UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA FIZIKU Aleksandar P. Jovanović ELEKTRIČNI PROBOJI U VAZDUHU: NOVI EKSPERIMENTI I STATISTIČKI I NUMERIČKI MODELI Doktorska disertacija Niš, 2014. UNIVERSITY OF NIŠ FACULTY OF SCIENCES AND MATHEMATICS DEPARTMENT OF PHYSICS Aleksandar P. Jovanović ELECTRICAL BREAKDOWNS IN AIR: NEW EXPERIMENTS AND STATISTICAL AND NUMERICAL MODELS PhD Thesis Niš, 2014. Ova disertacija je urađena u okviru projekta ON171025 „Električni proboj gasova, površinski procesi i primene“ Ministarstva prosvete, nauke i tehnološkog razvoja Republike Srbije. Autor bi želeo da istakne zahvalnost mentoru dr Vidosavu Markoviću, redovnom profesoru Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu, na predloženoj temi, kao i redovnom profesoru dr Biljani Popović, redovnom profesoru dr Stevici Đuroviću i docentu dr Nikoli Šišoviću na korisnim sugestijama. Takođe, posebno se zahvaljujem kolegama vanrednom profesoru dr Suzani Stamenković i diplomiranom fizičaru Marjanu Stankovu na saradnji i stručnoj pomoći. Autor se zahvaljuje Vlastimiru Petroviću, Slaviši Stanuloviću, Predragu Stankoviću, Ljubiši Stojiljkoviću, Nemanji Cvetkoviću i Ljubinku Nediću za pomoć oko formiranja eksperimenta, dipl. ing. Tihomiru Lazoviću i MIN Institutu za uzorke čelika, dipl. hemičaru Anđelki Vasković i AD Kopex MIN LIV za analizu elektroda na kvantometru, Miodragu Miljkoviću za snimanje elektroda na skenirajućem elektronskom mikroskopu i energijskoj disperzionoj rendgenskoj spektroskopiji, kao i dr Radošu Gajiću i dr Borislavu Vasiću za mikroskopiju međuatomskih sila. Na kraju, srdačno se zahvaljujem svojoj porodici i prijateljima na podršci u toku studiranja. Прилог 4/1 ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА Редни број, РБР: Идентификациони број, ИБР: Тип документације, ТД: монографска Тип записа, ТЗ: текстуални / графички Врста рада, ВР: докторска дисертација Аутор, АУ: Александар П. Јовановић Ментор, МН: Видосав Љ. Марковић Наслов рада, НР: Електрични пробоји у ваздуху: нови експерименти и статистички и нумерички модели Језик публикације, ЈП: српски Језик извода, ЈИ: енглески Земља публиковања, ЗП: Србија Уже географско подручје, УГП: Србија Година, ГО: 2014. Издавач, ИЗ: ауторски репринт Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33. Физички опис рада, ФО: (поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога) 8 поглавља,114 стр., 159 цитата, 47 граф. приказа, 2 табеле, 1 прилог Научна област, НО: физика Научна дисциплина, НД: Физика јонизованих гасова Предметна одредница/Кључне речи, ПО: Електрични пробоји у гасовима, гасна пражњења, статистички и нумерички модели УДК 537.523/.527:621.385(043.3) 001.891.5:51-7 Чува се, ЧУ: библиотека Важна напомена, ВН: Експериментални део је реализован у лабораторији за физику јонизованих гасова и ласера на Природно- математичком факултету у Нишу. Скенирајућа електронска микроскопија и енергијска дифракциона рендгенска спектроскопија електрода су урађене на Медицинском факултету у Нишу, микроскопија атомских сила је урађена у Институту за физику у Београду, док су мерења на квантометру урађена у АД „Копекс МИН ЛИВ“. Q4.16.01 - Izdanje 1 Извод, ИЗ: У овој дисертацији су разматрани процеси који се дешавају у синтетичком ваздуху пре, у току и након електричног пробоја применом методе мерења времена кашњења електричног пробоја. Измерене су расподеле времена кашњења пробоја као и меморијске криве у ваздуху на различитим условима и са различитим узорцима електрода. Расподеле статистичког времена кашњења су фитоване Гаусовом, мешовитом Гаус-експоненцијалном и експоненцијалном расподелом и моделоване Монте Карло симулацијом. Мешовите расподеле су уопштене и изведена је релација за ефективни електронски принос. Појава мешовитих расподела је разматрана и физички објашњена појачаном емисивношћу услед оксида на катоди и увећане ефективне површине. Предложене су нове методе за одређивање расподела времена формирања пражњења, коефицијента захвата електрона и брзине дрифта доминантних јона. Анализиране су меморијске криве на ниском притиску и уочене су три карактеристичне области. Прва област објашњена је дифузионим губицима доминантних јона. Применом аналитичких модела одређени су коефицијенти дифузије доминантних јона. Развијен је дводимензиони нумерички модел за рану и касну релаксацију. Најпре су из једнодимензионог модела израчунате концентрације јона у стационарном тињању које су коришћене као иницијалне концентрације за моделовање релаксације. Добијени резултати указују да су доминантни јони у релаксацији кисеонични  2O јони услед јаке конверзије  2N јона. Касна релаксација обjашњена је површинском рекомбинацијом атомa азота на боросиликатном стаклу и електродама од нерђајућег челика. Из нумеричког модела одређени су одговарајући коефицијенти рекомбинације на површинама боросиликатног стакла и нерђајућег челика. Датум прихватања теме, ДП: 02.12.2013 Датум одбране, ДО: Чланови комисије, КО: Председник: Члан: Члан: Члан: Члан, ментор: Образац Q4.09.13 - Издање 1 Прилог 4/2 ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ НИШ KEY WORDS DOCUMENTATION Accession number, ANO: Identification number, INO: Document type, DT: monograph Type of record, TR: textual / graphic Contents code, CC: doctoral dissertation Author, AU: Aleksandar P. Jovanović Mentor, MN: Vidosav Lj. Marković Title, TI: Electrical breakdowns in air: new experiments and statistical and numerical models Language of text, LT: Serbian Language of abstract, LA: English Country of publication, CP: Serbia Locality of publication, LP: Serbia Publication year, PY: 2014 Publisher, PB: author’s reprint Publication place, PP: Niš, Višegradska 33. Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes) 8 chapters, 114 p., 159 references, 47 graphic representations, 2 tables, 1 appendix Scientific field, SF: Physics Scientific discipline, SD: Physics of ionised gases Subject/Key words, S/KW: Electrical breakdown of gases, gas discharges, statistical and numerical models UC 537.523/.527:621.385(043.3) 001.891.5:51-7 Holding data, HD: library Note, N: Experimental work was carried out in laboratory for physics of ionized gases and lasers in Faculty of Sciences and Mathematics in Niš. Scanning electron microscopy and energy dispersive X-ray spectroscopy of electrodes were carried out in Faculty of Medicine in Niš, atomic force microscopy were carried out in Institute of Physics in Belgrade and the measurements on quantometer were carried out in AD “Kopex MIN LIV”. Q4.16.01 - Izdanje 1 Abstract, AB: In this dissertation processes occurring before, during and after the electrical breakdown in synthetic air are studied by breakdown time delay measurements. Time delay distributions at different conditions and with different electrodes are measured, fitted by Gaussian, mixture Gauss-exponential and exponential distributions and modeled by Monte Carlo simulation. Mixture distributions are generalized and a relation for the effective electron yield is derived. The occurrence of mixture distributions is explained by an increased emissivity of the cathode due to formation of the oxide at the cathode and increased effective surface area. A new methods for determination of the formative time delay, electron attachment coefficient and the drift velocity of the dominant ions are proposed. The memory curve at low pressure is analyzed and three distinctive regions are observed. The first regions is explained by the diffusion losses of the dominant ions. By applying the analytical model the diffusion coefficients of the dominant ions are determined. The two-dimensional numerical model for early and late relaxation is developed. The one- dimensional model is used to calculate stationary glow number densities of ions which are used as initial number densities for modelling the relaxation. The results of numerical model indicate that the dominant ion in the early relaxation is oxygen  2O ions due to intensive  2N ion conversion. Late relaxation is explained by the surface recombination of nitrogen atoms on borosilicate glass and stainless-steel electrodes. From the numerical model the coefficients of nitrogen atom surface recombination are determined. Accepted by the Scientific Board on, ASB: 02.12.2013 Defended on, DE: Defended Board, DB: President: Member: Member: Member: Member, Mentor: Образац Q4.09.13 - Издање 1 Sadržaj 1. Uvod ....................................................................................................................................................1 2. Opis eksperimenta……......................................................................................................................8 3. Statističke metode i modeli kod električnih proboja gasova........................................................18 3.1 Raspodele vremena kašnjenja proboja..................................................................................18 3.2 Analitički prelaz na Gausovu raspodelu za statističko vreme kašnjenja proboja….............23 3.3 Mešovite raspodele za statističko vreme kašnjenja proboja.................................................24 3.4 Statističke metode za analizu vremena kašnjenja proboja....................................................27 3.4.1 Monte Karlo simulacija...............................................................................................28 3.4.2 Generatori slučajnih brojeva.......................................................................................28 3.4.3 Monte Karlo simulacija Gausove, eksponencijalne i mešovite Gaus-eksponencijalne raspodele statističkog vremena kašnjenja proboja..................30 3.4.4 Statističko testiranje hipoteza......................................................................................32 3.4.5 Analiza disperzija........................................................................................................33 3.4.6 Akaikeov informacioni kriterijum (AIC)....................................................................35 3.5 Raspodele vremena kašnjenja električnog proboja u sintetičkom vazduhu…………………………………………………………………………………….36 3.5.1 Primena Monte Karlo simulacije za modelovanje raspodela statističkog vremena kašnjenja proboja......................................................................36 3.5.2 Analiza mešovitih raspodela statističkog vremena kašnjenja proboja u sintetičkom vazduhu….………………………………………………………..… 40 3.5.3 Poređenje raspodela vremena kašnjenja proboja zasnovanih na binomnoj raspodeli nastanka elektrona sa Vejbulovom raspodelom..........................................................47 3.6 Analiza vremena formiranja pražnjenja u sintetičkom vazduhu...........................................48 4. Modeli stacionarnog stanja tinjavog pražnjenja u sintetičkom vazduhu...................................54 5. Modeli relaksacije u sintetičkom vazduhu.....................................................................................64 5.1 Uvod......................................................................................................................................64 5.2 Memorijske krive u sintetičkom vazduhu.............................................................................65 5.2.1 Opadanje koncentracije naelektrisanih čestica u postpražnjenju u sintetičkom vazduhu…………………...………………………………….………………...69 5.2.2 Dvodimenzioni numerički model za oblast I memorijske krive u kojoj dominiraju naelektrisane čestice............................................................72 5.2.3 Uticaj neutralnih aktivnih čestica na postpražnjenje u vazduhu.................................82 6. Zaključak..........................................................................................................................................91 7. Prilog....................................................................................................................................97 8. Literatura........................................................................................................................................101 Biografija i bibliografija…………….……………………….…………………………..…………111 Izjave autora Oznake i skraćenice sU - statički probojni napon WU - radni napon gU - napon na elektrodama cevi punjene gasom gI - struja pražnjenja R - otpornost d - međuelektrodno rastojanje D - prečnik elektroda S - čeona površina elektroda p - pritisak gasa N - koncentracija čestica u gasu dt - vreme kašnjenja električnog proboja st - statističko vreme kašnjenja električnog proboja ft - vreme formiranja pražnjenja  - vreme relaksacije gt - vreme pražnjenja Y - elektronski prinos P - verovatnoća proboja PYYef  - efektivni elektronski prinos q - koeficijent umnožavanja elektrona  stf - gustina verovatnoće statističkog vremena kašnjenja električnog proboja   ftf - gustina verovatnoće vremena formiranja pražnjenja  stF - funkcija raspodele statističkog vremena kašnjenja električnog proboja   ftF - funkcija raspodele vremena formiranja pražnjenja dt - srednja vrednost vremena kašnjenja električnog proboja st - srednja vrednost statističkog vremena kašnjenja električnog proboja ft - srednja vrednost vremena formiranja pražnjenja  dt - standardna devijacija vremena kašnjenja električnog proboja  st - standardna devijacija statističkog vremena kašnjenja električnog proboja  ft - standardna devijacija vremena formiranja pražnjenja Ga i Ea - udeli Gausove i eksponencijalne raspodele u mešovitoj raspodeli en - koncentracija elektrona in - koncentracija jona E - jačina električnog polja NE / - jačina redukovanog električnog polja  - električni potencijal iS - član produkcije i gubitaka čestica e - fluks elektrona i - fluks jona eD - difuzija elektrona iD - difuzija jona e - pokretljivost elektrona i - pokretljivost jona ew - brzina drifta elektrona iw - brzina drifta jona  - Taunzendov prvi jonizacioni koeficijent (koeficijent jonizacije elektronskim udarom)  - koeficijent sekundarne elektronske emisije OFHC – oxygen-free high-conductivity SEM – skenirajuća elektronska mikroskopija EDX – energijska disperziona rendgenska spektroskopija AFM – mikroskopija međuatomskih sila AIC – Akaikeov informacioni kriterijum KS test – Kolmogorov Smirnov test SOR – successive over relaxation/sukcesivna nadrelaksacija 1 1. Uvod Pri standardnim uslovima temperature i pritiska gas je izolator, međutim primenom dovoljno visokog napona doći će do nastanka električnog proboja. Nastanak električnog proboja nakon priključenja napona na elektrode u cevi ispunjenoj gasom nije trenutan već postoji neko određeno, manje ili veće, kašnjenje. Vreme kašnjenje sastoji se iz dva dela: statističkog vremena kašnjenja - st vreme koje protekne od primene napona na elektrode u cevi ispunjenoj gasom do pojave elektrona koji inicira proboj; i vremena formiranja pražnjenja - ft vreme od nastanka inicijalnog elektrona do naglog smanjenja napona i dostizanja eksperimentalnim uslovima zadate radne struje (Bošan, 1975; Morgan, 1978). Prva proučavanje kašnjenja električnog proboja vršena su krajem XIX i početkom XX veka (Jaumann, 1895; Thomson, 1900; Hubbard, 1906) i uočeno je da vreme kašnjenja zavisi od prejonizacije (prisustva naelektrisanih čestica u međuelektrodnom prostoru pre primene radnog napona) i primenjenog napona. Uočena je takođe stohastička priroda vremena kašnjenja koja je i eksperimentalno dokazana u radu Zuber (1925), dok je u radu von Laue (1925) za opisivanje raspodele vremena kašnjenja proboja primenjena eksponencijalna raspodela. Prelaz sa binomne raspodele za nastanak inicijalnog elektrona na Poasonovu raspodelu, a zatim na eksponencijalnu raspodelu vremena kašnjenja proboja izložen je u radu Kiselev (1965), u kojem se takođe tvrdi da je primena Gausove raspodele za opisivanje vremena kašnjenja pogrešna. Na osnovu merenja u radu Llewellyn-Jones (1949) nađeno je zakrivljenje raspodela na Laueovom dijagramu koja ukazuju na odstupanje podataka od eksponencijalne raspodele, što je objašnjeno povećanjem emisivnosti usled prisustva oksida na katodi. Slično zakrivljenje Laueovog dijagrama uočeno je i u slučaju pražnjenja sa šupljom katodom (Choi i dr., 1995) i u mikropražnjenju pobuđenom jednosmernom (DC) strujom (Astrov i dr., 2008). Nove raspodele statističkog vremena kašnjenja eksperimentalno su dobijene u azotu i neonu (Marković i dr., 2006; 2009) za visoke elektronske prinose (broj nastalih elektrona u međuelektrodnom prostoru u jedinici vremena) koje nastaju usled zaostalog naelektrisanja iz prethodnog pražnjenja. Numeričkom integracijom binomne raspodele za nastanak inicijalnog elektrona dobijene su Gausova, Gaus-eksponencijalna i eksponencijalna raspodela za statističko vreme kašnjenja proboja (Marković i dr., 2006; 2009). Osim za opisivanje 2 vremena kašnjenja proboja, kompozitna raspodela koja se sastoji iz dve raspodele, Gausove i Gausove sa ekponencijalnim “repom“ (desnom asimetrijom), korišćena je za opisivanje vremena odziva brojača (Devismes i dr., 2002). Za opisivanje statističkog vremena kašnjenja u literaturi se često koristi i Vejbulova raspodela (Osmokrović i dr., 2007; Marić i dr., 2010; Schlitz i dr., 2010) koja dobro opisuje eksperimentalne podatke, ali parametri raspodele nemaju fizički smisao. Vreme formiranja električnog pražnjenja se često smatra konstantnom veličinom, uočeno je međutim da je i ono slučajna veličina (Marković i dr. 2007a). Statističko vreme kašnjenja i vreme formiranja pražnjenja se u literaturi razmatraju kao nezavisne slučajne promenljive (Maluckov i dr., 2006), ali je u radovima (Marković i dr., 2009; Gocić i dr., 2009) pokazano da su međusobno zavisne veličine i određen je koeficijent korelacije. Analiza vremena kašnjenja je izuzetno važna za uređaje koji rade u impulsnom režimu, kao što su gasni prekidači (Korolev i Mesyats, 1998; Shao i dr., 2006; Wang i dr., 2011), prenaponski odvodnici (Bošan 1956; 1975; 1978; 1993), ili u slučajevima gde se gas koristi kao izolator (Kristiansen i Guenther, 1983; Christophorou i Hunter, 1984). Električni proboji gasova ispitivani su pri različitim uslovima i sa različitim oblicima naponskih impulsa: linearno rastućim (Stamenković i dr., 2011), trougaonim (Osmokrović i dr., 2007; Stanković i dr., 2009), naizmeničnim (AC) impulsima sa rastućom amplitudom (Sobota i dr., 2011), mikrotalasnim (Dorozhkina i dr., 2006; Porteanu i dr., 2009; Foster i dr., 2011; Kupczyk i dr., 2012), radiofrekventnim (Huo i dr., 2014) i dr. Osim toga, kako između vremena kašnjenja električnog proboja i elektronskog prinosa postoji veza i vreme kašnjenja zavisi od prejonizacije (zaostale jonizacije iz prethodnog pražnjenja), to se njegovim merenjem može pratiti evolucija čestica u postpražnjenju (period nakon isključenja napona). Zavisnost vremena kašnjenja električnog proboja od vremena relaksacije gasa prvi put je izmerio Bošan u argonu i nazvao je memorijskom krivom (Bošan, 1956; 1975). Kasnije je ovaj efekat uočen i u drugim gasovima kao što su azot, vodonik, vazduh, ksenon, kripton, neon i helijum (Bošan, 1978; 1993; Bošan i Pejović, 1979; Bošan i dr., 1980). Dakle, merenjem vremena kašnjenja u funkciji vremena relaksacije dobija se memorijska kriva čijom se analizom mogu odrediti tendencije u opadanju koncentracija čestica tokom relaksacije. Analizom mogućih procesa i određivanjem karakterističnih vremenskih konstanti za date procese mogu se izračunati odgovarajući sudarni i transportni parametri (koeficijenti difuzije, rekombinacije, itd.). 3 Kako su u ovoj disertaciji analizirani električni proboji i postpražnjenje u sintetičkom vazduhu, u daljem tekstu je dat kratak pregled radova važnih za dalje praćenje izlaganja. Električni proboji i relaksacija u vazduhu su od velikog interesa za razmatranje proboja i uređaja koji rade u impulsnom režimu (Zhang i dr., 2014; Shao i dr., 2006; Seeger i dr., 2005), za modifikaciju površina (Fang i dr., 2004; Pandiyaraj i dr., 2013), raspršivanje (Chan i dr., 2010; Lee i dr., 2010) ili nagrizanje (Baika i dr., 1999), za primenu kod plazmenih aktuatora (Singh i Roy, 2007; Shin i dr., 2007; Mahadevan i Raja, 2010), kao i za primenu u medicini za sterilizaciju i tretman površina (Vašina i dr., 2004; Pointu i dr., 2005; Kutasi i dr., 2006), za dielektrična barijerna pražnjenja (DBD) (Shao i dr., 2012) i za proučavanje procesa važnih za ulazak letelica u atmosferu (Keidar i dr., 2008). Za opisivanje električnih proboja i uspostavljanje pražnjenja često se koriste fluidni modeli (Becker i dr., 2005; Wormeester i dr., 2010; Mahadevan i Raja, 2010; Yurgelenas i dr., 2006; Castillo i dr., 2005; Steinle i dr., 1999). U velikom broju radova razmatran je električni proboj u vazduhu na atmosferskom pitisku primenom fluidnog modela (Wormeester i dr., 2010; Yurgelenas i dr., 2006; Steinle i dr., 1999), dok je on primenjen za opisivanje proboja na niskom pritisku u malom broju radova (Castillo i dr., 2005; Mahadevan i Raja, 2010; Nahorny i dr., 1995). Jedan od prvih radova koji je razmatrao električni proboj u smeši azota i kiseonika primenom kinetičkog nultodimenzionog modela je Kossyi i dr., (1992). U radu je dat pregled 450 reakcija važnih za električne proboje u smeši azota i kiseonika. U radu Gordiets i dr. (1995) razvijen je kinetički model za N2-O2 smešu i rezultati su upoređeni sa merenjima na pritisku od Pa6,266 sa promenljivom koncentracijom kiseonika (0-100 %) i nađeno je dobro slaganje. Eksperimentalno određivanje koncentracije atoma azota N i molekula azot (II) oksida NO u protočnom pražnjenju u N2-O2 smeši upoređeno je sa rezultatima proračuna na osnovu jednodimenzionog modela i nađeno je dobro slaganje (Nahorny i dr., 1995). U nizu radova istih autora (Guerra i Loureiro, 1995; Guerra i Louriero, 1997; Guerra i Loureiro, 1999; Guerra i dr., 2001a,b) razmatrano je električno pražnjenje u N2-O2 smeši na niskom pritisku primenom nultodimenzionog kinetičkog modela. U njima su razmatrani uticaji metastabilnih stanja (Guerra i dr., 2001a) i negativnih jona (Guerra i Loureiro, 1999) na električno pražnjenje. U radovima Pintassilgo i dr. (2009; 2010; 2012) je primenom nultodimenzionog modela razmatran uticaj teških čestica na električno pražnjenje u N2-O2 smeši. U tom radu, impulsni proboji u vazduhu na pritisku od Pa3,133 analizirani su primenom kinetičkog 4 modela, razmatrani su procesi u plazmi, izračunate su koncentracije neutralnih čestica atoma azota N, atoma kiseonika O i molekula azot (II) oksida NO i nađeno je da sa povećanjem trajanja impulsa naseljenost vibracionih stanja raste, dok je u radu Pintassilgo i dr. (2014) razmatran uticaj vibracionih stanja na zagrevanje gasa u pražnjenjima u N2-O2 smeši. U radu Castillo i dr. (2004) praćena je promena koncentracija neutralnih čestica u pražnjenju u vazduhu primenom kvadrupolne masene spektrometrije i optičke emisione spektrometrije, dok je koncentracija elektrona praćena plazmenim sondama, a izmerene vrednosti su upoređene sa rezultatima kinetičkog modela. Hemijski procesi u pražnjenju sa šupljom katodom u vazduhu na niskom pritisku (u opsegu od 1103  do 5 Pa) proučavani su primenom kvadrupolne masene spektrometrije i primenjen je kinetički model za praćenje produkcije NO molekula u radu Castillo i dr. (2005). Proučavanje postpražnjenja u vazduhu je važno za rad uređaja u impulsnom režimu, ali i za kinetiku aktivnih čestica važnih za sterilizaciji i tretman površina. U literaturi je najčešće razmatran slučaj ranog postpražnjenja u protočnom režimu (Aleksandrov i dr., 2012a,b; Nahorny i dr., 1995). U radovima Aleksandrov i dr. (2012a,b) je razmatrana relaksacija mikrotalasnog pražnjenja praćenjem koncentracije elektrona pomoću mikrotalasne interferometrije. Plazma je smatrana uniformnom tako da je zanemarena difuzija i razmatrani su samo gubici elektrona usled rekombinacije. Postpražnjenje nakon jake pobude elektronskim mlazem u azotu i suvom i vlažnom vazduhu je razmatrano u radu Spencer i dr. (1987), gde je merenjem provodnosti primenom tehnike mikrotalasne perturbacije praćena promena koncentracija elektrona, a odatle je određivan koeficijent difuzije. Raspad naelektrisanja meren je u vazduhu primenom mikrotalasne tehnike do oko s500 odakle su određeni ambipolarni koeficijenti difuzije (Dobrov i MacDonald, 1969). Kinetika neutralnih stanja je praćena do oko 1 ms primenom emisione i apsorpcione spektroskopije u radu Cartry i dr. (1999). Primenom NO titracije je praćena promena koncentracija azotnih atoma u pražnjenju za potrebe plazma sterilizacije (Kutasi i dr., 2006). Kinetika neutralnih stanja u pražnjenju i postpražnjenju u vazduhu za sterilizaciju razmatrana je u radu Vašina i dr. (2004), dok je kinetički model primenjen za protočno pospražnjenje u vazduhu za sterilizaciju u radu Pintassilgo i dr. (2005). Numerički model koji razmatra pražnjenje i postpražnjenje u vlažnom vazduhu sa uključenih 50 čestica i 600 procesa razmatran je u radu Sakiyama i dr. (2012) i nađeno je da se aktivna stanja u postpražnjenju mogu naći i do 15 minuta nakon prestanka pražnjenja. 