I SADRŽAJ 1. Uvod 001 2. Modeliranje sile usled kretanja pešaka 005 2.1 Delovanje izazvano pešacima 005 2.1.1 Dejstvo usled hoda 006 2.1.2 Delovanje usled trčanja i skakanja 010 2.1.3 Delovanje grupe pešaka 011 2.1.3.1 Gustina pešaka 011 2.1.3.2 Lock-in efekat 015 2.2 Modeli opterećenja indukovanog hodom 016 2.2.1 Model vertikalnog opterećenja 016 2.2.2 Model horizontalnog opterećenja 019 2.2.3 Modeli opterećenja u preporukama i standardima 020 3. Kriterijumi konfora i granične vrednosti 024 3.1 Granične vrednosti za frekvencije prema internacionalnim standardima i preporukama 025 3.2 Proračun ubrzanja i granične vrednosti za ubrzanja prema internacionalnim standardima i preporukama 026 3.2.1 Analiza ubrzanja 026 3.2.2 Granične vrednosti za ubrzanja prema internacionalnim standardima i preporukama 027 4. Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 031 4.1 Kontinualni sistemi-rešenja problema vibracija 032 4.1.1 Opšta razmatranja prinudnih prigušenih vibracija 032 4.1.2 Definisanje poremećajnih sila 035 4.1.3 Rešanja za analizu odgovora konstrukcija 036 4.1.3.1 Nosač sa jednim poljem 040 4.1.3.2 Nosač sa dva jednaka polja 042 4.1.3.3 Nosač sa tri jednaka polja 045 4.1.4 Uticaj mase pokretnog opterećenja na promenu osnovne frekvencije kontinualnih sistema 047 4.1.4.1 Postavka i rešenje problema 048 4.1.4.2 Primeri datih rešenja za nosače sa jednim, dva i tri jednaka polja 049 4.1.4.2.1 Slučaj a – dodatna masa na dužini λ 049 4.1.4.2.2 Slučaj b – nailazak jednakoraspodeljene mase 050 II 4.1.4.2.3 Slučaj c – koncentrisana masa 050 4.1.4.3 Dinamički modeli grednih nosača sa pridodatim masama i odgovajajuća analitička rešenja za promenu osnovne frekvencije 051 4.1.4.4 Grafički prikaz promene osnovne frekvencije nosača usled pridodatih masa 053 4.2 Diskretni sistemi-rešenja problema vibracija 058 4.2.1 Opšta razmatranja prinudnih prigušenih vibracija 058 4.2.2 Slobodne prigušene vibracije 061 4.2.3 Definisanje poremećajne sile na diskretnom sistemu 062 4.2.3.1 Pokretno koncentrisano opterećenje 062 4.2.3.2 Pokretno kontinualno opterećenje 063 4.2.4 Prvi način definisanja i rešavanja problem 064 4.2.4.1 Pokretno koncentrisano opterećenje 066 4.2.4.2 Nailazak kontinualnog opterećenja 067 4.2.4.3 Prelaženje kontinualnog opterećenja 068 4.2.4.4 Odlazak kontinualnog opterećenja 069 4.2.4.5 Pokretno kontinualno opterećenje na dužini λp 069 4.2.5 Drugi način definisanja i rešavanja problema 071 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 074 5.1 Test primeri 074 5.1.1 Izbor poprečnog preseka superstrukture mosta 074 5.1.2 Poređenja rezultata analize vibracija za kontinualne i diskretne sisteme 076 5.1.2.1 Most sa jednim otvorom 077 5.1.2.2 Most sa dva otvorom 079 5.2 Betonski most 081 5.2.1 Kratak opis konstrukcija mosta 081 5.2.2 Analiza vibracija 083 5.3 Drveni most 093 5.3.1 Kratak opis konstrukcija mosta 093 5.3.2 Analiza vibracija 095 5.4 Spregnuti most (čelik-beton) 107 5.4.1 Kratak opis konstrukcija mosta 107 5.4.2 Analiza vibracija 109 5.4.2.1 Opterećenje od pešaka 112 5.4.2.2 Opterećenje od grupe pešaka 118 5.4.2.3 Opterećenje od kolone pešaka 119 5.4.2.4 Izuzetna opterećenja 122 III 5.4.2.4.1 Vandalsko delovanje 122 5.4.2.4.2 Prelaženje vozila (eksperimentalni podaci i matematičke simulacije) 124 6. Zaključak 131 Bibliografija 134 1.Uvod 1 1. UVOD 1.1 Uvod u problematiku Poslednjih godina trend u projektovanju pešačkih mostova su vitkije i laganije konstrukcije većih raspona. Razvoj građevinskih materijala koji omogućavaju veću nosivost, omogućio je da se proračunom zasnovanim na statičkoj analizi, uz kontrolu graničnih stanja nosivosti, dobijaju konstrukcije male mase i krutosti. Kao posledica toga, dolazi do smanjenja prirodnih frekvencija mosta, što rezultira većom osetljivošću na dinamička opterećenja. Dinamička delovanja su u novije vreme vrlo retko bila uzrok oštećenja, ili pada konstrukcija pešačkih mostova, sa izuzetkom mosta u Canton-u u Kini [59] 1994.godine, ali njihovo dejstvo na konfor i emocionalne reakcije pešaka se ni u kom slučaju ne sme zanemariti. Naime, ljudsko telo predstavlja mehanički sistem permanentno izložen velikom broju prirodnih ritmova (srčani ritam, alfa moždani talasi, kretanje idr.), koji je posebno osetljiv na vibracije niskih frekvencija. S obzirom da delovi ljudskog tela ulaze u rezonancu pri vibracijama opsega do 100 Hz, zbog relativnog pomeranja delova tela, rezonancije ispod 10 Hz izazivaju posebnu neugodnost za ljude, uzrokujući neprijatne oscilacije u abdominalnom delu tela. Imajući u vidu da se prirodne frkvencije pešačkih mostovi uglavnom nalaze u opsegu do 10 Hz, to, iz pomenutih razloga, njihovo pobuđivanje može imati negativne efekte na korisnike. Ljudska osetljivost na vibracije je pored frekvencije uslovljena i drugim fizičkim faktorima, kao što su ubrzanje i vreme izloženosti uticaju, tako da je u osnovi, kriterijum prihvatljivosti vibracija u funkciji frekvencije, i uglavnom je izražen u jedinicama ubrzanja. Za slučaj vertikalnih vibracija, ubrzanje od 0.5 do 1 m/s2, dakle 5-10 % gravitacionog ubrzanja Zemlje (g), je prihvatljivo. Ljudi su osetljiviji na horizontalne vibracije i u tom smislu, prihvatljivo ubrzanje je reda 1-2% g. Takođe, treba pomenuti i da amplitude pomeranja veće od 10 mm u vertikalnom pravcu, odnosno 2 mm u horizontalnom, prete pojavom sinhronizacije značajnog broja pešaka tzv. «lock-in» efekta, što dovodi do značajnih pobuđenja konstrukcije. Opterećenje izazvano pešacima je najčešće dinamičko delovanje kod pešakih mostova. Generalno gledano, glavna karakteristika ovog dinamičkog opterećenja je mali intezitet, što znači da bi aplikacija istog kod masivnih i krutih konstrukcija teško izazvala značajnije vibracije. Međutim, kako su estetski zahtevi, zajedno sa tehnološkim razvojem i razvojem savremenih tehničkih rešenja, doprineli gradnji vitkih i fleksibilnih konstrukcija, tako su i sami pešački mostovi postali osetljiviji na dinamička opterećenja od pešaka. Samim tim, detaljnije dinamičke analize postale su neophodne pri projektovanju ovih konstrukcija. Prvi detaljno zabeležen slučaj kolapsa konstrukcije pešačkog mosta izloženog dinamičkom opterećenju od pešaka, je pad mosta u Broughton-u u Velikoj Britaniji, 1831.godine, dok je marširajućim korakom preko njega prelazilo 60 vojnika [34]. Posebnu pažnju stručne i naučne javnosti na važnost analize stanja upotrebljivosti pešačkih mostova s obzirom na vibracije indukovane pešacima, skrenuo je slučaj čuvenog Milenijumskog mosta u Londonu, 2000.godine [18] i Solferino mosta u Parizu [66] nekoliko godina kasnije. 1.Uvod 2 Očekivana vrsta pešačkog saobraćaja, kao i kategorija učesnika u saobraćaju, u mogome utiču na sam proračun dinamičkih odgovora. Naime, pešački mostovi koji povezuju slabo naseljena područja svakako će manje biti izloženi dejstvu opterećenja od pešaka u odnosu na one sa veoma gustim protokom pešaka, najčešće locirane u urbanim zonama. Takođe, pešački mostovi koju su u blizini školoskih, ili zdravstvenih centara, za korisnike će imati osetljiviju kategoriju stanovništva, za razliku od onih koji se npr. nalaze u zonama namenjenim sportu i rekreaciji. Precizniji pristup provere stanja upotrebljivosti u pogledu vibracija podrazumeva analizu dinamičkog odgovora konstrukcije pod dejstvom projektovanog opterećenja, tj. opterećenja koje prouzrokuje najveći odgovor, pobuđujući konstrukciju pri njenoj osnovnoj prirodnoj frekvenciji. To znači da tokom proračuna konstrukcije, a u zavisnosti od njene vrste i namene, projektanti treba da predvide dinamičko ponašanje mosta, koje podrazumeva osetljivost konstrukcije na dinamička opterećenja, odnosno intenzitet vibracija, kao i stanje napona i deformacija pri tome. Analiza vibracija mostova sa bilo kojeg važnijeg aspekta povezana je gotovo uvek sa znatnim praktičnim poteškoćama. To se naročito odnosi na rešavanje diferencijalnih jednačina, a pogotovu frekventne jednačine. Problem postaje znatno kompleksniji kada se radi o gredama promenljivog poprečnog preseka, o analizi u neelastičnoj oblasti, o komplikovanim spoljnim opterećenjima, itd. U svim takvim slučajevima, pri oceni vremenske zavisnosti pomeranja posmatrane konstrukcije, pri datom vremenski promenljivom opterećenju, koriste se približne metode. Za inženjersku praksu vrlo je važna analiza kvalitativne, a naročito kvantitativne promene neke dinamičke veličine pri proizvoljnoj, ili određenoj promeni uzroka njenog nastajanja, odnosno pri promeni izvesnog parametra. Analiza problema koja se zasniva na približnim metodama, bilo da se radi o simplifikovanom dinamičkom modelu mosta, odnosno pokretnog opterećenja, ili pak numeričkom postupku, po pravilu je uvek znatno zametnija od iste takve analize koja se sprovodi prema analitičkim rešenjima u zatvorenom obliku. Do danas, čak i primenom savremenih analitičkih metoda, na sva pitanja u vezi sa dinamičkim ponašanjem konstrukcija pešačkih mostova, ne može se odgovoriti sa potpunom tačnošću. Međutim, neke od njih, kao i one predložene u ovom radu, mogu predstavljati veliku pomoć u proceni dinamičkog ponašanja, što jeste preduslov za savremen i prihvatljiv princip projektovanja i, uz primenu savremenih tehnologija, izradu modernih i kvalitetnih pešačkih mostova. Osnovi cilj naučnog istraživanja u ovoj tezi je da se kroz teorijsku analizu vibracija, ukaže na mogućnosti izbegavanja prekomernih pobuđenja konstrukcija pešačkih mostova. Realizacija cilja sprovodi se kroz dinamičku analizu prinudnih vibracija prema predloženim algoritmima i time vrši ocena ponašanja pešačkih mostova karakterističnih grednih sistema, sa jednim, ili više polja, variranjem relevatnih parametara oscilatornog sistema. U te parametre spadaju, pre svega, krutost i masa rasponske konstrukcije mosta, modeli pobuđujućih sila (pokretne koncentrisane sile i pokretno parcijalno jednako raspodeljeno opterećenje) u karakterističnim konstelacijama 1.Uvod 3 njihovog pojedinačnog, ili zajedničkog delovanja. Pri tome, dobijeni rezultati se upoređuju sa rezultatima analiza sprovedenih prema nekoliko svetskih standarda za ovu oblast. Uz postojeća saznanja i zaključke ovog rada, projektantima treba da se omogući sagledavanje relevantnih parametara i aspekta u fenomenu vibracija, na koje treba uticati tehničkim rešenjima konstrukcija pešačkih mostova, kako bi se obezbedila optimalna funkcionalnost ovih objekata. 1.2 Organizacija teze U doktorskoj tezi pod naslovom Analiza graničnog stanja upotrebljivosti pešačkih mostova u pogledu vibracija indukovanih pešacima, navedena problematika je sistematizovana i izložena kroz sledeća poglavlja: 1. Uvod 2. Modeliranje sile usled kretanja pešaka 3. Kriterijumi konfora i granične vrednosti 4. Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 6. Zaključak U poglavlju 1 je kroz uvodno izlaganje dat koncizan uvid u opštu problematiku vibracija pešačkih mostova izazvanih pešacima, gde se vibracije aktuelizuju kao jedno od graničnih stanja upotrebljivosti. Takođe, u ovom poglavlju je dat i cilj istraživanja kao i organizacija teze. U poglavlju 2 Modeliranje sile usled kretanja pešaka, uz koncizan pregled literature, detaljno su obrađena delovanja usled hoda, trčanja, ili skakanja, tzv. vandalskih delovanja, a takođe su objašnjeni mehanizmi nastanka fenomena indukcije spontane sinhronizacije pešaka, tzv. lock-in efekata. Prikazani su značajniji modeli opterećenja prema dostupnoj literaturi, kao i internacionalnim standardima i preporukama. U poglavlju 3 Kriterijumi konfora i granične vrednosti, pored osvrta na ljudsku percepciju vibracija, kao i osetljivosti na njih, dati su kriterijumi konfora i granične vrednosti za frekvencije i ubrzanja prema internacionalnim standardima i preporukama. U poglavlju 4 Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima, za gredne sisteme pešačkih mostova, data su rešenja problema vibracija u zatvorenom obliku, uz prethodno definisanje poremećajnih sila, a za sisteme konstantnih i promenljivih masa i krutosti na savijanje duž raspona superstrukture mosta. Takođe su priložena i analitička rešenja za promenu osnovne frekvencije kontinualnih sistema usled uticaja mase pokretnog opterećenja. 1.Uvod 4 U poglavlju 5 Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija je, u odeljku 5.1 Test primeri, izvršeno poređenje rezultata analize vibracija za kontinualne i odgovarajuće diskretne sisteme. Takođe, za tri pešačka mosta različitih konstrukcijskih sistema i ugrađenih materijala, izvršena je dinamička analiza odgovora konstrukcija, prema algoritmima predloženim u poglavlju 4. Rezultati su prikazani u vidu simuliranih oscilograma, a dobjene vrednosti upoređene su sa graničnim vrednostima prema važećim standardima. Izvršena je dinamička analiza i za izuzetna opterećenja (vandalsko opterećenje, prelaženje vozila). Rezultati dobijeni simulacijom prelaženja vozila preko spregnutog mosta, upoređeni su sa eksperimentalno određenim podacima. Poglavlje 6 obuhvata završne napomene i opšte zaključke u vezi sa problematikom tretiranom u tezi, pošto su posebni zaključci i komentari sadržani u ostalim poglavljima. 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 5 2. Modeliranje sile usled kretanja pešaka 2.1 Delovanje izazvano pešacima Opterećenje izazvano pešacima nastaje usled različitih aktivnosti kao što su hodanje, trčanja, skakanja, ali i tzv. vandalska opterećenja. Svako od ovih opterećenja ima drugačiju krivu promene u vremenu (sl.2.1.2), kao i frekvencije u kojima se mogu pojaviti oscilacije. Opseg frekvencija normalnog hoda je, grubo rečeno, između 1.5 i 2.5 Hz. Opsezi tipičnih frekvencija trčanja, hodanja i skakanja dati su u tabeli 2.1.1. Tabela 2.1.1 Veličine grupa pešaka i opsezi frekvencija tipičnih vrsta kretanja [57] Aktivnost Veličina grupe br. pešaka Opseg učestalosti aktivnosti, Hz (koraka/s) Normalni opseg Mereni opseg Hodanje 1, 2 i 4 1.6 – 2.2 1.0 – 3.0 Trčanje 1, 2 i 4 2.2 – 3.2 1.6 – 4.0 Skakanje 1, 4 i 8 2.0 – 3.0 1.4 – 4.0 Hodanje sa poskakivanjem 1, 2 i 4 2.0 – 2.6 1.6 – 3.4 Trčanje u mestu 1, 2 i 4 2.2 – 3.2 1.4 – 4.0 I pored toga što imaju istu frekvenciju hoda, dužine koraka pojedinaca razlikuju se usled njihovih međusobnih razlika u telesnoj visini, i time i dužini noge. Dužina noge uslovljava dužinu koraka i stoga pojedinci hodaju sporije, ili brže od drugih [64], [76]. fs vs ls [Hz] [m/s] [m] lagan hod 1.7 1.0 0.60 normalan hod 2.0 1.5 0.75 brz hod 2.3 2.3 1.00 normalno trčanje 2.5 3.1 1.25 brzo trčanje >3.2 5.5 1.75 Slika 2.1.1 Veza između frekvencije hoda, brzine i dužine koraka [76] Tabela 2.1.2 Tipične vrednosti frekvencije hoda, brzine i dužine koraka [4] 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 6 Slika 2.1.1 pokazuje vezu između frekvencije hoda, brzine i dužine koraka kod neometanog hodanja i trčanja, dok su neke relevantne vrednosi frekvencija, brzina i dužine koraka date su u tabeli 2.1.2. Slika 2.1.2 Promena sile u vremenu za različite vrste kretanja pešaka [77] 2.1.1 Dejstvo usled hoda Opterećenje indukovano hodom je periodično pobuđenje čiji intenzitet uglanom zavisi od frekvencije hoda pešaka i njegove težine. Galbraith i Barton [32] su merili vertiklanu silu usled kretanja pešaka (od sporog hoda do trčanja) po aluminijumskoj platformi i pri tome, zapazili su da se oblik zapisa vertiklane silu u vremenu razlikuje od oblika zapisa sile usled trčanja, po tome što ima samo jedan pik (sl.2.1.3). Slika 2.1.3 Promena sile usled: a) trčanja i b) hodanja [32]. a) b) 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 7 Kako je stopalo uvek u kontaktu sa podlogom, opterećenje ne nestaje u potpunosti ni u jednom trenutku vremena. Tokom kretanja, težina tela se prebacuje sa jednog stopala na drugo, tako da se krive opterećenja za jedno i drugo stopalo preklapaju (sl.2.1.3b). S druge strane, prilikom trčanja postoje kraći intervali vremena kada su oba stopala iznad podloge, što dovodi do sile intenziteta jednakom nuli na vremenskom zapisu (sl.2.1.3a). Vertikalna komponenta opterećenja je veća od horizontalne, ali lateralna i longitudinalna komponenta takođe mogu izazvati problematične vibracije kod vitkih mostova, specijalno ukoliko se razvije interakcija pešak-most. Vertikalna komponenta sile Normalni hodu indukuje silu čija vertikalna komponenta, za jedno stopalo, je sedlastog, odnosno leptirastog oblika sa dva dominantna maksimuma. Prvi je uzrokovan udarom pete o podlogu, dok drugi nastaje usled otiskivanja. Maksimumi rastu sa uvećanjem frekvencije hoda (sl.2.1.4).Ovaj oblik ima tendenciju prelaska u polu-sinusoidalni oblik sa promenom aktivnosti od hoda ka trčanju (sl.2.3a). Slika 2.1.4 Vertikalno opterećenje za različite frekvencije hoda [44] U slučaju tvrdih đonova, udarac pete o podlogu izaziva veoma oštre pikove na pomenutoj leptirolikoj krivoj opterećenja. Slika 2.1.5 Vertikalna reakcija podloge: normalan hod i hod sa čvrstim korakom [4] 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 8 Odnos