Универзитет у Нишу Природно-математички факултет Департман за математику Ана В. Милетић Илић Временски низови са ненегативним целобројним вредностима генерисани зависним бројачким низовима Докторска дисертација Ментор Проф. др Мирослав М. Ристић Ниш, 2014 University of Niš Faculty of Sciences and Mathematics Department of mathematics Ana V. Miletić Ilić Time series with non-negative integer values based on dependent counting series PhD thesis Supervisor Prof. dr Miroslav M. Ristić Niš, 2014 Ментор: Проф. др Мирослав М. Ристић, редовни професор Природно-математичког факултета у Нишу Чланови комисије: 1. Проф. др Биљана Ч. Поповић, редовни професор Природно-математичког факултета у Нишу 2. Проф. др Миомир С. Станковић, редовни професор Факултета заштите на раду у Нишу 3. др Александар С. Настић, доцент Природно-математичког факултета у Нишу kadr1aj hredgovor K ) AN9R modeli O KHK mvodni pojmovi H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H S KHL Zinomni tining operator H H H H H H H H H H H H H H H H H H KP KHLHK Definicija i osozine zinomnog tining operatora H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H KP KHLHL feki ch[l modeli sa zinomnim tiningom H H H H KR KHM ch[l modeli zazirani na nekim drugim tining ope- ratorima H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H LO 2 AN9R()) modeli sa zavisnim Zernulijevim zrojaqkim nizovima KN LHK Geometrijski ch[lBKC model sa Zernulijevim zavi- snim zrojaqkim nizovima c vrste H H H H H H H H H H H H H H MR LHKHK Generalizovani zinomni tining operator c vrste H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H NJ LHKHL gsozine generalizovanog zinomnog tining operatora c vrste H H H H H H H H H H H H H H H H H H H NO LHKHM construkcija i osnovna svojstva modela D]ch[lBKC H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H N7 LHKHN mslovne statistiqke osozine D]ch[lBKC modela OK LHKHO gcenjivanje nepoznatih parametara D]ach[lBKC modela H H H H H H H H H H H H H H H H H H OP LHKHP hrimena na realnim podacima H H H H H H H H H H H PP LHL Geometrijski ch[lBKC model sa Zernulijevim zavi- snim zrojaqkim nizovima cc vrste H H H H H H H H H H H H H 7N K LHLHK Generalizovani zinomni tining operator cc vrste H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H 7O LHLHL gsozine generalizovanog zinomnog tining operatora cc vrste H H H H H H H H H H H H H H H H H H H RJ LHLHM construkcija i osnovna svojstva modela hD]ch[lBKC H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H RM LHLHN mslovne statistiqke osozine hD]ch[lBKC modela RN LHLHO gcenjivanje nepoznatih parametara hD]ch[lBKC modela H H H H H H H H H H H H H H H H H H R7 LHLHP hrimena na realnim podacima H H H H H H H H H H H SN LHM Geometrijski ch[lBKC model sa Zernulijevim zavi- snim zrojaqkim nizovima ccc vrste H H H H H H H H H H H H H KJM LHMHK Generalizovani zinomni tining operator ccc vrste H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H KJM LHMHL gsozine generalizovanog zinomnog tining operatora ccc vrste H H H H H H H H H H H H H H H H H H KJ7 LHMHM construkcija i osnovna svojstva modela [D]ch[lBKC H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H KKJ LHMHN mslovne statistiqke osozine [D]ch[lBKC modelaKKL LHMHO gcenjivanje nepoznatih parametara [D]ch[lBKC modela H H H H H H H H H H H H H H H H H H KKO LHMHP hrimena na realnim podacima H H H H H H H H H H H KLM LHMH7 kliqnosti i razlike meu generalizovanim ope- ratorima cF cc i ccc vrste H H H H H H H H H H H H H H H KMO 3 eexoviti AN9R model sa zavisnim i nezavisnim zro- jaqkim nizovima )30 MHK eexoviti ch[l model prvog reda H H H H H H H H H H H H KMS MHKHK construkcija i osnovna svojstva modela gD]ch[lBKC H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H KMS MHKHL mslovne statistiqke osozinegD]ch[lBKC modelaKN7 MHKHM gcenjivanje nepoznatih parametara gD]ch[lBKC modela H H H H H H H H H H H H H H H H H H KNR MHKHN hrimena na realnim podacima H H H H H H H H H H H KOL rakljuqak IMP diteratura IN0 hredgovor hredmet izuqavanja ove disertacije su autoregresivni vremen- ski nizovi sa nenegativnim celozrojnim vrednostima generisani zavisnim zrojaqkim nizovimaF Definisani su novi tining opera- tori i uvedeni novi modeli koji u osnovi imaju zavisne Zernuli- jeve zrojaqke nizoveF fajqexe korixeni nenegativni celozrojni autoregresivni modeli do sada se zaziraju na nezavisnim Zernulijevim i neza- visnim geometrijskim zrojaqkim nizovimaF [lGish i [lzaid BKSR7C i gceenzie BKSROC prvi su definisali modele zazirane na neza- visnim Zernulijevim zrojaqkim nizovima koristei zinomni ti- ning operatorF eodeli zazirani na zinomnom tining operatoru su uglavnom