yHI,IBEP3I4TET l/ KPATyJEBIIy MAIII VI]FICKIA @AK)/ JITE T KPAJbEB O Crasuma M. [Iannunh EPAXIICT OXP OHO KPETAIbE MEXAHUqKIIX CI4CTEMA CA PEAIHI'IM BE3AMA I4 IIPI'IMEHE HA TEXHUTIKE OEJEKTE loxropcKa AlacePraqnj a Kparseno,2009 I4AEHTVr@VrnAUrr OHA C TPAHHUA A OKTOP C KE AVTCEPTAIII,IJE I. Avmop VIwe w ilpe3rzMe: Cnaeurua lUanuuult {4yyt H Mecro polema: 11.08.1973. Kpa,oeeo Ca4amrre 3arrocJrerLe acucmeHm Ha Maruuucrcou $arcynmemy y Kpameey II. troxmopcna d ucepmauui a Hacfloe: EpaxucmoxpoHo Kpemarbe MexaHLtttKLN cucmeMa ca peatHurvt 6e31hna u npu-t/teHe Ha mexHuttKe o1iercme Epo.i crpanaua: i 06 Epoj cnraxa: 9 Bpoj 6r,r6nlrorpa$cKr4x noAaraxa: 7 7 Ycrauona H Mecro r4e ie palwzpahe:a MatuttHcKlt (bttrc1,.1*nm, Kpaneeo Hayvua o6racr (VIK): IlpuuerxeHa .MexaHLtKa Meurop: npo* dp Mupocnae Becxoer.rtt III. OqeHo u oddparuu {aryrur npujane reMe: 11.04.2006. I Epoj oAnyKe u AaryM npprxBararra AoKropcKe Arrcepraqvje:371, I 08.06.2006. Konl.rcaja 3a oueHy no4o6uocru TeMe x KaHAHAara: Ap Byxnaau Yoruh, pe4. npo$, Ap fparouup 3exoenh,p.,q. npo$, Ap Honax He4uh, pe4. npo$, Ap Cneruc,ran Pa4onuh, pe4. rpo$, Ap Mupocnas Becxoeuh, peA. upo$ KouacHja 3a orleHy u o46paHy AoxropcKe Aucepraqaje: :p Byxuan Yonnh, pe4. upo$, Ap [paronrap 3exoeah, pe,q. rpocb, -rp lparau Mzlocanrseexh, pe4. upo$, Ap Hoeax Fle4uh, pe4. nporp, :p Mupocnas Becxoeuh, peA. npo(b _ _.lqly* o46paue 4acepraqaj e : 3AXBATHOCT HajnaNnuju pesyrlrarl4 4o xojux caM Aolxao y onoj Aucepra4ujkt caoIIrrTeHH cy Ha O4ererry 3a MexaHI4Ky Mareuarur{Kof ktlcrkrryra CAHy y Eeorpa4y. I{IaHosI,l OAersema cy MIl yrIyrtIJIH HI,I3 KopHcHI4x rpI4MeA6I4 H cyrecruja Ha KojI4Ma HM ce oBoM rpHnI4KoM 3axBaJbyj erur. Iloce6ny 3axBaxHocr H3paxaBaM MeHropy npo@. Ap MnpocilaBv Becxosuhy unpo$. 4p Byrnrany r{onrahy na nece6uqnoj nonlohra y Be3r ras6opa rel\Ie 3a AoKropcKy Al4ceprallujy Kao v Ha KopI{cHI4M nplatreg6awa Lr cyrec:rujaua xoje cy MH ynyhraeama TOKoM pAXa y \k:Jby [OCTI{3arba 6Orser KBaIIHTeTa oBe Aucepraul4je. EPAXI4CTOXP OHO KPETAISE ME XAHHIIKI4X CUCTEMA CA PEAJIHIIM BE3AMA [I IIPUMEHE HA TEXHI'IqKE OEJBKTE PE3IIME Aualu:apauo je 6paxucToxpoHo KpeTarbe uarepnjanHe Tar{Ke H cucre\Ia Kpyrl{x rena y np,cy;r"y kyro*roBe cr.rJre rperLa rpr.MeHoM Bapl4jauuoHor paq)'Ha. Y cnyua.iy 6paxucroxpoHot Kperalba marepujanue rarrKe pa3MarpaH je c;r1'vaj KaAa ce nrarepuja,rHa TaqKa xpehe y BepTl{Kannoj panHu y xoMoreHoM rpaBHTaUI'toHoN{ floJby Ayx B;3e y o6lraxy *punura nunuje ca Ky.nonoBI'{M rpel+'eM rpl4 uerrl' je rorlerHa 6p:axa TaqKe pa3nIIqHTa oA Hyne. Asa-nptga 6paxucroxpoHor Kperama raurce je cnpoBeAeHa 3a cnyqaj KaAa ce Be3a rperr4pa Kao 3aApxaBajyha H sa c;ryuaj KaJa ce Be3a rperl{pa Kao He3aAp)KaBajyha. lI:npureua je reHepaJll43aqnja pe:yrlrara H3 ,rr"puiype, xoju cy rperr.rpang oBy rpo6neMarr4Ky rlpr{Menou eapujalrrloHor paLIyHa y .ryru;y ,.uau je uoueffia 6pzuua rarrKe je4uar 0 . . . 75 5.3.1.2 Op{te re{ewe na linijskom segmentu Nn ≡ 0 . . . 76 5.4 Struktura ekstremale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6 PRIMENADIFERENCIJALNEEVOLUCIJEPRIRE[AVAWUNE- LINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA^INA 81 6.1 Motiva ija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Diferen ijalna evolu ija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.2.1 Opis metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2.2 Neka od poboq{awa diferen ijalne evolu ije . . . . . . . . 85 7 ZAKQU^AK 87 8 PRAVCI DAQEG RAZVOJA 91 9 DODACI 100 9.1 DODATAK A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9.2 DODATAK B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3SPISAK OZNAKA m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . masa materijalne ta~ke ~g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ubrzawe Zemqine te`e tf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vreme brahistohronog kretawa t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vreme kretawa tp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vremenski trenu i preloma ekstremale S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . broj ta~aka preloma ekstremale v0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .intenzitet brzine ta~ke u po~etnom polo`aju vf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . intenzitet brzine ta~ke u krajwem polo`aju v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . projek ija brzine ta~ke na tangentu x, y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . koordinate proizvoqnog polo`aja materijalne ta~ke x0, y0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . koordinate po~etnog polo`aja materijalne ta~ke xf , yf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . koordinate krajweg polo`aja materijalne ta~ke ~v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . brzina materijalne ta~ke ~a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ubrzawe materijalne ta~ke ~N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .normalna komponenta reak ije veze ~Fµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kulonova sila trewa ~t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jedini~ni vektor tangente ~u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jedini~ni vektor ~n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jedini~ni vektor glavne normale Nu . . . . . . . . . . . . . . . . projek ija normalne komponente reak ije veze na vektor ~u µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . koefi ijent trewa ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ugao nagiba tangente na brahistohronu krivu ϕ0 . . . . . . . . ugao nagiba tangente na brahistohronu krivu u po~etnom polo`aju ϕf . . . . . . . . . ugao nagiba tangente na brahistohronu krivu u krajwem polo`aju J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . funk ional F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . podintegralna funk ija fi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ograni~ewa u varija ionom problemu λi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lagran`evi mno`iteqi veza zi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . veli~ine stawa ∆(.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . asinhrona varija ija veli~ine (.) w˙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . promenqiva slabqewa Cλi , Cx, Cy, Cv, Ct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . integra ione konstante C∗x, C ∗ y , C ∗ t , Cϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . integra ione konstante SG1, SG2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .oznake tipa linijskog segmenta 4NSG1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ukupan broj linijskih segmenata tipa SG1 NSG2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ukupan broj linijskih segmenata tipa SG2 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . kineti~ka energija Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . poten ijalna energija Pµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . snaga generalisanih sila trewa qi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . generalisane koordinate ξ1, ξ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ortogonalan sistem generalisanih koordinata aij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . koefi ijenti metri~kog tenzora Qµi . . . . . . . . . . generalisana sila Kulonovog trewa koja odgovara generalisanoj koordinati qi Qui . generalisana sila upravqawa koja odgovara generalisanoj koordinati qi ~ri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vektor polo`aja ta~keMi Np . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . veli~ina popula ije F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . faktor muta ije Cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . faktor ukr{tawa Gmax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . maksimalan broj itera ija randi() . . . . generator slu~ajnih brojeva ravnomerno raspore|enih u intervalu (0, 1) Rndi() . . . . . . . . . . . . . . . . generator slu~ajnih elih brojeva iz skupa {1, 2, ..., n} Glava 1 UVOD Predmet ove doktorske diserta ije je brahistohrono kretawe mehani~kih sis- tema i uti aj koji na ovakvu vrstu kretawa imaju sile Kulonovog trewa. Dobijawe novih rezultata iz ove problematike ima veliki zna~aj u prakti~nim primenama. Problem o preme{tawu sistema iz jednog zadatog polo`aja u drugi za minimalno vreme je ~est slu~aj kod tehni~kihobjekata kao{to su roboti idizali e (videtina primer [10, 37, 30, 72]). Ovakvo kretawe se naziva brahistohrono, a u literaturi iz optimalnog upravqawa koristi se i naziv problem vremenski minimalnog optimalnog upravqawa. Brahistohroni problem je prvi formulisao Johann Bernoulli 1696. godine u ~asopisu Acta Eruditorum (ruski prevod u [51]) u obliku slede}eg zadatka: odrediti glatku liniju po kojoj se materijalna ta~ka spu{ta bez po~etne brzine iz polo`aja A u polo`aj B pod dejstvom sopstvene te`ine za najkra}e vreme. Pokazalo se da kriva kojoj odgovara najmawe vreme spu{tawa predstavqa ikloidu. Ovaj problem se u literaturi naziva klasi~an problem brahistohrone ili Bernulijev slu~aj brahistohrone. Formulisani problem su nezavisno jedan od drugog re{ili Johann i Jakob Bernoulli, Newton, Leibniz, Huygens i L’Hospital. Bernulijevo re{ewe ovog zadatka dalo je sna`an podsti aj razvoju varija ionog ra~una koji je postao mo}an alat za re{avawe svih onih problema koji zahtevaju minimiza iju ne samo vremena nego i drugih parametara sistema. Daqa istra`ivawana ovompoqu u su{tini su se odvijala u dva prav a. S jedne strane zadr`ana je klasi~na formula ija a uop{tavalo se poqe sila u kome se ma- terijalna ta~ka kre}e (referen e [6, 27, 35, 43, 59, 60, 71, 75]), a s druge strane vr{ilo se pro{irewe klasi~nog Bernulijevog slu~aja brahistohrone na sis- teme materijalnih ta~aka i krutih tela (referen e [1, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 22] 6i [23, 25, 48, 68, 69]). U posledwe vreme objavqen je niz radova u kojima je pa`wa usmerena na razmatrawe numeri~kih metoda za re{avawe klasi~nog problema brahistohrone ([2, 21, 26, 38, 55, 76]). Treba naglasiti da se brahistohrono kre- tawe vr{i pod dejstvom dodatnih sila, tzv. upravqa~kih sila. Pri re{avawu brahistohronog problema u mehani i se na ove upravqa~ke sile name}e uslov da je wihova snaga jednaka nuli u toku brahistohronog kretawa. Na primer u slu~aju Bernulijeve brahistohrone to je reak ija glatke ikloide. Me|utim, ima tehni~kih objekata kod kojih snaga upravqa~kih sila nije jednaka nuli. Primer za ovo imamo kod robota gde se opera ija preme{tawa robotske hvataqke iz zadatog po~etnog polo`aja u zadat krajwi polo`aj za minimalno vreme ostvaruje upravqa~kim silama koje predstavqaju pogonske sile u zglobovimarobota (videti na primer [10, 30, 72]). Pored primene varija ionog ra~una u re{avawu brahis- tohronog problema, u literaturi se u re{avawu ove problematike koristi i teorija optimalnog upravqawa. Tako se u [24, 43] klasi~an brahistohroni prob- lem formuli{e kao zadatak singularnog optimalnog upravqawa gde je u [24] za upravqa~ku veli~inu uzeta reak ija veze, a u [43] za veli~inu upravqawa je uzet izvod ugla nagiba tangente na brahistohronu krivu. U [45] je re{avan problem optimalnog kretawa boba na stazi kao problem brahistohronog kretawa materijalne ta~ke na povr{i. Brahistohrono kretawe materijalne ta~ke po hrapavoj povr{i sa Kulonovim trewem je detaqno raz- motreno u referen i [18] gde je prvi put re{avan problem brahistohrone sa Kulonovim trewem pri po~etnoj brzini razli~itoj od nule. U [1] je pokazana analogija izme|u Bernulijevog brahistohronog problema i problema odre|ivawa krivepokojoj, kotrqaju}i se bez klizawa, disk sti`eiz zadatogpo~etnogpolo`aja u zadati krajwi polo`aj za minimalno vreme. Ovoj problemati i je sli~an rad [8] kod koga se disk kotrqa bez klizawa niz strmu ravan a tra`i se oblik oboda diska koji omogu}uje da disk stigne iz zadatog po~etnog polo`aja u zadati krajwi polo`aj za minimalno vreme. U [48] je razmatranbrahistohroniproblem u slu~aju ravnog kretawa krutog tela u okvirima teorije optimalnog upravqawa. Bernuli- jev slu~aj brahistohrone je u referen ama [14, 15] pro{iren na sistem krutih tela u obliku zatvorenog kinemati~kog lan a bez i sa spoqa{wim vezama, a u [20] je izvr{eno pro{irewe na slobodan sistem materijalnih ta~aka. Rezultati iz referen i [16, 17, 19, 20, 68, 69] predstavqaju osnovu za daqa istra`ivawa na poqu brahistohronog kretawa op{tih mehani~kih sistema sa holonomnim i neholonomnim vezama. Model materijalne ta~ke koja se kre}e po hrapavoj krivoj primewuje se u 7problemima optimiza ije kod instala ija za transport granulastog materijala ([12, 13, 52, 56, 76, 77]). Kod ovakvih tehni~kih objekata optimizuje se profil odvodnog kanala kojim se transportuje granulasti materijal sa iqem da se mini- mizira vreme transporta, gubi i mehani~ke energije materijala usled Kulonovog trewaitd. Zbog toga je od velikog prakti~nog zna~aja prou~avawebrahistohronog kretawa materijalne ta~ke u homogenom gravita ionom poqu u prisustvu Ku- lonove sile trewa. Ovaj problem je razmatran u radovima [6, 35] kori{}ewem varija ionog ra~una pod pretpostavkom da je po~etna brzina ta~ke jednaka nuli. Dobijena su analiti~ka re{ewa u kona~nom obliku. Slu~aj kada je po~etna brz- ina razli~ita od nule nije dovoqno istra`en. Jedan postupak za re{ewe ovog problema sadr`an je u radu [43] i on se bazira na kori{}ewu teorije singu- larnog optimalnog upravqawa. Brahistohrono kretawe sistema krutih tela sa Kulonovim trewem je prvi put detaqno obra|eno u radu [19]. U ovoj referen i je ukazano na jedan spe ijalan sistem sa dva stepena slobode kod koga je mogu}e dobiti re{ewe u analiti~kom obliku. Ranije u literaturi u tretirawu ove prob- lematike efekat Kulonovog trewa je zanemarivan ili su vr{ena upro{}avawa vezana za uti aj Kulonove sile trewa. Tako se u referen i [72] razmatra problem odre|ivawa zakona promene momenata pogonskih spregova u zglobovima robota radi wegovog preme{tawa iz jedne zadate konfigura ije u drugu. Pri tome se u zglobovima uzimao uti aj Kulonovog trewa ali uz pretpostavku da su sile trewa konstantnog intenziteta u toku kretawa. Imaju}i u vidu izlo`eni pregled problematike u prikazanoj literaturi, u ovoj doktorskoj diserta iji daqa razmatrawa su usmerena na uop{tavawe rezul- tata kod problema brahistohronog kretawa materijalne ta~ke sa Kulonovim tre- wem u slu~aju po~etne brzine razli~ite od nule i pro{irivawe rezultata iz referen e [18]. Tako|e, izvr{i}e se pro{irewe rezultata iz [19] na slu~aj re- alnih unilateralnih veza sa Kulonovim trewem i prakti~nu primenu dobijenih rezultata. Pretpostavqa se da se brahistohrono kretawe vr{i u homogenom grav- ita ionompoqu. Razmatrawa}e se bazirati na prin ipima analiti~kemehanike i varija ionom ra~unu uz formirawe jedna~ina pogodnih za numeri~ku obradu. Glava 2 PROBLEM BRAHISTOHRONE KAO ZADRAVAJU℄E VEZE SA KULONOVIM TREWEM U SLU^AJU MATERIJALNE TA^KE U ovom delu diserta ije razmatran je problem brahistohronog kretawa ma- terijalne ta~ke koja se kre}e u vertikalnoj ravni u homogenom gravita ionom poqu du` zadr`avaju}e veze u obliku hrapave linije sa Kulonovim trewem. Pret- postavqeno je da je po~etnabrzina ta~ke razli~itaod nule. Dobijena su re{ewa za dve varijante grani~nih uslova. U jednoj varijanti su zadate koordinate po~etnog i krajweg polo`aja ta~ke, a u drugoj su zadate koordinate po~etnog polo`aja a za krajwi polo`aj se zahteva da se nalazi na vertikalnoj pravoj. Za obe varijante dobijene su jedna~ine brahistohrone u parametarskom obliku, gde je za parametar uzet ugao nagiba tangente na brahistohronu. Dobijena brahistohrona je u op{tem slu~aju dvosegmentna kriva sa po~etnim segmentom koji predstavqa parabolu pri kosom hi u u neotpornoj sredini. Pokazano je da se za spe ijalne vrednosti parametara sistema rezultati rada svode na poznate rezultate iz literature. 2.1 Formula ija problemakao zadatka varija ionog ra~una Razmotrimo materijalnu ta~ku M mase m koja se kre}e u vertikalnoj ravni u homogenom poqu Zemqine te`e po hrapavoj krivoj sa Kulonovim trewem koja se tretira kao zadr`avaju}a veza (kretawe ta~ke analogno kretawu prstena po `i i). Tra`i se jedna~ina ove krive y = f(x) ∈ C2[0, tf ] tako da materijalna ta~ka M polaze}i iz polo`aja M0(x0, y0) po~etnom brzinom intenziteta v0 6= 0 stigne u polo`aj O(0, 0) za minimalno vreme tf , gde je sa y ozna~ena vertikalna osa usmerena navi{e a sa x horizontalna osa Dekartovog koordinatnog sistema. 