УНИВЕРЗИТЕТ У КРАГУЈЕВЦУ ПРИРОДНО-МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Ана Симовић ИСПИТИВАЊЕ ПРЕНОСНИХ КАРАКТЕРИСТИКА ВИШЕМОДНИХ ОПТИЧКИХ ВЛАКАНА СА W ИНДЕКСОМ ПРЕЛАМАЊА ДОКТОРСКА ДИСЕРТАЦИЈА Крагујевац, 2014 I. Аутор Име и презиме: Ана Симовић Датум и место рођења: 02.08.1985. Крагујевац Садашње запослење: истраживач-сарадник, Институт за физику, Природно- математички факултет, Крагујевац II. Докторска дисертација Наслов: Испитивање преносних карактеристика вишемодних оптичких влакана са W индексом преламања Број страница: 148 Број слика: 72 Број библиографских података: 72 Установа и место где је рад израђен: Природно-математички факултет, Крагујевац Научна област (УДК): физика (53) Ментор: Проф. др Светислав Савовић, редовни професор, Природно-математички факултет, Крагујевац III. Оцена и одбрана Датум пријаве теме: 11.12.2013. године Број одлуке и датум прихватања докторске дисертације: Комисија за оцену подобности теме и кандидата: 1. др Дејан Пантелић, научни саветник, Институт за физику, Београд 2. др Светислав Савовић, ментор, редовни професор, Природно-математички факултет, Крагујевац 3. др Милан Ковачевић, ванредни професор, Природно-математички факултет, Крагујевац 4.др Бранко Дрљача, доцент, Природно-математички факултет, Косовска Митровица Комисија за оцену докторске дисертације: 1. др Дејан Пантелић, научни саветник, Институт за физику, Београд 2. др Светислав Савовић, ментор, редовни професор, Природно-математички факултет, Крагујевац 3. др Милан Ковачевић, ванредни професор, Природно-математички факултет, Крагујевац 4.др Бранко Дрљача, доцент, Природно-математички факултет, Косовска Митровица Датум одбране дисертације: Овај рад је у целости урађен на Институту за физику Природно-математичког факултета Универзитета у Крагујевцу, под вођством Проф. др Светислава Савовића. Желела бих да изразим неизмерну захвалност свом ментору Проф. др Светиславу Савовићу за веру коју је имао у мене, велики труд који је уложио како би рад имао овакав облик, стрпљење, научно и животно знање које ми је пренео, свестрану и несебичну помоћ и подршку коју ми је пружао све време израде рада. Без његове подршке овај рад свакако не би био могућ. Такође се захваљујем члановима комисије, Проф. др Дејану Пантелићу, Проф. др Милану Ковачевићу, Доц. др Бранку Дрљачи који су својим интересовањем и корисним сугестијама допринели успешном завршетку ове дисертације . Захвалност дугујем и Проф. др Александру Ђорђевићу, са Градског Универзитета у Хонг Конгу, за корисне коментаре и сугестије. Огромну захвалност дугујем својој породици на сталној и безрезервној подршци коју су ми пружили током израде ове дисертације. Захваљујем се свим колегама и пријатељима, који су ми пружили подршку и помоћ. Садржај 4 СПИСАК СИМБОЛА И СКРАЋЕНИЦА...................................................................... 7 УВОД ................................................................................................................................ 11 1. ОСНОВИ ТЕОРИЈЕ СВЕТЛОСТИ ......................................................................... 15 1.1 Светлост као талас и честица ............................................................................. 15 1.2 Електромагнетни спектар................................................................................... 17 1.3 Индекс преламања.............................................................................................. 18 1.4 Преламање, одбијање и тотална унутрашња рефлексија светлости................. 18 2. ОПТИЧКО ВЛАКНО ................................................................................................. 21 2.1 Расподела индекса преламања ........................................................................... 21 2.2 Пренос светлости кроз оптичко влакно............................................................. 24 2.3 Прихватни угао................................................................................................... 26 2.4 Нумеричка апертура ........................................................................................... 27 2.5 Френелове рефлексије ........................................................................................ 29 2.6 Путања светлосних зрака у оптичком влакну ................................................... 30 2.6.1 Меридионални и искошени зраци .............................................................. 31 2.7 Модови у оптичком влакну................................................................................ 32 2.8 Слабљење снаге светлости у оптичком влакну................................................. 33 2.9 Дисперзија у оптичком влакну .......................................................................... 36 2.9.1 Модална дисперзија .................................................................................... 38 2.9.2 Хроматска дисперзија ................................................................................. 39 2.10 Пропусни опсег оптичког влакна...................................................................... 40 2.11 Класификација оптичких влакана према врсти материјала ............................. 41 2.12 Методе за анализу оптичких влакана ............................................................... 42 3. ОПТИЧКА ВЛАКНА СА W ИНДЕКСОМ ПРЕЛАМАЊА .................................. 43 3.1 Увод .................................................................................................................... 43 3.2 Механизам вођења модова кроз влакно са W индексом преламања................ 46 3.3 Таласна теорија оптичког влакна са W индексом преламања .......................... 48 3.3.1 Максвелове једначине................................................................................. 49 3.3.2 Карактеристична једначина и њено решење.............................................. 57 3.3.3 Услови одсецања мода ................................................................................ 61 3.3.4 Константа слабљења цурећих модова ........................................................ 63 3.3.5 Групна брзина и расподела снаге вођених модова .................................... 64 Садржај 5 3.3.5.1 Дисперзиона релација близу фреквенције одсецања. ............................ 64 3.3.5.2 Зависност фреквенције од групне брзине............................................... 66 3.3.5.3 Расподела снаге у сва три слоја W влакна.............................................. 68 4. ПРИМЕНА ВРЕМЕНСКИ-НЕЗАВИСНЕ ЈЕДНАЧИНЕ ПРОТОКА СНАГЕ НА ОПТИЧКА ВЛАКНА СА W ИНДЕКСОМ ПРЕЛАМАЊА............. 71 4.1 Извођење временски-независне једначине протока снаге ................................ 72 4.2 Нумерички метод решавања временски-независне једначине протока снаге . 76 4.3 Методе за одређивање коефицијента спрезања D............................................. 78 4.3.1 Метод Зубиe и сарадника............................................................................ 78 4.3.2 Метод Савовића и Ђорђевића..................................................................... 79 4.4 Примери примене временски-независне једначине протока снаге .................. 81 4.4.1 Одређивање дужине спрезања Lc мерењем пропусног опсега оптичког влакна........................................................................................................... 81 4.4.2 Одређивање дужине спрезања Lc на основу промене облика излазне угаоне расподеле снаге у оптичком влакну ............................................... 82 4.5 Методе за појачавање спрезања модова у оптичким влакнима........................ 83 4.6 Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања ............................................................................... 86 4.6.1 Нумерички метод решавања временски-независне једначине протока снаге код влакна са W индексом преламања.............................................. 86 4.6.2 Одређивање дужине zs на којој настаје стационарна расподела модова у оптичком влакну са W индексом преламања............................................. 90 4.6.3 Утицај ширине улазне угаоне расподеле снаге светлости на равнотежну и стационарну расподелу модова у W влакну............................................. 104 5. ПРИМЕНА ВРЕМЕНСКИ-ЗАВИСНЕ ЈЕДНАЧИНЕ ПРОТОКА СНАГЕ НА ОПТИЧКА ВЛАКНА СА W ИНДЕКСОМ ПРЕЛАМАЊА ......................... 110 5.1 Нумерички метод решавања временски-зависне једначине протока снаге код влакна са W индексом преламања........................................................... 110 5.1.1 Утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на преносне карактеристике влакна са W индексом преламања.................................. 115 5.1.2 Утицај угла и ширине улазног снопа светлости на преносне карактеристике влакна са W индексом преламања.................................. 123 6. ЗАКЉУЧАК .............................................................................................................. 134 Садржај 6 7. ЛИТЕРАТУРА .......................................................................................................... 141 САЖЕТАК ..................................................................................................................... 146 ИНДЕКС ПОЈМОВА .................................................................................................... 147 БИОГРАФИЈА .............................................................................................................. 148 Увод 7 СПИСАК СИМБОЛА И СКРАЋЕНИЦА А интеграциона константа a полупречник језгра оптичког влакна B интеграциона константа, пропусни опсег оптичког влакна, магнетна индукција (густина магнетног поља) b полупречник омотача оптичког влакна C интеграциона константа c брзина светлости у некој средини c0 брзина светлости у вакууму D интеграциона константа, електрична индукција, коефицијент спрезања независтан од угла d(θ) коефицијент спрезања завистан од угла dm коефицијент спрезања између модова реда m+1 и m E интеграциона константа, енергија једног фотона, јачина електричног поља Er радијална компонента вектора јачине електричног поља Ez лонгитудинална (аксијална) компонента вектора јачине електричног поља Eθ азимутална компонента вектора јачине електричног поља F интеграциона константа f фреквенција G интеграциона константа g параметар дегенерације расподеле индекса преламања H јачина магнетног поља Hr радијална компонента вектора јачине магнетног поља Hz лонгитудинална (аксијална) компонента вектора јачине магнетног поља Hθ азимутална компонента вектора јачине магнетног поља Hn (2) Ханкелова функција друге врсте n-тог реда H(z,ω) фреквентни одзив оптичког влакна h Планкова константа In модификована Беселова функција прве врсте n-тог реда i индекс дискретног корака за угао J вектор густине струје Jn Беселова функција прве врсте n-тог реда ј индекс дискретног корака за дужину Kn модификована Беселова функција друге врсте n-тог реда (модификована Веберова функција) k индекс дискретног корака за угао код W влакна Увод 8 k0 таласни број у вакууму L интеграциона константа Lc дужина спрезања l индекс дискретног корака за дужину код W влакна M интеграциона константа m азимутални број мода NA нумеричка апертура оптичког влакна n индекс преламања (нпр. n1, n2) njez индекс преламања језгра оптичког влакна nom индекс преламања омотача оптичког влакна nef ефективни индекс преламања n (i) ефективни индекс преламања i-тог мода n0 индекс преламања језгра W влакна nq индекс преламања унутрашњег омотача W влакна np индекс преламања спољашњег омотача W влакна P снага светлости Pm снага m-тог мода P0 снага светлости на улазу у влакну PL снага светлости на излазу из влакна Pjez проток снаге у језгру W влакна Puo проток снаге у унутрашњем омотачу W влакна Pso проток снаге у спољашњем омотачу W влакна P(z,θ) угаона расподела снаге светлости на дужини влакна z P(z,θ,ω) угаона расподела снаге светлости на дужини влакна z и фреквенцији ω p нормализовани индекс преламања спољашњег омотача W влакна q нормализовани индекс преламања унутрашњег омотача W влакна r радијално растојање од осе оптичког влакна ric полупречник унутрашњег каустика t време tul пуна ширина на половини максимума светлосног импулса на улазу у влакно tiz пуна ширина на половини максимума светлосног импулса на излазу из влакна U трансверзална фазна константа у језгру референтног влакна са једним омотачем u трансверзална фазна константа у језгру W влакна V нормализовани таласни број (нормализована фреквенција) оптичког влакна vp фазна брзина модова vg групна брзина модова Увод 9 W нормализована трансверзална пропагациона константа код SCp влакна Wˆ нормализована трансверзална пропагациона константа код SCq влакна w нормализована трансверзална пропагациона константа у спољашњем омотачу W влакна wˆ нормализована трансверзална пропагациона константа у унутрашњем омотачу W влакна z лонгитудинална координата, дужина влакна zs дужина влакна на којој се успоставља стационарна расподела модова α коефицијент слабљења, модално слабљење α0 губици услед апсорпције и расејања αm коефицијент слабљења m–тог мода αd коефицијент модалног слабљења код W влакна αL коефицијент слабљења цурећих модова код W влакна β лонгитудинална фазна константа (лонгитудинална компонента таласног вектора) β (i) лонгитудинална фазна константа i-мода ∆ разлика индекса преламања језгра и омотача оптичког влакна ∆t временско ширење светлосног импулса услед дисперзије ∆tmat временско ширење светлосног импулса услед материјалне дисперзије ∆p разлика индекса преламања језгра и омотача референтног SCp влакна ∆q разлика индекса преламања језгра и омотача референтног SCq влакна ∆θ угаоно растојање између суседних модова δ нормализована ширина унутрашњег омотача W влакна δа ширина унутрашњег омотача W влакна ε електрична пермитивност средине ε0 електрична пермитивност средине вакуума εr релативна електрична пермитивност θ азимутална координата, угао простирања светлости у оптичком влакну θ0 угао улазног снопа светлости θc критични угао оптичког влакна θMAX прихватни угао оптичког влакна (θm) θp критични угао референтног SCp влакна θq критични угао референтног SCq влакна κ трансверзална компонента таласног вектора λ таласна дужина електромагнетног таласа µ магнетна пермеабилност средине µ0 магнетна пермеабилност вакуума µr релативна магнетна пермеабилност Увод 10 ν нормализована фреквенција SCp влакна νˆ нормализована фреквенција SCq влакна 1 ˆ cν фреквенција одсецања првог реда 2 ˆ cν фреквенција одсецања другог реда ρ густина наелектрисања σ проводност средине, стандардна девијација σz 2 варијанса угаоне расподеле снаге светлости на крају влакна σ 2 z=0 варијанса угаоне расподеле снаге улазног снопа светлости φ комплемет критичног угла ω кружна учестаност монохроматске компоненте поља EH хибридни мод FWHM пуна ширина на половини максимума HE хибридни мод SC оптичко влакно са једним омотачем (single clad) SCp референтно SC оптичко влакно када ширина унутрашњег омотача δ код W влакна тежи нули SCq референтно SC оптичко влакно када ширина унутрашњег омотача δ код W влакна тежи бесконачности TE трансверзални електрични (мод) TEM трансверзални електромагнетни (мод) TM трансверзални магнетни (мод) ГИ градијентни индекс (преламања) ПОВ пластично оптичко влакно РРМ равнотежна расподела модова СИ степенасти индекс (преламања) СОВ стаклено оптичко влакно СРМ стационарна расподела модова Увод 11 УВОД Прве оптичке комуникације настале су пре око два века, настанком „оптичког телеграфа“. Чинио га је систем од низа семафора монтираних на кулама, са којих су оператери прослеђивали поруке са једне куле на другу (Клод Чап, 1790. године). У међувремену, нова технологија је лагано постављала основе за решење проблема преноса сигнала у оптичким комуникацијама. Требало је испитати феномен тоталне унутрашње рефлексије, који омогућава вођење светлости у материјалу окруженом другим материјалом нижег индекса преламања, као што је стакло у ваздуху. До краја 19. века, истраживачи су успели да остваре вођење светлости дуж закривљене кварцне шипке. Теорију простирања светлости кроз влакна 1910. године, теоријски су објаснили Д. Хондрос и П. Деби [1], док је експериментални рад на ту тему објављен од стране Шривера, 1920. године [2]. Међутим, први човек за кога се везује демонстрирање преноса слика кроз свежањ оптичких каблова био је Хенрих Лам , студент медицине у Минхену. Његов циљ је био да омогући гледање неприступачних делова у телу човека, и 1930. године објавио је рад о преносу слика помоћу светлости кроз свежањ кратких влакана [3]. Међутим, влакно без омотача преносило је слику лошег квалитета. Круцијални напредак у развоју оптичких влакана направио је ван Хил, који је био подстакнут разговором са америчким физичарем Брајаном Обрејном. Сва дотадашња влакна била су “гола”, са тоталном унутрашњом рефлексијом на граничним површинама стакло-ваздух. Ван Хил прекрио је “гола” влакна од стакла или пластике са транспарентним омотачем мањег индекса преламања. До 1960. године стаклена оптичка влакна са омотачем имала су слабљење од око 1 dB/m, што је било сасвим прихватљиво за примену у медицини, али превише за оптичке комуникације. Испитивања оптичких влакана су добила на значају када је 1960. године направљен први ласер. Убрзо након тога конструисан је први ласер који је радио у континуалном режиму користећи комбинацију гасова He i Ne. Неколико година касније, увођењем хетероструктура омогућено је функционисање полупроводничких ласера на собној температури, чинећи ове ласере идеалним извором светлости за оптичке комуникације. Увод 12 Чарл Као је дошао до експерименталних резултата који су показали да велики губици у оптичким влакнима настају услед апсорпције и расејања светлости на нечистоћама у влакну [4]. Чарлс Као је био уверен да се губици у оптичким влакнима могу свести испод 20 dB/km. Лабораторије широм света покушале су да смање губитке оптичких влакана. Много истраживачких група покушавало је да очисти једињење стакла које се користи у стандардној оптици, које би се лако топило и обликовало у влакно. Истраживачки тим из CGW (Corning Glass Works) коришћењем хемијске методе CVD (Chemical Vapor Deposition) направили су цилиндричну форму од кварцног стакла пажљиво контролишући ниво примеса. 1970. године, они су објавили да су направили једномодно влакно са слабљењем на таласној дужини хелијум-неонског ласера од 633 nm, испод 20 dB/km [5]. Група из CGW направила је тиме најзначајнији продор од свих истраживача и отворила врата за развој оптичких комуникација. У наредних неколико година, губици оптичких влакана су значајно опали. Први прекоокеански оптички кабл постављен је 1988. године, где су у основи телекомуникацијског система била оптичка влакна која су преносила светлост таласне дужине 1300 nm. Ова технологија је почела да се примењује и у друге телекомуникационе сврхе, и постала стандарт за многе системе који су се заснивали на оптичким влакнима. Глобалне комуникације, нарочито интернет и међународна телефонија, данас су првенствено засноване на технологији оптичких влакана, помоћу којих се великом брзином преноси велика количина информација. Наглим развојем информационих технологија последњих година и са правом експанзијом Интернета, све су већи захтеви тржишта за великим брзинама преноса информација и пропусним опсегом. Предности преноса података оптичким влаканима наспрам преноса података металним проводницима или бежичним путем су: веома велика брзина преноса података (неколико Gbit/s), премошћавање великих растојања без репетитора, имуност на спољашње електромагнетно зрачење, могућност повећања капацитета и након уградње оптичког кабла, безбедност преноса података, веома танак кабл и економичност. Због наведених карактеристика оптичка влакна заузимају веома битно место у развоју телекомуникација. Велики број истраживачких група широм света ради на испитивању оптичких влакана, експериментално и теоријски, са циљем побољшања њихових преносних карактеристика [6,7,8,9,10]. Један од начина побољшања преносних карактеристика Увод 13 вишемодних оптичких влакана јесте проналажење оптималне структуре индекса преламања, која у великој мери утиче на преносне карактеристике влакна. Оптималне структуре индекса преламања вишемодних оптичких влакана постижу се избором градијентног и W индекса преламања. Експериментално је показано побољшање пропусног опсега пластичних оптичких влакана са W индексом преламања у односу на влакна са степенастим (СИ) и градијентним (ГИ) индексима преламања [11]. Развијено је више метода за испитивање преносних карактеристика оптичких влакана. Најчешће коришћени приступи су геометријски [12], електромагнетни [13] и помоћу једначине протока снаге [14]. Циљ овог рада је теоријско испитивање преносних карактериситка вишемодног оптичког влакна са W индексом преламања применом једначине протока снаге. У ранијим теоријским испитивањима преносних карактеристика оптичких влакана са W индексом преламања узиман је у обзир само утицај ширине унутрашњег омотача и коефицијент спрезања модова. У овој докторској дисертацији, поред утицаја ширине унутрашњег омотача и коефицијента спрезања модова, испитан је и утицај дубине унутрашњег омотача, као и утицај угла и ширине улазног снопа светлости на преносне карактеристике влакна са W индексом преламања. Добијени резултати се могу користити за проналажење оптималног профила индекса преламања W влакна и карактеристика улазног снопа светлости, узимајући у обзир однос добијеног пропусног опсега и губитака. Рад је конципиран на следећи начин. Прва глава посвећена је основама теорије простирања светлости. У овој глави је објашњена таласно-честична природа светлости, приказан је закон одбијања и преламања светлости, као и део спектра електромагнетног зрачења који се примењује код оптичких влакана. У другој глави је описана структура оптичког влакна, начин простирања светлости кроз оптичко влакно и типови оптичких влакана. У овој глави су дате и дефиниције основних појава и параметара везаних за оптичка влакна. Трећа глава се бави испитивањем простирања светлости кроз оптичко влакно са W индексом преламања применом електромагнетног приступа. У четвртој глави је објашњено моделовање простирања светлости применом временски-независне једначине протока снаге код влакна са W индексом преламања. Приказан је нумерички метод решавања временски-независне једначине протока снаге Увод 14 код влакна са W индексом преламања. Након тога су приказани резултати добијени применом овог модела на оптичка влакна са W индексом преламања. Пета глава се бави моделовањем простирања светлости применом временски- зависне једначине протока снаге код влакна са W индексом преламања. Објашњена је разлика између временски-независне и временски-зависне једначине протока снаге и приказани су добијени нумерички резултати за фреквентни одзив и пропусни опсег за влакна са W индексом преламања, као и губици настали услед спрезања модова. На крају је дат закључак са прегледом добијених резултата. Основи теорије светлости 15 1. ОСНОВИ ТЕОРИЈЕ СВЕТЛОСТИ Оптика је део физике која се бави изучавањем природе светлости и њеном интеракцијом са материјом. Простирање светлости кроз оптичка влакна објашњава се основним законима геометријске оптике, стога је неопходно разумети основне оптичке принципе и интеракцију светлости са материјом. 1.1 Светлост као талас и честица Са физичке тачке гледишта светлост се може посматрати у облику електромагнетских таласа или у облику честица које се називају фотони. Ово је позната таласно-честична (дуална) теорија. При посматрању светлости таласним приступом, светлост се кроз средину простире у облику електричних и магнетних поља, брзином c. Ова поља су нормална једно на друго, а правац и смер кретања им се поклапа са правцeм и смером простирања светлости (слика 1.1). Слика 1.1. Електромагнетни талас. Простирање таласа описује се синусном функцијом, а таласна дужина λ код трансверзалних таласа је најмање растојање између две суседне тачке таласа које осцилују у истој фази (слика 1.1). Број осцилација у секунди назива се фреквенција f . Таласна дужина и фреквенција су обрнуто пропорцијалне величине, и у вакууму се односе као: Основи теорије светлости 16 f c =λ (1.1) где је c брзина светлости у вакууму. Фотон је квант електромагнетне енергије који такође представља кратки таласни пакет, од неколико таласа, који брзо стигну до своје амплитуде и исто тако се брзо и изгубе (слика 1.2). Слика 1.2 Фотон као кратки таласни пакет. Енергија коју носи један фотон зависи од фреквенције f : што је већа фреквенција таласа то је већа енергија фотона. Енергија једног фотона дата је једначином: hfE = (1.2) где је 3410626.6 −×=h Js, Планкова константа. Енергија N фотона је: NhfE = (1.3) Дакле, светлост истовремено поседује и честична и таласна својства. Ова дуалност није својствена само светлости већ и елементарним честицама када се крећу. При испитивању светлости од значаја је праћење путања којима се светлост креће, стога се светлост може посматрати као зрак који се апроксимира правом Основи теорије светлости 17 линијом, а до скретања зрака долази само при његовом контакту са граничним површинама између материјалних средина [15]. 1.2 Електромагнетни спектар Оно што се назива „светлост“ је веома мали део спектра електромагнетног зрачења. Разлика између зрачења у различитим деловима електромагнетног спектра је у таласној дужини и фреквенцији, као и у енергији фотона (слика 1.3). Слика 1.3. Електромагнетни спектар. Код испитивања и примене оптичких влакна од интереса је само један мали део електромагнетног спектра (0.4 – 15 µm) (слика 1.3). Ова област укључује видљиву светлост и мали део инфрацрвеног и ултраљубичастог дела спектра. Таласне дужине које се обично примењују у комуникацији и простиру се кроз силикатна оптичка влакна су од 0.75 до 1.7 µm, на којима је силикатно стакло најтранспарентније. Стаклена и силикатна влакна могу преносити видљиву светлост, а специјалан тип силикатног стакла (кондензовани кварц) може преносити светлост блиску ултраљубичастом зрачењу. Пластична оптичка влакна најбоље преносе видљиву светлост [15]. Основи теорије светлости 18 1.3 Индекс преламања Брзина простирања светлости у вакууму је 2997924580 =c m/s. При простирању светлости кроз различите материјалне средине њена брзина опада. Однос брзине светлости у вакууму 0c и брзине светлости у некој средини c , представља индекс преламања те средине: c c n 0= (1.4) 1.4 Преламање, одбијање и тотална унутрашња рефлексија светлости Светлост при проласку из једне материјалне средине у другу мења своју брзину и правац простирања, тада долази до појава познатих као преламање и одбијање светлости. Закон одбијања светлости каже да упадни зрак, одбијени зрак и нормала повучена на граничну површ две средине из упадне тачке, леже у истој равни; угао одбијеног зрака 2θ једнак је углу упадног зрака 1θ у односу на нормалу (слика 1.4) Слика 1.4. Одбијање светлости. На слици 1.5а приказано је преламање светлости при уласку зрака из средине са мањим индексом прелама ( 1n ) у средину са већим индексом преламања ( 2n ). Упадни зрак из прве средине ( 1n ) долази на граничну површину, и при уласку у другу средину ( 2n ) долази до промене правца простирања зрака који се помера ка нормали. Угао Основи теорије светлости 19 упадног зрака 1θ , већи је од угла преломљеног зрака 2θ . На слици 1.5б приказано је преламање светлости при уласку зрака из средине са већим индексом прелама ( 1n ) у средину са мањим индексом преламања ( 2n ), тада долази до промене правца простира зрака који се помера од нормале, тј. 21 θθ < [16]. Слика 1.5. Преламање светлости Веза између индекса преламања две средине, 1n и 2n , и упадног угла 1θ и угла преламања 2θ , позната као Снелов закон, дата је једначином: 1 2 2 1 sin sin n n = θ θ (1.5) Количник индекса преламања 2n и 1n назива се релативни индекс преламања друге средине у односу на прву. Закон преламања светлости, који укључује једначину (1.5), каже да упадни зрак, преломљени зрак и нормала, повучена на граничну површину две средине из упадне тачке, леже у истој равни. У случају када је 1n > 2n , с повећањем упадног угла светлости, повећава се и угао преламања и приближава вредности од 90 о (слика 1.6а). Када се угао упадног зрака повећа изнад неке критичне вредности, која је увек мања од 90 о , преломљени Основи теорије светлости 20 зрак више не постоји, а упадни зрак се одбија у исту средину из које је кренуо (слика 1.6б). Слика 1.6. Критични угао и тотална унутрашња рефлексија. Ова појава се назива тотална унутрашња рефлексија и од кључног је значаја код описивања простирања светлости кроз оптичко влакно. Критични угао упадног зрака одређује се из Снеловог закона: o C nn 90sinsin 21 =θ (1.6) 1 2arcsin n n C =θ (1.7) Оптичко влакно 21 2. ОПТИЧКО ВЛАКНО Оптичко влакно је диелектрична структура за вођење и пренос енергије на таласној дужини која одговара инфрацрвеном или видљивом опсегу електромагнетног спектра (од 400 nm до 1500 nm). Оптичка влакна имају кружни попречни пресек и саграђена су од три слоја транспарентног материјала. Попречни пресек оптичког влакна је доста мали, упоредив са дебљином људске длаке. Једна оваква структура која се састоји од три цилиндрична слоја која належу један на други приказана је на слици 1.7. Централни слој се назива језгро влакна и кроз њега се простиру вођени електромагнетни таласи и каналише електромагнетна енергија. На језгро належе други слој диелектричног материјала, омотач влакна, и на крају, ова двослојна вођица је обавијена једним заштитним слојем који се назива заштитни омотач. Овај слој се не узима у обзир при анализи оптичких влакана. Слика 2.1. Оптичко влакно у слојевима. 