između frekvencije hoda, vremenskog perioda kontakta sa podlogom i maksimuma opterećenja prikazan je na slici 2.1.6. Slika 2.1.6 Period kontakta i odnos maksimuma opterećenja i težine u odnosu na fs [76] U slučaju veoma sporog hoda sa frekvencijom manjom od 1 Hz (veliki period kontakta sa podlogom) dinamička opterećenja su jednaka statičkim usled telesne težine pešaka. Kod brzog hoda sa frekvencijom od 2 do 2.5 Hz, dinamičko opterećenje postaje 1.5 puta veće od statičkog. U sličaju veoma brzog trčanja (fs > 3.5 Hz), maksimum dinamičkog opterećenja je tri puta veći od težine pešaka. Horizontalna komponenta sile Horizontalne komponente sile u podužnom i poprečnom pravcu su mnogo manjeg intenziteta od vertikalne komponente, ali se, svakako, ne mogu zanemariti s obzirom da i one mogu biti izvor problema vezanih za prkomerne vibracije. Iako je dobro poznato da je frekvencija hoda prosečno 2 Hz, manje je poznato da 10% vertiklanog opterećenja “radi” bočno pri hodu [4]. Težište ljudskog tela pomera se bočno pri prelasku, tokom koračanja, sa jednog stopala na drugo, što indukuje lateralnu dinamičku silu (sl.2.1.7). Ukratko, lateralna sila (poprečni pravac) je uzrokovana bočnim oscilacijama tela (sl.2.1.8). Slika 2.1.7 Pomeranje težišta tela tokom hoda [50] Slika 2.1.8.Mehanizam lateralnihvibracija[50] 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 9 Slika 2.1.9 pokazuje vremenski tok horizontalne reakcije podloge na nepokretnoj površini. Za razliku od vertikalne sile, horizontalne sile su periodične sa frekvencijom upola manjom od frekvencije hoda. a) b) Slika 2.1.9 Reakcija podloge usled hoda: a) lateralna, b) longitudinalna [64] Longitudinalna sila (podužni pravac) nastaje usled potiskivanja podloge (gazišta mosta) i otiskivanja od nje pri hodu. Slika 2.1.10 Merena promena sile i ubrzanja nastalih usled hoda frekvencije 2 Hz :a) vertikalna komponenta b) lateralna komponenta, c) longitudinalna komponenta [4] 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 10 2.1.2 Delovanja usled trčanja i skakanja Trčanje se karakteriše diskontinualnim kontaktom sa podlogom. Sila postaje jednaka nuli kada se kontakt sa podlogom prekida. U poređenju sa hodanjem, sila indukovana trčanjem više zavisi od individualnog stila trčanja. Često je trajanje prelaska džogera preko mosta relativno kratko da bi ostavilo dovoljno vremena za pojavu fenomena rezonancije, ali, svakako, i u tako kratkom periodu može izazvati nelagodnost kod ostalih korisnika na mostu [66]. Vertikalna komponenta sile Dok vertikalno opterećenje indukovano hodanjem karakterišu dva maksimuma, opterećenje indukovano trčanjem ima samo jedan. Njega karakteriše naglo povećanje i smanjenje. Maksimum se uvećava i postaje sve uži sa povećanjem frekvencije hoda, a samim tim se i faza kontakta smanjuje. Usled udarca pete o podlogu, opterećenje može da poraste od 3 do 5 puta u odnosu na telesnu težinu. a) b) c) Slika 2.1.11 Reakcija podloge: a) trčanje sa različitim frekvencijama, b) trčenja zavisno od stila, c) skakanje [4] Izvestan broj autora radio je na određivanju sile indukovane individualnim vandalskim ponašanjima pešaka [8], [24], [56], [73] i [74]. Sile indukovane skakanjem su, radi poređenja, takođe prikazane na sl.2.1.11. One su slične onima indukovanim trčanjem, ali imaju više amplitude. Skakanje nije normalan vid aktivnosti na pešačkim mostovima, ali kao sistematsko pobuđenje (vandalizam) trebalo bi da se uzme u obzir. Vibracije uzrokovane skakanjem imaju širi opseg frekvencija pobuđenja, od 1 Hz do 3.5 Hz. Horizontalna komponenta sile Prema Schneider-u [64], lateralna komponenta sile je, zbog veće lateralne stabilnosti prilikom trčaja, upola manje od sile uzrokovanje hodanjem. Takođe, rizik od pojave lock-in efekta je ništavna s obzirom da je kontakt između pešaka i konstrukcije manji kod trčanja, nego kod hodanja. Kao i pri hodanju, lateralna reakcija podloge je periodična, sa frekvecijom upola manjom od frekvencije trčanja, s obzirom da sila menja pravac pri svakom koraku. 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 11 a) b) Slika 2.1.12 Reakcija podloge usled trčanja [64]: a) lateralna komponenta, b) longitudinalna komponenta Neka eksperimentalna istraživanja potvrdila su postojanje horizontalne sile i pri skakanju [73], pri čemu je longitudinalna komponenta značajnije veća od transverzalne. 2.1.3 Delovanje grupe pešaka Vrsta pešačkog saobraćaja koji se odvija na mostu u mnogome utiče na dinamički odgovor konstrukcije, koji postaje mnogo komplikovaniji kada su pešački mostovi izloženi simultanom delovanju više pešaka. Pri velikim gustinama pešaka sloboda pojedinca da izabere sopstveni način hoda je ograničena. Naime, svaki korisnik ima svoje karakteristike (frekvenciju, brzinu, težinu), tako da, u zavisnosti od broja osoba prisutnih na mostu, dolazi do manje, ili veće međusobne sinhronizacije pešaka. Pri određenim uslovima, može doći do tzv. lock-in efekta, kada pojedinci počinju da se kreću rezonantnom frekvencijom konstrukcije. 2.1.3.1 Gustina pešaka Gustina pešaka u mnogome utiče na brzinu kretanja individue i zato je veoma važna za dinamičku analizu. Odnos između brzine kretanja pešaka i njihove gustine prikazan je na slici 2.13. Gustina pešaka može se sračunati prema sledećim izrazima: s eff q v b λ = ⋅ [peš/m²] (2.1.1) r eff Nq b L = ⋅ [peš /m²] (2.1.2) gde je λ nivo nailaska pešaka [peš/s], vs je brzina hoda [m/s], beff je efektivna širina mosta [m], Nr je broj pešaka na mostu i L je dužina mosta [m]. 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 12 Slika. 2.1.13 Odnos između gustine pešaka i brzine njihovog kretanja [54] Glavna karakteristika kretanja pešaka u koloni male gustine ja da sloboda pokreta pojedinca nije ograničena. Prema Oeding-u [53], u koloni, gde je gustina pešaka od 0.3 peš/m² to 0.6 peš/m², pešaci se mogu nesmetano kretati svojom sopstvenom frkvencijom hoda. Ukoliko se gustina pešaka povećava, pojedinac više nije u mogućnosti da se kreće svojom sopstvenom frekvencijom i brzinom hoda. Takođe, može doći i do sinhronizacije frekvecije, faze i brzine kretanja pešaka i kretanja mostovske konstrukcije. d=0,3 P/m² d=0,4 P/m² d=0,6 P/m² d=0,8 P/m² d=1,0 P/m² d=1,5 P/m² Slobodno kertanje Prihvatljivo Prihvatljivo Velika gustina Veoma velika gustina Gužva Slika 2.1.14 Različiti tipovi gustine pešaka [53] Generalno, brzina kretanja pešaka se smanjuje sa povećanjem gustine saobraćaja. Pešak mora da prilagodi brzinu hoda kretanju mase. Prva restrikcija brzine nastaje bri gustini pešaka od 0.6 peš/m², kada kretanje i postaje otežano. Pri gistini od 1.0 peš/m², sloboda pokreta je znatno narušena, tako da pešaci moraju međusobno da usklađuju brzinu i frekvenciju hoda. U slučaju gistine od oko 1.5 peš/m², pešaci počinju da se kreću u koloni, veoma malom brzinom, gde su mogući samo malim klizeći koraci, pri čemu je svojevoljno kretanje pešaka onemogućeno. 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 13 Treba naglasiti da se povećanje mase na mostu, naročito pri gustom pešačkom saobraćaju, odražava na promenu modalnih karakteristika sistema, kao i prigušenja. U odeljku 4.1.4, prikazana su rešenja za promenu (smanjenje) osnovne frekvencije mosta usled pridodatih masa. Tabela 2.1.3 Klasifikacija gustine pešaka prema Oeding-u [53] Gustina pešaka [peš/m²] Karakteristike kretanja 1 0 < q < 0.3 Pešak se može kretati konforo i slobodno 2 3 ≤ q < 0.6 Sloboda kretanja je delimično ograničena 3 0.6 ≤ q < 1.0 Sloboda kretanja je ograničena 4 q ≥ 1.0 Velika gužva, pojedinac nije više u mogućnosti da se kreće po svom nahođenju Razmatranje ponašanja mostovskim konstrukcija usled delovanja nastalih prelaskom gupe pešaka, definisano je u inženjerskim kodovima[13], [26] i dr., a posebno je važno da se ono predvidi u fazi proračuna. Za veći broj nezavisnih pešaka (bez posebne sinhronizacije) sa nivoom nailaska na most λ [peš/s], srednji dinamički odgovor u određenom preseku mosta izloženom dejstvu ove grupe pešaka može se dobiti multiplikacijom dejstva jednog pešaka faktorom k=(λT)1/2. Pti tome, T je vreme prelaska preko mosta [s] (može se predstaviti kao L/v, gde je L dužina mosta [m], a v je brzina kretanja pešaka [m/s]), a kako proizvod λT predstavlja broj od N pešaka prisutnih na mostu u datom trenutku vremena, može se zaključiti da je broj sinhronizovanih N , sa istom frekvencijom i različitim fazama [51]. Prema preporukama Sétra [34], na osnovu eksperimentalno utvrđenih podataka, za srednju i veću gustinu saobraćaja ekvivalent broju sinhronizovanih pešaka se određuje kao: 10.8eqN N= ⋅ξ (2.1.3 ) gde je N broj pešaka na mostu (gustina pešaka × efektivna površina mosta), ξ je relatvno prigušenje, dok se veoma za veliku gustinu preporučuje: 1.85eqN N= (2.1.4 ) Generalno, problem vibracija usled prelaska grupe pešaka može se sagledati kroz više aspekata, kao što su: prelaženje manjih i sinhronizovanih grupa; prelaženje manjih nesinhronizovanih grupa i prelaženje neprekidne kolone pešaka [35]. Više autora se bavilo problemom opterećenja usled delovanja grupe pešaka (videti [22], [31], [41], [42] i [67]). Grundmann [34] je predložio koeficijent S, zavisan od prihvatljivog ubrzanja a= 0.7 m/s2 prema BS 5400 [12], kojim se u proračun graničnog ubrzanja uvodi delovanje grupe pešaka za različite gustine pešačkog saobraćaja na mostu. agr = S ⋅ a (2.1.5) 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 14 gde je S faktor sinhronizacije (videti sl.2.1.15), a je horizontalno, ili vertikalno ubrzanje usled prelaženja jednog pešaka, (videti odeljak 3.2) Za mostove sa malom gustinom pešaka, odnosno sa očekivanim maksimumom od deset i manje pešaka u bilo kom trenutku, faktor sinhronizacije se može odrediti prema sledećem grafiku. Slika 2.1.15 Faktor sinhronizacije za malu gustinu pešaka [34] Ukoliko je protok pešaka na mostu mali (q ≤ 0.6 peš/m2) i pešaci su u mogućnosti da se slobodno kreću po površini mosta, faktor sinhronizacije se može naći prema sledećoj formuli za konstrukcije sa prvom osnovnom vertikalnom frekvencijom izmeđi 1.50 Hz i 2.50 Hz: S = 0.225 ⋅ Nr (2.1.6) Za frekvencije ispod 1.50 Hz i znad 2.50 Hz, faktor se konzervativno može proceniti kao: rS N= (2.1.7) Za frekvencije između 3.50 Hz i 4.50 Hz: S = 0.225 ⋅0.5 ⋅ Nr (2.1.8) Nr = λ⋅Tc ⋅ K = q ⋅ L ⋅beff ⋅ K (2.1.9) gde je Nr broj pešaka na mostu, λ je nivo nailaska pešaka [peš/s], Tc je vreme prelaska preko mosta [s], K je težinski faktor usled različitih načina aplikacije opterećenja (prosta greda: K = 0.6 prema [34]), L je dužina mosta [m], vs je brzina kretanja [m/s], q je gustina pešaka [peš/m2], beff je efektivna širina mosta [m]. Za mostove sa protokom pešaka velike gustine q > 0.6 peš/m², faktor sinhronizacije se može sračunati prema relacijama (2.1.6), (2.1.7) i (2.1.8). 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 15 Prema Kramer-u [41], za prinudne vibracije mosta usled delovanja vremenski zavisne sile od jednog pešaka F(t), koristi se koeficijent Nf , kojim se efekat sinhronizacije uvodi u račun na osnovu empirijskih faktora. FN ( t ) = N f ⋅ F( t ) = N ⋅ S ⋅ R ⋅ F( t ) (2.1.10) gde je F(t) vremenski zavisna sila od jednog pešaka, N je broj pešaka na mostu, S = 0.275 je empirijski faktor sinhronizacije (razlika između slobodnog i uslovljenog kretanja), R=0.465 je empirijski faktor redukcije (razlika između raspodeljenog i koncentrisanog opterećenja). Prema francuskim preporukama Sétra Guide métodologique passerelles piétones [66], pešački mostovi se u zavisnosti od vrste i gustine saobraćaja koji se na njima odvija mogu podeliti na četiri klase. 2.1.3.2 Lock-In efekat Lock-in efekat predstavlja svojevrsni fenomen pri kome grupa pešaka sa različitim frekvencijama i fazama kretanja, počinje postepeno da prilagođava frekvenciju hoda prirodnoj frekvenciji mosta i ulazi u fazu sa kretanjem konstrukcije. Naime, u slučaju pojave izraženijih vibracija na mostu, deo pešaka će u pokušaju održavanja ravnoteže, početi da se lagano pomera bočno, naizmenično u jednu i drugu stranu (tzv. mornarski hod). Ovo instiktivno ponašanje uzrokuje približavanje frekvencije hoda i faze, upravo frekvenciji mosta, tako da sile indukovane pešacima ulaze u rezonanciju sa konstrukcijom. Lock-in efekat se povećava sa amplitudom vibracija mosta, tako da broj pešaka koji učestvuju u korektivnom kratanju raste sa amplitudom vibracija mostovske konstrukcije [17], [18], [64]. Kako se vibracije mosta uvećavaju, tako početno slučajno pobuđenje usled delovanja grupe pešaka prerasta u rezonantno pobuđenje. Ova pojava postaje sve izraženija dok kritičan broj pešaka ne indukuje neprihvatljiv nivo vibracija. Lock-in efekat nastaje brže za horizontalne, nego za vertikalne vibracije. Male bočne amplitude su dovoljne da izbace pešaka iz ravnoteže. Lateralne amplitude od 5 mm i frekvencija vibracija od 1 Hz u 40% slučajeva mogu dovesti do rezonacije [9]. Baumann i Bachmann [9] su primetili da sa vertikalnim amplitudama od 10-20 mm i frekvencijom hoda bliskoj frekvenciji vibracija, pešak nije u mogućnosti da se dalje kreće sa svojom inicijalnom frekvencijom. On počinje manje ili više da svoje pokrete prilagođava pokretima podloge. Prethodno još uvek nije potvrđeno eksperimentalno. Za lateralne vibracije, Bachmann [7] daje granično pomeranje od oko 2 mm, što je jasno potvrđeno u slučajevima Milenijumskog i Solférino mosta. Kod mostova koji imaju osnovnu prirodnu frekvenciju 2 Hz, vertikalnom pomeranju od 10- 20 mm odgovara ubrzanje od 1.6 m/s2, što je veoma nekomforno i trebalo bi, sa aspekta kriterijuma ubotrebljivosti, da se izbegne. 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 16 2.2 Modeli opterećenja indukovanog hodom Sila dobijena ekperimentalnim putem mora biti adekvatno analitički modelirana da bi se omogućila njena primena u proračunu vibracija pešačkih mostova. Do sada, u literaturi model vremenski zavisne sile indukovane pešacima je najviše eksploatisan. Pored toga, u vremenski zavisnom modelu sila može biti definisan kao deterministička, što podrazumeva uspostavljanje opšteg modela za različite pešačke aktivnosti, ali i kao probabilistička, gde se u obzir uzima stohastička priroda parametara kretanja [79]. U svakom slučaju, matematičko modeliranje sile indukovene pešacima predstavlja zahtevan poduhvat i samim tim, podrazumeva i primenu izvesnih pretpostavki koje će u kasnijem izlaganju biti definisane. U daljem pregledu literature biće predstavljeni modeli opterećenja od pešaka, definisani kao determinističke sile. 2.2.1 Model vertikalnog opterećenja Posmatranjem pešaka u hodu može se zapaziti da svaki korak predstavlja jedan impuls, dok su koraci tokom kretanja niz impulsa pomerenih duž puta i u vremenu (sl.2.2.1). Dakle, opterećenje od hoda je suma opterećenja uzrokovanog kontinualnim koracima, koje se može simulirati pulsacionim redom pojedinačnih opterećenja od koraka. Uz pretpostavku da je opterećenje oba stopala isto i da je vreme potrebno da stopalo nalegne na podlogu konstantno za određen režim hoda, opterećenje indukovano hodom je periodične prirode i može se podeliti na različite sinusoidalene oscilacije primenom Fourier-ove transformacije. ( ) ( )0 1 sin 2 n i s i i F t F F i f t = = + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −∑ π ϕ (2.2.1) gde je: F0 = statičko opterećenje (težina pešaka) Fi =komponenta opterećenja za frekvenciju i·fs fs =frekvencija hoda φi = fazni ugao komponente Fi n=broj razmatranih harmonika 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 17 Slika 2.2.1 Vertiklana komponenta sile indukovane kretanjem pešaka [68] Slika 2.2.2 prikazuje, za vertikalno opterećenje indukovano hodom, rezultujuću vremensku istoriju , spektar amplituda i različte koeficijente opterećenja. Broj harmonika koji treba uzeti u obzir zavisi od njihovih amplituda i dinamičkih uticaja. Mostovi se mogu pobuditi čak i drugim i trećim harmonikom. Odnos između amplitude sile i telesne težine pešaka se definiše pomoću dinamičkog faktora. Rezultati različitih istraživanja pokazuju da je dijapazon ovih vrednosti veoma širok ([7], [8], [10], [63], [73] i dr.), a neke od njih date su u tabeli 2.2.1. Dinamički faktori sile su određeni za kretanje po krutoj podlozi. Primetno je da prvi dinamički faktor znatno raste sa povećanjem frekvencije hoda, dok drugi ne pokazuje veliku zavisnost od frekvencije. Prema nekim autorima [4] prve tri komponente relevantne su za proračun. a) b) Fig. 2.2.2 a) rezultujuća vertikalna sila indukovana hodom [5] b) Fourier-ov Spektar dobijen pomoću brze Fourier-ove transformacije (FFT) [62] 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 18 Bachmann [35] predstavlja vertikalno opterećenje (uzimajući u obzir prva tri harmonika) kao: ( ) ( ) ( )0 1, 2, 2 3, 3sin 2 sin 4 sin 6v v s v s v sF F F f t F f t F f tπ π ϕ π ϕ= + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − (2.2.2) gde je: F0= stalno opterećenje od pešaka, Fi,v = αi F0=doprinos i-tog harmonika ukupnom opterećenju, fs= frekvencija hoda, φi = fazni ugao i-tog harmonika, αi= Fourier-ov koeficijent i-tog harmonika, tzv. dinamički faktor opterećenja. Tabela 2.2.1 Preporučene vrednosti dinamičkih faktora za vertikalna opterećenja Dinamički faktor F1,v/ F0 F2,v/ F0 F3,v/ F0 Blanchard et al. [10] 0.275 za fs < 4Hz - - Bachmann [4] 0.4 za fs = 2Hz 0.5 za fs = 2.4Hz 0.1 0.1 Young [75] 0.37(fs-0.95)  0.5 0.054+0.0044 fs 0.026+0.0050 fs Sétra [66] 0.4 za fs = 2Hz 0.1 0.1 Prema eksperimentima [4], [44], [64] fazni ugao zavisi od različitih parametara i ima veliki opseg vrednosti. Bachmann se odlučio za aproksimativne vrednosti φ2 = φ3 = π/2. a) b) Slika.2.2.3 Vertikalne sile indukovane hodom: a) prva tri harmonika sa π2= π/2 and π3= 3π/8, b) rezultujuća sila [6] 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 19 2.2.2 Model horizontalnog opterećenja Spektar lateralne komponente sile pokazuje du su komponente opterećenja aplicirane sa pola frekevencije hoda i njenim multiplama. Uzimajući u obzir prva tri harmonika, Fourier-ovi koeficijenti lateralne komponente sile mogu se opisati kao: 1, 2, 2 3, 3sin 2 sin 4 sin 62 2 2 s s s h h h h f f fF F t F t F tπ π ϕ π ϕ     = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ −            (2.2.3) gde je: Fi,h = doprinos i-tog harmonika ukupnom opterećenju, fs= frekvencija hoda, φi = fazni ugao i-tog harmonika. Preporučene vrednosti za lateralnu komponentu opterećenja date su u tabeli 2.5. Table 2.2.2 Preporučene vrednosi dinamičkog faktora za lateralna opterećenja za fs=2 Hz Dinamički faktor F1,h/ F0 F2,h/ F0 F3,h/ F0 F4,h/ F0 Eurocode 1 [26] 0.1 - - Schulze (prema [4]) 0.039 0.01 0.043 0.12 Sétra [66] 0.05 0.01 0.05 0.05 Fazni ugao bi trebalo da se uzme kao φ2 = φ3 = π/2. Prema tome, odgovor rezultujuće sile prikazan je na slici 2.2.4. a) b) Slika 2.2.4 Lateralna opterećenja indukovana hodom: a) prva tri harmonika za Fi,h / F0 = 0,1, b) rezultujuća sila [35] Francuske preporuke Sétra Guide métodologique passerelles piétones [66] uzimaju u obzir prva četiri člana reda (2.2.4), da bi se dobila funkcija opterećenja kako u lateralnom, tako i u longitudinalnom pravcu, dovoljno bliska mereni opterećenjima od pešaka (sl 2.2.5). 