UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIČKI FAKULTET mr Nataša A. Babačev FIKSNE TAČKE PRESLIKAVANJA NA PROSTORIMA SA NEDETERMINISTIČKIM RASTOJANJEM doktorska disertacija Beograd, 2012 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF MATHEMATICS mr Nataša A. Babaev FIXED POINTS OF MAPPINGS ON SPACES WITH NONDETERMINISTIC DISTANCES Doctoral Dissertation Belgrade, 2012 Mentor: dr Miodrag M. Mateljevic´, redovan profesor, Univerzitet u Beogradu, Matematicˇki fakultet Cˇlanovi komisije: dr Miodrag M. Mateljevic´, redovan profesor, Univerzitet u Beogradu, Matematicˇki fakultet dr Miroljub J. Jevtic´, redovan profesor, Univerzitet u Beogradu, Matematicˇki fakultet dr Siniˇsa N. Jesˇic´, docent, Univerzitet u Beogradu, Elektrotehnicˇki fakultet Datum odbrane: FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA NA PROSTORIMA SA NEDETERMINISTICˇKIM RASTOJANJEM Rezime: Osnovu sadrzˇaja teze cˇine uslovi postojanja nepokretnih tacˇaka preslikavanja definisanih na prostorima sa nedeterministicˇkim rastojanjem i sastoji se iz cˇetiri dela. U prvoj glavi izlozˇen je pregled osnovnih pojmova i rezultata, na metricˇkim prostorima, koji su inicirali istrazˇivanja izlozˇena u ovoj tezi. U drugoj glavi izlozˇene su definicije i pored¯enja prostora na kojima c´e presli- kavanja biti razmatrana, kao i osnovni stavovi koji karakteriˇsu ove prostore i nji- hove podskupove. Razmatraju se pitanja: metricˇke i topolosˇke strukture prostora; neprekidnosti nedeterministicˇkih metrika; ogranicˇenosti (semi-ogranicˇenosti) i stroge ogranicˇenosti skupova u prostorima sa nedeterministicˇkim rastojanjem; navode se primeri prostora sa nedeterministicˇkim rastojanjem i osobine metrika na tim pros- torima. Posebno, pazˇnja je posvec´ena razjasˇnjavanju odnosa pojmova kompletnosti i G-kompletnosti i njihovom znacˇaju za rezultate u teoriji nepokretne tacˇke. U trec´oj glavi razmatraju se pitanja uopsˇtenja pojma komutativnosti pojmovima R-slabe komutativnosti, kompatibilnosti i slabe kompatibilnosti funkcija. U ovoj glavi izlozˇena su tri rezultata, jedan autorski i dva koautorska. Prvi rezultat se odnosi na postojanje zajednicˇke nepokretne tacˇke dva preslikavanja definisana na L -fazi metricˇkim prostorima koja ispunjavaju nelinearan kontraktivan uslov. Drugi rezultat se odnosi na postojanje zajednicˇke nepokretne tacˇke dva neekspanzivna preslikavanja definisana na L -fazi metricˇkim prostorima sa konveksnom strukturom. Trec´i, autorski rezultat odnosi se na postojanje nepokretne tacˇke preslikavanja defin- isanog na verovatnosnim Mengerovim prostorima koje ispunjava nelinearan kvazi- kontraktivan uslov odred¯en alternirajuc´om Φ-funkcijom. U poslednjoj, cˇetvrtoj glavi, prikazana su tri rezultata, jedan autorski i dva koautorska, o postojanju zajednicˇke nepokretne tacˇke preslikavanja definisanih na verovatnosnim Mengerovim prostorima. Prvi od njih odnosi se na postojanje za- jednicˇke nepokretne tacˇke familije preslikavanja koja su R-slabo komutativna sa nekim fiksiranim preslikavanjem, pri nelinearnom kontraktivnom uslovu. Drugi rezultat odnosi se na postojanje zajednicˇke nepokretne tacˇke dva para preslikavanja, pri čemu je jedan od njih kompatibilan, a drugi od njih slabo kompatibilan, pri nelinearnom kontraktivnom uslovu. Ovaj rezultat, u izvesnom smislu, uopštava se u trećem, autorskom rezultatu ove glave, zamenom nelinearnog kontraktivnog uslova sa nelinearnim kontraktivnim uslovom određenim alternirajućom Φ-funkcijom. Ključne reči: Verovatnosni metrički prostori, Fazi metrički prostori, Intuicionistički metrički prostori, L -fazi metrički prostori, Fiksne tačke preslikavanja, R-slabo ko- mutativna preslikavanja, Kompatibilnost preslikavanja, Konveksna struktura, Ne- ekspanzivna preslikavanja, Nelinearni kontraktivni uslov Naučna oblast: Matematička analiza Uža naučna oblast: Nelinearna funkcionalna analiza UDK broj: 517.988:[515.126.4:515.123/.124] (043.3) FIXED POINTS OF MAPPINGS ON SPACES WITH NONDETERMINISTIC DISTANCES Abstract: Basic contents of the thesis are conditions of existence of fixed points of mappings defined on spaces with nondeterministic distances and it consists of four parts. In the first chapter an overview of basic definitions and results on metric spaces that have initiated the research in this thesis is given. The second chapter presents definitions and comparison of spaces on which the mappings will be considered, as well as basic propositions that characterize these spaces and their subsets. The following matters are considered: metrical and topo- logical structures of spaces; continuity of nondeterministic metrics; boundness (semi- boundness) and strong boundness of sets in spaces with nondeterministic distances; examples of spaces with nondeterministic distances and properties of metrics on these spaces are given. Special attention is paid to clarification of the relation be- tween concepts of completeness and G-completeness and their significance for results in fixed point theory. The third chapter considers generalizations of commutativity with terms of R- weakly commutativity, compatibility and weak compatibility of mappings. This chapter presents three results, one produced independently and two in cooperation. The first result relates to existence of common fixed point of two mappings defined on L -fuzzy metric spaces that satisfy nonlinear contractive condition. The second result relates to existence of common fixed point of two nonexpansive mappings defined on L -fuzzy metric spaces with convex structure. The third, independently produced result relates to