9Bez gubitka op{tosti uzima se da je x0 > 0 i y0 > 0. M mg u N t v Fm j O M(x ,y )0 0 0 y x i j Slika 2.1: Analiza sila na putawi ta~ke Diferen ijalna jedna~ina kretawa ta~keM je m~a = m~g + ~N + ~Fµ, (2.1) gde je: ~N normalna komponenta reak ije veze, ~Fµ = −µ ∣∣∣ ~N ∣∣∣~v/ |~v| Kulonova sila trewa, µ koefi ijent trewa, ~g = −g~ ubrzawe Zemqine te`e, ~v = x˙~ı + y˙~ i ~a = x¨~ı + y¨~ brzina i ubrzawe materijalne ta~ke, a~ı i ~ su jedini~ni vektori osa x i y, respektivno. Po prirodi problema je v > 0, gde je v oznaka za projek iju brzine ~v ta~ke na prava odre|en jedini~nim vektorom ~t tangente na tra`enu krivu (videti sl.2.1), {to zna~i da je v = |~v| = √ x˙2 + y˙2. Neka je ~u jedini~ni vektor oblika ~u = − y˙ v ~ı+ x˙ v ~ (2.2) ~iji smer ne zavisi od konkavnosti (konveksnosti) krive. Iz izraza za vektore ~u i ~v sledi da je ~u · ~v = 0. Skalarnim mno`ewem leve i desne strane jedna~ine (2.1) vektorom ~u dobija se m ( − x¨y˙ v + y¨x˙ v ) = −mgx˙ v +Nu, (2.3) gde je Nu = ~N · ~u i shodno tome ∣∣∣ ~N ∣∣∣ = |Nu|. Teorema o promeni kineti~ke energije materijalne ta~ke u diferen ijalnom obliku glasi 10 d dt (m 2 ~v·~v ) = ( m~g+~Fµ ) · ~v (2.4) ili u ekspli itnoj formi f1 ≡ m(x˙x¨+ y˙y¨) +mgy˙ + µ |Nu| √ x˙2 + y˙2 = 0. (2.5) U po~etnoj fazi re{avawa problema, tra`enu brahistohronu krivu treba tre- tirati kao krivu koja u op{tem slu~aju mewa konkavnost. Na delovima krive koji su konkavni nadole postoje dve mogu}nosti za orijenta iju vektora ~N jer je pretpostavqeno da tra`ena brahistohrona kriva predstavqa zadr`avaju}u vezu. Vektor ~N mo`e da bude orijentisan kao vektor m~g ili suprotno od wega. Ove mogu}nosti za orijenta iju vektora ~N predstavqaju razlog za uvo|ewe je- dini~nog vektora ~u. Naime, iz (2.2) proizilazi da jedini~ni vektor ~u, za razliku od jedini~nog vektora glavne normale ~n , ne mewa orijenta iju sa promenom konkavnosti krive i stalno ima istu orijenta iju kao i vektor m~g. S obzirom na ovo, ako se pretpostavi da u toku brahistohronog kretawa ta~ke normalna komponenta reak ije veze ~N ne mewa orijenta iju u odnosu na silu te`ine m~g, pogodnije je koristiti projek iju Nu nego projek iju Nn = ~N · ~n jer projek ija Nu ne}e mewati znak pri promeni konkavnosti krive. Zbog prisustva apsolutne vrednosti projek ije Nu u jedna~ini (2.5) mora se izvr{iti analiza znaka ove projek ije. S tim u vezi, nadaqe }e se pretpostaviti da je normalna komponenta reak ije veze ~N stalno usmerena u stranu koja je suprotna od one u koju je usmerena sila te`ine {to impli ira (videti sl. 2.1) Nu 6 0. (2.6) Ispravnost ove pretpostavkemo`eda se bazirana uslovuda se rezultatikojiizwe slede trebaju svesti za µ = 0 na rezultate koji va`e za klasi~nu brahistohronu, a za µ 6= 0 i v0 = 0 na rezultate iz [6, 35]. Radi elimina ije drugih izvoda u jedna~ini ( 2.5) uvedimo slede}e rela ije f2 ≡ x˙+ v cosϕ = 0, f3 ≡ y˙ + v sinϕ = 0, (2.7) ~ije se zna~ewe vidi na sl.2.1. S obzirom na rela ije (2.3),(2.6) i (2.7), jedna~ina 11 (2.5) sada dobija slede}i oblik f1 ≡ v˙ − g sinϕ + µ(−vϕ˙+ g cosϕ) = 0. (2.8) UslovNu 6 0 , na osnovu jedna~ine (2.3) i transforma ija (2.7), daje jo{ jednu rela iju u razmatranom problemu vϕ˙− g cosϕ 6 0. (2.9) Uvo|ewem nove nepoznate funk ije w˙(t) (videti [70]), koja se u literaturi naziva i promenqiva slabqewa ( slack variable), nejednakost ( 2.9) se transformi{e u jednakost f4 ≡ vϕ˙− g cosϕ+ w˙2 = 0. (2.10) Postavqeni problem mo`e sada da se formuli{e kao zadatak varija ionog ra~una tf∫ 0 dt −→ inf (2.11) uz ograni~ewa (2.8), (2.7) i (2.10), pri ~emu su po~etni i krajwi uslovi t0 = 0 : x(0) = x0, y(0) = y0, v(0) = v0; t = tf : x(tf ) = 0, y(tf ) = 0. (2.12) Uvo|ewem novog funk ionala J = tf∫ 0 (1 + 4∑ i=1 λifi)dt, (2.13) gde su λi Lagran`evi mno`iteqi veza, i slede}om transforma ijom veli~ina stawa ( videti [33, 34] ) z1 ≡ x, z2 ≡ y, z3 ≡ ϕ, z4 ≡ v, z˙5 ≡ λ1, z˙6 ≡ λ2, z˙7 ≡ λ3, z˙8 ≡ w˙, z˙9 ≡ λ4, (2.14) postavqeni vezani varija ioni zadatak mo`e se preformulisati kao slobodan varija ioni zadatak oblika J = tf∫ 0 {1 + z˙5[z˙4 − µz4z˙3 + g(µ cos z3 − sin z3)] + z˙6(z˙1 + z4 cos z3)+ 12 +z˙7(z˙2 + z4 sin z3) + z˙9(z4z˙3 − g cos z3 + z˙28) } dt→ inf, t0 = 0 : z1(0) = x0, z2(0) = y0, z4(0) = v0, zi(0) = 0 (i = 5, ..., 9), t = tf : z1(tf) = 0, z2(tf ) = 0. (2.15) Uslov sta ionarnosti△J = 0 daje Ojler-Lagran`eve jedna~ine d dt ( ∂F ∂z˙k ) = 0, k = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}, ∂F ∂zj − d dt ( ∂F ∂z˙j ) = 0, j = 3, 4, (2.16) kao i grani~ne uslove: [ ∂F ∂z˙i ∆zi ](t=tf ) (t=0) = 0, i = 1, ..., 9, [( F − 9∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i ) ∆t ](t=tf ) (t=0) = 0, (2.17) gde se oznaka ∆(·) koristi za asinhronu varija iju [28, 32, 50] veli~ine (·), a F predstavqa podintegralnu funk iju funk ionala J . ^iweni a da veli~ina z3 (ugao ϕ) nije zadata u po~etnom i krajwem polo`aju ta~ke daje slede}e prirodne grani~ne uslove na levom i desnom kraju [ ∂F ∂z˙3 ](t=tf ) (t=0) = 0 → [−µvλ1 + vλ4](t=tf )(t=0) = 0, (2.18) a ~iweni a da veli~ine zi (i = 4, ..., 9) nisu zadate u krajwem polo`aju daje na desnom kraju jo{ {est prirodnih grani~nih uslova oblika [ ∂F ∂z˙4 ] (t=tf ) = 0 → [λ1](t=tf ) = 0, (2.19) [ ∂F ∂z˙5 ] (t=tf ) = 0 → [v˙ − µvϕ˙+ g (µ cosϕ− sinϕ)](t=tf ) = 0, (2.20) 13 [ ∂F ∂z˙6 ] (t=tf ) = 0 → [x˙+ v cosϕ](t=tf ) = 0, (2.21) [ ∂F ∂z˙7 ] (t=tf ) = 0 → [y˙ + v sinϕ](t=tf ) = 0, (2.22) [ ∂F ∂z˙8 ] (t=tf ) = 0 → [w˙λ4](t=tf ) = 0, (2.23) [ ∂F ∂z˙9 ] (t=tf ) = 0 → [vϕ˙− g cosϕ+ w˙2] (t=tf ) = 0. (2.24) Zbog toga{to vreme brahistohronog kretawa tf nije zadato, uslov transverzal- nosti na desnom kraju glasi [ F − 9∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i ] (t=tf ) = 0 (2.25) ili u razvijenom obliku, nakon elimina ije veli~ina x˙, y˙, ϕ˙ i v˙ posredstvom jedna~ina (2.8),(2.7) i (2.10) [ 1 + λ1g(µ cosϕ− sinϕ) + v(λ2 cosϕ+ λ3 sinϕ)− λ4(w˙2 + g cosϕ) ] (t=tf ) = 0. (2.26) 2.2 Re{ewa Ojler-Lagran`evih jedna~ina Ojler-Lagran`eve jedna~ine (2.16) popromenqivama z1i z2 (odnosno, promenqivima x i y) svode se na λ2 ≡ Cλ2 , λ3 ≡ Cλ3 , Cλ2 , Cλ3 = const., (2.27) a s obzirom na prirodne grani~ne uslove (2.20)-(2.24) jedna~ine po promenqivima z5, z6, z7 i z9 imaju oblik jedna~ina (2.8), (2.7)1, (2.7)2 i (2.10), respektivno, dok se Ojler-Lagran`eva jedna~ina po z8 svodi na oblik w˙λ4 ≡ 0. (2.28) Ojler-Lagran`eve jedna~ine (2.16) popromenqivima z3i z4 (odnosno, promenqivima ϕ i v) glase 14 −gλ1 (µ sinϕ+ cosϕ)− vλ2 sinϕ+ vλ3 cosϕ+ µv˙λ1 + µvλ˙1+ +gλ4 sinϕ− v˙λ4 − vλ˙4 = 0, (2.29) −µϕ˙λ1 + λ2 cosϕ+ λ3 sinϕ− λ˙1 + ϕ˙λ4 = 0. (2.30) Iz jedna~ine (2.28) sledi da se na intervalu [0, tf ] ekstremala funk ionala J mo`e sastojati iz linijskih segmenata na kojima je w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0 i linijskih segmenata na kojima je w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ 0. Shodno tome, funk ional J spada u grupu funk ionala ~ije ekstremale mogu imati prelome (takozvane ugaone ta~ke) u prostoru R 9 jer veli~ina w˙ ima prekide prve vrste. Ako se sa S ozna~i ukupan broj ta~aka preloma ekstremale kojima odgovaraju vremenski trenu i tp (p = 1, ..., S), onda u tim ta~kama moraju da budu zadovoqeni Vajer{tras-Erdmanovi ugaoni uslovi [28, 32, 3]: ( ∂F ∂z˙i ) tp−0 = ( ∂F ∂z˙i ) tp+0 , i = 1, ..., 9; p = 1, ..., S, (2.31) ( F − 9∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i ) tp−0 = ( F − 9∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i ) tp+0 , p = 1, ..., S. (2.32) S obzirom na prve integrale (2.8), (2.7), (2.10), (2.27) i (2.28), uslovi (2.31) (i = {1, 2, 5, ..., 9}; p = 1, ..., S) su identi~ki zadovoqeni. Po{to podintegralna funk ijaF ne zavisi ekspli itno od vremena, jedna~ine (2.16), s obzirom na uslov transverzalnosti (2.25), imaju prvi integral oblika [32] F − 9∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i = 0 ∀t ∈ [0, tf ] (2.33) pa su i uslovi (2.32) identi~ki zadovoqeni. U ta~kama preloma ekstremale funk ionala J , veli~ine x, y i v treba da budu neprekidne {to daje slede}e uslove x(tp−0) = x(tp+0), y(tp−0) = y(tp+0), v(tp−0) = v(tp+0), p = 1, ..., S. (2.34) 15 S obzirom na uslov (2.34)3, Vajer{tras-Erdmanovi uslovi (2.31) (i = 3, 4; p = 1, ..., S) svode se na oblik λ1(tp − 0) = λ1(tp + 0), λ4(tp) = 0, p = 1, ..., S. (2.35) 2.2.1 Op{te re{ewe na linijskom segmentu w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0 Kombinovawem jedna~ina (2.8) i (2.10) dobija se ϕ˙ = g cosϕ v , dv dϕ = v tanϕ, (2.36) a odatle, nakon integra ije jedna~ine (2.36)2 v = Cv cosϕ , (2.37) gde jeCv integra ionakonstanta. Kori{}ewemtransforma ijed(·)/dt=(d(·)/dϕ)ϕ˙ i izraza (2.7), (2.36)1 i (2.37) dobijaju se slede}e diferen ijalne jedna~ine dx dϕ = − C 2 v g(cosϕ)2 , dy dϕ = − C 2 v g(cosϕ)2 tanϕ, dt dϕ = Cv g(cosϕ)2 , (2.38) ~ija op{ta re{ewa glase x = C∗x − C2v g tanϕ, y = C∗y − C2v 2g (tanϕ)2, (2.39) t = Cv g tanϕ+ C∗t , (2.40) gde su C∗x, C ∗ y i C ∗ t integra ione konstante. Jedna~ine (2.39) predstavqaju param- etarske jedna~ine parabole pri kosom hi u u neotpornoj sredini. Kori{}ewem (2.36)1, (2.37) i transforma ije d(·)/dt = (d(·)/dϕ)ϕ˙, iz jedna~ina ϕ˙·(2.29) i (2.30) 16 sledi d dϕ (λ4 − µλ1) = −λ1 + Cv(−Cλ2 sinϕ+ Cλ3 cosϕ) g(cosϕ)2 , (2.41) dλ1 dϕ = (λ4 − µλ1) + Cv(Cλ2 cosϕ+ Cλ3 sinϕ) g(cosϕ)2 . (2.42) Re{avawem dobijenog sistema diferen ijalnih jedna~ina po λ1 i λ4−µλ1 dobija se slede}e op{te re{ewe λ4 − µλ1 = Cλ1 cosϕ− Cλ4 sinϕ+ Cv g Cλ3 sinϕ− Cv g Cλ2 sinϕ tanϕ, λ1 = Cλ1 sinϕ+ Cλ4 cosϕ + Cv g Cλ2 sinϕ+ Cv g Cλ3 sinϕ tanϕ, (2.43) gde su Cλ1 i Cλ4 integra ione konstante. Kombina ija jedna~ina (2.43) daje λ4 = (cosϕ+ µ sinϕ)Cλ1 + (µ cosϕ− sinϕ)Cλ4 + Cv g Cλ3 sinϕ(1 + µ tanϕ) + + Cv g Cλ2 sinϕ(µ− tanϕ). (2.44) 2.2.2 Op{te re{ewe na linijskom segmentu w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ 0 Re{avawem jedna~ine (2.30) po ϕ˙ i jedna~ine (2.29) po λ1v˙ + vλ˙1i suk esivnom zamenom izraza za ove veli~ine u (2.8) dobija se v [Cλ2 (sinϕ− µ cosϕ)− Cλ3 (cosϕ+ µ sinϕ)] + λ1g cosϕ(1 + µ2) = 0. (2.45) Daqe, jedna~ine (2.33) i (2.45) mogu se tretirati kao sistem jedna~ina po nepoz- natim λ1 i v ~ijim se re{avawem dobija v = 1 B secϕ (secϕ)2 − 2µ (tanϕ+ A) , λ1 = 1 g secϕ (tanϕ+ A) (secϕ)2 − 2µ (tanϕ+ A) , (2.46) gde je A = µCλ2 + Cλ3 µCλ3 − Cλ2 , B = µCλ3 − Cλ2 1 + µ2 . (2.47) 17 Sada, na osnovu prethodnih rezultata, iz jedna~ine (2.8) sledi ϕ˙ = −gB (cosϕ) 2 [(tanϕ− µ)2 + 1− µ2 − 2µA]2 (tanϕ− µ)2 + 1− µ2 + 2µA+ 4µ tanϕ. (2.48) Kori{}ewem transforma ije d(·)/dt = (d(·)/dϕ) ϕ˙, jedna~ine (2.7) zajedno sa izrazima (2.46)1 i (2.48) daju rela ije izme|u koordinata x i y i ugla ϕ u diferen ijalnom obliku dx dϕ = [(tanϕ− µ)2 + 1− µ2 + 2µA+ 4µ tanϕ] gB2(cosϕ)2 [(tanϕ− µ)2 + 1− µ2 − 2µA]3 , (2.49) dy dϕ = [(tanϕ− µ)2 + 1− µ2 + 2µA+ 4µ tanϕ] tanϕ gB2(cosϕ)2 [(tanϕ− µ)2 + 1− µ2 − 2µA]3 , (2.50) a nakon integra ije x = 1 2gB2 { b1 [ tan−1 ( tanϕ− µ a2 ) + a2(tanϕ− µ) (tanϕ− µ)2 + a22 ] − −2µ(a 2 2 + (tanϕ− µ)a1) a22 [(tanϕ− µ)2 + a22]2 } + Cx, (2.51) y = 1 2gB2 { b2 [ tan−1 ( tanϕ− µ a2 ) + a2(tanϕ− µ) (tanϕ− µ)2 + a22 ] − 1 (tanϕ− µ)2 + a22 − −2µ [(a 2 2 + µa1)(tanϕ− µ) + a22 (µ− a1)] a22 [(tanϕ− µ)2 + a22]2 } + Cy, (2.52) gde je: a1 = −(A + µ), a2 = √ 1 + µ2 + 2µa1, b1 = (a 2 2 − 3µa1)/a52 i b2 = µ(2a22 − −3µa1)/a52. Integra ija jedna~ine (2.48) daje zavisnost vremena t od ugla ϕ t = Ct − 1 gB { b3 tan −1 ( tanϕ− µ a2 ) − 2µ [a1 (tanϕ− µ) + a 2 2] a22 [ (tanϕ− µ)2 + a22 ] } , (2.53) gde je b3 = (a 2 2 − 2µa1) /a32. Da bi jedna~ine (2.51)-(2.53) imale fizi~ki smisao, konstanta a2 mora da bude realan broj razli~it od nule, {to daje slede}i uslov 18 1− µ2 − 2µA > 0. (2.54) 2.3 Raspored linijskih segmenata na ekstremali Neka su SG1 i SG2 oznake za linijske segmente na kojima je w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0 i w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ 0, respektivno, a NSG1 i NSG2 neka su ukupni brojevi segmenata SG1 i SG2 na ekstremali funk ionala J . Raspored segmenata na ekstremali je impli iran uslovom da je ukupan broj nepoznatih integra ionih konstanti C∗x, C ∗ y , Cv, Cλ1 i Cλ4na segmentima SG1, integra ionih konstanti Cx i Cy na segmentimaSG2, nepoznatih vrednosti uglovaϕp = ϕ(tp) p = 1, ..., S i nepoznatih konstanti Cλ2 i Cλ3 jednak broju raspolo`ivih uslova za wihovo odre|ivawe. Neka ekstremala funk ionala J ima po~etni i zavr{ni linijski segment tipa SG1. U ovom slu~aju je NSG1 = S/2 + 1 i NSG2 = S/2. Na osnovu uslova (2.12) i jedna~ina (2.37) i (2.39) integra ione konstante C∗x, C ∗ y i Cv mogu se na po~etnom linijskom segmentu zameniti funk ionalnim zavisnos- tima od nepoznate ϕ0 = ϕ(0), a na zavr{nom linijskom segmentu funk ional- nim zavisnostima od nepoznatih ϕf = ϕ(tf ) i vf = v(tf). Sada postoji ukupno 9 + S + 5 (NSG1 − 2) + 2NSG2 = 4 + 9S/2 nepoznatih, a za wihovo odre|ivawe imamo na raspolagawu prirodni grani~ni uslovi (2.18) i (2.19) i uslovi (2.34) i (2.35) {to daje ukupno 3 + 5S uslova. Iz jednakosti 4 + 9S/2 = 3 + 5S sledi da je za ovu varijantu S = 2. U slu~aju kada je po~etni segment tipa SG1 a zavr{ni tipa SG2 va`i NSG1 = NSG2 = S/2 + 1/2. Konstante C ∗ x, C ∗ y i Cv se na po~etnom segmentu zamewuju funk ionalnim zavisnostima od nepoznate ϕ0 kao u prethodnom slu~aju dok se konstante Cx i Cy na zavr{nom segmentu na osnovu (2.51) i (2.52) zamewuju funk ionalnim zavisnostima od ϕf . S obziroma na ovo, sada treba odrediti ukupno 5/2 + 9S/2 nepoznatih. Po{to su u ovom slu~aju prirodni grani~ni uslovi (2.18) i (2.19) na desnom kraju ekvivalentni, to na raspolagawu za odre|i- vawe nepoznatih imamo 2 + 5S uslova. Iz jednakosti 5/2 + 9S/2 = 2 + 5S sledi da je za ovu varijantu S = 1. Sli~nim razmatrawem kao u prethodna dva slu~aja mo`e se pokazati da za po~etni segment SG2 i zavr{ni SG1 va`i S = −1, a za varijantu u kojoj je i po~etni i zavr{ni segment tipa SG2 va`i S = −2. Zbog negativnih vrednosti za S ove varijante nemaju fizi~ki smisao. 19 Daqe }e biti pokazano da se u op{tem slu~aju varijanta w˙(t) ≡ 0, λ4(t) 6≡ 0 ∀t ∈ [0, t1], w˙(t) 6≡ 0, λ4(t) ≡ 0 ∀t ∈ (t1, t2], w˙(t) ≡ 0, λ4(t) 6≡ 0 ∀t ∈ (t2, tf ]. (2.55) redukuje na varijantu w˙(t) ≡ 0, λ4(t) 6≡ 0 ∀t ∈ [0, t1], w˙(t) 6≡ 0, λ4(t) ≡ 0 ∀t ∈ (t1, tf ]. (2.56) Zaista, na osnovu vf = v(tf ) i prirodnih grani~nih uslova (2.18) i (2.19) na desnom kraju, iz jedna~ina (2.37),(2.43) i (2.44) dobija se Cv = vf cosϕf , Cλ1 = − vfCλ3 sinϕf g , Cλ4 = − vfCλ2 sinϕf g . (2.57) Sada, na osnovu (2.34)3 (p = 2), uslovi (2.35) (p = 2) se svode na homogen sitem jedna~ina po nepoznatimCλ2 iCλ3 . Da bi ovaj sistem jedna~ina imaonetrivijalna re{ewa potrebno je i dovoqno da je wegova determinanta jednaka nuli v2f (sin (ϕ2 − ϕf ))2 g2 (cosϕ2) 2 = 0 (2.58) odakle sledi da mora da va`i ϕ2 = ϕf jer slu~aj vf = 0 nema fizi~kog smisla. Kona~no, tra`ena brahistohrona u op{tem slu~aju predstavqa dvosegmentnu krivu du` koje va`i raspored segmenata definisan sa (2.56). Preostale konstante Ct iC ∗ t kaoivremebrahistohronog kretawa tf jednostavno se odre|uju iz jedna~ina (2.53) i (2.40) na osnovu rela ija t(ϕ0) = 0, t(ϕf ) = tf i t(ϕ1 − 0) = t(ϕ1 + 0). 2.4 Partikularna re{ewa U daqim razmatrawima uvode se oznake (·)− i (·)+ koje ukazuju da izraz za veli~inu (·) va`i na intervalu [0, t1], odnosno, (t1, tf ], respektivno. Na osnovu prirodnog grani~nog uslova na desnom kraju (2.18) i v+(ϕf ) = vf iz jedna~ine (2.46) sledi A = − tanϕf , B = cosϕf vf . (2.59) 20 Sada, uvr{tavawe ovih rela ija u jedna~ine (2.46) i (2.47) daje Cλ2 = − 1 + µ tanϕf vf secϕf , Cλ3 = µ− tanϕf vf secϕf , (2.60) λ1+ = 1 g secϕ (tanϕ− tanϕf) (secϕ)2 − 2µ (tanϕ− tanϕf) , v+ = vf secϕf secϕ (secϕ)2 − 2µ (tanϕ− tanϕf) . (2.61) Uzimawem u obzir prethodnih rezultata, iz jedna~ina (2.51)-(2.53) za x+(ϕf) = 0, y+(ϕf ) = 0 i t+(ϕf) = tf dobijaju se slede}a partikularna re{ewa: x+ = v2f 2g(cosϕf)2 { b1 [ tan−1 ( tanϕ− µ a2 ) + a2(tanϕ− µ) (tanϕ− µ)2 + a22 − tan−1 ( a1 a2 ) − − a1a2 a21 + a 2 2 ] − 2µ(a 2 2 + (tanϕ− µ)a1) a22 [(tanϕ− µ)2 + a22]2 + 2µ a22 [a 2 1 + a 2 2] } , (2.62) y+ = v2f 2g(cosϕf)2 { b2 [ tan−1 ( tanϕ− µ a2 ) + a2(tanϕ− µ) (tanϕ− µ)2 + a22 − tan−1 ( a1 a2 ) − − a1a2 a21 + a 2 2 ] − 1 (tanϕ− µ)2 + a22 + 1 a21 + a 2 2 − −2µ [(a 2 2 + µa1) tanϕ− a1 (µ2 + a22)] a22 [(tanϕ− µ)2 + a22]2 + 2µ2 a22 (a 2 1 + a 2 2) } , (2.63) t+ = tf − vf g cosϕf { b3 [ tan−1 ( tanϕ− µ a2 ) − tan−1 ( a1 a2 )] − −2µ [a1 (tanϕ− µ) + a 2 2] a22 [ (tanϕ− µ)2 + a22 ] + 2µ a22 } . (2.64) S obzirom na (2.59)1, uslov (2.54) sada dobija oblik 1− µ2 + 2µ tanϕf > 0. (2.65) Na intervalu [0, t1] , s obzirom na x−(ϕ0) = x0, y−(ϕ0) = y0, v− (ϕ0) = v0, λ1− (ϕ0) = (λ1)0 i t−(ϕ0) = 0 , gde je (λ1)0 nepoznata, va`e slede}a partikularna 21 re{ewa v− = v0 cosϕ0 cosϕ , (2.66) x− = x0 − v 2 0(cosϕ0) 2 g (tanϕ− tanϕ0), (2.67) y− = y0 − v 2 0(cosϕ0) 2 2g [ (tanϕ)2 − (tanϕ0)2 ] , (2.68) t− = v0 cosϕ0 g (tanϕ− tanϕ0), (2.69) λ1− = v0 vfg (sinϕ0 − cosϕ0 tanϕ) [cos(ϕ− ϕf )− µ sin(ϕ− ϕf)] + (λ1)0 cos(ϕ− ϕ0), (2.70) λ4− = −v0 (1 + µ 2) vfg [sinϕ0 sin(ϕ− ϕf) + cosϕ0 sinϕ sinϕf− − cosϕ0 sinϕ tanϕ cosϕf ] + (λ1)0 [µ cos(ϕ− ϕ0)− sin(ϕ− ϕ0)] . (2.71) Po{to je po prirodi problema 0 ≤ v <∞, s obzirom na uslov (2.65) imenila u izrazu (2.61)2 je pozitivan za svako ϕ. Na osnovu ovih ~iweni a iz izraza (2.61)2 i (2.66) proizilazi da ϕ mora da se kre}e u grani ama −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2. (2.72) Ovaj uslov ima jasnu geometrijsku potvrdu na sl.2.1. Uzimaju}i u obzir uslov (2.72) pri izra~unavawu vrednosti funk ije tan−1(·) u izrazima (2.62) i (2.63) i priwenom pojavqivawu u daqimrazmatrawimatreba uzimatiwenu glavnu granu. Nepoznateϕ0,ϕf ,ϕ1, vf i (λ1)0moraju da zadovoqavaju uslove (2.34) iVajer{tras- Erdmanove uslove (2.35) koji se sada mogu zapisati u obliku: x−(ϕ1) = x+(ϕ1), y−(ϕ1) = y+(ϕ1), v−(ϕ1) = v+(ϕ1), 22 λ1−(ϕ1) = λ1+(ϕ1), λ4−(ϕ1) = 0. (2.73) Jednostavno se mo`e pokazati da jedna~ine (2.73)4 i (2.73)5, s obzirom na (2.73)3, predstavqaju homogen sistem jedna~ina po nepoznatim 1/vf i (λ1)0. Da bi ovaj sistem jedna~ina imao netrivijalno re{ewe potrebno je i dovoqno da je wegova determinanta jednaka nuli v0 {cosϕf [cos 2(ϕ0 − ϕ1)− 2µ cosϕ0 sin(ϕ0 − 2ϕ1)− 1]− 2µ(cosϕ1)2 sinϕf} 2g(cosϕ1)2 = 0. (2.74) Na bazi uslova t−(ϕ1) = t+(ϕ1), vreme brahistohronog kretawa tf je dato izrazom tf = vf g cosϕf { b3 [ tan−1 ( tanϕ1 − µ a2 ) − tan−1 ( a1 a2 )] − 2µ [a1 (tanϕ1 − µ) + a 2 2] a22 [ (tanϕ1 − µ)2 + a22 ] + 2µ a22 } + + v0 cosϕ0 g (tanϕ1 − tanϕ0). (2.75) Za slu~aj v0 6= 0, jedna~ine (2.73)1 − (2.73)3 i (2.74) se koriste za odre|ivawe nepoznatihϕ0,ϕf ,ϕ1 i vf a zatim se dobijene vrednosti ovih parametara zamewuju u (2.73)4 ili (2.73)5 radi odre|ivawa nepoznate (λ1)0. Za x0 = π[m], y0 = 2[m], v0 = 4[m/s], g = 9.81[m/s 2] i razne vrednosti koefi ijenta trewa µ, kao i za x0 = π[m], y0 = 2[m], µ = 0.4, g = 9.81[m/s 2] i razne vrednosti po~etne brzine v0, numeri~ko re{avawe sistema jedna~ina (2.73)1− (2.73)3 i (2.74) daje vrednosti parametara ϕ0, ϕf , ϕ1 i vf . Ove vrednosti su prikazane u tabelama 2.1 i 2.2. Na bazi ovih vrednosti i jedna~ina (2.62), (2.63), (2.67) i (2.68) na sl.2.2 i sl.2.3 su prikazane brahistohrone krive.Na ovim slikama polo`aj ta~aka (x(ϕ1), y(ϕ1)) je nazna~en ta~kastim linijama. Na sli i 2.2 se prime}uje da je smawewe vrednosti koefi ijenta trewa µ pra}eno smawewem udela paraboli~kog linijskog segmenta nabrahistohroni. Ovo je io~ekivanopona{awebudu}ida zaµ= 0brahistohrona predstavqa ikloidu. Analizom podataka u tabeli 2.2 uo~ava se da sa porastom vrednosti po~etne brzine v0, vrednost ugla ϕ1 te`i vrednosti ugla ϕf , to jest, brahistohrona te`i da postane parabola. Tako|e, vrednosti ugla ϕ0 u tabeli 2.1 ukazuju da se za odre|enu vrednost koefi ijenta trewamo`edobitiϕ0 = 0. Zaista, stavqawemϕ0 = 0 i uzimawemkoefi ijenta trewaµ kao nepoznate umesto uglaϕ0, re{avawe jedna~ina (2.73)1 − (2.73)3 i (2.74) za x0 = π[m], y0 = 2[m], v0 = 4[m/s], 23 g = 9.81[m/s2] daje µ = 0.67318121365721. Da bi se dobila predstava o vremenu brahistohronog kretawa tf u tabelama 2.1 i 2.2 dato je pore|ewe vremena tf sa vremenom slobodnog pada tsp = √ 2y0/g ta~ke iz polo`aja M0(x0, y0) na x-osu. Interesantno je zapaziti da je u tabelama 2.1 i 2.2 vreme brahistohronog kretawa tf dosta blisko vremenu tsp , a za neke vrednosti koefi ijenta trewa µ i po~etne brzine v0 ~ak i mawe od vremena tsp! µ ϕ0 ϕ1 ϕf 0.1 0.58531127245408 0.84117455638771 0.22401024995530 0.3 0.28235958342084 0.78027892637736 0.30540274812492 0.5 0.10575791620352 0.77885729850727 0.39319970497597 0.7 -0.01373921733802 0.79564939443358 0.47323884833173 0.9 -0.09998594135303 0.81725104456084 0.54112903164358 µ vf [m/s] tf [s]/tsp [s] 0.1 6.73721842520438 0.660383/0.638551 