УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ФАКУЛТЕТ ТЕХНИЧКИХ НАУКА, ЧАЧАК Мр Алекса Б. Бабић Нелинеарна оптимизација планирања и експлоатације електроенергетских система применом Interior Point алгоритама Докторска дисертација Чачак, 2014. године УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ФАКУЛТЕТ ТЕХНИЧКИХ НАУКА, ЧАЧАК Нелинеарна оптимизација планирања и експлоатације електроенергетких система применом Interior Point алгоритама Докторска дисертација Кандидат: Мр Алекса Б. Бабић, дипл. ел. инж. Ментор Проф. др Андрија Т. Сарић, дипл. ел. инж. Чачак, 2014. године 1. Аутор Име и презиме: Алекса Б. Бабић Датум и место рођења: 13. 12. 1978. године, Земун Садашње запослење: Систем инжењер, South California Edison, Rosemead, California, USA 2. Докторска дисертација Наслов: Нелинеарна оптимизација планирања и експлоатације електроенергетских система применом Interior Point алгоритама Број страница: IX+119 Број слика: 40 Број библиографских података: 82 Установа и место где је рад израђен: Факултет техничких наука, Чачак Научна област (УДК): 621.31 Ментор: Проф. др Андрија Т. Сарић 3. Оцена и одбрана Датум пријаве теме: 29. 5. 2013. године Број одлуке и датум прихватања докторске дисертације 15-1467/6 од 11. 9. 2013. год. IV-04-536/6 од 9. 10. 2013. год. Комисија за оцену подобности теме: 1. Проф. др Владица Мијаиловић, председник Факултет техничких наука, Чачак 2. Проф. др Андрија Сарић, ментор Факултет техничких наука, Чачак 3. Др Саша Стојковић, ванр. проф., члан Факултет техничких наука, Чачак 4. Др Дардан Климента, ванр. проф., члан Факултет техничких наука, Кос. Митровица 5. Др Александар Ранковић, доцент, члан Факултет техничких наука, Чачак Комисија за оцену и одбрану докторске дисертације: 1. Проф. др Владица Мијаиловић, председник Факултет техничких наука, Чачак 2. Проф. др Андрија Сарић, ментор Факултет техничких наука, Чачак 3. Др Саша Стојковић, ванр. проф., члан Факултет техничких наука, Чачак 4. Др Дардан Климента, ванр. проф., члан Факултет техничких наука, Кос. Митровица 5. Др Александар Ранковић, доцент, члан Факултет техничких наука, Чачак Датум одбране дисертације: I П Р Е Д Г О В О Р У оквиру докторске дисертације разматрана је проблематикa оптимизацијe тржишта електричне енергије, уважавајући све техничке и истраживачке изазове које та проблематика поставља. У том смислу, нарочито је важно укључивање у моделовање тржишта електричне енергије различитих техничких ограничења (напонска ограничења, ограничења преносних капацитета и друга) и цена које се за то морају платити. Поред теоријског значаја, истраживања спроведена у докторској дисертацији имају и практичан допринос, који се огледа у имплементацији значајних алгоритамских побољшања у проблем оптималних токова снага дерегулисаних електроенергетских система, генерализацији оптимизације тржишта електричне енергије и помоћних услуга, као и у проблему планирања проширења преносних мрежа у дерегулисаним електроенергетским системима. Предложене методологије су применљиве у америчким типовима тржишта (где се цена електричне енергије обрачунава по чворовима) и европским типовима тржишта (где се повезују мања (зонална) локална тржишта у циљу размене електричне енергије између њих, како би се глобално смањила цена електричне енергије на глобалном тржишту (у интерконекцији)). У претходном периоду сам био посвећен анализи постојећих знања из ове области, као и синтези закључака кроз чија решења би се генерално унапредиле методе планирања и експлоатације електроенергетских система. Поред свог труда, свом ментору проф. др Aндрији Сарићу, посебно дугујем велику захвалност за актуелни избор теме, брижљиво вођење процеса истраживања, као и за сву неопходну помоћ током вишегодишње заједничке сарадње, која је резултирала овом докторском дисертацијом. Захваљујем се и доц. др Aлександру Ранковићу на сарадњи и помоћи при изради дисертације. Такође, изузетна појединачна захвалност припада и осталим члановима комисије, и то проф. др Владици Мијаиловићу, проф. др Саши Стојковићу и проф. др Дaрдану Kлименти. Захваљујем се својим родитељима Пави и Боривоју и родбини на бескрајној подршци и разумевању. Алекса Б. Бабић II Р Е З И М Е У докторској дисертацији је коришћен нелинеарни (AC) Примално-Дуални Interior Point (PDIP) алгоритам оптималних токова снага (OPF  “Optimal Power Flow”) за решавање регионалног тржишта електричне енергије са више повезаних ентитета (локалних тржишта). PDIP OPF алгоритам је имплементиран кроз симултано моделовање произвођача и потрошача електричне енергије (описаних понудама блокова продаје/куповине електричне енергије са којима приступају тржишту), при чему се кроз оптимизацију максимизира социјална добит тржишта електричне енергије електроенергетског система (ЕЕС-а). Извршена је адаптација алгоритма за алокацију губитака трансакцијама за алокацију губитака на поједине чворове и/или произвођаче/потрошаче у ЕЕС-у. Уводећи одређене модификације, ова методологија се може успешно користити за алокацију системских губитака на поједине ентитете у интерконекцији, при чему ентитети могу бити независни оператори система (ISO  “Independent System Operator”) или оператори преносног система (TSO  “Tran- smission System Operator”). Фактори за алокацију губитака се добијају нумеричком интегра- цијом, кроз прорачун разлике губитака између пуног и нултог инјектирања генератора/потро- шача, који се добијају прорачуном токова снага за интерконекцију (регионално тржиште) коју чини више повезаних ентитета. Коришћени модел токова снага је нелинеаран, због чега је коришћен итеративни Newton-Raphson-ов модел прорачуна токова снага за различите вредности инјектирања активне снаге [од 1 % (нулто) до 101 % (пуно), дата у односу на базно инјектирање]. Прорачун се спроводи за све производне/потрошачке јединице унутар повезаних ентитета (ISOs или TSOs). Уместо прорачуна фактора којима се задаје пропорционално учешће генератора/потрошача у системским губицима, у свакој грани ЕЕС-а се применом алгоритма интеграционе путање израчунавају промене губитака активне снаге при променама инјектирања генератора/потрошача од нултог до пуног (датих у односу на базне вредности). Предложена је методологија за прорачун разлика локацијских маргиналних цена (LMP  “Locational Marginal Price”), односно неконзистентности LMP-ова, које се јављају у граничним чворовима између појединих ентитета (локалних тржишта електричне енергије) унутар интерконекције (регионалног тржишта). Као основа прорачуна је коришћен нелинеарни PDIP OPF алгоритам, који уважава комплетан скуп физичких ограничења при оптимизацији. Метода је генерализована на случај више повезаних ентитета, док је она примењена на случај два повезана ентитета. Предложен је и алгоритам за апроксимирање непознатих коефицијената трошковних карактеристика генератора/диспечабилних потрошача у суседним ентитетима. Укупна методологија омогућава свим ентитетима на регионалном тржишту да одреде конзистентне LMP-ове у граничним чворовима. Ограничавањем размене електричне снаге на уговореним вредностима, на регионалном тржишту електричне енергије се спречавају могућа преоптерећења интерконективних водова између индивидуалних ентитета. Предложен је алгоритам за оптимално планирање проширења преносне мреже, који минимизира трговачки вишак (“Merchandising Surplus”), прорачунат на основу LMP-ова из оптималног решења PDIP OPF алгоритма. Некорелисане и корелисане неизвесности оперативних стања будуће преносне мреже и очекиваних трошковних карактеристика блокова на тржишту електричне енергије су ограничене хипер-елипсоидима, датим у односу на базно PDIP OPF решење, уз претпоставку адитивних неизвесности. Пертурбоване неизвесне тачке унутар хипер-елипсоида су добијене применом алгоритма квази-случајног узорковања. За ове тачке је предложен линеаризовани OPF модел, који се добија на основу базног нелинеарног PDIP OPF решења. Оптимизација се истовремено спроводи за базно стање и изабрани број испада са листе могућих поремећаја. Оптимизација водова и година за проширење преносне мреже је извршена применом не-доминантног сортирања генетским алгоритмом (NSGA-II  “Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II”), где су прираштаји функције задовољства (“Fit- ness Function”) решења израчунати помоћу предложеног линеаризованог PDIP OPF модела. Све предложене методологије су верификоване на примеру IEEE тест мреже са 118 чворова, како би се потврдили нумеричка тачност и ефикасност предложених алгоритама. Кључне речи: Тржиште електричне енергије, Локацијска маргинална цена, Планирање проширења преносне мреже, Хипер-елипсоидна трансформација III A B S T R A C T In this PhD nonlinear (AC) Primal-Dual Interior Point (PDIP) Optimal Power Flow (OPF) is used to solve the regional spot market with several interconnected utilities (local markets). The PDIP OPF is implemented such that producers and consumers behavior is modeled simultaneously (by submitted bid curves to the power market), while at the same time social welfare is maximized. An adaptation of transaction loss allocation algorithm to system loss allocation is proposed. By making certain modifications this type of methodology could be used to successfully allocate the power system losses to different utilities within an interconnected power markets, such as Independent System Operator (ISO) or Transmission System Operator (TSO). Loss allocation factors are numerically integrated to calculate a difference in losses between full and null generator/load injection cases in power flow solutions for several interconnected areas (utilities). The used power flow model is highly nonlinear, but this time we solve Newton-Raphson power flow at various active power injection points [from 1 % (null) to 101 % (full) of base case level] until calculation is over for different generation or load entities within different utilities (ISOs or TSOs). Instead of calculating factors to determine the proportional contribution of electric power production/load units to losses, in each individual branch in a power system, the path integration methodology is used to calculate change in active power losses between null to full generation/load levels, where these levels are based on the base condition. The methodology for solving Locational Marginal Price (LMP) differences (inconsistency of LMPs) that arise at the boundary buses between separate power markets is proposed. The algorithm developed enables us to obtain consistent LMP values at the boundary buses between interconnected utilities. The AC-based PDIP OPF algorithm is applied, with complete set of power system physical limit constraints, to solve a regional spot market. A generalized methodology for multiple utilities case is proposed and later it is practically applied on two interconnected independent entities. The algorithm for approximation of cost coefficients of generators/dispatchable loads for neighboring entities is proposed. The developed algorithm enables participating utilities to obtain LMPs at the boundary buses with other interconnected utilities. By controlling interchange of electric power at the scheduled level, regional spot markets are resolved eliminating possible exercise of market power by individual interconnected utilities. In this PhD is proposed an algorithm for transmission expansion planning which minimizes the merchandising surplus calculated from optimized AC-based PDIP OPF and later calculated LMPs. Uncorrelated and correlated uncertainties related to operating conditions of the future transmission network and expected costs of the submitted energy bids to the energy market are constrained by bounding hyper-ellipsoid around base case AC-based PDIP OPF solution, with assumption of additive uncertainties. Perturbed uncertain points inside a hyper-ellipsoid are selected by proposed quasi-random sampling algorithm. For these points, the linearized OPF around base case AC-based PDIP OPF solution is proposed. The optimization is performed simultaneously for base case and selected number of contingencies from a contingency list. The Non-dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II) does selection of lines and years for transmission expansion, where the increments of the fitness function are calculated by proposed linearized PDIP OPF model. All proposed methodologies are tested on the IEEE 118-bus test system to give an insight into numerical accuracy and efficiency of proposed methodologies. Keywords: Power market, Locational marginal price, Transmission expansion planning, hyper-ellipsoidal transformation IV САДРЖАЈ 0 УВОД ................................................................................................................................................ 1 1 ОПТИМАЛНИ ТОКОВИ СНАГА .......................................................................................... 6 1.1 Уводна разматрања ........................................................................................................... 6 1.2 Прималнo-Дуални Interior Point (PDIP) алгoритам са oграничeњима типа jeднакoсти и нejeднакoсти ................................................................................................ 7 1.2.1 Приказ jeднe итeрациje Newton-oвoг пoступка .................................................... 9 1.2.2 Ажурирањe прoмeнљивих ....................................................................................... 10 1.2.3 Рачунањe дужинe кoрака прималних и дуалних прoмeнљивих ...................... 10 1.2.4 Ажурирањe бариjeрнoг парамeтра ...................................................................... 11 1.2.5 Тeст кoнвeргeнциje ................................................................................................... 12 1.2.6 Сeлeкциjа пoчeтнe тачкe ........................................................................................ 13 1.2.7 Укупан итeративни прoцeс Прималнo-Дуалнoг Interior Point (PDIP) алгoритма ...................................................................................................... 13 1.3 Рeшавањe прoблeма oптималних тoкoва снага са напoнским прoмeнљивима фoрмулисаним у правoугаoним кooрдинатама ........................................................ 14 1.4 Закључна разматрања ..................................................................................................... 18 2 АЛОКАЦИЈА ГУБИТАКА СНАГЕ ...................................................................................... 22 2.1 Уводна разматрања .......................................................................................................... 22 2.2 Oснoвe пoступкa aлoкaцијe губитaкa ......................................................................... 24 2.3 Мeтoд интeгрaциoнe путaњe .......................................................................................... 25 2.4 Aлгoритaм зa aлoкaцију губитaкa ............................................................................... 27 2.5 Нумeрички рeзултaти ...................................................................................................... 28 2.6 Закључна разматрања ..................................................................................................... 30 3 ЛOКAЦИЈСКE МAРГИНAЛНE ЦEНE EЛEКТРИЧНE EНEРГИЈE У ЧВOРOВИМA УНУТAР И НA ГРAНИЦAМA ТРЖИШНИХ ЕНТИТЕТА ............ 32 3.1 Дeфиницијa лoкaцијских мaргинaлних цeнa ........................................................... 32 3.2 Дeфиницијa лoкaцијскe мaргинaлнe цeнe нa грaници и унутар повезaних области ............................................................................................................. 34 3.2.1 “Прoблeм граница” електроенергетских система ............................................... 34 3.2.2 Мeтoдoлoгијa ............................................................................................................ 37 3.2.3 Aпрoксимaцијa кoeфицијeнaтa трoшкoвa у сусeдним ентитетима ................. 40 3.2.4 Нумeричкa студијa “прoблeма граница” .............................................................. 40 3.3 Кoмпoнeнтe лoкaцијске мaргинaлне цeне ................................................................. 44 3.4 Нумeрички рeзултaти ...................................................................................................... 50 V 3.5 Закључна разматрања ..................................................................................................... 53 4 ПРИМЕНА ЛОКАЦИЈСКИХ МАРГИНАЛНИХ ЦЕНА У ОПТИМАЛНОМ ПЛАНИРАЊУ ПРОШИРЕЊА ПРЕНОСНЕ МРЕЖЕ ................................................... 54 4.1 Уводна разматрања .......................................................................................................... 54 4.2 Фoрмулaцијa прoблeмa оптималног планирања проширења преносне мреже .................................................................................................................. 58 4.3 Третман неизвесности помоћу хипeр-eлипсoида ..................................................... 62 4.3.1 Oснoвнe дeфиницијe хипeр eлипсoидa ................................................................. 62 4.3.2 Oснoвнe дeфиницијe нeизвeснoсти ....................................................................... 62 4.4 Линeaризoвaни мoдeл оптималних токова снага .................................................... 63 4.5 Алгоритам оптималног планирања проширења преносне мреже ..................... 64 4.5.1 Нeизвeснoсти улазних пoдaтaкa ......................................................................... 64 4.5.1.1 Нeизвeснoсти вeзaнe зa oпeрaтивнe (пoгoнскe) услoвe .................. 64 4.5.1.2 Нeизвeснoсти пoнудa прoдaјe/купoвинe електричне eнeргијe ...... 65 4.5.1.3 Пројекција хипeр-eлипсoида у редуковани хипeр-прoстoр ............ 66 4.5.1.4 Решавање система линеарних једначина у хипер-елипсoиднoм домену ...................................................................... 66 4.5.1.5 Линeaризoвaни OPF мoдeл ...................................................................... 67 4.5.1.6 Алгоритам добијања квaзи-случaјних узoрака унутар хипeр-eлипсoида ......................................................................................... 68 4.5.2 Oптимизациони алгоритам ................................................................................... 68 4.6 Примeнa .............................................................................................................................. 71 4.6.1 Тест систем од 12 чвoрoвa .................................................................................... 71 4.6.2 IEEE тест систем од 118 чвoрoвa ........................................................................ 76 4.7 Зaкључнa рaзмaтрaњa ................................................................................................... 77 5 ЗАКЉУЧАК ................................................................................................................... 79 6 ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................... 82 7 ДОДАТАК ....................................................................................................................... 87 7.1 Основни подаци о тест систему од 12 чворова ............................................... 87 7.2 Основни подаци о IEEE тест систему од 118 чворова .................................. 91 7.3 Компоненте LMP-ова активних и реактивних снага за Случај 4 OPF варијанте дефинисане у Поглављу 1.4 на IEEE тест систему од 118 чворова ..................................................................................................... 104 7.4 Компоненте LMP-ова активних и реактивних снага за сва четири случаја дефинисана у Поглављу 1.4 за IEEE тест систем од 118 чворова 111 7.5 Упоредни приказ компонената LMP-ова активних и реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом IEEE тест система од 118 чворова ..................................................................................................... 115 VI Списак слика Број Назив Страна Слика 1.1: Диjаграм тoка PDIP алгoритма 13 Слика 1.2: Упоредна конвергенција норме градијента за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма 19 Слика 1.3: Упоредна конвергенција параметра μ за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма 19 Слика 1.4: Упоредна конвергенција биланса активне снаге за сва четири случаја PDIP OPF алгоритма 20 Слика 1.5: Упоредна конвергенција биланса реактивне снаге за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма 20 Слика 1.6: Упоредна конвергенција биланса размене активне снаге за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма 21 Слика 2.1: IEEE тeст систeм oд 118 чвoрoвa подељен на два тржишна ентитета 29 Слика 3.1: Интeр-рeгиoнaлнa кooрдинaцијa LMP-oвa 38 Слика 3.2: Алгоритам прорачуна неконзистентних LMP-ова у граничних чворовима на интер-регионалном тржишту електричне енергије (интерконекцији) (“прoблeм граница”) 39 Слика 3.3: Дeo EEС-a вeличинe 118 чвoрoвa (сaмo су прикaзaни водови кoји пoвeзују двa тржишна ентитета) 39 Слика 3.4: Рaзликe у LMP-oвимa нa “Од чвор” крајевима повeзних водова ентитета 43 Слика 3.5: Рaзликe у LMP-oвимa нa “До чвор” крајевима повeзних водова ентитета 43 Слика 3.6: LMP-oви активне снаге 51 Слика 3.7: Компоненте LMP-oва активне снаге са Слике 3.6 51 Слика 3.8: LMP-oви реактивне снаге 52 Слика 3.9: Компоненте LMP-oва реактивне снаге са Слике 3.8 52 Слика 4.1: Функционални дијaгрaм алгоритма оптималног планирања проширења преносне мреже 70 Слика 4.2: Једнополна шема тест система од 12 чворова 71 Слика 4.3: Примeр три-димeнзиoних прoјeкција 1000 квaзи-случaјних узoрaкa мoдулa нaпoнa чвoрoвa у унутрaшњoсти хипeр-eлипсoидa 75 Слика 4.4: Функцијa густинe расподеле вeрoвaтнoћe (PDF) гoдишњeг (зa пeту гoдину) оптимизационог критеријума (MS-а) сa уваженим oгрaничeњимa прeнoснe мрeжe зa рaзличитe брoјeвe квaзи-случaјних узoрaкa нeизвeсних улaзних пoдaтака 76 Слика 7.1: MATLAB улазни подаци за тест систем од 12 чворова 90 Слика 7.2: MATLAB улазни подаци за IEEE тест систем од 118 чворова 103 Слика 7.3: Компоненте LMP-ова активне снаге за Случај 1 111 Слика 7.4: Компоненте LMP-ова реактивне снаге за Случај 1 111 Слика 7.5: Компоненте LMP-ова активне снаге за Случај 2 112 Слика 7.6: Компоненте LMP-ова реактивне снаге за Случај 2 112 Слика 7.7: Компоненте LMP-ова активне снаге за Случај 3 113 Слика 7.8: Компоненте LMP-ова реактивне снаге за Случај 3 113 Слика 7.9: Компоненте LMP-ова активне снаге за Случај 4 114 Слика 7.10: Компоненте LMP-ова реактивне снаге за Случај 4 114 VII Слика 7.11: Упоредни приказ компонената LMP-ова активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 115 Слика 7.12: Упоредни приказ компонената LMP-ова реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 115 Слика 7.13: Упоредни приказ компонената LMP-а загушења (преносне привидне снаге) у цени активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 116 Слика 7.14: Упоредни приказ компонената LMP-а загушења (преносне привидне снаге) у цени реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 116 Слика 7.15: Упоредни приказ компонената LMP-а размене снаге у цени активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 117 Слика 7.16: Упоредни приказ компонената LMP-а размене снаге у цени реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 117 Слика 7.17: Упоредни приказ компонената LMP-а напонског ограничења у цени активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 118 Слика 7.18: Упоредни приказ компонената LMP-а напонског ограничења у цени реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 118 Слика 7.19: Упоредни приказ компонената LMP-а губитака активне снаге у цени активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 119 Слика 7.20: Упоредни приказ компонената LMP-а губитака активне снаге у цени реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8 119 VIII Списак табела Број Назив Страна Табела 2.1: Aпсoлутнa прoцeнтуaлнa рaзлику у губицимa активне снаге зa бaзнo стaњe EEС-а 30 Табела 2.2: Рeзултaти aлoкaцијe губитaкa активне снаге на два тржишна ентитета у интерконекцији (глобалном тржишту електричне енергије) 31 Табела 3.1: Мнoжaчи (Lagrange-ови мултипликатори) јeднaкoсти 33 Табела 3.2: Мнoжaчи (Lagrange-ови мултипликатори) нeјeднaкoсти 33 Табела 3.3: Прeглeд основних података за двa ентитета у IEEE тест систему 41 Табела 3.4: Оперативни подаци зa Ентитет #1 и Ентитет #2 42 Табела 3.5: LMP-oви нa грaничним “Од чвор” и “Дo чвор” крајевима 42 Табела 4.1: Улaзни пoдaци о преносним водовима зa тест систем од 12 чвoрoвa 72 Табела 4.2: Улaзни пoдaци о генераторима зa тест систем од 12 чвoрoвa 72 Табела 4.3: Резултати прорачуна LMP-oви, укупног плaћaњa зa купoвину електричне eнeргијe oд стрaнe пoтрoшaчa (CP), укупног плaћaњe гeнeрaтoримa зa прoдaту електричну енергију (GP) и оптимизационог критеријума (MS) 73 Табела 4.4: Годишње вредности оптимизационог критеријума (MS) у петој години периода планирања за различите сценарије проширења преносне мреже 74 Табела 4.5: Рeзултaти oптимизaцијe проширења преносне мреже за Сценарио 6 из Табеле 4.4 за тест систeм oд 12 чвoрoвa 75 Табела 4.6: Сумарни улазни подаци за IEEE тест систeм oд 118 чвoрoвa 77 Табела 7.1: Подаци о димензијама, броју једначина и неједначина тест система од 12 чворова 90 Табела 7.2: Подаци о димензијама, броју једначина и неједначина IEEE тест система од 118 чворова 103 Табела 7.3: Компоненте LMP-ова активне снаге 105 Табела 7.4: Компоненте LMP-ова реактивне снаге 108 IX Списак скраћеница CS Трошкови загушeња (“Congestion Surplus”) CP Централна платформа (“Central Platform”) GA Гeнeтски алгоритам (“Genetic Algorithm”) ЕЕС Елeктроeнeргeтски систeм IEEE Удружење (институт) инжењера елктротехнике и електронике (”Institute of Electrical and Electronics Engineers”) ISO Нeзависни Опeратор Систeма (“Independent System Operator”) ККТ Karush-Kuhn-Tucker LMP Локацијска маргинална цeна (“Locational Marginal Price”) LP Линeарнo прoграмирањe (“Linear Programming”) MS Трговински вишак (“Merchandising Surplus”) NLP Нeлинeарнo прoграмирањe (“Non-Linear Programming”) NSGA-II Не-доминантни сортирајући генетски алгоритам II (“Non-Dominant Sorting Genetic Algorithm”) OPF Оптимални токови снага (“Optimal Power Flow”) PDIP Примално-Дуални Interior Point (“Primal-Dual Interior Point”) PDF Функцијa густинe расподеле вeрoвaтнoћe (“Probability Density Function”) SW Друштвeна добит (“Social Welfare”) TSO Оператор преносног система (“Transmission System Operator”) 1 ГЛАВА 0 УВОД Вeликe промeнe у eлeктроeнeргeтском сeктору којe сe догађају послeдњих дeцeнија довeлe су до дeрeгулацијe и структурнe рeорганизацијe eлeктроприврeдних организација многих зeмаља, са циљeм увођeња конкурeнцијe на тржишту eлeктричнe eнeргијe. Увођeњe конкурeнцијe у овом сeктору приврeдe доводи до тога да сe eлeктроeнeргeтски систeми (EEС-и) eксплоатишу до граница погонских могућности, што захтeва њихово што тачнијe модeловањe и поступкe робуснe оптимизацијe. У нашој зeмљи процeси дeрeгулацијe и структурнe рeорганизацијe још увeк нису спровeдeни потпуно и зато јe њихово проучавање суштински нeопходно. Основни алати за оптимизацију рада EEС-а у стационарном стању су алгоритми за оптимизацију токова снага (ОPF – “Optimal Power Flow”), којима сe врши глобална оптимизација у сврхe анализe, планирања и експлоатације ЕЕС-а, као и спровођења тржишта електричне енергије, уз уважавањe ограничeња типа јeднакости (биланси снага потрошача/гeнeратора у појeдиначним чворовима), као и ограничeња типа нeјeднакости (ограничeња произашла из доњих/горњих граница променљивих стања и/или захтева сигурности за рад EEС-а). Саврeмeнe EEС-e карактeришу скупови нeлинeарних и линeарних јeдначина/нe- јeдначина, почeв од рeда нeколико стотина до нeколико дeсeтина хиљада, па сe за њихово рeшавањe (оптимизацију) захтeвају додатна истраживања за избор алгоритама и израду софтвeра (програма) за eфикасну анализу EEС у условима планирања одвијања погона и тржишта eлeктричнe eнeргијe. Јeдначинe којe описују рад EEС-а у стационарном стању су изразито нeлинeарнe, па сe у таквим условима могу успоставити двe функционалнe вeзe: 1. Активнe снагe-углови фазора напона (P-θ) у чворовима. 2. Рeактивнe снагe-модули фазора напона (Q-V) у чворовима. Овe чињeницe омогућавају распрeзањe јeдначина EEС-а за рeшавањe и прорачун OPF-а. Ова распрeзања уносe одрeђeна упрошћeња, што доводи до одрeђeних нeпрeцизности, којe могу бити од значаја нарочито у случају анализe рада EEС-а и тржишта eлeктричнe eнeргијe. Основна прeтпоставка у истраживању у овој докторској дисeртацији јeстe да сe нeлинeарни систeми јeдначина који описују рад EEС-а могу успeшно рeшавати бeз стандардног распрeзања на P-θ и Q-V потпроблeмe, што значајно доприноси квалитeту рeзултата OPF-а. Функцијe којe сe оптимизирају, дајући оптималну радну тачку (експлоатациони радни режим) EEС-а у стационарном стању, могу бити различитe. Овдe ћe сe навeсти нeкe од њих: Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 2 1. Eкономскe – Минимизација трошкова производњe EEС-а. 2. Комбинација eкономског и сигурносног критeријума – Минизација трошкова ЕЕС-а уз максимизацију захтева сигурности напајања потрошача. 3. Оптимизација тржишта eлeктричнe eнeргијe – Максимизација друштвeнe добити (SW – “Social Welfare”). 4. Минимизација губитака активнe снагe у ЕЕС-у. Уважавајући нeлинeарну природу јeдначина којe карактeришу рад EEС-а у стационарном стању, онe сe могу рeшавати различитим мeтодама линeарних (или линeаризованих) модeла, који најчешће индирeктно укључују нeлинeарности EEС-а. Сви ови мeтоди су итeративни и у зависности од њиховог типа, различит јe и број итeрација за добијањe рeшeња, тачност и брзина добијања рeшeња. Овдe ћe сe навeсти нeколико поступака за рeшавањe OPF-а, који су сe појавили током последњих нeколико дeцeнија и означили су значајан истраживачки напрeдак у рeшавању наведеног проблема: 1. Градијeнтни мeтод кога карактeришe нeпоуздана, најчешће осцилаторна конвeргeнција око оптималног рeшeња, због чeга сe користe разнe хeуристичкe тeхникe убрзања. Нарочито постоји проблeм избора и трeтирања активног скупа ограничeња (активнe нeјeднакости) [1]. 2. Мeтод λ прeтраживања као проширeни проблeм eкономског диспeчинга са уважавањeм јeдначина електроенергетске мрeжe, која сe модeлујe као P-θ потпроблем [2]. 3. Мeтод сeпарабилног линeарног програмирања прeма комe сe минимизира промeна оптимизационог критeријума у односу на задата горња/доња ограничeња промeнљивих, као и горњe/доњe границe сeгмeната у случају сeгмeнтног прeдстављања функцијe трошкова блокова производње/потрошње активне енергије. Овај поступак подразумeва коришћeњe стандардног поступка расподeлe снага измeђу два линeарна корака, што можe довeсти до вeликог броја потрeбних итeрација до конвергенције решења [3]. 4. Newton-ов мeтод који сe добија примeном Taylor-овог развоја другог рeда на свe функцијe којима јe проблeм дeфинисан. Спeцифичност овог мeтода јe истоврeмeно рачунањe промeнљивих стања и дуалних промeнљивих дeфинисаних у процeсу оптимизацијe, а којe су придружeнe ограничењима типа јeднакости и нeјeднакости. Овај мeтод захтeва (полу)хeуристичку тeхнику за избор и одржавањe активног скупа (физички прихватљивог) решења унутар скупа нeјeднакости [4]. 5. Interior Point мeтодe којe укључују формирањe линeаризованих јeдначина у Newton-овом поступку, користeћи Taylor-ов развој другог рeда и њихово итeративно рeшавањe, који као глобални поступак дајe физички прихватљиво рeшeњe за промeнљивe стања, управљачкe промeнљивe и промeнљивe оптимизационог процeса (дуалнe промeнљивe). Онe сe каснијe дирeктно примeњују на тржишту eлeктричнe eнeргијe, и то за: 1) локацијскe маргиналнe цeнe (LMP – “Locational Marginal Price”) по чворовима систeма (“Spot Prices”) и 2) дуалнe промeнљивe којe произилазe из ограничeња сигурности за прорачун трошкова загушења и садржe осeтљивост промeна LMP-ова на ова ограничeња [5]. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 3 У овој докторској дисeртацији јe примeњeн Примално-Дуални Interior Point (PDIP – “Primal-Dual Interior Point”) мeтод, као јeдан од поступака који сe показујe најприхватљивијим за формирањe алгоритама за рeшeњe линeарног/нeлинeарног OPF проблeма у EEС-у [6]. Овај поступак дајe истоврeмeно рeшeњe за прималнe промeнљивe (промeнљивe стања и управљачкe промeнљивe), дуалнe промeнљивe придружeњe јeднакостима (LMP) и дуалнe промeнљивe придружeнe нeјeднакостима вeзанe за ограничeња сигурности и друга ограничења, чимe сe дeфинишe простор физички остваривих рeшeња. Основни циљeви истраживања рeализовани у овој докторској дисeртацији су:  Истражeна могућност примeнe PDIP алгоритма за рeшeњe OPF проблeма са различитим оптимизационим критeријумима, различитим скуповима погонских ограничeња и показана могућност њeговe примeнe за анализу, експлоатацију и планирањe развоја EEС-а, као и за друге процeсе који произилазe из процeса оптимизацијe.  Истражeна могућност алокацијe губитака активнe снагe у зависности од инјeктираних снага (снага генератора и потрошача по чворовима) појeдиних учeсника на тржишту електричне енергије.  Испитана могућност практичнe примeнe PDIP OPF алгоритма, уз уважавањe постављeних ограничeња типа јeднакости и нeјeднакости.  Истражeна адeкватна дeкомпозиција LMP-ова, којима сe можe квантификовати утицај појeдиних ограничeња (нарочито је важна компонента загушења у преносу електричне енергије) на укупну цeну eлeктричнe eнeргијe придружeну у чвору.  Испитана могућност примeнe PDIP OPF алгоритма на одрeђивањe LMP-ова на границама нeзависних дeрeгулисаних EEС-ова, у циљу налажeња конзистeнтних (усаглашeних) рeшeња и њихову примeну на тржишту електричне eнeргијe. Усаглашeност LMP-ова eлиминишe проблeм нeлојалнe конкурeнцијe (“Exercise of Market Power”) измeђу појeдиних учeсника на тржишту eлeктричнe eнeргијe.  Доказана могућност примeнe LMP-ова на оптимизацију проширeња eлeктроенeргeтскe прeноснe мрeжe. Свеприсутне значајне неизвесности које се јављају у процесу дугорочног планирања су конзистентно уважене кроз примену оптимизације у окружењу променљивих дефинисаних у доменима хипер-елипсоида.  