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 20 ( ) ( ) 1 2 sin 2 n i m i F t G if t = = ⋅ ⋅∑ π (2.2.4) gde je: Gi = doprinos i-tog harmonika ukupnom opterećenju fm= frekvencija hoda a) b) Slika 2.2.5 Opterećennje indukovano hodom fs=2 Hz: a) lateralna komponenta, b) longitudinalna komponenta [66] U praksi, longitudinalna komponenta sile indukovane hodom ima vrlo mali uticaj na pešačke mostove. 2.2.3 Modeli opterećenja u preporukama i standardima U prenorm of Eurocode 1, Part 1 ‘live loads on bridges’, model opterećenja od jednog pešaka (ranije poznat kao DLM1), koji je takođe sadržan i u British Standard BS 5400, Part 2 [12] i Ontario Highway Bridge Design Code OHBDC ONT 83 [55], limitiran je na prvi harmonik sile F(t) (videti izraz 2.2.1). Dinamičko opterećenje sastoji se od pulsirajuće stacionarne sile sa dve komponente. To podrazumeva efekat pešaka težine 700 N, koji se kreće brzinom [m/s] koja iznosi 0.9 frekvencija hoda fs, uzimajući u obzir prvi harmonik rekcije podloge i dinamički faktor za vertiklani pravac α1=0.275 prema Blanchard [10]. vertikalna komponenta: Qpv = 180 ⋅sin( 2π⋅fv ⋅t ) [N] (2.2.5) lateralna komponenta: Qph = 70 ⋅sin(2π⋅fh ⋅t ) [N] (2.2.6) gde je fv prirodna vertikalna frekvencija mosta blizu 2 Hz, fh je prirodna lateralna frekvencija mosta blizu 1 Hz. 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 21 Slika 2.2.6 Dinamički model opterećenja od jednog pešaka [35] Eurocode 5 [28] predviđa isti model opterećenja, s tim da je amplituda sile 280 N (α1=0.4, videti tabelu 2.2.1). Vertikalna komponenta za model opterećenja od jednog pešaka prema (2.2.5) je takođe sadržana u DIN-Fachbericht 102 [19]. Generalno, frekvenciju treba birati tako da se podudara sa osnovnom frekvencijom konstrukcije i da opterećenje deluje na najnepovoljnijoj poziciji na mostu. Stohastički pristup kod modela opterećenja od grupe pešaka (DLM2) opisuje efekat grupe sa ograničenim brojem pešaka (8-15 osoba) koji se kreću [35]. Sinhronizacija frekvencije hoda i faze uzeti su u obzir preko koeficijenata kv i kh. vertikalna komponenta: Qgv = 180 ⋅kv( fv )⋅sin(2π⋅fv ⋅t ) [N] (2.2.7) lateralna komponenta: Qgh = 70 ⋅kh( fh )⋅sin(2π⋅fh ⋅t ) [N] (2.2.8) gde je fv prirodna vertikalna frekvencija mosta blizu 2 Hz , fh je prirodna lateralna frekvencija mosta blizu 1.5 Hz, a kv i kh su faktori sinhrinizacije (sl.2.2.8). Slika 2.2.7 Dinamički model opterećenja od grupe pešaka [35] Dinamičko opterećenje od grupe pešaka trebalo bi da se primeni kao stacionarna pulsirajuća sila sa dve komponente, koje treba razmatrati posebno. Takođe, opterećenje traba da deluje na najnepovoljnijoj poziciji na mostu. Da bi se uveo uticaj pešaka na dinamičke karakteristike mosta, masa od 800 kg treba da deluje na istoj poziciji kao i sila. 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 22 a) b) Slika 2.2.8 Zavisnost koeficijenata kv (a) i kh (b) od prirodnih frekvencija fv and fh [35] Koeficijentima kv i kh se u proračun uvodi efekat slučajne sinhronizacije pešaka u grupi. U razmatranje su, za sada, uzeti samo prvi harmonici (dinamički faktor za vertikalno opterećenje 0.4, dinamički faktor za lateralno opterećenje 0.1), ali se u daljnjem mogu uzeti i drugi harmonici (dinamički faktor za vertikalno opterećenje 0.2, dinamički faktor za lateralno opterećenje 0.05). Dinamički model opterećenja za kolonu pešaka (DLM3) važi za pobuđujuću silu usled kolone pešaka gustine 0.6 peš/m² (sl.2.2.9). Treba ga uzimati odvojeno od modela opterećenja za grupu pešaka. Ukupan broj pešaka je N = 0.6⋅B⋅L, gde je B efektivna širina mosta i L njegova dužina. Kolona pešaka deluje kao pulsirajuće kontinualno raspodeljeno površinsko opterećenje, sa vertikalnom i horizontalnom komponentom. vertikalna komponenta: qs,v = 12,6 ⋅kv( fv )⋅sin(2π⋅fv ⋅t) [N/m²] (2.2.9) lateralna komponenta: qs,h = 3,2⋅kh( fh )⋅sin(2π⋅fh ⋅t ) [N/m²] (2.2.10) gde je fv prirodna vertikalna frekvencija mosta blizu 2 Hz, fh je prirodna lateralna frekvencija mosta blizu 1.5 Hz, a kv i kh su faktori sinhrinizacije (sl.2.2.8). Slika 2.2.9 Dinamički model opterećenja za kolonu pešaka [35] Standard Eurocode 1: Part 2 [26], definiše modele opterećenja za proračun drumskih, pešačkih i železničkih mostova. Poglavlje 5.7 se odnosi na dinamičke modele opterećenja indukovanog pešacima. U zavisnosti od dinamičkih karakteristika konstrukcije, relevantne prirodne frekvencije rasponske konstrukcije treba odrediti iz odgovarjućeg modela konstrukcije. Dalje, stoji da sile uzrokovane pešacima sa frekvencijom identičnom jednoj od svojstvenih frekvencija mosta mogu rezultirati pojavom rezonace i moraju se uzeti u obzir za verifikaciju 2.Modeliranje sile usled kretanja pešaka 23 graničnog stanja s obzirom na vibracije. Konačno, Eurocode 1 zahteva da se definišu odgovarajući model opterećenja od pešaka kao i kriterijumi prihvatljivosti nivoa vibracija. Međutim, metode za modeliranje opterećenja od pešaka i određivanje nivoa vibracija ostavljne su projektantu. Eurocode 5, Part 2 [29] sadrži informacije relevantne za proračun drvenih mostova. Zahteva se proračun ubrzanja usled delovanja malih grupa i kolona pešaka i u vertikalnom i u horizontalnom pravcu, a verifikacija kriterijuma konfora potrebna je za mostove sa prirodnom frekvencijom manjom od 5Hz u vertikalnom i 2.5 Hz u horizontalnom pravcu. Eurocode 5: Annex B [16] sadrži pojednostavljen metod za određivanje vibracija uzrokovanih pešacima za jednostavne sisteme, dok je izbor modela opterećenja i analitičkih metoda za složenije konstrukcije ostavljen projektantima. ISO 10137 preporuke [39] su razvijene od strane Internacionalne Organizacije za Standardizaciju sa ciljem predstavljanja principa predviđanja vibracija u fazi proračuna konstrukcije. Predloženi modeli opterećenja usled kretanja jednog pešaka za horizontalni i vertikalni pravac dati su u ISO 10137: Annex A kao vremenski promenljive sile F(t), koje se mogu predstaviti preko Fourier-ovih redova u skladu sa relacijom (2.2.1). Pomenuti aneks takođe sadrži i predloge vrednosti dorinosa prvog i viših harmonika ukupnom opterećenju. Delovanje grupe pešaka prvenstveno zavisi od njihove težine, maksimalne gustine osoba po jedinici površine podloge i od stepena koordinacije pešaka. Koordinacija se može predstaviti primenom faktora koordinacije C(N), kojim se multiplicira prinudna sila F(t) : F(t)N = F(t)・C(N) (2.2.11) gde je N broj pešaka u grupi. Iako se izvestan broj autora [5], [22], [25], [52] i dr., bavio modeliranjem vandalskih opterećenja (trčanje, skakanje i dr.), mali broj preporuka i standarda sadrži propozicije za modeliranje ekstremnih dejstava. U standardu BS 6399-96 [14] dejstvo opterećenja usled skakanja pešaka opisuje se semi-sinusoidalnim modelom pulsirajuće sile. Nešto detaljnje preporuke za modeliranje vandalskih delovanja i delovanja grupe pešaka u zavisnosti od klase pešačkog mosta i procene rizika od pojve rezonance, sadržane su u francuskim preporukama Sétra Guide métodologique passerelles piétones [66]. 3.Kriterijumi konfora i granične vrednosti 24 3. Kriterijumi konfora i granične vrednosti Ljudsko telo predstavlja kompleksan nelinearan mehanički sistem sa više stepeni slobode čiji različiti delovi daju različite odgovore na pomeranja konstrukcija [78]. Inače, ljudsko telo je izloženo velikom broju prirodnih ritmova koji zavise od mnogih faktora, kao što su regulisanost sna, hormona, srčani ritam, alfa moždani talasi, kretanje, trčanje, govor, pevanje, treptanje i dr. Vibracije niskih frekvencija su posebno nekonforne za ljude, s obzirom da delovi ljudskog tela ulaze u rezonancu pri vibracijama opsega od 3 do 100 Hz. Pri najnižim od ovih frekvencija javljaju se neprijatne oscilacije u abdominalnom delu tela, dok ostali delovi tela počinju da osciluju pri frekvencijama višim od 10 Hz. Zbog relativnog pomeranja delova tela, rezonancije ispod 10 Hz izazivaju posebnu neugodnost za ljude, a duža izloženost istim, može imati i negativne uticaje na zdravlje. Ljudska percepcija vibracija je subjektivna i zavisi od individualnih karakteristika i psiholoških uticaja, što potvrđuje i istraživanje Lippert-a [46], prema kome, ne samo da različiti pojedinci imaju različite reakcije na iste vibracije, već i ista osoba izložena više puta istim vibracija, pokazuje različite reakcije. Osetljivost na vibracije je uslovljena fizičkim faktorima, kao što su frekvencija, ubrzanje i vreme izloženosti uticaju. Pored toga što je diskonfor uslovljen subjektivnom podnošljivošću vibracija, on u mnogome zavisi u od uslova okruženja. Tako npr., zvuci koji nastaju pri rezoniranju delova (opreme) mosta i vizuelni uticaji uslovljeni visinom mosta, ili odvijanjem saobraćaja ispod mosta, povećavaju preosetljivost i mogu provocirati nelagodnost. Osetljivost čoveka na vibracije je bila predmet većeg broja istraživanja [34], [37], [38], [45], [47], [64] i dr. Neki od generalnih zaključaka su da stohastičke vibracije uglavnom prouzrokuju veću nelagodnost nego periodične, ali i da se pešaci vremenom navikavaju na vibracije, tako da nivo prihvatljivost istih raste. U svom istraživanju, Leonadr-a [45] zaključuje da osobe koje su stacionarne na mostu, teže podnose vibracije od onih koje se kreću, a razlog tome je što su ljudi manje osetljivi na vibracije koje indukuju sami. Istraživanje Dieckmann-a, koji se bavio efektima oscilacija i rezonantnih vibracija na ljudsko telo, pokazalo je da je pešaka mnogo lakše izbaciti iz ravnoteže horizontalnim oscilacijama nego vertikalnim i zato je i osetljivost na horizontalne vibracije mnogo veća [35]. Kriterijumi upotrebljivosti u pogledu konfora prema međunarodnim propisima i regulativama se uglavnom odnose na izbegavanje određenih opsega prirodnih frekvencija, ili na određena ograničenja ubrzanja. Prema prvom konceptu, konstrukcije čije prirodne frekvencije izlaze iz opsega frekvecija opterećenja izazvanog pešacima, uglavnom nisu u riziku od pojave rezonantnih vibracija. Iz ovog razloga, mnogi internacionalni propisi daju opsege frekvencija za koje nije potreban dalji dinamički proračun (videti tabelu 3.1). Drugi pristup odnosi se na ograničenje vrednosti ubrzanja ukoliko prirodna frekvencija konstrukcije upada u opseg frekvecija opterećenja izazvanog pešacima. Tada međunarodni propisi nalažu dinamičku analizu. Rezultujuća ubrzanja konstrukcije su ograničena tako da obezbede konfor pešacima (videti tabelu 3.2) 3.Kriterijumi konfora i granične vrednosti 25 U praksi, mnogi lagani pešački mostovi premašuju kriterijume graničnog stanja upotrebljivosti u pogledu prihvatljivosti vibracija, a da nikada nisu bili izvori nelagodnosti korisnika u dugom periodu korišćenja [61]. U mnogim slučajevima, korisnici uživaju u korišćenju datih konstrukcija, možda i delimično zbog njihove “živahnosti”. 3.1 Granične vrednosti za frekvencije prema internacionalnim standardima i preporukama Konstrukcije čije prirodne frekvencije izlaze iz opsega frekvecija opterećenja izazvanog pešacima, prema mnogim propisima i regulativama, nisu u riziku od pojave rezonantnih vibracija i za njih nije neophodan dalji dinamički tretman. U tabeli 3.1.1 dati su samo oni propisi koji nude granične vrednosti, ili određuju kritične opsege frekvencije oscilacija indukovanih pešacima u kojima se ne sme naći prirodna frekvencija mosta Većima internacionalnih propisa se zadržava na prvom harmoniku iz Fourier-ove analize pešačkih opterećenja, dajući granicu za prirodnu frekvenciju mosta do 3 Hz. Eurocode 5 i BS 5400 obezbeđuju granice do 5 Hz, uzimajući u obzir i harmonike višeg reda za pobuđenje od pešaka, što je uputnije kod laganijih konstrukcija. Petersen [58], ostaje pri tome da harmonici višeg reda ne mogu izazvati bitne oscilacije u konstrukciji, zahvaljujući krutosti mosta (sa prirodnom frekvencijom preko 2.4 Hz) i manjim komponentama sile za više harmonike. Tabela 3.1.1 Kritične frekvencije u međunarodnim propisima Regulativa Granične vrednosti Vertikalne Horizontalne American Guide Spec. [35] < 3 Hz Eurocode 2 (EN 1992-2) [27] 1.6 Hz - 2.4 Hz 0.8 Hz – 1.2 Hz DIN-Fachbericht 102 [19] 1.6 Hz - 2.4 Hz, 3.5 Hz - 4.5 Hz Eurocode 5 (EN1995-2) [29 ] < 5 Hz < 2.5 Hz Appendix 2 of Eurocode 0 [66] < 5 Hz ISO/CD 10137 [39 ] 1.7 Hz– 2.3 Hz SIA 261 (Švajcarska) [65] 1.6 Hz – 4.5 Hz < 1.3 Hz trans. pravac < 2.5 Hz long. pravac BS 5400-2 (Velika Britanija) [13] < 5 Hz Austroads (Australija) [3] 1.5 Hz– 3 Hz Japanese Footbridge Design Code [40] 1.5 Hz– 2.3 Hz Canadian Highway Bridge Design Code CAN/CSA-S6-06 [16] < 4 Hz Francuske preporuke Sétra Guide métodologique passerelles piétones [66] daju četiri opsega frekvencija u zavisnosti od nivoa rizika od pojave rezonance (sl.3.1.1 i 3.1.2), pri čemu je: Opseg 1: maksimalni rizik od rezonance; Opseg 2: srednji rizik od rezonance; Opseg 3: mali rizik od rezonance usled standardnih opterećenja; Opseg 4: neznatan rizik od rezonance. 3.Kriterijumi konfora i granične vrednosti 26 Slika. 3.1.1 Opseg frekvencija (u Hz) za vertikalne i longitudinalne vibracije [66] Slika. 3.1.2 Opseg frekvencija (u Hz) za lateralne vibracije [66] 3.2 Analiza ubrzanja i granične vrednosti za ubrzanja prema internacionalnim standardima i preporukama 3.2.1 Analiza ubrzanja Pored direktne integracije, koja se vrlo retko koristi u dinamičkoj analizi pešakih mostova [66], modalna analiza je jedna od mogućnosti za proračun ubrzanja koja se može naći u literaturi, videti [58]. Takođe, jedan broj autora, kao što su Grundmann [34], Rainer [62, Young [75] i dr., predlaže analitičke metode za proračun ubrzanja. Računskom metodom prema Rainer-u [62] određuju se maksimalna vertikalna ubrzanja usled prolaska jednog pešaka koji hoda, ili trči frekvencijom jednakoj osnovnoj prirodnoj frekvenciji mosta, koji je modeliran kao oscillator sa jednim stepenom slobode. 2 24a f yπ α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Φ [m/s2] (3.2.1) U izrazu (3.2.1) f je prirodna vertikalna frekvencija mosta [Hz], y je statički ugib na polovini raspona za silu od 700 N [m], α = Fi,v / F0 je Fourier-ov koeficijent za releventni harmonik usled hodanja ili trčanja (videti tabelu 2.2.1), ζ = (δ/2π) je relativno prigušenje, δ je logaritamski decrement, a Φ je faktor dinamičkog uvećanja za kretanje jednog pešaka (za prostu gredu) (videti sl.3.2.1) broj ciklusa (koraka) po rasponu = broj i-tog harmonika · dužina raspona /dužina koraka (videti tabelu 2.1.2). Slika. 