Univerzitet u Nixu
Prirodno–matematiqki fakultet
Departman za matematiku
Vladimir M. Balti
Permutacije sa ograniqeƬima
Doktorska disertacija
Nix, 2014.
University of Niˇs
Faculty of Science and Mathematics
Department of Mathematics
Vladimir M. Baltic´
Restricted permutations
PhD thesis
Niˇs, 2014.
Qlanovi komisije
1. Prof. dr Dragan Stevanovi, mentor
nauqni savetnik Matematiqkog instituta SANU
2. Prof. dr Sneжana Ili, qlan
redovni profesor Prirodno-matematiqkog fakulteta Univerziteta u Nixu
3. Prof. dr Slobodan Simi, qlan
nauqni savetnik Matematiqkog instituta SANU
4. Prof. dr Vojislav Petrovi, qlan
redovni profesor Prirodno-matematiqkog fakulteta Univerziteta u Novom Sadu
5. Prof. dr Rade Doroslovaqki, qlan
redovni profesor Fakulteta tehniqkih nauka Univerziteta u Novom Sadu
Datum odbrane: .
Sadrжaj
Predgovor 3
1. Osnovni kombinatorni objekti i nizovi 5
1.1. Permutacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Ciklusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Transpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3. Znak permutacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.4. Operacije sa permutacijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Kombinacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Particije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Kompozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Grafovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Fibonaqijevi brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1. Opxti qlan Fibonaqijevog niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.2. Tribonaqijev niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.3. Lukasov niz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7. Katalanovi brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Permutacije bez datih xablona 21
2.1. Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1. Dikovi putevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Permutacije bez xablona duжine 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Permutacije bez xablona duжine 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Permutacije bez nekoliko xablona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1. Permutacije bez xablona 1243 i 2143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Permutacije sa ograniqeƬima 29
3.1. Uvod i istorijat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1. Permanenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2. Pojam permutacije sa ograniqeƬima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3. Problem sparivaƬa (deranжmani) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.4. Problem rasporeivaƬa za stolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.5. Istorijat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Metoda matrica prenosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1. Faktorizacija u slobodnim monoidima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Permutacije p(i)− i6 r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Permutacije −k 6 p(i)− i6 r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. PoreeƬa naxe tehnike sa drugim metodama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4. Permutacije −k 6 p(i)− i6 r, p(i)− i 6∈ I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4. Parne i neparne permutacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5. Veze sa drugim kombinatornim objektima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.1. PrebrojavaƬe R
(k)
4 i kompozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2. PrebrojavaƬe N(n; k, r, I) i podskupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6. Raqunarska sloжenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7. Xta daƩe? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7.1. Kruжne permutacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1
23.7.2. Varijacije sa ograniqeƬima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4. Primene konaqnih automata 79
4.1. Konaqne maxine i automati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2. PrebrojavaƬe permutacija pomou automata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.1. Primeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Literatura 103
5. Prilozi 105
5.1. Paskal i Mejpl kodovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2. Prilozi u Enciklopediji celobrojnih nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.1. Novi nizovi u Enciklopediji celobrojnih nizova . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.2. Komentari na postojee nizove u Enciklopediji . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3. Biografija autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.1. Bibliografija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.4. Izjave autora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.4.1. Izjava o autorstvu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.4.2. Izjava o istovetnosti xtampane i elektronske verzije doktorske disertacije . . . . . . 125
5.4.3. Izjava o korixeƬu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4.4. Rezime na srpskom jeziku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4.5. Rezime na engleskom jeziku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Predgovor
Kombinatorika (sa Teorijom grafova) je jedna od najstarijih oblasti matematike, ali i danas
je veoma aktuelna. Neki Ƭeni problemi su zaokupƩali matematiqare vekovima (poput problema
qetiri boje), dok su neke oblasti postale veoma aktuelne sa vrtoglavim razvojem raqunara i
Ƭihovom sve veom primenom pri rexavaƬu matematiqkih problema.
Osnovni problemi kombinatorike su pitaƬe egzistencije nekih kombinatornih objekata, kao
i u sluqaju potvrdnog odgovora na prethodno pitaƬe, koliko ima takvih objekata (tj. kombi-
natornih objekata koji sadrжe neko odreeno svojstvo). U ovom radu mi emo se pozabaviti
problemima prebrojavaƬa odreenih kombinatornih objekata (permutacija, varijacija, kom-
pozicija) uz neka dodatna ograniqeƬa. Tom prilikom emo razviti potpuno nov metod za pre-
brojavaƬe nekih od ovih objekata. Kao xto e se videti kasnije ovi (i Ƭima sliqni problemi)
su stari i po nekoliko stotina godina. Pored prebrojavaƬa datih objekata, mi emo uspostavi-
ti i veze meu nekim od ovih objekata, a i osvrnuemo se na algoritamsku sloжenost naxeg
novog metoda, koji je boƩi od postojeih. Sada razmotrimo sadrжaj svake glave ponaosob.
Prvo emo uvesti osnovne kombinatorne objekte, zatim emo se osvrnuti na neke brojevne
nizove sa kojima se susreemo kasnije. Na neke osnovne pojmove emo samo staviti reference
na odgovarajue u
benike, dok emo se ovde detaƩnije pozabaviti onim koji ne predstavƩaju
deo osnovnih kurseva kombinatorike, kao i onim aspektima osnovnih pojmova koji nisu tako
qesto zastupƩeni u u
beniqkoj literaturi.
U drugoj glavi uvodimo permutacije bez datih xablona, koje qine jednu od vodeih tema u
danaxƬoj kombinatornoj literaturi. Nax originalan doprinos je kombinatoran dokaz broja
permutacija bez xablona 1243 i 2143.
U treoj glavi smo razvili novu tehniku za prebrojavaƬe permutacija sa ograniqeƬima
tipa k 6 p(i) − i 6 r (te permutacije, kao i permutacije sa jox nekim dodatnim ograniqeƬima:
p(i) − i 6∈ I; parne i neparne permutacije). Dali smo detaƩan istorijski uvod ove prob-
lematike, kao i poreeƬe naxe tehnike sa drugim postojeim. Analizirali smo i algoritamsku
sloжenost naxe tehnike. Ova glava je u potpunosti originalan doprinos: [2, 5, 6, 7].
U qetvrtoj glavi prebrojavamo permutacije iz tree glave na drugi naqin – koristei
konaqne automate. I ova glava je u potpunosti originalan doprinos: [1, 3, 4].
U petoj glavi su dati prilozi. Prvi deo qine paskal i Mejpl kodovi koje smo koristili pri
prebrojavaƬu permutacija sa ograniqeƬima iz tree glave. Dali smo i slike nizova kojima
smo proxirili Slounovu enciklopediju celobrojnih nizova [43] (eng. Sloane’s online encyclopedia
of integer sequences). Nakon toga su ubaqene i potrebne administrativne stavke, kao xto su
biografija autora (sa bibliografijom) i izjave o autorstvu i korixeƬu.
3
4 PREDGOVOR
1. Osnovni kombinatorni objekti i
nizovi
1.1. Permutacije
Permutacije su svakako najbitniji pojam u ovom radu (javƩaju se i samom naslovu!). ƫihov
znaqaj se ogleda i u tome xto je Miklox Bona (ma. Miklo´s Bo´na) celu jednu kƬigu posvetio
permutacijama – to je ,,Kombinatorika permutacija“, [10]. Ovde emo dati neke od osnovnih
kombinatornih svojstava permutacija, koja nisu deo uobiqajene sredƬoxkolske ili fakultetske
literature, a potrebne su nam u daƩem radu.
DEFINICIJA 1.1.1. Permutacija konaqnog skupa Xn = {x1, x2, . . . , xn} je ureena n-torka
(p1, p2, . . . , pn), pri qemu je pi ∈ Xn za i = 1, 2 . . . , n i pi 6= pj za i 6= j. Takvu permutaciju emo
skraeno prikazivati1 kao p1 p2 . . . pn.
Bez umaƬeƬa opxtosti, u ostatku teksta (sem ako ne naglasimo drugaqije) uzimaemo da je
skup Xn = Nn = {1, 2, . . . , n}, a skup svih permutacija nad ovim skupom oznaqavaemo sa Sn.
DEFINICIJA 1.1.2. Neka je u skupu Xn = {x1, x2, . . . , xn} dato ureeƬe (relacija poretka)
sa x1 < x2 < . . . < xn i neka su svi ai i bj elementi skupa Xn.
Tada kaжemo da su ureena n–torka (a1, . . . , an) i ureena m–torka (b1, . . . , bm) u relaciji
maƬe, tj. (a1, . . . , an) < (b1, . . . , bm) ako
• postoji neki broj k ∈ N za koji vaжi da je ak < bk i ai = bi (∀i < k) ili
• ako je n < m, a ai = bi (∀i6 n).
Ovako uvedena relacija poretka na skupu reqi sa slovima iz skupa Xn naziva se leksikografski
poredak.
Moжe se pokazati da je broj permutacija skupa Xn jednak
n! = 1 · 2 · . . . · n.
Permutacija se moжe posmatrati i kao preureeƬe nekog fiksnog redosleda. Zamena fiksnog
redosleda (x1, x2, . . . , xn) sa (p1, p2, . . . , pn) predstavƩa se sa(
x1 x2 . . . xn
p1 p2 . . . pn
)
1Jedan od razloga je da pravimo razliku izmeu same permutacije i ciklusnog predstavƩaƬa permutacije
xto emo uvesti kasnije. Do zabune bi moglo doi kada se permutacija sastoji od samo jednog ciklusa.
5
6 1.1. PERMUTACIJE
qime je definisano preslikavaƬe p(xi) = pi koje meƬa xi sa pi, i = 1, 2, . . . , n. Tako smo doxli do
alternativne definicije permutacije:
DEFINICIJA 1.1.3. Permutacija skupa Xn = {x1, x2, . . . , xn} je bilo koje bijektivno
preslikavaƬe σ skupa Nn = {1, 2, . . . , n} na skup Xn, tj. σ : Nn → Xn.
Kada je Xn = Nn, vrednost xi za koju je p(xi) = xi, naziva se fiksna taqka ove permutacije.
Permutacija koja nema fiksnih taqaka, tj. kod koje je p(xi) 6= xi za svako xi ∈ Xn, naziva se
deranжman (eng. derangment).
Identiqka permutacija (ili polazna permutacija), u oznaci ε, je permutacija kod koje je
ε(i) = i, za sve i ∈ Nn.
Kod identiqke permutacije svi elementi predstavƩaju fiksne taqke.
Fiksne taqke e biti od znaqaja kod nekog broja permutacija sa kojima se sreemo u glavama
3. i 4. Vixe o deranжmanima e biti reqi u potpoglavƩu 3.1.3.
1.1.1 Ciklusi
DEFINICIJA 1.1.4. Posmatrajmo podskup Y = {y1, y2, . . . , yd} skupa Xn. Permutacija(
y1 y2 . . . yd−1 yd
y2 y3 . . . yd y1
)
u kojoj zamene p(y1) = y2, p(y2) = y3, . . . , p(yd−1) = yd, p(yd) = y1 formiraju zatvoren krug
se naziva ciklus. Prethodno oznaqavaƬe ciklusa uobiqajeno se skraeno prikazuje tako xto
izmeu zagrada stoje redom vrednosti koje meƬaju mesta (posledƬa meƬa mesto sa prvom):
(y1, y2, . . . , yd).
Broj d elemenata koji formiraju ciklus naziva se duжina ciklusa.
Transpozicija je ciklus duжine d = 2.
Fiksne taqke permutacije su ciklusi duжine 1.
Ciklus od n objekata ili n-ciklus ima oblik a1a2a3 . . . an gde se smatra da je an pored a1,
tako da je
a1a2a3 . . . an = ajaj+1 . . . ana1a2 . . . aj−1
(npr. imamo a1a2a3 = a2a3a1 = a3a1a2).
Postoji
n · (n− 1) · (n− k + 1)
k
razliqitih ciklusa duжine k na skupu Xn.
DEFINICIJA 1.1.5. Ciklus duжine n, koji sadrжi sve elemente skupa Xn, se naziva cik-
liqna (cirkularna) permutacija.
U skladu sa prethodnim, postoji
n · (n− 1) · . . . · 1
n
= (n−1)! cikliqnih permutacija skupa Xn.
DEFINICIJA 1.1.6. Kompozicija funkcija p ◦ q je definisana kao p(x) ◦ q(x) = q(p(x)).
Za svaku permutaciju p ∈ Sn, moжemo uvesti relaciju ̺ na skupu Nn na sledei naqin:
a ̺ b
def
⇐⇒ a i b pripadaju istom ciklusu,
1. PREGLED OSNOVNIH MATEMATIQKIH APARATA 7
tj. postoji k ∈ N takvo da je b = p
(
p
(
p(. . . p(a) . . .)
))
, gde se permutacija p u ovoj kompoziciji
javƩa k puta. Ovo krae pixemo i kao b = pk(a).
Sada emo navesti jedno tvreƬe vezano za relaciju ̺ koje e nam trebati kasnije.
TEOREMA 1.1.1. Ovako uvedena relacija ̺ je relacija ekvivalencije na skupu Nn.
Klasu ekvivalencije elementa a qine elementi ciklusa koji sadrжi a, tj.
Ca = {a, p(a), p(p(a)), p(p(p(a))), . . . , pd−1(a)}.
Broj elemenata klase ekvivalencije d je duжina odgovarajueg ciklusa.
TEOREMA 1.1.2. Svaka permutacija skupa Xn je ili ciklus ili se moжe predstaviti kao
unija disjunktnih ciklusa.
Dokaz. Ciklusni zapis za proizvoƩnu permutaciju π moжe da se dobije pomou sledeeg
postupka, koji se ponavƩa sve dok svi elementi ne budu rasporeeni u cikluse.
Izabrati proizvoƩan element a koji jox nije rasporeen u neki ciklus. Novi ciklus
qine elementi (
a, π(a), π(π(a)), π(π(π(a))), . . . , πd−1(a)
)
koje reamo sve dok ne doemo do najmaƬeg prirodnog broja d za koji vaжi πd(a) = a.
Kako su razliqite klase ekvivalencije relacije ̺ disjunktne, dobijamo da je svaka permutacija
ili ciklus ili se moжe predstaviti kao unija disjunktnih ciklusa.
Ovako predstavƩaƬe permutacije se naziva ciklusni zapis ili ciklusna dekompozicija per-
mutacije.
Ciklusni zapis nije jedinstven. Uobiqajeno je (xto emo i mi koristiti) da se ciklus
zapisuje tako xto mu je najmaƬi element na prvoj poziciji i na taj naqin dolazimo do jedin-
stvene reprezentacije ciklusa. Takoe, u ciklusnom zapisu emo cikluse poreati tako da su
im prvi elementi u rastuem redosledu.
DEFINICIJA 1.1.7. Red permutacije p je najmaƬi prirodan broj d za koji vaжi
pd = p(p(p...(p)...))︸ ︷︷ ︸
d
= ε.
Drugim reqima, red permutacije je najmaƬi broj koliko puta treba da napravimo kompoziciju
permutacije sa samom sobom da bismo dobili identiqku permutaciju.
Naglasimo da je u prethodnoj definiciji d prirodan broj. ,,Stepen“ permutacije se moжe
uvesti i za proizvoƩan ceo broj na sledei naqin: p0 = ε, a p−k = (p−1)k (gde je p−1 inverzna
permutacija, koja se uvodi kasnije u Definiciji 1.1.9).
TEOREMA 1.1.3. Red permutacije p jednak je najmaƬem zajedniqkom sadrжaocu duжina svih
ciklusa u p.
8 1.1. PERMUTACIJE
1.1.2 Transpozicije
Sada emo navesti nekoliko svojstava transpozicija. ƫih smo uveli u Definiciji 1.1.4, ali
emo ih dodatno pojasniti zbog Ƭihovog znaqaja.
Transpozicija τi,j meƬa brojeve i i j (i < j), a ostale brojeve ostavƩa na svom mestu:
τ(i) = j, τ(j) = i, i τ(k) = k za k 6= i, j.
Ako hoemo ovu permutaciju da predstavimo kao niz brojeva, ona bi imala sledei oblik:
12 . . . (i− 1)j(i+ 1) . . . (j − 1)i(j + 1) . . . (n− 1)n.
Broj transpozicija skupa Xn iznosi
n(n− 1)
2
, jer elemente i i j koji meƬaju mesta moжemo
iz skupa Nn = {1, 2, . . . , n} odabrati na
(
n
2
)
naqina.
TEOREMA 1.1.4. Svaka permutacija se moжe predstaviti kao kompozicija identiqke
permutacije ε i transpozicija.
Dokaz. Oznaqimo sa k(p) traжenu kompoziciju permutacije p.
Za n = 1 u S1 imamo samo jednu permutaciju i to je identiqka permutacija ε.
Pretpostavimo da tvreƬe vaжi za sve permutacije duжine n− 1.
Neka se u permutaciji p ∈ Sn element n nalazi na i-toj poziciji, tj. p(i) = n. Posmatrajmo
permutaciju π ∈ Sn−1 koja se dobija od p kada obrixemo samo element n. U zavisnosti od i
imamo 2 sluqaja:
• ako je i = n, onda je k(p) = k(π);
• ako je i 6= n, onda je k(p) = k(π) ◦ τi,n.
Time smo pokazali i da se svaka permutacija p ∈ Sn moжe predstaviti kao kompozicija iden-
tiqke permutacije ε i transpozicija.
Na osnovu Principa matematiqke indukcije dobijamo da tvreƬe vaжi za proizvoƩnu per-
mutaciju.
Prethodnu teoremu emo koristiti kada budemo uspostavƩali vezu izmeu nekih permutaci-
ja sa ograniqeƬima i podskupova skupa koji imaju neke dodatne uslove (Teorema 3.5.4).
Ovo predstavƩaƬe kao kompozicija identiqke permutacije ε i transpozicija nije jedinstve-
na, ali naredne 2 teoreme nam opisuju uslove da bi takva reprezentacija bila minimalna. Do
Teoreme 1.1.5 je doxao maarski matematiqar Denex (ma. j. De´nes) 1959. godine.
TEOREMA 1.1.5. Neka su t2, t3, . . . , tn transpozicije iz Sn. Tada je proizvod tn · tn−1 · . . . · t2
cikliqna permutacija ako i samo ako graf G(t2, t3, . . . , tn) kod koga su temena 1, 2, . . . , n, dok su
grane t2, t3, . . . , tn (taqnije ako traspozicija t meƬa mesta elemenata i i j tada su qvorovi i i j
povezani granom), predstavƩa jedno stablo.
Sada emo dati i jednu generalizaciju ovog tvreƬa.
TEOREMA 1.1.6. Kompozicija transpozicija je minimalne duжine ako i samo ako multigraf
koji se dobija kada granom spojimo elemente koje meƬamo u transpoziciji ne sadrжi konturu.
Permutaciju moжemo predstaviti i orijentisanim grafom. U Ƭemu postoji grana (xi, xj)
ako i samo ako je xj = p(xi). Orijentisani grafovi predstavƩaju dobru vizuelnu reprezentaci-
ju permutacije. Oni nalaze svoje mesto u metodi ,,Faktorizacija u slobodnim monoidima“
1. PREGLED OSNOVNIH MATEMATIQKIH APARATA 9
(videti poglavƩe 3.2 Metoda matrica prenosa) koja direktno odgovara grafovskoj definiciji
permanenta (genaratorima u slobodnom monoidu odgovaraju faktori digrafa).
Sva ova predstavƩaƬa permutacija emo dati u sledeem primeru.
PRIMER 1.1.1. Odrediti sve permutacije skupa N5 = {1, 2, 3, 4, 5} koje zadovoƩavaju uslove
−26 p(i)− i6 3 i p(i)− i 6= −1, p(i)− i 6= 2.
RexeƬe. Svaku permutaciju emo predstaviti na Slici 1.1 kao preureeƬe, preko dekom-
pozicije u disjunktne cikluse ispod toga, kao kompoziciju transpozicija u sredini i preko
odgovarajueg orijentisanog grafa na desnoj strani. Ima 9 takvih permutacija:
1. 1 2 3 4 5
(1)(2)(3)(4)(5)
ε
1 2 3 4 5
2. 1 2 4 5 3
(1)(2)(3, 4, 5)
τ3,4 ◦ τ4,5
1 2 3 4 5
3. 1 3 4 2 5
(1)(2, 3, 4)(5)
τ2,3 ◦ τ3,4
1 2 3 4 5
4. 1 5 4 2 3
(1)(2, 5, 3, 4)
τ2,5 ◦ τ3,5 ◦ τ3,4
1 2 3 4 5
5. 2 3 1 4 5
(1, 2, 3)(4)(5)
τ1,2 ◦ τ2,3
1 2 3 4 5
6. 2 5 1 4 3
(1, 2, 5, 3)(4)
τ1,2 ◦ τ2,5 ◦ τ3,5
1 2 3 4 5
7. 4 2 1 5 3
(1, 4, 5, 3)(2)
τ1,4 ◦ τ4,5 ◦ τ3,5
1 2 3 4 5
8. 4 3 1 2 5
(1, 4, 2, 3)(5)
τ1,4 ◦ τ2,4 ◦ τ2,3
1 2 3 4 5
9. 4 5 1 2 3
(1, 4, 2, 5, 3)
τ1,4 ◦ τ2,4 ◦ τ2,5 ◦ τ3,5
1 2 3 4 5
Slika 1.1. Permutacije skupa N5 za koje je −2 6 p(i)− i 6 3 i p(i)− i 6= −1, 2.
Generalizacija ovog primera je pojam permutacija sa ograniqeƬima sa kojima emo se sresti
kasnije.
TEOREMA 1.1.7. Svaka permutacija p ∈ Sn moжe se predstaviti kao kompozicija trans-
pozicija τ1,2, τ2,3, τ3,4, . . . , τn−1,n.
10 1.1. PERMUTACIJE
Dokaz. Prvo emo pokazati da se proizvoƩna transpozicija τp,q (p < q) moжe predstaviti
kao kompozicija datih transpozicija:
τp,q = τp,p+1 ◦ τp+1,p+2 ◦ . . . ◦ τq−2,q−1 ◦ τq−1,q ◦ τq−2,q−1 ◦ τq−3,q−2 ◦ . . . ◦ τp+1,p+2 ◦ τp+1,p.
Pokaжimo da gorƬa formula stvarno predstavƩa transpoziciju τp,q.
Pomou τp,p+1◦τp+1,p+2◦ . . .◦τq−2,q−1◦τq−1,q dovodimo element p na poziciju q, dok sve elemente
p+1, p+2, . . . , q− 1, q pomeramo za 1 mesto u levo. DaƩe sa τq−2,q−1 ◦ τq−3,q−2 ◦ . . . ◦ τp+1,p+2 ◦ τp+1,p
dovodimo element q (sa pozicije q − 1) na poziciju p, dok sve elemente p + 1, p + 2, . . . , q − 1
pomeramo za 1 mesto u desno (tako da su oni na svojoj polaznoj poziciji). Time smo pokazali
da je gorƬom formulom bax predstavƩena transpozicija τp,q.
Teorema 1.1.4 kaжe da se svaka permutacija p ∈ Sn moжe se predstaviti kao kompozicija
transpozicija, pa na osnovu prethodnog sledi da se svaka permutacija p ∈ Sn moжe se pred-
staviti kao kompozicija sledeih transpozicija: τ1,2, τ2,3, τ3,4, . . . , τn−1,n.
1.1.3 Znak permutacije
Sledei bitan osnovni pojam vezan za permutacije je pojam inverzije, koji je direktno povezan
sa pojmom znaka permutacije, xto igra bitnu ulogu kod definicije determinante.
DEFINICIJA 1.1.8. Ako u permutaciji σ elementi σi i σk zadovoƩavaju σi > σk, pri qemu
je i < k, kaжemo da elementi σi i σk obrazuju inverziju. Znaqi, dva elementa u permutaciji
obrazuju inverziju, ako nam prvo ide vei, a zatim maƬi.
Permutacija σ je parna ukoliko je ukupan broj inverzija u Ƭoj paran, a neparna ako je ukupan
broj inverzija neparan. Znak (parnost) permutacije σ, u oznaci sgn σ, definixemo kao
sgn σ =
{
1 ako je σ parna permutacija
−1 ako je σ neparna permutacija = (−1)
broj inverzija .
Moжe se pokazati da za znak permutacije vaжi formula
sgn σ =
∏
i<j
σ(j)− σ(i)
j − i .
Znak permutacije moжe se odrediti na 3 naqina: pomou inverzija (xto smo imali u Defini-
ciji 1.1.8), na osnovu kompozicije transpozicija (Teorema 1.1.4) i preko ciklusnog zapisa
(Teorema 1.1.2). Sada emo detaƩnije opisati svaki od ovih naqina.
I Permutacija p je parna ukoliko je ukupan broj inverzija u p paran, a neparna ako je ukupan
broj inverzija u p neparan. Moжe se rei da se znak permutacije p dobija po formuli
sgn p = (−1) broj inverzija .
II Ukoliko se permutacija moжe predstaviti kao kompozicija parnog broja transpozicija
ona je parna, a ako se moжe predstaviti kao kompozicija neparnog broja transpozicija
ona je neparna (tj. polazei od polazne permutacije bitno je koliko je potrebno zamena
mesta po dva elementa da bi dobili datu permutaciju). Odnosno, imamo formulu
sgn p = (−1) broj transpozicija .
III Ukoliko je p permutacija skupa Xn (koji ima n elemenata) predstavƩena u ciklusnom
zapisu i ako taj zapis ima c razliqitih ciklusa, tada je
sgn p = (−1)n−c .
1. PREGLED OSNOVNIH MATEMATIQKIH APARATA 11
1.1.4 Operacije sa permutacijama
Ve smo sreli sa jednom binarnom operacijom na permutacijama – to je kompozicija 2 per-
mutacije (daemo jox nekih znaqajnih svojstava ove operacije). Kod permutacija bez datih
xablona javƩae potreba za nekim (unarnim) operacijama na permutacijama. To su inverz-
na permutacija (eng. inverse), obrnuta permutacija (eng. reverse) i komplementarna permutacija
(eng. complement).
Na osnovu Definicije 1.1.3 imamo da je permutacija bijekcija, pa postoji i Ƭena inverzna
funkcija.
DEFINICIJA 1.1.9. Inverzna funkcija permutacije p naziva se inverzna permutacija i
najqexe se oznaqava sa σ−1.
Vratimo se sada unarnim operacijama nad permutacijama.
DEFINICIJA 1.1.10. Za permutaciju p = p1 p2 . . . pn−1 pn permutacija pn pn−1 . . . p2 p1
naziva se obrnuta permutacija i najqexe se oznaqava sa pr.
PRIMER 1.1.2. Odrediti obrnutu permutaciju σr za permutaciju σ = 2 4 3 1.
RexeƬe. Elemente permutacije σ ispiximo u obrnutom redosledu i dobili smo obrnutu
permutaciju σr za permutaciju σ: σr = 1 3 4 2.
DEFINICIJA 1.1.11. Za permutaciju p = p1 p2 . . . pn−1 pn duжine n permutacija
q1 q2 . . . qn−1 qn, kod koje za svaki element vaжi da je qi = n + 1 − pi, naziva se komplemen-
tarna permutacija i najqexe se oznaqava sa pc ili p.
PRIMER 1.1.3. Odrediti komplementarnu permutaciju σ c za permutaciju σ = 2 4 3 1.
RexeƬe. Ovde je n = 4 i za elemente permutacije σ odredimo odgovarajue elemente komple-
mentarne permutacije σ c:
5− 2 = 3, 5− 4 = 1, 5− 3 = 2, 5− 1 = 4.
Time smo dobili da je traжeni komplement σ c = 3 1 2 4.
PRIMER 1.1.4. Kod permutacije s = 5 2 3 4 1 se komplement i obrat poklapaju:
sc = sr = 1 4 3 2 5.
Ove operacije nalaze primenu u dokazima kod permutacija bez datih xablona (glava 2).
12 1.3. PARTICIJE
1.2. Kombinacije
Kombinacije predstavƩaju neureene izbore elemenata. ƫih moжemo poistovetiti sa pod-
skupovima:
DEFINICIJA 1.2.1. Kombinacija (neureeni izbor) k elemenata konaqnog skupa X je
bilo koji k-toqlani podskup skupa X.
Ukoliko skup X ima n elemenata, tada je broj svih kombinacija sa k elemenata jednak
binomnom koeficijentu
(
n
k
)
.
Vixe o kombinacijama moжe se nai u [40][glave 1.3 i 1.5].
1.3. Particije
Particije prirodnog broja, zajedno sa kompozicijama (koje emo obraditi u narednom odeƩku),
predstavƩaju izuzetno vaжne kombinatorne objekte. Pored mnoxtva nauqnih radova koji se
bave bave problemima vezanim sa ovim objektima, postoje i cele kƬige koje se bave Ƭima —
ameriqki matematiqar or
 Endrius autor je 2 kƬige koje su posveene particijama.
Particije u svom korenu imaju englesku req part (deo), ali se kod nas ovaj pojam ne prevodi.
Takoe u celom ovom poglavƩu za delove particije mi emo koristiti izraz sabirak (kod
particija i kompozicija prirodnog broja), odnosno podskup (kod particija skupa).
Za ukupan broj particija prirodnog broja n koristiemo oznaku p (n), a sa p (n | P) oz-
naqavaemo broj particija prirodnog broja n koje imaju neko svojstvo P. Samokonjugovane
particije emo oznaqavati sa s.k. a sa n.s. emo oznaqavati najvei sabirak u datoj partici-
ji. Izuzetno, svojstva vezana za informacije o broju sabiraka emo stavƩati u indeks, npr.
broj particija koje imaju taqno k sabiraka emo oznaqavati sa p k(n), ako ima najvixe k sabi-
raka to emo oznaqavati sa p6k(n), a particije koje imaju taqno m razliqitih sabiraka emo
oznaqavati sa pm(n | 6=). Potpuno analogno za kompozicije prirodnog broja n emo koristiti
oznake koje poqiƬu sa c, poput c (n), c (n | P), ...
DEFINICIJA 1.3.1. Particija π broja n, n ∈ N, na k sabiraka, k > 1, je familija
π = {a1, a2, . . . , ak}, takva da vaжi ai ∈ N za svako i = 1, 2, . . . , k i
n = a1 + a2 + . . .+ ak.
Ako particija π = {a1, a2, . . . , ak} sadrжi αi sabiraka jednakih i, i = 1, 2, . . . , k, tada particiju π
zapisujemo na sledei naqin
π = [1α1 2α2 . . . nαn ].
Nesrena okolnost je da za particije u skraenoj notaciji koristimo multiplikativne oz-
nake (ali te oznake su se ustalile u literaturi svuda u svetu), iako je particija u stvari suma
(tj. aditivna dekompozicija). Tako [23] je particija broja 6, koja znaqi da smo 6 predstavili
kao sumu tri dvojke. Takoe, radi vee preglednosti umesto k1 pisaemo samo k.
1. PREGLED OSNOVNIH MATEMATIQKIH APARATA 13
Osnovna razlika izmeu particija i kompozicija je xto je kod kompozicija bitan redosled
sabiraka, dok kod particija nije.
Tako, npr. particiji 1 + 2 + 2 + 5, koju moжemo zapisati i kao [1 22 5], odgovara
(
4
1,2,1
)
= 12
kompozicija iz Primera 1.4.2.
Naжalost, za particije prirodnih brojeva ne postoji eksplicitna formula kao za kompozi-
cije, ali zato moжemo da odredimo brojeve particija pomou rekurentnih veza ili na osnovu
funkcije generatrise, xto emo videti kasnije.
TEOREMA 1.3.1. Neka je p k(n) broj particija n na k sabiraka. Tada je
p k(n) = pk(n− k) + pk−1(n− k) + . . .+ p1(n− k).
Ovo tvreƬe moжemo iskoristiti da izraqunamo ukupan broj particija p (n) broja n. Sliq-
no kao u dokazu Teoreme 1.4.2, vidimo da particije broja n mogu imati od k = 1 do k = n
sabiraka. Stoga vaжi formula za broj particija
p (n) =
n∑
k=1
p k(n).
Prvih 16 vrednosti funkcije broja particija p (n) je dato u Tabeli 1.1. Ovi brojevi qine
niz A000041 u Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
p (n) 1 2 3 5 7 11 15 22 30 42 56 77 101 135 176 231
Tabela 1.1: Broj particija p (n) prirodnog broja n.
Vixe o particijama moжete pogledati u [40], gde im je posveeno celo jedno poglavƩe.
Particijama skupa emo se baviti i u poglavƩu o Stirlingovim brojevima II vrste.
1.4. Kompozicije
DEFINICIJA 1.4.1. Kompozicija prirodnog broja n na k sabiraka predstavƩa bilo koje
rexeƬe (a1, a2, . . . , ak) u skupu prirodnih brojeva jednaqine
a1 + a2 + . . .+ ak = n. (1.1)
Kompozicija se ponekad naziva i ureena particija ili ureeno razbijaƬe prirodnog broja n.
O broju kompozicija nam govore i sledea dva tvreƬa.
TEOREMA 1.4.1. Broj rexeƬa jednaqine (1.1), tj. broj kompozicija jednak je(
n− 1
k − 1
)
.
14 1.4. KOMPOZICIJE
Direktna posledica ovog tvreƬa je sledee kojim odreujemo ukupan broj svih moguih
kompozicija datog prirodnog broja.
TEOREMA 1.4.2. Ukupan broj kompozicija broja n je jednak c (n) = 2n−1.
PRIMER 1.4.1. Odrediti koliko ima kompozicija broja 5. Koliko tih kompozicija ima 1,
2, 3, 4, odnosno 5 sabirka?
RexeƬe. Imamo c (4) = 24 = 16 kompozicija broja 5. Prikaжimo ih:
5;
1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1;
1 + 1 + 3, 1 + 2 + 2, 1 + 3 + 1, 2 + 1 + 2, 2 + 2 + 1, 3 + 1 + 1;
1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1;
1 + 1 + 1 + 1 + 1.
U prvom redu je samo 1 kompozicija broja 5 na 1 sabirak i to se slaжe sa rezultatom
Teoreme 1.4.2:
(
5−1
1−1
)
=
(
4
0
)
= 1.
U drugom redu prethodnog prikaza imamo ukupno
(
5−1
2−1
)
=
(
4
1
)
= 4 kompozicije na 2 sabirka.
U treem redu imamo
(
5−1
3−1
)
=
(
4
2
)
= 6 kompozicija na 3 sabirka.
U qetvrtom redu su
(
5−1
4−1
)
=
(
4
3
)
= 4 kompozicije na 4 sabirka.
U petom redu je
(
5−1
5−1
)
=
(
4
4
)
= 1 kompozicija na 5 sabiraka.
TEOREMA 1.4.3. Kompozicija broja n, kod kojih se svaki broj j ∈ Nn javƩa taqno αj puta,
pri qemu je α1 · 1 + α2 · 2 + . . .+ αn · n = n, ima
(α1 + α2 + . . .+ αn)!
α1! · α2! · . . . · αn! =
(
α1 + α2 + . . .+ αn
α1, α2, . . . , αn
)
.
PRIMER 1.4.2. Odredimo sve kompozicije kod kojih su sabrici 1, 2, 2 i 5.
RexeƬe. Sve te kompozicije odgovaraju permutacijama sa ponavƩaƬem brojeva 1, 2, 2 i 5.
Stoga tih kompozicija ukupno ima
(
4
1,2,1
)
= 12:
1 + 2 + 2 + 5, 1 + 2 + 5 + 2, 1 + 5 + 2 + 2
2 + 1 + 2 + 5, 2 + 1 + 5 + 2, 2 + 2 + 1 + 5
2 + 2 + 5 + 1, 2 + 5 + 1 + 2, 2 + 5 + 2 + 1
5 + 1 + 2 + 2, 5 + 2 + 1 + 2, 5 + 2 + 2 + 1.
TEOREMA 1.4.4. Neka su n1, n2, . . . , nk razliqiti prirodni brojevi. Oznaqimo broj kompozi-
cija prirodnog broja n, kod kojih je svaki od sabiraka jednak nekom od brojeva n1, n2, . . . , nk sa
c (n | {n1, n2, . . . , nk}). Tada vaжi jednakost
c (n | {n1, n2, . . . , nk}) =
k∑
j=1
c (n− nj | {n1, n2, . . . , nk}),
gde kao poqetne uslove imamo c (m | {n1, n2, . . . , nk}) =
{
0, ako je m < 0,
1, ako je m = 0.
Rezultate ovog tvreƬa uopxtiemo u potpoglavƩu 3.5.1.
1. PREGLED OSNOVNIH MATEMATIQKIH APARATA 15
1.5. Grafovi
Grafovi su matematiqki objekti koje qesto sreemo u svakodnevnom жivotu, ali nalaze primene
u raznim nauqnim disciplinama. Sada emo uvesti najosnovnije pojmove. Terminologija je
usaglaxena sa [11, 18, 39].
DEFINICIJA 1.5.1. Graf G je ureen par (V, ̺), gde je V neprazan skup i ̺ binarna relaci-
ja na V . Elementi skupa V se zovu qvorovi, a elementi skupa ̺ grane grafa G.
Na osnovu definicije binarne relacije vaжi da je ̺ ⊆ V 2 = V × V , pa svaka grana grafa
predstavƩa jedan ureeni par qvorova grafa.
Svaki graf sa konaqnim skupom qvorova moжe se geometrijski predstaviti na sledei naqin.
Qvorove grafa v1, v2, . . . , vn ∈ V predstavƩamo meusobno razliqitim taqkama u ravni ili pros-
toru. Ukoliko postoji grana (vi, vj) ∈ ̺ tada su taqke koje odgovaraju qvorovima vi i vj spojene
neprekidnom linijom orijentisanom od qvora vi ka qvoru vj. Pri tome grana koja spaja qvor
sa samim sobom naziva se petƩa.
U Teoriji grafova su od posebnog interesa grafovi (V, ̺) kod kojih je relacija ̺ simetriqna.
Ovi grafovi se nazivaju neorijentisani grafovi. Kod ovakvih grafova za svaku granu (u, v) ∈ ̺,
takvu da je u 6= v, postoji i grana (v, u) ∈ ̺ obrnute orijentacije. Stoga se grane (u, v) i (v, u)
mogu zameniti skupom {u, v}. U sluqaju petƩe, kada je u = v, Ƭu moжemo predstaviti kao {u}.
Zato se vrlo qesto pojam neorijentisanog grafa moжe definisati i na alternativan naqin.
DEFINICIJA 1.5.2. Neorijentisani graf G je ureen par (V,E), gde je V neprazan skup, a
E ⊆ {{u, v} | u, v ∈ V }. Elementi skupa V se zovu qvorovi, a elementi skupa E grane neorijenti-
sanog grafa G.
Graf uvedene Definicijom 1.5.1 zovemo orijentisan grafov ili digraf , a pod neorijenti-
sanim grafom emo podrazumevamo graf iz Definicije 1.5.2. Zajedniqki termin graf emo
koristiti samo u tvreƬima i definicijama koji vaжe i za orijentisane i za neorijentisane
grafove. NadaƩe emo sve grafove obeleжavati sa (V,E).
DEFINICIJA 1.5.3. XetƬa duжine k, k > 1, u grafu (V,E) je niz grana iz E oblika
• (v0, v1), (v1, v2), . . . , (vk−1, vk) (kod orijentisanih grafova);
• {v0, v1}, {v1, v2}, . . . , {vk−1, vk} (kod neorijentisanih grafova).
Za ovu xetƬu kaжemo da poqiƬe u qvoru v0, a da se zavrxava u qvoru vk. Qvorovi v0 i vk se
zovu krajƬi qvorovi xetƬe.
Vidimo da se u xetƬi grane praktiqno nadovezuju jedna na drugu, tako da u stvari mi idemo
iz qvora v0 u qvor v1, zatim iz Ƭega u qvor v2 itd. do konaqnog qvora vk. Stoga se xetƬa u
grafu moжe zadati i kao niz uzastopnih qvorova spojenih granama:
v0 − v1 − v2 − . . .− vk−1 − vk.
XetƬa moжe vixe puta da prolazi istom granom ili kroz isti qvor, kao i kroz petƩe. Neke
specijalne vrste xetƬi date su u narednoj definiciji.
16 1.5. GRAFOVI
DEFINICIJA 1.5.4. Zatvorena xetƬa je xetƬa koja se zavrxava u istom qvoru u kojem i
poqiƬe, tj. v0 = vk.
Put (ili elementarni put ili prost put) je xetƬa koja kroz svaki qvor grafa prolazi najvixe
jedanput.
Kontura (ciklus) je elementarni kruжni put (dozvoƩavamo da su poqetni i zavrsni qvorovi
jednaki).
PetƩa se moжe smatrati konturom duжine 1.
NadaƩe emo se baviti orijentisanim grafovima (sem ako se ne naglasi drugaqije).
DEFINICIJA 1.5.5. Neka je G = (V,E) graf sa skupom qvorova V = {v1, v2, . . . , vn}. Ma-
trica susedstva grafa G je kvadratna matrica A = ||aij ||n×n reda n kod koje su aij = 1 ako je
(vi, vj) ∈ E i aij = 0 ako (vi, vj) 6∈ E
(za orijentisane grafove).
Ovako zadata matrica susedstva je 0-1 matrica. Pojam (di)grafa i matrice susedstva moжe-
mo uopxtiti na teжinske grafove.
DEFINICIJA 1.5.6. Funkcija w : E → R, koja svakoj grani e ∈ E pridruжuje realan broj
naziva se teжinska funkcija, a ureena trojka (V,E,w) naziva se teжinski graf. Za xetƬu
(duжine k) ℓ = e1 − e2 − . . .− ek uvodimo teжinu xetƬe kao
w(ℓ) = w(e1) · w(e2) · . . . · w(ek).
Oznaqimo sa
Aij(k) =
∑
ℓ
w(ℓ),
gde sumiraƬe ide po svim xetƬama ℓ u digrafu G duжine k, koje polaze iz vi i zavrxavaju se
u vj. Uvedimo n× n matricu A = (Aij) sa Aij = Aij(1). Ovako definisana matrica A naziva se
matrica susedstva digrafa G u odnosu na teжinsku funkciju w.
Kasnije, u Metodi matrica prenosa (strana 38), koristiemo pojmove iz prethodne defini-
cije, a i od suxtinskog znaqaja e biti naredno tvreƬe.
TEOREMA 1.5.1. Neka je k ∈ N. Tada je element na poziciji (i, j) matrice Ak jednak Aij(k).
(Ovde uzimamo da je A0 = I qak i ako A nije invertibilna.)
Dokaz. Ovo sledi direktno iz definicije mnoжeƬa matrica. Specijalno, imamo
(Ak)ij =
∑
Aii1Ai1i2 · · ·Ain−1j ,
gdew suma ide po svim nizovima (i1, i2, . . . , in−1) ∈ (Nn)k−1. Ovi sabirci su jednaki 0, izuzev
ako postoji xetƬa duжine k vi − vi1 − vi2 − . . . − vik−1 − vj. Ako postoji takva xetƬa, onda je
odgovarajui sabirak u gorƬoj sumi jednak zbiru teжina svih takvih xetƬi, te odatle sledi
dokaz.
Zbog nekih tvreƬa u glavi 4. daemo i definiciju digrafa D(A) koji odgovara matrici A
i navesti Teoremu 3.1.2. iz [11], koju emo koristiti u nekim dokazima.
1. KOMBINATORNI BROJNI NIZOVI 17
DEFINICIJA 1.5.7. Neka je A = [aij ] matrica reda n. Matrici A pridruжujemo digraf
D(A) sa n qvorova. Qvorove grafa D(A) oznaqimo sa 1, 2, . . . , n. U digrafu imamo granu koja
vodi iz qvora i u qvor j teжine aij za svako i, j ∈ Nn. Tako D(A) ima petƩu u qvoru i teжine
aii. Grana teжine 0, koja odgovara 0 elementu matrice A, moжe se ukloniti iz digrafa D(A)
bez ikakvog daƩeg uticaja. Jedan od razloga je i xto teжinu xetƬe u D(A) definixemo ako
proizvod teжina svih grana koje qine tu xetƬu.
Kako mi radimo sa 0−1 matricama, imamo da je teжina svake xetƬe u digrafu D(A) jednaka
1 (one sa teжinom 0 nemamo, jer smo uklonili grane teжine 0), te stoga imamo jednostavniju
formulaciju Teoreme 3.1.2. iz [11] (Ƭu emo samo navesti bez dokaza):
TEOREMA 1.5.2. Neka je A = [aij ] 0− 1 matrica reda n. Za svaki prirodan broj k, element
a
(k)
ij matrice A
k u i-toj vrsti i j-toj koloni jednak je broju svih xetƬi duжine k u digrafu
D(A) koje polaze iz qvora i i zavrxavaju u qvoru j.
Dokaz. TvreƬe emo pokazati matematiqkom indukcijom po k.
Za k = 0 (A0 = I) i za k = 1 (A1 = A je matrica susedstva) tvreƬe je taqno. X
Neka je tvreƬe taqno za k = K.
Iz jednakosti a
(K+1)
ij =
n∑
t=1
a
(K)
i t atj, zakƩuqujemo da je a
(K+1)
ij jednak broju puteva duжine K +1
koji spajaju qvorove vi i vj. X
Na osnovu Principa matematiqke indukcije dobijamo da tvreƬe vaжi za svaki k ∈ N.
1.6. Fibonaqijevi brojevi
Fibonaqijevi brojevi predstavƩaju svakako jedan od najpoznatijih nizova. Vixe o Ƭima i
Ƭihovom istorijatu moжe se nai u [40].
Najqexe se Fibonaqijev niz definixe tako da su indeksi pomereni za 1 u odnosu na niz
(fn) (ima nekoliko qisto matematiqkih razloga, od kojih je jedan da se tada mnogo prirodnije
vrxi proxireƬe indeksa na ceo skup celih brojeva). To je niz dat u Tabeli 1.2. Ti brojevi
predstavƩaju niz A000045 u Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Fn 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610
Tabela 1.2. Fibonaqijev niz.
Sada emo dati i definiciju Fibonaqijevih brojeva.
DEFINICIJA 1.6.1. Fibonaqijev niz (Fn) je zadat sledeom rekurentnom jednaqinom:
F1 = 1, F2 = 1 i Fn+2 = Fn+1 + Fn.
Ponekad se uvodi i proxireƬe tako da indeksi mogu da budu celi brojevi:
F0 = 0 i F−a = (−1)a+1Fa, pa niz izgleda
. . . ,−21, 13,−8, 5,−3, 2,−1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . .
Primetimo da i ovakav niz zadovoƩava svojstvo da je zbir dva uzastopna qlana jednak sledeem.
18 1.6. FIBONAQIJEVI BROJEVI
U sledeoj teoremi je data kombinatorna definicija Fibonaqijevih brojeva.
TEOREMA 1.6.1. Skup Nn = {1, 2, . . . , n} sadrжi taqno Fn+2 podskupa (ukƩuqujui i prazan
skup) u kojima se ne nalaze 2 uzastopna prirodna broja.
Dokaz. Oznaqimo sa an broj podskupova skupa Nn koji ne sadrжe 2 uzastopna prirodna broja.
Za svaki skup S, koji brojimo u an, imamo 2 mogunosti:
1◦ n 6∈ S. U skupu S mogu biti svi brojevi iz Nn−1 (jer broj n nije u S), ali uz uslov da nema
2 uzastopna. Takvih podskupova ima an−1.
2◦ n ∈ S. Kako je broj n u skupu S u Ƭemu ne moжe biti i broj n − 1, te je S \ {n} ⊆ Nn−2, uz
uslov da nema 2 uzastopna. Takvih podskupova ima an−2.
Stoga dobijamo da vaжi rekurentna jednaqina
an = an−1 + an−2.
Poqetne uslove emo odrediti prostim prebrojavaƬem. Za n = 1 imamo a1 = 2 takva podskupa
∅ i {1},
a za n = 2 imamo a2 = 3 takva podskupa
∅, {1} i {2}.
Kako imamo istu rekurentnu jednaqinu, a samo pomerene poqetne uslove dobijamo da vaжi
an = Fn+2.
1.6.1. Opxti qlan Fibonaqijevog niza
Sledeu formulu za opxti qlan Fibonaqijevog niza je 1843. godine pokazao francuski matem-
atiqar Bine i stoga se ona ponegde u literaturi naziva i Bineova formula.
TEOREMA 1.6.2. Opxti qlan Fibonaqijevog niza je jednak Fn =
(
1+
√
5
2
)n
−
(
1−√5
2
)n
√
5
.
TEOREMA 1.6.3. Funkcija generatrisa Fibonaqijevog niza jednaka je F (x) =
x
1− x− x2 .
1.6.2. Tribonaqijev niz
Ime ovog niza dobijeno je ukrxtaƬem reqi tri i Fibonaqi. On je zadat na sliqan naqin kao
i Fibonaqijev.
DEFINICIJA 1.6.2. Tribonaqijev niz je zadat sledeom rekurentnom jednaqinom:
T0 = T1 = 0, T2 = 1 i Tn = Tn−1 + Tn−2 + Tn−3.
1. KOMBINATORNI BROJNI NIZOVI 19
Prvih nekoliko qlanova Tribonaqijevog niza je dato u Tabeli 1.3.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Tn 0 0 1 1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 1 705 3 136
Tabela 1.3. Tribonaqijev niz.
Napomena. Ovi brojevi qine niz A000073 u Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
Nekoliko kombinatornih interpretacija Tribonaqijevih brojeva moжete nai u [40].
Ovaj niz se moжe poopxtiti na (r+1)-Fibonaqijeve brojeve (eng. (r+1)-step Fibonacci numbers):
an = an−1 + an−2 + . . .+ an−r−1,
uz poqetne uslove a0 = . . . = ar−1 = 0 i ar = 1.
Za ove brojeve vaжe i neka poopxteƬa prethodnih osobina. Tako oni predstavƩaju broj
permutacija skupa Nn−r+1 koje zadovoƩavaju uslov −16 p(i)− i6 r, za i = 1, 2, . . . , n− r+1, kao i
broj kompozicija broja n− r + 1 na sabirke iz skupa {1, 2, . . . , r + 1}, o qemu e biti vixe reqi
u potpoglavƩu 3.5.1.
Napomena. Za r = 3 dobijamo Tetranaqijeve brojeve, xto je niz A000078; za r = 4 to su
Pentanaqijevi brojevi — A001591; a za r = 5 to su Heksanaqijevi brojevi — A001592 u En-
ciklopediji celobrojnih nizova [43].
1.6.3. Lukasov niz
Engleski matematiqar iz 19. veka Edvard Lukas je kumovao Fibonaqijevim brojevima (on ih je
nazvao po Fibonaqiju zbog Problema zeqeva). Takoe, po Ƭemu je ime dobio i jedan niz koji je
veoma sliqan sa Fibonaqijevim nizom i po rekurentnoj jednaqini, kao i po nekim osobinama,
koje emo opisati u ovom odeƩku.
DEFINICIJA 1.6.3. Lukasov niz (Ln) je zadat sledeom rekurentnom jednaqinom:
L1 = 1, L2 = 3 i Ln+2 = Ln+1 + Ln.
Ponekad su poqetni uslovi zadati i kao L0 = 2, L1 = 1 (neemo se osvrtati na pomerene
Lukasove nizove). Ovo L0 e nam trebati kad budemo odreivali funkcije generatrise.
TEOREMA 1.6.4. Opxti qlan Lukasovog niza je Ln =
(
1+
√
5
2
)n
+
(
1−√5
2
)n
.
TEOREMA 1.6.5. Funkcija generatrisa L(x) Lukasovog niza iznosi L(x) =
2− x
1− x− x2 .
U Tabeli 1.4 je dato prvih nekoliko qlanova Lukasovog niza. Ovi brojevi qine niz A000032
u Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Ln 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843
Tabela 1.4. Lukasov niz.
20 1.7. KATALANOVI BROJEVI
Sledea teorema nam daje vezu Fibonaqijevih i Lukasovih brojeva. ƫu emo koristiti u
izraqunavaƬima u Primeru 4.2.5.
TEOREMA 1.6.6. Za svaki n ∈ N vaжi jednakost Ln = Fn+1 + Fn−1.
U sledeoj teoremi je sadrжana kombinatorna definicija Lukasovih brojeva.
TEOREMA 1.6.7. Skup Nn = {1, 2, . . . , n} sadrжi taqno Ln podskupova (ukƩuqujui i ∅) u
kojima se ne nalaze 2 uzastopna prirodna broja, kao ni 1 i n istovremeno.
Dokaz. Oznaqimo sa an broj podskupova skupa Nn koji ne sadrжe 2 uzastopna prirodna broja
(isto kao u Teoremi 1.6.1), a sa bn broj podskupova skupa Nn koji ne sadrжe 2 uzastopna prirod-
na broja, kao ni 1 i n istovremeno. Za svaki skup S, koji brojimo u bn, imamo 2 mogunosti:
1◦ n 6∈ S. Kako broj n nije u S u Ƭemu mogu biti svi brojevi iz Nn−1, ali uz uslov da nema 2
uzastopna. Takvih podskupova ima an−1.
2◦ n ∈ S. Kako je broj n u S u Ƭemu ne moжe biti ni 1 ni n− 1, te je stoga S \ {n} ⊆ Nn−2 \ {1},
opet uz uslov da nema 2 uzastopna. Takvih podskupova ima an−3.
Stoga na osnovu Teorema 1.6.1 i 1.6.6 dobijamo da vaжi
bn = an−1 + an−3 = Fn+1 + Fn−1 = Ln.
1.7. Katalanovi brojevi
Katalanovi brojevi Cn, n > 0, predstavƩaju niz prirodnih brojeva koji se pojavƩuje kao rex-
eƬe velikog broja kombinatornih problema. KƬiga [39] sadrжi zadatke koji opisuju qak 66
razliqitih interpretacija Katalanovih brojeva! Vixe o Ƭima moжete nai i u [40].
Prvih nekoliko Katalanovih brojeva je dato u Tabeli 1.5. Ovi brojevi predstavƩaju niz
A000108 u Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 . . .
Cn 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012 742900 . . .
Tabela 1.5: Katalanovi brojevi.
Katalanovi brojevi zadovoƩavaju jednostavnu rekurentnu relaciju, koju emo navesti u
sledeoj teoremi.
TEOREMA 1.7.1. Za Katalanove brojeve vaжi Cn =
n−1∑
k=0
CkCn−1−k, uz uslov C0 = 1.
Iako homogena, ova relacija nije linearna, tako da se za Ƭeno rexavaƬe ne mogu primeniti
formule date u [40]. Umesto toga, iskoristiemo metod funkcija generatrise.
Katalanovi brojevi imaju jednostavnu formulu.
TEOREMA 1.7.2. Za Katalanove brojeve vaжi jednakost Cn =
1
n+1
(
2n
n
)
.
2. Permutacije bez datih xablona
2.1. Osnovni pojmovi
Permutacije sa ograniqeƬima, taqnije permutacije koje izbegavaju date xablone, su deo kom-
binatorike koji se posledƬih desetak godina intenzivno razvija. Ovu problematiku emo
ilustrovati na jednom primeru iz svakodnevnog жivota.
Neka se na jednom igralixtu nalazi n dece, od kojih ne postoje 2 deteta iste visine. Za
sledeu igru potrebno je da se poreaju u kolonu, tako da svako dete gleda u potiƩak deteta
ispred Ƭega. Takoe, potrebno je da svako dete moжe da vidi svu decu koja su niжa od Ƭega i
nalaze se u koloni ispred Ƭega. Koliko ima razliqitih kolona koje zadovoƩavaju date uslove?
Oznaqimo brojevima 1, 2, . . . , n decu na igralixtu, tako da su poreana po visini – sa
brojem 1 je oznaqeno najniжe dete, a sa n najvixe. Tako bi kolona dece (ima ih n = 12) sa
21
22 2.1. OSNOVNI POJMOVI
gorƬe slike bila predstavƩena permutacijom
7 1 3 9 6 12 11 8 2 5 10 4
(posledƬe dete u koloni je oznaqeno brojem 4 jer postoje 3 deteta koja su niжa od Ƭega, dok je
recimo, xesto dete u koloni najvixe iako je pognulo glavu).
Da li bi ovakva kolona zadovoƩavala date uslove? Ne, jer recimo dete qija je visina 8.
po redu ne vidi od najvixeg deteta (12) dete koje je 3. po visini, a trebalo bi, jer je to dete
niжe od Ƭega i nalazi se ispred Ƭega.
Sa druge strane, npr. za n = 7 bi
6 7 2 3 4 1 5
bila dobra kolona.
Dakle, kada je neka kolona dobra? Kolona je dobra ukoliko ne sadrжi 3 elementa a, b i c,
tako da se oni nalaze ovim redosledom u koloni i da za Ƭih vaжi a < c < b. Kadgod imamo takvu
situaciju, tada c ne moжe da vidi a jer je b koji je vixi od obojice izmeu Ƭih. Za brojeve u
ovom rasporedu kaжemo da formiraju xablon oblika 132 ili krae 132–xablon (jer je prvi od
Ƭih a najmaƬi, tj. 1. po veliqini, pa je sledei b 3. po veliqini, dok je posledƬi od Ƭih c u
sredini, tj. 2. po veliqini od Ƭih trojice).
Sliqno, ako imamo a < b < c, kaжemo da brojevi a, b i c formiraju 123–xablon, a ako imamo
c < a < b, tada emo rei da brojevi a, b i c formiraju 231–xablon.
Sada emo i strogo formalno definisati pojam xablona (eng. pattern).
DEFINICIJA 2.1.1. Za niz (razliqitih) brojeva a = (a1, a2, . . . , ak) uvodimo smaƬeni oblik
(eng. reduced form), u oznaci ̺(a), tako xto najmaƬi element zamenimo sa 1, sledei najmaƬi sa
2 i tako daƩe.
Ova operacija na neki naqin quva redosled elemenata u odnosu na Ƭihove vrednosti (u
odnosu na standardnu relaciju poretka 6).
PRIMER 2.1.1. SmaƬeni oblik niza 8157 je ̺(8157) = 4123, dok je smaƬeni oblik niza
544529 dat sa ̺(544529) = 322314.
U sluqaju permutacija (tj. nizova a duжine k koji imaju sve razliqite elemente) operaciju
smaƬenog oblika moжemo uvesti i na sledei naqin:
̺(aj) = |{m : am 6 aj, 16m6 k}|.
DEFINICIJA 2.1.2. Neka su p ∈ Sn i τ ∈ Sk dve permutacije (uz pretpostavku k 6 n).
Tada kaжemo da permutacija p sadrжi xablon τ ako postoji podniz 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 n
takav da je smaƬeni oblik permutacije pi1 pi2 . . . pik bax permutacija τ , tj. ̺(pi1 pi2 . . . pik) = τ .
Ukoliko permutacija p ne sadrжi xablon τ tada kaжemo da permutacija p izbegava xablon τ
ili krae da je p tau–izbegavajua permutacija. Skup svih permutacija iz Sn koje izbegavaju
xablon τ oznaqavaemo sa Sn(τ).
PRIMER 2.1.2. Permutacija 5716243 sadrжi dva xablona oblika 4132 koji se preklapaju,
to su 7162 i 6243 (jer je ̺(7162) = 4132 i ̺(6243) = 4132). Pored Ƭih ova permutacija ima jox
xablona oblika 4132. Svi takvi xabloni su: 5162, 5164, 5163, 5243, 7162, 7164, 7163, 7243,
6243.
PRIMER 2.1.3. Permutacija 4215763 izbegava xablon 2413, ali ne izbegava xablon 3142
zbog podniza 4273 za koji je smaƬena forma ̺(4273) = 3142.
2. PERMUTACIJE BEZ DATIH XABLONA 23
Sada emo uvesti jox jedan pojam koji e nam biti kasnije potreban kada uvodimo odgovo-
rajuu bijekciju.
DEFINICIJA 2.1.3. Element permutacije koji je vei od svih elemenata koji mu prethode
naziva se sleva-nadesno maksimum (eng. left-to-right maximum), tj. element permutacije pi je sleva-
nadesno maksimum ako vaжi pi > pj za sve j < i.
Napomena. Primetimo da je prvi element u permutaciji uvek sleva-nadesno maksimum, dok je
posledƬi sleva-nadesno maksimum najvei element n. Takoe sleva-nadesno maksimumi formi-
raju rastui podniz.
PRIMER 2.1.4. U permutaciji 26173854 elementi 2, 6, 7 i 8 su sleva-nadesno maksimumi.
2.1.1. Dikovi putevi
Sada emo uvesti pojam Dikovog puta (eng. Dyck).
DEFINICIJA 2.1.1. Dikov put duжine 2n je put u celobrojnoj rexetci N0 × N0 izmeu
taqaka (0, 0) i (2n, 0) koji se sastoji samo od gorƬih koraka (eng. up-steps) oblika (1, 1) i doƬih
koraka (eng. down-steps) oblika (1,−1). Kako je put u N0 × N0 on nikad ne ide ispod x-ose.
Ponekad je zgodno kodirati svaki gorƬi korak sa u i svaki doƬi korak sa d. Na taj naqin
dobijamo od Dikovog puta odgovarajui kod koji nazivamo Dikova req. Oznaqiemo sa Dn skup
svih Dikovih puteva duжine 2n, a sa D = ⋃
n>0
Dn skup svih Dikovih puteva.
Visina Dikovog puta je najvea vrednost y-koordinate neke taqke sa Dikovog puta. Nizbrdica
(eng. ascent) je duжina maksimalnog niza uzastopnih gorƬih koraka, dok je uzbrdica (eng. descent)
je duжina maksimalnog niza uzastopnih doƬih koraka.
Svaki Dikov put se moжe zadati i preko 2 niza: niza uzbrdica i niza nizbrdica. Par
nizova predstavƩa nizove uzbrdica i nizbrdica nekog Dikovog puta ako zadovoƩava sledee:
• oba niza sadrжe samo prirodne brojeve;
• oba niza imaju istu duжinu;
• oba niza imaju jednaku duжinu;
• svaka parcijalna suma prvog niza nije maƬa od odgovarajue parcijalne sume drugog niza.
PRIMER 2.1.1. Na Slici 2.1 je prikazan jedan Dikov put duжine 10 kome odgovara Dikova
req uduuuddudd.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
x
y
Slika 2.1.
24 2.3. PERMUTACIJE BEZ XABLONA DUЖINE 4
ƫegova visina je 3 jer mu najvixa taqka (5, 3) ima y-koordinatu 3.
Niz uzbrdica ovog Dikovog puta je (1, 3, 1) (jer prva uzbrdica ima duжinu 1, druga 3, a trea
1), dok je niz nizbrdica (1, 2, 2).
2.2. Permutacije bez xablona duжine 3
Navexemo nekoliko tvreƬa za permutacije koje izbegavaju xablon 132.
TEOREMA 2.2.1. Broj permutacija duжine n koje izbegavaju xablon 132 jednak je Kata-
lanovom broju, tj. |Sn(132)| = Cn.
TEOREMA 2.2.2. Broj permutacija duжine n koje izbegavaju xablon 123 jednak je Kata-
lanovom broju, tj. |Sn(123)| = Cn.
Na osnovu prethodne 2 teoreme dolazimo do toga da broj permutacija koji izbegavaju ne-
ki xablon q duжine 3, uopxte ne zavisi od q. Da bismo to pokazali iskoristiemo ranije
uvedene unarne operacije nad permutacijama: inverznu permutaciju, obrnutu permutaciju i
komplementarnu permutaciju (videti definicije 1.1.9, 1.1.10 i 1.1.11).
TEOREMA 2.2.3. Broj permutacija duжine n koje izbegavaju neki xablon q duжine 3 jednak
je Katalanovom broju, tj. |Sn(q)| = Cn =
(
2n
n
)
n+ 1
.
Dokaz. Kako je 231 obrnuta permutacija od 132, imamo da ako permutacija p izbegava xablon
132, onda Ƭena obrnuta permutacija pr izbegava 231 i obrnuto. Ova qiƬenica nam uspostavƩa
bijekciju izmeu 132–izbegavajuih n-permutacija i 231–izbegavajuih n-permutacija. Stoga,
na osnovu Teoreme 2.2.1, vaжi |Sn(231)| = |Sn(132)| = Cn.
Kako je 312 komplementarna permutacija od 132, imamo da vaжi |Sn(312)| = |Sn(132)| = Cn.
Kako je 213 obrnuta permutacija od 312, imamo da vaжi |Sn(213)| = |Sn(312)| = |Sn(132)| = Cn.
Kako je 321 obrnuta (a i komplementarna) permutacija od 123, na osnovu Teoreme 2.2.2, vaжi
|Sn(321)| = |Sn(123)| = Cn.
2.3. Permutacije bez xablona duжine 4
Za permutacije bez xablona duжine 3 smo u prethodnom poglavƩu pokazali da ne zavise od toga
koji je xablon duжine 3 u pitaƬu. Za permutacije bez xablona duжine 4 (i vee), problem
odreivaƬa Ƭihovog broja je znaqajno teжi. Poznato je samo nekoliko xablona q za koje je
poznata taqna formula za |Sn(q)|.
U ovom poglavƩu posmatraemo permutacije bez xablona duжine 4. Tih xablona ima ukup-
no 24, ali korixeƬem inverzne, obrnute i komplementarne permutacije, kao i nekih teжe
2. PERMUTACIJE BEZ DATIH XABLONA 25
uoqƩivih trikova, moжe se pokazati da su suxtinski razliqite samo xabloni 1234, 1342 i
1324. Kompjuterska izraqunavaƬa ve za male vrednost (n6 8) nam pokazuju da su permutacije
bez ovih xablona razliqite:
• za |Sn(1342)| niz je: 1, 2, 6, 23, 103, 512, 2740, 15485, . . .
• za |Sn(1234)| niz je: 1, 2, 6, 23, 103, 513, 2761, 15767, . . .
• za |Sn(1324)| niz je: 1, 2, 6, 23, 103, 513, 2762, 15793, . . .
Za razliku od xablona duжine 3, vidimo da |Sn(q)| vixe nije nezavisno od xablona q.
Takoe, izgleda da za n> 7 vaжi
|Sn(1342)| < |Sn(1234)| < |Sn(1324)|.
Ovo se moжe pokazati da stvarno vaжi.
Iznenaujue je (u smislu da ne znamo vaƩano objaxƬeƬe), da je monoton xablon 1234 u sre-
dini. Bilo je za oqekivati da je Ƭega najlakxe ili najteжe izbei.
Vixe o ovom tipu permutacija sa ograniqeƬima moжe se nai u dosta literature, npr.
[10, 19, 23].
2.4. Permutacije bez vixe xablona
I o ovoj problematici moжe se vixe nai u literaturu, npr. za reference videti [?].
2.4.1. Permutacije bez xablona 1243 i 2143
U radu [?] Erik Ege (eng. Eric S. Egge) i Tufik Mansur (fra. Toufik Mansour) su se bavili
permutacijama koje izbegavaju i 1243 i 2143. Oni su pomou tehnike koja koristi funkcije
generatrisa pokazali da za permutacija koje istovremeno izbegavaju xablone 1243, 2143 i 231
vaжi:
|Sn(1243, 2143, 231)|= (n+ 2) · 2n−3.
Na kraju rada [?, str. 30] oni su postavili nekoliko otvorenih problema vezanih za taj rad.
Trei od Ƭih je bio da se pokaжe prethodna jednakost, ali kombinatorno. Mi emo ovde dati
2 kombinatorna dokaza, jedan koji se oslaƬa na rexava Ƭe rekurentnih jednaqina i drugi koji
uspostavƩa bijekciju sa nekim posebnim Dikovim putevima.
TEOREMA 2.4.1. Za broj permutacija iz skupa Sn koje istovreno izbegavaju xablone 1243,
2143 i 231 vaжi:
|Sn(1243, 2143, 231)|= (n+ 2) · 2n−3, (n> 2).
Dokaz 1. TvreƬe emo pokazati matematiqkom indukcijom. Oznaqimo sa an broj permutacija
koje istovreno izbegavaju xablone 1243, 2143 i 231.
Za n = 2 imamo samo 2 permutacije 12 i 21 i obe izbegavaju sva 3 xablona (jer su duжine
xablona vee od 2). Za n = 3 imamo da je a3 = C3 = 5 (gde Cn oznaqava n-ti Katalanov broj)
jer ovde od 3! = 6 permutacija skupa {1, 2, 3} izbacujemo samo 231.
Pretpostavimo da tvreƬe vaжi za n− 1: an−1 = (n+ 1) · 2n−4. Pokaжimo da vaжi i za n.
Prvo emo pokazati da se najvei broj n moжe nalaziti samo na prvoj, drugoj ili posledƬoj
poziciji. Pretpostavimo da je n na k-toj poziciji, 36k6n−1. Neka se na prvoj poziciji nalazi
a, na drugoj b i na posledƬoj c. Ukoliko je a < c i b < c tada elementi abnc obrazuju ili xablon
26 2.4. PERMUTACIJE BEZ NEKOLIKO XABLONA
1243 ili 2143. Ukoliko to nije situacija onda je c maƬi d = max{a, b}, ali tada elementi dnc
formiraju xablon 231. Time smo pokazali da ako je n na nekoj poziciji razliqitoj od prve,
druge ili posledƬe onda takva permutacija ne pripada skupu Sn(1243, 2143, 231).
Sledee xto primeujemo je da ako je broj n na prvoj ili posledƬoj poziciji tada on ne
moжe biti deo nijednog xablona 1243, 2143 ili 231 jer se u svim tim xablonima najvei broj
nalazi negde u sredini. Stoga je i broj permutacija iz Sn(1243, 2143, 231) kod kojih je n na prvom
mestu jedanak an−1 = |Sn−1(1243, 2143, 231)| i broj permutacija kod kojih je n na posledƬem mestu
jedanak je takoe an−1.
Ostaje jox da vidimo xta se dexava ukoliko je n na drugom mestu. Tada na prvom mora
biti 1 (u protivnom ako bi na prvom mestu bio neki broj a > 1 onda bi an1 qinili zabraƬeni
231 xablon). Opet broj n ne moжe biti deo nijednog xablona 1243, 2143 ili 231, ali 1 na
prvoj poziciji moжe biti deo xablona 1243. Kako je smaƬeni oblik od 243 jednak r(243) =
132, to u ostatku ove permutacije ne moжemo imati xablon 132. Kako je 132 i deo xablona
2143, to dobijamo da je broj traжenih permutacija u ovom sluqaju jednak Sn−2(132, 231). Ovaj
broj permutacija sa ograniqeƬima je poznat, videti npr. rexeƬe zadatka 2 iz glave 14 kƬige
Mikloxa Bone ,,XetƬa kroz kombinatoriku“, [?, str. 334]. Stoga dobijamo da je broj traжenih
permutacija u sluqaju kada je n na drugoj poziciji jednak |Sn−2(132, 231)| = 2n−3.
Time smo dobili rekurentnu jednaqinu an = an−1 + 2n−3 + an−1, tj. nehomogenu linearnu
rekurentnu jednaqinu sa konstantnim koeficijentima
an = 2an−1 + 2n−3.
Sada jox ostaje da iskoristimo Princip matematiqke indukcije:
an = 2 ·
(
(n+ 1)2n−4
)
+ 2n−3 = (n+ 2) · 2n−3,
xto je i trebalo pokazati.
Sada emo dati i drugi dokaz ovog tvreƬa. U tom dokazu emo koristi sledee pomono
tvreƬe, koje emo takoe pokazati na 2 razliqita naqina.
LEMA 2.4.2. Vaжi
n∑
i=2
i · (n−2
i−2
)
= (n+ 2) · 2n−3.
Dokaz 1. Oznaqimo datu sumu sa S =
n∑
i=2
i · (n−2
i−2
)
. Iz Binomne formule, kada uvedemo smenu
i = k − 2, imamo da je (x + 1)n−2 =
n−2∑
k=0
(
n−2
k
)
xk =
n−2∑
i=2
(
n−2
i−2
)
xi−2. Pomnoжimo obe strane sa x2 i
oznaqimo tako dobijenu funkciju sa f(x):
f(x) = x2 · (x+ 1)n−2 =
n−2∑
i=2
(
n− 2
i− 2
)
xi.
Kako je izvod (x2 · (x + 1)n−2)′ = 2x · (x + 1)n−2 + x2 · (n − 2)(x + 1)n−3 = (x + 1)n−3 · (nx2 + 2x), to
dobijamo jednakost:
f ′(x) = (x+ 1)n−3 · (nx2 + 2x) =
n−2∑
i=2
i ·
(
n− 2
i− 2
)
xi−1.
Kada tu zamenimo x = 1 dobijamo traжenu jednakost.
Dokaz 2. Pretpostavimo da u kutiji imamo skup B koji se sastoji od n kuglica, od qega su 2
plave i n− 2 crvenih kuglica. Na 2 naqina emo prebrojati broj razliqitih izbora ureenog
para (S, k), pri qemu je skup S ⊆ B takav da sadrжi obe plave kuglice i k ∈ S je proizvoƩna
kuglica iz S.
Leva strana. Prvo odaberimo i− 2 kuglice od n− 2 crvenih, xto moжemo uqiniti na (n−2
i−2
)
naqina, a zatim dodamo jox 2 plave kuglice da bismo dobili skup S. Sada od tih i kuglica
biramo jednu, xto moжemo uqiniti na
(
i
1
)
= i naqina. Kako skup S moжe da sadrжi proizvoƩan
broj i kuglica, 26 i6 n, dobijamo da je traжeni broj izbora para (S, k) jednak
n∑
i=2
i · (n−2
i−2
)
.
2. PERMUTACIJE BEZ DATIH XABLONA 27
Desna strana. Ako je izdvojena kuglica crvena Ƭu moжemo odabrati na
(
n−2
1
)
= n−2 naqina,
a ostale crvene (ima ih n− 3) ili jesu ili nisu u S, pa izbora (S, k), gde je k crvena kuglica
ima 2n−3. Ako je izdvojena kuglica plava Ƭu moжemo odabrati na 2 naqina, a ostale crvene na
2n−2. Ukupno izbora para (S, k) ima (n− 2) · 2n−3 + 2 · 2n−2 = (n+ 2) · 2n−3.
Time smo kombinatorno pokazali da vaжi traжena jednakost
n∑
i=2
i · (n−2
i−2
)
= (n+ 2) · 2n−3.
Sada se vraamo na drugi dokaz Teoreme 2.4.1.
Dokaz 2. Koristiemo preslikavaƬe koje svakoj permutaciji iz skupa Sn(132) pridruжuje
jedan Dikov put. To preslikavaƬe je dato u radu Seri Elizalde i Igora Paka [?], a ono
je bazirano na preslikavaƬu Kratnhalera iz [?]. Mi emo koristiti i grafiqka predstavl-
jaƬa Markusa Fulmeka iz [?]. U tim radovima moжete nai i dokaze da je ovo preslikavaƬe
bijekcija, tako da emo se mi ovde samo zadrжati na opisu.
Prvo da objasnimo kako dolazimo do skupa Sn(132). Povratna (eng. reversal) bijekcija r :
Sn → Sn data sa p1p2 . . . pn 7→ pn . . . p2p1 preslikava permutaciju (xablon) 231 u 132, a samim
tim i skup Sn(231) u skup Sn(132). Qak xtavixe preslikavaƬe c slika Sn(1243, 2143, 231) na
Sn(3421, 3412, 132).
Sada emo opisati preslikavaƬe f : Sn(132) → Dn. Predstavimo permutaciju p ∈ Sn(132)
preko tablice (neki autori ovo predstavƩaƬe nazivaju permutacioni graf) oblika n× n koja
u poƩu (i, j) ima odreeni simbol (zeleni kruжii na Slici 2.2) ako i samo ako je pi = j.
Posebno emo oznaqiti poƩa koja odgovaraju sleva-nadesno maksimumima (to su puni zeleni
kruжii na Slici 2.2). Uoqimo poligonalnu figuru (ixrafiranu sivom bojom na Slici 2.2)
koju formiraju sva poƩa koja su ispod ili desno od nekog sleva-nadesno maksimuma, tj. sva
poƩa (x, y) takva da za neki sleva-nadesno maksimum (i, pi) vaжi x > i i y > pi. Rotirajmo ovu
poligonalnu figuru (sa Slike 2.3) za 45◦ u smeru kazaƩki na satu i posmatrajmo Ƭenu gorƬu
granicu, tj. deo koji je iznad sporedne dijagonale pre rotiraƬa (ova dijagonala je na svim
slikama predstavƩena Ʃubiqastom bojom). Taj deo je bax jedan Dikov put D (predstavƩen
na Slici 2.4; to je isti Dikov put kao i na Slici 2.2). Na taj naqin smo opisali traжenu
bijekciju f(p) = D.
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
x
y
Slika 2.2. Slika 2.3. Slika 2.4.
Od Dikovih puteva moжemo dobiti obrnutim postupkom permutacije iz skupa Sn(132): sleva-
nadesno maksimumi su u poƩima koja su ograniqena sa u i d (ne d i u) Dikovog puta pre
rotiraƬa, a ostali elementi uzimaju xto maƬu vrednost (tj. za ,,slobodno“ i biramo najmaƬe
,,slobodno“ pi).
Permutacijama iz Sn(3421, 3412, 132) odgovaraju Dikovi putevi koji nakon drugog doƬeg ko-
raka ne sadrжe 2 uzastopna gorƬa koraka (moжemo razmatrati i odgovarajue Dikove reqi
koje nakon drugog slova d ne sadrжe 2 uzastopna slova u). Posmatrajmo na koliko razliqitih
naqina moжemo doi do taqke (i+ 2, i− 2) u Dikovom putu. ƫoj odgovara poqetak Dikove reqi
koji se sastoji od i slova u i 2 slova d, pri qemu je slovo u prvo, a slovo d posledƬe. Stoga
se to svodi na biraƬe jedne od i sredƬih pozicija za prvo pojavƩivaƬe slova d, xto moжemo
uqiniti na
(
i
1
)
= i naqina. Ostatak reqi (koji se sastoji od 2n− (i+2) = 2n− i− 2 slova) ne sme
da sadrжi dva uzastopna slova u, tj. nakon svakog slova u ide slovo d (to vaжi i za posledƬe
slovo u jer se Dikova req uvek zavrxava slovom d), xto se svodi na biraƬe pozicija za n − i
vezana slova ud i preostalih i−2 ,,samih“ slova d, a to moжemo uqiniti na (n−2
i−2
)
naqina. Time
28 2.4. PERMUTACIJE BEZ NEKOLIKO XABLONA
smo pokazali da je
|Sn(3421, 3412, 132)|=
n∑
i=2
i ·
(
n− 2
i− 2
)
,
xto na osnovu Leme 2.4.2 daje |Sn(3421, 3412, 132)|= (n+2) · 2n−3, xto je i trebalo pokazati.
Na sliqan naqin (samo malo komplikovanije) moжemo pokazati i qetvrti otvoren problem
iz [?, str. 31] svoeƬem na linearnu rekurentnu vezu:
|Sn(1243, 2143, 321)|=
(
n−1
0
)
+
(
n−1
1
)
+ 2 · (n−12 )+ 2 · (n−13 ).
3. Permutacije sa ograniqeƬima
3.1. Uvod i istorijat
3.1.1. Permanenti
Permanent je vaжna funkcija nad matricama. Veoma nalikuje determinanti, ali za razliku od
determinanti moжe se raqunati i za matrice koje nisu kvadratne. Permanent su uveli 1812.
godine Bine i Koxi (nezavisno jedan od drugog). U narednih skoro 2 veka, Ƭima su se bavili
mnogi poznati matematiqarima. O permanentima je Henrik Mink (eng. Henryk Minc) napisao
celu kƬigu, [36].
Permanent matrice se moжe iskoristiti za izraqunavaƬe permutacija i varijacija sa
ograniqeƬima. Vixe o tome moжe se videti u kƬizi [16], kao i radovima [2] i ... U ovom
radu time emo se baviti kasnije (videti Teoremu 3.1.5).
DEFINICIJA 3.1.1. Permanent matrice A = (aij) oblika m× n, gde je m ≤ n, oznaqavamo
sa Per(A) ili Per(A). On je jednak
Per(A) =
∑
σ
m∏
i=1
aiσ(i),
gde sumiraƬe ide po svim 1− 1 funkcijama σ : {1, 2, . . . ,m} → {1, 2, . . . , n}.
U ovom radu uglavnom emo se baviti samo permanentima kvadratnih matrica (razlika je i u
oznaci – Per(A) predstavƩa permanent proizvoƩne matrice, dok sa per(A) oznaqavamo permanent
kvadratne matrice). Iako je to samo specijalni sluqaj prethodne definicije za m = n, mi emo
ga izdvojiti u zasebnu definiciju jer emo ga u tom obliku mnogo vixe koristiti.
DEFINICIJA 3.1.2. Neka je A = (aij) relna kvadratna matrica reda n. Tada je permanent
matrice A, u oznaci per(A) ili perA, jednak sledeoj sumi po svim permutacijama iz skupa Sn:
perA =
∑
σ∈Sn
a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · an σ(n).
Vidimo da je ova funkcija nad matricama veoma sliqna determinanti — u definiciji se
razlikuju samo u qlanu sgnσ (znak permutacije) koji se javƩa kod determinante. Ali ta razlika
qini da veina osobina koje imamo kod determinanti ne vaжe, npr. kod determinanti smo imali
ako su 2 vrste (ili kolone) proporcionalne da je tad determinanta jednaka 0, analog tome kod
permanenata ne vaжi. Takoe ne smemo dodavati vrstu nekoj drugoj. Stoga se permanent teжe
raquna nego determinanta i moжemo primeniti Laplasov razvoj po elementima neke vrste ili
kolone (kod Ƭega svi sabirci idu sa znakom +, tj. nema (−1)i+j).
29
30 3.1. UVOD I ISTORIJAT
Jox neke osobine (koje direktno slede iz definicije permanenta) koje emo koristili kada
budemo raqunali permanente su da ako matrica A ima vrstu (ili kolonu) sa svim elementima
0, tada je i perA = 0. Ako je A =
[
a b
c d
]
onda je perA = ad+ bc.
Sliqno kao i kod determinanti uvodimo grafovsku definiciju permanenta (analogno se i
pokazuje da je ona ekvivalentna sa klasiqnom definicijom permanenta).
DEFINICIJA 3.1.3. Permanent matrice A je broj koji je jednak sledeoj sumi prenosa
svih faktora F ∈ F digrafa GA pridruжenog matrici A:
per(A) =
∑
F∈F
p(F ).
Naredna 2 tvreƬa e nam biti potrebna da bismo mogli da uvedemo permanent grafa.
TEOREMA 3.1.1. Neka je matrica B transponovana matrica matrice A, tj. B = AT . Tada
vaжi da je perB = perA.
Dokaz. Grafovski dokaz ove osobine ide potpuno analogno kao i dokaz odgovaraju teoreme
za determinante samo je jednostavnije jer ne moramo razmatrati broj kontura.
Digraf GAT se dobija od digrafa GA tako xto se svim granama u GA promeni orijentacija
(ali se zadrжi prenos). Stoga svakom faktoru F iz GA odgovara jedan faktor FT iz GAT
sastavƩen od istih grana (samo promeƬene orijentacije). Prenosi ta 2 faktora su isti, tj.
p(F ) = p(FT ). Kako se na ovaj naqin skup faktora F digrafa GA bijektivno slika u skup
faktora FT digrafa GAT dobijamo da je perAT = ∑
F T∈FT
p(FT ) =
∑
F∈F
p(F ) = perA.
Napomena. Na osnovu ove teoreme dobijamo da svaka osobina koja vaжi za vrste matrice A
vaжe i za kolone matrice A.
TEOREMA 3.1.2. Ako se matrica B dobija tako xto u matrici A dve vrste (kolone) zamene
mesta onda je perB = perA.
Dokaz. Grafovski dokaz ove osobine ide potpuno analogno kao i dokaz odgovarajue teoreme
za determinante. Ovde je samo razmatraƬe jednostavnije jer u definiciji permanenta nema
qlanova sa (−1).
iaxi
j
ayj
x
y
FA
!
i
axi
j
ayj
x
y
FB
Slika 3.1. Zamenom mesta 2 vrste (kolone) matrice Ƭen permanent se ne meƬa.
Promenom mesta i-te i j-te vrste matrice A (to je matrica B) dobijamo da se i digraf GA
meƬa (u GB) tako xto qvor i sa svim granama koje su ulazile u Ƭega (to su crvene grane) zameni
mesto sa qvorom j i obrnuto, qvor j sa svim granama koje su ulazile u Ƭega (to su plave grane)
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 31
zameni mesto sa qvorom i. Sve te grane su saquvale i svoj prenos. To je prikazano na Slici
3.1.
Faktoru FA koji imamo pri raqunaƬu determinante detA odgovara faktor FB. Oba ova
faktora imaju iste prenose, p(FB) = p(FA). Znaqi doprinos svakog faktora FB pri raqunaƬu
permanenta perB jednak je doprinosu odgovarajueg faktora FA (pri raqunaƬu perA). Stoga
je perB = perA.
TEOREMA 3.1.3. Permanent matrice susedstva grafa, perAG, je invarijanta grafa.
Dokaz. Kako se svaka permutacija (qvorova grafa) moжe predstaviti kao kompozicija trans-
pozicija, dovoƩno je da pokaжemo da matrice grafova koji se dobijaju transpozicijom (tj.
zamenom) 2 qvora imamju jednak permanent.
Neka se graf G dobija od grafa G zamenom (u numeraciji) qvorova i i j. Tada se matrica
susedstva AG dobija tako xto u matrici susedstva AG prvo zamenimo mesta i-te i j-te vrste, a
zatim zamenimo mesta i-te i j-te kolone. Kada u svakom od ova 2 koraka primenimo prethodnu
lemu dobijamo da je perAG = perAG. Time smo pokazali da permanent ne zavisi od numeracije
qvorova, pa je on jedna invarijanta grafa.
Na osnovu prethodnog tvreƬa imamo sledeu definiciju (tj. prethodnim tvreƬem smo
pokazali da je permanent grafa dobro definisan).
DEFINICIJA 3.1.4. Permanent grafa G, per(G), definixemo kao permanent bilo koje
matrice susedstva grafa.
Navexemo i tvreƬe koje povezuje savrxena sparivaƬa u bipartitnim grafovima sa per-
manentom.
TEOREMA 3.1.4. Neka je G bipartitan graf. Tada je broj savrxenih sparivaƬa u G jednak√
per(G).
Ilustrujmo ovo tvreƬe na jednom primeru.
PRIMER 3.1.1. Odrediti permanente bipartitnih grafova K1,3, P4 i C4.
RexeƬe. Na narednoj slici su prikazani ovi grafovi sa Ƭihovim savrxenim sparivaƬima,
tj. zvezda K1,3 nema savrxeno sparivaƬe, put P4 ima 1 savrxeno sparivaƬe, a kontura C4 ima
2 savrxena sparivaƬa.
Proverimo rezultate dobijene malopre i preko permanenata (sve permanente emo razvijati
po prvoj koloni).
per(K1,3) = per


