Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet Mirjana Pavlovi} PRILOG RE[EWUPROBLEMA MINIMIZACIJE JENSENOVOG FUNKCIONALA Doktorska disertacija Kragujevac 2009 Sadr`aj 1 Predgovor 2 2 Uvodna glava 8 2.1 Mebijusova transformacija i nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Norme na prostoruP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Hurvicovi polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Jensenova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Jensenova nejednakost iHp prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Jensenova nejednakost i Dirihleove algebre . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.7 Uop{tena Jensenova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.8 Jensenov funkcional iMalerova mera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.9 Dowe i gorwe granice Jensenovog funkcionala . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Koncentracija polinoma u ni`em stepenu 30 3.1 Rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1 Upore|ivawe "koncentracija" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Asimptotske ocene dowe me|e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Jensenova formula i polinomi vi{e promenqivih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Literatura 57 Dodatak 61 1 1Predgovor Polinomi kako jedne tako i vi{e promenqivih (realnih ili kompleksnih) imaju va`nu ulogu u skoro svim oblastima matematike, na primer Analizi (kompleksnoj i realnoj), Teoriji brojeva, Teoriji aproksimacija, Teoriji grafova, Teoriji matrica i determinanata, Funkcionalnoj analizi sa teorijom operatora, Numeri~koj Analizi, specijalno. Skoro da nema matemati~ke discipline gde se na jedan ili drugi na~in ne susre}emo sa pojmom koji je povezan sa polinomima. Duga~ak bi bio spisak samo vrsta polinoma koje se javqaju u matematici, da ne govorimo o wihovoj va`nosti i primenama kako u samoj matematici tako i van we, na primer u tehnici, teorijskoj fizici i dr. Pitawe odre|ivawa nula polinoma i danas je aktuelno i jako povezano sa napredovawem kako numeri~kih metoda sa jedne strane, tako i kompjuterskih nauka sa druge strane. Istorijski gledano, polinomi su bili motivacija za uvo|ewe novih pojmova. Do- voqno je pomenuti osnovne Teoreme diferencijalnog i integralnog ra~una, kao {to su Rolova ( Rolle) teorema, Tejlorova ( Taylor) i Maklorenova (Maclaurin) formula. Pomenimo da su se glavna imena svetske matematike hvatala u ko{tac u radu sa poli- nomima, {to se ogledalo ili u re{avawu algebarskih jedna~ina (Galoa (Galois), Abel ( Abel)...) ili kada je u pitawu osnovni stav algebre, tj. u ~iwenici da je broj nula jed- nak stepenu polinoma, ra~unaju}i i vi{estrukost (Laplas ( Laplace), Gaus (Gauss),...). Posledwa dekada dvadesetog veka osta}e zapisana kada je re{en jedan od najve}ih prob- lema matematike: Velika Fermaova ( Fermat) Teorema koja je u vezi sa polinomima 3 promenqive fn(x, y, z) = x n + yn − zn, tj. sa odre|ivawemwihovih pozitivnih racionalnih, odnosno celobrojnih, nula. Druga polovina dvadesetog veka osta}e zapisana kada je re{en jo{ jedan veliki problem koji se doti~e polinoma: ~uvena Biberbahova ( Bieberbach) hipoteza, |an| ≤ n, za svaku univalentnu funkciju u disku {z : |z| < 1} oblika z + a2z 2 + · · · = z + +∞∑ n=2 anz n. 2 Po~etkom pro{log veka, brojni matemati~ari interesovali su se za nule polinoma sa kompleksnimkoeficijentima, po{to su prethodno naro~ito razmatrali pitawe nula realnih polinoma sa realnim koeficijentima. Oni su specijalno tra`ili re{ewe problema o veli~ini i poziciji nula koje zavise od osobina koeficijenata polinoma, koriste}i izri~ito osobine polinoma sa jedne strane, i elementarne osobine anal- iti~kih funkcija sa druge strane. Jedan od prvih problema je bio da se odredi broj nula (ra~unaju}i wihov multi- plicitet) polinoma f(z) u prstenu {r1 ≤ |z| ≤ r2} gde su r1 i r2 unapred dati pozitivni brojevi. Problem je re{en oko 1920 godine ([46], [16], [24]) konstrui{u}i od koeficijenata polinoma pozitivno definitnu kvadratnu formu. Alikolikogodta~no,prethodnore{ewesezasnivanara~unukojijemogu}esprovesti samo na pojedina~nim klasama polinoma. Korisniji rezultat, mawe potpun, ali vi{e primenqiv za nala`ewe nula polinoma je rezultat Ko{ija (Cauchy) [18]: Sve nule polinoma f(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn sadr`ane su u disku |z| < r gde je r pozitivno re{ewe jedna~ine: |a0|+ |a1|z + · · ·+ |an−1|zn−1 − |an|zn = 0. Sve napred navedene osobine zavise od skupa koeficijenata polinoma, za koje se pret- postavqa da su poznati. Prirodno je pitati da li se mo`e na}i osobina koja zavisi samo od izvesnog broja koeficijenata, ne od svih. Takav je rezultat Landau-Montelov (Landau-Montel) [28] iz istog vremena kao i[ur-Konov ( Schur-Cohn), koji daju odgov- ore na tu vrstu problema. Jo{ jedno od prirodnih pitawa je: ako se neki koeficijenti polinoma fiksiraju a preostali mewaju, da li se tada mo`e predvideti broj nula u nekom datom disku? Dat je pozitivan odgovor na to pitawe [47]: Polinom f(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn ima bar k nula u disku |z| ≤ r, gde je r pozitivno re{ewe jedna~ine:( n k ) |a0|+ ( n− 1 k − 1 ) |a1|+ · · ·+ ( n− k + 1 1 ) |ak−1|zk−1 − |ak|zk = 0. Usvimnavedenimrezultatimau~estvuje stepenpolinoma, ili sviilimawibroj ~lanova polinoma [12]. Mo`emo se dakle pitati da li postoji osobina u skupu polinoma koja odbacuje pojam stepena. Rukovo|en time u pretposledwoj dekadi pro{log veka re{en je od stranefran- cuskog matemati~ara P. Enfloa (P. Enflo) jedan od najva`nijih problema J. V.Wumana 3 ( J. V. Neumann) iz funkcionalne analize, o invarijantnom potprostoru ograni~enog linearnog operatora na Banahovom ( Banach) prostoru. Naime, ta osobina koja }e u na{em radu najvi{e preovladavati po broju pomiwawa, zove se koncentracija polinoma uni`emstepenuuvedenaodstranefrancuskihmatemati~araB.Bozamija(B. Beauzamy) i P. Enfloa [5]. Zahvaquju}i toj osobini konstruisan je, mno`ewem promenqivom z na kompletirawu jednog prostora polinoma sa normom, ograni~en linearni operator na tom prostoru, koji nema netrivijalan invarijantan zatvoren potprostor. Navodimo definiciju te osobine: Neka je f(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn polinom sa kompleksnim koeficijentima, i neka su d ∈ [0, 1] i k ∈ N0. Ka`e se da polinom f(z) ima koncentraciju d u stepenu k ako je k∑ j=0 |aj| > d · n∑ j=0 |aj|. (1.1) Cena koja je pla}ena eliminacijom stepena polinoma, sa jedne strane, dobija u posledici nejednakosti Landau-Montela [28], sa druge strane: nepoznati koeficijenti ne mogu biti toliko proizvoqni jer je wihova totalna masa kontrolisana. Na osnovu toga su u [14] i [15] dobijeni rezultati o koli~ini nula u zadatom disku u zavisnosti samo od konstanti d i k. Isto to je ura|eno i za koli~inu nula analiti~ke funkcije Hardijevog ( Hardy) prostoraH2 ako ima koncentraciju definisanu l2-normom [7]. Za koncentraciju d polinoma f(z) u stepenu k koja je data formulom (1.1) ka`emo da je merena l1-normom u odnosu na l1-normu. U op{tem slu~aju, ako su ‖ · ‖(1) i ‖ · ‖(2) dve norme date u prostoru polinoma, i ako su d ∈]0, 1] i k ∈ N0 fiksirani, onda se ka`e da polinom f(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn ima koncentraciju d merenu ‖ · ‖(1)-normom u odnosu na ‖ · ‖(2)-normu, ako je ‖f |k‖(1) > d · ‖f‖(2) (1.2) gde je f |k(z) = a0 + a1z + · · · + akzk. Formulom (1.2) data je najop{tija definicija koncentracije polinoma (analiti~ke funkcije). Ne treba navedenu definiciju koncentracije izjedna~avati, na primer, sa slede}om definicijom koncentracije: ka`emo da polinom f(z) ima koncentraciju d u stepenu k za dovoqno veliko n ako je ispuweno (1.2) za dovoqno veliko n. Evo dva primera: (1)Neka je f(z) = 1 + 1 21 z + 1 22 z2 + · · ·+ 1 2n zn, i neka su d ∈]0, 1] i k ∈ N0 fiksirani. Napi{imo uslov da f(z) ima koncentraciju d u stepenu k, tj. uslov (1.2): 1 + 1 21 + 1 22 + · · ·+ 1 2k > d · ( 1 + 1 21 + 1 22 + · · ·+ 1 2n ) . (1.3) 4 Po{to je0 < d 6 1 tomora bitin > k. Ako ho}emo da polinom f(z)imakoncentraciju d u stepenu k za dovoqno veliko n onda (1.3) postaje 1 + 1 21 + 1 22 + · · ·+ 1 2k > d · ( 1 + 1 21 + 1 22 + · · ·+ 1 2n ) ⇔ 1− 1 2k+1 > d {to je ta~no. Zna~i dati polinom f(z) ima koncentraciju d ∈]0, 1] u stepenu k za dovoqno veliko n. (2) Polinom f(z) = (z + 1 2 )n nema koncentraciju d ∈]0, 1] u stepenu k, za dovoqno veliko n. Ovo je ta~no ako se koncentracija meri lp-normom u odnosu na l1-normu, za 1 6 p 6 2. Zaista, uslov (2) ima oblik k∑ j=0 ( n j )p( 1 2 )p(n−j) > dp n∑ j=0 ( n j )p( 1 2 )p(n−j) = dp|f |plp . Po{to je prema (napomeni 2, glava 2 i (3) Tvr|ewe 2, glava 3) 1√ n+ 1 |f |l1 6 |f |l2 6 |f |lp 6 |f |l1 , to je k∑ j=0 ( n j )p (1 2 )n−j |f |plp 6 √ n+ 1(k + 1) ( n j )p (3 2 )n −→n→+∞0 > d, kontradikcija! Sli~no i polinom f(z) = (z + a)n ne mo`e imati koncentraciju d ∈]0, 1] u stepenu k za dovoqno veliko n, ako a ∈ C i |a| < 1. Ako se koncentracija meri lp-normom u odnosu na Lp- normu za p > 2, onda polinom iz primera (2)nemo`eimatikoncentracijud u stepenuk za dovoqno velikon. Stvarno, uslov (1.2) glasi k∑ j=0 |aj|p > dp‖f‖pLp > dp‖f‖pL2 > dp‖f‖2L2 = dp|f |2l2 , tj, k∑ j=0 ( n j )p (1 2 )n−j |f |2l2 −→n→+∞0 > dp, kontradikcija! Pored komentara o dve vrste koncentracija polinoma u ni`em stepenu, smatramo da je na mestu i slede}a primedba o vi{estrukosti (redu) nule kao korena polinoma koji ima koncentraciju d ∈]0, 1] u stepenu k. Dakle, ako neki polinom f(z) zadovoqava (1.2), 5 onda nula ne mo`e biti wegov koren multipliciteta ve}eg od k. Zaista, ako je nula koren polinoma f(z) multipliciteta> k + 1 tada je f(z) = ak+1z k+1 + ak+2z k+2 + · · · te je onda f |k(z) = 0, tj. (1.2) postaje 0 > d · ‖f‖(2), {to je neta~no. Navedimo jo{ dva primera gde se mo`e odbaciti stepen polinoma. To su Bern{tajnova nejednakost i Gelfondova relacija ( Bernstein, Gelfond). U Bern{tajnovoj nejednakosti ‖f ′‖∞ 6 n‖f‖∞ prirodno je pitati da li se pod nekim uslovom koncentracije u ni`em stepenu mo`e odbaciti pojam stepen polinoma. Odgovaraju}a nejednakost bi glasila ‖f ′‖∞ 6 λ(d, k)‖f‖∞, dakle, λ(d, k) je konstanta koja zavisi samo od d i k. U [14] ima rezultata o tome. Ako su f(z) i g(z) polinomi stepenam i n respektivno, onda Gelfondova relacija ka`e da je |fg|∞ 6 e−(m+n)|f |∞|g|∞ (videti [48]), i dosta se primewuje u prou~avawu transcedentnosti brojeva. Ako poli- nomi f(z) i g(z) imaju koncentracije d i d′ u stepenima k i k′, respektivno, prirodno je o~ekivati da Gelfondova relacija dobije oblik |fg|∞ > λ(d, d′, k, k′)|f |∞|g|∞, tj. relacija u kojoj su odba~eni stepeni polinoma f(z) i g(z). Rezultati o tome kako o polinomima jedne tako i o polinomima vi{e kompleksnih promenqivih dati su u [5], [8], [21]. Tre}a situacija, za nas najva`nija, je primena Jensenove formule i Jensenove ne- jednakosti ( Jensen) . Ako je f(z) kompleksni polinom onda u Jensenovoj formuli i Jensenovoj nejednakosti u~estvuje stepen polinoma. U [29] je dokazana relacija log |f |1 2f 6 J(f) 6 log|f |l1 , koja va`i za svaki polinom stepena n. Koriste}i koncentraciju polinoma i dowa i gorwa granica Jensenovog funkcionala izra`avaju se preko konstanti koje zavise samo od d i k a ne i od stepena polinoma [4], [5], [6], [8]. Glavno pitawe u ovom slu~aju je da se odredi infimum brojnog skupa {J(f) : f ima koncentraciju d u stepenu k}. Za sada postoje dva pozitivna rezultata na tu temu [44], [6]. Predmet razmatrawa u ovom doktorskom radu bi}e nelinearni funkcional defin- isan na vektorskom prostoru svih kompleksnih polinoma ili nekom wegovom delu, tj. na nekom podskupu analiti~kih funkcija Hardijevog prostora H1. Uvek }e se pret- postavqati da polinomi tj. funkcije na kojima je definisan Jensenovfunkcional imaju neku od vrsta koncentracija koju smo definisali. Na{a pa`wa bi}e naro~ito usmerena 6 ka asimptotskom ocewivawu izri~ito dowih granica Jensenovog funkcionala. Za sve vrstekoncentracijakojesmouvodilizna~ajnomestodobi}esegment [−2k,−2klog2]~iji krajevi kad k → +∞ predstavqaju asimptotski dowe i gorwe ograni~ewe najboqe dowe granice Jensenovog funkcionala. Razmatrana koncentracija bi}e data u najop{tijem obliku (1.2). Doktorski rad se sastoji iz tri dela. U prvoj glavi-predgovor, pored prirodnih razloga i motivacije za bavqewe ovom problematikom, istovremeno smo izlagali i neka tvr|ewa i primedbe koje pripadaju na{em doprinosu u prou~avawu ove teme. U drugoj glavi su detaqno izlo`eni poznati rezultati i neka zapa`awa koja }e se koristiti u posledwoj, tre}oj glavi. Tre}a glava sadr`i izri~ito rezultate koji su dobijeni vi{egodi{wim radom i razmi{qawem o glavnom i sli~nim problemima u vezi odre|ivawa ta~ne dowe granice Jensenovog funkcionala definisanog na podskupu polinoma koji zadovoqavaju (1.2), tj. na}i inf J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣f(eiθ)∣∣ dθ 2pi : f(z) zadovoqava (1.2)  , kao i odre|ivawa ekstremalne funkcije. 