0.3 5.77055051965695 0.704483/0.638551 0.5 5.15099759679747 0.738284/0.638551 0.7 4.73388728568082 0.765107/0.638551 0.9 4.43219537358280 0.786945/0.638551 Tabela 2.1: Numeri~ke vrednosti parametara brahistohronih krivih (v0 = 4[m/s]) v0 [m/s] ϕ0 ϕ1 ϕf 2 0.24509068455450 0.91899705086443 -0.01004439564158 4 0.18453836454896 0.77585076195059 0.34970876377582 6 0.24973096435396 0.72875067194272 0.59261088139213 8 0.34913093489764 0.73378407987148 0.72957850623775 v0 [m/s] vf [m/s] tf [s]/tsp [s] 2 3.22263322540435 1.044554/0.638551 4 5.42815823131868 0.722413/0.638551 6 7.81923211356930 0.531104/0.638551 8 10.12665194266618 0.417899/0.638551 Tabela 2.2: Numeri~ke vrednosti parametara brahistohronih krivih (µ = 0.4) 24 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 0 1 1.5 2 x[m] y [m] v =4 [m/s]0 M ( [m]; 2 [m])0 p m=0.1 m=0.3 m=0.5 m=0.7 m=0.9 Slika 2.2: Brahistohrone krive za v0 = 4[m/s] 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x [m] 0.5 0 1 1.5 2 y [m] m=0.4 v =4 [m/s]0 v =2 [m/s]0 v =8 [m/s]0 v =6 [m/s]0 M ( [m]; 2 [m])0 p Slika 2.3: Brahistohrone krive za µ = 0.4 25 2.5 Uslovi dosti`nosti Na osnovu prethodnih rezultata se mo`e zakqu~iti da veli~ina ϕ˙+, data izrazom (2.48), ima suprotan znak od znaka ~lana (tanϕ−µ)2+1−µ2+2µA+4µ tanϕ⇔ (tanϕ)2+2µ(tanϕ)+1−2µ(tanϕf). (2.76) Izraz (2.76) predstavqa kvadratnu funk iju po tanϕ. Uzimaju}i u obzir uslov (2.65), analiza znaka izraza (2.76) pokazuje da za (µ2 − 1)/(2µ) < tanϕf < (1 − µ2)/(2µ) va`i ϕ˙+ < 0 za svako ϕ ∈ [−π/2, π/2]. Daqe, za tanϕf > (1 − µ2)/(2µ) va`i ϕ˙+ < 0 za svako ϕ ∈ [−pi 2 , tan−1 (−µ−√µ2 − 1 + 2µ tanϕf)) ∪( tan−1 (−µ+√µ2 − 1 + 2µ tanϕf) , pi2 ] i ϕ˙+ > 0 za svako ϕ ∈ (tan−1 (−µ −√µ2 − 1 + 2µ tanϕf) , tan−1 (−µ+√µ2 − 1 + 2µ tanϕf)). Na osnovu izvr{ene analize znaka veli~ine ϕ˙+ mo`e se zakqu~iti da fizi~ki smisao ima samo slu~aj kada je ϕ1 > ϕf . (2.77) S obzirom na prethodno, na intervalu (t1, tf ] va`i ϕ˙+ < 0. Sli~no kao u [6], mno`e}i jedna~inu (2.8) sa vdt i integrale}i je na intervalu (t1, tf ] dobijamo v2f 2 − v 2 1 2 + gx1(µ− y1 x1 ) = µ ∫ ϕf ϕ1 v2dϕ (2.78) gde je: x(ϕ1) = x1, y(ϕ1) = y1 i v(ϕ1) = v1. Po{to je prethodno pokazano da ϕ opada na intervalu (t1, tf ], desna strana jedna~ine (2.78) je negativna pa veli~ine ϕ0, ϕ1, ϕf i vf moraju da imaju takve vrednosti da leva strana jedna~ine (2.78) bude negativna, odnosno, s obzirom na (2.66)-(2.68) i (2.73)1-(2.73)3 neophodno je da bude ispuwen slede}i uslov v2f − v20 + 2g(µx0 − y0) + 2µv20 cosϕ0 secϕ1 sin(ϕ0 − ϕ1) < 0. (2.79) Kona~no, na osnovu (2.36)1 i (2.72) ugao ϕ raste du` linijskog segmenta SG1 i shodno tome va`i ϕ1 > ϕ0. (2.80) Rela ije (2.65), (2.77), (2.79) i (2.80) predstavqaju uslove koje moraju da ispu- 26 wavaju parametri ϕ0, ϕ1, ϕf i vf da bi postojala brahistohrona, odnosno, da bi krajwi polo`aj O bio dosti`an. U op{tem slu~aju sistem jedna~ina iz koga se odre|uju parametri ϕ0, ϕ1, ϕf i vf mo`e da ima vi{e re{ewa. S obzirom na ovo, uslovi (2.65), (2.77), (2.79) i (2.80) slu`e za izbor onog re{ewa koje ima fizi~ki smisao, odnosno, koje odgovara tra`enoj brahistohroni. 2.6 Spe ijalni slu~ajevi Za ϕ1 = ϕ0, linijski segment SG2 je tra`ena brahistohrona. S obzirom na ovo, jedna~ine (2.62) i (2.63) predstavqaju parametarske jedna~ine brahistohrone. Zahtev za ispuweno{}u Vajer{tras-Erdmanovih uslova (2.73)4 i (2.73)5 ima za posledi u (λ1)0 = 0 i ϕ0 = π/2 po{to nije mogu}e ϕ0 = ϕf jer je u delu 2.5 pokazano da ugao ϕ opada du` segmenta SG2. Najzad, za ϕ0 = π/2 iz jedna~ine (2.61)2 dobija se da mora biti v0 = 0. Slu~aj brahistohrone za ϕ0 = π/2 i v0 = 0 detaqno je obra|en u [6, 18, 35, 71]. Iz uslova dosti`nosti (2.79) za ovaj slu~aj proizilazi da se po~etni polo`aj (x0, y0) ne sme nalaziti ispod prave y = µx . Za ϕ1 = ϕf ela brahistohrona predstavqa parabolu pri kosom hi u u neot- pornoj sredini. Za ovaj slu~aj iz (2.74) se dobija ϕf = ϕ0 + tan −1 µ. Sada, iz jedna~ina (2.73)1 i (2.73)2 slede rela ije x0 = µv20 g(1− µ tanϕ0) , y0 = µv20[µ+ 2 tanϕ0 − µ(tanϕ0)2] 2g(1− µ tanϕ0)2 , (2.81) odakle se dobija kvadratna jedna~ina µx0(tanϕ0) 2 − 2(µy0 + x0) tanϕ0 + 2y0 − µx0 = 0 ~iji su koreni (tanϕ0)1,2 = y0/x0+1/µ± √ y20/x 2 0 + 1 + 1/µ 2 . Zamenomovih korena u (2.81)1 dobija se v 2 0 = −gy0 ∓ √ y20g 2 + (1 + 1/µ2)x20g 2 odakle zbog pretpostavke y0 > 0 slede izrazi za vrednost po~etnog ugla nagiba i kriti~nu vrednost inten- ziteta po~etne brzine ϕ0 = tan −1 ( y0 x0 + 1 µ − √ y20 x20 + 1 + 1 µ2 ) , (v0)cr = √√√√gx0 (√ y20 x20 + 1 + 1 µ2 − y0 x0 ) (2.82) 27 pri kojima ela brahistohrona ima oblik parabole pri kosom hi u u neotpornoj sredini. Izrazi u jedna~ini (2.82) poklapaju se sa odgovaraju}im izrazima u [43] gde su oni dati u bezdimenzijskom obliku. Zamewuju}i ϕ1 = ϕf = ϕ0 + tan −1 µ u jedna~inu (2.75), prvi ~lan u (2.75) se poni{tava i s obzirom na (2.82) izraz za vreme brahistohronog kretawa postaje tf = √√√√√√x0 [ 1 + ( y0 x0 + 1 µ − √ y2 0 x2 0 + 1 + 1 µ2 )2] g (√ y2 0 x2 0 + 1 + 1 µ2 − y0 x0 ) . (2.83) Prema tome, u slu~aju kada je v0 = (1− ε)(v0)cr, gde je 0 < ε≪ 1, vreme tf se mo`e pribli`no sra~unati pomo}u izraza (2.83). Iz prethodnog izlagawa je jasno da u slu~aju v0 > (v0)cr du` ekstremale funk ionala J va`i w˙ ≡ 0, ∀t ∈ [0, tf ], odnosno, parametarske jedna~ine brahis- tohrone su odre|ene sa (2.67) i (2.68). Drugim re~ima, u ovom slu~aju ne mo`e da va`i λ4 ≡ 0, ∀t ∈ [0, tf ] jer bi na osnovu jedna~ine (2.46)2 i prirodnih grani~nih uslova na levom i desnom kraju (2.18) i (2.19) va`iloA = − tanϕ0 i A = − tanϕf , {to je ekvivalentno rela iji ϕ0 = ϕf . Elimina ija ugla ϕ iz jedna~ina (2.67) i (2.68) posredstvom jedna~ine (2.69) daje x− = x0 − v0t cosϕ0, y− = y0 − v0t sinϕ0 − gt 2 2 . (2.84) Zamewuju}i t = tf , x−(tf) = 0 i y−(tf) = 0 u (2.84) dobija se sistem jedna~ina po nepoznatim tf i ϕ0 ~ija su re{ewa: (tanϕ0)1,2 = −v20x0 ± √ v40x 2 0 − g2x40 + 2gv20x20y0 gx20 , (tf )1,2 = x0 v0 √ 1 + (tanϕ0)21,2, (2.85) pri ~emu se dowi indeksi 1 i 2 odnose na znake − i +, respektivno, ispred korena u izrazu (2.85)1. Dobijeni skup re{ewa ukazuje da postoje dve parabole kao mogu}e brahistohrone. Za brahistohronu se uzima parabola kojoj odgovara najmawe vreme tf . Jednostavnom proverom se utvr|uje da va`i (tf)1 > (tf )2 tako da su za v0 > (v0)cr parametarske jedna~ine brahistohrone odre|ene jedna~inama (2.67) i (2.68) pri ~emu va`i ϕ0 = tan −1( −v20x0 + √ v40x 2 0 − g2x40 + 2gv20x20y0 gx20 ), (2.86) 28 tf = x0 v0 √√√√1 + ( −v20x0 + √ v40x 2 0 − g2x40 + 2gv20x20y0 gx20 )2 . (2.87) Zamewuju}i (2.82)2 u (2.87) daje izraz (2.83) {to zna~i da se u slu~aju v0 = (1 + ε)(v0)cr, gde je 0 < ε ≪ 1, vreme brahistohronog kretawa mo`e pribli`no sra~unati pomo}u izraza (2.83). U slu~aju da je µ = 0 i v0 = 0 iz uslova (2.73)3 sledi ϕ1 = π/2 pa kao i u slu~aju µ 6= 0 i v0 = 0 va`i ϕ1 = ϕ0 = π/2. U razmatranom slu~aju iz jedna~ina (2.73)1 i (2.73)2 sledi intenzitet krajwe brzine vf = √ 2gy0 koji je u saglasnosti sa teoremomoodr`awuukupnemehani~ke energije,kaoirela ijax0 = y0[(π/2− ϕf )/(cosϕf )2 − tanϕf ] iz koje se odre|uje vrednost ugla ϕf . S obzirom na prethodno odre|ene parametre, jedna~ine (2.62) i (2.63) dobijaju slede}i oblik x(ϕ) = y0(secϕf) 2 2 [2(ϕ− ϕf) + sin 2ϕ− sin 2ϕf ], y(ϕ) = y0(secϕf) 2 2 (cos 2ϕf − cos 2ϕ), (2.88) i predstavqaju parametarske jedna~ine ikloide, a vreme brahistohronog kre- tawa materijalne ta~ke iz polo`ajaM0 u polo`aj O je tf = √ 2y0 g 1 cosϕf ( π 2 − ϕf ). (2.89) Kada je µ = 0 i v0 6= 0, iz jedna~ine (2.74) sledi cos 2(ϕ0 − ϕ1) = 1, odnosno, ϕ1 = ϕ0. To zna~i da i u ovom slu~aju va`e jedna~ine (2.88), a nepoznate vf , ϕ0 i ϕf se odre|uju iz jedna~ina (2.73)1-(2.73)3 koje se sada redukuju na oblik v2f 4g(cosϕf )2 (cos 2ϕf − cos 2ϕ0) = y0, v2f 4g(cosϕf)2 [2(ϕ0 − ϕf) + sin 2ϕ0 − sin 2ϕf ] = x0, vf cosϕ0 − v0 cosϕf = 0. (2.90) 29 Za vrednosti v0 = 4 [m/s], g = 9.81 [m/s 2], x0 = π [m] i y0 = 2 [m] nu- meri~kim re{avawem sistema jedna~ina (2.90) dobija se ϕ0 = 1.01490886543894, ϕf = 0.19775875427255 i vf = 7.43236167042481 [m/s]. Dobijena vrednost za vf se poklapa sa vredno{}u vf = √ v20 + 2gy0 koja proizilazi iz teoreme o odr`awu ukupne mehani~ke energije. 30 2.7 Modifika ija brahistohronog problema Razmotrimo jednu modifika iju brahistohronog problema iz dela 2.1 koja se sastoji u tome {to se sada tra`i takva jedna~ina hrapave krive da materijalna ta~ka polaze}i iz polo`aja M0(x0, y0) po~etnom brzinom intenziteta v0 6= 0 stigne na osu y za minimalno vreme tf . Po{to sada y(tf) = yf nije zadato, to je [∆z2](t=tf ) 6= 0{to daje jo{ jedan prirodni grani~ni uslov na desnom kraju oblika[ ∂F ∂z˙2 ] (t=tf ) = 0 → λ3(tf) = 0, (2.91) zbog ~ega rela ija (2.27)2 dobija oblik λ3 ≡ Cλ3 = 0. (2.92) Analognim postupkom kao u delu 2.3 mo`e se pokazati da je u ovom slu~aju brahis- tohrona dvosegmentna kriva sa rasporedom segmenata definisanim sa (2.56). Raz- matrawa iz dela 2.1 ostaju neizmewena, a kod partikularnih re{ewa iz dela 2.4 imamo upro{}avawa. Na osnovu (2.92) iz (2.47) sledi A = −µ, B = − Cλ2 1 + µ2 . (2.93) Sada, s obzirom na (2.27)1, (2.59) i (2.93) imamo da je λ2 ≡ Cλ2 = − √ 1 + µ2 vf , ϕf = tan −1 µ. (2.94) Uzimaju}i u obzir prethodne rezultate, jedna~ine (2.61)-(2.69) svode se na oblik λ1+ = 1 g secϕ (tanϕ− µ) (secϕ)2 − 2µ (tanϕ− µ) , v+ = vf √ 1 + µ2 secϕ (secϕ)2 − 2µ (tanϕ− µ) , (2.95) x+ = (1 + µ2) v2f 2g   1√ (1 + µ2)3 [ tan−1 ( tanϕ− µ√ 1 + µ2 ) + √ 1 + µ2(tanϕ− µ) (tanϕ− µ)2 + 1 + µ2 ] − − 2µ [(tanϕ− µ)2 + 1 + µ2]2 + 2µ (1 + µ2)2 } (2.96) 31 y+ = yf+ (1 + µ2) v2f 2g   2µ√ (1 + µ2)3 [ tan−1 ( tanϕ− µ√ 1 + µ2 ) + √ 1 + µ2(tanϕ− µ) (tanϕ− µ)2 + 1 + µ2 ] + + (tanϕ− µ)2 (1 + µ2) [(tanϕ− µ)2 + 1 + µ2] − 2µ tanϕ [(tanϕ− µ)2 + 1 + µ2]2 + 2µ2 (1 + µ2)2 } , (2.97) t+ = tf− √ 1 + µ2vf g [ 1√ 1 + µ2 tan−1 ( tanϕ− µ√ 1 + µ2 ) + 2µ (tanϕ− µ)2[ (tanϕ− µ)2 + 1 + µ2] (1 + µ2) ] . (2.98) Na intervalu [0, t1] jedna~ine (2.66)-( 2.69) ostaju bez promena, a jedna~ine (2.70) i (2.71) svode se na λ1− = (λ1)0 cos (ϕ− ϕ0)− v0 √ 1 + µ2 gvf sin(ϕ− ϕ0), (2.99) λ4− = (λ1)0 [µ cos(ϕ− ϕ0)− sin(ϕ− ϕ0)] + v0 √ 1 + µ2 gvf (tanϕ− µ) sin (ϕ− ϕ0) . (2.100) Sada se, za razmatrani slu~aj, jedna~ina (2.74) redukuje na oblik v0 [cos 2 (ϕ0 − ϕ1)− 2µ cosϕ0 sin(ϕ0 − 2ϕ1)− 2µ2(cosϕ1)2 − 1] 2g(cosϕ1)2 √ 1 + µ2 = 0. (2.101) Za x0 = π[m], y0 = 2[m], v0 = 4[m/s] , g = 9.81[m/s 2] i razne vrednosti koefi ijenta trewaµ, kao i za slu~aj x0 = π[m], y0 = 2[m], µ = 0.4 , g = 9.81[m/s 2] i razne vrednosti intenziteta po~etne brzine v0, re{avawe sistema jedna~ina (2.73)1-(2.73)3 i (2.101) daje vrednosti parametara ϕ0, ϕ1, yf i vf koje su prikazane u tabelama 2.3 i 2.4. Na bazi ovih podataka i jedna~ina (2.67), (2.68), (2.96) i (2.97) na sl.2.4 i sl.2.5 su prikazane brahistohrone krive. U tabelama 2.3 i 2.4 dato je pore|ewe vremena tf i vremena slobodnog pada tsp = √ 2 (y0 − yf) /g materijalne ta~ke iz polo`ajaM0(x0, y0) do na horizontalnu pravu ~ija je jedna~ina y−yf = 0. Na osnovu pore|ewa ovih vrednosti mo`e se zakqu~iti da su vremena tf i tsp dosta bliska. Napomenimo da su ta~ke (x (ϕ1) , y (ϕ1)) nazna~ene ta~kastim linijama na 32 sl.2.4 i sl.2.5. Sli~no kao u delu 2.4, za vreme brahistohronog kretawa se dobija slede}i izraz: tf = √ 1 + µ2vf g [ 1√ 1 + µ2 tan−1 ( tanϕ1 − µ√ 1 + µ2 ) + 2µ (tanϕ1 − µ)2[ (tanϕ1 − µ)2 + 1 + µ2 ] (1 + µ2) ] + + v0 cosϕ0 g (tanϕ1 − tanϕ0) . (2.102) µ ϕ0 ϕ1 yf [m] 0.1 0.50389329351951 0.77252567345527 0.36858252086529 0.3 0.27211071350183 0.77232235733837 0.04307437457487 0.5 0.15993406120446 0.81881600321527 -0.22547700029464 0.7 0.09509292479804 0.87268020562648 -0.45057257369388 0.9 0.05538079545021 0.92333491937119 -0.63474985900535 µ vf [m/s] tf [s]/tsp [s] 0.1 6.18630232397962 0.656797/0.576717 0.3 5.69981384006614 0.704428/0.631637 0.5 5.55929706359072 0.736630/0.673584 0.7 5.64953563557170 0.757846/0.706829 0.9 5.90284079514762 0.771090/0.732909 Tabela 2.3: Numeri~ke vrednosti parametara brahistohronih krivih modifiko- vanog brahistohronog problema (v0 = 4[m/s]) v0 [m/s] ϕ0 ϕ1 yf [m] 2 0.47110662220799 1.07004595651011 -1.05269009368873 4 0.20777161393425 0.79339962396564 -0.09695728766761 6 0.05582652535646 0.56310014048209 0.73877466739483 8 0.00311624714332 0.41592403130681 1.24560767454141 v0 [m/s] vf [m/s] tf [s]/tsp [s] 2 5.28994154521823 0.993055/0.788900 4 5.59502470188276 0.722122/0.653846 6 6.74964525879815 0.519436/0.507080 8 8.62913334381805 0.392666/0.392174 Tabela 2.4: Numeri~ke vrednosti parametara brahistohronih krivih modifiko- vanog brahistohronog problema (µ = 0.4) 33 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -0.5 0.5 0 1 1.5 2 x[m] y [m] M ( [m]; 2 [m])0 pv =4 [m/s]0 m=0.1 m=0.3 m=0.5 m=0.9 m=0.7 Slika 2.4: Brahistohrone krive modifikovanog brahistohronog problema sa Kulonovim trewem za v0 = 4[m/s] 0.5 0 1 1.5 2 2.5 3 x [m] -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 y [m] m=0.4 M ( [m]; 2 [m])0 p v =2 [m/s]0 v =4 [m/s]0 v =6 [m/s]0 v =8 [m/s]0 Slika 2.5: Brahistohrone krive modifikovanog brahistohronog problema sa Kulonovim trewem za µ = 0.4 34 2.7.1 Uslovi dosti`nosti Analiza dosti`nosti krajweg polo`aja u ovoj varijantibrahistohronogprob- lema sprovodi se daqe analogno kao u delu 2.5. S obzirom da je sada ϕf = tan −1 µ, ~lan definisan sa (2.76) svodi se na oblik (tanϕ)2 + 2µ tanϕ + 1 − 2µ2. Anal- izom znaka ovog ~lana dobija se da za 0 ≤ µ < √3/3 va`i ϕ˙+ < 0 za svako ϕ ∈ [−π/2, π/2]. Daqe, za √3/3 ≤ µ ≤ 1 va`i ϕ˙+ < 0 ∀ϕ ∈ [ −π 2 , tan−1 ( −µ− √ 3µ2 − 1 )) ∪ ( tan−1 ( −µ + √ 3µ2 − 1 ) , π 2 ] , ϕ˙+ > 0 ∀ϕ ∈ ( tan−1 ( −µ − √ 3µ2 − 1 ) , tan−1 ( −µ + √ 3µ2 − 1 )) . Na osnovu izvr{ene analize znaka veli~ine ϕ˙+ i ~iweni e da je ϕf = tan −1 µ sledi da ima fizi~kog smisla samo slu~aj kada je ϕ1 > tan −1 µ. Pri ovome je ϕ˙+ < 0 pa se analognim postupkom kao u delu 2.5 dolazi do uslova dosti`nosti definisanih rela ijama (2.77), (2.79) i (2.80). 2.7.2 Spe ijalni slu~ajevi Razmotrimo sada neke spe ijalne slu~ajeve u okviru razmatrane modifika ije brahistohronog problema. Za ϕ1 = ϕ0 ela brahistohrona predstavqa lini- jski segment SG2 {to zna~i da su parametarske jedna~ine brahistohrone date jedna~inama (2.96) i (2.97). U ovom slu~aju se analognom pro edurom kao u delu 2.6 dobija da je ϕ0 = π/2 i v0 = 0. Ovaj slu~aj je razmatran u [6, 35]. Za ϕ1 = ϕf iz (2.101) sada se dobija v0(µ− tanϕ0) sin 2ϕ0 = 0, odakle, odba i- vawem slu~aja ϕ0 = ϕf = tan −1 µ, sledi da mora da va`i ϕ0 = 0. Prema tome, brahistohrona u ovom slu~aju predstavqa parabolu pri horizontalnom hi u u neotpornoj sredini. Sada jedna~ine (2.73)1 i (2.73)2 daju kriti~nu vrednost in- tenziteta po~etne brzine i vrednost aps ise yf krajweg polo`aja ta~ke za ovaj slu~aj: (v0)cr = √ gx0 µ , yf = y0 − µx0 2 . (2.103) Zamewuju}i ϕ1 = ϕf = tan −1 µ i ϕ0 = 0 u izraz (2.102), prvi ~lan u (2.102) nestaje i izraz za vreme tf postaje tf = √ µx0 g . (2.104) 35 Sli~no kao u delu 2.6 pokazuje se da brahistohrona za v0 > (v0)cr predstavqa parabolu pri kosom hi u u neotpornoj sredini i da va`e jedna~ine (2.84). Zamewuju}i t− = t ∗ f i x−(t ∗ f) = 0 u (2.84)1 dobija se t ∗ f = x0/(v0 cosϕ0). Pri zadatim vrednostima parametara x0 i v0, vreme t ∗ f ima minimalnu vrednost za ϕ0 = 0 i ono iznosi tf = x0 v0 . (2.105) Na osnovu y(tf) = yf i ϕ0 = 0, iz jedna~ine (2.84)2 sledi yf = y0 − gx 2 0 2v20 , (2.106) a ugao ϕf je odre|en sa ϕf = tan −1 ( y˙−(tf ) x˙−(tf ) ) = tan−1( gx0 v20 ). (2.107) Na osnovu prethodnih rezultata, sli~no kao u delu 2.6 pokazuje se da se u slu~aju v0 = (1 ± ε)(v0)cr, gde je 0 < ε ≪ 1, vreme tf mo`e pribli`no sra~unati pomo}u izraza (2.104). Za µ = 0 i v0 = 0 je ϕf = 0, a iz jedna~ine(2.73)3 se dobija ϕ1 = π/2 pa je ϕ0 = ϕ1. Daqe, jedna~ine (2.73)1, (2.73)2 i (2.98) za ovaj slu~aj daju slede}e vrednosti veli~ina vf , yf i tf : vf = √ 4gx0 π , yf = y0 − 2x0 π , tf = √ πx0 g , (2.108) a odatle, s obzirom na (2.96) i (2.97), parametarske jedna~ine brahistohrone su x(ϕ) = x0 π (2ϕ+ sin 2ϕ) , y(ϕ) = y0 − 2x0 π + x0 π (1− cos 2ϕ) . (2.109) Kona~no, za µ = 0 i v0 6= 0 va`i ϕf = 0, a iz (2.101) sledi cos 2(ϕ0 − ϕ1) = 1, odnosno, ϕ1 = ϕ0. S obzirom na ovo, jedna~ine (2.73)1-(2.73)3 svode se na slede}i sistem jedna~ina v2f 4g (2ϕ0 + sin 2ϕ0) = x0, 36 yf + v2f 4g [1− cos 2ϕ0] = y0, vf cosϕ0 = v0, (2.110) ~ijim se re{avawem odre|uju nepoznate vf , ϕ0 i yf . Iz izraza (2.98) sledi vreme brahistohronog kretawa tf = vfϕ0 g , (2.111) a parametarske jedna~ine brahistohrone imaju sli~an oblik kao u prethodnom slu~aju i glase x(ϕ) = v2f 4g (2ϕ+ sin 2ϕ) , y(ϕ) = yf + v2f 4g (1− cos 2ϕ) . (2.112) Glava 3 PROBLEM BRAHISTOHRONE KAO NEZADRAVAJU℄E VEZE SA KULONOVIM TREWEM U SLU^AJU MATERIJALNE TA^KE U ovom delu diserta ije, kori{}ewem metodologije iz glave 2, izvr{eno je uop{tavawe rezultata iz referen e [65] na slu~aj brahistohronog problema sa Kulonovim trewem. Hrapava linija po kojoj se kre}e ta~ka tretira se kao nezadr`avaju}a veza. Pokazano je da su brahistohrone u op{tem slu~aju troseg- mentne krive sa po~etnimi zavr{nimlinijskim segmentomu obliku parabolepri kosom hi u u neotpornoj sredini. Izvr{ena je diskusija u vezi uslova pod kojima se brahistohrona svodi na dvosegmentnu i jednosegmentnu krivu. Pokazano je da se za slu~aj odsustva sile trewa (µ = 0) rezultati iz ove teze svode na oblik koji predstavqa analiti~ku interpreta iju rezultata iz referen e [65] u kojoj su oni dobijeni na bazi kvalitativne analize problema koja se bazirala na logi~kim i fizi~kim argumenta ijama bez ekspli itnih matemati~kih izvo|ewa. 3.1 Formula ija problema Razmotrimo materijalnu ta~kuM mase m koja se kre}e u vertikalnoj ravni u homogenompoqu Zemqine te`e po hrapavoj krivoj saKulonovim trewem. Kriva se tretira kaonezadr`avaju}a veza. Tra`i se jedna~inaove krive y = f(x) ∈ C2[0, tf ] tako da materijlna ta~ka M polaze}i iz polo`aja M0(x0, y0) po~etnom brzinom zadatog intenziteta i prav a stigne u polo`aj O(0, 0) za minimalno vreme tf zadatim prav em krajwe brzine, gde je sa y ozna~ena vertikalna osa usmerena navi{e a sa x horizontalna osa Dekartovog koordinatnog sistema (vidi sl.2.1). Bez gubitka op{tosti uzima se da je x0 > 0 i y0 > 0. 38 Daqe se problem formuli{e sli~no kao u delu 2.1, pri ~emu uslov (2.6), odnosno (2.9), predstavqa sada uslov o nenapu{tawu veze od strane materijalne ta~ke. Shodno tome, postavqeni problem se formuli{e kao vezani varija ioni zadatak tf∫ 0 dt −→ inf (3.1) uz ograni~ewa (2.8), (2.7) i (2.10), pri ~emu su po~etni i krajwi uslovi t0 = 0 : x(0) = x0, y(0) = y0, v(0) = v0, ϕ(0) = ϕ0; t = tf : x(tf ) = 0, y(tf) = 0, ϕ(tf) = ϕf . (3.2) Sva izvo|ewa iz poglavqa 2.1 i 2.2 ostaju ista a promena se de{ava kod prirodnog grani~nog uslova (2.18). Naime, sada je zadat ugao nagiba vektora brzine na po~etku i na kraju pa je grani~ni uslov (2.18) trivijalno zadovoqen. Veli~ine zi(tf) (i = 4, ..., 9) nisu zadate pa za razmatrani problem va`e samo prirodni grani~ni uslovi na desnom kraju definisani izrazima (2.19)-(2.24). 