ОПШТА В Ш Т 1 - Е М Ј Е Д Н А Ч И Н « Л Р В О Г А Р Ш ТЕЗИ СИМЕ М. МАРКОВИЋА ПРИМЉЕНА ЗА Д О КТО РС КИ и с п и т НА СЕДНИЦИ ФИЛ030ФСК0Г ФАКУЛТЕТА УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ ОД 5. ЈУНА 1913. ГОД. ПРЕМА РЕфЕРАТУ ЧЛАНОВА ИСПИТНОГ ОДБОРА г. г. д-ра МИХАИЛА ПЕТРОВИЋА ред. проф. универз. д-ра МИЈ1УТИНА МИЛАНКОВИЂА ванр. проф. универз. У БЕОГРАДУ Ш Т А М П А Н О У Д Р Ж А В Н О Ј Ш Т А М П А Р И Ј И К Р А Љ Е В И Н Е О Р Б И Ј Е 1914. "X A Ù y'..'■ Х C A Д P Ж A J C IPAH A Увод .........................................................................................................5 I ТраноФ ормације.............................................................................1 ! II Квалитативна и н т е гр а ц и ја ...........................................................14 III Приближна и н т е г р а ц и ј а ............................................................ 62 IV М еханичка и н т е гр а ц и ја .................................................... · · 80 * т» I * iy B 0 д Италијански математичар Јасоро Riccati (1676— 1754) испитивао je први, почетком XVIII века, једна- чину облика du , dx 1 bu2 = ex η која je од тога доба позната под именом Riccati-еве једначине. И Riccati и многи велики геометри његовога доба, међу којима ваља нарочито истаћи Daniel Ber­ noulli-a., уложили су били врло много труда да про- нађу све оне вредности параметра п које he до- пустити да ce променљиве y једначини 1) раздвоје. И, независно један од другога, сви су нашли исте вредности п које омогућавају раздвајање промен- љивих. Све те вредности n дате су општим обрасцем 4 λ где je λ ма какав цео и позитиван број, рачунајући ту и нулу. Ако y једначинн 1) извршимо просту смену не- зависно променљиве t тX 2) * она добија облик du dt -|- и ' = at" · · . 3) и ова једначина 3) обично ce данас зове саецијална Riccati-eea једначина. Услов да ce једначина 3) може y коначном облику интегралити, и то само помоћу алгебарских и логаритамских Функција, дат je опет истим обрасцем 4 λ П ' 2 Х ± 1 пошто y смени 2) не Фигурише параметар п. Предмет овога рада неће бити испитивање спе- цијалне него опште Riccati-еве једначине, a оиштом Riccati-евом једначином назваћемо сваку једначину облика U ~ј~ XL '— 0) tocј где je ω произвољна Функција од х. Општа Riccati-ева једначина, доклегод je ω(χ) произвољна Функција од х, не може ce интегралити, средствима данашње Анализе, y коначном облику, него помоћу редова и одређених интеграла. Али, за- хваљујући једној интересантној особини, коју, од свих диФеренцијалних једначина првога реда, има само Riccati-ева једначина. — као што je το Kronecker по- казао — и општа Riccati-ева једначина може ce и«- тегралити, т. ј. њен интеграл свести на квадратуре, само ако je познат један њен партикуларни интеграл. Кад je познат један партикуларни интеграл Ric- cati-еве једначине, општи интеграл добија ce помоћу две квадратуре. A кад су позната два партикуларна 7интеграла, Minding je показао да ce општи интеграл добија само помоћу једне квадратуре. Међутим, ако су позната три партикуларна интеграла, онда, према једној значајној особини Riccati-еве једначине : да je анхармонијски одвос четири ма која, међу сооом не- зависна, партикуларна интеграла константан, општи интеграл добија ce без иједне квадратуре. Општи интеграл Riccati-еве једначине има облик Интеграциона константа С Ф и гурише, дакле, ли- неарно и y бројиоцу и y имениоцу општега инте- грала. Општи интеграл Riccati-еве једначине je, дакле, рационална и линеарна Функција интеграционе кон- станте. Да поменемо још једну важну особину Riccati-еве једначине. Ако, са Picard-ou, под есенцијелним сивгулари- тетима једнога интеграла разумемо све његове син- гуларитете осим полова. и алгебарских критичких тачака, онда je познато из Аналитичне Теорије Ди- Ференцијалних Једначина да су за интеграле једначине где je f рационална Функција по и, сви есендијелни сингуларитети стални, док полови u алгебарске кри- тичке тачке уопште варирају са интеграционом кон- ставтом. С fix) + 9(х) С γ (х) -)- ψ (х) 8од ивтеграционе константе. Интеграли Riccati-еве једначине имају, дакле, сталне алгебарске кри- тичке тачке. На Riccati-еву једначину наилази ее често, и то не само y области Теоријске него и y области При- мењене Математике. У Аналитичној Теорији ДиференциЈалних Једна- чина. Riccati-ева једначина игра врло значајну улогу. као шт от о показују многобројни радови Poincaré-a, Painlevé-a, Picard-a, Goursat-a, Appel-a, M. Петро- вића и т. д. Осим тога, на н>у ce често наилази и y разноврсним проблемима y Геомегрији, Механнци, Физици и Хемији. У Геометрији ce, н. мр.. наилази на Riccati-еву једначину: приликом одредбе једнога система асим- TOTHJIX линија праволинијских површина; y проблему изогон-алних трајекторија једне Фамилије кругова што зависе од једног променљивог параметра; y модерној теорији природних једначина кривих y простору· y теорији површ ина; затим y многим задатцима овакве врсте: да ce нађе крива линија код које између cek- тора S, рачунатог од Θ = о, и поларних координата ο π Θ постоји, и. пр., однос S — a θ + b (j У Механици ce, н. пр., своде на Riccati-еву једна- чину : проблем падања материјалне тачке кроз сре- дину која даје отпор пропорционалан квадрату бр- зине; проблем вертикалног хитца кад ce узме да je отпор ваздуха пропорционалаи квадрату брзине. Dar- houx je показао да ce и ироблем обртања једног чврстог тела око једне сталне тачке, проблем којн ce обично своди на систем од трп симултане диФе- 9ренцијалне једначине, може свести на интеграцију једне једине Riccati-еве једначине и т. д. У Физиг^и ce на Riccati-еву једначину наилази н. пр. y прнмени модерне теорије јонова на ирово- ђење електрицитета кроз гасове и т. д. У Хемијској Ћинетици ce, н. лр., све хомогеие реакцнје другога реда (бимолекуларне реакције) своде на Riccati-еву једначину м т. д. Језиком Математичке Феиоменологије можемо уопште рећи да ce' на Riccati-еву једначину своде све просте појаве што резултују из симултане акције два узрока: једнога, депресивног или импулсивног, са независним варијацијама, који може бити y спе- цијалном случају и константне јачине, и другога, та- кође депресивног пли импулсивног, алн пропордио- налног квадрату величине непосредног објекта. Јер je тада X, = f ( t ) X 2 = + λ ν 'λ тако да je диФеренцијална једначина појаве г/ ?' k ~ ± = f ( t jdt Као што ce види, област примена Riccati-еве једначине одиста je веома „пространа и то je, поред .њених интересантних ннтимних особина, био по- главпти разлог што јој je од увек указивана велика пажња. Riccati-ева једначина била je предмет многих испитивања y прошлости, она и данас у. највећој мери занима математички свет, a нема сумње да ће π убудуће привлачити на себе особиту пажњу. Наш рад садржи неколико нових прилога тео- рији Riccati-еве једначине и и.ча за циљ да допри- 10 несе што бољем и потпуннјем познавању ове зна- чајне једначине. Тежиште рада биће y квалитативним нспитиватћима. Ваља још да нагласимо да ce све наше испи- тивање односи на реалне, одређене, коначне и не- прекидне интеграле, на оне, дакле, интеграле који су од највећега значаја за примену. I ТРАНСФОРМАЦИЈЕ Трансформација Riccati-еве једначине ироширена облика h (X) !/’ + ^ у + ψ■»(*)=о · · · на оигити облик tl w — (о {хј · · · b) Треба С41МО y једначини 5) извршити смену V = L u - S Æ z ^ l........................... 7 ; !Pl па he ce она свести на општи облик 6), где je (ΨλΨι — Ψιω(Χ) = ψ\ фг ( \ г г (<Рг ψг Ψχ Ψι ψ%-- Ψι 2Ψ11 Ψι f ^ - T£ i_ V _ roiI » φ ΐ I / ι ψ3 Исто тако, ако бисмо y једначини 5) извршили смену 1 V- и i Ψι ψ3 + Уа 8) Ψ, + 2<р% V12 добили бисмо оншти облик и' -ј- U' = 0) (х) где je о) (х ) = срг <рз Ψ* ψι φ* — % 2 5 ψ·, ψχψ* Транеформација линварпе једиачиие другога peda на оишти облик Riccati-eee једначине и обратпо. Ако y линеарној једначпни у " + f(x )y ' + φ (х)у = о · · · 9) , V извршимо смену У = .е ■ · · 10) добијамо Riccati-еву једначину и' и ' — ω (х) · · · 11) где je f 1 , f ' ω >ν·! = -;t 1’ J — ψ Лако ce увиђа, из смене 10), да je интеграл и Pâccati-еве једначине 11) везан са интегралом y лн- неарне једначине 9) релацијом и V 13 У специјалном случају, кад je линеарна једна- чина дата y скраћеном облику у" = ω (х) y . . . 12.) она простом сменом ^udx y = e · ■ ■ 13) прелази y Riccati-еву једначину и и 2 — ω (х) · · · 14Ј Лако ce увиђа, из смене 13), да између инте- грала и Riccati-еве једначине 14) и интеграла y ли- неарне једначине 12) постоји прост однос и — У_ У II КВАЛИТАТИВНА ИНТЕГРАЦИЈА Поменули смо већ да није могуће Riccati-еву једначину, y општем случају, интегралити. Али je, поред свега тога, ипак могуће доћи до приличног броја иодатака о њеним интегралима и то баш оних који су понајчешће од интереса за примену. Другим речима: и ако није могућна квантитативиа., увек je могућна квалитативна интеграција. A задатак je ква- литативне интеграције да ce на самој датој диФерен- цијалној једначини проучи гато више појединости о њеним интегралима, као н. ир. : i° да ce испита ток интегралне криве удагом размаку; 2° да ce нађу границе броја нула и бесконачница интеграла y датом размаку и да ce проучи њихов распоред; 3° да ce исгшта ритам и честина, затим појачавање или амортизирање осцилација y случају кад ин- теграли имају осцилаторан карактер; 4° да ce испита егзистенција максимума и минимума, сингуларних тачака; 5° да ce проуче асимтотне вредности и т. д. Скуп свих таквих појединости сачињава квали- тативну слику проучаваних интеграла и та ће слика бити, очевидно, y толико гштпунија y колико све квалитативне појединости, које улазе као елементи V оастав те слике, буду потпуније и прецизније. Сам облик Riccati-еве једначине и њена интимна веза са линеарним једначинама другога реда доиу- шгају да ce на самој једначини, као μίτο ћемо ви- дети, нспитају многе интересантне појединости о њеним интегралима. i l . Интимна веза између Pàccati-еве једначине и' + и' = 0) (х) · · · 1 ii линеарне једначине у" — со ( X ) y . . . '2 ј оличена y сбрасду У показује : da je сваки интеграл u једначпие 1) логари- тамспи извод одговарајупег интеграла y једначине 2). Ако сад претпоставимо да je Функција ω х) хо- ломорфна y посматраном размаку, образац 3) нам одмах истиче на видик овај резултат: a бесконачнице интеграла u једначине 1 аоклаиају ce са нулама интеграла y једначине 2), пошто, према једној познатој особини једначине 2), не може бити, док je Функција ω (х) холоморФна, y исто време и y — о и у' — о ; đ нуле иитеграла u иоклаиају ce са нулама ирвог изводa интеграла у, т. ј. са нулама од у'. § 2 . Што ce тиче токa интегралне криве и узајамног расиореда бескопачница и нула y једном размаку (aß), 113 извешћемо, на један врло прост начин, ове већ ло- знате резултате.