pogodni za opisivanje podataka koji se odnose na pre- zrojavanje elemenata posmatrane populacijeD pri qemu u svakom trenutku sa odreenom verovatnoom postojei elementi mogu da opstanu ili ixqeznu iz njeF lis–i-cD Bakouch i has–i-c BLJJSC su kon- struisali nenegativni celozrojni autoregresivni model pomou negativnog zinomnog tining operatora koji u osnovi ima geome- trijski zrojaqki niz nezavisnih sluqajnih promenljivihF eodeli zazirani na geometrijskom zrojaqkom nizu su pogodni za primenu u situacijama u kojima posmatrani elementi nisu pasivni kao u prethodnom sluqajuD ve mogu da generixu vixe novih elemenataF hretpostavka o nezavisnosti qlanova zrojaqkog niza ima va1nu ulogu u odreivanju osozina ovih modela i u primeni na real- nim podacimaF faimeD ovi modeli su pogodni za opisivanje doga- aja koji se odvijaju potpuno nezavisnoF eeutimD u praksi mnogo qexe nailazimo na pojave u kojima meu posmatranim dogaajima hredgovor postoji znaqajna povezanost u smislu da realizacija jednog doga- aja utiqe na to da li e se drugi dogaaj realizovati ili se nee realizovati u odreenom trenutkuF lakve primere imamo u ekonomijiD meteorologijiD kriminologiji kao i u mnogim drugim nauqnim disciplinamaF az tih razloga javlja se potreza za kon- strukcijom novih modela koji zi u osnovi imali zavisne zrojaqke nizoveF hod autoregresivnim vremenskim nizom sa nenegativnim celo- zrojnim vrednostima i zavisnim zrojaqkim nizovima konstruisa- nog od strane Bfia¨nna¨s i bells–fio¨m (J00IA podrazumevamo niz slu- qajnih promenljivih {mt}t∈N definisan sa mt W α ◦mt−1 E εtP t ≥ KP gde je α ∈ BJP KCD {εt} je niz nezavisnih jednako raspodeljenih nene- gativnih celozrojnih sluqajnih promenljivih sa oqekivanjem µε i konaqnom disperzijom σ2ε D gde su sluqajne promenljive εt i mt−k nezavisne sluqajne promenljive za svako k S JF lining operator α◦ je definisan sa α ◦m W m∑ i=1 niP gde {ni} predstavlja niz zavisnih sluqajnih promenljivih takvih da je ZBninjC W θs ̸W ZBniCZBnjC W α2P i ̸W j. Zrojaqki niz {ni} koji su posmatrali Bfia¨nna¨s i bells–fio¨m defini- sali su funn i Davies (I99PA na sledei naqinF ni W BK− kiCli E kioP BKC gde je {li} niz nezavisnih identiqki raspodeljenih sluqajnih pro- menljivih sa Zernulijevom raspodelom WerBαCD α ∈ uJP KwD {ki} je niz nezavisnih identiqki raspodeljenih sluqajnih promenljivih sa Zernulijevom raspodelom WerBθCD θ ∈ uJP KwD a o je sluqajna pro- menljiva sa Zernulijevom raspodelom WerBαCF kluqajne promen- ljive liD kj i o su nezavisne za svako i ∈ N i j ∈ NF Disertacija se sastoji iz tri glave u kojima su prikazani ori- ginalni ozjavljeni i jox uvek neozjavljeni rezultatiF m prvom N hredgovor delu su dati osnovni pojmovi koji se koriste u disertaciji i ukratko su predstavljeni neki postojei celozrojni nenegativni vremenski nizovi generisani nezavisnim zrojaqkim nizovimaF Drugi deo sadr1i tri poglavlja u kojima su konstruisana tri nova razliqita modela generisana zavisnim zrojaqkim nizovimaF hrvi model je zasnovan na zrojaqkim nizovima definisanim jed- naqinom (IAF gvako definisan zrojaqki niz je niz zavisnih slu- qajnih promenljivih sa Zernulijevom raspodelom WerBαCD pri qemu va1i da je XorrBniP njC W θ2 ̸W J za θ ̸W J i i ̸W jF mveden je gene- ralizovani tining operator c vrste zaziran na ovakvom zrojaq- kom nizu i uz pomo ovog operatora konstruisan je model sa geo- metrijskom marginalnom raspodelomF Detaljno su predstavljene osozine novog operatora i izvedena su osnovna svojstva modelaF fa kraju je data primena modela na realnim podacima pri qemu je ovaj model uporeen sa nekim relevantnim modelima sa neza- visnim zrojaqkim nizovimaF jezultati ovog poglavlja ozjavljeni su u radu lis–i-cD has–i-c i gile–i-c cli-c BLJKMCF m drugom poglavlju uve- den je novi zrojaqki niz zavisnih sluqajnih promenljivih i na osnovu njega definisan generalizovani tining operator cc vrsteF construisan je novi model pomou ovog operatoraD pri qemu su odreene osnovne osozine modelaD autokorelaciona struktura i uslovne statistiqke osozineF fepoznati parametri su ocenjeni raznim metodama ocenjivanja i razmatrana su asimptotska svoj- stva dozijenih ocenaF gvaj model je detaljno predstavljen u radu gile–i-c cli-c BLJKNCF m treem poglavlju zrojaqki niz zavisnih slu- qajnih promenljivih definisan je na jednostavniji naqin nego u prethodna dva sluqajaF Definisan je generalizovani tining ope- rator ccc vrste i uveden model zaziran na ovom operatoruF cao rezultat jednostavnosti zrojaqkog niza dozijen je model sa ni- zom novih korisnih osozinaF hored standardnih metoda ocenji- vanja nepoznatih parametara ovde je korixen i metod zaziran na uslovnim verovatnoamaF hredstavljena je