7 2Uvodna glava U ovom delu rada izla`emo uglavnom rezultate koje }emo koristiti u nastavku. Neke }emo i dokazivati. Tu }e biti izlo`ene osnoveHp-prostora Hardija, spoqa{wa i unutra{wa funkcija, Bla{ke faktor i naravno sve to zbog razli~itih oblika i interpretacija Jensenove nejednakosti, po~ev od polinoma do Dirihleovih algebri. 2.1 Mebijusova transformacija i nejednakosti Ovaj deo po~iwe Mebijusovom ( Mo¨bijus) transformacijom i dokazom dobro poznate dvostruke nejednakosti, koju koristimo u narednim delovima rada. PodMebijusovom transformacijom podrazumeva se svaka od slede}e dve bilinearne funkcije ω1(z) = z + z0 1 + z0z i ω2(z) = z − z0 1− z0z gde jez0fiksiranata~kaukompleksnojravni. Uzimaju}iz0 = e iθ , 0 6 θ < 2pi dobijamo da se navedenim funkcijama jedini~ni krug sa centrom u ta~ki z0 tj. −z0 respektivno preslikava u wega samog. Obe transformacije se dosta koriste, naro~ito kao smena promenqivih kod nekih karakteristi~nih integrala, {to }e biti slu~aj ovde u nastavku rada. Zajedno sa tim koristi}emo i nejednakosti o kojima je re~ u nastavku. Za svako r ∈]0, 1] i |z0| = r , z0 ∈ C va`i: 1− r 1 + r 6 1− r 2 |1− z0eiθ|2 6 1 + r 1− r . J Iz dvostruke nejednakosti ||x| − |y|| 6 |x − y| 6 |x|+ |y|, i ~iwenice da je z0 = re iθ ⇔ r = z0eiθ, sledi∣∣|1| − ∣∣z0eiθ∣∣∣∣2 6 ∣∣1− z0eiθ∣∣2 6 (1 + ∣∣z0eiθ∣∣)2 . 8 Zna~i, imamo 1 + r 1− r = 1− r2 (1− r)2 = 1− r2 |1− r|2 = 1− r2 ||1| − |z0eiθ||2 > 1− r2 |1− z0eiθ|2 > 1− r 2 (1 + |z0eiθ|)2 = 1− r2 (1 + r)2 = 1− r 1 + r ~ime je nejednakost dokazana.I 2.2 Norme na prostoruP U nastavku navodimo osnovna svojstva o svim dobro poznatim normama koje se uvode u vektorskom prostoru P svih kompleksnih polinoma. Posebno isti~emo slu~ajeve lp i Lp normi za p ∈ [1, 2] i p > 2. Ako je f(z) = n∑ j=0 ajz j , aj ∈ C , z ∈ C, polinom, tada je formulama |f |lp = ( n∑ j=0 |aj|p ) 1 p i ‖f‖Lp =  2pi∫ 0 ∣∣f(eiθ)∣∣p dθ 2pi  1 p , p > 1 data norma u vektorskom prostoru P svih kompleksnih polinoma. Zaista, lako se proverava da je (1) |f |lp = 0⇔ f = 0, ina~e |f |lp > 0 jer je |aj| > 0 bar za neko j ∈ N0; (2) |λf |lp = |λ||f |lp ; (3) |f + g|lp 6 |f |lp + |g|lp , p > 1 koriste}i nejednakostMinkovskog (Minkowski)( n∑ i=1 |xi + yi|p ) 1 p 6 ( n∑ i=1 |xi|p ) 1 p + ( n∑ i=1 |yi|p ) 1 p , p > 1. Sli~no se dokazuje da je ‖ · ‖Lp , p > 1 tako|e norma: (a) ‖f‖Lp = 0⇔ f = 0, ina~e ‖f‖Lp > 0 jer je |f(eiθ)| > 0 za neko θ ∈ [0, 2pi]; (b) ‖λf‖Lp = |λ| · ‖f‖Lp ; (c) ‖f + g‖Lp 6 ‖f‖Lp + ‖g‖Lp , p > 1 koriste}i nejednakost Minkovskog za integrale b∫ a |f(x) + g(x)|pdx  1 p 6  b∫ a |f(x)|pdx  1 p +  b∫ a |g(x)|pdx  1 p , p > 1. Pored lp i Lp norme, zna~ajne su i slede}e dve norme u vektorskom prostoru P svih kompleksnih polinoma: ‖f‖∞ = sup 06θ62pi |f(eiθ)| i |f |∞ = max 06j6n |aj|. 9 Zaista, (1′) |f |∞ = 0⇔ f = 0, ina~e |f |∞ > 0 jer je |aj| > 0 bar za neko j ∈ N0; (2′) |λf |∞ = |λ||f |∞; (3′) |f + g|∞ 6 |f |∞ + |g|∞; (a′) ‖f‖∞ = 0⇔ f = 0, ina~e ‖f‖∞ > 0 jer je |f(eiθ)| > 0 za neko θ ∈ [0, 2pi]; (b′) ‖λf‖∞ = |λ| · ‖f‖∞; (c′) ‖f + g‖∞ 6 ‖f‖∞ + ‖g‖∞. Veza ovih normi sa prethodne dve norme je slede}a: Tvr|ewe 2.1. |f |∞ = lim p→+∞ |f |lp i ‖f‖∞ = lim p→+∞ ‖f‖Lp . J lim p→+∞ |f |lp = lim p→+∞ ( n∑ j=0 |aj|p ) 1 p = lim p→+∞ ( |ak|p · n∑ j=0 ( |aj| |ak| )p) 1p = |ak| lim p→+∞ ( n∑ j=0 ( |aj| |ak| )p) 1p . Kako je |ak| = max 06j6n |aj| to je 0 6 |aj ||ak| 6 1, odakle sledi 0 6 ( |aj | |ak| )p 6 1 za p > 1. Tada je 1 6 n∑ j=0 ( |aj | |ak| )p 6 n∑ j=0 1 = n + 1, tj. 1 6 ( n∑ j=0 ( |aj | |ak| )p) 1p 6 (n + 1) 1 p . Iz posledwe relacije proisti~e dokaz tvr|ewa za prvu normu. [to se ti~e druge norme, neka je M = sup θ |f(eiθ)| = max θ |f(eiθ)|, za neko θ0 ∈ [0, 2pi]. Za svako p > 0 va`i: 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi  1 p 6  2pi∫ 0 Mp dθ 2pi  1 p =M. Zatim je zbog osobine supremuma (maksimuma) funkcije f zadovoqeno (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)(∀θ ∈ [0, 2pi]) ( |θ − θ0| < δ(ε)⇒ |f(eiθ)| >M − ε 2 ) . Prema tome je za 0 6 α 6 θ0 6 β 6 2pi i 0 < |α− β| < δ(ε) ispuweno 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi  1 p >  β∫ α ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi  1 p >  β∫ α ∣∣∣M − ε 2 ∣∣∣p dθ 2pi  1 p = ( M − ε 2 ) · (β − α) 1p · ( 1 2pi ) 1 p >M − ε 10 za dovoqno veliko p. Zna~i, dobili smo da je za dovoqno veliko p, M − ε 6  2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi  1 p 6M, odakle proisti~e tvr|ewe. I Slede}e tvr|ewe je od posebnog interesa jer sewime upore|uju navedene norme. Vidi se da je broj p = 2 na granici. Tvr|ewe 2.2. Ako je p ∈]1, 2[, tada za svako f ∈ P va`i |f |∞ 6 ‖f‖L1 6 ‖f‖Lp 6 ‖f‖L2 = |f |l2 6 { |f |lp ‖f‖∞ 6 |f |l1 . Za p ∈]1, 2] norme |f |lp i ‖f‖∞ su neuporedive u smislu da postoje dva polinoma f i g takva da je |f |lp < ‖f‖∞ i |g|lp > ‖g‖∞. Takvi polinomi su na primer f(z) = 1 + z i g(z) = z2. J Jednakost ‖f‖L2 = |f |l2 sledi iz ~iwenice da je∣∣f (eiθ)∣∣2 = f(eiθ) · f(eiθ) = |a0|2 + |a1|2 + · · ·+ |an|2 +∑ j 6=k ajake i(j−k)θ, te je 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣2 dθ 2pi = n∑ j=0 |aj|2 · 2pi∫ 0 (∑ j 6=k ajake i(j−k)θ ) dθ 2pi = n∑ j=0 |aj|2 + ∑ j 6=k ajak 2pi∫ 0 ei(j−k)θ dθ 2pi = n∑ j=0 |aj|2. Kako iz |f(eiθ)| 6 sup θ |f(eiθ)| sledi |f(eiθ)|2 6 ( sup θ |f(eiθ)| )2 , to je 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣2 dθ 2pi 6 2pi∫ 0 ( sup θ ∣∣f (eiθ)∣∣)2 dθ 2pi = ( sup θ ∣∣f (eiθ)∣∣)2 odakle daqe proisti~e 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣2 dθ 2pi  1 2 6 sup θ ∣∣f (eiθ)∣∣ odnosno,‖f‖L2 6 ‖f‖∞. 11 Zatim imamo da va`i ‖f‖∞ = sup θ ∣∣f (eiθ)∣∣ = sup θ ∣∣a0 + a1eiθ + · · ·+ aneinθ∣∣ 6 sup θ (|a0|+ |a1|+ · · ·+ |an|) = n∑ j=0 |aj| = |f |l1 . Doka`imo da je ‖f‖L1 6 ‖f‖Lp 6 ‖f‖L2 za p ∈]1, 2[. Stvarno, biraju}i p1 i p2 tako da je 1 6 p1 < p2 6 2, i koriste}i Helderovu (Ho¨lder) nejednakost: b∫ a |f(x) · g(x)|dx 6  b∫ a |f(x)|pdx  1 p ·  b∫ a |g(x)|qdx  1 q , p > 1 , 1 p + 1 q = 1, dobijamo da je 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p1 · 1dθ 2pi 6  2pi∫ 0 (∣∣f (eiθ)∣∣p1) p2p1 dθ 2pi  p1 p2 ·  2pi∫ 0 1 1 1− p1p2 dθ 2pi 1− p1 p2 =  2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p2 dθ 2pi  p1 p2 , gde je p2 p1 > 1. Dakle, imamo da je 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p1 dθ 2pi  1 p1 6  2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p2 dθ 2pi  1 p2 , odnosno, ‖f‖Lp1 6 ‖f‖Lp2 za 1 6 p1 < p2 6 2. Zna~i, ‖f‖L1 6 ‖f‖Lp 6 ‖f‖L2 za p ∈]1, 2[, odnosno ‖ · ‖Lp je rastu}a funkcija od p. Za p ∈]1, 2[ imamo da je | · |lp opadaju}a funkcija od p, tj, za svako f ∈ P va`i |f |l2 6 |f |lp 6 |f |l1 . Neka je 1 6 p1 < p2 6 2. Tada je |f |l2 6 |f |l1 ako je |f |l1 = 1, jer je tada zbog |aj| 6 1 , j = 0, n , |aj|p2 6 |aj|p1 te je n∑ j=0 |aj|p2 6 n∑ j=0 |aj|p1 , tj. ( n∑ j=0 |aj|p2 ) 1 p2 6 ( n∑ j=0 |aj|p1 ) 1 p1 zato {to je 1 2 6 1 p2 < 1 p1 6 1. 12 Neka je sada f(z) proizvoqan polinom. Tada polinom ( 1 |f |l1 · f ) (z) odnosno, 1|f |l1 · f(z) ima jedini~nu l1-normu. Zbog toga daqe imamo implikacije:∣∣∣∣ 1|f |l1 · f ∣∣∣∣ lp2 6 ∣∣∣∣ 1|f |l1 · f ∣∣∣∣ lp1 ⇒ |f |lp2|f |lp1 6 1⇒ |f |lp2 6 |f |lp1 za bilo koji polinom f ako je 1 6 p1 < p2 6 2, tj. | · |lp je opadaju}a funkcija od p za p > 1. Neka je f(z) = a0+a1z+ · · ·+ajzj+ · · ·+anzn polinom stepena n. Tada je za z 6= 0 f(z) zj+1 = a0 zj+1 + a1 zj + · · ·+ aj z + · · ·+ an zj+1−n . Uzimawem kompleksnog integrala leve i desne strane po konturi Cr = {z : |z| = r}, 0 < r < 1, dobijamo ∫ Cr f(z) zj+1 dz = n∑ k=0 ∫ Cr ak zj+1−k dz gde je ∫ Cr aj z dz = 2piiRes z=0 aj z = 2pii · lim z→0 ( z · aj z ) = 2piiaj i ∫ Cr ak zj+1−k dz = 0 za k 6= j. Uzimaju}i z = reiθ dobijamo da je 2pi∫ 0 f(reiθ) rj+1ei(j+1)θ · rieiθdθ = 2piiaj odakle je aj = 2pi∫ 0 f(reiθ) rjeijθ dθ 2pi . Ako je z = eiθ tj. |z| = 1, tada je aj = 2pi∫ 0 f(eiθ) eijθ dθ 2pi . Otuda imamo |aj| 6 2pi∫ 0 |f(eiθ)| dθ 2pi . Uzimawem maksimuma po j = 0, n imamo max 06j6n |aj| 6 2pi∫ 0 |f(eiθ)| dθ 2pi , odnosno, va`i nejednakost |f |∞ 6 ‖f‖L1 . I Napomena 1. Usput smo dokazaliformulu aj = 2pi∫ 0 f(reiθ) rjeijθ dθ 2pi , 0 < r < 1, za izra~unavawe koeficijenata aj , j = 0, n kompleksnog polinoma f(z) = n∑ j=0 ajz j . Tvr|ewe 2.3. Za p > 2 va`i |f |lp 6 |f |l2 = ‖f‖L2 6 ‖f‖Lp . J Za p > 2 ako je |f |l2 = 1 sledi |f |lp 6 |f |l2 , dokaz kao u slu~aju p ∈]1, 2[. Neka je sada f(z) proizvoqan polinom. Tada polinom ( 1 |f |l2 · f ) (z) = 1|f |l2 f(z) ima jedini~nu l2-normu. Zato imamo∣∣∣∣ 1|f |l2 · f ∣∣∣∣ lp 6 ∣∣∣∣ 1|f |l2 · f ∣∣∣∣ l2 ⇒ |f |lp|f |l2 6 1 , tj. |f |lp 6 |f |l2 13 za bilo koji polinom f , ako je p > 2. Pokazali smo ranije da je |f |l2 = ‖f‖L2 . Ostaje da se poka`e da je ‖f‖L2 6 ‖f‖Lp za p > 2. Sli~no kao {to smo dokazali za p ∈]1, 2[ sledi, koriste}i Helderovu nejednakost, da je 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣2 · 1dθ 2pi 6  2pi∫ 0 (∣∣f (eiθ)∣∣2) p2 dθ 2pi  2 p ·  2pi∫ 0 1 1 1− 2p dθ 2pi 1− 2 p =  2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi  2 p gde je p 2 > 1. Uzimawem kvadratnog korena leve i desne strane dobijamo 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣2 dθ 2pi  1 2 6  2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi  1 p , tj. ‖f‖L2 6 ‖f‖Lp za p > 2. I Napomena 2. Iz svega re~enog i dokazanog u prethodna dva tvr|ewa zakqu~imo da je za fiksirano p ∈ P : (1) funkcija p 7→ |f |lp sa domenom [1,+∞[ i skupom vrednosti ]|f |∞, |f |l1 ] je opadaju}a; (2) funkcija p 7→ ‖f‖Lp sa domenom [1,+∞[ i skupom vrednosti [‖f‖L1 , ‖f‖∞[ je rastu}a. Za uspostavqawe saglasnosti algebarskih i topolo{kih struktura ~esto su kvazi- norme delotvornije od normi. Navodimo wihovu definiciju i neke osobine. Definicija 2.1. Kvazinormom zovemo realno-vrednosnu funkciju ‖ · | definisanu na vektorkom prostoru V sa slede}im osobinama: 10 ‖0| = 0 i ‖x| > 0 za x 6= 0; 20 ‖λx| = |λ|p‖x| za svako x ∈ V i za svaki skalar λ; 30 ‖x+ y| 6 ‖x|+ ‖y| za svako x, y ∈ V . Formulama ‖f |p = n∑ j=0 |aj|p, 0 < p < 1i‖f |Lp = 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi , 0 < p < 1 date su kvazinorme u prostoru P svih kompleksnih polinoma. Osobine kvazi norme se lako proveravaju. Proveri}emo jedino da li je ‖f |Lp 6 ‖f |lp za 0 < p < 1. U tu svrhu imamo∣∣f (eiθ)∣∣p = ∣∣a0 + a1eiθ + · · ·+ aneinθ∣∣p 6 ( n∑ j=0 |aj| )p 6 n∑ j=0 |aj|p, 0 < p < 1. 14 Posledwa nejednakost sledi prema [36], Tvr|ewe 5. Zna~i, 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi 6 2pi∫ 0 n∑ j=0 |aj|p dθ 2pi = n∑ j=0 |aj|p tj. va`i ‖f |Lp 6 ‖f |lp za 0 < p < 1. Ako je f(x) = ‖x‖ jedna norma na vektorskom prostoru V , tada je sa ‖x| = ‖x‖p, 0 < p < 1, data kvazinorma na V . Zaista, lako se proverava da va`e sve osobine kvazinorme za ‖x| = ‖x‖p, 0 < p < 1. Zna~i, kvazinorma proisti~e iz norme, {to se ~esto koristi kod stepena glatkosti raznih prostora funkcija. 2.3 Hurvicovi polinomi Me|u realnim i kompleksnim polinomima zna~ajno mesto zauzimaju Hurvicovi ( Hur- witz) polinomi (razlikuju se od ostalih po dowim granicama Jensenovog funkcionala, Bern{tajnove nejednakosti i dr). Za polinom f(z) = a0 + a1z + · · ·+ an−1zn−1 + anzn, an 6= 0 (2.1) se ka`e da je Hurvicov polinom ako sve wegove nule zk imaju osobinu da je Rezk < 0, k = 1, n. Oni se u literaturi kra}e zovuH-polinomi. Navodimo neke osobineH- polinoma ~iji su koeficijenti realni. (a)Ako je polinom (2.1) sa realnimkoeficijentima iH- polinom tada su sviwegovi koeficijenti istog znaka. Va`i i obrnuto ako je n = 1 i n = 2. Na osnovu (a) imamo da su polinomi 2+ 3z + √ 2z2 i−pi 2 − 4z Hurvicovi polinomi. (b)Ako je h(z) = h1(z)h2(z), onda je h(z)Hurvicov polinom ako i samo ako su h1(z) i h2(z)Hurvicovi polinomi. Nije jednostavno za svaki polinom utvrditi da li je ili nije Hurvicov polinom. Postoji postupak za to koji se zove[urov postupak. Navodimo teoremu o tome. Teorema 2.1 ([urov kriterijum). Polinom stepena n, sa realnim koeficijentima∗, f(z) = a0z n + a1z n−1 + · · ·+ an−1z + an, a0 > 0 predstavqaH-polinom ako i samo ako su ispuweni uslovi: D1 = a1 > 0, D2 = ∣∣∣∣ a1 a0a3 a2 ∣∣∣∣ > 0, ∗ Jedino su ovde koeficijenti napisani suprotnim redosledom nego u celom radu zbog na~ina formi- rawa determinanata 15 D3 = ∣∣∣∣∣∣ a1 a0 0 a3 a2 a1 a5 a4 a3 ∣∣∣∣∣∣ > 0, D4 = ∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 a0 0 0 a3 a2 a1 a0 a5 a4 a3 a2 a7 a6 a5 a4 ∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0 . . . Dn = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ a1 a0 0 0 . . . 0 a3 a2 a1 a0 . . . 0 a5 a4 a3 a2 . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a2n−1 a2n−2 a2n−3 a2n−4 . . . a1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ > 0 gde treba staviti aj = 0 ako je j > n. Ako je f(z) kompleksan polinom stepena n onda se pod f ∗(z) podrazumeva polinom koji se dobija kada se u kompleksnom polinomu f(z) svi koeficijenti zamene wihovim kowugovanim vrednostima i pored toga promeni znak koeficijenata neparnih stepena od z. Operacija ∗ ima osobinu (f ∗)∗ ≡ f . Operacija ∗ zove se parakon junkcija. Lako se proverava da je (f(z)g(z))∗ = f ∗(z)g∗(z). Za kompleksne polinome (polinomi ~iji su koeficijenti kompleksni brojevi) navodimo osobinu. (c) Kada je kompleksan broj z0 takav da je Rez0 < 0, kompleksan polinom (2.1) je Hurvicov polinom ako i samo ako je |f(z0)| < |f ∗(z0)| i ako je g(z) = f ∗(z0)f(z)− f(z0)f ∗(z) z − z0 Hurvicov polinom. Problem da li je polinom sa kompleksnim koeficijentima H- polinom poznat je kao Rut-Hurvicov (Routh-Hurwitz) problem. Godine 1868. to pitawe postavio je Maksvel ( Maxwell). Rut 1877, Hurvic 1895. i [ur 1921. su svako na svoj na~in re{ili navedeni problem. 