i UNIVERZITET U BEOGRADU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET Nada M. Vučijak ALGORITAM ZA ODREĐIVANJE FAZNE RAZLIKE SINUSNIH SIGNALA NISKIH UČESTANOSTI doktorska disertacija Beograd, 2016. ii UNIVERSITY OF BELGRADE SCHOOL OF ELECTRICAL ENGINEERING Nada M. Vučijak THE ALGORITHM FOR PHASE DIFFERENCE DETERMINATION OF LOW FREQUENCY SINUSOIDAL SIGNALS Doctoral Dissertation Belgrade, 2016. iii Podaci o mentoru i članovima komisije Mentor: dr Lazar Saranovac, vanredni profesor, Univerzitet u Beogradu – Elektrotehnički fakultet Članovi komisije: dr Lazar Saranovac, vanredni profesor, Univerzitet u Beogradu – Elektrotehnički fakultet dr Predrag Pejović, redovni profesor, Univerzitet u Beogradu – Elektrotehnički fakultet dr Dragutin Salamon, vanredni profesor u penziji, Univerzitet u Beogradu – Elektrotehnički fakultet dr Zoran Stojanović, docent, Univerzitet u Beogradu – Elektrotehnički fakultet dr Aleksandar Rakić, docent, Univerzitet u Beogradu – Elektrotehnički fakultet Datum: ________________. iv Algoritam za određivanje fazne razlike sinusnih signala niskih učestanosti Rezime Pouzdano merenje fazne razlike između električnih signala neophodno je u mnogim mernim sistemima kao što su: merenje aktivne i reaktivne električne snage i energije, faktora snage, harmonika u električnom naponu i struji, određivanje kompleksnog odnosa izlaznog i ulaznog signala mernih pretvarača (delitelji napona i strujni šantovi). O značaju merenja faznog ugla najbolje govori činjenica da su mogućnosti merenja i etaloniranja koje se kraće označavaju CMCs (engl. Calibration and Measurement Capabilities) faznog ugla, nacionalnih metroloških instituta pojedinih država, objavljene na internet stranici Međunarodnog biroa za tegove i mere (fr. Bureau International des Poids et Measures - BIPM) http://kcdb.bipm.org, pošto ih je prethodno odobrila regionalna metrološka organizacija EURAMET (engl. European Association of National Metrology Institutes). Danas se fazna razlika između dva kontinualna sinusna signala najčešće određuje koristeći uzorke signala koji se obrađuju nekim od algoritama za određivanje fazne razlike. U NMI (engl. National Metrological Institutes) se za uzorkovanje signala uobičajeno koriste DSV (engl. digital sampling voltmeters) koji obavljaju vremensku i amplitudnu diskretizaciju signala. Uz rezultate merenja obavezno se daje i procena merne nesigurnosti, u skladu sa međunarodnim dokumentima. Predmet istraživanja disertacije je algoritam za određivanje fazne razlike iz uzoraka dva sinusna signala. Na osnovu poznatih algoritama UQDE (engl. unbiased quadrature delay estimator) i QDE (engl. quadrature delay estimator) razvijen je i testiran novi algoritam MSAL (engl. modified simple algorithm) za određivanje fazne razlike iz uzoraka dva sinusna signala. U novom algoritmu, korišćenjem dva postojeća signala uvode se dva nova signala fazno pomerena u odnosu na postojeće signale. Testira se hipoteza da je izborom faznog kašnjenja moguće dobiti vrednost fazne razlike između dva sinusna signala koristeći po jedan uzorak svakog signala (algoritam nazvan SAL), a v takođe i da se primenom nešto složenije formule na veći broj uzoraka signala, može odrediti vrednost fazne razlike između dva sinusna signala sa znatno manjom mernom nesigurnošću (algoritam nazvan MSAL). Dat je matematički model, rezultati simulacija i rezultati primene novih algoritama na uzorke realnih signala. U literaturi postoji mnogo algoritama za određivanje fazne razlike između dva sinusna električna signala, a u disertaciji je dat pregled samo onih algoritama koji su od interesa za temu disertacije. Prvo je razmatran algoritam UQDE na kojem su zasnovani novi algoritmi predloženi u disertaciji. Dat je i kratak pregled algoritama 3PSF, 4PSF i 7PSF (engl. three, four and seven parameter sinus fitting) koji su primenjeni na uzorke realnih signala u cilju poređenja rezultata određivanja fazne razlike sa rezultatima dobijenim koristeći nove algoritme, kao i kratak pregled algoritama za određivanje fazne razlike zasnovanih na Furijeovoj transformaciji, maksimalnoj verodostojmosti i linearnoj predikciji. Upoređeni su rezultati dobijeni primenom novih algoritama za određivanje fazne razlike iz uzoraka realnih električnih signala sa rezultatima dobijenim primenom drugih postojećih algoritama na iste uzorke signala. To je omogućilo da se verifikuju i uporede karakteristike postojećih i novih algoritama za određivanje fazne razlike i dokažu pretpostavljene hipoteze istraživanja. U disertaciji su algoritmi primenjeni na uzorke realnih električnih signala niskih učestanosti jer je na raspolaganju bila takva oprema za uzorkovanje signala. Uz rezultate za faznu razliku date su i procene merne nesigurnosti tih rezultata u skladu sa Uputstvom za izražavanje nesigurnosti u merenju (engl. „Guide to the expression of uncertainty in measurement”- GUM). U disertaciji je dat i kratak pregled metoda merenja koje se danas koriste za etaloniranje fazne razlike električnih signala niskih učestanosti u nacionalnim metrološkim institutima. Ključne reči: sinusni električni signali, fazna razlika, uzorkovanje signala, algoritam MSAL, etaloniranje, merna nesigurnost. Naučna oblast: tehničke nauke, elektrotehnika Uža naučna oblast: elektronika UDK broj: 621.3 vi The Algorithm for Phase Difference Determination of Low Frequency Sinusoidal Signals Abstract The reliable measurement of phase difference between two signals is essential in many measurement systems such as: measurement of active and reactive electric power and energy, power factor, voltage and current harmonics, the determination of the complex ratios between the output and input signals of transducers (voltage dividers and current shunts). The importance of phase angle mesurements is the best illustrated by fact that calibration and measurement capabilities (CMCs) of the national metrological institutes of individual countries are published at website of International Bureau of Weights and Measures (Bureau International des Poids et Measures - BIPM), http://kcdb.bipm.org, as previously approved by the regional metrological organization EURAMET (European Association of National Metrology Institutes). Nowadays, the phase difference between two continuous sinusoidal signals is usually determined by means of discrete samples of signals processed by some of the algorithms for the phase difference estimation. DSV (digital sampling voltmeters) are usually used for the time and amplitude discretization of signals in NMI (National Metrological Institutes). The results of measurements must be accompanied with the estimates of uncertainties according to the international recommendations. The subject of the dissertation research is algorithm for phase difference determination using samples of two sinusoidal signals. On the basis of known algorithms UQDE (unbiased quadrature delay estimator) and QDE (quadrature delay estimator) the new algorithm MSAL (modified simple algorithm) for phase difference determination from the samples of two sinusoidal signals is developed and tested. Two new signals phase shifted to the existing signals are introduced in new algorithm. The hypothesis that it is possible to get the phase difference between two sinusoidal signals vii by choice of phase delay between two samples, one sample of each signal (algorithm called SAL) is tested, and also by applying the more complex formula to a larger number of samples phase difference between two sinusoidal signals can be determined with lower uncertainty (algorithm called MSAL). The mathematical model, results of simulations and results of applications of new algorithms on real samples, are given. There are many algorithms for estimation of the phase difference between two electrical sinusoidal signals, in literature. The short overview of those algorithms that are of interest for dissertation, is provided. The algorithm UQDE is first considered becouse new algorithms suggested in dissertation are based on it. Also, 3PSF, 4PSF and 7PSF (three, four and seven parameter sinus fitting) algorithms are considered, becouse those algorithms are applied on samples of real signals for phase difference determination in order to compare obtained results with results for the phase difference determined by new algorithms. The algorithms for the phase difference determination based on Fourier transform, maximum likelihood and linear prediction, are also short rewieved. The results obtained using a new algorithm MSAL for determination of the phase difference of samples of real electrical signals are compared with those obtained by other existing algorithms, applied on the same signals samples. That enabled to verify and compare the characteristics of the existing and proposed algorithm for determination of the phase difference and demonstrate assumed research hypotheses. The algorithms are applied to a low frequency real electrical signals becouse such equipment for signals sampling were available. Together with results of phase difference determination, the estimation of uncertainies of those results is given according to „Guide to the expression of uncertainty in measurement” – GUM. The dissertation provides also a brief overview of measurement methods that are nowadays used for calibration of the phase difference of electrical signals in the national metrological institutes (MNIs). Key words: sinusoidal electrical signals, phase difference, signal sampling, MSAL algorithm, calibration, measurement uncertainty. viii Scientific area: technical sciences, electrical engineering Specific scientific area: electronics UDK number: 621.3 ix Sadržaj Spisak slika ………………………………………………...…………………………. xii Spisak tabela ………………………………………………………...……………...... xvi Oznake i skraćenice ………………………………………………………....…….... xviii 1 Uvod ...................................................................................................................... 1 1.1 Predmet istraživanja disertacije ............................................................... 2 1.2 Organizacija disertacije ........................................................................... 5 2 Pregled u oblasti istraživanja ............................................................................. 7 2.1 Uzorkovanje dva sinusna signala u mernim sistemima sa DSV ........ 8 2.1.1 Šeme mernih sistema koji koriste DSV za uzorkovanje dva sinusna signala ........................................................................... 10 2.1.2 Matematički model DSV ........................................................... 15 2.1.3 Uticaj ostalih delova mernog sistema na rezultate merenja fazne razlike ........................................................................................ 20 2.2 Algoritmi QDE i UQDE ...................................................................... 23 2.2.1 Estimator faznog ugla sinusnog signala ..................................... 23 2.2.2 Algoritam QDE ........................................................................... 26 2.2.3 Algoritam UQDE ........................................................................ 28 2.3 Procena merne nesigurnosti prema uputstvima JCGM .................... 30 2.3.1 Procena merne nesigurnosti u skladu sa GUM .......................... 31 2.3.2 Dodatak 1 GUM ........................................................................ 36 2.3.3 Dodatak 2 GUM ........................................................................ 38 x 3 Novi algoritam za određivanje fazne razlike između sinusnih signala ......... 40 3.1 Algoritam SAL ........................................................................................ 44 3.2 Algoritam MSAL...................................................................................... 48 3.3 Simulacije sa primenom algoritma SAL .................................................. 53 3.4 Simulacije sa primenom algoritma MSAL .............................................. 57 3.5 Zaključak ................................................................................................. 60 4 Poređenje rezultata za faznu razliku dobijenih primenom novog i postojećih algoritama na uzorke realnih signala .............................................................. 61 4.1 Oprema koja je korišćena za merenje ..................................................... 62 4.2 Primer sa 18 uzoraka u periodi signala ................................................... 63 4.2.1 Rezultati za faznu razliku .......................................................... 64 4.2.2 Procena merne nesigurnosti ....................................................... 68 4.2.3 Validacija ................................................................................... 83 4.2.4 Zaključak ................................................................................... 86 4.3 Primer sa 200 uzoraka u periodi signala .................................................. 89 4.4 Primeri kada količnik učestanosti uzorkovanja i učestanosti signala nije ceo broj .................................................................................................... 99 4.5 Poređenje rezultata primene algoritama – zaključak ............................ 106 5 Zaključak .......................................................................................................... 108 Literatura ................................................................................................................... 111 Prilog A Radijan i stepen ................................................................................... 121 Prilog B Izabrani algoritmi iz literature za određivanje fazne razlike iz uzoraka sinusnih signala ..................................................................... 123 B.1 Algoritmi zasnovani na fitovanju............................................. 124 B.1.1 Algoritam za fitovanje tri parametra sinusnog signala ............ 124 B.1.2 Algoritam za fitovanje četiri parametra sinusnog signala ....... 126 xi B.1.3 Algoritam za fitovanje sedam parametara dva sinusna signala 129 B.2 Algoritmi zasnovani na Furijeovoj transformaciji ................... 131 B.2.1 Modifikovan estimator faznog kašnjenja zasnovan na DTFT 133 B.2.2 Estimator faznog kašnjenja zasnovan na DTFT koji koristi i negativne učestanosti ............................................................... 135 B.3 Algoritmi zasnovani na kriterijumu maksimalne verodostojnosti ......................................................................... 137 B.4 Algoritam zasnovan na primeni linearne predikcije ................ 140 Prilog C Etaloniranje etalona faznog ugla u NMI. .......................................... 142 Biografija autora Izjava o autorstvu Izjava o istovetnosti štampane i elektronske verzije doktorskog rada Izjava o korišćenju xii Spisak slika Slika 2.1.1 Asinhrono uzorkovanje dva sinusna signala ................................................. 9 Slika 2.1.1.1 Blok šema sistema sa dva DSV za sinhrono uzorkovanje električnog napona i struje (triger za signale fazno spregnut za napon iz izvora)............................. 12 Slika 2.1.1.2 Blok šema sistema sa jednim DSV za sinhrono generisanje i uzorkovanje električnog napona i struje, i preklopnikom signala ...................................................... 12 Slika 2.1.1.3 Blok šema sistema sa dva DSV za sinhrono uzorkovanje električnog napona i struje, sa istovremenim spoljašnjim trigerovanjem DSV1 i DSV2 ................ 13 Slika 2.1.1.4 Blok šema sistema sa dva DSV za sinhrono uzorkovanje električnog napona i struje, DSV1 – „master“, DSV2 – „slave“ ...................................................... 13 Slika 2.1.1.5 Princip uzorkovanja jednog a zatim drugog signala istim DSV ............... 15 Slika 2.1.2.1 Ilustracija tehnike uzorkovanja sinusnog signala u mernom sistemu koji koristi IADC .................................................................................................................. 16 Slika 3.3.1 Zavisnost greške fazne razlike između dva sinusna signala Δϕ od greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala δψ, za vrednosti fazne razlike 5°, 45° i 85°, algoritam SAL ............................................................................................................... 53 Slika 3.3.2 Zavisnost greške fazne razlike između dva sinusna signala Δϕ od faze prvog uzorka ϕ1 za vrednosti fazne razlike 5°, 45° i 85°, algoritam SAL .............................. 54 xiii Slika 3.3.3 Zavisnost srednje kvadratne greške fazne razlike MSE od odnosa signal-šum SNR, za vrednosti greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala 0°; 0,1°; 0,5° i 1°, algoritam SAL ............................................................................................................... 55 Slika 3.3.4 Zavisnost srednje kvadratne greške fazne razlike MSE od fazne razlike ϕ između dva signala određena koristeći algoritam SAL, za uslove kada su vrednosti greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala 0°; 0,1°; 0,5° i 1° i odnos signal- šum SNR = 70 dB .......................................................................................................... 56 Slika 3.4.1 Zavisnost greške fazne razlike između dva sinusna signala Δϕ od greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala δψ, za faznu razliku između dva signala 45°, algoritami MSAL i UQDE ..................................................................................... 57 Slika 3.4.2 Srednja kvadratna greška fazne razlike između dva sinusna signala MSE u funkciji od odnosa signal-šum SNR za fazni pomeraj dodatnih signala 89,47° dobijena primenom algoritama MSAL, UQDE i QDE ................................................................ 58 Slika 3.4.3 Srednja kvadratna greška fazne razlike MSE u funkciji od odnosa signal-šum SNR za fazni pomeraj dodatnih signala 89,65° za 1,7 perioda signala dobijena primenom algoritama MSAL, UQDE i QDE .................................................................................. 59 Slika 4.2.1. Uzorci dva realna sinusna signala učestanosti 53 Hz sa faznom razlikom između signala 59,9°, broj uzoraka u periodi signala 18 ............................................... 63 Slika 4.2.1.1 Fazna razlika vrednosti 59,9° između dva sinusna signala učestanosti 53 Hz, broj uzoraka u periodi signala 18, u zavisnosti od delova periode signala, dobijena koristeći algoritme 7PSF, UQDE4, UQDE5, MSAL4 i MSAL5 ................... 66 Slika 4.2.2.1 Rezultati za faznu razliku 59,9° određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja (r uzoraka) dodatnih signala i proširena merna nesigurnost URSSuC, primer sa 18 uzoraka u periodi signala .......................................... 82 Slika 4.2.2.2 Rezultati za faznu razliku 59,9° određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja (r uzoraka) dodatnih signala i proširena merna nesigurnost URSSU, primer sa 18 uzoraka u periodi signala ........................................... 82 xiv Slika 4.2.2.3 Rezultati za faznu razliku 59,9° određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja (r uzoraka) dodatnih signala i proširena merna nesigurnost USUMU, primer sa 18 uzoraka u periodi signala ......................................... 83 Slika 4.3.1 Uzorci dva realna sinusna signala učestanosti 50 Hz, fazna razlika 10°, broj uzoraka u periodi po 200 ............................................................................................... 89 Slika 4.3.2 Vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala sa 200 uzoraka u periodi signala u zavisnosti od broja perioda signala, određene primenom algoritama MSAL50, UQDE50, 3PSF i 7PSF na ceo broj perioda signala .................. 91 Slika 4.3.3 Vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala u zavisnosti od broja uzoraka u dvanaestoj periodi signala; primenjeni algoritmi UQDE50, MSAL50 i 7PSF, broj uzoraka u periodi signala 200 .................................................................... 92 Slika 4.3.4 Fazna razlika vrednosti 10° u zavisnosti od broja perioda dva uzorkovana sinusna signala sa 200 uzoraka u periodi signala, kada su dodatni signali fazno pomereni za 1, 10, 25, 30, 50, 75, 85, 150 i 190 uzoraka; primenjen algoritam MSAL ............... 93 Slika 4.3.5 Rezultati za faznu razliku 10° između dva realna sinusna napona određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja dodatnih signala, primer sa 200 uzoraka u periodi signala ........................................................... 97 Slika 4.4.1 Uzorci dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, fazna razlika 30°, učestanost uzorkovanja 10 kHz ................................................................................... 100 Slika 4.4.2 Vrednost fazne razlike 30° između dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od broja uzoraka signala dobijena koristeći algoritme MSAL1, MSAL3, MSAL4, MSAL7, MSAL10, MSAL12 .......... 100 Slika 4.4.3 Vrednost fazne razlike 30° između dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od broja uzoraka signala dobijena primenom algoritma MSAL13 .................................................................................... 101 xv Slika 4.4.4 Vrednost fazne razlike 30° između dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od bilo kog broja uzoraka signala dobijena primenom algoritma MSAL3 ........................................................................ 102 Slika 4.4.5 Vrednosti fazne razlike 63° između dva realna sinusna signala učestanosti 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od broja uzoraka, dobijene primenom algoritama 7PSF, MSAL50(q/p), MSAL50(fo/fs), MSAL51(q/p) i MSAL51(fo/fs)............................................................................................................. 103 Slika 4.4.6 Fazna razlika vrednosti 88° između dva realna sinusna signala učestanosti 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od delova periode signala, dobijena primenom algoritama MSAL i 7PSF ............................................................ 104 Slika C.1 Blok šema etaloniranja kalibratora fazne razlike pomoću mosta sa impedansama Z1 i Z2 .................................................................................................... 144 Slika C.2: šema veza jednog kapacitivnog mosta proizvođača Clarke-Hes ................ 146 Slika C.3 Šema heterodinskog mernog sistema za merenje fazne razlike između dva napona uN i uX .............................................................................................................. 147 Slika C.4 a) Šema sistema za merenje fazne razlike između napona U1 i U2 metodom tri voltmetra koji mere napone U1, U2 i U3 , b) vektorski dijagram za merenje fazne razlike .......................................................................................................................................149 xvi Spisak tabela Tabela 4.2.1.1 Fazna razlika vrednosti 59,9° između dva realna sinusna signala učestanosti 53 Hz, broj uzoraka u periodi 18, dobijena primenom algoritama 3PSF, 4PSF, 7PSF, UQDE4, MSAL4, UQDE5, MSAL5 na ceo broj perioda signala ............65 Tabela 4.2.2.1 Vrednosti uzoraka jedne periode napona u1(t), koeficijenti osetljivosti i merna nesigurnost uB u skladu sa GUM, primer sa 18 uzoraka u periodi napona ........................................................................................................................................ 72 Tabela 4.2.2.2 Vrednosti uzoraka jedne periode napona u2(t), koeficijenti osetljivosti i merna nesigurnost uB u skladu sa GUM, primer sa 18 uzoraka u periodi signala ........................................................................................................................................ 72 Tabela 4.2.2.3 Standardne merne nesigurnosti tipa A za uzorke dva napona, primer sa 18 uzoraka u periodi napona .......................................................................................... 74 Tabela 4.2.2.4 Kombinovane merne nesigurnosti za uzorke napona, primer sa 18 uzoraka u periodi napona ............................................................................................... 75 Tabela 4.2.2.5 Vrednosti uzoraka jedne periode napona u1(t), u2(t), u′1(t) i u′2(t) iz kojih se izračunava fazna razlika koristeći algoritam MSAL ................................................. 76 Tabela 4.2.2.6 Detaljan proračun merne nesigurnosti rezultata za faznu razliku između dva napona određena primenom algoritma MSAL za r = 4 i r = 5, primer sa 18 uzoraka u periodi ......................................................................................................................... 80 Tabela 4.2.2.7 Rezultati za faznu razliku između dva napona određeni primenom algoritma MSAL, rezultati za bias i proširena merna nesigurnost, u zavisnosti od xvii uvedenog faznog kašnjenja dodatnih signala, primer sa 18 uzoraka u periodi ........................................................................................................................................ 81 Tabela 4.2.3.1 Budžet merne nesigurnosti za direktno merenje fazne razlike 59,9° između dva napona etalonom tip SD1000 ..................................................................... 85 Tabela 4.3.1 Vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala određeni primenom algoritama UQDE50, MSAL50, 3PSF, 4PSF i 7PSF; broj uzoraka u periodi signala 200 ......................................................................................................................90 Tabela 4.3.2 Rezultati za faznu razliku 10° između dva realna sinusna signala, broj uzoraka u periodi signala 200, dobijeni koristeći MSAL algoritam primenjen na ceo broj perioda signala, kada su dodatni signali fazno pomereni za 1, 6, 10, 15, 25, 30, 40, 49, 50, 51, 65, 73, 75, 85, 89, 97, 98, 110, 150, 190 uzoraka .............................................. 94 Tabela 4.3.3 Vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala sa 200 uzoraka u periodi signala, u zavisnosti od broja uzoraka koji ne odgovara celom broju perioda signala; primenjeni algoritmi UQDE30, MSAL30, MSAL49, MSAL50 i MSAL51 ....................................................................................................................... 95 Tabela 4.3.4 Rezultati za faznu razliku 10° između dva napona određeni primenom algoritma MSAL na 19 perioda napona u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja dodatnih signala, primer sa 200 uzoraka u periodi signala ............................................ 96 Tabela 4.4.1 Vrednosti fazne razlike 63° između dva realna sinusna signala učestanosti 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od broja uzoraka signala koji odgovara približno celom broju perioda signala ..........................................................105 Tabela 4.4.2 Razlike između vrednosti fazne razlike 63° koje su određene primenom algoritma MSAL kada se koristi količnik q/p i algoritma MSAL kada se koristi količnik fo/fs, za bilo koji broj uzoraka signala ..........................................................................105 xviii Oznake i skraćenice ϕ Fazna razlika između dva signala – Phase difference between two signals ϕ1, ϕ2, θ Početna faza signala – The initial phase of signal ψ Fazni pomeraj dodatnog signala – Phase delay of introduced signal Δϕ Greška fazne razlike – Error of phase difference Δψ Greška faznog pomeraja – Error of phase delay u1(t), u2(t) Električni napon – Voltage Uk (kTs) Srednja vrednost k-tog uzorka napona – The mean value of voltage sample k Ueff Efektivna (rms) vrednost signala – Effective (rms) value of signal uS (t) Napon šuma izvora signala – Noise of source of signal usn (t) Napon šuma uzorkovanja DSV – Sampling noise of DSV wn (t) Napon belog Gausovog šuma – White Gaussian noise voltage ε Relativna greška – Relative error f0 Učestanost (frekvencija) signala – Frequency of signal fs Učestanost (frekvencija) uzorkovanja – Sampling frequency ω Ugaona učestanost (frekvencija) signala – Angular frequency of signal σ Standardna devijacija – Standard deviation σ 2 Varijansa (kvadrat standardne devijacije) – Variance (squared standard deviation) ci Koeficijent osetljivosti – The sensitivity coefficient U Proširena merna nesigurnost – Expanded uncertainty ξ, ζ Vektor parametara – Parameters vector Np Broj uzoraka u periodi signala – Number of samples in period of signal N Ukupan broj uzoraka – Total number of samples T Operacija transponovanja – Mathematical transpose xix T0 Perioda signala – Signal period Ts Vreme uzorkovanja signala – Sampling time Ti Vreme integraljenja signala – Integration time t Vreme – Time i Broj iteracije – Iterration number SNR Odnos signal šum – Signal to Noise Ratio E Procena – Estimate PDF Funkcija gustine verovatnoće – Probability density function MSE Srednja kvadratna greška – Mean Squared Error ADC Analogno digitalni konvertor - Analog to Digital Converter IADC Analogno-digitalni konvertor sa integraljenjem – Integrating Analog to Digital Converter DAC Digitalno-analogni konvertor – Digital to Analog Converter DSV Digitalni sempling voltmetar – Digital Sampling Voltmeter MSAL Modifikovan jednostavan algoritam - Modified simple algorithm SAL Jednostavan algoritam - Simple algorithm UQDE Nepristrasan (centriran) estimator kvadraturnog kašnjenja - Unbiased quadrature delay estimator QDE Estimator kvadraturnog kašnjenja - Quadrature delay estimator 3PSF Fitovanje 3 parametara sinusoide - Three parameters sinus fitting 4PSF Fitovanje 4 parametara sinusoide - Four parameters sinus fitting 7PSF Fitovanje 7 parametara dve sinusoide - Seven parameters sinus fitting DFT Diskretna Furijeova transformacija - Discrete Fourier transform DTFT Diskretna Furijeova transformacija u vremenskom domenu - Discrete Time Fourier transform ML Maksimalna verodostojnost – Maximum Likelihood LP Linearna predikcija – Linear prediction CRB Kramer Rao granica – Cramer Rao bound JCGM Zajednički komitet za uputstva u metrologiji – Joint Committee for Guides in Metrology GUM Uputstvo za izražavanje nesigurnosti u merenju – Guide to the expression of uncertainty in measurement xx MCM Monte Karlo metod – Monte Carlo method CMC Mogućnosti etaloniranja i merenja – Calibration and Measurement Capabilities NMI Nacionalni metrološki institut – National Metrological Institute 1 Glava 1 Uvod Fazni ugao je jedna od veličina u klasifikaciji Međunarodnog biroa za tegove i mere (engl. International Bureau of Weights and Measures – BIPM), za koju se objavljuju mogućnosti etaloniranja i merenja (engl. Calibration and Measurement Capabilities – CMCs) nacionalnih metroloških instituta (NMI) pojedinih država. CMCs se objavljuju na sajtu BIPM [1.1], pošto ih je prethodno odobrilo Evropsko udruženje nacionalnih metroloških instituta (engl. European Association of National Metrology Institutes – EURAMET) i druge regionalne metrološke organizacije (engl. Regional metrological organizations – RMOs). Iz podataka trenutno objavljenih na sajtu BIPM, CMCs su date za opseg merenja faznog ugla od 0° do 360°, za vrednosti naizmeničnog električnog napona od 10 mV do 350 V, učestanosti od 1 Hz do 100 kHz, sa proširenom mernom nesigurnošću 0,001° do 1,68° za nivo poverenja 95 %. U standardu SRPS EN 8000-6:2010. koji se odnosi na veličine i jedinice, u delu Elektromagnetizam [1.2] definisani su pojmovi početna faza, faza i fazna razlika, na sledeći način: • sinusna varijacija u vremenu, električne struje predstavlja se formulom: )cos(2 itIi ϕω −= , (1.1) 2 gde je i - trenutna vrednost struje, I - njena efektivna (rms) vrednost, (ω t - ϕi) je faza, ϕi je početna faza, ω je ugaona učestanost. • fazna razlika ϕ između napona u i električne stuje i: ( )utUu ϕω −= cosˆ , (1.2) )cos(ˆ itIi ϕω −= , (1.3) data je formulom: ϕ = ϕu - ϕi, (1.4) gde je ϕu - početna faza napona, ϕi - početna faza električne struje, u - trenutna vrednost napona, i - trenutna vrednost struje, Uˆ - vršna vrednost napona, Iˆ - vršna vrednost struje (ovde simbol ∧ označava vršnu vrednost). 