primena modela u praksi i dato je poreenje ovog modela kako sa modelima sa ne- zavisnim zrojaqkim nizovimaD tako i sa prethodno definisanim modelima sa zavisnim zrojaqkim nizovimaF fa kraju ove glave dat je kratak pregled sliqnosti i razlika meu generalizovanim operatorima cD cc i ccc vrsteF m treem delu disertacije uvodi se mexoviti model komzi- O novanom primenom zinomnog i generalizovanog zinomnog tining operatora c vrsteF gvakav model je pogodan za opisivanje pojava promenljivog karaktera u smislu da se posmatrani dogaaji mogu odvijati nezavisno u odreenom trenutkuD dok u nekom drugom tre- nutku mo1e postojati znaqajna meusozna zavisnostF cao i ranije i ovde su odreene osnovne osozine modelaD ocenjeni su nepoznati parametri i razmatrana je mogua primena modela na podacima iz stvarnog 1ivotaF fajveu zahvalnost dugujem svom mentoru hrofF dr eiroslavu eF jistiuD redovnom profesoru hrirodno-matematiqkog fakulteta u fixu na predlo1enoj temi disertacijeD na izuzetnoj struqnoj pomoi i anga1ovanju u svim fazama mojih doktorskih studijaD kao i na posveenom vremenu i usmeravanju u izradi ove disertacijeF rahvaljujem se dr Aleksandru kF fastiuD docentu hrirodno-ma- tematiqkog fakulteta u fixu na konstruktivnim diskusijama i savetima koji su mi pomogli u raduF rahvaljujem se hrofF dr Ziljani iF hopoviD redovnom profesoru hrirodno-matematiqkog fakulteta u fixu i hrofF dr eiomiru kF ktankoviuD redovnom profesoru Fakulteta zaxtite na radu u fixu na korisnim sugestijama koje su znaqajno pozoljxale kvalitet ove disertacijeF rahvaljujem se svojoj najzoljoj drugarici dr Zojani jF hetkoviD nauqnom saradniku na lehnoloxkom mniverzitetu u almenauu na moralnoj podrxciD zez qije inicijative ne zih sve ovo ni poqelaF fa kraju se iz nezrojeno mnogo razloga zahvaljujem svojoj porodiciF Glava ) AN9R modeli m ovoj glavi izlo1eni su osnovni pojmovi i rezultati koji e se koristiti u disertacijiF m prvom poglavlju date su defini- cije koje opisuju vremenske nizove i sluqajne proceseF favedene su osozine i osnovni elementi koji se koriste u analizi vremen- skih nizovaF m skladu sa odreenim osozinama uvedena je i naj- osnovnija klasifikacija vremenskih nizovaF nixe detalja o tome mo1e se nai u Bfiockwell i Davis BKSR7F LJJLCD Box i denkins BKS7PCD nsay BLJKJCD mhumway i m–offefi BLJJPCF gd poseznog interesa za ovu disertaciju je klasa nenegativnih celozrojnih autoregresivnih vremenskih nizova Bch[lC1 u qijem formiranju se koristi takozvani tining operatorF cao najznaqaj- niji i najqexe korixeni operator izdvojen je zinomni tining operator koji su uveli m–eu–el i van bafin BKS7SCF gvaj operator je zasnovan na Zernulijevom zrojaqkom nizu nezavisnih identiqki raspodeljenih sluqajnih promenljivihF eodeli koji se izgrauju pomou ovog operatora pogodni su za predstavljanje razliqitih vremenskih nizova koji se javljaju u prirodi i druxtvuF m dru- gom poglavlju su predstavljene osozine ovog operatora i dat je pregled nekih ch[l vremenskih nizova generisanih zinomnim ti- ningomF eodifikacijama zinomnog tining operatora dozijeni su novi razliqiti tining operatoriF feki od njih su takoe zazirani na Zernulijevom zrojaqkom nizuD dok je u nekim drugim osnova niz )anteger-vylued yutoregressive aNYR modeli geometrijski raspodeljenih sluqajnih promenljivihF feki od vre- menskih nizova u kojima uqestvuju ovakvi operatori zie kratko predstavljeni u treem poglavljuF R aNYR modeli ).) mvodni pojmovi nremenski niz predstavlja ureeni niz opservacija registro- vanih u vremenu u jednakim vremenskim intervalimaF hredvianje zuduih vrednosti na osnovu analize opserviranih podataka pod- razumeva korixenje odgovarajueg matematiqkog modelaF faimeD pogodno zi zilo da se vrednost vremenskog niza u trenutku t po- smatra kao realizacija sluqajne promenljive mtF m tom kontekstuD vremenski niz se povezuje sa familijom sluqajnih promenljivihF hosezno va1nu ulogu u analizi vremenskih nizova imaju oni qije se osozine ne menjaju sa vremenomF lako dolazimo do pojma sta- cionarnostiF Zie pomenute tri grupe linearnih stacionarnih vremenskih nizovaR autoregresivni vremenski nizovi B[lC2D vre- menski nizovi pokretnih sredina Bg[C3 i autoregresivni vremen- ski nizovi pokretnih sredina B[lg[C4F Definicija I.I.I (kluqajni procesA kluqajni proces je familija sluqajnih promenljivih {mtP t ∈ i} definisanih na prostoru verovat- noa BΩPF P e CD gde je i indeksni skupF Ako je skup i neprezrojiv (recimo i je neki interval iz skupa gAD onda se ka1e da je proces sa neprekidnim vremenomD a ukoliko je i podskup skupa celih zrojeva onda je dati proces sa diskretnim vremenomF fadalje radimo sa procesima sa diskretnim vremenomF Definicija