3.2.1 Faktor dinamičkog uvećanja Φ za rezonantni odgovor usled sinusoidalne pokretne sile na prostoj gredi [62] 3.Kriterijumi konfora i granične vrednosti 27 Primental i Fernandes [60] su proširili proceduru koju predlaže Rainer [62] na mostove sa dva raspona, uvodeći u proračun faktor ka. Maksimalno ubrzanja se određuje prema formuli: 2 max 0 s i d aa y k= ⋅ ⋅ ⋅Ω ⋅ω α (3.2.2) gde je ω0 osnovna kružna frekvencija mosta, ys je statički ugib usled težine pešaka, αi je dinamički faktor opterećenja rezonantnog i-tog harmonika, Ωd je faktor dinamičkog uvećanja i ka je numerički određen faktor koji se odnosi na razliku razmatranja mostova sa dva raspona u odnosu na one sa jednim. Grundmann [34], uz podrazumevanje sledećih pretpostavki: oscillator sa jednim stepenom slobode sa stacionarnim pobuđenjem, frekvencija hoda fs = osnovnoj prirodnoj frekvenciji mosta f, koeficijent 0.6 usled promene položaja pobuđujuće sile, maksimalno ubrzanje određuje prema : ( )0.6 1 n gen Fa e M δπ δ −= ⋅ − [m/s2] (3.2.3) gde je F = α · G: α = Fi,v / F0 (videti tabelu 2.4), G = 0.7 kN je stalno opterećenje od pešaka, Mgen = 0.5 · M je masa [t] ekvivalentnog oscilatora sa jednim stepenom slobode za prostu gredu [35], δ je logaritamski dekrement, n = L/ls (broj ciklusa (koraka) po rasponu = dužina raspona / dužina koraka)(videti tabelu 2.1.2). 3.2.2 Granične vrednosti za ubrzanja prema internacionalnim standardima i preporukama Granične vrednosti za ubrzanje u međunarodnim propisima su direktno povezane sa konforom pešaka. S obzirom da je pitanje konfora pešaka vrlo subjektivno, u internacionalnim propisima postoje različite granice za granične vrednosti ubrzanja. Pregled graničnih ubrzanja u međunarodnim propisima i relevantnoj literature je dat u tabeli 3.2.1. Neka od tih graničnih ubrzanja zavise od prirodnih frekvencija, dok su druga konstanta za ceo opseg frekvencija usled opterećenja indukovanog pešacima, kao u AISC Guide 11 [1], Japanese Footbridge Design Code [40]. Preporuke Asocijacije inžinjera Nemačke VDI Richtlinie 2057, Blatt 1-4, [2] obuhvataju efekte mehaničkih vibracija na ljudsko telo. Proučavani su različiti položaji tela, pri stajanju ili sedenju. Zavisnost individualne osetljivosti na trajanje oscilacija, kao i drugu faktori su uzeti u obzir u preporukama VDI [2] . Nivo stresa kod pešaka može se odrediti na osnovu frekvencije i ubrzanja vibracija, a zavisi od prvca oscilacija, horizontalnog ili vertikalnog. Na osnovu sračunatog nivoa stresa, nivo individualne osetljivosti na vibracije može se odrediti na osnovu tabele date u preporukama. ISO 2631 [37], [38] tretira ubrzanje ljudskog tela, a ne upućuje na ubrzanje mostovske konstrukcije. 3.Kriterijumi konfora i granične vrednosti 28 Canadian Highway Bridge Design Code CAN/CSA-S6-06 [15] daje simplifikovani metod za proračun ubrzanja, kao i odgovarajuće granične vrednosti ubrzanja u funkciji osnovne prirodne frekvencije mosta. Ovaj pojednostavljeni metod primenljiv je samo za gredne pešačke mostove sa jednim, dva i tri raspona. Za frekvencije manje od 4 Hz, predlaže se detaljniji dinamički proračun u cilju određivanja odgovora konstrucije, posebno pri dužoj izloženosti opterećenju od pešaka, ili džogera. Tabela 3.2.1 Granična ubrzanja kao kriterijumi konfora [35] Vertikalno ubrzanje av,max [m/s²] ISO 2631 f1 = osnovna prirodna frekvencija mosta AISC Guide 11 0.5 Eurocode 1 za f = 1 do 3 Hz za f = 3-5 Hz: potrebna provera u zavisnosti od slučaja od f = 5 Hz: nije neophodna provera DIN-Fachbericht 102 za f1 č 5 Hz; f1 = osnovna prirodna frekvencija neopterečenog mosta VDI 2057 f1 = osnovna prirodna frekvencija mosta SBA 0.39 BS 5400-2 f1 = osnovna prirodna frekvencija mosta Ontario Bridge Code ONT83 f1 = osnovna prirodna frekvencija mosta Eurocode 5 (EN 1995-2) 0.7 Bachmann [40] 0.5-1.0 Japanese Footbridge Design Code (1979) 1.0 Lateralno ubrzanje al,max [m/s²] Eurocode 1 za f = 0.5 do 1.5 Hz za f = 1.5-2.5 Hz: potrebna provera u zavisnosti od sllučaja od f = 2.5 Hz: nije neophodna provera Eurocode 5 (EN 1995-2) 0.2 za f < 2.5 Hz (za pešake koji stoje) Iz tabele 3.2.1 i sa slike 3.2.4 se može videti da dopuštene vrednosti za vertikalna ubrzanja variraju zavisno od primenjenog standard, ali je za vertikalne vibracije sa frekvencijom od oko 2 Hz (normalam hod) izvestan konsenzus u vezi sa graničnim ubrzanjem koje je u opsegu od 0.5 do 0.8 m/s2. Treba napomenuti da su predložene granične vrednosti uglavnom povezane sa teoretskim opterećenjem od jednog pešaka. v 3.Kriterijumi konfora i granične vrednosti 29 Slika. 3.2.4 Vertikalno kritično ubrzanje (u m/s2) u funkciji prirodne frekvencije mosta, prema različitim regulativama [66] Vandalska opterećenja, kao na primer skakanje u ritmu u cilju pobuđenja prirodne frekvencije mosta, može dovesti do veoma velikih vrednosti ubrzanja. Neki autori postavljaju za maksimalnu granicu ubrzanja pešačkih mostova od 0.7 g do 0.8 g [7], [34], čak i pri vandalskim opterećenjima. Ovo ubrzanje se može uzeti kod dimenzionisanja konstrukcije, ali ne i kao kriterijum konfora. Prema preporukama Sétra Guide métodologique passerelles piétones [66] nivoi konfora s obzirom na ubrzanje mogu se svratati u tri grupe, pri čemu: maksimalni konfor podrazumeva da su ubrzanja konstrukcije neprimetna od strane korisnika, prosečan konfor podrazumeva da su ubrzanja konstrukcije jedva primetna od strane korisnika, dok minimalni konfor podrazumeva da korisnici primećuju ubrzanja konstrukcije, ali su ona prihvatljiva sa aspekta konfora. Prema tome, opsezi ubrzanja s obzirom na nivo konfora dati su na slikama 3.2.5 i 3.2.6. Prva tri odgovaraju maksimalnom, srednjem i minimalnom konforu, dok četvrti opseg obuhvata nekonforne nivoe ubrzanja, koji su, samim tim, neprihvatljivi. U svakom slučaju, da bi se izbegao "lock-in" efekat, ubrzanje je ograničeno na 0.10 m/s2 (slika 3.2.6). Slika. 3.2.5 Opseg ubrzanja (u m/s2) za vertikalne vibracije [66] Slika. 3.2.6 Opseg ubrzanja (u m/s2)za horizontalne vibracije [66] Granična ubrzanja u međunarodnim standardima su bazirana na konforu pešaka koji preko njega prelaze, tako da fenomen prinudne sinhronizacije pešaka (lock-in efekat) nema posebnog značaja s aspekta konfora, s obzirom da se prilikom ove pojave javljaju ubrzanja ispod dopuštenih granica. Tako na primer, pri lateralnim vibracijama kod lock-in efekta, ubrzanje može da iznosi 0.08 m/s2, pri frekvenciji od 1 Hz, što je, jasno, mnogo ispod kriterijuma za narušavanje konfora (oko 0.15 m/s2). Ovaj fenomen je zato mnogo značajniji sa aspekta konfora pri lateralnim vibracijama. 3.Kriterijumi konfora i granične vrednosti 30 Kriterijum konfora sa aspekta pomeranja nema specijalan tretman u poznatoj literaturi, iako je on specijalno interesantan kod sporijih vibracija, kada uzrok diskonfora nije brzina pomeranja, već amplitude. Jedini poznat kriterijum za pomeranje je u suštini statički kriterijum, koji daje granični ugib. S druge strane, ubrzanje, brzina i pomeranje su povezani, tako da se ubrzanje može prikazati u funkciji pomeranja, ili brzine: Ubrzanje = (2π⋅frekvencija)2⋅Pomeranje Ubrzanje = (2π⋅frekvencija)⋅Brzina Tako npr., za frekvenciju od 2 Hz: ubrzanje od 0.5 m/s2 odgovara pomeranju od 3.2 mm i brzini od 0.04 m/s, ubrzanje od 1 m/s2 odgovara pomeranju od 6.3 mm i brzini od 0.08 m/s. Ali, za 1 Hz: ubrzanje od 0.5 m/s2 odgovara pomeranju od 12.7 mm i brzini od 0.08 m/s, ubrzanje od 1 m/s2 odgovara pomeranju od 25.3 mm i brzini od 0.16 m/s. Veza između ubrzanja, brzine i pomeranje važi samo za harmonijske oscilacije, što nije uvek slučaj. 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 31 4. Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima Analiza vibracija mostova sa bilo kojeg važnijeg aspekta povezana je gotovo uvek sa znatnim praktičnim poteškoćama. To se naročito odnosi na rešavanje diferencijalnih jednačina, a pogotovu frekventne jednačine. Problem postaje znatno kompleksniji kada se radi o gredama promenljivog poprečnog preseka, o analizi u neelastičnoj oblasti, o komplikovanim spoljnim opterećenjima, itd. U svim takvim slučajevima pri oceni vremenske zavisnosti pomeranja posmatrane konstrukcije i pri datom vremenski promenljivom opterećenju, koristimo približne metode uz pomoć automatskih računara. Za inženjersku praksu vrlo je važna analiza kvalitativne, a naročito kvantitativne promene neke dinamičke veličine pri proizvoljnoj, ili određenoj promeni uzroka njenog nastajanja, odnosno pri promeni izvesnog parametra. Analiza problema koja se zasniva na približnim metodama, bilo da se radi o simplifikovanom dinamičkom modelu mosta, odnosno pokretnog opterećenja, ili pak numeričkom postupku, po pravilu je uvek znatno zametnija od iste takve analize koja se sprovodi prema analitičkim rešenjima u zatvorenom obliku. U ovom radu se primenjuje generalizacija postupka rešavanja problema linearnih transverzalnih prigušenih vibracija jedne klase grednih mostova, koje nastaju zbog kretanja pešaka, koje se modelira poznatom vremenski promenljivom silom (deterministčkom silom). U ovom poglavlju prikazuju se rešenja problema vibracija u „zatvorenom obliku “, što podrazumeva rešenja preko redova, koji su konvergentni, budući da se sprovodi modalana analiza i da je pri tome dovoljno angažovanje prvih nekoliko tonova (najčešće prva tri). Rešenje diferencijalnih jednačina se sprovodi preko Laplasove transformacije, a za definisanje poremećajnih sila kontinualnog oscilatornog sistema korišćene su Dirakova delta i Hevisajdova teta funkcija. Za definisanje poremećajnih sila diskretizovanih grednih sistema rasponskih konstrukcija korišćeni su Ermitovi kubni polinomi. Na osnovu izvedenih opštih rešenja, data su i rešenja za karakteristična pokretna opterećenja pri konstantnoj brzini kretanja, kao što su pokretne koncentrisane sile, kao modeli koji predstavljaju pešaka u hodu, ili ravnomerno raspodeljeno opterećenje, kao model koji predstavlja kretanje kolone pešaka. Iz ovih rešenja se mogu izvesti rešenja za simultano delovanje navedenih opterećenja. Izvedena rešenja se mogu koristiti za analizu vibracija grednih pešačkih mostova, kako vertikalnog, tako i horizontalnog pravaca (lateralne vibracije). Pri tome, krutosti masa sistema mogu biti konstantne duž raspona, ali i promenljive. Za određivanje svojstvenih frekvenvija i svojstvenih vektora, za tertman konstrukcija mosta linijskim sistemima u ravni, ili prostoru, korišćeni su programi: STRES6 i SAS6. Za određivanje svojstvenih karakteristika, konstrukcija mosta tretirana je i metodom konačnih elemenata [49]. 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 32 Konačno rešavanje konkretnih slučajeva vibracija, kako kontinualnih, tako i diskretizovanih sistema grednih rasponskih konstrukcija, sprovodi se po određenim procedurama u softveru MATHEMATICA [71], a rezultati su prikazani u poglavlju 5. 4.1 Kontinualni sistemi-rešenja problema vibracija 4.1.1 Opšta razmatranja prinudnih prigušenih vibracija Posmatramo transverzalne vibracije grede raspona L (sl.4.1.1), konsatantne krutosti na savijanje EJ i mase µ po jedinici dužine. Slika 4.1.1 Gredni nosač izložen transverzalnim vibracijama Zanemarujući uticaj sile inercije usled obrtanja poprečnog preseka i uticaj deformacije klizanja na savijanje, a uz pretpostavku da disipacija energije deformacije linearno zavisi od brzine deformacije, transverzalne vibracije mogu se opisati deiferencijalnom jednačinom [11], [48]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 4 4 , , , , 2 , x t x t x t x t EI EI p x t t t t x x  ∂ ν ∂ν ∂ ν ∂ ν∂ µ + βµ + α + =  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  (4.1.1) Sa graničnim uslovima koji zavise od načina oslanjanja grednog sistema, i početnim uslovima: ( ) ( ) ( ) ( )0 0,0 ; ,0v x v x v x v x= =  (4.1.2) U jednačini (4.1.1) ( )txv , je ugib u tački x i vremenu t. Opterećenje na mostu (sl.4.1.1) koje stoji (x0=const.), ili se kreće konstantnom brzinom (x0=c⋅t.), opisuje sila p(x,t), što bez uticaja njenog inercijalnog delovanja, definišemo kao determenističku poremećajnu silu. U (4.1.1) konstanta prigušenja β izražava proporcionalnost sile prigušenja sa masom µ, a α sa kurutošću EI sistema. Precizne podatke za ove konstante dobijamo eksprimentalno, na izvedenom mostu. U fazi projektovanja, međutim, usled nedostatka takvih podataka, koristimo empirijske. Dakle, tačno prigušenje pešačkog mosta biće poznato tek kad on bude sagrađen, ali i tada biće podložno promeni s vremenom. Ono zavisi od mnogo parametara kao što su : izabrani λ x=L, t=L/c v(x,t) x,t v(x,t) x=0,t=0 L p(t) x0-λ l3 EI,µ l1 l2 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 33 materijali, kompleksnost konstrukcije, tip gazišne površine, način oslanjanja i ležišta, ton oscilovanja koji se razmatra, čak i broj pešaka na mostu [35]. Rešavanje jednačine (4.1.1) vršimo primenom modalne analize, odnosno razvijanjem ( )txv , u redove po svojstvenim funkcijama Vi(x) prema relaciji: ( ) ( ) ( ), 1 v x t t V xi i i ∞ = η = ∑ (4.1.3) Ugib u i-tom tonu vibracija vi(x,t), prema (4.1.3) iznosi: ( ) ( ) ( ),v x t t V xi i i= η (4.1.4) Ako relaciju (4.1.4) pomnižimo svojstvenom funkcijom Vk(x) tona k i integralimo u granicama od 0 do L, sledi da je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , L L i k i k iv x t V x dx t V x V x dx= η ⋅∫ ∫ (4.1.5) S obzirom na ortogonalnost svojstvenih funkcija, iz (4.1.5) sledi da je: ( ) ( ) ( ) 0 1 , L i i i i t v x t V x dx H η = ∫ (4.1.6) gde je 2 0 ( ) L i iH V x dx= ∫ (4.1.7) 1iH = kada su svojstvene funkcije Vi(x) ortonormirane. Smenom v(x,t) prema (4.1.3) u (4.1.1), zatim množenjem te relacije sa Vk(x) tona k i integraljenjm svakog člana po x u granicama od 0 do L, a s obzirom na ortogonalnost svojstvenih funkcija i uvažavanje pretpostavke o uniformnoj konvergenciji reda u (4.1.3), parcijalna diferencijalna jednačina (4.1.1) može se svesti na sistem nezavisnih jednačina oblika: ( ) ( ) ( ) ( )122t t t F ti i i i ii Mi η + ξ ω η +ω η =  ( 1,..., )i = ∞ (4.1.8) Ovde je: ( )tiη − glavna koordinata i-tog tona iω − svojstvena kružna frekvencija i-tog tona ( )2 0 L i i iM H V x dx= µ = µ∫ - generalisana masa i-tog tona (4.1.9) 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 34 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 sin , , cos sin i i i i t L ti di i i i di L L ti i i i di i i di i i i di V x t v x t p u V u du e d M V x v u v u t v u V u du t V u du e H ∞ −ξ ω −τ = ∞ −ξ ω =   ω − τ = τ τ +  ω   ξ ω + + ω + ω  ω    ∑ ∫ ∫ ∑ ∫ ∫  ( ) ( ) ( ) 0 , L i iF t p x t V x dx= ∫ - generalisana sila i-tog tona (4.1.10) Relativno prigušenje ξi i-tog tona možemo prikazati relacijama (4.1.11), kojima su date tri važeće opcije, od kojih za svaku važi rešenje (4.1.14), pod uslovom da je 1iξ < . 2 2 i i i i i β ω α ξ = ω  β α + ωω (4.1.11) Nezavisnoj i –toj diferencijalnoj jednačini (4.1.8) pridružuju se odgovarajući početni uslovi i-tog tona, koji s obzirom na relacije (4.1.2), (4.1.3) i (4.1.6) glase: ( ) ( ) ( )0 0 0 10 L i i i i i t v x V x dx H η = η = = ∫ (4.1.12) ( ) ( ) ( )0 0 0 10 L i i i i i t v x V x dx H η = η = = ∫   (4.1.13) Primenom Laplasove transformacije na (4.1.8), za ξi<1, koristeći zakon adicije i teoremu konvolucije sledi da je: ( ) ( ) ( ) 0 00 0 sin1 cos sini i i i t t tdi i i i i r i i di di i di di t t F e d t t e M −ξ ω ⋅ −ξ ω ⋅ ω − τ  ξ ω ⋅η + ηη = τ τ + η ω + ω  ω ω   ∫  (4.1.14) Frekvencija ωdi slobodnih prigušenih vibracija predstavljena je relacijom (4.1.15): 21di i iω = ω −ξ ( )1iξ < (4.1.15) Zamenom (4.1.14) u (4.1.3), a saglasno sa (4.1. 10), (4.1. 12) i (4.1. 13), konačno dobijamo: (4.1.16) Rešenje (4.1.14) predstavlja najopštiji izraz za dinamički ugib grednog nosača, na osnovu kojeg se mogu analizirati različiti posebni slučajevi. Prvim članom (4.1.16) izražen je uticaj poremećajnih sila, a drugim uticaj početnih uslova. 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 35 Za slobodne prigušene vibracije, važe relacije i komentar dat za diskretne sisteme u Poglavlju 4.2.2. 