˇto je pokazano, povrsˇina do ordinate a figure (OARP) je F(a), a povrsˇina do ordinate
x figure (OXMP) je F(x), pa je povrsˇina izmedu ordinata a i x figure (AMXR) jednaka
F(x)−F(a). Na osnovu definicije odredenog integrala je
F(x)−F(a) =
x
a
f (t)dt
F(x) = F(a)+
x
a
f (t)dt i vazˇi
F ′(x) =
( x
a
f (t)dt
)′
= f (x).
U specijalnom slucˇaju f (x)  0 na ovaj nacˇin dokazana je osnovna teorema inte-
gralnog racˇuna:
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 199
Osnovna teorema integralnog racˇuna. Neka je funkcija f neprekidna na [a,b].
Funkcija F(x) =
x
a
f (t)dt , x ∈ [a,b], ima izvod jednak f (x).
Iz toga sledi da je F neprekidna funkcija.
PRIMER 1. Izracˇunati povrsˇinu dela jedinicˇnog kruga. Pomoc´u primera definisati trigono-
metrijske funkcije.11
RESˇENJE. ˇSta predstavlja x u formulama za sinx i cosx? Za odgovor na to pitanje mozˇe
se odrediti mera ugla. Neka je f (AP) duzˇina luka kruzˇne linije sa centrom u O, poluprecˇnika 1,
odnosno OA = OP = 1. Tada je duzˇina x luka AP mera ugla AOP.
Medutim, mozˇe se uvesti mera ugla AOP kao dvostruka povrsˇina isecˇka AOP jedinicˇnog
kruga. Pretpostavimo da je OA na x-osi, a OP pripada pravoj y = mx, m > 0. Povrsˇina isecˇka je
funkcija od m i bic´e oznacˇena sa F(m). Tacˇka P ima koordinate (μ ,mμ) i vazˇi μ2 +(mμ)2 = 1,
odnosno
μ = 1√
1+m2
,
√
1−μ2 = m√
1+m2
, m =
√
1−μ2
μ .
Povrsˇina isecˇka je zbir povrsˇine ONP i povrsˇine P(NAP) krivolinijskog trougla.
F(m) =
1
2
μ(mμ)+
1
μ
√
1− x2 dx = 1
2
μ ·
√
1−μ2 −
μ
1
√
1− x2 dx
dF
dμ =
1
2
√
1−μ2 − 1
2
μ2√
1−μ2 −
√
1−μ2 =−1
2
1√
1−μ2
dF
dm =
dF
dμ
d μ
dm =−
1
2
1√
1−μ2 ·
(
− 1
1+m2
· 1
2
√
1+m2
·2m
)
=
1
2
· 1√
1−μ2 ·
m
(1+m2)3/2
=
1
2
1
1+m2
dF
dm =
1
2
· 1
1+m2
F(m) =
1
2
m
0
1
1+ t2
d t
2F(m) =
m
0
1
1+ t2
d t = arctg m.
11 G. H. Hardy, (M. A., F. R. S. Fellow of Trinity College Emeritus Professor of Pure Mathematics in the
University of Cambridge Hon. Fellow of New College) 1945, A Course of Pure Mathematics, Oxford ninth
edition. (Prevod na ruski jezik), str. 311-312.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 200
Na osnovu navedene teorijske postavke mozˇe se definisati funkcija arctg x na sledec´i nacˇin:
arctg x =
x
0
dx
1+ x2
, cˇije vrednosti argumenta su izmedu −π
2
i π
2
za x ∈ R.
Specijalno,
1
0
dx
1+ x2
= arctg1−arctg 0= π
4
, pa se mozˇe definisati i broj π kao π = 4
1
0
dx
1+ x2
.
Na slicˇan nacˇin
x
0
d t√
1− t2 = arcsin x, −1 < x < 1, −
π
2
< arcsin x < π
2
.
Pretpostavimo da je f (x) neprekidna funkcija i da je a < b. Za odredeni integral
vazˇe sledec´e osobine:12
(1)
a
a
f (x)dx = 0, jer je F(a)−F(a) = 0
(2)
b
a
f (x)dx =−
a
b
f (x)dx, jer je F(b)−F(a) =−(F(a)−F(b))
(3)
b
a
f (x)dx+
c
b
f (x)dx =
c
a
f (x)dx
(4)
b
a
k f (x)dx = k
b
a
f (x)dx
(5)
b
a
( f (x)+g(x))dx =
b
a
f (x)dx+
b
a
g(x)dx
(6) Ako je f (x) 0, a x b tada je
b
a
f (x)dx 0
(7) Ako je H  f (x) K, a x b, tada
H(b−a)
b
a
f (x)dx K(b−a).
Za dokaz se koristi osobina (6) primenjena na funkcije f (x)−H i K − f (x).
(8)
b
a
f (x)dx = (b−a) f (ξ ), za neko ξ ∈ (a,b) (Prva teorema o srednjoj vrednosti).
12 G. H. Hardy, (M. A., F. R. S. Fellow of Trinity College Emeritus Professor of Pure Mathematics in
the University of Cambridge Hon. Fellow of New College), 1945, A Course of Pure Mathematics, Oxford,
ninth edition (prevod na ruski jezik), str. 316.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 201
Ova osobina sledi iz Lagranzˇove teoreme primenjene na primitivnu funkciju F(x).
Postoji broj ξ ∈ (a,b) takav da je F(b)−F(a) = (b− a)F ′(ξ ). Kako je F(b)−
F(a) =
b
a
f (x)dx i izvod F ′(ξ ) = f (ξ ), dobijamo (8).
(9) Ako je g(x)> 0 i H  f (x) K tada vazˇi (Opsˇta teorema o srednjoj vrednosti):
H
b
a
g(x)dx
b
a
f (x)g(x)dx K
b
a
g(x)dx i
b
a
f (x)g(x)dx = f (ξ )
b
a
g(x)dx, ξ ∈ (a,b).
Teorema se dokazuje pomoc´u (6) primenjeno na integrale
b
a
( f (x)−H)g(x)dx i
b
a
(
K − f (x))g(x)dx.
(10)
∣∣∣
b
a
f (x)dx
∣∣∣
b
a
| f (x)|dx.
(11) Ako je | f (x)|M, onda
∣∣∣
b
a
f (x)g(x)dx
∣∣∣M
b
a
|g(x)|dx.
(12)
a
−a
f (x)dx =
⎧⎪⎨
⎪⎩
2
a
0
f (x)dx, ako je f (x) parna funkcija
0, ako je f (x) neparna funkcija
PRIMER 2.
(a)
π
−π
sinmx · sinnxd x = 0, za m,n ∈ N i m = n.
Ovaj integral se resˇava rastavljanjem proizvoda sinusa na razliku kosinusa, tj.
π
−π
sinmx · sinnxd x = 1
2
π
−π
(
cos(m−n)x− cos(m+n)x)dx
=
1
2
1
m−n sin(m−n)x
∣∣∣π
−π
− 1
2
1
m+n
sin(m+n)x
∣∣∣π
−π
= 0,
(vazˇno je da m = n).
(b) Za m = n se dobija
π
−π
sin2 mxdx =
π
0
2sin2 mxdx =
π
0
(1− cos2mx)d x
= x
∣∣∣π
0
− 1
2m
sin2mx
∣∣∣π
0
= π − 1
2m
sin 2mπ︸ ︷︷ ︸
=0
= π.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 202
NAPOMENA. Ovaj integral se mozˇe resˇiti jednostavnije na sledec´i nacˇin: Primetimo da
je
I1 =
π
−π
sin2 mxdx, I2 =
π
−π
cos2 mxdx. Kako je
I1 + I2 =
π
−π
(
sin2 mx+ cos2 mx
)
dx =
π
−π
dx = 2π,
Dobija se da je I1 = I2 = π.
(c)
π
−π
sinmx · cosnxd x = 0 (m,n ∈N).
(d)
π
−π
cosmx · cosnxd x jednak je 0 ili π u zavisnosti od toga da li je n = m ili
n = m (m,n ∈ N).
Duzˇina luka krive
Pretpostavimo da je data diferencijabilna funkcija y = f (x), x ∈ (0,K), K > 0, cˇiji
grafik Γ f je iznad x-ose i da je neprekidna od y-ose do ordinate tacˇke b.
Slika 21 – Duzˇina luka krive
Linija PM ima odredenu duzˇinu koju c´emo oznacˇiti sa (x). (x) je neprekidna funk-
cija
(x+Δx)− (x) = (MM1) = d(MM1) · (MM1)d(MM1)
d(MM1) =
√
d(MT )2 +d(T M1)2 =
√
(Δx)2 +
(
Δx f ′(ξ ))2
jer vazˇi
f (x+Δx)− f (x) = Δx · f ′(ξ )
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 203
zbog toga sˇto je funkcija f (x) neprekidna i vazˇi Lagranzˇova teorema
d(MM1) = Δx
√
1+
( f ′(ξ ))2
(x+Δx)− (x) = Δx
√
1+
( f ′(ξ ))2 · (MM1)d(MM1)
pri cˇemu je (MM1)d(MM1) < λ i vazˇi limΔx→0
(MM1)
d(MM1)
= 1, pa je funkcija (x) neprekidna i vazˇi
lim
Δx→0
(x+Δx)− (x)
Δx = limΔx→0
√
1+
( f ′(ξ ))2,
′(x) =
√
1+
( f ′(x))2.
Na ovaj nacˇin se dobija da je
(x) =
 √
1+
( f ′(x))2 dx.
Duzˇina luka neprekidne funkcije na [a,b] od ordinate tacˇke a do ordinate tacˇke b je
broj
=
b
a
√
1+
( f ′(x))2 dx.
Ukoliko je funkcija f (x) data u parametarskom obliku
dy
dx =
dy
dt
dt
d-x =
dy
dt ·
1
dx
dt
,
odakle je
=
t2
t1
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt.
PRIMER 3. Izracˇunati duzˇinu luka jedinicˇne kruzˇnice.
RESˇENJE. Duzˇina luka l je integral
l =
1
a
1√
1− t2 dt ili
l =
b
0
1√
1− t2 dt.
Broj π definisˇe se kao duzˇina polukruzˇnice
π =
1
−1
1√
1− t2 dt.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 204
Slika 22 – Duzˇina luka
Interesantno je da se izracˇuna integral
1
a
1√
1− t2 dt = arc sin1− arc sina =
π
2
− arc sina.
Malo nas zbunjuje dobijeni rezultat jer ocˇekujemo arccosa. Na osnovu podudarnosti trouglova,
OAE ∼=OA1E1
pa je l = π
2
− l1, odnosno arccosa = π2 − arcsina.
4.3.2. Tejlorova formula sa ostatkom u obliku integrala
Neka su a i b dve razlicˇite tacˇke intervala I i n ∈ N.
Teorema o ostatku u obliku integrala. Ako je funkcija f diferencijabilna n+1 puta
na intervalu I, onda vazˇi jednakost:
f (x) =
n
∑
k=0
f (k)(x)
k! (x−a)
k +
x
a
f (n+1)(t)
n!
(x− t)n dt, a < t < x.
Kao sˇto se vidi, prvi sabirak je Tejlorov polinom n-tog stepena, a drugi je ostatak
(gresˇka) u obliku integrala.
DOKAZ . Primenimo metod matematicˇke indukcije. Za n = 0 data jednakost je
f (x) = f (a)+
x
a
f ′(t)dt ⇒ f (x) = f (a)+ f (t)
∣∣∣x
a
= f (a)+ f (x)− f (a) = f (x),
pa je formula tacˇna (baza indukcije).
Pretpostavimo da je data jednakost tacˇna za neko n−1 (n 1), odnosno
f (x) =
n−1
∑
k=0
f (k)(x)
k! (x−a)
k +
x
a
f (n)(t)
(n−1)! (x− t)
n−1 dt, za neko n−1 je tacˇno.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 205
Pomoc´u parcijalne integracije ostatak u ovoj formuli postaje
x
a
f (n)(t)
(n−1)! (x− t)
n−1 dt =−(x− t)n f
(n)(t)
n!
∣∣∣t=x
t=a
+
x
a
f (n+1)(t)
n!
(x− t)n dt
=
f (n)(a)
n! (x−a)
n +
x
a
f (n+1)(t)
n! (x− t)
n dt.
Kada zamenimo dobijeni ostatak dobili smo formulu koja je tacˇna za n ∈ N.
PRIMER 4. Funkcija f (x) = ln(1+ x), x >−1, ima Tejlorov razvoj u okolini tacˇke x = 0
ln(1+ x) = x− x
2
2
+
x3
3
−·· ·+(−1)n−1 x
n
n
+(−1)n
x
0
tn
1+ t
dt
sa ostatkom u integralnom obliku.
Ostatak ima znak (−1)n ako je x > 0 i znak (−1) ako je −1 < x < 0.
(1) Za x > 0, 1+ t  1 jer je 0 t  x
(2) Za −1 < x < 0, uz uslov |t| |x| vazˇi
−t  |x|, −1 < x t  0 pa je
t −|x|
1+ t  1−|x|, −1 < x t  0
Koristec´i ove nejednakosti dobija se ocena ostatka∣∣∣∣∣
x
0
tn
1+ t
dt
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
x
0
tndt
∣∣∣∣∣=
|x|n+1
n+1
→ 0, za 0 x 1 kad n →+∞
∣∣∣∣∣
x
0
tn
1+ t
dt
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
x
0
tn
1−|x|dt
∣∣∣∣∣=
|x|n+1
(n+1)(1−|x|) → 0, za −1 < x 0, kada n →+∞.
Na ovaj nacˇin, dobija se
ln(1+ x) =
+∞
∑
n=1
(−1)n−1 x
n
n
, −1 < x 1
Primetimo da je za x = 1
ln2 =
+∞
∑
n=1
(−1)n−1
n
.
PRIMER 5. Funkcija f (x) = (1+ x)α , x >−1, α ∈ R, ima n-ti izvod
f (n)(x) = α(α −1) . . . (α −n+1)(1+ x)α−n
i u okolini tacˇke x = 0 aproksimira se Tejlorovim polinomom
(1+ x)α = 1+
(
α
1
)
x+
(
α
2
)
x2 + · · ·+
(
α
n
)
xn +Rn(x)
gde je ostatak u integralnom obliku
Rn(x) =
α(α −1) . . . (α −n)
n!
x
0
(
x− t
1+ t
)n
(1+ t)α−1dt.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 206
Za svako t >−1 vazˇi∣∣∣∣ x− t1+ t
∣∣∣∣ |x|.
Na osnovu ove nejednakosti vazˇi ocena∣∣∣∣∣
α(α −1) . . . (α −n)
n!
x
0
(
x− t
1+ t
)n
(1+ t)α−1dt
∣∣∣∣∣