1.1 Predmet istraživanja disertacije Fazni ugao opisuje svojstva električnih kola sa naizmeničnom električnom strujom. Njegovo merenje je važno u mnogim primenama kao što su: merenje aktivne i reaktivne električne snage i energije, faktora snage, određivanje kompleksnog odnosa izlaznog i ulaznog signala mernih pretvarača (delitelji napona i strujni šantovi), karakterizacija mernih transformatora, merenje harmonika u električnom naponu i struji, analiza pojačavača sa povratnom spregom, kola oscilatora i filtera [1.3 – 1.7]. Metode merenja fazne razlike između dva električna signala mogu biti direktne i indirektne [1.8 – 1.10]. Oprema koja se koristi pri indirektnom merenju fazne razlike unosi dodatni fazni pomeraj u merenje koji se mora poznavati i uzeti u obzir. Fazna razlika između dva električna signala, meri se na mnogo načina [1.3 – 1.6, 1.11 – 1.15]: osciloskopom, vektor voltmetrom, frekvencmetrom, sinhroskopima, fazmetrom sa ukrštenim kalemovima, etalonima faznog ugla, sistemima za uzorkovanje signala, metodom tri voltmetra, metodom heterodinovanja, fazno kontrolisanim petljama, merenjem faktora snage iz kojeg se zatim izračunava fazna razlika. 3 U nacionalnim metrološkim institutima (NMI) danas se fazna razlika meri koristeći: sistem za uzorkovanje signala (engl. sampling system), heterodinski merni sistem, merne mostove i metodu tri voltmetra [1.16 – 1.31]. Kada se fazna razlika između dva kontinualna sinusna signala meri tako da se kontinualni signal konvertuje u digitalni onda se koristi neki od algoritama za određivanje vrednosti fazne razlike iz uzoraka dva signala. Algoritam je formula ili komplet koraka za rešavanje određenog problema. Postoji mnogo algoritama za određivanje fazne razlike, a detaljnije su u ovoj disertaciji opisani • algoritmi QDE i UQDE na kojima je zasnovan novi izloženi algoritam, • algoritmi 3PSF, 4PSF i 7PSF zasnovani na fitovanju uzoraka merenog signala na idealnu sinusoidu, koji će biti primenjeni na uzorke realnih signala radi poređenja dobijenih rezultata za faznu razliku sa rezultatima dobijenim novim algoritmom, • odabrani algoritmi zasnovani na Furijeovoj transformaciji, maksimalnoj verodostojnosti i linearnoj predikciji. Neki od navedenih algoritama zahtevaju obimno izračunavanje tako da nisu od interesa za praktične primene gde se traži brzo određivanje fazne razlike. Važne karakteristike estimatora faznog ugla, su: pristrasnost (bias, necentriranost), varijansa, standardna devijacija i srednja kvadratna greška (engl. mean squared error – MSE) [1.32 – 1.33]. Pokazuje se da je procena faznog ugla sinusnog signala uvek pristrasna [1.33], posebno u uslovima kada je odnos signal-šum mali i/ili kad je mali broj uzoraka signala. Pristrasnost procene faznog ugla sinusnog signala i varijansa se mogu smanjiti ako se poveća broj uzoraka signala. U disertaciji se polazi od hipoteze da je potrebno odrediti faznu razliku između dva realna sinusna signala koji nemaju pomeraj (engl. offset) usled jednosmenog napona. Korišćenjem uzoraka dva originalna signala, uvode se dodatni signali koji su fazno pomereni za π/2 u odnosu na originalne signale. Testira se hipoteza da je izborom faznog pomeraja dodatnih signala moguće dobiti vrednost fazne razlike između dva originalna sinusna signala koristeći samo po dva uzorka svakog signala (algoritam nazvan SAL), a takođe i da se koristeći nešto složeniju formulu može odrediti sa znatno manjom greškom vrednost fazne razlike ukoliko uzorci dodatnih signala nisu fazno 4 pomereni za π/2 u odnosu na originalne signale, već imaju proizvoljan fazni pomeraj (algoritam nazvan MSAL). Rezultati za faznu razliku određeni primenom algoritma MSAL na uzorke dodatnih signala koji imaju proizvoljan fazni pomeraj u odnosu na originalne signale, biće približno jednaki rezultatima dobijenim u slučaju kada dodatni signali imaju fazni pomeraj π/2. Algoritmi QDE i UQDE mogu da se koriste za određivanje fazne razlike samo ako su dodatni signali fazno pomereni za π/2, a ako to nije slučaj algoritmi daju pogrešne rezultate. Sinusno fitovanje signala je algoritam u kojem se razmatra najmanja kvadratna greška (engl. least square error – LSE) zasnovana na razlici između uzoraka merenog signala i uzoraka idealnog sinusnog signala. Sinusni signal se karakteriše sa 3 parametra: amplituda, učestanost i faza ili sa 4 parametra: DC komponenta, amplituda, učestanost i faza. Koriste se: sinusno fitovanje 3 parametra (3PSF) ili 4 parametra (4PSF) jednog sinusnog signala, i sinusno fitovanje 7 parametara dva sinusna signala (7PSF). Kada treba odrediti faznu razliku između dva sinusna signala tada se na svaki sinusni signal posebno primeni algoritam 3PSF ili 4PSF i odredi početna faza svakog signala. Zatim se na osnovu tako dobijenih rezultata izračuna fazna razlika između dva sinusna signala. Algoritam istovremenog fitovanja sedam parametra dva sinusna signala (7PSF) primenjuje se istovremeno na oba signala a kao rezultat fitovanja dobije se fazna razlika između ta dva signala. Za izračunavanje fazne razlike za N uzoraka dva signala koristi se i diskretna Furijeova transformacija (DFT). Fazna razlika između osnovnih harmonika dva signala se određuje kao razlika faza DFT osnovnih harmonika dva signala. Kod sinusnog signala postoji samo jedna spektralna linija ako je uzorkovan ceo broj perioda signala. U slučaju asinhronog uzorkovanja, za obradu uzoraka signala koriste se dodatno prozorske funkcije i interpolacija. Za izračunavanje fazne razlike dva signala u vremenskom domenu koristi se DTFT (engl. Discrete-Time Fourier Transform) signala. Procena početne faze sinusnog signala koristeći maksimalnu verodostojnost (engl. Maximum Likelihood – ML) dobije se rešavanjem veoma nelinearne jednačine. U literaturi su predloženi postupci za određivanje faze sinusnog signala koristeći ML zasnovani na Newton-Raphson metodi. 5 U disertaciji su prikazani uzorci dva realna sinusna signala dobijeni koristeći sistem za uzorkovanje signala. Na uzorke realnih signala primenjeni su postojeći algoritmi opisani u literaturi i novi algoritam za određivanje fazne razlike izložen u disertaciji i upoređeni su dobijeni rezultati. Analizirana je primenjivost, prednosti, nedostaci i merna nesigurnost rezultata određivanja fazne razlike koristeći novi algoritam. Uz izmerenu vrednost veličine danas se obavezno daje i merna nesigurnost te vrednosti. Merna nesigurnost (nesigurnost merenja, nesigurnost), definiše se kao parametar koji nije negativan, koji karakteriše rasipanje vrednosti koje se pripisuju merenoj veličini na osnovu upotrebljenih informacija [1.8 – 1.10]. Postoji međunarodni dogovor o načinu izražavanja merne nesigurnosti rezultata merenja [1.34 – 1.45]. 1.2 Organizacija disertacije Disertacija je organizovana po poglavljima na sledeći način: Poglavlje 1 je uvod u kojem je ukratko opisan značaj merenja fazne razlike, dostignuti rezultati u merenju fazne razlike u nacionalnim metrološkim institutima koristeći različite metode merenja, navedeni algoritmi za određivanje fazne razlike iz uzoraka realnih sinusnih signala opisani u literaturi, objašnjen razlog uvođenja novog algoritma MSAL i navedena organizacija disertacije. Poglavlje 2 sadrži kratak pregled u oblasti istraživanja i sastoji se iz tri dela: • u delu 2.1 dat je opis mernih sistema koji se danas koriste za dobijanje uzoraka realnih sinusnih signala i načini uzorkovanja sinusnih signala, obzirom da se novi algoritam koristi za određivanje fazne razlike iz uzoraka sinusnih signala; • u delu 2.2 date su osnovne informacije o estimatoru faznog ugla sinusnog signala i pregled algoritama QDE i UQDE na kojima je zasnovan novi algoritam; • u delu 2.3 dat je kratak sadržaj uputstava Zajedničkog komiteta za uputstva u metrologiji (JCGM) za procenu merne nesigurnosti rezultata merenja. 6 Poglavlje 3 sadrži opis algoritma SAL, razvoj novog algoritma MSAL, koji se koriste za određivanje fazne razlike iz uzoraka sinusnih signala, kao i opis i rezultate simulacija izvedenih u cilju validacije ovih algoritama. Poglavlje 4 prikazuje rezultate primene različitih algoritama na uzorke realnih signala u cilju određivanja fazne razlike između dva sinusna signala i poređenje rezultata za faznu razliku dobijenih primenom algoritma MSAL sa rezultatima dobijenim primenom drugih algoritama. Razmatrani su primeri kada je broj uzoraka u periodi signala deljiv sa 4, kada nije deljiv sa 4 i kada količnik učestanosti uzorkovanja i učestanosti signala nije ceo broj. Procenjena je merna nesigurnost rezultata za faznu razliku između dva sinusna signala određenu primenom novog algoritma MSAL. Merna nesigurnost je procenjena primenom Uputstva za izražavanje merne nesigurnosti rezultata merenja (GUM) [1.34]. Vrednosti za faznu razliku između dva sinusna signala dobijene primenom novog algoritma i procenjena merna nesigurnost tih rezultata upoređeni su sa rezultatima dobijenim koristeći etalon koji ima metrološku sledivost u cilju validacije metode. Poglavlje 5 sadrži zaključak i završne komentare. U prilogu A date su informacije o jedinicama za merenje fazne razlike: radijan i stepen. U prilogu B dat je pregled algoritama sa kojima je upoređen novi algoritam predložen u disertaciji i odabranih algoritama iz literature koji se koriste za određivanje fazne razlike iz uzoraka sinusnih signala (zasnovanih na Furijeovoj transformaciji, maksimalnoj verodostojnosti i linearnoj predikciji). U prilogu C dat je kratak pregled metoda koje se danas koriste u oblasti etaloniranja etalona faznog ugla u nacionalnim metrološkim institutima. 7 Glava 2 Pregled u oblasti istraživanja U ovom poglavlju dat je kratak pregled u oblasti istraživanja, i to: • kratak pregled mernih sistema koji koriste DSV (engl. digital sampling voltmetar) za uzorkovanje dva sinusna signala između kojih treba odrediti faznu razliku, a koji se danas koriste u nacionalnim metrološkim institutima (NMI), • opis algoritama QDE i UQDE za određivanje fazne razlike iz uzoraka sinusnih signala, jer je na osnovu algoritma UQDE razvijen novi algoritam MSAL, i • pregled načina procene merne nesigurnosti rezultata merenja u skladu sa uputstvima JCGM (engl. Joint Committee for Guides in Metrology). Pregled drugih algoritama za određivanje fazne razlike iz uzoraka sinusnih signala iz literature i to onih sa kojima će biti upoređen novi algoritam izložen u disertaciji i odabranih algoritama, dat je u prilogu B. 8 2.1 Uzorkovanje dva sinusna signala u mernim sistemima sa DSV Novi algoritam prikazan u ovoj disertaciji koristi uzorke dva sinusna signala za izračunavanje fazne razlike između ta dva signala. U literaturi je opisano korišćenje različitih strategija uzorkovanja signala. S obzirom na vremenske razmake u kojima se uzimaju uzorci, uzorkovanje može biti uniformno i neuniformno. Kod uniformnog uzorkovanja signala vreme između svaka dva uzorka signala je isto, a što nije slučaj kod neuniformnog uzorkovanja signala. S obzirom na sinhronizaciju merenog signala i signala trigera (engl. trigger) koji započinje uzorkovanje signala, uzorkovanje može biti sinhrono i asinhrono. Sinhrono uzorkovanje odnosi se na uzorkovanje signala koji je fazno spregnut sa učestanošću uzorkovanja. Asinhrono uzorkovanje odnosi se na uzorkovanje signala koji nije fazno spregnut sa učestanošću uzorkovanja. Asinhronim se smatra i uzorkovanje signala ako se uzorci dva signala ne uzorkuju sa istom učestanošću uzorkovanja, što je slučaj u mernim sistemima koji imaju dva nezavisna časovnika koji kontrolišu uzorkovanje pojedinih kanala. Definiše se koherentno uzorkovanje periodičnog signala [2.28 – 2.29] koje podrazumeva da broj uzetih uzoraka signala odgovara celom broju ciklusa signala, a pri tom broj uzoraka signala i broj ciklusa signala nemaju zajedničke faktore. Kod koherentnog uzorkovanja zadovoljena je sledeća jednačina: NfMfs ⋅=⋅ 0 (2.1.1) gde su: fs – učestanost uzorkovanja signala; M – ceo broj ciklusa signala; f0 – učestanost signala; i N – broj uzoraka signala, a M i N su uzajamno prosti brojevi. 9 Kod asinhronog uzorkovanja, u slučaju da je učestanost uzorkovanja mnogo veća od učestanosti signala, broj uzoraka signala može da se izabere tako da se postigne kvazikoherentno uzorkovanje [2.25]. Slika 2.1.1 Asinhrono uzorkovanje dva sinusna signala. Na slici 2.1.1 prikazano je istovremeno asinhrono uzorkovanje dva sinusna signala [1.25, 2.8]. Na slici γ označava fazni ugao uzorka, N je ukupan broj uzoraka signala koji su uzeti u razmatranje, ϕ je fazna razlika između dva signala a δ je razlika između celog broja perioda signala označenog 2πc i intervala sabiranja označenog N γ. Kada se istovremeno uzorkuju dva signala iste učestanosti, a uzorkovanje nije sinhronizovano sa učestanošću signala, pri određivanju fazne razlike iz uzoraka signala dolazi do greške odsecanja (engl. truncation error) [1.25]. Na slici 2.1.1 prikazana je jedna perioda signala u kojoj se uzima N uzoraka signala. Može se izvesti jednačina za relativnu grešku odsecanja ε za rms vrednost signala [2.8]: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= sstart s f fT f fN πδω π δε 22cos 2sin sin 2 1 , (2.1.2) 10 gde je: N – broj uzoraka signala, f – učestanost signala, fs – učestanost uzorkovanja (fs = 1/Ts), Tstart – početak merenja, ω – ugaona učestanost signala, δ – ugao odsecanja. Pri tom važi relacija γ = ωTs = 2π ⋅ f / fs, i za početni ugao α = ωTstart. Sa slike 2.1.1 je: γπδ ⋅−= Nc2 , (2.1.3) gde je: c – ceo broj, u ovom slučaju c = 1, Nγ – interval sabiranja koji ne odgovara celom broju perioda signala. U idealnom slučaju je cN πγ 2=⋅ . (2.1.4) Da bi se smanjila greška usled odsecanja signala, iz jednačine (2.1.2) je očigledno da treba smanjiti δ i povećati broj uzoraka N. Greška je funkcija početka merenja Tstart što daje mogućnost da se izborom vremena početka merenja smanji greška [2.8]. Ideja je da se kod svakog sledećeg ciklusa uzorkovanja menja početna faza i na taj način smanji greška odsecanja. Da bi se iz uzoraka signala mogao potpuno rekonstruisati vremenski kontinualan signal mora biti zadovoljena Nikvistova (Nyquist), teorema koja glasi: vremenski kontinualan signal može se potpuno rekonstruisati iz svojih uzoraka samo ako je učestanost uzorkovanja bar dva puta veća od najviše učestanosti u spektru signala. Ova teorema se naziva još i Šenonova (Shannon) ili Koteljnikova teorema. 2.1.1 Šeme mernih sistema koji koriste DSV za uzorkovanje dva sinusna signala Za uniformno uzorkovanje dva signala u NMIs danas se koriste digitalni sempling voltmetri (DSV) tip 3458A, Agilent [1.23 – 1.29 , 2.2 – 2.11] koji imaju analogno- digitalni konvertor sa funkcijom integraljenja (IADC). Ovaj instrument se može koristiti 11 za merenje signala učestanosti od 0,01 Hz do 1 kHz, efektivne vrednosti napona od 10 mV do 700 V, kada je izobličenje merenog napona do 1%. Na slikama 2.1.1.1 do 2.1.1.4 su date blok šeme mernih sistema, iz literature, za uniformno uzorkovanje signala koje se koriste za određivanje fazne razlike između električnog napona i struje. Prikazani su sledeći načini uzorkovanja signala: • slika 2.1.1.1: sinhrono uzorkovanje dva signala, kod kojeg DSV radi sa sopstvenom vremenskom bazom, a signal za triger DSV1 i DSV2 u cilju uzimanja uzoraka signala je spregnut (engl. locked) sa vremenskom bazom izvora signala [1.28], • slika 2.1.1.2: sinhrono generisanje i uzorkovanje dva signala koristeći jedan DSV1 [1.23, 2.7, 2.10], kod kojeg je takt iz časovnika IADC sempling voltmetra DSV1 koji uzorkuje signal, spojen hardverski sa generatorom signala u kojem se koristi kao njegov interni takt, a signal za triger DSV1 je izveden iz generatora signala, • slika 2.1.1.3: asinhrono uzorkovanje dva signala, kod kojeg se koristi spoljašnji triger za DSV1 i DSV2 nezavisno od učestanosti signala iz izvora [1.24 – 1.25], tako da ne postoji sinhronizacija između časovnika koji se koristi za uzorkovanje signala i ulaznih signala, • slika 2.1.1.4: voltmetri DSV1 i DSV2 su u „master-slave“ konfiguraciji. DSV1 (engl. master) je trigerovan interno a zatim se koristi da trigeruje drugi voltmetar DSV2 (engl. slave) koji je konfigurisan za spoljašnje trigerovanje, tako da uzorkuje mereni signal samo kada DSV1 pošalje digitalni signal trigerskom ulazu DSV2 [2.11]. Kašnjenje između dva DSV mora se poznavati i korigovati rezultat za faznu razliku. Uzorkovanje je asinhrono. Ovi merni sistemi se koriste za uzorkovanje signala u opsegu učestanosti do 200 Hz u kojem se ostvaruje merenje napona sa najmanjom mernom nesigurnošću [2.9]. DSV1 i DSV2 imaju IADC velike rezolucije, koji radi na principu tehnike integraljenja sa više nagiba (engl. multi-slope-integration) [2.5 – 2.6]. U mernim sistemima za uzorkovanje signala DSV1 i DSV2 se koriste u „DCV sampling“ načinu rada [2.3]. 12 Slika 2.1.1.1 Blok šema mernog sistema sa dva DSV za sinhrono uzorkovanje električnog napona i struje (triger za signale fazno spregnut za napon iz izvora). Slika 2.1.1.2 Blok šema mernog sistema sa jednim DSV za sinhrono generisanje i uzorkovanje električnog napona i struje, i preklopnikom signala. 13 Slika 2.1.1.3 Blok šema mernog sistema sa dva DSV za asinhrono uzorkovanje električnog napona i struje, sa istovremenim spoljašnjim trigerovanjem DSV1 i DSV2. Slika 2.1.1.4 Blok šema mernog sistema sa dva DSV za asinhrono uzorkovanje električnog napona i struje, DSV1 – „ master“, DSV2 – „slave“. 14 Uzorci napona iz DSV1 i DSV2, prenose se u računar gde se obrađuju koristeći neki od algoritama opisanih u poglavlju 2.2 i prilogu B ili novi algoritam MSAL opisan u poglavlju 3. Za uzorkovanje dva signala mogu da se koriste dva DSV kao što je prikazano na slikama 2.1.1.1, 2.1.1.3 i 2.1.1.4, a može da se koristi preklopnik signala (engl. signal switch) i samo jedan DSV koji naizmenično uzorkuje jedan zatim drugi signal, slika 2.1.1.2. Na slikama 2.1.1.1, 2.1.1.3 i 2.1.1.4 električni napon iz izvora signala priključen je na delitelj napona a izlaz iz delitelja napona priključen je na ulaz digitalnog sempling voltmetra koji uzima uzorke električnog napona. Umesto otporničkog delitelja napona u nekim šemama se koristi naponski merni transformator. Na istim slikama električna struja iz izvora priključena je na ulaz strujnog šanta a naponski izlaz strujnog šanta priključen je na ulaz drugog digitalnog sempling voltmetra koji uzima uzorke tog električnog napona. Umesto otporničkog strujnog šanta u nekim šemama se koristi strujni merni transformator sa šantom. U mernim sistemima za uzorkovanje signala prikazanim na slikama 2.1.1.1 do 2.1.1.4, vrednost izlaznog napona iz delitelja napona treba da je približno jednaka naponu koji se dobije na strujnom šantu, da bi se oba DSV koristila za merenje na istom mernom opsegu i time postiglo da merna nesigurnost merenja fazne razlike bude manja. Kada se umesto izvora napona, struje i faznog ugla koristi izvor dva napona sa mogućnošću zadavanja fazne razlike između njih, onda se u šemama na slikama 2.1.1.1 do 2.1.1.4 umesto strujnog šanta upotrebljava još jedan delitelj napona. Na slici 2.1.1.5 prikazan je princip uzorkovanja dva signala koji koristi šemu predstavljenu na slici 2.1.1.2 sa jednim DSV, tako da se najpre uzimaju uzorci 8 perioda jednog napona a zatim 8 perioda drugog napona, sa učestanošću 16 uzoraka po periodi što je ukupno 256 uzoraka [1.23]. U daljoj obradi uzoraka odbacuju se prve tri periode svakog signala, i obrađuje se samo po 5 perioda oba signala. 15 Slika 2.1.1.5 Princip uzorkovanja jednog a zatim drugog signala istim DSV. 2.1.2 Matematički model DSV Kod proračuna merne nesigurnosti rezultata merenja, polazi se od matematičkog modela merenja [1.37]. U slučajevima koji se razmatraju u ovoj disertaciji najpre treba odrediti mernu nesigurnost pojedinih uzoraka signala, a zatim mernu nesigurnost fazne razlike određene iz uzoraka signala koristeći dati algoritam. Na slici 2.1.2.1 ilustrovan je princip sinhronog uzorkovanja idealnog sinusnog signala u mernom sistemu koji koristi analogno-digitalni konvertor sa funkcijom integraljenja (IADC) [2.10]. Uzorci merenog signala prikazani su na rastojanju Ts jedan od drugog na vremenskoj osi. Vrednost svakog uzorka dobije se tako da se integrali mereni napon za vreme Ti. Vreme integraljenja Ti se bira što je moguće duže [2.10, 2.16]. Napon koji IADC uzorkuje u jednakim intervalima vremena Ts obeležen je na slici 2.1.2.1 sa u(t). Uzorkovani napon Uk, u trenutku kTs gde je k ceo broj, predstavlja srednju vrednost napona u(t) u vremenu integraljenja Ti [2.10]. Na slici 2.1.2.1 krug na liniji 2Ts predstavlja srednju vrednost napona U3 koja je dobijena integraljenjem napona u(t) u vremenu od 2Ts do 2Ts + Ti. 16 Slika 2.1.2.1 Ilustracija tehnike uzorkovanja sinusnog signala u mernom sistemu koji koristi IADC. Matematički model IADC koji uzorkuje idealni sinusni napon u(t) u trenutku vremena kTs dat je jednačinom [2.10]: [ ] ( ) ( )[ ] ( )tudttutuUUAbsTU sn TkT kT sFS k RESLIN GREF JTii k JTiiJTss JTss +∫ +⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+++++= +++ + εε ε εεεεε 1 1 , (2.1.2.1) gde su: Uk – uzorkovani napon u trenutku vremena kTs; εREF – odstupanje internog referentnog DC napona IADC od idealne vrednosti; εG – odstupanje pojačanja A = (1 + εG) ulaznog pojačavača IADC u zavisnosti od Ti; εLIN – odstupanje od linearnosti IADC dato u odnosu na kraj opsega UFS, koje obuhvata efekte usled diferencijalne i integralne nelinearnosti; εRES – odstupanje usled rezolucije u zavisnosti od Ti dato u odnosu na UFS; UFS – opseg DSV na kojem se meri; εJTs – odstupanje Ts ili džiter vremena uzorkovanja; εJTi – odstupanje Ti ili džiter vremena integraljenja; us(t) – šum izvora signala; usn(t) – šum uzorkovanja DSV. 17 Apsolutna vrednost napona Abs[Uk] uzorka dobije se uz pretpostavku da su vrednosti svih parametara iz formule (2.1.2.1) jednake nuli, odnosno εREF = εG = εLIN =εRES = εJTs = εJTi = 0. Svako odstupanje od idealnih vrednosti internog referentnog dc napona (εREF) i pojačanja (εG) IADC imaće uticaj na izmerenu vrednost svakog uzorka signala Uk, što znači da postoji korelacija između uzoraka povezana sa εREF i εG. U odnosu na ostale slučajne promenljive može se smatrati da su uzorci signala nekorelisani. a) Doprinosi grešci merenja amplitude signala u mernim sistemima sa IADC 1) Interni referentni DC napon Odstupanje internog referentnog DC napona DSV od idealne vrednosti jednako je zbiru sledećih komponenti [2.16]: ( )ambCDCdDCREF TT −++= εεεε , (2.1.2.2) gde su: εDC - odstupanje internog referentnog DC napona od vrednosti spoljašnjeg etalona DC napona, εDCd - drift internog referentnog DC napona u toku određenog vremena, i εC (T - Tamb) - proizvod temperaturnog koeficijenta internog referentnog DC napona i razlike između temperature ambijenta na kojoj se vrše merenja i nominalne specificirane temperature ambijenta. 2) Vreme integraljenja IADC Zbog vremena integraljenja (Ti), rms vrednost signala na ulazu u DSV posle uzorkovanja je različita od rms vrednosti originalnog signala čija je perioda To. Ova greška se može korigovati [2.10, 2.40] deljenjem sa vrednošću: sinc (πTi/To) = sin (π Ti/To) / (πTi/To). 18 3) Propusni opseg IADC Različiti merni opsezi za napon jednog istog DSV, imaju različite propusne opsege učestanosti. Analogni ulaz DSV deluje kao jednopolni filtar propusnik niskih učestanosti i doprinosi faznom pomeraju. To je sistematska greška koja se može korigovati. Procena efektivne vrednosti električnog napona iz MNp uzoraka, gde je Np broj uzoraka u periodi, M broj perioda signala učestanosti f0 sa periodom T0 = 1/f0, data je formulom: ( ) ∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + = = p 1 2 p 0 2 1 sinc / 11 MN k k i c eff UMN T T ff U π , (2.1.2.3) gde je f – učestanost signala, fc je učestanost odsecanja filtra koja za DSV tip 3458A, Agilent iznosi 150 kHz za opsege merenja 1 V i 10 V i 30 kHz za opsege merenja 100 V i 1000 V. 4) Šum uzorkovanja (engl. sampling noise) signala koji u merenje unosi upotreba DSV sa IADC dat je formulom [2.16]: 26 001,081,010 FS i sn UT U ⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛⋅= − (2.1.2.4) gde je UFS vrednost opsega napona DSV u voltima, Ti vreme integraljenja IADC u sekundama, Usn napon šuma u mikrovoltima [μV]. b) Doprinosi grešci merenja fazne razlike u mernim sistemima sa dva IADC Kada se u sistemu za merenje fazne razlike koriste dva IADC, onda treba voditi računa o uticajima: razlike vremena integraljenja dva DSV, različitih propusnih opsega dva DSV i različitih kašnjenja trigera dva DSV. 19 1) Uticaj razlike vremena integraljenja dva DSV Kada se za merenje dva električna napona koriste istovremeno dva DSV, postoji razlika vremena integraljenja dva DSV, označena Ti1 i Ti2 , koja unosi grešku u merenje fazne razlike [1.28, 2.17]: 2,12,1 AAaperture tΔ=Δ ωεϕ , (2.1.2.5) gde su: Δ tA1,A2 = (Ti1 /2) – (Ti2 /2) razlika apertura dva DSV, i ω – kružna učestanost merenog signala. 2) Uticaj različitih propusnih opsega dva DSV Kada se dva napona mere na dva različita opsega jednog DSV razlika grešaka faznog ugla koja nastaje usled različitih propusnih opsega može se izračunati prema formuli: 2121 2,1 arctanarctan BWBWBWBW BW f f f f f f f f −≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛=Δ ϕε , (2.1.2.6) gde učestanosti fBW1, fBW2 označavaju različite gornje granice širine dva propusna opsega, a f je učestanost merenog signala koja treba da je znatno manja od gornje granice širine propusnog opsega, f << fBW1, fBW2. Ista formula (2.1.2.6) se koristi i za određivanje greške faznog ugla koja nastaje usled različitih propusnih opsega dva DSV koji se koriste na istom opsegu merenja. Propusni opseg multimetra tip 3458A, Agilent za opseg merenja napona 10 V, ima vrednost 140 kHz do 160 kHz. 3) Uticaj različitih kašnjenja trigera dva DSV Padajuća ivica signala za uzorkovanje trigeruje DSV da uzme uzorak merenog signala. Postoji interno kašnjenje trigera u DSV pre nego mereni signal bude integraljen. DSV pamti rezultat merenja i čeka sledeći triger. Vrednost uzorka memorisana u DSV predstavlja srednju vrednost merenog analognog signala za vreme Ts. Ova srednja vrednost odnosi se na centar uzorka. Jedan DSV unosi u merenje faznog ugla grešku datu formulom: 20 Dtrigger tωεϕ = , (2.1.2.7) gde je: ω – ugaona učestanost merenog signala, tD – vreme kašnjenja signala trigera. Kada se za merenje dva električna napona koriste istovremeno dva DSV sa spoljašnjim trigerovanjem (EXT TRIG) signala, u merenje faznog ugla unosi se greška zbog vremena kašnjenja trigera, koja će dovesti do greške, prema formuli: 2,12,1 DDtrigger tΔ=Δ ωεϕ , (2.1.2.8) gde je: ω – ugaona učestanost merenog signala, ΔtD1,D2 – razlika vremena kašnjenja signala trigera za dva DSV. Razlika vremena kašnjenja signala trigera za dva multimetra tip 3458A, Agilent je 75 ns prema specifikaciji proizvođača. 2.1.3 Uticaj ostalih delova mernog sistema na rezultate merenja fazne razlike Na rezultate merenja fazne razlike dobijene koristeći navedene merne sisteme uzorkovanja signala, utiču: karakteristike izvora signala, delitelja napona, strujnog šanta, tehnika uzorkovanja i algoritam za obradu uzoraka signala. Neki od navedenih uticaja unose se kao korekcije a drugi doprinose ukupnoj mernoj nesigurnosti rezultata merenja fazne razlike [1.9]. Fazna razlika između električnog napona i struje, odnosno između dva električna napona, određuje se primenom nekog od algoritama, kao što su oni opisani u poglavljima 2.2, 3 i prilogu B, na uzorke signala. Tako određena vrednost fazne razlike koriguje se za poznate vrednosti faznih uglova koje unose delovi sistema za merenje (delitelj napona, strujni šant, merni transformator) i za neke uticaje IADC. Ako je uzorkovanje sinhronizovano sa učestanošću ulaznog signala [2.18], uzorci tog signala su korelisani. 21 Kada se istovremeno uzorkuju dva signala u1 i u2 iste učestanosti, a uzorkovanje nije sinhronizovano sa učestanošću signala, uzorci svakog signala posebno nisu korelisani (uzorci signala u1 nisu korelisani, uzorci signala u2 nisu korelisani) ali postoji korelacija između uzoraka dva signala u1 i u2. Delitelji napona U opisanim mernim sistemima za uzorkovanje signala koriste se otpornički ili induktivni delitelji napona [1.28 – 1.29, 2.12 – 2.13]. Otpornički delitelji napona napravljeni su od velikog broja otpornika da se minimizira snaga disipirana na svakom otporniku. Danas se prave otpornički delitelji napona, koji u merenje unose fazni pomeraj tipično 0,2 m° kada je učestanost merenog napona 60 Hz, odnosno 2 m° kad je učestanost 1500 Hz. Vrednost faznog ugla delitelja napona unosi se kao korekcija pri određivanju fazne razlike između napona i struje, odnosno između dva napona. Koriste se i induktivni delitelji napona koji takođe unose u merenje fazni pomeraj. Strujni šantovi U mernom sistemu za uzorkovanje signala koriste se otpornički strujni šantovi, bazirani na konstrukciji Mendeljejevog Instituta, St Petersburg [1.28 – 1.29, 2.13 – 2.15]. Danas se prave otpornički strujni šantovi koji unose u merenje fazni pomeraj približno 0,3 m° kada je učestanost merene struje 60 Hz i 13 m° kada je učestanost 1500 Hz [1.29]. Vrednost faznog ugla strujnog šanta unosi se kao korekcija pri određivanju fazne razlike između napona i struje. Fazni pomeraj koji u merenje unosi strujni šant, za niske učestanosti signala, može da se proceni prema sledećoj formuli: sh sh sh R Lωϕ =Δ , (2.1.3.1) gde je: Lsh - induktivnost šanta, Rsh - otpornost šanta, ω - ugaona učestanost merenog signala, ω = 2⋅π⋅f. Kod strujnih šantova treba voditi računa i o temperaturnoj zavisnosti otpornosti šanta, koja se menja u stanju kada kroz šant protiče struja u odnosu na stanje kada kroz 22 šant ne protiče struja. Nesigurnost rezultata merenja zbog te pojave procenjena je na 10 μΩ/Ω. Merni transformatori Umesto delitelja napona, u mernom sistemu sa uzorkovanjem signala učestanosti 50 Hz, koriste se i naponski merni transformatori, a umesto strujnih šantova koriste se i strujni merni transformatori [1.14]. Merni transformatori imaju amplitudnu i faznu grešku koje se moraju uzeti u obzir kada se merni transformatori koriste da prilagode mereni signal ulazu u DSV. Izvor signala Šum izvora signala potiče od harmonika, kvantizacije digitalno-analognog konvertora (DAC), šiljaka (engl. spikes) i gličeva (engl. glitches) na signalu, diferencijalne i integralne nelinearnosti (engl. differential and integral nonlinearity) DAC, vremenskog džitera časovnika, termičkog šuma i fliker šuma [2.10, 2.16]. Kratkotrajna stabilnost izvora signala mora se uzeti u obzir pri proračunu merne nesigurnosti rezultata merenja u slučaju kada se za uzorkovanje dva signala koristi samo jedan DSV, jer se tada uzorkuje naizmenično jedan zatim drugi signal, kao na slici 2.1.1.5. Faktor disipacije Faktor disipacije usled kapacitivnosti štampane ploče DSV uzima se u obzir samo za opsege voltmetra 100 V i 1000 V. Za niže opsege merenja napona 10 V i 1 V, ovaj uticaj može da se zanemari [1.28]. Kablovi Uticaj upletenih kablova dužine 30 cm, na ulazu u DVS, na rezultate merenja može da se zanemari za niske učestanosti signala. U cilju smanjenja merne nesigurnosti rezultata merenja fazne razlike koristi se i postupak međusobne zamene mesta DSV1 i DSV2, a vrednost fazne razlike se izračuna kao srednja vrednost rezultata dobijenih merenjem pre i posle zamene [1.24]. 23 2.2 Algoritmi QDE i UQDE U literaturi je opisano mnogo algoritama za određivanje fazne razlike između dva sinusna signala sa šumom [2.19 – 2.37]. U ovom poglavlju ukratko su izloženi algoritam QDE (engl. quadrature delay estimator) i algoritam UQDE (engl. unbiased quadrature delay estimator). Novi algoritam MSAL opisan u ovoj disertaciji izveden je polazeći od algoritma UQDE. Algoritmi QDE i UQDE [2.19 – 2.20] primenjeni su za rešavanje problema određivanja faznog kašnjenja jednog sinusnog signala primljenog na dva različita mesta, čiji su uzorci uzeti u diskretnim vremenskim intervalima. Takav problem pojavljuje se u mnogim oblastima kao što su sonar, radar, biomedicina i ultrazvučna dijagnostika. 