4.1.2 Definisanje poremećajnih sila Analiziramo prinudne prigušene vibracije nosača (sl.4.1.2) odnosno rasponske konstrukcije pešačkog mosta konstantne mase µ i krutosti EI, preko koje se kreće kolona pešaka, ili jedan pešak. Pri tome, posmatraćemo karakteristične konstelacije pokretnog opterećenja, kao što su: nailazak, prelaženje i odlazak opterećenja, modelirani kao ravnomerno raspodeljeno. Kretanje jednog pešaka, modelira se kao koncentrisana vremenski promenljiva sila. Slika 4.1.2 Dinamički modeli oscilatornog sistema Zanemarujući inercijalno delovanje masa opterećenja, analizu vibracija sprovodimo za modele pokretnog opterećenja (sl.4.1.2), prema ralacijama: ( ) 0 sinp t q q t= + Ω (4.1.17) ( ) 0 sinP t P P t= + Ω (4.1.18) gde su q i P konstantni delovi, q0 i P0 amplitude, a Ω kružna frekvencija drugog člana opterećenja. Ovakvim tretmanom vibracija uticaj i inercijalnog delovanja mase pokretnog opterećenja, jednostavno se može uvesti za konstelaciju c (prelaženje kontinualnog opterećenja, sl.4.1.2). Pri P(t) L x=l, t=L/c p(t) ct x, t x=0, t=0 y V(x,t) a) b) c) d) e) l EI,µ l l ct ct ct-λ λ p(t) p(t) p(t) ct 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 36 tome, masu (µ) nosača treba uvećati masom pokretnog opterećenja (µq=q/g), tako da je qµ = µ +µ , što menja modalne karakteristike oscilatornog sistema, o čemu treba voditi računa. Tabela 4.1.1 Pokretno opterećenja definisano preko Hevisajdove funkcije H(x) i Dirakove funkcije δ(x). pokretno opterećenja P(x,t), p(x,t) konstelacija opterećenja koncentrisano opterećenje a ( ) ( )P t x ct⋅δ − koncentrisano opterećenje ra sp od el je no o pt er eć en je b ( ) ( )1p t H x ct⋅ − −   nailazak opterećenja c ( )p t prelaženje d ( ) ( )p t H x ct⋅ − odlaženje e ( ) ( ) ( )p t H x ct H x ct⋅ − + λ − −   prelaženje parcijalnog opterećenja 4.1.3 Rešenja za analizu odgovora konstrukcije Analiziramo prinudne prigušene vibracije nosača (sl.4.1.2), odnosno rasponske konstrukcije pešačkog mosta konstantne mase µ i krutosti EI, preko koje se kreće kolona pešaka, ili nekoliko pešak. Pri tome, posmatraćemo karakteristične konstelacije pokretnog opterećenja, kao što su: nailazak, prelaženje i odlazak kolone pešaka, modelirane kao ravnomerno raspodeljeno opterećenje. Kretanje jednog pešaka, modelira se kao koncentrisana vremenski promenljiva sila. Radi poboljšanja efikasnosti u proceduri proračuna prema softveru Mathematica, izvršena je simbolička modifikacija opšteg rešenja (4.1.16), prema sledećim relacijama koje se navode u daljem tekstu. Na osnovu principa superpozicije, dinamički ugib v(x,t) u tački nosača sa apscisom x, može se predstaviti kao zbir ugiba vi(x,t) po svim tonovima i, relacijom: ( ) ( ), , 1 v x t v x ti i ∞ = = ∑ (4.1.19) gde je ( ) ( ) ( ),v x t V x ti i i= ⋅η (4.1.20) U (4.1.20) generalisana koordinata ( )tiη saglasno opštem rešenju (4.1.14), može se izraziti relacijom: 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 37 ( ) ( ) ( )t t ti i oiη = Φ +Φ (4.1.21) U (4.1.21) funkcija ( )tiΦ izražava vremenski uticaj poremećajnih sila i definisana je relacijom (4.1.22), a funkcija ( )toiΦ izražava uticaj početnih uslova i definisana je relacijom (4.1. 22). ( ) ( ) ( )1 0 0 t Lt F J d ti i iM ci  Φ = τ ⋅ τ τ ≤ ≤   ∫ (4.1.22) U (4.1.22) Mi je generalisana masa tona i prema (4.1.9), a generalisana sila ( )Fi τ je definisana , saglasno sa (4.1.10), relacijom: ( ) ( ) ( ) 0 , L i iF p u V u duτ = τ∫ (4.1.23) Uslov da je relativno prigušenje i-tog tona uvek manje od kritičnog ( )1iξ < , na osnovu kojeg je i izvedeno opšte rešenje (4.1.16), sigurno je uvek ispunjen kada je prema relacijama (4.1.11) . . Tada je . Funkcija Ji(τ) u (4.1.22) definisana je relacijom: ( ) ( ) ( ) sin tdi i di t J e−β −τ ω − τ τ = ω (4.1.24) Uticaj početnih uslova izražava funkcija ( )0i tΦ , a definisana je relacijom: ( )0 0 sin1 cos tdii i di i i di tt A t B e t t H βωω ω − ⋅ Φ = + ≥    (4.1.25) gde su iA i iB konstante prema relacijama: ( ) ( )0 0 L i i iA v x V x dx= ⋅∫ (4.1.26) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 L i i i iB v x v x V x dxβ= ⋅ + ⋅∫  (4.1.27) Dinamički faktor Ako koncentrisanu pobuđujuću silu formulišemo (prema tabeli 4.1.1) u obliku: ( ) ( ) ( )0,P x t P f t xδ= ⋅ (4.1.28) gde je P0 – najveća vrednost (amplituda) sile 2 2 di iω = ω −βi i β ξ = ω 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 38 f(t) – funkcija vremenske promene sile δ(x) – Dirakova delta funkcija Dinamički ugib i-tog tona možemo predstaviti relacijom: ( ) ( ) ( ),,i i st iv x t v x D t= ⋅ (4.1.29) U (4.1.29), vi,st je statički ugib od P0, a Di(t) dinamički faktor prema relacijama: ( ) ( )0, 2 i i st i i P V x v x M = ω (4.1.30) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 t i i i iD t f V c J d= τ ⋅ τ ⋅ω ⋅ τ ⋅ τ∫ (4.1.31) Ako sila nije pokretna, već stoji u položaju x0, tada je u (4.1.d) ( ) ( )0 .i iV c V x constτ = = . Statički ugib i-tog tona vi,st(x) ima oblik tona i, tako da se dinamički ugib vi(x,t) uvek odvija oko statičkog ugiba i njegova veličina zavisi od dinamičkog faktora. Dakle, dinamički faktor povećava statički ugib u i-tom tonu, što je posledica dinamički, a ne statički, primenjenog opterećenja. Kada je pokretna sila konstantnog intenziteta, a stoji u položaju x0, tada se umesto ( )iJ τ u jednačini (4.1.31), uvodi ( )ipJ τ prema relaciji: ( ) sin diip di J e−βτω ττ = ω (4.1.32) Normalni i tangencijalni naponu usled delovanja dinamičkog opterećenja Za EI=const. i µ=const., moguće je prikazati i oscilograme, odnosno dinamičke uticajne linije za momente i transverzalne sile u posmatranom preseku rasponske konstrukcije. Kada su poznati ugibi v(x,t), tada momente M(x,t) i transverzalne sile T(x,t) nalazimo prema relacijama: ( ) ( ) 2 2 ,, z v M EI x x tx t ∂= − ∂ (4.1.33) ( ) ( ) 3 3 ,, z v T EI x x tx t ∂= − ∂ (4.1.34) Dalje, za poznate momente i transverzalne sile prema relacijama (4.1.33) i (4.1.34), možemo za homogene preseke (čelik, drvo, prethodno napregnuti beton), oderditi normalne napone σ(x,t) i tangencijalne napone τ(x,t), prema relacijama: ( ) ( ) ,, z M y I x tx tσ = (4.1.35) ( ) ( ) ( ) ( ) ,, z T S b x I x t xx tτ ⋅= ⋅ (4.1.36) 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 39 U (4.1.35) i (4.1.36) , y je rastojanje od težišta zone preseka, za koju se određuje napon ( ),x tσ , ( )S x statički moment i ( )b x je širina preseka sa apscisom x. Za poznate normalne napone ( ),x tσ moguće je prikazati, za homogene preseke, i dilatacije ( ),x tε prema relaciji: ( ) ( )1, , E x t x tε σ= ⋅ (4.1.37) Rešenja za ugibe, brzine, ubrzanja i napone i dilatacije nalazimo primenom programa u softeru Mathematica, a prema algoritmu DYNmi (sl.4.1.3) Slika.4.1.3 Algoritam DYNmi 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 40 4.1.3.1 Nosač sa jednim poljem Svojstvene karakteristike Za ovaj nosač su poznate svojstvene karakteristike oscilatornog sistema: ( ) sinr r xV x l π = - svojstveni oblik tona r (4.1.38) 2 2 2r r EI l π ω = µ - svojstvena frekvencija tona r (4.1.39) ( )1, 2, 3, 4,..., 0r x L= ∞ ≤ ≤ Za generalisanu masu r-tog tona važi relacija: ( )2 0 2 2 L r r L lM V x dx= µ = µ = µ∫ (4.1.40) Generalisane sile za karakteristične konstelacije pokretnih opterećenja Generalisana sila saglasno sa (4.1.23) data je relacijom: ( ) ( ) ( ) 0 , L r rF p u V u duτ = τ∫ (4.1.41) Za pokretno opterećenje definisano preko Hevisajdove i Darakove funkcije (videti tabelu 4.1.1), sračunate su sile Fr(τ) i prikazane u tabeli 4.1.2. Tabela 4.1.2 Generalisane sile za karakteristične konstelacije pokretnih opterećenja generalisana sila ( )rF τ konstelacija opterećenja ( ) sin cP rτ ω τ koncentrisana sila a ( ) ( )1 cos cl rp r − ω τ τ π nailazak kont. opt. b ( ) ( )1 cosl rp r − π τ π prelaženje kont. opt. c ( ) ( )cos coscl r rp r ω τ− π τ π odlazak kont. opt. d ( ) ( )( )cos cosc cl r rp r λω τ−ω − ω ττ π kont.opt. dužine λ e U tabeli 4.1.2 konstante cω i λω date su izrazima: c c l π ω = (4.1.42) (4.1.43) lλ πλ ω = 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 41 Analitička rešenja odgovora sistema Analitička rešenja za odgovor oscilatornog sistema za vibracije u r-tom tonu, za karakteristične konstelacije opterećenja, nalazimo po određenoj proceduri u softveru Mathematica, za generalisane sile date u tabeli 4.1.2, a preme relacijama za ugib, brzinu i ubrzanje r-tog tona : ( ) ( ) ( ) ( )( )0v x V x t tr r r r= Φ +Φ (4.1.44) ( ) ( ) ( ) ( )( )0v x V x t tr r r r= Φ +Φ  (4.1.45) ( ) ( ) ( ) ( )( )0v x V x t tr r r r= Φ +Φ  (4.1.46) Funcije ( )trΦ i ( )0 trΦ , u (4.1.44), definisane su relacijama (4.1.22) i (4.1.25). Slučaj više koncentrisanih sila na nosaču Polažaj više koncentrisanih sila na nosaču, prikazan je na sl.4.1.4 Slika 4.1.4 Dinamički model oscilatornog sistema sa više koncentrisanih sila Posmatraćemo, najpre, slučaj kada se po nosču kreće samo jedna sila, odnosno kada je 2 Lλ ≥ . Saglasno relaciji (4.1.41), generalisana sila r-tog tona se preko Dirakove delta funkcije, može izraziti relacijom: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 , L r r rF P u u ct V u du P V cτ = τ δ − = τ τ∫ (4.1.47) Uvodeći smenu za Vr(cτ) prema (4.1.38), sledi da je: ( ) ( )1 sinr cF P rτ = τ ω τ (4.1.48) U izrazu (4.1.48), konstanta cω je definisana relacijom (4.1.42). Tako, generalisana koordinata r-tog tona, za samo jednu sila na nosaču, a za nulte početne uslove, postaje: (4.1.49) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 0 sin1 sin 0 t tdr cr r r dr t Lt t P r e d t M c −β −τω − τ  η = Φ = τ ω τ τ ≤ ≤ ω  ∫ 4.Modeliranje grednih rasponskih konstrukcija i analiza vibracija indukovanih pešacima 42 Ugib usled delovanje samo jedne sile P1(t), pri nultim početnim uslovima, označićemo, za vibracije u tonu r, sa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 , rr rv x t V x t= ⋅η (4.1.50) Za slučaj kada se po nosaču kreće i druga sila P2(t), odnosno kada je λ23.5 Hz hid.izolacija + pesak 1.085 0.02480 3.500 3.30 3.37 3.43 2. 4< f 0 <3 .5 H z pu n d 0 =0 - 1.325 0.02547 3.670 3.26 3.34 3.39 Zahtevani uslov ispunjava samo presek varijante II, visine d=45 cm, i to sandučasti presek sa povećanom masom, kao i puni betonski presek. Kako su osnovne prirodne frekvencije za razmatrane marke betona II varijante sandučastog preseka sa povećanom masom i punog preseka 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 76 (tabela 5.1.1) vrlo bliske, to je sa aspekta vibracija, ali i tehnološkog aspekta izvođenja mostova, prihvatljivija varijanta punog preseka. Most sa dva jednaka polja (l=15 m) izvodi se od betona MB 35 i čelika RA 400/500-2, dok se most sa jednim poljem (otvorom), zbog statičkog graničnog stanja upotrebljivosti (prsline, deformacije-ugibi), izvodi kao prethodno napregnuta betonska konstrukcija. Jedan od ciljeva ovakve analize je bio da se ukaže na povoljnost sandučastih preseka, gde je moguće adekvatnim izborom ispune, regulisati pitanje mase oscilatornog sistema, pri istoj krutosti (EI), i time svođenje osnovne frekvencije na dozvoljen opseg. Razume se, pri tome, mora se voditi računa i o drugim uslovima, kao što su granična stanja nosivosti, upotrebljivosti (prsline i deformacije), ali i opravdanosti tehnološkog postupka samog izvođenja superstrukture mosta. 5.1.2. Poređenje rezultata analize vibracija mostova za tretman kontinualnih i diskretnih oscilatornih sistema Analiza vibracija se odnosi na pešačke mostove sa jednim i dva otvora ( sl.5.1.1 i 5.1.2), raspona polja l=15 m. Poprečni presek rasponske konstrukcije je usvojen na osnovu usklađivanja frekvencije f0 sa dozvoljenim opsegom, saglasno analizi u odeljku 5.1, kao puni betonski presek (sl.5.1.3), visine 45 cm. Za rasponske konstrukcije oba mosta važe sledeći podaci: Ax=1.325 m2 - površina poprečnog preseka Iz= 0.02547 m4 - moment inercije E= 33 MPa- modul elastičnosti betona µ=3.67 t/m – masa kontinalnog sistema mk= 3.67⋅λ= 9.175 t – koncentrisana masa diskretizovanog sistema (λ=2.5 m) 0 z 0 2 0 ω EI1πf = = = =3.34 Hz T 2π μ2l - prirodna frekvencija osnovnog (prvog) tona T0=0.2994 s – period oscilovanja osnovnog (prvog) tona ω0= 20.986 rad/s – kružna frekvencija osnovnog (prvog) tona δ=0.05 – logaritamski dekrement prigušenja vibracija za gredne betonske pešačke mostove Za rasponske konstrukcije oba mosta proverena su statička granična stanja nosivosti i upotrebljivosti (deformacije, prsline). Za granično stanje upotrebljivosti u pogledu prihvatljivosti nivoa vibracija, ispunjen je potreban uslov, pošto se prirodna frekvencija ne nalazi u nepoželjnim opsezima. Prema programu napisanom u Mathematica, a prema rešenjima datim u poglavlju 4 za kontinualne i diskretne sisteme, rezultati proračuna vibracija prikazani su oscilogramima. Za 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 77 vremenski interval od 0 do t=L/c sekundi, oscilogrami prikazuju prinudne, a nadalje slobodne vibracije 5.1.2.1 Most sa jednim otvorom L=l=15 Slika 5.1.4 Kontinualni i disketrizovan oscilatorni sistem Vektor masa: mk={4.5875,9.175,9.175,9.175,9.175,9.175,4.5875} Svojstveni vektori: V1={0.0, 0.28868, 0.500, 0.57737, 0.500, 0.28868, 0.0} V2={0.0, -0.500, -0.500, 0.00, 0.500, 0.500, 0.0} V3={0.0, 0.57735, 0.0, -0.57735, 0.0, 0.57735, 0.0} V4={0.0, 0.500, -0.500, 0.0, 0.500, -0.500, 0.0} V5={0.0, 0.28868, -0.500, 0.57735, -0.500, 0.28868, 0.0} Svojstvene frekvencije: f1=3.341; f2=13.351; f3=29.850; f4=51.813; f5=74.8074 Hz; a) b) Sl. 5.1.5 Oscilogram ugiba na polovini raspona usled kretanja jednog pešaka, simuliranog silom P(t)= 0.18sinΩt, za prvi ton: a) kontinualni sistem; b) diskretni sistem 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 78 a) b) Sl. 5.1.6 Oscilogram ubrzanja na polovini raspona usled kretanja jednog pešaka, simuliranog silom P(t)= 0.18sinΩt, za prvi ton: a) kontinualni sistem ; b) diskretni sistem a) b) Sl. 5.1.7 Oscilogram ugiba na polovini raspona usled kretanja jednog pešaka, simuliranog silom P(t)= 0.18sinΩt, za prva tri tona: a) kontinualni sistem ; b) diskretni sistem a) b) Slika 5.1.8 Oscilogram ubrzanja na polovini raspona usled kretanja jednog pešaka, simuliranog silom P(t)= 0.18sinΩt, za prva tri tona: a) kontinualni sistem ; b) diskretni sistem Oscilogrami na slikama 5.1.5 do 5.1.8 prikazuju ugibe i ubrzanja na polovini raspon (x=7.5 m), a pri rezonantnnim vibracijama usled kretanja jednog pešaka, simuliranog silom P(t)= 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 79 0.18sinΩt kN, Ω=2πfp, gde je fp= f0=3.3.4 Hz, što odgovara brzini trčanja c=09fp=3 m/s (tabela 2.1.2). Vreme prelaska opterećenja (sile) preko mosta je L/c=5 s, nakon čega nastaju slobodne vibracije. Pregledom rezultata (oscilograma) sprovedene analize, može se konstatovati da: oscilogrami ugiba i ubrzanja, kako za kontinualan, tako i za diskretan sistem su podudarni; doprinos viših tonova je zanemarljiv u odnosu na osnovni ton vibracija. Analiza vibracija za kontinualni diskretizovan sistem sprovedena je prema algoritmu DYNmi, a za diskretizovani sistem prema algoritmu DYNmk1. 5.1.2.2 Most sa dva otvora L=2l=30 m Slika 5.1.9 Kontinualni i disketrizovan oscilatorni sistem Vektor masa: mk={4.5875, 9.175, 9.175, 9.175, 9.175, 9.175, 9.175, 9.175, 9.175, 9.175, 9.175, 9.175, 4.5875}; Svojstveni vektori: V1={0.0, 0.20412, 0.35355, 0.40825, 0.35355, 0.20412, 0.0, -0.20412, -0.35355, -0.40825, -0.35355, -0.20412, 0.0}; V2={0.0, 0.25658, 0.41400, 0.41708, 0.28189, 0.09671, 0.0, 0.09671, 0.28189, 0.41708, 0.41400, 0.25658, 0.0}; V3={0.0, -0.35355, -0.35355, 0.0, 0.35355, 0.35355, 0.0, -0.35355, 0.35355, 0.0, 0.35355, 0.35355, 0.0}; V4={0.0, 0.37615, 0.28606, -0.16425, -0.43531, -0.24536, 0.0, -0.24536, -0.43531, -0.16425, 0.28606, 0.37615, 0.0}; V5={0.0, -0.40825, 0.0, 0.40825, 0.0, -0.40825, 0.0, 0.40825, 0.0, -0.40825, 0.0, 0.40825, 0.0}; Svojstvene frekvencije: f1=3.341; f2=5.102; f3=13.35; f4=16.863; f5=29.85 Hz; 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 80 a) b) Slika 5.1.10 Oscilogram ugiba na polovini prvog polja usled kretanja jednog pešaka, simuliranog silom P(t)= 0.18sinΩt, za prvi ton: a) kontinualni sistem ; b) diskretni sistem a) b) Slika 5.1.11 Oscilogram ubrzanja na polovini prvog polja usled kretanja jednog pešaka, simuliranog silom P(t)= 0.18sinΩt, za prvi ton: a) kontinualni sistem ; b) diskretni sistem Oscilogrami na slikama 5.1.10 i 5.1.11 prikazuju ugibe i ubrzanja na polovini raspona prvog polja (x=7.5 m), a pri rezonantnnim vibracijama usled kretanja jednog pešaka, simuliranog silom P(t)= 0.18sinΩt kN, Ω=2πfp, gde je fp= f0=3.3.4 Hz, što odgovara brzini trčanja c=09fp=3 m/s (tabela 2.1.2). Vreme prelaska opterećenja (sile) preko mosta je L/c=10 s, nakon čega nastaju slobodne vibracije. a) b) Slika 5.1.12 Oscilogram ugiba(a) i ubrzanja (b) na polovini raspona prvog polja usled vadalskog delovanja pešaka u trajanju od 30 s 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 81 Oscilogrami na slici 5.1.12, koji su isti i za kontinualni i za diskretizovani sistem, prikazuju ugibe i ubrzanja na polovini raspona prvog polja (x=7.5 m), a pri rezonantnnim vibracijama usled vandalskog delovanja pešaka (skakanja), mase 70 kg, simuliranog stacionarnom pulsirajućom silom P(t)= 0.7sinΩt kN, Ω=2πfp, gde je fp= f0=3.3.4 Hz. Sila deluje na polovini raspona prvog polja, i u trajanju od 30 s ugibi i ubrzanja su, praktično, već ustaljeni. Po prestanku delovanja opterećenja od 30 s, nastaju slobodne vibracije. Kao i kod sprovedene analize za most sa jednim poljem, i ovde važi ista konstatacija, odnosno da su oscilogrami ugiba i ubrzanja, kako za kontinualan, tako i za diskretan sistem podudarni. Analiza vibracija za kontinualni diskretizovan sistem sprovedena je prema algoritmu DYNmi, a za diskretizovani sistem prema algoritmu DYNmk1. 5. 