3.2 Raspored linijskih segmenata na ekstremali Neka su SG1 i SG2 oznake za linijske segmente na kojima je w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0 i w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ 0, respektivno, a NSG1 i NSG2 neka su ukupni brojevi segmenata SG1 i SG2 na ekstremali funk ionala J .Odre|ivawe rasporeda segmenata na ekstremali vr{i se sli~no kao u delu 2.3, odnosno, koristi se uslov da je ukupan broj nepoznatih integra ionih konstanti C∗x, C ∗ y , Cv, Cλ1 i Cλ4na segmentima SG1, integra ionih konstantiCx iCy na segmentima SG2, nepoznatih vrednosti uglova ϕp = ϕ(tp) p = 1, ..., S i nepoznatih Cλ2 i Cλ3 jednak broju raspolo`ivih uslova za wihovo odre|ivawe. Neka ekstremalafunk ionala J ima po~etni i zavr{ni linijski segment tipa SG1. U ovom slu~aju je NSG1 = S/2 + 1 i NSG2 = S/2. Na osnovu uslova (3.2) i jedna~ina (2.37) i (2.39), integra ione konstante C∗x, C ∗ y i Cv su na po~etnom segmentu odre|ene, a na zavr{nom segmentu se mogu zameniti funk ionalnim zavisnostima od nepoznate vf = v(tf). Sada, s obzirom na (2.43), postoji ukupno 7 + S + 5 (NSG1 − 2) + 2NSG2 = 2 + 9S/2 nepoznatih, a za wihovo odre|ivawe 39 imamo na raspolagawu prirodni grani~ni uslov (2.19) i uslove (2.34) i (2.35) {to daje ukupno 1 + 5S uslova. Iz jednakosti 2 + 9S/2 = 1 + 5S sledi da je za ovu varijantu S = 2. U slu~aju kada je po~etni linijski segment tipa SG1 a zavr{ni tipa SG2 va`i NSG1 = NSG2 = S/2+1/2. Na osnovu uslova (3.2) i jedna~ina (2.37), (2.39), (2.51) i (2.52), konstanteC∗x,C ∗ y iCv na po~etnom segmentu su potpuno odre|ene a konstante Cx iCy na zavr{nom segmentu su odre|ene u funk iji od konstantiCλ2 iCλ3 . Sada treba odrediti ukupno 5 (NSG1 − 1)+2 (NSG2 − 1)+4+S =1/2+9S/2 nepoznatih. Za odre|ivawe nepoznatih na raspolagawu, kao i u prethodnom slu~aju, stoji ukupno1 + 5S uslova. Iz jednakosti 1/2 + 9S/2 = 1 + 5S sledi da je za ovu varijantu S = −1. Prema tome ova varijanta nema fizi~kog smisla. Sli~nim razmatrawem kao u prethodna dva slu~aja mo`e se pokazati da za po~etni linijski segment SG2 i zavr{ni SG1 va`i S = −1, a za varijantu u kojoj su i po~etni i zavr{ni linijski segment tipa SG2 va`i S = −4. Zbog negativnih vrednosti za S, ni ove varijante nemaju fizi~kog smisla. Treba napomenuti da se u ove dve varijante po~etni uslov v(0) = v0 svrstava u raspolo`ive uslove za odre|ivawe nepoznatih konstanti. Kona~no, tra`ena brahistohrona u op{tem slu~aju predstavqa trosegmentnu krivu du` koje va`i raspored segmenata definisan sa w˙(t) ≡ 0, λ4(t) 6≡ 0 ∀t ∈ [0, t1], w˙(t) 6≡ 0, λ4(t) ≡ 0 ∀t ∈ (t1, t2], w˙(t) ≡ 0, λ4(t) 6≡ 0 ∀t ∈ (t2, tf ]. (3.3) Konstante Ct i C ∗ t na odgovaraju}im segmentima kao i vreme brahistohronog kretawa tf jednostavno se odre|uju iz jedna~ina (2.53) i (2.40) na osnovu rela ija t(ϕ0) = 0, t(ϕf) = tf , t(ϕ1 − 0) = t(ϕ1 + 0) i t(ϕ2 − 0) = t(ϕ2 + 0). 3.3 Re{ewe problema Uvedimo u daqim razmatrawima oznake (·)− i (·)+ koje ukazuju da izraz za veli~inu (·) va`i na linijskom segmentu SG1, odnosno, SG2, respektivno. Za intervale [0, t1] i (t2, tf ] i za x−(ϕ0) = x0, y−(ϕ0) = y0, v−(ϕ0) = v0, λ1−(ϕ0) = (λ1)0, λ4−(ϕ0) = (λ4)0, x−(ϕf) = 0, y−(ϕf) = 0, v−(ϕf) = vf , λ1−(ϕf) = 0, λ4−(ϕf) = λ4f , t(ϕ0) = 0 i t(ϕf) = tf , iz jedna~ina (2.39),(2.40),(2.43) i (2.44) sledi 40 v− = { v0 cosϕ0 cosϕ ∀t ∈ [0, t1], vf cosϕf cosϕ ∀t ∈ (t2, tf ], (3.4) x− = { x0 − v 2 0 (cosϕ0)2 g (tanϕ− tanϕ0) ∀t ∈ [0, t1], −v 2 f (cosϕf ) 2 g (tanϕ− tanϕf) ∀t ∈ (t2, tf ], (3.5) y− = { y0 − v 2 0 (cosϕ0)2 2g [(tanϕ)2 − (tanϕ0)2] ∀t ∈ [0, t1], −v 2 f (cosϕf ) 2 2g [(tanϕ)2 − (tanϕf)2] ∀t ∈ (t2, tf ], (3.6) t− = { v0 cosϕ0 g (tanϕ− tanϕ0) ∀t ∈ [0, t1], tf + vf cosϕf g (tanϕ− tanϕf ) ∀t ∈ (t2, tf ], (3.7) λ1− =   (λ4)0 sin(ϕ− ϕ0) + v0Cλ2g sin(ϕ− ϕ0) + (λ1)0(cos(ϕ− ϕ0)− µ sin(ϕ− ϕ0))+ + v0Cλ3 g sin(ϕ− ϕ0) tanϕ ∀t ∈ [0, t1], λ4f sin(ϕ− ϕf) + vfCλ2g sin(ϕ− ϕf) + vfCλ3 g sin(ϕ− ϕf) tanϕ ∀t ∈ (t2, tf ], (3.8) λ4− =   −(λ1)0(1 + µ2) sin(ϕ− ϕ0) + (λ4)0(cos(ϕ− ϕ0) + µ sin(ϕ− ϕ0))+ + v0Cλ2 g cosϕ (µ cosϕ− sinϕ) sin(ϕ− ϕ0) + v0Cλ3g cosϕ(cosϕ+ µ sinϕ) sin(ϕ− ϕ0) ∀t ∈ [0, t1], λ4f (cos(ϕ− ϕf) + µ sin(ϕ− ϕf)) + vfCλ2g cosϕ(µ cosϕ− sinϕ) sin(ϕ− ϕf)+ + vfCλ3 g cosϕ (cosϕ+ µ sinϕ) sin(ϕ− ϕf ) ∀t ∈ (t2, tf ]. (3.9) Iz prirode razmatranog problema sledi 0 ≤ v < ∞, a s obzirom na uslov (2.54) imenila u izrazu (2.46)1 je pozitivan za svako ϕ. Na osnovu ovih ~iweni a iz izraza (2.46)1 i (3.4) proizilazi da je −π/2 ≤ ϕ ≤ π/2, B > 0. (3.10) Nepoznate ϕ1, ϕ2, vf , Cλ2 , Cλ3 , Cx, Cy, (λ1)0, (λ4)0 i λ4f se odre|uju re{avawem sistema jedna~ina koji formiraju uslovi (2.34) i (2.35) koji se sada mogu zapisati u obliku 41 x−(ϕi) = x+(ϕi), y−(ϕi) = y+(ϕi), v−(ϕi) = v+(ϕi), λ1−(ϕi) = λ1+(ϕi), λ4−(ϕi) = 0 i = 1, 2. (3.11) Kona~no, na osnovu izraza (2.53)i (3.7), iz jednakosti t−(ϕ1) = t+(ϕ1) dobija se integra iona konstanta Ct Ct = v0 cosϕ0 g (tanϕ1−tanϕ0)+ 1 gB { b3 tan −1 ( tanϕ1 − µ a2 ) − 2µ [a1 (tanϕ1 − µ) + a 2 2] a22 [ (tanϕ1 − µ)2 + a22 ] } , (3.12) a iz jednakosti t−(ϕ2) = t+(ϕ2) sledi izraz za vreme brahistohronog kretawa tf = −vf cosϕf g (tanϕ2 − tanϕf) + v0 cosϕ0 g (tanϕ1 − tanϕ0)+ + 1 gB { b3 [ tan−1 ( tanϕ1 − µ a2 ) − tan−1 ( tanϕ2 − µ a2 )] − −2µ a22 [ a1 (tanϕ1 − µ) + a22 (tanϕ1 − µ)2 + a22 − a1 (tanϕ2 − µ) + a 2 2 (tanϕ2 − µ)2 + a22 ]} . (3.13) 3.3.1 Spe ijalni slu~ajevi Za ϕ1 = ϕ2 brahistohrona je jednosegmentna kriva koja predstavqa parabolu pri kosom hi u u neotpornoj sredini. Iz (3.11)3 (i = 1, 2) dobija se vf = v0 cosϕ0/ cosϕf . Naosnovuovoga, oduzimawem jedna~ine (3.11)1(i = 2) od jedna~ine (3.11)1(i = 1) i jedna~ine (3.11)2(i = 2) od jedna~ine (3.11)2(i = 1) dobijaju se slede}e rela ije x0 − v 2 0(cosϕ0) 2 g (tanϕf − tanϕ0) = 0, y0 − v 2 0(cosϕ0) 2 2g [ (tanϕf) 2 − (tanϕ0)2 ] = 0. (3.14) koje treba da zadovoqavaju parametri (3.2) da bi se ostvario ovaj slu~aj. Za ϕ1 = ϕ0 i ϕ2 = ϕf brahistohrona je jednosegmentna kriva ~ije su param- etarske jedna~ine date sa (2.51) i (2.52). Ova kriva za µ = 0 predstavqa ikloidu. Sada iz (3.11)4(i = 2) i (3.11)3(i = 1) sledi 42 A = − tanϕf , B = secϕ0 v0 [ (secϕ0) 2 − 2µ (tanϕ0 − tanϕf) ] , (3.15) {to zajedno sa jedna~inama (3.11)1-(3.11)2(i = 1, 2) daje slede}e uslove za parametre (3.2) koji oni moraju da ispuwavaju da bi se realizovao ovaj slu~aj: 1 2gB2 { b1 [ tan−1 ( tanϕ0 − µ a2 ) − tan−1 ( tanϕf − µ a2 ) + a2(tanϕ0 − µ) (tanϕ0 − µ)2 + a22 − − a2(tanϕf − µ) (tanϕf − µ)2 + a22 ] −2µ(a 2 2 + (tanϕ0 − µ)a1) a22 [(tanϕ0 − µ)2 + a22]2 + 2µ(a22 + (tanϕf − µ)a1) a22 [(tanϕf − µ)2 + a22]2 } = x0, 1 2gB2 { b2 [ tan−1 ( tanϕ0 − µ a2 ) + a2(tanϕ0 − µ) (tanϕ0 − µ)2 + a22 − tan−1 ( tanϕf − µ a2 ) − − a2(tanϕf − µ) (tanϕf − µ)2 + a22 ] − 1 (tanϕ0 − µ)2 + a22 + 1 (tanϕf − µ)2 + a22 − −2µ [(a 2 2 + µa1)(tanϕ0 − µ) + a22 (µ− a1)] a22 [(tanϕ0 − µ)2 + a22]2 + 2µ [(a22 + µa1)(tanϕf − µ) + a22 (µ− a1)] a22 [(tanϕf − µ)2 + a22]2 } = y0. (3.16) U slu~ajuϕ1 = ϕ0 brahistohrona je dvosegmentna kriva sa po~etnim linijskim segmentom tipa SG2 i zavr{nim linijskim segmentom tipa SG1, a u slu~aju ϕ2 = ϕf brahistohrona je tako|e dvosegmentna kriva koja po~iwe linijskim segmentom tipa SG1 i zavr{ava se linijskim segmentom tipa SG2. Za µ 6= 0 je jako slo`eno odrediti u analiti~kom obliku uslove za realiza iju ova dva spe ijalna slu~aja. Zato se ovi slu~ajevi analiziraju numeri~kim re{avawem sistema jedna~ina (3.11), tako {to se uzme da je ϕ1 = ϕ0 ili ϕ2 = ϕf a jedan od parametara x0, y0, v0, ϕ0, ϕf proglasi za nepoznatu. Daqe se za µ = 0 vr{i analiza prethodno navedenih spe ijalnih slu~ajeva sa iqem da se dobiju uslovi u analiti~kom obliku za wihovu realiza iju. Ge- ometrijska interpreta ija ovih uslova je data u referen i [65]. Za ϕ1 = ϕ0 i µ = 0 iz jedna~ina (3.11)3(i = 1, 2) sledi 43 λ2 = −cosϕ0 v0 , vf = v0(cosϕ2) 2 cosϕf cosϕ0 , Cy = y0 + v20 2g . Zamenom ovih izraza u jedna~inu (3.11)2(i = 1) i wenim re{avawem po ϕ2 dobija se ϕ2 = cos −1( 4 √ (2gy0 + v20) (cosϕ0)2 v20 [1 + (tanϕf ) 2] ). (3.17) Na osnovu prethodnog, razlika jedna~ina (3.11)1(i = 1, 2) daje v20 4g(cosϕ0)2 [2 (ϕ0 − ϕ2) + sin 2ϕ0 − sin 2ϕ2] = = x0 + 2gy0 + v 2 0 g [1 + (tanϕf )2] (tanϕ2 − tanϕf) . (3.18) Rela ije (3.17) i (3.18) predstavqaju uslove koje treba da ispuwavaju parametri iz (3.2) da bi se realizovao slu~aj ϕ1 = ϕ0 i µ = 0. Za ϕ2 = ϕf i µ = 0 iz jedna~ina (3.11)2(i = 2) i (3.11)3(i = 1, 2) sledi vf = v0 cosϕ0 cosϕf (cosϕ1)2 , Cλ2 = − cosϕf vf , Cy = v2f 2g . Zamenom ovih izraza u jedna~inu (3.11)2(i = 1) i wenim re{avawem po ϕ1 dobija se ϕ1 = cos −1( 4 √ 2gy0 + v 2 0(cosϕ0) 2 [ 1 + (tanϕ0) 2] v20(cosϕ0) 2(cosϕf)2 ). (3.19) Na osnovu prethodnog, razlika jedna~ina (3.11)1(i = 1, 2) daje v40(cosϕ0) 4(cosϕf ) 2 4g {2gy0 + v20(cosϕ0)2 [1 + (tanϕ0)2]} [2 (ϕ1 − ϕf) + sin 2ϕ1 − sin 2ϕf ] = = x0 − v 2 0(cosϕ0) 2 g (tanϕ1 − tanϕ0) . (3.20) Rela ije (3.19) i (3.20) predstavqaju uslov koji treba da ispuwavaju parametri (3.2) da bi se realizovao slu~aj ϕ2 = ϕf i µ = 0. Dosada{wa analiza odnosila se na slu~aj v0 6= 0. Kada je v0 = 0, iz jedna~ina 44 (3.11) (i = 1) sledi da je ϕ1 = ϕ0 = π 2 , Cx = x0 − πb1 4gB2 , Cy = y0 − πb2 4gB2 . Ovo zna~i da u ovom slu~aju brahistohrona po~iwe linijskim segmentom tipa SG2 i da mora da bude ϕ0 = π/2. Re{avawem sistema jedna~ina (3.11)(i = 2) dobijaju se preostale nepoznate ϕ2, vf , Cλ2 , Cλ3 i λ4f . 3.4 Uslovi dosti`nosti Na osnovu uslova (3.10)1 i izraza (2.36)1 jasno je da ugao ϕ opada du` linijskih segmenata tipa SG1 {to impli ira slede}a ograni~ewa: ϕ1 > ϕ0, ϕf > ϕ2, (3.21) a iz uslova (3.10)2 sledi µCλ3 > Cλ2 . (3.22) Daqe, iz izraza (2.48) sledi da veli~ina ϕ˙+ ima suprotan znak od znaka izraza (tanϕ)2 + 2µ tanϕ+ 1 + 2µA. (3.23) Izraz (3.23) predstavqa kvadratnu funk iju po tanϕ. S obzirom na (2.54), anal- izom znaka ovog ~lana dobija se da za (µ2 − 1) / (2µ) < A < (1− µ2) / (2µ) va`i ϕ˙+ < 0 za svako ϕ ∈ [−π/2, π/2]. Daqe, za A ≤ (µ2 − 1) / (2µ) va`i ϕ˙+ < 0 ∀ϕ ∈ [ −π 2 , tan−1 ( −µ− √ µ2 − 1− 2µA )) ∪ ( tan−1 ( −µ+ √ µ2 − 1− 2µA ) , π 2 ] , ϕ˙+ > 0 ∀ϕ ∈ ( tan−1 ( −µ− √ µ2 − 1− 2µA ) , tan−1 ( −µ + √ µ2 − 1− 2µA )) . (3.24) Sli~no kao u [6], mno`ewe jedna~ine (2.8) sa vdt i wenim integraqewem na intervalu (t1, t2] dobija se v22 2 − v 2 1 2 + g(y2 − y1)− µg(x2 − x1) = µ ∫ ϕ2 ϕ1 v2dϕ (3.25) gde je: x+(ϕ1) = x−(ϕ1) = x1, x+(ϕ2) = x−(ϕ2) = x2, y+(ϕ1) = y−(ϕ1) = y1, y+(ϕ2) = y−(ϕ2) = y2, v+(ϕ1) = v−(ϕ1) = v1 i v+(ϕ2) = v−(ϕ2) = v2. Na osnovu 45 jedna~ina (3.11)1(i = 1, 2)-(3.11)3(i = 1, 2), rela ija (3.25) se mo`e zapisati u slede}em obliku: v2f(cosϕf ) 2 [ 1 + (tanϕf) 2 2 + µ(tanϕ2 − tanϕf) ] − −v20(cosϕ0)2 [ 1 + (tanϕ0) 2 2 + µ(tanϕ1 − tanϕ0) ] − g(y0 − µx0) = = µ ∫ ϕ2 ϕ1 v2dϕ. (3.26) S obzirom na sprovedenu analizu znaka veli~ine ϕ˙+, fizi~ki smisao imaju slede}e varijante: ϕ1> ϕ2 za ( µ2 − 1) / (2µ) ≤ A < (1− µ2) / (2µ) , ϕ1> ϕ2 za   A ≤ (µ2 − 1) / (2µ) ϕ1, ϕ2∈ [ −pi 2 , tan−1 ( −µ− √ µ2−1− 2µA )) ∨ ϕ1, ϕ2∈ ( tan−1 ( −µ+ √ µ2−1− 2µA ) , pi 2 ] , ϕ1< ϕ2 za { A ≤ (µ2 − 1) / (2µ) ϕ1, ϕ2∈ ( tan−1 ( −µ− √ µ2−1− 2µA ) , tan−1 ( −µ+ √ µ2−1− 2µA )) . (3.27) Zaϕ1 > ϕ2, desna strana jedna~ine (3.26) je negativna, a zaϕ1 < ϕ2 je pozitivna. S obziromna prethodno, numeri~ki odre|ene vrednosti veli~inaϕ1,ϕ2 i vf treba da budu takve da obe strane jedna~ine (3.26) imaju isti znak. Ovaj uslov zajedno sa uslovima (2.54), (3.21), (3.22) i (3.27) predstavqa uslove na osnovu kojih se utvr|uje da li za numeri~ki odre|ene vrednosti parametara ϕ1, ϕ2, vf , Cλ2 i Cλ3 tra`ena brahistohrona kriva postoji, odnosno, da li je krajwi polo`aj dosti`an pri zadatim parametrima x0, y0, v0, ϕ0, ϕf i µ. 46 3.4.1 Analiza pona{awa brahistohronih krivih za odre|ene vred- nosti po~etnih i krajwih uslova Za x0 = 6[m], y0 = 3[m], v0 = 5[m/s] , g = 9.81[m/s 2], ϕ0 = −π/3, ϕf = π/9 i za razne vrednosti koefi ijenta trewa µ kao i za x0 = 6[m], y0 = 3[m], µ = 0.3, g = 9.81[m/s2], ϕ0 = −π/3 i ϕf = π/9 i razne vrednosti intenziteta po~etne brzine v0, re{avawem sistema jedna~ina (3.11) dobijaju se vrednosti parametara ϕ1, ϕ2, vf , Cλ2 , Cλ3 , Cx, Cy, (λ1)0, (λ4)0 i λ4f koje su prikazane u tabelama 3.1 i 3.2. Iz podataka u ovim tabelama se vidi da se udeo zavr{nog segmenta SG1 na brahis- tohroni smawuje (brahistohrona te`i dvosegmentnoj krivoj tipa SG1 − SG2) sa smawivawem koefi ijenta trewa µ, odnosno, sa pove}awem vrednosti inten- ziteta po~etne brzine. Tako se grani~ni slu~aj ϕ2 = ϕf za prvi skup prethodnih parametara dobija za µg = 0.09628, a za drugi skup prethodnih parametara do- bija za (v0)g = 5.16047 [m/s]. Za vrednosti koefi ijenata trewa mawe od µg, krajwi polo`aj brahistohrone nije dosti`an. Zaista, za µ = 0.05 se dobija ϕ1 = 1.03734707929081, ϕ2 = 0.35333030228809, vf = 8.74404375896680 [m/s], Cλ2 = −0.10908626581055 [s/m], Cλ3 = −0.03465854347348 [s/m] odakle se vidi da je naru{en uslov (3.21). Za vrednosti po~etne brzine ve}e od (v0)g, krajwi polo`aj brahistohrone tako|e nije dosti`an. Tako se za (v0)g = 6 [m/s] dobija ϕ1 = 1.02593637720138, ϕ2 = 0.46176060168615, vf = 7.46031243981615 [m/s], Cλ2 = −0.12750533646466 [s/m], Cλ3 = −0.03654427542346 [s/m] odakle se vidi da je naru{en uslov (3.21). 47 µ ϕ1 ϕ2 vf [m/s] 0.1 1.03286090683885 0.34871377100053 8.33472754637525 0.3 1.01139335703131 0.32743188982686 6.72245371302720 0.5 0.98168267310553 0.30024203589721 5.09865102019320 0.7 0.93614788939045 0.26298823251136 3.35287570815378 µ Cλ2 [s/m] Cλ3 [s/m] Cx [m] 0.1 -0.11687698020469 -0.02968092969988 -0.99175423414038 0.3 -0.15739897396201 -0.00225626147907 1.16037242341583 0.5 -0.22571594014500 0.04849538088088 1.98653246554337 0.7 -0.37622353157407 0.17245960299360 2.42024706815624 µ Cy [m] (λ1)0 [s 2/m] (λ4)0 [s 2/m] 0.1 3.26186964444173 -0.00104518445441 0.16859072353860 0.3 2.57328670726527 0.04709179113277 0.22133459698965 0.5 2.48817088892120 0.12811377597408 0.33197459995590 0.7 2.60833966014654 0.30625664282313 0.60470310886926 µ tf [s] λ4f [s 2/m] 0.1 1.58583526292776 0.00000001358245 0.3 1.66686630075477 0.00005605461276 0.5 1.77705011658435 0.00033910464034 0.7 1.94864154681165 0.00134633887232 Tabela 3.1: Numeri~ke vrednosti parametara brahistohronih krivih (x0 = 6 [m],y0 = 3 [m],v0 = 5 [m/s],ϕ0 = −π/3,ϕf = π/9) 1 2 3 4 5 6 x[m] 1 0 2 3 4 y[m] M(6[m], 3[m])0 j =-p/3, j =p/60 f v =5[m/s],0 m=0.3 v =3[m/s],0 m=0.3 v =2[m/s],0 m=0.3 Slika 3.1: Brahistohrone krive 48 v0 [m/s] ϕ1 ϕ2 vf [m/s] 2 1.10022404668107 -0.03147488828031 4.52833713217441 3 1.04272378218297 0.07245493736177 5.21165873045555 4 1.01544239669907 0.19499426244900 5.96354189742158 5 1.01139335703131 0.32743188982686 6.72245371302720 v0 [m/s] Cλ2 [s/m] Cλ3 [s/m] Cx [m] 2 -0.25816581475212 0.18233928546986 2.78888953226770 3 -0.22531306487223 0.11132238415571 2.46197473689236 4 -0.19072943003625 0.04752611646660 1.93349156981994 5 -0.15739897396201 -0.00225626147907 1.16037242341583 v0 [m/s] Cy [m] (λ1)0 [s 2/m] (λ4)0 [s 2/m] 2 1.88548390210110 0.06456780946392 0.21805792942493 3 2.09045100736660 0.07820469049305 0.23492127952316 4 2.33271746138706 0.06942591127030 0.23361639661946 5 2.57328670726527 0.04709179113277 0.22133459698965 v0 [m/s] tf [s] λ4f [s 2/m] 2 1.87481844527841 0.01994331064836 3 1.80120840205337 0.01030470313331 4 1.72589281655416 0.00304920695666 5 1.66686630075477 0.00005605461276 Tabela 3.2: Numeri~ke vrednosti parametara brahistohronih krivih (x0 = 6 [m], y0 = 3 [m], µ = 0.3, ϕ0 = −π/3, ϕf = π/9) Glava 4 O OPTIMIZACIJI TRANSPORTA GRANULASTIH MATERIJALA U ovom delu diserta ije ukazano je na primene rezultata iz glava 2 i 3 na prob- leme optimiza ije oluka za odvod granulastogmaterijala. Re{en je u analiti~kom obliku i problem odre|ivawa oblika profila oluka da bi gubi i mehani~ke en- ergije usled Kulonove sile trewa pri transportu granulastog materijala bili minimalni. 4.1 Minimiza ija vremena transporta granulastog ma- terijala du` evi Na sl.4.1 je prikazana prin ipska {ema jednog tipi~nog sistema za pretovar granulastog (pra{kastog, sitno zrnastog) materijala. Iz ko{a za skladi{tewe 1, materijal 2 se posredstvom trake za prenos materijala 3 pomera u odvodni oluk (kanal) 4 i kona~no sti`e na trakasti transporter 5 (ova komponenta sistema mo`e da bude i drugi ko{ za skladi{tewe, transportni vagon i sli~no). Materijal se du` odvodnog oluka kre}e pod dejstvom sopstvene te`ine zbog ~ega se ovakvi olu i u literaturi nazivaju i gravita ioni ( gravity flow chutes). Jedan od va`nih zadataka optimiza ije kod ove vrste transportnih sistema je op- timiza ija profilaodvodnogoluka gde se naj~e{}e kaokriterijumioptimiza ije uzimaju minimiza ija vremena transporta materijala olukom i minimiza ija gu- bitaka mehani~ke energije materijala usled dejstva Kulonove sile trewa. ^esto se ovaj posledwi kriterijum iskazuje i kao maksimiza ija brzine materijala na izlazu odvodnog oluka. Ostali kriterijumi optimiza ije, koji se mogu sresti kod optimiza ije konstruk ije razmatranog transportnog sistema, analizirani su u [56, 77]. U radu [57] je pokazano da se u slu~aju kada se granulasti materijal kre}e kroz 50 A B 1 2 3 4 5 Slika 4.1: Instala ija za transport granulastog materijala kanal u vidu ubrzanog protoka (pod ovim uslovom dubina pokretnog sloja ostaje mawa od {irine popre~nog preseka kanala a ~esto i od polovine ove {irine), kretawe materijala kroz kanal mo`e modelirati kao kretawe materijalne ta~ke du` hrapave krive pri ~emu je koefi ijent trewa konstantan. S obzirom na ovo, brahistohrone krive dobijene u glavama 2 i 3 predstavqaju optimalne oblike profila odvodnog kanala u analiti~kom obliku {to predstavqa poboq{awe rezultata iz [13] gde se do optimalnog oblika kanala do{lo numeri~kim putem za po~etnu brzinu jednaku nuli i uz zna~ajna pojednostavqewa vezana za uti aj sile trewa. Me|utim, na ovom mestu treba napomenuti da se u skladu sa modelom materijalne ta~ke iz glava 2 i 3, uslov ubrzanog protoka izra`ava ekvivalentnim uslovom da tangen ijalno ubrzawe v˙T materijalne ta~ke M u toku kretawa ne bude negativno. S obzirom na ovo sve brahistohrone, osim onih na sl.2.2 koje odgovaraju koefi ijentima trewaµ = 0.7 i µ = 0.9, ispuwavaju ovaj uslov i prema tome predstavqaju optimalni oblik profila kanala koji obezbe|uje minimalno vreme transporta granulastog materijala. 