∣∣∣∣α(α −1) . . . (α −n)n!
∣∣∣∣ |x|n
∣∣(1+ x)α −1∣∣
=
∣∣∣(1−α)
(
1− α
2
)
· · ·
(
1− α
n
)∣∣∣ |x|n∣∣(1+ x)α −1∣∣
Za dovoljno veliko n, postoji N takvo da je N > |α | i za n > N svi cˇinioci u proizvodu su oblika∣∣∣
(
1− α
N
)
x
∣∣∣ < 1 za |x| < 1.
Odavde sledi da Rn(x)→ 0, n →+∞ i |x|< 1. Dobija se da je
(1+ x)α =
+∞
∑
n=0
(
α
n
)
xn, |x| < 1.
NAPOMENA. (1) Primetimo da je razvoj funkcije f (x) = (1− x)−1, |x|< 1 gometrijski red
1
1− x =
+∞
∑
n=0
xn
(2) Za funkciju f (x) = (1+ x)−1, |x|< 1 vazˇi
1
1+ x
=
+∞
∑
n=0
(−1)nxn.
Ako koristimo ostatak u integralnom obliku
1
1+ x
= 1− x+ x2 −·· ·+(−1)n−1xn−1 +(−1)n x
n
1+ x
.
Ako ovu jednakost integralimo
ln(1+ x) = x− x
2
2
+
x3
3 −·· ·+(−1)
n−1 xn
n
+(−1)n
x
0
tn
1+ t
dt.
Dobijeni razvoj smo vec´ razmatrali!
PRIMER 6. Ako u razvoj
1
1+ x
= 1− x+ x2 −·· ·+(−1)n−1xn−1 +(−1)n x
n
1+ x
dato x zamenimo sa x2 i integralimo od 0 do x, dobija se
arc tgx = x− x
3
3 +
x5
5 −·· ·+(−1)
n−1 x2n−1
2n−1 +(−1)
n
x
0
t2n
1+ t2
dt.
Kako je 1+ t2  1 za svako t, dobija se ocena∣∣∣∣∣
x
0
t2n
1+ t2
dt
∣∣∣∣∣
|x|2n+1
2n+1
→ 0, za |x| 1, kada n →+∞.
4.3. Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine ravne figure 207
Zbog toga, mozˇe se pisati
arc tgx =
+∞
∑
n=1
(−1)n−1 x
2n−1
2n−1 , x ∈ [−1,1]
Za x = 1, dobija se
π
4
= 1− 13 +
1
5 −·· ·+(−1)
n 1
2n+1
+ · · ·
PRIMER 7. U razvoju funkcije f (x) = (1+ x)− 12 dobija se
(1+ x)−
1
2 = 1− 1
2
x+
1 ·3
2 ·4x
2 − 1 ·3 ·5
2 ·4 ·6x
3 + · · ·+(−1)n 1 ·3 ·5 · · · (2n−1)
2 ·4 ·6 · · · (2n) x
n +Rn(x).
Kada umesto x stavimo (−x2), dobija se
(1− x2)− 12 = 1+ 1
2
x2 +
1 ·3
2 ·4x
4 − 1 ·3 ·5
2 ·4 ·6x
6+
+ · · ·+ 1 ·3 ·5 · · · (2n−1)
2 ·4 ·6 · · · (2n) x
2n +Rn(x)
gde je ocena ostatka
0 Rn(x)
1 ·3 ·5 · · · (2n+1)
2 ·4 ·6 · · · (2n)
x2n√
1− x2 .
Za |x|< 1 vazˇi dobijeni razvoj jer tada Rn(x)→ 0, n →+∞.
Kada poslednji razvoj integralimo dobija se
arc sinx = x+ 1
2
x3
3 +
1 ·3
2 ·4
x5
5 +
1 ·3 ·5
2 ·4 ·6
x7
7
+ · · ·+ 1 ·3 ·5 · · · (2n−1)
2 ·4 ·6 · · · (2n)
x2n+1
2n+1
+Rn(x)
gde je procena gresˇke
∣∣Rn(x)∣∣  1 ·3 ·5 · · · (2n−1)2 ·4 ·6 · · · (2n) ·
|x|2n+1√
1− x2 
|x|2n+1√
1− x2 → 0, |x|< 1, n →+∞.
Mozˇe se pisati jednakost
arc sinx =
+∞
∑
n=0
1 ·3 ·5 · · · (2n−1)
2 ·4 ·6 · · · (2n)
x2n+1
2n+1
, x ∈ (−1,1).
Za x =
1
2
, dobija se
π
6 =
+∞
∑
n=0
1 ·3 ·5 · · · (2n−1)
2 ·4 ·6 · · · (2n)
1
(2n+1)
1
22n+1
.
Ova formula daje bolje racˇunanje broja π nego prethodna.
Na ovaj nacˇin π = 3,141592653 . . . s tacˇnosˇc´u 1
109 .
Metricˇki i vektorski prostori 208
METRI ˇCKI I VEKTORSKI PROSTORI
Metricˇki prostori
Mnogi pojmovi vezani za realnu pravu, kao sˇto je pojam konvergencija niza tacˇaka,
zasnivaju se na rastojanju izmedu dve tacˇke. To omoguc´ava da se ti pojmovi i razmatra-
nja vezana za njih uvedu i na druge skupove, ukoliko se u ovima na odgovarajuc´i nacˇin
definisˇe rastojanje.
Ovakav pristup je karakteristicˇan za apstrakciju. To je izdvajanje i uopsˇtavanje.
Definicija metricˇkog prostora.13 Neka je X neprazan skup. Metrika na X (ili ra-
stojanje na X) je preslikavanje d : X ×X → R koje ima sledec´e osobine:
(a) d(x,y) 0, za svaki x,y ∈ X, jednakost vazˇi ako i samo ako je x = y;
(b) d(x,y) = d(y,x), za svaki x,y ∈ X;
(c) d(x,y) + d(y,z)  d(x,z), za svaki x,y,z ∈ X (ova nejednakost poznata je kao
nejednakost trougla).
Metricˇki prostor je par (X ,d), gde je d metrika na X .
Neka je (X ,d) metricˇki prostor. Za svaki a ∈ X i r > 0 definisˇemo:
(i) otvorenu loptu sa centrom a i poluprecˇnikom r kao skup
B(a,r) =
{
x ∈ X | d(x,a)< r},
(ii) zatvorenu loptu sa centrom a i poluprecˇnikom r kao skup
B(a,r) =
{
x ∈ X | d(x,a) r}.
PRIMER 1. Metricˇki prostor skupa realnih brojeva R.
Standardna metrika na R je data sa
d(x,y) = |x− y|.
PRIMER 2. Metricˇki prostor Rn = R×R×·· ·×R︸ ︷︷ ︸
n puta
, cˇije elemente oznacˇavamo sa
x = (x1,x2, . . . ,xn)
y = (y1,y2, . . . ,yn)
z = (z1,z2, . . . ,zn)
.
.
.
snabdeven metrikom
d(x,y) =
(
n
∑
i=1
|xi − yi|2
)1/2
Metricˇki i vektorski prostori 209
naziva se euklidski metricˇki prostor.
NAPOMENA. (1) U metricˇkom prostoru Rn mozˇe se uvesti metrika
d(x,y) =
(
n
∑
i=1
|xi − yi|p
)1/p
,
pa ga oznacˇavamo sa Rnp, 1 p <+∞.
(2) U metricˇki prostor Rn mozˇe se uvesti metrika
d(x,y) = max
1in
|xi − yi|.
Ovaj metricˇki prostor oznacˇava se sa Rn
∞
.
Neka je S skup svih nizova sa realnim ili kompleksnim cˇlanovima. U skup S i u neke
njegove podskupove moguc´e je uvesti metriku. Tako dobijamo metricˇke prostore nizova.
Elemente iz S oznacˇavamo sa
x = (x1,x2, . . .), y = (y1,y2, . . .), z = (z1,z2, . . .).
Umesto (x1,x2, . . . ,) najc´esˇc´e pisˇemo (xn).
—
PRIMER 3.
(i) Prostor lp (1  p < +∞). Tacˇke x prostora lp su beskonacˇni nizovi brojeva (xn) takvi
da red
+∞
∑
n=1
|xn|p konvergira.
U lp rastojanje je uvedeno sa
d(x,y) =
(
+∞
∑
n=1
|xn − yn|p
)1/p
(umesto l1 oznaka je l).
(ii) Prostor m. Tacˇke x metricˇkog prostora m su ogranicˇeni nizovi (xn); rastojanje u m
uvedeno je sa
d(x,y) = sup
1n<+∞
|xn − yn|.
(iii) Prostor c. Tacˇke x metricˇkog prostora c su konvergentni nizovi, a rastojanje je uvedeno
kao u m.
(iv) Prostor c0. Tacˇke x metricˇkog prostora c0 su nizovi (xn) koji konvergiraju nuli, a me-
trika je ista kao u m.
U sledec´im primerima navodimo neke metricˇke prostore funkcija.
Metricˇki i vektorski prostori 210
PRIMER 4. (i) Prostor C[a,b]. Elementi f metricˇkog prostora C[a,b] su neprekidne funkcije
f (t), t ∈ [a,b], gde je rastojanje uvedeno sa
d( f ,g) = max
atb
∣∣ f (t)−g(t)∣∣.
(ii) Prostor C˜[0,2π]. Elementi f metricˇkog prostora C˜[0,2π] su neprekidne i periodicˇne
funkcije periode 2π , a metrika je ista kao na C[0,2π].
Niz (xn) iz X konvergira tacˇki x ∈ X ako niz brojeva
d(xn,x)→ 0, n →+∞.
Kazˇe se da je x granicˇna vrednost niza (xn) i oznacˇava xn → x (n →+∞) ili lim
n→+∞xn = x.
Niz (xn) konvergira tacˇki x ako svakoj okolini Vx odgovara prirodni broj n0 tako da
n n0 ⇒ xn ∈Vx.
Niz (xn) je Kosˇijev niz ako svakom ε > 0 odgovara prirodni broj n0 tako da
m > n n0 ⇒ d(xm,xn)< ε.
Vazˇe sledec´a tvrdenja:
(i) Svaki Kosˇijev niz je ogranicˇen.
(ii) Svaki konvergentan niz je Kosˇijev niz.
Kompletan metricˇki prostor. Metricˇki prostor je kompletan ako u njemu svaki Kosˇijev
niz konvergira.
Na primer, prostor R je kompletan. Svi metricˇki prostori dati primerima 1–4 takode
su kompletni.
Neprekidno preslikavanje. Neka su (X ,d) i (Y,ρ) metricˇki prostori.
Funkcija f : X → Y je neprekidna u tacˇki a ∈ X ako
(∀ε > 0)(∃δ > 0)
(
d(x,a)< δ ⇒ d( f (x), f (a))< ε
)
.
Navedena definicija ekvivalentna je sledec´oj:
Funkcija f : X → Y je neprekidna i tacˇki a ∈ X ako je inverzna slika f −1(V ) svake
okoline V tacˇka f (a) jedna okolina tacˇke a u prostoru (X ,d).
Uniformna neprekidnost. Neka su (X ,d) i (Y,ρ) metricˇki prostori i neka je f :
X → Y . Kazˇemo da je funkcija f uniformno neprekidna (ravnomerno neprekidna) ako za
svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da vazˇi
d(x,y)< δ ⇒ ρ( f (x), f (y))< ε, za sve x,y ∈ X .
Metricˇki i vektorski prostori 211
Kompaktan metricˇki prostor. Neka je (X ,d) metricˇki prostor. Prostor (X ,d) je
kompaktan ako svaki beskonacˇni niz prostora X ima konvergentan podniz.
Ekvivalentna definicija:
(X ,d) je kompaktan ako svaki otvoreni pokrivacˇ prostora X ima konacˇan podpo-
krivacˇ (familija otvorenih skupova je pokrivacˇ prostora X ako svako x ∈ X pripada makar
jednom skupu iz te familije).
Definicija vektorskog prostora. Pod linearnim vektorskim prostorom, ili samo vek-
torskim prostorom, nad poljem K podrazumeva se svaki skup V sa dve date operacije,
jednim sabiranjem
(u,v) → u+ v (u,v ∈ V)
kojim se svakom paru elemenata u,v iz V pridruzˇuje neki element u+ v iz V, i jednim
mnozˇenjem skalarima
(α,v) → α · v (α ∈K, v ∈ V),
kojim se svakom α ∈ K i svakom elementu v ∈ V pridruzˇuje neki element αv iz V, tako
da vazˇi:
(1) (u+ v)+w = u+(v+w),
(2) v+u = u+ v,
(3) v+0 = v za neki fiksiran element 0 iz V i svako v ∈ V,
(4) za svako v ∈ V postoji x iz V za koje je v+ x = 0,
(5) α(u+ v) = αu+αv,
(6) (α +β )u = αu+βu,
(7) α(βu) = (αβ )u,
(8) 1u = u.
Elemente vektorskog prostoraV zovemo vektorima, a elemente iz poljaK skalarima
u tom prostoru.14 Svaki vektorski prostor V sadrzˇi tacˇno jedan nula vektor i tacˇno jedan
inverzni vektor, za koje vazˇi
v+0 = v, 0+ v = v,
v+(−v) = 0, (−v)+ v = 0 i v =−(−v).
Jedino resˇenje jednacˇine x+ v = u je
x = u− v = u+(−v) (razlika vektora).
14 Polje K oznacˇava polje realnih brojeva (K = R), ili oznacˇava polje kompleksnih brojeva (K = C).
Videti u: Gojko Kalajdzˇic´, 2011, Linearna algebra i geometrija, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 31.
Metricˇki i vektorski prostori 212
NAPOMENA. Metricˇki prostori nizova i funkcija koje smo naveli kao primere mogu se sna-
bdeti i strukturom vektorskog prostora.
PRIMER 5. (i) Za svako K i bilo koji prirodan broj n skup Kn svih uredenih n-torki
(x1,x2, . . . ,xn) sa xn-ovima iz K, jeste i jedan vektorski prostor nad K u odnosu na operacije +
i · odredene sa
(x1, . . . ,xn)+ (y1, . . . ,yn) = (x1 + y1, . . . ,xn + yn),
α(x1, . . . ,xn) = (αx1, . . . ,αxn),
pri cˇemu + i · na desnim stranama tih relacija oznacˇavaju sabiranje i mnozˇenje u samom polju K.
(ii) Skup K[X ] svih polinoma nad poljem K je jedan vektorski prostor nad tim poljem u
odnosu na njihovo sabiranje i mnozˇenje konstantama iz K.
(iii) Skup svih realnih nizova je jedan vektorski prostor nad poljem R u odnosu na njihovo
uobicˇajeno sabiranje (an)+ (bn) = (an +bn) i njihovo mnozˇenje skalarima λ (an) = (λan).
(iv) Skup neprekidnih funkcija na realnom intervalu I (otvorenom, poluotvorenom ili zatvo-
renom, konacˇnom ili beskonacˇnom), u oznaci C(I), nad poljem K (gde je K = R ili K = C) je
vektorski prostor ako vazˇi
( f +g)(t) = f (t)+g(t)
(λ f )(t) = λ · f (t)
gde su unutrasˇnje sabiranje i spoljasˇnje mnozˇenje operacije iz K.
Neka je {x1, . . . ,xn} konacˇan skup vektora iz vektorskog prostora V. Suma
a1x1 + · · ·anxn =
n
∑
i=1
aixi, ai ∈K naziva se linearna kombinacija.
Sistem vektora [x1, . . . ,xn] je linearno nezavisan u vektorskom prostoru V ako za
proizvoljne skalare a1, . . .an vazˇi
n
∑
i=1
aixi = 0 ⇒ ai = 0, i = 1,2, . . . ,n.
Definicija norme. Neka je X vektorski prostor. Nenegativna funkcija definisana za
svaki x ∈ X naziva se norma, u oznaci ‖x‖, takva da je
(1) ‖x‖ 0, ‖x‖= 0 ⇒ x = 0,
(2) ‖λx‖= |λ |‖x‖, λ ∈K,
(3) ‖x+ y‖ ‖x‖+‖y‖.
Vektorski prostor snabdeven normom je normiran. U normiran vektorski prostor
uvodi se metrika sa
d(x,y) = ‖x− y‖.
Jednostavno se proverava da je d zaista metrika.
Metricˇki i vektorski prostori 213
PRIMER 6. Vektorski prostori iz primera 1–4 mogu se normirati, ako se uvede norma, na
sledec´i nacˇin:
R
k : ‖x‖ =
(
k
∑
i=1
|xi|2
)1/2
R
k
∞
: ‖x‖ = max
1ik
|xi|
lp (1 p <+∞) : ‖x‖=
(
k
∑
i=1
|xi|p
)1/p
m,c,c0 : ‖x‖ = sup
1i<+∞
|xi|, 1 i <+∞
C[a,b] : ‖x‖ = max
atb
| f (t)|
Lp(a,b) (1 p <+∞) : ‖ f‖=
( b
a
| f (t)|p dt
)1/p
.
Definicija Banahovog prostora. Normiran vektorski prostor koji je kompletan zove
se Banahov prostor.
Na primer, normirani prostori Rk, lp, m, c, c0, C su Banahovi.
Lp nije kompletan. Primetimo da integral Rimana nije dovoljno opsˇti. Ako je u pita-
nju Lebegov integral, onda Lp jeste kompletan.15
Definicija skalarnog proizvoda. Neka je V vektorski prostor nad poljemK, K=R
ili K = C. Funkcija iz V×V u K je skalarni proizvod u V, koji svakom paru vektora
x,y ∈ V pridruzˇuje skalar 〈x,y〉 ∈K i za koje vazˇi:
(i) 〈x,y〉= 〈y,x〉
(ii) 〈ax+by,z〉= a〈x,z〉+b〈y,z〉
(iii) 〈x,x〉 0
(iv) 〈x,x〉= 0 ⇐⇒ x = 0
za x,y,z ∈ V, a,b ∈K.
Simbol 〈y,x〉 oznacˇava kompleksni konjugovani broj i vazˇi
〈x,ay〉= 〈ay,x〉= a〈x,y〉.
Ako je V nad poljem R tada je 〈x,y〉= 〈y,x〉.
Neka je V vektorski prostor snabdeven skalarnim proizvodom. Tada vazˇi nejedna-
kost Kosˇi–Bunjakovski– ˇSvarc
|〈x,y〉|2  〈x,x〉〈y,y〉, x,y ∈ V.
15 O Lp prostorima mozˇe se videti u: Stevan Pilipovic´, Dora Selesˇi, 2012, Mera i integral: fundamenti
teoriji verovatnoc´e, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
Metricˇki i vektorski prostori 214
DOKAZ . Za x = 0 ili y = 0 nejednakost je tacˇna, pa pretpostavimo da su x = 0 i
y = 0.
Nijedna strana nejednakosti nec´e se promeniti ako x zamenimo sa ax u slucˇaju
|a| = 1. Izaberemo takvo a da je 〈ax,y〉 realan broj, odnosno ako je 〈x,y〉 = |〈x,y〉|eiθ ,
stavic´emo a = e−iθ .
Zbog navedenog, bez umanjenja opsˇtosti, mozˇemo dokazati nejednakost u slucˇaju
kada je 〈x,y〉 realan broj.
Koristec´i osobine skalarnog proizvoda, za t ∈ R, vazˇi
0 〈x+ ty, x+ ty〉= 〈x,x〉+2〈x,y〉t + 〈y,y〉t2.
Kvadratni trinom na desnoj strani dostizˇe minimum za t =−〈x,y〉〈y,y〉 .
Zamenom datog t u nejednakost dobija se
0 〈x,x〉− 〈x,y〉
2
〈y,y〉 ,
cˇime je tvrdenje dokazano.
Norma vektora x, na osnovu definicije, je
‖x‖=
√
〈x,x〉.
Za x,y ∈ V vazˇe sledec´e osobine:
‖x‖ 0 (nenegativnost)
|〈x,x〉| ‖x‖‖y‖ (nejednakost CBS)
‖x+ y‖ ‖x‖+‖y‖.
DOKAZ . Kad kvadriramo normu zbira dobija se
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉
= ‖x‖2 + 〈x,y〉+ 〈y,x〉+‖y‖2
= ‖x‖2 +2Re〈x,y〉+‖y‖2.
Posˇto je Re〈x,y〉 |〈x,y〉| i na osnovu nejednakosti CBS, dobija se:
‖x+ y‖2  ‖x‖2 +2‖x‖‖y‖+‖y‖2
=
(‖x‖+‖y‖)2.
Kvadratni koren daje trazˇeni rezultat.
Ako rastojanje izmedu vektora x i y definisˇemo sa ‖x−y‖, vazˇi nejednakost trougla
‖x− y‖= ‖x− z+ z− y‖
 ‖x− z‖+‖z− y‖.
Metricˇki i vektorski prostori 215
Definicija Hilbertovog prostora. Banahov prostor u kome je norma definisana preko
skalarnog proizvoda zove se Hilbertov prostor.
PRIMER 7. U Rn definisˇe se skalarni proizvod vektora x = (x1, . . . ,xn) i y = (y1, . . . ,yn) sa
〈x,y〉 = x1y1 + · · ·+ xnyn,
sˇto podrazumeva da je
‖x‖ =
√
x 21 + · · ·+ x 2n .
U ovoj topologiji vektorski prostor Rn je poznati n-dimenzioni Euklidov prostor.
PRIMER 8. U Cn definisˇe se
〈z,w〉= z1w1 + · · ·+ znwn i,
‖z‖ =
√
|z1|2 + · · ·+ |zn|2.
PRIMER 9. Prirodni izbor za definisanje skalarnog proizvoda na C([a,b]) je
〈 f ,g〉 =
b
a
f (x)g(x)dx, f ,g ∈C([a,b]) i,
‖ f‖=
[ b
a
| f (x)|2dx
]1/2
.
NAPOMENA. Nejednakost CBS mozˇe se dokazati i direktno na prostoru R, koristec´i nejed-
nakost
(a−b)2 = a2 −2ab+b2  0 gde stavimo
a =
xi√
x 21 + · · ·+ x 2n
, b = yi√
y 21 + · · ·+ y 2n
, xi,yi ∈ R.
Ugao θ ∈ [0,π] izmedu vektora x i y razlicˇitih od nule u prostoru Rn definisˇe se pomoc´u
〈x,y〉 = ‖x‖‖y‖cos θ .
Funkcija cos : [0,π]→ [−1,1] je 1−1 i na i definicija ugla θ je naR2 iR3 istovetna sa uobicˇajenom
definicijom na tim prostorima.
Ako su x = 0 i y = 0
〈x,y〉 = 0 ⇐⇒ cosθ = 0,
sˇto je uslov da vektori x,y ∈Rn budu ortogonalni.
Definicija ortogonalnosti. Vektori x i y iz vektorskog prostora V, snabdeveni ska-
larnim proizvodom 〈·, ·〉 i normom ‖ · ‖, jesu ortogonalni ako vazˇi 〈x,y〉 = 0, u oznaci
x⊥y.
Metricˇki i vektorski prostori 216
Skup S ⊆ V je ortogonalan ako je svaki par razlicˇitih vektora iz S ortogonalan. Or-
togonalni skup S⊆ V je ortonormiran ako je ‖x‖= 1, x ∈ S.
Tipicˇan primer ortonormiranog skupa u Euklidovom prostoru Rn jeste skup
e1 = (1,0, . . . ,0)
e2 = (0,1, . . . ,0)
.
.
.
en = (0,0, . . . ,1)
koji, kao sˇto smo videli, cˇini bazu vektorskog prostora Rn. Generalno, ako su nenula
vektori x1,x2, . . . ,xn iz vektorskog prostora V, snabdevenog skalarnim proizvodom 〈·, ·〉 i
normom ‖x‖ ortogonalni, onda su oni linearno nezavisni.
Iz jednakosti a1x1 + · · ·+anxn = 0, ai ∈K na osnovu cˇinjenice da su vektori xk, 1
k n, ortogonalni, odnosno 〈xi,xk〉= 0, i = k vazˇi ak〈xk,xk〉= ak‖xk‖2 = 0, k ∈ {1, . . . ,n}
⇒ ak = 0, za svako k.
Ako svaki element skupa ortogonalnih vektora x1,x2, . . . ,xn izV podelimo njegovom
normom, dobijamo ortonormiran skup{
xi
‖xi‖| 1 i n
}
.
Ako je x iz Euklidskog vektorskog prostora Rn, on je linearna kombinacija vektora
baze [e1, . . . ,en], tj.
x =
n
∑
i=1
aiei.
Skalarni proizvod 〈x,ek〉, k = 1, . . . ,n na osnovu ortogonalnosti vektora {ei} je
〈x,ek〉= ak, k ∈ {1,2, . . . ,n}.
Ovako su odredeni koeficijenti ai, pa se vektor x mozˇe napisati kao
x =
n
∑
i=1
〈x,ei〉ei.
Vektor 〈x,ei〉ei je vektor projekcije vektora x u pravcu ei.
Uopsˇteno, ako su x i y = 0 vektori iz vektorskog prostora V, snabdevenog skalarnim
proizvodom 〈·, ·〉 i normom ‖ · ‖, tada je vektor〈
x,
y
‖y‖
〉
y
‖y‖ =
〈x,y〉
‖y‖2 y
vektor projekcije x u pravcu y.
Gram–ˇSmitov metod za konstrukciju ortogonalnog skupa. Ako je dat linearno
nezavisan skup vektora {x1, . . . ,xn} iz vektorskog prostora V, snabdeven skalarnim proi-
zvodom 〈·, ·〉 i normom ‖ · ‖, mozˇe se formirati ortogonalni skup vektora {y1,y2, . . . ,yn}
od {xi} na sledec´i nacˇin:
Metricˇki i vektorski prostori 217
Prvo biramo da je y1 = x1.
Drugi vektor dobija se od x2 tako da je
y2 = x2− 〈x2,y1〉‖y1‖2 y1,
y3 = x3− 〈x3,y1〉‖y1‖2 y1−
〈x3,y2〉
‖y2‖2 y2
.
.
.
yn = xn− 〈xn,y1〉‖y1‖2 y1−·· ·−
〈xn,yn−1〉
‖yn−1‖2 yn−1.
Na ovaj nacˇin skup vektora {y1,y2, . . . ,yn} je ortogonalan.
PRIMER 10. a) Skup funkcija ek =
{
e2πikx : k ∈ Z} je ortonormiran u prostoru L2[0,1].
Za k = l
〈ek, ek〉=
1
0
e2πikx · e−2πikx dx =
1
0
1dx = 1.
Za k = l, neka je m = k− l = 0, onda
〈ek,el〉=
1
0
e2πimx dx = 1
2πim
e2πimx
∣∣∣1
0
=
1
2πim
(1−1) = 0
‖ek‖2 = 〈ek,ek〉= 1.
b) Skup funkcija{
1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, . . .
}
je ortogonalan na L2[−π,π]
〈1,cos nx〉=
π
−π
cosnx, n ∈N
〈1,sin nx〉=
π
−π
sinnx, n ∈N
〈cos nx,cos mx〉=
π
−π
cosnxcos mxdx
=
1
2
π
−π
[
cos(n−m)x+ cos(n+m)x]dx
=
1
2
[
1
n−m sin(n−m)x+
1
n+m
sin(n+m)x
]∣∣∣π
−π
= 0, n = m
〈sin nx,sin mx〉=
π
−π
sinnxsin mxdx
Metricˇki i vektorski prostori 218
=
1
2
π
−π
[
cos(n−m)x+ cos(n+m)x]dx = 0, n = m
〈cos nx,sin mx〉=
π
−π
cosnxsin mxdx = 0, n,m ∈N
‖1‖=
√
2π
‖cosnx‖ =
[
π
−π
cos2 nxdx
]1/2
=
√
π, n ∈ N
‖sinnx‖ =
[
π
−π
sin2 nxdx
]1/2
=
√
π, n ∈N
Skup
{
1√
2π
,
cosx√
π
,
sinx√
π
,
cos2x√
π
,
sin 2x√
π
, . . .
}
je ortonormiran u L2[−π,π].
Prostor L2
Prostor L2 je vektorski prostor kompleksnih neprekidnih funkcija iz C([a,b]) za koji
skalarni proizvod i normu definisˇemo na sledec´i nacˇin:
Za bilo koje dve funkcije f i g iz vektorskog prostora C([a,b]) kompleksnih nepre-
kidnih funkcija na realnom intervalu [a,b] definisˇe se skalarni proizvod