5 Kao što je prethodno rečeno, više od stotinu godina fizika električnih proboja gasova se razvija u aproksimaciji retkih nezavisnih događaja pojave elektrona u međuelektrodnom prostoru gasne cevi i Poasonove raspodele za broj nastalih elektrona na osnovu koje se izvodi eksponencijalna raspodela za vreme kašnjenja proboja. Ona se linearizuje u Laueovoj semilogaritamskoj reprezentaciji (Laueov dijagram). Iako brojni eksperimenti pri velikoj emisivnosti elektroda i prisutnoj prejonizaciji pokazuju zakrivljenje raspodela u Laueovoj reprezentaciji (što ukazuje na odstupanje od eksponencijalne raspodele), ona se i danas pogrešno primenjuje. U disertaciji su izvršena merenja u sintetičkom vazduhu i dobijene su Gausova, Gaus-eksponencijalna i eksponencijalna raspodela za vreme kašnjenja proboja. Time je potvrđena generalizovana statistika nastanka elektrona u međuelektrodnom prostoru gasne cevi zasnovana na binomnoj raspodeli iz koje su sve tri navedene kontinualne raspodele izvedene analitički i potvrđene Monte Karlo simulacijom. Za modelovanje Gausove raspodele primenjena je Boks-Milerova metoda, dok je za modelovanje eksponencijalne raspodele primenjena inverzna metoda. Mešovita raspodela, u ovom slučaju Gaus-eksponencijalna raspodela, modelovana je kombinacijom Boks-Milerove i inverzne metode uz otežinjavanje odgovarajućim udelima raspodela. Dobro slaganje izmerenih i modelovanih raspodela pokazuje da mešovita raspodela zaista može da opiše raspodele statističkog vremena kašnjenja proboja u opštem slučaju. Uvedene su mešovite raspodele za više različitih dominantnih mehanizama iniciranja proboja i više inicirajućih čestica i izvršena njihova statistička karakterizacija. Mešovite raspodele se koriste u slučajevima kada u raspodeli postoji više potpopulacija (podskup celokupne populacije sa istim osobinama) gde se za slučaj vremena kašnjenja mogu uočiti potpopulacije koje potiču od različitih mehanizama iniciranja npr. površinskih naelektrisanja i sekundarne emisije elektrona izazvanih jonima iz gasne faze. U ovoj disertaciji predloženo je opisivanje vremena kašnjenja mešovitim raspodelama: Gausove i eksponencijalne, dve ili više Gausovih i dve ili više eksponencijalnih raspodela, a sve su zasnovane na binomnoj raspodeli nastanka inicijalnih elektrona. Izvedena je relacija za elektronski prinos, polazeći od izraza za srednju vrednost i stadardnu devijaciju mešovite raspodele, koja se u opštem slučaju može primeniti na ma koju mešovitu raspodelu. Primenom merenja vremena kašnjenja proboja analizirano je postpražnjenje u sintetičkom vazduhu. Dobijene memorijske krive modelovane su analitičkim i numeričkim modelima. Razvijen je dvodimenzioni model za relaksaciju u vazduhu. U modelu su na 6 osnovu analize koeficijenata brzina reakcija, uključeni najznačajniji procesi i čestice koji mogu da utiču na uspostavljanje električnog pražnjenja. Za izračunavanje inicijalnih profila koncentracija za modelovanje postpražnjenja primenjen je jednodimenzioni fluidni model. Jednodimenzioni model je verifikovan poređenjem modelovane Pašenove krive sa eksperimentalnim krivama, kao i poređenjem modelovanih i merenih strujnih i naponskih signala. Dobijeni profili koncentracija su zatim iskorišćeni kao početne vrednosti u dvodimenzionom modelu za postpražnjenje. Dvodimenzioni model za ranu i kasnu relaksaciju se sastoji iz sistema parcijalnih diferencijalnih jednačina koji se rešava primenom metode konačnih razlika. Za model rane relaksacije primenjena je implicitna metoda gde se diferencijalne jednačine diskretizuju primenom operatora zadnje razlike na izvod po vremenu i operatora centralne razlike za prostorni izvod. Dobijeni sistem linearnih jednačina se može predstaviti u obliku matrične jednačine koja se rešava primenom metode SOR (metoda sukcesivne nadrelaksacije eng. Successive Over Relaxation). Model za kasnu relaksaciju je rešavan takođe metodom konačnih razlika, ali primenom eksplicitne metode. Prednost implicitne metode nad eksplicitnom je u tačnosti, kao i u bezuslovnoj stabilnosti implicitne metode. Nasuprot tome eksplicitna metoda je brža od implicitne. Dobijene koncentracije i njihova vremenska evolucija su upoređivane sa elektronskim prinosima određenim iz izmerene memorijske krive. Fitovanjem eksperimentalnih podataka za vreme kašnjenja ili elektronski prinos određeni su koeficijenti difuzije dominantnih jona tokom relaksacije, kao i koeficijenti površinske rekombinacije atoma azota na borosilikatnom staklu i metalnim elektrodama. U tezi su izložena merenja vremena kašnjenja električnog proboja pri različitim radnim naponima, strujama pražnjenja i različitoj prejonizaciji na niskim pritiscima. Osim toga, izvršeno je spektroskopsko posmatranje tinjavog pražnjenja u datim uslovima radi određivanja vibracione temperature u stacionarnom tinjavom pražnjenju. Radi analize površina elektroda izrađenih od ispitivanih materijala (ugljeničnog i nerđajućeg čelika) primenjene su skenirajuća elektronska mikroskopija (SEM), energijska disperziona rendgenska spektroskopija (EDX) i mikroskopija međuatomskih sila (AFM) površina elektroda od različitih materijala, dok je hemijski sastav elektroda određen korišćenjem kvantometra. 7 Redosled izlaganja u ovoj disertaciji je sledeći. Najpre je u drugoj glavi dat opis postavke eksperimenta, odnosno cevi, komore i sistema pomoću kojih su vršena merenja. Zatim je u trećoj glavi prikazana statistička analiza vremena kašnjenja proboja i prikazan prelaz sa binomne raspodele nastanka inicijalnih elektrona na Gausovu raspodelu vremena kašnjenja, uopštenje mešovite raspodele i relacije za elektronski prinos, kao i opis statističkih metoda primenjenih u disertaciji. U četvrtoj glavi je urađen proračun koncentracija u međuelektrodnom prostoru primenom jednodimenzionog (1D) fludnog modela, dok je u petoj glavi izložena analiza memorijskih krivih izmerenih u sintetičkom vazduhu primenom analitičkih i numeričkih modela. U šestoj glavi u formi zaključka dat je pregled najvažnijih rezultata ove disertacije. U dodatku je opisano numeričko rešavanje sistema parcijalnih diferencijalnih jednačina. Na kraju je dat spisak korišćene literature. 8 2. Opis eksperimenta Merenja su vršena na cevima različitih veličina i geometrija sa cilindričnim i ravnim paralelnim elektrodama (slike 2.1, 2.2) i staklenoj komori sa izmenjivim elektrodama (slika 2.3). Staklena vakuumska komora i cevi su izrađene od borosilikatnog stakla (8245, Shott tehničko staklo, poznato i kao molibdensko zatapajuće staklo). Prva cev na kojoj su vršena merenja (slika 2.1) je cilindričnog oblika prečnika 6 cm, zapremine 3300cmV  sa elektrodama sa promenljivim međuelektrodnim rastojanjem koje se reguliše magnetnom kotvom unutar cevi sa korakom od 0,5 mm. Slika 2.1. Prikaz poprečnog preseka prve cevi na kojoj su vršena merenja Druga cev je takođe cilindričnog oblika (slika 2.2) prečnika 2,86 cm, dužine 18 cm i zapremine 3115cmV  sa promenljivim međuelektrodnim rastojanjem. Slika 2.2. Prikaz poprečnog preseka cevi sa ravnim paralelnim elektrodama Vakuumska komora je cilindričnog oblika (slika 2.3) i izrađena je od borosilikatnog stakla. Pomoću vakuumskog lepka spojena je na metalnu aluminijumsku prirubnicu sa centrirajućim prstenom preko koje se spaja na vakuumski sistem. Prečnik komore je 5,5 cm i dužina 16,5 cm. 9 Slika 2.3. Šematski prikaz staklene vakuumske komore sa ravnim paralelnim elektrodama Za potrebe eksperimenta dizajniran je vakuumski sistem koji se može koristiti kako za punjenje cevi, tako i za promenu pritiska u radu sa staklenom komorom. Šema vakuumskog sistema data je na slici 2.4. Centralni deo sistema je vakuumski štand Pfeiffer Vacuum Hi Cube Eco koji se sastoji iz kombinacije mehaničke pumpe sa suvom membranom i turbomolekularne pumpe. Mehanička pumpa sa suvom membranom Pfeiffer Vacuum MVP 015 se koristi kao pretpumpa do pritiska od 100 Pa, nakon čega se pokreće turbomolekularna pumpa Pfeiffer Vacuum HiPace 80. Granični pritisak ove pumpe je Pa510 , ali je u realnim uslovima ostvariv vakuum reda Pa410 . Pritisak u sistemu se meri pomoću kombinovanog merača Pfeiffer Vacuum PKR 251 koji se sastoji iz dve merne glave (Piranijevog merača i merača sa hladnom katodom) i pokriva opseg pritisaka od 105 Pa do Pa710 . Vakuumski štand je odvojen od cevi ili komore pomoću dodatnog regulacionog ventila koji može da služi i kao zaptivni ventil. Za fino doziranje gasa koristi se igličasti ventil sa protokom od slPa /10 7 , koji je povezan sa bocom za gas iz koje se puni cev ili komora. Postupak punjenja cevi i komore se sastoji u sledećem. Najpre se vrši ispumpavanje cevi odnosno komore do pritiska reda Pa310 . U slučaju cevi, sledeći korak je temperaturska degazacija stakla u laboratorijskoj peći do temperature od K600 , dok kod komore to nije moguće uraditi zbog spoja metal/staklo. Zatim se pristupa punjenju cevi doziranjem gasa iz uvodne grane pomoću igličastog ventila. Kada se dostigne željeni pritisak cev se zatapa, a u 10 slučaju komore zatvaraju se svi ventili dok se pritisak prati pomoću merača. U ovom slučaju cevi su punjene na pritisku od Pa300 , dok je kod komore pritisak variran. Slika 2. 4. Šematski prikaz vakuumskog sistema Merenja vremena kašnjenja električnog poroboja su vršena na dva sistema, elektronskom sistemu za merenje vremena kašnjenja sa rezolucijom s18,0 i brojaču Tektronix FCA 3000 sa rezolucijom ps100 . Oba sistema su povezana na računar, prvi pomoću RS232, a drugi pomoću USB 2.0 interfejsa. Merenja su vršena u serijama, sa po 100 podataka u pojedinačnoj seriji, i skladištena u lokalnoj memoriji u toku merenja, a zatim se, nakon završetka merenja, izmereni podaci prebacuju na računar gde se dalje vrši njihova obrada. Elektronski automatski sistem na kome su vršena merenja prikazan je na slici 2.5 (Marković i dr., 2004; 2005a). Ovaj sistem se sastoji iz sledećih delova: visokonaponskog izvora jednosmerne struje VN 5000, računara, analogno-digitalnog podsistema, dekadne kutije R sa promenljivom otpornošću opsega  M010 , digitalnog miliampermetra, 11 digitalnog voltmetra sa visokonaponskom sondom, gasne cevi T na kojoj su vršena merenja i kablova za povezivanje. Slika 2.5. Blok šema elektronskog sistema za merenje vremena kašnjenja: 41, RRR  -otpornici, T - cev za pražnjenje, FF -flip-flop kolo, DA/ -analogno-digitalni podsistem, CP - računar, mA-miliampermetar, V-voltmetar Visokonaponski izvor jednosmerne struje VN 5000 poseduje dva naponska izlaza sa opsegom do V1000 i V5000 DC. Regulacija napona vrši se potenciometrom na prednjoj strani izvora. Podešeni napon je stabilan i nezavisan od promene ulaznog mrežnog napona. Vrednost struje na izlazu potrebno je ograničiti reostatom na prednjoj strani uređaja, zbog zaštite osetljivih elektronskih komponenata analogno-digitalnog podsistema od preopterećenja. Analogno-digitalni podsistem se sastoji iz visokonaponskog (VN) prekidača koji služi za uključenje i isključenje visokog napona dovedenog na gasnu cev u toku merenja (sa vremenom uključenja i isključenja manjeg od mikrosekunde), procesorske ploče sa 12 interfejsom za priključak na računar, analogno-digitalnih naponskih i strujnih pretvarača i dekadne kutije kojom se struja pražnjenja cevi održava na zadatoj vrednosti. Pomoću programa na računaru zadaje se komanda za početak merenja i procesor iz analognog podsistema daje signal za uključenje VN prekidača. Sa izlaza VN prekidača na dekadnu kutiju, gasnu cev, miliampermetar i otpornik 1R dovodi se radni napon (slika 2.5). Preko razdelnika napona sa VN prekidača se uzima informacija o trenutku uključenja visokog napona, a zatim se signal dovodi na naponski analogno-digitalni pretvarač (koji analogni signal pretvara u digitalni i šalje u procesor) i od ovog trenutka procesor počinje merenje vremena kašnjenja proboja (''start'' signal). Kada dođe do proboja gasa u cevi, formira se strujni signal koji dovodi do naglog smanjenja napona na otporniku R3. Strujni signal sa otpornika 3R se dovodi na procesor preko strujnog analogno-digitalnog pretvarača i on definiše trenutak prestanka merenja (''stop'' signal). Nivo signala pri kome dolazi do slanja informacije o nastanku proboja u cevi, tj. nivo okidanja mernog sistema, bira se pomoću potenciometra u analogno-digitalnom pretvaraču za struju. Analogni podsistem sadrži procesorsku jedinicu koja vrši merenje prema prethodno zadatim uslovima. Izmerena vrednost vremena kašnjenja proboja upisuje se u lokalnu memoriju i postupak se ponavlja za sledeće merenje. Nakon završetka serije merenja, podaci se preko interfejsa RS232 prebacuju na računar gde se dalje mogu obrađivati. Prednost ovakvog sistema je što se u toku merenja ne troši dodatno vreme na komunikacije između mernog podsistema i računara, ali samim tim nameće ograničenja na broj merenja u seriji. Kako su merena vremena kašnjenja mala, da bi se izbegao uticaj dužine provodnika u kolu izvršeno je maksimalno skraćivanje dužina veza između elemenata u kolu. Prednost analognog podsistema je i što na sebi ima dva naponska izlaza koji se mogu koristiti za spoljašnje okidanje dodatnih uređaja (osciloskopa, brojača, kamera, itd.). Na ovaj izlaz je povezan brojač Tektronix FCA3000. Brojač ima opciju merenja frekvencije, vremenskih intervala ili brojanja impulsa. U ovom slučaju brojač je iskorišćen za merenje vremenskog intervala kako bi se povećala rezolucija merenja. Brojač poseduje dva 50-omska ulaza i jedan megaomski ulaz, koji služe za dovođenje start i stop signala tj. okidanje brojača, na koje je BNC kablovima povezan analogni podsistem. Brojač je povezan pomoću interfejsa USB 2.0 sa koga se kontroliše pomoću softvera Labview Tektronix edition. 13 Merenja vremena kašnjenja vršena su primenom povorke pravougaonih naponskih impulsa sa prethodno definisanim vremenima pražnjenja i relaksacije. Ilustracija povorke impulsa koja se dovodi na elektrode cevi u toku merenja jedne serije data je na slici 2.6. Na slici su prikazani pravougaoni naponski i strujni impulsi sa označenim vremenima relaksacije i pražnjenja. U jednoj seriji merenja vreme relaksacije i pražnjenja, kao i radni napon i struja pražnjenja su unapred definisani kako bi se obezbedila ponovljivost merenja. Pre merenja je vršeno kondicioniranje katode primenom tinjavog pražnjenja u trajanju od 30 minuta kao i serije proboja radi desorbcije nečistoće kako bi se dobili stabilni uslovi tokom merenja (Stamenković, 2009). Cevi su u toku merenja bile zaštićene od spoljašnje svetlosti. Slika 2.6. Grafička ilustracija povorke impulsa (Bošan, 1975) Na slici 2.7 su dati primeri naponskog i strujnog impulsa izmerenih osciloskopom Tektronix TDS2012B. Naponski signal na elektrodama cevi je meren pomoću VN sonde za osciloskop Tektronix P6015A, ulazne otpornosti M100 . Prednja ivica naponskog signala određuje početak merenja vremena, tj. trenutak dovođenja radnog napona WU na gasnu cev (''start'' signal). Vreme kašnjenja se meri kao vremenski interval između prednje ivice naponskog signala i porasta struje na 90 procenata od struje pražnjenja zadate uslovima eksperimenta (''stop'' signal). Testiranjem tačnosti merenja automatskog sistema paralelnim merenjem vremena kašnjenja pomoću osciloskopa i automatskog sistema, nađeno je da se izmerene vrednosti pomoću osciloskopa i automatskog sistema razlikuju u skladu sa rezolucijom koja je s18,0 . 14 Slika 2.7. Strujni i naponski signali izmereni pomoću digitalnog osciloskopa Tektronix TDS 2012B Slika 2.8. Strujni i naponski signali izmereni pomoću digitalnog osciloskopa TDS 2012B u oblasti brzog porasta struje. Na slici 2.8 je dat prikaz strujnog i naponskog signala u oblasti brzog porasta struje zabeležen na osciloskopu. Na slici se mogu uočiti karakteristični brzi porast struje kao i naglo smanjenje napona. Vreme kašnjenja meri se od momenta dovođenja napona na cev pa do 15 momenta porasta struje na 90% od eksperimentom zadate struje pražnjenja. Alternativno, vreme kašnjenja može da se meri i do trenutka naglog smanjenja primenjenog napona. Osim merenja vremena kašnjenja izvršena su spektroskopska merenja tinjavog pražnjenja u vazduhu. Za merenje spektara iskorišćen je spektrometar Ocean Optics HR2000+CG sa optičkim kablom (slika 2.9). Osnovna konfiguracija ovog spektrometra sastoji se iz fiksnog proreza sa optičkim kablom, Čarni-Tarner postavke ogledala i disperzionog elementa (rešetke) i detektora. Slika 2.9. Slika Ocean Optics HR2000+CG spektrometra Optička šema spektrometra data je na slici 2.10. Spektrometar se sastoji iz sledećih delova: 1. Priključak za optički kabl, 2. Fiksni prorez, 3. Opcioni svetlosni filter, 4. Kolimatorsko ogledalo, 5. Rešetka, 6. Fokusirajuće ogledalo, 7. Opciono sabirno sočivo na detektoru, 8. Linijski CCD detektor, 9. Blokirajući filtar i 10. Opcioni kvarcni prozor za UV oblast. Prorez na ovom spektrometru je fiksan i njegova širina iznosi 5 μm, dok je visina 1 mm. Na prorez se može povezati optički kabl što omogućava dodatnu fleksibilnost pri merenju. Sa proreza svetlost pada na disperzioni element koji je kod ovog spektrometra difrakciona rešetka sa 300 linija po milimetru. Rezolucija dobijena primenom ove rešetke je 1 nm. Kao detektor koristi se linijski CCD senzor sa 2048 piksela veličine 14,5×200 μm. Spektrometar se povezuje direktno na računar preko USB kabla, koji služi istovremeno i kao naponski kabl, odakle se kontroliše pomoću softvera. Ovim spektrometrom moguće je meriti široki opseg talasnih dužina od 200 do 1100 nm sa integracionim vremenom u rasponu od 1 ms do 60 s. 16 Podešavanjem integracionog vremena moguće je podesiti intenzitet signala. Korišćenjem velikog integracionog vremena moguće je snimiti spektar slabih izvora svetlosti. Softverski je moguće ukloniti neželjeno pozadinsko zračenje snimanjem njegovog spektra pre početka merenja. Osim toga, poseduje i mogućnosti softverskog i hardverskog okidanja kao i podešavanja željenog vremena okidanja. Slika 2.10. Optička šema spektrometra HR2000+CG Cevi i komora na kojima su vršena merenja punjene su sintetičkim vazduhom, koji predstavlja smešu 78% azota sa manje od ppm5 nečistoća i preostalog udela kiseonika sa manje od ppm,53 nečistoća. Elektrode korišćene za merenja izrađene su od različitih materijala, ugljeničnog čelika oznake AISI/ASTM A414E, nerđajućeg čelika AISI 304 i OFHC (oxygen-free high-conductivity) bakra. Elektrode ugrađene u gasne cevi su cilindričnog oblika prečnika mmD 6 i ravne paralelne elektrode prečnika mmD 22 . U komori su korišćene još i ravne paralelne elektrode izrađene od OFHC bakra prečnka mmD 28 . Analiza sastava čelika izvršena je na kvantometru Thermo Scientific ARL3460 kako bi se odredio tačan sastav čelika korišćenih za izradu elektroda. Nađeno je da je ugljenični čelik legura 98% gvožđa, 1,16 % mangana i 0,17% ugljenika, dok se ostali elementi u sastavu legure mogu naći u tragovima. Nerđajući čelik, korišćen u drugom uzorku, 17 je legura 68,38% gvožđa, 16,39% hroma, 10,77% nikla, 1,87% molibdena, 1,45% mangana i 0,028% ugljenika. Osim analize sastava čelika, za analizu površine elektroda primenjene su skenirajuća elektronska mikroskopija (SEM), energijska disperziona rendgenska spektroskopija (EDX) i mikroskopija međuatomskih sila (AFM). Skenirajući elektronski mikroskop korišćen za snimanje površine je Jeol 5400, a mikroskop međuatomskih sila je Omicron Twin-Snom system. 18 3. Statističke metode i modeli kod električnih proboja gasova1 3.1 Raspodele vremena kašnjenja proboja Kao što je u uvodu rečeno, kada se na cev ispunjenu gasom primeni napon veći od probojnog, do proboja ne dolazi trenutno, već postoji neko kašnjenje. Vreme koje protekne od priključenja napona na cev ispunjenu gasom do nastanka proboja, odnosno dostizanja radne struje zadate uslovima merenja naziva se vremenom kašnjenja proboja dt (Bošan, 1975). Kao granica za nastanak može se uzeti i naglo smanjenje radnog napona i pojava samoodržavajuće struje (Morgan, 1978). Stohastičku prirodu vremena kašnjenja električnog proboja eksperimentalno je dokazao Zuber (1925), a von Laue (1925) je za opisivanje raspodele vremena kašnjenja proboja primenio eksponencijalnu raspodelu. Ukupno vreme kašnjenja se sastoji iz statističkog vremena kašnjenja i vremena formiranja pražnjenja fsd ttt  . Statističko vreme kašnjenja st je vreme koje protekne od primene napona na gasnu cev, pa do nastanka inicijalnog elektrona. Karakteriše se niskom, nesamoodržavajućom strujom sa velikim fluktuacijama, tj. malim intenzitetom, a velikom disperzijom. Vreme formiranja pražnjenja (ili formativno vreme kašnjenja) ft je vreme koje protekne od nastanka inicijalnog elektrona, pa do dostizanja radne struje zadate uslovima merenja. Na niskim pritiscima, gde preovladava Taunzendov mehanizam proboja, vreme formiranja je određeno vremenom drifta jona i kašnjenja su reda   s10010  . Na pritiscima većim od Pa410 , na proboj počinje da utiče fotoemisija sa katode, tako da je vreme formiranja određeno vremenom preleta elektrona ( ns100 ), dok na višim pritiscima počinje da dominira strimerni mehanizam proboja i vreme formiranja je reda   ns101 (Kiselev, 1965). Statističko vreme kašnjenja je stohastička veličina, pa je primena statističkih metoda neizbežna. Pojava primarnog elektrona u međuelektrodnom prostoru ima dva komplementarna ishoda, nastanak ili ne nastanak električnog proboja gasa. U radu Kiselev (1965) izvršen je prelaz sa binomne raspodele nastanka inicijalnih elektrona na Poasonovu raspodelu, a zatim i eksponencijalnu raspodelu statističkog vremena kašnjenja. On je 1 Rezultati prikazani u ovoj glavi publikovani su u radovima Marković i dr. (2012; 2013) (za koje je kandidat uradio merenja i Monte Karlo simulaciju) i u radovima Jovanović i dr. (2012; 2013a; 2014a, b). 19 pretpostavio da se statističko vreme kašnjenja st može podeliti na n pod-intervala tako da se svaki podinterval ntt s / može smatrati beskonačno malim. Verovatnoću nastanka inicijalnog elektrona u intervalu ntt s / definisao je preko elektronskog prinosa Y i verovatnoće proboja P kao ntPY s / . Verovatnoća da inicijalni elektron ne nastane data je sa ntPY s /1 . Pretpostavio je da do proboja dolazi ako u međuelektrodnom prostoru nastane bar jedan inicijalni elektron. Matematički se ovo može izraziti binomnom raspodelom:                 n k kn s k sk n n PtY n PtY CW 1 1 . (3.1) Kako je interval ntt s / beskonačno mali, broj intervala mora biti beskonačno veliki n . Pod pretpostavkom da je verovatnoća mala, binomna raspodela prelazi u Poasonovu raspodelu:             11 !! lim i i sPtY n k PtY k s n i PtY ee k PtY W ss . (3.2) Suma reda jednaka je 1sPtYe , odakle se dobija funkcija raspodele statističkog vremena kašnjenja:           s s s t t tF exp1 . (3.3) Gustina eksponencijalne raspodele statističkog vremena kašnjenja data je relacijom:           s s s s t t t tf exp 1 . (3.4) Parametar raspodele st je dat sledećom relacijom: PY ts 1  , (3.5) gde je Y elektronski prinos, a P verovatnoća proboja. Verovatnoća proboja izvedena je iz razmatranja niza sukcesivnih elektronskih lavina izazvanih sekundarnim procesima na katodi, i za neelektronegativne gasove je data relacijom (Wijsman, 1949): 20       1/11 1,0 qzaq qza P , (3.6) gde je   1exp  dq  ,  efektivni koeficijent sekundarne elektronske emisije,  je Taunzendov prvi jonizacioni koeficijent (koeficijent jonizacije elektronskim udarom), a d je međuelektrodno rastojanje. Verovatnoća proboja se eksperimentalno može odrediti iz odnosa saturacione vrednosti statističkog vremena kašnjenja proboja i njegove naponske zavisnosti (Marković, 1993; Marković i dr., 1994):    Ut t UP s SV s , (3.7) gde je SV st saturaciona vrednost statističkog vremena kašnjenja dobijena na visokim prenaponima (naponima mnogo većim od statičkog probojnog napona) kada verovatnoća proboja teži jedinici 1P i statističko vreme kašnjenja teži saturacionoj vrednosti SV ss tt  . Na osnovu prethodnog izvođenja može se zaključiti da eksponencijalna raspodela slučajne promenljive st (statističkog vremena kašnjenja), u stvari predstavlja kontinualnu vremensku reprezentaciju za diskretnu brojčanu reprezentaciju nastalih elektrona u međuelektrodnom prostoru za vreme st . Na osnovu osobina eksponencijalne raspodele da je srednja vrednost jednaka standardnoj devijaciji sts t , to se iz standardne devijacije može odrediti elektronski prinos (Llewellyn-Jones i de la Perrelle, 1953; Kiselev, 1965). U istom radu Kiselev (1965) eksplicitno tvrdi da je primena Gausove raspodele za opisivanje vremena kašnjenja pogrešna. Međutim, u radu Llewellyn-Jones (1949) uočeno je krivljenje Laueovih dijagrama i dobijene su raspodele nalik Gausovim koje su objašnjene povećanom emisivnošću oksidovane katode od volframa. Krivljenje Laueovih dijagrama je uočeno i u radovima Choi i dr. (1995) u slučaju pražnjenja sa šupljom katodom i Astrov i dr. (2008) u jednosmernom mikropražnjenju. U merenjima u azotu (Marković i dr., 2006), a kasnije i u neonu (Marković i dr., 2009) dobijene su simetrične i blago asimetrične raspodele, nalik Gausovoj raspodeli nastale zbog visokog elektronskog prinosa kao posledica jonizacije zaostale iz prethodnog pražnjenja. Prikazivanjem eksperimentalnih podataka na Laue dijagramu ili na papirima verovatnoće eksponencijalne raspodele uočavalo se odstupanje od prave linije, što ukazuje na odstupanje od eksponencijalne raspodele. Za njihovo opisivanje i 21 modelovanje primenjene su Gausova raspodela i Gaus-eksponencijalna raspodela. Prelaz sa binomne raspodele nastanka elektrona na Gausovu raspodelu statističkog vremena kašnjenja proboja, kao granični slučaj za velike elektronske prinose dat je u radu Marković i dr. (2012; 2013). Ovde će biti navedene Gausova raspodela: 2 2 2 )( 2 1 )(   ss tt s etf    , (3.8) gde je st srednja vrednost, a  standardna devijacija statističkog vremena kašnjenja i Gaus- eksponencijalna raspodela (Marković i dr., 2012): se s g sgs t t se E tt g GsGE e t aeatf     1 2 1 )( 2 2 2 )(   , (3.9) gde su Ga i Ea udeli raspodela, pri čemu je 1 EG aa , sgt i set su srednje vrednosti, a g standardna devijacija Gausovog udela statističkog vremena kašnjenja. Nasuprot ovim raspodelama, za opisivanje vremena kašnjenja često se koristi dvoparametarska Vejbulova raspodela (Osmokrović i dr., 2007; Schlitz i dr., 2010). Vejbulova raspodela je prvi put identifikovana u radu Fréchet (1927), a primenjena za opisivanje veličine čestica u radu Rosin i Rammler (1933), ali je prvi put opisana u radu (Weibull, 1951). Gustina raspodele je data sa:                                ss ttUf exp)( 1 , (3.10) gde su  i  parametri oblika raspodele (Weibull, 1951; Wackerly i dr., 1996). Prednost ove raspodele je što dobro opisuje različite oblike, od raspodela sa blagom do raspodela sa izraženom asimetrijom, međutim, ne daje nikakve informacije o fizičkom procesu koji se događa u toku uspostavljanja pražnjenja, tj. parametri raspodele nemaju fizički smisao. Dakle, njenom primenom dobija se samo srednja vrednost kašnjenja proboja. Osim za vremena kašnjenja, koristi se i za opisivanje lomljenja krtih materijala (npr. keramike) (Lu i dr., 2005; Wu i dr., 2006). Osim Vejbulove raspodele, za opisivanje vremena kašnjenja koriste se još i Gama, Erlangova, Gumbelova (raspodela ekstremnih vrednosti) i druge raspodele zasnovane na Poasonovoj raspodeli (Johnson i dr., 1995). 