*) ;n ов .ц 1° Претпоставимо да je Функција ω ίχ)[непрестано не- гативна y размаку (а, β) и напишимо једначину 1), с обзиром на реладију 3), y облику Пошто je, Функција ω (х) непрестано негативна t Уy размаку (а, β), логаритамски извод— , т. ј. инте- У грал и, једначпне 1), непрестано he оладати y том размаку, као што то очигледрто показује једначина 4). Међутим, за сваку вредност х за коју je y равно нули, т. ј. за сваку бесконачницу интеграла и, логаритамски t Vизвод — , т. ј. интеграл и, прелази из негативцог y позитивно стање. С за коју je у' равно V'грала и, израз У ’ друге стране, за сваку вредносг х нули, т. ј. за сваку нулу ннте- т. ј. и, пошто према једначини 4) непрестано опада, мора прећи из позитивног y не- гативно стање'; затим, док X непрестано расте т · ј· и, бескрајно опада узимајући све мање негативне вредности док не постане y равно нули, т. ј. док ce не наиђе на једну бесконачниду интеграла и. Тада IУ . , .— , т. ј. интеграл и, лостаЈе оескраЈан и ме?ва знак пре- лазећи и з — оо y -ј- оо. После тога, док х опет расте, *) Види М. Petrovitch, Remarques algébriques sur les fonctions défi­ nies par les équations differentielles du premier ordre (Bulletin de la So­ ciété Mathématique de France. 1896. стр. 58). 17 - - , т. j. интеграл u, опет оаада узимајући све мање и мање ттозитивне вредности све док не постаие у' равно нули, т. ј. док ce не наиђе на једну нулу ин- теграла, и и т. д. Из свега овога закључујемо : кад je y размак?/ ία, β) функција ω (х) неирестано негативна, интеграл u једначине 1) y томе размаку неирестано оиада ; нуле и бесконачнице интеграла једначине 1), што ce налазе y размаку (a, β), раздвајају ce међу собом, тако да интеграл u иостаје наизменце раван нули и бескрајан док X варира pacryfiu y размаку (α, β). 2° Претпоставимо да оункција ω (х) није непрестано у' негативна y размаку (α, β). Тада израз — , т. ј. интеграл u, може час расти час опадати. Али, ношто ce бесконачнице интеграла и поклапају са нулама од y, a нуле од и са нулама од у', то применом Rolle-oBe теореме изводимо непо- средно ове закључке : а) између две узастоине бесконачнице интеграла u, што ce налазе y размаку (α, β), мора ce наЛазити бар jedua нула, или, ако их има више, њихов je број увек неиаран ; б) између две узастоине нуле интеграла u, што св на- лазе y размаку (α,βι, не може ce налазити више од једне бесконачнгеце. § з. Одредимо сад број бесконачница и нула шти ce налазе y размаку (α, β). Најпре ћемо ce бавити само о бесконачницама и потражићемо податке о њиховом броју y датом размаку. Ошпта Riccati-ева једнач. првога реда 2 18 У том циљу извешћемо прво извесне теореме што ce односе на бесконачнице интеграла Riccati-еве једначине, аналоге Штурмовим теоремама гато важе за нуле интеграла линеарне једначине другога реда. Наведимо, тога ради, Штурмове теореме y оном об- лику y коме ће нам требати. 1° Кад су дате линеарне једначине z" = ω1 (х) ζ · · · ix s t" = сог (x) t · · · 6) где cy и ω2 холоморФне функције y размаку (a, β), онда, кадгод je y размаку (a, β) непре- стано задовољен услов (х) < <у2 (х) а) две узастопне нуле од t што леже y том размаку увек обухватају бар једну нулу од z ; б) ако z и t нмају једну заједничку нулу, н. пр. х = а, онда, кад х расте, почевши од а, прво he наићи на једну нулу интеграла z, иа тек онда на нулу интеграла t. 2° Кад су дате линеарне једначине 5) и 6), онда, кадгод je y размаку (a, β) непрестано задовољен услов* оу, (х) (х) а) две узастопне' нуле од t хпто леже y том размаку могу обухватати највише једну нулу од z; б) ако z и t имају једну заједничку нулу, н. пр. х = а, онда, кад х расте, ночевши од а, прво he наићи на једну нулу од t, па тек онда на нулу од z. Комбинујући теореме под i° и 2° добија ce ова основна. Штурмова теорема : 3° кад су дате три линеарне једначине 19 · z" — f')t (x) z y" = ω (x) y t" = c», (x) t где cy Функције ω1} ω2 и ω холоморФне y раз- маку (α,β), онда, кад год je y размаку (α,β) не- престано задовољен услов (х) < ω (x) <аг ,·χ) а) две узастопне нуле од t што леже y том размаку увек обухватају бар једну нулу од у, а ДВе узастопне нуле од z обухватају највише једну НУЛУ од y ; б) ако интеграли z и t имају са интегралом y једну заједничку нулу, н. пр. х = а. онда, кад х расте, почевши од а, прво ће наићи на једну нулу од z затим на једну нулу од у, па налпосле на једну нулу од t. Водећи рачуна о једном мало пре поменутом резултату, по коме ce нуле интеграла линеарних једначина поклапају са бесконачницама инте ■ грала одговарајућих Riccati-евих једначина, као непосредне последице Штурмових теорема из- водимо ове теореме: 1° Над су датв Riccati-eee једначине v' -f· ν ' =z (у1 (χ) . . . η/j w' + w2 = ω2 (χ) . . . 8) где cy ωι u ω2 холоморфне функције y размаку <α, β)} ондa, кадгод je y размаку (α, β) неирестано задовољеи услов ω1 (χ) ^ ω2 (χ) а) две узастоине бесконачнице од w што леже y том размаку увек обухватају бар једну беснонач- ницу од V ; 2* •20 б) ако V и w имају једну заједничку бесконачницуf н. ир. X = а, онда, кад х расте, иочевши од a, ирво fie naufiu на једну бесконачницу интеграла v, иа тек онда на једну бесконачницу интеграла w. 2° Иад су дате исте Riccati-eee једначине 1) и 8)т онда, кадгод je y р а зм ф у (α, β) неирестано задо- вољен услов ω ι ix) ω 2 (х) а) две узастоине бесконачиице од w што леже y ίομ размаку могу обухватаги највише једну беско- начницу од v ; б) ако v и w имају једну заједничку бесконачницу н. ир. X ~ а, онда, кад х расте, иочевши од а, ирво fie uaufiu на једиу бесконачницу од w, пa тек онда на бесконачницу од v. Комбинујући теореме под Г и 2° изводимо ову основну теорему, аналогу основној Штурмовој теореми: 3° кад су дате три Riccati-eee једначине v' -}_ v2 = ωλ (χ) · · · 9) и' и 1 — ω (х) ■ ■ ■ 10 w' - \-w ï = 6 ) i (хј. ■ ■ · 1Ц& где су ωχ, ω и холоморфне функције y разм аку (α, β), ондa, кадгод je y размаку (α, β) неирестано задовољен услов ω, (х) < ω ix) < ωι χ ) · ' ' 12') а) àee узастоине бесконачнице од w што леже y том размаку увек обухватају бар једну бесконачницу од и , a dee узастоине бесконачнице од v обухва- тају највише једну бескопачџицу од и; б) ако интеграли v и w имају са интегралом u једнy за једничку бесконачницу, н. ир. х — а, онда, кад х 21 расте иочевши од а, ирво ће наићи на једну бес- коначницу од v, затим на једну бесконачницу од и. иа најиослв на једну бесконачницу од w. Први део ове теореме можемо исказати и y овом облику који ћ<емо чешће употребљавати : интеграл u y размаку (a, ß) имаће најмање оцр- лико бесконачница колико их има y том раз- маку интеграл: ч> или само једку ман,(\ а нај- више онолико колико их буде имао y том размаку интеграл v или само једну више. Последња теорема,. под 3°, може да послужи као основа ва проучавање бесконачнида интеграла једне дате Riccati-еве једначнне, ако ову будемо упо- ређивали са другим Riccati-евим једначинама чије су бескоиачвице бо.ве познате. Нека je дата, н. пр., једначина 10) коју треба проучити; узимајући за компаративне једначине 9) и 11) такве једначине које ce могу интегралитн и које уз то задовољавају услов 12), имаћемо, према последњој теореми 3°, податке о броју и распореду бееконачнпца y датом размаку и самога проучава- нога интеграла. За кбмпаративне једначине могу ce узимати раз- новрсне једначине према природи случаја с којим ce има посла; од њих ce захтева само то : да ce могу интегралитп или бар да ce има колико толико no- требних података о гвиховим интегралима. § 4. Упогребимо сад неколико згодно изабраних једна- чина за компарадију. Најлре ћемо узети за компарацију једначину y којој ce Функција ω своди на константу, као што je 22 поступио Штурм прм проучавању линеарних једна- чина другога реда. 1° Нека je и —I“ и ' —■ (0 ( хј * · · 1 ) дата једначина која пма да ce проучи y размаку (а, β). Претпоставимо да Функција ω (х) y размаку (а, β) задржава стално један исти знак и разликујмо тада ова два случаја: а) претпоставнмо, најпре, да je Функција о) (х, неире- стано позитивна y размаку (а, β) и означимо ca N њену најмању вредност y томе размаку. Узмимо сад за компарадију једначину v' -ј- v ' = Ν’ ■ · ■ 2) чији je један партикуларан интеграл, као што знамо? V = f N ■ ■ ■ 3) Према једној ранијој теореми, пошто je y раз- маку (а, β) непрестано N < ω (rj две узастопне бесконачнице од и што ce налазе y том размаку морале би обухватати бар једну беско- начницу од V, a иошто v, као што ce види из обрасца 3)7 уопште нема бесконачница, значи да интеграл и y размаку (а, ßj не може ни y ком случају имати две бесконачнице већ једну или ниједну. Из тога ce изводи оватеорема; кадгод је функ- ција ω (х) y датом размаку (α. β) немрестано иози- тивна, ниједан интеграл и дате једначине i) ие .можв имати y том размаку више од једне бес.