I.I.2 (jealizacije sluqajnog procesaA Funkcije {mBtC ≡ mtP t ∈ i} za fiksirano ω ∈ ΩD zovu se realizacije sluqajnog procesa {mtP t ∈ i}F Definicija I.I.K (nremenski nizA nremenski niz je sluqajni pro- ces {mtP t ∈ Z} definisan na prostoru verovatnoa BΩPF P e CF 2Yutoregressive +eoving yveryge 4Yutoregressive moving yveryge S aNYR modeli hrimedza I.I.I m terminima teorije verovatnoeD vremenski niz oziqno predstavlja sluqajni proces sa diskretnim vremenomF ee- utimD pod vremenskim nizom se takoe podrazumeva niz opser- viranih vrednosti sluqajnog procesaD tjF realizacija sluqajnog procesaF m literaturi se dogovorno koristi isti pojamD tjF pojam vremenskog nizaD i za oznaqavanje samog procesaD i za oznaqavanje njegove realizacijeF lakvu praksu nastaviemo i ovdeF m praksi oziqno mo1emo da doemo samo do jedne realiza- cije posmatranog vremenskog niza u odreenom vremenskom inter- valuF nremenski nizovi koji imaju svojstvo da se mo1e vrxiti ocenjivanje njihovih parametara samo na osnovu jedne realizacije zovu se ergodiqni vremenski nizoviF fadalje emo posmatrati samo ergodiqne vremenske nizoveF Definicija I.I.L (krednja vrednostA feka je {mt} vremenski niz takav da je ZBm2t C Q∞F krednja vrednost vremenskog niza {mt} je µmBtC W ZBmtCP t ∈ Z. Definicija I.I.M (covarijansna funkcijaA feka je {mt} vremenski niz takav da je ZBm2t C Q ∞F Autokovarijansna funkcija vremenskog niza {mt} je γmBrP sC W XovBmrP msC W ZuBmr − µmBrCCBms − µmBsCCwP za svako rP s ∈ Z. Definicija I.I.N (ktacionarnostA nremenski niz {mtP t ∈ Z} je slazo stacionaran ako su zadovoljeni usloviR BiC ZBmtC W µD za svako t ∈ ZP BiiC ZBm2t C Q∞D za svako t ∈ ZP BiiiC XovBmt+hP mtC W γBhC zavisi samo od hD h ∈ ZF az definicije se vidi da su srednja vrednost i kovarijansna funk- cija stacionarnih vremenskih nizova invarijantni u odnosu na vremeF ra stacionarni vremenski niz ka1e se jox i da je slazo stacionaran ili stacionaran u xirokom smisluF KJ aNYR modeli Definicija I.I.O (ktroga stacionarnostA nremenski niz {mtP t ∈ Z} je strogo stacionaran ako sluqajni vektori Bmt) P mt2 P . . . P mtkC′ i Bmt)+hP mt2+hP . . . P mtk+hC ′ imaju iste zajedniqke raspodele za svako k ≥ K i za svako t1P t2P . . . P tkP h ∈ ZF leorema I.I.I Ako je ZBm2t C Q ∞D tada je strogo stacionaran vre- menski niz {mtP t ∈ Z} i stacionaranF gzrnuto tvrenje u opxtem sluqaju ne va1iF Definicija I.I.P (Gausov vremenski nizA nremenski niz {mtP t ∈ Z} je Gausov ako i samo ako je svaka funkcija raspodele zilo kog konaqnog podskupa vremenskog niza {mtP t ∈ Z} vixedimenzionalna normalnaF leorema I.I.2 Ako je {mtP t ∈ Z} stacionaran Gausov vremenski nizD tada je on i strogo stacionaranF Definicija I.I.9 (Zeli xumA nremenski niz {ot} zove se zeli xum ako se sastoji od nekorelisanih identiqki raspodeljenih sluqajnih promenljivihD za koje je ZBotC W J i k vrBotC W σ2F Definicija I.I.I0 (Autokovarijansna funkcija stacionarnog vre- menskog nizaA Autokovarijansna funkcija stacionarnog vremenskog niza {mtP t ∈ Z} data je sa γmBhC W ZuBmt+h − µCBmt − µCwP h ∈ Z. Autokovarijansna funkcija za h W J je disperzija vremenskog nizaD jer je γBJC W ZBmt − µC2F Definicija I.I.II (Autokorelaciona funkcija stacionarnog vre- menskog nizaA Autokorelaciona funkcija stacionarnog vremenskog niza {mtP t ∈ Z} data je sa /mBhC W γmBhC γmBJC P h ∈ Z. ra autokorelacionu funkciju va1i da je |/mBhC| ≤ K za svako h ∈ Z. KK aNYR modeli Definicija I.I.I2 (dinearan vremenski nizA ra vremenski niz {mt} ka1emo da je linearan ako se mo1e predstaviti u ozliku mt W µE ∞∑ j=−∞ ψjot−jP pri qemu je ∑∞ j=−∞ |ψj| Q∞ i {ot} je zeli xum takav da je ZBotC W J i k vrBotC W σ2F corixenjem zelog xuma mo1e ziti generisana veoma xiroka klasa stacionarnih vremenskih nizovaF lako dolazimo do pojma vremenskih nizova autoregresivnih pokretnih sredina B[lg[CF Definicija I.I.IK (VgbVBpP qC vremenski nizA ra vremenski niz {mt} ka1emo da je VgbVBpP qC vremenski niz ako je stacionaran i ako je za svako t ∈ Z mt − p∑ i=1 ϕimt−i W q∑ j=1 θjot−j E otP gde je {ot} zeli xum koji se sastoji od nezavisnih sluqajnih promen- ljivihD takav da je ZBotC W J i k vrBotC W σ2F Definicija I.I.IL (Autoregresivni VgBpC vremenski nizA ra vre- menski niz {mt} ka1emo da je autoregresivni vremenski niz reda p ako je stacionaran i ako je za svako t ∈ Z mt W p∑ i=1 ϕimt−i E otP gde je {ot} zeli xum koji se sastoji od nezavisnih sluqajnih promen- ljivihD takav da je ZBotC W J i k vrBotC W σ2F Definicija I.I.IM (nremenski niz pokretnih sredina bVBqCA ra vremenski niz {mt} ka1emo da je vremenski niz pokretnih sredina reda q ako je stacionaran i ako je za svako t ∈ Z mt W ot E q∑ j=1 θjot−jP gde je {ot} zeli xum