2.1 Расподела индекса преламања Својства оптичких влакана одређена су карактеристичном функцијом )(rn , која се назива расподела индекса преламања влакна, где је r радијална координата у интервалу br <<0 ; b је радијус попречног пресека влакна. На слици 2.2 приказана су оптичка влакна са степенастим индексом преламања, градијентним индексом преламања и троугаоним индексом преламања (слика 2.2). Поред оптичких влакана са ове три расподеле индекса преламања, најчешће се користе и оптичка влакна са два омотача (влакна са W индексом преламања), оптичка влакна са три омотача и оптичка влакна са удубљењем у језгру (слика 2.3). Оптичко влакно 22 Слика 2.2. Типови оптичких влакана (а) оптичко влакно са степенастим индексом преламања (б) оптичко влакно са градијентним индексом преламања (в) оптичко влакно са троугаоним индексом преламања. Слика 2.3. Примери расподеле индекса преламања код влакна са (а) два омотача (W индекс преламања) (б) три омотача и (в) удубљењем у језгру. Оптичко влакно са степенастим индексом преламања има константну вредност индекса преламања дуж целог попречног пресека језгра влакна (слика 2.2а). Путање светлосних зрака у овом влакну су праве линије, при чему се светлосни зраци при проласку кроз влакно одбијају на граничној површини између језгра и омотача, и поново се враћају у језгро (слика 2.4). Расподела индекса преламања код влакна са степенастим индексом преламања може се изразити у следећем облику: arnrn arnrn om jez >= ≤= )( )( (2.1) где је а полупречник језгра влакна, при чему је omjez nn > . Оптичко влакно 23 n n o m n je z Слика 2.4. Путање зрака у оптичком влакну са степенастим индексом преламања. Оптичка влакна са градијентним индексом преламања имају језгро чији се индекс преламања мења радијално тако што расте постепено од вредности индекса преламања омотача omn до неке максималне вредности n (r = 0) дуж осе влакна (слика 2.2б). Индекс преламања омотача код ових влакана је константан. Путање светлосних зрака који се простиру кроз влакно са градијентним индексом преламања приказане су на слици 2.5. Расподела индекса преламања код влакна са градијентним индексом преламања може се изразити у следећем облику [17]: arnrn ar a r nrn om g rjez >= ≤             ∆−= = )( 1)( 2 )0( 2 (2.2) где је g експонент индекса преламања, а ∆ је дато изразом: 2 )0( 22 )0( 2 = = −=∆ rjez omrjez n nn (2.3) Оптичко влакно 24 r a r Слика 2.5. Путање зрака у оптичком влакну са градијентним индексом преламања. Вредност експонента индекса преламања g утиче на облик расподеле индекса преламања. У случају када је g=2 расподела индекса преламања у језгру влакна има облик параболе, а у случају када је g=1 има облик троугла (слика 2.6) [18]. 0 n r g=1 2 10 aa Слика 2.6. Расподеле индекса преламања за различите вредности g у једначини (2.2). 2.2 Пренос светлости кроз оптичко влакно Као што је већ поменуто, оптичко влакно чине језгро, кроз које се светлост простире, и омотач, који потпуно належе на језгро (слика 2.1). Индекс преламања језгра већи је од индекса преламања омотача, тако да светлост која се простире дуж језгра окруженог омотачем, чврсто је везана у језгру законом тоталне унутрашње рефлексије. Оптичко влакно 25 Ради једноставности посматрајмо светлост као зрак. Да би се светлост простирала кроз влакно на принципу тоталне рефлексије, упадни угао светлости θ у односу на нормалу мора да буде већи од критичног угла θc, (слика 2.7). Слика 2.7. Тотална унутрашња рефлексија светлости у оптичком влакну. Из Снеловог закона 2211 sinsin θθ nn = , следи да је cθθ =1 када je o902 =θ , јер је 2sinθ =1, па имамо: 1 2sin n n c =θ (2.4) 1 2arcsin n n c =θ (2.5) Уобичајно је да се у анализи простирања светлости кроз влакно посматрају углови између правца зрака и осе влакна. Тада се у једначине уводи тзв. комплемент критичног угла: 1 2arccos n n =ϕ (2.6) Из једначине за критични угао (2.5) следи да ће се само зраци светлости који имају угао θ > θc у односу на нормалу, тј. ϕθ L1). Дисперзија у оптичком влакну узрокује да се влакно понаша као нископропусни филтер, односно мења карактеристику улазног сигнала, с импулсним одзивом h(t) или преносном функцијом H(ω) [19]. Импулсни одзив и преносна функција представљају Фуријеов трансформацијски пар, па је за одређивање дисперзије довољно измерити h(t) или H(ω). Мерењем импулсног одзива добија се информација о ширењу светлосног импулса при проласку кроз влакно, док се мерењем преносне функције директно добија пропусни опсег влакна. Треба имати на уму да сваки мод у влакну има своју карактеристичну путању, групну брзину, таласну дужину и поларизацију. Дисперзија светлости у оптичком влакну се може сврстати у две категорије: а) модална и б) хроматска дисперзија. Хроматска дисперзија се даље дели на материјалну и таласоводну дисперзију. Оптичко влакно 38 2.9.1 Модална дисперзија Као што смо већ поменули, различити модови који се преносе кроз оптичко влакно имају различите путање, због чега светлосни сигнали које преносе ти модови стижу на крај оптичког влакна за различита времена. Узмимо, на пример, мод који најбрже стигне до краја влакна 0α = и мод који најспорије стигне до краја влакна maxα α= , (слика 2.17). Слика 2.17. Илустрација извођења израза за modt∆ Тада се разлика у временима modt∆ потребним да модови стигну до краја влакна, добија на следећи начин: c n Lt 111 = (2.24) 2 2 2 11 max 111 22 sin 1 n n c L c nL c n Lt === γ (2.25) 2 211 112mod n nn c n Lttt − =−=∆ (2.26) Светлосни сигнал који се састоји од великог броја модова, на крају влакна има ширу расподелу у односу на светлосни сигнал на почетку влакна. То практично значи да долази до кварења сигнала на крају влакна, чиме се смањује пропусни опсег влакна. Оптичко влакно 39 2.9.2 Хроматска дисперзија Хроматска дисперзија обухвата материјалну и таласоводну дисперзију. Таласоводна дисперзија настаје, у принципу, због зависности " V-броја" од таласне дужине светлости, тј. преносне карактеристике мода (нпр. групна брзина) су функција односа полупречника језгра и таласне дужине светлости. Другим речима, таласоводна дисперзија настаје због тога што долази до преласка одређеног броја највиших модова до различитих дубина у омотачу које зависе од таласне дужине светлости. Тако настало ширење сигнала је занемарљиво у односу на ширење сигнала услед модалне дисперзије. Овај ефекат је значајан само код једномодних, а занемарљив је код вишемодних влакана. Материјална дисперзија се јавља услед зависности вредности индекса преламања материјала од таласне дужине светлости. Пошто светлосни сигнал није потпуно монохроматски већ обухвата одређени опсег таласних дужина, онда материјал преко индекса преламања различито утиче на брзину простирања појединих компоненти сигнала. Део светлосног сигнала који има већу таласну дужину креће се кроз влакно већом брзином у поредењу с делом светлосног сигнала који има мању таласну дужину. Дакле, материјална дисперзија зависи од спектралне ширине светлости емитоване из светлосног извора из кога се светлост убацује у влакно. Типична спектрална ширина светлосних диода је од 30 nm до 60 nm, а ласерских диода од 3 nm до 5 nm [23]. Временско ширење светлосног сигнала услед материјалне дисперзије дато је следећим изразом [23]: 2 2 ( ) ( )mat d n t L L M c d λ λ λ λ λ λ ∆ = ∆ = ∆ (2.27) где је L дужина влакна, λ∆ спектрална ширина светлосног извора, ( )n λ индекс преламања језгра влакна који зависи од таласне дужине светлости и ( )M λ параметар материјалне дисперзије. Оптичко влакно 40 2.10 Пропусни опсег оптичког влакна Пропусни опсег оптичког влакна је могуће дефинисати на више начина. У суштини, пропусни опсег оптичког влакна представља интервал фреквенција оптичког сигнала који се може пренети кроз влакно уз прихватљиво слабљење сигнала. Овде ћемо дати још једну дефиницију пропусног опсега оптичког влакна која се у пракси често користи: пропусни опсег влакна B је фреквенција на којој се амплитуда синусно модулисаног монохроматског светлосног сигнала који се преноси кроз оптичко влакно смањи на половину, односно за 3 dB, (слика 2.18) [23]. За вишемодна оптичка влакна користи се производ пропусног опсега и дужине влакна да би се описале његове преносне карактеристике. На пример, 2 MHz-km значи да 6102 ⋅ светлосних импулса путује кроз оптичко влакно дужине 1 km тако да сваки светлосни импулс може да се појединачно региструје на крају влакна. Слика 2.18. Илустрација дефиниције пропусног опсега оптичког влакна. Пропусни опсег вишемодног оптичког влакна у пракси се често повећава убацивањем у влакно снопа светлости који има малу ширину угаоне расподеле снаге и под малим углом у односу на осу влакна. Други начин је користећи различите филтере помоћу којих се из влакна одстрањују модови највишег реда. На тај начин се постиже да се кроз влакно преноси мањи број модова чиме се смањује модална дисперзија. Познавање пропусног опсега влакна није довољно да би се одредио преносни капацитет оптичког линка. За то је потребно познавати и поступак преноса светлости као и комплетну преносну функцију система. На пропусни капацитет оптичког линка Оптичко влакно 41 такође утиче и избор врсте оптичког сигнала (дигитални или аналогни). Поменимо још да поред линеарних оптичких ефеката, као што су слабљење снаге светлости и дисперзија, при преносу светлости кроз оптичко влакно могу се јавити и нелинеарни оптички ефекти [24], као што су: сопствена фазна модулација, самофокусирање, мешање "четири таласа", Раманово расејање, Брилуеново расејање, двофотонска апсорпција и Керов ефакат, који такође утичу на преносне карактеристике оптичких влакана. Ове нелинеарне појаве су значајне при преносу светлости великог интензитета, када одговор оптичког система на повећање интензитета светлости постаје нелинеарна функција интензитета. 2.11 Класификација оптичких влакана према врсти материјала Оптичка влакна се према врсти материјала најчешће сврставају у три категорије: стаклена влакна, влакна са стакленим језгром и пластичним омотачем и пластична влакна. Стаклена влакна се праве од силицијум диоксида са додатком примеса. Додавањем примеса мења се индекс преламања језгра и омотача. Германијум и фосфор се додају да би се повећао индекс преламања, а бор и флуориди да би се смањио индекс преламања. Ова влакна се користе за пренос велике количине информација на велика растојања. Њихова нумеричка апертура је мала (NA 0.2)≈ , што може да резултира великим почетним губицима при убацивању светлости у влакно. Пречници језгра влакна су најчешће 50 µm, 100 µm и 200 µm. Укупни губици стаклених влакана су неколико dB/km [25]. Оптичка влакна са стакленим језгром и омотачем од пластике су погодна за краћа растојања, обично до неколико стотина метара и за пренос средње количине информација. Нумеричка апертура им је већа (NA 0.4)≈ , али су и губици већи и износе око 8 dB/km. Пречник језгра ових влакана је обично од 200 µm дo 600 µm. Пластична оптичка влакна имају језгро и омотач од пластике. Употребљавају се на кратким растојањима, обично до 100 m. Стандардни пречници ових влакана су 250 µm, 500 µm и 1000 µm, a пречници њихових језгара су 240 µm, 490 µm и 980 µm, респективно [19]. Нумеричка апертура им је највећа (NA 0.5)≈ , а губици се крећу и до неколико стотина dB/km. Пластична оптичка влакна су лака за руковање и њихова главна предност у односу на друге врсте оптичких влакана је што имају велики Оптичко влакно 42 пречник, што омогућава њихово лакше спајање. Пластична оптичка влакна лако прихватају светлост из светлосне диоде, што им омогућава широку комерцијалну примену као лако-преносивих водова за дисплеје и код система за испоруку светлосне снаге различитим врстама оптичких сензора [25]. 2.12 Методе за анализу оптичких влакана За описивање карактеристика простирања светлости кроз оптички таласовод могу се применити три приступа: електромагнетни (таласна теорија), геометријски и користећи једначину протока снаге. Таласна теорија оптичких таласовода заснована је на Максвеловим једначинама и примени основних закона електродинамике. Недостатак електромагнетног приступа је што се у општем случају добијају веома компликоване једначине и решења за велики број појединачних модова. Познато је из класичне оптике, да у срединама где се индекс преламања незнатно мења на растојењу реда величине таласне дужине (ово је типично за вишемодне оптичке таласоводе), може се за описивање простирања светлости кроз таласовод користити и геометријска оптика. Примена овог метода своди на праћење историје појединачних зрака занемарујући таласне ефекте светлости. Модел који је заснован на примени геометријске оптике има недостатак јер је потребно генерисати велики број појединачних зрака, што захтева велико рачунарско време. Такође, врло је актуелан метод који се заснива на једначини протока снаге, а примењује се у анализи вишемодних оптичких влакана. Овај метод се заснива на решавању Глогеове једначине протока снаге и биће детаљно објашњена у даљем тексту. У наведеним поглављима, приказане су основне карактериситке овог метода. Оптичка влакна са W индексом преламања 43 3. ОПТИЧКА ВЛАКНА СА W ИНДЕКСОМ ПРЕЛАМАЊА 3.1 Увод Основна улога оптичког влакна је да светлост води од предајника до пријемника оптичког сигнала уз што мање губитке и што већи преносни капацитет. Оптичка влакна су данас постала индустријски стандард за земаљске телекомуникацијске системе и преносе око 85% укупног комуникационог саобраћаја. Стаклена оптичка влакна (СОВ) су најчешће коришћен преносни медијум у комуникационим мрежама са великим капацитетом преноса на великим удаљеностима, за разлику од пластичних оптичких влакана (ПОВ) која се обично употребљавају на кратким растојањима (<100 m). Потреба савременог друштва за све већом брзином и капацитетом преноса информација разлог је за даља испитивања и побољшања преносних карактеристика оптичких влакана. Jедан од начина побољшања преносних карактеристика оптичких влакана је унапређење дизајна индекса преламања вишемодних оптичких влакана. Тип оптичких влакана који показује побољшање у овом сегменту јесу влакна са W индексом преламања (W влакна). Експериментално је показано побољшање пропусног опсега пластичних оптичких влакана у односу на влакна са степенастим индексом (СИ) преламања и градијентним индексом (ГИ) преламања [11]. Предложена су друга решења у отклањању ових ограничења, као нпр. просторна модулација [26], техника детекције [27], компензација модалне дисперзије [28] и селективно побуђивање модова [29, 30]. И поред тога, недовољно је урађено на анализи и дизајну оптичких влакана са аспекта њихових преносних карактеристика, посебно пропусног опсега. Стога се додатно побољшање пропусног опсега може остварити кроз унапређење дизајна индекса преламања вишемодних оптичких влакана. За разлику од влакана са језгром и једним омотачем (SC - single clad), W влакно поседује језгро и два омотача, унутрашњи и спољашњи (слика 3.1). Оваква структура W влакна обезбеђује бољу везаност вођених модова, тј. смањује појаву модалне дисперзије у поређењу са одговарајућим SC влакном. Унутрашњи омотач W влакна смањује број вођених модова, смањујући ефективну нумеричку апертуру, чиме су Оптичка влакна са W индексом преламања 44 вођени модови боље везани у језгру влакна [31]. Пропусни опсег стакленог SC влакна је око 30 MHz⋅km, а стакленог W влакна око 50 MHz⋅km, док је код пластичних SC влакна 15 MHz⋅km, а код пластичних W влакна 200 MHz⋅km [32, 9,33]. r n n0 qn0 pn0 δ·ɑ ɑ језгро унутрашњи омотачспољашњи омотач ɑ Слика 3.1. Геометрија и расподела индекса преламања W влакна [34]. Полупречник језгра влакна је а, ширина унутрашњег омотача је δ·а (слика 3.1), а спољашњи омотач се узима да је неограничене ширине (слика 3.1). Параметри q и p задовољавају услов [34]: qp >>1 (3.1) Влакна са степенастим индексом преламања и једним омотачем, SCp и SCq влакна, приказана на слици 3.2, могу се користити као референтна SC влакна при моделовању и испитивању преносних карактеристика W влакна, када ширина унутрашњег омотача W влакна тежи нули (δ→0) или бесконачности (δ→∞), респективно [34]. Нормализована фреквенција која одговара SCq влакну дефинисана је као [34]: Оптичка влакна са W индексом преламања 45 2/1200 )1(ˆ qakn −=ν (3.2) где је 0k таласни број у вакууму и износи λπ /2 . Слика 3.2. а) референтно влакно са једним омотачем (SCq) када δ→∞ и б) референтно W влакно са нултом дебљином унутрашњег омотача (SCp). Када се вредност нормализоване фреквенције νˆ повећава: а) Електромагнетно поље произвољног вођеног мода јаче je везано у језгру. б) Ефективни индекс преламања сваког вођеног мода, дефинисаног са 0/ kβ , тежи 0n (у близини фреквенције одсецања, индекс преламања мода 0/ kβ је близу 0qn ). ц) Број вођених модова се повећава. Највећи утицај на карактеристике W влакна имају параметри pq, и δ . Поље вођених модова W влакна може се апроксимирати пољем одговарајућег SC влакна и зависи делимично од вредности p и δ , али највише од вредности q . Број вођених модова одређен је нормализованом фреквенцијом SCp влакна, која је дата изразом [34]: 2/1200 )1( pakn −=ν (3.3) Број вођених модова зависи и од односа )1/()1( pq −− . Константа слабљења цурећег мода зависи од броја мода, нормализоване фреквенције и ширине унутрашњег омотача. Што је ширина унутрашњег омотача већа, константа слабљења је мања. Стога, мењањем ширине унутрашњег омотача може се утицати на слабљење цурећих модова. Оптичка влакна са W индексом преламања 46 3.2 Механизам вођења модова кроз влакно са W индексом преламања Посматрајмо W влакно на слици 3.3а, код кога је: 1≥δ 1)1/()( >>−− pqp (3.4) Вођени модови постоје ако је таласна дужина светлости која се преноси кроз W влакно много мања од полупречника језгра влакна a. Када је таласна дужина светлости много већа од полупречника језгра влакна a, талас „види“ ефективни индекс преламања [35]: [ ]      +> +<+−++ = arpn arqnn n )1( )1()1/(11)1/( 0 2 0 2 0 δ δδδ (3.5) Горња једначина у (3.5) представља средњи индекс преламања за ar )1( +< δ . Ефективни индекс преламања за ar )1( +< δ је мањи од 0pn , тако да најнижи мод увек има фреквенцију одсецања. Размотримо сада расподелу компонената трансверзалног поља најнижих модова у W влакну са слике 3.3а [35]. За вођени мод, поље у спољашњем омотачу експоненцијално опада, док се у језгру простире у облику косинусне функције. Поље у спољашњем омотачу је константно на фреквенцији одсецања, док је облик поља у унутрашњем омотачу у суштини исти и на фреквенцији одсецања, тако да облик читавог поља изгледа као што је приказано на слици 3.4 [35]. У случају када ∞→ω , поље је чврсто везано у језгру (слика 3.4) [35]. Другим речима, битан параметар 22 00 efnnaku −= , који представља трансверзалну фазну константу у језгру, не мења се значајно с порастом фреквенције, од фреквенције одсецања до бесконачне фреквенције. Зато услов (3.4) треба користити као услов за чврсто везано поље. Са друге стране, за влакна са слабо везаним пољима (слика 3.3б) не постоји фреквенција одсецања за најнижи мод. Оптичка влакна са W индексом преламања 47 Слика 3.3. (а) Облик индекса преламања код W влакна са чврсто везаним пољем у језгру (б) Облик индекса преламања код W влакна са слабо везаним пољем. Слика 3.4. Расподела поља код W влакна са чврсто везаним пољем, на фреквенцији одсецања и за ∞→ω . tE и tH су трансверзалне компоненте електричног и магнетног поља, респективно. Претпостављајући да је спрезање слабо, или 2/12 )1(2/ qa −>> πλδ , постоји више вођених модова овим “пертурбованим” влакном представљеним на слици 3.5б. За појединачни и-ти мод, може се дефинисати ефективни индекс мода )(in , дефинисан као: 0 )()( / kn ii β= (3.6) Оптичка влакна са W индексом преламања 48 где )(iβ представља фазну константу и-тог мода, док је 0k таласни број у вакууму и износи 2/1 000 )/( µεω=k ( 0ε и 0µ су пермитивност и пермеабилност вакуума, респективно). Ако је ефективни индекс мода (у даљем тексту скраћено називан индекс мода) )(in мањи од 0pn , мод ће се спрегнути са таласом који се простире у спољашњем омотачу са скоро истом вредношћу β . Вођени мод влакна тада постаје цурећи талас. Стога само модови са ефективним индексом мода већим од 0pn се простиру дуж влакна. Последица тога је, да се спољашњи омотач понаша као филтер модова. Слика 3.5. Раздвајање W влакна на “референтно влакно” и “пертурбациону структуру”. (а) извршена је пертурбација унутрашњег омотача (б) извршена је пертурбација спољашњег омотача. 3.3 Таласна теорија оптичког влакна са W индексом преламања Ово поглавље се бави основним једначинама неопходним за анализу диелектричних таласовода у оквиру таласне теорије. Пажња ће бити посвећена електромагнетном приступу за цилиндрично оптичко влакно са W индексом преламања. С обзиром да је циљ дизајнирати структуру W влакна која ће водити таласе, z оса је постављена као лонгитудинална оса, и претпоставља се да се енергија простире дуж z осе. Коришћењем електромагнетног приступа, добијају се једначине у функцији лонгитудиналних компонената поља у таласоводу са W индексом преламања. Приказаћемо и једначине за израчунавање трансверзалних компонената поља на основу лонгитудиналних компонената. Оптичка влакна са W индексом преламања 49 3.3.1 Максвелове једначине Одређивање структуре електормагнетног поља у таласоводима, подразумева решавање система Максвелових једначина. Због тога ћемо исписати Максвелове једначине у општем облику и дати неколико напомена о начину њиховог решавања. Комплетан систем Максвелових једначина садржи четири парцијалне диференцијалне једначине, које међусобно повезују, јачину електричног поља E r , електричну индукцију D r , магнетну индукцију B r и јачину магнетног поља H r , вектор густине струје J r и густину наелектрисања ρ . Максвелове једначине у векторском облику гласе [13, 12]: t trB trE ∂ ∂ −=×∇ ),( ),( vv vr (3.7) t trD trJtrH ∂ ∂ +=×∇ ),( ),(),( vv vrvr (3.8) 0),( =⋅∇ trB vv (3.9) ),(),( trtrD vvv ρ=⋅∇ (3.10) У изотропним и линеарним срединама, једначинама (3.7-3.10) треба придружити и следеће три материјалне једначине: ED vv ε= (3.11) EJ wv σ= (3.12) HB vv µ= (3.13) где су ε , µ и σ пермитивност, пермеабилност и проводност средине, респективно. За таласоводе које ми анализирамо, узима се: 00 //0 εεεµµµσ === rr (3.14) Оптичка влакна са W индексом преламања 50 где су rµ и rε релативна пермеабилност и пермитивност средине, респективно. Вредности ових константи за вакуум су F/m10854.8 120 −⋅=ε и H/m104 7−⋅= πµ . За оптичке таласоводе је rn ε= , при чему је n индекс преламања средине. Претпоставља се да се ради о хомогеној, линеарно-изотропној средини без наелектрисања, у којој нема губитака, тако да систем Максвелових једначина (3.7–3.10) постаје [13]: t B E ∂ ∂ −=×∇ v r (3.15) t D H ∂ ∂ =×∇ v r (3.16) 0=⋅∇ B v (3.17) 0=⋅∇ D v (3.18) Материјалне једначине (3.11–3.13) постају: ED vv ε= (3.19) 0=J v (3.20) HB rv 0µ= (3.21) Ако једначине (3.11) и (3.13) заменимо у (3.15) и (3.16), респективно, Максвелове једначине се своде на следећи погодан облик: t H E ∂ ∂ −=×∇ r r µ (3.22) t E H ∂ ∂ =×∇ r r ε (3.23) При анализи оптичких влакана применом таласне оптике, третира се проблем електромагнетног поља влакна тражећи решења која се односе на простопериодични Оптичка влакна са W индексом преламања 51 закон времена, претпостављајући у горњим једначинама чинилац tie ω уз поља E r и H r . Овде је ω кружна учестаност дате монохроматске компоненте поља, а i је имагинарна јединица. Стога се вектори поља могу написати у облику, tierEtrE ω)(),( rr = и tierHtrH ω)(),( rr = , а једначине (3.22) и (3.23) постају [13]: HiE rr ωµ−=×∇ (3.24) HiH rr ωε=×∇ (3.25) Због природе проблема цилиндричног таласовода, користе се цилиндричне координате θ,r и z , а оса z се поклапа са осом таласовода. Ако напишемо Максвелове једначине (3.24) и (3.25) у цилиндричним координатама, добијамо систем од шест скаларних једначина: r z Ei z HH r ωε θ θ = ∂ ∂ − ∂ ∂1 (3.26а) r z Hi z EE r ωµ θ θ −= ∂ ∂ − ∂ ∂1 (3.26б) θωεEi r H z H zr = ∂ ∂ − ∂ ∂ (3.27а) θωµHi r E z E zr −= ∂ ∂ − ∂ ∂ (3.27б) ( ) zr Ei H r rH rr ωε θθ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 11 (3.28а) ( ) zr Hi E r rE rr ωµ θθ −= ∂ ∂ − ∂ ∂ 11 (3.28б) Оптичка влакна са W индексом преламања 52 Тражењем решења која имају облик прогресивног таласа у позитивном смеру z -осе, зависност компонената поља од z је дата функцијом zie β− , па систем једначина (3.26 – 3.28) можемо написати у следећем облику: r z EiHi H r ωεβ θ θ =+ ∂ ∂1 (3.29) θωεβ Ei r H Hi zr =∂ ∂ −− (3.30) ( ) zr Ei H r rH rr ωε θθ = ∂ ∂ − ∂ ∂ 11 (3.31) r z HiEi E r ωµβ θ θ −=+ ∂ ∂1 (3.32) θωµβ Hi r E Ei zr −=∂ ∂ −− (3.33) ( ) zr Hi E r rE rr ωµ θθ −= ∂ ∂ − ∂ ∂ 11 (3.34) Ако се из једначина (3.29) и (3.33) елиминише θH , а из једначина (3.30) и (3.32) rH , добијамо трансверзалне компоненте електричног поља у функцији лонгитудиналних компонената zE и zH [13]:       ∂ ∂ + ∂ ∂ −= θ ωµ β κ zz r H rr Ei E 2 (3.35)       ∂ ∂ − ∂ ∂ −= r HE r i E zz ωµ θ β κθ 2 (3.36) где је 222 βκ −≡ k , εµω 22 =k , 200 nr εεεε == и 00 µµµµ ≈= r . κ и β представљају трансверзалну и лонгитудиналну компоненту таласног вектора k , респективно. Оптичка влакна са W индексом преламања 53 Аналогним поступком, елиминишићи rE и θE из истих парова једначина, добијамо [13]:       ∂ ∂ − ∂ ∂ −= θ ωε β κ zz r E rr Hi H 2 (3.37)       ∂ ∂ + ∂ ∂ −= r EH r i H zz ωε θ β κθ 2 (3.38) Ако се rH и θH у једначини (3.31) изразе помоћу једначина (3.37) и (3.38), добијамо диференцијалну једначину за компоненту zE [13]: 0 11 2 2 2 22 2 =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z zzz E E rr E rr E κ θ (3.39) Идентична једначина се добија за zH , ако се rE и θE у (3.34) замене одговарајућим изразима (3.35) и (3.36) [13]: 0 11 2 2 2 22 2 =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z zzz H H rr H rr H κ θ (3.40) Једначине (3.39) и (3.40) представљају две таласне једначине, за електрично и магнетно поље, респективно, чијим решавањем налазимо компоненте поља zE и zH . Проблем налажења лонгитудиналних компонената поља, своди се на решавање таласне једначине облика: 0 11 2 2 2 2 2 22 2 =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ f z ff rr f rr f γ θ (3.41) Решавање оваквог типа једначине изводи се помоћу стандардног модела раздвајања променљивих, тако да се као решења добијају лонгитудиналне компоненте Оптичка влакна са W индексом преламања 54 електричног и магнетног поља у језгру, унутрашњем и спољашњем омотачу. Зависност поља од времена и координате z дата је у облику )(exp ztj βω − . Да би поље било вођено унутар влакна мора бити задовољен услов 0000 kpnkn << β . Узимајући то у обзир, лонгитудиналне компоненте поља у језгру, унутрашњем и спољашњем омотачу дате су у следећем облику [35]:    −= −= )(expsin)( )(expcos)( 1 1 ztjnhrBJH ztjnhrAJE nz nz βωθ βωθ ar < (3.42) [ ] [ ]    −+= −+= )(expsin)ˆ()ˆ( )(expcos)ˆ()ˆ( 2 2 ztjnrGKrFIH ztjnrDKrCIE nnz nnz βωθαα βωθαα ara )1( +<< δ (3.43)    −= −= )(expsin)( )(expcos)( 3 3 ztjnrMKH ztjnrLKE nz nz βωθα βωθα ar )1( +> δ (3.44) где је nJ Беселова функција прве врсте н-тог реда, nI је модификована Беселова функција прве врсте н-тог реда, а nK модификована Беселова функција друге врсте н- тог реда (модификована Веберова функција). A, B, C, D, F, G, L и M су интеграционе константе. Параметри h ,αˆ и α дати су у облику [35]: 220 2 0 2 β−= knh (3.45) 20 2 0 222ˆ knq−= βα (3.46) 20 2 0 222 knp−= βα (3.47) Када добијена решења за лонгитудиналне компоненте поља (3.42-3.44) заменимо у претходно добијене трансверзалне компоненте поља (3.35-3.38), добијамо решења за компоненте трансверзалног поља у језгру, унутрашњем и спољашњем омотачу [36]: Оптичка влакна са W индексом преламања 55        −−= −= −= −= + − − + )/()/)((expsin )/()/)((expcos )/()/)((expcos )/()/)((expsin 1001 1001 1001 1001 aurAJuakjnztjnYH aurAJuakjnztjnYH aurAJuakjnztjnE aurAJuakjnztjnE nr n nr n βωθ βωθ βωθ βωθ θ θ ar < (3.48)        +−−−= +−−−= +−−−= +−−= −− ++ ++ −− ))/ˆ()/ˆ()(ˆ/)((expsin ))/ˆ()/ˆ()(ˆ/)((expcos ))/ˆ()/ˆ()(ˆ/)((expcos ))/ˆ()/ˆ()(ˆ/)((expsin 11002 11002 11002 11002 arwDKarwCIwakjnztjnYH arwDKarwCIwakjnztjnYH arwDKarwCIwakjnztjnE arwDKarwCIwakjnztjnE nnr nn nnr nn βωθ βωθ βωθ βωθ θ θ ara )1( +<< δ (3.49)        ⋅−−= ⋅−−= ⋅−−= ⋅−= − + + − )/()/)((expsin )/()/)((expcos )/()/)((expcos )/()/)((expsin 1003 1003 1003 1003 awrLKwakjnztjnYH awrLKwakjnztjnYH awrLKwakjnztjnE awrLKwakjnztjnE nr n nr n βωθ βωθ βωθ βωθ θ θ ar )1( +> δ (3.50) где је 2/1 000 )/( µεnY = и 0≠n . С обзиром на домен у коме се рачуна електромагнетно поље таласовода, модел таласовода са бесконачно дебелим омотачем намеће граничне услове непрекидности тангенцијалних компонената вектора јачине електричног и магнетног поља на раздвојним цилиндричним површинама ar = и ar )1( += δ . Први гранични услов непрекидности лонгитудиналних компонената електричног и магнетног поља на граничним површима је: )()( 21 aEaE zz = )()( 21 aHaH zz = (3.51) ))1(())1(( 32 aEaE zz +=+ δδ ))1(())1(( 32 aHaH zz +=+ δδ Други гранични услов једнакости лонгитудиналних јачина електричних поља на граничним површинама је: Оптичка влакна са W индексом преламања 56 )()( 21 aEaE θθ = )()( 21 aHaH θθ = (3.52) ))1(())1(( 32 aEaE +=+ δδ θθ ))1(())1(( 32 aHaH +=+ δδ θθ Из првог граничног услова добијају се вредности интеграционих константи А, C, D и L, a из другог граничног услова добија се следећи систем једначина [35]: 0 )/( )/( ˆ 11 1 ˆ ˆ 11 1 ˆ ˆˆ 'ˆ'ˆ ˆˆ 'ˆ'ˆ ˆˆ 'ˆ'ˆ ˆˆ 'ˆ'ˆ ˆ 11 1 ˆ ˆ 11 1 ˆ ˆ ˆ 11ˆ ˆ 11 ˆˆ 'ˆ'ˆ ˆˆ 'ˆ'ˆ ˆˆ 'ˆ'ˆ ˆˆ 'ˆ'ˆˆ ˆ 11ˆ ˆ 11 2/1 0 2 00 2/1 0 2 00 22 0 22 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 022 0 22 0 2222 22 22222 =                                                                   − +       − +        −        −         −        −      − +       − +       +      +        +        +         +        +      +      + Gn Fn D C ww Kn ww In Kw Kq wK Kp K Iw Iq wK Kp I Kw K wK K K Iw I wK K I ww Kn ww In K wu nI wu n Kw Kq uJ J K Iw Iq uJ J I Kw K uJ J K Iw I uJ J IK wu nI wu n ii i i i i i i i i i i i iii εµ εµ δδ ρρ ρρ δδ ρρ ρρ (3.53) где су hau = , aw αˆˆ = и aw α= нормализоване трансверзалне пропагационе константе у језгру, унутрашњем и спољашњем омотачу, респективно [35]. Такође је: )(uJJ n= )( '' uJJ n= )ˆ(ˆ wII ni = )ˆ(ˆ '' wII ni = )ˆ(ˆ wKK ni = )ˆ(ˆ '' wKK ni = )ˆ)1((ˆ0 wII n += δ )ˆ)1((ˆ '' 0 wII n += δ (3.54) )ˆ)1((ˆ 0 wKK n += δ )ˆ)1((ˆ '' 0 wKK n += δ )ˆ)1((0 wKK n += δ )ˆ)1(( '' 0 wKK n += δ )/()()/( 22222200 2 wupwukn ++== βρ Оптичка влакна са W индексом преламања 57 Веза између нормализованих трансверзалних пропагационих константи wu ˆ, и w , и нормализованих фреквенција υ и υˆ има облик [36]: 222 00 22 ˆ)1()(ˆ ν≡−=+ qaknwu (3.55) 222 00 22 )1()( ν≡−=+ paknwu (3.56) Лонгитудинална фазна константа је [36]: 22 00 22 00 22 00 2 )/()( )/ˆ()( )/()( awkpn awkqn aukn += += −=β (3.57) 3.3.2 Карактеристична једначина и њено решење Карактеристична једначина (3.53) је веома компликована за решавање и нема аналитичко решење [34]. Ради поједностављења, надаље ће се дискутовати о слабо вођеном W влакну код кога је [36]: 1111 <<−<<− qp (3.58) Претпоставља се да је унутрашњи омотач довољно дебео. Овај услов се изражава у следећем облику 2/1220 )(2/ qpna −>>⋅ πλδ . Од интереса је поље чија је временска зависност и зависност од z дата у облику )(exp ztj βω − . Да би постојали вођени модови мора бити задовољен услов 0000 kpnkn << β . Вођени модови су класификовани у групу хибридних модова ЕH и HЕ и трансверзалних ТЕ и ТМ модовa, чије су карактеристике дате у табели 3.1 [37]. Прво ће се решавати карактеристична једначина за хибридне модове. Оптичка влакна са W индексом преламања 58 Табела 3.1. Листа различитих типова таласних модова у оптичком таласоводу. Номенклатура Лонгитудиналне компоненте Трансверзалне компоненте TEM (трансверзални електромагнетни) 0,0 == zz HE TT HE , TE (трансверзални електрични) 0,0 ≠= zz HE TT HE , TM (трансверзални магнетни) 0,0 =≠ zz HE TT HE , HE или EH (хибридни) 0,0 ≠≠ zz HE TT HE , Узимајући све наведене претпоставке у обзир, из првог граничног услова (3.51) константе A и L могу се изразити преко константи C и D, а узимајући у обзир други гранични услов (3.52), једначина (3.53) се своди на следећи облик [36]: 0 ˆ )ˆ( ˆ )ˆ( ˆ )ˆ( ˆ )ˆ( 1111 1111 =                                 +−      −       −       C D cwK K Iwc I wcI cwK K Kwc K wcK uJ J Iw I wI uJ J Kw K wK n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n mmmm mmmm mm (3.59) где је δ+= 1c , а nn KwcK ˆ/1m је скраћеница од )ˆ(ˆ/)ˆ(1 wcKwcwcK nnm . За хибридне модове добија се [36]:       + − ⋅       +⋅=− ++ ++ ++++ ++ ++ 11 11 1111 11 11 /ˆ/ /ˆ/ ˆ)ˆ()ˆ( )ˆ()ˆ( ˆ nnnn nnnn n n n n nn nn n n n n cwKKIwcI cwKKKwcK uJ J Iw I wcIwK wcKwI Kw K uJ J (3.60) 22200 22 ˆ)1()(ˆ ν≡−=+ qaknwu (3.61) 222 00 22 )1()( ν≡−=+ paknwu (3.62) Оптичка влакна са W индексом преламања 59 Једначина (3.60) заједно са једначинама (3.61) и (3.62) представља карактеристичну једначину слабо вођеног W влакна. Лева и десна страна једначине (3.60) скраћено су означене са )ˆ,( wuF и ),ˆ,( wwuξ , респективно [36]. У решавању једначине (3.60) се претпоставља да се W влакно може представити као комбиновани систем одговарајућег SCq влакна и спољашњег омотача индекса преламања np. Овај приступ је оправдан када су задовољени услови: а) Да се мод простире одговарајућом фреквенцијом која је изнад фреквенције одсецања. б) Да је јачина поља на граници ar )1( += δ много мања него на ar = . Својствене вредности u и wˆ одговарајућег SCq влакна означавају се са U и Wˆ , респективно. Оне су решење једначина [36]: 0ˆ// 11 =− ++ nnnn KWKUJJ (3.63) 222 ˆˆ ν=+WU (3.64) Претпостављајући да су својствене вредности U и Wˆ познате [Snyder, 1969], дељењем једначина (3.61) и (3.62) добија се: 222222222 )1/()()1/()1(ˆ WqqpUqpWw ≡−−−−−= (3.65) Тражимо решење једначина (3.60-3.62) у близини U , Wˆ и W . Први члан на десној страни једначине (3.60), ( )]ˆ()ˆ(/)ˆ()ˆ([ 1111 wKwcIwcKwI nnnn ++++ ), тежи ) ˆ2exp( Wδ− . Из другог услова следи: 1)ˆexp()ˆ(/ˆ)1(( <<−≈+ WWKWK nn δδ (3.66) Решење једначина (3.60-3.62) дато је у форми: Оптичка влакна са W индексом преламања 60 wWw wWw uUu ∆+= ∆+= ∆+= ˆˆˆ (3.67) Заменом (3.67) у (3.60) и (3.61), и занемарујући највише чланове, добијамо: ),ˆ,(ˆ ˆˆ 11 WWUw KW K Wd d u UJ J dU d n n n n ξ=∆        −∆      ++ (3.68) 0ˆˆ =∆+∆ wWuU (3.69) Решавајући једначине (3.68) и (3.69) по u , добија се: )ˆ/21)(ˆ/1/1( ),ˆ,( 1 22 +−+ − =∆ nn KWnKWU WWU uU ξ (3.70) Комбинујући (3.57) и (3.70), добија се: )ˆ/21)(ˆ/1/1( /),ˆ,( / 1 22 2 2 0 +−+ =∆−=∆ nn KWnKWU TWWU TuU ξ ββ (3.71) где је .)