2.4 Jensenova formula Rade}inaproblemuRimanove(Riemann) hipoteze, tj. poku{avaju}idaodredidistribu- ciju netrivijalnih nula Rimanove zeta-funkcije, J.L.W.V.Jensen [25], je 1899. godine dokazao slede}u teoremu: Teorema 2.2. Neka je f analiti~ka funkcija u disku D = {z : |z| < r} u kome ima polove pi 6= 0, i = 1, n. Neka je zatim f analiti~ka na kruguKr = {z : |z| = r}. Ako su ni 6= 0, i = 1,m nule funkcije uD i ako je f(z) 6= 0 za z ∈ K , tada je 1 2pii ∫ Kr log f(z) z dz = log f(0) + m∑ k=1 log r nk − n∑ k=1 log r pk . (2.2) 16 Ako u jednakosti (2.2) stavimo z = reiθ, i zatim izjedna~imo realne delove izraza na levoj i desnoj strani ove jednakosti, dobijamo 2pi∫ 0 log ∣∣f (reiθ)∣∣ dθ 2pi = log |f(0)|+ m∑ k=1 log r |nk| − n∑ k=1 log r |pk| . (2.3) Formula (2.3) naziva se Jensenova formula i ona je kao i sama teorema uop{tavana u vi{e pravaca (videti [17], [31], [33]). Wen zna~aj sastoji se u tome {to povezuje vrednosti funkcije na periferiji kruga sa modulima wenih nula i polova koji se nalaze u krugu, i zatim, {to se pomo}u we izra~unava vrednost va`nog integrala 1 2pi 2pi∫ 0 log |f(reiθ)|dθ, |z| = r. Ako je f polinom stepena n takav da je f(0) 6= 0, tada postoji r > 0 tako da svih n nula pripada diskuD = {z : |z| < r}. Po{to polinom nema polova onda Jensenova formula za f glasi 2pi∫ 0 log ∣∣f (reiθ)∣∣ dθ 2pi = log |f(0)|+ m∑ k=1 log r |nk| , (2.4) gde dθ 2pi predstavqa normalizovanu Harovu meru na [0, 2pi]. U formuli (2.2) tj. u (2.3) u~estvuju pored nula funkcije i polovi. Prirodno je pitati da li postoji analogna formula ako u disku D funkcija f pored nula i polova ima i esencijalne singularitete. Jedno uop{tewe u tom pravcu, ovde formuli{emo i navodimo wegov dokaz. U tvr|ewu koje sledi re{ava se slede}i problem: Kako glasi relacija koja povezuje modul funkcije na periferiji kruga sa modulima wenih esencijalnih singulariteta koji se nalaze u krugu? Drugim re~ima treba izgraditi takvu formulu, analognu Jensenovoj, koja }e istovremeno biti primenqiva ne samo na uniformne funkcije koje imaju samo nule i polove ve} i na funkcije koje imaju samo esencijalne singularitete. Formuli{emo glavnu teoremu o tome: Teorema 2.3. [31] Neka je funkcija f(z) uniformna i regularna svuda u oblasti D = {z : |z| < r}inawenomrubuKr = {z : |z| = r}, osim u esencijalnim singularitetima aν ∈ D, ν = 1, k, |aν | 6= 0. Pretpostavqa se da je f(z) 6= o na skupuD ∪Kr. Tada je (∗) 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f (reiθ)∣∣ dθ = log |f(0)|+ k∑ ν=1 B1,ν log r |aν | +Re k∑ ν=1 +∞∑ n=1 (−1)nBn+1,ν nanν , gde suBn,ν koeficijenti glavnog dela u Loranovom razvoju funkcije f ′(z) f(z) uta~kama aν . Za dokaz ove teoreme koristi se slede}i pomo}ni stav: Ozna~i}emo sa4 unutra{wost zatvorene@ordanove krive ( Jordan) e. 17 Lema 2.1. Neka je funkcija f(z) uniformna i regularna svuda u oblasti4 ∪ e, osim u esencijalnoj singularnojta~ki a ∈ 4. Pretpostavqa se da4 ne sadr`i koordinatni po~etak i da je f(z) 6= 0 na4∪ e. Tada je J1 = 1 2pii ∫ e f ′(z) f(z) log zdz = B1 log a− +∞∑ n=1 (−1)nBn+1 nan , (2.5) gde su Bn koeficijenti glavnog dela u Loranovom ( Laurent) razvoju funkcije f ′(z) f(z) u ta~ki z = a. JPrema Loranovom razvoju je f ′(z) f(z) = b0 + b1(z − a) + b2(z − a)2 + · · ·+ B1 z − a + B2 (z − a)2 + · · · (2.6) ili u kra}em obliku f ′(z) f(z) = P (z − a) +Q ( 1 z − a ) . Sada je J1 = 1 2pii ∫ e P (z − a) log zdz + 1 2pii ∫ e Q ( 1 z − a ) log zdz, gde se pod logaritmom podrazumeva jedna od wegovih grana. Funkcija P (z − a) log z je regularna u oblasti4 ∪ e. Zato je prvi integral prema fundamentalnoj Ko{ijevoj teoremi jednak nuli. [to se ti~e drugog integrala mo`e se ra~unati ~lan po ~lan. Pri- mewuju}i Ko{ijevu formulu za izvod regularne funkcije - una{em slu~aju na funkciju log z - posle jednostavnog ra~una dobijamo J1 = +∞∑ n=1 1 2pii ∫ e Bn log z (z − a)ndz = B1 log a− +∞∑ n=1 (−1)nBn+1 nan . Relacija (2.5) je dokazana. Na analogan na~in kao u dokazu relacije (2.5) dolazi se do nove relacije 1 2pii ∫ e f ′(z) f(z) dz = B1, (2.7) gde je B1 ceo broj (pozitivan, negativan ili nula). Da se doka`e ova jednostavna ali va`na ~iwenica, dovoqno je integraliti (2.6) i zatim prou~iti varijaciju funkcije f(z) kad ta~ka z opisuje zatvorenu putawu oko ta~ke z = a u oblasti4. Kako je prema pretpostavci funkcija f(z) uniformna,B1 mora biti ceo broj. Zbog toga, ta~ka z = a ili je pol reda ve}eg od 1 ili esencijalna singularna ta~ka funkcije f ′(z) f(z) . 18 Sada }emo pomo}u (2.7) odrediti varijaciju argumenata funkcije f(z) du` krive e. Ako sa viti~astom zagradomozna~imo varijaciju argumenatafunkcije log f(z)na e, tada je B1 = 1 2pii ∫ e d(log f(z)) = 1 2pii {log f(z)}e = 1 2pii {log |f(z)|+ iargf(z)}e = 1 2pi {argf(z)}e tj. {argf(z)}e = 2piB1. (2.8) Na osnovu (2.8) dokazuje se i relacija lim ε→0 {log z log f(z)}|z−a|=ε = 2piiB1 log a. I (2.9) Dokaz Teoreme 2.3. J Pretpostavimo, radi jednostavnosti, da je funkcija f(z) regularna svuda u D ∪ Kr, osim u jednoj esencijalnoj singularnoj ta~ki z = a. U op{tem slu~aju, funkcija log f(z) je multiformna uD∪Kr. Ali, kad se rubuKr, na kome smo za po~etnu ta~ku uzeli z = r, pridru`i petqa oko ta~ke z = a, kako se to obi~no radi u teoriji funkcija, funkcija log f(z) postaje uniformna i regularna u oblastiD1, koja preostaje kad se izD izdvoji proizvoqno mali krug |z − a| 6 ε i segment [a + εeiα, r], gde je α fiksirano. Tako|e, funkcija log f(z) z je uniformna i regularna svuda uD1 osim u ta~ki z = 0, gde ima pol sa ostatkom log f(0). Pod log f(z) podrazumevamo jednu odre|enu granu logaritma. Prema tome, kad primenimo teoremu o ostacima na rubL oblastiD1, imamo jednakost∫ L log f(z) z dz = 2pii log f(0), (2.10) koja naravno va`i i onda kad ε→ 0. S druge strane, u vezi sa (2.8) zbog primene logaritma funkcije f(z) du` ruba |z − a| = ε, imamo jednakost∫ L log f(z) z dz = ∫ C log f(z) z dz + a+εeiα∫ r log f(z) z dz − ∫ |z−a|=ε log f(z) z dz + r∫ a+εeiα log f(z)− 2piiB1 z dz, i posle jednostavnog ra~una∫ L log f(z) z dz =∫ C log f(z) z dz + 2piiB1(log(a+ εe iα)− log r)− ∫ |z−a|=ε log f(z) z dz. (2.11) 19 Pomo}u parcijalne integracije iz (2.11) dobijamo∫ L log f(z) z dz =∫ C log f(z) z dz + 2piiB1(log(a+ εe iα)− log r)− {log z log f(z)}|z−a|=ε + ∫ |z−a|=ε f ′(z) f(z) log zdz. (2.12) Vode}i ra~una o (2.5), (2.9) i (2.10) kad ε→ 0, jednakost (2.11) prelazi u jednakost 2pii log f(0) = ∫ C log f(z) z dz + 2piiB1(log a− log r) − 2piiB1 log a+ 2pii ( B1 log a− +∞∑ n=1 (−1)nBn+1 nan ) , odakle na kraju dobijamo∫ C log f(z) z dz = 2pii log f(0) + 2pii ( B1 log r a + +∞∑ n=1 (−1)nBn+1 nan ) . (2.13) Dobijena formula vredi u slu~aju kada funkcija f(z) ima samo jedan esencijalni singularitet. Me|utim, pomo}u teoreme o ostacima lako je modifikovati formulu (2.13) i u slu~aju kada funkcija f(z) ima esencijalne singularne ta~ke aν , ν = 1, k. Formula (2.12) tada o~evidno prelazi u formulu∫ C log f(z) z dz = 2pii log f(0)+2pii ( k∑ ν=1 B1,ν log r aν + k∑ ν=1 +∞∑ n=1 (−1)nBn+1,ν nanν ) . (2.14) gde suBn,ν koeficijenti glavnog dela u Loranovom razvoju funkcije f ′(z) f(z) u ta~kama aν . Kada levu i desnu stranu u (2.14) posle smene z = reiθ rastavimo na realne i imaginarne delove i zatim realne delove izjedna~imo, dobijamo formulu (∗) u kojoj je sada sve odre|eno. Teorema 2.3 je dokazana. I Jedna provera formule (*). Neka je funkcija u(x, y) harmonijska u krugu |z| 6 r. Tada je u(ρ, ϕ) = 1 2pi 2pi∫ 0 u(r, θ) r2 − ρ2 r2 − 2rρ cos(θ − ϕ) + ρ2dθ. Ova relacija poznata je kao Puasonova formula. Ona izra`ava vrednost harmonijske funkcije u krugu |z| 6 r pomo}u wenih rubnih vrednosti. 20 Specijalno, ako je u = const, tada je 1 2pi 2pi∫ 0 r2 − ρ2 r2 − 2rρ cos(θ − ϕ) + ρ2dθ = 1. (2.15) FunkcijapodznakomintegralazovesePuasonovo(Poisson) jezgro. Samo jezgro jetako|e harmonijska funkcija. @elimo da poka`emo da se (2.15) mo`e dobiti i iz formule (∗). Posmatrajmo funkciju f(z) = e z+a z−a (a = ρeiϕ). U ovom slu~aju je log f(z) = z + a z − a, log |f(z)| = Re ( z + a z − a ) , f ′(z) f(z) = − 2a (z − a)2 , te jeB1 = 0, B2 = −2a,B3 = B4 = · · · = 0. Zato je posle smene u (∗) 1 2pi 2pi∫ 0 Re ( z + a z − a ) dθ = log e−1 +Re (−1)B2 a , tj. 1 2pi 2pi∫ 0 r2 − ρ2 r2 − 2rρ cos(θ − ϕ) + ρ2dθ = −1 + 2 = 1. Napomena 1. Istaknimo da ako je ta~ka aν nula ili pol funkcije f(z), tada je B2,ν = B3,ν = · · · = 0, dok je B1,ν red te nule ili pola. U prvom slu~aju je B1,ν > 0, u drugom< 0. Zaista, ako je ta~ka z = aν , na primer, nula redamfunkcije f(z), tada je f(z) = (z − aν)mf1(z), (2.16) gde je f1(z) 6= 0 u okolini ta~ke z = aν . Logaritmovawem, a zatim diferencirawem jednakosti (2.16) imamo f ′(z) f(z) = m z − aν + f ′1(z) f1(z) , odakle se vidi da jeB1,ν = m. Na sli~an na~in mo`e se pokazati da jeB1,ν = −m ako je ta~ka aν pol redamfunkcije f(z). Posle ovih napomena mo`e se pokazati da se iz formule (∗) dobija formula (2.2). Dovoqno je, na primer, pretpostaviti da ta~ke aν nisu esencijalne singularne ta~ke funkcije f(z), ve} da su wene nule. U ovom slu~aju, kako je gore pokazano, brojevi B1,ν ozna~avaju redove ovih nula, dok dvostruka suma u (∗) nestaje. Dakle, 1 2pi 2pi∫ 0 log ∣∣f (reiθ)∣∣ dθ = log |f(0)|+ k∑ ν=1 log r |aν | , gde svaku nulu treba uzeti u obzir onoliko puta koliki je wen red. 21 2.5 Jensenova nejednakost iHp prostori Neka je f(z) analiti~ka funkcija u diskuD = {z : |z| 6 1}. Stavimo Mp(r, f) =  12pi 2pi∫ 0 ∣∣f (reiθ)∣∣p dθ  1 p , za 0 < p < +∞ i 0 6 r < 1; M∞ = max 06θ62pi ∣∣f (reiθ)∣∣ , za 0 6 r < 1. Kao u [17] za 0 < p 6 +∞, neka je Hp := {g(z) : g je analiti~ka u |z| < 1 i Mp(r, g) je ograni~ena kad r → 1−} . Ako g(z) ∈ Hp iz [17] se zna da se g(z) mo`e produ`iti na kru`nicu |z| = 1 vredno{}u funkcije ĝ(eiθ), definisane na [0, 2pi], za koju je ĝ(eiθ) = lim r→1− g(reiθ) s.s. na [0, 2pi], ĝ(eiθ) ∈ Lp[0, 2pi], i, ako g(z) nije identi~ki 0, tada log ∣∣ĝ(eiθ)∣∣ ∈ L1[0, 2pi]. Posledwa osobina zna~i da je funkcija log ∣∣f (eiθ)∣∣ integrabilna u Lebegovom ( Lebesgue) smislu za svaku funkciju f ∈ Hp, p > 1, {to mo`e da se iska`e slede}im nizom ekvivalencija: 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > C > −∞⇔ log ∣∣f (eiθ)∣∣ je integrabilna ⇔ (∀ε > 0)(∃α = α(ε, C) > 0) mes {θ : ∣∣f (eiθ)∣∣ > ε} >α, mes ozna~ava Lebegovu meru. Iz re~enog o Hp prostoru zna~i u stvari da se Hp prostor defini{e kao skup klasa analiti~kih funkcija f u otvorenom jedini~nom krugu, za koje je funkcija fr(θ) = f(re iθ) ograni~ena po Lp-normi ranije uvedenoj u prostor polinoma. Ako je 1 < p 6 +∞ prostorHp se mo`e identifikovati sa prostorom onihLp-funkcija na kru`nici, za koje je ∫ einθf(θ)dθ = 0, n = 1, 2, 3, . . . Pri tom se koristi samo harmoni~nost funkcija izHp. U slu~aju p = 1, ~iwenica da je funkcija iz H1 harmonijska omogu}ava nam da izjedna~imo funkciju f sa kona~nom meromµnakru`nici(tj. f jePuasonovintegralmereµ). ^iwenica{to jef analiti~ka, govori u stvari da je mera µ "analiti~ka", tj. da je∫ einθdµ(θ) = 0, n = 1, 2, 3, . . . 22 Prema Risovoj teoremi o reprezentaciji, imamo da je dµ = 1 2pi f˜dθ, gde f˜ ∈ L1, i kona~no, f je Puasonov integral funkcije f˜ . Funkcije fr konvergiraju funkciji f˜ po normi prostoraL1, i grani~ni odnos za netangentni smer f˜(θ) = lim z→eiθ f(z) va`i s.s. za sve θ. Na osnovu re~enog mo`emo izjedna~iti H1 sa prostorom L1-funkcija na kru`nici, koje su "analiti~ke" ta~no tako kao {to smo radili sa pros- toromHp, p > 1. Sada smo u poziciji da formuli{emo vi{e va`nih osobina Hp-funkcija na kru`nici, ali mi }emo se zadr`ati na jednom glavnom za na{a daqa razmatrawa: JENSENOVOJNEJEDNAKOSTI. Teorema 2.4. Neka je f proizvoqna funkcija izH1 za koju je f(0) = 1 2pi 2pi∫ 0 f(θ)dθ 6= 0. Tada je funkcija log |f(θ)| integrabilna u Lebegovom smislu i va`i 1 2pi pi∫ −pi log |f(θ)|dθ > log |f(0)|. (2.17) Posledice. (1) Za proizvoqnu nenultu funkciju izH1 va`i da je funkcija log |f(θ)| integrabilna, i 1 2pi pi∫ −pi log |f(θ)|dθ > log |f(0)|. J Mo`emo staviti da je f(z) = zng(z), g(0) 6= 0. Jasno je da g pripada H1 i da je |g(eiθ)| = |g(eiθ)| s.s. i ostaje da se primeni Teorema 2.4I (2) Ako f ∈ H1 onda f ne mo`e uzimati vrednost 0 na podskupu kru`nice pozitivne mere, osim ako je f ≡ 0. JU suprotnom funkcija f nije integrabilna. Kontradikcija.I Napomena 1. Nejednakost (2.17) je naprosto uop{tewe Jensenove nejednakosti sa slu~aja analiti~kih grani~nih vrednosti na slu~aj integrabilnih grani~nih vrednosti. Koriste}i pretpostavku u Teoremi 2.4 nejednakost (2.17) se mo`e zapisati i kao pi∫ −pi log |f(θ)|dθ 2pi > log ∣∣∣∣∣∣ pi∫ −pi f(θ) dθ 2pi ∣∣∣∣∣∣ , {to predstavqa neku komutativnost integrala i logaritma. 