2.2.1 Estimator faznog ugla sinusnog signala Da bi odredili estimator početne faze θ diskretizovanog sinusnog signala sa aditivnim šumom dobijenog uniformnim uzorkovanjem signala, polazi se od jednačine [1.32, 1.33]: [ ] [ ] [ ]nwnfAnx ++= θπ 02cos , (2.2.1.1) gde je: n = 1, 2, ... , N broj uzoraka signala; A – amplituda signala; f0 – učestanost signala; θ – početna faza signala i w[n] beli Gausov šum sa varijansom σ2. Važne karakteristike svakog estimatora parametra su: necentriranost (pristrasnost, pomerenost, bias), (engl. bias), varijansa, standardna devijacija i srednja kvadratna greška (engl. mean squared error – MSE) [1.32 – 1.33]. Necentriranost B estimatora početne faze θˆ definiše se jednačinom: ( ) ( ) θθθ −= ˆˆ EB , (2.2.1.2) 24 gde je θˆ – estimator početne faze, E - matematičko očekivanje i θ - prava vrednost početne faze sinusnog signala. Ako je B(θˆ ) = 0 onda je estimator početne faze centriran (nepristrasan). Pokazuje se da je procena početne faze sinusnog signala sa šumom uvek necentrirana [1.33], posebno u uslovima kada je odnos signal-šum mali i/ili kada je mali broj uzoraka signala. Varijansa estimatora θˆ definiše se kao matematičko očekivanje E dato formulom: { } { }( ){ }2ˆˆˆvar θθθ EE −= . (2.2.1.3) Standardna devijacija estimatora θˆ definiše se kao kvadratni koren iz varijanse. Srednja kvadratna greška MSE [1.32 – 1.33] estimatora θˆ definiše se kao matematičko očekivanje dato formulom: { } ( ){ }2ˆˆ θθθ −= EMSE . (2.2.1.4) Može se pokazati da važi sledeći odnos između MSE, varijanse i necentriranosti procene estimatora početne faze θˆ : { } { } ( )θθθ ˆˆvarˆ 2BMSE += . (2.2.1.5) Minimalna MSE u nekim slučajevima postiže se u uslovima kada postoji necentrirana procena, a ne u uslovima kada je procena centrirana [1.33]. Kramer-Rao granica (engl. Cramér–Rao bound CRB) ili Kramer-Rao donja granica (engl. Cramér–Rao lower bound CRLB) je donja granica varijanse parametra. Pod pretpostavkom da funkcija gustine verovatnoće (engl. probability density function PDF) signala x zadovoljava uslov da je: ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ θ θ;ln xpE = 0, za svako θ, (2.2.1.6) 25 gde je E – matematičko očekivanje, p (x; θ) funkcija gustine verovatnoće signala x u zavisnosti od parametra θ, a ln je prirodni logaritam, tada varijansa centriranog estimatora θˆ zadovoljava granicu: ( ) ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂− ≥ 2 2 ;ln 1ˆvar θ θθ xpE . (2.2.1.7) Za signal dat jednačinom (2.2.1.1) kada su poznati parametri amplituda i učestanost a nepoznati parametar je početna faza θ koju treba proceniti iz uzoraka merenja x[n], klasičan način izvođenja Kramer-Rao granice (CRB) za varijansu estimatora početne faze je sledeći [1.33]: • uzorci merenja x[n] imaju funkciju gustine verovatnoće (PDF) datu formulom: ( ) ( ) [ ] ( )[ ] ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∑ +−−= − = 21 0 022/2 2cos 2 1exp 2 1; N n N nfAnxxp θπσπσθ ; (2.2.1.8) • prirodni logaritam jednačine (2.2.1.8) je: ( ) ( ) [ ] ( )[ ]21 0 02 2 2cos 2 1ln 2 2ln 2 );(ln ∑− = +−−−−= N n nfAnxNNxp θπσσπθ ; (2.2.1.9) • jednačina (2.2.1.9) se diferencira po θ , dobije se: [ ] ( )[ ] ( ) [ ] ( ) ( )∑ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+−= +∑ +−−=∂ ∂ − = − = 1 0 002 0 1 0 02 24sin 2 2sin 2sin2cos1);(ln N n N n nfAnfnxA nfAnfAnxxp θπθπσ θπθπσθ θ ; (2.2.1.10) • drugi izvod jednačine (2.2.1.9) po θ jednak je: [ ] ( ) ( )[ ]∑ +−+−=∂ ∂ − = 1 0 0022 2 24cos2cos);(ln N n nfAnfnxAxp θπθπσθ θ ; (2.2.1.11) • negativna očekivana vrednost (Fišerova informacija) I(θ) data je jedačinom: 26 ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2 2 1 0 002 2 1 0 00 2 2 2 2 2 2 24cos24cos 2 1 2 1 24cos2cos;ln σθπθπσ θπθπσθ θθ NAnfnfA nfAnfAAxpEI N n N n ≈⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−++= +−+=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂−= ∑ ∑ − = − = ; (2.2.1.12) s obzirom da je ( ) 024cos1 1 0 0 ≈+∑−= N n nf N θπ ; (2.2.1.13) uz uslov da vrednost f0 nije blizu 0 ili ½. Sledi iz formula (2.2.1.7) i (2.2.1.12) da je: ( ) SNRN ⋅≥ 1ˆvar θ , (2.2.1.14) gde je SNR odnos signal šum, SNR = A2/2σ2. Iz formule (2.2.1.14) zaključuje se da ne postoji estimator početne faze sinusnog signala datog jednačinom (2.2.1.1) koji je centriran i koji dostiže CRB. U slučaju kada je broj uzoraka signala veliki, postiže se asimptotska CRB. 2.2.2 Algoritam QDE U literaturi [2.19] razmatraju se dva realna kontinualna sinusna signala sa šumom opisana jednačinama: ( ) ( ) ( )twtAtx 1011 cos ++= θω , (2.2.2.1) ( ) ( ) ( )twtAtx 2022 cos +−+= ϕθω . (2.2.2.2) Kada se uzorkuju ova dva signala sa periodom uzorkovanja Ts, mogu se opisati jednačinama: 27 ( ) ( ) ( )sss kTwkTAkTx 1011 cos ++= θω , (2.2.2.3) ( ) ( ) ( )sss kTwkTAkTx 2022 cos +−+= ϕθω , (2.2.2.4) gde je k = 0, 1, ... , N-1; nepoznate amplitude signala su A1 i A2; poznata ugaona učestanost je ω0 u radijanima; θ je nepoznata početna faza; ϕ je fazno kašnjenje između dva sinusna signala; w1 i w2 označavaju nekorelisan beli Gausov šum čija je srednja vrednost jednaka nuli; Ts označava periodu uzorkovanja i N je broj uzoraka svakog od dva signala. Zadatak je da se odredi fazno kašnjenje ϕ između signala x1(kTs) i x2 (kTs). QDE algoritam koristi komponente u fazi i kvadraturi faze (pomerene za π/2) jednog signala. Za signal x1(kTs) komponente u fazi su date jednačinom (2.2.2.3), a komponente u kvadraturi faze sledećom jednačinom: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )ss sss TkwkTA TkwTkATkx Δ−++= Δ−++Δ−=Δ− 101 1011 sin cos θω θω , (2.2.2.5) gde je k - Δ = 0, 1, ... , N-1, pri čemu je Δ pozitivan ceo broj (engl. positive integer) uz uslov da je s 02 T⋅Δ=ω π , što se može postići izborom vremena uzorkovanja signala Ts. Komponenta signala sa fazom pomerenom za π/2 može se jednostavno generisati vremenskim pomeranjem signala za Δ uzoraka. Za izračunavanje estimatora faznog kašnjenja QDE koristi se formula: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 2 1arctanˆ m m QDE Q Qϕ , (2.2.2.6) gde su ( )( ) ( )sN k sm kTxTkxN Q 2 1 11 1 ⋅∑ Δ−Δ−= − Δ= , (2.2.2.7) ( ) ( )sN k sm kTxkTxN Q 2 1 12 1 ⋅∑Δ−= − Δ= , (2.2.2.8) srednje vrednosti proizvoda uzoraka dva signala. 28 Matematička očekivanja za Qm1 i Qm2 data su jednačinama: { } ( ) ( ) ( )∑ −+Δ−+= − Δ= 1 0 21 1 22sin2 sin N k sm kTN AAQE ϕθωϕ , (2.2.2.9) { } ( ) ( ) ( )∑ −+Δ−+= − Δ= 1 0 21 2 22cos2 cos N k sm kTN AAQE ϕθωϕ . (2.2.2.10) Iz jednačina (2.2.2.9) i (2.2.2.10) vidi se da se očekivane vrednosti { }1mQE i { }2mQE približavaju vrednosti sinϕ odnosno cosϕ, respektivno, kada N teži beskonačnosti. Kada je broj uzoraka konačan, drugi članovi u jednačinama (2.2.2.9) i (2.2.2.10) doprinosiće da procena fazne razlike bude necentrirana (pristrasna). Rezultati dobijeni koristeći algoritam QDE su necentrirani čak i kada jednačine (2.2.2.3) i (2.2.2.4) nemaju šum. Necentriranost (pristrasnost) procene u opšem slučaju opada kada se N povećava. 2.2.3 Algoritam UQDE U literaturi [2.20] predloženo je poboljšanje algoritma QDE tako da se koriste komponente u fazi i kvadraturi faze za oba signala x1(kTs) i x2 (kTs) koji su definisani jednačinama (2.2.2.3) i (2.2.2.4). Koristeći iste oznake kao za QDE algoritam, definišu se nove veličine: ( ) ( )( )sN k sm TkxkTxN Q Δ−⋅∑Δ−= − Δ= 2 1 13 1 , (2.2.3.1) ( )( ) ( )( )sN k sm TkxTkxN Q Δ−⋅∑ Δ−Δ−= − Δ= 2 1 14 1 , (2.2.3.2) koje predstavljaju srednje vrednosti proizvoda uzoraka signala. 29 Estimator faznog kašnjenja UQDE dobije se koristeći komponente Qm1, Qm2, Qm3 i Qm4 definisane jednačinama (2.2.2.7), (2.2.2.8), (2.2.3.1) i (2.2.3.2) tako da se dobije jednačina: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + −= 42 31arctanˆ mm mm UQDE QQ QQϕ . (2.2.3.3) Matematička očekivanja za Qm3 i Qm4 data su jednačinama: { } ( ) ( ) ( )∑ −+Δ−+−= − Δ= 1 0 21 3 22sin2 sin N k sm kTN AAQE ϕθωϕ , (2.2.3.4) { } ( ) ( ) ( )∑ −+Δ−−= − Δ= 1 0 21 4 22cos2 cos N k sm kTN AAQE ϕθωϕ . (2.2.3.5) Iz jednačina (2.2.3.4) i (2.2.3.5) vidi se da se očekivane vrednosti { }3mQE i { }4mQE približavaju vrednosti (- sinϕ), odnosno cosϕ, respektivno, kada N teži beskonačnosti. Ako je uslov s 02 T⋅Δ=ω π zadovoljen, onda je procena fazne razlike dobijena koristeći algoritam UQDE centrirana (nepristrasna). Asimptotska Cramer-Rao granica za UQDE Pretpostavljajući da je odnos signal šum SNR za oba signala predstavljena jednačinama (2.2.2.3) i (2.2.2.4) identičan, asimptotska vrednost Kramer-Rao granice CRB za UQDE estimator faznog kašnjenja između dva sinusna signala sa šumom, data je izrazom [2.20]: ( ) SNRN CRB UQDE ⋅= 2ϕˆ . (2.2.3.6) 30 2.3 Procena merne nesigurnosti prema uputstvima JCGM Zajednički komitet za uputstva u metrologiji (engl. Joint Committee for Guides in Metrology – JCGM) formirale su sledeće međunarodne organizacije, 1997. godine: • Međunarodni biro za tegove i mere (fr. Bureau International des Poids et Measures – BIPM), • Međunarodna elektrotehnička komisija (engl. International Electrotechnical Commission – IEC), • Međunarodna federacija kliničke hemije i medicinskih laboratorija (engl. International Federation of Clinical Chemistry and Laboratory Medicine – IFCC), • Međunarodna saradnja laboratorija za akreditaciju (engl. International Laboratory Accreditation Cooperation – ILAC), • Međunarodna organizacija za standardizaciju (engl. International Organization for Standardization – ISO), • Međunarodna unija za čistu i primenjenu hemiju (engl. International Union of Pure and Applied Chemistry – IUPAC), • Međunarodna unija za čistu i primenjenu fiziku (engl. International Union of Pure and Applied Physics – IUPAP), i • Međunarodna organizacija za zakonsku metrologiju (engl. International Organization of Legal Metrology – OIML). Zadatak komiteta je da promoviše upotrebu Uputstva za izražavanje merne nesigurnosti rezultata merenja i Međunarodnog rečnika osnovnih i opštih pojmova i pridruženih termina u metrologiji i da pripremi dodatna upustva. Međunarodno prihvaćena uputstva za procenu merne nesigurnosti danas, su: • JCGM 100:2008 Uputstvo za izražavanje nesigurnosti u merenju (GUM) [1.37], • JCGM 101:2008 Dodatak 1 GUM - Prostiranje raspodela koristeći metodu Monte Karlo [1.35], 31 • JCGM 102:2011 Dodatak 2 GUM – Primena na bilo koji broj izlaznih veličina [1.36], • JCGM 104:2009 Uvod u GUM i dokumente povezane sa njim [1.38], • JCGM 106:2012 Uloga merne nesigurnosti u ocenjivanju usaglašenosti (engl. conformity assesment) [1.45]. Trenutno JCGM priprema sledeća uputstva: • Dodatak 3 GUM – Modelovanje i • Vrednovanje mernih podataka – Primena metode najmanjih kvadrata. Svetska saglasnost o oceni i izražavanju merne nesigurnosti treba da doprinese da se smisao rezultata merenja u nauci, tehnici, trgovini, industriji i pri izradi propisa lako razume i pravilno tumači. Jedinstven metod za ocenjivanje i izražavanje nesigurnosti u čitavom svetu, omogućava da se merenja izvršena u različitim zemljama mogu lako da uporede. Klasičan pristup polazi od pretpostavke da merenjem određujemo pravu vrednost merene veličine i njene greške, koje mogu biti slučajne ili sistematske prirode. Obzirom da je praktično nemoguće odrediti pravu vrednost merene veličine, zbog nesavršenosti samog merenja i predmeta koji se meri, novi pristup razmatra interval u kojem se sa određenom verovatnoćom ta vrednost nalazi. Rezultat merenja je procena vrednosti merene veličine i on je kompletan tek kada mu je pridružen iskaz o nesigurnosti te procene. Pretpostavlja se da je rezultat merenja korigovan za sve značajne sistematske efekte. 2.3.1 Procena merne nesigurnosti u skladu sa GUM Uputstvo za izražavanje nesigurnosti u merenju (engl. „Guide to the expression of uncertainty in measurement“ - GUM) [1.34, 1.37, 1.40] bavi se izražavanjem merne nesigurnosti dobro definisanih fizičkih veličina koje se mogu opisati jedinstvenom 32 vrednošću. Ovo uputstvo se takođe primenjuje za određivanje i izražavanje merne nesigurnosti pridružene misaonom oblikovanju i teorijskoj analizi eksperimenata, metoda merenja i kompleksnih komponenata i sistemima. U praksi postoji mnogo mogućih izvora nesigurnosti u merenju, kao što su: nepotpuna definicija merene veličine, nereprezentativno uzorkovanje, nedovoljno poznavanje delovanja uslova okoline na merenje, lična pristrasnost u očitavanju analognih instrumenata, konačna rezolucija instrumenta, vrednosti konstanti i etalona koje nisu egzaktne, aproksimacije i pretpostavke uključene u metodu merenja, varijacije u ponovljenim opažanjima merene veličine u očigledno identičnim uslovima. GUM pruža opšta pravila za ocenu i izražavanje nesigurnosti u merenju а zasnovan je na sledećim osnovnim konceptima: • saznanje o bilo kojoj veličini, koja utiče na merenu veličinu je nepotpuno i može da se izrazi pomoću funkcije gustine verovatnoće (engl. probability density function - PDF) za vrednosti veličine zasnovane na tom saznanju, • očekivanje (očekivana vrednost) te PDF se uzima kao najbolja procena vrednosti veličine, • standardna devijacija te PDF se uzima kao standardna nesigurnost pridružena proceni, • PDF je zasnovana na saznanju o merenoj veličini koje potiče od ponovljenih merenja i naučnog prosuđivanja zasnovanog na svim dostupnim informacijama o merenoj veličini. Ovde je dat kratak pregled osnovnih pojmova iz GUM [1.34]. Matematički model merenja transformiše niz ponovljenih opažanja u rezultat merenja. Uz opažanja on obično uključuje i različite uticajne veličine koje nisu tačno poznate. Kada se merena veličina Y ne meri direktno već se određuje iz N drugih veličina NXX ,...,1 , preko funkcije f, model merenja se predstavlja jednačinom: Y = f (X1, ..., XN). (2.3.1.1) Nesigurnost rezultata merenja, sastoji se od više komponenti koje se, u zavisnosti od načina na koji se procenjuju njihove brojčane vrednosti, mogu da grupišu u dve 33 kategorije: A - one koje se ocenjuju statističkim metodama i B - one koje se ocenjuju na druge načine. Ako se merenje ponavlja, onda se iz statističke raspodele rezultata serije merenja dobija eksperimentalna standardna devijacija. To je ocena standardne merne nesigurnosti tipa A. Uz vrednost ocene merne nesigurnosti tipa A uvek se daje broj stepeni slobode. Ocena standardne merne nesigurnosti tipa B je metoda ocenjivanja merne nesigurnosti na osnovu svih dostupnih informacija kao što su: podaci o prethodnim merenjima, iskustvo, specifikacije proizvođača, uverenje o etaloniranju. Te komponente merne nesigurnosti se takođe mogu okarakterisati standardnom devijacijom na osnovu pretpostavljenih (a priori) raspodela verovatnoće. Procenjena standardna devijacija pridružena proceni izlazne veličine y, naziva se kombinovana standardna nesigurnost i označava se uc(y). Kombinovana standardna nesigurnost jednaka je pozitivnom kvadratnom korenu kombinovane varijanse dobijene iz svih komponenata varijanse i kovarijanse korišćenjem zakona prostiranja nesigurnosti. Proširena nesigurnost U je veličina koja definiše interval oko rezultata merenja za koji može da se očekuje da obuhvata veliki deo raspodele vrednosti koje opravdano mogu da se pripišu merenoj veličini. Taj deo može da se posmatra kao verovatnoća obuhvata ili nivo poverenja za taj interval. Faktor obuhvata/prekrivanja k je brojčani faktor kojim se množi kombinovana standardna nesigurnost uC(y) da bi se dobila proširena nesigurnost. Faktor prekrivanja k obično ima vrednost između 2 i 3. Koristi se jednačina: ( )yukU C⋅= . (2.3.1.2) U najvećem broju slučajeva, najbolja procena xi očekivane vrednosti veličine, koja se menja na slučajan način, za n nezavisnih merenja (opažanja), koja su dobijena pod istim uslovima, je aritmetička sredina x tih merenja [1.34]: ∑= = n i ixn x 1 1 (2.3.1.3) 34 Eksperimentalna standardna devijacija merenja (opažanja) za niz od n ponovljenih merenja iste merene veličine je veličina, koja karakteriše disperziju (rasipanje) rezultata merenja i data je formulom [1.34]: s = 1 )( 1i 2 i − −∑ = n xx n , (2.3.1.4) gde je xi rezultat i-tog merenja, a x je aritmetička sredina n razmatranih rezultata. Eksperimentalna standardna devijacija srednje vrednosti je veličina, koja karakteriše disperziju (rasipanje) aritmetičke sredine x niza ponovljenih merenja iste merene veličine i data je izrazom [1.34]: xs n s= . (2.3.1.5) U cilju dobijanja zakona prostiranja nesigurnosti koristi se Tejlorov (Taylor) razvoj prvog reda jednačine (2.3.1.1). Smatra se da su članovi višeg reda Tejlorovog razvoja zanemarljivi. Ako ulazne veličine nisu korelisane, izraz za kombinovanu varijansu rezultata merenja dat je jednačinom: ( ) ( )iN i i xu x fyu 2 1 2 2 c ∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= = (2.3.1.6) gde su: y - najbolja procena izlazne veličine Y; f – funkcija data jednačinom (2.3.1.1); Nxxx ,...,, 21 su procene ulaznih veličina. Parcijalni izvodi u jednačini (2.3.1.6) nazivaju se koeficijenti osetljivosti i označavaju sa ci. Koeficijenti osetljivosti opisuju kako procene y variraju sa promenama vrednosti procena ulaza x1, x2, ... , xN. Kada je nelinearnost funkcije f značajna, moraju se uključiti članovi višeg reda u Tejlorov razvoj u izrazu 2.3.1.6. Kad je raspodela za svako Xi simetrična u odnosu na njenu srednju vrednost, najvažniji članovi sledećeg najvišeg reda koje treba dodati članovima jednačine (2.3.1.6) su 35 )()( 2 1 22 2 3 2 2 11 ji jiiji N j N i xuxu xxx f xx f ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ∂∂ ∂ ∂ ∂+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂ ∂∑∑ == . (2.3.1.7) Kada su ulazne veličine korelisane, odgovarajući izraz za kombinovanu varijansu uc 2 (y) pridružen rezultatu merenja je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅∂∂∑ ∑ ∂∂+∑ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= − = +== jiCjij N i N ij i i N i i xxrxuxu x f x fxu x fyu ,2 1 1 1 2 1 2 2 c (2.3.1.8) gde su xi i xj procene veličina Xi i Xj a rC(xi, xj) je koeficijent korelacije. Stepen korelacije između xi i xj se karakteriše procenjenim koeficijentom korelacije: ( ) ( ) ( )ji jijiC xuxu xxu xxr , ),( = , (2.3.1.9) gde su: u(xi, xj)= u(xj, xi) procenjena kovarijansa pridružena xi i xj; rC(xi, xj) = rC(xj,xi), i -1 ≤ rC(xi,xj) ≤ +1. Ako su procene xi i xj nezavisne, tada je rC(xi, xj)=0. Jednačina (2.3.1.6) i njoj odgovarajuća jednačina (2.3.1.8) za korelisane ulazne veličine, bazirane su na aproksimaciji prvog reda Tejlorovog reda za funkciju Y=f(X1, X2, ..., XN) i nazivaju se zakon prostiranja nesigurnosti. Efektivni broj stepeni slobode effν , koji se koristi pri određivanju faktora obuhvata, izračuna se iz Velč - Satervajtove (Welch-Satterwaite) formule [1.34]: ( ) ( ) , 1 4 4 c ff ∑ = = N i i i e v yu yuv (2.3.1.10) gde je: uC - kombinovana merna nesigurnost; νi - broj stepeni slobode; ( ) ( )iii xucyu = ; ci - koeficijent osetljivosti. Ukoliko rezultati merenja imaju sistematsku grešku (bias), rezultati merenja se koriguju za vrednost te sistematske greške. Postoje slučajevi kada to nije pogodno te je dozvoljeno bias uračunati u proširenu mernu nesigurnost [GUM t. 6.3.1, F.2.4.5]. Mora se naznačiti na koji način je bias uračunat u proširenu mernu nesigurnost [4.7]. 36 2.3.2 Dodatak 1 GUM Dodatak 1 GUM [1.35] bavi se prenosom (rasprostiranjem) raspodela verovatnoće preko matematičkog modela merenja kao osnove za određivanje vrednosti nesigurnosti i njenu primenu metodom simulacije Monte Karlo. Taj postupak se primjenjuje na model koji ima bilo koji broj ulaznih veličina i jednu izlaznu veličinu. Dodatak 1 GUM razmatra nezavisne ulazne veličine kojima su pripisane odgovarajuće PDF i na veličine koje nisu nezavisne kada je nekima ili svima pripisana zajednička funkcija gustine verovatnoće (engl. joint PDF). Tipični problemi određivanja merne nesigurnosti na koje se može primeniti Dodatak 1 GUM su: • nije podesno da se odrede parcijalni izvodi modela merenja koji su neophodni u primeni zakona prostiranja nesigurnosti, • merne nesigurnosti ulaznih veličina nemaju približno isti doprinos, • PDF za ulazne veličine su asimetrične, • PDF za izlaznu veličinu nije Gausova ili skalirana i pomerena t – raspodela, • procena izlazne veličine i njoj pripisana standardna nesigurnost su približno iste vrednosti, • komplikovani modeli merenja. Glavne faze određivanja nesigurnosti izlazne veličine u Dodatku 1 GUM [1.35, tačka 5.1] su formulisanje, prostiranje i prikazivanje u sažetom obliku, a realizuju se na sledeći način: a) u fazi formulisanja: 1) definisanje izlazne veličine Y odnosno veličine koju treba izmeriti, 2) određivanje ulaznih veličina NXX ,...,1 od kojih zavisi izlazna veličina, 3) razvoj modela koji pokazuje zavisnost izlazne veličine od ulaznih veličina, 4) na osnovu dostupnog znanja pripisivanje vrednostima ulaznih veličina odgovarajuće funkcije gustine verovatnoće (PDF), b) u fazi prostiranja: realizacija prostiranja funkcija gustine verovatnoće slučajnih veličina Xi kroz model da bi se dobila funkcija gustine verovatnoće slučajne veličine Y, 37 c) u fazi prikazivanje u sažetom obliku: funkcija gustine verovatnoće izlazne veličine Y koristi se da se odredi: njeno matematičko očekivanje, standardna devijacija i interval obuhvata/pokrivanja koji sadrži vrednost izlazne veličine sa specificiranom verovatnoćom. Prostiranje raspodela može se realizovati na nekoliko načina [1.35, tačka 5.4.1]: • analitičkim metodama, tj. metodama koje daju matematički prikaz funkcije gustine verovatnoće izlazne veličine; • prostiranjem nesigurnosti koje se zasniva na zameni modela aproksimacijom prvog reda razvoja u Tejlorov red – zakon prostiranja nesigurnosti; • kao u prethodnoj stavci osim što su u aproksimaciju razvojem u Tejlorov red uključeni doprinosi izvedeni iz članova višeg reda; • numeričkim metodama koje se primenjuju za prostiranje raspodela, posebno upotrebom metode Monte Karlo. Metoda Monte Karlo (MCM), kao primena prostiranja raspodela, za unapred zadati broj M, realizuje se na sledeći način [1.35, tačka 5.9.6]: 1) izabere se broj Monte Karlo pokušaja M; 2) generiše se M vektora N ulaznih veličina uzorkovanjem iz odgovarajućih funkcija gustine verovatnoće; 3) za svaki takav vektor odredi se odgovarajuća vrednost modela Y čiji je rezultat M vrednosti modela; 4) dobijene vrednosti koriste se da se dobije gustina raspodele za vrednost izlazne veličine, koja se koristi za određivanje procene vrednosti izlazne veličine njene standardne nesigurnosti i intervala obuhvata/prekrivanja vrednosti izlazne veličine za dogovorenu vrednost verovatnoće pokrivanja p. Broj Monte Karlo simulacija (pokušaja) M može se izabrati na dva načina: 1) a priori, ili 2) koristiti postupak koji određuje M adaptivno. A priori se bira broj simulacija (engl. trials) tako da je bar 104 puta veći od 1/(1-p), gde je p verovatnoća [1.35, tačka 7.2]. Koristi se i adaptivni Monte Karlo postupak u kojem se broj simulacija povećava dok se ne postigne da je dvostruka vrednost standardne devijacije rezultata za izlaznu 38 veličinu manja od dozvoljene numeričke tolerancije pridružene standardnoj nesigurnosti izlazne veličine [1.35, tačka 7.9]. Metoda Monte Karlo se koristi i za validovanje rezultata za mernu nesigurnost dobijenih primenom GUM (koristi se i termin GUM okvir nesigurnosti) [1.35, tačka 8.1]. Porede se rezultati za interval obuhvata dobijeni primenom GUM i metode Monte Karlo u granicama dogovorenog numeričkog odstupanja. Ako poređenje da zadovoljavajuće rezultate onda se za slične probleme proračuna merne nesigurnosti može koristiti GUM. Ako poređenje ne daje zadovoljavajuće rezultate tada treba razmotriti korišćenje metode Monte Karlo ili drugog pristupa. PRNG (engl. pseudo-random numbers generator) za neku raspodelu može da se dobije iz njene funkcije raspodele zajedno sa korišćenjem generatora pravougaone raspodele [1.35, tačka C]. Svaki upotrebljeni PRNG treba da zadovoljava uslove [1.35, tačka C.3.2]: • da ima dobre statističke karakteristike [2.38 – 2.39], • da se može lako realizovati u bilo kojem programskom jeziku, • da daje iste rezultate za ista ispitivanja na bilo kojem računaru. 2.3.3 Dodatak 2 GUM Osim modela merenja koji imaju jednu izlaznu veličinu, u GUM su dati i primeri modela sa više izlaznih veličina [1.34, aneks H]. U Dodatku 2 GUM [1.36] razmatraju se modeli merenja koji imaju više izlaznih veličina. Takve veličine su u opštem slučaju korelisane jer zavise od zajedničkih ulaznih veličina. Ulazne ili izlazne veličine u modelu mogu biti realne ili kompleksne. Ovakvi modeli se mogu tretirati na tri načina: analitički, primenom aproksimacije prvog reda razvoja modela u Tejlorov red ili primenom metode Monte Karlo na prostiranje raspodela [1.36, tačka 5.6.1]. Broj Monte Karlo simulacija M može se izabrati na dva načina: 39 1) a priori [1.36, tačka 7.2], ili 2) koristiti postupak koji određuje M adaptivno [1.36, tačka 7.8]. Osim intervala obuhvata [1.36, tačka 3.23], u Dodatku 2 GUM definišu se i novi pojmovi: oblast obuhvata (engl. coverage region) [1.36, tačka 3.24] i najmanja oblast obuhvata (engl. smallest coverage region) [1.36, tačka 3.26]. 40 Glava 3 Novi algoritam za određivanje fazne razlike između sinusnih signala U ovom poglavlju izloženi su novi algoritmi SAL i MSAL za određivanje fazne razlike između dva sinusna signala sa aditivnim šumom [3.1 – 3.2]. Algoritmi su zasnovani na množenju uzoraka dva signala sa uzorcima dodatnih signala koji predstavljaju fazno pomerene uzorke originalnih signala. Izborom faznog kašnjenja dodatnih signala moguće je odrediti vrednost fazne razlike između dva originalna signala koristeći samo po dva uzorka svakog signala (algoritam SAL). Algoritam MSAL koristi nešto složeniju formulu za određivanje vrednost fazne razlike. Dva realna kontinualna sinusna signala sa aditivnim šumom ( )tu1 i ( )tu2 bez DC pomeraja mogu da se opišu sledećim jednačinama: ( ) ( ) ( )twtUtu 11011 sin ++= ϕω , (3.1) ( ) ( ) ( )twtUtu 22022 sin ++= ϕω , (3.2) gde su 1U i 2U nepoznate amplitude signala; 0ω je poznata ugaona učestanost signala; 1ϕ i 2ϕ su nepoznate početne faze signala ϕ1, ϕ2 ∈[0, 2π]; ( )tw1 i ( )tw2 predstavljaju nekorelisan beli Gausov šum. 41 Zadatak je da se odredi fazna razlika ϕ između dva sinusna signala predstavljena jednačinama (3.1) i (3.2): 21 ϕϕϕ −= . (3.3) Signali ( )tu1′ i ( )tu2′ koji fazno kasne za signalima predstavljenim jednačinama (3.1) i (3.2) mogu da se opišu sledećim jednačinama: ( ) ( ) ( )twtUtu 'sin' 111011 +−+= ψϕω , (3.4) ( ) ( ) ( )twtUtu 'sin' 222022 +−+= ψϕω , (3.5) gde su ψ1 i ψ2 poznata fazna kašnjenja signala, ψ1 , ψ2 ∈ (0, 2π), ( )tw '1 i ( )tw '2 predstavljaju fazno pomeren šum ( )tw1 i ( )tw2 , respektivno. Definišemo ( )tma i ( )tmr kao zbir i razliku sledećih proizvoda signala opisanih jednačinama (3.1), (3.2), (3.4) i (3.5): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tututututma '' 2121 ⋅+⋅= , (3.6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).2121 tututututmr ⋅′−′⋅= (3.7) Razvoj formule za ma (t) Kada se u jednačinu (3.6) zamene jednačine (3.1), (3.2), (3.4) i (3.5) dobije se jednačina: ( ) ( ) ( ) ( ) ).(sinsin sinsin)( 22011021 201021 twttUU ttUUtm a a +−+−++ +++= ψϕωψϕω ϕωϕω (3.8) Primenom trigonometrijske formule za proizvod sinusa dva ugla α i β koja glasi [3.3]: ( ) ( )[ ]βαβαβα +−−= coscos 2 1sinsin , (3.9) 42 na jednačinu (3.8) dobije se sledeća jednačina: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ).2cos2cos 2 coscos 2 21210210 21 212121 21 twttUU UUtm a a +−−+++++− −+−−+−= ψψϕϕωϕϕω ψψϕϕϕϕ (3.10) Na jednačinu (3.10) mogu da se primene trigonometrijske formule za zbir kosinusa dva ugla α i β i za kosinus negativnog ugla, koje glase: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +=+ 2 cos 2 cos2coscos βαβαβα ; ( ) ( )αα coscos =− , (3.11) tako da se iz jednačine (3.10) dobije sledeća jednačina: ( ) ( )twtUU UUtm a a +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−++− −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−= 2 cos 2 2cos 2 cos 2 cos 2121 21021 1212 2121 ψψψψϕϕω ψψψψϕϕ . (3.12) Razvoj formule za mr (t) Kada se u jednačinu (3.7) zamene jednačine (3.1), (3.2), (3.4) i (3.5) dobije se sledeća jednačina: ( ) ( ) ( ) ( ) ).(sinsin sinsin)( 2201021 2011021 twttUU ttUUtm r r +−++− −+−+= ψϕωϕω ϕωψϕω (3.13) Primenom trigonometrijske formule (3.9) za proizvod sinusa dva ugla, iz jednačine (3.13) dobije se jednačina: 43 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ).2cos2cos 2 coscos 2 22101210 21 221121 21 twttUU UUtm r r +−++−−++− −+−−−−= ψϕϕωψϕϕω ψϕϕψϕϕ (3.14) Na jednačinu (3.14) mogu da se primene trigonometrijske formule za razliku kosinusa dva ugla α i β i za sinus negativnog ugla, koje glase: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=− 2 sin 2 sin2coscos βαβαβα ; ( ) ( )αα sinsin −=− , (3.15) tako da se iz jednačine (3.14) dobije sledeća jednačina: ( ) ( ) . 