0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0

 = per

1 1 10 0 0
0 0 0

 + per

1 1 10 0 0
0 0 0

 + per

1 1 10 0 0
0 0 0

 = 0 + 0 + 0 = 0 = 02.
per(P4) = per


0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 0 1 0

 = per

1 0 01 0 1
0 1 0

 = per [0 1
1 0
]
+ per
[
0 0
1 0
]
= 1 + 0 = 1 = 12.
per(C4) = per


0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0

 = per

1 0 11 0 1
0 1 0

+per

1 0 10 1 0
1 0 1

 = per [0 1
1 0
]
+per
[
0 1
1 0
]
+per
[
1 0
0 1
]
+per
[
0 1
1 0
]
= 1+1+1+1 =
4 = 22.
32 3.1. UVOD I ISTORIJAT
U narednom potpoglavƩu emo se ponovo baviti permanentima i povezaemo ih sa brojem
permutacija sa ograniqeƬima (Teorema 3.1.5).
3.1.2. Pojam permutacije sa ograniqeƬima
Sada nastavƩamo tamo gde smo stali u Pregledu osnovnih pojmova kada smo razmatrali per-
mutacije. Generalizacija Primera 1.1.1 je pojam permutacija sa ograniqeƬima.
Permutacije sa ograniqeƬima mogu se opisati n× n (0, 1)-matricom A = (aij) kod koje je:
aij =
{
1, ako element xj moжe zauzeti i-to mesto u permutaciji;
0, inaqe.
Ovu matricu nazivamo i pridruжena matrica.
PRIMER 3.1.2. Odredimo (0, 1)-matricu A koja odgovara permutacijama elemenata skupa
N6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} koje zadovoƩavaju uslov −26 p(i)− i6 2.
RexeƬe. Traжena matrica je
A =


1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1


.
Elementi u crvenim kvadratiima odreuju jednu permutaciju sa ograniqeƬima.
U prvom redu imamo 1 u kvadratiu na drugom mestu, stoga je p(1) = 2.
U drugom redu imamo 1 u kvadratiu na qetvrtom mestu, stoga je p(2) = 4 itd.
Ovako dolazimo do permutacije p =
(
1 2 3 4 5 6
2 4 1 5 3 6
)
, ili krae zapisano 2 4 1 5 3 6.
Sada emo navesti dobro poznatu qiƬenicu u vezi broja permutacija sa ograniqeƬima.
TEOREMA 3.1.5. Broj permutacija sa ograniqeƬima je dat preko permanenta (videti
stranu 29) kvadratne matrice A:
perA =
∑
p∈Sn
a1p(1)a2p(2) · · · anp(n),
gde se sumiraƬe vrxi po svim permutacijama p ∈ Sn skupa Nn.
Dokaz. U datoj sumi, samo proizvodi koji odgovaraju permutacijama p koje zadovoƩavaju sva
ograniqeƬa imaju vrednost 1; ostali proizvodi su jednaki 0. Stoga je broj permutacija sa
ograniqeƬima jednak permanentu pridruжene matrice A.
Ilustrujmo ova izraqunavaƬa na permutacijama iz Primera 1.1.1.
PRIMER 3.1.3. Odredimo broj permutacijama iz Primera 1.1.1 korixeƬem prethodne
teoreme.
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 33
RexeƬe. Matrica A koja odgovara permutacijama skupa N5 = {1, 2, 3, 4, 5} koji zadovoƩava
uslove −26 p(i)− i6 3 i p(i)− i 6= −1, 2 je jednaka
A =


1 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1

 .
Prema prethodnoj teoremi imamo da je broj traжenih permutacija, oznaqimo ga sa an, jednak
permanentu matrice A, tj. an = perA.
Koristiemo Laplasov razvoj da bismo izraqunali ovaj permanent. Laplasov razvoj per-
manenta je sliqan Laplasovom razvoju determinante, samo bez qlana (−1)i+j (sliqna razlika
kao i u definicijama permanenta i determinante).
an = per


1 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 1
0 0 1 0 1

= 1 · per


1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 1 1
0 1 0 1

+1 · per


1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 1
0 1 0 1

= per

1 1 00 1 1
1 0 1

+per

1 0 11 1 0
1 0 1

+per

1 0 10 1 1
1 0 1

+per

1 1 11 0 1
0 1 1


= (1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0) + (1 + 0+ 0+ 1+ 0+ 0)+ (1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0) + (0 + 0+ 1+ 0+ 1 + 1) = 9.
Prvi i drugi permanent smo razvili po prvoj koloni, a trei permanent po prvoj vrsti.
posledƬa qetiri permanenta smo izraqunali po Sarusovom pravilu (sliqno kao i za determi-
nante, ali opet bez minusa, tj. kod permanenta svi qlanovi imaju znak +).
Ova izraqunavaƬa nije texko sprovesti za fiksirano i malo n (ovde je n = 5), ali mi
жelimo da doemo do rezultata u opxtem sluqaju, tj. za proizvoƩno n. U tu svrhu emo uvesti
naxu tehniku (kao i neke druge) u ovom poglavƩu.
Permutacija sa jakim ograniqeƬima (eng. strongly restricted permutations; ovaj termin je uveo
Derik Henri Lemer u [29]), je permutacija kod koje je broj ri =
n∑
j=1
aij ujednaqeno mali (eng.
uniformly small), tj. ri 6 K (i = 1, 2, . . . , n), gde je K prirodan broj koji ne zavisi od n. Kod
permutacija sa slabim ograniqeƬima (eng. weakly restricted permutations) je broj n− ri ujednaqeno
mali.
Permutacije iz Primera 1.1.1 i 3.1.2 (Primer 3.1.3 se bavi istim permutacijama kao i
Primer 1.1.1) predstavƩaju permutacije sa jakim ograniqeƬima.
Najpoznatiji problemi iz klase permutacija sa slabim ograniqeƬima su tzv. “le Proble`me
des Rencontres” (deranжmani, eng. derangements) i “le Proble`me des me´nages”. Sa Ƭima emo se
baviti u naredna 2 potpoglavƩa.
3.1.3. Problem sparivaƬa (deranжmani)
Poznati problem poklapaƬa ili sparivaƬa (eng. coincidences, matches, fra. “le Proble`me des Ren-
contres”) je originalno postavƩen u specijalnom sluqaju za 13 karti. To su uqinili Pjer
Monmort (fra. Pierre R. Montmort) 1708. godine i Johan Bernuli (fra. Johann Bernoulli) 1714.
godine. Postavka ovog problema je:
Odrediti broj permutacija bez fiksnih taqaka.
Permutacije bez fiksnih taqaka se uobiqajeno nazivaju deranжmani.
Pridruжena matrica u “Proble`me des Rencontres” je A = Jn − In, gde In oznaqava jediniqnu
matricu, a Jn matricu reda n koja ima sve elemente jednake 1.
34 3.1. UVOD I ISTORIJAT
Ilustrujmo ovo za n = 6:
A =


0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 1 1
1 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0


.
Elementi u crvenim kvadratiima odreuju jedan deranжman p =
(
1 2 3 4 5 6
2 4 1 6 3 5
)
, ili
krae 2 4 1 5 3 6.
U skupu svih permutacija iz Primera 1.1.1 samo je 9-ta permutacija, 4 5 1 2 3, deranжman.
Primetimo da je permutacija deranжman ako i samo ako odgovarajui orijentisani graf ne
sadrжi petƩe.
Abraham Moavr (fra. Abraham de Moivre) je 1718. rexio opxti sluqaj za n elemenata pomou
Principa ukƩuqeƬa-iskƩuqeƬa. Broj Dn svih deranжmana skupa Nn = {1, 2, . . . , n} iznosi:
Dn = n!
n∑
k=1
(−1)k
k
.
Poznate su i dve rekurentne veze za broj deranжmana:
Dn = n ·Dn−1 + (−1)n, D0 = 1
i Ojlerova (nem. Leonard Euler) rekurentna relacija (pronaxao je 1751. godine):
Dn = (n− 1) · (Dn−1 +Dn−2), D0 = 1, D1 = 0.
Na osnovu ovih rekurentnih veza moжemo izraqunati broj deranжmana Dn:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
Dn 1 0 1 2 9 44 265 1 854 14 833 133 496 1 334 961 . . .
Tabela 3.1: Broj deranжmana.
To je niz A000166 u [43].
Vitvort (eng. W. A. Whitworth) je 1867. u svojoj kƬizi o kombinatorici igara na sreu,
razmatrao problem uparivaƬa i doprineo je Ƭegovoj popularizaciji. Sliqnost rekurentnih
veza za Dn odgovarajuim rekurencijama za faktorijale,
n! = n(n− 1)!, 0! = 1,
n! = (n− 1)((n− 1)! + (n− 2)!), 0! = 1, 1! = 1,
je uticala da Vitvort brojeve Dn nazove n-subfaktorijalima (eng. n-subfactorial).
MekMahon (eng. P. MacMahon) je u periodu izmeu 1902. i 1916. godine razmatrao ovaj
problem u svetlu funkcija generatrisa i dobio je fukciju generatrise za broj permutacija n
karata sa k fiksnih taqaka.
3.1.4. Problem rasporeivaƬa za stolom
Problem rasporeivaƬa za stolom (fra. “le Proble`me des me´nages”; eng. the mena´ges problem) je
jedan od klasiqnih problema prebrojavaƬa. Postavio ga je i rexio francuski matematiqar
Lukas (fra. Franc¸ois Edouard Anatole Lucas; pravilnije je izgovarati Luka´, ali emo ipak ovako
zbog Lukasovog niza) 1891. godine. Pre toga, pod raznim malo drugaqijim formulacijama, ovaj
problem su 1878. godine izuqavali Artur Kejli (eng. Arthur Cayley) i Muir (fra. T. Muir). U
ovom problemu se traжi sledee:
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 35
Odrediti broj razliqitih naqina na koji se mogu rasporediti n braqnih parova oko
okruglog stola2 tako da muxkarci i жene sede naizmeniqno i da nigde ne sedi muж
do svoje жene.
Moжemo pretpostavimo da prvo rasporedimo жene (to moжemo uqiniti na 2 · n! naqina). Sada
emo oznaqiti:
(a) n жena brojevima 1 do n u matematiqkom smeru (suprotno od smera kazaƩki na satu)
poqevxi od neke od Ƭih,
(b) n praznih mesta brojevima 1 do n u matematiqkom smeru poqev od mesta koje je levo od
жene kojo je dodeƩen broj 1 i
(v) n muxkaraca tako da svaki muж dobije isti broj kao i Ƭegova жena.
Ovako smo prebrojavaƬe razliqitih naqina rasporeivaƬa n muxkaraca na n praznih mes-
ta izmeu жena (tako da nijedan muж ne sedi do svoje жene) sveli na odreivaƬe broja Mn
permutacija (p1, p2, . . . , pn) skupa Nn = {1, 2, . . . , n} koje zadovoƩavaju sledea ograniqeƬa:
pi 6= i, pi 6= i+ 1 za i = 1, 2, . . . , n− 1, i pn 6= n, pn 6= 1.
BrojeviMn se nazivaju redukovani brojevi rasporeivaƬa (eng. reduced mena´ges numbers). Formula
za Mn je data sa:
Mn =
n∑
k=0
(−1)k 2n
2n− k
(
2n− k
k
)
(n− k)!
i dokaz ove qiƬenice (pomou Principa ukƩuqeƬa-iskƩuqeƬa) moжe se nai u [12, Primer 4.5].
To je dokaz francuskog matematiqara Tuxara (fra. J. Touchard) iz 1934. godine.
I za redukovane brojeve rasporeivaƬa vaжe dve rekurentne veze:
Mn =
(n2 − 2n) ·Mn−1 + n ·Mn−2 − 4(−1)n
n− 2 za n> 4, M2 = 0, M3 = 1.
(n− 1) ·Mn+1 = (n2 − n+ 1) · (Mn +Mn−1) + n ·Mn−2 za n> 4, M2 = 0, M3 = 1, M4 = 2.
Na osnovu ovih formula moжemo izraqunati redukovane brojeve rasporeivaƬa Mn:
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
Mn 0 1 2 13 80 579 4 738 43 387 439 792 . . .
Tabela 3.2: Redukovani brojevi rasporeivaƬa Mn.
To je niz A000179 u [43].
Ukupan broj razliqitih rasporeda sedeƬa n braqnih parova oko okruglog stola tako da
muxkarci i жene sede naizmeniqno i da nigde ne sedi muж do svoje жene jednak je 2n! ·Mn. To
je niz A059375 u [43].
Ilustrujmo ovo za n = 6. Pridruжena matrica za redukovane brojeve rasporeivaƬa Mn je:
A =