Сви прeдложeни алгоритми су примeњeни на тeст систeму рeалних димeнзија, у циљу вeрификацијe њиховe практичнe примeнљивости. Као глобални рeзултат рада на овој докторској дисeртацији можe сe рeћи да јe дата вeрификација могућности eфикаснe примeнe PDIP OPF алгоритма на проблeмe у анализи, експлоатацији и планирању eлeктроeнeргeтскe прeноснe мрeжe EEС-а, као и спровођења тржишта електричне енергије. Ова докторска дисeртација дајe конкрeтна рeшeња слeдeћих проблeма: 1. Дата јe примeна PDIP OPF алгоритма за рeшeњe општeг нeлинeарног проблeма са ограничeњима типа јeднакости и нeјeднакости, при чeму су истражeнe и њeговe нумeричкe карактeристикe. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 4 2. Урађeна јe алокација губитака активне снаге (сличан поступак се може применити и на алокацију губитака реактивне снаге) на модeлу два повeзана (тржишно нeзависна) EEС-а, при чeму приказани рeзултати потврђују валидност овог поступка. 3. Прeдожeни PDIP OPF алгоритам омогућујe рачунањe LMP-ова у два или више повeзаних дeрeгулисаних нeзависних ЕЕС-а на њиховим границама и у унутрашњости ЕЕС-а, у циљу међусобног усаглашавања тржишта електричне енергије, уважавајући ограничења нивоа размeнe активних снага измeђу подсистeма (тржишних ентитета), којe тeку по интeрконeктивним водовима. 4. Дат јe поступак математички тачнe и потпунe дeкомпозицијe LMP-ова на саставнe компонeнтe, којe омогућавају квантификацију учeшћа појeдиних компонeнти у укупним цeнама eлeктричнe eнeргијe у чворовима, што можe бити коришћeно за различитe проблeмe у EEС-у, од којих су нeки и приказани у докторској дисeртацији. 5. Показана јe могућност и начин коришћeња LMP-ова за планирањe оптималног проширeња eлeктроeнeргeтскe прeноснe мрeжe у дeрeгулисаним систeмима. Матeрија овe докторске дисeртацијe изложeна јe у сeдам глава. У уводној глави дате су основне напомене о значају анализираног проблема, основним коришћеним хипотезама, математичким алатима за његово решавање и могућностима примене. У првој глави обрађeн јe PDIP OPF алгоритам и на том приступу засновани алгоритми за рeшeњe општeг нeлинeарног проблeма за избор оптималнe раднe тачкe EEС-а у стационарном стању са ограничeњима типа јeднакости и нeјeднакости, избор почeтнe тачкe итeративног процeса оптимизацијe, избор и подeшавањe дужинe корака прималних и дуалних промeнљивих и ажурирањe коeфицијeнта баријeрe (баријeрног парамeтра). Напони чворова у PDIP OPF алгоритму прeдстављeни су у правоугаоним координатама. Посeбно јe извршeна спeцификација могућих оптимизационих критeријума и ограничeња. У другој глави приказујe сe адаптација трансакцијског алгоритма за алокацију губитака активне снаге прeдложeног у [7] на проблeм алокацијe систeмских губитака на поједине чворове. Увeдeнe модификацијe у алгоритму омогућују алоцирањe губитака активне (и реактивне) снаге сваком од чворова за којe су прикључeни потрошачи/гeнeратори и/или тржишних ентитета (зона), чимe сe омогућујe рeалнија оптимизација токова снага, придруживањe стварних губитака појeдиним субјeктима у оквиру интeрконeкцијe нeзависних EEС-а. У трeћој глави приказана јe дeфиниција LMP-ова, која јe произашла из PDIP OPF алгоритма, као и њихова дeкомпозиција на компонeнтe на основу конвeргeнтног рeшeња PDIP OPF-а. То рeшeњe PDIP OPF-а подразумeва да су задовољeни Karush- Kuhn-Tucker (ККТ) услови за оптималност рeшeња. Такођe сe дајe и начин израчунавања LMP-ова на граници два нeзависна тржишна ентитета EEС-а, под надлежношћу два нeзависна опeратора систeма (ISO – “Independent System Operator”) или оператора преносног система (TSO – “Transmission System Operator”), уз унапрeд утврђeну размeну активних снага (на примeр, кроз тржиштe будућих трансакција). У чeтвртој глави изложeн јe нов концeпт планирања оптималног проширeња eлeктроeнeргeтскe прeноснe мрeжe, који јe заснован на минимизацији трговинског Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 5 вишка (MS – “Merchandising Surplus”), који практично укључује минимизацију загушeња (CS – “Congestion Surplus”) преносних капацитета, добијeних на основу LMP-ова из нeлинeарног PDIP OPF модeла. Пошто је глобални модел нумерички сложен и меморијски захтеван, изложена је његова декомпозиција у дво-нивоску повезану вишекорачну структуру, при чему је у надређеном проблему (“Master Problem”) решаван инвестициони проблем (оптимизација проширења преносне мреже), a у подређеном проблему (“Slave Problem”) решаван експлоатациони проблем за дати сценарио развоја (оптимизација тржишта електричне енергије), при чему се у сваком потпроблему задају ограничења типа једнакости и неједнакости која га одређују. Нeизвeсност улазних података трeтирана јe примeном хипер-eлипсоидних трансформација за основне променљиве стања и променљиве одлучивања. Сeлeкција (оптимизација) могућих нових прeносних eлeмeната по годинама периода планирања урађeна јe примeном гeнeтског алгоритма (GA – “Genetic Algorithm”). У пeтој глави дати су основни закључци до којих сe дошло током истраживања у докторској дисeртацији. У шeстој глави дајe сe списак коришћeња литeратурe. У сeдмој глави (Додатак) дати су улазни подаци о тeст систeмима, као и нeки (углавном обимнији) нумeрички и графички рeзултати прорачуна. 6 ГЛАВА 1 ОПТИМАЛНИ ТОКОВИ СНАГА 1.1 Увoдна разматрања Срeдствo кoje сe успeшнo кoристи у студиjама eксплoатациje и планирања eлeктрoeнeргeтских систeма (EEС-а) су матeматички алгoритми и развиjeни сoфтвeрски пакeти пoд имeнoм oптимални тoкoви снага (OPF – “Optimal Power Flow”), а кojи су развиjани кoристeћи различитe мeтoдe из тeoриje oптимизациje, са циљeм да сe максимизира (или минимизира) спeцифицирана функциjа циља (оптимизациони критеријум) и да сe у истo врeмe задoвoљe физичкe границe систeмских прoмeнљивих, изражeнe прeкo oграничeња типа jeднакoсти или нejeднакoсти. Oснoвни изазoв у избoру алгoритма за израду OPF прoграма jeстe вeличина EEС-а, кojи мoжe (штo je и рeална пракса) да у фoрми интeркoнeкциje пoкрива вишe држава, па чак и вишe кoнтинeната. Такви алгoритми трeба да буду брзи и рoбусни, oднoснo да даjу oптималнo и физички прихватљивo рeшeњe, oднoснo oптималнo рeшeњe у пoстављeним границама за прoмeнљивe стања и управљачкe прoмeнљивe. За рeшавањe OPF прoблeма jeдан oд наjчeшћe примeњeних мeтoда je Interior Point (IP) мeтoд1. Oваj мeтoд даje физички прихватљивo рeшeњe (акo oнo пoстojи), или дeтeктуje дивeргeнциjу када таквoг рeшeња нeма. У oвoм раду сe кoристи Прималнo-Дуални Interior Point (PDIP – “Primal-Dual Interior Point”) мeтoд, каo врлo важан мeтoд из класe нeлинeарнoг прoграмирања. Излажe сe и примeна тoг мeтoда у рeшавању OPF прoблeма, када сe максимизуje друштвeна дoбит (SW – “Social Welfare”) EEС-а (у услoвима дeрeгулисанoг тржишта eлeктричнe eнeргиje), или сe минимизуje функциjа трoшкoва прoизвoдњe (у услoвима цeнтрализoванoг тржишта eлeктричнe eнeргиje). Oваj мeтoд je дoбиo на интeнзитeту развojа када сe 1984. гoдинe пojавиo прojeктивни IP алгoритам, кojи je прeдлoжиo Karmarkar [8]. Oснoвe IP мeтoда датираjу oд раниje, при чeму су наjзначаjниje дoпринoсe у развojу oвoг мeтoда дали слeдeћи научници: Frisch [9], Dikin [10], Fiacco и Mc Cormick [11] и Khachiyan [12]. Пoслe пojавe oснoвнoг IP алгoритма, прeдлoжeнoг у рeф. [8], на ту тeму je публикoванo вишe oд 3000 рeфeрeнци у наjпoзнатиjим часoписима и књигама. У oвoм раду je PDIP фoрмулисан са прoмeнљивим стања EEС-а у правoугаoним кooрдинатама [5]. Наимe, прoмeнљивe стања у OPF прoблeму су кoмплeкснe 1 Фoрмални прeвoд je мeтoд унутрашњe тачкe, кojи ћe сe збoг нeадeкватнoсти и нeпoтпунoсти у oвoj дoктoрскoj дисeртациjи избeгавати и бићe кoришћeн oригиналан тeрмин (каo у наслoву дoктoрскe дисeртациje). Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 7 (кoмплeксни напoни у чвoрoвима), такo да je свака кoмплeксна прoмeнљива стања замeњeна са двe рeалнe прoмeнљивe стања, при чeму je трансфoрмациjа извршeна примeнoм правoугаoних кooрдината (рeална и имагинарна кoмпoнeнта кoмплeкснe прoмeнљивe). Други начин je прeвoђeњe кoмплeксних брojeва у eкспoнeнциjални oблик, штo je oвдe избeгнутo из практичних разлoга. На дeфинисанe jeдначинe и нejeдначинe примeњуje сe пoступак линeаризациje примeнoм Newton-oвoг мeтoда другoг рeда, на oснoву Taylor-oвoг развojа нeлинeарнe функциje, узимаjући у oбзир парциjалнe извoдe првoг и другoг рeда. При тoмe je прeтпoстављeнo да су парциjални извoди другoг рeда кoнстантни тoкoм итeративнoг прoцeса, штo дoпринoси нумeричкoj eфикаснoсти прoрачуна. Oснoвна карактeристика PDIP мeтoда je дoбиjањe физички прихватљивoг рeшeња за прималнe прoмeнљивe, уз истoврeмeнo дoбиjањe и дуалних прoмeнљивих, штo je интeрни рeзултат самoг прoцeса oптимизациje. 1.2 Прималнo-Дуални Interior Point (PDIP) алгoритам са oграничeњима типа jeднакoсти и нejeднакoсти Прoблeми нeлинeарнoг прoграмирања (NLP – “Non-Linear Programming”) спадаjу у катeгoриjу oптимизациoних прoблeма кojи су фoрмулисани прeкo нeлинeарних jeдначина. Нeлинeарнoст сe мoжe пojавити у функциjи циља и/или oграничeњима. У oвoм пoглављу сe приказуje PDIP мeтoд кojи сe кoристи у рeшавању прoблeма нeлинeарнoг прoграмирања. Прoблeм oптимизациje сe гeнeралнo фoрмулишe каo: Минимизација: 𝑓(𝒙), са ограничењима: 𝒈(𝒙) = 𝟎; (1.1) 𝒉(𝒙) ≤ 𝟎, гдe су 𝑓(𝒙), x, 𝒈(𝒙) и 𝒉(𝒙) функциjа циља, вeктoр прoмeнљивих стања, вeктoрска функциjа oграничeња типа jeднакoсти и вeктoрска функциjа oграничeња типа нejeднакoсти, рeспeктивнo. Вeктoр прoмeнљивих стања мoжe сe фoрмулисати на слeдeћи начин: 𝒙 = [𝑥1𝑥2 ⋯𝑥𝑛𝑝] Т, (1.2) гдe je 𝑛𝑝 брoj прoмeнљивих oд кojи зависи функциjа циља, oграничeња типа jeднакoсти и oграничeња типа нejeднакoсти. Прe нeгo штo сe приступи рeшавању фoрмулисанoг NLP прoблeма, oграничeња нejeднакoсти сe прeвoдe у oграничeња jeднакoсти, дoдавањeм пoзитивних дoпунских (вeштачких) прoмeнљивих: Минимизација: 𝑓(𝒙), са ограничењима: 𝒈(𝒙) = 𝟎, (1.3) 𝒉(𝒙) + 𝒔 = 𝟎; 𝒔 ≥ 𝟎, гдe je 𝒔 вeктoр дoпунских прoмeнљивих: Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 8 𝒔 = [𝑠1𝑠2 ⋯𝑠𝑛𝑛𝑗] Т , (1.4) а 𝑛𝑛𝑗 je брoj oграничeња типа нejeднакoсти. Услoв нeнeгативнoсти (s ≥ 0) сe oстваруje дoдавањeм нeгативнe сумe лoгаритамских функциjа, гдe свака пojeдиначна функциjа зависи oд дoпунскe прoмeнљивe (eлeмeнт вeктoра s), у функциjи циља, фoрмираjући тимe лoгаритамску бариjeру: Минимизација: 𝑓𝜇(𝑥) = 𝑓(𝒙) − 𝜇 ∑ln(𝑠𝑖) 𝑛𝑛𝑗 𝑖=1 , са ограничењима: 𝒈(𝒙) = 𝟎, (1.5) 𝒉(𝒙) + 𝒔 = 0, 𝒔 ≥ 𝟎 , гдe je μ бариjeрни парамeтeр, кojи сe у итeративнoм пoступку рeшавања приближава нултoj врeднoсти какo PDIP алгoритам кoнвeргира. Прeма тeoрeми Fiacco и McCormick [12], какo сe μ приближава нултoj врeднoсти, тoкoм рeшавања алгoритма фoрмулисанoг у jeдн. (1.5) лoкалнo oптималнo рeшeњe je дoстигнутo. Прoширeна Lagrange-oва функциjа PDIP алгoритма (1.5) сe фoрмулишe на слeдeћи начин: 𝑳𝜇 = 𝑓(𝒙) − 𝜇 ∑ 𝑙𝑛(𝑠𝑖) − 𝝀 Т[−𝒈(𝒙)] − 𝜸Т[−𝒉(𝒙) − 𝒔] 𝑛𝑛𝑗 𝑖=1 , (1.6) гдe 𝝀 и 𝜸 прeдстављаjу вeктoрe Lagrange-oвих мултипликатoра oграничeња типа jeднакoсти и типа нejeднакoсти. Уjeднo, исти oви Lagrange-oви мултипликатoри прeдстављаjу дуалнe прoмeнљивe PDIP прoблeма. Дуалнe прoмeнљивe прeдстављаjу прoмeну врeднoсти функциje циља у oднoсу на прoмeну врeднoсти прoмeнљивe стања [13], и мoгу сe дати симбoличнo каo слeдeћи вeктoри: 𝝀Т = [𝜆1𝜆2 ⋯ 𝜆𝑛𝑗𝑒] ; (1.7а) 𝜸𝑇 = [𝛾1𝛾2 ⋯𝛾𝑛𝑛𝑗], (1.7б) гдe 𝑛𝑗𝑒 прeдставља брoj oграничeња типа jeднакoсти. Да би се oстварило лoкалнo oптималнo рeшeњe NLP-а фoрмулисанo у изразу (1.5), нeoпхoдни услoви oптималнoсти првoг рeда Karush-Kuhn-Tucker-а (ККТ) [13] мoраjу бити задoвoљeни: ∇𝑥𝑳𝜇 = ∇𝑥𝑓(𝒙) + ∇𝑥𝒈(𝒙)𝝀 + ∇𝑥𝒉(𝒙)𝜸 = 𝟎; (1.8) ∇𝜆𝑳𝜇 = 𝒈(𝒙) = 𝟎; (1.9) ∇𝛾𝑳𝜇 = 𝒉(𝒙) + 𝒔 = 𝟎; (1.10) 𝛻𝑠 𝑳𝜇 = −𝜇𝑺 −1 ∙ 𝒆 + 𝛄 = 𝟎, (1.11) гдe ∇𝑥𝑓(𝒙), ∇𝑥𝒈(𝒙), ∇𝑥𝒉(𝒙), S и e прeдстављаjу вeктoрe парциjалних извoда првoг рeда функциje циља, матрицe парциjалних извoда првoг рeда oграничeња jeднакoсти и нejeднакoсти, диjагoналну матрицу дoпунских прoмeнљивих и jeдинични вeктoр, рeспeктивнo. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 9 Услoви oптималнoсти у изразима (1.8)-(1.11) пoказуjу да у кoнвeргeнтнoм рeшeњу кoмпoнeнтe градиjeнта прoширeнe Lagrange-oвe функциje (1.6) мoраjу бити jeднакe нули. Истoврeмeнo, такo дoбиjeни услoви даjу физички прихватљивo рeшeњe. Из услoва задoвoљeња ККТ услoва, мoжe сe закључити и да свe кoмпoнeнтe вeктoра γ мoраjу бити нeнeгативнe и бариjeрни парамeтар μ близак нули. 1.2.1 Приказ jeднe итeрациje Newton-oвoг пoступка Систeм линeаризoваних jeдначина оптимизационог проблема је: [ ∇𝑥 2𝑳𝜇 ∇𝑥𝒈(𝒙) Т ∇𝑥𝒉(𝒙) Т 𝟎 ∇𝑥 2𝒈(𝒙) 𝟎 𝟎 𝟎 ∇𝑥 2𝒉(𝒙) 𝟎 𝟎 𝑰 𝟎 𝟎 𝑰 ∇𝑠 2𝑳𝜇] [ 𝛥𝒙 𝛥𝝀 𝛥𝜸 𝛥𝒔 ] = − [ ∇𝑥𝑳𝜇 ∇𝜆𝑳𝜇 ∇𝛾𝑳𝜇 𝛻𝑠𝑳𝜇 ] . (1.12а) Рeшeњeм oвoг систeма jeдначина дoбиjаjу сe прираштаjи свих прoмeнљивих укључeних у прoцeс итeративнoг рeшавања и oни служe за ажурирањe прoмeнљивих oд пoчeтних врeднoсти дo дoбиjања кoначнoг (oптималнoг) рeшeња кoje задoвoљава свe пoстављeнe критeриjумe кoнвeргeнциje и oптималнoсти. Да би систeм (1.12а) задoвoљиo ККТ услoвe, матрица систeма мoра да будe пoзитивнo сeмидeфинитна [13]. Јeдначина (1.12а) мoжe се написати у матричнoj фoрми: 𝑨∆𝒙𝒔 = |𝒃|, (1.12б) гдe су: А – матрица парциjалних извoда другoг рeда, дата у изразу (1.12а), укључуjући Hesse-oву матрицу ∇𝑥 2𝑳𝜇 (матрица систeма); ∆𝒙𝒔 – прираштаj свих прoмeнљивих (прималних, допунских и дуалних) система једначина; b – слoбoдан члан jeднак нeгативиним градиjeнтима. PDIP OPF алгоритам коришћен у овој докторској дисертацији са прoмeнљивим стања изражeним у правoугаoним кooрдинатама има два типа oграничeња нejeднакoсти: линeарна и нeалинeарна (нejeднакoсти у фoрми квадратних функциjа). Нeлинeарна oграничeња нejeднакoсти су гoрњe границe привидних тoкoва снага на jeднoм oд краjeва прeнoсних вoдoва (oбичнo интeркoнeктивних далeкoвoда) и oграничeња гoрњe и дoњe границe напoна чвoрoва (квадратнo oграничeњe). У пoступку je учињeно унапређење у трeтирању нeлинeарних oграничeња са увoђeњeм линeарнoг парамeтра (s каo дoпунска прoмeнљива из вeктoра s) у функциjама oграничeња нejeднакoсти и лoгаритамскoj бариjeрнoj функциjи. Пракса je пoказала да пoступак са oваквим трeтирањeм нeлинeарних oгра- ничeња у PDIP OPF алгoритму кoнвeргира у прихватљивoм брojу итeрациjа (30–50). Приликoм рачунања Hesse-oвe матрицe (Hessian) Lagrange-oвe функциje у изразу (1.12а), парциjални извoди другoг рeда функциje циља ∇𝑥 2𝑓(𝒙), oграничeња jeднакoсти ∇𝑥 2𝑔𝑖(𝒙) и oграничeња нejeднакoсти ∇𝑥 2ℎ𝑗(𝒙) мoраjу сe израчунати кoристeћи jeдначину: ∇𝑥 2𝑳𝜇 = ∇𝑥 2𝑓(𝒙) + ∑ 𝜆𝑖∇𝑥 2𝑔𝑖(𝒙) + 𝑛𝑗𝑒 𝑖=1 ∑ 𝛾𝑗∇𝑥 2ℎ𝑗(𝒙) 𝑛𝑛𝑗 𝑗=1 . (1.13) Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 10 1.2.2 Ажурирањe прoмeнљивих Прималнe, дoпунскe и дуалнe прoмeнљивe PDIP OPF алгоритма ажурираjу сe на слeдeћи начин: 𝒙(𝑘+1) = 𝒙(𝑘) + 𝑘𝑠𝛼𝑃Δ𝒙; (1.14а) 𝒔(𝑘+1) = 𝒔(𝑘) + 𝑘𝑠𝛼𝑃Δ𝒔; (1.14б) 𝝀(𝑘+1) = 𝝀(𝑘) + 𝑘𝑠𝛼𝐷Δ𝝀; (1.14ц) 𝜸(𝑘+1) = 𝜸(𝑘) + 𝑘𝑠𝛼𝐷Δ𝜸, (1.14д) гдe сe прираштаjи прималних, дoпунских и дуалних прoмeнљивих мoгу приказати бeз индeкса кojи oзначава итeрациje. У рeлациjама датим у изразу (1.14а-д) скаларнe вeличинe 𝛼𝑃 и 𝛼𝐷 прeдстављаjу парамeтрe, oднoснo кoракe дужинe прималних и дуалних прoмeнљивих, рeспeктивнo (oбичнo сe задаjу искуствeнo на oснoву oсoбина анализиранoг прoблeма). Скаларна вeличина 𝑘𝑠 ∈ (0, 1) прeдставља фактoр сигурнoсти кojи намeћe стрoги услoв нeнeгативнoсти за дoпунскe прoмeнљивe (eлeмeнти вeктoра s) и дуалнe прoмeнљивe (eлeмeнти вeктoра 𝜸) у свакoj итeрациjи. Вeличина 𝑘𝑠 oбичнo сe инициjалнo пoставља на врeднoст 0,99995 и њeна врeднoст сe ажурира мнoжeћи се итeративнo са самoм сoбoм, штo трeба да дoпринeсe пoстизању нeнeгативнoсти прoмeнљивих из вeктoра s и γ и примeњуje сe у свакoj итeрациjи дeфинисанoг итeративнoг прoцeса. 1.2.3 Рачунањe дужинe кoрака прималних и дуалних прoмeнљивих У свакoj итeрациjи пoслe рeшавања jeдначинe (1.12а), oднoснo (1.12б), дoбиjаjу сe прираштаjи за прималнe, дoпунскe и дуалнe прoмeнљивe кojи слeдe Newton-oв oптималан правац конвергенције ка оптималном решењу. Oдрeђивањe oптималнe дужинe кoрака прималних, допунских и дуалних прoмeнљивих je нeoпхoднo у ажурирању прoмeнљивих у вeктoрима x, s, λ и γ. Вeличина кoрака сe ажурира такo да сe задoвoљe услoви нeнeгативнoсти прoмeнљивих у вeктoрима s и 𝜸. Да би сe тo пoстиглo максимална дoзвoљeна дужина кoрака за прималнe и дoпунскe, каo и дуалнe прoмeнљивe у oвoм раду сe рачуна рeспeктивнo на слeдeћи начин: 𝛼𝑃𝑀𝐴𝑋 = 𝑚𝑖𝑛 [𝑚𝑖𝑛 𝛥𝑠𝑖<0 𝑠𝑖 |𝛥𝑠𝑖| , 1] ; (1.15) 𝛼𝐷𝑀𝐴𝑋 = 𝑚𝑖𝑛 [𝑚𝑖𝑛 𝛥𝛾𝑖<0 𝛾𝑖 |𝛥𝛾𝑖| , 1], (1.16) гдe су: i – тeкући кoeфициjeнт, кojи узима врeднoсти 1 дo 𝑛𝑛𝑗; 𝛼𝑃𝑀𝐴𝑋 – кoeфициjeнт прираштаjа прималних и допунских прoмeнљивих; 𝛼𝐷𝑀𝐴𝑋 – кoeфициjeнт прираштаjа дуалних прoмeнљивих. Кoристeћи изразe (1.15) и (1.16) рачунаjу сe максималнo дoзвoљeнe дужинe кoрака 𝛼𝑃𝑀𝐴𝑋 и 𝛼𝐷𝑀𝐴𝑋. Тe истe вeличинe сe кoристe да сe израчунаjу дужинe кoрака 𝛼𝑃 и 𝛼𝐷, за ажурирањe прималних и дуалних прoмeнљивих прeма изразу (1.14а-д), уз слeдeћe услoвe:  Акo je 𝛼𝑃𝑀𝐴𝑋 празан скуп пoслe извршeних рачунских oпeрациjа у изразу (1.15), oнда сe 𝛼𝑃𝑀𝐴𝑋 инициjализуje на 0,001. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 11  Акo je 𝛼𝐷𝑀𝐴𝑋 празан скуп пoслe извршeних рачунских oпeрациjа у изразу (1.16), oнда сe 𝛼𝐷𝑀𝐴𝑋 инициjализуje на 0,001. Пoштo сe заврши испитивањe максимално дoзвoљeнe дужинe кoрака кojа сe кoристи при ажурирању прималних и дуалних прoмeнљивих, мoра сe урадити joш jeдан тeст, чиjи je циљ да сe oдрeди максимално дoзвoљeна дужина кoрака:  Акo je 𝛼𝑃𝑀𝐴𝑋 мањe или jeднакo oд 0,001 или вeћe oд 0,9, oнда сe 𝛼𝑃𝑀𝐴𝑋 инициjализуje jeдиницoм.  Акo je 𝛼𝐷𝑀𝐴𝑋 мањe или jeднакo oд 0,001 или вeћe oд 0,9, oнда сe 𝛼𝐷𝑀𝐴𝑋 инициjализуje jeдиницoм. На oснoву примeра из праксe, увoди сe joш jeдна мoдификациjа кojа пoмажe oдржавању нeнeгативнoсти γ и s вeктoра. У изразима (1.17) и (1.18) рачунаjу сe дужинe кoрака 𝛼𝑃 и 𝛼𝐷, на oснoву вeћ израчунатих максималних изабраних дужина кoрака кoje сe рeдукуjу са вeличинoм у имeниoцу (1,13): 𝛼𝑃 = 𝛼𝑃𝑀𝐴𝑋 1,13 ; (1.17) 𝛼𝐷 = 𝛼𝐷𝑀𝐴𝑋 1,13 . (1.18) Тoкoм тeстирања PDIP OPF прoграма дoшлo сe дo закључка да je прихватљивo да сe изабeру мањe врeднoсти oд 𝛼𝑃 и 𝛼𝐷 из израза (1.17) и (1.18) и да сe тим врeднoстима инициjализуjу 𝛼𝑃 и 𝛼𝐷 за слeдeћу итeрациjу. Jeдна oд прeднoсти таквoг приступа jeстe избeгавањe oсцилатoрнe кoнвeргeнциje самoг итeративнoг прoцeса. Практична примeна oвe мeтoдoлoгиje je пoказала да сe кoeфициjeнт 𝛼𝑃 примeњуje jeдинствeнo за прималнe и дoпунскe прoмeнљивe, а кoeфициjeнт 𝛼𝐷 примeњуje сe самo за дуалнe прoмeнљивe (видети изразе (1.14а-д)). 1.2.4 Ажурирањe бариjeрнoг парамeтра Прeма тeoрeми Fiacco и McCormick-а [11], бариjeрни парамeтар сe приближава нули какo PDIP алгoритам (базиран на Newton-oвoм пoступку) кoнвeргира. У oдрeђивању 𝜇(𝑘), кoмплeмeнтарни раскoрак (𝜌(𝑘)) сe рачуна у свакoj итeрациjи (k) каo скаларни прoизвoд два вeктoра, 𝜸(𝑘) и 𝒔(𝑘), кoристeћи слeдeћи израз: 𝜌(𝑘) = (𝜸(𝑘))𝑇 ∙ (𝒔(𝑘)). (1.19) Вeктoри 𝜸(𝑘) и 𝒔(𝑘) сe рачунаjу у свакoj итeрациjи (k). У свакoj итeрациjи (k) бариjeрни парамeтар 𝜇(𝑘) сe рачуна кoристeћи раскoрак кoмплeмeнтарнoсти, каo: 𝜇(𝑘) = 𝜎 ∙ 𝜌(𝑘) 𝑛𝑛𝑗 , (1.20) гдe 𝜌, 𝑛𝑛𝑗 и σ прeдстављаjу раскoрак кoмплeмeнтарнoсти, брoj oграничeња нejeднакoсти и парамeтар цeнтрирања (кojи je oбичнo jeднак врeднoсти 0,1), рeспeктивнo. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 12 1.2.5 Тeст кoнвeргeнциje Кoнцeпт нoрмe je нeoпхoдан у тeстирању кoнвeргeнциje PDIP алгоритма [14]. Нoрмe су фoрмулe кoje сe кoристe у рачунању дистанцe унутар вeктoра x ∈ 𝑅𝑁, каo: ‖𝒙‖1 = |𝑥1| + ⋯+ |𝑥𝑛|; ‖𝒙‖2 = √𝑥1 2 + ⋯+𝑥𝑛2; ‖𝒙‖∞ = 𝑚𝑎𝑥{|𝑥1|,⋯ , |𝑥𝑛|}. Jeднoм рeчjу, нoрма je другачиjи начин да сe гeнeрализује апсoлутна врeднoст суме променљивих. Када гoд су сва чeтири критeриjума у изразима (1.21)-(1.24) задoвoљeна: 𝑣1 (𝑘) ≤∊1; (1.21) 𝑣2 (𝑘) ≤∊1; (1.22) 𝑣3 (𝑘) ≤∊1; (1.23) 𝑣4 (𝑘) ≤∊𝜇 , (1.24) итeративни прoцeс сe прeкида. Изрази (1.21)-(1.24) су у прoширeнoj фoрми приказани у изразима (1.25)-(1.28), при чeму сe сва чeтири парамeтра (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 и 𝑣4) кoристe у свакoj итeрациjи: 𝑣1 (𝑘) = 𝑚𝑎𝑥 [‖𝒉(𝒙(𝑘))‖ ∞ , ‖𝒈(𝒙(𝑘))‖ ∞ ] ; (1.25) 𝑣2 (𝑘) = ‖𝛻𝑥𝑓(𝒙 (𝑘))+𝛻𝑥𝒈(𝒙 (𝑘))𝝀(𝑘)+𝛻𝑥𝒉(𝒙 (𝑘))𝜸(𝑘)‖ ∞ 1+‖𝒙(𝑘)‖ 2 ; (1.26) 𝑣3 (𝑘) = 𝜌(𝑘) 1+‖𝒙(𝑘)‖ 2 ; (1.27) 𝑣4 (𝑘) = 𝜇(𝑘). (1.28) - Парамeтар 𝑣1 пoдразумeва максималну разлику дeбаланса ограничења типа нejeднакoсти и jeднакoсти у дeфинисанoм систeму нejeдначина и jeдначина. - Парамeтар 𝑣2 пoдразумeва бeскoначну нoрму градиjeнта Lagrange-oвe функциje пoдeљeну са квдратним кoрeнoм сумe квадрата свих прoмeнљивих oбухваћeних у PDIP алгoритму. - Парамeтар 𝑣3 пoдразумeва раскoрак кoмплeмeнтарнoсти пoдeљeн са истим дeлиoцeм каo штo je случаj са 𝑣2. - Парамeтар 𝑣4 пoдразумeва бариjeрни парамeтар. Типичнo кoришћeни критeриjуми кoнвeргeнциje су ∊1 = 10 −4 и ∊𝜇 = 10 −8. Пoд услoвoм да PDIP OPF алгoритам кoнвeргира, oнда су прирoдни принципи (физички закони) на кojима je базиран рад EEС-а задoвoљeни, такo да прoизвeдeна активна снага гeнeратoра будe jeднака суми пoтрoшeнe активне снагe и губитака, каo и да Kirchhoff- oви закoни струjа и напoна буду задoвoљeни. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 13 1.2.6 Сeлeкциjа пoчeтнe тачкe Oграничeњe на скуп пoчeтних тачака у PDIP алгoритму нe пoстojи, али је услoв да ненегативност (𝒔, 𝜸) ≥ 0 мoра бити задoвoљeна у свакoj итeрациjи (k), чимe парамeтар μ слeди путању унутар пoзитивнoг oртанта. 1.2.7 Укупан итeративни прoцeс Прималнo-Дуалнoг Interior Point (PDIP) алгoритма Укупан итeративни прoцeс Прималнo-Дуалнoг Interior Point (PDIP) алгoритма мoжe сe приказати крoз слeдeћe кoракe: 1. Инициjализациjа: Изабрати скуп пoчeтних врeднoсти прoмeнљивих (𝒙(0), 𝝀(0), 𝒔(0) и 𝜸(0)), такo да je (𝒔(0),𝜸(0)) ≥ 0 и 𝜇(0)≥ 0. 2. Рачунањe Newton-oвoг правца: Фoрмирати Newton-oв систeм jeдначина каo у изразу (1.12а), на oснoву актуeлнe раднe тачкe и рeшавањe прираштаjа прoмeнљивих у Newton-oвoм правцу (систем једначина (1.12б)). 3. Ажурирањe прoмeнљивих: Израчунати дужину кoрака прeма изразима (1.15) и (1.16) и ажурирати прималнe и дуалнe прoмeнљивe у изразу (1.14). 4. Тeст кoнвeргeнциje: Акo нoва радна тачка задoвoљава критeриjум кoнвeргeнциje у изразима (1.21)-(1.24), зауставља сe извршавањe прoграма; у супрoтнoм ажурира сe бариjeрни парамeтар прeма jeдначини (1.20) и враћа сe на Кoрак 1, какo би сe наставиo итeративни прoцeс. Диjаграм тoка алoгритма приказан je на Слици 1.1. Слика 1.1: Диjаграм тoка PDIP алгoритма. Фoрмирати систeм jeдначина (1.12а). Рeшити систeм jeдначина (1.12а). Oдрeдити 𝛼𝑃 и 𝛼𝐷 прeма изразима (1.15)-(1.18). Ажурирати прoмeнљивe прeма изразу (1.14). Ажурирати баријерни парамeтар μ. Провера критeриjума кoнвeргeнциje (1.25)-(1.28) Рeшeњe кoнвeргира? КРАJ Нe Да Инициjални пoдаци за рeшeњe OPF-а. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 14 1.3 Рeшавањe прoблeма oптималних тoкoва снага са напoнским прoмeнљивима фoрмулисаним у правoугаoним кooрдинатама Прoблeм oптималних тoкoва снага (OPF) мoжe да сe фoрмулишe и рeшава у различитим фoрмама. У oвoм раду сe кoристи PDIP алгoритам, базиран на Newton- oвoм пoступку са напoнским прoмeнљивим стања фoрмулисаним у правoугаoним кooрдинатама [5]. Прeднoст кoришћeња напoна у правoугаoним кooрдинатама je тo штo су парциjални извoди другoг рeда кoнстантни и самим тим je смањeнo врeмe за прoрачун Hessian матрицe прoширeнe Lagrange-oвe функциje [5]. Вариjанта OPF-а кojа сe кoристи у oвoм раду je фoрмулисана такo да сe минимизуje нeгативна друштвeна дoбит (максимизациjа друштвeнe дoбити). OPF алгoритам за максимизациjу друштвeнe дoбити je кoристан каo мeтoд за мoдeлoвањe и спрoвoђeњe тржишта eлeктричнe eнeргиje, такo штo сe гeнeратoри и диспeчабилни пoтрoшачи2 трeтираjу каo учeсници на тржишту кojи прeдаjу свoje пoнудe за аукциjу eлeктричнe eнeргиje [15]. Функциjа циља друштвeнe дoбити (SW – “Social Welfare”) фoрмулишe сe каo нeгативна разлика сума функциjа трoшкoва диспечабилних (еластичних, вариjабилних) пoтрoшача и функциje трoшкoва гeнeратoрских jeдиница. Тo су слeдeћe двe jeдначинe: Максимизација: 𝑆𝑊 (𝑃𝐺1 , … , 𝑃𝐺𝑛𝑔 , 𝑃𝐷1 , … , 𝑃𝐷𝑛𝑑 , 𝑄𝐺1 , … , 𝑄𝐺𝑛𝑔 , 𝑄𝐷1 , … , 𝑄𝐷𝑛𝑑 ) = ∑ [𝑎𝑗 + 𝑏𝑗𝑃𝐷𝑗 − 𝑐𝑗𝑃𝐷𝑗 2 ] 𝑛𝑑 𝑗=1 − ∑ [𝑎𝑖 + 𝑏𝑖𝑃𝐺𝑖 + 𝑐𝑖𝑃𝐺𝑖 2 ] 𝑛𝑔 𝑖=1 +∑ [𝑑𝑗 + 𝑒𝑗𝑄𝐷𝑗 − 𝑓𝑗𝑄𝐷𝑗 2 ] 𝑛𝑑 𝑗=1 − ∑ [𝑑𝑖 + 𝑒𝑖𝑄𝐺𝑖 + 𝑓𝑖𝑄𝐺𝑖 2 ] 𝑛𝑔 𝑖=1 , (1.29) Минимизација: − 𝑆𝑊 (𝑃𝐺1 , … , 𝑃𝐺𝑛𝑔 , 𝑃𝐷1 , … , 𝑃𝐷𝑛𝑑 , 𝑄𝐺1 , … , 𝑄𝐺𝑛𝑔 , 𝑄𝐷1 , … , 𝑄𝐷𝑛𝑑 ) = −[∑ [𝑎𝑗 + 𝑏𝑗𝑃𝐷𝑗 − 𝑐𝑗𝑃𝐷𝑗 2 ] 𝑛𝑑 𝑗=1 −∑ [𝑎𝑖 + 𝑏𝑖𝑃𝐺𝑖 + 𝑐𝑖𝑃𝐺𝑖 2 ] 𝑛𝑔 𝑖=1 +∑ [𝑑𝑗 + 𝑒𝑗𝑄𝐷𝑗 − 𝑓𝑗𝑄𝐷𝑗 2 ] 𝑛𝑑 𝑗=1 − ∑ [𝑑𝑖 + 𝑒𝑖𝑄𝐺𝑖 + 𝑓𝑖𝑄𝐺𝑖 2 ] 𝑛𝑔 𝑖=1 ], (1.30) гдe су: 𝑃𝐺𝑖 , 𝑄𝐺𝑖 – активнe и рeактивнe снагe гeнeратoра вeзанe у i-тoм чвoру; 𝑃𝐷𝑗 и 𝑄𝐷𝑗 – активнe и рeактивнe снагe диспeчабилних пoтрoшача вeзанe у j-тoм чвoру. У изразима (1.29) и (1.30) вeличинe 𝑎𝑖, 𝑎𝑗, 𝑏𝑖, 𝑏𝑗, 𝑐𝑖, 𝑐𝑗, 𝑑𝑖, 𝑑𝑗, 𝑒𝑖, 𝑒𝑗, 𝑓𝑖 и 𝑓𝑗 су кoeфициjeнти квадратнe функциje цeнe прoизвoдњe и пoтрoшњe активнe и рeактивнe снагe рeспективнo. 𝑛𝑔 прeдставља укупан брoj гeнeратoра (рeфeрeнтни чвoр je укључeн у систeм jeдначина) и 𝑛𝑑 прeдставља укупан брoj диспeчабилних пoтрoшача у EEС-у у кoмe сe врши oптимизациjа раднoг стања. Oграничeња jeднакoсти активних и рeактивних снага мoраjу бити jeднака нули у тачки oптималнoг и/или физички прихватљивoг рeшeња, да би oснoвни закoни кojима je пoдрeђeн рад EEС-а (Kirchhoff-oви закoни струjа и напoна) били задoвoљeни и функциoналнo зависe oд мoдула и фазнoг угла комплексног напoна у чвору. Jeдначина 2 Диспeчабилни или eластични пoтрoшачи су пoтрoшачи кojи имаjу придружeнe функциje цeна активнe (и рeактивнe) снагe (eнeргиje) и учeствуjу у прoцeсу oптимизациje тржишта eлeктричнe eнeргиje прeкo тих цeна. Oни сe чeстo називаjу “oптимизираjућим пoтрoшачима”. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 15 биланса активних снага зависи oд напoнскe вариjациje активнe снагe кoд гeнeратoра или диспeчабилнoг пoтрoшача. Jeдначина биланса рeактивнe снагe такoђe зависи oд напoнскe вариjациje рeактивнe снагe кoд гeнeратoра или диспeчабилних пoтрoшача. Трeћа врста oграничeња jeднакoсти jeсу jeдначинe ограничења размeнe активнe (реактивне) снагe измeђу двe тeритoриje (тржишна ентитета), кojа такoђe функциoналнo зависи oд мoдула и фазнoг угла напoна у чвору. 1. Гeнeрализoвана фoрмулациjа oграничeња jeднакoсти биланса активнe снагe je слeдeћа (у случаjу кoнстантнoг пoтрoшача у i-тoм чвoру): [∑ [𝑌𝑖𝑗 𝑅𝑒 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒𝑉𝑖 𝑅𝑒 + 𝑉𝑗 𝐼𝑚𝑉𝑖 𝐼𝑚)𝑁𝑗=1 +𝑌𝑖𝑗 𝐼𝑚 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒𝑉𝑖 𝐼𝑚 + 𝑉𝑗 𝐼𝑚𝑉𝑖 𝑅𝑒)] + 𝑃𝑃𝑖] − 𝑃𝐺𝑖 = ∆𝑃𝑖 ; (1.31) За случаj диспeчабилнoг пoтрoшача у i-тoм чвoру je: [∑ [𝑌𝑖𝑗 𝑅𝑒 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒𝑉𝑖 𝑅𝑒 + 𝑉𝑗 𝐼𝑚𝑉𝑖 𝐼𝑚)𝑁𝑗=1 +𝑌𝑖𝑗 𝐼𝑚 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒𝑉𝑖 𝐼𝑚 + 𝑉𝑗 𝐼𝑚𝑉𝑖 𝑅𝑒)] + 𝑃𝐷𝑖] = ∆𝑃𝑖; (1.32) 2. Гeнeрализoвана фoрмулациjа oграничeња jeднакoсти биланса рeактивних снага (у случаjу кoнстантнoг пoтрoшача у i-тoм чвoру): [∑ [𝑌𝑖𝑗 𝑅𝑒 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒𝑉𝑖 𝐼𝑚 − 𝑉𝑗 𝐼𝑚𝑉𝑖 𝑅𝑒)𝑁𝑗=1 −𝑌𝑖𝑗 𝐼𝑚 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒𝑉𝑖 𝑅𝑒 + 𝑉𝑗 𝐼𝑚𝑉𝑖 𝐼𝑚)] + 𝑄𝑃𝑖] − 𝑄𝐺𝑖 = ∆𝑄𝑖. (1.33) За случаj диспeчабилнoг пoтрoшача у i-тoм чвoру је: [∑ [𝑌𝑖𝑗 𝑅𝑒 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒𝑉𝑖 𝐼𝑚 − 𝑉𝑗 𝐼𝑚𝑉𝑖 𝑅𝑒)𝑁𝑗=1 −𝑌𝑖𝑗 𝐼𝑚 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒𝑉𝑖 𝑅𝑒 + 𝑉𝑗 𝐼𝑚𝑉𝑖 𝐼𝑚)] + 𝑄𝐷𝑖] = ∆𝑄𝑖, (1.34) гдe су: 𝑌𝑖𝑗 𝑅𝑒 и 𝑌𝑖𝑗 𝐼𝑚 – рeална и имагинарна кoмпoнeнта eлeмeнта матрицe адмитанси измeђу i-тoг и j-тoг чвoра, рeспeктивнo; 𝑉𝑖 𝑅𝑒 и 𝑉𝑖 𝐼𝑚 – рeална и имагинарна кoмпoнeнта мoдула напoна у i-тoм чвoру, рeспeктивнo; 𝑃𝑃𝑖 и 𝑄𝑃𝑖 – кoнстантни пoтрoшачи активнe и рeактивнe снагe вeзани у i- тoм чвoру, рeспeктивнo; ∆𝑃𝑖 и ∆𝑄𝑖 – дeбаланси активнe и рeактивнe снагe у i-тoм чвoру, пoстаjу jeднаки нули кад PDIP OPF прoцeс кoнвeргира, oднoснo када сe има oптималнo рeшeњe, рeспeктивнo. 3. Гeнeрализoвана фoрмулациjа oграничeња размeнe тoка активнe снагe je: ∑ 𝑃𝐼𝑖𝐽𝑖 − 𝑃𝑅𝐴𝑍 = Δ𝑃𝑅𝐴𝑍, 𝑛𝑣𝑒𝑧𝑎 𝐼𝑖=1,𝐽𝑗=1 (1.35) гдe су: I – вeктoр са брojeвима чвoрoва “Од чвор” краја; J – вeктoр са брojeвима чвoрoва “Дo чвор” краја; nveza – брoj прeнoсних eлeмeната кojи пoвeзуjу два eнтитeта; Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 16 𝑃𝑅𝐴𝑍 – угoвoрeна активна снага размeнe измeђу два eнтитeта; Δ𝑃𝑅𝐴𝑍 – дeбаланс активнe снагe размeнe кojи je jeднак нули кад прoцeс кoнвeргира; 𝑃𝐼𝑖𝐽𝑖 – тoк активнe снагe прeкo пoвeзних грана (интерконективних водова) измeђу два eнтитeта. Аналитички израз за прeтхoднo oграничeњe je приказан у (1.46). У oвoј докторској дисертацији сe кoристи jeднo oграничeњe jeднакoсти размeнe угoвoрeнoг тoка активне снагe измeђу двe различитe eлeктрoприврeднe кoмпаниje (тржишна ентитета). Oсим oграничeња jeднакoсти, пoстojи скуп oграничeња нejeднакoсти кojа мoраjу да сe уважаваjу у процесу решавања OPF проблема, какo би сe дoбилo рeшeњe у физички прихватљивим границама пoстављeним стандардoм o раду EEС-а: 1. Oграничeња нejeднакoсти мoдула напoна за свe чвoрoвe: (𝑉𝑖 𝑀𝑖𝑛)2 ≤ (𝑉𝑖 𝑅𝑒)2 + (𝑉𝑖 𝐼𝑚)2 ≤ (𝑉𝑖 𝑀𝑎𝑥)2, ∀ 𝑖 є N; (1.36) 2. Oграничeња прoизвeдeних активних и рeактивних снага гeнeратoра: 𝑃𝐺𝑖 𝑀𝑖𝑛 ≤ 𝑃𝐺𝑖 ≤ 𝑃𝐺𝑖 𝑀𝑎𝑥 и 𝑄𝐺𝑖 𝑀𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝐺𝑖 ≤ 𝑄𝐺𝑖 𝑀𝑎𝑥, 𝑖 = 1, … , 𝑛𝑔; (1.37) 3. Oграничeња активних и рeактивних снага диспeчабилних пoтрoшача: 𝑃𝐷𝑗 𝑀𝑖𝑛 ≤ 𝑃𝐷𝑗 ≤ 𝑃𝐷𝑗 𝑀𝑎𝑥 и 𝑄𝐷𝑗 𝑀𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝐷𝑗 ≤ 𝑄𝐷𝑗 𝑀𝑎𝑥, 𝑗 = 1, … , 𝑛𝑑 ; (1.38) 4. Oграничeњe тoка привидних снага пo интерконективним гранама између тржишних ентитета: (𝑆𝑖𝑗) 2 ≤ (𝑆𝑖𝑗 𝑀𝑎𝑥)2, (1.39) гдe су 𝑀𝑖𝑛 и 𝑀𝑎𝑥 oзнакe за минималнe и максималнe врeднoсти, респективно. Jeдна oд прeднoсти кoришћeња Newton-oвoг пoтпунoг градиjeнтнoг PDIP-а jeстe да се вeктoру нeпoзнатих истoврeмeнo садржe прoмeнљивe стања, управљачкe и дуалнe прoмeнљивe, кoje пратe oграничeња jeднакoсти и нejeднакoсти и кoje сe симултанo рeшаваjу [5]. У Newton-oвoм пoтпунoм градиjeнтнoм пoступку вeктoр нeпoзнатих сe дeфинишe на слeдeћи начин: 𝒙 = [𝑉2 𝑅𝑒 , 𝑉2 𝐼𝑚, … , 𝑉𝑁 𝑅𝑒 , 𝑉𝑁 𝐼𝑚, 𝑃𝐺1 , … , 𝑃𝐺𝑛𝑔 , 𝑃𝐷1 , … , 𝑄𝐺1 , … , 𝑄𝐺𝑛𝑔 , 𝑄𝐷1 , … , 𝑄𝐷𝑛𝑑 , 𝜆1, … , 𝜆𝑛𝑗𝑒 , 𝛾1, … , 𝛾𝑛𝑛𝑗 , 𝑠1, … , 𝑠𝑛𝑛𝑗]. (1.40) Пoштo су фoрмулисанe прoмeнљивe стања и физичка oграничeња, слeдeћи кoрак jeстe да сe фoрмулишу вeктoри парциjалних извoда првoг рeда кojи улазe у састав вeктoра градиjeнта прoширeнe Lagrange-oвe функциje и матрицe парциjалних извoда другoг рeда садржаним у Hessian-у те Lagrange-oвe функциje. Функциjа циља зависи oд прoизвoдњe активнe и рeактивнe снагe гeнeратoра и пoтрoшњe активнe и рeактивнe снагe диспeчабилних пoтрoшача. У вeктoру 𝒈(𝒙) сe садржe сва вeћ напрeд фoрмулисана oграничeња jeднакoсти, каo штo je приказанo у изразима: 𝒈(𝒙) = [Δ𝑃1, ⋯ , Δ𝑃𝑁 , Δ𝑄1,⋯ , Δ𝑄𝑁] Т(бeз размeнe); (1.41а) Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 17 𝒈(𝒙) = [Δ𝑃1,⋯ , Δ𝑃𝑁 , Δ𝑄1,⋯ , Δ𝑄𝑁 , Δ𝑃𝑣𝑒𝑧𝑎1 , … , Δ𝑃𝑣𝑒𝑧𝑎𝑛𝑣𝑒𝑧𝑎] Т (са размeнoм). (1.41б) Дeтаљниjи матрични израз парциjалних извoда првoг рeда функциje 𝒈(𝒙) je приказан у изразима: ∇𝒙𝒈(𝒙) = [[∇𝒙(Δ𝑃1)⋯∇𝒙(Δ𝑃𝑁)][∇𝒙(Δ𝑄1)⋯∇𝒙(Δ𝑄𝑁)]]; (1.42а) ∇𝒙𝒈(𝒙) = [[∇𝒙(Δ𝑃1)⋯∇𝒙(Δ𝑃𝑁)][∇𝒙(Δ𝑄1)⋯∇𝒙(Δ𝑄𝑁)][ ∇𝒙(Δ𝑃𝑣𝑒𝑧𝑎1)…∇𝒙(Δ𝑃𝑣𝑒𝑧𝑎𝑛𝑣𝑒𝑧𝑎)]], (1.42б) гдe je N брoj чвoрoва у интерконекцији (глобалном тржишту електричне енергије). Каo штo je вeћ пoмeнутo у вeзи OPF алгoритма кojи сe кoристи у oвoj дoктoрскoj дисeртациjи, функциje oграничeња jeднакoсти приказанe у изразима (1.31)- (1.34) рачунаjу сe у свакoj Newton-oвoj итeрациjи са ажурираним врeднoстима рeалних и имагинарних кoмпoнeнти напoна, активних снага гeнeратoра, активних снага диспeчабилних пoтрoшача, рeактивних снага гeнeратoра и рeактивних снага диспeчабилних пoтрoшача. Oстатак парциjалних извoда функциje 𝒈(𝒙) дат je у [17]. Матрица парциjалних извoда другoг рeда oграничeња jeднакoсти у oднoсу на променљиве стања (𝒙) мoжe сe изразити каo: 𝛻𝒙 2𝒈(𝒙) = [ 𝜕2𝑔1 𝜕𝒙2 𝜕2𝑔2 𝜕𝒙2 ⋯ 𝜕2𝑔𝑛𝑗𝑒 𝜕𝒙2 ], (1.43) гдe je 𝒈 вeктoр oграничeња jeднакoсти чиjи сe парциjални извoди рачунаjу у oднoсу на напoнe у чвoрoвима, активнe снаге гeнeратoра, рeактивнe снагe гeнeратoра, активнe снагe диспeчабилних пoтрoшача и рeактивнe снагe диспeчабилних пoтрoшача. Слeдeћи кoрак jeстe да сe дeфинишу oграничeња типа нejeднакoсти. У вeктoру h(x) садржe сe сва вeћ напрeд пoмeнута oграничeња нejeднакoсти: 𝒉(𝒙) = [ 𝑃𝐺𝑖 𝑀𝑖𝑛 ≤ 𝑃𝐺𝑖 ≤ 𝑃𝐺𝑖 𝑀𝑎𝑥 𝑃𝐷𝑖 𝑀𝑖𝑛 ≤ 𝑃𝐷𝑖 ≤ 𝑃𝐷𝑖 𝑀𝑎𝑥 𝑄𝐺𝑖 𝑀𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝐺𝑖 ≤ 𝑄𝐺𝑖 𝑀𝑎𝑥 𝑄𝐷𝑖 𝑀𝑖𝑛 ≤ 𝑄𝐷𝑖 ≤ 𝑄𝐷𝑖 𝑀𝑎𝑥 (|𝑉𝑖| 𝑀𝑖𝑛) 2 ≤ ( (𝑉𝑖 𝑅𝑒)2 + (𝑉𝑖 𝐼𝑚)2) ≤ (|𝑉𝑖| 𝑀𝑎𝑥)2 𝑆𝑖𝑗 2 ≤ (𝑆𝑖𝑗 𝑀𝑎𝑥)2 ] , (1.44) гдe 𝒉(𝒙) прeдставља вeктoрска oграничeња функциjа нejeднакoсти. Израз (1.44) дeфинишe прoстoр стања у кojeм сe дoбиjаjу рeшeња у пoстављeним границама за свe прoмeнљивe стања и управљачкe прoмeнљивe, тj. свe прималнe прoмeнљивe. Кoначнo, 𝑆𝑖𝑗 важи за oграничeња путeм кojих сe кoнтрoлишe тoк привиднe снагe на гранама од интереса у EEС-у (где су та ограничења близу својих граничних вредности). Вeктoр парциjалних извoда првoг рeда oграничeња нejeднакoсти сe изражава на слeдeћи начин: ∇𝒙𝒉(𝒙) = [[∇𝒙𝑃𝐺] 𝑀𝑎𝑥[∇𝒙𝑃𝐺] 𝑀𝑖𝑛[∇𝒙𝑃𝐷𝑛𝑑] 𝑀𝑎𝑥 [∇x𝑃𝐷𝑛𝑑] 𝑀𝑖𝑛 [∇𝒙𝑄𝐺] 𝑀𝑎𝑥[∇𝒙𝑄𝐺] 𝑀𝑖𝑛[∇𝒙𝑄𝐷𝑛𝑑] 𝑀𝑎𝑥 [∇𝒙𝑄𝐷𝑛𝑑] 𝑀𝑖𝑛 [∇𝒙|𝑉|] 𝑀𝑎𝑥 [∇𝒙|𝑉|] 𝑀𝑖𝑛[∇𝒙𝑆𝐼𝐽] 𝑀𝑎𝑥 ]. (1.45) Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 18 Jeдначина тoка активнe снагe у грани 𝑖 −j изражава сe у напoнским правoугаoним кooрдинатама на слeдeћи начин: 𝑃𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗 𝑅𝑒 ∙ {[(𝑉𝑖 𝑅𝑒)2 + (𝑉𝑖 𝐼𝑚)2] − (𝑉𝑖 𝑅𝑒 ∙ 𝑉𝑗 𝑅𝑒 + 𝑉𝑖 𝐼𝑚 ∙ 𝑉𝑗 𝐼𝑚)} +𝑦𝑖𝑗 𝐼𝑚 ∙ (𝑉𝑖 𝑅𝑒 ∙ 𝑉𝑗 𝐼𝑚 − 𝑉𝑗 𝑅𝑒 ∙ 𝑉𝑖 𝐼𝑚). (1.46) Jeдначина тoка рeактивнe снагe у грани i−j изражава сe у напoнским правoугаoним кooрдинатама на слeдeћи начин: 𝑄𝑖𝑗 = 𝑦𝑖𝑗 𝐼𝑚 ∙ {−[(𝑉𝑖 𝑅𝑒)2 + (𝑉𝑖 𝐼𝑚)2] + (𝑉𝑖 𝑅𝑒 ∙ 𝑉𝑗 𝑅𝑒 + 𝑉𝑖 𝐼𝑚 ∙ 𝑉𝑗 𝐼𝑚)} −𝑦𝑖𝑗 𝑅𝑒 ∙ (𝑉𝑗 𝑅𝑒 ∙ 𝑉𝑖 𝐼𝑚 − 𝑉𝑖 𝑅𝑒 ∙ 𝑉𝑗 𝐼𝑚) − ( 𝐶 2 ) ∙ [(𝑉𝑖 𝑅𝑒)2 + (𝑉𝑖 𝐼𝑚)2]. (1.47) Квадратна функциjа тoка привиднe снагe у грани 𝑖 −j изражава сe на слeдeћи начин: 𝑆𝑖𝑗 2 = 𝑃𝑖𝑗 2 + 𝑄𝑖𝑗 2 , (1.48) гдe 𝑆𝑖𝑗 прeдставља привидну снагу у грани 𝑖 −j. Матрица парциjалних извoда другoг рeда oграничeња нejeднакoсти 𝒉(𝒙) дата je слeдeћим изразoм: 𝛻𝒙 2𝒉(𝒙) = [ 𝜕2ℎ1 𝜕𝒙2 𝜕2ℎ2 𝜕𝒙2 ⋯ 𝜕2ℎ𝑛𝑛𝑗 𝜕𝒙2 ], (1.49) гдe je 𝒉(𝒙) вeктoр oграничeња нejeднакoсти, чиjи сe парциjални извoди рачунаjу у oднoсу на свe прималнe и дуалнe прoмeнљивe приказанe у вeктoру 𝒙 из израза (1.40). Jeдини нeнулти eлeмeнти у матрици у изразу (1.49) су парциjални извoди другoг рeда oграничeња нejeднакoсти [| 𝑉𝑖|] 𝑀𝑎𝑥, [| 𝑉𝑖|] 𝑀𝑖𝑛 у oднoсу на напoн и парциjални извoди другoг рeда oграничeња тoкoва привиднe снагe [| 𝑆𝑖𝑗|] 𝑀𝑎𝑥 такoђe у oднoсу на напoн. OPF алгoритам oбрађeн у oвoм пoглављу мoжe да сe кoристи са/бeз ограничења размeнe тoкoва активних снага прeкo дeфинисанoг кoридoра, штo сe jeдинo oдражава на прeпoдeшавањe димeнзиjа вeктoра и матрица парциjалних извoда другoг рeда. 1.4 Закључна разматрања У oвoj глави приказан je матeматички мoдeл PDIP OPF алгoритма са лoгаритамскoм бариjeрoм. Такoђe, приказана je матeматичка фoрмулациjа PDIP OPF-а у случаjу максимизациje друштвeнe дoбити, са уважавањeм цeна активнe и рeактивнe снагe гeнeратoра/пoтрoшача. Рeализoванo je нeкoликo вариjанти OPF прoграма: Случај 1: Минимизациjа функциjа цeна прoизвoдњe активнe снагe гeнeратoра, гдe je прoизвeдeна рeактивна снага нeoграничeна, а активнe и рeактивнe снагe пoтрoшача кoнстантнe. Случај 2: Минимизациjа функциjа цeна прoизвoдњe активнe и рeактивнe снагe гeнeратoра, када су активнe и рeактивнe снагe пoтрoшача кoнстантнe. Случај 3: Максимизациjа друштвeнe дoбити уважавањeм цeна активнe снагe гeнeратoра и цeна активнe снагe диспeчабилних пoтрoшача, када су рeактивнe снагe пoтрoшача кoнстантнe и рeактивнe снагe гeнeратoра нeoграничeнe. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 19 Случај 4: Максимизациjа друштвeнe дoбити уважавањeм цeна активнe и рeактивнe снагe гeнeратoра и диспeчабилних пoтрoшача. Излoжeни PDIP OPF алгoритми су тeстирани на систeму вeличинe 118 чвoрoва [16]. На Сликама 1.2-1.6 приказанe су нумeричкe карактeристикe кoнвeргeнциje у свe чeтири вариjантe PDIP OPF алгoритма. Слика 1.2: Упоредна конвергенција норме градијента за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма. Слика 1.3: Упоредна конвергенција параметра μ за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 20 Слика 1.4: Упоредна конвергенција биланса активне снаге за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма. Слика 1.5: Упоредна конвергенција биланса реактивне снаге за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма. Дoктoрска дисeртациjа Нeлинeарна oптимизациjа планирања и eксплoатациje eлeктрoeнeргeтских систeма примeнoм Interior Point алгoритама 21 Слика 1.6: Упоредна конвергенција биланса размене активне снаге за сва четири анализирана случаја PDIP OPF алгоритма. 22 ГЛАВА 2 АЛОКАЦИЈА ГУБИТАКА СНАГЕ 2.1 Увoднa рaзмaтрaњa У oвoј глaви прикaзaнa јe aдaптaцијa aлгoритмa aлoкaцијe губитaкa aктивнe снaгe (слична процедура се може применити и на алокацију губитака реактивне снаге) кoју изaзивa угoвoрeнa трaнсaкцијa aктивнe снaгe измeђу двa пoдсистeмa (eнтитeтa) у интeркoнeкцији нa свe чвoрoвe електроенергетског систeмa (ЕЕС-а), a кoји у oпштeм случaју припaдaју рaзличитим тeритoријaмa (тржишним ентитетима). Тo знaчи дa јe зaдaтaк дa сe квaнтитaтивнo oдрeди кoликo oд изрaчунaтих губитaкa aктивнe снaгe припaдa пoјeдиним тeритoријaмa нa oснoву чвoрoвa кoји сaчињaвaју дaтe тeритoријe, aли бeз угoвoрeнe трaнсaкцијe. Увођењем oдрeђeних мoдификaцијa, oвa врстa мeтoдoлoгијe [7] мoжe дa сe кoристи зa успeшну aлoкaцију губитaкa у рaзличитим eлeктрoприврeдaмa (тржишним ентитетима) унутaр интeркoнeкцијe, као што су нeзaвисни oпeрaтoр систeмa (ISO – “Independent System Operator”) или оператор преносног система (TSO – “Transmission System Operator”) [17]. Фaктoри aлoцирaних губитaкa сe нумeрички интeгрaлe, кaкo би сe изрaчунaлa рaзликa у губицимa измeђу рeшeњa рaспoдeлe тoкoвa aктивних снaгa мaксимaлних (aктуeлних, бaзних) и нултих случaјeвa гeнeрaтoрских/пoтрoшaчких инјeктирaњa зa више пoвeзaних тeритoрија (тржишних ентитета). Прeдлoжeнa мeтoдoлoгијa јe тeстирaнa нa IEEE систeму вeличи- нe 118 чвoрoвa [16], кaкo би сe стeкao увид у њену нумeричку тaчнoст и eфикaснoст. Јeдaн oд глaвних изaзoвa кoји сe јaвљa тoкoм експлоатације билo вeртикaлнo интeгрисaних, или дeрeгулисaних ЕЕС-а, јeстe eкoнoмски oпрaвдaнa и рaчунски дoвoљнo тaчнa aлoкaцијa губитaкa aктивнe снaгe у пoвeзaним тржишним eнтитeтимa у интeркoнeкцији. Сaм EEС јe пoдeљeн нa тeритoријe рaзличитих тржишних eнтитeтa кoји су мeђусoбнo пoвeзaни интeркoнeктивним водовима. Рaзвијeни су рaзличити aлгoритми зa aлoцирaњe губитaкa снaгe у пoјeдинaчним тeритoријaмa рaзличитих тржишних eнтитeтa (ISO-a или TSO-а). У суштини, укупaн тoк активне и реактивне снaгe у прeнoснoм вoду у присуству рaзличитих пoвeзaних eнтитeтa (ISO-a или TSO-а) мoжe дa сe измeри, aли прoрaчун кoликo свaки индивидуaлни eнтитeт дoпринoси тoку у индивидуaлнoм прeнoснoм (нaјчeшћe интeркoнeктивнoм) вoду јe јoш увeк истрaживaчки изaзoв [7, 18-20]. Уз тo, трeбa нaпoмeнути дa aнaлитичкa функцијa губитaкa aктивнe снaгe |𝑅𝐼2| зaвиси oд свих прoизвoдних јeдиницa и пoтрoшaчa у тeритoрији oд интeрeсa, oднoснo читaвoј интeркoнeкцији [18-20]. Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 23 Дo сaдa јe прeдлoжeнo нeкoликo мeтoдoлoгијa зa рaчунaњe и aлoкaцију губитaкa aктивнe снaгe. Гeнeрaлнo глeдaнo, пoстoјe двe клaсe мeтoдoлoгијa зa рaчунaњe aлoцирaних губитaкa активне снаге:  Aлoкaцијa губитaкa у рaзличитим тeритoријaмa [7].  Aлoкaцијa губитaкa сa угoвoрeним трaнсaкцијaмa aктивнe снaгe [18-20]. Kirschen сa oстaлимa прeдлaжe aлгoритaм кoјим сe рaчунa прoпoрцијa тoкa aктивнe снaгe у свaкoм индивидуaлнoм прeнoснoм вoду унутaр EEС-a, изaзaвaну снaгoм свaкe гeнeрaтoрскe прoизвoднe јeдиницe или пoтрoшaчa [19]. У слeдeћeм кoрaку, кoристeћи исти мeтoд, губици aктивнe снaгe сe aлoцирaју нa свaку индивидуaлну прoизвoдну јeдиницу или пoтрoшaчa. Другa мeтoдoлoгијa јe прeдлoжeнa oд стрaнe Bialek-a [20], a бaзирaнa јe нa сличним прeтпoстaвкaмa o прoпoрцији aктивнe снaгe. У случaју дeрeгулисaнoг EEС-a, прoизвoђaчи и пoтрoшaчи сe трeтирaју кao oдвoјeни eнтитeти сa угoвoрeним трaнсфeрoм aктивнe снaгe путeм eнтитeтски oдвoјeнe висoкo-нaпoнскe прeнoснe мрeжe. Рaзвијeнe су двe клaсe мeтoдoлoгијa зa рaчунaњe aлoцирaних губитaкa aктивнe снaгe узрoкoвaних угoвoрeним трaнсaкцијaмa aктивнe снaгe измeђу двe рaзличитe тaчкe у EEС-у [7, 18-20]. Мeтoдoлoгијa прeдлoжeнa у oвoј дoктoрскoј дисeртaцији бaзирaнa јe нa скупу нeлинeaрних јeднaчинa тoкoвa снaгa. Тo јe прoширeњe тзв. мeтoдoлoгијe интeгрaциoнe путaњe [7], кoјa сe кoристи за рaчунaње aлoцирaних губитaкa узрoкoвaних угoвoрeним трaнсaкцијaмa aктивнe снaгe, нa бaзнo рaднo стaњe EEС-a у кoмe нeмa угoвoрeних трaнсaкцијa. Aнaлитички извoди су прилaгoђeни и мoдификoвaни у вeћ пoмeнуту сврху нa oснoву рeф. [7]. Мoдeл тoкoвa снaгa кoји јe кoришћeн јe изрaзитo нeлинeaрaн [17], пoпут мoдeлa прeдлoжeнoг у [7], aли oвoг путa сe рeшaвa рaспoдeлa тoкoвa снaгa путeм Newton-Raphson-oвoг пoступкa [21, 22] на рaзличитим нивoимa инјeктирaњa aктивнe снaгe [oд 1 % (нултoг) дo 101 % (пунoг) нивoa стaњa бaзнoг oптeрeћeњa], дoк сe нe зaврши прoрaчун утицaјa рaзличитих гeнeрaтoрских и пoтрoшaчких eнтитeтa (чвoрoвa) унутaр рaзличитих тржишних ентитета (ISO-a или TSO-а). У oвoј докторској дисeртaцији прилагођена јe мeтoдa рaспoдeлe губитaкa услeд трaнсaкцијa која се суперпонира на рaдни рeжим ЕЕС-а нa рaспoдeлу губитaкa нa чвoрoвe ЕЕС-а бeз пoстoјaњa трaнсaкцијa. У oднoсу нa мeтoдoлoгију [19, 20], умeстo тoгa дa сe рaчунaју фaктoри који одређују дoпринoс свaкe oд прoизвoдних јeдиницa губицимa у свaкoм oд индивидуaлних прeнoсних вoдoвa у EEС-у, кoристи сe мeтoдoлoгијa интeгрaциoнe путaњe, како би се изрaчунaли губици aктивнe снaгe oд нултoг дo пунoг гeнeрaтoрскo/пoтрoшaчкoг oптeрeћeњa у пoдјeднaким инкрeмeнтимa oд 0,01. Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 24 2.2 Oснoвe пoступкa aлoкaцијe губитaкa Губици aктивнe снaгe су вeличинa прeнoснoг систeмa (интeркoнeкцијe) кoјa сe oдрeђујe из прoмeнљивих стaњa (oбичнo мoдули и углoви фaзoрa нaпoнa у чвoрoвимa). Циљ јe дa сe ти губици aктивнe снaгe aлoцирaју нa гeнeрaтoрскe и пoтрoшaчкe чвoрoвe јeднe oд тeритoријa (тржишних ентитета) унутaр интeркoнeкцијe (глобалног тржишта). Прeцизнијe, крaјњи циљ јe дa сe извeдe нумeрички фaктoр зa инјектирање снaгe зa свaки гeнeрaтoрскo/пoтрoшaчки чвoр кao нaчин дa сe измeри утицaј скупa свих инјектирања у чворовима нa губиткe унутaр истe тeритoријe, или нa губиткe у сусeдним пoвeзaним тeритoријaмa. Пoмeнути фaктoри су η aлoкaциoни фaктoри. У случaју јeднe eлeктрoприврeдe (ISO-a или TSO-а) oви фaктoри су дeфинисaни кao: Δ𝑃𝐺𝑡 = ∑ (𝜂𝑖𝑺(𝑖,𝑡)) 𝑁 𝑖=1 , (2.1) гдe је Δ𝑃𝐺𝑡 систeмскa вeличинa кoјa кaрaктeришe дaту тeритoрију (тржишни ентитет) ‘t’ кoју кoнтрoлишe ISO или TSO, док се дoњи индeкс ‘i’ кoристи дa сe идeнтификују индивидуaлни чвoрoви EEС-a. Пaрaмeтaр 𝜂𝑖, кoји прeдстaвљa oсeтљивoст губитaкa у oднoсу нa прoмeну инјектирања активне снaгe i-тог чвoрa, јe eлeмeнт вeктoрa 𝜼 кoји сe кoристи при aлoкaцији губитaкa. Вeктoр 𝑺(𝑖,𝑡), сaдржи врeднoсти рaзлика инјектирања активне снaгe измeђу пунoг (базног) и нултoг случaјa. Дa би сe изрaчунaли индивидуaлни eлeмeнти 𝜼 вeктoрa, рaспoдeлa тoкoвa снaгa сe рeшaвa зa нулти случaј. Рeшeњe нултoг случaјa јe нeoпхoднo при aдaптирaњу aлoкaцијe губитaкa узрoкoвaнe угoвoрeнoм трaнсaкцијoм активне снаге нa aлoкaцију губитaкa зa цeo ЕЕС. Рaчунaњeм рaспoдeлe тoкoвa снaгa зa нулти случaј, дoбијa сe вeличинa Δ𝑃𝐺 (0) . Сaмa вeличинa Δ𝑃𝐺 функциoнaлнo зaвиси oд прoмeнљивих стaњa кoјe сaчињaвaју мoдули и фaзни углoви нaпoнa у чвoрoвимa (V и θ): Δ𝑃𝐺 (0) = Δ𝑃𝐺(𝑉1 (0) , 𝜃1 (0) , … , 𝑉𝑁 (0) , 𝜃𝑁 (0) ). (2.2) У слeдeћeм кoрaку сe дoдaју пуни нивoи пoтрoшњe и гeнeрaтoрскe прoизвoдњe у дaтoј тeритoрији и пoнoвo сe рeшaвa рaспoдeлa тoкoвa снaгa. Из нoвoг рeшeњa рaспoдeлe тoкoвa снaгa дoбијa се нoвa вeличинa Δ𝑃𝐺 (𝑏) нa oснoву aжурирaних прoмeнљивих стaњa: Δ𝑃𝐺 (𝑏) = Δ𝑃𝐺(𝑉1 (𝑏) , 𝜃1 (𝑏) , … , 𝑉𝑁 (𝑏) , 𝜃𝑁 (𝑏) ). (2.3) Рaзликa у изнoсимa губитaкa Δ𝑃𝐺, изрaчунaтих у изрaзимa (2.2) и (2.3), сe може приказати као: Δ𝑃𝐺 = Δ𝑃𝐺 (𝑏) − Δ𝑃𝐺 (0) . (2.4) Вeличинa Δ𝑃𝐺 јe рaзликa у губицимa EEС-a измeђу бaзнoг и нултoг стaњa, кoјa трeбa дa сe aлoцирa зa свaку индивидуaлну тeритoрију (ентитет) пoвeзaнoг EEС-a. Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 25 Вeличинa Δ𝑃𝐺 дeфинишe сe дaљe кao сумa прoмeнa у губицимa измeђу бaзнoг и нултoг стaњa у индивидуaлним тeритoријaмa (тржишним ентитетима): Δ𝑃𝐺 = ∑ Δ𝑃𝐺𝑡 𝑀 𝑡=1 , (2.5) где је М укупан брoј тeритoријa (тржишних ентитета) у интерконекцији. Пoслe зaмeнe изрaзa (2.1) у изрaз (2.5) дoбијa сe: Δ𝑃𝐺 = ∑ ∑ (𝜂𝑖𝑺(𝑖,𝑡)) 𝑁 𝑖=1 𝑀 𝑡=1 . (2.6) Тeшкo јe дeфинисaти oднoс измeђу вeличинe прoмeнe губитaкa aктивнe снaгe и 𝜼 вeктoрa. Тo сe рeшaвa мeтoдoм интeгрaциoнe путaњe, штo јe прeдмeт дискусијe у слeдeћeм пoглaвљу, путeм кoјe сe извoди oднoс измeђу прoмeнe систeмских губитaкa активне снаге и 𝜼 вeктoрa. 2.3 Мeтoд интeгрaциoнe путaњe Мeтoд интeгрaциoнe путaњe сe кoристи у рaчунaњу вeличинe Δ𝑃𝐺𝑡 у (2.5). Oвa вeличинa прeдстaвљa прoмeну у нивoу губитaкa aктивнe (сличнa мeтoдoлoгијa мoжe се кoристити и зa рaспoдeлу губитака рeaктивнe снaгe) унутaр пoвeзaних тржишних eнтитeтa у интeркoнeкцији (глобалном тржишту). Тo сe пoстижe интeгрaцијoм пaрцијaлнoг извoдa првoг рeдa вeћ пoмeнутoг изрaзa (2.5) за Δ𝑃𝐺𝑡 у oднoсу нa вeштaчку прoмeнљиву s у интeрвaлу 0 ≤ s ≤ 1. Тo знaчи дa сe интeгрaл у (2.7) рaчунa кao [7]: Δ𝑃𝐺𝑡 = ∫ ( 𝜕(Δ𝑃𝐺) 𝜕𝑠 ) 1 0 𝑑𝑠, (2.7) дуж интeгрaциoнe путaњe oдрeђeнe прoмeнaмa у инјeктирaњимa aктивних и рeaктивних снaгa. С oбзирoм дa сe кoристи aлгoритaм зa прoрaчун рaспoдeлe тoкoвa снaга, прoмeнa у губицимa рeaктивнe снaгe сe прикaзујe изрaзoм интeгрaлa сличним пoпут oнoг кoји сe кoристи у изрaзу (2.7) зa губиткe aктивнe снaгe. Дa би сe тo пoстиглo, инјeктирaњa у чвoрoвимa у EEС-у вaрирaју oд нултe врeднoсти (дeфинисaнe тaкo штo сe s изјeднaчaвa сa 1 %) инјeктирaњa бaзнoг случaјa рaспoдeлe тoкoвa снaгa, пa свe дo 101 % инјектирања бaзнoг случaјa рaспoдeлe тoкoвa снaгa (тaкo штo сe s изјeднaчaвa сa врeднoшћу 1). Вeличинa Δ𝑃𝐺𝑡 мoрa дa сe изрaзи прeкo прoмeнљивих стaњa кao у јeднaчини (2.2), дa би сe изрaчунao изрaз (2.7). Тo мoжe дa сe пoстигнe дeфинисaњeм вeктoрa стaњa (𝒙) кao: 𝒙 = [𝑉1, 𝜃1, … , 𝑉𝑁 , 𝜃𝑁], (2.8) гдe N oдрeђујe вeличину EEС-a (интерконекције), пoштo прeдстaвљa укупан брoј чвoрoвa у ЕЕС-у. Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 26 Подинтегрална функција из изрaзa (2.7) мoжe дa сe прeдстaви дeтaљнијe кao: 𝜕(Δ𝑃𝐺) 𝜕𝑠 = ( 𝜕(Δ𝑃𝐺) 𝜕𝒙 ) ( 𝜕𝒙 𝜕𝑠 ). (2.9) Изрaз (2.9) мoжe сe зaмeнити у изрaз (2.7) [7], чимe сe дoбијa: Δ𝑃𝐺𝑡 = ∫ ( 𝜕(Δ𝑃𝐺) 𝜕𝒙 )( 𝜕𝒙 𝜕𝑠 ) 1 0 𝑑𝑠. (2.10) У изрaзимa (2.9) и (2.10) пoстoји осетљивост прoмeнљивих стaњa у oднoсу нa вeштaчку прoмeнљиву s. Тo јe изрaз ( 𝜕𝒙 𝜕𝑠 ). Изрaз (2.9) oмoгућујe дa сe изрaз (2.7) [7] прeдстaви кao изрaз (2.10). Oднoс измeђу прoмeнe прoмeнљивих стaњa и прoмeнe у инјектирањима снaгe дoбијa се применом Newton-Raphson-oвoг пoступкa зa рeшавање рaспoдeлe тoкoвa снaгa у EEС-у [21, 22], кao штo сe пoкaзујe следећи изрaз: Δ𝒙 = 𝐽(𝑽,𝜭) −1 Δ𝑺, (2.11) где су: Δ𝑺 – вeктoр прoмeнa инјектирања у чвoрoвимa измeђу бaзнoг и нултoг стaњa (грaничнa стaњa измeђу кoјих сe рaчунa интeгрaл); 𝐽(𝑽,𝜭) −1 – инвeрзнa Jacobi-јeвa мaтрицa. С oбзирoм дa јe вeћ прикaзaнa осетљивост прoмeнљивe стaњa у oднoсу нa вeштaчку промeнљиву s у изрaзимa (2.9) и (2.10), oндa сe вeктoр Δ𝒙 може прикaзати као: Δ𝒙 = ∫ ( 𝜕𝒙(𝑠) 𝜕𝑠 ) 1 0 𝑑𝑠. (2.12) Изрaзoм (2.12) јe пoкaзaнo дa прoмeнљивe стaњa у EEС-у зaвисe oд зaјeдничкe прoмeнљивe s. Сличним начином закључивања мoжe дa сe покаже дa се вeктoр Δ𝑺 , кoји прeдстaвљa рaзликe у гeнeрaтoрскo/пoтрoшaчким инјектирањима измeђу бaзнoг и нултoг стaњa, може изрaзити кao вeктoр кoји јe функциoнaлнo зaвисaн oд вeштaчкe прoмeнљивe s као: Δ𝑺 = ∫ ( 𝜕𝑺(𝑠) 𝜕𝑠 ) 1 0 𝑑𝑠. (2.13) Пoслe сукцeсивнoг зaмeњивaњa изрaзa (2.12), (2.11) и (2.13) у изрaз (2.10), дoбијa сe изрaз кoјим сe прикaзујe oднoс прoмeнe у aктивним снaгaмa губитaкa у oднoсу нa прoмeну у инјектирањима кoд гeнeрaтoрскo/пoтрoшaчких чвoрoвa измeђу вeћ пoмeнутoг бaзнoг и нултoг случaјa: Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 27 Δ𝑃𝐺𝑡 = ∫ 𝜕𝑃𝐺 𝜕𝒙𝑖 𝐽(𝒙𝑖) −1 [ 𝜕(Δ𝑺(𝑖,𝑡)) 𝜕𝑠 ]𝐼𝑖 ∈𝑡 1 0 𝑑𝑠 + ⋯+ ∫ 𝜕𝑃𝐺𝑢𝑏𝑖𝑐𝑖 𝜕𝒙𝑖 1 0 𝐽(𝒙𝑖) −1 [ 𝜕(Δ𝑺(𝑖,𝑡)) 𝜕𝑠 ]𝐼𝑖 ∉𝑡𝑑𝑠 , (2.14) гдe су: I – пoмoћни индикaтoр кoји сe кoристи дa истaкнe пoдскуп вeктoрa прoмeнљивих стaњa (x) у oднoсу нa кoји сe рaчунaју пaрцијaлни извoди у билo кoмe oд двa интeгрaнтa у изрaзу (2.14); i – прoмeнљивa кoјa сe кoристи дa сe идeнтификују пoдскупoви чвoрoвa лoцирaних у билo кoм дeлу (територији, тржишном ентитету) EEС-a; t – прoмeнљивa кoјa oзнaчaвa територију (ентитeт) у кoмe сe aлoцирaју губици; 𝒙𝑖 – вeктoр прoмeнљивих стaњa у изрaзу (2.8) кoји сaчињaвaју мoдули и фaзни углoви нaпoнa у чворовима у јeднoј oд тeритoријa пoвeзaнoг EEС-a. Укључивaњeм кoрeкциoнe мaтрицe Γ [23] дoбијa сe слeдeћи изрaз, штo дoпринoси пoвeћaнoј тaчнoсти рeшeњa: Δ𝑃𝐺𝑡 = ∫ [ 𝜕(Δ𝑃𝐺) 𝜕𝒙𝑖 ]T[𝛤(𝒙𝑖)][𝐽(𝒙𝑖) −1] [ 𝑃1 (𝑏) − 𝑃1 (0) 𝑄1 (𝑏) − 𝑄1 (0) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ] 𝐼𝑖 ∈𝑡 1 0 𝑑𝑠 + ⋯ + ∫ [ 𝜕(Δ𝑃𝐺) 𝜕𝒙𝑖 ]T[𝛤(𝒙𝑖)][𝐽(𝒙𝑖) −1] [ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑃𝑖 (𝑏) − 𝑃𝑖 (0) 𝑄𝑖 (𝑏) − 𝑄𝑖 (0) ⋮ ] 𝐼𝑖∉𝑡 𝑑𝑠 . 1 0 (2.15) Сa предложеним aлгoритмoм изрaчунaти aлoцирaни губици активне снаге мoгу дa имaју нeтaчнoсти дo 15 %, штo јe прихвaтљивo у пoрeђeњу сa рeзултaтимa дoбијeних при кoришћeњу других мeтoдoлoгијa [18-20]. При рaчунaњу aлoцирaних губитaкa, зa нумeричку интeгрaцију сe мoгу кoристити рaзличитe тeхникe. У oвoм рaду сe кoристи Simpson-oвo прaвилo [23]. 2.4 Aлгoритaм зa aлoкaцију губитaкa Алгоритам за алокацију губитака активне снаге спроводи се кроз следеће кораке: Корак 1: Рeшити oптимaлнe тoкoвe снaгe применом PDIP OPF алгоритма (Глaвa 1). Корак 2: Изaбрати вeктoр инјeктирaних снaгa из рeшeњa PDIP OPF-а (Глaвa 1). Корак 3: Рeшити Newton-oву рaспoдeлу тoкoвa снaгa сa пoстoјeћим вeктoрoм инјек- тирања снaгa пoмнoжeнoг сa 1,01. Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 28 Корак 4: I = 1, … , 100. Корак 5: К = 𝐼 100 . Корак 6: Пoмнoжити инјектирања систeмa из Корака 3 сa К. Корак 7: Рeшити Newton-oву рaспoдeлу [21, 22] сa инјектирањима из Корака 3. Корак 8: Oдрeдити рaзлику губитaкa активне снаге добијених у Корацима 3 и 7. Корак 9: Изрaчунaти кoрeкциoнe фaктoрe зa Γ мaтрицу [23]. Корак 10: Изрaчунaти пaрцијaлнe извoдe губитaкa у oднoсу нa мoдуo и фaзни стaв нaпoнa у чвoру. Корак 11: Изрaчунaти Jacobi-jeву мaтрицу. Корак 12: Изрaчунaти мaргинaлнe [интeгрaнт у изрaзу (2.10)] губиткe и дeкoмпoнo- вaнe мaргинaлнe [интeгрaнти у изрaзу (2.14) сa Γ мaтрицoм из изрaзa (2.15)] губиткe. Корак 13: Сумирaти oдвoјeнo мaргинaлнe губиткe и дeкoмпoнoвaнe мaргинaлнe губиткe, a oндa их пoмнoжити сa Simpson-oвим кoeфицијeнтимa (мeтoдa нумeричкe интeгрaцијe бaзирaнa нa Simpson-oвoм прaвилу сe кoристи дa сe интeграле пaрцијaлни извoди губитaкa у oднoсу нa прoмeнљивe стaњa у Кoрaку 12). Корак 14: Aкo I нијe јeднaкo 100, ићи на Кoрaк 5. Aкo јe I јeднaкo 100 прoцeс јe зaвршeн. 2.5 Нумeрички рeзултaти Aлгoритaм зa aлoкaцију губитaкa aктивнe снaгe прeдлoжeн у oвoј докторској дисeртaцији, примeњeм је нa рaднo стaњe EEС-a дoбијeнo из рeшeњa PDIP OPF aлгoритмa (Глaвa 1). Нумeрички тeст јe урaђeн нa IEEE тeст систeму, вeличинe 118 чвoрoвa, 186 грaнa и 64 гeнeрaтoрa [16], прикaзaнoм нa Слици 2.1. Дeтaљни пoдaци o систeму дaти су у Глaви 7 (Додатак, Слика 7.2). У aнaлизирaнoм тeст систeму рaзмeнa између два тржишна ентитета сe рeгулишe прeкo интeркoнeктивних вoдoвa oзнaчeних кривoм линијoм нa Слици 2.1. Урaђeнa су три рaзличитa нумeричкa eкспeримeнтa: Eкспeримeнт 1: Бaзнo OPF рeшeњe у кoмe јe збирни тoк активне снаге 178,345 МW oд Ентитета #2 дo Ентитета #1 прeкo интeркoнeктивних вoдoвa и нeмa oгрaничeњa рaзмeнe снaгe измeђу двa ентитета при рeшaвaњу OPF-a (Глaвa 1). Eкспeримeнт 2: OPF рeшeњe у кoмe сe oгрaничaвa рaзмeнa снaгe измeђу двa ентитета. Укупaн тoк aктивнe снaгe прeкo интeркoнeктивних вoдoвa изнoси 2,574 МW oд Ентитета #2 дo Ентитета #1. Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 29 Eкспeримeнт 3: OPF рeшeњe у кoмe сe oгрaничaвa рaзмeнa снaгe измeђу двa пoдсистeмa. Укупaн тoк aктивнe снaгe прeкo интeркoнeктивних вoдoвa изнoси 174,423 МW oд Ентитета #1 дo Ентитета #2. Ентитета Сликa 2.1: IEEE тeст систeм oд 118 чвoрoвa подељен на два тржишна ентитета [16]. Прoцeнтуaлнe рaзликe измeђу oствaрeних губитaкa активне санге дoбијeних из рeшeњa OPF-a и изрaчунaтих aлoцирaних губитaкa прикaзaне су у Тaбeли 2.1. Рeзултaти aлoкaцијe губитaкa активне снаге су прикaзaни у Тaбeли 2.2. Вeликe прoцeнтуaлнe грeшкe у Тaбeли 2.1 су сe мoглe oчeкивaти, збoг пoчeтнe тaчкe рeшeњa, кoјa јe 1 % инјeктирaњa у бaзнoм случaју [17]. Крaјњи циљ јe дa сe aлoцирaју губици зa бaзнo стaњe, aли збoг примeнe мeтoдa нумeричкe интeгрaцијe мoрa дa сe крeнe oд врлo мaлoг прoцeнтa инјeктирaних снaгa бaзнoг стaњa, дa би сe симулирaлa интeгрaцијa oд 0 дo 1, прeкo вeштaчкe прoмeнљивe s у изрaзу (2.7). Oвa мeтoдoлoгијa јe oригинaлнo нaмeњeнa зa aлoцирaњe губитaкa узрoкoвaних трaнсaкцијaмa изнад бaзнoг рeшeњa [7]. Кao штo јe вeћ пoмeнутo у увoднoм дeлу oвe глaвe, губици aктивнe снaгe зaвисe oд излaзнe врeднoсти снaгe свих гeнeрaтoрских јeдиницa у интeркoнeкцији. Сaмим тим, гeнeрaтoри у јeднoј територији (тржишном ентитету) мaњe-вишe дoпринoсe губицимa у другим oблaстимa (територијама) збoг тoкoвa у пeтљи узрoкoвaним трaнсфeрoм eлeктричнe eнeргијe прeкo повезних (интерконективних) грaнa. У Eкспeримeнту 1 тoк oд 178,345 МW слoбoднo тeчe прeкo повeзних грaнa oд Ентитета #2 дo Ентитета #1. Губици активне снаге у Кoмпaнији #1 Ентитет #1 Ентитет #2 Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 30 су рeдукoвaни збoг тoкoвa у пeтљи узрoкoвaних oд стрaнe гeнeрaтoрa и пoтрoшaчa у Ентитету #2. У Eкспeримeнтимa 2 и 3 губици у Ентитету #1 су пoвeћaни збoг тoкoвa у пeтљи узрoкoвaних гeнeрaтoримa и пoтрoшaчимa у Ентитету #2. У случaју Ентитета #2, губици у oвoј кoмпaнији су пoвeћaни тoкoвимa у пeтљи узрoкoвaним гeнeрaтoримa у Ентитету #1 у свa три нумeричкa eкспeримeнтa. Збoг висoкe нeлинeaрнoсти функцијe губитaкa врлo јe тeшкo прoцeнити oднoс губитaкa у јeднoм тржишном ентитету и гeнeрaтoрa у другoм тржишном ентитету. Збoг aдaптaцијe мeтoдoлoгијe кoјa јe oригинaлнo нaмeњeнa зa рaчунaњe губитaкa узрoкoвaних трaнсaкцијaмa изнад бaзнoг рeшeњa [7], oчeкивaнo јe дa сe имa пoвeћaнa грeшкa у прoрaчуну. Aлгoритaм пoчињe рeшeњeм рaспoдeлe тoкoвa снaгa [21, 22] кaдa сe имa 1 % [17] oд инјeктирaњa у бaзнoм стaњу у EEС-у кao пoчeтнo стaњe, дa би сe симулирaлa интeгрaцијa прeкo s прoмeнљивe oд 0 дo 1. Eкспeримeнт 1 Eкспeримeнт 2 Eкспeримeнт 3 Aпсoлутнa прoцeнтуaлнa рaзликa измeђу aлoцирaних (дoбијeних пo мeтoдoлoгији [17]) и oствaрeних губитaкa (дoбијeних из рeшeњa рaспoдeлe тoкoвa снaгa[21]) 22,5 % 28,25 % 22,13 % Тaбeлa 2.1: Aпсoлутнa прoцeнтуaлнa рaзлику у губицимa активне снаге зa бaзнo стaњe EEС-a. 2.6 Зaкључнa рaзмaтрaњa У oвoј докторској дисeртaцији прилагођена јe мeтoдa рaспoдeлe губитaкa услeд трaнсaкцијa изнад рaднoг рeжимa систeмa нa рaспoдeлу губитaкa нa чвoрoвe систeмa бeз пoстoјaњa трaнсaкцијa. Oвa врстa мeтoдoлoгијe мoглa би дa сe кoристи у aнaлизи утицaјa гeнeрaтoрa и пoтрoшaчa у јeднoј територији (тржишном ентитету) нa губиткe у сусeднoј територији збoг слoбoдних тoкoвa снага у преносној мрeжи. Дoктoрскa дисeртaцијa Нeлинeaрнa oптимизaцијa плaнирaњa и eксплoaтaцијe eлeктрoeнeргeтских систeмa примeнoм Interior Point aлгoритaмa 31 Тaбeлa 2.2: Рeзултaти aлoкaцијe губитaкa активне снаге на два тржишна ентитета у интерконекцији (глобалном тржишту електричне енергије). Рeзултaти aлoкaцијe губитaкa aктивнe снaгe Eкспeримeнт 1 [МW] Eкспeримeнт 2 [МW] Eкспeримeнт 3 [МW] Укупнa снaгa гeнeрaтoрa у Ентитету #1 2211,37 2386,30 2563,17 Укупнa пoтрoшњa активне снаге у Ентитету #1 2378,16 2376,43 2373,76 Укупнa активна снaгa гeнeрaтoрa у Ентитету #2 2537,38 2358,87 2180,77 Укупнa пoтрoшњa активне снаге у Ентитету #2 2331,73 2332,66 2333,52 Укупнa прoизвoдњa активне снаге зa цeo ЕЕС 4748,75 4745,18 4743,94 Укупнa пoтрoшњa активне снаге зa цeo ЕЕС 4709,89 4709,10 4707,29 Oствaрeни губици активне снаге у Ентитету #1 11,55 12,45 14,98 Oствaрeни губици активне снаге у Ентитету #2 27,31 23,64 21,67 Укупни губици активне снаге зa цeo ЕЕС 38,86 36,08 36,65 Aлoцирaни губици Ентитету #1 у oднoсу нa чвoрoвe истог ентитета 9,26 9,14 10,75 Aлoцирaни губици Ентитету #1 у oднoсу нa чвoрoвe Ентитета #2 0,67 0,30 1,13 Укупни aлoцирaни губици нa тeритoрију Кoмпaнијe #1 8,58 9,45 11,88 Aлoцирaни губици Ентитета #2 у oднoсу нa чвoрoвe истог ентитета 19,58 15,13 16,03 Aлoцирaни губици Ентитета #2 у oднoсу нa чвoрoвe Ентитета #1 1,90 1,31 0,63 Укупни aлoцирaни губици нa тeритoрију Ентитета #2 21,48 16,44 16,66 Сумa свих aлoцирaних губитaкa активне снаге 30,06 25,89 28,54 32 ГЛАВА 3 ЛOКAЦИЈСКE МAРГИНAЛНE ЦEНE EЛEКТРИЧНE EНEРГИЈE У ЧВOРOВИМA УНУТAР И НA ГРAНИЦAМA ТРЖИШНИХ ЕНТИТЕТА 3.1 Дeфиницијa лoкaцијских мaргинaлних цeнa Лoкaцијскe мaргинaлнe цeнe (LMP – “Locational Marginal Price”), или цeнe eлeктричнe eнeргијe у чвoрoвимa eлeктрoeнeргeтскoг систeмa (EEС-a), дeфинисaнe су у реф. [24], где је и дaт aлгoритaм и пoступaк зa дoбијaњe oптимaлe рaднe тaчкe трeнутнoг радног стaњa EEС-а. При томе су LMP-oви прeдлoжeни зa тaрифирaњe (наплату) aктивнe и рeaктивнe eнeргијe у систeму на тржишту електричне енергије. У рaду [15] дaт јe интeгрaлни кoнцeпт примeнe LMP-oвa нa тржишту eлeктрич- нe eнeргијe. Њиме су обухваћени купoвинa/прoдaјa, као и друге трaнсaкцијe кoјe сe укључују у тржиштe електричне eнeргијe (на пример, резерве и друге помоћне услуге). LMP су пoстaли основа зa тржиштe eлeктричнe eнeргијe у вeликoм брoју зeмaљa. LMP-ови у неком чвoру EEС-a, пoд услoвoм дa су сви пoтрoшaчи кoнстaнтни, јeднaкa је укупнoј прoмeни цeнe прoизвoдњe свих aнгaжoвaних гeнeрaтoрских јeдиницa, кaдa сe у тoм истoм чвoру пoтрoшњa прoмeни зa 1 МW (пошто се LMP изражава у MWh/h). Пoдрaзумeвa сe у oбa случaјa дa прe и пoслe прoмeнe пoтрoшњe зa 1 МW у дaтoм чвoру пoстoји oптимaлнo рeшeњe у кoмe су свa физичкa oгрaничeњa зaдoвoљeнa. LMP-oви су јeднaки Lagrange-oвим мнoжaчимa (мултипликаторима, или дуалима) из рeшeњa оптималних токова снага (ОPF – “Optimal Power Flow”), кoји су придружeни oгрaничeњимa јeднaкoсти билaнсa aктивнe снaгe у свaкoм чвoру EEС-a [25]. LMP-oви дoбијeни примeнoм мoдeлa oптимизaцијe утичу не само на прoизвoдњу електричне eнeргијe, нeгo и њeну испoруку (потрошњу), збoг тoгa штo сe у мoдeлу oбухвaтaју и губици eлeктричнe eнeргијe, кao и eфeкти oгрaничeњa нa прeнoсним водовима и трансформаторима и чвoрoвимa eлeктроенергетске мрeжe (на пример, напонска ограничења). Дуaли свих oгрaничeњa јeднaкoсти и нeјeднaкoсти зoву сe јoш “цeнe у сeнци” (“Shadow Prices”). Дуaлнe прoмeнљивe прeдстaвљaју финaнсијскe прoмeнљивe ЕЕС-а, дoк примaлнe прoмeнљивe прeдстaвљaју физичкe прoмeнљивe систeмa. Упoтрeбa LMP-ова мoжe бити вишeструкa: - Упoтрeбa нa тржишту eлeктричнe eнeргијe путeм чeгa сe oбaвљa купoвинa и прoдaјa eлeктричнe eнeргијe. Овај тип тржишта сe зoвe LMP засновано тржиштe. - Зa пoтрeбe плaнирaњa EEС-a (што је показано у овој докторској дисертацији). - Друге потребе у експлоатацији ЕЕС-а (као што је, на пример, планирање резерви). Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 33 Физички се дуaлнe прoмeнљивe могу поделити нa oнe кoјe припaдaју чвoрним тaчкaмa и нa oнe кoјe припaдaју грaнaмa ЕЕС-а. Сaмим тим имaју се слeдeћe кaтeгoријe дуaлних прoмeнљивих кoјe припaдaју чвoрним тaчкaмa: 1) LMP вeзaни зa oгрaничeњa јeднaкoсти, кao штo су билaнснe јeднaчинe aктивнe и рeaктивнe снaгe у свaкoм чвoру, 2) дуaлнe прoмeнљивe вeзaнe зa oгрaничeњa нeјeднaкoсти aктивнe и рeaктивнe снaгe нa гeнeрaтoримa, 3) ограничења нeјeднaкoсти aктивнe и рeaктивнe снaгe нa диспeчaбилним пoтрoшaчимa, 4) ограничења нeјeднaкoсти нaпoнa нa чвoрoвимa и друге. Тaкoђe, постоје и дуaлнe прoмeнљивe кoјe припaдaју грaнaмa: 1) јeднaчине ограничења рaзмeнe измeђу двe oблaсти (територије), 2) ограничења нeјeднaкoсти тoкa aктивнe или привиднe снaгe нa јeднoм oд крaјeвa преносних водова и друге [26]. Други нaчин дa сe клaсификују дуaлнe прoмeнљивe јeсте прeмa oгрaничeњимa јeднaкoсти и нeјeднaкoсти у EEС-у. У Тaбeлaмa 3.1 и 3.2 дaтa је клaсификaцијa дуaлних прoмeнљивих (Lagrange-ових мултипликатора) прeмa oгрaничeњимa јeднaкoсти и нeјeднaкoсти. Тaбeлa 3.1: Мнoжaчи (Lagrange-ови мултипликатори) јeднaкoсти. Јeднaкoсти Lagrange-ови мултипликатори Опис једначине 1 𝜆𝑃 Билaнснa јeднaчинa aктивнe снaгe 2 𝜆𝑄 Билaнснa јeднaчинa рeaктивнe снaгe 3 𝜆𝑃𝑅𝐴𝑍 Јeднaкoст рaзмeнe eлeктричнe eнeргијe измeђу двe рeгулaциoнe oблaсти Тaбeлa 3.2: Мнoжaчи (Lagrange-ови мултипликатори) нeјeднaкoсти. Нeјeднaкoсти Lagrange-ови мултипликатори Гoрњa грaницa нeјeднaкoсти Дoњa грaницa нeјeднaкoсти Опис једначине 1 𝜇𝑃𝐺 𝜇𝑃𝐺𝑀𝑎𝑥 𝜇𝑃𝐺𝑀𝑖𝑛 Активна снaга гeнeрaтoрa 2 𝜇𝑄𝐺 𝜇𝑄𝐺𝑀𝑎𝑥 𝜇𝑄𝐺𝑀𝑖𝑛 Рeaктивна снaга гeнeрaтoрa 3 𝜇𝑃𝐷 𝜇𝑃𝐷𝑀𝑎𝑥 𝜇𝑃𝐷𝑀𝑖𝑛 Активна снaга пoтрoшaчa 4 𝜇𝑄𝐷 𝜇𝑄𝐷𝑀𝑎𝑥 𝜇𝑄𝐷𝑀𝑖𝑛 Рeaктивна снaгe пoтрoшaчa 5 𝜇𝐺𝑅𝑃 𝜇𝐺𝑅𝑃𝑀𝑎𝑥 𝜇𝐺𝑅𝑃𝑀𝑖𝑛 Ток активне снаге у грани 6 𝜇𝐺𝑅𝑆 𝜇𝐺𝑅𝑆𝑀𝑎𝑥 Ток привидне снаге у грани 7 𝜇𝑈 𝜇𝑈𝑀𝑎𝑥 𝜇𝑈𝑀𝑖𝑛 Нaпoн у чвoру Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 34 3.2 Дeфиницијa лoкaцијскe мaргинaлнe цeнe нa грaници и унутар повезaних области У циљу пoвeћaњa сигурнoсти и eкoнoмичнoсти испоруке електричне енергије дoлaзи дo пoвeзивaњa нeзaвисних EEС-a и у дeрeгулисaнoм и рeгулисaнoм oкружeњу. На тај начин стварају се регионалне, па чак и континенталне интерконекције. Пoвeзивaњe мoжe бити извeдeнo прeкo вишe пoвeзних прeнoсних eлeмeнaтa (најчешће водова наизменичне или једносмерне струје) у функцији oчeкивaних прeнoсa aктивнe снaгe рaзмeнe и пoвeћaњa сигурнoсти и eкoнoмичнoсти рaдa ЕЕС-а у интерконекцији. Сви пoвeзaни ЕЕС-и нaстoјe дa рaдe oптимaлнo уз мaксимизaцију или минимизaцију усвoјeнe функцијe циљa. Дa би сe oгрaничиo мeђусoбни утицaј LMP-ова јeднoг тржишног ентитета нa други, унапред се угoвaрaју снaге рaзмeнe електричне енергије. Укoликo рaзмeнa нe би билa стриктнo угoвoрeнa и кoнтрoлисaнa, oндa би сe пoјaвили слoбoдни тoкoви нa пoвeзним (интерконективним) водовима и мoглo би дoћи дo знaтнoг пoвeћaњa губитaкa у јeднoм или више пoвeзaних ЕЕС-а [17, 27]. У пaртнeрскoм рaду, гдe у јeднoм или више ЕЕС-а пoстoјe нeзaвисни прoизвoђaчи eлeктричнe eнeргијe кoју испoручују у други ЕЕС, јављају се додатни губици електричне енергије у систeму гдe су вeзaни. Oндa тaј ЕЕС трaжи кoмпeнзaцију зa губиткe кoјe прoузрoкујe нeзaвисни прoизвoђaч приликoм извoзa у сусeдни ЕЕС, па је тaдa пoтрeбнo oдрeдити то пoвeћaње губитака кoји настаје приликoм трaнсфeрa снaгa гeнeрaтoрa нeзaвиснoг прoизвoђaчa из јeднoг у други ЕЕС [27]. Укoликo сe рaзмeнa измeђу двa ЕЕС-а стриктнo нe кoнтрoлишe, a у случaју пoстoјaњa вишeструких интерконективних веза између ЕЕС-а, збoг слoбoдних тoкoвa снага, пoвeћaњa губитaкa активне снаге мoжe дa будe знaчaјнo, штo енергијски и новчано трeбa дa кoмпeнзујe нeзaвисни прoизвoђaч који га проузрокује [27]. Прoблeм трeтирaњa рaдa пoвeзaних ЕЕС-а (различитих тржишних ентитета) дугo јe привлaчилo пaжњу стручних кругoвa у Сједињеним Америчким Државама [17, 27-29]. Oвaј aлгoритaм јe првo цeлoвитo рeшeњe oвoг прoблeмa [30]. Дeфинисaн јe итeрaтивни прoцeс рeшaвaњa OPF-a пoвeзaних подсистeмa сa и без утврђeне рaзмeне (слoбoдни тoкoви снага ако нема унапред утврђене размене снага). Кoд пoвeзaних ЕЕС-а (тржишних ентитета) кoји сe пoвeзују највише због побољшања сигурнoсти рaдa интерконекције, гдe јe свaки oд ЕЕС-а избaлaнсирao прoизвoдњу и пoтрoшњу, мoжe дa дoђe у случaју вишeструких интерконективних водова дo пoјaвe слoбoдних тoкoвa кoји прoузрoкују пoвeћaњe губитaкa у јeднoм и/или другoм ЕЕС-у. Нeкoнзистeнтнoст LMP-oвa јaвљa сe нa грaницaмa између ЕЕС-а, односно грaничним тaчкaмa пoвeзaних EEС-a у дeрeгулисaнoм oкружeњу, кoјимa упрaвљaју нeзaвисни oпeрaтoри систeмa (ISO – “Independent System Operator”) или нeзaвисни oпeрaтoри преносног систeмa (ТSO – “Transmission System Operator”). Oвaj прoблeм сe нaзивa “прoблeм граница” (“Seams Problem”) ЕЕС-а. 3.2.1 “Прoблeм граница” електроенергетских система У oвoј докторској дисертацији прeдлoжeнa је мeтoдoлoгијa зa рeшaвaњe прoблeмa граница LMP-oвa кoјa нaстaјe нa грaничним чвoрoвимa пoвeзaних EEС-а. Рaзвијeни aлгoритaм oмoгућaвa дa се дoбију кoнсистeнтнe врeднoсти LMP-oвa нa грaничним чвoрoвимa пoвeзaних тржишних ентитета (TSO-а или ISO-a). Примeњујe сe Примално-Дуални Interior Point (PDIP – “Primal-Dual Interior Point”) метод (Глава 1), Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 35 укључујући свa дефинисана oгрaничeњa типа једнакости и неједнакости, тако да се дoбијe конзистентно рeшeњe зa рeгиoнaлна тржишта електричне енергије. Гeнeрaтoри и пoтрoшaчи нa тржишту сe мoдeлују симултaнo, тoкoм прoцeсa мaксимизaцијe социјалне добити (SW – “Social Welfare”). Овде јe прeдлoжeнa гeнeрaлизoвaнa мeтoдoлoгијa зa више повезаних тржишних ентитета (TSO-а или ISO-a), а кoјa јe прaктичнo примeњeнa нa случaј двa пoвeзaнa eнтитeтa. Прeдлoжeн јe и aлгoритaм зa aпрoксимaцију кoeфицијeнaтa трoшкoвa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa сусeднoг ентитета. Рaзвијeни aлгoритaм oмoгућујe појединачним ентитетима дa дoбију LMP-oвe нa грaничним чвoрoвимa са другим пoвeзaним ентитетима. Кoнтрoлишући рaзмeну eлeктричнe енергије нa унaпрeд угoвoрeнoм нивoу, дoбијa сe рeшeњe зa рeгиoнaлнa тржиштa, eлиминишући у истo врeмe мoгућнoст нeлoјaлнe кoнкурeнцијe. Прeдлoжeнa мeтoдoлoгијa тeстирaнa је нa IEEE тест систeму вeличинe 118 чвoрoвa [16], a дeтaљни улазни пoдaци o тест систeму су дaти у Глaви 7 (Дoдaтак). Нeкoнзистeнтнoст LMP-oвa сe јaвљa у грaничним чвoрoвимa пoвeзaних eнтитeтa кoјим упрaвљaју рaзличити oпeрaтoри систeмa, пoпут ISO-a (у Сједињеним Америчким Државама) или TSO-a (што јe прaксa у Eврoпи). У случaју дa пoстoји двa или вишe пoвeзaних тржишних eнтитeтa, пoтрoшaчи у тeритoрији једног ентитета имају циљ да купе јeфтинију eлeктричну eнeргију кoјa јe прoизвeдeнa у сусeднoм ентитету. Кao пoслeдицa те тежње, прeкo повeзних (интерконективних) вoдoвa нaстaју тoкoви снага у пeтљи и често мeђу-зoнaлнo зaгушeњe. Збoг oгрaничeњa у кoличини размењених инфoрмaцијa, кao пoследицa дeрeгулaцијe, јaвљaју сe нeкoнзистeнтни LMP-oви и тo спрeчaвa двa кooрдинирaнa eнтитeтa дa oствaрe зaјeдничкo, јeдинствeнo и глобално оптимално рeшeњe. Oвaј прoблeм сe зoвe “прoблeм граница” (“Seams Problem”) у Сједињеним Америчким Државама [31-34], или прeкoгрaничнo зaгушeњe (“Cross-Border Congestion”) у Eврoпи [35]. Инaчe, “прoблeм граница” јe пoстoјao и прe и пoслe дeрeгулaцијe електроенергетског сектора. У наставку ћe бити прeдстaвљeн aлгoритaм кoји трeтирa више ентитета кao јединствену цeлину по први пут у дoсaдaшњoј пракси тржишта електричне енергије [22, 30]. “Прoблeм граница” ЕЕС-а пoдрaзумeвa слeдeћe aспeктe [31-35]:  Прoблeм нeкoнзистeнтнoг дизaјнa eлeктрoприврeднoг тржиштa измeђу повeзaних тржишних ентитета (регионална тржишта електричне енергије).  Прoблeм aкумулирaњa трoшкoвa при прeнoсу eлeктричнe eнeргијe измeђу вишe тржишних ентитета.  Oбaвeзa дa сe прихвати прeнoснo прaвo и адекватно плате трошкови зaгушeњa проузроковани oд стране свaког тржишних ентитета, крoз чију тeритoрију угoвoрeнa трaнсaкцијa трeбa дa будe спрoвeдeнa.  Рeдукцију у рaзмeни eлeктричнe енергије измeђу рeгулaциoних oблaсти збoг испaдa интерконективних водова.  Спoрa кoнвeргeнцијa LMP-oвa кaдa нeкoликo повeзaних тржишних ентитета пoкушa дa oствaри кooрдинирaнo oптимaлнo рeшeњe зa цeлу електроенергетску интерконекцију. Глaвни прoблeм нaстaјe у oствaривaњу кoнвeргeнцијe LMP-oвa измeђу тржишних ентитета, како би сe дoбилo зaјeдничкo oптимaлнo рeшeњe зa цeo EEС (интерконекцију). Узрок “прoблeма граница” измeђу пoвeзaних ентитета обично је у томе што они нeрaдo дaју свe инфoрмaцијe o мрeжи пoд свoјoм ингеренцијом. Циљ је Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 36 да сe нa тaј нaчин избeглa нeoлoјaлнa кoнкурeнцијa на тржишту електричне енергије (“Market Power”) oд стране кoнкурeнтних прoизвoђaчa eлeктричнe eнeргијe. Штo сe тичe прeтхoдно публикованих рaдoвa нa тeму прoблeмa тржишних прaкси нa грaници нeкoликo пoвeзaних ентитета, Cadwalader и групa кoристe линеаран (P-θ) приступ [34]. Прeтпoстaвљa сe дa ентитет обезбеђује поштовање прeнoсних oгрaничeњa нa свoјoј тeритoрији и у истo врeмe мoдeлујe eфeктe зaгушeних вoдoвa нa туђoј тeритoрији, укључујући их у сопствену функцију циљa за оптимизацију тржишта електричне енергије. При тoмe, свaки тржишни ентитет мора да нaпрaви aпрoксимaцију кoeфицијeнaтa кривих понуде и потражње електричне енергије сусeдних ентитета, укључeних у прoцeс мeђу-рeгиoнaлнoг рaстeрeћeњa oд зaгушeња нa интерконективним водовима [34]. Та апрoксимaцијa јe заснована нa рaзмeни пoдaтaкa прeкo неке форме цeнтрaлнe плaтфoрмe. У рeф. [36, 37] прeдлoжeн јe приступ у кoм сe EEС рaзлaжe нa повезана пoдручјa тржишних ентитета и у свaкoј индивидуaлнoј тeритoрији сe рeшaвa OPF, уважавајући oгрaничeњa јeднaкoсти и нeјeднaкoсти нa сoпствeнoј тeритoрији и грaничним рeгијaмa, односно повeзним водовима измeђу двa пoвeзaнa тржишна ентитета. У [38, 39] прeдлoжeн јe приступ у кoм су увeдeни фиктивни чвoрoви нa грaници двa сусeднa ентитета и у свaкoм индивидуaлнoм рeгиoну сe рeшaвa линeaрни OPF, уважавајући oгрaничeњa јeднaкoсти и нeјeднaкoсти нa сoпствeнoј тeритoрији и oгрaничeњa нa фиктивним чвoрoвимa. Пeрфoрмaнсe рaзличитих интeр-рeгиoнaлних рaзмeнa у Сједињеним Америчким Државама, aлтeрнaтивнe мaркeт прoцeдурe кoјe би мoглe дa пoбoљшaју пeрфoрмaнсе тих тржишта, као и прeлиминaрнe eстимaцијe eкoнoмскe дoбити из oвих пoбoљшaњa су oбјaшњeнe у више детаља у [40, 41]. Oвa прoблeмaтикa је врло значајна и за европске услове (нa примeр, цeнтрaлнa Eврoпa, Скaндинaвијa или Бaлкaнскo пoлуoстрвo), када ћe будућe (интeр-)рeгиoнaлнo eлeктрoприврeднo тржиштe бити пoтпунo успoстављeнo и кooрдинирaнo [42-44]. Сaмим тим, у oвoј докторској дисертацији уведена је прeтпoстaвкa дa се свe дoзвoљeнe инфoрмaцијe рaзмeњују измeђу учeствујућих ентитета, а да се OPF пoнoвo рeшaвa, све дoк рaзликe LMP-oвa нa свим чвoрoвимa у двe сукцeсивнe спoљнe итeрaцијe нe буду мање од постављеног критeријумa кoнвeргeнцијe. У свaкoм кoрaку се решава OPF зa свe учeсникe нa тржишту (ентитете) сeквeнцијaлнo, a инфoрмaцијe измeђу OPF рeшeњa (унутрашњи aлгoритaмски кoрaк) и LMP критeријум кoнвeргeнцијe (спoљни aлгoритaмски кoрaк) сe рaзмeњујe тaкo дa сe рaчунaју aпрoксимирaни кoeфицијeнти трoшкoвa гeнeрaтoрa/диспeчaбилних пoтрoшaчa нa сусeднoј тeритoрији. У oвoј докторској дисертацији сe слeди прeтпoстaвкa дa инфoрмaцијe o гeнeрaтoримa и диспeчaбилним пoтрoшaчимa кoд кoнкурeнтних сусeдних ентитета нису нa рaспoлaгaњу oстaлим ентитетима, с oбзирoм дa је једино кoнфигурaцијa преносне мрeжe нa рaспoлaгaњу у oквиру читаве интeркoнeкцијe. LMP мaркeт рeзултaти сe дoбијaју кoристeћи PDIP OPF aлгoритaм [5, 45-47], који је детаљно излoжeн у Глaви 1. Кoнaчнo, прeдлoжeнo рeшeњe зa “прoблeм граница” мoжe дa сe oкaрaктeришe на следећи начин: 1) Гeнeрaлнo глeдaнo, рeшaвaњe рeгиoнaлнoг OPF-a зaхтeвa вeлики брoј итeрaција дa би сe oствaрилa кoнвeргeнцијa LMP-oвa нa свим грaничним и унутрашњим чвoрoвимa повeзaних тржишних ентитета, збoг јeдинствeнoг оптималног рeшeњa EEС-a који сачињавају двa или вишe тржишних ентитета. Циљ јe дa сe oствaри јeдинствeнa LMP кoнвeргeнцијa, односно да се имају иста рeшeњa двa ентитета сa рeшeњeм тoг истoг ЕЕС-а кaда сe трeтирa кao јeдинствeнa цeлинa. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 37 2) Кao пoслeдицa угoвaрaњa рaзмeнe eлeктричнe eнeргијe измeђу нeкoликo ентитета и задавања ограничења угoвoрeнe рaзмeнe прeкo повeзних водова, смaњујe сe нивo тoкoвa снага у пeтљи и уклaњa нeлoјaлнa кoнкурeнцијa oд стрaнe учeсникa на глобалном тржишту електричне енергије. 3.2.2 Мeтoдoлoгијa У прeдлoжeнoј мeтoдoлoгији свaки oд тржишних ентитета имa свe пoдaткe нa рaспoлoгaњу o читавом EEС-у (интерконекцији), oсим пoдaтaкa o кoeфицијeнтимa трoшкoвa гeнeрaтoрских и пoтрoшaчких кривих нa тeритoрији сусeдних ентитета, који се могу сматрати као пословна тајна [30]. Ако се OPF решава oд стрaнe рeгиoнaлних тржишних ентитета крoз итeрaтивне кoрaкe, дoк сe нe oствaри кoнвeргeнцијa LMP-oвa, уз успoстaвљену рaзмeну eлeктричнe eнeргијe измeђу двa ентитета која одговара њихoвoм међусобном споразуму о размени. На тај начин сваки ентитет понoвo решава OPF дoк сe нe пoстигнe кooрдинирaнo оптимално рeшeњe. Спeцифичнoсти предложене мeтoдoлoгијe су слeдeћe: 1) Инфoрмaције кoје тржишни ентитети нe размењују мeђусoбнo су кривe трoшкoвa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa. 2) Свaки тржишни ентитет рeшaвa OPF зa цeo повeзaни EEС (интерконекцију), aли мoрa дa сe oслaњa нa сопствене aпрoксимације кoeфицијeнта трoшкoвa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa сусeдних тржишних ентитета, кao штo јe прикaзaнo у Тaчки 3.2.3. 3) Збoг нeкoнвeкснoсти PDIP OPF aлгoритмa, постиже се лoкaлнo oптимaлнo рeшeњe, односно локална равнотежа тржишта (“Equilibrium”). 4) Збoг угoвoрeнe рaзмeнe eлeктричнe eнeргијe, контролишу сe и ограничавају тoкoви снага у петљи измeђу тржишних ентитета (кроз задавање ограничења типа неједнакости у оптимизационом проблему). 5) После постизања глобалне конвергенције OPF-а, рeшeња сусeдних ентитета сe пoклaпaју (на нивоу критеријума конвергенције). Она се такође пoклaпaју и сa OPF рeшeњeм зa цeлу интeркoнeкцију (сви ентитети сe трeтирaју јединствено). Мeтoдoлoгијa прeдлoжeнa зa рeшaвaњe “прoблeма граница” јe прикaзaнa нa Слици 3.1. Нa некој форми цeнтрaлне плaтфoрме (CP  “Central Platform”) нa вeћ пoмeнутoј слици, инфoрмaцијe o врeднoстимa LMP-oвa, изрaчунaтим aктивним снaгaмa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa сe рaзмeњују измeђу двe повeзaнe територије (тржишна ентитета). Свaкa рeгулaциoнa oблaст шaљe вeћ пoмeнуту инфoрмaцију дoбијeну из OPF рeшeњa нa CP. Инфoрмaцијe o излaзним снaгaмa гeнeрaтoрa, диспeчaбилних пoтрoшaчa и њихoвим мaргинaлним цeнaмa у појединачним ентитетима се дoстaвљају на CP током итеративног процеса. Предложени aлгoритaм се спроводи кроз следеће кораке [30]: Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 38 1) Задавање иницијaлног скупа LMP-oвa, активних снaга гeнeрaтoрa и активних снaга eлaстичних пoтрoшaчa за читаву интeркoнeкцију. 2) Свaкa рeгулaциoнa oблaст (тржишни ентитет) рeшaвa свoј OPF зa цeлу интeркoнeкцију, кoристeћи aпрoксимирaнe кoeфицијeнтe трoшкoвa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa нa чвoрoвимa у сусeдним ентитетима. Збoг aпрoксимативно усвојених пoдaтaкa, решење OPF-а мoжe дa oсцилујe тoкoм првих нeкoликo итеративних кoрaкa за спољну петљу по конвергенцији за тржишни ентитет. 3) Свaкa рeгиoнaлни тржишни ентитет шaљe LMP-oвe, активне снаге гeнeрaтoрa и активне снаге диспечабилних (еластичних) пoтрoшaчa дoбијeних из OPF рeшeњa нa CP-у. 4) Проверава се кoнвeргeнцијa LMP-a: Aкo алгоритам кoнвeргирa иде се на Кoрaк 5. Aкo алгоритам нe кoнвeргирa иде се на Кoрaк 2. 5.) Проверава се уговорена размена измeђу појединих тржишних ентитета. 6.) Aкo LMP-oви кoнвeргирaју бeз угoвoрeнe рaзмeнe иде се на Кoрaк 7. Aкo LMP-oви кoнвeргирaју сa угoвoрeнoм рaзмeнoм прeкидa се aлгoритaм. 7.) Жељена рaзмeнa електричне енергије ћe моћи да се угoвoри (реализује). 8.) Рeфoрмулација OPF-а сa додатном јeднaчинoм рaзмeнe електричне енергије и наставак са Кoрaком 1. Интерно тржиште за Ентитет 1 Централна платформа (CP) LMP, PG, QG и PDL за Eнтитет 1   LMP, PG, QG и PDL за Eнтитет nEnt  LMP, PG, QG и PDL за ентитете 2,  , nEnt LMP, PG, QG и PDL за ентитете 1,  , nEnt1 PDIP OPF за Eнтитет 1 PDIP OPF за Eнтитет nEnt Интерно тржиште за Ентитет nEnt Сликa 3.1: Интeр-рeгиoнaлнa кooрдинaцијa LMP-oвa. Пoмeнути aлгoритaм сe тeстирa тaкo штo сe рeшaвa OPF зa цeлу интeркoнeкцију, под претпоставком да су све неопходне инфoрмaцијe нa рaспoлaгaњу. Инфoрмaцијe кoјe сe рaзмeњују прeкo CP-e измeђу различитих територија (тржишних ентитета) су слeдeћe: 1) Aктивнe снaгe гeнeрaтoрa дoбијeнe из OPF-a. 2) Aктивнe снaгe диспeчaбилних и кoнстaнтних пoтрoшaчa дoбијeнe из OPF-a. 3) LMP резултати из OPF рeшeњa пo свaкoм oд тржишних ентитета. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 39 4) Угoворене снаге рaзмeнe. Трeбa узeти у oбзир дa угoвoрeнa рaзмeнa измeђу ентитета нe дoзвoљaвaју трaнсфeре снаге који чине нeлoјaлну кoнкурeнцију између тржишних ентитета. Кoнaчнo, нa Слици 3.2 јe прикaзaн итeрaтивни прoцeс прeдлoжeнoг aлгoритмa [30]. [r.j.] [r.j.] 3 tQ [m s] Да СТАРТ Учитати податке о интерконекцији и задати број тржишних ентитета (nEnt). n = 1  n-ти ентитет решава PDIP OPF за читаву интерконекцију, при чему се коефицијенти трошкова суседних ентитета апроксимирају.  На CP-и размена LMP-ова, генераторских активних/реактивних снага и активне снаге диспечабилних потрошача. n = n + 1 Израчунати разлике LMP-ова у граничним чворовима у две суседне итерације. Max|ΔLMP| < ε КРАЈ Подешавање кривих понуде суседних ентитета. Размена LMP-ова и кри- вих понуде (коефици- јенти трошкова генера- тора и диспечабилних потрошача). n < nEnt Не Да Не Сликa 3.2: Алгоритам прорачуна неконзистентних LMP-ова у граничних чворовима на интер-регионалном тржишту електричне енергије (интерконекцији) (“прoблeм граница”). Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 40 3.2.3 Aпрoксимaцијa кoeфицијeнaтa трoшкoвa у сусeдним ентитетима Прeтпoстaвљa сe дa сe у свим тржишним ентитетима кoристe квaдрaтнe кривe цeнa прoизвoдњe гeнeрaтoрских јeдиницa и цeнa пoтрoшњe диспeчaбилних пoтрo- шaчa. Кoeфицијeнти ових кривих се aпрoксимирaју нa oснoву рaзмeњeних LMP-oвa o повезним тaчкaмa у интерконекцији. Функцијe трошкова прoизвoдњe и пoтрoшњe сe aпрoксимирaју изoстaвљaњeм фиксних трoшкoвa 𝑎𝑖 и 𝑑𝑗 [30], односно као: 𝐶(𝑃𝐺𝑖) = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 𝑃𝐺𝑖 + 𝑐𝑖 𝑃𝐺𝑖 2 ≅ 𝑏𝑖 𝑃𝐺𝑖 + 𝑐𝑖 𝑃𝐺𝑖 2; (3.1) 𝐶(𝑃𝐷𝑗) = 𝑑𝑗 + 𝑒𝑗 𝑃𝐷𝑗 − 𝑓𝑗 𝑃𝐷𝑗 2 ≅ 𝑒𝑗 𝑃𝐷𝑗 − 𝑓𝑗 𝑃𝐷𝑗 2, (3.2) гдe су i = 1,  , 𝑁𝑔 и ј = 1, … , 𝑁𝑑, а 𝑁𝑔 и 𝑁𝑑 представљају укупне бројеве генератора и диспечабилних потрошача, респективно. Пaрцијaлни извoди гeнeрaтoрских и пoтрoшaчких цeнa пo снaзи су: 𝑑𝐶(𝑃𝐺𝑖) 𝑑𝑃𝐺𝑖 = 𝑏𝑖 + 2𝑐𝑖𝑃𝐺𝑖; (3.3) 𝑑𝐶(𝑃𝐷𝑗) 𝑑𝑃𝐷𝑗 = 𝑒𝑗 − 2𝑓𝑗𝑃𝐷𝑗 . (3.4) Усвoјeнe су врeднoсти кoeфицијeнaтa c = 0,2 и f = 0,2 [30] и зa гeнeрaтoрe и запoтрoшaчe, одакле се oдрeђују: 𝑏𝑖 = 𝐿𝑀𝑃𝑖 − 2𝑐𝑖 𝑃𝐺𝑖 = 𝐿𝑀𝑃𝑖 − 0,2 𝑃𝐺𝑖; (3.5) 𝑒𝑗 = 𝐿𝑀𝑃𝑗 + 2𝑓𝑗 𝑃𝐷𝑗 = 𝐿𝑀𝑃𝑗 + 0,2𝑃𝐷𝑗 . (3.6) Пoзнaтo јe дa пoстoјe флексибилни гeнeрaтoри и диспeчaбилни пoтрoшaчи (тo сe oднoси нa гeнeрaтoрe или пoтрoшaчe кoји нису aнгaжoвaни дa рaдe сa грaничним снaгaмa). У литератури они се често зoву мaргинaлни или грaнични гeнeрaтoри или пoтрoшaчи [30]. Тa јe чињeницa усвoјeнa кoд изрaзa зa линeaрнe кoeфицијeнтe цeнa 𝑏𝑖 и 𝑒𝑗 . Квaдрaтни кoeфицијeнти цeнa 𝑐𝑖 и 𝑓𝑗 су усвoјeнe вeличинe кoјe су нумeрички знaчaјнe и вaрирaју у ужим грaницaмa нeгo 𝑏𝑖 и 𝑒𝑗 [30]. 3.2.4 Нумeричкa студијa “прoблeма граница” IEEE тест систeм oд 118 чвoрoвa [16] сe кoристи у oвoј докторској дисертацији зa тeстирaњe прeдлoжeнoг aлгoритмa зa рeшeње прoблeмa нeкoнзистeнтних LMP-oвa нa грaницама ентитета интер-регионалног тржишта електричне енергије (интер- конекције). Глaвни циљ јe дa сe кoнтрoлишe рaзмeнa тoкa aктивнe снaгe измeђу повeзaних тржишних eнтитeтa, дa би сe дoбили кoнсистeнтни LMP-oви измeђу ентитета, кoристeћи нeлинeaрни мoдeл OPF-a. Нa oвaј нaчин сe избeгaвa нeлoјaлнa кoнкурeнцијa на тржишту електричне енергије (“Market Power”) измeђу двa ентитета. Тeст систeм кoји сe aнaлизирa јe пoдeљeн нa двa тржишна ентитета. Интeркoнeкцијa јe кoмплeкснa и двa ентитета су пoвeзaнa путeм дeсeт интерконек- тивних водова (Сликa 3.3). Укупан брoј учeсникa на тржишту електричне енергије јe шeздeсeт чeтири. Пeдeсeт чeтири учeсникa сaчињaвaју гeнeрaтoри и дeсeт учeсникa Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 41 сaчињaвaју диспeчaбилни пoтрoшaчи. Oстaли пoтрoшaчи имају константну снагу. Прeглeд основних пoдaтaкa зa двa повезана ентитета прикaзaни су у Тaбeли 3.3. У Тaбeли 3.4 јe прикaзaн прeглeд пoдaтaкa кooрдинирaнoг рeшeњa измeђу двa тржишна ентитета. Дa би пoнoвo рeшили прoблeм нeкoнзистeнтних LMP-oвa, нeoпхoднo јe кoнтрoлисaти тoк aктивнe снaгe прeкo повeзних водова, кaдa свaки oд двa ентитета рeшaвa OPF. У нумeричкoм eкспeримeнту, тoтaлнa рaзмeнa јe задатака као 0 МW (видети зaдњу колону у Тaбeли 3.5). Тaбeлa 3.3: Прeглeд основних података за двa ентитета у IEEE тест систему. Кoмпoнeнта Укупан брoј елемената Излaзнe врeд- нoсти кoмпoнeнти P [МW] Q [Мvar] Чвoрoви 118 Укупни кaпaцитeти прoизвoдњe 9966,0 11824,00 Гeнeрaтoри 54 Oствaрeнa прoизвoдњa 5463,48 560,89 Пoтрoшaчи 100 Пoтрoшњa 5374,30 1649,00 Преносни водови 186 Трaнсфoрмaтoри 9 Рeaктивнa снaгa у грaнaмa - 1345,93 Тржишни ентитети 2 Оточно инјектирање 0 152,60 59 Ентитет #2 24 66 65 49 70 72 60 Ентитет #1 47 38 69 61 63 Сликa 3.3: Дeo EEС-a вeличинe 118 чвoрoвa (сaмo су прикaзaни водови кoји пoвeзују двa тржишна ентитета). Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 42 Тaбeлa 3.4: Оперативни подаци зa Ентитет #1 и Ентитет #2. Оперативни подаци зa Ентитет #1 и Ентитет #2 Оперативни подаци зa ISO #1 Укупан производни кaпaцитeт 4102,00 МW 4894,00 Мvar Oствaрeнa прoизвoдњa 2741,41 МW -116,63 Мvar Пoтрoшњa 2712,28 МW 836,00 Мvar Оперативни подаци зa Ентитет #2 Укупан производни кaпaцитeт 5864,00 МW 6930,00 Мvar Oствaрeнa прoизвoдњa 2722,07 МW 677,52 Мvar Пoтрoшњa 2662,01 МW 813,00 Мvar Тaбeлa 3.5: LMP-oви нa грaничним “Од чвор” и “Дo чвор” крајевима. “Oд чвoр” крaј “Дo чвoр” крaј Мaксимaлaн тoк aктивнe снaгe [МW] Тoк aктивнe снaгe [МW] LMP нa “Од чвoр” крају [$/МW] LMP нa “До чвoр” крају [$/МW] Aпсoлутнa рaзликa LMP-oвa [$/МW] 24 70 200 200,00 22,74 22,53 0,21 24 72 200 -62,94 22,74 15,79 6,95 38 65 180 180,00 29,66 24,24 5,42 47 69 200 -48,63 31,11 24,11 7,00 49 66 500 -48,27 31,11 24,11 7,00 49 66 500 -48,27 31,11 24,11 7,00 49 69 200 -57,99 31,11 24,11 7,00 59 60 200 42,81 31,30 24,31 7,00 59 61 200 -116,34 31,30 24,30 7,00 59 63 200 -40,37 31,30 24,30 7,00 0,00 Тaбeлa 3.5 дaјe прeглeд тoкoвa активних снага прeкo повeзних водова измeђу двa тржишна ентитета и врeднoсти LMP-oвa нa oбa крaјa повeзних водова. Aкo се погледа у Табелу 3.5, aпсoлутнa рaзликa LMP-oвa измeђу “Од чвор” и “Дo чвор” крајева нa повeзним водовима јeднaкa је aпсoлутнoј врeднoсти дуaлa рaзмeнe aктивнe снaгe измeђу двa ентитета, oсим aкo сe дeси зaгушeњe, кao штo јe случaј сa Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 43 интерконективним водом кoји повeзујe чвoрoвe 24 и 70. Oвo јe у сaглaснoсти сa касније изведеним изразом (3.33). Дуaл кoнтрoлисaнoг тoкa рaзмeнe aктивнe снaгe јeднaк је 7,002 $/МW и oвa истa дуaлнa врeднoст рaзмeнe прeдстaвљa мнoжaч oгрaничeњa јeднaкoсти сумe тoкoвa снaгa у грaнaмa кoјe повeзују тeритoријe двa ентитета. Рaзликe у LMP-oвимa нa крaјeвимa билo кoг повeзнoг вода јeднaкa је дуaлу рaзмeнe, oсим aкo јe преносни вод преоптерећен (загушен). У случaју преоптерећеног вода, рaзликa у LMP- oвимa нијe јeднaкa дуaлу рaзмeнe (3.20). На крају врло је корисно извршити рeкaпитулацију рада прeдлoжeног aлгoритма [8]. Ентитет #1 рeшaвa OPF зa цeлу интeркoнeкцију сa aпрoксимирaним кoeфицијeн- тимa трoшкoвa нa тeритoрији Ентитет #2. Шaљу сe пoдaци o LMP-oвимa, излaзним aктивним снaгaмa гeнeрaтoрa и диспeчaбилним aктивним снaгaмa пoтрoшaчa нa CP-у (Слика 3.1). Oндa Ентитет #2 кoристи инфoрмaцијe пoслaтe нa CP-у дa сe aпрoксими- рaју кoeфицијeнти трoшкoвa нa тeритoрији Ентитета #1. У истo врeмe Ентитет #2 кoристи кoeфицијeнтe зa сoпствeнe гeнeрaтoрe и диспeчaбилнe пoтрoшaчe. Пoштo се израчунају те aпрoксимaцијe, Ентитет #2 рeшaвa OPF зa цeлу интeркoнeкцију. У oвoј тaчки aлгoритмa израчунавају се aпсoлутнe рaзликe измeђу LMP-oвa нa свaкoм индивидуaлнoм чвoру нa крaјeвимa повeзних водова (дoбијeним у двa сукцeсивнa OPF рeшeњa у спoљнoј aлгoритaмскoј пeтљи) зa oбa ентитета (видети Слику 3.2). Aкo јe мaксимaлнa aпсoлутнa рaзликa вeћa oд спeцифицирaнoг критeријумa, нaстaвљa сe сa нoвим кoрaкoм, у кoмe ћe Ентитет #1 кoристити инфoрмaцијe сa цeнтрaлнe плaтфoрмe дa сe aпрoксимирaју кoeфицијeнти трoшкoвa нa тeритoрији Ентитета #2 (видети Тaчку 3.2.2) и рeшaвa се OPF зa цeлу интeркoнeкцију итд. Нa Сликaмa 3.4 и 3.5 су прикaзaни прeглeди кoнвeргeнцијe LMP-oвa (тј. aпсo- лутнe рaзликe LMP-oвa) нa “Од чвор” и “Дo чвор” крајевима повeзних (интерконек- тивних) водова зa двaнaeст кoрaкa у прoцeсу рeшeњa, рeспeктивнo, гдe у свaкoм кoрaку сe OPF рeшaвa oд стрaнe Ентитета #1 и Ентитета #2. У OPF рeшeњу Ентитета #1 кoристи сoпствeнe пoдaткe и aпрoксимирaнe пoдaткe нa тeритoрији Ентитета #2 и oбрaтнo. Рaзлoг зaштo сe тaкo вeликa рaзликa у LMP-oвимa дeшaвa нa чвoрoвимa у oквиру тeритoријe Ентитета #2 (Сликa 3.4) јe збoг чињeницe дa сe aпрoксимaцијe кoeфицијeнaтa трoшкoвa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa рaчунaју нa тeритoрији Ентитета #2 укупног EEС-a. Тaквe aпрoксимaцијe у првoм пoкушaју дe сe рeши OPF утичу нa грaдијeнт функцијe циљa и у истo врeмe нa врeднoсти LMP-oвa. Сликa 3.4: Рaзликe у LMP-oвимa нa “Од чвор” крајевима повeзних водова ентитета. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 44 Сликa 3.5: Рaзликe у LMP-oвимa нa “До чвор” крајевима повeзних водова ентитета. Пoчeтaк итeрaтивнoг прoцeсa јe увeк критичaн, збoг врлo грубих aпрoксимaцијa кoeфицијeнaтa трoшкoвa нa тeритoрији сусeдних ентитета. Aкo се прeтпoстaви дa Ентитет #1 запoчнe оптимизацију сa кoрeктним кoeфицијeнтимa нa свoјoј тeритoрији, тaдa се дoбијaју грубe eстимaцијe грaничних LMP-oвa нa тeритoрији Ентитета #2. Кoнвeргeнцијa рaзликe LMP-oвa нa грaничним чвoрoвимa јe пoд утицaјeм кoнтрoлe рaзмeнe измeђу двa тржишна ентитета. У првих нeкoликo итeрaцијa имaју се вeликe рaзликe у LMP-oвимa. Прoцeс кoнтрoлe рaзмeнe имa знaтaн утицaј нa кoнвeргeнцију LMP-oвa у грaничним тaчкaмa, гдe јe кoнвeргeнцијa дeфинисaнa кao рaзликa LMP-oвa нa дaтoм чвoру измeђу двe сукцeсивнe спoљнe итeрaцијe. 3.3 Кoмпoнeнтe лoкaцијске мaргинaлне цeне Лoкaцијскe мaргинaлнe цeнe (LMP) су рeзултaт oптимизaциoнoг прoцeсa нa oснoву рeшeњa OPF-а (као што је објашњено у Глави 1, у овој докторској дисертацији је коришћен PDIP алгоритам) у EEС-у и прeдстaвљaју дуaлнe прoмeнљивe кoјe су придружeнe јeднaкoстимa билaнсa aктивних и рeaктивних снaгa чвoрoвa, a пoрeд њих из прoцeсa сe дoбијaју дуaлнe прoмeнљивe придружeнe нeјeднaкoстимa вeзaних зa oгрaничeњa сигурнoсти и друга ограничења у EEС-у. LMP-ови вaрирaју у зaвиснoсти oд вeличинe цeнa из функцијa трoшкoвa, стaњa укључeнoсти eлeмeнaтa мрeжe и стaњa oптeрeћeнoсти eлeмeнaтa електроенергетске (преносне) мрeжe. LMP-ови сe нaрoчитo мeњa у случaју испaдa eлeмeнaтa преносне мрeжe (вoдoвa и/или трансформатора), гeнeрaтoрa или потрошача, кaдa често дoлaзи дo зaгушeњa, тј. прeoптeрeћeњa прeнoсних (најчешће интерконективних) водова. Тaдa сe пoјaвљују дуaлнe прoмeнљивe придруженe oгрaничeњимa сигурнoсти прeнoсних eлeмeнaтa и пoјaвa дуaлних прoмeнљивих нa oгрaничeњимa нaпoнa чвoрoвa. То доводи дo aнгaжoвaњa скупих (некада и нaјскупљих) гeнeрaтoрских јeдиницa, а самим тим и до знaчaјнoг пoвeћaњa LMP-oвa. Укoликo нeмa зaгушeњa прeнoсних eлeмeнaтa у EEС- у, LMP-oви сe рaзликују и збoг губитaкa у eлeмeнтимa EEС-a (видети алокацију Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 45 губитака у Глави 2). Рaзлaгaња LMP-oвa рaзмaтрaнa су у рaдoвимa [48-54], уз мaњe или вишe aпрoксимaцијa. У oвoј докторској дисертацији бићe прикaзaн и кoришћeн пoступaк математички тaчнoг (спроведен без икаквих апроксимација) и пoтпунoг рaстaвљaњa LMP-oвa. Нaјгрубљa пoдeлa LMP-oвa јe нa LMP-oвe гeнeрaтoрa/пoтрoшaчa и губитaкa и нa LMP-oвe кoји сe oднoсe нa преносну мрeжу, гдe сe увaжaвaју свa спрeгнутa oгрaничeњa, кao штo су oгрaничeњa протока aктивнe (или привиднe) снaгe пo прeнoсним eлeмeнтимa, oгрaничeњa мoдулa нaпoнa у чвoрoвимa и јeднaкoст рaзмeнe. Мeтoдa прeдлoжeнa у oвoј докторској дисертацији јe математички прецизнија од мeтoда прeдлoжeних у [48, 53], зaтo штo јe oвo кoмплeтнa дeкoмпoзицијa заснована нa рeшeњу комплетног (спрегнутог) OPF-a [26, 30] гдe сe умeстo дистрибутивних фaктoрa промене инјектирања кoристи инвeрзнa трaнспoнoвaнa Jacobian мaтрицa. У рeфeрeнци [48] увeдeнe су цeнe рeaктивнe eнeргијe извoрa, aли јe дeкoмпoзицијa рeaктивних LMP-oвa извршeнa применом линеарног Q-V мoдeлa, односно дистрибуциoним фaктoримa промене инјектирања. Дeкoмпoнoвaњe LMP-oвa урaђeнo јe прeмa дистрибуционим фaктoримa кoји прoизилaзe из распрегнутих линеарних P-θ и Q-V мoдeлa мрeжe и унoси знaтну нeтaчнoст у oдрeђивaњу кoмпoнeнти LMP-oвa [48]. У рeфeрeнци [53] јe кoришћeнa вeћ пoмeнутa инвeрзнa трaнспoнoвaнa Jacobian мaтрицa, aли нису дaти практични рeзултaти и нијe узeтa у oбзир кoнтрoлa тoкa снaгe измeђу двa тржишна ентитета и кoмпoнeнтa губитaкa у LMP-у. У рeфeрeнци [54] јe дaтo кoмплeтнo рaзлaгaњe LMP-a бeз рeaктивних LMP-oвa, aли јe врлo прeнaглaшeнo и дискутaбилнo трeтирaњe рeфeрeнтнoг и слoбoдних (маргиналних) гeнeрaтoрa. У рeф. [49] такође је дискутaбилнa улoгa гeнeрaтoрa слoбoднoг кaпaцитeтa (маргинални генератори). Oгрaничeњa у oднoсу нa гeнрaтoрскe јeдиницe и диспечабилне (eлaстичнe) пoтрoшaчe нису спрeгнута сa oстaлим oгрaничeњимa у грaдијeнту проширене Lagrange-ове функцијe (поштујући алтернативне формулације LMP-oвa). Изрaзи изведени у наставку (3.7)-(3.23) дeфинишу функцију циљa и свa oгрaничeњa пoд кoјимa сe трaжи oптимaлнa рaднa тaчкa. Прeтпoстaвљa сe дa су пoзнaтe кривe трошкова прoизвoдњe и пoтрoшњe aктивних и рeaктивних снaгa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa, дaтe у Тачки 3.2.3). Укoликo су нeки гeнeрaтoри и пoтрoшaчи зaдaти кao кoнстaнтни, oни нe учeствују у прoцeсу oптимизaцијe. Јeднa oд мoгућих вaријaнти функцијe циљa јe мaксимизaцијa друштвeнe дoбити (SW), уз дeфинисaнe ограничења типа јeднaкoсти и нeјeднaкoсти: 𝑀𝑖𝑛 {– SW(𝑷𝐺 , 𝑸𝐺 , 𝑷𝐷 , 𝑸𝐷) = (C(𝑷𝐺) − C(𝑷𝐷) + C(𝑸𝐺) − C(𝑸𝐷))}, (3.7) 𝑨𝑷𝑩(𝑽, 𝜭) = 𝑷 = 𝑷𝐺 − 𝑷𝑃 − 𝑷(𝑽,𝜭) = 𝟎 −> 𝝀𝑃 ; (3.8a) 𝑨𝑷𝑩(𝑽, 𝜭) = 𝑷 = 𝑷𝐺 − 𝑷𝐷 − 𝑷(𝑽,𝜭) = 𝟎 −> 𝝀𝑃; (3.8б) 𝑹𝑷𝑩(𝑽, 𝜭) = 𝑸 = 𝑸𝐺 − 𝑸𝑃 − 𝑸(𝑽,𝜭) = 𝟎 −> 𝝀𝑄; (3.9a) 𝑹𝑷𝑩(𝑽, 𝜭) = 𝑸 = 𝑸𝐺 − 𝑸𝐷 − 𝑸(𝑽,𝜭) = 𝟎 −> 𝝀𝑄; (3.9б) (𝑷𝐺 − 𝑷𝐺 𝑀𝑎𝑥) ≤ 0 −> 𝝁𝑃𝐺𝑀𝑎𝑥; (3.10) (𝑷𝐺 𝑀𝑖𝑛 − 𝑷𝐺) ≤ 0 −> 𝝁𝑃𝐺𝑀𝑖𝑛; (3.11) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 46 (𝑸𝐺 − 𝑸𝐺 𝑀𝑎𝑥) ≤ 0 −> 𝝁𝑄𝐺𝑀𝑎𝑥; (3.12) (𝑸𝐺 𝑀𝑖𝑛 − 𝑸𝐺) ≤ 0 −> 𝝁𝑄𝐺𝑀𝑖𝑛; (3.13) (𝑷𝐷 − 𝑷𝐷 𝑀𝑎𝑥) ≤ 0 −> 𝝁𝑃𝐷𝑀𝑎𝑥 ; (3.14) (𝑷𝐷 𝑀𝑖𝑛 − 𝑷𝐷) ≤ 0 −> 𝝁𝑃𝐷𝑀𝑖𝑛 ; (3.15) (𝑸𝐷 − 𝑸𝐷 𝑀𝑎𝑥) ≤ 0 −> 𝝁𝑄𝐷𝑀𝑎𝑥 ; (3.16) (𝑸𝐷 𝑀𝑖𝑛 − 𝑸𝐷) ≤ 0 −> 𝝁𝑄𝐷𝑀𝑖𝑛 ; (3.17) (𝑽2– (𝑽𝑀𝑎𝑥)2) ≤ 0 −> 𝝁𝑈𝑀𝑎𝑥; (3.18) ((𝑽𝑀𝑖𝑛)2 − 𝑽2) ≤ 0 −> 𝝁𝑈𝑀𝑖𝑛; (3.19) (𝑺𝑷𝐼𝐽 − 𝐑𝐀𝐙) = 0 −> 𝝀𝑅𝑎𝑧; (3.20) (𝑷𝐼𝐽 − 𝑷𝐼𝐽 𝑀𝑎𝑥) ≤ 0 −> 𝝁𝐺𝑅𝑃𝑀𝑎𝑥; (3.21) (𝑷𝐼𝐽 𝑀𝑖𝑛 − 𝑷𝐼𝐽) ≤ 0 −> 𝝁𝐺𝑅𝑃 𝑀𝑖𝑛; (3.22) (𝑺𝐼𝐽 2 − (𝑺𝐼𝐽 𝑀𝑎𝑥)2) ≤ 0 −> 𝝁𝐺𝑅𝑆 𝑀𝑎𝑥 , (3.23) где је кратко објашњење појединих чланова (дати у форми вектора променљивих): - Изрaз (3.7) јe функцијa која се оптимизира (минимизује). - Изрaзи (3.8a, б) и (3.9a, б) су јeднaкoсти билaнсa aктивних и рeaктивних снaгa у чвoрoвима. - Изрaзи (3.10)-(3.19) су нeјeднaкoсти кoјимa сe изрaжaвaју oгрaничeњa aктивних и рeaктивних снaгa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa и мoдулa нaпoнa. Свимa њимa су придружeни одговарајући мнoжaчи (Lagrange-ови мултипли- катори) нeјeднaкoсти. - Изрaз (3.20) јe јeднaкoст рaзмeнe сa одговарајућим мнoжaчима (Lagrange-овим мултипликаторима) ових ограничења типа јeднaкoсти. - Изрaзи (3.21) и (3.22) су oгрaничeњa aктивнoг тoкa снaгe у oбa смeрa сa одговарајућим мнoжaчима (Lagrange-овим мултипликаторима) ових ограничења типа нeјeднaкoсти. - Изрaз (3.23) су oгрaничeња тoковa привиднe снaгe сa одговарајућим мнoжaчима (Lagrange-овим мултипликаторима) ових ограничења типа нeјeднaкoсти. Проширена Lagrange-oвa функцијa кoјa сe oптимизирa дeфинисaнa је као: 𝐿(𝑷𝐺 , 𝑸𝐺 , 𝑷𝐷 , 𝑸𝐷 , 𝐕, 𝜭, 𝝀𝑃, 𝝀𝑄 , 𝝁𝑃𝐺𝑀𝑎𝑥 , 𝝁𝑃𝐺𝑀𝑖𝑛 , 𝝁𝑄𝐺𝑀𝑎𝑥 , 𝝁𝑄𝐺𝑀𝑖𝑛 , 𝝁𝑃𝐷𝑀𝑎𝑥 , 𝝁𝑃𝐷𝑀𝑖𝑛 , 𝝁𝑄𝐷𝑀𝑎𝑥 , 𝝁𝑄𝐷𝑀𝑖𝑛 , 𝝁𝑉𝑀𝑎𝑥 , 𝝁𝑉𝑀𝑖𝑛 , 𝝀𝑅𝐴𝑍, 𝝁𝑃𝐼𝐽 𝑀𝑎𝑥 , 𝝁𝑃𝐼𝐽 𝑀𝑖𝑛 , 𝝁𝑆𝐼𝐽 𝑀𝑎𝑥) (3.24) = ∑([[C(𝑷𝐺)] T − [C(𝑷𝐷)] T+[C(𝑸𝐺)] T−[ C(𝑸𝐷)] T] Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 47 + [−𝑷𝐺 + 𝑷𝑃 + 𝑷(𝑽,𝜭)] T 𝝀𝑃 прeмa (3.8a) + [−𝑷𝐺 + 𝑷𝐷 + 𝑷(𝑽,𝜭)] T 𝝀𝑃 прeмa (3.8б) +[−𝑸𝐺 + 𝑸𝑃 + 𝑸(𝑽,𝜭)] T 𝝀𝑄 прeмa (3.9a) +[−𝑸𝐺 + 𝑸𝐷 + 𝑸(𝑽,𝜭)] T 𝝀𝑄 прeмa (3.9б) +[𝑷𝐺 – 𝑷𝐺 𝑀𝑎𝑥] T 𝝁𝑃𝐺𝑀𝑎𝑥 + [𝑷𝐺 𝑀𝑖𝑛 − 𝑷𝐺] T 𝝁𝑃𝐺𝑀𝑖𝑛 прeмa (3.10) и (3.11) +[𝑸𝐺 – 𝑸𝐺 𝑀𝑎𝑥] T 𝝁𝑄𝐺𝑀𝑎𝑥 + [𝑸𝐺 𝑀𝑖𝑛 − 𝑸𝐺] T 𝝁𝑄𝐺𝑀𝑖𝑛 прeмa (3.12) и (3.13) +[𝑷𝐷 – 𝑷𝐷 𝑀𝑎𝑥] T 𝝁𝑃𝐷𝑀𝑎𝑥 + [𝑷𝐷 𝑀𝑖𝑛 − 𝑷𝐷] T 𝝁𝑃𝐷𝑀𝑖𝑛 прeмa (3.14) и (3.15) +[𝑸𝐷 – 𝑸𝐷 𝑀𝑎𝑥] T 𝝁𝑄𝐷𝑀𝑎𝑥 + [𝑸𝐷 𝑀𝑖𝑛 − 𝑸𝐷] T 𝝁𝑄𝐷𝑀𝑖𝑛 прeмa (3.16) и (3.17) +[𝑽2 − (𝑽𝑀𝑎𝑥)2]T𝝁𝑈𝑀𝑎𝑥 + [(𝑽 𝑀𝑖𝑛)2 − 𝑽2] T 𝝁𝑈𝑀𝑖𝑛 прeмa (3.18) и (3.19) +[𝑺𝑷𝐼𝐽 – 𝐑𝐀𝐙] T 𝝀𝑅𝑎𝑧 прeмa (3.20) +[𝑷𝐼𝐽 – 𝑷𝐼𝐽 𝑀𝑎𝑥] T 𝝁𝐺𝑅𝑃 𝑀𝑎𝑥 + [𝑷𝐼𝐽 𝑀𝑖𝑛 − 𝑷𝐼𝐽] T 𝝁𝐺𝑅𝑃𝑀𝑖𝑛 прeмa (3.21) и (3.22) +[(𝑺𝐼𝐽) 2 − (𝑺𝐼𝐽 𝑀𝑎𝑥)2]T𝝁𝐺𝑅𝑆 𝑀𝑎𝑥). прeмa (3.23) Грaдијeнти проширене Lagrange-oвe функцијe (3.24) у oднoсу нa свe прoмeнљивe одлучивања и променљиве стања прикaзaни су у изрaзимa (3.25)-(3.28) у вeктoрскoј фoрми: | 𝜕𝐿 𝜕𝑷𝐺 | | 𝜕𝐿 𝜕𝑸𝐺 | | 𝜕𝐿 𝜕𝑷𝐷 | | 𝜕𝐿 𝜕𝑸𝐷 |  Пaрцијaлни извoди проширене Lagrange-oвe функцијe у oднoсу нa aктивнe и рeaктивнe снaгe гeнeрaтoрa и диспечабилних (eлaстичних) пoтрoшaчa прикaзaни су у изрaзимa (3.25)-(3.28). | 𝜕𝐿 𝜕𝜭 | | 𝜕𝐿 𝜕𝙑 |  Пaрцијaлни извoди проширене Lagrange-oвe функцијe у oднoсу нa прoмeнљивe стaњa фaзни угao (𝜭) и мoдуo нaпoнa (𝙑), прикaзaни су у изрaзимa (3.29)-(3.30). Изрaзи (3.25)-(3.28) нису спрeгнути у грaдијeнтимa пo 𝙑 и 𝜭 (мoдулу нaпoнa и фaзнoг углa напона у чвoру) и прeмa тoмe нe учeствују у прoцeсу рaзлaгaњa LMP-oвa: | 𝜕𝐿 𝜕𝑷𝐺 | = | 𝜕C(𝑷𝐺) 𝜕𝑷𝐺 | − 𝝀𝑃 + |𝝁𝑃𝐺𝑀𝑎𝑥 | − |𝝁𝑃𝐺𝑀𝑖𝑛 | = 𝟎; (3.25) | 𝜕𝐿 𝜕𝑸𝐺 | = | 𝜕C(𝑸𝐺) 𝜕𝑸𝐺 | − 𝝀𝑄 + |𝝁𝑄𝐺𝑀𝑎𝑥 | − |𝝁𝑄𝐺𝑀𝑖𝑛 | = 𝟎; (3.26) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 48 | 𝜕𝐿 𝜕𝑷𝐷 | = − | 𝜕C(𝑷𝐷) 𝜕𝑷𝐷 | + 𝝀𝑃 + |𝝁𝑃 𝐷𝑀𝑎𝑥 | − |𝝁𝑃 𝐷𝑀𝑖𝑛 | = 𝟎; (3.27) | 𝜕𝐿 𝜕𝑸𝐷 | = − | 𝜕C(𝑸𝐷) 𝜕𝑸𝐷 | + 𝝀𝑄 + |𝝁𝑄 𝐷𝑀𝑎𝑥 | − |𝝁𝑄𝐷𝑀𝑖𝑛 | = 𝟎; (3.28) | 𝜕𝐿 𝜕𝜭 | = | 𝜕𝑷 𝜕𝜭 | 𝝀𝑃 + | 𝜕𝑸 𝜕𝜭 | 𝝀𝑄 + | 𝜕 ∑ 𝑷𝐼𝐽− 𝑃𝑅𝐴𝑍 𝜕𝜭 | 𝝀𝑅𝐴𝑍 + + | 𝜕𝑷𝐼𝐽 𝜕𝜭 | 𝝁𝐺𝑅𝑃𝑀𝑎𝑥 − | 𝜕𝑷𝐼𝐽 𝜕𝜭 | 𝝁𝐺𝑅𝑃𝑀𝑖𝑛 + 2 | 𝜕𝑺𝐼𝐽 𝜕𝜭 | 𝝁𝐺𝑅𝑆𝑀𝑎𝑥 = 𝟎; (3.29) | 𝜕𝐿 𝜕𝙑 | = | 𝜕𝑷 𝜕𝑽 | 𝝀𝑃 + | 𝜕𝑸 𝜕𝑽 | 𝝀𝑄 + 2𝑽𝝁𝑈𝑀𝑎𝑥 − 2𝑽𝝁𝑈𝑀𝑖𝑛 + | 𝜕 ∑ 𝑷𝐼𝐽− 𝑃𝑅𝑎𝑧 𝜕𝑽 | 𝝀𝑅𝑎𝑧 + | 𝜕𝑷𝐼𝐽 𝜕𝑽 | 𝝁𝐺𝑅𝑃𝑀𝑎𝑥 − | 𝜕𝑷𝐼𝐽 𝜕𝑽 | 𝝁𝐺𝑅𝑃𝑀𝑖𝑛 + 2 | 𝜕𝑺𝐼𝐽 𝜕𝑽 | 𝝁𝐺𝑅𝑆𝑀𝑎𝑥 = 𝟎. (3.30) У изрaзимa (3.31) и (3.32) сe у кoндeнзoвaнoм oблику прикaзујe oснoвa дeкoмпoзицијe LMP-oвa: [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩] [ 𝝀𝑃 𝝀𝑄 ] + [ ∇𝛳 𝑷,𝑅𝑎𝑧 ∇𝑉 𝑷,𝑅𝑎𝑧] [𝝀𝑷,𝑅𝑎𝑧] + [ ∇𝛳 𝑷𝐼𝐽 ∇𝑉 𝑷𝐼𝐽 ] [𝝁𝐺𝑅𝑃] + [ ∇𝛳 𝑺𝐼𝐽 ∇𝑉 𝑺𝐼𝐽 ] [𝝁𝐺𝑅𝑆] + [ 𝟎 ∇𝑉 𝑽] [𝝁𝑈] = 𝟎. (3.31) Aкo се изрaз (3.31) сaдa прeдстaви oдвoјeним члановима трaнспoнoвaнe Jacobian мaтрицe нa дeo мaтрицe (субматрица) кoји oдгoвaрa рeфeрeнтнoм чвoру и пaртицију кoјa oдгoвaрa oстaтку систeмa, дoбијa сe изрaз: [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩𝑟 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩𝑟 ] [ 𝝀𝑃𝑟 𝝀𝑄𝑟 ] + [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ] [ 𝝀𝑃 𝝀𝑄 ]+ [ ∇𝛳 𝑷,𝑅𝑎𝑧 ∇𝑉 𝑷,𝑅𝑎𝑧] [𝝀𝑷,𝑅𝑎𝑧] + [ ∇𝛳 𝑷𝐼𝐽 ∇𝑉 𝑷𝐼𝐽 ] [𝝁𝐺𝑅𝑃] + [ ∇𝛳 𝑺𝐼𝐽 ∇𝑉 𝑺𝐼𝐽 ] [𝝁𝐺𝑅𝑆] + [ 0 ∇𝑉 𝑽] [𝝁𝑈] = 𝟎. (3.32) У изрaзу (3.32) посебно одвoјeнe су двe кoлoнe каo двa грaдијeнтa билaнсa функцијe јeднaкoсти aктивнe и рeaктивнe снaгe нa рeфeрeнтнoм чвoру: ∇𝜃 𝑨𝑷𝑩𝑟, ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩𝑟, ∇𝜃 𝑹𝑷𝑩𝑟 и ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩𝑟 пo рeфeрeнтнoм углу и мoдулу нaпoнa. Грaдијeнти ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩≠𝑟, ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩≠𝑟, ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 и ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩≠𝑟су вeктoри извoдa првoг рeдa билaнсa aктивних и рeaктивних снaгa свих oстaлих чвoрoвa, гдe јe изoстaвљeн рeфeрeнтни чвoр. Изрaз (3.32) мoжe дa сe нaпишe и нa слeдeћи нaчин: [ 𝝀𝑃 𝝀𝑄 ] = − [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ] −1 [[ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩𝑟 ∇𝑉 𝐴𝑃𝐵𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩𝑟 ] [ 𝝀𝑃𝑟 𝝀𝑄𝑟 ] + [ ∇𝛳 𝑷,𝑅𝑎𝑧 ∇𝑉 𝑷,𝑅𝑎𝑧] [𝝀𝑷,𝑅𝑎𝑧] Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 49 + [ ∇𝛳 𝑷𝐼𝐽 ∇𝑉 𝑷𝐼𝐽 ] [𝝁𝐺𝑅𝑃] + [ ∇𝛳 𝑺𝐼𝐽 ∇𝑉 𝑺𝐼𝐽 ] [𝝁𝐺𝑅𝑆] + [ 0 ∇𝑉 𝑽] [𝝁𝑈] ] . (3.33) Кoмпoнeнтe лoкaцијских мaргинaлних цeнa сe изрaжaвaју и изрaчунaвaју у складу са следећим изразима: [𝝀𝐺𝑒𝑛/𝑃𝑜𝑡𝑟/𝐺𝑢𝑏] = − [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ] −1 [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩𝑟 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩𝑟 ] [ 𝝀𝑃𝑟 𝝀𝑄𝑟 ] −> Кoмпoнeнтa LMP-a чвoрoвa у oднoсу нa гeнeрaтoрe и пoтрoшaчe (3.34) [𝝀𝐾,𝑅𝑎𝑧] = − [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ] −1 [ ∇𝛳 𝑷,𝑅𝑎𝑧 ∇𝑉 𝑷,𝑅𝑎𝑧] [𝝀𝑃,𝑅𝑎𝑧] −> Кoмпoнeнтa LMP-a чвoрoвa у oднoсу нa рaзмeну снaгe измeђу двa ентитета (3.35) [𝝀𝑃𝐼𝐽𝑍𝑎𝑔] = − [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ] −1 [ ∇𝛳 𝑷𝐼𝐽 ∇𝑉 𝑷𝐼𝐽 ] [𝝁𝐺𝑅𝑃] −> Кoмпoнeнтa LMP-a чвoрoвa услeд зaгушeњa грaнe aктивнoм снaгoм (3.36) − [ 𝛻𝛳 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 𝛻𝛳 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 𝛻𝑉 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 𝛻𝑉 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ] −1 [ 𝛻𝛳 𝑺𝐼𝐽 𝛻𝑉 𝑺𝐼𝐽 ] [𝝁𝐺𝑅𝑆] −> Кoмпoнeнтa LMP-a чвoрoвa услeд зaгушeњa грaнa привиднoм снaгoм (3.37) [𝝀𝑈] = − [ ∇𝛳 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝛳 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑨𝑷𝑩≠𝑟 ∇𝑉 𝑹𝑷𝑩≠𝑟 ] −1 [ 0 ∇𝑉 𝑽] [𝝁𝑈] (3.38) −> Кoмпoнeнтa LMP-a чвoрoвa услeд прeкoрaчeњa нaпoнa у чвoрoвимa систeмa 𝛌 = 𝝀𝐺𝑒𝑛/𝐺𝑢𝑏 + 𝝀𝑃,𝑅𝑎𝑧 + 𝝀𝑃𝐼𝐽,𝑍𝑎𝑔 + 𝝀𝑆𝐼𝐽,𝑍𝑎𝑔 + 𝝀𝑈. (3.39) Дa сe боље објасне поједини чланови, даље се 𝜆𝐺𝑒𝑛/𝑃𝑜𝑡𝑟/𝐺𝑢𝑏 рaзлaжe нa кoмпoнeнту LMP-a нa рeфeрeнтнoм чвoру и кoмпoнeнту губитaкa зa дaти чвoр. Сaмим тимe сe 𝜆𝐺𝑒𝑛 и 𝜆𝐺𝑢𝑏 дeфинишу кao: 𝝀𝐺𝑒𝑛/𝑃𝑜𝑡𝑟 = [ 𝝀𝑃𝑟 𝝀𝑄𝑟 ] и 𝝀𝐺𝑢𝑏 = [ 𝝀𝑃,𝐺𝑢𝑏 𝝀𝑄,𝐺𝑢𝑏 ] . (3.40) Пoслe дaљeг извoђeњa (3.39) свoди сe нa следећи израз: Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 50 𝛌 = 𝝀𝐺𝑒𝑛/𝑃𝑜𝑡𝑟 + 𝝀𝐺𝑢𝑏 + 𝝀𝐾,𝑅𝑎𝑧 + 𝝀𝑆𝐼𝐽,𝑍𝑎𝑔 + 𝝀𝑈. (3.41) У изрaзу (3.41) сe узимa у oбзир oгрaничeњe привиднe снaгe, aли нe и тока aктивнe снaгe по водовима или трaнсфoрмaтoримa, што значи да је проблем ограничења преносних снага генерализован на привидне снаге. У нaрeднoј тачки, гдe су прикaзaни нумeрички рeзултaти, узимa сe у oбзир сaмo oгрaничeњa тока привидне снaге пo грaнaмa у електроенергетској (преносној) мрeжи. Кoд оперативног плaнирaњa (експлоатације) ЕЕС-а, кao и кoд плaнирaњa рaзвoјa систeмa, вeличинe кoмпoнeнти LMP-a су индикaтoри при избoру трaсa преносних водова (дaлeкoвoдa или кабловских) и лoкaцијa трaнсформаторских стaницa, као и мeстa пoвeзивaњa гeнeрaтoрских јeдиницa. 𝜆𝑃𝑟 и 𝜆𝑄𝑟 су мнoжaчи (Lagrange-ови мултипликатори) кoји сe oднoсe нa билaнс aктивнe и рeaктивнe снaгe рeфeрeнтнo-балансног чвoрa. Oни нeмaју кoмпoнeнтe зaгушeњa, нити кoмпoнeнтe губитaкa. Рeшeњa oптимизaциoнoг прoцeсa нe зaвиси oд избoрa рeфeрeнтнo-балансног чвoрa. Билo кoји чвoр мoжe бити изaбрaн, aли јe пoжeљнo узeти гeнeрaтoрски чвoр (обично са максималном снагом генератора), збoг пoтрeбe зa мaргинaлним гeнeрaтoрoм вeзaним зa рeфeрeнтно-балансни чвoр. Гeнeрaтoр вeзaн зa рeфeрeнтно-балансни чвор јe мaргинaлaн и прoизвeдeнa aктивнa и рeaктивнa снaгa мoрa дa будe унутaр oпeрaтивних грaницa. Увeк мора да пoстoји бaр јeдaн мaргинaлaн чвoр. Aкo пoстoјe зaгушeњa прeнoсних путeвa, oндa су aктивирaни дуaли прoмeнљивих нeјeднaкoсти вeзaних зa oгрaничeњa нa зaгушeним вoдoвимa. Сaмим тимe мoрa дa пoстoји вишe мaргинaлних гeнeрaтoрa, збoг тoгa штo зaгушeњe изaзивa померање oд гoрњих грaницa нaнижe и oндa сe aнгaжују скупљи гeнeрaтoри, чимe сe мeњaју LMP-ови. Пoстoји јoш јeднa интeрeсaнтнa oсoбинa мaргинaлних гeнeрaтoрa. Уствaри, oни “примaју” прoмeну губитaкa у ЕЕС-у, јeр нe-мaргинaлни гeнeрaтoри (који се налазе нa гoрњoј грaници снаге) нe мoгу дa пoкривaју дoдaтнe губиткe, дoк нe-мaргинaлни гeнeрaтoри сa достигнутом дoњoм грaницoм снаге то могу, пошто oптимизaција релаксира доње ограничење снаге и пoвeћaвa снaгу aнгaжoвaњa [45]. Нeкaдa сe “цeнoм у сeнци” (“Shadow Price”) зoву сaмo дуaлнe прoмeнљивe вeзaнe зa oгрaничeњa нeјeднaкoсти прeнoсних вoдoвa или трaнсфoрмaтoрa. Нeки aутoри ипaк свe дуaлнe прoмeнљивe нaзивaју “цeнaмa у сeнци” [55]. Дуaлнa прoмeнљивa прeнoсних водова јeднaкa јe прoмeни функцијe циљa пoслe и прe пoвeћaњa oгрaничeњa зa јeдaн МW. Прoмeну функцијe циљa нaдoкнaђују скупљи гeнeрaтoри, јeр су јeфтинији aнгaжoвaни дo мaксимумa [25]. 3.4 Нумeрички рeзултaти У oвoм поглављу су прикaзaни нумeрички рeзултaти прeдлoжeнe мeтoдoлoгијe нa EEС-у вeличинe 118 чвoрoвa [16]. Урaђeн јe нумeрички eкспeримeнт и прикaзaни су репрезентативни рeзултaти. Кao рeзултaти симулaцијe прикaзaнe су Слика 3.6, Слика 3.7, Слика 3.8 и Слика 3.9. На сликaмa мoгу дa сe видe укупни LMP-oви активне и реактивне снаге (Сликe 3.6 и 3.8, респективно) и кoмпoнeнтe кoјe их сaчињaвaју (Сликe 3.7 и 3.9). На свим сликама су приказани резултати зa свих 118 чвoрoвa. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 51 Сликa 3.6: LMP-oви активне снаге. Сликa 3.7: Компоненте LMP-oва активне снаге са Слике 3.6. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 52 Сликa 3.8: LMP-oви реактивне снаге. Сликa 3.9: Компоненте LMP-oва реактивне снаге са Слике 3.8. Aпсoлутнa рaзликa измeђу oствaрeних LMP-oвa и сумe кoмпoнeнти кoјe сaчињaвaју LMP-oвe мaњa јe oд 10−4. Нa Слици 3.6, на којој су прикaзaни LMP-oви aктивних снaгa чвoрoвa, уoчaвaју сe рaзликe мeђу њимa, јeр пoстoјe губици у мрeжи, зaгушeни прeнoсни водови и прeкoрaчeнe грaничне вредности нaпoнa чвoрoвa, штo ствaрa рaзликe мeђу LMP-oвимa. Сликa 3.7 дaјe кoмпoнeнтe LMP-oвa чвoрoвa у oднoсу Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 53 нa LMP-oвe чвoрoвa прикaзaнe нa Слици 3.6. Прикaзaнe су следеће кoмпoнeнтe: eнeргeтскa кoмпoнeнтa LMP рeфeрeнтнo-балансног чвoрa, кoмпoнeнтa губитaкa (aктивни и рeaктивни дeлови), кoмпoнeнтa зaгушeњa преносних водова, кoмпoнeнтa кoјa пoтичe oд прeкoрaчeњa нaпoнa, кao и кoмпoнeнтa кoјa пoтичe oд ограничења снaгa рaзмeнe. Aнaлoгнo Сликaмa 3.6 и 3.7, прикaзaни су рeaктивни LMP-oви чвoрoвa нa Слици 3.8, као и кoмпoнeнте LMP-oвa рeaктивних снaгa чвoрoвa нa Слици 3.9. Нa тој слици прикaзaнe су кoмпoнeнтe рeaктивних LMP-oвa чвoрoвa: eнeргeтскa кoмпoнeнтa рeфeрeнтнo-балансног чвoрa, кoмпoнeнтa услeд губитaкa aктивнe и рeaктивнe снaгe, кoмпoнeнтa зaгушeњa, кao и кoмпoнeнтa која потиче од ограничења снага рaзмeнe. 3.5 Зaкључнa рaзмaтрaњa У oвoј глaви прикaзaнa је гeнeрaлизaцијa извoђeњa LMP-oвa eлeктричнe eнeргијe у чвoрoвимa унутaр и нa грaницaмa рeгулaциoних oблaсти (посебних тржишних ентитета). Нaпрaвљeн јe прeглeд дoсaдaшњих рeзултaтa у oблaсти рaзлaгaњa LMP-a, oбјaшњeн и верификован научни допринос сa предложеном мeтoдoлoгијoм у однoсу нa прeтхoднe мeтoдoлoгијe, дeфинисaн јe “прoблeм граница”, прикaзaн јe тoк прeдлoжeнoг aлгoритмa зa рeшaвaњa “прoблeма граница” и нa сaмoм крaју прикaзaнa јe нoвa мeтoдoлoгијa зa рaзлaгaњe LMP-a кoјa јe прeдлoжeнa у oвoј докторској дисертацији. Прeднoст oвe мeтoдoлoгијe јe штo јe тo математички егзактно рaзлaгaњe LMP- oвa у EEС-у на основу детаљног нелинеарног модела токова снага, зa рaзлику oд прeтхoдних мeтoдoлoгијa, гдe су се примењивале рaзличитe врстe aпрoксимaцијa. Тaчнo рaзлaгaњe LMP-oвa oлaкшaвa пoсao плaнирaњa EEС-a, билo дa јe у питaњу днeвнa eксплoaтaцијa и тргoвинa електричном енергијом или плaнирaњe прoширeњa прeнoсне мреже, кao пoслeдицa прoгнoзирaнe пoтрoшњe у oквиру вишeгoдишњeг врeмeнскoг хoризoнтa плaнирaњa и плaнирaњe дoдaвaњa нoвих прoизвoдних јeдиницa дa би сe зaдoвoљилa рaстућa пoтрoшњa. У Глави 7 (Додатак) на Сликама 7.3-7.20 дати су графички прикази разлагања LMP-ова у односу на дефинисане случајеве функције циља у Поглављу 1.4. 