2 sin 2 2sin 2 sin 2 sin 1221 21021 2112 2121 twtUU UUtm r r +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+++ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−= ψψψψϕϕω ψψψψϕϕ (3.16) U jednačinama (3.12) i (3.16), wa(t) i wr(t) sadrže sve komponente šuma dobijene množenjem signala. Za nekorelisan beli Gausov šum srednje vrednosti ( )twa i ( )twr su jednake nuli. Ako su fazna kašnjenja dva signala jednaka, odnosno ako je: ψψψ == 21 , (3.17) jednačine (3.12) i (3.16) imaju sledeće oblike: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )twtUUUUtm aa +−++−−= ψψϕϕωϕϕ cos2coscos 210212121 , (3.18) ( ) ( ) ( ) ( )twUUtm rr +−= ψϕϕ sinsin 2121 , (3.19) pri čemu je πψ a≠ , a je ceo broj. U slučaju uzorkovanja signala koji su dati jednačinama (3.1) i (3.2) sa vremenom uzorkovanja Ts, dobiju se za ( )sa kTm i ( )sr kTm jednačine (3.18) i (3.19), izračunate u vremenskim intervalima skT , gde je k ceo broj, odnosno: 44 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sassa kTwkTUUUUkTm +−++−−= ψψϕϕωϕϕ cos2coscos 210212121 , (3.20) ( ) ( ) ( ) ( )srsr kTwUUkTm +−= ψϕϕ sinsin 2121 . (3.21) Jednačine (3.20) i (3.21) zavise, između ostalih parametara, i od uvedenog faznog kašnjenja ψ. 3.1 Algoritam SAL Ako se izabere da uvedeno fazno kašnjenje zadovoljava sledeći uslov: ( ) 2/1421 πψψψ +=== l , (3.1.1) gde je l ceo broj, dobiju se iz jednačina (3.20) i (3.21) sledeće jednačine: ( ) ( ) ( )sasa kTwUUkTm +−= 2121 cos ϕϕ , (3.1.2) ( ) ( ) ( )srsr kTwUUkTm +−= 2121 sin ϕϕ . (3.1.3) Za veliki odnos signal šum (SNR), iz jednačina (3.1.2) i (3.1.3), dobije se sledeća formula za faznu razliku ϕ između dva sinusna signala: ( ) ( )sa sr kTm kTmarctan21 ≈−= ϕϕϕ . (3.1.4) Iz jednačine (3.1.4) možemo zaključiti da su potrebni samo prvi uzorci oba signala i r-ti uzorci signala fazno pomerenih za za π/2, da se odredi fazna razlika između dva signala. Ovaj algoritam određivanja fazne razlike između dva signala koristeći samo po dva uzorka svakog signala, nazivamo jednostavan algoritam, ili kraće SAL (engl. simple algorithm) [3.1 – 3.2]. Uslov za primenu algoritma SAL Za vremenski diskretizovane signale, fazno kašnjenje dato formulom (3.1.1) može se 45 realizovati kašnjenjem uzorka signala tako da je: ( ) ( )sss rTkTukTu −= 11' , (3.1.5) gde je r ceo broj (engl. integer). Iz jednačina (3.4) i (3.1.5) za diskretizovane signale dobije se: ( ) ( )( ) ( )SSSSS kTwrTkTUrTkTu 11011 sin ′++−=− ϕω . (3.1.6) Kada se u jednačinu (3.1.5) uvrste jednačine (3.4) i (3.1.6) dobije se: ( ) ( ) ( )( ) ( )SSSSS kTwrTkTUkTwkTU 11011101 sinsin ′++−=′+−+ ϕωψϕω (3.1.7) Ako se u jednačini (3.1.7) izjednače argumenti u funkciji sin sa obe strane znaka jednakosti, dobije se: STr ⋅⋅= 0ωψ . (3.1.8) Za koherentno uzorkovanje signala, odnos između učestanosti signala f0 i učestanosti uzorkovanja fs dat je jednačinom (2.1.1), koju ovde pišemo: pfqf s ⋅=⋅ 0 . (3.1.9) gde je p broj uzoraka signala, q je broj perioda signala, uz uslov da su p i q pozitivni međusobno prosti brojevi. Kada se u jednačinu (3.1.9) uvrste formule za učestanost signala πω 2/00 =f i učestanost uzorkovanja fs = 1/Ts dobije se jednačina: p qTS πω 20 = . (3.1.10) Kada se jednačina (3.1.10) uvrsti u (3.1.8) dobije se: p qr πψ 2= . (3.1.11) Iz jednačina (3.1.1) i (3.1.11), dobije se: 46 ( ) q plr 4 14 += . (3.1.12) U jednačini (3.1.12), p mora biti deljivo sa 4, i (4l+1) mora biti deljivo sa q. Kada je šum zanemarljiv i kada postoji vrednost r koja zadovoljava uslov dat jednačinom (3.1.11), primena SAL za određivanje fazne razlike daje vrednost fazne razlike bez greške. Ako nije moguće izabrati vrednost r tako da zadovolji uslov dat jednačinom (3.1.11), onda uvedeno fazno kašnjenje dato jednačinom (3.1.12) nije jednako π/2, i postoji greška faznog kašnjenja 2/πψψ −=Δ . Izvori grešaka u algoritmu SAL Algoritam SAL dat jednačinom (3.1.4), bez komponenti šuma, ima dva izvora greške određivanja fazne razlike. Jedan izvor greške određivanja fazne razlike je druga komponenta u jednačini (3.20). Relativna greška određivanja komponente ma data je jednačinom: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ϕ ψψϕϕωε cos cos2cos ˆ ˆ 210 −++−=−= s sa sasa sa kT kTm kTmkTmkT , (3.1.13) gde je ( ) ( )ϕcosˆ 21UUkTm sa = . (3.1.14) Iz jednačine (3.1.13) se vidi da relativna greška ( )sa kTε , zavisi, između ostalih parametara, i od k, i ima srednju vrednost datu formulom ( )∑− = 1 0 1 N k sa kTN ε koja je približno jednaka nuli za veliki broj uzoraka N, ili je jednaka nuli kada je broj uzoraka N jednak proizvodu celog broja i broja uzoraka u periodi signala. Drugi izvor greške određivanja fazne razlike je komponenta ( )ψsin u jednačini (3.21). Relativna greška određivanja komponente mr data je formulom: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ψεψε =−= −= 1sin ˆ ˆ sr srsr sr kTm kTmkTmkT , (3.1.15) 47 gde je ( ) ( )ϕsinˆ 21UUkTm sr = . (3.1.16) Iz jednačine (3.1.15) se vidi da relativna greška ( )sr kTε zavisi samo od uvedenog faznog kašnjenja i ima konstantnu vrednost ψε . Kada se za određivanje fazne razlike koristi algoritam SAL, izraz za grešku [1.8] fazne razlike Δϕ dobije se na sledeći način, polazeći od formule: ϕϕϕ ˆ−=Δ kk , (3.1.17) gde je ϕk izmerena vrednost fazne razlike za uzorak kT, ϕˆ je referentna vrednost fazne razlike. Tangens fazne razlike može da se napiše prema trigonometrijskoj formuli za tangens razlike dva ugla [3.3] na sledeći način: ( ) ( ) ϕϕ ϕϕϕϕϕ ˆtantan1 ˆtantanˆtantan k k kk + −=−=Δ . (3.1.18) U formulu (3.1.17) uvrste se sledeće formule: ( ) ( ) ,ˆ ˆ arctanˆ sa sr kTm kTm=ϕ (3.1.19) ( ) ( )sa sr k kTm kTmarctan=ϕ . (3.1.20) Zatim se koriste formule (3.8), (3.1.13) i (3.1.14) i dobije se sledeća formula za grešku određivanja fazne razlike za algoritam SAL: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +++ −=−=Δ ϕεε εεϕϕϕϕ ψ ψ ˆtan11 ˆtan arctanˆ 2 sa sa kk kT kT . (3.1.21) 48 3.2 Algoritam MSAL Vrednost relativne greške fazne razlike ( )sa kTε data formulom (3.1.13) može se svesti na nulu za veliki broj uzoraka N, ili kada je broj uzoraka N jednak proizvodu celog broja i broja uzoraka u periodi signala, ali se vrednost relativne greške ( ) ψεε =sr kT date formulom (3.1.15) ne može svesti na nulu takvim izborom broja uzoraka N. Vrednost relativne greške fazne razlike može se svesti na nulu ako se umesto formula za ma(kTs) i mr(kTs) koriste sledeće formule za Ma(kTs) i Mr(kTs): ( ) ( )∑= − = 1 0 1 N k sasa kTmN kTM (3.2.1) ( ) ( ) ( )∑+= − = 1 01 1 N k sr r sr kTmN kTM ε (3.2.2) gde je N broj uzoraka, i taj broj treba da bude jednak celobrojnom umnošku broja uzoraka u periodi. Kada se u (3.2.1) uvrste jednačine (3.1.13) i (3.1.14) dobije se sledeća jednačina: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕ ε cos 1ˆ1ˆ1 21 1 0 1 0 1 0 UU kTw N kTmkT N kTm N kTM N k sa N k sasa N k sasa ≈ ∑+∑+∑= − = − = − = (3.2.3) Kada se u (3.2.2) uvrste jednačine (3.1.15) i (3.1.16) dobije se sledeća jednačina: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ϕε εεε sin 1 1 ˆ 1 1ˆ 1 1 21 1 0 1 0 1 0 UUkTw N kTmkT N kTm N kTM N k sr r N k srsr r N k sr r sr ≈∑++ +∑++∑+= − = − = − = (3.2.4) Iz jednačina (3.2.1) do (3.2.4) dobije se sledeći estimator za faznu razliku između dva sinusna signala: 49 ( ) ( ) ( )∑ ∑ − = − = +=−= 1 0 1 0 21 1 arctanˆ N k sar N k sr MSAL kTm kTm εϕϕϕ . (3.2.5) Ako se jednačine (3.1.11) i (3.1.15) uvrste u jednačinu (3.2.5), dobije se za estimator za faznu razliku sledeća jednačina: ( ) ( )∑ ∑ − = − = ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=−= 1 0 1 0 21 2sin arctanˆ N k sa N k sr MSAL kTm p rq kTm πϕϕϕ . (3.2.6) gde je (2πrq/p) ≠ aπ, za a = 0, 1, 2, ... Jednačinu (3.2.6) nazivamo MSAL (engl. modified simple algorithm) ili modifikovan jednostavan algoritam za određivanje fazne razlike između dva sinusna signala iste učestanosti. Kada se u jednačinu (3.2.6) uvrste jednačine (3.6) i (3.7) dobije se sledeći izraz za faznu razliku: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑ ∑ − = − = ′⋅′+⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⋅′−′⋅= 1 0 2121 1 0 2121 2sin arctanˆ N k ssss N k ssss MSAL kTukTukTukTu p rq kTukTukTukTu πϕ , (3.2.7) gde je (2πrq/p) ≠ aπ, za a = 0, 1, 2, ... Kada se fazna razlika između dva signala određuje koristeći formulu (3.2.6) nije potrebno poznavati učestanost signala ili učestanost uzorkovanja. Potrebno je znati samo broj uzoraka u periodi signala. Broj uzoraka u periodi signala treba da bude deljiv sa 4, a uzorkovanje treba da bude koherentno. Bias estimatora MSALϕˆ Ako r, p, q zadovoljavaju jednačine (3.1.9) i (3.1.12), fazna razlika određena prema jednačini (3.2.7) nema bias; estimator MSALϕˆ je centriran, i ako se obeleži sa UBMSAL_ϕˆ to se može napisati na sledeći način: 50 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] 12sinˆ 10 2121 1 0 2121 _ =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛′⋅′+⋅ ⋅′−′⋅= ∑ ∑ − = − = p rqkTukTukTukTu kTukTukTukTu tg N k ssss N k ssss UBMSAL πϕ . (3.2.8) Ako r, p, q ne zadovoljavaju jednačine (3.1.9) i (3.1.12), fazna razlika određena prema jednačini (3.2.7) ima bias; estimator MSALϕˆ nije centriran. Bias estimatora fazne razlike određen prema formuli (2.2.1.2), dat je sledećim izrazom: ( )( ) ( ) ( )MSALUBMSALMSALBias ϕϕϕ ˆtanˆtanˆtan _ −= , (3.2.9) gde je MSALϕˆ dato formulom (3.2.7) u kojoj je sin(2πrq/p) ≠ 1. Asimptotska Cramer – Rao granica za estimator MSALϕˆ Za izvođenje CRB polazi se od jednačina (3.1) i (3.2) napisanih za diskretizovane sinusne signale u obliku: [ ] ( ) [ ]nwnUnu 1111 sin ++= ϕω , (3.2.10) [ ] ( ) [ ]nwnUnu 2222 sin ++= ϕω . (3.2.11) Pretpostavljamo da su parametri U1, U2 i ω u jednačinama (3.2.10) i (3.2.11) nepoznati i da komponente koje predstavljaju Gausov beli šum w1[n] i w2[n] imaju srednje vrednosti nula sa varijansama σ12 i σ22, respektivno, i da su međusobno nezavisne. Traži se minimum sledeće funkcije [1.33, 2.35]: [ ] ( )( ) [ ] ( )( )( )∑ = +−++−N n nUnunUnu 1 2 222111 sinsin ϕωϕω . (3.2.12) Za signale date jednačinama (3.1) i (3.2) kada su poznati parametri amplitude i učestanost a nepoznati parametri su početne faze ϕ1 i ϕ2, klasičan način izvođenja Kramer-Rao granice (CRB) za varijansu estimatora fazne razlike kada oba signala imaju jednak beli Gausov beli šum je sledeći [1.33]: • uzorci merenja imaju funkciju gustine verovatnoće (PDF) datu formulom: 51 ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( )[ ] ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧ +−++−−= ∑−= 21 0 22211122/2 sinsin 2 1exp 2 1; N n N nUnunUnuxp ϕωϕωσπσθ ; (3.2.13) • prirodni logaritam jednačine (3.2.13) je: ( ) ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( )[ ]21 0 2221112 2 sinsin 2 1 ln 2 2ln 2 );(ln ∑− = +−++−− −−−= N n nUnunUnu NNxp ϕωϕωσ σπθ ; (3.2.14) • jednačina (3.2.14) se diferencira po ϕ1 i ϕ2 i dobije se: [ ] ( )( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )∑ ∑ − = − = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+= ++−=∂ ∂ 1 0 1 1 112 1 1 0 111112 1 22cos 2 cos cossin1);(ln N n N n nUnnuU nUnUnuxp ϕωϕωσ ϕωϕωσϕ θ ; (3.2.15) [ ] ( )( ) ( )[ ] [ ] ( ) ( )∑ ∑ − = − = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +−+= ++−=∂ ∂ 1 0 2 2 222 2 1 0 22222 2 22cos 2 cos cossin1);(ln N n N n nUnnuU nUnUnuxp ϕωϕωσ ϕωϕωσϕ θ ; (3.2.16) • drugi izvodi jednačine (3.2.15) po ϕ1 i (3.2.16) po ϕ2 su: [ ] ( ) ( )∑− = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++−=∂ ∂ 1 0 1 1 112 1 2 2 22sin 2 sin);(ln 1 N n nUnnuUxp ϕωϕωσϕ θ ; (3.2.17) [ ] ( ) ( )∑− = ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +++−=∂ ∂ 1 0 2 2 222 2 2 2 22sin 2 sin);(ln 2 N n nUnnuUxp ϕωϕωσϕ θ ; (3.2.18) • negativne očekivane vrednosti su: ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 111 2 2 1 2 2 2 22sin 2 22cos1 22sinsin);(ln 1 σϕω ϕω σ ϕωϕωσϕ θ NUnnU nUnUxpE N n N n ≈⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++−−= +++−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ∂ ∂− ∑ ∑ − = − = ;(3.2.19) 52 ( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 0 212 2 2 2 2 2 2 22sin 2 22cos1 22sinsin);(ln 2 σϕω ϕω σ ϕωϕωσϕ θ NUnnU nUnUxpE N n N n ≈⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++−−= +++−=⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ∂ ∂− ∑ ∑ − = − = ;(3.2.20) s obzirom da su: ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑∑ − = − = − = − = ≈+≈+ ≈+≈+ 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 .022sin1;022cos1 ;022sin1;022cos1 N n N n N n N n n N n N n N n N ϕωϕω ϕωϕω (3.2.21) Kada je broj uzoraka signala veliki, asimptotska vrednost Cramer-Rao granice (CRB) data je formulom: ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += 21 111ˆ SNRSNRN CRB MSALϕ , (3.2.22) gde je odnos signal-šum dat formulom 2 2 2 i i i USNR σ= , (3.2.23) i = 1, 2 oznaka signala. CRB fazne razlike MSALϕˆ ako su amplitude dva signala jednake U1 = U2 i šum signala σ1 = σ2 , data je sledećim izrazom: ( ) SNRN CRB MSAL ⋅= 2ϕˆ . (3.2.24) 53 3.3 Simulacije sa primenom algoritma SAL U cilju validacije novog algoritma za određivanja fazne razlike između dva sinusna napona urađene su simulacije na računaru koristeći program Matlab [3.4]. Na slici 3.3.1 predstavljen je rezultat simulacije zavisnosti greške fazne razlike Δϕ između dva sinusna signala od greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala δψ, za vrednosti fazne razlike 5°, 45° i 85°, kada se fazna razlika određuje koristeći algoritam SAL. U simulaciji je broj perioda 40, fazni pomeraj dodatnih signala ψ = 90° + δψ, gde je greška uvedenog faznog pomeraja u opsegu δψ ∈ [-1°, 1°]. Greška fazne razlike između dva sinusna signala za faznu razliku 5° je izračunata prema formuli Δϕ = ϕ - 5°, gde je ϕ izračunato koristeći algoritam SAL. Analogno su izračunate i greške za vrednosti fazne razlike 45° i 85°. Slika 3.3.1 Zavisnost greške fazne razlike između dva sinusna signala Δϕ od greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala δψ, za vrednosti fazne razlike 5°, 45° i 85°, algoritam SAL. Sa slike 3.3.1 se vidi da, u zavisnosti od greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala u opsegu δψ ∈ [-1°, 1°], greška fazne razlike Δϕ između dva signala ima sledeće vrednosti: 54 - za faznu razliku ϕ = 5°, greška Δϕ ≈ 0°, - za faznu razliku ϕ = 45°, greška Δϕ ima vrednosti do približno ± 0,5°, - za faznu razliku ϕ = 85°, greška Δϕ ima vrednosti do približno ± 1°. Na slici 3.3.2 predstavljen je rezultat simulacije zavisnosti greške fazne razlike Δϕ između dva sinusna signala od faze prvog uzorka ϕ1 ∈ [0°, 180°] i to za vrednosti fazne razlike 5°, 45° i 85°, kada se fazna razlika određuje koristeći algoritam SAL. U simulaciji je broj perioda 40, fazni pomeraj dodatnih signala ψ = 90° + δψ, gde je greška uvedenog faznog pomeraja δψ = 1°. Greška fazne razlike Δϕ za faznu razliku ϕ = 5° izračunata je prema formuli Δϕ = ϕ - 5°, gde je fazna razlika ϕ izračunata koristeći algoritam SAL. Analogno su izračunate i greške za vrednosti fazne razlike 45° i 85°. Slika 3.3.2 Zavisnost greške fazne razlike između dva sinusna signala Δϕ od faze prvog uzorka ϕ1 za vrednosti fazne razlike 5°, 45° i 85°, algoritam SAL. Sa slike 3.3.2 se vidi da, u zavisnosti od faze prvog uzorka: - za ϕ = 5°, greška fazne razlike Δϕ je približno 0°, - za ϕ = 45°, greška fazne razlike Δϕ ima vrednosti do približno ± 0,6°, - za ϕ = 85°, greška fazne razlike Δϕ ima vrednosti do približno ± 1°. 55 Algoritam SAL se može koristiti za brzo određivanje fazne razlike između dva sinusna signala pri čemu je greška određivanje fazne razlike ≤ ± 1°. Na slici 3.3.3 predstavljeni su rezultati simulacije 1000 određivanja srednje kvadratne greške fazne razlike između dva sinusna signala MSE = (ϕ - 45°)2 u zavisnosti od odnosa signal-šum SNR, za vrednost fazne razlike 45°. Simulacija je urađena sa sledećim uslovima: početne faze oba signala jednake su 0°, vrednosti greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala δψ imaju vrednosti 0°; 0,1°; 0,5° i 1°, a fazna razlika ϕ je izračunata koristeći algoritam SAL. Procena fazne razlike dobijena primenom algoritma SAL je necentrirana, a to je uzrokovano greškom uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala. Vrednosti srednje kvadratne greške fazne razlike MSE su manje od -35 dB za grešku uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala 1°. Slika 3.3.3 Zavisnost srednje kvadratne greške fazne razlike MSE od odnosa signal-šum SNR, za vrednosti greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala 0°; 0,1°; 0,5° i 1°, algoritam SAL. Kada je δψ = 0° tada je vrednost MSE blizu asimptotske Kramer-Rao granice CRB = 2 / (N ⋅ SNR) izražene u dB, ako su amplitude i šum za oba signala jednaki. Izbor opsega SNR je motivisan činjenicom da 40 dB odgovara približno realnoj 8-bit A/D konverziji, a 120 dB odgovara približno realnoj 24-bit A/D konverziji. 56 Na slici 3.3.4 prikazani su rezultati simulacija određivanja srednje kvadratne greške fazne razlike MSE, koristeći algoritam SAL, u zavisnosti od fazne razlike ϕ između dva sinusna signala, za uslove kada je SNR = 70 dB i vrednosti greške δψ uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala 0°; 0,1°; 0,5° i 1°. U simulaciji je broj perioda 40, fazna razlika između dva signala 45°, fazni pomeraj dodatnih signala ψ = 90° + δψ. Slika 3.3.4 Zavisnost srednje kvadratne greške fazne razlike MSE od fazne razlike ϕ između dva signala određena koristeći algoritam SAL, za uslove kada su vrednosti greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala 0°; 0,1°; 0,5° i 1° i odnos signal-šum SNR = 70 dB. Sa slike 3.3.4 se vidi da je srednja kvadratna greška fazne razlike MSE u okviru asimptotske Kramer-Rao granice (CRB) kada je greška uvedenog faznog pomeraja signala jednaka 0°, ali za vrednosti greške uvedenog faznog pomeraja signala 0,1°; 0,5° i 1°, procena MSE je necentrirana do vrednosti -35 dB. 57 3.4 Simulacije sa primenom algoritma MSAL Na slici 3.4.1 prikazani su rezultati simulacija određivanja greške fazne razlike Δϕ, koristeći algoritme MSAL i UQDE, u zavisnosti od greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala δψ. U simulaciji je broj perioda 40, fazni pomeraj dodatnih signala ψ = 90° + δψ, gde je greška uvedenog faznog pomeraja δψ ∈ [-1°, 1°]. Greška fazne razlike za faznu razliku 45° izračunata je prema formuli Δϕ = ϕ - 45°, gde je ϕ izračunato prema formuli (2.2.3.3) za algoritam UQDE i formuli (3.2.7) za algoritam MSAL. Za oba algoritma MSAL i UQDE uzeto je da je ukupan broj uzoraka signala N (= 4000) jednak celobrojnom umnošku broja uzoraka u periodi (= 100) i da signali nemaju šum. Slika 3.4.1 Zavisnost greške fazne razlike između dva sinusna signala Δϕ od greške uvedenog faznog pomeraja dodatnih signala δψ, za faznu razliku između dva signala 45°, algoritami MSAL i UQDE. Sa slike 3.4.1 je očigledno da je za MSAL algoritam vrednost greške Δϕ = 0 za sve vrednosti δψ , a za UQDE algoritam ta je vrednost nula samo za δψ = 0°. Za ostale 58 vrednosti δψ, vrednosti Δϕ izračunate koristeći algoritam UQDE su veće od nule i rastu do približno 4,5 m°. Na slici 3.4.2 prikazani su rezultati simulacija za srednju kvadratnu grešku fazne razlike MSE u zavisnosti od odnosa signal-šum SNR, dobijeni primenom algoritama MSAL, UQDE i QDE. Donja granica za SNR je postavljena na 0 dB da ilustruje da za male vrednosti SNR sva tri algoritma daju približno iste vrednosti za faznu razliku. Simulacije su urađene za ukupan broj uzoraka N koji je celobrojni umnožak periode signala. Uslovi u simulaciji su: broj simulacija 1000, signali sa šumom, fazna razlika između dva signala 45°, broj uzoraka u jednoj periodi je 511, pomeraj dodatnih signala ψ = (360°/511) x INT(511/4) = 89,47°, greška faznog pomeraja dodatnih signala je 89,47° - 90° = - 0,53°. Napomena: INT(511/4) = 127. Slika 3.4.2 Srednja kvadratna greška fazne razlike između dva sinusna signala MSE u funkciji od odnosa signal-šum SNR za fazni pomeraj dodatnih signala 89,47° dobijena primenom algoritama MSAL, UQDE i QDE. Sa slike 3.4.2 se vidi da se sa porastom vrednosti SNR necentriranost pokazuje najpre u rezultatima za MSE dobijenim korišćenjem algoritma QDE a kasnije i u 59 rezultatima dobijenim korišćenjem algoritma UQDE. Vrednosti fazne razlike određene koristeći algoritam MSAL su centrirane i odgovaraju vrednosti asimptotske CRB. Kada postoji greška faznog pomeraja dodatnih signala, ukupan broj uzoraka N koji se koriste za određivanje fazne razlike mora biti ceo broj dobijen množenjem broja perioda sa brojem uzoraka po periodi. Na slici 3.4.3 predstavljeni su rezultati 1000 simulacija određivanja srednje kvadratne greške fazne razlike MSE u zavisnosti od odnosa signal šum SNR, za 1,7 perioda signala. Ostali uslovi u ovoj simulaciji su: broj uzoraka po periodi 510, fazna razlika između dva signala 45°, fazni pomeraj dodatnih signala je ψ = (360°/510) x INT(510/4) = 89,65°, greška pomeraja dodatnih signala je 89,65° – 90° = - 0,35°. Napomena: INT(510/4) = 127. U ovom slučaju, kada broj perioda signala nije ceo broj, vrednosti fazne razlike dobijene koristeći algoritme MSAL, UQDE i QDE su necentrirane. Slika 3.4.3 Srednja kvadratna greška fazne razlike MSE u funkciji od odnosa signal-šum SNR za fazni pomeraj dodatnih signala 89,65° za 1,7 perioda signala dobijena primenom algoritama MSAL, UQDE i QDE 60 3.5 Zaključak Iz rezultata navedenih simulacija mogu se izvesti sledeći zaključci: a) za algoritam SAL: • simulacije određivanja greške fazne razlike između dva sinusna signala Δϕ u zavisnosti od greške pomeraja dodatnih signala δψ , kao i simulacije u zavisnosti od faznog pomeraja prvog uzorka ϕ1, pokazuju da se algoritam može koristiti za brzo određivanje fazne razlike, pri čemu je greška Δϕ ≤ ± 1°; • simulacija određivanja srednje kvadratne greške fazne razlike između dva sinusna signala MSE u zavisnosti od odnosa signal-šum SNR za konkretnu vrednost greške pomeraja dodatnih signala δψ pokazuje da je procena MSE necentrirana zbog postojanja δψ; • simulacija određivanja srednje kvadratne greške fazne razlike između dva sinusna signala MSE u zavisnosti od fazne razlike ϕ za konkretnu vrednost greške pomeraja dodatnih signala δψ i odnos signal-šum SNR, pokazuje da je procena MSE necentrirana zbog postojanja δψ. b) za algoritam MSAL: • simulacija određivanja greške fazne razlike između dva sinusna signala Δϕ u zavisnosti od greške pomeraja dodatnih signala δψ ∈ [-1°, 1°] pokazuje da je Δϕ = 0; • simulacija određivanja srednje kvadratne greške fazne razlike između dva sinusna signala MSE u zavisnosti od odnosa signal-šum SNR za konkretnu vrednost greške pomeraja dodatnih signala δψ, pokazuje da je procena MSE centrirana kada je ukupan broj uzoraka N koji se koriste za određivanje fazne razlike jednak proizvodu celog broja perioda signala i broja uzoraka u periodi; • simulacija određivanja srednje kvadratne greške fazne razlike između dva sinusna signala MSE u zavisnosti od odnosa signal-šum SNR za konkretnu vrednost greške pomeraja dodatnih signala δψ, za vrednost broja perioda signala, koji nije ceo broj, pokazuje da je procena MSE necentrirana. 61 Glava 4 Poređenje rezultata za faznu razliku dobijenih primenom novog i postojećih algoritama na uzorke realnih signala U ovom poglavlju dati su rezultati primene algoritama SAL i MSAL (koji su opisani u poglavlju 3) na uzorke dva realna sinusna signala. Tako dobijeni rezultati za faznu razliku upoređeni su sa rezultatima dobijenim primenom algoritama UQDE (opisan u poglavlju 2.2.3), 3PSF, 4PSF i 7PSF (opisani u prilogu B) na iste uzorke signala. U literaturi [2.27, 4.1 – 4.2] algoritam 7PSF je upoređen sa drugim algoritmima za određivanje fazne razlike između dva sinusna signala i ocenjeno je da daje najtačnije rezultate za faznu razliku. Uzorci dva signala dobijeni su koristeći merni sistem sa dva DSV. Na tako dobijene uzorke primenjeni su algoritmi za određivanje fazne razlike između dva sinusna signala. Dobijene rezultate za faznu razliku trebalo bi korigovati za vrednost necentriranosti (biasa) rezultata ukoliko postoji i za vrednosti faznih pomeraja koje unose ostali delovi mernog sistema kao što su delitelji napona, strujni šantovi i IADC. Navedene korekcije 62 se ne moraju izvršiti već se mogu prikazati u mernoj nesigurnosti dobijenih rezultata za faznu razliku [1.37, 4.7]. 4.1 Oprema koja je korišćena za merenje Za merenje je korišćena oprema Direkcije za mere i dragocene metale (DMDM), gde postoje dva merna sistema za uzorkovanje dva signala: merni sistem sa sinhronim uzorkovanjem (blok šema na slici 2.1.1.1) i merni sistem sa asinhronim uzorkovanjem signala (blok šema na slici 2.1.1.3). Korišćena merna oprema obuhvata: - izvor napona, struje i fazne razlike, tip 6100A, Fluke [4.3], - izvor dva sinusna napona i fazne razlike, tip 5500-2, Clarke Hess [4.4], - otporničke delitelje napona, proizvođač SP, Švedska, - otporničke strujne šantove, proizvođač SP, Švedska , - digitalne multimetre, tip 3458A, Agilent [2.3], 2 komada, - triger za sinhrono uzorkovanje signala, proizvođač SP, Švedska , - triger za asinhrono uzorkovanje signala, - računar sa odgovarajućim softverom, - etalon faznog ugla, tip SD1000, proizvođač AVPower, Engleska [4.5]. Izvor električnog napona, struje i fazne razlike između njih, tip 6100A, proizvođača Fluke, generiše sinusni napon efektivne vrednosti do 700 V i struje do 20 A, učestanosti 16 Hz do 850 Hz, sa mogućnošću zadavanja fazne razlike između napona i struje sa rezolucijom 1 m°. Amplitude napona i struje zadaju se sa rezolucijom od 6 digita. Izvor dva napona i fazne razlike između njih, uređaj tip 5500-2, proizvođača Clarke Hess, generiše istovremeno dva sinusna napona efektivne vrednosti 50 mV do 120 V, učestanosti 1 Hz do 200 kHz, sa mogućnošću zadavanja fazne razlike između dva napona sa rezolucijom 1 m°. Delitelji napona i strujni šantovi koriste se da bi se zadati napon i struja iz izvora konvertovali u električni napon pogodan za merenje na opsezima 1 V i 10 V multimetra tip 3458A, Agilent. Navedeni delitelji napona i strujni šantovi izrađeni su od otpornika 63 koji imaju mali temperaturni koeficijent i unose veoma mali fazni pomeraj koji treba uzeti u obzir pri merenju fazne razlike. Za dobijanje uzoraka signala korišćena su dva multimetra tip 3458A, Agilent u funkciji dva IADCs. Etalon faznog ugla, tip SD1000, proizvođač AVPower, Engleska meri faznu razliku između dva ulazna napona efektivne vrednosti od 1 mV do 350 V, učestanosti 0,1 Hz do 700 kHz i ima metrološku sledivost prema nacionalnom metrološkom institutu ČMI, Češka. Etalon je korišćen za merenje fazne razlike između dva sinusna napona i poređenje dobijenih rezultata sa rezultatima za faznu razliku koji su dobijeni uzorkovanjem signala mernim sistemom i primenom algoritma MSAL na te uzorke signala. 4.2 Primer sa 18 uzoraka u periodi signala Dat je postupak određivanja fazne razlike vrednosti 59,9° primenom algoritama MSAL, SAL, UQDE, 3PSF, 4PSF i 7PSF na uzorke dva realna sinusna signala prikazana na slici 4.2.1, kada u periodama signala ima 18 uzoraka, procena merne nesigurnosti u skladu sa GUM [1.34] i validacija metode [4.6]. -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 Broj uzoraka signala N ap on [V ] Slika 4.2.1. Uzorci dva realna sinusna signala učestanosti 53 Hz sa faznom razlikom između signala 59,9°, broj uzoraka u periodi signala 18. 64 Korišćen je izvor dva sinusna napona tip 5500-2, Clarke Hess [4.4]. Izabrana je učestanost signala 53 Hz, amplitude oba signala 1,13 V. Za dobijanje uzoraka ta dva napona koristi se sinhrono uzorkovanje sa dva DSV tip 3458A, Agilent. Signali su uzorkovani sa učestanošću uzorkovanja 954 Hz. Uzorci su uzeti na jednakom rastojanju jedan od drugog. Izabrano je da broj uzoraka u periodama dva realna sinusna signala bude po 18 jer taj broj nije deljiv sa 4 što će znatno uticati na rezultate primene nekih algoritama. 4.2.1 Rezultati za faznu razliku Rezultati za faznu razliku vrednosti 59,9° dobijeni primenom algoritama 3PSF, 4PSF, 7PSF, UQDE4, MSAL4, UQDE5, MSAL5 na dva realna sinusna signala koji imaju 18 uzoraka u periodi prikazani su u tabeli 4.2.1.1. Oznake MSAL4 i MSAL5 pokazuju da su dodatni signali pomereni za 4 odnosno 5 uzoraka u odnosu na originalne signale. 1) Primena algoritma MSAL na broj uzoraka koji odgovara celom broju perioda signala Iz tabele 4.2.1.1 se vidi: - da su rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni primenom algoritama MSAL4 i MSAL5 na iste uzorke signala, približno jednaki, - da rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni primenom algoritma MSAL4 odstupaju za najviše 0,00058° od rezultata dobijenih primenom algoritma 7PSF na iste uzorke signala, a rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni primenom algoritma MSAL5 odstupaju za najviše 0,00069° od rezultata dobijenih primenom algoritma 7PSF, - da se rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni koristeći formulu (MSAL4+MSAL5)/2 razlikuju od rezultata dobijenih primenom algoritma 7PSF najviše za 0,00064°. 65 Tabela 4.2.1.1 Fazna razlika vrednosti 59,9° između dva realna sinusna signala učestanosti 53 Hz, broj uzoraka u periodi 18, dobijena primenom algoritama 3PSF, 4PSF, 7PSF, UQDE4, MSAL4, UQDE5, MSAL5 na ceo broj perioda signala. broj uzor. ceo broj peri oda 7PSF UQDE4 MSAL4 UQDE5 MSAL5 3PSF 4PSF (MSAL4+MSAL5)/2 MSAL4- 7PSF MSAL4- UQDE4 (MSAL4+ MSAL5)/2 -7PSF MSAL5- MSAL4 ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] Δϕ [°] Δϕ [°] ϕ [°] Δϕ [°] Δϕ [°] Δϕ [°] Δϕ [°] 18 1 59,9004 59,5190 59,9010 59,5191 59,9011 59,9005 59,9016 59,9010 0,00058 0,3820 0,00064 0,00011 36 2 59,9006 59,5185 59,9005 59,5187 59,9007 59,9007 59,9006 59,9006 -0,00005 0,3820 0,00003 0,00016 54 3 59,9007 59,5186 59,9006 59,5187 59,9007 59,9008 59,9004 59,9007 -0,00009 0,3820 -0,00003 0,00013 72 4 59,9008 59,5187 59,9007 59,5188 59,9008 59,9008 59,9005 59,9008 -0,00007 0,3820 -0,00004 0,00007 90 5 59,9006 59,5188 59,9008 59,5188 59,9008 59,9007 59,9007 59,9008 0,00017 0,3820 0,00018 0,00001 108 6 59,9003 59,5187 59,9007 59,5187 59,9007 59,9003 59,9013 59,9007 0,00040 0,3820 0,00040 0,00000 126 7 59,9000 59,5184 59,9004 59,5184 59,9004 59,9000 59,9015 59,9004 0,00041 0,3820 0,00042 0,00003 144 8 59,8998 59,5181 59,9001 59,5181 59,9001 59,8998 59,9015 59,9001 0,00031 0,3820 0,00033 0,00003 162 9 59,8996 59,5179 59,8999 59,5179 59,8999 59,8996 59,9015 59,8999 0,00028 0,3820 0,00029 0,00003 180 10 59,8995 59,5179 59,8997 59,5177 59,8997 59,8995 59,9013 59,7087 0,00019 0,3820 0,00020 0,00003 198 11 59,8996 59,5176 59,8996 59,5176 59,8996 59,9002 59,9008 59,8996 0,00004 0,3820 0,00004 0,00001 216 12 59,8997 59,5177 59,8997 59,5177 59,8997 59,8997 59,9004 59,8997 0,00003 0,3820 0,00003 0,00001 234 13 59,8999 59,5178 59,8998 59,5179 59,8999 59,8999 59,8999 59,8999 -0,00005 0,3820 -0,00004 0,00002 252 14 59,9002 59,5180 59,9000 59,5180 59,9000 59,9002 59,8994 59,9000 -0,00019 0,3820 -0,00017 0,00004 270 15 59,9004 59,5182 59,9002 59,5183 59,9003 59,9004 59,8991 59,9002 -0,00017 0,3820 -0,00016 0,00004 288 16 59,9007 59,5184 59,9005 59,5185 59,9005 59,9007 59,8987 59,9005 -0,00024 0,3820 -0,00023 0,00003 306 17 59,9010 59,5187 59,9007 59,5187 59,9008 59,9010 59,8985 59,9007 -0,00027 0,3820 -0,00026 0,00003 324 18 59,9012 59,5190 59,9010 59,5190 59,9010 59,9012 59,8984 59,9010 -0,00022 0,3820 -0,00021 0,00002 342 19 59,9014 59,5192 59,9012 59,5192 59,9012 59,9015 59,8982 59,9012 -0,00021 0,3820 -0,00020 0,00004 66 - da se rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni koristeći algoritam UQDE4 i UQDE5 (kada su dodatni signali pomereni za 4 odnosno 5 uzoraka u odnosu na originalne signale) razlikuju za 0,382° od rezultata dobijenih koristeći MSAL4 i MSAL5 algoritam. 2) Primena algoritma MSAL na bilo koji broj uzoraka signala koji ne odgovara celom broju perioda signala Na slici 4.2.1.1 prikazani su rezultati za faznu razliku vrednosti 59,9° između dva sinusna signala učestanosti 53 Hz, broj uzoraka u periodi signala 18, u zavisnosti od delova četvrte periode dva signala, dobijeni primenom algoritama UQDE4, UQDE5, MSAL4, MSAL5 i 7PSF. Sa slike je očigledno da rezultati za faznu razliku dobijeni koristeći algoritam MSAL4 i MSAL5 imaju jednake vrednosti kada broj uzoraka na koje su primenjeni odgovara 3; 3,5 i 4 periode signala. Isto važi i za rezultate za faznu razliku dobijene koristeći algoritme UQDE4 i UQDE5. Rezultati za faznu razliku dobijeni kao srednja vrednost (MSAL4 + MSAL5)/2 približno su jednaki rezultatima dobijenim primenom algoritma 7PSF. 59.10 59.20 59.30 59.40 59.50 59.60 59.70 59.80 59.90 60.00 60.10 60.20 60.30 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 Broj perioda signala Fa zn a ra zl ik a [o ] UQDE4 MSAL4 UQDE5 MSAL5 (MSAL4+MSAL5)/2 7PSF Slika 4.2.1.1 Fazna razlika vrednosti 59,9° između dva sinusna signala učestanosti 53 Hz, broj uzoraka u periodi signala 18, u zavisnosti od delova periode signala, dobijena koristeći algoritme 7PSF, UQDE4, UQDE5, MSAL4 i MSAL5. 67 Rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni za broj uzoraka koji ne odgovara celom broju perioda se razlikuju od rezultata za faznu razliku dobijenih koristeći 7PSF algoritam, i to: do 0,74° kada se koristi UQDE algoritam i do 0,36° kada se koristi MSAL algoritam. 3) Primena algoritma MSAL kada dodatni signali imaju proizvoljan fazni pomeraj S obzirom da vrednosti r, p, q ne zadovoljavaju jednačine (3.1.9) i (3.1.12), vrednosti fazne razlike između dva signala određene primenom algoritma MSAL tako da su dodatni signali pomereni za proizvoljan broj uzoraka, su pristrasne (imaju bias), a prikazane su na slici 4.2.2.1 u poglavlju 4.2.2. Podaci za sliku 4.2.2.1: u periodi jednog signala je 18 uzoraka; rezultati su dati za 19 perioda; za r = 9 uzoraka (odgovara 2πrq/p = π) i r = 18 uzoraka (odgovara 2πrq/p = 2π) algoritam MSAL nije primenljiv; vrednosti za faznu razliku date su u tabeli 4.2.2.7. Kada su pomoćni signali pomereni za broj uzoraka tako da je 2πrq/p = aπ, gde je a ceo broj, algoritam MSAL se ne može primenjivati. Iz tabele 4.2.2.7, u poglavlju 4.2.2, vidi se da se vrednosti fazne razlike između dva realna signala predstavljena sa po 18 uzoraka u periodi, određene koristeći algoritam MSAL kada su uzorci pomoćnih signala pomereni za broj uzoraka r koji se kreće od 1 do 27, imaju bias najveće vrednosti 11 m°. Vrednosti fazne razlike dobijene primenom algoritma MSAL mogu se korigovati za vrednosti biasa. Rezultati za faznu razliku između dva sinusna signala dobijeni primenom algoritma UQDE u slučaju kada su dodatni signali pomereni za proizvoljan broj uzoraka znatno odstupaju od stvarnih vrednosti fazne razlike, tako da se algoritam UQDE u tom slučaju ne može koristiti. 