existence of fixed point of mapping defined on Probabilistic Menger spaces that satisfies nonlinear quasi-contractive condition determined by alternating Φ-function. The last, fourth chapter considers three results, one produced independently and two in cooperation, on existence of common fixed points of mappings defined on Probabilistic Menger spaces. The first result relates to existence of common fixed point of family of mappings which are R-weakly commutative with a fixed mapping with nonlinear contractive condition. The second result relates to existence of common fixed point of two pairs of mappings, with one pair being compatible and the other weakly compatible, with nonlinear contractive condition. In a certain sense this result is generalized in the third, independently produced result by replacement of nonlinear contractive condition with nonlinear contractive condition determined by alternating Φ-function. Key words: Probabilistic Metric Spaces, Fuzzy Metric Spaces, Inuitionistic Fyzzi Metric Spaces, L -fuzzy Metric Spaces, Fixed points of mappings, R-weakly com- muting mappings, Compatibility of mappings, Convex structure, Nonexpansive map- pings, Nonlinear contractive condition Scientific field: Matematical analysis Scientific subfield: Nonlinear functional analysis UDK number: 515.988:[515.126.4:515.123/.124] (043.3) Sadrzˇaj Predgovor 1 1 Pregled pojmova i rezultata 3 1.1 Osnovne definicije i rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Osnovne definicije i rezultati 10 2.1 Verovatnosni metricˇki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Fazi metricˇki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 L -fazi i intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Fiksne tacˇke preslikavanja 37 3.1 Fiksne tacˇke preslikavanja na L -fazi metricˇkim prostorima . . . . . . 37 3.2 Konveksna struktura na L -fazi metricˇkim prostorima . . . . . . . . 48 3.2.1 Fiksne tacˇke neekspanzivnog preslikavanja . . . . . . . . . . . 54 3.3 Fiksne tacˇke . . . sa nelinearnim kvazi-kontraktivnim uslovom . . . . . 59 4 Zajednicˇke fiksne tacˇke preslikavanja 67 4.1 Fiksne tacˇke na verovatnosnim Mengerovim prostorima . . . . . . . . 67 4.2 Zajednicˇke fiksne tacˇke cˇetiri preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . 78 5 Literatura 93 Predgovor Teorija fiksnih tacˇaka, skoro jedan vek, bavi se ispitivanjem egzistencije tacˇke x iz domena funkcije f koja ima osobinu da je f(x) = x i pleni matematicˇare sˇirom sveta. Primenljivost ove teorije u raznim granama nauke osnovni je razlog zbog koga je dosˇlo do pojave velikog broja matematicˇara koji su istrazˇivali i josˇ uvek istrazˇuju ovu problematiku. Osim primene u matematici, u resˇavanju jednacˇina i sistema jednacˇina, kako algebarskih, tako i diferencijalnih, diferencnih, funkcional- nih, logicˇkih; resˇavanju problema vezanih za konvergenciju; resˇavanju problema iz teorije igara i minimaks teorije; u formiranju novih numericˇkih metoda; teoriji aproksimacija i simulacija i mnogim drugim delovima matematike; znacˇajna je pri- mena u fizici, a posebno u novije vreme u oblasti kvantne fizike cˇestica koja je u vezi sa string i ε∞ fizikom. Primena u ekonomiji je veoma znacˇajna, gde se problem svodi na odred¯ivanje koincidentne tacˇke funkcija ”ponude” i ”potrazˇnje” cˇime se postizˇe formiranje kvalitetnijih testova koji pomazˇu u odlucˇivanju za pokre- tanje nekog ekonomskog ili privrednog procesa. U svetu sigurno ima nekoliko hi- ljada matematicˇara koji ispituju ovu teoriju, a kod nas takod¯e postoji jedan broj matematicˇara koji su se bavili ili se bave ovom problematikom i to su: D- . Kurepa, J. Karamata, D. Adamovic´, M. Taskovic´, O. Hadzˇic´, Lj. C´iric´, S. Jesˇic´, I. Arand¯elovic´, M. Stojakovic´, Lj. Gajic´, V. Rakocˇevic´, M. Mateljevic´ i to raznim delovima i aspek- tima ove teorije. Ovaj rad sastoji se od cˇetiri glave. U prvoj glavi se navode osnovni pojmovi i rezultati koji su motivisali dalja istrazˇivanja koja cˇine rezultate ove teze. U drugoj glavi se navode osnovne definicije i karakterizacije prostora na kojima c´e biti razma- trana preslikavanja koja imaju osobinu nepokretne ili zajednicˇke nepokretne tacˇke. Navode se definicije prostora sa nedeterministicˇkim rastojenjem, cˇija je struktura odred¯ena raznim oblicima linearne i nelinearne parametarske metrike, koji pritom svojom aksiomatikom obuhvataju metricˇke prostore, koje je pocˇetkom 20. veka uveo 1 francuski matematicˇar M. Fresˇe ([17]), uvodec´i pojam rastojanja na proizvoljnom skupu. Generalizaciju metricˇkih prostora predstavljaju Verovatnosni (Mengerovi) metricˇki prostori ([51]), Fazi metricˇki prostori ([46]) cˇija je definicija modifikovana u radu ([34]), a u novije vreme, tacˇnije 2004. i 2006. godine, i Intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori ([60]) i L -fazi metricˇki prostori ([66]) cˇija aksiomatika opisuje prostore i procese u fizici. U ovoj glavi posvec´uje se pazˇnja upored¯ivanju pojmova kompletnosti i G-kompletnosti. U pokusˇaju da se postrozˇavanjem uslova komplet- nosti dobiju rezultati za sˇire klase funkcija, u teoriji fiksne tacˇke pojavio se pojam G-kompletnosti. U trec´oj i cˇetvrtoj glavi izlozˇeni su autorski i koautorski rezul- tati autora, koji su dovedeni u vezu sa postojec´im rezultatima. Razmatranjem veze postojec´ih rezultata sa rezultatima izlozˇenim u ovoj tezi ukazuje se na prosˇirenje i nadgradnju postojec´ih rezultata u Teoriji nepokretne tacˇke. Posebnu zahvalnost dugujem docentu dr Siniˇsi Jesˇic´u koji je od pocˇetka nasˇe saradnje nesebicˇno delio svoje veliko matematicˇko