22 U prvim eksperimentima vreme formiranja pražnjenja tretirano je kao konstanta. Za njegovo određivanje najpre je korišćen presek linearnog fita eksperimentalnih podataka predstavljenih na Laue dijagramu sa vremenskom osom. Osim toga, za određivanje vremena formiranja pražnjenja korišćena je minimalna vrednost ili minimalna klasa na histogramu vremena kašnjenja proboja ili razlika )( ddf ttt  (Marković i dr., 1997). Kasnije je uočeno da vreme formiranja pražnjenja nije konstantno i da prati neku raspodelu. Za opisivanje vremena formiranja pražnjenja primenjuje se Gausova raspodela (Marković i dr., 2007a; 2009): 2 2 2 )( 2 1 )(   ff tt f etf    , (3.11) gde je ft srednja vrednost, a  standardna devijacija vremena formiranja pražnjenja. Izbor minimalne vrednosti vremena kašnjenja proboja kao aproksimacije za vreme formiranja pražnjenja može u određenim slučajevima biti pogrešno zbog postojanja autlajera (outlier), podataka koji odstupaju od raspodele (Barnet i Lewis, 1980), pa je zbog toga bolje uzimati nekoliko vrednosti pa usrednjiti ili pak minimalnu klasu na histogramu vremena kašnjenja. U ovoj glavi disertacije dati su prelaz sa diskretne binomne raspodele za nastanak elektrona na kontinualnu Gausovu raspodelu za statističko vreme kašnjenja i uopštenje mešovite raspodele statističkog vremena kašnjenja i relacije za elektronski prinos za slučaj smeše n raspodela. Osim toga, primenjena je Monte Karlo simulacija Gausove, mešovite Gaus-eksponencijalne i eksponencijalne raspodele, uz pomoć inverzne i Boks-Milerove metode. Izmerene raspodele u električnim probojima u sintetičkom vazduhu sa elektrodama izrađenim od različitih materijala su modelovane analitički, numerički i uz pomoć simulacija. Analiziran je nastanak mešovitih raspodela u probojima u sintetičkom vazduhu i dato je fizičko objašnjenje za njihov nastanak. Raspodele zasnovane na binomnoj raspodeli nastanka proboja biće upoređene sa Vejbulovom raspodelom pomoću Akaikeovog informacionog kriterijuma (AIC). Na kraju je data analiza vremena formiranja pražnjenja kako bi se ispitalo postojanje autlajera i fitovana je naponska zavisnost vremena formiranja pražnjenja iz koje je određen koeficijent zahvata elektrona. Vreme formiranja je takođe povezano sa vremenom preleta jona odakle je određena brzina drifta (brzina usmerenog kretanja u pravcu polja) dominantnog jona. 23 3. 2 Analitički prelaz na Gausovu raspodelu za statističko vreme kašnjenja proboja Kao što je prethodno u uvodu rečeno, Kiselev (1965) je dao strogi prelaz sa binomne raspodele za nastanak elektrona u međuelektrodnom prostoru na kontinualnu raspodelu statističkog vremena kašnjenja. Pri izvođenju ove raspodele pretpostavio je da je verovatnoća nastanka elektrona mala čime je dobio diskretnu Poasonovu raspodelu iz koje se dalje dobija kontinualna eksponencijalna raspodela statističkog vremena kašnjenja proboja. Eksplicitno je tvrdio da je primena Gausove raspodele za opisivanje statističkog vremena kašnjenja pogrešna. Nasuprot tome, eksperimenti su pokazali da ovo tvrđenje nije u potpunosti tačno (Llewellyn-Jones i de la Perrelle 1949; Choi i dr., 1995; Marković i dr., 2006; 2009; Astrov i dr., 2008) i da za slučaj visokih prinosa dolazi do pojave Gausove raspodele. Iz tog razloga, polazeći od binomne raspodele za nastanak inicijalnih elektrona izveden je prelaz na Gausovu raspodelu za vreme kašnjenja za slučajeve visokih elektronskih prinosa. Neka je data binomna raspodela za nastanak elektrona (relacija 3.12) i neka je statističko vreme st podeljeno na m beskonačno malih podintervala mtt s / . Verovatnoća nastanka inicijalnog elektrona p u podintervalu t jednaka je mYPt s / , dok je verovatnoća ne-nastanka inicijalnog elektrona onda mYPt s /1 . Verovatnoća nastanka proboja za vreme kašnjenja st jednaka je sumi verovatnoća nastanka j inicijalnih elektrona u međuelektrodnom prostoru, gde j uzima vrednosti iz intervala  mk, , k je pozitivan ceo broj i mk  : jm s j s m kj m j m YPt m YPt CW                 1 , (3.12) gde su mjC binomni koeficijenti. Za slučaj kada verovatnoće p i p1 ne teže nuli i m , na osnovu de Moavr-Laplasove teoreme (Wackerly i dr., 1996), binomna raspodela se može aproksimirati Gausovom raspodelom sa srednjom vrednošću mp i disperzijom )1(2 pmp  . Kako su m i j veliki, to se primenom Stirlingove apoksimacije dobija: s s s tYP tYPj t aejp 2 )( 2 )(    , (3.13) gde je a konstanta normalizacije, a st je srednja vrednost statističkog vremena kašnjenja. Kako je j veliko, suma u relaciji (3.12) se može zameniti integralom, pa se dobija: 24 dje tYP djjpjdp s s ss tYP tYPj s tt 2 )( 2 2 1 )()(     . (3.14) Ako se uzme da je  sYPtj  (najveći ceo broj od sYPt ) i YP konstantno: s YPt tt s sstt dte YPt YPdttpdjjp s ss ss )/(2 )( 2 )/(2 1 )()(     , (3.15) dobijena je Gausova raspodela za statističko vreme kašnjenja proboja. Gustina verovatnoće data je sledećom relacijom: )/(2 )( 2 )/(2 1 )( YPt tt s s s ss e YPt tf     , (3.16) a njenim integraljenjem dobija se izraz za funkciju raspodele statističkog vremena kašnjenja:                   )/(2 1 2 1 )( YPt tt erftF s ss sG . (3.17) 3.3 Mešovite raspodele za statističko vreme kašnjenja proboja Mešovite raspodele se koriste u slučaju postojanja više od jedne potpopulacije u eksperimentalnim podacima (Titterington i dr., 1985). Prvi put je mešovita raspodela dve eksponencijalne raspodele primenjena za slučajeve otkaza vakuumskih cevi (Acheson i McElwee, 1951), a zatim i za slučaj radio predajnika (Mendenhall i Hader, 1958). Oblik raspodele zavisi od broja i tipa potpopulacija u podacima i može se uočiti na histogramima ili na papirima verovatnoće. Za slučaj statističkog vremena kašnjenja najpre je primenjena mešovita Gaus-eksponencijalna raspodela za slučaj proboja u azotu i neonu (Marković i dr., 2006; 2009), kao i dvostruka Gausova u neonu (Marković i dr., 2009; Stamenković i dr., 2013). Kako su eksponencijalna i Gausova raspodela izvedene iz binomne raspodele nastanka inicijalnih elektrona, to se primenom mešovite raspodele potpuno opisuje statističko vreme kašnjenja proboja. Mešovita raspodela koja se sastoji iz smeše n raspodela je definisana na sledeći način:       n i siis tfatf 1 (3.18) 25 gde su 1...1,0 1    n i ii ania (3.19) udeli pojedinačnih raspodela, a s t je vreme kašnjenja za pojedinačnu eksponencijalnu ili Gausovu raspodelu. Izborom ovih raspodela zasnovanih na binomnoj raspodeli moguće je izračunavanje elektronskog prinosa. Relacija za efektivni elektronski prinos za eksponencijalnu raspodelu ima sledeći oblik: se ef t Y 1  , (3.20) gde je set srednja vrednost kašnjenja proboja i efektivni elektronski prinos YPYef  . Za slučaj Gausove raspodele efektivni elektronski prinos dat je sledećom relacijom (Marković i dr., 2012): 2 g sg ef t Y   , (3.21) gde je sgt srednja vrednost, a g je standardna devijacija statističkog vremena kašnjenja proboja. Kako su za eksponencijalnu raspodelu srednja vrednost i standardna devijacija jednake, to se relacija za elektronski prinos za Gausovu raspodelu može usvojiti kao opšti oblik. Dakle, kako bi se odredila relacija za elektronski prinos potrebno je naći vrednost parametara mešovite raspodele. U daljem tekstu razmatran je slučaj mešovite Gaus-eksponencijalne raspodele. Kako bi se odredio elektronski prinos za ovu raspodelu potrebno je naći parametre raspodele. Funkcija gustine verovatnoće za ovu raspodelu definisana je sledećom relacijom: se s g sgs t t se E tt g GsGE e t aeatf     1 2 1 )( 2 2 2 )(   , (3.22) gde su Ga i Ea udeli raspodela, sgt i set srednje vrednosti, a g standardna devijacija Gausovog udela statističkog vremena kašnjenja. Kumulativna raspodela mešovite Gaus- esponencijalne raspodele data je sledećom relacijom: 26                             se s t t E g sgs GsGE ea tt erfatF 1 2 1 2 1 )(  . (3.23) Momenti raspodele slučajne promenljive sa takvom raspodelom se računaju na sledeći način:    n i k ii k XEaXE 1 ][][ . (3.24) Iz prethodne relacije izračunata su prva dva momenta ove raspodele: -srednja vrednost: seEsgG tata 1 , (3.25) -disperzija kao drugi centralni moment: 2 2222222 2 seEGGEEGG taaaa   , (3.26) -kao i koeficijent asimetrije: 322 2 2 3 233 EseGEGsesgEG ataattaa   (3.27) -i ekscesni koeficijent spljoštenosti: 43 2 222 4 686 EsgGseGE ataataa EG   . (3.28) Na osnovu prva dva momenta, srednje vrednosti i disperzije moguće je izračunati efektivni elektronski prinos. Dakle, polazeći od relacije (3.18), relacije za srednju vrednost: seEsgGs tatat  (3.29) i disperziju: 2 2222 seEgG taa   (3.30) dobija se sledeća relacija za efektivni elektronski prinos (Jovanović i dr. 2014a): 2222 eEgG seesgG ef aa tata Y     . (3.31) Ova relacija se u graničnim slučajevima kada 0Ga ili 0Ea svodi na relaciju za pojedinačne komponente, tj. Gausovu ili eksponencijalnu raspodelu. Uopšteno, za smešu n 27 komponenti elektronski prinos ima sledeći oblik:     n i ii n i sii ef a ta Y 1 22 1  , (3.32) gde je ia udeo pojedinih komponenata, sit srednja vrednost, a i je standardna devijacija statističkog vremena kašnjenja. Dakle, osim Gausove i eksponencijalne mogu se koristiti i kombinacija dve ili više eksponencijalnih ili Gausovih raspodela i iz njih se može izračunati efektivni elektronski prinos. 3.4 Statističke metode za analizu vremena kašnjenja proboja Statističke metode se mogu podeliti na klasične metode gde se vrši direktna analiza podataka, grafičke metode gde se zaključak izvodi na osnovu crtanja grafika i Bajesovske metode gde se vrši analiza podataka i poredi sa posteriornom raspodelom (Barlow, 1999; Hogg i dr., 2005). U fizici se najčešće koristi grafičko prikazivanje podataka odakle se najčešće zaključuje o tipu modela koji će biti primenjen za njihovo opisivanje. Direktna analiza podataka se zasniva na pretpostavci modela koji će biti primenjen za opisivanje eksperimentalnih podataka, a zatim na grafičkom prikazivanju i poređenju modela i eksperimenta. Prednost grafičkog prikazivanja je što može dati direktne informacije o eksperimentalnim podacima, ali nije dovoljno precizno u toj oceni. Nedostatak direktne analize podataka je što zahteva pretpostavku kako bi bilo moguće tumačenje podataka, što može da dovede do pogrešnih zaključaka. Važna stvar na koju se mora obratiti pažnja pri primeni statističkih metoda je fizičko tumačenje (značenje) primenjenih modela. U statistici se mogu primeniti različiti modeli koji će dobro opisivati eksperimentalne podatke, ali je u fizici cilj primeniti model iz koga se mogu izvući fizički značajni parametri, tj. informacije o fizičkom procesu. U ovoj disertaciji primenjen je kombinovani pristup, grafičke metode i modelovanja podataka analitičkim modelima. U ovoj glavi opisan je postupak Monte Karlo simulacije Gausove, eksponencijalne i mešovite raspodele koja je kasnije primenjena za modelovanje statističkog vremena kašnjenja i dat je pregled statističkih testova koji su korišćeni za testiranje raspodela i otkrivanje autlajera. Na kraju su eksperimentalne raspodele modelovane Gausovom, Gaus-eksponencijalnom i Vejbulovom raspodelom i upoređene uz pomoć Akaikeovog informacionog kriterijuma (AIC). 28 3.4.1 Monte Karlo simulacija Monte Karlo simulacija predstavlja metodu baziranu na generisanju podataka na osnovu slučajnih brojeva. Prvobitno je razvijena u Los Alamosu od strane Nikolasa Metropolisa, Džona fon Nojmana i Stanislava Ulama koji su radili na Menhetn projektu na razvoju atomske bombe (Metropolis, 1987). Ideja je bila da se generisanjem slučajnih brojeva opiše problem difuzije neutrona kroz radijacioni štit. Ime je dobila zbog načina dobijanja slučajnih brojeva koji su generisani slučajnim izvlačenjem, slično ruletu u kockarnicama u Monte Karlu. Sama ideja o primeni slučajnih brojeva se javila još ranije. Bufon je prvi izveo eksperiment sa bacanjem igle gde je posmatrao koliko će puta igla pasti na paralelne linije na podu (Hogg i dr., 2005). Na osnovu ovog eksperimenta izračunao je vrednost broja  . Ova metoda se osim toga koristi kao alternativa za rešavanje složenih, najčešće višestrukih integrala koji se ne mogu efikasno rešiti numeričkim metodama i naziva se Monte Karlo integracijom. U zadnjih dvadeset godina ova metoda je našla značajnu primenu u modernoj statistici zasnovanoj na “butstrep” i Bajesovskim metodama za proučavanje karakteristika konačnog broja uzoraka i testiranju hipoteza (Hogg i dr., 2005). U disertaciji je ova metoda primenjena za modelovanje statističkog vremena kašnjenja proboja. 3.4.2 Generatori slučajnih brojeva Monte Karlo metode baziraju se na generisanju nizova slučajnih brojeva. Slučajni brojevi su niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvom obrascu i njihova pojava je nasumična. Javljaju se u određenim prirodnim pojavama (radioaktivni raspad) ili eksperimentima kod kojih unapred nije poznat ishod (Metropolis, 1987). Prvobitno je za potrebe dobijanja slučajnih brojeva korišćeno izvlačenje karata ili kuglica iz urni. Zbog potrebe za slučajnim brojevima formirane su i tablice slučajnih brojeva. Tako je npr. Tipet 1927. godine sastavio tablicu od 40000 brojeva (Knuth, 1997). Dalje je pokušano generisanje slučajnih brojeva pomoću mehaničkih mašina koje su se pokazale kao jako neefikasne i nepouzdane. Prvu veću tablicu koja se sastoji od 1000000 cifara dekadnog brojnog sistema formirala je “Rand korporacija“ 1955. godine metodom baziranom na ruletu (Popović, 2003). Kao prirodni generator slučajnih brojeva može se koristiti i bacanje kockica, izvlačenje karata, radioaktivni raspad čestica ili iracionalni brojevi ( 7, i dr). Nedostatak prirodnih slučajnih brojeva, iako su oni zaista slučajni, je to što je njihovo generisanje sporo. Pojavom računara tablice slučajnih brojeva se sve manje koriste već se pribegava primeni pseudoslučajnih brojeva. 29 Pseudoslučajni brojevi predstavljaju dovoljno dobru aproksimaciju slučajnih brojeva. Baziraju se na algoritmima koji se izvode na računaru. Postoji više metoda za generisanje pseudoslučajnih brojeva. Istorijski gledano prvi metod za generisanje pseudoslučajnih brojeva je dao Nojman 1946. godine i to je bio metod sredine kvadrata. On je predložio da se kao generator koristi kvadrat broja gde bi se kao slučajni broj uzele centralne cifre dobijenog kvadrata, dok bi se ostale iskoristile kao broj koji se dalje kvadrira. Glavni problem ove metode je što se nizovi brojevi veoma brzo ponavljaju dok je prednost ove metode što je jako brza jer zahteva samo jednu operaciju. Kao bolje metode koristili su se sve složeniji algoritmi kojima je pokušano generisanje slučajnog niza brojeva. Ti algoritmi, kao npr. k-algoritam super generatora slučajnih brojeva, su se pokazali izuzetno neefikasnim i komplikovanim za upotrebu i potvrdili tezu fon Nojmana da se algoritmima baziranim na aritmetičkim operacijama nikako ne mogu generisati slučajni brojevi (Knuth, 1997). Lemer je 1949. godine dao linearni kongruentni metod koji predstavlja jednostavan i izuzetno efikasan algoritam za generisanje pseudoslučajnih brojeva. Niz pseudoslučajnih brojeva ...,, 210 xxx se dobija primenom sledeće formule: Mmodcaxx nn )(1  , (3.33) gde su 0 x početna vrednost, a množitelj, c ostatak i M pogodno odabrana konstanta za dobijanje što dužeg niza (Popović, 2003), pri čemu je najčešće kM 2 , a k je jako veliki broj. Nedostatak ove metode je izražena periodičnost, pa ova metoda nije povoljna za slučajeve gde je potrebno generisati mnogo slučajnih brojeva. Takođe, za svaku isto odabranu početnu vrednost generisaće se identičan niz brojeva. Uprkos svojim nedostacima ova metoda je ostala jedna od najkorišćenijih, sve do razvitka metoda sa pomeranjem registra (Knuth, 1997). Kao unapređenje ove metode pokušalo se sa usložnjavanjem algoritma i promenom početnih vrednosti, ali time nisu dobijeni bolje generisani slučajni brojevi. Kao pogodnija metoda za generisanje pseudoslučajnih brojeva nameću se metode generatora linearno pomerajućeg registra u koje spadaju metode XOR i Mersen tvister. Metoda XOR je data 1968. godine od strane Marsaglie (2003). Ova metoda je jako brza i može generisati niz od 12 192  brojeva bez pojave periodičnosti, pa se danas često koristi. Mersen tvister algoritam je razvijen od strane Macumota i Nišimure (Matsumoto i Nishimura, 1998) i spada u grupu metoda sa linearno pomerajućim registrom. Glavna prednost ove metode je periodičnost reda 12 19937 i izuzetna brzina. Koristi se kao podrazumevani 30 generator u nizu programskih jezika (Python, R, php, Ruby) i programskih biblioteka (GNU- GSL). Slika 3.1. Poređenje pseudoslučajnih i kvazislučajnih brojeva (Press i dr., 2007) Osim pseudoslučajnih brojeva, postoje i tzv. kvazislučajni brojevi kod kojih postupak generisanja nije dovoljno slučajan. Razlika između kvazislučajnih i pseudoslučajnih brojeva je što su vrednosti kvazislučajnih ravomerno raspoređene, dok vrednosti pseudoslučajnih brojeva mogu da se grupišu u klastere (slika 3.1). Zato je ponekad za neke primene povoljnije koristiti kvazislučajne brojeve. Za generisanje slučajnih brojeva koji su korišćeni u disertaciji korišćena je ugrađena funkcija rand () programskog jezika C++ koja se bazira na linearnom kongruentnom metodu gde je kao početna vrednost 0x uzeto sistemsko vreme računara, dok su vrednosti 65536a i 12 64 M . 3.4.3 Monte Karlo simulacija Gausove, eksponencijalne i mešovite Gaus- eksponencijalne raspodele statističkog vremena kašnjenja proboja Generisanjem slučajnih promenljivih Monte Karlo metodom dobijene su raspodele vremena kašnjenja i broja čestica. Slučajne promenljive su dobijene primenom metode inverzije (Popović, 2003) i Boks-Milerovom metodom (Press i dr., 2007). U daljem tekstu biće razmatrana svaka od metoda pojedinačno. Metoda inverzije se primenjuje kod raspodela kojima se lako može naći inverzna funkcija raspodele. Neka je slučajna promenljiva X apsolutno neprekidnog tipa sa funkcijom raspodele F . Rešenje jednačine: 31 )(XF (3.34) po nepoznatoj X , pri čemu je ξ:U[0, 1], je slučajna promenljiva čija je funkcija raspodele baš F (Popović, 2003). Razmotrimo konkretno slučaj eksponencijalne raspodele koja ima inverznu funkciju od funkcije raspodele. Kako je    XeXF 1)( (3.35) a ξ:U[0, 1], sledi da je: )1(ln1   X (3.36) Dakle, posupak se sastoji u zameni generisanih slučajnih brojeva, koji inače podležu uniformnoj raspodeli, u relaciju (3.36) čime se dobijaju vrednosti slučajne promenljive iz eksponencijalne raspodele. Za generisanje Gausove raspodele primenjuje se metod Boks-Milera (Press i dr., 2007). Ovaj metod se zasniva na generisanju brojeva 1U :U[0, 1] i 2U :U[0, 1]. Promenljive: )2cos(ln2 211 UUX   (3.37) )2sin(ln2 212 UUX   . (3.38) su normalno raspodeljene sa srednjom vrednošću i standardnom devijacijom . Postupak se ponavlja za željeni broj vrednosti promenljive. Za slučaj mešovite raspodele generisane su vrednosti slučajnih promenljivih iz Gausove i eksponencijalne raspodele. Postupak se sastoji u tome da se najpre generiše slučajni broj iz uniformne raspodele pomoću koga se metodom Boks-Milera (Box-Muller) generišu vrednosti slučajne promenljive sa Gausovom raspodelom. Zatim se sa istim slučajnim brojem generišu vrednosti slučajne promenljive iz eksponencijalne raspodele primenom inverzne metode. Slučajna promenljiva: YaXaZ EG  (3.39) dobijena na ovaj način je iz Gaus-eksponencijalne raspodele. Postupak se ponavlja za željeni broj vrednosti slučajne promenljive. 32 3.4.4 Statističko testiranje hipoteza Statistički testovi hipoteza su moćan metod koji daje informaciju da li se neka prethodno definisana hipoteza o nekoj raspodeli može prihvatiti ili mora odbaciti. Najpre je potrebno definisati nultu i alternativnu hipotezu. Kod testiranja hipoteza postoje dva tipa grešaka. Greške I tipa nastaju onda kada se nulta hipoteza odbaci, a ustvari je tačna. Greške II tipa nastaju kada se prihvati pogrešna nulta hipoteza umesto tačne alternativne hipoteze. Verovatnoća da se napravi greška I tipa je nivo značajnosti  . Izuzetno je važno izabrati odgovarajući nivo značajnosti. Standardno se u teoriji statističkog zaključivanja koristi nivo značajnosti 05,0 , tako da će se i u ovom slučaju koristiti ta vrednost. Statistički testovi se mogu podeliti na parametarske i neparametarske testove. Parametarski testovi uglavnom služe za testiranje hipoteze o parametrima raspodele, mada je podela izvedena na osnovu raspodela testa statistika. Naime parametarski su testovi oni kod kojih raspodela test statistike zavisi od raspodela obeležja koje se posmatra, dok su neparametarski oni kod kojih raspodela test statistike ne zavisi od raspodela posmatranog obeležja. Testiranje hipoteza ima široku primenu, ali će u našem slučaju biti primenjena na testiranje saglasnosti raspodele sa pretpostavljenom raspodelom. Test koji ćemo najčešće koristiti za testiranje raspodela je Kolmogorov-Smirnov test (Kolmogorov, 1933; Smirnov, 1948). Test Kolmogorov-Smirnova (KS) je neparametarski statistički test koji se koristi za određivanje da li su podaci iz populacije sa određenom raspodelom apsolutno neprekidnog tipa (Popović, 2003). Testira se nulta hipoteza: )()(: * 0 xFxFH  , (3.40) gde je )(xF teorijska funkcija raspodele koja se testira, a )( * xF empirijska funkcija raspodele. Ovaj test se zasniva na minimiziranju razlike empirijske i teorijske raspodele i statistika ovog testa data je sledećom relacijom: |)()(|sup * xFxFD Rx n   , (3.41) gde je )(xF teorijska funkcija raspodele, a )(* xF empirijska funkcija raspodele. Granica kritične oblasti za nivo značajnosti α čita se iz tablice Kolmogorova (Kolmogorov, 1933). Osnovni nedostatak ove metode je slaba osetljivost u slučaju raspodele sa izraženim, tzv. teškim, repovima ili slučajevima u kojima se podaci ponavljaju. 33 Osim testa raspodela, u ovoj disertaciji korišćen je i modifikovani Tomsonov tau test za testiranje postojanja autlajera u eksperimentalnim podacima (Barnet i Lewis, 1980; Thompson, 1935). On se zasniva na odstupanju podataka od srednje vrednosti. Test statistika je data relacijom: sxx /)(  , (3.42) gde je x realizovana vrednost slučajne promenljive, x srednja vrednost, a s standardna devijacija podataka. Ona se poredi sa  vrednošću koja se računa na osnovu relacije: 2 2/ 2/ 2 )1(   tnn nt    , (3.43) gde je n broj podataka, 2/t je 2/ kvantil Studentove raspodele sa 2n stepeni slobode, a  je nivo značajnosti. Kriterijum koji se primenjuje za odlučivanje da li se podatak treba smatrati autlajerom i odbaciti ili ne je sledeći: -ukoliko je   testirani podatak nije autlajer i ne treba ga odbaciti -ukoliko je   testirani podatak je autlajer. U našem eksperimentu, ukoliko je testirani podatak autlajer, on se odbacuje, a testiranje se ponavlja sve dok više nema autlajera. 