68 4.2.2 Procena merne nesigurnosti Proračun merne nesigurnosti fazne razlike dobijene primenom algoritma MSAL na uzorke signala, u skladu sa GUM, je složen. Najpre treba odrediti kombinovanu mernu nesigurnost uzoraka dva napona, a dobijeni rezultati se zatim koriste kao ulazni podaci za određivanje merne nesigurnosti fazne razlike između dva realna sinusna napona određene primenom algoritma MSAL. 1) Merna nesigurnost uzoraka napona Izmerene vrednosti 18 uzoraka jedne periode napona u1(t) koji su obeleženi U1k date su u tabeli 4.2.2.1, a izmerene vrednosti 18 uzoraka jedne periode napona u2(t) koji su obeleženi U2k date su u tabeli 4.2.2.2. Oznaka k se koristi da označi pojedinačni uzorak. Uzorci napona u1(t) i u2(t) dobijeni su koristeći dva IADC, a rad jednog IADC može da se predstavi formulom (2.1.2.1) datom u poglavlju 2.1.2. Sinusni signal na ulazu IADC predstavlja se formulom: ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + ⋅⋅= 00 2sin JT m T tUtu ε π , (4.2.2.1) gde je T0 perioda signala, a εJTo džiter periode signala, a formula (2.1.2.1) u kojoj je zanemaren šum ima oblik: [ ] ( )∫⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+++++= +++ + JTiiJTss JTss TkT kT FS k RESLIN GREF JTii k dttuUUAbsT U εε ε εεεεε 1 1 . (4.2.2.2) Iz jednačina (4.2.2.1) i (4.2.2.2) posle integraljenja, dobije se jednačina za uzorke napona: 69 ( ) ( ) [ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) , 2cos2cos 2 1 00 01 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++⋅⋅+−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +⋅⋅+⋅ ⋅+⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅++++⋅+⋅ = JTiiJTss JTo JTss JTo JTii FS k REsLIN GREFJTom s TTk T Tk T T U UAbs TU kTU εεε πεε π επ εεεεε (4.2.2.3) gde je apsolutna vrednost uzorka napona data formulom: [ ] ( ) 0 0 2sin1 ====== + ⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅∫= JTsJTiRESLINREFG is s s TkT kT m i k TkUdtT tU T UAbs εεεεεε π . (4.2.2.4) Za analizu merne nesigurnosti, IADC se smatra idealnim, što znači da su vrednosti svih izvora merne nesigurnosti jednake nuli. Vrednosti promenljivih i parametara u ovom primeru uzorkovanja dva sinusna napona učestanosti 53 Hz su [2.3, 4.3]: • εREF - greška referentnog napona DSV uzima se da je εREF = 0, raspodela verovatnoće uniformna, granice raspodele ± 0,5 μV/V; • εG - greška pojačanja DSV uzima se da je εG = 0, raspodela verovatnoće Gausova, granice raspodele INT(0,002/(Ti/s), gde su oznake INT za integer, Ti za vreme integraljenja; • εRES - greška usled rezolucije DSV uzima se da je εRES = 0, raspodela verovatnoće uniformna, granice raspodele ± (10-6,5/2) μV/V; • εLIN - greška usled linearnosti DSV uzima se da je εLIN = 0, raspodela verovatnoće uniformna, granice raspodele ± 0,1 μV/V; • εJTo - greška usled džitera merenja periode signala uzima se da je εJTo = 0, raspodela verovatnoće uniformna, granice raspodele ± 5 ns; • εJTs - greška usled džitera vremena integraljenja signala uzima se da je εJTs = 0, raspodela verovatnoće uniformna, granice raspodele ± 5 ns; • εJTs - greška usled džitera uzorkovanja signala uzima se da je εJTs = 0, raspodela verovatnoće uniformna, granice raspodele ± 5 ns; 70 • UFS - opseg merenja dc napona na oba DSV: ± 10 V, • Um - amplitude merenih napona Um = 1,13 V, • perioda dva sinusna napona T0 = 0,018868 s, odnosno učestanost napona 53 Hz, • vreme integraljenja signala na oba DSV je Ti = 0,001025 s, • broj digita DSV: 6 ½, • učestanost uzorkovanja signala 954 Hz, odnosno vreme uzorkovanja Ts = 0,001048 s, • propusni opseg DSV1 i DSV2: oko 150 kHz, • najveća vrednost razlike kašnjenja između trigera dva DSV: 75 ns, • vrednost šuma izvora napona iz specifikacije proizvođača us(t) < 0,05 mV, za učestanosti do 200 kHz. Uzorci napona su međusobno korelisani u odnosu na dc referencu koja se nalazi u DSV, koji se koristi za merenje kao i u odnosu na varijacije pojačanja IADC sa vremenom aperture. Uzorkovani napon U1k u trenutku kTs gde je k ceo broj, je srednja vrednost napona u1(t) u vremenu integraljenja Ti. Da bi se odredila kombinovana merna nesigurnost prema formuli (2.3.1.8) datoj u poglavlju 2.3.1 u skladu sa GUM [1.34], treba da se prethodno odrede koeficijenti osetljivosti. Za svaki uzorak U1k napona u1 dat jednačinom (4.2.2.3), koeficijenti osetljivosti c1 do c7 su, prema GUM [1.34], izvodi U1k po promenljivim, dati formulama: 1 1 1 REF kUc ε∂ ∂= , 1 1 2 G kUc ε∂ ∂= , 1 1 3 RES kUc ε∂ ∂= , 1 1 4 LIN kUc ε∂ ∂= , 1 1 5 JTo kUc ε∂ ∂= , 1 1 6 JTs kUc ε∂ ∂= , 1 1 7 JTi kUc ε∂ ∂= . (4.2.2.5) Za svaki uzorak U2k napona u2 dat jednačinom (4.2.2.3), koeficijenti osetljivosti c8 do c14 su izvodi U2k po promenljivim, dati sledećim jednačinama: 2 2 8 REF kUc ε∂ ∂= , 2 2 9 G kUc ε∂ ∂= , 2 2 10 RES kUc ε∂ ∂= , 2 2 11 LIN kUc ε∂ ∂= , 71 2 2 12 JTo kUc ε∂ ∂= , 2 2 13 JTs kUc ε∂ ∂= , 2 2 14 JTi kUc ε∂ ∂= . (4.2.2.6) Iz formula (4.2.2.5) i jednačina (4.2.2.3) i (4.2.2.4) dobiju se koeficijenti osetljivosti za svaki uzorak U1k napona u1: c1 = U1k , c2 = U1k , c3 = U1FS , c4 = U1FS , ( ) ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅⋅+−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅⋅+= 0000 1 5 2sin2sin T TTkTkT T TkkT TT U T Uc isisss i mk ππ , ( ) ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅−= 00 6 2sin2sin T TTk T Tk T Uc iss i m ππ , ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅+= 0 1 7 2sin T TTk T U T Uc is i m i k π , (4.2.2.7) gde je U1FS opseg napona prvog DSV. Analogno se dobiju koeficijenti osetljivosti c8 do c14 za svaki uzorak drugog napona U2k iz formula (4.2.2.6) i jednačina (4.2.2.3) i (4.2.2.4). Merna nesigurnost, tipa B, svakog uzorka U1k jednog signala označena ( )kB Uu 1 data je formulom: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2/12112271226 1 22 51 22 41 22 31 22 21 22 11 ] [ wJTiJTs JToLINRESGREFkB uucuc ucucucucucUu +++ +++++= εε εεεεε (4.2.2.8) gde su: c1 do c7 koeficijenti osetljivosti dati formulama (4.2.2.5) za svaki uzorak U1k, napona u1, a 21wu je varijansa usled šuma prvog signala (šum izvora signala i šum uzorkovanja). 72 Tabela 4.2.2.1 Vrednosti uzoraka jedne periode napona u1(t), koeficijenti osetljivosti i merna nesigurnost uB, u skladu sa GUM, primer sa 18 uzoraka u periodi napona. k U1k c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 uB (U1k) [V] [V] [V] [V] [V] [V/s] [V/s] [V/s] [μV] 1 0,129951 0,1300 0,1300 10 10 -73 460 867 166 2 0,504598 0,5046 0,5046 10 10 -84 342 853 149 3 0,818463 0,8185 0,8185 10 10 -70 183 736 116 4 1,033572 1,0336 1,0336 10 10 -29 2 530 67 5 1,124001 1,1240 1,1240 10 10 36 -179 261 29 6 1,078850 1,0789 1,0789 10 10 115 -339 -41 54 7 0,903546 0,9035 0,9035 10 10 196 -458 -337 99 8 0,619273 0,6193 0,6193 10 10 264 -521 -592 136 9 0,260405 0,2604 0,2604 10 10 303 -522 -776 157 10 -0,129899 -0,1299 -0,1299 - 10 - 10 302 -460 -867 160 11 -0,504526 -0,5045 -0,5045 - 10 - 10 255 -342 -853 144 12 -0,818356 -0,8184 -0,8184 - 10 - 10 162 -183 -736 112 13 -1,033465 -1,0335 -1,0335 - 10 - 10 30 -2 -530 68 14 -1,123912 -1,1239 -1,1239 - 10 - 10 -125 179 -261 29 15 -1,078824 -1,0788 -1,0788 - 10 - 10 -284 339 41 54 16 -0,903589 -0,9036 -0,9036 - 10 - 10 -425 458 337 99 17 -0,619357 -0,6194 -0,6194 - 10 - 10 -524 521 592 136 18 -0,260512 -0,2605 -0,2605 - 10 - 10 -564 522 777 157 Tabela 4.2.2.2 Vrednosti uzoraka jedne periode napona u2(t), koeficijenti osetljivosti i merna nesigurnost uB, u skladu sa GUM, primer sa 18 uzoraka u periodi napona. k U2k c8 c9 c10 c11 c12 c13 c14 uB (U2k) [V] [V] [V] [V] [V] [V/s] [V/s] [V/s] [μV] 1 1,031419 1,0314 1,0314 10 10 -25 460 -14 87 2 1,122462 1,1225 1,1225 10 10 -52 342 249 62 3 1,078107 1,0781 1,0781 10 10 -57 183 482 70 4 0,903626 0,9036 0,9036 10 10 -36 2 657 102 5 0,620167 0,6202 0,6202 10 10 9 -179 753 133 6 0,262030 0,2620 0,2620 10 10 72 -339 758 153 7 -0,127721 -0,1277 -0,1277 - 10 - 10 142 -458 671 158 8 -0,502052 -0,5021 -0,5021 - 10 - 10 204 -521 504 146 9 -0,815880 -0,8159 -0,8159 - 10 - 10 246 -522 275 120 10 -1,031253 -1,0313 -1,0313 - 10 - 10 255 -460 14 87 11 -1,122210 -1,1222 -1,1222 - 10 - 10 223 -342 -249 62 12 -1,077772 -1,0778 -1,0778 - 10 - 10 148 -183 -482 71 13 -0,903321 -0,9033 -0,9033 - 10 - 10 37 -2 -657 103 14 -0,619898 -0,6199 -0,6199 - 10 - 10 -98 179 -753 133 15 -0,261827 -0,2618 -0,2618 - 10 - 10 -241 339 -758 153 16 0,127784 0,1278 0,1278 10 10 -370 458 -671 156 17 0,502035 0,5020 0,5020 10 10 -465 521 -504 145 18 0,815872 0,8159 0,8159 10 10 -507 522 -275 115 73 Merna nesigurnost, tipa B, svakog uzorka U2k drugog signala označena ( )kB Uu 2 , data je formulom: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,] [ 2/12 22 22 142 22 13 2 22 122 22 112 22 102 22 92 22 82 wJTiJTs JToLINRESGREFkB uucuc ucucucucucUu +++ +++++= εε εεεεε (4.2.2.9) gde su: c8 do c14 koeficijenti osetljivosti za svaki uzorak U2k napona u2 dati formulama (4.2.2.6), a 2 2wu je varijansa usled šuma drugog signala (šuma izvora signala i šuma uzorkovanja). U tabeli 4.2.2.1 date su: • vrednosti uzoraka jedne periode napona u1(t), • vrednosti koeficijenata osetljivosti c1 do c7 , • merna nesigurnost tipa B svakog uzorka u periodi napona uB (U1k) prema formuli 4.2.2.8. U tabeli 4.2.2.2 date su: • vrednosti uzoraka jedne periode napona u2(t), • vrednosti koeficijenata osetljivosti c8 do c14 , • merna nesigurnost tipa B svakog uzorka u periodi napona uB (U2k) prema formuli 4.2.2.9. Rezultati ocene tipa A standardne merne nesigurnosti uA1 za svaki od 18 uzoraka iz 19 perioda signala u1 i standardne merne nesigurnosti uA2 za svaki od 18 uzoraka iz 19 perioda signala u2, prema formuli (2.3.1.5) datoj u poglavlju 2.3.1, prikazani su u tabeli 4.2.2.3. Merna nesigurnost tipa A za uzorak k dobijena je na sledeći način: - iz zbira vrednosti svih k-tih uzoraka u 19 perioda signala određena je srednja vrednost, - iz vrednosti svih k-tih uzoraka u 19 perioda signala određena je eksperimentalna standardna devijacija prema formuli (2.3.1.4) datoj u poglavlju 2.3.1, - zatim je primenjena formula (2.3.1.5) data u poglavlju 2.3.1. 74 Tabela 4.2.2.3 Standardne merne nesigurnosti tipa A za uzorke dva napona, primer sa 18 uzoraka u periodi napona. Uzorak Merna nesigurnost tipa A za uzorke prvog napona uA1 Merna nesigurnost tipa A za uzorke drugog napona uA2 [mV] [mV] 1 0,1635 0,0634 2 0,1468 0,0159 3 0,1127 0,0426 4 0,0614 0,0918 5 0,0087 0,1292 6 0,0462 0,1512 7 0,0951 0,1551 8 0,1330 0,1404 9 0,1542 0,1081 10 0,1572 0,0637 11 0,1409 0,0157 12 0,1084 0,0457 13 0,0621 0,0926 14 0,0094 0,1293 15 0,0457 0,1507 16 0,0950 0,1535 17 0,1330 0,1389 18 0,1545 0,1072 Kombinovana merna nesigurnost za svaki uzorak u periodi signala dobije se iz mernih nesigurnosti tipa A i tipa B, u skladu sa GUM [1.34], prema formuli (2.3.1.8) datoj u poglavlju 2.3.1. U tabeli 4.2.2.4 dati su: • kombinovana merna nesigurnost uzoraka prvog napona uC1, • kombinovana merna nesigurnost uzoraka drugog napona uC2. Iz tabele 4.2.2.4 se vidi da najmanje vrednosti kombinovane merne nesigurnosti imaju uzorci u periodi napona koji su u blizini približno ± π / 2, a to su u ovom primeru uzorci 4, 5, 13 i 14. 75 Tabela 4.2.2.4 Kombinovane merne nesigurnosti za uzorke napona, primer sa 18 uzoraka u periodi napona. Uzorak Kombinovana merna nesigurnost za uzorke prvog napona uC1 Kombinovana merna nesigurnost za uzorke drugog napona uC2 [mV] [mV] 1 0,1785 0,0935 2 0,1554 0,0717 3 0,1286 0,0776 4 0,0922 0,1070 5 0,0703 0,1362 6 0,0796 0,1555 7 0,1098 0,1601 8 0,1399 0,1493 9 0,1584 0,1245 10 0,1622 0,0938 11 0,1498 0,0716 12 0,1248 0,0793 13 0,0927 0,1076 14 0,0704 0,1364 15 0,0793 0,1549 16 0,1097 0,1586 17 0,1398 0,1479 18 0,1605 0,1186 2) Merna nesigurnost rezultata za faznu razliku U mernom sistemu se koriste dva DSV čiji propusni opsezi prema specifikaciji proizvođača mogu da budu od 140 kHz do 160 kHz, usled čega može doći do greške merenja ΔϕBW = 0,00271° (dobije se kao rezultat razlike (53Hz/140 kHz - 53 Hz/160 kHz), prema formuli 2.1.2.6). Zato se (ΔϕBW /√3) = 0,00157° = upropusni-opseg uzima kao komponenta merne nesigurnosti tipa B, uniformna raspodela. Razlika u trigerima različitih DSV prema specifikaciji proizvođača može da bude do 75 ns, što može dovesti do greške Δϕtrigger = 0,00143° (dobije se kao rezultat 2⋅π⋅(53 Hz)⋅(75 ns), prema formuli 2.1.2.7). Zato se (Δϕtrigger /√3) = 0,00083° = = urazlika-apertura uzima kao komponenta merne nesigurnosti tipa B, uniformna raspodela. U tabeli 4.2.2.5 date su vrednosti uzoraka jedne periode napona u1(t), u2(t), u′1(t) i u′2(t) iz kojih se izračunava fazna razlika koristeći algoritam MSAL. Koriste se sledeće oznake: 76 U1k – vrednost k-tog uzorka napona u1(t); U′1k – vrednost k-tog uzorka dodatnog napona u′1(t) koji je fazno pomeren u odnosu na napon u1(t) za 4 uzorka; U2k – vrednost k-tog uzorka napona u2(t); U′1k – vrednost k-tog uzorka dodatnog napona u′1(t) koji je fazno pomeren u odnosu na napon u1(t) za 4 uzorka. Tabela 4.2.2.5 Vrednosti uzoraka jedne periode napona u1(t), u2(t), u′1(t) i u′2(t) iz kojih se izračunava fazna razlika koristeći algoritam MSAL. k U1k U′1k U2k U′2k [V] [V] [V] [V] 1 0,129951 -1,078795 1,031419 -0,261747 2 0,504598 -0,903502 1,122462 0,127901 3 0,818463 -0,619268 1,078107 0,502169 4 1,033572 -0,260379 0,903626 0,815989 5 1,124001 0,129951 0,620167 1,031419 6 1,078850 0,504598 0,262030 1,122462 7 0,903546 0,818463 -0,127721 1,078107 8 0,619273 1,033572 -0,502052 0,903626 9 0,260405 1,124001 -0,815880 0,620167 10 -0,129899 1,078850 -1,031253 0,262030 11 -0,504526 0,903546 -1,122210 -0,127721 12 -0,818356 0,619273 -1,077772 -0,502052 13 -1,033465 0,260406 -0,903321 -0,815880 14 -1,123912 -0,129900 -0,619898 -1,031253 15 -1,078824 -0,504526 -0,261827 -1,122210 16 -0,903589 -0,818356 0,127784 -1,077772 17 -0,619357 -1,033465 0,502035 -0,903320 18 -0,260512 -1,123912 0,815872 -0,619898 Model merenja [1.34]: Da bi se primenom algoritma MSAL odredila fazna razlika između dva sinusna napona, treba vrednosti svakog uzorka napona u1(t), u′1(t), u2(t) i u′2(t) uvrstiti u formulu (3.2.7), koja se može napisati na sledeći način: [ ] [ ] ( )42 31 1 0 42 1 0 31 2sin arctan 2sin arctanˆ MM p rq MM MM p rq MM N k kk N k kk +⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= +⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −= ∑ ∑ − = − = ππϕ , (4.2.2.10) gde su proizvodi vrednosti uzoraka dva napona označeni: kkk UUM 211 ′⋅= , kkk UUM 213 ⋅′= , 77 kkk UUM 212 ⋅= , kkk UUM 214 ′⋅′= . (4.2.2.11) Koristeći formule (2.3.1.8) i (4.2.2.11) dobije se izraz za kvadrat standardne merne nesigurnosti proizvoda označenog M1k [1.34]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkCkkkk kkkk kkCkk k k k k k k k k k k k UUrUuUuUU UuUUuU UUrUuUu U M U M Uu U MUu U MMu 212112 2 22 11 22 2 2121 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 ,2 ,2 ′⋅′⋅⋅′ +′⋅+⋅′= =′⋅′⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+ +′⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′∂ ∂+⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= (4.2.2.12) gde je ( )kkC UUr 21 , ′ koeficijent korelacije između uzoraka dva napona. Analogno se dobiju izrazi za kvadrat standardne merne nesigurnosti proizvoda označenih M2k, M3k i M4k: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkCkkkk kkkk kkCkk k k k k k k k k k k k UUrUuUuUU UuUUuU UUrUuUu U M U M Uu U MUu U MMu 212112 2 22 11 22 2 2121 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 ,2 ,2 ⋅⋅⋅⋅ +⋅+⋅= =⋅⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+ +⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= (4.2.2.13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkCkkkk kkkk kkCkk k k k k k k k k k k k UUrUuUuUU UuUUuU UUrUuUu U M U M Uu U MUu U MMu 212112 2 22 11 22 2 2121 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 3 3 2 ,2 ,2 ′⋅⋅′⋅′⋅ +⋅′+′⋅= =′⋅⋅′⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′∂ ∂+ +⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+′⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′∂ ∂= (4.2.2.14) 78 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,2 ,2 212112 2 22 11 22 2 2121 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 4 4 2 kkCkkkk kkkk kkCkk k k k k k k k k k k k UUrUuUuUU UuUUuU UUrUuUu U M U M Uu U MUu U MMu ′′⋅′⋅′⋅′⋅′ +′⋅′+′⋅′= =′′⋅′⋅′⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′∂ ∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′∂ ∂+ +′⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′∂ ∂+′⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ′∂ ∂= (4.2.2.15) U formuli 4.2.2.10 koriste se oznake: ∑= − = 1 0 11 N k kMM , ∑= − = 1 0 22 N k kMM , ∑= − = 1 0 33 N k kMM , ∑= − = 1 0 44 N k kMM . (4.2.2.16) Primenom GUM [1.34] kombinovana merna nesigurnost fazne razlike ( )ϕˆCu koja je određena koristeći algoritam MSAL, može se izraziti formulom: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2/14343181742421816 3232171641411815 3131171521211615 2 4 22 183 22 172 22 161 22 15_ ],2,2 ,2,2 ,2,2 [ˆ MMrMuMuccMMrMuMucc MMrMuMuccMMrMuMucc MMrMuMuccMMrMuMuccu MucMucMucMucu CC CC CCA MSALC ++ +++ ++++ ++++= ϕ ϕ , (4.2.2.17) gde su koeficijenti osetljivosti dati formulama: ( ) ( ) ( )231 2 42 42 1 15 2sin 2sin ˆ MMMM p rq MM p rq M c −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =∂ ∂= π π ϕ , ( ) ( ) ( )231 2 42 31 2 16 2sin 2sin ˆ MMMM p rq MM p rq M c −+⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛− =∂ ∂= π π ϕ , 15 3 17 ˆ c M c −=∂ ∂= ϕ , 16 4 18 ˆ c M c −=∂ ∂= ϕ , (4.2.2.18) 79 rC su koeficijenti korelacije, uA(ϕ) je tip A merne nesigurnosti određen tako da je za svaku od 19 perioda posebno izračunata fazna razlika koristeći algoritam MSAL a zatim iz tih vrednosti određena standardna devijacija i tip A merne nesigurnosti u skladu sa GUM. Kvadrati standardne nesigurnosti u jednačini (4.2.2.17), koristeći formule (4.2.2.16), se mogu napisati: ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∑= = N k kMuMu 1 1 2 1 2 , ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∑= = N k kMuMu 1 2 2 2 2 , ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∑= = N k kMuMu 1 3 2 3 2 , ( ) ( )∑ = = N k kMuMu 1 4 2 4 2 . (4.2.2.19) Rezultati merenja fazne razlike određene iz uzoraka 19 perioda dva realna sinusna signala, koristeći algoritam MSAL dati su u tabeli 4.2.2.7. Rezultati nisu centrirani (imaju bias). Rezultat za faznu razliku korigovan za bias je ϕcorr = 59,90135 °, proširena merna nesigurnost tog rezultata, sa k = 2 je U = 0,004 °. S obzirom da je u periodi signala 18 uzoraka i da je 18 / 4 = 4,5 uzeto je aproksimativno da je vrednost bez biasa jednaka srednjoj vrednosti fazne razlike koja je dobijena za fazne pomeraje dodatnih signala r = 4 i r = 5, i iznosi (59,9011° + 59,9016° ) = 59,90135°. Bias rezultata merenja kao sistematsku grešku, u principu treba primeniti kao korekciju na izmerene vrednosti, ali to se ne mora uraditi već se bias može izraziti u proširenoj mernoj nesigurnosti [GUM, tačka F.2.4.5.]. U skladu sa referencom [4.7] koriste se sledeće tri metode za proračun proširene merne nesigurnosti u koju je uključen bias δ: RSSuC metoda: Y = y ± URSSuC, gde je 22 δ+= CRSSuC ukU (4.2.2.20) RSSU metoda: Y = y ± URSSU, gde je 222 δ+= CRSSU ukU (4.2.2.21) SUMU metoda: ⎩⎨ ⎧ − += − + U U y Y (4.2.2.22) 80 gde je ⎩⎨ ⎧ ≤− >−−=+ 0jeako,0 0jeako, δ δδ C CC ku kuku U ⎩⎨ ⎧ ≤+ >++=− .0jeako,0 0jeako, δ δδ C CC ku kuku U U formulama (4.2.2.20) do (4.2.2.22) oznaka Y je za rezultat merenja, y označava najbolju procenu merene veličine, a interval od –U do +U predstavlja proširenu mernu nesigurnost, uC označava kombinovanu mernu nesigurnost, δ označava bias, koeficijent k = 2, za verovatnoću približno 95%. Tabela 4.2.2.6 Detaljan proračun merne nesigurnosti rezultata za faznu razliku između dva napona određena primenom algoritma MSAL za r = 4 i r = 5, primer sa 18 uzoraka u periodi. fazno kašnjenje dodatnih signala r = 4 uzorka r = 5 uzoraka ϕˆ fazna razlika (sa biasom) [°] 59,9011 59,9016 ϕˆ corr korigovano za bias [°] 59,90135 59,90135 Proračun prema formuli (4.2.2.17) (c15) 2 ⋅u2 (M1) 5,25 ⋅10-21 1,65 ⋅10-20 (c16) 2 ⋅u2 (M2) 5,85 ⋅10-11 5,85 ⋅10-11 (c17) 2 ⋅u2 (M3) 8,75 ⋅10-21 1,90 ⋅10-20 (c18) 2 ⋅u2 (M4) 5,82 ⋅10-11 5,86 ⋅10-11 2⋅c15⋅c16⋅u(M1) ⋅u(M2)⋅ rC (M1, M2) 1,92 ⋅10-16 -3,41 ⋅10-16 2⋅c15⋅c17⋅u(M1)⋅u(M3)⋅ rC (M1, M3) -1,30 ⋅10-20 -3,41 ⋅10-20 2⋅c15⋅c18⋅u(M1)⋅u(M4)⋅ rC (M1, M4) -1,92 ⋅10-16 3,41 ⋅10-16 2⋅c16⋅c17⋅u(M2)⋅u(M3)⋅ rC (M2, M3) -2,39 ⋅10-16 3,66 ⋅10-16 2⋅c16⋅c18⋅u(M2)⋅u(M4)⋅ rC (M2, M4) 1,20 ⋅10-10 1,10 ⋅10-10 2⋅c17⋅c18⋅u(M3)⋅u(M4)⋅ rC (M3, M4) 2,38 ⋅10-16 -3,67 ⋅10-16 uA merna nesigurnost tip A [°] 0,00058 0,00058 ( )ϕˆ_ MSALCu formula (4.2.2.17) [°] 0,001 0,001 Dodatni doprinosi m. nesigurnosti upropusni-opseg [°] 0,00157 0,00157 urazlika apertura [°] 0,00083 0,00083 ( )ϕˆCu kombinovana m. nesigurnost [°] 0,00205 0,00205 U = 2 ⋅ ( )ϕˆCu proširena m. nesigurnost [°] 0,004 0,004 Rezultati su za 19 perioda, primenjene su formule iz poglavlja 4.2.2. U referenci [4.7] se zaključuje da SUMU metoda daje najrealnije vrednosti proširene merne nesigurnosti za nivo poverenja približno 95%. Metoda RSSuC daje 81 vrednosti proširene merne nesigurnosti koje su znatno veće nego što je realno. Do istih zaključaka se dolazi i u ovom primeru. Tabela 4.2.2.7 Rezultati za faznu razliku između dva napona određeni primenom algoritma MSAL, rezultati za bias i proširena merna nesigurnost u koju je dodat bias na 3 načina, u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja dodatnih signala, primer sa 18 uzoraka u periodi. MSAL bias URSSuC URSSU USUMU+ USUMU- Fazni pomeraj r [br.uzoraka] ϕ [°] δ [°] [°] [°] [°] [°] 1 59,9003 -0,00106 0,0044 0,0039 0,0049 0,0027 2 59,9004 -0,00098 0,0045 0,0041 0,0050 0,0030 3 59,9007 -0,00067 0,0044 0,0043 0,0049 0,0035 4 59,9011 -0,00023 0,0042 0,0042 0,0044 0,0040 5 59,9016 0,00023 0,0042 0,0042 0,0040 0,0044 6 59,9020 0,00069 0,0042 0,0041 0,0033 0,0047 7 59,9026 0,00128 0,0049 0,0044 0,0029 0,0055 8 59,9044 0,00304 0,0072 0,0049 0,0008 0,0068 9 - - - - - - 10 59,8965 0,0048 0,0104 0,0061 0,0086 0 11 59,8987 0,0027 0,0066 0,0048 0,0066 0,0014 12 59,8998 0,0016 0,0050 0,0043 0,0055 0,0025 13 59,9008 0,0006 0,0043 0,0042 0,0047 0,0037 14 59,9017 -0,0003 0,0043 0,0042 0,0038 0,0046 15 59,9027 -0,0014 0,0049 0,0042 0,0026 0,0054 16 59,9042 -0,0029 0,0069 0,0049 0,0012 0,0068 17 59,9086 -0,0072 0,0149 0,0082 0 0,0110 18 - - - - - - 19 59,8931 0,0083 0,0169 0,0091 0,0120 0 20 59,8974 0,0040 0,0089 0,0057 0,0080 0,00001 21 59,8993 0,0021 0,0057 0,0045 0,0060 0,0020 22 59,9008 0,0006 0,0043 0,0042 0,0047 0,0037 23 59,9022 -0,0008 0,0045 0,0043 0,0033 0,0051 24 59,9038 -0,0024 0,0063 0,0047 0,0016 0,0064 25 59,9060 -0,0046 0,0101 0,0061 0 0,0086 26 59,9119 -0,0106 0,0215 0,0112 0 0,0144 27 - - - - - - Na slikama 4.2.2.1 do 4.2.2.3 prikazani su rezultati iz tabele 4.2.2.7 za faznu razliku u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja (r uzoraka) dodatnih signala i merna nesigurnost izračunata prema formulama (4.2.2.20) do (4.2.2.22). 82 Slika 4.2.2.1 Rezultati za faznu razliku 59,9° određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja (r uzoraka) dodatnih signala, i proširena merna nesigurnost URSSuC, primer sa 18 uzoraka u periodi signala. Slika 4.2.2.2 Rezultati za faznu razliku 59,9° određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja (r uzoraka) dodatnih signala, i proširena merna nesigurnost URSSU, primer sa 18 uzoraka u periodi signala. 83 Slika 4.2.2.3 Rezultati za faznu razliku 59,9° određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja (r uzoraka) pomoćnih signala, i proširena merna nesigurnost USUMU, primer sa 18 uzoraka u periodi signala. 4.2.3 Validacija Rezultati za faznu razliku između dva realna sinusna signala dobijeni primenom sistema za uzorkovanje signala i algoritma MSAL opisani u poglavlju 4.2.1, upoređeni su sa rezultatima merenja fazne razlike etalonom tip SD1000, proizvođača AVPower, koji ima sledivost prema ČMI, Češka, u cilju validacije metode [4.6]. Rezultat merenja fazne razlike etalonom tip SD1000 i proširena merna nesigurnost tog rezultata, data sa faktorom obuhvata k = 2, za normalnu raspodelu i verovatnoću približno 95 % u skladu sa GUM je: ϕ = 59,9000° ± 0,0889°. Za određivanje merne nesigurnosti u skladu sa GUM [3.14], polazi se od matematičkog modela merenja fazne razlike koji je za direktno merenje etalonom tip SD1000 dat jednačinom: 84 calSresSspecSresXSX ___ δϕδϕδϕδϕϕϕ +++−= − (4.2.3.1) gde je: • ϕX – vrednost fazne razlike između dva napona 59,900° zadata iz izvora, • ϕS – srednja vrednost fazne razlike koju pokazuje etalon tip SD1000 određena iz 10 ponovljenih merenja; ova vrednost iznosi 59,900° a tip A merne nesigurnosti usled ponavljanja merenja fazne razlike etalonom: 0,0001°, • δϕX-res – vrednost rezolucije zadavanja fazne razlike iz izvora dva napona; ova vrednost iznosi 0,001°, • δϕS-spec – vrednost greške merenja fazne razlike etalonom tip SD1000 koju je dao proizvođač; ova vrednost iznosi ± 0,075°, • δϕS-res – vrednost rezolucije merenja fazne razlike etalonom tip SD1000; ova vrednost iznosi 0,001°, • δϕS-cal – vrednost merne nesigurnosti etaloniranja etalona tip SD1000 koja je data u uverenju o etaloniranju; ova vrednost iznosi 0,02°, za faktor obuhvata k=2, i verovatnoću približno 95%. Smatra se da su komponente δϕX-res, δϕS-spec, δϕS-res, δϕS-cal u jednačini (4.2.3.1) jednake nuli, a njihove vrednosti se koriste za određivanje komponenti merne nesigurnosti u skladu sa GUM na sledeći način: • u(δϕX-res) = 0,001°/2√3, unifirmna raspodela verovatnoće, • u(δϕS-spec) = 0,075°/√3, unifirmna raspodela verovatnoće, • u(δϕS-res) = 0,001°/2√3, unifirmna raspodela verovatnoće, • u(δϕS-cal) = 0,02°/2, normalna raspodela verovatnoće. Kombinovana merna nesigurnost označena uC određuje se u skladu sa GUM koristeći jednačinu (2.3.1.6), u poglavlju 2.3.1. Za ovaj primer može se napisati: ( )xu ϕ2c = (c1⋅ u(ϕS))2 + (c2⋅ u(δϕX-res))2 + (c3⋅ u(δϕS-spec))2 + (c4⋅ u(δϕS-res))2 + + (c5⋅ u(δϕS-cal))2 . (4.2.3.2) Koeficijenti osetljivosti su parcijalni izvodi funkcije (4.2.3.1) i imaju vrednosti: 85 )( X 1 S c ϕ ϕ ∂ ∂= =1, )( X 2 resX c −∂ ∂= δϕ ϕ =-1, )( X 3 specS c −∂ ∂= δϕ ϕ = 1, )(4 resS Xc −∂ ∂= δϕ ϕ = 1, c5 = )( calS X −∂ ∂ δϕ ϕ = 1. (4.2.3.3) Efektivni broj stepeni slobode νeff izračuna se prema Welch – Satterthwaite formuli (2.3.1.10) datoj u poglavlju 2.3.1. U tabeli 4.2.3.1 dat je proračun budžeta merne nesigurnosti (MN) za direktno merenje fazne razlike između dva napona etalonom tip SD1000. Tabela 4.2.3.1 Budžet merne nesigurnosti za direktno merenje fazne razlike 59,9° između dva napona etalonom tip SD1000. Veliči- na Vred- nost u (xi) Tip Br. stepeni slobode Koef. oset. ci ci ⋅ u (xi) [ci 2⋅u2 (xi)/ uc2] ⋅ 100 [°] [°] MN [°] [°] (%) ϕX 59,900 - - - - - ϕS 59,900 0,0001 A 9 1 0,0001 0,0005 δϕX-res 0 0,00029 B ∞ -1 -0,00029 0,004 δϕS-spec 0 0,0433 B ∞ 1 0,0433 94,93 δϕS-res 0 0,00029 B ∞ 1 0,00029 0,004 δϕS-cal 0 0,01 B 50 1 0,01 5,06 νeff = 19507 uc = 0,0444° Proširena merna nesigurnost rezultata merenja fazne razlike koji je dat u tabeli 4.2.3.1, za faktor obuhvata k=2, normalnu raspodelu verovatnoće i nivo poverenja približno 95% je: U = 2 uC = 0,0889°. Rezultati za izmerenu faznu razliku 59,9° koristeći etalon SD1000 i rezultati dobijeni koristeći sistem za uzorkovanje signala i algoritam MSAL, mogu se uporediti na osnovu izračunatog broja En prema formuli [4.8]: 22 1 1 REF REF n UU eeE + −= (4.2.3.4) gde je: eREF - rezultat za izmerenu grešku fazne razlike 59,9° dobijen koristeći etalon SD1000, 86 UREF - rezultat za proširenu mernu nesigurnost za izmerenu grešku fazne razlike 59,9° dobijen koristeći etalon SD1000, e1 - rezultat za izmerenu grešku fazne razlike 59,9° dobijen koristeći sistem za uzorkovanje signala i algoritam MSAL, U1 - rezultat za proširenu mernu nesigurnost za izmerenu grešku fazne razlike 59,9° dobijen koristeći sistem za uzorkovanje signala i algoritam MSAL. Kriterijum za ocenu rezultata za faznu razliku između dva sinusna signala, dobijenih merenjem sa različitom opremom [4.8] je: |En|≤1 rezultati zadovoljavaju, |En|>1 rezultati ne zadovoljavaju (potrebno je pristupiti analizi mogućih uzroka i predlaganje korektivnih mera). U ovom primeru e1 = 0,0013°, eREF = 0°, U1 = 0,004°, UREF = 0,0889°, tako da se na osnovu formule (4.2.3.4) dobije broj En = 0,015 < 1, što znači da rezultati za faznu razliku između dva sinusna signala dobijeni merenjem u ovom primeru zadovoljavaju kriterijum |En|≤1. 4.2.4 Zaključak U ovom primeru dati su rezultati određivanja vrednosti fazne razlike između dva realna sinusna napona primenom algoritma MSAL na uzorke napona. • Uzorci napona Za uzorkovanje signala korišćena su dva DSV, tip 3458A, Agilent. Uzorkovano je 19 perioda signala sa po 18 uzoraka u periodi. Učestanost signala 53 Hz, učestanost uzorkovanja 954 Hz. Broj uzoraka u periodi signala nije deljiv sa 4. • Primena algoritma MSAL Za primenu algoritma MSAL za određivanje fazne razlike između dva sinusna signala nije potrebno poznavati učestanost signala i učestanost uzorkovanja već samo broj uzoraka u periodi signala. 87 Vrednosti r, p, q u ovom primeru sa dva realna sinusna napona, ne zadovoljavaju jednačinu (3.1.12). Vrednosti fazne razlike između ova dva napona određene primenom algoritma MSAL su pristrasne (imaju bias). Razlika između najveće i najmanje vrednosti fazne razlike dobijene primenom algoritma MSAL je: 4,1 m° ako su pomoćni signali fazno pomereni u odnosu na originalne signale za ugao (2πr/18) koji ima vrednosti u opsegu (0, π) odnosno r ima vrednost 1 do 8; 12,1 m° ako su dodatni signali fazno pomereni za ugao koji ima vrednosti u opsegu (π, 2π) odnosno r ima vrednost 10 do 17, i 18,8 m° ako su pomoćni signali fazno pomereni za ugao koji ima vrednosti u opsegu (2π, 3π) odnosno r ima vrednost 19 do 27. Obično se dodatni signali fazno pomeraju u odnosu na originalne signale za ugao u opsegu (0, π). Ostali rezultati su dati zbog ilustracije primene algoritma na realne signale. • Poređenje sa rezultatima drugih algoritama U tabeli 4.2.1.1 date su vrednosti fazne razlike 59,9° dobijene primenom algoritama 3PSF, 4PSF, 7PSF, UQDE4, MSAL4, UQDE5 i MSAL5 na ceo broj perioda signala. Iz tabele se vidi da rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni primenom algoritma MSAL4 odstupaju za najviše 0,00058° od rezultata dobijenih primenom algoritma 7PSF na iste uzorke signala, a rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni primenom algoritma MSAL5 odstupaju za najviše 0,00069° od rezultata dobijenih primenom algoritma 7PSF. Na slici 4.2.1.1 prikazani su rezultati dobijeni primenom navedenih algoritama na broj uzoraka koji ne odgovara celom broju perioda signala. Iz slike se vidi da rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni primenom algoritma MSAL4 ili MSAL5 odstupaju za najviše 0,36° od rezultata dobijenih primenom algoritma 7PSF na isti broj uzoraka signala. • Proračun merne nesigurnosti rezultata za faznu razliku Proračun je urađen u skladu sa GUM [1.34] na sledeći način: - određena je kombinovana merna nesigurnost vrednosti pojedinačnih uzorka sinusnih napona. Najmanju vrednost kombinovane merne nesigurnosti imaju uzorci sinusnog 88 napona koji imaju najveće amplitude napona, odnosno koji su u blizini ± π / 2, što je očekivano, - određena je merna nesigurnost vrednosti fazne razlike koja je izračunata primenom algoritma MSAL na uzorke 19 perioda signala. U toj mernoj nesigurnosti ulazni podaci su merne nesigurnosti uzoraka signala, - određena je proširena merna nesigurnost rezultata za faznu razliku. Bias rezultata je izražen u proširenoj mernoj nesigurnosti [GUM, tačka F.2.4.5.], [4.7]. Uzeto je aproksimativno da je srednja vrednost rezultata za faznu razliku određena primenom algoritama MSAL4 i MSAL5, vrednost bez biasa. U odnosu na tu vrednost određena je vrednost biasa za rezultate za faznu razliku dobijene kada su dodatni signali fazno pomereni za proizvoljan broj uzoraka. Najmanja merna nesigurnost vrednosti fazne razlike koja je izračunata primenom algoritma MSAL na uzorke signala je kada je vrednost faznog pomeraja dodatnih signala bliska π / 2. • Validacija Rezultati dobijeni koristeći dve različite metode merenja fazne razlike između dva sinusna napona, i to: 1) sistem za uzorkovanje signala uz primenu algoritma MSAL i 2) etalon tip SD1000, upoređeni su i izračunat je broj En = 0,015 < 1, što pokazuje ekvivalentnost rezultata određivanja fazne razlike. . 