znanje i iskustvo sa mnom. U saradnji sa dr Siniˇsom Jesˇic´em nastali su i mnogi rezultati. Zahvaljujem se cˇlanovima komisije prof. dr M. Mateljevic´u, dekanu Matematicˇkog fakulteta u Beogradu i prof. dr M. Jevtic´u, redovnom profesoru Matematicˇkog fakulteta u Beogradu na korisnim savetima i podrsˇci na izradi ove teze. 2 Glava 1 Pregled pojmova i rezultata Pocˇetkom 20. veka francuski matematicˇar M. Fre´chet ([17]) uveo je pojam rastojanja na proizvoljnom skupu cˇiji elementi ne moraju biti tacˇke u prostoru, kao sˇto je to do tada bio slucˇaj u Euklidskom prostoru. Elementi apstraktnog metricˇkog prostora mogu biti najrazlicˇitiji objekti: tacˇke, skupovi, funkcije, op- eratori. . .Fre´chet je opisao osobine funkcije rastojanja i na taj nacˇin zasnovao aksiomatiku metricˇkih prostora koji su obelezˇili matematiku 20. veka. Ovim se pojmovi neprekidnosti i konvergencije sa Euklidskih prostora prenose na proizvoljne skupove. Funkcija rastojanja na metricˇkim prostorima paru elemenata metricˇkog prostora dodeljuje jedinstveni nenegativan broj koji pri tom ispunjava odred¯ene uslove. Med¯utim, cˇinjenica da paru elemenata metricˇkog prostora dodeljujemo jedin- stven broj cˇesto ne odgovara realnosti, vec´ presdstavlja idealizaciju. Na primer, cˇesto rezultat merenja rastojanja dve tacˇke u Euklidskom prostoru zapravo predstavlja srednju vrednost viˇse uzastopnih merenja rastojanja. Ovakav nacˇin odred¯ivanja rastojanja dve tacˇke je statisticˇke prirode. U tom smislu, prvo uopsˇtenje metricˇkih prostora dao je austrijski matematicˇar Karl Menger. On je 1942. godine defin- isao verovatnosne metricˇke prostore, a 1951. daje novu definiciju tih prostora u kojoj je otklonio neke nedostatke prvobitne definicije. Osnovna ideja verovatnosnih metricˇkih prostora je da se rastojanje posmatra kao verovatnoc´a da je rastojanje izmed¯u dve tacˇke ogranicˇeno nekim brojem, izrazˇenim parametrom t. Umesto fik- siranog broja koji za svake dve tacˇke metricˇkog prostora odred¯uje njihovo rasto- janje, kod verovatnosnih metricˇkih prostora dvema tacˇkama prostora se dodeljuje odgovarajuc´a funkcija raspodele. Ovim su prvi put definisani prostori sa nede- terministicˇkim rastojanjem. Topologiju na verovatnosnim metricˇkim prostorima 3 GLAVA 1. PREGLED POJMOVA I REZULTATA uvode Schweizer i Sklar 1960. godine ([69]) i pokazuju da je takva topologija Hausdorffova za sˇiroku klasu verovatnosnih metricˇkih prostora. Egbert 1968. ([16]) uvodi pojam dijametra i ogranicˇenosti skupa na verovatnosnim metricˇkim prostorima, a Sherwood se bavio pitanjima kompletnosti verovatnosnih metricˇkih prostora 1971. godine ([74]). Generalizacija metricˇkih prostora verovatnosnim metricˇkim prostorima nije je- dina moguc´a. Naime, funkcija rastojanja ne mora biti zadata funkcijom raspodele, vec´ fazi skupom. Kod ovakvog uopsˇtavanja rastojanja na fazi metricˇkim prostorima menja se i interpretacija pojma rastojanja. Naime, sada funkcija rastojanja pred- stavlja stepen sigurnosti sa kojom se tacˇke x i y nalaze na rastojanju manjem od t. Najcˇesˇc´e se stepen sigurnosti u kontekstu fazi metrike naziva stepen bliskosti. Fazi metricˇke prostore prvi put uvode I. Kramosil i J. Michalek 1975. godine u radu [46], cˇime oslobad¯aju aksiomatiku fazi metricˇkih prostora zahteva da funkcija rasto- janja ima supremum 1, u odnosu na aksiomatiku verovatnosnih metricˇkih prostora. Izmenjenu definiciju fazi metricˇkih prostora uvode A. George i P. Veeramani 1994. godine u radu [34], kojom oslobad¯aju aksiomatiku fazi metricˇkih prostora i za´hteva da je infimum funkcije rastojanja 0, u odnosu na aksomatiku verovatnosnih prostora. Danas se izucˇavaju fazi metricˇki prostori u smislu obe definicije. Dalja uopsˇtavanje fazi metricˇkih prostora predstavljaju intuicionisticˇki fazi me- tricˇki prostori koje je 2004. godine Jin Han Park definisao u radu [60]. Park je uveo Hausdorffovu topologiju tih prostora i dokazao nekoliko klasicˇnih teorema nelinearne funkcionalne analize na ovoj novoj strukturi. Intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori pored toga sˇto dvema tacˇkama prostora dodeljuju fazi metriku koja pred- stavlja stepen bliskosti tacˇaka, dodeljuju im i funkciju koja oznacˇava njihov stepen udaljenosti. Naime, ako se dve tacˇke nalaze na sferi njihovu udaljenost mozˇemo meriti po dva razlicˇita luka, i u opsˇtem slucˇaju te duzˇine nisu uslovljene, odnosno njihov zbir nije konstantan. Koristec´i pojam L -fazi skupova ([36]), R. Saadati, A. Razani i H. Adibi 2007. godine dalje uopsˇtavaju pojam fazi i intuicionisticˇkih fazi metricˇkih pros- tora aksiomatikom L -fazi metricˇkih prostora i dvema tacˇkama prostora dodeljuju L -fazi metriku koja uzima vrednosti na kompletnoj mrezˇi (L,≤L). Kako su fazi i in- 4 GLAVA 1. PREGLED POJMOVA I REZULTATA tuicionisticˇki fazi metricˇki specijalan slucˇaj L -fazi metricˇkih prostora, sva tvrd¯enja u ovom radu koja se odnose na ove prostore bic´e dokazana na L -fazi metricˇkim prostorima. U pokusˇaju da se postrozˇavanjem kompletnosti dobiju rezultati za sˇire klase funkcija, u teoriji fiksne tacˇke, pojavio se pojam G-kompletnosti. Pojmovi kom- pletnosti i G-kompletnosti nisu ekvivalentni i time su se bavili G. Song [78] i R. Vasuki i P. Veeramani [83]. Vazˇnu ulogu u rezultatima koji dokazuju postojanje fiksne tacˇke preslikavanja na prostorima sa nedeterministicˇkim rastojanjem ima pojam stroge ogranicˇenosti, koji relaksira uslove koji su u ranijim radovima zahtevani za postojanje fiksne tacˇke preslikavanja definisanih na prostorima sa nedeterministicˇkim rastojanjem. Takod¯e, veliki