23 2.6 Jensenova nejednakost i Dirihleove algebre Izprethodnog znamo da je za svaku nenultufunkciju prostoraHpfunkcija log |f(θ)| in- tegrabilna. Lak{idokazte~iwenicesemo`edobitiuokviruDirihleovih (Dirichlett) algebri. Navedimo definiciju Dirihleove algebre i nekoliko primera. Neka je X kompaktan Hauzdorfov ( Hausdorff) prostor i A ravnomerno zatvorena kompleksna linearna algebra neprekidnih kompleksno-vrednosnih funkcija naX , koja sadr`i konstantnu funkciju. Ka`emo da je A Dirihleova algebra, ako je realni deo funkcijaizAgustusmisluravnomernekonvergencijenaX uprostorurealnihneprekid- nih funkcija naX . Kona~no, ve} smo imali primer jedne Dirihleove algebre-algebra neprekidnih funkcija na jedini~noj kru`nici, kod kojih su Furijeovi ( Fourier) ko- eficijenti sa negativnim indeksom jednaki nuli. Evo jo{ jednog primera koji ukqu~uje prethodni. Neka je X kompaktna abelova grupa, ~ija grupa karaktera X̂ sadr`i takvu podgrupu S, da S potpuno ure|uje X̂ , tj. (I) nula (jedinica) grupe X̂ pripada S; (II) za svaki nenulti element y ∈ X̂ ili y ili−y pripadaS, ali ne oba istovremeno. Neka jeA-algebraneprekidnihfunkcija naX , kod koje jeFurijeova transformacija jednaka nuli na elementima koji ne pripadaju S. Tada jeA-Dirihleova algebra. Neka je A Dirihleova algebra na kompaktnom prostoru X . Ako je µ kona~na poz- itivna berovska mera na X , onda se sa Hp(dµ) ozna~ava zatvarawe u prostoru Lp(dµ) funkcija izA. Ako jeX kru`nica, aA na{ standardni primer, to za prostorHp imamo da jeHp = Hp( 1 2pi dθ). Specijalni odnos izme|u algebreA i mere 1 2pi dθ, sastoji se u tome {to je mera multiplikativna naA, tj. 1 2pi ∫ fgdθ = 1 2pi ∫ fdθ · 1 2pi ∫ gdθ, f, g ∈ A. Uop{temslu~ajuuDirihleovojalgebriAsemo`euvestiproizvoqnanenultapozitivna berovska mera m na X , koja je multiplikativna na A. Onad se prelazi na izu~avawe prostora Hp = Hp(dm). Ozna~imo sa A0 skup funkcija f iz A za koje je ∫ fdm = 0. Slede}i spisak osobina ovako generisanog Hp prostora je od posebnog interesa u funkcionalnoj analizi i teoriji mere i integrala. (1) Neka je µ pozitivna mera na X , takva da 1 ne pripada zatvorenom potprostoru L2(dµ) koji je generisan saA0. Neka jeF -ortogonalna projekcija od 1 na taj potprostor. Tada je mera |1−F |2dµ nenultimultiplmere dm; funkcija (1−F )−1 pripadaH2(dm), i ako je h = dµ dm , onda funkcija (1− F )h pripada prostoruL2(dm). (2)Ako je µ pozitivna mera naX i dµa = ( dµ dm ) dm, to je inf f∈A0 ∫ |1− f |2dµ = inf f∈A0 ∫ |1− f |2dµa. Specijalno, ako je mera µ uzajamno singularna sa merom m, onda 1 pripada zatvorenom potprostoruL2(dµ), generisanom saA0. 24 (3) Ako je µ kona~na kompleksna mera na X , ortogonalna na A0, onda su apsolutno neprekidni i singularni deo mere µ (u odnosu nam) odvojeno ortogonalni naA0. (4)Ako je µ pozitivna mera naX , to je inf f∈A0 ∫ |1− f |2dµ = e ∫ log( dµdm)dm. (5) Ako je funkcija f iz H1(dm), takva da je ∫ fdm 6= 0, onda je funkcija log |f | integrabilna po merim i va`i∫ log |f |dm > log ∣∣∣∣∫ fdm∣∣∣∣ . (6) Svaka funkcija f ∈ H1(dm), za koju je ∫ fdm 6= 0, jeste proizvod dve funkcije izH2(dm). (7)Neka je h nenegativna funkcija izL1(dm). Funkcija h je predstavqiva u obliku h = |f |2, gde f ∈ H2(dm) i ∫ fdm 6= 0, ako i samo ako, log h ∈ L1(dm). Za nas je od posebnog interesa osobina (5) koja predstavqa Jensenovu nejednakost za funkcije iz prostoraH1(dm). Ina~e, va`no je napomenuti, da integrabilnost logaritma proizvoqne nenulte funkcije ne sledi u slu~aju proizvoqne Dirihleove algebre. Osobina (5) ka`e da je log ∣∣∣∣∫ fdm∣∣∣∣ 6 ∫ log |f |dm, odakle sledi da je log |f | integrabilna funkcija ukoliko je ∫ fdm 6= 0. Ali ako je∫ fdm = 0 a f 6= 0, to mo`e da se dogodi da log |f | nije integrabilna. U slu~aju Dirih- leovih algebri dokaz Jensenove nejednakosti je dosta jednostavniji, skoro elementaran, u odnosu na slu~aj prostoraH1. U nastavku }emo izlo`iti taj dokaz. [48], [51], [52]. J Neka su X,A i m kao gore. Neka je f proizvoqna funkcija iz A. Ozna~imo sa F̂ (m) integral ∫ fdm. @elimo da poka`emo da je∫ log |f |dm > log ∣∣∣f̂(m)∣∣∣ . Uzmimo ε > 0; tada je log(|f | + ε)-realna neprekidna funkcija na X . Sledi, mo`emo na}i takvu funkciju g = u+ iv izA, da bude |u− log(|f |+ ε)| < ε naX, tj. u− ε < log(|f |+ ε) < u+ ε. Neka je h = e−g, onda je h ∈ A i |h| = e−u. NaX onda imamo |fh| = |fe−g| = |f |e−u < eε 25 za na{ izbor funkcije g. Po{to je meram multiplikativna naA, to tako|e imamo f̂(m)ĥ(m) = (̂fe−g)(m) i∣∣∣f̂(m)∣∣∣ · ∣∣∣ĥ(m)∣∣∣ 6 sup X |fe−g| < eε. Zato je log ∣∣∣f̂(m)∣∣∣+ log ∣∣∣ĥ(m)∣∣∣ < ε, ili log ∣∣∣f̂(m)∣∣∣− û(m) < ε. Daqe, naX imamo u < ε+ log(|f |+ ε); sledi, û(m) < ε+ ∫ log(|f |+ ε)dm, tj. dobijamo log ∣∣∣f̂(m)∣∣∣ < 2ε+ ∫ log(|f |+ ε)dm. Uzimaju}i grani~nu vrednost kad ε → 0 dolazimo do Jensenove nejednakosti za proizvoqnu funkciju f izA. Za dokaz nejednakosti kad funkcija f pripada prostoru H1(dm), treba samo aproksimirati f uL1(dm)funkcijom izA. I 2.7 Uop{tena Jensenova formula Vratimo se opet famoznom prostoru Hp (0 < p 6 +∞) i jednoj funkciji f(z) iz tog prostora. Ozna~imo sa Z4(f) sve nule date funkcije u skupu {z : 0 < |z| < 1} ra~unaju}i wihovu vi{estrukost. Tada B(z) :=  z N ∏ zj∈Z4(f) |zj| zj zj − z 1− zjz , ako Z4(f) 6= 0 , zN , ako Z4(f) = 0 , je Bla{keov proizvod ( Blaschke) pridru`en funkciji f(z), i B(z) ∈ H∞, gde je N vi{estrukost 0 kao nule funkcije f(z). Ako je f(0) 6= 0, tada uzimamo da jeN = 0. Daqe F (z) := e 1 2pi 2pi∫ 0 eiθ+z eiθ−z log|f̂(eiθ)|dθ je spoqa{wafunkcija pridru`ena funkciji f(z), i F (z) ∈ Hp. Nastavqaju}i daqe S(z) := f(z) B(z)F (z) 26 zove se singularna unutra{wa funkcija pridru`ena funkciji f(z). Napomenimo da su jedine nule funkcije f(z) u skupu {z : 0 6 |z| < 1} upravo nule Bla{keovog proizvoda, B(z). Proizvod,B(z)F (z), zove se unutra{wafunkcija pridru`enafunkciji f(z) [45]. Teorema o faktorizaciji glasi: Neka je f(z) 6= 0 funkcija izH1 u jedini~nom krugu. Tada se f na jedinstven na~in predstavqa kao f = BSF , gde je B Bla{keov proizvod, S singularna funkcija, i F spoqa{wa funkcija (izH1). Koriste}i gore re~eno i teoremu o faktorizaciji pored mnogih drugih posledica koje se mogu dobiti, za nas je od interesa najva`nija uop{tena Jensenova formula: Ako je f(0) 6= 0, onda je 1 2pi pi∫ −pi log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ = log |f(0)|+∑ n pn log |αn|−1 + ∫ dµ, gde su: αn-nule funkcije f(z) u otvorenom jedini~nom disku, pn-wihova vi{estrukost respektivno i na kraju µ-pozitivna singularna mera. Odnavedenihvrstaanaliti~kihfunkcijaspoqa{wefunkcijesunajbli`eintegralu 1 2pi pi∫ −pi log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ i zato za wih navodimo pobli`u karakterizaciju [3]. Teorema 2.5. Neka je F nenulta funkcija izH1. Slede}i uslovi su ekvivalentni: (a) F je spoqa{wa funkcija; (b) Ako je f proizvoqna funkcija iz H1 takva da je |f | = |F | s.s. na jedini~noj kru`nici, to je |F (z)| > |f(z)| u svakoj ta~ki z otvorenog jedini~nog kruga; (c) log |F (0)| = 1 2pi pi∫ −pi log ∣∣F (eiθ)∣∣ dθ. Zna~i funkcije kod kojih Jensenova nejednakost prelazi u jednakost su jedine spoqa{we funkcije. Izme|u ostalih, takve su konstante razli~ite od nule i one funkcije koje nemaju nula u jedini~nom disku. 2.8 Jensenov funkcional iMalerova mera Ako je f nenulta funkcija iz Hardijevog prostora H1 onda je funkcija log |f(eiθ)| integrabilna u Lebegovom smislu i va`i nejednakost 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > log |f(0)| (2.18) 27 (u literaturi se zove klasi~na Jensenova nejednakost). Integral 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi zove se i Jensenov funkcional i ozna~ava sa J(f), tj. zapisuje se J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi . Funkcija J je nelinearna realno vrednosna funkcija za koju je J(λf) − J(f) = log |λ|, λ 6= 0. OcenadataJensenovomnejednako{}uimava`nuulogu, naprimeruvezisaMalerovom (Mahler) merom: M(f) = eJ(f), koja je va`na naro~ito u teoriji brojeva (videti [27] i [48]). Jedna od slabosti ocene (2.18) je {to uzima u obzir samo prvi ~lan a0 = f(0) funkcije f(z) = a0 + a1z + · · · . 2.9 Dowe i gorwe granice Jensenovog funkcionala Iz same prirode logaritamske funkcije realnog argumenta i Jensenove nejednakosti o~igledno je da mo`emo ignorisati skup na kome |f(eiθ)| posti`e veliku vrednost. Interesantni su skupovi na kojima je funkcija |f(eiθ)| mala, jer na wima Jensenov funkcional uzima negativne vrednosti. Drugimre~ima, za Jensenovfunkcional defin- isan na nekom skupu analiti~kih nenultihfunkcija ili samo polinoma, definitivno je jasno da je od velike va`nosti ispitivati wegove dowe granice. Neka jeX neki podskup nenultih analiti~kihfunkcijaHardijevog prostoraH1. Za svaku funkciju f ∈ X funkcija log |f(eiθ)| je integrabilna u Lebegovom smislu i va`i nejednakost 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > log |f(0)|, koja se u literaturi naj~e{}e zove klasi~na Jensenova nejednakost. Za funkcije f ∈ X prirodno se uvode i = inf f∈X J(f) i s = sup f∈X J(f) koji mogu biti i −∞ i +∞, gde je J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi Jensenov funkcional. Za funkcije g(z) i h(z) iz skupaX se ka`e da su ekstremalne ako je i = J(g) i s = J(h). Primer2.1. Neka jeX skupkonstantiC razli~itihodnule,tj. skup svihkompleksnih brojeva osim 0. Onda je J(f) = 2pi∫ 0 log |C|dθ 2pi = log |C| te je i = inf f∈X J(f) = inf 06=C∈C log |C| = −∞ i s = sup f∈X J(f) = sup 06=C∈C log |C| = +∞. Ovde ekstremalne funkcije ne postoje. 28 Primer 2.2. Neka jeX = {zn;n ∈ N}. Onda je J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣einθ∣∣ dθ 2pi = 2pi∫ 0 log 1 dθ 2pi = 0, za svakon ∈ N, te je i = s = 0. Prime}ujemo da je desna strana u klasi~noj Jensenovoj nejednakosti −∞, {to pokazuje da nijedna od funkcija zn nije spoqa{wa. U ovom primeru je svaka funkcija i ekstremalna. Primer 2.3. Navodimo prvi netrivijalni primer za odre|ivawe infimuma i supremuma Jensenovog funkcionala. Neka jePn skup svih kompleksnih polinoma ta~no stepena n. Iz [29] znamo da je log |f |l1 2n 6 J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi 6 log |f |l1 . Navedena dvostruka nejednakost je ekvivalentna sa −n log 2 6 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣∣f ( eiθ ) |f |l1 ∣∣∣∣∣ dθ2pi 6 0, {to pokazuje da je za sve polinome f(z) izPn ~ija je l1-norma jednaka jedinici ispuweno −n log 2 6 J(f) 6 0. Za taj skup polinoma (funkcija) postoje ekstremalne funkcije u kojima je postignut infimum i = −n log 2 i supremum s = 0. Zaista, uzimaju}i g(z) = 1 2n (1 + z)n i h(z) = zn, dobijamo da je J(g) = −n log 2 i J(h) = 0. Ka`e se da je −n log 2 najboqa (najve}a)dowagranicaJensenovogfunkcionalanaskupupolinomastepenani jedini~ne l1-normeida jepostignutaupolinomug(z). Zbogranijenavedeneprirodelogaritamske funkcije najmawa gorwa granica se retko isti~e, ali u ovom slu~aju je i postignuta u polinomu h(z). 29 3Koncentracija polinoma u ni`em stepenu Posledwiprimerpokazujedaunavedenimdowimigorwimgranicamaporedfunkcije u~estvuje stepen polinoma, {to u mnogim prakti~nim problemima ote`ava posao. Zato je od interesa iznalaziti dowe i gorwe granice Jensenovog funkcionala koje ne zavise od stepena polinoma i onda odre|ivati infimum i supremum brojnog skupa {J(f) : f zadovoqava neko svojstvo}. U primerima 2.1 i 2.2 svojstva su takva da se obi~nim ra~unom nalaze najboqe granice Jensenovog funkcionala. Primer 2.3, vide}e sekasnije, jeposledicatakveosobineuvedeneuskupupolinomailinekompodskupuanal- iti~kihfunkcijakoja sepokazala jakodelotvornomure{avawunekihproblemainvari- jantnostiuteorijiograni~enihlinearnihoperatoranaBanahovim (Banach) iHilber- tovim ( Hilbert) prostorima. Ta osobina zove se "KONCENTRACIJA POLINOMA U NI@EM STEPENU". Uveli su je pre dvadesetak godina francuski matemati~ari P. Enflo [21] i B. Bozami [5], re{avaju}i problem netrivijalnog invarijantnog pot- prostora ograni~enog linearnog operatora na beskona~no dimenzionalnom separabil- nom Banahovom prostoru. Napomenimo da je koriste}i to svojstvo re{ewe problema negativno. Jo{ uvek je otvoreno analogno pitawe za Hilbertove prostore. Kao {to se obi~no de{ava u matematici, uvedenim pojmom "ra|aju" se novi pojmovi i nova in- teresantna a i te{ka pitawa. Takav je slu~aj i sa koncentracijom polinoma u ni`em stepenu. Definicija 3.1. Nekasud ∈]0, 1]ik ∈ N0fiksiranibrojeviineka jef(z) = ∑ j>0 ajz j 6= 0 kompleksan polinom. Ka`e se da polinom f(z) ima koncentraciju d u najvi{e stepenu k ako je ∑ j6k |aj| > d ∑ j>0 |aj|. (3.1) Uslov(3.1)o~iglednoimasmislaiugrani~nomslu~ajubrojad = 1, odakleproisti~e da je tada polinom ta~no stepena k. To zna~i ako je d = 1, iz (3.1) direktno sledi n = k. Ako je ispuweno (3.1) re}i }emo da polinom f ima koncentraciju d u stepenu k merenu l1-normom u odnosu na l1-normu. Uslov (3.1) je osobina u skupu P svih kompleksnih polinoma koja ne zavisi od stepena polinoma. Naravno, zamena za to su dve konstante d 30 i k. Da bi smo slu~aj usaglasili sa prethodnim razmatrawima dowih i gorwih granica Jensenovog funkcionala, uze}emo da je X = Pd,k. Onda imamo slede}a dva problema: na}i i = inf f∈Pd,k J(f) i s = sup f∈Pd,k J(f). Jasno je da brojni skup {J(f)} postoji jer je za svaki polinom f(z) funkcija log |f(eiθ)|, θ ∈ [0, 2pi] integrabilna u Lebegovom smislu. Uzimaju}i polinome ~ija je l1-norma jednaka 1, tj. za koje je |f |1 = 1 (3.2) {to u su{tini ne uti~e na op{tost razmatrawa glavnih pitawa, uslov (3.1) postaje∑ j6k |aj| > d. (3.3) Vratimo se sada za trenutak slu~aju d = 1. Tada je koriste}i (3.2) i (3.3)X = Pd,k = P1,n, tj. X je skuppolinomata~nostepenak ionda jepremaprimeru2.3prethodne sekcije i = −k log 2 i s = 0. Iako je [29]iz 1966. godine, primer2.3 je jednaprimena (specijalan slu~aj) novo-uvedenog pojma dosta kasnije. Pojam "koncentracija polinoma" je u bliskoj vezi sa klasi~nom Jensenovom nejed- nako{}u. Zaista, uzimaju}i k = 0, tada zbog a0 = f(0), (3.3) postaje |a0| > d⇔ |f(0)| > d⇔ log |f(0)| > log d, {to zna~i da za polinome iz skupaPd,0 va`i 0 > J(f) > log |f(0)| > log d. Odatle sledi da su infimum i i supremum s skupa {J(f)} kona~ni. Pitawe ekstremalne funkcije za ovaj slu~aj (iako je k = 0 malo), bi}e raspravqeno kasnije u jednoj od opservacija. Postoje i drugi korisni na~ini uvo|ewa koncentracije polinoma ili analiti~ke funkcije ali koriste}i druge norme ili ~ak kvazi-norme. I tada je jedno od glavnih pitawa odre|ivawe ta~ne (najboqe) dowe i gorwe granice Jensenovog funkcionala tj. brojnog skupa {J(f) : fima neku koncentraciju}. Ispostavilo se da je u op{tem slu~aju kako ekstremalne funkcije tako i te ta~ne granice "te{ko" odre|ivati. Zato se poseglo za wihovim asimptotskim pona{awem kada k → +∞ {to nas na neki na~in "pribli`ava" ta~noj dowoj i gorwoj me|i. Pored na{ih rezultata u vezi sa tim najpre }emo izlo`iti dva pozitivna rezultata o ta~nim granicama. U prvom slu~aju [44] posmatra se skupX = PHd,k Hurvicovih polinoma koji zadovol- javaju (3.1). Blagodare}idobrimosobinamaH-polinomaodre|ena je ta~nadowagranica i pokazano da postoji ekstremalna funkcija. Navodimo te rezultate. 