51 4.2 Minimiza ija gubitaka mehani~ke energije granu- lastog materijala usled Kulonovog trewa u toku transporta du` evi 4.2.1 Formula ija problema Pri re{avawu ovog problema, prema [12, 13] koristi se model materijalne ta~keM masem koja se kre}e u vertikalnoj ravni u homogenom poqu Zemqine te`e po hrapavoj krivoj sa Kulonovim trewem koja se tretira kao nezadr`avaju}a veza. Tra`i se jedna~ina ove krive tako da materijalna ta~kaM polaze}i iz polo`aja M0(x0, y0) po~etnom brzinom razli~itom od nule stigne u polo`aj O(0, 0) pri minimalnom gubitku mehani~ke energije, gde je sa y ozna~ena vertikalna osa usmerena navi{e a sa x horizontalna osa Dekartovog koordinatnog sistema (vidi sl.2.1). Bez gubitka op{tosti uzima se da je x0 > 0 i y0 > 0. Diferen ijalna jedna~ina kretawa ta~ke M je odre|ena sa (2.1). U daqim razmatrawima oznake koje se poklapaju sa oznakama iz glava 2 i 3, imaju isto zna~ewe kao u navedenim glavama diserta ije. Neka je E = T + Π ukupna mehani~ka energija materijalne ta~ke, gde je T kineti~ka energija a Π poten ijalna energija materijalne ta~ke. Razmatrani problem se mo`e formulisati kao problem minimiza ije slede}e razlike E(0)− E(tf) = ∫ tf 0 µ |Nu| vdt, (4.1) gde je gorwa grani a integrala tf nepoznata. Nejednakost (2.6) sada predstavqa uslov da materijalna ta~ka ne napu{ta vezu. Analognimrazmatrawimakao u glavi 2 uvode se rela ije (2.7), (2.8) i (2.10) koje predstavqaju ograni~ewa u razmatranom optimiza ionom problemu. S obzirom na prethodno, postavqeni problem mo`e sada da se formuli{e kao slede}i vari- ja ioni zadatak ∫ tf 0 µ (g cosϕ− vϕ˙) vdt −→ inf (4.2) uz ograni~ewa (2.7), (2.8) i (2.10), pri ~emu su po~etni i krajwi uslovi t0 = 0 : x(0) = x0, y(0) = y0, v(0) = v0; t = tf : x(tf) = 0, y(tf) = 0. (4.3) 52 Slede}i op{ti postupak iz [33, 34], uvo|ewem novog funk ionala J = ∫ tf 0 [µ (g cosϕ− vϕ˙) v + 4∑ i=1 λifi]dt, (4.4) gde su λi Lagran`evi mno`iteqi veza, i transforma ijom veli~ina stawa (2.14), postavqeni vezani varija ioni zadatak mo`e se preformulisati kao slede}i slobodan varija ioni zadatak J = ∫ tf 0 Fdt→ inf, t0 = 0 : z1(0) = x0, z2(0) = y0, z4(0) = v0, zi(0) = 0 (i = 5, ..., 9), t = tf : z1(tf ) = 0, z2(tf ) = 0, (4.5) gde je podintegralna funk ija F data u obliku F = µz4(g cos z3 − z4z˙3) + z˙5[z˙4 − µz4z˙3 + g(µ cos z3 − sin z3)] + z˙6(z˙1 + z4 cos z3)+ +z˙7(z˙2 + z4 sin z3) + z˙9(z4z˙3 − g cos z3 + z˙28). (4.6) S obzirom na (4.6), Ojler-Lagran`eve jedna~ine razmatranog varija ionog zadatka glase d dt ( ∂F ∂z˙k ) = 0, k = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}, ∂F ∂zj − d dt ( ∂F ∂z˙j ) = 0, j = 3, 4. (4.7) Ove jedna~ine kao i sva ostala izvo|ewa bi}e u daqim razmatrawima treti- rani u prvobitnim promenqivima.^iweni a da ugao ϕ nije zadat u po~etnom i krajwem polo`aju impli ira prirodne grani~ne uslove oblika [ ∂F ∂z˙3 ](t=tf ) (t=0) = 0 → [µvλ1 − vλ4 + µv2](t=tf )(t=0) = 0. (4.8) Daqe, ~iweni a da veli~ine zi, i = 4, ..., 9 nisu zadate u krajwem polo`aju daje jo{ {est prirodnih grani~nih uslova oblika [ ∂F ∂z˙4 ] (t=tf ) = 0 → λ1(tf ) = 0, (4.9) 53 [ ∂F ∂z˙5 ] (t=tf ) = 0 → [v˙ − µvϕ˙+ g(µ cosϕ− sinϕ)](t=tf ) = 0, (4.10) [ ∂F ∂z˙6 ] (t=tf ) = 0 → [x˙+ v cosϕ](t=tf ) = 0, (4.11) [ ∂F ∂z˙7 ] (t=tf ) = 0 → [y˙ + v sinϕ](t=tf ) = 0, (4.12) [ ∂F ∂z˙8 ] (t=tf ) = 0 → [w˙λ4](t=tf ) = 0, (4.13) [ ∂F ∂z˙9 ] (t=tf ) = 0 → [vϕ˙− g cosϕ + w˙2] (t=tf ) = 0. (4.14) Vreme tf nije zadato pa va`i uslov transverzalnosti na desnom kraju (2.25) ili u razvijenom obliku, nakon elimina ije veli~ina z˙1, z˙2 i z˙4 posredstvom jedna~ina (2.7), (2.8) i (2.10), [ λ1g(µ cosϕ− sinϕ) + v(λ2 cosϕ+ λ3 sinϕ+ µg cosϕ)− λ4(w˙2 + g cosϕ) ] (t=tf ) = 0. (4.15) Iz Ojler-Lagran`evih jedna~ina (4.7) po promenqivima z1 i z2 dobija se λ2 ≡ Cλ2 , λ3 ≡ Cλ3 , Cλ2 , Cλ3 = const., (4.16) a s obziromnaprirodne grani~ne uslove (4.10)-(4.14),Ojler-Lagran`eva jedna~ina po z8 ima oblik w˙λ4 ≡ 0, (4.17) dok se jedna~ine po promenqivima z5, z6, z7 i z9 svode na jedna~ine veza u smislu varija ionog ra~una (2.8), (2.7)1, (2.7)2 i (2.10), respektivno. Daqe, Ojler- Lagran`eve jedna~ine po promenqivima z3 i z4 glase v˙(−λ4 + 2µv + µλ1) + gλ4 sinϕ + v [ µλ˙1 − λ˙4 + Cλ3 cosϕ− (µg + Cλ2) sinϕ ] − −λ1g(cosϕ+ µ sinϕ) = 0, (4.18) 54 −λ˙1 + (µg + Cλ2) cosϕ− ϕ˙ (µλ1 − λ4 + 2µv) + Cλ3 sinϕ = 0. (4.19) Po{to podintegralna funk ija F ne zavisi ekspli itno od vremena, Ojler- Lagran`eve jedna~ine, s obzirom na (4.15), imaju prvi integral (2.33) koji u razvijenom obliku glasi λ1g(µ cosϕ−sinϕ)+v(Cλ2 cosϕ+Cλ3 sinϕ+µg cosϕ)−λ4(w˙2+g cosϕ) = 0. (4.20) Iz jedna~ine (4.17) sledi da se na intervalu [0, tf ] ekstremala funk ionala J mo`e sastojati od linijskih segmenata na kojima je w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0 i linijskih segmenata na kojima je w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ 0. S obzirom na ovo, funk ional J spada u grupu funk ionala ~ije ekstremale mogu da imaju prelome (takozvane ugaone ta~ke) u prostoru R 9 jer izvod z˙8 ima prekid prve vrste. Ako se sa S ozna~i ukupan broj ta~aka preloma ekstremale kojima odgovaraju vremenski trenu i tp (p = 1, ..., S), onda se analognim razmatrawima kao u glavi 2 dolazi do uslova (2.34) i (2.35). 4.2.2 Re{ewa Ojler-Lagran`evih jedna~ina 4.2.2.1 Op{te re{ewe na linijskom segmentu w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ 0 Re{avawe jedna~ine (4.19) po ϕ˙ i jedna~ine (4.18) po 2µvv˙ + µ(v˙λ1 + vλ˙1) i suk esivna zamena izraza za ove veli~ine u (2.8) daje gλ1 ( 1 + µ2 ) cosϕ+ v [ (Cλ2 − µg − µCλ3) sinϕ− ( Cλ3 − µ2g + µCλ2 ) cosϕ ] = 0. (4.21) Na razmatranom linijskom segmentu, jedna~ine (4.20) i (4.21) predstavqaju ho- mogen sistem jedna~ina po nepoznatimλ1 i v. Da bi ovaj sistem imao netrivijalna re{ewa potrebno je i dovoqno da je wegova determinanta jednaka nuli {to daje slede}i uslov Cλ2(1+µ 2)+ [µg + µ (Cλ3 + µCλ2)] cos 2ϕ+µ (µg − Cλ2 + µCλ3) sin 2ϕ = 0. (4.22) Iz gorwe jedna~ine sledi da na razmatranom linijskom segmentu va`i 55 ϕ(t) ≡ Cϕ, Cϕ = const., (4.23) gde konstanta Cϕ predstavqa re{ewe jedna~ine (4.22). Prema tome, linijski segment w˙ 6≡ 0,λ4 ≡ 0 je prava linija. S obzirom na (4.23), iz jedna~ina (2.7), (2.8) i (4.21) sledi x = −g 2 (sinCϕ − µ cosCϕ) t2 cosCϕ − Cvt cosCϕ + Cx, y = −g 2 (sinCϕ − µ cosCϕ) t2 sinCϕ − Cvt sinCϕ + Cy, v = g (sinCϕ − µ cosCϕ) t+ Cv, λ1 = [Cλ3 − µ2g + µCλ2 − (Cλ2 − µg − µCλ3) tanCϕ] [g (sinCϕ − µ cosCϕ) t+ Cv] g (1 + µ2) . (4.24) 4.2.2.2 Op{te re{ewe na linijskom segmentu w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0 Iz jedna~ina (2.7), (2.8) i (2.10) se analognim postupkom kao u glavi 2 dobijaju slede}e rela ije: v = C∗v cosϕ , x = C∗x − C∗2v g tanϕ, y = C∗y − C∗2v 2g (tanϕ)2, t = C∗v g tanϕ+ C∗t , (4.25) gde su C∗v , C ∗ x, C ∗ y i C ∗ t integra ione konstante, a jedna~ine (4.25)2 i (4.25)3 pred- 56 stavqaju parametarske jedna~ine parabole pri kosom hi u u neotpornoj sredini. Daqe, kori{}ewem (2.36) i transforma ije d(·)/dt = (d(·)/dϕ)ϕ˙, iz jedna~ina (4.18) i (4.19) sledi d dϕ (µλ1 − λ4) = λ1 − C ∗ v (Cλ3 cosϕ− Cλ2 sinϕ+ µg sinϕ) g(cosϕ)2 , (4.26) dλ1 dϕ = −(µλ1 − λ4) + C ∗ v (Cλ2 cosϕ+ Cλ3 sinϕ− µg cosϕ) g(cosϕ)2 . (4.27) Re{avawem dobijenog sistema diferen ijalnih jedna~ina po λ1 i µλ1−λ4, dobija se slede}e op{te re{ewe µλ1−λ4 = Cλ1 cosϕ+Cλ4 sinϕ− C∗vCλ3 g sinϕ+ C∗vCλ2 g sinϕ tanϕ−µC∗v sinϕ tanϕ, λ1 = −Cλ1 sinϕ+ Cλ4 cosϕ+ C∗vCλ2 g sinϕ + C∗vCλ3 g sinϕ tanϕ− µC∗v sinϕ, (4.28) gde su Cλ1 i Cλ4 integra ione konstante. Kombina ija jedna~ina (4.28) daje λ4 = Cλ4(− sinϕ+ µ cosϕ)− Cλ1(cosϕ+ µ sinϕ) + C∗vCλ2 g (− tanϕ+ µ) sinϕ+ + C∗vCλ3 g (µ tanϕ+ 1) sinϕ+ µC∗v sinϕ(−µ + tanϕ). (4.29) 4.2.3 Utvr|ivawe rasporeda linijskih segmenata na ekstremali Neka su SG1 i SG2 oznake za linijske segmente na kojima je w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ 0 i w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0, respektivno. Raspored linijskih segmenata na ekstremali impli- iran je uslovom da je ukupan broj nepoznatih integra ionih konstanti jednak broju raspolo`ivih uslova za wihovo odre|ivawe. Na ekstremali mo`e da pos- toji samo jedan segment tipaSG1 jer bi u suprotnomna osnovu (4.16), (4.22) i (4.23) svaki segment SG1 morao da ima isti ugao nagiba Cϕ {to je fizi~ki nemogu}e ostvariti. Tako|e, ekstremala se ne mo`e zavr{avati linijskim segmentom SG1 jer bi u tom slu~aju na osnovu prirodnih grani~nih uslova (4.8) i (4.9) na desnom kraju va`ilo vf = v(tf) = 0{to nije u duhu razmatranog optimiza ionog zadatka. U slu~aju rasporeda SG1− SG2, na osnovu uslova (4.3) konstante C∗v , C∗x i C∗y se mogu na segmentu SG2 izraziti preko nepoznatih ϕf = ϕ(tf) i vf = v(tf) , a 57 konstante Cλ1 i Cλ4 na osnovu prirodnih grani~nih uslova na desnom kraju (4.8) i (4.9) izra`avaju se preko nepoznatih Cλ2 , Cλ3 , ϕf i vf . Daqe, na osnovu uslova (2.34)3 u jedna~inama (2.34)1, (2.34)2 i (2.35)1 elimini{e se vremenski trenutak t1. Sada, preostalih osam nepoznatih konstanti treba u slu~aju v0 6= 0 da zadovoqe uslove (4.3)(za t = 0), (4.22), (2.34)1, (2.34)2 i (2.35) i prirodni grani~ni uslov na levomkraju (4.8){todaje ukupnodevet uslova. U slu~aju v0 = 0prirodni grani~ni uslov (4.8) na levom kraju je identi~ki zadovoqen pa preostaje osam uslova. Prema tome, varijanta rasporeda SG1 − SG2 va`i kada je v0 = 0. Za ovu varijantu }e u narednom poglavqu biti detaqno prikazan postupak odre|ivawa nepoznatih konstanti. Gubitaka mehani~ke energije nema u slu~aju kada eo profil kanala predstavqa linijski segment SG2. Da bi polo`ajiM0 i O mogli da budu spojeni parabolom (linijskim segmentom SG2), intenzitet po~etne brzine v0 ta~ke mora da ima dovoqno veliku vrednost. Ove vrednosti su odre|ene iz uslova da je potkorena veli~ina u (2.85)1 ve}a ili jednaka nuli, odnosno, v20 > g(−y0 + √ x20 + y 2 0). (4.30) U slu~aju rasporeda SG2− SG1− SG2, koji ima smisla razmatrati za v0 6= 0, na osnovu (4.3) i (4.25) na po~etnom segmentu SG2 integra ione konstante C∗v , C∗x i C ∗ y mogu se izraziti preko nepoznate ϕ0 = ϕ(0), a na zavr{nom segmentu SG2 preko nepoznatih ϕf i vf . Daqe, na osnovu uslova (2.34)3(p = 1, 2) mogu se u jedna~inama (2.34)1, (2.34)2 i (2.35)1 za p = 1, 2 eliminisati vremenski trenu i t1 i t2. Sada, za odre|ivawe preostalih trinaest nepoznatih konstanti imamo dvanaest uslova odre|enih rela ijama (4.8), (4.9), (4.22), (2.34)1, (2.34)2 i (2.35) (p = 1, 2). ^esto je u optimiza iji profila kanala zastupqen slu~aj kada je ugao ϕ0 zadat (videti [52]). Tada se izostavqa prirodni grani~ni uslov na levom kraju (4.8) zbog toga {to je sada [∆z3](t=0) = 0. Sada imamo jedanaest jedna~ina za odre|ivawe dvanaest nepoznatih. Na osnovu izlo`ene analize za vrednosti intenziteta po~etne brzine koje zadovoqavaju nejednakost 0 < v20 < g(−y0 + √ x20 + y 2 0) (4.31) va`i samo varijanta rasporeda SG2 − SG1 − SG2. Problem razlike u broju nepoznatih konstanti i broju raspolo`ivih uslova zawihovo odre|ivawe semo`e prevazi}i ili numeri~kim postupkom iz [52] ili ispisivawem raspolo`ivih uslova za odre|ivawe nepoznatih konstanti u obliku funk ije (6.3) i odre|ivawu wenog globalnog minimuma primenom diferen ijalne evolu ije. 58 4.2.4 Kona~no re{ewe problema za v0 = 0 U prethodnom poglavqu je pokazano da za v0 = 0 va`i varijanta rasporeda SG1−SG2. Na osnovu uslova (4.3) iz jedna~ina (4.24)1− (4.24)3 i (4.25)1− (4.25)3 sledi da je Cx = x0, Cy = y0, Cv = 0, C ∗ v = vf cosϕf , C ∗ x = (v 2 f sinϕf cosϕf)/g i C∗y = (v 2 f(sinϕf) 2)/(2g). Daqe, na bazi ovako odre|enih konstanti, iz uslova (2.34)3 se dobija trenutak t1 prelaska ta~ke sa segmenta SG1 na segment SG2 t1 = vf cosϕf g(sinCϕ − µ cosCϕ) cosCϕ , (4.32) a na osnovu prirodnih grani~nih uslova (4.8) i (4.9) na desnom kraju iz izraza (4.28) i (4.29) se dobija Cλ1 = −µvf cosϕf + Cλ3vf sinϕf g , Cλ4 = − Cλ2vf sinϕf g . (4.33) Na osnovu ovih izraza i jedna~ina (2.34)1, (2.34)2, (2.35) i (4.22) dobija se sistem jedna~ina za odre|ivawe nepoznatih Cϕ,Cλ2 , Cλ3 , ϕf i vf koji glasi v2f [ (cosϕf) 2 cosCϕ(µ cosCϕ − sinCϕ) + 2(cosϕf) 2 tanCϕ − sin 2ϕf ] + 2gx0 = 0, v2f [ (cosϕf ) 2 sinCϕ (cosCϕ)2(µ cosCϕ − sinCϕ) + (cosϕf ) 2(tanCϕ) 2 − (sinϕf)2 ] + 2gy0 = 0, Cλ2(1 + µ 2) + [µg + µ (Cλ3 + µCλ2)] cos 2Cϕ + µ (µg − Cλ2 + µCλ3) sin 2Cϕ = 0, (−Cλ2 + µCλ3) cos(2Cϕ − ϕf ) + (Cλ2 − µCλ3 − 2µg) cosϕf− −2 (Cλ3 + µCλ2) cosCϕ sin(Cϕ − ϕf) = 0, 59 ( 1 + µ2 ) (Cλ2 cosCϕ + Cλ3 sinCϕ) sin(Cϕ − ϕf)− − [Cλ3 − µ2g + µCλ2 − (Cλ2 − µg − µCλ3) tanCϕ] cosϕf = 0. (4.34) Numeri~kim re{avawem ovog sistema za x0 = 1[m], y0 = 1[m], g = 9.81[m/s 2] i razne vrednosti koefi ijenta trewa µ dobijaju se numeri~ke vrednosti param- etara Cϕ,Cλ2 , Cλ3 , ϕf i vf koje su prikazane u tabeli 4.1. Na bazi ovih vrednosti i jedna~ina (4.24)1, (4.24)2, (4.25)1 i (4.25)2 na sl.4.2 su prikazane krive koje obezbe|uju minimalan gubitak mehani~ke energije usled dejstva Kulonove sile trewa. µ Cϕ ϕf vf [m/s] 0.2 0.491396861623664 1.178097245096172 4.199685991660440 0.4 0.582952270254906 1.178097245096172 3.849485420067559 0.6 0.662908831834016 1.178097245096172 3.317806525034528 0.8 0.730069552810500 1.178097245096172 2.468364989320206 µ x1[m] y1[m] t1[s] 0.2 0.494740680058342 0.729593418142534 0.628764261333155 0.4 0.388192915304881 0.596576758926753 0.830619567326584 0.6 0.268419991298139 0.428799589808450 1.152394315945039 0.8 0.138176969960610 0.228631508012905 1.824731849947550 µ Cλ2 [m/s 2] Cλ3 [m/s 2] tf [s] 0.2 -1.692287021429670 0.700968235704138 0.936601490623914 0.4 -4.098304170491403 1.697573170147756 1.094134521154282 0.6 -7.350938250915520 3.044858319696366 1.363803641363096 0.8 -11.54616547141186 4.782578331662735 1.971012414070354 Tabela 4.1: Numeri~ke vrednosti parametara ekstremalnih krivih Na sl.4.2 kao i iz numeri~kih vrednosti u tabeli 4.1 vidi se da sa poras- tom vrednosti koefi ijenta trewa raste i udeo pravolinijskog dela na opti- malnoj krivoj profila kanala. Isprekidanim linijama su nazna~ene ta~ke na krivama gde se de{ava prelazak sa segmenta SG1 na segment SG2. Karakter op- timalnih krivih dobijen u [76] numeri~kim putem, a koje su ovde radi pore|ewa prikazane na sl.4.3, u potpunosti odgovara dobijenim analiti~kim krivama u ovom poglavqu. Treba napomenuti da se u referen i [52] pri re{avawu problema minimiza ije gubitaka mehani~ke energije nejednakost (2.6) tako|e uvodila kao posebno ograni~ewe ali problem nije u potpunosti analiti~ki re{en. Naime, 60 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x[m] 0.2 0 0.4 0.6 0.8 1 y [m] M (1[m]; 1[m])0 m=0.2 m=0.4 m=0.6 m=0.8 Slika 4.2: Optimalni obli i profila kanala za odvod rasipnog materijala nakon formirawa neophodnih uslova optimalnosti varija ionim ra~unom daqe se sprovodionumeri~ki algoritam kojim su se formirali optimalniobli i pro- fila kanala na taj na~in {to se pretpostavqala po~etna vrednost za Cϕ, i nakon formirawa po~etne krive i sra~unavawa gubitaka za wu nastavqalo se mewawe vrednosti za Cϕ i sra~unavawe gubitaka mehani~ke energije sve do dostizawa minimalne vrednosti za gubitke. Za razliku od ovog pristupa, izlo`eni postu- pak u ovoj diserta iji omogu}ava da se problem potpuno analiti~ki re{i {to podrazumeva i formirawe jedna~ina za odre|ivawe odgovaraju}ih parametara tra`enih ekstremala {to omogu}uje jednostavnije, br`e i pre iznije re{ewe problema. Treba ukazati da se dobijeni rezultati poklapaju sa rezultatima iz [74] gde se tako|e razmatrao model iz dela 4.2 sa istim optimiza ionim zadatkom ali ne u iqu re{avawa konkretnog tehni~kog problema pri ~emu se koristio Pontrjaginov prin ip maksimuma i uz uslov da je po~etna brzina ta~ke jednaka nuli. 61 Slika 4.3: Optimalni obli i profila kanala za odvod granulastog materijala iz [76] Glava 5 BRAHISTOHRONO KRETAWE SISTEMA KRUTIH TELA SA KULONOVIM TREWEM U ovom delu diserta ije analizira se slu~aj brahistohronog kretawa vezanog sistema krutih tela. Pretpostavqa se da se me|u vezama koje su nametnute na sis- tem nalazi odre|en broj unilateralnih (nezadr`avaju}ih) veza koje se tretiraju kao realne veze sa Kulonovim trewem. Nakon formirawa op{te metodologije re{avawa postavqenog problema, koja se bazira na rezultatima iz referen e [19], analizira se spe ijalan slu~aj mehani~kog sistema sa jednom realnom unilateral- nom vezom na kome se demonstrira analogija sa re{avawem problema iz poglavqa 2 i 3. Rezultati su dobijeni u obliku koji je pogodan za ilustrovawe na konkret- nim tehni~kim objektima i daqu simboli~ku i numeri~ku analizu. Dobijeni rezultati predstavqaju pro{irewe rezultata iz referen i [19, 25] na sisteme sa realnim unilateralnim vezama. 