koji se sastoji od nezavisnih sluqajnih promen- ljivihD takav da je ZBotC W J i k vrBotC W σ2F KL aNYR modeli hrimer I.I.I B[lBKC vremenski nizA hosmatrajmo autoregresivni vremenski niz {mt} reda K zadat jednaqinom mt W ϕmt−1 E otP t ∈ ZP gde je {ot} zeli xum takav da je ZBotC W JD k vrBotC W σ2 i va1i uslov |ϕ| Q KF eo1e se pokazati da je autokovarijansna funkcija γBhC W σ 2ϕh 1−ϕ2 D a autokorelaciona funkcija je /BhC W ϕ|h|P h ∈ ZF lakoe se mo1e primetiti da autokorelaciona funkcija eksponencijalno opada kada h→∞F hoseznu klasu autoregresivnih vremenskih nizova qine ch[l vremenski nizovi o kojima e ziti reqi u narednom poglavljuF kada emo predstaviti neke va1ne teoreme koje se koriste u asimptotskoj karakterizaciji ocena nepoznatih parametara ch[l vremenskih nizovaF feka je {X t} y-dimenzionalni vremenski niz i β W Bβ1P . . . P βrC vektor parametaraF feka Fmt−1 oznaqava σ-algezru generisanu sa {XsP s ≤ t− K}D a Fmt−1BmCD σ-algezru generisanu sa {XsP t−m ≤ s ≤ t − K}F feka je dalje ~X t|t−1BβC W Z ( X t|Fmt−1BmC ) i neka je funkcija fcBβC definisana sa fcBβC W c∑ t=m+1 ( X t − ~X t|t−1BβC )2 lada va1e sledee teoremeF leorema I.I.K Bnj6s–heimF KSRPF nHMHKC hretpostavimo da je {X t} strogo stacionaran ergodiqan vremenski niz sa konaqnim drugim momentomD takav da je funkcija ~X t|t−1BβC skoro sigurno tri puta neprekidno diferencijazilna na nekom otvorenom skupu koji sadr1i stvarnu vrednost parametra β0D i neka su zadovoljeni usloviR XKF Z ∣∣∣∣U ~X t|t−)Uβi ∣∣∣∣2 Q∞P za i ∈ {KP LP . . . P r}P Z ∣∣∣∣U2 ~X t|t−)UβiUβj ∣∣∣∣2 Q∞P za iP j ∈ {KP LP . . . P r}P KM aNYR modeli XLF na1i linearna nezavisnost u srednje-kvadratnom smislu vek- tora U ~X t|t−) βi D gde je i ∈ {KP LP . . . P r}D tjF za proizvoljne realne zrojeve v1P . . . P vr uslov Z ∣∣∣∣∑ri=1 vi U ~X t|t−)Uβi ∣∣∣∣2 W JP implicira da je v1 W v2 W · · · W vr W JF XMF hostoje funkcije Gijkn−1Bm1P m2P . . . P mn−1C i H ijk n Bm1P m2P . . . P mnC ta- kve da jeR∣∣∣∣U ~X t|t−)Uβi U2 ~X t|t−)UβjUβk ∣∣∣∣ ≤ Gijkn−1P Z (Gijkn−1) Q∞P∣∣∣∣(X t − ~X t|t−1) U+ ~X t|t−)UβiUβjUβk ∣∣∣∣ ≤ H ijkn P Z (H ijkn ) Q∞D za iP jP k ∈ {KP LP . . . P r}F lada postoji niz ocena {β^c} koji minimizira funkciju fcBβCD takav da β^c sFiF→ β0D c →∞. Da zi va1ila naredna teoremaD potrezni su sledei usloviR aA hostoji mD takvo da je za t ≥ mE KD Z ( X t|Fmt−1 ) sFiF W Z ( X t|Fmt−1BmC ) P bA hostoji mD takvo da je za t ≥ mE KD f t|t−1 defF W Z { BX t − ~X t|t−1CBX t − ~X t|t−1Ci |Fmt−1 } sFiF W Z { BX t − ~X t|t−1CBX t − ~X t|t−1Ci |Fmt−1BmC } . feka je U W Z U ~X i t|t−1 Uβ U ~X t|t−1 Uβ P gde je U ~X t|t−1RUβ matrica reda y × rD u kojoj su vektori kolona jednaki U ~X t|t−1RUβiP i W KP . . . P rF leorema I.I.L Bnj6s–heimF KSRPF nHMHLC feka su zadovoljeni uslovi BvC i BbC i uslovi ]KG]M prethodne teoreme i neka je uz to zadovoljen i uslov f ≡ Z U ~X i t|t−1 Uβ f t|t−1 U ~X t|t−1 Uβ  Q∞. KN aNYR modeli lada za niz ocena iz leoreme IFIFK va1i da c1R2 ( xβc − β0 ) r−→ N ((PU−1fU−1) P c →∞P leorema I.I.M BBfiockwellF DavisF KSR7F nH PHMHMC Ako su {Xn} i {Yn} dva niza sluqajnih vektoraD takvi da je Xn − Yn W opBKC i Xn→XD kada n→∞D tada i Yn→XD kada n→∞F leorema I.I.N BBfiockwellF DavisF KSR7F nH PHNHKC feka je mn sa AN BµP σ2nC raspodelomD gde σn → JD za n → ∞F Ako je g diferencijazilna funk- cija u µD tada gBmnC ima AN BgBµCP g′BµC2σ2nC raspodeluF leorema I.I.O BBfiockwellF DavisF KSR7F nH PHNHMC hretpostavimo da Xn ima AN BµP x2cΣC raspodeluD gde je Σ simetriqna nenegativno de- finitna matrica i xc → JD kada c →∞F Ako je gBXC W Bg1BXCP . . . P gmBXCC preslikavanje iz Rk u RmD takvo da je svaka giB·C neprekidno diferencijazilna funkcija u okolini µ i ako matrica YΣYi ima sve dijagonalne elemente razliqite od nuleD gde je Y matrica uBUgiRUxjCBµCw reda m× kD tada gBXcC ima AN ( gBµCP x2cYΣY i ) ras- podeluF KO aNYR modeli ).2 Zinomni tining operator cao xto je ve pomenutoD u poslednjih nekoliko dekada dvade- setog vekaD pokuxavajui da xto zolje modeliraju prirodne po- jave sa celozrojnim vrednostimaD nauqnici su konstruisali niz razliqitih modelaF Zitan iskorak napravili su dacobs i fewis BKS7RaGcCD kada su u nizu svojih radova definisali i opisali dis- kretne autoregresivne modele pokretnih sredina BD[lg[C5 koji su se strukturalno zazirali na prethodno opisanim [lg[ mode- limaF gceenzie BKSROC i [lGish i [lzaid BKSR7CD nezavisnim pristu- pom uvode nenegativne celozrojne autoregresivne vremenske ni- zove prvog redaD koristei zinomni tining operator koji su de- finisali m–eu–el i pan bafin BKS7SCF fa taj naqinD zapoqeta je nova etapa u modeliranju nenegativnih celozrojnih autoregresivnih vremenskih nizovaF m prvom delu ovog odeljkaD