〈 f ,g〉=
b
a
f (x)g(x)dx,
iz koga sledi da je norma odredena sa
‖ f‖=
√
〈 f , f 〉=
√√√√ b
a
| f (x)|2 dx.
Za f ,g ∈C([a,b]), uz uslov ‖ f‖ = 0, ‖g‖ = 0, vazˇi
∥∥∥∥ | f |‖ f‖ −
|g|
‖g‖
∥∥∥∥
2
=
b
a
[ | f (x)|
‖ f‖ −
|g(x)|
‖g‖
]2
dx 0,
b
a
| f (x)| |g(x)|
‖ f‖‖g‖ dx
1
2
1
‖ f‖2
b
a
| f (x)|2dx+ 1
2
1
‖g‖
b
a
|g(x)|2dx = 1
⇒ 〈| f |, |g|〉 ‖ f‖‖g‖ (oslabljena nejednakost CBS).
Ali tada vazˇi i CBS u punoj opsˇtosti, na osnovu:
|〈 f ,g〉|=
∣∣∣∣∣
b
a
f (x)g(x)dx
∣∣∣∣∣
b
a
| f (x)| |g(x)|dx = 〈| f |, |g|〉 ‖ f‖ · ‖g‖.
Metricˇki i vektorski prostori 219
Takode vazˇi nejednakost trougla
‖ f +g‖ ‖ f‖+‖g‖
koja sledi iz relacije
‖ f +g‖2 = 〈 f +g, f +g〉
= ‖ f‖2 +‖g‖2 + 〈 f ,g〉+ 〈g, f 〉
= ‖ f‖2 +2Re〈 f ,g〉+‖g‖2
 ‖ f‖2 +2|〈 f ,g〉|+‖g‖2
 ‖ f‖2 +2‖ f‖‖g‖+‖g‖2.
Nenegativan broj ‖ f −g‖ je mera udaljenosti funkcija f i g ∈ C([a,b]).
Ako je ‖ f −g‖= 0, onda je f = g na [a,b].
4.4. Furijeovi redovi i primene 220
4.4. FURIJEOVI REDOVI I PRIMENE
Teorija Furijeovih redova bavi se pitanjem da li data periodicˇna funkcija, sa perio-
dom 1, mozˇe da se napisˇe kao zbir jednostavnih elementarnih funkcija oblika csin(2πkx)
ili ccos(2πkx), k ∈ Z, c ∈ C (ili K).16
Slika 23 – ˇZozef Furije
Ukoliko funkcija f mozˇe da se napisˇe u vidu zbira
f (x) = ∑
k∈Z
cke
2πix,
za neke konstante ck, Ojlerova formula
e2πix = cos2πx+ isin2πx
omoguc´ava da funkcija f mozˇe da se napisˇe kao zbir prostih harmonika.
Funkcija f : R→C je periodicˇna sa periodom L ako za x ∈ R vazˇi
f (x+L) = f (x).
Ako je f periodicˇna funkcija sa periodom L, onda je funkcija F(x) = f (Lx) peri-
odicˇna sa periodom 1. Na primer, funkcije f (x) = sin2πx, f (x) = cos2πx i f (x) = e2πix
jesu periodicˇne, sa periodom 1.
Svaka data funkcija na poluotvorenom intervalu [0,1) mozˇe se produzˇiti do peri-
odicˇne funkcije, sa periodom 1, na jedinstven nacˇin.
16 Anton Deitmar, 2004, A First Course in Harmonic Analysis, Second Edition, Springer, p. 5.
ˇZozef Furije (Joseph Fourier), 1768-1830. Bio je francuski matematicˇar i fizicˇar. Profesori su mu bili
Laplas i Langranzˇ. Autor je analiticˇke teorije toplote i njegova knjiga Th e´orie Analytique de la Chaleur, iz
1822, postala je izvor svih savremenih metoda matematicˇke fizike koje se odnose na resˇavanje parcijalnih
jednacˇina pri datim uslovima. On je ustanovio da se funkcija (koja mozˇe da se predstavi lukom neprekidne
krive ili zbirom takvih lukova) mozˇe izraziti trigonometrijskim redom oblika
∞
∑
n=0
(An cosnax+Bn sinnax).
4.4. Furijeovi redovi i primene 221
Za k ∈ Z,
ek(x) = e
2πikx, ek ∈ C˜[0,1], k ∈ Z
C˜[0,1] =
{ f ∈C[0,1] : f (0) = f (1)}.
Takve funkcije mogu se neprekidno i periodicˇno produzˇiti na R, sa periodom 1.
ˇCesto c´emo smatrati da je f ∈ C˜[0,1] tako vec´ produzˇena na R i pisac´emo f ∈ C˜.
Videli smo u primeru 4 da vazˇi
〈ek,el〉=
{
1, k = l
0, k = l, k, l ∈ Z.
Na osnovu Leme o linearnoj nezavisnosti ortogonalnih ne nula vektora, vektori ek, za
razlicˇite k, linearno su nezavisni vektori u vektorskom prostoru C˜[0,1].
Lema o koeficijentima. Ako je
f (x) =
n
∑
k=−n
ckek(x), za neke ck ∈ C, tada je
ck = 〈 f ,ek〉.
DOKAZ .
〈 f ,ek〉= 〈c−ne−n + · · ·+ cnen,ek〉
= cn〈e−n,ek〉+ · · ·+ cn〈en,ek〉
= ck.
Definicija Furijeovog reda. Neka je f :R→C periodicˇna, sa periodom 1, i Riman
integrabilna na intervalu [0,1]. Brojevi
ck( f ) = 〈 f ,ek〉=
1
0
f (x)e−2πikx dx, k ∈ Z,
nazivaju se Furijeovi koeficijenti od f . Red
+∞
∑
k=−∞
ck( f )e2πikx =
+∞
∑
k=−∞
ck( f )ek(x)
naziva se Furijeov red funkcije f .
Niz
Sn( f ) =
n
∑
k=−n
ck( f )ek
je niz parcijalnih suma Furijeovog reda.
Neka je R˜ kompleksni vektorski prostor periodicˇnih funkcija, sa periodom 1 f :R→
C koje su Riman integrabilne na [0,1]. Svaka neprekidna funkcija na intervalu [0,1] i je
Riman integrabilna, pa je C˜[0,1] potprostor vektorskog prostora R˜. Skalarni proizvod,
4.4. Furijeovi redovi i primene 222
u smislu L2, prosˇiruje se na R˜.17 Ideja je da se pokazˇe da Furijeov red funkcije f ∈ R˜
konvergira, u smislu L2 prostora.
Lema o najboljoj aproksimaciji. Neka je f ∈ R˜ i za k ∈ Z ck = 〈 f ,ek〉 su Furijeovi
koeficijenti. Tada za svako n ∈ N∥∥∥∥∥ f −
n
∑
k=−n
ckek
∥∥∥∥∥
2
= ‖ f‖2−
n
∑
k=−n
|ck|2.
DOKAZ . Neka je g =
n
∑
k=−n
ckek. Tada
〈 f ,g〉=
n
∑
k=−n
ck〈 f ,ek〉
=
n
∑
k=−n
ckck =
n
∑
k=−n
|ck|2,
〈g,g〉=
n
∑
k=−n
ck〈g,ek〉=
n
∑
k=−n
ckck =
n
∑
k=−n
|ck|2,
tako da se dobija
‖ f −g‖2 = 〈 f −g, f −g〉
= 〈 f , f 〉−〈 f ,g〉−〈g, f 〉+ 〈g,g〉
= ‖ f‖2−
n
∑
k=−n
|ck|2−
n
∑
k=−n
|ck|2 +
n
∑
k=−n
|ck|2
= ‖ f‖2−
n
∑
k=−n
|ck|2.
Teorema o Beselovoj nejednakosti. Neka je f ∈ R˜ sa Furijeovim koeficijentima
(ck). Tada je
+∞
∑
k=−∞
|ck|2 
1
0
| f (x)|2 dx.
DOKAZ . Na osnovu Leme, za n ∈ N vazˇi
n
∑
k=−n
|ck|2  ‖ f‖2.
Kad n →+∞, dobija se tvrdenje.18
17 Vazˇe aksiome (i)–(iii) skalarnog proizvoda, a umesto (iv) vazˇi slabije svojstvo:
f ∈ R˜ 〈 f , f 〉 = 0 ⇐⇒ f = 0 skoro svuda.
18 Zapravo ovde uvek vazˇi jednakost, sˇto je tezˇe dokazati.
4.4. Furijeovi redovi i primene 223
Na osnovu Beselove nejednakosti zakljucˇujemo da je red
∞
∑
n=−∞
|ck|2 konvergentan.
Iz konvergencije reda sledi da opsˇti cˇlan tezˇi nuli, odnosno lim
k→∞
|ck|2 = 0, odakle se dobija
lim
k→∞
ck = 0 ili Furijeovi koeficijenti u razvoju Furijeovog reda, za dovoljno veliko n, tezˇe
nuli.
4.4.1. Konvergencija u L2 normi
Sada uvodimo pojam L2 konvergencija koji je odgovarajuc´i za pojam konvergencije
Furijeovog reda.
Neka je f ∈ R˜ i niz fn ∈ R˜.
Niz fn konvergira u L2 normi ako vazˇi
lim
n→∞‖ f − fn‖= 0.
Oprez! Postoje primeri koji pokazuju da iz L2 konvergencije ne sledi obicˇna konvergen-
cija.
Konvergencija u L2 normi zove se srednjekvadratna konvergencija (zadata je inte-
gralnom formulom).
Postavimo pitanje: Kada u Baselovoj nejednakosti vazˇi jednakost? Odgovor daje
sledec´a posledica leme o najboljoj aproksimaciji.
Posledica leme o najboljoj aproksimaciji. Za f ∈ R˜ vazˇi:
lim
n→∞Sn( f ) = f u L2-normi ⇐⇒
∞
∑
n=−∞
|ai|2 =
1
0
| f |2 dx
DOKAZ .
‖ f −Sn( f )‖2 =
1
0
| f |2 dx−
n
∑
k=−n
|cn|2
lim
n→∞‖ f −Sn( f )‖
2 = 0 ⇐⇒ lim
n→∞
1
0
| f |2 dx−
n
∑
−n
|cn|2 = 0
⇐⇒
+∞
∑
−∞
|cn|2 =
1
0
| f |2dx
Niz funkcija fn na intervalu I ravnomerno konvergira ka funkciji f ako za svako
ε > 0 postoji n0 ∈ N takvo da za sve n n0 vazˇi
| f (x)− fn(x)|< ε, za svako x ∈ I.
4.4. Furijeovi redovi i primene 224
Stav. Ako niz funkcija fn konvergira ka f ravnomerno na [0,1], onda fn konvergira
ka f u L2 normi.
DOKAZ . Neka je ε > 0. Tada postoji n0, takvo da za sve n n0
| f (x)− fn(x)|< ε, za svaki x ∈ [0,1].
Otuda, za n n0
‖ f − fn‖2 =
1
0
| f (x)− fn(x)|2 dx < ε2,
odnosno
‖ f − fn‖< ε.
Kljucˇni rezultat jeste cˇinjenica da Furijeov red za svako f ∈ R˜ konvergira ka f u L2
normi, sˇto c´e biti dokazano.
Lema.19 Za 0 x 1, vazˇi
+∞
∑
k=1
cos(2πkx)
k2 = π
2
(
x2 − x+ 16
)
.
Specijalno, za x = 0 dobija se Ojlerova formula
+∞
∑
k=1
1
k2 =
π2
6 .
DOKAZ. Neka su α < a < b < β realni brojevi i f : [α ,β ]→R neprekidno diferencijabilna
funkcija. Za k ∈ Rv neka je
F(k) =
b
a
f (x) · sin(kx)dx.
Tada je lim
|k|→+∞
F(k) = 0 i konvergencija je ravnomerna za a,b ∈ [α ,β ].(∗)
Naime, za t = 0, parcijalnom integracijom dobija se
F(k) =− f (x)cos(kx)k
∣∣∣b
a
+
1
k
b
a
f ′(x)cos(kx)dx.
Posˇto su f i f ′ neprekidne na [α ,β ], postoji konstanta M > 0, takva da je
| f (x)| M i | f ′(x)| M za svaki x ∈ [α ,β ].
Sledi da je
|F(k)| 2M|k| +
M(b−a)
|k| .
Ovo koristimo na sledec´i nacˇin:
Neka je x ∈ (0,1). Posˇto je
2π
x
1/2
cos(2πkt)dt = sin(2πkx)k i,
19 Anton Deitmar, 2004, A First Course in Harmonic Analysis, Second Edition, Springer, p. 12.
4.4. Furijeovi redovi i primene 225
n
∑
k=1
cos(2πkx) =
sin
(
(2n+1)πx
)
2sin(πx)
− 1
2
dobija se
n
∑
k=1
sin(2πkx)
k = 2π
x
1/2
sin
(
(2n+1)πt
)
2sin(πt) dt −π
(
x− 1
2
)
.
Prvi sabirak sa desne strane tezˇi nuli (na osnovu (∗)), kada pustimo da n →+∞, i to ravnomerno
po δ  x 1−δ (δ > 0).
To znacˇi, za 0 < x < 1
+∞
∑
k=1
sin(2πkx)
k =−π
(
x− 1
2
)
i ovaj red konvergira ravnomerno na intervalu [δ , 1 − δ ] za svaki δ > 0. Ovo koristimo da
dokazˇemo lemu.
Neka je
f (x) =
+∞
∑
k=1
cos(2πkx)
k2 .
Upravo smo videli da niz izvoda parcijalnih suma konvergira ka π2(2x−1) i da je ova konvergen-
cija lokalno ravnomerna za 0 < x < 1, odnosno da je
f ′(x) = π2(2x−1), tj.
f (x) = π2(x2 − x)+ c.
Josˇ treba da pokazˇemo da je c = π
2
6 .
Naime, red definisan funkcijom f ravnomerno konvergira na [0,1] i vazˇi
1
0
cos(2πkx)dx = 0
i za svako k ∈ N dobijamo
0 =
∞
∑
k=1
1
0
cos(2πkx)
k2 dx =
1
0
f (x)dx = π
2
3
− π
2
2
− c,
odakle se dobija da je
c =
π2
6 .
Korisˇc´enjem ove pomoc´ne leme dokazac´emo konvergenciju Furijeovog reda za Ri-
man integrabilne funkcije.
Za podskup A skupa [0,1] definisˇemo karakteristicˇnu funkciju χA na sledec´i nacˇin:
χA(x) =
{
1, x ∈ A
0, x = A .
Neka su I1, . . . , Im podintervali od [0,1] koji mogu da budu otvoreni, poluotvoreni ili za-
tvoreni.
4.4. Furijeovi redovi i primene 226
Rimanova stepenasta funkcija je oblika
S(x) =
m
∑
j=1
α jχI j(x), α j ∈ R.
Podsetimo se definicije Rimanovog integrala. Prvo, za Rimanovu stepenastu funkciju
S(x) =
m
∑
j=1
αiχI j(x)
definisˇe se
1
0
S(x)dx =
m
∑
j=1
α jd(I j), d(I j) duzˇina intervala I j.
Podsetimo se: Funkcija f : [0,1] → R je Riman integrabilna ako za svako ε > 0
postoje stepenaste funkcije ϕ i ψ takve da je ϕ(x) f (x) ψ(x) za svaki x ∈ [0,1] i
1
0
∣∣ψ(x)−ϕ(x)∣∣< ε.
Kada se ε smanjuje, odnosno tezˇi nuli, integrali stepenastih funkcija tezˇe zajednicˇkoj
granici koja se definisˇe kao integral funkcije f .
Svaka Riman integrabilna funkcija na [0,1] je ogranicˇena. Kompleksna funkcija je
Riman integrabilna ako su takvi realni i imaginarni delovi.
Lema o konvergenciji Furijeovog reda. Neka je f : R→ R periodicˇna funkcija i
takva da je f ∣∣
[0,1] Rimanova stepenasta funkcija. Tada Furijeov red od f konvergira ka f
u L2 normi, odnosno
fn = Sn( f ) =
n
∑
k=−n
ckek
konvergira ka f u L2 normi, gde je za k ∈ Z
ck =
1
0
f (x)e−2πix dx.
DOKAZ . Na osnovu lema o najboljoj aproksimaciji dovoljno je dokazati da vazˇi
‖ f‖2 =
+∞
∑
k=−∞
|ck|2.
Prvo c´emo razmotriti specijalan slucˇaj
f ∣∣
[0,1] = χ[0,a] gde je a ∈ [0,1].
Koeficijenti c0 = a i
ck =
a
0
e−2πikx dx = i
2πk
(
e−2πika −1), k = 0.
4.4. Furijeovi redovi i primene 227
Odavde sledi da je
|ck|2 = 14π2k2
(
e−2πika −1)(e2πika −1)= 1− cos(2πka)
2π2k2 .
Na osnovu leme
(
+∞
∑
k=−∞
cos(2πkx)
k2 = π
2
(
x2 − x+ 16
))
dobija se
+∞
∑
k=−∞
|ck|2 = a2 +
+∞
∑
k=1
1− cos(2πka)
π2k2
= a2 +
+∞
∑
k=1
1
π2k2 −
1
π2
+∞
∑
k=1
cos(2πka)
k2
= a2 +
1
6 −
(
a2−a+ 16
)
= a
=
a
0
12dx =
a
0
f 2(x)dx =
=
1
0
| f (x)|2 dx
= ‖ f‖2
Dokazali smo tvrdenje leme za funkciju f = χ[0,a]. Isti rezultat vazˇi za f = χI gde
je I proizvoljan podinterval od [0,1]. (Furijeovi koeficijenti i norma ne menjaju se ako se
umesto zatvorenog intervala koriste poluotvoreni ili otvoreni intervali.)
Lema. Neka su ck( f ) Furijeovi koeficijenti funkcije f i oznacˇic´emo
f y(x) = f (x+ y).
Funkcija f y je periodicˇna i Riman integrabilna i vazˇi ck( f y) = e2πikyck( f )
ck( f y) =
1
0
f y(x)e−2πikx dx
=
1
0
f (x+ y)e−2πikx dx [smena x+ y = t, dx = dt]
=
1+y
y
f (t)e−2πik(t−y)dt
= e2πiky
1+y
y
f (t)e−2πikt dt
= e2πiky
1
0
f (x)e−2πikx dx
⎡
⎣ jer nije bitno da li se integraliperiodicˇna funkcija na
[y,1+ y] ili [0,1]
⎤
⎦
4.4. Furijeovi redovi i primene 228
= e2πikyck( f ).
Iz ovog sledi da je
∣∣ck( f y)∣∣2 = ∣∣ck( f )∣∣2, odnosno
‖ f y‖= ‖ f‖,
tako da lema o konvergenciji Furijeovog reda vazˇi za f ∣∣
[0,1] = χI za proizvoljan interval
I ⊂ [0,1].
Proizvoljna stepenasta funkcija je linearna kombinacija karakteristicˇnih funkcija na
intervalima.
Sn( f +g) = Sn( f )+Sn(g)
Sn(λ f ) = λSn( f )
Sn( f ) =
n
∑
k=−n
ck( f )e2πikx
Sn(λ1 f1 + · · ·+λm fm) = λ1Sn( f1)+ · · ·+λmSn( fm)
f j = χI j f =
m
∑
j=1
λ jχI j
Sn( f ) =
m
∑
j=1
λ jSn(χI j) n → ∞
n
∑
k=−n
ck(χI j)e2πikx = Sn(χI j)
lim
n→∞Sn( f ) = limn→∞Sn
(
m
∑
j=1
λ jχI j
)
= lim
n→∞
m
∑
j=1
λ jSn(χI j)
=
m
∑
j=1
λ j lim
n→∞Sn(χI j)
=
m
∑
j=1
λ jχI j = f
Teorema o konvergenciji Furijeovog reda. Neka je f :R→C periodicˇna i Riman
integrabilna na [0,1]. Tada Furijeov red funkcije f konvergira ka f u smislu L2 norme.
Takode, ako su ck Furijeovi koeficijenti od f , tada
+∞
∑
k=−∞
|ck|2 =
1
0
| f (x)|2 dx.
Riman–Lebegova lema. Za svako f ∈ R˜ niz ck( f )→ 0, k →+∞.
4.4. Furijeovi redovi i primene 229
DOKAZ . Neka je f = u+ iv kompleksna funkcija gde su u i v realni i imaginarni
deo. Parcijalne sume Furijeovog reda funkcije f su
Sn( f ) = Sn(u)+ iSn(v).
Ako Furijeovi redovi od u i v konvergiraju u L2 normi sledi tvrdenje i za f . Zbog toga je
dovoljno da se razmatra slucˇaj realne funkcije f .
Posˇto je integrabilna funkcija ogranicˇena, mozˇemo je pomnozˇiti skalarom tako da
vazˇi | f (x)| 1 za svaki x ∈ R.
Neka je ε > 0. Posˇto je f Riman integrabilna, postoje stepenaste funkcije ϕ , ψ na
[0,1] takve da vazˇi
−1 ϕ  f  ψ  1 i,
1
0
(
ψ(x)−ϕ(x)) < ε8 .
Neka je g = f −ϕ takvo da je g 0 i
|g|2 = | f −ϕ|2  |ψ −ϕ|2  2(ψ −ϕ)
1
0
|g(x)|2  2
1
0
(
ψ(x)−ϕ(x))dx ε2
4
.
Za niz parcijalnih suma Sn vazˇi
Sn( f ) = Sn(ϕ)+Sn(g).
Na osnovu leme o konvergenciji Furijeovog reda postoji n0  0 takvo da za sve n n0
‖ϕ −Sn(ϕ)‖ ε2 .
Na osnovu lema o najboljoj aproksimaciji vazˇi
‖g−Sn(g)‖2  ‖g‖2  ε
2
4
,
tako da za n n0
‖ f −Sn( f )‖ ‖ϕ −Sn(ϕ)‖+‖g−Sn(g)‖ ε2 +
ε
2
= ε.
Na osnovu posledice leme o najboljoj aproksimaciji vazˇi Beselova jednakost za svako
f ∈ R˜.
PRIMER 1. Neka je f : [a,b]→ R neprekidna. Dokazati da
cn =
b
a
f (x)sin nxdx → 0 (n → ∞).20
20 Vukmirovic´ J., Matematicˇka analiza 1, zbirka zadataka, Zavod za udzˇbenike, Beograd, 2009, str. 146.
4.4. Furijeovi redovi i primene 230
RESˇENJE. Uvodimo smenu
x = t − π
n
; cn =−
β
α
f
(
t − π
n
)
sinntdt, gde je α = a+ π
n
, β = b+ π
n
.
Sledi
2cn =
α
a
f (x)sin nxdx+
b
α
(
f (x)− f
(
x− π
n
))
sinnxdx−
−
β
b
f
(
x− π
n
)
sin nxdx → 0+0+0,
jer je f ravnomerno neprekidna, ogranicˇena na [a,b]. (Oznacˇimo ova 3 integrala redom sa I1, I2,
I3. Procenjujemo
|I1|
α
a
| f (x)sin nx|dx 
α
a
k ·1dx = k ·π
n
→ 0,
za n n0 je
|I2|
b
α
ε ·1dx = ε(b−α)< (b−a)ε .
|I3| kπ
n
→ 0).
4.4.2. Ravnomerna konvergencija Furijeovih redova
Neka je f : R→ C neprekidna i periodicˇna funkcija. Funkcija f je deo po deo ne-
prekidno diferencijabilna ako postoje redni brojevi 0 = t0 < t1 < · · · < t j = 1, tako da je
za svako j funkcija f ∣∣
[t j−1,t j]
neprekidno diferencijabilna.
Teorema o ravnomernoj konvergenciji Furijeovog reda. Neka je f : R→ C ne-
prekidna, periodicˇna, sa periodom 1, i deo po deo neprekidno diferencijabilna, tada Fu-
rijeov red konvergira ravnomerno ka funkciji f .
DOKAZ . Neka je f : R→ C neprekidna, periodicˇna, sa periodom 1, i deo po deo
neprekidno diferencijabilna i neka su ck Furijeovi koeficijenti funkcije f .
Neka je ϕ j : [t j−1, t j]→C neprekidni izvod funkcije f i neka je ϕ :R→C periodicˇna
funkcija koja se za svako j poklapa sa ϕ j na poluotvorenim intervalima [t j−1, t j).
Sa γk oznacˇic´emo Furijeove koeficijente funkcije ϕ . Tada je
+∞
∑
k=−∞
|γk|2  ‖ϕ‖2 <+∞.
Koristec´i parcijalnu integraciju dobija se
t j
t j−1
f (x)e−2πikx dx = 1−2πik f (x)e
−2πikx
∣∣∣t j
t j−1
− 1
2−πik
t j
t j−1
ϕ(x)e−2πikx dx,
4.4. Furijeovi redovi i primene 231
tako da za k = 0 dobijamo
ck =
r
∑
j=1
t j
t j−1
f (x)e−2πikx dx =
ck( f ) = 12πikck( f
′) k = 0
1
0
f (x)e−2πikx dx = 1
2πikx
1
0
ϕ(x)e−2πik dx = 1
2πikγk
Za α,β ∈ C, vazˇi 0 (|α|− |β |)2 = |α|2 + |β |2−2|αβ | i na taj nacˇin vazˇi
|αβ | 1
2
(|α|2+ |β |2), tako da
|ck|=
∣∣∣∣ 12πikγk
∣∣∣∣
 1
2
(
1
4π2k2 + |γk|
2
)
,
iz cˇega sledi
+∞
∑
−∞
|ck| 12
(
∑
k =0
1
4π2k2 +
+∞
∑
−∞
|γk|2
)
+∞
∑
k=−∞
|ck|<+∞.
Poslednji korak dokaza je znacˇajan pa ga formulisˇemo kao lemu.
Lema. Neka je f neprekidna i periodicˇna i Furijeovi koeficijenti zadovoljavaju re-
laciju
+∞
∑
k=−∞
|ck|<+∞.
Tada Furijeov red ravnomerno konvergira ka f . Konkretno, za svaki x ∈ R,
f (x) = ∑
k∈Z
ckek(x).
DOKAZ . Lema tvrdi da Furijeov red
+∞
∑
k=−∞
cke
2πikx ravnomerno konvergira ka f .
Oznacˇic´emo sumu reda
+∞
∑
k=−∞
cke
2πikx sa g. Ovaj red konvergira ravnomerno na osnovu
pretpostavke
+∞
∑
k=−∞
|ck|<+∞ i Vajersˇtrasovog kriterijuma konvergencije
ck(g) =
1
0
g(x)e−2kπix dx =
1
0
e−2kπix
∞
∑
n=−∞
cn( f ) · e2πinx dx
4.4. Furijeovi redovi i primene 232
=
∞
∑
n=−∞
1
0
cn( f )e2πi(n−k)x dx
=
∞
∑
n=−∞
cn( f )e2πi(n−k)x dx = ck( f ).
Vazˇi ck( f ) = cn(g).
Kako imaju iste Furijeove koeficijente sledi da su im isti Furijeovi redovi, pa na
osnovu teoreme o konvergenciji u L2 normi
‖ f −g‖= 0.
Kako su f i g neprekidne, sledi da je f = g.
Na kraju ovog apstraktnog dela treba istac´i vazˇnost Furijeovih koeficijenata.
a) Furijeovi koeficijenti vode nas u teoriju Furijeovih transformacija, teorijski vrlo
znacˇajnu, sa nesagledivim moguc´nostima primene.
b) Furijeovi koeficijenti izrazˇavaju energije alikvotnih tonova na zˇici muzicˇkog in-
strumenta, sa kojima se Paganini tako vesˇto poigravao.21
4.4.3. Uvod u Furijeove transformacije i granicˇne probleme
Granicˇni problemi teorije analiticˇkih i drugih funkcija predstavljaju problem odre-
divanja funkcije, ili neke njene osobine, na osnovu funkcionalnih veza koje postoje na
konturi (granici oblasti). ˇSirinom pitanja koja obraduju i mnosˇtvom rezultata do kojih
se dosˇlo, oni su se nametnuli sˇirokom krugu istrazˇivacˇa. Mogu se formulisati i u najra-
zlicˇitijim oblastima teorije fizike, mehanike i tehnike kao sˇto su hidrodinamika, dinamika
fluida, teorija elasticˇnosti, teorija elektrostaticˇkog i magnetnog polja itd.
U nastavi matematike na fakultetima prvi susret sa granicˇnim problemima mozˇe
biti kod razmatranja tzv. harmonijskih funkcija u(x,y), definisanih kao resˇenja Laplasove
parcijalne diferencijalne jednacˇine
u′′xx +u
′′
yy = 0.
Za ove funkcije formulisˇe se granicˇni problem Dirihlea na prostoj, glatkoj, zatvorenoj
konturi C koja ogranicˇava oblast D. Treba nac´i funkciju u(x,y), harmonijsku u D, koja na
granici u C uzima datu vrednost f (s).
Resˇenje problema mozˇe se na jedinstven nacˇin predstaviti u obliku
u(z) =
1
2π

