UNIVERZITET U NIŠU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET Nebojša M. Davidović PRIMENA PROBABILISTIČKOG KONCEPTA U GEOTEHNIČKIM RAČUNSKIM ANALIZAMA STABILNOSTI doktorska disertacija Niš, 2013 UNIVERZITET U NIŠU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET Nebojša M. Davidović PRIMENA PROBABILISTIČKOG KONCEPTA U GEOTEHNIČKIM RAČUNSKIM ANALIZAMA STABILNOSTI doktorska disertacija Mentor: Prof.dr Verka Prolović Niš, 2013 Doktorska disertacija UNIVERZITET U NIŠU GRAĐEVINSKO-ARHITEKTONSKI FAKULTET Niš, 2013 Mentor: dr Verka Prolović, red.prof. Univerzitet u Nišu, Građevinsko-arhitektonski fakultet Članovi Komisije: dr Verka Prolović, red.prof. Univerzitet u Nišu, Građevinsko-arhitektonski fakultet dr Dragan Lukić, red.prof. Univerzitet u Novom Sadu, Građevinski fakultet u Subotici dr Dragoslav Stojić, red.prof. Univerzitet u Nišu, Građevinsko-arhitektonski fakultet dr Zoran Bonić, docent Univerzitet u Nišu, Građevinsko-arhitektonski fakultet Doctoral Dissertation UNIVERSITY OF NIŠ FACULTY OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE Niš, 2013 Supervisor: Ph.D Verka Prolović, full prof. University of Niš, Faculty of Civil Engineering and Architecture Evaluation board: Ph.D Verka Prolović, full prof. University of Niš, Faculty of Civil Engineering and Architecture Ph.D Dragan Lukić, full prof. University of Novi Sad, Faculty of Civil Engineering in Subotica Ph.D Dragoslav Stojić, full prof. University of Niš, Faculty of Civil Engineering and Architecture Ph.D Zoran Bonić, assistant prof. University of Niš, Faculty of Civil Engineering and Architecture Rezime ii PRIMENA PROBABILISTIČKOG KONCEPTA U GEOTEHNIČKIM RAČUNSKIM ANALIZAMA STABILNOSTI Rezime Predmet naučnog istraživanja sprovedenog u okviru ove teze su geotehničke računske analize stabilnosti, u kojima je definisanje odgovarajućeg modela tla otežano zbog kompleksnosti materijala (tla) i neodređenosti uticajnih faktora (parametara tla i opterećenja). Metode istraživanja uslovljene su prirodom problematike koja je predmet istraživanja. Modeliranje tla za potrebe geotehničke računske analize stabilnosti vrši se na osnovu identifikacije ulaznih parametara (karakteristika tla i opterećenja), unošenja njihovih numeričkih vrednosti (konstantnih - za potrebe determinističke analize, odnosno funkcije raspodele verovatnoće za opis raspona mogućih vrednosti svakog parametra – za potrebe primene probabilističkog koncepta u računskoj analizi stabilnosti). Uporedna računska analiza stabilnosti svakog iz niza izabranih karakterističnih geotehničkih problema izvodi se primenom prvo determinističkog, a zatim i probabilističkog koncepta. Ograničenja tradicionalnog determinističkog pristupa su u tome što ne uzima u obzir neodređenost ulaznih parametara i ne pruža informaciju o verovatnoći pojave loma. Zadatak istraživanja je da omogući detaljan uvid u strukturu postupaka geotehničke računske analize stabilnosti zasnovanih na probabilističkom konceptu, gde se svaki ulazni parametar opisuje rasponom mogućih vrednosti i predstavlja funkcijom raspodele verovatnoće. Dobijeni rezultati jasno ukazuju na prednosti probabilističkog pristupa u računskoj analizi stabilnosti i na potrebu njegove šire primene u našim uslovima. Ključne reči Probabilistički koncept, geotehničke analize, parametri tla, neodređenost, promenljivost, stabilnost kosina, nosivost temeljnog tla. Summary iii PROBABILISTIC CONCEPT AND ITS APPLICATION IN GEOTECHNICAL STABILITY ANALYSES Summary Subject of scientific research conducted within this thesis are geotechnical stability analyses, in which the definition of an appropriate soil model due to the complexity of the material (soil) and uncertainties inherent in the influencing factors (soil parameters and load) is difficult. Research methods are dictated by the nature of the problem which is the subject of research. Modeling of soil for geotechnical stability analysis is based on the identification of input parameters (soil characteristics and load), entering their numerical values (constant - for deterministic analysis, and probability distribution functions to describe the range of possible values of each parameter - for purposes of applying the probabilistic concept of stability analysis). Comparative stability analysis of each of a series of selected typical geotechnical problems is performed using the first deterministic, then probabilistic concept. The limitations of traditional deterministic approach are that it does not consider the uncertainty of input parameters and does not provide information on the probability of failure. The task of research is to provide a detailed insight into the structure of stability analysis procedures based on a probabilistic concept, where each input parameter is defined by the range of possible values and a probability distribution function. The results clearly show the advantages of probabilistic approaches in stability analysis and the need for its wider application in our community. Key words Probabilistic concept, geotechnical analyses, soil parameters, uncertainty, variability, slope stability, bearing capacity. iv S A D R Ž A J LISTA TABELA....................................................................................................................... vi LISTA SLIKA.......................................................................................................................... viii LISTA SIMBOLA I SKRAĆENICA....................................................................................... xii 1. UVOD............................................................................................................................ 1 1.1 Specifičnosti geotehničke problematike........................................................................ 4 1.2 Metode rešavanja geotehničkih problema..................................................................... 6 1.3 Izvori i vrste neodređenosti............................................................................................ 11 1.4 Osnove probabilističkog koncepta................................................................................. 14 1.5 Predmet, ciljevi i zadaci istraživanja............................................................................. 22 2. PREGLED PODRUČJA ISTRAŽIVANJA.................................................................. 25 2.1 Promenljivost i neodređenost parametara tla................................................................. 28 2.1.1 Svojstva tla određena laboratorijskim ispitivanjima...................................................... 30 2.1.2 Svojstva tla određena terenskim ispitivanjima.............................................................. 35 2.2 Probabilističke metode u geotehnici.............................................................................. 37 2.3 Probabilističke metode i EUROCODE 7....................................................................... 44 3. PRIMENA PROBABILISTIČKOG KONCEPTA U GEOTEHNIČKIM ANALIZAMA STABILNOSTI.................................................................................... 49 3.1 Analiza stabilnosti kosina.............................................................................................. 52 3.1.1 Deterministički pristup u analizi stabilnosti kosina....................................................... 54 3.1.2 Probabilistički pristup u analizi stabilnosti kosina......................................................... 65 3.2 Analiza nosivosti tla....................................................................................................... 70 3.2.1 Deterministički pristup u analizi nosivosti tla............................................................... 72 3.2.2 Probabilistički pristup u analizi nosivosti tla................................................................. 77 4. REZULTATI ISTRAŽIVANJA.................................................................................... 82 4.1 Rezultati uporedne analize stabilnosti kosina (pri izgradnji Regionalne sanitarne deponije „Gigoš“ kod Jagodine).................................................................................... 85 4.1.1 Deterministička analiza stabilnosti kosine..................................................................... 89 4.1.2 Probabilistička analiza stabilnosti kosine...................................................................... 91 v 4.2 Rezultati uporedne analize nosivosti temeljnog tla (pri izgradnji fabričkog kompleksa „Fiat Automobili Srbija d.o.o. Kragujevac“, Grošnica, Kragujevac).......... 100 4.2.1 Deterministička analiza nosivosti temeljnog tla............................................................ 102 4.2.2 Probabilistička analiza nosivosti temeljnog tla.............................................................. 105 4.3 Analiza rezultata istraživanja......................................................................................... 112 5. ZAKLJUČAK................................................................................................................ 118 LITERATURA......................................................................................................................... 124 PRILOZI................................................................................................................................... 133 Prilog 1: Ulazni parametri za probabilističku analizu stabilnosti kosina.................................. 134 Prilog 2: Rezultati probabilističke analize stabilnosti kosina................................................... 138 Prilog 3: Ulazni parametri za probabilističku analizu nosivosti temeljnog tla......................... 158 Prilog 4: Rezultati probabilističke analize nosivosti temeljnog tla.......................................... 167 vi LISTA TABELA Tabela 2.1 Uobičajene vrednosti nekih parametara nekoherentnog tla……………………. 28 Tabela 2.2 Uobičajene vrednosti nekih parametara koherentnog tla………………………. 29 Tabela 2.3 COV laboratorijski izmerenih vrednosti pokazatelja vlažnosti i gustine tla........ 30 Tabela 2.4 COV laboratorijski izmerenih vrednosti pokazatelja plastičnosti tla…………... 31 Tabela 2.5 COV laboratorijski izmerenih vrednosti parametara čvrstoće tla……………… 32 Tabela 2.6 COV laboratorijski određenih vrednosti φ' za različite vrste tla……………….. 33 Tabela 2.7 COV laboratorijski izmerenih vrednosti parametara konsolidacije tla………… 33 Tabela 2.8 Pregled merne varijabilnosti za neke laboratorijski određene parametre tla…... 34 Tabela 2.9 COV rezultata terenskih SPT, CPT i VST opita……………………………….. 35 Tabela 2.10 Pregled merne varijabilnosti za neka terenska ispitivanja……………………... 36 Tabela 2.11 Karakteristični COV i odgovarajuće PDF funkcije raspodele za neke parametre tla……………………………………………………………………. 36 Tabela 2.12 Preporučene vrednosti parcijalnih faktora sigurnosti opterećenja i parametara tla……………………………………………………………………………….. 45 Tabela 3.1 Broj uslovnih jednačina za klizno telo podeljeno na n lamela………………..... 56 Tabela 3.2 Nepoznate veličine za klizno telo podeljeno na n lamela……………………… 56 Tabela 3.3 Osnovne karakteristike najpoznatijih rešenja za analizu stabilnosti kosina…… 59 Tabela 4.1 Rezultati ispitivanja ugla prirodnog nagiba rečnog šljunka frakcije 16/32 mm.. 86 Tabela 4.2 Rezultati proračuna faktora sigurnosti za različite nagibe kosine……………… 89 Tabela 4.3 Ulazni parametri za probabilističku analizu stabilnosti kosine………………… 94 Tabela 4.4 Rezultati probabilističke analize stabilnosti kosina……………………………. 95 vii Tabela 4.5 Odnos između verovatnoće loma, indeksa pouzdanosti i nivoa performansi….. 976 Tabela 4.6 Izmerene i usvojene vrednosti parametara tla za geomehaničke proračune…… 103 Tabela 4.7 Rezultati proračuna dozvoljenog opterećenja temeljnog tla…………………… 104 Tabela 4.8 Ulazni parametri za probabilističku analizu nosivosti temeljnog tla…………... 105 Tabela 4.9 Rezultati probabilističke analize nosivosti temeljnog tla………………………. 109 Tabela 4.10 Rezultati determinističke i probabilističke analize nosivosti temeljnog tla……. 117 viii LISTA SLIKA Slika 1.1 Oblast i mesto geotehnike ……………………………………………..………. 3 Slika 1.2 Geotehnička problematika ……………………………………………….……. 5 Slika 1.3 Uslovi za rešavanje problema deformacija i problema stabilnosti...................... 6 Slika 1.4 Predstavljanje realnog tla u području radnih napona idealno elastičnim modelom ……………………………………………………………………..... 7 Slika 1.5 Krutoplastičan model tla (1), rastresito tlo (2) i zbijeno tlo (3) ……………..… 8 Slika 1.6 Glavni izvori neodređenosti u procesu rešavanja geotehničkih problema …….. 12 Slika 1.7 Izvori neodređenosti u geotehničkim parametrima tla ………………………… 13 Slika 1.8 Funkcije verovatnoće slučajne promenljive X: PDF (gore) i CDF (dole)……... 15 Slika 1.9 PDF funkcije za slučajne promenljive sa istim μx i različitim σx…………….… 16 Slika 1.10 Primer: (a) pozitivno; (b) negativno iskošene funkcije raspodele verovatnoća... 18 Slika 1.11 Primeri: (a) savršeno pozitivne korelacije između promenljivih X i Y; (b) savršeno negativne korelacije između promenljivih X i Y; (c) linearno nezavisnih promenljivih X i Y ………………………………………………..... 18 Slika 1.12 Normalna funkcija raspodele verovatnoće: (a) PDF, (b) CDF………………… 19 Slika 1.13 LogNormalna funkcija raspodele verovatnoće: (a) PDF promenljive ln(X), (b) PDF promenljive X ………………………....... 20 Slika 1.14 Uniformna funkcija raspodele verovatnoće: (a) PDF, (b) CDF……………..… 20 Slika 1.15 Eksponencijalna funkcija raspodele verovatnoće: (a) PDF, (b) CDF ………… 21 Slika 2.1 Karakteristične PDF funkcije za otpore (R) i opterećenja (Q)………………… 38 ix Slika 2.2 PDF funkcija (a) i CDF funkcija (b) za marginu sigurnosti (M)……………… 39 Slika 2.3 Promenljivost X po dubini (z)……………………………………………......… 40 Slika 2.4 Funkcija gustine verovatnoće X……………………………………………..…. 40 Slika 2.5 Rezultati probabilističke analize stabilnosti u obliku funkcija raspodele verovatnoća: PDF (levo) i CDF (desno)……………………………………….. 40 Slika 2.6 Šematski prikaz usvajanja projektne vrednosti Xd parametra tla X ……………. 46 Slika 2.7 Šematski prikaz različitih metoda za kalibraciju parcijalnih faktora sigurnosti.. 47 Slika 3.1 Sile na karakterističnoj lameli kliznog tela proizvoljnog oblika ……………..... 55 Slika 3.2 Zavisnost faktora sigurnosti Fx i Fm od pretpostavljenog nagiba međulamelnih sila (λ)………………………………………………………..…. 59 Slika 3.3 Strujanje vode u kosini beskonačne dužine (levo) i sile koje deluju na lamelu (desno)……………………………………………………………………….…. 60 Slika 3.4 Neke od najčešće korišćenih funkcija f(x) nagiba međulamelnih sila ……...…. 64 Slika 3.5 Kosina na proslojku slabijeg tla - Postupak određivanja Fmin …………………. 65 Slika 3.6 Šematski prikaz probabilističke analize stabilnosti kosine ……………………. 66 Slika 3.7 Šematski prikaz Monte Carlo Simulacije ……………………………...………. 68 Slika 3.8 Rezultat Monte Carlo Simulacije: (a) PDF i (b) CDF faktora sigurnosti (F)…. 68 Slika 3.9 Veza između verovatnoće loma (Pf) i indeksa pouzdanosti (β), za normalnu raspodelu vrednosti F……………………………...………………………...…. 69 Slika 3.10 Vidovi i mehanizmi loma tla …………………………………...……...………. 71 Slika 3.11 Mehanizam loma ispod trakastog temelja po Prandtlu ………………………... 72 Slika 3.12 Faktor nosivosti Nc prema Skemptonu ………………………………………... 74 x Slika 3.13 Efektivna površina temelja pri ekscentričnom opterećenju …………………… 75 Slika 3.14 (a) Temelj na homogenom tlu; Funkcije raspodele slučajnih promenljivih: (b) φ'; (c) tanφ'; (d) c'; (e) lnc'………………………………………………...... 79 Slika 3.15 Rezultat Monte Carlo Simulacije - funkcija raspodele verovatnoće (CDF) sračunatih vrednosti nosivosti tla………………………………………………. 80 Slika 4.1 Deponija „Gigoš“ u fazi izgradnje (levo); Primena geomreže „Fortrac 3D“ (desno) …………………………………………………………………………. 85 Slika 4.2 Direktno određivanje kritičnog ugla prirodnog nagiba zrnastog materijala …... 85 Slika 4.3 Određivanje ugla prirodnog nagiba (α) na osnovu izmerenih veličina R i H …. 86 Slika 4.4 Šematski prikaz uticaja geomreže „Fortrac 3D“ na stabilnost kosine ……….... 88 Slika 4.5 Zavisnost „Nagib kosine – Faktor sigurnosti“ (bez geomreže)………………... 90 Slika 4.6 Zavisnost „Nagib kosine – Faktor sigurnosti“ (sa geomrežom „Fortrac 3D“)… 90 Slika 4.7 Probabilistički model ulaznog parametra φ' (stepeni) na bazi 20 izmerenih vrednosti ………………………………………………………………...……... 92 Slika 4.8 PDF i CDF ulaznog parametra φ' (rad) na bazi 10 000 iteracija MCS …….….. 92 Slika 4.9 PDF i CDF ulaznih parametara: γ (gore), γz (u sredini) i γ' (dole) …………….. 93 Slika 4.10 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:1………………………………………………………………………...…….. 96 Slika 4.11 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:1,25……………………………………………………………………….…... 96 Slika 4.12 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:1,5…………………………………………………………………………….. 97 Slika 4.13 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:1,75……………………………………………………………………….….. 98 Slika 4.14 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:2…………………………………………………………………………….... 98 Slika 4.15 Lokacija „Grošnica“ u Kragujevcu (ortofoto Google Earth prikaz)………..….. 100 xi Slika 4.16 Situacioni plan lokacije „Grošnica“ sa položajem istražnih bušotina PZ1 – PZ35………………………………………………………………………...….. 101 Slika 4.17 Karakterističan stratigrafski profil terena na lokaciji „Grošnica – LOT 3“……. 102 Slika 4.18 Uticaj dubine fundiranja i dimenzija stope temelja na dozvoljeno opterećenje tla ………..……………………………………………………………………... 104 Slika 4.19 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra γ na bazi 10000 iteracija MCS 106 Slika 4.20 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra cm na bazi 10000 iteracija MCS…………………………………………………………………………….. 106 Slika 4.21 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra φm na bazi 10000 iteracija MCS………..………………………………………………………………….... 107 Slika 4.22 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra tanφm na bazi 10000 iteracija MCS…………………………………………………………………………….. 107 Slika 4.23 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra Nq na bazi 10000 iteracija MCS…………………………………………………………………………….. 108 Slika 4.24 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra Nc na bazi 10000 iteracija MCS…………………………………………………………………………….. 108 Slika 4.25 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra Nγ na bazi 10000 iteracija MCS…………………………………………………………………………….. 109 Slika 4.26 Rezultat (Output) MCS: qa za kombinaciju 1 (Df=1.50m, B=L=2.00m)…….…. 110 Slika 4.27 Rezultat (Output) MCS: qa za kombinaciju 2 (Df=1.50m, B=L=3.00m)…….…. 110 Slika 4.28 Rezultat (Output) MCS: qa za kombinaciju 3 (Df=2.00m, B=L=2.00m)…….…. 111 Slika 4.29 Rezultat (Output) MCS: qa za kombinaciju 4 (Df=2.00m, B=L=3.00m)…….…. 111 Slika 4.30 Šematski prikaz determinističke analize sa 3 ulazna parametra (x, y i z)…….... 112 Slika 4.31 Šematski prikaz probabilističke analize sa 3 ulazna parametra (x, y i z)…….… 113 Slika 4.32 Uticaj neodređenosti ulaznih parametara na oblik funkcije gustine verovatnoća (PDF), vrednosti faktora sigurnosti (F) i verovatnoću loma (Pf)…………....…. 115 xii LISTA SIMBOLA I SKRAĆENICA Simbol Značenje Jedinica Latinična slova A Događaj (u Teoriji verovatnoće) (-) A Površina osnove temelja (m2) A' Efektivna površina osnove temelja (m2) a Geometrijski podaci (u Eurokodu 7) (-) B Širina stope temelja (m) B' Efektivna širina stope temelja (m) C Kapacitet geotehničkog sistema (-) C Dozvoljene deformacije (u Eurokodu 7) (-) Cc Indeks kompresije (-) CDF Funkcija raspodele verovatnoće (Cumulative Distribution Function) (-) COV Koeficijent varijacije (Coefficient of Variation) (%) CPT Opit statičke penetracije (Cone Penetration Test) (-) CU Konsolidovani nedrenirani (Consolidated Undrained) triaksijalni opit (-) c Kohezija (kN/m 2 ) c' Kohezija za efektivne napone (kN/m 2 ) cm Mobilizovana kohezija (kN/m 2 ) cu Kohezija u nedreniranim uslovima (kN/m 2 ) cv Koeficijent konsolidacije (m 2 /s) xiii Simbol Značenje Jedinica D Prečnik zrna (m, mm) D Zahtev koji se postavlja pred geotehnički sistem (-) Df Dubina fundiranja (m) Dr Relativna gustina (%) dc, dq, dγ Faktori dubine temelja (-) E Efekti akcija (u Eurokodu 7) (-) E Modul elastičnosti (kN/m2) Etla Modul deformacije tla (kN/m 2 ) EC7 Eurokod 7 (Evropski standard) (-) Ed Projektna vrednost opterećenja (kN) E(X) Matematičko očekivanje (u Teoriji verovatnoće) (-) e Ekscentricitet sile (m) e Koeficijent poroznosti (-) F Faktor sigurnosti (-) F Funkcija performansi (-) F Akcije (u Eurokodu 7) (-) FORM Probabilistička metoda First Order Reliability Method (-) FOSM Probabilistička metoda First Order Second Moment (-) Fmax Maksimalna vrednost faktora sigurnosti (-) Fmin Minimalna vrednost faktora sigurnosti (-) Fc Parcijalni faktor sigurnosti za koheziju (-) xiv Simbol Značenje Jedinica Fφ Parcijalni faktor sigurnosti za ugao unutrašnjeg trenja (-) Fm Faktor sigurnosti, dobijen iz uslova ravnoteže momenata (-) Fx Faktor sigurnosti, dobijen iz uslova ravnoteže u horizontalnom pravcu (-) FX(x) Funkcija raspodele verovatnoće (CDF) slučajne promenljive X (-) fX(x) Funkcija gustine verovatnoće (PDF) slučajne promenljive X (-) GS Specifična težina zrna (-) g Ubrzanje Zemljine teže (m/s2) g() Funkcija performansi (-) H Debljina sloja (m) H Horizontalna komponenta rezultante ukupnog opterećenja temelja (kN) ic, iq, iγ Faktori nagiba sile (-) k Koeficijent vodopropusnosti (m/s) L Dužina temeljne stope (m) LI Indeks tečenja (Liquid Index) (%) LL Granica tečenja (Liquid Limit) (%) LN LogNormalna funkcija raspodele verovatnoća (-) L' Efektivna dužina temeljne stope (m) M Margina sigurnosti (-) M Momenat (kNm) MCS Monte Carlo Simulacija (-) m Koeficijent zavistan od pravca delovanja rezultante H (-) xv Simbol Značenje Jedinica m Nagib kosine (1:m) (-) max qa Maksimalna vrednost dozvoljenog opterećenja temeljnog tla (kN/m 2 ) min qa Minimalna vrednost dozvoljenog opterećenja temeljnog tla (kN/m 2 ) N Broj udaraca (u opitu standardne penetracije) (-) N Normalna funkcija raspodele verovatnoća (-) N Normalna sila u osnovi lamele (kN) NC Normalno konsolidovan (-) Nc Faktor nosivosti za koheziju (-) Nq Faktor nosivosti za vertikalno opterećenje od sopstvene težine tla na nivou Df (-) Nγ Faktor nosivosti za sopstvenu težinu tla ispod nivoa temeljne spojnice (-) n Broj lamela (-) n Broj svih ishoda (-) n Poroznost (%) nA Broj ishoda koji dovode do realizacije događaja A (-) OC Prekonsolidovan (-) OCR Stepen prekonsolidacije (-) P[A] Verovatnoća događaja A (-) PDF Funkcija gustine verovatnoće (Probability Density Function) (-) PEM Probabilistička metoda Point Estimate Method (-) PI Indeks plastičnosti (Plasticity Index) (%) PL Granica plastičnosti (Plasticity Limit) (%) xvi Simbol Značenje Jedinica Pf Verovatnoća loma (Probability of Failure) (%) pc' Pritisak prekonsolidacije (kN/m 2 ) Q Opterećenje koje deluje na sistem (kN) qa Dozvoljeno opterećenje (kN/m 2 ) qa(95%) Dozvoljeno opterećenje za nivo pouzdanosti 95% (kN/m 2 ) qc Otpor pri utiskivanju konusa (u opitu statičke penetracije) (kN/m 2 ) qf Granično opterećenje (kN/m 2 ) q0 Geostatički napon na koti fundiranja (kN/m 2 ) R Otpori (u Eurokodu 7) (-) R Raspoloživi otpor sistema (-) R Poluprečnik kružno cilindrične klizne površine (m) Rd Projektna vrednost nosivosti tla (kN/m 2 ) Rk Karakteristična vrednost nosivosti tla (u Eurokodu 7) (kN/m 2 ) S Smičuća sila u osnovi lamele (kN) SLS Granična stanja upotrebljivosti (Serviceability Limit States) (-) SOSM Probabilistička metoda Second Order Second Moment (-) SPT Opit standardne (dinamičke) penetracije (-) SR Stepen zasićenja (%) Su Smičuća čvrstoća u nedreniranim uslovima (kN/m 2 ) sc, sq, sγ Faktori oblika stope temelja (-) T Tangencijalna sila (kN) xvii Simbol Značenje Jedinica t Vreme (s) tanφ' Koeficijent unutrašnjeg trenja (-) ULS Granična stanja nosivosti (Ultimate Limit States) (-) UU Nekonsolidovani nedrenirani (Unconsolidated Undrained) (-) u Pritisak vode u porama tla (kN/m 2 ) V Vertikalna komponenta rezultante opterećenja temelja (kN) Va Dozvoljena vertikalna komponenta rezultante opterećenja temelja (kN) VST Opit terenskom krilnom sondom (-) V(X) Varijansa (disperzija) (-) W Težina lamele (kN) w Vlažnost (sadržina vode) (%) X Slučajna promenljiva (u Teoriji verovatnoće) (-) Srednja vrednost (-) XL, XD Normalne komponente međulamelnih sila (kN) YL, YD Smičuće komponente međulamelnih sila (kN) x, y, z Koordinate (m) z Dubina na kojoj se nalazi pretpostavljena klizna površina (m) xviii Simbol Značenje Jedinica Grčka slova α Ugao prirodnog nagiba krupnozrnog materijala (º) α Ugao nagiba osnove lamele (º) α Faktor redukcije (u Eurokodu 7) (-)  Indeks pouzdanosti (u Teoriji verovatnoće) (-)  Ugao nagiba strujnica (º) δ Pomeranje (m, mm) ε Deformacija (-) γ Klizanje, deformacija smicanja (-) γ Zapreminska težina prirodno vlažnog tla (kN/m3) γ Parcijalni faktor sigurnosti (u Eurokodu 7) (-) γd Zapreminska težina suvog tla (kN/m 3 ) γw Zapreminska težina vode (kN/m 3 ) γz Zapreminska težina zasićenog tla (kN/m 3 ) γ' Zapreminska težina potopljenog tla (kN/m3)  Korak fluktuacije (m)  Broj pojava u jedinici vremena (u teoriji verovatnoće) (-)  Faktor nagiba rezultante međulamelnih sila (-) μ Srednja (očekivana) vrednost (-) ν Poisson-ov koeficijent (-) νx Iskošenost (asimetrija) (-) xix Simbol Značenje Jedinica ρ Gustina (t/m3) ρXY Koeficijent korelacije između promenljivih X i Y (-) Σ Zbir, suma (-)  Normalan napon (kN/m 2 ) ' Efektivan normalan napon (kN/m 2 ) n Totalan normalan napon (kN/m 2 ) f Normalan napon pri lomu (kN/m 2 ) x Standardna devijacija (-) x 2 Varijansa (disperzija) (-) τ Smičući napon (kN/m2) τf Smičuća čvrstoća (kN/m 2 ) τm Mobilisana smičuća čvrstoća (kN/m 2 ) φ Ugao unutrašnjeg trenja (º) φ' Efektivni ugao unutrašnjeg trenja (º) φm Mobilizovani ugao unutrašnjeg trenja (º) φu Ugao unutrašnjeg trenja u nedreniranim uslovima (º) 1. UVOD Poglavlje 1. Uvod 2 1 UVOD Tlo je najstariji, ali i najsloženiji inženjerski materijal. Građevinski objekti se grade na tlu (zgrade, putevi, mostovi, brane), u tlu (podzemni objekti, useci, kosine), a često i od tla (nasipi, nasute brane). Ljudi su gradili puteve, kanale, brane, utvrđenja, tunele i druge geotehničke konstrukcije i hiljadama godina pre nego što je geotehnika formalno ustanovljena kao disciplina. Pošto nije bilo teorijskih osnova za projektovanje, taj posao se poveravao iskusnim graditeljima, koji su svoje umeće zasnivali na intuiciji i iskustvu. Veština projektovanja se prenosila usmeno, sa kolena na koleno. Ovakvi postupci su davali zadovoljavajuće rezultate ako su objekti bili uobičajenih dimenzija, slični prethodno izgrađenim (pa je moglo da se koristi to iskustvo) i građeni na terenu povoljnih karakteristika. Brojni su primeri zadivljujućeg umeća tih drevnih graditelja, a neki od tih objekata i dan danas postoje (neke brane u Indiji su u funkciji više od dve hiljade godina). Nažalost, bilo je i primera dramatičnih rušenja sa katastrofalnim posledicama. Naučnici su počeli ozbiljnije da se bave inženjerskim osobinama tla tokom 17. i 18. veka, a prvi koji je primenom principa mehanike rešavao probleme u vezi sa tlom je francuski naučnik Coulomb. U radu iz 1776. godine, koji se smatra prvim primerom racionalne mehanike tla, on je definisao uslov loma u tlu, koji se i danas primenjuje u inženjerskoj praksi. Brza industrijalizacija i intenzivan razvoj gradova krajem 19. i početkom 20. veka zahtevali su i nove pristupe u projektovanju i izgradnji brojnih, po funkciji i dimenzijama vrlo različitih tipova objekata. Sve te objekte trebalo je sigurno, ali i ekonomično fundirati, pa su se nametala i brojna nova pitanja u vezi stabilnosti objekata, očekivanih sleganja, naponskih stanja u tlu, načina fundiranja, itd. Karl Terzaghi je 1925. godine, objavljivanjem knjige „Erdbaumechanik“, postavio temelje modernoj mehanici tla. Definisao je metode teorijske analize problema, kao i procedure za laboratorijska i terenska ispitivanja, čime je omogućen racionalni pristup rešavanju geotehničkih problema, potpuno različit od dotadašnjeg. Poglavlje 1. Uvod 3 Geotehničko inženjerstvo je disciplina u okviru građevinarstva koja se bavi tlom, stenama i podzemnom vodom, kao i njihovim uticajima na projektovanje, izgradnju i ponašanje objekata. Usko je povezano sa inženjerskom geologijom, koja je grana geologije. Stručnjaci iz ovih oblasti često timski rešavaju praktične probleme, a oblast zajedničkog delovanja se naziva geotehnika (Slika 1.1) (Coduto, 1999). Slika 1.1 Oblast i mesto geotehnike U novije vreme inženjeri geotehničari su proširili oblast svog delovanja i na nova područja, posebno na ekološki geoinženjering, gde se bave podzemnim ekološkim problemima. Visoke cene nekretnina, posebno u urbanim sredinama, često diktiraju izgradnju i na slabo nosivim i nestabilnim terenima, što predstavlja poseban problem. Angažovanje stručnjaka iz oblasti geotehnike u rešavanju ovog problema dovelo je do razvoja novih metoda i tehnika, kao što su poboljšanje tla i mehanički stabilizovani zemljani zidovi (Chowdhury i Flentje, 2007). U proceni problema i iznalaženju rešenja geotehničari treba da posmatraju dalje od svojih uskih specijalnosti, a multidisciplinarni pristup, koji je vrlo poželjan u svim aktivnostima oko rešavanja problema, vremenom će postati još važniji. Poglavlje 1. Uvod 4 1.1 Specifičnosti geotehničke problematike Razvoj metoda koje su početkom 20. veka omogućile izdvajanje mehanike tla kao nove naučne discipline, usledio je skoro vek nakon uvođenja racionalnih metoda u konstrukterstvu i mašinogradnji. Ovo zaostajanje ne iznenađuje, jer je analiza ponašanja materijala koje je priroda definisala mnogo kompleksnija od analiza karakterističnih za veštačke materijale, pa čak i tako složene kao što je armirani beton. Geotehničko inženjerstvo se značajno razlikuje od ostalih građevinskih disciplina. Te razlike se ogledaju u sledećem: Inženjerska svojstva tla i stena, kojima se bave geotehničari, su složenija i teže ih je odrediti nego što je to slučaj sa veštačkim materijalima, kao što su čelik ili beton. Takođe, svojstva tla značajno variraju od jedne do druge tačke, pa čak i u okviru iste lokacije. Zato se značajan deo vremena, rada i raspoloživih finansijskih sredstava troši na karakterizaciju terena. Za razliku od konstruktivaca, koji će sva potrebna svojstva materijala jednostavno potražiti u knjizi, geotehničari moraju prvo pribaviti uzorke sa svih lokacija, a zatim ih ispitivati u laboratoriji. Pošto je broj istražnih bušotina i laboratorijskih ispitivanja iz ekonomskih razloga ograničen, raspolaže se podacima koji se odnose na vrlo mali deo terena. To je razlog što se geotehničari u velikoj meri oslanjaju na inženjersku procenu, koja je kombinacija sopstvenog i tuđeg iskustva, subjektivnosti i drugih faktora (Coduto, 1999). Problemi u vezi sa tlom su jedinstveni, pored ostalog, i zbog sledećih činjenica:  Veza između napona i deformacija u tlu nije ni linearna ni jedinstvena,  Realna svojstva materijala su promenljiva u prostoru koji zauzima masa tla i zavise od napona i istorije napona,  Svojstva tla se u principu procenjuju na osnovu rezultata ispitivanja malih uzoraka dobijenih pri terenskom istraživanju,  Uzorci tla su uvek u većoj ili manjoj meri poremećeni pri uzimanju iz sloja, pa njihovo ponašanje tokom laboratorijskog ispitivanja može značajno da se razlikuje od ponašanja tla in situ. Najčešća pitanja koja se postavljaju pred geotehničare su: Poglavlje 1. Uvod 5  Može li tlo u podlozi bezbedno da primi opterećenje od projektovanog objekta?  Kakav je režim podzemnih voda, kakve promene se mogu očekivati i koji je njihov efekat?  Kakav će biti uticaj planiranih iskopavanja, formiranja kosina i nasipanja?  Da li su prirodne ili projektovane zemljane kosine stabilne? Ako nisu, kako ih stabilizovati?  Kakvi temelji su pogodni za planirani objekat i kako ih dimenzionisati?  Ako su projektom predviđeni potporni zidovi, koji tip bi bio najpogodniji i kako ih dimenzionisati?  Kako će se teren ponašati u slučaju eventualnog zemljotresa?  