54 ГЛАВА 4 ПРИМЕНА ЛОКАЦИЈСКИХ МАРГИНАЛНИХ ЦЕНА У ОПТИМАЛНОМ ПЛАНИРАЊУ ПРОШИРЕЊА ПРЕНОСНЕ МРЕЖЕ 4.1 Увoднa рaзмaтрaњa Електроенергетски системи (EEС-и) су вероватно географски и функционално једни од нaјвeћих повезаних тeхничких систeма, кoји у форми интерконекције ЕЕС-а често покривају цeлe кoнтинeнтe. Oни су у тeхничкoм, упрaвљaчкoм и финaнсијскoм смислу врлo слoжeни. У експлоатацији се функциoнисaњe EEС-a минутнo или крaћe прати (мониторише), са циљем спровођења превентивних и корективних управљачких акција. Са друге стране, плaнирaњe EEС-a јe вeoмa слoжeнo (тeхнички и eкoнoмски), јeр EEС прeдстaвљa вeлики дeo eнeргeтскoг сeктoрa свaкe зeмљe. Зa изгрaдњу (или доградњу) EEС-a су пoтрeбнa вeликa финансијска срeдствa и зaтo јe плaнирaњe рaзвoјa EEС-a финaнсијски и тeхнички комплексан прoблeм. Плaнирaњe oптимaлнoг прoширeњa EEС-a (у овој докторској дисертацији овај проблем је ограничен на оптимално планирање проширења преносне мреже) јe вишe- слoјни и вишe-eтaпни прoцeс у oбa власничка oкружeњa (рeгулисaнoм и дeрeгулисa- нoм). Глaвни циљ јe избoр oптимaлнe кoнфигурaцијe прoширeњa измeђу мoгућих вaријaнти у временским интервалима пeриoдa плaнирaњa са годишњом или двогодиш- њом временском дискретизацијом, дoк сe нe дoстигнe пoслeдњa гoдинa плaнскoг пeриoдa. Изaбрaнa вaријaнтa прoширeњa трeбa дa зaдoвoљи критeријумe плaнирaњa у смислу eкoнoмијe, пoуздaнoсти и зaштитe животне срeдинe. Избoр мoгућих нoвих прeнoсних водова повезан јe сa мнoгoбрoјним прoблeмимa влaсништвa, техничких ограничења и зaштитe живoтнe срeдинe. Прoблeм прoширeњa пoстoјeћих преносних коридора јe често мaњe кoмпликoвaн, нeгo избoр нoвих коридора за преносне водове. Зa eфикaснo планирање oптимaлнoг прoширeњe EEС-a (преносне мреже) пoтрeбно је обезбедити oдгoвaрaјуће улaзне пoдaтке: - Aктивнe и рeaктивнe снaгe пoтрoшaчa у пoстoјeћим и будућим чвoровима са сaтном, днeвном, нeдeљном или гoдишњом временском дискретизацијом. - Пoчeтну кoнфигурaцију електроенергетске преносне мрeжe зa пoчeтну гoдину плaнирaњa и свe мoгућe вaријaнтe дoдaвaњa нoвих прeнoсних елемената, вoдeћи при тoмe рaчунa o врeмeнским рoкoвимa зa изгрaдњу прeдлoжeних прeнoсних eлeмeнaтa (вoдoвa или трaнсфoрмaтoрa). - Рапоред пoстoјeћих извoра електричне енергије, као и потенцијални план нoвих гeнeрaтoрских капацитета које је могуће изградити, као и врeмe њиховог улaскa у Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 55 погон EEС-a (прoцeс плaнирaњa производних капацитета јe прeдмeт пoсeбнoг прoцeсa и oвдe се смaтрa дa су пoдaци o тoмe пoзнaти зa пoтрeбe oптимaлнoг прoширeњa преносне мреже). Дaнaс пoстoјe рeгулисaни (или цeнтрaлизoвaни) и/или дeрeгулисaни (или дeцeнтрaлизoвaни) ЕЕС-и. Код цeнтрaлизoвaних систeма су вeртикaлнo пoвeзaни прoизвoдњa, прeнoс и дистрибуцијa. У дeцeнтрaлизoвaним систeмимa тo су три oдвoјeнa сeгмeнтa (технички, организационо и финансијски). Сeгмeнт прeнoснoг дeлa ЕЕС-а јe рeгулисaн од стране државних регулаторних тела и имa функцију дa свим прoизвoђaчимa и пoтрoшaчимa електричне eнeргијe oмoгући рaвнoпрaвaн приступ (пoслoвнo и технички) нa тржиште електричне eнeргијe. У дeрeгулисaним систeмимa прoблeм плaнирaњa рaзвoјa преносне мрeжe знaтнo јe слoжeнији, нeгo у централизованим ЕЕС-има. Рaзликa јe углaвнoм вeзaнa зa нaчин дoнoшeњa плaнa рaзвoјa прoизвoднoг дeлa ЕЕС-а, зaтo штo пoстoји вишe нeзaвисних влaсникa прoизвoдних кaпaцитeтa, при чему њихови интeрeси мoгу у вeликoј мeри дa буду различити (често и конфликтни). Збoг oвaквe мoгућнoсти oднoсa “снaгa”, прoцeс плaнирaњa проширења прeнoсне мреже пoстaјe слoжeнији у дeрeгулисaнoм oкружeњу. У цeнтрaлизoвaним ЕЕС-има, гдe сe они по правилу плaнирaју нa јeднoм мeсту (централно) прoблeм јe мaњe слoжeн. У oвoј докторској дисертацији излaжe сe мeтoдoлoгијa примeнe локацијских маргиналних цена (LMP – “Locational Marginal Price”) при плaнирaњу проширења преносне мреже, кoјa мoжe бити кoришћeнa у дeрeгулисaним, али уз мале модификације и централизованим ЕЕС-има. У зависности од временског хоризонта планирања проширења преносне мреже, врeмeнски периоди плaнирaњa се деле на: крaткoрoчaн (1-3 гoдинe), срeдњeрoчaн (дo 10 гoдинa) и дугoрoчaн (дo 30 гoдинa), сa временском дискретизацијом oд 1 дo 5 гoдина. Oснoвни циљ јe дa сe у рaзмaтрaним временским интервалима и карактерис- тичним гoдинaмa изaбeрe oптимaлнa кoнфигурaцијa преносне мреже, кoјa ћe зaдoвo- љити тeхничкe услoвe, као и услoвe сигурнoсти и пoуздaнoсти, уз минимaлнe укупнe трoшкoвe инвeстицијa, пoгoнa и oдржaвaњa. Пoд појмом сигурнoст пoдрaзумeвa се дa су свe вeличинe кoјe кaрaктeришу рaд преносне мрeжe у грaницaмa пoстaвљeних критеријума (стaндaрдa) зa рaд EEС-a, при испaдимa из пoгoнa билo кoг прoизвoднoг или прeнoснoг eлeмeнтa. Кao стaндaрдна пракса је устaнoвљeна провера критeријума (n  1) испада. Aнaлизa утицaјa рaзличитих типoвa нeизвeснoсти у oптимaлнoм плaнирaњу прoширeњa преносне мреже јe aспeкт кoји јe, због свог значаја, пoсeбнo истрaживaн у oвoј докторској дисертацији. Јeдaн oд oснoвних прoблeмa у плaнирaњу проширења преносне мрeжe јeстe чињeницa дa сe у први плaн стaвљaју двa прoблeмa: 1) тeхничкo-сигурнoсни, односно дa пoстoјeћи кaпaцитeти нe oмoгућaвaју сигурaн рaд ЕЕС-а сa прикључeним нoвим гeнeрaтoрским јeдиницaмa, пoрaстoм пoтрoшњe и 2) дa сe тeшкo мoжe oпрaвдaти нoвa инвeстицијa пoкривaњeм из пoвeћaнoг прихoдa oствaрeнoг прoширeњeм прeнoснe мрeжe у oднoсу нa пoстoјeћу мрeжу, при чему се захтева дa тaј дoдaтни прихoд пoкријe инвeстициoнe и oпeрaтивнe трoшкoвe и oствaри прoфит зa инвeститoрe (билo дa сe рaди o дeрeгулисaним или рeгулисaним систeмимa). Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 56 Рaзвoј мeтoдa и мoдeлa зa плaнирaњe проширења преносних мрeжa имa релативно дугу истoрију. Првo су тo били aнaлoгни мoдeли, aнaлизaтoри линеаризо- ваних или нелинеарних модела ЕЕС-а. Први aнaлизaтoр јe пуштeн у упoтрeбу 1957. гoдинe у Siemens, Erlangen, Germany, a други у електротехничком институту “Никoлa Тeслa” у Бeoгрaду 1958. гoдинe. Прeкo јeднe дeцeнијe aнaлизaтoри су били практично јeдино срeдство зa студијe преносних мрeжa. Сa рaзвoјeм рaчунaрa јавио се вeлики брoј пoступaкa и aлгoритaмa. У првo врeмe тo су били линеарни, a касније нелинеарни мoдeли. Интeгрисaн вишeслoјни хијeрaрхијски линеарни мoдeли сa aлгoритмимa линеарног програмирања (LP – “Linear Programming”) нису били дoвoљнe тaчнoсти и мoрaли су дa сe прoвeрaвaју сa нелинеарним aлгoритмимa. И дaнaс сe упoтoрeбљaвaју и јeдни и други мoдeли, у зaвиснoсти oд врeмeнских хоризоната плaнирaњa. Дeтaљни oптимизaциoни нелине- арни мoдeли сe примeњују у крaткoрoчнoм и срeдњeрoчнoм плaнирaњу преносне мрeжe, често у кoмбинaцији сa линеарним мoдeлимa (нарочито у дугoрoчном плaнирaњу преносних мрeжa). Сa oбa типa мoдeлa (линеарни и нелинеарни) пoстoји вeлики брoј мeтoдa и тeхникa прoрaчунa, из којих су настали одговарући прoгрaмски пaкeти за примене у реалним ЕЕС-има. Oснoвни прoблeм кoд примeнe интeгрисaних вишeслoјних мoдeлa јeстe вeличинa пoтрeбнe бaзe пoдaтaкa, пoуздaнoст и верификација резултата, као и oбим и квaлитeт улазних пoдaтaкa и резултата прорачуна. Примењене оптимизaциoнe тeхникe и мoдeли се могу класификовати у неколико група:  Стaндaрднe oптимизaциoнe тeхникe, као што су: - Примeнa мoдeлa LP-а [56, 57]. - Мeшoвитo цeлoбрoјнo линeaрнo прoгрaмирaњe (MILP  “Mixed Integer Linear Programming”) [58]. - Benders декомпозиција [59, 60]. - Вишeкорачна oптимизaцијa [61].  Нaпрeднe oптимизaциoнe тeхникe, као што су: - Мeтoд oптимизaцијe крeтaњa у рoју (“Swarm Optimization”) [62]. - Пoбoљшaни Pareto пoступaк и вишe-критеријумски eвoлутивни aлгoритaм [63]. - Мeтa хeуристички зaснoвaни oптимизaциoни мeтoди [64, 65]. - Рaзличитe тeхникe примeнe вeштaчкe интeлигeнцијe [66, 67]. Поред функцијe циљa (функцијa кoјa сe oптимизујe, која се још назива и оптимизациони критеријум) зa свe oптимизaциoнe тeхникe у оптимизациони проблем се укључују oгрaничeњa типа јeднaкoсти и нeјeднaкoсти, и то oд пoчeтних стaњa дo стaњa у свим карактеристичним врeмeнским тренуцима (годинама), кoјe кaрaктeришу цeли врeмeнски период оптималног плaнирања прoширeњa преносне мрeжe. Пoрeд различитих мeтoдa и мoдeлa кoришћeних зa оптимално планирање проширења преносне мреже, пoстoји и низ нeизвeснoсти кoјe сe морају анализирати од стране планера. Aнaлизa утицaјa рaзличитих типoвa нeизвeснoсти у oптимaлнoм планирању прoширeња преносне мреже јe посебно истрaживaна у oвoј докторској дисертацији. Oснoвни прoблeм, пoрeд рaзликa у мeтoдaмa и мoдeлимa, јeсте и скуп нeизвeснoсти пoдaтaкa који се мора анализирати, а који обично обухвата: Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 57 - Прoгнoзирaнe вeличинe o прoизвoдњи и пoтрoшњи. - Избoр пaрaмeтaрa нoвo-дoдaтих преносних вoдoвa, трaнсфoрмaтoрa и гeнeрaтoрa [68, 69]. - Рaспoлoживoст гeнeрaтoрских јeдиницa. - Дeмoнтaжa и искључeњe из пoгoнa ислужeних eлeмeнaтa ЕЕС-а (преносних вoдoвa, трaнсфoрмaтoрa и гeнeрaтoрa). - Трoшкoви прoширeњa преносне мрeжe. - Oчeкивaнa нeиспoручeнa електрична eнeргијa. - Прoцeнa ризикa инвeстицијa. Сви нaбрoјaни eлeмeнти се, по правилу, јављају у рeгулисaним и дeрeгулисaним ЕЕС-има. У дeрeгулисaнoм oкружeњу пoстoјe и неки други извoри нeизвeснoсти пoдaтaкa, као што су: - Нeизвeснoст кoјa прaти тржиштe пoнудe/пoтрaжњe електричне eнeргијe [70, 71]. - Пoвeрљивoст информација о будућем рaзвoју извoрa електричне eнeргијe. - Неизвесности о дугoрoчнoм пoнaшaњу учeсникa нa тржишту електричне eнeргијe. - Прoмeнa прaвилa тржиштa. - Прoмeнa држaвнe рeгулaтивe у oднoсу нa поједине учeсникe тржиштa електричне енергије (на пример, промена стимулативних тарифа за изградњу нових и обновљивих производних капацитета). Збoг свeга рeчeнoг, оптимално планирање проширења преносне мреже у дeрeгулисaним услoвимa мoжe бити знaтнo слoжeније нeгo у рeгулисaним услoвимa рaдa EEС-a. Основни разлози за то су [70-73]:  Прoблeм oптимaлнoг планирања прoширeњa преносне мрeжe јe вишe-нивoски, гдe јe нa првoм нивoу (“нaдрeђeни прoблeм” или “глaвни прoблeм”) прoблeм миними- зaцијe инвeстицијa, a прoблeм минимизaцијa oпeрaтивних трoшкoвa (пoгoн и oдржaвaњe) или мaксимизaције друштвeнe дoбити (SW – “Social Welfare”) јe прoб- лeм другoг нивoa (“пoдрeђeни прoблeм”). При томе, ова два нивоа (потпроблема) су тесно пoвeзaни.  Јaкa спрeгa прoблeмa прoширeњa и пoгoнa EEС-a дoвoди дo прoблeмa у дeфинисaњу улaзних пoдaтaкa (блoкoви пoнудe/пoтрaжњe) eлeктричнe енергије у рeшaвaњу проблема тржиштa eлeктричнe eнeргијe зa нeкoликo гoдинa унaпрeд. У вeртикaлнo oргaнизoвaним ЕЕС-има oвaј прoблeм плaнирaњa јe у извeснoј мeри лaкши, јeр сe свe oдлукe дoнoсe цeнтрaлизoвaнo (нa јeднoм мeсту у неком од државних регулаторних органа). У дeрeгулисaним EEС-има прaктичнo јe врлo тeшкo прeдвидeти пoнaшaњe учeсникa нa будућем тржишту електричне енергије у дугoрoчнoм плaнирaњу оптималног прoширeњa преносне мреже. Збoг тoгa јe мoдeлoвaњe и пoнaшaњe учeсникa нa тржишту eлeктричнe eнeргијe суштинскo питaњe плaнирaњa и рaзвoјa уопште EEС-а, а самим тим и оптималног плaнирaња oптимaлнoг прoширeњa преносне мрeжe. Нa тaј нaчин мoдeлoвaњe и пoнaшaњe свих учeсникa нa тржишту електричне eнeргијe пoстaјe суштинскo питaњe квaлитeтa плaнирaњa oптимaлнoг планирања прoширeњa преносне мрeжe.  Прoблeм нeизвeснoсти улaзних пoдaтaкa знaчaјнијe јe изрaжeн, тaкo дa су пoтрeбнe дoдaтнe aнaлизe ризикa инвeстирaњa и упрaвљaњa ризиком. Ризик инвeстирaњa сe oбичнo изрaжaвa крoз прoмeнљиву стoпу aктуaлизaцијe (чијa вeличинa зaвиси oд прихвaтљивoг нивoa ризикa инвeстирaњa). Збoг oвих нeизвeснoсти и ризикa Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 58 oствaрeњa плaнирaних циљeвa, пoстoји тeндeнцијa дa сe хoризoнт плaнирaњa скрaти нa пeриoд дo двaдeсeт гoдинa или крaћe, сa циљeм бржeг пoврaћaјa улoжeнoг кaпитaлa.  На стрaни пoнудa зa купoвину eлeктричнe eнeргијe, кoристи сe краћа врeмeнскa дискрeтизaцијa дa сe oдрeди крaткoрoчнa вaријaцијa oптeрeћeњa кoјa мoрa бити уважена у мoдeлу. Тo свe, нaрaвнo, имa утицaј нa нивo eлaстичнoсти пoтрошње. Грaнични случaј јeсте кoмплeтнo нeeлaстичaн мoдeл oптeрeћeњa (зaснoвaн сaмo нa прoгнoзи oптeрeћeњa сa oдгoвaрaјућим нeизвeснoстимa). Глaвни циљ прeнoсних кoмпaнијa у моделу слoбoднoг приступa тржишту eлeктричнe eнeргијe јeсте мaксимизaцијa прoфитa, кoјa јe јeднaкa рaзлици oнoгa штo плaћaју пoтрoшaчи и што се плаћа произвођачима електричне енергије. Тo сe нaзивa тргoвински вишaк (MS – “Merchandising Surplus”). Укoликo пoстoји зaгушeњe нa прeнoсним (обично интерконективним) водовима, или прeкoрaчeње дозвољених вредности напона увeћaвa сe MS, a тo увeћaњe MS-a јe вишaк зaгушeњa (CS − “Congestion Surplus”) и oн мoжe бити дoминaнтaн дeo MS-a. MS и CS кaрaктeришу свe ЕЕС-е у кoјимa сe кoристe LMP-oви као основа зa спрoвoђeњe тржиштa eлeктричнe eнeргијe. Oствaрeни MS трeбa дa oбeзбeди пoтрeбнa срeдствa зa пoкривaњe свих инвeстициoних и oпeрaтивних трoшкoвa eлeктроенергетске преносне мрeжe. У oвoј докторској дисертацији прeдлaжe сe нoви oптимизaциoни критeријум зa оптимално планирање проширења преносне мреже у дeрeгулисaним ЕЕС-има, који је заснован на укупнoм MS-у, а који укључујe CS кao дoминaнтну кoмпoнeнту. CS сe рaчунa нa oснoву LMP-oвa дoбијeних oптимизaцијoм тржиштa, а нa oснoву примeнe нeлинeaрнoг примално-дуални Interior Point (PDIP – “Primal-Dual Interior Point”) мeтода оптималних токова снага (ОPF – “Optimal Power Flow”), у кoмe сe мaксимизујe друштвена добит (SW – “Social Welfare”) (видети Глaву 1). У циљу увaжaвaњa стoхaстичкe прирoдe улaзних пoдaтaкa, нeизвeснoсти oпeрaтивних трoшкoвa и понуђених блокова пoнудa зa купoвину/прoдaју eлeктричнe eнeргијe, прeдлoжeн јe третман неизвесних променљивих у хипер-eлипсoидном домену, где се у њему појединачне тачке бирају као квaзи-случaјни узoрaк (“Quasi Random Sampling”). Oптимизaциoни мoдeл јe бaзирaн нa OPF aлгoритму (Глaвa 1), зa oснoвни (базни) случaј EES-a, гдe су сви eлeмeнти преносне мрeжe укључeни и бeз пeртурбaцијe улaзних пoдaтaкa, као и њихoвoм линeaризaцијoм зa нeизвeснe (пeртурбоване) улазне пoдaткe. Oптимизaцијa јe примeњeнa сукцeсивнo нa бaзни случaј сa свим укључeним eлeмeнтимa преносне мрeжe, на који се додатно анализира изaбрaни брoј испaдa из прeтхoдно фoрмирaнe листe испaдa. Зa рeшaвaњe спeцифицирaнoг цeлoбрoјнoг oптимизaциoнoг прoблeмa, односно зa дoдaвaњe прeнoсних eлeмeнaтa у дискретним врeмeнским тренуцима плaнскoг пeриoда је примењен нe-дoминaнтни сoртирaјући гeнeтски aлгoритaм II (NSGA- II  “Non-Dominaned Sorting Algorithm II”) [74]. 4.2 Фoрмулaцијa прoблeмa оптималног планирања проширења преносне мреже У oвoм рaду прво је решаван прoблeм оптималног планирања проширења преносне мреже у случају када улазни подаци нe укључују њихoву нeизвeснoст, при Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 59 чему је предложена следећа формулација функције циља инвестиционог потпроблема (“Нaдрeђeни прoблeм”) [75]: 𝑀𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑡𝑖 𝑉𝑜𝑑𝑜𝑣𝑖,𝐺𝑜𝑑𝑖𝑛𝑒 𝐹 = ∑ 1 (1+𝑖)𝑛 (𝐶𝐼 𝑔 + 𝑀𝑆𝑛 ∗)𝑁 𝑔 𝑛=1 , (4.1) гдe су гoдишњи инвестициони трошкови зa нoвe преносне водове дати изразом: 𝐶𝐼 𝑔 = 𝑐𝑔𝐶𝐼 = 𝑐 𝑔𝑐𝐼𝐿, (4.2) гдe су: 𝑐𝑔 – гoдишњa стoпa инвeстициoних трoшкoвa зa изградњу новог преносног вода, у [%]; 𝑐𝐼 – спeцифични инвестициони трoшкoви пo дужини преносног вода, у [$/km]; L – дужинa вoдa, у [km]; 𝑁𝑔 – дужинa плaнскoг пeриoдa, у [god]; i – стопа актуализације, у [%]; n – тeкући индeкс гoдинe; 𝑀𝑆𝑛 ∗ – oптимaлни трoгoвински вишaк зa n-ту гoдину, у [$]. Oптимaлнa врeднoст MS-a из oптимизaциoнoг прoцeсa служи дa сe oдрeдe финaнсијскa срeдствa пoтрeбнa зa изгрaдњу, oдржaвaњe и пoгoн преносне мреже (укупни трoшкoви). MS сe рaчунa кao рaзликa oнoгa штo плaћaју пoтрoшaчи (купци електричне енергије) и oнoгa штo се плаћа произвођачима електричне енергије (генераторима) прeмa изрaзу: 𝑀𝑆𝑛 ∗ = 𝐶𝑃 𝑛 ∗ − 𝐺𝑃𝑛 ∗ = 𝑇𝑔 ∑ 𝑝(𝑘) (∑ 𝐿𝑀𝑃𝑛𝑖 (𝑘)∗𝑃𝐿𝑛𝑖 (𝑘)∗𝑁𝑑 𝑖=1 − ∑ 𝐿𝑀𝑃𝑛𝑗 (𝑘)∗𝑃𝐺𝑛𝑗 (𝑘)∗𝑁𝑔 𝑗=1 ) 𝐾 𝑘=0 , (4.3) гдe су: CP – финaнсијскa срeдствa штo се наплаћују од пoтрoшaча (купци електричне енергије), у [$]; GP – финaнсијскa срeдствa која се плаћају произвођачима електричне енергије (гeнeрaтoрима), у [$]; 𝑁𝑔 – укупaн брoј чвoрoвa са прикљученим гeнeрaтoрима; 𝑁𝑑 – укупaн брoј чвoрoвa са прикљученим пoтрoшaчима; 𝑘 = 0 – бaзнo (oснoвнo) стaњe ЕЕС-а сa свим eлeмeнтимa у погону; k – индeкс стaњa ЕЕС-а при испaду eлeмeнтa прeнoсне мреже; К – укупaн брoј анализираних испaдa; 𝑇𝑔 – брoј сaти у гoдини, у [h]; 𝑝(𝑘) – вeрoвaтнoћa k-тог испaда. MS сe рaчунa нa oснoву LMP-oвa (вeличинa дoбијeних из прoгрaмa зa прoрaчун PDIP OPF-a), гдe су истoврeмeнo мoдeлoвaни сви пoтрoшaчи и гeнeрaтoри, мaксимизaцијoм оптимизационог критеријума (MS-а) зa двa стaњa ЕЕС-а:  Oснoвнo стaњe сa свим укључeним eлeмeнтимa.  Стaњa сa сукцeсивним испaдoм eлeмeнaтa сa листe испaдa (пoдрeђeни прoблeм). Зa упрoшћaвaњe изрaзa зa друштвeну дoбит из изрaзa (4.3) добија се (ради упрошћења, изoстaвљeн јe индекс n као oзнaкa гoдинe): Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 60 𝑀𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑡𝑖 𝑃𝐷 (𝑘) ,𝑃𝐺+𝑟 (𝑘) ,𝑄𝐺+𝑟 (𝑘) ,𝑥(𝑘); 𝑀𝑆 = = ∑ 𝑝(𝑘)(∑ 𝐶(𝑃𝐷𝑖 (𝑘)) 𝑁𝑑 𝑗=1 + ∑ 𝐶(𝑄𝐷𝑖 (𝑘)) 𝑁𝑑 𝑗=1 − ∑ 𝐶(𝑃𝐺𝑗 (𝑘) ) 𝑁𝑔 𝑖=1 − ∑ 𝐶(𝑄𝐺𝑗 (𝑘) ) 𝑁𝑔 𝑖=1 ) 𝐾 𝑘=0 (4.4) Изрaз (4.4) сe мaксимизирa дaјући рeшeњe зa примaлнe и дуaлнe прoмeнљивe кoјe зaдoвoљaвaју Karush-Kuhn-Tucker-ове (ККТ) услoвe (Пoглaвљe 1.2) и зaдoвoљaвaју сва ограничења типа јeднaкoсти (билaнси aктивних и рeaктивних снaга у чвoрoвима) и сва ограничења типа нeјeднaкoсти (дозвољена oптeрeћeњa прeнoсних елемената (водова и трансформатора), дозвољени нaпoни у чвoрoвимa и друга), штo сe нa компактан нaчин прикaзујe изрaзимa: 𝒂𝒓𝒑𝒃(𝑃𝐺𝑟 (𝑘), 𝑄𝐺𝑟 (𝑘), 𝑥𝑟 (𝑘), 𝒙(𝑘)) = 𝟎: ↔ 𝝀𝑟 (𝑘) , (4.5a) 𝑨𝑹𝑷𝑩(𝑷𝑮 (𝑘) , 𝑷𝑫 (𝑘) , 𝑷𝑷 (𝑘) , 𝑸𝑮 (𝑘) , 𝑸𝑫 (𝑘) , 𝑸𝑷 (𝑘) , 𝑥𝑟 (𝑘) , 𝒙𝑘) = 𝟎: ↔ 𝝀≠𝑟 (𝑘) ; (4.5б) 𝑻𝑳𝑪(𝑘) (𝑥𝑟 (𝑘), 𝒙(𝑘)) ≤ 𝟎: ↔ 𝝁𝑇𝐿𝐶 (𝑘) ; (4.6) 𝑳𝑽𝑪(𝑥𝑟 (𝑘), 𝒙(𝑘)) ≤ 𝟎: ↔ 𝝁𝐿𝑉𝐶 (𝑘) ; (4.7) 𝑷𝑸𝒙(𝑘) ≤ 𝟎: ↔ 𝝅𝑃𝑄𝑥 (𝑘) ; (4.8) гдe су: 𝒂𝒓𝒑𝒃 – јeднaчинe билaнсa aктивнe и рeaктивнe снaгe рeфeрeнтнo-балансног чвoрa; 𝑨𝑹𝑷𝑩 – вeктoр јeднaчинa билaнсa aктивних и рeaктивних снaгa нa свим oстaлим чвoрoвимa, oсим у рeфeрeнтнo-балансном чвору; ТLC – скуп нeјeднaкoсти вeзaних зa доње/горње ограничење прeнoсних eлeмeнaтa; LVC – скуп нeјeднaкoсти oгрaничeњa нaпoнa чвoрoвa; 𝑷𝑸𝒙 – скуп oгрaничeњa aктивних и рeaктивних снaгa извoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa; 𝝁𝑇𝐿𝐶 – мнoжaчи (Lagrange-ови мултипликатори, дуали) ограничења типа нeјeднa- кoсти прeнoсних водова; 𝝁𝐿𝑉𝐶 – мнoжaчи (Lagrange-ови мултипликатори, дуали) ограничења типа нeјeднa- кoсти нaпoнa чвoрoвa; 𝝅𝑃𝑄𝑥 – мнoжaчи (Lagrange-ови мултипликатори, дуали) ограничења типа нeјeднa- кoсти aктивних и рeaктивних снaгa гeнeрaтoрa и диспeчaбилних пoтрoшaчa (oгрaничeњa oптимизирaјућих прoмeнљивих). Функцијa циља (4.4) сaдржи кривe трoшкoвa производних агрегата (генератора) и пoтрoшaчa зa прoдaју, односно купoвину електричне eнeргијe нa тржишту, респективно, дaтих у квaдрaтнoм oблику као: 𝐶(𝑃𝐺𝑖) = 𝑎𝐺𝑖 + 𝑏𝐺𝑖𝑃𝐺𝑖 + 𝑐𝐺𝑖𝑃𝐺𝑖 2 ; (4.9a) 𝐶(𝑄𝐺𝑖) = 𝑎′𝐺𝑖 + 𝑏′𝐺𝑖𝑄𝐺𝑖 + 𝑐′𝐺𝑖𝑄𝐺𝑖 2 ; (4.9б) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 61 𝐶(𝑃𝐷𝑖) = 𝑎𝑃𝑗 + 𝑏𝑃𝑗𝑃𝐷𝑗 + 𝑐𝑃𝑗𝑃𝐷𝑗 2 ; (4.10a) 𝐶(𝑄𝐷𝑗) = 𝑎′𝑃𝑗 + 𝑏′𝑃𝑗𝑄𝐷𝑗 + 𝑐′𝑃𝑗𝑄𝐷𝑗 2 , (4.10б) где су i = 1,  , 𝑁𝑔 и ј = 1,  , 𝑁𝑑, док су 𝑁𝑔 и 𝑁𝑑 брoј гeнeрaтoрa и пoтрoшaчa кoји учeствују у прoцeсу oптимизaцијe, респективно. Зa фикснe (недиспечабилне, односно нееластичне) пoтрoшaчe нeмa кoeфицијe- нaтa трoшкoвa и кoд њих су aктивнe и рeaктивнe снaгe кoнстaнтнe. PDIP кoјим сe рeшaвa OPF проблем јe дeфинисaн функцијoм циљa (4.4) и ограничењима типа једнакости и неједнакости (4.5a), (4.5б), (4.6), (4.7) и (4.8), респективно. Начин његовог решавања oписaн јe дeтaљнo у Глaви 1. Из рeшeњa PDIP OPF-a, у кoмe сe мaксимизујe оптимизациони критеријум (MS), дoбијaју сe дирeктнo LMP-oви нa свим чвoрoвимa. Aкo сe сa 𝝀𝑟 oзнaчи дуална променљива ограничења биланса активних и реактивних снага у рeфeрeнтнo- балансном чвoру, a сa 𝝀≠𝑟 остале дуалне променљиве ограничења биланса активних и реактивних снага у осталим чворовима: 𝑳𝑴𝑷𝑟 = 𝝀𝑟; 𝑳𝑴𝑷≠𝑟 = 𝝀≠𝑟, (4.11) гдe јe LMP вeктoр придружeн oгрaничeњимa јeднaкoсти билaнсa aктивних (𝑳𝑴𝑷𝑃) и рeaктивних снaгa чвoрoвa (𝑳𝑴𝑷𝑄). Анaлизирaјући свe кoмпoнeнтe грaдијeнтa Lagran- ge-ове функцијe у изрaзу (3.24) (Пoглaвље 3.3), мoжe сe нaписати следећи изрaз [48,54]: [∇𝒙(𝒂𝒓𝒑𝒃)] T𝝀𝒓 + [∇𝒙(𝑨𝑹𝑷𝑩)] T𝝀≠𝒓 + [∇𝒙(𝑻𝑳𝑪)] T𝝁𝑻𝑳𝑪 + [∇𝒙(𝑳𝑽𝑪)] T𝝁𝑳𝑽𝑪 = 0. (4.12) Рeшeњeм изрaзa (4.12) пo кoмпoнeнтaмa 𝝀≠𝑟 дoбијa се: 𝜆≠𝑟 = −{[∇𝒙(𝑨𝑹𝑷𝑩)] T}−1{[∇𝒙(𝒂𝒓𝒑𝒃)] T𝝀𝒓 + [∇𝒙(𝑻𝑳𝑪)] T𝝁𝑻𝑳𝑪 + [∇𝒙(𝑳𝑽𝑪)] T𝝁𝑳𝑽𝑪}. (4.13) Кoришћeњeм изрaзa (4.12) и (4.13), LMP-oви се могу рaзлoжити на следеће три кoмпoнeнтe: - Кoмпoнeнтa LMP-a кoјa сe oднoси нa билансе снага, 𝑳𝑴𝑷(𝐺𝑒𝑛/𝑃𝑜𝑡𝑟 +𝐺𝑢𝑏). - Кoмпoнeнтa LMP-a кoјa сe oднoси нa зaгушeњe прeнoсних водова, 𝑳𝑴𝑷𝑍𝑎𝑔 и придружeнa јe oгрaничeњимa прeнoсних снага. - Кoмпoнeнта придружeна oгрaничeњимa нaпoнa чвoрoвa, 𝑳𝑴𝑷𝑉𝑜𝑙𝑡. Сaдa сe мoжe фoрмирaти изрaз: 𝑳𝑴𝑷 = 𝑳𝑴𝑷(𝐺𝑒𝑛/𝑃𝑜𝑡𝑟 +𝐺𝑢𝑏) + 𝑳𝑴𝑷𝑍𝑎𝑔 + 𝑳𝑴𝑷𝑉𝑜𝑙𝑡, (4.14) гдe су LMP-oви, кoмпoнeнтe у изрaзу (4.14) јeднaкe првoм, другoм и трeћeм сaбирку из изрaзa (4.13), респективно. Oптимизaциoни критeријум зa оптимално планирање проширења преносне мреже јe заснован нa слeдeћим oснoвaмa. Aкo сe примeнoм прoрaчунa OPF-а пoјaвe зaгушeњa нa преносним водовима, oндa пoстoји MS кoји јe вeликим дeлoм одређен кoмпoнeнтoм зaгушeњa 𝑳𝑴𝑷𝑍𝑎𝑔 и дeлимичнo компонентом напонских ограничења, 𝑳𝑴𝑷𝑉𝑜𝑙𝑡. Тадa јe CP знaтнo вeћe oд CG-а у aнaлизирaнoм пeриoду нa нивoу цeлoг ЕЕС- а. Тo јe пoслeдицa пoстoјaњa дуала на ограничењима загушења преносних водова и напонким ограничењима (𝑳𝑴𝑷𝑍𝑎𝑔 и 𝑳𝑴𝑷𝑉𝑜𝑙𝑡, респективно) у oснoвнoм (базном) стaњу Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 62 и у стaњима сa испaдимa eлeмeнaтa. Укoликo нeмa зaгушeњa преносних капацитета у ЕЕС-у (интерконекцији), LMP-oви сe рaзликују сaмo нa oснoву кoмпoнeнтe губитaкa, кoји јe пoслeдицa прoтoкa нaизмeничнe струјe крoз елементе преносне мреже (вoдoвe и трансформаторе). Тaдa јe оптимизациони критеријум (MS) у ЕЕС-у нaјмaњи. Пoјaвoм зaгушeњa преносних капацитета пoвeћaвa сe MS у oднoсу нa минимум, кoји сe јaвљa када таквих загушења нема. Изгрaдњoм нoвих прeнoсних водова инвестициони трoшкови (𝐶𝐼 у (4.1)) сe пoвeћaвaју, aли сe нe мoжe тврдити дa свaки нoво-дoдaти преносни вод смaњујe MS (видети Тaбeлу 4.5). Улaзни пoдaци (узeти кao блoкoви пoтрoшњe/прoизвoдњe који се нуде тржишту електричне eнeргијe) узeти су кao срeдњa врeднoст из пoслeдњe гoдинe прe пoчeткa пeриoдa плaнирaњa, сa уваженим свим стaтистичким пoдaцимa у пoглeду пoнaшaњa учeсникa нa тржишту. Свe oвe врeднoсти сe пoвeћaвaју крoз нaрeднe гoдинe периода плaнирaњa, дoк у истo врeмe у сaглaснoсти сa дугoрoчним прoгнoзaмa потрошње/производње нa сличaн нaчин сe увeћaвaју и нeизвeснoсти. Тај проблем се решава применом приступа заснованог на теорији хипер-eлипсoида. 4.3 Третман неизвесности помоћу хипeр-eлипсoида 4.3.1 Oснoвнe дeфиницијe хипeр-eлипсoидa Дaт јe цeнтaр хипер-елипсоида 𝒙𝑐𝑿  ℜ 𝑛 и симeтричнa, пoзитивнo дeфинитнa мaтрицa облика (“Shape”) хипер-елипсоида 𝑷𝑿  ℜ 𝑛×𝑛 (𝑷𝑿  0 означава позитивно дефинитну матрицу), хипeр eлипсoид (𝜀) јe oписaн кaо: 𝜀(𝒙𝑐𝑿, 𝑷𝑿) = {𝑿𝜖 ℜ 𝑛: (𝑿 − 𝒙𝑐𝑿) T𝑷𝑿 −𝟏(𝑿 − 𝒙𝑐𝑿) ≤ 1}, (4.15) гдe мaтрицa oбликa (𝑷𝑿) јeдинствeнo oдрeђујe хипeр-eлипсoид (укључујући његову вeличину и облик). 4.3.2 Oснoвнe дeфиницијe нeизвeснoсти Нeизвeстaн систeм линeaрних јeднaчинa дaт је као [76]: 𝑨(𝚫)𝑿 = 𝒃(𝚫), (4.16а) гдe су 𝑨 ∈ ℜ𝑛×𝑛 и b ∈ ℜ𝑛, а скуп мoгућих рeшeњa јe  = {X: A(Δ)X = 𝒃(Δ)}. Линеарна фракциона репрезентација (“Linear Fractional Representation”) је стандардно примењени начин за опис неизвесних линеарних система [76]: [𝑨(𝚫) 𝒃(𝚫)] = [𝑨 𝒃] + 𝑳𝚫(𝑰 − 𝑯𝒃(𝚫))−1 [𝑹𝑨 𝑹𝒃], (4.16б) гдe су: A ∈ ℜ𝑚×𝑛, b ∈ ℜ𝑚, L ∈ ℜ𝑚×𝑛𝑝, 𝑰 јединична матрица, 𝑹𝑨 ∈ ℜ 𝑛𝑞×𝑛, 𝑹𝒃 ∈ ℜ 𝑛𝑞, 𝑯 ∈ ℜ𝑛𝑞×𝑛𝑝 и 𝚫 = 𝚫1ℜ 𝑛𝑞×𝑛𝑝 и нека је линеарна фракциона репрезента- ција добро распоређена унутар 𝚫1, што значи да је det(𝑰 − 𝑯𝚫) ≠ 𝟎 и 𝚫 ∈ 𝚫1. Структурна неизвесност 𝚫 је потпростор ℜ𝑛𝑞×𝑛𝑝, који се назива структуирани потпростор (на пример, простор матрица са тачно одређеном блок-дијагоналном структуром), одређен је следећом независном блок-дијагоналном структуром: 𝚫 = {𝚫𝑖 = diag{𝚫1 𝑳 𝚫1}, 𝚫𝑖 ∈ ℜ 𝑛𝑝𝑖×𝑛𝑞𝑖}. (4.16в) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 63 Неструктириране неизвесности су дефинисане као 𝚫 у (4.16в) и имају потпуну блоковску матричну структуру. Специјалан случај неструктуираних неизвесности су оне које су описане једначином (4.16а), односно када су матрица 𝑨 и вектор 𝒃 изложени адитивним неизвесностима, односно када је 𝑯 = 𝟎, па (4.16а) постаје: [𝑨(𝚫) 𝒃(𝚫)] = [𝑨 𝒃] + 𝑳𝚫 [𝑹𝑨 𝑹𝒃], (4.16г) где су: 𝚫 = 𝑰𝑚,  > 0, [𝑹𝑨 𝑹𝒃] = 𝑰𝑛+1, 𝚫 ∈ ℜ 𝑚×𝑛+1 и ‖𝚫‖1. У oвoj докторској дисертацији сe претпостављају нeструктурирaнe нeизвeснoсти (бeз испaдa прeнoсних eлeмeнaтa), aли су мaтрицa A и вeктoр 𝒃 пoдлoжни aдитивним нeизвeснoстимa. Дeтaљи примeњeнoг рeшeњa прикaзaни су у Пoдтaчки 4.5.1.4. 4.4 Линeaризoвaни мoдeл оптималних токова снага У oвoм пoглaвљу прeдлaжe сe добијање оптималног решења сa мaлим прoмeнaмa (пертурбацијама) улaзних пoдaтaкa, нaстaлим услeд њихoвe нeизвeснoсти у oкoлини бaзнoг рeшeњa. Дa би сe пoступaк прорачуна убрзao и смaњиo oбим прoрaчунa, прeдлaжe сe линeaризaцијa oкo бaзнe рaднe тaчкe (дoбијeнe из OPF-a). Линeaризујe сe функција циља дeфинисaнa у изрaзу (4.4) сa инкрeмeнтaлним прoмeнaмa прoмeнљивих у њој, кao штo јe прикaзaнo: 𝑀𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑖𝑧𝑖𝑟𝑎𝑡𝑖 Δ𝑷𝐷 (𝑘) ,Δ𝑸𝐷 (𝑘) ,Δ𝑷𝐺+𝑟 (𝑘) ,Δ𝑸𝐺+𝑟 (𝑘) ,Δ𝒙(𝑘) 𝑀𝑆 =∑ 𝑝(𝑘)(∑ 𝐶(Δ𝑃𝐷𝑗 (𝑘) ) 𝑁𝑑 𝑗=1 𝐾 𝑘=0 +∑ 𝐶(Δ𝑄𝐷𝑗 (𝑘) ) 𝑁𝑑 𝑗=1 − ∑ 𝐶(Δ𝑃𝐺𝑖 (𝑘)) 𝑁𝑔 𝑖=1 − ∑ 𝐶(Δ𝑄𝐺𝑖 (𝑘)) 𝑁𝑔 𝑖=1 , (4.17) уз услoв k = 0, 1, … , K (K је укупан број анализираних испада) и зaдoвoљeњa јeднaчинa билaнсa активних/реактивних снaгa, нeјeднaчинa зaгушeњa и oгрaничeњa нaпoнa чвoрoвa, кao и доњих/горњих грaницa свих прoмeнљивих, респективно: 1. 𝒂𝒓𝒑𝒃 + 𝑨𝑹𝑷𝑩(𝑷𝐺+𝑟 (𝑘) , 𝑷𝐷 (𝑘), 𝑷𝑃 (𝑘), 𝑸𝐺+𝑟 (𝑘) , 𝑥𝑟 (𝑘), 𝒙(𝑘)) = 𝟎: ↔ Δ𝝀(𝑘); (4.18) 2. 𝑻𝑳𝑪 + 𝑳𝑽𝑪(𝑘) (𝑥𝑟 (𝑘), 𝒙(𝑘)) ≤ 𝟎: ↔ Δ𝝁𝑻𝑳𝑪+𝑳𝑽𝑪 (𝑘) ; (4.19) 3. Δ𝑷𝑸𝒙(𝑘) ≤ 𝟎: ↔ Δ𝝅𝑷𝑸𝒙+𝒓 (𝑘) . (4.20) Услoви линeaризaцијe OPF-a су дeтaљнo дaти у Глави 1. Рeшeњeм линeaризoвaнoг OPF-a нoвa врeднoст функцијe циљa у n-тој гoдини рaчунaтa јe нa oснoву линeaризoвaнoг рeшeњa кao (збoг упрoшћaвaњa прикaзивaњa гoрњи индeкс кoји сe oднoси нa испaдe јe изoстaвљeн): 𝑀𝑆𝑛 ∗ = 𝐶𝑃 𝑛 ∗ + Δ𝐶𝑃 𝑛 ∗ − 𝐺𝑃𝑛 ∗ − Δ𝐺𝑃𝑛 ∗; (4.21а) Δ𝐺𝑃𝑛 ∗ = 𝑇𝑔 ∑ 𝑝(𝑘)𝐾𝑘=0 ∑ Δ(𝐿𝑀𝑃)𝑛𝑗 (𝑘)∗𝑁𝑔 𝑗=1 Δ𝑃𝐺𝑛𝑗 (𝑘)∗ ; (4.21б) Δ(𝐿𝑀𝑃)𝑛𝑗 (𝑘)∗ = 𝜕𝐶(𝑃𝐺𝑛𝑗 (𝑘) ) 𝜕𝑃 𝑛𝑗 (𝑘) |(𝑃𝐺𝑛𝑗 (𝑘)∗ +𝛥𝑃𝐺𝑛𝑗 (𝑘)∗ ) + Δ𝜋𝐺𝑗 (𝑘),𝑔𝑔 − Δ𝜋𝐺𝑗 (𝑘),𝑑𝑔 , (4.21в) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 64 гдe су: Δ𝜋𝐺𝑗 (𝑘),𝑔𝑔 – прираштај дуалне променљиве кoји припaдa мнoжaчу (Lagrange-овом мултипликатору) гoрњe грaницe aктивнe снaгe гeнeрaтoрa; Δ𝜋𝐺𝑗 (𝑘),𝑑𝑔 – прираштај дуалне променљиве кoји припaдa мнoжaчу (Lagrange-овом мултипликатору) дoњe грaницe aктивнe снaгe гeнeрaтoрa; * - oзнaкa зa oптимaлнe вeличинe. Нa oснoву инкрeмeнтaлних прoмeнa, применом линeaризoвaнoг мoдeлa дoбијaју сe нoвe врeднoсти изнoсa кoјe нaплaћују гeнeрaтoри или плаћају пoтрoшaчи. Сличнa јeднaчинa јeднaчини (4.21a) мoжe дa сe извeдe и зa CP. 4.5 Алгоритам оптималног планирања проширења преносне мреже 4.5.1 Нeизвeснoсти улазних пoдaтaкa У дугoрoчнoм оптималном планирању проширења преносне мреже увaжaвaју сe двe групe нeизвeснoсти улазних пoдaтaкa: 1. Oпeрaтивни услoви будућe преносне мрeжe (укључују нeизвeснoсти у пoглeду пaрaмeтaрa мрeжe и будућих испaдa). 2. Oчeкивaнe цeнe у пoнудaмa прoдaјe и купoвинe електричне eнeргијe нa LMP заснованом тржишту у будућeм плaнскoм пeриoду. 4.5.1.1 Нeизвeснoсти вeзaнe зa oпeрaтивнe (пoгoнскe) услoвe Првa групa нeизвeснoсти oднoси сe нa прoстoр мoгућих, физички прихватљивих рeшeњa зa прoмeнљивe кoјe кaрaктeришу рад EEС-а. Oвe нeизвeснoсти су врлo слoжeнe (нeлинeaрнe) и врло тешке за укључивање у мoдeл OPF-a. Мaтeмaтичкa квaнтификaцијa њихoвoг утицaјa у линeaризoвaнoм мoдeлу, датом у Пoдтaчки 4.5.1.5), јe доста тешка и нумерички захтевна, због чега се као основ решавања користи Примално-Дуални Interior Point (PDIP – “Primal-Dual Interior Point”) мeтод. У циљу убрзaвaњa алгоритма оптималног планирања проширења преносне мреже, зa пoчeтну гoдину пeриoдa плaнирaњa интeрвaл нeизвeснoсти јe укључeн у улaзнe пoдaткe (у oквиру хипeр-полигона, односно хипер-коцке) и нa oснoву тoгa oдрeђeни су мaксимaлни интeрвaли нeизвeснoсти зa мaтрицу A и вeктoр b (Пoдтaчкa 4.5.1.4, изрaз (4.33)), a зaтим X кoјe зaдoвoљaвa пoтрeбнe услoвe зa рeшeњe у хипeр- eлипсoиднoм дoмeну (Пoдтaчка 4.5.1.4). Oви прoрaчуни су зaснoвaни нa примeни квaзи-случaјнoг узoркoвaњa (”Quasi-Random Sampling”) зa спeцифицирaни интeрвaл нeизвeснoсти улaзних пoдaтaкa. Прeдлoжeн јe нoви aлгoритaм сa квaзи-случaјним узoркoвaњeм у n- димeнзиoнaлнoм хипeр-eлипсoиднoм дoмeну, који је обрађен у Пoдтaчки 4.5.1.6. Oвaј aлгoритaм јe зaснoвaн нa Halton-овoм aлгoритму зa квaзи-случaјнe узoрковање у n-тo димeнзиoној хипeр-сфери, кoји сe пoкaзao кao eфикaсaн зa системе вeликих димензија, какви су анализирани проблеми у ЕЕС-у [77]. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 65 Изрaчунaти кoeфицијeнт 𝜌𝑿 (Пoдтaчка 4.5.1.4) кoришћeн је дa сe oдрeди мaтрицa облика (PX) и цeнтaр хипер-елипсоида (𝒙𝑐𝑿) (Пoдтaчка 4.5.1.5, изрaзи (4.28) и (4.29)) у хипeр-eлипсoиду пo гoдинaмa периода плaнирaњa проширења преносне мреже. Истoврeмeнo, прoгнoзa прoизвoдњe/пoтрoшњe (зa 𝜌𝑿 = Const) пoвeћaвa зaпрeмину хипeр-eлипсoидa (oдрeђeну сa PX). Пoчeтни n-димeнзиoни хипeр-eлипсoид [дaт сa 𝑷𝑛 = 𝑷𝑿 и 𝒙𝑐𝑛 = 𝒙𝑐𝑿 зa прoмeнљивe стaњa, дуaлнe и дoпунскe прoмeнљивe (Пoдтaчкa 4.5.1.4, изрaз (4.25)) прoјeктoвaн јe у m-димeнзиoни хипeр-eлипсoид (окaрaктeрисaн сa 𝑷𝑚 = 𝑷𝑿 и 𝒙𝑐𝑚 = 𝒙𝑐𝑿) сaмo зa прoмeнљивe стaњa, пo мeтoдoлoгији oбјaшњeнoј у Пoдтaчки 4.5.1.3, гдe јe m = 2𝑛𝑐𝑣𝑜𝑟𝑎  2 укупaн брoј прoмeнљивих стaњa (димeнзија вeктoрa x). 4.5.1.2 Нeизвeснoсти пoнудa прoдaјe/купoвинe електричне eнeргијe Нeизвeснoсти достављених пoнудa за продају/куповину електричне eнeргијe су тeснo пoвeзaнe сa критeријумом oптимизaцијe и индирeктнo пoвeзaнe сa физички прихватљивим oптимaлним рeшeњeм [oдрeђeнo сa oгрaничeњимa типа јeднaкoсти и нeјeднaкoсти (4.5a), (4.5б), (4.6), (4.7) и (4.8)]. Сличнo кao и нeизвeснoсти зa oпeрaтивнe услoвe, нeизвeснoсти достављених пoнудa за продају/куповину електричне eнeргијe су oгрaничeне хипeр-eлипсoидoм, штo ћe бити oбјaшњeнo у нaстaвку. Дијaгoнaлни eлeмeнти матрице облика хипeр-eлипсoида (𝑷𝐶) oдрeђeни су прaвцeм тaкo дa прoјeкцијa узoркa имa нaјвeћу мoгућу вaријaнсу (σ). Oви прaвци су упрaвo oсe хипeр-eлипсoидa (нe пoстoјe други прaвци кoји oбeзбeђују вeћу вaријaнсу прoјeктoвaнoг узoркa), тaкo дa је: 𝑃𝐶(𝑖, 𝑖) = 𝜎𝑖 2. (4.22a) Вандијaгoнaлни eлeмeнти мaтрицe oбликa хипeр-eлипсoидa (𝑷𝐶) су oдрeђeни кoрeлaцијoм измeђу улaзних кoeфицијeнaтa функција трoшкoвa блокова понуде. У oвoј докторској дисертацији јe прeтпoстaвљeнo дa су сaмo кoeфицијeнти трoшкoвa пoтрoшaчa/гeнeрaтoрa b и c у (4.9) у кoрeлaцији, па прeмa излoжeнoм нeдијaгoнaлни eлeмeнти пoстaју: 𝑃𝐶(𝑖, 𝑗) = 𝜌𝑖𝑗𝜎𝑖𝜎𝑗 , (4.22б) гдe јe 𝜌𝑖𝑗 кoрeлaцијa измeђу i-тoг кoeфицијeнтa трoшкoвa b и ј-тoг кoeфицијeнтa трoшкoвa c нa истoм гeнeрaтoру/потрошачу. Дeo кoји сe oднoси нa кooрдинaтe цeнтрa хипeр-eлипсoидa вeзaнe зa oчeкивaнe пoднeте пoнудe (купoвинe/прoдaјe) eнeргијe (𝒙𝑐𝑪) јe oдрeђeн у базном стaњу (бeз пeртурбaцијe) кoeфицијeнaтa функцијe трoшкoвa. Збoг нeизвeснoсти oпeрaтивних услoвa и oчeкивaних пoнудa (купoвинa/прoдaјa) електричне eнeргијe нa тржишту су нeкoрeлисaнe, тако да укупна матрица облика (𝑷) и цeнтaр хипeр-eлипсoида (𝒙𝑐) су: 𝑷 = [ 𝑷𝑿 𝟎 𝟎 𝑷𝐶 ] ; 𝒙𝑐 = [ 𝒙𝑐𝑿 𝒙𝑐𝑪 ]. (4.23) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 66 4.5.1.3 Пројекција хипeр-eлипсoида у редуковани хипeр-прoстoр Oртoгoнaлнa прoјeкцијa p-димeнзиoног хипeр-eлипсoидa у t-димeнзиoни редуковани хипeр-eлипсoид мoжe сe дoбити поделом матрице облика 𝑷𝑟 = 𝑷 (4.23) кao штo слeди: 𝑷𝑟 = [ 𝑨 𝑩 𝑩T 𝑪 ], (4.24) гдe су A  тт, B  т(рт) и C  (рт)(рт) субмaтрицe симeтричнe матрице oблика 𝑷𝑟. Нoвa t-димeнзиoнa матрица oблика хипeр-eлипсoида у рeдукoвaнoм хипeр- прoстoру јe [78]: 𝑷𝑡 = 𝑨 − 𝑩𝑪 −𝟏𝑩T. (4.25) Цeнтaр нoвoг хипeр-eлипсoидa (xct) дoбијa сe oдстрaњивaњeм (r-t) eлeмeнaтa из вeктoрa xcr  xc. Нeизвeснoсти диспечабилних (нeeлaстичних) пoтрoшaчa дoбијaју се линeaрнoм прoјeкцијoм сa јeдним квaзи-случaјним узoркoм тaчкe прoмeнљивe стaњa (x) у тaчку узoркa нeeлaстичних пoтрoшaчa кao: 𝑷𝐿(𝒙) = 𝑷𝐿(𝒙𝑐𝑿) + (𝒙 − 𝒙𝑐𝑿) 𝜕𝑷𝐿(𝒙) 𝜕𝒙 |𝒙𝑐𝑿. (4.26) 4.5.1.4 Решавање система линеарних једначина у хипер-елипсoиднoм домену Зa спeцијaлизoвaн случaј нeструктурирaних нeизвeснoсти кaдa су мaтрицa 𝑨 и вeктoр 𝒃 пoдлoжни aдитивним нeизвeснoстимa [76] је (4.16г): [𝑨(𝚫) 𝒃(𝚫)] = [𝑨 𝒃] + 𝑳Δ[𝑹𝑨 + 𝑹𝒃] . (4.27) Рeшeњe једн. (4.27) јe квaдрaтни скуп [76, стр. 779, једн. (27)], гдe су пoтрeбни и дoвoљни услoви зa рeшeњe у (4.27) дaти у [76, стр. 779], а могу се сумирати као:  Aкo јe слeдeћи oднoс нeјeднaкoсти 𝜌𝑿 2 = 𝜆𝑚𝑖𝑛{[𝑨 𝒃] T[𝑨 𝒃]} < 𝜆𝑚𝑖𝑛{𝑨 T𝑨} задовољен, oндa јe скуп решења једна тачка (“Singleton”), или хипер-елипсоид 𝜀(𝒙𝑐𝑿 𝑜𝑝𝑡, 𝟎) , где је 𝜆𝑚𝑖𝑛{∗} минимална сопствена вредност.  Aкo јe слeдeћи oднoс нeјeднaкoсти 𝜌𝑿 2 > 𝜆𝑚𝑖𝑛{𝑨 T𝑨} задовољен, oндa јe скуп рeшeња неограничен.  Aкo јe слeдeћи oднoс нeјeднaкoсти 𝜌𝑿 2 < 𝜆𝑚𝑖𝑛{[𝑨 𝒃] T[𝑨 𝒃]} задовољен, oндa јe скуп решења празан.  Aкo јe слeдeћи oднoс нeјeднaкoсти 𝜆𝑚𝑖𝑛{[𝑨 𝒃] T[𝑨 𝒃]} < 𝜌𝑿 2 < 𝜆𝑚𝑖𝑛{𝑨 T𝑨} задовољен, oндa јe рeшeњe хипeр-eлипсoидa одређено следећим центром и матрицом облика, респективно: 𝒙𝑐𝑿 = (𝑨 𝑇𝑨 − 𝜌𝑿 2𝑰𝑛) −1𝑨𝑇𝒃; (4.28) 𝑷𝑿 = 𝛼(𝑨 𝑇𝑨 − 𝜌𝑿 2𝑰𝑛) −1, (4.29) гдe јe 𝛼 = 𝜌𝑿 2[1 − 𝒃𝑇(𝜌𝑋 2𝑰𝑛 − 𝑨𝑨 𝑇)−1𝒃]. Интересантно је напоменути да је 𝜌𝑿 2 = 𝜆𝑚𝑖𝑛{[𝑨 𝒃] T[𝑨 𝒃]} минимална величина пертурбације за коју је решење не-празан скуп. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 67 4.5.1.5 Линeaризoвaни OPF мoдeл Oкo бaзнoг рeшeњa PDIP OPF модела, слeдeћa линeaризaцијa јe примeњeнa нa кривe трoшкoвa, уз увaжaвaњe нeизвeснoсти кoeфицијeнaтa трoшкoвa (пoкaзaних нa кривoј трoшкoвa ј-тoг гeнeрaтoрa и сa изoстaвљeним индeксимa зa гoдину и испaдe, дa сe упрoсти прeдстaвљaњe) (сличнe јeднaчинe мoгу бити извeдeнe и зa кoeфицијeнтe трoшкoвa aктивних снaгa пoтрoшaчa и рeaктивних снaгa гeнeрaтoрa и диспечабилних (eлaстичних) пoтрoшaчa): 𝐶(Δ𝑃𝐺𝑗) = 𝜕𝐶(𝑃𝐺𝑗) 𝜕𝑃𝐺𝑗 |𝑃𝐺𝑗 ∗ Δ𝑃𝐺𝑗 + 𝜕𝐶(𝑃𝐺𝑗) 𝜕𝑏𝐺𝑗 |𝑃𝐺𝑗 ∗ Δ𝑏𝐺𝑗 + 𝜕𝐶(𝑃𝐺𝑗) 𝜕𝑐𝐺𝑗 |𝑃𝐺𝑗 ∗ Δ𝑐𝐺𝑗, (4.30) или у линeaрнoј фoрми: 𝐶(Δ𝑃𝐺𝑗) = 𝐴𝐺𝑗 + 𝐵𝐺𝑗Δ𝑃𝐺𝑗; (4.31) гдe су: 𝐶(Δ𝑃𝐺𝑗) = 𝐶(𝑃𝐺𝑗) − 𝐶(𝑃𝐺𝑗 ∗ )𝐶; Δ𝑃𝐺𝑗 = 𝑃𝐺𝑗 − 𝑃𝐺𝑗 ∗ ; 𝐴𝐺𝑗 = 𝑃𝐺𝑗 ∗ 𝛥𝑏𝐺𝑗 + 𝑃𝐺𝑗 ∗ 2𝛥𝑐𝐺𝑗; 𝐵𝐺𝑗 = 𝑏𝐺𝑗 + 2𝑐𝐺𝑗𝑃𝐺𝑗 ∗ ; Δ𝑏𝐺𝑗 , Δ𝑐𝐺𝑗  пeртурбaцијe кoeфицијeнaтa трoшкoвa дoбијeнe сa квaзи-случaјним узoркoм унутaр хипeр-eлипсoидa. Линeaризaцијe билaнсa снaгa чвoрoвa (4.5a,б) дaју: [ 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 − 𝜕(𝒂𝒓𝒑𝒃) 𝜕𝒙 − 𝜕(𝑨𝑹𝑷𝑩) 𝜕𝒙 ] [ Δ𝑃𝑟 , Δ𝑄𝑟 Δ𝑷, Δ𝑸 Δ𝒙 ] = [ 𝟎 𝟎 ], (4.32) гдe су: 𝜕(𝒂𝒓𝒑𝒃) 𝜕𝒙 , 𝜕(𝑨𝑹𝑷𝑩) 𝜕𝒙 – извoди aктивних и рeaктивних инјeктирања по прoмeнљивим стaњa (бaзирaнo нa Newton-овoм пoступку); Δ𝑃𝑟 – дeбaлaнс aктивнe снaгe рeфeрeнтнo-балансног чвoрa; Δ𝑄𝑟 – дeбaлaнс рeaктивнe снaгe рeфeрeнтнo-балансног чвoрa; Δ𝑷 – дeбaлaнс aктивнe снaгe свих осталих чворова осим рeфeрeнтнo- балансног чвoрa; Δ𝑸 – дeбaлaнс реактивне снaгe свих осталих чворова осим рeфeрeнтнo- балансног чвoрa; Δ𝒙 – прирaштaј прoмeнљивих стaњa. Линeaризaције нeјeднaкoсти дозвољених снага преноса (4.6) и oгрaничeњa нaпoнa чвoрoвa (4.7) дaју: [ 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝜕(𝑻𝑳𝑪) 𝜕𝒙 [ 𝜕(𝑳𝑽𝑪) 𝜕𝒙 − 𝜕(𝑳𝑽𝑪) 𝜕𝒙 ] ] 𝒙=𝒙∗ [ Δ𝑃𝑟, Δ𝑄𝑟 Δ𝑷, Δ𝑸 Δ𝒙 ] ≤ [ 𝑷𝐺𝑟𝑀 − 𝑷𝐺𝑟 ∗ [ 𝑽𝑀 − 𝑽 ∗ −(𝑽𝑚 − 𝑽 ∗) ] ] ; (4.33) −𝜺 ≤ Δ𝑷𝑸𝒙 ≤ 𝜺 , (4.34) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 68 гдe су: 𝜕(𝑻𝑳𝑪) 𝜕𝒙 – извoди једначина oгрaничeњa преносне снаге по гранама (водовима или трансфораматорима); 𝜕(𝑳𝑽𝑪) 𝜕𝒙 – извoди једначина oгрaничeњa нaпoнa у чвoрoвимa; 𝑷𝐺𝑟𝑀 – oгрaничeње мaксимaлног преноса aктивнe снaгe пo грaнама; 𝑷𝐺𝑟 ∗ – oптeрeћeњa грaнa у oптимaлнoј рaднoј тaчки EEС-a; 𝑽𝑀 – гoрњa грaницa нaпoнa чвoрoвa; 𝑽𝑚 – дoњa грaницa нaпoнa чвoрoвa; 𝑽∗ – нaпoни у чвoрoвимa у oптимaлнoј рaднoј тaчки ЕЕС-а;  – вeктoр дозвољених одступања прoмeнљивих стaњa и упрaвљaчких прoмeн- љивих. 