/()( 2200 2 0 aUkn −=β У једначинама (3.70) и (3.71), имамо: 11 11 11 11 11 / ˆ/ /ˆ/ )ˆ()ˆ( )ˆ()ˆ( ˆ ++ ++ ++ ++ ++ + − ⋅⋅        +−= nnnn nnnn nn nn n n n n cWKKIWcI cWKKKWcK WcIWK WIWcK IW I UJ J ξ за 02 >W (3.72) )2( 1 )2( 1 )2( 1 )2( 1 11 11 11 / ˆ/ /ˆ/ )ˆ()ˆ( )ˆ()ˆ( ˆ ++ ++ ++ ++ ++ + − ⋅⋅        +−= nnnn nnnn nn nn n n n n cBHHIWcI cBHHKWcK WcIWK WIWcK IW I UJ J ξ за 022 <−= BW (3.73) где је )2(nH Ханкелова функција друге врсте реда n . Када је 02 >W , 0β и β∆ су реалне, па тако посматран вођени мод са фазном константом β само се незнатно разликује од одговарајућег SC влакна. Када је 02 >⋅ πλδ , а то је еквивалентно захтеву 1ˆ >>wδ на фреквенцији одсецања првог реда. Да би овај услов био задовољен користе се једначине (3.61), (3.75) и (3.76). Решавањем једначина (3.63) и (3.64) добијају се U -υˆ криве за сваки мод (слика 3.6). Места пресецања криве u -νˆ са правом линијом ν=u одговарају фреквенцији одсецања 1ˆcν . Област између oсе νˆ , и праве линије ν=u , одговара области вођених таласа. У области између кривих νˆ=u и ν=u , сваки мод постаје цурећи талас. У преосталом делу, између осе u и линије νˆ=u , нема простирања модова дуж одговарајућег SC влакна и пертурбациона теорија се не може применити. Област фреквенција означена као област III на слици 3.6 је област великих губитака и одговара или цурећем моду са високим губицима или моду са ниским губицима кога је немогуће довољно побудити [38]. Оптичка влакна са W индексом преламања 62 Слика 3.6. Три области простирања модова. Свака крива представља u -υˆ карактеристику одређеног мода референтног SC влакна. У W влакну, одређени мод је вођен у области I и постаје цурећи мод у области II. Област III је област великих губитака. Мали кругови на свакој кривој означавају услове одсецања W влакна, док крстићи представљају услове одсецања референтног SCq влакна [36]. Фреквенција одсецања W влакна зависи од вредности δ . Фреквенција одсецања првог реда 1ˆcν дефинисана са (3.74-3.76) не узима у обзир δ . Стога је неопходно извести фреквенцију одсецања другог реда. Фреквенција одсецања другог реда означена је као 2ˆcν . Својствене вредности u и wˆ за 2ˆˆ cνν = означене су са uU δ+ и wW ˆˆ δ+ . Из (3.60-3.62) добијамо [36]: )0,ˆ,(),ˆˆ,()ˆˆ,( WUWwWuUwWuUF ξδδξδδ ≈++=++ (3.77) 22 22 ˆ)ˆˆ()( cwWuU νδδ =+++ (3.78) WwUu ˆ/ˆ/ δδ = (3.79) Jедначина (3.79) добија се из једначине: 2 2/122 ˆ)]1/()1[( cqpuU νδ −−=+ (3.80) Решавајући једначине (3.77-3.79) по 2ˆcν , добија се: Оптичка влакна са W индексом преламања 63 [ ] ]))ˆ(/)ˆ(())(/)([( ˆ)ˆ//( )ˆ()ˆ( )ˆ()ˆ( )ˆ/(ˆ)/( )ˆ( ˆˆ 2 1 2 1 111 11 11 1 12 WKWKUJUJ IWIUJJ WcIWK WIWcK WFWUFU nnnn cnnnn nn nn c cc ++ ++ ++ ++ + + ⋅−= = ∂∂+∂∂ ⋅ =− ν ξν νν (3.81) Смањењем дубине унутрашњег омотача смањује се област цурећих модова, чиме се повећава област вођених модова. Одређени мод је изнад или испод услова одсецања када ν , дефинисано у (3.62), је веће или мање од ∞u , где ∞u представља својствену вредност од u , када ∞→νˆ . Стога број вођених модова највише зависи од p као у релацији (3.62), док није много осетљив на промену q . Другачије речено, број вођених модова највише зависи од језгра и спољашњег омотача, док су карактеристике вођених модова углавном одређене језгром и унутрашњим омотачем [36]. 3.3.4 Константа слабљења цурећих модова Константа слабљења првог реда цурећих mnHE ,1+ модова дата је као имагинарни део од ββ ∆+0 помножен са -1. С претпоставком да је 0β реално, узимајући у обзир релацију (3.71), добија се [36]:         −+ −=∆−= + ) ˆ/21)(ˆ/1/1( ),ˆ,(1 Im)Im( 1 222 0 nn KWnKWU WWU T ξ β βα (3.82) где се ξ добија користећи једначину (3.73). Када су Wˆ и B много већи од 1, добија се: 22222 0 ˆ ˆ2 )ˆ/1/1( )ˆ2exp()ˆ/2(1 BW BW WU WW a ++ − ≈ δ β α (3.83) Константа слабљења зависи од нормализоване фреквенције и броја мода. С обзиром да вођени модови постоје када је 1ˆˆ cνν > , константа слабљења тежи нули када 1 ˆˆ cνν → . Изузев веома близу 1ˆcν и на фреквенцији одсецања SC влакна, доминантан фактор у релацији (3.82): Оптичка влакна са W индексом преламања 64 )ˆ2exp()ˆ()ˆ(/)ˆ()ˆ( 1111 WWKWcIWcKWI nnnn δ−≈++++ (3.84) Даље од фреквенције одсецања одговарајућег SC влакна грубо се добија [36]: ννννν ˆ2/ˆˆ2/ˆ)ˆ(ˆ 222/122 ∞−≈−≈−= uUUW (3.85) где је 2∞u m -та нула од )(uJ n за mnHE ,1+ модове. Стога αlog се апроксимира уз помоћ линераног израза са одређеним νˆ за највећи део области II на слици 3.6. 3.3.5 Групна брзина и расподела снаге вођених модова Фазна константа вођених модова дуж W влакна дата је релацијом (3.57), која зависи од својствених вредности wu ˆ, и w . Обично је случај да је 0ββ <<∆ . Изнад фреквенције одсецања, фазна константа и облик поља су веома блиски облику поља референтног SC влакна. Међутим, мора се одредити зависност фазне константе од νˆ веома близу услова одсецања, јер у овој области велики део електромагнетне снаге одређеног мода прелази у спољашњи омотач. 3.3.5.1 Дисперзиона релација близу фреквенције одсецања. Када се испитује понашање u , wˆ и w на мало вишим фреквенцијама од фреквенције одсецања, мора се користити једначина (3.60) уместо (3.70) због присуства спољашњег омотача који знатно мења електромагнетно поље датог мода. На фреквенцији одсецања cνˆ , mnHE ,1+ модова, добија се [36]: )0,ˆ,()ˆ,( wuwuF ξ= (3.86) 222 ˆˆ cwu ν=+ (3.87) [ ] cqpu νˆ)1/()1( 2/122 −−= (3.88) Даље ће се тражити зависност w од cννν ˆˆˆ −=∆ . Ако се својствене вредности означе са wwuu ˆˆ, ∆+∆+ , и ννν ˆ∆+= c , добија се [36]: Оптичка влакна са W индексом преламања 65 ),ˆˆ,()ˆˆ,( wwwuuwwuuF ∆+∆+=∆+∆+ ξ (3.89) Одузимајући (3.86) од (3.89), и занемарујући више модове, добија се [36]: )0,ˆ,(),ˆ,(ˆ ˆˆ wuwwuw ww F u uu F ξξ ξξ −=∆      ∂ ∂ − ∂ ∂ +∆      ∂ ∂ − ∂ ∂ (3.90) Једначина (3.90) се може написати у следећем облику [36]:      ≥+−− =+ = × ×⋅      +⋅      +=∆ ∂ ∂ +∆ ∂ ∂ + ++ ++ +++ 2])ˆ/2/1)(1(8/[ 1)ˆ/2/1)(2/781.1ln()4/( 0)2/781.1ln(/1 )ˆ()ˆ( )ˆ()ˆ( ˆˆˆ ˆ ˆ 2 1 222 2 21 22 11 11 111 nIwcInnnwc nIwcIcwwc ncw wcIwK wIwcK Iwc I Kwc K Iw I uJ J w w F u u F nn nn nn n n n n n n n n M (3.91) νν ˆˆˆˆ ∆=∆+∆ cwwuu (3.92) νν ˆˆ)]1/()1[(22 222 ∆−−=+∆ cqpwuu (3.93) Решавањем једначина (3.91-3.93) за 0=n и 1=n , може се показати да uw ∆/2 и ww ˆ/2 ∆ теже нули када 0ˆ →∆ν . Из једначина (3.92) и (3.93) добија се: [ ] νˆ)1/()1( 2/122 ∆−−=∆ qpu (3.94) [ ] νˆ)1/()(ˆ 2/1222 ∆−−=∆ qqpw (3.95) Када се ове две релације замене у (3.91), добија се [36]: ]))ˆ(/)ˆ(())(/)([(ˆ )ˆ()ˆ( )ˆ()ˆ( ˆˆˆ ˆ 2 781.1 ln 2 10 2 10 11 11 1 0 1 0 1 0 1 0 wKwKuJuJ wcIwK wIwcK Iwc I Kwc K Kw K uJ J cw c +∆ ⋅      +⋅      + −= ν ν за 0=n (3.96) Оптичка влакна са W индексом преламања 66 c wcIwK wIwcK Iwc I Kwc K Kw K uJ J wKwKuJuJ Iwc I cw wc ν ν ˆ ˆ )ˆ()ˆ( )ˆ()ˆ( ˆˆˆ ]))ˆ(/)ˆ(())(/)([( ˆ 2 1 2 781.1 ln 22 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 21 2 21 2 2 1 22 ∆⋅ ⋅      +⋅      + +      +− = за 1=n (3.96) У случају када је 2≥n , десна страна једначине (3.91) је реда 2w у случају када 0→w и не постоји сингуларитет, тако да се може занемарити јер је пропорцијална са )ˆ2exp( wδ− . Другим речима, када је 2≥n , зависност u и wˆ од νˆ је скоро иста као код одговарајућег SC влакна. 3.3.5.2 Зависност фреквенције од групне брзине Зависност фреквенције и броја модова од групне брзине игра важну улогу код анализе кашњења модова. Теорија диелектричних таласовода предвиђа, када се примењује на анализу W влакна, да је [36]: souojez souojez gp PPP PpPqP nvv ++ ++ ⋅= 22 00 2 0 11 µε (3.97) где jezP , uoP и soP представља проток снаге у језгру, унутрашњем и спољашњем омотачу, респективно. Фазна и групна брзина означене су са pv и gv , респективно. Такође је ))(/(1 2/1000 µεpnv p = на фреквенцији одсецања и монотоно опада када се фреквенција повећава. За 0=ω , имамо да је ))(/(1 2/1000 µεnv p = . Када се разматра неки од mHE1 , mHE2 , mTE0 и mTM 0 модова на фреквенцији блиској фреквенцији одсецања, скоро сва снага је у спољашњем омотачу. С повећањем фреквенције све већи део снаге прелази у језгро. Користећи релацију (3.97) може се предвидети зависност gv сваког мода од фреквенције. Групна брзина једнака је ))(/(1 2/1000 µεpn на фреквенцији одсецања када се разматра неки од mHE1 , mHE2 , mTE0 и mTM 0 модова. Слика 3.8 показује типичну промену gv сваког мода у зависности од фреквенције [36]. Оптичка влакна са W индексом преламања 67 Слика 3.8. Зависност нормализоване фреквенције од фазне и групне брзине за неколико најнижих модова. А, В, С и D представљају HE11, HE21+TE01+TM01, HE31+EH11, HE12, респективно. Тачка-линија криве означавају фазну брзину. Параметри су 99821.0=a , 99966.0=b и 5.0=δ . Тачкаста линија је решење једначине (3.99) за HE11 мод. За остале модове нумеричко решење се одлично слаже са (3.99). Треба напоменути да је: ))(/(1 2/1000 µεpnvv gp == (3.98) на фреквенцији одсецања за сваки од 11HE , 21HE , 01TE , 01TM и 12HE модова, и ))(/(1 2/1000 µεnvg < на фреквенцији одсецања за 31HE и 11EH модове. Далеко од фреквенције одсецања, групна брзина модова у W влакну, апроксимира се са одговарајућим SC влакном, па се добија за mnHE ,1+ модове [36]: ))(/)ˆ()ˆ(2/1()/11(1)( 2 11 22/1 000 wKwKwKvnv nnnpg −+−⋅−+=µε (3.99) Да би се анализирала брзина промене gv , морају се искористити релације (3.57) и (3.96). Из (3.57) и (3.61), добија се 22222 )1/(ˆ)( wqpT +−= νβ , па имамо [36]: Оптичка влакна са W индексом преламања 68 }/]2/)ˆ/()ˆ/)(ˆ/[()1(1{)( ])ˆ/()1/([ )ˆ/)(ˆ/()1/( ])1[( 1 2222/1 000 2/1222 22 2/1 00 2 0 pwddwwqpn wqp ddwwqp qn vg νννµε ν νν µε −⋅−+≈ ≈ +− +− −= (3.100) За 11HE мод, w и једначина (3.100) могу се написати у форми [36]: )ˆ/exp( ν∆−= BAw (3.101) })ˆ2/1)ˆ/()ˆ/](/)1[(1{)( 1 ˆ/22222/1 000 ννννµε ∆−−∆⋅−+≈ Bcc g eBApqpn v (3.102) 3.3.5.3 Расподела снаге у сва три слоја W влакна Обично, највећи део снаге електромагнентног поља вођен је кроз језгро влакна. У близини фреквенције одсецања везаност поља у језгру се смањује. Познато је да код SC влакна, на фреквенцији одсецања, сва снага се простире кроз омотач за mHE1 , mHE2 , mTE0 и mTM 0 модове. Међутим, на фреквенцији одсецања mnHE ,1+ или mnHE ,1− модова ( 2≥n ), n/1 део снаге од укупне снаге модова је вођен кроз омотач. У случају W влакна, на фреквенцији одсецања, сва снага вођена је кроз спољашњи омотач у случају mHE1 , mHE2 , mTE0 и mTM 0 модова. Са друге стране, много мањи део снаге од n/1 укупне снаге је вођено кроз спољашњи омотач за mnHE ,1+ или mnHE ,1− модове ( 2≥n ) због великог трансверзалног слабљења при простирању кроз унутрашњи омотач. Електромагнетна снага у језгру, унутрашњем и спољашњем омотачу, респективно, добија се из израза [36]: rdrTurJuAP T njez )/()/( 0 22 ∫= (3.103) ∫ −= cT T nnuo rdrTrwDKTrwCIwP 22 )]/ˆ()/ˆ([)ˆ/1( (3.104) rdrTwrKwLP cT nso )/()/( 22 ∫ ∞ = (3.105) Оптичка влакна са W индексом преламања 69 где параметри А,C, D и L задовољавају услове: )ˆ()ˆ()( 111 wDKwCIuAJ nnn +++ += (3.106) )ˆ()ˆ()( 111 wcDKwCIcwLK nnn +++ += (3.107)       −=      − ++ + ++ + 11 1 11 1 ˆ )ˆ( ˆ )ˆ( n n n n n n n n n n cwK K Iwc I wcCI cwK K Kwc K wcDK (3.108) Интеграцијом (3.103-3.105), и занемаривањем чланова реда )ˆ2exp( wδ− који су занемарљиви у односу на јединицу, и елеминисањем константи пропорционалности, добијамо [36]: ))()()()(ˆ( 11 22 uJuJuJwKP nnnnjez −+−∝ (3.109) )1)ˆ()(ˆ()1)ˆ()(ˆ( 222 −−−∝ wcwcKcwwKP nnnnuo ζζ (3.110)       + − ⋅+×−∝ ++ ++ + + 11 11 1 122 /ˆ/ ˆ// )ˆ()ˆ( )ˆ()ˆ( 1)1)ˆ()(ˆ( nnnn nnnn nn nn nnso cwKKIwcI KwcKcwKK wcKwcI wcKwcI wcwcKcP ζ (3.111) где је )(xnζ ознака за )(/)()( 2 11 xKxKxK nnn −+ . jezP не би требало занемарити у близини фреквенције одсецања )0( →w када је 0=n или 1=n , јер тада ∞→soP у случају када 0→w . За 2≥n , soP је реда )ˆ2exp( wδ− чак и на фреквенцији одсецања и може се занемарити. Други члан на десној страни израза (3.110) се може занемарити, јер је реда )ˆ2exp( wδ− у односу на први члан. Међутим, не занемарује се у случају када је pq = и стога ww ˆ= . Далеко од фреквенције одсецања 1≥w , soP се може занемарити када је 1)ˆ2exp( <<− wδ Релативни однос снаге у језгру и укупне снаге која се преноси кроз влакно [36]: 32 22 ˆ/1 )]ˆ(/1)ˆ/ˆ[()ˆ/()/( ν ζνυ u wwuPPP nuojezjez −≈ +=+ (3.112) Последња једначина важи када је u>>νˆ и 1ˆ >>w . Оптичка влакна са W индексом преламања 70 Апроксимативни метод који је представљен је намењен за анализу W влакна. Метод се заснива на претпоставци слабо вођеног таласа. Овај метод може се применити за анализу следећих карактеристика W влакна: особине цурећих модова испод фреквенције одсецања, групне брзине као и неправилности расподеле снаге мало изнад фреквенције одсецања. Недостатак овог приступа је што је неопходно анализирати велики број појединачних модова, а при томе се не узима у обзир спрезање модова које има велики утицај на преносне карактеристике оптичких влакана. Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 71 4. ПРИМЕНА ВРЕМЕНСКИ-НЕЗАВИСНЕ ЈЕДНАЧИНЕ ПРОТОКА СНАГЕ НА ОПТИЧКА ВЛАКНА СА W ИНДЕКСОМ ПРЕЛАМАЊА Преносне карактеристике оптичких влакана са W индексом преламања зависе од модалног слабљења, модалне дисперзије и спрезања модова. Спрезање модова представља пренос енергије између модова, који је пре свега последица унутрашњих пертурбационих ефеката који настају услед присуства нечистоћа и нехомогености у влакну насталих у процесу производње, микроскопских закривљења, неправилности на граници језгро-омотач и промене индекса преламања. Модална дисперзија представља временско ширење сигнала услед различите дужине пута коју прелазе различити модови који се крећу кроз влакно под различитим угловима у односу на осу влакна. Модално слабљење представља слабљење сигнала које зависи од угла под којим се простире мод у односу на осу влакна. Услед спрезања модова долази до промене угаоне расподеле улазног снопа светлости. Процес спрезања модова одвија се до карактеристичне дужине влакна Lc на којој се остварује равнотежна расподела модова (РРМ), односно до одређене дужине влакна zs када настаје стационарна расподела модова (СРМ) [25]. Спрезање модова с једне стране смањује модалну диспрезију у влакнима, али с друге стране повећава губитке у закривљеним влакнима [39]. W влакно, које има језгро и два омотача има другачије карактеристике у односу на SC влакно због постојања цурећих модова у унутрашњем омотачу W влакна. Унутрашњи пертурбациони ефекти, као и макроскопска закривљења и спојеви влакана изазивају спрезање модова, узрокујући пренос енергије између модовима. То за последицу има појаву виших модова на излазу из влакна, иако су на улазу у влакно побуђени само нижи модови. Појава виших модова смањује пропусни опсег влакна, стога је неопходно дизајнирати оптимални индекс преламања влакна који ће умањити групно кашњење између модова [40]. Спрезање модова, модално слабљење и модална дисперзија, веома утичу на преносне карактеристике W оптичких влакана, стога је потребно наћи метод којим ће се то испитати. Један од начина испитивања процеса спрезања модова и модалног слабљења је испитивање угаоне расподеле снаге светлости у функцији дужине влакна и других параметара влакна. Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 72 Угаона расподела снаге светлости на крају влакна може се одредити теоријски и експериментално. Теоријски, коришћењем геометријске оптике [41, 42], једначине протока снаге [14, 43, 44, 45, 46], као и Фокер-Планкове и Ланжвенове једначине [47], ове расподеле су одређене као функција улазног сигнала на почетку влакна и дужине влакна. Овде ћемо анализирати временски-независну једначину протока снаге и показати како се она примењује на вишемодна оптичка влакна са W индексом преламања. Прво ћемо дати кратак приказ како је Глоге [14] извео једначину протока снаге. Затим је приказано како је по први пут временски-независна једначина протока снаге код влакна са W индексом преламања решена експлицитним методом коначних разлика. Применом временски-независне једначине протока снаге, поред утицаја ширине унутрашњег омотача и коефицијента спрезања који су и раније теоријски испитивани, по први пут је теоријски испитан утицај дубине унутрашњег омотача, као и утицај угла и ширине улазног снопа светлости на дужине на којима се успостављају равнотежна и стационарна расподела модова код влакна са W индексом преламања. 4.1 Извођење временски-независне једначине протока снаге Д. Глоге [48] је предложио да се уместо посматрања појединачних модова у оптичком влакну уведе континуум модова, под условом да је њихов број довољно велики [14]. Показано је да се код великог броја модова параметри који карактеришу суседне модове незнатно разликују, па се њихове дискретне вредности могу заменити континуалним променљивима. Глоге је такође увео претпоставку да се спрезање модова догађа само између суседних модова. Показано је да је грешка коју укључује ова претпоставка мала у односу на случај када се у обзир узима и спрезање посматраног мода са модовима који су удаљенији од суседних модова. Постоје и експериментални докази да је овакво понашање модова заиста присутно код правих вишемодних влакана [49,50]. Уводећи ове претпоставке, Глоге је добио парцијалну диференцијалну једначину која описује расподелу снаге у функцији дужине влакна и континуалног модалног параметра θ, који представља угао простирања мода дуж влакна мерен у односу на осу влакна. Углови под којим се простиру суседни модови у влакну се разликују за [14]: Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 73 14an λ θ =∆ (4.1) где је а полупречник језгра влакна, λ таласна дужина светлости у вакууму, а 1n индекс преламања језгра влакна. Глоге је извео једначину протока снаге претпостављајући да се у временски- независном случају промена снаге m-тог мода (dPm) дешава због: а) расипања и расејања, што се описује чланом m mP dzα− , б) спрезања са осталим модовима (према наведеној претпоставци само са суседним модовима). На тај начин промену снаге m-тог мода, по дужини влакна, можемо написати у облику [14]: ( ) ( )mmmmmmmmm PPdPPdP dz dP −+−+−= −−+ 111α (4.2) где је md коефицијент спрезања између модова реда m+1 и m. Прелазак у континуум захтева да се разлика снаге између модова напише у облику диференцијала, па имамо: θθθ d dPPP m mm mm = − − + + 1 1 (4.3) Како је 1m mθ θ+ − = θ∆ , једначину (4.2) можемо написати у облику:       −∆+−= −− θθ θα d dP d d dP dP dz dP m m m mmm m 1 1 (4.4) Разлика 11 m m m m dP dP d d d dθ θ − −− захтева истоветни прелаз, па имамо:       ∆=− −− θθ θ θθ d dP d d d d dP d d dP d mm m m m m 1 1 (4.5) Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 74 Заменом индекса m са функционалном зависношћу од θ добијамо једначину протока снаге у следећем облику [14]:       ∂ ∂ ∆+−= θ θ θ θ θθθα θ d zdP dzP dz zdP ),( )()(),()( ),( 2 (4.6) У случају цилиндричног влакна индекс m представља групу од m модова. Како би се добила једначина протока снаге за m-ту групу модова мора се извршити сумирање свих m чланова у једначини (4.6). Коефицијенти и m mdα зависе само од m и стога су исти за све чланове. Међутим, спрезање нижих модова може се десити само између m-1 чланова, стога имамо: )()1()( 111 mmmmmmmm m PPdmPPmdPm dz dP m −−+−+−= −−+α (4.7) Користећи (4.3) и прелаз аналоган (4.5), добија се:       ∂ ∂ ∆+−= θθ θα θ d dP md m P dz zdP m mmm 1 )( ),( 2 (4.8) Како је 14m anθ λ= имамо:       ∂ ∂ ∆+−= θ θ θθ θθ θθθα θ d zdP dzP dz zdP ),( )( 1 )(),()( ),( 2 (4.9) где је: • ( , )P zθ угаона расподела снаге светлости, • z растојање које светлост прелази дуж влакна (мерено од почетка влакна), • θ угао простирања светлости у односу на осу влакна, • ( )d θ коефицијент спрезања, • α(θ) модално слабљење, Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 75 Коефицијент модалног слабљења α(θ) можемо написати у облику [14]: ...)( 20 ++= θαθα A (4.10) где 0α представља губитке заједничке за све модове. Ови губици могу се касније узети у обзир множењем коначног решења изразом 0ze α− . 2Aθ обухвата губитке на граници језгро-омотач. А је фактор мултипликације другог реда у изразу (4.10) за коефицијент губитака снаге ( )α θ који узима у обзир апсорпцију и расејање светлости у влакну. Коефицијент спрезања се може написати у облику [46, 51]: q cdd 2 0)(       = θ θ θ (4.11) где су d0 и q константе за одређено влакно. За q=0, једначина (4.9) се може написати у облику:       ∂ ∂ ∂ ∂ +−= ∂ ∂ θ θ θ θθ θθα θ ),( ),()( ),( zPD zP z zP (4.12) где је ( ) ( )2 20 0 14D d d anθ λ= ∆ = константа спрезања, 0d је члан нултог реда у изразу за коефицијент спрезања 2 0( ) ( )d dθ α θ θ= + +L . Једначина (4.12) ће се користити за даља нумеричка израчунавања у овој глави. Гранични услови за једначину (4.12) су [14]: 00),( 0 = ∂ ∂ = =θθ θ P DzP c (4.13) где је cθ критични угао влакна. Први услов значи да модови θ≥ cθ не преносе снагу. Други услов значи да је спрезање модова ограничено само на модове са 0θ > . Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 76 4.2 Нумерички метод решавања временски-независне једначине протока снаге Временски-независна једначина протока снаге је парцијална диференцијална једначина параболичког типа. Да би се одредило њено нумеричко решење, могу се користити стандардне нумеричке методе као што су метод коначних елемената, метод коначних разлика и нодално-интегрални метод [52, 53, 45]. Метод коначних елемената је ефикаснији од других нумеричких метода када се проблем простирања светлости кроз влакно посматра у три просторне димензије. Када се простирање светлости моделује у једној просторној димензији, као што је то случај с једначином протока снаге, метод коначних разлика је најбољи избор. Раније су се имплицитне методе коначних разлика чешће користили од експлицитних метода коначних разлика [44]. Са развојем савремених брзих рачунара, то се променило и данас се подједнако користе обе методе. С обзиром да је најчешће безусловно стабилан, имплицитни метод коначних разлика дозвољава веће кораке интеграције него експлицитни метод коначних разлика, чиме се скраћује време потребно да се помоћу рачунара реши одређени проблем. Ипак, ово се не одражава на већу рачунску ефикасност имплицитног метода коначних разлика јер се у сваком рачунском кораку мора манипулисати са врло великим матрицама. Зато се може рећи да је експлицитни метод коначних разлика, иако осетљивији са аспекта стабилности нумеричке шеме, једноставнији и ефикаснији од имплицитног метода коначних разлика. То је разлог зашто се у последње време експлицитни метод коначних разлика све чешће користи. Нумеричко решење једначине протока снаге (4.12) применом експлицитног метода коначних разлика први пут је добијено 2000. године [45]. Да би се применио овај метод, једначина (4.12) се пише у следећем облику: 2 2 ),(),( ),()( ),( θ θ θ θ θ θθα θ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−= ∂ ∂ zP D zPD zP z zP (4.14) Користећи шему централне разлике за изводе ( ( , ))P zθ θ∂ ∂ и 2 2( ( , ))P zθ θ∂ ∂ [52, 54]: 2 ,1,1 , )( 2 ),( θ θθ θ ∆+ ∆ − =      ∂ ∂ −+ O PPzP jiji ji (4.14) Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 77 2 2 ,1,,1 , 2 2 )( )( 2),( θ θθ θ ∆+ ∆ +− =      ∂ ∂ −+ O PPPzP jijiji ji (4.15) и шему предње разлике за извод ( ( , ))P z zθ∂ ∂ : )( ),( ,1, , zO PP z zP jiji ji ∆+ ∆ − =      ∂ ∂ + θ θ (5.17) једначина (4.14) се може написати у облику [55]: ji i jiiji i ji P zDzD Pz zD P zDzD P ,12,2,1221, )2 () 2 1() 2 ( +−+ ∆ ∆ − ∆ ∆ +∆− ∆ ∆ −+ ∆ ∆ − ∆ ∆ = θθθ α θθθθ (4.18) где индекси i и j означавају дискретне кораке θ∆ и z∆ за угао θ и дужину z, респективно. Ово је једноставна формула за Pi,j+1 у (i,j+1) - тој тачки мреже у функцији познатих вредности за угаону расподелу снаге дуж ј-те врсте мреже (слика 4.1). Грешка при одређивању Pi,j+1 помоћу једначине (4.18) је реда 2( , )O z θ∆ ∆ [52]. Слика 4.1. Илустрација мреже за експлицитни метод коначних разлика [25]. Гранични услови (4.13) сада постају [55]: jjjN PPP ,1,0, 0 == (4.19) Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 78 где је cN θ θ= ∆ димензија мреже у θ правцу. Да би се избегао проблем сингуларности у тачкама мреже 0θ = , користи се следећа релација [45]: 0 2 2 0 2 1 lim = → ∂ ∂ =      ∂ ∂ ∂ ∂ θ θ θθ θ θθ PP (4.20) Расподелу снаге светлосног снопа на улазу у влакно, која је у облику функције )(θf , пишемо као: )()( θθ fP = (4.21) где )(θf најчешће има облик Гаусове функције. 4.3 Методе за одређивање коефицијента спрезања D 4.3.1 Метод Зубиe и сарадника Да бисмо објаснили идеју овог метода [56], претпоставимо да имамо оптичко влакно дужине L у које се убацује сноп светлости под углом 01θ који има облик раванског таласа (слика 4.2). Слика 4.2. Шема експеримента за мерење угаоне расподеле снаге светлости на крају оптичког влакна (ДС - делитељ снопа, РФД - референтни фотодетектор, СФД - сигнални фотодетектор, РС - ротациони сталак, СМ - сигнални мултиметар, РМ - референтни мултиметар, К - компјутер) [56]. Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 79 Претпоставимо даље да се у исто оптичко влакно убацује исти равански талас, али под углом 02θ . Угаоне расподеле снаге светлости на крају влакна 01( , )P x L и 02( , )P x L , приказане су на слици 4.3. Приметимо да се функције угаоне расподеле излазне снаге светлости секу у тачки 0cθ . Овај метод омогућава да се одреде константе D тако што се мери угао 0mθ на коме се догађа промена излазне расподеле снаге светлости из облика прстена у облик диска, и на основу још два додатна мерења излазних расподела снаге светлости на крају влакна за два различита улазна угла светлосног снопа који се уводи у влакно, из којих се затим одређује пресечна тачка тих излазних расподела снаге светлости. θ ( o ) P ( θ, z ) Слика 4.3. Угаоне расподеле излазне снаге светлости на крају влакна дужине L=3 m за улазне углове снопа светлости θ01=16.5° и θ02=21.5°, добијене решавањем једначине протока снаге [56]. 4.3.2 Метод Савовића и Ђорђевића Овај метод за одређивање константе спрезања D се заснива на чињеници да при убацивању светлосног снопа који има Гаусову расподелу у оптичко влакно дуж његове осе (улазни угао снопа светлости је тада 0 0°θ = ), светлостни сноп на крају влакна има облик диска (Гаусијан је позициониран на 0=θ ), без обзира на дужину влакна [57]. За Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 80 овај случај, једначина протока снаге (4.12) без члана ),()( zP θθα који описује губитке, и без члана       θθ d dPD јер нема промене позиције Гаусове расподеле, има облик: 2 2 ),(),( θ θθ ∂ ∂ = ∂ ∂ zP D z zP (4.22) С повећањем дужине влакна услед спрезања модова долази само до повећања ширине угаоне расподеле снаге светлости на крају влакна, са максимумом чији се положај и даље налази на оси влакна. Ако ( ),P zθ посматрамо као вероватноћу угаоне расподеле снаге светлости, једначина (4.22) постаје Фокер-Планкова једначина са константним дифузионим коефицијентом D. Решење једначине (4.22) је [58]:       −= 2 2 2 exp 2 1 ),( zz zP σ θ πσ θ (4.23) Варијанса 2 zσ угаоне расподеле снаге (4.23) на крају влакна дужине z, добија се из израза: Dzzz 2 2 0 2 += =σσ (4.24) где је 2 0zσ = варијанса угаоне расподеле снаге улазног снопа светлости. Константа спрезања (дифузиона константа) D је на основу једначине (4.24): z D zz 2 2 0 2 =−= σσ (4.25) Да би се одредила константа спрезања D за неко влакно, потребно је одредити само варијансу 2 zσ угаоне расподеле снаге на крају влакна дужине z. При томе варијанса угаоне расподеле снаге улазог снопа светлости 2 0zσ = мора бити унапред позната. Ако то није случај, онда се константа спрезања D одређује помоћу израза: Примена временски-независне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 81 )(2 12 22 12 zz D zz − − = σσ (4.26) где су 1 2 zσ и 2 2 zσ варијансе угаоне расподеле снаге светлости у влакну мерене на растојању 1z и 2z од почетка влакна. 