Da li je tlo u području planiranog objekta kontaminirano hemijskim ili biološkim materijama? Ako te materije predstavljaju rizik po zdravlje ili bezbednost, kako rešiti problem? Neki od tipičnih problema koje u praksi rešavaju stručnjaci iz oblasti geotehničkog inženjerstva prikazani su na Slici 1.2. Slika 1.2 Geotehnička problematika Među njima se kao najznačajniji mogu izdvojiti sledeći problemi:  Ocena sposobnosti tla da primi opterećenje temelja građevinskih objekata,  Analiza stabilnosti zemljanih konstrukcija, nasipa i nasutih brana,  Prognoziranje kretanja vode kroz tlo,  Određivanje pritisaka tla na konstrukcije,  Stabilnost padina i kosina,  Poboljšanje mehaničkih osobina tla. Prirodne kosine Veštačke kosine Nasute brane Temeljenje objekata Podupiranje iskopa Tuneli Nasipi saobraćajnica Građenje na slabo nosivom tlu Temeljenje Offshore platformi Poglavlje 1. Uvod 6 1.2 Metode rešavanja geotehničkih problema Neki problemi graničnih stanja u mehanici tla rešavani su već u 18. i 19. veku, kada su analizirane teorije zemljanih pritisaka i nosivosti tla, stabilnosti kosina, proceđivanja vode i elastičnosti. Međutim, klasičan pristup u rešavanju geotehničkih graničnih stanja razvijen je tek u prvoj polovini 20. veka. Karl Terzaghi (1943) je u „Teorijskoj mehanici tla“ geotehničke probleme svrstao u dve osnovne grupe: 1. Problemi deformacija (sleganja) 2. Problemi stabilnosti (zemljani pritisci, nosivost tla, stabilnost kosina) Uslovi za rešavanje tih problema iskazani su matematičkim relacijama prema šemi prikazanoj na Slici 1.3: Slika 1.3 Uslovi za rešavanje problema deformacija i problema stabilnosti Uslovi ravnoteže (veza sila i napona) i uslovi kompatibilnosti (veza deformacija i pomeranja) proizilaze iz opštih zakona mehanike kontinuuma, koji su izvedeni za materijale mnogo jednostavnije od tla, a konstitutivni zakoni (veza napona i deformacija) za tlo se određuju eksperimentalno i važe samo za primenjene uslove ispitivanja. Tako dobijen sistem parcijalnih diferencijalnih jednačina rešava se na osnovu poznatih graničnih (konturnih) uslova (po silama, pomeranjima ili mešovitih). Očigledno je da bi se tačno rešenje (koje zadovoljava sve uslove ravnoteže i kompatibilnosti za svaki nivo opterećenja) moglo dobiti ako bi postojao takav konstitutivni model tla u kome je korektno matematički izražen odnos napona i deformacija u celom rasponu mogućih stanja napona, uključujući i lom. Kako zbog spoljašnje i unutrašnje sile pomeranja naponi ij (, τ) deformacije ij () uslovi ravnoteže uslovi kompatibilnosti konstitutivni zakoni materijala (tla) Poglavlje 1. Uvod 7 kompleksnosti veza između napona i deformacija (nelinearne, nereverzibilne, zavise od vremena, putanje napona, temperature, itd) takav jedinstveni model tla (još uvek) nije definisan, rešenja u praksi se dobijaju tako što se osobine tla idealizuju i manje-više jednostavno analitički izraze preko različitih modela. Model kojim se predstavlja realno tlo treba da bude kompletan, tj. primenljiv za sve nivoe radnih napona, zasnovan na fizičkoj interpretaciji ponašanja tla pri promeni napona i da njegovi parametri mogu da se dobiju iz standardnih opita (Davidović, 2004). Pri rešavanju problema deformacija u konvencionalnoj Mehanici tla primenjuju se zakoni teorije elastičnosti (Hook-ov zakon), a realno tlo se u području radnih napona (od σ1 do σ2) predstavlja modelom idealno (linearno) elastičnog materijala (Slika 1.4). Deformacije se mogu odrediti iz datih uslova preko Hook-ovog zakona, na bazi ekvivalentnog modula elastičnosti (modula deformacije tla Etla = Δ / Δε). Slika 1.4 Predstavljanje realnog tla u području radnih napona idealno elastičnim modelom Pri rešavanju problema stabilnosti realno tlo se predstavlja modelom idealno plastičnog (kruto plastičnog) materijala (Slika 1.5), koji podrazumeva da je tlo kruto nedeformabilno sve do loma, kada smičući naponi (τ) dostižu vrednost smičuće čvrstoće (τf), a deformacije postaju neograničeno velike. Činjenica da se za isto tlo problemi deformacija i stabilnosti rešavaju pomoću dva različita matematička modela ukazuje na teorijsku nelogičnost, ali se u svakodnevnoj inženjerskoj praksi ti postupci i danas široko primenjuju i daju sasvim zadovoljavajuće rezultate (Nonveiller, 1990). Poglavlje 1. Uvod 8 Slika 1.5 Krutoplastičan model tla (1), rastresito tlo (2) i zbijeno tlo (3) Pri rešavanju problema gde je primarno odrediti odnos između radnih napona i napona pri lomu (npr. problem stabilnosti kosina), usvaja se kruto plastičan model tla. Za takav materijal konstitutivne veze predstavljene su uslovom plastičnosti (uslovom loma). Deformacija do loma nema, pa su uslovi kompatibilnosti zanemareni. Problem se rešava preko uslova ravnoteže i uslova loma tla, primenom metode linija klizanja ili metode granične ravnoteže. U metodi linija klizanja, koja je matematički rigorozna, uslov loma kombinovan je sa uslovima ravnoteže tako da se dobija sistem diferencijalnih jednačina čije rešenje za svaku tačku područja loma daje intenzitet komponentalnih napona i orijentaciju linija klizanja. Sokolovski (1960, 1965) je dao rešenja koja se mogu primeniti na probleme stabilnosti kosina, nosivosti tla ili pritisaka tla na potporne konstrukcije. Međutim, ova rešenja se ređe koriste u praksi, jer je njihova primena u problemima sa kompleksnom geometrijom i opterećenjem dosta komplikovana. Metoda granične ravnoteže, iako nije matematički rigorozna, može da se primeni za rešavanje problema sa složenim graničnim uslovima, svojstvima tla i uslovima opterećivanja. Tačnost rešenja dobijenih primenom ove metode često se dovodi u pitanje zbog pretpostavki koje je neophodno uvesti. Uprkos tome, ovaj pristup je često favorizovan u inženjerskoj praksi, zbog svoje jednostavnosti i opšteg karaktera (Carter i dr., 2000). Metodologija rešavanja geotehničkih problema obično obuhvata sledeće faze: Poglavlje 1. Uvod 9  Prethodna geotehnička istraživanja, koja obuhvataju pregled terena i raspoložive dokumentacije, planiranje i izvođenje detaljnih istraživanja,  Terenska istraživanja i ispitivanja, koja mogu biti površinska i dubinska,  Laboratorijska ispitivanja uzoraka tla, kojima se određuju opšta fizička svojstva (gustina, vlažnost, poroznost, itd.), kao i mehanička svojstva (deformabilnost, čvrstoća, vodopropusnost),  Geomehanički proračuni ponašanja tla, koji obuhvataju izbor računskog modela i sprovođenje geomehaničkih proračuna stabilnosti i deformacija tla,  Izrada geotehničkog izveštaja, koji sadrži rezultate, njihovu analizu i procenu ponašanja sistema „tlo – objekat“.  Kontrola terenskih uslova u fazi realizacije projekta (tokom gradnje) i upoređivanje sa uslovima kakvi su predviđeni u projektu,  Ponekad je i nakon završetka gradnje potrebno angažovanje geotehničara, npr. u slučaju terena gde je proces sleganja dugotrajan, pa se monitoring vrši mesecima ili godinama po izgradnji. Centralni problem geotehničkog inženjerstva je izbor pokazatelja tla za potrebe analize, bilo determinističke ili probabilističke. Geotehnički proračuni treba da obezbede stabilnost i očekivane deformacije u granicama dozvoljenih, ne samo za projektovanu konstrukciju, već i za susedne objekte. U proteklim decenijama ovi proračuni bili su bazirani na konvencionalnom determinističkom pristupu, gde je uobičajeno da se heterogeno tlo podeli na statistički homogene slojeve, a da se onda pokazatelji tih slojeva uvode u jedinstvenu analizu, koja vodi do globalnog faktora sigurnosti. Pri tome se potpuno zanemaruje uticaj promenljivosti tih pokazatelja u heterogenoj sredini, a uticaj neobuhvaćenih faktora kompenzuje se uvođenjem konzervativnih pretpostavki (Davidović i dr., 2012). U novije vreme raste svest o tome da prostornu promenljivost geotehničkih materijala treba na odgovarajući način uvesti u geotehničke proračune. Pristup koji uzima u obzir ove efekte priznat je i prisutan u svim novijim stručnim kodeksima. EUROKOD 7 je uveo koncept karakterističnih vrednosti u proces geotehničkog Poglavlje 1. Uvod 10 projektovanja, što je značajna promena u odnosu na tradicionalne metode, koje se zasnivaju na globalnom faktoru sigurnosti (Hicks i dr., 2005). Poglavlje 1. Uvod 11 1.3 Izvori i vrste neodređenosti Sa neodređenostima se susrećemo na svakom koraku u svakodnevnom životu, a da toga često nismo ni svesni. Među brojnim značenjima reči „neodređenost“ su i nesigurnost, nepredvidljivost, slučajnost, nejasnoća, promenljivost. Na šta mislimo kada kažemo da je nešto neodređeno? Da li znači da se to dešava slučajno na neki nepredvidiv način, kao što je to u slučaju bacanja kockica? Ovaj tip neodređenosti je poznat kao aleatorni, prema latinskoj reči aleator, što znači kockar. Međutim, nešto može da bude neodređeno i ako nemamo dovoljno informacija o tome. Na primer, nakon mešanja špila karata za igranje, raspored karata je određen, ali nama nepoznat. Ovaj tip neodređenosti je poznat kao epistemski, prema grčkoj reči επιστημη, što znači znanje (Hacking, 1975). Blaise Pascal, francuski naučnik i pionir na polju teorije verovatnoće, je u 17. veku ovako definisao osnovni princip analize pouzdanosti: „Mi treba da se plašimo od nekog događaja ili da mu se nadamo, ne samo srazmerno lošim ili dobrim posledicama koje on može da ima po nas, već i uzimajući u obzir verovatnoću njegove pojave“. To znači da treba da se bavimo ne samo pojavama koje mogu da imaju velike posledice, već i onima za koje postoji velika verovatnoća da će se desiti (Christian, 2004). Oblast analize neodređenosti ima svoje korene u okviru matematičkih nauka. Inženjerski udžbenici, kao što su oni čiji su autori Benjamin i Cornell (1970) i Ang i Tang (1984) tretiraju problematiku analize neodređenosti veoma detaljno. Geotehničko inženjerstvo je, više nego bilo koja druga oblast građevinarstva, „opterećeno“ neodređenostima, u značajnoj meri zbog ograničenog obima terenskih istražnih radova, ali ipak najviše zbog prirode samog materijala (tla), koga odlikuje izrazita heterogenost i anizotropija. Neodređenosti koje su prisutne u procesu rešavanja geotehničkih problema mogu se svrstati u tri kategorije (Phoon i Kulhawy, 1999), prema Slici 1.6: Poglavlje 1. Uvod 12 Slika 1.6 Glavni izvori neodređenosti u procesu rešavanja geotehničkih problema Inherentna promenljivost osobina tla je posledica prirodnih geoloških procesa koji su stvorili i neprekidno menjaju masu tla in situ, a ogleda se u variranju osobina tla od jedne do druge tačke u masi tla. Ovo je najznačajniji izvor neodređenosti u geotehnici. Neodređenosti pri ispitivanju su karakteristične za fazu terenskih i laboratorijskih ispitivanja. Potiču od nepreciznosti mernih instrumenata, ograničenja prisutnih u važećim standardima koji definišu procedure za izvođenje opita, kao i načina na koji se ti standardi primenjuju u praksi. Neodređenosti pri transformaciji su u vezi sa nivoom do kog izabrani računski model precizno predstavlja stvarno ponašanje geotehničkog sistema. Javljaju se kada se rezultati terenskih ili laboratorijskih opita, zajedno sa uključenim uprošćenjima i idealizacijama, transformišu u parametre računskog modela. Očigledno je da relativno učešće ovih kategorija neodređenosti u ukupnoj neodređenosti koja je prisutna u računskom modelu tla zavisi od uslova na terenu, nivoa kontrole u fazi ispitivanja uzoraka tla, kao i kvaliteta izabranog korelacionog modela. Zato se statistički pokazatelji parametra tla dobijeni ukupnom analizom varijabilnosti, mogu primeniti samo ako su uslovi in situ, način ispitivanja, kao i korelacioni modeli identični onima pod kojima je računska vrednost parametra tla određena (Davidović, 2007). Neodređenosti koje su prisutne u geotehničkim parametrima tla mogu se svrstati u kategorije aleatornih i epistemskih (Lacasse i Nadim, 1996). Aleatorne neodređenosti su rezultat prostorne promenljivosti parametara tla i ne mogu se redukovati ili eliminisati. Epistemske neodređenosti nastaju usled nedovoljnog obima podataka i ograničenja prisutnih tokom ispitivanja i/ili proračuna. One se mogu redukovati Tlo Ispitivanje Računski model Parametri tla Inherentna promenljivost osobina tla Neodređenosti pri ispitivanju Neodređenosti pri transformaciji Poglavlje 1. Uvod 13 prikupljanjem dodatnih podataka ili unapređenjem metoda ispitivanja. Na Slici 1.7 prikazani su tipovi neodređenosti u geotehničkim karakteristikama tla. U treću kategoriju neodređenosti mogla bi da se svrsta ljudska greška, ali pošto ju je teško izolovati, njen uticaj je obično uključen u statističku grešku (Davidović i dr., 2010). Slika 1.7 Izvori neodređenosti u geotehničkim parametrima tla Ako se za primer uzme opit dinamičke penetracije (SPT), izvori neodređenosti aleatornog tipa su prirodna promenljivost slojeva tla i slučajne greške pri ispitivanju (npr. usled prisustva velikog kamena). Izvori neodređenosti epistemskog tipa mogu da budu nestandardna oprema za izvođenje opita, kao i nedovoljan obim podataka (npr. ako se na velikoj površini uradi samo jedan opit) (Fenton, 1997). U suštini, problemi kojima se bave geotehničari su pre epistemski nego aleatorni, što znači da je u njima izraženije nedovoljno poznavanje svojstava materijala i geometrije slojeva, nego inherentna promenljivost svojstava tih materijala (Christian, 2004). Einstein i Baecher (1982) zaključuju: „S obzirom da su neodređenosti u geotehnici neizbežne, više se ne postavlja pitanje da li se baviti njima, već kako?“ Neodređenosti u parametrima tla Aleatorne Epistemske Prostorna promenljivost Slučajne greške pri ispitivanju Procedure ispitivanja Statističke greške (nedovoljno podataka) Poglavlje 1. Uvod 14 1.4 Osnove probabilističkog koncepta Postupak kvantifikacije neodređenosti, koje su, kako je pokazano u prethodnom poglavlju, prisutne u praktično svim geotehničkim problemima, u praksi se sprovodi primenom probabilističke teorije (teorije verovatnoće). Zato inženjeri geotehničari treba da poznaju osnovne pojmove i postavke teorije verovatnoće. Detaljan prikaz osnovnih koncepata i primene probabilističke teorije u geotehnici dat je u knjigama i radovima čiji su autori Harr (1987), Whitman (1984), Pine (1992), Carter (1992) i drugi. U ovom poglavlju će zato biti date definicije i sažeti prikaz osnovnih pojmova teorije verovatnoće, u cilju lakšeg praćenja materije u nastavku. Probabilistička teorija ili teorija verovatnoće je matematička disciplina koja se bavi analizom slučajnih pojava, čiji ishodi nisu uvek strogo definisani (neizvesni su). Verovatnoća je kvantitativna mera kojom se procenjuje mogućnost/nemogućnost nastupanja određenog ishoda. Verovatnoću događaja A (P[A]) definiše količnik broja (povoljnih) ishoda (nA) koji dovode do realizacije događaja A i broja svih ishoda (n):   n n AP A (1.1) Slučajna promenljiva (X) je matematički model kojim se može predstaviti promenljivost neke veličine. U zavisnosti od toga da li im je skup mogućih vrednosti diskretan ili neprekidan, slučajne promenljive mogu biti diskretne ili kontinualne (neprekidne). Primeri za diskretne promenljive u geotehnici su broj udaraca (N) u opitu standardne penetracije (SPT) ili simbol iz AC klasifikacije, dobijen ispitivanjem uzorka tla, dok su primeri za kontinualne promenljive ugao unutrašnjeg trenja, koeficijent vodopropusnosti, intenzitet padavina, vreme do sledeće pojave klizišta, itd. Ovaj model je neophodan za opis skupa izmerenih vrednosti slučajne promenljive zato što je taj skup ograničenog obima. Npr. određivanjem zapreminske težine na 50 uzoraka tla iz istražnih bušotina na određenoj lokaciji, dobijen je skup vrednosti sa odgovarajućim statističkim pokazateljima. Ako bi se na istoj lokaciji na novih 50 uzoraka odredila zapreminska težina, dobio bi se drugačiji skup vrednosti, sa statistikom različitom od prethodne. To znači da bi za utvrđivanje "prave" zapreminske težine trebalo izvršiti merenja u svakoj tački mase tla na datoj lokaciji, što je Poglavlje 1. Uvod 15 neizvodljivo, a i nepotrebno, pošto je slučajna promenljiva teorijski model tih "pravih" vrednosti i odgovarajuće statistike. Modeli slučajnih promenljivih takođe omogućavaju da se različite promenljive veličine matematički analiziraju i kombinuju (Davidović, 2007). Funkcija gustine verovatnoće (eng. Probability Density Function – PDF) daje opis skupa mogućih vrednosti (x) koje ta veličina može da ima, kao i verovatnoću (P) pojave svake od tih vrednosti: fX(x) = P[X = x] (1.2) Funkcija raspodele verovatnoće (eng. Cumulative Distribution Function – CDF) definiše verovatnoću da će vrednosti slučajne promenljive (X) biti manje ili jednake izabranoj vrednosti x: FX(x) = P[X ≤ x] (1.3) Vrednosti funkcije raspodele verovatnoće (CDF) se dobijaju integraljenjem funkcije gustine verovatnoće (PDF). Obe funkcije predstavljene su odgovarajućim dijagramima na Slici 1.8. Ordinata u tački x na CDF dijagramu (dole) predstavlja označenu površinu P{X ≤ x} ispod funkcije gustine verovatnoće (PDF) levo od tačke x na gornjem dijagramu. Slika 1.8 Funkcije verovatnoće slučajne promenljive X: Funkcija gustine verovatnoće - PDF (gore) i funkcija raspodele verovatnoće - CDF (dole) Poglavlje 1. Uvod 16 Položaj i oblik svake funkcije gustine i raspodele verovatnoće definišu njeni centralni momenti, koji se tako nazivaju zbog analogije sa momentima u mehanici krutih tela (Baecher i Christian, 2003): Prvi centralni momenat: Srednja (očekivana) vrednost  dxxfx Xx     (1.4) Ova vrednost se u teoriji verovatnoće naziva matematičko očekivanje i ozačava sa E(X). Primer primene bi mogla da bude analiza niza rezultata x1, x2,....., xn, dobijenih pri opitu jednoaksijalne čvrstoće u laboratoriji. Ako postoji n različitih vrednosti, srednja vrednost ( ) se može sračunati iz izraza: (1.5) Drugi centralni momenat: Varijansa (disperzija)    dxxfx Xxx     22  (1.6) Ovaj momenat se u literaturi označava i sa V(X) i predstavlja meru odstupanja vrednosti slučajne promenljive od srednje vrednosti, tj. meru varijabilnosti slučajne promenljive. Umesto varijanse (disperzije), pogodnije je da se za opis rasejavanja vrednosti slučajne promenljive u odnosu na srednju vrednost koristi njen pozitivan kvadratni koren, tj. standardna devijacija ( ), jer se izražava u istim jedinicama kao srednja vrednost. Na Slici 1.9 prikazane su karakteristične PDF funkcije za dve slučajne promenljive koje imaju istu srednju vrednost (x) i različitu standardnu devijaciju (x). Slika 1.9 PDF funkcije za slučajne promenljive sa istim x i različitim x    n i ix n x 1 1 Poglavlje 1. Uvod 17 Međutim, često nije lako samo na osnovu standardne devijacije zaključiti da li je varijabilnost slučajne promenljive velika ili mala. Na primer, standardna devijacija =1 može ukazivati na značajnu varijabilnost slučajne promenljive (ako je srednja vrednost reda veličine jedinice), ali i na zanemarljivu varijabilnost, tj. praktično determinističku situaciju (ako je srednja vrednost reda veličine milion). Zato se u praksi češće koristi pokazatelj, koji je i bezdimenzionalan, ali i daje relativan osećaj mere varijabilnosti. To je koeficijent varijacije (COV), koji predstavlja odnos standardne devijacije i srednje vrednosti: (1.7) Iako je za μx=0 neodređen, koeficijent varijacije je vrlo popularan kao način izražavanja varijabilnosti svojstava materijala i opterećenja, gde su srednje vrednosti generalno različite od nule. Pojedini autori su na osnovu in situ ispitivanja prikupili podatke o rasponu vrednosti koeficijenta varijacije različitih svojstava tla. U dobro poznatoj studiji Phoon i Kulhawy (1999a) daju podatak da u peskovito-glinovitom tlu COV vrednosti efektivnog ugla unutrašnjeg trenja iznosi 5 ÷ 15%, dok je COV vrednosti efektivne kohezije 30 ÷ 40%. Očigledno je rasejavanje dobijenih rezultata mnogo veće za koheziju nego za ugao unutrašnjeg trenja. Uobičajene vrednosti COV za smičuću čvrstoću tla su od 20 do 40%, a za gustinu tla svega 5%. Treći centralni momenat: Iskošenost (asimetrija)    dxxfx Xxx     3  (1.8) Iskošenost (νx) predstavlja meru simetričnosti skupa vrednosti u odnosu na srednju vrednost. Za νx = 0 vrednosti slučajne promenljive su raspoređene simetrično u odnosu na srednju vrednost, što je odlika funkcije normalne raspodele. Na Slici 1.10 (a) prikazana je pozitivno iskošena funkcija raspodele (νx > 0), koja je u području malih vrednosti strma, a ka velikim položena, a na Slici 1.10 (b) negativno iskošena funkcija raspodele (νx < 0), koja je u području malih vrednosti položena, a ka velikim strma. Praksa ukazuje da negativno iskošene funkcije nisu pogodne za predstavljanje parametara tla. Poglavlje 1. Uvod 18 Slika 1.10 Primer pozitivno (a) i negativno (b) iskošene funkcije raspodele verovatnoća Za potrebe kvantitativne analize promenljivosti, pored prethodno pomenutih pokazatelja, koristi se i koeficijent korelacije (ρXY), koji izražava stepen linearne zavisnosti između promenljivih X i Y:                 n i n i YiXi n i YiXi XY yx yx 1 1 22 1    (1.9) Vrednosti ρXY kreću se u rasponu od -1 do +1. Što je apsolutna vrednost ρXY bliža jedinici, jača je linearna zavisnost između promenljivih. Ako je ρXY = 0, promenljive X i Y su linearno nezavisne; ρXY > 0 je u slučaju kad rast jedne promenljive istovremeno prati rast druge, a ρXY < 0 kada rast jedne promenljive prati opadanje druge (Slika 1.11). Npr. korelacija između parametara smičuće čvrstoće tla c i φ je uglavnom negativna, pri čemu se ρcφ kreće od -0,72 do 0,35 (Lumb, 1970; Grivas, 1981; Wolff, 1985). Slika 1.11 Primeri: (a) savršeno pozitivne korelacije između promenljivih X i Y; (b) savršeno negativne korelacije između promenljivih X i Y; (c) linearno nezavisnih promenljivih X i Y Postoji veliki broj različitih funkcija raspodele verovatnoće (uniformna, trougaona, eksponencijalna, beta, gama, Student-ova t raspodela, itd.), a najpoznatije su ρ XY = -1,0 ρ XY = 0 ρ XY = +1,0 X X X Y Y Y Poglavlje 1. Uvod 19 one iz familije normalnih raspodela (Normalna i logNormalna), koje se najčešće koriste u praksi za opis parametara tla kao slučajnih promenljivih u probabilističkim analizama. Gauss-ova (Normalna) funkcija je verovatno najvažnija funkcija raspodele od svih koje se danas koriste. Karakteriše je simetrija i matematička jednostavnost, jer su potrebna samo dva parametra (srednja vrednost i standardna devijacija) da bi bila potpuno definisana:        xexf x xx x X 2 2 2 2 1    (1.10) Pokazuje se da brojna laboratorijska ispitivanja pokazatelja tla daju raspodelu učestalosti koja je vrlo bliska normalnoj, pa se praktično svi pokazatelji mogu smatrati slučajnim promenljivim saglasnim sa funkcijom normalne raspodele. Ukupna površina ispod krive normalne raspodele jednaka je jedinici, pa površina ispod krive za određeni interval vrednosti x predstavlja verovatnoću da se dobije vrednost x unutar tog intervala. Na Slici 1.12 prikazane su funkcija gustine verovatnoće (PDF) i funkcija raspodele verovatnoće (CDF) normalne funkcije raspodele verovatnoće. Vrednosti ove funkcije su tabelirane, a mogu se dobiti i pomoću funkcije NORMSDIST u Microsoft Excel-u. Slika 1.12 Normalna funkcija raspodele verovatnoće: (a) PDF, (b) CDF Međutim, za modeliranje promenljivih koje su ne-negativne (čvrstoće tla, modul elastičnosti, itd.) normalna funkcija raspodele nije uvek najpogodnija jer „dozvoljava“ pojavu i negativnih vrednosti. Ovo je posebno izraženo ako slučajna promenljiva ima veliki koeficijent varijacije, pa je veći i „rizik“ od pojave negativnih vrednosti. U takvim situacijama može se koristiti neka ne-negativna funkcija raspodele, kao što je Poglavlje 1. Uvod 20 npr. logNormalna funkcija raspodele:     0 2 1 2 ln 2 ln 2 ln ln    xe x xf x xx x X    (1.11) Ako su vrednosti logaritma slučajne promenljive X - ln(X) "normalno raspoređene", onda su vrednosti te promenljive X raspoređene saglasno funkciji logNormalne raspodele (Slika 1.13). Ovom funkcijom se mogu predstaviti one promenljive čije su vrednosti isključivo pozitivne (parametri čvrstoće tla) i značajno variraju (npr. koeficijent vodopropusnosti). Slika 1.13 logNormalna funkcija raspodele verovatnoće: (a) PDF promenljive ln(X), (b) PDF promenljive X Pored prethodno opisanih, postoji i čitav niz drugih funkcija raspodele koje mogu da se koriste u probabilističkim analizama. Među njima se mogu izdvojiti: Uniformna funkcija raspodele:   bxa ab xf X    1 (1.12) Ovo je najjednostavnija od svih funkcija raspodele, jer je konstantna unutar definisanog opsega [a, b]. Može se koristiti za predstavljanje promenljivih za koje su poznate samo granične vrednosti (Slika 1.14). Slika 1.14 Uniformna funkcija raspodele verovatnoće: (a) PDF, (b) CDF (a) (b) (a) (b) Poglavlje 1. Uvod 21 Eksponencijalna funkcija raspodele:   0  xexf xX  (1.13) Ova funkcija se najčešće koristi za modeliranje vremenski zavisnih procesa, kao što su pojave zemljotresa, gde  predstavlja broj pojava u jedinici vremena. Na Slici 1.15 prikazane su PDF i CDF eksponencijalne funkcije raspodele verovatnoće. Slika 1.15 Eksponencijalna funkcija raspodele verovatnoće: (a) PDF, (b) CDF Beta funkcija raspodele (Harr, 1987) je pogodna za modeliranje promenljivih koje su sa obe strane ograničene i za koje su poznate srednja vrednost i standardna devijacija, a s obzirom da ne „pati“ od problema ekstremnih vrednosti, može da se koristi kao zamena za skoro svaku od uobičajenih funkcija raspodele. Danas su, zahvaljujući lako dostupnom softveru, mnogi proračuni iz ove oblasti automatizovani, pa više nije neophodno ekspertsko poznavanje i razumevanje matematičkih postupaka uključenih u sve ove raspodele verovatnoće. Međutim, softver ne treba koristiti „slepo“, već uvek oprezno i uz razumevanje šta softver tačno radi. Metode teorije verovatnoće ili matematičke statistike nikako ne protivreče, već predstavljaju dopunu klasičnim metodama, jer omogućavaju dublju analizu pojava uzimanjem u obzir i slučajnih elemenata. To je i prirodna posledica razvoja prirodnih i tehničkih nauka, jer sa produbljenijim izučavanjem bilo kakvih pojava nastupa etapa kada je potrebno sagledati ne samo osnovne zakonitosti nego i njihovu pozadinu, odnosno detaljnije manifestacije. Zbog specifičnosti izučavanih pojava, ali i istorijskih uslova, prodor ovih metoda u neke nauke se dešava ranije, a u neke kasnije (Babić, 2009). Danas, praktično ne postoji nijedna naučna oblast u kojoj se u većoj ili manjoj meri ne primenjuju metode teorije verovatnoće. Poglavlje 1. Uvod 22 1.5 Predmet, ciljevi i zadaci istraživanja Predmet naučnog istraživanja sprovedenog u okviru ove teze su geotehničke računske analize stabilnosti, u kojima je definisanje odgovarajućeg modela tla otežano zbog kompleksnosti materijala (tla) i neodređenosti uticajnih faktora (parametara tla i opterećenja). U tradicionalnoj, determinističkoj analizi ulazni parametri tretiraju se kao konstante. Stabilnost se ocenjuje preko sračunatog faktora sigurnosti, bez kvantifikacije nivoa rizika (verovatnoće loma). Jasno je da se rizik umanjuje korišćenjem faktora sigurnosti i konzervativnih vrednosti ulaznih parametara. Ako su ove vrednosti nedovoljno konzervativne (u slučaju kad je neodređenost ulaznih parametara veća od pretpostavljene), proračun vodi ka nestabilnosti. S druge strane, ako su usvojene vrednosti ulaznih parametara suviše konzervativne (kad je njihova neodređenost manja od pretpostavljene), proračun vodi ka predimenzionisanju. Ograničenja u primeni determinističke analize stabilnosti su u tome što se ne uzima u obzir neodređenost ulaznih parametara i (pošto ne postoji direktna veza između sračunatog faktora sigurnosti i verovatnoće loma) ne daje odgovor na pitanje „Kolika je verovatnoća pojave loma?“, koje (logično i opravdano) postavlja investitor, ali i zakonodavac. Ove činjenice ukazuju na to da je priroda problema u geotehničkim analizama stabilnosti pre probabilistička nego deterministička. Drugim rečima, stabilnost geotehničkog sistema je slučajan proces, koji zavisi od raspodele mogućih vrednosti uticajnih faktora. Probabilistička priroda problema stabilnosti geotehničkog sistema omogućuje da se u probabilističkoj analizi ulazni parametri opišu funkcijama raspodele verovatnoća, a nivo rizika kvantifikuje preko indeksa pouzdanosti. Ciljevi naučnog istraživanja, koje će biti sprovedeno u okviru ove teze, su da se na osnovu detaljnog prikaza tradicionalnog determinističkog koncepta, s jedne, i probabilističkog koncepta u geotehničkim računskim analizama stabilnosti, s druge strane, i njihove primene pri rešavanju karakterističnih geotehničkih problema, omogući:  uporedna analiza rezultata dobijenih primenom ovih postupaka,  identifikacija ulaznih parametara i kvantifikacija stepena njihove neodređenosti, Poglavlje 1. Uvod 23  upoređivanje vrednosti ulaznih parametara pretpostavljenih funkcijom raspodele vrednosti i onih dobijenih eksperimentalnim putem,  kvantifikacija nivoa rizika u problemima koji se rešavaju,  analiza modela tla primenjenih u proračunima stabilnosti karakterističnih geotehničkih problema i definisanje postupaka za njihovo unapređenje. U ovom istraživanju se primenjuju sledeće osnovne hipoteze (pretpostavke o ponašanju materijala (tla)): - pri rešavanju problema stabilnosti (nosivost tla, zemljani pritisci, stabilnost kosina, itd.) realno tlo se predstavlja modelom idealno plastičnog (kruto plastičnog) materijala. Podrazumeva se da je tlo kruto nedeformabilno sve do loma, a da pri lomu deformacije postaju neograničeno velike, - pri rešavanju problema deformacije (sleganja) primenjuju se zakoni teorije elastičnosti (Hook-ov zakon), a realno tlo se u području radnih napona predstavlja modelom idealno (linearno) elastičnog materijala, - u računskoj analizi stabilnosti kosina primenjuje se metoda granične ravnoteže (metoda analize stabilnosti za potencijalne površine klizanja), kod koje se pretpostavlja površina klizanja (ravna, kružna, u obliku logaritamske spirale, poligonalno-cilindrična, itd.) duž koje je ispunjen uslov loma, a rešenje se dobija preko uslova ravnoteže. Metode istraživanja uslovljene su prirodom problematike koja je predmet istraživanja. Modeliranje tla za potrebe geotehničke računske analize stabilnosti vrši se na osnovu identifikacije ulaznih parametara (karakteristika tla i opterećenja), unošenja njihovih numeričkih vrednosti (konstantnih - za potrebe determinističke analize, odnosno funkcije raspodele verovatnoće za opis raspona mogućih vrednosti svakog parametra – za potrebe primene probabilističkog koncepta u računskoj analizi stabilnosti). Uporedna računska analiza stabilnosti svakog iz niza izabranih karakterističnih geotehničkih problema izvodi se primenom prvo determinističkog, a zatim i probabilističkog koncepta. Eksperimentalnim putem, ispitivanjem u laboratoriji na seriji uzoraka, odredile bi se vrednosti ulaznih parametara, što bi omogućilo testiranje pretpostavljenih funkcija raspodele vrednosti za svaki ulazni parametar. Poglavlje 1. Uvod 24 Zadatak istraživanja sprovedenog u okviru ove teze je da pruži detaljan uvid u strukturu postupaka geotehničke računske analize stabilnosti zasnovanih na probabilističkom konceptu, gde se svaki ulazni parametar opisuje rasponom mogućih vrednosti i predstavlja funkcijom raspodele verovatnoće. Upoređivanje ovih postupaka sa determinističkim postupkom, uobičajenim u inženjerskoj praksi, gde se ulazni parametri tretiraju kao određene, konstantne veličine i koji nema mogućnosti da kvantifikuje nivo rizika tj. verovatnoću loma, treba da ukaže na prednosti probabilističkog pristupa u računskoj analizi stabilnosti i na mogućnosti njegove primene u našim uslovima. U razvijenim zemljama zakonska regulativa već više decenija unazad obavezuje, kako ostale, tako i stručnjake iz oblasti geotehnike, da u svoja rešenja uključe i kategoriju pouzdanosti, tj. nivoa rizika. Ovi zahtevi su posebno izraženi u oblastima koje su po pitanju rizika vrlo osetljive i zato zakonski precizno regulisane, kao što su nuklearna energija, deponije, akumulacije, klizišta, površinski kopovi, zaštita životne sredine, itd. Kako je ovaj trend sve prisutniji i u drugim oblastima delovanja, očekuje se da će vrlo brzo ovi kriterijumi početi i kod nas da se primenjuju, što dodatno potvrđuje tezu da stručnjaci iz oblasti geotehnike treba da ovladaju znanjem potrebnim za primenu probabilističkog koncepta u računskoj analizi stabilnosti i da ga kroz rešavanje problema u praksi usavršavaju. U disertaciji će se uporediti rezultati dobijeni primenom ovih postupaka i analizirati primenjeni računski modeli tla upoređivanjem vrednosti pretpostavljenih funkcijom sa onima dobijenim eksperimentalnim putem, što će unaprediti postupak usvajanja adekvatnog modela tla. 2. PREGLED PODRUČJA ISTRAŽIVANJA Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 26 2 PREGLED PODRUČJA ISTRAŽIVANJA Intenzivan razvoj metoda geotehničkih analiza usledio je nakon što je Terzaghi (1925) definisao teorijski koncept mehanike tla, a posebno u periodu posle II svetskog rata, zahvaljući obimnim teorijskim, eksperimentalnim i terenskim istraživanjima. Geotehnički proračun mora da obezbedi stabilnost projektovane konstrukcije zajedno sa podlogom, kao i da su deformacije u dozvoljenim granicama, kako za projektovanu konstrukciju, tako i za sve ostale u neposrednom okruženju. U proteklim decenijama geotehnički proračuni bili su zasnovani na konvencionalnom determinističkom pristupu, gde je uobičajeno da se heterogena masa tla podeli u statistički homogene slojeve. a da se onda reprezentativni pokazatelji ovih slojeva (tj. njihove prosečne vrednosti) koriste u proračunima i analizama. Pri tome se potpuno zanemaruje efekat promenljivosti tih pokazatelja u odnosu na prosečnu vrednost (Davidović i dr., 2012). U tradicionalnim geotehničkim analizama koristi se pristup zasnovan na faktoru sigurnosti na dva načina: U analizi nosivosti tla ispod temelja prvo se iz Terzaghijeve jednačine dobija granično opterećenje, koje se zatim deli faktorom sigurnosti da bi se za potrebe projektovanja dobilo dozvoljeno opterećenje. S druge strane, u analizi stabilnosti kosina faktor sigurnosti uključen je kroz redukciju smičuće čvrstoće tla pre proračuna za stanje granične ravnoteže. U svakom slučaju, faktor sigurnosti predstavlja opšti faktor koji implicitno obuhvata sve izvore promenljivosti i neodređenosti prisutne u geotehničkoj analizi. Iako je uticaj neodređenosti, promenljivosti i rizika prisutnih u geotehničkoj problematici na geotehničke proračune uočen i analiziran još pre skoro 50 godina (Casagrande, 1965), tek u poslednjih par decenija prepoznat je značaj probabilističkog koncepta, pa su urađene brojne studije koje doprinose razvoju probabilističkog metoda analize, u kome se neodređenosti i promenljivosti prisutne u svojstvima tla tretiraju na sistematski način (Vanmarcke, 1977; Li i Lumb, 1987; Duncan, 2000). Detaljne prikaze Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 27 ovih studija sa svojim komentarima dali su Mostyn i Li (1993), Elkateb i dr. (2002), kao i Baecher i Christian (2003). U novije vreme brojni autori su posebnu pažnju posvetili analizi uticaja inherentne varijabilnosti svojstava tla na različite aspekte ponašanja geotehničkih konstrukcija. Tako su Paice i dr. (1996) proučavali sleganja temelja na elastičnoj podlozi. Analizom ovih uticaja na ponašanje plitkih temelja bavili su se, pored ostalih, Griffiths i Fenton (2001, 2002), Fenton i Griffiths (2003), Popescu i dr. (2005) i Cho i Park (2009). Sličnom analizom Haldar i Babu (2007) su obuhvatili duboke temelje pod vertikalnim opterećenjem. Griffiths i Fenton (2000) svoje istraživanje sproveli su u analizi stabilnosti kosina, dok su se Popescu i dr. (1997, 2005a) i Koutsourelakis i dr. (2002) bavili problemom likvefakcije tla izazvane seizmičkim uticajima. U poslednje vreme računari postaju sve moćniji, a geotehnički softver, koji se nudi na tržištu, sve raznovrsniji i dostupniji, što omogućava da se različiti geotehnički proračuni, čak i oni veoma složeni, nelinearni i vremenski zavisni, rešavaju mnogo lakše i brže nego ranije. Sve više determinističke metode za rešavanje geotehničkih problema se kombinuju sa statističkim metodama, kako bi se obuhvatio uticaj neodređenosti i promenljivosti ključnih parametara u problemu. Neosporna je činjenica da je mnogo veći napredak učinjen na polju razvoja metoda kompjuterskih proračuna, nego u karakterizaciji mehaničkog ponašanja geomaterijala. Zbog toga je neophodno da se ulazni parametri za računske modele usvajaju na osnovu što je moguće kvalitetnijih podataka dobijenih terenskim i laboratorijskim ispitivanjima. U suprotnom, upotrebna vrednost rezultata dobijenih primenom sofisticiranih kompjuterskih metoda, ako je uopšte ima, biće vrlo ograničena. Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 28 2.1 Promenljivost i neodređenost parametara tla Mehanika tla, koja je kao naučna disciplina formirana početkom XX veka, suštinski se razlikuje od prakse koja se u oblasti geotehničkih radova primenjivala još od antičkog doba, pored ostalog, po sistematizovanim procedurama merenja, analize i kontinuiranog osmatranja svojstava tla. Rezultati tako sprovedenih merenja, skoro bez izuzetka, ukazuju na značajnu varijabilnost fizičkih svojstava prirodnog tla, čak i unutar prividno homogenih slojeva na istoj lokaciji (Baecher i Christian, 2003). Ova prirodna promenljivost svojstava tla i drugih in situ uslova predstavlja glavni izvor neodređenosti po kojima je geotehnička inženjerska praksa karakteristična. U okviru ovog poglavlja biće dat statistički prikaz pokazatelja promenljivosti i neodređenosti svojstava prirodnog tla na bazi laboratorijskih i terenskih ispitivanja, koja su sproveli pojedini autori. Na osnovu raspoloživih podataka iz literature, Baker i Calle (2006) su dali pregled uobičajenih vrednosti nekih parametara nekoherentnog tla u različitim stanjima zbijenosti (Tabela 2.1). Tabela 2.1 Uobičajene vrednosti nekih parametara nekoherentnog tla Nekoherentno tlo Stanje zbijenosti Zapreminska težina (suva) Zapreminska težina (zasićena) Koeficijent unutrašnjeg trenja Modul elastičnosti γd (kN/m 3 ) γz (kN/m 3 ) tanφ' E (MN/m2) Krupnozrni šljunak, drobina rastresit srednje zbijen zbijen 15 - 17 17 - 18 18 - 20 19 - 20 20 - 21 21 - 23 0.65 - 0.73 0.70 - 0.83 0.78 - 0.90 150 - 300 150 - 300 250 - 350 Pesak, šljunak ujednačene veličine zrna rastresit srednje zbijen zbijen 15 - 16 17 - 18 18 - 19 19 - 20 20 - 21 21 - 22 0.58 - 0.65 0.65 - 0.73 0.70 - 0.83 30 - 100 50 - 150 100 - 200 Pesak, šljunak dobro graduiran rastresit srednje zbijen zbijen 17 - 19 18 - 20 20 - 21 20 - 22 21 - 23 22 - 24 0.57 - 0.70 0.62 - 0.75 0.70 - 0.85 30 - 100 50 - 150 150 - 250 Pesak malo zamuljen zamuljen 18 - 20 20 - 21 20 - 21.5 19.5 - 20.5 0.50 - 0.65 0.45 - 0.60 25 - 50 20 - 40 Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 29 Isti autori su na sličan način obradili i prikazali podatke koji se odnose na koherentna tla u različitim stanjima konzistencije (Tabela 2.2). Tabela 2.2 Uobičajene vrednosti nekih parametara koherentnog tla Koherentno tlo Stanje konzistencije Zapreminska težina (zasićena) Koeficijent unutrašnjeg trenja Kohezija (drenirana) Smičuća čvrstoća (nedrenirana) Modul elastičnosti (NC tlo) γz (kN/m 3 ) tanφ' c' (kN/m2) Su (kN/m 2 ) E (MN/m 2 ) Neorgansko, visoko plastično meko tvrdo vrlo tvrdo 16 - 18 17 - 19 20 - 22 0.27 - 0.36 0.27 - 0.36 0.27 - 0.36 0 - 5 5 - 15 15 - 30 10 - 20 20 - 50 50 - 100 1 - 2 2 - 4 4 - 10 Neorgansko, srednje plastično meko tvrdo vrlo tvrdo 17 - 19 18 - 20 19 - 21 0.35 - 0.42 0.35 - 0.42 0.35 - 0.42 0 - 5 5 - 10 10 - 20 0 - 10 15 - 30 40 - 100 1 - 2 2 - 4 4 - 10 Neorgansko, nisko plastično 18 - 20 0.40 - 0.60 0 - 5 0 - 10 2 - 5 Organska tla, mulj meko tvrdo 13 - 18 14 - 19 0.24 - 0.28 0.24 - 0.28 0 - 5 5 - 10 5 - 20 15 - 30 0.2 - 0.5 0.5 - 1 U poslednje vreme mogućnosti za merenje svojstava prirodnog tla značajno su povećane, zahvaljujući intenzivnom razvoju metoda i opreme za ispitivanje. Moderni laboratorijski aparati pružaju mnogo, ali u najvećem broju slučajeva “zahtevaju” neporemećene reprezentativne uzorke tla, koje je teško, a često i nemoguće dobiti. Inovativna rešenja na polju in situ ispitivanja omogućavaju da se zaobiđe problem “reprezentativnosti” i “neporemećenosti” uzoraka. Međutim, ovaj trend nije (još uvek) propraćen adekvatnim povećanjem sposobnosti inženjera geotehničara da varijabilnost parametara tla, registrovanu u rezultatima ispitivanja, uključe u geotehničke analize. U nastavku je dat sažeti tekstualni i tabelarni prikaz rezultata do kojih su došli istraživači koji su se bavili ovom problematikom. Jones i dr. (2002) su u cilju procene promenljivosti geotehničkih svojstava tla raspoložive publikovane podatke analizirali kroz 2 kategorije: (1) svojstva određena u laboratoriji, i (2) svojstva određena na terenu (opitima in situ). U okviru svake kategorije razmatrana je posebno inherentna (prirodna) varijabilnost i merna varijabilnost (posledica grešaka pri merenju). Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 30 2.1.1 Svojstva tla određena laboratorijskim ispitivanjima Svojstva tla koja se određuju laboratorijskim ispitivanjima su od značaja za određivanje indeksnih pokazatelja tla, parametara čvrstoće i pokazatelja konsolidacije. U Tabeli 2.3 dat je prikaz raspona laboratorijski izmerenih vrednosti i odgovarajućih koeficijenata varijacije za prirodnu vlažnost (w), zapreminsku težinu prirodno vlažnog tla (γ), suvog tla (γd), potopljenog tla (γ'), specifičnu težinu (GS), relativnu gustinu (Dr) i stepen zasićenja (SR). Tabela 2.3 COV laboratorijski izmerenih vrednosti pokazatelja vlažnosti i gustine tla Parametar tla Oznaka (jed) Vrsta tla Vrednost COV (%) Izvor podataka (Autor, godina) Raspon Prosek Raspon Prosek w (%) Sitnozrno 13 - 105 29 7 - 46 18 (Phoon i Kulhawy,1999) w (%) Glina * * 13 - 20 * (Harr, 1987) w (%) * * * * 17.7 (Kulhawy,1992) γ (kN/m3) Sitnozrno 14 - 20 17.5 3 - 20 9 (Phoon i Kulhawy,1999) γd (kN/m 3 ) Sitnozrno 13 - 18 15.7 2 - 13 7 (Phoon i Kulhawy,1999) γ' (kN/m 3 ) Sva tla 5 - 11 * 0 - 10 * (Lacasse i Nadim, 1996) GS (1) * * * 2 * (Harr, 1987) Dr (a) (%) Pesak 30 - 70 50 11 - 36 19 (Phoon i Kulhawy,1999) Dr (b) (%) Pesak 30 - 70 50 49 - 74 61 (Phoon i Kulhawy,1999) SR (%) * * * 10 * (Harr, 1987) * nema podatka (a) direktno određeno; (b) indirektno određeno, na osnovu SPT vrednosti Sadržina vode (w) i zapreminska težina (γ) su parametri tla koji se koriste u skoro svim geotehničkim proračunima. S obzirom da su postupci kojima se određuju vrlo jednostavni, u literaturi postoji veliki broj podataka o izmerenim vrednostima ovih parametara. Iz Tabele 2.3 se može videti da koeficijent varijacije za prirodnu vlažnost varira od zanemarljivih 7% do preko 46%. S druge strane, činjenica da zapreminska težina u poređenju sa drugim svojstvima tla znatno manje varira ne predstavlja iznenađenje, prvo, zbog toga što najveći broj minerala od kojih je tlo sastavljeno ima specifične težine koje su u uskom opsegu (GS = 2,65 ÷ 2,75) i drugo, postupak laboratorijskog određivanja zapreminske težine je precizno definisan, pa su greške pri merenju male. Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 31 Pokazatelji plastičnosti su važni za klasifikaciju tla i za definisanje inženjerskog ponašanja tla. U Tabeli 2.4 prikazani su rasponi laboratorijski izmerenih vrednosti i odgovarajućih koeficijenata varijacije za granicu tečenja (LL), granicu plastičnosti (PL), indeks plastičnosti (PI) i indeks tečenja (LI). Tabela 2.4 COV laboratorijski izmerenih vrednosti pokazatelja plastičnosti tla Parametar tla Oznaka (jed) Vrsta tla Vrednost COV (%) Izvor podataka (Autor, godina) Raspon Prosek Raspon Prosek LL (%) Sitnozrno 27 - 89 51 7 - 39 18 (Phoon i Kulhawy,1999) LL (%) Glina 30 - 80 * 3 - 20 * (Lacasse i Nadim, 1996) LL (%) * * * * 11.3 (Kulhawy,1992) PL (%) Sitnozrno 14 - 27 22 6 - 34 16 (Phoon i Kulhawy,1999) PL (%) Glina 13 - 23 * 3 - 20 * (Lacasse i Nadim, 1996) PL (%) * * * * 11.3 (Kulhawy,1992) PI (1) Sitnozrno 12 - 44 25 9 - 57 29 (Phoon i Kulhawy,1999) LI (1) Glina, mulj * 0.094 60 - 88 74 (Phoon i Kulhawy,1999) * nema podatka Nije neuobičajeno to što koeficijenti varijacije za granicu tečenja (LL) i granicu plastičnosti (PL) iznose i više od 30% ako se zna da greška pri ispitivanju Atterbergovih granica može da bude i veća od 10%. Između granice tečenja i indeksa plastičnosti skoro uvek postoji jaka pozitivna korelacija, dok granica tečenja i granica plastičnosti imaju tendenciju da budu u pozitivnoj, ali ne tako jakoj korelaciji. Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 32 Parametri čvrstoće tla su verovatno najvažniji od svih parametara koji se koriste u geotehničkim proračunima. U Tabeli 2.5 dati su rasponi laboratorijski određenih vrednosti i odgovarajućih koeficijenata varijacije za koheziju (c), drenirani ugao unutrašnjeg trenja (φ'), koeficijent unutrašnjeg trenja (tanφ') i nedreniranu smičuću čvrstoću (Su). Tabela 2.5 COV laboratorijski izmerenih vrednosti parametara čvrstoće tla Parametar tla Oznaka (jed) Vrsta tla Vrednost COV (%) Izvor podataka (Autor, godina) Raspon Prosek Raspon Prosek c (kPa) * * * 40 * (Harr, 1987) φ' (°) Pesak 35 - 41 37.6 5 - 11 9 (Phoon i Kulhawy,1999) φ' (°) Glina, mulj 9 - 33 15.3 10 - 56 21 (Phoon i Kulhawy,1999) φ' (°) Glina, mulj 17 - 41 33.3 4 - 12 9 (Phoon i Kulhawy,1999) φ' (°) * * * * 12.6 (Kulhawy,1992) φ' (°) Pesak * * 2 - 5 * (Lacasse i Nadim, 1996) φ' (°) Šljunak * * 7 * (Harr, 1987) φ' (°) Pesak * * 12 * (Harr, 1987) tanφ' (1) Glina, mulj 0.24 – 0.69 0.51 6 - 46 20 (Phoon i Kulhawy,1999) tanφ' (1) Glina, mulj * 0.61 6 - 46 23 (Phoon i Kulhawy,1999) tanφ' (1) Pesak * * 2 - 5 * (Lacasse i Nadim, 1996) tanφ' (1) * * * * 11.3 (Kulhawy,1992) su (a) (kPa) Sitnozrno 6 - 412 100 6 - 56 33 (Phoon i Kulhawy,1999) su (b) (kPa) Glina, mulj 15 - 363 276 11 - 49 22 (Phoon i Kulhawy,1999) su (c) (kPa) Glina 130-713 405 18 - 42 32 (Phoon i Kulhawy,1999) su (d) (kPa) Glina 8 - 638 112 6 - 80 32 (Phoon i Kulhawy,1999) su (d) (kPa) * * * * 33.8 (Harr, 1987) su (d) (kPa) Glinovit mulj * * 10 - 30 * (Lacasse i Nadim, 1996) su (e) (kPa) Glina * * 5 - 20 * (Lacasse i Nadim, 1996) * nema podatka (a) 1-ax kompresija; (b) 3-ax opit (UU); (c) 3-ax opit (CU); (d) nije naveden opit; (e) 3-ax opit Baecher i dr. (1983) daju detaljan pregled promenljivosti ugla unutrašnjeg trenja određenog laboratorijskim ispitivanjima, koja su pojedini autori sproveli za različite vrste tla (Tabela 2.6). Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 33 Tabela 2.6 COV laboratorijski određenih vrednosti φ' za različite vrste tla Vrsta tla COV (%) Izvor podataka (autor, godina) Različita tla 9 (Lumb, 1966) Gline 40 (Kotzias i dr., 1993) Aluvijalna tla 16 (Wolff, 1996) Peskovi 2 - 5 (Lacasse i Nadim, 1996) Jalovišta 5 - 20 (Baecher i dr., 1983) Varijabilnost vrednosti efektivnog ugla unutrašnjeg trenja (φ') dobijenih laboratorijskim merenjima je značajno manja nego kod vrednosti φ' koje su dobijene opitima in situ. Ovo se može objasniti time što se laboratorijski opiti izvode sa više pažnje nego terenski i što su uzorci za laboratorijska ispitivanja po pravilu kvalitetniji od onih na kojima se vrše terenska ispitivanja. Parametri konsolidacije i vodopropusnosti tla se koriste pri definisanju odnosa “napon-deformacija” i vremenski zavisnog ponašanja tla. Tabela 2.7 sadrži podatke o rasponu koeficijenata varijacije za indeks kompresije (Cc), pritisak prekonsolidacije (pc'), stepen prekonsolidacije (OCR), koeficijent vodopropusnosti (k), koeficijent konsolidacije (cv), koeficijent poroznosti (e) i poroznost (n). Tabela 2.7 COV laboratorijski izmerenih vrednosti parametara konsolidacije tla Parametar tla Oznaka (jed) Vrsta tla Vrednost COV (%) Izvor podataka (Autor, godina) Raspon Prosek Raspon Prosek Cc (1) Peskovita glina * * 26 * (Harr, 1987) Cc (1) Glina * * 30 * (Harr, 1987) Cc (1) * * * 37 * (Kulhawy,1992) pc' (kPa) * * * 19 * (Harr, 1987) OCR (1) * * * 10 - 35 * (Lacasse i Nadim, 1996) k (m/s) * * * * 240 (a) (Harr, 1987) k (m/s) * * * * 90 (b) (Harr, 1987) cv (m 2 /s) * * * 33 - 68 * (Phoon i Kulhawy,1999) e, n, e0 (1) Sva tla * * 7 - 30 * (Lacasse i Nadim, 1996) n (1) * * * 10 * (Harr, 1987) * nema podatka (a) određeno pri 80% zasićenja uzorka; (b) određeno pri 100% zasićenja uzorka. Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 34 Vrednosti koeficijenta vodopropusnosti (k) za različite vrste tla variraju od zanemarljivo malih, reda veličine 10-12cm/s za gline, sve do skoro 1cm/s za šljunkove. Zato su i vrednosti koeficijenta varijacije za k ogromne (200 ÷ 300%). Kao rezultat toga, u praksi je uobičajeno da se vodopropusnost izražava u obliku logaritma, a njena varijabilnost modelira LogNormalnom funkcijom raspodele verovatnoća. Procedura kvantifikacije varijabilnosti uključuje i komponentu tzv. merne varijabilnosti, koja može da bude posledica nesavršenosti laboratorijske opreme, grešaka od strane lica koje vrši merenja, kao i slučajnih grešaka, koje se ne mogu proceniti posebno. Phoon i Kulhawy (1999) su tabelarno prikazali koeficijente varijacije mernih grešaka za neke laboratorijski određene parametre tla (Tabela 2.8). Tabela 2.8 Pregled merne varijabilnosti za neke laboratorijski određene parametre tla Parametar tla Oznaka (jed) Vrsta tla Vrednost COV (%) Izvor podataka (Autor, godina) Raspon Prosek Raspon Prosek su (a) (kPa) Glina, mulj 7 - 407 125 8 - 38 19 su (b) (kPa) Glina, mulj 108 - 130 119 19 - 20 20 (Phoon i Kulhawy,1999) su (c) (kPa) Glina 4 - 123 29 5 - 37 13 φ' (a) (°) Glina, mulj 2 - 27 19.1 7 - 56 24 φ' (b) (°) Glina, mulj 24 - 40 33.3 3 - 29 13 φ' (b) (°) Pesak 30 - 35 32.7 13 - 14 14 tanφ' (a) (1) Glina, mulj * * 2 - 22 8 tanφ' (b) (1) Pesak * * 6 - 22 14 w (%) Sitnozrno 16 - 21 18 6 - 12 8 LL (%) Sitnozrno 17 - 113 36 3 - 11 7 PL (%) Sitnozrno 12 - 35 21 7 - 18 10 PL (%) Sitnozrno 4 - 44 23 5 - 51 24 γ (kN/m3) Sitnozrno 16 - 17 17.0 1 - 2 1 * nema podatka (a) 3-ax opit; (b) opit direktnog smicanja; (c) laboratorijski opit krilnom sondom. Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 35 2.1.2 Svojstva tla određena terenskim ispitivanjima U mnogim slučajevima, svojstva tla se određuju direktno ili indirektno na bazi rezultata terenskih ispitivanja. Ova ispitivanja su posebno značajna za tla iz kojih je teško ili nemoguće uzeti neporemećene uzorke za laboratorijska ispitivanja. Opiti standardne (dinamičke) penetracije (SPT), statičke penetracije (CPT) i terenskom krilnom sondom (VST) su najčešće izvođeni terenski opiti, pa je zato literatura “bogata” statističkim podacima o rezultatima ovih ispitivanja. U Tabeli 2.9 dat je zbirni prikaz raspona izmerenih vrednosti i odgovarajućih koeficijenata varijacije za SPT opit (broj udaraca, N), CPT opit (otpor pri utiskivanju konusa, qc) i VST opit (smičuća čvrstoća, su). Tabela 2.9 COV rezultata terenskih SPT, CPT i VST opita Parametar tla Oznaka (jed) Vrsta tla Vrednost COV (%) Izvor podataka (Autor, godina) Raspon Prosek Raspon Prosek N (1) Glina i pesak 10 - 70 * 25 - 50 * (Phoon i Kulhawy,1996) N (1) Pesak 7 - 74 35 19 - 62 54 (Phoon i Kulhawy,1999) N (1) Glina (ilovača) 7 - 63 32 37 - 57 44 (Phoon i Kulhawy,1999) N (1) * * * 26 * (Harr, 1987) qc (MN/m 2 ) Glina 0.5 – 2.0 * 20 - 40 * (Phoon i Kulhawy,1996) qc (MN/m 2 ) Pesak 0.5 – 30.0 * 20 - 60 * (Phoon i Kulhawy,1996) qc (MN/m 2 ) Pesak 0.4 – 29.2 4.10 10 - 81 38 (Phoon i Kulhawy,1999) qc (MN/m 2 ) Prašinasta glina 0.5 – 2.1 1.59 5 - 40 27 (Phoon i Kulhawy,1999) su (kN/m 2 ) Glina 5 - 400 * 10 - 40 * (Phoon i Kulhawy,1996) su (kN/m 2 ) Glina 6 - 375 105 4 - 44 24 (Phoon i Kulhawy,1999) * nema podatka Izvori merne varijabilnosti kod terenskih ispitivanja mogu da budu nesavršenost opreme, greške lica koje vrši ispitivanje, kao i slučajnih grešaka, koje se ne mogu proceniti posebno. Kulhawy i Trautmann (1996) su dali procenu procentualnog učešća ovih kategorija grešaka (COVoprema, COVprocedura i COVslučajno) u ukupnoj mernoj varijabilnosti (CoVukupno) za svaki od navedenih terenskih opita. COVukupno se računa prema sledećem izrazu: COVukupno (COVoprema) 2 (COVprocedura) 2 (COVslučajno) 2 ] 1/2 (2.1) Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 36 Raspon predstavlja granice očekivane veličine merne greške pri izvođenju terenskih opita, uzimajući u obzir ograničeni obim podataka i subjektivnost u proceni COV. U Tabeli 2.10 dat je prikaz ovih kategorija COV za navedene terenske opite. Tabela 2.10 Pregled merne varijabilnosti za neka terenska ispitivanja Terenski opit COV (%) COVoprema COVprocedura COVslučajno COVukupno Raspon SPT 5 - 75 5 - 75 12 - 15 14 - 100 15 - 45 CPTmehanički 5 10 - 15 10 - 15 15 - 22 15 - 25 CPTelektrični 3 5 5 - 10 8 - 12 5 - 15 VST 5 8 10 14 10 - 20 Napred navedeni rezultati ispitivanja osobina prirodnog tla ukazuju na to da se praktično sva svojstva tla mogu tretirati kao slučajne promenljive i da se njihova promenljivost može uspešno predstaviti normalnom ili lognormalnom funkcijom raspodele verovatnoća (Lumb, 1966; Tan i dr., 1993; Wolff i dr., 1996). Koristeći vrlo obimnu bazu podataka iz arhive norveškog geotehničkog instituta, Lacasse i Nadim (1996) su dali tabelarni prikaz karakterističnih raspona vrednosti koeficijenta varijacije (COV) za različite parametre tla. Osim toga, za svaki od ovih parametara predložili su odgovarajuću PDF funkciju raspodele verovatnoće (N – Normalna, LN – LogNormalna) koja je najpogodnija za modeliranje njegove promenljivosti (Tabela 2.11). Tabela 2.11 Karakteristični COV i odgovarajuće PDF funkcije raspodele za neke parametre tla Parametar tla Oznaka (jedinica) Vrsta tla PDF COV (%) Smičuća čvrstoća (nedrenirana) Su (kN/m 2 ) Glina Glinovit mulj LN N 5 - 20 10 - 30 Granica plastičnosti PL (%) Glina N 3 - 20 Granica tečenja LL (%) Glina N 3 - 20 Zapreminska težina (potopljena) γ' (kN/m3) Sva tla N 0 - 10 Ugao unutrašnjeg trenja φ' (°) Pesak N 2 - 5 Koeficijent poroznosti e (1) Sva tla N 7 - 30 Stepen prekonsolidacije OCR (1) Glina N / LN 10 - 35 Sadržina vode w (%) Sva tla N 13 - 20 Koeficijent vodopropusnosti k (m/s) Sva tla LN 200 - 300 Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 37 2.2 Probabilističke metode u geotehnici Iako prvi primeri probabilističkog pristupa u rešavanju geotehničkih problema datiraju iz 60-tih godina XX veka, sve do nedavno su istraživanja koja uključuju kombinaciju probabilističkog modeliranja i numeričkih analiza bila retka. Razlozi za to su brojni: nedovoljan obim podataka, visoki zahtevi u pogledu kompjuterske snage, nedostatak teorijskog znanja iz oblasti teorije verovatnoće, kao i skepticizam u pogledu primenljivosti probabilističkih metoda na geotehničke probleme. U početku su korišćene relativno jednostavne metode. Tek u poslednje vreme, zahvaljujući sve bržim i moćnijim računarima, kao i intenzivnom razvoju softvera, omogućeno je korišćenje složenijih i zahtevnijih probabilističkih metoda. Tradicionalni deterministički pristup u geotehničkim računskim analizama stabilnosti zasnovan je na faktoru sigurnosti (F), koji se u najopštijem slučaju definiše kao odnos raspoloživog otpora (R) i opterećenja (Q): F R / Q (2.2) Tipične vrednosti faktora sigurnosti, najčešće primenjivane u oblasti geotehnike, su F = 2 za probleme nosivosti tla, odnosno F = 1.5 za probleme stabilnosti kosina. Slučajevi iz prakse, međutim, pokazuju da kosine sa visokim sračunatim F nisu uvek najsigurnije, kao i obrnuto. Odnos između faktora sigurnosti i verovatnoće loma zavisi od neodređenosti prisutnih u otporima i opterećenjima. Duncan (2000) je u svom pregledu metoda analize stabilnosti kosina istakao da nije logično da se kroz propise ili tradicionalni pristup, ista vrednost F primenjuje na uslove sa vrlo različitim stepenom neodređenosti. Pošto neodređenosti prisutne u parametrima tla i opterećenjima nisu uzete u obzir pri proračunu F, on nije u dovoljnoj meri pouzdan indikator stabilnosti. Probabilističke analize u geotehnici obezbeđuju racionalan okvir za tretiranje inherentne promenljivosti parametara i odlučivanje u uslovima izražene neodređenosti. U zavisnosti od nivoa sofisticiranosti, ove analize daju sledeće rezultate (Nadim, 2007):  Verovatnoću loma (ili verovatnoću pojave nezadovoljavajućeg ishoda),  Indeks pouzdanosti,  Najverovatniju kombinaciju vrednosti parametara koja dovodi do loma, Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 38  Osetljivost rezultata na promene vrednosti parametara. Analiza pouzdanosti bavi se odnosom između opterećenja (Q) koja deluju na sistem i njegove sposobnosti da prihvati ta opterećenja, tj. raspoloživog otpora (R). Kako su u geotehničkim problemima i opterećenja i otpori neodređeni, rezultat njihove interakcije je takođe neodređen. U ovom kontekstu pojmovi „opterećenja“ i „otpori“ ne odnose se samo na čvrstoće i napone, već i na sve druge pojave koje su predmet analize. Uobičajeno je da se stabilnost sistema ocenjuje na osnovu indeksa pouzdanosti (), a preko njega se može odrediti verovatnoća loma (Pf) (Baecher i Christian, 2003). Promenljive R i Q se mogu predstaviti funkcijama gustine raspodele (PDF), kao što je prikazano na Slici 2.1, sa svim statističkim pokazateljima (μR, μQ, R, Q,...itd). Slika 2.1 Karakteristične PDF funkcije za otpore (R) i opterećenja (Q) Umesto tradicionalnog faktora sigurnosti definiše se margina sigurnosti (M), poznata i kao funkcija performansi (F), koja predstavlja razliku otpora i opterećenja: M R - Q (2.3) Srednja vrednost M ne zavisi od oblika funkcija raspodele verovatnoća za R i Q, i može se izraziti kao: μM  μR - μQ (2.4) Na Slici 2.2 (a) prikazana je rezultujuća PDF funkcija za M, a njoj odgovarajuća CDF funkcija za M na Slici 2.2 (b). Indeks pouzdanosti () je po definiciji odnos srednje vrednosti i standardne devijacije, pa je u ovom slučaju: ⁄ (2.5) P D F Q R Vrednost Q ili R Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 39 Na Slici 2.2 (a) indeks pouzdanosti predstavlja rastojanje srednje vrednosti M (μM) od njene kritične vrednosti (M = 0), izraženo brojem standardnih devijacija. Verovatnoća loma (Pf) po definiciji predstavlja verovatnoću da je M < 0. Na Slici 2.2 (a) verovatnoću loma označava šrafirana površina, a na Slici 2.2 (b) ordinata CDF funkcije u tački M = 0. Slika 2.2 PDF funkcija (a) i njoj odgovarajuća CDF funkcija (b) za marginu sigurnosti (M) Na Slici 2.3 prikazana je promenljivost parametra X po dubini (z) tzv. homogenog sloja. U tradicionalnoj determinističkoj analizi parametar X predstavlja se prosečnom ili nekom drugom karakterističnom vrednošću. Za razliku od toga, probabilistička analiza koristi sve podatke o parametru X i izražava ih u obliku funkcije gustine verovatnoće (PDF). Tako su na Slici 2.4 podaci o parametru X predstavljeni normalnom funkcijom raspodele, koju definišu dva statistička parametra - prosečna vrednost (μ) i standardna devijacija (). Treći statistički parametar – korak fluktuacije (), koji predstavlja meru heterogenosti parametra u okviru profila tla, prikazan je na Slici 2.3 (Samy, 2007). Što je ovaj korak kraći, to je prostorna promenljivost parametra izraženija. Nasuprot tome, duži korak ukazuje na manju varijabilnost parametra, tj. uniformniju raspodelu vrednosti. P D F  M μM pf pf (a) (b) p [ M < m ] m m PDF CDF Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 40 Slika 2.3 Promenljivost X po dubini (z) Slika 2.4 Funkcija gustine verovatnoće X Na osnovu ovih statističkih parametara moguće je generisati beskonačan broj numeričkih predviđanja (tzv. slučajnih polja) u vezi prostornog rasporeda vrednosti parametra X. Probabilistička analiza podrazumeva ponavljanje realizacija u procesu simulacije (npr. primenom Monte Carlo Simulation). Rezultati ovih realizacija prikazuju se u obliku PDF ili CDF funkcije raspodele verovatnoća. Ocena stabilnosti može se dati preko pouzdanosti (verovatnoće da neće doći do loma) ili preko rizika (verovatnoće loma). Očigledno je da za nivo pouzdanosti 95% postoji pridruženi rizik 5%. Ove veličine mogu se odrediti merenjem odgovarajućih površina ispod PDF krive ili direktnim očitavanjem sa CDF krive (Slika 2.5). Slika 2.5 Rezultati probabilističke analize stabilnosti u obliku funkcija raspodele verovatnoća: PDF (levo) i CDF (desno) U geotehnici su ovakav pristup pojedini autori primenjivali pri rešavanju problema iz sledećih kategorija: (1) Kretanje i dejstvo podzemne vode, gde je vodopropusnost modelirana kao slučajna promenljiva (Griffiths i Fenton, 1993, Fenton i Griffiths, 1996) z Pouzdanost Rizik PDF Ukupna površina ispod PDF krive = 1.0 95% CDF Pouzdanost 95% Rizik PDF μ   μ X  X(z) Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 41 (2) Proračuni sleganja, gde je modul elastičnosti modeliran kao slučajna promenljiva (Paice i dr., 1996, Fenton i Griffiths, 2002) (3) Analiza stabilnosti, gde je smičuća čvrstoća modelirana kao slučajna promenljiva (Paice i Griffiths, 1997, Griffiths i Fenton, 2000, Hicks i Samy, 2002). Kao što je napred navedeno, glavni cilj probabilističke analize u geotehnici je određivanje verovatnoće loma (Pf), gde je pojmom „lom“ obuhvaćen i svaki nezadovoljavajući ishod. Uobičajeni postupak, koji se pri tome primenjuje, može se razložiti na sledeće korake (Russelli, 2008): (1) Izbor parametara (npr. c, φ), koji se u analizi tretiraju kao slučajne promenljive, sa poznatim funkcijama raspodele verovatnoće (PDF), (2) Primena probabilističkih metoda za dobijanje PDF funkcija i statističkih parametara funkcije graničnog stanja (npr. nosivosti), koja zavisi od ulaznih promenljivih, (3) Procena indeksa pouzdanosti () i verovatnoće loma (Pf) na osnovu rezultata prethodne faze. Među brojnim probabilističkim metodama koje se u tu svrhu primenjuju, kao najznačajnije i najčešće korišćene, mogu se izdvojiti sledeće:  MCS (Monte Carlo Simulation) je postupak kojim se prvo usvajaju ulazni parametri (npr. c, φ) kao slučajne promenljive opisane statističkim parametrima (μ, , itd.) i odgovarajućim PDF funkcijama raspodele verovatnoća. Zatim se za svaku generisanu realizaciju vrednosti ovih parametara (zasnovanu na principu izbora slučajnog broja) računa margina sigurnosti (funkcija performansi). Ovaj proces se ponavlja veliki broj puta, obično hiljadama, tako da se dobijaju statistički parametri i PDF funkcija za marginu sigurnosti. Odatle se direktno mogu sračunati indeks pouzdanosti () i verovatnoća loma (Pf). Što je veći broj proba (iteracija), to je rešenje tačnije. Potreban broj proba raste geometrijskom progresijom sa povećanjem broja ulaznih parametara i zahtevanog nivoa poverenja u rešenje, što bitno utiče na vreme potrebno da računar izvrši sve proračune. Praktičan način da se proces optimizuje je da se simulacija ponavlja sa istim brojem ulaznih parametara, uz povećanje broja iteracija. Sa dijagrama “broj iteracija – verovatnoća loma” može se očitati minimalni broj iteracija za koji se rezultat dovoljno stabilizuje. U praksi, u Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 42 skoro svim slučajevima, pa čak i onim sa više ulaznih parametara i visokim zahtevanim nivoom poverenja, pokazuje se da rešenje postaje “stabilno” već posle prvih par hiljada iteracija (Davidović, 2005). Ovaj postupak simulacije se, zbog realnosti i tačnosti rezultata koji se postižu njegovom primenom, koristi kao referentan za druge metode.  FOSM (First Order Second Moment) metoda je najjednostavnija i najčešće korišćena. Funkcija performansi (F) je definisana Taylor-ovim nizom, pri čemu se za određivanje njene srednje vrednosti (μF) i varijanse ( 2 F) koriste samo članovi prvog reda (first order), a članovi viših redova se zanemaruju. Za opis ulaznih parametara (slučajnih promenljivih) koriste se samo njihove srednje vrednosti i standardne devijacije, a oblik PDF funkcije se ne uzima u obzir. Zbog toga se ne dobijaju podaci o obliku PDF funkcije za rezultat analize (indeks pouzdanosti), već ona mora da se pretpostavi, što unosi dodatnu netačnost. S obzirom da se ovakvim postupkom dobija samo indeks pouzdanosti, a ne i verovatnoća loma, primena FOSM metode ograničena je na neke jednostavnije probleme.  SOSM (Second Order Second Moment) metoda za razliku od prethodne, uključuje u analizu i članove drugog reda (second order) Taylor-ovog niza u proračun srednje vrednosti funkcije performansi. Postupak je zato komplikovaniji, ali efekat u smislu povećanja tačnosti često ne opravdava te dodatne komplikacije u proračunima. Metoda nema široku primenu u geotehničkoj praksi.  FORM (First Order Reliability Method) predstavlja unapređenje FOSM metode, koje su predložili Hasofer i Lind (1974), a koje se zasniva na geometrijskoj interpretaciji indeksa pouzdanosti. Ova metoda obično zahteva iteraciju uz proračun u 2N tačaka. Kao i kod FOSM i SOSM metoda i ovde se ne dobija oblik PDF funkcije za funkciju performansi. Osim toga, da bi se primenila ova metoda potreban je poseban softver ili visok nivo veštine programiranja.  