коначнице ; б) претпоставимо сад да je Функција ω (х) непрестано негативна y размаку а, β). Означимо са — N и — М најмању и највећу вредност коју има Функ- ција <у (х) y размаку а. β), па узмимо за компа- ративне једначине ове две v' -ј- V- = — N · · · U) w' + W2 = — Μ ■ ■ ■ 5) чији су партикуларни интеграли V = ψΝ cotg X |/iV · · ■ 6 w — УM cotg X y Μ ■ ■ ■ 7) Према једној ранијој теореми, погито je y раз- маку (а, β) непрестано — N о) fx) —Μ, 23 · интеграл и имаће y размаку (<х, β) најмање онолико оесконачница колико их има y томе размаку инте- грал w или само једну мање, a највише онолико ко- лико их буде имао y томе размаку интеграл v или само једну више, па пошто интеграл w, деФиниеан обрасдем 7), има y размаку а, β) онолико беско- начница колико вредност β — a тг Ym + еадржи целих јединица, το ce добија ова теорема : сваки интеграл u dare једначипе 1) имаће y размаку (сс, β) најмање онолпко бескоиачница колико има цеЛих јединица y вредности β — a 24 IIcTO тако, према истој теореми, интеграл и имаће y размаку (а, β). највише онолико бесконач- ница колико их буде имао y томе размаку интеграл v или само једну више,' па пошто интеграл r, деФи- нисан обрасцем 6), има y размаку' (U, β) онолико бес- коначншда колико вредност ß — a УN + ί садржи целих јединица, то ce добија ова теорема: сваки иитеграл u дате једнаЛине 1 'ј има y размаку (a, β) највише онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности ß a π 1[N Границе које смо на овај начин добили за број бесконачница y једном датом размаку зваћемо Ш тур- мовим границама. Ш то ce тиче расиореда бесконачница интеграла и y размаку (a, β), о њему :се можемо обавестита, y овом случају, на овај начин. Уочимо једну бесконачницу х = a интеграла и. Ако за компаративне интеграле v и w узмемо оне партикуларне лднтеграле које добијамо из општих интеграла једначина 4) и 5) v = f N totg [ ix—с,у YM ] u’ — [ М cotg [ (χ— c j V Μ ] кад интеграционим константама c t и с2 дамо такве вредности да и интеграли v и w имају вредност х = a као бесконачницу, онда, према једној ранијој тео- реми, кад х буде расло, почевши од а, ирво ће наићи на једну бесконачницу х = λ интеграла v, затим на једну бесконачницу х = а' интеграла и, па најпоеле на једну бесконачницу х = μ интеграла w, што значи да he постојатд реладнја λ < а' < μ · · · 8} Алп, пошто je х = а бесконачница и одд и од w, το je, очевидно, бесконачница од v што долази не- лосредно после a дата вредношћу 9) a бесконачница од w што долази непосредно после a вредношћу π џ a -ј— · ■ · 10) ■ 1 Г \М Заменом вредности 9) и 10) y неједначинама 8), добија ce a <С а' <ј a или π , 7t 77= < a — a <С -τγ= ]f N ]f Μ • U ) ' Неједначине il) дају могућност да ce проучи варијација раздаљина узастопних бесконачница ин- теграла u, кад х буде расло y једном датом правцу. У том диљу, разликујмо ова два случаја: 1) претпоставимо да Функција ω (х) непрестано расте, по апсолутној вредности, y размаку (а, β). 26 Неједначине 11) можемо написати и y облику једначине а' — a Tt ]/ ω (θ') где θ' означава извесну вредност што ce налази нз- међу a и а . За бесконачницу а" што долази одмах после а' биће тс \ίω (Θ") , где Θ" означава извесну вредност πιτο ce налази између а ’ и а" и т. д., тако да ћемо имати низ je- дначина тс }fω (θ') TC TäW) TC a = ][ω(θ"') ■ 13) Међутим, пошто апсолутна вредност Функције ω (х), по претпоставци, расте y размаку (α, β), биће, очевидно, y томе размаку ω (θ') < ω θ " ) < <: N «па према томе и _ тг π π π У }!аГ((Г '7 > ј / > ·' ' ‘ ‘ > |f~N~ или, с обзиром на једначине 13), а' — a J> a" — a ' O a ' " — a" 7> · · · >> ~ = . . ί ί ) У N 1 Неједначине 14) исказују ова.ј резултат : разЈика измвђу двеју узастоиних бесконачница интеграла u иостаје све мања и мања кад х расте, y размаку ία, β), т. ј. бесконачпице су све ближе јвдне другима, али ири том ириближавању разликa између двеју узастоиних бесконачница не може бити мања λ π00 7 7 = ; У N ’ 2) претпоставимо да Функција ω (х) непрестано опада, по аисолутиој вредности, y размаку (α, β). Тада, употребивши исте ознаке и исто резоновање као и мало пре, долазимо до низа неједначина ω (θ') > ω (θ") > ω (θ'") > · · · · > Μ 27 _ η τι π Ϊ&ΤΘΥ < 1ioTW) < W W 1 < < π У μ a < a" — a' < a '" — a" < < π У~м одакле читамо овај р езу л тат : разлика између двеју узастоиних бесконачница интеграла u иостаје све ввпа и већа, кад х расте y размаку (α, β) ; бесконачнице ce, дакле, размичу, ио- 28 'Стају све разређвније, али разлика између двеју ,уза- стоиних бесконачница не може бити никако већа π 2° Узмимо сад за компарацију једначину облпка w ' - | - w 2 A — B x im 4 x ' ■ 15) где je A — m~ — 1 Њен партикуларни интсграл дат je обрасцем W = ---- -,,4-a m x cotg a x ■ ■ ■ lo 2 x где ce a одређује из једначине B = 4 a 2 rn ' Бесконачнице партнкуларног интеграла w, као што ce види из обрасца 16|, дате су оиштим условом ј fe.T I a одакле ce лако налази да интеграл w има y размаку (α, ß) онолико бесконачнида. колико има делих једи- ница y вредности ß"1 - а a -ј— 1 Нека je и -ј- u ' = ω (x) дата једначина која треба да ce проучи. П) 29 Ако изаберемо коеФициенте A и В, па према томе и т и a, y једначини 15) тако, да y размаку (а, ßj буде непрестано задовољен услов А — В Х-" ω Μ < - 4 X ' 18) онда ће, према пређашњем, интеграл и, y размаку [а, /3), имати бар онолико бескоаачиица колико их има y томе размаку интеграл w или само једну мање, па како интеграл w, деФинисан обрасдем 16), има, као што смо видели, y размаку (a, ß) онолико беско- начница колико има целих јединица y вредности то ce добија ова теорема: сваки интеграл u дате једначине П ) имаће y размаку [a, ß) најмање оно- лико бесконачница колико има целих јединица y вредности · 3 — a 1-----------aтс Да би доња граница, дата обрасцем 19), за број бесконачница интеграла u y размаку \a, ß), била по- вољнија од раније Штурмове, дате обрасцем ß — « тс лако ce увиђа да треба да буде a ß — a a > Jf M или M < λ 30 где Је Л = Ч ^ г ^ аЈ > или, најзад, — М > — л ■ ■ ■ 20) одакле добијамо правило: ако крива линија y = ω(χ) y размаку (a, β) нијв сва исиод ираве y = — λ, онда je граница 19) иовољнија од Штурмове границе. (Сл. 1). Потврдимо ове последње резултате на једноме примеру. Нека je дата једначина и' + иг = — 4х2 · · -21) па ce тражи да ce одреде доња и горња граница броја бесконачница ингеграла и y размаку (1, 4). Штурмова доња граница за број бесконачница интеграла и једначине 21) y размаку (1, 4) била би равна ономе целом броју јединица који je садржан y вредности β — « π ■ 22 ) Пошто вредност 22) садржи свега једну целу јединицу, значи да je Штурмова доњаграница y овом случају равна јединици. 31 Међутим, ако за компаративну једначину узмемо, н.пр., једначину , , j 3 — 4х4 w + w = . τ К0ЈУ добијамо из опшге једначине 15) кад изберемо 1коеФициенте A = 3, В = 4, па дакле т — 2, а = —, онда, пошто je y размаку (1, 4) непрестано 3 4 х 2 4х2 < ■ 4 X4 4 X2 проучавани интеграл u једначине 21) имаће y раз- маку (1, 4) бар онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл w компара,тивне једначине 28) или само једну мање. Другим речима: пошто ин- теграл w y једном датом размаку *\а, β) има уопште онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности βΤ - а' π проучавани интеграл и имаће y размаку (1, 4) бар онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности л т m /2 i3 — a 4 — 1 i С--------------ο --------------------. _______ ο π ■ 3,1ί 2 ~ z’ ■ ■ 24) Пошто вредност 24) садржи две целе 'јединиде, као доњу границу за број бесконачнида интеграла и y размаку (1, 4) добијамо број 2. Ова je граница. дакле, повољнија од Штурмове. Ако сад коеФициенте ' A и Б, па дакле и т и а, y једначини 15) изберемо тако да y размаку (а, β) буде непрестано задовољен услов 32 ω (χ) Дг Α — Βχ 2" 4χ ‘ онда he проучавани интеграл и једначине 17) имати y размаку [а, ß) највише онолико бесконачница ко- лико их има y томе размаку интеграл w нове компа- ративне једначине или само једну више, па како интеграл w y размаку [a, ß) има онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности ßm — « тс a -ј~ 7, то ce добија ова теорема: сваки интеграл u дате једначине 17) имаће y размаку (ct, ß) највише оно- лико бесконачница колико има целих јединица y вредности F ■ a а + Ί 26) Да. би горња граница за бро) бесконачница нн- теграла u y размаку (a, ß), дата обрасцем 26), била повољнија од Штурмове горње граниде дате обрасцем a тс N, треоа да j€ /Г — am r Π«---------a <ß — a где je λ = N или N )> λ rim m ~β — a 3 — a или, најзад, N < - λ, ■ 27) 33 одакле добијамо ово правило : кадгод крива линија y = 6) (х) y размаку [a, ß) није ce a изнад ираве y = — λ. граница 26) иовољнија je од Штурмове (Сл. 2). Iако н-.пр., ако уочимо малопређашњу једна- чину 21) и 4- и — па потражимо горњу границу за број бесконач- ница y размаку (1, 4i, налазимо да je Штурмова горња граница равна броју целих јединица садржа- них y вредности ß - « \Г π N '3, 14 f 63,9.... 2 = 9 . 28) Пошто вредност 28) има 9 целих јединица, значи да je Штурмова горња граница за број бесконачница y овом случају број 9. Међутим, ако за компаративну једначину узмемо w — w = 25λ ·Λ )X 29) коју добијамо из опште једначине 15) кад изберемо Општа Biccati-ева једнач. ирвога реда 3 34 коефициенте тако да je y A — 3, B — 25, па дакле m = 2, a размаку (1, 4) непрестано 5 Τ ’ a X■> ■ 4χ 7·-* / -2 25 ■ х '4 X онда ће проучавани интеграл и y размаку (1, 4) имати највише онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл w компаративне једначинс 29) или само једну више, т. ј. највише онолико колико има делих јединица y вредности βΠ ■ a lu тс 3 ,1 4 4 2 = 7 . 30) Пошто вредност 30) има 7 целих јединица, значи да интеграл и има y размаку (1, 4) највише 7 беско- начница. Штурмове граниде дате су бројевима 1 и 9 ; наше границе 26) и 30) бројевима 2 и 7. Лако ce, међутим, уверавамо да проучавана јед- начина има као партикуларан интеграл израз u = 2 x c o t g x '1— v · · · ■’ 11 Бесконачнице овога партикуларнога интеграла дате су општим условом X2 = ћтт, одакле ce лако налази да проучавани интеграл и y размаку (1, 4) има 5 бесконачница. 35 Као што ce види, наше граниде 26) и 30) y ло- ематраном случају уже су и, према томе, повољније од Штурмових. Што ce тиче распореда бесконачница проуча- ванога интеграла и y размаку (а, β), о њему нас већ обавепггава распоред бесконачница комдаратив- них интеграла w. Распоред бесконачница интеграла w, деФинисаног обрасцем 16), уираво je распоред нула Функције sin axm, a тај je, као што знамо, зби- јен кад je m 1, a разређен кад je m <С 1. Из тога закључујемо да ће и распоред бесконачница про- учаванога интеграла' и, y главном, бити збијен кад je m >· 1, a разређен кад je m < 1, т. “ј. y једном довољно великом размаку проучавани интеграл по- казиваће тежњу да има, y првом случају, бесконач- нице све гушће, a y другом све разређеније. 