5.1 Formula ija problema Posmatrajmo kretawe sistema krutih tela sa n stepeni slobode na koji su nametnute skleronomne holonomne veze me|u kojima se nalazi i odre|en broj real- nih jednostrano zadr`avaju}ih (unilateralnih) veza sa Kulonovim trewem. Neka je broj unilateralnih veza p i neka su one realizovane ta~kastim kontaktom izme|u pojedinih tela sistema ili ta~kastim kontaktom tela sitema sa nekim nepokretnim hrapavim povr{ima. Pretpostavqa se da u toku kretawa sistema nema razdvajawa kod tela koja formiraju nezadr`avaju}e veze. Sistem se kre}e u homogenom poqu Zemqine te`e. Naka su q = (q1 q2 . . . qn) T , q˙ = (q˙1 q˙2 . . . q˙n) T i q¨ = (q¨1 q¨2 . . . q¨n) T , respektivno, generalisane koordinate, generalisane brzine i drugi izvodi generalisanih koordinata po vremenu. Diferen ijalne jedna~ine kretawa razmatranog sistema u obliku Lagran`evih jedna~ina druge vrste glase 63 d dt ∂T ∂q˙i − ∂T ∂qi = −∂Π ∂qi +Qµi +Q u i , i = 1, ..., n (5.1) gde su Qµi = Q µ i (q, q˙, q¨) generalisane sile Kulonovog trewa, a Q u i = Q u i (t) gener- alisane sile upravqawa. S obzirom na izvr{eni opis, kineti~ka i poten ijalna energija sistema su oblika, respektivno, T = 1 2 n∑ i,j=1 aij(q)q˙iq˙j , Π = Π(q), (5.2) dok se sile Kulonovog trewa mogu zapisati u obliku ~Fµσ = −µσ |Nnσ | ~vσ |~vσ| , σ = 1, ..., p. (5.3) U izrazima u (5.3), ~vσ je brzina klizawa u ta~ki kontakta, µσ je koefi ijent Kulonovog trewa za koji se pretpostavqa da je konstantan, a Nnσ predstavqa projek iju normalne komponente reak ije ~Nσ, kojom u okviru unilateralnih veza jedno telo deluje na drugo ili hrapava povr{ deluje na telo, na prava odre|en jedini~nim vektrom ~nσ normale u ta~ki kontakta. U daqim razmatrawima se uzima da je vektor ~nσ usmeren tako da uslovi o odr`awu kontakta izme|u tela u okviru unilateralnih veza glase Nnσ = Nnσ(q, q˙, q¨) > 0, σ = 1, ..., p. (5.4) U slu~aju jednakosti pretpostavqa se da tela u okviru unilateralnih veza os- taju u kontaktu pod dejstvom upravqa~kih sila ali ne pritiskaju jedno drugo. Nejednakosti u (5.4) se uvo|ewem novih nepoznatih funk ija w˙σ(t) (σ = 1, ..., p) transformi{u u slede}e jednakosti Nnσ(q, q˙, q¨)− w˙2σ = 0, σ = 1, ..., p. (5.5) Osim toga, u toku brahistohronog kretawa mehani~kog sistema pretpostavqa se da generalisane sile upravqawaQui (t) ( i = 1, ..., n) zadovoqavaju slede}i uslov n∑ i=1 Qui q˙i = 0. (5.6) 64 S obzirom na ovaj uslov, teorema o promeni kineti~ke energije mehani~kog sis- tema u diferen ijalnom obliku glasi T˙ = −Π˙ + Pµ, (5.7) gde se kao u [19] pretpostavqa da snaga generalisanih sila trewa ima oblik Pµ = n∑ i=1 Qµi q˙i = Ψ(q, q˙) + n∑ i=1 Φi(q, q˙)q¨i; Ψ(q, q˙), Φi(q, q˙) ∈ C(2). (5.8) Radi izbegavawarada sa drugimizvodima u daqimrazmatrawima,izvr{i}emo wihovu elimina iju kao u [19] posredstvom slede}ih rela ija fi+1 ≡ q˙i − ui = 0, i = 1, . . . , n, fn+2 ≡ 2T − n∑ i,j=1 aijuiuj = 0. (5.9) S obzirom na (5.9), rela ije (5.5) i (5.7) se transformi{u u f1 ≡ T˙ + n∑ i=1 ∂Π ∂qi ui − Ψ¯− n∑ i=1 Φ¯iu˙i = 0, (5.10) fn+2+σ ≡ Ξσ − w˙2σ = 0, σ = 1, ..., p, (5.11) gde su Ψ¯ = Ψ¯(q,u) = Ψ(q˙ = u), Φ¯i = Φ¯i(q,u) = Φi(q˙ = u) ( i = 1, . . . , n) , Ξσ = Ξσ(q,u, u˙) = Nnσ(q˙ = u, q¨ = u˙) (σ = 1, ..., p) i u = (u1 u2 . . . un) T . Problem brahistohronog kretawa razmatranog sistema krutih tela sastoji se u tome da se odrede sile upravqawa Qui (t) ( i = 1, ..., n) tako da se mehani~ki sistem prevede iz po~etnog stawa u trenutku t0 = 0 q1(0) = q1(0), . . . , qn(0) = qn(0); T (0) = T0, (5.12) u krajwe stawe 65 q1(tf ) = q1f , . . . , qn(tf ) = qnf (5.13) za minimalno vreme tf . Postavqeni problem mo`e da se formuli{e kao vezani varija ioni zadatak tf∫ 0 dt→ inf (5.14) uz ograni~ewa (5.9), (5.10) i (5.11) pri ~emu su po~etni i krajwi uslovi dati sa (5.12) i (5.13). Postupaju}i sli~no kao u glavi 2, uvo|ewem novog funk ionala J = tf∫ 0 (1 + n+p+2∑ j=1 λjfj)dt, (5.15) gde su λj Lagran`evi mno`iteqi veza, i slede}om transforma ijom veli~ina stawa z1 ≡ T, zi+1 ≡ qi, zn+1+i ≡ ui, z˙2n+1+σ ≡ w˙σ, z˙2n+p+1+j ≡ λj , i = 1, . . . , n, σ = 1, . . . , p, j = 1, . . . , n+ p+ 2 (5.16) postavqeni vezani varija ioni zadatak mo`e se transformisati u slobodan var- ija ioni zadatak oblika J = tf∫ 0 [ 1 + z˙2n+p+2(z˙1 + n∑ i=1 ∂Π ∂zi+1 zn+1+i − Ψ¯− n∑ i=1 Φ¯iz˙n+1+i) + n∑ i=1 z˙2n+p+2+i(z˙i+1 − zn+1+i)+ +z˙3n+p+3(2z1 − n∑ i,j=1 aijzn+1+izn+1+j) + p∑ σ=1 z˙3n+p+3+σ(Ξσ − z˙22n+1+σ) ] dt→ inf, 66 t0 = 0 : z1(0) = T0, zi+1(0) = qi(0) (i = 1, . . . , n), zj(0) = 0 (j = 2n+2, . . . , 3n+2p+3), t = tf : zi+1(tf) = qif (i = 1, . . . , n). (5.17) 5.2 Ojler-Lagran`eve jedna~ine Iz uslova sta ionarnosti ∆J = 0 slede Ojler-Lagran`eve jedna~ine razma- tranog problema ∂F ∂zi − d dt ( ∂F ∂z˙i ) = 0, j = 1, . . . , 2n+ 1, d dt ( ∂F ∂z˙k ) = 0, k = 2n+ 2, 2n+ 3, . . . , 3n+ 2p+ 3, (5.18) kao i grani~ni uslovi: [ ∂F ∂z˙i ∆zi ](t=tf ) (t=0) = 0, i = 1, . . . , 3n+ 2p+ 3, (5.19) [( F − 3n+2p+3∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i ) ∆t ](t=tf ) (t=0) = 0, (5.20) gde je sa F ozna~ena podintegralna funk ija funk ionala J . ^iweni a da veli~ine zα(α = n + 2, . . . , 2n + 1) nisu zadate u po~etnom i krajwem polo`aju a veli~ine z1 i zβ(β = 2n + 2, . . . , 3n + 2p + 3) u krajwem polo`aju daje na osnovu (5.19) slede}e prirodne grani~ne uslove na levom i desnom kraju [ ∂F ∂z˙α ](t=tf ) (t=0) = 0, α = n+ 2, . . . , 2n+ 1, (5.21) [ ∂F ∂z˙1 ](t=tf ) = 0→ (λ1)tf = 0, (5.22) [ ∂F ∂z˙β ](t=tf ) = 0, β = 2n + 2, . . . , 3n+ 2p+ 3. (5.23) 67 Daqe, budu}i da vreme brahistohronog kretawa tf nije dato to, na osnovu (5.20), uslov transverzalnosti na desnom kraju glasi [ F − 3n+2p+3∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i ](t=tf ) = 0. (5.24) Ojler-Lagran`eve jedna~ine po promenqivima zi(i = 1, . . . , 2n+ 1) u ekspli - itnom obliku glase 2λn+2 − λ˙1 = 0, λ1 ( n∑ i=1 ∂2Π ∂qi∂qγ ui − ∂Ψ¯ ∂qγ − n∑ i=1 ∂Φ¯i ∂qγ u˙i ) − λn+2 n∑ i,j=1 ∂aij ∂qγ uiuj+ + p∑ σ=1 λn+σ+2 ∂Ξσ ∂qγ − λ˙1+γ = 0, γ = 1, . . . , n, λ1 ( ∂Π ∂qγ − ∂Ψ¯ ∂uγ − n∑ i=1 ( ∂Φ¯i ∂uγ u˙i − ∂Φ¯γ ∂qi ui − ∂Φ¯γ ∂ui u˙i )) − λ1+γ− −λn+2 n∑ i=1 2aiγui + p∑ σ=1 n∑ i=1 λn+σ+2 ( ∂Ξσ ∂uγ − ∂ 2Ξσ ∂u˙γ∂u˙i u¨i − ∂ 2Ξσ ∂u˙γ∂ui u˙i − ∂ 2Ξσ ∂u˙γ∂qi ui ) + +λ˙1Φ¯γ − p∑ σ=1 λ˙n+σ+2 ∂Ξσ ∂u˙γ = 0, γ = 1, . . . , n. (5.25) S obzirom na (5.23), Ojler-Lagran`eve jedna~ine po promenqivima zk(k = = 2n+ 2, 2n+ 3, . . . , 3n+ 2p+ 3) svode se na oblik ∂F ∂z˙k = 0, k = 2n+ 2, 2n+ 3, . . . , 3n+ 2p+ 3, (5.26) pri ~emu za k = 2n+p+2, . . . , 3n+2p+3 Ojler-Lagran`eve jedna~ine predstavqaju ograni~ewa (5.9), (5.10) i (5.11), a za k = 2n+2, . . . , 2n+ p+1 ove jedna~ine imaju slede}i ekspli itan oblik 68 λn+2+σw˙σ ≡ 0, σ = 1, . . . , p. (5.27) Iz (5.27) sledi da se ekstremala funk ionala J mo`e sastojati iz linijskih segmenata na kojima je w˙σ ≡ 0, λn+2+σ 6≡ 0i segmenata na kojima je w˙σ 6≡ 0, λn+2+σ ≡ ≡ 0. Shodno tome, funk ional J spada u grupu funk ionala ~ije ekstremale mogu imati prelome u prostoruR 3n+2p+3 zbog toga {to veli~ine w˙σ(σ = 1, . . . , p) imaju prekide prve vrste. Ozna~imo sa S ukupan broj ta~aka preloma ekstremale kojima odgovaraju vremenski trenu i tk (k = 1, . . . , S). U ovim ta~kama moraju da budu zadovoqeni Vajer{tras-Erdmanovi ugaoni uslovi: ( ∂F ∂z˙i ) tk−0 = ( ∂F ∂z˙i ) tk+0 , i = 1, ..., 3n+ 2p+ 3; k = 1, ..., S, (5.28) ( F − 3n+2p+3∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i ) tk−0 = ( F − 3n+2p+3∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i ) tk+0 , k = 1, ..., S. (5.29) S obzirom na jedna~ine (5.26), uslovi (5.28)(i = 2n + 2, 2n + 3, . . . , 3n + 2p + +3; k = 1, ..., S ) su identi~ki zadovoqeni. Budu}i da podintegralna funk ija F ne zavisi ekspli itno od vremena, Ojler-Lagran`eve jedna~ine (5.18), s obzirom na uslov transverzalnosti (5.24), imaju prvi integral oblika F − 3n+2p+3∑ i=1 ∂F ∂z˙i z˙i = 0 ∀t ∈ [0, tf ] (5.30) pa su i uslovi (5.29) identi~ki zadovoqeni. U ta~kama preloma ekstremale funk ionala J , veli~ine T , qi(i = 1, . . . , n) i uj(j = 1, . . . , n) treba da budu neprekidne {to se iskazuje kroz slede}e uslove T (tk − 0) = T (tk + 0), qi(tk − 0) = qi(tk + 0), uj(tk − 0) = uj(tk + 0), i, j = 1, . . . , n; k = 1, . . . , S. (5.31) Na osnovu uslova neprekidnosti (5.31), Vajer{tras-Erdmanovi ugaoni uslovi (5.28)(i = 1, . . . , 2n+ 1; k = 1, . . . , S) svode se na oblik 69 λ1(tk − 0) = λ1(tk + 0), λi+1(tk − 0) = λi+1(tk + 0), i = 1, . . . , n, ( p∑ σ=1 λn+2+σ ∂Ξσ ∂u˙i ) tk−0 − (λ1Φ¯i(q,u))tk−0 = ( p∑ σ=1 λn+2+σ ∂Ξσ ∂u˙i ) tk+0 − (λ1Φ¯i(q,u))tk+0 , i = 1, . . . , n. (5.32) S obzirom na (5.31)1 i (5.32)1, dobijamo da se uslovi (5.32)3 svode na slede}i oblik ( p∑ σ=1 λn+2+σ ∂Ξσ ∂u˙i ) tk−0 = ( p∑ σ=1 λn+2+σ ∂Ξσ ∂u˙i ) tk+0 , i = 1, . . . , n. (5.33) Nakon odre|ivawa tra`enog brahistohronog kretawa qi(t), i = 1, . . . , n, gener- alisane sile upravqawaQui , i = 1, . . . , n odre|uju se iz diferen ijalnih jedna~ina kretawa (5.1). 70 5.3 Spe ijalan slu~aj mehani~kog sistema sa dva ste- pena slobode i jednom realnom unilateralnom vezom Razmotrimo mehani~ki sistem sa dva stepena slobode kod koga va`i aij = const., i, j = 1, 2; Π = c1q1 + c2q2, ci = const., i = 1, 2 . (5.34) Daqe, pretpostavimo da je na mehani~ki sistem nametnuta jedna realna unilater- alna veza sa Kulonovom silom trewa, da projek ija normalne komponente reak ije unilateralne veze ima slede}i oblik Nn = b1 + b2q¨1, bi = const., i = 1, 2 (5.35) i da se brzina klizawa u ta~ki kontakta mo`e izraziti kao ~vr = q˙2~t, (5.36) gde je ~t jedini~ni vektor tangente u ta~ki kontakta. Napomenimo u vezi pret- postavke (5.36) da je u prou~avawu mehani~kih sistema sa Kulonovim trewem uobi~ajeno da se klizawe u ta~ki kontakta tela opisuje promenom samo jedne gen- eralisane koordinate (videti [47]). S obzirom na (5.3), (5.4), (5.35) i (5.36) izraz za snagu sile trewa postaje Pµ = ~Fµ · ~vr = −µb1q˙2 − µb2q˙2q¨1. (5.37) Uvedimo sada ortogonalan sistem generalisanih koordinata ξ1 i ξ2 koji pre- vodi kvadratnu formu kineti~ke energije u kanonski oblik T = 1 2 (ξ˙21 + ξ˙ 2 2). (5.38) Prema [19, 25], uvedena transforma ija generalisanih koordinata ima oblik q1 = ξ1√ a11 + 2a12 + a22 + ξ2√ a11 + 2sa12 + s2a22 , 71 q2 = ξ1√ a11 + 2a12 + a22 + sξ2√ a11 + 2sa12 + s2a22 , (5.39) gde je s = − (a11 + a12) /(a22 + a12), a22 + a12 6= 0 . S obzirom na uvedenu trans- forma iju koordinata, poten ijalna energija dobija oblik Π = c∗1ξ1 + c ∗ 2ξ2, c ∗ i = const., i = 1, 2 , (5.40) gde je c∗1 = c1 + c2√ a11 + 2a12 + a22 , c∗2 = c1 + sc2√ a11 + 2sa12 + s2a22 , (5.41) a izrazi (5.35) i (5.37) se transformi{u u Nn = b1 + b (1) 2 ξ¨1 + b (2) 2 ξ¨2, (5.42) Pµ = b (1) 1 ξ˙1 + b (2) 1 ξ˙2 + 2∑ i,j=1 b (ij) 2 ξ˙iξ¨j, (5.43) gde je b (1) 1 = − µb1√ a11 + 2a12 + a22 , b (2) 1 = − µsb1√ a11 + 2sa12 + s2a22 , b (1) 2 = b2√ a11 + 2a12 + a22 , b (2) 2 = b2√ a11 + 2sa12 + s2a22 , b (11) 2 = − µb2 a11 + 2a12 + a22 , b (22) 2 = − µsb2 a11 + 2sa12 + s2a22 , b (12) 2 = − µb2√ (a11 + 2a12 + a22) (a11 + 2sa12 + s2a22) , b (21) 2 = − µsb2√ (a11 + 2a12 + a22) (a11 + 2sa12 + s2a22) . (5.44) Po{to je sistem generalisanih koordinata ξ1 i ξ2 ortogonalan, kretawe raz- matranog mehani~kog sistema mo`emo geometrijski interpretirati kao kretawe geometrijske ta~keM u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistemOξ1ξ2. Shodno ovakvoj interpreta iji, radi elimina ije drugih izvoda u rela iji (5.7), mo`emo sli~no kao u glavi 2 da uvedemo slede}e kinemati~ke rela ije 72 f2 ≡ ξ˙1 − v cosϕ = 0, f3 ≡ ξ˙2 − v sinϕ = 0, (5.45) gde je sa ϕ ozna~en ugao nagiba tangente na krivu ξ2 = f(ξ1), a sa v ozna~ena projek ija brzine ta~ke M na ovu tangentu. Posredstvom rela ija (5.45), izraz (5.42) i teorema o promeni kineti~ke energije (5.7) svode se kona~no na slede}e oblike Nn = b1 +Ψ(ϕ)v˙ +Ψ p(ϕ)vϕ˙, (5.46) f1 ≡ Ω1(ϕ)v˙ + vϕ˙Ω2(ϕ) + Ω3(ϕ) = 0, (5.47) gde su: Ψ(ϕ) = b (1) 2 cosϕ+ b (2) 2 sinϕ, Ω1(ϕ) = −1 + p1 sin 2ϕ+ b(11)2 (cosϕ)2 + b(22)2 (sinϕ)2 , Ω2(ϕ) = p2 sin 2ϕ+ b (12) 2 (cosϕ) 2 − b(21)2 (sinϕ)2 , Ω3(ϕ) = p3 cosϕ+ p4 sinϕ, p1 = ( b (12) 2 + b (21) 2 ) /2, p2 = ( b (22) 2 − b(11)2 ) /2, p3 = −c∗1 + b(1)1 , p4 = −c∗2 + b(2)1 , (5.48) i gde oznaka (·)p ukazuje na diferen irawe po uglu ϕ. S obzirom na (5.46) i (5.4), uslovi (5.5) se redukuju na 73 f4 ≡ b1 +Ψ(ϕ)v˙ +Ψp(ϕ)vϕ˙− w˙2 = 0. (5.49) Postupaju}i daqe kao u glavi 2 uvodi se funk ional (2.13) i transforma ija veli~ina stawa z1 ≡ ξ1, z2 ≡ ξ2, z3 ≡ ϕ, z4 ≡ v, z˙5 ≡ λ1, z˙6 ≡ λ2, z˙7 ≡ λ3, z˙8 ≡ w˙, z˙9 ≡ λ4 (5.50) ~ime se dobija slobodan varija ioni zadatak oblika (2.15) ~ija podintegralna funk ija glasi F = 1 + z˙5 (Ω1z˙4 + z4z˙3Ω2 + Ω3) + z˙6 (z˙1 − z4 cos z3) + z˙7 (z˙2 − z4 sin z3)+ +z˙9 ( b1 + z˙4Ψ+ z4z˙3Ψ p − z˙28 ) (5.51) i pri ~emu su po~etni i krajwi uslovi definisani kao t0 = 0 : z1(0) = 0, z2(0) = 0, z4(0) = v0 = √ 2T0, zi(0) = 0 (i = 5, . . . , 9), (5.52) t = tf : z1(0) = ξ1f , z2(0) = ξ2f . (5.53) Prirodni grani~ni uslovi (2.18)-(2.24) se sada svode na oblik [ ∂F ∂z˙3 ](t=tf ) (t=0) = 0→ [λ1vΩ2 + λ4vΨp](t=tf )(t=0) = 0, (5.54) [ ∂F ∂z˙4 ] (t=tf ) = 0→ [λ1Ω1 + λ4Ψ](t=tf ) = 0, (5.55) [ ∂F ∂z˙5 ] (t=tf ) = 0→ [Ω1v˙ + vϕ˙Ω2 + Ω3](t=tf ) = 0, (5.56) [ ∂F ∂z˙6 ] (t=tf ) = 0→ [ ξ˙1 − v cosϕ ] (t=tf ) = 0, (5.57) [ ∂F ∂z˙7 ] (t=tf ) = 0→ [ ξ˙2 − v sinϕ ] (t=tf ) = 0, (5.58) 74 [ ∂F ∂z˙8 ] (t=tf ) = 0→ [w˙λ4](t=tf ) = 0, (5.59) [ ∂F ∂z˙9 ] (t=tf ) = 0→ [b1 + v˙Ψ+ vϕ˙Ψp − w˙2](t=tf ) = 0, (5.60) a uslov transverzalnosti (2.25) na osnovu ograni~ewa (5.47), (5.45) i (5.49) ima slede}i razvijen oblik [ 1− v (λ2 cosϕ+ λ3 sinϕ) + λ1Ω3 + λ4 ( w˙2 + b1 )] (t=tf ) = 0. (5.61) 5.3.1 Ojler-Lagran`eve jedna~ine Na osnovu strukture podinegralne funk ije F imamo da Ojler-Lagran`eve jedna~ineproblemaimaju op{tu strukturuopisanu sa (2.16). IzOjler-Lagran`evih jedna~ina po promenqivima z1 i z2 dobija se λ2 ≡ Cλ2 , λ3 ≡ Cλ3 , Cλ2 , Cλ3 = const., (5.62) a s obzirom na (5.59), iz Ojler-Lagran`eve jedna~ine po promenqivoj z8 sledi w˙λ4 ≡ 0. (5.63) Daqe, s obziromnaprirodne grani~ne uslove (5.56)-(5.58) i (5.60),Ojler-Lagran`eve jedna~ine po promenqivima z5, z6, z7 i z9 svode se na jedna~ine (5.47), (5.45) i (5.49). U razmatranom slu~aju prvi integral (2.33) se svodi na 1− v (λ2 cosϕ+ λ3 sinϕ) + λ1Ω3 + λ4 ( w˙2 + b1 ) = 0. (5.64) Kona~no, Ojler-Lagran`eve jedna~ine po promenqivima z3 i z4 glase, respek- tivno, v˙λ1 ( Ωp1 − Ω2 ) + v(λ2 sinϕ− λ3 cosϕ) + λ1Ωp3 − λ˙1vΩ2 − λ˙4vΨp = 0, (5.65) λ˙1Ω1 − λ1ϕ˙(Ω2 − Ωp1) + λ2 cosϕ+ λ3 sinϕ+ λ˙4Ψ = 0. (5.66) 75 Prema (5.63) brahistohrona se sastoji iz linijskih segmenata na kojima je Nn ≡ 0 (w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0) i linijskih segmenata na kojima je Nn ≥ 0 (w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ ≡ 0). Daqe se mogu sprovesti analogna razmatrawa kao u delu 2.2 {to dovodi do slede}ih uslova u ta~kama prelaska sa jednog tipa linijskog segmenta na drugi: ξ1(tp − 0) = ξ1(tp + 0), ξ2(tp − 0) = ξ2(tp + 0), v(tp − 0) = v(tp + 0), p = 1, . . . , S, (5.67) ( λ1Ω2 + λ4Ψ p ) tp−0 = ( λ1Ω2 + λ4Ψ p ) tp+0 , (λ1Ω1 + λ4Ψ)tp−0 = (λ1Ω1 + λ4Ψ)tp+0 , p = 1, . . . , S. (5.68) 5.3.1.1 Op{te re{ewe na linijskom segmentu Nn > 0 Sprovedimo pro eduru re{avawa Ojler-Lagran`evih jedna~ina na linijskom segmentu w˙ 6≡ 0, λ4 ≡ 0 sli~no kao u poglavqu 2. Iz (5.66) imamo da je ϕ˙ = ε+ λ˙1Ω1 λ1 ( Ω2 − Ωp1 ) , (5.69) a iz jedna~ine (5.65) sledi λ˙1vΩ2 + v˙λ1 ( Ω2 − Ωp1 ) = −vεp + λ1Ωp3, (5.70) gde je ε = Cλ2 cosϕ + Cλ3 sinϕ. Suk esivna zamena ova dva izraza u izraz (5.47) daje λ1 (−Ω1Ωp3 + Ω3Ωp1 − Ω2Ω3)− v(Ω2ε− Ω1εp) = 0. (5.71) Jedna~ine (5.64) i (5.71) predstavqaju sistem algebarskih jedna~ina po nepoznatim v i λ1 ~ije je re{ewe λ1 (ϕ,Cλ2, Cλ3) = εΩ2 − εpΩ1 εpΩ1Ω3 − ε (−Ωp1Ω3 + 2Ω2Ω3 + Ω1Ωp3) , (5.72) v (ϕ,Cλ2 , Cλ3) = Ω3 ( Ωp1 − Ω2 )− Ω1Ωp3 εpΩ1Ω3 − ε (−Ωp1Ω3 + 2Ω2Ω3 + Ω1Ωp3) . (5.73) Kori{}ewem transforma ije d(·)/dt = (·)pϕ˙ iz izraza (5.47) sledi 76 ϕ˙ = − Ω3 Ω1vp + Ω2v , (5.74) a iz izraza (5.45) se zatim dobijaju slede}e diferen ijalne jedna~ine dξ1 dϕ = −(Ω1v p + Ω2v) v cosϕ Ω3 , (5.75) dξ2 dϕ = −(Ω1v p + Ω2v) v sinϕ Ω3 , (5.76) ~ijim se integraqewem dobija ξ1 = − ∫ (Ω1v p + Ω2v) v cosϕ Ω3 dϕ+ Cξ1 ≡ Φξ1(ϕ,Cλ2, Cλ3) + Cξ1 , ξ2 = − ∫ (Ω1v p + Ω2v) v sinϕ Ω3 dϕ+ Cξ2 ≡ Φξ2(ϕ,Cλ2, Cλ3) + Cξ2 . (5.77) Integra ija jedna~ine (5.74) daje zavisnost vremena t od ugla ϕ t(ϕ) = Ct − ∫ Ω1v p + Ω2v Ω3 dϕ. (5.78) 5.3.1.2 Op{te re{ewe na linijskom segmentu Nn ≡ 0 U ovom slu~aju je w˙ ≡ 0, λ4 6≡ 0. Du` ovog linijskog segmenta snaga sile trewa je identi~ki jednaka nuli, odnosno, Pµ ≡ 0. S obzirom na ovu ~iweni u, teorema o promeni kineti~ke energije u diferen ijalnom obliku (5.47) se svodi na v˙ +Θ(ϕ) = 0, (5.79) gde je Θ(ϕ) = c∗1 cosϕ + c ∗ 2 sinϕ. Upore|ivawem izraza (5.79) i (5.47) sledi da u ovom slu~aju va`i Ω1 = 1, Ω2 = 0, Ω3 = Θ. (5.80) S obzirom na ove real ije i transforma iju d(·)/dt = (·)pϕ˙, jedna~ine (5.49), (5.65) i (5.66) se redukuju na 77 v (Cλ2 sinϕ− Cλ3 cosϕ) + λ1Θp− λp4ϕ˙vΨp = 0, (5.81) Cλ2 cosϕ+ Cλ3 sinϕ+ λ p 1ϕ˙+ λ p 4ϕ˙Ψ = 0, (5.82) b1 −ΘΨ+ vϕ˙Ψp = 0. (5.83) Iz jedna~ine (5.83) sledi ϕ˙ = ΘΨ− b1 vΨp . (5.84) Kori{}ewem transforma ije d(·)/dt = (·)pϕ˙ i izraza (5.84) iz jedna~ine (5.79) sledi v = Cve ∫ ΘΨ p b1−ΘΨ dϕ ≡ CvΦv(ϕ). (5.85) Na osnovu izraza (5.84) i (5.85) iz jedna~ina (5.45) sledi dξ1 dϕ = C2vΦ 2 vΨ p cosϕ ΘΨ− b1 , (5.86) dξ2 dϕ = C2vΦ 2 vΨ p sinϕ ΘΨ− b1 , (5.87) dt dϕ = CvΦvΨ p ΘΨ− b1 , (5.88) ~ijom se integra ijom dobija ξ1 = C 2 v ∫ Φ2vΨ p cosϕ ΘΨ− b1 dϕ+ C ∗ ξ1 ≡ C2vΦ∗ξ1 (ϕ) + C∗ξ1, (5.89) ξ2 = C 2 v ∫ Φ2vΨ p sinϕ ΘΨ− b1 dϕ+ C ∗ ξ2 ≡ C2vΦ∗ξ2 (ϕ) + C∗ξ2 , (5.90) t = Cv ∫ ΦvΨ p ΘΨ− b1dϕ+ C ∗ t ≡ CvΦt (ϕ) + C∗t , (5.91) gde su C∗ξ1 , C ∗ ξ2 i C∗t integra ione konstante. Izra`avawem λp4 iz (5.81) i zamewivawem u (5.82) dobija se slede}a diferen- ijalna jedna~ina 78 λp1 + ΨΘp ΨΘ− b1λ1 = CvΦv ( b (1) 2 Cλ3 − b(2)2 Cλ2 ) ΨΘ− b1 (5.92) ~ije se op{te re{ewe, shodno dobro poznatom postupku za re{avawe ovakvog tipa diferen ijalnih jedna~ina (videti na primer [53]), mo`e zapisati u slede}em obliku λ1 = Cλ1Φ (1) λ1 (ϕ) + Cv ( b (1) 2 Cλ3 − b(2)2 Cλ2 ) Φ (2) λ1 (ϕ). (5.93) Nakon zamene ovog izraza za λ1 u jedna~inu (5.81) dobija se diferen ijalna jedna~ina λp4 = CvCλ2(Φv sinϕ− b(2)2 Φ(2)λ1 Θp) ΨΘ− b1 + CvCλ3(b (1) 2 Φ (2) λ1 Θp − Φv cosϕ) ΨΘ− b1 + Cλ1Φ (1) λ1 Θp ΨΘ− b1 , (5.94) ~ije je op{te re{ewe oblika λ4 = CvCλ2Φ (1) λ4 (ϕ) + CvCλ3Φ (2) λ4 (ϕ) + Cλ1Φ (3) λ4 (ϕ) + Cλ4 . (5.95) Parametri Cλ1 i Cλ4 u izrazima (5.93) i (5.95) predstavqaju integra ione kon- stante. 