C
u(s)
∂G(s,z)
∂n ds,
21 Mozˇe se videti u: Тихонов, А. Н. Самарский, А. А. 1977, Уравнения математической фи-
зики, Наука Москва.
4.4. Furijeovi redovi i primene 233
gde je G funkcija Grina koja na konturi C uzima vrednost 0, a n unutrasˇnja normala na
konturu.
U teoriji analiticˇkih funkcija kompleksne promenljive osnovni granicˇni problem
odredivanja funkcije na osnovu datih vrednosti na konturi resˇava se preko Kosˇijeve for-
mule
1
2πi

L
f (t)
t − zdt =
{ f (z), z ∈ D+
0, z ∈ D−,
gde je f (z) analiticˇka funkcija u D+ a L glatka zatvorena kontura koja deli ravan na
unutrasˇnju oblast D+ i spoljasˇnju D−. Ova formula omoguc´ava izracˇunavanje vrednosti
funkcije u svakoj tacˇki oblasti ako su poznate njene vrednosti na granici, pa zato ona
uistinu resˇava granicˇni problem za analiticˇke funkcije.
Furijeovi koeficijenti u eksponencijalnom obliku nas direktno vode do Furijeovog
integrala i Furijeove transformacije. Zaista se Furijeov integral funkcije f (t) definisˇe kao
sledec´a funkcija parametra x:
F(x) =
1√
2π
+∞
−∞
f (t)eixtdt, −∞ < x < ∞.
Funkcije f (t) i F(x) povezane su formulom
f (t) = 1√
2π
+∞
−∞
F(x)e−ixtdx, −∞ < t <+∞.
Polaznu funkciju f (t) nazivamo originalom a njen Furijeov integral – slikom.
U praksi se cˇesto srec´emo sa jednostranim (desnim i levim) Furijeovim integralom
F+(z) =
1√
2π
+∞
0
f (t)eiztdt, F−(z) =− 1√
2π
0
−∞
f (t)eiztdt.
Istrazˇivacˇ koji krene ovim putem, i najpre se upozna sa osobinama Furijeovih trans-
formacija, bic´e prijatno iznenaden bogatstvom i raznovrsnosˇc´u primena. Medutim najvisˇe
c´e ga fascinirati kako se slozˇeni problemi, koji se vrlo tesˇko ili nikako ne mogu resˇiti
sami za sebe, primenom Furijeove transformacije preslikavaju u mnogo jednostavnije
probleme, a zatim brzo resˇavaju. Ovu c´emo tvrdnju ilustrovati jednim jednostavnim pri-
merom.
PRIMER 2. Granicˇni problem Rimana. Na realnoj osi date su dve funkcije: D(x) – koefi-
cijent problema i H(x) – slobodan plan, koje zadovoljavaju odredene opsˇte uslove. Treba odrediti
dve funkcije F+(z) i F−(z) – analiticˇke respektivno u gornjoj i donjoj poluravni, koje na realnoj
osi zadovoljavaju granicˇni uslov
F+(x) = D(x)F−(x)+H(x).
4.4. Furijeovi redovi i primene 234
SKICA RESˇENJA. Radi jednostavnosti ogranicˇic´emo se na specijalan slucˇaj D(x) = 1, i
granicˇni uslov prelazi u
F+(x)−F−(x) = H(x).
Primetimo da u teoriji Furijeovih transformacija vazˇnu ulogu igraju tzv. formule Plemelja–
Sohockog
F(x) =
1√
2π
+∞
−∞
f (t)eixt dt
=
1√
2π
+∞
0
f (t)eixt dt + 1√
2π
0
−∞
f (t)eixt dt
= F+(x)−F−(x),
1
πi
+∞
−∞
F(t)
t − xdt = F
+(x)+F−(x)
=
1√
2π
+∞
0
f (t)eixt dt − 1√
2π
0
−∞
f (t)eixt dt
=
1√
2π
+∞
−∞
f (t)sgn teixtdt.
Resˇenje nasˇeg problema dobijamo upravo na osnovu ove formule. Datu funkciju H(x) sma-
tramo Furijeovom slikom neke funkcije h(t). Tada se trazˇena resˇenja izrazˇavaju jednostranim in-
tegralima
H+(z) =
1√
2π
+∞
0
h(t)eizt dt,
H−(z) =− 1√
2π
0
−∞
h(t)eizt dt,
gde je
h(t) = 1√
2π
+∞
−∞
H(x)e−itxdx.
Na taj nacˇin je za dobijanje resˇenja neophodno da se sa funkcijom H(x) vratimo na original
h(t), a zatim od njega izracˇunamo desni i levi Furijeov integral.
Tehnika primenjena u ovom primeru vazˇi za slucˇaj kada je kontura L realna osa.
NAPOMENA. Teorija granicˇnih problema ima moc´ da se rasˇiri i izvan granica matematike.
Uporedimo za trenutak oblast D+ slikovito sa ljudskim telom, a tacˇke krive L sa tacˇkama povrsˇine
tela. Setimo se drevne kineske vesˇtine lecˇenja akupunkturom, gde se dejstvom iglama na pojedine
akupunkturne tacˇke postizˇe ucˇinak na odredene unutrasˇnje organe.
Nasˇi lekari na usavrsˇavanju u Kini bili su svedoci operacija na otvorenom mozgu bez klasicˇne
anestezije, gde je pacijent bio potpuno svestan, uz primenu akupunkturnih igala. Zar nije ovo bilo
resˇenje jednog primenjenog granicˇnog problema?
Ako se teoriji granicˇnih problema doda teorija Furijeovih transformacija, onda se sticˇe nova
moc´ da se iz jednog prostora prelazi u drugi, i tezˇi problemi da se svode na laksˇe i odmah resˇavaju.
4.4. Furijeovi redovi i primene 235
Takav je slucˇaj integralnih jednacˇina sa konvolucijom koje se primenom integralnih transformacija
svodi na obicˇne algebarske jednacˇine. Tada nam postaju jasne recˇi jednog odusˇevljenog pesnika:
Zaista, u matematici je sve moguc´e!
4.4.4. Jednacˇina treperenja zˇice
U prvom delu razmotrili smo aproksimativni pristup izucˇavanju teorije Furijeovih
redova. To znacˇi da smo se ,,podigli“ na opsˇti nivo teorije vektorskih prostora koji smo
snabdeli skalarnim proizvodom i normom u prostoru L2, sˇto nam je obezbedilo strog
matematicˇki, deduktivni metod za dokazivanje konvergencije Furijeovog reda u normi
L2.
Mnogi c´e biti samo posmatracˇi ove aproksimativne teorije, zbog toga c´emo raz-
matrati jedan prakticˇan zadatak. To su za pocˇetak problemi treperenja zˇice, a kasnije i
prenosa toplote, koji su doveli do razvoja Furijeove analize – o njoj je ovde bilo recˇi. Za-
koni koji opisuju ove dve razlicˇite fizicˇke pojave izrazˇeni su preko dve razlicˇite parcijalne
diferencijalne jednacˇine, talasne i toplotne jednacˇine, cˇija resˇenja imaju oblik Furijeovog
reda.
Razmatra se problem kretanja zˇice fiksirane u dve krajnje tacˇke. Opis fizicˇkih feno-
mena obuhvata
– jednostavno harmonijsko kretanje;
– stojec´e talase;
– harmonike i superpozicije tonova.
Jednostavno harmonijsko kretanje opisac´emo pomoc´u harmonijskog oscilatora.22
Slika 24 – Harmonijski oscilator
Kada se telo odredene mase m pomeri iz ravnotezˇnog polozˇaja a zatim pusti, dobije
se jednostavno harmonijsko kretanje, kao na slici. Ova prirodna pojava matematicˇki se
mozˇe predstaviti diferencijalnom jednacˇinom koja opisuje kretanje tela.
Neka y(t) oznacˇava izmesˇtenu poziciju tela u trenutku t. Pretpostavljamo da je opruga
idealna, u smislu da zadovoljava Hukov zakon: sila F koja dejstvuje na telo mase m je
F =−k · y(t),
22 Stein Elias and Rami Shakarchi, Fourier Analysis, an introduction Princeton University Press, p. 2.
4.4. Furijeovi redovi i primene 236
gde je k > 0 fizicˇka velicˇina koja predstavlja konstantu opruge. Primenom Njutnovog
zakona da je sila jednaka proizvodu mase i ubrzanja, dobija se
−ky(t) = my′′(t).
Za c =
√
k/m dobija se diferencijalna jednacˇina
y′′(t)+ c2y(t) = 0.
Njeno opsˇte resˇenje je oblika
y(t) = acosct +bsinct,
gde su a i b konstante.
U diferencijalnoj jednacˇini c je poznato, a da bi u resˇenju odredili a i b moraju biti
poznati pocˇetni uslovi. Na primer, ako je poznata pocˇetna velicˇina pozicije y(0) i brzina
tela y′(0), onda se resˇenje mozˇe jedinstveno predstaviti u obliku
y(t) = y(0)cosct + y
′(0)
c
sinct.
Na osnovu trigonometrijskih transformacija pokazuje se da postoje A > 0 i ϕ ∈ R takvi
da vazˇi
acosct +bsinct = Acos(ct −ϕ).
Na osnovu fizicˇkog tumacˇenja harmonijskog kretanja A =
√
a2 +b2 naziva se amplituda,
c je njegova prirodna frekvencija, ϕ je faza, a 2π
c
je period kretanja. Tipicˇan grafik funk-
cije Acos(ct−ϕ) dobija se istezanjem ili sakupljanjem grafika cos t.
cos
f t( )
Slika 25 – Primer grafika funkcije Acos(ct −ϕ)
Prvo zapazˇanje: jednostavno harmonijsko kretanje matematicˇki se opisuje trigono-
metrijskim funkcijama sin t i cos t, a one su povezane Ojlerovom formulom u kompleksnoj
formi
eit = cos t + isint.
4.4. Furijeovi redovi i primene 237
Drugo zapazˇanje: jednostavno harmonijsko kretanje je funkcija od vremena sa dva
pocˇetna uslova – jedan je polozˇaj, a drugi brzina.
Dalje razmatranje odnosi se na zˇicu koja treperi. U tim problemima javljaju se stojec´i
talasi. Stojec´i talasi su pokreti opisani grafikom y = u(x, t) koji se menja u vremenu t, kao
na slici 27.
Postoji pocˇetni profil y=ϕ(x) koji predstavlja talas u trenutku t = 0 i faktor pojacˇanja
ψ(t) u zavisnosti od t, tako da se u(x, t) mozˇe predstaviti sa
u(x, t) = ϕ(x)ψ(t).
Priroda ovih stojec´ih talasa sugerisˇe ideju razdvajanja promenljivih.
Slika 26 – Stojec´i talas u razlicˇitim vremenima
Konacˇno, fizicˇko zapazˇanje odnosi se na muziku. To je postojanje harmonika ili
alikvotnih tonova. ˇCisti tonovi prac´eni su kombinacijama dodatnih prizvuka koji su pri-
marno odgovorni za boju zvuka na instrumentu. Ideje superpozicije tonova, matematicˇki
se sprovodi na osnovu linearnosti.23
Sada pazˇnju usmeravamo na glavni problem. Opisujemo treperenje zˇice. Prvo dobi-
jamo talasnu jednacˇinu, odnosno diferencijalnu jednacˇinu koja opisuje treperenje zˇice.24
Zamislimo homogenu zˇicu koja se nalazi u (x,y) ravni i protezˇe duzˇ x-ose, izmedu
tacˇaka O i L. Ako zˇica vibrira, polozˇaj y = u(x, t) jeste funkcija od x i t. Cilj je da se
izvede diferencijalna jednacˇina koja opisuje ovu funkciju. U tu svrhu podelic´emo zˇicu na
N delova tako da su pojedinacˇne cˇestice ravnomerno rasporedene duzˇ x-ose, tako da n-ta
cˇestica ima koordinate xn =
nL
N
. Zamislimo da zˇica vibrira kao slozˇeni sistem od N delova
i da svaki deo osciluje vertikalno. Za razliku od ranije navedenog prostog harmonijskog
kretanja, sada svaka cˇestica osciluje ili zavisi od svoja dva neposredna suseda.
Neka je yn(t) = u(xn, t) i vazˇi
xn+1 − xn = h, h = LN .
23 Detaljnije mozˇe se videti u drugoj doktorskoj disertaciji kod: Milosˇ ˇCanak, 1996, Teorija tonaliteta u
svetlosti matematicˇke teorije muzike, doktorska disertacija, Univerzitet u Beogradu, str. 12.
24 Stein Elias and Rami Shakarchi, Fourier Analysis, an introduction Princeton University Press, p. 6.
4.4. Furijeovi redovi i primene 238
Slika 27 – Oscilovanje zˇice kao diskretan sistem masa
Ako pretpostavimo da zˇica ima konstantnu gustinu ρ > 0, razumno je podeliti masu
na jednake delove, ρh je masa svake cˇestice. Prema Njutnovom zakonu ρhy′′n(t) je sila
koja deluje na n-tu cˇesticu.
Sada c´emo napraviti jednostavnu pretpostavku da ta sila nastaje dejstvom susednih
cˇestica sa koordinatama xn−1, xn+1 na x-osi. Sila koja dolazi sa desne strane n-te cˇestice
srazmerna je
yn+1 − yn
h ,
gde je h rastojanje izmedu xn+1 i xn, pa silu mozˇemo napisati kao
τ
h(yn+1 − yn),
gde je τ > 0 koeficijent zategnutosto zˇice. Analogno, sila sa leve strane je
τ
h(yn−1 − yn).
Ove sile deluju zajedno i u zbiru daju rezultantu
ρhy′′n(t) =
τ
h
(
yn+1(t)+ yn−1(t)−2yn(t)
)
yn+1(t)+ yn−1(t)−2yn(t) = u(xn +h, t)+u(xn−h, t)−2u(xn, t).
S druge strane, za svaku funkciju koja ima drugi izvod vazˇi
F(x+h)+F(x−h)−2F(x)
h2 → F
′′(x), h → 0.
Zato, nakon deljenja sa h nasˇa prethodna jednakost postaje
ρ ∂
2u
∂ t2 = τ
∂ 2u
∂x2 , ili
1
c2
∂ 2u
∂ t2 =
∂ 2u
∂x2 , gde je c =
√
τ
ρ .
Ovaj odnos poznat je kao talasna jednacˇina. Koeficijent c > 0 zove se brzina kretanja.
Ako u talasnu jednacˇinu uvedemo smenu
x = LX
t =
L
c
T
}
4.4. Furijeovi redovi i primene 239
dobija se
1
c2
· 1(
L
c
)2
∂ 2U
∂T 2 =
1
L2
∂ 2U
∂X2 , odnosno
∂ 2U
∂T 2 =
∂ 2U
∂X2 , 0 X  1.
Talasna jednacˇina do koje smo dosˇli zasniva se na dva osnovna zakljucˇka iz pret-
hodnih fizicˇkih zapazˇanja.25 Kao sˇto vidimo, to je prirodna pojava. Prema analizi stojec´ih
talasa trazˇimo posebna resˇenja za talasne jednacˇine oblika ϕ(x)ψ(t). Ovaj postupak, koji
funkcionisˇe podjednako dobro i u drugim situacijama kao sˇto je resˇavanje jednacˇine
provodenja toplote, zove se razdvajanje promenljivih. Resˇenja koja se dobiju jesu cˇisti
tonovi. Mozˇemo ocˇekivati da se ovi cˇisti tonovi kombinuju u slozˇeniji zvuk. Ova ideja
navodi nas na cˇinjenicu da je opsˇte resˇenje talasne jednacˇine zbir pojedinacˇnih resˇenja.26
Zamenom U(x, t) = ϕ(x)ψ(t) i diferenciranjem dobija se
ϕ(x)ψ ′′(t) = ϕ ′′(x)ψ(t), odnosno
ψ ′′(t)
ψ(t) =
ϕ ′′(x)
ϕ(x) .
Tako se parcijalna diferencijalna jednacˇina svodi na sistem obicˇnih diferencijalnih
jednacˇina na sledec´i nacˇin:
Leva strana zavisi od t, a desna strana zavisi od x. To se mozˇe desiti samo ako su obe
strane jednake istoj konstanti, recimo λ . Odavde sledi da je
ϕ(x)−λϕ(x) = 0
ψ ′′(t)−λψ(t) = 0
}
.
Resˇavanjem prve jednacˇine:
25
,,Parcijalne diferencijalne jednacˇine su veza izmedu prirasˇtaja nekih velicˇina u funkciji raznih parame-
tara. Recˇ je o najdinamicˇnijim i raznovrsnim oblastima matematicˇkih nauka koje prkose svim pokusˇajima
unifikacije. Parcijalne diferencijalne jednacˇine nalaze se u svim pojavama fizike neprekidnih sredina, a ticˇu
se svih stanja materije: gasa, fluida, cˇvrstih materija, plazme; kao i svih fizicˇkih teorija: klasicˇnih, relativi-
sticˇkih, kvantnih itd.“ (Sedrik Vilani, 2013, ˇZiva teorema, Centar za promociju nauke i Matematicˇki institut
SANU, Beograd, str. 91.)
Vilani isticˇe da je veliki Furije 1811. godine postavio jednacˇinu provodenja toplote, koja odreduje pro-
mene temperature u prostoru i vremenu u homogenom cˇvrstom telu u toku njegovog hladenja.
Na primer, parcijalne jednacˇine prenosˇenja toplote u sˇtapu duzˇine l je
∂ 2u
∂x2 =
1
a2
∂u
∂ t (t  0, a > 0).
uz odgovarajuc´e pocˇetne uslove. Videti u: Dobrilo Tosˇic´, 2006, Matematika III, kratak kurs, Akademska
misao, Beograd, str. 346.
Od tada su njegove jednacˇine postale najdostojniji predstavnici parcijalnih diferencijalnih jednacˇine,
jednacˇine koje opisuju sve povezane pojave sˇto nas okruzˇuju, od morskih struja do kvantne mehanike.
Visˇe videti u: Sedrik Vilani, 2013, ˇZiva teorema, Centar za promociju nauke i Matematicˇki institut SANU,
Beograd, str. 140.
26 Stein Elias and Rami Shakarchi, Fourier Analysis, an introduction Princeton University Press, p. 12.
4.4. Furijeovi redovi i primene 240
(1) za λ > 0 sva resˇenja su oblika
ϕ(x) = c1e
√
λx + c2e−
√
λ x.
Na osnovu ϕ(0) = 0 i ϕ(1) = 0
c1 + c2 = 0
c1e
√
λ + c2e−
√
λ = 0
}
⇒ c1 = c2 = 0
Na osnovu pocˇetnih uslova vidimo da je jedino resˇenje jednacˇine trivijalno resˇenje
(2) Za λ = 0, ϕ ′′(x) = 0, pa je
ϕ(x) = ax+b
i ponovo samo trivijalna resˇenja zadovoljavaju granicˇne uslove.
(3) Za λ < 0 resˇenja su oblika
ϕ(x) = Acos
√
−λ x+Bsin
√
−λ x.
Zamenic´emo pocˇetne uslove (zˇica je zategnuta izmedu x = 0 i x = 1).
Za ϕ(0) = 0 i ϕ(1) = 0 dobija se
A = 0 i Acos
√
−λ +Bsin
√
−λ = 0
Bsin
√
−λ = 0
sin
√
−λ = 0√
−λ = kπ , k ∈ Z
−λ = k2π2
λ =−k2π2
Kada zamenimo dobijeno λ , resˇenja su oblika
ϕk(x) = Bsinkπx, k ∈ Z.
S druge strane, druga jednacˇina ima resˇenja
ψ(t) = Acoskπt +Bsinkπt.
Ove jednacˇine prepoznajemo kao prosta harmonijska kretanja.
Slucˇaj k = 0, dobija se da je U(x, t) = 0. Za k < 0 konstante mozˇemo preimenovati
(parnost, odnosno neparnost funkcije cos i sin). Zbog toga mozˇemo uzeti da je k  1.
Jedno resˇenje talasne jednacˇine je
U(x, t) = (Ak coskπt +Bk sinkπt)sinkπx
i prepoznajemo ga kao stojec´i talas.
—
4.4. Furijeovi redovi i primene 241
Pre nego sˇto nastavimo analizu talasne jednacˇine navesˇc´emo primere za stojec´e ta-
lase. Pretpostavic´emo da je k = 1 i Uk(x, t) = cos t · sin t. Na slici je prikazan grafik za
razlicˇite vrednosti t.
Slika 28 – Osnovni ton (a) i visˇi tonovi (b) u razlicˇitom vremenskom trenutku
Slucˇaj k = 1 odgovara osnovnom tonu, ili, to je prvi harmonik u treperenju zˇice.
Kada uzmemo da je k = 2, razmatramo jednacˇinu U(x, t) = cos2t · sin2x (slika desno).
Imati na umu da je U
(π
2
, t
)
= 0, za svako t. Tacˇke koje ostaju nepomicˇne u vremenu
nazivaju se cˇvorovi. Za vec´e vrednosti K dobijaju se visˇi tonovi ili visˇe harmonika.
Kada k raste, povec´ava se frekvencija a period se smanjuje. Zbog toga osnovni ton
ima nizˇu frekvenciju nego prizvuk.
—
Podsetimo se da je talasna jednacˇina linearna u smislu ako su u i v resˇenja jednacˇine,
onda je to i αu+βv za bilo koje konstante α i β .
To nam omoguc´ava da se sabiraju resˇenja kao linearne kombinacije stojec´ih ta-
lasa uk.27 Ova tehnika zove se superpozicija talasa i dovodi do konacˇnog resˇenja talasne
jednacˇine
U(x, t) =
+∞
∑
K=0
(
Ak coskπt +Bk sinkπt
) · sinkπx (k ∈ N).
Za red na desnoj strani vazˇno je da konvergira, o cˇemu ne brinemo u ovom trenutku.
Pretpostavimo da su u ovom izrazu data sva resˇenja talasne jednacˇine. Za pocˇetno
vreme t = 0, nasˇa jednacˇina je funkcija po x, koju oznacˇavamo sa f (x), za koju vazˇi da je
f (0) = f (1) = 0. Zbog toga pisˇemo U(x,0) = f (x) i vazˇi
+∞
∑
k=1
Ak sinkπx = f (x).
27 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, 1977, Уравнения математической физики, Наука
Москва, стр. 86.
4.4. Furijeovi redovi i primene 242
Sada se prirodno namec´e pitanje: Kako pronac´i koeficijente Ak, za datu funkciju f (x), gde
je f (0) = f (1) = 0 i f (x) =
+∞
∑
k=1
Ak sinkπx?
Ovo pitanje je okvirno postavljeno i pokusˇac´emo da na njega odgovorimo. To je,
u stvari, osnovni problem koji je pokrenuo proucˇavanje Furijeove analize. Jednostavno
zapazˇanje nam omoguc´ava da pogodimo formulu za koeficijente Ak. Ako obe strane jed-
nakosti pomnozˇimo sa sinnπk i integralimo od nule do jedan, dobija se
1
0
f (x)sinnπxdx =
1
0
(
+∞
∑
k=1
Ak sinkπ
)
sinnπxdx
=
+∞
∑
k=1
Ak
1
0
sinkπx · sinnπxdx
=
1
2
An,
gde smo koristili cˇinjenicu da je
1
0
sinkπx · sinnπxdx =
{ 0, k = n
1
2
, k = n ,
i nismo se trudili da opravdamo zamenu poretka sume i integrala.
Na osnovu navedenog, pretpostavljamo da je n-ti Furijeov koeficijent jednak
An = 2
1
0
f (x)sinnπxdx
te, dakle, ocˇekujemo da imamo razvoj dunkcije f u sinusni red
f (x) =
+∞
∑
n=0
An sinnπx
na segmentu [0,1]. No tada vidimo da navedena formula zadaje neparnu funkciju na
[−1,1], oznacˇimo je takode sa f , sˇtavisˇe, mozˇemo je istom formulom definisati na cˇitavoj
realnoj pravoj, kao neparnu funkciju sa periodom 2. Vidimo da je
An =
1
−1
f (x)sinnπxdx.
Slicˇno pitanje se postavlja i za razvoj funkcije g(x), 0 x 1, u kosinusni red:
g(x) =
∞
∑
n=0
Bn cosnπx.
Ponovo, pretpostavljajuc´i da je takav razvoj moguc´, vidimo da data formula zadaje
g kao parnu funkciju na cˇitavoj realnoj osi, sa periodom 2. Ocˇekujemo da je, analogno
4.4. Furijeovi redovi i primene 243
prethodnom rasudivanju
Bn = 2
1
0
g(x)cosnπxdx =
1
−1
g(x)cosnπxdx.
Proizvoljna funkcija funkcije F na [−1.1] mozˇe se zapisati kao zbir f +g, gde je f
neparna, a g parna
f (x) = F(x)−F(−x)
2
g(x) =
F(x)−F(−x)
2
.
Ocˇekujemo da se proizvoljna funkcija F na [−1,1] mozˇe zapisati na sledec´i nacˇin
F(x) =
+∞
∑
k=1
Ak sinkπx+
+∞
∑
k=0
Bk coskπx
= B0 +
+∞
∑
k=1
(Ak sinkπx+Bk coskπx).
Uobicˇajeno se pisˇe
F(x) =
a0
2
+
+∞
∑
k=1
(ak coskπx+bk sinkπx).
Smenom x → 2x
f (x) = F(2x) = a0
2
+
+∞
∑
k=1
(ak cos2kπx+bk sin2kπx)
za opsˇtu funkciju f koja je periodicˇna, sa periodom 1. Koristec´i Ojlerovu formulu
eit = cos t + isint,
gde je |eit |= 1, t ∈ R, mozˇemo definisati trigonometrijske funkcije
cos t =
1
2
(eit + e−it)
sin t = 1
2i
(eit − e−it)
i jednostavno pokazati sledec´e tvrdenje:
Trigonometrijski polinom
f (x) = a0
2
+
N
∑
n=1
(an cos2πnt +bn sin2πnt)
mozˇe se izraziti u obliku
f (x) =
N
∑
n=−N
cne
2πinx,
gde su c0 = A, cn =
1
2
(An− iBn) i c−n = 12(An + iBn) za n > 0.
4.4. Furijeovi redovi i primene 244
I obrnuto, svaka funkcija oblika
f (x) =
N
∑
n=−N
cne
2πinx
mozˇe se izraziti kao
f (x) = a0
2
+
N
∑
n=1
(an cos2πnx+bn sin2πnx)
tako sˇto su A0 = c0, An = cn + c−n i Bn = i(Cn−C−n), n > 0.
Koeficijenti An i Bn su realni ako i samo ako cn = c−n.
Teorema. Neka je f Furijeov polinom
f (x) =
N
∑
n=−N
cne
2πint =
a0
2
+
N
∑
n=1
(an cos2πnt +bn sin2πnt),
tada je
cn =
1
0
f (x)e−2πinxdx, −N  n N,
shodno tome
an = 2
1
0
f (x)cos2πnxdx
bn = 2
1
0
f (x)sin2πnxdx
DOKAZ . Dovoljno je zapaziti da je
1
0
ei2πktdt =
{
1, k = 0
0, k = 0
i uvesti jednakosti
an = cn + c−n,
bn = i(cn− c−n).
Na ovaj nacˇin smo jednu prirodnu pojavu, koju smo predstavili jednacˇinom trepere-
nja zˇice, povezali sa apstraktnom teorijom vektorskh prostora, skalarnog proizvoda, orto-
gonalnosti i Furijeovih redova.
Sada je jasno da ako je f Riman integrabilna da vazˇi teorema o konvergenciji Furije-
ovog reda u L2, ili, ako je f deo po deo glatka – da vazˇi uniformna konvergencija Furijeo-
vog reda, cˇime je ucˇinjen vazˇan korak ka opravdavanju metoda razdvajanja promenljivih
u resˇenje parcijalne diferencijalne jednacˇine drugog reda, odnosno, resˇenja jednacˇine zˇice
koja treperi. Na ovaj nacˇin pokazali smo da prikazana apstraktna teorija ima primenu u
fizici i inzˇenjerstvu.
4.4. Furijeovi redovi i primene 245
Sada c´emo uzeti novu definiciju Furijeovih redova koja je specijalni slucˇaj ranije
uvedene opsˇtije definicije, ali se najcˇesˇc´e koristi u primerima.
4.4.5. Definicija Furijeovog reda i primeri
Teorija i primena dali su nam motivaciju da napisˇemo definiciju Furijeovog reda, i
to onako kako taj red najcˇesˇc´e i srec´emo.
Definicija Furijeovog reda na [−π ,π ].28Neka je f (x) funkcija sa periodom 2π ,
koja na intervalu [−π ,π ] ima konacˇan broj tacˇaka prekida prve vrste. Furijeov red funk-
cije f dat je sa
f (x) = a0
2
+
+∞
∑
n=1
(an cosnx+bn sinnx),
pri cˇemu su koeficijenti definisani sa
a0 =
1
π
π
−π
f (x)dx,
an =
1
π
π
−π
f (x)cosnxdx, n ∈ N,
bn =
1
π
π
−π
f (x)sinnxdx, n ∈ N.
PRIMER 3. Predstaviti funkciju f (x) = π − x
2
, 0 x < 2π u obliku Furijeovog reda.
RESˇENJE. Funkcija f (x) = π − x
2
mozˇe se periodicˇno produzˇiti i na taj nacˇin dobije se ne-
parna periodicˇna funkcija za koju vazˇi an = 0, n = 0,1,2, . . .
bn =
2
π
π
0
π − x
2
sinnxdx =− 1
nπ
π
0
(π − x)d(cos nx)
=− 1
nπ
(π − x)cos nx
∣∣∣π
0
− 1
nπ
π
0
cosnxdx = 1
n
.
Na taj nacˇin
π − x
2
=
+∞
∑
n=1
sinnx
n
, 0 < x < 2π.
Za x =
π
2
,
π
4
=
+∞
∑
n=1
(−1)n−1
2n−1 jer je sin 2k
π
2
= 0 za n = 2k i
28 Nenad Teofanov, 2011, Predavanja iz primenjene analize, Zavod za udzˇbenike, Beograd, str. 73.
4.4. Furijeovi redovi i primene 246
Slika 29
sin(2k−1)π
2
= (−1)k−1, n = 2k−1.
Na osnovu Parsevalove jednakosti
+∞
∑
n=1
=
1
π
2π
0
| f |2dx dobija se
+∞
∑
n=1
1
n2
=
1
π
2π
0
(
π − x
2
)2
dx = π
2
6 .
PRIMER 4. Neka je f (x) = sgn(x), x ∈ [−π,π], odnosno
f (x) =
⎧⎨
⎩
1, 0 < x < π,
0, x = 0,
−1, −π < x < 0.
Odrediti Furijeov red funkcije f .
DOKAZ . Grafik funkcije dat je na slici 30.
Slika 30
Ocˇigledno da je funkcija neparna, sˇto znacˇi da je an = 0. Za koeficijente bn vazˇi:
bn =
1
n
π
−π
sgn(x)sin nxdx =
{
4/πn, n paran,
0, n neparan .
Furijeov red ove funkcije dat je sa:
f (x)sin
∞
∑
k=1
4
π(2k−1) sin(2k−1)x.
4.4. Furijeovi redovi i primene 247
Za:
f =
m
∑
k=1
(4∗Sin[(2∗ k−1)∗ x])/((2∗ k−1)∗Pi);
Plot[Evaluate[ f ],{x,−Pi,Pi},PlotStyle →{RGBColor[1,0,0]},
PlotPoints → 10000,PlotRange →{{−5,5}{|2,2}}];
programski paket Matematika za razlicˇite vrednosti m daje:
m = 2:
Slika 31
m = 10:
Slika 32
m = 100:
Slika 33
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 248
4.5. BANAHOVA TEOREMA O FIKSNOJ TA ˇCKI I PRIMENE
Definicija kontrakcije. Neka je X metricˇki prostor sa rastojanjem d i preslikava-
njem F : X → X. F je kontrakcija ako postoji realni broj K, 0 < K < 1 tako da vazˇi
d
(
F(x),F(y)
)
 Kd(x,y).
Slika 34 – Stefan Banah
Banahova teorema.29 Neka je X kompletan metricˇki prostor sa rastojanjem d i
neka je preslikavanje F : X → X kontrakcija. Tada postoji jedinstvena tacˇka P ∈ X tako
da je
F(P) = P.
Dokaz teoreme. Prvo treba primetiti da ako su X1 i X2 fiksne tacˇke F , onda
d(x1,x2) = d
(
F(x1),F(x2)
)
 Kd(x1,x2),
iz cˇega sledi da je d(x1,x2) = 0. Zbog toga je x1 = x2. To znacˇi da je fiksna tacˇka jedin-
stvena.
Izaberimo x0 ∈ X i definisˇimo
x1 = F(x0)
x2 = F(x1)
x3 = F(x2)
.
.
.
Vidimo da je
d(xn+1,xn) = d
(
F(xn),F(xn−1)
)
 K ·d(xn,xn−1)
29 Stefan Banah (Stefan Banach), 1892-1945. Bio je istaknuti poljski matematicˇar.
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 249
= K ·d(F(xn−1),F(xn−2))
 K2 ·d(xn−1,xn−2)
.
.
.
 Kn ·d(x1,x0).
Ako n,m ∈ {1,2, . . .} onda
d(xn+m,xn) d(xn+m,xn+m−1)+d(xn+m−1,xn+m−2)
+ · · ·+d(xn+1,xn)

