УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ МАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ Драган Матић РЈЕШАВАЊЕ НЕКИХ ПРОБЛЕМА У НАСТАВИ ПРИМЈЕНОМ МЕТОДА КОМБИНАТОРНЕ ОПТИМИЗАЦИЈЕ докторска дисертација Београд, 2013 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF MATHEMATICS Dragan Matić SOLVING SOME PROBLEMS IN TEACHING BY USING COMBINATORIAL OPTIMIZATION METHODS Doctoral Dissertation Belgrade, 2013 Ïîäàöè î ìåíòîðó è ÷ëàíîâèìà êîìèñèjå Ìåíòîð äð Âëàäèìèð Ôèëèïîâè£, äîöåíò, Ìàòåìàòè÷êè ôàêóëòåò, Óíèâåðçèòåò ó Áåî- ãðàäó ×ëàíîâè êîìèñèjå äð Äóøàí Òîøè£, ðåäîâíè ïðîôåñîð, Ìàòåìàòè÷êè ôàêóëòåò, Óíèâåðçèòåò ó Áåîãðàäó äð Ìèëàí Áîæè£, âàíðåäíè ïðîôåñîð, Ìàòåìàòè÷êè ôàêóëòåò, Óíèâåðçèòåò ó Áåîãðàäó äð Èëèjà Ëàëîâè£, äîöåíò, Ïðèðîäíî ìàòåìàòè÷êè ôàêóëòåò, Óíèâåðçèòåò ó Áà»îj Ëóöè äð Âëàäèìèð Ôèëèïîâè£, äîöåíò, Ìàòåìàòè÷êè ôàêóëòåò, Óíèâåðçèòåò ó Áåî- ãðàäó äð Àëåêñàíäàð Ñàâè£, äîöåíò, Ìàòåìàòè÷êè ôàêóëòåò, Óíèâåðçèòåò ó Áåîãðàäó Äàòóì îäáðàíå: i Ïîäàöè î äîêòîðñêîj äèñåðòàöèjè Íàñëîâ äîêòîðñêå äèñåðòàöèjå Ðjåøàâà»å íåêèõ ïðîáëåìà ó íàñòàâè ïðèìjåíîì ìåòîäà êîìáèíàòîðíå îïòèìè- çàöèjå. Ðåçèìå Ó îâîì ðàäó ñå èñòðàæójó íåêè àêòóåëíè ïðîáëåìè êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå. Àíàëèçèðàíå ñó è ïðåäñòàâ§åíå ðàçëè÷èòå ìåòîäå ðjåøàâà»à ñ§åäå£èõ NP òåøêèõ ïðîáëåìà: ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå, óîï- øòåíè ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó ñà q ïàðòèöèjà (q ≥ 2), ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ïîäjåëå ñêóïà íà äâèjå ïàðòèöèjå è ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à p-àðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ó äèãðàôó. Çàjåäíî ñà èñòðàæèâà»åì ìåòîäà êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå, êîjèìà ñå ðjåøà- âàjó íàâåäåíè ïðîáëåìè, ó äèñåðòàöèjè ñå èñòðàæójå è ìîãó£íîñò ïðèìjåíå íåêèõ îä íàâåäåíèõ ïðîáëåìà êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå ó îðãàíèçàöèjè íàñòà- âå. Çà ñâàêè îä îâèõ ïðîáëåìà ïðèêàçàíe ñó ìåòàõåóðèñòèêå çà »èõîâî ðjåøà- âà»å: ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà jå ðàçâèjåí çà ñâà ÷åòèðè ïðîáëåìà, äîê jå çà ïðîáëåì òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ó äèãðàôó ðàçâèjåí è ãåíåòñêè àëãîðèòàì. Çà ïðîáëåì ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó jå ðàçâèjåí è ìîäåë ìjåøîâèòîã öjåëîáðîjíîã ëèíåàðíîã ïðîãðàìèðà»à, êîjè îìîãó£àâà ïðîíà- ëàæå»å òà÷íîã ðjåøå»à çà èíñòàíöå ìà»èõ äèìåíçèjà. Äîáèjåíè åêñïåðèìåí- òàëíè ðåçóëòàòè óêàçójó íà âèñîêó óïîòðåáíó âðèjåäíîñò ñâèõ ðàçâèjåíèõ ìåòîäà. Ïðîáëåìè êîjè ñó ðjåøàâàíè ó îâîì ðàäó ñó îä âåëèêîã òåîðèjñêîã è ïðàêòè÷- íîã çíà÷àjà. Êîðèñòå ñå ó ïðîèçâîä»è, îáëàñòèìà ðà÷óíàðñêèõ ìðåæà, èíæå- »åðñòâó, îáðàäè ñëèêà, áèîëîãèjè, äðóøòâåíèì íàóêàìà, à òàêî¢å è ó îáëàñòèìà ïðèìèjå»åíå ìàòåìàòèêå è ðà÷óíàðñòâà. Ó ðàäó jå ðàçìàòðàíà ïðèìjåíà íåêèõ îä íàâåäåíèõ ïðîáëåìà ó îðãàíèçàöèjè íàñòàâå. Ïîêàçàëî ñå äà ñå ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó è ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ïîäjåëå ñêóïà íà äâèjå ïàðòèöèjå óñïjåøíî ìîãó ïðèìèjåíèòè ó îãðàíèçàöèjè ïëàíîâà è ïðîãðàìà, êàêî jå òî ïðèêàçàíî è íà êîíêðåòíèì ïðèìjåðèìà. Ðàçâèjåíå ñó òåõíèêå çà íà÷èíå ïîâåçè- ii âà»à ëåêöèjà, êàî è çà îäðå¢èâà»å »èõîâèõ òåæèíà, çàñíîâàíèõ íà îájåêòèâíèì ïîêàçàòå§èìà è ñóájåêòèâíèì ïðîöjåíàìà ïðîôåñîðà. Òèìå jå ïîñòèãíóòî äà ñå ÷èòàâ êóðñ ïðåäñòàâè êàî ïîâåçàí òåæèíñêè ãðàô, øòî ïðóæà ìîãó£íîñò äà ñå ïðîáëåì ïîäjåëå ëåêöèjà óíóòàð êóðñà ïîñìàòðà è ðjåøàâà êàî ìàòåìàòè÷êè ïðîáëåì. Ïðèäðóæèâà»åì ëåêöèjà îäãîâàðàjó£èì êàòåãîðèjàìà (òåìàòñêèì öjåëèíàìà) óíóòàð jåäíîã êóðñà, êðåèðà ñå ôàìèëèjà ïîäñêóïîâà (òåìàòñêèõ öjåëèíà) ÷èòàâîã ñêóïà ëåêöèjà. Àêî ïðåòïîñòàâèìî äà ëåêöèjå êóðñà òðåáà ðàçáèòè ó äâà äèñjóí- êòíà ïîäñêóïà (íà ïðèìjåð íà çèìñêè è §åò»è ñåìåñòàð), òàêî äà øòî âèøå òåìàòñêèõ öjåëèíà áóäå "ïîêðèâåíî" ó îáà òà ïîäñêóïà, òàäà ñå íàâåäåíè ïðîáëåì ñâîäè íà ðjåøàâà»å ïðîáëåìà ìàêñèìàëíå ïîäjåëå ñêóïà. Ðàçâèjåíèì ìîäåëèìà ó îðãàíèçàöèjè íàñòàâå, èç êîjèõ íañòàjó NP òåøêè ïðîáëåìè, îâîì ðàäó jå, ïîðåä íàó÷íîã äîïðèíîñà ó ïî§ó ìàòåìàòè÷êîã ïðîãðà- ìèðà»à è îïåðàöèîíèõ èñòðàæèâà»à, ïðèäîäàò è äîïðèíîñ èç îáëàñòè ìåòîäîëî- ãèjå íàñòàâíîã ïðîöåñà, ñà íàãëàñêîì íà ìåòîäîëîãèjó íàñòàâå ìàòåìàòèêå è ðà÷óíàðñòâà. ʧó÷íå ðèjå÷è êîìáèíàòîðíà îïòèìèçàöèjà, öjåëîáðîjíî ëèíåàðíî ïðîãðàìèðà»å, ìåòàõåóðèñòè- êå, ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà, ãåíåòñêè àëãîðèòìè, áàëàíñèðàíè ãðàôîâè, òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà ó ãðàôó, ïðîáëåì ïîäjåëå ñêóïà, ïðèìjåíà ðà÷óíàðà ó íàñòàâè Íàó÷íà îáëàñò Ìàòåìàòèêà Óæà íàó÷íà îáëàñò Ìåòîäèêà íàñòàâå ìàòåìàòèêå è ðà÷óíàðñòâà ÓÄÊ áðîj [519.1:519.863]:371.3(043.3) iii Dissertation Data Doctoral dissertation title Solving some problems in teaching by using combinatorial optimization methods Abstract In this work some actual combinatorial optimization problems are investigated. Sev- eral dierent methods are suggested for solving the following NP hard problems: maximally balanced connected partition problem in graph, general maximally bal- anced problem with q partitions (q ≥ 2), maximum set splitting problem and p-ary transitive reduction problem in digraphs. Together with investigation of combinato- rial optimization methods for solving these problems, the applying of these problems in education is also considered in the dissertation. For solving each of these problems, metaheuristics are developed: variable neigh- borhood search is developed for each problem and genetic algorithm is used for solv- ing p-ary transitive reduction problem in digraphs. For maximally balanced con- nected partition problem a mixed linear programming model is established, which enables to solve the problem exactly for the instances of lower dimensions. Achieved numerical results indicate the high level of reliability and usability of the proposed methods. Problems solved in this research are of a great interest both in theoretical and practical points of view. They are used in production, computer networks, engineer- ing, image processing, biology, social sciences and also in various elds of applied mathematics and computer science. In this work the applying of some problems in educational issues is also consid- ered. It is shown that approaches of nding maximally balanced connected partition in graph and nding maximum splitting of the set can be successfully used in course organization, which is veried on the concrete examples. Based on the objective indicators and professor's assessment, the techniques for the identifying the con- nections between the lessons, as well as the weights of the lessons are developed. Thus, whole course can be represented as a connected weighted graph, enabling the resolving of the lesson partition problem by mathematical approaches. By assigning the lessons into the appropriate categories (topics area) inside a iv course, a collection of subsets (corresponding to the topics) of the set of lessons is created. If we set the requirement that lessons should be split into two disjoint sub- sets (e.g. into the winter and summer semesters), in a way that corresponding topics are processed in both subsets, then the mathematical model of the requirement and its solution corresponds to the set splitting problem. By the developed models of course organization, from which the NP hard prob- lems arise, in addition to the scientic contributions in the elds of mathemati- cal programming and operational research, contributions in educational aspects are added, especially in the methodology of teaching mathematics and computer science. Keywords combinatorial optimization, mixed integer linear programming, metaheuristics, vari- able neighborhood search, genetic algorithms, balanced graphs, transitive reduction in graphs, set splitting problem, computers in education Scientic eld Mathematics Scientic discipline Mathematics and computer science teaching methodology UDC number [519.1:519.863]:371.3(043.3) v Ïðåäãîâîð Ó îâîì ðàäó ñå èñòðàæójó íåêè àêòóåëíè ïðîáëåìè êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå è »èõîâà ïðèìjåíà ó îðãàíèçîâà»ó íàñòàâå. Ó âðåìåíó èíòåíçèâíèõ ðåôîðìè ó îáðàçîâà»ó jàâ§àjó ñå ñïåöèôè÷íè îðãàíèçàöèîíè ïðîáëåìè êîjè èíèöèðàjó ðàçâîj ñëîæåíèõ è íàïðåäíèõ ìåòîäà çà »èõîâî ðjåøàâà»å. Ïðîáëåìè ïðèñóòíè ó îðãàíèçàöèjè íàñòàâå ÷åñòî ñå ñðå£ó è ó äðóãèì îáëàñòèìà è ïðåäìåò ñó èçó÷àâà»à íå ñàìî ìàòåìàòè÷àðà, âå£ è èñòðàæèâà÷à èç äðóãèõ íàó÷íèõ îáëàñòè, êàî øòî ñó åêîíîìèjà, ìåíà¶ìåíò è èíæå»åðñòâî. Ñ îáçèðîì íà ñëîæåíîñò è âåëèêå äèìåíçèjå ïðîáëåìà, ïðåä îñîáå óê§ó÷åíå ó óïðàâ§à»å îðãàíèçàöèîíèì ïðîöåñèìà ïîñòàâ§àjó ñå çàäàöè ÷èjå ðjåøàâà»å ïîäðàçóìèjåâà ïðîíàëàæå»å àêî íå íàjáî§åã, îíäà áàð äîâî§íî äîáðîã ðjåøå»à. Ó âå£åì áðîjó ñëó÷àjåâà, ïîêàçójå ñå äà îðãàíèçàöèîíè ïðîáëåìè ó íàñòàâíîì ïðîöåñó ó ñâîì èçâîðíîì îáëèêó çàïðàâî jåñó ïðîáëåìè ìàòåìàòè÷êå ïðèðîäå è êàî òàêâè ñå jàâ§àjó è ó äðóãèì îáëàñòèìà. Ñòîãà ñå ïðîâjåðåíå è äîêàçàíå ìåòîäå ðjåøàâà»à ñëè÷íèõ ïðîáëåìà, êàî è èñêóñòâà ñòå÷åíà ó òåîðèjñêèì àíàëèçàìà è ïðàêñè, (êàî øòî ñó óïðàâ§à»å ïðîèçâîä»îì, îðãàíèçîâà»å òðàíñ- ïîðòà, óïðàâ§à»å ðà÷óíàðñêèì ìðåæàìà èòä.), ìîãó ïðèìèjåíèòè è ó îðãàíè- çîâà»ó íàñòàâíîã ïðîöåñà. Öè§ îâîã èñòðàæèâà»à jå äà ñå äåòà§íî àíàëèçèðàjó íåêå ñïåöèôè÷íå ïîòðå- áå ó îðãàíèçîâà»ó íàñòàâå, òå äà ñå çà ïîñìàòðàíå ïðàêòè÷íå ïðîáëåìå êîíñòðó- èøó îäãîâàðàjó£è ìàòåìàòè÷êè ìîäåëè. Ìàòåìàòè÷êè ìîäåëè êîjè îäãîâàðàjó ïðîáëåìèìà àíàëèçèðàíèì ó îâîì ðàäó èìàjó ñâîjó øèðó ïðèìjåíó è ñïàäàjó ó êëàñó òçâ. NP òåøêèõ ïðîáëåìà, çà êîjå íå ïîñòîjè àëãîðèòàì ïîëèíîìñêå ñëîæåíîñòè êîjè ðjåøàâà îïøòè ñëó÷àj. Ñòîãà ñó îïðàâäàíè ðàçâîj è ïðèìjåíà ïðèáëèæíèõ, ìåòàõåóðèñòè÷êèõ ìåòîäà çà »èõîâî ðjåøàâà»å. Ïîêàçàëî ñå äà ïîäjåëà ëåêöèjà jåäíîã êóðñà íà äâà äèjåëà, òàêî äà òåæèíà òèõ äèjåëîâà áóäå êîëèêî jå ãîä ìîãó£å âèøå ójåäíà÷åíà, ìîæå áèòè îä ïðàêòè÷- vi íîã çíà÷àjà. Àêî ñå îâîì ïðèñòóïó ïðèäîäà è çàõòjåâ êîjèì ñå äåôèíèøå ïîâåçàíîñò ëåêöèjà, îíäà ñå çà òàj ïðèñòóï ìîæå ôîðìèðàòè åêâèâàëåíòàí ìàòå- ìàòè÷êè ïðîáëåì, ó òåîðèjè ïîçíàò êàî ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíå ïîâå- çàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó. Ñëè÷íî, ïðèñòóï ó êîjåì ñå ëåêöèjå êóðñà ãðóïèøó ó òåìàòñêå öjåëèíå, äîê ñå êàî çàäàòàê ïîñòàâ§à ïîäjåëà ëåêöèjà íà äâà äèjåëà, òàêî äà øòî âèøå òåìàòñêèõ öjåëèíà áóäå ïðèñóòíî ó îáà äèjåëà, ñâîäè ñå íà ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ïîäjåëå ñêóïà íà äâèjå ïàðòèöèjå. Îâàj ïðèñòóï ñå òàêî¢å óñïjåøíî ìîæå ïðèìèjåíèòè ó îãðàíèçàöèjè íàñòàâíèõ ïëàíîâà è ïðîãðàìà, êàêî jå òî ïðèêàçàíî è íà êîíêðåòíèì ïðèìjåðèìà. Ó äèñåðòàöèjè ñó ñòîãà àíàëèçèðàíå è ïðåäñòàâ§åíå ðàçëè÷èòå ìåòîäå ðjå- øàâà»à ñ§åäå£èõ NP òåøêèõ ïðîáëåìà: ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå è óîïøòå»å îâîã ïðîáëåìà, ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñè- ìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó ñà q ïàðòèöèjà (q ≥ 2) è ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ïîäjåëå ñêóïà. Ðàçâîjåì ìåòîäà çà ðjåøàâà»å îâèõ ïðîáëåìà, îòâàðà ñå ìîãó£íîñò ïðèìjåíå òèõ ìåòîäà è çà ðjåøàâà»å íåêèõ äðóãèõ ñðîäíèõ NP òåøêèõ ïðîáëåìà, êîjè ïðîíàëàçå ïðèìjåíó ó äðóãèì îðãàíèçàöèîíèì ïèòà»èìà, êàî øòî ñó ïðîáëåìè ó áèîëîãèjè, èíæå»åðñòâó èëè óïðàâ§à»ó ó ïðèâðåäè. Òàêî jå, óç ïîìåíóòå ïðîáëåìå, ó äèñåðòàöèjè ïðîó÷àâàí è ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à p-àðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ó äèãðàôó. Ðåçóëòàòè ïîñòèãíóòè ó äèñåðòàöèjè ñó îä òåîðèjñêîã è ïðàêòè÷íîã çíà÷àjà. Çà äàòå ïðîáëåìå ðàçâèjåíå ñó åôèêàñíå ìåòîäå çà ðjåøàâà»å, ÷èjà jå åôèêàñíîñò è ïîóçäàíîñò ïîêàçàíà èçâðøàâà»åì àëãîðèòàìà íà îäãîâàðàjó£èì òåñòíèì ïîäàöèìà. Èëóñòðàöèjîì óïîòðåáå íåêèõ îä àíàëèçèðàíèõ ïðîáëåìà íà êîíêðåò- íèì êóðñåâèìà, äåôèíèñàí jå ïðàâàö êîðèøòå»à äàòèõ ïðèñòóïà ó îðãàíèçàöèjè íàñòàâå. Æåëèì äà ñå çàõâàëèì ìåíòîðó, äîö. äð Âëàäèìèðó Ôèëèïîâè£ó, êîjè jå ðóêîâîäèî èçðàäîì ìîjå äîêòîðñêå äèñåðòàöèjå, êàî è ÷ëàíîâèìà Êîìèñèjå: ïðîô. äð Äóøàíó Òîøè£ó, ïðîô. äð Ìèëàíó Áîæè£ó, äîö. äð Èëèjè Ëàëîâè£ó, äîö. äð Àëåêñàíäðó Ñàâè£ó íà ïàæ§èâîì ÷èòà»ó è êîðèñíèì ñóãåñòèjàìà êîjå ñó ïîáî§øàëå êâàëèòåò îâîã ðàäà. Òîêîì äîêòîðñêèõ ñòóäèjà èìàî ñàì ïîäðøêó è ó ïðîôåñîðèìà äð ‚îð¢ó Äóãîøèjè, äð Àëåêñàíäðó Ëèïêîâñêîì è äð Çîðèöè Ñòàíèìèðîâè£ ñà Ìàòåìà- vii òè÷êîã ôàêóëòåòà ó Áåîãðàäó, ïðîô. äð Íåíàäó Ìëàäåíîâè£ó è äð Jîçåôó Êðàòèöè, íàó÷íèì ñàâjåòíèöèìà Ìàòåìàòè÷êîã èíñòèòóòà ó Áåîãðàäó, ïðîôåñî- ðèìà äð Ìèëàíó Jîâàíîâè£ó è äð Äóøêó Jîjè£ó ñà Ïðèðîäíî ìàòåìàòè÷êîã ôàêóëòåòà ó Áà»àëóöè, òå ïðîôåñîðèöè àêàäåìèêó äð Îëãè Õà¶è£ è ïðîôåñî- ðèìà äð ‚óðè Ïàóíè£ó è äð Ñèíèøè Öðâåíêîâè£ó ñà Ïðèðîäíî ìàòåìàòè÷êîã ôàêóëòåòà ó Íîâîì Ñàäó. Íàäàì ñå äà £ó ó ñâîjîj áóäó£îj íàó÷íîj è íàñòàâíîj êàðèjåðè îïðàâäàòè »èõîâî ïîâjåðå»å è ïîäðøêó. Çàõâàëíîñò çà ïîäðøêó ó ïèñà»ó äèñåðòàöèjå äóãójåì êîëåãèíèöè Ìàðèjè Ìèëàíîâè£ è êîëåãè Àëåêñàíäðó Êàðòå§ó, àñèñòåíòèìà íà Ìàòåìàòè÷êîì ôà- êóëòåòó ó Áåîãðàäó, êàî è êîëåãè Âëàäèìèðó Òåëåáàêó ñà Ïðèðîäíî ìàòåìàòè÷- êîã ôàêóëòåòà ó Áà»àëóöè. Ñíàãó, âî§ó è ñòðï§å»å çà äóã è ïîñâå£åí ðàä êàêàâ îâàêâà äèñåðòàöèjà çàõòèjåâà è çàñëóæójå, ïðîíàøàî ñàì ó ñâîjîj ïîðîäèöè, ñóïðóçè Äðàãàíè è äjåöè Íàòàøè è Ìèëàíó, ìîjèì íàjâå£èì æèâîòíèì óñïjåñèìà. viii Ñàäðæàj Ïðåäãîâîð vi 1 Óâîä 1 1.1 Ïðîáëåìè êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Ìåòàõåóðèñòèêå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Êëàñèôèêàöèjà ìåòàõåóðèñòèêà . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Ãåíåòñêè àëãîðèòìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Íåêè ïðîáëåìè êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå êîjè ñå ïðèìjå»ójó ó íàñòàâè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Ïðîáëåì ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó 17 2.1 Óâîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Ïðèìjåíà MBCP ó îáðàçîâà»ó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Íåêè ïðàêòè÷íè ïðèìjåðè ïðèìjåíå . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.2 Ïàðòèöèîíèñà»å êóðñà èç Óâîäà ó òåîðèjó áðîjåâà . . . . . 19 2.3 Ðàíèjè ðåçóëòàòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Ôîðìóëàöèjà ìjåøîâèòîã öjåëîáðîjíîã ëèíåàðíîã ïðîãðàìèðà»à . 25 2.5 Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà ðjåøàâà»å MBCP . . . . . . . . 35 2.5.1 Èíèöèjàëèçàöèjà è ôóíêöèjà öè§à . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.2 Îêîëèíå è ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.3 Ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.6 Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.7 Çàâðøíà ðàçìàòðà»à çà MBCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó ñà q ïàðòèöèjà 45 ix ÑÀÄÐÆÀJ 3.1 Óâîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Ðàíèjè ðåçóëòàòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà ðjåøàâà»å BCPq ïðîáëåìà . . . 48 3.3.1 Èíèöèjàëèçàöèjà è ôóíêöèjà öè§à . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3.2 Îêîëèíå è ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.3 Ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Çàâðøíà ðàçìàòðà»à çà BCPq ïðîáëåì . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4 Ïðîáëåì p - àðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ó ãðàôó 54 4.1 Óâîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Ìàòåìàòè÷êè ìîäåë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.1 Ðàíèjè ðåçóëòàòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2.2 Âåçà èçìå¢ó fRV è äðóãèõ ïðîáëåìà . . . . . . . . . . . . . 59 4.3 Ãåíåòñêè àëãîðèòàì çà ðjåøàâà»å TRV ïðîáëåìà . . . . . . . . . . 61 4.3.1 Ðåïðåçåíòàöèjà jåäèíêè è êðåèðà»å èíèöèjàëíå ïîïóëàöèjå 62 4.3.2 Ðà÷óíà»å ôóíêöèjå öè§à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.3.3 Ãåíåòñêè îïåðàòîðè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà ðjåøàâà»å TRV . . . . . . . . . . 65 4.4.1 Èíèöèjàëèçàöèjà è ôóíêöèjà öè§à . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.2 Ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.5 Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.6 Çàâðøíà ðàçìàòðà»à çà TRV ïðîáëåì . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà 74 5.1 Óâîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2 Ïðèìjåíà MSSP ó îáðàçîâà»ó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.1 Îïøòå ïðèìjåíå MSSP ó îáðàçîâà»ó . . . . . . . . . . . . . 76 5.2.2 Ïîäjåëà ñêóïà ëåêöèjà èç êóðñà Óâîä ó ðà÷óíàðñòâî . . . . 77 5.3 Ðàíèjè ðåçóëòàòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.4 Ìàòåìàòè÷êà ôîðìóëàöèjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.5 Ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà MSSP . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.5.1 Èíèöèjàëèçàöèjà è ôóíêöèjà öè§à . . . . . . . . . . . . . . 88 5.5.2 Îêîëèíå è ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à . . . . . . . . . . . . . . 89 x ÑÀÄÐÆÀJ 5.5.3 Ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.6 Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.7 Çàâðøíà ðàçìàòðà»à çà MSSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6 Çàê§ó÷àê 95 6.1 Íàó÷íè äîïðèíîñ ðàäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Ëèòåðàòóðà 98 xi Ãëàâà 1 Óâîä Ó âðåìåíó èíòåíçèâíèõ ðåôîðìè ó îáðàçîâà»ó jàâ§àjó ñå îðãàíèçàöèîíè ïðîá- ëåìè êîjè èíèöèðàjó ðàçâîj ñëîæåíèõ è íàïðåäíèõ ìåòîäà çà »èõîâî ðjåøàâà»å. Êàêî áè ñå ïîñòèãëà áî§à åôèêàñíîñò, âå£à óøòåäà ðåñóðñà èëè ñìà»å»å òðîø- êîâà, ïðåä îñîáå óê§ó÷åíå ó óïðàâ§à»å è îðãàíèçîâà»å íàñòàâíîã ïðîöåñà ñå ñòàâ§àjó çàäàöè ÷èjå ðjåøàâà»å ïîäðàçóìèjåâà ïðîíàëàæå»å íàjáî§åã èëè áàðåì äîâî§íî äîáðîã ðjåøå»à. Îâàêâè ïðîáëåìè ñå ó ïðàêñè ÷åñòî ñðå£ó è ïðåäìåò ñó èçó÷àâà»à íå ñàìî ìàòåìàòè÷àðà, âå£ è èñòðàæèâà÷à èç äðóãèõ íàó÷íèõ îáëàñòè, êàî øòî ñó åêîíîìèjà, ìåíà¶ìåíò è èíæå»åðñòâî. Ó âå£åì áðîjó ñëó÷àjåâà, ïîêàçójå ñå äà îðãàíèçàöèîíè ïðîáëåìè ó íàñòàâíîì ïðîöåñó ó ñâîì èçâîðíîì îáëèêó çàïðàâî jåñó ïðîáëåìè ìàòåìàòè÷êå ïðèðîäå è êàî òàêâè ñå jàâ§àjó è ó äðóãèì îáëàñòèìà. Ñòîãà ñå ïðîâjåðåíå è äîêàçàíå ìåòîäå ðjåøàâà»à ñëè÷íèõ ïðîáëåìà, êàî è èñêóñòâà ñòå÷åíà ó äðóãèì îáëàñòèìà íàóêå è ïðèâðåäå, (êàî øòî ñó óïðàâ§à»å ïðîèçâîä»îì, îðãàíèçîâà»å òðàíñ- ïîðòà, óïðàâ§à»å ðà÷óíàðñêèì ìðåæàìà èòä.), ìîãó ïðèìèjåíèòè è ó îðãàíè- çîâà»ó íàñòàâíîã ïðîöåñà. Òèìå ñå îòâàðà øèðîêà ïàëåòà àëàòà è ñèñòåìà çà ðjåøàâà»å, øòî ãåíåðàëíî ìîæå äà äîïðèíåñå ïðîíàëàæå»ó äîáðèõ ðjåøå»à è êîä ïðîáëåìà îðãàíèçîâà»à íàñòàâå. Êàî øòî ñå ìîæå î÷åêèâàòè, îâàêâè ïðîáëåìè ñó âåîìà ñëîæåíè. Èàêî ó äàíàø»å âðèjåìå óïîòðåáà ðà÷óíàðà ó çíà÷àjíîj ìjåðè îëàêøàâà »èõîâî ðjåøà- âà»å, ïîêàçójå ñå äà ñå çà îâå ïðîáëåìå ìîðàjó ðàçâèjàòè ñïåöèôè÷íå ìåòîäå ðjåøàâà»à, êîjå ñó çàñíîâàíå íà ðàçâîjó íîâèõ ìàòåìàòè÷êèõ ìîäåëà è òçâ. ìåòàõåóðèñòè÷êîì ïðèñòóïó, êîjè ïîäðàçóìèjåâà óñìjåðàâà»å ïðîöåñà ïðîíàëà- ñêà ðjåøå»à êà îíèì îáëàñòèìà ïðîñòîðà ïðåòðàæèâà»à çà êîjå ñå ïðåòïîñòàâ§à 1 Óâîä äà ñàäðæå áî§à ðjåøå»à. Äà áè ñå íàïðàâèî ìàòåìàòè÷êè ìîäåë çà äàòè ïðîáëåì, ñâàêè åëåìåíò ïðîáëåìà ìîðà áèòè ïðåäñòàâ§åí îäãîâàðàjó£îì ìàòåìàòè÷êîì ñòðóêòóðîì, äîê îäíîñè èçìå¢ó åëåìåíàòà èíäóêójó îäãîâàðàjó£å ðåëàöèjå èçìå¢ó òèõ ìàòå- ìàòè÷êèõ ñòðóêòóðà. Çà ðjåøàâà»å îâèõ ïðîáëåìà èñòðàæèâà÷è òåæå êà óïî- òðåáè åôèêàñíèõ è ôóíêöèîíàëíèõ ìàòåìàòè÷êèõ ñòðóêòóðà çà êîjå âå£ ïîñòîjå òåîðèjñêè ðåçóëòàòè è çà êîjå ñó âå£ ðàçâèjåíè àëàòè çà ðjåøàâà»å. Çà ðjåøàâà»å ìíîãèõ ïðîáëåìà, êîjè ñó êîìáèíàòîðíå ïðèðîäå, êîðèñòå ñå ìàòåìàòè÷êå ñòðóê- òóðå èç îáëàñòè êîìáèíàòîðèêå è òåîðèjå ãðàôîâà, òå ñå çà ðjåøàâà»å îäãîâà- ðàjó£èõ ãðàôîâñêèõ ïðîáëåìà êîðèñòå ïîñòîjå£å èëè ðàçâèjàjó íîâå òåõíèêå èç òå îáëàñòè[80]. 1.1 Ïðîáëåìè êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå Ïðèëèêîì ðjåøàâà»à îïòèìèçàöèîíèõ ïðîáëåìà, áèëî äà jå ðèjå÷ î òåîðèjñêîì èëè ïðàêòè÷íîì ïðèñòóïó, jåäíî îä îñíîâíèõ è ïîëàçíèõ ïèòà»à ñà êîjåì ñå ñóñðå£åìî jå èçáîð íàjáî§å êîíôèãóðàöèjå çà ïðåäñòàâ§à»å ñêóïà ïðîìjåí§èâèõ êîjèìà ñå îïèñójó åëåìåíòè ïðîáëåìà. Îïòèìèçàöèîíè ïðîáëåìè ñå ñòîãà, ïðåìà ïðèðîäè ïðîìjåí§èâèõ êîjå ñå êîðèñòå, äèjåëå ó äâèjå êëàñå: îíå êîä êîjèõ ñå ðjåøå»à ïðåäñòàâ§àjó ðåàëíèì ïðîìjåí§èâèìà è îíå êîä êîjèõ ñå çà ïðåäñòàâ- §à»å ðjåøå»à êîðèñòå äèñêðåòíå ñòðóêòóðå. Îïòèìèçàöèîíè ïðîáëåìè êîjè êîðèñòå äèñêðåòíå ñòðóêòóðå ôîðìèðàjó êëàñó ïðîáëåìà êîìáèíàòîðíå îïòèìè- çàöèjå. Ó ïðîáëåìèìà êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå, îájåêàò êîjè ïðåäñòàâ§à ðjåøå»å òðàæèìî ó íåêîì êîíà÷íîì, èëè ïðåáðîjèâîì ñêóïó. Òàj îájåêàò jå íàj÷åø£å öèî áðîj, ïîäñêóï, ïåðìóòàöèjà, ãðàô è ñëè÷íî [90]. Äåôèíèöèjà 1. Ïðîáëåì êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå b 5 (eM x) ñå ìîæå äåôèíèñàòè íà ñ§åäå£è íà÷èí [10]: íåêà jå j 5 {x)M x2M LLLM xT} ñêóï ïðîìjåí§è- âèõ è íåêà ñå çíàjó: • äîìåíè çà ïðîìjåí§èâå V)M V2M LLLM VT; • îãðàíè÷å»à íà ïðîìjåí§èâèìà; • ôóíêöèjà öè§à x êîjà ñå ìèíèìèçójå: x 2 V) ×V2 × LLL×VT → R+. 2 Óâîä Ñêóï e 5 {s 5 (v)M v2M LLLM vT)|vO ∈ VOM s çàäîâî§àâà ñâà îãðàíè÷å»à} íàçèâà ñå ñêóï äîïóñòèâèõ òà÷àêà èëè ïðîñòîð ðjåøå»à è ñâàêè åëåìåíò ñêóïà e ïðåäñòàâ§à ïîòåíöèjàëíî ðjåøå»å ïðîáëåìà. Öè§ îïòèìèçàöèîíîã ïðîöåñà jå ïðîíàëàçàê îíå äîïóñòèâå òà÷êå s∗ ∈ e çà êîjó ôóíêöèjà x äîñòèæå ìèíèìàëíó âðèjåäíîñò, òj. âàæè (∀s ∈ e) x(s∗) ≤ x(s). s∗ ñå çîâå ãëîáàëíî îïòèìàëíî ðjåøå»å ïðîáëåìà (eM x). Ìíîãè ïîçíàòè ïðîáëåìè êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå ñó òàêâè äà ñàäðæå ðåëàòèâíî jåäíîñòàâíó ôîðìóëàöèjó, äîê jå »èõîâî ðjåøàâà»å ïðèëè÷íî òåøêî. Íà ïðèìjåð, ïðîáëåì òðãîâà÷êîã ïóòíèêà èëè ïðîáëåì áîjå»à ãðàôà ñå âåîìà ëàêî äåôèíèøó è ðàçóì§èâè ñó è ìàòåìàòè÷êèì ëàèöèìà, äîê çà ðjåøàâà»å òèõ ïðîáëåìà íå ïîñòîjè àëãîðèòàì êîjè îïøòè ñëó÷àj ðjåøàâà ó ðàçóìíîì âðåìåíó. Îâè ïðîáëåìè ïðèïàäàjó øèðîêîì ñêóïó ïðîáëåìà êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå çà êîjå íèjå ïîçíàò àëãîðèòàì ïîëèíîìñêå ñëîæåíîñòè êîjè ðjåøàâà ñàì ïðîáëåì, äîê ñå âåðèôèêàöèjà ðjåøå»à ìîæå ðåàëèçîâàòè ó ïîëèíîìñêîì âðåìåíó. Ó òåîðèjè êîìïëåêñíîñòè jå äîêàçàíî äà îâè ïðîáëåìè ïðèïàäàjó êëàñè NP òåøêèõ ïðîáëåìà. Ñ îáçèðîì íà âåëèêè çíà÷àj îâèõ ïðîáëåìà ñà jåäíå ñòðàíå è ÷è»åíèöå äà çà âåëèêå äèìåíçèjå ïðîáëåìà ÷àê íè íàjñàâðåìåíèjè ðà÷óíàðè íå ìîãó äà ïðîíà¢ó òà÷íî ðjåøå»å ó ðàçóìíîì âðåìåíó, jàâ§à ñå ïîòðåáà çà ðàçâîjåì ìåòîäà çà ïðèáëèæíî ðjåøàâà»å îâèõ ïðîáëåìà, ñà öè§åì äà òà ïðèáëèæíà ðjåøå»à áóäó äîáðà ó íåêîj çàäîâî§àâàjó£îj ìjåðè. Àëãîðèòìè êîjè ïðîíàëàçå ïðèáëèæíî ðjåøå»å ñå íàçèâàjó ïðèáëèæíè (àï- ðîêñèìàòèâíè) àëãîðèòìè. Çà ðjåøå»à äîáèjåíà îâèì àëãîðèòìèìà ñå çíà êîëè- êî ìàêñèìàëíî ìîãó äà îäñòóïàjó îä îïòèìàëíîã, òj. çíà ñå òçâ. ôàêòîð ïðèá- ëèæíîã àëãîðèòìà (ôàêòîð àïðîêñèìàöèjå). Çà ïðîáëåìå ìàêñèìèçàöèjå, ôàê- òîð àïðîêñèìàöèjå xM x N ) jå îíà âðèjåäíîñò çà êîjó âàæè äà ðjåøå»å äîáèjåíî äàòèì àëãîðèòìîì ñèãóðíî íèjå ëîøèjå îä âðèjåäíîñòè x · abf , ãäjå jå OPT îïòèìàëíî ðjåøå»å ïðîáëåìà. Çà ïðèáëèæíå àëãîðèòìå êîjèìà ñå ðjåøàâàjó ïðîáëåìè ìèíèìèçàöèjå, çà ôàêòîð àïðîêñèìàöèjå ñå óçèìà îíà âðèjåäíîñò xM x P ), òàêâà äà ðjåøå»å äîáèjåíî äàòèì àëãîðèòìîì ñèãóðíî íèjå âå£å îä x ·abf (OPT jå îïòèìàëíî ðjåøå»å). Øèðîêó êëàñó õåóðèñòè÷êèõ ìåòîäà ÷èíå è òçâ. "óíèâåðçàëíå" õåóðèñòè÷êå 3 Óâîä ìåòîäå êîjå ñå ìîãó ïðèìjå»èâàòè íà âèøå ïðîáëåìà. Òàêâå ìåòîäå íàçèâàìî ìåòàõåóðèñòè÷êèì ìåòîäèìà, èëè ìåòàõåóðèñòèêàìà. Ìåòàõåóðèñòèêàìà jå ïî- ñâå£åí îäjå§àê êîjè ñëèjåäè. 1.2 Ìåòàõåóðèñòèêå Ìåòàõåóðèñòèêà ñå ôîðìàëíî äåôèíèøå êàî èòåðàòèâíè ïðîöåñ êîjè êîðèñòè ïðèáëèæíå ìåòîäå, êîìáèíójó£è íà èíòåëèãåíòàí íà÷èí ðàçëè÷èòå êîíöåïòå çà ïðåòðàæèâà»å è èñêîðèøòå»å ÷èòàâîã ïðîñòîðà ðjåøå»à, äà áè ñå ó ðàçóìíîì âðåìåíó, íà åôèêàñàí íà÷èí, îäðåäèëî ðjåøå»å øòî áëèæå îïòèìàëíîì [89]. Ñà ïðàêòè÷íîã, óïîòðåáíîã àñïåêòà, öè§ ìåòàõåóðèñòèêà jå ïðåòðàæèâà»å ñêóïà äîïóñòèâèõ ðjåøå»à, ïðè ÷åìó jå (óêîëèêî jå ïîòðåáíî) äîçâî§åíî è ïðîøèðå»å òîã ñêóïà è åëåìåíòèìà êîjè íèñó äîïóñòèâè, ïðåëàçàê ó ðjåøå»à ñëàáèjåã êâàëèòåòà êàêî áè ñå èçájåãëè ëîêàëíè îïòèìóìè êîjè íèñó è ãëîáàëíè, êîìáèíîâà»å ñà äðóãèì õåóðèñòèêàìà èòä. Ïðåìà [10], ñ§åäå£å îñîáèíå ìåòàõåó- ðèñòèêà ñå ìîãó ñìàòðàòè ôóíäàìåíòàëíèì: • Ìåòàõåóðèñòèêå óïðàâ§àjó ïðîöåñîì ïðåòðàæèâà»a; • Öè§ jå äà ñå åôèêàñíî ïðåòðàæójå ÷èòàâ ïðîñòîð äà áè ñå ïðîíàøëî øòî áî§å, à ó íàjáî§åì ñëó÷àjó îïòèìàëíî ðjåøå»å; • Òåõíèêå êîjå ñå êîðèñòå óíóòàð ìåòàõåóðèñòèêà ñó ó ðàñïîíó îä jåäíîñòàâíèõ ïðîöåäóðà ëîêàëíå ïðåòðàãå, ïà äî ñëîæåíèõ ïðîöåñà çàñíîâàíèõ íà òåõ- íèêàìà ó÷å»à; • Ìåòàõåóðèñòèêå ñó ïðèáëèæíå ìåòîäå è îáè÷íî íåäåòåðìèíèñòè÷êå; • Ìîãó ñàäðæàâàòè ìåõàíèçìå çà èçájåãàâà»å óïàäà»à ó ëîêàëíà ñóáîïòè- ìàëíà ðjåøå»à; • Kîíöåïò ìåòàõåóðèñòèêà îìîãó£àâà äåôèíèñà»å ïðîöåäóðà íà àïñòðàêòíîì íèâîó; • Ìåòàõåóðèñòèêå ñå íå âåçójó çà ñïåöèôè÷íå ïðîáëåìå; • Ìåòàõåóðèñòèêå ìîãó äà êîðèñòå ñàçíà»à ñïåöèôè÷íà çà êîíêðåòàí äîìåí ó ôîðìè õåóðèñòèêà êîjñå ñå êîíòðîëèøó íåêîì ñòðàòåãèjîì ñà âèøèõ íèâîà; 4 Óâîä • Ñàâðåìåíå ìåòàõóåðèñòèêå ïàìòå ìå¢óðjåøå»à äîáèjåíà ó ïðåòõîäíèì èòåðà- öèjàìà, êàêî áè óáðçàëå èëè áî§å óñìjåðèëå ïðåòðàãó êà îáå£àâàjó£èì îáëàñòèìà ïðåòðàãå. 