PEM (Point Estimate Method) predstavlja jednostavan ne-iterativan postupak za određivanje momenata nižeg reda funkcije performansi, određivanjem vrednosti te funkcije na skupu posebno odabranih tačaka. Pošto za njegovu primenu nije neophodno detaljno poznavanje teorije verovatnoće, a daje tačnije rezultate nego FOSM, SOSM i FORM metode, često se primenjuje u praksi. Jedan od nedostataka Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 43 ovog postupka je to što za N neodređenih parametara (slučajnih promenljivih), funkciju performansi treba računati 2N puta, što u slučaju značajnog broja parametara postaje veoma veliki broj. Naknadnim modifikacijama metode taj broj je smanjen na 2N, ali po cenu komplikovanijeg proračuna. Istraživanja su pokazala da sa povećanjem vrednosti koeficijenta varijacije ulaznih parametara raste greška u proračunima (Christian i Baecher, 1999). Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 44 2.3 Probabilističke metode i EUROCODE 7 Skup od 10 Eurokodova (sa oznakama od EN 1990 do EN 1999) predstavlja jedinstvene evropske standarde (norme) za proračun različitih vrsta građevinskih konstrukcija. Deo koji se odnosi na geotehničko projektovanje nosi oznaku EN 1997 ili Eurokod 7 (skraćeno: EC7) i sastoji se iz dva dela:  EN 1997-1: 2004, Geotehničko projektovanje – Deo 1. Opšta pravila;  EN 1997-2: 2007, Geotehničko projektovanje – Deo 2. Terenska i laboratorijska ispitivanja. Princip projektovanja u svim Eurokodovima zasniva se na konceptu graničnih stanja, definisanih kao stanja iza kojih konstrukcija više ne ispunjava odgovarajuće zahteve iz projekta. U EC7 se definišu dve vrste graničnih stanja:  Granična stanja nosivosti – ULS (Ultimate Limit States), tj. projektne situacije koje uključuju rušenje konstrukcije ili neku drugu vrstu loma, opasnost po ljude ili veliku ekonomsku štetu. Za dobro projektovane konstrukcije verovatnoća pojave graničnih stanja nosivosti je mala. Proračuni za ovo granično stanje obično podrazumevaju analizu mehanizma loma i korišćenje parametara čvrstoće tla.  Granična stanja upotrebljivosti – SLS (Serviceability Limit States), tj. projektne situacije koje su povezane sa nezadovoljavajućim vršenjem projektovane funkcije (npr. prevelike deformacije, sleganja, vibracije i lokalna oštećenja konstrukcije pri normalnom korišćenju). Verovatnoća pojave graničnih stanja upotrebljivosti je veća od verovatnoće pojave graničnih stanja nosivosti. Proračuni za granično stanje upotrebljivosti obično podrazumevaju analizu deformacija i korišćenje parametara deformabilnosti tla. Geotehničkim projektnim proračunima, koji se izvode prema EC7, obuhvaćene su sledeće komponente:  Opterećenja ili pomeranja - akcije (F);  Svojstva tla i drugih materijala (X) ili otpori (R);  Geometrijski podaci (a);  Parcijalni faktori sigurnosti (γ); Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 45  Efekti akcija (E), npr. rezultante opterećenja ili sračunata sleganja;  Granične ili dozvoljene vrednosti (C) deformacija, širine pukotina, vibracija, itd.; ULS projektni proračun pretpostavlja ispunjavanje uslova da efekti akcija (E) ne premašuju otpore (R). Indeks d označava projektnu vrednost: Ed ≤ Rd (2.6) SLS proračun uključuje pretpostavku da su projektovani efekti akcija (Ed) (npr. sleganja) manji od dozvoljene vrednosti deformacije konstrukcije (Cd): Ed ≤ Cd (2.7) Projektna vrednost parametra tla (Xd) određuje se prema izrazu: Xd = Xk / γm (2.8) gde je: Xk – karakteristična vrednost parametra tla X γm – parcijalni faktor sigurnosti Vrednosti parcijalnih faktora sigurnosti opterećenja i parametara tla za granično stanje nosivosti (ULS) definisane su u EC7, prema sledećoj tabeli: Tabela 2.12 Preporučene vrednosti parcijalnih faktora sigurnosti opterećenja i parametara tla Opterećenje / Parametar tla Oznaka Parcijalni faktor sigurnosti Stalno opterećenje G γG = 1.35 (1.0) Promenljivo opterećenje Q γQ = 1.50 (0.0) Kohezija c' γc' = 1.25 Tangens ugla unutrašnjeg trenja tanφ' γφ' = 1.25 Nedrenirana smičuća čvrstoća su γsu = 1.40 Karakteristična vrednost se može izraziti na sledeći način: Xk = αX  μX (2.9) gde je: αX - faktor redukcije, čije vrednosti su u opsegu 0 – 1 μX - srednja vrednost parametra X U EC7 date su sledeće preporuke u vezi izbora karakterističnih vrednosti:  Pri izboru karakterističnih vrednosti parametara tla treba uzeti u obzir promenljivost i neodređenost vrednosti tih parametara, Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 46  Karakteristična vrednost geotehničkog parametra treba da bude izabrana kao „oprezna procena“ vrednosti parametra koja izaziva granično stanje,  Ako se koriste statističke metode, karakteristična vrednost treba da bude određena tako da sračunata verovatnoća pojave vrednosti slabijih od one koja izaziva granično stanje, ne bude veća od 5%. Na Slici 2.6 šematski je prikazan postupak usvajanja karakteristične vrednosti (Xk) i projektne vrednosti (Xd) parametra tla X. Slika 2.6 Šematski prikaz usvajanja projektne vrednosti Xd parametra tla X EC7 očigledno uzima u obzir prostornu varijabilnost i neodređenost parametara tla i sugeriše da se njihov uticaj kvantifikuje i uvede u projektne proračune primenom probabilističkih metoda. Kako je navedeno, za definisanje „oprezne procene“ (ili karakteristične vrednosti) parametra tla, EC7 zahteva nivo pouzdanosti od 95%, što u situacijama kada je obim raspoloživih podataka vrlo ograničen (čest slučaj u geotehničkoj praksi), daje konzervativne rezultate (Orr i Breysse, 2008). Za takve slučajeve, Schneider (1997) predlaže da se karakteristična vrednost (Xk) usvoji kao prosečna vrednost (μX) umanjena za polovinu standardne devijacije (X): Xk = μX – 0.5X (2.10) Standardi za opite oprezna procena karakteristična vrednost Xk projektna vrednost Xd = Xk / γm opiti Podaci iz drugih izvora (geologija, susedne lokacije, iskustvo,...) Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 47 Cardoso i Fernandes (2001) su predstavili metodologiju za procenu verovatnoće loma preko indeksa pouzdanosti, kroz primenu parcijalnih faktora sigurnosti definisanih u EC7. Postupak je primenjen na probleme nasipa na mekoj glini i plitkih temelja na koherentnom i nekoherentnom tlu. Dobijeni rezultati su upoređeni sa generalizovanim vrednostima, koje je usvojio Meyerhof (1993, 1995) na osnovu dostupnih podataka iz prethodnih istraživanja i rezultatima dobijenim primenom Schneider-ovog izraza (2.10). Ova uporedna analiza je pokazala da postupak Schneider-a u poređenju sa postupkom Cardoso-a i Fernandes-a daje znatno konzervativnije rezultate kada su vrednosti koeficijenta varijacije (COV) niske, nego kada su visoke. Takođe je pokazano da su širi temelji osetljiviji na promene COV, dok uticaj korišćenja različitih raspodela verovatnoće postaje značajan tek za visoke vrednosti COV (Samy, 2003). Treba napomenuti da, kao što su u opterećenjima, svojstvima tla i drugih materijala i otporima uzete u obzir pripadajuće neodređenosti, takođe su i vrednostima parcijalnih faktora sigurnosti γF = γE, γM i γR obuhvaćene neodređenosti u računskim modelima za akcije i otpore. Na Slici 2.7, koja je adaptacija šeme iz Eurokoda EN 1990, predstavljene su metode koje se mogu koristiti za kalibraciju parcijalnih faktora sigurnosti u EC7. Prema ovoj šemi, faktori mogu biti kalibrisani primenom bilo koje od dve navedene procedure. Slika 2.7 Šematski prikaz različitih metoda za kalibraciju parcijalnih faktora sigurnosti Determinističke metode Procedura 1 Probabilističke metode Procedura 2 Istorijske metode Empirijske metode FORM (Nivo II) Probabilistički (Nivo III) Polu-probabilistički (Nivo I) Kalibracija Kalibracija Kalibracija Metoda A Metoda C Metoda B Parcijalni faktor sigurnosti Poglavlje 2. Pregled područja istraživanja 48  Procedura 1 predstavlja deterministički postupak, koji uključuje istorijske i empirijske metode. Na šematskom prikazu je označen kao Metoda A.  Procedura 2 se zasniva na statističkoj proceni eksperimentalnih podataka i terenskih opažanja. Ova procedura podrazumeva primenu probabilističkih metoda, koje su na Slici 2.7 označene kao Metoda B i Metoda C. Najkompletniji i najtačniji postupak je kompletno probabilistički (Metoda nivoa III), na Slici 2.7 označen kao Metoda B, koji uključuje primenu npr. Monte Carlo simulacija (MCS) (Davidović i dr., 2012). U postupku po Metodi nivoa II (Metoda C) primenjuje se FORM postupak, a mehanizam loma se ne predstavlja kontinualnom funkcijom (kao u Metodi nivoa III), već se indeks pouzdanosti () ili verovatnoća loma (Pf) određuju samo u određenim tačkama na površi loma. Pojam „Polu-probabilističke metode (Nivo I)“ nije posebno definisan u EN 1990, pa pošto može da unese zabunu, danas nije opšteprihvaćen u praksi. 3. PRIMENA PROBABILISTIČKOG KONCEPTA U GEOTEHNIČKIM ANALIZAMA STABILNOSTI Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 50 3 PRIMENA PROBABILISTIČKOG KONCEPTA U GEOTEHNIČKIM ANALIZAMA STABILNOSTI Geotehničku problematiku karakteriše, pre svega, vrlo izražena raznovrsnost, kao i promenljivost i neodređenost ulaznih parametara, za razliku od drugih oblasti, čija je problematika relativno uska, precizno omeđena, a karakteristike materijala potpuno određene. Zato je apsurdno je da su te oblasti, u kojima su nivoi neodređenosti osobina materijala neuporedivo niži, brzo uključile probabilističke metode u svoje proračune, dok je geotehnička struka to vrlo sporo činila. Iako je u poslednje vreme značajno poraslo interesovanje za primenu probabilističkih metoda u geotehničkom inženjerstvu, primetno je da kod većine inženjera geotehničara još uvek postoji otpor ka primeni ovih metoda u analizama stabilnosti (Christian, 2001). Razlozi za ovakav odnos su brojni. Prvo, znanje inženjera iz oblasti statistike i teorije verovatnoće najčešće je na nivou osnovnih informacija, dobijenih na prvim godinama studija, pa su sigurniji kad rade sa determinističkim faktorima sigurnosti, nego sa verovatnoćama. Drugo, prisutno je pogrešno shvatanje da probabilistički pristup u geotehničkim analizama stabilnosti zahteva mnogo više podataka, vremena i napora nego tradicionalni, deterministički. Konačno, broj i dostupnost publikacija u kojima se, na čitaocu prihvatljiv način, objašnjavaju mogućnosti, načini primene i prednosti probabilističke analize, još uvek nije dovoljan (Davidović, 2005). Prihvatljivi nivoi verovatnoća loma, kao i odnos između probabilističke i konvencionalne, determinističke procene stabilnosti, nisu definisani sa potrebnom preciznošću, što bitno otežava razumevanje rezultata probabilističke analize. Da bi se probabilističke metode lakše i brže integrisale u geotehničku inženjersku praksu, neophodno je da njihove procedure za rešavanje realnih problema stabilnosti budu dovoljno jednostavne, kao i da njihov format bude blizak inženjerima geotehničarima. Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 51 U razvijenom svetu zakonska regulativa zahteva da inženjeri geotehničari dokažu pouzdanost svojih rešenja, pre nego što se ona sprovedu u praksi. Ovo je posebno izraženo u vrlo osetljivim i zbog toga zakonski precizno regulisanim oblastima projektovanja, kao što su nuklearna energija, deponije, akumulacije, offshore platforme za eksploataciju nafte, površinski kopovi, itd. To je trend koji će u bliskoj budućnosti zahvatiti i druge oblasti. Dugačak je niz primera, gde su pomoću probabilističkih analiza uspešno rešeni problemi projektovanja, rekonstrukcije ili sanacije brana (najviše u SAD: Wappapello,1988; Shelbyville, 1991; Hodges Village, 1995; Walter F. George, 1997), površinskih kopova (rudnik bakra Chuquicamata u Čileu, 1999), obalskih nasipa (u dolini reke Mississippi), deponija, offshore platformi za eksploataciju nafte iz mora (u Meksičkom zalivu, uz obalu Norveške, u Severnom moru), itd. Sve ovo pokazuje da probabilistički koncept ima potreban potencijal za kompleksnu analizu i rešavanje širokog spektra geotehničkih problema (Baecher i Christian, 2003). Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 52 3.1 Analiza stabilnosti kosina Kosinom se može smatrati svaka slobodna površina tla koja je pod nekim nagibom u odnosu na horizontalu. Prema načinu nastanka kosine se mogu podeliti na prirodne i veštačke. Prirodne kosine (padine) su nastale pri pokretima Zemljine kore i tokom procesa degradacije, erozije, transporta i sedimentacije. Veštačke kosine nastaju ljudskom aktivnošću pri iskopu ili nasipanju tla. Sa problemom stabilnosti kosina suočavamo se na mnogim poljima ljudske delatnosti, a posebno u građevinarstvu pri izgradnji puteva, železnica, kanala, tunela, nasutih brana, iskopu za temelje objekata različite namene, itd. Pokretanje manjih ili većih količina zemljanih ili stenskih masa usled poremećaja ravnotežnih uslova unutar prirodnih i veštačkih kosina je pojava s kojom se čovečanstvo kroz istoriju često susretalo. Ovi pokreti ponekad su izazivali prave katastrofe koje su ostavljale za sobom pustoš i odnosile mnoge ljudske živote, pa su takve pojave oduvek privlačile pažnju na isti način kao i drugi nekontrolisani prirodni fenomeni (zemljotresi, erupcije vulkana, poplave...). Kod nas, na sreću, dosad nije bilo ovakvih pojava sa katastrofalnim posledicama, ali se procenjuje da je i do 20% teritorije Srbije obuhvaćeno procesima kliženja i drugih oblika nestabilnosti kosina. Evidentirano je nekoliko stotina velikih (aktivnih i teških za sanaciju) klizišta i više desetina hiljada manjih, aktivnih i umirenih (često sklonih ponovnom aktiviranju), tako da je materijalna šteta izazvana njihovim delovanjem ogromna. Ove pojave su neravnomerno raspoređene, tako da su u pojedinim područjima dosta retke (npr. Vojvodina - do 5%), a u drugim ih ima u izobilju (npr. Šumadija - do 50%). Samo na teritoriji Beograda registrovano je više od 750 klizišta, a u širem području Grdeličke klisure nekoliko hiljada, što manjih, što većih, aktivnih ili umirenih (Vujanić i dr., 1995). Različitost oblika pojava nestabilnosti uslovljena je raznovrsnošću uzroka (kompleksna priroda tj. geološka građa terena, nepovoljni hidrološki, hidrogeološki, klimatski ili seizmički uslovi, ljudska delatnost, itd). Prema nekim procenama, čak 70-90% svih poremećaja stabilnosti u poslednjih tridesetak godina prouzrokovano je potpuno ili delimično ljudskom delatnošću pri izgradnji raznih Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 53 objekata saobraćajne infrastrukture, energetskih objekata, objekata na urbanim prostorima, eksploataciji mineralnih sirovina, itd. (Šutić, 1995). Strukture koje mogu biti ugrožene usled pojava nestabilnosti kosina, mogu se, radi lakše analize, razvrstati u određene grupe (Zaruba i Mencl, 1969):  pojedinačni objekti, naselja ili čitavi gradovi;  putevi, železničke pruge i tuneli (tokom izgradnje ili kasnije, u eksploataciji);  hidrotehnički objekti (brane, ustave, kanali, itd.);  jezera i akumulacije;  vodovodna ili kanalizaciona mreža, cevovodi, električni ili telefonski vodovi, podvodni kablovi;  rudnici, kamenolomi, pozajmišta gline;  poljoprivredno i šumsko zemljište. Glavni ciljevi analize stabilnosti kosina su:  procena stabilnosti različitih tipova kosina u datim uslovima. Često je za jednu kosinu potrebno proceniti kako privremenu (do završetka radova), tako i trajnu stabilnost;  procena mogućnosti da kliženje zahvati prirodne ili veštačke kosine;  analiza kliženja do kojih je već došlo i utvrđivanje mehanizama loma;  reprojektovanje kosina koje su zahvaćene kliženjem i projektovanje preventivnih mera i mera sanacije tamo gde su neophodne;  analiza posebnih uticaja (npr. seizmičkih);  shvatanje procesa formiranja prirodnih kosina (padina). Primarni zadaci analize stabilnosti kosina u inženjerskim proračunima su da omogući sigurno i ekonomično projektovanje useka, zaseka, nasipa, nasutih brana, odlagališta (deponija), itd., kod prirodnih kosina (padina) predviđanje mogućih pokreta i uočavanje potencijala opasnosti od kliženja, a kod aktivnih klizišta projektovanje mera sanacije. Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 54 3.1.1 Deterministički pristup u analizi stabilnosti kosina U inženjerskoj praksi se za analizu stabilnosti kosina najčešće primenjuje deterministički pristup, zasnovan na metodi granične ravnoteže. Pretpostavke ove metode su da je materijal u kosini kruto-plastičan, da važi Mohr-Coulomb-ov uslov loma i da će se klizno telo kao celina pomerati duž pretpostavljene klizne površine. Stabilnost kosine se ocenjuje na osnovu veličine faktora sigurnosti (F) u pogledu kliženja po pretpostavljenoj kliznoj površini. Faktor sigurnosti se prema izrazu (3.1) definiše kao odnos prosečne smičuće čvrstoće (τf) i prosečnog smičućeg napona potrebnog da održi klizno telo u ravnoteži (ili mobilisane smičuće čvrstoće) (τm) duž pretpostavljene klizne površine: m f F    (3.1) Vrednosti parametara tla, opterećenja i geometrije kosine unose se u analizu kao poznate, konstantne veličine. Podrazumeva se da je F konstantna veličina duž klizne površi. Teoretski, ako je F > 1 kosina se može smatrati stabilnom; F < 1 označava lom (kosina se smatra nestabilnom), dok F = 1 označava granično stanje stabilnosti kosine. Otpornost tla na smicanje (τf) je fundamentalna inženjerska osobina tla i definisana je Mohr-Coulomb-ovim uslovom loma, izrazom (3.2), za efektivne napone:     tanuc nf (3.2) gde je: c - efektivna kohezija  - efektivni ugao unutrašnjeg trenja n - totalni normalni napon u - pritisak u porama tla Ako se računa sa totalnim naponima, pritisci u porama tla se ne uzimaju u obzir, a u izrazu (3.2) figurišu parametri čvrstoće (c i φ), koji su dobijeni za totalne napone. Da bi se sračunala smičuća čvrstoća tla neophodno je prethodno odrediti normalne napone koji deluju duž klizne površine. U najjednostavnijem slučaju, kada se (homogeno) klizno telo može predstaviti modelom bloka na kosoj ravni, normalni napon, a samim tim i faktor sigurnosti može se sračunati jednostavno iz uslova Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 55 ravnoteže i bez uvođenja dopunskih pretpostavki. Iz ovakve aproksimacije slede rešenja u kojima se klizno telo analizira u celini (tzv. rezultantne metode). Međutim, ako je tlo u kosini nehomogeno, a klizna površina proizvoljnog oblika (što je najčešće slučaj u praksi), takav jednostavan postupak nije moguć, pa se, u uslovima kada se primena računara u analizi stabilnosti kosine podrazumeva, najviše primenjuju metode lamela u kojima se masa tla iznad klizne površine deli na lamele, koje su obično (ali ne i obavezno) vertikalne i iste širine. Na Sl. 3.1 su prikazane i označene sile koje deluju na pojedinačnu lamelu kliznog tela, kao i druge veličine koje figurišu u uslovima granične ravnoteže. Indeksi L i D, koji se pojavljuju uz neke od napred navedenih veličina, odnose se na levu, odnosno desnu stranu posmatrane lamele. Slika 3.1 Sile na karakterističnoj lameli kliznog tela proizvoljnog oblika klizno telo zatežuće pukotine opšta klizna površina lamela Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 56 Ukupan broj uslovnih jednačina i nepoznatih veličina za klizno telo koje je podeljeno na n lamela sumiran je u Tabelama 3.1 i 3.2. Tabela 3.1 Broj uslovnih jednačina za klizno telo podeljeno na n lamela Broj jednačina Uslov n Ravnoteža horizontalnih sila za svaku lamelu (∑X = 0) n Ravnoteža vertikalnih sila za svaku lamelu (∑Y = 0) n Ravnoteža momenata za svaku lamelu (∑M = 0) n Mohr-Coulomb-ov uslov loma za svaku lamelu (τf = c' + 'tanφ') 4n Ukupan broj uslovnih jednačina Tabela 3.2 Nepoznate veličine za klizno telo podeljeno na n lamela Broj nepoznatih Naziv nepoznate veličine n Normalna sila u osnovi svake lamele n Položaj normalne sile u osnovi svake lamele n Smičuća sila u osnovi svake lamele n - 1 Normalna komponenta međulamelnih sila n - 1 Smičuća komponenta međulamelnih sila n - 1 Položaj normalne komponente međulamelnih sila 1 Faktor sigurnosti 6n - 2 Ukupan broj nepoznatih veličina Na osnovu podataka iz ovih tabela jasno je da je problem analize stabilnosti kosina za n ≥ 1 statički neodređen, jer je broj nepoznatih veličina veći od broja uslovnih jednačina, tj. 6n - 2 - 4n = 2n - 2. Da bi problem mogao da se reši, treba uvesti 2n – 2 dopunskih pretpostavki u pogledu pravca, intenziteta i/ili položaja napadne tačke nekih sila. U najvećem broju poznatih rešenja prva pretpostavka je da normalna sila deluje u sredini osnove lamele, što je logično i opravdano ako su širine lamela dovoljno male. Na taj način se broj nepoznatih (tj. potrebnih dopunskih pretpostavki) svodi na n - 2. Obično se uvode pretpostavke u pogledu intenziteta, pravca ili položaja napadne tačke međulamelnih sila, što dodatno smanjuje broj nepoznatih za n – 1, pa konačno ostaje 1 nepoznata (F). Rešenja koja se koriste za analizu stabilnosti kosina uglavnom se razlikuju po tome koje dopunske pretpostavke uvode i mogu se podeliti na tačna (rigorozna) i približna. Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 57 Tačna (rigorozna) rešenja zadovoljavaju sve uslove ravnoteže uvođenjem različitih pretpostavki, bez zanemarivanja pojedinih komponenti spoljašnjih i unutrašnjih sila. Približna rešenja zanemaruju pojedine komponente spoljašnjih i unutrašnjih sila i/ili neke uslove ravnoteže. U stručnoj literaturi su evidentirana brojna rešenja za analizu stabilnosti kosina, među kojima su najpoznatija ona čiji su autori Fellenius (1927, 1936), Taylor (1937), Bishop (1955), Janbu (1956), Lowe i Karafiath (1960), Morgenstern i Price (1965), Spencer (1967), Carter (1971), Sarma (1973, 1979), itd. Prikaz jednačina i metoda granične ravnoteže koji sledi zasnovan je na metodologiji primenjenoj u priručniku “Stability Modeling with SLOPE/W – An Engineering Methodology”. Ovaj priručnik je sastavni deo svetski afirmisanog softverskog paketa SLOPE/W za analizu stabilnosti kosina (GeoSlope/W, 2007). Polazna tačka u prikazu metoda je Generalno (opšte) rešenje metode granične ravnoteže (Generalized Limit Equilibrium Method – GLE) (Fredlund i Krahn, 1977), čiji koncept omogućava da se sve poznate metode lamela prikažu kao specijalna rešenja izvedena uvođenjem različitih pretpostavki iz ovog opšteg (GLE) rešenja. Mobilisana čvrstoća na smicanje može se dobiti iz izraza (3.1) kao:   F uc F nf m     tan (3.3) Mobilisana smičuća sila S u osnovi lamele (prema Sl. 3.1) je:     F UNC F bubbc bS nm       tantan (3.4) Za svaku lamelu mogu se postaviti 3 uslova ravnoteže (ravnoteža horizontalnih sila, vertikalnih sila i momenata u odnosu na neku proizvoljnu tačku, npr. tačku C): ∑X = 0 (gde je LD XXX  ): 0coscossin   DHSNX (3.5) ∑Y = 0 (gde je LD YYY  ): 0sinsincos   DVYSN (3.6) ∑MC = 0: 0 DDLLDDLL yYyYxXxXdDhHnNsSvV (3.7) Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 58 Unošenjem vrednosti S iz izraza (3.4) u izraz (3.6) i sređivanjem dobija se normalna sila u osnovi svake lamele (N) u obliku:      m DUC F YV N sintan sin   (3.8) gde je: F m     tan sincos (3.9) Ako se uslov ∑X = 0 iz izraza (3.5) primeni na sve lamele, posle sumiranja dobija se uslov globalne ravnoteže kliznog tela u horizontalnom (x) pravcu: 0coscossin    DHSNX (3.10) Unošenjem izraza (3.4) za mobilisanu smičuću silu S u osnovi lamele u izraz (3.10) i sređivanjem dobija se izraz za faktor sigurnosti Fx u obliku:    DL AADHN UNC Fx      cossin costancos (3.11) Indeks ″x″ označava da je faktor sigurnosti dobijen iz uslova globalne ravnoteže kliznog tela u horizontalnom (x) pravcu. Na sličan način, primenom izraza (3.7) na sve lamele i sumiranjem dobija se uslov globalne ravnoteže momenata: 0  DDLL aAaAdDhHnNsSvV (3.12) Unošenjem izraza (3.4) za mobilisanu smičuću silu S u osnovi lamele u izraz (3.12) i sređivanjem dobija se faktor sigurnosti Fm u obliku:    DDLL aAaAdDhHnNvV sUNsC Fm    tan (3.13) gde indeks ″m″ označava da je faktor sigurnosti dobijen iz uslova globalne ravnoteže momenata. Opšte rešenje metode granične ravnoteže (GLE) uvodi pretpostavku o nagibu rezultante međulamelnih sila u obliku:  xfXY   (3.14) Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 59 gde je λ nova nepoznata, a f(x) poznata (izabrana) funkcija nagiba međulamelnih sila. Pošto je u opštem slučaju Fx≠Fm, merodavni (jedinstveni) faktor sigurnosti (F), koji zadovoljava uslove ravnoteže i sila i momenata, dobija se iterativnim postupkom, u kome se, za pretpostavljeno f(x), varira vrednost λ sve dok se ne postigne Fx≈Fm (=F). Na Sl. 3.2 ta vrednost F se nalazi u preseku dveju krivih koje predstavljaju funkcije promene faktora sigurnosti Fx, odnosno Fm u zavisnosti od pretpostavljene vrednosti λ. Položaj krivih jasno ukazuje da je vrednost Fm mnogo manje osetljiva na promenu nagiba međulamelnih sila, nego što je to slučaj sa Fx. Slika 3.2 Zavisnost faktora sigurnosti Fx i Fm od pretpostavljenog nagiba međulamelnih sila (λ) Iz opisanog GLE rešenja mogu se izvesti praktično sva poznata rešenja metode granične ravnoteže. U Tabeli 3.3 dat je sažeti prikaz karakteristika najpoznatijih rešenja. Tabela 3.3 Osnovne karakteristike najpoznatijih rešenja za analizu stabilnosti kosina Rešenje Klizna površina Uslovi ravnoteže Međulamelne sile (pretpostavka) ∑X=0 ∑Y=0 ∑M=0 Fellenius (Švedska metoda) kružna ne ne da ΔX=0, ΔY=0 Bishop rutinsko rešenje kružna ne da da ΔX≠0, ΔY=0 Janbu rutinsko rešenje proizvoljna da da ne ΔX≠0, ΔY=0 Morgenstern i Price proizvoljna da da da ΔX≠0, ΔY≠0 Spencer proizvoljna da da da ΔX≠0, ΔY≠0 Sarma proizvoljna da da da ΔX≠0, ΔY≠0 GLE proizvoljna da da da ΔX≠0, ΔY≠0 F Janbu rutinsko rešenje Bishop rutinsko rešenje Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 60 Rešenja metode granične ravnoteže mogu se razvrstati i prema mehanizmu loma, odnosno prema tome da li do kliženja dolazi translacijom po ravnoj površini, rotacijom po kružnoj ili pomeranjem po složenoj kliznoj površini.  Ravna klizna površina Klizno telo ograničeno ravnom kliznom površinom, paralelnom površini terena, čija je debljina relativno mala u odnosu na dužinu, može se tretirati kao kosina beskonačne dužine, pa se uticaji na krajevima kliznog tela mogu zanemariti (Sl. 3.3). Slika 3.3 Strujanje vode u kosini beskonačne dužine (levo) i sile koje deluju na lamelu (desno) Obe komponente međulamelnih sila su u vertikalnim presecima duž kliznog tela konstantne, pa je za svaku lamelu razlika odgovarajućih komponenti jednaka nuli, zbog čega se ne pojavljuju u uslovima ravnoteže. Normalni napon () koji deluje na kliznu površinu dobija se iz uslova ravnoteže u vertikalnom pravcu i iznosi:  2cos z (3.15) gde je γ=ρg zapreminska (jedinična) težina tla u kosini. Analogno tome, smičući napon (τ) duž klizne površine iznosi:    2tan1 tan sincos   zz (3.16) Mreža strujanja prikazana na Sl. 3.3 predstavlja opšti slučaj, gde voda pod uglom (α - ), izlazi na površinu kosine. Porni pritisak (u) može se sračunati iz izraza: klizna površina površina kosine strujnica ekvipotencijala lamela Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 61   tantan1 1   zhu wpw (3.17) Kad je strujanje paralelno s površinom kosine (tj. α = ), izraz za porni pritisak glasi:  2cos zu w , pa ako se unese u izraz (3.2) za Mohr-Coulomb-ov uslov loma, a ovaj u izraz (3.1) za faktor sigurnosti, dobija se:           tan tan tan tan1tan 2            z cuc F (3.18) gde je γ' = γz – γw zapreminska (jedinična) težina potopljenog tla. Za kosinu u kojoj nema strujanja podzemne vode (u = 0) faktor sigurnosti je:      tan tan tan tan1 2        z c F (3.19) Očigledno je da strujanje podzemne vode niz kosinu bitno smanjuje faktor sigurnosti u odnosu na “suvu” kosinu. Takođe, iz prethodnih izraza sledi da kod kosina beskonačne dužine od nekoherentnog tla (c' = 0), faktor sigurnosti ne zavisi od dubine (z) na kojoj se nalazi pretpostavljena klizna površina.  Kružno-cilindrična klizna površina Rešenje Fellenius-a (1936), poznato i kao švedska metoda, je razvijeno za kružno-cilindričnu kliznu površinu, uz zanemarivanje obe komponente međulamelnih sila (ΔX=0, ΔY=0). Primenom uslova globalne ravnoteže momenata, iz izraza (3.13) se direktno, bez potrebe za iterativnim postupkom, dobija faktor sigurnosti za drenirane uslove:     sin tancos    V buVbc FmF (3.20) pri čemu je uzeto u obzir da je Rs  ; sinRv ; n = 0. S obzirom da se međulamelne sile zanemaruju, nema uticaja koji bi se suprotstavili horizontalnoj komponenti mobilisane smičuće sile u osnovi lamele, pa je faktor sigurnosti dobijen primenom ovog rešenja znatno manji od onog koji bi se dobio tačnijim postupkom. Razlika je oko 10%, a za klizno telo sa većim centralnim uglom i većim pritiscima u porama tla, greška može dostići i 50%. Rešenje daje rezultate zadovoljavajuće tačnosti samo u slučajevima kada čvrstoća tla na smicanje ne zavisi od Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 62 normalnih napona na kliznoj površini, npr. u analizi stabilnosti kosine od koherentnog tla u nedreniranim uslovima, gde se usvaja cu (umesto c') i φu = 0 (umesto φ'), pa se izraz (3.20) pojednostavljuje i svodi na: sin   V bc F u (3.21) Glavni razlozi što je ovo rešenje više decenija (sve do šezdesetih godina XX veka) vrlo često primenjivano u praksi su to što je proračun jednostavan, faktor sigurnosti je dat eksplicitno, a rezultat je na strani sigurnosti (konzervativan). Danas je potpuno potisnuto rigoroznim rešenjima koja su prilagođena za računarski proračun i može se koristiti samo kao prvi korak u iterativnom postupku kod tačnijih rešenja. Bishop (1955) je izveo rešenje za kružno-cilindričnu kliznu površinu (s=R, n=0), iz dva uslova ravnoteže (∑X=0 i ∑M=0), zanemarivši uslov ∑X=0. Upoređujući rezultate dobijene primenom rigoroznog (ali i komplikovanog) postupka (gde je ΔY≠0) i približnog postupka (gde je usvojeno ΔY=0), utvrdio je da su razlike minimalne (do 5%). Zato je predložio da se u praksi primenjuje približno (rutinsko) rešenje, koje podrazumeva ΔY=0. Tako se iz izraza (3.13), nakon sređivanja dobija Bishop-ov rutinski izraz za faktor sigurnosti:       RaAaAdDhHV mbuVbc FmF DDLL xx       sin tan (3.22) gde je: F m     tan sincos (3.23) Nepoznata veličina (faktor sigurnosti) se pojavljuje sa obe strane znaka jednakosti, pa se određuje iterativnim postupkom. Ako se u prvom koraku pretpostavi F=1 na desnoj strani izraza (3.22) i sračuna F1 (različito od F), onda se u svakom sledećem koraku pretpostavlja Fi koje je dobijeno u prethodnom koraku. Rešenje je dobijeno kad razlika između faktora sigurnosti dobijenih u dva uzastopna koraka postane manja od unapred zadate tolerancije (0.01 do 0.001 za proračune kalkulatorom, odnosno 0.00000001 za proračune računarom). U praksi se potvrđuje da postupak iteracije konvergira dovoljno brzo. Ranije se postupak iteracije radio “pešice”, pa je za određivanje mα za svaku lamelu korišćen dijagram, a proračun faktora sigurnosti izvođen tabelarno. Danas se primenom odgovarajućeg softvera za vrlo kratko vreme ispita veliki broj potencijalnih Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 63 kliznih površina, za svaku sračuna odgovarajući faktor sigurnosti i među njima odredi kritični (najmanji - Fmin). Ovo rešenje može se primeniti i na klizne površi proizvoljnog (opšteg) oblika, ali onda faktor sigurnosti zavisi od izbora tačke u odnosu na koju se primenjuje uslov ∑M=0 što, zbog zanemarivanja uslova ravnoteže horizontalnih sila, može rezultirati greškom u situacijama kada treba uzeti u obzir uticaj seizmičkih sila. Rutinsko rešenje Bishop-a je široko prihvaćeno, a njegova tačnost je proveravana na brojnim primerima u praksi tokom niza godina. Greške u rezultatu mogu se javiti kod dubokih kliznih tela, ali se mogu smanjiti usvajanjem većeg broja lamela. Čak i danas, u poređenju sa savremenijim (i tačnijim), ovo rešenje u najvećem broju slučajeva daje rezultate prihvatljive tačnosti (Davidović, 2004).  