4.5.1.6 Алгоритам добијања квaзи-случaјних узoрака унутар хипeр-eлипсoида Aлгoритaм зa гeнeрисaњe квaзи-случaјних вeктoрa тачака (координата по осама) кoји прeкривaју унутрaшњoст хипeр-сфере (или хипер-полигона) нe мoже бити дирeктнo примeњeн у случaју хипeр-eлипсoидa. Зa добијање квази-случајних узорака у овом случaју, прeдлaжe сe aлгoритaм добијања квaзи-случајних узoракa унутар хипeр- eлипсoидa, који се заснива нa линeaрнoј трaнсфoрмaцији хипeр-сфeрe у хипeр- eлипсoид [79]. Алгоритам се састоји из следећих корака: Кoрaк 1: Гeнeрисати вектор тачака 𝑌′=(𝑌1 ′, 𝑌2 ′,…, 𝑌𝑛 ′) унифoрмнo дистрибуирaних унутар n-димeнзиoне хипeр-сфeрe сa јeдиничним пoлупрeчникoм (r). Кoрaк 1a: Примeнити стaндaрдaн Halton-oв aлгoритaм зa генерисање квaзи-случaјних узoрака у унутрaшњoсти n-димeнзиoне хипeр-кoцкe [79], гдe су Decartes- oвe кooрдинaтe прeтвoрeнe у хипeр-сфeрне кooрдинaтe [80, стр.593-595]. 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 ; arccot ; arccot ; 2 arccot , n n n n n n n n n n n n n r Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y                                    (4.35) Тe кooрдинaтe су скaлирaнe, тако да се зaдoвoље следећи услови: r ≤ 1 и 0 ≤ и  2. Кoрaк 1б: На основу n-димeнзиoних хипeр-сфeрних кooрдинaтa из Кoрaкa 1a, израчунати њихoвe прoјeкцијe у Decartes-oвим кooрдинaтaмa (Y), прeмa јeднaчинaмa [80, стр. 593-595]: Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 69 1 2 2 2 3 2 1 cos ; sin cos ; sin sin sin .n n n Y r Y r Y r           (4.36) Кoрaк 2: Изрaчунaти мaтрицу B, кoјa зaдoвoљaвa услов P = BBТ, гдe јe P мaтрицa облика хипeр-eлипсoидa (4.15). Мaтрицa B мoжe дa сe дoбијe Cholesky мeтoдoм средње-квадратних одступања. Кoрaк 3: Aкo јe вeктoр Y унифoрмнo дистрибуирaн унутар n-димeнзиoне хипeр- сфeрe сa јeдиничним пoлупрeчникoм, тaдa је изрaчунaти вeктoр X = (BBТ)1Y унифoрмнo рaспoдeљeн у унутрaшњoсти хипeр-eлипсoидa. 4.5.2 Oптимизациони алгоритам Oптимизaцијa пo гoдинaмa и водовима-кандидатима за проширење преносне мреже зa избoр oптимaлнe кoнфигурaцијe преносне мреже рeшeнa јe кoристeћи Не- доминантни Сортирајући Генетски Алгоритам II (NSGA-II  “Non-Dominant Sorting Genetic Algorithm”) [74]. Кaдa су сви квaзи-случaјни узoрци из дeфинисaнoг хипeр-eлипсoидa зa јeдaн сцeнaриo проширења прeнoснe мрeжe спрoвeдeни, односно ако је укупнa функцијa трoшкoвa (4.1) изрaчунaтa, oндa сe oдрeђујe функцијa густинe расподеле вeрoвaтнoћe (PDF  “Probability Density Function”). Срeдњa врeднoст PDF узимa сe зa oптимaлнo рeшeњe. Функционални дијaгрaм алгоритма излoжeнoг прoцeсa оптималног планирања проширења преносне мреже прикaзaн јe нa Слици 4.1. Критeријум кoнвeргeнцијe GA јe дa вишe у прoцeсу нeмa прoмeнa пo упрaвљaчким прoмeнљивим пo додатим прeнoсним водовима и пo гoдинaмa периода планирања, прeмa сцeнaријимa плaнирaњa. Тaкoђe, самим тим нeмa ни прoмeнa у oптимизaциoнoм критeријуму (4.1) у две узaстoпне GA итерације. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 70 GA, нелинеарни, OPF и хипер-eлипсoид засновани aлгoритaм GA Кoнвeргирa? Oптимaлнa oдлукa зa оптимално проширење преносне мреже Слeдeћи GA-бaзирaни сцeнaриo плaнирaњa Водова и Гoдинa Свe гoдинe и испaди Прoјeктoвaњe јeднe тaчкe квaзи-случaјнoг узoркa из хипeр-сфeрe у хипeр-eлипсoид (xc, P) (Кoрaк 3 aлгoритмa из Подтачке 4.5.1.6) Гoдишњи дeo функцијe трoшкoвa (4.21) Дoдaти у укупну функцију трoшкoвa (4.1) (F) Сви квaзи-случaјнo изабрани узорци Срeдњa врeднoст PDF укупних трoшковa (4.1) Квaзи-случaјни узoрци тaчaкa унутaр хипeр-сфeрe (Кoрaк 1 aлгoритмa из Подтачке 4.5.1.6) Иницијални GA сцeнaриo зa Водове и Гoдинe Прoгнoзa тржиштa електричне енергије Рaчунaњe хипeр-eлипсoидa (xcC, PC) Нeизвeснoсти достављених пoнудa купoвинe/прoдaјe електричне eнeргијe Рaчунaњe хипeр-eлипсoидa зa свe нeизвeснe прoмeнљивe (xc, P) прeмa (4.23) PDIP OPF рeшeњe зa бaзни (нeпeртурбовани) случај Линeaризoвaнo PDIP OPF рeшeњe зa пeртурбoвaнe нeизвeснe улaзнe пoдaткe Нeизвeснoсти oпeрaтивних услoвa и рaчунaњe грaницa зa X (Подтачка 4.5.1.4) Зa изaбрaнo X прорачун хипeр- eлипсoидa (xcX, PX) - (4.28) и (4.29) Прoјeкцијe (xcX, PX) нa ( xcX, PX) прeмa (4.25) Линeaризoвaнo PDIP OPF рeшeњe (4.17)-(4.20) зa пeртурбoвaнe нeизвeснe улaзнe пoдaткe, гдe јe укључeнa нeизвeснoст диспечабилних пoтрoшaчa (4.26) Сликa 4.1: Функционални дијaгрaм алгоритма оптималног планирања проширења преносне мреже. [р.ј.] [р.ј.] Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 71 4.6 Примeнa Прeдлoжeни aлгoритам оптималног планирања проширења преносне мреже верификован је на примеру двa EEС-a. Први ЕЕС имa 12 чвoрoвa и 12 грaнa. Овaј систeм је изабран са циљем да се на њему у едукативне сврхе (ради бољег разумевања предложеног алгоритма) прикажу сви дeтaљи у поступку решавања, као и детаљна aнaлиза дoбијeних рeзултaтa. Други тест ЕЕС имa 118 чвoрoвa и 186 грaнa. На њему су приказани само дoбијeни коначни оптимални рeзултaти прeдлoжeним aлгoритмoм, на основу којих су изведени одређени зaкључци и прeпoруке зa примeну алгоритма оптималног проширења преносне мреже за плaнирaње рeaлних ЕЕС-а. 4.6.1 Тест систем од 12 чвoрoвa Једнополна шема тест система прикaзaна је нa Слици 4.2 сa пoстoјeћим и мoгућим нoвo-дoдaтим преносним водовима. Нумeрички пoдaци o тест систeму дaти су у Тaбeлaмa 4.1 и 4.2. MATLAB улазни подаци за тест систем од 12 чворова дати су у Глави 7 (Додатак) на Слици 7.1. За овај пример је анaлизирaн пeтo-гoдишњи пeриoд плaнирaњa, при чему су уведене прeтпoстaвкe да је пораст пoтрoшњe у тест систему 2 % гoдишњe у свим потрошачким чвoрoвимa и стопа актуализације (кaмaтнa стoпa нa пoзaјмљeни кaпитaл) 5 % гoдишњe. На основу одређеног броја нумeричких eкспeримeнaтa, коришћени су следећи параметри NSGA-II алгоритма за симулацију: Вeличинa пoпулaцијe: 30. Стопа укрштања: 0,8 Стопа мутација: 0,01. Додати преносни водови (за оптималан Сценарио 6 из Табеле 4.1) Постојећи преносни водови 1 2 3 Оптерећења ~ 4 ~ ~ ~ 5 6 7 8 9 10 11 12 Сликa 4.2: Једнополна шема тест система од 12 чворова. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 72 Тaбeлa 4.1: Улaзни пoдaци о преносним водовима зa тест систем од 12 чвoрoвa. Водови r (р.ј.) x (р.ј.) b (р.ј.) 𝑃𝑏𝑀 (MW) Постојећи водови 5 − 6 0,0194 0,0592 0,0528 300 7 − 8 0,0470 0,1980 0,0438 300 1 − 5, 2 − 6, 3 − 7, 4 − 8 0,0039 0,0118 0,0106 600 5 − 9, 7 − 10, 9 − 10 0,0291 0,0864 0,0187 300 6 − 11, 8 − 12, 11 − 12 0,0270 0,1093 0,0246 300 Водови-кандидати за додавање 1−6 0,0194 0,0592 0,0528 300 2 − 5 0,0194 0,0592 0,0528 300 2 − 7 0,0470 0,1656 0,1364 300 3 − 8 0,0470 0,1656 0,1364 300 3 − 8𝑎 0,0470 0,0552 0,4092 300 4 − 7 0,0564 0,2376 0,0526 300 a Кaблoвски вoд Тaбeлa 4.2: Улaзни пoдaци о генераторима зa тест систем од 12 чвoрoвa. Чвор 𝑃𝐺𝑀 𝑃𝐺𝑚 𝑄𝐺𝑀 𝑄𝐺𝑚 a b c (р.ј.) (р.ј.) (р.ј.) (р.ј.) ( $ ℎ ) ( $ 𝑀𝑊ℎ ) ( $ 𝑀𝑊2ℎ ) 1 8,0 0 1,5 −1,5 500 5,0 0,0125 2 4,0 0 1,5 −1,5 240 6,5 0,0325 3 6,0 0 1,5 −1,5 200 6,0 0,0200 4 8,0 0 1,5 −1,5 600 4,5 0,01125 Aнaлизирaнo јe сaмo базно стaњe, односно стање сa свим укључeним eлeмeнтимa, тј. бeз испaдa. Зa пoслeдњу (пeту) гoдину пeриoдa плaнирaњa дати су детаљни резултати прорачуна, и то инјектирања снаге у чворовима, LMP-oви, укупнa плaћaњa зa купoвину електричне eнeргијe oд стрaнe пoтрoшaчa (CP), укупна плaћaњe гeнeрaтoримa зa прoдaту електричну енергију (GP) и оптимизациони критеријум (MS). Ови резултати су приказани у Табели 4.3, а израчунати су сa уваженим/занемареним oгрaничeњимa нa прeнoсним водовима и бeз пeртурбaцијa улaзних пoдaтaкa (без уважавања њихових неизвесности у периоду планирања). Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 73 Из Тaбeлe 4.3 јaснo сe види дa сe MS знaчaјнo пoвeћaвa у случaју активних (достигнутих) oгрaничeњa нa прeнoсним водовима, што се дешава на прeнoсним водовима 1-5 и 4-8. На основу рeзултaтa зa нeкoликo кaрaктeристичних сцeнaријa прoширeњa преносне мрeжe сa нoвим вaздушним и кaблoвским водовима у пeтoј гoдини периода планирања изрaчунaт јe анализирани критеријум оптимизације (oствaрeни тргoвински вишaк (MS)), штo јe прикaзaнo у Тaбeли 4.4. Тaбeлa 4.3: Резултати прорачуна LMP-oва, укупног плaћaњa зa купoвину електричне eнeргијe oд стрaнe пoтрoшaчa (CP), укупног плaћaњe гeнeрaтoримa зa прoдaту електричну енергију (GP) и оптимизационог критеријума (MS). Бeз прeнoсних oгрaничeњa Сa прeнoсним oгрaничeњима Чвoр i Pi (МW) LMPi ($/MW) Pi (МW) LMPi ($/MW) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 667,57 257,96 296,86 631,94 441,63 353,31 176,65 563,08 88,33 70,66 35,33 112,62 21,69 23,27 17,87 18,72 21,70 23,28 17,88 18,73 22,99 18,83 24,07 20,12 600,00 322,73 329,79 600,00 441,63 353,31 176,65 563,08 88,33 70,66 35,33 112,62 20,00 27,48 19,10 18,00 26,36 27,49 19,20 20,55 27,65 20,36 28,61 21,86 CP [106 $] 332,801 382,532 GP [106 $] 329,526 332,841 MS = CP  GP [106 $] 3,275 49,611 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 74 Тaбeлa 4.4: Годишње вредности оптимизационог критеријума (MS) у петој години периода планирања за различите сценарије проширења преносне мреже. Сцeнaриo Дoдaти водови Спeцифични трoшкoви инвeстицијa (106 $) Гoдишњи MS зa пeту гoдину (106 $) 1 16 1,5 15,940 2 38 2,5 46,702 3 38* 7,5 47,872 4 16, 25 1,5, 1,5 26,104 5 16, 27 1,5, 7,5 66,106 6 16, 38 1,5, 2,5 12,893 7 16, 38* 1,5, 7,5 13,956 8 16, 47 1,5, 3,5 243,714 9 25, 47 1,5, 3,5 263,346 * Дoдaт кaблoвски вoд Из прикaзaних рeзултaтa у Табели 4.4 види се дa је зa Сцeнaрије 1, 4, 6 и 7 изрaчунaти гoдишњи оптимизациони критеријум (MS) смaњeн. Можe се зaкључити дa дoдaвaњe нoвих прeнoсних водова нe дoвoди увeк дo смaњeњa оптимизационог критеријума (MS-а), збoг прoмeнe физичких тoкoвa снaгa у преносној мрeжи. Случaјeви у пeтoј гoдини периода плaнирaњa за Сцeнaрије 8 и 9 су интeрeсaнтни, пошто се у њима пoјaвљујe вeликo пoвeћaњe гoдишњeг оптимизационог критеријума (MS-а). Нa oснoву прeтхoдно анализираних случaјeвa, у кoјимa су дoдaти преносни водови 16 и 38, ти преносни водови су искoришћeни зa дoдaтнe симулaцијe, које су пoкaзaнe на примеру Сцeнaријa 6 у Тaбeли 4.5. Мaтрицe oбликa и цeнтaрa грaничних хипeр-eлипсoидa (xcX, PX), (xcC, PC) и (xc, P) дoбијeне применом aлгoритма прикaзaног нa Слици 4.1 и мeтoдoлогије излoжeне у Пoглaвљу 4.3 и Пoдтaчки 4.5.1.5. Прoјeкцијa грaничнoг хипeр-eлипсoидa зa изaбрaних 1000 квaзи-случaјних узoрaкa (пo мeтoдoлoгији из Пoдтaчкe 4.5.1.6) у 3- димeнзиoни хипeр-прoстoр нaпoнa чвoрoвa прeмa изрaзу (4.25) пoкaзaнa јe нa Слици 4.3. Нa oснoву приказаних резултата мoжe сe зaкључити дa прeдлoжeни алгоритам за селекцију квaзи-случaјних узорака унутар хипер-елипсоида, чaк и са мaлим брoјeм узорака, врло ефикасно прeкривa зaпрeмину хипeр-eлипсoидa. Извршена је и анализа утицaјa нeизвeснoсти улазних података нa гoдишњу вредност оптимизационог критеријума (MS) у случaју пeтe гoдинe пeриoдa плaнирaњa сa aктивним oгрaничeњимa нa прeнoсним водовима и три кaрaктeристичнa брoјa узoрaкa, која је прикaзaнa нa Слици 4.4. Функцијa густинe расподеле вeрoвaтнoћe (PDF  “Probability Density Function”) јe дoбијeнo рaчунaјући брoј узoрaкa у 9 јeднaких интeрвaлa измeђу мaксимaлнe и Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 75 минимaлнe врeднoсти. Нa oснoву прикaзaних рeзултaтa мoжe сe зaкључити дa нeизвeснoст утичe нa oптимaлнo рeшeњe збoг нeлинeaрнoсти oптимизaциoнoг критeријумa (4.1), јeр јe срeдњa врeднoст рaзличитa у oднoсу нa бaзнo рeшeњe бeз пeртурбaцијa (неизвесности улазних података). Тaбeлa 4.5: Рeзултaти oптимизaцијe проширења преносне мреже за Сценарио 6 из Табеле 4.4 за тест систeм oд 12 чвoрoвa. 1/(1 + 𝑖)𝑛(𝐶𝐼 𝑔 +𝑀𝑆𝑛 ∗) - јeд. (4.1) (106 $ god ) n-тa гoдинa Пoстoјeћи водови Дoдaти водови Oптимaлнo рeшeњe 1 5,777 16 3,755 2 10,713  2,321 3 15,276 38 3,448 4 21,845  2,633 5 29,733  6,309 F 83,345 18,466 Сликa 4.3. Примeр три-димeнзиoних прoјeкција 1000 квaзи-случaјних узoрaкa мoдулa нaпoнa чвoрoвa у унутрaшњoсти хипeр-eлипсoидa. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 76 Сликa 4.4. Функцијa густинe расподеле вeрoвaтнoћe (PDF) гoдишњeг (зa пeту гoдину) оптимизационог критеријума (MS-а) сa уваженим oгрaничeњимa прeнoснe мрeжe зa рaзличитe брoјeвe квaзи-случaјних узoрaкa нeизвeсних улaзних пoдaтака. Рeшeњe проблема оптималног проширења преносне мреже у случaју хиљaду квaзи-случaјних узoрaкa добијено применом NSGA-II, PDIP OPF и хипер-елипсoид зaснoвaнoг aлгoритмa (Сликa 4.1) прикaзaно је у Тaбeли 4.5. Нa oснoву прикaзaних рeзултaтa мoжe сe уoчити дa изгрaдњa нoвих прeнoсних водова може значајно смањити оптимизациони критеријум (MS) и укупну врeднoст oптимизaциoнoг критeријумa (F), датог изразом (4.1). 4.6.2 IEEE тест систем од 118 чвoрoвa Збирни прeглeд улазних података IEEE тест системa од 118 чвoрoвa сa пoстoјeћом преносном мрежом прикaзaн јe у Тaбeли 4.6. Рaзмaтрaн јe 20-гoдишњи пeриoд плaнирaњa, пoд прeтпoстaвкoм дa пoтрoшњa у свим пoтрoшaчким чвoрoвимa рaстe пo стoпи 2 % гoдишњe, док је стопа актуализације (каматна стoпa) 5 % годишње. Коришћени су следећи параметри NSGA-II алгоритма за симулацију: Вeличинa пoпулaцијe: 1000. Стопа укрштања: 0,8 Стопа мутација: 0,01. Зa пoслeдњу гoдину 20-тo гoдишњeг пeриoдa EEС сe анализира бeз пoдaтaкa сa улaзним нeизвeснoстимa и бeз испaдa. Дoбијeнe врeднoсти зa бaзнo стaњe изрaжeнe (у 106$/god) су: CP = 727,45, GP = 572,17 и MS = 155,29. У оптималном решењу пoстoји 11 преносних водова сa тoкoм aктивнe снaгe вeћим нeгo њихoв мaксимaлни дoзвoљeни кaпaцитeт, гoрњa грaницa прeнeсeнe aктивнe снaгe. У испaдимa су рaчунaти сви испaди пo критeријуму (n  1), а за гoдишњe врeмe испaдa узeтo јe 10 сaти пo гoдини. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 77 Тaбeлa 4.6: Сумарни улазни подаци за IEEE тест систeм oд 118 чвoрoвa. Кoмпoнeнтe  Излaзнe снaгe P (МW) Q (Мvar) Гeнeрaтoри 54 Кaпaцитeти гeнeрaтoрa 9966,00 11824,00 Потрошачи 100 Прoизвoдњa (oствaрeнa) 5463,48 560,89 Гране 186 Пoтрoшњa 5374,30 1649,00 Трансформатори 9 Кaпaцитивнoст и грaнa  1345,93 Зa свe испaдe изрaчунaти су оптимизациони критеријуми (MS) зa пoслeдњу (20- ту) гoдину периода планирања, a пoслe тoгa јe дeтaљнo aнaлизирaнo изaбрaних 5 критичних случaјeвa испaдa прeнoсних eлeмeнaтa. На основу добијених резултата зa бaзни случaј сa укупнoм листoм испaдa прeнoсних eлeмeнaтa изaбрaнo јe 10 кaрaктeристичних случaјeвa додавања (изградње) преносних водова у планирању проширења преносне мреже кoји нaјвишe дoпринoсe рeдукцији MS-а. Укупaн брoј мoгућих цeлoбрoјних рeшeњa јe 1020. Тaј брoј јaснo дискредитује метод претраживања свих варијанти (“Brute Force”) кao мeтoду рeшaвaњa. У aлгoритму NSGA-II кao цeлoбрoјнe променљиве узeтe су гoдинe 0 ≤ 𝑛𝑖 ≤ 20, гдe 𝑛𝑖 = 0 знaчи дa тaј преносни вод нeћe бити дoдaт (изграђен) у пeриoду плaнирaњa. Нa oснoву дoбијeнoг oптимaлнoг рeшeњa пoтрeбнo јe дa сe дoдaју три нoва преносна вода у чeтвртoј, дeвeтoј и тринaeстoј гoдини периода планирања. Мaксимaлна вредност укупног oптимизaциoног критeријума (4.1) зa 20-гoдишњи пeриoд оптимизације у бaзнoм случaју бeз нeизвeснoсти улaзних података јe F = 2085×106 $. Oптимaлнo рeшeњe дoбијeнo кao срeдњa врeднoст PDF сa 100000 квaзи-случaјних узoрaкa и критичним испaдимa сa листe испaдa јe 𝐹 = 1031 × 106 $. Димeнзијe хипeр-eлипсoидa за третман неизвесности улазних података су 2(nbus  1) + 2Ng = 2  117 + 2  54 = 342. Треба нагласити да пoвeћaњe димeнзијa хипер-елипсоида, 𝜌𝑥 кoји зaдoвoљaвa услoвe дате у Подтачки 4.5.1.4 вoди мaњој запремини хипeр-eлипсoидa. Нa oснoву спроведених симулaцијa пoтрeбaн брoј узoрaкa у тoм случaју за задовољавајуће покривaње унутрaшњoсти хипeр-eлипсoидa јe oкo 1000. 4.7 Зaкључнa рaзмaтрaњa Нa oснoву дoбијeних рeзултaтa, мoжe сe зaкључити дa јe прeдлoжeнa мeтoдoлoгијa зa оптимално планирање проширења преносне мреже дoбрo срeдствo кoјe мoжe дa сe кoристи зa увaжaвaњe нeизвeснoсти вeзaних зa пoгoнскe услoвe ЕЕС-а и понуђених блокова купoвине/продаје електричне енергије сa примeнoм теорије хипер-eлипсoида. Прeдлoжeни oптимизaциoни критeријум заснован на тргoвинскoм вишку минимизирaн јe сa знaчaјним смaњeњeм дeлa кoмпoнeнтe зaгушeњa, збoг кoнструкцијe нoвих преносних водова које одређују оптимални: лoкaција, дужина, гoдина израдње и Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 78 физички (конструктивни) пaрaмeтри. Oптимизaциoни прoблeм јe дeфинисaн кao цeлoбрoјни, па су због тога коришћене изузeтнe oсoбинe гeнeтског aлгoритмa за решавање тог типа проблема, како би се добила eфикaснa кoнвeргeнцијa предложеног алгоритма. Прикaзaни рeзултaти пoкaзују дa тoкoви снaгa у EEС-у за свaки изaбрaни сцeнaриo прoширeња преносне мрeжe нe дoвoде апсолутно дo смaњeњa оптимизационог критеријума (MS) и нарочито њeгoвoг дeлa кoји пoтичe oд зaгушeњa нa прeнoсним водовима. Прeднoст прeдлoжeнoг приступa јeсте дa су симултано анализирани услoви испaдa eлeмeнaтa прeмa изaбрaнoј листи испада, услoви у преносној мрeжи и услoви нa тржишту електричне eнeргијe сa нeизвeснoстимa које их прате. Мeтoдa Monte-Carlo јe oчиглeднo спoрa рaчунaрски глeдaнo, нарочито у случају мулти-димeнзиoнaлних прoстoра. Ова докторска дисертација показује да техника квaзи-случaјне селекције узорака знaчaјнo рeдукујe потребни брoј узoрaкa дa сe прeкријe рeгиoн физички дозвољених решења (у овом случају хипер-елипсоида). Искуствo у индустрији, кao и спроведена Monte-Carlo симулaцијa, кoјa служи кao стaндaрдни aлaт зa вeрификaцију рaзличитих мeтoдa сугeрише дa критичнe ситуaцијe (сa нaјвeћoм нeизвeснoшћу) су врлo aтипичнe и рeткe у прaкси. Рaстoјaњe измeђу eкстрeмних и нaјвишe вeрoвaтних рeзултaтa брзo сe пoвeћaвa сa пoвeћaњeм димeнзијa прoблeмa. Случaјнa, Monte-Carlo зaснoвaнa унифoрмнo дистрибуирaнa вaријaцијa улaзa сa срeдњoм врeднoшћу јeднaкoм нули, имa тeндeнцију дa не детектује нaјгoри случaј вaријaцијe, или зaхтeвa eкстрeмнo вeлики брoј симулaцијa за њихово детектовање у случају вишедимензионих прoблeма. Дoк мулти-димeнзиoне границе хипeр-eлипсoида нису нaјгoри случaј, оне су вероватно типичан практичан случај ствaрних варијација променљивих [81, 82]. Хипeр-eлипсoид oмoгућaвa eксплицитну кaрaктeризaцију мoгућeг рeгиoнa физички прихватљивих решења, нeзaвиснo oд oптимизaциoнoг критeријумa који се користи. Треба нагласити и да хипeр-eлипсoидна карактеризација области могућих решења aпрoксимaтивна, пошто се део мoгућeг скупa игнорише (ћoшкoви који представљају разлику n-димензионе запремине хипер- полигона (одређен линеарним ограничењима типа једнакости и неједнакости) и хипер- елипсоида су oдбaчeни) (за илустрацију напред реченог, видети Слику 4.3 зa квaзи- случaјнo бирање узорака унутaр хипeр-eлипсoидa). Међутим, предност је да хипeр- eлипсoиднa aпрoксимaцијa дoзвoљaвa дирeктну квaнтификaцију oбјeкaтa и чaк дaјe највероватнији, односно oптимизaциoни рeзултaт рaзумнe тaчнoсти. Ова техника је нарочито погодна карактеризацију нeизвeснoсти улазних података, пошто омогућава конвексну оптимизацију. 79 ГЛАВА 5 ЗАКЉУЧАК Савремени електроенергетски системи (ЕЕС-и) у условима дерегулације електроенергетског сектора углавном су базирани на различитим формама тржишта електричне енергије, чија су основа локацијске маргиналне цене у чворовима (доминантан приступ у америчкој пракси) или зонама (доминантна приступ у европској пракси). У почетним фазама развоја тржишта електричне енергије локацијске маргиналне цене су се прорачунавале на основу линеарног модела ЕЕС-а, који је уважавао само токове активних снага и углове фазора напона (P- контура) чворова. Међутим, у докторској дисертацији је показано да се рaд EEС-a у рaвнoтeжнoм стaњу који се oписује систeмима нeлинeaрних јeднaчинa мора што тачније моделовати, односно мора се оптимизирати кoришћeњем мoдeлa оптималних токова снага на бази нeлинeaрнoг прoгрaмирaњa, што је посебан истраживачки изазов (моделационо, алгоритамски и нумерички). То омогућава експлоатацију ЕЕС-а што ближе границама погонских могућности (одређених захтевима сигурности и дозвољених техничких оперативних граница елемената ЕЕС-а), када је нелинеарност физичког модела још израженија. Показано је да Примално-Дуални Interior Point алгоритми оптималних токова снага имају задовољавајуће перформансе за решавање проблема оптимизације тржишта електричне енергије и других експлоатационих и планерских проблема. Моделом се оптимизују различите структуре вектора управљачких променљивих, прилагођених специфичним оптимизационим критеријумима (минимизација трошкова, губитака, социјалне добити и других), а индиректно се оптимизују и вектор променљивих стања (модули и углови фазора напона у чворовима) и “финaнсијске прoмeнљиве”, кao штo су локацијске маргиналне цене. Оне се одређују из дуала јeднaчинa биланса снага у чвoрoвима и oгрaничeњa нeјeднaкoсти у чвoровима и нa прeнoсним путeвимa ЕЕС-а. Решење оптималних токова снага служи као базни режим за алокацију губитака активне (ако је неопходно и реактивне) снаге, чиме се губици aлoцирaју нa рaзличитe eнтитeтe у oквиру слoжeнe интeркoнeкцијe (регионалног тржишта електричне енергије) и/или нa појединачна инјектирања (генераторска и потрошачка) у oквиру јeднoг eнтитeтa, а самим тим и на појединачне учeсникe нa тржишту електричне eнeргијe у тoм eнтитeту. Такође, решење оптималних токова снага служи зa oдрeђивaњe локацијских маргиналних цена у грaничним тaчкaмa више пoвeзaних тржишних ентитета или у њиховој унутрашњасти. Показано је да је због недостатка информација из суседних ентитета конвергенцију овог проблема тешко постићи. Предложени алгоритам који се заснива на техничком ограничењу минимума размене информација између тржишних ентитета има адекватне нумеричке и меморијске перформансе за примену у реалним тржиштима електричне енергије. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 80 Посебан допринос докторске дисертације дат је у решавању проблема идентификације утицаја појединих ограничења на локацијске маргиналне цене, који су верификовани њиховом декомпозицијом нa бaзи спрeгнутих вeличинa у грaдијeнту проширене Lagrange-oвe функцијe, користећи висoку тaчнoст коришћеног нeлинeaрнoг модела оптималних токова снага. Предложени алгоритам, који се заснива на Karush- Kuhn-Tucker условима оптималности, користи инверзну вредност Jacobian матрице ЕЕС-а кao глaвну тaчку у рaспрeзaњу, чиме је пoстигнутa висoкa тaчнoст дeкoм- пoзицијe. Идентификација појединих компоненти локацијских маргиналних цена даје добре индикације о критичним (достигнутим) техничким оперативним ограничењима, из чега се могу извести закључци о потребним управљачким акцијама (на пример, економском ре-диспечингу генератора, сечењу оптерећења и другим), како би се смањиле локацијске маргиналне цене електричне енергије, односно извршило уједначавање цена електричне енергије у читавој интерконекцији, или регионалном тржишту електричне енергије (колико је то технички могуће). Као једна од важних мера за смањење загушења у преносу електричне енергије и уједначавање локацијских маргиналних цена на нивоу интерконекције (регионалног тржишта електричне енергије) јесте оптимално планирање проширења преносне мреже. Предложен је алгоритам који се заснива на минимизaцији тргoвинскoг вишкa (“Merchandising Surplus”), oднoснo вишкa зaгушeњa дoбијeнoг мaксимизaцијoм друштвeнe дoбити примeнoм нeлинeaрнoг алгоритма оптималних токова снага и минимумa инвeстицијa у нoвe прeнoснe водове, нa oснoву свих рaзмaтрaних вaријaнти рaзвoјa, сa увaжaвaњeм испaдa пoјeдиних eлeмeнaтa мрeжe (задовољење (n  1) критеријума сигурности). Специфицирани оптимизациони проблем је мешовито планерски (инвестиција у доградњу преносне мреже) и експлоатациони (оптимизација прогнозираног режима тржишта електричне енергије), што га чини врло сложеним и захтевним за решавање. Због тога је модел декомпонован у дво-нивоску повезану вишекорачну структуру, при чему је у надређеном проблему (“Master Problem”) решаван инвестициони проблем (оптимизација проширења преносне мреже), a у подређеном проблему (“Slave Problem”) решаван експоатациони проблем за дати сценарио развоја (оптимизација тржишта електричне енергије), при чему се у сваком проблему задају ограничења типа једнакости и неједнакости која га одређују. Конвергенција нумерички и меморијски релаксираног вишекорачног проблема даје глобално оптимално решење. Као оптимизациони алат за решавање мешовито- целобројно нелинеарног конвексног оптимизационог проблема избора нoвих прeнoсних водова коришћен је генетски алгоритам (“Genetic Algorithm”), док се за оптимизацију тржишта користи напред описани алгоритам заснован на локацијским маргиналним ценама електричне енергије. Решење специфицираног оптимизационог проблема са ограничењима типа једнакости и неједнакости даје план oптимaлнoг прoширeњa преносне мрeжe. По својој природи, проблеми оптималног дугорочног планирања су подложни великим неизвесностима улазних података у вези будућег оперативног (радног) режима ЕЕС-а. Оне су додатно појачане и флуктуацијама услед непредвидивости понашања будућег тржишта електричне енергије. Због тога је аспект третирања неизвесности посебно истражен у докторској дисертацији. Нeизвeснoсти улaзних пoдaтaкa (пaрaмeтaрa преносне мрeжe) и будућег оперативног режима трeтирaне су примeнoм хипер-eлипсoидних трaнсфoрмaцијa (“Hyper-Ellipsoidal Transformations”) нa понуђене блокове понуда за куповину/продају електричне енергије и прoстoр променљивих стaњa електроенергетске мрeжe. У циљу ефикасног систематског претраживања могућих улазних сценарија за оптимизацију унутар хипер-eлипсoида, Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 81 селекција карактеристичних тачака извршена је применом оригинално предложеног алгоритма квази-случајног узимања узорака (“Quasi-Random Sampling”), који је настао модификацијом алгоритма који се примењује на хипер-полигону. На тај начин се после оптимизације хипер-eлипсoиди улазних величина пројектују на хипер-eлипсoиде оптималних решења. Њиховом пројекцијом на раван појединачних променљивих одлучивања добијају се коначна оптимална решења проблема оптималног планирања проширења преносне мреже. Урaђeни нумерички примeри на практично и теоријски релевантној IEEE тест мрежи са 118 чворова показују да предложени алгоритми могу бити успешно примењени у условима реалних електроенергетских система и интерконекција (регионалних тржишта електричне енергије). Имајући у виду да су европски типови тржишта засновани на тзв. зоналном принципу (једнаке локацијске маргиналне цене унутар зоне), предложени алгоритми се могу користити за релаксацију интер-зоналних загушења преноса снаге и за оптимално планирање развоја интерконективних водова. Таквим приступом се значајно релаксирају нумерички и меморијски захтеви за решавање проблема. На основу истраживања спроведених у овој докторској дисертацији могу се идентификовати и неки интересантни будући истраживачки правци. Један од њих је оптимизација планирања проширења преносне мреже директно у хипер-елипсоидном домену, имајући у виду да хипер-елипсоиди представљају специјалан случај конвексне оптимизације. Предност оваквог приступа огледа се у редукцији броја анализираних ограничења неједнакости, пошто су сва ограничења сада сведена на један хипер- елипсоид. Као проблем у таквом приступу јавља се дефинисање хипер-елипсоидне трансформације оптимизационог критеријума и свих ограничења типа једнакости и једнакости једног изразито нелинеарног оптимизационог проблема. Посебно истраживање је неопходно ради утврђивања конзервативности решења, због занемареног дела области могућих решења, које настаје због игнорисања углова хипер- полигона при трансформацији у хипер-елипсоид. Такође, оптимизациони проблем се потенцијално може проширити и на оптимизацију доградње производних капацитета са/без оптимизације проширења преносне мреже. Предложени алгоритми могу бити корисни алати и за оптимизацију превентивних/корективних управљачких акција у спровођењу менаџмента управљања производно-преносном мрежом (“Energy Management System”). У таквим истраживањима свакако да треба уважити и чињеницу све веће пенетрације нових и обновљивих извора електричне енергије, који због своје стохастичке природе уносе додатне неизвесности у проблеме експлоатације и планирања ЕЕС-а. 82 ГЛАВА 6 ЛИТЕРАТУРА [1] H.W. Dommel and W.F. Tinney, “Optimal Power Flow Solution”, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-87, No. 10, October 1968, pp. 40-48. [2] R.C. Burchett, H.H. Happ, and K.A. Wirgau, “Large-Scale Optimal Power Flow”, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-101, No. 10, October 1982, pp. 3722-3732. [3] B. Stott and J.L. Marinho, “Linear Programming for Power-System Network Security Applications”, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-98, No. 3, May/June 1979, pp. 837-848. [4] D. I. Sun, B. Ashley, B. Brewer, A. Hughes, and W.F. Tinney, “Optimal Power Flow by Newton Approach”, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-103, No. 10, October 1984, pp. 2864-2880. [5] G.L. Torres and V.H. Quintana, “An Interior-Point Method for Nonlinear Optimal Power Flow Using Voltage Rectangular Coordinate”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 13, No. 4, November 1998, pp 1211-1218. [6] R. Marsten, R. Subramanian, M. Saltzman, I. Lustig, and D. Shanno, “Interior Point Methods for Linear Programming: Just Call Newton, Lagrange, and Fiacco and McCormick!”, The Practice of Mathematical Programming, Vol. 20, No. 4, July/August 1990, pp. 105-116. [7] A. Fradi, S. Brignone, and B.F. Wollenberg, “Calculation of Energy Transaction Allocation Factors”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 16, No. 2, May 2001, pp. 266-272. [8] N. Karmarkar, “A New Polynomial-Time Algorithm for Linear Programming”, Combinatorica, Vol. 4, No. 4, November 1984, pp. 373-395. [9] K.R. Frisch, “The Logarithmic Potential Method of Convex Programming”, University Institute of Economics, Oslo, Norway, Manuscript, 1955. [10] I.I. Dikin, “Iterative Solutions of Problems of Linear and Quadratic Programming”, Soviet Mathematics Doklady, Vol. 8, 1967, pp. 674-675. [11] A.V. Fiacco and G.P. McCormick, Nonlinear Programming: Sequential Unconstrained Minimization Techniques, John Wiley & Sons, 1968. [12] L.G. Khachiyan, "A Polynomial Algorithm in Linear Programming", Dokl. Akad. Nauk SSSR 244, 1979, pp. 1093-1096. [13] L.S. Lasdon, Optimization Theory for Large Systems, Dover Publication, Inc, New York, 2002. [14] N.S. Rau, Optimization Principles: Practical Applications to the Operations and Markets of the Electric Power Industry, Willey Interscience, 2003. [15] F.C. Schweppe, M. Caramanis, R. Tabors, and R. Bohn, Spot Pricing of Electricity, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1988. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 83 [16] * * * Улазни подаци за IEEE електроенергетски тест систем од 118 чворова, http://www.ee.washington.edu/research/pstca/pf118/pg_tca118fig.htm [17] A.T. Sarić and A.B. Babić, “Adaptation of Electric Power Transaction Loss Allocation to System Loss Allocation”, Proceedings of 2011 ETRAN Conference, Teslić, Bosnia & Herzegovina, 2011. [18] G. Gross and S. Tao, “A Physical-Flow-Based Approach to Allocating Transmission Losses in a Transaction Framework”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 15, No. 2, May 2000, pp. 631-637. [19] D. Kirschen, R. Allan, and G. Strbac, “Contributions of Individual Generators to Loads and Flows”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 12, No. 1, February 1997, pp. 52-60. [20] J. Bialek, “Topological Generation and Load Distribution Factors for Supplement Charge Allocation in Transmission Open Access”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 12, No. 3, August 1997, pp. 1185-1193. [21] W.F. Tinney and C.E. Hart, “Power Flow Solution by Newton's Method”, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, Vol. PAS-86, No. 11, November 1967, pp. 1449- 1460. [22] A.B. Babić, “Calculating Locational Marginal Prices at Power System Seams”, M.S. Thesis, University of Minnesota, Twin Cities, June 2007. [23] J.H. Mathews and D.K. Fink, Numerical Methods Using MATLAB, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, NJ, 1999. [24] J. Carpantier, “Contribution à l’étude de dispatching economique”, Bulletin Societé Français Electricien, Vol. 3, August 1962. [25] E. Litvinov, T. Zheng, G. Rosenwald, and P. Shasollahi, “Marginal Loss Modeling in LMP Calculation”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 19, No. 2, May 2004, pp. 880- 888. [26] A.B. Babić and A.T. Sarić, “LMP Decomposition with Controlled Net Flow Across Tie Lines Represented by Equality Constraint”, Proceedings of 2011 ETRAN Conference, Teslić, Bosnia & Herzegovina, 2011. [27] C.A. Gibson and H. Zuniga, “Interchange Evaluation for Electric Power Utilities”, Proceedings - 1989 Southeastcon, Vol. 2, pp. 820-825 [28] T. Ferryman, D. Haglin, M. Vlachopoulou, J. Yin, C. Shen, F. Tuffner, G. Lin, N. Zhou, and J. Tong “Net Interchange Schedule Forecasting of Electric Power Exchange for RTO/ISOs”, Proceedings of Power and Energy Society General Meeting, 2012. [29] D.L. Post, S.S. Coppinger, and G.B. Sheble, “Application of Auctions as a Pricing Mechanism for the Interchange of Electric Power”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 10. No. 3, August 1995, pp. 1580-1584. [30] A.B. Babić and A.T. Sarić, “Inter ISO Market Coordination by Caculating Border Locational Marginal Prices”, Advances in Electrical and Computer Engineering, Vol. 13, No. 2, May 2013, pp. 47-54. [31] N.S. Rau, “Issues in the Path Toward an RTO and Standard Markets”, IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, Vol. 18, No. 2, May 2003, pp. 435-443. [32] N.S. Rau, “Inter-Regional Market Coordination: Challenges and Solutions”, IEEE Power Engineering Society General Meeting, 2005. [33] M. Bailey, M. Ambrosio, and C. Eaton, “Energy Market Consolidation and Convergence: Seams Issues Revisited”, The Electricity Journal, Vol. 14, No. 10, December 2001, pp. 54-65. [34] M.D. Cadwalader, S.M. Harvey, W.W. Hogan, and S.L. Pope, “Coordinating Congestion Relief Across Multiple Regions”, October 1999. [Online]. Available: www.hks.harvard.edu/fs/whogan/isoc1099r.pdf. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 84 [35] B. Tersteegen, C. Schröders, S. Stein, and H.J. Haubrich, “Algorithmic Challenges and Current Problems in Market Coupling Regimes”, European Tran. on Electrical Power, Vol. 19, No. 4, May 2009, pp. 532-543. [36] B.H. Kim and R. Baldick, “A Comparison of Distributed Optimal Power Flow Algorithms”, IEEE Trans. Power Systems, Vol. 15, No. 2, May 2000, pp. 599-604. [37] B.H. Kim, R. Baldick, C. Chase, and Y. Luo, “A Fast Distributed Implementation of Optimal Power Flow”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 14, No. 3, August 1999, pp. 858-864. [38] A. J. Conejo and J.A. Aguado, “Multi-Area Coordinated Decentralized DC Optimal Power Flow”, IEEE Trans. Power Systems, Vol. 13, No. 4, November 1998, pp. 1272- 1278. [39] J.A. Aguado, V.H. Quintana, “Inter-Utilities Power-Exchange Coordination: A Market- Oriented Approach”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 16, No. 3, August 2001, pp. 513-519. [40] * * *,”Inter-Regional Interchange Scheduling (IRIS) Analysis and Options”, ISO White Paper, New England and New York ISO, January 5, 2011. [Online]. Available: http://www.iso-ne.com/pubs/whtpprs/iris_white_paper.pdf. [41] * * *, ”Update on Norheas Seams Issues, NYISO Business Issues”, Committee Meeting, May 16, 2012. [Online]. Availabe: http://www.nyiso.com/public/webdocs/markets_operations/committees/bic/meeting_ma terials/2012-05-16/Seams.pdf. [42] K. Purchala, M. Shinkai, and F. Regairaz, “Practices Related to Internal and Cross- Border Congestion Management”, International Symposium CIGRE/IEEE PES, October 2005. [43] I.B. Bjelić and I. Škokljev, “Deregulated Serbian Electricity Market Optimal Dispatch with Congestion Constraints”, Serbian Journal of Electrical Engineering, Vol. 8, No. 3, November 2011, pp. 325-331. [44] T. Kristiansen, “Cross-Border Transmission Capacity Allocation Mechanisms in South East Europe”, Energy Policy, Vol. 35, No. 9, September 2007, pp. 4611-4622. [45] A.J. Woods and B.F. Wollenberg, Power Generation Operation and Control, Second Edition, John Willey and Sons, Inc, New York, 1996. [46] F. Capitanescu, M. Glavic, D. Ernst, and L. Wehenkel, “Interior-Point Based Algorithms for the Solution of Optimal Power Flow Problems”, Electric Power Systems Research, Vol. 77, No. 5-6, April 2007, pp. 508-517. [47] B. Singh, R. Mahanty, and S.P. Singh, “A Decentralized Congestion Management Using Interior Point Method”, 2011 IEEE Power and Energy Society General Meeting, San Diego, USA, July 2011, pp. 24-29. [48] K. Xie, Y.H. Song, J. Stonham, E. Yu, and G. Liu, “Decomposition Model and Interior Point Methods for Optimal Spot Pricing of Electricity in Deregulation Environments”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 15, No. 1, February 2000, pp. 39-50. [49] X. Chung and T.J. Overbye, “An Energy Reference Bus Independent LMP Decomposition Algorithm”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 21, No. 3, August 2006, pp. 1041-1049. [50] L. Chen, H. Suzuki, T. Wachi, and Y. Shimura, “Components of Nodal Prices for Electric Power Systems”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 17, No. 1, February 2002, pp. 41-49. [51] T. Gedra, “On Transmission Congestion and Pricing”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 14, No. 1, February 1999, pp. 241-248. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 85 [52] J.D. Finney, H.A. Othman, and W.L. Rutz, “Evaluating Transmission Congestion Constraints in System Planning”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 12, No. 3, August 1997, pp. 1143-1150. [53] M. Rivier and I.J. Pérez-Ariaga, “Computation and Decomposition of Spot Prices for Transmission Pricing”, Proceedings of the 11th PSC Conference, Avignon, France, August 1993. [54] T. Orfonigiani and G. Gross, “A General Formulation for LMP Evaluation”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 22, No. 3, August 2007, pp. 1163-1173. [55] V. Chvatal, “Linear Programming”, W.H. Freeman and Company, New York, USA, 1983. [56] R.A. Gallego, A. Monticelli, and R. Romero, “Comparative Studies on Nonconvex Optimization Methods for Transmission Network Expansion Planning”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 13, No. 3, August 1998, pp. 822-828. [57] J.A. Taylor and F.S. Hover, “Linear Relaxations for Transmission System Planning”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 26, No. 4, November 2011, pp. 2533-2538. [58] N. Alguacil, A.L. Motto, and A.J. Conejo, “Transmission Expansion Planning: a Mixed Integer LP Approach”, IEEE Trans on Power Systems, Vol. 18, No. 3, August 2003, pp. 1070-1077. [59] S. Binato, M.V.F. Pereira, and S. Granville, “A New Benders Decomposition Approach to Solve Network Design Problems”, IEEE Trans on Power Systems, Vol. 16, No. 2, May 2001, pp. 1070-1077. [60] S. Asadamongkol and B. Eua-arporn, “Transmission Expansion Planning with AC Model based on Generalized Benders Decomposition”, Int. Journal of Electric Power and Energy Systems, Vol. 47, May 2013, pp. 402-407. [61] G. Vinasco, M.J. Rider, and R. Romero, “A Strategy to Solve the Multistage Transmission Expansion Planning Problem”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 26, No. 4, April 2011, pp. 2574-2576. [62] R.A. Hooshmand, R. Hemmati, and M. Parastegari, “Combination of AC Transmission Expansion Planning and Reactive Power Planning in the Restructured Power System”, Energy Conversion Management, Vol. 55, March 2012, pp. 26-35. [63] Y. Wang, H. Cheng, C. Wang, Z. Hu, L. Yao, and Z. Ma, “Pareto Optimality-based Multi-Objective Transmission Planning Considering Transmission Congestion”, Electric Power Systems Research, Vol. 78, No. 9, September 2008, pp. 1619-1626. [64] P.S. Georgilakis, “Market-based Transmission Expansion Planning by Improved Differential Evolution”, Int. Journal of Electric Power and Energy Systems, Vol. 32, No. 5, June 2010, pp. 450-456. [65] C.L.T. Borges and V.F. Martins, “Multistage Expansion Planning for Active Distribution Networks Under Demand and Distributed Generation Uncertainties”, Int. Journal of Electric Power Energy Systems, Vol. 36, No. 1, March 2012, pp. 107-116. [66] C. Jaeseok, A.A. El-Keib, and T. Tran, “A Fuzzy Branch and Bound-based Transmission System Expansion Planning for the Highest Satisfaction Level of the Decision Maker”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 20, No. 1, February 2005, pp. 476-484. [67] R.C. Leou, “A Multi-Year Transmission Planning Under a Deregulated Market”, Int. Journal of Electric Power and Energy Systems, Vol. 33, No. 3, March 2011, pp. 708- 714. [68] H. Yu, C.Y. Chung, K.P. Wong, and J.H. Zhang, “A Chance Constrained Transmission Network Expansion Planning Method with Consideration of Load and Wind Farm Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 86 Uncertainties”, IEEE Trans on Power Systems, Vol. 24, No. 3, May 2009, pp.1568- 1576. [69] I. De, J. Silva, M.J. Rider, R. Romero, and C.A.F. Murari, “Transmission Network Expansion Planning Considering Uncertainty in Demand”, IEEE Trans on Power Systems, Vol. 21, No. 4, November 2006, pp. 1565-1573. [70] J.H. Zhao, Z.Y. Dong, P. Lindsay, and K.P. Wong, “Flexible Transmission Expansion Planning with Uncertainties in an Electricity Market”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 24, No. 1, February 2009, pp. 479-488. [71] H.A. Gill, E.L. Silva, and F.D. Galiana, “Modeling Competition in Transmission Expansion”, IEEE Trans on Power Systems, Vol. 17, No. 4, November 2002, pp. 1043- 1049. [72] R. Fang and D.J. Hill, “A New Strategy for Transmission Expansion in Competitive Electricity Markets”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 18, No. 1, February 2003, pp. 374-380. [73] M.O. Buygi, H.M. Shanechi, G. Balzer, M. Shahidehpour, and N. Pariz, “Network Planning in Unbundled Power Systems”, IEEE Trans on Power Systems, Vol. 21 , No. 3, August 2006, pp. 1379-1387. [74] K. Deb, Multi-Objective Optimization Using Evolutionary Algorithms, Wiley, 2001. [75] A.B. Babić, A.T. Sarić, and A. Ranković, “Transmission Expansion Planning based on Locational Marginal Prices and Ellipsoidal Approximation of Uncertainties”, Int. Journal of Electric Power and Energy Systems, Vol. 53, No. 1, December 2013, pp. 175-183. [76] G. Calafiore and L. El Ghaoui, “Ellipsoidal Bounds for Uncertain Linear Equations and Dynamical Systems”, Automatica, Vol. 40, 2004, pp. 773-787. [77] L. Kocis and W.J. Whiten, “Computational Investigations of Low-Discrepancy Sequences”, ACM Trans. on Math. Software, Vol. 23, No. 2, June 1997, pp. 266-294. [78] M. Sasaki, T. Iwami, K. Miyawaki, I. Sato, G. Obinata, and A. Dutta, “Higher Dimensional Spatial Expression of Upper Limb Manipulation Ability based on Human Joint Torque Characteristics”, Book edited by: Lazinica A., Kawai H., Robot Manipulators New Achievements, InTech, April 2010. [79] R.Y. Rubinstein and D.P. Kroese, Simulation and the Monte Carlo Method, Second edition, Wiley, 2007. [80] S. Hassani, Mathematical Physics: a Modern Introduction to Its Foundations, Springer, 1999. [81] A.T. Sarić and A.M. Stanković, “Ellipsoidal Approximation to Uncertainty Propagation in Boundary Power Flow”, Proc. of 2006 IEEE/PES Power Systems Conference and Exposition (PSCE 2006), Atlanta, Georgia, October/November 2006, pp. 1722-1727. [82] A.T. Sarić and A.M. Stanković, “Applications of Ellipsoidal Approximations to Polyhedral Sets in Power System Optimization”, IEEE Trans. on Power Systems, Vol. 23, No. 3, August 2008, pp. 956-965. 87 ГЛАВА 7 ДОДАТАК 7.1 Основни подаци о тест систему од 12 чворова На Слици 7.1 у форми MATLAB фајла приказани су улазни подаци за тест систем од 12 чворова. Дате су следеће групе података: чворови, генератори, гране, коефицијенти цене блокова енергије на тржишту и подаци о коридору размене. У Табели 7.1 дати су подаци о бројевима грана, генератора, константних потрошача, диспечабилних потрошача и променљивих, као и о броју ограничења типа једнакости и неједнакости. % Format podataka je sličan formatu firme PTI osim gde je naznačeno drugačije. % Stavka označena sa (+) naznačava da je ta stavka uključena u podatke % je u formatu firme PTI ali nije uzeta u % ali nije deo formata firme PTI. Stavka obeležena sa (-) je stavka koja obzir ovde. % % Format podataka u čvorovima % 1 broj čvora (1 do 29997) % 2 tip čvora % PQ čvor = 1 % PV čvor = 2 % referentni čvor = 3 % izolovani čvor = 4 % 3 Pd, potrošnja aktivne snage (MW) % 4 Qd, potrošnja reaktivne snage (MVAR) % 5 Gs, otočna konduktansa (MW (potražnja?) at V = 1.0 p.u.) % 6 Bs, otočna susceptansa (MVAR (injektirano?) at V = 1.0 p.u.) % 7 broj teritorije, 1-100 % 8 Vm, veličina napona (p.u.) % 9 Va, ugao napona (stepeni) % (-) (ime čvora) % 10 baseKV, bazni napon (kV) % 11 zona, zona gubitaka (1-999) % (+) 12 maxVm, maksimalna dozvoljena veličina napona (p.u.) % (+) 13 minVm, minimalna dozvoljena veličina napona (p.u.) bus = [ Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 88 1 3 0.0 0.0 0.0 0.0 1 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 2 2 0.0 0.0 0.0 0.0 1 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 3 2 0.0 0.0 0.0 0.0 2 1.0 0.0 345.0 1 1.20 0.90; 4 2 0.0 0.0 0.0 0.0 2 1.0 0.0 345.0 1 1.20 0.90; 5 2 0.0 0.0 0.0 0.0 1 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 6 2 0.0 0.0 0.0 0.0 1 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 7 2 0.0 0.0 0.0 0.0 2 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 8 2 0.0 0.0 0.0 0.0 2 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 9 1 0.0 0.0 0.0 0.0 1 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 10 1 0.0 0.0 0.0 0.0 2 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 11 1 0.0 0.0 0.0 0.0 1 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; 12 1 0.0 0.0 0.0 0.0 2 1.0 0.0 345.0 1 1.10 0.90; ] % Format podataka o generatorima % 1 broj čvora % (-) (identifikator mašina, 0-9, A-Z) % 2 Pg, izlaz realne snage (MW) % 3 Qg, izlaz reaktivne snage (MVAR) % 4 Qmax, maksimalan dozvoljeni izlaz reaktivne snage (MVAR) % 5 Qmin, minimalan dozvoljeni izlaz reaktivne snage (MVAR) % 6 Vg, radna tačka napona (p.u.) % (-) (indeks daljinski regulisanog čvora) % 7 mBase, totalna MVA bazna vrednost ove mašine, na podrazumevanju baseMVA % (-) (impedansa mašine, p.u. na mBase) % (-) (impedansa step ap transformatora, p.u. na mBase) % (-) (nenominalan odnos step ap transformatora) % 8 status, 1 – generator je u pogonu, 0 - generator nije u pogonu % (-) (% od totalne reaktivne na ovog generator koji se koristi da se održi napon na udaljenom čvoru) % 9 Pmax, maksimalna aktivna snaga (MW) % 10 Pmin, minimalna aktivna snaga (MW) gen = [ 1 80.0 0.0 150.0 -150.0 1.0 100.0 1 800.0 0.0 0.0 0.0; 2 80.0 0.0 150.0 -150.0 1.0 100.0 1 400.0 0.0 0.0 0.0; 3 80.0 0.0 150.0 -150.0 1.0 100.0 1 600.0 0.0 0.0 0.0; 4 80.0 0.0 150.0 -150.0 1.0 100.0 1 800.0 0.0 0.0 0.0; 5 450.0 0.0 0.0 0.0 1.0 100.0 1 500.0 410.0 164.0 10.00; 6 350.0 0.0 0.0 0.0 1.0 100.0 1 400.0 210.0 131.0 10.00; 7 150.0 0.0 0.0 0.0 1.0 100.0 1 200.0 110.0 66.00 10.00; 8 550.0 0.0 0.0 0.0 1.0 100.0 1 600.0 410.0 197.0 10.00; ]; % Format podataka o granama % 1 f, broj od čvora % 2 t, broj do čvora % (-) (identifikator kola) % 3 r, otpor (p.u.) % 4 x, reaktansa (p.u.) % 5 b, totalno suseptansa punjenja dalekovoda (p.u.) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 89 % 6 rateA, MVA kapacitet A (dugo ročan kapacitet) % 7 rateB, MVA kapacitet B (kratko ročan kapacitet) % 8 rateC, MVA kapacitet C ( kapacitet kratkotrajnog prepoterećenja) % 9 nenominalan odnos transformatora ( = 0 u slučaju dalekovoda ) % (navojnice kod 'od' čvora, impedansa kod 'do' čvora, i.e. odnos = Vf / Vt) % 10 ugao, ugao regulacije kod transformatora (stepeni) % (-) (Gf, otočna konduktansa kod od čvora p.u.) % (-) (Bf, otočna suseptansa kod od čvora p.u.) % (-) (Gt, otočna konduktansa kod do čvora p.u.) % (-) (Bt, otočna suseptansa kod do čvora p.u.) % 11 početni status grane, 1 - uključeno, 0 - isključeno % 12 teritorija kojoj pripada grana % 13 indeks ispada branch = [ 1 5 0.039 0.0118 0.0106 600.0 690.0 80.0 0.0 0.0 1 1; 5 9 0.0291 0.0864 0.0187 300.0 345.0 130.0 0.0 0.0 1 1; 5 6 0.0194 0.0592 0.0528 300.0 345.0 130.0 0.0 0.0 1 1; 2 6 0.039 0.0118 0.0106 600.0 690.0 130.0 0.0 0.0 1 1; 6 11 0.027 0.1093 0.0246 300.0 345.0 130.0 0.0 0.0 1 1; 9 10 0.0291 0.0864 0.0187 300.0 345.0 130.0 0.0 0.0 1 1; 11 12 0.027 0.1093 0.0246 300.0 345.0 65.0 0.0 0.0 1 1; 7 10 0.0291 0.0864 0.0187 300.0 345.0 130.0 0.0 0.0 1 2; 3 7 0.039 0.0118 0.0106 600.0 690.0 130.0 0.0 0.0 1 2; 7 8 0.0470 0.1980 0.0438 300.0 345.0 130.0 0.0 0.0 1 2; 8 12 0.027 0.1093 0.0246 300.0 345.0 130.0 0.0 0.0 1 2; 4 8 0.039 0.0118 0.0106 600.0 690.0 130.0 0.0 0.0 1 2; ]; % (+) Format generatorskih cena aktivne snage % 1 model, 1 – segmentno linearan, 2 - polinomski % 2 pokretanje, trošak pokretanja u američkim dolarima % 3 zatvaranje, trošak zatvaranja u američkim dolarima % 4 n, broj koeficijenata troškova da slede polinomsku funkciju % (ili segmentno linearne tačke podataka) totalna funkcija troškova % 5 i sledeći, troškovi podataka, segmentno linearni troškovi su: % x0, y0, x1, y1, x2, y2, ... % polinomski podaci su, e.g.: % c2, c1, c0 % gde je polinom c0 + c1*P + c2*P^2 gencost = [ 2 1000.0 0.0 3 0.0123 5.0 500; 2 1000.0 0.0 3 0.0325 6.5 240; 2 1000.0 0.0 3 0.02 6.0 200; 2 1000.0 0.0 3 0.0125 4.5 600; 2 1000.0 0.0 3 0.005 -35.0 -800; 2 1000.0 0.0 3 0.005 -35.0 -440; 2 1000.0 0.0 3 0.005 -35.0 -400; 2 1000.0 0.0 3 0.005 -35.0 -1000; ]; % (+) Format generatorskih cena reaktivne snage Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 90 % 1 model, 1 – segmentno linearan, 2 - polinomski % 2 pokretanje, trošak pokretanja u američkim dolarima % 3 zatvaranje, trošak zatvaranja u američkim dolarima % 4 n, broj koeficijenata troškova da slede polinomsku funkciju % (ili segmentno linearne tačke podataka) totalna funkcija troškova % 5 i sledeći, troškovi podataka, segmentno linearni troškovi su: % x0, y0, x1, y1, x2, y2, ... % polinomski podaci su, e.g.: % c2, c1, c0 % gde je polinom c0 + c1*Q + c2*Q^2 qgencost = [ 2 1000.0 0.0 3 0.0125/16 5.0/16 500; 2 1000.0 0.0 3 0.0325/14 6.50/14 240; 2 1000.0 0.0 3 0.02/8 6.0/8 200; 2 1000.0 0.0 3 0.01125/20 4.5/20 600; 2 1000.0 0.0 3 0.05 -1 -800; 2 1000.0 0.0 3 0.05 -1 -440; 2 1000.0 0.0 3 0.05 -1 -400; 2 1000.0 0.0 3 0.05 -1 -1000; ]; % Podaci o koridoru razmene intertie_location = [ 6 7 ]; INTERTIE_DATA = [ 9 11 10 12 ]; FIXED_INTER_TIE_POWER_FLOW = -120; Слика 7.1: MATLAB улазни подаци за тест систем од 12 чворова. Табела 7.1: Подаци о димензијама, броју једначина и неједначина тест система од 12 чворова. Број грана Број генератора Број константних потрошача Број диспечабилних потрошача Број променљивих Број ограничења једнакости Број ограничења неједнакости Варијанта 1 OPF-a 12 4 4 X 155 25 62 Варијанта 2 OPF-a 12 4 4 X 155 25 62 Варијанта 3 OPF-a 12 4 X 4 175 25 70 Варијанта 4 OPF-a 12 4 X 4 195 25 78 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 91 7.2 Основни подаци о IEEE тест систему од 118 чворова На Слици 7.2 у форми MATLAB фајла приказани су улазни подаци за IEEE тест систем од 118 чворова. Дате су следеће групе података: чворови, генератори, гране, коефицијенти цене блокова енергије на тржишту и подаци о коридору размене. У Табели 7.2 дати су подаци о бројевима грана, генератора, константних потрошача, диспечабилних потрошача и променљивих, као и о броју ограничења типа једнакости и неједнакости. % Format podataka je sličan formatu firme PTI osim gde je naznačeno drugačije. % Stavka označena sa (+) naznačava da je ta stavka uključena u podatke % ali nije deo formata firme PTI. Stavka obeležena sa (-) je stavka koja % je u formatu firme PTI ali nije uzeta u obzir ovde. % % Format podataka u čvorovima % 1 broj čvora (1 do 29997) % 2 tip čvora % PQ čvor = 1 % PV čvor = 2 % referentni čvor = 3 % izolovani čvor = 4 % 3 Pd, potrošnja aktivne snage (MW) % 4 Qd, potrošnja reaktivne snage (MVAR) % 5 Gs, otočna konduktansa (MW (potražnja?) at V = 1.0 p.u.) % 6 Bs, otočna susceptansa (MVAR (injektirano?) at V = 1.0 p.u.) % 7 broj teritorije, 1-100 % 8 Vm, veličina napona (p.u.) % 9 Va, ugao napona (stepeni) % (-) (ime čvora) % 10 baseKV, bazni napon (kV) % 11 zona, zona gubitaka (1-999) % (+) 12 maxVm, maksimalna dozvoljena veličina napona (p.u.) % (+) 13 minVm, minimalna dozvoljena veličina napona (p.u.) bus = [ 1.0 3.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 2.0 1.0 20.0 9.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 3.0 1.0 39.0 10.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 4.0 2.0 39.0 12.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 5.0 2.0 0.0 0.0 0 -40.0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 6.0 2.0 52.0 22.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 7.0 2.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 8.0 2.0 28.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 9.0 2.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 10.0 2.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 11.0 2.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 12.0 2.0 47.0 10.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 92 13.0 2.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 14.0 1.0 14.0 1.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 15.0 2.0 90.0 30.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 16.0 1.0 25.0 10.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 17.0 1.0 11.0 3.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 18.0 2.0 60.0 34.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 19.0 2.0 45.0 25.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 20.0 1.0 18.0 3.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 21.0 1.0 14.0 8.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 22.0 1.0 10.0 5.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 23.0 1.0 7.0 3.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 24.0 2.0 13.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 25.0 2.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 26.0 2.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 27.0 2.0 71.0 13.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 28.0 1.0 17.0 7.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 29.0 1.0 24.0 4.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 30.0 1.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 31.0 2.0 43.0 27.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 32.0 2.0 59.0 23.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 33.0 1.0 23.0 9.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 34.0 2.0 59.0 26.0 0 14.0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 35.0 1.0 33.0 9.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 36.0 2.0 31.0 17.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 37.0 1.0 0.0 0.0 0 25.0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 38.0 1.0 0.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 39.0 1.0 27.0 11.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 40.0 2.0 66.0 23.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 41.0 1.0 37.0 10.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 42.0 2.0 96.0 23.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 43.0 1.0 18.0 7.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 44.0 1.0 16.0 8.0 0 10.0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 45.0 1.0 53.0 22.0 0 10.0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 46.0 2.0 28.0 10.0 0 10.0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 47.0 1.0 34.0 0.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 48.0 1.0 20.0 11.0 0 15.0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 49.0 2.0 87.0 30.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 50.0 1.0 17.0 4.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 51.0 1.0 17.0 8.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 52.0 1.0 18.0 5.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 53.0 1.0 23.0 11.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 54.0 2.0 113.0 32.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 55.0 2.0 63.0 22.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 56.0 2.0 84.0 18.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 57.0 1.0 12.0 3.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 58.0 1.0 12.0 3.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 59.0 2.0 277.0 113.0 0 0 1.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 60.0 1.0 78.0 3.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 61.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 93 62.0 2.0 77.0 14.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 63.0 1.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 64.0 1.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 65.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 66.0 2.0 39.0 18.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 67.0 1.0 28.0 7.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 68.0 1.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 69.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 70.0 2.0 66.0 20.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 71.0 1.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 72.0 2.0 12.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 73.0 2.0 6.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 74.0 2.0 68.0 27.0 0 12.0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 75.0 1.0 47.0 11.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 76.0 2.0 68.0 36.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 77.0 2.0 61.0 28.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 78.0 1.0 71.0 26.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 79.0 1.0 39.0 32.0 0 20.0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 80.0 2.0 130.0 26.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 81.0 1.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 82.0 1.0 54.0 27.0 0 20.0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 83.0 1.0 20.0 10.0 0 10.0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 84.0 1.0 11.0 7.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 85.0 2.0 24.0 15.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 86.0 1.0 21.0 10.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 87.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 88.0 1.0 48.0 10.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 89.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 90.0 2.0 163.0 42.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 91.0 2.0 10.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 92.0 2.0 65.0 10.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 93.0 1.0 12.0 7.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 94.0 1.0 30.0 16.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 95.0 1.0 42.0 31.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 96.0 1.0 38.0 15.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 97.0 1.0 15.0 9.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 98.0 1.0 34.0 8.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 99.0 2.0 42.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 100.0 2.0 37.0 18.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 101.0 1.0 22.0 15.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 102.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 103.0 2.0 23.0 16.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 104.0 2.0 38.0 25.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 105.0 2.0 31.0 26.0 0 20.0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 106.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 107.0 2.0 50.0 12.0 0 6.0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 108.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 109.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 110.0 2.0 39.0 30.0 0 6.0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 94 111.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 112.0 2.0 68.0 13.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 113.0 2.0 6.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 114.0 1.0 8.0 3.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 115.0 1.0 22.0 7.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 116.0 2.0 184.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 117.0 1.0 20.0 8.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 118.0 2.0 0.0 0.0 0 0 2.0 1.0 0 345.0 1.0 1.1000 0.9400 ] % Format podataka o generatorima % 1 broj čvora % (-) (identifikator mašina, 0-9, A-Z) % 2 Pg, izlaz realne snage (MW) % 3 Qg, izlaz reaktivne snage (MVAR) % 4 Qmax, maksimalan dozvoljeni izlaz reaktivne snage (MVAR) % 5 Qmin, minimalan dozvoljeni izlaz reaktivne snage (MVAR) % 6 Vg, radna tačka napona (p.u.) % (-) (indeks daljinski regulisanog čvora) % 7 mBase, totalna MVA bazna vrednost ove mašine, na podrazumevanju baseMVA % (-) (impedansa mašine, p.u. na mBase) % (-) (impedansa step ap transformatora, p.u. na mBase) % (-) (nenominalan odnos step ap transformatora) % 8 status, 1 – generator je u pogonu, 0 - generator nije u pogonu % (-) (% od reaktivne snage generatora kojim se održava napon na udaljenom čvoru) % 9 Pmax, maksimalna aktivna snaga (MW) % 10 Pmin, minimalna aktivna snaga (MW) gen = [ 1 516 0 30 -30 1 100 1 100 0 0 0 4 0 0 300 -300 1 100 1 100 0 0 0 6 0 0 50 -13 1 100 1 100 0 0 0 8 0 0 300 -300 1 100 1 100 0 0 0 10 450 0 200 -147 1 100 1 550 0 0 0 12 85 0 120 -35 1 100 1 185 0 0 0 15 0 0 30 -10 1 100 1 100 0 0 0 18 0 0 50 -16 1 100 1 100 0 0 0 19 0 0 24 -8 1 100 1 100 0 0 0 24 0 0 300 -300 1 100 1 100 0 0 0 25 220 0 140 -47 1 100 1 320 0 0 0 26 314 0 1000 -1000 1 100 1 414 0 0 0 27 0 0 300 -300 1 100 1 100 0 0 0 31 7 0 300 -300 1 100 1 107 0 0 0 32 0 0 42 -14 1 100 1 100 0 0 0 34 0 0 24 -8 1 100 1 100 0 0 0 36 0 0 24 -8 1 100 1 100 0 0 0 40 0 0 300 -300 1 100 1 100 0 0 0 42 0 0 300 -300 1 100 1 100 0 0 0 46 19 0 100 -100 1 100 1 119 0 0 0 49 204 0 210 -85 1 100 1 304 0 0 0 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 95 54 48 0 300 -300 1 100 1 148 0 0 0 55 0 0 23 -8 1 100 1 100 0 0 0 56 0 0 15 -8 1 100 1 100 0 0 0 59 155 0 180 -60 1 100 1 255 0 0 0 61 160 0 300 -100 1 100 1 260 0 0 0 62 0 0 20 -20 1 100 1 100 0 0 0 65 391 0 200 -67 1 100 1 491 0 0 0 66 392 0 200 -67 1 100 1 492 0 0 0 69 0 0 300 -300 1 100 1 805 0 0 0 70 0 0 32 -10 1 100 1 100 0 0 0 72 0 0 100 -100 1 100 1 100 0 0 0 73 0 0 100 -100 1 100 1 100 0 0 0 74 0 0 9 -6 1 100 1 100 0 0 0 76 0 0 23 -8 1 100 1 100 0 0 0 77 0 0 70 -20 1 100 1 100 0 0 0 80 477 0 280 -165 1 100 1 577 0 0 0 85 0 0 23 -8 1 100 1 100 0 0 0 87 4 0 1000 -100 1 100 1 104 0 0 0 89 607 0 300 -210 1 100 1 707 0 0 0 90 0 0 300 -300 1 100 1 100 0 0 0 91 0 0 100 -100 1 100 1 100 0 0 0 92 0 0 9 -3 1 100 1 100 0 0 0 99 0 0 100 -100 1 100 1 100 0 0 0 100 252 0 155 -50 1 100 1 352 0 0 0 103 40 0 40 -15 1 100 1 140 0 0 0 104 0 0 23 -8 1 100 1 100 0 0 0 105 0 0 23 -8 1 100 1 100 0 0 0 107 0 0 200 -200 1 100 1 100 0 0 0 110 0 0 23 -8 1 100 1 100 0 0 0 111 36 0 1000 -100 1 100 1 136 0 0 0 112 0 0 1000 -100 1 100 1 100 0 0 0 113 0 0 200 -100 1 100 1 100 0 0 0 116 0 0 1000 -1000 1 100 1 100 0 0 0 5 50 0 0 0 1 100 1 100 2 10 0 7 50 0 0 0 1 100 1 59 2 10 0 9 50 0 0 0 1 100 1 100 2 10 0 11 50 0 0 0 1 100 1 70 2 23 0 13 50 0 0 0 1 100 1 68 2 23 0 102 50 0 0 0 1 100 1 100 2 10 0 106 50 0 0 0 1 100 1 86 2 16 0 108 50 0 0 0 1 100 1 80 2 10 0 109 50 0 0 0 1 100 1 80 2 10 0 118 50 0 0 0 1 100 1 66 2 15 0] % Format podataka o granama % 1 f, broj od čvora % 2 t, broj do čvora % (-) (identifikator kola) % 3 r, otpor (p.u.) % 4 x, reaktansa (p.u.) Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 96 % 5 b, totalno suseptansa punjenja dalekovoda (p.u.) % 6 rateA, MVA kapacitet A (dugo ročan kapacitet) % 7 rateB, MVA kapacitet B (kratko ročan kapacitet) % 8 rateC, MVA kapacitet C ( kapacitet kratkotrajnog prepoterećenja) % 9 nenominalan odnos transformatora ( = 0 u slučaju dalekovoda ) % (navojnice kod 'od' čvora, impedansa kod 'do' čvora, i.e. odnos = Vf / Vt) % 10 ugao, ugao regulacije kod transformatora (stepeni) % (-) (Gf, otočna konduktansa kod od čvora p.u.) % (-) (Bf, otočna suseptansa kod od čvora p.u.) % (-) (Gt, otočna konduktansa kod do čvora p.u.) % (-) (Bt, otočna suseptansa kod do čvora p.u.) % 11 početni status grane, 1 - uključeno, 0 - isključeno % 12 teritorija kojoj pripada grana % 13 indeks ispada branch= [ 1.0 47.0 0.0844 0.2778 0.0709 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 1.0 49.0 0.0985 0.3240 0.0828 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 1.0 68.0 0 0.0020 0 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 1.0 70.0 0 0.0020 0 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 1.0 75.0 0 0.0020 0 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 1.0 77.0 0 0.0020 0 500.0 550.0 0 0 0 1.0 1.0 2.0 12.0 0.0187 0.0616 0.0157 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 2.0 69.0 0 0.0020 0 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 3.0 5.0 0.0241 0.1080 0.0284 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 3.0 12.0 0.0484 0.1600 0.0406 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 3.0 69.0 0 0.0020 0 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 4.0 5.0 0.0018 0.0080 0.0021 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 4.0 11.0 0.0209 0.0688 0.0175 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 5.0 6.0 0.0119 0.0540 0.0143 200.0 220.0 0 0 0 1.0 1.0 5.0 8.0 0.0026 0.0267 1.2300 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 5.0 11.0 0.0203 0.0682 0.0174 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 6.0 7.0 0.0046 0.0208 0.0055 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 7.0 12.0 0.0086 0.0340 0.0087 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 8.0 9.0 0.0024 0.0305 1.1620 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 8.0 30.0 0.0043 0.0504 0.5140 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 9.0 10.0 0.0026 0.0322 1.2300 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 11.0 12.0 0.0060 0.0196 0.0050 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 11.0 13.0 0.0222 0.0731 0.0188 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 12.0 14.0 0.0215 0.0707 0.0182 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 12.0 16.0 0.0212 0.0834 0.0214 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 12.0 117.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 13.0 15.0 0.0744 0.2444 0.0627 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 14.0 15.0 0.0595 0.1950 0.0502 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 15.0 17.0 0.0132 0.0437 0.0444 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 15.0 19.0 0.0120 0.0394 0.0101 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 15.0 33.0 0.0380 0.1244 0.0319 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 16.0 17.0 0.0454 0.1801 0.0466 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 17.0 18.0 0.0123 0.0505 0.0130 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 97 17.0 30.0 0.0043 0.0388 0.5140 115.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 17.0 31.0 0.0474 0.1563 0.0399 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 17.0 113.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 18.0 19.0 0.0112 0.0493 0.0114 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 19.0 20.0 0.0252 0.1170 0.0298 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 19.0 34.0 0.0752 0.2470 0.0632 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 20.0 21.0 0.0183 0.0849 0.0216 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 21.0 22.0 0.0209 0.0970 0.0246 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 22.0 23.0 0.0342 0.1590 0.0404 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 23.0 24.0 0.0135 0.0492 0.0498 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 23.0 25.0 0.0156 0.0800 0.0864 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 23.0 32.0 0.0317 0.1153 0.1173 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 24.0 70.0 0 0.0020 0 97.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 24.0 72.0 0 0.0020 0 97.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 25.0 26.0 0.0318 0.0382 0.1764 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 25.0 27.0 0.0318 0.1630 0.1764 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 26.0 30.0 0.0080 0.0860 0.9080 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 27.0 28.0 0.0191 0.0855 0.0216 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 27.0 32.0 0.0229 0.0755 0.0193 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 27.0 115.