31 Teorema 3.1. [44] Neka je f(z) = +∞∑ j=0 ajz j 6= 0, analiti~ka funkcija u |z| < 1, i neka d ∈]0, 1[, i pretpostavimo da va`i |a0| > d +∞∑ j=0 |aj|. (3.4) Tada f ∈ H∞ i J(f) > log d = i. (3.5) Jednakost u (3.5) va`i (tj. f je ekstremalna funkcija) ako i samo ako f(z) je wena pridru`ena spoqa{wa funkcija pomno`ena konstantom modula 1 i u (3.4) va`i jed- nakost. To drugim re~ima zna~i da je analiti~ka funkcija u |z| 6 1 (zatvoren disk) ekstremalna ako i samo ako nema nula u |z| < 1 (otvoren disk) i jednakost va`i u (3.4). Napomena1. Ovomteoremomjedefinitivnoraspravqenslu~ajnajboqedowegranice i Jensenovog funkcionala tj. brojnog skupa {J(f)} u slu~aju da f(z) ima koncentraciju d ∈]0, 1[ u stepenu k = 0. Teorema 3.2. [44] Za d ∈]0, 1[ i za pozitivan ceo broj k ako je f(z) Hurvicov polinom tako da je ispuweno (3.1) onda brojni skup {J(f)} ima kona~an infimum koji zavisi od d i k i postoji ekstremalni polinom u kome je taj infimum postignut. Drugim re~ima najboqa dowa granica Jensenovog funkcionala na skupu Hurvicovih polinoma koji zadovoqavaju (3.1) je postignuta u nekom takvom polinomu. Opisa}emo ukratko glavne korake konstrukcije dowe me|e i ekstremalne funkcije. I korak: Najpre za date d i k > 0 postoji jedinstven prirodan brojm takav da je 1 2m k∑ j=0 ( m j ) 6 d < 1 2m−1 k∑ j=0 ( m− 1 j ) . II korak: Za takvom defini{e se ρ := ( m−1 k ) k∑ j=0 ( m−1 j )− d2m−1 − 1. III korak: Tada je J(f) > log ρ (ρ+1)2m−1 = i za svaki H-polinom koji zadovoqava (3.1). IV korak: Defini{imo g(z) := ( 1 + z ρ ) (1 + z)m−1 koja je o~iglednoH-polinom. Sada imamo: H-polinom f(z) koji zadovoqava (3.1) je ekstremalan ako i samo ako f(z) = g(z). 32 Istaknimo da su slu~ajevi k = 0 i k > 0 odre|ivawa ekstremalnih funkcija bitno razli~iti. Naime, za k = 0, ako postoji ekstremalna funkcija onda ih ima beskona~no mnogo; za k > 0 ekstremalna funkcija postoji i ona je jedinstvena. Za dokazivawe prvog koraka autori koriste niz{ 1 2l k∑ j=0 ( l j )}+∞ l=k izawegadokazuju da strogoopadaikoriste}icentralnugrani~nuteoremudakonvergira ka nuli. Da navedeni niz konvergira nuli, mo`e se dokazati i elementarno-primenom [tolcovog ( Stolz) stava. Zaista, k∑ j=0 ( l+1 j )− k∑ j=0 ( l j ) 2l+1 − 2l = k−1∑ j=0 ( l j ) 2l , zatim opet po[tolcovom stavu k−1∑ j=0 ( l+1 j )− k−1∑ j=0 ( l j ) 2l+1 − 2l = k−2∑ j=0 ( l j ) 2l , itd. jer se imenilac ne mewa a broj sabiraka u brojiocu se u svakom slede}em koraku smawi za jedan; kona~no se dobija da je grani~na vrednost datog niza jednaka lim l→+∞ ( l 0 ) 2l = 0. U drugom slu~aju [6] razmatraju se funkcije iz prostora H∞ sa normom ‖f‖∞ = sup θ |f(eiθ)| = 1 ({to obuhvata i polinome), koje zadovoqavaju ∑ j6k |aj| > d‖f‖∞ = d. (3.6) Za razliku od prvog slu~aja gde su na|ene najboqa dowa granica i ekstremalna funkcija za fiksirane d ∈]0, 1[ i k ∈ N, u ovom slu~aju je re{en problem samo za k = 1. Dakle, X je skup svih analiti~kih funkcija izH∞ sa normom ‖f‖∞ = 1 za koje je |a0|+ |a1| > d. (3.7) Teorema 3.3. [6] Za svako f ∈ X i f zadovoqava (3.7) brojni skup {J(f)} ima kona~an infimum i koji je jednak jedinstvenom re{ewu c jedna~ine ec(1− 2c) = d. 33 Nema ekstremalnih funkcija ovog slu~aja, ali postoji niz Fn spoqa{wih funkcija za koje je ∫ log |Fn| → c = i. Opisa}emo ukratko konstrukciju: 10 Najpre se funkcija iz x na jedinstven na~in predstavi u obliku f = B · S · F proizvoda Bla{keovog faktoraB, singularne funkcije S i spoqa{we funkcije F . 20 Doka`e se da na dowu me|u ne uti~e Bla{keov faktorB, tj. i ne zavisi odB. 30 Zatim se doka`e da je infimum i isti ako se skloni i singularna funkcija S, tj. dovoqno je pretpostaviti daX sadr`i samo spoqa{we funkcije. Iz ova dva pozitivna rezultata proisti~e neo~ekivana razlika kako za dowe me|e, tj. najboqe dowe granice, tako i za ekstremalne funkcije, bez obzira {to je u drugom slu~aju k = 1, dakle, mali prirodan broj u odnosu na bilo koje pozitivno k. Nije te{ko proveriti da je slu~aj k = 0 isti i za koncentraciju merenu l1-normom u odnosu na l1-normu, tj. koncentraciju merenu l1-normom u odnosu na ‖ · ‖∞-normu. 3.1 Rezultati Uovojsekcijiiwenimpodsekcijamaizlo`i}emona{erezultate,opservacijeinapomene koje smo dobili razmatraju}i najboqe dowe i gorwe granice Jensenovog funkcionala definisanog na takvim podskupovimaX ⊆ P ~iji elementi imaju koncentracije defin- isane u odnosu na poznate norme ili kvazi norme koje se u tim prostorima prirodno uvode. Time smo upotpunili neke na{e doprinose u rasvetqavawu pojma "koncentracija polinoma u ni`em stepenu" date u predgovoru i uvodnoj glavi. Navodimo najpre jednu opservaciju koja je sama po sebi interesantna i koja boqe odslikava pojam koncentracije polinoma u ni`em stepenu. Opservacija 3.1. Ako kompleksni polinom f(z) = n∑ j=0 ajz j ima koncentraciju d ∈ [1 2 , 1] u k = 0tada on nema nula u otvorenom jedini~nom disku. JNavedeni uslov zna~i da je |a0| > d(|a0|+ |a1|+ · · · |an|). (3.8) Ako postoji |z0| < 1 tako da je f(z0) = 0, tada je |a0| = | − a1z0 − a2z20 − · · · − anzn0 | < |a1|+ · · ·+ |an| tj. 2|a0| < |a0|+ |a1|+ · · ·+ |an| 34 sa jedne strane; sa druge strane iz (3.8) proisti~e 2|a0| > 2d(|a0|+ |a1|+ · · ·+ |an|). (3.9) Iz (3.8) i (3.9) sledi 2d < 1, tj. d < 1 2 . Kontradikcija! I Primeri polinoma z 7→ 2z − 1 i z 7→ 1 + z + z2 pokazuju da u slu~aju d ∈]0, 1 2 [ prethodna opservacija nije ta~na, naime, mo`e da bude i jedno i drugo. 3.1.1 Upore|ivawe "koncentracija" Uovojpodsekcijiupore|ujemo"koncentracije"tj. uslovekako jepojedinakoncentracija definisana, i dobijamo koja je najop{tija. Tvr|ewe 3.1. Neka su d ∈]0, 1[ i k ∈ N fiksirani i neka je f(z) analiti~ka funkcija tj. polinom, tako da je: (a) ∑ j6k |aj| > d ∑ j>0 |aj| = d|f |l1 ; (b) (∑ j6k |aj|2 ) 1 2 > d (∑ j>0 |aj|2 ) 1 2 = d|f |l2 ; (c) ∑ j6k |aj| > d‖f‖∞. Tada (a)⇒ (c)⇒ (b). J (a)⇒ (c)⇒ (b) u smislu da ako f ima neku koncentraciju u nekom stepenu merenu l1-normomuodnosu na l1-normu, tada f ima neku (ne obavezno istu) koncentraciju u nekom (ne mora istom) stepenu merenu l2-normom, i sli~no za (c)⇒ (b). Napomenimo najpre da iz uslova (a) ∑ j6k |aj| > d ∑ j>0 |aj| = d|f |l1 sledi ∑ j6l |aj| > d ∑ j>0 |aj| = d|f |l1 , za svako l > k, i tako za uslove (b) i (c). Odatle proisti~e da je uslov "imati koncen- tracijuunuli"najja~i. Izsvatriuslovasledidakoncentracijadpovla~ikoncentraciju d′ kad god je 0 < d′ < d. Doka`imo sada da (a) ⇒ (c) ⇒ (b). Po{to je |f |l1 > ‖f‖∞ to (a)⇒ (c) sa istim d i istim k. Doka`imo najpre da je |f |l2 > 1√n+1 |f |l1 . To sledi iz ~iwenice da je aritmeti~ka sredina nenegativnih brojeva mawa ili jednaka od wihove kvadratne sredine, tj. |a0|+ |a1|+ · · ·+ |an| n+ 1 6 √ |a0|2 + |a1|2 + · · ·+ |an|2 n+ 1 ⇒ |f |l2 > 1√ n+ 1 |f |l1 . (3.10) 35 Sada pretpostavimo da je (c) ta~no, tj. ∑ j6k |aj| > d‖f‖∞. Tada je prema (3.10) (∑ j6k |aj|2 ) 1 2 > 1√ k + 1 ∑ j6k |aj| > d√ k + 1 ‖f‖∞ > d√ k + 1 |f |l2 jer je ‖f‖∞ > |f |l2 , {to zna~i da je (b) ta~no. Dokaz je zavr{en. I Napomena2. Izprimeraf(z) = 1+z+z2, k = 0, d > 1 2 sevididaiz (b)nesledi (a). Iz svega re~enog i dokazanog u prethodnom tvr|ewu proisti~e da je uslov (b) najop{tiji na~in merewa koncentracije u odnosu na l1, l2 i ∞-normu. Zato je i najcelishodnije ispitivati najboqe dowe granice i ekstremalne funkcije Jensenovog funkcionala u slu~aju kada je koncentracija merena l2-normom. Slede}u opservaciju treba imati na umu: Opservacija 3.2. AkoAko je f(z) analiti~ka funkcija tj. polinom sa ‖f‖∞ = 1, tada su slede}i uslovi ekvivalentni: (1) ∑ j6k |aj| > d‖f‖∞ = d; (2) (∑ j6k |aj|p ) 1 p > d‖f‖∞ = d, p ∈]1, 2[; (3) (∑ j6k |aj|2 ) 1 2 > d‖f‖∞ = d. Sada je vreme za opservaciju koja se odnosi na grani~ni slu~aj koncentracije d = 1. Ako je u (3.1) ili (3.3) d = 1 tada je o~igledno funkcija tj. polinom f(z) ta~no stepena k i onda je pitawe dowih granica i ekstremalnih funkcija dato u [29]. Opservacija 3.3. Ako funkcija f(z) ima koncentraciju d = 1 u stepenu k merenu l1- normom u odnosu na ‖ · ‖∞-normu funkcija tj. polinom ne mora biti ta~no stepena k. U tu svrhu imamo primer. Neka je f(z) = 1− 2z − z2. Imamo da je f(eiθ) = 1− 2eiθ − e2iθ = (1− 2 cos θ − cos 2θ) + i(−2 sin θ − sin 2θ) odakle je ∣∣f (eiθ)∣∣2 = (1− 2 cos θ − cos 2θ)2 + (−2 sin θ − sin 2θ)2 = 6− 2 cos 2θ ⇒ max θ ∣∣f (eiθ)∣∣ = 2√2. Sada uslov za koncentraciju d = 1 u stepenu k = 1 glasi |1|+ | − 2| > 1 · 2 √ 2⇔ 3 > 2 √ 2⇔ 9 > 8, {to je ta~no. Me|utim, nije stepen funkcije f(z) jednak 1, jer je 1− 2z 6= 1− 2z − z2. 36 Opservacija 3.4. Ovde }emo detaqnije raspraviti pitawe najboqe dowe granice i ekstremalne funkcije kada je data koncentracija u stepenu k = 0. Neka je dat skup analiti~kih funkcija ili samo polinoma jedini~ne norme koji imaju koncentraciju d ∈]0, 1[ u stepenu k = 0 merenu na primer l1-normom u odnosu na l1-normu. Uslov za koncentraciju u stepenu k = 0 glasi: |a0| > d. (3.11) Tada je zbog Jensenove klasi~ne nejednakosti J(f) > log |f(0)| = log |a0| > log d = i. (3.12) Ako je u (3.11) ispuwena jednakost, tada prema (3.12) sledi J(f) > log |a0| = log d = i. J Odavde zakqu~ujemo da li postoji ili ne postoji ekstremalna funkcija. Ako d ∈ [1 2 , 1[ funkcija f(z) prema opservaciji 3.1 nema nula u otvorenom jedini~nom disku i za wu Jensenova nejednakost postaje jednakost, te je ekstremalna. Ona ostaje ekstremalna i kada se pomno`i kompleksnom konstantom modula 1. Zna~i, ako u (3.11) va`i jednakost i ako d ∈ [1 2 , 1[ tada je svaka spoqa{wafunkcija pomno`ena konstantom modula1ekstremalnafunkcijainajboqadowagranica jeJ (takvefamilije)= log d = i. Zna~i, tada ima beskona~no ekstremalnih funkcija i lako ih je dobiti. Neka sada d ∈]0, 1 2 [. Koristimo [44]: postoji prirodan brojm > 2 tako da je 2−m 6 d < 2−m+1. Onda defini{emo ρ := d2 m−1 1−d2m−1 i funkciju f(z) = (z + ρ)(z + 1) m−1 . Ako u (3.11) va`i jednakost onda je opet i = log d i J(f) = log d. Zaista, zbog 1 = |f |l1 = f(1) = (1 + ρ)2m−1 i jednakosti u (3.11) proisti~e |a0| = dρ(1 + ρ)2m−1 = d i a0 = f(0) = ρ, te je (f je spoqa{wa funkcija) J(f) = log |f(0)| = log |a0| = log |ρ| = log d. Dokaz konstrukcije ekstremalne funkcije u ovom slu~aju je zavr{en. U slu~aju da u (3.11) ne va`i jednakost tada o~igledno problem nema ekstremalnu funkciju. I U nastavku izla`emo jedan od analiti~kih metoda kako se dokazuje kona~nost infi- muma brojnog skupa {J(f) : f ima neku koncentraciju}. Teorema 3.4. Neka je f(z) = ∑ j>0 ajz j 6= 0 analiti~ka funkcija ili samo polinom koji ima koncentraciju d ∈]0, 1[ u najvi{e stepenu k ∈ N merenu lp-normom u odnosu na lp-normu, ako je 1 6 p 6 2. Tada je 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > sup 1 sup 10 , i ∫ log |f |>0 = 1 2 ∫ log |f |>0 log |f |2 dθ 2pi < 1 2 ∫ log |f |>0 |f |2 dθ 2pi < 2pi∫ 0 |f |2 dθ 2pi = 1 2 ‖f‖2L2 = 1 2 |f |2l2 < 1 2 |f |2lp = 1 2 38 jer je lp-norma opadaju}a po p. Navedene funkcije se onda dobijaju uvo|ewem smene t = 1+r 1−r . Stavqaju}i t = 2 i 1 < p 6 2, dobijamo ocenu iz [5]: J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > 2 log d e · 3k+1 . Zna~aj ove ocene je {to se umesto prvog ~lana u klasi~noj Jensenovoj nejednakosti javqa k+1~lan. Ovajrezultatpokazujedabrojniskup{J(f)} gdef(z)imanekukoncentraciju, ima kona~an infimum i = id,k,p, koji zavisi samo od d, k i p. Uzimaju}i p = 2 u funkciji fd,k,p(t) dobijenoj u Teoremi 3.5 dobijamo funkciju fd,k,2(t) = t log 2d t− 1 √ t( t+1 t−1 )2k+2 − 1 − 12t2, kao odgovor na pitawe postavqeno u [4], strana 223. Ova funkcija je dobijena kada se pretpostavi da polinom ima najop{tiju