Proizvoljna klizna površina Rutinsko rešenje Janbu-a (1956) izvedeno je za kliznu površ proizvoljnog oblika, uz zadovoljenje oba uslova ravnoteže sila (∑X=0 i ∑Y=0) i zanemarivanje uslova ∑M=0. Sličnost sa rutinskim rešenjem Bishop-a je u tome što se zanemaruje vertikalna komponenta međulamelnih sila (ΔY=0) i što se faktor sigurnosti određuje iterativnim postupkom. Metoda daje rezultate prihvatljive tačnosti samo u slučaju homogenih, plitkih i izduženih kliznih tela, ali ne i kod dubokih i nehomogenih (Maksimović, 2008). S obzirom da se koriste samo dva uslova ravnoteže i zanemaruju smičuće komponente međulamelnih sila, rešenje je “samo” približno. Zbog relativne jednostavnosti i mogućnosti da se proračuni obave korišćenjem kalkulatora (bez računara), još uvek se ponekad primenjuje u slučajevima gde je to opravdano (plitka, izdužena, homogena klizna tela). Danas, kad su računari i odgovarajući stručni softver široko dostupni, napred opisana približna rešenja gube na značaju. Umesto njih, preporučuje se korišćenje rigoroznih rešenja navedenih u Tabeli 3.3 (Morgenstern i Price, Spencer, Sarma, GLE), koja zadovoljavaju sva tri uslova ravnoteže i ne zanemaruju nijednu komponentu međulamelnih sila. Izbor rigoroznog rešenja se praktično svodi na izbor funkcije f(x), koja definiše nagib međulamelnih sila duž kliznog tela. S obzirom da je problem stabilnosti kosina statički neodređen, ne postoji teorijski postupak za određivanje f(x), pa se obično pretpostavlja na osnovu iskustva i intuicije. Prilikom definisanja f(x) treba Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 64 voditi računa o tome da se u kliznom telu ne javljaju naponi zatezanja, kao i da smičuće sile ne premašuju smičuću čvrstoću tla (Ćorić, 2006). Brojna istraživanja su pokazala da veličina faktora sigurnosti nije mnogo osetljiva na izbor funkcije f(x). Na Sl. 3.4 prikazane su neke od najčešće korišćenih funkcija f(x). Slika 3.4 Neke od najčešće korišćenih funkcija f(x) nagiba međulamelnih sila Računska analiza stabilnosti kosine podrazumeva utvrđivanje minimalne vrednosti među svim sračunatim vrednostima faktora sigurnosti, a time i definisanje njoj odgovarajuće kritične klizne površine. Ako je pretpostavljeni oblik kliznih površina koje se analiziraju kružno-cilindrični, problem se svodi na određivanje minimuma funkcije sa 3 promenljive (poluprečnik i koordinate centra kružnog luka). Određivanje geometrijskog mesta centara koji za analiziranu kosinu mogu dati kritičnu kliznu površinu “klasičnim” postupcima Fellenius-a, Fadejev-a, Taylor-a i drugih, pripada vremenu kada su proračuni morali da se izvršavaju “pešice”. Zbog smanjenog obima analize (faktor sigurnosti se računa za samo nekoliko pretpostavljenih kliznih površina), takvi postupci nose u sebi rizik da se apsolutni minimum “promaši”, pa se u savremenoj praksi praktično i ne koriste. Danas se ovaj postupak izvršava primenom računara i odgovarajućeg softvera, pri čemu se probni centri postavljaju u čvorovima unapred zadate mreže. Nakon provedenog proračuna konstruišu se izolinije jednakih faktora Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 65 sigurnosti, koje u depresiji ukazuju na minimalnu vrednost faktora sigurnosti (Sl. 3.5). Alternativno, za automatsko nalaženje centra kritične klizne površine može se primeniti neki od brojnih poznatih numeričkih postupaka koji služe za određivanje minimuma funkcije sa dve ili tri promenljive. Slika 3.5 Kosina na proslojku slabijeg tla - Postupak određivanja Fmin 3.1.2 Probabilistički pristup u analizi stabilnosti kosina Ograničenja determinističke analize su u tome što ne uzima u obzir neodređenost ulaznih parametara i (pošto ne postoji direktna veza između faktora sigurnosti i verovatnoće loma) ne daje odgovor na pitanje “Kolika je verovatnoća pojave loma u kosini?” Sve ovo ukazuje da je stabilnost kosine pre probabilistička, nego deterministička situacija. Drugim rečima, stabilnost kosine je slučajan proces koji zavisi od raspodele vrednosti uticajnih faktora, što navodi na zaključak da se računska analiza stabilnosti kosina može tačnije izvršiti primenom probabilističkih metoda modeliranja, nego tradicionalnih determinističkih. Probabilistički koncept u analizi stabilnosti kosina omogućuje da se uzme u obzir neodređenost ulaznih parametara i da se kvantifikuje verovatnoća pojave loma u kosini (nivo rizika). Ovde se umesto jedne (determinističke) vrednosti za svaki parametar, koristi raspodela verovatnoće za opis raspona mogućih vrednosti svakog parametra i verovatnoće njihove pojave. Broj promenljivih nije ograničen samo ovim elementima za svaku tačku, već to mogu biti funkcije u prostoru (parametri čvrstoće, porni pritisci), u vremenu (varijacije nivoa podzemnih voda, seizmički uticaji, slučajna opterećenja, itd). Na osnovu probabilističke analize, stabilnost kosina se može proceniti preko indeksa pouzdanosti () ili verovatnoćre loma (Pf), tj. verovatnoće da faktor 1.107 NPV NV Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 66 sigurnosti (F) bude manji od 1, (tj. Pf = P[F < 1]). Ako se npr. definišu granice unutar kojih se nalaze vrednosti parametara čvrstoće tla u kosini, kao i nivo podzemne vode u pijezometrima, može se primenom neke statističke metode, višestrukim ponavljanjem postupka uz pomoć kompjutera, dobiti statistička raspodela vrednosti faktora sigurnosti preko PDF funkcije, njegova srednja vrednost, kao i verovatnoća da bude manji od 1, tj. verovatnoća pojave loma u kosini. Na Sl. 3.6 dat je šematski prikaz ovakve analize (Haneberg, 2004): Slika 3.6 Šematski prikaz probabilističke analize stabilnosti kosine Prvi primeri primene probabilističkog pristupa u analizi stabilnosti kosina potiču iz 70-tih godina XX veka (Alonso, 1976; Tang, 1976; Harr, 1977). Za protekle četiri decenije ovaj koncept je doživeo značajan razvoj i dobio brojne pozitivne ocene u stručnim krugovima (Chowdhury, 1984; Whitman, 1984; Wolff, 1996; Christian, 1996). Probabilističke metode za analizu stabilnosti kosina, prema pretpostavkama koje uvode, mogućnostima rešavanja složenih problema i matematičkoj kompleksnosti, mogu se svrstati u 2 kategorije (El-Ramly i dr., 2002):  Približne metode Ovoj kategoriji pripadaju metode koje su detaljno opisane u Poglavlju 2.2 (First Order Second Moment (FOSM), Second Order Second Moment (SOSM), First Order Reliability Method (FORM), Point Estimate Method (PEM)). Kako bi se problem koji se rešava (dovoljno) pojednostavio, nužno je uvesti određene pretpostavke, pa je primena metoda iz ove grupe uglavnom ograničena na neke posebne (jednostavnije) klase problema stabilnosti kosina. Tako su u nekim analizama korišćeni vrlo jednostavni Ulazni PDF (npr. φ, c, D, H) Racionalni model kosine (npr. kosina beskonačne dužine) Rezultati probabilističke analize μF, F Verovatnoća pojave kliženja Pf Indeks pouzdanosti  Prekoračenje Pf (za kritične NPV ili seizmičko ubrzanje) Sračunato primenom numeričkih (npr. MCS) ili analitičkih metoda Verovatnoća kliženja Pf PDF(F) F = 1 Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 67 modeli kosina, kao što je ordinarna metoda lamela (Tang i dr., 1976; Vanmarcke, 1980; Honjo i Kuroda, 1991). Pojedini autori su analizirali isključivo tlo bez unutrašnjeg trenja (Matsuo i Kuroda, 1974). U brojnim studijama razmatraju se samo kružno- cilindrične klizne površine (Alonso 1976; Vanmarcke, 1977), a prostorna promenljivost parametara tla i pornih pritisaka se zanemaruje (Nguyen i Chowdhury, 1984; Wolff i Harr, 1987; Duncan, 2000). Približne metode omogućavaju procenu srednje vrednosti i standardne devijacije faktora sigurnosti, ali pošto ne daju nikakvu informaciju o obliku njegove funkcije gustine verovatnoće, verovatnoća loma se može dobiti ako se ova funkcija pretpostavi (obično normalna ili lognormalna). Takođe, FORM i SOSM metode se ne mogu primeniti na probleme gde je ponašanje tla nelinearno.  Monte Carlo Simulacija (MCS) Pristup zasnovan na Monte Carlo Simulaciji omogućava da se prevaziđu napred navedeni problemi, karakteristični za približne metode. Pored srednje vrednosti, standardne devijacije, dobijaju se i funkcije gustine i raspodele verovatnoća faktora sigurnosti, pa se ovakav postupak može primeniti i na složene modele sa više promenljivih. Prema Sl. 3.7 (Hutchinson i Bandalos, 1997), procedura Monte Carlo Simulacije može se raščlaniti na sledeće korake (faze): • Izbor determinističkog modela, tj. postupka proračuna (npr. neko od rešenja metode granične ravnoteže ili MKE), • Identifikacija svih nezavisnih promenljivih i izbor ulaznih parametara koji će biti modelirani probabilistički, • Predstavljanje svakog ulaznog parametra probabilističkim modelom, tj. odgovarajućom funkcijom raspodele verovatnoće (npr. normalnom, lognormalnom, itd.), na osnovu njegove srednje vrednosti i standardne devijacije, • Sukcesivno izvršenje Monte Carlo (MC) proba zasnovanih na principu izbora slučajnog broja, u cilju dobijanja F za svaku probu, a zatim i funkcije gustine verovatnoća (PDF)(Sl. 3.8(a)) i raspodele verovatnoća (CDF)(Sl. 3.8(b)) izlaznog parametra (F). Na osnovu poznate CDF funkcije moguće je odrediti verovatnoću da sračunati faktor sigurnosti bude manji od bilo koje zadate vrednosti, a samim tim i verovatnoću loma (kad je F < 1). Postupak određivanja Pf prikazan je na Sl. 3.8(b). Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 68 Slika 3.7 Šematski prikaz Monte Carlo Simulacije Slika 3.8 Rezultat Monte Carlo Simulacije: (a) PDF i (b) CDF faktora sigurnosti (F) (a) Funkcija gustine verovatnoća F re k v en ci ja ( % ) F 0 5 10 15 μF (b) Funkcija raspodele verovatnoća verovatnoće V er o v at n o ća P ( % ) F 0 20 40 60 80 100 0.550 1.0 1.350 2.150 Pf Deterministička situacija Nezavisni parametri ili promenljive Analiza raspodele verovatnoće Slučajan proces na parametrima determinističke situacije Monte Carlo Simulacija Usvojena Funkcija raspodele verovatnoće Probe (N puta) PDF za determinističku situaciju Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 69 Indeks pouzdanosti (β) opisuje stabilnost kosine na osnovu standardne devijacije srednje vrednosti F u odnosu na vrednost F = 1 (pri lomu): F F    1  (3.24) Za pretpostavljenu normalnu raspodelu vrednosti F, indeks pouzdanosti (β) je u relaciji sa verovatnoćom loma (Pf), kao što je prikazano na Sl. 3.9: Indeks pouzdanosti (β) Slika 3.9 Veza između verovatnoće loma (Pf) i indeksa pouzdanosti (β), za normalnu raspodelu vrednosti F Uobičajeno je da se u geotehničkim projektovanju zahteva  > 2 (tj. Pf < 0.023). U Poglavlju 2.2 je navedeno da je rešenje Monte Carlo Simulacije u principu “osetljivo” na broj proba (iteracija). Roberts i Casella (1999) navode da broj proba treba da bude bar 10 puta veći od recipročne vrednosti verovatnoće loma, kako bi se obezbedio zahtevani nivo poverenja u rešenje. Na osnovu toga proizilazi da za verovatnoću loma Pf = 0.001 broj MC proba treba da bude veći od 10 000. Da bi se dobila minimalna vrednost faktora sigurnosti, u determinističkoj analizi stabilnosti potrebno je sračunati faktor sigurnosti za veliki broj potencijalnih kliznih površina, pa se za kompjuterske proračune trošilo dosta vremena. Zato se donedavno smatralo da je analiza koja je zasnovana na Monte Carlo Simulaciji neekonomična. Na sreću, brz razvoj hardvera i softvera u poslednje vreme omogućio je da se ovi problemi prevaziđu, pa se danas ovakve analize obavljaju neuporedivo brže i lakše. V er o v at n o ća l o m a (P f) Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 70 3.2 Analiza nosivosti tla Za potrebe projektovanja različitih građevinskih objekata, kao što su zgrade, mostovi, brane, putevi, tuneli, itd., neophodni su precizni i detaljni podaci o uslovima koji vladaju u tlu na lokaciji planiranog objekta. Zadatak inženjera geotehničara je da što detaljnije istraže ove uslove i na osnovu toga utvrde da li je tlo sposobno da primi projektovano opterećenje, a da ne dođe do loma ili prevelikih deformacija. Ako su uslovi u tlu u površinskoj zoni, tj. neposredno ispod projektovane konstrukcije, takvi da ono može na adekvatan način da primi predviđeno opterećenje, onda se može primeniti tzv. plitko temeljenje. U tom slučaju se opterećenje na tlo prenosi preko (najčešće) horizontalne temeljne spojnice, dok se smičući naponi na kontaktu tla i temelja iznad nivoa temeljne spojnice u proračunima zanemaruju. Prema Terzaghi-u, plitkim temeljima se mogu smatrati oni kod kojih dubina fundiranja (Df) nije veća od širine temelja (B), ali se u praksi često i temelji kod kojih je Df ≤ 4B tretiraju kao plitki. U zavisnosti od vrste konstrukcije iznad temelja, veličine opterećenja, kao i svojstava tla ispod temelja, primenjuju se različite vrste plitkih temelja: „samci“, trake, ploče, kontragrede, roštilji, itd. S druge strane, ako tlo ne može na adekvatan način da primi opterećenje od konstrukcije, onda se primenjuje tzv. duboko fundiranje na šipovima, dijafragmama, bunarima, kesonima ili se primenjuju mere poboljšanja tla. Za analizu nosivosti tla potrebna je interpretacija uslova u tlu, koja se zasniva na podacima iz ograničenog (iz ekonomskih razloga) obima istražnih radova. Oslanjajući se na iskustvo i poznavanje teorije, geotehničar tumači te podatke u cilju što tačnijeg predviđanja ponašanja sistema „konstrukcija – podloga“. Ako tlo nema potrebnu nosivost doći će do loma, koji se može definisati na osnovu sledećih kriterijuma:  Nagli porast deformacija, praćen rušenjem tla ispod objekta. Ovaj kriterijum se odnosi na sposobnost temeljnog tla da bezbedno prihvati primenjeno opterećenje;  Prevelike deformacije, koje objekat ne može da podnese bez posledica. Ovaj kriterijum se odnosi na potencijal temeljnog tla u pogledu sleganja pod primenjenim opterećenjem. Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 71 Lom u temeljnom tlu ispod plitkih temelja može se, u zavisnosti od zbijenosti ili stanja konzistencije (vlažnosti) tla, javiti u tri osnovna oblika (Maksimović, 2008):  Opšti smičući lom, koji je karakterističan za dobro zbijeno krupnozrno tlo i prekonsolidovanu glinu. Dešava se relativno naglo, uz formiranje kontinualnih kliznih površi koje polaze od ivica temelja i prostiru se do površine terena. Tlo ispod stope temelja tone, a u neposrednoj okolini se izdiže. Sleganje se povećava skoro linearno do relativno velikog opterećenja. Nakon dostizanja maksimuma, sila počinje da opada, uz dalji porast sleganja (Sl. 3.10(a)).  Lokalni smičući lom, karakterističan za slabije zbijeno krupnozrno tlo i glinu meke konzistencije. Na krivoj „Opterećenje – Sleganje“ se uočava prelomna tačka kojoj odgovara formiranje ograničene klizne površi. Deformacije pre loma su relativno velike, klizne površine se formiraju samo neposredno ispod temelja i ne dopiru do površine terena, a izdizanje tla uz temelj je malo. Tačka loma nije jasno definisana (Sl. 3.10(b)).  Probojni smičući lom, karakterističan za rastresiti pesak i nekonsolidovanu meku glinu. Pri porastu opterećenja temelj kontinualno tone, uz vertikalno smicanje po ivicama temelja. Tlo izvan opterećene površine ostaje relativno neporemećeno, osim utiskivanja uz ivice temelja. Do loma, koga nije lako uočiti, dolazi bez pojave vidljivih kliznih površina, sa izuzetkom formiranja trougaone prizme ispod temelja (Sl. 3.10(c)). Slika 3.10 Vidovi i mehanizmi loma tla Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 72 Na osnovu napred izloženog vidi se da je lom tla ispod plitkih temelja jasno definisan samo u slučaju opšteg loma tla, pa su i računska rešenja izvedena uz pretpostavku opšteg loma kruto-plastičnog materijala (tla), čija čvrstoća je definisana Mohr - Coulomb-ovim uslovom loma (τf = c +   tanφ) (Ćorić, 2006). 3.2.1 Deterministički pristup u analizi nosivosti tla U klasičnoj mehanici tla granično opterećenje u pogledu loma (nosivost tla - qf) predstavlja najveći intenzitet rastućeg opterećenja kome se tlo ispod plitkog temelja u datim uslovima može suprotstaviti, a da ne dođe do loma. Takvo granično opterećenje se ne sme dozvoliti u praksi, pa se za potrebe projektovanja građevinskih objekata koristi dozvoljeno opterećenje (qa), koje se dobija kada se granično opterećenje podeli sa usvojenim faktorom sigurnosti (F): F q q f a  (3.25) Veličina F usvaja se na osnovu znanja i iskustva, pouzdanosti metode za određivanje parametara smičuće čvrstoće tla (φ, c), vrste tla, vrste i veličine objekta, kao i značaja problema koji se rešava. U praksi se vrednost usvojenog F kreće između 2 i 3. Teorijsku osnovu za sva poznata računska rešenja predstavlja rešenje Prandtl-a (1920), koje je izvedeno uz pretpostavke da je temeljno tlo homogeno, izotropno i bez težine (γ = 0), a temelj trakast, krut i idealno gladak (nema trenja na kontaktu temelja i tla). Iz ovih pretpostavki proizilazi mehanizam loma prikazan na Sl. 3.11. Slika 3.11 Mehanizam loma ispod trakastog temelja po Prandtlu Prandtl je za ovakve uslove dobio granično opterećenje trakastog temelja u obliku: qcf NqNcq  0 (3.26) Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 73 gde su Nq i Nc faktori nosivosti, koji zavise od ugla unutrašnjeg trenja (φ) i definišu se sledećim izrazima:    tan2 245tan  eN oq (3.27)   cot1  qc NN (3.28) Iz izraza (3.26) se za temelj na površini terena od nevezanog peska (c = 0), ako ne postoji opterećenje q0, dobija da je nosivost jednaka nuli, što je nelogično. Terzaghi (1943) za isti mehanizam loma kao kod Prandtl-a, uvodi trenje na kontaktu temelja i tla, a ne zanemaruje sopstvenu težinu tla ispod temelja (γ ≠ 0), pa za pretpostavku opšteg loma dobija sledeći izraz (opštu jednačinu) za qf :  NBNqNcq qcf  5,00 (3.29) gde su Nc, Nq i Nγ faktori nosivosti, koji zavise od ugla unutrašnjeg trenja (φ). U izrazu (3.29) prvi član predstavlja doprinos kohezije graničnom opterećenju, drugi član učešće nadopterećenja q0 na nivou temeljne spojnice, a treći član doprinos zapreminske težine tla ispod nivoa temeljne spojnice. Za pretpostavku lokalnog loma Terzaghi predlaže da se koriste redukovane (mobilizovane) vrednosti parametara čvrstoće na smicanje, jer se, zbog drugačijeg mehanizma loma, mobiliše približno 2/3 od ukupnog otpora pri smicanju:   ccm  32 (3.30)    tan32tan m (3.31) Faktori nosivosti sa oznakama Nc', Nq' i Nγ' se onda računaju za redukovane vrednosti ugla unutrašnjeg trenja (φm). Rešenje Terzaghi-a je primenjivano više decenija u praksi, ali se danas smatra prevaziđenim, jer se ne zasniva na korektnom mehanizmu loma, a osim toga ne može da se primeni u slučaju kada je opterećenje koso i ekscentrično. Skempton (1951) je dao vrlo jednostavno i korisno rešenje za graničnu nosivost temelja na zasićenoj glini u nedreniranim uslovima (φu = 0): fzcuf DNcq   (3.32) gde je Nc faktor nosivosti, koji zavisi od oblika temeljne stope (B/L), kao i odnosa dubine fundiranja (Df) i širine temelja (B). Vrednost Nc može se odrediti pomoću odgovarajućeg dijagrama (Sl. 3.12), koji je zasnovan delom na teorijskim rešenjima, a Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 74 delom na modelskim ispitivanjima. Kada treba odrediti Nc za temelj pravougaone osnove, primenjuje se interpolacioni izraz, koji je dat na dijagramu (Maksimović, 2008). Slika 3.12 Faktor nosivosti Nc prema Skemptonu Može se uočiti da faktori nosivosti Nc za veće relativne dubine (Df / B ≥ 4) postaju konstantni (Nc = 7.5 za dubok trakasti temelj, odnosno Nc = 9 za kvadratni ili kružni temelj), pa se ovo rešenje može primeniti i za određivanje nosivosti poludubokih i dubokih temelja – šipova i dijafragmi fundiranih u zasićenoj glini. Prošireno rešenje Brinch-Hansen-a (1970) je dato kao proširena formula Terzaghi-a, uvođenjem empirijski dobijenih faktora dubine, oblika stope i nagiba rezultante, tako da rešenje važi i za ekscentričnu i nagnutu rezultantu opterećenja:  idsNBidsNqidsNcq qqqqccccf  5,00 (3.33) gde su: sc, sq i sγ - faktori oblika stope (zavise od odnosa B/L); dc, dq i dγ - faktori dubine (zavise od odnosa D/B); ic, iq i iγ - faktori nagiba rezultante (zavise od ugla φ i odnosa H/V). Ovo rešenje ima znatno opštiji karakter nego rešenje Terzaghi-a. Rešenje prema Pravilniku za temeljenje građevinskih objekata (1990) zasniva se na proširenom rešenju rešenju Brinch-Hansen-a za ekscentrično i koso opterećenje temelja, odakle se, za uvedene parcijalne faktore sigurnosti Fc i Fφ, direktno dobija dozvoljeno opterećenje (qa):   00 tan5,0 qidsNqcidsNB A V q ccccmm a a      (3.34) Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 75 Za razliku od prethodnih rešenja, kod kojih se uvodi jedinstven faktor sigurnosti, ovde se uvode parcijalni faktori sigurnosti za koheziju i ugao unutrašnjeg trenja:  32  ccm FFcc (3.35)  8.12.1tantan   FFm (3.36) Faktori nosivosti Nγ i Nc dobijaju se iz tabela za umanjenu vrednost φm. U zavisnosti od ekscentriciteta (eB, eL) određuju se dimenzije efektivne površine stope temelja (B'=B - 2eB i L'=L - 2eL), tako da se qa dobija za efektivnu površinu (A'=B' L'), tj. onaj deo ukupne površine osnove temelja (A=BL), koji je centrično opterećen vertikalnom komponentom (V) ukupnog opterećenja temelja (Sl. 3.13). Dozvoljena vertikalna komponenta rezultante (Va) u tom slučaju mora da zadovolji uslov: Va ≤ V. Slika 3.13 Efektivna površina temelja pri ekscentričnom opterećenju U opšte rešenje, predstavljeno izrazom (3.34), mogu se uvesti i dodatni koeficijenti, koji obuhvataju uticaj nagnute osnove temelja ili nagnute površine terena. U zavisnosti od uslova, u proračunu qa treba primenjivati odgovarajuće parametre čvrstoće. Ako je npr. temelj na zasićenoj glini, početnu (short-term) vrednost qa treba računati za nedrenirane parametre čvrstoće cu i φu ≈ 0. Tokom konsolidacije, ukupne totalne napone preuzima na sebe skelet tla preko efektivnih napona, pa konačnu (long- term) vrednost qa treba računati za efektivne parametre čvrstoće c' i φ' određene opitima smicanja u dreniranim uslovima. Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 76 Eurokod 7 (EC7) predviđa da se proračun granične nosivosti vrši analitičkom metodom, gde se razlikuju nedrenirani i drenirani uslovi, uvodi se faktor nagiba osnove temelja u odnosu na horizontalu, dok se faktor dubine ne pominje. U nedreniranim uslovima, kada je smičuća čvrstoća definisana nedreniranom kohezijom (cu), granična nosivost se računa po formuli:   qiscAR ccu  2 (3.37) gde su faktori oblika stope i nagiba rezultante definisani izrazima:  LBsc  2.01 (3.38)   uuc cAHcAHi  115.0 (3.39) U dreniranim uslovima, kada je smičuća čvrstoća definisana efektivnim parametrima (c' i φ'), granična nosivost se računa po formuli: qqqccc isNqisNcisNBAR  5,0 (3.40) Faktori nosivosti Nq i Nc računaju se prema ranije definisanim izrazima (3.27) i (3.28), a faktor Nγ prema izrazu:    tan12  qNN (3.41) Faktori oblika stope temelja se računaju iz izraza:  LBs  3.01 (3.42)    1/1  qqqc NNss (3.43)    sin1 LBsq (3.44) Faktori nagiba rezultante definisani su izrazima:    1cot/1  mcAVHi  (3.45)    tan/1 cqqc Niii (3.46)   mq cAVHi  cot/1 (3.47) Koeficijent m se određuje na sledeći način:    LBLBmm B  1/2 (kad je H paralelno sa B') (3.48)    BLBLmm L  1/2 (kad H deluje u pravcu L') (3.49)  22 sincos  BL mmmm (kad H deluje pod uglom θ) (3.50) Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 77 Da bi se odredilo dozvoljeno opterećenje temelja, parametre čvrstoće u izrazima (3.37) i (3.40) treba redukovati parcijalnim faktorima sigurnosti. Za objekte uobičajenih dimenzija i drenirane uslove parcijalni faktor sigurnosti za ugao φ' iznosi Fφ' = 1.25, za koheziju Fc' = 1.6, a za nedreniranu koheziju Fcu = 1.4. 3.2.2 Probabilistički pristup u analizi nosivosti tla Determinističke metode proračuna nosivosti plitkih temelja ne uzimaju eksplicitno u obzir inherentnu neodređenost prisutnu u faktorima koji utiču na nosivost. Efekat inherentne promenljivosti i neodređenosti svojstava tla ne može se adekvatno modelirati u determinističkoj analizi, što može dovesti do pogrešne procene nosivosti. Drugačiji pristup u analizi nosivosti tla podrazumeva primenu probabilističkih metoda analize, koje uzimaju u obzir promenljivost i neodređenost prisutnu u vrednostima ulaznih parametara. Neodređenosti, koje su prisutne u analizi nosivosti mogu se svrstati u tri kategorije: (i) prirodna prostorna promenljivost; (ii) modelska neodređenost; i (iii) parametarska neodređenost. Prirodna prostorna promenljivost je posledica razlika u mineralnom sastavu i karakteristikama slojeva u dugotrajnom procesu formiranja terena. Modelska neodređenost nastaje usled nemogućnosti izabranog matematičkog modela da potpuno tačno predstavi interakciju “temelj – tlo”. Izvor tzv. parametarske neodređenosti leži u ograničenom broju uzoraka tla i rezultata ispitivanja, kao i mogućim mernim greškama, što može rezultirati nepreciznom procenom svojstava tla (Baecher i Christian, 2003). Pouzdanost se definiše kao verovatnoća da će sistem biti siguran u datim uslovima i ocenjuje se na osnovu vrednosti indeksa pouzdanosti (). Obično su vrednosti indeksa pouzdanosti u rasponu od 3.0 do 4.0 prihvatljive za tzv. dobre performanse sistema. Za procenu indeksa pouzdanosti mogu se koristiti različite metode (detaljno opisane u Poglavlju 2), kao što su FORM (First Order Reliability Method), SOSM (Second Order Second Moment), PEM (Point Estimate Method), MCS (Monte Carlo Simulation), itd. Za linearnu funkciju performansi, definisanu izrazom: g() = C – D (3.51) Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 78 gde je C kapacitet sistema (ili nosivost ili dozvoljeno sleganje), a D zahtev (ili primenjeni pritisak ili sračunato sleganje), ako je zadovoljen uslov g() > 0, sistem je stabilan, dok g() < 0 ukazuje na nestabilnost. Za linearno nezavisne C i D, koje su predstavljene normalnom funkcijom raspodele verovatnoća, indeks pouzdanosti () predstavlja najkraće rastojanje funkcije performansi od koordinatnog početka redukovanog koordinatnog sistema promenljivih i može se sračunati iz sledećeg izraza (Baecher i Christian, 2003):  22 DC DC      (3.52) gde su C i D standardne devijacije kapaciteta sistema (C) i zahteva (D). U slučaju nelinearne funkcije performansi, za procenu indeksa pouzdanosti primenjuje se iterativni postupak. Analiza pouzdanosti primenom tzv. metoda prvog i drugog reda (FOSM i SOSM), gde se polazi od konvencionalnih (napred pomenutih) jednačina za nosivost tla, je komplikovana, jer je postupak proračuna izvoda za varijanse glomazan. Za probabilističku analizu nosivosti tla najpogodniji je postupak zasnovan na Monte Carlo Simulaciji (MCS), zato što je procedura direktna i uglavnom ne zahteva detaljno poznavanje teorije verovatnoće. Detaljan opis opšteg postupka Monte Carlo Simulacije dat je u Poglavlju 2. U analizi nosivosti tla se u odnosu na ostale ulazne promenljive izdvajaju kohezija (c') i ugao unutrašnjeg trenja (φ') po tome što je neodređenost prisutna u njihovim vrednostima najviše izražena. Zato se c' i φ' usvajaju kao slučajne promenljive, za koje su poznati statistički parametri (μ, , itd.) i odgovarajuće PDF funkcije gustine verovatnoće. Zapreminska težina (γ) se obično usvaja kao konstantna, s obzirom da je neodređenost i promenljivost njenih vrednosti znatno niža. Širina temelja (B) i dubina fundiranja (Df) marginalno učestvuju u ukupnoj neodređenosti, pa se za potrebe analize usvajaju kao determinističke veličine. Uobičajena procedura probabilističke analize nosivosti tla, koja je zasnovana na Monte Carlo Simulaciji, može se razložiti na sledeće korake: (1) Za svaki ulazni parametar (c', φ', γ, B, Df) generiše se slučajna vrednost, uzimajući u obzir neodređenost karakterističnu za ulaznu srednju vrednost parametra, koeficijent Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 79 varijacije (COV), tj. PDF funkciju, kao i eventualnu korelaciju između te i ostalih ulaznih promenljivih; (2) Generisane ulazne vrednosti iz koraka (1) se unose u usvojenu jednačinu za proračun nosivosti (Terzaghi, Brinch-Hansen, Pravilnik za temeljenje građevinskih objekata (1990) ili neka druga) i sračunava se deterministička vrednost nosivosti tla; (3) Koraci (1) i (2) ponavljaju se veliki broj puta (stotinama ili hiljadama), kao deo Monte Carlo Simulacije, dok se ne postigne zadovoljavajući nivo konvergencije rezultata. Smatra se da je konvergencija zadovoljavajuća ako je razlika u statistici, koja opisuje raspodelu vrednosti nosivosti, manja od 1,5%; (4) Svi rezultati simulacije (sračunate vrednosti nosivosti tla) se koriste da bi se odredila kriva funkcije raspodele verovatnoće (CDF), sa koje se onda mogu očitati vrednosti nosivosti tla za zahtevane nivoe pouzdanosti u rešenje (obično 90% i 95%). Na Sl. 3.14(a) prikazan je temelj za koji je opisanim probabilističkim postupkom određena nosivost tla. Za prikaz vrednosti slučajne promenljive φ' obično se usvaja normalna raspodela (Sl. 3.14(b)), a u cilju pojednostavljenja proračuna, kao slučajna promenljiva može se usvojiti tanφ' sa normalnom raspodelom vrednosti (Sl. 3.14(c)). Slika 3.14 (a) Temelj na homogenom tlu; Funkcije raspodele slučajnih promenljivih: (b) φ'; (c) tanφ'; (d) c'; (e) lnc' (a) (b) (c) (d) (e) Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 80 Za prikaz vrednosti druge slučajne promenljive - efektivne kohezije (c') obično se usvaja lognormalna raspodela (Sl. 3.14(d)). Imajući u vidu svojstva lognormalne raspodele, može se za slučajnu promenljivu umesto c' usvojiti lnc' sa normalnom funkcijom raspodele vrednosti, kako je prikazano na Sl. 3.14(e). Srednja vrednost (μlnc') i standardna devijacija (lnc') slučajne promenljive lnc', koje su označene na istoj slici, ako se koriste u probabilističkoj analizi, mogu značajno da pojednostave postupak proračuna (Russelli, 2008). Na Sl. 3.15 prikazan je rezultat probabilističke analize nosivosti tla ispod trakastog temelja, zasnovane na Monte Carlo Simulaciji – funkcija raspodele verovatnoće (CDF) sračunatih vrednosti nosivosti tla. Prikazana je takođe i deterministički sračunata vrednost nosivosti tla (1067kPa). Za zahtevane nivoe pouzdanosti 90% i 95% sa CDF krive očitane su odgovarajuće nosivosti tla 730kPa, odnosno 658kPa. Slika 3.15 Rezultat Monte Carlo Simulacije - funkcija raspodele verovatnoće (CDF) sračunatih vrednosti nosivosti tla Na osnovu ovih vrednosti sračunati su ekvivalentni faktori sigurnosti 1067/730 = 1,5 odnosno 1067/658 = 1,6. Ove vrednosti ukazuju na konzervativni karakter uobičajeno zahtevanog faktora sigurnosti F = 3 u determinističkoj analizi nosivosti tla. Rezultati takođe pokazuju da neodređenosti prisutne u vrednostima c' i φ' mogu značajno da utiču na nosivost tla, pa ih zato ne treba zanemariti (Shahin i Cheung, 2011). Nosivost tla (kPa) K u m u la ti v n a v e ro v a tn o ć a CDF Poglavlje 3. Primena probabilističkog koncepta u geotehničkim analizama stabilnosti 81 Eurokod 7 (EC7) tretira prostornu promenljivost i neodređenost svojstava tla kao značajne za geotehničke analize stabilnosti i preporučuje da se ti uticaji uvedu u proračune primenom statističkih i probabilističkih metoda (Onisiphorou, 2011). Jedan od načina da se to uradi je primena karakterističnih vrednosti parametara tla, koje proističu iz statistike na osnovu velikog obima in situ i laboratorijskih ispitivanja. Ove analize se tretiraju kao polu-probabilističke (Orr i Breysse, 2008), mada EC7 ne sadrži dovoljno detalja u smislu uputstva za njihovu primenu. Definicija i način određivanja karakteristične vrednosti detaljno su predstavljeni u Poglavlju 2. Probabilistička analiza nosivosti tla u okviru EC7 se izvodi tako što se za proračun nosivosti koristi izraz preporučen u Eurokodu 7 (Aneks D):  sNBsNDsNc A R dqqdcc k  2 1 (3.53) gde je: Rk - karakteristična vrednost nosivosti tla; A – površina osnove temelja; c – kohezija; Nc, Nq, Nγ – faktori nosivosti; sc, sq, sγ – faktori oblika stope; B – širina stope; D – dubina fundiranja; γd – projektna vrednost zapreminske težine tla. Kao što je napred navedeno, c' i φ' se usvajaju kao slučajne promenljive, sa poznatim statističkim parametrima (μ, ). U postupku Monte Carlo Simulacije (MCS), u svakom koraku (realizaciji) koriste se različite karakteristične vrednosti slučajnih promenljivih za proračun nosivosti prema izrazu (3.53). Funkcija performansi za temelj može se definisati na sledeći način: g(x1, x2,..., xi) = Rd – Ed (3.54) gde je: x – set slučajnih promenljivih; Rd – projektna vrednost nosivosti tla; Ed – projektna vrednost opterećenja. Nakon realizacije predviđenog (dovoljno velikog) broja realizacija Monte Carlo Simulacije, indeks pouzdanosti () se može sračunati iz izraza: g g     (3.55) gde je: μg – prosečna vrednost funkcije performansi; g – standardna devijacija vrednosti funkcije performansi. 