0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 0


.
1
3
2
6
3
5
4
2
5
1
6
4
2Iako se u veini kombinatornih zadataka pri rasporeivaƬu za okrugli sto uzima da je bitan raspored
Ʃudi, a ne taqno ko gde sedi, ovde nije takva situacija, nego je bitno ko je zauzeo koje mesto. Okrugao sto je
ovde da bi i dve osobe sa krajeva niza bile susedne!
36 3.1. UVOD I ISTORIJAT
Elementi u kvadratiima odreuju permutaciju sa ograniqeƬima p =
(
1 2 3 4 5 6
3 6 5 2 1 4
)
,
ili krae 3 6 5 2 1 4. Toj permutaciji odgovara raspored sedeƬa za stolom koji je predstavƩen
na prethodnoj slici desno (broj svake жene je u kvadratiu, dok je broj svakog muxkarca
predstavƩen crvenom bojom).
3.1.5. Istorijat
Ovo poglavƩe emo zavrxiti sa jox malo istorijskih podataka, ali i uvoeƬem oznaka koje
emo koristiti u ostatku ove glave.
Irvin Kaplanski (eng. Irving Kaplansky) je pristupio problemu na drugi naqin i dao neko-
liko generalizacija ova dva problema ([20], [21]) 1939. i 1943. godine. Opxti metod prebroja-
vaƬa permutacija sa ograniqeƬima, tzv. Teoriju topovskih polinoma (eng. “Rook polynomials”;
u [38] su Glave 7 i 8 posveene ovoj metodi) su zajedno razvili Irvin Kaplanski i on
Riordan (eng. John Riordan) kroz seriju radova (prvi od Ƭih je bio [22] 1946. godine). Noa
Mendelson (eng. Noah S. Mendelsohn) je u [34, 35] posmatrao odreene tipove permutacija sa
slabim ograniqeƬima i neke posebne tipove permutacija sa jakim ograniqeƬima. On je ko-
ristio tehniku diferencnog operatora (eng. difference operator) i prevodio je rekurentne veze
za operatorske polinome (eng. operator polynomials) u asimptotske redove (eng. asymptotic series).
Rene Lagranж (fra. Rene´ Lagrange [28]) je ispitivao neke specijalne sluqajeve permutacija sa
jakim ograniqeƬima, taqnije permutacije koje zadovoƩavaju uslov |p(i)− i|6d, gde je d bio neki
od brojeva 1, 2, or 3. Riqard Stenli (eng. Richard P. Stanley) je u svojoj dvotomnoj legendarnoj
kƬizi “Enumerative Combinatorics”, [39, Primeri 4.7.7, 4.7.15 i 4.7.16], ispitivao iste te tipove
pomou Metoda matrica prenosa (eng. “Transfer-matrix Method”) kao i tehnike koju je on zvao
Faktorizacija u slobodnim monoidima (eng. “Factorization in Free Monoids”; vixe o ovome pored
[39] moжete nai i u [31]). ƫegov rad je izuzetno znaqajan jer je on prvi razvio tehniku koja
je mogla da se primeni u vixe razliqitih (maƬih) sluqajeva. On je dobijao funkcije genera-
trise datih nizova, kao i neke zakƩuqke vezane za te funkcije generatrisa. Dragox Cvetkovi
i Slobodan Simi su u [17] posmatrali nizove se ograniqeƬima |ai − ai+1| 6 1 i dali Ƭihovu
vezu sa teorijom grafova.
U novije vreme, Norveжanin Torlajv Klove (nor. Torleiv Kløve) u [25] dobio rexeƬe nekih
simetriqnih sluqajeva, 16 d6 6, a i pronaxao je vrednosti za n6 30 i d6 10. ƫegov metod je
neznatna modifikacija naxe metode, ali zahvaƩui toj modifikaciji on je uspeo da ode daƩe
u radu od nas, ali samo za simetriqne sluqajeve. U radu [26] je malo modifikovao pristup i
koristio je Stenlijevu Metodu matrica prenosa (eng. Stanley’s “Transfer-matrix Method”) takoe
zasnovanu na razvoju permanenta i dao je procenu stepena imenioca odgovarajuih funkcija
generatrisa koje su racionalne. Alois Panholcer (nem. Alois Panholzer [37]) je pristupio pre-
brojavaƬu ovih permutacija sa ograniqeƬima pomou konaqnih automata i dao je asimptotsku
procenu ponaxaƬa ovih nizova. Olaf Kraft i Martin Xefer (eng. Olaf Krafft, Martin Schaefer)
su u [27] naxli zatvorenu formulu permutacije sa jakim ograniqeƬima skupa Nn koje zadovol-
javaju uslov |p(i)− i|6 k, gde vaжi k+26 n6 2k+2. I Panholcer i Klove i Kraft i Xefer su
naqinili znaqajan napredak u prebrojavaƬu permutacija sa ograniqeƬima, ali samo u simet-
riqnim sluqajevima. Mi emo naxom tehnikom otii daƩe i na nesimetriqne sluqajeve, kao
i na sluqajeve sa jox dodatnim ograniqeƬima.
Derik Henri Lemer (eng. Derrick Henry Lehmer) je u [29] dao sledeu klasifikaciju nekih
skupova permutacija sa jakim ograniqeƬima:
• R(k)1 – nakon permutacije nijedan element nije otixao k mesta levo ili desno,
• R(k)2 – ako posmatramo elemente na kruжnici (tj. da su 1 i n susedni) da nakon permutacije
nijedan element nije otixao k mesta levo ili desno,
• R(k)3 – ako posmatramo elemente na kruжnici da nakon permutacije elementi mogu da idu
samo u smeru kazaƩki na satu i da nijedan element nije otixao za vixe od k mesta,
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 37
• R(k)4 – ako posmatramo elemente u liniji da nakon permutacije element n ide na prvo mesto,
a svi ostali elementi se pomeraju udesno za ne vixe od k mesta,
• R(k)5 – nakon permutacije nijedan element nije otixao k mesta levo ili desno, ali svaki
element mora da se pomeri sa svog mesta.
Takoe, on je opisao nekih 6 tehnika za prebrojavaƬe nekih specijalnih sluqajeva per-
mutacija sa jakim ograniqeƬima. Stavixe, on je primetio sledee tvreƬe koje e nam koris-
titi.
TEOREMA 3.1.6. Skupovi R
(k)
2 i R
(2k+1)
3 su iste kardinalnosti, tj. vaжi
∣∣∣R(k)2 ∣∣∣ = ∣∣∣R(2k+1)3 ∣∣∣.
Dokaz. Neka skupu R
(k)
2 odgovara n× n matrica A, a skupu R(2k+1)3 odgovara n× n matrica B.
Primetimo da se matrica B dobija od matrice A tako xto posledƬih k kolona dovedemo na
prvih k mesta, a ostale kolone ostavimo iza Ƭih u istom redosledu u kom su bile. Ova qin-
jenica zajedno sa Teoremom 3.1.2 daje da je perA = perB. Konaqno, sa Teoremom 3.1.5 dobijamo
da je
∣∣∣R(k)2 ∣∣∣ = perA = perB = ∣∣∣R(2k+1)3 ∣∣∣.
Mi emo u ovoj glavi razmatrati generalizacije Lemerovih permutacija u liniji R
(k)
1 i
R
(k)
5 (R
(k)
4 je specijalni sluqaj ovih generalizacija). DaƩe, sa maƬim modifikacijama ko-
je prouzrokuju dobijaƬe veih sistema rekurentnih jednaqina, prebrojaemo Lemerove per-
mutacije na krugu, R
(k)
3 . Prema Teoremi 3.1.6 imamo da je
∣∣∣R(k)2 ∣∣∣ = ∣∣∣R(2k+1)3 ∣∣∣, xto povlaqi da smo
naxom metodom prebrojali sve tipove Lemerovih permutacija sa jakim ograniqeƬima.
U ostatku ove glave daemo veze ovih permutacija sa nekim drugim kombinatornim objekti-
ma, a ilustrovaemo kako i druge poznate tehnike mogu da se iskoriste za prebrojavaƬe ovih
permutacija. Opisaemo poznate rezultate, kao i prednosti naxe metode.
Sada emo uvesti oznake N(n; k, r, I), koje emo koristiti u ovoj glavi. Neka je N(n; k, r, I)
broj permutacija sa jakim ograniqeƬima koje zadovoƩavaju uslove −k6p(i)−i6r i p(i)−i 6∈ I. Sa
N(n; k, r) emo skraeno oznaqavati N(n; k, r, ∅). Prema definiciji, imamo da je |R(k)1 | = N(n; k, k)
i |R(k)5 | = N(n; k, k, {0}).
U narednim poglavƩima uvexemo opxtu tehniku za odreivaƬe brojeva permutacija sa
ograniqeƬima N(n; k, r) i N(n; k, r, I), a samim tim moi emo da prebrojimo Lemerove tipove
permutacija R
(k)
1 i R
(k)
5 . Ovo su sve generalizacije Lemerovog tipa R
(k)
1 . Za Lemerove |R(k)1 |,
simetriqne sluqajeve k = r sa k = 1, 2, ima dosta poznatih rezultata [28, 29, 39, 42, ?], a i
Klove u [25, 26] ispituje samo simetriqne sluqajeve do k = 10.
Lagranж u [28] i Tomesku u [42, Problem 12.16] uvode pojam rastojaƬa meu permutacijama
u skupu Sn kao sledei izraz
d(f, g) = max
i=1,...,n
|f(i)− g(i)|,
gde su f, g ∈ Sn. Zato se permutacije u sluqaju k = r qesto nazivaju i permutacije duжine n sa
rastojaƬem k (eng. permutation of length n within distance k).
Ova tehnika ide daƩe u odnosu na poznate: u potpunosti smo opisali postupak i za rexa-
vaƬe asimetriqnih sluqajeva, kao i asimetriqnih sluqajeva sa vixe (ali pravilno zadatih)
nedozvoƩenih pozicija. Ovaj postupak generixe sistem linearnih rekurentnih jednaqina, na
osnovu koga iz matrice sistema S moжemo u nekim sluqajevima dobiti vezu sa kompozicijama
sa ograniqeƬima. Ovu tehniku emo ilustrovati na dosta primera. Pokazaemo i da je kom-
pjuterska sloжenost tehnike mnogo boƩa od razvijaƬa permanenta perA. Pomou programa koji
je baziran na ovoj tehnici, dodali smo stotiƬak nizova u Slounovoj enciklopediji celobrojnih
nizova [43] (eng. Sloane’s online encyclopedia of integer sequences).
38 3.2. METODA MATRICA PRENOSA
3.2. Metoda matrica prenosa
U osnovi Metode matrica prenosa (eng. Transfer Matrix Method) je veza izmeu stepena An ma-
trice susedstva A digrafa D i xetƬi u digrafu D. To tvreƬe je deo folklora teorije
grafova, xto bi rekao Riqard Stenli u [39]. Vixe o ovoj problematici moжe se nai u
[18][poglavƩe 7.5]. Pomenimo i da je Metoda matrica prenosa u suxtini isto xto i Teorija
konaqnih MarkovƩevih lanaca u Verovatnoi. Metodu matrica prenosa su sa velikim uspehom
koristili fiziqari za prouqavaƬe faznih prelaza u statistiqkoj mehanici.
Metoda matrica prenosa, kao i Princip ukƩuqeƬa-iskƩuqeƬa i Mebijusova formula in-
verzije, ima jednostavne teorijske temeƩe, ali veoma xirok opseg primenƩivosti. Teorijska
pozadina moжe se podeliti na dva dela – kombinatorni i algebarski. Prvo emo razmatrati
kombinatorni deo. Tu e nam od suxtinskog znaqaja biti Teorema 1.5.1. Drugi deo Metode
matrica prenosa se sastoji od primene linearne algebre na analizu ponaxaƬa funkcija Aij(n)
(Ƭih smo uveli u Definiciji 1.5.6). U tom ciƩu uvexemo funkciju generatrise
Fij(D,λ) =
∑
n>0
Aij(n) · λn.
Za Metodu matrica prenosa suxtinsko je sledee tvreƬe. ƫegov dokaz moжete nai u
[39][Teorema 4.7.2].
TEOREMA 3.2.1. Za funkciju generatrise Fij(D,λ) vaжi
Fij(D,λ) =
(−1)i+j det(I − λA : j, i)
det(I − λA) ,
gde (B : j, i) oznaqava matricu koja se dobije kada uklonimo j-tu vrstu i i-tu kolonu matrice
B.
Stoga je Fij(D,λ) =
P (λ)
Q(λ)
racionalna funkctija po λ qiji je stepen, degP − degQ, strogo
maƬi od vixestrukosti n0 sopstvene vrednosti λ = 0 matrice A.
Jedan specijalni sluqaj prethodne teoreme je posebno elegantan. Oznaqimo
CD(n) =
∑
ℓ
w(ℓ),
gde suma ide po svim zatvorenim xetƬama u D duжine n. Naprimer, CD(1) = trA (ovde trA
oznaqava trag matrice A).
POSLEDICA. 3.2.2. Neka je Q(λ) = det(I − λA). Tada vaжi
∑
n>1
CD(n)λ
n = −λQ
′(λ)
Q(λ)
.
Sada emo ilustrovati Metodu matrica prenosa na nekoliko primera.
3. METODA MATRICA PRENOSA 39
PRIMER 3.2.1. Odrediti pomou metode matrica prenosa koliko ima permutacija koje
zadovoƩavaju ograniqeƬa −26 p(i)− i6 2 i p(i)− i 6= −1, 1.
RexeƬe. Na prvi pogled izgleda da je Metoda matrica prenosa neupotrebƩiva, jer je za
odreivaƬe trenutne vrednosti p(i) u permutaciji u konstrukciji potrebno znati sve ranije
dodeƩene vrednosti: p(1), p(2), . . . , p(i− 1). Meutim nije tako.
Prvo primetimo da p(i) moжe uzeti samo 3 vrednosti, tj. p(i) ∈ {i−2, i, i+2}. DaƩe, nijedna od
ovih vrednosti nije mogla biti dodeƩena p(i−5). Stoga je potrebno da znamo koje su vrednosti
permutacije samo u 4 prethodne pozicije (videti Sliku 3.2).
i−6 i−5 i−4 i−3 i−2 i−1 i i+1
Slika 3.2. Bitne pozicije u permutaciji u konstrukciji.
Napraviemo digraf D dovoƩno velikim da sadrжi svu potrebnu preistoriju permutacije
u konstrukciji. Tu Stoga za Ƭegove qvorove uzeemo vi(α, β, γ, δ) ∈ {−2, 0, 2}4. Ta qetvorka
odreuje da je u permutaciji
p(i− 4)− (i− 4) = α, p(i− 3)− (i− 3) = β, p(i− 2)− (i− 2) = γ, p(i− 1)− (i− 1) = δ.
Ipak digraf D nee imati svih 34 = 81 qvorova, nego samo 27 qvorova. Za svaki od Ƭih
emo staviti koja mu ureena qetvorka odgovara, kako izgleda permutacija u kostrukciji (tu
• predstavƩa ranije zauzete pozicije, pozicije koje e kasnije biti odreene, dok su 1,2,3,4
posledƬa 4 elementa u konstrukciji), kao i sa kojim qvorovima je taj qvor povezan orijenti-
sanom granom:
v1(2, 2,−2,−2) ••3412 → v5, v6
v2(2, 0,−2, 2) ••321 4 → v13, v14
v3(2, 0,−2, 0) ••3214 → v15, v16
v4(2,−2, 2,−2) •2•41 3 → v19
v5(2,−2,−2, 2) •23•1 4 → v24, v25
v6(2,−2,−2, 0) •23•14 → v26, v27
v7(0, 2, 2,−2) ••14 23 → v1
v8(0, 2, 0,−2) ••1432 → v2, v3
v9(0, 0, 2, 2) ••12 34 → v7
v10(0, 0, 2, 0) ••12 43 → v8
v11(0, 0, 0, 2) ••123 4 → v9, v10
v12(0, 0, 0, 0) ••1234 → v11, v12
v13(0,−2, 2, 2) •21• 34 → v17
v14(0,−2, 2, 0) •21• 43 → v18
v15(0,−2, 0, 2) •21•3 4 → v20, v21
v16(0,−2, 0, 0) •21•34 → v22, v23
v17(−2, 2, 2,−2) 1••4 23 → v1
v18(−2, 2, 0,−2) 1••432 → v2, v3
v19(−2, 2,−2, 2) 1•3• 2 4 → v4, v5
v20(−2, 0, 2, 2) 1••2 34 → v7
v21(−2, 0, 2, 0) 1••2 44 → v8
v22(−2, 0, 0, 2) 1••23 4 → v9, v10
v23(−2, 0, 0, 0) 1••234 → v11, v12
v24(−2,−2, 2, 2) 12•• 34 → v17
v25(−2,−2, 2, 0) 12•• 43 → v18
v26(−2,−2, 0, 2) 12••3 4 → v20, v21
v27(−2,−2, 0, 0) 12••34 → v22, v23
Matrica susedstva ovog grafa je:
A =


0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0


.
40 3.2. METODA MATRICA PRENOSA
ƫen karakteristiqni polinom je
χA(λ) = λ
27 − λ26 − λ25 − λ23 + λ22 + λ21,
a za imenilac iz Teoreme 3.2.1 vaжi
det(I − λA) = 1− λ− λ2 − λ4 + λ5 + λ6 = (1− λ)(1 + λ)(1 − λ− λ2)(1 + λ2)
Poqetni qvorovi u xetƬama mogu biti samo:
v1, v2, v3, v7, v8, v9, v10, v11, v12
jer poqiƬu sa ••. Zavrxni qvorovi u xetƬama mogu biti samo:
v1, v3, v6, v8, v12, v16, v18, v23, v27
jer se zavrxavaju sa .
Zato konaqno imamo da je traжena funkcija generatrise:
A(n+ 3) =
∑
i∈{1,2,3,7,8,9,10,11,12}
∑
j∈{1,3,6,8,12,16,18,23,27}
(An)ij =
4 + 2λ+ 3λ2 + 2λ3
1− λ− λ3 − λ4 .
DaƩe isto kao i u Primeru 3.4.9 moжemo odrediti broj permutacija sa ograniqeƬima.
3.2.1. Faktorizacija u slobodnim monoidima
Prvo emo uvesti potrebnu terminologiju.
DEFINICIJA 3.2.1. Neka A je konaqan skup, koji nazivamo alfabet. Req je konaqan niz
a1a2 . . . an elemenata iz A, ukƩuqujui i praznu req ε. Duжina reqi u = a1a2 . . . an je ℓ(u) = n i
posebno ℓ(1) = 0.
Skup svih reqi alfabeta A oznaqimo sa A∗. Skup A∗ sa operacijom konkatenacije (spajaƬa)
reqi zovemo slobodni monoid na skupu A.
Neka je B podskup skupa A (po mogustvu konaqan) i neka je B∗ podmonoid od A generisan
sa B, tj. B∗ se sastoji od svih reqi u1u2 . . . un, gde su ui ∈ B. Kaжemo da je B∗ slobodno generisan
sa B ako svaka req u ∈ B∗ moжe na jedinstven naqin da se zapixe kao u1u2 . . . un, gde su ui ∈ B.
Ako imamo funkciju teжine na alfabetu w : A → R, onda uvedimo teжinu reqi u = a1a2 . . . an
kao
w(u) = w(a1) · w(a2) · . . . · w(an).
Posebno w(ε) = 1.
Za podskup C skupa A∗ definixemo funkciju generatrise
C(λ) =
∑
u∈C
w(u)λℓ(u).
Sada smo spremni za naredno tvreƬe.
TEOREMA 3.2.3. Neka je B podskup skupa A∗, koji slobodno generixe B∗. Tada vaжi
B∗(λ) = 1
1− B(λ) .
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 41
PRIMER 3.2.2. Odredimo slobodne generatore i odgovarajue funkcije generatrisa za
permutacije sa ograniqeƬima:
1◦ −26 p(i)− i6 2 i p(i)− i 6= −1, 1.
2◦ −16 p(i)− i6 3 i p(i)− i 6= 1.
RexeƬe. U oba sluqaja imamo samo 3 generatora:
1◦
λ λ3 λ4
2◦
Slika 3.3. Generatori permutacija.
Odatle dobijamo da oni imaju istu funkciju generatrise:
A(λ) =
(
1− (λ+ λ3 + λ4))−1 = 1
1− λ− λ3 − λ4 .
DaƩe isto kao i u primerima 3.4.8 i 3.4.9 moжemo odrediti broj permutacija sa ograniqeƬima.
Vidimo da se ova funkcija generatrise razlikuje od one dobijene u prethodnom primeru
(razlog je xto Metoda matrica prenosa daje pomeren niz), ali je ista kao i u primerima 3.4.8
i 3.4.9.
3.3. Permutacije p(i)− i6 r
Permutacije koje zadovoƩavaju uslov p(i) − i 6 r, za sve i ∈ Nn, gde je r < n, susreemo u [42,
zadatak 12.18] i u [?]. Tim permutacijama pridruжujemo n × n matricu M = (aij) definisanu
sa
aij =
{
1, ako je j − i6 r,
0, inaqe.
Oznaqimo sa N(n; r) broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i) − i 6 r. Imamo da vaжi
N(n; r) = perM . RazvijaƬem permanenta po prvoj vrsti matrice M dobijamo rekurentnu vezu
N(n; r) = (r + 1) ·N(n− 1; r). Koristei ovu rekurentnu vezu do N(r + 1; r) = (r + 1)! (broj svih
permutacija skupa Nr+1) dolazimo do
N(n; r) = (r + 1)n−r−1 ·N(r + 1; r) = (r + 1)n−r−1 · (r + 1)! = (r + 1)n−r · r!
U [?, Teorema 3] je analiziran problem broja inverzija takvih permutacija tehnikom
q–determinanti.
42 3.4. Permutacije −k 6 p(i)− i6 r
3.4. Permutacije −k 6 p(i)− i6 r
Sada emo nastaviti sa razvijaƬem permanenta (ali u opxtem sluqaju, ne specijalnim sluqa-
jevima kao xto smo imali u Primeru 3.1.3, gde nam je bilo n = 5). Uvodimo opxtu tehniku za
izraqunavaƬe N(n; k, r), broja permutacija koje zadovoƩavaju uslov −k6p(i)− i6r za sve i ∈ Nn,
pri qemu je k 6 r < n. Naxa tehnika se sastoji od 5 koraka:
1. Formiramo C, skup svih kombinacija od k+1 elemenata skupa Nk+r+1 koje sadrжe element
k + r + 1.
2. Pridruжujemo celobrojni niz aC(n) svakoj kombinaciji C ∈ C.
3. PrimeƬujemo preslikavaƬe ϕ (koje e biti definisano kasnije) na svaku kombinaciju.
4. Formiramo sistem linearnih rekurentnih jednaqina sa konstantnim koeficijentima:
aC(n− 1) =
∑
C′∈ϕ(C)
aC′(n).
5. RexavaƬem ovog sistema dobijamo N(n; k, r) = a(r+1,r+2,...,r+k+1)(n).
Sada emo detaƩnije opisati svaki od ovih koraka i pokazaemo da je N(n; k, r) bax jednako
a(r+1,r+2,...,r+k+1)(n).
DEFINICIJA 3.4.1. Skup C oznaqava skup svih kombinacija sa k + 1 elemenata skupa
Nk+r+1, koje sadrжe element k + r + 1. Ove kombinacije emo prikazivati kao strogo rastue
(k + 1)-torke.
PRIMER 3.4.1. Odrediti sve takve kombinacije za k = r = 2.
RexeƬe. Sve kombinacije sa 3 elementa skupa N5 = {1, 2, 3, 4, 5} koje sadrжe element 5 (pred-
stavƩene u inverznom leksikografskom redosledu) su:
(3, 4, 5), (2, 4, 5), (2, 3, 5), (1, 4, 5), (1, 3, 5), (1, 2, 5).
U narednim primerima emo koristiti jednostavniju notaciju:
345, 245, 235, 145, 135, 125.
Kako se u narednom koraku svakoj od ovih permutacija pridruжuje po jedan niz koji se kasnije
javƩa u sistemu rekurentnih jednaqina, mi emo u ovom sluqaju imati 6 nizova, xto povlaqi
da emo imati i sistem od 6 linearnih rekurentnih jednaqina sa konstantnim koeficijentima
(taqnije svi koeficijenti su 0 ili 1).
DEFINICIJA 3.4.2. Skup C emo razbiti na dva podskupa:
C1 = {C ∈ C | 1 ∈ C} i C2 = {C ∈ C | 1 6∈ C}.
Definiximo preslikavaƬe:
ϕ(C) =
{
ϕ1(C), C ∈ C1;
ϕ2(C), C ∈ C2,
pri qemu su preslikavaƬa ϕ1 : C1 → C i ϕ2 : C2 → Ck+1 data sa:
ϕ1
(
(1, c2, . . . , ck, ck+1)
)
= (c2 − 1, c3 − 1, . . . , ck − 1, ck+1 − 1, k + r + 1)
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 43
i
ϕ2
(
(c1, c2, . . . , ck, ck+1)
)
= (C1, C2, . . . , Ck, Ck+1) ,
pri qemu kombinaciju Ci ∈ C dobijamo iz kombinacije C = (c1, c2, . . . , ck, ck+1) tako xto obrixemo
koordinatu ci, smaƬimo sve ostale koordinate za 1, pomerimo sve koordinate sa veim indeksom
za jedno mesto ulevo i stavimo element k + r + 1 na kraj:
Ci = (c1 − 1, . . . , ci−1 − 1, ci+1 − 1, . . . , ck+1 − 1, k + r + 1).
Primetimo da je ϕ1(C) = C1.
PRIMER 3.4.2. Odrediti ϕ(135) i ϕ(245).
RexeƬe. Prva kombinacija 135 pripada skupu C1 jer sadrжi element 1. Kada 3 i 5 umaƬimo
za 1 dobijamo 2 i 4 i jox treba 5 dopisati na kraj: ϕ(135) = ϕ1(135) = 245
Kombinacija 235 ∈ C2 jer ne sadrжi element 1. Stoga na Ƭu primeƬujemo preslikavaƬe
ϕ2 koje kombinaciju od k + 1 = 3 elemenata slika u ureenu trojku kombinacija (C1, C2, C3).
Objasnimo kako se dobija npr. C2. Drugu koordinatu, 4, obrixemo, ostale 2 i 5 umaƬimo za
1 i dobijamo 1 i 4 i na kraj dopixemo 5. Tako smo dobili da je C2 = 145. Sliqno dobijamo i
C1 = 345 i C3 = 135. Stoga je: ϕ(245) = ϕ2(245) = (345, 145, 135).
Formirajmo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
aC(n) =
∑
C′∈ϕ(C)
aC′(n− 1).
Koristimo preslikavaƬa ϕ1 i ϕ2 da bi dobili sistem koji se sastoji od
(
k+r
k
)
linearnih
rekurentnih jednaqina (od svake kombinacije dobijamo po jednu jednaqinu). Tako od ϕ1(C) = C′
dobijamo linearnu rekurentnu jednaqinu
aC(n− 1) = aC′(n),
dok od ϕ2(C) = (C1, C2, . . . , Ck+1) dobijamo linearnu rekurentnu jednaqinu
aC(n− 1) = aC1(n) + aC2(n) + · · ·+ aCk+1(n).
Poqetni uslovi su:
aC(0) =
{
1, C = (r + 1, r + 2, . . . , r + k + 1)
0, C 6= (r + 1, r + 2, . . . , r + k + 1).
Ovako dobijeni sistem moжemo rexiti standardnim metodama baziranim na funkcijama ge-
neratrisa. Pokazaemo da je N(n; k, r) = a(r+1,r+2,...,r+k+1)(n). DaƩe, iz matrice ovog sistema S
moжemo odrediti N(n; k, r) kao element u prvoj vrsti i prvoj koloni matrice Sn. Taj broj odgo-
vara broju zatvorenih puteba u orijentisanom grafu G qija je matrica susedstva S. Ove qin-
jenice emo koristiti kada budemo odreivali kompjutersku sloжenost naxe tehnike. Takoe,
u nekim specijalnim sluqajevima daemo jox jedno kombinatorno tumaqeƬe broja N(n; k, r): to
je broj kompozicija sa elementima iz nekog skupa – tom prilikom emo koristiti matricu S,
odnosno odgovarajui graf G.
TEOREMA 3.4.1. Vaжi N(n; k, r) = a(r+1,r+2,...,r+k+1)(n).
Dokaz. Prvo emo uvesti niz matrica M koje odgovaraju nizovima aC(n). Zatim emo svakoj
matrici iz M pridruжiti odgovarajuu kombinaciju iz C (dokaz ove teoreme se bazira na
bijekciji f : M → C. Oznaqimo sa M skup svih n × n matrica M = (mij) koje zadovoƩavaju
sledee uslove:
1) prvih k + 1 vrsta poqiƬu sa jedinicama i zavrxavaju se sa nulama: za i = 1, . . . , k + 1 i
j = 1, . . . , di je mij = 1, dok je mij = 0 za j > di, pri qemu je di > 1;
44 3.4. Permutacije −k 6 p(i)− i6 r
2) dk+1 = k + r + 1;
3) ako je 16 i < i′ 6 k + 1 onda je di < di′ ;
4) za elemente u posledƬih n − (k + 1) vrsta vaжi: mij = 1 za −k 6 j − i 6 r i mij = 0 u
suprotnom.
Definiximo preslikavaƬe f : M → C sa f(M) = (d1, d2, . . . , dk+1). Funkcija f je bijekcija
izmeu ova 2 skupa.
Podsetimo se da smo pridruжili n× n matricu A = (aij) zadatu sa
aij =
{
1, ako je − k 6 j − i6 r;
0, inaqe
permutacijama sa jakim ograniqeƬima koje zadovoƩavaju uslov −k 6 p(i) − i 6 r. Kao xto smo
pokazali u Teoremi 3.1.5, vaжi N(n; k, r) = perA. Primetimo da matrici A ∈ M kod koje je
di = r+ i, pri qemu je 16 i6 k+ 1 odgovara kombinacija (r+1, r+ 2, . . . , r+ k+ 1) koja je prva po
inerznom leksikografskom redosledu.
Jox treba da primetimo da rekurentne jednaqine iz qetvrtog koraka naxe tehnike odgovara-
ju razvoju permanenta matrica iz skupa M po prvoj vrsti (ϕ1) ili po prvoj koloni (ϕ2). Ova
qiƬenica nas dovodi do finalnog zakƩuqka:
N(n; k, r) = perA = a(r+1,r+2,...,r+k+1)(n).
Naxu tehniku emo ilustrovati na nekoliko primera.
PRIMER 3.4.3. Odrediti broj permutacija skupa Nn koje zadovoƩavaju −26 p(i)− i6 2.
RexeƬe. Ovo je sluqaj k = r = 2. Ove permutacije se nazivaju i permutacije duжine n unutar
rastojaƬa 2, tj. to su sve permutacije p koje su na rastojaƬu 2 od identiqne permutacije:
d(p, ε)6 2.
Kako je k + r + 1 = 5 to su sve 3-elementne kombinacije iz skupa Nk+r+1 = {1, 2, 3, 4, 5} su:
C = {345, 245, 235, 145, 135, 125}.
Kada primenimo preslikavaƬa ϕ na ove kombinacije imamo:
ϕ2(345) = (345, 245, 235),
ϕ2(245) = (345, 145, 135),
ϕ2(235) = (245, 145, 125),
ϕ1(145) = 345,
ϕ1(135) = 245,
ϕ1(125) = 145,
odakle dobijamo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
a345(n− 1) = a345(n) + a245(n) + a235(n),
a245(n− 1) = a345(n) + a145(n) + a135(n),
a235(n− 1) = a245(n) + a145(n) + a125(n),
a145(n− 1) = a345(n),
a135(n− 1) = a245(n),
a125(n− 1) = a145(n)
sa poqetnim uslovima a345(0) = 1, a245(0) = 0, a235(0) = 0, a145(0) = 0, a135(0) = 0 i
a125(0) = 0. Uvedimo jednostavnije oznake a345(n) = an, a245(n) = bn, a235(n) = cn, a145(n) = dn,
a135(n) = en i a125(n) = fn. Tada dobijamo pregledniji sistem rekurentnih jednaqina:
an+1 = an + bn + cn,
bn+1 = an + dn + en,
cn+1 = bn + dn + fn,
dn+1 = an,
en+1 = bn,
fn+1 = dn.
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 45
Poqetni uslovi su a0 = 1, b0 = c0 = d0 = e0 = f0 = 0.
Jedan od glavnih razloga za uvoeƬe prethodne smene je prelaжeƬe sa sistema rekurentnih
jednaqina na sistem linearnih jednaqina: nizu koji je oznaqen malim latiniqnim slovima
pridruжiemo funkciju generatrise qija je oznaka isto, ali veliko slovo (npr. an ↔ A(z),
bn ↔ B(z), itd.). Tako dobijamo sledei sistem:
A(z)− 1
z
= A(z) +B(z) + C(z),
B(z)
z
= A(z) +D(z) + E(z),
C(z)
z
= B(z) +D(z) + F (z),
D(z)
z
= A(z),
E(z)
z
= B(z),
F (z)
z
= D(z).
Ovo je sistem linearnih jednaqina
(
po promenƩivim A(z), B(z), . . . , F (z)
)
i kada ga reximo do-
bijamo deo rexeƬa koje nama treba:
A(z) =
1− z
1− 2z − 2z3 + z5 .
Iz imenioca ove funkcije generatrise 1− 2z − 2z3 + z5, moжemo odrediti linearnu rekurentnu
jednaqinu sa konstantnim koeficijentima an − 2an−1 − 2an−3 + an−5 = 0, tj.
an = 2an−1 + 2an−3 − an−5.
Broj permutacija, an, koje zadovoƩavaju uslov |p(i) − i| 6 2, za sve i ∈ Nn je u potpunosti
odreen svojom funkcijom generatrise A(z) =
1− z
1− 2z − 2z3 + z5 a na osnovu Ƭe moжemo dobiti iprvih nekoliko qlanova ovog niza:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
an 1 1 2 6 14 31 73 172 400 932 2 177 . . .
Tabela 3.3: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov |p(i)− i|6 2.
Ovo je niz A002524 u [43].
Napomena. U [42, Problem 12.17 ], je dobijen jednostavniji sistem:
an = an−1 + bn−1 + cn−1,
bn = an−1 + bn−1,
cn = bn−1 + dn−1,
dn = an−1 + en−1,
en = an−1.
Naxa tehnika za dobijaƬe sistema rekurentnih jednaqina je generalna i ona ne daje optimalan
sistem (sa minimalnim brojem jednaqina).
PRIMER 3.4.4. Odrediti matricu sistema S i odgovarajui graf G za permutacije iz
Primera 3.4.3.
46 3.4. Permutacije −k 6 p(i)− i6 r
RexeƬe. Iz sistema rekurentnih jednaqina
an+1 = an + bn + cn,
bn+1 = an + dn + en,
cn+1 = bn + dn + fn,
dn+1 = an,
en+1 = bn,
fn+1 = dn,
dobijamo matricu ovog sistema: S =


1 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0
0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0

.
Poqetni uslovi su a0 = 1, b0 = c0 = d0 = e0 = f0 = 0, pa stoga imamo da je:

an
bn
cn
dn
en
fn

 = S
n ·


1
0
0
0
0
0

 .
Na osnovu ove jednakosti imamo da je broj permutacija an, koje zadovoƩavaju uslov |p(i)− i|6 2
jednak elementu na poziciji (1, 1) u matrici Sn. Ovo je jox jedan metod za odreivaƬe broja
an.
Sada emo nacrtati orijentisani graf G qija je matrica incidencije S (teme a odgovara
nizu an, b nizu bn, itd.):
a
b
c
d
e
f
G
Broj an je jednak broju (zatvorenih) puteva u digrafu G duжine n od temena a do temena a.
Na primer, za n = 3 imamo a3 = 6 i ti putevi su:
a− a− a− a, a− a− b− a, a− b− a− a, a− b− d− a, a− c− b− a, a− c− d− a.
Za n = 4 je a4 = 14 jer imamo sledee puteve: a− a− a− a− a, a− a− a− b− a, a− a− b− a− a,
a− a− b− d− a, a− a− c− b− a, a− a− c− d− a, a− b− a− a− a, a− b− a− b− a, a− b− d− a− a,
a− b− e− b− a, a− c− b− a− a, a− c− b− d− a, a− c− d− a− a, a− c− f − d− a (podsetimo se da
je put potpuno odreen nizom qvorova v0, vl, v2, . . . , vn kroz koje prolazi).
Ovi putevi e imati znaqajnu ulogu kasnije kod povezivaƬa permutacija sa ograniqeƬima
sa odreenim tipovima kompozicija.
Sada emo naxu tehniku ilustrovati kroz jox 3 primera.
PRIMER 3.4.5. k = 2, r = 3: permutacije skupa Nn za koje je −26 p(i)− i6 3. k + r + 1 = 6.
C = {456, 356, 346, 256, 246, 236, 156, 146, 136, 126}.
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 47
ϕ2(456) = (456, 356, 346),
ϕ2(356) = (456, 256, 246), ϕ1(156) = 456,
ϕ2(346) = (356, 256, 236), ϕ1(146) = 356,
ϕ2(256) = (456, 156, 146), ϕ1(136) = 256,
ϕ2(246) = (356, 156, 136), ϕ1(126) = 156,
ϕ2(236) = (256, 156, 126),
odakle dobijamo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
a456(n− 1) = a456(n) + a356(n) + a346(n),
a356(n− 1) = a456(n) + a256(n) + a246(n), a156(n− 1) = a456(n),
a346(n− 1) = a356(n) + a256(n) + a236(n), a146(n− 1) = a356(n),
a256(n− 1) = a456(n) + a156(n) + a146(n), a136(n− 1) = a256(n),
a246(n− 1) = a356(n) + a156(n) + a136(n), a126(n− 1) = a156(n),
a236(n− 1) = a256(n) + a156(n) + a126(n),
sa poqetnim uslovima a456(0) = 1 i aC(0) = 0 za C 6= 456.
Broj permutacija, a456(n), koje zadovoƩavaju uslov −26 p(i)− i6 3, za sve i ∈ Nn odreen je
sledeom funkcijom generatrise:
A(z) =
1− z2 − z3 − z5
1− 2z2 − 3z3 − 4z4 − 5z5 − z6 + 2z7 + z8 + z9 + z10
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
a456(n) 1 1 2 6 18 46 115 301 792 2 068 5 380 . . .
Tabela 3.4: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov −26 p(i)− i6 3.
Ovo je niz A072827 u [43].
PRIMER 3.4.6. k = 2, r = 4: permutacije skupa Nn za koje je −26 p(i)− i6 4.
k + r + 1 = 7. C = {567, 467, 457, 367, 357, 347, 267, 257, 247, 237, 167, 157, 147, 137, 127}.
Sada emo izbei izraqunavaƬa i samo emo dati konaqne rezultate. Broj permutacija,
a567(n), koje zadovoƩavaju uslov −2 6 p(i) − i 6 4, za sve i ∈ Nn odreen je funkcijom genera-
trise:
A(z) =
1− z2 − 2z3 − 2z4 − 2z6 + z7 + z9
1− z − 2z2 − 4z3 − 6z4 − 10z5 − 12z6 + 4z7 + 6z8 + 6z9 + 2z11 + 2z12 − z14 − z15
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
a567(n) 1 1 2 6 18 54 146 391 1081 3 004 8 320 . . .
Tabela 3.5: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov −26 p(i)− i6 4.
Ovo je niz A072850 u [43].
PRIMER 3.4.7. k = 3, r = 3: permutacije skupa Nn za koje je −36 p(i)− i6 3. Uobiqajeno se
za Ƭih kaжe da su to permutacije duжine n sa rastojaƬem maƬim od 3 od poqetne permutacije
ε. U ovom sluqaju imamo k + r + 1 = 7.
C = {4567, 3567, 3467, 3457, 2567, 2467, 2457, 2367, 2357, 2347,
1567, 1467, 1457, 1367, 1357, 1347, 1267, 1257, 1247, 1237}.
ϕ2(4567) = (4567, 3567, 3467, 3457) ϕ1(1567) = 4567,
ϕ2(3567) = (4567, 2567, 2467, 2457) ϕ1(1467) = 3567,
48 3.4. Permutacije −k 6 p(i)− i6 r
ϕ2(3467) = (3567, 2567, 2367, 2357) ϕ1(1457) = 3467,
ϕ2(3457) = (3567, 2467, 2367, 2347) ϕ1(1367) = 2567,
ϕ2(2567) = (4567, 1567, 1467, 1457) ϕ1(1357) = 2467,
ϕ2(2467) = (3567, 1567, 1367, 1357) ϕ1(1347) = 2367,
ϕ2(2457) = (3467, 1467, 1367, 1347) ϕ1(1267) = 1567,
ϕ2(2367) = (2567, 1567, 1267, 1257) ϕ1(1257) = 1467,
ϕ2(2357) = (2467, 1467, 1267, 1247) ϕ1(1247) = 1367,
ϕ2(2347) = (2367, 1367, 1267, 1237) ϕ1(1237) = 1267,
odakle dobijamo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
a4567(n− 1) = a4567(n) + a3567(n) + a3467(n) + a3457(n),
a3567(n− 1) = a4567(n) + a2567(n) + a2467(n) + a2457(n),
a3467(n− 1) = a3567(n) + a2567(n) + a2367(n) + a2357(n),
a3457(n− 1) = a3467(n) + a2467(n) + a2367(n) + a2347(n),
a2567(n− 1) = a4567(n) + a1567(n) + a1467(n) + a1457(n),
a2467(n− 1) = a3567(n) + a1567(n) + a1367(n) + a1357(n),
a2457(n− 1) = a3467(n) + a1467(n) + a1367(n) + a1347(n),
a2367(n− 1) = a2567(n) + a1567(n) + a1267(n) + a1257(n),
a2357(n− 1) = a2467(n) + a1467(n) + a1267(n) + a1247(n),
a2347(n− 1) = a2367(n) + a1367(n) + a1267(n) + a1237(n),
a1567(n− 1) = a4567(n),
a1467(n− 1) = a3567(n),
a1457(n− 1) = a3467(n),
a1367(n− 1) = a2567(n),
a1357(n− 1) = a2467(n),
a1347(n− 1) = a2367(n),
a1267(n− 1) = a1567(n),
a1257(n− 1) = a1467(n),
a1247(n− 1) = a1367(n),
a1237(n− 1) = a1267(n),
sa poqetnim uslovima a4567(0) = 1 i aC(0) = 0 za C 6= 4567.
Broj permutacija, a456(n), koje zadovoƩavaju uslov −36 p(i)− i6 3, za sve i ∈ Nn odreen je
funkcijom generatrise:
A(z) =
1− z − 2z2 − 2z4 + z7 + z8
1− 2z − 2z2 − 10z4 − 8z5 + 2z6 + 16z7 + 10z8 + 2z9 − 4z10 − 2z11 − 2z13 − z14
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
a456(n) 1 1 2 6 24 78 230 675 2 069 6 404 19 708 . . .
Tabela 3.6: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov |p(i)− i|6 3.
Ovo je niz A002526 u [43].
3.4.1. PoreeƬa naxe tehnike sa drugim metodama
Sada emo izvrxiti neka poreeƬa ove metode sa drugim postojeim. Mendelson [35] i
Lemer [29] su takoe dobijali sisteme rekurentnih jednaqina razvijaƬem permanenata u Ƭi-
hovim konkretnim primerima. Ali oni nisu opisali generalni postupak za dobijaƬe tih
rekurentnih jednaqina. Xtavixe, Lemer je napisao ,,svaki od ovih permanenata moжe se daƩe
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 49
razvijati i proces se nastavƩa sve dok dobijamo ,nove’ matrice“ (eng. “each of these permanents in
turn can be so expanded and the process continued until no ‘new’ matrices occur” [29]), dok je Mendelson
rekao (r ovde predstavƩa broj 1 u vrsti pri razvoju permanenta) ,,za fiksirano r > 5, izraqu-
navaƬe diferencnih jednaqina postaje nepraktiqno i qak i da se te jednaqine dobiju, one bi
bile tako komplikovane da izgleda kao da ne bi mogle da se upotrebe za dobijaƬe eksplicitne
formule“ (eng. “for fixed r ≥ 5, the calculation of the difference equations becomes impracticable, and
even if these equations were attained, they would be so complicated that it seems unlikely they would be of
any use for obtaining explicit formulae” [35]). Mi smo opisali proces dobijaƬa ,,novih“ matrica i
rexili smo dosta sluqajeva u kojima je bilo r > 5.
Riqard Stenli je razvio opxtu tehniku ,,Metoda matrica prenosa“ (eng. “Transfer-matrix
Method”), ali i Ƭene mogunosti su ograniqene. On je napisao u [39, Primer 4.7.16] ,,korix-
eƬe metode matrica prenosa ume da bude veoma nezgrapno, dok je metod faktorizacije u slo-
bodnim monoidima veoma elegantan“ (eng. “to use the transfer-matrix method would be quite unwieldy,
but the factorization method is very elegant”). U tom primeru nije texko nai niz orijentisanih
grafova koji su generatori datih permutacija, ali ve npr. u sluqaju k = 2 i r = 3 je texko
(ako ne i nemogue) nai sve generatore, kao i izvrxiti izraqunavaƬa koja slede nakon to-
ga. Mi, na osnovu naxe tehnike (videti Primer 3.4.5), znamo da je u ovom sluqaju funkcija
generatrise za broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov −26 p(i)− i6 r jednaka
A(z) =
1− z2 − z3 − z5
1− 2z2 − 3z3 − 4z4 − 5z5 − z6 + 2z7 + z8 + z9 + z10 .
Odatle moжemo predvideti probleme u metodi faktorizacije u slobodnim monoidima: brojilac
funkcije generatrise A(z), 1 − z2 − z3 − z5, ne moжe se dobiti kao imenilac u sumi prostih
geometrijskih progresija.
Takoe Stenli kaжe za metod faktorizacije u slobodnim monoidima ,,iako ovaj metod ima
ograniqene primene, kada radi to je veoma elegantno i jednostavno“ (eng. “while this method has
limited application, when it does work it is extremely elegant and simple”; [39, str. 247]).
Nasuprot tome naxa metoda radi i u sluqajevima u kojima metode matrica prenosa i fak-
torizacije u slobodnim monoidima ne daju rezultate.
Navexemo i najbitnije razlike izmeu naxe tehnike i ,,Metoda matrica prenosa“, xto
deo recenzenata nije mogao da uvidi. ,,Metoda matrica prenosa“ radi sa determinantama (tj.
karakteristiqnim polinomima matrica susedstva nekih digrafa), dok se naxa tehnika bazira
na razvoju permanenta matrice. ,,Metoda matrica prenosa“ polazi od digrafa, izraqunava
Ƭegov karakteristiqni polinom, dok naxa tehnika poqiƬe od (0, 1)-matrice A koja odgovara
permutaciji sa ograniqeƬima, zatim pomou odgovarajuih preslikavaƬa koje primeƬujemo na
kombinacije dolazimo do sistema linearnih rekurentnih jednaqina i iz tog sistema dobijamo
funkciju generatrise za niz koji broji koliko ima permutacija sa ograniqeƬima. Digraf koji
dobijamo iz sistema linearnih rekurentnih jednaqina je jednostavniji od onoga koji se dobija
u ,,Metodu matrica prenosa“ (ima maƬe qvorova) i on nam sluжi samo da uspostavimo vezu sa
kompozicijama sa ograniqeƬima.
U sledeem poglavƩu emo nastaviti daƩe i dati generalizaciju permutacija sa ograniqe-
Ƭima kojima smo se bavili u prethodnom poglavƩu.
3.4. Permutacije −k6p(i)−i6r, p(i)−i 6∈ I
U ovom poglavƩu emo prebrojavati permutacije koje zadovoƩavaju uslove
−k 6 p(i)− i6 r i p(i)− i 6∈ I
za sve i ∈ Nn, pri qemu je k ≤ r < n, i skup I je fiksiran podskup skupa {−k+1,−k+2, . . . , r−1}.
Uzeemo da skup I sadrжi taqno x elemenata, |I| = x (to e nam biti od znaqaja kasnije
50 3.4. PERMUTACIJE −k 6 p(i)− i6 r, p(i)− i 6∈ I
kada delimo skup C2). I ovde je to generalizacija Lemerovog tipa R(k)5 i skoro isti rezon se
primeƬuje. Ponovo emo se baviti asimetriqnim sluqajevima, kao i sluqajevima koji imaju
vixe zabraƬenih pozicija nego obiqni deranжmani. Kasnije emo sluqaj k = 1 povezati sa
brojem kompozicija broja n sa sabircima iz konaqnog skupa P = Nk+r \ (r + 1 − I), gde α ± I
oznaqava skup α± I = {α± i | i ∈ I}.
Neka N(n; k, r, I) oznaqava broj permutacija sa jakim ograniqeƬima −k6p(i)−i6r i p(i)−i 6∈ I.
Tim permutacijama pridruжujemo n× n matricu A = (aij) definisanu sa:
aij =
{
1, ako je − k ≤ j − i ≤ r, j − i 6∈ I
0, inaqe.
Prema Teoremi 3.1.5 imamo da vaжi N(n; k, r, I) = perA. Da bismo izraqunali ovaj permanent
podeliemo skup C na 2 disjunktna skupa
C1 = {C ∈ C | 1 ∈ C} i C2 = {C ∈ C | 1 6∈ C},
ali emo i C2 podeliti na x+ 1 disjunktnih skupova
Cm2 = {C ∈ C2 | m elemenata iz C je u skupu r + 1− I}
(za m = 0, 1, . . . , x). Zatim uvodimo preslikavaƬa ϕ1 : C1 → C i ϕm2 : Cm2 → Ck+1−m, (m = 0, 1, . . . , x),
koja su definisana sa:
ϕ1
(
(1, c2, . . . , ck, ck+1)
)
= {(c2 − 1, c3 − 1, . . . , ck − 1, ck+1 − 1, k + r + 1)}
(ovo preslikavaƬe odgovara razvoju po prvoj vrsti, dok naredna odgovaraju razvojima po prvoj
koloni matrice),
ϕm2
(
(c1, c2, . . . , ck, ck+1)
)
=
{
D′1, D
′
2, . . . , D
′
k+1−m
}
,
gde skup
{
D′1, D
′
2, . . . , D
′
k+1−m
}
dobijamo iz skupa ϕ2(C) = {D1, D2, . . . , Dk, Dk+1} (obratimo paж-
Ƭu da je ovde C = (c1, c2, . . . , ck, ck+1) i ϕ2 je preslikavaƬe koje smo uveli u poglavƩu 5.3)
kada obrixemo sve kombinacije Dy koje odgovaraju elementima cy za koje je ispuƬen uslov
cy ∈ r + 1 − I. Ponovo emo iskoristiti ova preslikavaƬa da bi dobili sistem od
(
k+r
k
)
linearnih rekurentnih jednaqina (za svaku kombinaciju dobijamo jednu jednaqinu): ako smo
imali ϕ1(C) = {D} onda dobijamo linearnu rekurentnu jednaqinu
aC(n) = aD(n− 1),
a ako imamo ϕm2 (C) = {D′1, D′2, . . . , D′k+1−m} onda dobijamo linearnu rekurentnu jednaqinu
aC(n) = aD′
1
(n− 1) + aD′
2
(n− 1) + · · ·+ aD′
k+1−m
(n− 1).
Ove rekurentne jednaqine odgovaraju razvojima permanenta matrica iz M po prvoj vrsti (u
sluqaju ϕ1) ili po prvoj koloni (u svim sluqajevima ϕm2 ; primetimo da kada preskoqimo neki
element cy, to odgovara elementu 0 koji se nalazi u prvoj koloni).
Iz dobijenog sistema moжemo odrediti funkciju generatrise i/ili linearnu rekurentnu
jednaqinu za N(n; k, r, I).
GorƬim razmatraƬima smo praktiqno uveli sledeu teoremu. ƫen dokaz izostavƩamo, jer
ide potpuno analogno kao i dokaz Teoreme 3.4.1.
TEOREMA 3.4.2. Vaжi N(n; k, r, I) = a(r+1,r+2,...,r+k+1)(n).
Prethodni postupak ilustrovaemo na nekoliko primera.
PRIMER 3.4.8. k = 1, r = 3, I = {1}: (r + 1− I) = {3}. P = {1, 3, 4}.
Kombinacije sa k + 1 = 2 elementa skupa Nk+r+1 = N5 = {1, 2, 3, 4, 5} koje sadrжe element 5 su:
C = {(4, 5), (3, 5), (2, 5), (1, 5)}.
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 51
C1 = {(1, 5)}, C02 = {(4, 5), (2, 5)}, C12 = {(3, 5)}.
ϕ02
(
(4, 5)
)
=
(
(4, 5), (3, 5)
)
, ϕ12
(
(3, 5)
)
= (2, 5), ϕ02
(
(2, 5)
)
=
(
(4, 5), (1, 5)
)
, ϕ1
(
(1, 5)
)
= (4, 5).
Uvedimo smene
a(4,5)(n) = an, a(3,5)(n) = bn, a(2,5)(n) = cn i a(1,5)(n) = dn
i dolazimo do sistema linearnih rekurentnih jednaqina:
an = an−1 + bn−1, bn = cn−1, cn = an−1 + dn−1, dn = an−1.
Poqetni uslovi su a0 = 1, b0 = c0 = d0 = 0. Iz ovog sistema dolazimo do linearne rekurentne
jednaqine an = an−1 + an−3 + an−4, a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 2, a moжemo dobiti i funkciju
generatrise A(z) =
1
1− z − z3 − z4 .
PRIMER 3.4.9. k = 2, r = 2, I = {−1, 1}: (r + 1− I) = {2, 4}.
Sve kombinacije sa 3 elementa skupa {1, 2, 3, 4, 5} koje sadrжe 5 su:
C = {(3, 4, 5), (2, 4, 5), (2, 3, 5), (1, 4, 5), (1, 3, 5), (1, 2, 5)}.
C1 = {(1, 4, 5), (1, 3, 5), (1, 2, 5)},
C02 = ∅, C12 = {(3, 4, 5), (2, 3, 5)}, C22 = {(2, 4, 5)}.
ϕ12
(
(3, 4, 5)
)
=
(
(3, 4, 5), (2, 3, 5)
)
, ϕ22
(
(2, 4, 5)
)
= (1, 3, 5) ϕ12
(
(2, 3, 5)
)
=
(
(1, 4, 5), (1, 2, 5)
)
,
ϕ1
(
(1, 4, 5)
)
= (3, 4, 5), ϕ1
(
(1, 3, 5)
)
= (2, 4, 5), ϕ1
(
(1, 2, 5)
)
= (1, 4, 5),
odakle dobijamo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
an = an−1 + cn−1, bn = en−1, cn = dn−1 + fn−1,
dn = an−1, en = bn−1, fn = dn−1.
Poqetni uslovi su a0 = 1, b0 = c0 = d0 = e0 = f0 = 0. Broj permutacija, an, koje zadovoƩavaju
uslove |p(i)− i|6 2 i |p(i)− i| 6= 1, za sve i ∈ Nn jednak je kao i u prethodnom primeru.
PRIMER 3.4.10. k = 2, r = 3, I = {−1, 2}: permutacije skupa Nn, koje zadovoƩavaju uslove
−2 6 p(i) − i 6 3 i p(i) − i 6= −1, 2. Tada je skup I = {−1, 2}, odakle je (r + 1 − I) = {2, 5}. Sve
kombinacije sa k + 1 = 3 elementa skupa Nk+r+1 = N6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} koje sadrжe element 6 su:
C = {456, 356, 346, 256, 246, 236, 156, 146, 136, 126}.
C1 = {156, 146, 136, 126},
C02 = {346},
C12 = {456, 356, 246, 236},
C22 = {256}.
ϕ02(346) = {356, 256, 236};
ϕ12(456) = {456, 346}, ϕ12(356) = {456, 246}, ϕ12(246) = {156, 136}, ϕ12(236) = {156, 126};
ϕ22(256) = {146};
ϕ1(156) = {456}, ϕ1(146) = {356}, ϕ1(136) = {256}, ϕ1(126) = {156}.
52 3.4. PARNE I NEPARNE PERMUTACIJE
Odavde dobijamo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
a456(n+ 1) = a456(n) + a346(n)
a356(n+ 1) = a456(n) + a246(n)
a346(n+ 1) = a356(n) + a256(n) + a236(n)
a256(n+ 1) = a146(n)
a246(n+ 1) = a156(n) + a136(n)
a236(n+ 1) = a156(n) + a126(n)
a156(n+ 1) = a456(n)
a146(n+ 1) = a356(n)
a136(n+ 1) = a256(n)
a126(n+ 1) = a156(n),
sa poqetnim uslovima a456(0) = 1 i aC(0) = 0 za C 6= 456. RexavaƬem odgovarajueg sistema
dolazimo do funkcije generatrise:
A(z) =
1− z5
1− z − z3 − z4 − 4z5 + z6 − z7 + z9 + z10 .
Broj permutacija, a456(n), koje zadovoƩavaju uslove −26 p(i) − i6 3 i p(i) − i 6= −1, 2, za sve
i ∈ Nn odreen je Ƭegovom funkcijom generatrise A(z):
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
a456(n) 1 1 1 2 4 9 15 25 46 84 156 . . .
Tabela 3.7: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslove −26 p(i)− i6 3 i p(i)− i 6= −1, 2.
Ovo je niz A080004 u [43].
3.4. Parne i neparne permutacije
Sada emo prebrojavati parne i neparne (π = 0 za parne i π = 1 za neparne) permutacije koje
zadovoƩavaju uslove
−k 6 p(i)− i6 r i p(i)− i 6∈ I
za sve i ∈ Nn, pri qemu je k ≤ r < n, i skup I je fiksiran podskup skupa {−k+1,−k+2, . . . , r−1}.
Uzeemo da skup I sadrжi taqno x elemenata, |I| = x (to e nam biti od znaqaja kasnije kada
delimo skup D2).
I ovde je to generalizacija Lemerovog tipa R
(k)
5 i skoro isti rezon se primeƬuje. Ponovo
emo se baviti asimetriqnim sluqajevima, kao i sluqajevima koji imaju vixe zabraƬenih pozi-
cija nego obiqni deranжmani. Matrice koje se dobijaju Laplasovim razvojem imaju pravilnu
strukturu – to su tzv. trakaste matrice (eng. band matrices). Matrica je trakasta ako je retka
matrica (eng. sparse matrix; to su matrice koje su uglavnom popuƬene sa nulama) kod koje se svi
nenula elementi nalaze u jednoj dijagonalnoj traci, koja se sastoji od glavne dijagonale i nula
ili vixe dijagonala koje se nalaze sa svake od strana glavne dijagonale (ti brojevi dijago-
nala sa svake od strana su konaqni unapred fiksirani brojevi). Laplasov razvoj permanenata
trakastih matrica se svodi na sistem linearnih rekurentnih jednaqina. Ovim permutacijama
emo se i kasnije baviti u poglavƩu sa konaqnim automatima.
Naxa tehnika se sastoji od 6 koraka:
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 53
1. Formiramo C, skup svih kombinacija od k+1 elemenata skupa Nk+r+1 koje sadrжe element
k + r + 1.
2. Formiramo D, skup svih ureenih parova D = (C, π), gde je C ∈ C i π ∈ {0, 1}.
3. Pridruжujemo celobrojni niz aD(n) svakom ureenom paru D ∈ D.
4. PrimeƬujemo preslikavaƬe ϕ (koje e biti definisano kasnije) na svaki ureeni par.
5. Formiramo sistem linearnih rekurentnih jednaqina sa konstantnim koeficijentima (kas-
nije emo videti da ove jednaqine odgovaraju Laplasovom razvoju permanenta matrice A):
aD(n) =
∑
D′∈ϕ(D)
aD′(n− 1).
6. RexavaƬem ovog sistema dobijamo:
N(n; k, r, I; 0) = a((r+1,r+2,...,r+k+1),0)(n) i N(n; k, r, I; 1) = a((r+1,r+2,...,r+k+1),1)(n).
Sada emo detaƩnije opisati svaki od ovih koraka i pokazaemo da je N(n; k, r, I;π) bax jednako
a((r+1,r+2,...,r+k+1),π)(n).
U Definiciji 3.4.1 smo definisali kombinacije i ilustrovali smo ih u Primeru 3.4.1.
Sada emo nastaviti da uvodimo potrebne pojmove. U definiciji 3.4.2 smo razbili skup C na
disjunktne podskupove, ali radi kompletnosti ovog poglavƩa, to emo ponoviti i u Defini-
ciji 3.4.3. Podsetimo se i da sa α± I oznaqavamo skup α± I = {α± i | i ∈ I}.
DEFINICIJA 3.4.3. Podelimo skup C na 2 disjunktna podskupa:
C1 = {C ∈ C | 1 ∈ C} i C2 = {C ∈ C | 1 6∈ C},
a zatim podelimo skup C2 na x+ 1 disjunktnih podskupova:
Cm2 = {C ∈ C2 | m elemenata iz C je u r + 1− I}, (m = 0, 1, . . . , x).
Sa Ck+1−m oznaqiemo Dekartov proizvod Ck+1−m = C × C × · · · × C, gde se C javƩa (k+ 1−m)
puta.
Neka je sa B oznaqen skup B = {0, 1}.
Uvedimo skup ureenih parova D = {(C, π) | C ∈ C, π ∈ B} i Ƭega podelimo, analogno kao i
C, na disjunktne podskupove:
D1 = {(C, π) | C ∈ C1, π ∈ B}, D2 = {(C, π) | C ∈ C2, π ∈ B},
Dm2 = {(C, π) | C ∈ Cm2 , π ∈ B}, (m = 0, 1, . . . , x).
Za svako D ∈ D2 definixemo ureenu (k + 1)-torku
SD = (D1, D2, . . . , Dk, Dk+1)
na sledei naqin. Dobijamo svaku od kombinacija Ci ∈ C polazei od poqetne kombinacije
C = (c1, c2, . . . , ck, ck+1) (obratimo paжƬu da je D ∈ D oblika D = (C, π)!) tako xto obrixemo
ci, smaƬimo sve ostale koordinate za 1, pomerimo sve koordinate sa veim indeksom za jedno
mesto ulevo i dopixemo k + r + 1 na kraj:
Ci = (c1 − 1, . . . , ci−1 − 1, ci+1 − 1, . . . , ck+1 − 1, k + r + 1).
Za koordinatu parnosti imamo jednostavniju vezu:
πi =
{
π, i je neparno,
1− π, i je parno,
tj. ako je i neparno koordinata parnosti ostaje ista, a ako je i parno koordinata parnosti se
meƬa.
54 3.4. PARNE I NEPARNE PERMUTACIJE
Sliqno kao u SD imamo da je D1 za svako D ∈ D1 jednako:
D1 =
(
(c2 − 1, c3 − 1, . . . , ck − 1, ck+1 − 1, k + r + 1), π
)
(u ovom sluqaju koordinata parnosti π ostaje ista).
Sada, dobijamo ureenu (k+1−m)-torku SD′ = (D′1, D′2, . . . , D′k+1−m) od ureene (k+1)-torke
SD = (D1, D2, . . . , Dk, Dk+1) tako xto obrixemo sve ureene parove Dy = (Cy , πy) koji odgovaraju
elementu cy za koji vaжi uslov cy ∈ r + 1− I.
Konaqno, uvedimo preslikavaƬe
ϕ(D) =
{
ϕ1(D), D ∈ D1
ϕm2 (D), D ∈ Dm2 ,
pri qemu ϕ1 : D1 → D (ako 1 ∈ C) i ϕm2 : Dm2 → Dk+1−m (ako 1 6∈ C), za m = 0, 1, . . . , x, i definisane
sa:
ϕ1(D) = D1, ϕ
m
2 (D) = SD
′.
PosledƬa dva uslova, tj. kako je definisano preslikavaƬe ϕ (pri qemu je ϕ1 ako 1 ∈ C i ϕm2
ako 1 6∈ C), moжemo da raspixemo kao:
ϕ1
(
((1, c2, . . . , ck, ck+1), π)
)
= {((c2 − 1, c3 − 1, . . . , ck − 1, ck+1 − 1, k + r + 1), π)}
(u ovom sluqaju koordinata parnosti π ostaje ista) i
ϕm2
(
((c1, c2, . . . , ck, ck+1), π)
)
= SD′.
PreslikavaƬe ϕ koristimo da bi dobili sistem od 2·(k+r
k
)
linearnih rekurentnih jednaqina
(dobijamo jednu jednaqinu za svaki ureeni par iz D, tj. dve jednaqine za svaku kombinaciju
iz C – jedna odgovara parnim permutacijama, a druga neparnim): ako imamo ϕ1(D) = D′, onda
dobijamo linearnu rekurentnu jednaqinu:
aD(n+ 1) = aD′(n),
a ako imamo ϕm2 (D) = (D
′
1, D
′
2, . . . , D
′
k+1−m), onda dobijamo linearnu rekurentnu jednaqinu:
aD(n+ 1) = aD′
1
(n) + aD′
2
(n) + · · ·+ aD′
k+1−m
(n).
Poqetni uslovi su: a((r+1,r+2,...,r+k+1),0)(0) = 1 i aD(0) = 0 za sve D 6= ((r+1, r+2, . . . , r+ k+1), 0).
Ovaj sistem moжemo rexiti, na primer standardnom metodom koja koristi funkcije gener-
atrisa. Takoe iz ovog sistema moжemo dobiti funkciju generatrise i lineranu rekurentnu
jednaqinu (ona sledi i iz imenioca funkcije generatrise) za niz N(n; k, r, I;π). Pokazaemo da
vaжi N(n; k, r, I; 0) = a((r+1,r+2,...,r+k+1),0)(n) i N(n; k, r, I; 1) = a((r+1,r+2,...,r+k+1),1)(n).
DaƩe, na osnovu matrice ovog sistema, S, moжemo odrediti N(n; k, r, I;π) kao element u prvoj
vrsti i prvoj koloni matrice Sn, tj. on je jednak broju zatvorenih puteva u digrafu G kome je
matrica susedstva bax matrica S (zbog ove observacije znamo da moжemo primeniti i Metodu
matrica prenosa na matricu S). Ove napomene emo iskoristiti u sledeem poglavƩu, gde se
bavimo kompjuterskom sloжenoxu naxe tehnike.
Definiximo sada glavno tvreƬe u ovom poglavƩu.
TEOREMA 3.4.3. Za parne permutacije vaжi N(n; k, r, I; 0) = a((r+1,r+2,...,r+k+1),0)(n), a za
neparne permutacije vaжi N(n; k, r, I; 1) = a((r+1,r+2,...,r+k+1),1)(n).
Dokaz.
Uspostaviemo bijekciju koja svakoj kombinaciji C = (c1, c2, . . . , ck) ∈ C pridruжuje matricu
MC = f(C). Uvedimo skup Mt (za fiksirano t) matrica MC koje odgovaraju nizovima aD0(n) i
aD1(n), gde je D0 = (C, 0) i D1 = (C, 1).
Neka matrica MC = (mij) zadovoƩava sledee uslove:
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 55
1) prvih k + 1 vrsta na poqetku imaju nule i jedinice, a na kraju samo nule:
za i = 1, . . . , k + 1 vaжi mij =
{
1, j + r − ci 6∈ I
0, j + r − ci ∈ I
za j = 1, . . . , ci
i mij = 0 za j > ci;
2) elementi u posledƬih t − (k + 1) vrsta zadovoƩavaju: mij = 1 za −k 6 j − i 6 r, j − i 6∈ I i
mij = 0 u ostalim sluqajevima.
Oznaqimo sa Mt skup svih t× t (t > r) matrica MC za C ∈ C.
Iz matrice MC ∈ Mt, moжemo odrediti odgovarajuu kombinaciju C = (c1, c2, . . . , ck) ∈ C:
neka ci predstavƩa kolonu u kojoj se nalazi posledƬa jedinica u i-toj vrsti matrice MC,
i = 1, 2, . . . , k + 1.
Dakle, preslikavaƬe f : C →Mt, definisano sa f(C) =MC je bijekcija.
Permutacijama sa ograniqeƬima −k ≤ p(i) − i ≤ r i p(i) − i 6∈ I moжemo pridruжiti n × n
matricu A = (aij) koja je definisana sa:
aij =
{
1, ako je − k ≤ j − i ≤ r, j − i 6∈ I,
0, inaqe.
Kao xto smo pokazali u Teoremi 3.1.5 broj svih permutacija (i parnih i neparnih zajedno)
koje zadovoƩavaju uslove −k6p(i)− i6r i p(i)− i 6∈ I jednak je perA. Primetimo da je A ∈Mn sa
ci = r+i, za 16i6k+1, te je stoga kombinacija iz C koja odgovara A jednaka (r+1, r+2, . . . , r+k+1).
Sada, primetimo da rekurentne jednaqine iz koraka 5. (sa strane 53) naxe tehnike odgo-
varaju razvoju permanenta matrice iz Mt po prvoj vrsti (u sluqaju ϕ1) ili po prvoj koloni
(u svim sluqajevima ϕm2 ; primetimo da kada preskoqimo element cy, to odgovara 0 elementu u
prvoj koloni). Tokom ovog razvijaƬa jox treba da vodimo raquna o parnosti permutacije u
konstrukciji.
Svaki korak u konstrukciji permutacije odreuje poziciju najmaƬeg od preostalih elemena-
ta permutacije. Neka q oznaqava broj ve iskorixenih elemenata u konstrukciji permutacije
sa ograniqeƬima. Uvedimo monotono rastui niz w pozicija u permutaciji kojima jox uvek
nisu dodeƩene vrednosti: w = (w1, w2, . . . , wn−q), pri qemu je w1 < w2 < . . . < wn−q.
Ako permanent razvijamo po prvoj vrsti (i tad mi imamo samo jednu 1 u prvoj koloni), to
odgovara u permutaciji p(w1) = q + 1 i parnost permutacije u konstrukciji se ne meƬa, jer
nemamo nijednu novu inverziju.
Ako permanent razvijamo po prvoj koloni i ako imamo 1 u i-tom redu (tj. na poziciji (i, 1) u
matrici A je 1), to odgovara p(wi) = q+1. Tada imamo i−1 brojeva: p(w1), p(w2), . . . , p(wi−1) koji
qine inverziju sa p(q + i) = q + 1 (jer nijedan od tih brojeva jox uvek nije dodeƩe, pa e stoga
svi oni biti vei od q + 1). Dakle, parnost permutacije u konstrukciji zavisi od parnosti i:
• ako je i parno, onda imamo neparan broj (i− 1) inverzija, pa treba da promenimo parnost
permutacije u konstrukciji, π′ = 1− π;
• ako je i neparno, onda imamo paran broj (i− 1) inverzija, pa ne treba da meƬamo parnost
permutacije u konstrukciji, π′ = π.
Na osnovu svega toga sledi glavni zakƩuqak:
N(n; k, r, I; 0) = a((r+1,r+2,...,r+k+1),0)(n) N(n; k, r, I; 1) = a((r+1,r+2,...,r+k+1),1)(n).
Ilustrovaemo ovo tvreƬe na nekoliko primera. U prvom od Ƭih ilustrujemo vezu izmeu
Laplasovog razvoja permanenta i funkcije ϕ, a u sledea dva emo u potpunosti primeniti
tehniku iz ovog poglavƩa da bismo dobili broj parnih (odnosno neparnih) permutacija sa
ograniqeƬima.
PRIMER 3.4.11. Ako razvijemo permanent matrice M345 ∈ M6 po elementu 1 na poziciji
56 3.4. PARNE I NEPARNE PERMUTACIJE
(3, 1) dobijamo matricu M235 ∈M5:
M345 =
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5 6

1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 1

  M235 =
1
2
4
5
6
2 3 4 5 6

0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1


U tom sluqaju je i = 3, j = 1, pa u permutaciji u konstrukciji imamo da je p(3) = 1 i da se
parnost ne meƬa (jer je i = 3 neparan). Sada je q = 1 i w = (w1, w2, w3, w4, w5) = (1, 2, 4, 5, 6).
DaƩe, ako razvijemo permanent matrice M235 ∈M5 po elementu 1 na poziciji (2, 1) dolazimo
do matrice M145 ∈ M4:
M235 =
1
2
4
5
6
2 3 4 5 6

0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1

  M145 =
1
4
5
6
3 4 5 6

1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1


U tom sluqaju je i = 2, j = 1, pa u permutaciji u konstrukciji imamo da je p(wi) = q+j, xto daje:
p(2) = 2 i parnost se meƬa (jer je i = 2 paran). Sada je q = 2 i w = (w1, w2, w3, w4) = (1, 4, 5, 6).
Matricz M125 =
1
4
5
6
3 4 5 6

1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1

 odgovara parnoj permutaciji p′ = 1234 (kada preostale bro-
jeve svedemo na skup N4 – to je smaƬeni oblik iz Defincije 2.1.1) koja odreuje neparnu per-
mutaciju (p(wi) = q + j): p(1) = 3, p(4) = 4, p(5) = 5, p(6) = 6, tj. p = 321456.
Takoe, matrica M125 =
1
4
5
6
3 4 5 6

1 0 0 0
0 1 0 1
1 0 1 0
0 1 0 1

 odgovara neparnoj permutaciji p′ = 1432 (svedeno
na N4, tj. smaƬeni oblik) koja odreuje parnu permutaciju (p(wi) = q + j): p(1) = 3, p(4) = 6,
p(5) = 5, p(6) = 4, tj. p = 321654.
Ako razvijemo permanent matrice M235 ∈ M5 po elementu 1 na poziciji (3, 1) dobijamo ma-
tricu M125 ∈M4:
M235 =
1
2
4
5
6
2 3 4 5 6

0 1 0 0 0
1 0 1 0 0
1 0 1 0 1
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1

  M125 =
1
2
5
6
3 4 5 6

1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 1 0 1


U tom sluqaju je i = 3, j = 1, pa u permutaciji u konstrukciji imamo da je p(4) = 2 i parnost se
ne meƬa (jer je i = 3 neparan). Sada je q = 1 i w = (w1, w2, w3, w4) = (1, 2, 5, 6).
Matricz M125 odgovara parnoj permutaciji p′ = 1234 (smaƬeni oblik) koja odreuje parnu per-
mutaciju p(1) = 3, p(2) = 4, p(5) = 5, p(6) = 6, tj. p = 341256.
PRIMER 3.4.12. Odredimo broj parnih (neparnih) permutacija skupa Nn, koje zadovoƩavaju
uslov −1 ≤ p(i)−i ≤ 1 za sve i ∈ Nn. Uobiqajeno se ove permutacije nazivaju permutacije duжine
n sa rastojaƬem 1 (eng. permutation of length n within distance 1).
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 57
U ovom sluqaju je k = r = 1, tj. k + r + 1 = 3 i C = {23, 13}.
ϕ2(23, 0) = {(23, 0), (13, 1)}, ϕ1(13, 0) = {(23, 0)}, ϕ2(23, 1) = {(23, 1), (13, 0)}, ϕ1(13, 1) = {(23, 1)},
odakle dobijamo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
a(23,0)(n+ 1) = a(23,0)(n) + a(13,1)(n),
a(13,0)(n+ 1) = a(23,0)(n),
a(23,1)(n+ 1) = a(23,1)(n) + a(13,0)(n),
a(13,1)(n+ 1) = a(23,1)(n),
sa poqetnim uslovima a(23,0)(0) = 1, a(13,0)(0) = 0, a(23,1)(0) = 0, a(13,1)(0) = 0. Ako uvedemo smenu
a(23,0)(n) = an, a(13,0)(n) = bn, a(23,1)(n) = cn i a(13,1)(n) = dn, dobijamo jednostavniji zapis:
an+1 = an + dn, bn+1 = an, cn+1 = cn + bn, dn+1 = cn.
Poqetni uslovi su a0 = 1, b0 = c0 = d0 = 0.
Jedan od glavnih razloga za uvoeƬe prethodne smene je prelaжeƬe sa sistema rekurentnih
jednaqina na sistem linearnih jednaqina: nizu koji je oznaqen malim latiniqnim slovima
pridruжiemo funkciju generatrise qija je oznaka isto, ali veliko slovo (npr. an ↔ A(z),
bn ↔ B(z), itd.). Tako dobijamo sledei sistem:
A(z)− 1
z
= A(z) +D(z),
B(z)
z
= A(z),
C(z)
z
= C(z) +B(z),
D(z)
z
= C(z)
Ovo je sistem linearnih jednaqina
(
promenƩive su A(z), B(z), C(z), D(z)
)
i deo Ƭegovog rexeƬa
koji nas zanima je:
A(z) =
1− z
1− 2z + z2 − z4 , C(z) =
z2
1− 2z + z2 − z4 .
Iz imenioca ovih funkcija generatrisa 1 − 2z + z2 − z4, moжemo nai linearne rekurentne
jednaqine:
an = 2an−1 − an−2 + an−4 i cn = 2cn−1 − cn−2 + cn−4.
RexavaƬem ovih jednaqina dobijamo opxti qlan ovih nizova:
an =
1
2
(Fn+1 + xn) , cn =
1
2
(Fn+1 − xn) ,
gde Fn oznaqava n-ti Fibonaqijev broj, a xn = cos
nπ
3 +
1√
3
sin nπ3 (A010892 u [43]).
Brojeve parnih permutacija, an, i brojeve neparnih permutacija, cn, koji zadovoƩavaju
ograniqeƬe |p(i) − i| 6 1, za sve i ∈ Nn moжemo odrediti iz prethodnih rekurentnih formu-
la ili iz Ƭihovih funkcija generatrisa A(z) i C(z):
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
an 1 1 1 1 2 4 7 11 17 27 44 . . .
cn 0 0 1 2 3 4 6 10 17 28 45 . . .
Tabela 3.8: Broj parnih i neparnih permutacija koje zadovoƩavaju |p(i)− i|6 1.
Ovi nizovi su A005252 i A024490 u [43].
PRIMER 3.4.13. Odredimo broj parnih (neparnih) permutacija skupa Nn, koje zadovoƩavaju
odgraniqeƬe p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}.
U ovom sluqaju je k = r = 2, tj. k + r + 1 = 5, skup zabraƬenih pozicija I = {−1, 1}, xto
povlaqi da je (r+1−I) = {2, 4}. Skup svih kombinacija C = {345, 245, 235, 145, 135, 125} je podeƩen
na skupove:
C1 = {145, 135, 125}, C02 = ∅, C12 = {345, 235}, C22 = {245}.
58 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
ϕ12(345, 0) = {(345, 0), (235, 0)}, ϕ12(345, 1) = {(345, 1), (235, 1)},
ϕ22(245, 0) = {(135, 0)}, ϕ22(245, 1) = {(135, 1)},
ϕ12(235, 0) = {(145, 1), (125, 0)}, ϕ12(235, 1) = {(145, 0), (125, 1)}
ϕ1(145, 0) = {(345, 0)}, ϕ1(145, 1) = {(345, 1)},
ϕ1(135, 0) = {(245, 0)}, ϕ1(135, 1) = {(245, 1)},
ϕ1(125, 0) = {(145, 0)}, ϕ1(125, 1) = {(145, 1)}.
Ako uvedemo smenu a(345,0)(n) = an, a(245,0)(n) = bn, a(235,0)(n) = cn, a(145,0)(n) = dn, a(135,0)(n) = en,
a(125,0)(n) = fn, a(345,1)(n) = gn, a(245,1)(n) = hn, a(235,1)(n) = in, a(145,1)(n) = jn, a(135,1)(n) = kn i
a(125,1)(n) = ℓn dobijamo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
an+1 = an + cn, gn+1 = gn + in,
bn+1 = en, hn+1 = kn,
cn+1 = jn + fn, in+1 = dn + ℓn
dn+1 = an, jn+1 = gn,
en+1 = bn, kn+1 = hn,
fn+1 = dn, ℓn+1 = jn,
sa poqetnim uslovima a0 = 1 i b0 = c0 = · · · = ℓ0 = 0.
Iz ovog sistema dobijamo funkcije generatrisa:
A(z) = 1−z−z
4
1−2z+z2−2z4+2z5−z6+z8 i G(z) =
z3
1−2z+z2−2z4+2z5−z6+z8 .
Iz imenioca ovih funkcija generatrisa
1− 2z + z2 − 2z4 + 2z5 − z6 + z8 = (1− z)(1 + z)(1 + z2)(1− z + z2)(1 − z − z2),
dobijamo linearnu rekurentnu jednaqinu an = 2an−1 − an−2 + 2an−4 − 2an−5 + an−6 − an−8, a ista
vaжi i za gn.
RexavaƬem ove jednaqine dobijamo opxte qlanove ovih nizova:
an =
1
10
(Ln+2 + yn + zn) , gn =
1
10
(Ln+2 + yn − zn) ,
gde Ln oznaqava n-ti Lukasov broj, yn = 2 cos
nπ
2 + sin
nπ
2 i zn =
{
5, n ≡6 0, 1, 2
0, n ≡6 3, 4, 5,
tj. zn = 5, ako
broj n daje ostatak 0, 1 ili 2 pri deƩeƬu sa 6, a zn = 0, ako n daje ostatak 3, 4 ili 5 pri
deƩeƬu sa 6.
Brojeve parnih permutacija, an, i brojeve neparnih permutacija, gn, koje zadovoƩavaju
ograniqeƬa |p(i) − i| 6 2 i p(i) − i 6= −1, 1 moжemo odrediti na osnovu prethodnih formula
ili Ƭihovih funkcija generatrisa A(z) i G(z):
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
an 1 1 1 1 2 3 5 8 13 20 32 . . .
gn 0 0 0 1 2 3 4 7 12 20 32 . . .
Tabela 3.9: Broj parnih i neparnih permutacija koje zadovoƩavaju p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}.
3.5. Veze sa drugim kombinatornim
objektima
3.5.1. PrebrojavaƬe R
(k)
4 i kompozicije
Prvo emo uraditi primer koji e biti od suxtinske vaжnosti za uspostavƩaƬe veze izmeu
permutacija sa ograniqeƬima i kompozicijama.
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 59
PRIMER 3.5.1. k = 1: Sve kombinacije sa k+1 = 2 elementa skupa Nr+2 = {1, 2, . . . , r+2} su:
(r + 1, r + 2), (r, r + 2), . . . , (1, r + 2).
ϕ2
(
(r + 1, r + 2)
)
=
(
(r + 1, r + 2), (r, r + 2)
)
ϕ2
(
(r, r + 2)
)
=
(
(r + 1, r + 2), (r − 1, r + 2))
...
ϕ2
(
(2, r + 2)
)
=
(
(r + 1, r + 2), (1, r + 2)
)
ϕ1
(
(1, r + 2)
)
= (r + 1, r + 2)
odakle dobijamo sistem linearnih rekurentnih jednaqina:
a(r+1,r+2)(n) = a(r+1,r+2)(n− 1) + a(r,r+2)(n− 1)
a(r,r+2)(n) = a(r+1,r+2)(n− 1) + a(r−1,r+2)(n− 1)
...
a(2,r+2)(n) = a(r+1,r+2)(n− 1) + a(1,r+2)(n− 1)
a(1,r+2)(n) = a(r+1,r+2)(n− 1)
Ako a(r+1,r+2)(n) zamenimo sa an, dolazimo do (r+1)-Fibonaqijevih brojeva (eng. Fibonacci (r+1)-
step numbers – videti [?]; Linq ih u [32] zove kao i mi):
an = an−1 + an−2 + · · ·+ an−r−1
sa poqetnim uslovima a0 = 1, ai = 2i−1 za i = 1, . . . , r. Za r = 1 dobijamo obiqne Fibonaqijeve
brojeve, za r = 2 Tribonaqijeve brojeve, za r = 3 Tetranaqijeve brojeve itd.
ƫihova funkcija generatrise je A(z) =
1
1− z − z2 − · · · − zr+1 .
Niz an predstavƩa i broj kompozicija broja n na sabirke iz skupa P = {1, 2, . . . , r + 1}, xto
emo pokazati iz digrafa G = D(S) koji je pokazan na Slici 3.4 i koji odgovara matrici
sistema linearnih rekurentnih jednaqina S.
v1
v2 v3 vr vr+1
Slika 3.4: Digraf G = D(S).
Svaka 1 u kompoziciji odgovara xetƬi a1a1 duжine 1 u G, svaka 2 odgovara xetƬi a1a2a1
duжine 2, svaka 3 odgovara xetƬi a1a2a3a1 duжine 3, . . . i svaka r + 1 xetƬi a1a2 . . . arar+1a1
duжine r + 1. Ve smo videli da je an jednako elementu na poziciji (1, 1) u matrici Sn, xto je
po Teoremi 1.5.2 jednako broju xetƬi duжine n od qvora a1 do qvora a1. Na osnovu prethodnog
sledi da je broj kompozicija broja n na sabirke iz skupa {1, 2, 3, . . . , r + 1} jednak broju per-
mutacija iz Sn koje zadovoƩavaju ograniqeƬe 16 p(i)− i6 r.
Digraf G = D(S) iz prethodnog primera imae i vaжnu ulogu kasnije kada ove rezultate
generalizujemo u Teoremi 3.5.2). Pre toga emo na osnovu rezultata prethodnog primera
prebrojati permutacije sa ograniqeƬima Lemerovog tipa (R
(r+1)
4 , n).
60 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
TEOREMA 3.5.1. Broj permutacija Lemerovog tipa (R
(r+1)
4 , n), sa elementima iz skupa Nn
(element n dolazi na prvo mesto i svi ostali ne mogu da se pomere udesno za vixe od r + 1
mesta – videti [29] ili ovde stranu 36) jednak je broju permutacija koje zadovoƩavaju uslov
−16 p(i)− i6 r, za sve i ∈ Nn−1. Taj broj je bax (r + 1)-Fiboanqijev broj.
Dokaz. Oznaqimo skup svih permutacija koje zadovoƩavaju uslov −1 ≤ p(i) − i ≤ r, za sve
i ∈ Nn−1 sa (R(1,r)1 , n− 1). Uspostavimo bijekciju
Φ : (R
(r+1)
4 , n)→ (R(1,r)1 , n− 1)
na sledei naqin:
Φ
(
(n, p2, p3, . . . , pn)
)
= (p2, p3, . . . , pn).
U Primeru 3.5.1 pokazali smo da je broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov −16 p(i)− i6 r
jednak (r + 1)-Fibonaqijevom broju.
TEOREMA 3.5.2. Broj kompozicija broja n na sabirke iz konaqnog skupa P jednak je broju
permutacija sa ograniqeƬima −16 p(i)− i6 r i p(i)− i 6∈ I, gde je I = {0, 1, . . . , r− 1, r} \ (−1 + P )
pri qemu je r najvei element skupa P umaƬen za 1.
Dokaz. Povezaemo permutacije sa ograniqeƬima kod kojih je k = 1 sa kompozicijama broja
n na sabirke iz datog skupa P . Kada u digrafu G = D(S), kog smo dobili u Primeru 3.5.1,
ukloniqemo sve grane (aq, a1) koje odgovaraju brojevima q iz skupa 1 + I (time nestaje i xetƬa
a1a2 . . . aqa1, koja odgovara sabirku q u kompozicijama). Time smo dobili podgraf H = (V,E′)
digrafa G = (V,E) sa istim skupom qvorova V , dok mu je skup grana E′ ⊆ E. Qvor aq odgovara
kombinaciji (r+1− q, r+2) ∈ C iz naxe tehnike, te odatle dobijamo E′ = E \ {(aq, a1) | q ∈ 1+ I}
i da je skup P zadat sa P = Nr+1 \ (1 + I).
Takoe, imamo i vezu u suprotnom smeru – od skupa P dolazimo do skupa I na sledei naqin:
I = {0, 1, . . . , r − 1, r} \ (−1 + P ) (gde za r uzimamo najvei element skupa P umaƬen za 1).
Time smo uspostavili obostrano jednoznaqnu korespodenciju izmeu kompozicija broja n na
sabirke iz konaqnog skupa P i permutacija sa ograniqeƬima −16 p(i)− i6 r i p(i)− i 6∈ I.
Napomena. Napomenimo da ovo nije bijekcija izmeu permutacija sa ograniqeƬima i kom-
pozicija sa ograniqeƬima, xto emo videti i iz narednih primera: i permutacijama koje
zadovoƩavaju uslove −1 6 p(i) − i 6 3 i p(i) − i 6= 1 i permutacijama koje zadovoƩavaju uslove
−2 6 p(i) − i 6 2 i p(i) − i 6= ±1 odgovaraju kompozicije broja n u sabirke iz konaqnog skupa
{1, 3, 4}.
PRIMER 3.5.2. Odrediti broj kompozicija broja n na sabirke iz skupa P = {1, 3, 4}.
RexeƬe. Prema Teoremi 3.5.2 dobijamo da u ovom sluqaju vaжi
k = 1, k + r = 4 ⇒ r = 3, P = {1, 3, 4} ⇒ −1 + P = {0, 2, 3},
pa je I = {0, 1, . . . , r − 1, r} \ (−1 + P ) = {1}.
Stoga kompozicijama broja n na sabirke iz skupa P = {1, 3, 4} odgovaraju permutacije sa
ograniqeƬima −16 p(i)− i6 3 i p(i)− i 6∈ I, tj. p(i)− i 6= 1. Sa ovim permutacijama smo se sreli
u Primeru 3.4.8 i na osnovu sistema linearnih rekurentnih jednaqina koji smo tada dobili
dolazimo do digrafa G1, koji je predstavƩen na Slici 3.5.
DaƩe znamo da je broj permutacija an sa datim ograniqeƬima jednak broju zatvorenih xetƬi
duжine n od qvora a do qvora a u digrafu G1. Svakoj 1 u odgovarajuim kompozicijama odgovara
xetƬa aa duжine 1, svakoj 3 odgovara xetƬa abca duжine 3 i svakoj 4 odgovara xetƬa abcda
duжine 4. Stoga je an jednako i broju kompozicija broja n u sabirke iz skupa P = {1, 3, 4}.
permutacija 12345 12534 14235 15234 31245 41235
kompozicija 1+1+1+1+1 1+1+3 1+3+1 1+4 3+1+1 4+1
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 61
Tabela 3.10. Veza permutacija i kompozicija sa sabircima iz P = {1, 3, 4}.
Npr. za n = 5 imamo a5 = 6 permutacija skupa N5 koje zadovoƩavaju p(i)−i ∈ {−1, 0, 2, 3}. ƫima
odgovaraju kompozicije broja n = 5 u sabirke iz skupa P = {1, 3, 4}. Odgovarajua bijekcija je
prikazana u Tabeli 3.10.
a
b c d
a
c d
b
ef
Slika 3.5. Digraf G1. Slika 3.6. Digraf G2.
PRIMER 3.5.3. Odrediti kompozicije koje odgovaraju permutacijama skupa Nn uz uslov
p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}.
RexeƬe. Uslov p(i) − i ∈ {−2, 0, 2} moжemo zapisati kao −2 6 p(i) − i 6 2 i p(i) − i 6∈ {−1, 1},
pa je ovo sluqaj k = 2, r = 2, I = {−1, 1} i Ƭime smo se bavili u Primeru . Tada smo dobili
da je broj ovih permutacija jednak broju permutacija iz Primera 3.4.8. Ipak na osnovu ova
dva sistema linearnih rekurentnih jednaqina (koji imaju qak i razliqit broj jednaqina!)
rezultuju razliqitim digrafima G1 i G2, koji su predstavƩeni na slikama 3.5 i 3.6.
U digrafu G2, svakoj 1 odgovara xetƬa aa duжine 1, svakoj 3 odgovara xetƬa acda duжine
3 i svakoj 4 odgovara xetƬa acfda duжine 4. Primetimo da tu qvorovi b i e nisu povezani sa
qvorom a, te stoga odmah znamo da je bn = en = 0 za sve n.
permutacija 12345 12543 14325 14523 32145 34125
kompozicija 1+1+1+1+1 1+1+3 1+3+1 1+4 3+1+1 4+1
Tabela 3.11. Veza permutacija i kompozicija sa sabircima iz P = {1, 3, 4}.
Veza ovih permutacija i kompozicija iz skupa P = {1, 3, 4} je prikazana u Tabeli 3.11.
Sa permutacijama iz ovog primera emo se sresti i u narednom potpoglavƩu u Primeru 3.5.4,
kada emo uspostaviti bijekciju izmeu permutacija sa ograniqeƬima i podskupova sa
ograniqeƬima.
3.5.2. PrebrojavaƬe N(n; k, r, I) i podskupovi
U ovom potpoglavƩu emo za kompoziciju permutacija p i q koristiti multiplikativnu oz-
naku p · q, umesto uobiqajenije p ◦ q, radi jednostavnijeg zapisa kada imamo kompoziciju vixe
permutacija. Takoe, sa Ak oznaqiemo skup svih podskupova A ⊆ Nn koji ne sadrжe 2 ele-
menta qija je razlika jednaka k. Uvexemo i generalizaciju prethodnih podskupova – sa Bd,m
oznaqiemo skup svih podskupova B ⊆ Nn koji ne sadrжe 2 elementa qija je razlika iz skupa
{d, 2d, . . . ,md}. Nai emo bijekciju izmeu skupa Ak i skupa svih permutacija skupa Nn+k za
koje vaжi p(i)− i ∈ {−k, 0, k}. U nekim posebnim sluqajevima daemo i drugu kombinatorne in-
terpretacije skupova Ak i Bd,m: pokazaemo da Ƭima odgovaraju kompozicije broja n na sabirke
iz nekog konaqnog skupa.
Prvo emo pokazati jedno pomono tvreƬe, koje emo koristiti pri dokazima glavnih
rezultata ovog potpoglavƩa.
62 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
LEMA 3.5.3. Za kompoziciju transpozicija vaжi τi,j · τk,ℓ 6= τk,ℓ · τi,j ako i samo ako je
|{i, j} ∩ {k, ℓ}| = 1.
Dokaz. Oznaqimo π1 = τi,j · τk,ℓ i π2 = τk,ℓ · τi,j. Imamo suxtinski 3 razliqita sluqaja.
1◦ |{i, j} ∩ {k, ℓ}| = 2: tada je {i, j} = {k, ℓ}, pa kako za proizvoƩnu transpoziciju vaжi τ ◦ τ = ε,
dobijamo da je π1 = π2 = ε.
2◦ |{i, j} ∩ {k, ℓ}| = 0: tada je π1(i) = j, π1(j) = i, π1(k) = ℓ, π1(ℓ) = k, dok je za ostale vrednosti
π1(m) = m. Takoe vaжi π2(k) = ℓ, π2(ℓ) = k, π2(i) = j, π2(j) = i, dok je za ostale π2(m) = m.
Time smo dobili da je i u ovom sluqaju π1 = π2.
3◦ |{i, j} ∩ {k, ℓ}| = 1: bez umaƬeƬa opxtosti moжemo uzeti da je j = k. Tada je π1 = τi,j · τj,ℓ i
π2 = τj,ℓ · τi,j . DaƩe, vaжi π1(i) = j, π1(j) = ℓ, π1(ℓ) = i, dok je za ostale π1(m) = m. Takoe vaжi
π2(i) = ℓ, π2(j) = i, π2(ℓ) = j, dok je za ostale π2(m) = m. Kako je π1(i) = j 6= ℓ = π2(i), dobijamo
da da je u ovom sluqaju π1 6= π2.
Time je ovo tvreƬe pokazano.
Sada prelazimo na glavni rezultat.
TEOREMA 3.5.4. Bijekcija izmeu skupa Ak i skupa svih permutacija iz Nn+k koje zadovo-
Ʃavaju uslov p(j)− j ∈ {−k, 0, k} za svako j ∈ Nn+k data je sa:
f(A) = ε ·
∏
i∈A
τi,i+k.
Dokaz. Prvo emo pokazati da je ovako uvedena funkcija f dobro definisana.
Kako je A ∈ Ak, onda za svako i ∈ Nn vaжi {i, i + k} 6⊆ A, tj. drugim reqima i i i + k ne mogu
istovremeno biti u skupu A. Odatle imamo da za i, j ∈ A, i 6= j vaжi {i, i+ k} ∩ {j, j + k} = ∅, pa
po Lemi 3.5.3 imamo da za i 6= j vaжi
τi,i+k · τj,j+k = τj,j+k · τi,i+k,
xto povlaqi dobru definisanost.
Pokaжimo da je ovako uvedena funkcija f injekcija, tj. ”1-1”.
Uoqimo A1 6= A2. Neka je π1 = f(A1) i π2 = f(A2). Neka je j ∈ Nn najmaƬi element koji pripada
taqno jednom od skupova A1 i A2. Bez umaƬeƬa opxtosti uzmimo da je j ∈ A1 i j 6∈ A2. Kako je
A1 ∈ Ak, iz j ∈ A1 ⇒ j − k 6∈ A1 ⇒ j − k 6∈ A2 (ova druga implikacija sledi iz qiƬenice da je
j najmaƬi element koji pripada taqno jednom od skupova A1 i A2). Na osnovu toga sledi da je
π1(j) = j + k, dok je π2(j) = j, qime smo pokazali da je π1 6= π2, tj. da je ova funkcija ”1-1”.
Pokaжimo da je ovako uvedena funkcija f surjekcija, tj. ”na”.
Svaku permutaciju π moжemo predstaviti kao kompoziciju transpozicija (to je Teorema 1.1.4).
Oznaqimo minimalno predstavƩaƬe permutacije preko kompozicije transpozicija sa Z. Kom-
pozicija transpozicija je minimalne duжine ako i samo ako multigraf koji se dobija kada
granom spojimo elemente koje meƬamo u transpoziciji ne sadrжi konturu, tj. ako je on xuma
(to je Teorema 1.1.6). Drugim reqima, prethodna qiƬenica kaжe da se u Z svaka transpozicija
javƩa najvixe jednom.
Neka je i najmaƬi prirodan broj, takav da se τi,i+k javƩa u minimalnom zapisu M . Neka se
i τi+k,i+2k, . . . , τi+(m−1)k,i+mk javƩaju u M , a τi+mk,i+(m+1)k se ne javƩa u M . Pokaжimo da mora
biti m = 1.
Pretpostavimo suprotno, da je m > 2. Onda je minimalni zapis M permutacije π ili
MI = . . . · τi,i+k · . . . · τi,i+k · . . . ili MII = . . . · τi,i+k · . . . · τi,i+k · . . .
Ako je π = MI, onda postoji n > 2 takvo da je π(i + nk) = i. Ali onda za tu vrednost i + nk
imamo da je
|π(i+ nk)− (i+ nk)| = |i− (i+ nk)| = nk > k,
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 63
pa za permutaciju π ne vaжi uslov da je za svako j ispuƬeno π(j)− j ∈ {−k, 0, k}.
Ako je π =MII, onda postoji n> 2 takvo da je π(i) = i+ nk. Ali onda za tu vrednost i imamo
da je
|π(i)− i| = |(i+ nk)− i| = nk > k,
pa za permutaciju π ne vaжi uslov da je za svako j ispuƬeno π(j)− j ∈ {−k, 0, k}.
Time smo pokazali da ako je π permutacija skupa Nn+k za koju je π(j)− j ∈ {−k, 0, k} za svako
j ∈ Nn+k, onda u Ƭenom minimalnom zapisu M preko transpozicija ne mogu istovremeno biti i
τi,i+k i τi+k,i+2k. Stoga za svaku permutaciju π postoji skup A ∈ Ak: ako je π = ε ·
∏
i∈I
τi,i+k, onda
za skup A moжemo uzeti bax skup I, tj. A = I. Time je kompletiran dokaz da je funkcija f i
”na”.
Na osnovu svega prethodnog sledi da je funkcijom f(A) = ε·∏i∈A τi,i+k uspostavƩena bijekcija
izmeu skupa Ak i skupa svih permutacija iz Nn+k koje zadovoƩavaju uslov p(j)− j ∈ {−k, 0, k}
za svako j ∈ Nn+k.
Ilustrujmo ovo tvreƬe na jednom primeru.
PRIMER 3.5.4. Odrediti podskupove A ⊆ N3 koji ne sadrжe dva elementa qija je razlika
jednaka 2.
RexeƬe. Kako je Nn−2 = N3 dobijamo da je n = 5.
Prema Teoremi 3.5.4 imamo da takvim podskupovima odgovaraju permutacije skupa Nn = N5
sa ograniqeƬima −2 6 p(i) − i 6 2 i p(i) − i 6∈ {−1, 1} (sa Ƭima smo se sreli u primerima i ).
Predstaviemo svaku od tih permutacija p preko minimalne kompozicije transpozicija, a zatim
emo iz svake od tih transpozicija uzeti maƬi broj i ubaciti ga u podskup A.
permutacija 12345 12543 14325 14523 32145 34125
komp.transp. ε τ3,5 τ2,4 τ2,4 ◦ τ3,5 τ1,3 τ1,3 ◦ τ2,4
podskup ∅ {3} {2} {2, 3} {1} {1, 2}
Tabela 3.12. Veza permutacija i podskupova bez razlika 2.
Veza ovih permutacija i podskupova koji nemaju elemente koji se razlikuju za 2 je prikazana
u Tabeli 3.12. U Primeru smo uspostavili vezu ovih permutacija i kompozicija sa sabircima
iz skupa {1, 3, 4}, tako da smo preko ova dva primera dobili vezu i ova 2 kombinatorna objekta.
PRIMER 3.5.5. Odrediti broj podskupova bez razlika 3 (tj. k = 3).
RexeƬe. Prema Teoremi 3.5.4 imamo da takvim podskupovima sa n − 3 elemenata odgovaraju
permutacije skupa Nn sa ograniqeƬima p(i)−i ∈ {−3, 0, 3}, xto moжemo zapisati kao −36p(i)−i63
i p(i)− i 6∈ {−2,−1, 1, 2}, pa imamo da je k = r = 3, I = {−2,−1, 1, 2}.
KorixeƬem naxe tehnike za prebrojavaƬe permutacija dolazimo do sistema linearnih
rekurentnih jednaqina:
an = an−1 + bn−1, bn = cn−1 + dn−1, cn = en−1 + fn−1, dn = gn−1 + hn−1,
en = an−1, fn = cn−1, gn = en−1, hn = gn−1,
sa poqetnim uslovima a0 = 1, b0 = c0 = d0 = e0 = f0 = g0 = h0 = 0.
RexavaƬem ovog sistema dolazimo do funkcije generatrise:
A(z) =
1− z2
1− z − z2 + z3 − z4 − z5 − z6 + z7 + z8 .
Broj permutacija, an, koje zadovoƩavaju uslov p(i) − i ∈ {−3, 0, 3}, za sve i ∈ Nn odreen je
Ƭegovom funkcijom generatrise A(z):
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 . . .
an 1 1 1 2 4 8 12 18 27 45 75 125 200 320 512 832 . . .
64 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
Tabela 3.14: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−3, 0, 3}.
Ovo je pomereni niz A006500 u [43].
Npr. za n−3 = 4 imamo da je an = a7 = 12 te stoga samo 4 podskupa (24−a6 = 4) iz partitivnog
skupa skupa N4 koji sadrжe elemente koji se razlikuju za 3: {1, 4}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}.
Dakle, 12 traжenih podskupova su: ∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3},
{2, 3, 4}.
Odgovarajue permutacije skupa Nn = N7 su: ε, τ1,4, τ2,5, τ3,6, τ4,7, τ1,4 · τ2,5, τ1,4 · τ3,6, τ2,5 · τ3,6,
τ2,5 · τ4,7, τ3,6 · τ4,7, τ1,4 · τ2,5 · τ3,6 and τ2,5 · τ3,6 · τ4,7.
U narednoj tablici Ƭih emo povezati sa odgovarajuim podskupovima bez razlika 3, kao
i sa odgovarajuim kompozicijama sa ograniqeƬima.
permutacija 1234567 4231567 1534267 1264537 1237564 4531267
komp.transp. ε τ1,4 τ2,5 τ3,6 τ4,7 τ1,4 ◦ τ2,5
podskup ∅ {1} {2} {3} {4} {1, 2}
kompozicija 1+1+1+1+1 +1 +1 4+1+1 +1 1+4+1 +1 1+1 +4 +1 1+1+1 +4 5+1 +1
permutacija 4261537 1564237 1537264 1267534 4561237 1567234
komp.transp. τ1,4 · τ3,6 τ2,5 · τ3,6 τ2,5 · τ4,7 τ3,6 · τ4,7 τ1,4 · τ2,5 · τ3,6 τ2,5 · τ3,6 · τ4,7
podskup {1, 3} {2, 3} {2, 4} {3, 4} {1, 2, 3} {2, 3, 4}
kompozicija 4+2+1 1+5+1 1+4+2 1+1 +5 6+1 1+6
Tabela 3.15. Veza permutacija, kompozicija i podskupova bez razlika 3.
Iz odgovarajueg digrafa G = D(S) prikazanog na Slici 3.7 vidimo da an predstavƩa i
broj kompozicija broja n na sabirke iz skupa {1, 2, 4, 5, 6}, uz ograniqeƬe da sabirak 2 moжe da
ide samo nakon sabirka 2 ili 4. Kompozicije su povezane sa odgovarajuim permutacijama sa
ograniqeƬima p(i)− i ∈ {−3, 0, 3}, kao i skupovima bez razlika 3 u Tabeli 3.15.
c af h
b d
e g
a
bc d
e
f
g
h
i
j
k
ℓ
m
o
p
q
Slika 3.7. Digraf G = D(S) za k = 3. Slika 3.8. Digraf G = D(S) za k = 4.
PRIMER 3.5.6. Odrediti broj podskupova bez razlika 4 (tj. k = 4).
RexeƬe. Prema Teoremi 3.5.4 imamo da takvim podskupovima sa n − 4 elemenata odgovaraju
permutacije skupa Nn sa ograniqeƬima p(i)−i ∈ {−4, 0, 4}, xto moжemo zapisati kao −46p(i)−i64
i p(i)− i 6∈ {−3,−2,−1, 1, 2, 3}, pa imamo da je k = r = 4, I = {−3,−2,−1, 1, 2, 3}.
KorixeƬem naxe tehnike za prebrojavaƬe permutacija dolazimo do sistema linearnih
rekurentnih jednaqina:
an = an−1 + bn−1, bn = cn−1 + dn−1, cn = en−1 + fn−1, dn = gn−1 + hn−1,
en = an−1, fn = cn−1, gn = en−1, hn = gn−1,
sa poqetnim uslovima a0 = 1, b0 = c0 = d0 = e0 = f0 = g0 = h0 = 0.
RexavaƬem ovog sistema dolazimo do funkcije generatrise:
A(z) =
1− z2 − z3 + z4 − z6
1− z − z2 + 2z4 − 2z5 − 2z6 − 2z8 + 2z9 + 2z10 − z12 + z13 + z14 .
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 65
Broj permutacija, an, koje zadovoƩavaju uslov p(i) − i ∈ {−4, 0, 4}, za sve i ∈ Nn odreen je
Ƭegovom funkcijom generatrise A(z):
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 . . .
an 1 1 1 1 1 2 4 8 16 24 36 54 81 135 225 375 . . .
Tabela 3.16: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−4, 0, 4}.
Ovo je pomereni niz A031923 u [43].
Na osnovu gorƬeg sistema rekurentnih jednaqina dolazimo i do digrafa G = D(S) koji je
prikazan na Slici 3.8. Odatle dolazimo do 2 razliqite interpretacije sa kompozicijama:
• an je jednak broju kompozicija broja n na sabirke iz skupa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, sa ograniqen-
jima:
– 2 moжe da sledi samo 5, 6 ili 8;
– 3 moжe da sledi samo 2, 3 ili 5;
– ako se pojavƩuje sabirak 4, onda mora biti paran broj uzastopnih 4.
• an je jednak broju obojenih kompozicija broja n na sabirke iz skupa {1, 3, 5, 6, 7, 8, 10}, sa
ograniqeƬima:
– 7 moжe biti crvene i bele boje;
– 8 moжe biti crvene, plave i bele boje;
– svi ostali sabirci su samo crveni;
– 3 moжe da sledi samo 3, 5, 10, crvenu 7 ili crvenu 8.
Direktna posledica Teoreme 3.5.4 je i sledee tvreƬe.
TEOREMA 3.5.5. Broj podskupova A ⊆ Nn koji ne sadrжe 2 elementa qija je razlika jednaka
k, tj. |Ak|, jednak je elementu s(n)11 u prvoj vrsti i prvoj koloni matrice Sn, gde je matrica
S = [sij ] oblika 2m× 2m, pri qemu je m = 2k−1, data sa:
sij =