5.4 Struktura ekstremale Rasporedprethodnonavedenih tipovalinijskih segmenata se utvr|ujeiz uslova da je ukupan broj nepoznatih integra ionih konstanti jednak broju raspolo`ivih uslova zawihovoodre|ivawe. Primenomovogpravilamo`e se pokazati,identi~nom analizom kao u delu 2.3, da u op{tem slu~aju tra`ena brahistohrona ξ2 = f(ξ1) mo`e da bude trosegmentna kriva sa slede}im rasporedom segmenata na woj: w˙(t) ≡ 0, λ4(t) 6≡ 0 ∀t ∈ [0, t1] , w˙(t) 6≡ 0, λ4(t) ≡ 0 ∀t ∈ (t1, t2] , w˙(t) ≡ 0, λ4(t) 6≡ 0 ∀t ∈ (t2, tf ] , (5.96) 79 gde tf predstavqa vreme brahistohronog kretawa, a t1 i t2 su vremenski trenu i prelazaka sa jednog linijskog segmenta na drugi. Jednostavno se pokazuje da se prirodni grani~ni uslovi (5.54) i (5.55) s obzirom na rela ije (5.80) svode na (λ4)t0 = 0, (5.97) (λ1)tf = 0, (λ4)tf = 0, (5.98) pri ~emu je odba~ena varijanta vf = 0. Obli i (5.97) i (5.98) su pogodniji za kori{}ewe u pro esu odre|ivawa integra ionih konstanti. Daqe se pokazuje da se analiza varijante (5.96) svodi na re{avawe sistema od deset nelinearnih jedna~ina sa deset nepoznatih ϕ0 = ϕ(0), ϕf = ϕ(tf), ϕ1 = ϕ(t1), ϕ2 = ϕ(t2), vf = v(ϕf), λ1(0) = (λ1)0, Cξ1 , Cξ2 , Cλ2 i Cλ3 . Na osnovu po~etnih uslova (5.52) iz izraza (5.85), (5.89) i (5.90) sledi Cv = v0 Φv(ϕ0) , (5.99) C∗ξ1 = − v20Φ ∗ ξ1 (ϕ0) Φ2v(ϕ0) , C∗ξ2 = − v20Φ ∗ ξ2 (ϕ0) Φ2v(ϕ0) . (5.100) Daqe, iz krajwih uslova (5.53) dobija se Cv = vf Φv(ϕf ) , (5.101) C∗ξ1 = ξ1f − v2fΦ ∗ ξ1 (ϕf) Φ2v(ϕf) , C∗ξ2 = ξ2f − v2fΦ ∗ ξ2 (ϕf) Φ2v(ϕf) . (5.102) Na osnovu prirodnog grani~nog uslova (5.97) i λ1(0) = (λ1)0 na po~etnom lini- jskom segmentu SG1 va`i Cλ1 = 1 Φ (1) λ1 (ϕ0) ( (λ1)0 − v0 Φv(ϕ0) ( b (1) 2 Cλ3 − b(2)2 Cλ2 ) Φ (2) λ1 (ϕ0) ) , (5.103) Cλ4 = − v0 Φv(ϕ0) ( Cλ2Φ (1) λ4 (ϕ0) + Cλ3Φ (2) λ4 (ϕ0) ) − 80 −Φ (3) λ4 (ϕ0) Φ (1) λ1 (ϕ0) ( (λ1)0 − v0 Φv(ϕ0) ( b (1) 2 Cλ3 − b(2)2 Cλ2 ) Φ (2) λ1 (ϕ0) ) . (5.104) Na zavr{nom linijskom segmentu SG1 na osnovu prirodnih grani~nih uslova (5.98) va`i Cλ1 = − vf Φv(ϕf)Φ (1) λ1 (ϕf) ( b (1) 2 Cλ3 − b(2)2 Cλ2 ) Φ (2) λ1 (ϕf), (5.105) Cλ4 = − vf Φv(ϕf) ( Cλ2Φ (1) λ4 (ϕf) + Cλ3Φ (2) λ4 (ϕf ) ) + + vfΦ (3) λ4 (ϕf ) Φv(ϕf)Φ (1) λ1 (ϕf ) ( b (1) 2 Cλ3 − b(2)2 Cλ2 ) Φ (2) λ1 (ϕf ). (5.106) Zamenom izraza (5.99)-(5.106) u Vajer{tras-Erdmanove uslove (5.67) i (5.68) dobija se tra`eni sistem jedna~ina za odre|ivawe nepoznatihϕ0, ϕf , ϕ1, ϕ2, vf , (λ1)0,Cξ1 , Cξ2 ,Cλ2 iCλ3 . S obziromna izraze (5.105) i (5.106), Vajer{tras-Erdmanoviuslovi (5.68)(p = 2) predstavqaju homogen sistem jedna~ina po nepoznatim Cλ2 i Cλ3 . Da bi ovaj sistem imao netrivijalna re{ewa potrebno je i dovoqno da determinanta sistema bude jednaka nuli {to zna~i da jednu od jedna~ina (5.68)(p = 2) treba zameniti ovim uslovom a drugu jedna~inu zadr`ati. Glava 6 PRIMENA DIFERENCIJALNE EVOLUCIJE PRI RE[AVAWU NELINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNA^INA U ovom delu diserta ije razmatrano je re{avawe sistema nelinearnih alge- barskih jedna~ina primenom jedne varijante diferen ijalne evolu ije u kojoj su objediwena neka poboq{awa ove metode koja su se pojavila u literaturi. Prob- lem re{avawa sistema nelinearnih algebarskih jedna~ina se transformi{e u problem odre|ivawa globalnog minimuma odgovaraju}e funk ije iqa. 6.1 Motiva ija Uovoj diserta iji je za odre|ivawe odgovaraju}ih parametara brahistohronih krivih bilo potrebno re{avati sisteme nelinearnih algebarskih jedna~ina koji se odlikuju visokim stepenom nelinearnosti. Za numeri~ko re{avawe ovih sis- tema naj~e{}e se koristi Wutn-Rapsonova metoda (videti na primer [11]). Me|u- tim, ~esto je kod nekih sistema nelinearnih algebarskih jedna~ina konvergen ija Wutn-Rapsonovemetode jako osetqiva na kvalitet pretpostavke tra`enog re{ewa gde se kvalitet pretpostavqenog re{ewa ogleda u tome da pretpostavqeno re{ewe bude u {to u`oj okolini ta~nog re{ewa. Naj~e{}e je ovo te{ko posti}i pa se de{ava da se konvergen ija ne ostvari ili se ne postigne `eqena ta~nost u okviru propisanog broja itera ija. Tako se u [40] navodi interesantan primer slede}eg sistema nelinearnih jedna~ina 82 fi(w1, . . . , w4, x1, . . . , x4) ≡ 4∑ j=1 wjx i−1 j − 1∫ −1 xi−1dx = 0, i = 1, . . . , 8 (6.1) kod koga je za 100 000 slu~ajno pretpostavqenih vrednosti nepoznatih, Wutn- Rapsonovom metodom ostvarena konvergen ija samo 702 puta! Zbog toga je u ovoj diserta iji u takvim slu~ajevima kori{}en alternativni na~in re{avawa sistema nelinearnih jedna~ina koji se bazira na odre|ivawu minimuma odgovaraju}e funk ije iqa. Naime, neka je dat sistem nelinearnih jedna~ina oblika Fi(x1, . . . , xn) = 0, i = 1, . . . , n. (6.2) Kao {to je je pokazano u [36, 40, 46], dati problem se mo`e transformisati u problem optimiza ije slede}e funk ije iqa f(x1, . . . , xn) = n∑ i=1 F 2i (6.3) odakle proizilazi da re{ewe sistema jedna~ina (6.2) predstavqa globalni min- imum funk ije (6.3). Za nala`ewe minimuma ove funk ije standardnim metodama potrebno je da funk ija (6.3) bude neprekidna i diferen ijabilna {to ~esto nije ispuweno. Zbog toga je za re{avawe ovog zadatka iskori{}ena jedna alternativna metoda koja se naziva diferen ijalna evolu ija. Daqe se u kratkim rtama daje opis ove metode. 6.2 Diferen ijalna evolu ija Diferen ijalna evolu ija predstavqa evolu ioni algoritam za optimiza iju funk ija iqa (funk ija vi{e promenqivih). Ona poti~e iz porodi e opti- miza ionih metoda koje se baziraju na prin ipima Darvinove teorije evolu ije (kao {to su genetski algoritam, evolu iono programirawe itd.). Diferen i- jalna evolu ija ne koristi izvode funk ije ~iji se minimum tra`i. Ona ko- risti samo vrednosti ove funk ije u kona~nom broju ta~aka koje su slu~ajno rasute u okviru domena funk ije. Ove ta~ke ~ine popula iju na kojoj diferen i- jalna evolu ija operi{e zbog ~ega se naziva jo{ i popula ionom metodom. Zbog kori{}ewa popula ije poten ijalnih mogu}nosti za re{ewe optimiza ionog 83 problema, diferen ijalna evolu ija vrlo retko konvergira ka lokalnom opti- mumu {to je ~ini mo}nim algoritmom za tra`ewe globalnog optimuma razmatra- nog optimiza ionog problema. Autori ove metode su Rainer Storn i Kenneth Price (videti [66]). Daqe se daje kratak opis diferen ijalne evolu ije i nekih wenih poboq{awa na primeru tra`ewa minimuma funk ije (6.3). Za vi{e detaqa o ovoj metodi videti u [54]. 6.2.1 Opis metode Kreirawe po~etne popula ije U prostoruR n u okviru domena funk ije f kreira se popula ija odNp ta~aka Mj(x1,j, . . . xn,j), j = 1, . . . , Np ~ije se koordinate formiraju na slede}i na~in: xi,j = (xi)min + randi() · ((xi)max − (xi)min), i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , Np (6.4) gde je randi() generator slu~ajnih brojeva ravnomerno raspore|enih u intervalu (0, 1). Grani~nim vrednostima (xi)min i (xi)max se defini{u grani e po~etne oblasti u okviru domena funk ije gde se vr{i rasejavawe ta~akaMj . Ove grani e se mogu uzeti po voqi vode}i ra~una da oblast rasejavawa bude dovoqno velika radi obuhvatawa tra`enog minimuma. U toku daqeg rada ove grani e se mogu i naru{avati izuzev u slu~ajevima kada su za pojedine promenqive xj nametnuta ograni~ewa optimiza ionim zadatkom pa se mora vr{iti provera wihovog zado- voqewa i vr{iti interven ije ako se desi wihovo naru{avawe. Nakon kreirawa po~etne popula ije, za svaku ta~ku popula ije Mj vr{e se opera ije muta ije, ukr{tawa i selek ije. Muta ija Svakoj ta~ki popula ije Mj pridru`uje se mutirani vektor polo`aja −→r ∗j na slede}i na~in −→r ∗j = −→r w1 + F · (−→r w2 −−→r w3), w1, w2, w3 ∈ {1, . . . , Np} (6.5) gde su −→r w1, −→r w2 i −→r w3 vektori polo`aja slu~ajno izabranih ta~aka iz popu- la ije Mw1, Mw2 i Mw3 takvih da je Mw1 6≡ Mw2 6≡ Mw3 6≡ Mj , a F je faktor 84 muta ije ~ija se vrednost bira iz intervala [0, 2]. Ova {ema formirawa vektora −→r ∗j = (x∗1,j x∗2,j . . . x∗n,j)T ∈ Rn×1 je poznata pod oznakom DE/rand/1 i jedna je od najkori{}enijih u praksi zbog vrlo dobrih karakteristika koje je pokazala wena primena u re{avawu raznovrsnih optimiza ionih problema. Za ostale {eme videti [54]. Ukr{tawe Kreira se probni vektor polo`aja −→r ∗∗j = (x∗∗1,j x∗∗2,j . . . x∗∗n,j)T ∈ Rn×1, koji se pridru`uje ta~kiMj, me{awem koordinata vektora −→r j i −→r ∗j na slede}i na~in: x∗∗i,j = { x∗i,j , ako je randi() 6 Cr ∨ i = Rndi() xi,j , ako je randi() > Cr ∨ i 6= Rndi() (6.6) gde su Rndi() generator slu~ajnih elih brojeva iz skupa {1, 2, . . . , n}, a Cr je faktor ukr{tawa ~ija se vrednost bira iz intervala [0, 1]. Opisani postupak ukr{tawa poznat je u literaturi kao binomno ukr{tawe i ono se naj~e{}e ko- risti. Osim wega postoji i eksponen ijalno ukr{tawe koje je detaqno opisano u [67]. Neka su optimiza ionim zadatkom ograni~ene slede}e promenqive: (xi)min 6 xi 6 (xi)max, i ∈ {l1, . . . , lm} ⊂ {1, . . . , n} . (6.7) Nakon opera ije ukr{tawa, provera naru{avawa ovih grani a i eventualna ko- rek ija vrednosti koordinata vr{i se po slede}em pravilu [54]: x∗∗i,j = { x∗∗i,j + randi() · ((xi)max − x∗∗i,j), ako je x∗∗i,j > (xi)max x∗∗i,j − randi() · (x∗∗i,j − (xi)min), ako je x∗∗i,j < (xi)min (6.8) Selek ija Ako se dobije da je f(−→r j) < f(−→r ∗∗j ) onda se ta~kaMj zadr`ava u popula iji, a ako se dobije f(−→r j) > f(−→r ∗∗j ) onda se ta~ka Mj zamewuje ta~kom M∗∗j koja je odre|ena vektorom polo`aja −→r ∗∗j . Kao {to se iz navedenog opisa vidi, diferen ijalna evolu ija se kontroli{e preko parametara Np, F i Cr. Iskustva iz literature u pogledu primene difer- en ijalne evolu ije govore o tome da je ona najmawe osetqiva na vrednost Np, a najvi{e osetqiva na vrednosti faktora muta ije F i faktora ukr{tawa Cr. Teorijski, broj jedinki u popula iji treba da bude Np > 4. U ovoj diserta iji je uzetoNp = 2n. [to se ti~e vrednosti faktora F i Cr, prema [54] dobro je po~eti 85 sa vrednostima F = 0.5 i Cr = 0.9 koje se prema brzini konvergen ije tra`enom re{ewu mogu smawiti ili pove}ati prilikom slede}eg pokretawa algoritma. 6.2.2 Neka od poboq{awa diferen ijalne evolu ije U prethodnom delu je dat opis klasi~ne varijante diferen ijalne evolu ije. Me|utim, u literaturi su se pojavili radovi koji su se bavili poboq{awem karakteristika ove metode. Mi }emo ova poboq{awa prikazati na prethodno kori{}enom primeru minimiza ije funk ije f(x1, x2, . . . , xn). Kori{}ewe jedne popula ije sa trenutnim a`urirawem Umesto da se ta~ka Mj , odnosno, M ∗∗ j deponuje u novu popula iju na kojoj }e se vr{iti opera ije muta ije, ukr{tawa i selek ije nakon zavr{etka ovih opera ija na ~lanovima teku}e popula ije, ta~ka M∗∗j direktno zamewuje ta~ku Mj u teku}oj popula iji ako je f(M ∗∗ j ) < f(Mj). Na ovaj na~in se stalno radi sa jednom popula ijom koja se a`urira posle opera ije selek ije ako je prethodna nejednakost zadovoqena. Kada se na posledwoj ta~ki popula ije izvr{e opera ije muta ije, ukr{tawa i selek ije prelazi se na prvu ta~ku i po~iwe se novim iklusom ovih opera ija. Sa ponavqawem se nastavqa sve dok se dostigne zadati broj ponavqawa Gmax opera ija diferen ijalne evolu ije na svim ~lanovima popula ije ili se dostigne zadata ta~nost fbest < 10 −p , p ∈ N. Ovde je sa fbest ozna~ena najmawa vrednost funk ije iqa f koja je dostignuta na ~lanovima popula ije. Ova varijanta poboq{awa diferen ijalne evolu ije je izlo`ena u [7]. Trigonometrijska muta ija U referen i [29] je uvedena modifika ija opera ije muta ije uvo|ewem tako zvane trigonometrijske muta ije. U [5] je na problemima optimiza ije u hemi- jskom in`ewerstvu pokazano poboq{awe performansi diferen ijalne evolu ije ovakvom varijantom muta ije. Modifikovana varijanta muta ije glasi −→r ∗j =   ako je rand() > Mt −→r w1 + F · (−→r w2 −−→r w3), w1, w2, w3 ∈ {1, . . . , Np} ako je rand() < Mt−→r w1+−→r w2+−→r w3 3 + (p2 − p1)(−→r w1 −−→r w2) + (p3 − p2)(−→r w2 −−→r w3)+ +(p1 − p3)(−→r w3 −−→r w1) (6.9) 86 gde je: p∗ = |f(−→r w1) + f(−→r w2) + f(−→r w3)|, p1 = f( −→r w1) p∗ , p2 = f( −→r w2) p∗ i p3 = f( −→r w3) p∗ . SaMt je ozna~ena verovatno}a modifikovane muta ije (0 6 Mt 6 1). Automatski izbor vrednosti parametara F i Cr Zbog osetqivosti diferen ijalne evolu ije na izbor vrednosti za parametre F i Cr, u [39] je predlo`ena varijanta diferen ijalne evolu ije u kojoj parametar F nije konstantan u toku kori{}ewa diferen ijalne evolu ije ve} se on pri svakom novom formirawu mutiraju}eg vektora generi{e kao slu~ajan broj po zakonu ravnomerne raspodele iz opsega [−1,−0.4] ∪ [0.4, 1].Autori referen e [39] su posredstvom ovakvog na~ina izbora parametra F i modifika ijom u pro esu muta ije, koja se ogleda u tome{to se za −→r w1 od tri slu~ajnoizabrana vektorabira onaj za koji funk ija iqa ima najmawu vrednost, postigli zana~ajno poboq{awe performansi u odnosu na klasi~nu varijantu diferen ijalne evolu ije. Daqe, u [49] je predlo`eno da parametar Cr bude samoprilagodqiv na taj na~in {to se on pri svakoj itera iji izra~unava kao Cr = N(0.5, 0.15) gde je N(0.5, 0.15) generator normalno raspodeqenih slu~ajnih brojeva ~ija je sredwa vrednost 0.5, a standardno odstupawe 0.15. U ovoj diserta ijiformirana je i kori{}ena varijanta diferen ijalne evolu- ije u kojoj su objediwene sve prethodno navedene modifika ije. Ova varijanta je ozna~ena sa MTSA-DF. S obzirom na izlo`eno, u Dodatku A je dat pseudo kod varijante MTSA-DF diferen ijalne evolu ije, a u Dodatku B je prilo`en wen MATLAB kod. Glava 7 ZAKQU^AK Uovoj doktorskoj diserta iji razmatrano je brahistohronokretawemehani~kih sistema sa realnim vezama gde se sila otporamodeliralaKulonovom silom trewa. Te`i{te razmatrawa je bilo na slu~aju brahistohronog kretawa materijalne ta~ke u prisustvuKulonove sile trewaipro{irewudobijenihrezultata na slu~aj vezanog sistema krutih tela sa realnim unilateralnim vezama. Nakon uvoda, u kome je dat pregled dosada{wih rezultata vezanih za brahistohroni problem, daqa razmatrawa u diserta iji se mogu podeliti na tri glavne eline. Prva elinaobuhvata glave 2i 3 u kojima jeformulisanire{enukona~nomob- liku (analiti~ko re{ewe izra`eno preko elementarnihfunk ija) brahistohroni problem sa Kulonovim trewem materijalne ta~ke koja se kre}e du` hrapave krive u homogenom gravita ionom poqu uz pretpostavku da je po~etna brzina materi- jalne ta~ke razli~ita od nule. U glavi 2 se hrapava kriva du` koje se kre}e ta~ka tretirala kao zadr`avaju}a (bilateralna) veza, a u glavi 3 kao nezadr`avaju}a (unilateralna) veza. Problem je re{en primenom varija ionog ra~una. Novina u tretirawu ove problematike varija ionim ra~unom, izlo`ena u diserta iji, sastoji se u uvo|ewu pretpostavke o znaku projek ije normalne komponente reak- ije krive na normalu (slu~aj bilateralne veze), odnosno, uslova o nenapu{tawu krive (slu~aj unilateralne veze) kao posebnog dodatnog ograni~ewa u vidu ne- jednakosti. Daqe je ova nejednakost transformisana u jednakost uvo|ewem nove veli~ine stawa. Problem se u po~etnoj fazi re{avawa formuli{e kao vezani varija ioni problem a zatim se uvo|ewem spe ijalne transforma ije veli~ina stawa prevodi u slobodan varija ioni problem kod koga se javqaju ekstremale sa prelomima. Jedna~ine brahistohrone su dobijene u parametarskom obliku gde je za parametar uzet ugao nagiba tangente na brahistohronu. U slu~aju zadr`avaju}e 88 veze pokazano je da je u op{tem slu~aju brahistohrona dvosegmentna kriva sa po~etnim linijskim segmentom u obliku parabole pri kosom hi u u neotpornoj sredini. Pri tome su razmatrane dve varijante i to u prvoj varijanti je bio zadat po~etni i krajwi polo`aj ta~ke, a u drugoj je bio zadat po~etni polo`aj ta~ke a krajwi se nalazio na zadatoj vertikalnoj pravoj. U slu~aju nezadr`avaju}e veze sa po~etnom brzinom ta~ke zadatog intenziteta i prav a i krajwom brzinom zadatog prav a pokazano je da je u op{tem slu~aju brahistohrona trosegmentna kriva sa po~etnim i zavr{nim linijskim segmentom u obliku parabole pri kosom hi u u neotpornoj sredini. Pokazano je da se dobijeni rezultati za spe ijalne vrednosti parametara sistema svode na poznate rezultate iz literature. U param- etarskim jedna~inama brahistohrone figuri{e odre|eni broj nepoznatih param- etara koji su odre|enire{avawemodgovaraju}eg sistemanelinearnihalgebarskih jedna~ina. U situa ijama kada je te{ko pretpostaviti po~etno re{ewe ovog sis- tema za koje }e Wutn-Rapsonova metoda da konvergira ukazano je na jedan alter- nativni metod re{avawa koji se zasniva na transforma iji problema re{avawa sistema jedna~ina u problem tra`ewaminimuma odgovaraju}efunk ije iqa pri- menom diferen ijalne evolu ije koja predstavqa optimiza ionu metodu za odre- |ivawe globalnog ekstremuma funk ija. S tim u vezi, u glavi 6 je dat kratak opis ove metode i prikazana jedna poboq{ana varijanta za koju je u glavi 9 prilo`en kod u programskom jeziku Matlab. U drugoj elini, koja predstavqa glavu 4, ilustrovana je primena rezultata iz glava 2 i 3 na konkretnom tehni~kom objektu-instala iji za transport gran- ulastog materijala. Kod ovog tehni~kog objekta optimizuje se oblik profila kanala du` koga se pod dejstvom sile te`ine transportuje granulasti materijal. Pri tome, kriterijumi optimiza ije mogu biti minimiza ija vremena trans- porta materijala, minimiza ija gubitaka mehani~ke energije tokom transporta usled Kulonove sile trewa itd. U literaturi se u re{avawu ovih optimiza- ionih problema koristio model materijalne ta~ke predstavqen u glavama 2 i 3 pod pretpostavkom da se granulasti materijal tokom kretawa kanalom ubrzava. Me|utim dobijeni rezultati u literaturi u slu~aju minimiza ije vremena trans- porta granulastog materijala bazirani su na velikim upro{}avawima vezanim za uti aj Kulonove sile trewa a u slu~aju mawe restriktivnih pojednostavqewa problem se re{avao numeri~ki. S obzirom na ovo, rezultati iz glava 2 i 3 pred- stavqaju potpuno analiti~ko re{ewe navedenog optimiza ionog zadatka. Osim toga, primenom postupka iz ovih glava re{en je u analiti~kom obliku i prob- lem optimalnog oblika profila odvodnog kanala pri kome su gubi i mehani~ke 89 energije usled Kulonove sile trewa minimalni. Izvr{eno je pore|ewe dobi- jenih rezultata sa postoje}im rezultatima iz literature za ovaj optimiza ioni zadatak. U tre}oj elini, koja je predstavqena u vidu glave 5, analizirano je brahis- tohrono kretawe vezanog sistema krutih tela kod koga se javqa odre|en broj unilateralnih veza koje se tretiraju kao realne. U prvom delu glave 5 razmatra se sistem sa n stepeni slobode. Nakon formula ije problema u okvirima varija- ionog ra~una, pristupa se wegovom re{avawu op{tim tehnikama primewenim u [19] i glavama 2 i 3. Pretpostavqa se da se izraz za snagu sila Kulonovog trewa sastoji od dva ~lana pri ~emu prvi ~lan predstavqa jednu funk iju od gener- alisanih koordinata i generalisanih brzina a drugi ~lan se javqa u vidu lin- earne forme po drugim izvodima generalisanih koordinata ~iji su koefi ijenti funk ije generalisanih koordinata i generalisanih brzina. Nakon formirawa Ojler-Lagran`evih jedna~ina problema i ostalih neophodnih rela ija za daqe re{avawe problema u obliku pogodnom za primenu na konkretnim tehni~kim objektima, daqa analiza je usmerena na spe ijalan mehani~ki sistem sa dva ste- pena slobode i jednom realnom unilateralnom vezom kod koga u odgovaraju}im izrazima za kineti~ku energiju kao i u izrazu za snagu sile Kulonovog trewa ne figuri{u generalisane koordinate. Uvode se nove generalisane koordinate koje kvadratnu formu kineti~ke energije sistema svode na kanonski oblik. U odnosu na novouveden ortoganalan sistem generalisanih koordinata brahistohrono kre- tawe mehani~kog sistema se geometrijski mo`e interpretirati kao kretawe jedne geometrijske ta~ke u dvodimenzionom Euklidskom prostoru. Shodno ovome tra- jektorija posmatrane geometrijske ta~ke predstavqa brahistohronu. Prethodnim postup ima je re{avawe problema dovedeno na nivo potpune analogije sa postup- kom re{avawa problema brahistohronog kretawa materijalne ta~ke iz glava 2 i 3 ove diserta ije. Detaqnom analizom je pokazano da je brahistohrona u op{tem slu~aju trosegmentna kriva. Shodno izlo`enom, nau~ni doprinos doktorske diserta ije se mo`e sa`eto izraziti kroz slede}e stavke: • rezultatiiz glave 2predstavqaju uop{tewerezultataiz referen i [6, 35, 71] kori{}ewem varija ionog ra~una na slu~aj po~etne brzine razli~ite od nule; ovi autorovi rezultati su dobili verifika iju na me|unarodnom nivou prihvatawem za {tampu u ~asopisu sa SCI liste (referen a [64]) • rezultati iz glave 3 predstavqaju uop{tewe rezultata iz referen e [65] na 90 slu~aj prisustva Kulonove sile trewa; pokazano je da je u op{tem slu~aju brahistohrona trosegmentna kriva sa po~etnim i zavr{nim linijskim seg- mentom u obliku parabole pri kosom hi u u neotpornoj sredini; dobijeni rezultati u ovoj glavi predstavqaju tako|e i pro{irewe odre|enih rezul- tata iz referen e [18] • u glavi 4 je ukazano na primenu rezultata iz glava 2 i 3 na probleme opti- miza ije kod instala ija za odvod granulastog (sitnozrnastog) materijala i ukazano na poboq{awa u odnosu na rezultate iz referen e [13]; u okviru ove glave za razmatrani tehni~ki objekt je analiti~ki re{en i problem odre|i- vawa