2 Betonski most 5.2.1 Kratak opis konstrukcija mosta Opis se prevashodno odnosi na elemente supersktrukture mosta, relevantne za analizu vibracija. Most-pasarela (sl.5.2.1) je sa jednim otvorom raspona L=27 m i prevodi pešačku saobraćajnicu širine 2.4 m, preko autoputa. Niveleta mosta je u jednostranom padu i = 1% . Slika 5.2.1 Izgled mosta Donji stroj mosta (krajnji stubovi) su olakšane AB konstrukcije. Fundiranje je usklađeno sa geotehničkim uslovima tako da interakcija most-tlo ne utiče na vibracije gornjeg stroja. Rasponska konstrukcija se sastoji od dva montažna prethodno napregnuta nosača (sl.5.2.2), od betona marke MB 40, oslonjena na krajnje stubove preko armiranih elastomernih ležišta. Prednaprezanje jednog nosača vrši se sa dva kabla sastavljna od po 8 paralenih užadi φ15.2 mm, sa početnom silom prednaprezanja 1390 kN po kablu, i to u jednoj fazi. Povezivanje montažnih nosača vrši se betoniranjem in situ poprečnih ukrućenja postavljenih u trećinama raspona i podužnog spoja na delu gornjih flanši. Armatura ovih spojnih elemenata povezuje se ankernom armaturom iz montažnih nosača. Poprečna ukrućenja nad osloncima su debljine 20 cm, a u polju 16 cm i mase po 450 kg. Po postavljanju montažnih maski, parapeti na kojima se postavlja ograda, takođe se betoniraju in situ. Preko gornjih flanši spojenih montažnih nosača, postavlja se hidroizolacija debljine 0.5 cm, a potom vrši asfaltiranje asfaltbetonom od 3.5 cm. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 82 Poprecni presek mosta Slika 5.2.2 Poprečni presek mosta Poprecni presek montažnog nosaca u polju Poprecni presek montažnog nosaca nad osloncem Slika 5.2.2a Poprečni presek montažnog nosača u polju Slika 5.2.2b Poprečni presek montažnog nosača nad osloncem Statičkim proračunom je ustanovljeno da je izbor poprečnog preseka rasponske konstrukcije adekvatan, pošto su ispunjeni uslovi za statička granična stanja nosivosti i upotrebljivosti (prsline, deformacije-ugibi). Za granično stanje upotrebljivosti u pogledu vibracija, izborom adekvatnog preseka, odnosno krutosti EI i mase µ, ispunjen je potreban uslov da se osnovna prirodna frekvencija f0 ne nalazi u nepoželjnim opsezima. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 83 5.2.2 Analiza vibracija Analizu vibracija sprovodimo prema rešenjima iz poglavlja 4.1, za dinamički model rasponske konstrukcije prema sl. 5.2.1, a za vibracije vertikalnog pravca idukovane kretanjem pešaka, čije se delovanje modelira kao harmonijska koncentrisana sila, odnosno jednakoraspodeljeno harmonijsko opterećenje. Slika 5.2.3 Dinamički model rasponske konstrukcije Karakteristike rasponske konstrukcije: Položaj težišta poprečnog preseka : Ax= 1.0694 m2 µ=3.10 t/m Yu=0.8385 m (donja ivica preseka) Iz= 0.1881 m4 f0=3.095 Hz Y0=0.4015 m (gornja ivica preseka) Iy= 0.754 m4 ξ0=δ/(2π)=0.8% ξkr E=3.4 MPa β=2π ξ0 f0 Logaritamski decrement: δ=0.05 (za prethodno napregnute gredne betonske mostove) Za kretanja pešaka posmatramo slučaj brzog trčanja, za koji je opseg frekvencija fp od 2.7 do 3 Hz, odnosno skakanja, gde je frkvencija od 3.0 do 3.4 Hz [37]. Konstantnu brzinu (c) kretanja pešaka definišemo, zavisno od frekvencije hoda fp, sa c=0.9fp. Za fp=f0, brzina c je 2.7855 m/s, što odgovara tretiranom režimu kretanja pešaka, pošto se frekvencija f0 nalazi u opsegu frekvencija hoda fp. Vreme za koje se sila P(t) kreće po mostu je 9.693Lt c ≤ = s, nakon čega nastaju slobodne vibracije. Za posečnu težinu pešaka od 0.7 kN, prema modelu opterećenja od jednog pešaka (videti poglavje 2), sila P(t) iznosi: ( ) 0.7 0.18sinP t t= + Ω [kN] (5.2.2) 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 84 pri čemu posmatramo slučaj rezonantnih vibracija, odnosno kada je j 0 02 fΩ = ω = π⋅ . Analiziran je, takođe i odgovor konstrukcije ekstremnog slučaja, kada jedan pešak, ili grupa pešaka na sredini mosta (sinhrono i sinfazno) indukuje vibracije. Pri ovoj analizi frekvencija Ω varira od 0 do 1.5 0ω Hz, što je prkazano trodimenzionalnim oscilogramom. Odgovor konstrukcije pri rezonantnim vibracijama ( 0Ω = ω ) prikazan je dvodimenzionalnim oscilogramima. Za presek na polovini raspona, prikazani su i oscilogrami normalnih napona usled pobuđenja opisanog uz oscilograme. Od posebnog interesa je odgovor konstrukcije koji dobijamo analizom vibracija pri promenama određenih relevantnih parametra. Za takvu analizu, dinamički ugib se izražava kao funkcija više promrnljivih: ( )0, , , , , ,v v x t P P c= Ω ξ za koncentrisano opterećenje (5.2.3) ( )0, , , , , ,v v x t q q c= Ω ξ za kontinualno opterećenje (5.2.4) Rezultati sprovedene analize prikazani su oscilogramima (sl.5.2.4 do sl.5.2.17) za karakteristične slučajeve pobuđenja mosta. Slika 5.2.4 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled delovanja harmonijske sile P(t) =0.18sinΩt Slika 5.2.5 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled delovanja harmonijske sile P(t) =0.18sinΩt 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 85 Na osnovu trodimenzionalnih oscilograma (sl.5.2.4) zaključujemo da se maksimalne vrednosti ugiba i ubrzanja postižu na polovini raspona mosta, usled prelaženja jednog pešaka, čije se delovanje simulira pokretnom harmonijskom silom P(t)=0.18sinΩt, pri rezonantnim vibracijama Ω=ω0=2πf0. Za precizniji uvid, na sl.5.2.5, prikazan je dvodimenzionalni oscilogram ugiba i ubrzanja za delovanje iste harmonijske sile. U oba slučaja se pokazuje da maksimalni ugib i ubrzanje nastaju na polovini raspona mosta i da je pri tome maksimalni ugib 0.388 mm, a maksimalno ubrzanje 0.147 m/s2, što se postiže za vreme od 7.9 s, kada se sila nalazi na 22. metru, odnosno kad pređe polovinu raspona mosta za 8.5 m. Ovo se smatra posledicom relativno velike brzine kretanja sile (c=0.9 f0=2.7855 m/s). Slika 5.2.6 Oscilogrami ugiba i ubrzanja za superponiranih prvih šest tonova, usled delovanja harmonijske sile P(t) =0.18sinΩt Na slici 5.2.6 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona mosta, kada je u sintetizovanju vibracija po tonovima, sumirano prvih šest tonova. Rezulati, prema ovim oscilogramima, su gotovo identični sa rezultatima kada se analiza sprovodi samo za osnovni ton (sl.5.2.5). To pokazuje da je doprinos viših tonova zanemarljiv za kvalitativnu analizu vibracija. Iz tih razloga važeći standardi i daju preporuke za proračun približnim metodama ubrzanja pešačkih mostova samo za osnovni ton, ukoliko se ne sprovodi detaljnija dinamička analiza. Slika 5.2.7 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled delovanja harmonijske sile P(t) =3⋅0.18sinΩt 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 86 Na slici 5.2.7 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona, kada se mostom paralelno kreću tri pešaka čije delovanje simuliramo sa tri harmonijske sile (sinhrone i sinfazne), a pri rezonantnim vibracijama. Ovde se prikazuje linearnost problema, odnosno da su ugibi i ubrzanja linearno zavisni od amplitude harmonijske sile, jer su pri kretanju tri pešaka ugibi i ubrzanja tri puta veći od kretanja samo jednog pešaka. Ako bi se npr., mostom kretale dve grupe od po tri pešaka na bliskom rastojanju (npr. 1.5 m), tako bi maksimalni ugib iznosio 2.33 mm, a maksimalno ubrzanje 0.882 m/s2, što je nešto iznad dopuštenog ubrzanja amax=0.7 m/s2. Prema tome, o ovakvim mogućim konstelacijama pokretnog opterećenja mora se voditi računa, jer dovode do narušavanja graničnog stanja upotrebljivosti. Slika 5.2.8 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled kretanja sile P(t) =0.7+0.18sinΩt Oscilogrami sa slike 5.2.8 pokazuju da se ubrzanje ne razlikuje od ubrzanja kada se u analizi izostavlja konstantni deo sile P(t) (sl.5.2.5), ali da su pri tome maksimalni ugibi nešto veći, što je razumljivo zbog doprinosa statičkog ugiba od težine pešaka. Slika 5.2.9 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled nailaska kolone pešaka, modelirane jednakoraspodeljinim opterećenjem p(t) =0.7+0.18sinΩt [kN/m] Oscilogrami na slici 5.2.9 su vrlo karakteristični, jer pokazuju da se pri kretanju kolone pešaka, čije delovanje simuliramo jednakoraspodeljenim opterećenjem, maksimalni ugibi i ubrzanja se javljaju na sredini raspona mosta. Tako je maksimalni ugib 6.8 mm, a maksimalno 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 87 ubrzanje 2.34 m/s2. Ugib je manji od 10 mm, što se smatra gornjom granicom prihvatljivosti, ali ubrzanje znatno premašuje granicu dopuštenog (adop=0.7 m/s2). Ako bi ovakvo pokretno opterećenje smatrali nerealnim, tada bi tek za 1/3 njegovog intenziteta bio zadovoljen uslov da ubrzanje bude u granicama dopuštenog (a=0.78 m/s2~ adop). Opterećenje dva i po puta manje indukovalo bi ubrzanje a=0.936 m/s2, što je veće od dopuštenog. Dakle, takvo opterećenje ne bi bilo prihvatljivo, a realno je moguće. Sve ovo pokazuje da simultano kretanje pešaka na bližem rastojanju (do 1 m) i daljem (npr.2 m), smatramo kolonom pešaka, čije delovanje pri rezonantnim vibracijama može da izazove neprihvatljivo velika ubrzanja. Iz tih razloga se takvo kretanje „ne dozvoljava“, npr. kretanje kolone vojnika strojevim korakom. Slika 5.2.10 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled kretanja, dva pešaka na rastojanju 1.5 m, simuliranog silama P1(t) = P2(t) =0.7+0.18sinΩt Na slici 5.2.10 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona mosta, pri sinhronom i sinfaznom kretanju dva pešaka paralelno podužnoj osi mosta, na rastojanju 1.5 m (sl.5.2.3). Pri tome, maksimalni ugib je 0.82 mm, a maksimalno ubrzanje je 0.29 m/s2, što se ostvaruje za vreme od 8.3 s, kada se sila nalazi na 9.5 m od polovine raspona, u smeru kretanja. Slika 5.2.11 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled kretanja, dva pešaka na rastojanju 1.5 m, simuliranog silama P1(t) = 0.7+0.18sinΩt, P2(t) =0.7+0.18sin(Ω-π/2)t 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 88 Na slici 5.2.11 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona mosta, pri sinhronom kretanju sila, ali sa faznom razlikom od π/2 i na rastojanju 1.5 m (sl.5.2.3). Pri tome, maksimalni ugib je 0.447 mm, a maksimalno ubrzanje je 0.15 m/s2, što se ostvaruje za vreme od 8.6 s, kada se sila nalazi na 10.5 m od polovine raspona, u smeru kretanja. Sa oscilograma (sl.5.2.10 i sl.5.2.11) možemo zaključiti: da maksimalni ugib i ubrzanje na L/2 mosta nastaju istovremeno, ali pošto sila pređe polovinu raspona, što je uzrokovano brzinom kretanja od 2.7885 m/s; da su maksimalni ugibi i ubrzanja pri rezonantnim vibracijama za slučaj sinhronog i sinfaznog kretanja znatno veći od maksimalnih ugiba i ubrzanja za slučaj sinhronog i fazno pomerenog kretanja jedne sile u odnosu na drugu. Sve ovo ukazuje na činjenicu da kretanje jedne grupe pešaka van zone rezonantnih vibracija, amortizuje uticaje druge grupe pešaka, čije kretanje indukuje rezonantne vibracije. To ne mora da ima uticaj na stabilnost mosta, ali može da ima nepovoljne reperkusije na ostale pešake, naročito na one koji stoje. Iz tih razloga, za ocenu prihvatljivosti nivoa vibracija, odnosno graničnog stanja upotrebljivosti, važeći standardi za određivanje ubrzanja usvajaju kretanje samo jednog pešaka, čiji se delovanje simulira harmonijski promenljivom silom. Slika 5.2.12 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled namernog skakanja dva pešaka na sredini mosta, simuliranog silama P1(t) = 0.7sinΩt, P2(t) = 0.7sinΩt Na slici 5.2.12 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona, kada dva pešaka na sredini mosta namerno skokovima izazivaju rezonantne vibracije, a čije delovanje simuliramo sa dve harmonijske sile. To je tzv. vandalsko ponašanje koje je moguće, samo je pitanje koliko je realno da se skakanjem u mestu postigne izjednačavanje frekvencija podude sa osnovnom frekvencijom mosta (fp=f0). Sa oscilograma se vidi da je maksimalni ugib 5.2 mm, a maksimalno ubrzanje 2 m/s2, što se postiže već u vremenu od 20 s. Ugibi su dozvoljenom opsegu, ispod 10 mm, ali su ubrzanja neprihvatljiva. Na slici 5.2.13 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona, kada dva pešaka na sredini mosta namerno skokovima izazivaju vibracije, a čije delovanje simuliramo sa dve harmonijske sile, fazno pomerene za π/2. Pri ovom vandalskom ponašanju, maksimalni ugibi i ubrzanja su znatno manji od slučaja skakanja sa rezonantnim vibracijama (sl.5.212) i nastaju za vreme od 17s. Sa oscilograma (sl.5.2.12 i sl.5.2.13) možemo zaključiti da pri izazivanju vibracija 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 89 skokovima pešaka u mestu, maksimalni veličine ugiba i ubrzanja se postižu ako frekvencije harmonijskih sila nisu međusobno fazno pomerene, a pri rezonantnim vibracijama. Slika 5.2.13 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled namernog skakanja dva pešaka na sredini mosta, simuliranog silama P1(t) = 0.7sinΩt, P2(t) = 0.7(Ω-π/2)t Na slici 5.2.13 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona, kada dva pešaka na sredini mosta namerno skokovima izazivaju vibracije, a čije delovanje simuliramo sa dve harmonijske sile, fazno pomerene za π/2. Pri ovom vandalskom ponašanju, maksimalni ugibi i ubrzanja su znatno manji od slučaja skakanja sa rezonantnim vibracijama (sl.5.212) i nastaju za vreme od 17s. Sa oscilograma (sl.5.2.12 i sl.5.2.13) možemo zaključiti da pri izazivanju vibracija skokovima pešaka u mestu, maksimalni veličine ugiba i ubrzanja se postižu ako frekvencije harmonijskih sila nisu međusobno fazno pomerene, a pri rezonantnim vibracijama. Slika 5.2.14 Uticaj promene frekvencije pobuđujuće sile na ugib i ubrzanja rasponske konstrukcije Oscilogrami sa slike 5.2.14 ilustruju uticaj promene frekvencije Ω pokretne sile P(t) = 0.18sinΩt. Frekvencija Ω varira u granicama od 0 do 1.5ω0, odnosno do 3πf0. Pokazuje se da sa porastom frekvencije pobuđujuće sile rastu i ugibi i ubrzanja, i da se maksimalne vrednosti ovih veličina uvek ostvaruju na polovini raspona mosta, a pri rezonantnim vibracijama. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 90 Slika 5.2.15 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled delovanja sile P (t) = 0.7+0.18sinΩt, bez prigušenja Na slici 5.2.15 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona mosta, za slučaj vibracija bez prigušenja, indukovanih silom P (t)= 0.7+0.18sinΩt. Vidi se da su maksimalne vrednosti ugiba i ubrzanja uvećane u odnosu na slučaj sa prigušenjem (sl.5.2.8), kada je logaritamski dekrement δ=0.05, odnosno, relativno prigušenje osnovnog tona ξ0=0.8% od kritičnog (ξkr=1). To je dokaz da se uticaj prigušenja ne sme zanemarivati, čak i u slučaju kada je ono veoma malo (ξ<<1), naročito pri rezonantnim vibracijama. Slika 5.2.16 Oscilogrami normalnih napona (σ) u preseku na polovini raspona mosta, za slučaj pobuđenja kontinualnim opterećenjem p(t) = 0.7+0.18sinΩt Slika 5.2.17 Oscilogrami normalnih napona (σ) za superponiranih prvih šest tonova, u preseku na polovini raspona mosta, za slučaj pobuđenja kontinualnim opterećenjem p(t) = 0.7+0.18sinΩt 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 91 Oscilogrami napona (sl.5.2.17) pokazuju da se sintetizovanjem vibracija za prvih šest tonova, naponi na gornjoj i donjoj ivici preseka ne razlikuju od napona za osnovni ton (sl.5.2.16). To potvrđuje činjenicu da je doprinos viših tonova osnovnom tonu zanemarljiv, te je analiza vibracija prema osnovnom tonu, kao dominantnom,pouzdana. Oscilogrami sa sl. 5.2.16, odnosno sl.5.2.17, prikazuju vremensku promenu normalnih napona u preseku na sredini raspona mosta, usled nailaska kolone pešaka, čije se delovanje simulira jednako respodeljenim opterećenjem. Najveći naponi nastaju kada kolona stigne do kraja mosta (t=L/c=9.693 s). Maksimalni napon na gornjoj ivici preseka iznosi ±1.085 MPa, a na donjoj ivici istovremeno  2.335 MPa. Stanje napona od stalnog opterećenja mosta, u istom preseku, a u vremenu eksploatacije iznosi: za gornju ivicu 3.841 MPa, a za donju 4.916 MPa. Pri vibracijama mosta usled tertiranog opterećenja, naponi na gornjoj ivici preseka variraju od 4.9-2.8 MPa, a na donjoj ivici od 2.6-7.3 MPa, tako da je ceo presek uvek u zoni pritiska. Uz oscilogram sa slike 5.2.9, komentarisano je ovakvo pobuđenje mosta kao ekstremno i da je veličina ubrzanja neprihvatljiva. Međutim, analiza stanja napona je pokazala da takva konstelacija pokretnog opterećenja, ne utiče na stabilnost mosta. Prema BS 5400-2 [13] kada je osnovna prirodna frekvencija vertikalnog pravca 0 5f ≤ Hz, maksimalno ubrzanje bilo kog dela rasponske konstrukcije (superstrukture) pešačkog, ili biciklističkog mosta mora biti ograničeno sa max 00.5a f≤ m/s 2 (5.2.5) Za mostove sa jednim rasponom, kontunualne sa dva, ili tri polja, simetrične superstrukture, sa konstantnim poprečnim presekom i ležištima koja se mogu idealizovati kao prosti oslonci, maksimalno vertikalno ubrzanje se može odrediti po pojednostavljenom metodu, prema relaciji: 2 2 04 sa f v k= π ψ (5.2.6) gde je 0f osnovna prirodna frekvencija mosta ( u Hz), sv je statički ugib u metrima, u sredini glavnog raspona, za vertikalno koncentrisano opterećenje od 0.7 kN aplicirano na sredinu glavnog raspona, k je faktor statičkog sistema, ψ je faktor dinamičkog odgovora koji je u funkciji raspona mosta i logaritamskog dekrementa (δ). Za tretirani most je: 0 3.095f = Hz, 54.08 10sv −= × m, 1k = , 8.8ψ = . Sračunato ubrzanje iznosi a=0.136 Hz, što je manje od maksimalnog dozvoljenog ubrzanja max 0.88a = m/s 2. Prema ovom standardu kada je frekvencija 0hf horizontalnog pravca veća od 1.5 Hz, smatra se da su zahtevi u pogledu vibracija ispunjeni. Za tretirani most prirodna osnovna frekvencija horizontalnog pravca iznosi 6.196 Hz, tako da analiza lateralnih vibracija nije neophodna. Prema CAN/CSA-S6-00 [16], ukoliko se ne sprovodi potpuna dinamička analiza, a tretiraju se konstrukcije grednog sistema sa jednim, dva ili tri raspona, maksimalno vertkalno ubrzanje rasponske konstrukcije pešačkog mosta određuje se prema relacijama koje su u svemu iste kao 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 92 kod britanskog standarda. Razlika je, međutim, u maksimalnom dozvoljenom ubrzanju, koje se očitava sa dijagrama u Standardu, u funkciji frekvencije 0f . Prema ovom Standardu, za tretirani most a=0.136 m/s2, a maksimalno dozvoljeno ubrzanja iznosi max 0.603a = m/s 2. U tabeli 5.2.1 prikazani su rezultati analize vibracija mosta prema relevantnim regulativama. Tabela 5.2.1 Rezulati analize vibracija regulativa maksimalno ubrzanje a dopušteno ubrzanje adop način proračuna granično stanje upoterbljivosti m/s2 m/s2 Eurocode 1 0.147 0. 