3.4.5 Analiza disperzija Analiza disperzija (ANOVA) je statistički postupak primenjen za određivanje uticaja jednog ili više faktora na rezultat eksperimenta, tj. na posmatrano obeležje (Popović, 2003; Hogg i dr., 2005). Kao što samo ime metode kaže, zasniva se na analizi disperzije (varijansi). U zavisnosti od broja faktora koji se razmatraju, može biti jednofaktorska, dvofaktorska ili višefaktorska. U ovoj disertaciji će se razmatrati uticaj najviše dva faktora, pa je zato dat prikaz dvofaktorske ANOVA-e. Kod dvofaktorske analize razmatra se uticaj dva faktora A i B na obeležje X. Matematički model dvofaktorske analize na prostom uzorku je (Popović, 2003): ijji m ij X   , (3.44) gde je m matematičko očekivanje obeležja X, i uticaj i-tog nivoa prvog faktora (A), 34 j  uticaj j-og nivoa drugog faktora (B), dok je ij slučajna greška merenja. Testiraju se nulte hipoteze da pomenuti faktori pojedinačno ili oba ne utiču na ishod eksperimenta, tj. da: 0...: 210  kAH  , (3.45) 0...: 210  kBH  , (3.46) 0......: 21210  kkABH  , (3.47) protiv alternativnih hipoteza redom: 0},,...,2,1{,:1  iA kiiH  , (3.48) 0},,...,2,1{,:1  iB ljjH  , (3.49) )0,0(),(},,...,2,1{},...,2,1{),( je da tako),(:1  iiAB lkjijiH  . (3.50) Za sprovođenje testiranja koriste se sledeće sume: -ukupna suma kvadrata odstupanja od srednje vrednosti:     k i l j ij XXQ 1 1 2)( . (3.51) -suma kvadrata za prvi faktor:     k i iA XXlQ 1 2)( . (3.52) -suma kvadrata za drugi faktor:     l j jB XXkQ 1 2)( . (3.53) -slučajna suma kvadrata: BAS QQQQ  . (3.54) Ukoliko su nulte hipoteze tačne, sledeće statistike: S A lkk Qk Qlk F )1( )1)(1( )1)(1(,1    . (3.55) 35 S B lkl Ql Qlk F )1( )1)(1( )1)(1(,1    . (3.56) S BA lklk Qlk QQlk F )2( ))(1)(1( )1)(1(,21    (3.57) imaju Fišerove raspodele sa naznačenim (u indeksu) stepenima slobode. 3.4.6 Akaikeov informacioni kriterijum (AIC) Akaikeov informacioni kriterijum (AIC) predstavlja relativnu meru kvaliteta primenjenog modela na set podataka (Akaike, 1974). On, međutim ne daje informaciju o kvalitetu modela u apsolutnom smislu. Npr., ako se porede dva loša modela, AIC će dati samo informaciju koji model je manje loš, a ne i o tome da su oba posmatrana modela zapravo loša. Statistika ovog kriterijuma je bazirana na funkciji maksimalne verodostojnosti i broju parametara testirane raspodele: )ln(22 LkAIC  . (3.58) gde je L maksimizirana vrednost funkcije verodostojnosti, a k je broj parametara raspodele. Alternativna formulacija AIC vrednosti je data preko rezidualne sume zbira kvadrata u slučaju kada su nam one dostupne i kada su disperzije svih upoređivanih modela iste: k N R NAIC 2ln        . (3.59) gde je R rezidualna suma kvadrata, N je broj podataka, a k je broj parametara primenjene raspodele. AIC vrednost nema smisla sama za sebe, već samo kada se koristi za poređenje neka dva modela. Dakle, poređenjem modela na osnovu AIC vrednosti određuje se koji od njih bolje opisuje podatke, ili strožije rečeno, koji model ima manji gubitak informacija (Akaike, 1974). Osim kvaliteta primenjenog modela, AIC kažnjava modele sa velikim brojem parametara (tzv. overfitovanje). Kao što je na početku rečeno, pre primene potrebno je dobro razmotriti primenjene modele jer ukoliko se primene dva loša modela, AIC daje informaciju samo koji je od njih manje loš. 36 3.5 Raspodele vremena kašnjenja električnog proboja u sintetičkom vazduhu 3.5.1 Primena Monte Karlo simulacije za modelovanje raspodela statističkog vremena kašnjenja proboja U disertaciji su razmatrani električni proboji u sintetičkom vazduhu na niskom pritisku sa elektrodama izrađenim od različitih materijala. U zavisnosti od uslova proboja dobijene su eksponencijalne, Gausove i mešovite raspodele. U daljoj analizi najpre će biti prikazan slučaj uzorka sa elektrodama izrađenim od ugljeničnog čelika sa visokim elektronskim prinosom, a zatim će biti primenjena Monte Karlo simulaciija raspodela. Vreme kašnjenja proboja izmereno je na cevi napunjenoj sintetičkim vazduhom na pritisku od 300 Pa sa elektrodama izrađenim od ugljeničnog čelika. Elektrode su cilindričnog oblika, prečnika i visine po 6 mm sa međuelektrodnim rastojanjem 6 mm. Statički probojni napon je bio .360VU s  Merenja su vršena na radnom naponu VUw 450 , struji pražnjenja AIg 300 , vremenu pražnjenja stg 1 , na tri različita vremena relaksacije 2,1 i ms5 (Marković i dr., 2012; Jovanović i dr. 2012). Pre merenja cev je kondicionirana kontinualnim pražnjenjem i serijom proboja, a za vreme merenja bila je zaštićena od spoljašnje svetlosti. Statističko vreme kašnjenja dobijeno je tako što su od ukupnog vremena kašnjenja fsd ttt  oduzete minimalne vrednosti ukupnog vremena kašnjenja mindt kao dobre aproksimacije za vreme formiranja pražnjenja mindf tt  . Na tri različita vremena relaksacije 2,1 i ms5 dobijeni su različiti oblici raspodela statističkog vremena kašnjenja. Za vreme relaksacije ms1 dobijena je Gausova raspodela, za ms2 dobijena je mešovita Gaus- eksponencijalna raspodela, a za vreme ms5 dobijena je eksponencijalna raspodela. Kako bi se sa sigurnošću utvrdilo da li se radi o raspodeli statističkog, a ne vremena formiranja pražnjenja, na slici 3.2 je prikazana memorijska kriva pri datim uslovima merenja. Sa slike se može videti blagi eksponencijalni porast standardne devijacije na malim vremenima relaksacije (0,1-10 ms) koji ukazuje da je u ovoj oblasti dominantno statističko vreme kašnjenja. Na osnovu relacije za eksponencijalno difuziono opadanje koncentracije jona in koje je dominantno pri ovim uslovima:  e0ii nn (3.60) i relacije ii weniY  gde je i jačina struje, e elementarno naelektrisanje, in koncentracija 37 jona i iw brzina drifta jona, nalazi se da je statističko vreme srazmerno  Yt s /1 e (Marković i dr., 2009). Za vreme formiranja pražnjenja: q iiq q qt t if )/)(1(1 ln 1 0   , (3.61) sledi da je srazmerno vremenu relaksacije ft , gde je it vreme preleta jona, Swnq ii koeficijent multiplikacije elektrona, a  koeficijent sekundarne elektronske emisije. Slika 3.2. Memorijska kriva izmerena na radnom naponu VUw 450 , pri struji pražnjenja AIg 300 i sa vremenom pražnjenja stg 1 Slika 3.3. a) Vreme formiranja pražnjenja i b) statističko vreme kašnjenja proboja linearizovani u linearnoj, odnosno u polulogaritamskoj skali 38 Raspodela statističkog vremena kašnjenja izmerena na vremenu relaksacije ms1 prikazana je na slici 3.4. Raspodela je karakterističnog simetričnog oblika, tako da je za njeno modelovanje primenjena Gausova raspodela (3.8). Slika 3.4. Eksperimentalni podaci statističkog vremena kašnjenja proboja za vreme relaksacije ms1 fitovani Gausovom raspodelom: histogram – eksperimentalni podaci, puna linija- fit analitičkom relacijom (3.8), ■ – raspodela modelovana Monte Karlo simulacijom. Na osnovu fitovanja dobijene su sledeće vrednosti parametara raspodele: srednja vrednost statističkog vremena kašnjenja st s 08,2 i standardna devijacija s 66,0 . Na osnovu uzorka izračunati su treći i četvrti moment raspodele, odnosno koeficijent asimetrije 307,03  i koeficijent spljoštenosti 54,34  . Na osnovu prve vrednosti može se videti da je raspodela približno simetrična oko srednje vrednosti, a na osnovu druge da je približno Gausove konkavnosti. Na osnovu relacije (3.21) izračunat je efektivni elektronski prinos koji iznosi s/,YPYef 11074 6 . Za slučaj vremena relaksacije ms2 dobijena je blago asimetrična raspodela (slika 3.5). Na osnovu uzoračkih koeficijenata asimetrije 086,13  i spljoštenosti 724,44  može se zaključiti da se radi o blago spljoštenoj asimetričnoj raspodeli. Za fitovanje ove raspodele primenjena je relacija za mešovitu Gaus-eksponencijalnu raspodelu (3.9) i dobijeni su sledeći parametri: stsg 3,3 , sg  785,1 , stse 5,14 , dok su udeli raspodela 39 789,0Ga i 211,0Ea . Na osnovu datih parametara i relacije (3.31) određen je efektivni elektronski prinos sYef /1105,4 5 . Slika 3.5. Eksperimentalni podaci statističkog vremena kašnjenja za vreme relaksacije ms2 fitovani Gaus-eksponencijalnom funkcijom raspodele: histogram-eksperimentalni podaci, puna linija- fit analitičkom relacijom (3.9), ■ –raspodela dobijena Monte Karlo simulacijom. Na kraju je prikazana raspodela statističkog vremena kašnjenja za vreme relaksacije ms5 (slika 3.6). Eksperimentalni podaci su fitovani eksponencijalnom raspodelom (3.4), i iz fita je određena srednja vrednost statističkog vremena kašnjenja proboja sts 6,34 . Iz uzorka su izračunati koeficijent asimetrije 913,13  i koeficijent spljoštenosti 20,74  . Na osnovu relacije (3.5) određen je efektivni elektronski prinos s/,Yef 11082 4 . Nastanak Gausove i mešovite raspodele može se objasniti povećanjem elektronskih prinosa. Naime, u slučajevima malih elektronskih prinosa verovatnoća za nastanak inicijalnog elektrona je mala, proces je Poasonov, a raspodela statističkog vremena kašnjenja je eksponencijalna. Nasuprot tome, u slučajevima kada je elektronski prinos veliki (kratka vremena relaksacije, odnosno velika prejonizacija ili velika emisivnost katode) za opisivanja statističkog vremena kašnjenja proboja treba primeniti Gausovu raspodelu. U slučajevima kad imamo mešanje procesa različitog intenziteta potrebno je primeniti mešovitu raspodelu za statističko vreme kašnjenja proboja. U daljem tekstu će detaljnije biti analiziran slučaj mešovitih raspodela. 40 Slika 3.6. Eksperimentalni podaci izmereni na vremenu relaksacije ms5 fitovani eksponencijalnom raspodelom: histogram- eksperimentalni podaci, puna linija- fit na osnovu analitičke relacije (13), ■ – raspodela dobijena Monte Karlo simulacijom. 3.5.2 Analiza mešovitih raspodela statističkog vremena kašnjenja proboja u sintetičkom vazduhu Pojava Gausovih i mešovitih raspodela izmerenih na uzorku sa elektrodama izrađenim od ugljeničnog čelika analizirana je primenom statističkih metoda i direktnim poređenjem sa uzorkom sa elektrodama od nerđajućeg čelika. Merenja su izvršena na radnom naponu od VUw 475 , pri struji pražnjenja AI g 500 , rastojanju 6 mm, pritisku 300 Pa, sa vremenom pražnjenja stg 1 i na vremenima relaksacije ms7 , ms17 i ms50 . Statički probojni napon je iznosio 410 V. Na vremenima manjim od ms7 dobijene su Gausove raspodele, na vremenima između ms17 i ms50 dobijene su mešovite raspodele, dok je na vremenima relaksacije većim od ms50 merena uvek eksponencijalna raspodela. Nasuprot tome na uzorku sa elektrodama od nerđajućeg čelika pri identičnim uslovima dobijene su samo eksponencijalne raspodele statističkog vremena kašnjenja. Ovo ukazuje na postojanje dodatnog mehanizma iniciranja u slučaju gasne cevi sa elektrodama od ugljeničnog čelika. U daljem tekstu data je uporedna analiza dobijenih raspodela. Pre modelovanja raspodela primenjena je dvofaktorska analiza ANOVA kako bi se utvrdio uticaj različitih materijala od kojih su izrađene elektrode i različitih vremena 41 relaksacije na kojima su vršena merenja. Prvi testiran faktor imao je dva nivoa: elektrode od nerđajućeg i ugljeničnog čelika. Drugi faktor vreme relaksacije imao je tri nivoa ms7 , ms17 i ms50 . Na osnovu realizovane vrednosti statistike 80,34F sa nivoom značajnosti 05,0 nađeno je da postoji značajna interakcija između ova dva faktora. Na osnovu realizovanih vrednosti statistika testa prvog faktora 37,76F i drugog faktora 72,88F nađeno je da oba imaju značajan uticaj. Na osnovu rezultata, sprovedena je dalja analiza raspodela statističkog vremena kašnjenja. Slika 3.7. Eksperimentalni podaci izmereni na vremenu relaksacije ms7 : histogram- eksperimentalni podaci, puna linija - analitički fit, a) uzorak sa elektrodama od nerđajućeg čelika i b) uzorak sa elektrodama od ugljeničnog čelika Na slici 3.7 su prikazane raspodele izmerene za vreme relaksacije ms7 . U slučaju uzorka sa elektrodama od nerđajućeg čelika dobijena je eksponencijalna raspodela statističkog vremena kašnjenja (slika 3.7a). Fitovanjem raspodele relacijom (3.4) dobijena je srednja vrednost statističkog vremena kašnjenja st s 138,3 , iz kojeg je određen efektivni elektronski prinos sYef /107.7230 . U slučaju uzorka sa elektrodama izrađenim od ugljeničnog čeilka dobijena je simetrična raspodela (slika 3.7b). Na osnovu uzoračkog koeficijenta asimetrije 17,01  i ekscesne spljoštenosti 16,02  može se tvrditi da se radi o približno simetričnoj raspodeli Gausovog tipa. Kako bi se utvrdilo da li je ispravno primeniti Gausovu raspodelu za opisivanje eksperimentalnih podataka, urađen je Kolmogorov-Smirnov (KS) test hipoteza. Kao nulta hipoteza pretpostavljeno je da je eksperimentalna raspodela jednaka Gausovoj raspodeli: 42 )()(: * 0 sGs tFtFH  . (3.62) Primenom KS testa je određena vrednost statistike 0,06nD i ona je manja od kritične vrednosti dobijene iz Kolmogorovljeve tablice za nivo značajnosti 05,0 , što ukazuje da se nulta hipoteza ne može odbaciti. Zato je opravdano primeniti Gausovu raspodelu za modelovanje eksperimentalne raspodele. Fitovanjem eksperimentalne raspodele dobijeni su sledeći parametri raspodele: st s 2,62 i s 1,34 . Na osnovu relacije (3.21) izračunat je efektivni elektronski prinos sYef /11046,1 6 . Poređenjem elektronskih prinosa uočava se značajna razlika jer je u slučaju uzorka sa elektrodama od ugljeničnog čelika elektronski prinos dva reda veličine veći. To ukazuje na postojanje nekog izrazito jakog mehanizma iniciranja. Kako su u oba slučaja uslovi potpuno jednaki i razlikuje se samo materijal od koga su izrađene elektrode, sledi da taj mehanizam mora da potiče od razlike u površinama katoda. Kako bi se proverila ova tvrdnja, urađena je analiza površina primenom skening elektronske mikroskopije (SEM), energijske disperzione rendgenske spektroskopije (EDX) i mikroskopija međuatomskih sila (AFM). Pomoću SEM-a izvršeno je snimanje površine, EDX-om je analiziran sastav površine, a primenom AFM-a analizirana je struktura površine. Urađeni su uporedni snimci oba uzorka katode izrađene od ugljeničnog čelika i katode izrađene od nerđajućeg čelika. Na slici 3.8 su dati SEM i EDX snimci površine uzorka izrađenog od ugljeničnog čelika. Sa SEM snimka (3.8a) se može uočiti karakteristična zrnasta struktura na površini, sa tamnim mestima nastalim zbog slabije emisije i svetlijim mestima nastalim zbog pojačane emisije sekundarnih elektrona. Na EDX spektru (3.8b) se mogu uočiti prisustvo gvožđa i mangana, koji su sastavne komponente legure, ali i kiseonika koji ukazuje na formiranje oksida na površini. Kako bi se preciznije ispitala površinska struktura, primenom AFM–a urađeni su 3d topografski snimci zrnaste strukture (slika 3.9). Sa ovog AFM snimka površine m3030 uočava se zrnasta struktura visine oko nm500 , identična kao na SEM snimku. Izmerena je hrapavost ove površine i ona iznosi nmRRMS 23,63 . Na osnovu prethodne analize površine može se zaključiti da povećana emisivnost nastaje zbog formiranja oksida na površini i povećanja efektivne emisione površine. 43 Slika 3.8. a) SEM snimak i b) EDX spektar površine katode izrađene od ugljeničnog čelika Slika 3.9. 3d topografski snimci karakteristične zrnaste strukture na površinie katode izrađene od ugljeničnog čelika primenom AFM-a Radi kompletnosti urađeni su SEM i EDX snimci katode izrađene od nerđajućeg čelika (slika 3.10). Na SEM snimku (slika 3.10a) se uočava glatka površina i nema formiranja zrnaste strukture, dok na EDX spektru (slika 3.10b) nema linije kiseonika. 44 Fig.3.10. a) SEM snimak i b) EDX spektar površine katode izrađene od nerđajućeg čelika Za vreme relaksacije ms17 za nerđajući i ugljenični čelik dobijene su eksponencijalna, odnosno mešovita raspodela (slika 3.11a, b). U slučaju nerđajućeg čelika za modelovanje je primenjen izraz za eksponencijalnu raspodelu (3.4) i određen je parametar raspodele sts 422,69 , iz koga je prema relaciji (3.5) određen efektivni elektronski prinos s/,Yef 182365 . Za slučaj uzorka sa ugljeničnim čelikom najpre je primenjen KS test kako bi se proverila opravdanost primene mešovite raspodele. Kao nulta hipoteza pretpostavljeno je da je eksperimentalna raspodela jednaka empirijskoj mešovitoj raspodeli: )()(: * 0 sGEs tFtFH  . (3.63) Izračunata vrednost statistike 0490, n D je manja od kritične vrednosti iz tabele Kolmogorova, iz čega sledi da se nulta hipoteza ne može odbaciti. Na osnovu toga primenjen je analitički oblik za mešovitu Gaus-eksponencijalnu raspodelu (3.8) iz koga su određeni parametri raspodele stsg 45,4 , sg  15,2 , st se 21,10 , dok su udeli raspodela 78,0Ga i 22,01  GE aa . Na osnovu relacije (3.21) određen je efektivni elektronski prinos s/,Yef 110278 5 . Pojava mešovite raspodele ukazuje na mešanje više inicirajućih mehanizama, tj. na postojanje dve potpopulacije inicijalnih elektrona. Kako je za kraća vremena relaksacije bio dominantan površinski mehanizam i u potpunosti Gausova raspodela, može se zaključiti da je pojava mešovite raspodele posledica slabljenja površinskog mehanizma koji sada postaje uporediv sa iniciranjem zaostalim jonima iz gasne faze. 45 Slika 3.11. Eksperimentalni podaci izmereni na vremenu relaksacije ms17 : histogram- eksperimentalni podaci, puna linija- analitički fit, a) uzorak sa elektrodama od nerđajućeg čelika i b) uzorak sa elektrodama od ugljeničnog čelika Konačno, za slučaj ms50 za oba uzorka dobijene su eksponencijalne raspodele (slika 3.12a, b). Fitovanjem relacijom (3.4) za uzorak sa nerđajućim čelikom dobijena je srednja vrednost statističkog vremena kašnjenja st s 39,2144 , odnosno efektivni elektronski prinos s/,Yef 133466 . Slika 3.12. Eksperimentalni podaci izmereni na vremenu relaksacije ms50 : histogram- eksperimentalni podaci, puna linija- analitički fit, a) uzorak sa elektrodama od nerđajućeg čelika i b) uzorak sa elektrodama od ugljeničnog čelika Za uzorak sa ugljeničnim čelikom fitovanjem eksperimentalnih podataka dobijena je srednja vrednost statističkog vremena kašnjenja st s 82,520 , odnosno efektivni 46 elektronski prinos s/,Yef 1051920 . Dakle, u slučaju elektroda od nerđajućeg čelika nema površinskog mehanizma iniciranja, a uvećanje elektronskog prinosa kod ugljeničnog čelika je posledica povećane emisivnosti zbog veće efektivne površine oksida i zaostalih površinskih naelektrisanja na njemu (Jovanović i dr., 2014a). Slika 3.13. Raspodele vremena kašnjenja izmerene na uzorku sa bakarnim elektrodama na vremenima relaksacije msba 01c) i 5 ),3) Na kraju, radi poređenja različitih materijala kao katoda tinjavih pražnjenja, date su raspodele izmerene na gasnoj cevi sa bakarnim eletrodama. Raspodele izmerene na pritisku od 3 mbar sa elektrodama od OFHC bakra, radnom naponu 600V i struji pražnjenja A500 , na vremenima relaksacije ms 01 i 5 ,3 date su kao ilustracije uticaja materijala katode (slika 3.13). U svim slučajevima dobijene su eksponencijalne raspodele, što dokazuje pretpostavku da su mešovite raspodele u slučaju uzorka sa elektrodama od ugljeničnog čelika, posledica oksidacije elektroda (povećana efektivna površina oksida i prisustvo površinskih naelektrisanja). 47 3.5.3 Poređenje raspodela vremena kašnjenja proboja zasnovanih na binomnoj raspodeli nastanka elektrona sa Vejbulovom raspodelom Kako se za opisivanje vremena kašnjenja proboja često koristi Vejbulova raspodela, u daljem tekstu dato je poređenje Gausove i mešovite Gaus-eksponencijalne raspodele sa dvoparametarskom Vejbulovom raspodelom primenom Akaikeovog informacionog kriterijuma (AIC). Merenja su vršena na radnom naponu od VUw 475 , na struji pražnjenja AIg 500 , rastojanju 6 mm, pritisku 300 Pa, sa vremenom pražnjenja st g 1 i na vremenima relaksacije ms15 i ms17 (slika 3.14) (Jovanović i dr. 2013a). Najpre je izvršeno poređenje Gausove i Vejbulove raspodele za vreme relaksacije ms15 (slika 3.14a). Na slici su dati fitovi eksperimentlnih podataka primenom Gausove (3.8) i Vejbulove raspodele (3.10). Na osnovu fita Gausovom raspodelom određena je srednja vrednost st s 5 i standardna devijacija s 6,2 statističkog vremena kašnjenja. Za Vejbulovu raspodelu dobijeni su sledeće vrednosti parametara 29,2 i s 1,6 . Primenom Akaikeovog informacionog kriterijuma nađene su sledeće vrednosti: za Gasuovu raspodelu 37,57AIC i 45,52AIC za Vejbulovu raspodelu. Na osnovu ovih vrednosti pokazuje se da Gausova raspodela bolje opisuje eksperimentalne podatke. Slika 3.14. Eksperimentalni podaci statističkog vremena kašnjenja (histogram) fitovani Gausovom (puna linija) i Vejbulovom raspodelom (isprekidana linija) za vremena relaksacije a) ms15 i b) ms17 Isti postupak je ponovljen i za slučaj Gaus-eksponencijalne i Vejbulove raspodele (slika 3.14b). Iz fita Gaus-eksponencijalnom raspodelom određeni su sledeći parametri raspodele: s45,4tsg  , s15,2g   , s21,10tse  , dok su vrednosti udela raspodele 48 78,0Ga i 22,01  GE aa . Iz fita Vejbulovom raspodelom dobijeni su sledeće vrednosti parametara 07,2 i s58,5   . Za Gaus-eksponencijalnu raspodelu dobijena je sledeća vrednost 12,52AIC  , dok je za Vejbulovu dobijena sledeća vrednost 08,54AIC  . Poređenjem dobijenih vrednosti vidi se da Vejbulova raspodela u ovom slučaju bolje opisuje eksperimentalne podatke. Iako, u slučaju raspodela sa izraženom pozitivnom asimetrijom Vejbulova raspodela može da bolje opiše podatke, fizički zasnovane mešovite raspodele daju više informacija, jer se na osnovu određenih paramentara mogu izračunati efektivni elektronski prinosi. 3.6 Analiza vremena formiranja pražnjenja u sintetičkom vazduhu U daljem tekstu prikazana je analiza vremena formiranja pražnjenja u vazduhu. Kao što je rečeno u uvodu, vreme formiranja se dugo tretiralo kao konstantna veličina. Vreme formiranja je međutim, takođe stohastička veličina, te se za njegovo opisivanje koristi Gausova raspodela (3.11). Jedan od najvećih problema u eksperimentima sa električnim probojima je razdvajanje statističkog i vremena formiranja i njihovo nezavisno merenje. Za određivanje vremena formiranja pražnjenja koristi se nekoliko metoda (Marković i dr., 1997): -vreme formiranja pražnjenja aproksimira se minimalnom vrednošću ukupnog vremena kašnjenja proboja mindf tt  , na osnovu pretpostavke da pri velikom broju merenja u bar jednom slučaju do nastanka proboja dolazi odmah, tj. statističko vreme se smatra bliskim nuli, -iz raspodela se može odrediti kao sredina minimalne klase na histogramu vremena kašnjenja proboja ili kao srednja vrednost nekoliko minimalnih vrednosti, ili - iz razlike )( ddf ttt  , kada je ssd t)t()t(  . Metode koje se zasnivaju na ekstremnim vrednostima (u ovom slučaju na minimalnim), mogu biti nepouzdane u slučaju postojanja podataka koji odstupaju od raspodele (autlajera). Iz tog razloga, pre određivanja vremena formiranja iz minimalne vrednosti, potrebno je testirati raspodelu vremena na postojanje netipičnih podataka autlajera. Radi ilustracije ove metodologije, razmatrana su merenja urađena na cevi cilindričnog oblika sa elektrodama izrađenim od nerđajućeg čelika prečnika cmD 6,0 i međuelektorodnog rastojanja cmd 6,0 , na pritisku Pap 300 , sa primenjenim radnim naponom VUw 750 , 49 strujom pražnjenja AI g 800 , vremenom pražnjenja st g 1 i na vremenu relaksacije ms1,0 . Ovi uslovi malih vremena relaksacije su izabrani kako bi se obezbedila visoka koncentracija zaostalih čestica iz prethodnog pražnjenja i smanjilo statističko vreme kašnjenja električnog proboja. Razmatrana je jedna serija podataka od 100 merenja. Za testiranje raspodele na postojanje autlajera, primenjen je modifikovani Tompsonov tau test. Najpre je testirana minimalna vrednost st d 49,6 min  , kako bi se odredilo da li je njena vrednost autlajer. Na osnovu relacije (3.42), izračunata je realizovana vrednost test statistike 19,1 koja je upoređena sa .stat  vrednošću s stat 92,1 .  određenom iz relacije (3.43). Poređenjem ovih vrednosti vidi se da je vrednost statistike manja od  vrednosti, pa se sa nivoom značajnosti 05,0 može tvrditi da minimalna vrednost nije autlajer i ne treba je odbacivati. Kako minimalna vrednost nije autlajer i kako nas interesuje samo minimalna, a ne i maksimalna vrednost, nema potrebe testirati ostale vrednosti iz uzorka. Kako bi se problem nepouzdanosti prethodno opisane metode prevazišao, u ovoj disertaciji izložena je nova metoda za određivanje vremena formiranja pražnjenja. Naime, predloženo je da se iz velikog broja serija, urađenih sa podjednakim brojem merenja u seriji, uzimanjem mnimalne vrednosti iz svake serije, dobija raspodela vremena formiranja pražnjenja. U ovom slučaju uzeto je da se radi 100 serija sa po 100 merenja vremena kašnjenja kao raspodela pomenutih minimalnih vrednosti. Merenja su urađena pri malim vremenima relaksacije i visokim naponima i strujama pražnjenja, tj. sa visokim elektronskim prinosom kako bi se minimizovalo statističko vreme kašnjenja. Merenja su urađena na cevi cilindričnog oblika sa elektrodama izrađenim od nerđajućeg čelika prečnika cmD 6,0 i međuelektorodnog rastojanja cmd 6,0 , na pritisku Pap 300 , sa primenjenim radnim naponom VUw 750 , strujom pražnjenja AI g 800 , vremenom pražnjenja st g 1 i na vremenu relaksacije ms1,0 . Na slici 3.15 je prikazan histogram vremena formiranja pražnjenja određen na osnovu 100 serija sa po 100 podataka u svakoj (ukupno 10000 podataka) odakle je vreme formiranja određeno kao minimalna vrednost vremena kašnjenja iz pojedinačne serije (Jovanović i dr., 2014b). Raspodela ima karakterističan simetričan oblik (slika 3.15). Na osnovu uzoračkih koeficijenata asimetrije 0,483  i ekscesne spljoštenosti 47,04  može se zaključiti da je raspodela blago asimetrična sa blagim levim repom i da je približno Gausove spljoštenosti. 