broj rezultata iz teorije fiksne tacˇke na prostorima sa nedeterministicˇkim ras- tojanjem odnosi se na preslikavanja koja ispunjavaju linearan kontraktivan uslov i t-normu T koja ispunjava uslov T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1]. Jedina t-norma koja ispunjava ovaj uslov je T = min, te je ovaj uslov prilicˇno ogranicˇavajuc´i u odnosu na klasu prostora za koju vazˇe ovi rezultati. Mi c´emo se, u najvec´em broju rezultata, baviti rezultatima koji se odnose na prostore sa nedeterministicˇkim rastojanjem koji obihvataju t-normu koja ispunjava najviˇse uslov neprekidnosti. Od posebnog znacˇaja pri utvrd¯ivanju postojanja zajednicˇkih nepokretnih tacˇaka preslikavanja je komutativnost tih preslikavanja. U cilju razmatranja klasa preslika- vanja koje su sˇire od klase komutativnih preslikavanja uvode se razne generalizacije pojma komutativnosti preslikavanja. Na metricˇkim prostorima S. Sessa [72] je 1982. godine uveo pojam slabo komutativnih preslikavanja, a G. Jungck [31, 32] se bavio kompatibilnim preslikavanjima. R.P. Pant [58] uvodi pojam R-slabo ko- mutativnih preslikavanja definisanih na metricˇkim prostorima. Na verovatnosnim metricˇkim prostorima S.N. Mishra [53] uvodi pojam kompatibilnih preslikavanja, a B. Singh i S. Jain [76] uopsˇtavaju ovaj pojam definiˇsuc´i slabo kompatibilna preslikavanja na verovatnosnim metricˇkim prostorima kao najopsˇtiji. Naime, svaki par R-slabo komutativnih preslikavanja je kompatibilan, i svaki par kompatibilnih preslikavanja je slabo kompatibilan, dok obrnuto ne vazˇi. 5 GLAVA 1. PREGLED POJMOVA I REZULTATA Vec´ina rezultata dokazanih u ovom radu odnosi se na preslikavanja koja ispu- njavaju nelinearni uslov ϕ-kontrakcije, inicirane radovima [7] i [62], na prostorima sa nedeterministicˇkim rastojanjem. Dokazac´emo teoremu o fiksnoj tacˇki za par R- slabo komutativnih preslikavanja na L -fazi metricˇkim prostorima uz uslov stroge ogranicˇenosti i nelinearnog ϕ-kontraktivnog uslova. Posledica ovog rezultata bic´e teorema koju je autor objavio u koautorskom radu [26] na intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima. Pored uslova kontraktivnog tipa bavic´emo se i uslovima neekspanzivnosti pres- likavanja. Ispostavlja se da je pojam konveksnosti znacˇajan za postojanje nepokret- nih tacˇaka neekspanzivnih preslikavanja. U tom smislu, na kompaktnom (ili slabo kompaktnom) skupu sa konveksnom strukturom neekspanzivna preslikavanja imaju nepokretnu tacˇku. Razmatrac´emo neekspanzivna preslikavanja definisana na L - fazi metricˇkim prostorima, preuzimajc´i definiciju neekspanzivnih preslikavanja na intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima koju je razmatrao S. Jesˇic´ u radu [25]. Ova definicija obuhvata sˇiroku klasu preslikavanja. W. Takahashi je u radu [79] definisao konveksnu i normalnu strukturu na metricˇkim prostorima. O. Hadzˇic´ 1988. godine u radu [21] uvela je pojam konveksne strukture i dokazala teoremu o fiksnoj tacˇki za neekspanzivna preslikavanja na verovatnosnim Mengerovim prostorima sa konveksnom strukturom. 2009. godine S. Jesˇic´ u radu [25] je definisao konveksnu, striktno konveksnu i normalnu strukturu u intuicionisticˇkim fazi metricˇkim pros- torima i dokazao teoremu o postojanju fiksne tacˇke za sˇiroku klasu neekspanzivnih preslikavanja u striktno konveksnim intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima. Motivisani navedenim radovima, uvodimo konveksnu, striktno konveksnu i normalnu strukturu u L -fazi metricˇke prostore i prosˇirujemo rezultat S. Jesˇic´a dokazanog u radu [25] za dva preslikavanja definisana na L -fazi metricˇkim prostorima sa strikt- nom konveksnom strukturom. Lj. C´iric´ [11] je 1975. godine uveo linearan kvazi-kontraktivan uslov (ili generali- zovani uslov) kontraktivnosti za preslikavanja definisana na verovatnosnim metricˇkim prostorima i dokazao je teoremu o fiksnoj tacˇki pri uslovu T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1], za t-normu T i preslikavanje koje ispunjava linearan kvazi-kontraktivan uslov. Znacˇajan broj autora bavio se postojanjem fiksne tacˇke za preslikavanja koja ispunjavaju linearan kvazi-kontraktivni uslov na metricˇkim i verovatnosnim 6 GLAVA 1. PREGLED POJMOVA I REZULTATA metricˇkim prostorima ([10], [33], [61]). Khan i ostali u radu [43] uvode koncept funkcija alternirajuc´ih rastojanja, koje menjaju rastojanje izmed¯u dve tacˇke u metricˇkim prostorima. Nedavno su B.S. Choudhury i K. Das u [9] uveli pojam funkcija alternirajuc´ih rastojanja na verovatnosnim Mengerovim prostorima i dokazali su teoremu o postojanju fik- sne tacˇke preslikavanja definisanog na verovatnosnim Mengerovim prostorima sa t-normom minimum, koja ispunjavaju nelinearan kontraktivni uslov koji obuhvata ovakve funkcije. D. Mihet¸ je u radu [52] prosˇirio rezultat iz rada [9] na verova- tnosne Mengerove prostore sa neprekidnom t-normom i t-normom tipa Hadzˇic´, pri uslovu ogranicˇenosti domena posmatrane funkcije. Dokazac´emo teoremu o fiksnoj tacˇki za preslikavanje koje ispunjava nelinearan uslov kvazi-kontraktivnog tipa koji obuhvata funkcije alternirajuc´ih rastojanja za preslikavanja definisana na verova- tnosnim Mengerovim prostorima sa neprekidnom t-normom T koja ispunjava uslov T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1]. Ovaj rezultat ne pretpostavlja uslov ogranicˇenosti. Dokazac´emo teoremu o postojanju zajednicˇke fiksne tacˇke familije R-slabo komu- tativnih preslikavanja koja ispunjavaju nelinearan ϕ-kontraktivni uslov na verovat- nosnim Mengerovim prostorima, za neprekidnu t-normu, pretpostavljajuc´i uslov ogranicˇenosti