4.4 Примери примене временски-независне једначине протока снаге У овом поглављу најпре ћемо представити метод за одређивање дужине спрезања Lc, на којој настаје равнотежна расподела модова, мерењем пропусног опсега оптичког влакна. Затим ћемо одредити дужине спрезања Lc на основу промене облика излазне угаоне расподеле снаге светлости у оптичком влакну и дужине sz , на којима се постиже стационарна расподела модова. 4.4.1 Одређивање дужине спрезања Lc мерењем пропусног опсега оптичког влакна На основу експерименталних података показано је да се пропусни опсег влакна B мења с дужином влакна z, као B∝ 1/z, све док је дужина влакна мања од карактеристичне дужине Lc (режим спрезања модова пре постизања равнотежне расподеле модова) [59]. За дужине влакна веће од Lc, пропусни опсег влакна мења се с дужином влакна као B∝ 1/z1/2 (режим спрезања модова после постизања равнотежне расподеле модова). Анализирајмо сада промену ширине светлосног сигнала W у функцији дужине влакна. Ширина светлосног сигнала се повећава с повећањем дужине влакна, при чему је она линеарно пропорционална дужини влакна W ∝ z ако је zLc, ширина светлосног сигнала се мења у функцији дужине влакна као W ∝ z1/2. Дакле, за дужине влакна z>Lc ширина светлосног сигнала се спорије повећава с повећањем дужине влакна него што је то случај када је дужина влакна мања од дужине спрезања влакна (z Очигледно је да је ( , , )p zθ ω комплексно, па ( , , )p zθ ω можемо раздвојити на реални део rp и имагинарни део ip , и написати у облику: ),,(),,(),,( ωθωθωθ zjpzpzp ir += (5.12) Једначина (5.10) се сада може написати у облику следеће две спрегнуте диференцијалне једначине: ),,( ),,(),,(),,( 2 2 ωθωτ θ ωθ θ ωθ θ α ωθ zp zp D zpD p z zp i rr r r + ∂ ∂ + ∂ ∂ +−= ∂ ∂ (5.13а) ),,( ),,(),,(),,( 2 2 ωθωτ θ ωθ θ ωθ θ α ωθ zp zp D zpD p z zp r ii i i − ∂ ∂ + ∂ ∂ +−= ∂ ∂ (5.13б) За решавање парцијалних диференцијалних једначина (5.13) коришћен је експлицинти метод коначних разлика. Користећи шему централне разлике за изводе ( ( , , ))p zθ ω θ∂ ∂ и 2 2( ( , , ))p zθ ω θ∂ ∂ [52, 54]: 2,1,1 , )( 2 ),,( θ θθ ωθ ∆+ ∆ − =      ∂ ∂ −+ O ppzp lklk lk (5.14а) 2 2 ,1,,1 , 2 2 )( )( 2),,( θ θθ ωθ ∆+ ∆ +− =      ∂ ∂ −+ O pppzp lklklk lk (5.14б) Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 114 и шему предње разлике за извод ( ( , , ))p z zθ ω∂ ∂ : )( ),,( ,1, , zO pp z zp lklk lk ∆+ ∆ − =      ∂ ∂ + θ ωθ (5.15) једначине (5.13) постају: i lkk r lk k r lkkd r lk k r lk p c zn p zDzD pz zD p zDzD p , 20 ,12,2,121, 2 ) 2 ())( 2 1() 2 ( θ ω θθθ α θθθθ ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ +∆− ∆ ∆ −+ ∆ ∆ − ∆ ∆ = +−+ (5.16а) r lkk i lk k i lkkd i lk k i lk p c zn p zDzD pz zD p zDzD p , 20 ,12,2,121, 2 ) 2 ())( 2 1() 2 ( θ ω θθθ α θθθθ ∆ − ∆ ∆ − ∆ ∆ +∆− ∆ ∆ −+ ∆ ∆ − ∆ ∆ = +−+ (5.16б) Индекси k и l означавају дискретне кораке θ∆ и z∆ за угао θ и дужину z , респективно, ),,(, ωθ lkr r lk zpp = и ),,(, ωθ lki i lk zpp = . Модално слабљење је дефинисано у облику: [ ]        ≥∞ ≤<−− − − − − ≤ = q qpkq pqq kqk k pk p d kan a θθ θθθθθδ θθθ θθθ θ θθ θθ θα 2/12200222 222 2/12 2/122 )(2exp )( )( )1( )(4 0 )( (5.17) где су pθ и qθ критични углови референтних влакана SCp и SCq, респективно. Гранични услови (5.11) сада постају: 0,, == i lN r lN pp (5.18a) i l i l r l r l pppp ,1,0,1,0 == (5.18б) Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 115 где је θθ ∆= qN димензија мреже у θ правцу. Како би се избегао сингуларитет у тачкама 0,θ = користи се следећа релација [45]: 2 20 0 1 lim 2 p p θ θ θ θ θ θ θ→ = ∂ ∂ ∂  = ∂ ∂ ∂  (5.19) Након одређивања rp и ip , фреквентни одзив добијамо користећи једначину: [ ] [ ]∫ ∫ + + = c c djpp dzjpzp zH ir ir θ θ θωθωθθπ θωθωθθπ ω 0 0 ),0,(),0,(2 ),,(),,(2 ),( (5.20) а након израчунавања фреквентног одзива за различите дужине влакна, можемо добити и пропусни опсег влакна. За решавање парцијалне диференцијалне једначине (5.13) и одређивање фреквентног одзива код W влакна, коришћен је рачунарски програм који су Симовић и сарадници написали у програмском језику Fortran 90 [71]. 5.1.1 Утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на преносне карактеристике влакна са W индексом преламања Овде ћемо приказати резултате добијене за пропусни опсег и губитке услед спрезања модова у оптичком влакну са W индексом преламања [71]. Да бисмо испитали утицај дубине унутрашњег омотача на фреквентни одзив и пропусни опсег влакна, индекси преламања језгра 0n и спољашњег омотача pn су остали непромењени. Иницијална дубина унутрашњег омотача %7.0=∆q је варирана за %25± , па имамо )87.5(%525.0 oqq ≈=∆ θ , )76.6(%7.0 o qq ≈=∆ θ и )58.7(%875.0 oqq ≈=∆ θ [68]. Временски-зависна једначина протока снаге (5.13) решена је користећи експлицитни метод коначних разлика за вредности коефицијента спрезања D=2.3× 710− rad2/m и D=2.3× 610− rad2/m, за пет различитих нормализованих Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 116 ширина унутрашњег омотача 15.0=δ , 2.0 , 3.0 , 4.0 и 5.0 (ширине aδ су 3015.0 ⋅ µm, 302.0 ⋅ µm, 303.0 ⋅ µm, 304.0 ⋅ µm, 305.0 ⋅ µm, респективно). У нумеричким прорачунима коришћене су улазне угаоне расподеле снаге у облику (4.36). Добијена решења једначина (5.13) користе се за одређивање фреквентног одзива влакна (5.20). Илустрације добијених фреквентних одзива приказане су на слици (5.1) за вредност јачине спрезања D=2.3× 710− rad2/m, ширине унутрашњег омотача 2.0=δ и 5.0=δ , и дубине унутрашњег омотача %525.0=∆q , %7.0=∆q и %875.0=∆q , при qθ ексцитацији, на дужини влакна 1000 m. На слици 5.2 представљена је зависност пропусног опсега од дужине влакна за коефицијент спрезања D=2.3× 710− rad2/m, за различите ширине унутрашњег омотача δ и дубине %525.0=∆q , %7.0=∆q и %875.0=∆q , при qθ ексцитацији. На мањим дужинама влакна, пропусни опсег опада пропорционално дужини влакна. На већим дужинама влакна, након успостављања равнотежне расподеле модова, опадање пропусног опсега са дужином пропорционално је са 2/1 z . Може се уочити да пропусни опсег W влакна варира између SCp и SCq влакана с повећањем ширине унутрашњег омотача. Смањењем ширине унутрашњег омотача, губици цурећих модова се повећавају (слика 4.11) услед чега се смањује њихов број, па се смањује и модална дисперзија и повећава пропусни опсег влакна. Смањењем ширине унутрашњег омотача, смањују се и дужине влакна на којима долази до промене зависности пропусног опсега од дужине, са z/1 на 2/1/1 z , јер се код мањих ширина унутрашњег омотача равнотежна расподела модова успоставља на мањим дужинама влакна (табела 4.2) [68], па стога долази до побољшања пропусног опсега на мањим дужинама. Најмања дужина спрезања карактеристична је за SCp влакно, јер се код SCp влакна спрезање модова дешава само између вођених модова, који се простиру дуж влакна под угловима θ између 0 и o62.3 . Веће дужине спрезања су карактеристичне за SCq влакно, јер је већи број модова који се простиру кроз ово влакно, под угловима θ између 0 и o76.6 . Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 117 а) б) в) Слика 5.1а. Фреквентни одзив влакна на дужини 1000 m, за qθ ексцитацију, D=2.3× 710− rad2/m, 2.0=δ и а) %525.0=∆q б) %7.0=∆q и в) %875.0=∆q . а) б) в) Слика 5.1б. Фреквентни одзив влакна на дужини 1000 m, за qθ ексцитацију, D=2.3× 710− rad2/m, 5.0=δ и а) %525.0=∆q б) %7.0=∆q и в) %875.0=∆q . Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 118 На слици 5.2 се може видети да се пропусни опсег влакна повећава када се дубина унутрашњег омотача смањује. Смањењем дубине унутрашњег омотача, повећавају се губици цурећих модова (слика 4.13) (смањује се број цурећих модова), па се модална дисперзија влакна смањује, а пропусни опсег влакна повећава. Када дубина унутрашњег омотача опада, смањују се и дужине на којима се успоставља равнотежна расподела модова (табела 4.2), па се побољшање пропусног опсега јавља на мањим дужинама. а) б) в) Слика 5.2. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за qθ ексцитацију, D=2.3× 710− rad2/m и а) %525.0=∆q б) %7.0=∆q в) %875.0=∆q . Слика 5.3 показује промену пропусног опсега са дужином W влакна за већи коефицијент спрезања D=2.3× 610− rad2/m, и за исте преостале параметре влакна као на слици 5.2. Може се запазити да се пропусни опсег повећава с порастом јачине спрезања модова. Спрезање модова побољшава пропусни опсег влакна и на мањим и на већим Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 119 дужинама. Јаче спрезање модова, настаје услед већих унутрашњих пертурбационих ефеката у влакну, тј. брже прерасподеле енергије између вођених модова, што доводи до смањења модалне дисперзије влакна и повећања пропусног опсега влакна. а) б) в) Слика 5.3. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за qθ ексцитацију, D=2.3× 610− rad2/m и а) %525.0=∆q б) %7.0=∆q и в) %875.0=∆q . На сликама 5.4 и 5.5 приказана је промена пропусног опсега са дужином влакна у случају pθ ексцитације. Поређењем слика 5.2 и 5.4, као и слика 5.3 и 5.5, може се видети да је у случају pθ ексцитације пропусни опсег влакна већи у поређењу са qθ ексцитацијом. Побуђивање само вођених модова ( pθ екцитација), води већем пропусном опсегу и на мањим и на средњим дужинама влакна у поређењу са случајем када су побуђени и вођени и цурећи модови ( qθ ексцитација). Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 120 а) б) в) Слика 5.4. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за pθ ексцитацију, D=2.3× 710− rad2/m и а) %525.0=∆q б) %7.0=∆q и в) %875.0=∆q . Наиме, код qθ ексцитације, долази до побуђивања виших модова који повећавају модалну дисперзију, смањујући пропусни опсег влакна у поређењу са pθ ексцитацијом. Када су побуђени само вођени модови у влакну ( pθ екцитација), мање су дужине на којима долази до преласка зависности пропусног опсега од дужине влакна са z/1 на 2/1/1 z , тј. побољшања пропусног опсега дешава се раније. У случају pθ ексцитације, утицај ширине и дубине унутрашњег омотача је слабији на мањим дужинама влакна. Код pθ ексцитације, на мањим дужинама влакна побуђени су само вођени модови, док је број побуђених цурећих модова веома мали, стога је утицај ширине и дубине унутрашњег омотача мали. Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 121 а) б) в) Слика 5.5. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за pθ ексцитацију, D=2.3× 610− rad2/m и а) %525.0=∆q б) %7.0=∆q и в) %875.0=∆q . С порастом дужине влакна, број цурећих модова расте услед спрезања модова, па се утицај ширине и дубине унутрашњег омотача јавља тек на већим дужинама влакна. У случају pθ ексцитације, утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на пропусни опсег влакна је израженији у случају јачег спрезања модова (слика 5.5), јер се тада број цурећих модова повећава на мањим дужинама влакна. Слике 5.6 и 5.7 приказују зависност пропусног опсега и губитака услед спрезања модова, за qθ и pθ ексцитације, респективно. Види се да се пропусни опсег влакна може побољшати смањујући ширину и дубину унутрашњег омотача, појачавајући спрезање модова и побуђујући само вођене модове. На сликама 5.6 и 5.7 може се видети да се губици који настају услед спрезања модова налазе између вредности губитака за SCq и SCp влакна, како се ширина унутрашњег омотача смањује. Повећање спрезања модова утиче на пораст ових губитака. Стога, при дизајнирању Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 122 оптималног облика индекса преламања W влакна, неопходно је узети у обзир однос између пропусног опсега и губитака. Смањење ширине и дубине унутрашњег омотача доводи до мањег повећања губитака него при порасту јачине спрезања. Избор pθ или qθ ексцитације такође утиче на проналажење оптималног односа између пропусног опсега и губитака који настају услед спрезања модова. При pθ ексцитацији, пропусни опсег влакна је већи, а губици који настају услед спрезања модова су мањи. При qθ ексцитацији, побуђивањем свих цурећих модова који имају велике губитке, укупни губици се значајно повећавају у поређењу са pθ ексцитацијом, где се побуђују само вођени модови. а) б) в) Слика 5.6. Зависност пропусног опсега од губитака услед спрезања модова за qθ ексцитацију, за различите јачине спрезања и а) %525.0=∆q б) %7.0=∆q и в) %875.0=∆q . Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 123 а) б) в) Слика 5.7. Зависност пропусног опсега од губитака услед спрезања модова за pθ ексцитацију, за различите јачине спрезања и а) %525.0=∆q б) %7.0=∆q и в) %875.0=∆q . 5.1.2 Утицај угла и ширине улазног снопа светлости на преносне карактеристике влакна са W индексом преламања Овде су приказани добијени резултати за пропусни опсег и губитке услед спрезања модова у оптичком влакну са W индексом преламања за различите углове и ширине улазног снопа [72]. Да би се испитао утицај ширине улазног снопа на преносне карактеристике влакна са W индексом преламања, претпостављен је улазни сигнал са Гаусовом расподелом снаге са пуним ширинама на половини максимума (FWHM) 1 o и 3 o , и стандардним девијацијама o425.0=σ и o274.1 , респективно. Углови под којим се сноп уводи у влакно у односу на осу влакна су ooo 4.2,2.1,00 =θ и o6.3 . Дубине Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 124 унутрашњег омотача су %525.0=∆ q , %7.0=∆q и %875.0=∆q [68], вредности коефицијента спрезања D=2.3× 710− rad2/m и D=2.3× 610− rad2/m, а нормализоване ширине унутрашњег омотача износе 2.0=δ и 5.0 . На сликама 5.8 - 5.11 приказана је зависност пропусног опсега од дужине влакна за дубину унутрашњег омотача %7.0=∆q . Слике 5.8 и 5.9 приказују ову зависност за ширине улазаног снопа o1FWHM = и o3 , респективно, за улазне углове (а) o0=θ , (б) o2.1=θ , (в) o4.2=θ и (г) o6.3=θ , при вредности коефицијента спрезања D=2.3× 710− rad2/m. На сликама 5.8 и 5.9 може се уочити да с повећањем угла и ширине улазног снопа светлости пропусни опсег влакна опада на мањим дужинама влакна, што је последица веће модалне дисперзије у случају већег угла и ширине улазног снопа светлости. У случају већег угла и ширине улазног снопа светлости долази до побуђивања виших модова, који повећавају модалну дисперзију и смањују пропусни опсег влакна [72]. На већим дужинама влакна због јачег спрезања модова долази до смањења модалне дисперезије, па је утицај угла и ширине улазног снопа светлости на пропусни опсег W влакна занемарљив. На сликама 5.8 и 5.9 може се уочити да пропусни опсег влакна варира између вредности пропусних опсега SCp и SCq влакана. Смањењем ширине унутрашњег омотача, за све анализиране углове и ширине улазног снопа светлости, губици цурећих модова се повећавају, услед чега се модална дисперзија смањују, повећавајући пропусни опсег влакна. Такође се на сликама 5.8 и 5.9 може видети да на мањим дужинама влакна, пропусни опсег опада пропорционално дужини влакна. Међутим, с повећањем дужине влакна, опадање пропусног опсега са дужином постепено тежи зависности 2/1/1 z [68]. На сликама 5.10 и 5.11 приказана је зависност пропусног опсега од дужине влакна за улазне снопове o1FWHM = и o3 , респективно, за средње вредности углова улазне Гаусове расподеле (а) o0=θ , (б) o2.1=θ , (в) o4.2=θ и (г) o6.3=θ , и коефицијент спрезања D=2.3× 610− rad2/m. Ако упоредимо графике на сликама 5.8 и 5.10, и графике на сликама 5.9 и 5.11, може се уочити да је пропусни опсег, на мањим дужинама, већи за мању вредност коефицијента спрезања D. С обзиром да су анализиране ширине угаоне расподеле снаге улазног снопа светлости мање од ширине угаоне расподеле снаге на којој се постиже стационарна расподела модова, убачени снопови светлости се услед спрезања модова шире, узрокујући повећање модалне Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 125 дисперзије. Пошто је ширење угаоне расподеле снаге спорије у случају слабијег спрезања модова, модална дисперзија је у том случају мања, због чега се добија већи пропусни опсег на мањим дужинама влакна за мањи коефицијент спрезања D. С порастом дужине влакна, спрезање модова почиње знатније да утиче на пропусни опсег, успоравајући опадање пропусног опсега са z/1 на 2/1/1 z . а) б) в) г) Слика 5.8. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за ширину улазаног снопа o1FWHM = , за улазне углове а) o0=θ , б) o2.1=θ , в) o4.2=θ и г) o6.3=θ , дубину унутрашњег омотача %7.0=∆q , и коефицијент спрезања D=2.3× 710− rad2/m. Ако се упореде графици 5.8 и 5.10 са графицима 5.9 и 5.11, уочава се да у случају јачег спрезања модова, прерасподела енергије између модова је на мањим дужинама влакна, па се промена зависности пропусног опсега од дужине, са z/1 на 2/1/1 z , дешава раније, побољшавајући пропусни опсег влакна на мањим дужинама. Стога се на већим дужинама влакна, поређењем графика 5.8 и 5.10 са 5.9 и 5.11, могу Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 126 уочити веће вредности пропусних опсега за веће коефицијенте спрезања D [72]. а) б) в) г) Слика 5.9. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за ширину улазаног снопа o3FWHM = , за улазне углове а) o0=θ , б) o2.1=θ , в) o4.2=θ и г) o6.3=θ , дубину унутрашњег омотача %7.0=∆q , и коефицијент спрезања D=2.3× 710− rad2/m. Када је улазни сноп светлости o3FWHM = уведен у влакно под углом o6.30 =θ и када је ширина унутрашњег омотача 2.0=δ , вредности пропусних опсега за јаче спрезање модова су веће на свим дужинама влакна. Тада долази до побуђивања модова који су изван ширине стационарне расподеле модова, па услед спрезања модова долази до сужавања улазне угаоне расподеле снаге. С повећањем јачине спрезања, сужавање угаоне расподеле снаге је интезивније, модална дисперзија је мања, чиме се пропусни опсег влакна повећава и на малим и на средњим дужинама влакна (слике 5.9г и 5.11г). Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 127 а) б) в) г) Слика 5.10. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за ширину улазаног снопа o1FWHM = , за улазне углове а) o0=θ , б) o2.1=θ , в) o4.2=θ и г) o6.3=θ , дубину унутрашњег омотача %7.0=∆q , и коефицијент спрезања D=2.3× 610− rad2/m. На сликама 5.12 и 5.13 приказана је зависност пропусног опсега од дужине влакна за дубине унутрашњег омотача %525.0=∆ q и %8075.0=∆ q , респективно, за ширину улазаног снопа o1FWHM = и средње вредности углова улазне расподеле снаге (а) o00 =θ , (б) o2.10 =θ , (в) o4.20 =θ и (г) o6.30 =θ , и коефицијент спрезања D=2.3× 710− rad 2 /m. На сликама 5.12 и 5.13 може се видети да с повећањем дубине унутрашњег омотача пропусни опсег влакна опада [71]. Ово је у складу са нашим ранијим запажањима, да се смањењем дубине унутрашњег омотача, смањује број цурећих модова, смањујући модалну дисперзију и повећавајући пропусни опсег влакна за све анализиране углове и ширине улазног снопа. Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 128 а) б) в) г) Слика 5.11. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за ширину улазаног снопа o3FWHM = , за улазне углове а) o0=θ , б) o2.1=θ , в) o4.2=θ и г) o6.3=θ , дубину унутрашњег омотача %7.0=∆q , и коефицијент спрезања D=2.3× 610− rad2/m. Смањењем дубине унутрашњег омотача, дужине на којима се успоставља равнотежна расподела модова се смањују, побољшавајући пропусни опсег влакна на мањим дужинама за све анализиране углове и ширине улазног снопа (табела 4.2) [72]. У случају мање ширине улазног снопа светлости када су побуђени само вођени модови, мали је број цурећих модова на малим дужинама влакна, а тиме је и утицај ширине и дубине унутрашњег омотача мали. С повећањем дужине влакна, услед спрезања модова, долази до пораста броја цурећих модова, чиме се утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на пропусни опсег влакна значајно повећава. Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 129 а) б) в) г) Слика 5.12. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за ширину улазаног снопа o1FWHM = , за улазне углове а) o0=θ , б) o2.1=θ , в) o4.2=θ и г) o6.3=θ , дубину унутрашњег омотача %525.0=∆ q , и коефицијент спрезања D=2.3× 710− rad2/m. С повећањем угла и ширине улазног снопа светлости, долази до пораста броја цурећих модова на мањим дужинама влакна, тиме се повећава утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на пропусни опсег влакна и на мањим и на већим дужинама. У случају јачег спрезања модова, утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на пропусни опсег влакна је већи и на мањим и на већим дужинама влакна за све услове ексцитације, јер услед повећања спрезања модова долази до појаве цурећих модова на мањим дужинама влакна. Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 130 а) б) в) г) Слика 5.13. Зависност пропусног опсега од дужине влакна за ширину улазаног снопа o1FWHM = , за улазне углове а) o0=θ , б) o2.1=θ , в) o4.2=θ и г) o6.3=θ , дубину унутрашњег омотача %8075.0=∆ q , и коефицијент спрезања D=2.3× 710− rad2/m. Утицај промене ширине унутрашњег омотача на пропусни опсег W влакна израженији је код мањих него код већих дубина унутрашњег омотача на мањим дужинама влакна. То је зато што код мањих дубина унутрашњег омотача, долази до појаве цурећих модова на мањим дужинама влакна у поређењу са већим дубинама унутрашњег омотача, па се утицај ширине унутрашњег омотача дешава на мањим дужинама влакна. С порастом угла и ширине улазног снопа светлости, као и јачине спрезања, већи је број побуђених цурећих модова на мањим дужинама, па се утицај ширине унутрашњег омотача помера ка мањим дужинама за све дубине унутрашњег омотача (слике 5.8, 5.12 и 5.13) [72]. Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 131 а) б) в) г) Слика 5.14. Зависност пропусног опсега од губитака услед спрезања модова за а) θ0=0 o , б) θ0=1.2 o , в) θ0=2.4 o и г) θ0=3.6 o , где је FWHMz=0=1 o и 3 o , δ=0.2 и 0.5, q∆ =0.525%, D=2.3× 710− rad 2 /m и D=2.3× 610− rad2/m. На сликама 5.14 - 5.16 представљена је зависност пропусног опсега од губитака који настају услед спрезања модова за три дубине унутрашњег омотача %525.0=∆ q , %7.0=∆q и %875.0=∆q , респективно, за ширине улазног снопа o1FWHM = и o3FWHM = , улазне углове (а) o0=θ , (б) o2.1=θ , (в) o4.2=θ и (г) o6.3=θ и вредности коефицијената спрезања D=2.3× 710− rad2/m и D=2.3× 610− rad2/m, на дужини влакна 1000 m. Свака крива на сликама 5.14 - 5.16 представља однос пропусног опсега и губитака за нормализоване ширине унутрашњег омотача 2.0=δ и 5.0=δ које се налазе између одговарајућих SCp и SCq влакана. Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 132 а) б) в) г) Слика 5.15. Зависност пропусног опсега од губитака услед спрезања модова за а) θ0=0 o , б) θ0=1.2 o , в) θ0=2.4 o и г) θ0=3.6 o , где је FWHMz=0=1 o и 3 o , δ=0.2 и 0.5, q∆ =0.7%, D=2.3× 710− rad 2 /m и D=2.3× 610− rad2/m. Може се видети да су пропусни опсег и губици услед спрезања модова већи у случају мање ширине улазног снопа светлости. С порастом угла θ0 улазног снопа светлости долази до значајнијег смањења губитака, док пропусни опсег опада спорије са повећањем ширине унутрашњег омотача. Може се закључити да се пропусни опсег W влакна може побољшати смањујући ширину и дубину унутрашњег омотача, појачавајући спрезање модова, и користећи централну улазну расподелу снаге светлости мале ширине. Смањењем ширине и дубине унутрашњег омотача, и вредности угла улазног снопа светлости, пораст губитака је мањи него при повећању јачине спрезања модова [72]. Примена временски-зависне једначине протока снаге на оптичка влакна са W индексом преламања 133 а) б) в) г) Слика 5.16. Однос између пропусног опсега и губитака услед спрезања модова за а) θ0=0 o , б) θ0=1.2 o , в) θ0=2.4 o и г) θ0=3.6 o , где је FWHMz=0=1 o и 3 o , δ=0.2 и 0.5, q∆ =0.875%, D=2.3× 710− rad 2 /m и D=2.3× 610− rad2/m. Добијени резулатати показују да се променом ширине и дубине унутрашњег омотача, променом коефицијента спрезања модова, као и избором одговарајућег угла и ширине улазног снопа светлости, пропусни опсег може мењати у интервалу од 20-250 MHz·km, при чему су губици услед спрезања модова у интервалу од 0.3-25 dB/km за анализирано стаклено влакно са W индексом преламања. Пропусни опсег стаклених вишемодних оптичких влакана са једним омотачем, која се данас користе у пракси, је у интервалу од 5-50 MHz·km. Може се закључити да се уз одговарајући избор структурних параметара анализираног стакленог W влакна и карактеристика улазног снопа светлости може добити већи пропусни опсег у поређењу са стакленим оптичким влакном са једним омотачем. Закључак 134 6. ЗАКЉУЧАК Тема ове дисертације је испитивање преносних карактериситка вишемодних оптичких влакана са W индексом преламања применом једначине протока снаге. За разлику од влакана са језгром и једним омотачем, W влакно поседује језгро и два омотача. Оваква структура W влакна обезбеђује бољу везаност вођених модова у језгру, чиме се смањује модална дисперзија и повећава пропусни опсег влакна у поређењу са одговарајућим влакном са једним омотачем. У дисертацији је прво описано моделовање простирања светлости кроз W влакно помоћу временски-независне једначине протока снаге. По први пут је добијено нумеричко решење временски-независне једначине протока снаге у случају влакна са W индексом преламања користећи експлицитни метод коначних разлика. Анализирано је вишемодно оптичко влакно са W индексом преламања које је испитивано у ранијим радовима других аутора. Одређене су дужине влакана на којима се постиже стационарна расподела модова за различите ширине и дубине унутрашњег омотача и различите вредности коефицијената спрезања. У нумеричким прорачунима коришћене су улазне угаоне расподеле снаге светлости 1)0,( =θP за pθθ ≤≤0 , у случају pθ ексцитацији и 1)0,( =θP за qθθ ≤≤0 , у случају qθ ексцитацији. Показано је да у случају qθ ексцитације, снага у цурећим модовима остаје на већим дужинама у случају веће ширине унутрашњег омотача ( 5.0=δ ), у односу на мању ширину унутрашњег омотача ( 2.0=δ ). Ово је последица већих губитака цурећих модова у случају мање ширине унутрашњег омотача. Показано је како се губици цурећих модова смањују са порастом ширине унутрашњег омотача. За мању ширину унутрашњег омотача, дужине sz на којима се успоставља стационарна расподела модова су мање у поређењу са већом ширином унутрашњег омотача. Код веће ширине унутрашњег омотача цурећи модови имају мање губитке, па су вођени на већим дужинама, изискујући веће дужине sz за окончање њиховог спрезања. С порастом јачине спрезања, дужина sz на којој се успоставља стационарна расподела модова се смањује. Због јачег спрезања модова, узрокованог већим унутрашњим пертурбационим ефектима у влакну, прерасподела енергије између вођених модова је бржа, па су дужине sz мање. Закључак 135 Одређене су дужине влакна на којима се постиже стационарна расподела модова за различите дубине унутрашњег омотача при промени ширине унутрашњег омотача и коефицијента спрезања. Промена дубине унутрашњег омотача утиче на губитке цурећих бројева, а тиме и на њихов број. Добијено је да се с повећањем дубине унутрашњег омотача, губици цурећих модова смањују. У случају qθ ексцитације, с повећањем дубине унутрашњег омотача, снага у цурећим модовима остаје вођена на већим дужинама у поређењу са pθ ексцитацијом. Показано је да с порастом дубине унутрашњег омотача, дужина sz на којој се постиже стационарна расподела модова расте за све вредности коефицијента спрезања D и ширине унутрашњег омотача δ . С повећањем дубине унутрашњег омотача губици цурећи модова се смањују, повећавајући број цурећих модова који су вођени на већим дужинама влакна. Зато су за већи број модова потребне веће дужине sz да би се процес спрезања окончао. Дужина влакна sz , која је потребна за постизање стационарне расподеле модова, опада с повећањем јачине спрезања модова за све испитане ширине и дубине унутрашњег омотача. Користећи временски-независну једначину протока снаге, испитан је утицај ширине улазне угаоне расподеле снаге светлосног снопа на равнотежну и стационарну расподелу модова, при промени ширине и дубине унутрашњег омотача, и коефицијента спрезања за влакно са W индексом преламања. У нумеричким прорачунима коришћен је улазни сноп светлости који има Гаусову расподелу са пуним ширинама на половини максимума 1 о и 3 о . Показано је да за шире улазне угаоне расподеле снаге светлости равнотежна и стационарна расподела модова се успостављају на краћим дужинама влакна, cL и zs, респективно за све вредности ширине и дубине унутрашњег омотача и коефицијенте спрезања. Енергија код шире улазне угаоне расподеле снаге је униформније распоређена међу вођеним модова, у односу на уже улазне угаоне расподеле, па су дужине на којима се успоставља равнотежна и стационарна расподела модова мање. Показано је да с порастом ширине и дубине унутрашњег омотача, дужине влакна cL и zs се повећавају. У случају веће ширине и дубине унутрашњег омотача губици цурећих модова су мањи, па снага у цурећим модовима остаје вођена на већим дужинама влакна, а тиме се равнотежна и стационарна расподела модова успостављају на већим дужинама. Показано је да услед Закључак 136 јачег спрезања модова, узрокованог већим унутрашњим пертурбационим ефектима у влакну, прерасподела енергије између вођених модова је бржа, па су дужине cL и sz мање за обе ширине улазног снопа светлости. Приказано је и да губици услед спрезања модова расту с повећањем коефицијента спрезања. Може се закључити да су дужине на којима се успоставља равнотежна и стационарна расподела модова у W влакну одређене структурним параметрима влакна, јачином спрезања модова и ширином улазне угаоне расподеле снаге светлости. Користећи временски-зависну једначину протока снаге испитан је утицај ширине и дубине унутрашњег омотача W