50 Primenom KS testa određena je sledeća vrednost statistike D=0,103, što ukazuje da se sa nivoom značajnosti 05,0 ne može odbaciti hipoteza da se radi o Gausovoj raspodeli vremena formiranja pražnjenja. Primenom relacije za Gausovu raspodelu vremena formiranja (3.11) nađeni su parametri raspodele st f 50,6 i standardna devijacija s0,02  . Slika 3.15. Raspodela vremena formiranja pražnjenja dobijena iz velikog broja merenja: ■ - eksperimentalni podaci, puna linija - fit analitičkim izrazom za Gausovu raspodelu vremena formiranja pražnjenja Na osnovu poređenja vrednosti vremena formiranja pražnjenja određenog iz minimalne vrednosti i na osnovu raspodele vremena formiranja pražnjenja, može se zaključiti da metode daju dobro slaganje. Prednost određivanja vremena formiranja pražnjenja iz minimalne vrednosti je u tome što je brza metoda. Metoda merenja raspodele daje tačniju vrednost vremena formiranja pražnjenja, ali je nepraktična zbog neophodnosti velikog broja merenja, tako da je gotovo neprimenljiva za veća vremena relaksacije. Vreme formiranja pražnjenja se takođe može primeniti za određivanje statičkog probojnog napona na osnovu njegove naponske zavisnosti (3.61). Zato će u daljem tekstu biti prikazana analiza merenja vremena formiranja pražnjenja u funkciji od napona. Na osnovu relacije za vreme formiranja pražnjenja (3.61) biće diskutovana njegova veza sa vremenom preleta i brzinom drifta jona i potkrepljena merenjima. Osim raspodela, izmerene su i naponske zavisnosti vremena formiranja pražnjenja na različitim vremenima relaksacije. Merenja su izvršena na cevi sa cilindričnim elektrodama 51 izrađenim od nerđajućeg čelika prečnika cmD 6,0 i međuelektorodnog rastojanja cmd 6,0 , na pritisku Pap 300 , struji pražnjenja AI g 350 , sa vremenom pražnjenja st g 1 , vremenom relaksacije ms1 i sa promenljivim radnim naponom (slika 3.16). Sa slike 3.16 se može uočiti porast vremena formiranja pražnjenja sa smanjenjem radnog napona kao i postojanje singulariteta na vrednosti statičkog probojnog napona. Eksperimentalni podaci su fitovani relacijom za naponsku zavisnost vremena formiranja pražnjenja (Marković i dr., 2007a) koja je za naš slučaj elektronegativnih gasova modifikovana. Naime, smenom efektivnog koeficijenta jonizacije ( a ) u koeficijent umnožavanja elektrona )1e( )(   daq  (Raizer, 1991) ona postaje: q YYq q tq t gi f      )/)(1(1 ln 1 , (3.64) gde je a je koeficijent zahvata elektrona. Fitovanjem eksperimentalnih podataka na osnovu relacije (3.64), dobijen je koeficijent zahvata 115,0  cma . Ova vrednost je uvećana u odnosu na vrednosti koje se mogu naći u literaturi za slučaj vazduha (Kuffel, 1959; Dutton, 1975, Harrison i Geballe, 1953) što se može objasniti velikim gubicima usled radijalne difuzije, a koji nisu uračunati u jednačini (3.64). Slika 3.16. Naponska zavisnost vremena formiranja pražnjenja: ■ - eksperimentalni podaci, linija predstavlja fit na osnovu relacije (3.64) 52 Vreme formiranja pražnjenja se takođe može povezati i sa brzinom drifta jona (brzina usmerenog kretanja u pravcu polja). Naime, kada elektronski prinos u relaciji (3.65) teži stacionarnoj vrednosti u toku pražnjenja gY (koja je izuzetno velika), vreme formiranja pražnjenja teži vremenu preleta jona: .t q )Y/Y)(q( ln q qt lim i gi YgY    11 1 (3.65) Ovo se može postići u uslovima visokog elektronskog prinosa i lavinskog umnožavanja, odnosno na visokim naponima i strujama. Osim toga, kada je vreme relaksacije malo, odnosno prejonizacija za naredni proboj velika, prisutna je visoka koncentracija jona na rastojanju 0d od katode (slika 5.7). Tada se može izračunati i brzina drifta dominantnog jona na osnovu relacije: 0 0 t d wi  (3.66) gde je 0t vreme preleta jona od rastojanja 0d do katode i približno je jednako vremenu formiranja pražnjenja. Slika 3.17. Brzina drifta  2O jona u funkciji redukovanog električnog polja dobijena iz merenja vremena formiranja pražnjenja (puni simboli) upoređena sa vrednostima određenim Monte Karlo simulacijom (Nelson i dr., 2003) i iz eksperimenta (Davies i Chantry, 1985) 53 Radi ilustracije, prikazane su vrednosti brzine drifta izračunate iz vremena formiranja pražnjenja izmerenih na različitim vrednostima napona i visokom strujom pražnjenja, sa vremenom pražnjenja st g 1 i na vremenu relaksacije ms1,0 (slika 3.17). Kratko vreme relaksacije je izabrano zbog velike prejonizacije. Pri računanju brzine drifta uzeto je rastojanje cmd 105,00  koje odgovara maksimumu prostorne raspodele jona ispred katode. U ovom slučaju visoke prejonizacije na vremenu relaksacije ms1,0 uzeto je da do formiranja pražnjenja dovode  2O joni zaostali iz prethodnog pražnjenja i dobijeni konverzijom iz  2N jona (videti glavu 5). Na slici 3.17 je dato poređenje eksperimentalnih vrednosti brzine drifta  2O jona sa vrednostima iz literature i izračunatih na osnovu Monte Karlo simulacije (Nelson i dr., 2003), odakle se može uočiti dobro slaganje. 54 4. Model stacionarnog stanja tinjavog pražnjenja u sintetičkom vazduhu 2 Fluidni model se zasniva na rešavanju nultog (jednačina kontinuiteta koncentracija čestica), prvog (jednačina održanja impulsa) i drugog momenta (jednačina balansa energije) Bolcmanove jednačine (Makabe i Petrović, 2006). Koristi se u slučajevima kada je koncentracija čestica velika i srednji slobodni put mali u odnosu na dimenzije cevi, a samim tim sudarna frekvencija velika, pa se čestice mogu smatrati fluidom (Makabe i Petrović, 2006). Ovaj model se odlikuje izuzetno brzim rešavanjem sistema jednačina numeričkim metodama i nije kompjuterski zahtevan (za razliku od čestičnih modela), pa je pogodan za računanje stacionarnih koncentracija. Osnovni sistem jednačina koji je potrebno rešiti u fluidnom modelu se sastoji iz jednačina kontinuiteta za elektrone i jone kuplovanim sa Poasonovom jednačinom za jačinu električnog polja. Dakle, potrebno je rešiti sledeći sistem parcijalnih diferencijalnih jednačina: ie e S t n    Γ , (4.1) ii i S t n    Γ , (4.2)  i in e 0 2   , (4.3) gde iS predstavljaju članove produkcije i gubitaka čestica, 0 je elektromagnetna propustljivost vakuuma, a eΓ i iΓ fluksevi elektrona i jona: )),(),((),(),( tntDttn eeee rrrwrΓ e  , (4.4) )),(),((),(),( tntDttn iiii rrrwrΓ i  , (4.5) gde su ew i iw vektori brzine drifta , a eD i iD koeficijenti difuzije elektrona, odnosno jona. 2 Rezultati prikazani u ovoj glavi publikovani su u radu Jovanović i dr. (2013b) 55 Kako bi se odredila napon na cevi u toku pražnjenja u model je uključen i Omov zakon: RIUU gwg  , (4.6) gde su: gU napon na elektrodama cevi punjene gasom, gI struja pražnjenja, wU radni napon i R otpornost. U početnom trenutku napon na cevi gU jednak je radnom naponu wU , a sa promenom vremena računa se iz Omovog zakona. U opštem slučaju koeficijent difuzije i pokretljivost (koja figuriše u brzini drifta) su funkcije polja, ali se radi pojednostavljenja problema često uzima da su konstante. Koeficijenti brzine procesa koji figurišu u članovima produkcije i gubitaka naelektrisanja su takođe često smatrani konstantnim. Dobijeni sistem kuplovanih parcijalnih diferencijalnih jednačina predstavlja sistem paraboličkih (jednačine kontinuiteta) i eliptičke (Poasonova jednačina) diferencijalne jednačine i može se rešiti samo numerički. Ceo postupak se sastoji u sledećem: rešava se Poasonova jednačina, na osnovu Omovog zakona računa se napon pražnjenja, zatim se računaju koeficijenti zavisni od polja, iz jednačine kontinuiteta računaju se koncentracije čestica, a zatim se ciklus ponavlja. U obzir su uzeti procesi koji su relevantni za proces relaksacije u vazduhu kao i za uspostavljanje pražnjenja (tabela 1). Dakle, u model su uključene naelektrisane čestice, i to elektroni i sledeći joni:  4422 ,,, ONON i O . Cilj modelovanja je da se predloženi model verifikuje poređenjem sa eksperimentalnim podacima i da se zatim računaju koncentracije elektrona i jona u stacionarnom stanju tinjavog pražnjenja. Parametri roja čestica kao i koeficijenti brzine procesa uzeti su kao funkcije redukovanog polja. Najpre će biti izložen jonizacioni član u elektronskoj i jonskoj jednačini, zatim koeficijenti difuzije i pokretljivosti, pa koeficijenti brzina procesa i na kraju sekundarna elektronska emisija izazvana odgovarajućim jonima. Član koji sadrži produkciju elektrona u fluidnom modelu je ovde računat na osnovu Taunzendovog prvog jonizacionog koeficijenta kao njegov proizvod sa fluksom elektrona eeS Γ . Za električne proboje u smešama gasova za Taunzendov prvi jonizacioni koeficijent se često koristi Vilandova aproksimacija (Marić i dr., 2005; Wieland, 1973):               z z z N E N x N  , (4.7) 56 gde su zx udeli gasova u smeši, a       N E N  njihovi jonizacioni koeficijenti. Dakle, ova metoda koristi linearnu kombinaciju koeficijenata jonizacije gasova u smeši. Ova aproksimacija je analogna Blankovom zakonu (Blanc, 1908) za pokretljivost. Osim ove metode u radu Marić i dr. (2005) dat je „common energy method“, gde su vrednosti koeficijenta jonizacije uzeti na istim energijama umesto na istim poljima. U ovoj disertaciji zavisnost Taunzendovog prvog jonizacionog koeficijenta od redukovanog polja (slika 4.1) dobijena je fitovanjem eksperimentalnih podataka (Rao i Raju, 1971; Emeleus, 1936; Masch, 1932). Za njegovo fitovanje je primenjena dvoeksponencijalna formula (Jovanović i dr. 2013b): )//(77.646)//(27.1603 37.13365.396 NENE ee N    , (4.8) gde je N  redukovani koeficijent jonizacije elektronskim udarom izražen u jedinicama  21810 cm , a N E redukovano električno polje u jedinicama  21710 Vcm . Kao poređenje na slici 4.1 su dati i rezultati izračunati na osnovu Taunzendove semiempirijske formula (von Engel, 1965). Slika 4.1. Taunzendov prvi jonizacioni koeficijent (Rao i Raju,. 1971; Emeleus, 1936; Masch, 1932) fitovan dvoeksponencijalnim fitom (puna linija) i Taunzendovim semi- empirijskim fitom (isprekidana linija) (von Engel, 1965) 57 Kako jonizacioni član sadrži sve produkovane elektrone bez obzira o kom dobijenom jonu je reč, to se pogodnom preraspodelom, tj. množenjem udelima azota i kiseonika u smeši mogu dobiti pojedinačni jonizacioni članovi za odgovarajuće jone (Jovanović i dr. 2013b): eSNS 78,0)( 2   , (4.9) eSOS 22,0)( 2   . (4.10) Predložena relacija se može koristiti ne samo za slučaj vazduha, već i za ma koju smešu gasova za koju postoji izmereni koeficijent jonizacije, a čiji preseci se ne razlikuju značajno: eii SxS  (4.11) gde je iS jonizacioni član za pojedinačni jon u smeši, ix su udeli gasova u smeši, a eeS Γ . Za vazduh ne postoje kompletni eksperimentalni podaci za koeficijente difuzije i pokretljivosti elektrona i jona, pa se moraju koristiti vrednosti dobijene rešavanjem Bolcmanove jednačine ili Monte Karlo simulacijom. U ovom slučaju koeficijent difuzije i pokretljivost elektrona su dobijeni iz programa za rešavanje Bolcmanove jednačine Bolsig+ (Hagelaar i Pitchford, 2005, http://www.bolsig.laplace.univ-tlse.fr/). Izračunate vrednosti u funkciji polja iz programa Bolsig+ su dalje fitovane sledećim relacijama: a) difuzija elektrona je fitovana relacijom: ),/(1109,61036,31002,7 66,19479//2389,184//2223 cmseeND NENEe   (4.12) b) pokretljivost elektrona je fitovana relacijom: )./(1)1(1015,4)1(1057,51038,1 14,190//2145,1241//2122 cmVseeN NENEe   (4.13) Koeficijenti difuzije i pokretljivosti jona su uzeti iz radova Nelson (2003) i Bekstein (2008; 2010) i u model su uneti kao fitovi: a) difuzija 2N jona je fitovana polinomom četvrtog stepena ,1042,41025,41028,1103,2104,1)( 4 5 3 9 2 131618 2                    N E N E N E N E NDN (4.14) 58 b) pokretljivost 2N jona je fitovana relacijom ),/(1 )76,505//(1 1025,5 102,1)( 2 19 19 2 cmVs NE NN    (4.15) c) difuzija 2O jona je fitovana kompozitnim fitom                                       )/(11093,2 700 za 1021,21011,11052,4 700100 za )/(11001,21005,2 10010 za )/(11009,11049,1 10 za )/(1101,75 )( 3 9 2 131619 3,2910//2020 1874,51//18 18 2 cms N E Td N E N E N E Td N E Tdcmse Td N E Tdcmse Td N E cms ODN NE NE , (4.16) d) pokretljivost 2O jona je fitovana sledećom relacijom ),/(1 )1000//(1 105 108,1)( 2 19 19 2 cmVs NE ON    (4.17) e) za difuziju 4N jona kroz vazduh ne postoje podaci (čak ni iz simulacija), pa je uzeta konstantna vrednost za nulto polje izračunata iz Blankovog zakona (Blanc, 1908) kombinovanjem vrednosti za difuziju 4N jona kroz azot i kroz kiseonik: ),/(1104,1)( 184 cmsNDN   (4.18) f) pokretljivost 4N jona je fitovana kompozitnim fitom:                             )/(1)1(1055,4 120 za )1(1031,2101,8 120100 za )/(11012,6 )/(1/1012,1/1022,4 100 za /1027,3/1077,31002,6 )( 44,336//19 06,3236//1919 19 411313 2151519 4 cmVse N E e N E cmVs cmVsNEVNE N E NENE NN NE NE  , (4.19) g) difuzija 4O jona je fitovana kompozitnim fitom: 59            Td N E cmse Td N E cms ODN NE 30 za )/(1 30 za )/(1103,1 )( )35,63//(61,19694,43 18 4 (4.20) h) pokretljivost 4O jona je fitovana sledećom relacijom:                    .80za )/(199776.01072,31012,2 8070za )/(1105,22 7040 za )/(11009,11049,1 40 za )/(1105,19 )( 1919 19 1874,51//18 19 4 Td N E cmVs Td N E TdcmVs Td N E TdcmVse Td N E cmVs ON N E NE  (4.21) i) difuzija O jona je fitovana sledećom relacijom:               700za )/(11035,21046,1 700100za )/(11092,21052,3105,19 100za )/(1104,11006,4 )( 14,3490//1919 34,25//2077,491//1919 88,39//1817 N E cmse N E cmsee N E cmse ODN NE NENE NE (4.22) j) pokretljivost O jona je fitovana sledećom kompozitnom relacijom:                )/(1)1(1057,7 150za )1(107,41021,1 150za )/(11047,11047,7 )( 8,423//19 42,8654//1920 1919 cmVse N E e N E cmVs N E ON NE NE . (4.23) Koeficijent difuzije neutrala je računat na osnovu relacije date u radu Debal i dr. (1998) zasnovane na teoriji Čepmen-Enskog. Procesi uključeni u članove za produkciju i gubitak naelektrisanja su predstavljeni u tabeli 1. Procenom na osnovu koeficijenata brzine procesa u obzir su uzeti samo oni procesi koji mogu da imaju značajan uticaj na uspostavljanje pražnjenja na niskom pritisku. Koeficijenti jonizacije su dobijeni fitovanjem eksperimentalnih podataka, reakcije i odgovarajući koeficijenti brzina su uzeti iz rada Kossyi i dr. (1992) ili su određeni iz programa Bolsig+ (Hagelaar i Pitchford, 2005, http://www.bolsig.laplace.univ-tlse.fr/). 60 Za početne uslove je uzeto da je koncentracija elektrona i jona na elektrodama jednaka nuli, a u međuelektrodnom prostoru 31000 cm : 31000),0(  cmxn e (4.24) 31000),0(  cmxni . (4.25) Tabela 1. Reakcije i koeficijenti uključeni u 1D fluidni model a) Fit eksperimentalnih podataka b) Koeficijenti su dobijeni iz programskog paketa Bolsig+ za rešavanje Bolcmanove jednačine pomoću metode dvočlanog razvoja Sekundarna elektronska emisija na katodi je predstavljena u obliku Dirihleovog graničnog uslova: )0,()0,( tt ie   (4.26) tj. fluks elektrona na katodi jednak je proizvodu sekundarnog elektronskog prinosa i upadnog fluksa jona na katodu. Uslov da jon izbaci elektron sa katode je da njegova energija jonizacije bude veća od dva izlazna rada materijala katode ( ii eE 2 ) (Raizer, 1991). Kao što je ranije rečeno, izlazni rad čelika je eVe i 5,4 (Lide, 2009; Michaelson, 1977), pa Br. Reakcija Koeficijent brzine reakcije scm /3 , scm /6 i )/(1 3scm Ref. 1 eeNNe  22 178,0  a) (Rao i Raju, 1971) 2 eeOOe  22 222,0  a) (Rao i Raju, 1971) 3   2222 ONON 111002,6  (Kossyi i dr., 1992) 4 NNNe  2 Zavisano od polja b) (Bolsig+) 5 OOOe  2 Zavisno od polja b) (Bolsig+) 6 MOMOO   422 30104,2  (Kossyi i dr., 1992) 7 MNMNN   422 29105  (Kossyi i dr., 1992) 8 OOOe  2 Zavisno od polja b) (Bolsig+) 9 22 OOOO   7102  (Kossyi i dr., 1992) 10 22 NONO   7102  (Kossyi i dr., 1992) 11 224 OOOe   Zavisno od polja b) (Bolsig+) 12 224 NNNe   Zavisno od polja b) (Bolsig+) 61 jedino  2 N sa energijom jonizacije eVEi 57,15 i  2 O sa energijom jonizacije eVEi 5,12 (Braithwaite, 2000) zadovoljavaju energijski uslov za sekundarnu elektronsku emisiju. Za vrednost koeficijenta sekundarne elektronske emisije je uzeta zavisnost od proizvoda pd određena iz Pašenove krive na osnovu uslova proboja. Radi provere tačnosti predloženi model je primenjen za modelovanje Pašenove krive i strujnih i naponskih signala tokom proboja (Jovanović i dr., 2013b). Za modelovanje Pašenove krive potrebno je odrediti probojni napon iz modela. Kako je za Taunzendov mehanizam proboja najvažnija sekundarna elektronska emisija jonima koja dovodi do lavinskog umnožavanja elektrona, to se praćenjem koncentracije jona može odrediti da li je došlo do proboja ili ne. U slučaju vazduha joni koji mogu da vrše sekundarnu elektronsku emisiju su  2 N i  2 O , tako da se praćenjem njihove koncentracije može odrediti probojni napon. Ukoliko nakon primene napona dolazi do rasta koncentracije jona, došlo je do proboja, u suprotnom nema proboja (slika 4.2). Na slici 4.2 prikazana je vremenska evolucija koncentracije 2N jona u toku proboja sa primenjenim radnim naponom manjim (slika 4.2a) i većim (slika 4.2b) od statičkog probojnog napona sU . U prvom slučaju, kada je radni napon manji od probojnog (slika 4.2a), nakon prvobitnog rasta dolazi do opadanja koncentracije 2N jona, čime se smanjuje produkcija sekundarnih elektrona, nije zadovoljen uslov proboja ( 1)1(  deq  ), pa ne dolazi do proboja. U drugom slučaju, kada je radni napon veći od statičkog probojnog (slika 4.2b), koncentracija jona raste, zadovoljen je uslov proboja ( 1q ) i dolazi do proboja. Ovaj metod je dalje primenjen za različite vrednosti pd kako bi se modelovala Pašenova kriva. Slika 4.2 Vremenska evolucija profila 2N koncentracije za promenjeni radni napon a) manji, i b) veći od statičkog probojnog napona sU 62 Modelovane su Pašenove krive iz radova Lisovskiy i Yakovin (2000) i Rao i Raju (1971) izmerene u vazduhu (slika 4.3). Koeficijent sekundarne elektronske emisije određen je iz uslova proboja, a zatim unet u numerički model. Dobijeni rezultati su prikazani na slici 4.3. Može se uočiti dobro slaganje sa eksperimentom na desnoj grani Pašenove krive, dok levo od Pašenovog minimuma postoji odstupanje. Odstupanje levo od Pašenovog minimuma može biti zbog neprimenljivosti fluidnog modela. Naime, kao što je ranije rečeno fluidni model je primenljiv za uslove gde je koncentracija gasa dovoljno velika ( 31510~ cmN ), a srednji slobodni put manji od dimenzija cevi. Na niskim pritiscima ovi uslovi nisu ispunjeni tako da je potrebno koristiti čestične modele. Još jedan mogući razlog za otkazivanje modela je i to što su fitovi difuzije i pokretljivosti čestica definisani za redukovana polja do 5000 Td, dok su u uslovima niskih pritisaka i malih rastojanja ona čak i veća. Slika 4.3 Modelovanje Pašenove krive jednodimenzionim fluidnim modelom Još jedan vid provere tačnosti fluidnog modela bilo je modelovanje strujnih impulsa merenih na osciloskopu. Upoređivani su modelovani i izmereni strujni impulsi na cevi ispunjenoj gasom na pritisku Pa300 sa međuelektrodnim rastojanjem od mm6 , na radnom naponu V500 i pri struji pražnjenja od A500 (slika 4.4). Naponski i strujni impulsi su mereni osciloskopom TDS 2012B. Može se uočiti dobro slaganje između izmerenih (slika 4.4a) i modelovanih (slika 4.4b) impulsa. Uočljivi su karakteristični brzi porast struje, kao i naglo opadanje napona nakon proboja, iz čega se može zaključiti da model može veoma 63 dobro da opiše eksperimentalne podatke. Isti rezultati dobijeni su i za slučaj izmeren na komori na pritisku od Pa100 , što potvrđuje ispravnost modela. Slika 4.4 Modelovanje strujnih i naponskih impulsa primenom jednodimenzionog fluidnog modela 64 5. Modeli relaksacije u sintetičkom vazduhu 5.1 Uvod Relaksacija u vazduhu je od velikog interesa za razmatranje uređaja koji rade u impulsnom režimu (Korolev i Mesyats, 1998; Shao i dr., 2006), kao i za primenu u medicini npr. za sterilizaciju i tretman površina (Vašina i dr., 2004; Kutasi i dr., 2006; Soloshenko i dr., 2000). U literaturi je najčešće razmatran slučaj ranog postpražnjenja u protočnom režimu (Aleksandrov i dr., 2012a,b; Nahorny i dr., 1995; Guerra i Louriero, 1997; Spencer i dr., 1987; Dobrov i MacDonald, 1969; Cartry i dr., 1999). U radovima Aleksandrov i dr. (2012a, b) je razmatrana relaksacija mikrotalasnog pražnjenja praćenjem opadanja koncentracije elektrona pomoću mikrotalasne interferometrije. Plazma je smatrana uniformnom tako da je zanemarena difuzija i razmatrani su samo gubici elektrona usled rekombinacije. Postpražnjenje nakon jake pobude elektronskim mlazom u azotu i suvom i vlažnom vazduhu je razmatrano u radu Spencer i dr. (1987) gde je merenjem provodnosti primenom tehnike mikrotalasne perturbacije praćena promena koncentracija elektrona, a odatle je određen koeficijent difuzije. Raspad naelektrisanja meren je u vazduhu do oko s500 odakle su određeni koeficijenti ambipolarne difuzije. Kinetika neutralnih stanja je praćena do oko 1 ms primenom emisione i apsorpcione spektroskopije (Cartry i dr., 1999). Električno pražnjenje i postpražnjenje u smeši N2-O2 na niskom pritisku je ispitivano primenom nulto-dimenzionog modela (Pintassilgo i dr., 2010; Pintassilgo, 2012), dok je uticaj vibracionih stanja azota na zagrevanje gasa razmatran u radu Pintassilgo i dr. (2014). Primenom NO titracije je praćena promena koncentracija atoma azota u pražnjenju za plazma sterilizaciju (Kutasi i dr., 2006). Kinetika neutralnih stanja u pražnjenju i postpražnjenju u vazduhu za sterilizaciju razmatrana je u radu Vašina i dr. (2004). Numerički model koji razmatra pražnjenje i postpražnjenje u vlažnom vazduhu sa ukjučenih 50 čestica i 600 procesa razmatran je u radu Sakiyama i dr., (2012) i nađeno je da se aktivna stanja u postpražnjenju mogu naći i do 15 minuta nakon prekida pražnjenja. U ovom poglavlju je data analiza relaksacije nakon prekida tinjavog pražnjenja pobuđenog jednosmernom strujom u sintetičkom vazduhu primenom metode merenja vremena kašnjenja proboja. Memorijski efekat je otkriven 1956. godine u radu na razvoju prenaponskih odvodnika (Bošan, 1956; 1975; 1978; 1993; Bošan i Pejović, 1979; Bošan i 65 dr.,1980), kada je uočeno da vreme kašnjenja proboja, izmedju ostalog, zavisi i od vremena relaksacije. Snimanjem memorijskih krivih moguće je pratiti promenu koncentracija čestica u postpražnjenju kao i određivanje odgovarajućih sudarnih i transportnih koeficijenata. U ovom poglavlju biće prikazane memorijske krive izmerene na različitim uslovima, sa različitim radnim naponima i strujama pražnjenja i biće određeni odgovarajući sudarni i transportni koeficijenti dominantnih čestica u postpražnjenju. 5.2 Memorijske krive u sintetičkom vazduhu Merenje vremena kašnjenja električnog proboja je korisna i pouzdana metoda koja se može uspešno primeniti za proučavanje procesa tokom prelaznih režima, uspostavljanja pražnjenja i relaksacije nakon prekida pražnjenja. Kao što je ranije rečeno (poglavlje 3) na osnovu parametara raspodele, srednjeg vremena i disperzije statističkog vremena kašnjenja proboja, moguće je izračunati efektivni elektronski prinos ( YPYef  ). Elektronski prinos predstavlja broj elektrona stvorenih u međuelektrodnom prostoru u jedinici vremena i može se prikazati sledećom relacijom: SY  (5.1) gde je  efektivni koeficijent sekundarne elektronske emisije,  fluks čestica koje dovode do sekundarne elektronske emisije (jona ili neutralnih čestica) i S je čeona površina katode. Dakle, merenjem vremena kašnjenja pri različitim vremenima relaksacije dobija se memorijska kriva iz koje se određuje vremenska evolucija čestica u postpražnjenju, kao i odgovarajući sudarni i transportni koeficijenti. U daljem tekstu će biti dat pregled memorijskih krivih izmerenih pri različitim uslovima, biće identifikovani procesi odgovorni za postojanje memorijskog efekta, a zatim će na osnovu analitičkih i numeričkih modela biti određeni odgovarajući koeficijenti. Pregled memorijskih krivih merenih na različitim naponima dat je na slici 5.1. Prikazane su memorijske krive merene na gasnoj cevi sa cilindričnim elektrodama prečnika cmD 6,0 rastojanju cmd 6,0 , pritisku Pap 300 , radnim naponima 600,500wU i V715 , struji pražnjenja AI g 500 i vremenu pražnjenja stg 1 . Zbog dugog trajanja merenja, memorijske krive su merene u opsegu vremena relaksacije od ms1 do s1 . Sa slike se može se uočiti da sa povećanjem radnog napona dolazi do smanjenja vremena kašnjenja proboja, ali se na svima uočavaju karakteristične oblasti, brzog porasta statističkog 66 vremena kašnjenja i standardne devijacije ( sd tt )( ) u ranoj i oblast sporijeg porasta tokom kasne relaksacije. Slika 5.1 Uporedni prikaz memorijskih kriva merenih na radnim naponima a) V500 , b) V600 i c) V715 i struji pražnjenja AI g 500 Pregled memorijskih krivih merenih na različitim strujama dat je na slici 5.2. Prikazane su memorijske krive merene na gasnoj cevi sa cilindričnim elektrodama prečnika cmD 6,0 rastojanju cmd 6,0 , pritisku Pap 300 , radnom naponu VUw 500 , strujama pražnjenja 400,250gI i A500 i vremenu pražnjenja stg 1 . Kao i u prethodnom slučaju, zbog dugog trajanja merenja, memorijske krive su merene u opsegu vremena relaksacije od ms1 do s1 . Na slici se mogu uočiti karakteristične oblasti na sve tri memorijske krive, kao i u slučaju poređenja po naponima. Na malim vremenima 67 relaksacije se uočava početni brzi rast statističkog vremena kašnjenja proboja, odnosno standardne devijacije ( sd tt )( ), nakon koga sledi sporiji rast vremena kašnjenja. Može se zaključiti da je promena struje gorenja dovela samo do pomeranja vrednosti vremena kašnjenja proboja. Slika 5.2 Uporedni prikaz memorijskih kriva merenih na radnom naponu VUw 500 i strujama pražnjenja a) A250 b) A400 i c) A500 Analizom memorijskih krivih merenih na različitim naponima i strujama, uočeno je da sa njihovim povećanjem dolazi do opadanja vremena kašnjenja, ali i da se karakteristični oblik memorijskih krivih ne menja. Na svim memorijskim krivim merenim na različitim naponima i strujama, uočavaju se oblasti brzog i sporog porasta vremena kašnjenja, na približno istim vremenima relaksacije. U oblasti od ms1 do ms100 uočava se brz porast statističkog vremena kašnjenja proboja, dok je u oblasti nakon ms100 porast vremena 68 kašnjenja sporiji. Kako bi se odredili dominantni procesi odgovorni za ovo ponašanje, izvršena je sledeća analiza. Izmerena je memorijska kriva na uzorku sa elektrodama od nerđajućeg čelika prečnika cmD 6,0 , za međuelektrodno rastojanje cmd 6,0 , na pritisku Pa300 , radnom naponu VUw 500 , struji pražnjenja AI g 300 i vremenu pražnjenja stg 1 u opsegu vremena relaksacije od ms1,0 do saturacione oblasti memorijske krive na oko min15 (slika 5.3). Ova memorijska kriva je izabrana zbog najoptimalnijih vrednosti vremena kašnjenja, dovoljno većih od rezolucije sistema i sa dominantnim statističkim vremenom kašnjenja u oblasti malih vremena relaksacije, što je pogodno za ispitivanje dominantnih procesa u ranom postpražnjenju. Slika 5.3 Memorijska kriva u vazduhu sa međuelektrodnim rastojanjem d=6 mm, radnim naponom Uw=500V, strujom pražnjenja Ig=300 A i vremenom pražnjenja tg=1s Sa slike se mogu uočiti tri karakteristične oblasti: oblast I sa eksponencijalnim porastom statističkog vremena ( )( ds tt  ), oblast II sa sporijim porastom u opsegu od 90 ms do oko 1000 s i saturaciona oblast iznad 1000 s. U prvoj oblast u opsegu od 1 ms do 90 ms dominira 69 eksponencijalni porast statističkog vremena kašnjenja ( )( ds tt  ). Ovaj porast se može objasniti iniciranjem proboja sekundarnom elektronskom emisijom jonima zaostalim iz prethodnog pražnjenja i eksponencijalnim vremenskim opadanjem njihovih koncentracija. U drugoj oblasti nakon 100 ms dominira sporiji porast statističkog vremena kašnjenja. U toj oblasti koncentracija jona je mala, tako da jedine čestice koje mogu da utiču na nastanak inicijalnih elektrona su neutralne aktivne čestice zaostale iz prethodnog pražnjenja. U oblasti oko 1000 s može se uočiti saturacija, koncentracija neutralnih aktivnih čestica je opala tako da inicijalni elektroni nastaju usled kosmičkog zračenja i prirodne radioaktivnosti okoline (pozadinsko zračenje, fon). Slična tendencija je uočena i na prethodno izmerenim memorijskim krivim pri drugačijim uslovima. U daljem tekstu je data detaljna analiza memorijske krive primenom prvo analitičkih, pa numeričkih modela. 