1, i6m, j = 2i− 1,
1, i6m, j = 2i,
1, i > m, j = 2(i−m)− 1,
0, inaqe.
Dokaz. Dokaz se sastoji iz nekoliko delova. Prvo se pokaжe da kombinacija koje se slikaju
jedne u druge ima 2k. Tu se napravi binarno stablo kod kojih levo dete odgovara kombinaciji
koja se dobija pri razvijaƬu permanenta po 1 koja se nalazi 6 u svom redu, a desno dete po
1 koja se nalazi 11 u svom redu. Treba pokazati da je ovo stablo (tj. da ne moжe da se doe
do iste kombinacije na razliqite naqine). Zatim se posmatra u xta se slikaju listovi ovog
stabla (ne treba pokazati samo da se slikaju bax u kombinacije koje se nalaze u ovom stablu,
nego treba taqno videti u koju da bi dobili matricu S). U tu svrhu uvodimo preslikavaƬe
niza 11 i 6 u niz 11 i 6 na sledei naqin: 11 na poqetku se obrixe i dopixe se 6 na kraju
(praktiqno ako imamo nekoliko 6 na poqetku Ƭih moжemo izbrisati zbog petƩe koja se nalazi
kod korena stabla).
Konaqno emo dati generalizaciju Teoreme 3.5.4. Dokaz je u osnovi sliqan.
TEOREMA 3.5.6. Bijekcija izmeu skupa Bd,m i skupa svih permutacija iz Nn+md koje zado-
voƩavaju uslov p(j)− j ∈ {−d, 0,md} za svako j ∈ Nn+md data je sa:
f(B) = ε ·
∏
i∈B
(τi+(m−1)d,i+md · τi+(m−2)d,i+(m−1)d · . . . · τi+d,i+2d · τi,i+d).
66 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
Dokaz. Prvo emo pokazati da je ovako uvedena funkcija f dobro definisana.
Kako je B ∈ Bd,m, onda za svako i ∈ Nn u skupu B moжe biti najvixe 1 od brojeva iz skupa
{i, i + d, i + 2d, . . . , i + (m − 1)d, i + md}. Odatle imamo da za proizvoƩne i, j ∈ A, i 6= j vaжi
{i, i+ d, i+2d, . . . , i+(m− 1)d, i+md}∩{j, j+ d, j+2d, . . . , j+(m− 1)d, j+md} = ∅, pa po Lemi 3.5.3
imamo da za i 6= j vaжi
τi+(m−1)d,i+md · τi+(m−2)d,i+(m−1)d · . . . · τi,i+d · τj+(m−1)d,j+md · τj+(m−2)d,j+(m−1)d · . . . · τj,j+d =
τj+(m−1)d,j+md · τj+(m−2)d,j+(m−1)d · . . . · τj,j+d · τi+(m−1)d,i+md · τi+(m−2)d,i+(m−1)d · . . . · τi,i+d
xto povlaqi dobru definisanost.
Pokaжimo da je ovako uvedena funkcija f injekcija, tj. ”1-1”.
Uoqimo B1 6= B2. Neka je π1 = f(B1) i π2 = f(B2). Neka je j ∈ Nn najmaƬi element koji pripada
taqno jednom od skupova B1 i B2. Bez umaƬeƬa opxtosti uzmimo da je j ∈ B1 i j 6∈ B2. Kako je
B1 ∈ Bd,m, iz j ∈ B1 ⇒ j − d 6∈ B1 ⇒ j − d 6∈ B2 (ova druga implikacija sledi iz qiƬenice da
je j najmaƬi element koji pripada taqno jednom od skupova B1 i B2). Na osnovu toga sledi da
je π1(j) = j +md, dok je π2(j) = j, qime smo pokazali da je π1 6= π2, tj. da je ova funkcija ”1-1”.
Pokaжimo da je ovako uvedena funkcija f surjekcija, tj. ”na”.
Svaka permutacija π je generisana sa samo 2 vrste generatora (za definiciju generatora
videti potpoglavƩe 3.2.1. Faktorizaciji u slobodnim monoidima): fiksne taqke π(i) = i i
ciklusi duжine m+1 dati sa π(i) = i+md, π(i+md) = i+ (m− 1)d, π(i+ (m− 1)d) = i+ (m− 2)d,
. . . , π(i+ 2d) = i+ d, π(i+ d) = i. Ovi generatori su predstavƩeni na narednoj slici.
i i i+d i+2d i+mdi+(m−2)d i+(m−1)d
Slika 3.9: Generatori permutacija za koje vaжi π(i)− i ∈ {−d, 0,md}.
Za svaku permutaciju π postoji skup B ∈ Bd,m koji se sastoji od svih najmaƬih elemenata
ciklusa duжine m+1. Tada e biti π = ε ·
∏
i∈B
(τi+(m−1)d,i+md ·τi+(m−2)d,i+(m−1)d · . . .·τi+d,i+2d ·τi,i+d).
Time je kompletiran dokaz da je funkcija f i ”na”.
Na osnovu svega prethodnog sledi da je funkcijom f uspostavƩena bijekcija izmeu skupa
Bd,m i skupa svih permutacija iz Nn+md koje zadovoƩavaju uslov p(j) − j ∈ {−d, 0,md} za svako
j ∈ Nn+md.
Direktna posledica prethodnog tvreƬa je i sledea teorema.
TEOREMA 3.5.7. Neka je logiqka funkcija B(i) data na sledei naqin: B(i) = ⊥ ako u
binarnom zapisu broja i− 1, (i− 1)2 = (bmd−1bmd−2 . . . b1b0)2, postoje pozicije s i s+ d takve da je
bs = 0 i bs+d = 1; inaqe je B(i) = ⊤.
Za i za koje je B(i) = ⊤, uvedimo sledeu funkciju:
F (i− 1) = F ((bmd−1bmd−2 . . . b1b0)2)
= (bmd−2 . . . b(m−1)db (m−1)d−1b(m−1)d−2 . . . bdb d−1bd−2 . . . b1b0bmd−1)2,
tj. na svakoj d-toj poziciji (gledano sa desna) komplementiraemo bit (b d−1, b 2d−1, . . . , bmd−1),
a zatim emo bit bmd−1 sa krajƬe desne pozicije prebaciti na krajƬu levu poziciji (time se
ostali bitovi pomeraju za 1 poziciju u levo).
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 67
Matrica T = [tij ] oblika 2md × 2md zadata je sa:
sij =


1, i6 2md−1, j = 2i− 1, B(i) = ⊤
1, i6 2md−1, j = 2i, B(i) = ⊤
1, i > 2md−1, (j − 1)2 = F (i− 1), B(i) = ⊤
0, inaqe.
Matrica S oblika (m + 1)d × (m + 1)d je podmatrica matrice T , koja se dobija od T kada
obrixemo sve redove i kolone koji imaju samo 0 elemente.
Broj |Bd,m| jednak je elementu s(k)11 u prvoj vrsti i prvoj koloni matrice Sn.
Dokaz. Kako je k = d, a r = md to emo u naxoj metodi raditi sa (k+1)-kombinacijama skupa
Nk+r+1 = {1, 2, . . . ,md+ d + 1} koje kao posledƬi element imaju md+ d+ 1. Takoe, imamo da je
I = {−d+1,−d+2, . . . ,−1, 1, 2, . . . ,md− 1}, pa je r+1− I = {2, 3, . . . ,md,md+2,md+3, . . . ,md+ d},
tj. imamo samo samo 3 vrste preslikavaƬa ϕ:
ϕk−12 (C) = (D1, D2), ϕ
k
2(C) = D2, ϕ1(C) = D,
koje, dobijamo na sledei naqin:
• D1 – obrixemo element md + 1 iz kombinacije C, sve ostale koordinate umaƬimo za 1
i na kraj dopixemo md+ d+ 1;
• D2 – obrixemo element md+ d+ 1 iz kombinacije C, sve ostale koordinate umaƬimo za 1
i na kraj dopixemo md+ d+ 1;
• D – obrixemo element 1 iz kombinacije C, sve ostale koordinate umaƬimo za 1 i na kraj
dopixemo md+ d+ 1.
Stoga vidimo da emo u vrstama matrice S koje odgovaraju kombinacijama koje se javƩaju pri
korixeƬu naxe tehnike imati ili 1 ili 2 jedinice.
Prvo emo uspostaviti bijekciju izmeu binarnih nizova duжinemd kod kojih nema pozicija
s i s+ d takvih da je bs = 0 i bs+d = 1 i svih kombinacija koje se mogu dobiti preslikavaƬima
varphi poqev od poqetne kombinacije (md+ 1,md+ 2, . . . ,md+ d+ 1).
Neka je 2h−1 6 i − 1 6 2h. Tada u binarnom zapisu broja i − 1 imamo da je bh−1 = 1, a
bh = bh+1 = . . . = bmd−1 = 0. Niz (bh−1, bh−2, . . . , b1, b0) u potpunosti odreuje kombinaciju C iz
naxe tehnike (skraeno emo ovaj niz zapisivati samo kao niz cifara bh−1bh−2 . . . b1b0, xto je
uobiqajeni binarni zapis). Ako nema nijednu 1 to je (md + 1,md + 2, . . . ,md + d + 1) i ona je
poqetna kombinacija (koren stabla). Od Ƭe dobijamo kombinacije koje odgovaraju bilo kom
drugom nizu na sledei naqin: kada doe bit b (poqev od prve 1 sleva, tj. od bh−1 = 1 pa do
posledƬeg b0) dobijamo sledeu kombinaciju tako xto obrixemo
{
md+ 1, ako je b = 0
md+ d+ 1, ako je b = 1,
sve
ostale elemente umaƬimo za 1 i dopixemo md+ d+ 1 kao posledƬi element.
Npr, za m = d = 3 binarnom zapisu 10110 odgovara niz kombinacija
{10, 11, 12, 13}
1
→ {9, 10, 11, , 13}
0
→ {8, 10, 12, 13}
1
→ {7, 9, 11, 13}
1
→ {6, 8, 10, 13}
0
→ {5, 7, 12, 13},
tj. binarnom zapisu 10110 pridruжujemo kombinaciju {5, 7, 12, 13}.
Dakle, kombinacijama koje ne sadrжe md+1 odgovaraju binarni nizovi kod kojih je bd−1 = 1
(i taman sledea binarna cifra, koju treba da dopixemo na kraj niza, ne moжe biti 0!) i one
se mogu slikati samo po drugom pravilu ϕk2(C) = D2.
Nizovima kojima je bℓ = 1 prva 1 (sleva) odgovaraju kombinacije koje poqiƬu sa elementom
md + 1 − ℓ. Ovu qiƬenicu emo iskoristiti da pokaжemo da je goreuvedeno preslikavaƬe
binarnih zapisa u kombinacije ,,1-1“.
Pretpostavimo da dobijamo istu kombinaciju sa 2 razliqita niza. Zbog prethodnog, obe
moraju imati prvu 1 (sleva) na istoj poziciji, neka je to ℓ. Neka se nizovi (bℓ, . . . , b0) i (b′ℓ, . . . , b
′
0)
razlikuju na prvom bitu (sleva) bf , gde za f vaжi 0 6 f < ℓ. Bez umaƬeƬa opxtosti moжemo
uzeti da je bf = 1, a b′f = 0. Ali tada niz (b
′
ℓ, . . . , b
′
0) generixe kombinaciju koja sadrжi element
68 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
md − f , dok niz (bℓ, . . . , b0) generixe kombinaciju koja ne sadrжi element md − f . Time smo
pokazali da se 2 razliqita binarna niza duжine md slikaju u 2 razliqite kombinacije.
Potrebno je da pokaжemo i da se kombinacije koje sadrжe 1 slikaju u neku ve ranije dobi-
jenu kombinaciju.
Kako za kombinaciju koja poqiƬe sa 1 vaжi da je prvi bit (sleva) bmd−1 = 1 i kako za
odgovarajue binarne nizove vaжi bs+d = 1 ⇒ bs = 1, dobijamo da kod binarnog niza b koji
odgovara ovoj kombinaciji vaжi bmd−1 = b(m−1)d−1 = . . . = bd−1 = 1.
Uoqimo niz b′ takav da je bmd−1 = b(m−1)d−1 = . . . = bd−1 = 0, dok za ostale bitove vaжi
b′x = bx. Pokaжimo da ako nizu b odgovara kombinacija C, onda novodobijenom nizu b
′ odgovara
kombinacija C′ = C ∪ {md+ 1} \ {1}.
Nizovi b i b′ se ve razlikuju na prvom bitu (sa leva). Stoga, nakon prvog koraka nizu
bmd−1 = 1 odgovara kombinacija {md,md+1, . . . ,md+d−1,md+d+1}, dok nizu b ′md−1 = 0 odgovara
kombinacija {md,md+ 2,md + 3, . . . ,md + d + 1}, tj. moжemo rei da nakon prvog koraka nizu b
odgovara kombinacija C1∪{md}, a nizu b′ kombinacija C1∪{md+d}. Neka je ϕ(C1) = (D1, D2). U
drugom koraku bitovi bmd−2 i b′md−2 su jednaki. Ako za Ƭih vaжi da je bmd−2 = b
′
md−2 = 0, onda je
C2 = D1, a ako je bmd−2 = b′md−2 = 1, onda je C2 = D2. Na osnovu toga dobijamo da nizu bmd−1bmd−2
odgovara kombinacija C2∪{md−1}, dok nizu b′md−1b′md−2 odgovara kombinacija C2 ∪{md+d−1}.
NastavƩajui ovaj postupak, nakon d koraka nizu bmd−1bmd−2 . . . bmd−d odgovara kombinacija
Cd ∪ {md− d+ 1}, dok nizu b′md−1b′md−2 . . . b′md−d odgovara kombinacija Cd ∪ {md+1}. U (d+ 1)-om
koraku se bitovi ponovo razlikuju: bmd−d−1 = 1, a b′md−d−1 = 0, pa e nizu bmd−1bmd−2 . . . bmd−d−1
odgovarati kombinacija Cd∪{md−d}, dok e nizu b′md−1b′md−2 . . . b′md−d−1 odgovarati kombinacija
Cd ∪ {md + d}. NastavƩaƬem ovog postupka nakon w koraka imamo da delu niza b odgovara
kombinacija Cw∪{md+1−w}, dok delu niza b′ odgovara kombinacija Cw∪{md+d−((w−1)mod d)}.
Na osnovu prethodnog dobijamo da ako produжimo prethodni postupak do posledƬeg,
(md)-tog koraka, dobijamo da ako nizu b odgovara kombinacija C, onda nizu b′ odgovara kom-
binacija C′ = C ∪ {md + 1} \ {1}. Prvim delom operacije F (komplementiraƬem svakog d-tog
bita) mi smo od niza b dobili niz b′ i od kombinacije C smo dobili kombinaciju C′ koju smo
ve imali ranije. PosledƬi deo operacije F (prebacivaƬem bita 0 sa krajƬe desne na krajƬu
levu poziciju) odgovara dobijaƬu kombinacije D1 od kombinacije C
′ (kako smo C′ imali ranije
i kako je ϕk−12 (C) = (D1, D2), to smo i D1 imali ranije). Time smo pokazali da su i slike
kombinacija koje sadrжe 1 neke kombinacije koje smo ve ranije dobili. Xtavixe, imamo da
je (j − 1)2 = b′ = F (b) = F (i− 1).
DaƩe, ako kombinacija ne sadrжi broj 1, onda razmotrimo koje kombinacije se mogu dobiti
od Ƭe. Ako binarnom zapisu broja i− 1 dopixemo 0 sa desne strane i dobijemo broj j − 1 onda
vaжi (j − 1)2 = (i − 1)2 · 102, odnosno u dekadnom sistemu je (j − 1) = (i − 1) · 2, tj. j = 2i − 1.
Ako binarnom zapisu broja i − 1 dopixemo 1 sa desne strane i dobijemo broj j − 1 onda vaжi
(j − 1)2 = (i− 1)2 · 102 + 12, odnosno u dekadnom sistemu je (j − 1) = (i− 1) · 2 + 1, tj. j = 2i.
Na osnovu prethodnih qiƬenica, sledi da smo matricu T = [tij ] ispravno popunili. Ako je
B(i) = false u odgovarajuoj vrsti emo imati sve elemente jednake 0 (ovim binarnim nizovima
ne odgovaraju kombinacije koje se mogu dobiti naxom tehnikom).
Ostaje jox da odredimo kog je oblika matrica S (koja se dobije kada izbacimo sve vrste
koje odgovaraju neispravnim nizovima). Odredimo koliko ima ispravnih nizova. Posmatrajmo
podnizove
b(m−1)d, b(m−2)d, . . . , b2d, bd, b0;
b(m−1)d+1, b(m−2)d+1, . . . , b2d+1, bd+1, b1;
...
...
bmd−1, b(m−1)d−1, . . . , b3d−1, b2d−1, bd−1.
U svakom od Ƭih nakon prvog elementa 1 (sleva) i svi naredni elementi moraju biti jednaki
1 (zbog bs+d = 1 ⇒ bs = 1), pa svaki od tih nizova moжemo (nezavisno od drugih) odrediti na
m+ 1 naqina, xto daje ukupno (m+ 1)d razliqitih ispravnih nizova, tj. toliko e matrica S
imati vrsta i kolona.
U ciƩu boƩeg razumevaƬa prethodnih rezultata ilustrovaemo ih narednim primerom.
PRIMER 3.5.7. Odrediti broj podskupova koji ne sadrжe 2 elementa qija razlika pripada
skupu {2, 4, 6}.
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 69
RexeƬe. Prema Teoremi 3.5.6 imamo da {2, 4, 6} ⇒ k = d = 2, r = dm = 6, I = {−1, 1, 2, 3, 4, 5}.
Stoga, traжenim podskupovima sa n − md elemenata odgovaraju permutacije skupa Nn sa
ograniqeƬima p(i) − i ∈ {−2, 0, 6}. Odatle dobijamo da su sve kombinacije koje se javƩaju u
naxoj tehnici (polazei od inicijalne 789):
C ={789, 679, 589, 569, 479, 459, 389, 369, 349, 279, 259, 239, 189, 169, 149, 129}
i Ƭima e odgovarati rekuretni nizovi u sistemu rekurentnih jednaqina.
KorixeƬem naxe tehnike za prebrojavaƬe permutacija dolazimo do sistema linearnih
rekurentnih jednaqina (odgovarajui digraf G = D(S) je prikazan na Slici 3.10):
an = an−1 + bn−1, bn = cn−1 + dn−1, cn = en−1, dn = fn−1,
en = gn−1 + hn−1, fn = in−1, gn = jn−1, hn = kn−1,
in = ℓn−1, jn = mn−1 + on−1, kn = pn−1, ℓn = qn−1,
mn = an−1, on = cn−1, pn = gn−1, qn = mn−1,
uz poqetne uslove a0 = 1, b0 = c0 = . . . = q0 = 0.
1
0 1
1 1
0 1 1
1 1 1
0 1 1 1
0
g
a
b
c
d
e f
h i
j k ℓ
m o p q
Slika 3.10. Digraf G = D(S) za d = 2 i m = 3.
Ukoliko uklonimo petƩu kod qvora a i grane koje izlaze iz qvorova m, o, p, q dobijamo
binarno stablo BT (to nije potpuno binarno stablo, jer neki unutraxƬi qvorovi imaju samo
desnog sina). Kombinacija (i takoe odgovaracui qvor v) preslikavaju se u binarni niz
prema sledeem pravilu:
Polazei od korena stabla a idemo ka qvoru v najkraim putem i svaki put kada
idemo levom granom zapixemo 0, a svaki put kada idemo desnom granom zapixemo 1
(ako na kraju imamo maƬe od md bitova, dopisaemo potreban broj nula na poqetak,
tj. sa leva).
Na primer, kombinaciji 369 odgovara qvor h (i niz hn u sistemu rekurentnih jednaqina).
Najkrai put od korena a do h je
a− b− c− e− h
(tu idemo desno, levo, desno, desno), pa je odgovarajui niz bitova jednak 1011. Ali taj niz
ima maƬe od m · d = 3 · 2 = 6 bitova, pa dopisujemo 2 nule na poqetak. Konaqno, dobili smo
binarni niz 001011.
Veza izmeu svih kombinacija, odgovarajuih binarnih nizova i rekurentnih nizova koji
se javƩaju u sistemu rekurentnih jednaqina data je u Tabeli 3.17.
kombinacija 789 679 589 569 479 459 389 369
binarni niz 000000 000001 000010 000011 000101 000111 001010 001011
rekur. niz an bn cn dn en fn gn hn
kombinacija 349 279 259 239 189 169 149 129
binarni niz 001111 010101 010111 011111 101010 101011 101111 111111
rekur. niz in jn kn ℓn mn on pn qn
Tabela 3.17. Veza izmeu kombinacija, binarnih nizova i rekurentnih nizova.
70 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
RexavaƬem gorƬeg sistema dolazimo do an, koji predstavƩa i broj podskupova bez razlika
2, 4 i 6, a i broj permutacija sa ograniqeƬem p(i)− i ∈ {−2, 0, 6}. ƫegova funkcija generatrise
je: A(z) =
1− z5 − z8
1−z−z5+z6−z7−2z8+z9−z10+z13+z16 .
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 . . .
an 1 1 1 1 1 1 1 2 4 6 9 12 16 20 25 35 49 70 100 . . .
Tabela 3.18: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−2, 0, 6}.
Na osnovu A(z) moжemo odrediti i niz an koji je predstavƩen u Tabeli 3.18. To je niz
A224808 u [43].
Kada pokuxavamo da redukujemo sistem liearnih rekurentnih jednaqina iz naxe metode u
nekim od ovih sluqajeva, dolazimo do sledeeg sistema liearnih rekurentnih jednaqina:
x2k(n+ 1) = xk(n)
x2k+1(n+ 1) = xk(n) + x2d−1+k(n)
(∗)
za k = 0, 1, . . . , 2d−1 − 1.
U [5] smo rexili sistem (∗) u potpunosti i ti rezultati e biti sada ukƩuqeni (za sliqne
sisteme mogu se primeniti metode iz [24]). RexeƬe specijalnog sluqaja sistema (∗) je dato u
Lemi 3.5.8, koju koristimo da bi dobili rexeƬe opxteg sluqaja sistema (∗), xto je uqiƬeno u
Teoremi 3.5.9.
Prvo emo uvesti odreenu notaciju.
DEFINICIJA 3.5.1. Prirodan broj n < 2d se moжe predstaviti u binarnom zapisu kao
n2 = (bd−1bd−2 . . . b1b0)2, ukoliko vaжi bi ∈ {0, 1} i n =
d−1∑
s=0
bs · 2s.
Binarnu operaciju ⊕ uvodimo kao x⊕ y = x+ y (mod d).
Za svaku poziciju s, 06 s6 d− 1, uvodimo funkciju
fs(a, b, r) =


1, as = bs⊕r
0, as = 1, bs⊕r = 0
t, as = 0, bs⊕r = 1, s < d− r
t+ 1, as = 0, bs⊕r = 1, s ≥ d− r.
LEMA 3.5.8. Neka je zadat sistem od 2d linearnih rekurentnih jednaqina koje su oblika
x2k(n+1) = xk(n) i x2k+1(n+1) = xk(n)+x2d−1+k(n) for k = 0, 1, . . . , 2
d−1−1, neka vaжi 06a, b62d−1
i za neko fiksirano a je xa(0) = 1, dok za sve ostale b 6= a vaжi xb(0) = 0.
Tada za n = d · t+ r, 06 r 6 d− 1, vaжi jednakost:
xb(n) =
d−1∏
s=0
fs(a, b, r).
Dokaz. Pokazaemo da ovo rexeƬe zadovoƩava poqetne uslove, kao i jednaqine i prvog i
drugog tipa datog sistema.
1◦ poqetni uslovi
Za n = 0 = d · 0 + 0 je r = 0, pa je i s⊕ r = s⊕ 0 = s.
Ako je b = a, onda na svakoj poziciji s vaжi as = bs, pa je fs(a, a, 0) = 1, xto povlaqi
xa(0) =
d−1∏
s=0
1 = 1.
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 71
Ako je b 6= a, onda postoji pozicija s na kojoj se binarni zapisi a2 i b2 razlikuju.
Ako je as = 1 i bs = 0, to odmah povlaqi da je fs(a, b, 0) = 0.
Ako je as = 0 i bs = 1, kako vaжi i s < d = d− r, imamo da je fs(a, b, 0) = t = 0.
Kada je b 6= a u oba sluqaja dobijamo da je fs(a, b, 0) = 0 za neko s, xto povlaqi da je xb(0) = 0.
2◦ x2k(n+ 1) = xk(n)
Neka je b = 2k, za k < 2d−1.
Za binarne zapise
(k)2 = (bd−1, bd−2, . . . , b1, b0) i (2k)2 = (b′d−1, b
′
d−2, . . . , b
′
1, b
′
0)
vaжi da se (2k)2 dobija od (k)2 cikliqnim pomeraƬem u levo za jednu poziciju, tj. b′s⊕1 = bs. I
poveaƬem sa n na n+ 1 se i ostatak pri deƩeƬu sa d poveava za 1 po modulu d, tj. r′ = r ⊕ 1.
Sada emo u dokazivaƬu jednakosti x2k(n+ 1) = xk(n) ii po sluqajevima:
• Ako je as = bs⊕r ⇒ as = bs⊕r = b′(s⊕r)⊕1 = b′s⊕(r⊕1) ⇒ fs(a, k, r) = fs(a, 2k, r ⊕ 1) = 1.
• Ako je as = 1, bs⊕r = 0 ⇒ as = 1, 0 = bs⊕r = b′(s⊕r)⊕1 = b′s⊕(r⊕1) ⇒ fs(a, k, r) = fs(a, 2k, r⊕1) = 0.
• Ako je as = 0, bs⊕r = 1, s < d− r− 1 ⇒ as = 0, 1 = bs⊕r = b′s⊕(r⊕1), s < d− (r⊕ 1) ⇒ fs(a, k, r) =
fs(a, 2k, r ⊕ 1) = t.
• Ako je as = 0, bs⊕r = 1, s > d − r, r 6= d − 1 ⇒ as = 0, 1 = bs⊕r = b′s⊕(r⊕1), s > d − (r +
1) ⇒ fs(a, k, r) = fs(a, 2k, r ⊕ 1) = t+ 1.
• Ako je r = d−1, onda je r⊕1 = 0, ali i tada vaжi prethodna jednakost, mada sa drugaqijim
rezonovaƬem:
ako je as = 0, bs⊕(d−1) = 1, s>d−(d−1) = 1, fs(a, k, r) = t+1 ⇒ as = 0, 1 = bs⊕r = b′s⊕(r⊕1) = b′s⊕0,
s6 d− 0 = d, pa je fs(a, 2k, r⊕ 1) = t′ = t+1, jer je n′ = n+1 = d · t+ (d− 1)+ 1 = d · (t+1)+ 0
i opet smo dobili da je fs(a, k, r) = fs(a, 2k, r ⊕ 1) = t+ 1.
• Ako je as = 0, bs⊕r = 1, s = d− r − 1 ⇒ 1 = bs⊕r = b′s⊕(r⊕1), ali sa druge strane imamo da je
b′s⊕(r⊕1) = b
′
0 = 0, jer je to posledƬa cifra u binarnom zapisu parnog broja 2k. Time smo
dobili da ovaj sluqaj nije mogu.
Kako smo u svim sluqajevima dobili da je fs(a, k, r) = fs(a, 2k, r ⊕ 1), to povlaqi i da je
xk(n) =
d−1∏
s=0
fs(a, k, r) =
d−1∏
s=0
fs(a, 2k, r ⊕ 1) = x2k(n+ 1).
3◦ x2k+1(n+ 1) = xk(n) + x2d−1+k(n)
Neka je b = 2k + 1, za k < 2d−1.
Za binarne zapise (k)2 = (bd−1, bd−2, . . . , b0),
(2d−1 + k)2 = (b′′d−1, b
′′
d−2, . . . , b
′′
0), (2k + 1)2 = (b
′
d−1, b
′
d−2, . . . , b
′
0)
vaжi da je bd−1 = 0, b′d−1 = 1, bs = b
′
s = 0 za s < d − 1, dok se (2k + 1)2 dobija od (2d−1 + k)2
cikliqnim pomeraƬem u levo za jednu poziciju, tj. b′s⊕1 = b
′′
s . Isto kao i ranije je r
′ = r ⊕ 1.
Sada emo u dokazivaƬu jednakosti x2k+1(n+ 1) = xk(n) + x2d−1+k(n) ii po sluqajevima:
• Ako je as = bs⊕r, r 6= d− 1 ⇒ as = bs⊕r = b′′s⊕r = b′(s⊕r)⊕1 = b′s⊕(r⊕1)
⇒ fs(a, k, r) = fs(a, 2d−1 + k, r) = fs(a, 2k + 1, r + 1) = 1.
• Ako je as = 1, bs⊕r = 0, r 6= d− 1 ⇒ as = 1, 0 = bs⊕r = b′′s⊕r = b′(s⊕r)⊕1 = b′s⊕(r⊕1)
⇒ fs(a, k, r) = fs(a, 2d−1 + k, r) = fs(a, 2k + 1, r + 1) = 0.
• Ako je s = d− r − 1, as = 1, onda imamo da
as = 1, bs⊕r = bd−1 = 0 ⇒ fs(a, k, r) = 0;
as = 1, b′′s⊕r = b
′′
d−1 = 1 ⇒ fs(a, 2d−1 + k, r) = 1;
as = 1, 1 = b′′s⊕r = b
′
(s⊕r)⊕1 = b
′
0 ⇒ fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1) = 1.
72 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
• Ako je as = 0, bs⊕r = 1, s < d− r − 1 ⇒ as = 0, 1 = bs⊕r = b′′s⊕r = b′s⊕(r⊕1), s < d− (r ⊕ 1)
⇒ fs(a, k, r) = fs(a, 2d−1 + k, r) = fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1) = t.
• Ako je as = 0, bs⊕r = 1, s> d− r ⇒ as = 0, 1 = bs⊕r = b′′s⊕r = b′s⊕(r⊕1), s ≥ d− (r + 1)
⇒ fs(a, k, r) = fs(a, 2d−1 + k, r) = fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1) = t+ 1.
• Ako je s = d− r − 1 < d− r, as = 0, onda imamo
as = 0, bs⊕r = bd−1 = 0 ⇒ fs(a, k, r) = 1;
as = 0, b′′s⊕r = b
′′
d−1 = 1 ⇒ fs(a, 2d−1 + k, r) = t;
as = 0, 1 = b′′s⊕r = b
′
(s⊕r)⊕1 = b
′
0, s 6 d − 0 ⇒ fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1) = t′ = t + 1, jer je n′ = n + 1 =
d · t+ (d− 1) + 1 = d · (t+ 1) + 0.
Za s = d − r − 1 i ad−r−1 = 1 dobili smo fs(a, k, r) = 0 ⇒ xk(n) = 0, a kako je fs(a, 2d−1 + k, r) =
fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1) za sve pozicije s 6= d − r − 1, imamo da je x2d−1+k(n) = x2k+1(n + 1), pa vaжi
jednakost x2k+1(n+ 1) = xk(n) + x2d−1+k(n).
Za s = d− r−1 i ad−r−1 = 0 dobili smo fs(a, k, r) = 1, fs(a, 2d−1+k, r) = t, fs(a, 2k+1, r⊕1) = t+1,
dok je fs(a, k, r) = fs(a, 2d−1 + k, r) = fs(a, 2k+ 1, r⊕ 1) za sve pozicije s 6= d− r − 1, te imamo da je
xk(n) + x2d−1+k(n) =
d−1∏
s=0
fs(a, k, r) +
d−1∏
s=0
fs(a, 2
d−1 + k, r)
= fd−r−1(a, k, r) ·
∏
0 6 s 6 d− 1
s 6= d− r − 1
fs(a, k, r) + fd−r−1(a, 2d−1+k, r) ·
∏
0 6 s 6 d− 1
s 6= d− r − 1
fs(a, 2
d−1+k, r)
= 1 ·
∏
0 6 s 6 d− 1
s 6= d− r − 1
fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1) + t ·
∏
0 6 s 6 d− 1
s 6= d− r − 1
fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1)
= (1 + t) ·
∏
0 6 s 6 d− 1
s 6= d− r − 1
fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1) =
d−1∏
s=0
fs(a, 2k + 1, r ⊕ 1) = x2k+1(n+ 1).
U oba sluqaja smo dobili da je x2k+1(n+ 1) = xk(n) + x2d−1+k(n).
Ilustrovaemo ovu Teoremu kasnije, u Primeru 3.5.8. Sada, prelazimo na opxti sluqaj
sistema (∗).
TEOREMA 3.5.9. Neka je dat sistem od 2d linearnih rekurentnih jednaqina koje su oblika
x2k(n + 1) = xk(n) i x2k+1(n + 1) = xk(n) + x2d−1+k(n) za k = 0, 1, . . . , 2
d−1 − 1, uz poqetne uslove
x0(0) = y0, x1(0) = y1, . . . , x2d−1(0) = y2d−1, za proizvoƩne realne brojeve y0, y1, . . . , y2d−1.
Tada za n = d · t+ r, 06 r 6 d− 1 vaжi:
xb(n) =
2d−1∑
a=0
(
ya ·
d−1∏
s=0
fs(a, b, r)
)
.
Dokaz. Ovaj rezultat je direktna posledica Leme 3.5.8 i osnovnih svojstava sistema line-
arnih rekurentnih jednaqina.
U sledeem primeru emo ilustrovati Lemu 3.5.8 za sluqaj d = 3 i a = 4.
PRIMER 3.5.8. Rexiti sistem
x0(n+ 1) = x0(n), x1(n+ 1) = x0(n) + x4(n),
x2(n+ 1) = x1(n), x3(n+ 1) = x1(n) + x5(n),
x4(n+ 1) = x2(n), x5(n+ 1) = x2(n) + x6(n),
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 73
x6(n+ 1) = x3(n), x7(n+ 1) = x3(n) + x7(n),
sa poqetnim uslovima x4(0) = 1 i xb(0) = 0 za b 6= 4, 06 b6 2d − 1 = 7.
RexeƬe. Razmatraemo svako b ponaosob.
• Za a = 4 i b = 0 imamo da binarni zapis 02 = 000 ima vixe nula od binarnog zapisa
42 = 100, pa e po Dirihleovom principu bar na jednoj poziciji biti as = 1 i bs⊕r = 0.
Tada za svako n vaжi x0(n) = 0. Ovi zakƩuqci vaжe kad god binarni zapis (b)2 ima vixe
nula od (a)2!
• Za a = 42 = 100 i b = 12 = 001 ako je r = 0 ili r = 2 postojae pozicija s takva da je as = 1
i bs⊕r = 0 (za r = 0, tj. kad nema pomeraƬa, a2 = 1 i b2 = 0; a za r = 2, tj. kad ima pomeraƬa
za 2 udesno, a2 = 1 i b2⊕2 = b1 = 0). Tada za n ≡ 0 (mod 3) i n ≡ 2 (mod 3) vaжi x0(n) = 0.
Kada je r = 1 imamo da je
a0 = b0⊕1 = b1 = 0 ⇒ f0(a, b, 1) = 1,
a1 = b1⊕1 = b2 = 0 ⇒ f1(a, b, 1) = 1,
a2 = b2⊕1 = b0 = 1 ⇒ f2(a, b, 1) = 1
te imamo da je xb(n) = x1(n) = f0(a, b, 1) · f1(a, b, 1) · f2(a, b, 1) = 1 · 1 · 1 = 1 za n ≡ 1 (mod 3).
Dakle, dobili smo da vaжi
x1(n) =


0, n = 3t
1, n = 3t+ 1
0, n = 3t+ 2.
• Za a = 42 = 100 i b = 32 = 011 ako je r = 0 imamo da je a2 = 1 i b2⊕0 = b2 = 0.
Tada za n ≡ 0 (mod 3) vaжi x3(n) = 0.
Kada je r = 1 imamo da je
a0 = 0, b0⊕1 = b1 = 1 i s = 0 < 3− 1 = d− r ⇒ f0(a, b, 1) = t,
a1 = b1⊕1 = b2 = 0 ⇒ f1(a, b, 1) = 1,
a2 = 1, b2⊕1 = b0 = 1 ⇒ f2(a, b, 1) = 1
te imamo da je xb(n) = x3(n) = f0(a, b, 1) · f1(a, b, 1) · f2(a, b, 1) = t · 1 · 1 = t za n ≡ 1 (mod 3).
Kada je r = 2 imamo da je
a0 = 0, b0⊕2 = b2 = 0 ⇒ f0(a, b, 1) = 1,
a1 = 0, b1⊕2 = b0 = 1 i s = 1> 3− 2 = d− r ⇒ f1(a, b, 1) = t+ 1,
a2 = 1, b2⊕1 = b0 = 1 ⇒ f2(a, b, 1) = 1
te imamo da je xb(n) = x3(n) = 1 · (t+ 1) · 1 = t+ 1 za n ≡ 2 (mod 3).
Dakle, dobili smo da vaжi
x3(n) =


0, n = 3t
t, n = 3t+ 1
t+ 1, n = 3t+ 2.
• Za a = 42 = 100 i b = 72 = 111 ako je r = 0 imamo x7(n) = t · t · 1 = t2 za n ≡ 1 (mod 3). Kada
je r = 1 imamo da je x7(n) = t · t · 1 = t2 za n ≡ 1 (mod 3).
Kada je r = 2 imamo da je x7(n) = t · (t+ 1) · 1 = t(t+ 1) za n ≡ 2 (mod 3).
Dakle, dobili smo da vaжi
x7(n) =


t2, n = 3t
t2, n = 3t+ 1
t(t+ 1), n = 3t+ 2.
74 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
• Analognim postupkom dobijamo da je
x2(n) =