4. REZULTATI ISTRAŽIVANJA Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 83 4 REZULTATI ISTRAŽIVANJA U prethodnim poglavljima detaljno su opisane specifičnosti problema u oblasti geotehnike, metodologija koja se primenjuje pri njihovom rešavanju, izvori i vrste neodređenosti uticajnih faktora, a posebno promenljivost i neodređenost parametara tla. U Poglavlju 2.1 dat je detaljan statistički prikaz pokazatelja promenljivosti i neodređenosti svojstava tla, dobijenih na osnovu brojnih laboratorijskih i terenskih ispitivanja. Prikaz osnovnih principa probabilističkog koncepta, koji omogućava kvantifikaciju neodređenosti, pa stoga predstavlja alternativu tradicionalnom, determinističkom pristupu u rešavanju problema, gde se sve vrednosti uticajnih faktora unose u analizu kao poznate, konstantne veličine, dat je u Poglavlju 1.4. Mogućnosti i načini primene probabilističkih metoda u geotehnici opisane su u Poglavlju 2.2, dok je uporedan prikaz determinističkog i probabilističkog pristupa u geotehničkim analizama stabilnosti dat u Poglavlju 3. U ovom poglavlju biće prikazani rezultati sprovedenog istraživanja u geotehničkim računskim analizama stabilnosti. Ciljevi istraživanja su da se pri rešavanju karakterističnih geotehničkih problema iz prakse, primenom determinističkih i probabilističkih postupaka izvrši identifikacija ulaznih parametara, kvantifikacija njihove neodređenosti, upoređivanje njihovih vrednosti određenih eksperimentalnim putem i pretpostavljenih funkcijom raspodele vrednosti, kao i uporedna analiza rezultata dobijenih primenom ovih postupaka. Kao karakteristični, analizirani su realni problemi na čijem rešavanju su bili angažovani članovi Laboratorije za geotehniku Građevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nišu: - problem stabilnosti kosina (pri izgradnji Regionalne sanitarne deponije „Gigoš“ kod Jagodine, 2010. godine), Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 84 - problem nosivosti temeljnog tla (pri izgradnji fabričkog kompleksa „Fiat Automobili Srbija d.o.o. Kragujevac“, na lokaciji „Grošnica“ u Kragujevcu, 2011. godine). Računska analiza stabilnosti za svaki od navedenih problema je izvršena prvo primenom determinističkih, pa onda probabilističkih metoda. Nakon toga izvršena je uporedna analiza dobijenih rezultata. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 85 4.1 Rezultati uporedne analize stabilnosti kosina (pri izgradnji Regionalne sanitarne deponije „Gigoš“ kod Jagodine) U Laboratoriji za geotehniku Instituta GAF u Nišu je za potrebe izgradnje Regionalne sanitarne deponije „Gigoš“ kod Jagodine, a na zahtev izvođača radova – firme „Porr Werner & Weber – Deponija“, septembra 2010. godine urađena analiza mogućnosti ugradnje separisanog rečnog šljunka frakcije 16/32mm u sloj debljine 10cm, na kosini nagiba 1:1,5 preko geomreže „Fortrac 3D“ (proizvođač Huesker Synthetic GmbH) (Davidović i dr., 2010b) (Slika 4.1). Deponija zauzima prostor od 15,5 ha i ima kapacitet oko 2,000.000 m 3 otpada, što je prema procenama dovoljno za narednih 25 godina. Projektovana je u skladu sa standardima EU i domaćim propisima i poseduje sistem za sprečavanje prodiranja ocednih voda u zemljište. Slika 4.1 Deponija „Gigoš“ u fazi izgradnje (levo); Primena geomreže „Fortrac 3D“ (desno) Аnaliza je zasnovana na rezultatima ispitivanja ugla prirodnog nagiba šljunka frakcije 16/32mm, koje je sprovedeno prema proceduri prikazanoj na Slici 4.2. Slika 4.2 Direktno određivanje kritičnog ugla prirodnog nagiba zrnastog materijala zrnasti materijal Zrna počinju da se kotrljaju kad nagib postane veći od ugla prirodnog nagiba ugao prirodnog nagiba Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 86 Na osnovu merenih veličina R i H (Slika 4.3) na seriji od 20 proba dobijene su vrednosti ugla prirodnog nagiba (α) u rasponu od 32,5° do 36,8°, a kao merodavna usvojena je srednja vrednost (34,9°). Prikaz dobijenih rezultata dat je u Tabeli 4.1. Slika 4.3 Određivanje ugla prirodnog nagiba (α) na osnovu izmerenih veličina R i H Tabela 4.1 Rezultati ispitivanja ugla prirodnog nagiba (α) rečnog šljunka frakcije 16/32 mm R.br. merenja R (cm) H (cm) α (°) 1 32.0 23.5 36.3 2 30.6 21.4 35.0 3 35.1 23.9 34.3 4 33.8 21.5 32.5 5 34.6 24.6 35.4 6 32.3 21.6 33.8 7 34.0 24.0 35.2 8 36.6 25.5 34.9 9 35.2 24.9 35.3 10 33.6 22.3 33.6 11 36.8 26.8 36.1 12 35.4 26.1 36.4 13 32.4 21.4 33.5 14 36.0 25.1 34.9 15 34.4 24.4 35.4 16 33.9 23.4 34.6 17 36.0 24.0 33.7 18 34.7 26.0 36.8 19 32.7 22.7 34.8 20 33.4 23.9 35.6 Srednje: 34.9 Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 87 Prema preporukama iz savremene svetske stručne literature (Whipple, 2004) može se usvojiti da je ugao unutrašnjeg trenja (φ') ovakvog šljunka jednak kritičnom uglu prirodnog nagiba (αmax). Ulazni podaci za pomenutu analizu dobijeni su na osnovu izvršenih laboratorijskih ispitivanja, a ovde će biti iskorišćeni za potrebe uporedne analize stabilnosti kosina. Primenjena je metodologija za analizu stabilnosti „beskonačne“ kosine sa ravnom kliznom površinom, koja je paralelna površini kosine (prikazana u Poglavlju 3). Tako se za kosinu od nekoherentnog materijala u kojoj nema strujanja podzemne vode (u = 0) faktor sigurnosti dobija iz jednačine (3.19) u obliku:   tan tan  F (4.1) Za kosinu u kojoj je strujanje podzemne vode paralelno kosini, analizom lamele jedinične širine dobija se izraz za faktor sigurnosti u pogledu kliženja sloja šljunka debljine 10cm, u sledećem obliku:       tan tan sincos1,0 tancos1,0 2       zw F (4.2) Očigledno je da strujanje podzemne vode niz kosinu bitno smanjuje faktor sigurnosti u odnosu na “suvu” kosinu. Takođe, iz prethodnih izraza sledi da kod kosina beskonačne dužine od nekoherentnog tla faktor sigurnosti ne zavisi od dubine (z) na kojoj se nalazi pretpostavljena klizna površina. Često se zbog ekonomskih razloga kosine izvode što je moguće strmije, kako bi se dobilo na korisnom prostoru ili zapremini deponije. Geomreža „Fortrac 3D“ može se postaviti kao ojačanje za postizanje stabilnosti, čak i u situacijama kada su kosine strmije nego što bi to dopuštala čvrstoća na smicanje duž kritične klizne površine. Geomreža „Fortrac 3D“ povećava otpornost tla na kliženje paralelno površini kosine. Ova kliženja su česta kod tankih slojeva materijala koji pokriva kosine deponija. Proces može biti ubrzan ulaskom vode i generisanjem pornih pritisaka. Na Slici 4.4 šematski je prikazan segment kosine po kojoj je postavljena geomreža „Fortrac 3D“, a preko nje nasut sloj predviđenog materijala (krupnozrnog ili Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 88 sitnozrnog). Označene su sile smicanja, koje teže da izazovu kliženje, kao i sile otpora smicanju (čvrstoća geomreže „Fortrac 3D“). Slika 4.4 Šematski prikaz uticaja geomreže „Fortrac 3D“ na stabilnost kosine Ako se sloj šljunka debljine 10 cm razastire preko geomreže „Fortrac 3D-30“ po kosini u situaciji kad nema strujanja podzemne vode, analizom lamele jedinične širine (prema Slici 4.4) dobija se izraz za faktor sigurnosti u obliku:   sin tancos    W ARW F (4.3) gde je: W - težina lamele jedinične širine  cos1,0cos110,0  AW (4.4) R  A – otpor klizanju po osnovi lamele (čvrstoća geomreže „Fortrac 3D-30“)  cos3cos110,030  AR (4.5) Unošenjem prethodnih izraza u izraz (4.3) dobija se:   cossin1,0 cos3tancos1,0 2   F (4.6) Ako je uz prethodne uslove prisutno i proceđivanje vode kroz sloj šljunka niz kosinu, dobija se sledeći izraz za faktor sigurnosti:     cossin1,0 cos3tancos1,0 cossin1,0sincos1,0 cos3tancos1,0 22       zw F (4.7) nasuti materijal sila smicanja čvrstoća na smicanje „Fortrac 3D“ geomreža čvrstoća geomreže „Fortrac 3D“ Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 89 4.1.1 Deterministička analiza stabilnosti kosine Prvo je sprovedena deterministička analiza stabilnosti u pogledu kliženja separisanog rečnog šljunka frakcije 16/32 mm razastrtog u sloj debljine 10 cm na kosini. Analizirane su sledeće situacije: - Bez proceđivanja vode kroz sloj šljunka, - Sa proceđivanjem vode kroz sloj šljunka niz kosinu, - Bez geomreže „Fortrac 3D“ (šljunak razastiran direktno po kosini), - Sa korišćenjem geomreže „Fortrac 3D-30“ (šljunak nasipan preko prethodno postavljene geomreže po kosini). Za svaku kombinaciju ovih uslova i za 5 različitih pretpostavljenih nagiba kosine (u rasponu od 1:1 do 1:2) sračunat je faktor sigurnosti, na osnovu odgovarajućeg izraza ((4.1), (4.2), (4.6) ili (4.7)). Za ulazne parametre za ovu analizu (φ', γ, γz, γ') usvojene su njihove prosečne vrednosti, dobijene na osnovu ispitivanja serije od 20 proba uzorka separisanog rečnog šljunka 16/32 mm: - Ugao unutrašnjeg trenja šljunka φ' = 34.9° - Zapreminska težina šljunka (prirodno vlažnog) γ = 17.659 kN/m3 - Zapreminska težina šljunka u zasićenom stanju γz = 19.429 kN/m 3 - Zapreminska težina šljunka u potopljenom stanju γ' = 9.618 kN/m3 U Tabeli 4.2 dat je sažet prikaz rezultata ovako sprovedene analize stabilnosti. Tabela sadrži svih 20 sračunatih vrednosti faktora sigurnosti. Može se uočiti da se pomoću geomreže „Fortrac 3D-30“ postiže to da kosina ostane stabilna, čak i u najnepovoljnijim uslovima (proceđivanje vode kroz sloj šljunka niz kosinu pod nagibom 1:1). Tabela 4.2 Rezultati proračuna faktora sigurnosti za različite nagibe kosine Faktor sigurnosti (F) Nagib kosine Bez proceđivanja vode Sa proceđivanjem vode R.br. 1 : n α (º) Bez geomreže Sa geomrežom Fortrac 3D-30 Bez geomreže Sa geomrežom Fortrac 3D-30 1 1 : 1,00 45,0 0,698 3,100 0,422 2,363 2 1 : 1,25 38,7 0,872 3,592 0,492 2,696 3 1 : 1,50 33,7 1,047 4,109 0,564 3,053 4 1 : 1,75 29,7 1,221 4,645 0,639 3,427 5 1 : 2,00 26,6 1,395 5,194 0,716 3,812 Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 90 Rezultati analize su predstavljeni i grafički, na dijagramima “Ugao nagiba kosine – Faktor sigurnosti” za sve analizirane situacije (Slike 4.5 i 4.6). Sa ovih dijagrama može se sagledati efekat korišćenja geomreže „Fortrac 3D-30“, koji se ogleda u povećanju stabilnosti kosine, tj. povećanju faktora sigurnosti kosine u datim uslovima. Sa dijagrama se mogu odrediti maksimalni dozvoljeni uglovi nagiba kosine (za koje će kosina u datim uslovima ostati stabilna). Slika 4.5 Zavisnost „Nagib kosine – Faktor sigurnosti“ (bez geomreže) Slika 4.6 Zavisnost „Nagib kosine – Faktor sigurnosti“ (sa geomrežom „Fortrac 3D-30“) Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 91 Tako se sa dijagrama na Slici 4.5 može videti da će kosina u uslovima kada se ne koristi geomreža i kad nema proceđivanja vode biti stabilna (teorijski, za F≥1) ako je njen ugao nagiba manji od 35º. Međutim, ako se umesto teorijskog kriterijuma stabilnosti kosine (F≥1) primeni neki strožiji kriterijum, uobičajen u praksi (npr. F≥1.3), onda će kosina u istim uslovima biti stabilna „samo“ do nagiba pod uglom 28º. Sa istog dijagrama se može videti da će za uslove „sa proceđivanjem vode, bez geomreže“ kosina moći da bude „samo“ teorijski stabilna i to do nagiba pod uglom 14º. Sa dijagrama na Slici 4.6 vidi se da su, zahvaljujući geomreži „Fortrac 3D-30“, svi faktori sigurnosti (za sve uslove i sve analizirane nagibe kosine) bitno veći od odgovarajućih sa prethodnog dijagrama, tako da stabilnost kosine ni za jednu analiziranu situaciju nije dovedena u pitanje (čak i kada je ugao nagiba veći od 50º faktor sigurnosti je veći od 2). Ovde je neophodno napomenuti da faktor sigurnosti, koji je sračunat opisanim determinističkim postupkom, ni na koji način ne reflektuje stepen promenljivosti i neodređenosti ulaznih parametara. 4.1.2 Probabilistička analiza stabilnosti kosine Za probabilističku analizu stabilnosti kosine iz ovog primera primenjena je Monte Carlo Simulacija (MCS), čija je metodologija detaljno opisana u Poglavlju 3. Monte Carlo Simulacija je izvršena u okviru Microsoft Excel worksheet-a „Analiza stabilnosti kosine“, pri čemu je korišćen softver za statističku analizu @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 (© Palisade Corporation). Analizirane su iste situacije i nagibi kosine kao u slučaju determinističke analize stabilnosti, tako da je korišćen isti model za proračun faktora sigurnosti, tj izrazi (4.1), (4.2), (4.6) ili (4.7). Kao promenljivi ulazni parametri, koji će biti modelirani probabilistički, usvojeni su: ugao unutrašnjeg trenja šljunka (φ'), zapreminska težina šljunka (γ), zapreminska težina šljunka u zasićenom stanju (γz) i zapreminska težina šljunka u potopljenom stanju (γ'). Svaki ulazni parametar je za potrebe MCS predstavljen probabilističkim modelom (normalnom funkcijom raspodele verovatnoće), na osnovu njegove srednje Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 92 vrednosti (μ) i standardne devijacije (σ), koje su sračunate na bazi rezultata ispitivanja serije od 20 proba uzorka ovog šljunka. Na Slici 4.7 predstavljeno je probabilističko modeliranje ulaznog parametra φ' (stepeni) na bazi 20 izmerenih vrednosti: histogram izmerenih vrednosti (plavo), kao i fitovane funkcije verovatnoća ovih vrednosti (PDF - crveno i CDF - braon). Na Slici 4.8 prikazan je probabilistički model (PDF i CDF) ulaznog parametra φ' (rad) dobijen Monte Carlo Simulacijom na bazi 10 000 iteracija. Slika 4.7 Probabilistički model ulaznog parametra φ' (stepeni) na bazi 20 izmerenih vrednosti Slika 4.8 PDF i CDF ulaznog parametra φ' (rad) na bazi 10 000 iteracija MCS Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 93 Na Slici 4.9 prikazani su probabilistički modeli ulaznih parametara γ, γz i γ'. Slika 4.9 PDF i CDF ulaznih parametara: γ (gore), γz (u sredini) i γ' (dole) Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 94 U Tabeli 4.3 dat je zbirni prikaz svih ulaznih parametara i karakterističnih vrednosti njihovih probabilističkih modela (srednja vrednost, standardna devijacija i tip funkcije raspodele vrednosti). Tabela 4.3 Ulazni parametri za probabilističku analizu stabilnosti kosine Ulazni parametar Srednja vrednost Standardna devijacija Funkcija raspodele vrednosti φ' (º) 34,9 1,1009 Normalna φ' (rad) 0,6092 0,0192 Normalna γ (kN/m3) 17,6591 0,2263 Normalna γz (kN/m 3 ) 19,4250 0,2489 Normalna γ' (kN/m3) 9,6180 0,2489 Normalna Monte Carlo Simulacija je izvršena na bazi 10000 iteracija, za 5 pretpostavljenih nagiba kosine. U cilju lakše identifikacije pretpostavljenih uslova u kosini i dobijenih rezultata, analizirane situacije su označene na sledeći način: 2A1: Bez proceđivanja vode kroz sloj šljunka; Bez geomreže 2A2: Bez proceđivanja vode kroz sloj šljunka; Sa geomrežom „Fortrac 3D-30“ 2B1: Sa proceđivanjem vode kroz sloj šljunka; Bez geomreže 2B2: Sa proceđivanjem vode kroz sloj šljunka; Sa geomrežom „Fortrac 3D-30“ U Tabeli 4.4 dat je prikaz rezultata probabilističke analize stabilnosti kosina sukcesivnim izvršenjem 10000 Monte Carlo iteracija, za sve analizirane situacije i nagibe kosine. Od velikog broja statističkih parametara koje daje @RISK kao izlazni rezultat (output), u tabeli su prikazani: Fmin - minimalna vrednost faktora sigurnosti, Fmax - maksimalna vrednost faktora sigurnosti, μF - srednja vrednost faktora sigurnosti, σF - standardna devijacija vrednosti F, Pf - verovatnoća loma, β - indeks pouzdanosti. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 95 Tabela 4.4 Rezultati probabilističke analize stabilnosti kosina Nagib kosine Statistički parametar Faktor sigurnosti (F) za uslove u kosini: Bez proceđivanja vode Sa proceđivanjem vode 1 : n α (º) Bez geomreže Sa geomrežom Fortrac 3D-30 Bez geomreže Sa geomrežom Fortrac 3D-30 (2A1) (2A2) (2B1) (2B2) 1 : 1,00 45,0 Fmin 0.58332 2.95283 0.31741 2.38574 Fmax 0.81799 3.27211 0.46618 2.67239 μF 0.69812 3.10104 0.38029 2.53019 σF 0.02860 0.04176 0.01894 0.03640 Pf 1 0 1 0 β -2.326 50.312 -32.720 42.038 1 : 1,25 38,7 Fmin 0.72914 3.41858 0.39676 2.73678 Fmax 1.02248 3.79489 0.58273 3.07062 μF 0.87265 3.59257 0.47536 2.90480 σF 0.03576 0.04961 0.02367 0.04258 Pf 0.999 0 1 0 β -2.054 52.259 -22.165 44.735 1 : 1,50 33,7 Fmin 0.87497 3.90630 0.47611 3.11050 Fmax 1.22698 4.34494 0.69927 3.49413 μF 1.04718 4.11032 0.57043 3.30324 σF 0.04291 0.05778 0.02841 0.04907 Pf 0.125 0 1 0 β 1.150 53.830 -15.120 46.938 1 : 1,75 29,7 Fmin 1.02080 4.41166 0.55547 3.50008 Fmax 1.43148 4.91408 0.81582 3.93505 μF 1.22171 4.64640 0.66550 3.71835 σF 0.05006 0.06614 0.03314 0.05576 Pf 4.73607E-06 0 1 0 β 4.429 55.132 -10.094 48.751 1 : 2,00 26,6 Fmin 1.16663 4.92985 0.63482 3.90099 Fmax 1.63598 5.49686 0.93237 4.38841 μF 1.39624 5.19559 0.76058 4.14538 σF 0.05721 0.07464 0.03788 0.06259 Pf 2.16359E-12 0 1 0 β 6.926 56.211 -6.320 50.254 Svaki rezultat ove analize praćen je odgovarajućim dijagramom, a kao ilustracija priloženi su dijagrami rezultata (histogram 10000 vrednosti F dobijenih Monte Carlo Simulacijom) za situaciju označenu sa 2A1 i pretpostavljene nagibe kosine: 1:1 (α=33,7º) (Slika 4.10); 1:1,25 (α=38,7º) (Slika 4.11); 1:1,5 (α=33,7º) (Slika 4.12); 1:1,75 (α=29,7º) (Slika 4.13) i 1:2 (α=26,6º) (Slika 4.14). Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 96 Slika 4.10 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:1 Slika 4.11 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:1,25 Na primeru probabilističke analize stabilnosti kosine čiji je nagib 1:1,5 (α=33,7º) detaljnije je objašnjen postupak određivanja verovatnoće loma (tj. verovatnoće da sračunati faktor sigurnosti bude manji od 1), kao i odgovarajućeg indeksa pouzdanosti kosine. Za ove potrebe korišćen je dijagram na Slici 4.12. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 97 Slika 4.12 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:1,5 Sa ovog dijagrama se na osnovu poznate funkcije raspodele verovatnoća (CDF) može direktno odrediti verovatnoća loma (Pf )(kad je F < 1). Postupkom, koji je detaljno opisan u Poglavlju 3, dobija se Pf = 12,5 % (0,125). Odgovarajući indeks pouzdanosti (β), sračunat prema izrazu (3.24), iznosi  = 1,100. Indeks pouzdanosti se može takođe odrediti i korišćenjem Excel funkcije:  = NORM.S.INV(1 - Pf). Na ovaj način se dobija  = 1,150. U Tabeli 4.5 data je klasifikacija US Army Corps of Engineers (1997), koja za poznate vrednosti Pf i  daje ocenu u pogledu očekivanog nivoa performansi. Tabela 4.5 Odnos između verovatnoće loma (Pf), indeksa pouzdanosti () i nivoa performansi Indeks pouzdanosti,  Verovatnoća loma, Pf Očekivani nivo performansi 1.0 0.16 Rizična 1.5 0.07 Nedovoljna 2.0 0.023 Slaba 2.5 0.006 Ispod proseka 3.0 0.001 Iznad proseka 4.0 0.00003 Dobra 5.0 0.0000003 Visoka Prema ovom kriterijumu analizirana kosina spada u kategoriju nedovoljne do rizične pouzdanosti. U Poglavlju 3 je navedeno da se u geotehnici uobičajeno zahteva  > 2, pa se i na osnovu toga može zaključiti da ova kosina u analiziranim uslovima nije stabilna. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 98 Slika 4.13 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:1,75 Slika 4.14 Rezultat (Output) MCS: Faktor sigurnosti (F) za situaciju 2A1 i nagib kosine 1:2 Na osnovu rezultata analize (zbirno prikazanih u Tabeli 4.4 i na dijagramima na Slikama 4.7 – 4.14) može se uočiti da je varijabilnost svih ulaznih parametara relativno mala, što se vidi po maloj razlici između minimalne i maksimalne vrednosti i maloj standardnoj devijaciji. Drugim rečima, uslovi u kosini su relativno dobro poznati. Zahvaljujući tome, vrednosti dobijenih faktora sigurnosti (za svaku analiziranu situaciju Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 99 ponaosob) ne variraju mnogo, pa se i za faktor sigurnosti ne mnogo veći od jedinice dobija zanemarljivo mala verovatnoća loma. Tipičan primer za ovo je Slučaj 2A1 i nagib kosine 1:1,75. U Tabeli 4.4 se vidi da se za faktor sigurnosti čija je srednja vrednost μF = 1.22171 i standardna devijacija σF = 0.05006 dobija zanemarljivo mala verovatnoća loma Pf = 4.73607E-06 i visok indeks pouzdanosti kosine  = 4.429. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 100 4.2 Rezultati uporedne analize nosivosti temeljnog tla (pri izgradnji fabričkog kompleksa „Fiat Automobili Srbija d.o.o. Kragujevac“, Grošnica, Kragujevac) U ovom poglavlju biće prikazan postupak i rezultati uporedne analize nosivosti temeljnog tla. Ulazni podaci za ovu uporednu analizu potiču iz elaborata „Geotehnički uslovi temeljenja objekata fabričkog kompleksa „Fiat Automobili Srbija d.o.o. Kragujevac“ na lokaciji „Grošnica“ u Kragujevcu“, koji je urađen u Odeljenju za geotehniku Instituta GAF – Niš, 2011. godine (Prolović i dr., 2011). Zadatak elaborata je bio da se primenom metoda geotehničkih istraživanja, ispitivanja i geomehaničkih proračuna odrede i prikažu geotehnički uslovi temeljenja planiranih objekata, kao geotehnička podloga za izradu Glavnog projekta ovih objekata. Za izvršenje zadatka korišćena je dokumentacija koju je firma „SGS Italia S.p.A.“ izradila na osnovu obimnih terenskih istraživanja i ispitivanja na širem području lokacije „Grošnica“, kao i laboratorijskih ispitivanja reprezentativnih uzoraka tla, tokom 2011. godine. Osim toga, korišćena je i dokumentacija koju je firma „Geoinženjering d.o.o. – Niš“ izradila na osnovu 7 naknadno izvedenih kontrolnih istražnih bušotina, dubine 10 m, na području ove lokacije. Predmetna lokacija se nalazi u Kragujevcu, u krugu bivše kasarne „Grošnica“, oko 1,5 km zapadno od fabričkog kompleksa FIAT (bivša ZASTAVA), na nadmorskoj visini 190 m. Površina lokacije je oko 300.000 m2. Na Slici 4.15 dat je ortofoto (Google Earth) prikaz lokacije „Grošnica“ u Kragujevcu. Slika 4.15 Lokacija „Grošnica“ u Kragujevcu (ortofoto Google Earth prikaz) Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 101 U cilju dobijanja geoloških, hidrogeoloških i geotehničkih podataka za potrebe geotehničke karakterizacije terena na lokaciji „Grošnica“, izvršena su vrlo obimna istraživanja i ispitivanja, između ostalih: - 35 istražnih bušotina, dubine 10 m, sa piezometrima (izvođač „SGS Italia S.p.A.“), - 7 kontrolnih istražnih bušotina, dubine 10m, koje su naknadno izvedene (izvođač „Geoinženjering d.o.o. – Niš“), - Uzimanje 35 neporemećenih uzoraka tla za laboratorijska geotehnička ispitivanja, - Izvođenje 105 opita standardne penetracije (SPT), - Izvođenje 60 opita statičke penetracije (CPT), - Izvođenje 35 opita permeabilnosti tla (tipa Lefranc), - Laboratorijska geotehnička ispitivanja i granulometrijska analiza uzoraka tla. Na Slici 4.16 dat je situacioni plan lokacije „Grošnica“ sa položajem istražnih bušotina. Slika 4.16 Situacioni plan lokacije „Grošnica“ sa položajem istražnih bušotina PZ1 – PZ35 Na osnovu sprovedenih terenskih istraživanja i ispitivanja rekonstruisana je stratigrafija terena na lokaciji „Grošnica“. Na Slici 4.17 predstavljen je stratigrafski profil terena na lokaciji „Grošnica - LOT 3“. Vrednosti geomehaničkih pokazatelja svojstava tla, neophodnih za izradu geomehaničkih proračuna (dozvoljenog opterećenja u pogledu loma tla i konsolidacionog sleganja), usvojene su na bazi rezultata sprovedenih istraživanja i ispitivanja prikazanih u dokumentu „FAS Kragujevac: Geotechnical Report – Grošnica Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 102 Site“ (izvođač „SGS Italia S.p.A.“), kao i dodatnih podataka o sastavu i sklopu terena, dobijenih pri izvođenju 7 kontrolnih istražnih bušotina na ovoj lokaciji (izvođač „Geoinženjering d.o.o. – Niš“). Slika 4.17 Karakterističan stratigrafski profil terena na lokaciji „Grošnica – LOT 3“ U nastavku će biti prikazana računska analiza nosivosti temeljnog tla za deo lokacije „Grošnica“ sa oznakom LOT 1. Prvo je izvršena deterministička analiza, pri čemu su vrednosti svih ulaznih parametara usvojene na osnovu izvršenih ispitivanja kao konstantne veličine, a zatim i probabilistička, gde je promenljivost glavnih uticajnih faktora, koja je uočljiva u rezultatima ispitivanja, modelirana odgovarajućim funkcijama raspodele verovatnoće. 4.2.1 Deterministička analiza nosivosti temeljnog tla Dozvoljeno opterećenje u pogledu loma temeljnog tla (qa) određeno je metodologijom, koja je detaljno opisana u Poglavlju 3, prema važećem „Pravilniku o tehničkim normativima za temeljenje građevinskih objekata“ (1990), na osnovu izraza:   00 tan5,0 qidsNqcidsNB A V q ccccmma       (4.8) gde je: ∑V - ukupno vertikalno opterećenje temelja A' = B'  L' - efektivna površina temelja centrično opterećena vertikalnom komponentom ukupnog opterećenja temelja B' = B – 2  eB - redukovana širina temelja L' = L – 2  eL - redukovana dužina temelja γ - efektivna zapreminska težina tla ispod temeljnog dna Površinski sloj Šljunkovit pesak, zaglinjen Glina, peskovita Glina Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 103 q0 = γ  Df - najmanje vertikalno opterećenje u nivou temeljne spojnice φm - mobilizovani ugao unutrašnjeg trenja (tan φm = tan φ / Fφ) Fφ - parcijalni faktor sigurnosti za ugao unutrašnjeg trenja (Fφ = 1.2 ÷ 1.8, prosečno Fφ = 1.5) cm - mobilizovana kohezija (cm = c / Fc) Fc - parcijalni faktor sigurnosti za koheziju (Fc = 2 ÷ 3, prosečno Fc = 2.5) Nγ , Nc - faktori nosivosti, zavisni od φm sγ , sc - faktori oblika stope (zavise od odnosa B/L) dγ , dc - faktori dubine (zavise od odnosa D/B) iγ , ic - faktori nagiba rezultante (zavise od ugla φ i odnosa H/V) Pri usvajanju vrednosti parametara tla za geomehaničke proračune za lokaciju LOT 1 uzeti su u obzir rezultati dobijeni u zoni istražnih bušotina, koje su izvedene na prostoru ove lokacije (PZ7, 9, 10, 17, 18, 19, 26 i 27). U Tabeli 4.6 prikazane su izmerene (od strane „SGS Italia S.p.A.“) i na osnovu njih usvojene vrednosti parametara tla za geomehaničke proračune. Tabela 4.6 Izmerene i usvojene vrednosti parametara tla za geomehaničke proračune Istražna bušotina Zapreminska težina Kohezija Ugao unutrašnjeg trenja PZ γ (kN/m3) c' (kN/m2) φ' (°) 7 19.1 16 26 9 20.1 15 27 10 18.8 20 25 17 21.1 27 25 18 18.9 16 26 19 21.2 21 27 26 21.0 22 28 27 20.7 26 27 Usvojeno: 18.8 15 25 Dozvoljeno opterećenje temeljnog tla određeno je za projektom pretpostavljene dubine fundiranja 1.50 m i 2.00 m, za temeljne stope oblika kvadrata, pretpostavljenih dimenzija 2.00 x 2.00 m i 3.00 x 3.00 m. Proračun qa izvršen je primenom izraza (4.8). Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 104 U Tabeli 4.7 dat je prikaz usvojenih vrednosti parametara temelja (Df, B, L), parametara tla (γ, c', φ'), kao i rezultati proračuna (qa) za sve 4 analizirane kombinacije „dubina fundiranja – dimenzije temelja“. Tabela 4.7 Rezultati proračuna dozvoljenog opterećenja temeljnog tla Parametri temelja: 1 2 3 4 Dubina fundiranja Df (m) 1.50 1.50 2.00 2.00 Širina temelja B (m) 2.00 3.00 2.00 3.00 Dužina temelja L (m) 2.00 3.00 2.00 3.00 Parametri temeljnog tla: Zapreminska težina tla γ (kN/m3) 18.8 18.8 18.8 18.8 Kohezija c' (kN/m 2 ) 15 15 15 15 Ugao unutrašnjeg trenja φ' (°) 25 25 25 25 Rezultat proračuna: Dozvoljeno opterećenje tla qa (kN/m 2 ) 333.297 326.158 421.492 402.743 Dijagram “Df – qa” na Slici 4.18 predstavlja grafičku interpretaciju rezultata ove analize. Može se uočiti da je promena dozvoljenog opterećenja tla sa promenom dubine fundiranja izraženija kod kvadratne temeljne stope manjih dimenzija. Takođe se vidi da je razlika između sračunatih qa za 2 analizirane kvadratne temeljne stope manja na većoj dubini fundiranja. Slika 4.18 Uticaj dubine fundiranja i dimenzija stope temelja na dozvoljeno opterećenje tla Kao ni kod determinističke analize stabilnosti kosina, ni u ovoj analizi nije uzeta u obzir promenljivost i neodređenost parametara temeljnog tla. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 105 4.2.2 Probabilistička analiza nosivosti temeljnog tla Za probabilističku analizu nosivosti temeljnog tla iz ovog primera primenjena je Monte Carlo Simulacija (MCS), čija je metodologija detaljno opisana u Poglavlju 3. Monte Carlo Simulacija je izvršena u okviru Microsoft Excel worksheet-a „Analiza nosivosti temeljnog tla“, pri čemu je korišćen softver za statističku analizu @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 (© Palisade Corporation). Analizirane su iste situacije kao kod determinističke analize nosivosti temeljnog tla, tako da je za proračun qa korišćen isti model, definisan jednačinom (4.8). Ovde su parametri temeljnog tla - zapreminska težina (γ), kohezija (c') i ugao unutrašnjeg trenja (φ'), usvojeni kao promenljivi ulazni parametri, tj. slučajne promenljive, koje će biti modelirane probabilistički. Svaki ulazni parametar je za potrebe MCS predstavljen probabilističkim modelom (odgovarajućom funkcijom raspodele verovatnoća), na osnovu njegove srednje vrednosti (μ) i standardne devijacije (σ), koje su sračunate na bazi rezultata ispitivanja (datih u Tabeli 4.6). U Tabeli 4.8 dat je prikaz svih ulaznih parametara i karakterističnih vrednosti njihovih probabilističkih modela (srednja vrednost, standardna devijacija i tip funkcije raspodele vrednosti). Tabela 4.8 Ulazni parametri za probabilističku analizu nosivosti temeljnog tla Ulazni parametar Srednja vrednost Standardna devijacija Funkcija raspodele vrednosti γ (kN/m3) 20.113 1.036 Normalna c' (kN/m 2 ) 20.375 4.565 Lognormalna cm (kN/m 2 ) 8.150 1.826 Lognormalna φ' (rad) 0.460 0.019 Normalna φm (rad) 0.319 0.014 Normalna tan φm (1) 0.331 0.015 Normalna Nq (1) 5.412 0.305 Normalna Nc (1) 13.343 0.507 Normalna Nγ (1) 2.627 0.294 Normalna Faktori nosivosti Nq, Nc i Nγ su takođe tretirani kao slučajne promenljive, jer direktno zavise od slučajne promenljive φm : Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 106 ( ) (4.9) ( ) (4.10) ( ) (4.11) Na Slikama 4.19 – 4.25 prikazani su probabilistički modeli ulaznih parametara iz Tabele 4.8 (γ, cm, φm, tanφm, Nq, Nc i Nγ), dobijeni Monte Carlo Simulacijom na bazi 10000 iteracija. Slika 4.19 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra γ na bazi 10000 iteracija MCS Slika 4.20 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra cm na bazi 10000 iteracija MCS Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 107 Slika 4.21 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra φm na bazi 10000 iteracija MCS Slika 4.22 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra tanφm na bazi 10000 iteracija MCS Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 108 Slika 4.23 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra Nq na bazi 10000 iteracija MCS Slika 4.24 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra Nc na bazi 10000 iteracija MCS Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 109 Slika 4.25 Probabilistički model (PDF) ulaznog parametra Nγ na bazi 10000 iteracija MCS U Tabeli 4.9 dat je prikaz rezultata probabilističke analize nosivosti temeljnog tla, koja je realizovana sukcesivnim izvršenjem 10000 Monte Carlo iteracija, za sve 4 analizirane situacije. Od velikog broja statističkih parametara koje daje @RISK kao izlazni rezultat (output), u tabeli su prikazani: min qa - minimalna vrednost dozvoljenog opterećenja temeljnog tla, max qa - maksimalna vrednost dozvoljenog opterećenja temeljnog tla, μqa - srednja vrednost dozvoljenog opterećenja temeljnog tla, σqa - standardna devijacija vrednosti qa, qa (95%) - dozvoljeno opterećenje temeljnog tla za nivo pouzdanosti 95%. Tabela 4.9 Rezultati probabilističke analize nosivosti temeljnog tla Parametri temelja: 1 2 3 4 Df (m) 1.50 1.50 2.00 2.00 B (m) 2.00 3.00 2.00 3.00 L (m) 2.00 3.00 2.00 3.00 Rezultati analize: min qa (kN/m 2 ) 274.27 268.19 349.10 333.94 max qa (kN/m 2 ) 671.09 645.53 798.00 754.82 μqa (kN/m 2 ) 429.10 419.58 536.63 512.40 σqa (kN/m 2 ) 45.62 43.77 52.60 49.59 qa (95% ) (kN/m 2 ) 360.33 353.24 456.35 436.68 Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 110 Rezultati ove analize za svaku od 4 analizirane kombinacije „dubina fundiranja – dimenzije temelja“ predstavljeni su na dijagramima na Slikama 4.26, 4.27, 4.28 i 4.29 odgovarajućim histogramom 10000 vrednosti qa dobijenih Monte Carlo Simulacijom i funkcijom raspodele tih vrednosti (CDF). Slika 4.26 Rezultat (Output) MCS: qa za kombinaciju 1 (Df = 1.50 m, B = L = 2.00 m) Slika 4.27 Rezultat (Output) MCS: qa za kombinaciju 2 (Df = 1.50 m, B = L = 3.00 m) Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 111 Slika 4.28 Rezultat (Output) MCS: qa za kombinaciju 3 (Df = 2.00 m, B = L = 2.00 m) Slika 4.29 Rezultat (Output) MCS: qa za kombinaciju 4 (Df = 2.00 m, B = L = 3.00 m) Opisana uporedna analiza nosivosti tla pokazala je da je prosečno dozvoljeno opterećenje temeljnog tla (μqa), dobijeno probabilističkim postupkom, znatno veće od odgovarajućeg qa dobijenog determinističkim postupkom, što ukazuje na konzervativan karakter determinističkog rešenja. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 112 4.3 Analiza rezultata istraživanja Uporedna analiza stabilnosti kosina (opisana u Poglavlju 4.1) i uporedna analiza nosivosti temeljnog tla (opisana u Poglavlju 4.2) pokazale su na vrlo plastičan način kakav je i koliki uticaj promenljivosti i neodređenosti parametara tla na rezultate analize. Ovaj uticaj se u determinističkim analizama ne može „osetiti“, jer su postupci proračuna zasnovani na pretpostavci da su svi ulazni parametri poznate, konstantne veličine. Na Slici 4.30 dat je šematski prikaz determinističke analize, koja je sprovedena u primerima opisanim u prethodnim poglavljima. Vidi se da je u modelu, koji je formiran za potrebe determinističke analize, svaki ulazni parametar (x, y, z) predstavljen sa po 1 vrednošću (xm, ym, zm). Rezultat ovakve analize je takođe jedinstven. Slika 4.30 Šematski prikaz determinističke analize sa 3 ulazna parametra (x, y i z) Za razliku od toga, u probabilističkim analizama ulazni parametri mogu se tretirati kao slučajne promenljive i predstaviti probabilističkim modelom (odgovarajućom funkcijom raspodele verovatnoće). Ovaj model je definisan srednjom vrednošću, standardnom devijacijom i tipom funkcije raspodele vrednosti slučajne promenljive. Na taj način se uzima u obzir promenljivost i neodređenost parametara tla, pa je ona prisutna i u rezultatima proračuna. Na Slici 4.31 šematski je prikazan postupak Parametar x Parametar y Parametar z Vrednosti x Vrednosti y Vrednosti z Rezultat Analiza daje jednu izlaznu vrednost Svaki ulazni parametar u modelu predstavljen je sa po 1 vrednošću Model = f(xm, ym, zm) Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 113 probabiističke analize, kakva je sprovedena u primerima iz Poglavlja 4.1 i 4.2. Rezultat ovakve analize nije jedinstven, već je predstavljen funkcijom raspodele verovatnoća. Slika 4.31 Šematski prikaz probabilističke analize sa 3 ulazna parametra (x, y i z) Za rešavanje problema koji je razmatran u uporednoj analizi stabilnosti kosina primenjena je metodologija za analizu stabilnosti „beskonačne“ kosine sa ravnom kliznom površinom, koja je paralelna površini kosine. Ulazni parametri za ovu analizu su ugao unutrašnjeg trenja šljunka (φ') i zapreminske težine šljunka u različitim stanjima vlažnosti (γ, γz, γ'). U analizi je svaki parametar predstavljen svojom prosečnom vrednošću, koja je dobijena na osnovu rezultata ispitivanja 20 uzoraka šljunka. Za svaki od 5 različitih pretpostavljenih nagiba kosine (od 1:1 do 1:2) analizirane su 4 moguće kombinacije uslova u kosini (sa i bez proceđivanja vode kroz sloj šljunka, sa i bez geomreže „Fortrac 3D“). Determinističkom analizom je za svaku od 20 analiziranih situacija sračunat po jedan faktor sigurnosti, čije su vrednosti jedinstvene i prikazane u Tabeli 4.2. Činjenica je da je tako sračunati faktor sigurnosti jedini rezultat determinističke analize stabilnosti Parametar x Parametar y Parametar z Vrednosti x Vrednosti y Vrednosti z Model = f(x, y, z) Rezultat Ulazni parametri u modelu predstavljeni su funkcijama raspodele verovatnoća Rezultat analize je funkcija raspodele verovatnoća Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 114 kosine i da se upoređenjivem tih 20 vrednosti može samo proceniti u kojim uslovima je analizirana kosina više, a u kojim manje stabilna. Za probabilističku analizu stabilnosti iste kosine usvojeni su isti ulazni parametri kao kod determinističke analize (φ', γ, γz, γ'), s tim što su u analizi predstavljeni svojim probabilističkim modelom (normalnom funkcijom raspodele verovatnoće), koja je definisana srednjom vrednošću (μ) i standardnom devijacijom (σ) svakog ulaznog parametra ponaosob. Prikaz ovih karakterističnih vrednosti probabilističkih modela svih ulaznih parametara dat je u Tabeli 4.3. Treba napomenuti da su sve ove vrednosti realne i nalaze se u granicama koje su date u literaturi, što je detaljno obrađeno u Poglavlju 2. Probabilistička analiza stabilnosti kosine izvršena je primenom Monte Carlo Simulacije (MCS) sukcesivnim izvršenjem 10000 iteracija. Ovaj postupak je izabran, jer je tačniji od ostalih (FOSM, SOSM, FORM, PEM), kako je navedeno u Poglavlju 2. Rezultati analize (statistički parametri funkcije raspodele verovatnoća vrednosti F) prikazani su zbirno u Tabeli 4.4, a za situaciju označenu sa 2A1 i 5 različitih pretpostavljenih nagiba kosine, na Slikama 4.10 – 4.14. Uslovi u kosini čija je stabilnost analizirana su relativno dobro poznati, pa je zato razlika između minimalne i maksimalne vrednosti svakog ulaznog parametra mala, kao i njihova standardna devijacija. Ovo se odražava i na rezultate analize, pa ako se posmatra svaka analizirana situacija posebno, vrednosti faktora sigurnosti dobijene Monte Carlo Simulacijom su u relativno uskim granicama, a njihova standardna devijacija je mala. Zato se za analiziranu situaciju (npr. 2A1 i ugao nagiba kosine 29,7º), čiji je prosečan faktor sigurnosti ne mnogo veći od jedinice (μF = 1.22), dobija zanemarljivo mala verovatnoća loma (Pf = 4.73607E-06) i posledično visok indeks pouzdanosti kosine (β = 4.429). Kako se vidi, deterministička analiza stabilnosti kosine daje samo jedan rezultat - faktor sigurnosti, dok je rezultat probabilističke analize stabilnosti kosine potpuno definisana funkcija raspodele verovatnoće svih sračunatih vrednosti faktora sigurnosti. Deterministička analiza ne daje nikakav direktan brojčani pokazatelj verovatnoće pojave loma duž pretpostavljene klizne površine. Zaključivanje po analogiji „Što je faktor sigurnosti manji, to je verovatnoća loma veća“, kao i obrnuto „Veći faktor sigurnosti – manji rizik od pojave loma u kosini“ praksa ponekad surovo demantuje. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 115 Poznati su slučajevi kosina kod kojih je došlo do loma iako je deterministički sračunat faktor sigurnosti veći i od 1.5, ali i onih koje su stabilne iako je njihov deterministički faktor sigurnosti neznatno veći od 1. Veći faktor sigurnosti nije obavezno „praćen“ manjom verovatnoćom loma, jer ona takođe zavisi od stepena neodređenosti ulaznih parametara. Vrlo ilustrativan primer za ovo prikazan je na Slici 4.32 (Ho i dr., 2000). Na dijagramu su prikazane funkcije raspodele verovatnoće 2 faktora sigurnosti: F1 = 1.2 (uslovi u kosini su takvi da je stepen neodređenosti ulaznih parametara nizak) i F2 = 1.4 (stepen neodređenosti ulaznih parametara je visok). Iako je F2 ˃ F1, verovatnoća loma Pf2 nije manja od Pf1 (kako bi se na osnovu determinističke analize zaključilo), nego je (zbog višeg stepena neodređenosti ulaznih parametara) obrnuto: Pf2 ˃ Pf1. Slika 4.32 Uticaj neodređenosti ulaznih parametara na oblik funkcije gustine verovatnoća (PDF), vrednosti faktora sigurnosti (F) i verovatnoću loma (Pf) U uporednoj analizi nosivosti temeljnog tla, koja je opisana u Poglavlju 4.2.1, za proračun dozvoljenog opterećenja u pogledu loma temeljnog tla (qa) primenjena je metodologija prema važećem „Pravilniku o tehničkim normativima za temeljenje građevinskih objekata“ (1990). Dozvoljeno opterećenje temeljnog tla sračunato je za 2 pretpostavljene dubine fundiranja (1.50 m i 2.00 m) i za temeljne stope oblika kvadrata, pretpostavljenih dimenzija 2.00×2.00 m i 3.00×3.00 m. Kao ulazni parametri za ovu PDF Faktor sigurnosti F Nizak stepen neodređenosti Visok stepen neodređenosti Verovatn. loma Pf F1=1.2 F2=1.4 F˂1 Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 116 analizu usvojeni su zapreminska težina tla (γ), efektivna kohezija (c') i efektivni ugao unutrašnjeg trenja (φ'). Deterministička analiza izvršena je tako što su vrednosti svih ulaznih parametara potrebne za proračun usvojene na osnovu izvršenih ispitivanja kao konstantne veličine. Rezultati ovako sprovedenog postupka proračuna dozvoljenog opterećenja temeljnog tla (qa) za sve 4 analizirane situacije prikazane su u Tabeli 4.7. Dobijeni rezultati su u rasponu od 326.158 kPa (za temelj sa stranicama B=L=3.0 m, na dubini fundiranja Df=1.5 m) do 421.492 kPa (za temelj sa stranicama B=L=2.0 m, na dubini fundiranja Df=2.0 m). Za probabilističku analizu su isti ulazni parametri (γ, c', φ') usvojeni kao slučajne promenljive i predstavljeni odgovarajućim probabilističkim modelom. U Tabeli 4.8 je dat prikaz svih ulaznih parametara i karakterističnih vrednosti njihovih probabilističkih modela, odakle se vidi da su ulazni parametri γ i φ' predstavljeni normalnom funkcijom raspodele verovatnoće, a ulazni parametar c' lognormalnom, što je u skladu sa preporukama iz literature (detaljno obrađeno u Poglavlju 2). Probabilistička analiza nosivosti temeljnog tla je realizovana sukcesivnim izvršenjem 10000 Monte Carlo iteracija, za sve 4 analizirane situacije. Rezultati analize su prikazani zbirno u Tabeli 4.9 i posebno za svaku analiziranu situaciju na odgovarajućem dijagramu (Slike 4.26 - 4.29). Očigledno je da je standardna devijacija (rasipanje vrednosti) rezultata (qa) u svim analiziranim situacijama značajno veća od standardne devijacije vrednosti bilo kog ulaznog parametra (slučajne promenljive). To je posledica prisustva više slučajnih promenljivih, jer svaka od njih unosi dodatnu neodređenost i promenljivost u rezultate proračuna. Za potrebe detaljnije analize i poređenja formirana je Tabela 4.10, u kojoj je prikazan jedini rezultat determinističke analize – dozvoljeno opterećenje temeljnog tla (qa) i neki od brojnih rezultata probabilističke analize – najmanja, najveća i srednja vrednost qa, standardna devijacija vrednosti qa, kao i dozvoljeno opterećenje temeljnog tla za nivo pouzdanosti 95%. Poglavlje 4. Rezultati istraživanja 117 Tabela 4.10 Rezultati determinističke i probabilističke analize nosivosti temeljnog tla Parametri temelja: 1 2 3 4 Df (m) 1.50 1.50 2.00 2.00 B × L (m) 2.00 × 2.00 3.00 × 3.00 2.00 × 2.00 3.00 × 3.00 Rezultati determinističke analize: qa (kN/m 2 ) 333.297 326.158 421.492 402.743 Rezultati probabilističke analize: min qa (kN/m 2 ) 274.27 268.19 349.10 333.94 max qa (kN/m 2 ) 671.09 645.53 798.00 754.82 μqa (kN/m 2 ) 429.10 419.58 536.63 512.40 σqa (kN/m 2 ) 45.62 43.77 52.60 49.59 qa (95% ) (kN/m 2 ) 360.33 353.24 456.35 436.68 Iz tabele se vidi da je u svim analiziranim situacijama prosečno dozvoljeno opterećenje temeljnog tla dobijeno probabilističkim postupkom (μqa), znatno veće od odgovarajućeg qa dobijenog determinističkim postupkom. Ova razlika iznosi 28.7% (za analiziranu situaciju 1), 28.6% (za situaciju 2), 27.3% (za situaciju 3), odnosno 27.2% (za situaciju 4). Može se zaključiti da je ova razlika u proseku 28%, kao i da je uočljiv trend njenog smanjenja sa povećanjem dubine fundiranja. Interesantno je i poređenje deterministički određenog qa sa rezultatom probabilističke analize qa(95%). Veličina qa(95%) je definisana kao dozvoljeno opterećenje temeljnog tla za nivo pouzdanosti 95%, a može se definisati i kao vrednost qa koja je veća od 95% svih sračunatih vrednosti qa. S obzirom da je nivo pouzdanosti 95% (nivo rizika 5%) uobičajeni kriterijum u praksi (Eurocode 7, detaljno obrađeno u Poglavlju 2), ovaj rezultat dobija na značaju. Upoređivanjem ovih vrednosti za sve 4 analizirane situacije dobija se da je qa(95%) veće od qa za 8.1% (za situaciju 1), 8.3% (za situacije 2 i 3), odnosno 8.4% (za situaciju 4). Sve navedene analize i poređenja rezultata jasno ukazuju na konzervativan karakter determinističkog rešenja. 5. ZAKLJUČAK Poglavlje 5. Zaključak 119 5 ZAKLJUČAK Cilj istraživanja, koje je planirano i sprovedeno u okviru ove teze, bio je da pruži dodatni doprinos široj primeni probabilističkih metoda u geotehničkim računskim analizama stabilnosti. Jedan od zadataka istraživanja, kako je navedeno u Poglavlju 1, bio je da se pokaže da probabilistička analiza nije bitno zahtevnija (u pogledu potrebnog nivoa predznanja, vremena potrebnog za izvršenje analize, obima istraživanja, ulaznih podataka, troškova, itd.) od tradicionalne determinističke analize, a da zauzvrat pruža velike mogućnosti za modeliranje neodređenosti i promenljivosti parametara, koji su uključeni u proračune. U Poglavlju 1. detaljno su opisane specifičnosti problema u oblasti geotehnike, metodologija koja se primenjuje pri njihovom rešavanju, izvori i vrste neodređenosti uticajnih faktora, a posebno promenljivost i neodređenost parametara tla. U Poglavlju 1.4. dat je prikaz osnovnih principa probabilističkog koncepta, koji omogućava kvantifikaciju neodređenosti, pa stoga predstavlja alternativu tradicionalnom, determinističkom pristupu u rešavanju problema, gde se sve vrednosti uticajnih faktora unose u analizu kao poznate, konstantne veličine. Predmet, ciljevi i zadaci istraživanja, koje je planirano u okviru izrade ove teze, predstavljeni su u Poglavlju 1.5. U Poglavlju 2.1 dat je detaljan opis i statistički prikaz pokazatelja promenljivosti i neodređenosti svojstava tla, dobijenih na osnovu brojnih laboratorijskih i terenskih ispitivanja. Mogućnosti i načini primene probabilističkih metoda u geotehnici opisane su u Poglavlju 2.2, a mogućnosti i ograničenja primene probabilističkih metoda u okvirima EUROCODE 7 u Poglavlju 2.3. U Poglavlju 3. detaljno su obrađeni postupci koji se primenjuju u geotehničkim analizama stabilnosti – analizi stabilnosti kosina i analizi nosivosti temeljnog tla. Na početku je opisana problematika koja je karakteristična za svaku od navedenih analiza, a zatim je prikazan prvo deterministički, pa onda probabilistički pristup u ovim analizama. Poglavlje 5. Zaključak 120 U Poglavlju 4. prikazani su postupci koji su primenjeni, kao i rezultati koji su dobijeni pri sprovedenom istraživanju u geotehničkim računskim analizama stabilnosti. U okviru ovog istraživanja karakteristični geotehnički problemi rešavani su primenom prvo determinističkih, a zatim probabilističkih postupaka. Pri realizaciji istraživanja analizirani su realni problemi, u čijem rešavanju su učestvovali članovi Laboratorije za geotehniku Instituta GAF u Nišu. Za potrebe uporedne analize stabilnosti kosina korišćen je problem stabilnosti kosine nagiba 1:1,5 preko geomreže „Fortrac 3D“, za potrebe izgradnje Regionalne sanitarne deponije „Gigoš“ kod Jagodine. Laboratorija za geotehniku je 2010. godine uradila stručnu analizu ovog problema. Podaci za uporednu analizu nosivosti temeljnog tla preuzeti su iz elaborata „Geotehnički uslovi temeljenja objekata fabričkog kompleksa „Fiat Automobili Srbija d.o.o. Kragujevac“ na lokaciji „Grošnica“ u Kragujevcu“, koji je urađen u Odeljenju za geotehniku Instituta GAF – Niš, 2011. godine. Za svaku od ovih analiza bilo je potrebno izvršiti identifikaciju ulaznih parametara, kao i kvantifikaciju njihove neodređenosti. Na osnovu toga izvršena je uporedna analiza rezultata dobijenih primenom ovih postupaka. Na osnovu sveobuhvatnog poređenja postupaka determinističke i probabilističke analize stabilnosti, koji su opisani i primenjeni u prethodnim poglavljima, mogu se izvesti sledeći zaključci: U determinističkoj analizi, analitičar, iako implicitno može prepoznati neodređenost koja je prisutna u različitim ulaznim parametrima, bira jednu vrednost za svaki parametar kojom je on predstavljen u računskoj analizi. Obično je to srednja vrednost, „najbolja procena“ ili ponekad „najnepovoljnija procena“. Rezultat determinističke analize je takođe jedna, jedinstvena vrednost. U probabilističkoj analizi analitičar eksplicitno predstavlja ulazne parametre odgovarajućim funkcijama raspodele verovatnoća i na taj način kvantifikuje uticaj neodređenosti prisutne u parametrima, tako da je i sam rezultat (dobijen npr. primenom Monte Carlo Simulacije) predstavljen funkcijom raspodele verovatnoća. Brojni su nedostaci determinističkih analiza, od kojih se mogu izdvojiti sledeći:  Rezultat analize u kojoj su ulazni parametri usvojeni po principu „najnepovoljnije procene“ može biti krajnje pogrešan. Ovakav pristup u izboru vrednosti ulaznih parametara po pravilu je izrazito konzervativan, pa je zato i rezultat potpuno Poglavlje 5. Zaključak 121 nerealan. Deterministička analiza ne omogućava da se kvantifikuje nivo ove konzervativnosti, pa je vrlo verovatno da će dovesti do pogrešnih odluka.  Pristup „najbolja procena“ pri izboru vrednosti ulaznih parametara često je teško odbraniti, zbog inherentne neodređenosti, koja je prisutna u većini parametara. Zato se u praksi ovaj pristup obično transformiše u pristup „najnepovoljnija procena“.  Determinističke analize ne pružaju mogućnost za detaljne analize neodređenosti pojedinačnih parametara, kao i osetljivosti rešenja na promenu svakog od njih. Probabilističke analize ne pate od ovih nedostataka. Umesto suočavanja sa teškoćama karakterističnim za pristupe „najbolja procena“ ili „najnepovoljnija procena“, ovde se eksplicitno predstavlja pun opseg mogućih vrednosti svakog ulaznog parametra. Neodređenost i promenljivost ulaznih parametara u probabilističkim analizama može se izraziti kvantitativno. Pošto se rezultati probabilističkih analiza sastoje od više skupova ulaznih parametara i odgovarajućih rezultata, osetljivost rezultata na različite ulazne parametre može se direktno odrediti. Postoje i neki potencijalni nedostaci probabilističkih analiza, koje treba pomenuti:  Probabilističke analize na prvi pogled mogu izgledati nepotrebno komplikovane i nerealistične. Iako ovo mišljenje postaje sve manje zastupljeno što se probabilističke analize češće primenjuju, ono se ne može ignorisati. Zato je važno da procedure probabilističkih analiza budu jasne i transparentne.  Proces formiranja ulaznog modela za probabilističku analizu može ponekad da se izrodi u jalovu raspravu o „pravim“ raspodelama verovatnoće ulaznih parametara. Ovaj problem se najčešće može rešiti jednostavno ponavljanjem probabilističke analize sa alternativnim raspodelama verovatnoća. Ukoliko se dobijaju slični rezultati, onda ne postoji potreba za nastavljanjem traženja „prave“ raspodele.  Javnost (čak i ona stručna) najčešće ne razume u potpunosti proces probabilističke analize i zato može biti sumnjičava prema njoj. Ova situacija će se popravljati sa porastom primene ovakvih analiza u praksi i nivoa obrazovanja stručne javnosti u ovoj oblasti, ali će problem, iako u manjoj meri, i dalje biti prisutan. Zato će komplementarne determinističke analize i dalje biti potrebne za ilustraciju ponašanja sistema pod određenim uslovima. Poglavlje 5. Zaključak 122 Važno je shvatiti da primena probabilističke analize ne isključuje upotrebu determinističke analize. U suštini, deterministička analiza različitih komponenti sistema je često neophodna kako bi se obezbedili ulazni podaci za probabilističku analizu. Međutim, još uvek postoji oklevanje da se probabilističke analize više koriste u različitim oblastima geotehničkog inženjerstva. Nekoliko je razloga za to: nedovoljno poznavanje teorije verovatnoće, ubeđenje (pogrešno) da ovakve analize zahtevaju velike dodatne troškove, neosnovan strah da će one zameniti postojeće metode, utisak da postupci probabilističkih analiza zahtevaju dodatni trud kako bi se prikupili potrebni podaci za modeliranje problema. Deo krivice za spori prodor ovog koncepta u inženjerskoj praksi je i na samoj probabilističkoj zajednici, jer na početku koncept nije bio objašnjen tako da ga inženjeri mogu lako razumeti i prihvatiti. Stvari se ovde kreću na bolje, jer je u međuvremenu, tokom godina, postupak primene ovih metoda znatno pojednostavljen. U cilju pobijanja nekih mitova u vezi probabilističkih metoda treba istaći da nije neophodno biti matematičar da bi se razumele i koristile ove metode. Probabilističke analize nikada neće ukinuti potrebu za tradicionalnim (determinističkim) analizama. One su sastavni deo, zapravo osnova za probabilističke analize. Tvrdnja da je za procenu neodređenosti i promenljivosti parametara tla i opterećenja potrebno dodatno vreme ne stoji, jer i u tradicionalnoj determinističkoj analizi projektant treba da zna posledice pretpostavki koje je uveo i da li su te pretpostavke dobre. Inženjerski postupak koji zanemaruje procenu neodređenosti u parametrima je neodgovoran, jer nestabilnost (lom) sistema može dovesti do oštećenja ili još ozbiljnijih posledica (Lacasse and Nadim, 1998). U geotehničkom inženjerstvu neodređenosti će uvek biti prisutne, kako zbog prirode materijala kojim se geotehničari bave, tako i zbog činjenice da nikada neće biti dovoljno podataka da bi se potpuno uklonile sve neodređenosti. Poznato je i uobičajeno iz dosadašnje prakse da se geotehnički sistemi mogu učiniti sigurnijim ako se potroši više novca. Pravi izazov vremena u kome živimo je da se unapredi pouzdanost sistema, a da se pritom ne potroši više novca. Da bi se ovaj cilj postigao, važno je prilagoditi nivo složenosti analize problemu koji treba rešiti i uštedi u novcu koja bi mogla da se ostvari. Moćan alat za rešavanje ovih zadataka predstavlja Poglavlje 5. Zaključak 123 opisani probabilistički koncept, koji ima potencijal za širu primenu u geotehničkom inženjerstvu. Ovaj koncept se vrlo dobro uklapa u ono što je R. B. Peck vizionarski najavio još 1962. godine: „Konvencionalni postupci, koji se koriste za proračun dozvoljenog opterećenja temeljnog tla, sleganja ili faktora sigurnosti kosine, važe i opravdani su samo u meri u kojoj su bili verifikovani od strane iskustva. Mehanika tla tu uglavnom predstavlja aparat za interpolaciju brojnih prethodnih iskustava u cilju rešavanja aktuelnih problema koji su unutar granica prethodnih iskustava. Međutim, mehanika tla pored toga pruža i mogućnost da se izađe izvan granica sopstvenog iskustva. Ona pokazuje put ka novim rešenjima starih problema ili ka rešenjima problema koje ranije nije bilo moguće rešiti. U tom smislu mehanika tla predstavlja aparat za ekstrapolaciju sopstvenog iskustva. Naravno, takva ekstrapolacija podrazumevaće dozu neodređenosti sve dotle dok relevantno iskustvo ne postane dostupno“. LITERATURA Literatura 125 LITERATURA Ang, A. H. S., Tang, W. H. (1984): Probability concepts in engineering, planning and design, Volume II, Decision, risk and reliability, John Wiley and Sons, New York. Babić, R. (2009): Zašto je slučajno slučajno? Verovatnoća: koliko je slučajno slučajno, www.cet.rs/CETcitaliste/CitalisteTekstovi/469.pdf. Baecher, G. B., Marr, W. A., Lin, J. S., Consla, J. (1983): Critical Parameters for Mine Tailings Embankments, U.S. Bureau of Mines, Denver, CO. Baecher, G. B., Christian, J. T. (2003): Reliability and Statistics in Geotechnical Engineering, John Wiley & Sons. Chichester, West Sussex, England; Hoboken, N.J. Baker, J., Calle, E. (2006): JCSS Probabilistic Model Code, Section 3.7: Soil Properties, JCSS- CI, Soil properties, Revised Version, August 2006. Benjamin, J. R., Cornell, C. A. (1970): Probability, statistics and decision making for civil engineers, McGraw-Hill, London, New York. Cardoso, A. S., Fernandes, M. M. (2001): Characteristic values of ground parameters and probability of failure in design according to Eurocode 7, Géotechnique, 51, pp. 519- 531. Carter, T. G. (1992): Prediction and uncertainties in geological engineering and rock mass characterization assessments, Proc. 4th. int. rock mechanics and rock engineering conf., Torino. Paper 1. Carter, J. P., Desai, C. S., Potts, D. M., Schweiger, H. F., Sloan, S. W. (2000): Computing and computer modelling in geotechnical engineering, GEOENG, Conference proceedings, Melbourne, Australia, 96 p. Literatura 126 Casagrande, A. (1965): Role of Calculated Risk in Earthwork and Foundation Engineering, Journal of Soil Mechanics & Foundations Division (ASCE), 91(SM4), pp. 1-40. Cho, S. E., Park, H. C. (2009): Effect of spatial variability of cross-correlated soil properties on bearing capacity of strip footing, Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech., Published online in Wiley InterScience (www.interscience.wiley.com), 26 p. Chowdhury, R. N. (1978): Slope Analysis, Elsevier, Amsterdam. Chowdhury, R. N., Flentje, P. (2007): Perspectives for the future of Geotechnical Engineering. Proceedings of the International Conference on Civil Engineering for the New Millennium: Opportunies and Challenges, Bengal Engineering College, Shibpur, India, 21 p. Christian, J. T., Baecher, G. B. (1999): Point Estimate Method as Numerical Quadrature, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering: pp. 779-786. Christian, J. T. (2001): How Reliable is Geotechnical Engineering?, The 9th Jack W. Hilf Memorial Lecture in Geotechnical Engineering, University of Colorado at Boulder. Christian, J. T. (2004): Terzaghi Lecture “Geotechnical Engineering Reliability: How Well Do We Know What We Are Doing?”, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, Vol. 130(10): pp. 985-1003. Coduto, D. P. (1999): Geotechnical Engineering – Principles and Practices, Prentice-Hall, N.J. Ćorić, S. (2006): Geostatički proračuni, drugo izdanje, Hektor print, Novi Beograd. Davidović, N. (2004): Analiza glavnih uticaja na računsku stabilnost kosina i izbor pogodnog postupka proračuna metodom granične ravnoteže, Magistarski rad, Univerzitet u Nišu, Građevinsko-arhitektonski fakultet. Davidović, N. (2005): Primena probabilističkog koncepta u računskoj analizi stabilnosti kosina, Zbornik radova sa Naučno–stručnog savetovanja “Geotehnički aspekti građevinarstva”, Kopaonik, 24-27.10.2005, str. 223-229. Davidović, N. (2007): Kvantifikacija neodređenosti i promenljivosti glavnih uticajnih faktora u geotehničkim računskim analizama stabilnosti, Zbornik radova sa drugog naučno- stručnog savetovanja “Geotehnički aspekti građevinarstva”, Soko Banja, str. 67-72. Literatura 127 Davidović, N., Prolović, V., Stojić, D. (2010a): Modeling of Soil Parameters Spatial Uncertainty by Geostatistics, Facta Universitatis, Series: Architecture and Civil Engineering, Vol. 8, N° 1, pp. 111 – 118. Davidović, N., Bonić, Z., Prolović, V., Šulović, G. (2010b): Određivanje kritičnog ugla prirodnog nagiba separisanog rečnog šljunka frakcije 16/32mm i ocena mogućnosti ugradnje u sloj debljine 10cm, preko geomreže “Fortrac 3D”, na kosini nagiba 1:1,5 za potrebe izgradnje Regionalne sanitarne deponije “Gigoš” u Jagodini, Institut za građevinarstvo i arhitekturu GAF – Niš, 25/17, 2010, str.1-12. Davidović, N., Prolović, V., Lukić, D. (2012): Consideration of Variability of Soil Parameters in Probabilistic Soil Modeling, 12th International Multidisciplinary Scientific GeoConference SGEM 2012, Albena, Bulgaria, pp. 39-46. Duncan, J. M. (2000): Factors of safety and reliability in geotechnical engineering, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering; 126: pp. 307–316. Einstein, H. H., Baecher, G. B. (1982): Probabilistic and statistical methods in engineering geology. I. Problem statement and introduction to solution, Rock Mechanics, Supp. 12, pp. 47-61. Elkateb, T., Chalaturnyk, R., Robertson, P. K. (2002): An overview of soil heterogeneity: quantification and implications on geotechnical field problems, Canadian Geotechnical Journal; 40: pp. 1–15. El-Ramly, H., Morgenstern, N. R., Cruden, D. M. (2002): Probabilistic slope stability analysis for practice, Canadian Geotechnical Journal, 39: pp. 665-683. Fenton, G. A. (1997): Data analysis / Geostatistics, Probabilistic Methods in Geotechnical Engineering, ASCE GeoLogan ’97 Conference, Logan, Utah, pp. 51-73. Fenton, G. A., Griffiths, D. V. (2003): Bearing capacity prediction of spatially random c–φ soils, Canadian Geotechnical Journal; 40: pp. 54–65. GeoSlope/W (2007): Stability Modeling with SLOPE/W 2007 – An Engineering Methodology. Second Edition. Geo-Slope International, Calgary, Alberta, Canada. Literatura 128 Griffiths, D. V., Fenton, G. A. (2000): Influence of soil strength spatial variability on the stability of an undrained clay slope by finite elements, Slope Stability 2000. Geotechnical Special Publications No. 101. ASCE: New York; pp. 184–193. Griffiths, D. V., Fenton, G. A. (2001): Bearing capacity of spatially random soil: the undrained clay Prandtl problem revisited, Geotechnique; 51: pp. 351–359. Griffiths, D. V., Fenton, G. A., Manoharan, N. (2002): Bearing capacity of rough rigid strip footing on cohesive soil: probabilistic study, Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering; 128: pp. 743–755. Grivas, D. A. (1981): How Reliable are the Present Slope Failure Prediction Methods?, Proceedings of the Tenth International Conference of Soil Mechanics and Foundation Engineering, Stockholm, Sweden, Vol. 3, pp. 427-430. Hacking, I. (1975): The emergence of probability, Cambridge University Press, U.K. Haldar, S., Babu, G. L. S. (2007): Effect of soil variability on the response of laterally loaded pile in undrained clay, Computers and Geotechnics; 35: pp. 537–547. Haneberg, W. C. (2004): A Rational Probabilistic Method for Spatially Distributed Landslide Hazard Assessment, Environmental & Engineering Geoscience, Vol. X, No. 1: pp. 27– 43. Harr, M. E. (1987): Reliability-based design in civil engineering, McGraw-Hill, New York. Hicks, M. A., Onisiphorou, C., Samy, K., Spencer, W. A. (2005): Implications of soil variability for geo-computations, 13th ACME Conference, University of Sheffield. Ho, K., Leroi, E., Roberds, B. (2000): Quantitative risk assessment: application, myths and future direction. In Proceedings of the International Conference on Geotechnical Engineering (GeoEng 2000), Melbourne, pp. 269-312. Jones, A. L., Kramer, S. L., Arduino, P. (2002): Estimation of Uncertainty in Geotechnical Properties for Performance-Based Earthquake Engineering, PEER Report 2002/16, Pacific Earthquake Engineering Research Center, College of Engineering University of California, Berkeley. Literatura 129 Koutsourelakis, S., Prevost, J. H., Deodatis, G. (2002): Risk assessment of an interacting structure–soil system due to liquefaction, Earthquake Engineering and Structural Dynamics; 31: pp. 851-879. Kulhawy, F., Trautmann, C. H. (1996): Estimation of in situ test uncertainty, in Uncertainty in the Geologic Environment: From Theory to Practice, Proceeding of Uncertainty ’96, Madison, WI, ASCE Geotechnical Special Publication No. 58, pp. 269-286. Lacasse, S., Nadim, F. (1996): Uncertainties in characterizing soil properties, Uncertainty in the Geologic Environment: From Theory to Practice, Proceeding of Uncertainty ’96, ASCE Geotechnical Special Publication No. 58, pp. 49-75. Lacasse, S., Nadim, F. (1998): Risk and reliability in geotechnical engineering, Proceeding of Fourth International Conference on Case Histories in Geotechnical Engineering, St. Louis, Missouri, March 9-12, 1998, pp. 1172-1192. Lee, I. K., White, W., Ingles, O. G. (1983): Geotechnical Engineering, Boston, Pitman. Li, K. S., Lumb, P. (1987): Probabilistic design of slopes, Canadian Geotechnical Journal; 24: pp. 520–535. Lumb, P. (1966): The Variability of Natural Soils, Canadian Geotechnical Journal, Vol. 3, No. 2, pp. 74-97. Lumb, P. (1970): Safety factors and the probability distribution of soil strength, Canadian Geotechnical Journal, Vol. 7, No. 3, pp. 225-242. Lumb, P. (1974): Application of statistics in soil mechanics, Soil Mechanics: New Horizons. Lee, I. K., ed., London, Newnes-Butterworth, pp. 44-112, 221-239. Maksimović, M. (2008): Mehanika tla, četvrto izdanje, AGM knjiga, Beograd. Meyerhof, G. G. (1994): Evolution of Safety Factors and Geotechnical Limit State Design, The Second Spencer J. Buchanan Lecture, Texas A&M University, USA, 32 p. Mostyn, G. R., Li, K. S. (1993): Probabilistic slope stability—state of play, In Conference on Probabilistic Methods in Geotechnical Engineering, Li, K. S., Lo, S - C. R. (eds). Balkema: Rotterdam, The Netherlands; pp. 89–110. Literatura 130 Nadim, F. (2007): Tools and Strategies for Dealing with Uncertainty in Geotechnics, in Probabilistic Methods in Geotechnical Engineering, Springer Wien, New York, pp. 71- 97. Nonveiller, E. (1990): Mehanika tla i temeljenje građevina, Školska knjiga, Zagreb. Onisiphorou, C. (2011): Reliability analysis of bearing capacity for shallow foundations based on Eurocode 7, ISGSR 2011 – Vogt, Schuppener, Straub & Bräu (eds), Bundesanstalt für Wasserbau, pp. 463-469. Orr, T. L. L., Breysse, D. (2008): Eurocode 7 and reliability-based design, in Reliability-based design in geotechnical engineering: computations and applications (Chapter 8), edited by Kok-Kwang Phoon, Taylor & Francis, New York, NY 10016, USA, pp. 298-343. Peck, R. B. (1962): Art and science of subsurface engineering, Geotechnique, Vol. 12. No. 1. Paice, G. M., Griffiths, G. V., Fenton, G. A. (1996): Finite element modeling of settlement on spatially random soil, Journal of Geotechnical Engineering (ASCE); 122: pp. 777–779. Pine, R. J. (1992): Risk analysis design applications in mining