1.2.1 Êëàñèôèêàöèjà ìåòàõåóðèñòèêà Ñ îáçèðîì íà âåëèêè áðîj ðàçíèõ ìåòàõåóðèñòèêà êîjå ñå ðàçâèjàjó ó ïîñ§åä»å âðèjåìå, ïðèðîäíî jå î÷åêèâàòè äà ñå çà »èõîâ ðàçâîj êîðèñòå âðëî ðàçëè÷èòè ïðèñòóïè, ïî÷åâ îä ïîëàçíå ìîòèâàöèjå, ïðåêî ñòðàòåãèjå ïðåòðàæèâà»à, ðàçëè- ÷èòèõ íàìjåíà è êëàñà ïðîáëåìà íà êîjèìà ñå ïðèìjå»ójó. Ó ñàâðåìåíîj ëèòå- ðàòóðè, ñðå£å ñå íåêîëèêî êðèòåðèjóìà çà êëàñèôèêàöèjó ìåòàõåóðèñòèêà. Êëàñèôèêàöèjà ìåòàõåóðèñòèêà ïðåìà ïîëàçíîj ìîòèâàöèjè èäåíòèôèêójå òçâ. ìåòàõåóðèñòèêå çàñíîâàíå íà ñèìóëàöèjè ïðèðîäíèõ ïîjàâà (åíã. nature based metaheuristics), êàî øòî ñó íà ïðèìjåð ãåíåòñêè àëãîðèòìè, ìðàâ§å êîëî- íèjå, èëè åëåêòðîìàãíåòèçàì. Íàñóïðîò »èìà, âåëèêè áðîj ìåòàõåóðèñòèêà íèjå ìîòèâèñàí ïðèðîäíèì ïðîöåñèìà (íà ïðèìjåð, òàáó ïðåòðàæèâà»å, èòåðàòèâíà ëîêàëíà ïðåòðàãà èòä.) Ïðåìà áðîjó òà÷àêà êîjèìà ñå ðàñïîëàæå óíóòàð jåäíå èòåðàöèjå, ìåòàõåó- ðèñòèêå ñå äèjåëå íà äâèjå êëàñå: ìåòàõåóðèñòèêå çàñíîâàíå íà ïîïóëàöèjè (åíã. population based) è ìåòàõåóðèñòèêå êîjå ðàäå ñà jåäíîì òà÷êîì óíóòàð jåäíå èòåðàöèjå (åíã. single point search). Ó ïðâîj êëàñè, ó èñòîì òðåíóòêó àëãîðèòàì ðàñïîëàæå ñà âèøå òà÷àêà. Ïðåòðàæèâà»å ïðîñòîðà jå çàñíîâàíî íà ïðèìjåíè ðàçëè÷èòèõ îïåðàòîðà ðåêîìáèíîâà»à, ïîìjåðà»à, èçìjåíà è îäàáèðà ïîjåäèíèõ òà÷àêà, êàêî áè ñå ó ñâàêîj íîâîj èòåðàöèjè ôîðìèðàëà íîâà ïîïóëàöèjà, ñà ïîòåíöèjàëíî áî§èì jåäèíêàìà. Òàêâå ìåòàõåóðèñòèêå ñó: ãåíåòñêè àëãîðèòìè, ìðàâ§å êîëîíèjå, åëåêòðîìàãíåòèçàì, jàòà ïòèöà èòä. Ó ìåòàõåóðèñòèêàìà êîjå ðàñïîëàæó jåäíîì òà÷êîì, ïðèìjå»ójå ñå ñòðàòåãèjà çàñíîâàíà íà ïðà£å»ó òðàjåêòîðèjå (åíã. trajectory methods), êîjè ïîäðàçóìèjåâà äà ñå êðîç èòåðàöèjå ôîðìèðà íèç ðjåøå»à, îä êîjèõ jå ñâàêî íàðåäíî (ïî ïðàâèëó, àëè íå è îáàâåçíî) áî§å îä ïðåòõîäíîã. Îâè àëãîðèòìè íàj÷åø£å, (àëè îïåò íå è îáàâåçíî) êîðèñòå è íåêå ìåòîäå ëîêàëíîã ïðåòðàæèâà»à, ãäjå ñå íîâî, ïîòåíöèjàëíî áî§å ðjåøå»å áèðà óíóòàð íåêå îêîëèíå òðåíóòíîã ðjåøå»à. Íåêå îä ìåòîäà êîjå ïðèïàäàjó îâîj êëàñè ñó ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà, òàáó ïðåòðàæèâà»å, ñèìóëèðàíî êà§å»å èòä. 5 Óâîä Ïðåìà òèïó ôóíêöèjå öè§à, ìîæå ñå íàïðàâèòè êëàñèôèêàöèjà íà îíå ìåòàõåó- ðèñòèêå êîjå êîðèñòå ñòàòè÷êó, òå îíå êîjå êîðèñòå äèíàìè÷êó ôóíêöèjó öè§à. Íåêå îä íàj÷åø£å êîðèøòåíèõ ìåòàõåóðèñòèêà ñó: • ïîõëåïíè àëãîðèòàì ñà ïðèëàãî¢åíîì ñëó÷àjíîì ïðåòðàãîì (åíã. Greedy randomized adaptive search procedure - GRASP); • òàáó ïðåòðàæèâà»å (åíã. Tabu search - TS); • ãåíåòñêè àëãîðèòàì (åíã. Genetic algorithm - GA); • ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà (åíã. Variable neighborhood search  VNS); • Ëàãðàíæîâà ðåëàêñàöèjà (åíã. Lagrangian relaxation - LR); • íåóðîíñêå ìðåæå (åíã. Neural network algorithm - NNA); • ñèìóëèðàíî êà§å»å (åíã. Simulated annealing - SA); • ìðàâ§å êîëîíèjå (åíã. Ant colony optimization - ACO); • ï÷åëè»å êîëîíèjå (åíã. Articial Bee Colony - ABC); • åëåêòðîìàãíåòèçàì (åíã. Electromagnetism - EM); • óïðàâ§àíî ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å (åíã. Guided Local Search - GLS). Ñ îáçèðîì íà òî äà ñå çà ðjåøàâà»å ïðîáëåìà ó îâîì ðàäó êîðèñòå äâèjå ìåòàõåóðèñè÷êå ìåòîäå: ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà (VNS) è ãåíåòñêè àëãî- ðèòìè (GA), òèì ìåòîäàìà ñó ïîñâå£åíå íàðåäíå äâèjå ñåêöèjå. Äåòà§íèjè îïèñè îñòàëèõ ìåòîäà ïðåâàçèëàçè îáèì îâîã ðàäà è íàëàçå ñå, íà ïðèìjåð, ó [10, 89, 42]. 1.2.2 Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà jå ìåòàõåóðèñòèêà óâåäåíà îä ñòðàíå Íåíàäà Ìëàäåíîâè£à è Ïjåðà Õàíñåíà ó [87]. Ïðåòðàãà jå çàñíîâàíà íà ñèñòåìàòñêîj ïðîìjåíè îêîëèíà äà áè ñå èçájåãëå ñèòóàöèjå êàäà àëãîðèòàì "óïàäà" ó ñóáîïòè- ìàëíà ðjåøå»à. Åôèêàñíîñò VNS àëãîðèòìà jå çàñíîâàíà íà ðàçìàòðà»ó äà ó ìíîãèì ïðàêòè÷íèì îïòèìèçàöèîíèì ïðîáëåìèìà ïîñòîjè âåçà èçìå¢ó ëîêàëíèõ ìèíèìóìà. Ñòîãà ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà è íå ïðàòè óíàïðèjåä çàäàòó 6 Óâîä ïóòà»ó, âå£ "ñêà÷å" íà ïîòåíöèjàëíî áî§à ðjåøå»à êîjà ñå íàëàçå ó íåêîj îêîëèíè òðåíóòíî íàjáî§åã. Íà îâàj ñå íà÷èí î÷óâàâàjó äîáðå îñîáèíå òðåíóòíîã ðjåøå»à (àêî ñó íåêå ïðîìjåí§èâå âå£ äîñòèãëå îïòèìàëíå âðèjåäíîñòè), äîê ñå ó íîâèì îêîëèíàìà ïîêóøàâàjó ïîáî§øàòè ïðåîñòàëå ïðîìjåí§èâå. Îâàj ñèñòåì jå äîäà- òíî îjà÷àí ñèñòåìîì ëîêàëíîã ïðåòðàæèâà»à, êîjèì ñå ïðåëàçè èç òðåíóòíîã ðjåøå»à ó íàjêâàëèòåòíèjå ðjåøå»å ó íåêîj »åãîâîj îêîëèíè. Òàêî, èäåjà äà ñå ïðåòðàãà óñìjåðè ñà jåäíîã íà (ìîãó£å áî§è) äðóãè ìèíèìóì êîjè jå ñìjåøòåí ó íåêîj îêîëèíè ïîëàçíîã ìèíèìóìà ïðåäñòàâ§à ðàçóìàí è, êàî øòî jå òî ñëó÷àj ó âåëèêîì áðîjó ðàçíèõ îïòèìèçàöèîíèõ ïðîáëåìà, îïðàâäàí ïðèñòóï. Äà áè ñå ïðîøèðèëà ïðåòðàãà, VNS ó ïîòðàçè çà áî§èì ëîêàëíèì ìèíèìó- ìîì îáè÷íî êîðèñòè îêîëèíå ðàñòó£å êàðäèíàëíîñòè. Äà áè ñå äåôèíèñàî ñêóï îêîëèíà, ïðåòïîñòàâèìî äà jå x ïðîèçâî§íî ðjåøå»å è Nk, çà k 5 kSOTM · · · M kSGx, êîíà÷àí ñêóï ñòðóêòóðà îêîëèíà. Òàäà ñå Nk(x) äåôèíèøå êàî ñêóï ðjåøå»à ó k-òîj îêîëèíè òà÷êå x. Êðèòåðèjóì çà ïðåêèä èòåðàòèâíîã ïðîöåñà jå îáè÷íî äîñòèçà»å ìàêñèìàëíîã áðîjà èòåðàöèjà, ìàêñèìàëíîã áðîjà èòåðàöèjà áåç óíà- ïðå¢å»à ðjåøå»à, èëè ìàêñèìàëíî äîçâî§åíîã âðåìåíà èçâðøå»à. Øèðîêà ïðèìjåíà VNS ìåòîäå, êàî è ðàçíå èìïëåìåíòàöèjå äîçâî§àâàjó è ðàçëè÷èòå ñòðàòåãèjå. Äåòà§íèjè îïèñ ðàçíèõ âàðèjàíòè VNS ïðîáëåìà ìîæå ñå ïðîíà£è ó [47, 48], äîê jå îñíîâíà øåìà çà VNS àëãîðèòàì ïðèêàçàíà íà Ñëèöè 1.1. ×èòàâ VNS àëãîðèòàì ñå ðåàëèçójå ïðåêî äâèjå óãíèjåæäåíå ïåò§å. Ñïî- §àø»à ïåò§à êîíòðîëèøå ÷èòàâ ïðîöåñ ïðåòðàæèâà»à, äîê ñå ãëàâíà ïðåòðàãà îäâèjà ó óíóòðàø»îj ïåò§è, ïðåêî äâèjå íàjâàæíèjå ïðîöåäóðå: "ðàçìðäàâà»à" (åíã. shaking) è ëîêàëíå ïðåòðàãå. Ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à óïðàâ§à îêîëèíàìà è ó ñâàêîì êîðàêó, ïðåäëàæå íîâó òà÷êó èç íåêå îêîëèíå òðåíóòíîã ðjåøå»à êàî ïîòåíöèjàëíî íîâî ðjåøå»å. Ëîêàëíà ïðåòðàãà ïîêóøàâà äà óíàïðèjåäè ïðåäëîæåíî íîâî ðjåøå»å, àíàëèçèðàjó£è è òðàæå£è áî§à ðjåøå»à ó »åãîâîj îêîëèíè. Óíóòðàø»à ïåò§à ñå ïîíàâ§à ñâå äîê ñå âðøè óíàïðå¢å»å ðjåøå»à. Êàäà ñå îíà çàâðøè, ñïî§àø»à ïåò§à óëàçè ó íîâó èòåðàöèjó, ñâå äîê ñå íå èñïóíè êðèòåðèjóì çà çàâðøåòàê. 7 Óâîä 2. x = InicijalnoResenje(); 4. OdaberiKriterijumZaustavljanja(); 1. UcitajUlaznePodatake(); 3. N = GenerisiOkoline(kmin, kmax); 5. While(!IspunjenKriterijumZaustavljanja()) do 6. k = kmin; 7. While (k <= kmax) do 8. x′ = Razmrdavanje(x,Nk); 9. x′′ = LokalnaPretraga(x′); 10. If (FunkcijaCilja(x′′)( ue + ∑ e2Pe5O∧ue<( ue − ∑ e2Oe5O∧ue>( ue − ∑ e2Oe5O∧ue<( ue 5 ∑ e2Pe5O∧ue>( |ue|+ ∑ e2Pe5O∧ue<( −|ue| − ∑ e2Oe5O∧ue>( |ue| − ∑ e2Oe5O∧ue<( −|ue| 5 31 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà ∑ e2Pe5O∧ue>( |ue|+ ∑ e2Oe5O∧ue<( |ue| − ( ∑ e2Pe5O∧ue<( |ue|+ ∑ e2Oe5O∧ue>( |ue|)L Ó ïðâå äâèjå ñóìå, ïîñòîjè ñàìî jåäíà ãðàíà êîjà çàäîâî§àâà óñëîâå è òà ãðàíà âîäè îä "îöà" ÷âîðà i äî ÷âîðà i. Çà òó ãðàíó, |ue| jå jåäíàêî áðîjó ÷âîðîâà ó ïîäñòàáëó ñà êîðèjåíîì i. Ó ïîñ§åä»å äâèjå ñóìå, ó÷åñòâójó ñâå ãðàíå ñà ïîëàçíèì ÷âîðîì i êà ñâèì »åãîâèì "ïîòîìöèìà" ó ïîêðèâàjó£åì ñòàáëó f). Çà îâå ãðàíå, âðèjåäíîñò |ue| êàî áðîj ÷âîðîâà ó îäãîâàðàjó£åì ïîäñòàáëó, ñà êîðèjåíîì ó íåêîì "ïîòîìêó" îä i. Ñ îáçèðîì äà jåäèíî ÷âîð i ó÷åñòâójå ó ïîäñòàáëó êîä êîãà jå êîðèjåí óïðàâî i âàæè ∑ e2Pe5O∧ue>( |ue|+ ∑ e2Oe5O∧ue<( |ue| − ( ∑ e2Pe5O∧ue<( |ue|+ ∑ e2Oe5O∧ue>( |ue|) 5 ). Äà áèñìî äîêàçàëè íåjåäíàêîñò (2.15), êîðèñòèìî äåôèíèöèjó (2.20) îä ueM w ∈ RW: ∑ e2Oe5( ue 5 ∑ e∈@E ue 5 u((;V) + u((;q) 5 |V ∗) |+ |V ∗2 | 5 n Ïîøòî ñó f) è f2 ïîêðèâàjó£à ñòàáëà îä G) è G2, âàæè ∑ e∈E ye 5 |W ′)| 5 |V)|−) è ∑ e∈E ze 5 |W ′2| 5 |V2| − ). Îäàòëå jå ∑ e∈E ye + ∑ e∈E ze 5 |V)|+ |V2| − 2 5 n− 2. Òàêî jå íåjåäíàêîñò (2.16) äîêàçàíà. Çà w ∈ RW, ye 5 ) çà ñàìî jåäíó ãðàíó w è òî óïðàâî çà îíó ãðàíó w 5 ((M p). Çà ñâå ïðåîñòàëå ãðàíå èç w ∈ RW, ye 5 (, îäàêëå ñëèjåäè äà jå ∑ e∈@E ye 5 ). Ñëè÷íî, ∑ e∈@E ze 5 ), îäàêëå ñå çàê§ó÷ójå äà jå íåjåäíàêîñò (2.17) çàäîâî§åíà. (⇐). Ïðåòïîñòàâèìî äà jå (x∗M y∗M z∗M u∗) îïòèìàëíî ðjåøå»å êîjå çàäîâî§àâà óñëîâå (2.6)-(2.19). Íà îñíîâó òîã ðjåøå»à, êîíñòðóèñà£å ñå ïàðòèöèjà (V)M V2), òàêâà äà jå çàäîâî§åíî otj(V)M V2) ≤ otjMILP (x∗M y∗M z∗M u∗). Äåôèíèøèìî V) 5 {i ∈ V 2 xO 5 )}, W ′) 5 {w ∈ W 2 ye 5 )} è V2 5 {i ∈ V 2 xO 5 (}, W ′2 5 {w ∈ W 2 ze 5 )}L Îãðàíè÷å»à (2.8)-(2.11) ãàðàíòójó äà ñó ñêóïîâè W ′ ) è W ′ 2 äîáðî äåôèíèñàíè, òj. ñâå ãðàíå èç W ′ ) èìàjó êðàj»å ÷âîðîâå ó V) ∪ {(} äîê ñâå ãðàíå èç W ′2 èìàjó êðàj»å ÷âîðîâå èç V2 ∪ {(}: i. w ∈ W ′) ñëèjåäè ye 5 ). Èç îãðàíè÷å»à (2.8) è áèíàðíå ïðèðîäå ïðîìjåí§èâèõ xOe è xPe , ñëèjåäè äà jå xOe 5 ) è xPe 5 ), îäàêëå ieM je ∈ V). ii. w ∈ RW ∩ W ′) òàêî¢å èìïëèöèðà ye 5 ). Èç îãðàíè÷å»à (2.10) ñëèjåäè xPe 5 ) îäàêëå äà§å ñëèjåäè je ∈ V). 32 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà Ñëè÷íî, îãðàíè÷å»à (2.9) è (2.11) îáåçájå¢ójó äà ñâå ãðàíå èçW ′ 2 èìàjó êðàj»å ÷âîðîâå èç V2 ∪ {(}. Îãðàíè÷å»å (2.16) îáåçájå¢ójå äà jå óêóïàí áðîj ãðàíà êîjå ñó óê§ó÷åíå ó ïîêðèâàjó£å ñòàáëî óïðàâî n− 2. Âå£ jå ïîêàçàíî äà jå w(V)) − w(V2) 5 −wsuS + 2 T∑ O5) xOwO. Èç îãðàíè÷å»à (2.7) ñëèjåäè w(V)) − w(V2) ≥ (, òàêî jå íåjåäíàêîñò |w(V))− w(V2)| ≤ −wsuS + 2 T∑ O5) xOwO èñïó»åíà. Èç íåjåäíàêîñòè (2.12) è (2.13), ñëèjåäè äà jå ue 5 (, çà ñâå w O∈ W ′) ∪ W ′2. Ñàäà ñå ìîæå ïîêàçàòè äà ñó ãðàôîâè (V)M W ′ )) è (V2M W ′ 2) ïîâåçàíè. Äîêàçà£åìî ïîâåçàíîñò ãðàôà (V)M W ′ )), äîê jå çà äðóãè ãðàô äîêàç ñëè÷àí. Íåêà ñó e ′ e ′′ äâà ïðîèçâî§íà ïîäñêóïà îä V), òàêâà äà jå, e ′ ∪ e ′′ 5 V) è e ′∩e ′′ 5 ⊘, e ′M e ′′ ̸5 ⊘. Äîêàçà£åìî äà ïîñòîjè ãðàíà (∃w ∈ W ′))M ie ∈ e ′∧je ∈ e ′′. Ñàáåðèìî ñâà îãðàíè÷å»à äàòà ñà (2.14), çà ñâå i ∈ e ′. Äîáèjàìî ∑ O∈S′ ( ∑ e2Pe∈S′ ue − ∑ e2Oe∈S′ ue) 5 |e ′|L Àêî ðàçâèjåìî ñóìó íà ëèjåâîj ñòðàíè, äîáèjàìî ñ§åäå£è èçðàç: ∑ O∈S′ ( ∑ e2Pe∈S′ ue − ∑ e2Oe∈S′ ue) 5 ∑ e2Pe∈S′∧Oe∈S′ ue + ∑ e2Pe∈S′∧Oe∈S′′ ue + ∑ e2Pe∈S′∧Oe5( ue + ∑ e2Pe∈S′∧Oe∈<2 ue − ( ∑ e2Oe∈S′∧Pe∈S′ ue + ∑ e2Oe∈S′∧Pe∈S′′ ue + ∑ e2Oe∈S′∧Pe∈<2 ue ) L Îçíà÷èìî ñàáèðêå ó ïîñ§åä»îj jåäíàêîñòè ñà SM TM CM VM WM X è G, è çàïèøèìî òó jåäíàêîñò êàî ∑ O∈S′ ( ∑ e2Pe∈S′ ue − ∑ e2Oe∈S′ ue) 5 S+T + C +V − (W + X +G) Î÷èãëåäíî jå S 5 W è V 5 G 5 ( (èçìå¢ó V) è V2 íåìà ãðàíà ó W ′ ). Äà§å, C 5 ( èëè C 5 |V)| ó çàâèñíîñòè îä òîãà äà ëè p ∈ e ′ èëè p O∈ e ′ , jåð Ëåìà 1 ïðîïèñójå äà ïîñòîjè òà÷íî jåäàí ÷âîð (p) èç V) ïîâåçàí ñà ÷âîðîì 0. Òàêî äîáèjàìî ∑ e2Pe∈S′∧Oe∈S′′ ue ̸5 ∑ e2Oe∈S′∧Pe∈S′′ ueL 33 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà Èç ïîñ§åä»å íåjåäíàêîñòè ñëèjåäè (∃w) (((ie ∈ e ′) ∧ (je ∈ e ′′)) ∨ ((ie ∈ e ′′) ∧ (je ∈ e ′))) ue ̸5 (. Èç ue ̸5 ( ⇒ ye 5 ) ⇒ w ∈ W ′) è òàêî ñìî ïðîíàøëè ãðàíó èçìå¢ó e ′ è e ′′ . Òèìå jå äîêàçàíà ïîâåçàíîñò (V)M W ′ )). Äàêëå, êîíñòðóèñàíà ïàðòèöèjà (V)M V2) jå ïîâåçàíà è âàæè otj(V)M V2) ≤ otjMILP (x∗M y∗M y∗M u∗). Ïðèìjåð 2.2. Íåêà jå G ãðàô èç ïðèìjåðà 2.1. Îïòèìàëíî ðjåøå»å, íàêîí ðjåøàâà»à MILP-à (2.6)-(2.19) óïîòðåáîì CPLEX [27] ðjåøàâà÷à jå: x) 5 (M x2 5 (M x+ 5 )M x4 5 )M x5 5 )M x6 5 ( Âðèjåäíîñòè çà âåêòîðå yM z è u ñó äàòå ó òàáåëè 2.2, äîê jå ðjåøå»å ïðèêà- çàíî íà ñëèöè 2.4. 1(5) 2(6) 3(2) 4(4) 5(10) 6(3) 0 3 -2 -1 3 -2 -1 p q Ñëèêà 2.4: Ðjåøå»å çà ãðàô èç Ïðèìjåðà 2.1 Íà îñíîâó Ëåìå 1, äîäàòíè ÷âîð jå ïîâåçàí ñà ïî òà÷íî jåäíèì ÷âîðîì ïî êîìïîíåíòè. Àêî ñå äðæèìî âå£ óâåäåíå íîòàöèjå, çà ïðâó êîìïîíåíòó ÷âîð p jå ÷âîð 5, äîê jå çà äðóãó êîìïîíåíòó ÷âîð q ÷âîð 6. Èç Òåîðåìå 1 ñëèjåäè äà ñó òîêîâè íà ãðàíàìà ((M p) è ((M q) jåäíàêè |V)| è |V2|: òj. òîêîâè íà ãðàíàìà ((M 5) è ((M 6) ñó jåäíàêè 3 ó îâà ñëó÷àjà, jåð ñâàêà êîìïîíåíòà ñàäðæè ïî 3 ÷âîðà. Ñâàêà ãðàíà êîjà ïðèïàäà ïîêðèâàjó£èì ñòàáëèìà èìà Òàáåëà 2.2: Âðèjåäíîñòè çà yM zM u ðà÷óíàòå CPLEX-îì ãðàíà 1-2 1-6 2-3 2-4 2-6 3-4 4-5 4-6 5-6 0-1 0-2 0-3 0-4 0-5 0-6 y 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 z 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 u -1 0 0 0 -2 -1 -2 0 0 0 0 0 0 0 3 34 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà òîê ðàçëè÷èò îä íóëå, äîê çíàê òîêà çàâèñè îä îðèjåíòàöèjå ãðàíå. Òîêîâè íà ãðàíàìà êîjå íå ïðèïàäàjó ïîêðèâàjó£èì ñòàáëèìà ñó jåäíàêè íóëè. Èàêî jå ãðàô ðåëàòèâíî ìàëè, âèäè ñå äà jå (àïñîëóòíà) âðèjåäíîñò òîêà çà ñâàêó ãðàíó (iM j) ó ïîêðèâàjó£åì ñòàáëó jåäíàêà áðîjó ÷âîðîâà ó îäãîâàðàjó£åì ïîäñòàáëó ñà êîðèjåíîì ó ÷âîðó j. Ïðèìjåð 2.3. Íà ñëèöè 2.5 (ëèjåâî) ïðèêàçàíà jå ïðàâîóãàîíà ìðåæà (åíã. grid graph). Ïðàâîóãàîíà ìðåæà äèìåíçèjå n 5 r × s jå ãðàô êîä êîjåã ÷âîðîâè îäãîâàðàjó òà÷êàìà ó ðàâíè ñà öjåëîáðîjíèì êîîðäèíàòàìà. Äâà ÷âîðà ñó ïîâå- çàíè ãðàíîì êàäãîä ñó îäãîâàðàjó£å òà÷êå íà óäà§åíîñòè 1. Óíóòðàø»è ÷âîðîâè ïðàâîóãàîíå ìðåæå èìàjó ïî ÷åòèðè ñóñjåäà, ÷âîðîâè äóæ ñòðàíà ãðàôà èìàjó ïî òðè ñóñjåäà, äîê ÷âîðîâè ó óãëîâèìà (óêóïíî ÷åòèðè ÷âîðà) èìàjó ïî äâà ñóñjåäà. Ïðàâîóãàîíå ìðåæå ñó ðèjåòêè ãðàôîâè è ñàäðæå óêóïíî (2 rs− r− s) ãðàíà. Jåäíà òåæèíñêà ïðàâîóãàîíà ìðåæà, äèìåíçèjå 5 × 5 jå ïðèêàçàí íà ñëèöè 2.5 (ëèjåâî) è ñàäðæè óêóïíî 25 ÷âîðîâà è 40 ãðàíà. Jåäíî ðjåøå»å jå ïðèêàçàíî íà ñëèöè 2.5 (äåñíî). Äà áè ñå ïîjåäíîñòàâèëà ñëèêà 2.5 (äåñíî), èçîñòàâ§åíå ñó òåæèíå ÷âîðîâà, äîê çíàê òîêà îäðå¢ójå îðèjåíòàöèjó. Êàî øòî ñå âèäè ñà ñëèêå, äîäàòíè ÷âîð 0 jå ïîâåçàí ñà ÷âîðîâèìà 12 (÷âîð p) è 14 (÷âîð q). Òîêîâè íà ãðàíàìà ((M p) è ((M q) ñó jåäíàêè 12 è 13, øòî óêàçójå äà êîìïîíåíòå ó ïàðòèöèjè èìàjó 12 îäíîñíî 13 ÷âîðîâà. Êàî øòî jå íàâåäåíî ó äîêàçó òåîðåìå 1, àïñîëóòíà âðèjåäíîñò òîêà íà ñâàêîj ãðàíè (iM j), êîjà ïðèïàäà ïîêðèâàjó£åì ñòàáëó, jå jåäíàêà áðîjó ÷âîðîâà ó ïîäñòàáëó ñà êîðèjåíîì ó ÷âîðó j. Àêî ñå èçðà÷óíàjó ñóìå òåæèíà ÷âîðîâà ïî êîìïîíåíòàìà, âèäè ñå äà jå ðàçëèêà òèõ ñóìà jåäíàêà |6+( − 621| 5 ). Îâà ÷è»åíèöà äîêàçójå äà jå ðjåøå»å ïðèêàçàíî íà ñëèöè 2.5 (äåñíî) îïòèìàëíî, jåð jå ñóìà ñâèõ òåæèíà íåïàðíà, à ôóíêöèjà öè§à jå íåíåãàòèâíà. 2.5 Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà ðjåøàâà»å MBCP Ó îâîj ñåêöèjè îïèñàíà jå ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà ðjåøàâà»å MBCP. Ðåçóëòàòè ïðèêàçàíè ó îâîj ñåêöèjè ñó ïðèêàçàíè çàjåäíî ñà ðåçóëòàòèìà èç ïðåòõîäíå ñåêöèjå ó ðàäó [79]. Äåòà§íèjè îïèñ VNS ìåòîäå äàò jå ó óâîäíîj ãëàâè, òå ñå îâäjå çáîã òîãà èçîñòàâ§à. 35 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà 5 67 17 100 27 17 31 31 30 38 82 99 21 78 100 62 32 81 39 70 2 93 97 14 26 -1 -1 -5 -11 0 12 13 3 2 1 -2 -1 -7 -8 8 -1 4 3 6 1 5 1 -3 2 4 -1 p q Ñëèêà 2.5: Ïðàâîóãàîíà ìðåæà 05x05 (ëèjåâî) è ïàðòèöèjà äîáèjåíà MILP ðjåøàâà÷åì (äåñíî) 2.5.1 Èíèöèjàëèçàöèjà è ôóíêöèjà öè§à Ðjåøå»å çà äàòè ãðàô G 5 (VMW) jå ïðåäñòàâ§åíî êàî áèíàðíè íèç x äóæèíå |V |. Åëåìåíòè íèçà îäãîâàðàjó ÷âîðîâèìà è óêàçójó íà òî êîjîj êîìïîíåíòè äàòè ÷âîð ïðèïàäà, òj. i ∈ V) àêî xO 5 ) è i ∈ V2 àêî xO 5 (. Ïîëàçíî ðjåøå»å ñå îäðå¢ójå íà ñëó÷àjàí íà÷èí. Òîêîì ïðîöåñà ïðåòðàæèâà»à, jàñíî jå äà ñå îâàêâîì ðåïðåçåíòàöèjîì ìîãó jàâèòè íåäîïóñòèâà ðjåøå»à, øòî çíà÷è äà ñó jåäàí (èëè îáà) ïîäãðàôà èíäó- êîâàíà ñà V) è V2 (G) è G2 ðåñïåêòèâíî) íåïîâåçàíè. Ñòàíäàðäàí íà÷èí çà ïðåâàçèëàæå»å ñèòóàöèjå ïîjàâå íåêîðåêòíèõ ðjåøå»à jå óâî¢å»å êàçíåíå ôóíê- öèjå. Óîïøòå, âðèjåäíîñò êàçíåíå ôóíêöèjå áè òðåáàëî äà áóäå ìàëî âå£à íåãî ìèíèìàëíà öèjåíà ïîòðåáíà äà ñå îäãîâàðàjó£å íåêîðåêòíî ðjåøå»å "ïîïðàâè" íà êîðåêòíî. Ñóïðîòíî, àêî áè âðèjåäíîñò êàçíåíå ôóíêöèjå áèëà ìà»à îä öèjåíå ìèíèìàëíå êîðåêöèjå, íåêîðåêòíà ðjåøå»à ñå ìîãó jàâèòè êàî êîíà÷íî ðjåøå»å, øòî íàðàâíî íèjå äîïóøòåíî. Ñà äðóãå ñòðàíå, àêî jå âðèjåäíîñò êàçíåíå ôóíêöèjå çíà÷àjíî âå£à îä öèjåíå ìèíèìàëíå ïîïðàâêå, íåêîðåêòíà ðjåøå»à ñó òîòàëíî äèñêðèìèíèñàíà è ó ñòàðòó ñå îäáàöójó. Îâà ïîjàâà íèjå ïðåïîðó÷§èâà, çàòî øòî ñå ïîíåêàä äîáðà, êâàëèòåòíà ðjåøå»à ëàêøå äîáèjàjó ïîïðàâêîì íåêîðåêòíèõ ðjåøå»à, íåãî ïðåêî ïîïðàâ§à»à ëîøèõ è äîïóñòèâèõ ðjåøå»à. Ó ñëó÷àjó MBCP, ïðèðîäíî jå äà ñå ó ôîðìóëàöèjó êàçíåíå ôóíêöèjå óê§ó÷è ïîäàòàê î áðîjó êîìïîíåíòè ïîâåçàíîñòè. Îâàj áðîj jå ïîòðåáíî óâå£àòè îäãîâà- ðàjó£è áðîj ïóòà, êîjè çàâèñè îä êîíêðåòíîã ãðàôà. Åêñïåðèìåíòè ñó ïîêàçàëè äà ó ðà÷óíà»å êàçíåíå ôóíêöèjå òðåáà óê§ó÷èòè íàjâå£ó òåæèíó. Òàêî, äà áè ñå êîíñòðóèñàëà êàçíåíà ôóíêöèjà, ïîòðåáíî jå èçðà÷óíàòè áðîj êîìïîíåíòè 36 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà ïîâåçàíîñòè. Çà îâàj çàäàòàê, êîðèñòè ñå àëãîðèòàì ïðåòðàãå ó øèðèíó (åíã. breadth-rst search algorithm - BFS). Ó ñëó÷àjó êàäà BFS ïðîíà¢å íåïîâåçàíó êîìïîíåíòó (èëè îájå) ïðèìjå»ójå ñå êàçíåíà ôóíêöèjà. Òàêî, àêî ñó nu(G)) è nu(G2) áðîjåâè êîìïîíåíòè ïîâåçàíîñòè îä G), îäíîñíî G2, êàçíåíà ôóíêöèjà xVeT ñå ðà÷óíà ïîìî£ó ôîðìóëå xVeT 5 (nu(G)) + nu(G2)− 2) ∗ wSGxM (2.21) ãäjå jå wSGx ìàêñèìàëíà òåæèíà ÷âîðà ó ãðàôó. Çà äàòî ðjåøå»å, àëãîðèòàì ðà÷óíà âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à ïîìî£ó ôîð- ìóëå otj(V)M V2) 5 |w(V))− w(V2)|+ xVeTL (2.22) Èç (2.21), jàñíî jå äà àêî ñó G) è G2 ïîâåçàíè, êàçíåíà ôóíêöèjà jå jåäíàêà 0, jåð jå nu(G)) 5 nu(G2) 5 ). Ó òîì ñëó÷àjó, êàçíåíà ôóíêöèjà íåìà óòèöàj íà ðà÷óíà»å âðèjåäíîñòè ôóíêöèjå öè§à (2.22). Ó ñëó÷àjó ïîjàâå íåïîâåçàíèõ êîìïîíåíòè, êàçíåíà ôóíêöèjà çíà÷àjíî óâå£àâà âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à, øòî çíà÷è äà íåêîðåêòíà ðjåøå»à íå ìîãó äóãî îïñòàòè. ×è»åíèöà äà ñó çàâðøíà ðjåøå»à äîïóñòèâà óêàçójå íà òî äà êàçíåíà ôóíêöèjà èìà âå£ó âðè- jåäíîñò îä öèjåíå ìèíèìàëíå ïîïðàâêå. Òàêî¢å, ïðåìà åêñïåðèìåíòàëíèì ðå- çóëòàòèìà, ÷èíè ñå äà êàçíåíà ôóíêöèjà íèjå ïðåñòðîãà. Íà ñëèöè 2.6 jå ïðèêàçàí ïñåóäîêîä ôóíêöèjå öè§à çà äàòî ðjåøå»å e. Çà ñâàêî iM i ∈ V , âðèjåäíîñòè x[i] îçíà÷àâàjó êîìïîíåíòó çà ÷âîð i. Âðèjåäíîñò wSGx îçíà÷àâà ìàêñèìàëíó òåæèíó, êîjà ñå ðà÷óíà jåäíîì, ïðèëèêîì èíèöè- jàëèçàöèjå. Âðèjåäíîñòè sum) è sum2 ñå ðà÷óíàjó êàî óêóïíå ñóìå òåæèíà ÷âîðîâà èç V) è V2, äîê ñå âðèjåäíîñòè nu) è nu2 ðà÷óíàjó óíóòàð ôóíêöèjå ncomp(), êîjà êîðèñòè ñòàíäàðäíè BFS àëãîðèòàì çà îäðå¢èâà»å êîìïîíåíòè ïîâåçàíîñòè. Âðåìåíñêà ñëîæåíîñò ôóíêöèjå öè§à ñå îäðå¢ójå íà ñ§åäå£è íà÷èí: âðåìåí- ñêà çàâèñíîñò çà ðà÷óíà»å ñóìå òåæèíà ó îäãîâàðàjó£èì ïîäñêóïîâèìà jåa(|V |). Âðåìåíñêà ñëîæåíîñò çà îäðå¢èâà»å âðèjåäíîñòè ôóíêöèjå ncomp jå jåäíàêà âðåìåíñêîj ñëîæåíîñòè BFS àëãîðèòìà, êîjà èçíîñè a(|V)| + |W)|) çà ïðâó è a(|V2|+|W2|) çà äðóãó êîìïîíåíòó. Òàêî jå óêóïíà âðåìåíñêà ñëîæåíîñò ôóíêöèjå öè§à a(|V |+ |W|). 37 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà function Obj(S) sum1 := 0, sum2 := 0; for i ∈ V do if x[i] = 1 sum1 := sum1 + w[i]; then else sum2 := sum2 + w[i]; nc1 := 0, nc2 := 0; nc1:=ncomp(1); nc2:=ncomp(2); endif endfor return abs(sum1− sum2) + (nc1 + nc2− 2) ∗ w max Ñëèêà 2.6: Ïðèêàç ïñåóäî-êîäà çà ôóíêöèjó öè§à 2.5.2 Îêîëèíå è ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à Ó îêâèðó ïðîöåäóðå ðàçìðäàâà»à, êðåèðà ñå íîâî ðjåøå»å x′, (x′ ∈ Nk(x)) çàñíîâàíî íà òðåíóòíî íàjáî§åì ðjåøå»ó x. k-òà îêîëèíà ñå äåôèíèøå íà ñ§åäå£è íà÷èí: Íåêèõ k ÷âîðîâà èç V ñå áèðà íà ñëó÷àjàí íà÷èí. Ñâàêîì èçàáðàíîì ÷âîðó ìèjå»à ñå êîìïîíåíòà êîjîj îí ïðèïàäà: Àêî jå èçàáðàí ÷âîð êîjè ïðèïàäà V), òàäà ñå îí ïðåáàöójå ó V2 è îáðíóòî. Ôîðìàëíî, k-òà îêîëèíà âåêòîðà x ñå çàïèñójå êàî Nk(x) 5 {x′ 2 {i)M i2M LLLM ik} ⊂ {)M 2M LLLM |V |} x′Oj 5 )−xOj}. Ó àëãîðèòìó, kSOT jå ïîñòàâ§åíî íà âðèjåäíîñò 2, äîê ñå kSGx äåôèíèøå êàî kSGx 5 man{+(M |< |2 }. Ðàçëîã çà îâàêâó äåôèíèöèjó âðèjåäíîñòè kSGx ïîòè÷å èç ìîòèâàöèjå äà áóäå çàäîâî§åí òåîðèjñêè óñëîâ êîjè äèêòèðà äà âåëè÷èíà ñâàêå íàðåäíå îêîëèíå òðåáà äà áóäå âå£à îä ïðåòõîäíå. Ïîøòî jå âåëè÷èíà k- òå îêîëèíå (|< | k ) , çà k N |< | 2 ñëèjåäè ( |< | k−) ) N (|< | k ) , òj. |Nk−)(x)| N |Nk(x)| è óñëîâ jå çàäîâî§åí. Çà âå£å èíñòàíöå, åêñïåðèìåíòè ñó ïîêàçàëè äà jå kSGx 5 +( äîâî§íà çà äîñòèçà»å êâàëèòåòíèõ ðjåøå»à. Ëàêî ñå âèäè äà ñå ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à ñàñòîjè îä k êîðàêà âðåìåíñêå ñëîæåíîñòè a(|V |), òàêî äà jå óêóïíà âðåìåíñêà ñëîæåíîñò ïðîöåäóðå ðàçìð- äàâà»à a(kSGx · |V |). 2.5.3 Ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å Çà ðjåøå»å x′ äîáèjåíî ó ïðîöåäóðè ðàçìðäàâà»à ïîçèâà ñå ëîêàëíî ïðåòðà- æèâà»å. Ó ñâàêîj èòåðàöèjè ëîêàëíå ïðåòðàãå, àëãîðèòàì ðàçìjå»ójå êîìïî- íåíòå çà äâà ÷âîðà. Íà ïðèìjåð, àêî jå ó ðjåøå»ó x′ u ∈ V) è v ∈ V2, íàêîí 38 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà çàìjåíå, ñòàòóñ jå u ∈ V2 è v ∈ V). Íåêà jå îâàêâîì ðàçìjåíîì ôîðìèðàíî íîâî ðjåøå»å x′′. Ó ñëó÷àjó äà jå x′′ áî§å îä x′, òàäà x′ ïîñòàjå jåäíàêî x′′, (ó äðóãîì ñëó÷àjó, x′ ñå íå ìèjå»à) è ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å íàñòàâ§à çàìjåíîì ñ§åäå£åã ïàðà ÷âîðîâà. Ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å ñå çàâðøàâà êàäà ñå ðjåøå»å íå ìîæå âèøå ïîáî§- øàòè. Àêî jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à çà ðjåøå»å x′ ñòðîãî âå£å îä âðèjåäíîñòè ðjåøå»à x, òàäà òðåíóòíî íàjáî§å ðjåøå»å îñòàjå x, à ïðåòðàãà ñå íàñòàâ§à ñà ñ§åäå£îì îêîëèíîì. Àêî jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à çà ðjåøå»å x′ ìà»å íåãî çà x, òàäà x′ ïîñòàjå òðåíóòíî íàjáî§å ðjåøå»å (x 5 x′). Àêî ñó âðèjåäíîñòè ôóíêöèjà öè§à çà îâà äâà ðjåøå»à èñòà, îíäà ñå ñà âjåðîâàòíî£îì pSove ïîñòàâ§à x 5 x ′ è àëãîðèòàì íàñòàâ§à ïðåòðàãó ñà èñòîì îêîëèíîì. Ó äðóãîì ñëó÷àjó, ïðåòðàãà ñå ñà âjåðîâàòíî£îì )−pSove íàñòàâ§à ñà èñòèì ðjåøå»åì x è íàðåäíîì îêîëèíîì. Î÷èãëåäíî jå äà ëîêàëíà ïðåòðàãà ôîðìèðà ïàðîâå ÷âîðîâà ÷èjè jå óêóïàí áðîj a(|V |2). Çàìjåíà êîìïîíåíòè ñå âðøè ó a()) âðåìåíó, äîê ñå ðà÷óíà»å ôóíêöèjå öè§à íîâîã ðjåøå»à âðøè ó âðåìåíó a(|V | + |W|). Ñòîãà jå óêóïíà âðåìåíñêà çàâèñíîñò ëîêàëíå ïðåòðàãå a(|V |+ + |W| · |V |2). Ïîøòî ñó ðàçìàòðàíå ñâå îêîëèíå, àëãîðèòàì íàñòàâ§à ïðåòðàæèâà»å ñà ïðâîì îêîëèíîì, ñâå äîê íå áóäå èñïó»åí êðèòåðèjóì çà çàâðøåòàê àëãîðèòìà. Ó íàøåì ñëó÷àjó, êðèòåðèjóì çà çàâðøåòàê jå äîñòèãíóò ìàêñèìàëàí áðîj èòå- ðàöèjà. 