(
Kn+m−1 +Kn+m−2 + · · ·+Kn)d(x1,x0)
 K
n
1−K d(x1,x0).
Zakljucˇujemo da je (xn) Kosˇijev niz jer Kn → 0 na osnovu 0  K < 1. Zato ima
granicˇnu vrednost x ∈ X . Kako je F neprekidna (naravno, F je neprekidna u smislu
Lipsˇica), mozˇemo zakljucˇiti da je
F(x) = F
(
lim
n→∞xn
)
= lim
n→∞F(xn) = limn→∞xn+1 = x.
Zbog toga je x fiksna tacˇka koju trazˇimo.
PRIMER 1. Neka je X Hilbertov prostor l2 i F : X → X tako da je
F(x) =
(
1
2
)
x+
(
1, 1
2
,
1
3 , . . .
)
.
Mozˇe se lako proveriti da je f kontrakcija sa konstantom K = 1
2
. Jedinstvena fiksna tacˇka je
P =
(
2
1
,
2
2
,
2
3 ,
2
4
, . . .
)
m =
(
1,
1
2
,
1
3 , . . .
)
∈ l2
jer je
12 +
(
1
2
)2
+
(
1
3
)2
+ · · ·<+∞
d
(
F(x),F(y)
)
= ‖F(x)−F(y)‖
=
∥∥∥∥12x+m−
(
1
2
y+m
)∥∥∥∥
=
1
2
‖x− y‖
=
1
2
d(x,y).
Na osnovu F(P) = P, dobija se(
1
2
)
P+
(
1, 1
2
,
1
3 , . . .
)
= P
(
1, 1
2
,
1
3
, . . .
)
=
(
1
2
)
P, odnosno
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 250
P =
(
2,
2
2
,
2
3 ,
2
4
, . . .
)
.
PRIMER 2. Neka je sada Hilbertov prostor L2([0,1]) i neka je F preslikavanje dato sa
F( f ) = (x+1)
1
0
x · f (x)dx.
Mozˇe se proveriti da je
∣∣F( f )(x)−F(g)(x)∣∣ =
∣∣∣∣∣(x+1)
1
0
x f (x)dx− (x+1)
1
0
xg(x)dx
∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣(x+1)
1
0
x
( f (x)−g(x))dx
∣∣∣∣∣
 |x+1|
( 1
0
x2dx
)1/2
·
( 1
0
∣∣ f (x)−g(x)∣∣2dx
)1/2
= |x+1|
(
1√
3
)
‖ f −g‖L2 .
Zbog toga je
∣∣F( f )−F(g)∣∣L2 =
( 1
0
(
|F( f )−F(g)|
)2
dx
)1/2
 1√
3
‖ f −g‖L2
( 1
0
(x+1)2dx
)1/2
=
(
7
9
)1/2
‖ f −g‖L2 .
Zakljucˇujemo da F ima jedinstvenu fiksnu tacˇku.
NAPOMENA. Vredno je podvuc´i da je kompletnost susˇtinska pretpostavka u teoremi.
Na primer, uzimamo X = (0,1] sa uobicˇajenom metrikom – tada preslikavanje F : X → X
dato formulom F(x) = x
2
jeste kontrakcija koja nema fiksnu tacˇku.
Bilo bi korisno da imamo nekoliko varijanti Banahove teoreme o fiksnoj tacˇki.
Banahova teorema o fiksnoj tacˇki sa parametrom.30 Neka je X kompletni metricˇki
prostor, a Y metricˇki prostor. Neka je F : X ×Y → X neprekidna funkcija. Pretpostavimo
da je F kontrakcija po prvoj promenljivoj i to ravnomerno po drugoj promenljivoj. Pod
tim podrazumevamo
d
(
F(x1,y),F(x2,y)
)
 K ·d(x1,x2)
30 Steven G. Krantz, 2013, A Guide to Functional Analysis, The Mathematical Association of America,
p. 107.
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 251
za svaki x1,x2 ∈ X, y ∈ Y i neki 0 < K < 1.
Onda, za svako fiksno y ∈ Y preslikavanje x → F(x,y) ima jedinstvenu fiksnu tacˇku
ϕ(y) ∈ X. Dalje, funkcija y → ϕ(y) je neprekidna iz Y u X.
DOKAZ . Jedino sˇto treba da se dokazˇe je neprekidnost ϕ .
Za y,y0 ∈ Y imamo
d
(
ϕ(y),ϕ(y0)
)
= d
(
F(ϕ(y),y),F(ϕ(y0),y0)
)
 d
(
ϕ(y),y)
)
,F
(
ϕ(y0),y
)
+d
(
F(ϕ(y0),y),F(ϕ(y0),y0)
)
 Kd
(
ϕ(y),ϕ(y0)
)
+d
(
F(ϕ(y0),y),F(ϕ(y0),y0)
)
.
Sledi da je
d
(
ϕ(y),ϕ(y0)
)
 1
1−K d
(
F(ϕ(y0),y),F(ϕ(y0),y0)
)
.
S obzirom na to da desna strana tezˇi nuli kad y → y0, dobijamo zˇeljenu neprekidnost.
Posledica Banahove teoreme.31 Neka je X kompletan metricˇki prostor i neka je F :
X → X. Ako je Fn kontrakcija za neko n 1, onda F ima jedinstvenu fiksnu tacˇku x ∈ X.
Fn je kompozicija F , n puta.
DOKAZ . Neka je x jedinstvena fiksna tacˇka Fn (sˇto je dato prethodnom teoremom),
onda je
Fn
(
F(x)
)
= Fn+1(x)
= F
(
Fn(x)
)
= F(x).
Oznacˇimo F(x) sa y; dobijeni rezultat je Fn(y) = y, ali posˇto je x jedinstvena fiksna
tacˇka preslikavanja Fn, vazˇi: Fn(x) = x, pa sledi da je y = x i na kraju
F(x) = x.
4.5.1. Dve primene
Prva primena odnosi se na teoremu o implicitnoj funkciji, koja predstavlja jednu
od najslozˇenijih teorema diferencijalnog racˇuna u Rn. Koristec´i Banahovu teoremu o fik-
snoj tacˇki sa parametrom ona se lako dokazuje, cˇak i u opsˇtoj situaciji kada se konacˇno
dimenzioni Euklidski prostori zamene Banahovim prostorima.
Koristic´emo oznake: BX(P,r) je otvorena metricˇka kugla u Banahovom prostoru
X i BX(P,r) je zatvorena metricˇka kugla. Izvode u Banahovom prostoru interpretiramo
uobicˇajeno, kako to cˇini Fresˇe.32
31 Steven G. Krantz, 2013, A Guide to Functional Analysis, The Mathematical Association of America,
p. 108.
32 Steven G. Krantz, 2013, A Guide to Functional Analysis, The Mathematical Association of America,
p. 108.
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 252
Teorema 1. Uzmimo da su X, Y , Z Banahovi prostori. Neka je U ⊂ X ×Y otvoreni
skup i u0 = (x0,y0) ∈U. Neka je F : U → Z. Pretpostavimo da je
(a) F neprekidna i F(u0) = 0,
(b) DyF(u) postoji za svako u = (x,y) ∈U ,
(c) DyF je neprekidan u u0 i DyF(u0) je invertibilan.
Onda za α,β > 0 za koje je BX(x0,α)×BY (y0,β ) ⊆ U i jedinstvenu neprekidnu
funkciju ϕ
ϕ : BX(x0,α)→ BY (y0,β )
vazˇi relacija
F(x,y) = 0 ⇐⇒ y = ϕ(x)
za sve (x,y) ∈ BX(x0,α)×BY (y0,β ).
NAPOMENA. Dokaz ovog rezultata iznenadujuc´e je direktan.
Dokaz teoreme. Mozˇemo pretpostaviti, ne gubec´i na opsˇtosti, da je x0 = 0 i y0 = 0.
Definisˇemo funkciju
Φ(x,y) = y− [DyF(0,0)]−1F(x,y)
za (x,y) ∈U . Prema (a) Φ je neprekidna od U do Y . Vidimo da je
DyΦ(x,y) = I−
[
DyF(0,0)
]−1 ◦DyF(x,y),
gde ◦ oznacˇava kompoziciju linearnih operatora.
Prema (c) postoji γ > 0 dovoljno malo da je
‖DyΦ(x,y)‖ 12
za sve (x,y) ∈ BX(0,γ)×BY (0,γ)⊆U .
Onda jednostavne procene i neprekidnost Φ podrazumevaju da je
∥∥Φ(x,y1)−Φ(x,y2)∥∥Y 
1
2
‖y1 − y2‖Y
za ‖x‖X , ‖y1‖Y , ‖y2‖Y manje ili jednako od β , a β je manje nego γ .
Ako koristimo (a), mozˇemo odrediti 0 < α < β tako da bude
‖Φ(x,0)‖Y  β2
za sve ‖x‖X  α . Onda je za ‖x‖X  α , ‖y‖Y  β
‖Φ(x,y)‖Y = ‖Φ(x,0)‖Y +‖Φ(x,y)−Φ(x,0)‖Y  12(β +‖y‖Y ) β .
Onda je neprekidno preslikavanje Φ: BX(0,α)×BY (0,β )→ BY (0,β ) je kontrakcija
na BY (0,β ) ravnomerno u BX(0,α).
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 253
Iz Banahove teoreme o fiksnoj tacˇki sa parametrom postoji jedinstvena neprekidna
funkcija ϕ ,
ϕ : BX(0,α)→ BY (0,β ) tako da je
Φ(x,ϕ(x)) = ϕ(x) tj.
F(x,ϕ(x)) = 0.
∗
∗ ∗
Za nasˇu sledec´u primenu razmatrac´emo Kosˇijev problem{
x′(t) = f (t,x(t)) za t ∈ I
x(t0) = x0
.
Trazˇimo zatvoren interval I, t0 ∈ I i diferencijabilnu funkciju x: I → X (gde je X dati
Banahov prostor) tako da je sistem zadovoljen.
Ovo je standardni problem pocˇetnih vrednosti prvog reda kod obicˇnih diferencija-
bilnih jednacˇina.
Poznata je cˇinjenica da je ovaj sistem ekvivalentan resˇavanju integralne jednacˇine
x(t) = x0 +
t
t0
f (s,x(s))ds, t ∈ I.
Teorema 2. Pretpostavimo da je
(a) f neprekidna;
(b) vazˇi nejednakost
‖ f (t,x1)− f (t,x2)‖X  K(t)‖x1− x2‖X ,
za sve (t,x1), (t,x2) ∈U, vredi za neke K(t) ∈ [0,+∞).
(c) K ∈ L1(t0−a, t0+a) za neki a > 0,
(d) postoji m 0 i BR×X(u0,s)⊆U tako da je
‖ f (t,x)‖X  m
za sve (t,x) ∈ BR×X(u0,s).
Onda sledi da postoji τ0 > 0 tako da za svako τ < τ0 postoji jedinstveno resˇenje
x ∈C1(Iτ ,X) za Kosˇijev problem sa
Iτ = [t0− τ, t0+ τ].
NAPOMENA. Oni koji poznaju klasicˇan dokaz primetic´e da su stvari ovde znatno
jednostavnije. Mnoge od klasicˇnih procena su apsorbovane u funkcionalnu masˇineriju.
Dokaz teoreme. Neke je r = min{a,s} i τ0 = min
{
r,
r
m
}
.
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 254
Biramo τ < τ0 i smatramo da je kompletan metricˇki prostor Z = BC(Ir,X)(x0,r) sa
metrikom koju namec´e norma od C(Ir,X). Ovde je x(t0) konstantna funkcija jednaka x0.
Posˇto je τ < r, ako z ∈ Z, onda je
(t,z(t))∈ BR×X(u0,r)⊆U,
za sve t ∈ Ir. Onda za z ∈ Z definisˇemo da je
F(z)(t) = x0 +
t
t0
f (y,z(y))dy, za t ∈ Ir.
Primetimo da je
sup
t∈Ir
‖F(z)(t)− x0‖ sup
t∈Ir
∣∣∣∣∣∣
t
t0
‖ f (y,z(y)‖Xdy
∣∣∣∣∣∣ mτ  r.
Zakljucˇujemo da F preslikava Z u Z. Nasˇ poslednji zadatak jeste da pokazˇemo da je F n
kontrakcija na Z za neke n ∈ N. Indukcijom po n, pokazac´emo da je za svako t ∈ Ir
∥∥Fn(z1)(t)−Fn(z2)(t)∥∥X 
1
n!
∣∣∣∣∣∣
t
t0
K(y)dy
∣∣∣∣∣∣
n
‖z1− z2‖C(Ir,X).(3)
Za n = 1 ovo je jasno. Zbog toga pretpostavimo da je nejednakost tacˇna za neko n−1 ako
je n 2.
Ako uzmemo da je t > t0 (razmatranje slucˇaja t < t0, je analogno), vidimo da je∥∥Fn(z1)(t)−Fn(z2)(t)∥∥X
=
∥∥∥F(Fn−1(z1))(t)−F(Fn−1(z2))(t)
∥∥∥
X

t
t0
∥∥ f (y,Fn−1(z1)(y))− f (y,Fn−1(z2)(y))∥∥X dy

t
t0
K(y)
∥∥Fn−1(z1)(y)−Fn−1(z2)(y)∥∥X dy
 1
(n−1)!
⎡
⎢⎣
t
t0
K(y)
⎛
⎝
y
t0
K(ω)dω
⎞
⎠
n−1
dy
⎤
⎥⎦‖z1− z2‖C(Ir,X)
=
1
n!
⎛
⎝
t
t0
K(y)dy
⎞
⎠
n
‖z1− z2‖C(Ir,X)
Tako iz (3) dobijamo
∥∥Fn(z1)(t)−Fn(z2)(t)∥∥C(Ir,X) 
1
n!‖K‖
n
L1(Ir)‖z1− z2‖C(Ir,X),
i to pokazuje da za n dovoljno veliko, F n je kontrakcija.
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 255
Pomoc´u posledica Banahove teoreme zakljucˇujemo da F ima jedinstvenu fiksnu
tacˇku. To je ocˇigledno jedino resˇenje za nasˇu integralnu jednacˇinu i ono resˇava Kosˇijev
problem.
Teorema (uopsˇtenje Banahove teoreme). Neka je (X ,d) kompaktan metricˇki pro-
stor, T : X → X, tako da za svaki x,y ∈ T , x = y vazˇi
d(T (x),T (y))< d(x,y).
Tada postoji jedinstvena fiksna tacˇka preslikavanja T , tj. vazˇi T (a) = a za neko a ∈ X.33
DOKAZ . (I nacˇin) Neka je
G(x) = d(T (x),x), x ∈ X .
Vazˇi
∣∣G(x)−G(y)∣∣=
∣∣∣d(T (x), x)−d(T (y), y)
∣∣∣
=
∣∣∣d(T (x), x)−d(T (y), x)+d(T (y), x)−d(T (y), y)
∣∣∣

∣∣∣d(T (x), x)−d(T (y), x)
∣∣∣+
∣∣∣d(T (y), x)−d(T (y), y)
∣∣∣
 d
(
T (x), T (y)
)
+d(x, y)
 2d(x, y)
G ispunjava Lipsˇicov uslov pa je neprekidna.
[Korisˇc´ena je procena
∣∣d(a,b)−d(a,c)∣∣ d(b,c) sˇto je ekvivalentno sa
−d(b,c) d(a,b)−d(a,c) d(b,c), odnosno
d(a,c) d(a,b)+d(b,c)∧d(a,b) d(a,c)+d(c,d).]
Neprekidna funkcija na kompaktnom skupu dostizˇe minimum.
Znacˇi da neprekidna funkcija G dostizˇe minimum u nekoj tacˇki a ∈ X i neka je
G(a) = d(T (a),a) = λ .
Pretpostavimo da je λ > 0. Onda je
T (a) = a, pa je
d
(
T (T (a)),T(a)
)
< d
(
T (a),a
)
= λ
Kontradikcija!
Sledi da je T (a) = a, a to znacˇi da je a fiksna tacˇka.
33 W. A. Sutherland, 1975, Introduction to metric and topological spaces, Clarendon Press, Oxford.
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 256
PRIMER 3. Neka je f : [0,1] → [0,1] cˇiji gafik je prikazan na slici. Data funkcija na kom-
paktnom skupu [0,1] ima fiksnu tacˇku.
Slika 35
(II nacˇin) U drugom dokazu koriste se dve vazˇne cˇinjenice. Prvo, funkcija T ocˇigledno
je neprekidna, jer je d(T (x), T (y)) 1 ·d(x , y) pa T ispunjava Lipsˇicov uslov; drugo, ko-
ristic´e se cˇinjenica da je X kompaktan skup na kome svaki niz ima konvergentan podniz.
(Ovde nec´emo koristiti neprekidnost funkcije f (x) = d(T (x),x) koja nije ocˇigledna.)
Analiziramo dva slucˇaja za d > 0. Zakljucˇic´emo da nijedan nije moguc´ i da mora
biti d = 0.
(I) α = infd(T (x), x) se dostizˇe pa postoji tacˇka x0 ∈X takva da je α = d(T (x0), x0).
Ali, prema uslovu teoreme
d
(
T (x0), T
(
T (x0)
)
< d
(
x0, T (x0)
)
= α, x0 = T (x0)
sledi infimum je manji od α . Kontradikcija!
Znacˇi nije moguc´e da se realizuje infimum koji je vec´i od nule.
(II) α = infd(T (x), x) se ne dostizˇe. To znacˇi da je za α > 0 rastojanje
d
(
x, T (x)
)
> α ∀x ∈ X .
Koristec´i svojstvo infimuma zakljucˇujemo da postoji niz xn ∈X takav da je niz d(xn,T (xn))
opadajuc´i i tezˇi α .
Posˇto je (X ,d) kompaktan, svaki niz ima konvergentan podniz, pa i niz (xn) ima
podniz yk = xnk , k = 1,2, . . . gde yk → a za neko a ∈ X .
Sada yk → a, d(yk,T (yk)) ↓ α . Takode, niz T (yk), k = 1,2, . . . ima konvergentan
podniz, tj. postoji zm = ykm , m = 1,2, . . . takvo da T (zm), m = 1,2, . . . konvergira nekom
b ∈ X .
Znacˇi d(zm,T (zm)) ↓ α , gde zm → a, T (zm)→ b, za neke a,b ∈ X .
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 257
Vazˇe relacije trougla
d
(
zm,T (zm)
)
 d(zm,a)+d(a,b)+d
(
b,T (zm)
)
, odnosno
d(a,b) d(a,zm)+d
(
zm,T (zm)
)
+d
(
T (zm),b
)
.
Prelaskom na limes, kada m → ∞ iz ovih nejednakosti sledi
α  0+d(a,b)+0
d(a,b) 0+α +0
}
pa je d(a,b) = α.
Iz neprekidosti funkcije T (koja ispunjava Lipsˇicov uslov), zbog zm → a, T (zm)→ b sledi
T (a) = b i pri tome je d(a,b) = α , tj. d(a,T (a)) = α , a zatim d(T (a),T (T (a)))< α , pa
α > 0 nije infimum. Kontradikcija! Pretpostavka da je α > 0 nije tacˇna. Ostaje jedina
moguc´nost α = 0.
Posˇto je yk → a, d(yk,T (yk)) ↓ α = 0 iz nejednakosti
d
(
T (yk),a
)
 d
(
T (yk),yk)
)
+d(yk,a)
sledi d(T (yk),a)→ 0, ili to isto: yk → a, T (yk)→ a zbog neprekidnosti T je T (a) = a.
Teorema o fiksnoj tacˇki metricˇkog prostora (A. Meir& E. Keeler).34 Nek je (X ,d)
kompletan metricˇki prostor, T : X → X i vazˇi sledec´i uslov:
(∀ε > 0)(∃δ (ε)> 0)(∀x,y ∈ X)
(
ε  d(x,y)< ε +δ ⇒ d(T (x),T (y))< ε
)
(∗)
Tada za svako x ∈ X postoji lim
n→∞T
n(x) = a, gde a ∈ X ne zavisi od x; T (a) = a, sˇto
znacˇi da je a fiuksna tacˇka prostora (X ,d).
DOKAZ . (i) Niz cn = d(T n(x),T n+1(x)) je opadajuc´i na osnovu (∗). (Uzeti u (∗)
T n(x) umesto x, T n+1(x) umesto y, d(T n(x),T n+1(x)) umesto ε , ako je takvo ε > 0).
Znacˇi cn+1 < cn.
(ii) (cn) je monoton i ogranicˇen niz. Treba dokazati da je lim
n→∞cn = 0. Pretpostavimo
suprotno, lim
n→∞cn = c > 0.
Neka je ε = c. Postoji δ > 0 po uslovu teoreme. Posˇto cn → c < c+δ = ε +δ , za
n n0 je cn < ε+δ pa je cn+1 < ε na osnovu uslova (∗). Znacˇi lim
n→∞cn < c. Kontradikcija!
(iii) Dokazujemo da je niz Tn(x), n = 1,2, . . . Kosˇijev, pretpostavljajuc´i suprotno.
Oznacˇimo Tn(x) = βn.
Postoji ε > 0 takvo da za beskonacˇno mnogo brojeva n ∈ N vazˇi d(βn,βn+k) > 2ε ,
za neke brojeve k = k(n). Broju ε odgovara broj δ = δ (ε), takav da vazˇi (∗).
34 A. Mukherjea and K. Pothoren, 1978, Real na Functional Analysis, Plenum Press, New York, p. 71.
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 258
Za n > N je cn < λ3 , gde je λ = min{δ ,ε}. Neka je n > N i k takvo da vazˇi
d(βn,βn+k)> 2ε . Kako je n > N
cn = d(βn, βn+1)< λ3 , sledi(
d(βn+ j, βn+ j+1)< λ3 ( j = 0,1,2, . . .), odnosno∣∣∣(d(βn, βn+ j)−(d(βn, βn+ j+1)
∣∣∣< λ3 ( j = 0,1,2, . . .).
(Posledica nejednakosti trougla.)
Sada posmatramo konacˇan niz brojeva
(
d(βn, βn+1),d(βn, βn+2), . . . ,d(βn, βn+k).
Razmak izmedu svaka 2 susedna cˇlana ovog niza je manji je od λ3 , prvi cˇlan niza
manji od λ3 , poslednji cˇlan je vec´i od 2ε , pa s obzirom na gustinu tih brojeva bar jedan
cˇlan tog niza (βn,βn+ j) pripada intervalu(
ε +
2λ
3 , ε +λ
)
tj. ε + 2λ3 < d(βn, βn+1)< ε +λ
za neko j = {1,2, . . . ,k−1}. Nalazimo bolju procenu za broj (βn, βn+ j),
d
(βn, βn+ j) d(βn, βn+1)+d(βn+1, βn+ j+1)+d(βn+ j+1, βn+ j)
<
λ
3 +d
(βn+1, βn+ j+1)+ λ3 .
Na osnovu (∗) iz procene
d
(βn, βn+ j)< ε +λ sledi
d
(βn+1, βn+ j+1)< ε jer je ε +λ < ε +δ .
Znacˇi
d
(βn, βn+ j)< λ3 + ε +
λ
3
= ε +
2λ
3
.
Kontradikcija!
(iv) Niz (βn) je Kosˇijev (X ,d) kompletan, pa βn → a za neko a ∈ X , tj. T n(x)→ a.
Kako je
d
(
T (T n(x)),T (a)
)