koncentraciju (pogledati Napomenu 2). Iz slede}e teoreme i posledica 10, 11 i 12 sledi da ta ocena nije najboqa mogu}a. Teorema 3.6. Neka je f(z) polinom kao u Teoremi 3.4. Tada postoji tk ∈]1, 3]tako da je 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > fd,k(tk) > { 2 log d e·3k+1 , 1 < p 6 2 2 log d 3k+1 , p = 1 . JNajpre vidimo da je lim t→1+ fd,k(t) = −∞ i da funkcija fd,k(t) ima oblik fd,k(t) = t log d+ t(k + 1) log(t− 1)− t(k + 1) log(t+ 1)− t 2 2 , 1 < p 6 2. Nalazimo prvi, drugi i tre}i izvod: f ′d,k(t) = log d+ (k + 1) log(t− 1)− (k + 1) log(t+ 1) − t+ t(k + 1) ( 1 t− 1 − 1 t+ 1 ) f ′′d,k(t) = 2(k + 1) t− 1 − 2(k + 1) t+ 1 − 1 + t(k + 1) ( 1 (t+ 1)2 − 1 (t− 1)2 ) f ′′′d,k(t) = 3(k + 1) (t+ 1)2 − 3(k + 1) (t− 1)2 + 2t(k + 1) ( 1 (t− 1)3 − 1 (t+ 1)3 ) . Jasno je da je lim t→1+ f ′′d,k(t) = −∞ i f ′′d,k(3) < 0. Po{to je f ′′′d,k(t) > 0, t ∈]1, 3], sledi da je f ′′d,k(t) < 0, {to zna~i da f ′ d,k(t) opada. Tako|e vidimo da je lim t→1+ f ′d,k(t) = +∞. Zna~i, postoji ta~no jedna vrednost tk ∈]1, 3] tako da je f ′d,k(tk) = 0 ili f ′d,k(t) > 0 za sve t ∈]1, 3]. Time je teorema dokazana. Slu~aj p = 1 se mo`e sli~no razmatrati. I 39 Posledica 3.1. Neka je f(z) polinom kao u Teoremi 3.4. Tada za svako d ∈]0, 1] i k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} postoji tk ∈]1, 2[, tako da je 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > fd,k(tk) > 2 log d e · 3k+1 , 1 < p 6 2. Za slu~aj p = 1 sli~an rezultat ne va`i. JPo{to je f ′d,k(3) = 4 3 k − 2 3 − (k + 1) log 3 + log d = 0, 235k − 1, 773 + log d, log 3 = 1, 098 sledi da je f ′d,k(2) < 0, za svako d ∈]0, 1] i k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Dakle, max 1 fd,k(2) = 2 log d e · 3k+1 . Ako je p = 1, imamo f ′d,k(2) = ( 4 3 − log 3 ) k + ( 4 3 − log 3 ) + log d = 0, 235k + 0, 235 + log d, {to je promenqivog znaka. I Posledica 3.2. Neka je f(z) polinom kao u Teoremi 3.4. Tada za svako d ∈]0, 1] postoji k1 ∈ Ntako da je za k > k1: 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > fd,k(3) = { 3 log d e 3 2 2k+1 , 1 < p 6 2 3 log d 2k+1 , p = 1 , > { 2 log d e·2k+1 , 1 < p 6 2 2 log d 3k+1 , p = 1 . JPo{to je f ′d,k(3) = 3 4 k − 9 4 − (k + 1) log 2 + log d = 0, 057k − 2, 943 + log d, to je max 1 0. Dakle, sledi da je k1 = [ 9 4 + log 2− log d 3 4 − log 2 ] = [51, 634− 17, 543 log d]. Analogno za p = 1 postoji odgovaraju}e k1. I 40 Posledica 3.3. Neka je f(z) polinom kao u Teoremi 3.4. Tada za svako d ∈]0, 1] i k ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 50, 51}, postoji tk ∈]1, 3], tako da je 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > fd,k(tk) > fd,k(3) = 3 log d e 3 22k+1 , 1 < p 6 2. J To o~igledno sledi iz jednakosti f ′d,k(3) = 3 4 k − 9 4 − (k + 1) log 2 + log d = 0, 057k − 2, 943 + log d, 1 < p 6 2. Po{to za p = 1 imamo f ′d,k(3) = 0, 057k + 0, 057 + log d, sledi da zakqu~ak nije isti kao u slu~aju 1 < p 6 2. I 3.1.2 Asimptotske ocene dowe me|e U teoremama 3.4, 3.5 i 3.6 na{li smo nekoliko vrsta funkcija koje dokazuju da brojni skup {J(f)} ima kona~nu dowu me|u i pod uslovom da f(z) ima koncentraciju d ∈]0, 1[ u stepenu k merenu lp-normom u odnosu na lp-normu. Jo{ smo pretpostavili ({to ne uti~e na op{tost) da je lp- norma svakog polinoma jednaka jedan. Naravno, dowa me|a i = id,k,p zavisi samo odfiksiranih konstanti d, k i p. U ovoj podsekciji oceni}emo asimptotski sa obe strane veli~inu id,k,p, d ∈]0, 1[, p ∈]1, 2], ik → +∞. Naime, dokaza}emo slede}u teoremu. Teorema 3.7. Za najboqu konstantu tj. najboqu dowu granicu id,k,p za dovoqno veliko k va`i: −2k 6 id,k,p 6 −2k log 2. JNajpre, predstavimo funkciju fd,k,p(t) u obliku fd,k,p(t) = hd,p(t) + gk(t)− t p · log ( 1− ( t− 1 t+ 1 )p(k+1)) , gde su hd,p(t) = t · log d− 1 2 t2 + t p · log((t+ 1)p − (t− 1)p) gk(t) = kt · log(t− 1)− (k + 1)t · log(t+ 1). O~igledno je fd,k,p(t) > hd,p(t) + gk(t), t > 1. Pokaza}emo da funkcija hd,p(t) + gk(t) uzima svoju maksimalnu vrednost u jedinstvenoj ta~ki tk takvoj da tk → +∞ ako i samo ako k → +∞. Ra~unamo maksimum samo funkcije hd,p(t) + gk(t), jer kada tk → +∞ 41 (k → +∞) preostali sabirak t p · log((t + 1)p − (t − 1)p) je zanemarqiv. U navedenu svrhu, na|imo izvode funkcija hd,p(t) i gk(t). Imamo g′k(t) = −(k + 1) · log(t+ 1) + k · log(t− 1)− (k + 1)t t+ 1 + kt t− 1; g′′k(t) = − (t− 1)2(t+ 2) + 4k (t2 − 1)2 < 0 h′d,p(t) = log d− t+ 1 p · log((t+ 1)p − (t− 1)p) + t · (t+ 1) p−1 − (t− 1)p−1 (t+ 1)p − (t− 1)p ; h′′d,p(t) = −1 + 2 · (t+ 1)p−1 − (t− 1)p−1 (t+ 1)p − (t− 1)p + t(p− 1) A2(t) ([ (t+ 1)p−2 − (t− 1)p−2]A(t)− p [(t+ 1)p−1 − (t− 1)p−1]2) , gde jeA(t) = (t+ 1)p − (t− 1)p. Po{to p ∈]1, 2], t > 1, stoga je h′′d,p(t) < 0⇔ −1 + 2 · (t+ 1)p−1 − (t− 1)p−1 (t+ 1)p − (t− 1)p < 0. Ali to je ta~no⇔ ϕp(t) < 0, gde je ϕp(t) = 2(t+ 1) p−1 − 2(t− 1)p−1 − (t+ 1)p + (t− 1)p. Sada nalazimo da je ϕ′p(t) = 2(p− 1) [ (t+ 1)p−2 − (t− 1)p−2]+ p [(t− 1)p−1 − (t+ 1)p−1] < 0. To pokazuje da je h′′d,p(t) + g ′′ k(t) < 0. Po{to je lim t→1+ (h′d,p(t) + g ′ k(t)) = +∞ i lim t→+∞ (h′d,p(t) + g ′ k(t)) = −∞, jedna~ina h′d,p(t) + g ′ k(t) = 0 ima ta~no jedno re{ewe tk. Iz we dobijamo sa t = tk, k = (t2 − 1) · log(t+ 1) + t2 − t− (t2 − 1)h′d,p(t) 2t+ (t2 − 1) · log(t− 1)− (t2 − 1) · log(t+ 1) , odakle i sledi da tk → +∞⇔ k → +∞. Zapisuju}i log(t ± 1) = log t + log(1 ± 1 t ), (t ± 1)p = tp(1 ± 1 t )p i razvijaju}i po Tejlorovoj formuli bar do stepena 3 kad k → +∞, dobijamo asimptotsku ocenu k ∼ 3 4 t4k. (3.13) 42 Sve {to treba da poka`emo je da su vrednosti funkcija fd,k,p(t) i hd,p(t) + gk(t) u ta~ki tk asimptotski jednake. Da bismo se u to uverili izra~unajmo fd,k,p(tk) koriste}i ocenu (3.13) i asimptotske razvoje za log(1± 1 t ) i (1± 1 t )p. Imamo fd,k,p(tk) ∼ hd,p(tk) + gk(tk) = ( −1 2 t2k ) (1 + o(1)) + (−2k)(1 + o(1)) = (−2k) ( 1 + o(1) + t2k 4k ) = (−2k)(1 + o(1)) ∼ −2k, jer je t2k 4k ∼ t2k 4· 3 4 t4k = 1 3t2k → 0, k → +∞. Ovo dokazuje asimptotsku ocenu id,k,p > fd,k,p(tk) ∼ −2k, k → +∞ za svako fiksirano d ∈]0, 1[ i svako fiksirano p ∈]1, 2]. Ako je p = 1, iz [4], znamo da je k ∼ 3 4 t3k log tk, k → +∞. Prime}ujemo da su za dovoqno veliko k konstante d i p "ispale" iz igre. Ostaje da do|emo do gorwe ocene dowe me|e id,k,p kad k → +∞. Zato posmatrajmo polinom g(z) = 1|g1|lp · g1(z) gde je g1(z) = ( 1 2 + z 2 )2k+1. Koriste}i osobine binomnih koeficijenata, dobijamo da polinom g(z) ima koncentraciju d 6 2− 1 p u stepenu k, merenu lp-normom u odnosu na lp-normu i ima jedini~nu lp-normu. Dakle, zadovoqava uslove Teoreme 3.5. Zaista, iz uslova za tu koncentraciju∑ j6k 1 |g1|plp · 2(2k+1)p ( 2k + 1 j )p > dp ∑ j>0 1 |g1|plp · 2(2k+1)p ( 2k + 1 j )p , sledi ∑ j6k 1 2(2k+1)p ( 2k + 1 j )p > dp2 · ∑ j>0 1 2(2k+1)p ( 2k + 1 j )p , tj. 0 < d < 2− 1 p . Me|utim, konstantni ~lan je 1 |g1|plp ·2(2k+1)p , jedina nula je −1, tako da Jensenova formula daje 2pi∫ 0 log ∣∣g (eiθ)∣∣ dθ 2pi = −(2k + 1) log 2− log |g1|lp = (−2k log 2)(1 + o(1)) ∼ −2k log 2, kad k → +∞. Dakle, imamo asimptotski: id,k,p 6 −2k · log 2, kad k → +∞, za svako d ∈ ] 0, 2− 1 p ] izasvakop ∈]1, 2]. Istaocena jeta~naiuslu~ajup = 1, alibezograni~ewa za d ([4]). Teorema je u potpunosti dokazana. I Napomena 3. Ako je k = 0 onda u prethodnom slu~aju dobijamo da je fd,0,p(t) = t log d− 1 2 t2, 1 < p 6 2, d ∈]0, 1[, t > 1. 43 Ovafunkcija imamaksimalnu vrednost log d− 1 2 , dakle, zavisi samoodd, k ip alitonije najboqa dowa granica. Boqa vrednost je log d ali wu ne reprodukuje funkcija fd,k,p(t) kao u slu~aju p = 1. [to se ti~e ekstremalne funkcije, maksimum log d dostignut je ako i samo ako je |a0| = d (pogledati opservaciju 3.4). Napomena 4. U slu~aju da polinom ima koncentraciju merenu lp-normom u odnosu na lp-normu za p > 2 nismo za sada na{li pogodnu funkciju kao u slu~aju p ∈ [1, 2]. Jo{ jednom se pokazuje uticaj broja 2 na odnos lp- i Lp-normi. U slede}oj teoremi na{li smo adekvatnu funkciju ali je koncentracija merena u odnosu na dve razli~ite norme. Navodimo rezultat o tome. Definicija 3.2. Neka je f(z) = n∑ j=0 ajz j 6= 0 polinom sa kompleksnim koeficijentima i saLp-normom: ‖f‖Lp = ( 2pi∫ 0 |f(eiθ)|p dθ 2pi ) 1 p . Neka su daqe d ∈]0, 1[ i k ∈ Nfiksirani. Ka`emo da f(z) ima koncentraciju d u najvi{e stepenu k, merenu lp-normom u odnosu na Lp-normu, p > 2, ako va`i slede}e:(∑ j6k |aj|p ) 1 p > d ·  2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi  1 p = d · ‖f‖Lp . (3.14) Uslov (3.14) je mogu} zbog relacija ‖f‖Lp > |f |lp > (∑ j6k |aj|p ) 1 p kad god je p > 2. U nastavku }emo ispitivati najboqe dowe granice Jensenovog funkcionala J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣∣ f(eiθ)‖f‖Lp ∣∣∣ dθ2pi za polinome koji zadovoqavaju (3.14). Zato }emo u nastavku pretpostaviti da je ‖f‖Lp = 1. (3.15) Teorema 3.8. Neka je f(z) = n∑ j=0 ajz j 6= 0 polinom koji zadovoqava (3.14) i (3.15). Tada postoji funkcija fd,k,p(t) = t log d ( 1− ( t+1 t−1 )p 1− ( t+1 t−1 )p(k+1) ) 1 p − 1 p t2, t > 1 (3.16) takva da je J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > fd,k,p(t) za svako t > 1. J Za dokaz ove teoreme koristi}emo slede}e dobro poznate ~iwenice: 10 j = 0, 1, 2, · · · ⇒ aj = 2pi∫ 0 f(reiθ) rjeijθ dθ 2pi za neko r ∈]0, 1[; 44 20 |aj| 6 |f(z0)| · 1rj , ∀j, gde je |f(z0)| = max{|f(z)| : |z| = r}; 30 Klasi~na Jensenova nejednakost i dobro poznata transformacija: log |f(z0)| 6 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣f ( z0 + eiθ1 + z0eiθ )∣∣∣∣ dθ2pi = 2pi∫ 0 1− r2 |1− z0eiθ|2 · log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi gde je |z0| = r; 40 Za 0 < r < 1 sledi 1−r 1+r 6 1−r2|1−z0eiθ|2 6 1+r 1−r , gde je |z0| = r; 50^esto kori{}eno razbijawe 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi = ∫ log |f |<0+ ∫ log |f |>0 bez koga bi se te{ko do{lo do pogodne funkcije kao doweg ograni~ewa; Sada imamo d 6 (∑ j6k |aj|p ) 1 p 6 |f(z0)| · ( 1− 1 rp(k+1) 1− 1 rp ) 1 p . (3.17) Iz 30 zakqu~ujemo 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣f ( z0 + eiθ1 + z0eiθ )∣∣∣∣ dθ2pi > log |f(z0)|, tj. 2pi∫ 0 1− r2 |1− z0eiθ|2 · log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > log |f(z0)| (3.18) Po{to f(z) zadovoqava (3.15), tada je∫ log |f |>0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi = 1 p ∫ log |f |>0 log ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi < 1 p ∫ log |f |>0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi 6 1 p 2pi∫ 0 ∣∣f (eiθ)∣∣p dθ 2pi = 1 p ‖f‖pLp = 1 p . Koriste}i 40 i 50 u relaciji (3.18), dobijamo: log |f(z0)| 6 2pi∫ 0 1− r2 |1− z0eiθ|2 · log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi = ∫ log |f |>0 1− r2 |1− z0eiθ|2 · log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi + ∫ log |f |<0 1− r2 |1− z0eiθ|2 · log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi 6 1 p · 1 + r 1− r + 1− r 1 + r 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi . 45 Iz posledwe relacije i relacije (3.17) proisti~e 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > 1 + r 1− r · log d ( 1− 1 rp 1− 1 rp(k+1) ) 1 p − 1 p · ( 1 + r 1− r )2 . Na kraju, stavqaju}i t = 1+r 1−r u prethodnoj nejednakosti dobijamo tvr|ewe Teoreme (3.8). Napomena 5. Stavqaju}i, na primer, t = 2, dobijamo grubu ocenu: J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > 2 · log d ( 3p − 1 3p(k+1) − 1 ) 1 p − 4 p koja je neka generalizacija klasi~ne Jensenove nejednakosti za polinome koji zadovol- javaju (3.14) i (3.15). Odatle sledi da postoji id,k,p := inf  2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi : f zadovoqava (3.14)i (3.15)  . Za k = 0, funkcija fd,0,p = t · log d − 1pt2, ima maksimum log d − 1p . Dakle, id,0,p > log d − 1p , ali kao u napomeni 3 imamo da taj maksimum nije dowa me|a. Na snazi su i ovde ~iwenice iz navedene napomene. I Teorema 3.9. Najboqa konstanta id,k,p zadovoqava lim k→+∞ id,k,p −2k 6 1, tj. −2k 6 id,k,p asimptotski kad k → +∞, za svako d ∈]0, 1[ i svako p > 2. JO~igledno je lim t→1+ fd,k,p(t) = −∞ i lim t→+∞ fd,k,p(t) = −∞; zato maksimum postoji. Zapi{imo zatim funkciju fd,k,p(t) u obliku: fd,k,p(t) = ϕd,k,p(t)− t p log ( 1− ( t− 1 t+ 1 )p(k+1)) gde je ϕd,k,p(t) = t log d− kt log(t+ 1) + kt log(t− 1) + t p log ( 1− ( t− 1 t+ 1 )p) − 1 p t2. Po{to je 0 < t−1 t+1 < 1, stoga je log ( 1− ( t−1 t+1 )p(k+1)) < 0 i tada je fd,k,p(t) > ϕd,k,p(t) , t > 1. 