влакна на пропусни опсег влакна и губитке који настају услед спрезања модова за различите вредности коефицијента спрезања и улазне ексцитације. По први пут добијено је нумеричко решење временски-зависне једначине протока снаге користећи експлицитни метод коначних разлика код влакна са W индексом преламања. На мањим дужинама влакна, пропусни опсег опада пропорционално дужини влакна. На већим дужинама влакна, након успостављања равнотежне расподеле модова, опадање пропусног опсега са дужином пропорционално је са 2/1 z . Смањењем ширине унутрашњег омотача, губици цурећих модова се повећавају, услед чега се смањује њихов број, па се смањује и модална дисперзија и повећава пропусни опсег влакна. Смањењем ширине унутрашњег омотача, смањују се и дужине влакна на којима долази до промене зависности пропусног опсега од дужине, са z/1 на 2/1/1 z , јер се код мањих ширина унутрашњег омотача равнотежна расподела модова успоставља на мањим дужинама влакна. Показано је да се пропусни опсег влакна повећава када се дубина унутрашњег омотача смањује. Смањењем дубине унутрашњег омотача, повећавају се губици цурећих модова (смањује се број цурећих модова), па се модална дисперзија влакна смањује, а пропусни опсег влакна повећава. Када дубина унутрашњег омотача опада, смањују се и дужине на којима се успоставља равнотежна расподела модова, па се побољшање пропусног опсега јавља на мањим дужинама. Показано је да се пропусни опсег W влакна повећава с порастом јачине спрезања модова. Спрезање модова побољшава пропусни опсег влакна и на мањим и на већим дужинама. Јаче спрезање модова настаје услед већих унутрашњих пертурбационих ефеката у влакну, тј. брже прерасподеле енергије између вођених модова, што доводи до смањења модалне дисперзије влакна и повећања пропусног Закључак 137 опсега влакна. У случају pθ ексцитације пропусни опсег влакна је већи у поређењу са qθ ексцитацијом. Побуђивање само вођених модова ( pθ екцитација), води већем пропусном опсегу и на мањим и на средњим дужинама влакна у поређењу са случајем када су побуђени и вођени и цурећи модови ( qθ ексцитација). Наиме, код qθ ексцитације, долази до побуђивања виших модова који повећавају модалну дисперзију, смањујући пропусни опсег влакна у поређењу са pθ ексцитацијом. Када су побуђени само вођени модови у влакну ( pθ екцитација), мање су дужине на којима долази до преласка зависности пропусног опсега од дужине влакна са z/1 на 2/1/1 z , тј. на којима долази до побољшања пропусног опсега које се дешава раније. У случају pθ ексцитације, утицај ширине и дубине унутрашњег омотача је слабији на мањим дужинама влакна. Код pθ ексцитације, на мањим дужинама влакна побуђени су само вођени модови, док је број побуђених цурећих модова веома мали, стога је утицај ширине и дубине унутрашњег омотача мали. С порастом дужине влакна, број цурећих модова расте услед спрезања модова, па се утицај ширине и дубине унутрашњег омотача јавља тек на већим дужинама влакна. У случају pθ ексцитације, утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на пропусни опсег влакна је израженији у случају јачег спрезања модова, јер се тада број цурећих модова повећава на мањим дужинама влакна. Закључено је да се пропусни опсег влакна може побољшати смањујући ширину и дубину унутрашњег омотача, појачавајући спрезање модова и побуђујући само вођене модове. Добијена је такође и зависност пропусног опсега и губитака који настају услед спрезања модова за различите ширине и дубине унутрашњег омотача и коефицијенте спрезања, при pθ и qθ ексцитацији. Повећање спрезања модова утиче на пораст ових губитака. Показано је да смањење ширине и дубине унутрашњег омотача доводи до мањег повећања губитака него при порасту јачине спрезања. Избор pθ или qθ ексцитације такође утиче на проналажење оптималног односа између пропусног опсега и губитака који настају услед спрезања модова. При pθ ексцитацији пропусни опсег влакна је већи, а губици који настају услед спрезања модова су мањи. При qθ ексцитацији, побуђивањем свих цурећих модова који имају велике губитке, укупни Закључак 138 губици се значајно повећавају у поређењу са pθ ексцитацијом, где се побуђују само вођени модови. Испитан је и утицај угла и ширине улазног снопа светлости на пропусни опсег и губитке који настају услед спрезања модова код оптичког влакна са W индексом преламања. У нумеричким прорачунима коришћен је улазни сноп светлости који има Гаусову расподелу са ширинама на половини максимума 1 о и 3 о . Показано је да с повећањем угла и ширине улазног снопа светлости пропусни опсег влакна опада на мањим дужинама влакна, што је последица веће модалне дисперзије у случају ширег улазног снопа светлости у поређењу са ужим снопом. У случају већег угла и ширине улазног снопа светлости долази до побуђивања виших модова, који повећавају модалну дисперзију и смањује пропусни опсег влакна. На већим дужинама влакна због јачег спрезања модова долази до смањења модалне дисперезије, па је утицај угла и ширине улазног снопа светлости на пропусни опсег W влакна занемарљив. Показано је да са смањењем ширине и дубине унутрашњег омотача за све анализиране углове и ширине улазног снопа губици цурећих модова се повећавају, услед чега се модална дисперзија смањује, повећавајући пропусни опсег влакна. Уочено је да на мањим дужинама влакна, пропусни опсег опада пропорционално дужини влакна, а с повећањем дужине влакна, опадање пропусног опсега са дужином постепено тежи зависности 2/1/1 z за све анализиране углове и ширине улазног снопа. Добијено је да је пропусни опсег W влакна, на мањим дужинама влакна, већи за мању вредност коефицијента спрезања D. С обзиром да су анализиране ширине угаоне расподеле снаге улазног снопа светлости мање од ширине угаоне расподеле снаге на којој се постиже стационарна расподела модова, убачени снопови светлости се услед спрезања модова шире, узрокујући повећање модалне дисперзије. Пошто је ширење угаоне расподеле снаге спорије у случају слабијег спрезања модова, модална дисперзија је у том случају мања, због чега се добија већи пропусни опсег на мањим дужинама влакна за мањи коефицијент спрезања D. С порастом дужине влакна, спрезање модова почиње знатније да утиче на пропусни опсег, успоравајући опадање пропусног опсега. У случају јачег спрезања модова, прерасподела енергије између модова је на мањим дужинама влакна, па се промена зависности пропусног опсега од дужине, са z/1 на 2/1/1 z дешава раније, побољшавајући пропусни опсег влакна на мањим дужинама. Закључак 139 Када је сноп улазне светлости o3FWHM = уведен у влакно под углом o6.30 =θ , и када је ширина унутрашњег омотача 2.0=δ , вредности пропусних опсега за јаче спрезање модова су веће на свим дужинама влакна. Тада долази до побуђивања модова који су изван ширине стационарне расподеле модова, па услед спрезања модова долази до сужавања улазне угаоне расподеле снаге. С повећањем јачине спрезања, сужавање угаоне расподеле снаге је интезивније, модална дисперзија је мања, чиме се пропусни опсег влакна повећава и на малим и на средњим дужинама влакна. У случају мање ширине улазног снопа светлости када су побуђени само вођени модови, мали је број цурећих модова на малим дужинама влакна, и да је услед тога утицај ширине и дубине унутрашњег омотача мали. С повећањем дужине влакна, услед спрезања модова, долази до пораста броја цурећих модова, чиме се утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на пропусни опсег влакна значајно повећава. С повећањем угла и ширине улазног снопа, долази до пораста броја цурећих модова на мањим дужинама влакна, тиме се повећава утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на пропусни опсег влакна и на мањим и на већим дужинама. У случају јачег спрезања модова, утицај ширине и дубине унутрашњег омотача на пропусни опсег влакна је већи и на мањим и на већим дужинама влакна за све услове ексцитације, јер услед повећања спрезања модова долази до појаве цурећих модова на мањим дужинама влакна. Утицај промене ширине унутрашњег омотача на пропусни опсег W влакна израженији је код мањих него код већих дубина унутрашњег омотача на мањим дужинама влакна. То је зато што код мањих дубина унутрашњег омотача, долази до појаве цурећих модова на мањим дужинама влакна у поређењу са већим дубинама унутрашњег омотача, па се утицај ширине унутрашњег омотача дешава на мањим дужинама влакна. С порастом угла и ширине улазног снопа светлсоти, као и јачине спрезања, већи је број побуђених цурећих модова на мањим дужинама, па се утицај ширине унутрашњег омотача помера ка мањим дужинама за све дубине унутрашњег омотача. Испитивана је зависност пропусног опсега и губитака који настају услед спрезања модова при промени ширине и угла упадног снопа светлоси за различите вредности ширине и дубине унутрашњег омотача и коефицијента спрезања. Показано је да су пропусни опсег и губици услед спрезања модова већи у случају мање ширине улазног снопа светлости. С порастом угла улазног снопа светлости долази до значајнијег смањења губитака, док пропусни опсег опада спорије са повећањем Закључак 140 ширине унутрашњег омотача. На крају закључено је да се пропусни опсег W влакна може побољшати смањујући ширину и дубину унутрашњег омотача, појачавајући спрезање модова, и користећи централну улазну расподелу снаге светлости мале ширине. Смањењем ширине и дубине унутрашњег омотача, и вредности угла улазног снопа светлости, пораст губитака је мањи него при повећању јачине спрезања модова. Пропусни опсег стаклених вишемодних оптичких влакана са једним омотачем која се данас користе у пракси је у интервалу од 5-50 MHz·km. Добијени резулатати показују да променом ширине и дубине унутрашњег омотача, променом коефицијента спрезања модова, као и избором одговарајућег угла и ширине улазног снопа светлости, пропусни опсег анализираног W влакна може се мењати у интервалу од 20-250 MHz·km, при чему су губици у интервалу од 0.3-25 dB/km. Дакле, пропусни опсег анализираног стакленог W влакна може бити знатно већи од просечних вредности пропусног опседа стакленог вишемодног влакна са једним омотачем. Треба имати у виду да с повећањем пропусног опсега W влакна, повећавају се и губици услед спрезања модова. . Литература 141 7. ЛИТЕРАТУРА [1] D. Hondros and P. Debye, Electromagnetic waves along long cylinders of dielectric, Ann. Phys. 32, 465-476 (1910) [2] O. Schriever, Electromagnetic waves in dielectric wires, Ann. Phys. 63, 645-673 (1920) [3] Lamm. H. Biegsame Optische Gerate Zeit Instrumentenk 50 579-581 (1930) [4] K.C. Kao and G.A. Hockham, Dielectric-Fibre Surface Waveguides for optical frequencies Proc. IEE 133 1151-1158 (1966) [5] W.F. Libby, Melting Points at High Compressions from Zero-Compression Properties Through the Kennedy Relation, Appl. Phys. Lett. 17 423–424 (1970) [6] Optoelectronics Research Center: http://www.orc.soton.ac.uk/index.html [7] The Institute of Optics: http://www.optics.rochester.edu/research/fibers.html [8] Group of Fiber Optics: http://gfo.epfl.ch/ [9] Fiber Optics Group: http://nano.aalto.fi/en/research/groups/fog/ [10] Fiber Optics Research Group: http://www.pmf.kg.ac.rs/forg/index.html [11] T. Ishigure, H. Endo, K. Ohdoko, K. Takahashi, and Y. Koike, Modal Bandwidth Enhancement in a Plastic Optical Fiber by W-Refractive Index Profile, J. Lightwave Technol. 23 1754-1762 (2005) [12] M. Kovačević, Doprinosi modelovanju prostiranja svetlosti kroz multimodna optička vlakna, Doktorska disertacija, Prirodno-matematički fakultet, Kragujevac (2007) [13] A.W. Snyder and J.D. Love, Optical waveguide theory, Chapman and Hall, London (1983) [14] D. Gloge, Optical power flow in multimode fibers, Bell Syst. Tech. J. 51 1767-1783 (1972) [15] J. Hecht, Understanding Fiber Optics, Pearsone Education, New Jersey, Columbus, Ohio (2006) [16] J.M. Senior, Optical Fiber Communication, Pearsone Education, Harlow, England (2009) [17] D. Marcuse, Theory of dielectric optical waveguides, New York Academic Press (1974) [18] A. Djordjevich and S. Savović, Designing graded-index plastic optical fibers from two- step-core fibers by thermal diffusion of dopants, Opt. Engineering 44 (2005) Литература 142 [19] W. Daum, J. Krauser, P.E. Zamzow and O. Ziemann, POF-Polymer Optical Fibers for Data Communications, Springer, Berlin (2002) [20] S. L. Meadron, The Elements of Optical Fibers, Regents/Prentice Hall, New Jersey (1993) [21] K. F. Sander and G. A. L. Reed, Transmission and Propagation of Electromagnetic Waves, Cambridge University Press, London, (1999) [22] D. Marcuse, Theory of Dielectric Waveguides, Academic Press Limited, London, (1991) [23] N. S. Kapany, Fiber Optics: Principles and Applications, Acadame Press, New York, (1967) [24] N. S. Kapany and J.J. Burke, Fiber Waveguides, Acadame Press, New York (1972) [25] S. Savović and A. Djordjevich, Sprezanje modova u optičkim vlaknima sa stepenastim indeksom prelamanja, Prirodno-matematički fakultet, Kragujevac (2008) [26] E. J. Tyler, M. Webster, R. V. Penty, I. H. White, S. Yu, and J. Rorison, Subcarrier modulated transmission of 2.5 Gb/s over 300 m of 62.5-µm-core diameter multimode fiber, IEEE Photon. Technol. Lett. 14 1743−1745 (2002) [27] K. M. Patel and S. E. Ralph, Enhanced multimode fiber link performance using a spatially resolved receiver, IEEE Photon. Technol. Lett. 14 393−395 (2002) [28] J. S. Abbott, G. E. Smith, and C. M. Truesdale, Multimode fiber link dispersion compensator, U.S. Patent 6 363 195 (2002) [29] S.Savovic and A Djordjevic, Influence of numerical aperture on mode coupling in step index plastic optical fibers, Appl. Opt. 43 5542-5546 (2004) [30] S.Savovic, B. Drlajca and A Djordjevic, Influence of launch beam distribution on bandwidth in step index plastic optical fibers, Appl. Opt. 52 1117-1121 (2013) [31] K. Mikoshiba and H. Kajioka, Transmission characteristics of multimode W-type optical fiber: experimental study of the effect of the intermediate layer, Appl. Opt. 17 2836–2841 (1978) [32] T. Tanaka, S. Yamada, M. Sumi, and K. Mikoshiba, Microbending losses of doubly clad (W-type) optical fibers, Appl. Opt. 16 2391-2394 (1977) [33] T. Yamashita and M. Kagami, Fabrication of light-induced self-written waveguides with a W-shaped refractive index profile, J. Lightwave Technol. 23 2542–2548 (2005) [34] S. Kawakami, S. Nishida and M. Sumi, Transmission characteristics of W-type optical fibers, Proc. IEE, 123 586-590 (1976) Литература 143 [35] S. Kawakami and S. Nishida, Characteristics of a doubly clad optical fiber with a low- index inner cladding, IEEE J. Quantum Electron. 10 879-887 (1974) [36] S. Kawakami and S. Nishida, Perturbation theory of a doubly clad optical fiber with a low-index inner cladding, IEEE J. Quantum Electron. QE-11 130-138 (1975) [37] M. Kovačević and A. Djordjevich, Uvod u teoriju optičkih talasovoda, Prirodno- matematički fakultet, Kragujevac, (2008) [38] S. Kawakami and S. Nishida, Characteristics of cutoff modes in a symmetrical five layers slab optical waveguide with low index intermediate layers, Trans. Inst. Electron. Comm. Eng. Jap. 57-C 304-311 (l974) [39] M. A. Losada, I. Garcés, J. Mateo, I. Salinas, J. Lou, and J. Zubía, Mode coupling contribution to radiation losses in curvatures for high and low numerical aperture plastic optical fibers, J. Lightwave Technol. 20 1160–1164 (2002) [40] K. Takahashi, T. Ishigure, and Y. Koike, Index profile design for high-bandwidth W- shaped plastic optical fiber, J. Lightwave Technol. 24 2867–2876 (2006) [41] M. Eve and J.H.Hannay, Ray theory and random mode cupling in an optical fibre waveguide, Opt. Quantum Electron. 8 503-508 (1976) [42] J. Arrue, G. Aldabaldetreku, G. Durana, J. Zubía, I. Garcés and F. Jiménez, Design of mode scramblers for step-index and graded-index plastic optical fibers, J. Lightwave Technol. 23 1253-1260 (2005) [43] W. A. Gambling, D. N. Payne and H. Matsumura, Mode conversion coefficients in optical fibers, Appl. Opt. 14 1538-1542 (1975) [44] M. Rousseau and L. Jeunhomme, Numerical solution of the coupled-power equation in step index optical fibers, IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 25 577-585 (1977) [45] A. Djordjevich and S. Savović, Investigation of mode coupling in step index plastic optical fibers using the power flow equation, IEEE Photon. Technol. Lett. 12 1489-1491 (2000) [46] S. Savović and A. Djordjevich, Optical power flow in plastic clad silica fibers, Appl. Opt. 41 7588-7591 (2002) [47] S. Savović and A. Djordjevich, Solution of mode coupling in step-index optical fibers by the Foker-Panck equation and the Langevin equation, Appl. Opt. 41 2826-2830 (2002) [48] D. Gloge, Impulse response of clad optical multimode fibers, Bell Syst. Tech. J. 52 801- 815 (1973) Литература 144 [49] D. Gloge, E.L. Chinnock, R.D. Standley and W.S. Holden, Dispersion in Low-Loss Multimode Fiber Measured at Three Wavelengths, Electron. Lett. 8 527-529 1972 [50] D. Gloge, E. L. Chinnock and J. Stone, Dispersion Measurements in Liquied-Core Fibers, unpublished work [51] R. Olshansky, Mode coupling effects in graded-index optical fibers, Appl. Opt. 14 935- 945 (1975) [52] J. D. Anderson, Computational Fluid Dynamics, McGraw-Hill, New York (1995) [53] J. Caldwell, S. Savović and Y. Y. Kwan, Nodal integral and finite difference solution of one-dimensional Stefan problem, J. Heat Transf.-Trans. ASME 125 523-527 (2003) [54] S. Savović and A. Djordjevich, Influence of initial dopant distribution in fiber core on refractive index distribution of thermally expanded core fibers, Opt. Mat. 30 1427-1431 (2008) [55] A. Djordjevich and S. Savović, Numerical solution of the power flow equation in step index plastic optical fibers, J. Opt. Soc. Am. B 21 1437-1442 (2004) [56] J. Zubía, G. Durana, G. Aldabaldetreku, J. Arrue, M. A. Losada and M. Lopez-Higuera, New method to calculate mode conversion coefficients in SI multimode optical fibers, J. Lightwave Technol. 21 776-781 (2003) [57] S. Savović and A. Djordjevich, Method for calculating the coupling coefficient in step index optical fibers, Appl. Opt. 46 1477-1481 (2007) [58] H. Risken, The Fokker-Planck Equation, Springer-Verlag, Berlin (1989) [59] A. F. Garito, J. Wang and R. Gao, Effects of random perturbations in plastic optical fibers, Science 281 962-967 (1998) [60] M. Tadeda, T. Horiguchi, M. Tokuda and N. Uchida, Optical loss measurement in graded index fiber using a dummy fiber, Appl. Opt. 18 3272-3275 (1979) [61] M. Eve, A.M. Hill, D.J. Malyon, J.E. Midwinter, B.P. Nelson, J.R. Stern and J.V. Wright, Launching independent measurements of multimode fibers, 2 nd Eur. Conf. on Optical Fiber Communication, Paris, 143-146 (1976) [62] M. Ikeda, Y. Murakami and C. Kitayama, Mode scrambler for optical fibers, Appl. [63] S. Seikai, M. Tokuda, K. Yoshida and N. Uchida, Measurment of base band frequency response of multimode fibre by using a new type of mode scrambler, Electron. Lett. 13 146- 147 (1977) [64] F.P. Kapron, Fiber-optic test methods, Fiber Optics Handbook for Engineers and Scientists, F.C. Allard, McGraw-Hill, New York (1990) Литература 145 [65] P. Toshiki, T.P. Tanaka and S. Yamada, Numerical solution of power flow equation in multimode W-type optical fibers. Appl. Opt. 19 1647-1652 (1980) [66] P. Toshiki, T.P. Tanaka and S. Yamada, Steady-state characteristics of multimode W- type fibers. Appl. Opt. 18 3261-3264 (1979) [67] L. Jeunhomme, M. Fraise and J.P. Pocholle, Propagation model for long step-index optical fibers. Appl. Opt. 15 3040-3046 (1976) [68] S. Savović, A. Simović, and A. Djordjevich, Explicit finite difference solution of the power flow equation in W-type optical fibers, Opt. Laser Technol. 44 1786-1790 (2012) [69] A. Simović, A. Djordjevich and S. Savović, Influence of depth of intermediate layer on power distribution in W-type optical fibers, Appl. Opt. 51 4896-4901 (2012) [70] S. Savović, A. Simović, and A. Djordjevich, Influence of width of launch beam distribution on equilibrium mode distribution in W-type optical fibers, Opt. Laser Technol. 48 565-569 (2013) [71] A. Simović, S. Savović, B. Drljača and A. Djordjevich, Influence of intermediate layer on transmission characteristics of W-type optical fibers, Opt. Laser Technol. 57 209-215 (2014) [72] A. Simović, S. Savović, B. Drljača and A. Djordjevich, Influence of the fiber design and launch beam on transmission characteristics of W-type optical fibers, J. Lightwave Technol. (submitted) Индекс појмова 146 САЖЕТАК У раду су испитиване преносне карактеристике оптичких влакана са W индексом преламања помоћу временски-независне и временски-зависне једначине протока снаге. Одређене су дужине влакна на којима настају равнотежна и стационарна расподела модова, губици услед спрезања модова, фреквентни одзив и пропусни опсег за различите структурне параметре влакна, за различите углове и ширине улазног снопа снопа светлости, и за различите јачине спрезања модова. Добијени резултати се могу користити при одређивању оптималног дизајна оптичких влакана са W индексом преламања. ABSTRACT Time-independent and time-dependent power flow equation have been employed in order to determine transmission characteristics of W-type optical fibers. Fiber lengths at which equilibrium mode distribution and steady state distribution is achieved, mode coupling loss, frequency response and bandwidth have been determined for different structure parameters of W-type optical fiber, mean angles and widths of the launch-beam distribution, and mode coupling strengths. The results obtained could be applied when designing W-type optical fibers. КЉУЧНЕ РЕЧИ KEY WORDS Оптичка влакна са W индексом преламања W- type optical fibers Једначина протока снаге Power flow equation Равнотежна расподела модова Equilibrium mode distribution Стационарна расподела модова Stady-state distribution Фреквентни одзив Frequency response Пропусни опсег Bandwidth Индекс појмова 147 ИНДЕКС ПОЈМОВА W влакно, 43 W индекс преламања, 21 Вишемодно оптичко влакно, 33 Временски-зависна једначина протока снаге, 110, 112 Временски-независна једначина протока снаге, 76 Геометријски приступ, 42 Градијентни индекс преламања, 21 Дисперзија, 36 Дужина спрезања, 82, 83, 110 Електромагнетни приступ, 42 Електромагнетни спекар, 17 Зрак, 16 Индекс преламања, 18 Искошени зраци, 32 Коефицијент слабљења, 33 Коефицијент спрезања, 74, 75, 79, 88 Коефицијент спрезања, 75 Критични угао, 20, 25 Критични угао, 25 Максвел, 49 Меридионални зраци, 31 Мешач модова, 84 Мод, 32 Модална дисперзија, 38, 71 Модално слабљење, 71 Нумеричка апертура, 27 Одбијање светлости, 18 Оптичко влакно, 21 Преламање светлости, 18 Прихватни угао, 26 Пропусни опсег, 40 Равнотежна расподела модова, 71, 83,84 Расподела индекса преламања, 21 Светлост, 15 Снелов закон, 19 Спрезање модова Спрезање модова, 71 Стационарна расподела модова, 71, 81, 83 Степенасти индекс преламања, 21 Тотална унутрашња рефлексија, 20 Филтер модова, 84 Биографија 148 БИОГРАФИЈА Ана Симовић рођена је 02.08.1985. године у Крагујевцу, од оца Душана и мајке Милке. Завршила је основну школу Трећи крагујевачи батаљон у Крагујевцу. Прву крагујевачку гимназију, природно-математички смер, завршила је 2004. године у Крагујевцу. Исте године, уписује се на Природно-математички факултет у Крагујевцу, одсек за физику, смер физичар-информатичар. Студије је завршила 2008. године са просечном оценом у току студија 9,66 и одбрањеним дипломским радом “ Утицај ширине угаоне расподеле снаге упадног снопа светлости на спрезање модова у пластичним оптичким влакнима” са оценом 10. Током све четири године студија награђивана је као најбољи студент генерације и била прималац бројних стипендија. Године 2008. уписује докторске академске студије на Институту за физику Природно-математичког факултета у Крагујевцу. Све предмете на докторским студијама предвиђене програмом и Статутом Факултета положила је са просечном оценом 10. У периоду од 2009. до 2010. године Ана Симовић била је запослена на Институту за физику, Природно-математичког факултета у Крагујевцу, у звању Истраживач-приправник. Од 2011. ангажована је у звању Истраживач-сарадник на Природно- математичком факултету у Крагујевцу на пројекту Министарства за просвету и науку под називом “Фотонске компоненте и системи”. Од 2010. ангажована је у настави на вежбама из предмета на основним и мастер студијама на Институту за физику, Природно-математичког факултета у Крагујевцу. У току свог научно-истраживачког рада објавила је седам научних радова у часописима са ISI листе, а од којих су четири научна рада у вези са докторском дисертацијом. Author's personal copy Explicit finite difference solution of the power flow equation in W-type optical fibers Svetislav Savovic´ a,n, Ana Simovic´ a, Alexandar Djordjevich b a Faculty of Science, University of Kragujevac, R. Domanovic´a 12, 34000 Kragujevac, Serbia b City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong, China a r t i c l e i n f o Article history: Received 29 November 2011 Received in revised form 27 December 2011 Accepted 12 January 2012 Available online 15 February 2012 Keywords: W-type optical fiber Mode coupling Steady-state distribution a b s t r a c t Using the power flow equation, we have calculated spatial transients of power distribution and a steady-state distribution that are due to coupling of guided to leaky modes in W-type optical fibers (doubly clad fibers). A numerical solution has been obtained by the explicit finite difference method. Results show that power distribution in W-type optical fibers depends on both the intermediate layer width and the coupling strength. W-shaped index profile of optical fibers is effective in reducing modal dispersion and therefore in improving the fiber bandwidth. We have also shown that explicit finite difference method is effective and accurate for solving the power flow equation in W-type optical fibers. & 2012 Elsevier Ltd. All rights reserved. 1. Introduction There has been a large increase in the demand for transmission capacity of communication links. Singly clad (SC) glass optical fibers have been the preferred transmission medium in high- capacity communications networks and long-distance commu- nications systems. In contrast, SC plastic optical fibers (POFs) are usually considered for short data links. POF systems show limita- tions in the achievable transmission rate due to their limited bandwidth and high attenuation. Numerous efforts and solutions to overcome those limitations have been proposed, ranging from spatial modulation [1] and detection techniques [2], equalization [3], modal dispersion compensation [4], and restricted modal launc. In spite of variety of efforts to improve multimode fiber based systems, only limited work has been done recently in multimode-fiber profile design and analysis. For the reasons described above, there is a need for practical multimode fiber design which could result in the improvement of the fiber transmission characteristics, especially fiber bandwidth. One of the promising choices is to employ W-type fibers. Recently, it has been experimentally demonstrated that POFs with the W-shaped index profile enabled fiber bandwidths in excess of those asso- ciated with graded index POFs [5]. The W-type optical fiber has a wider transmission bandwidth and lower bending losses compared to those of a corresponding SC optical fiber. This is due to the fact that the number of guided modes in W-type fiber is reduced because the intermediate layer decreases the effective numerical aperture of the fiber and hence the number of guided modes, and also because the guided modes are tightly confined within the core region [6]. A typical bandwidth- distance product for glass optical fibers is 30 MHz km for SC and 50 MHz km for W-type, whereas the corresponding figures for POFs are 15 MHz km (SC) and 200 MHz km (W-type) [5,7–9]. Transmission characteristics of multimode optical fibers depend strongly upon the differential mode-attenuation and rate of mode coupling. Modal attenuation is the result of light absorption and scattering in the fiber material. Mode coupling is diffraction of light that transfers power from one mode to another due to random anomalies in multimode optical fibers (microscopic bends, voids and cracks, diameter variation and density fluctuation). Due to mode coupling, steady-state power distribution is achieved at some distance zs from the input fiber end whereby a unique normalized intensity distribution results across the far field disk pattern regardless of the mode(s) launched. Steady-state distribu- tion indicates the complete independence of the output light distribution from launch conditions. Modal attenuation limits the power that can be transmitted along the fiber. Modal dispersion in optical fibers is reduced through mode coupling. This increases fiber bandwidth but, on the other hand, it also increases the amount of power radiated in fiber curves or bends [10], signifi- cantly changing the output-field properties and degrading the beam quality. W-type fibers, having an intermediate layer between the core and cladding, have somewhat different properties from those of SC fibers due to the existence of lossy leaky modes in the intermediate layer. Mode coupling from guided to lossy leaky modes in W-type fibers has not been fully analyzed yet. Many fiber Contents lists available at SciVerse ScienceDirect journal homepage: www.elsevier.com/locate/optlastec Optics & Laser Technology 0030-3992/$ - see front matter & 2012 Elsevier Ltd. All rights reserved. doi:10.1016/j.optlastec.2012.01.018 n Coresponding author. Fax: þ381 34 335040. E-mail address: savovic@kg.ac.rs (S. Savovic´). Optics & Laser Technology 44 (2012) 1786–1790 Author's personal copy junctions and static bends are expected in the W-type optical fiber networks, presenting an additional cause of mode coupling. Due to mode coupling, the optical energy of the low-order modes would be coupled to higher order modes even if only the low-order ones are launched selectively by the restricted launch condition. Since these higher order modes can degrade the bandwidth performance of the W-type fibers, the group delay difference among all the modes (from lowest to highest) should be minimized by the refractive index profile [11]. Because of the influence that modal attenuation, modal dispersion and mode coupling have on fiber transmission properties, it is necessary to have effective and accurate methods for calculating their rate inW-type optical fibers. Output angular power distribution in the near and far fields of an optical fiber end has been studied extensively. By employing the power flow equation these patterns have been predicted as a function of the launch conditions and fiber length. The rate of mode coupling, which is the power transfer between modes, has been described by the ‘‘coupling coefficient’’ D [12–17]. In this work, using the power flow equation, we have investi- gated the influence of the width of the intermediate layer and the strength of mode coupling on spatial transients of power distribu- tion as well as on the steady-state power distribution that are due to coupling of guided to leaky modes in W-type optical fibers. 