(
T n(x),a
)→ 0,
onda
T n+1(x)→ T (a), tj. T n(x)→ T (a); T (a) = a.
4.5. Banahova teorema o fiksnoj tacˇki i primene 259
(v) Pretpostavimo da T n(x)→ a za neko x, T n(y)→ b za neko Y i da je a = b. Vazˇi∣∣∣d(T n(x),T n(y))−d(a,b)
∣∣∣
∣∣∣d(T n(x),T n(y))−d(T n(x),b)
∣∣∣+
+
∣∣∣d(T n(x),b)−d(a,b)
∣∣∣ d(T n(y),b)+d(T n(x),a)→ 0, tj.
d
(
T n(x),T n(y)
)→ d(a,b).
Iz uslova (∗) sledi da je
d
(
T n+1(x),T n+1(y)
)
< d
(
T n(x),T n(y)
)
(Uzeti ε = d(T n(x),T n(y)))
Dalje, ako se uzme ε = d(a,b), za dovoljno veliko n je
ε  d
(
T n(x),T n(y)
)
< ε +δ , pa vazˇi
d
(
T n+1(x),T n+1(y)
)
< ε = d(a,b) odnosno
d
(
T n(x),T n(y)
) ↓ s, za neko s; 0 s < d(a,b).
Iz dobijene kontradikcije proizilazi da je a = b. To znacˇi da je fiksna tacˇka jedno-
znacˇno odredena; postoji a ∈ X takvo da T n(x)→ a za proizvoljno izabrano x ∈ X (kada
n → ∞).
∗
∗ ∗
Banahova teorema o fiksnoj tacˇki ima primenu u razlicˇitim oblastima: algebarske,
obicˇne diferencijalne jednacˇine, parcijalne jednacˇine, integrale jednacˇine, funkcionalne
jednacˇine, numericˇka analiza i dr. Banahova teorema ima i izvesna ogranicˇenja. Na pri-
mer, kod egzistencije resˇenja Fredholmove integralne jednacˇine
K (s) = λ
b
a
K(s, t)x(t)dt+g(s).
Ovaj stav obezbeduje resˇenje samo za male vrednosti parametra |λ |.
5.
PREDLOZI INOVACIJA U NASTAVI
MATEMATI ˇCKE ANALIZE NA TEHNI ˇCKIM
FAKULTETIMA I ZAKLJU ˇCNA RAZMATRANJA
5.1. REZULTATI ISTRA ˇZIVANJA
Rezultati empirijskog istrazˇivanja i resˇavanja zadatog istrazˇivanja u odnosu na po-
stavljene hipoteze jesu sledec´i:
Hipoteza Rezultat
(i) Studenti tehnicˇkih fakulteta imaju pozitivan odnos prema
matematici.
prihvac´ena
(ii) Studenti tehnicˇkih fakulteta matematici prevashodno dode-
ljuju upotrebnu vrednost.
prihvac´ena
(iii) Predavanje nastavnika je dobro ukoliko je razumljivo, raz-
govetno i ako motivisˇe studente da u njemu ucˇestvuju. Is-
tovremeno, predavanje sadrzˇi primere sa elementima pri-
mene.
prihvac´ena
(iv) Matematicˇka literatura je vazˇno nastavno sredstvo ali se
ona, osim zbirki zadataka koje sluzˇe za neposredno pripre-
manje ispita, ne koristi.
prihvac´ena
(v) Uspesˇnost u resˇavanju zadataka ne zavisi od vrste fakulteta
(ETF, GF, MF).
odbacˇena
(vi) Vizuelna prezentacija zadataka povec´ava uspesˇnost
resˇavanja problema.
prihvac´ena
(vii) Studenti nisu stekli vesˇtinu da znanje iz matematicˇke ana-
lize primene u resˇavanju zadataka i problema.
prihvac´ena
(viii) Apstraktna teorija i primenjena matematicˇka analiza
med-usobno su povezane i objedinjene u univerzalnom ma-
tematicˇkom sistemu.
prihvac´ena
5.1. Rezultati istrazˇivanja 261
Prve cˇetiri hipoteze prihvac´ene su na osnovu analize upitnika. Peta hipoteza, uspe-
sˇnost u resˇavanju zadataka ne zavisi od vrste fakulteta je odbacˇena, sˇto ide u prilog
cˇinjenici da rezultat zavisi od fakulteta. ˇSesta i sedma hipoteza su prihvac´ene.
Krajnje apstrakcije jesu pravo orude kojim se mozˇe kontrolisati nasˇa misao u kon-
kretnim situacijama. Matematicˇka tvrdenja predstavljaju sigurnu stazu, bez obzira na to
da li je utvrdeno da postoji u prirodi ili ne, jer sadrzˇe nesˇto izvesno i nesumnjivo. Rezultati
istrazˇivanja nedvosmisleno potvrduju da studenti tehnicˇkih fakulteta smatraju da matema-
tika treba da bude iskljucˇivo primenjena nauka. Takode je kristalno jasno da bez teorije
sama primena znacˇi svodenje na puku vesˇtinu, napravu i patent, bez moguc´nosti naucˇnog
usavrsˇavanja i razvoja. Apstrahovanje, uopsˇtavanje i izvodenje posebnih slucˇajeva treba
dovesti u prirodan tok. Zatim slede primeri koji se navode odredenim redosledom.
Prvo se navode primeri kojima se rasvetljava pojam, zatim primeri primene u mate-
matici i na kraju primeri primene u fizici, prirodnim naukama, muzici i drugim oblastima
gde postoje. Tako c´e primenom iz cˇiste teorije, slozˇene stvari ili pojave – recimo iz fizike
ili medicine, biti manje sumnjive i bic´e izvesnije. Drugi nacˇin je matematicˇko modelira-
nje, cˇime se bave teorijska fizika i druge nauke. Ovo je put priblizˇavanja apstraktne teorije
i odgovarajuc´e primene.
Tema koja je rasvetljena na oba nacˇina jeste tema Furijeovih redova. Prvo je na pi-
jedestal podignuta teorija vektorskih prostora, ortogonalnih vektora do nivoa Hilbertovih
prostora. O, velike li apstrakcije! Zatim je posledicˇno objasˇnjena teorija Furijeovih re-
dova. Josˇ uvek se ne vidi primena ali se mogu konformno resˇavati primeri i zadaci. Zatim
se pogled promenio, sada se stvar posmatra kao fizicˇki fenomen treperenja zˇice. Mate-
maticˇkim modeliranjem ponovo se stizˇe do Furijeovih redova. Na taj nacˇin apstraktna
matematicˇka teorija i matematicˇko modeliranje prirodne pojave daju isti rezultat. Razu-
mevanjem ovog odnosa otvara se moguc´nost za mnoge primere.
Teorijskim razjasˇnjenjem pojmova apstrakcije i primene, a zatim i prikazom ap-
straktne teorije Furijeovih redova i primera primene, potvrdena je hipoteza: Apstraktna
teorija i primenjena matematicˇka analiza medusobno su povezane i objedinjene u univer-
zalnom matematicˇkom sistemu.
U radu Odnos izmedu apstrakcije i primene u nastavi matematicˇke analize dat je novi
pogled na metodiku nastave matematike, sa utemeljenjem u teorijskom i empirijskom
istrazˇivanju. Doprinos je dat u sagledavanju odnosa izmedu apstrakcije i primene, ali i
neposrednim primerima, sa zˇeljom da se:
(1) poboljsˇa nastavno izlaganje,
(2) podstaknu istrazˇivacˇi da se posvete metodici nastave u raznim matematicˇkim
oblastima.
U radu je narocˇito istaknut primer teorije Furijeovih redova kao dobar primer spa-
janja apstraktne matematicˇke teorije i primene. Pored Furijeovih redova dati su drugi
5.2. Predlozi i inovacije 262
primeri, u manjem obimu, ali su oni vazˇni po znacˇaju nasˇe pozivne delatnosti. Na primer,
Njutn–Lajbnicova formula, Lagranzˇova teorema, primene teoreme o fiksnoj tacˇki, lim
x→0
x
x
i
dr.
Na ovaj nacˇin se potvrduje da metodicˇki dobro postavljena nastava pomazˇe boljem
razumevanju odnosa izmedu apstrakcije i primene matematicˇke analize.
5.2. PREDLOZI I INOVACIJE
5.2.1. Planiranje nastave
Profesor matematike na tehnicˇkom fakultetu suocˇen je sa brojnim izazovima. Za
prac´enje nastave visˇe matematike, odnosno matematicˇke analize kao njenog integralnog
dela, potrebno je intenzivno znanje matematike iz srednje sˇkole.
Ovu cˇinjenicu valja imati na umu kada se kreira plan nastave . Oslanjajuc´i se na is-
kustvo kolega sa Univerziteta u Berlinu, vazˇno je da se u okviru stranice predmeta dobro
osmisle kursevi visˇe matematike na prvoj godini studija, koji c´e doprineti homogeniza-
ciji gradiva iz srednje sˇkole. Ova priprema zahteva sˇiri zahvat. Neophodno je analizirati
upis studenata i osmisˇljavati maturski i prijemni ispit (koji pokazuje nivoe znanja). Uz
ove preduslove moguc´e je planirati gradivo koje c´e studente osposobiti za dalje izazove
nastave.
Vazˇnu cˇinjenicu predstavljaju i osmisˇljavanje primera za matematicˇko modelovanje
inzˇenjerskih problema, upravljanje dinamicˇkim sistemima i sl. Takav pristup treba da do-
prinese majstorstvu i istrazˇivacˇkom majstorstvu studenata. U ovom smislu je priprema
nastavnog materijala veoma zahtevna. Do poboljsˇanja c´e doc´i kada se o ovoj temi po-
vede ozbiljna diskusija na tematskim konferencijama, razvije pisanje naucˇnih tekstova,
podstakne pisanje udzˇbenika i knjiga.
Sadrzˇaj nastavnih tema treba da uzme u obzir dostignuti nivo znanja studenata i
zˇeljene ciljeve, kao i predvidene rezultate ucˇenja. Kod osmisˇljavanja sadrzˇaja mora se
imati na umu da studenti koji su upisali fakultet nisu dovoljno pripremljeni. Za razliku
od srednje sˇkole, njih na fakultetu ocˇekuje znatno vec´i izazov dokazivanja teorema. Zbog
toga prelaz mora biti pazˇljivo pripremljen, uz elemente filozofije matematike, kombino-
vanje induktivne metode sa strogom dedukcijom i objasˇnjavanje samog postupka, uloge
dokaza i sl. Tezˇinu treba koncipirati i podizati tako da se tokom prve godine studija izosˇtri
osec´aj za strogost u matematici i dode do neophodne pripreme za dalje izucˇavanje.
Planiranje udzˇbenika je dugorocˇan proces jer se udzˇbenici ne pisˇu pred samu na-
stavu. U nekim zemljama profesori se oslobadaju od nastave da bi se posvetili pisanju.
O udzˇbenicima, zbirkama zadataka i nastavnim materijalima treba voditi strucˇnu debatu i
planirati ih dugorocˇno.
5.2. Predlozi i inovacije 263
Plan sadrzˇi predvidanje buduc´nosti u smislu formulisanja ciljeva i ishoda, sadrzˇaja
rada i korisˇc´enja nastavnih sredstava. Kada se pravi takav iskaz, mora se voditi racˇuna o
tome da bude realan – ostvarljiv i odgovarajuc´i – a to znacˇi da u svakom trenutku znamo
sˇta radimo i gde zˇelimo da stignemo. U okviru plana navode se nastavna sredstva koja c´e
se koristiti. I najvazˇnije – plan nije spisak zˇelja vec´ je bitno njegovo ostvarivanje.
5.2.2. Pazˇnja, belesˇke i postavljanje pitanja
Obratiti pazˇnju znacˇi percipirati. Pazˇnja jeste sposobnost da pojedinac upravlja to-
kom svoje svesti. Pazˇljiv je onaj ko brizˇno slusˇa ili gleda neku stvar. Student tezˇi, naginje
necˇemu, osec´a interesovanje za ono sˇto c´e nac´i ili sˇto je vec´ prisutno. Paziti – znacˇi ulozˇiti
svoju studioznost i budnost u posmatranje ili razumevanje necˇega. Privlacˇenje apsolutne
pazˇnje oznacˇavamo recˇima zaokupirati, ocˇarati, zaseniti, zadiviti i dr. Treba uc´i u ono
sˇto radisˇ. Koncentrisati se, sjediniti se sa predmetom rada, izraziti interesovanje, upustiti
se. Obratiti pazˇnju znacˇi biti svestan neke privlacˇnosti. Dve stvari bitno odreduju pazˇnju:
jedno je motivacija, a drugo volja. Profesor treba da motivisˇe studente. Mozˇe to uraditi
vesˇtim kombinovanjem poznatih i nepoznatih pojmova, a ako je gradivo potpuno novo,
onda on mora da raspakuje definicije, da objasni, da navede primer koji privlacˇi pazˇnju.
Za studenta je korisno da notira definicije, teoreme i primere u sazˇetom obliku. Po-
enta je u tome da student traga za metodom ucˇenja, medutim on od necˇeg mora da pocˇne.
Jedan od nacˇina kako treba pisati u svesci je sledec´i: Podeli se strana na vec´i i manji deo
(vertikalnom crtom napravi margina). Sa desne strane sada imamo marginu za komentare.
U glavnom delu pisˇe se sadrzˇaj, a sa strane se belezˇe kljucˇne recˇi, vazˇne formule ili kratki
tekst koji nas upuc´uje i asocira na vazˇne delove ili pojmove.
U toku pisanja odredene stvari se razumeju. Medutim, neke teoreme ili definicije
student ne razume. ˇSta se tada desˇava? Profesor tokom izlaganja podsticˇe studente da
postavljaju pitanja. Ne tek onako ili reda radi, vec´ susˇtinski, i to vrednuje. Student iznova i
iznova postavlja ista pitanja – sˇta je ovo? zasˇto je ovako? cˇemu ovo sluzˇi? zasˇto to radimo?
Treba zapamtiti da odgovori nisu uvek isti! Smatra se da je postavljanje pitanja najvisˇa
aktivnost inteligencije. A naucˇiti nekoga da postavlja pitanja najsavrsˇeniji je obrazovni
trud.
5.2.3. Stvaralacˇka memorija
ˇCovek vidi, interpretira i razume iz memorije. Zna da cˇuva i upotrebi informacije.
Inteligentna memorija je dinamicˇki sistem. Nije susˇtina samo u znaju vec´ i u umec´u da se
upotrebi ono sˇto se zna.
5.2. Predlozi i inovacije 264
Ako bi za memoriju upotrebili kompjuterski izraz baza podataka, onda bi se moralo
rec´i da cˇovek poseduje delotvorniju i korenito drugacˇiju bazu podataka od kompjuterske.
Za cˇoveka postoje tri izvora informacija.
Prvi izvor je neposredno dostupna baza podataka, izgradena od znanja koje pose-
dujemo, i to je ono sˇto uobicˇajeno nazivamo pamc´enjem. Pristup toj bazi je neposredan i
zahvaljujuc´i njoj mi percipiramo, govorimo, krec´emo se i tumacˇimo stvarnost.
Drugi izvor opredmec´uju knjige, arhive, kompjuterske memorije, belesˇke i dr. On je
posredno dostupan, i vec´ se ovde vidi da je kompjuterska memorija deo sopstvene baze
podataka.
Trec´i izvor je posredno dostupna svekolika stvarnost. Priroda koja nas okruzˇuje po-
seduje neiscrpne informacije koje se pretvaraju u izvor saznanja i obilje podataka.
Kada hoc´emo da trazˇimo informaciju, obrac´amo se jednoj od ove tri baze. Vazˇno
je posedovati i znanje o pristupu. Ako prihvatimo stvarnost kao bazu podataka, onda se
pretvaramo u istrazˇivacˇe stvarnosti.
Sada se namec´e krunsko pitanje. ˇSta znacˇi ucˇiti napamet? To je fraza koja etiketira
cˇitav obrazovni sistem. Ucˇenje je trajna promena izazvana u organizmu putem iskustva,
a pamc´enje je umec´e da se informacija uskladisˇti i potom, po potrebi, pronade. Dakle, to
su dva aspekta jedne iste sposobnosti.
Student razmisˇlja, percipira, postupa iz svoje memorije, koja predstavlja skup delat-
nih moguc´nosti. Setiti se necˇega jeste dovodenje informacije koja se poseduje u svesno
stanje. Pojmovi, slike, planovi i vesˇtine adekvatne su sˇeme koje se mogu ponavljati i koje
unapred odreduju sˇta c´e se dogoditi. Rezonovanje je radnja povezivanja definisanih poj-
mova, u skladu sa logicˇkim normama. Informacije koje se poseduju ukljucˇene su u aktivne
planove. Upravo zbog toga se govori o stvaralacˇkoj memoriji. ˇCak i za mnogo masˇte po-
trebno je veliko pamc´enje. Kreativna aktivnost zasniva se na vesˇtoj upotrebi memorije.
Iskazno i proceduralno znanje se spajaju.
Sledi jasan zakljucˇak. Student treba da pamti odredenu kolicˇinu gradiva. Kako?
Prva moguc´nost (i najbolja) jeste da razume, i da na taj nacˇin laksˇe memorisˇe. Druga
moguc´nost jeste da neke stvari zapamti napamet, cˇak i ako ne razume. Na primer, ako
znate odredenu formulu ili tablicˇni integral napamet, mozˇe se dogoditi da ideja za resˇavanje
odredenog problema (zadataka) dode odmah, odnosno da nastupi blesak razumevanja i
povezivanja poznatih elemenata sa teoremom i dokazom. Najvazˇnije je da se radi (ucˇi)
redovno. Na primer ako student pazˇljivo sreduje svoje belesˇke on na taj nacˇin radi auto-
matski, ali metodicˇno. Stvar je u gradenju navika, to jest, ustaljenih vesˇtina i sposobnosti
koje mogu da rukovode proizvodnjom ideja. Za studente je najvazˇnije da budu stalozˇeni,
da imaju nadu i da shvate da ne moraju razumeti sav materijal basˇ u prvom pokusˇaju.
Za dobre i sofisticirane ideje potrebno je vreme, ponavljanje i posvec´enost. Student
mora uroniti u materiju i biti u stanju da je apsorbuje.
5.2. Predlozi i inovacije 265
Postavlja se pitanje: Kakvo predavanje pomazˇe pamc´enju? Ovo podrazumeva da u
matematici moramo postaviti cˇvrsta mesta na koja c´emo se osloniti u cˇitavoj teoriji. U
tome nam mozˇe pomoc´i Toma Akvinski. Prvo, pojmovi moraju biti kristalno jasni. Da bi
tako i bilo, cˇovek treba da smisli slikovite predstave za stvari koje zˇeli da budu zapamc´ene.
Drugo, neophodno je dobro promisliti logicˇki redosled izlaganja odredenih stvari. Laksˇe
se pamti ono sˇto je dobro poredano. To je izgradnja ideja, opsˇtih mesta (teorijska cˇvorisˇta),
unutar kojih imamo posebna mesta (primeri i primene). Trec´e, potrebno je da cˇovek ve-
oma pazˇljivo usmeri svoje misli i da uputi osec´anja na stvari koje zˇeli da zapamti. Pazˇnja
cˇuva celovite slike simbola. ˇCetvrto, neophodno je da cˇesto razmisˇlja o onome sˇto treba
zapamtiti. Razmisˇljanje odrzˇava pamc´enje.
5.2.4. Graficˇko predstavljanje i inteligentni pogled
Vazˇna pomoc´na alatka u nastavi jeste graficˇko predstavljanje. To se mozˇe opisati
recˇju reprezentacija (lat. repraesentare, znacˇi ucˇiniti prisutnim). Recˇ i slika omoguc´avaju
da ono sˇto predstavljaju u potpunosti bude prikazano kao ono sˇto jeste! Susˇtina slike je
ukazivanje (na pojam, pojavu, stvar) ili zastupanje (recimo oznaka i simbola).
Prva sposobnost opazˇanja je imaginacija koja se pretvara u sliku, a to je materijal
za intelekt. Kazˇe se da je onome ko misaono posmatra potrebno da ima ispred sebe i
sliku. Kako kazˇe Aristotel, pamtimo pomoc´u asocijacija i redosleda. Uz to su znacˇajna i
dobro osvetljena mesta na koja se slike postavljaju . Vazˇno je imati na umu da pamc´enje
nije samo prirodni dar vec´ da mnogo zavisi od vesˇtine i marljivosti. Zato se i kazˇe da se
razboritost sastoji od tri stvari: memoria, intelligentia, providentia.
Posredstvom pogleda – koji smatramo izrazitim predstavnikom sveg cˇulnog sazna-
nja – crpimo podatke iz stvarnosti. Ono sˇto vidimo upotpunjujemo onim sˇto znamo, in-
terpretiramo podatke dajuc´i im znacˇenje. Po recˇima Hoze Antonija Marine, inteligentni
pogled deluje u suprotnom smislu – mi vidimo iz znacˇenja. On koristi vec´ poznatu in-
formaciju, iznalazi, interpretira, predvida. Vidi iz memorije. Inteligentni pogled koristi
znanje koje poseduje i upravlja aktivnostima iz zamisli. Jedna od moguc´nosti tog pogleda
jeste i da bude kreativan. U najjednostavnijim mentalnim aktivnostima prisutna je krea-
tivnost. Stvaralacˇka aktivnost se odvija putem elementarnih ispoljavanja, preko postupaka
koje obavljamo tako uobicˇajeno da nam se cˇine obicˇnim, iako su, bez sumnje, izvanredni.
Umeti gledati – u tome je tajna. Sa jednog nivoa u drugi, iz percepcije na pojam, iz
memorije na sliku, iz konkretnog u apstraktno, iz jednog prostora u drugi. Puka percepcija
nas ne zadovoljava. Potrebno nam je da razumemo. Moramo postic´i da nam strano postane
vlastito. Saznati – znacˇi razumeti.
Ovo c´emo ilustrovati sa dva matematicˇka primera. U prvom trenutku oba deluju
tesˇko.
5.2. Predlozi i inovacije 266
PRIMER 1. Ispitati konvergenciju niza datog rekurentnom formulom
a1 =
1
2
, an+1 =
2
1+an
, n ∈ N
i nac´i granicˇnu vrednost ukoliko postoji.
RESˇENJE. (1) Analiza zadatka uz crtanje slike.
Ako dati niz konvergira, onda an i an+1 za n →+∞ imaju istu granicˇnu vrednost. Zamislimo
je. To znacˇi da je leva strana rekurentne formule jednaka desnoj strani kad n →+∞. Posmatrajmo
levu i desnu stranu odvojeno i predstavimo ih graficima funkcija
L(x) = x
f (x) = 2
1+ x
.
To su poznati grafici linearne funkcija i funkcije obrnute proporcionalnosti.
Slika 1
Korisˇc´enjem zapisa funkcije f (x) = 2
1+ x
rekurentna formula daje sledec´e cˇlanove
a1 =
1
2
, a2 = f (a1) = f
(
1
2
)
=
2
1+
1
2
=
4
3
a3 = f (a3) = f
(
4
3
)
=
6
7
a4 = f (a3) = f
(
6
7
)
=
14
13
Ove vrednosti nacrtac´emo pomoc´u vec´ nacrtanih grafika. Pocˇinjemo od a1 = 12.
5.2. Predlozi i inovacije 267
Presek prave x = 1
2
sa grafikom Γ f funkcije f (x) = 21+ x je tacˇka A1. To je jasno, jer je
f
(
1
2
)
=
4
3. Dalje, presek prave y =
4
3 i prave y = x jeste tacˇka A2. Normala iz tacˇke A2 na x-osu
daje tacˇku 43, a to je a2. Presek prave x =
4
3 sa grafikom funkcije f (x) =
2
1+ x
jeste tacˇka A3,
f
(
4
3
)
=
6
7
. Presek prave y = 6
7
i prave y = x jeste tacˇka A4. Normala iz tacˇke A4 na x-osu daje
tacˇku 6
7
, a to je a3, itd.
Sad nam slika pomazˇe da razumemo sledec´e.
Neparni cˇlanovi datog niza su monotono rastuc´i i manji od 1. To mozˇemo napisati:
1
2
= a1 < a3 < · · ·< a2n−1 < a2n+1  1,
sˇto se skrac´eno mozˇe zapisati
0 < a2n−1 < a2n+1  1, n ∈ N.
Parni cˇlanovi datog niza su monotono opadajuc´i i vec´i od 1, sˇto mozˇe da se zapisˇe
1 a2n+2 < a2n, n ∈ N.
Ove nejednakosti mozˇemo da sastavimo
0 < a2n−1 < a2n+1  1 a2n+2 < a2n, n ∈ N.
Oprez! Ovu nejednakost intuitivno nasluc´ujemo, ili josˇ bolje: slika nam u tome pomazˇe ali
moramo da je dokazˇemo!
(2) Dokaz nejednakosti izvodimo poznatom metodom matematicˇke indukcije.
Za n = 1
0 < a1 < a3 < 1 < a4 < a2,
odnosno
0 < 1
2
<
6
7
< 1 <
14
13 <
4
3
je tacˇna nejednakost.
Pretpostavimo da data nejednakost
0 < a2n−1 < a2n+1  1 a2n+2 < a2n vazˇi za neko n ∈ N.
Dokazˇimo da vazˇi za n+1:
0 < a2n+1 < a2n+3 < 1 < a2n+4 < a2n+2
a2n+1 < a2n+3 jer je
2
1+a2n
<
2
1+a2n+2
,
odnosno, a2n+2 < a2n iz pretpostavke.
Takode a2n+4 < a2n+2, jer je
2
1+a2n+3
<
2
1+a2n+1
,
odnosno, a2n+1 < a2n+3, sˇto je vec´ dokazano.
Podnizovi
a1,a3, . . . ,a2n−1, . . .
a2,a4, . . . ,a2n, . . .
5.2. Predlozi i inovacije 268
su konvergentni na osnovu cˇuvene Vajersˇtrasove teoreme: Monton i ograniˇcen niz je konvergentan.
To znacˇi da je a2n−1 → x i a2n → y, 0 < x 1 y.
Kako je a2n+1 = 21+a2n , dobija se x =
2
1+ y
.
Kako je a2n = 21+a2n−1 , dobija se y =
2
1+ x
.
Resˇavamo sistem
x(1+ y) = 2
y(1+ x) = 2
}
x(1+ y) = y(1+ x)
x+ xy = y+ yx
x = y
Posˇto je x = y, dobija se
x =
2
1+ x
⇔ x+ x2 = 2, x =−1,
x1 = 1 ili x2 =−2, odnosno lim
n→∞an = 1.
Sledec´i zadatak resˇava se poznatim metodama integracije, ali se direktno koristi slika
jer je u pitanju primena na izracˇunavanje povrsˇine.
PRIMER 2. Data je hiperbola x
2
a2
− y
2
b2 = 1 i na njoj tacˇka M(m,y(m)), m > a. Tacˇke K i L
su projekcije tacˇke M na x-osu i y-osu, respektivno, a tacˇka A je tacˇka preseka hiperbole i x-ose.
Izracˇunati povrsˇine krivolinijskih figura P1(AKM), P2(OAM), P3(OAML).
Slika 2 – Racˇunanje povrsˇine
Povrsˇina krivolinijske figure ÂKM izracˇunava se pomoc´u odredenog integrala
P =
m
a
ydx, gde je x
2
a2
− y
2
b2 = 1,
y =±b
a
√
x2 −a2, odnosno y = b
a
√
x2 −a2, jer je grafik funkcije iznad x-ose. Dalje je
P =
m
a
b
a
√
x2 −a2dx = b
a
m
a
√
x2 −a2dx.
5.2. Predlozi i inovacije 269
Ovaj integral je interesantan. Resˇava se smenom
x = ach t, t  0.
dx = ash t dt[
Za x = a, a = ach t, ch t = 1, t = 0
Za x = m, m = ach t, ch t = m
a
, t = arch
(m
a
)
]
√
x2 −a2 =
√
(ach t)2 −a2 =
√
a2(ch2 t −1) =
√
a2 sh2 t = ash t.
P =
arch(ma )
0
b
a
·ash t ash t dt = ab
arch(ma )
0
sh2 t dt
=
ab
2
arch(ma )
0
(ch 2t −1)dt
=
ab
2
⎛
⎜⎝
arch(ma )
0
ch2tdt −
arch(ma )
0
dt
⎞
⎟⎠
=
ab
2
(
1
2
sh2t
∣∣∣arch(
m
a )
0
− t
∣∣∣arch(
m
a )
0
)
=
ab
2
(
sh t ch t
∣∣∣arc h(
m
a )
0
− arcch
(m
a
))
=
ab
2
(√
ch2 t −1 ch t
∣∣∣arc h(
m
a )
0
− arcch
(m
a
))
=
ab
2
(√(m
a
)2
−1 · m
a
− ln
(
m
a
+
√(m
a
)2
−1
))
Za y(m) = n,
P =
1
2
mn− 1
2
ab ln
(m
a
+
n
b
)
.
Povrsˇina krivolinijske figure je ÔAM
P = POKM −PÂKM =
1
2
ab ln
(m
a
+
n
b
)
.
Povrsˇina krivolinijske figure je
P = POKML −PÂKM =
1
2
mn+
1
2
ab ln
(m
a
+
n
b
)
.
Zasˇto se pokazuje ovaj zadatak? Iz jednostavnog razloga da se primerom pokazˇe kako vizu-
alizacija pomazˇe resˇavanje. Ovom treba dodati da je najvazˇniji trenutak resˇavanja zadatka upravo
raspakivanje definicije y = ch t i nalazˇenje inverzne grane, arcch t = ln(t +
√
t2 −1).
Ovde nastaje problem. Prvo hiperbolicˇke funkcije retko se izucˇavaju i sama oznaka deluje
apstraktno. Ako se napisˇe definicija
ch t = e
t + e−t
2
, sh t = e
t − e−t
2
,
i nacrta grafik funkcije f (t) = ch t i to sabiranjem nama poznatih elementarnih funkcija
1
2
ex i 1
2
e−x.
5.2. Predlozi i inovacije 270
Slika 3 – Hiperbolicˇki kosinus Slika 4 – Inverzni hiperbolicˇki kosinus
Uz to vazˇe formule ch2 t − sh2 t = 1, sˇto se mozˇe potvrditi kvadriranjem ili recimo
sh2 t = 1
4
(e2t −2+ e−2t) = 1
2
(
e2t + e−2t
2
−1
)
sh2 t = 1
2
(ch2 t −1).
Za t  0, neka je ch t = y, y 1
et + e−t = 2y
(et)2 −2yet +1 = 0
(et − y)2 = y2 −1
et − y =+
√
y2 −1
et = y+
√
y2 −1
t = ln
(
y+
√
y2 −1).
Definisˇemo f : [1,+∞)→ [0,+∞),
f (t) = arch t = ln(t +√t2 −1), t  1.
NAPOMENA. Integral
 √
x2 −a2dx mozˇe se resˇiti i parcijalnom integracijom. To vazˇi za
one koji hoc´e da izbegnu hiperbolicˇke funkcije.
5.2.5. Dobro predavanje
Dobrim se smatra predavanje ukoliko profesor oslobada svoj kreativni duh na sledec´e
nacˇine:
(i) intuitivno (prikazuje rezultate koristec´i iskustvo);
(ii) inovativno (pokazuje sposobnost resˇavanja problema, odgovara na pitanja i
resˇava probleme koje je sam pripremio ili koje su studenti postavili);
(iii) imaginativno (ima sposobnost vizualizacije);
(iv) inspirativno (motivisˇe slusˇaoce da ucˇestvuju).
5.2. Predlozi i inovacije 271
Najvazˇniji uslov za dobro predavanje jeste da profesor veoma dobro poznaje oblast
koju izlazˇe studentima. To znacˇi da oblast poznaje visˇe od onoga sˇto predaje i da je sagle-
dava u sˇirem kontekstu u odnosu na druge oblasti i primene.
Najvisˇi oblici lepog – kako je rekao Aristotel, jesu red, simetrija i odredenost, a ma-
tematicˇke nauke to narocˇito pokazuju. Na pitanje kako se mozˇe dobro izvoditi nastava
matematike odgovor nije jednoznacˇan. Prvo, i najvazˇnije, jeste da nastavnik veoma do-
bro poznaje oblast koju predaje. Drugo, red izlaganja mora biti takav da student mozˇe
prirodnim tokom misli da razume teoriju.
Pri izboru metode kombinuju se induktivna i deduktivna metoda. To znacˇi da nije
moguc´e izvoditi matematicˇke dokaze putem kojim su odredene teorije nastajale jer uz sve
obimniji materijal, za to nema vremena. Neki c´e dokazi biti prihvatljiviji ili prirodniji ako
se izvedu intuitivno, onako kako su to i sami stvaraoci zamisˇljali. Odredeni dokazi nec´e
biti izvodeni vec´ se na njih mozˇe ukazati analogijama sa izvedenim dokazima. Naravno,
odreden broj dokaza izvodi se deduktivnom metodom, sa svim elementima strogosti i
odredenosti.
Kako je najbolje izucˇavati matematiku? Tako sˇto se uzdizˇemo do opsˇtih pojmova i
sˇirih znacˇenja da bi se snasˇli u moru sitnih utisaka. Na taj nacˇin se dolazi do vec´ih celina,
ili neophodnih apstrakcija, bez kojih nema ni modernog cˇoveka, ni modernog zˇivota, ni
naucˇnog radnika, ali ni prakticˇara. Taj put zahteva veliki napor. Matematicˇka analiza obi-
luje primerima. Oni pre svega rasvetljavaju teorijski problem. ˇCovek do saznanja istine
dolazi ako svoju pazˇnju u dovoljnoj meri usredsredi na stvari koje savrsˇeno razume i ako
ove odvoji od onih koje razume tek zbrkano i nejasno.
Za razumevanje matematike potrebno je misliti tokom slusˇanja recˇenice, cˇitanja
recˇenice, i/ili pisanja recˇenice. To znacˇi misliti recˇenicom, i brzˇe i preglednije dovoditi
odnose stvari u svesno stanje. Predavanje je dobro ako umemo da se izrazimo. Ne bi ve-
kovima postojale tolike sˇkole iz retorike, koje su ucˇile cˇoveka jednom jedinom: kako da
govori. Kako bi rekao Vinaver, a sˇta su drugo sve nasˇe sˇkole, sva nasˇa nastava, sva nasˇa
kultura, pa i sama matematika?
Recˇenica, kojom se objasˇnjava odredeni pojam, treba da bude pregledna i muzikalna.
Tako mozˇemo umnim pogledom obuhvatiti njene delove. Smisaona melodija daje nam
uvid u odnose. Znakovi i simboli su utoliko korisniji ukoliko su blizˇi oznacˇenoj stvari.
Cilj korisˇc´enja jezika i simbola jeste u tome da budemo jasni, da izrazimo matematiku u
najplemenitijem smislu.
Dobri profesori podsticˇu i motivisˇu studente da koriste udzˇbenike i drugu literaturu.
Potrebno je edukovati studente kako da vrsˇe izbor literature i kako da knjige koriste.
Ali kako motivisati studente za korisˇc´enje udzˇbenika ako oni sve manje cˇitaju? A sˇta
c´emo ako profesor ne cˇita! Odgovor na to pitanje je jednostavan. Akademsko obrazovanje
podrazumeva cˇitanje, kao sˇto napredak drusˇtva zavisi od plodotvornog rada. To govori o
tome da je u pitanju vrednosno opredeljenje. Setimo se recˇi Isaka Njutna: posvec´enost
5.2. Predlozi i inovacije 272
ucˇenju i radu su najvec´e nade cˇovecˇanstva. Pedagosˇki rad nastavnika ima temeljnu ulogu.