700 dinamička analiza zadovoljeno BS 5400-2 0.136 0.880 približni metod zadovoljeno CAN/CSA-S6 0.136 0.603 približni metod zadovoljeno Sprovedenom dinamičkom analizom i približnim metodama, prema navedenim regulativama, tretirani most je prihvatljiv sa aspekta graničnog stanja upotrebljivosti u pogledu vibracija. Na kraju, treba ipak naglasiti da pri analizi vibracija pešačkih mostova grednih sistema, kako za vertikalni, tako i horizontalni pravac, osim proračuna ubrzanja i deformacija rasponske konstrukcije prema važećim regulativama, treba razmotriti odgovore konstrukcije i prema drugim kriterijumima. Pri tome, misli se na kritične konstelacije pobuđujućeg opterećenja mosta, kao što su vandalska ponašanja pešaka (skakanje u mestu), ili ekstremni režimi kretanja grupe pešaka, koji pored toga što mogu narušiti granično stanje upotrebljivosti u pogledu prihvatljivosti vibracija, mogu, eventualno, dovesti u pitanje i granično stanje nosivosti mosta. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 93 5. 3 Drveni most 5.3.1 Kratak opis konstrukcija mosta Pešački most u Knjaževcu(sl.5.3.1), raspona 25 m i korisne širine 2.8 m, premošćava reku Svrljiški Timok. Projekat mosta [72] izrađen je 1990.godine u Institutu za građevinarstvo i arhitekturu, tada Građevinskog fakulteta u Nišu. Glavni i odgovorni projektant je prof.dr Dragoslav Stojić. Most je izveden 1991.godine i od tada je neprekidno u funkciji. Slika 5.3.1 Izgled mosta Most se sastoji od dva glavna podužna nosača od lepljenog lameliranog drveta, konstantne širine 18 cm i promenljive visine od 130cm u sredini, do 160 cm prema krajevima (sl. 5.3.2 i 5.3.3 ). 216.80 25 m Slika 5.3.2 Dispozicija mosta-podužni presek po niveleti Gornja ivica glavnih nosača je u vidu izlomljene prave linije, a donja (intrados) mosta, u vidu prave linije u središnjem delu i krive linije (deo kruga r=20m) u krajnjim delovima mosta (sl.5.3.2). 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 94 18 18 150 150 318 8 13 0 40 25 8 57 28 12 48 8 97 Podna konstrukcija Popreèni (sekundarni) nosaè Podužni (tercijalni) nosaè Spreg Podužni nosaè Glavni nosaèGlavni nosaè Ograda mosta Podužni nosaè 10 12 100 x 60 Slika 5.3.3 Poprečni presek mosta na L/2 Glavni podužni nosači su povezani poprečnim nosačima (b/h=12/48cm) na razmaku 3.125m i imaju ulogu prenošenja opterećenja od sekundarnih podužnih nosača (b/h=8/36cm), raspona 3.125m, postavljenih po sredini mosta, između glavnih podužnih nosača. Podna konstrukcija je od talpi debljine 8 cm (slike 5.3.2, 5.3.4 i 5.3.5 ) , koje su postavljene upravno na osu mosta i oslanjaju se na glavne i sekundarne podužne nosače. 12.5 m12.5 m Slika 5.3.4 Osnova mosta Veza poprečnih nosača sa glavnim, kao i sekundarnih podužnih sa poprečnim, izvedena je preko čeličnih papuča i zavrtnjeva. Uloga poprečnih nosača ja da sa čeličnim spregovima (φ25mm) (sl.5.3.4), postavljenim u svakom polju između njih, obrazuju prostorno stabilan sistem. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 95 Slika 5.3.5 Pogled na gazište mosta Niveleta mosta (gazišta) je kvadratna parabola sa strelom 1.1m (sl.5.3.2). Oslanjanje rasponske konstrukcije na obalne stubove izvršeno je preko elastomernih ležišta. Obalni stubovi su projektovani kao olakšane armiranobetonske konstrukcije. Za analizu vibracija, inetarkcija most-tlo nije od značaja. 5.3.2 Analiza vibracija Slika 5.3.6 Dinamički model gornjeg stoja mosta za tretman linijskog sistema u ravni 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 96 Analizu vibracija sprovodimo prema rešenjima iz poglavlja 4.1, za dinamički model rasponske konstrukcije prema sl. 5.3.6, a za vibracije vertikalnog pravca idukovane kretanjem pešaka, čije se delovanje modelira kao harmonijska koncentrisana sila, odnosno jednakoraspodeljeno harmonijsko opterećenje. Slika 5.3.7 Dinamički model gornjeg stoja mosta za tretman prostornog linijskog sistema Statički sistem mosta je dvozglobni luk sa strelom f=1.75 m, tako da je stinjenost f/L=1/14. Smelost tretirani luka iznosi l2/f=44, što ga čini relativno plitkim i veoma osetljivim na razmicanje oslonaca. Razmicanje je moguće usled eventualnog popuštanja (deformacija) elastomernih ležišta, malih horizontalnih pomeranja usled rotacije obalnih stubova izloženih stalnom delovanju sile potiska, posledica zemljotresa, i drugih okolnosti. Uticaj tih mogućih razmicanja na ugibe, povećanje perioda sopstvenih vibracija, odnosno smanjenje svojstvenih frekvencija, zatim smanjenje sile potiska, prikazani su na sl.5.3.8. Sa ove slike vidi se da, za razmicanje oslonaca od 18 mm, sistem se oslobađa sile potiska od sopstvene težine ( Hg), a osnovna prirodna frekvencija f0 se smanjuje od 8.137 do 2.674 Hz. Slika 5.3.7 Gornji stroj mosta modeliran konačnim elementima 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 97 Prema veličini ovih frekvencija, f0 za vertikalni, kao i f0h za horizontalni pravac, uz uvažavanje kriterijuma postojećih standarda (tabela 5.3.3), most ispunjava potrebne uslove graničnog stanja upotrebljivosti u pogledu vibracija. Međutim, zbog navedenih eventualnih razmicanja oslonaca, a pri tome brzog smanjenja svojstvenih frekvencija, i pri malim horizontalnim pomeranjima, dinamička analiza dobija na značaju. Celishodno je da se takva analiza sprovede za granične konfiguracije sistema, kada oslonci prihvataju celokupnu silu potiska H=Hg+Hp (sistema sa nepomerljivim osloncima– označen kao sistem A) i kada se Hg izgubi, pa sistem prima samo silu potiska od pokretnog opterećenja H=Hp (sistema sa pomerljivim osloncima– označen kao sistem B). Takva analiza je sprovedena za karakteristična kretanja pešaka, a za dinamičke modele sa koncentrisanim masama i ekvivalentne modele sa konstantnim krutostima EI i masom µ duž raspona mosta. Ekvivalentni modeli kontinualnih sistema odgovarajući su za osnovni ton, mada se model sistema bez horizontalnog potiska Hg može koristiti i za prva dva tona (tabela 5.3.2). Važno je naglasiti da je za formiranje dvozglobnog luka, sa horizontalnim potiskom H=Hg+Hp, projektant predvideo da se u fazi montaže izvrši prednaprezanje glavnih nosača, uvođenjem (hidraulčkim presama) horizontalne sile potiska, nakon čega su fiksirana ležišta [103]. Tako je sistem zakrivljenog slobodno oslonjenog grednog nosača, sveden na sistem dvozglobnog luka (sistem A). Da su ležišta fiksirana bez prednaprezanja glavnih nosača, zatvoreni sistem konstrukcija mosta bi imao efekte luka na dva zgloba, za sva opterećenja, osim sopstvene težine (Sistem B). U tabeli 5.3.1, prikazani naponi i deformacije (ugibi) na L/2 raspona glavnog nosača za statičko delovanje opterećenja g i p, su manji od dopuštenih, što znači da je most funkcionalan, kako pri konfiguraciji sistema A, tako i pri svim mogućim konfiguracijama, zaključno sa konfiguracijom sistema B. Kontrola normalnih napona i ugiba glavnog nosača na L/2 za statičko delovanje opterećenja g i p Dužina izvijanja u ravni luka: li=0.625L=0.625⋅5.24=15.875 m Vitkost nosača: λ=3.46⋅15.875/1.30=42.30 Koficijent izvijanja: 2 1 1.167 42.31 0.8 100 ω = =  −     Koeficijent redukcije dopuštenih napona, za vlažnost drveta u eksploataciji do 25%, iznosi: Kw=0.8 za pritisak, smicanje i zatezanje upravno na vlakna Kw=0.9 za savijanje i zatezanje 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 98 14 MPa 11 MPa md c d c d c x z md N M y A I σ = σ = σ σ = ω + ⋅ ⋅ σ    p=5.5 -0.05L=4.125 kN/m2 – opterećenje od pešaka Za poprečni presek nosača na L/2 (b/h=18/130 cm): 2 4 0.234 m 0.032956 m 0.65 m...gornja ivica preseka 0.65 m...donja ivica preseka 11 9.9 MPa x z o u c dop w A I y y K = = = = − σ = ⋅ = Dozvoljeni ugib temena nosača: 325 10 62.5 mm 400 400dop LY∆ = = = Tabela 5.3.1 Stanje normalnih napona i ugiba na L/2 raspona glavnog nosača za statičko delovanje opterećenja g i p opterećenje maxM maxN σIIo σIIu ∆X ∆Y kNm kN MPa MPa mm mm Sistem A (horizontalni potisak H=Hg+Hp) g 103/2 232/2 1.38 -0.22 0 5.0 p 205/2 452/2 2.72 -0.46 0 9.9 Σ 308/2 684/2 4.10 -0.68 0 14.9 Sistem B (horizontalni potisak H= Hp, Hg=0) g 509/2 0 3.94 -3.94 18 44.8 p 205/2 452/2 2.72 -0.46 0 9.9 Σ 714/2 452/2 6.66 -4.40 18 54.7 ║ c║ c║d c║dop 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 99 Tabela 5.3.2 Dinamički modeli mosta za diskretni i ekvivalentni sistem Dinamički model mosta diskretni sistem ekvivalentan kontinualni sistem važi za sve tonove (7) važi za osnovni ton (1) sistem A (Hg+ Hp) sistem B (Hg=0) za sistem A za sistem B E 11 MPa 11 MPa 11 MPa 11 MPa Iz Iz(x) Iz(x) 0.625 m4 0.0675 m4 µ µ(x) µ(x) 0.656 t/m 0.656 t/m f0 8.1367 Hz 2.674 Hz 8.1367 Hz 2.674 Hz f2 10.030 Hz 10.030 Hz - 10.70 Hz f3 24.038 Hz 19.417 Hz - 24.07 Hz Hg 232 kN 0.0 - - Rvg 82 kN 82 kN 82 kN 82 kN ∆gx 0.0 18.0 mm - - ∆gy 5.0 mm 44.9 mm 4.853 mm 44.937 mm Treba naglasiti da lučni sistemi imaju svoje specifičnosti u pogledu vibracija. U odnosu na gredne sisteme, kod lučnih linijskih sistema u ravni, diskretizovanih konačnim brojem koncentrisanih masa, svaka masa ima dva stepena slobode. Pri tome, zanemaren je efekat inercije rotacije poprečnih preseka luka, odnosno koncentrisanih masa. Kod veoma plitkih lukova, za analizu vibracija vertikalnog pravca, može se primeniti metodologija za gredene sisteme, izložena u poglavlju 4. Tabela 5.3.3 Prirodne frekvencije slobodnih vibracija gornjeg stroja mosta ton 1 2 3 4 5 6 7 pravac slobodnih vibracija Sistem A (horizontalni potisak H=Hg) fy Hz 8.14 10.03 24.04 29.15 38.61 46.06 50.25 vertikalni Y fz Hz 13.11 23.15 44.44 62.50 74.63 85.47 94.34 horizontalni Z fx Hz 22.98 57.80 71.43 72.99 108.67 121.95 131.58 horizontalni X Sistem B (horizontalni potisak Hg=0) fy Hz 2.67 10.03 19.42 29.15 38.61 46.08 50.0 vertikalni Y fz Hz 7.84 20.32 43.29 62.11 74.63 85.47 94.34 horizontalni Z fx Hz 8.71 51.28 64.52 69.93 100.00 101.01 123.456 horizontalni X 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 100 Za tretman linijskog sistema u ravni, luk je diskretizovan sa 9, od čega 7 aktvnih masa (sl.5.3.6), a za tretman prostornog linijskog sistema (sl.5.3.7), sa 2⋅7=14 aktivnih koncentrisanih masa, lociranih na glavnim nosačima, u čvorivima na vezi sa poprečnim nosačima. Slika 5.3.8 Zavisnost ugiba temena nosača (∆Y), razmicanja oslonaca(∆X) i osnovne prirodne frekvencije (f0) u funkciji horizontalnog potiska od stalnog opterećenja (Hg) Sistem A (horizontalni potisak H=Hg+Hp) Vektor masa { }1,2.1,2.1,2.0,2.0,2.0,2.1,2.1,1m = Svojstveni vektori za prva tri tona vertiklanih vibracija: { } { } { } 1 2 3 0.0,0.06763,0.25092,0.49817,0.60710,0.49817,0.25092,0.06763,0.0 0.0,0.37596,0.49216,0.36005,0.0,0.36005,0.49216,0.37596,0.0 0.0, 0.50826, 0.40914,0.05969,0.37606,0.05969, 0.40914, 0.50826,0.0 V V V = = = − − − − Svojstvene frekvencije date su u tabeli 5.3.3. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 101 Dopušteno ubrzanje perema Eurocode 1 [26] je manja vrednost od 0.7 m/s2 i 0 20.5 1.43 dop ma f s = = , dok je prema Eurocode 5 [28] dopušteno ubrzanje samo 0.7 m/s2. Logaritamski dekrement je δ=0.02 (za drvene mostove od lepljenog lameliranog drveta), odnosno relativno prigušenje osnovnog tona ξ0=0.3% od ξkr=1. Sistem B (horizontalni potisak Hg=0) Vektor masa { }1,2.1,2.1,2.0,2.0,2.0,2.1,2.1,1m = Svojstveni vektori za prva tri tona vertiklanih vibracija: { } { } 1 2 3 0.0,0.18933,0.34915,0.46365,0.50452,0.46365,0.34915,0.18933,0.0 0.0,0.35796,0.49217,0.36005,0.0, 0.36005, 0.49217, 0.35796,0.0 0.0, 0.47010, 0.33754,0.19362,0.50513,0.19362, 0.33754, 0.47010,0. V V V = = − − − = − − − −{ }0 Svojstvene frekvencije date su u tabeli 5.3.3. Dopušteno ubrzanje perema Eurocode 1 [26] je manja vrednost od 0.7 m/s2 i 0 20.5 0.82 dop ma f s = = , dok je prema Eurocode 5 [28] dopušteno ubrzanje samo 0.7 m/s2. Logaritamski dekrement je δ=0.02, odnosno relativno prigušenje osnovnog tona ξ0=0.3% od ξkr=1. Rezultati sprovedene analize za sistem B prikazani su oscilogramima (sl.5.3.9 do sl.5.3.17) za karakteristične slučajeve pobuđenja mosta. Slika 5.3.9 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled delovanja sile P (t) = 0.18sinΩt, bez prigušenja Na slici 5.3.9 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona mosta, za slučaj vibracija bez prigušenja, indukovanih silom P(t)= 0.18sinΩt (model opterećenja od jednog pešaka, videti poglavlje 2), pri brzini kretanja c=0.9f0=2.4 m/s. Vidi se da su maksimalne vrednosti ugiba i ubrzanja uvećane u odnosu na slučaj sa prigušenjem (sl.5.3.10), kada je logaritamski dekrement δ=0.02, odnosno, relativno prigušenje osnovnog tona ξ0=0.3% od 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 102 kritičnog (ξkr=1). To je dokaz da se uticaj prigušenja ne sme zanemarivati, čak i u slučaju kada je ono veoma malo (ξ<<1), naročito pri rezonantnim vibracijama. Slika 5.3.10 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled delovanja sile P(t) =0.18sinΩt Na slici 5.3.10 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja za delovanje usled prelaženja jednog pešaka, čije se delovanje simulira pokretnom harmonijskom silom P(t)=0.18sinΩt, pri rezonantnim vibracijama Ω=ω0=2πf0. Prigušenje vibracija uvedeno je preko empirijkog logaritamskog dekrementa δ=0.02, za drvene mostove. Maksimalni ugib i ubrzanje su na polovini raspona mosta i iznose 2.132 mm, a maksimalno ubrzanje 0.59 m/s2, što se postiže za vreme od 7.8 s, kada se sila nalazi na 18.77 m, odnosno kad pređe polovinu raspona mosta za 6.27 m. Ovo se smatra posledicom relativno velike brzine kretanja sile (c=0.9f0=2.4 m/s). Slika 5.3.11 Oscilogrami ugiba i ubrzanja za superponirana prva tri tona, usled delovanja harmonijske sile P(t) =0.18sinΩt Na slici 5.3.11 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona mosta, kada je u sintetizovanju vibracija po tonovima, sumirano prva tri tona. Rezulati, prema ovim oscilogramima, su gotovo identični sa rezultatima kada se analiza sprovodi samo za osnovni ton (sl.5.3.10). To pokazuje da je doprinos viših tonova zanemarljiv za kvalitativnu analizu vibracija. Iz tih razloga važeći standardi i daju preporuke za proračun približnim metodama ubrzanja pešačkih mostova samo za osnovni ton, ukoliko se ne sprovodi detaljnija dinamička analiza. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 103 Slika 5.3.12 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled kretanja sile P(t) =0.7+0.18sinΩt Oscilogrami sa slike 5.3.12 pokazuju da se ubrzanje ne razlikuje od ubrzanja kada se u analizi izostavlja konstantni deo sile P(t) (sl.5.3.10), ali da su pri tome maksimalni ugibi nešto veći, što je razumljivo zbog doprinosa statičkog ugiba od težine pešaka. Slika 5.3.13 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled kretanja sile P(t) =0.7+0.18sinΩt Na slici 5.3.13 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona mosta, pri sinhronom i sinfaznom kretanju dva pešaka paralelno podužnoj osi mosta, na rastojanju 1.5 m. Pri tome, maksimalni ugib je 4.75 mm, a maksimalno ubrzanje je 1.18 m/s2, što se ostvaruje za vreme od 7.8 s, kada se sila nalazi na 6.27 m od polovine raspona, u smeru kretanja. Ovaj režim kretanja pešaka, gde je brzina kretanja c=0.9f0=2.40 m/s i Ω=2π f0, izaziva ubrzanje na polovini rasponske konstrukcije nešto veće od dopuštenog. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 104 Slika 5.3.14 Oscilogrami ugiba i ubrzanja na L/2, usled skoka jednog pešaka P=0.7 kN Oscilogrami na slici 5.3.14 se odnose na skok jednog pešaka, mase 70 kg, na polovini raspona mosta. Pretpostavljeni su nulti početni uslovi, odnosno da je sila naglo aplicirana, pošto je statički ugib usled datog opterećenja samo 0.3 mm. Maksimalni ugib iznosi 0.6 mm, a maksimalno ubrzanje 0.084 m/s2, što je mnogo manje od dopuštenog. Maksimalno dopušteno ubrzanje konstrukcije postiglo bi se pri istovremenomi skoku osam pešaka, ukupne mase 560 kg. Slika 5.3.15 Oscilogrami ugiba i ubrzanja na L/2, usled skoka četiri pešaka P=4⋅0.7 kN Oscilogrami na slici 5.3.15 se odnosei na istovremeni skok četiri pešaka, prosečne mase od po 70 kg, na polovini raspona mosta. Pretpostavljeni su nulti početni uslovi, odnosno da je sila naglo aplicirana, na nedeformisanom sistemu. Maksimalni ugib iznosi 2.4 mm, a maksimalno ubrzanje 0.336 m/s2, što je četiri puta veće od ugiba i ubrzanja usled skoka jednog pešaka. Ovim je pokazana linearnost problema u odnosu na intenzitet dinamički nanete sile. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 105 Slika 5.3.16 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled namernog skakanja jednog pešaka na sredini mosta, simuliranog silom P (t) = 0.7sinΩt Na slici 5.3.16 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja na polovini raspona, kada jedan pešaka na sredini mosta namerno skokovima izaziva vibracije, a čije delovanje simuliramo harmonijskom silom u trajanju od 25 s, nakon čega nastaju slobodne vibracije. To je tzv. vandalsko ponašanje koje je moguće, samo je pitanje koliko je realno da se skakanjem u mestu postige izjednačavanje frekvencija pobude sa osnovnom frekvencijom mosta (fp=f0). Oscilogram se odnosi na frekvenciju harmonijske sile Ω=2π fp, gde je fp=2 Hz (frekvenciju skoka pešaka). Sa oscilograma se vidi da je maksimalni ugib 1.15 mm, a maksimalno ubrzanje 0.24 m/s2. Maksimalno dopušteno ubrzanje konstrukcije postiglo bi se tek pri sinhrinom i sinfaznog skakanju tri pešaka, ukupne mase 210 kg. Slika 5.3.17 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled nailaska kolone pešaka, modelirane jednakoraspodeljinim opterećenjem p(t) =0. 4+0.035sinΩt [kN/m2] Oscilogrami na slici 5.3.17 prikazuju ugibe i ubrzanja na sredini raspona mosta, pri rezonantnim vibracijama, usled kretanja kolone pešaka, čije delovanje simuliramo jednakoraspodeljenim opterećenjem, prema modelu opterećenja za kolonu pešaka, za prosečnih 0.6 pešaka/m2, sa frekvencijom od Ω=2πf0. Maksimalni ugibi i ubrzanja se javljaju kada kolona pešaka stigne do kraja mosta i zaustavi se, posle čega nastaju slobodne vibracije. Tako je maksimalni ugib 8.4 mm 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 106 (vstat=2.7 mm), a maksimalno ubrzanje 1.55 m/s2. Ugib je manji od 10 mm, što se smatra gornjom granicom prihvatljivosti, ali ubrzanje znatno premašuje granicu dopuštenog (adop=0.82 m/s2). Ovakav režim kretanja je moguć, ali malo verovatan, jer podrazumeva veoma visok stepen sinhronizacije kretanja (trčanja) pešaka u koloni (kv(f0)=2.8), i to sa frekvencijom hoda fp=f0, a pri bzini od c=0.9 f0=2.4 m/s. Slika 5.3.18 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled nailaska kolone pešaka, modelirane jednakoraspodeljinim opterećenjem p(t) =0.7+0.18sin2πfp t Na slici 5.3.18 prikzani su (za sistem A) oscilogrami ugiba i ubrzanja na sredini raspona mosta, pri vibracijama, usled kretanja kolone pešaka, čije delovanje simuliramo jednakoraspodeljenim opterećenjem p(t) =0.7+0.18sinΩt, sa frekvencijom hoda fp=4 Hz i brzinom hoda (trčanja) c=0.9 fp=3.6 m/s. Maksimalni ugibi od 0.7 mm i maksimalno ubrzanje od 0.11 m/s2, javljaju se kada kolona pešaka stigne do kraja mosta i zaustavi se, posle čega nastaju slobodne vibracije. Ugibi i ubrzanja su u dopuštenim granicama. Most sistema A je u potpunosti prihvatljiv sa aspekta graničnog stanja upotrebljivosti u pogledu vibracija, s obzirom da su mu osnovne frekvencija vertikalnog pravca f0v=8.14 Hz, horizonzontalnog bočnog Z pravca f0h=13.11 Hz, vrlo visoke i time premašuje nepoželjne opsege. Detaljnija dinamička analiza u tom slučaju nije neophodna. Sprovedenom dinamičkom analizom prema poglavlju 4, tretirani most (sistema B) je prihvatljiv sa aspekta graničnog stanja upotrebljivosti u pogledu vibracija, izuzimajući ektremne režime kretanja grupe pešaka i vandalska ponašanja (npr.skakanje u mestu), što najčešće predstavlja kratkotrajno delovanjnje koje ne utiče na granično stanje nosivosti mosta. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 107 5.4 Spregnuti most 5.4.1 Kratak opis konstrukcija mosta Idejno rešenje, Idejni i Glavni projekat pešačkog mosta preko reke Nišave u Nišu [33], urađeni su u Institutu GAF-a Niš. Most je izveden 2003. godine, a glavni i odgovorni projektant je Prof. dr Novak Spasojević [69], [70]. Slika 5.4.1 Pogled na most Slika 5.4.2 Pogled na most sa nizvodne strane Most je projektovan, saglasno zadatim uslovima i usvojenoj koncepciji montažne gradnje gornjeg stroja, sa dva otvora, raspona 14.00 + 56.00 = 70.00 metara (sl.5.4.3). Ukupna dužina mosta, zajedno sa krilnim zidovima, iznosi 78 metara. Gornji stroj mosta je koncipiran kao spregnuta konstrukcija (beton-čelik) sa kosim kablovima (zategama) i jednim pilonom postavljenim na inundaciji leve obale. Slika 5.4.3 Dispozicija mosta – podužni presek [33] 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 108 Pored udovoljavanja funkcionalnim zahtevima, strogim uslovima vibracija kao i stabilnosti, naročito je insistirano na estetici mosta, odnosno njegovoj atraktivnosti, s obzirom da se radi o gradskom pešačkom mostu. Slika 5.4.4 Poprečni presek mosta [33] Rasponska konstrukcija je koncipirana sa četiri glavna čelična nosača, spregnuta sa kolovoznom pločom, prosečne debljine 14.0 cm. Svi glavni nosači su istog poprečnog preseka, konstantne visine h = 736 mm, i dimenzija elemenata: donja flanša 20/300 mm, rebro 10/700mm i gornja flanša 16/200 mm (sl.5.4.4). Glavni nosači su povezani poprečnim nosačima i to: glavnim poprečnim nosačima na 14 m, osim kod pilona i nad desnim obalnim stubom, i sekundarnim poprečnim nosačima između ovih, na razmaku od 3.5 m. Glavni poprečni nosači su sandučastog poprečnog preseka, dimenzija elemenata: donja flanša 20/700 mm, rebra 10/720 mm i gornja flanša 16/700 mm. Na krajevima glavnih poprečnih nosača, dužine 4.5 m, postavljena su kućišta za ankerovanje kosih kablova. Sekundarni poprečni nosači su takođe konstantnog poprečnog preseka, dimenzija elemenata: donja flanša 16/200 mm, rebro 10/700 mm i gornja flanša 16/200 mm Na delu levog obalnog stuba razmak poprečnih nasača je progušćen i na njihovim krajevima su postavljena zajednička kućišta za ankerovanja baterije kablova. Rasponska konstrukcija na levom obalnom stubu ima nepokretne oslonce (nepokretna čelična ležišta za prijem negativne vertikalne reakcije), dok se na pilon i desni obalni stub oslanja preko elastomernih ležišta pokretnih u pravcu ose mosta. Pilon, koji se ovde tretira kao konstrukcijski element superstrukture mosta, postavljen je na levoj inundaciji na 14.0 m od levog obalnog stuba. Pilon je ukupne visine 20.443 m (sl 5.4.5). 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 109 Slika 5.4.5 Pogled na pilon mosta sa uzvodne strane Zatege su izvedu od kosih kablova sistema prednaprezanja SPB SUPER, formiranih od 12 paralelnih sedmožilnih užadi nominalnog prečnika 16 mm. U rasponsku konstrukciju kablovi se sidre pomoću pokretnih (podešavajućih) kotvi, a u pilon fiksnim kotvama. Kolovozna ploča (MB 40) je promenljive debljine: 12.0 cm po osi mosta i 16.0 cm na krajevima. Sprezanje betonske ploče i čeličnih nosača izvršeno je vitkim moždanicima tipa čep sa glavom. Na gazištu širine 4.0 m, preko hidroizolacije, postavljen je valjani asfaltbeton. Donji stroj mosta čine dva obalna stuba i temelj pilona. Fundiranje pilona je izvršeno na dva HW šipa φ 1200 mm i dužine 22.0 m, povezana u vrhu naglavnom gredom. Desni obalni stub je koncipiran kao olakšana armiranobetonska konstrukcija, a fundiranje je izvršeno na dva HW šipa, prečnika φ1200 mm i dužine po 10.0 m. Levi obalni stub je koncipiran kao i desni, ali je zbog negativnih vertikalnih reakcija gornjeg stroja fundiran na masivnom temelju. Za analizu vibracija, inetarkcija most-tlo nije od značaja[33]. 5.4.2 Analiza vibracija Analizu vibracija sprovodimo prema rešenjima iz poglavlja 4.1, za dinamički model gornjeg stroja mosta prema slikama 5.4.6, 5.4.7, 5.4.8 i 5.4.9 a za vibracije idukovane kretanjem pešaka, čije se delovanje modelira kao harmonijska koncentrisana sila, odnosno jednakoraspodeljeno harmonijsko opterećenje. Za tretman linijskog sistema u ravni (sl.5.4.6), rasponska konstrukcija je diskretizovana sa 11, od čega 9 aktivnih masa, a pilon sa dve koncentrisane mase. Za tretman prostornog linijskog 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 110 sistema, rasponska konstrukcija je diskretizovana sa 2⋅9=18 aktivnih koncentrisanih masa, a pilon sa 4, dve u vrhu pilona (m=5 t) i dve ispod rasponske konstrukcije (m=4.1t). Slika 5.4.6 Dinamički model gornjeg stroja mosta za tretmen linijskog sistema u ravni Slika 5.4.7 Dinamički model gornjeg stroja mosta za tretman prostornog linijskog sistema 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 111 Slika 5.4.8 Gornji stroj mosta modeliran konačnim elementima Tabela 5.4.1 Prirodne frekvencije slobodnih vibracija gornjeg stroja mosta za t=t0 (28 dana) ton 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pravac slobodnih vibracija fy Hz 1.396 3.32 5.77 9.15 11.68 14.71 19.38 23.36 32.26 vertikalni Y fz Hz 3.40 7.06 10.93 19.23 26.04 35.33 43.86 53.19 60.24 horizontalni Z fx Hz 10.92 13.77 32.05 33.11 37.31 38.91 41.15 45.45 56.50 horizontalni X Tabela 5.4.2 Prirodne frekvencije slobodnih vertikalnih vibracija gornjeg stroja mosta za t=tn ton 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pravac slobodnih vibracija fy Hz 1.35 3.18 5.44 8.52 10.92 13.72 18.08 21.74 30.30 vertikalni Y Svojstveni vektori za prva tri tona vertiklanih vibracija: { }1 -0.02178, 0.00083, 0.06595, 0.17898, 0.33405, 0.47533, 0.54859, 0.49010, 0.29052, 0.00083, 0.00752V = { }2 0.07545, 0.00138, 0.24739, 0.46928, 0.52812, 0.27529, 0.15310, 0.44171, 0.37357, 0.00137, 0.00886V = − − − − − − − { }3 0.19239, 0.00196, 0.47450, 0.48367, 0.02098, 0.44377, 0.27012, 0.25432, 0.41089, 0.00195, 0.00681V = − − − − − − − 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 112 Slika 5.4.9 Prva tri tona oscolovanja Vektor masa { }36.8,20.2,20.2,20.2,23.4,20.2,23.4,20.2, 23.4,20.2,11.0m = Svojstvene frekvencije date su u tabeli 5.4.1. Logaritamski dekrement je δ=0.04 (za gredne spregnute mostove, čelik-beton), odnosno relativno prigušenje osnovnog tona ξ0=0.6% od ξkr=1. µ=3.40 t/m (prosečno) f0=1.396 Hz ξ0=δ/(2π)=0.6% ξkr β=2π ξ0 f0 Dopušteno ubrzanje iznosi: 0 20.5 0.59 dop ma f s = = 5.4.2.1 Opterećenje od pešaka Slika 5.4.9 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled delovanja sile P (t) = 0.18sin(2πf0t) 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 113 Na slici 5.4.9 prikazani su trodimenzionalni oscilogrami ugiba i ubrzanja duž raspona mosta, za slučaj vertikalnih vibracija sa prigušenjem, indukovanih silom P(t)= 0.18sin(2πf0t). Pri rezonantnim vibracijama, kada je frekvencija hoda fp= f0=1.396 Hz, a brzina kretanja c=0.9fp=1.2564 m/s, maksimalni ugib i ubrzanje nastaju u preseku x=52 m, a u vremenu t=50 s, kada se sila nalazi na x=c⋅t=62.82 m. Maksimalni ugib iznosi 1.58 mm, a ubrzanje 0.121 m/s2. Slika 5.4.10 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled delovanja sile P(t) =0.18sinΩt Na slici 5.4.10 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja u kritičnom preseku x=52 m, za slučaj vertikalnih vibracija usled istog delovanja kao za oscilograme na sl.5.4.9. Maksimalni ugib iznosi 1.58 mm, a ubrzanje 0.121 m/s2, što su postiže u vremenu od 50 s. Slika 5.4.11 Oscilogrami ugiba i ubrzanja za superponirana prva tri tona, usled delovanja harmonijske sile P(t) =0.18sinΩt Na slici 5.4.11 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja u kritičnom preseku x=52 m, za slučaj vertikalnih vibracija usled istog delovanja kao za oscilograme na sl.5.4.9, odnosno sl.5.4.10, pri čemu su sumirane vibracije za prva tri tona. Rezulati, prema ovim oscilogramima, su gotovo identični sa rezultatima kada se analiza sprovodi samo za osnovni ton (sl.5.4.10). 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 114 Slika 5.4.12 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled usled delovanja harmonijske sile P(t) =0.18sinΩt, bez prigušenja Na slici 5.4.12 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja u kritičnom preseku x=52 m, za slučaj vertikalnih vibracija usled istog delovanja kao za oscilograme na sl.5.4.9, bez prigušenja. Maksimalni ugibi ubrzanja su uvćeni u odnosu na isti slučaj bez prigušenja, što ukazuje da se uticaj prigušenja ne treba zanemariti, čak i kada je ono veoma malo, pogotovu pri rezonantnim vibracijama. Slika 5.4.13 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled kretanja sile P(t) =0.18sinΩt, pri frekvenciji hoda fp=1 Hz, Ω=2πfp Na slici 5.4.13 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja u preseku x=52 m, za slučaj vertikalnih vibracija sa prigušenjem, indukovanih silom P(t)= 0.18sin(2πf0t). Pri vibracijama, kada je frekvencija hoda fp= 1 Hz, a brzina kretanja c=0.9fp=0.9 m/s, maksimalni ugib i ubrzanje nastaju u preseku x=52 m, kada se sila nalazi na x=c⋅t=56 m. Maksimalni ugib iznosi 0.06 mm, a ubrzanje 0.024 m/s2. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 115 Slika 5.4.14 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled kretanja sile P(t) =0.18sinΩt, pri frekvenciji hoda fp=1 Hz, Ω=2πfp, bez prigušenja Na slici 5.4.14 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja u preseku x=52 m, za slučaj vertikalnih vibracija bez prigušenja, indukovanih silom P(t)= 0.18sin(2πf0t). Pri vibracijama, kada je frekvencija hoda fp= 1 Hz, a brzina kretanja c=0.9fp=0.9 m/s, maksimalni ugib i ubrzanje nastaju u preseku x=52 m, kada se sila nalazi na x=c⋅t=56 m. Maksimalni ugib iznosi 0.061 mm, a ubrzanje 0.025 m/s2. Uticaj prigušenja kod nerezonantnih vibracija, za razliku od rezonantnih (sl.5.4.12 i sl.5.4.13), je zanemarljiv. Slika 5.4.15 Oscilogrami ugiba i ubrzanja na 52.m, usled kretanja dva pešaka na razmaku λ=1.5 m, P1= P2=0.7+0.18sin(2πf0t) Oscilogrami na slici 5.3.15 se odnose na simultano i sinhrono kretanje dva pešaka ( prosečne mase od po 70kg), brzinom c=0.9f0=1.2564 m/s, čije delovanje je simulirano modelom opterećenja DLM1, uz gravitaciono delovanje mase pešaka, za slučaj vertikalnih rezonantnih vibracija. Maksimalni ugib iznosi 3.22 mm, a ubrzanje 0.24 m/s2. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 116 Slika 5.4.16 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled naglog skoka grupe pešaka mase 800kg Na slici 5.3.16 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja usled naglog skoka grupe pešaka mase 800kg. Opterećenje je simulirano koncentrisanom silom od 8 kN, naglo nanetom u preseku na x=52m. Maksimalni ugib iznosi 2.8 mm, a ubrzanje 0.107 m/s2. Oscilacije se vrše oko statičkog ugiba koji iznosi 1.4 mm. Slika 5.4.17 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled skakanja jednog pešaka mase 70 kg, u preseku x=52 m, u trajanju 25s, pri rezonantnim vibracijama (fp= f0=1.396 Hz) Na slici 5.3.17 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja usled skakanja jednog pešaka (P(t)=0.7⋅sin(2πf0t)), mase70 kg, u trajanju 25s, pri rezonantnim vibracijama (fp= f0=1.396 Hz). Maksimalni ugib iznosi 6.7 mm, a maksimalno ubrzanje 0.516 m/s2, što je na granici dopuštenog. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 117 Slika 5.4.18 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled skakanja jednog pešaka mase 70 kg, u preseku x=52 m,u trajanju 85s, pri rezonantnim vibracijama (fp= f0=1.396 Hz) Na slici 5.3.18 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja usled skakanja jednog pešaka (P(t)=0.7⋅sin(2πf0t)), mase70 kg, u trajanju 85s, pri rezonantnim vibracijama (fp= f0=1.396 Hz). Maksimalni ugib iznosi 8.1 mm, a maksimalno ubrzanje 0.69 m/s2, što je nešto iznad granice dopuštenog. Slika 5.4.19 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled skakanja jednog pešaka mase 70 kg, u preseku x=52 m, u trajanju 85s, pri frekvenciji skakanja fp= 1Hz Na slici 5.3.19 prikazani su oscilogrami ugiba i ubrzanja usled skakanja jednog pešaka (P(t)=0.7⋅sin(2πfpt)), mase70 kg, u trajanju 85s, pri frekvenciji skakanja fp= 1 Hz. Maksimalni ugib iznosi 0.39 mm, a maksimalno ubrzanje 0.021 m/s2. Na osnovu prikazanih oscilograma sa sl.5.4.17 do sl.5.4.19, može se zaključiti da je uticaj vadalskog delovanja (skakanja u mestu) značajan sa aspekta prihvatljivosti vibracija, naročito u slučaju rezonantnih vibracija. 5. Dinamička analiza nekih karakterističnih pešačkih mostova sa aspekta prihvatljivosti vibracija 118 5.4.2.2 Opterećenje od grupe pešaka Slika 5.4.20 Oscilogrami ugiba i ubrzanja usled stacionarnog delovanja grupe pešaka P(t) =0.18⋅kv⋅sin(2πf0t), u kritičnim preseku x=52 m, u tajanju 85 s Na slici 5.4.20 prikzani su oscilogrami ugiba i ubrzanja usled stacionarnog delovanja grupe pešaka, mase 800 kg, predstavljene silom P(t) =0.18⋅kv⋅sin(2πf0t), prema (2.2.7). Faktor sinhronizacije kv=2.8 (videti sl.2.2.8), tako da je harmonijska sila P(t) =0.504⋅sin(2πf0t) i deluje u kritičnom preseku x=52 m, u trajanju 85 s. Maksimalni ugib iznosi 6.4 mm. A maksimalno ubrzanje 0.49 m/s2