2. Power flow equation The time-independent power flow for multimode SC fibers is described by the following coupled-power Eq. [12]: @Pðy,zÞ @z ¼aðyÞPðy,zÞþ D y @ @y y @Pðy,zÞ @y   ð1Þ This equation can be written in the following form: @Pðy,zÞ @z ¼aðyÞPðy,zÞþ D y @Pðy,zÞ @y þD @ 2Pðy,zÞ @y2 ð2Þ where P(y,z) is the angular power distribution at distance z from the input end of the fiber, y is the propagation angle with respect to the core axis, D is the coupling coefficient assumed constant [12,13] and a(y)¼a0þad(y) is the modal attenuation, where a0 represents conventional losses (absorption and scattering). The term a0 leads only to a multiplier exp(a0z) in the solution and is thus neglected. The boundary conditions are P(ym,z)¼0, where ym is the maximum propagation angle, and D(@P/@y)¼0 at y¼0. Consider a W-type fiber with index profile shown in Fig. 1. The relative refractive index difference Dq¼(n0nq)/n0 between the core and intermediate layer is larger than the difference Dp¼(n0np)/n0 between core and cladding, where n0, nq and np are refractive indices of the core, intermediate layer and cladding, respectively. In this structure, the modes whose propagation angles are between ypffi(2Dp)1/2 and yqffi(2Dq)1/2 are leaky modes [14]. Attenuation constants of leaky modes are given as [15]: aLðyÞ ¼ 4ðy2y2pÞ1=2 að1y2Þ1=2 y2ðy2qy2Þ y2qðy2qy2pÞ exp 2dan0k0ðy2qy2Þ1=2 h i ð3Þ where k0 is the free-space wave number, a is core radius and da intermediate layer (inner cladding) width. In a SC fiber, experi- mental results show that attenuation remains constant throughout the guided-mode region and rises quite steeply in the radiation- mode region [16]. Consequently, the modal attenuation in a W-type fiber can be expressed as: adðyÞ ¼ 0 yryp aLðyÞ ypoyoyq 1 yZyq 8>< >: ð4Þ A W-type fiber can be regarded as a system consisting of SCq fiber and cladding. In the SCq fiber, modes having propagation angles smaller than the critical angle yq can be guided. When the SCq fiber is coupled with surrounding medium of index np, the lower order modes, whose propagation angles are smaller than the critical angle of the SCp fiber yp, remain guided. However, the higher order modes with angles between yp and yq are trans- formed into leaky modes. Because of the strong dependence of aL(y) on the intermediate layer width da, it is expected that the steady-state characteristics of a W-type fiber also depend on da and coincide with those of SCp and SCq fibers in the limits of d-0 and d-N, respectively. These two types of fiber have quite different features and need to be evaluated carefully so that conclusions could be applied in system design. 3. Numerical method Since analytical solution of the power flow Eq. (2) with the attenuation constants of leaky modes in the form of (3) is not known, one has to solve Eq. (2) numerically. We now report, in our knowledge for the first time, the solution of the power flow Eq. (2) in W-type optical fiber using explicit difference method (EFDM). One should mention here that with respect to the stability and accuracy, it is more difficult to numerically solve Eq. (2) with modal attenuation given by Eq. (4) than it is for the case of a singly-clad fiber where a(y)Ea0þAy2 [17]. In the 1970s and 1980s, implicit finite difference methods (IFDMs) were generally preferred over EFDMs. This trend has been changing with the advancement of computers, shifting the emphasis to EFDMs. Being often unconditionally stable, the IFDM allows larger step lengths. Nevertheless, this does not translate into IFDM’s higher computational efficiency because extremely large matrices must be manipulated at each calculation step. We find that the EFDM is also simpler in addition to being compu- tationally more efficient [14,17]. We used the central difference scheme to represent the (@P(y,z))/@y and (@2P(y,z))/@y2 terms, and the forward difference scheme for the derivative term (@P(y,z))/@z [18]. Then, Eq. (2) reads: Pk,lþ1 ¼ DzD Dy2  DzD 2ykDy   Pk1,lþ 1 2DzD Dy2 ðadÞkDz   Pk,l þ DzD 2ykDy þ DzD Dy2   Pkþ1,l ð5Þ where indexes k and l refer to the discretization step lengths Dy and Dz for angle y and length z, respectively, where: ðadÞk ¼ 0 ykryp 4ðy2ky2p Þ1=2 að1y2k Þ1=2 y2k ðy2qy2k Þ y2q ðy2qy2p Þ exp 2dan0k0ðy2qy2k Þ1=2 h i ypoykoyq 1 ykZyq 8>>< >>: ð6Þ In the difference form, boundary conditions become PN,l¼0 and P0,l¼P1,l, where N¼yq/Dy is the grid dimension in y direction.Fig. 1. Refractive index profile of a W-type fiber. S. Savovic´ et al. / Optics & Laser Technology 44 (2012) 1786–1790 1787 Author's personal copy To prevent the problem of singularity at grid points y¼0, we have used the following relation [17]: lim y-0 1 y @ @y y @P @y   ¼ 2@ 2P @y2  y ¼ 0 ð7Þ The input condition also has to be expressed in a finite difference form. For the yp excitation, it is in the form: Pðy,0Þ ¼ 1, for 0ryryp; z¼ 0 ð8Þ while for the yq excitation, it is in the form: Pðy,0Þ ¼ 1, for 0ryryq; z¼ 0 ð9Þ In this manner, we could determine angular power distribu- tion at different lengths of W-type fiber whose intermediate layer is characterized by the width da and depth (yqyp). A typical solution run takes up to 15 s on the Intel (R) Core (TM) i3 CPU 540 @ 3.07 GHz personal computer for the longest fiber analyzed (of 10 km in length). 4. Numerical results In this paper, we analyze spatial transients of power distribu- tion as well as a steady-state distribution for the mode coupling condition from guided to leaky modes in a W-type optical fiber. Figs. 2–4 show angular power distributions in W-type fiber for two different normalized intermediate layer widths d (d¼0.2 and 0.5; actual widths da are 0.2 30 mm and 0.5 30 mm). This was obtained by solving the power flow Eq. (2) using EFDM, for the coupling coefficient D¼2.3107, 2.3106 and 2.3105 rad2/m, respectively. The fiber characteristics were: n0¼1.46, Dp¼0.2% (ypffi3.61), Dq¼0.7% (yqffi6.71) and 2a¼60 mm [14]. Critical angles yp and yq are also marked in Figs. 2–4. Solid curves in the figures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (z¼0). This exciting condition is defined as yq excitation. The power distributions when only guided modes are equally excited (yp excitation) are shown by dashed lines. One can see from Figs. 2–4 that when the launch distribution at the input end of the fiber is centered at y0¼0, with increasing distance from the input fiber end, the power distribu- tion remains at the same angle, but its width changes. For yq excitation, the width of the power distribution decreases with fiber length, both for d¼0.2 and 0.5. For yp excitation, the width of the power distribution after initial decrease continue to increase with fiber length in the case of d¼0.5, and it decreases in the case of d¼0.2. For yq excitation, the power remains in leaky modes for a rather long transmission length for the d¼0.5 case. It rapidly attenuates within a short length for the d¼0.2 case. This difference is caused by the difference in leaky mode losses. For thick intermediate layer widths, the lower leaky modes are substantially guided because of the low leaky modes losses. One can observe in Figs. 2–4 that for identical intermediate layer widths, the power distribution shifts towards that of the SCq fiber as the coupling strength becomes larger. Power distributions gradually approach certain steady-state distributions as the transmission length increases for any excitation condition. Steady-state distribution varies not only with the intermediate layer width but also with the mode coupling strength. With decreasing the width of the Fig. 2. Spatial transient of power distributions for d¼0.5 (the graph at left) and d¼0.2 (right) and for the coupling coefficient D¼2.3107 rad2/m (centrally launched input). The power distributions when only guided modes are equally excited (yp excitation) are shown by dashed lines. Solid curves in the figures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (yq excitation). Fig. 3. Spatial transient of power distributions for d¼0.5 (left) and d¼0.2 (right) and for the coupling coefficient D¼2.3106 rad2/m (centrally launched input). The power distributions when only guided modes are equally excited (yp excitation) are shown by dashed lines. Solid curves in the figures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (yq excitation). S. Savovic´ et al. / Optics & Laser Technology 44 (2012) 1786–17901788 Author's personal copy intermediate layer, there is a decrease in the fiber length zs which is necessary for achieving the steady-state distribution. It can be seen from Fig. 5 that this length also decreases with increasing the strength of mode coupling, which is more pronounced in the case of d¼0.5 for weaker mode coupling. It is well known that an increase in mode coupling improves the fiber bandwidth. It can be seen from Fig. 5 that increase of mode coupling results in the decrease of the length at which a steady-state distribution is achieved. It can also be seen from Fig. 5 that the length of fiber at which a steady-state distribution is achieved is shorter for thinner intermediate layer width. Therefore one can conclude that fiber bandwidth can be improved either by reducing the intermediate layer width or strengthening the mode coupling process. Since the mode coupling increase results in an increased steady-state loss, in practice a trade-off relation between bandwidth and loss has to be considered. 5. Conclusion We report on the explicit difference solution of the power flow equation in multimode W-type optical fibers. Spatial transients of the power distribution for different intermediate layer widths are calculated. They approach certain steady-state distribution deter- mined by the structural parameters and strength of mode coupling. Calculated power distributions vary between those of the reference SCq and SCp fibers with the width of the intermediate layer. This behavior is due to the difference in leaky modes losses for different intermediate layer widths. We have obtained that with increasing the strength of mode coupling, there is a decrease in the W-type fiber length that is necessary for achieving the steady-state distribution. This dependence is more pronounced in the case of thicker intermediate layer for weaker mode coupling. This length also decreases with decreasing the width of the intermediate layer. Finally, we have shown that the explicit finite difference method is effective and accurate for solving the power flow equation for W-type optical fibers. Acknowledgments The work described in this paper was supported by a grant from Serbian Ministry of Education and Science [Project No. 171011]. References [1] Tyler EJ, Webster M, Penty RV, White IH, Yu S, Rorison J. Subcarrier modulated transmission of 2.5 Gb/s over 300 m of 62.5-mm-core diameter multimode fiber. IEEE Photonics Technology Letters 2002;14:1743–5. [2] Patel KM, Ralph SE. Enhanched multimode fiber link performance using a spatially resolvedreceiver. IEEE Photonics Technology Letters 2002;14:393–5. [3] Zhao X, Choa FS. Demonstration of 10 Gb/s transmission over 1.5-km-long multimde fiber using equalization techniques. IEEE Photonics Technology Letters 2002;14:1187–9. [4] Abbott JS, Smith GE, and Truesdale CM. ‘‘Multimode fiber link dispersion compensator,‘‘ U.S. Patent 6 363 195, 2002. [5] Ishigure T, Kano M, Koike Y. Which is more serious factor to the bandwidth of GI POF: differential mode attenuation or mode coupling? Journal of Light- wave Technology 2000;18:959–65. [6] Mikoshiba K, Kajioka H. Transmission characteristics of multimode W-type optical fiber: experimental study of the effect of the intermediate layer. Applied Optics 1978;17:2836–41. [7] Tanaka T, Yamada S, Sumi M, Mikoshiba K. Microbending losses of doubly clad (W-type) optical fibers. Applied Optics 1977;18:2391–4. [8] Daum W, Krauser J, Zamzow PE, Ziemann O. Polymer Optical Fibers for Data Communication. Berlin: Springer; 2002. [9] Yamashita T, Kagami M. Fabrication of light-induced self-written waveguides with a W-shaped refractive index profile. Journal of Lightwave Technology 2005;23:2542–8. [10] Losada MA, Garce´s I, Mateo J, Salinas I, Lou J, Zubı´a J. Mode coupling contribution to radiation losses in curvatures for high and low numerical aperture plastic optical fibers. Journal of Lightwave Technology 2002;20:1160–4. [11] Takahashi K, Ishigure T, Koike Y. Index profile design for high-bandwidth W-shaped plastic optical fiber. Journal of Lightwave Technology 2006;24:2867–76. [12] Gloge D. Optical power flow in multimode fibers. Bell Systematics Technical Journal 1972;51:1767–83. Fig. 4. Spatial transient of power distributions for d¼0.5 (left) and d¼0.2 (right) and for the coupling coefficient D¼2.3105 rad2/m (centrally launched input). The power distributions when only guided modes are equally excited (yp excitation) are shown by dashed lines. Solid curves in the figures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (yq excitation). Fig. 5. Fiber length zs at which the steady-state distribution is achieved. (Lines are drawn for visual aid.). S. Savovic´ et al. / Optics & Laser Technology 44 (2012) 1786–1790 1789 Author's personal copy [13] Rousseau M, Jeunhomme L. Numerical solution of the coupled-power equation in step index optical fibers. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 1977;25:577–85. [14] Tanaka TP, Yamada S. Numerical solution of power flow equation in multi- mde W-type optical fibers. Applied Optics 1980;19:1647–52. [15] Tanaka TP, Yamada S. Steady-state characteristics of multimode W-type fibers. Applied Optics 1979;18:3261–4. [16] Jeunhomme L, Fraise M, Pocholle JP. Propagation model for long step-index optical fibers. Applied Optics 1976;15:3040–6. [17] Djordjevich A, Savovic´ S. Numerical solution of the power flow equation in step index plastic optical fibers. Journal of the Optical Society of America B 2004;21:1437–42. [18] Anderson JD. Computational Fluid Dynamics. New York: Mc Graw-Hill; 1995. S. Savovic´ et al. / Optics & Laser Technology 44 (2012) 1786–17901790 Influence of depth of intermediate layer on optical power distribution in W-type optical fibers Ana Simović,1 Alexandar Djordjevich,2 and Svetislav Savović1,* 1University of Kragujevac, Faculty of Science, R. Domanovića 12, 34000 Kragujevac, Serbia 2City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong, China *Corresponding author: savovic@kg.ac.rs Received 30 March 2012; revised 24 May 2012; accepted 29 May 2012; posted 30 May 2012 (Doc. ID 165788); published 9 July 2012 For different depth and width of the intermediate layer, a power flow equation is used to calculate spatial transients and steady state of power distribution in W-type optical fibers (doubly clad fibers with three layers). A numerical solution has been obtained by the explicit finite difference method. Results show how the power distribution in W-type optical fibers varies with the depth of the intermediate layer for different values of intermediate layer width and coupling strength. We have found that with increasing depth of the intermediate layer, the fiber length at which the steady-state distribution is achieved increases. Such characterization of these fibers is consistent with their manifested effectiveness in reducing modal dispersion and improving bandwidth. © 2012 Optical Society of America OCIS codes: 060.2310, 060.2400. 1. Introduction Optical fiber communication links have been facing ever-increasing expectations for capacity and range. The transmission medium for most long-distance communication or high-capacity networks have been glass optical fibers with single cladding (SC). Appli- cation of plastic optical fibers (POFs) in communica- tion has been limited to short data links and local area networks because of these fibers’ comparatively high attenuation and modest bandwidth that limit the transmission rate. Attempts to surpass these performance confines include spatial modulation [1] and detection techniques [2], equalization [3], modal dispersion compensation [4], and restricted modal launch. Yet comparatively little attention has been devoted to the analysis and design of the profile of the multimode fiber with a view of advan- cing fiber characteristics, particularly transmission bandwidth. With their intermediate layer, the three-layered W-type POFs have potential in this respect as their bandwidths have been shown experi- mentally to exceed those of graded index POFs [5]. Waveguide dispersion is smaller in the W-type fi- ber than it is in the SC fiber [6]. The W-type fiber is also easier to splice. It has a wide transmission band- width and lower bending losses compared to a corre- sponding SC fiber because the number of guided modes in the W-type fiber is reduced. The reduction is by the intermediate layer, which decreases the fi- ber’s effective numerical aperture, and therefore the number of guided modes, and confines the guided modes tighter to the core [7]. In the case of glass op- tical fibers, while the bandwidth–distance product is typically around 30 MHz · km for the SC variety, it is around 50 MHz · km for the W-type. For POFs, these figures would typically be 15 MHz · km for the SC and 200 MHz⋅km for the W-type [5,8–10] fibers. Mode coupling and differential-mode attenuation strongly affect the transmission performance of mul- timode optical fibers. The latter is a consequence of absorption and scattering of light within the fiber material, which reduces the transmitted power. The former is a form of light diffraction, which trans- fers power between individual modes and is caused 1559-128X/12/204896-06$15.00/0 © 2012 Optical Society of America 4896 APPLIED OPTICS / Vol. 51, No. 20 / 10 July 2012 by fiber anomalies that are random in nature (such as cracks, voids, microscopic bends, and density and diameter/shape variation). Mode coupling leads to the formation of a steady-state power distribution that is reached some distance zs from the input fiber end. This steady state is characterized by the devel- opment of an intensity distribution in the far field that is one and the same whatever the launch mode that produced it. In other words, the steady-state output light distribution is independent from launch conditions. On the positive side, mode coupling reduces modal dispersion, thus increasing fiber bandwidth. The negative consequence of mode coupling is that it in- creases loss in fiber curves [11], changes properties of the output field, and degrades the quality of the beam. With their intermediate layer situated be- tween the cladding and core, W-type fiber properties differ from the ones pertaining to SC fibers. This is because of the lossy, leaky modes in the intermediate layer. The coupling of modes from guided to lossy, leaky ones in W-type fibers has not been explained in the literature sufficiently. Bends and junctions of the fiber are expected in any optical fiber network, including a W-type fiber network, representing one more cause of coupling. It causes the energy carried by the low-order modes to couple to higher-order ones. Consequently, regardless of whether only the low-order modes were launched by selectively re- stricted conditions, higher-order modes will always appear in the output. Such higher-order modes re- duce bandwidth of the W-type fiber and necessitate that the group delay difference between modes be minimized by optimizing the fiber’s refractive index profile [12]. As modal attenuation, coupling, and dis- persion affect transmission of the W-type optical fiber, methods for calculating their rates are needed. Much work has been reported about the angular power distribution across the near and far field out- put from the fiber end. The use of the power flow equation was reported in determining these distribu- tions and predicting them for the given fiber length and launch input, whereby the power transfer between modes as the rate of mode coupling was modeled by the coupling coefficient D [13–18]. Con- catenating to this approach, we investigated in this work how the depth of the intermediate layer of W-type optical fibers influences the coupling of guided to leaky modes and the consequent transient and steady-state power distribution across the fiber. 2. Power Flow Equation The time-independent power flow for multimode SC fibers is described by the following coupled-power equation [13]: ∂Pθ; z ∂z  −αθPθ; z D θ ∂ ∂θ  θ ∂Pθ; z ∂θ  : (1) This equation can be written in the form ∂Pθ; z ∂z  −αθPθ; zD θ ∂Pθ; z ∂θ D∂ 2Pθ; z ∂θ2 ; (2) where Pθ; z is the angular power distribution at distance z from the input end of the fiber, θ is the pro- pagation angle with respect to the core axis, D is the coupling coefficient assumed constant [13,14], and αθ  α0  αdθ is the modal attenuation, where α0 represents conventional losses (absorption and scattering). The term α0 leads only to a multiplier exp−α0z in the solution and is thus neglected. The boundary conditions are Pθm; z  0, where θm is the maximum propagation angle, and D∂P∕ ∂θ  0 at θ  0. Consider a W-type fiber with index profile shown in Figure 1. The relative refractive index difference Δq  n0 − nq ∕ n0 between the core and intermediate layer is larger than the difference Δp  n0 − np ∕ n0 between core and cladding, where n0, nq, and np are refractive indices of the core, intermediate layer, and cladding, respectively. In this structure, the modes whose propagation angles are between θp ≅ 2Δp1∕ 2 and θq ≅ 2Δq1∕ 2 are leaky modes [15]. Attenuation constants of leaky modes are given as [16] αLθ  4θ2 − θ2p1∕ 2 a1 − θ21∕ 2 θ2θ2q − θ2 θ2qθ2q − θ2p × exp−2δan0k0θ2q − θ21∕ 2; (3) where k0 is the free-space wave number,a is core radius, and a is intermediate layer (inner cladding) width. In an SC fiber, experimental results show that attenuation remains constant throughout the guided-mode region and rises quite steeply in the radiation-mode region [17]. Consequently, the modal attenuation in a W-type fiber can be expressed as αdθ  8>>< >>: 0 θ ≤ θp αLθ θp < θ < θq ∞ θ ≥ θq : (4) AW-type fiber can be regarded as a system consist- ing of SCq fiber and cladding. In the SCq fiber, modes having propagation angles smaller than the critical angle θq can be guided. When the SCq fiber is coupled Fig. 1. Refractive index profile of a W-type fiber [15]. 10 July 2012 / Vol. 51, No. 20 / APPLIED OPTICS 4897 with surrounding medium of index np, the lower- order modes, whose propagation angles are smaller than the critical angle of the SCp fiber θp, remain guided. However, the higher-ordermodes with angles between θp and θq are transformed into leaky modes. It is shown that because of the strong dependence of αLθ on the intermediate layer width δa, steady- state characteristics of a W-type fiber depend on δa and coincide with those of SCp and SCq fibers in the limits of δ → 0 and δ → ∞, respectively [16,19]. Another parameter that influences the power distri- bution in W-type optical fibers is depth of intermedi- ate layer (Fig. 1). In this work, we investigate how this depth influences the power distribution in W-type optical fibers for different values of inter- mediate layer width δa and coupling strength D. The results obtained could be applied when design- ing W-type optical fibers. 3. Numerical Method Because an analytical solution of the power flow equation [Eq. (2)] with the attenuation constants of leaky modes in the form of Eq. (3) is not available, one has to solve it numerically. We have done that for the W-type optical fiber using the explicit differ- ence method (EFDM). We used the central difference scheme to represent the ∂Pθ; z ∕ ∂θ and ∂2Pθ; z ∕ ∂θ2 terms, and the forward difference scheme for the derivative term ∂Pθ; z ∕ ∂z [20]. Then, Eq. (2) reads Pk;l1  ΔzD Δθ2 − ΔzD 2θkΔθ  Pk−1;l   1 − 2ΔzD Δθ2 − αdkΔz  Pk;l   ΔzD 2θkΔθ ΔzDΔθ2  Pk1;l; (5) where indexes k and l refer to the discretization step lengths Δθ and Δz for angle θ and length z, respectively, where αdk  8>>>< >>>: 0 θk ≤ θp 4θ2k − θ2p1∕ 2 a1 − θ2k1∕ 2 θ2kθ2q − θ2k θ2qθ2q − θ2p exp−2δan0k0θ2q − θ2k1∕ 2 θp < θk < θq ∞ θk ≥ θq : (6) In the difference form, boundary conditions become PN;l  0 and P0;l  P1;l, where N  θq ∕Δθ is the grid dimension in θ direction. To prevent the problem of singularity at grid points θ  0, we have used the following relation [18]: lim θ→0 1 θ ∂ ∂θ  θ ∂P ∂θ   2 ∂ 2P ∂θ2  θ0 . (7) The input condition also has to be expressed in a finite difference form. For the θp excitation, it is Pθ; 0  1; for 0 ≤ θ ≤ θp; z  0; (8) while for the θq excitation it is in the form Pθ; 0  1; for 0 ≤ θ ≤ θq; z  0: (9) In this manner, we could determine angular power distribution at different lengths of W-type fiber. 4. Numerical Results In this paper, we analyze spatial transients of power distribution as well as the steady-state distribution for the coupling of guided to leaky modes in a W-type optical fiber. The fiber structural characteristics were Δp  0.2%θp ≅ 3.6°, Δq  0.7%θq ≅ 6.76°, and 2a  60 μm [15,19]. Further, n0  1.46 and λ  840 nm were used in the calculations. In order to in- vestigate the influence of depth of the intermediate layer on the power distribution in this fiber, we consider the case when the core index n0 and outer cladding index np are fixed. The depth of the inter- mediate layer is varied by changing the initial value of Δq  0.7% for 15 and 25%; thus we analyzed cases where Δq  0.525%θq ≅ 5.87°, Δq  0.595% θq ≅ 6.25°, Δq  0.7%θq ≅ 6.76°, Δq  0.805% θq ≅ 7.27°, andΔq  0.875%θq ≅ 7.58°. The chan- ge in θq for constant θp changes the number of leaky modes as well as their attenuation [Eq. (3)]. Leaky mode losses for different intermediate layer depths are shown in Figure 2. One can observe in this figure that when the intermediate layer width is constant (δ  0.2), the leaky mode loss changes significantly with the intermediate layer depth. We solved the power flow Eq. (2) using EFDM for the coupling coefficient D  2.3 × 10−7, 2.3 × 10−6, and 2.3 × 10−5 rad2 ∕m and for two different normal- ized intermediate layer widths δ (δ  0.2 and 0.5; actual widths δ·a are 0.2 · 30 μm and 0.5 · 30 μm). The relevant numerical values obtained for different intermediate layer depths are summarized in Table 1 to facilitate easier comparisons. As an illustration, Figs. 3, 4, 5, 6, and 7 show angular power dis- tributions in W-type fiber for different depths of the intermediate layer, for intermediate layer width δ  0.2, and for the coupling coefficient D  2.3 × 10−7 rad2 ∕m. Critical angles θp and θq are also marked in Figs. 3, 4, 5, 6, and 7. Solid curves 4898 APPLIED OPTICS / Vol. 51, No. 20 / 10 July 2012 in the figures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (z  0). This excitation condition is referred to as the θq excitation. The power distribu- tions when only guided modes are equally excited (θp excitation) are shown by dashed lines. One can observe from Figures 3, 4, 5, 6, and 7 that when the launch distribution at the input end of the fiber is centered at θ0  0, the power distribution remains at the same angle as the distance from Fig. 3. Spatial transient of power distributions for Δq  0.525%, δ  0.2 and for the coupling coefficientD  2.3 × 10−7 rad2 ∕m (cen- trally launched input). Shown by dashed lines are the power dis- tributions resulting when only the guided modes are excited and are excited equally (the θp excitation). Solid curves in the figures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (the θq excitation). Fig. 4. Spatial transient of power distributions for Δq  0.595%, δ  0.2 and for the coupling coefficient D  2.3 × 10−7 rad2 ∕m (centrally launched input). Shown by dashed lines are the power distributions resulting when only the guided modes are excited and are excited equally (the θp excitation). Solid curves in the fig- ures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (the θq excitation). Fig. 5. Spatial transient of power distributions for Δq  0.7%, δ  0.2 and for the coupling coefficient D  2.3 × 10−7 rad2 ∕m (centrally launched input). Shown by dashed lines are the power distributions resulting when only the guided modes are excited and are excited equally (the θp excitation). Solid curves in the fig- ures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (the θq excitation). Fig. 2. Leaky mode loss for different intermediate layer depths. Table 1. W-type Fiber Length zs at which the Steady-state Distribution Is Achieved for Different Values of the Coupling Coefficient D, Intermediate Layer Width δ, and Intermediate Layer Depth Δq Drad2 ∕m δ Δq% zsm 2.3 × 10−7 0.2 0.525 3500 0.595 4000 0.7 4700 0.805 5000 0.875 5500 0.5 0.525 7500 0.595 9000 0.7 11000 0.805 12000 0.875 13000 2.3 × 10−6 0.2 0.525 400 0.595 500 0.7 600 0.805 700 0.875 800 0.5 0.525 900 0.595 1000 0.7 1100 0.805 1300 0.875 1400 2.3 × 10−5 0.2 0.525 50 0.595 70 0.7 80 0.805 110 0.875 120 0.5 0.525 100 0.595 120 0.7 130 0.805 160 0.875 180 10 July 2012 / Vol. 51, No. 20 / APPLIED OPTICS 4899 the input fiber end increases, but its width changes. Both for θq excitation and θp excitation, the width of the power distribution decreases with fiber length for all values of Δq that were analyzed (0.525%, 0.595%, 0.7%, 0.805%, and 0.875%). For θq excitation, the power remains in leaky modes for the longest trans- mission lengths in the case of the largest depth (Δq  0.875%) of the intermediate layer. One can ob- serve from Table 1 that with the increasing depth of the intermediate layer, the fiber length zs necessary for achieving the steady-state distribution increases for all values of the coupling coefficient D and inter- mediate layer width δ that were analyzed. The reason for this is in the number of leaky modes. The larger this number (larger Δq and consequently θq), the longer fiber length it takes for the coupling process to complete. We have also obtained that for the fixed intermedi- ate layer width and depth, the power distribution shifts towards that of the SCq fiber as the coupling strength becomes larger. Power distributions gradu- ally approach certain steady-state distributions as the transmission length increases for any excitation condition. Steady-state distribution varies not only with the intermediate layer width and depth but also with the strength of mode coupling. The fiber length zs necessary for achieving the steady-state distribu- tion decreases with the increasing strength of mode coupling (Fig. 8). Finally, because leaky mode loss decreases with in- creasing the width of the intermediate layer, power remains in leaky modes for a rather long transmis- sion length in the case of δ  0.5, which results in longer fiber length, which is necessary for achieving the steady-state distribution if compared to that of the δ  0.2 case. Thus the bandwidth can be im- proved by reducing the intermediate-layer width, which results in faster attenuation of leaky modes. 