Pravilno birati – znacˇi izabrati dobre knjige, koje su cˇiste, uoblicˇene, razgovetne. Primeri
takvih knjiga mogu biti Kurs cˇiste matematike od Hardija ili Matematicˇka analiza od
Fihtengoljca. Naravno da izbora nema ukoliko profesor preporucˇi samo svoj udzˇbenik.
Kultura obuhvata znanje, umetnost, etiku, tehnologiju, kreativno stvaralasˇtvo pisaca,
pesnika. Ukljucˇuje stvaralacˇke izraze cˇoveka na svim poljima ljudske delatnosti. Mate-
matika je integralni deo kulture. ˇCitanje dobrih knjiga omoguc´ava nam da budemo deo
kulturnog sistema. ˇCitanje matematicˇke literature pomazˇe nam da razvijamo saznanje, da
produbljujemo svoje uvide, da postanemo deo univerzalnog matematicˇkog sveta. Sa druge
strane, taj svet nam otvara nove perspektive iz kojih mozˇemo da razvijamo sopstvene po-
tencijale i da sami dalje stvaramo i doprinosimo povec´anju kulturne basˇtine.
Uspesˇno predavanje je ono koje podsticˇe uspeh kod drugih. Po recˇima Vebera, na
naucˇnom podrucˇju licˇnost ima cˇovek koji svojoj stvari sluzˇi cˇisto. Da bi se to postiglo
dobrog profesora u odnosu prema studentima odlikuje poverenje. Poverenje karakterisˇu:
– integritet, posˇtenje i iskrenost;
– kompetentnost (strucˇno znanje, vesˇtine, sposobnosti i vrednosti);
– doslednost, predvidljivost i dobra procena;
– zˇelja da se slobodno podele ideje i informacije.
5.2.6. Nastavna sredstva
Standardni alat matematicˇara jeste tabla i kreda (ili bela tabla i flomaster). To jeste
kao da se radi sa papirom i olovkom, jer se matematika predaje neposredno. Projektor
ne mozˇe da zameni tablu. Na njemu je ispisano visˇe informacija istovremeno i one se po
pravilu prelaze brzo. Takvo predavanje student ne razume i postaje mu dosadno. Smatra
se da je brzina razumevanja zapravo jednaka brzini pisanja na tabli i u svesci.
Ovaj trenutak namec´e vazˇno pitanje: da li se nesˇto promenilo u nastavi matematike
sa pojavom racˇunara? Odgovor je afirmativan. Racˇunari nam pomazˇu da brzo i jedno-
stavno vrsˇimo izracˇunavanja i statisticˇku obradu. Radec´i to cˇovek bi trosˇio mnogo vre-
mena i memorije. Sa danasˇnjim racˇunarima i povec´anjem njihove memorije proracˇuni se
vrsˇe odmah i bez tesˇkoc´e. Programi za matematiku kao sˇto su Matlab, Mathematica ili De-
rive mogu brzo da izracˇunaju, korisni su za proveru odredenih rezultata i daju moguc´nosti
vizualizacije. Oni se mogu koristiti za crtanje grafika, izracˇunavanje integrala i dr. Moguc´e
je i neodredeni integral izracˇunati u eksplicitnom obliku. Sa druge strane, matematika je
izvorisˇte pametnih resˇenja. ˇCovek samo treba da je upotrebi i kreira. Kako bi rekao Lajb-
nic, cˇovekov um osloboden je za kreativno delovanje.
Na internetu su dostupni kursevi i koriste se interaktivne metode u nastavi. Ali to je
samo pocˇetak. Recimo, hoc´ete da resˇite diferencijalnu jednacˇinu i potrazˇite odgovor na
internetu. U ovoj fazi je isuvisˇe rano o tome govoriti. Do sada smo se uverili da televizija
i video nisu mogli da zamene tradicionalnu nastavu.
5.3. Zavrsˇna recˇ 273
Mnogi naucˇnici smatraju da upotreba kalkulatora u matematici ima negativan uticaj
na ucˇenje. Ima i drugacˇijih misˇljenja. Ako zˇelite da savladate druge vesˇtine, mnozˇenje i
deljenje visˇe nije potrebno. Za to mozˇemo upotrebiti digitron i u delic´u sekunde izracˇunati.
Posebno ako se racˇunari koriste za izracˇunavanja u numericˇkoj matematici. Neki moderni
autori smatraju da nam to pomazˇe da prosˇirimo svoje znanje. Neka racˇunanja ne bi ni-
kada izveli. Smatraju da je racˇunar bitan deo nasˇeg zˇivota. Tradicionalista bi na to rekao
da rucˇno mnozˇenje i deljenje pomazˇe razumevanju. Za njih su to algoritmi. Najjednostav-
niji algoritmi su dodavanje, mnozˇenje i deljenje. Treba rec´i da oba pogleda imaju svojih
vrednosti. Mozˇe se istovremeno povec´ati razumevanje i brzo racˇunati.
Da zakljucˇimo, nove tehnologije mogu da odigraju dalekosezˇne promene u nasˇoj
praksi, ali je u ovom trenutku tesˇko predvideti sˇta c´e se desiti. Univerziteti su po svojoj
prirodi konzervativne institucije i promene su spore.
Kao sˇto je vec´ istaknuto, pisanje udzˇbenika zahteva umesˇnost i vreme. Postavlja se
pitanje: da li profesor koji izvodi nastavu ima tu vrstu umesˇnosti? Neophodno je posve-
titi posebnu pazˇnju pisanju udzˇbenika. Pre svega treba da razlicˇiti strucˇnjaci – profesor,
istrazˇivacˇi, pisci udzˇbenika i matematicˇke literature udruzˇe svoje umesˇnosti i zapocˇnu
razgovor i debatu o ovom vazˇnom pitanju.
Takve rasprave i konferencije treba da doprinesu prevazilazˇenju sadasˇnje situacije
da udzˇbenike ne cˇitaju ni studenti ni profesori.
5.3. ZAVRˇSNA RE ˇC
Na kraju zˇelim da saopsˇtim svoj stav o profesuri kao nasˇem duhovnom pozivu.
Pocˇec´u sa Franklinovim moralom: Pored marljivosti i umerenosti nisˇta ne doprinosi to-
liko napretku mladog cˇoveka kao tacˇnost i pravednost u svim njegovim poslovima. Za
profesora je najvazˇnija misija koja se zove duzˇnost poziva ili zanatsko umec´e.
Po Veberu to je obaveza koju pojedinac osec´a, i mozˇe da osec´a, prema sadrzˇaju
svoje pozivne delatnosti. Za Lutera je duzˇnost poziva od Boga postavljeni zadatak koji
predstavlja posˇtovanje ispunjavanja duzˇnosti u svetovnim pozivima, kao najvisˇeg sadrzˇaja
koji moralno samopotvrdivanje uopsˇte mozˇe da primi. A kada se tome doda posvec´enost,
mozˇe da dode do svesti kao savrsˇenstvo u smislu bezgresˇnosti.
Duh duzˇnosti poziva naglasˇava i citat iz Bozˇanstvene komedije:
svom odgovornom znanju dela, dodaj veru,
dodaj vrlinu, strpljenje, umerenost, dodaj ljubav,
koji c´e se jednom zvati karitas, dusˇa
svih njih: onda ti se nec´e ni militi da ostavisˇ ovaj raj, jer c´esˇ imati
jedan raj u sebi, mnogo srec´niji.
5.3. Zavrsˇna recˇ 274
Zanatsko umec´e oznacˇava tezˇnju za postizanjem kvaliteta u izradi odredenog pred-
meta, ka jasnijem pisanju ili drusˇtvenom angazˇovanju, tj. obavljanju necˇeg dobrog zarad
same stvari na kojoj se radi, uz samodisciplinu i samokritiku.
Obrazovanje je danas povezano sa pojmom kulture i predstavlja moguc´nost da cˇovek,
na sebi svojstven nacˇin, razvija prirodne sklonosti, talenat i sposobnosti. U unutrasˇnjem
smislu obrazovanje je nacˇin misˇljenja i sticanje saznanja, stremljenje ka aristokratiji duha
i karaktera. Obrazovanje je stvaranje duhovnog bic´a. Zavrsˇavam Franklinovim recˇima:
Jesi li video cˇoveka postojanog u svom poslu, taj c´e stajati pred kraljevima.
LITERATURA
[1] Adnadevic´ D., Kadelburg Z., 2008, Matematicˇka analiza, knjige I i II, Matematicˇki fakultet,
Beograd.
[2] Ahmada A., Tan Sin Yinb, Loh Yue Fangc, Yap Hui Yend, Khoh Wee Howe, Incorporating
Multimedia as a Tool into Mathematics Education: A Case Study on Diploma Students in
Multimedia University, International Conference on Mathematics Education Research 2010
(ICMER 2010). Elsevier Ltd.
[3] Albijanic´, M., 2011, Intelektualni kapital: uticaj na konkurentnost i ekonomski rast,
Sluzˇbeni glasnik, Beograd.
[4] Al-Gwaiz M. A., 2008, Sturm-Liouville Theory and its Applications, Springer.
[5] Aljancˇic´ S., 2011, Uvod u realnu i funkcionalnu analizu, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[6] Andrade-Are´chiga M., Gilberto Lo´pez, Gabriel Lo´pez-Morteo, Assessing effectiveness of
learning units under the teaching unit model in an undergraduate mathematics course,
Computers & Education 59 (2012) 594–606, Elsevier Ltd.
[7] Angot A., 1957, Comple´ments de mathe´matiques a l’usage des inge´neurs de l’e´lectrotecni-
ques et des te´le´communications, Paris.
[8] Arent Hana, 2010, ˇZivot duha, Sluzˇbeni glasnik, Beograd.
[9] Aristotel, 2012, O dusˇi; Parva naturalia, Paideia, Beograd.
[10] Aristotel, 1960, Metafizika, Kultura, Beograd.
[11] Arsenovic´ Mihail, 2011, Jednacˇine matematicˇke fizike, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[12] Arsenovic´ Milosˇ, Dostanic´ M., Jocic´ D., 2012, Teorija mere, funkcionalna analiza, teorija
operatora, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[13] Baumslag B., 2000, Fundamentals of Teaching Mathematics at University Level, Imperial
College Press, London.
[14] Becker O., 1998, Velicˇina i granica matematicˇkog nacˇina misˇljenja, Demetra, Zagreb.
[15] Бeрмaнт A. Ф., 1954, Курс мaтeмaтичeскoгo aнaлизa, тoм 1 и 2, Moсквa.
[16] Bertolino M., Matematika u tokovima istorije, Univerzitet Beograd, Publikacija Elektro-
tehnicˇkog fakulteta, Ser. Mat. Fiz. No 602 – No 633.
[17] Bozˇic´ M., 2002, Istorija i filozofija matematike, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[18] Бурбаки Н., 2007, Очерки по истории математики, КомКнига, URSS, Москва.
[19] Бурбаки Н., 1965, Функции действительного переменного, Наука, Москва.
Literatura 276
[20] ˇCanak M., 1996, Teorija tonaliteta u svetlosti matematiˇcke teorije muzike, doktorska diser-
tacija, Univerzitet u Beogradu.
[21] ˇCanak M., 2009, Matematika i muzika. Istina i lepota. Jedna zlatna harmonijska nit, Zavod
za udzˇbenike, Beograd.
[22] ˇCanak M., 2012, Put u petu dimeziju, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[23] Cassirer E., Descartes: osnovni problemi kartezijanstva, Descartes i njegovo stolje´ce, De-
metra, Zagreb.
[24] Cigler G. 2012, Smem li da brojim? Matematicˇki institut SANU, Centar za promociju na-
uke, Zavod az udzˇbenike, Beograd.
[25] David A. Yopp, How some research mathematicians and statisticians use proof in under-
graduate mathematics, Journal of Mathematical Behavior 30 (2011) 115–130.
[26] Davies B., 1978, Integral transforms and their applications, New York.
[27] Davis Philip J., Reuben Hersh, Elena Anne Marchisotto, Doˇzivljaj matematike, 2004, Gol-
den marketing, Tehnicˇka knjiga, Zagreb.
[28] Deitmar Anton, 2004, A First Course in Harmonic Analysis, Second Edition, Springer.
[29] Dekart R., 1952, Prakticˇna i jasna pravila rukovodenja duhom u istraˇzivanju istine; Recˇ
o metodi dobrog vodenja svoga uma u istraˇzivanja istine u naukama, Srpsko filozofsko
drusˇtvo, Beograd.
[30] Dekart R., 2012, Metafizicˇke meditacije: o prvoj filozofiji, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[31] Дeмидoвич Б. П., 1997, Сбoрник зaдaч у упрaжнeний нo мaтeмaтичeскoму aнa-
лизу, Moскoвский унивeрситeт.
[32] Deschamps C. A. Warusfel, 2003, Mathe´matiques I, Dinod.
[33] Devide V., 1975, Stara i nova matematika, ˇSkolska knjiga, Zagreb.
[34] Devide V., 1979, Matematika kroz kulture i epohe, ˇSkolska knjiga, Zagreb.
[35] Diedonne´ J., 1960, Fondations of modern analysis, New York.
[36] Erdogan M. ¨Ozkan, ¨Unal Hasan, Misconception in Calculus-I: Engineering students’ mi-
sconceptions in the process of finding domain of functions, Procedia–Social and Behavioral
Sciences, Volume 1, Issue 1, 2009, p. 1792–1796
[37] Fabry E., 1927, Problems et exercises de mathe´matiques ge´ne´rales, Paris.
[38] Fadilah Nor Tahar, Zuriati Ismail, Nur Diana Zamani, Norshaieda Adnan, Students’ Attitude
Toward Mathematics: The Use of Factor Analysis in Determining the Criteria, Procedia–
Social and Behavioral Sciences, Volume 8, 2010, Pages 476–481
[39] Fauzi A., Ayub Mohd, Mokhtar Mohd Zin, Wong Su Luan, Rohani Ahmad Tarmizi, A
comparison of two different technologies tools in tutoring Calculus, Procedia– Social and
Behavioral Sciences, Volume 2, Issue 2, 2010, p. 481–486.
[40] Фихтeнгoльц Г. M., 1963, Кyпц диффeрeнциaльнoгo интeгрaльнoгo исчислeния
I, II, III. Moсквa–Лeнингрaд, Физмaтгиз.
[41] Gastineau A., Philippe Poitrat, 2006, 1000 exercices et corrig´es de mathe´matiques, Econo-
mica, Paris.
[42] Habre S., Abboud May, Students’ conceptual understanding of a function and its derivative
in an experimental calculus course, The Journal of Mathematical Behavior, Volume 25,
Issue 1, 2006, p. 57–72.
[43] Hardy G. H., 1945, A Course of Pure Mathematics. Cambridge University Press.
Literatura 277
[44] Hardy G. H., Littlewood J. E., Po´lya G., Inequalities. Cambridge University Press.
[45] Hegel G., Vilhelm Fridrih, 1975, Istorija filozofije, knjige I, II i III, BIGZ, Beograd.
[46] Hosˇkova´a ˇS., 2010, Innovation of educational process of mathematics of military officers,
Procedia Social and Behavioral Sciences 2 (2010) 4961–4965.
[47] Irving J., Mullineux M., 1959, Mathematics in physics and engineering, New York–
London.
[48] Jejts Franses A., 2012, Vesˇtina pamc´enja, Mediterran Publishing, Novi Sad.
[49] Kadelburg Z, Dukic´ D, Lukic´ M, Matic´ I. 2014, Nejednakosti, Drusˇtvo matematicˇara Srbije,
Beograd.
[50] Kalajdzˇic´ Gojko, 2011, Linearna algebra i geometrija, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[51] Kant I., 2012, Kritika cˇistog uma, Dereta, Beograd.
[52] Kasirer E., 1998, Problemi saznanja u filozofiji i nauci novijeg doba, knjige I, II, III i IV,
Izdavacˇka knjizˇarnica Zorana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad.
[53] Kimberly S. Sofronas, Thomas C. DeFranco, Charles Vinsonhaler, Nicholas Gorgievski,
Larissa Schroeder, Chris Hamelin, What does it mean for a student to understand the first-
year calculus? Perspectives of 24 experts, The Journal of Mathematical Behavior, Volume
30, Issue 2, June 2011, p. 131–148.
[54] Kline M., 1972, Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, Oxford University
Press, New York.
[55] Koen M., Nejgel E., 1965, Uvod u logiku i naucˇni metod, Zavod za izdavanje udzˇbenika,
Beograd.
[56] Кoлмoгoрoв A. Н., Фoмин С. В., 1968, Элeмeнты тeoрии функций и функци-
oнaльнoгo aнaлизa, Moсквa.
[57] Koplston F., 1988, Istorija filozofije: Grˇcka i Rim, BIGZ, Beograd.
[58] Koplston F., 1988, Istorija filozofije: Moderna filozofija, Britanski filozofi, BIGZ, Beograd.
[59] Koplston F., 1995, Istorija filozofije: Od Dekarta do Lajbnica, BIGZ, Beograd.
[60] Krantz S. G., 2013, A Guide to Functional Analysis, The Mathematical Association of
America.
[61] Кудрявцeв Л. Д, Кутaсoв A. Д., Чeхлoв Б. И., Шaбунин M. И., 2003, Сбoрник
зaдaч нo мaтeмaтичeскoму aнaлизу, Toм I и Toм II, Физмaтлит, Москва.
[62] Кудрявцeв Л. Д., 2003, Курс мaтeмaтичeскoгo aнaлизa в 3 тoмaх, Физмaтлит,
Москва.
[63] Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. 2003. Сборник
задач по математическому анализу, Том 1, Физмaтлит, Москва.
[64] Кудрявцeв Л. Д., 2005, Крaткий курс мaтeмaтичeскoгo aнaлизa. Toм 1 и 2, Физ-
мaтлит, Москва.
[65] Кудрявцев Л. Д., 2005, Краткий курс математического анализа I, Дифферен-
циальное и интегральное исчисления функций одной переменной, Физмaтлит,
Москва.
[66] Kurepa S., 1975, Matematicˇka analiza 3, ˇSkolska knjiga, Zagreb.
[67] Kurepa S., 1997, Matematicˇka analiza, I i II deo, ˇSkolska knjiga, Zagreb.
[68] Lajbnic G., 2010, Novi ogledi o ljudskom razumu, Dereta, Beograd.
Literatura 278
[69] Larson L. C., 1983, Problem–Solving Through Problems, Springer.
[70] Lavrentjev M. A., ˇSabat B. V., 1958, Metodi teorii funkcij kompleksnogo peremennogo,
Moskva.
[71] Lefort G., 1964, Algebre et Analyse. Exercices, Dunod.
[72] Лeвин В. И., 1956, Meтoды мaтeмaтичeскoй физики, Moсквa.
[73] Lopandic´ Dragomir, 2011, Geometrija: zˇuta knjiga, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[74] Magidson S., Building bridges within mathematics education: Teaching, research, and in-
structional design, Journal of Mathematical Behavior 24 (2005) 135–169, Elsevier Ltd.
[75] Mardesˇic´ S., 1974, Matematicˇka analiza u n-dimezionalnom realnom prostoru, Prvi dio:
Brojevi, konvergencija, neprekidnost, Zagreb.
[76] Marina Hose Antonio, 2011, Teorija stvaralaˇcke inteligencije, Sluzˇbeni glasnik, Beograd.
[77] Mateljevic´ M., 2012, Kompleksna analiza I, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[78] Mateljevic´ M., 2012, Kompleksna analiza II, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[79] Mateljevic´ M., Topics in Conformal, Quasiconformal and Harmonic maps, Zavod za
udzˇbenike, Beograd 2012.
[80] Merkle M., 1996, Matematicˇka analiza, Beograd.
[81] Mihailovic´ D., Tosˇic´ D., 2012, Elementi matematicˇke analize II, Zavod za udzˇbenike, Beo-
grad.
[82] Milutin Milankovic´, 2007, Kroz carstvo nauka. Slike izzˇivota velikih naucˇnika, MST Gajic´,
Beograd.
[83] Milar Dejvid, Milar J., Milar Dzˇ., Milar M., 2003, Kembricˇki recˇnik. Naucˇnici, Dereta,
Beograd.
[84] Milovanovic´ G. V., Numerical Analysis and Approximation Theory – Introduction to Nu-
merical Processes and Solving Equations, Zavod za udzbenike, Beograd, 2014.
[85] Milovanovic´ G., Dordevic´ R. ˇZ., 2005, Matematicˇka analiza I. El. fakultet, Nisˇ.
[86] G. V. Milovanovic´, D. S. Mitrinovic´, 1994, Th. M. Rassias: Topics in Polynomials: Extre-
mal Problems, Inequalities, Zeros, World Scientific Publ. Co., Singapore – New Jersey –
London – Hong Kong.
[87] Mitrinovic´ D. S., (urednik), 1963, Matematiˇcka biblioteka: uvodenje mladih u naucˇni rad
III, Zavod za izdavanje udzˇbenika, Beograd.
[88] Mitrinovic´ D. S., (urednik), 1969, Matematiˇcka biblioteka: uvodenje mladih u naucˇni rad
IV, Zavod za izdavanje udzˇbenika, Beograd.
[89] Mitrinovic´ D. S., 1988, Matematika u obliku metodiˇcke zbirke zadataka sa resˇenjima III
deo, Gradevinska knjiga, Beograd.
[90] Mitrinovic´ D. S., 1989, Matematika u obliku metodiˇcke zbirke zadataka sa resˇenjima I i II
deo, Gradevinska knjiga, Beograd.
[91] Mitrinovic´ D. S, (saradnik P. M. Vasic´), 1970, Analitiˇcke nejednakosti, Beograd.
[92] Mitrinovic´ D. S., Kecˇkic´ J. D., 1987, Matematika II, Beograd.
[93] Mitrinovic´ D. S., Kecˇkic´ J. D., 1994, Jednacˇine matematicˇke fizike, Nauka, Beograd.
[94] Mitrinovic´ D. S., Mihailovic´ D., Vasic´ P. M., 1978, Linearna algebra, polinomi, analitiˇcka
geometrija, Gradevinska knjiga, Beograd.
[95] Mitrinovic´ D. S., 1972, Uvod u specijalne funkcije, Beograd.
Literatura 279
[96] Njutn I., 2011, Matematicˇki principi prirodne filozofije, Akademska knjiga, Novi Sad.
[97] Orhun N., The Relationship Between Learning Styles and Achievement in Calculus Course
for Engineering Students, Procedia–Social and Behavioral Sciences, Volume 47, 2012, p.
638-642
[98] Pausˇe ˇZ., 2007, Matematika i zdrav razum: kako svatko od nas moˇze otkriti ljepotu i jedno-
stavnost matematike, ˇSkolska knjiga, Zagreb.
[99] Petkovic´ M., Petkovic´ Lj., 2006, Matematicˇki vrmeplov: prilozi za istoriju matematike,
Zmaj, Novi Sad.
[100] Petronijevic´ B., 1998, Izabrana dela, knjige 1–12, Zavod za udzˇbenike i nastavna sredstva,
Beograd.
[101] Pijazˇe ˇZ., 1994, Uvod u geneticˇku epistemologiju I: matematicˇko misˇljenje, Izdavacˇka
knjizˇarnica Zorana Stojanovic´a, Sremski Karlovci, Novi Sad.
[102] Pilipovic´ S., Selesˇi D., 2012, Mera i integral: fundamenti teorije verovatno´ce, Zavod za
udzˇbenike, Beograd.
[103] Pisot Ch., Zamansky M., 1966, Mathe´matiques Ge´ne´rales, Dunod.
[104] Platon, 2006, Dela: Ijon, Gozba, Fedar, Odbrana Sokratova, Kriton, Fedon, Dereta, Beo-
grad.
[105] Po¨lya, Szego¨ G., 1925, Aufgaben und Lehrsa¨tze aus der Analysis I, Berlin.
[106] Popovic´ B. D., 1986, Elektromagnetika, Beograd.
[107] Привaлoв И. И., 1927, Ввeдeниe в тeoрию функций кoмплeкснoгo пeрeмeннoгo:
Пoсoбиe для высшeй шкoлы, Гoсудaрствeннoe издaтeльствo.
[108] Rasel B., Principles of Mathematics, First published in 1903, Second edition 1937, Paper-
back edition first published in 1992 by Routledge, Reprinted 1997, 2002, 2004.
[109] Rasel B., 1998, Istorija zapadne filozofije, Narodna knjiga, Alfa, Beograd.
[110] Reddick H. W., Miller F. H., 1950, Advanced mathematics for engineers, New York.
[111] Рoмaнoвский П. И., 1959, Ряды Фурьe. Teoрия пoля. Aнaлитичeскиe и спeци-
яльныe функций. Прeoбрaзoвaниe Лaплaсa, Moсквa.
[112] Rot N., 2010, Opsˇta psihologija, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[113] Rothe H., 1923, Ho¨here Mathematik, Wien.
[114] Rou Alan Dzˇ., 2008, Kreativna inteligencija, Clio, Beograd.
[115] Rudin W., 1976, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Inc.
[116] Rudin W., 1986, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, Inc.
[117] Schwartz L., 1967, Analyse mathe´matique, t. I, II. Paris.
[118] Stankovic´ Bogoljub, 1975, Osnovi funkcionalne analize, Naucˇna knjiga, Beograd.
[119] Stein E., Rami Shakarchi, 2002, Fourier Analysis, an introduction, Princeton University
Press.
[120] Stojanovic´ I. S., 1977, Osnovi telekomunikacija, Beograd.
[121] Stojic´ M. R., 1996, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Beograd.
[122] Strojk J. Dirk, 1991, Kratak pregled istorije matematike, Zavod za udzˇbenikem, Beograd.
[123] Surutka J., 2006, Elektromagnetika, Akademska misao, Beograd.
[124] Teofanov N., 2011, Predavanja iz primenjene analize, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
Literatura 280
[125] Тихонов, А. Н., Самарский, А. А., 1977, Уравнения математической физики,
Наука, Москва.
[126] Tosˇic´ D., 2000, Zbirka resˇenih ispitnih zadataka iz Matematike III, Beograd.
[127] Tosˇic´ D., 1997, Uvod u numericˇku analizu, Beograd.
[128] Tosˇic´ D., 2006, Matematika III: kratak kurs, Akademska misao, Beograd.
[129] Tosˇic´ D., Miloljub Albijanic´, Danijela Milenkovic´, 2012, Elementi diferencijalnog i inte-
gralnog racˇuna, Sluzˇbeni glasnik, Beograd.
[130] Trebjesˇanin ˇZ., 2011, Psihologija: za drugi razred gimnazije, Zavod za udzˇbenike, Beograd.
[131] Trebjesˇanin ˇZ. 2011, Recˇnik Jungovih pojmova i simbola, Zavod za udzˇbenike, HESPERI-
Aedu, Beograd.
[132] Vilani S., 2013, ˇZiva teorema, Centar za promociju nauke, Matematicˇki institut SANU,
Beograd.
[133] Vitasari P., Tutut Herawan, Muhamad Nubli Abdul Wahab, Ahmad Othman, Suriya Kumar
Sinnadurai, Exploring Mathematics Anxiety among Engineering students, Procedia– Social
and Behavioral Sciences, Volume 8, 2010, Pages 482–489.
[134] Vukmirovic´ J., 2009, Matematicˇka analiza 1, Zbirka zadataka, Zavod za udzˇbenike.
[135] Asˇic´ M., Vukmirovic´ J., 2009, Zbirka zadataka iz matematiˇcke analize 2, Zbirka zadataka,
Zavod za udzˇbenike.
[136] Weber K., 2004, Traditional instruction in advanced mathematics courses: a case study
of one professor’s lectures and proofs in an introductory real analysis course, Journal of
Mathematical Behavior 23 (2004) 115–133. http://www.journals.elsevier.com/the-journal-
of-mathematical-behavior
[137] Whittaker T., Watson G. N., 1962, A course of modern analysis, Cambridge.
[138] Zamansky M., 1958, Introduction a` l’algebre et l’analyse modernes, Paris.
[139] Зoрич Б. A. M., 1997, Maтeмaтичeский aнaлиз, ФAЗИС, Нaукa.
MILOLJUB ALBIJANI ´C – BIOGRAFIJA
Roden 8. jula 1967. godine u Tometinom Polju, opsˇtina Pozˇega.
Diplomirao na Matematicˇkom fakultetu u Beogradu, smer Numericˇka matematika,
kibernetika i optimizacija i stekao zvanje Diplomirani matematicˇar. Odbranio specija-
listicˇki rad na Matematicˇkom fakultetu na temu Diferencne jednacˇine i stekao zvanje
specijalista matematike. Odbranio je master rad Znanje kao izvor konkurentske prednosti
na FEFA. Doktorsku tezu Kvantifikacija uticaja intelektualnog kapitala na konkurentnost
odbranio je na Univerzitetu Singidunum 2011.
Profesor matematike od 1995. do 2003. godine, a 2003. godine direktor Elektro-
tehnicˇke sˇkole Nikola Tesla u Beogradu. Zamenik direktora Zavoda za unapredivanje
obrazovanja i vaspitanja 2004. godine. Narodni poslanik u Narodnoj skupsˇtini Republike
Srbije od 2004. godine i predsednik Poslanicˇkog kluba od 2004. do 2006. godine. Potpred-
sednik Narodne skupstine Republike Srbije od 2007. do 2008. godine. Direktor Zavoda
za udzˇbenike od 2008. do 2013. godine. Profesor Analize sa algebrom u Matematicˇkoj
gimnaziji od 2007. Docent na Univerzitetu Singidunum od 2011.
Objavio je knjigu Intelektualni kapital u izdanju Sluzˇbenog glasnika, a kao koautor
sa Dobrilom Tosˇic´em i Danijelom Milenkovic´ objavio je knjigu Elementi diferencijalnog
i integralnog racˇuna, u izdanju Sluzˇbenog glasnika; sa Milovanom Vitezovic´em i Miodra-
gom Mateljevic´em priredio je monografiju Ljudi intelektualne vrline: 170 godina SANU;
objavio je naucˇne i strucˇne radove iz matematike iz oblasti intelektualnog kapitala.
Ozˇenjen Svetlanom i ima dve c´erke Tijanu i Milenu.
IZBOR IZ BIBLIOGRAFIJE RADOVA
Miloljub Albijanic´, 2001, Prava u ravni. Vektorski pristup, Nastava matematike, s. 16–23, Drusˇtvo
matematicˇara Srbije.
D- orde Dugosˇija, Miloljub Albijanic´, Marko ˇSegrt, 2007, Zbirke zadataka iz matematike za prvi i drugi
razred srednje sˇkole (u dve knjige), Drusˇtvo matematicˇara Srbije.
Miloljub Albijanic´, 2008, Diferencne jednacˇine, specijalisticˇki rad, Matematicˇki fakultet, Beograd.
Miloljub Albijanic´, 2008, Znanje kao izvor konkurentske prednosti, Studije i istrazˇivanja br 8, Institut
FEFA, Beograd.
Miloljub Albijanic´, 2010, Ljudski kapital u funkciji ekonomskog rasta i primena na Srbiju, Kuda ide
konkurentnost Srbije? str. 70–107, Urednici, Nebojsˇa Savic´, Goran Pitic´, FEFA, Beograd.
Miloljub Albijanic´, 2011, Kvantifikacija uticaja intelektualnog kapitala na konkurentnost (doktorska
disertacija), Univerzitet Singidunum, Beograd.
Miloljub Albijanic´, 2011, Intelektualni kapital: uticaj na konkurentnost i ekonomski rast, Sluzˇbeni
glasnik, Beograd.
Miloljub Albijanic´, Milovan Vitezovic´, Miodrag Mateljevic´, 2011, Ljudi intelektualne vrline: 170 go-
dina SANU, Zavod za udzˇbenike, Beograd
Maja Djurica, Miloljub Albijanic´, Jovanka Vukmirovic´, Intellectual Capital as a Internal Marketing
in Serbian Companies, Quality, Innovation, Future (zbornik radova), str. 45–53, 31 Internationale
Innovation, Future and Organization, Faculty of Organizational Science, University of Maribor, 2012.
Dobrilo Tosˇic´, Miloljub Albijanic´, Danijela Milenkovic´, 2012, Elementi diferencijalnog i integralnog
racˇuna, Sluzˇbeni glasnik, Beograd.
Gradimir V. Milovanovic´, Dobrilo D- . Tosˇic´, and Miloljub Albijanic´, Numerical integration of analytic
functions, Numerical Analysis and Applied Mathematics ICNAAM 2012: International Conference,
Kos, Greece, DOI 10.1063/1.4756325 http://www.mi.sanu.ac.rs/˜gvm/radovi/ASCA-1046-1049.pdf
M. Mateljevic, M. Svetlik, M. Albijanic, N. Savic: Generalizations of the Lagrange mean value theo-
rem and applications, Filomat 27:4 (2013), 515–528 DOI 10.2298/FIL1304515M
http://www.pmf.ni.ac.rs/pmf/publikacije/filomat/2013/27-4/F27-4-1.pdf
M. Albijanic´, D. Milenkovic´, D. Tosˇic´, Hardijev pristup za izracˇunavanje povrsˇine, Simpozijum Ma-
tematika i primene, Matematicˇki fakultet, Univerzitet u Beogradu, 2013, Vol. IV(1).
M. Arsenovic´, M. Albijanic´, M. Knezˇevic´, S. Marek, 2014, Miodrag Mateljevi c´ – vertikala beogradske
matematicˇke sˇkole, Simpozijum MATEMATIKA I PRIMENE, Matematicˇki fakultet, Univerzitet u
Beogradu, Vol. V(1).
G.V. Milovanovic´, M. Albijanic´, 2015, A generalized Birkhoff-Young quadrature formula, Carpathian
J. Math. (u sˇtampi).
 