opisan je nenegativni celozrojni autoregresivni model prvog reda Bch[lBKCC sa uopxtenom margi- nalnom raspodelomD generisan zinomnim tining operatoromF fa- vedene su najva1nije osozine ovog operatora kao i zitne karakte- ristike ovih modelaF m drugom delu odeljka ukratko su predsta- vljeni znaqajni ch[l modeli generisani zinomnim tiningomD sa konkretnim marginalnim raspodelamaF mkratko je predstavljen i ch[l model vixeg redaF ).2.) Definicija i osozine zinomnog tining operatora mpoznajmo se najpre sa zinomnim tining operatorom ” ◦ ” koji je neophodan za definisanje ch[l modelaF gvaj operator su defi- nisali m–eu–el i van bafin BKS7SCF feka je m nenegativna celozrojna sluqajna promenljivaF lada 5Discrete yutoregressive moving yveryge KP aNYR modeli je za svako α ∈ uJP KwD operator ” ◦ ” definisan sa α ◦m W m∑ i=1 niP BKHLHKC gde je {ni} niz nezavisnih jednako raspodeljenih sluqajnih pro- menljivihD nezavisnih od mD sa Zernulijevom raspodelom e Bni W KC W K−e Bni W JC W αF fiz {ni} zove se zrojaqki nizD dok naziv ovog operatora potiqe od raspodele sluqajne promenljive ∑m i=1 ni pod uslovom da je {m W x}D koja je jednaka zinomnoj sa parametrima x i αF gsozine zinomnog tining operatora feka su αP βP γ ∈ uJP Kw i neka su operatori ”α ◦ ”D ”β ◦ ”D γ ◦ ” definisani sa α ◦m W∑mi=1W(1)i D β ◦m W∑mi=1W(2)i D γ ◦m W∑mi=1W(3)i D gde je {W(1)i } niz nezavisnih jednako raspodeljenih sluqajnih pro- menljivih nezavisnih od mD sa Zernulijevom raspodelom sa para- metrom αD {W(2)i } je niz nezavisnih jednako raspodeljenih sluqaj- nih promenljivih nezavisnih od mD sa Zernulijevom raspodelom sa parametrom β i {W(3)i } je niz nezavisnih jednako raspodeljenih sluqajnih promenljivih nezavisnih od mD sa Zernulijevom raspo- delom sa parametrom γF ladaR IF J ◦m sFiFW JF JF K ◦m sFiFW mF KF α ◦ Bβ ◦ mC rW BαβC ◦ mD gde su odgovarajui zrojaqki nizovi {W(1)i } i {W(2)i } nezavisniF LF ZBα ◦mC W αZBmCF MF ZBα ◦mC2 W α2ZBm2C E αBK− αCZBmCF NF ZBmBα ◦ n CC W αZBmn CF OF Z ( mBα ◦ n C2) W α2ZBmn 2C E αBK− αCZBmn C. K7 aNYR modeli PF ZBBα ◦ mCBβ ◦ n CC W αβZBmn CD ako su odgovarajui zrojaqki nizovi {W(1)i } i {W(2)i } meusozno nezavisni i nezavisni od m i n F 9F ZBBα ◦mC2Bβ◦n CC W α2βZBm2n CEαBK−αCβZBmn CD ako su odgova- rajui zrojaqki nizovi {W(1)i } i {W(2)i } nezavisni i nezavisni od m i n F I0F ZBmn Bα ◦ oCC W αZBmn oCF IIF ZBmBα◦n CBβ ◦oCC W αβZBmn oCD ako su odgovarajui zrojaqki nizovi {W(1)i } i {W(2)i } meusozno nezavisni i nezavisni od mD n i oF IJF ZBBα ◦ mCBβ ◦ n CBγ ◦ oCC W αβγZBmn oCD ako su odgovarajui zrojaqki nizovi {W(1)i }D {W(2)i } i {W(3)i } meusozno nezavisni i nezavisni od mD n i oF IKF α ◦ Bm E n C rW α ◦ m E α ◦ n D ako su m i n nezavisne sluqajne promenljiveF ILF XovBmPα ◦ n C W αXovBmPn CF IMF ZBα ◦m|mC W αmD α ∈ BJP KCF INF ZBBα ◦mC2|mC W α2m2 E αBK− αCmD α ∈ BJP KCF neina osozina preuzeta je iz milva i iliveifia (J00LAF Dokazi poje- dinih osozina mogu se nai u [lGish i [lzaid BKSR7CD Du i fi BKSSKCD Ffianke i mubba lao BKSSOCF hoslednje dve osozine dokazane su u has–i-c BLJJRCF ).2.2 feki AN9R modeli sa zinomnim tiningom ch[lBKC modeli zasnovani na zinomnom tining operatoruD koje su definisali [lGish i [lzaid BKSR7CD pogodni su za opisivanje po- dataka koji se odnose na zrojanje elemenata neke populacijeD pri qemu u svakom trenutku postojei elementi mogu da opstanu ili ixqeznu iz nje sa izvesnom verovatnoomF gva osozina je di- rektna posledica qinjenice da je zinomni tining operator zazi- ran na Zernulijevom zrojaqkom nizu xto znaqi da svaka zrojaqka KR aNYR modeli sluqajna promenljiva ima dve mogue realizacijeD 0 ili IF gvi autori su konstruisali stacionaran vremenski niz dat sledeom definicijomF Definicija I.2.I B[lGishF [lzaidF KSR7C nremenski niz {mn} dat jednaqinom mn W α ◦mn−1 E εnP n ∈ ZP BKHLHLC je IcVgBKC vremenski nizD gde je α ∈ uJP KwD {εn} je niz nezavisnih ne- negativnih celozrojnih identiqki raspodeljenih sluqajnih promen- ljivih sa oqekivanjem µε i konaqnom disperzijom σ2ε D takvih da su mm i εn nezavisne sluqajne promenljive za m Q nD i {ni} je zrojaqki niz nezavisnih sluqajnih promenljivih sa Zernulijevom raspodelom sa parametrom αF Autori daju sledeu interpretaciju ch[lBKC modela definisanog jednaqinom (IFJFJAF componente vremenskog niza u trenutku nD mnD su BiC opstali elementi vremenskog niza u trenutku n − KD mn−1D svaki sa verovatnoom opstanka α i BiiC elementi koji su uxli u posmatrani sistem u intervalu Bn− KP nw kao inovacioni qlan εnF favedimo sada najva1nije osozine vremenskog niza {mn}n∈Z za- datog Definicijom IFJFIF gqekivanje i disperzija vremenskog niza {mn} su dati saR ZBmnC W αZBmn−1C E µεP k vrBmnC W α 2k vrBmn−1C E