2.6 Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè Ó îâîì îäjå§êó ñó ïðèêàçàíè åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè êîjè ïðèêàçójó åôè- êàñíîñò ïðîïèñàíå MILP ôîðìóëàöèjå è VNS ìåòîäà. Ñâè òåñòîâè ñó îáàâ§åíè íà ðà÷óíàðó Intel Core 2 Quad Q9400 @2.66 GHz ñà 8 GB RAM. Çà òåñòèðà»å MILP ôîðìóëàöèjå êîðèøòåíà ñó äâà MILP ðjåøàâà÷à: CPLEX 12.1 [27] è Gurobi 4.0 [45]. Çà îáà ðjåøàâà÷à, âðèjåìå èçâðøå»à jå îãðàíè÷åíî íà 7200 ñåêóíäè. VNS èìïëåìåíòàöèjà jå êîäèðàíà ó ïðîãðàìñêîì jåçèêó C. VNS jå çà ñâàêó òåñòíó èíñòàíöó ïîêðåòàí 20 ïóòà. Çà ñâàêó èíñòàíöó âðèjåäíîñò kSOT jå ïîäåøåíà íà 2. Äà áè áèî èñïó»åí òåîðèjñêè óñëîâ (∀k)(kSOT ≤ k ≤ kSGx − )) |Nk(x)| ≤ |Nk+)(x)|, çà èíñòàíöå ñà ìà»å îä 60 ÷âîðîâà, kSGx jå ïîäåøåíî íà nO2, à çà âå£å èíñòàíöå íà 30. Ïàðàìåòàð pSove èìà âðèjåäíîñò 39 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà 0.4. Àëãîðèòàì çàâðøàâà ñà ðàäíîì íàêîí 500 èòåðàöèjà. Çà ñâå åêñïåðèìåíòå êîðèøòåíà ñó èñòà äâà äâà ñêóïà èíñòàíöè: ïðàâîóãàîíå ìðåæå èç [10], ó îâîì ðàäó îçíà÷åíå êàî BR èíñòàíöå è ñëó÷àjíî ãåíåðèñàíå èíñòàíöå èç [33], îçíà÷åíå êàî DKTF èíñòàíöå. Ñêóï BR èíñòàíöè ñå ñàñòîjè îä óêóïíî 16 èíñòàíöè: íàjìà»à ïðàâîóãàîíà ìðåæà èìà 25 ÷âîðîâà, (n 5 (5x(5), à íàjâå£à 225 (n 5 )5x)5). Çà èíñòàíöå ÷èjå èìå çàâðøàâà ñëîâîì (a), òåæèíå ÷âîðîâà ñó öèjåëè áðîjåâè, èçàáðàíè óíèôîðìíî èç èíòåðâàëà [1, 100], à ó äðóãîì ñëó÷àjó (èíñòàíöå ÷èjå èìå çàâð- øàâà ñëîâîì (b)) âðèjåäíîñòè òåæèíà ñó óíèôîðìíî áèðàíå èç èíòåðâàëà [1, 500]. Ïðâà èíñòàíöà (ñà èìåíîì gg_05_05a) jå óïðàâî èíñòàíöà ïðèêàçàíà è àíàëèçèðàíà ó Ïðèìjåðó 2.3. Äðóãè ñêóï èíñòàíöè (DKTF èíñòàíöå) ñàäðæè óêóïíî 21 ïîâåçàí ãðàô ãåíå- ðèñàí íà ñëó÷àjàí íà÷èí ñà ðåàëíèì òåæèíàìà íà ÷âîðîâèìà, êîjå ñó óíèôîðìíî áèðàíå èç èíòåðâàëà (0, 100]. Òàáåëå 2.3 è 2.4 ïðèêàçójó åêñïåðèìåíòàëíå ðåçóëòàòå çà äâà îïèñàíà ñêóïà èíñòàíöè. Ó ïðâå òðè êîëîíå ïðèêàçàíà ñó èìåíà èíñòàíöè, òå áðîj ÷âîðîâà è ãðàíà ó ãðàôó. Íàðåäíà êîëîíà ñàäðæè îïòèìàëíó âðèjåäíîñò, ñà çíàêîì '-', ó ñëó÷àjó êàäà îïòèìàëíà âðèjåäíîñò íèjå ïîçíàòà. Íàðåäíå äâèjå êîëîíå ñå îäíîñå íà äâà MILP ðjåøàâà÷à: CPLEX è Gurobi. Ïîäàöè ó îâèì êîëîíàìà ñó äâîjàêè: ó ñëó÷àjó äà jå îäãîâàðàjó£è MILP ðjå- øàâà÷ óñïèî äà ïðîíà¢å îïòèìàëíî ðjåøå»å ó ìà»å îä äâà ñàòà (7200 ñåêóíäè), ïðèêàçàíî âðèjåìå èçâðøå»à. Ó äðóãîì ñëó÷àjó, êàäà ðjåøàâà÷ íèjå ïðîíàøàî îïòèìàëíî ðjåøå»å ó 7200 ñåêóíäè, äâà ïîäñëó÷àjà ñó àíàëèçèðàíà: ïðîíà¢åíî jå ðjåøå»å, àëè íèjå âåðèôèêîâàíî êàî îïòèìàëíî, îäíîñíî, ðjåøàâà÷ óîïøòå íèjå ïðîíàøàî ðjåøå»å. Ó ïðâîì ïîäñëó÷àjó, ïðèêàçàíî jå òî ðjåøå»å ñà îçíàêîì (n.v.), êîjà îçíà÷àâà äà ðjåøå»å íèjå âåðèôèêîâàíî êàî îïòèìàëíî. Ó äðóãîì ïîäñëó÷àjó, êàäà MILP ðjåøàâà÷ íèjå óîïøòå óñïèî äà íà¢å ðjåøå»å, ïðèêàçàíà jå îçíàêà N/A. Íàðåäíå äâèjå êîëîíå ñàäðæå äîáèjåíå ðåçóëòàòå è âðèjåìå èçâð- øå»à GA èç [33], ñà îçíàêîì opt àêî jå GS çà äàòó èíñòàíöó äîñòèãàî îïòèìàëíî ðjåøå»å. Ïîñ§åä»å äâèjå êîëîíå ñå îäíîñå íà ïðîïèñàíè VNS: íàjáî§à äîáèjåíà âðèjåäíîñò, ñà îçíàêîì opt àêî jå ójåäíî è îïòèìàëíà, òå ïðîñjå÷íî óêóïíî âðèjåìå èçâðøå»à VNS àëãîðèòìà. Ëàêî ñå âèäè äà îïòèìàëíî ðjåøå»å çà BR èíñòàíöå íå ìîæå áèòè ìà»å 40 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà Òàáåëà 2.3: Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè çà BR èíñòàíöå Èíñò. |V | |W| opt tIVlex(s) tMur(s) GA tGA VNS t< NS(s) 05x05a 25 40 1 11.26 1016.99 opt 0.36 opt 0.34 05x05b 25 40 1 56.41 536.27 opt 0.37 opt 0.33 05x06a 30 49 0 4.11 0.17 opt 0.41 opt 0.50 05x06b 30 49 1 101.58 7077.59 opt 0.43 opt 0.60 05x10a 50 85 1 866.49 2539.09 opt 0.72 opt 2.30 05x10b 50 85 0 N/A N/A opt 0.91 opt 2.47 05x20a 100 175 0 N/A N/A opt 1.73 opt 18.12 05x20b 100 175 1 N/A N/A opt 1.77 opt 20.81 07x07a 49 84 0 3139.73 2528.21 opt 0.804 opt 2.79 07x07b 49 84 1 1053.79 N/A opt 0.743 opt 3.31 07x10a 70 123 1 N/A 1858.10 opt 1.249 opt 6.38 07x10b 70 123 0 6112.54 N/A opt 1.186 opt 7.33 10x10a 100 180 1 N/A N/A opt 1.809 opt 22.40 10x10b 100 180 1 N/A N/A opt 1.633 opt 25.05 15x15a 225 420 0 N/A N/A opt 4.439 opt 195.49 15x15b 225 420 0 N/A N/A opt 4.669 opt 216.16 îä 0, àêî jå ñóìà ñâèõ òåæèíà ïàðàí áðîj, îäíîñíî ìà»à îä 1 àêî jå ñóìà òåæèíà íåïàðíà, jåð jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à íåíåãàòèâíà, à ñâå òåæèíå ñó öèjåëè áðîjåâè. Çàòî ñå çàê§ó÷ójå äà ñó çà ñâå BR èíñòàíöå îájå õåóðèñòèêå äîñòèãëå îïòèìàëíî ðjåøå»å. Èç Òàáåëå 2.3 î÷èãëåäíî jå äà ñå MILP ðjåøàâà÷è ìîãó êîðèñòèòè çà ïðîíàëàæå»å îïòèìàëíèõ ðjåøå»à çà ìà»å èíñòàíöå. Ó ñëó÷àjó BR èíñòàíöè, îáà ðjåøàâà÷à ïðîíàëàçå îïòèìàëíà ðjåøå»à çà âå£èíó èíñòàíöè äî 70 ÷âîðîâà: CPLEX äîñòèæå 8 (îä 10), äîê jå Gurobi äîñòèãàî 7 (îä 10) îïòèìàëíèõ ðjåøå»à. Çà âå£å èíñòàíöå, íèjåäàí ðjåøàâà÷ íèjå óîïøòå ïðîíàøàî ðjåøå»å, øòî jå ó òàáåëè îçíà÷åíî îçíàêîì N/A. Èç Òàáåëå 2.4 ñå ëàêî ìîæå óî÷èòè äà jå Gurobi ðjåøàâà÷ óñïjåøíèjè ó ïðîíàëàæå»ó îïòèìàëíèõ ðjåøå»à çà DKTF èíñòàíöå. Çà èíñòàíöå äî 50 ÷âîðîâà, Gurobi ïðîíàëàçè îïòèìàëíà ðjåøå»à çà ñâå èíñòàíöå îñèì jåäíå, äîê CPLEX ïðîíàëàçè îïòèìàëíî ðjåøå»å ñàìî çà èíñòàíöå äî 20 ÷âîðîâà è jåäíó èíñòàíöó êîjà ñàäðæè 30 ÷âîðîâà. Òàêî¢å, âðèjåìå èçâðøå»à Gurobi àëãîðèòìà jå ìà»å íåãî êîä CPLEX-à. Êàî øòî jå î÷åêèâàíî, MILP ðjåøàâà÷è íèñó ìîãëè äîñòè£è îïòèìàëíà ðjåøå»à çà âå£å èíñòàíöå, àëè çà îâå èíñòàíöå CPLEX ïðîíàëàçè ðjåøå»å, êîjå íèjå äîêàçàíî êàî îïòèìàëíî ó 7200 ñåêóíäè. Ãóðîáè jå ó îâèì ñëó÷àjåâèìà 41 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà ìà»å óñïjåøàí è ïðîíàëàçè òàêâî ðjåøå»å çà ñàìî jåäíó èíñòàíöó. VNS ëàêî äîñòèæå îïòèìàëíà ðjåøå»à çà ñâå BR èíñòàíöå, øòî ñå âèäè èç òàáåëå 2.3. Òàêî¢å, îïòèìàëíî ðjåøå»å jå äîñòèãíóòî ó ñâèõ 20 èçâðøå»à, øòî ïîêàçójå âèñîêó ïîóçäàíîñò VNS àëãîðèòìà. Âðåìåíà èçâðøå»à ñó ïðèëè÷íî ìàëà, äî 216 ñåêóíäè çà íàjâå£å èíñòàíöå. Çà ïðâå äâèjå DKTF èíñòàíöå, (rnd01 è rnd02 èç Òàáåëå 2.4), è GA è VNS äîñòèæó îïòèìàëíî ðjåøå»å. Çà ïðåîñòàëå DKTF èíñòàíöå, ïðîïèñàíè VNS ó ñâèì ñëó÷àjåâèìà äîñòèæå âåîìà äîáðå ðåçóëòàòå, áî§å íåãî GA. Êàî øòî ñå âèäè èç òàáåëå 2.4, äîñòèãíóòè ðåçóëòàòè ñó ìà»è îä )(−+ (îñèì çà òðè èíñòàíöå), äîê jå çà íàjâå£å èíñòàíöå, ñà 100 è âèøå ÷âîðîâà è 300 è âèøå ãðàíà, âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à jå ìà»à îä )(−4. Çà äâèjå èíñòàíöå, (rnd17 è rnd21), äîñòèãíóòè ðåçóëòàòè ñó jåäíàêè 0, øòî jå çàñèãóðíî îïòèìàëíî ðjåøå»å, jåð jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à íåíåãàòèâíà. Òàêî, ïðèêàçàíè ðåçóëòàòè ó òàáåëàìà 2.3 è 2.4 jàñíî óêàçójó äà ñå VNS ïðèñòóï ìîæå óñïjåøíî êîðèñòèòè çà èíñòàíöå âåëèêèõ äèìåíçèjà, ó ñëó÷àjåâèìà êàäà åãçàêòíå ìåòîäå íå óñïèjåâàjó äà ïðîíà¢ó îïòèìàëíî ðjåøå»å. Óïîðå¢ójó£è âðèjåìå èçâðøå»à äâèjå õåó- ðèñòèêå, î÷èãëåäíî jå äà GA áðæå ïðîíàëàçè ðjåøå»à, äîê VNS äîñòèæå ðjå- øå»à áî§åã êâàëèòåòà. 2.7 Çàâðøíà ðàçìàòðà»à çà MBCP Îâà ãëàâà jå ïîñâå£åíà ïðîáëåìó ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó è ïðèìjåíè òîã ïðîáëåìà ó îðãàíèçîâà»ó êóðñà. Àêî ñå ïî¢å îä ïðåòïî- ñòàâêå äà êóðñ òðåáà ïîäèjåëèòè íà äâà, ïî òåæèíè ójåäíà÷åíà ìà»à êóðñà, óç î÷óâà»å ðåëàöèjå ïîâåçàíîñòè, çà òàj çàäàòàê ìîãó£å jå ôîðìèðàòè îäãîâàðàjó£è ìàòåìàòè÷êè ìîäåë è »åãà ðèjåøèòè íåêîì ìåòîäîì êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå. Îïèñàí jå ìåòîä îäðå¢èâà»à ïîâåçàíîñòè, êàî è ìåòîä îäðå¢èâà»à òåæèíà ëåêöèjà. Íà ôîðìèðàíè ïîâåçàí òåæèíñêè ãðàô ïðèìèjå»åía jå òåõíèêà çà ðjåøàâà»å îäãîâàðàjó£åã MBCP è ïðåäëîæåíî jå îïòèìàëíî ðjåøå»å ïîäjåëå êóðñà èç Òåîðèjå áðîjåâà. Ó íàñòàâêó Ãëàâå, ïðèêàçàí jå òåîðèjñêè ðåçóëòàò êîjèì jå ôîðìóëèñàí ìîäåë ìjåøîâèòîã öjåëîáðîjíîã ïðîãðàìèðà»à, ñà ïðàòå£èì äîêàçîì î êîðåêòíîñòè ìîäåëà. Ïðåäñòàâ§åíè ìîäåë êîðèñòè ïîëèíîìñêè áðîj îãðàíè÷å»à, øòî óêàçójå äà ñå ìîæå êîðèñòèòè è ó òåîðèjñêèì è ó ïðàêòè÷íèì ðàçìàòðà»èìà. 42 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà Òàáåëà 2.4: Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè çà DKTF èíñòàíöå Inst. |V | |W| opt tIVlex tMur GA tGA VNS t< NS rnd01 20 30 1.14274 500.13 187.51 opt 0.52 opt 0.159 rnd02 20 50 0.01965 1899.18 480.89 opt 0.49 opt 0.198 rnd03 20 100 0 1307.85 36.10 0.00626 0.68 0.0008 0.281 rnd04 30 50 0 n.v:0.1817 5510.0 0.00915 0.58 0.00241 0.522 rnd05 30 70 0 5361.1 2081.6 0.01036 0.65 0.00148 0.505 rnd06 30 200 0 n.v:0.0108 403.56 0.00029 0.93 0.00007 1.036 rnd07 50 70 - n.v:0.0328 n.v:0.4176 0.01608 0.92 0.00104 3.282 rnd08 50 100 0 n.v:0 5188.6 0.00531 1.10 0.00005 2.386 rnd09 50 400 0 n.v:0.0484 5112.0 0.00024 1.92 0.00008 5.864 rnd10 70 100 - n.v:0.2083 N/A 0.01328 1.40 0.00022 7.678 rnd11 70 200 - n.v:0 N/A 0.00023 1.737 0.00001 8.140 rnd12 70 600 - n.v:0.0356 N/A 0.00232 2.910 0.00004 13.202 rnd13 100 150 - n.v:0 N/A 0.00859 2.032 0.00037 23.473 rnd14 100 300 - n.v:0 N/A 0.00137 2.355 0.00001 22.984 rnd15 100 800 - n.v:0.7812 N/A 0.00155 3.812 0.00001 46.39 rnd16 200 300 - n.v:0 N/A 0.00574 4.972 0.00006 203.31 rnd17 200 600 - n.v:0 N/A 0.00058 5.255 0 206.34 rnd18 200 1500 - n.v:0 N/A 0.00011 7.380 0.00001 411.47 rnd19 300 500 - n.v:0 N/A 0.00039 7.747 0.00001 692.21 rnd20 300 1000 - n.v:0 N/A 0.00025 7.560 0.00001 609.02 rnd21 300 2000 - n.v:0 N/A 0.00008 11.61 0 1256.5 43 Ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíà ïîâåçàíà ïàðòèöèjà Çà ðjåøàâà»å îâîã NP òåøêîã ïðîáëåìà ðàçâèjåíà jå õåóðèñòè÷êà ìåòîäà çàñíîâàíà íà ìåòîäè ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà. Ïîãîäíî èçàáðàíå îêîëèíå ñó çàñíîâàíå íà ïðîìjåíè êîìïîíåíòè çà ðàñòó£è áðîj ÷âîðîâà. Èìïëåìåíòèðàíà jå åôèêàñíà è ðåëàòèâíî áðçà ëîêàëíà ïðåòðàãà, êîjà ïîáî§øàâà êâàëèòåò ðjåøå»à çàìjåíîì êîìïîíåíòè çà ïàðîâå ÷âîðîâà. Äà áè ñå ïðèêàçàëà óïîòðåáíà âðèjåäíîñò è ïîóçäàíîñò ðàçâèjåíèõ ìåòîäà, ñïðîâåäåíè ñó äåòà§íè åêñïåðèìåíòè. MILP ìîäåë jå ïîêðåòàí íà äâà MILP ðjåøàâà÷à, CPLEX 12.1. è Gurobi 4.0. Äîáèjåíè ðåçóëòàòè óêàçójó äà ñå íà ìà»èì èíñòàíöàìà íà îâàj íà÷èí ìîãó äîáèòè îïòèìàëíè ðåçóëòàòè. Ñóäå£è ïî äîáèjåíèì ðåçóëòàòèìà, VNS ìåòîä ñå ïîêàçójå äà jå âåîìà óñïjåøàí. Çà ìà»å èíñòàíöå ïðîíàëàçè âå£èíó ïîçíàòèõ îïòèìàëíèõ ðjåøå»à, äîê çà âå£å èíñòàíöå ïðîíàëàçè âåîìà äîáðå ðåçóëòàòå. Èñòðàæèâà»å ïðåçåíòîâàíî ó îâîj Ãëàâè ìîæå ñå ïðîøèðèòè ó íåêîëèêî ïðàâàöà. Ðàçâèjåíå òåõíèêå çà îäðå¢èâà»å òåæèíå ëåêöèjà çàñíîâàíå íà îájåêòèâ- íèì ïîêàçàòå§èìà è ñóájåêòèâíèì ïðîöjåíàìà ïðîôåñîðà ìîãó ñå êîðèñòèòè è ó äðóãèì, ñëè÷íèì ðàçìàòðà»èìà. Ïðåäëîæåíà MILP ôîðìóëàöèjà, êàî è ïðîïèñàíè VNS àëãîðèòàì ñå ó äà§èì èñòðàæèâà»èìà ìîãó õèáðèäèçîâàòè ñà äðóãèì åãçàêòíèì è õåóðèñòè÷êèì ìåòîäàìà, êàêî áè ñå äîáèëè jîø áî§è ðåçóëòàòè. Ïðîïèñàíè ñèñòåì îðãàíèçàöèjå êóðñà èç Òåîðèjå áðîjåâà, ïî ïðèíöèïó ïîäjåëå êóðñà íà äâà ïî òåæèíè ójåäíà÷åíà äèjåëà, ìîæå ñå ïðèìèjåíèòè íà äðóãå ìàòåìàòè÷êå èëè ðà÷óíàðñêå êóðñåâå. 44 Ãëàâà 3 Ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó ñà q ïàðòèöèjà 3.1 Óâîä Ó îâîì îäjå§êó ðàçìàòðà ñå óîïøòå»å MBCP, òàêîçâàíèì ïðîáëåìîì ïðîíàëà- æå»à ìàêñèìàëíî ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó ñà q ïàðòèöèjà (åíã. Balanced Connected Partition of graphs for q partitions - BCPq). Çà äàòè öèî áðîj q, ãäjå jå q ≥ 2, ïîòðåáíî jå ïîâåçàí ãðàô ñà çàäàòèì òåæèíàìà íà ÷âîðîâèìà ïîäèjåëèòè ó q ïàðòèöèjà V)M LLLM Vq, òàêî äà jå ñâàêè èíäóêîâàí ïîäãðàô ïîâåçàí è äà jå ðàñïîðåä òåæèíà ïî ïîäãðàôîâèìà øòî jå ìîãó£å ójåäíà÷åíèjè. Ó [20] jå äàò ïðèáëèæíè àëãîðèòàì ñà ôàêòîðîì 2 BCPq ïðîáëåìà çà q 5 + è q 5 4. Ó èñòîì ðàäó jå äîêàçàíî äà jå ïðîáëåì NP òåæàê. Òàêî¢å, ðàçìàòðàí jå è ñëó÷àj êàäà q íèjå ôèêñíî, òå jå ïîêàçàíî äà ó òîì ñëó÷àjó ïðîáëåì íåìà ïðèáëèæíè àëãîðèòàì ñà ôàêòîðîì ìà»èì îä 6/5, îñèì àêî íå âàæè äà jå b 5 Nb . Ïðîáëåì ñëè÷àí BCPq ïðîáëåìó jå òçâ. (lM u) ïàðòèöèîíèñà»å, ãäjå jå öè§ ïîäèjåëèòè ãðàô íà êîìïîíåíòíå, òàêî äà óêóïíà òåæèíà ó ñâàêîj êîìïîíåíòè áóäå íàjìà»å l, à íàjâèøå u. Ñêîðèjà èñòðàæèâà»à îâîã ïðîáëåìà ñó ïðèêàçàíà ó [58, 59]. Íà ïðèìjåð, ó [58], àóòîðè àíàëèçèðàjó òðè ïðîáëåìà ïðîíàëàæå»à (lM u) ïàðòèöèjå: (a) ïðîáëåì ìèíèìàëíå (lM u) ïàðòèöèjå, òj. ïðîíàëàæå»å (lM u) ïàðòèöèjå ñà ìèíèìàëíèì áðîjåì êîìïîíåíòè; 45 Màêñèìàëíî áàëàíñèðàíî ïîâåçàíî ïàðòèöèíèñà»å ñà q ïàðòèöèjà (á) ïðîáëåì ìàêñèìàëíå (lM u) ïàðòèöèjå, òj. ïðîíàëàæå»å (lM u) ïàðòèöèjå ñà ìàêñèìàëíèì áðîjåì êîìïîíåíòè; (ö) ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à (lM u) ïàðòèöèjå ñà çàäàòèì áðîjåì p êîìïîíåíòè. Èàêî jå ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à (lM u) ïàðòèöèjà ó îïøòåì ñëó÷àjó NP òåæàê, çà íåêå ñïåöèjàëíå êëàñå ãðàôîâà, ïðîáëåì jå ðjåøèâ ó ïîëèíîìñêîì âðåìåíó. Íà ïðèìjåð, ó [58], àóòîðè ñó ïîêàçàëè äà è ïðîáëåìè ìèíèìàëíå è ìàêñèìàëíå ïàðòèöèjå ìîãó áèòè ðèjåøåíè ó a(u4n) âðåìåíó, à ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à p - ïàðòèöèjå ó a(p2u4n) âðåìåíó çà áèëî êîjè ñåðèjñêî - ïàðàëåëíè ãðàô ñà n ÷âîðîâà. Êðàòêîì àíàëèçîì ìîæå ñå ïîêàçàòè äà ñå îäðå¢èâà»å ïîñòîjà»à (lM u) ïàðòèöèjå ìîæå ñâåñòè íà ðjåøàâà»å BCPq ïðîáëåìà: Àêî jå ïðîíà¢åíî ðjåøå»å çà BCPq ïðîáëåì, òàêî äà jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à çà ðjåøå»å ìà»å îä δ, òàäà (lM u) ïàðòèöèjà ïîñòîjè çà èçàáðàíå l 5 t_sumOq − δ è u 5 t_sumOq + δ, ãäjå jå t_sum óêóïàí çáèð ñâèõ òåæèíà. Ïðèìjåð 3.1. Íà ëèjåâîj ñòðàíè ñëèêå 3.1 ïðèêàçàíà jå ïðàâîóãîàíà ìðåæà ñà 25 ÷âîðîâà. Óç ñâàêè ÷âîð íàïèñàíà jå òåæèíà, äîê ñó èìåíà ÷âîðîâà èçîñòàâ- §åíà. Óêóïàí çáèð ñâèõ òåæèíà ÷âîðîâà ó ãðàôó jå 1259. Êàêî ñó ñâå òåæèíå öèjåëè áðîjåâè, à óêóïíà òåæèíà íèjå äjå§èâà ñà òðè, îïòèìàëíà âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à çà ïàðòèöèíèñà»å ãðàôà íà òðè ïîâåçàíà ïîäãðàôà íå ìîæå áèòè íóëà, âå£ ó íàjáî§åì ñëó÷àjó jåäàí. Àêî ÷âîðîâå ãðàôà, ñà ëèjåâà íà äåñíî è îäîçäî íà ãîðå, îáè§åæèìî áðîjåâèìà îä 1 äî 25 (äî»è ëèjåâè ÷âîð jå ÷âîð 1, äåñíî äî »åãà ÷âîð 2 èòä.), òàäà äåñíîj ñòðàíè ñëèêå 3.1 îäãîâàðà ïàðòèöèjà V) 5 {)M 2M 6M 7M 0M 1M ))M )6M 2)M 22}M V2 5 {)2M )7M )0M 2(M 2+M 24M 25}M V+ 5 {+M 4M 5M )(M )+M )4M )5M )1}L Ëàêî ñå ìîæå èçðà÷óíàòè äà jå w(V)) 5 42(, w(V2) 5 4)1 è w(V+) 5 42(, îäàêëå çàê§ó÷ójåìî äà jå ôóíêöèjà öè§à jåäíàêà 1, òå jå îâà ïàðòèöèjà ójåäíî è îïòèìàëíà. 3.2 Ðàíèjè ðåçóëòàòè Êàî è MBCP, è BCPq ïðèïàäà øèðîêîj êëàñè ïðîáëåìà êîjè ñå îäíîñå íà ïàðòèöèîíèñà»å ãðàôà è êàî òàêàâ èìà âåëèêó äèðåêòíó è èíäèðåêòíó ïðèìjåíó 46 Màêñèìàëíî áàëàíñèðàíî ïîâåçàíî ïàðòèöèíèñà»å ñà q ïàðòèöèjà 5 67 17 100 27 17 31 31 30 38 82 99 21 78 100 62 32 81 39 70 2 93 97 14 26 V1 V2 V3 Ñëèêà 3.1: Ïðàâîóãàîíà ìðåæà äèìåíçèjå 05x05 (ëèjåâî) è ïàðòèöèjà íà òðè êîìïîíåíòå (äåñíî) ó ðàçíèì îáëàñòèìà èíæå»åðñòâà, ìåíà¶ìåíòà, ðjåøàâà»ó íåêèõ ñîöèjàëíèõ ïðîáëåìà, êàî è ïðîáëåìà ó îáðàçîâà»ó. Ó îáðàäè ñëèêà, ïàðòèöèîíèñà»å ñå ìîæå èñêîðèñòèòè ó ñèòóàöèjàìà êàäà äîëàçè äî ïîãîðøà»à êâàëèòåòà ñëèêå óñ§åä êîíâåðòîâà»à èç jåäíîã îáëèêà ó äðóãè. Ó ñèòóàöèjàìà êàäà íåìà èíôîðìàöèjà î ïðîöåñó äåãðàäàöèjå, jåäèíè íà÷èí äà ñå ïîáî§øà êâàëèòåò jå äà ñå ïîâå£à êîíòðàñò è ñìà»å îøòå£å»à ïîãîäíèì èçìjåíàìà íà íèâîèìà ñèâå áîjå. Äà áè ñå íàïðàâèî ãðàô êîjè îäãîâàðà ñëèöè, îäðå¢ójå ñå ñêóï ÷âîðîâà êîjè îäãîâàðàjó íèâîèìà ñèâå áîjå, à òåæèíå ÷âîðîâà ñå äåôèíèøó êàî áðîj ïîjàâ§èâà»à îäãîâàðàjó£å íèjàíñå ó ñëèöè. Ïðî- íàëàæå»å îïòèìàëíå òðàíñôîðìàöèjå ñèâèõ íèâîà ñå ôîðìóëèøå êàî ïàðòè- öèîíèñà»å îäãîâàðàjó£åã ãðàôà, òàêî äà çáèðîâè òåæèíà ÷âîðîâà ïî ñâàêîj êîìïîíåíòè áóäó øòî ójåäíà÷åíèjè [77]. Ïðèëèêîì îäðå¢èâà»à ïîëèòè÷êèõ ïîäðó÷jà - èçáîðíèõ jåäèíèöà, öè§ jå ïîäèjåëèòè ÷èòàâó îáëàñò (ìàïó) íà íåêîëèêî ðåãèîíà ñà ñêîðî ïîäjåäíàêèì áðîjåì ãëàñà÷à. Àêî jå G îäãîâàðàjó£è äóàëíè ãðàô ìàïå M , ñâàêè ÷âîð v îä G ïðåäñòàâ§à jåäàí ðåãèîí, à âðèjåäíîñò w(v) ïðåäñòàâ§à áðîj ãëàñà÷à ó äàòîì ðåãèîíó v. Äâà ÷âîðà ó ãðàôó ñó ñóñjåäíà àêî ñó ñóñjåäíè îäãîâàðàjó£è ðåãèîíè ó M . Îïòèìèçàöèîíè ïðîáëåì ñå ñâîäè íà ïðîíàëàæå»å ïàðòèöèjå ãðàôà (äèjå§å»å ÷èòàâå ìàïå íà ïîäîáëàñòè), òàêî äà îäãîâàðàjó£å ïîäîáëàñòè èìàjó ñêîðî ïîäjåäíàê áðîj ãëàñà÷à, à ðåãèîíè óíóòàð ñâàêå ïîäîáëàñòè ñó ïîâåçàíè. Ó [11] jå çà ðjåøàâà»å îâàêâîã ïðîáëåìà ïðèêàçàíà õåóðèñòèêà çàñíî- âàíà íà òàáó ïðåòðàæèâà»ó. Ðjåøàâà»å BCPq ïðîáëåìà ñå ìîæå óñïjåøíî ïðèìèjåíèòè è çà óíàïðå¢å»å îçíà÷àâà»à îáëàñòè ïîëèöèjñêèõ ïàòðîëà [6]. Íàjïðèjå ñå çà ñâàêè äèî íåêîã ãðàäà (èëè øèðåã ðåãèîíà) èäåíòèôèêójå íèâî êðèìèíàëà. Êàî öè§ ñå çàäàjå 47 Màêñèìàëíî áàëàíñèðàíî ïîâåçàíî ïàðòèöèíèñà»å ñà q ïàðòèöèjà ïîäjåëà ãðàäà íà ïîäîáëàñòè, òàêî äà ïîëèöèjñêå ïàòðîëå äjåëójó ó äàòèì ïîä- îáëàñòèìà, à äà íèâî êðèìèíàëà ïî ïîäîáëàñòèìà áóäå ójåäíà÷åí. Ìåòîä îïèñàí ó [6] ñå ñàñòîjè îä äâèjå ôàçå: èíèöèjàëíîã ïàðòèöèîíèñà»à è äîäàòíîã ïîáî§øà- »à. Ó ïðâîj ôàçè ñå ãðàô ïîäèjåëè íà äâà ïîäãðàôà, äîê ñå ó äðóãîj ôàçè, ó öè§ó ïîáî§øà»à êðàj»åã ðåçóëòàòà, õåóðèñòè÷êè âðøè ðàçìjåíà ÷âîðîâà èçìå¢ó ïàðòèöèjà. 3.3 Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà ðjåøàâà»å BCPq ïðîáëåìà Ñàçíà»à äîáèjåíà ïðèëèêîì êîíñòðóèñà»à ìåòîäå ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà MBCP ñó ó îäðå¢åíîj ìjåðè èñêîðèøòåíà è çà ðàçâîj ñëè÷íå ìåòîäå çà ðjåøàâà»å îïøòåã ñëó÷àjà. Ñà äðóãå ñòðàíå, ñ îáçèðîì íà ñëîæåíèjå êîäèðà»å ðjåøå»à è ñëîæåíèjó ôóíêöèjó öè§à, íèjå ìîãó£å óñïîñòàâèòè ïîòïóíó àíàëîãèjó ñà ñïåöèjàëíèì ñëó÷àjåì. Ó îâîì îäjå§êó ïðåçåíòîâàí jå VNS çà ðjåøàâà»å BCPq ïðîáëåìà. 3.3.1 Èíèöèjàëèçàöèjà è ôóíêöèjà öè§à Íåêà jå äàò ïîëàçíè ãðàô G 5 (VMW) è íåêà jå çàäàò áðîj q. Ðjåøå»å äàòîã ïðîáëåìà ñå ïðåäñòàâ§à íèçîì x äóæèíå |V |, ãäjå åëåìåíòè íèçà îäãîâàðàjó ÷âîðîâèìà ãðàôà. Åëåìåíòè íèçà x óçèìàjó âðèjåäíîñòè èç ñêóïà {(M )M 2M LLLM q− )} è óêàçójó íà òî êîjîj êîìïîíåíòè äàòè ÷âîð ïðèïàäà, òj. ÷âîð i ïðèïàäà êîìïîíåíòè VP àêî xO 5 j − ). Ó ïîëàçíîì ðjåøå»ó ñå çà ñâàêè ÷âîð íà ñëó÷àjàí íà÷èí áèðà ïðèïàäàjó£à êîìïîíåíòà, øòî çíà÷è äà ñå çà ñâàêè ÷âîð îäãîâàðàjó£è åëåìåíò íèçà íà ñëó÷àjàí íà÷èí, ñà ïîäjåäíàêîì âjåðîâàòíî£îì, áèðà èç èíòåðâàëà {(M )M 2M LLLM q − )}. Íàêîí êðåèðà»à ïîëàçíîã ðjåøå»à, à è çà âðèjåìå ïðîöåñà ïðåòðàæèâà»à, î÷èãëåäíî jå äà îâàêâà ðåïðåçåíòàöèjà ìîæå ïðîèçâåñòè íåäîïóñòèâî ðjåøå»å, jåð ïîäãðàôîâè èíäóêîâàíè ÷âîðîâèìà óíóòàð êîìïîíåíòè ìîãó áèòè íåïîâåçàíè. Êàî è ó ñëó÷àjó çà q 5 2, è îâäjå ñå ïîêàçójå êîðèñíèì óâî¢å»å êàçíåíå ôóíêöèjå. Åêñïåðèìåíòè ïîêàçójó äà è ó îâîì ñëó÷àjó ïðèëèêîì ðà÷óíà»à êàçíåíå ôóíê- öèjå òðåáà óê§ó÷èòè ó îáçèð áðîj êîìïîíåíòè ïîâåçàíîñòè çà ñâàêè ïîjåäèíà÷íè ïîäãðàô, òå òàj áðîj ìíîæèòè ñà ìàêñèìàëíîì òåæèíîì ÷âîðà ó ãðàôó. Çà 48 Màêñèìàëíî áàëàíñèðàíî ïîâåçàíî ïàðòèöèíèñà»å ñà q ïàðòèöèjà ðà÷óíà»å áðîjà êîìïîíåíòè ïîâåçàíîñòè çà ñâàêè ïîäãðàô êîðèñòè ñå àëãîðèòàì ïðåòðàãå ó øèðèíó (BFS). Àêî áðîj êîìïîíåíòè ïîâåçàíîñòè ó ïîäãðàôó GP îçíà÷èìî ñà nu(GP), òàäà ñå âðèjåäíîñò êàçíåíå ôóíêöèjå xVeT ðà÷óíà ïîìî£ó ôîðìóëå xVeT 5 q∑ P5) (nu(GP)− )) ∗ wSGxM (3.1) ãäjå jå wSGx ìàêñèìàëíà òåæèíà ÷âîðà ó ãðàôó. Äà áè ñå èçðà÷óíàëà âðèjåäíîñò ôóíöèjå öè§à, ïðâî jå ïîòðåáíî îäðåäèòè êîìïîíåíòå ñà íàjìà»îì, îäíîñíî íàjâå£îì òåæèíîì, îäíîñíî »èõîâå îäãîâàðàjó£å òåæèíå: mins 5 man{w(GP) 2 j ∈ {)M 2M LLLM q}}M (3.2) è msxs 5 max{w(GP) 2 j ∈ {)M 2M LLLM q}}L (3.3) Bðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à se òàäà ðà÷óíà ïîìî£ó ôîðìóëå otj(V)M V2M LLLM Vq) 5 msxs−mins+ xVeTL (3.4) Èç (3.1), jàñíî jå äà àêî ñó ñâè ïîäãðàôîâè ïîâåçàíè (áðîj êîìïîíåíòè ïîâåçà- íîñòè çà ñâàêè ïîäãðàô jå jåäíàê 1), òàäà êàçíåíà ôóíêöèjà èìà âðèjåäíîñò 0. Ó òîì ñëó÷àjó, êàçíåíà ôóíêöèjà íåìà óòèöàj íà ðà÷óíà»å âðèjåäíîñòè ôóíêöèjå öè§à (3.4). Ó ñëó÷àjó ïîjàâå íåïîâåçàíèõ êîìïîíåíòè, êàçíåíà ôóíêöèjà çíà÷àj- íî óâå£àâà âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à, øòî ïðîöåñó îïòèìèçàöèjå îìîãó£àâà äà òàêâà ðjåøå»à çàìèjåíè äîïóñòèâèì. 3.3.2 Îêîëèíå è ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à Ó ïðîöåäóðè ðàçìðäàâà»à ñå ôîðìèðà ñèñòåì îêîëèíà è ó ñâàêîì êîðàêó ñå èç òðåíóòíå îêîëèíå êðåèðà íîâî ðjåøå»å x′, (x′ ∈ Nk(x)) çàñíîâàíî íà òðåíóòíî íàjáî§åì ðjåøå»ó x. Äà áè ñå ôîðìèðàëà k-òà îêîëèíà, íà ñëó÷àjàí íà÷èí ñå áèðà íåêèõ k ÷âîðîâà V . Çà ñâàêè èçàáðàíè ÷âîð, ìèjå»à ñå ïðèïàäàjó£à êîìïîíåíòà, òàêî øòî ñå îíà, èçìå¢ó ñâèõ îñòàëèõ êîìïîíåíòè, áèðà íà ñëó÷àjàí íà÷èí: àêî jå èçàáðàíè ÷âîð ïðèjå ïðèìjåíå ðàçìðäàâà»à ïðèïàäàî êîìïîíåíòè VP, òàäà ñå èç ñêóïà {{)M 2M LLLM q}\j} íà ñëó÷àjàí íà÷èí áèðà áðîj l, òå ñå äàòè 49 Màêñèìàëíî áàëàíñèðàíî ïîâåçàíî ïàðòèöèíèñà»å ñà q ïàðòèöèjà ÷âîð óáàöójå ó êîìïîíåíòó Vl. 3.3.3 Ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å Íàêîí îäðå¢èâà»à ðjåøå»à x′ óíóòàð ïðîöåäóðå ðàçìðäàâà»à, ïîçèâà ñå ïðîöå- äóðà ëîêàëíîã ïðåòðàæèâà»à. Ó ñâàêîj èòåðàöèjè ëîêàëíå ïðåòðàãå, àëãîðèòàì ðàçìjå»ójå êîìïîíåíòå çà äâà ÷âîðà. Àêî ó ðjåøå»ó x′ äâà ÷âîðà u è v ïðèïàäàjó êîìïîíåíòàìà VP è Vl ðåñïåêòèâíî, íàêîí çàìjåíå, ñòàòóñ jå u ∈ Vl è v ∈ VP. Íåêà jå îâàêâîì ðàçìjåíîì ôîðìèðàíî íîâî ðjåøå»å x′′. Ó ñëó÷àjó äà jå x′′ áî§å îä x′, òàäà x′ ïîñòàjå jåäíàêî x′′, (ó äðóãîì ñëó÷àjó, x′ ñå íå ìèjå»à) è ó ëîêàëíîì ïðåòðàæèâà»ó ñå íàñòàâ§à ñà çàìjåíîì ñ§åäå£åã ïàðà ÷âîðîâà. Ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å ñå çàâðøàâà êàäà ñå ðjåøå»å íå ìîæå âèøå ïîáî§- øàòè. Íàêîí çàâðøåòêà ëîêàëíå ïðåòðàãå, ðàçëèêójåìî òðè ìîãó£à ñëó÷àjà: (à) Àêî jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à çà ðjåøå»å x′ ñòðîãî âå£å îä âðèjåäíîñòè ðjåøå»à x , òàäà òðåíóòíî íàjáî§å ðjåøå»å îñòàjå x , à ïðåòðàãà ñå íàñòàâ§à ñà ñ§åäå£îì îêîëèíîì. (á) Àêî jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à çà ðjåøå»å x′ ìà»å íåãî çà x, òàäà x′ ïîñòàjå òðåíóòíî íàjáî§å ðjåøå»å (x 5 x′) è ïðåòðàãà ñå íàñòàâ§à ñà èñòîì îêîëèíîì. (ö) Àêî ñó âðèjåäíîñòè ôóíêöèjà öè§à çà îâà äâà ðjåøå»à èñòà, îíäà ñå ñà âjåðîâàòíî£îì pSove ïîñòàâ§à x 5 x ′ è àëãîðèòàì íàñòàâ§à ïðåòðàãó ñà èñòîì îêîëèíîì. Ó äðóãîì ñëó÷àjó, ïðåòðàãà ñå ñà âjåðîâàòíî£îì )−pSove íàñòàâ§à ñà èñòèì ðjåøå»åì x è íàðeäíîì îêîëèíîì. Ïîøòî ñó ðàçìàòðàíå ñâå îêîëèíå, àëãîðèòàì íàñòàâ§à ïðåòðàæèâà»å ñà ïðâîì îêîëèíîì, ñâå äîê íå áóäå èñïó»åí êðèòåðèjóì çà çàâðøåòàê àëãîðèòìà. Ó íàøåì ñëó÷àjó, êðèòåðèjóì jå äîñòèãíóò ìàêñèìàëàí áðîj èòåðàöèjà. 3.4 Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè Åêñïåðèìåíòè ïðèêàçàíè ó îâîì îäjå§êó ñàäðæå ðåçóëòàòå äîáèjåíå ïðèìjåíîì VNS ìåòîäå íà èñòå ãðóïå èíñòàíöè êàî ó ñëó÷àjó MBCP: ïðàâîóãàîíå ìðåæå 50 Màêñèìàëíî áàëàíñèðàíî ïîâåçàíî ïàðòèöèíèñà»å ñà q ïàðòèöèjà Òàáåëà 3.1: Ïðèêàç ðåçóëòàòà çà BR èíñòàíöå q 5 + q 5 4 q 5 5 |V| |E| Min Sr ftot[s] Min Sr ftot[s] Min Sr ftot[s] 25 40 1 2.35 0.58 4 4.6 0.81 8 11.8 0.94 25 40 4 7.9 0.60 23 23 0.77 71 82.9 0.99 30 49 0 0.6 1.11 4 6.9 1.49 8 11.3 1.80 30 49 5 8.2 1.33 9 13.45 1.52 18 39.1 1.93 50 85 0 0 6.49 1 2.35 9.60 3 6.55 11.43 50 85 1 1.6 6.49 2 9.5 10.30 8 25.15 12.37 100 175 0 55.1 57.33 1 81.1 105.72 1 58.4 139.15 100 175 0 199.3 67.60 4 452.25 119.09 3 312.25 153.24 49 84 1 1 6.64 0 2.1 10.18 2 5.85 12.15 49 84 0 1.55 7.21 3 10.6 10.64 11 28.45 13.19 70 123 1 1 19.29 1 6.25 33.33 1 3.3 44.78 70 123 1 1.25 20.87 3 5.7 35.79 5 19.5 47.27 100 180 1 1 61.67 1 20.8 109.19 2 17.05 158.38 100 180 0 49.6 72.08 1 27.6 146.38 3 58.65 182.40 225 420 1 81 611.94 1 131 1176.99 101 266.05 2005.51 225 420 0 612.5 729.46 0 931.6 1537.90 10 1153.4 2435.67 (BR èíñòàíöå), óâåäåíå ó [10] è ñëó÷àjíî ãåíåðèñàíå ãðàôîâå (DKTF èíñòàíöå) èç [33]. Ñâè òåñòîâè ñó îáàâ§åíè íà ðà÷óíàðó Intel Core 2 Quad Q9400 @2.66 GHz ñà 8 GB RAM. VNS èìïëåìåíòàöèjà jå êîäèðàíà ó ïðîãðàìñêîì jåçèêó C è çà ñâàêó òåñòíó èíñòàíöó àëãîðèòàì jå ïîêðåòàí 20 ïóòà. Çà ñâàêó èíñòàíöó âðèjåäíîñò kSOT jå ïîäåøåíà íà 2. Äà áè áèî èñïó»åí òåîðèjñêè óñëîâ (∀k)(kSOT ≤ k ≤ kSGx − )) |Nk(x)| ≤ |Nk+)(x)|, çà èíñòàíöå ñà ìà»å îä 60 ÷âîðîâà, kSGx jå ïîäåøåíî íà nO2, à çà âå£å èíñòàíöå íà 30. Ïàðàìåòàð pSove èìà âðèjåäíîñò 0.4, à àëãîðèòàì çàâðøàâà ñà ðàäîì íàêîí 500 èòåðàöèjà. Ó òàáåëàìà 3.1 è 3.2 ïðèêàçàíè ñó ïîñòèãíóòè ðåçóëòàòè îïèñàíîã VNS ìåòîäà íà íàâåäåíèì èíñòàíöàìà, çà ñëó÷àjåâå q 5 +M q 5 4 è q 5 5. Ó ïðâå äâèjå êîëîíå ïðèêàçàíè ñó áðîj ÷âîðîâà è ãðàíà ó ãðàôó. Íàêîí îâèõ êîëîíà, ó îájå òàáåëå, ðåñïåêòèâíî çà âðèjåäíîñòè q 5 +M q 5 4 è q 5 5 ïðèêàçàíå ñó ðåäîì, íàjáî§à è ïðîñjå÷íà âðèjåäíîñò, òå óêóïíî ïðîñjå÷íî âðèjåìå ðà÷óíà»à àëãîðèòìà ó ñåêóíäàìà. Êàî øòî ñå âèäè èç òàáåëà 3.1 è 3.2, ïðåäëîæåíà ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà ïîñòèæå êâàëèòåòíå ðåçóëòàòå çà âå£èíó èíñòàíöè. Ñà äðóãå ñòðàíå, çà íåêå èíñòàíöå, êàî íà ïðèìjåð, çà BR èíñòàíöå ñà 100 ÷âîðîâà è 175 ãðàíà, îäíîñíî ñà 225 ãðàíà, ïðèìjå£ójå ñå äà ñðåä»à âðèjåäíîñò çíàòíî îäñòóïà îä 51 Màêñèìàëíî áàëàíñèðàíî ïîâåçàíî ïàðòèöèíèñà»å ñà q ïàðòèöèjà Òàáåëà 3.2: Ïðèêàç ðåçóëòàòà çà ñëó÷àjíå ãðàôîâå q 5 + q 5 4 q 5 5 |V| |E| Min Sr Ttot[s] Min Sr Ttot[s] Min Sr Ttot[s] 20 30 12.7831 13.468 0.26 62.873 72.066 0.32 110.862 115.219 0.34 20 50 0.0922 0.9774 0.44 6.491 8.976 0.52 27.791 29.263 0.54 20 100 0.0635 0.3619 0.64 0.900 2.104 0.91 1.821 3.413 1.02 30 50 1.0625 2.2651 0.96 4.128 10.715 1.31 25.089 43.319 1.51 30 70 0.0873 0.4659 1.18 1.065 4.124 1.69 8.273 15.453 2.08 30 200 0.0084 0.1124 1.98 0.156 0.572 2.71 0.558 1.484 3.36 50 70 0.2054 5.0229 5.89 3.813 28.353 7.56 30.481 76.349 8.46 50 100 0.0806 0.3347 6.23 1.297 3.211 9.43 6.029 11.346 10.96 50 400 0.0121 0.0518 11.03 0.088 0.269 15.76 0.195 0.518 20.47 70 100 0.1665 2.5334 17.98 5.479 19.442 23.26 19.686 51.471 27.49 70 200 0.0075 0.0469 18.92 0.257 0.505 30.67 0.735 1.391 41.93 70 600 0.0113 0.0322 29.0 0.085 0.116 44.89 0.106 0.240 59.14 100 150 0.1296 0.4784 63.7 1.507 4.726 96.0 3.701 14.919 113.3 100 300 0.0024 0.0295 47.3 0.062 0.211 71.2 0.508 0.774 109.7 100 800 0.0023 0.0084 89.0 0.013 0.046 120.8 0.064 0.142 151.8 200 300 0.0196 0.1170 490.7 0.389 1.131 826.2 1.647 5.112 1141.8 200 600 0.0022 0.0077 427.2 0.011 0.044 703.8 0.037 0.187 958.9 200 1500 0.0002 0.0015 794.3 0.001 0.008 1065.3 0.018 0.029 1259.1 300 500 0.0074 0.0313 1528.2 0.086 0.234 2752.8 0.331 0.853 3562.5 300 1000 0.0005 0.0026 1374.6 0.009 0.018 2246.1 0.012 0.056 2944.9 300 2000 0.00001 0.0007 2309.6 0.002 0.004 2888.6 0.007 0.015 3537.7 ìèíèìàëíå, øòî óêàçójå íà ÷è»åíèöó äà àëãîðèòàì ó íåêèì èçâðøå»èìà íå ìîæå äà èçájåãíå "çàãëàâ§èâà»å" ó ëîêàëíèì ñóáîïòèìàëíèì ðjåøå»èìà. Îâà ïîjàâà ñå ó ìà»îj ìjåðè jàâ§à è êîä DKTF èíñòàíöè ñà 50 ÷âîðîâà è 70 ãðàíà. Âðèjåìå èçâðøå»à àëãîðèòìà çà íàjâå£å èíñòàíöå íå ïðåëàçè 3600 ñåêóíäè. Êàêî âèäèìî èç êîëîíà ftot[s] èç îájå òàáåëå 3.1 è 3.2, âðèjåìå èçâðøå»à àëãî- ðèòìà çà ñâàêó èíñòàíöó ñðàçìjåðíî ðàñòå ñà áðîjåì òðàæåíèõ êîìïîíåíòè. 3.5 Çàâðøíà ðàçìàòðà»à çà BCPq ïðîáëåì Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà, èíèöèjàëíî ðàçâèjàíà çà ïàðòèöèîíèñà»å ïîâå- çàíîã ãðàôà íà äâèjå áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå, óñïjåøíî jå óíàïðèjå¢åíà è çà ðjåøàâà»å îïøòåã ñëó÷àjà, ïàðòèöèîíèñà»à ãðàôà íà ïðîèçâî§àí áðîj ïàðòèöèjà. Ïîêàçàëî ñå äà ñå íåêè êîíöåïòè ñïåöèjàëíîã ñëó÷àjà ìîãó èñêîðè- ñòèòè è ó îïøòåì (êàî øòî jå óïîòðåáà êàçíåíå ôóíêöèjå èëè ëîêàëíî ïðåòðà- æèâà»å), äîê ñå äðóãè åëåìåíòè àëãîðèòìà, êàî øòî ñó ôóíêöèjà öè§à èëè îêîëèíå, ðàçëèêójó ó îäðå¢åíîj ìjåðè. Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà, äàêëå, ó îêâèðó ïðîöåäóðå ðàçìðäàâà»à ôîðìèðà îêîëèíå ïî ïðèíöèïó ïðîìjåíå ïðèïà- äàjó£èõ êîìïîíåíòè çà ðàñòó£è áðîj ÷âîðîâà, ãäjå ñå èçáîð íîâå êîìïîíåíòå áèðà íà ñëó÷àjàí íà÷èí. Ó ëîêàëíîì ïðåòðàæèâà»ó ðjåøå»å ñå ïîêóøàâà óíàïðèjåäèòè ðàçìjåíîì êîìïîíåíòè çà ïàðîâå ÷âîðîâà. Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè ñó âðøåíè íà èñòèì èíñòàíöàìà êàî è ó ñëó÷àjó 52 Màêñèìàëíî áàëàíñèðàíî ïîâåçàíî ïàðòèöèíèñà»å ñà q ïàðòèöèjà ïàðòèöèjå íà äâèjå êîìïîíåíòå. Äîáèjåíè ðåçóëòàòè óêàçójó íà ðåëàòèâíî äîáàð êâàëèòåò ïðåäëîæåíîã àëãîðèòìà. Åêñïåðèìåíòè ïîêàçójó äà âðèjåìå èçâðøå»à àëãîðèòìà ñðàçìjåðíî ðàñòå ñà ïîâå£à»åì çàäàòîã áðîjà êîìïîíåíòè. Ðåëàòèâíî äóãî âðèjåìå èçâðøå»à àëãîðèòìà çà âå£è çàäàòè áðîj ïàðòèöèjà óêàçójå íà ïðàâàö äà§åã èñòðàæèâà»à, êîjè áè ïîäðàçóìèjåâàî óáðçà»å ëîêàë- íîã ïðåòðàæèâà»à óïîòðåáîì íåêå äðóãå ñòðàòåãèjå, êàî è åâåíòóàëíî ôîðìè- ðà»å äðóãà÷èjåã ñèñòåìà îêîëèíà. Ñ îáçèðîì äà îâàj ïðîáëåì äî ñàäà íèjå èíòåíçèâíî ðjåøàâàí äðóãèì ìåòàõåóðèñòè÷êèì ìåòîäàìà, áèëî áè èíòåðåñàíòíî èñïèòàòè êàêâå ñó ìîãó£íîñòè ïðèìjåíå äðóãèõ ìåòàõåóðèñòèêà, êàî è »èõîâå õèáðèäèçàöèjå. 53 Ãëàâà 4 Ïðîáëåì p - àðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ó ãðàôó 4.1 Óâîä Ó îâîj ãëàâè àíàëèçèðà ñå ïðîáëåì p - àðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ó ãðàôó, ãäjå jå p ïîçèòèâàí öèî áðîj, (åíã. p - ary transitive reduction - TRV prob- lem) è ïðåäëàæó ñå ãåíåòñêè àëãîðèòàì è ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ àëãîðèòàìà çà ðjåøàâà»å TRV ïðîáëåìà. Ðåçóëòàòè ïðèêàçàíè ó îâîj ãëàâè îájàâ§åíè ñó ó [84]. TR2 óê§ó÷ójå ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à óñìjåðåíå Õàìèëòîíîâå êîíòóðå ó ãðàôó, òå jå ñòîãà, êàî óîïøòå»å NP - òåøêîã ïðîáëåìà [40] è ñàì NP òåæàê. Ñïåöèjàëàí ñëó÷àj TRV ïðîáëåìà, êàäà jå p 5 ), jå ïîçíàòè ïðîáëåì ïðîíàëà- æå»à ìèíèìàëíîã åêâèâàëåíòíîã äèãðàôà (åíã. minimum equivalent digraph - MED problem). MED è TRV ñó ïðîáëåìè îä ïðàêòè÷íîã èíòåðåñà. MED ïðîáëåì ñå jàâ§à ó äèçàjíèðà»ó ðà÷óíàðñêèõ ìðåæà êîjå çàäîâî§àâàjó óñëîâå ïîâåçàíîñòè [62]. Îñíîâíè ïðîáëåì äèçàjíèðà»à ìðåæà ó êîíòåêñòó óñìjåðåíèõ ãðàôîâà jå ñ§å- äå£è: çà äàòè äèãðàô, ïðîíà£è íàjìà»è ñêóï ãðàíà (êîjå ôîðìèðàjó ìèíèìàëàí åêâèâàëåíòàí äèãðàô), êîjè ñàäðæè ñâå ðåëàöèjå "äîñòèæíîñòè" (eíã. reacha- bility), çàñíîâàíå íà ðåëàöèjè "äîñòèæíîñòè" ó ïîëàçíîì ãðàôó. TR) ñå ìîæå ïðèìèjåíèòè ó àíàëèçè è âèçóåëèçàöèjè ñîöèjàëíèõ ìðåæà. Äà áè ñå èñïèòàëå ñîöèjàëíå ìðåæå è ïîìîãëî ïðîöåñó âèçóàëèçàöèjå, ó [34] jå çà ðjåøàâà»å TR) ïðîáëåìà ðàçâèjåí ïðàâîëèíèjñêè "ïîõëåïíè" àëãîðèòàì, êîjè jå ïðèìèjå»åí íà äîáðî ïîçíàòó øèðîêó ñîöèjàëíó ìðåæó ïîçíàòó êàî Åíðîí 54 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó (åíã. Enron corpus). Çíà÷àjíó ïðèìjåíó ïðîáëåìà TR2 ñðå£åìî ó áèîëîãèjè. TR2 ñå êîðèñòè çà îòêðèâà»å íà÷èíà ïðåíîñà ñèãíàëà ó áèîëîøêèì ìðåæàìà. Âå£èíà áèîëîøêèõ êàðàêòåðèñòèêà ïîòè÷å îä ñëîæåíîã ìå¢óäjåëîâà»à ðàçíèõ ñàñòîjàêà £åëèjå, êàî øòî ñó ÄÍÊ, ÐÍÊ, ïðîòåèíè è ìàëè ìîëåêóëè. ƒåëèjå êîðèñòå ïóòåâå è ìåõàíèçìå ðåãóëàöèjå äà áè êîîðäèíèñàëå âèøåñòðóêå ôóíêöèjå, îìîãó£àâàjó£è èì äà îäãîâîðå è ïðèëàãîäå ñå íà ïðîìjåíó îêðóæå»à. Ó åêñïåðèìåíòàëíèì ìåòîäàìà çà èñïèòèâà»å ãåíîìà (åíã. Genome-wide methods) ñå èäåíòèôèêójó íà õè§àäå £åëèjñêèõ êîìïîíåíòè. Åêñïåðèìåíòàëíå èíôîðìàöèjå î ìå¢óäjåëîâà»ó ó äàòîj ìðåæè êîìïîíåíòè ìîãó áèòè äèðåêòíå, òj. äîáèjåíå ïîñìàòðà»åì îäðå¢åíèõ èíòåðàêöèjà èçìå¢ó ìîëåêóëà ó íåêîì ïîñåáíîì åêñïåðèìåíòó, èëè èíäèðåêòíå, òj. îíå êîjå ñå äîáèjàjó êàäà óòè÷åìî íà íåêó êîìïîíåíòó ó ìðåæè è ïîñìàòðàìî »åí óòèöàj íà äðóãå êîìïîíåíòå. Äà áè ñå ñâå îâå èíôîðìàöèjå ñèíòåòèçîâàëå ó jåäíó ìðåæó, ìîðà ñå îäðåäèòè êàêî ñå ðàçëè÷èòå èíòåðàêöèjå äîáèjåíå åêñïåðèìåíòèìà ìå¢óñîáíî óêëàïàjó. TR2, èëè áèíàðíà òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà (åíã. binary transitive reduction - BTR ), îìîãó£àâà äà ñå îäðåäè íàjðjå¢è ãðàô (îíàj ãðàô êîjè èìà íàjìà»å ãðàíà) êîíçèñòåíòàí íà åêñïåðèìåí- òàëíà çàïàæà»à. Îâàj ïðèñòóï jå ê§ó÷íè äèî ïðîöåäóðå ñèíòåçå ìðåæå, îïèñàí ó [3]. 4.2 Ìàòåìàòè÷êè ìîäåë TRV jå ïðåöèçíî äåôèíèñàí ó [4]. Çà äàòè óñìjåðåí ãðàô G 5 (VMW) ñà äàòîì ôóíêöèjîì êîjà äåôèíèøå ëàáåëå íà ãðàíàìà ω 2 W 7→ {(M )M 2M L L L M p−)} çà íåêè ôèêñèðàí öèî áðîj p P (, óâîäèìî ñ§åäå£å äåôèíèöèjå è íîòàöèjó: • Ñâè ïóòåâè (ìîãó£è ñó è ñàìîïðåñèjåöàjó£è) ñó óñìjåðåíè ïóòåâè. • "Ïàðèòåò" (åíã. parity) ïóòà b èç ÷âîðà u äî ÷âîðà v jå ∑ e∈P ω(w) (mod p). • Íîòàöèjà u x⇒ v îçíà÷àâà ïóò îä u äî v ïàðèòåòà x ∈ {(M )M 2M L L L , p − )}. Àêî íå íàãëàøàâàìî ïàðèòåò, òàäà ïóò jåäíîñòàâíî îçíà÷àâàìî êàî u⇒ v. Ãðàíà ñå jåäíîñòàâíî îçíà÷àâà ñà u x→ v èëè u→ v. • Çà ïîäñêóï ñêóïà ãðàíà W ′ ⊆ W, ñêóï dostupni(W ′) jå ñêóï ñâèõ óðå¢åíèõ òðîjêè (uM vM x) òàêâèõ äà âàæè u x⇒ v jå ïóò ó (ïîä)ãðàôó (VMW ′). 55 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó Òàáåëà 4.1: Ãðàíå è îäãîâàðàjó£å ëàáåëå ïî÷åòàê(e) êðàj(e) w(e) 1 2 0 2 3 2 1 5 2 2 1 1 2 4 1 3 1 0 4 3 0 4 5 2 5 4 1 1 2 3 4 5 1 0 2 2 1 0 0 2 1 Ñëèêà 4.1: Îïòèìàëíî ðjåøå»å çà ïðèìjåð 4.1. Äåôèíèöèjà ïðîáëåìà p-àðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå (TRV) jå ñ§åäå£à. Íåêà jå G 5 (VMW) óñìjåðåí ãðàô ñà äàòîì ôóíêöèjîì ω 2 W 7→ {(M )M 2M L L L M p − )} è äàòèì ñêóïîì êðèòè÷íèõ ãðàíà WkrOtOITe ⊆ W. Çàäàòàê jå ïðîíà£è ïîäãðàô G′ 5 (VMW ′) ãäjå jå WkrOtOITe ⊆ W ′ ⊆ W, dostupni(W ′)=dostupni(W) è |W ′| jå øòî jå ìîãó£å ìà»è ñêóï. Ïðèìjåð 4.1. Íåêà jå p 5 +, V 5 {)M 2M +M 4M 5}, |W| 5 1 è WkrOtOITe 5 ∅. Ãðàíå è îäãîâàðàjó£å ëàáåëå íà ãðàíàìà ñó äàòå ó òàáåëè 4.1. Îïòèìàëíî ðjåøå»å, äîáèjåíî òîòàëíîì åíóìåðàöèjîì, jå 6 è îäãîâàðàjó£à òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà ñå ñàñòîjè îä ãðàíà (1,2), (1,5), (2,4), (3,1), (4,3) è (5,4). Ïîëàçíè ãðàô G è »åãîâà ìèíèìàëíà òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà jå ïðèêàçàíà íà ñëèöè 4.1. Ãðàíå ãðàôà G, êîjå íèñó óê§ó÷åíå ó îïòèìàëíî ðjåøå»å, ñó ïðèêàçàíå èñïðåêèäàíèì ëèíèjàìà. Ó ãðàôó G ñêóï dostupni(W) ñå ñàñòîjè îä 56 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó ñâèõ ìîãó£èõ òðîjêè, òj. dostupni(W)={(uM vM x)| (uM v) ∈ WM x ∈ {(M )M L L L M p−)}}. Ïðîâjåðèìî äà ñâå òàêâå òðîjêå òàêî¢å ïðèïàäàjó è ñêóïó (W ′). ) (⇒ 2: ) (→ 2. ) )⇒ 2: ) (→ 2, 2 )→ 4, 4 (→ +, + (→ ), ) (→ 2. Ïðèìèjåòèìî äà ïîñòîjè öèêëóñ: ) (→ 2, 2 )→ 4, 4 (→ +, + (→ ), ò.j. ) )⇒ ) Ñòîãà, àêî çà íåêè ÷âîð v ̸5 ), ïîñòîjè ) ⇒ v, òàäà ïîñòîjè ) x⇒ v, çà ñâàêè x ∈ {(M )M L L L M p − )} jåð ñå ïî óî÷åíîì öèêëóñó ìîæåìî êðåòàòè ïðîèçâî§àí áðîj ïóòà, çàïðàâî ìîæåìî ñå êðåòàòè îíîëèêî ïóòà êîëèêî jå ïîòðåáíî. Òàêî, çà ñâàêè x ∈ {(M )M L L L M p − )}, ) x⇒ + ïîñòîjè ó G′ jåð ïîñòîjè ïóò )⇒ +: )→ 5, 5→ 4, 4→ +. Ñëè÷íî çà ) ⇒ 4: )→ 5, 5→ 4 è ) ⇒ 5: )→ 5. Ñàäà, ïîøòî ñìî ïîòâðäèëè äà ó ãðàôó G′ ïîñòîjè ïóò îä ÷âîðà ) äî áèëî êîã ÷âîðà, à èç èñòîãà ðàçëîãà è êîíòóðà ) )⇒ ), àêî ïðîíà¢åìî ïóò (ïðîèçâî§íîã ïàðèòåòà) v ⇒ ), çà ÷âîð v ̸5 ), òàäà ñâå òðîjêå (vM wM x), ãäjå w ∈ V \{v} è x ∈ {(M )M L L L M p− )} ïðèïàäàjó ñêóïó dostupni(W ′). Ïóòåâè 2 ⇒ ), + ⇒ ), 4 ⇒ ), è 5 ⇒ ) ïîñòîjå ó G′, îäàêëå ñëèjåäè äà jå W ′ òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà ïîëàçíîã ãðàôà G. 4.2.1 Ðàíèjè ðåçóëòàòè Ó [88], ïðèìèjå£åíî jå äà ñå áèëî êîjå ðjåøå»å MED ïðîáëåìà äåêîìïîíójå ó ðjåøå»à çà ñòðîãî ïîâåçàíå êîìïîíåíòå è ðjåøå»å çà ãðàô êîìïîíåíòè (ãðàô äîáèjåí êîíòðàêöèjîì ñâàêå ïîâåçàíå êîìïîíåíòå). Òàêî ñå ïðîáëåì ðåäóêójå ó ëèíåàðíîì âðåìåíó çà äâà ñëó÷àjà: ãðàô jå èëè àöèêëè÷àí èëè ñòðîãî ïîâåçàí. Àêî jå ãðàô àöèêëè÷àí, MED ïðîáëåì jå åêâèâàëåíòàí ïðîáëåìó òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå, çà êîjè jå ó [2] ïîêàçàíî äà jå åêâèâàëåíòàí òðàíçèòèâíîì çàòâîðå»ó, òå jå ñòîãà ðjåøèâ ó ïîëèíîìñêîì âðåìåíó. Ïðîáëåì òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ñå ñàñòîjè îä ïðîíàëàæå»à ïîäãðàôà äàòîã ãðàôà G ñà èñòèì òðàíçèòèâíèì çàòâî- ðå»åì êàî è G, òàêâîã äà ó ñåáè íå ñàäðæè ïðàâè ïîãðàô ñà èñòîì îñîáèíîì. Ó [97], jå ïðåäñòàâ§åí àëãîðèòàì ëèíåàðíå ñëîæåíîñòè çà ïðîíàæå»å ìèíè- ìàëíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå çà äàòè ñòðîãî ïîâåçàí äèãðàô. Ó [61] ñå íàâîäè äà äàòè àëãîðèòàì íèjå êîðåêòàí. Ó [63] jå äîêàçàíî äà jå ó ñòðîãî ïîâåçàíèì ãðàôîâèìà, êîjè íåìàjó óñìjå- ðåíèõ êîíòóðà êîjå ñàäðæå âèøå îä òðè ãðàíå, MED ïðîáëåì åêâèâàëåíòàí 57 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó ìàêñèìàëíîì áèïàðòèòíîì ñïàðèâà»ó. Êîðèñòå£è îâó ÷è»åíèöó, àóòîðè ñó óíàïðèjåäèëè ðàíèjó àïðîêñèìàöèjó çà MED èç [62] è ïðèêàçàëè íîâó, ñà ôàêò- îðîì 1.617. Ó [95] jå èìïëåìåíòèðàí è òåñòèðàí àëãîðèòàì ñèìóëèðàíîã êà§å»à (SA) çà ðjåøàâà»å MED ïðîáëåìà. Ó ñâàêîì êîðàêó, SA õåóðèñòèêà ðàçìàòðà íåêó îêîëèíó òðåíóòíîã ñòà»à è ïðîáàáèëèñòè÷êè îäëó÷ójå äà ëè äà ñèñòåì ïðåáàöè ó òó íîâó îêîëèíó, èëè îñòàíå ó òðåíóòíîì ñòà»ó. Âjåðîâàòíî£å ñå áèðàjó òàêî äà ñèñòåì òåæè êà ïðåëàñêó ó ñòà»å ñà ìà»îì åíåðãèjîì. Ìîãó£íîø£ó ïðåëàñêà è ó ñòà»à ñà âèøîì åíåðãèjîì ñå ñìà»ójå íåæå§åíà ïîjàâà çàãëàâ§èâà»à ó ëîêàëíèì, ñóáîïòèìàëíèì ðjåøå»èìà. Ó [8] jå ôîðìàëíî ðàçâèjåí ãåíåðè÷êè ïðîãðàì êîjè îäðå¢ójå ìèíèìàëàí ïîäñêóï êîjè çàäîâî§àâà íåêå îñîáèíå äàòîã ñêóïà, êîìáèíójó£è íåêå èíâàðè- jàíòíå òåõíèêå ñà òåîðèjñêèì è ëîãè÷êèì ðà÷óíà»èìà. Îâàj ãåíåðè÷êè ïðèñòóï jå äà§å ïðèìèjå»åí íà ïðîíàëàæå»å ðjåøå»à çà íåêå ïîçíàòå ãðàôîâñêå ïðîá- ëåìå, à èçìå¢ó îñòàëèõ è íà ïðîíàëàæå»å òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ñòðîãî ïîâå- çàíîã ãðàôà. Ó ëèòåðàòóðè jå îïèñàíî è íåêîëèêî ïðèáëèæíèõ àëãîðèòàìà çà MED ïðîá- ëåì. MED ïðîáëåì jå òàêî¢å ïîçíàò è êàî MAX-SNP-òåæàê ïðîáëåì êîjè jå ðjåøèâ ó ïîëèíîìñêîì âðåìåíó ñà ôàêòîðîì )L645 + ϵ çà ñâàêó êîíñòàíòó ϵ P ( [62]. Íàjíîâèjà àïðîêñèìàöèjà ñà ôàêòîðîì 1.5 äàòà jå ó [100]. Çà òåæèíñêó âàðèjàíòó MED ïðîáëåìà, ó êîjîj ñâàêà ãðàíà èìà íåíåãàòèâíó ðåàëíó òåæèíó, ïðîíà¢åí jå ïðèáëèæíè àëãîðèòàì ñà ôàêòîðîì 2 [38, 64]. Ñ îáçèðîì íà ïîâåça- íîñò MED è TR) ïðîáëåìà, ñëèjåäè äà è çà ïðîáëåì TR) ïîñòîjè ïðèáëèæíè àëãîðèòàì ñà ôàêòîðîì 2. Äåôèíèöèjà TRV ïðîáëåìà jå óâåäåíà ó [4]. Äîêàçàíî jå äà jå çà óñìjåðåíå àöèêëè÷íå ãðàôîâå ïðîáëåì ðjåøèâ ó ëèíåàðíîì âðåìåíó çà áèëî êîjè öèî áðîj p P (, è ïðèêàçàí jå ïðèáëèæíè àëãîðèòàì çà TR) ñà ôàêòîðîì 1.78, äîê jå çà ãðàôîâå óîïøòå ïîñòèãíóòà àïðîêñèìàöèjà ñà ôàêòîðîì 2 + o()) çà TRV ãäjå jå p P ) ïðîñò áðîj. Ó [3] jå óâåäåí íîâè ìåòîä êîjè êîìáèíójå ñèíòåçó è ñàçíà»à î ìðåæàìà áèîëîøêèõ ñèãíàëà. Ãëàâíà èäåjà ëåæè ó ïðåäñòàâ§à»ó ïîñìàòðàíèõ èíäèðåêò- íèõ óñëîâíèõ âåçà êàî ïóòåâà ó ìðåæè è óïîòðåáè òåõíèêà êîìáèíàòîðíå îïòè- ìèçàöèjå äà ñå ïðîíà¢å íàjðjå¢è ãðàô êîíçèñòåíòàí ñà ñâèì åêñïåðèìåíòàëèì 58 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó ïîñìàòðà»èìà. Ðà÷óíàðñêî íàjçàõòjåâíèjè êîðàê ÷èòàâîã ïðèñòóïà jå BTR ïðîáëåì. Àóòîðè ñó äîêàçàëè äà ñå BTR ðjåøàâà ó ïîëèíîìñêîì âðåìåíó àêî ãðàô íåìà êîíòóðà äóæèíå âå£å îä 3. Äà§å, îïèñàí jå jåäàí "ïîõëåïíè" ïðèñòóï çà ðjåøàâà»å BTR ïðîáëåìà, êîjè áðèøå íåïîòðåáíå ãðàíå ñâå äîê îíå ïîñòîjå è ïîêàçàíî jå äà îâàj ïðèñòóï âîäè àïðîêñèìàöèjè ñà ôàêòîðîì 3. Íà îñíîâó îâèõ ðåçóëòàòà, ó [60] jå ðàçâèjåí ñîôòâåð êîjè êîìáèíójå ñèíòåçó, ìå¢óäjåëîâà»å è ïîjåäíîñòàâ§å»å ìðåæå ïðåíîñíèõ ñèãíàëà (åíã. signal trans- duction networks), [3]. Áèîëîøêà óïîòðåá§èâîñò ñîôòâåðà èëóñòðîâàíà jå ïðèì- jåíîì íà ïðåòõîäíî îájàâ§åíó ìðåæó ïðåíîñíèõ ñèãíàëà [73], òå íà »åãîâó óïîòðåáó çà èñòðàæèâà»å ñìðòíîñòè £åëèjà ó íåêèì îáî§å»èìà. Ó [9] jå äîêàçàíî ïîñòîjà»å àïðîêñèìàòèâíîã àëãîðèòìà ñà ôàêòîðîì 1.5 çà MED, TR), è TRV ïðîáëåìå, ãäjå jå p ôèêñàí ïðîñò áðîj. 4.2.2 Âåçà èçìå¢ó fRp è äðóãèõ ïðîáëåìà Ó îâîì îäjå§êó ñå îïèñójå âåçà èçìå¢ó TRV è äðóãèõ ïðîáëåìà, ïîìåíóòèõ íà ïî÷åòêó óâîäíå ñåêöèjå. Ñïåöèjàëàí ñëó÷àj BTR ïðîáëåìà, êàäà ñâå ëàáåëå íà ãðàíàìà èìàjó âðèjåäíîñò íóëà, óê§ó÷ójå ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à óñìjåðåíå Õàìèëòîíîâå êîíòóðå ó ãðàôó. Çà äàòè óñìjåðåí ãðàôG 5 (VMW), MED ïðîáëåì jå ïðîíàæå»å ñêóïà W ′ ⊂ W òàêâèõ äà çà ñâàêà äâà ÷âîðà u è v âàæè: àêî ïîñòîjè ïóò èç u ó v ó W, òàäà ïîñòîjè ïóò u ó v ó W ′. Àêî jå WkrOtOITe 5 ∅, òàäà jå TR) óïðàâî MED ïðîáëåì. Ó Äîäàòêó 2 ÷ëàíêà [3] ïðèêàçàíà jå ôîðìóëàöèjà ìjåøîâèòîã öjåëîáðîjíîã ïðîãðàìèðà»à çà ïðîáëåì BTR (TR2). Èäåjà jå çàñíîâàíà íà ìðåæíèì òîêîâèìà èçìå¢ó ÷âîðîâà. Ïðâî, çà êîíñòðóêöèjó íîâîã ãðàôà G) 5 (V)M W)) îä ïîëàçíîã ãðàôà G 5 (VMW), óç î÷óâà»å ðåëàöèjå äîñòèæíîñòè è äîê ñå ñèìóëòàíî åëèìèíèøå ïîòðåáà çà ëàáåëàìà, êîðèñòè ñå ñ§åäå£à ïðîöåäóðà. Ñâàêà ãðàíà w 5 u )→ v ∈ W ñå óê§ó÷ójå ó W) è àêî w ∈ WkrOtOITe, îíäà ñå ãðàíà w îçíà÷àâà è êàî êðèòè÷íà ó G). Çà ñâàêó ãðàíó w 5 u (→ v ∈ W, óê§ó÷ójå ñå íîâè ÷âîð w ó G), ó W) ñå óê§ó÷ójó ãðàíå w) 5 u )→ w è w2 5 w )→ v è àêî w ∈ WkrOtOITe, òàäà ñå îájå ãðàíå w) è w2 îçíà÷àâàjó êàî êðèòè÷íå ó W). Ñâàêà ãðàíà ó G) èìà èñòó ëàáåëó è ñòîãà ìîæåìî çàíåìàðèòè ëàáåëå ó G). Äà áè ñå îäðåäèëà áèíàðíà òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà ó G, ìîðà ñå îäðåäèòè 59 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó áèíàðíà òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà ó G), òå ñå òè ðåçóëòàòè ïðåíîñå íàçàä ó G. Áëàãî íàðóøàâàjó£è íîòàöèjó, îçíàêà WkrOtOITe ñå êîðèñòè çà îçíà÷àâà»å è ñêóïà êðèòè÷íèõ ãðàíà ó G). ÌILP ìîäåë çàñíîâàí íà ìðåæíîì òîêó çà BTR ïðîáëåì ïðèìèjå»åíîì íà G) óâîäè ñ§åäå£å ïðîìjåí§èâå: • Çà ñâàêó ãðàíó w ∈ W ïðîìjåí§èâà xe ∈ {(M )} èìà âðèjåäíîñò 1, àêî è ñàìî àêî jå ãðàíà w ïðèñóòíà ó òðàíçèòèâíîj ðåäóêöèjè îä G), • Çà ñâå uM v ∈ VM w ∈ W), ïðîìjåí§èâå çà òîê x eveTu;v;e è x oddu;v;e óçèìàjó íåíåãàòèâíå ðåàëíå âðèjåäíîñòè è íàçèâàjó ñå ïàðíè è íåïàðíè òîêîâè, ðåñïåêòèâíî. Çà äàòè ïðîáëåì G 5 (VMW), ïðîñòîð ðjåøå»à èìà |V |2 · |W)|+ |W)| ïðîìjåí- §èâèõ, îä êîjèõ jå |W)| áèíàðíèõ ïðîìjåí§èâèõ, êîjå óçèìàjó âðèjåäíîñò èç {(M )}, äîê ñó ïðåîñòàëèõ |V |2 · |W)| ðåàëíå íåíåãàòèâíå ïðîìjåí§èâå. Óâåäèìî jîø è äîäàòíó íîòàöèjó: ulazece(x) è izlazece(x) ñå îäíîñå íà ñêóïîâå {u|u → x ∈ W)} è {u|x → u ∈ W)}, ðåñïåêòèâíî. ÌILP ìîäåë çà ïðîáëåì áèíàðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå jå ñ§åäå£è: min ∑ e∈E1 xeM (4.1) óç îãðàíè÷å»à: xe 5 )M çà ñâå w ∈ W) ∩ WkrOtOITe (4.2) ∑ x∈azdaz][](u) x ]n]nu;v;x 5 )M çà ñâå w 5 u→ v ∈ W) (4.3) ∑ x∈udaz][](v) x ]n]nu;v;x − x oddu;v;x 5 −)M çà ñâå w 5 u→ v ∈ W) è w(w) 5 ( (4.4) 60 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó ∑ x∈udaz][](v) x ]n]nu;v;x − x oddu;v;x 5 )M çà ñâå w 5 u→ v ∈ W) è w(w) 5 ) (4.5) ∑ y∈udaz][](x) x ]n]nu;v;y − ∑ y∈azdaz][](x) x oddu;v;y 5 (M çà ñâå w 5 u→ v ∈ W) è ñâå x ∈ V)\{uM v} (4.6) ∑ y∈udaz][](x) x oddu;v;y − ∑ y∈azdaz][](x) x ]n]nu;v;y 5 (M çà ñâå w 5 u→ v ∈ W) è ñâå x ∈ V)\{uM v} (4.7) ∑ x ]n]nu;v;e + x odd u;v;e ≤ xeM çà ñâå w ∈ W)M uM v ∈ V L (4.8) Ôóíêöèjà öè§à (4.1) îáåçájå¢ójå äà £å ðjåøå»å áèòè ìèíèìàëàí ïîäãðàô êîjè çàäîâî§àâà îãðàíè÷å»à. Ïðâè ñêóï îãðàíè÷å»à (4.2) îáåçájå¢ójå äà £å ðjåøå»å ñàäðæàâàòè ñâå êðèòè÷íå ãðàíå. Îãðàíè÷å»à (4.3)-(4.8) ñå êîðèñòå äà áè ñå îñèãóðàëî äà ðjåøå»å çàäîâî§àâà ñâå ðåëàöèjå äîñòèæíîñòè, êîjå ñó ïðèñóòíå è ó îðèãèíàëíîì ãðàôó. Ó BTR ïðîáëåìó, ïîñòîjå äâèjå âðñòå ïàðèòåòà: ïàðíà è íåïàðíà. Çà ñâàêó ãðàíó ó ãðàôó, îãðàíè÷å»à êîjà ñå îäíîñå íà òîê ó MILP ìîäåëó îñèãóðàâàjó ïîñòîjà»å ìðåæíîã òîêà ó ðjåøå»ó (ïàðíîã èëè íåïàðíîã òîêà, ó çàâèñíîñòè îä òîãà äà ëè jå ãðàíà ó îðèãèíàëíîì ãðàôó îçíà÷åíà ñà 0 èëè 1). Ñâàêà ïðîìjåí§èâà çà òîê ñå âåçójå çà ãðàíó è îäíîñè ñå çà òîê è ïàðèòåò ó ïîëàçíîì ïðîáëåìó. Ïðâè ñêóï îãðàíè÷å»à çà òîê (4.3) îñèãóðàâà äà £å ïîñòîjàòè íåêè ïîçèòèâàí òîê êîjè ïîëàçè èç èçâîðà ìðåæíîã òîêà. Îãðàíè÷å»à (4.4) è (4.5) îñèãóðàâàjó äà £å òîê óëèòè ó çàâðøíè ÷âîð (óø£å). Îãðàíè÷å»à (4.6) è (4.7) îñèãóðàâàjó "óñëîâ êîíçåðâàöèjå". Ïîñ§åä»è ñêóï îãðàíè÷å»à (4.8) îñèãóðàâà äà àêî ñå ãðàíà êîðèñòè ó òîêó, òàäà jå îíà è èçàáðàíà. 4.3 Ãåíåòñêè àëãîðèòàì çà ðjåøàâà»å TRp ïðîáëåìà Ó îâîj ñåêöèjè ñå îïèñójå ãåíåòñêè àëãîðèòàì çà ðjåøàâà»å ïðîáëåìà TRV. Ðåçóëòàòè ïðåçåíòîâàíè ó îâîj ñåêöèjè ñó îájàâ§åíè ó ðàäó [84]. 61 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó 4.3.1 Ðåïðåçåíòàöèjà jåäèíêè è êðåèðà»å èíèöèjàëíå ïîïóëàöèjå Çà ðåïðåçåíòàöèjó jåäèíêè êîðèñòè ñå áèíàðíî êîäèðà»å. Ñâàêî ðjåøå»å ñå ïðåäñòàâ§à áèíàðíèì íèçîì äóæèíå |W\WkrOtOITe|. Ïîøòî êðèòè÷íå ãðàíå óâèjåê ïðèïàäàjó ðjåøå»ó, îíå ñå íå êîäèðàjó. Ñâàêè áèò ó ãåíåòñêîì êîäó îäãîâàðà jåäíîj ãðàíè èç ñêóïà W\WkrOtOITe. Ó ñëó÷àjó äà jå ãðàíà óê§ó÷åíà ó ðjåøå»å, îäãîâàðàjó£è áèò èìà âðèjåäíîñò 1, äîê jå ó ïðîòèâíîì âðèjåäíîñò áèòà jåäíàêà íóëè. Ïðèëèêîì èíèöèjàëèçàöèjå, íàjïðèjå ñå êîðèñòè Floyd-Warshall -îâ àëãîðèòàì çà ðà÷óíà»å ñâèõ óðå¢åíèõ òðîjêè (uM vM x) òàêâèõ äà ó äàòîì ãðàôó G ïîñòîjè ïóò îä ÷âîðà u äî ÷âîðà v, ïàðèòåòà x, òj. u x⇒ v. Èíèöèjàëíà ïîïóëàöèjà îä NVoV 5 )5( jåäèíêè ñå ãåíåðèøå íà ñëó÷àjàí íà÷èí, ÷èìå ñå îáåçájå¢ójå ìàêñèìàëíà ðàçíîâðñíîñò ãåíåòñêîã ìàòåðèjàëà. Ìå¢óòèì, ñëó÷àjíî ãåíåðèñàíe jåäèíêå ìîãó áèòè íåêîðåêòíå. Äîäàòíî, ïîøòî àëãîðèòàì êîðèñòè ñòàíäàðäíå ãåíåòñêå îïåðàòîðå (êàêî £å òî áèòè êàñíèjå äåòà§íèjå îájàø»åíî), ïðèìjåíîì òèõ îïåðàòîðà òàêî¢å ìîãó íàñòàòè íåäîïóñòèâà ðjåøå»à, øòî jå çàïðàâî ÷åñò ñëó÷àj. Íåêîðåêòíå jåäèíêå ñå "ïîïðàâ§àjó" ïðèëèêîì ðà÷óíà»à ôóíêöèjå öè§à, êàêî jå òî îájàø»åíî ó îäjå§êó êîjè ñëèjåäè. 4.3.2 Ðà÷óíà»å ôóíêöèjå öè§à Íåêà W ′ ⊆ W îçíà÷àâà ñêóï ãðàíà êîjå ñó ó äàòîj jåäèíêè óê§ó÷åíå ó ðjåøå»å (òå ãðàíå ñó ó ãåíåòñêîì êîäó êîäèðàíå jåäèíèöîì). Îäãîâàðàjó£è ãðàô jå òàäà G′ 5 (VMW ′). Êîðèñòèìî Floyd-Warshall -îâ àëãîðèòàì çà ðà÷óíà»å ñâèõ óðå¢åíèõ òðîjêè (uM vM x), òàêâèõ äà ó ãðàôó G′ ïîñòîjè u x⇒ v. ѧåäå£è êîðàê jå îäðå¢èâà»å òðîjêè êîjå ïîñòîjå ó G, àëè íå ïîñòîjå ó G′. Àêî íåìà òàêâèõ òðîjêè, òàäà jå ñêóï W ′ jåäíà òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà ïîëàçíîã ãðàôà G, òàêî äà jå äàòà jåäèíêà äîïóñòèâà. Ó ïðîòèâíîì, àëãîðèòàì ïðîíàëàçè îíó ãðàíó èç W êîjà âå£ íèjå ó W ′, ÷èjèì áè ñå óáàöèâà»åì óê§ó÷èî íàjâå£è áðîj òðîjêè. Òàäà ó W ′ óê§ó÷èìî òó ïðîíà¢åíó ãðàíó. Ïðîöåñ óê§ó÷èâà»à ãðàíå ïî ãðàíå ó ñêóï W ′ ñå íàñòàâ§à ïî îïèñàíîì ïðèíöèïó, ñâå äîê W ′ íå ïîñòàíå òðàíçèòèâíà ðåäóêöèjà îä G. Âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à jå |W ′|. Ó íàjãîðåì ñëó÷àjó, ó ðjåøå»å jå ïîòðåáíî jå óê§ó÷èòè ñâèõ |W\WkrOtOITe| ãðàíà. Çà ñâàêó òàêâó ãðàíó, íà íîâîôîðìèðàíè ãðàô G′, ïîòðåáíî jå ïîêðåíóòè Floyd-Warshall -îâó ïðîöåäóðó ñëîæåíîñòè O(p2·|V |+). Òàêî¢å, äà áè ñå ïðîíàøëà îíà ãðàíà êîjà íàjâèøå îäãîâàðà, ó íàjãîðåì ñëó÷àjó àëãîðèòàì ìîðà ïðî£è êðîç 62 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó ñâå êîäèðàíå ãðàíå, ñâå òðîjêå è ñâå ëàáåëå, øòî èìïëèöèðà äà jå âðåìåíñêà ñëîæåíîñò O(p2 · |V |2 · |W|). Ñòîãà jå óêóïíà âðåìåíñêà ñëîæåíîñò çà ðà÷óíà»å ôóíêöèjå öè§à O(max{p2 · |V |+M p2 · |V |2 · |W|}). ÍåêàmsxobP îçíà÷àâà ìàêñèìóì, àminobP ìèíèìóì ôóíêöèjå öè§à, ïîñìàòðà- íî ïî ñâèì jåäèíêàìà ó ïîïóëàöèjè. Ïðèëàãî¢åíîñò jåäèíêè (xitPed) ó ïîïóëàöèjè ñå îäðå¢ójå êàî ëèíåàðíà íîðìàëèçàöèjà âðèjåäíîñòè ôóíêöèjà öè§à (otjPed) ó èíòåðâàëó [0,1], ðà÷óíàòà ïðåêî ôîðìóëå 4.9: xitPed 5 msxobP − otjPed msxobP −minobP L (4.9) Ñòîãà jå jåäèíêà ñà íàjâå£îì ïðèëàãî¢åíîø£ó îíà ñà ìèíèìàëíîì âðèjåä- íîø£ó ôóíêöèjå öè§à, è îáðíóòî, jåäèíêà ñà íàjâå£îì âðèjåäíîø£ó ôóíêöèjå öè§à èìà íàjìà»ó ïðèëàãî¢åíîñò. 4.3.3 Ãåíåòñêè îïåðàòîðè Ñåëåêöèjà Ïðèëèêîì ïðèìjåíå îïåðàòîðà ñåëåêöèjå, NelOte 5 5( åëèòíèõ jåäèíêè äèðåêòíî ïðîëàçè ó ñ§åäå£ó ãåíåðàöèjó è íà »èõ ñå ãåíåòñêè îïåðàòîðè íå ïðèìjå»ójó. Ïîñ§åäè÷íî, çà òå jåäèíêå ñå íå ìèjå»à íè âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à, ïà ñå ñàìèì òèì îíà íå ìîðà íè ðà÷óíàòè. Òèìå ñå ó çíà÷àjíîj ìjåðè ïîáî§øàâàjó óêóïíå ïåðôîðìàíñå ÷èòàâîã àëãîðèòìà. Îïåðàòîð ñåëåêöèjå áèðà jåäèíêå êîjå £å ó÷åñòâîâàòè ó ïðîöåñó ðåêîìáèíà- öèjå è äàòè ïîòîìêå. Îâàj ïðîöåñ ôàâîðèçójå jåäèíêå ñà áî§oì ïðèëàãî¢åíîø£ó. Ó îâîj èìïëåìåíòàöèjè, êîðèñòè ñå ôèíî ãðàäèðàíà òóðíèðñêà ñåëåêöèjà (åíã. ne grained tournament selection operator - FGTS), ïðåäñòàâ§åíà ó [37]. Êàêî jå òî âå£ îïèñàíî ó îäjå§êó 1.2.3 óâîäíå ãëàâå, FGTS îïåðàòîð jå óíàïðå¢å»å êëàñè÷íå òóðíèðñêå ñåëåêöèjå êîjè jå çàñíîâàí íà óâî¢å»ó ðàöèîíàëíîã ïàðà- ìåòðà Xtour, êîjè ïðåäñòàâ§à ïîæå§íó ïðîñjå÷íó âåëè÷èíó òóðíèðà. Ó îâîj èìïëåìåíòàöèjè, âðèjåäíîñò ïàðàìåòðà Xtour 5 5L4. Óêðøòà»å Èç ñêóïà íååëèòíèõ jåäèíêè, áèðà ñå ⌊(NVoV − NelOte)O2⌋ ïàðîâà jåäèíêè íà ñëó÷àjàí íà÷èí. Íà ñâàêè ïàð ñå ñà âjåðîâàòíî£îì pIross 5 (L05 ïðèìjå»ójå îïåðàòîð óêðøòà»à. Ó ïðîïèñàíîì àëãîðèòìó ñå êîðèñòè ñòàíäàðäíî jåäíîïî- çèöèîíî óêðøòà»å. Òà÷êà óêðøòà»à ñå áèðà íà ñëó÷àjàí íà÷èí, à óêðøòà»å ôóíêöèîíèøå ïî ñòàíäàðäíîì ïðèíöèïó: Áèíàðíà ðåïðåçåíòàöèjà ïîòîìàêà 63 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó ñå ôîðìèðà êîïèðà»åì ãåíåòñêîã êîäà jåäíîã ðîäèòå§à îä ïî÷åòêà äî òà÷êå óêðøòà»à, à äðóãîã ðîäèòå§à îä òà÷êå óêðøòà»à, äî êðàjà. Òàêî ñâàêèì óêðøòà»åì íàñòàjå äâà ïîòîìêà. Ìóòàöèjà Êàêî áè ñå èçájåãëà êîíâåðãåíöèjà ó ëîêàëíà ñóáîïòèìàëíà ðjåøå»à è îáíîâèî èçãóá§åíè ãåíåòñêè ìàòåðèjàë, íà jåäèíêå ñå ñà íåêîì ìàëîì âjåðîâàòíî£îì (êîjà ñå çîâå íèâî ìóòàöèjå) ïðèìjå»ójå îïåðàòîð ìóòàöèjå. Ñëó÷àjíî îäàáðàíîì ãåíó íà êîjè ñå ìóòàöèjà ïðèìjå»ójå îáð£å ñå âðèjåäíîñò ó ãåíåòñêîì êîäó ñà íóëå íà jåäàí è îáðíóòî. Àëãîðèòàì êîðèñòè ìîäèôèêîâàíè îïåðàòîð ïðîñòå ìóòàöèjå, êîjè ïðåïîçíàjå òçâ. "ñìðçíóòå" ãåíå ó ãåíåòñêîì çàïèñó. Ãåí ñå íàçèâà "ñìðçíóòèì" àêî ñâå jåäèíêå èìàjó èñòó âðèjåäíîñò áèòà íà òîj ïîçèöèjè. Êîíöåïò ñìðçíóòèõ ãåíà îájàø»åí jå ó îäjå§êó 1.2.3 óâîäíå ãëàâå. Ó îâîj èìïëåìåíàòàöèjè âjåðîâàòíî£à çà ìóòàöèjó íåñìðçíóòèõ ãåíà èçíîñè (:4 |E\Ekriticne| , äîê jå çà ñìðçíóòå ãåíå âjåðîâàòíî£à ìóòàöèjå 2.5 ïóòà âå£à è èçíîñè ):( |E\Ekriticne| . Åëèìèíèñà»å ïîíîâ§åíèõ è ñëè÷íèõ jåäèíêè Ó ïîïóëàöèjè jå ìîãó£à ïîjàâà jåäèíêè ñà èñòèì ãåíåòñêèì êîäîì. Äà áè ñå ñïðèjå÷èëî äà àëãîðèòàì çàïàäíå ó ëîêàëíà ñóáîïòèìàëíà ðjåøå»à, âðèjåäíîñò ïðèëàãî¢åíîñòè çà ñâå îâå jåäèíêå, îñèì jåäíå, ñå ïîñòàâ§à íà íóëó, ÷èìå ñå îìîãó£àâà äà îïåðàòîð ñåëåêöèjå îâå jåäèíêå èçîñòàâè çà ñ§åäå£ó ãåíåðàöèjó. Òàêî¢å, àêî áè ïîñòîjàî çíà÷àjàí áðîj jåäèíêè êîjå íåìàjó èñòè ãåíåòñêè êîä, à èìàjó èñòó âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à, ïîíîâî áè äîøëî äî ñìà»å»à ðàçíîâð- íîñòè ãåíåòñêîã ìàòåðèjàëà, øòî óçðîêójå ïðåâðåìåíó êîíâåðãåíöèjó. Ñòîãà jå áðîj îâàêâèõ jåäèíêè îãðàíè÷åí íà âðèjåäíîñò Nrv 5 4(. Êåøèðà»å Ðà÷óíà»å âðèjåäíîñòè ôóíêöèjå öè§à jå íàjçàõòjåâíèjè çàäàòàê ó ÷èòàâîì àëãî- ðèòìó. Äà áè ñå óíàïðèjåäèëå ïåðôîðìàíñå àëãîðèòìà, êîðèñòè ñå òåõíèêà êåøèðà»à. Êåø jå èìïëåìàíòèðàí êàî hash-queue ñòðóêòóðà ïîäàòàêà, êàïàöè- òåòà 5000. Êàäà çà äàòó jåäèíêó òðåáà äà ñå ðà÷óíà âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à, ïðâî ñå, çà òó jåäèíêó, ãëåäà äà ëè jå òà âðèjåäíîñò âå£ èçðà÷óíàòà è ïîõðà»åíà ó êåøó. Ó ñëó÷àjó äà âðèjåäíîñò íèjå âå£ èçðà÷óíàòà, òåê òàäà ñå îíà ðà÷óíà è ïîõðà»ójå ó êåø. Ó ñëó÷àjó äà jåñòå èçðà÷óíàòà, îíà ñå íå ðà÷óíà ïîíîâî, âå£ ñå ñàìî ïðî÷èòà èç êåøà. Ó ñëó÷àjó äà ñå êåø íàïóíè, áðèøó ñå îíå âðèjåäíîñòè êîjå íàjäóæå íèñó êîðèøòåíå. Îïåðàòîð êåøèðà»à äjåëèìè÷íî jå îïèñàí ó 64 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó îäjå§êó 1.2.3, äîê jå äåòà§íèjè îïèñ äàò jå ó [66]. 