0, n = 3t
0, n = 3t+ 1
1, n = 3t+ 2,
x4(n) =


1, n = 3t
0, n = 3t+ 1
0, n = 3t+ 2,
x5(n) =


t, n = 3t
t, n = 3t+ 1
0, n = 3t+ 2,
x6(n) =


t, n = 3t
0, n = 3t+ 1
t, n = 3t+ 2.
Sve ove nizove moжemo nai u [43]: x0 je A000004, x1 je pomeren A079978, x2 i x4 su A079978,
x3 je A087509, x5 je pomeren A087508, x6 je pomeren A087509, x7 je A008133.
Ovaj specijalni sluqaj moжe biti rexen pomou funkcija generatrisa, kao xto je raeno
ostatku ove teze, a i u [24]. Iako funkcije generatrise kombinovane sa Kramerovim formu-
lama za rexavaƬe sistema mogu biti upotrebƩene za rexavaƬe sistema (∗) u opxtem sluqaju,
mislimo da su rezultati koje smo dobili u Lemi 3.5.8 i Teoremi 3.5.9 mnogo jednostavniji.
Naredno tvreƬe daje vezu sistema razmatranih u prethodnim teoremama i permutacija sa
ograniqeƬima iz [2] (Ƭima se bavimo u veem delu ove glave). Teoremu emo dati bez dokaza,
ali emo je ilustrovati na jednom primeru.
TEOREMA 3.5.10. Neka Cmd+1−q oznaqava broj kombinacija kod kojih je najmaƬi element
jednak md + 1 − q, za q = 0, 1, . . . ,md, i koje se mogu dobiti polazei od poqetne kombinacije
(r+1, r+2, . . . , r+k+1) korixeƬem naxe tehnike (razvijene u [2]) za prebrojavaƬe permutacija
koje zadovoƩavaju uslove p(i) − i ∈ W , W = {−d,−d + 1, . . . ,md} \ {−d, 0,md}. Broj Cmd+1−q je
jednak
Cmd+1−q =
2d−1∑
b=0
xb(q) =
2d−1∑
b=0
d−1∏
s=0
fs(2
d−1, b, r),
pri qemu je q = d · t+ r i fs funkcija uvedena u Definiciji 3.5.1.
Xtavixe za q > 1, kombinacija kod kojih je najmaƬi element jednak md + 1 − q i koje se
funkcijom ϕ slikaju u 2 kombinacije ima
2d−1−1∑
b=0
xb(q), dok se ostale kombinacije funkcijom ϕ
slikaju u taqno 1 kombinaciju.
Ilustrujmo ovu teoremu za sluqaj d = 3 i m = 2 (tada je k = d = 3 i r = md = 6).
PRIMER 3.5.9. Odrediti broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i) − i ∈ W , gde je
W = {−3,−2, . . . , 5, 6} \ {−3, 0, 6} = {−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5}. Prema Teoremi 3.5.6 to je i |B3,2|, broj
svih podskupova B ⊆ Nn koji ne sadrжe 2 elementa qija je razlika iz skupa {3, 6}.
RexeƬe. Iz W = {−3,−2, . . . , 5, 6}\{−3, 0, 6} ⇒ I = {−3, 0, 6}, odnosno r+1−I = 7−I = {10, 7, 1}.
Skup C se sastoji od svih kombinacija skupa Nk+r+1 = {1, 2 . . . , 10}, koje imaju k + 1 = 4
elementa i sadrжe broj k + r + 1 = 10. Skup C ima |C| = (93) = 84 elementa, ali veliki broj
Ƭih nije bitan za naxu tehniku, jer se one ne mogu dobiti polazei od poqetne kombinacije
(7, 8, 9, 10) i primeƬujui funkcije ϕ. Radi lakxeg oznaqavaƬa ovih kombinacija na grafu
(Slika 3.11), predstavƩaemo ih bez zagrada, a broj 10 emo pisati kao A (kao xto je u
heksadekadnom sistemu).
Veza izmeu svih kombinacija, odgovarajuih binarnih nizova i rekurentnih nizova koji
se javƩaju u sistemu rekurentnih jednaqina data je u Tabeli 3.19.
kombinacija 789A 678A 579A 567A 489A 468A 459A 456A 378A
binarni niz 000000 000001 000010 000011 000100 000101 000110 000111 001001
rekur. niz an bn cn dn en fn gn hn in
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 75
kombinacija 357A 348A 345A 279A 267A 249A 246A 237A 234A
binarni niz 001011 001101 001111 010010 010011 010110 010111 011011 011111
rekur. niz jn kn ℓn mn on pn qn rn sn
kombinacija 189A 168A 159A 156A 138A 135A 129A 126A 123A
binarni niz 100100 100101 100110 100111 101101 101111 110110 110111 111111
rekur. niz sˇn tn un vn wn xn yn zn zˇn
Tabela 3.19. Veza izmeu kombinacija, binarnih nizova i rekurentnih nizova.
0
1
0 1
0 1 0 1
1 1 1 1
0 1
0
1 1 1
0 1 0 1
1
1 0 1 1
i
a
c d
e f g h
j k ℓ
m o p q r s
sˇ t u v w x y z zˇ
b
Slika 3.11. Digraf G = D(S) za d = 3 i m = 2.
U Primeru 3.5.8 smo dobili vrednosti svih nizova xb koji se javƩaju u Teoremi 3.5.10.
Za q = 3t imamo da je
Cmd+1−q = x0(q) + x1(q) + x2(q) + x3(q) + x4(q) + x5(q) + x6(q) + x7(q)
= 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + t+ t+ t2 = (t+ 1)2,
za q = 3t+ 1 je
Cmd+1−q = 0 + 1 + 0 + t+ 0 + t+ 0 + t2 = (t+ 1)2,
za q = 3t+ 2 je
Cmd+1−q = 0 + 0 + 1 + (t+ 1) + 0 + 0 + t+ t(t+ 1) = (t+ 1)(t+ 2).
Dakle, dobijamo da kombinacija koje poqiƬu sa md+ 1− q ima:
Cmd+1−q =


(t+ 1)2, q = 3t
(t+ 1)2, q = 3t+ 1
(t+ 1)(t+ 2), q = 3t+ 2.
Ovo je niz A008133 u [43].
Od toga je onih koje se funkcijom ϕ slikaju u 2 kombinacije ima

0, q = 3t
t+ 1, q = 3t+ 1
t+ 2, q = 3t+ 2.
Sada emo opisati sve ove kombinacije u zavisnosti od vrednosti q.
Za q = 0 imamo (0+1)2 = 1 kombinaciju koja poqiƬe sa md+1− q = 7. To je poqetna kombinacija
(7, 8, 9, 10).
76 3.5. VEZE SA DRUGIM KOMBINATORNIM OBJEKTIMA
Za q = 1 imamo (0 + 1)2 = 1 kombinaciju koja poqiƬe sa 6: (6, 7, 8, 10) i ona se sa ϕ slika u 2
kombinacije.
ϕ22
(
(6, 7, 8, 10)
)
=
(
(5, 7, 9, 10), (5, 6, 7, 10)
)
.
Za q = 2 imamo (0 + 1) · (0 + 2) = 2 kombinacije koje poqiƬu sa 5: (5, 7, 9, 10), (5, 6, 7, 10) i obe se
sa ϕ slikaju u 2 kombinacije.
ϕ22
(
(5, 7, 9, 10)
)
=
(
(4, 8, 9, 10), (4, 6, 8, 10)
)
,
ϕ22
(
(5, 6, 7, 10)
)
=
(
(4, 5, 9, 10), (4, 5, 6, 10)
)
.
Za q = 3 imamo (1 + 1)2 = 4 kombinacije koje poqiƬu sa 4: (4, 8, 9, 10), (4, 6, 8, 10), (4, 5, 9, 10),
(4, 5, 6, 10) i nijedna od Ƭih se sa ϕ ne slika u 2 kombinacije:
ϕ32
(
(4, 8, 9, 10)
)
= (3, 7, 8, 10), ϕ32
(
(4, 6, 8, 10)
)
= (3, 5, 7, 10),
ϕ32
(
(4, 5, 9, 10)
)
= (3, 4, 8, 10), ϕ32
(
(4, 5, 6, 10)
)
= (3, 4, 5, 10).
Za q = 4 imamo (1 + 1)2 = 4 kombinacije koje poqiƬu sa 3: (3, 7, 8, 10), (3, 5, 7, 10), (3, 4, 8, 10),
(3, 4, 5, 10) i samo prve dve se sa ϕ slikaju u 2 kombinacije:
ϕ22
(
(3, 7, 8, 10)
)
=
(
(2, 7, 9, 10), (2, 6, 7, 10)
)
, ϕ32
(
(3, 4, 8, 10)
)
= (2, 3, 7, 10),
ϕ22
(
(3, 5, 7, 10)
)
=
(
(2, 4, 9, 10), (2, 4, 6, 10)
)
, ϕ32
(
(3, 4, 5, 10)
)
= (2, 3, 4, 10).
Za q = 5 imamo (1+1) · (1+2) = 6 kombinacija koje poqiƬu sa 2: (2, 7, 9, 10), (2, 6, 7, 10), (2, 4, 9, 10),
(2, 4, 6, 10), (2, 3, 7, 10), (2, 3, 4, 10), od kojih 3: (2, 7, 9, 10), (2, 6, 7, 10), (2, 3, 7, 10) se sa ϕ slikaju u 2
kombinacije.
Za q = 6 imamo (2 + 1)2 = 9 kombinacija koje poqiƬu sa 1: (1, 8, 9, 10), (1, 6, 8, 10), (1, 5, 9, 10),
(1, 5, 6, 10), (1, 3, 8, 10), (1, 3, 5, 10), (1, 2, 9, 10), (1, 2, 6, 10), (1, 2, 3, 10) (i ove sve slikaju u po jednu od
prethodno nabrojanih kombinacija).
Sve zajedno imamo
1 + 1 + 2 + 4 + 4 + 6 + 9 = 27 = (m+ 1)d
kombinacija znaqajnih za naxu tehniku.
Kao matrica redukovanog sistema rekuratnih jednaqina dobija se matrica S koja je oblika
(m+ 1)d × (m+ 1)d. Podsetimo se da stepenovaƬem S moжemo odrediti sve qlanove niza an!
DaƩe, funkcija generatrise koja odgovara ovim permutacijama sa ograniqeƬima je racional-
na funkcija P (z)/Q(z), qiji imenilac Q(z) ima stepen maƬi ili jednak od (m + 1)d, tj.
degQ(z)6 (m+ 1)d, xto je znaqajno maƬe od
(
(m+1)d
d
)
.
U ovom konkretnom sluqaju je degQ(z) = 246 27 = (m+ 1)d, jer je
A(z) = 1+z
3−z4−z5+z6−2z7−z8−z9−2z10−z12−z13−z15
1−z+z3−2z4+2z6−4z7−2z9−2z10−4z12+2z13−2z15+4z16+2z18+2z19+z21+z22+z24 .
Imenilac racionalne funkcije A(z) je (z−1)(z2+z+1)(z3+z−1)(z18+3z15+7z12+9z9+7z6+3z3+1)
a brojilac je 2− (z + 1)(z2 − z + 1)(z12 + z10 + z7 + z6 + z5 + z4 − 2z3 + 1). Tih 27, odnosno 24 (jer
se nexto skrauje), je znaqajno maƬe od |C| = ((m+1)d
d
)
=
(
9
3
)
= 84. Taj broj predstavƩa i koliko
nam treba elemenata da bismo mogli da odredimo rekurentnu vezu.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 . . .
an 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 12 18 27 36 48 64 96 144 216 . . .
Tabela 3.20: Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5}.
Broj permutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5} je niz an predstavƩen
u Tabeli 3.20, koji ima funkciju generatrise A(z), i to je niz A224810 u [43].
3. PERMUTACIJE SA OGRANIQEƫIMA 77
3.6. Raqunarska sloжenost
Sada emo uporeivati kompjutersku sloжenost naxe tehnike i nekih direktnih tehnika za
odreivaƬe broja permutacija sa ograniqeƬima jakog tipa.
Moжemo odrediti broj permutacija duжine n tako xto generixemo svih n! permutacija i
onda prebrojimo samo one koje zadovoƩavaju date uslove. Takoe moжemo broj tih permutacija
odrediti i razvijaƬem permanenta perA prema definiciji. Oba ova naqina zahtevaju O(n!)
operacija.
Nasuprot, mi moжemo odrediti broj tih permutacija kao element u prvoj vrsti i prvoj
koloni matrice Sn, gde je S matrica pridruжena sistemu linearnih rekurentnih jednaqina.
Sn moжemo izraqunati pomou uzastopnih kvadriraƬa [15], za xta nam je potrebno O(log2 n)
operacija. Dakle, naxa tehnika odreuje broj permutacija sa ograniqeƬima efikasnije nego
direktne tehnike izdvajaƬa permutacija ili razvijaƬa permanenta perA.
Stenlijeva Metoda matrica prenosa ima istu kompjutersku sloжenost O(log2 n). Naxa tehni-
ka daje boƩe rezultate, jer za male vrednosti k i r veliqina matrice S je maƬa od veliqine
matrice susedstva A iz [39, Primer 4.7.7] (red matrice A je blizak sa (k + r + 1)2), a i moжe
se primeniti u nekim sluqajevima u kojima Metoda matrica prenosa ne daje rezultate.
Sve funkcije generatrisa koje dobijamo naxom tehnikom su racionalne. To je bitno, jer na
osnovu toga znamo da za svaki od nizova koji odgovaraju broju permutacija sa ograniqeƬima
jakog tipa postoji linearna rekurentna veza (reda koji jednak stepenu imenioca funkcije gen-
eratrise). Sve te funkcije generatrisa dobijamo rexavaƬem sistema koji se sastoji od
(
k+r
k
)
linearnih rekurentnih jednaqina. Zato je gorƬa granica za stepen d imenioca ovih racional-
nih funkcija jednaka:
d6
(
k + r
k
)
.
Stoga je dovoƩno da izraqunamo (grubom silom) konaqan broj vrednosti, konkretno
(
k+r
k
)
Ƭih,
i onda na osnovu Ƭih moжemo odrediti funkciju generatrise, tj. i ceo niz.
U sluqaju parnih i neparnih permutacija sa ograniqeƬima sistem se sastoji od 2 ·(k+r
k
)
lin-
earnih rekurentnih jednaqina. Zato je gorƬa granica za stepen d imenioca ovih racionalnih
funkcija jednaka:
d6 2 ·
(
k + r
k
)
.
3.7. Xta daƩe?
Prirodno se postavƩa pitaƬe kako bismo mogli da nastavimo istraжivaƬe kombinatornih
objekata sa ograniqeƬima. Dve ideje koje smo razraivali, ali koje qekaju vreme da bi bile
formirane u obliku radova, su kruжne permutacije sa ograniqeƬima i varijacije sa ograniqen-
jima. ƫima smo se, u nekim konkretnim sluqajevima, bavili u [3], koristei konaqne automate
(to je opisano u narednoj glavi). Sada emo ukratko navesti kako bi se mogla uopxtiti naxa
tehnika razvijena u [2] na ove sluqajeve.
78 3.7. XTA DAƨE?
3.7.1. Kruжne permutacije
Za broj permutacija sa ograniqeƬima u kruжnom sluqaju (to su Lemerove permutacije R
(k)
3 )
poznato je nekoliko rezultata.
Riqard Stenli je pomou Ƭegove ,,Metode matrica prenosa“ (eng. “Transfer-matrix Method”),
u [39, Primer 4.7.7] rexio sluqaj k = 2. U tom primeru je naxao broj permutacija sa ograniqe-
Ƭima koje zadovoƩavaju uslov p(i)−i ≡ 0, 1, 2 (mod n), za sve i ∈ Nn. Mi smo u [3] prebrojali iste
permutacije koristei konaqne automate (vidi Primer 4.2.3). Grupa Japanskih matematiqara
(eng. L. Li, T. Tomoda, S. Midorikawa, T. Horibata) je u [30] rexila sluqaj k = 3 razvijajui
permanente. Mi smo se izborili i sa tim sluqajem koristei konaqne automate, ali zbog
obimnosti postupka, te rezultate nismo publikovali.
Naxa tehnika razvijena u [2] moжe se uopxtiti, tako xto bi se umesto kombinacija iz C
koje odreuju rekurentne jednaqine koristili ureeni parovi kombinacija (iz C × C) uz jox 2
niza koji odgovaraju ovim kombinacijama iz C.
Takoe, radi brжeg izraqunavaƬa, u ovom postupku se koriste i mnogi meurezultati
tehnike iz [2] (tj. i svi ostali nizovi, pored an, koje dobijamo u sistemu linearnih rekurentnih
jednaqina).
3.7.2. Varijacije sa ograniqeƬima
Ovde bi modifikacija bila u tome xto bi koristili funkciju Per koja je definisana na ma-
tricama proizvoƩnih dimenzija, umesto obiqnog permanenta per koji je definisan samo na
kvadratnim matricama (videti Definiciju 3.1.1). Na sliqan naqin bi dolazili do sistema
linearnih rekurentnih jednaqina, ali bi ti sistemi i ovde (kao i kod kruжnog sluqaja) bili
znaqajno komplikovaniji.
4. Primene konaqnih automata
4.1. Konaqne maxine i automati
Konaqna maxina predstavƩa apstraktni model ureaja sa konaqnom unutraxƬom memorijom
koji se moжe formalno definisati u okviru sledee definicije.
DEFINICIJA 4.1.1. Konaqna maxina M predstavƩa ureenu xestorku (S,U, I, f, g, s∗):
• S konaqan skup staƬa;
• U konaqan skup ulaznih simbola;
• I konaqan skup izlaznih simbola;
• f funkcija prelaza, gde f : S × U −→ S, tj. za svako s ∈ S i svako u ∈ U funkcija f paru
(s, u) dodeƩuje neko novo staƬe f(s, u);
• g funkcija izlaza, gde g : S × U −→ I, tj. za svako s ∈ S i svako u ∈ U funkcija g paru (s, u)
dodeƩuje neki izlazni simbol g(s, u);
• s∗ poqetno staƬe, gde s∗ ∈ S.
Sada se ponaxaƬe ovako definisane maxine moжe opisati na sledei naqin. Maxina se
na poqetku nalazi u staƬu s∗. U diskretnim vremenskim trenucima ona meƬa svoje staƬe tako
xto u svakom od Ƭih na maxinu deluje neki ulazni simbol iz U . Ovaj simbol izaziva promenu
staƬa maxine, u skladu sa funkcijom prelaza f , i ona pri tome generixe neki izlazni simbol
iz I, u skladu sa funkcijom izlaza g. Preciznije, ako se u nekom trenutku maxina nalazi u
staƬu s ∈ S i na Ƭu deluje ulazni simbol u ∈ U , tada ona prelazi u novo staƬe f(s, u) i daje
izlazni simbol g(s, u).
Konaqni automati predstavƩaju specijalnu vrstu konaqnih maxina, koja je od posebnog
znaqaja zbog svoje uske povezanosti sa pojmovima formalnog jezika i formalne gramatike.
Konaqna maxina (S,U, I, f, g, s∗) predstavƩa konaqan automat ako je I = {0, 1} i izlaz koji
ona u nekom trenutku generixe zavisi iskƩuqivo od staƬa u koje u tom trenutku prelazi, a ne
i od naqina kako se do tog staƬa doxlo. Preciznije reqeno, za svako staƬe automata vaжi da,
uvek kada automat u Ƭega prelazi kao u sledee staƬe, generixe isti izlazni simbol (1 ili
0). Zato kod dijagrama prelaza konaqnog automata sve grane koje ulaze u isti qvor imaju isti
izlazni simbol u svojim oznakama.
StaƬa za koja vaжi da kada automat u Ƭih prelazi daje uvek izlaz 1, zovu se prihvatajua
(ili konaqna) staƬa automata. Oqigledno da je kod konaqnog automata funkcija izlaza g u
potpunosti implicitno zadata skupom svih prihvatajuih staƬa. Naime, neka je f(s, u) = s′.
Tada je g(s, u) = 1 ako i samo ako je s′ prihvatajue staƬe. Zato se pojam konaqnog automata
moжe alternativno formalno definisati na sledei naqin.
79
80 4.1. KONAQNE MAXINE I AUTOMATI
DEFINICIJA 4.1.2. Konaqan automat A predstavƩa ureenu petorku (S,U, f, P, s∗):
• S konaqan skup staƬa;
• U konaqan skup ulaznih simbola (ili alfabet);
• f funkcija prelaza, gde f : S × U −→ S;
• P skup prihvatajuih staƬa, gde je P ⊆ S;
• s∗ poqetno staƬe, gde s∗ ∈ S.
Konaqan automat A = (S,U, f, P, s∗) se moжe zadati na naqine kako se uobiqajeno zadaje jedna
konaqna maxina: korixeƬem skupovno-tabliqne reprezentacije, u kojoj se tabelarno prikazu-
ju vrednosti funkcije f , i pomou dijagrama prelaza koji se pojednostavƩuje u skladu sa os-
obenostima koncepta automata. Naime, u Ƭegovom dijagramu se izostavƩaju izlazni simboli u
oznakama grana, tj. oznake grana qine samo odgovarajui ulazni simboli, dok se prihvatajua
staƬa grafiqki oznaqavaju dvostrukim zaokruжivaƬem.
Iako je konaqan automat specijalan sluqaj konaqne maxine, Ƭegova glavna uloga nije da,
usled delovaƬa nekog ulaznog niza simbola, generixe odgovarajui izlazni niz, ve da ispita
da li ga taj ulazni niz prevodi iz poqetnog staƬa u neko od prihvatajuih staƬa ili ne. Ako
ulazni niz prevodi automat u prihvatajue staƬe smatra se da automat ,,prepoznaje“ (ili
drugaqije reqeno,,prihvata“) ovaj niz. Pojam ,,prepoznavaƬa“ ulaznog niza od strane nekog
automata moжe se formalno definisati sledeom definicijom.
DEFINICIJA 4.1.3. Neka je A = (S,U, f, P, s∗) konaqan automat i x1x2 . . . xn neki neprazni
niz simbola iz skupa U . Automat A prepoznaje (prihvata) ulazni niz x1x2 . . . xn ako postoji niz
staƬa s0, s1, . . . , sn iz S takav da je
s0 = s
∗,
sk = f(sk−1, xk), k = 1, 2, . . . , n
sn ∈ P.
Svakom nepraznom ulaznom nizu x1x2 . . . xn odgovara u dijagramu prelaza automata jedan
orijentisani put koji polazi od poqetnog qvora i koga qini n nadovezanih grana sa oznakama
jednakim redom x1, x2, . . . , xn. Qvorovi ovog puta predstavƩaju niz staƬa kroz koja automat
prolazi delovaƬem ulaznog niza. Na osnovu Definicije 4.1.3 jasno je da je neki ulazni niz
prihvaen od strane automata ako i samo ako se Ƭemu odgovarajui put u dijagramu prelaza
zavrxava u qvoru koji odgovara prihvatajuem staƬu.
Napomenimo da emo daƩe smatrati da na automat moжe ,,delovati“ i prazni ulazni niz,
ne izazivajui pri tome nikakvu reakciju automata. Ovaj niz se prihvata ako i samo ako je
poqetno staƬe automata prihvatajue.
Skup svih ulaznih nizova koje jedan automat A prihvata qesto se naziva jezikom koga au-
tomat A prihvata (prepoznaje) i oznaqava se sa L(A). Pri tome se moжe smatrati da nizovi
iz L(A) predstavƩaju reqi ovog jezika nad skupom ulaznih simbola U kao azbukom.
Neko staƬe automata se naziva nedostiжivim ako u Ƭegovom dijagramu prelaza ne postoji
orijentisani put od poqetnog qvora do qvora koji odgovara ovom staƬu (videti qvor s5 iz
prethodnog primera). Ovakva staƬa bi se mogla pronai generisaƬem svih puteva u dijagramu
koji idu od poqetnog qvora, i to korixeƬem nekog od poznatih algoritama za nalaжeƬe puteva
u grafu. Zatim bi se dijagram automata mogao redukovati jednostavnim uklaƬaƬem qvorova
svih nedostiжivih staƬa, zajedno sa granama koje u Ƭih ili iz Ƭih vode. Zato emo u daƩim
razmatraƬima pretpostaviti da automat ne sadrжi ni jedno nedostiжivo staƬe.
Dva staƬa automata nazivamo ujednaqivim (ili ekvivalentnim) ako za svaki ulazni niz
vaжi da e, polazei od jednog ili drugog staƬa kao od poqetnog, ovaj niz ili u oba sluqaja
biti prihvaen ili u oba sluqaja neprihvaen (videti qvorove s1 i s3 iz prethodnog primera).
3. PREGLED OSNOVNIH MATEMATIQKIH APARATA 81
Ovako verbalno iskazana definicija ujednaqivih staƬa moжe se i formalno preciznije defin-
isati na sledei naqin.
Neka je zadat konaqan automat A = (S,U, I, f, s0, P ). Oznaqimo sa U∗ skup svih moguih nizova
ulaznih simbola iz U . Pri tome smatramo da i prazni niz, u oznaci ε, pripada skupu U∗.
Pojam funkcije prelaza moжemo proxiriti tako xto emo uvesti funkciju
f∗ : S × U∗ −→ S kod koje f∗(s, x) predstavƩa staƬe u koje e automat prei ako na Ƭega
deluje ulazni niz x polazei od staƬa s. Vaжi da je f∗(s, ε) = s, tj. ako na neko staƬe deluje
prazan niz automat ostaje u tom staƬu.
Sada se pojam ujednaqivih staƬa moжe formalno definisati u okviru sledee definicije.
DEFINICIJA 4.1.4. Dva staƬa s1 i s2 iz S su ujednaqiva (ili ekvivalentna), u oznaci
s1 ≡ s2, ako za svaki ulazni niz x ∈ U∗ vaжi da je f∗(s1, x) ∈ P ako i samo ako f∗(s2, x) ∈ P .
Napomenimo da iz ove definicije neposredno sledi da dva razliqita staƬa s1 i s2 nisu
ujednaqiva, u oznaci s1 6≡ s2, ako i samo ako postoji ulazni niz x ∈ U∗ takav da je f∗(s1, x) ∈ P
i f∗(s2, x) /∈ P ili obrnuto. Specijalno, ako s1 ∈ P i s2 /∈ P , tada s1 i s2 nisu ujednaqiva staƬa
(jer je f∗(s1, ε) = s1 ∈ P i f∗(s2, ε) = s2 /∈ P ). Drugim reqima, nijedno prihvatajue staƬe ne
moжe da bude ujednaqivo sa nekim neprihvatajuim staƬem!
Neprihvatajue staƬe koje za svako slovo alfabeta ostaje u tom istom staƬu nazivamo ponor.
Kod koncepta konaqnog automata koji je do sada razmatran delovaƬe ulaza na neko staƬe
izaziva uvek prelazak u jedno jedinstveno, unapred odreeno staƬe. Meutim, moжe se pos-
matrati i uopxteniji koncept kod koga se, pri delovaƬu ulaza na staƬe, precizira, ne jedno,
nego qitav skup staƬa u koje bi automat mogao usled toga da pree. Ovakav tip matematiqkih
,,maxina“ naziva se nedeterministiqki konaqan automat i igra veoma vaжnu ulogu u teori-
ji formalnih jezika i gramatika. Izraz ,,nedeterministiqki“ se koristi, jer se u izvesnim
trenucima ne moжe taqno odrediti xta e biti Ƭegovo sledee staƬe. Napomenimo, da izbor
sledeeg staƬa nije sluqajan, pa nedeterministiqke automate ne treba mexati sa probabilis-
tiqkim. Zbog toga bi pojam konaqnog automata bilo pogodnije nazvati deterministiqkim.
Nedeterministiqki konaqan automat se moжe formalno definisati na sledei naqin.
DEFINICIJA 4.1.5. Nedeterministiqki konaqan automat NA predstavƩa ureenu
petorku (S,U, f, P, s∗), gde je
• S konaqan skup staƬa;
• U konaqan skup ulaznih simbola;
• f funkcija prelaza takva da je f : S×U −→ P(S), gde je P(S) skup svih podskupova od S, tj.
za svako s ∈ S i svako u ∈ U funkcija f paru (s, u) dodeƩuje skup f(s, u) ⊆ S;
• P skup prihvatajuih staƬa, gde P ⊆ S;
• s∗ poqetno staƬe, gde s∗ ∈ S.
Vrednost funkcije prelaza f(s, u) znaqi da e, delovaƬem ulaza u na automat u staƬu s, on
prei u neko od staƬa iz skupa f(s, u), pri qemu to staƬe nije unapred precizirano. Ako je
f(s, u) = ∅, smatra se da je automat ,,blokiran“ u staƬu s.
Oqigledno je da deterministiqki konaqan automat predstavƩa specijalnu vrstu nedeter-
ministiqkog automata kod koga vaжi da je za svako s ∈ S i svako u ∈ U skup f(s, u) jednoqlan.
Za definisaƬe nekog nedeterministiqkog automata moжe se koristiti, sliqno kao kod deter-
ministiqkog, skupovno-tabliqna reprezentacija ili odgovarajui dijagram prelaza. U tabliq-
nom prikazu funkcije prelaza f za svako staƬe s i ulazni simbol u zadaje se skup sledeih
staƬa f(s, u), dok kod dijagrama prelaza od qvora s do qvora svakog staƬa iz skupa f(s, u) posto-
ji grana sa oznakom u. Zbog toga ovaj dijagram moжe u opxtem sluqaju da sadrжi vixe od jedne
isto oznaqene grane koje izlaze iz istog qvora, kao i qvorove kod kojih za neki ulaz uopxte ne
postoje izlazne grane Ƭime oznaqene.
82 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
Jasno je da se kod nedeterministiqkog automata za zadati ulazni niz ne mogu uvek taqno
precizirati sva staƬa kroz koja e automat proi delovaƬem ovog niza, pa ni zavrxno staƬe
u koje e automat pri tome biti doveden. U takvim sluqajevima jedino se moжe odrediti
skup svih staƬa u koja ulazni niz moжe da dovede automat, gde taj skup moжe biti i prazan.
Zato se pojam prihvaenog niza kod nedeterministiqkog automata mora uopxtiti. Naime,
nedeterministiqki automat prihvata neki ulazni niz ako u skupu svih staƬa u koja taj niz
moжe da dovede automat postoji bar jedno prihvatajue staƬe, xto moжe formalno da se iskaжe
sledeom definicijom.
DEFINICIJA 4.1.6. Neka je NA = (S,U, f, P, s∗) nedeterministiqki konaqan automat i
x1x2 . . . xn neki neprazni niz simbola iz skupa U . Automat NA prepoznaje (prihvata) ulazni niz
x1x2 . . . xn ako postoji niz staƬa s0, s1, . . . , sn iz S takav da je
s0 = s
∗, sk ∈ f(sk−1, xk), k = 1, 2, . . . , n i sn ∈ P.
Drugim reqima, ulazni niz x1x2 . . . xn je prihvaen od strane nedeterministiqkog automata
ako i samo ako u Ƭegovom dijagramu postoji bar jedan put koji poqiƬe u poqetnom qvoru s∗,
sastoji se od n orijentisanih grana redom oznaqenih sa x1, x2, . . . , xn i zavrxava se u qvoru koji
odgovara nekom od prihvatajuih staƬa.
Skup svih reqi koje neki nedeterministiqki automat NA prepoznaje zove se jezik koga au-
tomat NA prihvata (prepoznaje) i obeleжava sa L(NA). Dva nedeterministiqka automata NA1
i NA2 su ekvivalentna ako je L(NA1) = L(NA2).
S obzirom da je koncept nedeterministiqkog automata opxtiji, moglo bi se oqekivati da
eventualno postoje neki skupovi ulaznih nizova koji se mogu prepoznati nedeterministiqkim
automatom, ali ne mogu i deterministiqkim. Meutim, ovakvi skupovi ne postoje. Naime, moжe
se dokazati da za svaki nedeterministiqki automat postoji odgovarajui deterministiqki
takav da oba ova automata prepozaju isti jezik.
4.2. PrebrojavaƬe permutacija po-
mou automata
Za svaki od narednih nekoliko tipova permutacija (i varijacija) sa ograniqeƬima konstru-
isaemo konaqni automat koji prepoznaje samo takve permutacije i iskoristiemo te automate
da bismo prebrojali koliko ima takvih permutacija.
Na poqetku emo razmatrati permutacije koje zadovoƩavaju ograniqeƬe −k6 p(i)− i6 r (za
proizvoƩne prirodne brojeve k i r). Uzeemo da smo u procesu konstruisaƬa permutacije sa
ograniqeƬima i neka je delimiqno napravƩena permutacija(
1 2 . . . h− 1
p(1) p(2) . . . p(h− 1)
)
.
Potrebno je da odredimo vrednost za p(h).
Kao prvo, primetimo da izbor h-tog elementa permutacije, p(h), zavisi samo od statusa
trenutnog elementa h, prethodnih k elemenata (h − k, h − k + 1, . . . , h − 1), kao i sledeih r
elemenata (h+1, h+2, ..., h+ r) permutacije u konstrukciji (status moжe biti da je taj element
ve upotrebƩen ili da je neupotrebƩen).
StaƬa automata se sastoje od k+r+1 koordinata koji predstavƩaju prethodnih k elemenata
(h − k, h − k + 1, . . . , h − 1), trenutni element h i sledeih r elemenata (h + 1, h + 2, ..., h + r)
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 83
permutacije u konstrukciji. Neki od tih koordinata su ve popuƬene (tj. odgovarajuci bro-
jevi su ve upotrebƩeni u dosadaxƬoj konstrukciji permutacije – popuƬene koordinate emo
oznaqavati sa 1, a slobodne sa 0) i potrebno je da popunimo jox jednu koordinatu i da zatim
uklonimo prvu koordinatu i dodamo jednu na kraj da bismo dobili novo staƬe automata. Ako je
prva koordinata slobodna, onda moramo Ƭu da popunimo, jer nam je to posledƬa prilika. Med-
ju ovako odreenim staƬima ima dosta nedostiжivih staƬa (preciznije, sva dostiжiva staƬa
imaju taqno k jedinica) i Ƭih emo odbaciti prilikom minimizacije automata.
Ovaj postupak ima dosta sliqnosti sa metodom koju je dao Blekvel (eng. D. Blackwell), a
opisana je u [29] ili [18, str. 216-7.]. Meutim, glavna razlika je da Blekvelova metoda daje
asimptotsko ponaxaƬe broja traжenih permutacija sa ograniqeƬima (taj broj raste kao i n-ti
stepen najvee sopstvene vrednosti), dok smo mi precizno prebrojali te permutacije. Takoe,
on je rexio jedan specijalan sluqaj (koji je lako opisati; on se svodi na Fibonaqijeve brojeve),
dok smo mi korixeƬem konaqnih automata problem rexili u potpunosti.
PRIMER 4.2.1. Razmotrimo permutaciju sa ograniqeƬima, kod koje je zadovoƩaven uslov
−36 p(i)− i6 4 (tj. k = 3 i r = 4). Neka je delimiqno napravƩena permutacija(
1 2 3 4 . . .
4 1 7 3 . . .
)
.
Mi treba da odredimo petu vrednost permutacije, tj. trenutni element je h = 5, odnosno
moжemo rei da odreujemo p(5). Potrebno je da opixemo situaciju sa elementima od 2 do 9
(h − k = 5 − 3 = 2 i h + r = 5 + 4 = 9). Ve smo iskoristili brojeve 4, 7 i 3 (iskoristili smo
i 1, ali nas on ne zanima, jer nije izmeu 2 i 9) i na koordinate stavƩamo 1, a na ostale koje
odgovaraju neiskorixenim elementima (to su 2, 5, 6, 8 i 9) stavƩamo 0:
0 1 1 0 0 1 0 0 .
2 3 4 5 6 7 8 9
StaƬe konaqnog automata koje odgovara ovoj situaciji je 01100100. Prva koordinata (koja
odgovara broju 2) je 0, tj. 2 nije iskorixena i ovo je posledƬa xansa da popunimo ovu koor-
dinatu. Dakle, p(5) mora da uzme vrednost 2. Kako je p(5)− 5 = 2− 5 = −3, mi idemo 3 elementa
ulevo (tj. nax automat moжe da pree u sledee staƬe samo ako mu doe ulazni simbol −3 iz
alfabeta U = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4}. Nakon toga, delimiqno napravƩena permutacija je(
1 2 3 4 5 . . .
4 1 7 3 2 . . .
)
.
Sada je potrebno da odredimo xestu vrednost, p(6), tj. trenutni element koji biramo je
h = 6. Potrebno je da opixemo situaciju sa elementima od 3 do 10 (h − k = 6 − 3 = 3 i
h+ r = 6+ 4 = 10). Iskoristili smo brojeve 4, 7 i 3 (i na Ƭihove koordinate stavƩamo 1), dok
su ostali brojevi neiskorixeni (tu su 0):
1 1 0 0 1 0 0 0 .
3 4 5 6 7 8 9 10
StaƬe automata koje odgovara ovoj situaciji je 11001000. Prva koordinata (koja odgovara
broju 3) je 1, tj. 3 je ve iskorixen, pa stoga p(6) moжe biti bilo koji neiskorixeni element:
5, 6, 8, 9 ili 10 (odgovarajue ulazne vrednosti iz alfabeta su -1, 0, 2, 3 ili 4).
TEOREMA 4.2.1. Skup staƬa konaqnog automata S se sastoji od staƬa koje imaju k + r + 1
koordinata na kojima je taqno k jedinica, a ostale su nule (i posledƬa koordinata je uvek 0) i
jednog ponor–staƬa, oznaqenog sa Q, koje odgovara nemoguem staƬu za ovu vrstu permutacija
sa ograniqeƬima.
Alfabet (konaqan skup ulaznih simbola) U je:
U = {−k,−k+ 1, . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . . , r − 1, r}.
84 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
U ovom sluqaju postoji samo jedno prihvatajue staƬe – kod Ƭega je prvih k koordinata
popuƬeno (u ovom sluqaju smo iskoristili sve brojeve koji su maƬi od h, tako da oni qine
jednu permutaciju).
Poqetno staƬe s∗ je isto kao i jedino prihvatajue staƬe.
Funkcija prelaza (za −k 6 x6 r) je data sa:
• F (s1, x) = Q, ako je prva koordinata staƬa s1 slobodna i x 6= −k;
• F (s1, x) = Q, ako je (k + 1 + a)-ta koordinata staƬa s1 popuƬena;
• F (s1, x) = S2, ako je prva koordinata staƬa s1 popuƬena, a (k+1+x)-ta je slobodna. StaƬe
s2 se dobija od staƬa S1 tako xto popunimo (k+1+x)-tu koordinatu, zatim uklonimo prvu
koordinatu i dopixemo koordinatu 0 na kraj.
Konaqni automat M = (S,U, F, P, s∗) prepoznaje samo permutacije koje zadovoƩavaju uslov
−k 6 p(i)− i6 r.
Dokaz. PopuƬene i prazne koordinate u svakom staƬu konaqnog automata se pomeraju ulevo
pomou funkcije prelaza f(s1, x) = s2. To obezbeuje da se svaki broj u permutaciji javƩa ne
vixe od jedanput.
Kako je kod jedinog prihvatajueg staƬa prvih k koordinata popuƬeno, to imamo da su
svi brojevi maƬi od trenutnog elementa h iskorixeni, tako da oni qine jednu permutaciju
(brojeva 1, 2, . . . , h).
Uslov −k 6 x 6 r za alfabet U obezbeuje da odgovarajua permutacija zadovoƩava uslov
−k 6 p(i)− i6 r.
U Primeru 4.2.3 emo dati malu modifikaciju ove teoreme za odreivaƬe broja kruжnih
permutacija sa ograniqeƬima, taqnije Lemerovog tipa R
(k)
3 – videti stranu 36. U tom sluqaju
emo imati i vixe od jednog prihvatajueg staƬa.
U sledeoj teoremi konstruixemo automatM koji odgovara permutacijama sa ograniqeƬima
iz PoglavƩa PrebrojavaƬe N(n; k, r, I). Razmatraemo permutacije koje zadovoƩavaju uslov
p(i)− i ∈ I, za sve i ∈ Nn, gde je I podskup skupa {−k,−k+1, ,−2,−1, 0, 1, 2, , r−1, r}. Izostaviemo
dokaz Teoreme 4.2.2 (jer je suxtinski analogan dokazu Teoreme 4.2.1). Kako funkcionixe ova
teorema ilustrujemo Primerom 4.2.2.
TEOREMA 4.2.2. Skup staƬa S, jedino prihvatajue staƬe, poqetno staƬe i funkcija
prelaza F (za x ∈ U) su isti kao i u Teoremi 4.2.1.
Alfabet U se razlikuje: U = I.
Konaqni automat M = (S,U, F, P, s∗) prepoznaje samo permutacije koje zadovoƩavaju uslov
p(i)− i ∈ I.
U [4] smo generalizovali rezultate iz [1] tako xto smo dobili neke od primena konaqnih
automata na prebrojavaƬe parnih i neparnih permutacija sa ograniqeƬima. Sa maƬim modi-
fikacijam uspexno kontrolixemo koji je znak permutacije u konstrukciji.
TEOREMA 4.2.3. Skup staƬa konaqnog automata S je skoro isti kao u prethodnim teoremama,
samo xto imamo jox jednu koordinatu koja kontrolixe parnost. Dakle, staƬa imaju k + r + 2
koordinata, pri qemu na prvih k + r + 1 ima taqno k jedinica, a ostale su nule (i posledƬa
od tih koordinata, k + r + 1-va, je uvek 0), dok je posledƬa k + r + 2-ga koordinata P ili N u
zavisnosti od toga da li je permutacija u konstrukciji parna ili neparna. Pored toga imamo
i jedno ponor–staƬe, oznaqeno sa Q, koje odgovara nemoguem staƬu za ovu vrstu permutacija
sa ograniqeƬima.
Alfabet (konaqan skup ulaznih simbola) U je: U = I, gde je I neki unapred zadati
podskup skupa {−k,−k + 1, ,−2,−1, 0, 1, 2, , r− 1, r}.
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 85
U ovom sluqaju postoji samo jedno prihvatajue staƬe – kod Ƭega je prvih k koordinata
popuƬeno (u ovom sluqaju smo iskoristili sve brojeve koji su maƬi od h, tako da oni qine
jednu permutaciju), tj. tu su 1, na narednih r+1 koordinata su 0, a posledƬa koordinata je P.
Poqetno staƬe s∗ je isto kao i jedino prihvatajue staƬe.
Funkcija prelaza (za −k 6 x6 r) je data sa:
• F (s1, x) = Q, ako je prva koordinata staƬa s1 slobodna i x 6= −k;
• F (s1, x) = Q, ako je (k + 1 + a)-ta koordinata staƬa s1 popuƬena;
• F (s1, x) = s2, ako je prva koordinata staƬa s1 popuƬena, a (k+1+x)-ta je slobodna. StaƬe
s2 se dobija od staƬa s1 tako xto popunimo (k+1+x)-tu koordinatu, zatim uklonimo prvu
i posledƬu koordinatu i dopixemo 0 na predposledƬu koordinatu i na kraj stavimo P
ili N po sledeem pravilu:
– posledƬa koordinata ostaje ista kao i u s1 ako u s1 ima paran broj 1 na pozicijama
poqev od (k + 1 + x)-te koordinate;
– posledƬa koordinata ostaje se meƬa u odnosu na s1 (iz P u N i iz N u P) ako u S1 ima
neparan broj 1 na pozicijama poqev od (k + 1 + x)-te koordinate.
Konaqni automat M = (S,U, F, P, s∗) prepoznaje samo parne permutacije koje zadovoƩavaju
uslov p(i)− i ∈ I.
Dokaz. PopuƬene i prazne koordinate u svakom staƬu konaqnog automata se pomeraju ulevo
pomou funkcije prelaza F (s1, x) = s2. To obezbeuje da se svaki broj u permutaciji javƩa ne
vixe od jedanput.
Ako nakon (k+1+x)-te koordinate (ona odgovara elementu koji je trenutni u permutaciji koju
konstruixemo) ima paran broj 1, tada taj novi broj qini inverziju samo sa parnim brojem ve
postavƩenih brojeva (oni su postavƩeni pre tekueg, a vei su od Ƭega pa qine inverziju!),
pa kako on pravi paran broj inverzija, parnost takve permutacije u konstrukciji se ne meƬa.
Ako ima neparan broj 1, tada ima i neparan broj inverzija, pa se parnost permutacije meƬa.
Kako je kod jedinog prihvatajueg staƬa prvih k koordinata popuƬeno, to imamo da su
svi brojevi maƬi od trenutnog elementa h iskorixeni, tako da oni qine jednu permutaciju
(brojeva 1, 2, . . . , h). PosledƬa koordinata kod jedinog prihvatajueg staƬa je P, pa automat
prepoznaje parne permutacije.
Uslov x ∈ U , gde je alfabet U = I obezbeuje da odgovarajua permutacija zadovoƩava uslov
p(i)− i ∈ I.
Napomena. Ako hoemo da konstruixemo automat koji prepoznaje neparne permutacije sa
ograniqeƬima, jedina razlika je u prihvatajuem staƬu: kod Ƭega je prvih k koordinata po-
puƬeno, tj. tu su 1, na narednih r+1 koordinata su 0, a posledƬa koordinata je N (umesto P).
Naglasimo da se poqetno staƬe s∗ nije promenilo!
U [1] smo naveli neke od primena konaqnih automata na prebrojavaƬe permutacija sa
ograniqeƬima, a u [3] i [4] smo otixli malo daƩe. Koristili smo konaqne automate za pre-
brojavaƬe n-varijacija skupa Nn+t = {1, 2, . . . , n+ t} koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ I. Sluqaj
automata koji prepoznaje varijacije sa ograniqeƬima se u odnosu na prethodno razmatrane
automate za permutacije sa ograniqeƬima razlikuje samo u prihvatajuim staƬima. Takoe,
kod varijacija sa ograniqeƬima mogue je da ima vixe prihvatajuih staƬa.
TEOREMA 4.2.4. Alfabet U , skup staƬa S, poqetno staƬe i funkcija prelaza F (za x ∈ U)
su isti kao i u Teoremi 4.2.2.
Prihvatajua staƬa su sva staƬa kod kojih su koordinate od (k + t+ 1)-ve do (k + r + 1)-ve
slobodne i koje imaju ukupno k zauzetih koordinata i koje imaju taqno k popuƬenih koordinata.
Konaqni automat M = (S,U, F, P, s∗) prepoznaje samo n-varijacije skupa Nn+t = {1, 2, . . . , n+ t}
koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ I.
86 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
Dokaz. Sva staƬa kod kojih su koordinate od (k + t + 1)-ve do (k + r + 1)-ve slobodne imaju
osobinu da su svi brojevi, koji su upotrebƩeni u generisaƬu date varijacije sa ograniqeƬima,
elementi skupa Nn+t. Sva staƬa (sem Q) imaju taqno k jedinica, xto nam obezbeuje da smo
odabrali taqno n brojeva. Kako je alfabet U = I bie ispuƬen i uslov uslov p(i) − i ∈ I. Na
osnovu svega toga sledi da smo automatom M prepoznali jednu n-varijaciju skupa Nn+t koja
zadovoƩava uslov p(i)− i ∈ I.
Ostali delovi dokaza idu isto kao i u dokazu Teoreme 4.2.1, te ih stoga izostavƩamo.
Sve ove teoreme ilustrovaemo kroz nekoliko primera u narednom poglavƩu.
4.2.1. Primeri
U prvom od nih odrediemo koliko ima permutacija za koje vaжi p(i) − i ∈ {−2, 0, 2}, za sve
i ∈ Nn, tako xto emo konstruisati odgovarajui automat M1. Daemo i vezu ovih automata
sa nekim drugim kombinatornim objektima (kompozicijama i podskupovima).
PRIMER 4.2.2. Odrediti koliko ima permutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i)−i ∈ {−2, 0, 2},
za sve i ∈ Nn.
RexeƬe. Kako je najmaƬi element u I = {−2, 0, 2} jednak −2 imamo da je k = 2, a kako je najvei
2 imamo da je r = 2. Stoga e staƬa automata imati k + r + 1 = 5 koordinata.
Alfabet (konaqan skup ulaznih simbola) U u ovom sluqaju je: U = I = {−2, 0, 2}.
StaƬa konaqnog automata imaju taqno k = 2 popuƬenih koordinata (na Ƭima su upisane
1), a ostale su prazne (na Ƭima su 0). PosledƬa koordinata je uvek prazna (jer na tu pozi-
ciju u prethodnom koraku nismo nikako mogli da stignemo). Skup staƬa konaqnog automata
je S = {a, b, c, d, e, f,Q}. U narednoj tabeli daemo vezu izmeu staƬa i popuƬenih i praznih
koordinata:
staƬa a b c d e f Q
koordinate 11000 10100 10010 01100 01010 00110
Tabela 4.0. Skup staƬa S.
U ovom sluqaju postoji samo jedno prihvatajue staƬe a – kod Ƭega je prvih k koordinata
popuƬeno (u ovom sluqaju smo iskoristili sve brojeve koji su maƬi od h, tako da oni qine
jednu permutaciju).
Poqetno staƬe s∗ je isto kao i jedino prihvatajue staƬe.
Funkcija prelaza F (s, x) (za x ∈ I = {−2, 0, 2} i s ∈ S) je data u Tabeli 4.1.
staƬa S
ulazi x a b c d e f Q
−2 Q Q Q a b d Q
0 a Q d Q Q Q Q
2 c e f Q Q Q Q
Tabela 4.1. Funkcija prelaza F (s, x).
Ilustrujmo funkciju prelaza na 2 konkretna primera staƬa.
Prvo, posmatrajmo staƬe automata c, koje ima koordinate 10010.
Ulazni simbol −2 prouzrokuje promenu staƬa automata sa c na Q, jer je prva koordinata u
10010 popuƬena (tj. 1).
Ulazni simbol 0 prouzrokuje promenu staƬa automata sa c na d: od staƬa c = 10010 dobijamo
10110 kada popunimo trenutnu poziciju (to je 3. koordinata) i zatim kada uklonimo prvu
koordinatu i na kraj dopixemo 0 dobijamo d = 01100.
Ulazni simbol 2 prouzrokuje promenu staƬa automata sa c na f : od staƬa c = 10010 dobijamo
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 87
10011 kada popunimo poziciju koja je 2 mesta desno od trenutne (to je 5. koordinata) i zatim
kada uklonimo prvu koordinatu i na kraj dopixemo 0 dobijamo f = 00110.
Malo drugaqija je situacija sa staƬem f , koje ima koordinate 00110.
Kod ovog staƬa prva koordinata je prazna (tj. 0) i moramo da je popunimo, pa imamo prelaze
F (f,−2) = d, F (f, 0) = F (f, 2) = Q.
Automat M1 je prikazan svojim dijagramom prelaza na Slici 4.1.
-2
0, 2
-2, 0
0, 2
-2
0, 2
-2,0,2
2
2
0
-2
-2
0
-2 2
a bc
d ef
Q
Slika 4.1. Dijagram prelaza automata M1.
Kod automata M1 imamo nedostiжiva staƬa b i e, pa Ƭih moжemo izostaviti. Takoe,
dobijamo jasniju predstavu, ako izostavimo i grane koje vode u ponor–staƬe Q, kao i samo
staƬe Q. Na taj naqin doxli smo do novog automata M2 koji je nedeterministiqki (iz nekih
staƬa sa nekim ulaznim simbolima imamo 0 moguih staƬa u koja moжemo da preemo). Ako
ovo posmatramo iz ugla Teorije grafova, M2 je podgraf od M1. Nedeterministiqki automat
M2 je prikazan svojim dijagramom prelaza na Slici 4.2.
2
2
0
-2
-2
0
a c
d f
Slika 4.2. Dijagram prelaza nedeteriministiqkog automata M2.
Dijagram prelaza nedetriministiqkog automata M2 sa Slike 4.2 je jedan orijentisan graf.
Prema Teoriji grafova, konstrukciji permutacije sa ograniqeƬima odgovara jedna zatvorena
xetƬa duжine n od qvora a do qvora a. Oznaqimo broj xetƬi duжine n od qvora v do qvora
a sa v(n). Za poqetne uslove, bez umaƬeƬa opxtosti, moжemo uzeti da puteva duжine 0 ima
a(0) = 1 i b(0) = c(0) = d(0) = e(0) = f(0) = 0.
Broj permutacija sa ograniqeƬima skupa Nn koje zadovoƩavaju uslov p(i) − i ∈ {−2, 0, 2} je
jednak a(n). Primetimo da svaka zatvorena xetƬa ima sastavne delove
a− a, a− c− d− a i/ili a− c− f − d− a.
Ova qiƬenica uspostavƩa bijekciju izmeu permutacija sa ograniqeƬem p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}, za
i ∈ Nn i kompozicija broja n na sabirke iz skupa {1, 3, 4}.
Npr. ako je n = 5 imamo a(5) = 6 permutacija sa ograniqeƬem p(i) − i ∈ {−2, 0, 2} kojima
odgovara 6 kompozicija n = 5 na sabirke iz skupa {1, 3, 4}:
permutacije 12345, 12543, 14325, 14523, 32145, 34125
kompozicije 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 3, 1 + 3 + 1, 1 + 4, 3 + 1 + 1, 4 + 1.
88 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
Na osnovu dijagrama prelaza (ili funkcija prelaza iz Tabele 4.1) automata M1 ili M2
moжemo dobiti sistem rekurentnih jednaqina (mi emo posmatratiM2 jer ima maƬe jednaqina).
Ako na poqetku imamo 1 u permutaciji, to odgovara ulazu 0 u automatu M2, koji ne
prouzrokuje promenu staƬa. Ako na poqetku imamo 3 u permutaciji, to odgovara ulazu 2 u
automatu M2, koji prouzrokuje promenu iz staƬa a u staƬe c. Na osnovu ovoga imamo da je
broj zatvorenih xetƬi duжine n+ 1 iz qvora a u qvor a jednak zbiru broja zatvorenih xetƬi
duжine n iz qvora a u qvor a i broja xetƬi duжine n iz qvora c u qvor a. Tako smo dobili
jednaqinu a(n+1) = a(n)+c(n). Na sliqan naqin, moжemo dobiti kompletan sistem rekurentnih
jednaqina:
a(n+ 1) = a(n) + c(n), (4.2)
b(n+ 1) = d(n) + f(n), (4.3)
d(n+ 1) = a(n), (4.4)
f(n+ 1) = d(n), (4.5)
sa poqetnim uslovima a(0) = 1, c(0) = 0, d(0) = 0 i f(0) = 0.
Iz jednaqine (4.4) dobijamo d(n) = a(n − 1). Kada to stavimo u jednaqinu (4.3) nalazimo
f(n) = a(n − 2). Konaqno, iz jednaqine (4.3) sledi c(n) = a(n − 2) + a(n − 3). Odatle dobijamo
homogenu linearnu rekurentnu jednaqinu sa konstantnim koeficijentima:
a(n+ 1) = a(n) + a(n− 2) + a(n− 3),
sa poqetnim uslovima a(0) = 1, a(1) = 1, a(2) = 1 i a(3) = 2.
ƫena karakteristiqna jednaqina je t4 = t3 + t+ 1. Ona se moжe transformisati u
(t2 + 1) · (t2 − t− 1) = 0,
odakle odmah dobijamo rexeƬa: t1 = i, t2 = −i, t3 = 1 +
√
5
2
i t4 =
1−√5
2
.
Stoga je opxte rexeƬe oblika a(n) = C1 · tn1 + C2 · tn2 + C3 · tn3 + C4 · tn4 . Iz poqetnih uslova
odreujemo vrednosti konstanti: C1 =
2−i
10 , C2 =
2+i
10 , C3 =
3+
√
5
10 i C4 =
3−√5
10 .
Kako je
2− i
10
· in + 2 + i
10
· (−i)n = 2− i
10
· (cos nπ
2
+ i sin
nπ
2
) +
2 + i
10
· (cos nπ
2
− i sin nπ
2
) =
2
5
· cos nπ
2
+
1
5
· sin nπ
2
i kako od posledƬa 2 qlana dobijamo Lukasove brojeve Ln+2 (vidi potpoglavƩe o Ƭima sa
strane 19, kao i Teoremu 1.6.4)
3 +
√
5
10
·
(
1 +
√
5
2
)n
+
3−√5
10
·
(
1−√5
2
)n
=
(
1 +
√
5
2
)n+2
+
(
1−√5
2
)n+2
5
=
1
5
Ln+2,
dobijamo da je opxti qlan ovog niza jednak:
a(n) =
1
5
(
Ln+2 + 2 cos
nπ
2
+ sin
nπ
2
)
.
Sa ovim nizom, kao i nizom y(n) = 2 cos nπ2 + sin
nπ
2 srexemo se ponovo u Primeru 4.2.5.
Prvih nekoliko qlanova ovog niza je dato u Tabeli 4.2. Ovi brojevi qine niz A006498 u
Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
a(n) 1 1 1 2 4 6 9 15 25 40 64 104 169 273 441 714 1156
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 89
Tabela 4.2. Niz a(n), tj. A006498.
Ovaj niz ima mnoxtvo zanimƩivih kombinatornih osobina (ve smo pokazali da je to broj
kompozicija na sabirke iz skupa {1, 3, 4}), kao xto je da je zbir a(n)+a(n+2) = Fn+3 ili a(2k) =
(Fk+1)
2. Ali Ƭih neemo pokazati, nego emo uspostaviti vezu sa jox jednim kombinatornim
objektima – podskupovima (to su ustvari kombinacije) sa nekim dodatnim ograniqeƬima.
Prema Teoremi 1.1.4 imamo da se svaka permutacija moжe predstaviti kao kompozicija
identiqke permutacije ε i transpozicija. Permutacije sa ograniqeƬem p(i)−i ∈ {−2, 0, 2}, za i ∈
Nn, mogu se predstaviti kao kompozicije 2 transpozicije koje nemaju zajedniqki element, npr.
ako je predstavƩaƬe τi,j◦τk,l, onda su sva 4 broja i, j, k, l meusobno razliqiti. Xtavixe, brojevi
i i j (kao i k i l) se razlikuju za 2. Ako uzmemo maƬe od elemenata iz svake transpozicije
dobiemo podskup skupa Nn−2 u kome ne postoje 2 elementa qija je razlika jednaka 2.
Npr. ako je n = 5 imamo a(5) = 6 permutacija sa ograniqeƬem p(i)−i ∈ {−2, 0, 2} kojima se mogu
predstaviti kao kompozicije transpozicija, a Ƭima odgovara 6 podskupova skupa N3 = {1, 2, 3}
koji ne sadrжe 2 elementa qija je razlika 2:
permutacije 12345, 12543, 14325, 14523, 32145, 34125
transpozicije ε, τ3,5, τ2,4, τ2,4 ◦ τ3,5, τ1,3, τ1,3 ◦ τ2,4
podskupovi ∅, {3}, {2}, {2, 3}, {1}, {1, 2}.
Ovo svojstvo smo generalizovali u Teoremi 3.5.4.
Bergum i Hogat (eng. Gerald E. Bergum, Verner E. Hoggat) su u [8] prebrojavali skupove koji
ne sadrжe 2 elementa qija je razlika 2, ali je Vladimir Balti prvi koji je uspostavio vezu
sa drugim kombinatornim objektima.
U narednom primeru emo generalisati Teoremu 4.2.1 na kruжni sluqaj, koji je komp-
likovaniji. Sliqno, odreivaemo broj permutacija skupa Nn koje zadovoƩavaju uslov da je
p(i)− i ≡ 0, 1, . . . , r (mod n). Ova promena uslova se odraжava u tome da sada p(n) moжe uzeti jox
neke vrednosti sa poqetka, tj. moжe biti i p(n) ∈ {1, 2, . . . r}, moжe biti i p(n−1) ∈ {1, 2, . . . r−1}
i tako daƩe, do p(n− r + 1) = 1.
Stoga su nam potrebne dodatne koordinate, koje kontrolixu koje su od prvih r pozicija
slobodne (Ƭih e popuniti kasniji elementi). ƫih emo u Tabeli 4.3 predstaviti crvenom
bojom i podvuqeno.
U narednom primeru odrediemo koliko ima permutacija sa ograniqeƬima koje zadovoƩava-
ju uslov p(i) − i ≡ 0, 1, 2 (mod n), za sve i ∈ Nn. Ovaj problem je poznat. U [39][Primer 4.7.7]
je dato rexeƬe pomou Metode matrica prenosa. Mi emo ovde dati rexeƬe tako xto emo
konstruisati odgovarajui automat M .
PRIMER 4.2.3. Koliko ima permutacija za koje vaжi p(i)− i ≡ 0, 1, 2 (mod n), za i ∈ Nn?
RexeƬe. Kako je najmaƬi element u I = {0, 1, 2} jednak 0 imamo da je k = 0, a kako je najvei
2 imamo da je r = 2.
Alfabet (konaqan skup ulaznih simbola) U u ovom sluqaju je: U = {I, II, 0, 1, 2}. Ulaz
I (odnosno II) prouzrokuje popuƬavaƬe prve (druge) dodatne koordinate, xto se moжe desiti
samo pri kraju konstruisaƬa permutacije:
• II, koji odgovara p(h) = 2, moжe doi samo u posledƬem koraku (tj. kad je h = n);
• I, koji odgovara p(h) = 1, moжe doi ili u posledƬem (h = n) ili u pretposledƬem koraku
(h = n− 1).
Primetimo da ulaz II moжe doi samo nakon I ili situacije gde je u prvom koraku popuƬena
prva koordinata, tj. p(1) = 1.
StaƬa a, b, c i d su poqetna staƬa pri konstrukciji automata (a je poqetno staƬe, dok su
staƬa b, c i d nakon prvog koraka konstrukcije permutacije). Sva ostala staƬa konaqnog au-
tomata imaju taqno k = 2 popuƬenih koordinata (na Ƭima su upisane 1), a ostale su prazne (na
Ƭima su 0). PosledƬa koordinata je uvek prazna (jer na tu poziciju u prethodnom koraku nismo
nikako mogli da stignemo). Skup staƬa konaqnog automata je S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l,m,Q}.
U narednoj tabeli daemo vezu izmeu staƬa i popuƬenih i praznih koordinata:
90 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
staƬa a b c d e f g
koordinate 00 000 10 000 01 100 00 010 11 000 10 100 10 010
staƬa h i j k1 l1 m0 Q
koordinate 01 100 01 010 00 110 11 000 10 100 11 000
Tabela 4.3. Skup staƬa S.
StaƬa e, k1 i m0 imaju potpuno iste koordinate (iste pozicije su popuƬene, odnosno prazne).
Evo u qemu se ona razlikuju. Nije isto da li smo neku od dodatne 2 koordinate popunili ranije
ili u posledƬim koracima. Ako smo imali ulaz II konsturkcija permutacije se zavrxava u tom
koraku, dok za ulaz I ona se mora zavrxiti u tom ili narednom koraku. Stoga m0 oznaqava da
se ta permutacija zavrxava u tom koraku (tj. u 0 koraka), k1 oznaqava da se permutacija moжe
zavrxiti u tom ili narednom koraku (tj. u najvixe 1 koraka), dok staƬe e, koje nema gorƬi
indeks, nema takvih ograniqeƬa.
Sliqna situacija je sa staƬima f i l1. StaƬe f smo dobili tako xto je u prvom koraku pop-
uƬena prva koordinata, tj. p(1) = 1, dok staƬe l1 dobijamo ulazom I i konstrukcija permutacije
se mora zavrxiti u najvixe 1 koraka.
I staƬa c i h imaju iste koordinate (pri optimizaciji automata ona se mogu spojiti u
jedno staƬe, ali smo ih razdvojili da naglasimo razliku izmeu staƬa c koje nastaje nakon
prvog koraka i staƬa h do kog dolazimo kasnije).
Skup prihvatajuih staƬa je Y = {a, b, e, k1,m0}. U Ƭemu imamo staƬa kod kojih je 0, 1 ili
2 koordinate popuƬene (poqetno staƬe a uzimamo za prihvatajue staƬe, jer qesto kaжemo da
postoji 1 permutacija duжine 0; staƬe b je prihvatajue i odgovara identiqkoj permutaciji u
sluqaju n = 1; staƬa e, k1 i m0 imaju 2 koordinate popuƬene, a ranije smo objasnili u qemu se
razlikuju).
Poqetno staƬe s∗ = a.
Funkcija prelaza F (s, x) (za x ∈ U = {I, II, 0, 1, 2} i s ∈ S) je data u Tabeli 4.4.
staƬa S
ulazi x a b c d e f g h i j k l m Q
I Q Q k l Q Q Q k Q l Q Q Q Q
II Q Q Q Q Q m Q Q Q Q Q m Q Q
0 b e Q h e Q f Q h Q m Q Q Q
1 c f h Q Q f Q h Q Q Q Q Q Q
2 d g i j Q g Q i Q j Q Q Q Q
Tabela 4.4. Funkcija prelaza F (s, x).
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 91
Na osnovu Tabele 4.4 dobijamo sledei sistem rekurentnih jednaqina:
a(n+ 1) = b(n) + c(n) + d(n),
b(n+ 1) = e(n) + f(n) + g(n),
c(n+ 1) = k(n) + h(n) + i(n),
d(n+ 1) = l(n) + h(n) + j(n),
e(n+ 1) = e(n),
f(n+ 1) = m(n) + f(n) + g(n),
g(n+ 1) = f(n),
h(n+ 1) = k(n) + h(n) + i(n),
i(n+ 1) = h(n),
j(n+ 1) = l(n) + j(n),
k(n+ 1) = m(n),
l(n+ 1) = m(n),
m(n+ 1) =
{
1, n = 0
0, n > 0.
sa poqetnim uslovima:
a(0) = b(0) = e(0) = k(0) = m(0) = 1 i c(0) = d(0) = f(0) = g(0) = h(0) = i(0) = j(0) = l(0) = 0.
Sada vraaƬem u nazad dobijamo da je
k(n) = l(n) = m(n) = 0, za n> 2
i k(0) = k(1) = 1, l(0) = 0, l(1) = 1, m(0) = 1, m(1) = 0.
DaƩe, nalazimo da je j(n) = 1 za j > 1 i j(0) = 0. Zatim, imamo da je
h(n) = Fn+1, i(n) = Fn, f(n) = Fn, g(n) = Fn−1, e(n) = 10.
Konaqno, kada to sve zamenimo u prve 4 rekurentne jednaqnine dobijamo
d(n) = Fn + 1, c(n) = Fn+1, b(n) = Fn + 1, a(n) = 2 + Fn−1 + Fn+1.
Na osnovu Teoreme 1.6.6 imamo da je Lukasov broj Ln = Fn−1 +Fn+1, pa dolazimo do toga da
je opxti qlan ovog niza jednak:
a(n) =