5.2.1 Opadanje koncentracije naelektrisanih čestica u postpražnjenju u sintetičkom vazduhu Prva oblast memorijske krive pokazuje eksponencijalni porast statističkog vremena kašnjenja proboja. Kada se statističko vreme kašnjenja prikaže u semilogaritamskoj skali (slika 5.4) mogu se uočiti tri nagiba. Kako bi se odredilo poreklo tih nagiba, primenjen je analitički model. U oblasti od 1 do 90 ms još uvek su prisutni zaostali joni iz prethodnog pražnjenja. U tom slučaju najveću verovatnoću za produkciju inicijalnih elektrona ima jonsko-elektronska sekundarna elektronska emisija. Moguće objašnjenje je dato u radu Marković i dr. (1997), gde je eksponencijalni porast vremena kašnjenja pripisan difuziji jona na zidove suda tokom relaksacije. Naime, opadanja koncentracije usled difuzije dato je eksponencijalnom zavisnošću:  e0nn (5.2) gde je n koncentracija čestica, 0 n je početna koncentracija, a  je karakteristična frekvencija difuzionih gubitaka naelektrisanih čestica tokom relaksacije. Kako u relaciji za elektronski prinos figuriše koncentracija: SwnY ii (5.3) gde je iw brzina drifta jona, a S čeona površina katode može se uspostaviti veza između statističkog vremena kašnjenja proboja i elektronskog prinosa. Na osnovu relacija (5.2) i (5.3) 70 se dalje može uspostaviti veza između statističkog vremena kašnjenja i frekvencije difuzionih gubitaka naelektrisanih čestica tokom relaksacije pomoću sledeće relacije:            0 ln s s t t (5.4) gde je 0s t presek ekstrapolacije linearnog fita eksperimentalnih podataka sa vertikalnom osom kada je 0 . Kako se koeficijent difuzije može izraziti relacijom: 2efD , (5.5) to se linearizacijom statističkog vremena kašnjenja u funkciji vremena relaksacije mogu odrediti efektivni koeficijenti difuzije. Slika 5.4 Semilogaritamski prikaz statističkog vremena kašnjenja proboja u oblasti I memorijske krive, simboli su eksperimentalni podaci, a puna linija je fit relacijom 5.4 Sa slike 5.4 za prvi nagib frekvencija gubitaka iznosi s/68,1761  , odakle sledi da je efektivni koeficijent difuzije scmDef /85,220 2 1  . Iz drugog nagiba frekvencija gubitaka je 71 s/48,622  , a efektivni koeficijent difuzije je scmDef /10,78 2 2  . Konačno iz trećeg nagiba frekvencija gubitaka je s/27,143  , a efektivni koeficijent difuzije je /scmDef 2 3 17,84 . Ove promene nagiba mogu se objasniti promenom režima difuzije, od blisko ambipolarnog, preko tranzicionog režima do režima slobodne jonske difuzije. Ukoliko se dobijeni koeficijenti difuzije određeni iz analitičkog modela uporede sa vrednostima izmerenim drugim metodama (Spencer i dr., 1987; Dobrov i MacDonald, 1969) videće se generalno dobro slaganje. Naime, metodom mikrotalasne perturbacije koeficijent ambipolarne difuzije određen u sintetičkom vazduhu na pritisku od 133 Pa je scmDa /690 2 (Spencer i dr., 1987). Takođe, mikrotalasnom metodom u vazduhu na pritiscima u rasponu od 13,3 do 1330 Pa određen je proizvod koeficijenta ambipolarne difuzije i pritiska koji iznosi PascmpDef )/(917,0 2 ( PascmDef 133 na /122 2 ). Koeficijent difuzije određen iz trećeg nagiba po vrednosti odgovara slobodnoj difuziji jona. Slika 5.5 Semilogaritamski prikaz statističkog vremena kašnjenja proboja u oblasti I memorijske krive za rastojanje 0,6 cm, struji pražnjenja 250 A , vremenu pražnjenja 1s i za različite radne napone označene na slici 72 U istom opsegu vremena relaksacije izmereni su slični nagibi pri struji pražnjenja 250 A na različitim naponima (slika 5.5), što zaista ukazuje na smenu difuzionih režima. U daljoj analizi učinjen je pokušaj da se odredi o kojoj vrsti jona je reč na osnovu energije potrebne za sekundarnu elektronsku emisiju. Kako je izlazni rad nerđajućeg čelika eVe i 5,4 (Lide, 2009; Michaelson, 1977), jasno je da samo  2N jon sa energijom jonizacije eVEi 57,15 i  2O jon sa energijom jonizacije eVEi 5,12 mogu biti odgovorni za sekundarnu elektronsku emisiju. Ako se razmotri reakcija razmene naelektrisanja između  2N i molekula kiseonika (proces konverzije) sa koeficijentom brzine procesa scm /106 311 , može se zaključiti da će za vrlo kratko vreme celokupna koncentracija 2N preći u 2O . U ovom vremenskom intervalu uticaj metastabila je zanemarljiv, usled njihovog intenzivnog gašenja na atomima i molekulima kiseonika i azota (Guerra i dr., 1997; Gordiets i dr., 1995; Guerra i dr., 2001a). Dakle, može se zaključiti da je dominantni jon koji vrši sekundarnu elektronsku emisiju inicijalnih elektrona tokom rane relaksacije u vazduhu  2O jon. Stoga se brzi porast statističkog vremena kašnjenja proboja u vremenskom intervalu između 1 i 90 ms može objasniti gubicima usled difuzije 2O jona na zidove cevi. Ako se dobijeni koeficijent difuzije određen iz trećeg nagiba uporedi sa vrednošću za 2O jon scmDi /23 2 izračunatim Monte Karlo simulacijom u radu Bekstein i dr. (2008), Bekstein i dr. (2010) i Nelson i dr. (2003), vidi se da je ova vrednost nešto umanjena. Ovo se može objasniti uticajem neutralnih aktivnih stanja koja u toj oblasti memorijske krive već daju primetan doprinos elektronskoj emisiji. Slični nagibi uočeni su u više ponovljenih merenja i na drugim uslovima (slika 5.5). Kako bi se prethodne tvrdnje ispitale, razvijen je numerički model za opisivanje relaksacije naelektrisanih čestica i primenjen na prvu oblast memorijske krive. 5.2.2 Dvodimenzioni numerički model za oblast I memorijske krive u kojoj dominiraju naelektrisane čestice Za opisivanje relaksacije u sintetičkom vazduhu primenjen je dvodimenzioni model. Model se sastoji iz sistema difuzionih jednačina za razmatrane čestice sa uračunatim procesima njihove produkcije i gubitaka: 73 SnD t n    2 (5.6) gde n predstavlja koncentraciju čestica, D je koeficijent difuzije, a S je član koji sadrži produkciju i gubitke odgovarajućih čestica. Kako je cev na kojoj su vršena merenja cilindričnog oblika, najpogodnije je sistem jednačina rešavati u cilindričnim koordinatama: S z nn rr n r rr D t n                         2 2 2 2 2 11  . (5.7) Usled simetričnog oblika cevi, izvod po uglu jednak je nuli, pa se prethodna jednačina svodi na sledeći oblik: S z n r n r rr D t n                         2 21 . (5.8) Sistem jednačina je dalje rešavan pomoću metode konačnih razlika (metoda mreže). Primenjena je implicitna metoda diskretizacije čime je dobijen sistem algebarskih jednačina. Sistem je dalje rešavan SOR metodom (metoda sukcesivne nadrelaksacije). Zbog aksijalne simetrije, problem je moguće rešavati samo za četvrtinu cevi čime se računanje značajno ubrzava. U računanju je korišćena mreža sa 3030 čvorova, vremenskim korakom sdt 710 i prostornim cmdzdr 1,0 , kako bi bili zadovoljeni uslovi stabilnosti. Šema oblasti na kojoj su vršena izračunavanja prikazana je na slici 5.6. Slika 5.6. Šema oblasti na kojoj su vršena izračunavanja i primenjena mreža 74 U vazduhu je prisutan veliki broj procesa čije bi uključivanje u model učinilo računanje neizvodljivim. Zato je bilo potrebno izabrati procese koji imaju najznačajniji uticaj na iniciranje proboja. U prethodnom tekstu je pretpostavljeno da  2N i  2O mogu da dovedu do sekundarne emisije elektrona. Na njihovu koncentraciju u relaksaciji veliki uticaj imaju elektroni i joni  4N ,  4O i O zbog procesa rekombinacije i razmene naelektrisanja. Takođe, metastabilna stanja )(2 AN i )(2 aN  mogu značajno da utiču na koncentraciju  2N i  4N jona reakcijama asocijativne jonizacije tako da su i oni uključeni u model. Konačno, zbog njihovog značaja za kasnu relaksaciju, u model su uključeni azotni ( N ) i kiseonični ( O ) atomi. Kako se u vremenskom intervalu do 100 ms koncentracija N i O atoma ne menja značajno, njihove vrednosti mogu se smatrati približno konstantnim. Viša elektronski pobuđena stanja, kao i vibraciono pobuđena stanja nisu uzeta u obzir kako bi se vreme računanja svelo na razuman nivo (iako, strogo uzevši, mogu u nekim slučajevima značajno da utiču na postpražnjenje). Reakcije uključene u model date su u tabeli 2. Tabela 2. Reakcije uključene u model za postpražnjenje u vazduhu na niskom pritisku Br. Reakcija Koeficijent brzine reakcije (cm 3 /s, cm 6 /s) Ref. (R1) NNNe  2 5.0 7 300108.2           eT (Kossyi i dr., 1992) (R2) OOOe  2 eT 300 102 7 (Kossyi i dr., 1992) (R3) 24 2OOe   5.0 6 300104.1           eT (Kossyi i dr., 1992) (R4) 24 2NNe   5.0 6 300102           eT (Kossyi i dr., 1992) (R5) 2OeOO   10105  (Kossyi i dr., 1992) (R6) 2222 NOON   5.0 11 300106           gT (Kossyi i dr., 1992) (R7) 2422 2 NNNN   29105  (Kossyi i dr., 1992) 75 (R8) 2422 2 OOOO   2.3 30 300104.2           gT (Kossyi i dr., 1992) (R9) 2224 2NNNN   12116e101.2 gT  (Guerra i Loureiro, 1997) (R10) 2224 2NOON   10105.2  (Guerra i Loureiro, 1997) (R11) 2224 2OOOO   gT gT 50304 6 e 300 103.3            (Kossyi i dr., 1992) (R12) 22 NONO   5.0 7 300102           gT (Kossyi i dr., 1992) (R13) 22 OOOO   5.0 7 300102           gT (Kossyi i dr., 1992) (R14) 22 2NNNN  gT 500 34 e1027.8  (Kossyi i dr., 1992) (R15) 222 NONOO  gT 720 34 e1076.2  (Kossyi i dr., 1992) (R16) 22 2OOOO  63.0311045.2  gT (Kossyi i dr., 1992) (R17) eNANaN  422 )()'( 1110 (Guerra i Loureiro, 1995) (R18) eNaNaN  422 )'()'( 11105  (Guerra i Loureiro, 1997) (R19) ONOAN 2)( 222  121054.2  (Kossyi i dr., 1992) (R20) 2222 )()()( NCNANAN  10105.1  (Guerra i Loureiro, 1997) (R21) 222 2)( NNAN  18103  (Kossyi i dr., 1992) (R22) ),()( 2222 baONOAN  121029.1  (Kossyi i dr., 1992) (R23) )()( 22 DNNOOAN  12107  (Guerra i dr., 2001a) 76 (R24) 2222 )()'( NBNNaN  13109.1  (Guerra i Loureiro, 1997) (R25) ONOaN 2)'( 222  11108.2  (Kossyi i dr., 1992) Za modelovanje postpražnjenja najpre je potrebno odrediti početne koncentracije čestica tj. stacionarne vrednosti u električnom pražnjenju. Početne koncentracije čestica su izračunate primenom jednodimenzionog fluidnog modela za električno pražnjenje u sintetičkom vazduhu opisanog u prethodnoj glavi. U model su uključene sve čestice date u tabeli 2, izračunate su njihove koncentracije na prethodno definisanim uslovima i dobijeni su aksijalni profili koncentracija u međuelektrodnom prostoru (slika 5.7). Slika 5.7. Profili koncentracija čestica u stacionarnom stanju dobijeni modelovanjem tinjavog pražnjenja u sintetičkom vazduhu sa čeličnim elektrodama jednodimenzionim fluidnim modelom Sa slike se može uočiti da najveću koncentraciju imaju 2N i  2O joni, dok je koncentracija četvoro-atomskih jona 4N i  4O značajno manja. Iz tog razloga se četvoro-atomski joni u električnm pražnjenjima na niskim pritiscima mogu zanemariti pri modelovanju. 77 Koncentracija O jona je reda koncentracije elektrona, stoga se ne sme izostaviti pri modelovanju. Iz prethodnog razmatranja se može zaključiti da su dominantne čestice tokom proboja u vazduhu elektroni i  22 , ON i O joni. Kako se za modelovanje postpražnjenja koristi dvodimenzioni model, sledeći korak je izračunavanje početnih dvodimenzionih profila. U stacionarnom stanju tinjavog pražnjenja produkcija i gubici čestica su izjednačeni, pa se primenom dvodimenzionog modela za relaksaciju sa pretpostavljenim tačkastim izvorom između elektroda mogu izračunati stacionarni dvodimenzioni profili koncentracija čestica. Kako je cev na kojoj su vršena merenja takva da je zapremina cevi značajno veća od zapremine međuelektrodnog prostora (slika 2.1), može se uzeti da je koncentracija čestica unutar međuelektrodnog prostora približno konstantna i on smatrati tačkastim izvorom. Inicijalni dvodimenzioni profili dobijeni na ovaj način prikazani su na slici 5.8. Slika 5.8. Stacionarni a)radijalni i b) aksijalni profili koncentracija 2O jona u pražnjenju Pri uslovima niskog pritiska glavni izvor gubitaka je difuzija. Zato je sledeći korak u primeni modela određivanje režima difuzije i njenih varijacija tokom relaksacije. Na osnovu određenih efektivnih koeficijenata difuzije iz analitičkog modela može se videti da se radi o smeni režima sa bliskog ambipolarnoj na slobodnu difuziju i da tek na kraju oblasti nastaje slobodna difuzija jona. Za opisivanje prelaznog režima korišćena je sledeća relacija (Alis, 1956; Guerra i dr. 2001b): 78            0 2 0 2 / /   eea eee ase enD enD DD (5.9) gde je e e i a DD    koeficijent ambipolarne difuzije, en je koncentracija elektrona,   1222 )/()/405.2(  LR  je karakteristične difuziona dužina za cilindričnu geometriju cevi, e je pokretljivost elektrona, i je pokretljivost jona, 0 je dielektrična propustljivost vakuuma i e je elementarno naelektrisanje. Kada odnos karakteristične difuzione dužine  i Debajevog poluprečnika padne na 100/  D , iz ambipolarnog nastaje prelazni režim. Tada je efektivni koeficijent difuzije jona dat sledećom relacijom (Phelps, 1990):        i e ief T T DD 1 (5.10) gde je iD koeficijent slobodne difuzije, eT temperatura elektrona i iT temperatura jona (približno jednaka temperaturi gasa gT ). Dakle, za opisivanje smene difuzionih režima potrebno je poznavati zavisnost temperature elektrona od vremena relaksacije. Zbog nedostatka eksperimentalnih podataka za temperaturu elektrona u postpražnjenju u vazduhu, izvršena je njena procena. Evolucija temperature elektrona je data u radu Aleksandrov i dr. (2012a), gde je razmatrana relaksacija nakon nanosekundnog mikrotalasnog pražnjenja i uzeto ekstremno brzo opadanje za vreme relaksacije od oko 10 s . U datom radu su međutim, zanemarena vibraciona stanja, a samim tim i njihov uticaj na superelastično zagrevanje elektrona. Nakon tinjavog pražnjenja u vazduhu temperatura elektrona ne može da opadne za tako kratko vreme, jer metastabilna i vibraciona stanja molekula azota superelastičnim zagrevanjem usporavaju opadanje elektronske temperature. Uticaj superelastičnih sudara je ispitivan u eksperimentima u azotu (Guerra i dr., 2004) gde je utvrđeno da vibraciona stanja mogu značajno da utiču na raspodelu elektrona po energiji. Iako je uticaj metastabilnih i vibracionih stanja u vazduhu umanjen usled njihov gašenja u sudarima sa atomima i molekulima azota i kiseonika (Guerra i dr., 1997; Gordiets i dr., 1995; Guerra i dr., 2001a), ipak može značajno da utiče na temperaturu elektrona u postpražnjenju. Za opisivanje vremenskog opadanja temperature elektrona tokom relaksacije, korišćena je dvoeksponencijalna zavisnost: 79 sobnae TeTeTT    21 21 (5.11) gde je sobnaT sobna temperatura, 1T inicijalna elektronska temperatura, 2T vibraciona temperatura, a 1 i 2 su odgovarajuće konstante brzina opadanja temperature elektrona. Prvi član u relaciji (5.11) odgovara opadanju elektronske temperature usled superelastičnih sudara sa metastabilnim stanjima, dok je drugi član opadanje usled superelastičnih sudara sa vibracionim stanjima. Usled superelastičnog zagrevanja opadanje temperature elektrona je usporeno. Vreme raspada metastabilnih stanja u kolizionoj sredini je ocenjeno na desetak mikrosekundi, dok je vreme života vibracionih stanja oko 10 ms (oko dva puta manje nego u čistom azotu zbog gašenja sa atomima kiseonika). Početna elektronska temperatura je uzeta da je eVTe 10  na osnovu merenja pomoću plazmenih sondi u oblasti negativnog tinjanja u radu Lisovskiy i Yakovin (2000). Kako u relaciji za opadanje elektronske temperature figuriše vibraciona temperatura, bilo je potrebno odrediti njenu vrednost u stacionarnom tinjanju. Vibraciona temperatura je određena na osnovu snimanja spektra tinjavog pražnjenja na radnim uslovima (slika 5.9). Slika 5.9 Spektar tinjavog pražnjenja u sintetičkom vazduhu 80 Za određivanje vibracione temperature se koristi metoda relativnog odnosa intenziteta vibracionih traka. Metoda se sastoji u izračunavanju odnosa integraljenih vibracionih traka (Majstorović i dr., 2007). Kao gruba aproksimacija može se koristiti i maksimalni intenzitet trake (Cabannes i Chapelle, 1989). U ovom slučaju primenjene su obe metode i nađeno je dobro slaganje. Na osnovu relativnog intenziteta maksimuma kao i integrala (0-0) i (1-0) traka drugog pozitivnog sistema azota )( 32 uCN  - )( 3 2 gBN  , određena je vibraciona temperatura u stacionarnom stanju tinjavog pražnjenja koja približno iznosi KTv 2400 . Iako ova temperatura nije vibraciona temperatura osnovnog stanja koje ima najveći uticaj na zagrevanje elektrona, dobijena vrednost se može uzeti kao gruba procena (Novgorodov i dr., 1970). Na kraju je potrebno opisati i prelazak na slobodnu difuziju, kada temperatura elektrona opadne na nivo blizu sobne. Da bi fitovanje eksperimentalnih podataka bilo moguće, pretpostavljeno je da se efektivni koeficijent difuzije menja proporcionalno odnosu karakteristične difuzione dužine i Debajevog poluprečnika DefD /~  . Kao vrednosti koeficijenata slobodne difuzije jona uzete su ekstrapolirane vrednosti iz radova Bekstein i dr. (2008), Bekstein i dr. (2010) i Nelson i dr. (2003), dok je za elektrone korišćena vrednost dobijena iz programa Bolsig+ (Hagelaar i Pitchford, 2005). Slika 5.10. Vremenska evolucija koncentracije elektrona, jona i metastabilnih stanja nakon prekida tinjavog pražnjenja u sintetičkom vazduhu 81 Primenom numeričkog modela dobijene su vremenske evolucije koncentracija čestica nakon prekida tinjavog pražnjenja (slika 5.10). Na slici 5.10 se uočava nagli pad koncentracije azotnih jona do desetak mikrosekundi nakon prekida pražnjenja na osnovu čega se može zaključiti da je dominantni proces u postpražnjenja u vazduhu konverzija  2N i  4N jona u  2O jone (reakcije 6-10 u tabeli 2). Slično opadanje koncentracije azotnih jona uočeno je u radu Aleksandrov i dr. (2012a) dok je u knjizi Capitelli i dr. (2000) data šema jonske kinetike u vazduhu koja pokazuje konverziju azotnih u kiseonične jone. Sa slike 5.10 se takođe može uočiti da su koncentracije  2O i  4O jona povezane (reakcije 8 i 11 u tabeli 2). Koncentracije metastabilnih stanja )( 32 uAN i )( 1 2  uaN veoma brzo opadaju usled gašenja u sudarima sa 2N , 2O i O atomima (R19-R25), čime se potvrđuje ranija pretpostavka da je njihov uticaj na koncentraciju 2N i  4N jona zanemarljiv. Koncentracija O jona je povezana sa koncentracijom elektrona tako da nakon nestanka elektrona i njihova koncentracija opada. Produkcija molekularnog  2O jona je dominantna za slaba polja (Becker i dr., 2005), međutim u ovoj disertaciji on nije uzet u razmatranje jer nema veliki uticaj na nastanak proboja. Kao što je prethodno pokazano, dominantni jon u postpražnjenju u vazduhu je 2O jon. Elektronski prinos izazvan jonima je računat na osnovu sledeće relacije: t x SnCY ciI     (5.12) gde je IY elektronski prinos,  koeficijent sekundarne elektronske emisije, in koncentracija  2O jona, CS čeona površina katode, x i t su prostorni, odnosno vremenski korak, a C konstanta proporcionalnosti koja uključuje i verovatnoću emisije elektrona preko adsorbovanih slojeva na katodi. Naime, prema adsorpcionom modelu iz rada Hays i dr. (1974), na katodi se prvo formira adsorbovani sloj atoma, a preko njega pseudo-sloj molekula osnovnog gasa. Najbolji fit u prvih 40 ms relaksacije dobijen je primenom temperaturno zavisnog koeficijenta difuzije (5.11), dok za relaksaciona vremena od 40 do 90 ms pored jonsko-elektronskog mehanizma iniciranja postoji i uticaj neutralnih aktivnih čestica. U tom slučaju, jedino zbirom jonskog doprinosa i doprinosa od strane neutralnih aktivnih čestica je moguće fitovanje eksperimentalnih podataka (puna linija na slici 5.11). 82 Nakon 100 ms iniciranje jonima je zanemarljivo i dominantni mehanizam iniciranja je elektronska emisija izazvana neutralnim aktivnim česticama. Slika 5.11. Eksperimentalni podaci u prvoj oblasti fitovani numeričkim modelom gde je isprekidanom linijom predstavljen elektronski prinos izazvan jonima, a punom linijom zbir elektronskih prinosa izazvanih jonima i neutralnim aktivnim česticama 5.2.3 Uticaj neutralnih aktivnih čestica na postpražnjenje u vazduhu Druga oblast na memorijskoj krivoj nakon vremena relaksacije od 100 ms karakteriše se sporijim porastom vremena kašnjenja proboja. Kao što je već rečeno, na vremenima relaksacije većim od 100 ms uticaj jona je zanemarljiv, tako da mehanizam iniciranja mora da uključuje neutralne aktivne čestice. U ranijim istraživanjima u azotu (Marković i dr., 1996) memorijski efekat tokom kasne relaksacije objašnjen je površinskom rekombinacijom atoma azota. Naime, atomi azota nestaju u procesu površinske rekombinacije na zidovima suda za pražnjenje, a inicijalni elektroni se emituju na osnovu energije rekombinacije atoma azota na katodi izrađenoj od gvožđa. Takođe, kasni memorijski efekat u postpražnjenju u helijumu, argonu i neonu (Kudrle i dr., 1999; Marković i dr., 2005; 2007b) objašnjen je površinskom rekombinacijom atoma azota prisutnih u vidu nečistoća. Nedavno je ispitivanjem 83 postpražnjenja izazvanog radiofrekventnim (RF) impulsima u argonu sa doziranim primesama azota ponovljena memorijska kriva i direktno potvrđen navedeni mehanizam emisije (Huo i dr., 2014). Dakle, kako je koncentracija azota u sintetičkom vazduhu višestruko veća, pretpostavljeno je da sličan mehanizam može da objasni i memorijski efekat u vazduhu. Energija ekscitacije )( 32 uAN metastabila koji nastaju na površini prilikom rekombinacije atoma azota je eVEexc 2,6 (Harteck i dr., 1960; Reeves i dr., 1960; Manella i dr., 1960; Manella i dr., 1961), a energija rekombinacije atoma azota je eVEr 78,9 (Braithwaite, 2000), i značajno su veći od izlaznog rada materijala katode. Stoga je mehanizam emisije na osnovu površinske rekombinacije atoma azota energijski moguć i mnogo je povoljniji u odnosu na površinsku rekombinacija atoma kiseonika ( eVEr 11,5 ) ili azota (II) oksida NO ( eVEr 50,6 ) (McGowan, 1981). Dakle, kako je izlazni rad nerđajućeg čelika eVe i 5,4 (Lide, 2009; Michaelson, 1977) mnogo je veća verovatnoća za sekundarnu elektronsku emisiju rekombinacijom atoma azota nego za ostale čestice. U daljem tekstu je analizirana druga oblast memorijske krive na osnovu navedenog mehanizma emisije i primenjen analitički model iz rada Marković i dr. (1996). U oblasti od 100 ms do oko 6 s prikazanoj na slici 5.11 može se uočiti sporiji rast vremena kašnjenja. Ako se kvadratni koren vremena kašnjenja prikaže kao linearna funkcija od vremena relaksacije ( )(ftd  ), uočiće se njegova linearizacija (slika 5.12). Dakle, na osnovu analitičkog modela (Marković i dr., 1996) može se pretpostaviti postojanje nekog procesa drugog reda. U navedenom modelu je, takođe, vreme kašnjenja proboja povezano sa elektronskim prinosom, a samim tim i sa koncentracijom inicijalnih čestica, u ovom slučaju atoma azota. Na osnovu toga se mogu izračunati koeficijenti površinske rekombinacije:  PVk k tt c ef NW dd 2 0  , (5.13) gde je NWk koeficijent rekombinacije na staklu:   00 0 1 Nt tt k d dd NW   , (5.14) efk2 je efektivni koeficijent rekombinacije na katodi 84   PVNt k cd ef 2 00 2 1  , (5.15) CV je zapremina međuelektrodnog prostora,  0N je inicijalna koncentracija atoma azota, 0dt je presek ekstrapolacije linearnog fita sa vertikalnom osom i P je verovatnoća proboja (Marković i dr., 1994). Kako se radi o niskom pritisku gasa, zapreminska rekombinacija atoma azota je zanemarljiva, pa se površinska rekombinacija drugog reda atoma azota na površini stakla i nerđajućem čeliku nameće kao objašnjenje. Slika 5.12. Kvadratni koren vremena kašnjenja proboja u funkciji vremena relaksacije. Simboli su eksperimentalni podaci dok je linija linearni fit. Za vremena veća od 6 s, vreme kašnjenja postaje linearna funkcija od vremena relaksacije (slika 5.13). Ovakva zavisnost ukazuje na postojanje procesa rekombinacije prvog reda na katodi. Na osnovu izraza za elektronski prinos može se uspostaviti veza između koncentracije atoma i vremena kašnjenja, odakle slede koeficijenti rekombinacije:  PVk k tt c ef NW dd 1 0  , (5.16) 85 gde je NWk koeficijent rekombinacije na staklu:   00 0 1 Nt tt k d dd NW   , (5.17) efk1 je efektivni koeficijent rekombinacije na katodi   PVNt k cd ef 00 1 1  , (5.18) CV je zapremina međuelektrodnog prostora,  0N je inicijalna koncentracija atoma azota, 0dt je presek ekstrapolacije linearnog fita sa vertikalnom osom i P je verovatnoća proboja. Slika 5.13. Linearna zavisnost vremena kašnjenja proboja u funkciji vremena relaksacije. Simboli su eksperimentalni podaci dok je linija linearni fit. Smena mehanizama koja se uočava na vremenima relaksacije većim od 6 s može se objasniti opadanjem koncentracije atoma azota. Naime, dok je koncentracija atoma azota velika dominira drugi red rekombinacije na čeliku, a kada koncentracija atoma opadne prvi red rekombinacije postaje dominantan. 