46 Sada }emo dokazati da funkcija ϕd,k,p(t) uzima maksimalnu vrednost u ta~ki tk tako da tk → +∞, kada k → +∞. Neka je gk(t) = kt log(t− 1)− kt log(t+ 1), hd,p(t) = t log d+ t p log ( 1− ( t− 1 t+ 1 )p) − 1 p t2. Uzimaju}i prvi i drugi izvod funkcija gk(t) i hd,p(t) dobijamo: g′k(t) = k log(t− 1)− k log(t+ 1) + 2kt t2 − 1 , g′′k(t) = − 4k (t2 − 1)2 , (3.19) h′d,p(t) = log d+ 1 p log(1− up)− 2t t2 − 1 · up 1− up − 2 p t, h′′d,p(t) = 4 (t2 − 1)2 · up 1− up · 1− up − pt 1− up − 2 p , gde je u = t−1 t+1 , 0 < u < 1. Ozna~avaju}i A(t) = 1 − up − pt sledi A′(t) = −p (up · 2 t2−1 + 1 ) < 0. Po{to je lim t→1+ A(t) < 0, stoga jeA(t) < 0 za svako t > 1. Odatle i iz (3.19) dobijamoϕ′′d,k,p(t) < 0 za svako t > 1. Kako je lim t→1+ ϕ′d,k,p(t) = +∞ i lim t→+∞ ϕ′d,k,p(t) = −∞, to postoji tk > 1 takvo da je ϕ′d,k,p(t) = 0. Iz jedna~ine ϕ ′ d,k,p(t) = 0 za t = tk, dobijamo k = (t2 − 1)h′d,p(t) (t2 − 1) log(t+ 1)− (t2 − 1) log(t− 1)− 2t , odakle se lako zakqu~uje da tk → +∞ ako i samo ako k → +∞. Zapisuju}i log(t ± 1) = log t + log (1± 1 t ) , (t ± 1)p = tp (1± 1 t )p i primewuju}i razvoj po Tejlorovoj formuli bar do tre}eg stepena, kad t→ +∞, dobijamo: log(t+ 1)− log(t− 1)− 2t t2 − 1 = − 4 3t3 (1 + o(1)) ∼ − 4 3t3 , h′d,p(t) = − 2t p (1 + o(1)) ∼ −2t p . Sledi da je k ∼ 3t4 2p kad t→ +∞. Odatle proisti~e da se ~lan t p log ( 1− ( t− 1 t+ 1 )p(k+1)) mo`e zameniti za t = tk, kad k → +∞. Ostaje da poka`emo da su vrednosti funkcija fd,k,p(t) i ϕd,k,p(t) u ta~ki tk asimptotski iste. U tu svrhu izra~unajmo fd,k,p(tk): fd,k,p(tk) ∼ ϕd,k,p(tk) = gk(tk) + hd,p(tk) 47 =ktk log ( 1− 1 tk ) − ktk log ( 1 + 1 tk ) + tk log d + tk p log (( 1 + 1 tk )p − ( 1− 1 tk )p) − tk log ( 1 + 1 tk ) − 1 p t2k =− 2k · ( 1− tk 2k log d+ 1 3t2k − tk 2kp log 2p+ tk 2kp log tk − (p− 1)(p− 2) 12kpt2k + 1 2k − 1 4kt2k + 1 6kt2k + t2k 2kp + o ( 1 t2k )) =− 2k(1 + o(1)) ∼ −2k, jer je t ∼ (2kp 3 ) 1 4 kad t→ +∞. Time smo dokazali asimptotsku ocenu id,k,p > fd,k,p(tk) ∼ −2k , k → +∞, za svako d ∈]0, 1[ i za svako p > 2, tj. lim k→+∞ id,k,p −2k 6 1. U nastavku }emo dobiti i gorwu granicu za najboqu dowu me|u id,k,p: Teorema 3.10. Najboqa konstanta id,k,p zadovoqava: lim k→+∞ id,k,p −2k > log 2, tj. id,k,p 6 −2k log 2, asimptotski, kad k → +∞. JUzmimopolinomf(z) = 1‖f‖Lp ·f1(z), gde jef1(z) = ( 1 + z 2 )2k+1 . Onzadovoqava (3.15)ipremaosobinamabinomnihkoeficijenatadobijasedaimakoncentracijud 6 1p√2 u stepenu k, merenu lp-normom u odnosu naLp-normu (p > 2). Zaista, iz(∑ j6k ∣∣∣∣ 1‖f‖Lp · 22k+1 ( 2k + 1 j )∣∣∣∣p ) 1 p > d · ‖f‖Lp = d > d · (∑ j>0 ∣∣∣∣ 1‖f‖Lp · 22k+1 ( 2k + 1 j )∣∣∣∣p ) 1 p , ( p > 2⇒ ‖f‖Lp > |f |lp ) , sledi ∑ j6k ∣∣∣∣ 1‖f‖Lp · 22k+1 ( 2k + 1 j )∣∣∣∣p > 2 · dp∑ j6k ∣∣∣∣ 1‖f‖Lp · 22k+1 ( 2k + 1 j )∣∣∣∣p , tj. d 6 1p√2 . 48 Ali konstantni ~lan je 1 ‖f‖Lp · 1 22k+1 , jedina nula je−1, tako da Jensenova formula daje: 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi = −(2k + 1) log 2− log ‖f‖Lp = (−2k log 2)(1 + o(1)) ∼ −2k log 2, k → +∞. Dakle, imamo asimptotski: id,k,p 6 −2k log 2, kad k → +∞, za svako d ∈ ] 0, 1 p √ 2 ] , i za svako p > 2. I Napomena 6. Na osnovu Teorema 3.9 i 3.10 sledi: Za svako fiksirano d ∈]0, 1[ i fiksirano p > 2 imamo −2 6 lim k→+∞ id,k,p k 6 id,k,p k 6 lim k→+∞ id,k,p k 6 −2 log 2. Do sada smo ispitivali najboqu dowu granicu Jensenovog funkcionala ako anal- iti~ka funkcija Hardijevog prostora H1 ili samo neki polinom ima koncentraciju prvenstveno merenu nekom normom u odnosu na tu istu ili neku drugu normu. Za takve slu~ajeve dokazali smo da odgovaraju}i brojni skup {J(f)} ima kona~nu dowu me|u u oznaci id,k,p ili id,k u zavisnosti od toga koliko fiksiranih konstanti u~estvuje u definiciji koncentracije. Osim u slu~aju k = 0 koji je detaqno raspravqen nismo bili u stawu da u ostalim slu~ajevima (misli se za k > 0) da eksplicitno na|emo id,k,p koje bi zavisilo samo od tih konstanti. Me|utim, dokazali smo da postoji interval [−2k,−2k log 2] koji sadr`i i za sve vrste koncentracija koje smo razmatrali, u slu~aju da je k dovoqno veliko. To drugim re~ima zna~i da je −2 6 lim k→+∞ id,k,p k 6 id,k,p k 6 lim k→+∞ id,k,p k 6 −2 log 2. U nastavku }emo istra`iti kako stoje "stvari" u slu~aju da se koncentracija poli- noma meri nekom kvazi-normom (koju smo ranije uveli), tj. ako je za polinom f(z) = n∑ j=0 ajz j 6= 0, ispuweno: ∑ j6k |aj|p > d · ∑ j>0 |aj|p, 0 < p < 1. (3.20) Kao i kod ostalih slu~ajeva, mo`emo polinom normirati, tj. uze}emo da je ‖f |lp = ∑ j>0 |aj|p = 1. (3.21) Za ovu situaciju imamo teoremu: 49 Teorema 3.11. Neka je f(z) = n∑ j=0 ajz j 6= 0 polinom koji zadovoqava (3.20) i (3.21). Tada postoji funkcija fd,k,p(t)tako da je J(f) = 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > id,k,p = max t>1 fd,k,p(t), gde je fd,k,p(t) = t · log ( d (( t+1 t−1 )p − 1)( t+1 t−1 )p − 1 ) 1 p . J Za dokaz teoreme koristimo najpre formulu za aj , zatim nejednakost |aj| 6 |f(z0)| 1rj , gde je |f(z0)| = max|z|=r |f(z)|, klasi~nu Jensenovu nejednakost i poznatu transformaciju log |f(z0)| 6 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣f ( z0 + eiθ1 + z0eiθ )∣∣∣∣ dθ2pi = 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ 1− r2|1− z0eiθ|2 dθ2pi , (3.22) gde je |z0| = r, poznatu dvostruku nejednakost kori{}enu i u slu~aju norme i korisno razlagawe Lebegovog integrala kao 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi = ∫ log |f |<0 + ∫ log |f |>0 . Daqe imamo d 6 ∑ j6k |aj|p 6 ∑ j6k 1 rjp · |f(z0)|p = 1− r −p(k+1) 1− r−p · |f(z0)| p. (3.23) Iz (3.22) (klasi~ne Jensenove nejednakosti) dobijamo log |f(z0)| 6 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣f ( z0 + eiθ1 + z0eiθ )∣∣∣∣ dθ2pi tj. 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ 1− r2|1− z0eiθ|2 dθ2pi > log |f(z0)|. (3.24) Po{to je ∣∣f (eiθ)∣∣p = ∣∣∣∣∣ n∑ j=0 aje ijθ ∣∣∣∣∣ p 6 ( n∑ j=0 |aj| )p 6 n∑ j=0 |aj|p = 1, 50 stoga je |f(eiθ)| 6 1, tj. 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi = ∫ log |f |<0 (zna~i drugi sabirak i{~ezava). Odatle i po{to je 1− r 1 + r 6 1− r 2 |1− z0eiθ|2 to iz (3.20),(3.23),(3.24) sledi 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ)∣∣ dθ 2pi > 1 + r 1− r · ( d1− r−p 1− r−p(k+1) ) 1 p . Kona~an oblik funkcije fd,k,p(t) dobijamo posle smene t = 1+r 1−r . I 3.2 Jensenova formula i polinomi vi{e promenqivih Na kraju }emo se osvrnuti na koncentraciju polinoma vi{e promenqivih. Najpre navodimo osnovne pojmove takvih polinoma i neka pitawa u vezi sa tim. Neka su f(x1, . . . , xn) = ∑ α aαx α1 · · · xαn i g(x1, . . . , xn) = ∑ β bβx β1 · · ·xβn , (3.25) α = (α1, . . . , αn), β = (β1, . . . , βn), polinomi sa n promenqivih x1, . . . , xn, i sa kom- pleksnim koeficijentima. Pored uobicajenih normi koje se uvode za polinome jedne promenqive, navodimoinormekarakteristi~nezaovuvrstupolinoma. Ako jenaprimer f polinom n-promenqivih iz (3.25) tada je sa |f |lp = (∑ α ( α! m! )p−1 |aα|p ) 1 p , gde jem totalni stepen od f , i α! = α1! · · ·αn!. Odnos ove norme i klasi~ne lp-norme je( 1 m! )1− 1 p |f |lp 6 [f ]lp 6 |f |lp . (3.26) Istaknimo sada koja su pitawa najvi{e od interesa kada se razmatraju razne norme u prostoru polinoma bez obzira da li su sa jednoom ili vi{e promenqivih. Znamo da je | · |lp- norma opadaju}a funkcija promenqive p > 1 a ‖ · ‖Lp- norma je rastu}a funkcija, tj. ako je f polinom stepenam, tada p < q ⇒ { |f |lq 6 |f |lp ‖f‖Lp 6 ‖f‖Lq . Va`no je daqe znati da li u svakom od ovih slu~ajeva postoje konstante Cm,p,q iDm,p,q koje zavise samo od stepenam i brojeba p, q > 1 takve da je p < q ⇒ { Cm,p,q|f |lp 6 |f |lq 6 |f |lp Dm,p,q‖f‖Lq 6 ‖f‖Lp 6 ‖f‖Lq . 51 Odgovor je pozitivan u slu~aju ‖ · ‖Lp-norme a negativan kada je u pitawu | · |lp-norma. Ta i sli~na pitawa su od posebne va`nosti za polinome vi{e promenqivih. Na primer ocewivawe bilo koje od poznatih normi proizvoda dva polinoma. Recimo, jasna je ocena ‖f · g‖ 6 ‖f‖ · ‖g‖ koja je karakteristika svake Banahove algebre. Me|utim, ocena odozdo nije o~igledna, tj. λ‖f‖ · ‖g‖ 6 ‖f · g‖, (3.27) gde λ zavisi od broja promenqivih (slu~aj polinoma vi{e promenqivih) ili od nekih specifi~nih pretpostavki za polinome f i g (slu~aj jedne promenqive). Za re{ewe ~uvenog problema "invarijantnog potprostora" P.Enflo je koriste}i koncentraciju polinoma vi{e promenqivih dokazao nejednakost tipa (3.27) za | · |l1- normu. Najpre, neka je f polinom iz (3.25) gde je |α| = α1 + · · · + αn. Tada se ka`e da polinom f ima koncentraciju d ∈]0, 1[ u stepenu k ako je∑ |α|6k |aα| > d ∑ α |aα|. (3.28) Tada je jedna od Teorema iz [21]: Teorema 3.12. Postoji konstantaλ(d, d′, k, k′) > 0takva da za bilokoja dva polinoma f i g, sa koncentracijama d u stepenu k, tj. d′ u stepenu k′, respektivno, va`i |fg|l1 > λ|f |l1|g|l1 . (3.29) Va`nost relacije (3.29) je {to λ ne zavisi od stepena polinoma niti od broja promenqivih. Relacija (3.29) studirana je i za druge norme i dobijena su razli~ita ograni~ewa odozdo. Nave{}emo neke od tih rezultata. Teorema 3.13. Postoji konstanta Cm,n > 0 takva da za bilo koja dva homogena poli- noma f i g vi{e promenqivih, redom stepena m i n, i za bilo koje p, 1 6 p 6 +∞ va`i Cm,n|f |lp |g|lp 6 |f · g|lp 6 2(m+n)(1− 1 p)|f |lp |g|lp . U ovoj Teoremi o konstanti Cm,n nema naro~itih podataka. U slu~aju [·]l2-norme imamo preciznu informaciju: Teorema 3.14. Neka su f i g homogeni polinomi stepenam i n respektivno. Tada je [f · g]l2 > √ m!n! (m+ n)! [f ]l2 [g]l2 , i ova ocena je najboqa mogu}a. Ovaj deo zavr{avamo stvarno lepom ocenom odozdo l1-norme proizvoda: 52 Teorema 3.15. Neka su f i g homogeni polinomi stepena 1, sa realnim koeficijentima. Tada je |f · g|l1 > |f |l1|g|l1 i ova ocena je najboqa mogu}a. Vra}amo se polinomima vi{e promenqivih koji imaju koncentraciju, tj. koji zado- voqavaju (3.28). Sli~nokaou slu~aju jednepromenqive, za takvepolinomeispitiva}emo kona~nost najboqe dowe granice Jensenovog funkcionala. Isto kao u slu~aju jedne promenqive, ako je f polinom vi{e promenqivih, kao u (3.25), onda je J(f) = 2pi∫ 0 · · · 2pi∫ 0 f(eiθ1 , . . . , eiθn) dθ1 2pi . . . dθn 2pi wegov Jensenov funkcional. Vide}emo u nastavku da postojawe dowe granice proisti~e iz ograni~enosti Jensenovog funkcionala odozdo nekom funkcijom vi{e promenqivih, analogno slu~aju jedne promenqive. Definicija 3.3. Neka je f(x1, . . . , xn) = ∑ α aαx α1 · · · xαn polinom od n promenqivih i neka su d ∈]0, 1[, k ∈ N i p > 1 fiksirani brojevi. Tada f ima koncentraciju d u najvi{e stepenu k merenu lp-normom u odnosu na lp-normu, ako je∑ |α|6k |aα|p  1p > d ·(∑ α |aα|p ) 1 p . (3.30) U nastavku }emo pretpostaviti da je lp-norma polinoma f jedinica, tj. pret- postavi}emo |f |lp = (∑ α |aα|p ) 1 p = 1, (3.31) {to ne uti~e na op{tost ispitivawa dowih granica. Teorema 3.16. Neka je f(x1, . . . , xn) = ∑ α aαx α1 · · · xαn polinom koji zadovoqava (3.30) i (3.31). Tada postoji funkcija fd,k,p(t1, . . . , tn)takva da je J(f) > sup X fd,k,p(t1, . . . , tn), gde jeX = {(t1, . . . , tn) : ti > 1, i = 1, n}. J Za bilo koje α = (α1, . . . , αn) i 0 < ri < 1, i = 1, n imamo aα = 2pi∫ 0 · · · 2pi∫ 0 e−i(α1θ1+···+αnθn) rα11 · · · rαnn f ( eiθ1 , . . . , eiθn ) dθ1 2pi · · · dθn 2pi 53 (sli~no kao za polinome jedne promenqive), tj. |aα| 6 n∏ i=1 r−αii |f(z1, . . . , zn)| za neko zi, i = 1, n tako da je |zi| = ri. Odatle sledi da je∑ |α|6k |aα|p  1p 6 |f(z1, . . . , zn)| ∑ |α|6k n∏ i=1 r−pαii  1p , tj. na osnovu (3.31) d 6 |f(z1, . . . zn)| ∑ |α|6k n∏ i=1 r−pαii  1p ⇔ 1 p log dp∑ |α|6k n∏ i=1 r−pαii 6 log |f(z1, . . . zn)|. (3.32) Sada primenom klasi~ne Jensenove nejednakosti (ponavqawem primene) i poznate transformacije sledi: log |f(z1, . . . zn)| 6 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣f ( eiθ1 + z11 + z1eiθ1 , z2, . . . , zn )∣∣∣∣ dθ12pi 6 2pi∫ 0 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣f ( eiθ1 + z11 + z1eiθ1 , e iθ2 + z2 1 + z2eiθ2 , z3, . . . , zn )∣∣∣∣ dθ12pi dθ22pi . . . 6 2pi∫ 0 · · · 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣f ( eiθ1 + z11 + z1eiθ1 , . . . , e iθn−1 + zn−1 1 + zn−1eiθn−1 , zn )∣∣∣∣ dθ12pi · · · dθn−12pi 6 2pi∫ 0 · · · 2pi∫ 0 log ∣∣∣∣f ( eiθ1 + z11 + z1eiθ1 , . . . , e iθn + zn 1 + zneiθn )∣∣∣∣ dθ12pi · · · dθn2pi = 2pi∫ 0 · · · 2pi∫ 0 log ∣∣f (eiθ1 , . . . , eiθn)∣∣ 1− r21|1− z1eiθ1|2 . . . 1− r 2 n |1− zneiθn |2 dθ1 2pi · · · dθn 2pi = ∫ · · · ∫ log |f |>0 + ∫ · · · ∫ log |f |<0 6 n∏ i=1 1− ri 1 + ri ∫ · · · ∫ log |f |<0 + n∏ i=1 1 + ri 1− ri ∫ · · · ∫ log |f |>0 6 n∏ i=1 1− ri 1 + ri ∫ · · · ∫ log |f |<0 + 1 2 n∏ i=1 1 + ri 1− ri . 