89 4.3 Primer sa 200 uzoraka u periodi signala Kao primer za broj uzoraka u periodi signala koji je deljiv sa 4 data su dva realna sinusna signala učestanosti 50 Hz koji su uzorkovani sa učestanošću 10 kHz. U tom slučaju je broj uzoraka u periodi svakog signala 200. Uzorci su uzeti na jednakom rastojanju jedan od drugog (engl. equidistantly) i prikazani na slici 4.3.1. -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 1 21 41 61 81 101 121 141 161 181 201 Broj uzorka signala N ap on [V ] Slika 4.3.1 Uzorci dva realna sinusna signala učestanosti 50 Hz, fazna razlika 10°, broj uzoraka u periodi po 200. U ovom primeru dati su rezultati za faznu razliku dobijeni primenom algoritma MSAL i algoritama UQDE, 3PSF, 4PSF, 7PSF na iste uzorke signala, u cilju poređenja. Primena algoritma MSAL na broj uzoraka koji odgovara celom broju perioda signala U tabeli 4.3.1 date su vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala koje su određene primenom algoritama UQDE50, MSAL50, 3PSF, 4PSF i 7PSF na uzorke dva sinusna signala sa po 200 uzoraka u periodi signala. 90 Tabela 4.3.1 Vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala određeni primenom algoritama UQDE50, MSAL50, 3PSF, 4PSF i 7PSF; broj uzoraka u periodi signala 200. Broj broj UQDE50, MSAL50 3PSF 4PSF 7PSF MSAL50- 7PSF uzoraka perioda ϕ10 [°] ϕ10 [°] ϕ10 [°] ϕ10 [°] Δϕ10 [°] 128 0,64 10,02142 10,00010 10,00466 10,00084 +0,02058 200 1 10,00043 10,00123 10,00030 10,00058 -0,00015 210 1,05 9,99852 10,00096 10,00051 10,00047 -0,00195 256 1,28 9,99946 10,00045 10,00071 10,00034 -0,00088 300 1,5 10,00691 10,00113 10,00033 10,00050 +0,00641 328 1,64 10,00884 10,00074 10,00021 10,00063 +0,00821 350 1,75 10,00752 10,00064 10,00022 10,00061 +0,00692 390 1,95 10,00186 10,00132 10,00026 10,00065 +0,00121 400 2 10,00057 10,00126 10,00037 10,00061 -0,00004 500 2,50 10,00446 10,00100 10,00051 10,00047 +0,00399 512 2,56 10,00530 10,00114 10,00037 10,00066 +0,00464 600 3 10,00059 10,00129 10,00051 10,00063 -0,00004 800 4 10,00059 10,00130 10,00056 10,00064 -0,00006 1000 5 10,00056 10,00124 10,00067 10,00058 -0,00002 1002 5,01 10,00048 10,00123 10,00066 10,00057 -0,00010 1005 5,025 10,00035 10,00120 10,00067 10,00058 -0,00022 1010 5,05 10,00018 10,00113 10,00068 10,00057 -0,00040 1024 5,12 9,99989 10,00086 10,00065 10,00059 -0,00070 1050 5,25 10,00016 10,00061 10,00063 10,00060 +0,00238 1100 5,5 10,00234 10,00128 10,00057 10,00062 +0,00171 1128 5,64 10,00299 10,00081 10,00060 10,00061 +0,00209 1150 5,75 10,00270 10,00061 10,00062 10,00060 +0,00041 1190 5,95 10,00102 10,00126 10,00060 10,00061 +0,00041 1200 6 10,00061 10,00127 10,00060 10,00061 -0,00001 1400 7 10,00061 10,00129 10,0006 10,00063 -0,00001 1600 8 10,00061 10,00129 10,0006 10,00063 -0,00003 1800 9 10,00060 10,00128 10,00062 10,00062 -0,00002 2000 10 10,00062 10,00130 10,00059 10,00064 -0,00002 2200 11 10,00064 10,00133 10,00055 10,00067 -0,00003 2205 11,025 10,00054 10,00129 10,00055 10,00066 -0,00012 2210 11,05 10,00046 10,00122 10,00057 10,00065 -0,00020 2225 11,125 10,00032 10,00092 10,00058 10,00065 -0,00033 2240 11,2 10,00035 10,00068 10,00059 10,00065 -0,00031 2250 11,25 10,00045 10,00066 10,00059 10,00065 -0,00020 2280 11,4 10,00105 10,00117 10,00055 10,00067 -0,00038 2300 11,5 10,00149 10,00134 10,00054 10,00067 -0,00082 2328 11,64 10,00181 10,00088 10,00055 10,00068 -0,00114 2350 11,75 10,00168 10,00068 10,00056 10,00067 -0,00101 2400 12 10,00063 10,00132 10,00058 10,00066 -0,00003 8192 40,96 10,00071 10,00133 10,00063 10,00069 +0,00002 91 Oznakama UQDE50 i MSAL50 u tabeli 4.3.1 obeleženi su rezultati za faznu razliku dobijeni kada su dodatni signali u primeni algoritama UQDE i MSAL pomereni za 50 uzoraka u odnosu na originalne signale, što odgovara faznom pomeraju od π/2. Ukoliko se u formulu za algoritam MSAL umesto celih vrednosti 50 i 10000 uvrste vrednosti izmerene frekvencmetrom za učestanost signala 50,00336 Hz i učestanost uzorkovanja 10000,008 Hz dobiju se vrednosti fazne razlike koje se od vrednosti MSAL50 navedene u tabeli 4.3.1 razlikuju za 5 ⋅10-8°. U poslednjoj koloni tabele 4.3.1 data je vrednost razlike rezultata za faznu razliku dobijenih primenom algoritama MSAL50 i 7PSF. Na slici 4.3.2 prikazane su vrednosti fazne razlike iz tabele 4.3.1 određene primenom algoritama na ceo broj perioda signala. Sa slike 4.3.2 je očigledno da su rezultati za faznu razliku dobijeni koristeći algoritme UQDE50 i MSAL50 jednaki i da odstupaju od rezultata za faznu razliku dobijenih koristeći algoritam 7PSF najviše za 0,00015°. Vrednosti za faznu razliku dobijene primenom algoritma 3PSF pokazuju necentriranost (bias) i odstupaju od vrednosti dobijenih primenom algoritma 7PSF za 0,00066°. Vrednosti za faznu razliku dobijene primenom algoritma 4PSF odstupaju od vrednosti dobijenih primenom algoritma 7PSF za 0,00001° do 0,00028°. 10.0002 10.0004 10.0006 10.0008 10.0010 10.0012 10.0014 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Broj perioda signala Fa zn a ra zl ik a [o ] UQDE50 MSAL50 3PSF 4PSF 7PSF Slika 4.3.2 Vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala sa 200 uzoraka u periodi signala u zavisnosti od broja perioda signala, određene primenom algoritama MSAL50, UQDE50, 3PSF, 4PSF i 7PSF na ceo broj perioda signala. Kada se, u ovom primeru, na uzorke signala primeni algoritam SAL dobije se vrednost fazne razlike 9,95684°. 92 Primena algoritma MSAL na broj uzoraka koji ne odgovara celom broju perioda signala Na slici 4.3.3 prikazane su vrednosti fazne razlike 10° dobijene primenom algoritama UQDE50, MSAL50 i 7PSF na uzorke dva realna sinusna signala sa 200 uzoraka u periodi signala, kada broj uzoraka signala na koje su primenjeni ne odgovara celom broju perioda signala. Na slici su prikazani rezultati za faznu razliku određeni za delove dvanaeste periode. Vrednosti za faznu razliku prikazane na slici 4.3.3 odstupaju od vrednosti dobijenih primenom navedenih algoritama na broj uzoraka signala koji odgovara celom broju perioda najviše za 0,00114°. Kada se algoritmi UQDE50 i MSAL50 primene na broj uzoraka dva signala koji ne odgovara celom broju perioda signala, oba algoritma daju iste rezultate za faznu razliku. 10.0002 10.0004 10.0006 10.0008 10.0010 10.0012 10.0014 10.0016 10.0018 10.0020 2200 2220 2240 2260 2280 2300 2320 2340 2360 2380 2400 Broj uzoraka Fa zn a ra zl ik a [o ] UQDE 7PSF MSAL Slika 4.3.3 Vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala u zavisnosti od broja uzoraka u dvanaestoj periodi signala; primenjeni algoritmi UQDE50, MSAL50 i 7PSF, broj uzoraka u periodi signala 200. Primena algoritma MSAL kada dodatni signali imaju proizvoljan fazni pomeraj U tabeli 4.3.2 date su vrednosti fazne razlike 10° dobijene primenom algoritma MSAL na ceo broj perioda dva signala, kada su dodatni signali pomereni za r = 1, 6, 10, 15, 25, 93 30, 40, 49, 50, 51, 65, 73, 75, 85, 89, 97, 98, 110, 150, 190 uzoraka u odnosu na originalne signale. Deo tih rezultata prikazan je na slici 4.3.4. 10.0004 10.0005 10.0006 10.0007 10.0008 10.0009 10.0010 10.0011 10.0012 10.0013 10.0014 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Broj perioda signala Fa zn a ra zl ik a [o ] MSAL1 MSAL10 MSAL25 MSAL30 MSAL50 MSAL75 MSAL85 MSAL150 MSAL190 Slika 4.3.4 Fazna razlika vrednosti 10° u zavisnosti od broja perioda dva uzorkovana sinusna signala sa 200 uzoraka u periodi signala, kada su dodatni signali fazno pomereni za 1, 10, 25, 30, 50, 75, 85, 150 i 190 uzoraka; primenjen algoritam MSAL. Iz tabele 4.3.2 se vidi da kada se algoritam MSAL primeni na ceo broj perioda signala iako dodatni signali nisu fazno pomereni za π/2 (odnodno 50 uzoraka) u odnosu na originalne signale, dobiju se rezultati koji neznatno odstupaju od vrednosti 10°. Kada su dodatni signali fazno pomereni u odnosu na originalne signale za vrednost različitu od π/2, ako se primeni formula koju koristi algoritam UQDE dobiju se vrednosti za faznu razliku koje znatno odstupaju od realnih vrednosti, jer je taj algoritam predviđen da se koristi samo kada su dodatni signali fazno pomereni u odnosu na originalne signale za vrednost π/2. U tabeli 4.3.3 date su vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala učestanosti 50 Hz, sa 200 uzoraka u periodi signala dobijeni primenom algoritama UQDE30, MSAL30, MSAL49, MSAL50 i MSAL51 u zavisnosti od broja uzoraka koji ne odgovara celom broju perioda signala na koje su primenjeni. 94 Tabela 4.3.2 Rezultati za faznu razliku 10° između dva realna sinusna signala, broj uzoraka u periodi signala 200, dobijeni koristeći MSAL algoritam primenjen na ceo broj perioda signala, kada su dodatni signali fazno pomereni za 1, 6, 10, 15, 25, 30, 40, 49, 50, 51, 65, 73, 75, 85, 89, 97, 98, 110, 150, 190 uzoraka. Perioda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Fazna razlika/ Algoritam ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] MSAL1 10,00119 10,00124 10,00126 10,00127 10,00122 10,00124 10,00125 10,00126 10,00125 10,00127 10,00130 MSAL6 10,00116 10,00119 10,00122 10,00123 10,00118 10,00120 10,00121 10,00122 10,00121 10,00123 10,00126 MSAL10 10,00109 10,00115 10,00117 10,00118 10,00112 10,00115 10,00116 10,00117 10,00116 10,00118 10,00121 MSAL15 10,00100 10,00107 10,00108 10,00109 10,00104 10,00107 10,00108 10,00109 10,00108 10,00110 10,00112 MSAL25 10,00077 10,00086 10,00088 10,00088 10,00083 10,00087 10,00088 10,00088 10,00088 10,00090 10,00092 MSAL30 10,00066 10,00076 10,00078 10,00077 10,00074 10,00078 10,00079 10,00078 10,00078 10,00080 10,00082 MSAL40 10,00049 10,00061 10,00063 10,00062 10,00059 10,00064 10,00064 10,00064 10,00064 10,00065 10,00067 MSAL49 10,00043 10,00057 10,00059 10,00058 10,00056 10,00060 10,00061 10,00060 10,00060 10,00062 10,00064 MSAL50 10,00043 10,00057 10,00059 10,00059 10,00056 10,00061 10,00061 10,00061 10,00060 10,00062 10,00064 MSAL51 10,00043 10,00058 10,00060 10,00059 10,00057 10,00061 10,00062 10,00061 10,00061 10,00062 10,00064 MSAL 65 10,00057 10,00074 10,00076 10,00075 10,00074 10,00079 10,00079 10,00078 10,00080 10,00080 10,00081 MSAL73 10,00071 10,00089 10,00091 10,00090 10,00090 10,00096 10,00095 10,00094 10,00094 10,00095 10,00097 MSAL75 10,00074 10,00093 10,00095 10,00094 10,00094 10,00100 10,00099 10,00098 10,00098 10,00100 10,00101 MSAL85 10,00085 10,00111 10,00110 10,00110 10,00113 10,00120 10,00117 10,00117 10,00116 10,00117 10,00119 MSAL89 10,00086 10,00116 10,00112 10,00113 10,00118 10,00126 10,00122 10,00122 10,00122 10,00122 10,00123 MSAL97 10,00054 10,00118 10,00089 10,00093 10,00123 10,00146 10,00127 10,00128 10,00130 10,00123 10,00120 MSAL98 10,00028 10,00115 10,00071 10,00076 10,00122 10,00156 10,00127 10,00129 10,00132 10,00120 10,00115 MSAL110 10,00124 10,00120 10,00129 10,00128 10,00115 10,00111 10,00118 10,00117 10,00115 10,00121 10,00125 MSAL150 10,00068 10,00068 10,00066 10,00063 10,00059 10,00061 10,00061 10,00061 10,00062 10,00065 10,00066 MSAL190 10,00134 10,00129 10,00119 10,00115 10,00118 10,00120 10,00120 10,00122 10,00126 10,00126 10,00125 95 Tabela 4.3.3 Vrednosti fazne razlike 10° između dva realna sinusna signala sa 200 uzoraka u periodi signala, u zavisnosti od broja uzoraka koji ne odgovara celom broju perioda signala; primenjeni algoritmi UQDE30, MSAL30, MSAL49 i MSAL51. Iz tabele 4.3.3 je jasno da kada se navedeni algoritmi primene na broj uzoraka signala koji ne odgovara celom broju perioda signala, primena formule UQDE30 daje rezultate koji odstupaju oko 2° a algoritam MSAL30 daje rezultate koji odstupaju do 0,7° u odnosu na rezultate dobijene primenom algoritama na ceo broj perioda signala. U tabeli 4.3.4 dati su rezultati za faznu razliku 10° dobijeni primenom algoritma MSAL na 19 perioda dva signala u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja dodatnih signala, i izračunate vrednosti necentriranosti (biasa) u odnosu na vrednost fazne razlike koja odgovara r = 50 uzoraka. Vrednosti biasa u tabeli su najveće kada je fazni pomeraj blizak vrednostima 180° i 360°. S obzirom da je vrednost za faznu razliku dobijena primenom algoritma 7PSF skoro identična vrednosti rezultata za faznu razliku dobijenih primenom algoritma MSAL50, sledi da su vrednosti biasa skoro identične razlici ϕMSAL−ϕ7PSF. Broj broj UQDE30 MSAL30 MSAL49 MSAL51 uzoraka perioda ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] ϕ [°] 128 0,64 7,78352 9,58959 9,97060 10,07473 210 1,05 8,15407 10,04299 9,96292 10,00555 256 1,28 7,59127 9,35419 9,96292 10,03547 300 1,5 8,11951 10,00072 10,00654 10,00730 328 1,64 7,98474 9,83585 9,98896 10,02957 350 1,75 7,75419 9,55368 9,97924 10,03569 390 1,95 8,03571 9,89821 10,00035 10,00289 512 2,56 8,13136 10,01521 10,00168 10,00931 1010 5,05 8,12654 10,00932 9,99888 10,00165 1024 5,12 8,09064 9,96541 9,99475 10,00529 1050 5,25 7,99141 9,84401 9,99070 10,00955 1100 5,5 8,11957 10,00079 10,00223 10,00244 1128 5,64 8,07955 9,95185 9,99719 10,00902 1150 5,75 8,00453 9,86007 9,99408 10,01125 1190 5,95 8,09198 9,96704 10,00053 10,00135 8192 40,96 8,11669 9,99727 10,00068 10,00073 96 Tabela 4.3.4 Rezultati za faznu razliku 10° između dva napona određeni primenom algoritma MSAL na 19 perioda napona, u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja dodatnih signala; primer sa 200 uzoraka u periodi signala. Fazno kašnjenje dodatnih signala, Oznaka algoritma MSAL, fazna razlika Bias rezultata Razlika MSAL-7PSF r [uzorak] [°] ϕ [°] δ [°] ϕMSAL−ϕ7PSF [°] 1 2 MSAL1 10,0019 0,0013 0,0013 6 11 MSAL6 10,0019 0,0013 0,0012 10 18 MSAL10 10,0018 0,0012 0,0012 15 27 MSAL15 10,0017 0,0011 0,0011 30 54 MSAL30 10,0014 0,0008 0,0008 40 72 MSAL40 10,0009 0,0003 0,0003 50 90 MSAL50 10,0006 REF -0,00002 65 117 MSAL65 10,0001 -0,0005 -0,0005 75 135 MSAL75 9,9995 -0,0012 -0,0012 85 153 MSAL85 9,9978 -0,0029 -0,0029 97 175 MSAL97 9,9803 -0,0204 -0,0204 98 176 MSAL98 9,9694 -0,0313 -0,0313 99 178 MSAL99 9,9367 -0,0639 -0,0639 100 180 - - - - 101 182 MSAL101 10,0599 0,0592 0,0592 105 189 MSAL105 10,0148 0,0142 0,0142 110 198 MSAL110 10,0045 0,0038 0,0038 120 216 MSAL120 10,0044 0,0038 0,0038 130 234 MSAL130 10,0028 0,0021 0,0021 150 270 MSAL150 10,0006 0,0000 -0,00001 170 306 MSAL170 9,9984 -0,0022 -0,0023 190 342 MSAL190 9,9893 -0,0113 -0,0114 195 351 MSAL195 9,9201 -0,0805 -0,0805 199 358 MSAL199 9,8716 -0,1290 -0,1290 200 360 - - - - 201 362 MSAL201 10,1322 0,1315 0,1315 205 369 MSAL205 10,0277 0,0271 0,0271 210 378 MSAL210 10,0144 0,0138 0,0138 230 414 MSAL230 10,0042 0,0036 0,0036 250 450 MSAL250 10,0006 0,0000 -0,00002 270 486 MSAL270 9,9969 -0,0037 -0,0038 280 504 MSAL280 9,9932 -0,0074 -0,0074 290 522 MSAL290 9,9830 -0,0176 -0,0177 295 531 MSAL295 9,9632 -0,0375 -0,0375 299 538 MSAL299 9,8065 -0,1942 -0,1942 300 540 - - - - Napomene uz tabelu: 1) Rezultat za faznu razliku dobijen primenom algoritma 7PSF na 19 perioda signala je 10,0006519°. 97 2) U periodi jednog signala ima 200 uzoraka; rezultati za faznu razliku dobijeni primenom algoritma MSAL su dati za 19 perioda signala; 3) za uvedeno fazno kašnjenje dodatnih signala r = 100 uzoraka (odgovara π), r = 200 uzoraka (odgovara 2π) i r = 300 uzoraka (odgovara 3π) algoritam MSAL nije primenljiv. Na slici 4.3.5 prikazani su rezultati za faznu razliku 10° između dva realna sinusna napona određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja dodatnih signala prema tabeli 4.3.4. 9.750 9.800 9.850 9.900 9.950 10.000 10.050 10.100 10.150 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Fazni pomeraj dodatnih signala, r uzoraka Fa zn a ra zl ik a [o ] Slika 4.3.5 Rezultati za faznu razliku 10° između dva realna sinusna napona određeni primenom algoritma MSAL u zavisnosti od uvedenog faznog kašnjenja dodatnih signala; primer sa 200 uzoraka u periodi signala. Na slici 4.3.5 se vidi da kada je potrebno dobiti najtačnije rezultate za faznu razliku između dva signala koriste se pomoćni signali sa faznim pomerajem jednakim do 80 uzoraka signala. Vrednosti fazne razlike koje se dobiju za druge pomeraje dodatnih signala prikazane su na slici radi ilustracije. Zaključak U ovom poglavlju prikazan je primer određivanja fazne razlike primenom algoritma MSAL na uzorke dva realna sinusna napona, kada je u periodi signala uzorkovano 200 uzoraka, tako da je broj uzoraka u periodi signala deljiv sa 4. 98 Bias vrednosti fazne razlike je određen u odnosu na vrednost dobijenu koristeći algoritam MSAL50. Najveća vrednost tako određenog biasa u opsegu signala (0, π) je 0,064°. Iz tabele 4.3.4 se vidi da je razlika između najveće i najmanje vrednosti fazne razlike dobijene primenom algoritma MSAL jednaka: • 0,064° ako dodatni signali imaju fazni pomeraj u odnosu na originalne signale za ugao u opsegu (0, π), odnosno za broj uzoraka r od 1 do 99; • 0,129° ako dodatni signali imaju fazni pomeraj u odnosu na originalne signale za ugao u opsegu (π, 2π) odnosno za broj uzoraka r od 101 do 199, i • 0,194° ako dodatni signali imaju fazni pomeraj u odnosu na originalne signale za ugao u opsegu (2π, 3π) odnosno za broj uzoraka r od 201 do 299. Kada se ne zahteva veća tačnost određivanja fazne razlike između dva signala koristeći algoritam MSAL, onda se u ovom primeru algoritam može primeniti: • bez obzira na to koliko iznosi izabrani pomeraj dodatnih signala, i • bez obzira da li se primenjuje na ceo broj perioda signala ili na broj uzoraka koji ne odgovara celom broju perioda signala. Kada se zahteva veća tačnost određivanja fazne razlike između dva signala koristeći algoritam MSAL, onda se: • bira fazni pomeraj dodatnih signala u blizini vrednosti π/2, ili • vrši se korekcija za vrednost biasa rezultata. 99 4.4 Primeri kada količnik učestanosti uzorkovanja i učestanosti signala nije ceo broj Uzorkovanje realnih signala nikada nije idealno. U praksi se događa da količnik učestanosti uzorkovanja i učestanosti signala nije ceo broj. U ovom poglavlju razmatrana je primena formule MSAL na takve primere uzorkovanja. Data su dva primera uzorkovanja dva realna sinusna signala: 1) učestanost signala 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz i 2) učestanost signala 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz. Uzorci su uzeti na jednakom rastojanju jedan od drugog. U ovim slučajevima uzorkovanja, u susednim periodama signala pojavljuje se broj uzoraka koji se razlikuje za 1, što se vidi na slici 4.4.1. Fazna razlika između dva navedena signala može da se izračuna primenom formule za MSAL algoritam (3.2.7) iz poglavlja 3, na kvazikoherentno uzorkovanje koje se realizuje tako da se algoritam primenjuje na veliki broj perioda koji odgovara približno celom broju perioda signala. Drugi način određivanja fazne razlike dva navedena signala je da se u formulu za MSAL algoritam (3.2.7) iz poglavlja 3, uvrsti vrednost količnika učestanosti fs/f0 umesto količnika p/q, pri čemu su fs i f0 vrednosti učestanosti izmerene frekvencmetrom. 1) Primer: učestanost signala 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz Na slici 4.4.1 prikazani su uzorci dva realna sinusna signala učestanosti f0 = 800 Hz, fazna razlika 30° dobijeni uzorkovanjem sa učestanošću fs = 10 kHz. Vrednost količnika učestanosti uzorkovanja i učestanosti signala je fs/f0 = 12,5. Na slici je očigledno da je uzorkovanjem signala dobijeno u periodama signala 12 i 13 uzoraka. Broj 12 uzoraka u periodi signala deljiv je sa 4, odnosno faznom pomeraju π/2 odgovaraju 3 uzorka signala. Kada je 13 uzoraka u periodi signala onda faznom pomeraju π/2 odgovara matematički 13/4 = 3,25 uzoraka signala. 100 -1.00 -0.80 -0.60 -0.40 -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 Broj uzoraka signala N ap on [V ] Slika 4.4.1 Uzorci dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, fazna razlika 30°, učestanost uzorkovanja 10 kHz. Na slici 4.4.2 prikazani su rezultati određivanja fazne razlike između dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, fazna razlika 30°, učestanost uzorkovanja 10 kHz, dobijeni koristeći formulu (3.2.7) u koju se uvrsti stvarna vrednost količnika učestanosti fs/f0 umesto količnika p/q, kada su dodatni signali u algoritmima MSAL1, MSAL3, MSAL4, MSAL7, MSAL10, MSAL12 pomereni u odnosu na originalne signale za 1, 3, 4, 7, 10, 12 uzoraka, respektivno. 29.946 29.956 29.966 29.976 29.986 29.996 30.006 30.016 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Broj uzoraka signala Fa zn a ra zl ik a [o ] MSAL3 MSAL4 MSAL7 MSAL12 MSAL10 MSAL1 Slika 4.4.2 Vrednost fazne razlike 30° između dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od broja uzoraka signala dobijena koristeći algoritme MSAL1, MSAL3, MSAL4, MSAL7, MSAL10, MSAL12. Najveća vrednost odstupanja rezultata za faznu razliku od vrednosti 30° na slici 4.4.2 je 0,05° za MSAL12 (fazni pomeraj uzoraka dodatnih signala je blizu vrednosti 101 2π). Najmanja vrednost odstupanja rezultata za faznu razliku od vrednosti 30° na slici 4.4.2 je 0,003° za 500 i više uzoraka signala za MSAL3 i MSAL4 (fazni pomeraj uzoraka dodatnih signala u odnosu na originalne signale je blizu vrednosti π/2). Rezultati za faznu razliku između dva signala dobijeni primenom algoritma MSAL13 (fazni pomeraj uzoraka dodatnih signala je blizu vrednosti 2π) prikazani su posebno na slici 4.4.3 iz koje se vidi da je najveća vrednost odstupanja rezultata za faznu razliku od vrednosti 30° dobijena za 25 uzoraka i iznosi 0,86°, a kada se algoritam primeni na više od 300 uzoraka to odstupanje je manje od 0,04°. 29.10 29.20 29.30 29.40 29.50 29.60 29.70 29.80 29.90 30.00 30.10 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 Broj uzoraka signala Fa zn a ra zl ik a [o ] MSAL13 Slika 4.4.3 Vrednost fazne razlike 30° između dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od broja uzoraka signala dobijena primenom algoritma MSAL13. Na slici 4.4.4 prikazana je zavisnost vrednosti fazne razlike 30° između dva sinusna signala učestanosti 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od proizvoljnog broja uzoraka signala (između 799 do 813), kada su dodatni signali fazno pomereni za 3 uzorka (fazni pomeraj uzoraka dodatnih signala je blizu vrednosti π/2) u odnosu na originalne signale. Sa slike 4.4.4 se vidi da najveća vrednost odstupanja rezultata za faznu razliku od vrednosti 30° iznosi -0,007°. 102 29.993 29.994 29.995 29.996 29.997 29.998 29.999 30.000 798 800 802 804 806 808 810 812 814 Broj uzoraka signala Fa zn a ra zl ik a [o ] MSAL3 Slika 4.4.4 Vrednost fazne razlike 30° između dva realna sinusna signala učestanosti 800 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od bilo kog broja uzoraka signala dobijena primenom algoritma MSAL3. 2) Primer: učestanost signala 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz Uzorci dva sinusna signala učestanosti f0 = 49,623 Hz (izmereno frekvencmetrom), amplituda 1,2 V, fazna razlika između signala 63°, dobijeni su uzorkovanjem sa učestanošću fs = 10 kHz. Broj tako dobijenih uzoraka u periodama signala je 201 i 202, naizmenično. Količnik fs/f0 = 201,52. Kada je broj uzoraka signala u periodi 201, onda je matematički 201/4 = 50,25 uzoraka. Kada je broj uzoraka signala u periodi 202, onda je matematički 202/4 = 50,5 uzoraka. Primena algoritma MSAL na približno ceo broj perioda signala Na slici 4.4.5 prikazane su vrednosti fazne razlike 63° između dva navedena sinusna signala određene primenom algoritama 7PSF, MSAL50(q/p), MSAL50(fo/fs) MSAL51(q/p) i MSAL51(fo/fs) na broj uzoraka 403, 605, 806, 1008, 1613, 2016, 3023 i 3628 uzoraka, koji odgovaraju približno sledećem broju perioda napona: 2, 3, 4, 5, 8, 10, 15 i 18. Oznaka MSAL50 (q/p) označava da je u formuli za MSAL korišćen 103 količnik broja perioda i broja uzoraka signala bez poznavanja učestanosti signala i učestanosti uzorkovanja. Oznaka MSAL50(fo/fs) označava da je u formuli za MSAL korišćen količnik učestanosti signala i učestanosti uzorkovanja umesto količnika q/p. Oznaka MSAL50 znači da se koristi algoritam MSAL kada dodatni signali imaju fazni pomeraj u odnosu na originalne signale, koji odgovara 50 uzoraka. 62.941 62.942 62.943 62.944 62.945 62.946 62.947 62.948 62.949 62.950 62.951 62.952 200 600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 3800 Broj uzoraka signala Fa zn a ra zl ik a [o ] MSAL51(q/p) MSAL51(fo/fs) 7PSF MSAL50(q/p) MSAL50(fo/fs) Slika 4.4.5 Vrednosti fazne razlike 63° između dva realna sinusna signala učestanosti 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od broja uzoraka, dobijene primenom algoritama 7PSF, MSAL50(q/p), MSAL50(fo/fs), MSAL51(q/p) i MSAL51(fo/fs). Sa slike 4.4.5 je očigledno da su rezultati dobijeni primenom algoritama MSAL50(fo/fs) i MSAL51(fo/fs) na broj uzoraka koji je jednak približno celom broju perioda signala, približno jednaki vrednostima dobijenim primenom algoritma 7PSF na iste uzorke signala. Razlika vrednosti dobijenih primenom algoritama MSAL50(q/p) i MSAL50(fo/fs) je 1,6 m°, a primenom MSAL51(q/p) i MSAL51(fo/fs) je 7,1 m°. Primena algoritma MSAL na bilo koji broj uzoraka signala Na slici 4.4.6 prikazane su vrednosti fazne razlike 88° između dva sinusna signala učestanosti 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, za izabrani proizvoljan broj uzoraka u šestoj periodi signala (1008 uzoraka ≈ 5 perioda, 1210 uzoraka ≈ 6 perioda), dobijene primenom algoritama MSAL49, MSAL50, MSAL51 i 7PSF. 104 Sa slike 4.4.6 je očigledno da vrednosti fazne razlike dobijene koristeći algoritam MSAL50 odstupaju ≤ 0,015° od vrednosti fazne razlike izračunate primenom algoritma 7PSF, a da u tačkama koje odgovaraju približno celom broju perioda signala odstupaju ≤ 0,0004°. Između vrednosti fazne razlike dobijenih koristeći formulu (MSAL50 + MSAL51)/2 i vrednosti dobijenih primenom algoritma 7PSF, najveća razlika vrednosti je 0,0053°. 87.945 87.955 87.965 87.975 87.985 87.995 88.005 88.015 88.025 88.035 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 6.0 Broj perioda signala Fa zn a ra zl ik a [o ] MSAL51 MSAL50 7PSF MSAL49 (MSAL50+MSAL51)/2 Slika 4.4.6 Fazna razlika vrednosti 88° između dva realna sinusna signala učestanosti 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od delova periode signala, dobijena primenom algoritama MSAL i 7PSF. Primena algoritma MSAL kada dodatni signali imaju proizvoljan fazni pomeraj U tabeli 4.4.1 prikazani su rezultati određivanja fazne razlike vrednosti 63° koristeći algoritme 7PSF i MSAL za uvedeno fazno kašnjenje dodatnih signala koje odgovara 5, 10, 15, 20, 51 i 76 uzoraka. Algoritmi su primenjeni na približno ceo broj perioda signala. Algoritam MSAL je primenjen tako da se umesto celobrojne vrednosti q/p koristi vrednost fo/fs. U tabeli su posebno označena najveća odstupanja dobijenih vrednosti u odnosu na vrednost dobijenu primenom algoritma 7PSF. 105 Tabela 4.4.1 Vrednosti fazne razlike 63° između dva realna sinusna signala učestanosti 49,623 Hz, učestanost uzorkovanja 10 kHz, u zavisnosti od broja uzoraka signala koji odgovara približno celom broju perioda signala. MSAL51 (fo/fs) MSAL51(fo/fs) - 7PSF MSAL20 (fo/fs) MSAL20(fo/fs) - 7PSF MSAL15 (fo/fs) MSAL15(fo/f s) -7PSF N [°] [°] [°] [°] [°] [°] 403 62,94341 -0,00042 62,94337 -0,00046 62,94269 -0,00114 605 62,94376 0,00031 62,94357 0,00011 62,94873 0,00528 806 62,94261 -0,00098 62,94368 0,00009 62,94277 -0,00082 1008 62,94316 -0,00038 62,94368 0,00014 62,94651 0,00297 1613 62,94376 0,00005 62,94364 -0,00007 62,94732 0,00361 2016 62,94395 0,00003 62,94391 -0,00002 62,94672 0,00280 3023 62,94432 -0,00014 62,94456 0,00010 62,94505 0,00059 3628 62,94474 -0,00001 62,94481 0,00006 62,94608 0,00133 MSAL10 (fo/fs) MSAL10(fo/fs) -7PSF MSAL5 (fo/fs) MSAL5(fo/fs) -7PSF MSAL76 (fo/fs) MSAL76(fo/fs) -7PSF N [°] [°] [°] [°] [°] [°] 403 62,94194 -0,00189 62,94120 -0,00264 62,93995 -0,00388 605 62,95445 0,01100 62,96018 0,01672 62,96978 0,02632 806 62,94202 -0,00157 62,94128 -0,00231 62,94005 -0,00354 1008 62,94965 0,00611 62,95279 0,00925 62,95796 0,01443 1613 62,95142 0,00771 62,95553 0,01182 62,96264 0,01893 2016 62,94985 0,00592 62,95300 0,00907 62,95837 0,01444 3023 62,94354 -0,00092 62,94613 0,00167 62,94695 0,00249 3628 62,94748 0,00273 62,94889 0,00414 62,95122 0,00647 Tabela 4.4.2 Razlike između vrednosti fazne razlike 63° koje su određene primenom algoritma MSAL kada se koristi količnik q/p i algoritmom MSAL kada se koristi količnik fo/fs, za bilo koji broj uzoraka signala. Algoritam Razlika [°] MSAL50(q/p) - MSAL50(fo/fs) 0,002 MSAL51(q/p) - MSAL51(fo/fs) 0,007 MSAL76(q/p) – MSAL76(fo/fs) 0,42 do 0,44 MSAL20(q/p) – MSAL20(fo/fs) 0,15 do 0,16 MSAL15(q/p) – MSAL15(fo/fs) 0,16 do 0,17 MSAL10(q/p) – MSAL10(fo/fs) 0,17 do 0,18 MSAL5(q/p) – MSAL5(fo/fs) 0,17 do 0,19 Iz tabele 4.4.2 se vidi da postoji razlika između vrednosti fazne razlike koje su određene algoritmom MSAL kada se koristi količnik q/p i algoritmom MSAL kada se umesto njega koristi količnik fo/fs, koja se kreće do 0,44°. 