86 U cilju potvrde teze da je za kasnu relaksaciju odgovorna površinska rekombinacija atoma azota, primenjen je dvodimenzioni numerički model za kasnu relaksaciju. Model se sastoji iz difuzione jednačine i površinskih procesa gubitaka čestica: površSND t N    ][ ][ 2 (5.19) gde je  N koncentracija atoma azota, D je koeficijent difuzije atoma azota u vazduhu i površS su površinski gubici. U model je uključen gubitak usled rekombinacije na staklu, dok su gubici na elektrodama zanemarljivi zbog mnogo manje površine elektroda u odnosu na površinu stakla (slika 2.1), ali su uključeni u relaciji za izračunavanje prinosa. Gubici usled zapreminske rekombinacije (reakcija 14 u tabeli 2) su zanemarljivi na niskom pritisku u poređenju sa površinskim procesima, tako da su izostavljeni iz modela. Kao i u slučaju rane relaksacije, jednačina je rešavana u cilindričnim koordinatama i to samo za četvrtinu cevi. Diferencijalna jednačina je diskretizovana primenom metoda konačnih razlika (metoda mreže) i primenom eksplicitne šeme. Prostorna šema je bila 6060 tačaka u mreži sa vremenskim korakom sdt 610 i prostornim koracima cmdzdr 05,0 kako bi bio zadovoljen CFL (Kurant-Fridrih-Levi) kriterijum stabilnosti. Koeficijent difuzije je određen na osnovu relacije iz rada Debal i dr. (1998) zasnovane na teoriji Čepmen-Enskog. Slika 5.14 Stacionarni a)radijalni i b) aksijalni profili koncentracija atoma azota u pražnjenju Kao i u slučaju rane relaksacije, inicijalni dvodimenzioni profili određeni su primenom dvodimenzionog modela gde je pražnjenje u međuelektrodnom prostoru uzeto kao tačkasti izvor (slika 5.14). Pošto je promena koncentracije atoma azota u ranoj relaksaciji 87 zanemarljiva, za početnu koncentraciju u kasnoj relaksaciji uzeta je vrednost izračunata iz jednodimenzionog modela   3120 104  cmN . U literaturi se obično usvaja prvi red rekombinacije na staklu i elektrodama (Kutasi i Loureiro, 2007). Kako bi proverili da li samo prvi ili samo drugi red rekombinacije atoma azota na površini borosilikatnog stakla i elektroda od nerđajućeg čelika mogu da opišu eksperimentalne podatke, primenjen je numerički 2D model za postpražnjenje. Primenom numeričkog modela dobijena je promena elektronskog prinosa u postpražnjenju sa različitim izborom reda rekombinacije atoma azota na površinama stakla i metala elektroda (slika 5.15). Slika 5.15. Fitovanje eksperimentalnih podataka primenom površinske rekombinacija atoma azota prvog i drugog reda Najpre je razmatran prvi red rekombinacije atoma azota na zidu cevi za pražnjenje. Rešavana je sledeća diferencijalna jednačina: ][][ ][ 2 NND t N NW   (5.20) 88 gde je NW koeficijent površinske rekombinacije atoma azota na zidovima cevi (borosilikatnom staklu), dok je elektronski prinos računat na osnovu sledeće relacije: 01 YYY  (5.21) koja uključuje elektronski prinos usled rekombinacije prvog reda na elektrodama t x SNY cE ef    ][11  (5.22) i 0Y doprinos pozadinskog zračenja. Sa slike se može videti da prvi red rekombinacije na staklu i metalu značajno odstupa od eksperimenta. Zato je razmatran drugi red rekombinacije primenom 2D modela. Rešavana je sledeća diferencijalna jednačina: 22 ][][ ][ NND t N NW   (5.23) gde je NW koeficijent površinske rekombinacije na zidovima cevi (borosilikatnom staklu), dok je elektronski prinos računat na osnovu sledeće relacije: 02 YYY  (5.24) koja uključuje elektronski prinos usled rekombinacije drugog reda na elektrodama t x SNY cE ef    2 22 ][ . (5.25) Sa slike se može videti da se varijacijom koeficijenata rekombinacije može dobiti dobro slaganje u prvom delu krive, u opsegu u kome je analitički model pokazao postojanje rekombinacije drugog reda. Kako bi se postiglo fitovanje eksperimenta, uzeti su u obzir prinosi usled rekombinacije i drugog i prvog reda, kao i doprinos pozadinskog zračenja: 012 YYYY  , (5.26) gde je prinos drugog reda rekombinacije računat na osnovu sledeće relacije: t x SNY cE ef    2 22 ][ , (5.27) a prinos prvog reda na osnovu relacije: 89 t x SNY cE ef    ][11  , (5.28) gde je 0Y prinos u saturacionoj oblasti izazvan pozadinskim zračenjem, EN ][ je koncentracija atoma azota u graničnim tačkama mreže uz površinu katode, a ef 2 i ef 1 su efektivni koeficijenti rekombinacije drugog, odnosno prvog reda (Marković i dr., 1996). Slika 5.16. Eksperimentalni podaci fitovani na osnovu i numeričkog modela gde je isprekidana linija prinos jona, tačkasta linija prinos atoma azota, a puna linija zbir prinosa Najbolji fit eksperimentalnih podataka je postignut za sledeće vrednosti koeficijenata rekombinacije: koeficijent drugog reda rekombinacije na borosilikatnom staklu scmNW /104 311 , efektivni koeficijent rekombinacije drugog reda na nerđajućem čeliku scmef /1086.1 3252  i efektivni koeficijent rekombinacije prvog reda na nerđajućem čeliku s ef /1006.1 141  . Efektivni koeficijenti u sebi sadrže i verovatnoću da nastali elektron bude emitovan preko adsorbovanog monosloja atoma na površini katode i preko njega adsorbovanog pseudo-sloja molekula osnovnog gasa, prema modelu iz rada Hays i dr. (1974). Sa slike 5.16 se dakle može videti da je drugi red rekombinacije dominantan u oblasti 90 do 6 s ( 12 YY  ) dok je koncentracija atoma azota još uvek visoka, a nakon toga prvi red rekombinacije postaje dominantan ( 21 YY  ) sve do saturacione oblasti memorijske krive. Jednostavnom analizom prinosa: ef E ef cE ef cE ef I II N t x SN t x SN Y Y 1 2 1 2 2 ][ ][ ][           (5.29) može se videti da je kritična koncentracija atoma azota kada su prinosi izjednačeni 310107,5][  cmN E . Ovim je potvrđena pretpostavka o prelazu drugog reda procesa površinske rekombinacije atoma azota u prvi red usled opadanja koncentracije, izneta u prethodnoj analizi primenom analitičkog metoda. Na osnovu toga, postojanje rekombinacije prvog reda u eksperimentima sa protočnim postpražnjenjem (Kutasi i Loureiro, 2007) može se objasniti malom koncentracijom atoma azota. 91 6. Zaključak U disertaciji su predstavljeni rezultati dobijeni merenjima vremena kašnjenja proboja u sintetičkom vazduhu i analizirani primenom statističkih i numeričkih modela za električno pražnjenje i postpražnjenje. Merenja su urađena na više uzoraka sa elektrodama izrađenim od različith materijala. Za analizu procesa u električnim probojima, pražnjenju i postpražnjenju u vazduhu primenjena je metoda merenja vremena kašnjenja proboja i podržana drugim dostupnim metodama. Ova metoda je korisna u proučavanju stohastičkih probojnih procesa i procesa tokom relaksacije i na osnovu nje su identifikovani dominantni procesi i određeni odgovarajući koeficijenti. Merenjima vremena kašnjenja pri različitim uslovima (radnim naponima, strujama tinjanja, vremenima relaksacija, sa različitim elektrodama) dobijene su raspodele vremena kašnjenja proboja. Za opisivanje statističkog vremena kašnjenja proboja u literaturi su do sada korišćene raspodele zasnovane na Poasonovoj, odnosno eksponencijalnoj raspodeli za slučaj retkih događaja. Kako je uočena pojava Gausove raspodele za kratka vremena relaksacije (kada je prejonizacija velika), pretpostavljeno je da je to posledica velikog elektronskog prinosa. Zato je u ovoj disertaciji, primenom de Moavr-Laplasove teoreme, dat prelaz sa binomne raspodele, na Gausovu raspodelu statističkog vremena kašnjenja, za slučaj velikih elektronskih prinosa. Ovime su raspodele statističkog vremena kašnjenja uopštene za oba slučaja, za male elektronske prinose tj. slučaj retkih događaja i slučaj velikih elektronskih prinosa. Za statističko opisivanje vremena kašnjenja primenjene su Gausove, mešovite Gaus- eksponencijalne i eksponencijalne raspodele koje su zasnovane na binomnoj raspodeli nastanka inicijalnih elektrona i određeni su parametri raspodela i elektronski prinosi. Izmerene su, takođe, Gausova, mešovita Gaus-eksponencijalna i eksponencijalna raspodela i modelovane su primenom Monte Karlo simulacije. Primenom Monte Karlo simulacije ukoliko su poznati parametri raspodele mogu se simulirati raspodele vremena kašnjenja proboja, što je veoma korisno u slučajevima kada direktna merenja nisu moguća (npr. vreme kašnjenja se može meriti direktno, ali ne i statističko vreme kašnjenja i vreme formiranja pražnjenja). Kako se za opisivanje statističkog vremena kašnjenja često koristi Vejbulova raspodela, zasnovana na Poasonovoj raspodeli za retke i nezavisne događaje, kako bi se 92 izvršilo poređenje sa raspodelama zasnovanim na binomnoj raspodeli elektrona primenjen je Akaikeov informacioni kriterijum. Nađeno je da u određenim slučajevima Vejbulova raspodela nekada bolje opisuje eksperimentalne podatke, ali pošto su Gausova, mešovita Gaus-ekspoencijalna i eksponencijalna raspodele fizički zasnovane i kako se iz njih mogu odrediti fizički korisne informacije kao što je npr. elektronski prinos, pokazana je opravdanost njihovog korišćenja. Razmatrane su mešovite raspodele statističkog vremena kašnjenja. Pojava mešovitih raspodela ukazuje na postojanje dve ili više čestica ili mehanizama koji dovode do električnog proboja. U ovoj diserrtaciji mešovite raspodele su uopštene i izvedena je odgovarajuća relacija za elektronski prinos. Dalje je ovaj model priemenjen na eksperimentalne podatke. U merenjima na gasnim cevima sa elektrodama od ugljeničnog čelika dobijene su Gausove i mešovite Gaus-eksponencijalne raspodele. Pojava Gausove raspodele ukazuje na postojanje uvećanog elektronskog prinosa dok pojava mešovite rapsodele ukazuje na dva inicirajuća mehanizma. Kako bi se identifikovao mehanizam koji dovodi do pojave ovih raspodela i uvećanja prinosa, izvršeno je njihovo poređenje sa rezultatima dobijenim na uzorku sa elektrodama od nerđajućeg čelika. Za ovaj uzorak dobijene su eksponencijalne raspodele. Utvrđeno je da postoji veza između materijala od koga su izrađene elektrode u uzorcima na kojima su vršena merenja i pojave ovih raspodela. Kako su cevi na kojima su vršena merenja identičnog oblika, sa identičnom geometrijom i istim gasom, zaključeno je da je pojava Gausovih i mešovitih raspodela posledica uvećanja elektronskog prinosa zbog razlike u površinama. Ovo je takođe potvrđeno primenom dvofaktorske analize disperzije. Zato je, dalje, urađena analiza površine elektroda primenom skening elektronske mikroskopije (SEM-a), energijske diperzione rendgenske spektroskopije (EDX-a) i mikroskopije međuatomskih sila (AFM-a). Na SEM i EDX snimcima nađena je karakteristična granulasta stuktura na površini katode, dok je EDX pokazao postojanje kiseonika na površini. Nasuprot tome, SEM snimci su pokazali da uzorak sa elektrodama od nerđajućeg čelika ima relativno ravnu površinu, bez granulastih struktura, dok na EDX spektru nije nađena linija kiseonika. Na osnovu ovih merenja, nađeno je da je povećana emisija posledica nastanka oksida na elektrodama izrađenim od ugljeničnog čelika. Zaključeno je da je pojačana emisivnost posledica uvećane efektivne površine i oksida gvožđa na kome se mogu zadržati površinska naelektrisanja. 93 Veliki problem pri merenju vrmena kašnjenja je to što se ne mogu odvojeno meriti statističko vreme kašnjenja i vreme formiranja pražnjenja. Za vreme formiranja pražnjenja koriste se aproksimacije zasnovane na minimalnim vrednostima ukupnog vemena kašnjenja. Naime, ukoliko se radi veći broj merenja, u bar jednom slučaju će doći do trenutog iniciranja proboja, kada je statističko vreme kašnjenja jednako nuli, odnosno ukupno vreme kašnjenja je jednako vremenu formiranja pražnjenja. Ova pretpostavka može biti pogrešna za slučajeve kada se u raspodeli pojave netipični podaci koji odstupaju od raspodele (autlajeri). Zato je pre aproksimacije vremena formiranja pražnjenja minimalnom vrednošću vremena kašnjenja, potrebno primeniti testiranje na postojanje autlajera. U disertaciji je dat primer testiranja raspodele vremena kašnjenja na postojanje autlajera primenom modifikovanog Tompsonovog tau testa. Kako bi se prevazišao problem određivanja vremena formiranja pražnjenja, u disertaciji je predložena nova metoda za njegovo određivanje. Metoda se sastoji u merenju velikog broja podataka u obliku serija, gde je minimalna vrednost iz svake serije uzeta kao jedna vrednost vremena formiranja pražnjenja. Na ovaj način, iz dovoljnog broja merenja dobijena je raspodela vremena formiranja pražnjenja. Zaključeno je da se vrednosti dobijene na ovaj način i vrednosti dobijene kao minimalna vrednost vremena kašnjenja su približno jednake. Zaključeno je da kada je moguće uraditi veliki broj merenja, bolje koristiti određivanje raspodele vremena formiranja pražnjenja iz velikog broja serija, dok kada nije moguće primeniti ovu metodu, može se koristiti aproksimacija minimalnom vrednošću vremena kašnjenja, ako se pre toga utvrdi da data vrednost nije autlajer. Zatim je data analiza naponske zavisnosti vremena formiranja pražnjenja koja je fitovana relacijom za slučaj elektronegativnih gasova. Na osnovu nje određen je koeficijent zahvata cm/15,0 , koji je uvećan u odnosu na podatke iz literature. Na kraju je predložena metoda za određivanje brzine drifta (usmerenog kretanja u pravcu polja) dominantnog jona. na osnovu vremena formiranja pražnjenja. U slučaju velikog elektronskog prinosa, vreme formiranja pražnjenja teži vremenu preleta jona od anode ka katodi, što se može iskoristiti za određivanje brzine drifta dominantnog jona. Ovo je ilustrovano merenjima na malim vremenima relaksacije i velikim strujama koja daju približne vrednost brzine drifta i dobro opisuju njihovu zavisnost od napona. U disertaciji je razmatrano postpražnjenje u sintetičkom vazduhu primenom metode vremena kašnjenja proboja. Najpre je dat pregled merenja memorijskih krivih izmerenih pri različitim radnim naponima i strujama pražnjenja. Nađeno je da promena uslova utiče samo 94 na transliranje memorijske krive dok su karakteristične oblasti sa brzim i sporijim porastom vremena kašnjenja mogu uočiti pri svim uslovima. Izabran je reprezentativni uzorak memorijske krive na kome je vršena analiza procesa koji dovode do pojave datih nagiba. Memorijska kriva je merena za interval vremena relaksacije u opsegu od 1 ms do oko 15 minuta. Na memorijskoj krivoj su uočene tri karakteristične oblasti, oblast eksponencijalnog porasta statističkog vremena kašnjenja, oblast sporijeg porasta vremena kašnjenja i saturaciona oblast sa približno konstantnim vremenom kašnjenja. Pretpostavljeno je da je prva oblast određena zaostalim jonima iz prethodnog pražnjenja, da su u drugoj oblasti dominantne neutralne aktivne čestice (atomi azota) i da saturaciona oblast nastaje zbog konstantnog elektronskog prinosa pozadinskog zračenja usled prirodne radioaktivnosti okoline i kosmičkog zračenja. Najpre je data analiza prve oblasti u opsegu vremena relaksacije od 1ms do 100 ms. Ona je objašnjena difuzionim gubicima dominantnih jona odgovornih za sekundarnu elektronsku emisiju inicijalnih elektrona. Prikazom ove oblasti u polulogaritamskoj skali uočena su tri nagiba. Pojava ovih nagiba objašnjena je promenom režima difuzije, od režima bliskog ambipolarnom do režima slobodne jonske difuzije. Iz nagiba su određeni efektivni koeficijenti difuzije, koji u poređenju sa koeficijentima difuzije određenim drugim metodama pokazuje dobro slaganje. Na osnovu analize koeficijenata brzine reakcija i analize energija jona koji mogu da vrše sekundarnu elektronsku emisiju, zaključuje se da je dominantni jon u ovoj oblasti 2O jon. Naime, usled intenzivne konverzije  2N i  4N jona u  2O jon, koncentracija prethodnih opada za vrlo kratko vreme. Kako metastabilna stanja mogu da utiču na koncentraciju 2N i  4N jona razmatran je i njihov doprinos. Usled njihovog izraženog gašenja u sudarima sa atomima azota i kiseonika, kao i molekulima kiseonika, njihova koncentracija brzo opada pa je zaključeno da je njihov uticaj zanemarljiv. Kako bi proverili prethodnu analizu, razvijen je 2D numerički model za relaksaciju u sintetičkom vazduhu. Model se sastoji iz difuzione jednačine za dominantne čestice, sa članom koji uključuje njihovu produkciju i gubitke. Sistem diferencijalnih jednačina je rešavan primenom metode konačne razlike (metoda mreže). Primenjen je implicitni metod, čime je dobijen sistem običnih jednačina. Sistem jednačina rešavan je primenom SOR metode. U modelu su razmatrane dominantne čestice koje mogu da utiču na produkciju inicijalnih elektrona i to 2N ,  2O ,  4N ,  4O , O , )( 32 uAN , )( 1 2  uaN , N i O sa 25 procesa. Iz 1D fluidnog modela određene su inicijalne koncentracije. Praćena je promena režima difuzije od 95 ambipolarnog, preko prelaznog do režima slobodne jonske difuzije. Na osnovu promene koncentracije određene iz modela, računat je efektivni elektronski prinos. Primenom temperaturne zavisnosti efektivnog koeficijenta difuzije od odnosa karakteristične difuzione dužine i Debajevog radijusa, fitovan je eksperimentalno određeni elektronski prinos u prelaznom režimu. Opadanje temperature elektrona je opisano dvoeksponencijalnom zavisnošću od vremena, usled superelastičnog zagrevanja elektrona u sudarima sa metastabilnim i vibraciono pobuđenim stanjima. Dobro slaganje sa eksperimentom potvrđuje pretpostavke iz analitičkog modela da je dominantni jon u ranom postpražnjenju u vazduhu  2O jon. U disertaciji je zatim prikazana analiza druge oblasti memorijske krive. Tu su uočene dve oblasti od 100 ms do oko 6 s i od 6 s do saturacije na oko 1000 s. Zavisnost kvadratnog korena vremena kašnjenja u funkciji vremena relaksacije linearizuje se na grafiku u oblasti od 100 ms do oko 6 s. Na osnovu analitičkog modela, zaključuje se da je dominantni proces opadanja koncentracije aktivnih čestica drugog reda . Kako su za geometriju cevi na kojoj su vršena merenja zapreminski gubici zanemarljivi, zaključeno je da se radi o površinskom procesu drugog reda. Na osnovu analize energije rekombinacije utvđeno je da se radi o površinskoj rekombinaciji atoma azoa na zidovima cevi. Druga oblast od 6 s do saturacije na oko 1000 s je linearna funkcija vremena relaksacije, što ukazuje na postojanje procesa prvog reda. Promena reda dominantnog procesa je objašnjena smanjenjem koncentracije atoma azota. Kako bi se potvrdile prethodne pretpostavke, razvijen je 2D numerički model za kasno postpražnjenje. Kao i za rano postpražnjenje, rešavana je difuziona jednačina sa uključenim gubicima. Kako se u literaturi najčešće navodi rekombinacija prvog reda atoma azota, testirane su sve moguće kombinacije procesa različitog reda. Na osnovu izračunatih koncentracija nađeni su efektivni elektronski prinosi za prvi i drugi red površinske rekombinacije na čeliku. Na osnovu njih je zaključeno da samo njihov zbir može korektno da opiše eksperimentalne podatke. Ovo potvrđuje raniju pretpostavku da do smene reda dominantnog procesa površinske rekombinacije dolazi usled opadanje koncentracije atoma azota. Iz modela je takođe određen koeficijent površinske rekombinacije atoma azota drugog reda na borosilikatnom staklu. Dakle, rezultati ove disertaciji su sledeći: -generalizovane su mešovite raspodele statističkog vremena kašnjenja i izveden je odgovarajući efektivni elektronski prinos, 96 -objašnjena je pojava mešovitih raspodela u merenjima statističkog vremena kašnjenja u sintetičkom vazduhu, -predložena je metoda za određivanje vremena formiranja pražnjenja na osnovu merenja velikog broja serija, -određen je koeficijent zahvata elektrona u sintetičkom vazduhu na osnovu fitovanja naponske zavisnosti vremena formiranja pražnjenja, -predložena je metoda za određivanje brzine drifta jona na osnovu merenja vremena formiranja pražnjenja, -analizirano je rano postpražnjenje u sintetičkom vazduhu i primenom analitičkog modela određeni su efektivni koeficijenti difuzije, -razvijen je 2D model za rano postpražnjenje, koji je rešavan primenom metode konačnih razlika, i izračunata je vremenska evolucija koncentracija aktivnih čestica u postpražnjenju na osnovu kojih je fitovan eksperimentalno određeni efektivni elektronski prinos, -analizirano je kasno postpražnjenje u sintetičkom vazduhu i primenom analitičkog modela određen je red dominantnih procesa i pokazano je da se radi o površinskoj rekombinaciji atoma azota i - razvijen je 2D model za kasno postpražnjenje, koji je zatim rešavan primenom metode konačnih razlika, izračunata je vremenska evolucija koncentracija atoma azota u postpražnjenju na osnovu kojih je fitovan eksperimentalni efektivni elektronski prinos i određen koeficijent površinske rekombinacije atoma azota na borosilikatnom staklu. 97 7. Prilog Kako neki složeniji problemi nisu analitički rešivi, mora se preći na njihovo numeričko rešavanje (Ames, 1977). Pod numeričkim rešavanjem diferencijalnih jednačina podrazumeva se približno rešavanje bazirano na računanju na osnovu poznatih vrednosti funkcije u određenim tačkama. Numeričke metode mogu biti diskretne i relaksacione. Kod diskretnih metoda potrebno je diskretizovati domen i u poznatim tačkama rešavati problem. Najčešće primenjivane diskretne numeričke metode za rešavanje parcijalnih jednačina su metoda mreža (metoda konačnih razlika), metoda konačnih elemenata i metoda konačnih zapremina. Od relaksacionih metoda koristi se metoda Furije transformacije, s tim što nije pogodna za primenu u našem slučaju. Metoda mreža predstavlja numerički metod kod koje su izvodi zamenjeni konačnim razlikama (Ames, 1977). Takođe, i prostor je diskretizovan kako bi bio dobijen niz vrednosti za funkciju. Ova metoda je prvi put primenjena još od strane Ojlera 1768. godine, ali je dalji razvoj čekala do početka dvadesetog veka. Runge je 1908. razmatrao sisteme eliptičkih diferencijalnih jednačina na koje je primenio metod konačne razlike (metod mreže). Ričardson je 1910. godine prvi objavio rad o iterativnoj primeni konačnih razlika u rešavanju vremenski promenljivih problema. Kasnije je u radovima Kuranta, Fridrihsa i Levija razmatrana stabilnost i konvergencija ove metode, a danas je jedan od važnijih problema propagacija greške primenom ovog metoda (Ames, 1977). Kao što je prethodno navedeno, najpre je potrebno izvršiti diskretizaciju domena. U zavisnosti od problema, prostor može biti podeljen na ekvidistantne ili neekvidistantne delove. Diskretizacija prostora mora da bude takva da zadrži fizički smisao problema. Kao primer tako urađene diskretizacije može se navesti diskretizacij planparalelnog grejača koji je aproksimiran velikim brojem ekvidistantno postavljenih šiljaka. Osim prostora, potrebno je diskretizovati i diferencijalne jednačine. Ovo se postiže primenom operatora konačnih razlika. Neka je funkcija definisana u tački ),( txP . Razvojem funkcije u Tejlorov red oko ove tačke dobijaju se sledećea relacije: )( ),( !3 )(),( !2 )(),( ),(),( 4 3 33 2 22 to t txut t txut t txu ttxuttxu           (A1) 98 odnosno )( ),( !3 )(),( !2 )(),( ),(),( 4 3 33 2 22 xo x txux x txux x txu xtxutxxu           (A2) gde su )( 4to  i )( 4xo  ostaci. Ukoliko se zanemare svi članovi razvoja sa stepenom većim od jedan dobijaju se: t txuttxu t txu      ),(),(),( (A3) odnosno x txutxxu x txu      ),(),(),( (A4) koji predstavljaju aproksimaciju prvog izvoda metodom prednje razlike oko tačke ),( txP . Osim metode prednje razlike, prvi izvod se može aproksimirati i zadnjom i centralnom razlikom i u tom slučaju oblik je sledeći: t ttxutxu t txu      ),(),(),( (A5) x txxutxu x txu      ),(),(),( (A6) odnosno t ttxuttxu t txu      2 ),(),(),( (A7) x txxutxxu x txu      2 ),(),(),( (A8) uz napomenu da najtačniju aproksimaciju daje metod centralne razlike. Dobijene relacije predstavljaju vrednost nagiba tangente u tački ),( txP ispitivane krive. Dalje je potrebno diskretizovati drugi izvod funkcije po prostornoj koordinati. Ovo se postiže primenom operatora centralne razlike na funkciju ),( txu odakle se dobija: 22 2 ),(),(2),(),( x txxutxutxxu x txu      (A9) uz tačnost )( 2xo  . 