αBK− αCZBmn−1C E σ2ε . Autokovarijansna funkcija reda k jednaka je γBkC ≡ XovBmn−kP mnC W αkγBJCP k ≥ JP a odavde direktno sledi da je autokorelaciona funkcija reda k /BkC W γBkC γBJC W αkP k ≥ J. Autokorelacija je istog ozlika kao kod standardnih autoregre- sivnih [lBKC modela xto ukazuje na njihovu povezanostF pto se uslovnih statistiqkih osozina tiqeD imamo da je uslov- no oqekivanje za korak IR KS aNYR modeli ZBmn+1|mnC W αmn E µε. m has–i-c BLJJRC pokazano je da se za k koraka dozija ZBmn+k|mnC W αkmn E µε ( K− αk K− α ) P k ≥ KP uslovna disperzija za k W K je k vrBmn+1|mnC W αBK− αCmn E σ2ε P dok je za korak k ≥ K k vrBmn+k|mnC W αkBK− αkCmn E µεαBK− α kCBK− αk−1C K− α2 E σ 2 ε K− α2k K− α2 . dako se proverava da E(mn+k|mnA→ E(mnA i k vr(mn+k|mnA→ k vr(mnAD za k →∞D odnosnoD sa porastom k regresiona funkcija konvergira zezuslovnom matematiqkom oqekivanjuD tjF predvianja za veliki zroj koraka su zliska konstantnom matematiqkom oqekivanjuF la- koeD uslovna disperzija se asimptotski prizli1ava zezuslovnoj disperziji vremenskog nizaF az qinjenice da su sluqajne promenljive ch[lBKC vremenskog niza jednako raspodeljeneD sledi da je ZBmC W µε K− αP α ̸W KP k vrBmC W αµε E σ 2 ε K− α2 P α ̸W K. hredstaviemo sada dva fundamentalna ch[lBKC modela sa hu- asonovom i geometrijskom marginalnom raspodelomF huasonov AN9R()) model bedan od najqexe korixenih nenegativnih celozrojnih auto- regresivnih vremenskih nizova je huasonov ch[lBKC vremenski niz reda KF k ozzirom na to da huasonova raspodela nije predmet ove disertacijeD navexemo samo najosnovnije osozine ovog modelaF LJ aNYR modeli huasonov nenegativni celozrojni autoregresivni vremenski niz prvog reda su uveli [lGish i [lzaid BKSR7C Definicijom IFJFID pret- postavljajui da inovacioni niz {εn} ima huasonovu PBλC ras- podeluF mz pretpostavku da je mt y W mt−1D raspodela vremenskog niza jednoznaqno je odreena raspodelom inovacionog nizaF ear- ginalna raspodela vremenskog niza je huasonova sa parametrom λ 1−α F gqekivanje i disperzija vremenskog niza su ZBmnC W λ K− αP k vrBmnC W λ K− αP α ̸W KP dok su autokovarijansna i autokorelaciona funkcija date redom sa γBkC W αk λ K− αP /BkC W α kP k ≥ J. m has–i-c BLJJRC je pokazano da su uslovno oqekivanje i uslovna di- sperzija za k koraka dati sa ZBmn+k|mnC W λ K− α ( K− αk)E αkmnP k ≥ KP k vrBmn+k|mnC W ( K− αk)( λ K− α E α kmn ) P k ≥ K. Direktnom proverom mo1e se utvrditi da ZBmn+k|mnC → ZBmnC i k vrBmn+k|mnC→ k vrBmnCD za k →∞F ra huasonov vremenski niz va1i da je regresija unazad line- arna funkcijaD tjF va1i ZBmn−1|mn W xC W αxE µε. m leoremi MFI ([lzaid i [lGishF KSRRAD dokazano je da je huasonov vremenski niz jedini ch[lBKC vremenski niz kod koga je regresija unazad linearnaF Geometrijski AN9R()) model [lzaid i [lGish (I9PPA predstavili su jox jedan va1ni nenega- tivni celozrojni autoregresivni vremenski niz zaziran na zi- nomnom tininguD sa geometrijskom marginalnom raspodelomF LK aNYR modeli faimeD oni su opet polazei od Definicije IFJFI posmatrali niz sluqajnih promenljivih koji zadovoljava jednaqinu mn W α ◦mn−1 E εnP n ∈ ZP gde je α ∈ BJP KCD {εn} je niz nezavisnihD nenegativnihD celozroj- nih sluqajnih promenljivihD nezavisnih od mm za m Q nD a {ni} je zrojaqki niz nezavisnih jednako raspodeljenih sluqajnih promen- ljivihD nezavisnih od mnD sa Zernulijevom raspodelom sa para- metrom αD pri qemu su sada razmatrali geometrijsku raspodelu za {mn}D tjF e Bmn W jC W BK − qCqjD q ∈ BJP KCD j W JP KP LP . . .F gvako definisan vremenski niz krae su nazvali ach[lBKC6F holazei od geometrijske marginalne raspodele vremenskog niza {mn}D dozijamo da je funkcija generatrise verovatnoa ino- vacionog niza jednaka ΦεBsC W αE BK− αC K− q K− qsP odakle sledi da je raspodela inovacionog niza εn r W { JP sFvF αP GnP sFvF K− αP gde Gn ima geometrijsku raspodelu sa parametrom qF gdavde za- kljuqujemo da se ach[lBKC vremenski niz mo1e predstaviti u ozli- ku mn W { α ◦mn−1P sFvF αP α ◦mn−1 EGnP sFvF K− αP W α ◦mn−1 E InGnP gde je {In} niz nezavisnihD jednako raspodeljenih sluqajnih pro- menljivih takvih da je In sluqajna promenljiva sa Zernulijevom raspodelom sa parametrom K− αF cao u has–i-c BLJJRC uvodimo sledeu primedzuF hrimedza I.2.I jadi jednostavnijih izvoenja odgovarajuih sta- tistikaD mo1e se koristiti alternativna parametrizacija uvoe- njem smene q W P 1+P D gde je e ≥ JF 6Geometric aNYR LL aNYR modeli favedimo sada jox neke najva1nije osozine ovog modelaF dako se izraqunava da va1i µε W BK− αC q K− q P σ 2 ε W BK− αCqBK E αqC BK− qC2 P zatim ZBmC W q K− q P k vrBmC W q BK− qC2 . Autokovarijansna i autokorelaciona funkcija su date redom sa γBkC W αk q BK− qC2 