u strogom smislu. Ovaj rezultat je objavljen u koautorskom radu autora [28]. Takod¯e, pokazac´emo da su dva rezultata koja su dokazali O’Regan i Saadati u radu [57] posledica teoreme koja je glavni rezultat ovog dela rada. H. Adibi i ostali su u radu [1] dokazali teoremu o zajednicˇkoj fiksnoj tacˇki za dva para kompatibilnih preslikavanja na L -fazi metricˇkim prostorima sa linearnim kontraktivnom uslovom. Rezultat objavljen u koautorskom radu [27] odnosi se na postojanje zajednicˇke fiksne tacˇke za par kompatibilnih i par slabo kompatibilnih preslikavanja na L -fazi metricˇkim prostorima sa neprekidnom t-normom, koja is- punjavaju nelinearan ϕ-kontraktivan uslov uz uslov stroge ogranicˇenosti. Ovde c´emo dokazati analogni rezultat za preslikavanja definisana na verovatnosnim Mengerovim prostorima uz potrebne modifikacije dokaza koje su uslovljene strukturom pros- tora. Takod¯e, dokazac´emo teoremu o postojanju zajednicˇke fiksne tacˇke za par kompatibilnih i par slabo kompatibilnih preslikavanja sa nelinearnim kontraktivnim uslovom koji obuhvata funkcije alternirajuc´ih rastojanja za preslikavanja definisana 7 GLAVA 1. PREGLED POJMOVA I REZULTATA na verovatnosnim Mengerovim prostorima t-normom min. 1.1 Osnovne definicije i rezultati Osnovnu ideju ovog rada cˇini odred¯ivanje nelinearnih uslova pod kojima su funkcija ili familija funkcija kontraktivnog tipa. Drugim recˇima, ukoliko koefici- jent k ∈ (0, 1) iz Banachove teoreme o fiksnoj tacˇki i drugim linearnim kontrak- tivnim uslovima zameni nelinearnom funkcijom ili familijom nelinearnih funkcija, tada takav kontraktivni uslov nazivamo nelinearnim kontraktivnim uslovom. Os- novni rezultati na kojima se zasniva istrazˇivanje prezentovano u ovom radu su rezul- tati prezentovani u radovima D. W. Boyda i J. S. W.Wonga ([7]) i E. Rakotcha ([62]). Takod¯e, navodimo rezultat G. Jungcka ([30]) koji je inicirao ispitivanje postojanja zajednicˇke fiksne tacˇke preslikavanja. Jedan od ezultata ovog rada za motivaciju ima rezultat Lj. C´iric´a [10] u kojem se uvodi pojam kvazi-kontrakcije na metricˇkim pros- torima. Svi pomenuti rezultati iskazani su na metricˇkim prostorima i bic´e navedeni bez dokaza posˇto c´e oni biti posledice glavnih rezultata ovog rada koji ih prosˇiruju. Smatrajuc´i da su pojmovi neprekidnosti, ogranicˇenosti, konvergencije, kompletnosti i ostali pojmovi koji karakteriˇsu metricˇke prostore opsˇte poznati, nec´emo ih navoditi. Teorema 1.1.1. [62] Neka je (X, δ) kompletan metricˇki prostor, g : X → X i α : [0,∞) → [0, 1) monotono nerastuc´e preslikavanje. Ako za sve x, y ∈ X vazˇi da je δ(g(x), g(y)) ≤ α(δ(x, y))δ(x, y) tada funkcija f ima jedinstvenu fiksnu tacˇku. Definicija 1.1.1. Za preslikavanje ψ : A → R (A ⊆ R) kazˇemo da je gornje semineprekidno u tacˇki c ∈ A ako vazˇi da je lim sup t→c+ ψ(t) ≤ ψ(c). Ako je preslikavanje gornje semineprekidno u svim tacˇkama skupa A nazivamo ga gornje semineprekidnim na tom skupu. Teorema 1.1.2. [7] Neka je (X, δ) kompletan metricˇki prostor, g : X → X i ψ : [0,∞) → [0,∞) gornje semineprekidno preslikavanje koje ispunjava uslov 8 GLAVA 1. PREGLED POJMOVA I REZULTATA ψ(t) < t za svako t > 0. Ako vazˇi da je za sve x, y ∈ X ispunjeno δ(g(x), g(y)) ≤ ψ(δ(x, y)) tada funkcija f ima jedinstvenu fiksnu tacˇku. Teorema 1.1.3. [30] Neka je (X, δ) kompletan metricˇki prostor i neka su f, g : X → X komutativna preslikavanja od kojih je f neprekidno i za koja vazˇi da je g(X) ⊆ f(X). Ako postoji konstanta k ∈ (0, 1) takva da za sve x, y ∈ X vazˇi da je δ(g(x), g(y)) ≤ kδ(f(x), f(y)) tada preslikavanja f i g imaju zajednicˇku fiksnu tacˇku. Ovaj rezultat predstavlja uopsˇtenje rezultata E. Rakotcha ([62]) i prenosˇenje tog rezultata na sˇiru klasu prostora. Teorema 1.1.4. [10] Neka je T kvazi-kontrakcija na metricˇkom prostoru M , tj. ako za preslikavanje T : M →M postoji q, 0 ≤ q < 1, tako da d(Tx, Ty) ≤ max{d(x, y), d(x, Tx), d(y, Ty), d(x, Ty), d(y, Tx)} vazˇi za svako x, y ∈M. Neka je M T -orbitalno kompletan. Tada (a) T ima jedinstvenu fiksnu tacˇku u ∈M , (b) lim n→∞ T nx = u i (c) d(T nx, u) ≤ qn 1− q d(x, Tx) za svako x ∈M. 9 Glava 2 Osnovne definicije i rezultati 2.1 Verovatnosni metricˇki prostori Cˇetrdesetih godina prosˇlog veka pojavila se potreba da se pojam rastojanja uopsˇti. Prvo ovakvo uopsˇtenje metricˇkih prostora dao je Karl Menger [51] 1942. godine uvodec´i pojam verovatnosnih metricˇkih prostora. Osnovna ideja verovatnos- nih metricˇkih prostora je da se rastojanje posmatra kao verovatnoc´a da je rasto- janje izmed¯u dve tacˇke ogranicˇeno nekim brojem, parametrom t. Umesto fiksiranog broja koji za svake dve tacˇke metricˇkog prostora odred¯uje njihovo rastojanje, kod verovatnosnih metricˇkih prostora dvema tacˇkama prostora se dodeljuje odgovarajuc´a funkcija raspodele. Najpre c´emo definisati Verovatnosne metricˇke prostore. Definicija 2.1.1. (a) Funkciju f : R → [0, 1] nazivamo funkcijom raspodele ako ispunjava sledec´e uslove: (R-1) Iz t1 ≤ t2 sledi da je f(t1) ≤ f(t2), za sve t1, t2 ∈ R, (R-2) lim t→−∞ f(t) = 0, (R-3) lim t→+∞ f(t) = 1, (R-4) lim x→t− f(x) = f(t). Naziv funkcija raspodele poticˇe iz teorije verovatnoc´e posˇto su osobine (R-1) – (R- 4) karakteristicˇne za funkciju raspodele slucˇajnih promenljivih. Familiju funkcija raspodele definisanih u ovoj definiciji oznacˇimo sa S. 10 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI (b) Verovatnosni metricˇki prostor je par (X,F), gde je X neprazan skup, a F : X ×X → S preslikavanje koje tacˇki (x, y) ∈ X ×X pridruzˇuje funkciju respodele, u oznaci Fx,y koja ima sledec´e osobine: (V-1) Fx,y(t) = 1, za