4.4 Ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà ðjåøàâà»å TRp Ó îâîì îäjå§êó £å áèòè îïèñàíà ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà ðàçâèjåíà çà ðjåøàâà»å fRV ïðîáëåìà. Ðåçóëòàòè ïðåçåíòîâàíè ó îâîj ñåêöèjè, çàjåäíî ñà ðåçóëòàòèìà èç ïðåòõîäíå ñåêöèjå, îájàâ§åíè ñó ó ðàäó [84]. Ðåïðåçåíòàöèjà ðjåøå»à jå èçâðøåíà íà èñòè íà÷èí êàî êîä ãåíåòñêîã àëãî- ðèòìà. Ñâàêî ðjåøå»å ñå ïðåäñòàâ§à áèíàðíèì íèçîì äóæèíå |W\WkrOtOITe|. Ôóíêöèjà öè§à ñå òàêî¢å ðà÷óíà íà èñòè íà÷èí êàî êîä ãåíåòñêîã àëãîðèòìà. Çà ðàçëèêó îä ñòàíäàðäíîã ìåòîäà ïðåòðàãå ïîìî£ó ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà, ó îâîì àëãîðèòìó jå ïðèìèjå»åí äðóãà÷èjè ïðèñòóï: ïðåòðàãà ñå îäâèjà ñàìî óíóòàð ïðîöåäóðå ðàçìðäàâà»à, äîê ñå ëîêàëíà ïðåòðàãà èçîñòàâ§à. Îâàêàâ ïðèñòóï jå ÷åñò ó ñëó÷àjåâèìà êàäà ñå óíóòàð ïðîöåäóðå ðàçìðäàâà»à îäâèjà "äóá§à" ïðåòðàãà ó îäíîñó íà ñàìî ïðåëàæå»å ó íîâå îêîëèíå, äîê jå äðóãè ðàçëîã çàñíîâàí íà ÷è»åíèöè äà jå âðèjåìå èçâðøå»à ôóíêöèjå öè§à âå£ ïðèëè- ÷íî âåëèêî, òå áè ïðåòðàãà óíóòàð ïðîöåäóðå çà ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å äîâåëà äî jîø âå£åã óêóïíîã âðåìåíà èçâðøåòêà àëãîðèòìà. Ñëè÷íå âàðèjàíòå ðåäóêîâàíîã VNS-à (åíã. Reduced VNS - RVNS) ìîãó ñå ñðåñòè íà ïðèìjåð ó [28, 49]. Òîê àëãîðèòìà jå ïðèêàçàí íà ñëèöè 4.2. Íàjïðèjå ñå, íà ñëó÷àjàí íà÷èí, âðøè èíèöèjàëèçàöèjà ïîëàçíîã ðjåøå»à è ãåíåðèøó ñå äâà ñèñòåìà îêîëèíà. Ïðèðîäà ñàìèõ îêîëèíà, êàî è íà÷èí ïðåëàæå»à èç jåäíå îêîëèíå ó äðóãó, îájàø»åíè ñó ó îäjå§êó 4.4.2. Ó ñâàêîj èòåðàöèjè àëãîðèòìà, íîâî ðjåøå»å x′ ñå áèðà íà ñëó÷àjàí íà÷èí ó íåêîj îêîëèíè òà÷êå x. Ó çàâèñíîñòè îä âðèjåäíîñòè ôóíêöèjå öè§à çà ðjåøå»å x′, îäëó÷ójå ñå äà ëè £å ñå ïðå£è ó íîâî ðjåøå»å x′ èëè £å ñå îñòàòè ó òðåíóòíîì ðjåøå»ó. Àêî jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à çà x′ áî§à (òj. ñòðèêòíî ìà»à) îä âðèjåäíîñòè çà x, îíäà ïîñòàâ§àìî x 5 x′ è ïðåòðàãà íàñòàâ§à ñà èñòîì îêîëèíîì. Àêî jå âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à çà x′ ñòðèêòíî âå£à ó îäíîñó íà ðjåøå»å x, òàäà ñå ïðåòðàãà íàñòàâ§à ñà ñòàðèì ðjåøå»åì x è íàðåäíîì îêîëèíîì. Ó ñëó÷àjó äà ñó îâå äâèjå âðèjåäíîñòè jåäíàêå, îíäà ñå ñà âjåðîâàòíî£îì pSove ïîäåøàâà x 5 x ′ è ïðåòðàãà ñå íàñòàâ§à ñà èñòîì îêîëèíîì, äîê ñå ñà âjåðîâàòíî£îì ) − pSove îñòàâ§à ñòàðî íàjáî§å ðjåøå»å x è íàðåäíîì îêîëèíîì. Íàêîí øòî ñå ñâå îêîëèíå ðàçìîòðå, ïðåòðàãà ïîíîâî ïî÷è»å ñà ïðâîì, ñâå äîê êðèòåðèjóì çà çàóñòàâ§à»å àëãîðèòìà íå áóäå èñïó»åí. Ó íàøåì ñëó÷àjó, êðèòåðèjóì çà çàóñòàâ§à»å jå çàäàò ïðåêî 65 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó 2. x = InicijalnoResenje(); 5. iter = 1; 1. UcitajUlaznePodatake(); 3. N [1] = GenerisiOkoline1(kmin, kmax); 9. While(iter ≤ itermax) do 12. If(poboljsanje < 0) 13. x = x′; 15. ElseIf(poboljsanje==0) 16. If(slucajnaUniformna(0,1)< pmove) 26. StampajRjesenje(); 17. x = x′; 22. k = k + 1; 6. tipOkoline = 1; 4. N [2] = GenerisiOkoline2(kmin, kmax); 11. poboljsanje = FunkcijaCilja(x′)−FunkcijaCilja(x); 10. x′ = Razmrdavanje(x, N [tipOkoline]k); 7. pomjeranje=false; 14. pomjeranje = true; 18. pomjeranje=true; 21. If(k < kmax) Else 23. k = kmin; 19. If(!pomjeranje) 20. tipOkoline = 3− tipOkoline; 24. pomjeranje=false; 25. iter = iter + 1; 8. k = kmin; Ñëèêà 4.2: Îñíîâíà øåìà VNS àëãîðèòìà äîñòèçà»à ìàêñèìàëíîã áðîjà èòåðàöèjà. 4.4.1 Èíèöèjàëèçàöèjà è ôóíêöèjà öè§à Êàî øòî jå âå£ ðå÷åíî, ðåïðåçåíòàöèjà ðjåøå»à jå èçâðøåíà íà èñòè íà÷èí êàî êîä ãåíåòñêîã àëãîðèòìà. Ñâàêî ðjåøå»å ñå ïðåäñòàâ§à áèíàðíèì íèçîì äóæèíå |W\WkrOtOITe|. Ó ñëó÷àjó äà jå âðèjåäíîñò åëåìåíòà íèçà jåäíàêà 1, îäãîâà- ðàjó£à ãðàíà jå óê§ó÷åíà ó ðjåøå»å, à ó ñëó÷àjó äà jå åëåìåíò íèçà jåäíàê 0, íèjå. Ôóíêöèjà öè§à ñå òàêî¢å ðà÷óíà íà èñòè íà÷èí êàî êîä ãåíåòñêîã àëãîðèòìà. Ó ñëó÷àjó ïîjàâå íåêîðåêòíîã ðjåøå»à, óíóòàð ôóíêöèjå öè§à, àëãîðèòàì "ïîï- ðàâ§à" ðjåøå»å ïî èñòîì ïðèíöèïó êàî êîä ãåíåòñêîã àëãîðèòìà. 4.4.2 Ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à Ó îâîì àëãîðèòìó äåôèíèøó ñå äâà òèïà îêîëèíà. N obrTOk (x): Ó ïðâîì òèïó îêîëèíà, âðøè ñå èíâåðòîâà»å âðèjåäíîñòè íåêèõ k åëåìåíàòà íèçà. Ïðåöèçíèjå, ó k - òîj îêîëèíè âðøè ñå èçáîð íåêèõ k åëåìåíàòà íèçà êîjè îäãîâàðà òðåíóòíîì ðjåøå»ó. Ñâàêè åëåìåíò íèçà 66 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó îäãîâàðà jåäíîj ãðàíè è çà ñâàêè åëåìåíò (ñâàêó ãðàíó) ñå âðøè èíâåðòî- âà»å, íà ñ§åäå£è íà÷èí: ó ñëó÷àjó äà jå ãðàíà ðàíèjå ïðèïàäàëà ðjåøå»ó (îäãîâàðàjó£è åëåìåíò íèçà jå èìàî âðèjåäíîñò 1), òàäà ñå òà ãðàíà óêëà»à èç ðjåøå»à. Ó ñëó÷àjó äà ãðàíà íèjå ïðèïàäàëà ðjåøå»ó (äàòè åëåìåíò íèçà jå èìàî âðèjåäíîñò 0), òàäà ñå òà ãðàíà óê§ó÷ójå ó ðjåøå»å, òj. åëåìåíò íèçà äîáèjà âðèjåäíîñò 1. NukloTOk (x): Äðóãè òèï îêîëèíà ñå ôîðìèðà òàêî øòî ñå ó íèçó êîjè îäãîâàðà ðjåøå»ó x èçàáåðå íåêèõ k ïîçèöèjà è âðèjåäíîñòè îäãîâàðàjó£èõ åëåìåíàòà ñå ïîñòàâå íà 0, äîê ñå ïðåîñòàëå ïîçèöèjå íå äèðàjó. Ïðàêòè÷íî, íà îâàj íà÷èí ñå çà íåêèõ k ãðàíà èç ñêóïà ãðàíà W\WkrOtOITe óêëà»à èç ðjåøå»à, áåç îáçèðà íà òî äà ëè íåêå îä òèõ ãðàíà âå£ èîíàêî íèñó óê§ó÷åíå ó ðjåøå»å. Ïðèìjåð 4.2. Àíàëèçèðàjìî ãðàô G èç ïðèìjåðà 1. Íà ïðèìjåð, íåêà jå òðå- íóòíî ðjåøå»å x ïðåäñòàâ§åíî íèçîì ))()(())( è íåêà jå k 5 4. Àêî îïåðàòîð ðàçìðäàâà»à íà ñëó÷àjàí íà÷èí èçàáåðå ïîçèöèjå 2, 5, 7, è 9, ðjåøå»å x′ ó îêîëèíè ïðâîã òèïà (obrni) áè áèëî )(())(()), äîê jå îäãîâàðàjó£å ðjåøå»å çà äðóãè òèï îêîëèíà (ukloni) )(()((()(. Î÷èãëåäíî jå äà ðåëàöèjà k ≤ |W\WkrOtOITe| ìîðà áèòè çàäîâî§åíà. Êàðäèíàëíîñò ñâàêå îêîëèíå, ñ îáçèðîì íà òî jå |Nk(x)| 5 (|E\Ekriticne| k ) . Ïîøòî jå ðåëàöèjà kSGx N |W\WkrOtOITe|O2 çàäîâî§åíà çà âå£èíó èíñòàíöè êîjå ñó êîðèøòåíå ó îäjå§êó 4.5, èìàìî äà jå (|E\Ekriticne| k−) ) N (|E\Ekriticne| k ) , òj. |Nk−)(x)| N |Nk(x)|, òàêî äà çà îêîëèíå äåôèíèñàíå íà îâàj íà÷èí âàæè äà jå çàäîâî§åí óñëîâ ôîðìèðà»à îêîëèíà ñà ðàñòó£îì êàðäèíàëîø£ó. Èçáîð îäãîâàðàjó£å îêîëèíå Çà äàòè áðîj k, àëãîðèòàì êðå£å ñà ïðâèì òèïîì îêîëèíà è êîðèñòè ãà, ñâå äîê ñå àëãîðèòàì ïîìjåðà íà íîâî ðjåøå»å. Íàêîí òîãà ñå "àêòèâèðà" äðóãè òèï îêîëèíà, êîjè ñå ïðèìjå»ójå ñâå äîê âàæè èñòè ïðèíöèï. Ïðàêòè÷íî, àëãîðèòàì ïðèìjå»ójå jåäàí òèï îêîëèíà ñâå äîê òà îêîëèíà äàjå ðjåøå»à êîjà ïîïðàâ§àjó òðåíóòíî íàjáî§å ðjåøå»å, à íàêîí òîãà ñå óçèìà äðóãè òèï îêîëèíå. Èòåðàòèâíî, âðèjåäíîñò k ñå óâå£àâà çà 1, ñâå äîê ñå íå äîñòèãíå âðèjåäíîñò kSGx, íàêîí ÷åãà ñå k ðåñåòójå íà kSOT. 67 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó 4.5 Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè Ñâè åêñïåðèìåíòè ñó îáàâ§åíè íà AMD DualCore @ 2 GHz ñà 2 GB RAM ðà÷óíàðó. Êðèòåðèjóì çà çàóñòàâ§à»å GA jå äîñòèãíóò ìàêñèìàëàí áðîj îä 500 ãåíåðàöèjà, èëè 200 ãåíåðàöèjà áåç ïîáî§øà»à âðèjåäíîñòè ôóíêöèjå öè§à. RVNS ñå çàóñòàâ§à íàêîí 100 èòåðàöèjà. Äðóãè ïàðàìåòðè çà RVNS ñó: kSOT 5 2, kSGx ∈ {0M )(M )5}, çà èíñòàíöå êîjå ñàäðæå )(M )5 è 2( ÷âîðîâà ðåñïåê- òèâíî è kSGx 5 2( çà èíñòàíöå êîjå ñàäðæå âèøå îä 20 ÷âîðîâà. Ïàðàìåòàð pSove jå ïîäåøåí íà (L6. Òåñòèðà»å GA è RVNS jå èçâðøåíî íà èñòîì, ñëó÷àjíî ãåíåðèñàíîì ñêóïó èíñòàíöè. Ãåíåðèñà»å èíñòàíöè jå âðøåíî ñà ñ§åäå£èì óëàçíèì ïàðàìåòðèìà: áðîj ÷âîðîâà (|V |), áðîj ãðàíà (|W|), áðîj êðèòè÷íèõ ãðàíà (|WkrOtOITe|) è óêóïàí áðîj ëàáåëà (p). Äà áè ñå îäðåäèëî îïòèìàëíî ðjåøå»å çà ìàëå èíñòàíöå êîjå ñàäðæå äî 30 ãðàíà, ïðèìèjå»åíà jå òåõíèêà òîòàëíå åíóìåðàöèjå. Çà ñâàêó èíñòàíöó îáà ìåòàõåóðèñòè÷êà ìåòîäà, GA è RVNS ñó ïîêðåòàíà 20 ïóòà. Òàáåëà 4.2 ñàäðæè ðåçóëòàòå îä GA è RVNS çà ìà»å èíñòàíöå (|W| N +( è áåç êðèòè÷íèõ ãðàíà), äîê òàáåëå 4.3 è 4.4 ñàäðæå ðåçóëòàòå äîáèjåíå íà âå£èì èíñòàíöàìà (|W| ≥ +(). Ó ñâå òðè òàáåëå, ïðâå êîëîíå ñàäðæå áðîj ÷âîðîâà, áðîj ãðàíà è âðèjåäíîñò ïàðàìåòðà p, ðåñïåêòèâíî. Ó òàáåëè 4.2 íàðåäíà êîëîíà, íàçâàíà opt ñàäðæè îïòèìàëíî ðjåøå»å äîáèjåíî òîòàëíîì åíóìåðàöèjîì. Çà ñâå èíñòàíöå ïðèêàçàíå ó òàáåëè 4.2, è GA è RVNS ïðîíàëàçå îïòèìàëíî ðjåøå»å. Ó òàáåëàìà 4.3 è 4.4, ÷åòâðòà êîëîíà (|WI|) ñàäðæè áðîj êðèòè÷íèõ ãðàíà. Çà ìà»å èíñòàíöå |WI| 5 ( òå jå îâà êîëîíà ó òàáåëè 4.2 èçîñòàâ§åíà. Ó ïåòîj êîëîíè (êîëîíà twst) ó òàáåëàìà 4.3 è 4.4 çà äàòó èíñòàíöó jå ïðèêàçàí íàjáî§è äîáèjåíè ðåçóëòàò, èçðà÷óíàò êàî min{GSsolM RV Nesol}. Íàðåäíå ÷åòèðè êîëîíå ó ñâå òðè òàáåëå ñå îäíîñå íà GA ïðèñòóï. Ó êîëîíè sol, ïðèêàçàíî jå íàjáî§å äîáèjåíî ðjåøå»å, ñà îçíàêîì opt (ó òàáåëè 4.2) èëè îçíàêîì twst (òàáåëå 4.3 è 4.4) ó ñëó÷àjåâèìà êàäà GA äîñòèæå îïòèìàëíî ðjåøå»å (òàáåëà 4.2) èëè íàjáî§å ïîçíàòî ðjåøå»å (òàáåëå 4.3 è 4.4). Íàðåäíà êîëîíà (t) ó ñâå òðè òàáåëå ñàäðæè ïðîñjå÷íî óêóïíî âðèjåìå (ó ñåêóíäàìà) ïîòðåáíî çà çàâðøåòàê GA. Êâàëèòåò ðjåøå»à ó ñâèõ 20 èçâðøå»à jå ïðîöèjå»åí ó êîëîíàìà sysp è σ, ãäjå ñå ïðîñjå÷íà ðåëàòèâíà ãðåøêà (åíã. average gap - agap) ðà÷óíà êàî sysp 5 ) 2( ∑2( O5) yspO, ãäjå jå yspO 5 )((∗ soli−oVtoVt ó îäíîñó íà îïòèìàëíî ðjåøå»å opt àêî jå îíî ïîçíàòî, îäíîñíî ó îäíîñó íà íàjáî§å ïîçíàòî ðjåøå»å twst, òj. yspO 5 )(( ∗ soli−bestbest ó ñëó÷àjó êàäà îïòèìàëíî ðjåøå»å íèjå ïîçíàòî, (solO ïðåäñòàâ§à ðjåøå»å äîáèjåíî ó i-òîì èçâðøå»ó). Ñòàíäàðäíà äåâèjàöèjà jå ðà÷óíàòà ïî ôîðìóëè σ 5 √ ) 2( ∑2( O5)(yspO − sysp)2. 68 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó Ïîñ§åä»å ÷åòèðè êîëîíå ó ñâå òðè òàáåëå ñå îäíîñå íà RVNS, à ïîäàöè ñó ïðèêàçàíè íà èñòè íà÷èí êàî è êîä GA. Èç òàáåëå 4.2 jàñíî ñå âèäè äà è GA è RVNS ó êðàòêîì âðåìåíó äîñòèæó ñâà îïòèìàëíà ðjåøå»à çà èíñòàíöå êîjå ñàäðæå äî 30 ãðàíà. Çà ñâå èíñòàíöå GA ó ñâèõ 20 èçâðøå»à äîñòèæå îïòèìàëíî ðjåøå»å (ó êîëîíè sysp, êîjà ñå îäíîñè íà GA ó ñâèì îâèì ñëó÷àjåâèìà jå ïðèêàçàíà âðèjåäíîñò 0), øòî íèjå ñëó÷àj è ñà RVNS àëãîðèòìîì. Ñà äðóãå ñòðàíå, ó âå£èíè ñëó÷àjåâà, RVNS jå çíà÷àjíî áðæè îä GA, (îä 10 äî 30 ïóòà). Ñ îáçèðîì íà òî äà jå GA ìåòàõåóðèñòèêà çàñíîâàíà íà ïîïóëàöèjè, ðà÷óíà»å ôóíêöèjå öè§à âðåìåíñêè çàõòjåâíà îïåðàöèjà, à ëîêàëíà ïðåòðàãà ó RVNS jå èçîñòàâ§åíà, çà î÷åêèâàòè jå äà £å GA ó âå£èíè ñëó÷àjåâà áèòè ñïîðèjè. Ñà äðóãå ñòðàíå, åêñïåðèìåíòàëè ðåçóëòàòè ïîêàçójó äà GA èìà áî§å ìåõàíèçìå çà èçëàçàê èç ñóáîïòèìàëíèõ ðjåøå»à. Åêñïåðèìåíòè ñó òàêî¢å ïîêàçàëè äà èçâðøå»å RVNS ó âèøå îä 100 èòåðàöèjà íå óíàïðå¢ójå êðàj»å ðjåøå»å, òàêî äà ðàçëèêà ó âðåìåíó èçâðøå»à îâà äâà ïðèñòóïà ìîæå òàêî¢å áèòè îájàø»åíà è ðåëàòèâíî ìàëèì áðîjåì èòå- ðàöèjà RVNS àëãîðèòìà. Êàî øòî ñå âèäè èç òàáåëå 4.2, âðèjåìå èçâðøå»à îáà àëãîðèòìà î÷åêèâàíî ðàñòå ñà ïîðàñòîì áðîjà ãðàíà ó ãðàôó. Òàêî¢å, âðèjåìå èçâðøå»à ðàñòå è ïîðàñòîì ïàðàìåòðà p. Äà§å, ìîæåìî çàê§ó÷èòè äà áðîj p èìà âå£è óòèöàj íà âðèjåìå èçâðøå»à íåãî áðîj ãðàíà (íà ïðèìjåð, çà èíñòàíöå ñà 15 ÷âîðîâà, âðèjåìå èçâðøå»à ðàñòå ñà ïîðàñòîì ïàðàìåòðà p, ÷àê è ó ñëó÷àjó êàäà áðîj ãðàíà ó ãðàôó îïàäà). Ó ñëó÷àjó âå£èõ èíñòàíöè, ðåçóëòàòè jàñíî óêàçójó äà è GA è RVNS ïðîíàëàçå ðjåøå»à ó ðàçóìíîì âðåìåíó. Ïîíîâî, âèäèìî äà jå GA ñïîðèjè îä RVNS è äà âðèjåìå èçâðøå»à GA èäå äî íåêîëèêî õè§àäà ñåêóíäè. Ñà äðóãå ñòðàíå, GA äîáèjà áî§å ðåçóëòàòå ôóíêöèjå öè§à ó îäíîñó íà RVNS çà âå£èíó èíñòàíöè. È ó ñëó÷àjó âåëèêèõ èíñòàíöè, âèäèìî äà âðèjåìå èçâðøå»à ïðèðîäíî çàâèñè îä äèìåíçèjå ïðîáëåìà. Óòèöàj ïàðàìåòðà p jå òàêî¢å çíà÷àjàí: ïîðàñòîì âðèjåäíîñòè ïàðàìåòðà p, îáà ïðèñòóïà ïðîäóæàâàjó âðèjåìå èçâðøå»à. Åêñïå- ðèìåíòè ïîêàçójó äà ó ñëó÷àjåâèìà p 5 ) è p 5 2, îáà àëãîðèòìà áðæå ïðîíàëàçå ðjåøå»à (ó ïîðå¢å»ó ñà âå£èì âðèjåäíîñòèìà ïàðàìåòðà p), øòî óêàçójå íà ÷è»åíèöó äà ñå îáà ïðèñòóïà ïîóçäàíî ìîãó êîðèñòèòè çà ðjåøàâà»å MED è BTR ïðîáëåìà. Áðîj ãðàíà êîjå ïðèïàäàjó WkrOtOITe íå óòè÷å çíà÷àjíî íà ïîðàñò âðåìåíà èçâðøå»à (íà ïðèìjåð, ó ñëó÷àjó èíñòàíöè ñà 40 ÷âîðîâà ó òàáåëè 4.4). Ïðîñjå÷íà ðåëàòèâíà ãðåøêà è ñòàíäàðäíà äåâèjàöèjà ñó ðåëàòèâíî ìàëè ó âå£èíè ñëó÷àjåâà (ïîñåáíî êîä GA), øòî äîêàçójå ïîóçäàíîñò îáà ìåòîäà. Èàêî ïîðå¢å»å ñà äðóãèì ðàäîâèìà íèjå ìîãó£å óñ§åä íåäîñòàòêà çàjåäíè÷- 69 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó Òàáåëà 4.2: Ðåçóëòàòè äîáèjåíè ïðèìjåíîì GA è RVNS íà ìàëå èíñòàíöå GA RVNS |V | |W| p opt sol t sysp σ sol t sysp σ (sec) (%) (%) (sec) (%) (%) 10 23 2 12 opt 1.411 0 0 opt 0.100 0.608 2.255 10 29 3 12 opt 5.388 0 0 opt 0.362 0.617 2.247 10 16 4 11 opt 2.040 0 0 opt 0.166 0.550 2.076 10 19 1 11 opt 0.201 0 0 opt 0.021 0.564 2.064 10 22 2 12 opt 1.324 0 0 opt 0.088 0.617 2.264 10 21 3 12 opt 2.682 0 0 opt 0.163 0.617 2.264 10 19 4 11 opt 3.758 0 0 opt 0.305 0.591 2.071 10 21 5 14 opt 3.311 0 0 opt 0.213 0.700 2.642 15 20 2 16 opt 2.390 0 0 opt 0.154 0.800 3.020 15 17 10 16 opt 32.798 0 0 opt 2.385 0.800 3.020 15 25 1 16 opt 1.080 0 0 opt 0.064 0.806 3.027 15 22 2 18 opt 5.660 0 0 opt 0.169 0.900 3.397 15 23 3 16 opt 7.502 0 0 opt 0.368 0.800 3.020 15 21 4 16 opt 11.074 0 0 opt 0.631 0.822 3.005 15 25 5 18 opt 19.816 0 0 opt 0.926 0.906 3.403 20 26 2 22 opt 5.655 0 0 opt 0.340 1.134 4.125 20 26 3 22 opt 19.617 0 0 opt 0.791 1.105 4.146 20 23 4 22 opt 35.309 0 0 opt 1.237 1.100 4.152 70 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó Òàáåëà 4.3: Ðåçóëòàòè äîáèjåíè ïðèìjåíîì GA è RVNS íà âåëèêå èíñòàíöå GA RVNS |V | |W| p |WI| twst sol t sysp σ sol t sysp σ (sec) (%) (%) (sec) (%) (%) 15 30 2 0 16 twst 5.70 0.00 0.00 twst 0.34 0.86 2.98 15 32 4 2 18 19 15.98 5.56 0.00 twst 1.12 0.99 3.56 15 32 5 3 17 19 34.51 11.76 0.00 twst 2.27 0.96 3.57 15 39 2 2 17 twst 7.30 1.18 6.71 twst 0.33 0.88 3.20 15 41 3 0 17 twst 17.09 0.00 0.00 twst 0.94 0.89 3.19 20 33 4 3 26 twst 83.06 2.88 14.38 twst 1.43 1.47 5.47 20 35 2 0 21 twst 12.97 0.00 0.00 twst 0.67 1.09 3.96 20 38 3 2 25 twst 29.66 0.00 0.00 twst 1.16 1.30 4.71 20 41 6 4 21 twst 81.32 0.00 0.00 twst 6.44 1.12 3.97 20 98 1 12 22 24 13.17 9.99 4.93 twst 1.11 1.38 4.71 20 99 2 0 21 twst 69.91 0.48 2.30 23 4.43 10.82 3.93 20 99 1 4 22 twst 19.79 1.36 6.54 23 1.19 5.85 4.09 20 106 1 0 20 twst 22.18 0.75 3.35 22 1.35 11.31 4.01 20 108 5 8 21 twst 397.51 20.48 108.49 22 28.31 9.99 18.28 20 110 8 14 24 26 749.56 9.80 5.67 twst 71.03 1.50 5.29 20 112 1 16 22 25 14.70 13.86 1.15 twst 1.36 1.40 4.75 20 116 3 5 21 twst 174.60 2.14 11.19 22 12.22 6.08 4.19 20 126 10 13 22 24 965.86 20.00 48.27 twst 83.88 1.40 4.76 20 141 1 17 22 26 21.14 19.78 6.03 twst 2.27 1.56 5.21 30 125 2 8 32 twst 282.57 1.09 4.61 37 14.89 17.71 6.41 30 126 1 0 31 twst 92.66 2.58 10.36 36 3.74 18.21 6.46 30 129 2 0 31 twst 337.35 1.29 5.60 35 13.31 14.91 6.13 30 129 1 7 32 twst 93.20 1.88 8.78 33 4.23 5.08 6.33 71 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó Òàáåëà 4.4: Ðåçóëòàòè äîáèjåíè ïðèìjåíîì GA è RVNS íà âåëèêå èíñòàíöå (íàñòàâàê) GA RVNS |V | |W| p |WI| twst sol t sysp σ sol t sysp σ (sec) (%) (%) (sec) (%) (%) 40 183 1 0 42 twst 344.49 2.14 9.83 50 11.48 22.00 8.58 40 187 2 0 42 twst 1373.06 1.07 7.38 51 50.03 24.11 7.89 40 187 1 25 49 twst 246.31 1.43 8.72 51 13.22 6.82 9.37 40 204 5 19 46 twst 7619.83 1.96 8.28 51 311.80 13.75 9.22 50 104 5 11 56 twst 5970.34 2.86 14.53 twst 100.60 3.03 11.10 50 136 5 0 55 twst 9285.69 0.82 3.46 61 188.87 14.14 10.60 50 213 1 19 60 twst 618.03 1.67 6.86 68 24.70 17.15 12.12 50 226 2 22 61 twst 2645.79 0.66 2.98 66 91.45 11.86 12.25 50 245 2 0 53 twst 2873.49 1.32 6.04 68 98.78 32.01 10.38 50 277 1 0 53 twst 1090.57 1.23 6.64 71 36.03 37.90 10.57 60 157 5 31 72 twst 10977.84 0.56 3.14 77 383.03 10.89 13.54 60 179 2 0 67 twst 5040.59 0.97 3.94 79 88.56 22.14 12.99 60 183 3 33 74 twst 5191.59 1.08 6.09 80 141.24 11.49 14.25 60 188 1 0 67 twst 1105.83 0.90 5.13 73 25.12 12.86 12.63 70 212 2 0 81 twst 10213.43 3.40 17.22 102 128.92 31.39 16.00 70 230 1 0 76 twst 2719.73 0.53 3.09 94 47.22 28.55 14.38 70 248 2 14 81 twst 12698.17 6.05 32.37 95 177.91 22.28 15.47 80 183 2 0 89 twst 12389.59 7.53 31.87 107 84.32 28.36 25.28 100 319 1 0 115 twst 5662.65 0.87 3.88 150 68.71 38.23 22.27 72 p-àðía òðàíçèòèâía ðåäóêöèja ó ãðàôó êèõ èíñòàíöè, ìîæåìî çàê§ó÷èòè äà îáà àëãîðèòìà ïðîíàëàçå îïòèìàëíî ðjåøå- »å çà ìà»å èíñòàíöå, äîê çà âå£å èíñòàíöå îáà àëãîðèòìà ïðîíàëàçå ðjåøå»à ó ðàçóìíîì âðåìåíó. 4.6 Çàâðøíà ðàçìàòðà»à çà TRp ïðîáëåì Ó îâîj ãëàâè îïèñàí jå ïðîáëåì p-àðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå è äâèjå ìåòàõåóðè- ñòè÷êå ìåòîäå êîjå ãà ðjåøàâàjó: ãåíåòñêè àëãîðèòàì è ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà. Ïðîïèñàíè GA êîðèñòè áèíàðíî êîäèðà»å è ñòàíäàðäíå ãåíåòñêå îïåðàòîðå. Ôóíêöèjà öè§à ïîïðàâ§à íåêîðåêòíå jåäèíêå ñóêöåñèâíèì äîäà- âà»åì ãðàíà, íà íà÷èí äà ñå äîäàâà»åì ñâàêå ãðàíå äàjå íàjâå£à øàíñà äà íîâîíàñòàëî ðjåøå»å ïîñòàíå äîïóñòèâî. Âðèjåìå èçâðøå»à àëãîðèòìà jå ïîáî§- øàíî óïîòðåáîì òåõíèêå êåøèðà»à. Òàêî¢å, óïîòðåáà "ñìðçíóòèõ ãåíà" óòè÷å íà ïîâå£à»å ðàçíîâðñíîñòè ãåíåòñêîã ìàòåðèjàëà. Ó ðåäóêîâàíîì ìåòîäó ïðîì- jåí§èâèõ îêîëèíà, ïðåòðàãà ñå îäâèjà ó ïðîöåäóðå ðàçìðäàâà»à, ó îêâèðó êîjå ñå êîìáèíójó äâà òèïà îêîëèíà: çà k- òó îêîëèíó, íîâî ðjåøå»å ñå áèðà èíâåðòî- âà»åì âðèjåäíîñòè íåêèõ k åëåìåíàòà íèçà âåçàíîã çà ïîëàçíî ðjåøå»å, èëè ïîñòàâ§à»åì íåêèõ k åëåìåíàòà íèçà íà íóëó, ÷èìå ñå îáåçájå¢ójå äà òèõ k îäãîâàðàjó£èõ ãðàíà íå óëàçè ó ðjåøå»å. Åêñïåðèìåíòè èçâðøåíè íà ñëó÷àjíî ãåíåðèñàíèì èíñòàíöàìà óêàçójó íà ïîóçäàíîñò óïîòðåáå îâèõ ìåòîäà. Çà ìà»å èíñòàíöå, äîñòèãíóòà ñó îïòèìàëíà ðjåøå»à, êîjà ñó âåðèôèêîâàíà ìåòîäîì òîòàëíå åíóìåðàöèjå. Çà âå£å èíñòàíöå, îáà ìåòîäà äîñòèæó êâàëèòåòíà ðjåøå»à ó ðàçóìíîì âðåìåíó. RVNS jå çíà÷àjíî áðæè îä GA, äîê GA ïðîíàëàçè ðjåøå»à áî§åã êâàëèòåòà. Îâè ðåçóëòàòè ïðåäñòàâ§àjó ïðâå åêñïåðèìåíòàëíå ðåçóëòàòå çà ñëó÷àjåâå p P 2. Ïðåòõîäíî îïèñàíî èñòðàæèâà»å ñå ìîæå ïðîøèðèòè ó íåêîëèêî ñìjåðîâà. Íóìåðè÷êè ðåçóëòàòè äîáèjåíè çà âðèjåäíîñòè p 5 ) è p 5 2 ñó îõðàáðójó£è çà ïðèìjåíó àëãîðèòìà çà ðjåøàâà»å MED è BTR ïðîáëåìà, êàî è ïðèìjåíó íà ðåàëíå èíñòàíöå èç áèîëîãèjå. Äðóãè ïðàâàö äà§åã èñòðàæèâà»à ìîæå áèòè îðèjåíòèñàí êà èìïëåìåíòàöèjè àëãîðèòàìà íà ïàðaëåëíèì ìàøèíàìà øòî áè çíà÷àjíî óíàïðèjåäèëî ïåðôîðìàíñå ñàìèõ àëãîðèòàìà. 73 Ãëàâà 5 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà 5.1 Óâîä Íåêà jå C êîëåêöèjà êîíà÷íèõ ïîäñêóïîâà ñêóïà e. Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà (åíã. Set splitting problem) jå îäðå¢èâà»å äà ëè ïîñòîjè ïàðòèöèjà ñêóïà e íà äâà íåïðàçíà ïîäñêóïà b) è b2, òàêâà äà ñâàêè åëåìåíò êîëåêöèjå C èìà íåïðàçàí ïðåñjåê è ñà b) è b2. Äðóãèì ðèjå÷èìà, íèjåäàí åëåìåíò êîëåêöèjå C íèjå ïîäñêóï íè b) íè b2. Îïòèìèçàöèîíà âàðèjàíòà îâîã ïðîáëåìà ñå íàçèâà Ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíå ïîäjåëå ñêóïà (åíã. Maximum Set Splitting Problem - MSSP), ãäjå jå öè§ ïðîíà£è îíó ïàðòèöèjó ñêóïà e, òàêâó äà jå áðîj åëåìåíàòà êîëåêöèjå C ñà íåïðàçíèì ïðåñjåêîì è ñà b) è ñà b2 ìàêñèìàëàí. Ïîäñêóïîâè êîëåêöèjå C ñà îâîì îñîáèíîì ñå íàçèâàjó ïîäèjå§åíè ïîäñêóïîâè. Ó òåæèíñêîj âàðèjàíòè îâîã ïðîáëåìà, ïîäñêóïîâè êîëåêöèjå C èìàjó òåæèíå, à öè§ jå ìàêñèìèçîâàòè óêóïíó òåæèíó ïîäèjå§åíèõ ïîäñêóïîâà. Äîêàç äà jå îâàj ïðîáëåì NP òåæàê äàî jå L. Lovasz ó [76], ãäjå jå àóòîð èñòðàæèâàî íåêå èíâàðèjàíòå õèïåðãðàôîâà. Õèïåðãðàô jå óîïøòå»å ãðàôà, ãäjå çà äàòè ñêóï ÷âîðîâà V , ñà jåäíîì ãðàíîì, ìîæå áèòè èíöèäåíòàí ïðîèçâî- §àí áðîj ÷âîðîâà èç V (îâàêâà ãðàíà íàçèâà ñå õèïåðãðàíà). Ïðîáëåì ïðîíàëà- æå»à ìèíèìàëíîã áðîjà áîjà êîjå ñó ïîòðåáíå äà ñå îáîjå ÷âîðîâè ãðàôà íà òàj íà÷èí äà íèjåäíà ãðàíà íåìà ñâå ÷âîðîâå îáîjåíå ñàìî jåäíîì áîjîì ñå ïîêàçàî ïîäjåäíàêî òåøêèì êàî è îäðå¢èâà»å õðîìàòñêîã áðîjà ãðàôà. Ïîñåáàí ñëó÷àj jå áîjå»å ÷âîðîâà ó òà÷íî äâèjå áîjå, à îïòèìèçàöèîíà âàðèjàíòà îâîã ïðîáëåìà ñå íàçèâà "ìàêñèìàëíî 2 - áîjå»å õèïåðãðàôà" (åíã. Max Hypergraph 2-Coloring - ÌH2C). Ïðåöèçíèjå, 2 - áîjå»å õèïåðãðàôà jå îäðå¢èâà»å äà ëè ñå ñâè ÷âîðîâè ãðàôà ìîãó îáîjèòè ñà äâèjå áðîjå (íà ïðèìjåð ó áèjåëó è öðíó), òàêî äà ñâàêà õèïåðãðàíà èìà íàjìà»å ïî jåäàí ÷âîð ñâàêå áîjå. Ïðîáëåì ìàêñèìàëíîã 2- 74 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà áîjå»à õèïåðãðàôà jå ìàêñèìèçîâà»å áðîjà õèïåðãðàíà êîjå ñàäðæå íàjìà»å ïî jåäàí áèjåëè è jåäàí öðíè ÷âîð. Óòâð¢åíî jå äà ñó MSSP è MH2C èñòè ïðîáëåìè. Çàèñòà, çà äàòè ñêóï ÷âîðîâà V ó õèïåðãðàôó, ñâàêà õèïåðãðàíà äåôèíèøå jåäàí ïîäñêóï îä V , êîjè ñàäðæè åëåìåíòå èíöèäåíòíå ñà õèïåðãðàíîì. Òàäà jå ñêóï ñâèõ õèïåðãðàíà çàïðàâî jåäíà êîëåêöèjà C ïîäñêóïîâà îä V . Òàêî, îäðå¢èâà»å 2-áîjå»à ñêóïà ÷âîðîâà êîjèì ñå ìàêñèìèçójå áðîj õèïåðãðàíà êîjå ñàäðæå ÷âîðîâå ó îájå áîjå jå èñòè çàäàòàê êàî è ïðîíàëàæå»å ïàðòèöèjå ñêóïà V , òàêâå äà ñâàêè ïîäñêóï èç C ñàäðæè ÷âîðîâå èç îájå ïàðòèöèjå. Äîáðî ïîçíàòè Max Cut ïðîáëåì jå ñïåöèjàëíà âàðèjàíòà îä MSSP. Çà äàòè ãðàô G 5 (VMW), Max Cut ïðîáëåì jå îäðå¢èâà»å ïàðòèöèjå ñêóïà V ó äâà ïîäñêóïà V) è V2, òàêàâ äà jå áðîj ãðàíà ñà êðàjåâèìà ó ðàçëè÷èòèì ïàðòèöèjàìà ìàêñèìèçîâàí. Òàêî, ìîæå ñå ðå£è äà jå Max Cut ïðîáëåì ïîñåáàí ñëó÷àj ÌH2C ïðîáëåìà êîä êîãà jå ñâàêà õèïåðãðàíà èíöèäåíòíà ñà òà÷íî äâà ÷âîðà, èëè ñëó÷àj MSSP, êîä êîãà ñó ñâè ñêóïîâè èç êîëåêöèjå C êàðäèíàëíîñòè 2. Ïðèìjåð 5.1. Íåêà jå e 5 {)M 2M +M 4M 5M 6M 7} è C 5 {e)M e2M e+M e4M e5}, e) 5 {)M 2M +M 7}, e2 5 {2M +}, e+ 5 {2M +M 4M 5}, e4 5 {4M 5M 7}, e5 5 {)M 6M 7}. Íà ñëèöè 5.1 jå ïðèêàçàí õèïåðãðàô, ñà ÷âîðîâèìà {v)M v2M LLLM v7} êîjè îäãîâàðàjó åëåìåíòèìà ñêóïà e è õèïåðãðàíàìà êîjå îäãîâàðàjó åëåìåíòèìà èç C. ×âîðîâè v2 è v7 ñó îáîjåíè áèjåëîì áîjîì, à îñòàëè öðíîì. Ëàêî ñå âèäè äà ñâàêà õèïåðãðàíà èìà áàðåì ïî jåäàí ÷âîð îáîjåí ó ñâàêó áîjó. Òàêî jå ïàðòèöèjà (b)M b2) 5 ({2M 7}M {)M +M 4M 5M 6}) îïòèìàëíà, jåð ñâàêè ïîäñêóï ñàäðæè áàð ïî jåäàí åëåìåíò ó ñâàêîj ïàðòèöèjè. v1 v2 v3 v4v5 v6 v7 e1 e2 e3 e4 e5 Ñëèêà 5.1: Ïðèìjåð ìàêñèìàëíîã 2 - áîjå»à õèïåðãðàôà 75 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà 5.2 Ïðèìjåíà MSSP ó îáðàçîâà»ó Êàî è äðóãè ñëè÷íè ïðîáëåìè êîjè ïîäðàçóìèjåâàjó ïîäjåëó jåäíå öjåëèíå íà ìà»å äèjåëîâå ïî íåêîì çàäàòîì êðèòåðèjóìó, è MSSP ìîæå áèòè ïðèìèjå»åí çà ðjåøàâà»å íåêèõ îðãàíèçàöèîíèõ ïðîáëåìà. Ó îâîj ñåêöèjè àíàëèçèðàjó ñå íåêå îïøòå ïðèìjåíå, êàî è jåäíà äåòà§íèjà èëóñòðàöèjà ïðèìjåíå ïîäjåëå ëåêöèjà êóðñà íà äâà äèjåëà. 5.2.1 Îïøòå ïðèìjåíå MSSP ó îáðàçîâà»ó Ïðåòïîñòàâèìî äà ñå ó ðàäíîj jåäèíèöè ðàñïîëàæå ñêóïîì çàïîñëåíèõ êîjè òðåáàjó äà îáàâå íåêå çàäàòêå. Ñâàêè çàïîñëåíè ìîæå äà îáàâ§à âèøå çàäàòàêà è çà ñâàêè çàäàòàê ìîæå äà ïîñòîjè âèøå çàïîñëåíèõ êîjè ìîãó äà ãà îáàâ§àjó. Àêî jå öè§ äà ñå îáåçáèjåäè ôëåêñèáèëíîñò ó îðãàíèçàöèjè òàêî øòî ñå ñêóï çàäàòàêà ðàçáèjà íà äâà ïîäñêóïà (íà ïðèìjåð îáàâ§à»å çàäàòàêà íà äâèjå ëîêàöèjå), íà íà÷èí äà áðîj çàïîñëåíèõ êîjè ìîãó äà ðàäå áàðåì jåäàí çàäàòàê íà ñâàêîj ëîêàöèjè áóäå øòî jå ìîãó£å âå£è, îíäà ñå îâàj ïðîáëåì çàïðàâî ñâîäè íà ðjåøàâà»å MSSP, ãäjå ñå ñâàêè çàäàòàê ïîñìàòðà êàî åëåìåíò ñêóïà ñâèõ çàäàòàêà, äîê ñå ñâàêè çàïîñëåíè èäåíòèôèêójå ñà ïîäñêóïîì òîã ñêóïà. Òàj ïîäñêóï ñàäðæè ñâå îíå çàäàòêå êîjå òàj çàïîñëåíè ìîæå äà îáàâ§à. Ðjåøå»å MSSP òàäà îäãîâàðà ïîñòàâ§åíîì öè§ó. Ñ îáçèðîì äà jå îäíîñ çàäàòàêà è çàïîñëåíèõ òçâ. îäíîñ "âèøå íà ïðåìà âèøå", öè§ ñå ìîæå ïîñòàâèòè è îáðíóòî: Çàïîñëåíè ñå ïîñìàòðàjó êàî åëåìåíòè ñêóïà, à çàäàöè ñó ïîäñêóïîâè òîã ñêóïà (ïîäñêóï ñàäðæè ñâå îíå çàïîñëåíå êîjè ìîãó äà îáàâ§àjó äàòè çàäàòàê). Ó îâîj ïîñòàâöè ñêóï çàïîñëåíèõ òðåáà ðàçáèòè ó äâà ïîäñêóïà, êîjè ñå íà ïðèìjåð âåçójó çà äâà äèñjóíêòíà âðåìåíñêà ïåðèîäà, àëè òàêî äà jå áðîj çàäàòàêà êîjè ñå ìîãó îáàâ§àòè è ó jåäíîì è ó äðóãîì ïåðèîäó ìàêñèìèçîâàí. Ó îáðàçîâà»ó, îâàj ïðèñòóï ñå ìîæå ïðèìèjåíèòè, íà ïðèìjåð, ó îðãàíèçîâà»ó §åò»èõ è çèìñêèõ øêîëà. Ïðåòïîñòàâèìî äà ñå ðàñïîëàæå ñêóïîì {W)M W2M LLLM WS} îäm ïðåäàâà÷à è óêóïíî n íàñòàâíèõ îáëàñòè {t)M t2M LLLM tT} çà êîjå òðåáà îðãàíèçî- âàòè ïðåäàâà»à. Çà ñâàêó íàñòàâíó îáëàñò ïîñòîjè ëèñòà ïðåäàâà÷à (ïîäñêóï ñêóïà ïðåäàâà÷à), êîjè ìîãó äà ïðåäàjó òó îáëàñò. Çáîã ñìà»å»à òðîøêîâà, ñâàêè ïðåäàâà÷ ñå àíãàæójå ñàìî ó jåäíîì ïåðèîäó (èëè ó §åò»îj èëè ó çèìñêîj øêîëè). Öè§ jå çà ñâàêîã ïðåäàâà÷à îäðåäèòè ïåðèîä êàäà jå àíãàæîâàí, àëè òàêî äà jå áðîj îáëàñòè êîjå ñó ïîêðèâåíå ïðåäàâà÷èìà ó îáà ïåðèîäà ìàêñèìè- çîâàí. Îâîì öè§ó îäãîâàðà ðjåøå»å îäãîâàðàjó£åã MSSP. Äðóãè ìîäåë ïðèìjåíå, êîjè £å ó íàðåäíîì îäjå§êó áèòè äåòà§íèjå îájàø»åí, 76 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà ñâîäè ñå íà ñ§åäå£å ðàçìàòðà»å. Ìàòåðèjàë çà íåêè êóðñ ñå ïðèðîäíî äèjåëè ïî ëåêöèjàìà. Ïðåòïîñòàâèìî äà èç íåêå íàó÷íå îáëàñòè ïîñòîjè âèøå òåìàòñêèõ öjåëèíà êîjå ñå ó íåêîj ìjåðè ïîêðèâàjó äàòèì êóðñîì. Jåäíà ëåêöèjà ìîæå äà ñïàäà ó ðàçëè÷èòå òåìàòñêå öjåëèíå, à ñâàêà òåìàòñêà öjåëèíà ñàäðæè âèøå ëåêöèjà. Ñà ìåòîäè÷êîã àñïåêòà, áèëî áè êîðèñíî íàïðàâèòè ïîäjåëó ëåêöèjà ó äâèjå öjåëèíå (íà ïðèìjåð íà çèìñêè è §åò»è ñåìåñòàð), àëè òàêî äà øòî âèøå òåìàòñêèõ öjåëèíà áóäó ïðèñóòíå ó îáà ñåìåñòðà. Òèìå áè ñå îìîãó£èëî äà îñíîâå (è íå ñàìî îñíîâå) ñâàêå òåìàòñêå öjåëèíå áóäó ïîíîâ§åíå è êîíòèíóèðàíî îáðà¢èâàíå òîêîì ÷èòàâå àêàäåìñêå ãîäèíå, øòî ãåíåðàëíî äîïðèíîñè ïîáî§øà- »ó êâàëèòåòà ó÷å»à [92]. Àêî çà îâàj ïðèñòóï íàïðàâèìî îäãîâàðàjó£è ìàòåìà- òè÷êè ìîäåë è ëåêöèjå ïðåäñòàâèìî åëåìåíòèìà ñêóïà, à òåìàòñêå öjåëèíå èäåí- òèôèêójåìî êàî ïîäñêóïîâå êîjè ñàäðæå îäãîâàðàjó£å ëåêöèjå, òàäà ðjåøå»ó îïèñàíîã çàäàòêà îäãîâàðà ðjåøå»å îäãîâàðàjó£åã MSSP. Îâî ðàçìàòðà»å jå èëóñòðîâàíî íà êîíêðåòíîì êóðñó ó íàðåäíîì îäjå§êó. 5.2.2 Ïîäjåëà ñêóïà ëåêöèjà èç êóðñà Óâîä ó ðà÷óíàðñòâî Çà ïîòðåáå èëóñòðàöèjå ïîäjåëå êóðñà íà äâà äèjåëà ïî ïðèíöèïó MSSP îäàáðàí jå êóðñ èç Óâîäà ó ðà÷óíàðñòâî êîjè ñå ïðåäàjå íà ïðâîj ãîäèíè ñòóäèjà íà Ñòóäèjñêîì ïðîãðàìó Ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà Ïðèðîäíî ìàòåìàòè÷êîã ôà- êóëòåòà ó Áà»àëóöè. Öè§ êóðñà jå äà ñòóäåíòèìà îìîãó£è ñàâëàäàâà»å îñíîâíèõ çíà»à èç àðõèòåêòóðå ðà÷óíàðà è îñíîâà ïðîãðàìèðà»à, êðîç ïðîãðàìñêè jåçèê Python. Óêóïàí ôîíä ÷àñîâà ïðåäàâà»à jå 90 (15 ñåäìèöà ïî 3 ÷àñà ñåäìè÷íî, ó äâà ñåìåñòðà). Äà áè ñå íàïðàâèî îäãîâàðàjó£è ìàòåìàòè÷êè ìîäåë çà äàòè êóðñ íà êîjè ìîæå äà ñå ïðèìèjåíè íåêà òåõíèêà çà ðjåøàâà»å MSSP, ïîòðåáíî jå äà ñå óðàäe òðè çàäàòêà: (a) èäåíòèôèêàöèjà ëåêöèjà; (á) èäåíòèôèêàöèjà òåìàòñêèõ öjåëèíà; (ö) ñìjåøòà»å ëåêöèjà ó îäãîâàðàjó£å òåìàòñêå öjåëèíå. Èäåíòèôèêàöèjà ëåêöèjà Íà îñíîâó ïëàíà è ïðîãðàìà, äîñòóïíîã è íà èíòåðíåò ñòðàíèöàìà Ôàêóëòåòà (http://www.matinf.pmfbl.org), âèäè ñå äà jå ñàäðæàj ÷èòàâîã êóðñà ðàñïîðå¢åí ó äâà ñåìåñòðà îä ïî 15 ñåäìèöà. Ñ îáçèðîì íà ôîíä îä 3 ÷àñà ñåäìè÷íî, ó çàâèñíîñòè îä oáèìà ëåêöèjà è òåæèíå ãðàäèâà, ó ñâàêîj ñåäìèöè ñå íàj÷åø£å 77 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà îáðà¢ójó ïî äâèjå èëè òðè ëåêöèjå. Íà òàj íà÷èí, èäåíòèôèêîâàíî jå óêóïíî 76 ëåêöèjà, êîjå ó ìàòåìàòè÷êîì ìîäåëó ïðåäñòàâ§àjó åëåìåíòå ñêóïà êîjè ñå ïàðòèöèîíèøå. Ñïèñàê ñâèõ ëåêöèjà, ïðèêàçàí jå ó òàáåëè 5.1. Çáîã óøòåäå ïðîñòîðà è áî§å ïðåãëåäíîñòè, íàçèâè íåêèõ ëåêöèjà ñó ñêðà£åíè. Ïî çâàíè÷íîì àêðåäèòîâàíîì ïðîãðàìó, ÷èòàâ êóðñ èç Óâîäà ó ðà÷óíàðñòâî jå ïîäèjå§åí è îðãàíèçîâàí ó äâà jåäíîñåìåñòðàëíà êóðñà, Óâîä ó ðà÷óíàðñòâî 1 è Óâîä ó ðà÷óíàðñòâî 2. Òðåíóòíà ïîäjåëà ëåêöèjà ïî ñåìåñòðèìà îäãîâàðà ðåäîñëèjåäó ëåêöèjà ó òàáåëè 5.1: ïðâèõ 39 ëåêöèjà ñó ëåêöèjå èç çèìñêîã, äîê ñó ëåêöèjå îä ðåäíîã áðîjà 40 äî 76 èç §åò»åã ñåìåñòðà. Ñ îáçèðîì íà ÷è»åíèöó äà ñó ëåêöèjå âå£ ïîäèjå§åíå ïî ñåìåñòðèìà, öè§ èñòðàæèâà»à ïðèêàçàí ó îâîì îäjå§êó jå äâîjàê: (a) äà ñå óñòàíîâè êîëèêî òðåíóòíà ïîäjåëà êóðñà îäãîâàðà ïðåïîðóöè äà øòî âèøå òåìàòñêèõ öjåëèíà áóäó ïðèñóòíå ó îáà ñåìåñòðà; (á) äà ñå ïðåäëîæè ïðåðàñïîäjåëà ëåêöèjà, ó îäíîñó íà ïîñòîjå£ó, êàêî áè ñå ïîñòèãëà áî§à ïîäjåëà, íà îñíîâó ôîðìèðàíîã ìàòåìàòè÷êîã ìîäåëà äàòîã MSSP. Òàáåëà 5.1  Ñïèñàê ëåêöèjà Ð.