3° Узмнмо за компарадију једначпну облика v ' - f V 1 = A — B e 2 ρ ι · · · ' 3 2 ) p 2 где je A = l^ Њен партикуларни интеграл дат je обрасцем V = apepi cotg аерх — · · · 33) где ce a одређује из једначиде B = a V Бесконачнице дартикуларнога интеграла v, као што ce види из обрасца 33), дате су општим условом _ 1 'Х ~ р log з* 36 одакле ce лако налази да интеграл v има y размаку (а, ß) онолико бесконачница колико има целих je— диница y вредности ββρ _ e<4' ји 1§И—јЖ a 4-1 π 1 Нека je и -ј- и 1 — ω(χ) · · · 34ј дата једначина која треба да ce проучи y раз- маку ja, /3). Ако изберемо коеФИЦиенте A и В, па дакле и р ii а, y једначини 32) тако да y размаку (a, /3) буде непрестано задовољен услов 6Ј (х) A — Ве"1”1 · · · 35) онда he интеграл и једначине 34) y размаку (a, ß) имати бар онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл v изабране компаративне једначине или само једнумање, п а како интеграл двфинисан обрасцем ЗЗј, има, као што смо већ по- менули, y размаку (a, ß) онолико бесконачнида ко- лико има целих јединица y вредности eßp — еаР ~----— а + ^3ТС то ce добија теорема: сваки интеграл u dare једнa-, чине 34ј има y размаку (а, ßj најмање онолико ое- сконачница колико има целих јединица y вредности. eßp — еаР π a ■ ■ 36) .37 Да би доња граница за број бесконачница ин- теграла и y размаку (a , ß), дата обрасдем 36) била повољнија од Штурмове, дате обрасцем 7t треба да je eßp — β σ·Ρ ß — a a > Ум или м < и где je /i = e ßp — e ap ß — a - нли, најзад, — Μ > — μ ■ · · 37) одакле добијамо слично правило као ираније: кад- год крива линија y = O) (х) y размаку (a, ß) није сва исиод праве y — — μ , грапица 36) иовољнија je oô Штурмове. Ако изберемо, y једначини 32), коеФиценте АиВ, па дакле и р и a тако да y размаку (а, ß) буде не- престано задовољен услов 0) (х) ^ A — B e ipx, онда he интеграл и y размаку [a, ß) имати највише онолико бесконачница колико их има y томе раз- маку интеграл v нове компаративне једначине или само једну више, па како интеграл v има y размаку (a, 3) онолико бесконачница колико има целих је- диннда y вредности eßp — е“Р . ----- :— a 4- 1тс 38 το ce добија ова теорема: сваки интеграл u dare једначине 34ј имаће y размаку (α, β) највишв оно- лико бесконачпица колико има це.гих јединица y вредности eßp — el'P ----------- a 4- 2 . ■ ■ ■ 38)TT 1 Да би горња граница за број бесконачница ии- теграла u y размаку (α β ), дата обрасцем 38), била повољнија од Штурмове, треба да je eßp — eßP ο _ ~ a < |/ΛΓ или N > μ где je μ = eßp — e«P или, најзад, β — α N < — μ 30 j одакле добијамо правило: кадгод крива линија y = о)(х) y размаку (α. β) није ce a изнад ираве y = — μ, граница 38) иовољнија je од Штурмове. Потврдимо ове резултате на једноме примеру. Нека je дата једначина u' и ' — / — 4е4х · · · ’-iOf па ce тражи да ce одреде доња и горња граница бесконачнида интеграла u y размаку (0, 3). Ако за комиаративне једначине узмемо ове две п 4- v ' = 1 — 9 eix ■ ■ ■ 41) w' + w2 = 1 -— е4Х · · · 4 2) 39 чији cy партикуларни интеграли р = 2 a p = 2 a = V = 3 e2X cotg -ÿ e2* — 1 w — e2X cofg -g e2 43 ; 44; онда, пошто je y размаку (0, 3) непрестано задо- вољен услов i — 9e41 < i — 4eix < 1 — eix, проучавани интеграл u мора, према пређашњем, имати y размаку (0, 3) бар онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл w или само једну мање, a највише онолико колико нх има y томе размаку интеграл v или само једну више ; дру- гим речима: интеграл и имаће y размаку (0, 3) бар онолико бесконачница колико има делих јединица y вредности eßp --- еар е6 — Ј 1 , , 1 a највише онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности eßp е ар π a -ј- i 3 + 2 Пошто израз 45) садржи 64 целе јединице, a израз 46) садржи 190 целих јединица, то закључу- јемо да проучавани интеграл u y размаку (0,3) има најмање 64 бесконачнице, a највише 190 беско- начница. 40 Ако бисмо потражили Штурмове границе, добили бисмо за доњу границу i, a за горњу 768. Међутим, дако ce уверавамо да интеграл про- учаване једначине 40) u = 2 e coig e — i , чије cy све бесконачнице дате општим условом е2* = ћтг, има y размаку (0,3) свега 120 бебконачница. Наше границе 45) и 46) знатно су, дакле, уже и повољније од Штурмових. Што ce тиче рас-пореда бесконачница проуча- ванога интеграла u, о њему нас обавештавају ра- спореди бесконачница компаративних ингеграла w и V. Лако ce увиђа, нпр., да je y нашем случају ра- според бесконачница изабраних компаративних ин- теграла врло збијен, па he зато и распоред беско- начница проучаваног интеграла u y посматраном размаку бити врло збијен 4° Узмимо, напослетку, за компарацију и јед- начииу v' -ј- V2 = ^ ,j ■ · -47)4 X која има, као што већ знамо, за партикуларан ин- теграл израз aV = —· cotg a log X 1 где ce a одређује из једначине A =2 — 1 — 4 a ' 41 Бесконачнице партикуларнога интеграла v, као што ce види из обрасца 48), дате су општнм условом к:гг одакле ce лако налази да интеграл v y размаку (α,β) има онолико бесконачница колико има целих једи- ница y вредности « a 7 3- log — ~Ј- 7 7Г Нека je a и' -ј- и 1 ■ ω (ж) 4 9) дата Једначина која треба да ce проучи y разма^у [а, β). Ако изберемо сад коеФициенат А, па дакле и а, y једначини 47) тако, да y размаку (α,β) буде не- лрестано задовољен услов ω (х) 4 ,х2 50) онДа he интеграл и y размаку («, β) имати бар оно- лико оесконачгшца колико их има y томе размаку интеграл v или само једну мање, па како интеграл v, деФинисан обрасцем 48), има, као што смо већ по- менули, онолико бесконачница колико има целих је- диница y вредности a 3- lo g il 4- 1 ττ a το ce дооија ова теорема:* сваки интеграл u дате једначине 40. имапе y размаку (a, β) најмање онолико бесконачница колико има целих јединица y вредчости а 3 ~ log — ■ · ■ 5l)π * a I 42 Да би доња граница броја бесконачница инте- грала и y размаку (α, β), дата обрасцем 51), била повољнија од Штурмове, треба да je или a log ^ a β — a > Μ < ς, где je ς logP-y a β —α или, најзад, — Μ > — ç · · · 5'2) одакле опет добијамо слично правило као и пре : кадгод крива линија y = ω [x] y размаку [a, β) nu je сва исиод ираве y = — ς, грапица 51) аовољнија je од Штурмове. Ако изберемо сад коефициенат А, па дакде и à, y једначинн 47) тако да y размаку («, β) буде не- престано задовољен услов ® W > ' 4 ' ' ' 53' онда ће интеграл a имати y размаку (α, β) највише онолико бесконачница колико их има y томе размаку интеграл v нове компаративне једначине или само једну више, па како интеграл v y размаку (et, β') има онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности a β i , ж 109 α + ’ 43 ιό ce добија ова теорема : сваки интеграл u dare јед- начине 49) имаће y размаку (α, ß) највише онолико бесконачница колино има целих јединица y вредности a 3 - l o g ~ + 2 . . . 54) Да би горња граннца броја бесконачница инте- грала и у, ра.змаку («, ß), дата обрасцем 54), била повољнија од Штурмове, треба да je 7 ßa log Ј- α ~β~=^α< II л н - Ar< - s , где je ζ = α—--- a одакле дооијамо правило: кадгод крива линија y = со (х) У розмаку [α, β) није ce a изнад ираве y = — ς, граница ο4) повољнија je од Штурмове. Што ce тиче распореда бесконачнпца проуча- ванога интеграла, о њему нас може обавестити ра- според бесконачница компаративних интеграла. Бес- коначнице компаративних интеграла v дате су, као што смо већ раније видели, општим условом одакле ce види да je њцхов распоред разређен, па je, према томе, y једном довољно великом размаку 44 a распоред бесконачница проучаванога интеграла и такође разређен. Потврдимо и ове резултате наједноме примеру. Нека je дата једначина па ce траже доња и горња граница бесконачница интеграла и y размаку (1,100). Ако за компаративне једначине узмемо ове две 41 . . . 56 T fv — 2 λ-'2 25 w2 = — 2 X2 чији су партикуларни интеграли 9 - 1 9 „ = s y log X 7 7 , Ί w = T x Cotg \ Ύ iog· ' ] + 2х 1 2х • · -58) ■ · · 59) онда, пошто je y размаку (1,100) непрестано задово- љен услов 41 2х2 65 < — 7— 5" <4.x 25 проучавани интеграл и мора имати y размаку (1,100) бар онолико бесковачница колико их има y том раз- маку интеграл w или само једну мање, a највише онолико колико их има y томе размаку интеграл v или само једну више; другим речима: ичтеграл и 45 имаће y размаку, (1,100) бар онолико бесконачница колико има целих јединица y вредности a A £ _ 7π a 2.3,7 4 a највише онолико колико има целих јединица y вредности a — 9 Т a β lo9 37 ~l· 2 —лг « 9 2.3,74 2 = 4. 61 ) Пошто израз 60) има Oee целе јединице, a израз 61) чвтири целе јединиде, то закључујемо да проу- чавани интеграл и једначине 55) има y размаку (1,100) најмање две, a највише четири бесконачнице, не ра- чунајући ту β/вентуалну бесконачницу х = 7. Ако иотражимо Штурмове границе, нашли бисмо да je доња граница равна броју целих јединица са- држаних y изразу β — a ' јт ]f Μ 99 ~~ 3,74 ][б5 . T.Wœ Tl· °Р°ЈУ *· За горњу границу налазимо број целих јединида садржаних y изразу β — a JT y N + 2 99 У 6 5 3,1k ■ 2 + 2 , тј. број 7 29. Међутим, лако ce уверавамо да интеграл проу- чаване једначине 55) и = — cota X 4 log X + Ј_2х 62) чије су све бесконачнице дате општим условом 46 има y размаку (1,100) свега 3 бесконачнпце, не ра- чунајући ту бесконачницу х = 1. Као што ce види, и y овом случају наше гра- нице 60) и 6f) знатно су уже и повољније од Штур- мових. ТТТтп ce тиче распореда бесконачнида интеграла и једначине 55), о њему нас обавештавају распореди бесконачница компаративних интеграла v и w. Ти су распореди, као што смо већ видели, разређени, па he зато y једном довољно великом размаку и распоред бесконачница проучаванога интеграла и бити такође разређен. § 5. Можемо ce сад запитати како стоје по цели- сходности међу собом разне границе које смо на- вели y прошлом §. Можемо ce, нпр. питати кад he доња гранида облика />vr. 0р — a тс • 6 3 ј бити повољнија од доње границе облика ^ log 1 ,π * a ■ 6 4, Очевидно je да he το бити случај онда кад je a j m — а У ” > а2 log ß — а2 log а · · ■ 65) одакле добијамо правило : кадгод je ирираштај функ- ције y — atx m y размаку ία, β) већи од ирираштаја 47 функције y — а2 log х y истом размаку, граница 63) иовољнијa je од границе 6i). Или другим речима: кад криеа линија y — atx m y размаку (α, β) брже расте од криве линије y — а2 log х, граница 63) иовољнија je од границе 6i). Тако, нпр. нека je дата једначнна и -ј- u ' = — ί χ 2 ■ · ‘ 66) па ce тражи доња граница броји бесконачнида ин- теграла и y размаку (3, 5). Компарацијом са једначином V “I- V 7 *— X1 4х чији je партикуларни интеграл m 1 Ύ X cotg X l_ 2х и која задовољава y размаку (3,5) услов 3 4х2 4х2 < X налазимо као доњу границу броја бесконачница ин- теграла и y размаку (3,5) број целих јединица са- држаних y вредности α π a , = 1 Y , тј. број dea. 67 ί Компарацијом, пак, са једначином 48 w' - j - W1 — --- 1151 4х2 je партикуларни интеграл п Г 1II Ki. w = — cotq X а 11 log X + à и која такође, y размаку£|В, 5), задовољава услов 3 4х2 — 4 X2 < 115 7 Ύ χ~ ’ налазимо као доњу границу броја беск?