sve t > 0 ako i samo ako je x = y, (V-2) Fx,y(0) = 0, (V-3) Fx,y(t) = Fy,x(t), (V-4) Iz Fx,y(t1) = 1 i Fy,z(t2) = 1 sledi da je Fx,z(t1 + t2) = 1, za sve x, y, z ∈ X i sve t1, t2 ∈ R. Vrednost Fx,y(t) mozˇe se interpretirati kao verovatnoc´a da je rastojanje tacˇaka x i y manja od vrednosti t. Ovakva interpretacija je u skladu sa neprekidnosˇc´u sleva funkcije raspodele. Zbog (V-2) i osobina (R-1), (R-2) i (R-4) sledi da je za svako t ≤ 0 ispunjeno da je Fx,y(t) = 0. Jasno je da je uslov (V-1) ekvivalentan uslovu: x = y ako i samo ako je Fx,y = H, gde je H Heavisideova funkcija definisana sa H(t) = { 0, za t ≤ 0 1, za t > 0 . Svaki metricˇki prostor (X, d) mozˇe se posmatrati kao jedan verovatnosni metri- cˇki prostor, ako za proizvoljne dve tacˇke x i y skupa X definiˇsemo funkciju raspodele pomoc´u Fx,y(t) = H(t− d(x, y)). Uslov (V-4) je minimalna generalizacija nejednakosti trougla koja vazˇi u me- tricˇkim prostorima i mozˇe da se interpretira na sledec´i nacˇin: Ako je izvesno da je rastojanje tacˇaka x i y manje od t1 i, takod¯e, izvesno da je rastojanje tacˇaka y i z manje od t2, tada je izvesno da je reatojanje tacˇaka x i z manje od t1 + t2. Ovaj uslov je uvek ispunjen u metricˇkim prostorima kada se posmatra njegova redukcija na standardnu trougaonu nejednakost. Ipak, u Verovatnosnim metricˇkim prostorima u kojima Fx,y(t) = 1, x 6= y, nije ispunjeno ni za jedno konacˇno t, uslov (V-4) je isprazan. Stoga nam je od interesa da uvedemo strozˇi uslov u smislu generalizacije trougaone nejednakosti. Definicija 2.1.2. (a) Funkcija T : [0, 1]× [0, 1]→ [0, 1] koja ispunjava uslove: (T-1) T (a, 1) = a i T (0, 0) = 0, (T-2) T (a, b) = T (b, a), 11 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI (T-3) T (c, d) ≥ T (a, b) za sve c ≥ a i d ≥ b, (T-4) T (T (a, b), c) = T (a, T (b, c)), za sve a, b, c, d ∈ [0, 1] naziva se t-norma. (b) Trojka (X,F , T ), gde je (X,F) verovatnosni prostor, a T t-norma koja ispunjava Mengerovu nejednakost: Fx,y(t1 + t2) ≥ T (Fx,z(t1), Fz,y(t2)), za sve x, y, z ∈ X i sve t1, t2 ≥ 0, naziva se Verovatnosni Mengerov prostor. Primer 2.1.1. Neki od primera t-normi su T (a, b) = min{a, b} i T (a, b) = ab. Definiˇsemo t-normu T kao (n+1)-arnu operaciju, n ∈ N, rekurzivno sa T 1 = T i T n(x1, . . . , xn+1) = T ( T n−1(x1, . . . , xn−1), xn+1 ) , za n ≥ 2 i x1, . . . , xn+1 ∈ [0, 1]. Vec´ smo uocˇili da je svaki metricˇki prostor jedan verovatnosni metricˇki prostor. Nije tesˇko uocˇiti da je svaki metricˇki prostor i Mengerov prostor. Primer 2.1.2. [71] Svaki metricˇki prostor je verovatnosni Mengerov prostor. Neka je (X, d) metricˇki prostor i T (a, b) = min{a, b} neprekidna t-norma. Definiˇsimo funkciju raspodele Fx,y(t) = H(t − d(x, y)) za sve x, y ∈ X i svako t > 0. Trojka (X,F , T ) je verovatnosni Mengerov prostor indukovan metrikom d. Definicija 2.1.3. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor. (1) Za niz {xn}n u X kazˇemo da konvergira ka tacˇki x ∈ X ako za svako ε > 0 i λ > 0 postoji N ∈ N tako da je Fxn,x(ε) > 1 − λ za svako n ≥ N. U tom slucˇaju piˇsemo lim n→∞ xn = x. (2) Za niz {xn}n u X kazˇemo da je Cauchyev niz ako za svako ε > 0 i λ > 0 postoji N ∈ N tako da je Fxn,xm(ε) > 1− λ za sve n,m ≥ N. (3) Verovatnosni Mengerov prostor nazivamo kompletnim ako svaki Cauchyev niz konvergira ka nekoj tacˇki tog prostora. 12 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI Topologiju (ε, λ) u verovatnosnim Mengerovim prostorima (X,F , T ) uvode 1960. godine Schweizer i Sklar u radu [69] preko familije okolina Nx tacˇke x ∈ X sa Nx = {Nx(ε, λ) : ε > 0, λ ∈ (0, 1)}, gde je Nx(ε, λ) = {y ∈ X : Fx,y(ε) > 1− λ}. Ukoliko je za t-normu T ispunjeno supa<1 T (a, a) = 1, tada je topologija (ε, λ) metrizabilan topolosˇki prostor ([70]). Lema 2.1.1. [22] Za t-normu T vazˇi da je neprekidna ako i samo ako je neprekidna po prvoj koordinati, tj. ako je, za svako y ∈ [0, 1] funkcija jedne promenljive T (·, y) : [0, 1]→ [0, 1], neprekidna. Dokaz. Ukoliko je T neprekidna funkcije, onda je neprekidna po obe koordinate. Obrnuto, neka je T neprekidna funkcija po prvoj koordinati. Neka su ε > 0 i (x0, y0) ∈ [0, 1] × [0, 1] proizvoljni. Tada postoje nizovi {xn}n∈N i {yn}n∈N u [0, 1] tako da je lim n→∞ xn = x0 i lim n→∞ yn = y0. Mozˇemo da konstruiˇsemo cˇetiri monotona niza {an}n∈N, {bn}n∈N, {cn}n∈N i {dn}n∈N, takva da za svako n ∈ N vazˇi da je an ≤ xn ≤ bn, {an}n∈N ր x0, {bn}n∈N ց x0, i cn ≤ yn ≤ dn, {cn}n∈N ր y0, {dn}n∈N ց y0. Kako je T neprekidna po prvoj koordinati i simetricˇna, sledi da je i funkcija T (x0, ·) neprekidna. Iz prethodnog i cˇinjenice da je T monotona funkcija sledi da postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vazˇi T (x0, y0)− ε < T (x0, cn0) ≤ T (x0, yn) ≤ T (x0, dn0) < T (x0, y0) + ε Kako su i funkcije T (·, cn0) i T (·, dn0) neprekidne, postoji m0 ∈ N tako da za svako m ≥ m0 i svako n ≥ n0, imajuc´i u vidu monotonost funkcije T, vazˇi T (x0, cn0)− ε < T (am0 , cn0) ≤ T (xm, yn) ≤ T (bm0 , dn0) < T (x0, dn0) + ε. Iz prethodnog, uzimajuc´i da je N = max{n0,m0} imamo da za svako n ≥ N vazˇi da je T (x0, y0)− 2ε < T (xn, yn) < T (x0, y0) + 2ε, 13 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI odnosno funkcija T je neprekidna u tacˇki (x0, y0).  Analogno prethodnoj lemi dokazuje se da vazˇi i naredna lema. Lema 2.1.2. [22] Za t-normu T vazˇi da je neprekidna sleva (zdesna) ako i samo ako je neprekidna sleva (zdesna) po prvoj koordinati, tj. ako je, za svako y ∈ [0, 1] i svaki niz {xn}n∈N u [0, 1] vazˇi da je sup n∈N T (xn, y) = T ( sup n∈N xn, y ) ( inf n∈N T (xn, y) = T ( inf n∈N xn, y )) . Na osnovu Leme 2.1.2. zakljucˇujemo da je t-norma za koju vazˇi da je sup a<1 T (a, a) = 1 neprekidna sleva. U terminologiji Hausdorffove topologije funkcija f je neprekidna u tacˇki x0 ∈ X ako i samo ako za svaki niz xn → x0 vazˇi da f(xn)→ f(x0). Prosˇirujuc´i rezultat Schweizera i Sklara [69] dokazec´emo narednu lemu. Lema 2.1.3. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor sa t-normom T koja je neprekidna sleva. Tada je funkcija F donje poluneprekidna za svako fiksirano t > 0, tj. za svako fiksirano t > 0 i svaka dva konvergentna niza {xn}, {yn} ⊆ X takva da je xn → x, yn → y sledi da je lim inf n→∞ Fxn,yn(t) = Fx,y(t). Dokaz. Neka je ε > 0 proizvoljno. Dokazac´emo da vazˇi sledec´a kvantifikatorska formula (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N) n ≥ n0 ⇒ Fxn,yn(t) > Fx,y(t)− ε; odakle c´e slediti tvrd¯enje leme. Neka je t > 0 fiksirano i ε > 0 proizvoljan broj. Kako je Fx,y(·) neprekidna sleva u tacˇki t, tada postoji ξ (0 < 2ξ < t) tako da je Fx,y(t)− Fx,y(t− 2ξ) < ε 3 . 14 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI Oznacˇimo Fx,y(t−2ξ) := a. Kako je t-norma T neprekidna sleva i vazˇi da je T (a, 1) = a, iz Leme 2.1.2. sledi da postoji s (0 < s < 1) tako da vazˇi T (a, s) > a− ε 3 i T ( a− ε 3 , s ) > a− 2ε 3 . Kako nizovi xn i yn konvergiraju ka x i y redom, tada postoji n0 ∈ N tako da je za svako n ≥ n0 ispunjeno Fx,xn(ξ) > s i Fy,yn(ξ) > s. Na osnovu Mengerove nejednakosti i cˇinjenice da je funkcija raspodele neopadajuc´a, imamo da za svako n ≥ n0 vazˇi Fxn,yn(t) ≥ T (Fxn,y(t− ξ), Fy,yn(ξ)) ≥ T 2 (Fx,y(t− 2ξ), Fx,xn(ξ), Fy,yn(ξ)) ≥ T 2(a, s, s) ≥ T ( a− ε 3 , s ) > a− 2ε 3 > Fx,y(t)− ε.  Definicija 2.1.4. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor A ⊆ X. Zatvorenje skupa A je najmanji zatvoren skup koji sadrzˇi A, u oznaci A. Zbog osobina Hausdorffove topologije i definicije konvergentnih nizova vazˇi naredna napomena. Napomena 2.1.1. x ∈ A ako i samo ako postoji niz {xn} u A tako da xn → x. Koncept verovatnosne ogranicˇenosti koji je uveo H. Sherwood u radu [74], ima vazˇnu ulogu u teoriji fiksne tacˇke na verovatnosnimMengerovim prostorima. Navodimo najpre definiciju verovatnosnog dijametra skupa. Definicija 2.1.5. [16] Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor i A ⊆ X. Verovatnosni dijametar skupa A definiˇsemo sa δA(t) = inf x,y∈A sup ε< t Fx,y(ε). 15 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI Dijametar skupa A definiˇsemo sa δA = sup t>0 inf x,y∈A sup ε< t Fx,y(ε). Ako postoji λ ∈ (0, 1) tako da je δA = 1 − λ, tada skup A nazivamo verovatnosno semi-ogranicˇenim. Ako je δA = 1, skup A nazivamo verovatnosno ogranicˇenim. Lema 2.1.4. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor. Skup A ⊆ X je verovatnosno ogranicˇen ako i samo ako za svako λ ∈ (0, 1) postoji t > 0 tako da je Fx,y(t) > 1− λ za svako x, y ∈ A. Dokaz. Dokaz sledi iz definicija supA i inf A nepraznih skupova.  Svaki metricˇki ogranicˇen skup je verovatnosno ogranicˇen ako se razmatra u in- dukovanom verovatnosnom Mengerovom prostoru. Primer 2.1.3. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor indukovan metri- kom d na X iz Primera 2.1.2., tj. Fx,y(t) = H(t − d(x, y)) i T (a, b) = min{a, b}. A ⊆ X je metricˇki ogranicˇen ako i samo ako je verovatnosno ogranicˇen. Dokaz. Neka je A ⊆ X metricˇki ogranicˇen, tj. d(x, y) < k za neko k ∈ R+0 i za svako x, y ∈ A. Neka je r ∈ (0, 1) proizvoljno. Tada za funkciju raspodele Fx,y vazˇi da je Fx,y(t) = H(t− d(x, y)) > H(t− k) za svako x, y ∈ A. Imajuc´i u vidu da je H Heavisideova funkcija, sledi da c´e za t > k biti ispunjeno Fx,y(t) > 1− r. To znacˇi da je A verovatnosno ogranicˇen. Obrnuto, ako je A verovatnosno ogranicˇen skup tada za proizvoljno r ∈ (0, 1) postoji t > 0 tako da Fx,y(t) = H(t− d(x, y)) > 1− r vazˇi za svako x, y ∈ A. Iz ove nejednakosti sledi da je d(x, y) < t za svako x, y ∈ A tj. skup A je metricˇki ogranicˇen.  H. Sherwood je dokazao narednu teoremu. Teorema 2.1.1. [74] Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov pro- stor sa neprekidnom sleva t-normom T i {Fn} niz umetnutih, nepraznih, zatvorenih podskupova u X tako da je δFn → H kad n → ∞. Tada postoji tacˇno jedna tacˇka x0 ∈ Fn, za svako n ∈ N. Dokaz. Neka je {xn} niz takav da je xn ∈ Fn za svako n ∈ N. Neka su t > 0 i r ∈ (0, 1) prozvoljno odabrani. Odaberimo N ∈ N takvo da je δFn(t) > 1 − r, za 16 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI svako n ≥ N. Ako je m ≥ n ≥ N , tada vazˇi da je xm ∈ Fm ⊆ Fn i xn ∈ Fn. Stoga vazˇi: Fxn,xm(t) ≥ inf{Fx,y(t) : x, y ∈ Fn} = δFn(t) > 1− r. Kako su t i r proizvoljno odabrani, sledi da je {xn} Cauchyev niz u kompletnom verovatnosnom Mengerovom prostoru, te postoji tacˇka x0 ∈ X takva da je lim n→∞ xn = x0. Kako je xm ∈ Fn kad god je m ≥ n i Fn je zatvoren skup, sledi da x0 ∈ Fn za svako n ∈ N. Pretpostavimo da postoji josˇ jedna tacˇka y0 koja pripada Fn za svako n ∈ N. Tada za svako t > 0 vazˇi Fx0,y0(t) ≥ inf{Fx,y(t) : x, y ∈ Fn} → H, n→∞, tj. x0 = y0.  Iz prethodne teoreme sledi da vazˇi tvrd¯enje naredne leme. Lema 2.1.5. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom sleva t-normom T . Familija {Fn}n∈N ima verovatnosni dijametar nula, tj. za svako r ∈ (0, 1) i svako t > 0 postoji n0 ∈ N tako da je Fx,y(t) > 1 − r za sve x, y ∈ Fn0 ako i samo ako δFn → H kad n→∞. 