99 Prethodne glomazne relacije se mogu opisati jednostavnije diferencnim operatorima. Standardne oznake u numerici su sledeće: h operator prednje razlike za korak h (ne treba ga mešati sa laplasijanom) h operator zadnje razlike za korak h (ne treba ga mešati sa hamiltonijanom) h -operator centralne razlike. Zamenom dobijenih izvoda u sistem parcijalnih diferencijalnih jednačina dobija se sistem običnih linearnih jednačina. U zavisnosti od toga da li je za diskretizaciju izvoda po vremenu primenjen operator prednje ili zadnje razlike, postoje dve metode i to eksplicitna ili implicitna. U ovoj disertaciji su primenjene i jedna i druga metoda. Implicitna metoda je primenjena na slučaj naelektrisanih čestica, a eksplicitna šema je primenjena za kasnu relaksaciju i slučaj neutralnih čestica. Ovaj metod je primenjen za rešavanje difuzione jednačine u cilindričnim koordinatama. U slučaju rane relaksacije, primenjena je implicitna metoda. Vremenski izvod je diskretizovan metodom zadnje razlike, prvi izvod po r koordinati dikretizovan je primenom zadnje razlike, dok su drugi izvodi diskretizovani primenom centralne razlike čime je diferencijalna jednačina svedena na sledeći oblik: k ij k ji k ij k ji z k ij k ij j r k ij k ij k ij r k ij k ij S z nnn D r nn r D r nnn D t nn                       2 1 1 11 1 11 1 2 1 1 11 1 1 212 (A10) gde je dt vremenski korak, dr i dz prostorni koraci, i, j i k su indeksi. Množenjem leve i desne strane sa dt dobija se:       tSnnnncnncnnncn kijkijk jikijk jikijkijkijkijkijkij   11111311121111111 22 (A11) gde je 21 r tD c r    , 22 rj tD c r    i 23 z tD c z    . Sređivanjem prethodne relacije, grupisanjem članova sa istim indeksima, dobija se sledeći sistem jednačina: tSnendncnbnan kij k ij k ji k ji k ij k ij k ij          1 1 1 1 1 1 11 1 . (A12) Ovaj sistem jednačina se može predstaviti u obliku matrice kao: 100 (A13) Dobijeni sistem jednačina rešava se primenom SOR metode (Tannehill i dr., 1997). Za slučaj kasne relaksacije koristi se metoda prednje razlike po vremenu. U tom slučaju postoji samo jedna nepoznata i problem se svodi na rešavanje jednačine sledećeg oblika: k ij k ji k ij k ji z k ij k ij j r k ij k ij k ij r k ij k ij S z nnn D r nn r D r nnn D t nn               2 111 2 11 1 212 (A14) tj.       tSnnncnncnnncnn kijk jikijk jikijkijkijkijkijkijkij   112121111 22 . (A15) 101 8. Literatura Acheson M. i McElwee E. M., The Sylvania Technologist 4 (1951) 38 Akaike H., IEEE Trans. Automat. Contr., AC-19 (1974) 716 Aleksandrov N. L., Anokhin E. M., Kindysheva S. V., Kirpichnikov A. A., Kosarev I. N., Nudnova M. M., Starikovskaia S. M. i Starikovskii A. Yu., J. Phys. D: Appl. Phys. 45 (2012a) 255202 Aleksandrov N. L., Anokhin E. M., Kindysheva S. V., Kirpichnikov A. A., Kosarev I. N., Nudnova M. M., Starikovskaya S. M. i Starikovskii A. Yu., Plasma Phys. Rep. 38 (2012b) 179 Alis W. P., Handbuch der Physik, vol 21, Electron-Emission Gas Discharges I, edited by Flügge S. (Springer-Verlag, Berlin 1956) Ames W. F., Numerical methods for partial differential equations (Academic Press Orlando, Florida 1977) Astrov Yu. A., Shuval-Sergeev N. A., Beregulin E. V., Lodygin N. A. i Portsel L. M., J. Phys. D: Appl. Phys. 41 (2008) 135502 Baika E. S., Baika Y. J. i Jeon D., Diamond and Related Materials 8 (1999) 2169 Barlow R., Statistics: A Guide to the Use of Statistical Methods in the Physical Sciences (John Wiley and Sons, Chichester, 1999) Barnet V. i Lewis T., Outliers in Statistical Data (John Wiley and Sons, Chichester, 1980) str. 17 Becker K. H., Kogelschatz U., Schoenbach K. H., Barker R. J., Non-Equilibrium Air Plasmas at Atmospheric Pressure (Institute of Physics Publishing, Bristol, Philadelphia, 2005) Bekstein A., Benhenni M., Yousfi M., Ducasse O. i Eichwald O., Eur. Phys. J. Appl. Phys. 42 (2008) 33 Bekstein A., Yousfi M., Benhenni M., Ducasse O. i Eichwald O., J. Appl. Phys. 107 (2010) 103308 Blanc A., J. Phys. 7 (1908) 825 102 Bošan Đ. A., Razvoj prenaponskih odvodnika (Development of surge arresters), interna publikacija TD PO2, Zavodi RR Niš (Elektronska industrija) (1956) Bošan Đ. A., Doktorska disertacija (Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Beogradu) 1975 Bošan Đ. A., Proc. 5th Int. Conference on Gas Discharges (Liverpool University, Liverpool, UK) (Stevenage: IEE Conf. Publ. No 165) (1978) 273 Bošan Đ. A., Invited Lecture 16th Summer School and Int. Symposium on the Physics of Ionized Gases (September 25-28, Belgrade, Yugoslavia) 1993 (Nova Science Publishers Inc., Editors Milosavljević M. and Petrović Z.) 1996, str. 15-40 (i citirana literatura) Bošan Đ. A. i Pejović M. M., J. Phys. D: Appl. Phys. 12 (1979) 1699 Bošan Đ. A., Pejović M. M. i Vujović M. V., Acta Phys. Hung. 49 (1980) 23 Braithwaite N. St. J., Plasma Sources Sci. Technol. 9 (2000) 517 Cabannes F. i Chapelle J. u Reactions under Plasma Conditions ed Venugopalan M. (Willey- Interscience, London, 1989) Capitelli M., Ferreira C. M., Gordiets B. F. i Osipov A. I., Plasma Kinetics in Atmospheric Gases (Springer, Bari, 2000) Cartry G., Magne L. i Cernogora G., J. Phys. D: Appl. Phys. 32 (1999) 1894 Castillo M., Herrero V. J., Mendez I. i Tanarro I., Plasma Sources Sci. Technol. 13 (2004) 343 Castillo M., Mendez I., Islyaikin A. M., Herrero V. J. i Tanarro I., J. Phys. Chem. A 109 (2005) 6255 Chan M. H., Wu P L. i Lu F. H., Thin Solid Films 518 (2010) 7300 Choi P., Chuaqui H., Favre M. i Colas V., IEEE Trans. Plasma Sci. 23 (1995) 221 Christophorou, L. G., Hunter, S. R., From basic research to applications u „Electron- Molecule Interactions and Their Applications“ (Plenum Press, New York-London,1984) Davies D. K. and Chantry P. J., Air Chemistry Measurements II, Air Force Weapons Laboratory report No. AFWL-TR-84-130 (1985) 103 Debal F., Bretagney J., Jumet M., Wautelety M., Dauchot J. P. i Hecq M., Plasma Sources Sci. Technol. 7 (1998) 219 Devismes A., Finck Ch., Kress T., Gobbi A., Eschke J., Herrmann N., Hildenbrand K. D., Koczon P. i Petrovici M., Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. A 482 (2002) 179 Dobrov W. I. i MacDonald A. D., Phys. Fluids 12 (1969) 1618 Dorozhkina D., Semenov V., Olsson T., Anderson D., Jordan U., Puech J., Lapierre L. i Lisak M., Phys. Plasmas 13 (2006) 013506 Dutton J., J. Phys. Chem. Ref. Data 4 (1975) 877 Emeleus K., Proc. R. Soc. Lond. A 156 (1936) 394 Fang Z., Qiu Y. i Kuffel E., J. Phys. D: Appl. Phys. 37 (2004) 2261 Foster J., Krompholz H., i Neuber A., J. Appl. Phys.18 (2011) 013502 Fréchet M., Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Cracovie 6 (1927) 93 Gocić S. R., Marković V. Lj. i Stamenković S. N., J. Phys. D: Appl. Phys. 42 (2009) 212001 Gordiets B. F., Ferreira, C. M., Guerra, V. L., Loureiro J.M.A.H., Nahorny, J., Pagnon, D., Touzeau, M. i Vialle M., IEEE Trans. Plasma Sci. 23 (1995) 750 Guerra V. i Loureiro J., J. Phys. D: Appl. Phys. 28 (1995) 1903 Guerra V. i Loureiro J., Plasma Sources Sci. Technol. 6 (1997) 373 Guerra V. i Loureiro J., Plasma Sources Sci. Technol. 8 (1999) 110 Guerra V., Sá P. A. i Loureiro J., J. Phys. D: Appl. Phys. 34 (2001a) 1745 Guerra V., Sá P. A. i Loureiro J. Physical Review E 63 (2001b) 046404 Guerra V., Sá P. A. i Loureiro J., Eur. Phys. J. Appl. Phys. 28 (2004) 125 Hagelaar G. J. M. i Pitchford L. C., Plasma Sources Sci. Technol. 14 (2005) 722 http://www.bolsig.laplace.univ-tlse.fr/ Harrison M. A. i Geballe R., Phys. Rev. 91 (1953) 1 Harteck P., Reeves R. R. i Mannella G. G., Can. J. Chem. 38 (1960) 1648 Hays G. N., Tracy C. J. i Oskam H. J., J. Chem. Phys. 60 (1974) 2027 104 Hogg R., McKean R. i Craigg A., Introduction to mathematical statistics, Sixth edition, (Prentice Hall, 2005) Hubbard J. C., Phys. Rev. (Series I) 22 (1906) 129. Huo W. G., Jian S. J., Yao J., i Ding Z. F., Phys. Plasmas 21 (2014) 053505 Jaumann G., Ann. Phys. (Leipzig) 291 (1895) 656 Johnson N., Kotz S. i Balakrishnan N., Continuous Univariate Distributions Volume 2, Second Edition (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1995) Jovanović A. P., Marković V. Lj., Stankov M. N. i Stamenković S. N., Contributed Papers & Abstracts of Invited Lectures and Progress Reports of the 26th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases, ed. Kuraica M. i Mijatović Z. (2012) 257 Jovanović A. P., Popović B. Č., Marković V. Lj., Stamenković S. N. i Stankov M. N., Zbornik radova, XII Kongres fizičara Srbije, 28. april-02. maj, Vrnjačka Banja, Srbija (2013a) 333 Jovanović A. P., Stankov M. N., Marković V. Lj. i Stamenković S. N., Europhys. Lett. 104 (2013b) 65001 Jovanović A. P., Popović B. Č., Marković V. Lj., Stamenković S. N. i Stankov M. N., Eur. Phys. J. Appl. Phys. 67 (2014a) 20801 Jovanović A. P., Popović B. Č., Marković V. Lj., Stamenković S. N. i Stankov M. N., 27th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases, Contributed Papers & Abstracts of Invited Lectures, Topical Invited Lectures, Progress Reports and Workshop Lectures ed. Marić D., Milosavljević R. i Mijatović Z. (2014b) 343 Keidar M., Kim M. i Boyd I. D., Journal of Spacecraft and Rockets 45 (2008) 445 Kiselev J. V., Proc. 7th Int. Conf. Phenomena in Ionized Gases, edited by D. Tošić, (Beograd: Gradjevinska knjiga, Belgrade, Yugoslavia, 1965) (na ruskom) 838 Knuth D E, Seminumerical Algorithms, 3rd ed., vol. 2, The Art of Computer Programming (MA: Addison-Wesley, Reading, 1997) Kolmogorov A., G. Ist. Ital. Attuari. 4 (1933) 83 105 Korolev Yu. i Mesyats G. A., Physics of pulsed breakdown in gases (Uro-Press, Yekaterinburg , 1998) Kossyi I., Kostinsky A.Yu., Matveyev A. A. i Silakov V. P., Plasma Sources Sci. Technol. 1 (1992) 207 Kristiansen M. i Guenther A. H., Plasma Applications, Electrical Breakdown and Discharges in Gases, Part B, edited by Kunhardt E. E. and Luessen L. H. (Plenum Press, New York, 1983) str. 402–409 Kudrle V., LeDuc E. i Fitaire M., J. Phys. D: Appl. Phys. 32 (1999) 2049 Kuffel E., Proc. Phys. Soc. 74 (1959) 297 Kupczyk B, Xiang X, Sharer J i Booske J, Int. Conf. on Plasma Science (IEEE, Edinburgh, 2012) str. 2B-6 Kutasi K. i Loureiro J., J. Phys. D: Appl. Phys. 40 (2007) 5612 Kutasi K., Pintassilgo C. D., Coelho P. J. i Loureiro J., J. Phys. D: Appl. Phys. 39 (2006) 3978 Lee S. H., Yamasue E., Ishihara K. N., Okumura H., Applied Catalysis B: Environmental 93 (2010) 217 Lide D, CRC Handbook of Chemistry and Physics 90th ed. (CRC Press, Boca Raton, 2009) Lisovskiy V. A., Yakovin S. D., Plasma Phys. Rep. 26 (2000) 1066 Llewellyn-Jones F. i de la Perrelle E. T., Proc. Roy Soc A 216 (1953) 267 Llewellyn-Jones F., Proc. Phys. Soc. B 62 (1949) 366 Lu C., Danzer R. i Fischer F. D., Phys. Rev. E 65 (2005) 067102 Mahadevan S. i Raja L., J. Appl. Phys. 107 (2010) 093304 Majstorović G. Lj., Šišović N. M., i Konjević N., Plasma Sources Sci. Technol. 16 (2007) 750 Makabe T. i Petrović Z. Plasma Electronics: Applications in Microelectronic Device Fabrication (Taylor and Francis, Boca Raton, 2006) Maluckov Č. A., Karamarković J. P., Radović M. K. i Pejović M. M., Phys. Plasmas 13 (2006) 083502 106 Mannella G G, Reeves R R i Harteck P., J. Chem. Phys. 33 (1960) 636 Mannella G G, i Harteck P., J. Chem. Phys. 34 (1961) 2177 Marić D., Radmilović-Rađenović M., i Petrović Z.Lj., Eur. Phys. J. D 35 (2005) 313 Marić R., Stanković K., Vujisić M. i Osmokrović P., Vacuum 84 (2010) 1291 Marković V. Lj., Doktorska disertacija (Fizički fakultet Univerziteta u Beogradu) 1993 Marković V. Lj., Petrović Z. Lj. i Pejović M.M., J. Chem. Phys. 100 (1994) 8514 Marković V. Lj., Pejović M. M. i Petrović Z. Lj. Plasma Chem. Plasma Proc. 16 (1996) 195 Marković V. Lj., Petrović Z. Lj. i Pejović M. M., Plasma Sources Sci. Technol. 6 (1997) 240 Marković V. Lj., Gocić S. R., i Stamenković S. N., Metode bazirane na statistici u fizici jonizovanih gasova (Prirodno matematički fakultet, Niš, 2004) Marković V. Lj., Gocić S. R., Stamenković S. N. i Petrović Z. Lj., Phys. Plasmas 12 (2005) 073502 Marković V. Lj.. Gocić S. R. i Stamenković S. N., J. Phys. D: Appl. Phys. 39 (2006) 3317 Marković V. Lj., Stamenković S. N., Gocić S. R. i Đurić S. M., Eur. Phys. J. Appl. Phys. 38 (2007a) 73 Marković V. Lj., Gocić S. R., Stamenković S. N. i Petrović Z. Lj., Phys. Plasmas 14 (2007b) 103504 Marković V. Lj., Gocić S. R. i Stamenković S. N., J. Phys. D: Appl. Phys. 42 (2009) 015207 Marković V. Lj., Jovanović A. P., Stamenković S. N. i Popović B. Č., Europhys. Lett. 100 (2012) 54002 Marković V. Lj., Jovanović A. P., Popović B. Č., Stamenković S. N., Stankov M. N., Zbornik radova, XII Kongres fizičara Srbije, 28. april-02. maj, Vrnjačka Banja, Srbija, (2013) 341 Marsaglia G, J. Stat. Softw.. 8 (2003) 1 Masch K., Arch. Elektrotech., 26 (1932) 589. Matsumoto M., Nishimura T., Journal ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation 8 (1998) 1 107 McGown J. Wm., The Excited State in Chemical Physics part 2 vol 45 (John Wiley and Sons, London, 1981) Mendenhall W. i Hader R., Biometrika 45 (1958) 504 Metropolis, N., The Beginning of the Monte Carlo method, Los Alamos Science (Special Issue dedicated to Stanislaw Ulam, 1987) str. 125 Michaelson H. B., J. App. Phys. 48 (1977) 4729 Morgan C. G., u Electrical Breakdown of Gases, ed. Meek J. M. i Craggs J. D. (John Wiley & Sons, Chichester, 1978) Nahorny J., Ferreira C. M., Gordiets B., Pagnon D., Touzeau M. i Vialle M., J. Phys. D: Appl. Phys. 28 (1995) 738 Nelson D., Benhenni M., Eichwald O., i Yousfi M., J. Appl. Phys. 94 (2003) 96 Novgorodov M. Z., Ochkin V. N. i Sobolev N. N., Zh. Tekh. Fiz. 40 (1970) 1268 Osmokrović P., Vujisić M., Stanković K., Vasić A. i Lončar B., Plasma Sources Sci. Technol. 16 (2007) 643 Pandiyaraj K N, Selvarajan V, Deshmukh R R, Yoganand C P, Balasubramanian S i Maruthamuthu S., Plasma Sci. Technol. 15 (2013) 56 Phelps A. V., J. Res. Natl. Inst. Stand. Technol. 95 (1990) 407 Pintassilgo C. D., Loureiro J. i Guerra V., J. Phys. D: Appl. Phys. 38 (2005) 417 Pintassilgo C. D., Guaitella O. i Rousseau A., Plasma Sources Sci. Technol. 18 (2009) 025005 Pintassilgo C. D., Guerra V., Guaitella O. i Rousseau A., Plasma Sources Sci. Technol. 19 (2010) 055001 Pintassilgo C. D., Plasma Sources Sci. Technol. 21 (2012) 035020 Pintassilgo C. D., Guerra V., Guaitella O. i Rousseau A., Plasma Sources Sci. Technol. 23 (2014) 025006 Pointu A., Ricard A., Dodet B., Odic E., Larbre J. i Ganciu M., J. Phys. D: Appl. Phys. 38 (2005) 1905 108 Popović B., Matematička statistika i statističko modelovanje (Prirodno-matematički fakultet, Niš, 2003) Porteanu H. E., Kühn S. i Gesche R., Contrib. Plasma Phys. 49 (2009) 21 Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T. i Flannery B.P., Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, third edition (Cambridge University Press, Cambridge, 2007) Raizer Yu. P., Gas Discharge Physics (Springer-Verlag, Berlin, 1991) Rao R. i Raju G., J. Phys. D: Appl. Phys., 4 (1971) 494. Reeves R. R., Mannella G. i Harteck P., J. Chem. Phys. 32 (1960) 946 Rosin, P. i Rammler. E., Journal of the Institute of Fuel 7 (1933) 29 Sakiyama Y., Graves D. B., Chang H., Shimizu T. i Morfill G. E., J. Phys. D: Appl. Phys. 45 (2012) 425201 Schlitz R. A., Yoon K. H., Fredin L. A., Ha Y., Ratner M. A., Marks T. J. i Lauhon J., J. Phys. Chem. Lett. 1 (2010) 3292 Seeger M., Naidis G., Steffens A., Nordborg H. i Claessens M., J. Phys. D: Appl. Phys. 38 (2005) 1795 Shao T., Zhang C., Yu Y., Fang Z. i Yan P., Europhys. Lett. 97 (2012) 55005 Shao T., Sun G., Yan P., Wang J., Yuan W., Sun Y. i Zhang S., J. Phys. D: Appl. Phys. 39 (2006) 2192 Shin J., Narayanaswamy V., Raja L. L. i Clemens N. T., AIAA Journal 45 (2007) 1596 Singh K. P. i Roy S., J. Appl. Phys 101 (2007) 123308 Smirnov N., Ann. Math. Stat. 19 (1948) 279 Sobota A., Gendre M. F., Manders F., van Veldhuizen E. M. i Haverlag M., J. Phys. D: Appl. Phys. 44 (2011) 155205 Soloshenko I. A., Tsiolko V. V., Khomich V. A., Shchedrin A. I., Ryabtsev A. V., Bazhenov V. Yu. i Mikhno I. L., Plasma Phys. Rep. 26 (2000) 792 Spencer M. N., Dickinson J. S. i Eckstrom D. J., J. Phys. D: Appl. Phys. 20 (1987) 923 Stamenković S. N., Doktorska disertacija (Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Nišu) 2009 109 Stamenković S. N., Gocić S. R., Marković V. Lj. i Jovanović A. P., J. Appl. Phys. 110 (2011) 103304 Stamenković S. N., Marković V. Lj., Gocić S. R. i Jovanović A. P., Vacuum 89 (2013) 62 Stanković K., Osmokrović P., Doličanin C, Vujisić M. i Vasić A., Plasma Sources Sci. Technol. 18 (2009) 025028 Steinle G., Neundorf D., Hiller W. i Pietralla M., J. Phys. D: Appl. Phys.32 (1999) 1350 Tannehill J. C., Anderson D. A. and Pletcher R. H., Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Second Edition (Taylor and Frencies, Washington, 1997) Thompson G W, Ann. Math. Statist. 6 (1935) 214 Thomson J. J., Philos. Mag. 50 (1900) 2783 Titterington D. M., Smith A. F. M. i Makov U. E., Statistical analysis of finite mixture distributions ( John Wiley & Sons, Chichester, 1985) Vašina P., Kudrle V., Tálský A., Botoš P., Mrázková M. i Meško M., Plasma Sources Sci. Technol. 13 (2004) 668 von Engel A., Ionized Gases (Clarendon Press, Oxford, 1965) von Laue M., Ann. Phys. 76 (1925) 721 Wackerly D. D. Mendenhall W., Scheaffer R. L., Mathematical Statistics with Applications (Duxbury Press, Belmont, 1996) str. 112–116 Wang H. Zhang Q., Zhou Q., Liu X.i Qiuet A., Europhys. Lett. 96 (2011) 45003 Weibull W. J., Appl. Mech.-Trans. ASME 18 (1951) 293 Wieland A., Elektrotech. Z. Ausg. A94 (1973) 370 Wijsman R. A., Phys. Rev. 75 (1949) 833 Wormeester G, Pancheshnyi S, Luque A, Nijdam S i Ebert U., J. Phys. D: Appl. Phys 43 (2010) 505201 Wu S., Cheng L. i Dong N., J. Mater. Eng. Perform. 15 (2006) 712 Yurgelenas Yu. i Wagner H-E., J. Phys. D: Appl. Phys. 39 (2006) 4031 Zhang C., Shao T. Yan P. i Zhou Y., Plasma Sources Sci. Technol. 23 (2014) 035004 110 Zuber K., Annalen der Physik 76 (1925) 231 111 BIOGRAFIJA Aleksandar Jovanović rođen je 29.10.1984. godine u Knjaževcu. Završio je osnovnu školu „Dimitrije Todorović Kaplar“ u Knjaževcu i Srednju medicinsku školu u Zaječaru. Studije fizike je upisao 2005. godine na Prirodno-matematičkom fakultetu u Nišu, a diplomirao je 2010. sa prosečnom ocenom 9,00 i ocenom 10 na diplomskom. Iste godine je upisao doktorske akademske studije na Departmanu za fiziku Prirodno-matematičkog fakulteta u Nišu. U toku doktorskih studija bio je angažovan na izvođenju vežbi iz predmeta „Eksperimentalne metode u fizici“, „Fizika jonizovanih gasova i lasera“ i „Savremene metode eksperimentalne fizike“. U zvanje istraživač pripravnik izabran je 2011. godine, a u zvanje istraživač saradnik 2013. godine. Angažovan je na projektu ON 171025 „Električni proboj gasova, površinski procesi i primene“ Ministarstva prosvete, nauke i tehnološkog razvoja Republike Srbije. Učestvovao je na međunarodnim konferencijama: „4th Central European Symposium on Plasma Chemistry (CESPC)“ održanom na Zlatiboru, „26th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases (SPIG 2012)“ održanom u Zrenjaninu i „27th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases (SPIG 2014)“ održanom u Beogradu kao i na domaćem „XII Kongresu fizičara Srbije“ održanom u Vrnjačkoj banji. Na konferenciji „SPIG 2014“ održao je predavanje po pozivu (progress reprot). Ima više radova objavljenih u međunarodnim časopisima. 112 BIBLIOGRAFIJA Spisak radova: Radovi objavljeni u vrhunskim međunarodnim časopisima M21 1. Aleksandar P. Jovanović, Marjan N. Stankov, Vidosav Lj. Marković and Suzana N. Stamenković, The validity of the one-dimensional fluid model of electrical breakdown in synthetic air at low pressure, Europhys. Lett. 104 (2013) 65001 2. Vidosav Lj. Marković, Aleksandar P. Jovanović, Suzana N. Stamenković and Biljana Č. Popović, From binomial distribution of electron occurrence to Gauss and Gauss-exponential distribution of the statistical time delay: Analytical transition and simulations, Europhys. Lett., 100 (2012) 45002 3. Suzana N. Stamenković, Saša R. Gocić, Vidosav Lj. Marković, and Aleksandar P. Jovanović, Multi-component non-stationary exponential distributions of the breakdown voltages and time delays in neon ramp breakdown experiments, J. Appl. Phys. 110 (2011) 103304 Rad objavljen u istaknutom međunarodnom časopisu M22 1. Suzana N. Stamenković, Vidosav Lj. Marković, Saša R. Gocić, Aleksandar P. Jovanović, Influence of different cathode surfaces on the breakdown time delay in neon DC glow discharge, Vacuum 89 (2013) 62 Radovi objavljeni u međunarodnim časopisima M23 1. Aleksandar P. Jovanović, Biljana Č. Popović, Vidosav Lj. Marković, Suzana N. Stamenković and Marjan N. Stankov, Mixture distributions for the statistical time delay in synthetic air at low pressure, Eur. Phys. J. - Appl. Phys. 67 (2014) 20801 2. Marjan N. Stankov, Marko D. Petković, Vidosav Lj. Marković, Suzana N. Stamenković and Aleksandar P. Jovanović, Numerical Modelling of DC Argon Glow Discharge at Low Pressure Without and with Ar (P-3(2)) Metastable State, Rom. Journ. Phys., 59 (2014) 328 Radovi saopšteni na naučnim skupovima međunarodnog značaja štampani u celini M33 1. Aleksandar P. Jovanović, Vidosav Lj. Marković, Marjan N. Stankov and Suzana N. Stamenković, Stochastics of electrical breakdown in synthetic air, Contributed Papers & Abstracts of Invited Lectures and Progress Reports of the 26th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases (2012) 257-260 113 2. Vidosav Lj Marković, Suzana N Stamenković, Saša R Gocić, Aleksandar P. Jovanović, Marjan N Stankov, Transient regimes in argon at low pressure: Experiment and modelling, Contributed Papers & Abstracts of Invited Lectures and Progress Reports of the 26th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases (2012) 253-256 3. Suzana N Stamenković, Vidosav Lj Marković, Saša R Gocić, Aleksandar P. Jovanović, Marjan N Stankov, Nikola D Nikolić, Influence on surface charge on DC glow discharge in Neon with Au-Ni cathode spots, Contributed Papers & Abstracts of Invited Lectures and Progress Reports of the 26th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases (2012) 301-304 4. Aleksandar P. Jovanović, Biljana Č. Popović, Vidosav Lj. Marković, Suzana N. Stamenković and Marjan N. Stankov, Formative time delay of electrical breakdown in air, The 27th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases, Contributed Papers (2014) 343-346 5. Marjan N. Stankov, Marko D. Petković, Vidosav Lj. Marković, Suzana N. Stamenković and Aleksandar P. Jovanović, Two dimensional glow discharge modelling in argon, The 27th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases, Contributed Papers (2014) 347-350 6. Vidosav Lj. Marković, Aleksandar P. Jovanović, Suzana N. Stamenković, Marjan N. Stankov and B. Č. Popović, Memory effect and time correlations in air and argon DC brekdown delay, The 27th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases, Contributed Papers (2014) 351-354 7. Suzana N. Stamenković, V. Lj. Marković, Aleksandar P. Jovanović and Marjan N. Stankov, Nonstationary statistical time delay distributions in argon, The 27th Summer School and International Symposium on the Physics of Ionized Gases, Contributed Papers (2014) 355-358 Radovi saopšteni na naučnim skupovima međunarodnog značaja štampani u izvodu M34 1. Vidosav Lj. Marković, Saša R. Gocić, Suzana N. Stamenković, Aleksandar P. Jovanović, Memory effect in hydrogen with copper cathode, 4th Central European Symposium on Plasma chemistry, August 21-25, 2011, Zlatibor, Serbia, (2011) 101-102 2. Suzana N. Stamenković, Vidosav Lj Marković, Saša R. Gocić, Aleksandar P. Jovanović, Nikola D. Nikolić, Nenad S. Krstić, DC glow discharge in neon with Au-Ni cathode, 4th 114 Central European Symposium on Plasma chemistry, August 21-25, 2011, Zlatibor, Serbia, (2011) 135-136 Radovi saopšteni na skupovima nacionalnog značaja štampani u celini M63 1. Aleksandar P. Jovanović, Biljana Č. Popović, Vidosav Lj. Marković, Suzana N. Stamenković, Marjan N. Stankov, Zbornik radova, Statistička karakterizacija vremena kašnjenja električnih proboja u vazduhu, XII Kongres fizičara Srbije, 28. april-02. maj, Vrnjačka Banja, Srbija, (2013) 333-336 2. Vidosav Lj. Marković, Aleksandar P. Jovanović, Biljana Č. Popović, Suzana N. Stamenković, Marjan N. Stankov, Zbornik radova, Generalizovana statistika inicijalnih elektrona kod električnih probojnih procesa, XII Kongres fizičara Srbije, 28. april-02. maj, Vrnjačka Banja, Srbija, (2013) 341-344 3. Suzana N. Stamenković, Vidosav Lj. Marković, Aleksandar P. Jovanović, Marjan N. Stankov, Zbornik radova, Nestacionarna eksponencijalna raspodela probojnih napona i vremean kašnjenja u argonu, XII Kongres fizičara Srbije, 28. april-02. maj, Vrnjačka Banja, Srbija (2013) 351-354, 4. Marjan N. Stankov, Marko D. Petković, Vidosav Lj. Marković, Suzana N. Stamenković, Aleksandar P. Jovanović, Zbornik radova, Jednodimenzionalni fluidni model uspostavljanja pražnjenja u argonu, XII Kongres fizičara Srbije, 28. april-02. maj, Vrnjačka Banja, Srbija, (2013) 355-358                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          