оначница ин- теграла и y размаку (3,5), број целих јединица са- држаних y изразу а, π log A a 11 5 S,1k · log J T. j. број један 6 8 ) Међутим, лако ce уверавамо да интеграл и је- дначине 66) 1 и = 2 X cotg X * — има y размаку (3, 5) шест бе.сконачнпца. Граница 67) боља je од границе 68), јер je за- довољен услов 65), пошто je y овом случају очевидно 5 '1 ■— З2 > П log 5 — 11 log 3 Ha сличан начин могли бисмо поредити међу собом и остале границе. § 6. Ми смо до сад, y § 3, § 4 и § 5, проучавали само бесконачнице интеграла и. Али ce све то досадашње 49 испитивање може применити и на ироучавање нула интеграла јер ce једначина u' -(- и 2 == /х) може сменом и V (,)' (х) ω(χ) ' 2 ω2 fx) ■ 69) ■ΊΟ) трансФормисати y једначину w' -f v- = G (χ) ■ - . 71) где je тако да, кадгод je Функција <у(х) холоморФна y по- сматраном размаку, што уосталом увек претпостав- љамо, бесконачнице интеграла v поклапају ce са нулама интеграла' и. На тај начин, посматрајући једначину 71), ми смо y стању да нађемо доњу и горњу границу броја нула интеграла и једначине 69) што леже y једном датом размаку (а, /3); моћи ћемо, затим, обележити размаке y којима уопште нема нула ; можемо проучити распоред нула y датом раз- маку и т. д.. § 7. Уочимо једначину и' ј и ~ — (.) {х; ■ ■ ■ 1) Лако ce увиђа да двоструке нуле интеграла u могу бити само нуле Функције ω (х), пошто y том случају мора y исто време бити Огшта Riccati-ева једнач. ирвога реда 4 50 Il = 0i u' — 0 Према томе, двоструке нуле интеграла u сталнв су. ДиФеренцирајући једначину 1) добијамо и" Îj-τ 2ии' = о) (х) одакле видимо да троструке нуле интеграла и могу бити само нуле Функције ω’ (х), јер за троструке нуле интеграла и мора бити y исто време и == О U — 0 u" = 0 И гроструке нуле су, дакле, сталне. На сличан начин налазимо да четвороструке нуле интеграла u могу бити само нуле Функције ω" (х) и уопште : да n — струке нуле интеграла u могу бити само нуле «кункције (»-2) <■> (х) где (n—2) означава ред извода. Према томе, све вишеструкв нуле интеграла Rîc- cati-еве једначине 1) сталне су. Узмимо, као пример, једначину и' ■ и 1 — ;\·'2 — 1 . . . 2) И нтеграл и једначине 2) може, према малопре- ђашњем, имати као двоструке нуле само вредностм X = i и X = — 1. Лако ce, међутим, уверавамо да једначина 2) има као један интеграл израз u = X 1 — 2 X 1 и он одиста има као двоструку нулу вредност х = + i. 51 8 . fÿ Ο Хоризонталне превојне тачке. тачке Mj и М2 y сликама 3 и 4. Испитајмо сад, мо- же ли ce на датој Ric- cati-евој једначини и' .-j-, u'- = (0 !χι . . i) распознати да ли њени интеграли имају тих хоризонталних превојних тачака. Да би, уопште, једна Функција в°јну тачку као y сл. 1, треба, У Мх То су, н. лр., И, ->х CU. 3. u имала коју пре- као што je лако увидети, да за из- весну вредност не- зависно промен- љиве буде y исто време u Сл. 4. о u = 0 u > ο, a да би имала коју превојну тачку као y сл. 2, треба да за извесну вредност независно променљиве буде y исто време u' = о u" = о u'" < ο Ако ово резоновање применимо на један инте- грал u Riccati-еве једначине 1), добићемо ове ре- зултате.* Крива линија . у г = ω (X; предетављаће нам геометријско место евенгуалних хоризонталних превојних тачака. 4* 52 Интеграл и имаће хоризонталних превојних та- чака,. као y сл. 1, за оне вредности х за које je y исто време ω (х) = о 0)" (х) > 0 , a превојних тачака као y сл. 2. за оне вредности х за које je y исто време ω' (х) — о 0)" (х) < о Тако, н. ир., за једначину и' 4- и 2 = х6 -f 2 ,τ3 ·· : ix 2-r l ■ ■ · 2) имамо да je eo (x) = χ 6 -j- ~ •^ '3 “H 3 x~ i ω' (x) = 6 xs -f 6 χ 1 -j- 6 χ 0)" ix) == 30 x* 12 x 6 Из последња два израза видимо да je за вред- ност χ = о ω (о) = о ω" (о) > о Према томе, тачка чија je апсциса х = о биће за интегралну криву и једна хоризонтална превојна тачка као y сл. i. Ha сличан начин налазимо да интеграл и је- дначине и' + и 1 = χ® — 2 χ 3 — 3 x 2 -ј- 1 ■ · -3) има за хоризонталну превојну тачку као y сл.2 ону тачку која одговара оиет вредности х = о. 53 Ове резултате можемо врло лако вериФиковати, јер једначина 2) има као један интеграл израз и = / -}·- .v’. · · · 4ј a једначина 3) израз и — 1 — X3 · . · 5 ) Крива линија, међутим, чија je једначина 4), има одиста једну превојну тачку као y сл. i. и она од- говара баш апсциси х = о. Исто тако, лако ce увиђа да крива линија, чија je једначина δ), има једну пре- војну тачку као y сл. 2 н она такође одговара аисциси X = о. Вертикалне npeeoj- не тачке. — То су, н.пр., тачке Nj и N2 y сли- кама 5 и 6. Очевидно je да je y вертикалним превој- ним тачкама и' = ec Сл. 5. \У 1 , Према томе, интеграл и може имати вертикалних превојних тачака на коначној раздаљини само за оне коначне вредности х за које je ω (х)'— οβ Ако je, н. пр., ω (х) ма какав полином по х, ниједан интеграл од- говарајуће Eiccati-еве Сл. 6. . iЈедначине неће имати на коначној раздаљини вертикалних превојних та- чака ; a ако je на пр. ->ж 54 ω [x) ■P(x) ~ Q (4 ’ где cy P и Q полиноми no x, који немају заједничких нула, онда интеграл и одговарајуће Riccati-еве једна- чине може имати вертикалних превојних та.чака само за нуле полинома Q. § 9. Посматрајмо једначину и' -ј- и* — ω (х) · ■ · 1) и покушајмо да нађемо и раздвојимо области y ко- јпма интеграли и могу имати максимуме п минимуме. Интеграл и може имати максимуме и минимуме само за оне вредностп х за које je и' = о Ако y једначини 1) ставимо u' = о, добијамо једначину и1 — ω (x ) ■ · · 2) која нам иредставља геометријско место евентуалннх максимума и минимума. ДиФеренцирајући једначину 1), добијамо и" -ј- 2ии' = ω' (х), па како je, за све вредности х за које и може до- стићи који максимум или мигшмум, u' = о, имаћемо v" = ω' (x ) · · · 3) одакле закључуЈемо: Један ингеграл и може иматн максимуме само за оне вредности х које задовоља- вају неједначину <■) (х) < о 55 a може имати минимуме само за оне вредности х које задовољавају неједначину со' (X) >- 0 С обзиром на једначине 2) и 3), последње ре- зултате можемо исказати и y овом облику : један интеграл u Riccati-еве једначине 1) може имати мансимуме само за онв вредности х што ce налазе y размацима y којима крива линија 2) ouada, a може имати минимуме само за оне вредности х што ce на- лазе y размацима y којима крива линија 2) расте. % 10 Предмет овога § биће испитивање aсимтотних вредности интеграла Riccati-еве једначине XI “ |— XI (0 ( х ј Задалак je, дакле : да ce исшгса како ce пона- inajy интеграли и кад х бескрајно расте. Напишимо Riccatî-еву једначину y облику xi1 = 0) (х)— ix ' ·· · · 1) Пустимо сад да х бескрајно расте, и нека Фун- кција ω(χ), кад х бескрајно расте, тежи једној ко- начној и одређеној граници ω0., т.ј. нека буде lim ω Iх) — ω0 за X = oc Према томе : да ли je та граница ој0 позитивна, равна нули или негативна, разликоваћемо ова три случаја. 1°. Нека буде, најпре, «о 0 56 Онда ће једначина О>0 — п ‘ = о очевидно пмати реалне корене, и нека ти корени буду I · a п ~~а. Корени једначине ω — и~ — (I . ; ' - V ·:··.. v ·- . . < . v' . . ? < Ј ■ , нека буду -f- a н :— a. Очевидно je де ће корени -(-α н — a бити из- веене Функције од х, које he тежити граничним вред- ностима -ј-a и — а, кад х буде бескрајно расло. Према томе : да ли корени a . теже својим гра- ницама a опадајућп нли растући, ра.зликоваћемо ова два случаја. А). Нека коренп « теже евојим границама a опа- дајући, т.ј. нека je a > a Посматрајмо сад један интеграл једначине 1), који je, за иницијалну вредност' х 0, већи од а. Нека то буде, нпр., интеграл и. Пустимо оад да х расте од х 0 до ~н oe и испитајмо шта he за то време бити са интегралом и. Очевидно je, пошто je и' < о, да ће О.Н одмах почети да опада и опаДаће све дотле док буде већи од а. Међутим, ofi не може никад бити мањи од а, јер чим би постао мањн од a морао би почети да расте, пошто би тада, као што ce видп из једначине i), било и ^> о . Отуда закључујемо : да he интеграл и стално опадати, али he при том остати увек већи од а· По- стојаће, дакле, једна граница, којој ће интеграл и тежитн кад х буде бескрајно расло. И та граница мора бити баш вредност а, јер ако би интеграл ц 57 тежио некој другој граници а,п која би била већа од а, једначина К0ЈУ лако изводимо из једначине i), довела би до једне контрадикције, пошго би десна страна оетала коначна кад би и тежило вредности а,. Посмаграни интеграл u има, дакле, за границу вредност а. В). Нека корени a теже својим границама a ра- стући, т.ј. нека je . Посматрајмо оиет један интеграл једначине ij, који ће, за иницијалну вредност х — л-0, бити већи од a. Нека тај интеграл буде и. Очевидно je, да he интеграл и одмах почети да опада и опадаће све дотле док не постане раван a. Кад постане раван а, онда ће почети да расте, али неће мођи сад никако да достигне сс, јер ако^ би интеграл и превазишао вредност a, морао би y исто време и расти и ona- дати. У сваком случају, интеграл ,и тежиће једној граници и, као !i мало пре, налазимо да je та гра- ница баш вредност а. Уочимо, н.пр., једначину и потражимо асимтотну вредност једнога њенога ин- теграл и. Y овом случају je a <γ a u ■ 3} ί.8 lim ω [χ) = ω0 = 1 , за χ — ββ па he, дакле, бити и a —- i Отуда закључујемо : да he ce интеграл и једна- чине 3), кад х бескрајно расте, бескрајно прибли- жавати вредности 1. 