1, n = 0, 1
2, n = 2
2 + Ln, n> 3.
Napomena. Na sliqan naqin, samo dosta mukotrpnijim raqunom, moжe se rexiti problem za
k = 3. RexeƬe u ovom sluqaju je dato sa
a(n) = 2 + 6Tn + 8Tn−1 + 2Tn−2, za n> 3
(ovde Tn oznaqava n-ti Tribonaqijev broj – videti Definiciju 1.6.2).
PRIMER 4.2.4. Odrediti koliko ima parnih (neparnih) permutacija koje zadovoƩavaju
uslov −16 p(i)− i6 1, za sve i ∈ Nn.
RexeƬe. Kako je najmaƬi element u I = {−1, 0, 1} jednak −1 imamo da je k = 1, a kako je najvei
1 imamo da je r = 1. Stoga e staƬa automata imati k+ r+2 = 4 koordinate, od qega posledƬa
,,vodi raquna“ o parnosti permutacije (ona je P ili N, dok su ostale 0 ili 1).
Alfabet (konaqan skup ulaznih simbola) U u ovom sluqaju je: U = I = {−1, 0, 1}.
StaƬa konaqnog automata imaju taqno k = 1 popuƬenih koordinata (na Ƭima su upisane 1),
a ostale su prazne (na Ƭima su 0). PretposledƬa koordinata je uvek prazna (jer na tu poziciju
u prethodnom koraku nismo nikako mogli da stignemo).
Skup staƬa konaqnog automata je S = {a, b, c, d,Q}. U narednoj tabeli daemo vezu izmeu staƬa
i popuƬenih i praznih koordinata (to su prve 3 koordinate):
92 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
staƬa a b c d Q
prve 3 koordinate 100 100 010 010
posledƬa koordinata P N P N
Tabela 4.5. Skup staƬa S.
U ovom sluqaju postoji samo jedno prihvatajue staƬe a.
Poqetno staƬe s∗ je isto kao i jedino prihvatajue staƬe, tj. s∗ = a.
Funkcija prelaza F (s, x) (za x ∈ I = {−1, 0, 1} i s ∈ S) je data u Tabeli 4.6.
staƬa S
ulazi x a b c d Q
−1 Q Q b a Q
0 a b Q Q Q
1 c d Q Q Q
Tabela 4.6. Funkcija prelaza F (s, x).
Ilustrujmo funkciju prelaza na 2 konkretna primera staƬa.
Prvo, posmatrajmo staƬe automata a, koje ima koordinate 100P.
Ulazni simbol −1 prouzrokuje promenu staƬa automata sa a na Q, jer je prva koordinata u
100P popuƬena (tj. 1).
Ulazni simbol 0 prouzrokuje promenu staƬa automata sa a na a: od staƬa a = 100P dobijamo 110
kada popunimo trenutnu poziciju (to je 2. koordinata) i zatim kada uklonimo prvu koordinatu
i na kraj dopixemo 0 dobijamo 100; kako se parnost permutacije nije promenila (jer dodati
element ne qini inverziju ni sa jednim prethodno odreenim), posledƬa koordinata ostaje P,
pa smo prexli u a = 100P.
Ulazni simbol 1 prouzrokuje promenu staƬa automata sa a na c: od staƬa c = 100P dobijamo
101 kada popunimo poziciju koja je 1 mesto desno od trenutne (to je 3. koordinata) i zatim
kada uklonimo prvu koordinatu i na kraj dopixemo 0 dobijamo 010, a parnost se opet ne meƬa,
pa smo prexli u staƬe c = 010P.
Malo drugaqija je situacija sa staƬem c, koje ima koordinate 010P.
Kod ovog staƬa prva koordinata je prazna (tj. 0) i moramo da je popunimo, pa imamo prelaze
F (c,−1) = b, F (c, 0) = F (c, 1) = Q.
Objasnimo malo detaƩnije kako smo dobili da je F (c,−1) = b.
Ulazni simbol −1 uzrokuje da od staƬa c = 010P dobijamo 110 kada popunimo poziciju koja je 1
mesto levo od trenutne (to je 1. koordinata) i zatim kada uklonimo prvu koordinatu i na kraj
dopixemo 0 dobijamo 100; parnost permutacije sada se promenila (jer dodati element h−1 qini
inverziju sa jednim prethodno upisanim h i to je jedina inverzija koju prouzrokuje upisivaƬe
novog elementa), pa se posledƬa koordinata meƬa od P u N, pa smo prexli u b = 100N.
Automat M je prikazan svojim dijagramom prelaza na Slici 4.3.
1
0, -1
-1
0, 1
-1,0,1
1
-1
1
-1
0
0
a c
d b
Q
Slika 4.3. Dijagram prelaza automata M .
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 93
Kod automata M imamo ponor staƬe Q, pa moжemo izostaviti grane koje vode u Q, kao i
samo staƬe Q. Na taj naqin doxli smo do novog automata M2 koji je nedeterministiqki on je
prikazan svojim dijagramom prelaza na Slici 4.4.
1
-1
1
-1
0
0
a c
d b
Slika 4.4. Dijagram prelaza nedeteriministiqkog automata M2.
Sliqno kao i u Primeru 4.2.2, oznaqimo broj xetƬi duжine n od qvora v do qvora a sa v(n).
Bez umaƬeƬa opxtosti, moжemo uzeti da puteva duжine 0 ima a(0) = 1 i b(0) = c(0) = d(0) = 0.
Broj parnih permutacija sa ograniqeƬima skupa Nn koje zadovoƩavaju p(i)− i ∈ {−1, 0, 1} je
jednak a(n). Primetimo da svaka zatvorena xetƬa ima sastavne delove
a− a, a− c− b, b− b, i/ili b− d− a.
Ova qiƬenica uspostavƩa bijekciju izmeu parnih permutacija koje zadovoƩavaju ograniqeƬe
p(i) − i ∈ {−1, 0, 1}, za i ∈ Nn i kompozicija broja n na sabirke iz skupa {1, 2} koje imaju paran
broj 2.
Npr. ako je n = 5 imamo 8 permutacija sa ograniqeƬem −16 p(i)− i6 1: 12345, 12354, 12435,
13245, 13254, 21345, 21354 21435, ali samo a(5) = 4 od Ƭih je parno i Ƭima odgovaraju 4
kompozicije broja n = 5 na sabirke iz skupa {1, 2} koje imaju paran broj 2:
permutacije 12345, 13254, 21354, 21435
kompozicije 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 2, 2 + 1 + 2, 2 + 2 + 1.
Na osnovu dijagrama prelaza (ili funkcija prelaza iz Tabele 4.6) automata M ili M2
moжemo dobiti sistem rekurentnih jednaqina (mi emo posmatratiM2 jer ima maƬe jednaqina).
Na sliqan naqin kao u Primeru 4.2.2, moжemo dobiti kompletan sistem rekurentnih jednaqina:
a(n+ 1) = a(n) + c(n), (4.6)
b(n+ 1) = b(n) + d(n), (4.7)
c(n+ 1) = b(n), (4.8)
d(n+ 1) = a(n), (4.9)
sa poqetnim uslovima a(0) = 1, b(0) = 0, c(0) = 0 i d(0) = 0.
Iz jednaqine (4.8) dobijamo rekurentnu vezu c(n) = b(n−1). Kada to stavimo u jednaqinu (4.6)
nalazimo b(n−1) = a(n+1)−a(n). DaƩe, iz jednaqine (4.9) sledi d(n) = a(n−1). Kada posledƬa
2 zakƩuqka uvrstimo u jednaqinu (4.7) dobijamo homogenu linearnu rekurentnu jednaqinu sa
konstantnim koeficijentima:
a(n+ 1) = 2a(n)− a(n− 1) + a(n− 3),
sa poqetnim uslovima a(0) = a(1) = a(2) = a(3) = 1.
ƫena karakteristiqna jednaqina je t4 = 2t3 − t2 + 1. Ona se moжe transformisati u
(t2 − t− 1) · (t2 − t+ 1) = 0,
94 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
odakle dobijamo rexeƬa: t1 =
1 +
√
5
2
, t2 =
1−√5
2
, t3 =
1 + i
√
3
2
i t4 =
1− i√3
2
.
Opxte rexeƬe je oblika a(n) = C1 · tn1 +C2 · tn2 +C3 · tn3 +C4 · tn4 . Iz poqetnih uslova odreujemo
vrednosti konstanti: C1 =
5+
√
5
20 , C2 =
5−
√
5
20 , C3 =
3−i
√
3
12 i C4 =
3+i
√
3
12 .
Sa malo sreivaƬa dobijamo da je opxti qlan ovog niza jednak:
a(n) =
1
2
(Fn+1 + x(n)) ,
gde je Fn+1 Fibonaqijev broj, dok je niz x(n) dat sa x(n) = cos
nπ
3 +
1√
3
sin nπ3 .
Niz x(n) ima mnoxtvo razliqitih interpretacija:
• Ovaj niz je zadat rekurentnom relacijom x(n) = x(n − 1) − x(n − 2), uz poqetne uslove
x(0) = x(1) = 1.
• To je periodiqan niz sa periodom 6:
x(n) =


1, n ≡6 0, 1
0, n ≡6 2, 5
−1, n ≡6 3, 4.
• Moжe biti dat i formulom x(n) = 2√
3
sin (n+1)π3 .
• x(n) = U(n, 12 ), gde je U(n, x) QebixevƩev polinom.
• x(n) =
n∑
k=0
(
k
n−k
)
(−1)n−k.
• x(n) =
⌊n
2
⌋∑
k=0
(
n−k
k
)
(−1)k.
• x(n) =
n∑
k=0
(
n+k+1
2k+1
)
(−1)k.
• x(n) =
⌊n
2
⌋∏
k=1
(1− 4 cos2 kπ
n+1 ).
• To je niz A010892 u Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
Vratimo se sad na niz a(n). Prvih nekoliko qlanova niza a(n) je dato u Tabeli 4.7. Ovi
brojevi qine niz A005252 u Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
a(n) 1 1 1 1 2 4 7 11 17 27 44 72 117 189 305 493 798
∆(n) 0 0 0 1 2 3 4 6 10 17 28 45 72 116 188 305 494
∆2(n) 0 0 1 1 1 1 2 4 7 11 17 27 44 72 117 189 305
Tabela 4.7. Niz a(n), tj. A005252 sa svojim prvim i drugim razlikama – ∆(n) i ∆2(n).
I ovaj niz ima mnoxtvo zanimƩivih kombinatornih osobina:
• Prve razlike niza definixemo kao ∆(n) = a(n+1)−a(n), dok su druge razlike prve razlike
prvih razlika ∆2(n) = ∆(n+1)−∆(n). Niz drugih razlika predstavƩa polazni niz pomeren
za 2 (xto se lepo vidi u Tabeli 4.7, a formalno se moжe pokazati Principom matematiqke
indukcije).
• a(n+1) je broj nizova bitova duжine n koji ne sadrжe izolovanu 0, kao i 00 (mogu nizove
od 3 ili vixe nula).
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 95
Ilustrujmo ovu situaciju za neke male vrednosti. Za n = 5 imamo a(6) = 7 nizova: 00000,
00001, 00011, 10000, 10001, 11000 i 11111, a za n = 4 imamo a(5) = 4 niza: 0000, 0001,
1000 i 1111 (ovi nizovi odgovaraju rasporedu deqaka i devojqica sa Slike 4.5, pri qemu
svakoj 1 odgovara deqak, a 0 devojqica – to je sledea kombinatorna interpretacija).
Oznaqimo broj ovakvih nizova sa e(n). Pokaжimo da ovih nizova ima bax a(n + 1), tj. da
vaжi e(n) = a(n+ 1).
Odredimo koliko ima ovakvih nizova duжine n + 1. Ako ti nizovi poqiƬu sa 1 ima ih
e(n). Ako poqiƬu sa 0 ima ih e(n)− e(n− 1)+ e(n− 3) – od nizova koji poqiƬu sa 0 i nakon
toga nemaju 1 ili 2 uzastopne 0
(
Ƭih ima e(n)
)
moramo oduzeti nizove koji poqiƬu sa 01
i nakon toga nemaju 1 ili 2 uzastopne 0
(
Ƭih ima e(n − 1)), ali moramo dodati i nizove
koji poqiƬu sa 0001 (jer u nizovima duжine n nema onih koji poqiƬu sa 001) i nakon toga
nemaju 1 ili 2 uzastopne 0
(
Ƭih ima e(n− 3)). Tako smo dobili rekurentnu jednaqinu
e(n+ 1) = e(n) + e(n)− e(n− 1) + e(n− 3) = 2e(n)− e(n− 1) + e(n− 3).
Poqetni uslovi su e(1) = 1 (1), e(2) = 1 (11), e(3) = 2 (000 i 111), e(4) = 4 (0000, 0001, 1000
i 1111). Kako e(n) zadovoƩava istu rekurentnu jednaqinu kao i a(n), a poqetni uslovi su
pomereni za 1: e(1) = a(2) = 1, e(2) = a(3) = 1, e(3) = a(4) = 2, e(4) = a(5) = 4, dobijamo da
vaжi e(n) = a(n+ 1).
Do ovog rezultata smo mogli da doemo i pomou konaqnog automata sa Slike 4.6.
• Ovaj niz Gaj naziva twopins sequence. Konvej i Gaj (eng. John H. Conway, Richard K. Guy) u
[14][str. 205] daju jox jednu kombinatornu interpretaciju – a(n+1) je broj naqina da se n
dece rasporedi u vrstu tako da devojqice idu u grupama od bar po 3 zajedno. Na Slici 4.5
su prikazana sva a(5) = 4 rasporeda qetvoro dece u vrstu.
Slika 4.5: a(5) = 4 rasporeda 4 dece u vrstu, sa devojqicama u grupama od bar 3.
• a(n+3) je broj nizova bitova duжine n koji izbegavaju i 010 i 0110 (oznaqimo broj takvih
nizova sa i(n)
)
.
Npr. za n = 3 otpada samo 010, pa imamo i(3) = a(6) = 7 = 23 − 1 nizova, dok za n = 4
otpadaju 0010, 0100, 0101, 0110, 1010, pa imamo i(4) = a(7) = 11 = 24 − 5 nizova.
Do rezultata da je i(n) = a(n+ 3) moжemo doi pomou konaqnog automata sa Slike 4.7.
0 1
0
1 01
0,1
1 0
e f g
h Q 0 0 0
1 11 0
0
i j k l
Q
Slika 4.6: Automat za niz e(n). Slika 4.7: Automat za niz i(n).
• a(n) =
⌊n
4
⌋∑
k=0
(
n−2k
2k
)
.
Ovu jednakost sa binomnim koeficijentima, najlakxe pokazujemo ako imamo na umu inter-
pretaciju sa parnim permutacijama sa ograniqeƬem −16p(i)− i61. Te permutacije imaju
samo inverzije oblika (h+ 1, h), tj. samo neki uzastopni elementi mogu zameniti mesta.
96 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
Ve smo videli da svakom nizu od n − 2k jedinica i dvojki (to je bax kompozicija na
ove sabirke) koji ima taqno 2k dvojki uzajamno jednoznaqno odgovara permutacija sa
ograniqeƬem −16p(i)− i61 koje imaju taqno 2k inverzija (zato su to parne permutacije):
ako imamo 2 na poziciji s i pre Ƭe t jedinica, onda ona odreuje inverziju (s+ t+1, s+ t).
Ilustrujmo to na primeru a(5) = 4:
permutacije 12345, 13254, 21354, 21435
kompozicije 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 2 + 2, 2 + 1 + 2, 2 + 2 + 1
nizovi 11111, 122, 212, 221,
ovde npr. 212 oznaqava da su prva 2 elementa u inverziji, zatim ide fiksna taqka, pa na
kraju jox jedna inverzija, tj. bax dobijamo permutaciju 21354.
Stoga takvih permutacija ima
(
n−2k
2k
)
.
Na kraju ovog primera osvrnuemo se na to kako od automata M2 sa Slike 4.4 koji je pre-
poznavao parne permutacije koje zadovoƩavaju uslov −1 6 p(i) − i 6 1, moжemo dobiti automat
M1 koji e prepoznavati neparne permutacije koje zadovoƩavaju uslov −16 p(i)− i6 1.
Jedina razlika je u tome xto jedino prihvatajue staƬe vixe nije a (koje ima koordinate
100P), nego b (koje ima koordinate 100N). Konaqni automat M1 je predstavƩen na Slici 4.8.
1
-1
1
-1
0
0
a c
d b
Slika 4.8. Dijagram prelaza nedeteriministiqkog automata M1.
Analogno prethodnom razmatraƬu dobijamo da je opxti qlan ovog niza jednak:
b(n) =
1
2
(Fn+1 − x(n)) .
Do ovog zakƩuqka moжemo doi i na osnovu qiƬenice da sa a(n) + b(n) brojimo sve (i parne
i neparne) permutacije koje zadovoƩavaju uslov −1 6 p(i) − i 6 1, a na osnovu Primera 3.5.1 i
Teoreme ?? imamo da je a(n) + b(n) = Fn+1.
U Tabeli 4.8 je dato prvih nekoliko qlanova nizova a(n), b(n) i Fn+1. Brojevi b(n) pred-
stavƩaju niz A024490 u Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
a(n) 1 1 1 1 2 4 7 11 17 27 44 72 117 189 305 493 798
b(n) 0 0 1 2 3 4 6 10 17 28 45 72 116 188 305 494 799
Fn+1 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597
Tabela 4.8. Veza nizova a(n), b(n) i Fn+1.
Ako uporedimo Tabelu 4.7 i Tabelu 4.8, vidimo da je niz b(n) jednak prvim razlikama niza
a(n), tj. b(n) = ∆1(n+ 1).
Niz b(n) prebrojava kompozicije broja n na sabirke iz skupa {1, 2} koje imaju neparan broj
sabiraka jednakih 2. Od onih 8 permutacija sa ograniqeƬem −1 6 p(i) − i 6 1: 12345, 12354,
12435, 13245, 13254, 21345, 21354 21435, samo je b(5) = 4 od Ƭih neparno i Ƭima odgovaraju 4
kompozicije broja n = 5 na sabirke iz skupa {1, 2} koje imaju neparan broj 2:
permutacije 12354, 12435, 13245, 21345
kompozicije 1 + 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1.
Analognim rasuivaƬem kao i malopre dobijamo da je b(n) =
⌊n−2
4
⌋∑
k=0
(
n−2k−1
2k+1
)
.
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 97
PRIMER 4.2.5. Odrediti koliko ima parnih (neparnih) permutacija koje zadovoƩavaju
uslov p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}, za sve i ∈ Nn.
RexeƬe. Sa ovim permutacijama (bez dodatnog uslova parnosti permutacije) smo se sreli
u Primeru 4.2.2. Stoga e sve biti sliqno kao tu, samo sva staƬa imaju jox jednu dodatnu
koordinatu koja vodi raquna o parnosti.
Zbog I = {−2, 0, 2} imamo da je k = 2 i r = 2, pa e staƬa automata imati k + r + 1 = 5
koordinata koje su 0 ili 1 i xestu koordinatu koja je P ili N.
Alfabet je: U = I = {−2, 0, 2}.
StaƬa konaqnog automata imaju taqno k = 2 popuƬenih koordinata (na Ƭima su upisane
1), a ostale su prazne (na Ƭima su 0). PretosledƬa koordinata je uvek prazna. PosledƬa
koordinata je P ili N. Skup staƬa konaqnog automata je S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, Q}. U
narednoj tabeli daemo vezu izmeu staƬa i popuƬenih i praznih koordinata:
staƬa a b c d e f g h i j k l Q
prvih 5 koord. 11000 11000 10100 10100 10010 10010 01100 01100 01010 01010 00110 00110
posledƬa koord. P N P N P N P N P N P N
Tabela 4.9. Skup staƬa S.
U ovom sluqaju postoji samo jedno prihvatajue staƬe a – kod Ƭega je prvih k koordinata
popuƬeno (1), ostale su prazne (0), dok je posledƬa P.
Poqetno staƬe s∗ je isto kao i jedino prihvatajue staƬe.
Funkcija prelaza F (s, x) (za x ∈ I = {−2, 0, 2} i s ∈ S) je data u Tabeli 4.10.
staƬa S
ulazi x a b c d e f g h i j k l Q
−2 Q Q Q Q Q Q a b c d g h Q
0 a b Q Q h g Q Q Q Q Q Q Q
2 e f i j k l Q Q Q Q Q Q Q
Tabela 4.10. Funkcija prelaza F (s, x).
Ovde imamo nedostiжiva staƬa c, d, i i j i Ƭih moжemo izbaciti, kao i ponor staƬe Q. Na
taj naqin dolazimo do nedeterministiqkog automata M2 koji je prikazan na Slici 4.9.
2 2
-2-2
-2
2 2
-20
0
0
0a
e
k
g
h
b
f
l
Slika 4.9. Dijagram prelaza nedeteriministiqkog automata M2.
Na osnovu Tabele 4.10(ili sa Slike 4.9) dolazimo do sistema rekurentnih jednaqina:
a(n+ 1) = a(n) + e(n),
b(n+ 1) = b(n) + f(n),
c(n+ 1) = i(n),
d(n+ 1) = j(n),
e(n+ 1) = h(n) + k(n),
f(n+ 1) = g(n) + l(n),
g(n+ 1) = a(n),
98 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
h(n+ 1) = b(n),
i(n+ 1) = c(n),
j(n+ 1) = d(n),
k(n+ 1) = g(n),
l(n+ 1) = h(n),
sa poqetnim uslovima:
a(0) = 1 i b(0) = c(0) = d(0) = e(0) = f(0) = g(0) = h(0) = i(0) = j(0) = k(0) = l(0) = 0.
Ovaj sistem se svodi na homogenu linearnu rekurentnu jednaqinu sa konstantnim koefici-
jentima:
a(n+ 1) = 2a(n)− a(n− 1) + 2a(n− 3)− 2a(n− 4) + a(n− 5)− a(n− 7),
sa poqetnim uslovima a(0) = a(1) = a(2) = a(3) = 1, a(4) = 2, a(5) = 3, a(6) = 5, a(7) = 8.
ƫena karakteristiqna jednaqina je t8 = 2t7−t6+2t4−2t3+t2−1. Ona se moжe transformisati
u
(t2 − t− 1) · (t2 − t+ 1) · (t− 1) · (t+ 1) · (t2 + 1) = 0,
odakle dobijamo rexeƬa: t1 =
1 +
√
5
2
, t2 =
1−√5
2
, t3 =
1 + i
√
3
2
i t4 =
1− i√3
2
, t5 = 1,
t6 = −1, t7 = i i t8 = −i .
UvrxtavaƬem poqetnih uslova i sa malo sreivaƬa dobijamo da je opxti qlan ovog niza
jednak:
a(n) =
1
10
(Ln+2 + y(n) + z(n)) ,
gde predstavƩa Ln+2 Lukasov broj, dok su nizovi y(n) i z(n) dati sa y(n) = 2 cos
nπ
2 + sin
nπ
2 i
z(n) = 5 ·
⌊{n+36 }
3
⌋
(ovde ⌊x⌋ oznaqava ceo deo broja x, tj. najvei ceo broj koji je maƬi od ili
jednak sa x, dok je {x} razlomƩeni deo broja x, tj. {x} = x − ⌊x⌋). Pregledniji prikaz ova 2
niza imamo ako posmatramo koje ostatke daju pri deƩeƬu sa 4, odnosno sa 6:
y(n) =


2, n ≡4 0
1, n ≡4 1
−2, n ≡4 2
−1, n ≡4 3
i z(n) =
{
5, n ≡6 0, 1, 2
0, n ≡6 3, 4, 5.
RexavaƬem rekurentne jednaqine dobili smo da je 110z(n) =
1
6 cos
nπ
3 +
√
3
6 sin
nπ
3 +
1
4 +
1
12 (−1)n, ali
smo nakon sreivaƬa sveli na gorƬi oblik koji je jednostavniji.
Prvih nekoliko qlanova niza a(n) je dato u Tabeli 4.11. Ovi brojevi qine niz A242073 u
Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
a(n) 1 1 1 1 2 3 5 8 13 20 32 52 85 137 221 357 578
Tabela 4.11. Niz a(n), tj. A242073.
Na osnovu automata M2 (sa Slike 4.9) vidimo da se sve zatvorene xetƬe sa poqetkom i
krajem u a sastoje od sledeih xetƬi (duжina 1, 3 i 4):
a−a, b−b (duж. 1), a−e−h−b, b−f−g−a (duж. 3), a−e−k−g−a, b−f−l−h−b (duж. 4).
Primetimo da nakon svake xetƬe a − e − h − b duжine 3 mora da sledi i xetƬa b − f − g − a
duжine 3 (ne mora odmah, jer tu mogu doi xetƬe b − b duжine 1 i b − f − l − h − b duжine
4). Na osnovu toga sledi da moжemo uspostaviti bijekciju izmeu parnih permutacija koje
zadovoƩavaju uslov p(i) − i ∈ {−2, 0, 2}, za i ∈ Nn i kompozicija broja n na sabirke iz skupa
{1, 3, 4} koje imaju paran broj 3.
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 99
Npr. ako je n = 7 imamo a(7) = 8 parnih permutacija sa ograniqeƬem −16 p(i)− i6 1 i Ƭima
odgovara 8 kompozicija broja n = 7 na sabirke iz skupa {1, 3, 4} koje imaju paran broj 3:
permutacije 1234567, 1236745, 1256347, 1432765,
kompozicije 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 4, 1 + 1 + 4 + 1, 1 + 3 + 3,
permutacije 1452367, 3214765, 3216547, 3412567
kompozicije 1 + 4 + 1 + 1, 3 + 1 + 3, 3 + 3 + 1, 4 + 1 + 1 + 1.
Ako u automatu M2 promenimo da je jedino prihvatajue staƬe b (koje ima koordinate
11000N), dobijamo nedeterministiqki automat M1 koji prepoznaje neparne permutacije koje
zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}, za sve i ∈ Nn. Automat M1 je prikazan na Slici 4.10.
2 2
-2-2
-2
2 2
-20
0
0
0a
e
k
g
h
b
f
l
Slika 4.10. Dijagram prelaza nedeteriministiqkog automata M1.
Na osnovu ovog automata sledi da moжemo uspostaviti bijekciju izmeu neparnih permutacija
koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}, za i ∈ Nn i kompozicija broja n na sabirke iz skupa
{1, 3, 4} koje imaju neparan broj 3.
Npr. ako je n = 7 imamo b(7) = 7 neparnih permutacija sa ograniqeƬem −16p(i)− i61 i Ƭima
odgovara 7 kompozicija broja n = 7 na sabirke iz skupa {1, 3, 4} koje imaju neparan broj 3:
permutacije 1234765, 1236547, 1254367,
kompozicije 1 + 1 + 1 + 1 + 3, 1 + 1 + 1 + 3 + 1, 1 + 1 + 3 + 1 + 1,
permutacije 1432567, 3214567, 3216745, 3412765
kompozicije 1 + 3 + 1 + 1 + 1, 3 + 1 + 1 + 1 + 1, 3 + 4, 4 + 3.
Sliqnim rezonom kao za a(n) moжemo dobiti i formulu za b(n), xto je broj neparnih per-
mutacija koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}, za i ∈ Nn:
b(n) =
1
10
(Ln+1 + y(n)− z(n)) .
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
b(n) 0 0 0 1 2 3 4 7 12 20 32 52 84 136 220 357 578
Tabela 4.12. Niz b(n), tj. A242074.
Prvih nekoliko qlanova niza b(n) je dato u Tabeli 4.12. Ovi brojevi qine niz A242074 u
Enciklopediji celobrojnih nizova [43].
PRIMER 4.2.6. Odrediti koliko ima n-varijacija skupa Nn+2 koje zadovoƩavaju ograniqeƬe
p(i)− i ∈ {−1, 2}, za sve i ∈ Nn.
RexeƬe. Opet emo konstruisati odgovarajui automat M . U ovom sluqaju imamo k = 1,
r = 2 i t = 2 (zbog Nn+2), pa e staƬa imati k+ r+1 = 4 koordinate od kojih su k = 2 jednake 1;
prihvatajua su sva staƬa koja imaju 0 od k + t + 1 = 4 do k + r + 1 = 4 koordinate, tj. na 4.
koordinati (a to su sva staƬa iz S).
Alfabet je U = I = −1, 2.
Skup staƬa konaqnog automata je S = {a, b, c, d, e, f, g,Q}. U narednoj tabeli daemo vezu
izmeu staƬa i popuƬenih i praznih koordinata:
100 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
staƬa a b c d e f g Q
koordinate 1000 0100 0010 1010 1100 0110 1110
Tabela 4.13. Skup staƬa S.
Poqetno staƬe je a. Sva staƬa izuzev Q su prihvatajua staƬa.
Funkcija prelaza F (s, x) (za x ∈ U = {−1, 2} i s ∈ S) je data u Tabeli 4.14.
staƬa S
ulazi x a b c d e f g Q
−1 Q a b Q Q e Q Q
2 c d f f d g g Q
Tabela 4.14. Funkcija prelaza F (s, x).
Konaqni automat M je prikazan na Slici 4.11.
2
-1 2
-1
2
2
2
-1
2
2
a b
c
d e
f g
Slika 4.11. Dijagram prelaza konaqnog automata M .
Na osnovu Tabele 4.14 (ili sa Slike 4.11) dolazimo do sistema rekurentnih jednaqina:
a(n+ 1) = c(n),
b(n+ 1) = a(n) + d(n),
c(n+ 1) = b(n) + f(n),
d(n+ 1) = f(n),
e(n+ 1) = d(n),
f(n+ 1) = e(n) + g(n),
g(n+ 1) = g(n),
sa poqetnim uslovima:
a(0) = b(0) = c(0) = d(0) = e(0) = f(0) = g(0) = 1.
Iz posledƬe 4 jednaqine dobijamo da je
f(n) =
⌊
n+ 5
3
⌋
(ovde ⌊x⌋ oznaqava ceo deo broja x, tj. najvei ceo broj koji je maƬi od ili jednak sa x).
DaƩe, iz prve i tree jednaqine dobijamo rekurentnu vezu a(n+ 2) = b(n) + f(n), a iz druge
b(n+ 2) = a(n+ 1) + f(n), odakle dobijamo a(n+ 3) = a(n) + f(n+ 1) + f(n− 1).
Na osnovu toga dobijamo da je opxti qlan niza:
a(n) =