P /BkC W α kP k ≥ J. m has–i-c BLJJRC je pokazano da su uslovno oqekivanje i uslovna disperzija za k ≥ K koraka dati saR ZBmn+k|mnC W αkmn E q K− q ( K− αk) P k vrBmn+k|mnC W αk ( K− αk)mn E qBK− αkC K− q ( K E q K− q ( K E αk )) . homenimo jox jedno zitno svojstvo po kome se ovaj vremenski niz razlikuje od huasonovog vremenskog nizaF faimeD ovde regre- sija unazad ZBmn−1|mn W xC W qBK− αC K− qBK− αC E α ( K− ( α 1−q(1−α) )x) BK− qCBK− αCBK− qBK− αCC P x ≥ KP nije linearna funkcijaF AN9R(p) - Zinomni tining model m definisanju modela vixeg redaD zaziranog na zinomnom ti- ning operatoru korixena su dva znaqajna pristupaF Du i fi BKSSKC sa jedne straneD su uopxtili ch[lBKC model koji su uveli [lGish i [lzaid BKSR7CF corelaciona struktura i osozine ovog modela od- govaraju standardnom [lBpC modeluF Drugi pristup predstavili su [lzaid i [lGish BKSSJCF gvde emo ukratko predstaviti model koji su konstruisali Du i fiF LM aNYR modeli coristei zinomni tining operator (IFJFIAD Du i fi BKSSKC su definisali ch[lBpC vremenski niz kao mn W p∑ i=1 αi ◦mn−i E εnP BKHLHMC gde su αj ∈ uJP KwD j W KP . . . P pD εn su nezavisne jednako raspodeljene nenegativne celozrojne sluqajne promenljive sa oqekivanjem µε i disperzijom σ2ε nezavisne od svih zrojaqkih nizova i svi zrojaqki nizovi su meusozno nezavisniF kledea teorema odreuje uslove pod kojima postoji stacio- narno rexenje jednaqine (IFJFKAF leorema I.2.I BDuF fiF KSSKC feka je {εn} niz nezavisnih jednako ra- spodeljenih nenegativnih celozrojnih sluqajnih promenljivih sa oqe- kivanjem µε i disperzijom σ2ε i neka je αi ∈ uJP KwP i ∈ {KP LP . . . P p}. Ako su koreni jednaqine λp − p∑ i=1 αiλ p−i W J van jediniqnog krugaD onda postoji jedinstven stacionarni nenega- tivni celozrojni vremenski niz {mn}D koji zadovoljava jednaqinu mn W p∑ i=1 αi ◦mn−i E εnP pri qemu je XovBmsP εtC W JD za s Q tF LN aNYR modeli ).3 AN9R modeli zazirani na nekim drugim tining operatorima m ovom delu predstaviemo samo neke ch[l modele generisane razliqitim tining operatorima nastalim izvesnim modifikaci- jama zinomnog tining operatoraF feki su zazirani na Zernuli- jevom zrojaqkom nizuD dok drugi sa negativnim zinomnim tining operatorom u osnovi imaju geometrijski zrojaqki nizF AN9R()) modeli sa sluqajnim koeficijentima m stalnoj te1nji da se xto zolje opixu razliqiti procesi koji se javljaju u prirodiD modeli zazirani na Zernulijevom zrojaq- kom nizu sa konstantnom verovatnoom opstanka elemenata u po- smatranoj populaciji postali su nedovoljniF faimeD pojavila se potreza da se opixu i vremenski nizovi u kojima se menja ve- rovatnoa opstanka jedinkiF fa taj naqinD konstanta α ∈ uJP Kw kojom je odreen zinomni tining operator sada postaje sluqajna promenljiva ϕ sa vrednostima iz intervala uJP KwF gvakav koncept sugerisali su thengD Basawa i Da––a BLJJ7CD formirajui model sa sluqajnim koeficijentimaD a kasnije jeqei3 BLJJRbC posmatrao spe- cijalan sluqaj u kome sluqajna promenljiva ϕ ima zeta BBαP βC ras- podeluF gvde navodimo definiciju preuzetu iz preglednog qlanka qei3 BLJJRbCF Definicija I.K.I Bqei3F LJJRbC feka je m sluqajna promenljiva sa vrednostima iz N0 i neka je ϕ sluqajna promenljiva sa vrednostima iz uJP KwD nezavisna od mF kluqajna promenljiva ϕ ◦m je dozijena ti- ning operatorom promenljivog koeficijentaD ako je ” ◦ ” zinomni tining operator koji ne zavisi od ϕ i mF ra ovako definisani tining operator va1e sledee osozineR ZBϕ ◦mC W µϕZBmCP k vrBϕ ◦mC W µ2ϕk vrBmC E µϕBK− µϕCZBmC E σ2ϕZBmBm − KCCP XovBϕ ◦mPmC W µϕk vrBmCP LO aNYR modeli gde je µϕ W ZBϕC i σϕ W k vrBϕCF kledei rezultate iz doe (I99NAD qei3 BLJJRbC je posmatrao slu- qaj kada ϕ ima zeta BBαP βC raspodeluD tjF e Bϕ W tC W tα−1BK− tCβ−1 WBαP βC P t ∈ BJP KCP gde je WBαP βC W ∫ 1 0 uα−1BK − uCβ−1yuD αP β ≥ JF lada ϕ ◦ m|m W x ima zeta zinomnu BBBxUαP βC raspodeluD odnosno va1i da je e BBϕ ◦m|m W xC W iC W ( x i ) WBα E iP β E x− iC WBαP βC P x ∈ N. dema I.K.I Bqei3F LJJRbC feka je m sluqajna promenljiva sa negativ- nom zinomnom NBBnP pC raspodelomF feka je βn ◦ m zeta zinomni tiningD gde βn ima zeta BBn/P nBK − /CC raspodeluD tjF ZBβnC W / i k vrBβnC W /BK − /CRBn E KCF lada βn ◦ m ima negativnu zinomnu NBBn/P pC raspodeluF feka su n i n/ nenegativni celi zrojevi i p ∈ BJP KCF cori- stei prethodnu demuD uveden je vremenski niz {mn} sa negativ- nom zinomnom NBBnP pC marginalnom raspodelomD koji zadovoljava jednaqinu mn W βn ◦mn−1 E εnP n ∈ NP BKHMHKC gde je {εn} niz nezavisnih nenegativnih celozrojnih sluqajnih promenljivih sa NBBnBK− /CP pC raspodelomD {βn} je niz nezavisnih sluqajnih promenljivih sa zeta BBn/P nBK− /CC raspodelomD nezavi- snih od {εn} i od {mm}m