4 а бисмо ce уверили о тачности овога ззкључка, довољно je само да, напоменемо да je један интеграл посматране једначине 3) χ Нз досадашњега 1Авођења види ce да сви инте- грали, који y једном моменту постају већи од а, пмају за границу а. Исти закључак важи и за ин- теграле који y једном моменту постају једиаки каквој вредности што ce налази између -f α и — flt, јер они тада расту и бескрајно ce приближују краници а. Остаје још само да ce испита случај кад je не- прекидно. » и < — a Кад je — <х веће од — а, може ce десити, ако ce иницијална вредност од u налази између ά џ — а, да интеграл и има за границу вредност а. Ако граничва вредност интеграла и није - а, као што πо правилу неће нл бити, пнтеграл u проду- жиће да беекрајно опада све до — œ; једначина 2) показује да ће интеграл и достати œ за једп) коначну вредност х. Затим he наступити за инте- . грал и скок од — œ на -ј- и тада ве!) имамо 59 посла са мало пре исиитаним случајем, т. ј. да ин- геграл и тежи опет граничној вредности а. Тако, н.пр, интеграл и једначине X2 — i (4 х)2 има за асимтотну вредност — 4, као што ce лако увиђа из обрасца, којим je представљен интеграл u, X Интеграл u имаће: даклв, као асимтотну вредиост, по иравилу, -f- a. a само ao изузетку — a. Све досадашње извођење претпоставља, као што смо већ раније поменули, да Функција ω (х), кад .r бескрајно расте, тежи једној коначној, одређеној и позитивној граници ω0 ; другим речима: да корени једначине <у0 — и 1 — о буду реални. 2°. Нека буде сад «о = т.ј. нека Функција ω (.х ), кад х бескрајно расте, тежи нули. Онда he, очевидно, бити и a = о Интеграл u имаће, y овом случају, као граничну вредност нулу ; другим речима: интегрална кривa ириближаваће ce асимтотно аисцисној осовики 60 Уочимо, Η. ιίρ., једначину^ 1 — S x и' + u 2 = —gf— ■ ■ ■ ■ 1ч и потражимо асимтотну вредност једнога њенога интеграла и. У овом случају je i — S x (0 (х) = — lim ω (X) — о)0 = ο , saa; — οο па ће, дакле, бити и a — о Интегрална крива, y овом случају, асимтотно he ce приближавати апсцисној осови-ни. Да бисмо ce уверили о тачности овога закључка, довољно je само да напоменемо да je један интеграл посматране је- дначине 4) 1 U — —2X 3° Нека буде, најзад, ω0 < ο , т. ј. нека Функција ω[χ), кад х бескрајно расте, тежи једној коначној, одређеној и негативној граници ω0, другкм речима: нека корени једначине буду имагинарни. 61 Закључци, су, тада, сасвим друкчији. У овом последњем случају биће, очевидно, u' увек негативно, па he зато интеграл и стално опа- дати почевши од једне довољно велике вредности х. Међутим, заједну коначну вредност .х интеграл и мораће пос/гати — оо . Јер, пре свега, није могуће, према пређашњем, да за X = + оо мнтеграл и има какву коначну и одређену границу. Осим тога, исто тако није могуће да интеграл и достигне само вред- ност — ос за X = -)- оо , као што то показује једна- чина 2), чија би лева страна бескрајно расла, док би десна страна остала коначна. Сваки интеграл u , y овом случају, осциловапе бескрајно много иута између + оо и — <х , сa наглим прелазом од — ос на -ј- оо . Такав je случај, н. пр., са интегралима једначине и' -)- и~ = — 1 , који су, као што je лако уверити ce, сви дати оп- штим обрасцем и = tang (с —- х) где je с интеграциона константа. Наномена. Poincaré, Picard и М. Петровић испи- тали су асимтотне вредности интеграла Riccati-еве једначине y проширеном облику. Резултати, које смо ми, по Picard-y, извели непосредним посматра- њем Riccati-еве једначине y општем облику, y пот- пуној су хармонији са тим резултатима што ce од- носе на интеграле Riccati-еве једначине y проши- реном облику. III ПРИБЛИЖНА ИНТЕГРАЦИЈА Познато je да ce проблем приближне интегра- ције какве диФеренцијалне једначине f (х , и , и' . . . . ) = о ■ ■ ■ 1) може схватити на два разна начина: 1° може ce тражити место тачног интеграла и таква једна вредност v да резултат, који ce ‘добија кад ce v смени на левој страни једначине 1), буде y да- том размаку (а, ß) један врло мали број. Тада ce тај врло мали број може, y првој апроксимацији, занемарити, т. ј. права вредност интеграла и иден- тиФикује ce са ориближном вредности v. Тако, н. пр., ако je дата једначина и ' + и 2 = ω (х) ■ ■ · 2) која ce не може интегралити или ce уопште тешко интеграли, па ce нађе друга једначина v -)- v 1 — Θ (х) . . . 3) која ce може интегралити и чија ce Функција Θ (х) раз- лнкује од Функције ω (х) за Функцију г ;хј, тако да je ω (XJ = Θ (х) -f- £ (x), ■ ■ ■ 4j G3 онда, ако y једначини 2), сведеној на нулу, сменимо u са », водећи рачуна о релацији 4), добија ce као резултат на левој страни V - ј— V)1 Θ (х ј . — f ( х ) Међутим, пошто je идентички v ' - ј - V 1 — Θ ( х ) = 0 , то ce горњи резултат своди на Функцију — f(x). Ако сад Функција г(х), y посматратзм размаку («, ß), остаје, по апсолутној вредности, мања од из- весног броја којим ce можемо задовољити, онда ce y лриближности сматра као да je é(x) = о. Сматра ce, дакле, као да интеграл v задовољава једначину 2), па нам зато v представља приближну вредност непознатога интеграла и. Овај начин приближне интеграције има ту не- згодну страну што ce не зна y којој ce мери при- ближна вредност v разликује од праве вредности и ; 2° могу ce тражити такве две иознате и одређене функције п и w , за које смо y стању тврдити да ce y посматраном размаку (а, β) права вредност инте- грала и непрестано налази између њих. Ако je, н. пр., v ^ w ©чевидно je да he бити V + w где je e, no апсолутној вредности, увек ί < W — V 2 / 64 Ha тај начин, знајући Функције v и v>, знаћемо одмах и једну приблпжну вредност интеграла u, која ie дата обрасцем Ц -)- w a, осим тога, познаваћемо и граниду за највећу мо- гућну грешку коју чинимо замењујући, y посматра- ном размаку, праву вредност интеграла приближном. Ta je граница, очевидно, дата обрасцем w — V 2 ~ Овај други начин приближне интеграције има, као што ce видп, ту добру страну што увек знамо и степен приближности до које смо y датом случају дошли. Израз за највећу могућну грешку w --- V 2 ' показује да he грешка y толико бити мања, y ко- лико су Функције v и w , y посматраном размаку, ближе једна другој. Приближна интеграција, на овај други начин схваћена, има, дакле, за циљ да одреди доњу и горњу границу проучаванога интеграла y посматра- ном размаку. § 3. Нагшшимо дату Riccati-еву једначину u' -ј- u 1 — ω (х) y облику ¥ u — (J[ώ -(- uj ( у .ω — u) · ■ ■ i) \ 65 Претпоставимо да je Функција о) (х) y размаку (о, а) позитивна и да не опада и посматрајмо инте- грал и једначине 1) који иостаје раван нули за х = о. За њега можемо доказати ове резултате. За све вредности х y размацу (о, a) интеграл u je иозитиван и неирестано расте, aли не достиже никад вредност ][ω. Пре свега, интеграл и не може ни почети да опада, jep би тада био негативан, a његов први из- вод u', према једначини 1), позитиван. Ако Функција ω не постаје равна нули за х = о, за ту вредност х, пошто je u = о, биће, ако са u '0 означимо вредност првога извода интеграла u y тачки чија je апсциса х = о , и 'о = (0 (о), па како je, према претпоставци, ω (о) > о, интеграл и, пошто постаје раван нули за х = о, растб почеви::! од х = о и остаје, нрема томе, позитиван. И доклегод je u <с Y ω интеграл и стално lie расти, jep je извод u ', према једначини 1), за све то време позитиван. Али, ра- стући, интеграл и не може никако превазићи па ни достићи одговарајућу вредност Функције |/ « , ј ер , чим би je прешао, морао би почети да опада, пошто би извод и постао негативан, јер би тада било Y ω + u > ο Y ω — u < ο Општа Riccati-ева једнач. првога реда 5 G6 С друге стране, међутим, . чим би интеграл и почео да опада, ттостао би мањи од ]/ ω, извод и био би иозитиван, те би тако интеграл и морао y исто време и опадати и расти, што je очевидно не- могућно. Тиме je доказан горжи резултат. Ако Функција со постаје равна нули за х = о. a крива линија y = I о) (Ш не тангира y координатном почетку осу х, интегрална крива имаће y координатном почетку, према ономе што смо раније рекли о максимумима и минимумима, један м иним ум , јер. диФеренцирајући једначину 11, добијамо да je тада за х = о и = о и' = о и" — со' (о) > о A ако крива липија y = f ω (х) тангира осу х y координатном почетку и ако je додир прост, координатни почетак биће, према ономе што смо раније рекли о превојним тачкама, једна хори- зонтална превојна тачка интегралне криве, јер бисмо тада имали да je за х — о и = о и = о и" ----- о u'" — со" (о) > о Ако за размак (о, a) узмемо размак (о, вв) и ако Функција У ω y том размаку асимтотно тежи једној коначној и одређеној гранпци а, интеграл и такође he асимтотно тежитп тој истој граници. Јер, како и непресгано расте, a не може, према пређашњем, никако да превазиђе вредност а, извод 67 и' тежиће нули кад х бескрајно расте, што значи, према једначини 1), да интеграл и асимтотно тежи граници а; резултат који, уосталом, излази и непо- средно из онога, што смо рекли y одељку о асим- тотним вредностима уопште. § 2 . Нека су дате две Riccati-еве једначине и -ј- и г — (х) · · · 1) V v'1 = « 2 (х) · · · 2) где су (0λ ii ω„ коначне и непрекидне Функције од X y посматраном размаку. Претпоставимо да je y датом размаку (о, a) не- престано «, > ωχ π нека интеграл и постаје бескрајан за х — о, a да то није случај са интегралом v Онда ће, под иретпоставкама које су садржане још ii y доказу, y посматраном размаку, бити y исто време и U >> V Да бисмо горње тврђење доказал1р трансФор- мишимо најпре дате Riccati-еве једначине 1) и 2) простим сменама У' U = ----- · · · о У y одговарајуће линеарне једначине другога реда 5* 68 • · 5) • · 6 ) y" = ωι (x) y ζ" — ω2 (χ) ζ и посматрајмо оне интеграле y и z који y проуча- ваном размаку задржавају исти знак ; нека, поред тога, интеграл. y постаје раван нули за х = о, a το н.