5. Conclusion Spatial transients and a steady state of the power distribution are calculated by the power flow equa- tion for different intermediate-layer depths and widths of multimode W-type optical fibers. It is found that the deeper this layer, the longer length zs it takes to achieve the steady-state distribution. This is explained by the correspondingly increasing num- ber of leaky modes. It is similarly shown that the stronger the mode coupling, the shorter the W-type fiber it takes for the power distribution to reach its steady state. We have also obtained that, because leaky mode loss decreases with increasing the width of the intermediate layer, power remains in leaky modes for a rather long transmission length in the case of δ  0.5, which results in longer fiber length, which is necessary for achieving the steady-state dis- tribution if compared to that of the δ  0.2 case. As a consequence, the bandwidth improvement can be achieved by reducing the intermediate-layer width. The work described in this paper was supported by a grant from the Serbian Ministry of Education and Science [Project No. 171011]. References 1. E. J. Tyler, M. Webster, R. V. Penty, I. H. White, S. Yu, and J. Rorison, “Subcarrier modulated transmission of 2.5 Gb∕ s over Fig. 6. Spatial transient of power distributions for Δq  0.805%, δ  0.2 and for the coupling coefficient D  2.3 × 10−7 rad2 ∕m (centrally launched input). Shown by dashed lines are the power distributions resulting when only the guided modes are excited and are excited equally (the θp excitation). Solid curves in the fig- ures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (the θq excitation). Fig. 7. Spatial transient of power distributions for Δq  0.875%, δ  0.2 and for the coupling coefficient D  2.3 × 10−7 rad2 ∕m (centrally launched input). Shown by dashed lines are the power distributions resulting when only the guided modes are excited and are excited equally (the θp excitation). Solid curves in the fig- ures represent power distribution when guided and leaky modes are equally excited at the input fiber end (the θq excitation). Fig. 8. Fiber length zs at which the steady-state distribution is achieved. (Curves are drawn for visual aid.) 4900 APPLIED OPTICS / Vol. 51, No. 20 / 10 July 2012 300 m of 62.5 μm-core diameter multimode fiber,” IEEE Photon. Technol. Lett. 14, 1743–1745 (2002). 2. K. M. Patel and S. E. Ralph, “Enhanched multimode fiber link performance using a spatially resolved receiver,” IEEE Photon. Tech. Lett. 14, 393–395 (2002). 3. X. Zhao and F. S. Choa, “Demonstration of 10 Gb∕ s transmis- sion over 1.5 km-long multimde fiber using equalization tech- niques,” IEEE Photon. Tech. Lett. 14, 1187–1189 (2002). 4. J. S. Abbott, G. E. Smith, and C. M. Truesdale, “Multimode fiber link dispersion compensator,” U.S. patent 6,363,195 (26 March 2002). 5. T. Ishigure, M. Kano, and Y. Koike, “Which is more serious factor to the bandwidth of GI POF: differential mode attenua- tion or mode coupling?,” J. Lightwave Technol. 18, 959–965 (2000). 6. S. Kawakami and S. Nishida, “Characteristics of a doubly-clad optical fiber with a low-index inner cladding,” IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 10, 879–887 (1974). 7. K.Mikoshiba andH. Kajioka, “Transmission characteristics of multimodeW-typeoptical fiber:experimentalstudyof theeffect of the intermediate layer,” Appl. Opt. 17, 2836–2841 (1978). 8. T. Tanaka, S. Yamada, M. Sumi, and K. Mikoshiba, “Microbe- nding losses of doubly clad (W-type) optical fibers,” Appl. Opt. 16, 2391–2394 (1977). 9. W. Daum, J. Krauser, P. E. Zamzow, and O. Ziemann, Polymer Optical Fibers for Data Communication (Springer, 2002). 10. T. Yamashita and M. Kagami, “Fabrication of light-induced self-written waveguides with a W-shaped refractive index profile,” J. Lightwave Technol. 23, 2542–2548 (2005). 11. M. A. Losada, I. Garcés, J. Mateo, I. Salinas, J. Lou, and J. Zubía, “Mode coupling contribution to radiation losses in cur- vatures for high and low numerical aperture plastic optical fibers,” J.Lightwave Technol. 20, 1160–1164 (2002). 12. K. Takahashi, T. Ishigure, and Y. Koike, “Index profile design for high-bandwidth W-shaped plastic optical fiber,” J. Light- wave Technol. 24, 2867–2876 (2006). 13. D. Gloge, “Optical power flow in multimode fibers,” Bell Syst. Tech. J. 51, 1767–1783 (1972). 14. M. Rousseau and L. Jeunhomme, “Numerical solution of the coupled-power equation in step index optical fibers,” IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 25, 577–585 (1977). 15. T. P. Tanaka and S. Yamada, “Numerical solution of power flow equation in multimde W-type optical fibers,” Appl. Opt. 19, 1647–1652 (1980). 16. T. P. Tanaka and S. Yamada, “Steady-state characteristics of multimode W-type fibers,” Appl. Opt. 18, 3261–3264 (1979). 17. L. Jeunhomme, M. Fraise, and J. P. Pocholle, “Propagation model for long step-index optical fibers,” Appl. Opt. 15, 3040–3046 (1976). 18. A. Djordjevich and S. Savović, “Numerical solution of the power flow equation in step index plastic optical fibers,” J. Opt. Soc. Am. B 21, 1437–1442 (2004). 19. S. Savović, A. Simović, and A. Djordjevich, “Explicit finite difference solution of the power flow equation in W-type optical fibers,” Opt. Laser Technol. 44, 1786–1790 (2012). 20. J. D. Anderson, Computational Fluid Dynamics (McGraw- Hill, 1995). 10 July 2012 / Vol. 51, No. 20 / APPLIED OPTICS 4901 rib er rd erbia sed rs ( nite quil term eriz an st long been g lastic short d mpara ited t nce co niques and re as devo the case of glass optical fibers, while the bandwidth-distance [10], ality ween the leaky explained in the literature sufficiently. Bends and junctions of the Contents lists available at SciVerse ScienceDirect lse Optics & Laser Optics & Laser Technology 48 (2013) 565–569order modes were launched by selectively restricted conditions,E-mail address: savovic@kg.ac.rs (S. Savovic´).fiber are expected in any optical fiber network including W-type fiber network, representing one more cause of coupling. It causes the energy carried by the low-order modes to couple to higher order ones. Consequently, regardless of whether only the low- 0030-3992/$ - see front matter & 2012 Elsevier Ltd. All rights reserved. http://dx.doi.org/10.1016/j.optlastec.2012.11.033 n Corresponding author at: University of Kragujevac, Faculty of Science, R. Domanovic´a 12, 34000 Kragujevac, Serbia. Tel.: þ381 343 35039.effective numerical aperture and therefore the number of guided modes, and confines the guided modes tighter to the core [6]. In modes that are found in the intermediate layer. The coupling of modes from guided to lossy leaky ones in W-type fibers was notWaveguide dispersion is smaller in the W-type fiber than it is in the SC fiber. It has a wide transmission bandwidth and lower bending losses compared to a corresponding SC fiber because the number of guided modes in the W-type fiber is reduced. The reduction is by the intermediate layer, which decreases the fiber’s is that it increases fiber loss, especially in curved fiber changes properties of the output-field and degrades the qu of the beam. With their intermediate layer situated in-bet the cladding and core, W-type fiber properties differ from ones pertaining to SC fibers. This is because of the lossydesign of the profile of the multimode fiber with a view of advancing fiber characteristics, particularly its transmission band- width. With their intermediate layer, the three-layered W-type POFs have potential in this respect as their bandwidths were shown experimentally to exceed those of graded index POFs [5]. reduces modal dispersion thus increasing fiber bandwidth. Namely, the transfer of energy between modes with different propagation velocities tends to average out the total propagation delays, thus reducing the intermodal dispersion and increasing the fiber bandwidth. The negative consequence of mode couplingThe transmission medium for mo tion or high-capacity networks have single cladding (SC). Application of p communication has been limited to networks because of these fibers’ co and modest bandwidth that lim Attempts to surpass these performa modulation [1] and detection tech modal dispersion compensation [4], Yet, comparatively little attention w-distance communica- lass optical fibers with optical fibers (POFs) in ata links and local area tively high attenuation he transmission rate. nfines included spatial [2], equalization [3], stricted modal launch. ted to the analysis and typically be 15 MHz km for the SC and 200 MHz km for the W-type [5,7–9] fibers. Differential mode-attenuation and mode coupling strongly affect the transmission performance of multimode optical fibers. The former is a consequence of absorption and scattering of light within the fiber material, which reduces the transmitted power. The latter is a form of light diffraction, which transfers power between individual modes and is caused by random fiber- anomalies (such as cracks, voids, microscopic bends, density and diameter/shape variation). On the positive side, mode coupling1. Introduction product is typically around 30 MHz km for the SC variety, it is around 50 MHz km for the W-type. For POFs, these figures wouldInfluence of width of launch beam dist distribution in W-type glass optical fib Svetislav Savovic´ a,b,n, Ana Simovic´ a, Alexandar Djo a University of Kragujevac, Faculty of Science, R. Domanovic´a 12, 34000 Kragujevac, S b City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong, China a r t i c l e i n f o Article history: Received 12 October 2012 Received in revised form 25 November 2012 Accepted 27 November 2012 Keywords: W-type glass optical fiber Power flow equation Equilibrium mode distribution a b s t r a c t Power flow equation is u W-type glass optical fibe obtained by the explicit fi length for achieving the e depth and width of the in distribution. Such charact reducing modal dispersion journal homepage: www.eution on equilibrium mode s jevich b to calculate spatial transients and equilibrium mode distribution in doubly clad fibers with three layers). A numerical solution has been difference method. For the first time, we have shown how the coupling ibrium mode distribution in W-type glass optical fibers varies with the ediate layer and coupling strength for different widths of launch beam ation of these fibers is consistent with their manifested effectiveness in d bending loss. & 2012 Elsevier Ltd. All rights reserved. vier.com/locate/optlastec Technology become fuzzy at the end of longer fibers. Up to a ‘‘coupling angles smaller than the critical angle yq can be guided. When the SCq fiber is coupled with surrounding medium of index np, the lower order modes, whose propagation angles are smaller than the critical angle of the SCp fiber yp, remain guided. However, the higher order modes with angles between ypand yq are trans- formed into leaky modes. It is shown that because of the strong dependence of aL(y) on the intermediate layer width da, steady- state characteristics of a W-type fiber depend on da and coincide with those of SCp and SCq fibers in the limits of d-0 and d-N, respectively [17,20]. Another parameter which influences the power distribution in W-type optical fibers is a depth of inter- mediate layer (Fig. 1). In this work, we investigate how depth and width of intermediate layer influence the transient and EMD in W-type glass optical fibers for different strengths of mode coupling and different widths of launch beam distribution. The results obtained could be applied when designing W-type glass S. Savovic´ et al. / Optics & Laser Technology 48 (2013) 565–569566length’’ Lc from the input fiber end, the extent of this fussiness increases further with fiber length and the ring-pattern evolves gradually into a disk extending across the entire fiber cross- section. An equilibrium mode distribution (EMD) exists beyond the coupling length Lc of the fiber. It is characterized by the absence of rings regardless of launch conditions, even though the resulting light distribution of the disk-pattern may vary with launch conditions. EMD indicates a substantially complete mode coupling. It is of critical importance when measuring character- istics of multimode optical fibers (linear attenuation, bandwidth, etc). Indeed, measurement of these characteristics would only be considered as meaningful if performed at the EMD condition when it is possible to assign to a fiber a unique value of loss per unit length [12]. In order to determine the fiber length Lc where the EMD is achieved, one can perform either pulse broadening measurements as a function of fiber length [13,14] or can analyze the change of the output angular power distribution as a function of fiber length for different launch angles [14]. In the former case, Lc is the fiber length after which the bandwidth becomes proportional to 1/z1/2 instead of 1/z (z is the fiber length). In the latter case, Lc is the fiber length after which all output angular power distributions take the disk-form regardless of the incidence angle. The shorter the length Lc, the earlier the bandwidth would switch from the functional dependence of 1/z to 1/z1/2 (faster bandwidth improvement). Much work has been reported about the angular power dis- tribution across the near and far field output from the fiber end. The use of the power flow equation was reported in determining these distributions and predicting them for the given fiber length and launch input; whereby the power transfer between modes as the rate of mode coupling was modeled by the coupling coefficient D [13,15–20]. Adding to this approach, in this work we investigated how the width of the launch beam distribution influences coupling length for achieving the equilibrium mode distribution in W-type glass optical fibers for various depths and widths of the inter- mediate layer and coupling strengths. 2. Power flow equation The time-independent power flow for multimode SC fibers is described by the following coupled-power equation [13]: @P y,zð Þ @z ¼a yð ÞP y,zð Þþ D y @ @y y @P y,zð Þ @y   ð1Þ This equation can be written in the following form: @P y,zð Þ @z ¼a yð ÞP y,zð Þþ D y @P y,zð Þ @y þD @ 2P y,zð Þ @y2 ð2Þ where P(y,z) is the angular power distribution at distance z from the input end of the fiber, y is the propagation angle with respecthigher order modes will always appear in the output. Such higher order modes reduce bandwidth of the W-type fiber and necessi- tate that the group delay difference between modes be minimized by optimizing the fiber’s refractive index profile [11]. As modal attenuation, coupling and dispersion affect transmission of the W-type optical fiber, methods for calculating their contributions are needed. The far-field pattern of an optical fiber is determined by the optical power distribution that depends on the launch conditions, fiber properties and fiber length. Light launched at a specific angle y040 with respect to the fiber axis will form a sharply defined ring radiation pattern at the output end of only short fibers. Because of mode coupling, the boundary (edges) of such a ringto the core axis, D is the coupling coefficient assumed constant[15,16] and aðyÞ ¼ a0þadðyÞ is the modal attenuation, where a0 represents conventional losses (absorption and scattering). The term a0 leads only to a multiplier exp(a0z) in the solution and is thus neglected. The boundary conditions are P(ym,z)¼0, where ym is the maximum propagation angle, and D(qP/qy)¼0 at y¼0. Consider a W-type fiber with index profile shown in Fig. 1. The relative refractive index difference Dq ¼ n0nq   =n0 between the core and intermediate layer is larger than the difference Dp ¼ n0np   =n0 between core and cladding, where n0, nq and np are refractive indices of the core, intermediate layer and cladding, respectively. In this structure, the modes whose propa- gation angles are between ypffi 2Dp  1=2 and yqffi 2Dq  1=2 are leaky modes [16]. Attenuation constants of leaky modes are given as [17] aL yð Þ ¼ 4 y2y2p  1=2 a 1y2  1=2 y 2 y2qy2   y2q y 2 qy2p   exp 2dan0k0 y2qy2 1=2  ð3Þ where k0 is the free-space wave number, a is the core radius and da intermediate layer (inner cladding) width. In an SC fiber, experimental results show that attenuation remains constant throughout the guided-mode region and rises quite steeply in the radiation-mode region [18]. Consequently, the modal attenua- tion in a W-type fiber can be expressed as: ad  yÞ ¼ 0 yryp aLðyÞ ypoyoyq 1 yZyq 8>< >: ð4Þ A W-type fiber can be regarded as a system consisting of SCq fiber and cladding. In the SCq fiber, modes having propagation Fig. 1. Refractive index profile of a W-type fiber.optical fibers. 2ykDy Dy by setting s ¼0.4251 and 1.2741 in Eq. (5), respectively. The relevant numerical values are summarized in Table 1 to facilitate easier comparisons. As an illustration, in Fig. 2, our numerical solution of the power flow equation is presented by showing the evolution of the normalized output power distribution with fiber length for W- type glass fiber with characteristics Dq¼0.7%, d¼0.2 and D¼2.3107 rad2/m, for Gaussian launch-beam distribution with (FWHM)z¼0¼11. We show results for four different input angles y0¼0, 1.21, 2.41 and 3.61 (measured inside the fiber). Critical angles yp and yq are also marked in Fig. 2. One can observe from Fig. 2 that when the launch distribution at the input end of the fiber is centered at y0¼0, the power distribution remains at the same angle as the distance from the input fiber end increases, but its width increases due to mode coupling. Radiation patterns in Fig. 2(a) of non-centrally launched beams in short fibers are centered at values which are close to their initial values. With increasing the fiber length one can observe from Fig. 2(b) that coupling is stronger for the low- order modes: their distributions have shifted more toward y¼01. Coupling of higher-order modes can be observed only after longer fiber lengths (Fig. 2(c)). It is not until the fiber’s coupling length Lc that all the mode-distributions shift their mid-points to zero degrees (from the initial value of y0 at the input fiber end), producing the EMD in Fig. 2(d) of Lc ¼2400 m. One can observe from Table 1 that with increasing the strength of mode coupling (D), there is decrease in length Lc which is necessary for achieving the EMD. This is because stronger mode coupling, which is due to larger intrinsic perturbation effects in the fiber, forces energy redistribution among guided modes to occur at shorter fiber lengths. The lengths Lc are shorter for wider launch beam. This is because the energy of a wide launch beam is more uniformly distributed among guided modes in the fiber, S. Savovic´ et al. / Optics & Laser Technology 48 (2013) 565–569 567where indexes k and l refer to the discretization step lengths Dy and Dz for angle y and length z, respectively, where adð Þk ¼ 0 ykryp 4 y2ky2p  1=2 a 1y2k  1=2 y2k y2qy2k   y2q y 2 qy2p   exp 2dan0k0 y2qy2k 1=2  ypoykoyq 1 ykZyq 8>>< >>: ð7Þ In the difference form, boundary conditions become PN,l¼0 and P0,l¼P1,l, where N¼yq/Dy is the grid dimension in y direction. To prevent the problem of singularity at grid points y¼ 0, we have used the following relation [19]: lim y-0 1 y @ @y y @P @y   ¼ 2@ 2P @y2 y ¼ 0 ð8Þ In this manner, we could determine angular power distribu- tion at different lengths of W-type fiber. 4. Numerical results In this paper, we analyze spatial transients of power distribution as well as the EMD for the coupling of guided to leaky modes in a W-type glass optical fiber. The fiber structural characteristics were as follows: Dp¼0.2% (ypffi3.621), Dq¼0.7% (yqffi6.761) and 2a¼60 mm [16,20]. Further, n0¼1.46 and l¼840 nm were used in the calculations. In order to investigate the influence of depth and width of the intermediate layer as well as coupling strength and width of launch beam distribution on the power distribution in this fiber, we consider the case when the core index n0 and outer cladding index np are fixed. The depth of the intermediate layer is varied by changing the initial value of Dq¼0.7% for 715% and 725%, thus we analyzed cases where Dq¼0.525% (yqffi5.871), Dq¼0.595% (yqffi6.251), Dq¼0.7% (yqffi6.761), Dq¼0.805% (yqffi7.271) and Dq¼0.875% (yqffi7.581) [22]. The change in yq for constant yp changes the number of leaky modes as well as their attenuation (3). We solved the power flow Equation (2) using EFDM for the coupling coefficient D¼2.3107, 2.3106 and 2.3105 rad2/m and for two different normalized intermediate layer widths d (d¼0.2 and 0.5; actual widths da are 0.230 mm and 0.530 mm). We solved the power flow equation by selecting3. Numerical method Since analytical solution of the power flow equation (2) with the attenuation constants of leaky modes in the form of (3) is not available, one has to solve it numerically. We have done that for the W-type optical fiber using the explicit finite difference method (EFDM). To start the calculations, we used Gaussian launch-beam distribution of the form P y,zð Þ ¼ exp  yy0ð Þ 2s20 " # ð5Þ with 0ryryc, where y0 is the mean value of the incidence angle distribution, with the full width at half maximum (FWHM)z¼0¼2s0 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ln 2 p ¼ 2:355s0 (s0 is standard deviation of the incidence angle distribution). We used the central difference scheme to represent the @P y,zð ÞÞ=@y and @2P y,zð ÞÞ=@y2 terms, and the forward difference scheme for the derivative term @P y,zð ÞÞ=@z [21]. Then, Eq. (2) reads as follows: Pk,lþ1 ¼ DzD Dy2  DzD 2ykDy   Pk1,lþ 1 2DzD Dy2  adð ÞkDz   Pk,l þ DzD þ DzD 2   Pkþ1,l ð6ÞGaussian launch-beam distribution with (FWHM)z¼0¼11 and 31Table 1 W-type glass fiber length Lc at which the EMD is achieved for different values of the coupling coefficient D, intermediate layer width d, intermediate layer depth Dq and width of the launch beam distribution (FWHM)z¼0. D (rad2/m) d Dq (%) Lc (m) ((FWHM)z¼0¼11) Lc (m) ((FWHM)z¼0¼31) 2.3107 0.2 0.525 2090 1720 0.595 2205 1805 0.7 2400 1965 0.805 2690 2230 0.875 2890 2505 0.5 0.525 3420 3030 0.595 3570 3260 0.7 3660 3430 0.805 3690 3505 0.875 3700 3510 2.3106 0.2 0.525 230 188 0.595 249 204 0.7 279 233 0.805 312 269 0.875 328 290 0.5 0.525 341 305 0.595 351 322 0.7 357 333 0.805 359 337 0.875 359 338 2.3105 0.2 0.525 27 22.5 0.595 29.5 25 0.7 32.5 28.5 0.805 34.5 31.5 0.875 35.5 32.5 0.5 0.525 34.5 31 0.595 35.5 32.5 0.7 36 33.5 0.805 36 34 0.875 36 34which forces the EMD at shorter distances than for a narrow launch S. Savovic´ et al. / Optics & Laser Technology 48 (2013) 565–569568beam. With increasing depth of the intermediate layer, the fiber length Lc at which the EMD is achieved increases. This is explained by the correspondingly increasing number of leaky modes. The larger number Dq (larger Dqand consequently yq), the longer fiber length it takes for the coupling process to complete. This increase is more pronounced in the case of narrower intermediate layer width (d¼0.2). Since leaky mode loss decreases with increasing the width of the intermediate layer, power remains in leaky modes for a rather long transmission length in the case of d¼0.5, which results in longer fiber length which is necessary for achieving the EMD if compared to that of d¼0.2 case. Similarly, for a fixed value of Dq, decrease of d from 0.5 to 0.2 results in approximately the same decrease of Lc if compared to the case of changing Dq from 0.875 to 0.525% for a fixed value of d. One can also see that coupling length Lc of W-type glass fibers (Table 1) varies between those of the reference SCp and SCq fiber (Table 2) with the width of the intermediate layer. The shortest coupling lengths characterize SCp fiber. This is due to the fact that mode coupling occurs only between guided modes which propagate along the fiber with propagating angles y between 0 and 3.621. The longer coupling lengths which characterize SCq fiber if compared to those of SCp fiber are due to a larger number of guiding modes which propagate along the SCq fiber with propagating angles y between 01 and 6.761. Fig. 2. Normalized output angular power distribution at different locations along W-t 1.21 (dashed curve), 2.41 (dotted curve) and 3.61 (dotted–dashed curve) with (FWHM) characteristics are Dq¼0.7%, d¼0.2 and D¼2.3107 rad2/m. Table 2 SCp and SCq fiber length Lc at which the EMD is achieved for different values of the co SCp fiber Lc (m) Lc (m) D (rad2/m) ((FWHM)z¼0¼11) ((FWHM)z¼0¼ 2.3107 1880 1560 2.3106 202 157 2.3105 19 16 Fi drWe can conclude that Lc is determined by fiber structural parameters, mode coupling strength and width of launch beam distribution. The bandwidth can be improved by reducing the intermediate-layer width, strengthening the mode coupling process or selecting a narrow launch beam distribution [16]. It is evident from Fig. 3 that the steady-state loss changes from that of SCq to SCp fiber as the intermediate layer width becomes thinner. Since the ype glass optical fiber calculated for 4 Gaussian input angles y0¼01 (solid curve), z¼0¼11 for (a) z¼40 m, (b) z¼700 m, (c) z¼1680 m and (d) z¼2400 m. The fiber upling coefficient D and width of the launch beam distribution (FWHM)z¼0. SCq fiber (Dq¼0.7%) Lc (m) Lc (m) 31) ((FWHM)z¼0¼11) ((FWHM)z¼0¼31) 6600 6100 650 610 65 61 g. 3. Dependence of steady-state loss on mode coupling strength. (lines are awn for visual aid). mode coupling increase results in an increased steady-state loss (Fig. 3), in practice a tradeoff relation between bandwidth and loss has to be considered in designing the optimum W-type index profile. Controlling the intermediate layer width entails a smaller longer fiber length which is necessary for achieving the EMD if Acknowledgment The work described in this paper was supported by the Strategic Research Grant of City University of Hong Kong (Project no. CityU 7002775) and by a grant from Serbian Ministry of Education and Science [Project no. 171011]. S. Savovic´ et al. / Optics & Laser Technology 48 (2013) 565–569 569compared to that of d¼0.2 case. It is found that the deeper the intermediate layer, the longer length Lc it takes to achieve the EMD. This is explained by the correspondingly increasing number of leaky modes. The bandwidth can be improved by reducing the intermediate-layer width, strengthening the mode coupling process or selecting a narrow launch beam distribution. In practice a trade- off relation between bandwidth and loss has to be considered in designing the optimum W-type index profile. Controlling the intermediate layer width entails a smaller sacrifice in loss than an increase in coupling strength. A narrow launch beam distribution leads to a higher bandwidth at small and intermediate fiber lengths if compared to that of wide launch beam distribution. A wider launch beam distribution forces bandwidth shift from 1/z propor- tional to 1/z1/2 proportional curve to occur at shorter fiber lengths, which results in bandwidth improvement at shorter fiber lengths.width shift from 1/z proportional to 1/z1/2 proportional curve to occur at shorter fiber lengths (Table 1), which results in bandwidth improvement at shorter fiber lengths. At a certain fiber length where steady-state modal distribution is achieved, the bandwidth converges to a launch independent behavior. Finally, one should mention here that similar approach has already been applied for photonic crystal fibers [23]. A large mode area Yb-doped rod-type photonic crystal fiber design with a low refractive index ring in the core is proposed in Ref. [23] to provide an improved suppression of the first higher-order mode compared to the case of uniform core doping, in a way which is more robust against fluctuations in the refractive index value. Results have demonstrated the effectiveness of the low refractive index ring in suppressing the higher-order mode, thus providing an effectively single-mode behavior for the rod-type fibers. 