54 Po{to je 1 < p 6 2 dokaz da je ∫ · · · ∫ log |f |>0 6 1 2 je isti kao kod polinoma jedne promenqive. Dakle, 1 p log dp∑ |α|6k ∏ i = 1nr−pαii 6 n∏ i=1 1− ri 1 + ri · J(f) + 1 2 n∏ i=1 1 + ri 1− ri , tj. posle smene promenqivih ti = 1+ri 1−ri , i = 1, n, dobijamo funkciju fd,k,p(t1, . . . , tn) = ( n∏ i=1 ti )1p log dp∑ |α|6k n∏ i=1 ( ti+1 ti−1 )pαi − 12 n∏ i=1 ti  tako da je J(f) > fd,k,p(t1, . . . , tn), gde je ti > 1, i = 1, n. Time je Teorema dokazana. I Posledica 3.4. Neka je f(x1, · · · , xn) polinom kao u Teoremi 3.16. Tada postoji kon- stanta id,k,p koja zavisi samo od d, k i ptakva da je J(f) > id,k,p, tj. brojni skup {J(f)} ima kona~nu najmawu dowu granicu, tj. infimum. Posledica 3.5. Neka je f(x1, . . . , xn) polinom kao u Teoremi 3.16, ali da je |f |l1 = 1(p = 1). Tada je J(f) > ( n∏ i=1 ti ) log d∑ |α|6k n∏ i=1 ( ti+1 ti−1 )αi . (3.33) JIz |f |l1 = 1 sledi da je ∣∣f (eiθ1 , . . . , eiθn)∣∣ = ∣∣∣∣∣∑ α aαe i(α1θ1+···+αnθn) ∣∣∣∣∣ 6 ∣∣∣∣∣∑ α aα ∣∣∣∣∣ = |f |l1 = 1, tj. J(f) = ∫ · · · ∫ log |f |>0 + ∫ · · · ∫ log |f |<0 = ∫ · · · ∫ log |f |<0 , odakle sledi (3.33), po{to je ∫ · · · ∫ log |f |>0 = 0. I Za razliku od polinoma jedne promenqive, kod polinoma vi{e promenqivih postoji raznovrsnost definisawa koncentracije u ni`em stepenu. Na primer, re}i }emo da polinom f(x1, . . . , xk) = ∑ α aαx α1 1 · · · xαkk 55 sak promenqivihimakoncentracijud ∈]0, 1[u stepenuk (k je broj promenqivih)merenu normom ‖ · ‖(1) u odnosu na normu ‖ · ‖(2) ako je∥∥f |k∥∥ (1) > d‖f‖(2), gde je ∥∥f |k∥∥ = ∑ |α|6k aαx α1 1 · · · xαnn ali za bilo koji polinom sa n promenqivih. Prema ovoj definiciji koncentracije imamo i slede}u teoremu. Teorema 3.17. Neka za polinom f(x1, . . . , xk) = ∑ α aαx α1 1 · · · xαkk va`i∣∣f |k∣∣∞ > d|f |l2 = d, (3.34) (pretpostavqa se da je |f |l2 = 1), gde je d ∈]0, 1[fiksiran broj a k je broj promenqivih. Tada postoji konstanta id,k takva da je J(f) > id,k. Dokaz je isti sa dokazomTeoreme 3.16, jer zbog |f |l2 > |f |∞ dati uslov koncentracije svodi se na uslov u Teoremi 3.16. U prethodnoj Teoremi dowa me|a Jensenovog funkcionala zavisi od broja promenqivih. Na osnovu we dokazujemo, da pod nekim uslovima dowa me|a ne zavisi ni od broja promenqivih. Teorema 3.18. Neka je f polinomproizvoqnog broja promenqivih koji zadovoqava uslov (3.34). Tada postoji konstanta id,k koja zavisi samo od d i k takva da je J(f) > id,k. J Svodi se na prethodnu Teoremu! I Ka`emo da polinom f(x1, . . . , xn) = ∑ α aαx α1 1 · · · xαnn ima koncentraciju d ∈]0, 1[ u stepenu k, merenu lp-kvazi-normom (0 < p < 1) ako je∑ |α|6k |aα|p > d · ∑ α |aα|p. (3.35) U tom slu~aju imamo rezultat: Teorema 3.19. Neka je f(x1, . . . , xn) = ∑ α aαx α1 1 · · · xαnn polinom koji zadovoqava (3.35) i kod koga je ‖f |lp = 1, 0 < p < 1. Tada postoji funkcija fd,k,p(t1, . . . , tn)takva da je J(f) > fd,k,p(t1, . . . , tn), gde je ti > 1, i = 1, n. J Sli~no kao u dokazu Teoreme 3.16 dobijamo fd,k,p(t1, . . . , tn) = 1 p ( n∏ i=1 ti ) log d∑ |α|6k n∏ i=1 ( ti+1 ti−1 )pαi . I ovde je za dokaz pored klasi~ne Jensenove nejednakosti va`an "trik" razbijawe inte- grala na dva poznata sabirka. I 56 Literatura [1] Ahlfors L. V., Complex analysis, third edition, McGraw-Hill Book Co., New York, 1979. [2] Arens R., The Boundary integral of log |ϕ| for generalized analytic functions, Trans. A.M.S., 86 (1957). [3] Beurling A., On two problems concerning linear transformations in Hilbert spaces, Acta Math., 81 (1949). [4] Beauzamy B., Jensen’s Inequality for polynomials with Concentration at Low Degrees, J. Numerishe Mathematik 49 (1986), 221-225. [5] Beauzamy B., Enflo P., Estimations de produits de polynomes, Journal of number theory 21, 390-412 (1985). [6] Beauzamy B., A minimization problem connected with a Generalized Jensen’s Inequality, Journal of math. anal. and application 145, 137-144 (1990). [7] Beauzamy B., Estimates for H2 functions with concentration at low degrees and applications to complex symbolic computation, J. Reine Angew. Math. 433, 1-44 (1992). [8] Beauzamy B.,Bombieri E., Enflo P., Montgomery H. L., Product of polyno- mials in many variables, Journal of number theory 36, 2, 219-245 (1990). [9] Beauzamy B., Generalized Jensen’s inequality: A Sharper version., J. Illinois, Journal of Mathematics 39, 2, (1995). [10] Beauzamy B., Chou S., On the zeros of polynomials with concentration at low degrees, II., J. Math. Anal. Applic. 175, 2, 360-379 (1993). [11] Beauzamy B., Produits de polynoˆmes, Seminair d’Analyse Fonctionelle 82/83, Publications de l’Universite´ de Paris VII, Paris, 1983. [12] Biernacki M., Sur les e´quations alge´briques contenant des parame`tres ar- bitraires, The`se, Bullitin de l’acade´mie polonaise des sciences et des lettres classe des sciences mathe´matiques, se´ries A (1927), 541-685. [13] Boas R. P., Entire Functions, Academic Press, Inc. New York, 1954. 57 [14] Chou S., Se´ries de Tejlor et concentration aux bas degre´s., The`se, Universite´ de Paris VI (1990). [15] Chou S., On the roots of polynomials with concentration at low degrees, Journ. of math. Anal. applic. 149, 2, 424-436 (1990). [16] Cohn A., Uber die Anzahl der Wurzeln einer Algebraischen Gleichung in einem Kreise, Math. Zeitschrift, 14 (1922), 110-148. [17] Denjou A., Sur une extension de la formule de Jensen, Mathematica (Cluj) 7 (1933), 129-135. [18] Dieudonne´ J., La the´orie analytique des polynoˆmes d’une variable (a` coeffi- cients quelconques) , Memorial des Science Mathe´matiques Grauthier Villars, 93 (1938). [19] Durin P. L., Theory of Hp Spaces, Academic Press, New York, 1970. [20] Enflo P., On the invariant subspaces problem in Banach spaces, Acta Math., 158 (1987), 213-313. [21] Erdo¨s P., Turin P., On the distribution of the roots of polynomials, Ann. Math., 51 (1950), 105-119. [22] Fabre C., La meilleure constante pour un produit de polynomes, J. C. R. Acad. Ser. Paris, t.307, Serie I, p. 707-767 (1988). [23] Hoffman H., Banach spaces of analytic functions, Prentice-Hall, Inc., New York, 1962. [24] Hurwitz A., U¨ber die Bedingungen unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reelen Theilen besitzt, Math. Ann. 46 (1895), 273- 284. [25] Jensen J. L. W. V., Sur un nouvel et important the´ore`m de la the´orie des fonctions, Acta Math. 22 (1899), 359. [26] Kahane J. P., Se´rie de Fourier absolument convergente, Springer-Verlag (1990). [27] Langevin M.,Waldschmidt M., Fifty years of Polynomials, Springer-Verlag, Lecture Notes 1415. [28] Montel P., Sur les modules des ze´ros des polynoˆmes, Annales de l’Ecole Normale Supe´rieure 3 e`me se´rie, 40 (1923), 1-34. [29] Mahler M., An application of Jensen’s formula to polynomials, Matematika 7, 98-100 (1966). [30] Marden M., Geometry of polynomials, Mathematical Surveys Number 3, American Mathematical Society, Providence, R. I., 1966. 58 [31] Mitrovic´ D., Sur les valeurs de certaines inte´grales definies, Glasnik matematicˇko-fizicˇki i astronomski, tom 10, 1955, 259-263. [32] Mitrovic´ D.,Une ge´ne´ralisation de certaines formules de Montel, C. R. Acad. Sci. Paris 256 (1963), 1212-1213. [33] Namik O., Sur une ge´ne´ralisation de la formule de Jensen et quelques appli- cations, Rev. Fac. Sci. Univ. Istambul (A) 15 (1950), 289-332. [34] Pavlovic´ Mirjana, Radenovic´ S., On a lower bound of Jensen’s functional, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 13 (2002), 96-101. [35] Pavlovic´ Mirjana, Cakic´ N., Rajovic´ M., Radenovic´ S., A generalization of Jensen’s inequality for polynomials having concentration at low degrees, Computers and Mathematics with Applications 57 (2009), 332-337. [36] Pavlovic´ Mirjana, Jensen’s functional and polynomials, Applicable Analysis and Discrete Mathematics 2 (2008), 175-182. [37] Radenovic´ S., Some estimates of the integral 2pi∫ 0 log |P (eiθ)|dθ 2pi , Publ. de l’Inst. Math. 52(66) (1992), 37-42. [38] Radenovic´ S., A lower bound of Jensen’s functional, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 5 (1994), 9-12. [39] Radenovic´ S., Pavlovic´ Mirjana, Asymptotic behavior for the best lower bound of Jensen’s functional, Kragujevac J. Math. 25 (2003), 75-79. [40] Radenovic´ S., A note on Jensen’s functional, Mathematica Balkanica, 11, 1997, 3-4, 215-220. [41] Rassias Th.M., On the derivative of a complex valued function, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica 12 (1984), 423-425. [42] Rassias G.M., Rassias J.M., Rassias Th.M., A counterexample to a conjecture by P. Erdo¨s, Proc. Japan Acad. Sci.Ser. A 53 (1977), 119-121. [43] Rassias Th.M., A new inequality for complex-valued polynomial functions, Procedings of the american mathematical society, 97, 2, (1986), 296-298. [44] Rigler A.K., Trimble R.S., Varga R.S., Sharp lower bounds for a generalized Jensen’s Inequality, J. Rocky Mountain Journal of Math., 19 (1989), 353-373. [45] Rudin W., Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Book Co.,, New York, 1966. [46] Schur I., Uber Polynome, die nur Innern des Einheitskreis verschwinden, Journal de Crelle, 148 (1918), 134-136. 59 [47] Vlek V., On limits to the absolute values of the roots of a polynomial, Bulliteb de la socie´te´ Mathematique de France, 53 (1925), 105-205. [48] Waldschmidt M., Nombres Transcendants, Lecture Notes in Math. Vol. 402, Springer-Verlag, Berlin/New York, 1974. [49] Wermer J., On algebras of continuous functions, Proc. A. M. S., 4 (1953). [50] Wermer J., Banach algebra and analytic function, Academic Press, 1962. [51] Wermer J., Subalgebra of the algebra of all complex-valued continuous func- tions on the circle, Amer. J. Math., 78 (1954). [52] Wermer J.,Dirichlet algebra, Duke J. Math., 27 (1960). 60 Dodatak Summary Dissertation is written in 60 pages and is divided into next parts: 1. Preface (pages 2-7) 2. Introduction (pages 8-29) 3. Concentration polynomial in low degrees (pages 30-56) 4. References (pages 57-60) which is consisted of 52 items Chapter 2 is divided into 9, and chapter 3 into 2 sections. In preface a short historical review of polynomials and their importance and position in mathematics are given. Especially interesting parts in preface are about number of zeros of polynomials in different sections of complex plane. In section 2.1 there are well known characteristic of Mo¨bijus’ transformation which will be used further in dissertation. Section 2.2 of same chapter is consisted of relations of different norms which are being introduced to vector spaces of all polynomials with complex coefficients. In section 2.3 Hurwitz polynomials are explained. This class of polynomials which was being examined at the end of 19th century has found its real position in subject which is being examined in this dissertation. Jensen’s formula (which also appeared at the end of 19th century) is described in section 4 from more aspects. In sections 5, 6, 7 and 8 the relation among Jensen’s formula, Hardy’s spaces of p degree, generalized Jensen’s formula and Mahler’s measure is given. In section 9 in dissertation the story about lower and upper boundaries of Jensen’s functional is given (definition, motivation, some well known results and some new results of the author). The chapter 3 is consisted of results of the author which are related to lower boundaries of Jensen’s functional for polynomials which satisfy the condition (1.2) 61 of dissertation. In that case extreme functions are being determined. the main purpose of author is making intervals [−2k,−2k log 2] whose ends presents asymp- totically lower and upper boundary of best lower boundary of Jensen’s functional determined. The part of those results is published in ”Computers and Mathematics with Applications”. The most important results in dissertation in shape of notes, observations, con- sequences and theorems are given. Notes: 2.–the important example; 3.–the condition of k = 0; 4.–the other ways of measuring such a concentration; 5.–interval [−2,−2 log 2]. Observations:: 3.1,3.2,3.3,3.4. In these the relations between number of zeros and concentration are given; the equivalency of some conditions of concentrations; when the case of d = 1 doesn’t give the equality k = n; the existence of extreme function. The consequences: 3.1,3.2,3.3,3.4,3.5. In these consequences the lower bound- aries for k = 0, 1, ..., 7 are given; the progress of well known results; the boundary for k = 0, 1, ..., 50, 51 was found. Theorems: 3.1.–comparation of concentrations; 3.4,3.5,3.6.–determination of function as a lower boundary; 3.7,3.8,3.9,3.10.–asymptotically behavior of the lower boundary when k → ∞; 3.11.–concentration which is being measured quasi norm– the appropriate function was found. 62 Biografija Mirjana Pavlovi} je ro|ena u Po`egi, 19.aprila 1966.godine. Osnovnu {kolu zavr{ila je u Po`egi, a gimnaziju u U`icu. Prirodno-matemati~kifakultet uKragujevcu, studijska grupa matematika, upisala je 1985.godine, a zavr{ila 1989. godine. Kao asistent pripravnik na grupi matematikaPrirodno-matemati~kogfakulteta u Kragujevcu zaposlila se 16. marta 1990. godine. Poslediplomske studije na grupimatematika, u`e stru~naoblastmatemati~ka anal- iza, upisala je 1992. godine. Magistarsku tezu pod naslovom "Asimptotsko pona{awe dowih granica Jensenovog funkcionala" odbranila je 18.08.1999. godine. U zvawe asistenta na grupi matematika izabrana je 01.01.2000. godine. U dosada{wem radu u Institutu za matematiku i informatiku Prirodno- matemati~kog fakulteta u Kragujevcu, od 1990. do danas, dr`ala je ve`be iz predmeta: Analiza 1, Analiza 2, Analiza 3, Analiza 4, Teorija funkcija kompleksne promenqive, Matematika 2 i Matematika 3 (za studente fizike), Matematika 1, Matematika 2 i Matematika 3 (za studente Ma{inskog fakulteta). Mirjana Pavlovi} se bavi nau~no--istra`iva~kim radom iz oblasti matemati~ke analize. Rezultate istra`ivawa objavila je u okviru slede}ih nau~nih radova: 1. Pavlovi} M., Radenovi} S., On a lower bound of Jensen’s functional, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. 13 (2002), 96-101. 2. Radenovi} S., Pavlovi} M., Asymptotic behavior for the best lower bound of Jensen’s functional, Kragujevac J. Math. 25 (2003), 75-79. 3. Pavlovi} M., Jensen’s functional and polynomials, Applicable Analysis and Discrete Mathematics 2 (2008), 175-182. 4. Pavlovi} M., Caki} N., Rajovi} M., Radenovi} S., A generalization of Jensen’s inequality for polynomials having concentration at low degrees, Computers and Mathematics with Applications 57 (2009), 332-337. 63