ека не буде случај са интегралом z. Помножимо једначину 5) са z , једначину 6) са y и одузмимо другу тако добијену једначину од прве, па ћемо добити zy" - yz" = i]ζ\ωΛ — ω2) ■ ■ ■ 7) Помноживши, затим, једначину 7) са dx и ин- тегралећи je y границама од /i до х, где je h један ма какав број, добија ce Гх zy' — yz’ — С 4- \ yz (<а, — <у.2) dx . . . gj •'h где je Вредност константе С зависи од посматраних интеграла y и z једначина 5) и 6Ј. Кад je један утврђен. вредност константе С зависиће једино од оног другог посматраног интеграла. Поделимо једначину 8) количином y z, која je, no иретпоставци, позитивна, па ћемо добити Ако узмемо h = + f , чина, биће где je е врло мала коли- С = yz У_ У z за x — ~ј- £ • · · 10) 69 врло велику позитивну вредност, a производ y z no претпоставци je стално позитиван, το he и константа С бити очевидно позитивна. С друге стране, пошто je y размаку (о, а) не- престано, по иретпоставци, бити позитиван y посматраном размаку. Једначина 9) тада показује да he y размаку (о, a ) непрестано бити У z > о — о), > о то he и интеграл или, према једначинама 3) и 4), U > V, што je и требало доказати. § 3. Посматрајмо две Riccati-евб једначине ν' V2 = ωι (х) ■ ■ ■ 1) w' -f w2 = 0)г (х) ■ ■ ■ 2) 70 За Функције « , и а г претпостављамо да су y по- сматраном размаку (о, а) гшзитивне и да не опадају. Ако je, осим тога, y размаку (о, а) неттрестано (о, > о)2, . . . o') биће такође y томе размаку и V > w где су ü и w интеграли једначина l) и 2) који по- стају равни нуии за х — о. Пре свега, из једначина 1) п 2), према услову 3i, добпјамо неједначину V + V ' > w ' - [ - w 1 · ■ · 4 ) Неједначину 4) можемо написати н \ оолику ν' — w' > w ' — · · · 5) Ако би сад за једну вредност .v, блиску вред- ности X = о, било W > V , морало би y исто време бити, према неједначини 5), н v > w' или d dx (■V — w) > ο Το значи да д и Ф е р е н ц и ј а v —- w расте почевшн од те вредности х. Па како je она за х = о равна нули, морало би, почевиш од х = о, оити i: > w G друге стране, међутим, да би диФеренцпја v w могла постати негативна почевши од једне вредности 71 .r = 5 itiïo ce налази y размаку {o, a), треба да ce сведе на нулу за х = b, па пошто би, према мало- пређашњем, почевши од х — b диФеренција v — w морала расти, наилазимо опет на контрадикцију, чиме je горњп резултат доказан. § 4. Нека су дате три Riccati-еве једначине v' 4- υ* = ωι (χ) . . . i, и' u 1 = ω (χ) • · · 2) w ’ w = (χ) ■ ■ ■ 3) где за Функције ω и ω., опет претпоставља.мо да су y посматраном размаку (о, а) позитивне и да. не оиадају. Ако je, поред тога, y томе размаку непрестано ω, > (о > «,г биће y нсто време y томе размаку и V >» и > w где су v, и и w интеграли једначина 1), 2) и 3) који постају равни нули за х = о Овај резултат je, очевидно, непосредна после- дида резултата доказаног y § 3. Последњи резултат може имати врло корисну примену y приближној интеграцији Riccati-еве јед- начине, Ако, нпр., треба да проучимо једначину 2) која ce не може интегралвти, онда ћемо за компаративне једначине 1) и 3) изабрати такве једначине које мо- жемо интегралити или бар такве о чијпм интегра- 72 лима можемо имати довољно потребних података. На тај начин добићемо и податке о гранпцама из- међу којих ce непрвстано, y посматраном размак\ (о. а), налази проучавани интеграл и. Тако бисмо са извесном приближношћу могли створити и олику о току проучаване интегралне криве линије. Очевидно je да ћемо интеграл и y толико боље познавати y колико компаративне Функције м, и сог буду тешње обухватале Функцију ω . Наведимо y овом § једну познату методу која ce може корисно употребити за приближну интегра- цију диференцијалних једначина првога реда уопште.. Ta метода. заснива ce на генералисаној познатој те- ореми средљих вредности*). Нека je дата једначина где je F ма каква, алгебарска или трансцендентна, Функцнја од X и и и нека je дата тгочетна тачка (х0, и0) траженог реалног интерала u. Тада ћемо бити увек y стању да изберемо, и то на оескрајно много начина, друге две једначине и један размак, с једне и друге стране вредности X = хо, тако да ce за сваку вредност х, обухваћену *) М. Petroviteh, Sur une manière d’étendre le théorème de la moyenne aux équations differentielles du premier ordre. Math. Annalen LTV Bd. 3. Hft. § 5. • · 1 ) ;.2) • 3) 73 Тим размаком, вредноет интеграла u налази између одговарајућих вредности интеграла v и w једначина 2i и 3) који за л' = ,v0 имају вредности v0 = w0 — и п. И ова одредба доње и горње граннце интеграла и биће могућна па ма каква била почетна тачка (х0, и0), само ако ce не налази на извесним утврђеним кривим линијама y равни (х, и) које ce, уосталом, могу уна- пред знатп за дату једначину i). Дату...једначину 1) можемо на бескрајно многр начина написати y облику du = F (х, u, f) . . . 1 ) где je f један коеФициент који зависи од х, који ФигурицЈе y Функдији F и на који обраћамо наро- читу пажњу· Претпоставимо да су за иницијалну вредност (х0, и 0) ii Функција F и њен парцијални извод dF d f — H (х, u, fi одређени, коначни и непрекидни, да осим тога не мењају детерминацију и да парцијални извод за ту тачку не иостаје раван нули· Тачке које не испу- њавају ове услове припадају извесним утврђеним кривим линијама y равни (х, и) које можемо унапред знати за дату једначину 1) или су, пак, изоловане ii сталие· Ставивши f (х0) = (j можемо увек одредити две константне вредности λ и μ тако да буде λ < о < μ h да Функција Н (х, и, t), сматрана као Фуакција од t , остаје коначна, одређена, неирекидна и различита од нуле, док t варира од λ до μ. Можемо загим увек, н то на бескрајно много начина, одредити две функције φ (х) и ψ (х) које he задовољавати ове усло ве : l v да буде ψ (д-Ј = λ ψ { χ0) = μ · 2 0 да буду коначне, одређене п непрекидне y једном размаку [х0 — a l5 'х0 - f a ä); 3 ° да интеграли v и w једначина d v- ^ = ϊ(χ,υ,φ) . . . i | dw — = F(x, · ■ · ai који за X — x 0 имају заједничку вредност νυ = w0 = u0, буду коначни, одређени и непрекидни y једном раз- маку (х0 —ö,, х 0 Изабравш и на'тај начин Функције φ u ψ, сгавимо R v (χ} 0J = φ + [f— φ) ΘΎ Η , { χ , θ 2) = ψ - f [ ψ — f) д г где су 0j n 0а два броја што ce налазе између о ц i , и уочимо Функције G, ix , θλ) — Н ix, v, RJ G t [ x , θ 2) — H [X, w , R t ) сматране као Функције од .v, 0, н 0,, иошто ce n , w , R 1 n R 2 смене њиховим вредностима пзраженим помоћу x, 0, и 02. Лако ce доказује да Функције G, ii G 2 не по- стају равне нули за .v = .v и да за ту вредност х 75 имају заједннчки знак, па ма какве биле вредности вх и 0г y размаку од 0 до l. Другим речима: увек he постојати један такав размак (х0 — с13 х0 -ј- с,) да за сваку вредност х обухваћену тим размаком и за о < 0, < 1 о < 02 < i , Функције Gj ii G, буду одређене, коначне, непре- кидне, да не мењају детерминацију и не иостају равне нули. Доњу границу овога размака имаћемо н.пр. ако потражимо такав размак (х0 — g v х 0 —j-gra) да, означпвши са (М„ М2) и (JV,, iV2) одговарајуће гра- ниде између којих варирају Функције \φ, ψ ) и ( v , w ) , за вредностп ,v y томе размаку, Функцпја Н ( х , и, t.) остајс одређена, коначна^ непрекидна и различита од нуле, док X варира од х 0 — 9, λ'0 -\~ У . и °Д N, до iV, и t од М, до М2. Најзад, како je Функција F (х, и, fj, где je п f Фун- кција од X, одређена, коначна и непрекидна за х = х0, и — и0, nocTojahe увек један размак, н.пр. од х0 — d, до х° Д- d,, такав да, означивши ca (Nt', N,') доњу и горњу границу взмеђу којих варирају v и w, са (М/, М2') доњу h горњу границу између којих варирају ψ и ψ, Функ- ција F (х, и , f) остаје непрестано одређена, коначна h непрекидна, док х варира y размаку (х0 — d i; х0-f-d2), и између N x' и N,', a f између М/ и 31,'. Уочимо сад један размак (х0 — h 1, х0 -ј- h j који ce садржи y сва четири раније поменута размака (х0 — a w х0 -ј- аД, (л'0 — б,, (х0 + б2), (х0 — с„ х0+ с 2), (X — d , .v -ј- đ2). Тада ce лако доказује ова теорема која управо представља генералисану теорему сред- њих вредности : за сваку вредност х, обухвапену раз- Умапом (х0 — ! д‘о + ^i) интеграл u једначине 1), који за X = X u.vta унаиред дату вредност и — и0 одређен je, крначан и неирекидан и неирестано ce налази 76 између одговарајупих вредности интеграла v и w јед- пачина 4) и 5) који за х = х 0 имају исту вредност v0 = W0 ’= u0. Очевидно je, ирема напред изложеном, да hé свакој диФерендијалној једначини 1) μ сваком скупу иницијалних вредности (х0, и0) — осим ако ce тачка (х0, и 0) не налази на раније поменутим утврђеним кривим линијама — одговарати један размак ( i0 — hv х о "f· чија ће величина бити различита, према слу- чају с којим ce има посла, али који никад није раван нули. Употреба ове теореме сасвим je слична употреби теореме средњих вредностп. За дату ј.едначину, на- писану y облику 1*ј, треба одредити две функције φ и ψ које y близини вредности .r = .v0 обухватају што je могућно тешње Функцију f и које би биле такве даједначиве 4) и 5), које њима одговарају, или можемо потпуно интегралити или их бар можемо лакш е проучити него дату једначину. Размак (х0 — /г1; х 0 - f \ ) мора, да укратко поновимо, задовољаватн ове у сло ве : 1° y њему су Функције ψ и ψ холоморФне и tie- прекидно задово-љавају услов ψ < f < гр; 2° интеграли v и w једначина dv Т п = F ι',φ) dw = F (x, w, ψ) к.оји за X = х о имају заједиичку вредност и(), холо- морФни су ; 77 3' Функције Q1(x, 0,) и G2 ( x , θ2) холоморФие cy ii не иостају равне пули па x\ia какве вредности, између 0 и i, имале променљиве θ{ и Ö, ; 4° Функција F (х, м, t,) холоморФнаје док u варпра између JV/ и NJ, t између М/ и М’2, где (М/, М'2) озна- чавају дошу и горњу границу између којих варирају Ψ и ψ, a (iV1 ", iV2') доњу и горњу границу између којих варирају v и док х варира између х — h И х 0 + h2. Применимо последње резултате на Riccati-еву једначину du ~ + и 1 = 6} И написану y облику du- - = a (X, - e Нека иницијална вредност х = х0 не буде ни- какав сингуларитет Функције ω ( χ ) , која he тада бити непрекидна y извесном размаку (а2, а2) који обу- хвата вредност х = хо . Функција Н( х , u , t) овде ce своди на ï , na je G r (x , θ χ) — 1 G 2 (χ , θ 2) = 1 Остаје нам још само да одредимо размак (b j , b 2) тако да буде а , < К < Х 0 < b2 < а 2 У коме he комиаративни интеграли. v и w бити хо- ЛОМОрФНИ. Да бисмо имали што простије интеграле v и w, претпоставимо да y размаку (а2, а2) Функција ω (х) 78 задржава ста.шо један исти знак. Разликујмо, према томе, ова два случаја : 1° Нека буде ω[χ) > о. Ако означимо са М, и М2 (где je М, <С М2) два позитивна броја између којих ce налази Функција ω док X варира y размаку (а,, а.,), ставпвши имаћемо φ (χ) = Μ, ψ (х) = М2 С ][м^ e2\Mix - 6 ) Ce2VMix 2 Р , С \ .