106 4.5 Poređenje rezultata primene algoritama – zaključak U tabelama u poglavlju 4 dati su rezultati za faznu razliku koji su dobijeni primenom različitih algoritama na uzorke dva realna sinusna signala u cilju određivanja fazne razlike između dva signala. Uzorkovanje signala je bilo uniformno. Razmatrani su uzorci dva realna sinusna signala kada je broj uzoraka u periodi signala deljiv sa 4, kada broj uzoraka u periodi signala nije deljiv sa 4 i kada količnik učestanosti uzorkovanja i učestanosti signala nije ceo broj. U slučajevima kada količnik učestanosti uzorkovanja i učestanosti signala nije ceo broj, u susednim periodama uzorkovanog signala dobije se broj uzoraka koji se razlikuje za 1. Takva situacija je prikazana u primerima poglavlja 4.4, kada u periodama signala ima naizmenično 12 i 13 uzoraka i primeru kada u periodama signala ima naizmenično 201 i 202 uzorka. Iz rezultata za faznu razliku dobijenih primenom algoritama UQDE, MSAL, 3PSF, 4PSF i 7PSF na uzorke realnih električnih signala niskih učestanosti, zaključuje se sledeće: • kada se algoritmi UQDE i MSAL primene na bilo koji broj uzoraka dva signala koji zadovoljavaju uslov da je broj uzoraka u periodi signala deljiv sa 4, dobiju se približno isti rezultati za faznu razliku između signala primenom oba algoritma, za slučaj kada su dodatni signali fazno pomereni za π/2 u odnosu na originalne signale. Navedeni rezultati su približno jednaki rezultatima dobijenim primenom algoritma 7PSF; • algoritam MSAL se može koristiti i kada dodatni signali nisu pomereni za π/2 u odnosu na originalne signale već za bilo koju vrednost faznog pomeraja (osim aπ, a = 0, 1, 2, ...), ako se proračun fazne razlike odnosi na ceo broj perioda signala; kada broj perioda signala nije ceo broj, MSAL daje necentrirane rezultate za faznu razliku; • prethodni zaključci važe i za situacije kada se algoritmi UQDE i MSAL primene na uzorke dva signala koji ne zadovoljavaju uslov da je broj uzoraka u periodi signala deljiv sa 4. U tom slučaju, rezultati za faznu razliku dobijeni kao srednja vrednost rezultata dobijenih primenom algoritma MSALx i MSAL(x+1) približno su jednaki 107 rezultatima dobijenim primenom algoritma 7PSF, gde je x ceo broj uzoraka signala koji odgovara približno vrednosti faznog pomeraja dodatnih signala π/2 u odnosu na originalne signale; • primenom algoritma MSAL za određivanje fazne razlike između dva realna sinusna signala u slučaju kada količnik fs/f0 nije ceo broj, zbog čega se uzorkovanjem dobije broj uzoraka signala u susednim periodama koji se razlikuje za 1 uzorak, utvrđeno je da se dobiju zadovoljavajući rezultati za faznu razliku kada se u formuli za MSAL umesto q/p koristi se vrednost f0/fs. 108 Glava 5 Zaključak Procena fazne razlike između dva sinusna signala sa aditivnim belim Gausovim šumom razmatrana je u mnogim radovima. Razlog za to je primena u raznim oblastima elektrotehnike, kao što su merenje aktivne i reaktivne električne snage i energije, faktora snage, harmonika električnog napona i struje, određivanja kompleksnog odnosa izlaznog i ulaznog signala mernih pretvarača (delitelji napona i strujni šantovi), analize pojačavača sa povratnom spregom, kola oscilatora i filtera. Tipični zahtevi za estimator fazne razlike su tačnost procene, brzina dobijanja rezultata i manja kompleksnost algoritma. Iz uzoraka dva sinusna signala može da se odredi fazna razlika. U disertaciji su opisani različiti postupci uzorkovanja signala. Danas se u Nacionalnim metrološkim institutima koriste analogno-digitalni konvertori sa funkcijom integraljenja (IADC) za dobijanje uzoraka signala. U ovoj disertaciji je za merenje korišćen sistem sa dva IADC. Postoji mnogo algoritama za određivanje fazne razlike iz uzoraka dva sinusna signala. U disertaciji je detaljnije obrađen najpre algoritam UQDE (engl. unbiased quadrature delay estimator) na osnovu kojeg su izvedeni novi algoritmi nazvani SAL i MSAL. Detaljnije su opisani i algoritmi 3PSF, 4PSF i 7PSF (engl. three, four and seven parameter sinus fitting algorithms) jer su rezultati određivanja fazne razlike dobijeni 109 primenom algoritma MSAL upoređeni sa rezultatima dobijenim primenom tih algoritama na iste uzorke signala. Dat je pregled i nekih složenijih algoritama za određivanje fazne razlike zasnovanih na Furijeovoj transformaciji, maksimalnoj verodostojnosti i linearnoj predikciji. Od interesa za praktičnu upotrebu su oni algoritmi koji ne zahtevaju obimno izračunavanje. Novi algoritam MSAL predložen u disertaciji ima za cilj da se smanji složenost izračunavanja a zadrži tačnost algoritma za određivanje fazne razlike iz uzoraka dva sinusna signala sa aditivnim šumom. Algoritam je zasnovan na množenju uzoraka dva originalna sinusna signala sa dodatnim signalima koji predstavljaju fazno pomerene uzorke originalnih signala. Izborom faznog kašnjenja dodatnih signala moguće je odrediti vrednost fazne razlike između dva originalna signala koristeći samo po dva uzorka svakog signala (algoritam nazvan SAL), a koristeći nešto složeniju formulu može da se odredi vrednost fazne razlike sa znatno manjom greškom (algoritam nazvan MSAL). Simulacije u cilju provere performansi novih algoritama urađene su u Matlabu. Algoritam SAL, zaključci iz simulacija: - može se koristiti za brzo određivanje fazne razlike sa greškom ≤ 1°, - simulacija određivanja srednje kvadratne greške (MSE) fazne razlike koristeći algoritam SAL u zavisnosti od odnosa signal-šum, za konkretnu vrednost greške faznog pomeraja dodatnih signala, pokazuje da je procena MSE u tom slučaju necentrirana (ima bias), - simulacija određivanja MSE fazne razlike u zavisnosti od fazne razlike za konkretnu vrednost greške faznog pomeraja dodatnih signala i odnos signal-šum, pokazuje da je procena MSE necentrirana (ima bias). Algoritam MSAL, zaključci iz simulacija: - simulacija određivanja greške fazne razlike u zavisnosti od greške pomeraja dodatnih signala, pokazuje da je greška fazne razlike jednaka nuli, - simulacija određivanja MSE fazne razlike koristeći algoritam MSAL u zavisnosti od odnosa signal-šum, za konkretnu vrednost greške faznog pomeraja dodatnih signala, pokazuje da je procena MSE centrirana (nema bias) kada je ukupan broj uzoraka signala koji se koriste za određivanje fazne razlike jednak proizvodu celog broja perioda signala i broja uzoraka po periodi, 110 - simulacija određivanja MSE fazne razlike koristeći algoritam MSAL u zavisnosti od od odnosa signal-šum za konkretnu vrednost greške faznog pomeraja dodatnih signala, za vrednost broja perioda signala, koji nije ceo broj, pokazuje da je procena MSE necentrirana (ima bias). Zatim su novi algoritmi primenjeni na određivanje fazne razlike iz uzoraka realnih električnih signala. Upoređeni su dobijeni rezultati za faznu razliku koristeći algoritme SAL i MSAL sa rezultatima dobijenim primenom algoritama QDE, UQDE, 3PSF, 4PSF i 7PSF na iste uzorke signala. Algoritmi su primenjeni na realne električne signale niskih učestanosti jer je takva oprema bila na raspolaganju. Algoritam MSAL, zaključci iz rezultata primene na uzorke realnih električnih signala niskih učestanosti: - kada se algoritmi UQDE i MSAL primene na bilo koji broj uzoraka dva signala koji zadovoljavaju uslov da je broj uzoraka u periodi signala deljiv sa 4, dobiju se približno isti rezultati za faznu razliku primenom oba algoritma, u slučaju kada su dodatni signali fazno pomereni za π/2 u odnosu na originalne signale. Kada broj perioda signala nije ceo broj, rezultati za faznu razliku imaju bias; - algoritam MSAL može da se koristi i kada dodatni signali nisu fazno pomereni za π/2 u odnosu na originalne signale, već za bilo koju vrednost (odnosno broj uzoraka signala); u tom slučaju kada se proračun fazne razlike odnosi na ceo broj perioda signala rezultati imaju neznatan bias. Merna nesigurnost rezultata određivanja fazne razlike postupkom u kojem se koristi algoritam MSAL određena je primenom međunarodnog Uputstva za određivanje merne nesigurnosti (GUM). Rezultati za faznu razliku dobijeni postupkom u kojem je primenjen algoritam MSAL na uzorke realnih signala upoređeni su sa rezultatima za faznu razliku dobijenim merenjem etalonom koji ima metrološku sledivost. Izračunat je En broj koji je zadovoljio kriterijum En ≤ 1, i na taj način je validovan algoritam. Za primenu algoritma MSAL nije potrebno poznavati učestanost signala i učestanost uzorkovanja. U budućem radu može se proveriti primena algoritma MSAL za određivanje fazne razlike između realnih sinusnih signala visokih učestanosti. 111 Literatura [1.1] BIPM Calibration and Measurement Capabilities of National Metrology Institutes http://kcdb.bipm.org/AppendixC/default.asp [1.2] SRPS EN 8000-6:2010. Veličine i jedinice — Deo 6: Elektromagnetizam. [1.3] The Measurement, Instrumentation and Sensors Handbook, editor-in-Chief John Webster, CRC Press, IEEE Press, 1999., poglavlje 41. [1.4] H. Buckingham, E. M. Price „Principles of electrical measurements“, The English Universities Press Limited, London, 1966. poglavlje 11. [1.5] Alan S. Morris „Measurement and Instrumentation Principles“, izdavač Butterworth - Heinemann, Oxford, USA, ISBN 0 7506 5081 8. [1.6] Ilya Budovsky „Measurement of Phase Angle Errors of Precision Current Shunts in the Frequency Range From 40 Hz to 200 kHz”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 56, no. 2, str. 284–288, april 2007, DOI 10.1109/ TIM.2007.891117. [1.7] Kes Tam „Current-Transformer Phase-Shift Compensation and Calibration”, Texas Instrument, Application Report, 2001., www.ti.com [1.8] JCGM 200:2008 International Vocabulary of Metrology – Basic and General Concepts and Associated Terms (VIM), BIPM, Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM), 2008. [1.9] ISO/IEC Guide 99-12:2007 International Vocabulary of Metrology - Basic and General Concepts and Associated Terms, VIM. 112 [1.10] BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML, Međunarodni rečnik osnovnih i opštih termina u metrologiji, prevod Savezni zavod za mere i dragocene metale, Beograd, 1996. [1.11] Predrag Pejović „Princip rada i primena osciloskopa” – priručnik za rad u laboratoriji, Beograd, 1999. [1.12] Gabriele D’Antona, Alessandro Ferrero „Digital Signal Processing for Measurement Systems, Theory and Applications”, 2006 Springer Science+Business Media, Inc., USA, ISBN-10: 0-387-24966-4, ISBN-13: 978- 0387-24966-7, e-ISBN 0-387-28666-7. [1.13] N. Oldham, T. Nelson, R. Bergeest, G. Ramm, R. Carranza, A. C. Corney, M. Gibbes, G. Kyriazis, H. M. Laiz, L. X Liu, Z. Lu, U. Pogliano, K.-E. Rydler, E. Shapiro, Eddy So, M. Temba, and P. Wright “An International Comparison of 50/60 Hz Power (1996–1999),” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 50, pp. 356– 360, April 2001. [1.14] H. Çayci „Final report on key comparison EURAMET.EM-K5.1 (EURAMET Project No. 687): Comparison of 50/60 Hz power“, 2011., Metrologia 48 01009, DOI: 10.1088/0026-1394/48/1A/01009. [1.15] F. L. Bertotti, M. S. Hara, P. J. Abatti „A simple method to measure phase difference between sinusoidal signals”, Review of scientific instruments 81, 115106 (2010). [1.16] K. K. Clarke and D. T. Hess „Phase Measurement, Traceability, and Verification Theory and Practice,” IEEE Transaction Instrument. Measurement vol. 39, No. 1, 1990., IEEE Log Number 8931812. [1.17] D. T. Hess, K. K. Clarke „Phase Standards: Design, Construction, Traceability and Verification”, Cal Lab, september-October 1995, str. 33-38. [1.18] D. Hess, K. Clarke „Circuit Techniques for Use in a Digital Phase-Angle Generator”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM-36, no. 2, p. 394–399, jun 1987, IEEE Log Number 8613442. [1.19] Model 5002 Phase verification bridge set, Clarke-Hess Communication Research Corporation, http://www.clarke-hess.com/5002M.pdf [1.20] D. T. Hess and K. K. Clarke „External Phase Autozero Loop to Extend the Voltage and/or Current Capabilities of a Digital Phase Standard”, IEEE 113 Transaction Instrument. Measurement vol. 41, No. 6, str. 938-941, decembar 1992., IEEE Log Number 9205051. [1.21] E. Mohns, M. Kahmann „Heterodyne Measurement System (HMS) for Determining Phase Angles,“ IEEE Transaction Instrument. Measurement vol. 56, No. 2, pp 505-508, april 2007., DOI 10.1109/TIM.2007.890624. [1.22] Calibration and Measurement Capabilities, Electricity and Magnetism, United Kingdom, NPL (National Physical Laboratory), 3 voltmeter method, http:// kcdb.bipm.org/ appendixc/ EM/GB/EM_GB.pdf. [1.23] G. Ramm, H. Moser, and A. Braun, „A new scheme for generating and measuring active, reactive and apparent power at power frequencies with uncertainties of 2.5⋅10-6”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 48, str. 422–426, Apr. 1999. Publisher Item Identifier S 0018-9456(99)02921-6. [1.24] B.C.Waltrip, M. E. Parker, N. M. Oldham and B. A. Bell „The NIST Sampling System for the Calibration of Phase Angle Generators from 1 Hz to 100 kHz”, NCSL Workshop and Symphosium, 1992. [1.25] G. Stenbakken „Dual-channel sampling system“ u knjizi „Digital Methods in Waveform Metrology“, NBS Special Publication 707, str. 55-73, 1983. [1.26] R. Lapuh „Accurate Phase Measurement with Two Sampling Voltmeters”, IEEE IMTC, Budapest, Hungary, 2001. [1.27] U. Pogliano „Use of Integrative Analog-to-Digital Converters for High- Precision Measurement of Electrical Power“, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 50, no. 5, p. 1315–1318, October 2001. [1.28] Stefan Svensson „Power measurement techniques for non-sinusoidal conditions“, Doctoral thesis for the degree of PhD, Chalmers university of technology, Goteborg, Sweden, 1999. [1.29] G. Ives „Easing problem of traceability for complex waveform by optimizing instrument design”, NCSL International Workshop and Symposium, 2003. [1.30] G. C. Bosko, M. Garcocz, K. Lind, U. Pogliano, G. Rietveld, V. Tarasso, B. Voljč, V. Novakova Zachovalova, „Phase Comparison of High-Current Shunts up to 100 kHz”, IEEE Transaction Instrument. Measurement vol. 60, No. 7, pp 2359-2365, july 2011. 114 [1.31] U. Pogliano, B. Trinchera, D. Serazio „Wideband digital phase comparator for high current shunts”, arXiv, Physics, 4. Oct. 2011. [1.32] M. Merkle „Verovatnoća i statistika: za inženjere i studente tehnike“, Akademska misao, Beograd, 2010., ISBN 978-86-7466-375-2. [1.33] S. M. Kay Fundamentals of Statistical Signal Processing-Estimation Theory, Englewood Clifs, NJ Prentice-Hall, 1993. [1.34] BIPM,IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP and OIML „Guide to the expression of uncertainty in measurement”, International Organization for Standardization, štampano u Švajcarskoj, prvo izdanje 1993. Ispavljeno i ponovo štampano 1995. [1.35] JCGM 101:2008 „Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement” - Propagation of distributions using a Monte Carlo method”, Joint Committee for Guides in Metrology, 2008, www.bipm.org [1.36] JCGM 102:2011 „Evaluation of measurement data — Supplement 2 to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement” – Extension to any number of output quantities, Joint Committee for Guides in Metrology, 2011, www.bipm.org [1.37] JCGM 100:2008 GUM 1995 with minor corrections „Evaluation of measurement data — Guide to the expression of uncertainty in measurement”, Joint Committee for Guides in Metrology, 2008, www.bipm.org [1.38] JCGM 104:2009 „Evaluation of measurement data - An introduction to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement” and related documents” Joint Committee for Guides in Metrology, 2009, www.bipm.org. [1.39] EA-4/02 M Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration, European co-operation for Accreditation, December 1999 rev00, www.european-accreditation.com. [1.40] G1-100 „Evaluation of measurement data - Guide to the expression of uncertainty in measurement”, OIML Guide, 2008. www.oiml.org. [1.41] G1-101 „Evaluation of measurement data - Supplement 1 to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement” - Propagation of distributions using a Monte Carlo method”, OIML Guide, 2008. www.oiml.org. 115 [1.42] G1-102 „Evaluation of measurement data - Supplement 2 to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement” - Extension to any number of output quantities”, OIML Guide, 2011. www.oiml.org. [1.43] G1-104 „Evaluation of measurement data - An introduction to the „Guide to the expression of uncertainty in measurement” and related documents”, OIML Guide, 2009. www.oiml.org. [1.44] B. N. Taylor and C. E. Kuyatt „NIST Technical Note 1297 Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results”, 1994, www.nist.gov. [1.45] JCGM 106:2012 „Evaluation of measurement data – The role of measurement uncertainty in conformity assessment”, www.bipm.org. [2.1] „Sampling oscilloscope technique”, Technique Primer 47W-7209, Tektronix. [2.2] H. Çayci, Ö. Yılmaz, B. Ayhan, T. Kefeli, M. Güne, E. Kazanç „AC Power Measurement System of UME”, XVIII IMEKO WORLD CONGRESS, September, 2006, Rio de Janeiro, Brazil. [2.3] Multimeter 3458A, Operating, programming and configuration Manual, Agilent, 2000. [2.4] R. Swerlein „A high accuracy digital ac voltage measurement algorithm”, NCLS Workshop&Symposium, 1991. [2.5] D. A. Czenkusch „ High-Resolution Digitizing Techniques with an Integrating Digital multimeter”,Hewlett-Packard Journal, April 1989, p. 39-49. [2.6] W. C. Goeke „ An 81/2-Digit Integrating Analog-to-Digital Converter with 16- Bit, 100,00-Sample-per-Sercond Performance”,Hewlett-Packard Journal, April 1989, p. 8-15. [2.7] E. Mohns, G. Ramm, W. G. Kürten Ihlenfeld, L. Palafox, H. Moser „The PTB Primary Standard for Electrical AC Power”, MAPAN – Journal of Metrology Society of India, Vol. 24, No. 1, 2009; pp. 15-19. [2.8] E. Tóth, Ana Maria R. Franco, and R. M. Debatin „Power and Energy Reference System, Applying Dual-Channel Sampling”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 54, no. 1, p. 404–408, February 2005., DOI 10.1109/TIM.2004.839772 116 [2.9] P. Espel, A. Poletaeff and A. Bounouh „Characterisation of analogue-to-digital converters of a commercial digital voltmeter in the 20 Hz to 400 Hz frequency range”, Metrologia 46 (2009), str. 578-584. [2.10] W. G. Kürten Ihlenfeld, E. Mohns, H. Bachmair, G. Ramm, and Harald Moser „Evaluation of the Synchronous Generation and Sampling Technique”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 52, no. 2, p. 371–374, April 2003., DOI10.1109/ TIM.2003.811575. [2.11] L. Di Lillo, H. Laiz, E. Yasuda, R. Garcia „Sampling wattmeter at INTI”, VIII Semetro, Brazil, 2009. [2.12] K.-E. Rydler, S. Svensson, and V. Tarasso „Voltage dividers with low phase angle errors for a wideband power measuring system”, Conference on Precision Electromagnetic Measurements CPEM 2002, Conference Digest, p. 382-383, Ottawa, Ontario, Canada. DOI 10.1109/CPEM.2002.1034882 [2.13] Stefan Svensson „A Wattmeter Standard for the Audio Frequency Range”, IEEE Trans. Instrum. Meas. vol. 48, No. 2, str. 431 – 433, april 1999., Publisher Item Identifier S 0018-9456(99)02888-0. [2.14] S. Svensson, K.-E. Rydler and V. Tarasso „Improved model and phase-angle verification of current shunts for AC and power measurements”, Conference on Precision Electromagnetic Measurements CPEM 2004, Conference Digest, p. 82-83, London, 2004. DOI 10.1109/CPEM.2004.305451. [2.15] B. Voljč, M. Lindič, and R. Lapuh „Direct Measurement of AC Current by Measuring the Voltage Drop on the Coaxial Current Shunt“, IEEE Trans. Instrum. Meas. vol. 58, No. 4, str. 863 – 867, april 2009., DOI 10.1109/ TIM.2008.2007074. [2.16] W. G. Kürten Ihlenfeld and E. Mohns „AC-dc transfer measurement of highest accuracy with synchronous analogue-to-digital conversion“, Metrologia 41 (2004), str. 111-115. [2.17] Stefan Svensson „Electrical metering in the presence of harmonic distortion”, 5th Semetro, april 2002., Brazil. [2.18] W. G. Kürten Ihlenfeld and M. Seckelmann „Simple Algorithm for Sampling Synchronization of ADCs”, IEEE Trans. Instrum. Meas. vol. 58, No. 4, str. 781 – 785, april 2009., DOI 10.1109/ TIM.2008.2007053. 117 [2.19] D.L.Maskell and G.S.Woods, „The discrete-time quadrature subsample estimation of delay“, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 51, no.1, pp. 133–137, Feb. 2002, Publisher Item Identifier S 0018-9456(02)02295-7. [2.20] H. C. So „A Comparative Study of Two Discrete – Time Phase Delay Estimators,” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 54, str. 2501–2504, Decembar 2005., DOI 10.1109/TIM.2005.859143. [2.21] X. Dai and R. Gretsch „Quasi-Synchronous Sampling Algorithm and Its Applications“, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 43, no.2, pp. 204–209, April 1994., IEEE Log number 9215991. [2.22] D. Agrež „Interpolation in the frequency domain to improve phase measurement“ Measurement 41 (2008) str. 151 – 159. [2.23] D. Agrež „Improving Phase Estimation With Leakage Minimization”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 54, no.4, pp. 1347–1353, August 2005., DOI: 10.1109/TIM.2005.851058. [2.24] S. Schuster, S. Scheiblhofer, and A. Stelzer „The Influence of Windowing on Bias and Variance of DFT-Based Frequency and Phase Estimation”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 58, no. 6, str.. 1975–1990, June 2009. [2.25] X. Dai and R. Gretsch „Quasi-Synchronous Sampling Algorithm and Its Application”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 43, no.2, pp. 204–209, April 1994., IEEE Log Number 9215991. [2.26] Y. Tu, H. Zhang, Y. Mao, T. Shen, H. Yang and F. Su „Unbiased Phase Delay Estimator with Negative Frequency Contribution for Real Sinusoids,” Journal of Applied Sciences 13 (8): 1160-1168, 2013, ISSN 1812-5654 / DOI 10.3923/jas.2013.1160.1168. [2.27] M. Sedlaček, M. Krumpholc „Digital measurement of phase difference - a comparative study of DSP algorithms”, Metrology and Measurement Systems, vol. XII, str. 427 -448, 2005. [2.28] IEEE Standard for Digitizing Waveform Recorders, IEEE Std 1057-1994. [2.29] IEEE Standard for terminology and test methods for analog-to-digital converters, IEEE Standard 1241, 2000. 118 [2.30] T. Andersson, P. Handel „IEEE Standard 1057, Cramer-Rao Bound and the Parsimony Principle”, IEEE TIM, vol 55, No. 1, Februar 2006., str. 44-53, DOI: 10.1 109/TIM.2005.861497 [2.31] T. Bilau, T. Megyeri, A. Sarhegyi, J. Markus, I. Kollar „Four-parameter sine wave testing results: iteration and convergence”, 4th Internacinal Conference on Advanced A/D and D/A Conversion Techniques and their Applications, and 7th European Workshop on ADC Modelling and Testing, Prague, Czech Republik, 2002. [2.32] M. Fonseca da Silva, P.M. Ramos, A. Cruz Serra „A new four parameter sine fitting technique”, Measurement 35 (2) (2004) 131–137, doi: 10.1016/ j.measurement.2003.08.006. [2.33] Kui-Fu Chen, Yi-Ming Xue „Four-parameter sine wave fitting by Gram– Schmidt Orthogonalization”, Measurement 41 (2008) 76–87, DOI:10.1016/ j.measurement.2006.11.016. [2.34] P. M. Ramos, A. Cruz Serra „A new sine-fitting algorithm for accurate amplitude and phase measurements in two channel acquisition systems” Measurement 41 (2008), str. 135 – 143, DOI: 10.1016 / j.measurement. 2006.03.011. [2.35] P. Handel „Cramer-Rao Bounds and Non-Linear Least Squares for a Seven Parameter Dual Channel Sinewave Model”, IMTC 2007, Varšava, Poljska. [2.36] H. C. So „Implementation of Exact Maximum Likelihood Phase Estimators for a Single Real Sinusoid in White Gaussian Noise”, IEICE Trans. Fundamentals, vol. E88-A, No. 7, juli 2005, str. 2019–2022, DOI: 10.1093/ietfec/e88–a.7.2019. [2.37] H. C. So, Z. Zhou „Two accurate phase-difference estimators for dual-channel sine-wave model”, EURASIP Journal on Advances In Signal Processing, Springer Open, june 2013., DOI: 10.1186/1687-6180-2013-122. [2.38] The Marsaglia Random Number CDROM including the Diehard Battery of Tests of Randomness, George Marsaglia, Department of statistics and supercomputer computations research institute, 1995. http://www.stat.fsu.edu/pub/diehard/ 119 [2.39] L’Ecuyer, P. and Simard, R. „TestU01: A software library in ANSI C for empirical testing of random number generators”. http://www.iro.umontreal.ca/~simardr/testu01/tu01.html [2.40] M. Kampik,H. Laiz,and M. Klonz “Comparison of Three Accurate Methods to Measure AC Voltage at Low Frequencies”, IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 49, no 2, p 429 – 433, April 2000. [3.1] N. Vučijak and L. Saranovac „A Simple Algorithm for Estimation of Phase Difference between Two Sinusoidal Voltages” IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. 59, no 12, p. 3152 – 3158, December 2010. [3.2] L. Saranovac, N. Vučijak „Algoritmi za određivanje fazne razlike između dva sinusna signala“, Tehnika - Kvalitet, standardizacija i metrologija, vol. 10, br. 5, str. 15-18, 2010. [3.3] A. Jeffrey, Hui-Hui Dai „Handbook of Mathematical Formulas and Integrals“, The fourth edition, Academic Press, Elsevier, USA, 2008. [3.4] B. Hunt, R. Lipsman, J. Rosenberg with K. Coombes, J. Osborn, G. Stuck „A Guide to MATLAB“, Cambridge, University Press, New York, USA, 2001. [4.1] N. Vučijak, N. Radojević, R. Lapuh, Z. Svetik „An application of sine wave fitting algorithm in electric power measurement“, Kongres metrologa 2005., Zbornik radova, strana 119-124, Beograd. [4.2] N. Vučijak, N. Radojević, „Three, Four and Seven Parameters Sine-fitting Algorithms Applied in Electric Power Calibrations“, EUROCON 2005, Computer as a tool, 21. do 24.11.2005., Beograd, Proceedings vol.2 strana 1148- 1150. DOI 10.1109/EURCON.2005.1630156. [4.3] 6100A Electrical Power Standard, Users Manual, Fluke, 2008. [4.4] Digital Phase Standard model 5500-2, Operating Manual, Clarke Hess Communication Research Corp, USA. [4.5] SD1000 Phase Meter, User Manual, AVPower, Engleska, 2002. [4.6] SRPS ISO/IEC 17025:2006 Opšti zahtevi za kompetentnost laboratorija za ispitivanje i laboratorija za etaloniranje, ISS, Beograd. [4.7] S. Phillips and K. Eberhardt „Guidelines for Expressing the Uncertainty of Measurement Results Containing Uncorrected Bias“, Journal of Research of the National Institute of Standards and Technology, 102, 577 (1997). 120 [4.8] SRPS ISO/IEC17043:2010 Ocenjivanje usaglašenosti – Opšti zahtevi za ispitivanje osposobljenosti. [A.1] „The International System of Units (SI)“, 8th edition 2006., Bureau International des Poids et Mesures. http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8.pdf [A.2] OIML D 2 „Legal units of measurement“, 2007. http://www.oiml.org/en/files/pdf_d/d002-e07.pdf [A.3] „Uredba o određenim zakonskim mernim jedinicama i načinu njihove upotrebe“, Sl. glasnik RS, br. 43/2011. 121 Prilog A Radijan i stepen Međunarodnim i domaćim propisima [1.2, A.1 – A.3] regulisana je upotreba jedinica radijan i stepen. Jedinice Međunarodnog sistema jedinica (engl. Systeme International d ׳Units, SI) [A.1] dele se na osnovne i izvedene. Osim njih postoje i jedinice čija je upotreba dozvoljena samo u specifičnim oblastima. U dokumentu „The International System of Units (SI),” [A.1], navedena je sledeća izvedena jedinica SI sistema: SI koherentna izvedena jedinica Izvedena veličina ime simbol Izraženo preko drugih SI jedinica Izraženo u osnovnim SI jedinicama ugao u ravni radijan rad 1 m/m Jedinice koje su koherentno izvedene iz osnovnih SI jedinica, date su kao algebarski izrazi u obliku proizvoda stepenovanih osnovnih SI jedinica. 122 Međunarodni komitet za tegove i mere (CIPM) je 2004. usvojio da se uz SI sistem jedinica mogu koristiti i jedinice izvan SI sistema jer su u upotrebi u svakodnevnoj praksi, i to: Veličina ime jedinice simbol jedinice Vrednost u SI jedinicama ugao u ravni stepen minut sekund ° ′ ′′ 1° = (π/180) rad 1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad 1″ = (1/60)′ = (π/648 000) rad Radijan je posebno ime za broj jedan koje se može upotrebljavati da ukaže na veličinu koja se razmatra. U praksi se simbol radijan koristi gde je pogodno, ali se simbol za izvedenu jedinicu jedan izostavlja kada se navode bezdimenzione veličine. Oznaka stepen piše se bez razmaka uz broj na koji se odnosi. Oznaka rad piše se razdvojeno od broja na koji se odnosi. U međunarodnom standardu IEC 80000-6:2008 [1.2] definiše se jedinica za faznu razliku na sledeći način: Naziv jedinice: radijan Međunarodna oznaka jedinice: rad Naziv jedinice: jedan Međunarodna oznaka jedinice: 1 Primedba: Koherentna jedinica za bilo koju veličinu sa dimenzijom jedan jeste broj jedan (1). Kada se izražava vrednost takve veličine, po pravilu se eksplicitno ne piše jedinica 1. 123 Prilog B Izabrani algoritmi iz literature za određivanje fazne razlike iz uzoraka sinusnih signala U literaturi je opisano mnogo algoritama za određivanje fazne razlike između dva sinusna signala. U disertaciji je dat je kratak pregled sledećih algoritama iz literature: 1) QDE – estimator sa kvadraturnim kašnjenjem (engl. quadrature delay estimator) i UQDE – centriran estimator sa kvadraturnim kašnjenjem (engl. unbiased quadrature delay estimator) [2.19 – 2.20], opisani su u poglavlju 2.2, jer je novi algoritam MSAL opisan u ovoj disertaciji zasnovan na algoritmu UQDE, 2) algoritama koji su primenjeni na rezultate merenja fazne razlike u cilju poređenja sa rezultatima dobijenim primenom novog algoritma MSAL, a to su algoritmi za fitovanje uzoraka signala na oblik sinusoide [2.27 – 2.35] i to: - algoritam za fitovanje tri parametra sinusoide (3PSF), - algoritam za fitovanje četri parametra sinusoide (4PSF) i - algoritam za fitovanje sedam parametara dve sinusoide (7PSF). 3) nekih poznatijih algoritama, a to su: 124 - diskretna Furijeova transformacija (engl. Discrete Fourier Transform – DFT) i algoritmi zasnovani na Furijeovoj transformaciji u diskretnom vremenu (DTFT) [2.21 – 2.26], - algoritmi zasnovani na kriterijumu maksimalne verodostojnosti (engl. maximum likelyhood – ML) [2.36 – 2.37], - algoritmi zasnovani na linearnoj predikciji (LP) [2.37]. Za određivanje fazne razlike iz uzoraka dva realna sinusna signala od interesa za praktičnu upotrebu su oni algoritmi koji ne zahtevaju obimno izračunavanje. B.1 Algoritmi zasnovani na fitovanju U literaturi [2.27] dato je poređenje je više algoritama za određivanje fazne razlike i zaključeno, da algoritam fitovanja 7 parametara dva sinusna signala daje najtačnije rezultate. B.1.1 Algoritam za fitovanje tri parametra sinusnog signala Algoritam fitovanja tri parametra sinusoide (3PSF) primenjuje se na svaki sinusni signal posebno da se odrede njihove početne faze. Fazna razlika između dva signala dobije se kao razlika početnih faza pojedinačnih signala. Dva sinusna signala mogu se opisati sledećim jednačinama: ( ) 1,11,11111,1 )sin()cos(,, CtBtACBAs nnn +⋅+⋅= ωω , (B.1.1.1) ( ) 2,22,22222,2 )sin()cos(,, CtBtACBAs nnn +⋅+⋅= ωω , (B.1.1.2) n = 1, 2, … , N, gde su: A1 i B1 – amplitude komponenti u fazi i kvadraturi, prvog signala; C1 – DC nivo, za prvi signal; A2 i B2 – amplitude komponenti u fazi i kvadraturi, drugog signala; C2 – DC nivo, za drugi signal; 125 f⋅⋅= πω 2 – ugaona učestanost zajednička za oba signala; f – učestanost zajednička za oba signala; t1,n – vreme n-tog uzorka prvog signala; t2,n – vreme n-tog uzorka drugog signala. Algoritam 3PSF se koristi da se odrede vrednosti parametara A1, B1 i C1 jednog signala za koje sledeća suma kvadrata razlika ima minimalnu vrednost [2.28 – 2.29]: ( )[ ] 2 1 111,1,1 ,,∑ −= N n nn CBAsy . (B.1.1.3) Za određivanje vrednosti parametara A1, B1 i C1 najčešće se koristi matrični račun. Analogno se određuju parametri drugog signala. Model fitovanja sinusoide može da se napiše i sa parametrima α1, ϕ1 i C1, na sledeći način [2.28 – 2.29]: ( ) 111111,1 )sin(,, CtCs nn ++= ϕωαϕα , (B.1.1.4) gde je A1=α1 sinϕ 1, B1=α1 cosϕ 1 u odnosu na jednačinu (B.1.1.1): 2 1 2 11 BA +=α , (B.1.1.5) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= 1 1 1 arctan A Bϕ , ako je A ≥ 0, (B.1.1.6) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= 1 1 1 arctan A Bϕ + π , ako je A < 0. (B.1.1.7) Analogno jednačinama (B.1.1.4) do (B.1.1.7) određuju se parametri drugog signala. Asimptotska Cramer-Rao granica za procenu faznog ugla dobijenu primenom 3PSF Realan sinusni signal sa aditivnim šumom može da se predstavi jednačinom [2.31]: ( ) nnn wCsy 111111 ,, += ϕα , (B.1.1.8) n = 1, 2, … , N, 126 gde su: y1,n - uzorci realnog signala; s1,n (α1, ϕ1, C1) - sinusni signal (B.1.1.1) opisan parametrima α1, ϕ1, C1; w1,n - beli Gausov šum čija je srednja vrednost nula i varijansa σ12. Varijansa estimatora faze ( )1ˆvar ϕ i asimptotska Cramer-Rao granica (CRB) za jedan realan sinusni signal, predstavljen jednačinom (B.1.1.4), na čije uzorke je primenjen algoritam 3PSF, dati su sledećom jednačinom [2.30]: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 3PSF11 2 33ˆvar SNRNN CRB ⋅=⋅≈≥ α σϕϕ (B.1.1.9) Asimptotska CRB dobije se kada je broj uzoraka signala N veliki, i kada je odnos signal šum SNR1 veliki. Odnos signal-šum dat je jednačinom: 22 2/ iiiSNR σα= , i = 1, 2 oznaka dva signala. B.1.2 Algoritam za fitovanje četiri parametra sinusnog signala Posmatramo N uzoraka jednog sinusnog signala y1, y2, …yN, koji su uzeti u trenucima t1, t2, … , tN. Algoritam za fitovanje četiri parametra sinusoide (4PSF) koristi iterativni postupak da nađe vrednosti četiri parametra Ai, Bi, Ci i ωi za koje sledeća suma kvadrata razlika [2.28 – 2.29]: [ ]2 1 iiiii )sin()cos(∑ −−−= N n nnn CtBtAy ωω , (B.1.2.1) ima minimalnu vrednost. U jednačini (B.1.2.1) ωi je ugaona učestanost signala određena u i - toj iteraciji. Koristi se sledeći iterativni postupak: a) Postaviti index i = 0. Uradi se početna procena ugaone učestanosti ω0 uzoraka signala. Učestanost se može proceniti koristeći DFT (na celom zapisu ili delu zapisa 127 uzoraka signala), ili brojeći prolaske kroz nulu, ili izmeriti. Izvede se fitovanje koristeći 3PSF algoritam da se prethodno procene vrednosti parametara A0, B0 i C0. b) Postavi se i = i + 1 za sledeću iteraciju. c) Ponovo se procene ugaone učestanosti koristeći sledeću jednačinu: ωi = ωi-1 + Δωi-1, (Δωi-1 = 0 za i = 1). (B.1.2.2) d) Formiraju se sledeće matrice: ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = Ny y y y M 2 1 , (B.1.2.