k2, n = 3k − 3
k2, n = 3k − 2
k · (k + 1), n = 3k − 1.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
b(n) 1 1 2 4 4 6 9 9 12 16 16 20 25 25 30 36 36 42
Tabela 4.15. Niz a(n), tj. pomereni A008133.
4. PRIMENE KONAQNIH AUTOMATA 101
Prvih nekoliko qlanova niza a(n) je dato u Tabeli 4.15. Ovi brojevi predstavƩaju pomeren
niz A008133 u Enciklopediji celobrojnih nizova [43]
(
a(n) = A008133(n+ 3), tj. pomeren je za 3
qlana u levo
)
.
PRIMER 4.2.7. Odrediti koliko ima n-varijacija skupa Nn+1 koje zadovoƩavaju ograniqeƬe
p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}, za sve i ∈ Nn.
RexeƬe. U ovom sluqaju imamo k = 2, r = 2 i t = 1 (zbog Nn+1). Opet emo konstruisati
odgovarajui automat M .
Alfabet je U = I = −2, 0, 2.
Skup staƬa konaqnog automata je S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, Q}. U narednoj tabeli daemo vezu
izmeu staƬa i popuƬenih i praznih koordinata:
staƬa a b c d e f g h i Q
koordinate 11000 10010 01100 00110 11010 01110 11100 10110 11110
Tabela 4.16. Skup staƬa S.
Poqetno staƬe je a. StaƬa a, c i g su prihvatajua staƬa (zato xto i na 4. i na 5. koordinati
imaju 0).
Funkcija prelaza F (s, x) (za x ∈ U = {−2, 0, 2} i s ∈ S) je data u Tabeli 4.17.
staƬa S
ulazi x a b c d e f g h i Q
−2 Q Q a c Q g Q Q Q Q
0 a c Q Q g Q Q Q Q Q
2 b d e f h i e f i Q
Tabela 4.17. Funkcija prelaza F (s, x).
Konaqni automat M je prikazan na Slici 4.12.
2
0
2
-2
2
-2
2
2
-2
2
20 2
0
2
ia b
c
d
e
f
g
h
Slika 4.12. Dijagram prelaza konaqnog automata M .
Ponor staƬe i moжemo izostaviti (kao i rekurentnu jednaqinu koju dobijamo na osnovu
Ƭega – iz Ƭe bi dobili da je i(n) = 0). Na osnovu Tabele 4.17 (ili sa Slike 4.12) dolazimo do
sistema rekurentnih jednaqina:
a(n+ 1) = a(n) + b(n),
b(n+ 1) = c(n) + d(n),
c(n+ 1) = a(n) + e(n),
d(n+ 1) = c(n) + f(n),
e(n+ 1) = g(n) + h(n),
f(n+ 1) = g(n),
g(n+ 1) = e(n),
g(n+ 1) = f(n),
102 4.2. PREBROJAVAƫE PERMUTACIJA POMOU AUTOMATA
sa poqetnim uslovima:
a(0) = c(0) = g(0) = 1 i b(0) = d(0) = e(0) = f(0) = h(0) = 0.
Sada emo pomou funkcija generatrisa prei sa sistema rekurentnih jednaqina na sistem
linearnih jednaqina: nizovima koji su oznaqeni malim latiniqnim slovima pridruжiemo
funkcije generatrise sa istim velikim slovima (na primer a(n) ↔ A(z), b(n) ↔ B(z), itd.).
Tako dobijamo sledei sistem:
A(z)− 1
z
= A(z) +B(z),
B(z)
z
= C(z) +D(z),
C(z)− 1
z
= A(z) + E(z),
D(z)
z
= C(z) + F (z),
E(z)
z
= G(z) +H(z),
F (z)
z
= G(z),
G(z)− 1
z
= E(z),
H(z)
z
= F (z).
Ovo je sistem linearnih jednaqina
(
po promenƩivim A(z), B(z), . . . , H(z)
)
i kada ga reximo
dobijamo deo rexeƬa koje nama treba:
A(z) =
1 + z3
1− z − z2 − 2z4 + 2z5 + z6 + z7 + z8 .
Iz imenioca ove funkcije generatrise 1−z−z2−2z4+2z5+z6+z7+z8, moжemo dobiti linearnu
rekurentnu jednaqinu sa konstantnim koeficijentima koju traжeni niz a(n) zadovoƩava:
a(n+ 8)− a(n+ 7)− a(n+ 6)− 2a(n+ 4) + 2a(n+ 3) + a(n+ 2) + a(n+ 1) + a(n) = 0, tj.
a(n+ 8) = a(n+ 7) + a(n+ 6) + 2a(n+ 4)− 2a(n+ 3)− a(n+ 2)− a(n+ 1)− a(n).
Broj n-varijacija skupa Nn+1, an, koje zadovoƩavaju uslov p(i) − i ∈ {−2, 0, 2}, za sve i ∈ Nn
je u potpunosti odreen svojom funkcijom generatrise A(z). Na osnovu Ƭe moжemo dobiti i
prvih nekoliko qlanova ovog niza:
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . .
an 1 1 2 4 8 12 21 35 60 96 160 . . .
Tabela 4.18: Broj n-varijacija skupa Nn+1 koje zadovoƩavaju uslov p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}.
Ovo je niz A242072 u [43].
Literatura
[1] V. Baltic´, ”Applications of the finite state automata in the enumerative combinatorics”, Proceedings of
XXXVI Symposium on Operational Research, Ivanjica (2009), pp 155-158.
[2] V. Baltic´, ”On the Number of Certain Types of Strongly Restricted Permutations”, Applicable Analysis
and Discrete Mathematics, Vol. 4, No 1 (2010), p 119-135.
[3] V. Baltic´, ”Applications of the finite state automata for counting restricted permutations and variations”,
Yugoslav Journal of Operational Researches, 22 (2012), No 2, 183-198.
[4] V. Baltic´, ”The counting of even and odd restricted permutations with the finite state automata”,
Proceedings of XXXIX Symposium on Operational Research, Tara (2012), pp 217-220.
[5] V. Baltic´, D. Stevanovic´, ”Counting of even and odd restricted permutations”, Ars Mathematica Con-
temporanea, accepted.
[6] V. Baltic´, ”A note on the system of linear recurrence equations”, FILOMAT, submited.
[7] V. Baltic´, ”Connections between restricted permutations, compositions and subsets”, Ars Combinatoria,
submited.
[8] G.E. Bergum, V.E. Hoggat, A combinatorial problem involving recursive sequences and tridiagonal ma-
trices, The Fibonacci Quarterly 16 (1978), 113–118.
[9] N.L. Biggs, Discrete Mathematics, Oxford University Press, 1999.
[10] M. Bo´na, Combinatorics of Permutations, Chapman & Hall, 2004.
[11] R. Brualdi, D. Cvetkovic´, A combinatorial approach to matrix theory and its applications, Chapman &
Hall/CRC, 2009.
[12] C. A. Charalampides, Enumerative Combinatorics, Chapman & Hall/CRC, 2002.
[13] C.-O. Chow, T. Mansour, Counting derangements, involutions and unimodal elements in the wreath
product Cr ≀ Sn, Israel Journal of Mathematics 179 (2010) 425–448.
[14] J.H. Conway, R.K. Guy, The book of numbers, Springer-Verlag, 1995.
[15] T.H. Cormen, C.E. Leiserson, Rivest, Ronald L; Stein, Clifford, Introduction to algorithms, The MIT
Press, 2001.
[16] D. Cvetkovic´, Kombinatorna teorija matrica, Naucˇna knjiga, Beograd, 1987.
[17] D. Cvetkovic´, S. Simic´, On enumeration of certain types of sequences, Publikacije Elektrotehnicˇkog
fakulteta Univerziteta u Beogradu, serija: matematika i fizika, No 412 – No 460, (1973), 159–164.
[18] D. Cvetkovic´, M. Doob, H. Sachs, Spectra of graphs, 1979.
[19] S. Heubach and T.Mansour, Combinatorics of compositions and words, Chapman & Hall/CRC an
imprint of Taylor & Francis LLC, 2009.
103
104 LITERATURA
[20] I. Kaplansky, On a generalization of the ”proble`me des rencontres”, Amer. Math. Monthly, 46, 1939, p.
159–161.
[21] I. Kaplansky, Solution of the ”proble`me des me´nages”, Bull. Amer. Math. Soc, 49, 1943, p. 784–785.
[22] I. Kaplansky, John Riordan, The problem of the rooks and its applications”, Duke Math. J, 13, 1946, p.
259–268.
[23] S. Kitaev, Patterns in permutations and words, Springer Verlag, 2011.
[24] S. Kitaev, T. Mansour, Linear recurrences and Chebyshev polynomials, The Fibonacci Quarterly (2005),
Volume 43, No 3, 256-261.
[25] T. Kløve, Spheres of permutations under the infinity norm - Permutations with limited displacement.
Reports in Informatics, Dept. of Informatics, Univ. Bergen, Report no. 376,
Online: http://www.ii.uib.no/publikasjoner/texrap/pdf/2008-376.pdf
[26] T. Kløve, Generating functions for the number of permutations with limited displacement, The Elec-
tronic Journal of Combinatorics 16 (2009), #R104.
[27] O. Krafft, M. Schaefer, On the number of permutations within a given distance, The Fibonacci Quarterly
40 (2002), 429–434.
[28] R.M. Lagrange, Quelques re´sultats dans la me´trique des permutations, Annales Scientifiques de l’E´cole
Normale Supe´rieure, Paris, (3) t. 79, 1962, p. 199–241.
[29] D.H. Lehmer, Permutations with strongly restricted displacements, Combinatorial Theory and its appl,
II (Proc. Colloq., Balatonfured, 1969), North-Holland, Amsterdam, 1970, p. 755-770.
[30] L. Li, T. Tomoda, S. Midorikawa and T. Horibata, A Counting Formula for the Number of Permutations
with Constraints, Z. angew. Math. Mech. 76 (1996), S3, 495–496.
[31] M. Lothaire, Algebraic combinatorics on words, Cambridge University Press, 2002.
[32] Lynch, W.C, The t-Fibonacci numbers and polyphase sorting, The Fibonacci Quarterly, 8, 1970, p. 6–22.
[33] T. Mansour, Combinatorics of Set Partitions, Discrete Mathematics and its Applications, CRC Press,
Boca Raton, FL, 2012.
[34] N.S. Mendelsohn, ”The asymptotic series for a certain class of permutation problems”, Canadian J.
Math, 8, 1956, p. 234–244.
[35] N.S. Mendelsohn, ”Permutations with confined displacements”, Canadian Math. Bulletin, V.4, 1961, p.
29–38.
[36] H. Minc, Permanents, Addison–Wesley Publishing Company, 1978.
[37] A. Panholzer, On generalized Fibonacci Permutations, Journal of Information & Optimization Sciences
24 (2003), 591–610.
[38] J. Riordan, An Introduction to Combinatorial Analysis, John Wiley & Sons, Inc, 1958.
[39] R.P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Wadsworth, Vol. 1, 1986, p. 241–262.
[40] D. Stevanovi, V. Balti, S. Simi, M. iri, Diskretna matematika, DMS, Beograd
2008.
[41] M. Tetiva, Subsets that make no difference d, Mathematics Magazine 84 (2011), No 4, 300-301.
[42] I. Tomescu, Problems in combinatorics and graph theory, Wiley–Interscience Series in Discrete Mathe-
matics, New York, 1985, p. 60, p. 292–295.
[43] On-line encyclopedia of integer sequences,
http://oeis.org
5. Prilozi
5.1. Paskal i Mejpl kodovi
U ovom poglavƩu dajemo Paskal kod, kao i krai opis ulaza i izlaza naxih programa kojim
smo generisali fajlove koje smo kasnije koristili u Mejplu.
Pomou programa radperm smo napravili izvrxni fajl (exe-fajl) za prebrojavaƬe permuat-
cija sa ograniqeƬem k6 p(i)− i6 r (bez nekih dodatnih uslova). Izvrxni fajl kao ulaz traжi
2 broja, prvo n koje je ovom programu predstavƩa zbir k + r iz naxe tehnike, a zatim k i kao
izalaz daje 2 tekstualne datoteke (txt-fajlove), qija imena zavise od ulaznih podataka n i k:
MATn k.txt i SRJn k.txt. U nastavku navodimo potpun paskal kod radperm.pas:
program radperm;
{Generise matrice i sisteme rekurentnih jednacina za
izracunavanje broja permutacije koje zadovoljavaju uslov
i-k<=p(i)<=i+l te objekte koristim u Maple-u}
uses crt,dos;
type nizi=array[0..20] of integer;
nizniz=array[1..100] of nizi;
matrica=array[1..100,1..100] of byte;
var n,k,uk:integer;
komb:nizniz;
c:char;
function binkoef(m,ll:integer):integer;
begin
if (ll<=0) or (m<=ll) then binkoef:=1
else binkoef:=binkoef(m-1,ll-1)+binkoef(m-1,ll)
end;
procedure slkomb(nn,kk:integer; var kom:nizi; kraj:Boolean);
var r,s:integer;
begin
kraj:=false;
if kom[1]=nn-kk+1 then kraj:=true
else begin
s:=kk+1;
repeat
105
106 5.1. PASKAL I MEJPL KODOVI
s:=s-1
until kom[s]<nn-kk+s;
kom[s]:=kom[s]+1;
for r:=s+1 to kk do
kom[r]:=kom[r-1]+1;
end
end;
procedure genkomb(var svekomb:nizniz);
{generise sve kombinacije skupa 1..n klase k u
inverznom leksikografskom poretku
i na kraju svake napisemo jos broj n+1}
var i,j:integer;
komb:nizi;
kr:Boolean;
begin
for i:=1 to k do svekomb[uk,i]:=i;
svekomb[uk,k+1]:=n+1;
komb:=svekomb[uk];
for j:=uk-1 downto 1 do
begin
slkomb(n,k,komb,kr);
for i:=1 to k+1 do svekomb[j,i]:=komb[i];
end
end;
procedure brojkomb(brkom:integer;var kom:nizi);
var i:integer;
begin
for i:=1 to k+1 do kom[i]:=komb[brkom,i]
end;
function kombbroj(kom:nizi):integer;
var i,j,t,dg,gg:integer;
kraj,iste:Boolean;
begin
kraj:=false;
t:=n-1-kom[1];
dg:=0;
for i:=k-1 to t do dg:=dg+binkoef(i,k-1);
gg:=dg+binkoef(t+1,k-1); {gornja granica za brojac i}
dg:=dg+1; {donja granica za i}
i:=dg;
repeat
if i=gg then begin
kombbroj:=i;
kraj:=true
end
5. DODACI 107
else begin
iste:=true;
for j:=1 to k do iste:=iste and (komb[i,j]=kom[j]);
if iste then
begin
kraj:=true;
kombbroj:=i
end
end;
i:=i+1;
until kraj
end;
procedure difkomb(brkom:integer; var difk:nizi; var koldif:integer);
{za prvih binkoef(n-1,k) vrsta imamo k+1 clan, dok poslednjih
binkoef(n-1,k-1) vrsta (one sto pocinju sa 1) ima samo 1 clan! }
var i,j:integer;
kom,pomkom:nizi;
begin
brojkomb(brkom,kom);
if brkom>binkoef(n-1,k) then
begin
koldif:=1;
for i:=2 to k+1 do pomkom[i-1]:=kom[i]-1;
pomkom[k+1]:=n+1;
difk[1]:=kombbroj(pomkom)
end
else begin
koldif:=k+1;
for j:=1 to k+1 do
begin
for i:=1 to k+1 do
if i<j then pomkom[i]:=kom[i]-1
else if i>j then pomkom[i-1]:=kom[i]-1;
{ako je i=j onda ga samo preskoci jer
on po tom j "diferencira" }
pomkom[k+1]:=n+1;
difk[j]:=kombbroj(pomkom)
end
end
end;
procedure ispissvihkomb(svekomb:nizniz); {kontrolna procedura}
var i,j,inverz,kd:integer;
dt:text;
ss:string[12];
snk,srk:string[2];
108 5.1. PASKAL I MEJPL KODOVI
dif:nizi;
begin
str(n,snk);str(k,srk);
ss:=snk+’nad’+srk+’.txt’;
assign(dt,ss);
rewrite(dt);
for i:=1 to uk do
begin
inverz:=kombbroj(svekomb[i]); {daje koja je komb po redu}
difkomb(i,dif,kd); {odredjuje "izvod" kombinacije}
write(dt,i:3,’. ’);
for j:=1 to k+1 do
write(dt, svekomb[i,j]:2,’ ’);
write(dt,’ - ’,inverz:2,’ - ’); {provera rada proc kombbroj - dobro}
for j:=1 to kd do
write(dt, dif[j],’ ’); {provera rada difkomb - dobro}
writeln(dt);
end;
close(dt)
end;
procedure gmatsrj; {argumenti su joj globalne prom}
{generise matricu koja u Aˆn[1,1] daje a(n) i sistem rek. jednacina}
var i,j,inverz,kd:integer;
dts,dtm:text;
ss,sm:string[12];
snk,srk:string[2];
dif:nizi;
begin
str(n,snk);str(k,srk);
ss:=’srj’+snk+’ ’+srk+’.txt’;
assign(dts,ss);
rewrite(dts);
sm:=’mat’+snk+’ ’+srk+’.txt’;
assign(dtm,sm);
rewrite(dtm);
write(dtm,’s:=’);
write(dts,’rsolve(’);
for i:=1 to uk do
begin
write(dts,’a’,i,’(n)=’);
difkomb(i,dif,kd);
for j:=1 to kd do
begin
if i<uk then write(dtm,’(’,i,’,’,dif[j],’)=1,’)
else write(dtm,’(’,i,’,’,dif[j],’)=1’); {u zadnjem ne treba ,}
write(dts,’a’,dif[j],’(n-1)’);
5. DODACI 109
if j<kd then write(dts,’+’)
end;
write(dts,’,’)
end;
write(dts,’a1(0)=1,’);
for i:=2 to uk do
if i<uk then write(dts,’a’,i,’(0)=0,’)
else write(dts,’a’,i,’(0)=0’);
writeln(dtm,’:’);
writeln(dtm,’A:=Matrix(’,uk,’,’,uk,’,s):’);
writeln(dtm,’B:=Aˆn:’);
write(dtm,’B[1,1] $ n=1..20;’);
write(dts,’,’);
for i:=1 to uk do
if i<uk then write(dts,’a’,i,’,’)
else write(dts,’a’,i);
write(dts,’,’’genfunc’’(x));’);
close(dts);
close(dtm)
end;
begin
repeat
write(’Unesi n (k+l) ’);
readln(n);
write(’Unesi k ’);
readln(k);
{ukupno svih komb ima n nad k}
uk:=binkoef(n,k);
{n,k i uk su mi globalne promenljive u svim proc}
genkomb(komb);
{ispissvihkomb(komb); proba rada procedura}
gmatsrj;
repeat
repeat until keypressed;
c:=readkey
until ((c=’d’) or (c=’n’))
until c<>’d’
end {program}.
Rad ovog programa emo ilustrovati tako xto emo dati xta su tekstualne datoteke koje
se dobiju kao izlaz kod ulaznih podataka n = 4 i k = 2: MAT4 2.txt i SRJ4 2.txt.
MAT4 2.txt:
s:=(1,1)=1,(1,2)=1,(1,3)=1,(2,1)=1,(2,4)=1,(2,5)=1,(3,2)=1,(3,4)=1,(3,6)=1,(4,1)=1,
(5,2)=1,(6,4)=1:
A:=Matrix(6,6,s):
B:=Aˆn:
110 5.1. PASKAL I MEJPL KODOVI
B[1,1] $ n=1..20;
SRJ4 2.txt:
rsolve({a1(n)=a1(n-1)+a2(n-1)+a3(n-1),a2(n)=a1(n-1)+a4(n-1)+a5(n-1),
a3(n)=a2(n-1)+a4(n-1)+a6(n-1),a4(n)=a1(n-1),a5(n)=a2(n-1),a6(n)=a4(n-1),
a1(0)=1,a2(0)=0,a3(0)=0,a4(0)=0,a5(0)=0,a6(0)=0},{a1,a2,a3,a4,a5,a6},’genfunc’(x));
Ovi tekstualni fajlovi predstavƩaju komande u Mejplu, koje smo koristili za izraquna-
vaƬe broja permuatcija sa ograniqeƬima. Kada smo sadrжaj fajlova MAT4 2.txt i SRJ4 2.txt
ubacili u Mejpl, odredili smo broj permutacija sa ograniqeƬem −26 p(i)− i6 2 (dobili smo
i taj niz, kao i odgovarajuu funkciju generatrise):
Slika 5.1. Mejpl kod za permutacije kod kojih je −26 p(i)− i6 2.
U nastavku emo opisati uopxteƬe prethodnog programa, koje smo koristili za izraquna-
vaƬe permuatacija sa ograniqeƬima k 6 p(i) − i 6 r i p(i) − i 6∈ I. Procedure i funkcije koje
su iste kao u programu radperm neemo navoditi u potpunosti nego samo deklaraciju, bez tela
procedura. Jedina koja se razlikuje je gmatsrj i Ƭu emo dati u potpunosti, kao i ceo glavni
program.
Izvrxni fajl prvo kao ulaz traжi 2 broja, k pa r iz naxe tehnike, a zatim k xto je broj
elemenata skupa I, pa onda se unose redom svi elementi skupa I. Ovaj program kao izalaz daje
2 tekstualne datoteke (txt-fajlove), qija imena zavise od ulaznih podataka n i k: Mk r b.txt
i Sk r b.txt. Ovde b predstavƩa (decimalni broj) koji kad se predstavi u binarnom zapisu
dobijamo pozicije koje su zabraƬene. U nastavku navodimo paskal kod radperm3.pas:
program radperm;
{Generise matrice i sisteme rekurentnih jednacina za
izracunavanje broja permutacije koje zadovoljavaju uslov
-k<=p(i)-i<=l uz uslov p(i)<>m gde je m iz nekog skupa
(po tome se razlikuje od 1.pas i 2.pas)
te objekte koristim u Maple-u}
5. DODACI 111
uses crt,dos;
type nizi=array[0..20] of integer;
nizniz=array[1..100] of nizi;
matrica=array[1..100,1..100] of byte;
dijag=set of 0..20;
var n,k,l,uk,brojac,brizb,iz:integer;
komb:nizniz;
c:char;
izbac:dijag;
function binkoef(m,ll:integer):integer;
...
procedure slkomb(nn,kk:integer; var kom:nizi; kraj:Boolean);
...
procedure genkomb(var svekomb:nizniz);
...
procedure brojkomb(brkom:integer;var kom:nizi);
...
function kombbroj(kom:nizi):integer;
...
procedure difkomb(brkom:integer; var difk:nizi; var koldif:integer);
...
procedure ispissvihkomb(svekomb:nizniz); {kontrolna procedura}
...
procedure gmatsrj; argumenti su joj globalne prom
{generise matricu koja u Aˆn[1,1] daje a(n) i sistem rek. jednacina}
var i,j,inverz,kd,bin:integer;
dts,dtm:text;
ss,sm:string[12];
sl,sk:string[1];
siz:string[3]; {ovo je binarni zapis onga koji se izbacuje}
dif:nizi;
begin
bin:=0;
for i:=l downto -k do
begin
bin:=bin*2;
if (l+1-i IN izbac) then bin:=bin+1;
end;
str(l,sl);str(k,sk);str(bin,siz);
112 5.1. PASKAL I MEJPL KODOVI
ss:=’s’+sk+’ ’+sl+’ ’+siz+’.txt’;
assign(dts,ss);
rewrite(dts);
sm:=’m’+sk+’ ’+sl+’ ’+siz+’.txt’;
assign(dtm,sm);
rewrite(dtm);
write(dtm,’# k=’,k,’, l=’,l,’, izbaceni: ’);
write(dts,’# k=’,k,’, l=’,l,’, izbaceni: ’);
for i:=-k to l do if (l+1-i IN izbac) then
begin
write(dtm,i,’ ’);
write(dts,i,’ ’);
end;
writeln(dtm);writeln(dts);
write(dtm,’s:=’);
write(dts,’rsolve(’);
for i:=1 to uk do
begin
write(dts,’a’,i,’(n)=’);
difkomb(i,dif,kd);
if kd=0 then
begin
if i<uk then write(dtm,’(’,i,’,’,1,’)=0,’)
else write(dtm,’(’,i,’,’,1,’)=0’); u zadnjem ne treba ,
write(dts,’a’,i,’(n-1)’);
end
else for j:=1 to kd do
begin
if i<uk then write(dtm,’(’,i,’,’,dif[j],’)=1,’)
else write(dtm,’(’,i,’,’,dif[j],’)=1’); u zadnjem ne treba ,
write(dts,’a’,dif[j],’(n-1)’);
if j<kd then write(dts,’+’)
end;
write(dts,’,’)
end;
write(dts,’a1(0)=1,’);
for i:=2 to uk do
if i<uk then write(dts,’a’,i,’(0)=0,’)
else write(dts,’a’,i,’(0)=0’);
writeln(dtm,’:’);
writeln(dtm,’A:=Matrix(’,uk,’,’,uk,’,s):’);
writeln(dtm,’B:=Aˆn:’);
write(dtm,’B[1,1] $ n=1..40;’);
write(dts,’,’);
for i:=1 to uk do
if i<uk then write(dts,’a’,i,’,’)
5. DODACI 113
else write(dts,’a’,i);
write(dts,’,’’genfunc’’(x));’);
close(dts);
close(dtm)
end;
begin
repeat
write(’Unesi k ’);
readln(k);
write(’Unesi l ’);
readln(l);
n:=k+l;
{ukupno svih komb ima n nad k}
uk:=binkoef(n,k);
izbac:=[ ];
writeln(’Koliko el. ima skup brojeva koji su nedozvoljeni za p(i)-i? ’);
readln(brizb);
for brojac:=1 to brizb do
begin
write(brojac,’-ti broj koji je zabranjen ’);
readln(iz);
izbac:=izbac+[l+1-iz];
end;
{n,k,l,uk i izbac su mi globalne promenljive u svim proc}
genkomb(komb); {ispissvihkomb(komb); proba rada procedura}
gmatsrj;
repeat
repeat until keypressed;
c:=readkey
until ((c=’d’) or (c=’n’))
until c<>’d’
end program.
Rad ovog programa emo ilustrovati tako xto emo dati xta su tekstualne datoteke koje se
dobiju kao izlaz kod ulaznih podataka k = 2, l = 2 i I = {−1, 1}: M2 2 10.txt i S2 2 10.txt.
M2 2 10.txt:
# k=2, l=2, izbaceni: -1 1
s:=(1,1)=1,(1,3)=1,(2,5)=1,(3,4)=1,(3,6)=1,(4,1)=1,
(5,2)=1,(6,4)=1:
A:=Matrix(6,6,s):
B:=Aˆn:
B[1,1] $ n=1..40;
S2 2 10.txt:
# k=2, l=2, izbaceni: -1 1
rsolve({a1(n)=a1(n-1)+a3(n-1),a2(n)=a5(n-1),a3(n)=a4(n-1)+a6(n-1),a4(n)=a1(n-1),
114 5.1. PASKAL I MEJPL KODOVI
a5(n)=a2(n-1),a6(n)=a4(n-1),a1(0)=1,a2(0)=0,a3(0)=0,a4(0)=0,a5(0)=0,a6(0)=0},
{a1,a2,a3,a4,a5,a6},’genfunc’(x));
Opet ovi tekstualni fajlovi predstavƩaju komande u Mejplu, koje smo koristili za izraqu-
navaƬe broja permuatcija sa ograniqeƬima. Kada smo sadrжaj fajlova M2 2 10.txt i
S2 2 10.txt ubacili u Mejpl, odredili smo broj permutacija sa ograniqeƬem −26 p(i)− i6 2,
uz dodatan uslov p(i) − i 6∈ {−1, 1}, tj. permutacije za koje vaжi p(i)− i ∈ {−2, 0, 2} (dobili smo
i taj niz, kao i odgovarajuu funkciju generatrise):
Slika 5.2. Mejpl kod za permutacije kod kojih je p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}.
5. DODACI 115
5.2. Prilozi u Enciklopediji celo-
brojnih nizova
U ovom poglavƩu navodimo nizove brojeva permutacija sa ograniqeƬima koje zadovoƩavaju
uslove −k6p(i)− i6r i p(i)− i 6∈ I. ƫih smo odredili pomou Mejpl programa koji su bazirani
na naxoj tehnici, dodali u Slounovu enciklopediju celobrojnih nizova [43] (eng. Sloane’s online
encyclopedia of integer sequences). U tabelama, kao i ispod slike svakog od ovih nizova emo
navesti ime niza u enciklopediji (poqiƬu sa A i zatim sledi xestocifren broj), kao i koje
su vrednosti k, r i I koje ga odreuju (ukoliko I nije navedeno, podrazumevamo da je I = ∅).
p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}
116 5.2. PRILOZI U ENCIKLOPEDIJI CELOBROJNIH NIZOVA
5.2.1. Novi nizovi u Enciklopediji celobrojnih nizova
Veliki broj nizova smo pridodali u Enciklopediju celobrojnih nizova. U narednoj tabeli
dajemo ime postojeeg niza, kao i koja ograniqeƬa su u odgovarajuim permutacijama. U tabeli
su nizovi sortirani prema Ƭihovom imenu.
niz ograniqeƬa
A072827 k = 2, r = 3
A072850 k = 2, r = 4
A072852 k = 2, r = 5
A072853 k = 2, r = 6
A072854 k = 3, r = 4
A072855 k = 3, r = 5
A072856 k = 4, r = 4
A079816 k = 1, r = 5, I = {1}
A079955 k = 1, r = 5, I = {0, 2, 3}
A079956 k = 1, r = 5, I = {0, 1, 4}
A079957 k = 1, r = 5, I = {0, 1, 3}
A079958 k = 1, r = 5, I = {3, 4}
A079959 k = 1, r = 5, I = {2, 4}
A079960 k = 1, r = 5, I = {2, 3}
A079961 k = 1, r = 5, I = {1, 4}
A079962 k = 1, r = 5, I = {1, 3}
A079963 k = 1, r = 5, I = {1, 2}
A079964 k = 1, r = 5, I = {0, 4}
A079965 k = 1, r = 5, I = {0, 3}
A079966 k = 1, r = 5, I = {0, 2}
A079967 k = 1, r = 5, I = {4}
A079968 k = 1, r = 5, I = {3}
A079969 k = 1, r = 5, I = {2}
A079971 k = 1, r = 4, I = {2, 3}
A079972 k = 1, r = 4, I = {1, 2}
A079973 k = 1, r = 4, I = {0, 3}
A079974 k = 1, r = 4, I = {0, 2}
A079975 k = 1, r = 4, I = {3}
A079976 k = 1, r = 4, I = {2}
A079977 k = 1, r = 3, I = {0, 2}
A079978 k = 1, r = 2, I = {0, 1}
A079979 k = r = 3, I = {−2,−1, 0, 1, 2}
A079980 k = r = 3, I = {−2, 0, 1, 2}
A079981 k = r = 3, I = {−2, 0, 1, 2}
A079982 k = r = 3, I = {−1, 0, 1, 2}
A079983 k = r = 3, I = {−2, 1, 2}
A079984 k = r = 3, I = {−1, 1, 2}
A079985 k = r = 3, I = {−1, 0, 1}
A079986 k = r = 3, I = {−2, 0, 2}
niz ograniqeƬa
A079987 k = r = 3, I = {−1, 0, 2}
A079988 k = r = 3, I = {0, 1, 2}
A079989 k = r = 3, I = {1, 2}
A079990 k = r = 3, I = {−1, 2}
A079991 k = r = 3, I = {−1, 1}
A079992 k = r = 3, I = {−2, 2}
A079993 k = r = 3, I = {0, 2}
A079994 k = r = 3, I = {0, 1}
A079995 k = r = 3, I = {2}
A079996 k = r = 3, I = {1}
A079997 k = r = 3, I = {0}
A079998 k = 2, r = 3, I = {−1, 0, 1, 2}
A079999 k = 2, r = 3, I = {0, 1, 2}
A080000 k = 2, r = 3, I = {−1, 1, 2}
A080001 k = 2, r = 3, I = {−1, 0, 2}
A080002 k = 2, r = 3, I = {−1, 0, 1}
A080003 k = 2, r = 3, I = {1, 2}
A080004 k = 2, r = 3, I = {−1, 2}
A080005 k = 2, r = 3, I = {−1, 1}
A080006 k = 2, r = 3, I = {0, 2}
A080007 k = 2, r = 3, I = {0, 1}
A080008 k = 2, r = 3, I = {−1, 0}
A080009 k = 2, r = 3, I = {2}
A080010 k = 2, r = 3, I = {1}
A080011 k = 2, r = 3, I = {−1}
A080012 k = 2, r = 3, I = {0}
A080013 k = r = 2, I = {0, 1}
A080014 k = r = 2, I = {1}
A224808 k = 2, r = 6, I = {−2, 0, 6}
A224809 k = 2, r = 4, I = {−2, 0, 4}
A224810 k = 3, r = 6, I = {−3, 0, 6}
A224811 k = 2, r = 8, I = {−2, 0, 8}
A224812 k = 2, r = 10, I = {−2, 0, 10}
A224813 k = 2, r = 12, I = {−2, 0, 12}
A224814 k = 3, r = 9, I = {−3, 0, 9}
A224815 k = 4, r = 8, I = {−4, 0, 8}
A242072 n-varij. iz Nn+1, p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}
A242073 parne, p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}
A242074 neparne, p(i)− i ∈ {−2, 0, 2}
Tabela 5.1. Novi nizovi u Enciklopediji.
Prva 2 od ovih nizova su predstavƩeni na narednim slikama (kako u potpunosti izgledaju
u Enciklopediji celobrojnih nizova).
5. DODACI 117
Slika 5.3. Niz A072827 – k = 2, r = 3.
118 5.2. PRILOZI U ENCIKLOPEDIJI CELOBROJNIH NIZOVA
Slika 5.4. Niz A072850 – k = 2, r = 4.
5. DODACI 119
5.2.2. Komentari na postojee nizove u Enciklopediji
Pored novouvedenih nizova, koji su opisani u prethodnom potpoglavƩu, dali smo i komentare,
formule ili dodali jox novih qlanova (vezane za permutacije sa ograniqeƬima) na nekolicinu
postojeih nizova. U narednoj tabeli dajemo ime postojeeg niza, kao i koja ograniqeƬa su u
odgovarajuim permutacijama. U tabeli su nizovi sortirani prema Ƭihovom imenu.
niz ograniqeƬa
A000073 k = 1, r = 2
A000078 k = 1, r = 3
A001591 k = 1, r = 4
A001592 k = 1, r = 5
A001883 |p(i)− i| > 1
A001887 p(i)− i 6= 0, 1, 2
A003269 k = 1, r = 3, I = {1, 2}
A006498 k = 1, r = 3, I = {1}
A006500 k = r = 3, I = {−2,−1, 1, 2}
A017817 k = 1, r = 3, I = {0, 1}
A060945 k = 1, r = 3, I = {2}
A075851 |p(i)− i| > 2
A075852 |p(i)− i| > 3
A078509 p(i)− i 6= 1, 2
A121262 k = 1, r = 3, I = {0, 1, 2}
Tabela 5.2. Komentarisani nizovi u Enciklopediji.
120 5.3. Biografija autora
5.3. Biografija autora
Vladimir (Milorad) Balti roen je 8. septembra 1973. godine u Beogradu.
Zavrxio je 1987. godine kao ak generacije osnovnu xkolu ”Braa Ribar” i nosilac je
Vukove diplome.
Zavrxio je 1991. godine beogradsku Matematiqku gimnaziju. Tokom sredƬe xkole iz matem-
atike je uqestvovao na sva qetiri savezna takmiqeƬa (u I razredu je bio peti, a od II do IV
je bio prvi u SFRJ), a 1990. i 1991. plasirao se na Balkanijade u Bugarskoj i Rumuniji
(druga i trea nagrada) i Matematiqke Olimpijade u Kini i Xvedskoj (dve bronzane medal-
je). Zbog tih rezultata je dobio Novembarsku nagradu (1989.) i Oktobarsku nagradu grada
Beograda za stvaralaxtvo mladih (1990.). Tokom studija matematike uqestvovao je na nekoliko
meunarodnih takmiqeƬa, uvek osvajajui nagrade.
Od 4. - 30. jula 1995. je uzeo uqexe u ”LetƬem istraжivaqkom programu” koji je bio
odrжan na UIC-u (The University of Illinois at Chicago). U periodu od 10. X do 8. XII 1995.
je boravio na struqnoj praksi u Brazilu (drжava Sao Paolo) na Drжavnom Univerzitetu u
Kampinasu.
Na Matematiqkom fakultetu u Beogradu je xkolske 1993/94. upisao smer ”Teorijska matem-
atika i primene” na kome je diplomirao 5. septembra 1997. sa prosekom 9,97. Na Elek-
trotehniqkom fakultetu u Beogradu je magistrirao 23. juna 2008. sa proseqnom ocenom 10,00
na tezi ”Invarijante grafova sa primenama” kod prof. dr Slobodana Simia kao mentora
(formalni mentor je bio prof dr Zoran RadosavƩevi).
Od 1997. do 1999. radio je na Matematiqkom fakultetu u Beogradu (1997/8 i honorarno
na Elektrotehniqkom fakultetu u Beogradu). Xkolske 1999/2000. je dobio mesto asisten-
ta pripravnika na Tehnoloxko-metalurxkom fakultetu u Beogradu. Xkolske 2001/2002. i
2002/2003. je drжao veжbe na Tehnoloxko-metalurxkom fakultetu i radio honorarno na
Ekonomskom fakultetu. Od februara 2003. do 2007. je bio zaposlen na Ekonomskom fakul-
tetu u Beogradu. Od oktobra 2007. je zaposlen kao asistent na Fakultetu organizacionih
nauka u Beogradu.
Od 1991. godine aktivno uqestvuje u radu Republiqke komisije za takmiqeƬa sredƬoxko-
laca. Od 2003. do 2005. je bio i predsednik te Komisije.
U junu 2004. je bio jedan od koordinatora (pregledaqa) na VIII Juniorskoj balkanskoj matem-
atiqkoj Olimpijadi u Novom Sadu. U julu 2006. je bio jedan od koordinatora (pregledaqa) na
XLVII Meunarodnoj matematiqkoj olimpijadi u Sloveniji.
Od 2003. godine je qlan redakcije matematiqkog qasopisa ”Tangenta”. Tokom 2008. go-
dine napravio je pratee slajdove za u
benik autora Riqarda Brualdija (Riqard Brualdi) i
Dragoxa Cvetkovia ”A COMBINATORIAL APPROACH TO MATRIX THEORY AND ITS APPLI-
CATIONS” u izdaƬu Chapman & Hall/CRC Taylor & Francis Group, 2009.
Tokom 2002. i 2003. u Slounovoj enciklopediji celobrojnih nizova je doprineo sa 60
originalnih nizova (A072827,A072850,A072852-A072856,A079955-A080014), kao i mnoxtvom
komentara, ispravki, proxireƬa, dokaza i referenci u ve postojeim.
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
Na osnovu Ƭegovog rada sa Vladetom Jovoviem je marta 2004. godine postavƩen problem
meseca na IBM-ovom sajtu:
http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr ponder.nsf/challenges/March2004.html
Od 2002. do 2005. godine je uqestvovao na projektu 1625 ”Nove matematiqke metode za
kriptografsku zaxtitu i modelovaƬe informacija” (rukovodilac dr Miodrag MihaƩevi)
Ministarstva za nauku, tehnologije i razvoj. Tokom 2006. godine je uqestvovao na pro-
jektu 8061 ”Modularni softverski paket za digitalizaciju teksta sa multijeziqkim inter-
fejsom” (rukovodilac dr Ivan Aranelovi) Ministarstva za nauku, tehnologije i razvoj.
Pored toga bio je nosilac i uqesnik vixe projekata iz metodike nastave u periodu od 2007.
do 2010. sa Ivanom Aniem, Mihajlom VeƩkoviem, Vladimirom Stojanoviem, BogoƩubom
Marinkoviem.
Oжenio se 30. IX 2007. godine u crkvi Lazarici u Kruxevcu. Supruga Marija (lekar) mu
je podarila erku Aneliju 15. IX 2008. i sina Marka 15. IX 2011.
5. DODACI 121
5.3.1. Bibliografija
Vladimir Balti je autor sledeih nauqnih radova:
1. Vladimir Baltic´, Slobodan Simic´, Velibor Tintor, Some Remarks on Graph Equation G2 = G, Pub-
likacije Elektrotehnichkog fakulteta - serija Matematika, br. 5, (1994), p. 43-48.
(Taj rad je citiran u: Marcus Schaefer, Daniel Stefankovich, Solvability of Graph Inequalities, SIAM.
Journal on Discrete Mathematics, 19, (2005), pp. 728-743.)
2. Slobodan Simic´, Ivan Gutman, Vladimir Baltic´, Some Graphs with extremal Szeged Index, Mathe-
matica Slovaca, 50, No. 1, (2000),p 1-15. (5 citata)
3. Vladimir Baltic´, Applications of the finite state automata in the enumerative combinatorics, Pro-
ceedings of XXXVI Symposium on Operational Research, Ivanjica (2009), pp 155-158.
4. Vladimir Baltic´, On the number of certain types of strongly restricted permutations, Applicable
Analysis and Discrete Mathematics, Vol. 4, No 1 (2010), p 119-135.
5. Vladimir Baltic´, ”Applications of the finite state automata for counting restricted permutations and
variations”, Yugoslav Journal of Operational Researches, 22 (2012), No 2, 183-198.
6. Vladimir Baltic´, ”The counting of even and odd restricted permutations with the finite state au-
tomata”, Proceedings of XXXIX Symposium on Operational Research, Tara (2012), pp 217-220.
Prihvaeni ili poslati u qasopise:
7. Vladimir Baltic´, Dragan Stevanovic´, ”Counting of even and odd restricted permutations”, Ars
Mathematica Contemporanea, accepted.
8. Vladimir Baltic´, ”A note on the system of linear recurrence equations”, FILOMAT, accepted.
9. Vladimir Baltic´, ”Connections between restricted permutations, compositions and subsets”, Ars
Combinatoria, submited.
Vladimir Balti je autor sledeih kƬiga:
1. Branislav Boriqi, Miodrag Ivovi, Dragan Azdejkovi, Jelena Stanojevi, Vladimir
Balti, Zbirka zadataka iz Matematike (za studente Ekonomskog fakulteta), Ekonomski
fakultet, Beograd 2003, 2004, 2005. i 2006.
2. Dragan Stevanovi, Marko Miloxevi, Vladimir Balti, DISKRETNA MATEMATI-
KA - osnove kombinatorike i teorije grafova, zbirka zadataka, Druxtvo matematiqara
Srbije (Materijali za mlade matematiqare, sveska 43), Beograd 2004.
3. Vladimir Balti, Duxan uki, ore Krtini, Ivan Mati, PRIPREMNI ZADACI
za matematiqka takmiqeƬa srednoxkolaca u Srbiji, zbirka zadataka, Druxtvo matem-
atiqara Srbije (Materijali za mlade matematiqare, sveska 49), Beograd 2008.
4. Dragan Stevanovi, Vladimir Balti, Slobodan Simi, Miroslav iri, DISKRET-
NA MATEMATIKA, Osnovi kombinatorike i teorije grafova, univerzitetski u
benik,
Druxtvo matematiqara Srbije, Beograd 2008.
5. Mirjana Qangalovi, Vesna Manojlovi, Vladimir Balti, DISKRETNE MATEM-
ATIQKE STRUKTURE, univerzitetski u
benik, FON, Beograd 2009, 2014.
6. Vladimir Balti, DISKRETNE MATEMATIQKE STRUKTURE - zbirka ispitnih i do-
maih zadataka iz 2008. i 2009. godine, FON, Beograd 2010.
7. Vladimir Balti, Olivera Mihi, METODIQKA ZBIRKA REXENIH ZADATAKA IZ
MATEMATIKE 1, FON, Beograd 2010.
8. Mirjana Qangalovi, Vesna Manojlovi, Vladimir Balti, DISKRETNE MATEM-
ATIQKE STRUKTURE, zbirka zadataka, FON, Beograd 2014. (u pripremi)
122 5.3. Biografija autora
Na nauqnim skupovima je imao sledea saopxteƬa (sva samostalna):
1. Different Methods for solving a Combinatorial Problem, PRIM 2004, Budva, 31. maj – 4. jun 2004.
2. Different Methods for solving a Geometricial Problem, XI Kongres matematiqara SCG, Petrovac,
28. septembar – 3. oktobar 2004.
3. ”On the number of certain types of restricted permutations”, MAGT (International Mathematical
Conference MAGT - Topics in Mathematical Analysis and Graph Theory), Beograd, 1.–4. septembar
2006.
4. Different Approaches to Enumeration of Restricted Permutations, BALCOR 2007, Beograd - Zlat-
ibor, 17. septembar 2007.
5. ”Connections between restricted permutations and Fibonacci numbers”, XII Kongres matematiqara
Srbije, Novi Sad, 28. avgust – 2. septembar 2008.
6. ”Various methods for counting the number of restricted permutations”, ”The 3rd NOVI SAD ALGE-
BRAIC CONFERENCE”, Novi Sad, 16.–21. avgust 2009.
7. ”Applications of the finite state automata in the enumerative combinatorics”, SYMOPIS 2009, Iva-
Ƭica, 21.–25. septembar 2009.
8. Razliqiti pristupi prebrojavaƬu permutacija sa ograniqeƬima, Matematiqke i informa-
cione tehnologije – MIT 2011, VrƬaqka BaƬa, 28.–31. avgust 2011.
9. ”The counting of even and odd restricted permutations with the finite state automata”, SYMOPIS
2012, Tara, 25.–28. septembar 2012.
10. Applications of the Finite State Automata for Counting Subsets with Forbidden Differences, BALCOR
2013, Beograd - Zlatibor, 8. septembar 2013.
5. DODACI 123
5.4. Izjave autora
Na narednih nekoliko strana staviemo nekoliko izjava autora, kao i rezime teze (na srpskom
i engleskom) sa odgovarajuim podacima o tezi:
• Izjava o autorstvu
• Izjava o istovetnosti xtampane i elktronske verzije doktorske disertacije
• Izjava o korixeƬu
• Rezime na srpskom jeziku
• Rezime na engleskom jeziku.



Прилог 4/1 
ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ 
НИШ
 
КЉУЧНА ДОКУМЕНТАЦИЈСКА ИНФОРМАЦИЈА 
 
 
Редни број, РБР:  
Идентификациони број, ИБР:  
Тип документације, ТД: монографска 
Тип записа, ТЗ: текстуални  /  графички 
Врста рада, ВР: докторска  дисертација 
Аутор, АУ: Владимир М. Балтић 
Ментор, МН: Драган П. Стевановић 
Наслов рада, НР: Пермутације са ограничењима 
Језик публикације, ЈП: српски 
Језик извода, ЈИ: енглески 
Земља публиковања, ЗП: Србија 
Уже географско подручје, УГП: Србија 
Година, ГО: 2014. 
Издавач, ИЗ: ауторски репринт 
Место и адреса, МА: Ниш, Вишеградска 33. 
Физички опис рада, ФО: 
(поглавља/страна/ цитата/табела/слика/графика/прилога) 1 стр., граф. прикази 
Научна област, НО: математика 
Научна дисциплина, НД: дискретна математика 
Предметна одредница/Кључне речи, ПО: комбинаторика пребројавања; пермутације, тачно 
пребројавање, рекурентне једначине, перманенти, 
коначни аутомати
УДК 519.83:519.212.2 (043.3) 
Чува се, ЧУ: библиотека 
Важна напомена, ВН: 
Извод, ИЗ: У овом раду се бавимо проучавањем различитих метода пребројавања 
великог броја комбинаторних објеката: пермутација, варијација, 
комбинација, подскупова уз нека додатна ограничења. Развили смо 
потпуно нов метод за пребројавање неких од ових објеката и 
успоставили везе међу неким од њих. Дали смо и осврт на 
алгоритамску сложеност новог метода и анализирали у чему је бољи од 
постојећих. Унели смо стотињак нових низова у Слоунову 
енциклопедију целобројних низова и дали коментаре на велики број 
постојећих низова. 
Датум прихватања теме, ДП: 26.12.2011. 
Датум одбране, ДО: 
Чланови комисије, КО: Председник:  
 Члан:  
 Члан, ментор:  
Образац Q4.09.13 - Издање 1 
Прилог 4/2 
ПРИРОДНО - МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ 
НИШ
 
KEY WORDS DOCUMENTATION 
 
Accession number, ANO:  
Identification number, INO:  
Document type, DT: monograph 
Type of record, TR: textual / graphic 
Contents code, CC: doctoral dissertation 
Author, AU: Vladimir M. Baltić 
Mentor, MN: Dragan P. Stevanović 
Title, TI: Restricted permutations 
Language of text, LT: Serbian 
Language of abstract, LA: English 
Country of publication, CP: Serbia 
Locality of publication, LP: Serbia 
Publication year, PY: 2014 
Publisher, PB: author’s reprint 
Publication place, PP: Niš, Višegradska 33. 
Physical description, PD: 
(chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes) 1 p. ; graphic representations  
Scientific field, SF: mathematics 
Scientific discipline, SD: discrete mathematics 
Subject/Key words, S/KW: enumeration combinatorics; permutations, exact 
enumeration, recurrence equations, permanents, finite 
state automata 
UC 519.83:519.212.2 (043.3)  
Holding data, HD: library
Note, N:  
Abstract, AB: In this thesis we study different methods of counting a large number of 
combinatorial objects: permutations, variations, combinations, subsets, with 
some additional restrictions. We have developed a completely new method 
for the enumeration of some of these objects and make connections among 
some of them. We estimate the algorithmic complexity of the new method 
and analyze what is better than existing ones. We have entered a hundred 
new sequences in Slone’s Online encyclopedia of integer sequences and 
provided comments on the large number of existing sequences.
Accepted by the Scientific Board on, ASB: 26.12.2011. 
Defended on, DE:  
Defended Board, DB: President:  
 Member:  
 Member, Mentor:  
Образац Q4.09.13 - Издање 1