 
 
Prilog 1. 
Izjava o autorstvu 
 
 
 
Potpisani-a   Miloljub Albijanić 
broj upisa  2008/2014 
 
Izjavljujem 
da je doktorska disertacija pod naslovom  
 
APSTRAKCIJA I PRIMENA  MATEMATIČKE ANALIZE U NASTAVI 
NA TEHNIČKIM FAKULTETIMA 
 
 rezultat sopstvenog istraživačkog rada, 
 da predložena disertacija u celini ni u delovima nije bila predložena za dobijanje 
bilo koje diplome prema studijskim programima drugih visokoškolskih ustanova, 
 da su rezultati korektno navedeni i  
 da nisam kršio/la autorska prava i koristio intelektualnu svojinu drugih lica.  
 
                                                                        Potpis doktoranda 
U Beogradu, 12. januara 2016.                                        
      _______________________ 
 
 
 
 
 
 
 
Прилог 2. 
 
Изјава o истоветности штампане и електронске 
верзије докторског рада 
 
 
Име и презиме аутора  Miloljub Albijanić 
Број уписа   2008/2014 
Студијски програм  MATEMATIKA 
Наслов рада  APSTRAKCIJA I PRIMENA  MATEMATIČKE ANALIZE U NASTAVI NA  
                         TEHNIČKIM FAKULTETIMA 
 
Ментор       prof. dr Miodrag Mateljević 
 
Потписани Miloljub Albijanić 
 
изјављујем да је штампана верзија мог докторског рада истоветна електронској 
верзији коју сам предао/ла за објављивање на порталу Дигиталног 
репозиторијума Универзитета у Београду.  
Дозвољавам да се објаве моји лични подаци везани за добијање академског 
звања доктора наука, као што су име и презиме, година и место рођења и датум 
одбране рада.  
Ови лични подаци могу се објавити на мрежним страницама дигиталне 
библиотеке, у електронском каталогу и у публикацијама Универзитета у Београду. 
 
            Потпис докторанда  
У Београду, 12. januara 2016. 
   _________________________ 
 
 
 
Прилог 3. 
Изјава о коришћењу 
 
Овлашћујем Универзитетску библиотеку „Светозар Марковић“ да у Дигитални 
репозиторијум Универзитета у Београду унесе моју докторску дисертацију под 
насловом: 
APSTRAKCIJA I PRIMENA  MATEMATIČKE ANALIZE U NASTAVI NA  
TEHNIČKIM FAKULTETIMA 
која је моје ауторско дело.  
Дисертацију са свим прилозима предао/ла сам у електронском формату погодном 
за трајно архивирање.  
Моју докторску дисертацију похрањену у Дигитални репозиторијум Универзитета 
у Београду могу да користе  сви који поштују одредбе садржане у одабраном типу 
лиценце Креативне заједнице (Creative Commons) за коју сам се одлучио/ла. 
1. Ауторство 
2. Ауторство - некомерцијално 
3. Ауторство – некомерцијално – без прераде 
4. Ауторство – некомерцијално – делити под истим условима 
5. Ауторство –  без прераде 
6. Ауторство –  делити под истим условима 
(Молимо да заокружите само једну од шест понуђених лиценци, кратак опис 
лиценци дат је на полеђини листа). 
 
  Потпис докторанда 
У Београду, 12. januara 2016. 
  ____________________ 
 
 
 
 
1. Ауторство - Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање 
дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора 
или даваоца лиценце, чак и у комерцијалне сврхе. Ово је најслободнија од свих 
лиценци. 
2. Ауторство – некомерцијално. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно 
саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од 
стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну 
употребу дела. 
3. Ауторство - некомерцијално – без прераде. Дозвољавате умножавање, 
дистрибуцију и јавно саопштавање дела, без промена, преобликовања или 
употребе дела у свом делу, ако се наведе име аутора на начин одређен од 
стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну 
употребу дела. У односу на све остале лиценце, овом лиценцом се ограничава 
највећи обим права коришћења дела.  
 4. Ауторство - некомерцијално – делити под истим условима. Дозвољавате 
умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе 
име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се 
прерада дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца не 
дозвољава комерцијалну употребу дела и прерада. 
5. Ауторство – без прераде. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно 
саопштавање дела, без промена, преобликовања или употребе дела у свом делу, 
ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца 
лиценце. Ова лиценца дозвољава комерцијалну употребу дела. 
6. Ауторство - делити под истим условима. Дозвољавате умножавање, 
дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на 
начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се прерада 
дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца дозвољава 
комерцијалну употребу дела и прерада. Слична је софтверским лиценцама, 
односно лиценцама отвореног кода. 
 
 
 
 
 
 
vii
 
 
 
Prilog 1. 
Izjava o autorstvu 
 
 
 
Potpisani-a   Miloljub Albijanić 
broj upisa  2008/2014 
 
Izjavljujem 
da je doktorska disertacija pod naslovom  
 
APSTRAKCIJA I PRIMENA  MATEMATIČKE ANALIZE U NASTAVI 
NA TEHNIČKIM FAKULTETIMA 
 
 rezultat sopstvenog istraživačkog rada, 
 da predložena disertacija u celini ni u delovima nije bila predložena za dobijanje 
bilo koje diplome prema studijskim programima drugih visokoškolskih ustanova, 
 da su rezultati korektno navedeni i  
 da nisam kršio/la autorska prava i koristio intelektualnu svojinu drugih lica.  
 
                                                                        Potpis doktoranda 
U Beogradu, 12. januara 2016.                                        
      _______________________ 
 
 
 
 
 
 
 
Прилог 2. 
 
Изјава o истоветности штампане и електронске 
верзије докторског рада 
 
 
Име и презиме аутора  Miloljub Albijanić 
Број уписа   2008/2014 
Студијски програм  MATEMATIKA 
Наслов рада  APSTRAKCIJA I PRIMENA  MATEMATIČKE ANALIZE U NASTAVI NA  
                         TEHNIČKIM FAKULTETIMA 
 
Ментор       prof. dr Miodrag Mateljević 
 
Потписани Miloljub Albijanić 
 
изјављујем да је штампана верзија мог докторског рада истоветна електронској 
верзији коју сам предао/ла за објављивање на порталу Дигиталног 
репозиторијума Универзитета у Београду.  
Дозвољавам да се објаве моји лични подаци везани за добијање академског 
звања доктора наука, као што су име и презиме, година и место рођења и датум 
одбране рада.  
Ови лични подаци могу се објавити на мрежним страницама дигиталне 
библиотеке, у електронском каталогу и у публикацијама Универзитета у Београду. 
 
            Потпис докторанда  
У Београду, 12. januara 2016. 
   _________________________ 
 
 
 
Прилог 3. 
Изјава о коришћењу 
 
Овлашћујем Универзитетску библиотеку „Светозар Марковић“ да у Дигитални 
репозиторијум Универзитета у Београду унесе моју докторску дисертацију под 
насловом: 
APSTRAKCIJA I PRIMENA  MATEMATIČKE ANALIZE U NASTAVI NA  
TEHNIČKIM FAKULTETIMA 
која је моје ауторско дело.  
Дисертацију са свим прилозима предао/ла сам у електронском формату погодном 
за трајно архивирање.  
Моју докторску дисертацију похрањену у Дигитални репозиторијум Универзитета 
у Београду могу да користе  сви који поштују одредбе садржане у одабраном типу 
лиценце Креативне заједнице (Creative Commons) за коју сам се одлучио/ла. 
1. Ауторство 
2. Ауторство - некомерцијално 
3. Ауторство – некомерцијално – без прераде 
4. Ауторство – некомерцијално – делити под истим условима 
5. Ауторство –  без прераде 
6. Ауторство –  делити под истим условима 
(Молимо да заокружите само једну од шест понуђених лиценци, кратак опис 
лиценци дат је на полеђини листа). 
 
  Потпис докторанда 
У Београду, 12. januara 2016. 
  ____________________ 
 
 
 
 
1. Ауторство - Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање 
дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора 
или даваоца лиценце, чак и у комерцијалне сврхе. Ово је најслободнија од свих 
лиценци. 
2. Ауторство – некомерцијално. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно 
саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од 
стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну 
употребу дела. 
3. Ауторство - некомерцијално – без прераде. Дозвољавате умножавање, 
дистрибуцију и јавно саопштавање дела, без промена, преобликовања или 
употребе дела у свом делу, ако се наведе име аутора на начин одређен од 
стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну 
употребу дела. У односу на све остале лиценце, овом лиценцом се ограничава 
највећи обим права коришћења дела.  
 4. Ауторство - некомерцијално – делити под истим условима. Дозвољавате 
умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе 
име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се 
прерада дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца не 
дозвољава комерцијалну употребу дела и прерада. 
5. Ауторство – без прераде. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно 
саопштавање дела, без промена, преобликовања или употребе дела у свом делу, 
ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца 
лиценце. Ова лиценца дозвољава комерцијалну употребу дела. 
6. Ауторство - делити под истим условима. Дозвољавате умножавање, 
дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на 
начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се прерада 
дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца дозвољава 
комерцијалну употребу дела и прерада. Слична је софтверским лиценцама, 
односно лиценцама отвореног кода.