5. Conclusion We have shown how the width of the launch beam distribution influences coupling length for achieving the equilibrium mode distribution in W-type glass optical fibers for various depths and widths of the intermediate layer and coupling strengths. It is shown that wider the launch beam, the shorter the length Lc which is necessary for achieving the EMD in W-type glass fiber. This is because the energy of a wide launch beam is more uniformly distributed among guided modes in the fiber, which forces the EMD at shorter distances than for a narrow launch beam. It is similarly shown that the stronger the mode coupling, the shorter the W-type fiber it takes for the power distribution to reach its modal equilibrium. Since leaky mode loss decreases with increasing the width of the intermediate layer, power remains in leaky modes for a rather long transmission length in the case of d¼0.5, resulting inReferences [1] Tyler EJ, Webster M, Penty RV, White IH, Yu S, Rorison J. Subcarrier modulated transmission of 2.5 Gb/s over 300 m of 62.5-mm-core diameter multimode fiber. IEEE Photonics Technology Letters 2002;14:1743–5. [2] Patel KM, Ralph SE. Enhanched multimode fiber link performance using a spatially resolved receiver. IEEE Photonics Technology Letters 2002;14:393–5. [3] Zhao X, Choa FS. Demonstration of 10 Gb/s transmission over 1.5 km-long multimde fiber using equalization techniques. IEEE Photonics Technology Letters 2002;14:1187–9. [4] Abbott JS, Smith GE,Truesdale CM, Multimode fiber link dispersion compen- sator, US patent 6 363 195, 2002. [5] Ishigure T, Kano M, Koike Y. Which is more serious factor to the bandwidth of GI POF: differential mode attenuation or mode coupling? Journal of Light- wave Technology 2000;18:959–65. [6] Mikoshiba K, Kajioka H. Transmission characteristics of multimode W-type optical fiber: experimental study of the effect of the intermediate layer. Applied Optics 1978;17:2836–41. [7] Tanaka T, Yamada S, Sumi M, Mikoshiba K. Microbending losses of doubly clad (W-type) optical fibers. Applied Optics 1977;18:2391–4. [8] Daum W, Krauser J, Zamzow PE, Ziemann O. Polymer optical fibers for data communication. Berlin: Springer; 2002. [9] Yamashita T, Kagami M. Fabrication of light-induced self-written waveguides with a W-shaped refractive index profile. Journal of Lightwave Technology 2005;23:2542–8. [10] Losada MA, Garce´s I, Mateo J, Salinas I, Lou J, Zubı´a J. Mode coupling contribution to radiation losses in curvatures for high and low numerical aperture plastic optical fibers. Journal of Lightwave Technology 2002;20:1160–4. [11] Takahashi K, Ishigure T, Koike Y. Index profile design for high-bandwidth W-shaped plastic optical fiber. Journal of Lightwave Technology 2006;24:2867–76. [12] Dugas J, Maurel G. Mode-coupling processes in polymethyl methacrylate- core optical fibers. Applied Optics 1992;31:5069–79. [13] Gloge D. Optical power flow in multimode fibers. Bell System Technical Journal 1972;51:1767–83. [14] Jiang G, Shi RF, Garito AF. Mode coupling and equilibrium mode distribution conditions in plastic optical fibers. IEEE Photonics Technology Letters 1997;9:1128–30. [15] Rousseau M, Jeunhomme L. Numerical solution of the coupled-power equation in step index optical fibers. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 1977;25:577–85. [16] Tanaka TP, Yamada S. Numerical solution of power flow equation in multi- mde W-type optical fibers. Applied Optics 1980;19:1647–52. [17] Tanaka TP, Yamada S. Steady-state characteristics of multimode W-type fibers. Applied Optics 1979;18:3261–4. [18] Jeunhomme L, Fraise M, Pocholle JP. Propagation model for long step-index optical fibers. Applied Optics 1976;15:3040–6. [19] Djordjevich A, Savovic´ S. Numerical solution of the power flow equation in step index plastic optical fibers. Journal of the Optical Society of America B 2004;21:1437–42. [20] Savovic´ S, Simovic´ A, Djordjevich A. Explicit finite difference solution of the power flow equation in W-type optical fibers. Optics and Laser Technology 2012;44:1786–90. [21] Anderson JD. Computational fluid dynamics. New York: Mc Graw-Hill; 1995. [22] Simovic´ A, Djordjevich A, Savovic´ S. Influence of width of intermediate layer on power distribution in W-type optical fibers. Applied Optics 2012;51:4896–901. [23] Poli F, Lægsgaard J, Passaro D, Cucinotta A, Selleri S, Broeng J. Suppression of higher-order modes by segmented core doping in rod-type photonic crystal fibers. Journal of Lightwave Technology 2009;27:4935–42.distribution [16]. A wider launch beam distribution forces band-sacrifice in loss than an increase in coupling strength. A narrow launch beam distribution leads to a higher bandwidth at small and intermediate fiber lengths if compared to that of wide launch beam Influence of intermediate layer on transmission characteristics of W-type optical fibers Ana Simović a, Svetislav Savović a,n, Branko Drljača b, Alexandar Djordjevich c a Faculty of Science, University of Kragujevac, R. Domanovića 12, 34000 Kragujevac, Serbia b Faculty of Science, University of Kosovska Mitrovica, Lole Ribara 29, Kosovska Mitrovica, Serbia c City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong, China a r t i c l e i n f o Article history: Received 29 August 2013 Received in revised form 14 October 2013 Accepted 19 October 2013 Keywords: W-type optical fiber Power flow equation Bandwidth a b s t r a c t Transmission characteristics of multimode W-type optical fibers (doubly clad fibers with three layers) are investigated by solving the time-dependent power flow equation. A numerical solution has been obtained by the explicit finite difference method. Results show how the bandwidth in W-type optical fibers varies with depth and width of the intermediate layer for different coupling strengths and excitations. The trade-off between the bandwidth and steady-state loss is also specified. Such characterization of these fibers is consistent with their manifested effectiveness in reducing modal dispersion and bending loss. & 2013 Elsevier Ltd. All rights reserved. 1. Introduction Singly clad (SC) glass optical fibers are often used for signal transmission in long-distance communication and high-capacity networks. In contrast, plastic optical fibers (POFs) exhibit com- paratively high attenuation and low bandwidth. This limits the achievable transmission rate of POF systems and restricts their application in the communications field to short data links and local area networks. To mitigate these performance boundaries, the application of spatial modulation [1] and detection techniques [2], equalization [3], modal dispersion compensation [4], and restricted modal launch have been reported. A potential for additional bandwidth enhancement seems to be achievable through improved design of the profile of the multimode fiber. Doubly clad “W-type” optical fibers have three distinct optical layers. They exhibit reduced dispersion compared to their singly clad counterparts. They are also easier to splice, have a reduced number of guided modes, wider transmission bandwidth and lower bending losses. It is the W-type fiber's intermediate layer that reduces the number of guided modes, which lowers the fiber's effective numerical aperture by keeping the guided modes tighter to the core [5]. For reference, the bandwidth-distance product of SC and W-type glass fibers may be around 30 MHz km and 50 MHz km, respectively, and 15 MHz km and 200 MHz km for the corresponding POFs. [6–8]. Transmission of multimode optical fibers is affected strongly by coupling and differential mode-attenuation. The latter reduces the transmitted power by absorption and scattering within the fiber material. Mode coupling, on the other hand, is a form of light diffraction. It transfers power between propagating modes and is caused by fiber-anomalies of random nature (such as voids, cracks, microscopic bends, and variations in fiber density, diameter and shape). The positive effect of mode coupling is that it reduces modal dispersion because the transfer of energy between modes with different propagation velocities tends to average out the total propagation delays. This reduces the intermodal dispersion and increases bandwidth. On the negative side, mode coupling increases fiber loss, particularly in curved fibers [9], and alters the output-field properties or beam quality. It is the lossy leaky modes in the intermediate layer (between the outer cladding and core) that distinguish properties of the W-type fiber from those of the corresponding SC fibers. Therefore, coupling of guided to lossy modes in the W-type fibers deserves a closer examination. The unavoidable fiber bends and inevitable junctions in the fiber network additionally couple low-order modes to higher-order ones. Higher order modes will therefore always be present in the fiber output even if only low-order modes had initially been launched by some selective input conditions. Because this affects fiber bandwidth, it is desirable to optimize the fiber's refractive index profile [10] with the objective of minimiz- ing the group delay difference between modes. In addition to coupling, modal attenuation and dispersion also affect transmis- sion of the W-type optical fiber; hence, methods for calculating their contributions are needed. Contents lists available at ScienceDirect journal homepage: www.elsevier.com/locate/optlastec Optics & Laser Technology 0030-3992/$ - see front matter & 2013 Elsevier Ltd. All rights reserved. http://dx.doi.org/10.1016/j.optlastec.2013.10.024 n Corresponding author. Tel.: þ381 34 335039; fax: þ381 34 335040. E-mail address: savovic@kg.ac.rs (S. Savović). Optics & Laser Technology 57 (2014) 209–215 Launch conditions, fiber properties and fiber length determine the output optical power distribution, and hence the far-field pattern, of an optical fiber [11]. A ring-pattern launch at an angle of θ040 to the axis can be reproduced in the output field pattern of only short fibers. Such ring becomes fuzzy at the end of longer fibers due to more extensive mode coupling. This fussiness of the output pattern increases with fiber length up to some characteristic value referred to as the “coupling length” Lc where the pattern appears like a disk. The ensuing “equilibrium mode distribution” (EMD) for lengths in excess of Lc preserve no ring patterns regardless of the launch, although the resulting light distribution across the disk-pattern may still vary with the launch indicating a substantially (but not fully) complete mode coupling. Moreover, from length Lc onwards, the bandwidth is proportional to 1/z1/2 instead of 1/z (z being the length variable). In fibers with shorter lengths Lc, the bandwidth switches earlier from the functional dependence 1/z to 1/z1/2 (faster bandwidth improvement). Further mode coupling (beyond Lc) leads to the steady- state power distribution at some fiber length zs. From there onwards, the same intensity distribution results in the far field regardless of the modes launched (the steady-state output light distribution becomes independent of the launch conditions). We investigate in this work how fiber bandwidth, steady-state loss, andmode coupling strength of W-type optical fibers are affected by the depth and width of its intermediate layer. 2. Power flow equation The time-dependent power flow for multimode W-type fibers is described by the following coupled-power equation [12]: ∂pðθ; z; tÞ ∂z þτðθÞ ∂pðθ; z; tÞ ∂t ¼ αðθÞpðθ; z; tÞþ 1 θ ∂ ∂θ θDðθÞ ∂pðθ; z; tÞ ∂θ   ð1Þ where t is time; pðθ; z; tÞ is power distribution over angle, space, and time; τðθÞ is modal delay per unit length; DðθÞ is the mode- dependent coupling coefficient; and αðθÞ ¼ α0þαdðθÞ is the modal attenuation, where α0 represents conventional losses (absorption and scattering). The term α0 leads only to a multiplier exp(α0z) in the solution and is thus neglected. The boundary conditions are p (θm,z,t)¼0, where θm is the maximum propagation angle, and D(θ) (∂p(θ,z,t)/∂θ)¼0 at θ¼0. The frequency response is obtained more conveniently in the frequency, rather than time, domain. Fourier transformation is therefore applied to Eq. (1): ∂Pðθ; z;ωÞ ∂z þ jωτðθÞPðθ; z;ωÞ ¼ αðθÞpðθ; z;ωÞþ 1 θ ∂ ∂θ θDðθÞ ∂Pðθ; z;ωÞ ∂θ   ð2Þ where ω¼ 2πf is the angular frequency, and Pðθ; z;ωÞ ¼ Z þ1 1 pðθ; z; tÞexpð jωtÞdt ð3Þ The boundary conditions are Pðθm; z;ωÞ ¼ 0; DðθÞ ∂Pðθ¼ 0; z;ωÞ ∂θ ¼ 0 ð4Þ It is apparent that Pðθ; z;ωÞ is complex. By separating Pðθ; z;ωÞ into the real Prðθ; z;ωÞ and imaginary part Piðθ; z;ωÞ, and assuming a constant coupling coefficient D [13–15], Eq. (2) can be rewritten as the following simultaneous partial differential equations: ∂Prðθ; z;ωÞ ∂z ¼ αðθÞPrðθ; z;ωÞþ D θ ∂Prðθ; z;ωÞ ∂θ þD ∂ 2Prðθ; z;ωÞ ∂θ2 þωτPiðθ; z;ωÞ ð5aÞ ∂Piðθ; z;ωÞ ∂z ¼ αðθÞPiðθ; z;ωÞþ D θ ∂Piðθ; z;ωÞ ∂θ þD ∂ 2Piðθ; z;ωÞ ∂θ2 ωτPrðθ; z;ωÞ ð5bÞ where Pðθ; z;ωÞ ¼ Prðθ; z;ωÞþ jPiðθ; z;ωÞ ð6Þ If Prðθ; z;ωÞ and Piðθ; z;ωÞ are obtained by solving Eq. (5), the transmission characteristics can be calculated. Thus the frequency response H(z,ω) at fiber length z is Hðz;ωÞ ¼ 2π R θm 0 θ Prðθ; z;ωÞþ jPiðθ; z;ωÞ½ dθ 2π R θm 0 θ Prðθ;0;ωÞþ jPiðθ;0;ωÞ½ dθ ð7Þ The modal power distribution PF ðθ; z;ωÞ and the spatial transient of power PLðz;ωÞ can be obtained by PF ðθ; z;ωÞ ¼ ½Prðθ; z;ωÞ2þPiðθ; z;ωÞ21=2 ð8Þ PLðz;ωÞ ¼ 2π Z θm 0 θPF ðθ; z;ωÞdθ ð9Þ Consider a W-type fiber with index profile shown in Fig. 1. The relative refractive index difference Δq ¼ ðn0nqÞ=n0 between the core and intermediate layer is larger than the difference Δp ¼ ðn0npÞ=n0 between the core and cladding, where n0, nq and np are refractive indices of the core, intermediate layer and cladding, respectively. In this structure, the modes whose propa- gation angles are between θpffið2ΔpÞ1=2 and θqffið2ΔqÞ1=2 are leaky modes [14]. Attenuation constants of leaky modes are given as [15] αLðθÞ ¼ 4ðθ2θ2pÞ1=2 að1θ2Þ1=2 θ2ðθ2qθ2Þ θ2qðθ2qθ2pÞ exp½2δan0k0ðθ2qθ2Þ1=2 ð10Þ where k0 is the free-space wave number, a is the core radius and δa is the width of the intermediate layer (inner cladding). In an SC fiber, experimental results show that attenuation remains constant throughout the guided-mode region and rises steeply in the radiation-mode region [16]. Consequently, the modal attenuation in a W-type fiber can be expressed as αdðθÞ ¼ 0 θrθp αLðθÞ θpoθoθq 1 θZθq 8>< >: ð11Þ Modal delay is expressed in terms of θ by [14] τðθÞ ¼ n0 c 1 cos θ ffi n0 c 1þ θ 2 2 ! ¼ τ0þτdðθÞ ð12Þ where c is the velocity of light in free space. The first term τ0 is common to all modes. It is the difference in group delay that determines the transmission bandwidth. Therefore, only τdðθÞ is to be considered in the calculations. A W-type fiber can be regarded as a system consisting of SCq fiber and cladding. In the SCq fiber, modes having propagation angles smaller than the critical angle θq can be guided. When the SCq fiber is coupled with surrounding medium of index np, the Fig. 1. Refractive index profile of a W-type fiber. A. Simović et al. / Optics & Laser Technology 57 (2014) 209–215210 lower order modes, whose propagation angles are smaller than the critical angle of the SCp fiber θp, remain guided. However, the higher order modes with angles between θp and θq are trans- formed into leaky modes. It is shown that because of the strong dependence of αL(θ) on the intermediate layer width δa, steady- state characteristics of a W-type fiber depend on δa and coincide with those of SCp and SCq fibers at limits δ-0 and δ-1, respectively [15,17]. Another parameter which influences the power distribution in W-type optical fibers is depth of the intermediate layer (Fig. 1). In this work, we investigate how depth and width of the intermediate layer influence the bandwidth and steady-state loss in W-type optical fibers for different strengths of mode coupling. The results obtained could be applied when designing W-type optical fibers. 3. Numerical method Because analytical solution of the simultaneous partial differ- ential Eq. (5) with the attenuation constants of leaky modes in the form of (10) is not available, one has to solve it numerically. We have done that using the explicit finite difference method (EFDM). In the 1970s and 1980s, implicit finite difference methods (IFDMs) were generally preferred over EFDMs [14]. This trend has been changing with the advancement of computers, shifting the emphasis to EFDMs. We now report, in our knowledge for the first time, the solution of the simultaneous partial differential Eq. (5) using EFDM. Being often unconditionally stable, IFDM allows larger step lengths than EFDM. Nevertheless, this does not translate into IFDM's higher computational efficiency because extremely large matrices must be manipulated at each calcula- tion step. We find that the EFDM algorithm is also simpler in addition to being more efficient computationally. We used the central difference scheme to represent the ð∂Pðθ; z;ωÞÞ=∂θ and ð∂2Pðθ; z;ωÞÞ=∂θ2 terms, and the forward difference scheme for the derivative term ð∂Pðθ; z;ωÞÞ=∂z [18]. Then, Eq. (5) reads Prk;lþ1 ¼ ΔzD Δθ2  ΔzD 2θkΔθ   Prk1;lþ 1 2ΔzD Δθ2 ðαdÞkΔz   Prk;l þ ΔzD 2θkΔθ þ ΔzD Δθ2   Prkþ1;lþ ωn0Δz 2c θ2kP i k;l ð13aÞ Pik;lþ1 ¼ ΔzD Δθ2  ΔzD 2θkΔθ   Pik1;lþ 1 2ΔzD Δθ2 ðαdÞkΔz   Pik;l þ ΔzD 2θkΔθ þ ΔzD Δθ2   Pikþ1;l ωn0Δz 2c θ2kP r k;l ð13bÞ where indexes k and l refer to the discretization step lengths Δθ and Δz for angle θ and length z, respectively, and where Prk;l ¼ Prðθk; zl;ωÞ and Pik;l ¼ Piðθk; zl;ωÞ. Modal attenuation expressed in the finite difference form is ðαdÞk ¼ 0 θkrθp 4ðθ2k  θ2p Þ1=2 að1θ2k Þ1=2 θ2k ðθ2q  θ2k Þ θ2q ðθ2q  θ2pÞ exp½2δan0k0ðθ2qθ2k Þ1=2 θpoθkoθq 1 θkZθq 8>< >: ð14Þ In the difference form, boundary conditions become PrN;l ¼ PiN;l ¼ 0 and Pi0;l ¼ Pi1;l, Pr0;l ¼ Pr1;l, where N¼θq/Δθ is the grid dimension in θ direction. To prevent the problem of singularity at grid points θ¼0, we have used the following relation [13]: lim θ-0 1 θ ∂ ∂θ θ ∂P ∂θ   ¼ 2∂ 2P ∂θ2  θ ¼ 0 ð15Þ 4. Numerical results In this paper, we calculate bandwidth and steady-state loss in a W-type optical fiber. The fiber structural characteristics were: Δp¼0.2% (θpffi3.621), Δq¼0.7% (θqffi6.761) and 2a¼60 mm [13,14,17]. Further, n0¼1.46 and λ¼840 nm were used in the calculations. In order to investigate the influence of depth and width of the intermediate layer as well as coupling strength and excitation on the power distribution in this fiber, we consider the case when the core index n0 and outer cladding index np are fixed. The depth of the intermediate layer is varied by changing the initial value of Δq¼0.7% by 715% and 725%; thus we analyzed cases with Δq¼0.525% (θqffi5.871), Δq¼0.595% (θqffi6.251), Δq¼0.7% (θqffi6.761), Δq¼0.805% (θqffi7.271) and Δq¼0.875% (θqffi7.581) [17]. The change in θq for constant θp changes the number of leaky modes as well as their attenuation (10). We solved the time-dependent power flow Eq. (2) using EFDM for the coupling coefficient D¼2.3107 and 2.3106 rad2/m, for five different normalized intermediate layer widths δ (δ¼0.15, 0.2, 0.3, 0.4 and 0.5; actual widths δa are 0.15 30 mm, 0.2 30 mm, 0.3 30 mm, 0.4 30 and 0.5 30 mm). As an illustration our numer- ical solution of the time-dependent power flow equation is presented in Fig. 2(a), (b) and (c) by showing the evolution of the bandwidth with fiber length with D¼2.3107 rad2/m, for different widths of intermediate layer δ, for Δq¼0.525%, 0.7% and 0,875%, respectively, for θq excitation. One can observe in Fig. 2 that bandwidth of the W-type fiber varies between those of the reference SCp and SCq fibers. One can also observe in Fig. 2 that, for short fiber lengths, bandwidth decreases proportionally with fiber length. However, the bandwidth's decreasing tendency gradually switches to the 1/z1/2 functional characteristic at shorter fiber lengths for thinner intermediate layer widths (smaller δ). This is explained by EMD occuring at shorter fiber length in the case of thinner intermediate layer [17]. The shortest coupling lengths characterize SCp fiber. This is because mode coupling occurs only between guided modes that propagate along the fiber with the propagating angles θ between 0 and 3.621. Longer coupling lengths are associated with the SCq rather than SCp fiber because there is a larger number of modes in the SCq fiber that propagate at angles θ between 0 and 6.761. Fiber bandwidth increases as depth of the intermediate layer decreases. This is consistent with our earlier observation [13] that as depth of the intermediate layer (Δq) decreases, EMD occurs at shorter fiber lengths (faster bandwidth improvement) – which is attributed to the correspondingly decreasing number of leaky modes. The smaller the number Δq (smaller Δq and consequently θq), the shorter fiber length it takes for the coupling process to complete. This decrease is more pronounced in the case of narrower intermediate layer widths (smaller δ). Since the leaky mode loss increases by decreasing the width of the intermediate layer, power remains in leaky modes for a rather short transmis- sion length in the case of thicker intermediate layer; consequently, it takes a shorter fiber length for achieving the EMD compared to the case with thinner intermediate layer. Fig. 3 shows the bandwidth change with fiber length for a W-type fiber with larger coupling coefficient D¼2.3106 rad2/ m and for the same fiber's structural parameters as shown in Fig. 2. One can observe an increase of fiber bandwidth with the increasing magnitude of mode coupling. Mode coupling improves fiber bandwidth, both at short and long fiber lengths. Larger mode coupling, associated with stronger intrinsic perturbation effects in the fiber, forces energy redistribution among guided modes to occur at shorter fiber lengths. The evolution of bandwidth with fiber length for θp excitation is shown in Figs. 4 and 5. One can observe from Figs. 2–5 that θp excitation leads to the increase of fiber bandwidth compared to A. Simović et al. / Optics & Laser Technology 57 (2014) 209–215 211 Fig. 2. Transmission length dependence of bandwidth for θq excitation, D¼2.3107 rad2/m, and (a) Δq¼0.525%, (b) Δq¼0.7% and (c) Δq¼0.875%. Fig. 3. Transmission length dependence of bandwidth for θq excitation, D¼2.3106 rad2/m, and (a) Δq¼0.525%, (b) Δq¼0.7% and (c) Δq¼0.875%. A. Simović et al. / Optics & Laser Technology 57 (2014) 209–215212 Fig. 4. Transmission length dependence of bandwidth for θp excitation, D¼2.3107 rad2/m, and (a) Δq¼0.525%, (b) Δq¼0.7% and (c) Δq¼0.875%. Fig. 5. Transmission length dependence of bandwidth for θp excitation, D¼2.3106 rad2/m, and (a) Δq¼0.525%, (b) Δq¼0.7% and (c) Δq¼0.875%. A. Simović et al. / Optics & Laser Technology 57 (2014) 209–215 213 the θq excitation. Excitation of only guiding modes (θp excitation) leads to higher bandwidth, both at small and intermediate fiber lengths compared to the excitation of both, guiding and leaky modes (θq excitation). Furthermore, the switch of the functional dependence of bandwidth from 1/z to 1/z1/2 shifts to shorter fiber lengths when only guiding modes are excited; improving bandwidth. For θp excitation, the influence of width and depth of the intermediate layer is smaller at short fiber lengths. For this excitation, only guiding modes are excited so that there is only a small number of leaky modes at short fiber lengths. With increas- ing fiber length, the number of leaky modes increases due to mode coupling and, therefore, the influence of the width of the inter- mediate layer starts to occur at longer fiber lengths. In the case of θp excitation and stronger mode coupling (Fig. 5), the influence of the width of the intermediate layer δ on fiber bandwidth is more pronounced. This is because a stronger mode coupling shifts the onset of leaky modes to shorter fiber lengths. Figs. 6 and 7 show the trade-off relation between bandwidth and steady-state loss for θq and θp excitations, respectively. We have shown that bandwidth can be improved by reducing the intermediate layer width, decreasing the intermediate layer depth, strengthening the mode coupling process or exciting only guiding modes. It is evident from Figs. 6 and 7 that the steady-state loss changes from that of SCq to SCp fiber as the intermediate layer width becomes thinner. Since stronger mode coupling results in an increased steady-state loss, in practice a trade-off relation between bandwidth and loss would have to be considered in designing the optimum W-type index profile. Controlling the intermediate layer width and depth entails a smaller sacrifice in loss than an increase in coupling strength. Furthermore, a choice between θq and θp excitation also influences trade-off relation between bandwidth and steady-state loss. 5. Conclusion Bandwidth and steady-state loss are calculated by the time- dependent power flow equation for different intermediate layer depths and widths of multimode W-type optical fibers for different mode coupling strengths and excitations. It is shown for the first time that the shallower the intermediate layer, the higher the fiber bandwidth. With decreasing the depth of intermediate layer, EMD occurs at shorter fiber lengths resulting in faster bandwidth improve- ment. Bandwidth increases with decreasing the width of the inter- mediate layer. Since the leaky mode loss decreases with increasing the width of the intermediate layer, power remains in leaky modes for a rather long transmission length in the case of large intermediate layer width, necessitating longer fiber length for achieving the EMD thanwould be needed with a smaller intermediate layer width. Thus, the bandwidth can be improved by reducing the intermediate layer width that attenuates leaky modes faster. Similarly it is shown that the stronger the mode coupling, the higher the fiber bandwidth. This is because stronger mode coupling (larger intrinsic perturbation effects in the fiber) forces energy redistribution among guided modes to occur within shorter fiber lengths, resulting in shorter fiber length for achieving EMD and resulting in faster bandwidth improvement. Bandwidth can be improved by reducing the intermediate layer width, decreasing the intermediate layer depth, strengthening the mode coupling process or exciting only guiding modes. In practice, a trade-off relation between bandwidth and loss would have to be considered in designing the optimum W-type index profile. Con- trolling the intermediate layer width and depth entails a smaller sacrifice in loss than an increase in coupling strength. Excitation of only guiding modes leads to a higher bandwidth both at small and intermediate fiber lengths compared to the excitation of both guiding and leaky modes. With the excitation of only guided Fig. 6. Trade-off relation between bandwidth and steady-state loss for θq excitation, for different coupling strengths D and (a) Δq¼0.525%, (b) Δq¼0.7% and (c) Δq¼0.875%. A. Simović et al. / Optics & Laser Technology 57 (2014) 209–215214 modes, the switch of the functional relations for bandwidth from 1/z to 1/z1/2 shifts to shorter fiber lengths, improving the bandwidth. Acknowledgments The work described in this paper was supported by the Strategic Research Grant of City University of Hong Kong (Project no. CityU 7004069) and by a Grant from Serbian Ministry of Education, Science and Technological Development (Project no. 171011). References [1] Tyler EJ, Webster M, Penty RV, White IH, Yu S, Rorison J. Subcarrier modulated transmission of 2.5 Gb/s over 300 m of 62.5-μm-core diameter multimode fiber. IEEE Photon Technol Lett 2002;14:1743–5. [2] Patel KM, Ralph SE. Enhanced multimode fiber link performance using a spatially resolved receiver. IEEE Photon Technol Lett 2002;14:393–5. [3] Zhao X, Choa FS. Demonstration of 10 Gb/s transmission over 1.5-km-long multimode fiber using equalization techniques. IEEE Photon Technol Lett 2002;14:1187–9. [4] Abbott JS, Smith GE, Truesdale CM. Multimode fiber link dispersion compen- sator. U.S. Patent 6 363 195; 2002. [5] Mikoshiba K, Kajioka H. Transmission characteristics of multimode W-type optical fiber: experimental study of the effect of the intermediate layer. Appl Opt 1978;17:2836–41. [6] Tanaka T, Yamada S, Sumi M, Mikoshiba K. Microbending losses of doubly clad (W-type) optical fibers. Appl Opt 1977;18:2391–4. [7] Daum W, Krauser J, Zamzow PE, Ziemann O. Polymer Optical Fibers for Data Communication. Berlin: Springer; 2002. [8] Yamashita T, Kagami M. Fabrication of light-induced self-written waveguides with a W-shaped refractive index profile. J Lightwave Technol 2005;23:2542–8. [9] Losada MA, Garcés I, Mateo J, Salinas I, Lou J, Zubía J. Mode coupling contribution to radiation losses in curvatures for high and low numerical aperture plastic optical fibers. J Lightwave Technol 2002;20:1160–4. [10] Takahashi K, Ishigure T, Koike Y. Index profile design for high-bandwidth W-shaped plastic optical fiber. J Lightwave Technol 2006;24:2867–76. [11] Dugas J, Maurel G. Mode-coupling processes in polymethyl methacrylate-core optical fibers. Appl Opt 1992;31:5069–79. [12] Gloge D. Optical power flow in multimode fibers. Bell Syst Tech J 1972;51:1767–83. [13] Simović A, Djordjevich A, Savović S. Influence of width of intermediate layer on power distribution in W-type optical fibers. Appl Opt 2012;51:4896–901. [14] Tanaka TP, Yamada S. Numerical solution of power flow equation in multi- mode W-type optical fibers. Appl Opt 1980;19:1647–52. [15] Tanaka TP, Yamada S. Steady-state characteristics of multimode W-type fibers. Appl Opt 1979;18:3261–4. [16] Jeunhomme L, Fraise M, Pocholle JP. Propagation model for long step-index optical fibers. Appl Opt 1976;15:3040–6. [17] Savović S, Simović A, Djordjevich A. Explicit finite difference solution of the power flow equation in W-type optical fibers. Opt Laser Technol 2012;44:1786–90. [18] Anderson JD. Computational Fluid Dynamics. New York: Mc Graw-Hill; 1995. Fig. 7. Trade-off relation between bandwidth and steady-state loss for θp excitation, for different coupling strengths D and (a) Δq¼0.525%, (b) Δq¼0.7% and (c) Δq¼0.875%. A. Simović et al. / Optics & Laser Technology 57 (2014) 209–215 215