á. Íàçèâ ëåêöèjå 1 Õàðäâåð è ñîôòâåð. CPU è ãëàâíà ìåìîðèjà. Input/Output jeäèíèöå. Êàòåãîðèjå ñîôòâåðà. 2 Àíàëîãíî è äèãèòàëíî. Äèãèòàëíî ïðåäñòàâ§à»å ïîäàòàêà. Áèíàðíè áðîjåâè. 3 Ñïåöèôèêàöèjà ðà÷óíàðà. Ìåìîðèjà. ×óâà»å ïîäàòàêà ó ìåìîðèjè. Âðñòå è êàïàöèòåò ìåìîðèjå. 4 Ñòðóêòóðà CPU. Èíñòðóêöèîíè öèêëóñ. 5 Ìðåæå ðà÷óíàðà, íà÷èíè ïîâåçèâà»à. Èíòåðíåò. TCP/IP. Äîìåíè. WWW. HTML 6 Ôóíêöèjà ðà÷óíàðñêîã ñèñòåìà. Ñòðóêòóðà ðà÷óíàðñêîã ñèñòåìà. Îðãàíèçàöèjà è àðõèòåêòóðà ðà÷óíàðñêîã ñèñòåìà. Ôîí Íîjìàíîâà ìàøèíà. 7 Àçáóêà è êîäîâè. Áðîj÷àíè ñèñòåìè. Ïðåâî¢å»å öèjåëèõ áðîjåâà. Ïðåâî¢å»å ðàçëîì§åíîã äèjåëà. Õèjåðàðõèjà ïîäàòàêà ó ðà÷óíàðó. Çàïèñ çíàêîâíèõ ïîäàòàêà ó ðà÷óíàðó. 8 Ñàáèðà»å è îäóçèìà»å ó áèíàðíîì è õåêñàäåöèìàëíîì ñèñòåìó. Ïðåâî¢å»å èç õåêñàäåöèìàëíîã ó äåêàäíè ñèñòåì è îáðàòíî. 9 Çàïèñ íåîçíà÷åíèõ è îçíà÷åíèõ áðîjåâà, íåïîòïóíè è ïîòïóíè êîìïëåìåíò. 10 Êîíâåðçèjà èçìå¢ó çàïèñà ðàçëè÷èòèõ äóæèíà, ïðîìjåíà çíàêà è ñàáèðà»å è îäóçèìà»å íåîçíà÷åíèõ áðîjåâà, ñàáèðà»å è îäóçèìà»å áðîjåâà ó íåïîòïóíîì è ïîòïóíîì êîìïëåìåíòó. 11 Ìíîæå»å íåîçíà÷åíèõ öèjåëèõ áðîjåâà, ìíîæå»å öèjåëèõ áðîjåâà ó íåïîòïóíîì è ïîòïóíîì êîìïëåìåíòó, äèjå§å»å öèjåëèõ áðîjåâà. 12 Äåöèìàëíà àðèòìåòèêà: ïðîìjåíà çíàêà, ñàáèðà»å è îäóçèìà»å. Ðåàëíè áðîjåâè ó íåïîêðåòíîì è ïîêðåòíîì çàðåçó. Çàïèñ ñà õåêñàäåöèìàëíîì îñíîâîì. 13 IEEE ñòàíäàðä 754. Ñàáèðà»å è îäóçèìà»å ó íåïîêðåòíîì è ïîêåòíîì çàðåçó. Ìíîæå»å è äèjå§å»å ó íåïîêðåòíîì è ïîêðåòíîì çàðåçó. 14 Çàïèñ òåêñòà, ñëèêå è çâóêà. 15 Äåôèíèöèjà ïðîãðàìà, ïðîãðàìèðà»à è ðà÷óíàðñêèõ íàóêà. 16 Èíñòàëàöèjà è îïèñ ðàäíîã îêðóæå»à çà ïðîãðàìñêè jåçèê Python. Ïðîöåñ ôîðìèðà»à ïðîãðàìà ó ðàäíîì îêðóæå»ó. Èçðàçè ó Python-ó. 17 Àðèòìåòè÷êè è ëîãè÷êè èçðàçè. Òèïîâè ó Python-ó. Òèïîâè int è oat. Ïðèîðèòåò îïåðàòîðà. 18 Âàðèjàáëå è îïåðàòîð äîäjåëå âðèjåäíîñòè. Ñëîæåíè îïåðàòîðè è îïåðàòîð äîäjåëå âðèjåäíîñòè. 19 Ãðåøêå è ìåõàíèçìè îòêðèâà»à ãðåøàêà. Ïîjàì ôóíêöèjå è îñíîâíå îñîáèíå ôóíêöèjà. Ëîêàëíå è ãëîáàëíå âàðèjàáëå. 20 Óãðà¢åíå ôóíêöèjå (åíã. Build-in) jåçèêà Python. Ñòèëîâè ïðè ïèñà»ó ïðîãðàìà êîjè ñàäðæå èçðàçå è îïåðàòîð äîäjåëå. Êîìåíòàðè ó ïðîãðàìèìà. 21 Ñòðèíãîâè è îïåðàöèjå íàä ñòðèíãîâèìà. Escape ñåêâåíöå. Ñòðèíãîâè ó âèøå ëèíèjà. Êîìàíäà print(). Ôîðìàòèðà»å èçëàçà. Êîðèñíè÷êè óëàç è êîìàíäà raw_input(). 22 Ìîäóëè è ïðèìjåðè ìîäóëà. Èìïîðòîâà»å ìîäóëà. Äåôèíèñà»å âëàñòèòèõ ìîäóëà. Øòà ñå äåøàâà ïðèëèêîì èìïîðòîâà»à ìîäóëà. Ïðîãðàìèðà»å help-à ó Python-ó. 78 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.1  Ñïèñàê ëåêöèjà - íàñòàâàê Ð.á. Íàçèâ ëåêöèjå 23 Îájåêòè è ìåòîäå ó Python-ó. 24 Ðàä ñà ñëèêàìà. Ïèêñåëè è áîjå. 25 Ëèñòå. Ëèñòå è èíäåêñè. Ìîäèôèêîâà»å ëèñòè. Óãðà¢åíå ôóíêöèjå çà ðàä ñà ëñòàìà. Îáðàäà ÷ëàíîâà ëèñòå. Èçäâàjà»å äèjåëîâà ëèñòå (åíã. slicing). Èíâåðç ëèñòå è ïàëèíäðîìè. Ïñåóäîíèìè (aliasi). Ìåòîäå ëèñòå. Óãíèjåæäåíå ëèñòå. Ðàçíå âðñòå íèçîâà. Äàòîòåêå êàî ëèñòå (ïðåäñòàâ§à»å äàòîòåêå ëèñòàìà). Àðãóìåíòè êîìàíäíå ëèíèjå. 26 Êîìàíäå èçáîðà (ãðàíà»à) ó Python-ó. Áóëîâà ëîãèêà. Áóëîâè îïåðàòîðè. Ðåëàöèîíè îïåðàòîðè. Ïðèìjåíà Áóëîâèõ îïåðàòîðà íà int, oat i string. 27 Êîìàíäà if. Óã»åæäåíå êîìàíäå ãðàíà»à, îïåðàòîð äîäjåëå è óñëîâè ãðàíà»à. 28 Êîìàíäå ïîíàâ§à»à ó Python-ó. Êîìàíäà for. Ôóíêöèjà range(). Ôóíêöèjà enumerate(). 29 Óãíèjåæäåíå for ïåò§å. Ïðèìjåð îáèëàæå»à äâîäèìåíçèîíàëíå ìàòðèöå. Êîìàíäà while. Êîìàíäå break è continue. Ñòèëîâè ïðè ïðîãðàìèðà»ó êîìàíäè ãðàíà»à è ïåò§è. 30 Äàòîòåêå. Îòâàðà»å äàòîòåêà ñà ðà÷óíàðà çà ÷èòà»å, äîäàâà»å èëè ïèñà»å. Îòâàðà»å äàòîòåêà ñà Interneta. Ðàä ñà äàòîòåêîì êîjà èìà jåäàí ñëîã ó ëèíèjè. Ñëîãîâè ñà âèøå ïî§à ó ëèíèjè. Ñëîãîâè ñà ïîçèöèîíèðàíèì ïî§èìà ó ëèíèjè. Ñëîãîâè ñà âèøå ëèíèjà. Look ahead ïðè ÷èòà»ó äàòîòåêà. 31 Ïèñà»å ó äàòîòåêå. 32 Ñêóïîâè ó Python-ó. Ðjå÷íèöè. Èíâåðòîâà»å ðjå÷íèêà. Àëãîðèòìè. Euklid-îâ, Wirth-îâ è øêîëñêè àëãîðèòàì çà ÍÇÄ. 33 Ðåêóðçèjà. Ðåêóðçèâíè è èòåðàòèâíè àëãîðèòàì çà ðà÷óíà»å ôàêòîðèjàëà è Fibonacci-jåâèõ áðîjåâà. 34 Àëãîðèòìè ïðåòðàæèâà»à. Ïîðå¢å»å ïðîãðàìà ïî äóæèíè âðåìåíà èçâî¢å»à. Ïðåòðàæèâà»å è ñîðòèðà»å. 35 Îñíîâíî ëèíåàðíî ïðåòðàæèâà»å è ïðåòðàæèâà»å ñà sentinel-îì. Ìjåðå»å âðåìåíà ëèíåàðíîã ïðåòðàæèâà»à. Áèíàðíî ïðåòðàæèâà»å. 36 Ñîðò ìjåõóðè£èìà. Ñîðò èçáîðîì. Ñîðò óìåòà»åì. Quick ñîðò. Merge ñîðò. Ïîðå¢å»å âðåìåíà ðàäà àëãîðèòàìà ñîðòèðà»à. 37 Êîíñòðóêöèjå. Äîäàòíå îñîáèíå ôóíêöèjà. 38 Èçóçåöè. Òåñòèðà»å ïðîãðàìà. Äåáàãèðà»å ïðîãðàìà. 39 Óçîðöè (åíã. Patterns) 40 Ëîãè÷êå îñíîâå îáðàäå ïîäàòàêà: Áóëîâà àëãåáðà, Ïóí ñèñòåì ôóíêöèjà, SDNF è SKNF, Ìåòîäå ìèíèìèçàöèjå ëîãè÷êèõ ôóíêöèjà, Ëîãè÷êè åëåìåíòè çà îáðàäó ïîäàòàêà, Êîìáèíàöèîíå ìðåæå, Ñåêâåíöèjàëíå ìðåæå, Ïðèìjåðè. 41 Ñòðóêòóðà ñàâðåìåíîã ðà÷óíàðñêîã ñèñòåìà: Ôîí Íîjìàíîâà ìàøèíà, Ñèñòåì ïðåêèäà, Áðçèíà îáðàäå ïîäàòàêà 42 Ïðîöåñîðè: Îðãàíèçàöèjà öåíòðàëíîã ïðîöåñîðà, Ðåãèñòðè, Òåõíîëîãèjå èçðàäå ìèêðîïðîöåñîðà, Òðàíçèñòîðè, Òåõíîëîãèjå èçðàäå áðçèõ ÷èïîâà, CISC è RISC àðõèòåêòóðà ìèêðîïðîöåñîðà, Îñîáèíå RISC ïðîöåñîðà. 43 Ìàøèíñêå èíñòðóêöèjå: Êàðàêòåðèñòèêå ìàøèíñêèõ èíñòðóêöèjà, Ôîðìàòè è òèïîâè èíñòðóêöèjà, Áðîj àäðåñà ó èíñòðóêöèjè. Íà÷èíè àäðåñèðà»à ó ìàøèíñêèì èíñòðóêöèjàìà 44 Ìàøèíñêè è àñåìáëåðñêè jåçèöè, Ïîçèâè ïîäïðîãðàìà, Ñìjåøòà»å ïîäàòàêà ó ìåìîðèjè. 45 Ìåìîðèjå è óëàçíî/èçëàçíè ïîäñèñòåì: Óíóòðàø»à ìåìîðèjà, Êàðàêòåðèñòèêå, Êåø ìåìîðèjà, Ñïî§àø»å ìåìîðèjå, Ìàãíåòíè è îïòè÷êè ìåäèjè, 46 Ó/È ìîäóëè, Òåõíèêå èçâðøàâà»à Ó/È îïåðàöèjà, Ó/È óðå¢àjè è »èõîâå êàðàêòåðèñòèêå 47 Îòêðèâà»å è êîðåêöèjà ãðåøàêà: Ìåòîäå çà îòêðèâà»å è ìåòîäå çà îòêðèâà»å è êîðåêöèjó ãðåøàêà 48 Ïðåòðàæèâà»å: Íàëàæå»å ìèíèìóìà ó ëèñòè, Ïðîëàæå»å êðîç ëèñòó, Ìjåðå»å âðåìåíà ïðåòðàæèâà»à, 49 Ëèíåàðíî ïðåòðàæèâà»å: while è for âåðçèjå ëèíåàðíîã ïðåòðàæèâà»à, Sentinel, Òàjìèíã ëèíåàðíîã ïðåòðàæèâà»à. 50 Áèíàðíî ïðåòðàæèâà»å: Ñëîæåíîñò àëãîðèòàìà áèíàðíîã ïðåòðàæèâà»à, óãðà¢åíà ôóíêöèjà áèíàðíîã ïðåòðàæèâà»à 51 Àëãîðèòìè, Ïðîãðàì 52 Ñëîæåíîñò ñîðòîâà ó íàjáî§åì è íàjãîðåì ñëó÷àjó: Ñîðò ìjåõóðè£èìà (åíã. Bubble sort), Ñîðò óìåòà»åì (åíã. Insert sort), Ñîðò èçáîðîì (åíã. Choice sort). 53 Ñîðò ñïàjà»åì (åíã. Merge sort), Áðçè ñîðò (åíã. Quick sort) 54 Äåôèííèöèjå ôóíêöèjà: Ïîäðàçóìèjåâàíè (åíã. default) ïàðàìåòðè, Ëèñòå ïàðàìåòàðà, Ïàðàìåòðè ñà íàçèâèìà. 55 Èçóçåöè: tray è except, except îájåêàòà. Èçóçåöè: Ôóíêöèjå è èçóçåöè, raise èçóçåòàê, Still èçóçåòêà. 56 Òåñòèðà»å: Ôóíêöèîíàëíè òåñò, unit test, black-box test, glass-box test, Íåçàâèñíîñò, Îãðàíè÷å»à, Òåñòîì âî¢åí ðàçâîj ïðîãðàìà. Äåáàãèðà»å. 57 Îáðàñöè äèçàjíèðà»à: Fèêñíå âðèjåäíîñòè, Ñòåïåðè è êàóíòåðè, Íàjïîæå§íèjè íîñèëàö, Çàä»è íîñèëàö, 58 Êîíòåjíåð, Àêóìóëàòîð, Tåìïîðàëíà âàðèjàáëà, Çàñòàâèöà. Êëàñå: Àòðèáóòè, Ìåòîäå, Êîíñòðóêòîðè. 59 Ñïåöèjàëíå ìåòîäå: init ; str ; repr ; add ; sub Ìåòîäå dir è help. 60 Èíêàïñóëàöèjà ó îájåêòíî îðèjåíòèñàíîì ïðîãðàìèðà»ó (åíã. Encapsulation) 61 Ïîëèìîðôèçàì è íàñ§å¢èâà»å: ad hock ïîëèìîðôèçàì, Ïàðàìåòàðñêè ïîëèìîðôèçàì, Õèjåðàðõèjñêè ïîëèìîðôèçàì. 79 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.1  Ñïèñàê ëåêöèjà - íàñòàâàê Ð.á. Íàçèâ ëåêöèjå 62 Íàñ§å¢èâà»å: Ïðèìjåðè class Atom è class Molecule. 63 GUI: Îñíîâíè ïîjìîâè, Event-driven ïðîãðàìèðà»å. Modul Tkinter: Widgets: Button, Canvas, Checkbutton, Entry, Frame, Label, Listbox, Menu, Message, Menubutton, Text, TopLevel. 64 Îñíîâíå GUI êîíñòðóêöèjå: Frame, Entry, Ëàêè è òåøêè ïðîöåñè. Ìutable variables: intVar, String- Var, BooleanVar, DoubleVar. 65 Ìîäåëè, ïîãëåäè, êîíòðîëåðè: Ïðèìjåð. Êîðèøòå»å Lambda: Ïðèìjåð. 66 Ñòèë ïèñà»à GUI: Font, Color, Layout. Widget-i: Text, Checkbutton, Menu. 67 Îájåêòíî-îðèjåíòèñàíè GUI: Ïðèìjåð. 68 Áàçå ïîäàòàêà: Àðõèòåêòóðà áàçà ïîäàòàêà , sqlite3, MySQLdb, SQLAlchemy. sqlite3 ôóíêöèjå: connect(), cursor(), execute(), commit(). 69 SQL tipovi podataka: NULL, INTEGER, REAL, TEXT, BLOB. Òàáåëå ó SQL: CREATE TABLE TableName(ColumnName Type, ColumnName Type, ...), INSERT INTO VALUES. 70 Íàëàæå»å ïîäàòàêà ó Áàçàìà ïîäàòàêà: SELECT FROM, fetchone(), fetchall(), SELECT FROM ORDER BY. Óïèòè ñà óñëîâèìà: SELECT FROM WHERE, =; ! =; >; <;>=;<=. 71 Àïäåjòîâà»å è áðèñà»å ó áàçàìà ïîäàòàêà: UPDATE SET WHERE, DELETE FROM WHERE, DROP TABLE. 72 Òðàíñàêöèjå ó Áàçàìà ïîäàòàêà. NULL êàî çàìjåíà çà íåïîñòîjå£å ïîäàòêå. Êîðèøòå»å JOIN çà êîìáèíîâà»å òàáåëà(INNER JOIN). 73 ʧó÷åâè è îãðàíè÷å»à ó Áàçàìà ïîäàòàêà. Íàïðåäíå òåõíèêå Áàçà ïîäàòàêà: Àãðåãàöèjà, Ãðóïèñà»å, SelfJoins, Óãíèjåæäåíè óïèòè. 74 Ìðåæíè ìîäóëè : Socket. Êëèjåíò/Ñåðâåð ïàð: Ïðèìjåð. Ìðåæíè ìîäóëè urllib i urllib2: Îòâàðà»å óäà§åíèõ äàòîòåêà, ïîâðà£àj óäà§åíèõ äàòîòåêà. 75 Îïèñ ôóíêöèjà íåêèõ ìðåæíèõ ìîäóëà 1: asynchat, asyncore, cgi, Cookie, cookielib, email, ft- plib,gopherlib, httplib, imaplib. 76 Îïèñ ôóíêöèjà íåêèõ ìðåæíèõ ìîäóëà 2: mailbox, mailcap, mhlib, nntplib, poplib, robotparser, impleXMLRPCServer, smtpd, smtplib, telnetlib, urlparse, xmlrpclib. Èäåíòèôèêàöèjà òåìàòñêèõ öjåëèíà Ñ îáçèðîì íà îãðîìíó êîëè÷èíó íàó÷íîã, îáðàçîâíîã, êîìåðöèjàëíîã, çàáàâíîã è äðóãîã èíôîðìàòè÷êîã ñàäðæàjà, òå íà ïðèëè÷íî õåòåðîãåíå èçâîðå è êëàñèôè- êàöèjå, îäðå¢èâà»å òåìàòñêèõ öjåëèíà êîjå ïîêðèâàjó ÷èòàâó îáëàñò ðà÷óíàð- ñêèõ íàóêà ïðåäñòàâ§à çàõòjåâàí ïîñàî. Êàêî áè ñå îñèãóðàî îájåêòèâàí ïðèñòóï, ñà jåäíå ñòðàíå, è êîìïëåòíîñò è êîðåêíîñò ñà äðóãå, êàî ãëàâíà ðåôåðåíöà çà îäðå¢èâà»å òåìàòñêèõ öjåëèíà ó îâîì ðàäó êîðèøòåíè ñó ðåñóðñè îájàâ§åíè îä ñòðàíå óäðóæå»à Association for Computing Machinery (ACM ), jåäíîã îä íàjïîçíàòèjèõ è íàjâå£èõ ñâjåòñêèõ îáðàçîâíèõ è íàó÷íèõ óäðóæå»à èç îáëàñòè ðà÷óíàðñêèõ íàóêà. Jåäàí îä çàäàòàêà îâå îðãàíèçàöèjå jå êîíòèíóèðàíà èñïî- ðóêà ìàòåðèjàëà êîjè ñàäðæè ïðåïîðóêå çà êðåèðà»å ïëàíîâà è ïðîãðàìà ðà÷ó- íàðñêèõ êóðñåâà, êàî è ÷èòàâèõ ñòóäèjñêèõ ïðîãðàìà, êàêî áè ñå óñïjåøíèjå ïðàòèëè íàãëè íàïðåäàê è áðçå ïðîìjåíå ó îáëàñòè ðà÷óíàðñòâà. Ó ñâîì ïîñ§åä»åì èçâjåøòàjó [26] èç 2008. ãîäèíå, ACM jå ó ñàðàä»è ñà îäjåëîì çà åäóêàöèjó IEEE óäðóæå»à (IEEE Computer Society Education Activities Board) ïðåäñòàâèî íîâè Âîäè÷ çà ôîðìèðà»å ïëàíîâà è ïðîãðàìà èç îáëàñòè êîìïjóòåðñêèõ íàóêà, çàñíîâàí íà ïðåòõîäíîì èçâjåøòàjó èç 2001. ãîäèíå è íîâèì ñàçíà»èìà êîjà ñó ñòå÷åíà ó ìå¢óâðåìåíó. Îâàj èçâjåøòàj ïðóæà âàëèäíó îñíîâó çà êðåèðà»å ïëàíîâà ñòóäèjñêèõ ïðîãðàìà èç îáëàñòè ðà÷óíàðñêèõ íàóêà, êàî è ðàñïîðåäà ïîjåäèíà÷íèõ êóðñåâà è êîðèñòè ñå ó ìíîãèì âèñîêîøêîëñêèì óñòàíîâàìà øèðîì ñâèjåòà. Êàî îñíîâíè äîïðèíîñ ïðèêàçàí ó 80 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.2: Ñïèñàê îáëàñòè çíà»à Îáëàñò Îáëàñò (åíã.) ñêð. îá. èç. Äèñêðåòíå ñòðóêòóðå Discrete Structures DS 6 0 Îñíîâå ïðîãðàìèðà»à Programming Fundamentals PF 8 0 Àëãðèòìè è êîìïëåêñíîñò Algorithms and Complexity AL 5 6 Àðõèòåêòóðà è îðãàíèçàöèjà Architecture and Organization AR 6 4 Îïåðàòèâíè ñèñòåìè Operating Systems OS 6 8 Ìðåæíî ðà÷óíàðñòâî Net-Centric Computing NC 3 6 Ïðîãðàìñêè jåçèöè Programming Languages PL 6 5 Èíòåðàêöèjà ÷îâjåêà è ðà÷óíàðà Human-Computer Interaction HC 2 8 Ãðàôèêà è âèçóåëíî ðà÷óíà»å Graphics and Visual Computing GV 2 11 Èíòåëèãåíòíè ñèñòåìè Intelligent Systems IS 3 8 Óïðàâ§à»å èíôîðìàöèjàìà Information Management IM 3 12 Äðóøòâåíè è ïðîôåñèîí. àñïåêòè Social and Professional Issues SP 7 4 Ñîôòâåðñêè èíæå»åðèíã Software Engineering SE 8 6 Íàóêà î èçðà÷óíàâà»ó Computational Science CN 0 3 îâîì èçâjåøòàjó, èäåíòèôèêîâàíî jå òçâ. "òèjåëî çíà»à" (åíã. body of knowl- ådge), êîjå ñàäðæè ñâå ðåëåâàíòíå ðà÷óíàðñêå îáëàñòè, ïîäèjå§åíå ó 14 "îáëàñòè çíà»à" (åíã. knowledge areas). Ó òàáåëè 5.2 ïðèêàçàíå ñó òå îáëàñòè, ñà íàçèâèìà íà íàøåì è åíãëåñêîì jåçèêó, ñêðà£åíèì íàçèâîì íà åíãëåñêîì jåçèêó, çàjåäíî ñà áðîjåì ê§ó÷íèõ, îäíîñíî èçáîðíèõ îáëàñòè. Ñâàêà îä îâèõ îáëàñòè çíà»à ïîäèjå§åíà jå íà òåìàòñêå öjåëèíå, îçíà÷åíå êàî ê§ó÷íå èëè èçáîðíå. Óêóïíî jå ïðåäëîæåíî 146 òåìàòñêèõ öjåëèíà, îä êîjèõ ñó 65 ê§ó÷íå, à 81 èçáîðíå. Ó çàâèñíîñòè îä òîãà êîëèêè ñå çíà÷àj ïîñâå£ójå ïîñìàòðàíîj öjåëèíè, ó èçâjåøòàjó [26] jå ïðåäëîæåí è áðîj ÷àñîâà êîjå òðåáà ïîñâåòèòè ê§ó÷íèì òåìàòñêèì öjåëèíàìà. Ïðèðîäíî, ôóíäàìåíòàëíèì îáëàñòèìà jå äàòà âå£à âàæíîñò, òj. ïðåäëîæåí jå âå£è áðîj ê§ó÷íèõ òåìàòñêèõ öjåëèíà è âå£è ïðåäëîæåí áðîj ÷àñîâà. Òî ñó, ïðèjå ñâèõ, îáëàñòè: äèñêðåòíå ñòðóêòóðå, îñíîâå ïðîãðàìèðà»à, àëãîðèòìè è êîìïëåêñíîñò, àðõèòåêòóðà è îðãàíèçàöèjà, îïåðàòèâíè ñèñòåìè, ïðîãðàìñêè jåçèöè, ñîôòâåðñêè èíæå»åðèíã, òå äðóøòâåíè è ïðîôåñèîíàëíè àñïåêòè. Çà îñòàëå îáëàñòè çíà»à ïðåäëîæåí jå ìà»è áðîj ñàòè è ìà»è áðîj ê§ó÷íèõ îáëàñòè. Òèìå ñå êðåàòîðèìà ïëàíîâà è ïðîãðàìà îìîãó£àâà âå£à ôëåêñèáèëíîñò è ïðèëàãî¢àâà»å ñïåöèôè÷íèì ïîòðå- áàìà. Ñìjåøòà»å ëåêöèjà ó òåìàòñêå öjåëèíå Ñ îáçèðîì íà ÷è»åíèöó äà ïðåäëîæåíî "òèjåëî çíà»à" ïîêðèâà ÷èòàâó îáëàñò ðà÷óíàðñêèõ íàóêà, çà ïîòðåáå èñòðàæèâà»à è ãðóïèñà»à ëåêöèjà êóðñà Óâîä ó ðà÷óíàðñòâî ó îäãîâàðàjó£å òåìàòñêå öjåëèíå, áðîj òåìàòñêèõ îáëàñòè jå çíà÷àjíî 81 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.3: Ñïèñàê òåìàòñêèõ öjåëèíà è ïðèïàäàjó£èõ ëåêöèjà Ð.á. Íàçèâ òåìàòñêå öjåëèíå Îáëàñò (åíã.) Ñïèñàê ëåêöèjà 1 Ôóíêöèjå, ðåëàöèjå è ñêóïîâè DS 18,19,32,33,61,37 2 Îñíîâíà ëîãèêà DS 17,26,40,70 3 Òåõíèêå äîêàçèâà»à DS 17,19,33,40 4 Îñíîâå ïðåáðîjàâà»à DS 7,9,17,24,40,48 5 Ãðàôîâè è ñòàáëà DS 33,35,50,74 6 Äèñêðåòíà âjåðîâàòíî£à DS 36,52,53 7 Îñíîâå êîíñòðóêöèjà PF 2,17,18,20,27,28,29,30,54 8 Àëãîðèòàìñêî ðjåøàâà»å ïðîáëåìà PF 15,32,33,34,35,38,47,51,56 9 Ñòðóêòóðå ïîäàòàêà PF 17,21,25 10 Ðåêóðçèjà PF 33,35,37,50 11 Ïðîãðàìèðà»å çàñíîâàíî íà äîãà¢àjèìà PF 38,55,63 12 Îájåêòíî îðèjåíòèñàíà ïàðàäèãìà PF 23,58,60,61,62,67 13 Ñèãóðíî ïðîãðàìèðà»å PF 19,47,55 14 Îñíîâíà àíàëèçà àëãîðèòàìà AL 32,36,48,52,53 15 Àëãîðèòàìñêå ñòðàòåãèjå AL 20, 32,34,35,39,50 16 Îñíîâíè àëãîðèòìè AL 32,35,36,48,49,50 17 Äèãèòàëíà ëîãèêà è ðåïðåçåíòàöèjà ïîäàòàêà AR 2,3,7,8,9,10,11,12,13,14 18 Ðà÷óíàðñêà àðõèòåêòóðà è îðãàíèçàöèjà AR 1,3,4,6,40,41,42,43,44 19 Èíòåðôåjñè è Ó/È ñòðàòåãèjå AR 1,30,46 20 Àðõèòåêòóðà ìåìîðèjå AR 1,3,44,45 21 Ôóíêöèîíàëíà îðãàíèçàöèjà AR 1,3,4,42,43 22 Óðå¢àjè AR 2,14,24 23 Îñíîâíè ïðåãëåä îïåðàòèâíèõ ñèñòåìà OS 1,45,46 24 Ìðåæíå êîìóíèêàöèjå NC 5,74,75,76 25 Ïðåãëåä ïðîãðàìñêèõ jåçèêà PL 15,16,58,59,60,61,62 26 Îñíîâå ïðåâî¢å»à jåçèêà PL 15,16,19,20,68,69 27 Äåêëàðàöèjå è òèïîâè PL 17,18,20,58 28 Ìåõàíèçìè àïñòðàêöèjå PL 22,57,58,65 29 Îájåêòíî îðèjåíòèñàíî ïðîãðàìèðà»å PL 16,58,60,61,62,63,64,65,67 30 Îñíîâå èíòåðàêöèjå ÷îâjåê-ðà÷óíàð HC 16,63,66 31 Èçãðàä»à GUI èíòåðôåjñà HC 63,64,65,66,67 32 Åâàëóàöèjà êîðèñíè÷êè îðèjåíòèñàíèõ ñèñòåìà HC 47,56,57 33 Äèçàjí GUI HC 65,66 34 Îñíîâå òåõíèêå ãðàôèêå è âèçóåëíîã ðà÷óíà»à GV 14,24 35 Èíôîðìàöèîíè ìîäåëè IM 60,68 36 Jåçèöè óïèòà IM 68,69,70,71,72,73 37 Èñòîðèjà ðà÷óíàðñòâà SP 2,15,41 ðåäóêîâàí. Çàäðæàíå ñó óâîäíå ôóíäàìåíòàëíå òåìàòñêå îáëàñòè, äîê jå âå£èíà îáëàñòè êîjå ñå îäíîñå íà íàïðåäíå êóðñåâå èç ðà÷óíàðñòâà èçîñòàâ§åíà. Ïðåãëåä óâðøòåíèõ òåìàòñêèõ öjåëèíà ïðèêàçàí jå ó òàáåëè 5.3. Ïðâå òðè êîëîíå ñàäðæå ðåäíè áðîj, íàçèâ òåìàòñêå öjåëèíå è ñêðà£åíè íàçèâ îáëàñòè çíà»à êîjîj òåìàòñêà öjåëèíà ïðèïàäà, äîê jå ó êðàj»îj äåñíîj êîëîíè íàâåäåí ñïèñàê ðåäíèõ áðîjåâà ïðèïàäàjó£èõ ëåêöèjà. Ðåäíè áðîjåâè ëåêöèjà îäãîâàðàjó ðåäíèì áðîjåâèìà èç òàáåëå 5.1. Êàî øòî ñå âèäè èç òàáåëå 5.3, ëåêöèjå ñó ñâðñòàâàíå ñàìî ó îíå òåìàòñêå öjåëèíå çà êîjå ñå ïîóçäàíî ìîæå ñìàòðàòè äà ñå ïðîáëåìàòèêà òåìàòñêå öjåëèíå îáðà¢ójå óíóòàð ëåêöèjå, à íå ñàìî óñïóòíî ïîìè»å. Ïðèìjå£ójåìî äà ñó ñâå ôóíäàìåíòàëíå òåìàòñêå öjåëèíå ïîêðèâåíå âå£èì áðîjåì ëåêöèjà, äîê ñå íåêå äðóãå îáðà¢ójó ñàìî ó ìà»åì áðîjó ëåêöèjà. Ó òàáåëè 5.4 ñèñòåìàòèçîâàíà jå ðàñïîäjåëà ëåêöèjà ïî òåìàòñêèì öjåëèíàìà. Âèäèìî äà jå çà 21 òåìàòñêó öjåëèíó áðîj ëåêöèjà ó êîjèìà ñå îíå îáðà¢ójó ìà»è èëè jåäíàê îä 4, çà 11 òåìàòñêèõ öjåëèíà âàæè äà ñå îáðà¢ójó ó 5, 6 èëè 7 ëåêöèjà, äîê ñå 5 òåìàòñêèõ öjåëèíà îáðà¢ójå ó 9 è âèøå ëåêöèjà. 82 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.4: Ðàñïîðåä áðîjà ëåêöèjà ïî òåìàòñêèì öjåëèíàìà Áðîj ëåêöèjà Áðîj òåìàòñêèõ öjåëèíà ñà äàòèì áðîjåì ëåêöèjà 2 3 3 10 4 8 5 3 6 7 7 1 8 0 9 4 10 1 Òàáåëà 5.5: Ñïèñàê öjåëèíà çà êîjå íå âàæè òðàæåíè óñëîâ Ð.á. Òåìàòñêà öjåëèíà Îáëàñò Ïðèñóòíà (åíã.) ñàìî ó 22 Óðå¢àjè AR çèìñêîì 31 Èçãðàä»à GUI èíòåðôåjñà HC §åò»eì 32 Åâàëóàöèjà êîðèñíè÷êè îðèjåíòèñàíèõ ñèñòåìà HC §åò»eì 33 Äèçàjí GUI HC §åò»åì 34 Îñíîâå òåõíèêå ãðàôèêå è âèçóåëíîã ðà÷óíà»à GV çèìñêîì 35 Èíôîðìàöèîíè ìîäåëè IM §åò»eì 36 Jåçèöè óïèòà IM §åò»eì Àíàëèçà òðåíóòíå ïîäjåëå ëåêöèjà è ïðèjåäëîã ïîáî§øà»à Íà îñíîâó òðåíóòíå ïîäjåëå êóðñà íà äâà äèjåëà, íàïðàâ§åíà jå àíàëèçà êîëèêî òà ïîäjåëà îäðàæàâà ïîëàçíó ïðåïîðóêó äà øòî âèøå òåìàòñêèõ öjåëèíà áóäå îáðà¢åíî ó îáà ñåìåñòðà. Ïîíîâèìî äà ñå ïî òðåíóòíîj ðàñïîäjåëè, (òàáåëà 5.1), ëåêöèjå ñà ðåäíèì áðîjåâèìà 1-39 îáðà¢ójó ó çèìñêîì ñåìåñòðó, à ëåêöèjå 40- 76 ó §åò»åì. Ïðåìà ðàñïîðåäó ëåêöèjà ïî òåìàòñêèì öjåëèíàìà ïðèêàçàíîì ó òàáåëè 5.3, çà 30 òåìàòñêèõ öjåëèíà âàæè äà ñå îíå îáðà¢ójó ó áàð ïî jåäíîj ëåêöèjè ó îáà ñåìåñòðà, äîê çà 7 òåìàòñêèõ öjåëèíà òàj óñëîâ íå âàæè. Ïðèìèjå- òèìî äà àëãîðèòàì êîjèì ñå îäðå¢ójå áðîj ïîäèjå§åíèõ òåìàòñêèõ öjåëèíà îäãîâà- ðà àëãîðèòìó âåðèôèêàöèjå ðjåøå»à îäãîâàðàjó£åã MSSP. Ó ïðâå äâèjå êîëîíå òàáåëå 5.5 ñó ïðèêàçàíè ðåäíè áðîjåâè è èìåíà òåìàòñêèõ öjåëèíà çà êîjå óñëîâ ïîäèjå§åíîñòè íå âàæè. Ó íàðåäíîj êîëîíè jå ïðèêàçàí ñêðà£åíè åíãëåñêè íàçèâ îäãîâàðàjó£å îáëàñòè çíà»à, à ó êðàj»îj äåñíîj êîëîíè èíôîðìàöèjà ó êîì ñåìåñòðó jå öjåëèíà ïðèñóòíà. Êàî øòî âèäèìî èç òàáåëå 5.5, îä ñåäàì "íåïîäèjå§åíèõ öjåëèíà", ïî jåäíà 83 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.6: Ñèñòåìàòèçàöèjà ïðåäëîæåíèõ ðjåøå»à Ïîñòóïàê Åôåêàò íà òåìàòñêå öjåëèíå Ïîñ§åäèöà íà óêóïíî ðjåøå»å Ïðåáàöèâà»å ëåêöèjå 24 ó §åò»è ñåìåñòàð Òåìàòñêå öjåëèíå 22 è 34 £å áèòè ïîäèjå§åíå Ñìà»å»å áðîjà íåïîäèjå§åíèõ ëåêöèjà çà 2 Ïðåáàöèâà»å ëåêöèjå 56 ó §åò»è ñåìåñòàð Òåìàòñêà öjåëèíà 32 £å áèòè ïîäèjå§åíà Ñìà»å»å áðîjà íåïîäèjå§åíèõ ëåêöèjà çà 1 Ïðåáàöèâà»å ëåêöèjå 65 ó çèìñêè ñåìåñòàð Òåìàòñêå öjåëèíå 31 è 33 £å áèòè ïîäèjå§åíå Ñìà»å»å áðîjà íåïîäèjå§åíèõ ëåêöèjà çà 2 Ïðåáàöèâà»å ëåêöèjå 68 ó çèìñêè ñåìåñòàð Òåìàòñêå öjåëèíå 35 è 36 £å áèòè ïîäèjå§åíå Ñìà»å»å áðîjà íåïîäèjå§åíèõ ëåêöèjà çà 2 ñå îäíîñè íà àðõèòåêòóðó ðà÷óíàðà, òå ãðàôèêó è âèçóåëíî ðà÷óíà»å, äîê ñå òðè îäíîñå íà èíòåðàêöèjó ÷îâjåêà è ðà÷óíàðà è äâèjå íà óïðàâ§à»å èíôîðìàöèjàìà. Ïðèìjå£ójåìî òàêî¢å äà ñå îáëàñòèìà êîjå ñå îäíîñå íà èíòåðàêöèjó ÷îâjåêà è ðà÷óíàðà è óïðàâ§à»ó èíôîðìàöèjàìà ïàæ»à ïîñâå£ójå ó §åò»åì ñåìåñòðó, äîê ó çèìñêîì ñåìåñòðó îâîj ïðîáëåìàòèöè íèjå ïîñâå£åíà çíà÷àjíèjà ïàæ»à. Ñòîãà áè ïðàâàö óíàïðå¢å»à Ïëàíà è ïðîãðàìà êóðñà ìîãàî äà ñå çàñíèâà íà óê§ó÷èâà»ó ïî jåäíå ëåêöèjå èç ãðàôè÷êîã êîðèñíè÷êîã îêðóæå»à, òå áàçà ïîäàòàêà ó çèìñêîì ñåìåñòðó. Ïàæ§èâîì àíàëèçîì òðåíóòíîã ðàñïîðåäà ëåêöè- jà, ìîæå ñå ïðèìèjåòèòè äà áè ñå ïðåáàöèâà»åì ïîëàçíå ëåêöèjå ó âåçè ñà áàçàìà ïîäàòàêà è jåäíå ëåêöèjå ó âåçè ñà èíòåðàêöèjîì ÷îâjåêà è ðà÷óíàðà ó çèìñêè ñåìåñòàð, ìîãàî ðèjåøèòè ïðîáëåì "íåïîäèjå§åíîñòè" öjåëèíà 35 è 36, îäíîñíî 31 è 33, à äà ñå íå íàðóøå äðóãè ìåòîäè÷êè àñïåêòè, êàî øòî ñó êîíòèòóèòåò èëè çàâèñíîñò ëåêöèjà. Òàêî¢å, ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà áè ñå ðàçìjåíîì ëåêöèjà 24 è 56 ("Ðàä ñà ñëèêàìà. Ïèêñåëè è áîjå." îäíîñíî "Òåñòèðà»å: Ôóíêöèîíàëíè òåñò, unit test, black-box test, glass-box test, Íåçàâèñíîñò, Îãðàíè÷å»à, Òåñòîì âî¢åí ðàçâîj ïðîã- ðàìà. Äåáàãèðà»å.") ïîñòèãëà ñèòóàöèjà äà ñó öjåëèíå 22, 32 è 34 ïîäèjå§åíå, à ïîäèjå§åíîñò ïðåîñòàëèõ òåìàòñêèõ öjåëèíà ñå íå áè íàðóøèëà. Ñèñòåìàòèçàöèjà ïðåäëîæåíèõ óíàïðå¢å»à ïðèêàçàíà jå ó òàáåëè 5.6. Îâîì ïðåðàñïîäjåëîì ëåêöèjà äîáèjà ñå ñòà»å äà ñó ñâå òåìàòñêå öjåëèíå ïîäèjå§åíå. Íà êðàjó îâîã îäjå§êà, çíà÷àjíî jå íàãëàñèòè äà ñå ïðèêàçàíîì àíàëèçîì äîøëî äî ñàçíà»à äà òðåíóòíà ïîäjåëà êóðñà ó çíà÷àjíîj ìjåðè "ïðàòè" ïðîïè- 84 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà ñàíè ïðèñòóï ïîäjåëå ëåêöèjà. Êàî øòî ñå âèäè èç òàáåëå 5.6, ìèíîðíèì ðàçìjå- íàìà ëåêöèjà èçìå¢ó ñåìåñòàðà òàj ðàñïîðåä ñå ìîæå ó÷èíèòè è îïòèìàëíèì. Îâà ÷è»åíèöà óêàçójå íà ïðåòïîñòàâêó äà ñó àóòîðè Ïëàíà è ïðîãðàìà, ìîòèâè- øó£è ñå îâèì èëè íåêèì ñëè÷íèì ïðèñòóïîì, ó çíà÷àjíîj ìjåðè âîäèëè ðà÷óíà äà ñå ôóíäàìåíòàëíå öjåëèíå ðàçìàòðàjó ó îáà ñåìåñòðà, êàêî áè ñå î÷óâàî êîíòèíóèòåò ó èçó÷àâà»ó. 5.3 Ðàíèjè ðåçóëòàòè ÌSSP ïðîáëåì jå ïîñ§åä»èõ ãîäèíà ïðåäìåò èñòðàæèâà»à è ñà êîìáèíàòîðíå è ñà àëãîðèòàìñêå òà÷êå ãëåäèøòà. Ïîíîâèìî äà jå ïðâè äîêàç äà jå ïðîáëåì NP òåæàê äàò ó [76] è ïðîáëåì îñòàjå NP òåæàê ÷àê è àêî ñó ñâè ïîäñêóïîâè êàðäèíàëíîñòè ìà»å èëè jåäíàêî 3 [40]. ×àê è àêî ñó ñâè ïîäñêóïîâè ôèêñíå êàðäèíàëíîñòè rM r ≥ 2, ïðîáëåì îïåò îñòàjå Nb òåæàê. Äà§å, MSPP jå è APX êîìïëåòàí, òj. íå ìîæå ñå àïðèêñèìîâàòè ó ïîëèíîìñêîì âðåìåíó ôàêòîðîì âå£èì îä 11/12 [46]. Ïîjåäíîñòàâ§åíà âàðèjàíòà ïðîáëåìà jå ñëó÷àj êàäà ñâàêè åëåìåíò ñêóïà C èìà íàjâèøå äâà åëåìåíòà. Âàðèjàíòà îäëó÷èâà»à òàäà ïîñòàjå "ïðîáëåì 2 áîjå»à ãðàôà" êîjè ñå ìîæå ðèjåøèòè ó ïîëèíîìñêîì âðåìåíó, íà ïðèìjåð, ïðèìjåíîì äîáðî ïîçíàòîã àëãîðèòìà ïðåòðàæèâà»à ó äóáèíó. Ïîøòî jå ïðîáëåì NP òåæàê è íå ìîæå ñå ðjåøàâàòè åãçàêòíèì ìåòîäàìà ó ðàçóìíîì âðåìåíó, îïðàâäàíà jå êîíñòðóêöèjà àëãîðèòàìà êîjè ïðîíàëàçå ïðèáëèæíî ðjåøå»å íåêîã ãàðàíòîâàíîã, äîêàçèâîã êâàëèòåòà. Òàêî jå ó [5] êâàäðàòíà öjåëîáðîjíà ôîðìóëàöèjà çà MSSP èñêîðèøòåíà çà êîíñòðóêöèjó ïðèáëèæíîã àëãîðèòìà ñà ôàêòîðîì 0.724. Ó [106], àóòîðè ñó äîäàâà»åì íåêèõ íîâèõ íåjåäíàêîñòè è ïîáî§øà»åì íà÷èíà çàîêðóæèâà»à, ïðåçåíòîâàëè ïðèá- ëèæàí àëãîðèòàì ñà ôàêòîðîì 0.7499. Íåêîëèêî ðåçóëòàòà êîjè ñå îäíîñå íà ìåòîäå êåðíåëàðèçàöèjå ñó óíàïðè- jåäèëè ãîð»ó ãðàíèöó çà âðèjåìå èçâðøå»à àëãîðèòìà. Çà äàòè áðîj k ïîäè- jå§åíèõ ïîäñêóïîâà è âåëè÷èíó ïðîáëåìàN , ïðâîáèòíî ñó ïðåçåíòîâàíå ãðàíèöå âðåìåíà a(72kNO())) è a(0kNO())) èç [31] è [32], à ó [74] jå ïîñòèãíóòî íîâî óíàïðå¢å»å êîjå èçíîñè a(2L65kNO())). Ó [21, 22] jå ïðåçåíòîâàí àëãîðèòàì ñà âðåìåíîì a(2k +N) çà òåæèíñêó âàðèjàíòó ïðîáëåìà, äîê jå ó [75], óïîòðåáîì êëàñè÷íå òåîðåìå äóàëíîñòè çà ïîâåçàíîñò ó õèïåðãðàôîâèìà, ïîñòèãíóò ðåçóë- òàò a()L16k +N). Àëãîðèòàì çà ðjåøàâà»å MSSP çàñíîâàí íà "ÄÍÊ" ïðèñòóïó jå ïðåçåíòîâàí ó [16]. Ïðîñòîð ðjåøå»à ÄÍÊ õåëèêñà jå êîíñòðóèñàí óç ïîìî£ "ñòèêåðà" (åíã. sticker based model), à íàêîí òîãà ñó íà Àäëåìàí - Ëèïòîí ìîäåë ïðèìèjå»åíè 85 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà áèîëîøêè îïåðàòîðè. Ïðâè ìîäåë öjåëîáðîjíîã ëèíåàðíîã ïðîãðàìèðà»à (åíã. Integer linear pro- gramming - ILP) è jåäàí ãåíåòñêè àëãîðèòàì çà ðjåøàâà»å MSSP ñó ïðåçåíòîâàíè ó [70]. Óïîòðåáîì íàïðåäíèõ ñîôòâåðñêèõ àëàòà (CPLEX) çà ðjåøàâà»å ïðîá- ëåìà ëèíåðàíîã ïðîãðàìèðà»à, òåñòèðàí jå ïðîïèñàíè ILP ìîäåë è ïîêàçàíî jå äà CPLEX óñïjåøíî ïðîíàëàçè îïòèìàëíà ðjåøå»à çà ñâå ìà»å è âå£èíó ñðåä»èõ òåñòíèõ èíñòàíöè. GA èìïëåìåíòàöèjà êîðèñòè áèíàðíî êîäèðà»å è ñòàíäàðäíå ãåíåòñêå îïåðàòîðå ïðèëàãî¢åíå äàòîì ïðîáëåìó, êîjè ñó óíàïðè- jå¢åíè óïîòðåáîì êåøèðà»à. Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè ñó èçâðøåíè íà äâà ñêóïà èíñòàíöè, ÷èìå jå äîêàçàíà åôèêàñíîñò è ïîóçàäíîñò ïðîïèñàíå ìåòîäå. Õåóðèñòèêà çàñíîâàíà íà åëåêòðîìàãíåòèçìó (ÅÌ) jå ïðåçåíòîâàíà ó [67]. Îâà ÅÌ õåóðèñòèêà jå çàñíîâàíà íà õèáðèäíîì ïðèñòóïó ó êîjåì ñå êîìáèíójå ìåõàíèçàì "ïðèâëà÷å»å - îäáèjà»å" çà ïîìjåðà»å ÷åñòèöà ñà òåõíèêîì ñêàëè- ðà»à. ÅÌ êîðèñòè áðçó ëîêàëíó ïðåòðàãó êîjà äîäàòíî óíàïðå¢ójå åôèêàñíîñò ÷èòàâîã ñèñòåìà. Àëãîðèòàì jå òåñòèðàí íà èñòèì èíñòàíöàìà êàî ó [70] è äîáèjåíè ðåçóëòàòè jàñíî ïîêàçójó äà jå ïðîïèñàíè ÅÌ ïðèñòóï êîðèñòàí àëàò çà ðjåøàâà»å MSSP. Êàî è äðóãè ïðîáëåìè êîjè ñå îäíîñå íà ïàðòèöèjå ñêóïîâà èëè ãðàôîâà, MSSP ñå ïðèìjå»ójå ó ðàçíèì îáëàñòèìà íàóêå. Jåäíà êîðèñíà ïðèìjåíà îâîã ïðèñòóïà ïðèêàçàíà jå ó [105, 104]. Àóòîðè êîðèñòå òçâ. òåðíàðíó ìåìîðèjó ñà àäðåñàáèëíèì ñàäðæàjåì (åíã. ternary content addressable memory - TCAM) äà áè ñå ðèjåøèî êëàñèôèêàöèjñêè ïðîáëåì ñà âèøåñòðóêèì ñïàðèâà»åì (åíã. multi-match classication problem), êîjè ñå êîðèñòè çà íåêå ìðåæíå ïðèìjåíå: ñèñòåìè çà äåòåêöèjó íàïàäà èëè ïðà£å»å èñïîðó÷åíèõ ïàêåòà ïîäàòàêà ó ìðåæè. Äà áè ñå óíàïðèjåäèëå ïåðôîðìàíñå óïîòðåáå TCAM ìåìîðèjå, àóòîðè êîðèñòå àëãîðèòàì çà äèjå§å»å ñêóïà (set splitting algorithm - SSA) äà áè ïîäèjåëèëè ôèëòåðå ó âèøåñòðóêå ãðóïå. SSA ñå äà§å ïàðàëåëíî ïîêðå£å íà îäâîjåíèì ãðóïàìà. Îâèì ïðèñòóïîì íàjìà»å ïîëîâèíà ïðåñjåêà ñå èçáàöójå êàäà ñå ñêóï ôèëòåðà ðàçáèjå ó äâà ñêóïà. Òî ðåçóëòèðà óøòåäó ó ìåìîðèjè è áî§å ïåðôîð- ìàíñå ÷èòàâîã àëãîðèòìà. 5.4 Ìàòåìàòè÷êà ôîðìóëàöèjà Ó îâîì îäjå§êó ñå ïðåäñòàâ§àjó äâèjå ïîçíàòå ôîðìóëàöèjå öjåëîáðîjíîã ïðîãðà- ìèðà»à: êâàäðàòíà öjåëîáðîjíà ôîðìóëàöèjà (åíã. quadratic integer program- ming QIP) èç [5] è ëèíåàðíà öjåëîáðîjíà ôîðìóëàöèjà (ILP) èç [70]. Ïðèjå íåãî øòî ñå íàâåäó ôîðìóëàöèjå, óâåäèìî îäãîâàðàjó£ó íîòàöèjó. Íåêà jå e êîíà÷àí 86 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà ñêóï êàðäèíàëíîñòè m 5 |e| è íåêà jå C 5 {e)M e2M LLLM eT} êîëåêöèjà ïîäñêóïîâà îä e. Áåç ãóá§å»à îïøòîñòè, ìîæåìî ïðåòïîñòàâèòè äà jå e 5 {)M 2M LLLMm}. Íåêà jå (b)M b2) ïàðòèöèjà îä e. Ïîíîâèìî äà çà ñêóï eP ∈ C êàæåìî äà jå "ïîäèjå§åí", àêî eP èìà íåïðàçàí ïðåñjåê è ñà b) è ñà b2. Êâàäðàòíà öjåëîáðîjíà ôîðìóëàöèjà (5.1)-(5.4) óâîäè äâà ñêóïà ïðîìjåí§èâèõ: yO 5 { )M i ∈ b) −)M i ∈ b2 M çà i 5 )M LLLMmM è zP 5 { )M eP jå ïîäèjå§åí (M eP íèjå ïîäèjå§åí M çà j 5 )M LLLM nL QIP ñå äåôèíèøå êàî max T∑ P5) zP (5.1) óç îãðàíè÷å»à ) |eP| − ) ∑ i);i2 ∈ eP i) ̸5 i2 )− yO1 · yO2 2 ≥ zPM çà ñâå eP ∈ C (5.2) zP ∈ {(M )}M çà j 5 )M LLLM n (5.3) yO ∈ {−)M )}M çà i 5 )M LLLMm (5.4) Çà ILP óâîäèìî ïàðàìåòðå sOP 5 { ) i ∈ eP ( i O∈ eP çà i 5 )M LLLMmM j 5 )M LLLM nM êîjè îçíà÷àâàjó äà ëè åëåìåíò i èç e ïðèïàäà ïîäñêóïó eP. Ïðîìjåí§èâå ñå äåôèíèøó êàî xO 5 { ) i ∈ b) ( i ∈ b2 yP 5 { ) eP jå ïîäèjå§åí ( eP íèjå ïîäèjå§åí 87 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà ILP ìîäåë çà MSSP ñå ôîðìóëèøå êàî max T∑ P5) yP (5.5) óç îãðàíè÷å»à yP ≤ S∑ O5) sOP · xOM çà ñâå j 5 )M LLLM n (5.6) yP + S∑ O5) sOP · xO ≤ |eP| M çà ñâåj 5 )M LLLM n (5.7) yP ∈ {(M )} M çà ñâå j 5 )M LLLM n (5.8) xO ∈ {(M )} M çà ñâå i 5 )M LLLMm (5.9) Ëàêî ñå âèäè äà ILP ôîðìóëàöèjà ðàñïîëàæå ñà m+n áèíàðíèõ ïðîìjåí§èâèõ è óêóïíî 2 · n îãðàíè÷å»à. 5.5 Ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà MSSP Ó îâîì îäjå§êó îïèñójå ñå ìåòîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà ïðèìèjå»åí è ðàçâèjåí çà ðjåøàâà»å MSSP. Ðåçóëòàòè ïðåçåíòîâàíè ó îâîì îäjå§êó îájàâ§åíè ñó ó [78]. 5.5.1 Èíèöèjàëèçàöèjà è ôóíêöèjà öè§à Íåêà jå e êîíà÷àí ñêóï è |e| 5 m. Ïàðòèöèjà (b)M b2) ñêóïà e, êîjà jå jåäíî ðjåøå»å, ïðåäñòàâ§à ñå êàî áèíàðíè íèç x äóæèíåm. Åëåìåíòè íèçà îäãîâàðàjó åëåìåíòèìà ñêóïà e è îçíà÷àâàjó êîì îä äâà ïîäñêóïà äàòè åëåìåíò ïðèïàäà. Ôîðìàëíî, i ∈ b) àêî xO 5 ) è i ∈ b2 àêî jå xO 5 (. Ïîëàçíî ðjåøå»å ñå áèðà íà ñëó÷àjàí íà÷èí. Ñâàêè ñêóï êîëåêöèjå C je ïðåäñòàâ§åí jåäíèì íèçîì êîjè ñàäðæè îäãîâàðà- jó£å åëåìåíòå. Çà äàòó ïàðòèöèjó (b)M b2), è çà ñâàêè åëåìåíò eP ∈ C, âðèjåäíîñò yP ñå ðà÷óíà ïîìî£ó ôîðìóëå yP 5 { )M eP jå ïîäèjå§åí (M eP íèjå ïîäèjå§åí Çà äàòî ðjåøå»å, àëãîðèòàì ðà÷óíà âðèjåäíîñò ôóíêöèjå öè§à ïîìî£ó ôîð- 88 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà ìóëå otj(b)M b2) 5 T∑ P5) yPL (5.10) Çà ñâàêî j ∈ {)M LLM n} âðåìåíñêà ñëîæåíîñò çà îäðå¢èâà»å âðèjåäíîñòè yO jå a(m), òàêî äà jå óêóïíà âðåìåíñêà ñëîæåíîñò çà ðà÷óíà»å ôóíêöèjå öè§à a(mn). 5.5.2 Îêîëèíå è ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à Ó ïðîöåäóðè ðàçìðäàâà»à ñå êðåèðà íîâî ðjåøå»å x′, (x′ ∈ Nk(x)) êîjå jå çàñíîâàíî íà òðåíóòíî íàjáî§åì ðjåøå»ó x. Äà áè äåôèíèñàëà k-òà îêîëèíà, ó àëãîðèòìó ñå íà ñëó÷àjàí íà÷èí áèðà íåêèõ k åëåìåíàòà èç e. Ñâàêîì èçàáðàíîì åëåìåíòó ìèjå»à ñå ïðèïàäàjó£à êîìïîíåíòà, òj. ñâè èçàáðàíè åëåìåíòè êîjè ïðèïàäàjó b) ñå ïðåáàöójó ó b2 è îáðíóòî. Ôîðìàëíî, k-òà îêîëèíà âåêòîðà x ñå ìîæå çàïèñàòè êàî Nk(x) 5 {x′ 2 {i)M i2M LLLM ik} ⊂ {)M 2M LLLM |e|} x′Oj 5 )− xOj}. Ó ïðîïèñàíîì àëãîðèòìó, kSOT jå ïîñòàâ§åíî íà âðèjåäíîñò 2. Äà áè ñå çàäîâî§èî òåîðèjñêè óñëîâ êîjè ïðîïèñójå äà âåëè÷èíà ñâàêå íàðåäíå îêîëèíå òðåáà äà áóäå âå£à îä ïðåòõîäíå, kSGx ñå äåôèíèøå êàî kSGx 5 man{2(M |e|O2}. Ïîøòî jå âåëè÷èíà k - òå îêîëèíå (|S| k ) , çà k N |e|O2 ñëèjåäè äà jå ( |S| k−) ) N (|S| k ) , òj. |Nk−)(x)| N |Nk(x)| è óñëîâ jå çàäîâî§åí. Çà âå£å èíñòàíöå, åêñïåðèìåíòè ñó ïîêàçàëè äà jå äîâî§íî óçåòè âðèjåäíîñò kSGx 5 2(. Ëàêî ñå âèäè äà ñå ïðîöåäóðà ðàçìðäàâà»à ñàñòîjè îä k êîðàêà âðåìåíñêå ñëîæåíîñòè a(|e|), òàêî äà jå óêóïíà âðåìåíñêà ñëîæåíîñò ïðîöåäóðå ðàçìðäàâà»à a(kSGx · |e|). 5.5.3 Ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å Çà ðjåøå»å x′, êîjå jå äîáèjåíî ó ïðîöåäóðè ðàçìðäàâà»à, ïîçèâà ñå ëîêàëíî ïðåòðàæèâà»å. Ó ñâàêîj èòåðàöèjè ëîêàëíå ïðåòðàãå àëãîðèòàì ïîêóøàâà äà ïîïðàâè ðjåøå»å òàêî øòî ìèjå»à ïðèïàäàjó£å êîìïîíåíòå çà ïàðîâå åëåìåíàòà èç e. Íà ïðèìjåð, àêî s ∈ b) è t ∈ b2, òàäà íàêîí ðàçìjåíå èìàìî s ∈ b2 è t ∈ b). Îçíà÷èìî íîâî ðjåøå»å êîjå jå äîáèjåíî íà îâàj íà÷èí ñà x′′. Ó ñëó÷àjó äà jå x′′ áî§å îä ðjåøå»à x′, òàäà x′ ïîñòàjå jåäíàêî x′′. Ëîêàëíà ïðåòðàãà ïðåñòàjå ñà ðàäîì íàêîí ïðâîã òàêâîã ïîáî§øà»à. Ó äðóãîì ñëó÷àjó, àêî íèjå äîøëî äî ïîáî§øà»à (x′′ íèjå áî§å îä x′), ëîêàëíà ïðåòðàãà íàñòàâ§à ñà ñ§åäå£èì ïàðîì åëåìåíàòà. Êàäà ñå ëîêàëíà ïðåòðàãà çàâðøè, àíàëèçèðàjó ñå ñ§åäå£à òðè ñëó÷àjà: à. Àêî ôóíêöèjà öè§à çà ðjåøå»å x′ èìà ìà»ó âðèjåäíîñò ó îäíîñó íà ðjåøå»å x, òàäà ñå ïðåòðàãà íàñòàâ§à ñà èñòèì ðjåøå»åì x è íàðåäíîì îêîëèíîì. 89 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà á. Ó ñëó÷àjó äà ôóíêöèjà öè§à çà ðjåøå»å x′ èìà âå£ó âðèjåäíîñò ó îäíîñó íà ðjåøå»å x, òàäà òðåíóòíî íàjáî§å ðjåøå»å x äîáèjà âðèjåíîñò x′. â. Ó ñëó÷àjó äà ôóíêöèjå öè§à äâà ðjåøå»à x è x′ èìàjó èñòó âðèjåäíîñò, òàäà ñå ïîñòàâ§à x 5 x′ ñà âjåðîâàòíî£îì pSove è àëãîðèòàì íàñòàâ§à ïðåòðàãó ñà èñòîì îêîëèíîì. Ó äðóãîì ñëó÷àjó, ïðåòðàãà ñå ïîíàâ§à ñà èñòèì ðjåøå»åì x è íàðåäíîì îêîëèíîì, ñà âjåðîâàòíî£îì ) − pSove. Ó ïðåçåíòîâàíîì àëãîðèòìó, pSove jå ïîñòàâ§åíà íà âðèjåäíîñò 0.4. Åêñïåðèìåíòè ñó ïîêàçàëè äà ïðîïèñàíè àëãîðèòàì ðàäè ïîóçäàíî ÷àê è çà pSove 5 (, àëè ñå ó òîì ñëó÷àjó àëãîðèòìó íå äàjå íèêàêâà øàíñà äà ñå ïðåáàöè ñà jåäíîã íà äðóãî ðjåøå»å ñà èñòîì âðèjåäíîø£ó ôóíêöèjå öè§à. Ñà äðóãå ñòðàíå, èàêî ñå òåîðèjñêè pSove áèðà èç èíòåðâàëà [(M )], âðèjåäíîñòè çà pSove áëèñêå áðîjó 1 ìîãó ïðîóçðîêîâàòè öèêëèðà»å ïî ðjåøå»èìà ñà èñòîì âðèjåäíîø£ó ôóíêöèjå öè§à. Ñòîãà jå ó âå£èíè ñëó÷àjåâà íàjáî§å pSove ïîäåñèòè íà âðèjåä- íîñò êîjà jå èçìå¢ó äâèjå êðàj»å âðèjåäíîñòè. Ëàêî ñå âèäè äà ëîêàëíà ïðåòðàãà ôîðìèðà ïàðîâå åëåìåíàòà è äà jå óêóïàí áðîj òèõ ïàðîâà îãðàíè÷åí ñà a(m2). Çàìjåíà êîìïîíåíòè ñå âðøè ó âðåìåíó a()), à ðà÷óíà»å ôóíêöèjå öè§à óa(mn). Ñòîãà jå óêóïíà âðåìåíñêà ñëîæåíîñò ëîêàëíå ïðåòðàãå a(m+n). Ïî çàâðøåòêó ðàçìàòðà»à ñâèõ îêîëèíà, àëãîðèòàì ïîíîâî ïî÷è»å ñà ïðâîì îêîëèíîì ñâå äîê ñå íå èñïóòíè êðåòåðèjóì çà çàâðøåòàê àëãîðèòìà. Ó íàøåì ñëó÷àjó, òî jå çàäàòè ìàêñèìàëàí áðîj èòåðàöèjà. 5.6 Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè Ó îâîì îäjå§êó ñó ïðèêàçàíè åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóëòàòè äîáèjåíè ïðèìjåíîì ïðîïèñàíîã VNS ìåòîäà. Èìïëåìåíòàöèjà àëãîðèòìà jå èçâðøåíà ó C ïðîãðàì- ñêîì jåçèêó. Ñâà òåñòèðà»à ñó óðà¢åíàíà íà Intel Core 2 Quad Q9400 @2.66 GHz ñà 8 GB RAM ðà÷óíàðó. Òåñòîâè ñó èçâðøåíè íà äâà ñêóïà èíñòàíöè: mini- mum hitting set èíñòàíöàìà (MHS) èç [29] è Steiner triple systems èíñòàíöàìà (STS), êîjå ñó îïèñàíå ó [39]. Ïðâà êëàñà èíñòàíöè (MHS) ñàäðæè óêóïíî äåñåò èíñòàíöè, ñà ðàçëè÷èòèì áðîjåì åëåìåíàòà (m 5 5(M )((M 25(M 5(() è ðàçëè÷èòèì áðîjåì ïîäñêóïîâà (n 5 )((M )((((M 5((((). Êëàñà STS èíñòàíöè ñàäðæè ñåäàì èíñòàíöè: íàjìà»à èìà 9 åëåìåíàòà è 12 ïîäñêóïîâà, à íàjâå£à 243 åëåìåíòà è 9801 ïîäñêóï. STS èíñòàíöå ñó îçíà÷åíå êàî òåæå, jåð ILP ðjåøàâà÷ íèjå ìîãàî îäðåäèòè îïòèìàëíî ðjåøå»å çà ñðåä»å è âåëèêå èíñòàíöå, êîjå ñàäðæå 27 è âèøå åëåìåíàòà [70]. Çà ñâàêó èíñòàíöå VNS jå ïîêðåòàí 20 ïóòà, à ñâàêî ïîêðåòà»å ñå çàâðøàâà íàêîí 100 èòåðàöèjà. 90 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.7: VNS ðåçóëòàòè çà MSSP íà MHS èñíòàíöàìà m n o/b VNS t< NS agap σ 50 1000 1000 opt 0.17835 0.0 0.00 50 10000 10000 opt 2.71175 0.0 0.00 100 1000 1000 opt 0.2969 0.0 0.00 100 10000 10000 opt 3.7231 0.0 0.00 100 50000 50000 opt 124.589 0.0 0.00 250 1000 1000 opt 0.80325 0.0 0.00 250 10000 10000 opt 12.3331 0.0 0.00 500 1000 1000 opt 1.64985 0.0 0.00 500 10000 10000 opt 20.11155 0.0 0.00 500 50000 50000 opt 225.2309 0.0 0.00 Ó òàáåëàìà 5.7 è 5.8 ñó ïðèêàçàíè ðåçóëòàòè òåñòèðà»à ïðîïèñàíîã VNS àëãîðèòìà íà MHS è STS èíñòàíöàìà. Îájå òàáåëå ñó îðãàíèçîâàíå íà èñòè íà÷èí: ïðâå äâèjå êîëîíå ñàäðæå èíôîðìàöèjå î áðîjó åëåìåíàòà (m) è áðîjó ïîäñêóïîâà (n). Íàðåäíà êîëîíà (o/b) ñàäðæè îïòèìàëíî, îäíîñíî íàjáî§å ðjåøå»å, îçíà÷åíî çíàêîì '*', àêî íèjå ïîçíàòî äà ëè jå îíî è îïòèìàëíî. Íàjáî§à âðèjåäíîñò äîáèjåíà VNS àëãîðèòìîì jå ïðèêàçàíî ó êîëîíè VNS, ñà îçíàêîì opt ó ñëó÷àjåâèìà êàäà VNS äîñòèæå óíàïðèjåä ïîçíàòî îïòèìàëíî ðjåøå»å, îäíîñíî ñà çíàêîì best àêî VNS äîñòèæå äî ñàäà íàjáî§å ïîçíàòî ðjåøå»å. Î÷èãëåäíî jå äà áèëî êîjå ðjåøå»å íå ìîæå áèòè âå£å îä óêóïíîã áðîjà ïîäñêóïîâà. Ñòîãà, çà ïðâó êëàñó èíñòàíöè (MHS èíñòàíöå), jàñíî jå äà ñó äîñòèãíóòå âðèjåäíîñòè îïòèìàëíå. Çà äðóãó êëàñó èíñòàíöå (STS èíñòàíöå), îïòèìàëíè ðåçóëòàòè çà ïðâå äâèjå èíñòàíöå ñó äîêàçàíè óïîòðåáîì åãçàêòíå ìåòîäå ó [70]. Çà ïðåîñòàëå STS èíñòàíöå íå ìîæå ñå ãàðàíòîâàòè äà ñó äîñòèã- íóòà íàjáî§à ðjåøå»à îïòèìàëíà. Ïðîñjå÷íî âðèjåìå ïîòðåáíî äà VNS äîñòèãíå ñâîjå íàjáî§å ðjåøå»å ïðèêàçàíî jå ó êîëîíè ñà îçíàêîì t. Êâàëèòåò ðjåøå»à ó 20 èçâðøå»à (i 5 )M 2M LLLM 2() jå ïðèêàçàíà ïðåêî êîëîíà àgap è σ, ãäjå ñå ïðîñjå÷íà ðåëàòèâíà ãðåøêà (àgap) ðà÷óíà êàî sysp 5 ) 2( ∑2( O5) yspO, ãäjå jå yspO 5 )((∗ OVt:sol−soliOVt:sol ó îäíîñó íà îïòèìàëíî ðjåøå»å aptLsol àêî jå îíî ïîçíàòî, îäíîñíî ó îäíîñó íà íàjáî§å ïîçíàòî ðjåøå»åTwstLsol, i.e. yspO 5 )((∗Best:sol−soliBest:sol ó ñëó÷àjó êàäà îïòèìàëíî ðjåøå»å íèjå ïîçíàòî, (solO ïðåäñòàâ§à ðjåøå»å äîáè- jåío ó i-òîì èçâðøå»ó). Ñòàíäàðäíà äåâèjàöèjà jå ðà÷óíàòà ïî ôîðìóëè σ 5√ ) 2( ∑2( O5)(yspO − sysp)2. Èç òàáåëà 5.7 è 5.8 ñå jàñíî âèäè äà VNS äîñòèæå ñâå ïîçíàòå îïòèìàëíå è íàjáî§å ðåçóëòàòå. Òàêî¢å, îâè ðåçóëòàòè ñå äîñòèæó ó ñâèõ 20 ïîêðåòà»à, øòî 91 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.8: VNS ðåçóëòàòè çà MSSP íà STS èñíòàíöàìà m n o/b VNS t< NS agap σ 9 12 10 opt 0.0009 0.0 0.00 15 35 28 opt 0.002 0.0 0.00 27 117 91* best 0.00915 0.0 0.00 45 330 253* best 0.04215 0.0 0.00 81 1080 820* best 0.27625 0.0 0.00 135 3015 2278* best 1.2607 0.0 0.00 243 9801 7381* best 11.84055 0.0 0.00 óêàçójå íà äîáðó ïîóçäàíîñò àëãîðèòìà. Âðèjåìå èçâðøå»à àëãîðèòìà jå ìàëî ÷àê è çà íàjâå£å MHS èíñòàíöå ñà 100 è 500 åëåìåíàòà è 50 000 ïîäñêóïîâà. Çà îâå èíñòàíöå, âðèjåìå èçâðøàâà»à èäå äî 124 è 225 ñåêóíäè, ðåñïåêòèâíî. Çà ñâå STS èíñòàíöå, VNS ëàêî äîñòèæå ñâà îïòèìàëíà/íàjáî§à ðjåøå»à ó êðàòêîì âðåìåíó. Òàáåëå 5.9 è 5.10 ñàäðæå óïîðåäíå ðåçóëòàòå äîáèjåíå íà MHS è STS èíñòàíöàìà ïðèìjåíîì ðàçëè÷èòèõ ìåòîäà èç [70, 67], òå ïðîïèñàíîã VNS ìåòîäà. Êîëîíå òàáåëà ñó îðãàíèçîâàíå íà ñ§åäå£è íà÷èí: • ïðâå äâèjå êîëîíå ñàäðæå m è n; • òðå£à êîëîíà ñàäðæè îïòèìàëíó âðèjåäíîñò àêî jå ïîçíàòà, îäíîñíî íàjáî§ó ïîçíàòó âðèjåäíîñò ñà îçíàêîì '*'; • íàðåäíå äâèjå êîëîíå ñàäðæå âðèjåìå ïîòðåáíî CPLEX ðjåøàâà÷ó äà ïðîíà- ¢å îïòèìàëíî ðjåøå»å, óç îçíàêó N/A àêî ðjåøå»å íèjå ïðîíà¢åíî óñ§åä âðåìåíñêèõ è ìåìîðèjñêèõ îãðàíè÷å»à [70]; • íàðåäíå äâèjå êîëîíå ñàäðæå âðèjåäíîñò è âðèjåìå èçâðøå»à GA [70]; • íàðåäíå äâèjå êîëîíå ñàäðæå âðèjåäíîñò è âðèjåìå èçâðøå»à EM [67]; • ïîñ§åä»å äâèjå êîëîíå ñàäðæå âðèjåäíîñò è âðèjåìå èçâðøå»à VNS; Ó ñâèì ñëó÷àjåâèìà, àêî jå àëãîðèòàì äîñòèãàî îïòèìàëíî (ðåñïåêòèâíî íàjáî§å) ðjåøå»å, êîðèøòåíà jå îçíàêà opt(best) óìjåñòî îïòèìàëíå(íàjáî§å) âðèjåäíîñòè. Ïîäàöè ïðèêàçàíè ó òàáåëàìà 5.9 è 5.10 óêàçójó íà âèñîêå ïåðôîðìàíñå ïðîïèñàíîã VNS àëãîðèòìà. Êàî è GA, VNS äîñòèæå ñâà ïîçíàòà îïòèìàëíà/íàj- áî§à ðjåøå»à, äîê EM íå óñïèjåâà äà ïðîíà¢å íàjáî§å ðjåøå»å çà MHS èíñòàíöó ñà 10000 åëåìåíàòà è 50000 ïîäñêóïîâà. Ïîðå¢å»åì âðåìåíà èçâðøàâà»à äàòèõ àëãîðèòàìà, âèäè ñå äà jå çà âå£èíó èíñòàíöè GA 5-10 ïóòà ñïîðèjè îä ïðåîñòàëå äâèjå õåóðèñòèêå. Çà âå£èíó MHS èíñòàíöè VNS jå äî äâà ïóòà áðæè îä EM, 92 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà Òàáåëà 5.9: Êîìïàðàòèâíè ðåçóëòàòè çà MHS èñíòàíöå m n o/b CPL tCPL GA tGA EM tEM VNS t< NS 50 1000 1000 opt 0.078 opt 2.582 opt 0.158 opt 0.17835 50 10000 10000 opt 3.265 opt 60.039 opt 3.212 opt 2.71175 100 1000 1000 opt 0.188 opt 4.67 opt 0.334 opt 0.2969 100 10000 10000 opt 8.297 opt 168.603 opt 10.593 opt 3.7231 100 50000 50000 opt 155.2 opt 683.147 49998 216.316 opt 124.589 250 1000 1000 opt 0.219 opt 8.626 opt 1.062 opt 0.80325 250 10000 10000 opt 30.063 opt 336.894 opt 45.393 opt 12.3331 500 1000 1000 opt 0.500 opt 13.325 opt 2.336 opt 1.64985 500 10000 10000 opt 106.09 opt 437.909 opt 94.473 opt 20.11155 500 50000 50000 N/A - opt 2086.517 opt 486.124 opt 225.2309 Òàáåëà 5.10: Êîìïàðàòèâíè ðåçóëòàòè çà STS èñíòàíöå m n o/b CPL tCPL GA tGA EM tEM VNS t< NS 9 12 10 opt 0.031 opt 0.193 opt 0.001 opt 0.0009 15 35 28 opt 0.343 opt 0.233 opt 0.003 opt 0.002 27 117 91* N/A - best 0.382 best 0.005 best 0.00915 45 330 253* N/A - best 0.914 best 0.030 best 0.04215 81 1080 820* N/A - best 2.893 best 0.173 best 0.27625 135 3015 2278* N/A - best 7.858 best 0.905 best 1.2607 243 9801 7381* N/A - best 65.409 best 14.953 best 11.84055 (çà èíñòàíöå ñà 10000 ïîäñêóïîâà ÷àê è 3-5 ïóòà áðæè). Íà STS èíñòàíöàìà âðåìåíà èçâðøå»à VNS è EM àëãîðèòàìà ñó ñëè÷íà. Èàêî ñó ñêóïîâè èíñòàíöè ðåëàòèâíî ìàëè, jåäèíî ïðàâåäíî ïîðå¢å»å èçìå¢ó ðàçëè÷èòèõ ìåòîäà ìîæå áèòè óðà¢åíî ñàìî óïîòðåáîì èñòíèõ òåñòíèõ ïîäàòàêà. Åêñïåðèìåíòàëíè ðåçóë- òàòè óêàçójó íà òî äà VNS ïîñòèæå áî§å ïåðôîðìàíñå ó îäíîñó íà GA èç [70] è ÅÌ èç [67]. Ïîñòèãíóòè ðåçóëòàòè äàjó ïîóçäàíó ïðåòïîñòàâêó äà ñå ïðîïèñàíè VNS ìîæå åôèêàñíî êîðèñòèòè ó ðjåøàâà»ó MSSP. 5.7 Çàâðøíà ðàçìàòðà»à çà MSSP Ó îâîì îäjå§êó jå ðàçìàòðàí ïðîáëåì ìàñêèìàëíå ïîäjåëå ñêóïà. Ðàçìàòðàíå ñó íåêå ïðàêòè÷íå ïðèìjåíå îâîã ïðîáëåìà è ïðèêàçàíà jå ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà »åãîâî ðjåøàâà»å. MSSP jå îä ïðàêòè÷íîã çíà÷àjà è ó îáðàçîâà»ó. Àêî ñå ðàçìàòðà ìåòîäîëîøêè 93 Ïðîáëåì äèjå§å»à ñêóïà ïðèñòóï ïîäjåëå êóðñà íà äâà äèjåëà (íà ïðèìjåð íà äâà ñåìåñòðà), íà íà÷èí äà øòî âèøå òåìàòñêèõ öjåëèíà áóäå ïðèñóòíî ó îáà äèjåëà, îíäà ìàòåìàòè÷êà ïîñòàâêà îâîã ïðèñòóïà îäãîâàðà ïîñòàâöè MSSP. Ó îâîj ãëàâè, ïðèêàçàíà jå ïîäjåëà êóðñà Óâîä ó ðà÷óíàðñòâî è àíàëèçèðàíà òðåíóòíà ïîäjåëà. Àíàëèçîì ñå äîøëî äî ñàçíà»à äà òðåíóòíà ïîäjåëà êóðñà ó çíà÷àjíîj ìjåðè "ïðàòè" ïðîïèñàíè ïðèñòóï, äîê ñå ìèíîðíèì ðàçìjåíàìà ëåêöèjà èçìå¢ó ñåìåñòàðà, òàj ðàñïîðåä ìîæå ó÷èíèòè è îïòèìàëíèì. Îâà ÷è»åíèöà óêàçójå íà ïðåòïîñòàâêó äà ñó àóòîðè Ïëàíà è ïðîãðàìà, ìîòèâèøó£è ñå îâèì èëè íåêèì ñëè÷íèì ïðèñòóïîì, ó çíà÷àjíîj ìjåðè âîäèëè ðà÷óíà äà ñå ôóíäàìåíòàëíå öjåëèíå ðàçìà- òðàjó ó îáà ñåìåñòðà, êàêî áè ñå î÷óâàî êîíòèíóèòåò ó èçó÷àâà»ó. Èñòðàæèâà»å ïðèêàçàíî ó îâîj ãëàâè ïðóæà ìîãó£íîñò äîäàòíîã óíàïðå¢å»à ïîñìàòðàíîã ïëàíà è ïðîãðàìà. VNS ìåòîä êîðèñòè ñòàíäàðäíå ïðîöåäóðå: ðàçìðäàâà»å è ëîêàëíî ïðåòðà- æèâà»å. Ó îêâèðó ïðîöåäóðå ðàçìðäàâà»à, àëãîðèòàì ôîðìèðà ñèñòåì îêîëèíà, êîjå ñó çàñíîâàíå íà ïðîìjåíè êîìïîíåíòè çà ðàñòó£è áðîj åëåìåíàòà. Îâàj ïðèñòóï óñìjåðàâà ïðåòðàãó ó äîáðîì ïðàâöó è îìîãó£àâà åôèêàñíó ïðèìjåíó ëîêàëíîã ïðåòðàæèâà»à íà òðåíóòíî ðjåøe»å. Äà áè ñå ó îêâèðó ëîêàëíå ïðåòðàãå óíàïðèjåäèëî òðåíóòíî ðjåøå»å, àëãîðèòàì ðàçìjå»ójå êîìïîíåíòå çà ïàðîâå åëåìåíàòà, ïîêóøàâàjó£è äà ñå ïðåáàöè ó áî§å ðjåøå»å èç ëîêàëíå îêîëèíå. Ïðåìà åêñïåðèìåíòàëíèì ðåçóëòàòèìà, ïðèìèjå»åíè VNS ïðèñòóï ñå ïîêà- çójå óñïjåøíèì. VNS äîñòèæå ñâà ïîçíàòà îïòèìàëíà, îäíîñíî íàjáî§à ðjåøå»à ó êðàòêîì âðåìåíó. Åêñïåðèìåíòè óêàçójó äà VNS àëãîðèòàì ïîêàçójå áî§å ïåðôîðìàíñå îä äðóãèõ ìåòîäà êîðèøòåíèõ çà ðjåøàâà»å îâîã ïðîáëåìà. Ìîãó£è ïðàâöè äà§èõ èñòðàæèâà»à óê§ó÷ójó ìîãó£íîñò ïðèìjåíå ïîìåíóòîã ïðèñòóïà íà ïîäjåëó äðóãèõ êóðñåâà. Òàêî¢å, áèëî áè èíòåðåñàíòíî ïðèìèjåíèòè îâàj ïðèñòóï íà ÷èòàâ ñåò êóðñåâà (íà ïðèìjåð íà öjåëîêóïíå ñòóäèjå èç îáëàñòè ðà÷óíàðñêèõ íàóêà). Òèìå áè ñå áðîj ëåêöèjà è òåìàòñêèõ öjåëèíà çíà÷àjíî ïîâå£àî, øòî áè îïðàâäàëî ïðèìjåíó ìåòàõåóðèñòè÷êîã ïðèñòóïà çà ðjåøàâà»å äàòîã ïðîáëåìà. Ñà òåîðèjñêîã àñïåêòà, èñòðàæèâà»à áè ìîãëà äà óê§ó÷ójó êîìáèíàöèjó ïðåäëîæåíîã VNS ïðèñòóïà ñà äðóãèì õåóðèñòè÷êèì èëè åãçàêò- íèì ìåòîäàìà íà îâàj èëè ñëè÷íå ïðîáëåìå. 94 Ãëàâà 6 Çàê§ó÷àê Ó îâîì ðàäó ñó èñòðàæåíè àêòóåëíè ïðîáëåìè êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå, êàî è ìîãó£íîñò ïðèìjåíå íåêèõ îä »èõ ó îðãàíèçîâà»ó íàñòàâå. Àíàëèçèðàíå ñó è ïðåäñòàâ§åíå ðàçëè÷èòå ìåòîäå ðjåøàâà»à ñ§åäå£èõ ïðîáëåìà: ïðîáëåì ïðîíà- ëàæå»à ìàêñèìàëíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå, ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à ìàêñèìàëíî áàëàíñèðàíå ïîâåçàíå ïàðòèöèjå ó ãðàôó ñà q ïàðòèöèjà (q ≥ 2), ïðîáëåì ïðîíà- ëàæå»à ïîäjåëå ñêóïà íà äâèjå ïàðòèöèjå è ïðîáëåì ïðîíàëàæå»à p - àðíå òðàíçèòèâíå ðåäóêöèjå ó äèãðàôó. Çà ñâàêè îä îâèõ ïðîáëåìà ïðèêàçàíå ñó ìåòàõåóðèñòèêå çà ðjåøàâà»å: ìå- òîä ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà jå ðàçâèjåí çà ñâà ÷åòèðè ïðîáëåìà, äîê jå çà ðjåøà- âà»å TRV ðàçâèjåí è ãåíåòñêè àëãîðèòàì. Çà MBCP ðàçâèjåí jå è ìîäåë ìjåøîâèòîã öjåëîáðîjíîã ëèíåàðíîã ïðîãðà- ìèðà»à, êîjè îìîãó£àâà ïðîíàëàæå»å òà÷íîã ðjåøå»à çà èíñòàíöå ìà»èõ äè- ìåíçèjà. Ïðèêàçàí jå äåòà§àí äîêàç êîðåêíîñòè ïðåäëîæåíîã ìîäåëà, òå »åãîâà ïðèìjåíà çà ðjåøàâà»å ïîìåíóòîã ìîäåëà óïîòðåáîì ñàâðåìåíèõ ñîôòâåðñêèõ ðjåøàâà÷à. Ìåòîäà ïðîìjåí§èâèõ îêîëèíà çà ïðîáëåìå MBCP, MSSP è TRV êîðèñòå áèíàðíî êîäèðà»å, à çà BCPq öjåëîáðîjíî êîäèðà»å. Ãåíåòñêè àëãîðèòàì ïðè- ìèjå»åí íà ïðîáëåì TRV òàêî¢å êîðèñòè áèíàðíî êîäèðà»å. Ó ãåíåòñêîì êîäó àëãîðèòìà çà TRV ïðîáëåì ñâàêè áèò îäãîâàðà jåäíîj ãðàíè êîjà jåñòå èëè íèjå óê§ó÷åíà ó ðjåøå»å. Çà VNS àëãîðèòìå êîjè ñå îäíîñå íà ïðîáëåìå MBCP è BCPq êîíñòðóèñàíà jå ñïåöèôè÷íà ôóíêöèjà öè§à, êîjà óíóòàð ñåáå êîðèñòè êàçíåíó ôóíêöèjó, îìîãó£àâàjó£è ïðîøèðå»å ïðåòðàãå è íà íåêîðåêòíå jåäèíêå. Çà TRV ïðîáëåì ôóíêöèjà öè§à jå èñòà çà GA è çà VNS è ïîïðàâ§à íåêîðåêòíå jåäèíêå ñóêöå- ñèâíèì äîäàâà»åì ãðàíà, íà íà÷èí äà ñå äîäàâà»åì ñâàêå ãðàíå äàjå íàjâå£à 95 Çàê§ó÷àê øàíñà äà íîâîíàñòàëî ðjåøå»å ïîñòàíå äîïóñòèâî. Çà ñâàêè îä VNS àëãîðèòàìà ðàçâèjåíè ñó ñïåöèôè÷íè ñèñòåìè îêîëèíà, êîjèìà ñå îìîãó£àâà óñìjåðàâà»å ïðåòðàãå ñà jåäíîã íà (ìîãó£å áî§è) äðóãè ìèíèìóì, ñìjåøòåí ó íåêîj îêîëèíè òðåíóòíîã ðjåøå»à. Ðàçâîjåì åôèêàñíèõ ìåòîäà ëîêàëíîã ïðåòðàæèâà»à çà ïðîáëåìå MBCP, MSSP è BCPq çíà÷àjíî ñå óíàïðå¢ójå ÷èòàâ VNS çà ðjåøàâà»å ïîìåíóòèõ ïðîá- ëåìà ÷èìå ñâåóêóïíà ïðåòðàãà äîáèjà íà êâàëèòåòó, óç ðàçóìíî ïîâå£à»å âðå- ìåíà èçâðøå»à. Çà TRV ïðîáëåì, çíà÷àjíà ïðåòðàãà ñå îäâèjà ó îêâèðó ïðîöå- äóðå ðàçìðäàâà»à, òå jå çáîã ïîáî§øà»à êîìïëåòíèõ ïåðôîðìàíñè ñàìîã àëãî- ðèòìà, ëîêàëíà ïðåòðàãà çà îâàj ïðîáëåì èçîñòàâ§åíà. Ãåíåòñêè àëãîðèòàì çà TRV ïðîáëåì êîðèñòè ñòàíäàðäíè ãåíåòñêè îïåðàòîð óêðøòà»à, äîê jå ñòàíäàðäíà ìóòàöèjà óíàïðèjå¢åíà êîíöåïòîì ñìðçíóòèõ ãåíà, ÷èìå ñå çà ïîjåäèíå ãåíå äàjå âå£è íèâî ìóòàöèjå. Ó îâîì àëãîðèòìó ñå êîðèñòè óíàïðèjå¢åíè îïåðàòîð ôèíî ãðàäèðàíå òóðíèðñêå ñåëåêöèjå. Ó îêâèðó îâîã ãåíåòñêîã àëãîðèòìà ñå êîðèñòè è êåøèðà»å, ÷èìå ñå çíà÷àjíî óáðçàâà ðà÷óíà»å ôóíêöèjå öè§à. Ó ðàäó jå ðàçìàòðàíà ïðèìjåíà íåêèõ îä íàâåäåíèõ ïðîáëåìà ó îðãàíèçàöèjè íàñòàâå. Ïîêàçàëî ñå äà ñå ñå MBCP è MSSP óñïjåøíî ìîãó ïðèìèjåíèòè ó ïîäjåëè êóðñåâà, êàêî jå òî ïðèêàçàíî è íà êîíêðåòíèì ïðèìjåðèìà. Ðàçâèjåíå ñó òåõíèêå çà íà÷èíå ïîâåçèâà»à ëåêöèjà, êàî è çà îäðå¢èâà»å »èõîâèõ òåæèíà, çàñíîâàíèì íà îájåêòèâíèì ïîêàçàòå§èìà è ñóájåêòèâíèì ïðîöjåíàìà ïðîôåñî- ðà. Òèìå jå ïîñòèãíóòî äà ñå ÷èòàâ êóðñ ïðåäñòàâè êàî ïîâåçàí òåæèíñêè ãðàô, øòî jå îòâîðèëî ìîãó£íîñò çà ïðèìjåíó àëãîðèòàìà çà ðjåøàâà»å MBCP íà ôîðìèðàíè ãðàô. Äåòà§íà àíàëèçà îâîã ïðèñòóïà èëóñòðîâàíà jå íà ïðèìjåðó êóðñà Óâîä ó òåîðèjó áðîjåâà. Ïðèäðóæèâà»åì ëåêöèjà îäãîâàðàjó£èì êàòåãîðèjàìà (òåìàòñêèì öjåëèíà- ìà) óíóòàð jåäíîã êóðñà, êðåèðà ñå ôàìèëèjà ïîäñêóïîâà (òåìàòñêèõ öjåëèíà) ÷èòàâîã ñêóïà ëåêöèjà. Àêî ïðåòïîñòàâèìî äà ëåêöèjå êóðñà òðåáà ðàçáèòè ó äâà äèñjóíêòíà ïîäñêóïà, òàêî äà øòî âèøå òåìàòñêèõ öjåëèíà áóäå ïîêðèâåíî ó îáà òà ïîäñêóïà, òàäà ñå íàâåäåíè ïðîáëåì ñâîäè íà ðjåøàâà»å MSSP. Ó äèñåðòàöèjè jå äåòà§íî àíàëèçèðàí îâàj ïðèñòóï íà ïðèìjåðó êóðñà Óâîä ó ðà÷óíàðñòâî. Èç èçëîæåíèõ ìîäåëà óïîòðåáå MBCP è MSSP ó îðãàíèçîâà»ó íàñòàâå, ìîæå ñå çàê§ó÷èòè äà îâà äâà ïðèñòóïà ïðåäëàæó ïðèëè÷íî ðàçëè÷èòå, ÷àê è ñóïðîòñòàâ§åíå êîíöåïòå, òå ñå ñòîãà è íå ìîãó êîðèñòèòè ó èñòèì ñèòóàöèjàìà. Ïîäjåëà êóðñà çàñíîâàíà íà MBCP ïðèñòóïó ïîäðàçóìèjåâà áàëàíñèðàíîñò äèjå- ëîâà êóðñà ïî òåæèíè, óç î÷óâà»å ïîâåçàíîñòè ëåêöèjà. Íàñóïðîò òîì êîíöåïòó, ó MSSP ïðèñòóïó ñå íå ðàçìàòðàjó òåæèíå ëåêöèjà è »èõîâà ïîâåçàíîñò, âå£ 96 Çàê§ó÷àê ñå ïîçèòèâàí ìåòîäè÷êè åôåêàò ïîíàâ§à»à îñíîâà òåìàòñêèõ öjåëèíà (ñâèõ èëè áàð âå£èíå) ïîñòèæå êðîç êâàëèòåòíó ðàñïîäjåëó ëåêöèjà ïî ñåìåñòðèìà, èìàjó£è ó âèäó ïðèïàäíîñò ëåêöèjà îäãîâàðàjó£èì òåìàòñêèì öjåëèíàìà. Ñèíòåçà ìåòîäè÷êîã è ìàòåìàòè÷êîã ïðèñòóïà, èçëîæåíà ó îâîì ðàäó, óêàçójó íà ïðàâöå äà§åã èñòðàæèâà»à ó öè§ó ïîáî§øà»a êâàëèòåòà íàñòàâíîã ïðîöåñà, óïîòðåáîì è ðàçíèõ äðóãèõ ïðîáëåìà êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå, êàî øòî ñó ëîêàöèjñêè ïðîáëåìè, ïðîáëåìè ðóòèðà»à, ñêëàäèøòå»à èòä. 6.1 Íàó÷íè äîïðèíîñ ðàäà Íàjâàæíèjè ðåçóëòàòè êîjè ïðåäñòàâ§àjó íàó÷íè äîïðèíîñ îâîã ðàäà ñó: • Ôîðìóëàöèjà ìjåøîâèòîã öjåëîáðîjíîã ïðîãðàìèðà»à çà MBCP. • Ðàçâîj ðàçëè÷èòèõ ñèñòåìà îêîëèíà îä êîjèõ jå ñâàêè ïîñåáíî ïðîjåêòîâàí çà äàòè ïðîáëåì ó îêâèðó VNS ìåòîäå, çà ïðîáëåìå MBCP, BCPq, MSSP è TRV. • Ðàçâîj åôèêàñíèõ ìåòîäà ëîêàëíîã ïðåòðàæèâà»à ó óêâèðó VNS ìåòîäå, çà ïðîáëåìå MSSP, MBCP è BCPq. • Ðàçâîj ñïåöèôè÷íîã íà÷èíà êîäèðà»à jåäèíêè ó GA è ñïåöèôè÷íå ðåïðåçåí- òàöèjå ðjåøå»à çà VNS ìåòîäó çà TRV ïðîáëåì. • Ðàçâîj ôóíêöèjå öè§à çà GA è VNS çà TRV ïðîáëåì ó îêâèðó êîjå ñå âðøè êîðåêöèjà jåäèíêè ó GA è êîðåêöèjà ðjåøå»à ó VNS ìåòîäè. • Ïðèìjåíà ïðîáëåìà MBCP è MSSP ó íàñòàâè, îäíîñíî ïðèjåäëîã íîâîã ïðèñòóïà îðãàíèçàöèjè êóðñåâà óïîòðåáîì ìåòîäà êîìáèíàòîðíå îïòèìè- çàöèjå, êîjè îìîãó£àâà ôëåêñèáèëíîñò è åôèêàñíîñò ó îðãàíèçîâà»ó íàñòàâå. Ðjåøå»à ïðèêàçàíà ó îâîì ðàäó óñïjåøíî ñå ìîãó ïðèìèjåíèòè íà ðjåøàâà»å îïèñàíèõ, àëè è ñëè÷íèõ ïðîáëåìà. Íàó÷íî èñòðàæèâà»å îïèñàíî ó îâîì ðàäó äàjå äîïðèíîñ îáëàñòèìà êîìáèíàòîðíå îïòèìèçàöèjå è ìåòàõåóðèñòèêà, à ñà äðóãå ñòðàíå, îñîáàìà óê§ó÷åíèì ó îðãàíèçîâà»å íàñòàâíîã ïðîöåñà ïðåäëàæå åôèêàñàí àëàò çà àíàëèçó êâàëèòåòà ïîñòîjå£èõ è ïðàâ§å»å íîâèõ ïëàíîâà è ïðîãðàìà. 97 Ëèòåðàòóðà [1] K. Afshar, M. Ehsan, M. Fotuhi-Firuzabad, and N. Amjady. Cost-benet analysis and MILP for optimal reserve capacity determination in power sys- tem. Applied Mathematics and Computation 196(2) (2008), pp. 752 761. [2] A. V. Aho, M. R. Garey, and J. D. Ullman. The transitive reduction of a directed graph. SIAM Journal of Computing 1(2) (1972), pp. 131137. [3] R. Albert, B. DasGupta, R. Dondi, S. Kachalo, E. Sontag, A. Zelikovsky, and K. Westbrooks. A novel method for signal transduction network inference from indirect experimental evidence. Journal of Computational Biology 14 (2007), pp. 927949. [4] R. Albert, B. DasGupta, R. Dondi, and E. D. Sontag. Inferring (biological) signal transduction networks via transitive reductions of directed graphs. Algorithmica 51 (2008), pp. 129159. [5] G. Andersson and L. Engebretsen. Better approximation algorithms for Set Splitting and Not-All-Equal Sat. Information Processing Letters 65(6) (1998), pp. 305 311. [6] V. Assun cao T.and Furtado. A Heuristic Method for Balanced Graph Par- titioning: An Application for the Demarcation of Preventive Police Patrol Areas in Advances in Articial Intelligence  IBERAMIA 2008. Ed. by H. Gener, R. Prada, I. Machado Alexandre, and N. David. Vol. 5290. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2008, pp. 6272. [7] T. Back, D. B. Fogel, and Z. Michalewicz. Evolutionary Computation 1: Basic Algorithms and Operators. Taylor & Francis, 2000. [8] R. Berghammer. A generic program for minimal subsets with applications in Proceedings of the 12th international conference on Logic based program synthesis and transformation. Lecture Notes in Computer Science 2664, Springer Verlag, 2003, pp. 144157. 98 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [9] P. Berman, B. DasGupta, and M. Karpinski. Approximating transitive re- ductions for directed networks in Proceedings of the 11th International Sym- posium on Algorithms and Data Structures Lecture Notes in Computer Sci- ence 5664. 2009, pp. 7485. [10] C. Blum and A. Roli. Metaheuristics in combinatorial optimization: Overview and conceptual comparison. ACM Computing Surveys 35(3) (2003), pp. 268 308. [11] B. Bozkaya, E. Erkut, and G. Laporte. A tabu search heuristic and adaptive memory procedure for political districting. European Journal of Operational Research 144(1) (2003), pp. 12 26. [12] M. Carter and G. Laporte. Recent developments in practical course timetabling in Practice and Theory of Automated Timetabling II. Ed. by E. Burke and M. Carter. Vol. 1408. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 1998, pp. 319. [13] T. Chang and Y. Chen. Cooperative learning in E-learning: A peer assess- ment of student-centered using consistent fuzzy preference. Expert Systems with Applications 36(4) (2009), pp. 8342 8349. [14] T. Chang, P. Cheng, and Y. Chen. A teacher evaluation system based on association rule and certainty factor inference: how to judge a course is suc- cessful or not? in International Conferenceone-Commerce, e-Administration, e-Society, e-Education, and e-Technology. 2011, pp. 1820. [15] T. Chang and Y. Ke. A personalized e-course composition based on a genetic algorithm with forcing legality in an adaptive learning system. Journal of Network and Computer Applications 36(1) (2013), pp. 533 542. [16] W. Chang, M. Guo, and M. Ho. Towards solution of the set-splitting problem on gel-based DNA computing. Future Generation Computer Systems 20(5) (2004), pp. 875 885. [17] Y. Chang, Y. Huang, and C. Chu. B2 model: A browsing behavior model based on High-Level Petri Nets to generate behavioral patterns for e-learning. Expert Systems with Applications 36(10) (2009), pp. 12423 12440. [18] Y. Chang, W. Kao, C. Chu, and C. Chiu. A learning style classication mechanism for e-learning. Computers & Education 53(2) (2009), pp. 273  285. 99 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [19] D. Charsky and W. Ressler. Games are made for fun: Lessons on the eects of concept maps in the classroom use of computer games. Computers & Education 56(3) (2011), pp. 604 615. [20] F. Chataigner, L. Salgado, and Y.Wakabayashi. Approximation and inaprox- imability results on balanced connected partitions of graphs. Discrete Math- ematics & Theoretical Computer Science 9 (2007), pp. 177 192. [21] J. Chen and S. Lu. Improved Algorithms for Weighted and Unweighted Set Splitting Problems in Computing and Combinatorics. Ed. by G. Lin. Vol. 4598. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2007, pp. 537547. [22] J. Chen and S. Lu. Improved Parameterized Set Splitting Algorithms: A Probabilistic Approach. Algorithmica 54 (4 2009), pp. 472489. [23] E. Cheng, S. Kruk, and M. Lipman. Flow Formulations for the Student Scheduling Problem in Practice and Theory of Automated Timetabling IV. Ed. by E. Burke and P. Causmaecker. Vol. 2740. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2003, pp. 299309. [24] S. Cheng, Y. Lin, and Y. Huang. Dynamic question generation system for web-based testing using particle swarm optimization. Expert Systems with Applications 36(1) (2009), pp. 616 624. [25] J. Chlebikova. Approximating the maximally balanced connected partition problem in graphs. Information Processing Letters 60(5) (1996), pp. 225  230. [26] Computer Science Curriculum 2008: An Interim Revision of CS 2001 Report from the Interim Review Task Force. Tech. rep. ACM/IEEE-CS Joint Interim Review Task Force., 2008. [27] CPLEX solver, IBM company. www.ibm.com/software/integration/optimization/cplex-optimizer. [28] T. G. Crainic, M. Gendreau, P. Hansen, and N. Mladenovic. Cooperative Parallel Variable Neighborhood Search for the p-Median. Journal of Heuris- tics 10 (2004), pp. 293314. [29] V. Cutello and G. Nicosia. A Clonal Selection Algorithm for Coloring, Hit- ting Set and Satisability Problems in Neural Nets. Ed. by B. Apolloni, M. Marinaro, G. Nicosia, and R. Tagliaferri. Vol. 3931. Lecture Notes in Com- puter Science. Springer Berlin Heidelberg, 2006, pp. 324337. 100 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [30] L. Davis and L. Ritter. Schedule optimization with probabilistic search in Proceedings of the 3rd IEEE Conference on Articial Intelligence Applica- tions. IEEE, 1987, pp. 231236. [31] F. Dehne, M. Fellows, and F. Rosamond. An FPT Algorithm for Set Split- ting in Graph-Theoretic Concepts in Computer Science. Ed. by H. Bodlaen- der. Vol. 2880. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidel- berg, 2003, pp. 180191. [32] F. Dehne, M. Fellows, F. Rosamond, and P. Shaw. Greedy Localization, It- erative Compression, and Modeled Crown Reductions: New FPT Techniques, an Improved Algorithm for Set Splitting, and a Novel 2k Kernelization for Vertex Cover in Parameterized and Exact Computation. Ed. by R. Downey, M. Fellows, and F. Dehne. Vol. 3162. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2004, pp. 271280. [33] B. Djuric, J. Kratica, D. Tosic, and V. Filipovic. Solving the Maximally Bal- anced Connected Partition Problem in Graphs by Using Genetic Algorithm. Computing and Informatics 27(3) (2008), pp. 341 354. [34] V. Dubois and C. Bothorel. Transitive reduction for social network analy- sis and visualization in IEE/WIC/ACM International Conference on Web Intelligence. 2005, pp. 128131. [35] V. Filipovic. Fine-grained tournament selection operator in genetic algo- rithms. Computing and Informatics 22 (2003), pp. 143161. [36] V. Filipovic. Operatori selekcije i migracije i web servisi kod paralelnih evo- lutivnih algoritama, doktorska disertacija. 2006. [37] V. Filipovic, J. Kratica, D. Tosic, and I. Ljubic. Fine grained tournament selection for the simple plant location problem in Proceedings of the 5th On- line World Conference on Soft Computing Methods in Industrial Applications - WSC5. 2000, pp. 152158. [38] G. N. Frederickson and J. Jaja. Approximation algorithms for several graph augmentation problems. SIAM Journal of Computing 10(2) (1981), pp. 270 283. [39] D. Fulkerson, G. Nemhauser, and L. Trotter. Two computationally dicult set covering problems that arise in computing the 1-width of incidence ma- trices of Steiner triple systems in Approaches to Integer Programming. Ed. by M. Balinski. Vol. 2. Mathematical Programming Studies. Springer Berlin Heidelberg, 1974, pp. 7281. 101 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [40] M. R. Garey and D. S. Johnson. Computers and Intractability: A guide to the Theory of NP-Completness. New York: Freeman W.H., 1979. [41] M. J. Geiger and W. Wenger. On the assignment of students to topics: A Variable Neighborhood Search approach. Socio-Economic Planning Sciences 44(1) (2010), pp. 25 34. [42] M. Gendreau and J. Potvin. Metaheuristics in Combinatorial Optimization. Annals of Operations Research 140 (1 2005), pp. 189213. [43] A. Gunawan and K. M. Ng. Solving the Teacher Assignment Problem by Two Metaheuristics. International Journal of Information and Management Sciences 22 (2011), pp. 7386. [44] A. Gunawan, H. L. Ong, and K. M. Ng. A genetic algorithm for the teacher assignment problem. International Journal of Information and Management Sciences 19(1) (2008), pp. 116. [45] I. Gurobi Optimization. Gurobi Optimizer Reference Manual. 2012. [46] V. Guruswami. Inapproximability Results for Set Splitting and Satisability Problems with No Mixed Clauses in Approximation Algorithms for Combi- natorial Optimization. Ed. by K. Jansen and S. Khuller. Vol. 1913. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2000, pp. 155166. [47] P. Hansen, N. Mladenovic, and J. A. Moreno-Perez. Variable neighbour- hood search: methods and applications (invited survey). 4OR: A Quarterly Journal of Operations Research 6 (2008), pp. 319360. [48] P. Hansen, N. Mladenovic, and J. A. Moreno-Perez. Variable neighbour- hood search: algorithms and applications. Annals of Operations Research 175 (2010), pp. 367407. [49] P. Hansen, N. Mladenovic, and D. Perez-Brito. Variable Neighborhood De- composition Search. Journal of Heuristics 7(4) (2001), pp. 335350. [50] G. H. Hardy and E. M. Wright. An Introduction to the Theory of Numbers. USA: Oxford University Press, 1979. [51] J. Holland. Adaption in Natural and Articial Systems. Ed. by A. Arbor. University of Michigan Press, 1975. [52] S. Hsieh, Y. Jang, G. Hwang, and N. Chen. Eects of teaching and learning styles on students' reection levels for ubiquitous learning. Computers & Education 57(1) (2011), pp. 1194 1201. 102 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [53] T. Huang, Y. Huang, and S. Cheng. Automatic and interactive e-Learning auxiliary material generation utilizing particle swarm optimization. Expert Systems with Applications 35(4) (2008), pp. 2113 2122. [54] Y. Huang, Y. Lin, and S. Cheng. An adaptive testing system for support- ing versatile educational assessment. Computers & Education 52(1) (2009), pp. 53 67. [55] G. Hwang, B. Lin, and T. Lin. An eective approach for test-sheet com- position with large-scale item banks. Computers & Education 46(2) (2006), pp. 122 139. [56] G. Hwang, P. Yin, and S. Yeh. A tabu search approach to generating test sheets for multiple assessment criteria. IEEE Transactions on Education 49(1) (2006), pp. 8897. [57] G. Hwang, P. Yin, T. Wang, J. Tseng, and G. Hwang. An enhanced ge- netic approach to optimizing auto-reply accuracy of an e-learning system. Computers & Education 51(1) (2008), pp. 337 353. [58] T. Ito, X. Zhou, and T. Nishizeki. Partitioning a graph of bounded tree- width to connected subgraphs of almost uniform size. Journal of Discrete Algorithms 4(1) (2006), pp. 142 154. [59] T. Ito, T. Uno, X. Zhou, and T. Nishizeki. Partitioning a Weighted Tree to Subtrees of Almost Uniform Size in Algorithms and Computation. Ed. by S.-H. Hong, H. Nagamochi, and T. Fukunaga. Vol. 5369. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2008, pp. 196207. [60] S. Kachalo, R. Zhang, E. Sontag, R. Albert, and B. DasGupta. NET-SYNTHESIS: a software for synthesis, inference and simplication of signal transduction networks. Bioinformatics 24(2) (2008), pp. 293295. [61] P. Kelsen and V. Ramachandran. The complexity of nding minimal spanning subgraphs. Tech. rep. CS-TR-91-17, 1991. [62] S. Khuller, B. Raghavachari, and N. Young. Approximating the minimum equivalent digraph. SIAM Journal on Computing 24(4) (1995), pp. 859872. [63] S. Khuller, B. Raghavachari, and N. Young. On strongly connected di- graphs with bounded cycle length. Discrete Applied Mathematics 69 (1996), pp. 281289. [64] S. Khuller, B. Raghavachari, and A. Zhu. A uniform framework for ap- proximating weighted connectivity problems in 19th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. 1999, pp. 937938. 103 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [65] J. Kojic. Integer linear programming model for multidimensional two-way number partitioning problem. Computers and Mathematics with Applica- tions 60(8) (2010), pp. 2302 2308. [66] J. Kratica. Improving performances of the genetic algorithm by caching. Computers and Articial Intelligence 18 (1999), pp. 271283. [67] J. Kratica. An Electromagnetism-like method for the maximum set splitting problem. Yugoslav Journal of Operations Research 23(1) (2013). [68] J. Kratica, Z. Stanimirovic, D. Tosic, and V. Filipovic. Two genetic algo- rithms for solving the uncapacitated single allocation p-hub median problem. European Journal of Operational Research 182(1) (2007), pp. 1528. [69] G. Laporte and S. Desroches. The problem of assigning students to course sections in a large engineering school. Computers & Operations Research 13(4) (1986), pp. 387 394. [70] B. Lazovic, M. Maric, V. Filipovic, and A. Savic. An integer linear pro- gramming formulation and genetic algorithm for the maximum set splitting problem. Publications de l'Institut Mathematique 92(106) (2012), pp. 2534. [71] C. Lee, C. Huang, and C. Lin. Test-Sheet Composition Using Immune Algo- rithm for E-Learning Application in New Trends in Applied Articial Intel- ligence. Ed. by H. Okuno and M. Ali. Vol. 4570. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2007, pp. 823833. [72] R. Lewis. A survey of metaheuristic-based techniques for University Timetabling problems. OR Spectrum 30 (1 2008), pp. 167190. [73] S. Li, S. M. Assmann, and R. Albert. Predicting essential components of signal transduction networks: A dynamic model of guard cell abscisic acid signaling. PLoS Biology 4(10) (2006), pp. 17321748. [74] D. Lokshtanov and C. Sloper. Fixed parameter set splitting, linear kernel and improved running time in ACiD. 2005, pp. 105113. [75] D. Lokshtanov and S. Saurabh. Even Faster Algorithm for Set Splitting! in Parameterized and Exact Computation. Ed. by J. Chen and F. Fomin. Vol. 5917. Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 2009, pp. 288299. [76] L. Lovasz. Coverings and colorings of hypergraphs in Proc. 4th Southeastern Conf. on Comb. Springer Berlin Heidelberg, 1973, pp. 312. 104 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [77] M. Lucertini, Y. Perl, and B. Simeone. Most uniform path partitioning and its use in image processing. Discrete Applied Mathematics 42(2-3) (1993), pp. 227 256. [78] D. Matic. A Variable Neighborhood Search Approach for Solving the Max- imum Set Splitting Problem. Serdica Journal of Computing 6(4) (2012), pp. 369384. [79] D. Matic. A mixed integer linear programming model and variable neigh- borhood search for maximally balanced connected partition problem (sub- mitted). [80] D. Matic and M. Bozic. Rjesavanje nekih organizacionih problema u nastavi primjenom pronalazenja maksimalno balansirane povezane particije u grafu in Proc. of Simposium Mathematics and Application. Faculty of Mathematics, University of Belgrade, 2012. [81] D. Matic and M. Bozic. Maximally Balanced Connected Partition Problem in Graphs: Application in Education. The Teaching of Mathematics 15(2) (2012), pp. 121132. [82] P. Maya, K. Sorensen, and P. Goos. A metaheuristic for a teaching assis- tant assignment-routing problem. Computers & Operations Research 39(2) (2012), pp. 249 258. [83] V. Micic and Z. Kadelburg.Uvod u teoriju brojeva. Beograd: Drustvo matema- ticara Srbije, 1989. [84] M. Milanovic, D. Matic, A. Savic, and J. Kratica. Two Metaheuristics Ap- proches to Solving the p-ary Transitive Reduction Problem. Applied and Computational Mathematics 10(2) (2011), pp. 294308. [85] S. MirHassani and F. Habibi. Solution approaches to the course timetabling problem. Articial Intelligence Review (2011), pp. 117. [86] I. Miyaji, K. Ohno, and H. Mine. Solution method for partitioning students into groups. European Journal of Operational Research 33(1) (1988), pp. 82 90. [87] N. Mladenovic and P. Hansen. Variable neighbourhood search. Computers & Operations Research 24 (1997), pp. 10971100. [88] D. M. Moyles and G. L. Thompson. An algorithm for nding the minimum equivalent digraph. SIAM Journal on Computing 24 (1995), pp. 859872. [89] I. Osman and G. Laporte. Metaheuristics: A bibliography. Annals of Op- erations Research 63 (5 1996), pp. 511623. 105 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [90] C. Papadimitriou and K. Steiglitz. Combinatorial optimization: algorithms and complexity. Prentice Hall, 1982. [91] S. Petrovic and E. Burke. University timetabling in Handbook of Schedul- ing: Algorithms, Models, and Performance Analysis, chapter 45. Chapman Hall/CRC Press, 2004. [92] F. Rutherford and A. Ahlgren. Science for All Americans. Oxford University Press, USA, 1991. [93] G. Sabin and G. Winter. The impact of automated timetabling on universi- ties - a case study. Journal of the Operational Research Society 37(7) (1986), pp. 689 693. [94] A. Savic, J. Kratica, M. Milanovic, and D. Dugosija. A mixed integer linear programming formulation of the maximum betweenness problem. European Journal of Operational Research 206(3) (2010), pp. 522 527. [95] J. Saxtorph and J. Clausen. Finding minimum equivalent digraphs in Sixth Workshop on Applied/Advanced Research in Combinatorial Optimization. Copenhagen, Denmark, 2000. [96] A. Schaerf. A Survey of Automated Timetabling. Articial Intelligence Re- view 13(2) (1999), pp. 87127. [97] K. Simon. Finding a minimal transitive reduction in a strongly connected digraph within linear time in Proc. 15th International Workshop WG'89. Lecture Notes in Computer Science 411, Springer Verlag, 1989, pp. 245259. [98] I. Slama, B. Jouaber, and D. Zeghlache. Topology Control and Routing in Large Scale Wireless Sensor Networks. Computing and Informatics 2 (2010), pp. 584 598. [99] Z. Stanimirovic. Genetski algoritmi za resavanje nekih NP-teskih hab lokaci- jskih problema, doktorska disertacija. 2007. [100] A. Vetta. Approximating the minimum strongly connected subgraph via a matching lower bound in 12th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algo- rithms. 2001, pp. 417426. [101] T. Wang. Developing Web-based assessment strategies for facilitating ju- nior high school students to perform self-regulated learning in an e-Learning environment. Computers & Education 57(2) (2011), pp. 1801 1812. [102] Y. Wang. An application of genetic algorithm methods for teacher assign- ment problems. Expert Systems with Applications 22(4) (2002), pp. 295  302. 106 ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ [103] P. Yin, K. Chang, G. Hwang, G. Hwang, and Y. Chan. A Particle Swarm Optimization Approach to Composing Serial Test Sheets for Multiple Assess- ment Criteria. Educational Technology & Society 9(3) (2006), pp. 315. [104] F. Yu, R. Katz, and T. Lakshman. Ecient Multi-Match Packet Classica- tion for Network Security Applications. IEEE Journal on Selected Areas in Communications 24(2) (2006). [105] F. Yu, T. V. Lakshman, M. A. Motoyama, and R. H. Katz. SSA: A Power and Memory Ecient Scheme to Multi-Match Packet Classication. Tech. rep. UCB/CSD-05-1388. EECS Department, University of California, Berkeley, 2005. [106] J. Zhang, Y. Ye, and Q. Han. Improved approximations for max set splitting and max NAE SAT. Discrete Applied Mathematics 142(1-3) (2004), pp. 133 149. 107 Биографија Драган Матић је рођен 23. августа 1977. године у Сремској Митровици. Основну школу и Гимназију завршио је у Бијељини (Босна и Херцеговина). Дипломирао је 2001. године на Природно-математичком факултету у Новом Саду са просјечном оцјеном 9,46, а на истом Факултету 2009. године завршава и постдипломске-мастер студије, одбранивши мастер рад под називом Генетички алгоритми и музика. Докторске студије на Катедри за методику Математичког факултета у Београду је уписао 2008. године. Од октобра 2001. године ради на Природно математичком факултету у Бањалуци, прво у звању асистента (2001-2009), те у звању вишег асистента (од краја 2009. године до данас), на Катедри за информатику (ужа научна област Програмски језици). Током асистентског стажа држао је вјежбе из већег броја информатичких и неких математичких предмета: Основе програмирања, Основе рачунарских система, Објектно-оријентисано програмирање, Анализа и дизајн алгоритама, Математичко програмирање, Методика наставе рачунарства, Теорија аутомата и формалних језика, као и основне курсеве из oснова информатике за студенте хемије, географије и биологије. У периоду од 2006. до 2012. ангажован је и као консултант на развоју и имплементацији система за електронско учење, као и на другим домаћим и међународним пројектима у Босни и Херцеговини из области информационих технологија. Прилог 1. Изјава о ауторству Потписани Драган Матић број индекса 2024/2008______ Изјављујем да је докторска дисертација под насловом Рјешавање неких проблема у настави примјеном метода комбинаторне оптимизације  резултат сопственог истраживачког рада,  да предложена дисертација у целини ни у деловима није била предложена за добијање било које дипломе према студијским програмима других високошколских установа,  да су резултати коректно наведени и  да нисам кршио/ла ауторска права и користио интелектуалну својину других лица. Потпис докторанда У Београду, 20.5.2013. _________________________ Прилог 2. Изјава o истоветности штампане и електронске верзије докторског рада Име и презиме аутора: Драган Матић Број индекса __2024/2008_ Студијски програм Математика Наслов рада: Рјешавање неких проблема у настави примјеном метода комбинаторне оптимизације Ментор др Владимир Филиповић, доцент Потписани Драган Матић Изјављујем да је штампана верзија мог докторског рада истоветна електронској верзији коју сам предао/ла за објављивање на порталу Дигиталног репозиторијума Универзитета у Београду. Дозвољавам да се објаве моји лични подаци везани за добијање академског звања доктора наука, као што су име и презиме, година и место рођења и датум одбране рада. Ови лични подаци могу се објавити на мрежним страницама дигиталне библиотеке, у електронском каталогу и у публикацијама Универзитета у Београду. Потпис докторанда У Београду, 20.5.2013. _________________________ Прилог 3. Изјава о коришћењу Овлашћујем Универзитетску библиотеку „Светозар Марковић“ да у Дигитални репозиторијум Универзитета у Београду унесе моју докторску дисертацију под насловом: Рјешавање неких проблема у настави примјеном метода комбинаторне оптимизације која је моје ауторско дело. Дисертацију са свим прилозима предао/ла сам у електронском формату погодном за трајно архивирање. Моју докторску дисертацију похрањену у Дигитални репозиторијум Универзитета у Београду могу да користе сви који поштују одредбе садржане у одабраном типу лиценце Креативне заједнице (Creative Commons) за коју сам се одлучио/ла. 1. Ауторство 2. Ауторство - некомерцијално 3. Ауторство – некомерцијално – без прераде 4. Ауторство – некомерцијално – делити под истим условима 5. Ауторство – без прераде 6. Ауторство – делити под истим условима (Молимо да заокружите само једну од шест понуђених лиценци, кратак опис лиценци дат је на полеђини листа). Потпис докторанда У Београду, 20.5.2013. ____________________ 1. Ауторство - Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце, чак и у комерцијалне сврхе. Ово је најслободнија од свих лиценци. 2. Ауторство – некомерцијално. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела. 3. Ауторство - некомерцијално – без прераде. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, без промена, преобликовања или употребе дела у свом делу, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела. У односу на све остале лиценце, овом лиценцом се ограничава највећи обим права коришћења дела. 4. Ауторство - некомерцијално – делити под истим условима. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се прерада дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела и прерада. 5. Ауторство – без прераде. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, без промена, преобликовања или употребе дела у свом делу, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца дозвољава комерцијалну употребу дела. 6. Ауторство - делити под истим условима. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се прерада дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца дозвољава комерцијалну употребу дела и прерада. Слична је софтверским лиценцама, односно лиценцама отвореног кода.