optimalnog oblika profila kanala za odvod granulastog materijala iz uslova da gubi i mehani~ke energije materijala usled dejstva Kulonove sile trewa budu minimalni. Ukazano je na prednosti primewenog postupka u odnosu na postupak re{avawa ovog problema u referen i [52] • rezultati iz glave 5 predstavqaju pro{irewerezultataiz referen i [19, 25] na slu~aj brahistohronog kretawa sistema krutih tela sa realnim unilat- eralnim vezama; dobijeni rezultati su pogodni za daqu simboli~ku ili numeri~ku obradu za konkretne tehni~ke objekte • iznesen je jedan na~in za prevazila`ewe pote{ko}a vezanih za problem nu- meri~kog re{avawa nelinearnih sistema algebarskih jedna~ina; data je odgovaraju}a programska podr{ka Glava 8 PRAVCI DAQEG RAZVOJA Sprovedenim istra`ivawima i dobijenim rezultatima u ovoj diserta iji stvorena je osnova za daqaistra`ivawauoblastibrahistohronog kretawamehani- ~kih sistema. Zbog visokog stepena nelinearnosti jedna~ina i izraza koji karak- teri{u ovu problematiku, naro~ito u prisustvu Kulonove sile trewa, dobijawe analiti~kog re{ewa problema je naj~e{}e nemogu}e izuzev u nekim spe ijalnim slu~ajevima. Zbog toga je izuzetno va`no razvijawe efikasnih numeri~kih postu- paka za re{avawe problema brahistohronog kretawamehani~kih sistema sa real- nim vezama. U tom smislu, imaju}i u vidu trenutni trend u literaturi o sve ve}oj primeni diferen ijalne evolu ije kao optimiza ione metode u re{avawu prob- lema optimalnog upravqawa, u daqim istra`ivawima treba usmeriti pa`wu na iznala`ewe efikasnih na~ina primene diferen ijalne evolu ije u numeri~kom tretmanu brahistohronog problema sistema krutih tela. U glavi 4diserta ije uspe{no je ilustrovanaprimenarezultataimetodologije iz glava 2 i 3 na probleme optimiza ije kod instala ija za transport granulastog materijala. Primena modela materijalne ta~ke koja se kre}e po hrapavoj krivoj u prou~avawu ove problematike uslovqena je pretpostavkom da se granulasti ma- terijal ubrzava pri transportu du` odvodnog kanala. Shodno tome interesantno bi bilo prou~iti kakav bi bio uti aj na optimalan oblik profila odvodnog kanala ako bi se ova pretpostavka ukqu~ila kao posebno ograni~ewe u varija- ionoj formula iji problema. S aspekta primene interesantna je i problematika u referen i [58]. Tu ostaje da se razmotri uti aj sile trewa na optimalan oblik rotiraju}eg {tapa koji obezbe|uje da alka klize}i po wemu stigne na wegov kraj za najkra}e vreme. Daqa istra`ivawa u oblasti brahistohronog kretawa sistema krutih tela sa 92 realnim vezama pomo}u varija ionog ra~una trebalo bi usmeriti i na slu~ajeve kada generalisane sile upravqawa imaju uti aja na zakon o promeni ukupne mehani~ke energije sistema. Ovo je ~est slu~aj u roboti i gde generalisane up- ravqa~ke sile poti~u od pogonskih sila i pogonskih spregova sila u zglobovima robota. Opisani postupak re{avawa problema iz glave 5 primenom varija ionog ra~una zahteva odre|ivawe rasporeda linijskih segmenata na ekstremali. U tom smislu bi za slu~ajeve kada se brahistohrona mo`e sastojati iz vi{e od dva ra- zli~ita tipa linijskih segmenata trebalo usmeriti istra`ivawa na iznala`ewe efikasnog metoda za utvr|ivawe strukture brahistohrone kao vi{esegmentne krive. Ovim su navedeni samo neki od nau~nih problema koje je autor uo~io u toku izrade ove diserta ije, a koji mogu poslu`iti kao osnova za daqa istra`ivawa. Naravno da je raznolikost problema iz ove oblasti mnogo ve}a {to ~ini oblast brahistohronog kretawa mehani~kih sistema vrlo aktuelnom i plodonosnom obla{}u za daqa istra`ivawa. LITERATURA [1] Akulenko, L. D.: An analog of the classical brachistochrone for a disk.Doklady Physics, 53(3) (2008), pp.156-159. [2] Alipanah, A., Razzaghi, M., Dehghan, M.: Nonclassical pseudospectral method for the solution of brachistochrone problem. Chaos, Solitons and Fractals, 34 (2007), pp. 1622-1628. [3] Aljancˇic´, S.: Matematika II (Varijacioni racˇun), Privredno finansijski vodicˇ- OECONOMICA, Beograd, 1972. [4] Andjelic´, T., Stojanovic´, R.: Racionalna mehanika, Zavod za izdavanje udzˇbenika, Beograd, 1965. [5] Angira, R., Santosh, A.: Optimization of dynamic systems: A trigonometric differential evolution approach.Computers and Chemical Engineering, 31 (2007), pp. 1055-1063. [6] Ashby, N., Brittin, W. E., Love, W. F., Wyss, W.: Brachistochrone with Coulomb friction. American Journal of Physics, 43(10) (1975), pp. 902- 906. [7] Babu, B.V., Angira, R.: Modified differential evolution (MDE) for optimization of non-linear chemical processes. Computers and Chemical Engineering, 30 (2006), pp. 989-1002. [8] Bestle, D., Eberhard,P.: Optimizaton of a contact surface. Structural and Multidisciplinary Optimization, 25 (2003), pp. 339-345. [9] Bryson, A.E., Ho, Y.C.: Applied optimal control, Hemisphere Publishing Cor- poration, Washington, 1975. 94 [10] Qernousьko, F.L., Bolotnik, N.N., Gradecki, V.G.: Ma- nipulcionnye roboty: Dinamika, upravlenie, optimizaci, Nauka, Moskva, 1989. [11] Chapra, S. C., Canale, R. P.: Numerical methods for engineers: with software and programming applications, 4th ed. New York: McGraw Hill 2002. [12] Charlton, W. H., Roberts, A. W.: Chute profile for maximum exit velocity in gravity flow of granular material. Journal of Agricultural Engineering Research, 15(3) (1970), pp. 292-294. [13] Charlton, W. H., Chiarella, C., Roberts, A. W.: Gravity flow of granular ma- terials in chutes: optimizing flow properties. Journal of Agricultural Engi- neering Research, 20 (1975), pp. 39-45. [14] Cˇovic´, V., Veskovic´, M.: Extension of the Bernoulli’s case of brachistochronic motion to the multibody system having the form of a kinematic chain with external constraints. European Journal of Mechanics A/Solids, 21 (2002), pp. 347-354 . [15] Cˇovic´, V., Lukacˇevic´, M.: Extension of the Bernoulli’s case of a brachistochronic motion to the multibody system in the form of a closed kinematic chain. Facta Universitatis, Series: Mechanics, Automatic Control and Robotics, 2(9) (1999), pp. 973-982. [16] Cˇovic´, V., Lukacˇevic´, M.: On brachistochronic motions of non-conservative dynamical systems. Theoretical and Applied Mechanics, 7 (1981), pp. 41-50. [17] Cˇovic´, V., Lukacˇevic´, M.: O brahistohronom kretanju neholonomnih mehanicˇkih sistema. Zbornik radova: 16. JUGOSLOVENSKI KONGRES TEORIJSKE I PRIMENJENE MEHANIKE, Becˇic´i, 28.maj-1. juni 1984., pp. 17-24. [18] Cˇovic´, V., Veskovic´, M.: Brachistochrone on a surface with Coulomb friction. International Journal of Non-Linear Mechanics, 43(5) (2008), pp. 437- 450. [19] Cˇovic´, V., Veskovic´, M.: Brachistohronic motion of a multibody sys- tem with Coulomb friction. European Journal of Mechanics A/Solids, DOI:10.1016/j.euromechsol.2008.12.009 (in press) 95 [20] Cˇovic´, V., Lukacˇevic´, M., Veskovic´, M.: On brachistochronic motions, Mono- graphical Booklets in Applied & Computers Mathematics, PMMM, Budapest, (2007). [21] Cruz, P.A.F., Torres, D.F.M.: Evolution strategies in optimization problems. Proceedings of the Estonian Academy of Sciences, Physics, Mathe- matics, 56(4) (2007), pp. 299-309. [22] Djukic´, Dj.: The brachistochronic motion of a gyroscope mounted on the gim- bals. Theoretical and Applied Mechanics, 2 (1976), pp. 37-40. [23] Djukic´, Dj.: On the brachistochronic motion of a dynamic system. Acta Me- chanica, 32 (1979), pp. 181-186. [24] Djukic´, Dj., Atanackovic´, T. M.: A note on the classical brachistochrone. Jour- nal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), 27 (1976), pp. 677- 681. [25] Djuric´, D.: On brachistochronic motion of a multibody system with real con- straints. FME Transactions, 35 (2007), pp. 183-187. [26] Dooren, R. V., Vlassenbroeck, J.: A new look at the brachistochrone problem. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), 31 (1980), pp. 785-790. [27] Drummond, J. E., Downes, G. L.: The brachistochrone with acceleration: A running track. Journal of Optimization Theory and Applications, 7(6) (1971), pp. 444-449. [28] Зlьsgolьc, L. З.: Variacionnoe isqislenie, Gostehteorizdat, Moskva, 1958. [29] Fan, H.Y., Lampinen, J.: A trigonometric mutation operation to differential evolution. Journal of Global Optimization, 27 (2003), pp. 105-129. [30] Formal’skii, A. M.: The time-optimal control of the bending of a plane two-link mechanism. Journal of Applied Mathematics and Mechanics (PMM), 60(2) (1996), pp. 243-251. [31] Gantmaher, F. R.: Lekcii po analitiqesko mehanike, Nauka, Moskva, 1966. 96 [32] Gelьfand, I. M., Fomin, S. V.: Variacionnoe isqislenie, Fizmat- giz, Moskva, 1961. [33] Gregory, J., Lin, C.: An unconstrained calculus of variations formulation for generalized optimal control problems and for the constrained problem of Bolza. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 187 (1994), pp. 826-841. [34] Gregory, J., Lin, C.: Constrained optimization in the calculus of variations and optimal control theory, Van Nostrand Reinhold, New York,1992. [35] Hayen, J. C.: Brachistochrone with Coulomb friction. International Journal of Non-Linear Mechanics, 40 (2005), pp.1057-1075. [36] Hirsch, M. J., Meneses, C. N., Pardalos, P. M., Resende, M. G. C.: Global optimization by continuous grasp. Optimization Letters, 1(2) (2007), pp. 201-212. [37] Hu, G.S., Ong, C.J., Teo, C.L.: Minimum-time control of a crane with simulta- neous traverse and hoisting motions. Journal of Optimization Theory and Applications, 120(2) (2004), pp.395-416. [38] Julstrom, B. A.: Evolutionary Algorithms for Two Problems from the Calculus of Variations. In: Lecture Notes in Computer Science, Genetic and Evolutionary Computation-GECCO, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003.,pp. 2402-2403. [39] Kaelo, P., Ali, M.M.: A numerical study of some modified differential evolution algorithms. European Journal of Operational Research, 169 (2006), pp. 1176-1184. [40] Karr, C. L., Weck, B., Freeman, l. M.: Solutions to systems of nonlinear equa- tions via a genetic algorithm. Engineering Applications of Artificial In- telligence, 11 (1998), pp. 369-375. [41] Kirk, D. E.: Optimal control theory, Prentice-Hall, 1970. [42] Lancox, K.: Variacionnye principy mehaniki, Mir, Moskva, 1965. [43] Lipp, S. C.: Brachistochrone with Coulomb friction. SIAM Journal on Con- trol and Optimization, 35(2) (1997), pp. 562-584. [44] Lurьe, A. I.: Analitiqeska mehanika, Fizmatgiz, Moskva, 1961. 97 [45] Maisser, P.: Brachystochronen als zeitku¨rzeste Fahrspuren von Bobschlitten. Zeitschrift fu¨r Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM), 78(5) (1998), pp. 311-319. [46] Martinez, J. M.: Algorithms for solving nonlinear systems of equations. In: Spedicato, E. (ed.) Continuous Optimization: The State of the Art, pp. 81– 108, Kluwer 1994. [47] Matrosov, V. M., Finogenko, I. A.: The solvability of the equations of motion of mechanical systems with sliding friction. Journal of Applied Mathematics and Mechanics (PMM), 58(6) (1994), pp. 945-954. [48] Obradovic´, A., Markovic´, S.: Brahistohrono ravno kretanje krutog tela. Zbornik radova: SIMPOZIJUM IZ OPSˇTE MEHANIKE, Novi Sad, 29. i 30. septembar 1994., pp. 115-122. [49] Omran, M.G.H., Salman, A., Engelbrecht, A.P.: Self-adaptive differential evo- lution. In: Hao, Y. et al.(Eds.) Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinfor- matics), 3801 LNAI, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005., pp. 192-199. [50] Papastavridis, J. G.: On a Lagrangean action based kinetic instability theorem of Kelvin and Tait. International Journal of Engineering Science, 24(1) (1986), pp. 1-17. [51] Variacionnye principy mehaniki (sbornik state), Fizmatgiz, Moskva, 1959. [52] Parbery, R.D.: Optimization of gravity flow discharge chutes for maximum exit velocity under Coulomb friction. Engineering Optimization, 10 (1987), pp.297-307. [53] Pejovic´, T.: Diferencijalne jednacˇine, Naucˇna knjiga, Beograd, 1979. [54] Price, K. V., Storn, R. M., Lampinen, J. A.: Differential Evolution: A Practical Approach to Global Optimization, 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2005. [55] Razzaghi, M.,Sepehrian, B.: Single-term walsh series direct method for the solu- tion of nonlinear problems in the calculus of variations. Journal of Vibration and Control, 10 (2004), pp.1071-1081. 98 [56] Roberts, A. W.: Chute performance and design for rapid flow conditions. Chemical Engineering and Technology, 26(2) (2003), pp.163-170. [57] Roberts, A. W.: An investigation of the gravity flow of noncohesive granular materials through discharge chutes. Trans. ASME, Journal of Engineering for Industry, 91(2) (1969), pp. 373-381. [58] Ribberfors, R., Rietz, A.: A study of a rotating rod carrying a collar using Lagrange’s equation of motion and variational calculus. European Journal of Physics, 21 (2000), pp. 151-157. [59] Xevqenko, K. N.: Optimalьnoe po vremeni dviжenie toqki pod destviem sistemy centralьnyh sil. Mehanika Tverdogo Tela, 19(6) (1984), pp. 28-34. [60] Xevqenko, K. N.: Brahistohrona i princip naimenьxego destvi. Mehanika Tverdogo Tela, 21(2) (1986), pp. 40-46. [61] Sˇalinic´, S.: Dynamics of elastic-properties-having interconnected bodies sys- tems. Zbornik radova: Fourth International Conference Heavy Machinery- HM’02 Kraljevo, 27-30 Jun 2002., pp. F.53-F.56. [62] Sˇalinic´, S.: Dinamika sistema krutih tela sa realnim vezama sa primenom na tehnicˇke objekte, magistarska teza, Masˇinski fakultet Beograd, 2003. [63] Sˇalinic´, S.: Modelling of a light elastic beam by a system of rigid bodies. Theoretical and Applied Mechanics, 31(3-4) (2004), pp. 395-410. [64] Sˇalinic´, S.: Contribution to the brachistochrone problem with Coulomb friction. Acta Mechanica, DOI 10.1007/s00707-008-0134-3, (in press) [65] Stork, D.G., Yang, J.: The general unrestrained brachistochrone. American Journal of Physics, 56(1) (1988), pp. 22-26. [66] Storn, R., Price, K.: Differential evolution-A simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces. Journal of Global Optimiza- tion, 11 (1997), pp. 341-359. [67] Zaharie, D.: A comparative analysis of crossover variants in differential evolu- tion. In:Ganzha,M., Paprzycki,M.,Pelech-Pilichowski, T. (Eds.)Proceedings of the International Multiconference on Computer Science and Information Tech- nology IMCSIT 2007, Wisla, Poland, 15-17 october 2007., pp.171-181. 99 [68] Zekoviq, D.: O brahistohronnom dviжenii mehaniqesko sistemy s negolonomnymi nelinenymi i nestacionarnymi svzmi. Prik- ladna matematika i mehanika 54(6) (1990), pp. 931-935. [69] Zekovic´, D., Cˇovic´, V.: On the brachistochronic motion of mechanical systems with linear nonholonomic nonhomogeneous constraints.Mechanics Research Communications, 20(1) (1993), pp. 25-35. [70] Valentine, F. A.: The problem of Lagrange with differential inequalities as added side conditions. Contributions to the calculus of variations, 1933-1937, Univ. of Chicago Press 1937, pp. 407-448. [71] Van der Heijden, A. M. A., Diepstraten, J. D.: On the brachystochrone with dry friction. International Journal of Non-Linear Mechanics, 10 (1975), pp. 97-112. [72] Van Willigenburg, L. G., Loop, R. P. H.: Computation of time-optimal con- trols applied to rigid manipulators with friction. International Journal on Control, 54(5) (1991), pp. 1097-1117. [73] Vujanovic´, B.D., Spasic´, D.T.: Metodi optimizacije, Univerzitet u Novom Sadu, Fakultet tehnicˇkih nauka, Novi Sad, 1997. [74] Vukovic´, J.: O odred¯ivanju veza za kretanje sa minimalnim gubitkom mehanicˇke energije. Zbornik radova: SIMPOZIJUM IZ OPSˇTE MEHANIKE, Novi Sad, 29. i 30. septembar 1994., pp. 31-38. [75] Vratanar, B., Saje, M.: On the analytical solution of the brachistochrone prob- lem in a non-conservative field.International Journal of Non-Linear Me- chanics, 33(3) (1998), pp. 489-505. [76] Wensrich, C. M.: Evolutionary solutions to the brachistochrone problem with Coulomb friction. Mechanics Research Communications, 31 (2004), pp. 151-159. [77] Wensrich, C. M.: Evolutionary optimisation in chute design, Powder Tech- nology, 138 (2003), pp. 118-123. Glava 9 DODACI 9.1 DODATAK A Pseudo kod MTSA−DF Ulaz: f , n, Np, (xi)min, (xi)max, {l1, . . . , lm},Mt, Gmax Stvarawe po~etne popula ije {−→r 1,−→r 2, . . . ,−→r Np} for each j ∈ {1, . . . , Np} xi,j = (xi)min + randi() · ((xi)max − (xi)min), i = 1, . . . , n end for each Odre|ivawe vrednosti funk ije iqa f u svakoj ta~ki popula ije: f(−→r j) , ∀j ∈ {1, . . . , Np} kao i fmin G = 1 while G = Gmax do forall j 6 Np generisawe slu~ajnih brojeva r1, r2, r3 ∈ {1, . . . , Np}, j 6= r1 6= r2 6= r3 odre|ivawe brojeva w1, w2, w3 takvih da je (f(−→r w1) < f(−→r w2) < f(−→r w3)) ∧ (w1, w2, w3 ∈ {r1, r2, r3}) generisawe slu~ajnog broja irand ∈ {1, . . . , n} F = sign ((2 · rand()− 1)) · (0.6 · rand() + 0.4) Cr = 0.15 · randn() + 0.5 if randj() > Mt forall i 6 n 101 x∗∗i,j =   ako je randi() 6 Cr ∨ i = irand : xi,w1 + F · (xi,w2 − xi,w3); ako je randi() > Cr ∨ i 6= irand : xi,j if i ∈ {l1, . . . , lm} ∧ x∗∗i,j > (xi)max x∗∗i,j = x ∗∗ i,j + randi() · ((xi)max − x∗∗i,j) end if if i ∈ {l1, . . . , lm} ∧ x∗∗i,j < (xi)min x∗∗i,j = x ∗∗ i,j − randi() · (x∗∗i,j − (xi)min) end if end forall else izra~unavawe vrednosti: p∗ = |f(−→r r1) + f(−→r r2) + f(−→r r3)|, p1 = f( −→r r1) p∗ , p2 = f( −→r r2) p∗ , p3 = f( −→r r3) p∗ forall i 6 n x∗∗i,j =   ako je randi() 6 Cr ∨ i = irand : xi,r1+xi,r2+xi,r3 3 + (p2 − p1)(xi,r1 − xi,r2) + (p3 − p2)(xi,r2 − xi,r3)+ +(p1 − p3)(xi,r3 − xi,r1); ako je randi() > Cr ∨ i 6= irand : xi,j if i ∈ {l1, . . . , lm} ∧ x∗∗i,j > (xi)max x∗∗i,j = x ∗∗ i,j + randi() · ((xi)max − x∗∗i,j) end if if i ∈ {l1, . . . , lm} ∧ x∗∗i,j < (xi)min x∗∗i,j = x ∗∗ i,j − randi() · (x∗∗i,j − (xi)min) end if end forall end if randj() > Mt if f(−→r ∗∗j ) 6 f(−→r j) −→r j = −→r ∗∗j ; f(−→r j) = f(−→r ∗∗j ); end if end forall j 6 Np; odre|ivawe fmin G = G+ 1 end while G = Gmax [tampawe rezultata. 102 9.2 DODATAK B Kod u programskom jeziku Matlab function [best,Xbest]=MTSA-DA(fname,n,Np,Mt,Gmax,Xmin,Xmax); pop=zeros(Np,n(1)); X=zeros(1,n(1)); Xbest=zeros(1,n(1)); val=zeros(1,Np); ibest=1; r=zeros(1,3); a=zeros(1,3); for j=1:Np pop(j,:)=Xmin+rand(1,n(1)).*(Xmax-Xmin); val(j)=fnc(pop(j,:)); end [bestval,ibest]=min(val); Xbest=pop(ibest,:); G=1; while (GMt for i=1:n(1) if ((rand<=Cr)|(Rnd==i)) X(i)=pop(a(3),i)+F*(pop(a(1),i)-pop(a(2),i)); else X(i)=pop(j,i); end if (i<=n(2))&(X(i)>Xmax(i)) X(i)=Xmax(i)+rand*(pop(j,i)-Xmax(i)); end if (i<=n(2))&(X(i)Xmax(i)) X(i)=Xmax(i)+rand*(pop(j,i)-Xmax(i)); elseif (i<=n(2))&(X(i)