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− +− +− = −− −− −− NiNiNiNiNiNi iiiiii iiiiii i ttBttAtt ttBttAtt ttBttAtt D ωωωω ωωωω ωωωω cossin1sincos cossin1sincos cossin1sincos 11 22122122 11111111 MMMM , (B.1.2.4) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ Δ = i i i i i C B A x ω . (B.1.2.5) e) izračuna se rešenje xi iz jednačine: ( ) ( )yDDDx ii Ti1Ti −= . (B.1.2.6) f) Izračunaju se amplituda α i faza ϕ iz sledeće jednačine: 111 )cos( Cty nn ++=′ ϕωα , (B.1.2.7) gde je: 22 1 ii BA +=α , (B.1.2.8) 128 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= i i A Barctan1ϕ , ako je Ai ≥ 0, (B.1.2.9) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−= i i A Barctan1ϕ + π, ako je Ai < 0. (B.1.2.10) g) ponove se postupci opisani u b), c), d), e) i f) ponovo računajući model na osnovu novih vrednosti Ai, Bi, Ci, i ωi izračunatih u prethodnoj iteraciji. Nastavi se računanje sve dokle promene vrednosti parametara A, B, C i ω postanu dovoljno male. Reziduali fitovanja dati su jednačinom: rn = yn – iniinii CtBtA −− )sin()cos( ωω . (B.1.2.11) Rms vrednost greške data je jednačinom: ∑= = N n nrms rN 1 21ε . (B.1.2.12) Asimptotska Cramer-Rao granica za procenu fazne razlike dobijene primenom algoritma 4PSF Varijansa estimatora faze ( )1ˆvar ϕ i asimptotska Cramer-Rao granica (CRB) za jedan realan sinusni signal, sa belim Gausovim šumom na koji je primenjen algoritam 4PSF, date su jednačinom [2.30]: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 4PSF11 48ˆvar SNRNN CRB ⋅=⋅≈≥ α σϕϕ . (B.1.2.13) gde je 21σ varijansa šuma, a odnos signal šum 21211 2/ σα=SNR . Asimptotska CRB se određuje kada je broj uzoraka signala N veliki, i kada je odnos signal-šum veliki. Da bi odredili faznu razliku između dva sinusna signala primenimo algoritam 4PSF posebno na svaki signal sa ciljem da odredimo njihove početne faze označene ϕ1 odnosno ϕ2, a zatim izračunamo faznu razliku ϕ = ϕ1 - ϕ2. Varijansa estimatora- procene fazne razlike ( )ϕˆvar i asimptotska CRB za faznu razliku dati su jednačinom: 129 ( ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +≈≥ 21 4PSF 114ˆvar SNRSNRN CRB ϕϕ . (B.1.2.14) gde SNR1 i SNR2 označavaju odnos signal-šum za dva signala. Poboljšanja algoritma 4PSF Iterativni postupak rešavanja nelinearnih jednačina kod algoritma 4PSF zahteva rešavanje matrica u svakom koraku. Na konvergenciju algoritma mogu uticati početne vrednosti parametara, broj uzoraka signala, učestanost i kriterijum za zaustavljanje iteracija [2.31]. Dato je više predloga za poboljšanje algoritma 4PSF, a neki od njih su: - da se koristeći DFT (ili FFT) na ukupnom broju uzoraka i primenjujući interpolaciju postigne bolja prva procena učestanosti signala [2.32], - da se primeni Gram-Šmitova (engl. Gram-Schmidt) procedura ortogonalizacije na koeficijente matrice čime se znatno povećava tačnost algoritma [2.33]. B.1.3 Algoritam za fitovanje sedam parametara dva sinusna signala Kod primene algoritma fitovanja sedam parametara dve sinusoide (7PSF) istovremeno se fituju uzorci dva sinusna signala da se dobiju: vrednosti dve amplitude, dve početne faze, dva DC ofseta i vrednost zajedničke učestanosti signala [2.34]. Za primenu algoritma 7PSF uzorkovanje sinusnih signala ne mora da bude koherentno [2.27]. Posmatramo N uzoraka jednog sinusnog signala: y1,1, y1,2, … , y1,N, uzetih u trenucima t1,1, t1,2, … , t1,N. Isti broj uzoraka N drugog sinusnog signala: y2,1, y2,2, … , y2,N, uzet je u trenucima t2,1, t2,2, … , t2,N. Dva sinusna signala mogu se opisati koristeći jednačine (B.1.1.1) i (B.1.1.2). Vektor parametara ξ koji nisu poznati, dat je izrazom: [ ] TABCCBA 122111 ,,,,,, ωξ = , (B.1.3.1) 130 gde T označava operaciju transponovanja vektora. Algoritam 7PSF nalazi vrednosti parametara datih vektorom (B.1.3.1) za koje je sledeći zbir kvadrata razlika minimalan [2.35]: ( )[ ] ( )[ ]∑ −∑ +− == N n nn N n nn CBAsyCBAsy 1 2 222,2,2 1 2 111,1,1 ,,,, . (B.1.3.2) Za rešavanje ovog problema koristi se matrični račun pri čemu matrica u svakoj iteraciji ima 2N redova i 7 kolona. Dva sinusna signala mogu da se opišu i koristeći parametre αk, ϕk i Ck na sledeći način: ( ) 1111111 )sin(,, CtCs nn ++= ϕωαϕα , (B.1.3.3) ( ) 222222,2 )sin(,, CtCs nn ++= ϕωαϕα , (B.1.3.4) n = 1, 2, … , N, tako da je Ak=αksinϕk , Bk=αkcosϕk, k =1, 2 oznaka signala 1 i 2. Vektor parametara u ovom slučaju dat je izrazom: ( ) TCC 222111 ,,,,,, αϕωϕαζ = . (B.1.3.5) Asimptotska Cramer-Rao granica za procenu fazne razlike dobijenu primenom algoritma 7PSF Polazi se od predstavljanja dva realna sinusna signala sa aditivnim šumom: ( ) ( ) nnn wCsCy ,1111,1111,1 ,,,, += ϕαϕα , (B.1.3.6) ( ) ( ) nnn wCsCy ,2222,2222,2 ,,,, += ϕαϕα , (B.1.3.7) n = 1, 2, … , N, gde w1,n i w2,n označavaju beli Gausov šum čija je srednja vrednost nula a varijanse 21σ i 2 2σ respektivno [2.35]. Estimator fazne razlike, između dva sinusna signala ϕ = ϕ1 - ϕ2, određen koristeći algoritam 7PSF kada su poznati amplitude i učestanost signala, ima asimptotsku Cramer-Rao granicu (CRB) datu jednačinom: 131 ( ) 21 21ˆ SNRSNRN SNRSNR CRB ⋅⋅ +=ϕ , (B.1.3.8) gde su SNR1 i SNR2 vrednosti odnosa signal-šum date formulom (B.1.1.10), za signale y1 i y2. Asimptotska CRB dobije se kad je broj uzoraka signala N veliki i kad je odnos signal- šum veliki. B.2 Algoritmi zasnovani na Furijeovoj transformaciji Fazna razlika između dva diskretizovana sinusna signala može da se odredi koristeći diskretnu Furijeovu transformaciju (engl. Discrete Fourier Transform – DFT) [2.21 – 2.26]. Model jednog sinusnog signala za N uzoraka koji su dobijeni uniformnim uzorkovanjem, može da se predstavi jednačinom: [ ] ( ) [ ]nTwTnAnTx ++⋅⋅= 111 cos ϕω , (B.2.1) n = 0, 1, 2, ..., N-1, gde x1[nT] označava uzorke signala; N - broj uzoraka; A1 – amplitudu signala; ω – ugaonu učestanost signala; ϕ1 – početnu fazu; w[nT] je beli Gausov šum koji ima srednju vrednost jednaku nuli i varijansu σ 2. U frekvencijskom domenu definiše se DFT za sekvencu jednog signala koja se sastoji od N uzoraka u vremenskom domenu na sledeći način: [ ] [ ] N knjN n ekxkX π21 0 11 −− = ⋅∑= , k = 0, … , N-1 (B.2.2) gde je k broj uzorka signala u frekvencijskom domenu. Formula (B.2.2) može da se napiše na sledeći način : [ ] [ ] [ ]kXjkXkX 111 ImRe += . (B.2.3) 132 gde je: [ ] [ ] ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅∑= − = nk N kxkX N n π2cosRe 1 0 11 , (B.2.4) [ ] ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅∑= − = nk N nxkX N n π2sinIm 1 0 11 . (B.2.5) Fazni ugao uzoraka sinusnog signala dat je formulom: [ ] [ ][ ]⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛−= kX kXk 1 1 1 Re Imarctanϕ . (B.2.6) Varijansa procene faznog ugla jednog sinusnog signala određena koristeći Furijeovu transformaciju data je jednačinom: { } SNRNNA ⋅= ⋅≈ 48ˆvar 2 2 1 σϕ . (B.2.7) Fazna razlika između dva sinusna signala koji imaju istu učestanost određuje se kao razlika početnih faza signala [2.25]. Asinhrono uzorkovanje signala Ako uzorkovanje signala nije sinhronizovano sa učestanošću merenog sinusnog signala, onda је intervalom uzorkovanja obuhvaćen broj ciklusa signala koji nije ceo broj. U tom slučaju, pri obradi uzoraka u cilju određivanja parametara sinusoide, koristite se interpolacija i prozorske funkcije da se smanji curenje (engl. leakage) spektra signala [2.21 – 2.26]. Korišćenje prozorske funkcije dovodi do porasta vrednosti varijanse procene fazne razlike dobijene koristeći DFT u odnosu na vrednost CRB datu jednačinom (B.2.7). 133 B.2.1 Modifikovan estimator faznog kašnjenja zasnovan na DTFT Razmatra se slučaj prijema jednog signala na dva različita senzora [2.20]. Procena kašnjenja se izračuna koristeći faznu razliku DTFT primljenih signala na poznatoj učestanosti signala. Koristi se ideja generisanja komponenata u fazi i kvadraturi faze da se dobije procena faznog kašnjenja između realnih sinusnih signala. Dva realna sinusna signala sa šumom predstavljaju se u analitičkom obliku koristeći komponente u fazi i kvadraturi, jednačinama: ( ) ( ) ( )( )TkjxkTxkTr iii Δ−+= , (B.2.1.1) i = 1, 2; k = Δ, Δ + 1, ... , N – 1; j = 1− . Zatim se za r1(kT) odredi DTFT i označi sa R1(ω): ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )∑ Δ−++ + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ Δ−− = ∑= − Δ= − −Δ−−+ −− Δ= 1 11 0 0 2/1 1 1 11 2 sin 2 sin 0 N k kTj Nj kTjN k eTkjnkTn N ejA ekTrR ω ωωθ ω ωω ωω ω (B.2.1.2) Vrednost R1(ω0) na učestanosti ω =ω0 je: ( ) ( ) ( )( )01101 1 ωω θ QeANjR j +Δ−= , (B.2.1.3) gde je: ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )θωω +−− Δ= ∑ Δ−+Δ−= kTjN k eTkjnkTn ANj Q 01 11 1 01 1 (B.2.1.4) Za velike vrednosti odnosa signal – šum, R1(ω0) se može aproksimirati sa: ( ) ( ) ( ){ }01Im101 ωθω Qjj eeANjR ⋅Δ−≈ , (B.2.1.5) 134 gde Im označava imaginarni deo. Fazni ugao za R1(ω0) je: ( ){ } ( ){ }0101 Im2 ωθ πω QR ++≈∠ , (B.2.1.6) čija je srednja vrednost π/2 + θ. Analogno se za r2(kT) odredi R2(ω0) i fazni ugao: ( ){ } ( ){ }0202 Im2 ωφθ πω QR +−+≈∠ , (B.2.1.7) gde je: ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )φθωω −+−− Δ= ∑ Δ−+Δ−= kTjN k eTkjnkTn ANj Q 01 22 2 02 1 (B.2.1.8) čija je srednja vrednost π/2 + θ - φ. Na osnovu jednačina (B.2.1.6) i (B.2.1.7) dobije se centriran estimator fazne razlike između R1(ω0) i R2(ω0) dat jednačinom: ( ) ( ){ }0*201ˆ ωωφ RR∠= , (B.2.1.9) gde se oznaka * koristi za konjugovanu vrednost. Jednačina (B.2.1.9) predstavlja estimator faznog kašnjenja nazvan modifikovan DTFT algoritam. Pokazuje se da je varijansa estimatora fazne razlike u ovom slučaju: ( ) ( ) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ⋅Δ−= SNRN 2,3minˆvar 20 2 ω πφ . (B.2.1.10) Vrednost π2/3 je dobijena iz pretpostavke da estimator fazne razlike ima uniformnu raspodelu između -π i π. 135 B.2.2 Estimator faznog kašnjenja zasnovan na DTFT koji koristi i negativne učestanosti Na osnovu estimatora zasnovanog na DTFT, predložen je centriran estimator faznog kašnjenja koji koristi i negativne učestanosti za realne signale sa nepoznatom učestanošću [2.26]. Konstatovano je da je doprinos negativne učestanosti glavni uzrok necentriranosti estimatora faznog kašnjenja zasnovanog na Furijeovoj transformaciji u diskretnom vremenu DTFT, u slučajevima kada je učestanost sinusoide veoma niska ili bliska Nikvistovoj učestanosti ili kada je mali broj uzoraka uzet u izračunavanje DTFT. Polazi se od jednačina dva realna sinusna signala iste učestanosti: ( ) ( )1011 2cos θπ += tfAts (B.2.2.1) ( ) ( )2022 2cos θπ += tfAts (B.2.2.2) gde su A1 i A2 amplitude, f0 učestanost signala, θ1, θ2 početne faze. Fazno kašnjenje Δθ definisano je Δθ = θ2 - θ1. Sekvence uzoraka dva sinusna signala mogu se napisati na sledeći način: ( ) ( )1011 cos θω +⋅= nAns (B.2.2.3) ( ) ( )2022 cos θω +⋅= nAns (B.2.2.4) n = 0, 1, ... , N-1, učestanost ω0 = 2πf0 / f s, učestanost uzorkovanja fs ≥ 2 f0, broj uzoraka signala je N. Ako se sa 0ωˆ označi procenjena vrednost učestanosti ω0 onda se DTFT od s1(n) na učestanosti 0ωˆ izračuna koristeći formulu: ( ) ( ) njN n enAS 0ˆ 1 0 10101 cosˆ ωθωω −− = ⋅∑ +⋅= (B.2.2.5) Na sličan način odredi se S2( 0ωˆ ). Ako se zanemare negativne učestanosti, dolazi se do rezultata za fazno kašnjenje: 12 φφθ −≈Δ (B.2.2.6) 136 gde je: ( ) ( ) 2 ˆ 2 ˆ 0000 11 ωωωωθφ −−−+≈ N (B.2.2.7) ( ) ( ) 2 ˆ 2 ˆ 0000 22 ωωωωθφ −−−+≈ N (B.2.2.8) što znači da je fazno kašnjenje dva sinusna signala približno jednako razlici DTFT dve faze na procenjenoj učestanosti. Ova jednačina se primenjuje na dva realna sinusna signala nepoznate učestanosti. Najpre treba proceniti vrednost učestanosti signala, a zatim izračunati DTFT za tu učestanost. Ako se negativne učestanosti ne zanemare, dobije se nova formula za izračunavanje faznog kašnjenja: ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +++ −=Δ 2182176 125 tantantantan tantanarctan φφφφ φφθ mmm m (B.2.2.9) gde je: m5 = (N sin 0ωˆ )2 – (sin β)2, m6 = (N sin 0ωˆ )2 + (sin β)2 – 2N sin 0ωˆ sin β cos(β - 0ωˆ )2, m7 = N sin 0ωˆ + sin β sin(β - 0ωˆ ), m8 = (N sin 0ωˆ )2 + (sin β)2 + 2N sin 0ωˆ sin β cos(β - 0ωˆ ), β = N 0ωˆ . Koriste se sledeći koraci u izračunavanju faznog kašnjenja: 1) proceni se učestanost signala 0ωˆ , 2) izračunaju se DTFT za s1(n) i s2(n) na učestanosti 0ωˆ označene sa S1( 0ωˆ ) i S2( 0ωˆ ), 3) iz realnih i imaginarnih delova S1( 0ωˆ ) i S2( 0ωˆ ) izračunaju se tanφ1 = Im[S1( 0ωˆ )]/Re[S1( 0ωˆ )] i tanφ2 = Im[S2( 0ωˆ )]/Re[S2( 0ωˆ )], 4) vrednosti za 0ωˆ , N, tanφ1 i tanφ2 uvrste se u jednačinu (B.2.2.9). Pokazuje se da je varijansa estimatora za veliko N i SNR, jednaka CRB: ( ) SNRN ⋅≈Δ 2ˆvar θ . (B.2.2.10) 137 B.3 Algoritmi zasnovani na kriterijumu maksimalne verodostojnosti Postoji obimna literatura o estimatoru faznog ugla zasnovanog na kriterijumu maksimalne verodostojnosti, od koje su ovde navedena dva rada, u cilju ilustracije složenosti postupka. U literaturi [2.36] polazi se od modela jednog sinusnog signala sa šumom predstavljenog jednačinom: ( ) ( ) ( )nwnAnx 11011 cos ++= ϕω , (B.3.1) gde je: n = 0, 1, ... , N-1; amplituda signala A1> 0; poznata ugaona učestanost je ω0; ϕ1 je nepoznata početna faza; w1(n) je beli Gausov šum sa nepoznatom varijansom σ12. Zadatak je da se odredi početna faza ϕ1 ∈ [ -π, π) koristeći N merenja signala x1(n). Za veliki broj uzoraka signala bez obzira na to da li je amplituda sinusnog signala poznata ili ne, aproksimativna procena početne faze koristeći kriterijum maksimalne verodostojnosti (AML) dobije se iz sledeće formule: ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ∑ ∑ − = − = 1 0 01 1 0 01 1 cos sin arctanˆ N n N n AML nnx nnx ω ωϕ , (B.3.2) gde AML1ϕˆ označava aproksimativnu procenu vrednosti početne faze signala dobijenu koristeći kriterijum maksimalne verodostojnosti. Egzaktna procena početne faze sinusnog signala pomoću kriterijuma ML dobije se rešavanjem nelinearne jednačine (B.3.2). Pomoću ove formule ne može da se dobije centrirana procena početne faze posebno za slučaj malog broja uzoraka sinusnog signala i/ili mali odnos signal šum. Na osnovu Newton-Raphson iterativnog metoda u [2.36] su predložena dva postupka za egzaktnu procenu početne fazne sinusnog signala pomoću kriterijuma ML za poznatu i nepoznatu amplitudu signala. Pri tome je učestanost signala poznata. 138 Kada su nepoznati i amplituda i početna faza sinusnog signala, njihove procene dobiju se određivanjem minumuma sledeće funkcije: ( ) ( )[ ] 21 0 101111 ~cos~)(~,~ ∑ +−= − = N n nAnxAJ ϕωϕ , (B.3.3) gde su 1 ~A i 1~ϕ promenljive koje se koriste za dobijanje optimalnih vrednosti za A1 i ϕ1. Funkcija (B.3.3) se diferencira po 1 ~A a zatim po 1~ϕ i dobiju se dve jednačine. Iz jedne jednačine izrazi se 1 ~A i zameni u drugu jednačinu tako da se dobije jednačina u kojoj je promenljiva 1~ϕ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∑ ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∑ +− −⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∑ +⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∑ += − = − = − = − = 1 0 1010 1 0 10 1 0 10 1 0 10 2 11 ~sin~cos~cos ~sin~cos~ N n N n N n N n nnnnx nnxnf ϕωϕωϕω ϕωϕωϕ . (B.3.4) Procena početne faze se izračuna tako što se nelinearna jednačina (B.3.4) izjednači sa nulom. Predložen je sledeći iterativni postupak određivanja ML procene faze na osnovu Newton-Raphson iterativnog metoda: ( ) ( )k k kk f f ,11 ,11 ,11,1 ˆ ˆ ˆˆ ϕ ϕϕϕ ′−=+ , (B.3.5) gde ( )kf ,11 ϕˆ′ predstavlja prvi izvod funkcije ( )kf ,11 ϕˆ a k,1ϕˆ je procena početne faze u k- toj iteraciji. Kao početni uslov koristi se AMLϕϕ ˆˆ0 = . Postupak se ponavlja onoliko iteracija koliko je potrebno da parametar konvergira. Isti postupak je predložen za procenu početne faze kada je amplituda signala A1 poznata. U tom slučaju funkcija (B.3.3) se diferencira samo po 1~ϕ . Rezultati simulacija pokazuju da predložena dva iterativna algoritma zasnovana na Newton-Raphson metodi daju veoma dobre rezultate za slučaj kad je broj uzoraka signala mali, kao i da se vrednosti srednje kvadratne greške početne faze poklapaju sa Cramer-Rao granicom. 139 U literaturi [2.37] za nalaženje fazne razlike između dva realna sinusna signala polazi se od formule: ( ) ( ) ( )nwnAnx iiii ++= ϕω0sin , (B.3.6) gde je i = 1,2 oznaka signala; n = 1, ... , N; amplitude signala Ai > 0; početne faze signala ϕi ∈ [0, π); aditivni beli Gausov šum wi(n) sa varijansama σ12 i σ22. Kada se odrede početne faze ϕ1 i ϕ2 pojedinačno svakog od dva signala, fazna razlika između njih označena ϕ dobije se kao razlika početnih faza dva signala. Polazi se od pretpostavke da su poznati ω0 i odnos r = σ12 /σ22. Označi se αi = Ai cos (ϕi) i βi = Ai sin (ϕi) i dolazi se do jednačine: ( ) ( ) ( ) ( )( )∑ −−=Λ = N n iiiiii nnnx 1 2 00 cossin, ωβωαβα , (B.3.7) a zatim se traži minimum ove funkcije, tako što se odrede izvodi po αi i βi i izjednače sa nulom. ML estimator za ϕi je: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= i i i α βϕ ˆ ˆ arctanˆ , i = 1,2. (B.3.8) ML estimator za ϕ dobije se iz jednačine: 21 ˆˆˆ ϕϕϕ −= . (B.3.9) Kada N → ∞ dobije se za asimptotsku vrednost varijanse: ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += 21 111ˆvar SNRSNRN ϕ , (B.3.10) gde je odnos signal-šum SNRi = Ai2 / (2σi2), i = 1, 2. 140 B.4 Algoritmi zasnovani na primeni linearne predikcije U literaturi [2.37] opisan je estimator faznog ugla zasnovan na linearnoj predikciji (LP). Model dva sinusna signala sa aditivnim šumom predstavlja se jednačinom ( ) ( ) ( )nwnAnx iiii ++= ϕω0sin , (B.4.1) gde je: i = 1,2 broj sinusnih signala, n = 1, ... , N; amplitude signala Ai > 0; poznata ugaona učestanost je ω0; ϕi ∈ [0, 2π) je nepoznata početna faza; wi(n) je nekorelisan beli Gausov šum sa poznatom varijansom σi2. Zadatak je da se odredi fazna razlika ϕ =ϕ1 - ϕ2 koristeći N uzoraka signala xi(n). Osnovna ideja je da se vrednost x2(n + 1) aproksimira linearnom kombinacijom vrednosti x1(n) i x1(n + 1) a zatim minimizira funkcija cena (engl. cost function) za rezultantni LP vektor. Interval uzorkovanja se bira tako da je učestanost u diskretnom vremenu ω0 = π/2. U tom slučaju mogu da se napišu sledeće jednačine: ( ) ( ) ( )nwnAnx 11011 sin ++= ϕω , (B.4.2) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )1cos 11sin1 1101 11011 +++= ++++=+ nwnA nwnAnx ϕω ϕω (B.4.3) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1sinsincoscos 11sin1 2102102 22022 +++++= ++++=+ nwnAnA nwnAnx ϕϕωϕϕω ϕω . (B.4.4) Iz jednačina (B.4.2) do (B.4.4) konstruiše se LP vektor za n = 1, ... , N – 1: 2211 ~~ ννμ rrrr cce −−= (B.4.5) gde je: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ,1...1,...2 11122 TT NxxNxx −== νμ rr ( ) ( )[ ] ....2 112 TNxx=νr Definiše se vektor LP koeficijenata: 141 [ ] ( ) ( ) T T A A A Accc ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡== ϕϕ cossin 1 2 1 2 212 r . (B.4.6) Zatim se odredi optimalna procena elemenata vektora LP koeficijenata označena sa: [ ]Tccc 212 ˆˆˆ =r . (B.4.7) Procena fazne razlike odredi se prema jednačini: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= 2 1 ˆ ˆ arctanˆ c cϕ . (B.4.8) Kad N → ∞, dobije se izraz za varijansu fazne razlike var(ϕ) jednak izrazu (B.3.10). Za dobijanje rezultata za faznu razliku koristeći ML ili LP alogoritam koristi se matrični račun, N x N matrica. Složenost algoritma se povećava sa povećanjem broja N. 142 Prilog C Etaloniranje etalona faznog ugla u NMI U ovom prilogu dat je kratak opis metoda etaloniranja etalona faznog ugla koje se danas obavlja u nacionalnim metrološkim institutima (NMI). Pojmovi: merilo, etalon, kalibrator, etaloniranje i metoda merenja, definisani su u međunarodnom rečniku metrologije [1.8 – 1.10]. Međunarodna poređenja u kojima učestvuju NMI organizuju se u cilju uspostavljanja efektivnosti i uporedivosti metoda merenja, obezbeđenje dodatnog poverenja i potvrđivanja kompetentnosti učesnika. U julu 2011. godine objavljeni su rezultati međunarodnog poređenja merenja vrednosti faznih uglova strujnih šantova za struje od 10 A do 100 A i učestanosti 500 Hz do 100 kHz, koje koriste NMI za potrebe etaloniranja etalona električne snage [1.30 – 1.31]. 1) Etalonski sistemi sa uzorkovanjem signala Etalonski sistemi za uzorkovanje signala opisni su u poglavlju 2.1. 143 Kada se za etaloniranje etalona koji meri faznu razliku koristiti sistem za uzorkovanje signala [1.23 – 1.29], vrednost fazne razlike određena iz uzoraka signala koristeći neki od algoritama za obradu signala, smatra se etalonskom vrednošću, i poredi se sa vrednošću prikazanom na etalonu koji etaloniramo. Vrednost kombinovane merne nesigurnosti, u skladu sa GUM, merenja fazne razlike između dva napona je reda 0,06 m° (ili 1 μrad), kada se koristi sistem sa sinhronim generisanjen i uzorkovanjem napona efektivne vrednosti 1 V do 5 V, učestanosti 10 Hz do 400 Hz. 2) Merni mostovi Merni mostovi obezbeđuju najveću tačnost merenja faznog ugla električnih signala, ali njihov nedostatak je što rade samo u određenim mernim tačkama 0°, 90°, 180° i 270°. Ovi merni mostovi koriste se u opsegu učestanosti napona 10 Hz do 200 kHz i za amplitude napona 50 mV do 500 V. Kombinovana merna nesigurnost u skladu sa GUM, rezultata merenja faznog ugla etalonskim mernim mostom je reda 0,006 m° (ili 0,1 μrad) [1.16 – 1.20]. Na slici C.1 prikazana je blok šema etaloniranja kalibratora fazne razlike između napona U1 i U2 koristeći impedanse Z1 i Z2. Kalibrator fazne razlike ima dva naponska izlaza od kojih je jedan (U1) referentni, a drugi (U2) se može podešavati po amplitudi i fazi tako da se može postići ravnoteža mosta. Ravnoteža mosta se detektuje pomoću detektora nule U0 koji meri amplitudu i fazu napona. Koriste se mostovi čije su komponente Z1 i Z2 etalonirani otpornici ili kondenzatori. Pretpostavlja se: • impedanse Z1 i Z2 su iste vrste i imaju jednake vrednosti, • napon U2 se može podešavati po amplitudi i fazi tako da se most može potpuno uravnotežiti, • odnos napona U2/U1 se ne menja kad impedanse Z1 i Z2 zamene mesta. 144 Slika C.1 Blok šema etaloniranja kalibratora fazne razlike pomoću mosta sa impedansama Z1 i Z2. Kada impedanse Z1 i Z2 imaju iste vrednosti modula i faznog ugla most će biti u ravnoteži kada je fazna razlika između napona U1 i U2 jednaka 180°. Tada su: U1 = U i U2 = -U. Kada je u mostu sa impedansama Z1 i Z2 prikazanom na slici C.1, postignuta ravnoteža koristeći podešavanje napona U2 koje ćemo označiti ΔU21, tada je napon U0 = 0, i važi jednačina: 1 21 1 2 1 212 1 2 U U U U U UU Z Z Δ+=Δ+= . (C.1) Kada impedanse Z1 i Z2 zamene mesta, i kad je ponovo postignuta ravnoteža koristeći podešavanje napona U2 koje ćemo označiti ΔU22, tada je napon U0 = 0, i važi jednačina: 1 22 1 2 1 222 2 1 U U U U U UU Z Z Δ+=Δ+= . (C.2) Obzirom da je Z1 ≈ Z2 i U1 ≈ U2, koristimo formule: 2222 1 22 2121 1 21 2 1 2 1 ;;1;1 βαβαβαβα j U Uj U Uj U Uj Z Z UUZZ +=Δ+=Δ++=++= (C.3) gde su: 145 αZ – realni deo, βZ – imaginarni deo odstupanja od (Z1 /Z2) = 1, αU – realni deo, βU – imaginarni deo odstupanja od (U1 /U2) = 1, α21 – realni deo, β21 – imaginarni deo od ΔU21/U1, α22 – realni deo, β22 – imaginarni deo od ΔU22/U1. Ako se jednačine (C.3) uvrste u jednačine (C.2) i (C.1) dobiju se sledeće jednačine: , 2 , 2 21222221 βββααα +=+= UU (C.4) 2 , 2 21222122 βββααα −=−= ZZ . (C.5) Jednačine (C.4) se koriste za izračunavanje greške kalibratora fazne razlike, a jednačine (C.5) za izračunavanje greške mosta sa impedansama Z1 i Z2. Ukoliko most nije u potpunosti uravnotežen moguće je koristiti grafičko rešenje da se odredi greška faznog ugla. Eksperimenti su pokazali da je teško postići ravnotežu mosta kada se kao detektor nule koristi voltmetar koji meri samo moduo napona mosta a ne i komponente napona mosta u fazi i kvadraturi. Za jednake amplitude izlaza meri se faza koristeći etalonski otpornički fazni most sa odnosom 1 prema 1. Takvi mostovi su komercijalno dostupni sa faznim greškama manjim od 1 m° na učestanosti signala 50 kHz. S obzirom da su linearni, greške ispod 50 kHz su zanemarljive. Njihove fazne performanse se verifikuju koristeći dva merenja: jedno sa priključenim mostom i drugo kada delovi mosta zamene mestima. Zbir dva očitavanja podeljen sa 2 je fazna greška etalona faze, a razlika podeljena sa dva je fazna greška mosta. Pošto etalon faze ima izlazne napone koji se podešavaju od 50 mV do 120 V, most sa odnosom 1 prema 1 koji sa jedne strane ima direktan priključak na etalon faze može se koristiti da se direktno uravnoteže ulazi sa amplitudama bilo gde u opsegu. 146 Da bi mogli koristiti veće napone i nejednake amplitude koriste se kapacitivni mostovi sa odnosom 100 prema 1 ili više. Takav kapacitivni most mora imati stabilne vrednosti tako da lutajuće kapacitivnosti ne uzrokuju grešku faznog pomeraja. Slika C.2: Šema veza jednog kapacitivnog mosta proizvođača Clarke-Hess. 3) Heterodinski merni sistem Kombinovana merna nesigurnost u skladu sa GUM, rezultata merenja fazne razlike heterodinskim mernim sistemom [1.21] je reda 0,06 m° (ili 1 μrad), za napone koji imaju učestanost u audiofrekvencijskom opsegu, amplitude do 7 V i maksimalni odnos amplituda merenih napona 1:10. Proizvod dva sinusna signala može se napisati na sledeći način: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]βαβαβα +−−⋅=⋅ coscos 2 1sinsin . (C.6) U jednačini (C.6) vide se dva bočna opsega učestanosti. Niži bočni opseg koji ima tzv. heterodinsku učestanost (α - β) koristi se da pomeri merene signale u niži domen učestanosti. 147 Slika C.3 Šema heterodinskog mernog sistema za merenje fazne razlike između dva napona uN i uX. Osnovni princip heterodinskog mernog sistema (HMS) prikazan je na slici C.3. Signali između kojih treba odrediti faznu razliku označeni su uN i uX. Oba signala imaju istu učestanost f2. Pomoćni napon uH koji ima učestanost f1 dovodi se na dva analogna množača MP1 i MP2. Nisko – propusni filtri LPF1 i LPF2 postavljeni posle množača eliminišu više bočne opsege učestanosti (α + β). Da bi odredili faznu razliku, jedan analogno-digitalni konvertor (ADC) uzorkuje sinhrono sa heterodinskom učestanošću izlazne napone uM1 i uM2 sa izlaza LPF1 odnosno LPF2, naimenično jedan zatim drugi napon. Iz uzoraka napona određuje se fazna razlika između uN i uX koristeći diskretnu Furijeovu transformaciju (DFT). HMS transformiše signale učestanosti f2 u signale željene razlike učestanosti na kojoj je mnogo lakše odrediti Furijeove komponente sa većom tačnošću nego direktno na učestanosti f2. Ulazni naponi se mogu opisati sledećim jednačinama: ( )XXX tUu ϕω +⋅⋅= 2sin2 , ( )NNN tUu ϕω +⋅⋅= 2sin2 , (C.7) ( )ψω +⋅⋅= tUu HH 1sin2 . gde su: Ux, UN i UH – rms vrednosti napona; ϕX i ϕN – fazni uglovi čiju razliku treba odrediti; ψ fazni ugao pomoćnog signala; ω2 = 2πf2 i ω1 = 2πf1 – kružne učestanosti. 148 Pretpostavljajući da su MP1 i MP2 linearni i slični, a takođe i i LPF1 i LPF2 linearni i slični, izlazni naponi su dati jednačinama: ( )( )NNHMM tUUFu ϕδψωω −++−⋅⋅⋅= 211 cos , ( )( )XXHMM tUUFu ϕδψωω −++−⋅⋅⋅= 212 cos , (C.8) gde je konstanta FM (V-1) faktor pojačanja a δ je zbir faznih grešaka za svaki MP i LPF za učestanost fd = f1 – f2. Komponenta napona sa zbirom učestanosti je zanemarena. Iz uzoraka signala uM1 i uM2 odrede se fazni uglovi ϕM1 i ϕM2 koristeći DFT. Važi sledeća jednačina: ( ) ( ) NXXNMM ϕϕϕδψϕδψϕϕ −=−+−−+=− 21 . (C.9) Da bi se smanjile greške merenja ovim sistemom, dodaje se poseban preklopnik S2 na izlazu signala uN i uX koji omogućava da signali uN i uX međusobno zamene mesta u odnosu na ulaze u MP1 i MP2. Vrše se merenja: uM1a i uM2a kad je preklopnik S2 u položaju (a) i uM1b i uM2b kad je preklopnik S2 u položaju (b). Izračunaju se fazne razlike za rezultate merenja kad je preklopnik S2 u položaju (a) i kad je u položaju (b), i odredi se srednja vrednost: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]XNXNNXbaHMS UUUU 22112 1 2 δδδδϕϕϕϕϕ −+−+−=−= . (C.10) Deo u uglastoj zagradi predstavlja grešku merenje fazne razlike NX ϕϕ − ovim sistemom zbog nelinearnosti faznog odziva multipleksera na različitim naponskim nivoima. Merna nesigurnost tipa B [1.21] potiče od nesigurnosti merenja faznog ugla usled šuma oba MP, nesigurnosti merenja fazne razlike zbog metode uzorkovanja i varijacije faznog ugla MP na učestanosti f2. Uticaji džitera pri uzorkovanju signala uM1 i uM2 i konačna rezolucija ADC mogu da se zanemare za merenja pri kojima je fd = 1 Hz, i učestanost uzorkovanja 20 Hz. 149 4) Metoda tri voltmetra Ova metoda merenja fazne razlike između dva napona koristi se za etaloniranje etalona fazne razlike za učestanosti koje ne pokrivaju prethodno navedene metode, a ograničena je opsegom učestanosti voltmetara koji se koriste za merenje [1.3, 1.17, 1.22 – 1.23]. a) b) Slika C.4 a) Šema sistema za merenje fazne razlike između napona U1 i U2 metodom tri voltmetra, koji mere napone U1, U2 i U3, b) vektorski dijagram za merenje fazne razlike ϕ između napona U1 i U2. Na slici C.4 prikazana je šema merenja fazne razlike između dva napona U1 i U2. Tri voltmetra (tip 3458A, Agilent) istovremeno mere tri napona označena na slici C.4 sa U1, U2 i U3. Napone U1 i U2 daje etalon fazne razlike (npr. tip 5500-2, Clarke Hess) na svojim izlazima obeleženim na slici sa AC i BC, a napon U3 se meri između tačaka A i B. Podaci se prebacuju u računar (na slici označen sa PC) gde se obrađuju. Uticaji voltmetra na merenje napona U3 se minimiziraju merenjem napona u oba smera i uzimanjem srednje vrednosti. U3 ϕ U2 U1 150 Koristi se formula za izračunavanje faznog ugla ϕ između dva napona U1 i U2: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅ −+= 21 2 3 2 2 2 1 2 arccos UU UUUϕ . (C.11) Biografija autora Nada M. Vučijak rođena je 1952. god u Zenici, BiH. Osnovnu školu i gimnaziju završila je u Čapljini, BiH. Na Elektrotehničkom fakultetu u Beogradu završila je odsek Tehničke fizike, i stekla stručni naziv diplomirani elektrotehnički inženjer. Magistarsku tezu pod naslovom „Razvoj sistema za proveru metroloških karakteristika elektroencefalografa“, odbranila je u decembru 2002. godine na Elektrotehničkom fakultetu u Beogradu kod mentora prof. dr Dragana Stankovića i prof. dr Predraga Pejovića. Najpre se zaposlila u Obrazovnom elektrotehničkom centru „Rade Končar“, Beograd, Braće Grim 32, gde je držala predavanja i vežbe iz više predmeta elektrotehničke struke, od 1980. do 1985. godine. Zatim se zaposlila u DP „Teleoptik“, Zemun, Cara Dušana 139-141, u ovlašćenoj metrološkoj laboratoriji ML21 kao metrolog za etaloniranje merila električnih veličina. Neko vreme radila je u istraživačkoj radnoj jedinici u preduzeću „Teleoptik“ na projektima koji su realizovani u saradnji sa Institutom za fiziku, Zemun. Kraće vreme bila je šef ovlašćene metrološke laboratorije ML21 u preduzeću „Teleoptik-Žiroskopi“ i šef Centralne laboratorije u preduzeću „Teleoptik“. Zatim se 1997. godine zaposlila u Saveznom zavodu za mere i dragocene metale (danas Direkcija za mere i dragocene metale DMDM), Beograd, Mike Alasa 14, gde je radila kao metrolog. 2014. godine zaposlila se u Elektrotehničkom Institutu DEC, d.o.o., Zrenjanin, kao metrolog. Važniji projekti na kojima je učestvovala: • „Razvoj laserskog bar-kod čitača“, saradnja DP „Teleoptik“, Zemun sa Institutom za fiziku na projektu Republičkog fonda za tehnološki razvoj 1989.-1991., • „Key Comparison EURAMET.EM-K5.1, EURAMET Project No. 687 Comparison of 50/60 Hz Power“, 2005.-2011., međunarodni projekat, učešće DMDM, • EURAMET project 1013 Peer review - ocenjivanje jednakih u oblasti električne snage, 2007., međunarodni projekat, učešće DMDM, • „CARDS PT3 Intercomparison with electricity meter“, 2008., međunarodni projekat, učešće DMDM, • „Bilateral comparison between EIM-Greece and DMDM-Serbia, Calibration of an energy meter“, 2010., međunarodni projekat, učešće DMDM, • „EURAMET project 1187: Comparison of Instrument Current Transformers up to 10 kA“, 2012., međunarodni projekat, učešće DMDM. Do sada je objavila jedan rad u međunarodnom časopisu sa impact faktorom sa SCI liste koji je u direktnoj vezi sa disertacijom, dva rada u zbornicima međunarodnih konferencija, koautor je jedne knjige, autor je poglavlja u drugoj knjizi, objavila je 9 radova u domaćim časopisima i 18 radova u zbornicima domaćih konferencija. Bila je recenzent radova za Kongres metrologa i za časopise Eurasip i Measurement Science Rewiev. Član je Društva metrologa Srbije. 1. Ауторство - Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце, чак и у комерцијалне сврхе. Ово је најслободнија од свих лиценци. 2. Ауторство – некомерцијално. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела. 3. Ауторство - некомерцијално – без прераде. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, без промена, преобликовања или употребе дела у свом делу, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела. У односу на све остале лиценце, овом лиценцом се ограничава највећи обим права коришћења дела. 4. Ауторство - некомерцијално – делити под истим условима. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се прерада дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела и прерада. 5. Ауторство – без прераде. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, без промена, преобликовања или употребе дела у свом делу, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца дозвољава комерцијалну употребу дела. 6. Ауторство - делити под истим условима. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се прерада дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца дозвољава комерцијалну употребу дела и прерада. Слична је софтверским лиценцама, односно лиценцама отвореног кода.