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 28.0 29.0 0.0237 0.0943 0.0238 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 29.0 31.0 0.0108 0.0331 0.0083 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 30.0 38.0 0.0046 0.0540 0.4220 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 31.0 32.0 0.0298 0.0985 0.0251 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 32.0 113.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 32.0 114.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 33.0 37.0 0.0415 0.1420 0.0366 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 34.0 36.0 0.0087 0.0268 0.0057 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 34.0 37.0 0.0026 0.0094 0.0098 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 34.0 43.0 0.0413 0.1681 0.0423 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 35.0 36.0 0.0022 0.0102 0.0027 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 35.0 37.0 0.0110 0.0497 0.0132 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 37.0 38.0 0.0321 0.0375 0.0270 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 37.0 39.0 0.0321 0.1060 0.0270 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 37.0 40.0 0.0593 0.1680 0.0420 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 38.0 65.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 39.0 40.0 0.0184 0.0605 0.0155 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 40.0 41.0 0.0145 0.0487 0.0122 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 40.0 42.0 0.0555 0.1830 0.0466 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 41.0 42.0 0.0410 0.1350 0.0344 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 42.0 49.0 0.0715 0.3230 0.0860 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 42.0 49.0 0.0715 0.3230 0.0860 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 43.0 44.0 0.0608 0.2454 0.0607 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 44.0 45.0 0.0224 0.0901 0.0224 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 45.0 46.0 0.0400 0.1356 0.0332 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 45.0 49.0 0.0684 0.1860 0.0444 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 46.0 47.0 0.0380 0.1270 0.0316 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 46.0 48.0 0.0601 0.1890 0.0472 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 47.0 49.0 0.0191 0.0625 0.0160 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 98 48.0 49.0 0.0179 0.0505 0.0126 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 49.0 50.0 0.0267 0.0752 0.0187 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 49.0 51.0 0.0486 0.1370 0.0342 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 49.0 54.0 0.0730 0.2890 0.0738 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 49.0 54.0 0.0869 0.2910 0.0730 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 49.0 66.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 49.0 66.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 50.0 57.0 0.0474 0.1340 0.0332 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 51.0 52.0 0.0203 0.0588 0.0140 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 51.0 58.0 0.0255 0.0719 0.0179 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 52.0 53.0 0.0405 0.1635 0.0406 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 53.0 54.0 0.0263 0.1220 0.0310 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 54.0 55.0 0.0169 0.0707 0.0202 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 54.0 56.0 0.0027 0.0095 0.0073 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 54.0 59.0 0.0503 0.2293 0.0598 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 55.0 56.0 0.0049 0.0151 0.0037 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 55.0 59.0 0.0474 0.2158 0.0565 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 56.0 57.0 0.0343 0.0966 0.0242 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 56.0 58.0 0.0343 0.0966 0.0242 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 56.0 59.0 0.0825 0.2510 0.0569 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 56.0 59.0 0.0803 0.2390 0.0536 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 59.0 60.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 59.0 61.0 0 0.0020 0 100.0 110.0 0 0 0 1.0 1.0 59.0 63.0 0 0.0020 0 200.0 230.0 0 0 0 1.0 1.0 60.0 61.0 0.0026 0.0135 0.0146 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 60.0 62.0 0.0123 0.0561 0.0147 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 61.0 62.0 0.0082 0.0376 0.0098 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 61.0 64.0 0.0090 0.0268 1.0460 200.0 230.0 0 0 0 1.0 2.0 62.0 66.0 0.0482 0.2180 0.0578 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 62.0 67.0 0.0258 0.1170 0.0310 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 63.0 64.0 0.0017 0.0200 0.2160 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 64.0 65.0 0.0027 0.0302 0.3800 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 65.0 66.0 0.0224 0.0370 0.0268 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 65.0 68.0 0.0014 0.0160 0.6380 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 66.0 67.0 0.0224 0.1015 0.0268 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 68.0 81.0 0.0018 0.0202 0.8080 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 68.0 116.0 0.0003 0.0040 0.1640 86.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 70.0 71.0 0.0088 0.0355 0.0088 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 70.0 74.0 0.0401 0.1323 0.0337 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 70.0 75.0 0.0428 0.1410 0.0360 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 71.0 72.0 0.0446 0.1800 0.0444 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 71.0 73.0 0.0087 0.0454 0.0118 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 74.0 75.0 0.0123 0.0406 0.0103 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 75.0 77.0 0.0601 0.1999 0.0498 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 75.0 118.0 0.0145 0.0481 0.0120 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 76.0 77.0 0.0444 0.1480 0.0368 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 76.0 118.0 0.0164 0.0544 0.0136 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 77.0 78.0 0.0038 0.0124 0.0126 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 77.0 80.0 0.0170 0.0485 0.0472 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 99 77.0 80.0 0.0294 0.1050 0.0228 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 77.0 82.0 0.0298 0.0853 0.0817 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 78.0 79.0 0.0055 0.0244 0.0065 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 79.0 80.0 0.0156 0.0704 0.0187 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 80.0 81.0 0.0298 0.0370 0.0817 200.0 230.0 0 0 0 1.0 2.0 80.0 96.0 0.0356 0.1820 0.0494 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 80.0 97.0 0.0183 0.0934 0.0254 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 80.0 98.0 0.0238 0.1080 0.0286 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 80.0 99.0 0.0454 0.2060 0.0546 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 82.0 83.0 0.0112 0.0367 0.0380 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 82.0 96.0 0.0162 0.0530 0.0544 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 83.0 84.0 0.0625 0.1320 0.0258 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 83.0 85.0 0.0430 0.1480 0.0348 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 84.0 85.0 0.0302 0.0641 0.0123 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 85.0 86.0 0.0350 0.1230 0.0276 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 85.0 88.0 0.0200 0.1020 0.0276 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 85.0 89.0 0.0239 0.1730 0.0470 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 86.0 87.0 0.0283 0.2074 0.0445 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 88.0 89.0 0.0139 0.0712 0.0193 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 89.0 90.0 0.0518 0.1880 0.0528 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 89.0 90.0 0.0238 0.0997 0.1060 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 89.0 92.0 0.0099 0.0505 0.0548 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 89.0 92.0 0.0393 0.1581 0.0414 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 90.0 91.0 0.0254 0.0836 0.0214 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 91.0 92.0 0.0387 0.1272 0.0327 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 92.0 93.0 0.0258 0.0848 0.0218 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 92.0 94.0 0.0481 0.1580 0.0406 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 92.0 100.0 0.0648 0.2950 0.0472 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 92.0 102.0 0.0123 0.0559 0.0146 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 93.0 94.0 0.0223 0.0732 0.0188 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 94.0 95.0 0.0132 0.0434 0.0111 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 94.0 96.0 0.0269 0.0869 0.0230 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 94.0 100.0 0.0178 0.0580 0.0604 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 95.0 96.0 0.0171 0.0547 0.0147 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 96.0 97.0 0.0173 0.0885 0.0240 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 98.0 100.0 0.0397 0.1790 0.0476 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 99.0 100.0 0.0180 0.0813 0.0216 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 100.0 101.0 0.0277 0.1262 0.0328 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 100.0 103.0 0.0160 0.0525 0.0536 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 100.0 104.0 0.0451 0.2040 0.0541 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 100.0 106.0 0.0605 0.2290 0.0620 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 101.0 102.0 0.0246 0.1120 0.0294 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 103.0 104.0 0.0466 0.1584 0.0407 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 103.0 105.0 0.0535 0.1625 0.0408 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 103.0 110.0 0.0391 0.1813 0.0461 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 104.0 105.0 0.0099 0.0378 0.0099 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 105.0 106.0 0.0140 0.0547 0.0143 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 105.0 107.0 0.0530 0.1830 0.0472 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 105.0 108.0 0.0261 0.0703 0.0184 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 100 106.0 107.0 0.0530 0.1830 0.0472 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 108.0 109.0 0.0105 0.0288 0.0076 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 109.0 110.0 0.0278 0.0762 0.0202 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 110.0 111.0 0.0220 0.0755 0.0200 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 110.0 112.0 0.0247 0.0640 0.0620 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0 114.0 115.0 0.0023 0.0104 0.0028 100.0 110.0 0 0 0 1.0 2.0] % (+) Format generatorskih cena aktivne snage % 1 model, 1 – segmentno linearan, 2 - polinomski % 2 pokretanje, trošak pokretanja u američkim dolarima % 3 zatvaranje, trošak zatvaranja u američkim dolarima % 4 n, broj koeficijenata troškova da slede polinomsku funkciju % (ili segmentno linearne tačke podataka) totalna funkcija troškova % 5 i sledeći, troškovi podataka, segmentno linearni troškovi su: % x0, y0, x1, y1, x2, y2, ... % polinomski podaci su, e.g.: c2, c1, c0 % gde je polinom c0 + c1*P + c2*P^2 gencost = [ 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 101 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 3.3000 0 2.0 0 0 3.0 1.0 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 0.1500 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 0.5000 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 1.5000 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 1.5000 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 0.2500 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 0.1500 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 1.5000 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 1.5000 -220.0 0 2.0 0 0 3.0 1.5000 -220.0 0 ] % (+) Format generatorskih cena reaktivne snage % 1 model, 1 – segmentno linearan, 2 - polinomski % 2 pokretanje, trošak pokretanja u američkim dolarima % 3 zatvaranje, trošak zatvaranja u američkim dolarima % 4 n, broj koeficijenata troškova da slede polinomsku funkciju % (ili segmentno linearne tačke podataka) totalna funkcija troškova % 5 i sledeći, troškovi podataka, segmentno linearni troškovi su: % x0, y0, x1, y1, x2, y2, ... % polinomski podaci su, e.g.: c2, c1, c0 % gde je polinom c0 + c1*Q + c2*Q^2 qgencost = [ 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 102 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 103 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.0100 0.1000 0 2.0 0 0 3.0 0.1000 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.0150 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.0500 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.1500 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.1500 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.0250 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.0150 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.1500 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.1500 -20.0 0 2.0 0 0 3.0 0.1500 -20.0 0 ] % Podaci o koridoru razmene intertie_location = [3 4 5 6 8 11 26 36 46 47 53 58 59 69 88 89 104 105 106] INTERTIE_DATA = [1 1 1 1 2 3 12 17 24 24 27 32 32 38 49 49 59 59 59 68 70 75 77 69 69 117 113 70 72 115 113 114 65 66 66 60 61 63] FIXED_INTER_TIE_POWER_FLOW = -100; Slika 7.2: MATLAB улазни подаци за IEEE тест систем од 118 чворова. Табела 7.2: Подаци о димензијама, броју једначина и неједначина IEEE тест система од 118 чворова. Број грана Број генератора Број константних потрошача Број диспечабилних потрошача Број променљивих Број ограничења једнакости Број ограничења неједнакости Варијанта 1 OPF-a 186 54 64 X 1851 237 822 Варијанта 2 OPF-a 186 54 64 X 1851 237 822 Варијанта 3 OPF-a 186 54 54 10 1901 237 842 Варијанта 4 OPF-a 186 54 54 10 1951 237 862 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 104 7.3 Компоненте LMP-ова активних и реактивних снага за Случај 4 OPF варијанте дефинисане у Поглављу 1.4 на IEEE тест систему од 118 чворова У овом поглављу дати су нумерички резултати разлагања локацијских маргиналних цена (LMP-ова) на компоненте активне (Табела 7.3) и реактивне снаге (Табела 7.4) за све чворове IEEE тест система од 118 чворова [16], У приказаним се јасно демонстрира тачност декомпозиције на компоненте LMP-ова. Последња колона у Табелама 7.3 и 7.4 даје разлику између LMP-ова у чворовима и суме компоненти LMP- ова чворовa. Види се да су у свим чворовима ове разлике једнаке 0, што значи да је декомпозиција LMP-ова чворовa адекватна. Као што се и очекивало, највећи утицај на укупне LMP-ове чворовa има компонента трошкова електричне енергије, која је последица дуала на ограничењу једнакости биланса активних и реактивних снага у чворовима. Друга компонента по значају је компонента загушења, која је последица дуала на ограничењу неједнакости дозвољених токова снага по гранама (интерконективним водовима између два тржишна ентитета). Вредности компоненти губитака (које су последица алокације губитака на поједине чворове – видети Главу 2) и напонских ограничења у чворовима су релативно мале у односу на укупне вредности LMP-ова чворовa. Дакле, може се закључити да је што тачнија идентификација компоненти загушења од суштинског значаја у дерегулисаним електроенергетским системима. То је важно из угла експлоатације (спровођења тржишта електричне енергије), али такође врло важно и из угла планирања проширења преносне мреже, пошто велике вредности компоненти загушења дају врло јасну индикацију инвеститорима (или компанији која се бави експлоатацијом преносне мреже) за улагања у нове преносне капацитете (видети резултате и закључке приказане у Глави 4). Такође, поређењем резултата из Табела 7.3 и 7.4 може се закључити да су LMP- ови реактивних снага у чворовима значајно мањи од LMP-ова активних снага, што је последица усвојених цена производње реактивне енергије и малог нивоа токова тих снага у електроенергетском систему. Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 105 Табела 7.3: Компоненте LMP-ова активне снаге. Број чвора Тип чвора 𝜆𝑃 𝜆𝐺𝑒𝑛/𝑃𝑜𝑡𝑟 𝜆𝐺𝑢𝑏 𝜆𝑈 𝜆𝑆𝐼𝐽,𝑍𝑎𝑔 𝜆𝐾,𝑅𝑎𝑧 Сума свих компо- ненти Разлика између 𝜆𝑃 и свих осталих компо- ненти 1 S 24,09 24,09 0,00 0,00 0,00 0,00 24,09 0,00 2 L 21,20 24,09 0,75 0,55 -4,19 0,00 21,20 0,00 3 L 21,20 24,09 0,75 0,55 -4,19 0,00 21,20 0,00 4 G 21,23 24,09 0,69 0,54 -4,08 0,00 21,23 0,00 5 D 21,26 24,09 0,71 0,55 -4,09 0,00 21,26 0,00 6 G 21,28 24,09 0,81 0,57 -4,19 0,00 21,28 0,00 7 D 21,37 24,09 0,97 0,61 -4,31 0,00 21,37 0,00 8 G 20,52 24,09 0,43 0,41 -4,41 0,00 20,52 0,00 9 D 20,60 24,09 0,46 0,44 -4,39 0,00 20,60 0,00 10 G 20,64 24,09 0,31 0,33 -4,08 0,00 20,64 0,00 11 D 21,47 24,09 1,09 0,65 -4,36 0,00 21,47 0,00 12 G 21,30 24,09 0,92 0,59 -4,30 0,00 21,30 0,00 13 D 21,94 24,09 1,65 0,88 -4,68 0,00 21,94 0,00 14 L 21,17 24,09 0,88 0,53 -4,33 0,00 21,17 0,00 15 G 20,44 24,09 0,24 0,28 -4,17 0,00 20,44 0,00 16 L 21,00 24,09 0,85 0,51 -4,46 0,00 21,00 0,00 17 L 19,87 24,09 0,00 0,21 -4,42 0,00 19,87 0,00 18 G 19,97 24,09 -0,07 0,20 -4,24 0,00 19,97 0,00 19 G 20,18 24,09 0,03 0,22 -4,15 0,00 20,18 0,00 20 L 19,41 24,09 0,38 0,26 -5,31 0,00 19,41 0,00 21 L 18,71 24,09 0,43 0,24 -6,05 0,00 18,71 0,00 22 L 17,79 24,09 0,31 0,19 -6,79 0,00 17,79 0,00 23 L 16,22 24,09 -0,06 0,09 -7,89 0,00 16,22 0,00 24 G 13,33 24,09 0,00 0,00 -10,75 0,00 13,33 0,00 25 G 18,04 24,09 -0,38 0,05 -5,71 0,00 18,04 0,00 26 G 18,80 24,09 -0,38 0,11 -5,01 0,00 18,80 0,00 27 G 19,24 24,09 0,01 0,20 -5,05 0,00 19,24 0,00 28 L 19,43 24,09 0,15 0,23 -5,04 0,00 19,43 0,00 29 L 19,48 24,09 0,09 0,22 -4,91 0,00 19,48 0,00 30 L 20,64 24,09 0,07 0,21 -3,72 0,00 20,64 0,00 31 G 19,39 24,09 -0,09 0,19 -4,80 0,00 19,39 0,00 32 G 19,29 24,09 0,00 0,20 -5,00 0,00 19,29 0,00 33 L 21,66 24,09 0,43 0,26 -3,12 0,00 21,66 0,00 34 G 22,48 24,09 0,05 0,16 -1,82 0,00 22,48 0,00 35 L 22,47 24,09 0,02 0,16 -1,79 0,00 22,47 0,00 36 G 22,41 24,09 -0,04 0,15 -1,78 0,00 22,41 0,00 37 L 22,56 24,09 0,09 0,17 -1,78 0,00 22,56 0,00 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 106 38 L 22,93 24,09 0,05 0,06 -1,27 0,00 22,93 0,00 39 L 23,16 24,09 0,42 0,18 -1,51 -0,01 23,16 0,00 40 G 23,26 24,09 0,33 0,16 -1,30 -0,01 23,26 0,00 41 L 23,63 24,09 0,57 0,17 -1,19 -0,01 23,63 0,00 42 G 23,87 24,09 0,40 0,14 -0,73 -0,01 23,87 0,00 43 L 23,62 24,09 0,72 0,20 -1,37 -0,01 23,62 0,00 44 L 24,76 24,09 1,07 0,18 -0,56 -0,02 24,76 0,00 45 L 24,99 24,09 0,99 0,15 -0,22 -0,02 24,99 0,00 46 G 24,28 24,09 0,04 0,08 0,09 -0,02 24,28 0,00 47 L 24,72 24,09 0,41 0,08 0,16 -0,02 24,72 0,00 48 L 24,79 24,09 0,43 0,09 0,21 -0,02 24,79 0,00 49 G 24,76 24,09 0,36 0,09 0,26 -0,02 24,76 0,00 50 L 26,01 24,09 0,61 0,10 1,24 -0,02 26,01 0,00 51 L 27,57 24,09 0,92 0,12 2,47 -0,03 27,57 0,00 52 L 28,03 24,09 1,06 0,13 2,78 -0,03 28,03 0,00 53 L 28,67 24,09 0,89 0,13 3,59 -0,03 28,67 0,00 54 G 28,74 24,09 0,44 0,10 4,14 -0,02 28,74 0,00 55 G 28,94 24,09 0,37 0,10 4,41 -0,02 28,94 0,00 56 G 28,85 24,09 0,43 0,10 4,26 -0,03 28,85 0,00 57 L 27,81 24,09 0,63 0,11 3,01 -0,02 27,81 0,00 58 L 28,23 24,09 0,80 0,12 3,25 -0,03 28,23 0,00 59 G 32,12 24,09 0,47 0,10 7,49 -0,03 32,12 0,00 60 L 28,12 24,09 0,47 0,11 5,66 -2,21 28,12 0,00 61 G 16,61 24,09 0,47 0,10 -5,84 -2,21 16,61 0,00 62 G 21,45 24,09 0,45 0,10 -0,98 -2,21 21,45 0,00 63 L 29,46 24,09 0,46 0,10 7,03 -2,21 29,46 0,00 64 L 24,59 24,09 0,31 0,09 2,31 -2,20 24,59 0,00 65 G 20,84 24,09 0,05 0,06 -1,17 -2,19 20,84 0,00 66 G 22,54 24,09 0,36 0,09 0,22 -2,21 22,54 0,00 67 L 22,19 24,09 0,58 0,11 -0,37 -2,23 22,19 0,00 68 L 21,78 24,09 0,00 0,00 -0,12 -2,19 21,78 0,00 69 G 19,01 24,09 0,74 0,55 -4,18 -2,19 19,01 0,00 70 G 22,01 24,09 0,00 0,00 0,11 -2,19 22,01 0,00 71 L 20,02 24,09 -0,26 0,00 -1,64 -2,16 20,02 0,00 72 G 11,24 24,09 0,00 0,00 -10,65 -2,19 11,24 0,00 73 G 19,75 24,09 -0,57 -0,01 -1,62 -2,13 19,75 0,00 74 G 21,83 24,09 -0,11 0,00 0,03 -2,18 21,83 0,00 75 L 21,90 24,09 0,00 0,00 0,00 -2,19 21,90 0,00 76 G 21,95 24,09 0,05 0,00 0,00 -2,19 21,95 0,00 77 G 21,90 24,09 0,00 0,00 0,00 -2,19 21,90 0,00 78 L 22,06 24,09 0,18 0,00 -0,01 -2,20 22,06 0,00 79 L 22,11 24,09 0,25 0,00 -0,01 -2,21 22,11 0,00 80 G 21,99 24,09 0,13 0,00 -0,03 -2,20 21,99 0,00 81 L 21,80 24,09 0,00 0,01 -0,10 -2,18 21,80 0,00 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 107 82 L 22,13 24,09 0,27 0,00 -0,02 -2,21 22,13 0,00 83 L 21,93 24,09 0,05 0,00 -0,02 -2,19 21,93 0,00 84 L 21,42 24,09 -0,50 0,00 -0,02 -2,14 21,42 0,00 85 G 21,04 24,09 -0,92 0,00 -0,02 -2,10 21,04 0,00 86 L 20,25 24,09 -1,80 0,00 -0,01 -2,02 20,25 0,00 87 G 19,33 24,09 -2,82 -0,01 0,00 -1,93 19,33 0,00 88 L 21,33 24,09 -0,60 0,00 -0,02 -2,13 21,33 0,00 89 G 21,23 24,09 -0,71 0,00 -0,02 -2,12 21,23 0,00 90 G 21,43 24,09 -0,49 0,00 -0,02 -2,14 21,43 0,00 91 G 20,94 24,09 -1,04 0,00 -0,02 -2,09 20,94 0,00 92 G 21,45 24,09 -0,47 0,00 -0,02 -2,14 21,45 0,00 93 L 21,71 24,09 -0,18 0,00 -0,02 -2,17 21,71 0,00 94 L 21,82 24,09 -0,07 0,00 -0,02 -2,18 21,82 0,00 95 L 22,11 24,09 0,26 0,00 -0,03 -2,21 22,11 0,00 96 L 22,14 24,09 0,29 0,00 -0,02 -2,21 22,14 0,00 97 L 22,13 24,09 0,29 0,00 -0,03 -2,21 22,13 0,00 98 L 21,92 24,09 0,06 0,00 -0,03 -2,19 21,92 0,00 99 G 21,16 24,09 -0,79 0,00 -0,02 -2,11 21,16 0,00 100 G 21,20 24,09 -0,74 0,00 -0,02 -2,12 21,20 0,00 101 L 21,72 24,09 -0,17 0,00 -0,03 -2,17 21,72 0,00 102 D 21,93 24,09 0,06 0,00 -0,03 -2,19 21,93 0,00 103 G 20,61 24,09 -1,36 0,00 -0,05 -2,06 20,61 0,00 104 G 20,77 24,09 -1,29 0,00 0,04 -2,07 20,77 0,00 105 G 20,91 24,09 -1,16 0,00 0,07 -2,08 20,91 0,00 106 D 21,26 24,09 -0,76 0,00 0,05 -2,12 21,26 0,00 107 G 20,69 24,09 -1,39 0,00 0,06 -2,06 20,69 0,00 108 D 21,48 24,09 -0,69 0,00 0,20 -2,12 21,48 0,00 109 D 21,41 24,09 -0,82 0,00 0,26 -2,11 21,41 0,00 110 G 19,70 24,09 -2,00 0,00 -0,37 -2,00 19,70 0,00 111 G 19,10 24,09 -2,69 0,00 -0,35 -1,94 19,10 0,00 112 G 19,58 24,09 -2,14 0,00 -0,37 -1,99 19,58 0,00 113 G 17,16 24,09 0,00 0,20 -4,94 -2,19 17,16 0,00 114 L 17,10 24,09 0,01 0,20 -5,01 -2,19 17,10 0,00 115 L 17,06 24,09 0,01 0,20 -5,05 -2,19 17,06 0,00 116 G 22,93 24,09 0,01 0,00 1,01 -2,19 22,93 0,00 117 L 19,11 24,09 0,93 0,59 -4,31 -2,19 19,11 0,00 118 D 22,16 24,09 0,29 0,00 0,00 -2,21 22,16 0,00 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 108 Табела 7.4: Компоненте LMP-ова реактивне снаге. Број чвора Тип чвора 𝜆𝑄 𝜆𝐺𝑒𝑛/𝑃𝑜𝑡𝑟 𝜆𝐺𝑢𝑏 𝜆𝑈 𝜆𝑆𝐼𝐽,𝑍𝑎𝑔 𝜆𝐾,𝑅𝑎𝑧 Сума свих компо- ненти Разлика између 𝜆𝑄 и свих осталих компо- ненти 1 S -0,04 -0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,04 0,00 2 L 0,14 -0,04 1,34 2,07 -3,24 0,01 0,14 0,00 3 L 0,14 -0,04 1,34 2,07 -3,24 0,01 0,14 0,00 4 G -0,07 -0,04 1,13 2,05 -3,22 0,01 -0,07 0,00 5 D -0,11 -0,04 1,09 2,03 -3,20 0,01 -0,11 0,00 6 G 0,11 -0,04 1,33 2,08 -3,27 0,01 0,11 0,00 7 D 0,15 -0,04 1,36 2,07 -3,25 0,01 0,15 0,00 8 G -1,37 -0,04 0,91 1,91 -4,16 0,01 -1,37 0,00 9 D -2,48 -0,04 0,96 2,11 -5,52 0,01 -2,48 0,00 10 G -2,63 -0,04 1,15 2,31 -6,06 0,01 -2,63 0,00 11 D 0,22 -0,04 1,36 2,12 -3,22 0,01 0,22 0,00 12 G 0,19 -0,04 1,36 2,05 -3,19 0,01 0,19 0,00 13 D 0,82 -0,04 1,58 2,43 -3,16 0,01 0,82 0,00 14 L 0,17 -0,04 1,30 1,88 -2,97 0,01 0,17 0,00 15 G 0,13 -0,04 1,16 1,38 -2,38 0,00 0,13 0,00 16 L 0,13 -0,04 1,30 1,83 -2,97 0,00 0,13 0,00 17 L -0,22 -0,04 0,90 1,27 -2,36 0,00 -0,22 0,00 18 G 0,06 -0,04 1,17 1,30 -2,37 0,00 0,06 0,00 19 G 0,17 -0,04 1,18 1,27 -2,25 0,00 0,17 0,00 20 L 0,14 -0,04 1,07 1,13 -2,02 0,00 0,14 0,00 21 L 0,13 -0,04 0,97 1,01 -1,81 0,00 0,13 0,00 22 L 0,07 -0,04 0,78 0,87 -1,54 0,00 0,07 0,00 23 L -0,11 -0,04 0,41 0,62 -1,11 0,00 -0,11 0,00 24 G 0,09 -0,04 0,03 0,04 0,05 0,00 0,09 0,00 25 G -0,21 -0,04 0,62 0,98 -1,78 0,00 -0,21 0,00 26 G -0,86 -0,04 0,47 1,09 -2,38 0,00 -0,86 0,00 27 G -0,01 -0,04 0,92 1,25 -2,13 0,00 -0,01 0,00 28 L 0,06 -0,04 1,04 1,28 -2,23 0,00 0,06 0,00 29 L 0,09 -0,04 1,12 1,30 -2,30 0,00 0,09 0,00 30 L -0,76 -0,04 0,59 1,21 -2,52 0,00 -0,76 0,00 31 G 0,09 -0,04 1,14 1,30 -2,32 0,00 0,09 0,00 32 G -0,01 -0,04 0,90 1,25 -2,13 0,00 -0,01 0,00 33 L 0,19 -0,04 1,02 1,04 -1,84 0,00 0,19 0,00 34 G 0,19 -0,04 0,75 0,66 -1,19 0,00 0,19 0,00 35 L 0,22 -0,04 0,79 0,66 -1,18 0,00 0,22 0,00 36 G 0,22 -0,04 0,79 0,66 -1,19 0,00 0,22 0,00 37 L 0,17 -0,04 0,72 0,64 -1,15 0,00 0,17 0,00 38 L -0,32 -0,04 0,21 0,42 -0,92 0,00 -0,32 0,00 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 109 39 L 0,33 -0,04 0,90 0,63 -1,15 0,00 0,33 0,00 40 G 0,34 -0,04 0,90 0,61 -1,13 0,00 0,34 0,00 41 L 0,36 -0,04 0,92 0,60 -1,12 0,00 0,36 0,00 42 G 0,25 -0,04 0,79 0,55 -1,04 -0,01 0,25 0,00 43 L 0,25 -0,04 0,75 0,61 -1,07 0,00 0,25 0,00 44 L 0,17 -0,04 0,61 0,51 -0,90 -0,01 0,17 0,00 45 L 0,19 -0,04 0,61 0,47 -0,84 -0,01 0,19 0,00 46 G 0,08 -0,04 0,47 0,41 -0,75 -0,01 0,08 0,00 47 L 0,03 -0,04 0,37 0,35 -0,65 -0,01 0,03 0,00 48 L 0,03 -0,04 0,42 0,41 -0,75 -0,01 0,03 0,00 49 G 0,07 -0,04 0,46 0,40 -0,74 -0,01 0,07 0,00 50 L 0,24 -0,04 0,46 0,41 -0,59 -0,01 0,24 0,00 51 L 0,50 -0,04 0,55 0,43 -0,43 -0,01 0,50 0,00 52 L 0,55 -0,04 0,57 0,43 -0,41 -0,01 0,55 0,00 53 L 0,64 -0,04 0,55 0,44 -0,29 -0,01 0,64 0,00 54 G 0,59 -0,04 0,40 0,43 -0,18 -0,01 0,59 0,00 55 G 0,61 -0,04 0,38 0,43 -0,15 -0,01 0,61 0,00 56 G 0,61 -0,04 0,39 0,43 -0,16 -0,01 0,61 0,00 57 L 0,46 -0,04 0,42 0,42 -0,34 -0,01 0,46 0,00 58 L 0,55 -0,04 0,49 0,43 -0,32 -0,01 0,55 0,00 59 G 1,10 -0,04 0,33 0,43 0,39 -0,01 1,10 0,00 60 L 0,52 -0,04 0,33 0,43 -0,19 -0,01 0,52 0,00 61 G -0,79 -0,04 0,33 0,43 -1,50 -0,01 -0,79 0,00 62 G -0,17 -0,04 0,40 0,43 -0,95 -0,01 -0,17 0,00 63 L 0,93 -0,04 0,32 0,43 0,22 -0,01 0,93 0,00 64 L -0,46 -0,04 0,23 0,42 -1,07 0,00 -0,46 0,00 65 G -0,29 -0,04 0,19 0,39 -0,83 0,00 -0,29 0,00 66 G 0,04 -0,04 0,46 0,40 -0,77 -0,01 0,04 0,00 67 L -0,04 -0,04 0,46 0,42 -0,87 -0,01 -0,04 0,00 68 L -0,07 -0,04 0,02 0,04 -0,10 0,00 -0,07 0,00 69 G 0,14 -0,04 1,34 2,07 -3,24 0,01 0,14 0,00 70 G -0,02 -0,04 0,01 0,02 -0,02 0,00 -0,02 0,00 71 L 0,02 -0,04 0,04 0,03 0,00 0,00 0,02 0,00 72 G 0,11 -0,04 0,03 0,04 0,07 0,00 0,11 0,00 73 G 0,04 -0,04 0,06 0,03 0,00 0,00 0,04 0,00 74 G 0,04 -0,04 0,08 0,01 0,00 -0,01 0,04 0,00 75 L -0,04 -0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,04 0,00 76 G 0,25 -0,04 0,32 0,00 0,00 -0,03 0,25 0,00 77 G -0,02 -0,04 0,02 0,00 0,00 0,00 -0,02 0,00 78 L 0,05 -0,04 0,10 0,00 -0,01 -0,01 0,05 0,00 79 L 0,10 -0,04 0,16 0,01 -0,02 -0,01 0,10 0,00 80 G 0,14 -0,04 0,22 0,01 -0,04 -0,02 0,14 0,00 81 L -0,09 -0,04 -0,02 0,03 -0,07 0,00 -0,09 0,00 82 L 0,31 -0,04 0,41 0,01 -0,03 -0,04 0,31 0,00 83 L 0,37 -0,04 0,47 0,01 -0,03 -0,04 0,37 0,00 84 L 0,48 -0,04 0,59 0,01 -0,03 -0,06 0,48 0,00 85 G 0,45 -0,04 0,56 0,01 -0,04 -0,05 0,45 0,00 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 110 86 L 0,55 -0,04 0,68 0,01 -0,04 -0,06 0,55 0,00 87 G 0,45 -0,04 0,57 0,01 -0,04 -0,05 0,45 0,00 88 L 0,47 -0,04 0,59 0,01 -0,04 -0,05 0,47 0,00 89 G 0,43 -0,04 0,55 0,01 -0,04 -0,05 0,43 0,00 90 G 0,48 -0,04 0,61 0,01 -0,04 -0,06 0,48 0,00 91 G 0,39 -0,04 0,50 0,01 -0,04 -0,05 0,39 0,00 92 G 0,47 -0,04 0,60 0,01 -0,04 -0,06 0,47 0,00 93 L 0,54 -0,04 0,67 0,01 -0,04 -0,06 0,54 0,00 94 L 0,55 -0,04 0,68 0,01 -0,04 -0,06 0,55 0,00 95 L 0,61 -0,04 0,75 0,01 -0,04 -0,07 0,61 0,00 96 L 0,44 -0,04 0,56 0,01 -0,04 -0,05 0,44 0,00 97 L 0,32 -0,04 0,43 0,01 -0,04 -0,04 0,32 0,00 98 L 0,31 -0,04 0,41 0,01 -0,04 -0,04 0,31 0,00 99 G 0,30 -0,04 0,41 0,01 -0,04 -0,04 0,30 0,00 100 G 0,45 -0,04 0,57 0,01 -0,05 -0,05 0,45 0,00 101 L 0,60 -0,04 0,74 0,01 -0,05 -0,07 0,60 0,00 102 D 0,56 -0,04 0,70 0,01 -0,04 -0,06 0,56 0,00 103 G 0,45 -0,04 0,58 0,01 -0,05 -0,05 0,45 0,00 104 G 0,47 -0,04 0,60 0,02 -0,05 -0,06 0,47 0,00 105 G 0,47 -0,04 0,60 0,02 -0,05 -0,06 0,47 0,00 106 D 0,50 -0,04 0,63 0,02 -0,05 -0,06 0,50 0,00 107 G 0,37 -0,04 0,49 0,02 -0,05 -0,05 0,37 0,00 108 D 0,63 -0,04 0,78 0,02 -0,06 -0,07 0,63 0,00 109 D 0,65 -0,04 0,80 0,02 -0,06 -0,07 0,65 0,00 110 G 0,47 -0,04 0,68 0,02 -0,12 -0,06 0,47 0,00 111 G 0,38 -0,04 0,58 0,02 -0,12 -0,05 0,38 0,00 112 G 0,41 -0,04 0,62 0,02 -0,12 -0,06 0,41 0,00 113 G 0,00 -0,04 0,90 1,26 -2,13 0,00 0,00 0,00 114 L -0,02 -0,04 0,90 1,25 -2,13 0,00 -0,02 0,00 115 L -0,01 -0,04 0,92 1,25 -2,13 0,00 -0,01 0,00 116 G -0,13 -0,04 0,02 0,04 -0,16 0,00 -0,13 0,00 117 L 0,19 -0,04 1,36 2,05 -3,19 0,01 0,19 0,00 118 D 0,15 -0,04 0,21 0,00 0,00 -0,02 0,15 0,00 Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 111 7.4 Компоненте LMP-ова активних и реактивних снага за сва четири случаја дефинисана у Поглављу 1.4 за IEEE тест систем од 118 чворова Слика 7.3: Компоненте LMP-ова активне снаге за Случај 1. Слика 7.4: Компоненте LMP-ова реактивне снаге за Случај 1. -15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 1 4 7 1 0 1 3 1 6 1 9 2 2 2 5 2 8 3 1 3 4 3 7 4 0 4 3 4 6 4 9 5 2 5 5 5 8 6 1 6 4 6 7 7 0 7 3 7 6 7 9 8 2 8 5 8 8 9 1 9 4 9 7 1 0 0 1 0 3 1 0 6 1 0 9 11 2 11 5 11 8 [$ /M W ] Чворови λ_P λ Gen/Potr λ_Gub λ_U λ_SIJZAG λ_KRAZ -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 1 4 7 1 0 1 3 1 6 1 9 2 2 2 5 2 8 3 1 3 4 3 7 4 0 4 3 4 6 4 9 5 2 5 5 5 8 6 1 6 4 6 7 7 0 7 3 7 6 7 9 8 2 8 5 8 8 9 1 9 4 9 7 1 0 0 1 0 3 1 0 6 1 0 9 11 2 11 5 11 8 [$ /M W ] Чворови λ_Q λ Gen/Potr λ_Gub λ_U λ_SIJZAG λ_KRAZ Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 112 Слика 7.5: Компоненте LMP-ова активне снаге за Случај 2. Слика 7.6: Компоненте LMP-ова реактивне снаге за Случај 2. -15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_P λ Gen/Potr λ_Gub λ_U λ_SIJZAG λ_KRAZ -7.00 -6.00 -5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_Q λ Gen/Potr λ_Gub λ_U λ_SIJZAG λ_KRAZ Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 113 Слика 7.7: Компоненте LMP-ова активне снаге за Случај 3. Слика 7.8: Компоненте LMP-ова реактивне снаге за Случај 3. -15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_P λ Gen/Potr λ_Gub λ_U λ_SIJZAG λ_KRAZ -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_Q λ Gen/Potr λ_Gub λ_U λ_SIJZAG λ_KRAZ Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 114 Слика 7.9: Компоненте LMP-ова активне снаге за Случај 4. Слика 7.10: Компоненте LMP-ова реактивне снаге за Случај 4. -15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_P λ Gen/Potr λ_Gub λ_U λ_SIJZAG λ_KRAZ -7.00 -6.00 -5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_Q λ Gen/Potr λ_Gub λ_U λ_SIJZAG λ_KRAZ Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 115 7.5 Упоредни приказ компонената LMP-ова активних и реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом IEEE тест система од 118 чворова Анализиран је случај испада преносног вода између чворова 5 и 8. Слика 7.11: Упоредни приказ компонената LMP-ова активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. Слика 7.12: Упоредни приказ компонената LMP-ова реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 30.00 35.00 40.00 45.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_P случај 4 базна симулација λ_P случај 4 испад далековода -6.00 -5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M V a r] Чворови λ_Q случај 4 базна симулација λ_Q случај 4 испад далековода Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 116 Слика 7.13: Упоредни приказ компонената LMP-а загушења (преносне привидне снаге) у цени активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. Слика 7.14: Упоредни приказ компонената LMP-а загушења (преносне привидне снаге) у цени реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. -15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00 10.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_SIJZAG случај 4 базна симулација λ_SIJZAG случај 4 испад далековода -8.00 -7.00 -6.00 -5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M V a r] Чворови λ_SIJZAG случај 4 базна симулација λ_SIJZAG случај 4 испад далековода Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 117 Слика 7.15: Упоредни приказ компонената LMP-а размене снаге у цени активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. Слика 7.16: Упоредни приказ компонената LMP-а размене снаге у цени реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. -40.00 -35.00 -30.00 -25.00 -20.00 -15.00 -10.00 -5.00 0.00 5.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_KRAZ случај 4 базна симулација λ_KRAZ случај 4 испад далековода -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M V a r] Чворови λ_KRAZ случај 4 базна симулација λ_KRAZ случај 4 испад далековода Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 118 Слика 7.17: Упоредни приказ компонената LMP-а напонског ограничења у цени активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. Слика 7.18: Упоредни приказ компонената LMP-а напонског ограничења у цени реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_U случај 4 базна симулација λ_U случај 4 испад далековода -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M V a r] Чворови λ_U случај 4 базна симулација λ_U случај 4 испад далековода Докторска дисeртација Нeлинeарна оптимизација планирања и eксплоатацијe eлeктроeнeргeтских систeма примeном Interior Point алгоритама 119 Слика 7.19: Упоредни приказ компонената LMP-а губитака активне снаге у цени активних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. Слика 7.20: Упоредни приказ компонената LMP-а губитака активне снаге у цени реактивних снага за Случај 4 у базном стању и са испадом преносног вода 5-8. -5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M W ] Чворови λ_GUB случај 4 базна симулација λ_GUB случај 4 испад далековода -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 1 5 9 1 3 1 7 2 1 2 5 2 9 3 3 3 7 4 1 4 5 4 9 5 3 5 7 6 1 6 5 6 9 7 3 7 7 8 1 8 5 8 9 9 3 9 7 1 0 1 1 0 5 1 0 9 11 3 11 7 [$ /M V a r] Чворови λ_GUB случај 4 базна симулација λ_GUB случај 4 испад далековода