м„ e2xVMi -ј- -ç w С е2х ίΛ,2 — 2 ] [ м 2 одакле ce лако налазе границе траженога раз- мака (b, , ba). И y тако одређеном размаку, интеграл и биће холоморфан и стално о.бухваћен одговарајућим вред- ностима интеграла v и w деФинисаних обрасцима 6 ) и 7); 2° Нека буде ω (х) <С о Ако тада — М, и — М2 имају малопређашње значење, ставивши φ (χ) = — Μ, ψ (х) = — М, , v = [ Д/, cotg fM, {χ — e) · · · 8) w = јIM, cotg J Μ, (χ — c) .......... 9) имаћемо 79 И y сваком размаку, који обухвата иницијалну вредност X = хо, y коме су интеграли v и \v, деФИ- нисани обрасцима 8) и 9), холоморфни, биће и про- учавани интеграл и холоморФан и обухваћен одго- варајућим вредностима. интеграла v и w. Напомена. Постоји још једна метода која ce додуше не заснива на досадашњем нашвм схвагању приближне интеграције, али која ce ипак корисно може употребити за приближну нумеричку интегра- дмју свих обичних диФеренцијалних једначпна, ла, дакле, τι за [Îiccati-еву једначину. Метода ce заснива на генерализацији познатог Simpson-овог правила, a развио ју je проФесор Runge, 1894 године.* Runge-овој методи могли бисмо учинити ове две замерке : прво, рачунање које je скопчано са њеном применом заметно je, често врло заметно; и друго, она није y стању да нам да никаква обавештења о ' тепену приолижности са којом радимо. Но и поред тпх двеју слаоих страна, Runge-ова, метода чини чесго велике услуге, јер je од свих метода за прп- ближна нумерпчка израчунавања интеграла ииак ова понајбоља. Види Mathematische Annalen, Band 46, S. 167—178. IV МЕХАНИЧКА ИНТЕГРАЦИЈА Апарати који служе за механичку интеграцију извесних типова диФеренцијалних једначина зову ce општим именом интегратори. Њих има од две врсте : једни апарати дају нам могућности да за произвољну дату вредност независно променљпве одмах нађемо одговарајућу нумеричку вредност траж ене Функције — то су интегрометри ; други апарати, међутим, ди- ректно дртају интегралне криве које представљају траж ене оункције — то су интеграфи. Француски инжињер Јасов конструисао je 1907. год. једаи интегрометар који ce може корисно упо- требити за механичку интеграцију Riccati-еве једна- чине. Јасов тај свој апарат зове интегратор са ошгри- цом (intégrateur à lame coupante). Прпнцип му je овај : Једну оштрицу y облику котура (1) носи део i2), којп ce налазп на шипци (3), по којој може кли- зити, a може бити и утврђен за њу y једној тачки помоћу завртњ а (4). На крају (3) налази ce једна писаљка (5) коју мон-:емо помоћу дугмета (6) вући по каквој одређеној кпивој y равни цртежа. Кад буде сад писаљка (5) ншла no једној кривој коју смо претходно нацртали π коју ћемо звати директрисом, пресек AB равни котура са равни цртеж а обавијаће једну криву коју he додиривати тачно y тачки В. 8 i Нека je директриса нацртана y координатном систему чије су осовине ох и оу. Нека je A тачка директрисина која ce поклапа са врхом писаљке, X п y нека буду њене координате ; X и У нека буду координате тачке В; (ј нека je дужина базе AB која не мора бити константна, a ω угао ове базе са осо- вином ох. Пошто права AB тангира своју анвелсшу y В, имаћемо ■dX dY cos ω sin ω ' ' 1) или, ако X и У изразимо помоћу х, у } о и ω, р d ω -ј- cos ω dy — sin ω dx = ο . . . 2) Abû je једначина директрисе дата y иараметар- ском облику, нпр. * = М*ј- y = fr (t) . једначина 2) постаје dо) ? ~dt ' ^ ' 2 c o s ω ~ Γι sino) ~ 0 ’ ' ■ 3) о п ш тж R i c c a t i - е в а ЈЕ д н а ч . п р в о г а р е д а 6 82 и та једначина управо деФинише угловно кретање базе AB. Ако ставимо сад ω fang —- = и једначина 3) постаје 2 ? + (i — U' ) f , ~~ 2 u f \ = ο · · · 4) Ако je (), дужина базе, константна количина и Јвднака, рецимо, i, једначина'4) биће управо једна Riccati-ева једначина. И ако сад при померању базе будемо увек мерили угао ω који она склапа са једвим утврђеним правцем ох, одмах ћемо знати и нумеричку вредност интеграла ω и = tang једначине 4), која ће на тај начнн бити механички интеграљена.*) Да би ce Јасов-ов интегратор могао применити на Riccati-еву једначину, ова ce мора најпре иден- тиФиковати са једначином која регулише кретање базе апарата du _ , f \ dt U 21 21 • 5; где je l константна дун^ина базе. Да би ce на Riccati-еву једначину облика du dt = A u'2 -I' Bu -f C *) Детаљније o самом апарату и његовој уцотреби видн y Le caleul mécanique par L. Jacob ; cip. 363—370. (Encyclopédie scientifique, Paris, 1911). 83 где су A, В и С Функције од t, могао лрименити Ја- cob-OB интегратор, потребно je и довољно да буде A - f С = о ■ ■ ■ 7) што ce налази простим идентиФиковањем једначине 6) са δ). Међутим, кад je дата једначина 6), она уопште неће a priori задовољавати услов 7). Али je Јасов покађао да je лако трансФормисати сваку једначину облика 6) тако да ce интегратор увек може при- менити. Ако су Функције A и С y интервалу интегра- ције супротнога знака, онда једначина 6) простом сменом y --- Λ п , где je λ = — j — — добија облик на који ce интегратор непосредно може употребити. Лако ce налази да he y овом случају директриса бити дата једначинама x = c . - \ - 2 l [ A d t 11 Ј · ■ · 8) У = с, + l j' B dt где ce константе c( и c2 одређују према иницијалним условима задатка. Знајући, н. пр., иницијалне вредности независно променљиве t0 и одговарајуће Функције u0, знаћемо и тачку хо, уо од које полази писаљка која иде по директрисп. Из релације, затим, ωηи0 = tang y одређује ce и иницијални правац со0 базс апарата. 6* 84 Ακο ce сад тражи вредност интеграла за t = t , , писаљка ce повлачи по директриси док ce не дође до тачке х , , y , која одговара вредности t, ; тада ce измери угао ω, . па he вредност траженог инте- грала бити Ако су Функције A и G y интервалу интеграције истога знака, горња смена издаје и онда ce овако ради. Нека je ω угао базе са осовином ο х, β угао тан- генте директрисине са истом осовином, a θ = β — ο) угао између базе и тангенте. ТТошто знамо анали- тичну вредност з.а угао β, знаћемо y свакој тачки и нумеричку вредност његову; о друге стране, апарат нам даје угао ω, тако да ћемо y сваком моменту бити y стању да одредимо и угао Θ. Пођимо од познате једначине 2) ω u l = tang l deo -f- dy cos ω — dx sin o> = o Ακο y њој извршимо најпре смену ω = β — θ водећи рачуна ο томе да je tan3li== d x ’ dy na затим опет емену Θ tang u добићемо једначину (Iß , ä, το je Riccati-ева једначина y којој je A = C Лако ce уверавамо да сваку Riccati-еву једна- чину облика 6), y којој су Функције A и С y интер- валу интеграције истога знака, простом сменом y = λ и , гдв je λ = доводимо на облик 9), где je, дакле, задовољен уелов A = С. Кад смо једна,чину 6) довели на облик који за- довољава услов A = С, онда простим идентиФико- вањем те једначине са једначином 9) налазимо једна- чнне директрисине где je X = ćj -ј- l ) В cos ßt dt y = c2 -j- l $ B sin ßt dt ß ■— 'Ј \ Λ dl -f~ const η где ce интеграциове константе одређују према ини- дијалним условима. Знајући, н.пр., иницијалну вредност f0 и u0, зна- ћемо одмах и ,v0, у0 и ß0. Релација 0 0 «0 = ta n g - r , . . . даће нам 00, ua ће, према томе, иравад базе a Ha­ pax a y почетку бнти одређен углом « ο = β ο ~ θο A ko ce тражи интеграл за t == i,, 1шсаљка,се повлачи по директриси док ce не дође до тачке лд, 86 Vi која одговара вредности t x ; тада ce измери угао ωχ, па пошто y тој тачки знамо и вредност ß t, тра- жени интеграл за t = t t оиће 1 и\ = tg~2 {ß> ~ Сад ћемо показати како ce општа Riccaù-ева једначина облика V + У ' — ω (х) ‘ ' ‘ може довести иа облик на који ce непосредно при- метвује механичка интеграција. Претпоставимо нај- пре да je Функција ω (х) y интервалу интеграције позитивна. Ако извршимо смену У = ± и Y (0 (xi једначина 11) постаје ^ и '2 ±]/Γω a ова последња једначина задовољава потребан и довољан услов да ce на њу може применити Jacob-ов интегратор. Ако je пак Функција ω (х) y интервалу интегра- дије негативна, једначина 11), помоћу смене y — u]/ — ω (х) доводм ce нa облик 9), на који ce, као што смо вп- дели, такође непосредно примењује механичка ин- теграција. 87 Jacob-ов интегратор je доста прост апарат и згодан je за нрактичну употребу. Он ce може упо- требити за интеграцију сваке Riccati-еве једначине за коју смо y стању да нацртамо одговарајућу ди- ректрису. Како ce директриса одређује помоћу ква- дратура 8) и 10), το можемо казати : да, иомопу Jacob-oeoz аиарата можемо интегралити сваку Ricca- ti-еву једначину за коју смо y стању извести одгова- рајупе квадратуре 8) и 10). Одредба директрисе истиче на видик и сингу- ларитете интеграла Riccati-еве једначине којц су стални. Овим вредностима независно променљиве одговарају на директриси или бескрајне или имаги- нарне гране. Jacob-OB интегратор има у главном исту кон- струкцију као тракториограф, који je К лврић* кон- струисао 1897 год., дакле читавих 10 година пре Jacob-a. Клерићев апарат, поред тога што може корисно да ce употреби за тачну конструкцију тран- сцендентних бројева е и тс, за поделу кружне периФе- рије на п једнаких делова ит.д., имао je главни свој задатак да на један врло лак начин конструише трактрисе за једну дату Функцију f (х), па му je и име дошло од те његове поглавите намене. Г. П етровићје показао** како ce Клерићев трак- ториограФ може употребити и као интеграФ за из- весне типове диФеренцијалних једначина првога реда. Лако je , међутим, показати како ce Клерићев апарат може употребити и као интегрометар за Riccati-еву једначину. Јер ако писаљку (stylet) на Клерићевом апарату будемо вукли не ио датој ли- * Dingler’s polytech. Journal, 1897; Bd. 305. . . . Petrovits, Integration graphique de certains types d'équations aiilerentielles du premier ordre (Bulletin de la Société mathématique de France: 1899, стр. 200). нији чије ce трактрисе траже, него по директриси какве Riccati-еве једначине, онда Клерићев апарат управо постаје Jacob-ов ингегратор и може ce упо- требити, на исти начин као и овај, за механичку интеграцију Riccati-еве једначине. Напомена. — И Jacob-ов интегратор и Клерићев тракториограФ по својој суштини нису ништа друго него познати аланиметар који je Prytz, капетан y данској војсци, конструисао још 1887 године. Апа- рати, Jacob-OB и Клерићев, разликују ce од Prytz- овог управо само по својим спедијалним наменама. 88 Ј *·■ f \ ч. · - ■