geomechanics, Trans. Instn Min. Metall. (Sect.A) 101, pp. 149-158. Phoon, K. K., Kulhawy, F. H. (1999): Characterization of geotechnical variability, Canadian Geotechnical Journal 36(4): pp. 612-624. Phoon, K. K., Kulhawy, F. H. (1999a): Evaluation of geotechnical property variability, Canadian Geotechnical Journal, Vol. 36: pp. 625-639. Popescu, R., Prevost, J. H., Deodatis, G. (1997): Effects of spatial variability on soil liquefaction: some design recommendations, Geotechnique; 47: pp. 1019–1036. Popescu, R., Deodatis, G., Nobahar, A. (2005): Effects of random heterogeneity of soil properties on bearing capacity, Probabilistic Engineering Mechanics; 20: pp. 324–341. Popescu, R., Prevost, J. H., Deodatis, G. (2005a): 3D effects in seismic liquefaction of stochastically variable soil deposits, Geotechnique; 55: pp. 21–31. Prolović, V., Bonić, Z., Davidović, N. (2011): Geotehnički uslovi temeljenja objekata fabričkog kompleksa “Fiat Automobili Srbija d.o.o. Kragujevac” na lokaciji “Grošnica” u Kragujevcu, Institut za građevinarstvo i arhitekturu GAF – Niš, 25/11, 2011, str.1-70. Literatura 131 Russelli, C. (2008): Probabilistic Methods applied to the Bearing Capacity Problem, PhD Thesis, Institut für Geotechnik der Universität Stuttgart. Samy, K. (2003): Stochastic analysis with finite elements in geotechnical engineering, PhD Thesis, University of Manchester. Schneider, H. R. (1997): Definition and determination of characteristic soil properties, In Proceedings XII International Conference on Soil Mechanics and Geotechnical Engineering, Hamburg, pp. 2271–2274. Shahin, M. A., Cheung, E. M. (2011): Probabilistic Analysis of Bearing Capacity of Strip Footings, ISGSR 2011 – Vogt, Schuppener, Straub & Bräu (eds), Bundesanstalt für Wasserbau, pp. 225-230. Šutić, J. (1995): Katastar nestabilnih terena i karte rizika pojava klizanja (uvodni referat), Zbornik radova II simpozijuma “Istraživanje i sanacija klizišta”, Donji Milanovac, str. 531-536. Tan, C. P., Donald, I. B., Melchers, R. E. (1993): Probabilistic Slope Stability Analysis – State- of-play, Proceedings of the Conference on Probabilistic Methods in Geotechnical Engineering, Canberra, Australia, pp. 89-110. Terzaghi, K. (1925): Erdbaumechanik auf bodenphysikalischer Grundlagen, F. Deuticke, Wien. Terzaghi, K. (1943): Teorijska mehanika tla, Naučna knjiga, Beograd. Vanmarcke E. H. (1977): Probabilistic modeling of soil profiles, Journal of Geotechnical Engineering (ASCE); 103: pp. 1227–1246. Vujanić, V., Cmiljanić, S., Vladiković, V. (1995): Klizišta i životna sredina, Zbornik radova II simpozijuma “Istraživanje i sanacija klizišta”, Donji Milanovac, str. 537-542. Whitman, R. V. (1984): Evaluating calculated risk in geotechnical engineering, J. Geotech. Engineering, ASCE 110(2), pp. 145-186. Whipple, K. (2004): Surface Processes and Landscape Evolution: Implications for cohesionless soil, 12.163/12.463, Wiley Online Library. Literatura 132 Wolff, T. F., Demsky, E. C., Schauer, J., Perry, E. (1996): Reliability assessment of dike and levee embankments, Uncertainty in the Geologic Environment, From Theory to Practice, Proceeding of Uncertainty ’96, Geotechnical Special Publication No. 58. Zaruba, Q., Mencl, V. (1969): Landslides and Their Control, Elsevier, Amsterdam and Academia, Prague. PRILOZI Prilozi 134 PRILOG 1 Ulazni parametri za probabilističku analizu stabilnosti kosina Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: φ (rad) φ (rad) Input (normal distribution) φ (rad) Normal(0.609207,0.019215) Cell Ugao nagiba!D99 Ugao nagiba!D99 Minimum 0.53544 −∞ Maximum 0.69372 +∞ Mean 0.60921 0.609207 Mode 0.60993 0.609207 Median 0.60921 0.609207 Std Dev 0.01922 0.019215 Skewness 0.0027 0 Kurtosis 3.0059 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.5776 0.5776 Left P 5.00% 5.00% Right X 0.6408 0.6408 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 0.06322 0.063218 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 0.56443 0.56451 5% 0.57758 0.57760 10% 0.58457 0.58458 15% 0.58929 0.58929 20% 0.59303 0.59304 25% 0.59624 0.59625 30% 0.59913 0.59913 35% 0.60180 0.60180 40% 0.60434 0.60434 45% 0.60679 0.60679 50% 0.60921 0.60921 55% 0.61162 0.61162 60% 0.61407 0.61408 65% 0.61661 0.61661 70% 0.61928 0.61928 75% 0.62216 0.62217 80% 0.62537 0.62538 85% 0.62911 0.62912 90% 0.63382 0.63383 95% 0.64080 0.64081 99% 0.65385 0.65391 Prilozi 135 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: γ (kN/m3) γ (kN/m3) Input (normal distribution) γ (kN/m3) Normal(17.65909091,0.2263137663) Cell Ugao nagiba!G100 Ugao nagiba!G100 Minimum 16.5537 −∞ Maximum 18.5124 +∞ Mean 17.6591 17.6591 Mode 17.6619 17.6591 Median 17.6591 17.6591 Std Dev 0.2264 0.2263 Skewness -0.0063 0 Kurtosis 3.0231 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 17.287 17.287 Left P 5.00% 5.00% Right X 18.031 18.031 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 0.7446 0.7446 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 17.1318 17.1326 5% 17.2867 17.2868 10% 17.3690 17.3691 15% 17.4245 17.4245 20% 17.4686 17.4686 25% 17.5064 17.5064 30% 17.5404 17.5404 35% 17.5719 17.5719 40% 17.6017 17.6018 45% 17.6306 17.6307 50% 17.6591 17.6591 55% 17.6875 17.6875 60% 17.7164 17.7164 65% 17.7462 17.7463 70% 17.7778 17.7778 75% 17.8117 17.8117 80% 17.8495 17.8496 85% 17.8936 17.8937 90% 17.9490 17.9491 95% 18.0313 18.0313 99% 18.1848 18.1856 Prilozi 136 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: γ' (kN/m3) γ' (kN/m3) Input (normal distribution) γ' (kN/m3) Normal(9.618,0.248945143) Cell Ugao nagiba!J101 Ugao nagiba!J101 Minimum 8.6698 −∞ Maximum 10.6108 +∞ Mean 9.618 9.618 Mode 9.6211 9.618 Median 9.618 9.618 Std Dev 0.249 0.2489 Skewness 0.0009 0 Kurtosis 2.9992 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 9.208 9.208 Left P 5.00% 5.00% Right X 10.027 10.027 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 0.8189 0.8189 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 9.0381 9.0389 5% 9.2084 9.2085 10% 9.2989 9.2990 15% 9.3600 9.3600 20% 9.4084 9.4085 25% 9.4500 9.4501 30% 9.4874 9.4875 35% 9.5220 9.5221 40% 9.5549 9.5549 45% 9.5867 9.5867 50% 9.6180 9.6180 55% 9.6493 9.6493 60% 9.6811 9.6811 65% 9.7139 9.7139 70% 9.7485 9.7485 75% 9.7859 9.7859 80% 9.8275 9.8275 85% 9.8759 9.8760 90% 9.9369 9.9370 95% 10.0273 10.0275 99% 10.1969 10.1971 Prilozi 137 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: γz (kN/m 3 ) γz (kN/m 3 ) Input (normal distribution) γz (kN/m 3 ) Normal(19.425,0.248945143) Cell Ugao nagiba!M100 Ugao nagiba!M100 Minimum 18.3628 −∞ Maximum 20.3627 +∞ Mean 19.425 19.425 Mode 19.4219 19.425 Median 19.425 19.425 Std Dev 0.249 0.2489 Skewness -0.0022 0 Kurtosis 3.002 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 19.015 19.015 Left P 5.00% 5.00% Right X 19.834 19.834 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 0.8189 0.8189 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 18.8454 18.8459 5% 19.0154 19.0155 10% 19.1059 19.1060 15% 19.1670 19.1670 20% 19.2154 19.2155 25% 19.2571 19.2571 30% 19.2944 19.2945 35% 19.3290 19.3291 40% 19.3619 19.3619 45% 19.3937 19.3937 50% 19.4250 19.4250 55% 19.4563 19.4563 60% 19.4880 19.4881 65% 19.5209 19.5209 70% 19.5555 19.5555 75% 19.5929 19.5929 80% 19.6345 19.6345 85% 19.6829 19.6830 90% 19.7440 19.7440 95% 19.8343 19.8345 99% 20.0041 20.0041 Prilozi 138 PRILOG 2 Rezultati probabilističke analize stabilnosti kosina Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A1 i nagib 1:1 (α=45º) F Output 2A1: F za nagib 1:1 Cell Ugao nagiba!D100 Minimum 0.59325 Maximum 0.83162 Mean 0.69812 Mode 0.69595 Median 0.69774 Std Dev 0.02861 Skewness 0.0838 Kurtosis 3.0262 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.6517 Left P 5.00% Right X 0.7458 Right P 95.00% Dif. X 0.09407 Dif. P 90.00% 1% 0.63314 5% 0.65172 10% 0.66173 15% 0.66853 20% 0.67396 25% 0.67863 30% 0.68286 35% 0.68678 40% 0.69052 45% 0.69415 50% 0.69774 55% 0.70134 60% 0.70500 65% 0.70880 70% 0.71283 75% 0.71718 80% 0.72205 85% 0.72776 90% 0.73499 95% 0.74579 99% 0.76630 Prilozi 139 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A1 i nagib 1:1,25 (α=38,7º) F Output 2A1: F za nagib 1:1.25 Cell Ugao nagiba!D101 Minimum 0.74156 Maximum 1.03952 Mean 0.87266 Mode 0.86994 Median 0.87217 Std Dev 0.03576 Skewness 0.0838 Kurtosis 3.0262 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.8146 Left P 5.00% Right X 0.9322 Right P 95.00% Dif. X 0.11759 Dif. P 90.00% 1% 0.79143 5% 0.81465 10% 0.82716 15% 0.83566 20% 0.84244 25% 0.84829 30% 0.85357 35% 0.85848 40% 0.86315 45% 0.86769 50% 0.87217 55% 0.87667 60% 0.88125 65% 0.88600 70% 0.89103 75% 0.89647 80% 0.90257 85% 0.90970 90% 0.91873 95% 0.93224 99% 0.95787 Prilozi 140 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A1 i nagib 1:1,5 (α=33,7º) F Output 2A1: F za nagib 1:1.5 Cell Ugao nagiba!D102 Minimum 0.88987 Maximum 1.24742 Mean 1.04719 Mode 1.04392 Median 1.0466 Std Dev 0.04291 Skewness 0.0838 Kurtosis 3.0262 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.9776 Left P 5.00% Right X 1.1187 Right P 95.00% Dif. X 0.1411 Dif. P 90.00% 1% 0.94972 5% 0.97758 10% 0.99259 15% 1.00279 20% 1.01093 25% 1.01795 30% 1.02429 35% 1.03017 40% 1.03578 45% 1.04122 50% 1.04660 55% 1.05200 60% 1.05750 65% 1.06321 70% 1.06924 75% 1.07577 80% 1.08308 85% 1.09164 90% 1.10248 95% 1.11868 99% 1.14945 Prilozi 141 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A1 i nagib 1:1,75 (α=29,7º) F Output 2A1: F za nagib 1:1.75 Cell Ugao nagiba!D103 Minimum 1.03818 Maximum 1.45533 Mean 1.22172 Mode 1.21791 Median 1.22104 Std Dev 0.05006 Skewness 0.0838 Kurtosis 3.0262 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 1.1405 Left P 5.00% Right X 1.3051 Right P 95.00% Dif. X 0.16462 Dif. P 90.00% 1% 1.10800 5% 1.14051 10% 1.15802 15% 1.16992 20% 1.17942 25% 1.18761 30% 1.19500 35% 1.20187 40% 1.20841 45% 1.21476 50% 1.22104 55% 1.22734 60% 1.23375 65% 1.24041 70% 1.24745 75% 1.25506 80% 1.26360 85% 1.27358 90% 1.28622 95% 1.30513 99% 1.34102 Prilozi 142 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A1 i nagib 1:2 (α=26,6º) F Output 2A1: F za nagib 1:2 Cell Ugao nagiba!D104 Minimum 1.18649 Maximum 1.66323 Mean 1.39625 Mode 1.3919 Median 1.39547 Std Dev 0.05721 Skewness 0.0838 Kurtosis 3.0262 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 1.3034 Left P 5.00% Right X 1.4916 Right P 95.00% Dif. X 0.18814 Dif. P 90.00% 1% 1.26629 5% 1.30344 10% 1.32345 15% 1.33706 20% 1.34791 25% 1.35727 30% 1.36572 35% 1.37356 40% 1.38105 45% 1.38830 50% 1.39547 55% 1.40267 60% 1.41000 65% 1.41761 70% 1.42565 75% 1.43436 80% 1.44411 85% 1.45552 90% 1.46997 95% 1.49158 99% 1.53260 Prilozi 143 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A2 i nagib 1:1 (α=45º) F Output 2A2: F za nagib 1:1 Cell Ugao nagiba!G101 Minimum 2.95408 Maximum 3.25776 Mean 3.10105 Mode 3.1007 Median 3.10024 Std Dev 0.04211 Skewness 0.0715 Kurtosis 2.9636 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 3.0321 Left P 5.00% Right X 3.1717 Right P 95.00% Dif. X 0.13956 Dif. P 90.00% 1% 3.00476 5% 3.03212 10% 3.04745 15% 3.05765 20% 3.06543 25% 3.07234 30% 3.07874 35% 3.08436 40% 3.08987 45% 3.09495 50% 3.10024 55% 3.10535 60% 3.11106 65% 3.11683 70% 3.12280 75% 3.12948 80% 3.13664 85% 3.14508 90% 3.15552 95% 3.17168 99% 3.19995 Prilozi 144 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A2 i nagib 1:1,25 (α=38,7º) F Output 2A2: F za nagib 1:1.25 Cell Ugao nagiba!G102 Minimum 3.41796 Maximum 3.77972 Mean 3.59258 Mode 3.59732 Median 3.59175 Std Dev 0.05003 Skewness 0.069 Kurtosis 2.9658 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 3.5105 Left P 5.00% Right X 3.6762 Right P 95.00% Dif. X 0.16576 Dif. P 90.00% 1% 3.47846 5% 3.51046 10% 3.52893 15% 3.54107 20% 3.55034 25% 3.55856 30% 3.56618 35% 3.57293 40% 3.57929 45% 3.58577 50% 3.59175 55% 3.59776 60% 3.60425 65% 3.61101 70% 3.61825 75% 3.62584 80% 3.63494 85% 3.64522 90% 3.65723 95% 3.67622 99% 3.71016 Prilozi 145 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A2 i nagib 1:1,5 (α=33,7º) F Output 2A2: F za nagib 1:1.5 Cell Ugao nagiba!G103 Minimum 3.90721 Maximum 4.3287 Mean 4.11032 Mode 4.12018 Median 4.10958 Std Dev 0.05826 Skewness 0.0676 Kurtosis 2.9676 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 4.0148 Left P 5.00% Right X 4.2075 Right P 95.00% Dif. X 0.19269 Dif. P 90.00% 1% 3.97810 5% 4.01481 10% 4.03631 15% 4.05041 20% 4.06107 25% 4.07095 30% 4.07952 35% 4.08755 40% 4.09488 45% 4.10236 50% 4.10958 55% 4.11662 60% 4.12343 65% 4.13154 70% 4.14019 75% 4.14927 80% 4.15976 85% 4.17196 90% 4.18553 95% 4.20750 99% 4.24860 Prilozi 146 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A2 i nagib 1:1,75 (α=29,7º) F Output 2A2: F za nagib 1:1.75 Cell Ugao nagiba!G104 Minimum 4.41422 Maximum 4.89659 Mean 4.64641 Mode 4.65908 Median 4.64567 Std Dev 0.06669 Skewness 0.0667 Kurtosis 2.969 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 4.5373 Left P 5.00% Right X 4.7576 Right P 95.00% Dif. X 0.22029 Dif. P 90.00% 1% 4.49434 5% 4.53727 10% 4.56173 15% 4.57767 20% 4.59000 25% 4.60134 30% 4.61115 35% 4.62029 40% 4.62862 45% 4.63728 50% 4.64567 55% 4.65379 60% 4.66151 65% 4.67061 70% 4.68064 75% 4.69092 80% 4.70299 85% 4.71700 90% 4.73239 95% 4.75756 99% 4.80370 Prilozi 147 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2A2 i nagib 1:2 (α=26,6º) F Output 2A2: F za nagib 1:2 Cell Ugao nagiba!G105 Minimum 4.93391 Maximum 5.47799 Mean 5.1956 Mode 5.20324 Median 5.19477 Std Dev 0.07526 Skewness 0.0661 Kurtosis 2.9701 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 5.073 Left P 5.00% Right X 5.321 Right P 95.00% Dif. X 0.24845 Dif. P 90.00% 1% 5.02350 5% 5.07266 10% 5.10004 15% 5.11787 20% 5.13187 25% 5.14487 30% 5.15582 35% 5.16621 40% 5.17547 45% 5.18521 50% 5.19477 55% 5.20398 60% 5.21247 65% 5.22277 70% 5.23443 75% 5.24588 80% 5.25923 85% 5.27562 90% 5.29271 95% 5.32111 99% 5.37340 Prilozi 148 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B1 i nagib 1:1 (α=45º) F Output 2B1: F za nagib 1:1 Cell Ugao nagiba!J102 Minimum 0.31782 Maximum 0.45925 Mean 0.3803 Mode 0.37962 Median 0.37981 Std Dev 0.01919 Skewness 0.1259 Kurtosis 3.0611 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.3495 Left P 5.00% Right X 0.4125 Right P 95.00% Dif. X 0.06306 Dif. P 90.00% 1% 0.33707 5% 0.34949 10% 0.35588 15% 0.36033 20% 0.36411 25% 0.36718 30% 0.36996 35% 0.37271 40% 0.37518 45% 0.37760 50% 0.37981 55% 0.38228 60% 0.38485 65% 0.38746 70% 0.39005 75% 0.39295 80% 0.39616 85% 0.40017 90% 0.40511 95% 0.41255 99% 0.42663 Prilozi 149 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B1 i nagib 1:1,25 (α=38,7º) F Output 2B1: F za nagib 1:1.25 Cell Ugao nagiba!J103 Minimum 0.39727 Maximum 0.57406 Mean 0.47538 Mode 0.47452 Median 0.47477 Std Dev 0.02399 Skewness 0.1259 Kurtosis 3.0611 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.4369 Left P 5.00% Right X 0.5157 Right P 95.00% Dif. X 0.07883 Dif. P 90.00% 1% 0.42134 5% 0.43686 10% 0.44485 15% 0.45042 20% 0.45514 25% 0.45897 30% 0.46244 35% 0.46589 40% 0.46897 45% 0.47201 50% 0.47477 55% 0.47785 60% 0.48106 65% 0.48432 70% 0.48756 75% 0.49118 80% 0.49520 85% 0.50021 90% 0.50639 95% 0.51568 99% 0.53329 Prilozi 150 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B1 i nagib 1:1,5 (α=33,7º) F Output 2B1: F za nagib 1:1.5 Cell Ugao nagiba!J104 Minimum 0.47672 Maximum 0.68888 Mean 0.57045 Mode 0.56943 Median 0.56972 Std Dev 0.02879 Skewness 0.1259 Kurtosis 3.0611 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.5242 Left P 5.00% Right X 0.6188 Right P 95.00% Dif. X 0.09459 Dif. P 90.00% 1% 0.50561 5% 0.52423 10% 0.53382 15% 0.54050 20% 0.54616 25% 0.55077 30% 0.55493 35% 0.55907 40% 0.56277 45% 0.56641 50% 0.56972 55% 0.57342 60% 0.57728 65% 0.58118 70% 0.58507 75% 0.58942 80% 0.59424 85% 0.60026 90% 0.60767 95% 0.61882 99% 0.63995 Prilozi 151 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B1 i nagib 1:1,75 (α=29,7º) F Output 2B1: F za nagib 1:1.75 Cell Ugao nagiba!J105 Minimum 0.55618 Maximum 0.80369 Mean 0.66553 Mode 0.66433 Median 0.66467 Std Dev 0.03359 Skewness 0.1259 Kurtosis 3.0611 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.6116 Left P 5.00% Right X 0.722 Right P 95.00% Dif. X 0.11036 Dif. P 90.00% 1% 0.58988 5% 0.61160 10% 0.62279 15% 0.63058 20% 0.63719 25% 0.64256 30% 0.64742 35% 0.65225 40% 0.65656 45% 0.66081 50% 0.66467 55% 0.66899 60% 0.67349 65% 0.67805 70% 0.68259 75% 0.68766 80% 0.69328 85% 0.70030 90% 0.70894 95% 0.72196 99% 0.74660 Prilozi 152 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B1 i nagib 1:2 (α=26,6º) F Output 2B1: F za nagib 1:2 Cell Ugao nagiba!J106 Minimum 0.63563 Maximum 0.9185 Mean 0.7606 Mode 0.75924 Median 0.75963 Std Dev 0.03839 Skewness 0.1259 Kurtosis 3.0611 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.699 Left P 5.00% Right X 0.8251 Right P 95.00% Dif. X 0.12612 Dif. P 90.00% 1% 0.67415 5% 0.69897 10% 0.71176 15% 0.72067 20% 0.72822 25% 0.73436 30% 0.73991 35% 0.74543 40% 0.75036 45% 0.75521 50% 0.75963 55% 0.76456 60% 0.76970 65% 0.77491 70% 0.78010 75% 0.78590 80% 0.79231 85% 0.80034 90% 0.81022 95% 0.82509 99% 0.85326 Prilozi 153 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B2 i nagib 1:1 (α=45º) F Output 2B2: F za nagib 1:1 Cell Ugao nagiba!M102 Minimum 2.39981 Maximum 2.66127 Mean 2.5302 Mode 2.53123 Median 2.52983 Std Dev 0.03666 Skewness 0.0572 Kurtosis 2.9962 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 2.4706 Left P 5.00% Right X 2.5917 Right P 95.00% Dif. X 0.12111 Dif. P 90.00% 1% 2.44618 5% 2.47057 10% 2.48363 15% 2.49198 20% 2.49890 25% 2.50505 30% 2.51070 35% 2.51589 40% 2.52058 45% 2.52523 50% 2.52983 55% 2.53447 60% 2.53980 65% 2.54444 70% 2.54898 75% 2.55480 80% 2.56071 85% 2.56761 90% 2.57760 95% 2.59168 99% 2.61827 Prilozi 154 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B2 i nagib 1:1,25 (α=38,7º) F Output 2B2: F za nagib 1:1.25 Cell Ugao nagiba!M103 Minimum 2.75163 Maximum 3.05802 Mean 2.90482 Mode 2.89733 Median 2.90441 Std Dev 0.04292 Skewness 0.058 Kurtosis 2.9947 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 2.8349 Left P 5.00% Right X 2.9773 Right P 95.00% Dif. X 0.14241 Dif. P 90.00% 1% 2.80678 5% 2.83491 10% 2.85028 15% 2.85987 20% 2.86834 25% 2.87536 30% 2.88171 35% 2.88812 40% 2.89368 45% 2.89900 50% 2.90441 55% 2.90972 60% 2.91589 65% 2.92127 70% 2.92672 75% 2.93374 80% 2.94038 85% 2.94880 90% 2.95993 95% 2.97732 99% 3.00759 Prilozi 155 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B2 i nagib 1:1,5 (α=33,7º) F Output 2B2: F za nagib 1:1.5 Cell Ugao nagiba!M104 Minimum 3.12638 Maximum 3.48049 Mean 3.30326 Mode 3.32149 Median 3.30282 Std Dev 0.04948 Skewness 0.0588 Kurtosis 2.9939 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 3.2227 Left P 5.00% Right X 3.3868 Right P 95.00% Dif. X 0.16407 Dif. P 90.00% 1% 3.19057 5% 3.22273 10% 3.24054 15% 3.25156 20% 3.26133 25% 3.26932 30% 3.27696 35% 3.28388 40% 3.29035 45% 3.29651 50% 3.30282 55% 3.30898 60% 3.31598 65% 3.32196 70% 3.32845 75% 3.33647 80% 3.34432 85% 3.35391 90% 3.36684 95% 3.38680 99% 3.42172 Prilozi 156 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B2 i nagib 1:1,75 (α=29,7º) F Output 2B2: F za nagib 1:1.75 Cell Ugao nagiba!M105 Minimum 3.51679 Maximum 3.92024 Mean 3.71838 Mode 3.71847 Median 3.71782 Std Dev 0.05624 Skewness 0.0594 Kurtosis 2.9933 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 3.627 Left P 5.00% Right X 3.8134 Right P 95.00% Dif. X 0.18637 Dif. P 90.00% 1% 3.59078 5% 3.62704 10% 3.64698 15% 3.65956 20% 3.67092 25% 3.67970 30% 3.68839 35% 3.69624 40% 3.70372 45% 3.71082 50% 3.71782 55% 3.72506 60% 3.73262 65% 3.73963 70% 3.74693 75% 3.75615 80% 3.76500 85% 3.77595 90% 3.79079 95% 3.81340 99% 3.85310 Prilozi 157 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): F za situaciju 2B2 i nagib 1:2 (α=26,6º) F Output 2B2: F za nagib 1:2 Cell Ugao nagiba!M106 Minimum 3.91834 Maximum 4.37234 Mean 4.14542 Mode 4.16844 Median 4.14471 Std Dev 0.06314 Skewness 0.0598 Kurtosis 2.9929 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 4.0426 Left P 5.00% Right X 4.252 Right P 95.00% Dif. X 0.20943 Dif. P 90.00% 1% 4.00218 5% 4.04258 10% 4.06508 15% 4.07962 20% 4.09220 25% 4.10208 30% 4.11169 35% 4.12063 40% 4.12897 45% 4.13690 50% 4.14471 55% 4.15282 60% 4.16123 65% 4.16909 70% 4.17753 75% 4.18786 80% 4.19790 85% 4.21005 90% 4.22642 95% 4.25201 99% 4.29642 Prilozi 158 PRILOG 3 Ulazni parametri za probabilističku analizu nosivosti temeljnog tla Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: γ (kN/m3) γ (kN/m3) Input (normal distribution) γ (kN/m3) Normal(20.1125,1.03570197) Cell Nosivost qa!B52 Nosivost qa!B52 Minimum 16.0723 −∞ Maximum 24.007 +∞ Mean 20.1125 20.1125 Mode 20.0995 20.1125 Median 20.1122 20.1125 Std Dev 1.0356 1.0357 Skewness -0.0006 0 Kurtosis 2.994 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 18.41 18.41 Left P 5.00% 5.00% Right X 21.82 21.82 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 3.4068 3.4068 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 17.70060 17.70310 5% 18.40860 18.40890 10% 18.78460 18.78520 15% 19.03870 19.03910 20% 19.24060 19.24080 25% 19.41390 19.41390 30% 19.56920 19.56940 35% 19.71340 19.71340 40% 19.84990 19.85010 45% 19.98230 19.98240 50% 20.11220 20.11250 55% 20.24240 20.24260 60% 20.37470 20.37490 65% 20.51140 20.51160 70% 20.65550 20.65560 75% 20.81090 20.81110 80% 20.98410 20.98420 85% 21.18560 21.18590 90% 21.43970 21.43980 95% 21.81540 21.81610 99% 22.51970 22.52190 Prilozi 159 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: c (kN/m 2 ) c (kN/m 2 ) Input (normal distribution) c (kN/m 2 ) Normal(20.375,4.56500665) Cell Nosivost qa!C52 Nosivost qa!C52 Minimum 2.807 −∞ Maximum 38.265 +∞ Mean 20.375 20.375 Mode 20.318 20.375 Median 20.374 20.375 Std Dev 4.565 4.565 Skewness 0 0 Kurtosis 2.9948 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 12.86 12.86 Left P 5.00% 5.00% Right X 27.88 27.88 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 15.019 15.019 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 9.74600 9.75500 5% 12.86400 12.86600 10% 14.52300 14.52500 15% 15.64200 15.64400 20% 16.53200 16.53300 25% 17.29500 17.29600 30% 17.98000 17.98100 35% 18.61600 18.61600 40% 19.21800 19.21800 45% 19.80100 19.80100 50% 20.37400 20.37500 55% 20.94800 20.94900 60% 21.53100 21.53200 65% 22.13300 22.13400 70% 22.76800 22.76900 75% 23.45300 23.45400 80% 24.21600 24.21700 85% 25.10500 25.10600 90% 26.22300 26.22500 95% 27.88300 27.88400 99% 30.99500 30.99500 Prilozi 160 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: cm (kN/m 2 ) cm (kN/m 2 ) Input (normal distribution) cm (kN/m 2 ) Normal(8.15,1.82600266) Cell Nosivost qa!D52 Nosivost qa!D52 Minimum 1.05 −∞ Maximum 15.031 +∞ Mean 8.15 8.15 Mode 8.127 8.15 Median 8.15 8.15 Std Dev 1.826 1.826 Skewness -0.0006 0 Kurtosis 2.9936 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 5.15 5.15 Left P 5.00% 5.00% Right X 11.15 11.15 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 6.007 6.0066 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 3.90000 3.90210 5% 5.14500 5.14650 10% 5.80900 5.80990 15% 6.25700 6.25750 20% 6.61300 6.61320 25% 6.91800 6.91840 30% 7.19200 7.19240 35% 7.44600 7.44640 40% 7.68700 7.68740 45% 7.92000 7.92050 50% 8.15000 8.15000 55% 8.37900 8.37950 60% 8.61200 8.61260 65% 8.85400 8.85360 70% 9.10700 9.10760 75% 9.38100 9.38160 80% 9.68700 9.68680 85% 10.04200 10.04250 90% 10.48900 10.49010 95% 11.15200 11.15350 99% 12.39600 12.39790 Prilozi 161 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: φ (º) φ (º) Input (normal distribution) φ (º) Normal(26.375,1.060660172) Cell Nosivost qa!E52 Nosivost qa!E52 Minimum 22.162 −∞ Maximum 31.0656 +∞ Mean 26.375 26.375 Mode 26.3351 26.375 Median 26.3749 26.375 Std Dev 1.0609 1.0607 Skewness 0.0019 0 Kurtosis 3.011 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 24.63 24.63 Left P 5.00% 5.00% Right X 28.12 28.12 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 3.4897 3.4897 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 23.90360 23.90750 5% 24.62980 24.63040 10% 25.01520 25.01570 15% 25.27540 25.27570 20% 25.48230 25.48230 25% 25.65930 25.65960 30% 25.81860 25.81880 35% 25.96610 25.96630 40% 26.10600 26.10630 45% 26.24160 26.24170 50% 26.37490 26.37500 55% 26.50820 26.50830 60% 26.64360 26.64370 65% 26.78350 26.78370 70% 26.93110 26.93120 75% 27.09030 27.09040 80% 27.26750 27.26770 85% 27.47390 27.47430 90% 27.73390 27.73430 95% 28.11940 28.11960 99% 28.83870 28.84250 Prilozi 162 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: φm (º) φm (º) Input (normal distribution) φm (º) Normal(18.29572163,0.7941584011) Cell Nosivost qa!J52 Nosivost qa!J52 Minimum 15.2683 −∞ Maximum 21.5145 +∞ Mean 18.2957 18.2957 Mode 18.2459 18.2957 Median 18.2957 18.2957 Std Dev 0.7942 0.7942 Skewness 0.0013 0 Kurtosis 2.9979 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 16.99 16.99 Left P 5.00% 5.00% Right X 19.6 19.6 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 2.6122 2.6122 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 16.44780 16.44820 5% 16.98920 16.98940 10% 17.27760 17.27800 15% 17.47240 17.47260 20% 17.62710 17.62730 25% 17.76000 17.76010 30% 17.87910 17.87930 35% 17.98960 17.98970 40% 18.09450 18.09450 45% 18.19590 18.19590 50% 18.29570 18.29570 55% 18.39550 18.39550 60% 18.49680 18.49690 65% 18.60150 18.60170 70% 18.71200 18.71220 75% 18.83110 18.83140 80% 18.96400 18.96410 85% 19.11870 19.11880 90% 19.31340 19.31350 95% 19.60150 19.60200 99% 20.14230 20.14320 Prilozi 163 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: φ (rad) φ (rad) Input (normal distribution) φ (rad) Normal(0.4603305902,0.01851201224) Cell Nosivost qa!F52 Nosivost qa!F52 Minimum 0.38509 −∞ Maximum 0.53006 +∞ Mean 0.46033 0.460331 Mode 0.46149 0.460331 Median 0.46033 0.460331 Std Dev 0.01851 0.018512 Skewness -0.0006 0 Kurtosis 2.9982 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.4299 0.4299 Left P 5.00% 5.00% Right X 0.4908 0.4908 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 0.06089 0.060889 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 0.41722 0.41727 5% 0.42988 0.42988 10% 0.43660 0.43661 15% 0.44114 0.44114 20% 0.44475 0.44475 25% 0.44784 0.44784 30% 0.45062 0.45062 35% 0.45319 0.45320 40% 0.45564 0.45564 45% 0.45800 0.45800 50% 0.46033 0.46033 55% 0.46265 0.46266 60% 0.46502 0.46502 65% 0.46746 0.46746 70% 0.47004 0.47004 75% 0.47281 0.47282 80% 0.47591 0.47591 85% 0.47951 0.47952 90% 0.48405 0.48406 95% 0.49077 0.49078 99% 0.50337 0.50340 Prilozi 164 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: φm (rad) φm (rad) Input (normal distribution) φm (rad) Normal(0.3193205815,0.01386067888) Cell Nosivost qa!I52 Nosivost qa!I52 Minimum 0.26137 −∞ Maximum 0.37156 +∞ Mean 0.31932 0.319321 Mode 0.31915 0.319321 Median 0.31932 0.319321 Std Dev 0.01386 0.013861 Skewness -0.0015 0 Kurtosis 3.0019 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.2965 0.2965 Left P 5.00% 5.00% Right X 0.3421 0.3421 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 0.0456 0.045601 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 0.28705 0.28708 5% 0.29651 0.29652 10% 0.30155 0.30156 15% 0.30495 0.30496 20% 0.30765 0.30766 25% 0.30997 0.30997 30% 0.31205 0.31205 35% 0.31398 0.31398 40% 0.31581 0.31581 45% 0.31758 0.31758 50% 0.31932 0.31932 55% 0.32106 0.32106 60% 0.32283 0.32283 65% 0.32466 0.32466 70% 0.32659 0.32659 75% 0.32867 0.32867 80% 0.33098 0.33099 85% 0.33368 0.33369 90% 0.33708 0.33708 95% 0.34211 0.34212 99% 0.35152 0.35157 Prilozi 165 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: tanφ (1) tanφ (1) Input (normal distribution) tanφ (1) Normal(0.4960457842,0.02306491028) Cell Nosivost qa!G52 Nosivost qa!G52 Minimum 0.40832 −∞ Maximum 0.5919 +∞ Mean 0.49605 0.49605 Mode 0.49518 0.49605 Median 0.49604 0.49605 Std Dev 0.02307 0.02306 Skewness 0.0016 0 Kurtosis 3.0011 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.4581 0.4581 Left P 5.00% 5.00% Right X 0.534 0.534 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 0.07588 0.07588 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 0.44236 0.44239 5% 0.45809 0.45811 10% 0.46648 0.46649 15% 0.47214 0.47214 20% 0.47663 0.47663 25% 0.48049 0.48049 30% 0.48395 0.48395 35% 0.48715 0.48716 40% 0.49020 0.49020 45% 0.49314 0.49315 50% 0.49604 0.49605 55% 0.49894 0.49894 60% 0.50189 0.50189 65% 0.50493 0.50493 70% 0.50814 0.50814 75% 0.51160 0.51160 80% 0.51546 0.51546 85% 0.51994 0.51995 90% 0.52559 0.52560 95% 0.53397 0.53398 99% 0.54966 0.54970 Prilozi 166 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Ulazni (input) parametar: tanφm (1) tanφm (1) Input (normal distribution) tanφm (1) Normal(0.3306971895,0.01537660685) Cell Nosivost qa!H52 Nosivost qa!H52 Minimum 0.27204 −∞ Maximum 0.38952 +∞ Mean 0.3307 0.330697 Mode 0.33166 0.330697 Median 0.3307 0.330697 Std Dev 0.01538 0.015377 Skewness -0.0003 0 Kurtosis 2.9938 3 Values 10000 Errors 0 Filtered 0 Left X 0.3054 0.3054 Left P 5.00% 5.00% Right X 0.356 0.356 Right P 95.00% 95.00% Dif. X 0.05059 0.050592 Dif. P 90.00% 90.00% 1% 0.29489 0.29493 5% 0.30539 0.30541 10% 0.31099 0.31099 15% 0.31476 0.31476 20% 0.31775 0.31776 25% 0.32032 0.32033 30% 0.32263 0.32263 35% 0.32477 0.32477 40% 0.32680 0.32680 45% 0.32876 0.32877 50% 0.33070 0.33070 55% 0.33263 0.33263 60% 0.33459 0.33459 65% 0.33662 0.33662 70% 0.33876 0.33876 75% 0.34107 0.34107 80% 0.34364 0.34364 85% 0.34663 0.34663 90% 0.35040 0.35040 95% 0.35598 0.35599 99% 0.36646 0.36647 Prilozi 167 PRILOG 4 Rezultati probabilističke analize nosivosti temeljnog tla Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): Nq, Nγ, Nc Output Nq Nγ Nc Cell Nosivost qa!K52 Nosivost qa!L52 Nosivost qa!M52 Minimum 4.314 1.6228 11.3946 Maximum 6.9014 4.0559 15.4557 Mean 5.4214 2.6391 13.362 Mode 5.433 2.6082 13.3749 Median 5.4169 2.626 13.3557 Std Dev 0.3054 0.2942 0.5073 Skewness 0.1602 0.2554 0.0889 Kurtosis 3.0527 3.1085 3.0514 Values 10000 10000 10000 Errors 0 0 0 Filtered 0 0 0 Left X 4.933 2.177 12.534 Left P 5.00% 5.00% 5.00% Right X 5.942 3.144 14.208 Right P 95.00% 95.00% 95.00% Dif. X 1.0084 0.9665 1.6736 Dif. P 90.00% 90.00% 90.00% 1% 4.7382 2.0054 12.2020 5% 4.9332 2.1773 12.5340 10% 5.0323 2.2715 12.7205 15% 5.1030 2.3358 12.8373 20% 5.1623 2.3894 12.9362 25% 5.2089 2.4353 13.0179 30% 5.2576 2.4752 13.0901 35% 5.2998 2.5151 13.1588 40% 5.3365 2.5549 13.2259 45% 5.3764 2.5923 13.2927 50% 5.4169 2.6260 13.3557 55% 5.4505 2.6646 13.4219 60% 5.4885 2.7036 13.4848 65% 5.5305 2.7396 13.5501 70% 5.5733 2.7818 13.6196 75% 5.6217 2.8249 13.6975 80% 5.6726 2.8800 13.7862 85% 5.7380 2.9433 13.8875 90% 5.8211 3.0281 14.0139 95% 5.9415 3.1438 14.2076 99% 6.1707 3.3857 14.5624 Prilozi 168 Probabilistički model dobijen primenom softvera @RISK for The Microsoft Excel DecisionTools Suite, Version 6.1.1 © Palisade Corporation i Monte Carlo Simulacije (MCS) na bazi 10000 iteracija Rezultat (output): qa (Df=1.5/2.0 m; B=L=2.0/3.0 m) Output: qa Df=1.5m; B=L=2.0m Df=1.5m; B=L=3.0m Df=2.0m; B=L=2.0m Df=2.0m; B=L=3.0m Cell Nosivost qa!C57 Nosivost qa!D57 Nosivost qa!E57 Nosivost qa!F57 Minimum 274.27 268.19 349.7 333.94 Maximum 671.09 645.53 798 754.82 Mean 429.1 419.58 536.63 512.4 Mode 433.6 413.08 542.19 504.14 Median 426.4 417.03 533.66 509.71 Std Dev 45.62 43.77 52.6 49.59 Skewness 0.4811 0.4559 0.42 0.3995 Kurtosis 3.554 3.5047 3.4496 3.4095 Values 10000 10000 10000 10000 Errors 0 0 0 0 Filtered 0 0 0 0 Left X 360.3 353.2 456.3 436.7 Left P 5.00% 5.00% 5.00% 5.00% Right X 509.2 496.2 628.1 598.3 Right P 95.00% 95.00% 95.00% 95.00% Dif. X 148.85 142.95 171.7 161.61 Dif. P 90.00% 90.00% 90.00% 90.00% 1% 337.37 330.71 428.43 409.49 5% 360.33 353.24 456.35 436.68 10% 372.94 365.37 471.24 450.76 15% 382.31 374.67 482.82 461.56 20% 390.62 382.72 492.12 470.16 25% 397.64 389.31 500.40 478.55 30% 403.68 395.28 507.67 485.14 35% 409.29 400.80 514.11 490.99 40% 414.82 405.92 520.35 497.21 45% 420.44 411.57 527.08 503.59 50% 426.40 417.03 533.66 509.71 55% 432.01 422.46 540.29 515.97 60% 437.30 427.62 546.77 521.90 65% 442.70 432.99 553.94 528.98 70% 449.89 439.69 560.96 535.42 75% 456.95 446.30 568.78 542.82 80% 465.21 454.19 578.00 551.45 85% 475.40 464.02 589.68 562.82 90% 488.25 476.59 605.54 577.42 95% 509.18 496.19 628.05 598.29 99% 552.41 536.90 676.13 642.85