2.2 Fazi metricˇki prostori Verovatnosni metricˇki prostori predstavljaju uopsˇtavanje metricˇkih prostora u smislu da rastojanje tacˇaka prostora ne mora biti nenegativan broj, vec´ se dvema tacˇkama prostora dodeljuje funkcija raspodele. Ovakva generalizacija metricˇkih prostora dozvoljava dalje uopsˇtavanje. Naime, za funkciju rastojanja ne mora vazˇiti da je lim t→∞ f(t) = 1. Fazi metricˇke prostore prvi put uvode I. Kramosil i J. Michalek 1975. go- dine u radu [46], uopsˇtavajuc´i verovatnosne metricˇke prostore u smislu da funkcija 17 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI rastojanja ne mora biti zadata funkcijom raspodele. Definicija 2.2.1. [69] Binarnu operaciju ∗ : [0, 1]×[0, 1]→ [0, 1] nazivamo neprekid- nom t-normom ako je ([0, 1], ∗) topolosˇki monoid sa jedinicom 1 tako da je a∗b ≤ c∗d za sve a, b, c, d ∈ [0, 1] za koje je a ≤ c i b ≤ d. Definicija 2.2.2. [84] Funkcija A : X → [0, 1] naziva se fazi skup. Definicija 2.2.3. [46] Trojku (X,M, ∗) gde je X proizvoljan skup, ∗ neprekidna t-norma, a M fazi skup na X2 × [0,∞) koji ispunjavaju uslove: (Fm-1k) M(x, y, 0) = 0; (Fm-2k) M(x, y, t) = 1 za sve t > 0 ako i samo ako je x = y; (Fm-3k) M(x, y, t) = M(y, x, t); (Fm-4k) M(x, y, t) ∗M(y, z, s) ≤M(x, z, t+ s) za sve x, y, z ∈ X i t, s > 0; (Fm-5k) M(x, y, ·) : (0,∞)→ [0, 1] je neprekidna sa leve strane; nazivamo Fazi metricˇkim prostorom u smislu Kramosila i Michaleka, a funkciju M nazivamo fazi metrikom. Kod ovakvog uopsˇtavanja rastojanja na fazi metricˇkim prostorima menja se i interpretacija pojma rastojanja. Naime, sada funkcija rastojanja predstavlja stepen sigurnosti sa kojom se tacˇke x i y nalaze na rastojanju manjem od t. Najcˇesˇc´e se ste- pen sigurnosti u kontekstu fazi metrike naziva stepen bliskosti. Neprekidnost s leve strane fazi metrike je upravo odabrana kako bi se potenciralo da je rastojanje tacˇaka x i y manje od t. Primetimo da Definicija 2.2.3. oslobad¯a aksiomatiku fazi metricˇkih prostora aksiome (R-3) u odnosu na aksiomatiku verovatnosnih Mengerovih pro- stora. Za funkciju raspodele vazˇi da je Fx,y(0) = 0, odnosno verovatnoc´a da su dve tacˇke na rastojanju manjem od 0 je 0. U intrepretaciji fazi metrike ovo ne mora da bude slucˇaj. U tom smislu, izmenu prethodne aksiomatike izvrsˇili su A. George i P. Veeramani 1994. godine u radu [34], oslobad¯ajuc´i aksiomatiku aksiome (Fm- 1k). U istom radu George i Veeramani definiˇsu Hausdorffovu topologiju na fazi metricˇkim prostorima. Definicija 2.2.4. [34] Trojku (X,M, ∗) gde je X proizvoljan skup, ∗ neprekidna 18 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI t-norma, a M fazi skup na X2 × [0,∞) koji ispunjavaju uslove: (Fm-1v) M(x, y, t) > 0; (Fm-2v) M(x, y, t) = 1 za sve t > 0 ako i samo ako je x = y; (Fm-3v) M(x, y, t) = M(y, x, t); (Fm-4v) M(x, y, t) ∗M(y, z, s) ≤M(x, z, t+ s) za sve x, y, z ∈ X i t, s > 0; (Fm-5v) M(x, y, ·) : (0,∞)→ [0, 1] je neprekidna; nazivamo Fazi metricˇkim prostorom u smislu Georgea i Veeramanija, a funkciju M nazivamo fazi metrikom. U smislu Definicije 2.2.4. interpretacija fazi metrike predstavlja stepen sigurnosti sa kojom se tacˇke x i y nalaze na rastojanju t. Neprekidnost fazi metrike je u tom smislu odabrana kako bi se potenciralo da je rastojanje tacˇaka x i y jednako t. Prime- timo da Definicija 2.2.4. oslobad¯a aksiomatiku fazi metricˇkih prostora aksioma (R-2) i (R-3) u odnosu na aksiomatiku verovatnoskih Mengerovih prostora. Danas se izucˇavaju fazi metricˇki prostori u smislu obe definicije. Primer 2.2.1. [34] Svaki metricˇki prostor (X, d) je fazi metricˇki prostor u smislu obe definicije fazi metrike. Nije tesˇko proveriti da funkcija M(x, y, t) = ktn ktn +md(x, y) za k,m, n ∈ R+ ispunjava sve uslove fazi metrike, pri cˇemu je t-norma definisana pomoc´u a ∗ b = ab. Takav fazi metricˇki prostor nazivamo fazi metricˇki prostor in- dukovan metrikom d. Specijalno, u slucˇaju kada je k = m = n = 1 moguc´e je t-normu definisati pomoc´u a ∗ b = min{a, b}. Primer 2.2.2. [34] Neka je X = [a, b] ⊂ R+ i neka je a ∗ b = ab. Tada je fazi metriku moguc´e definisati pomoc´u M(x, y, t) = { x y , x ≤ y y x , y ≤ x . Ovako definisana metrika ispunjava aksiome Definicije 2.2.4., ali ne i Definicije 2.2.3. U radu [37] M. Grabiec je dokazao sledec´u lemu. Lema 2.2.1. Neka je (X,M, ∗) fazi metricˇki prostor. Tada je M(x, y, ·) neopada- juc´a funkcija za sve x, y ∈ X. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoje t, s ∈ [0, 1] tako da je t < s i da 19 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI vazˇi M(x, y, t) > M(x, y, s). Tada, zbog (Fm-4k), odnosno (Fm-4v), i cˇinjenice da je M(y, y, s− t) = 1 vazˇi da je M(x, y, t) > M(x, y, s) ≥M(x, y, t) ∗M(y, y, s− t) = M(x, y, t) sˇto je kontradikcija. Dakle, M(x, y, t) ≤M(x, y, s).  Napomena 2.2.1. Nije tesˇko uocˇiti da prethodna lema vazˇi bez obzira o ko- joj definiciji fazi metricˇkih prostora je recˇ, posˇto se u dokazu koriste aksiome koje ucˇestvuju u obe definicije. Definicija 2.2.5. [34, 37] Za niz {xn} u fazi metricˇkom prostoru (X,M, ∗) kazˇemo da konvergira ka tacˇki x ∈ X ako za svako ε > 0 i svako t > 0 postoji n0 ∈ N tako da je M(xn, x, t) > 1 − ε za svako n ≥ n0, odnosno ako je lim n→∞ M(xn, x, t) = 1 za svako t > 0. U tom slucˇaju piˇsemo da je lim n→∞ xn = x. U radu [34] George i Veeramani definiˇsu Hausdorffovu topologiju na fazi metricˇkim prostorima. Takod¯e, ova topologija ispunjava prvu aksiomu prebrojivosti, tj. postoji prebrojiva baza okolina svake tacˇke fazi metricˇkog prostora. Definicija 2.2.6. Neka je (X,M, ∗) fazi metricˇki prostor. Otvorenu kuglu sa cen- trom u tacˇki x ∈ X poluprecˇnika r ∈ (0, 1) u odnosu na parametar t > 0, u oznaci BM(x, r, t), definiˇsemo sa BM(x, r, t) = {y ∈ X : M(x, y, t) > 1− r}, a topologiju definiˇsemo okolinski sa τM = {A ⊂ X; x ∈ A ako i samo ako postoje t > 0 i r ∈ (0, 1) tako da je B(x, r, t) ⊂ A}. Ukoliko ne postoji moguc´nost zabune, otvorenu kuglu BM(x, r, t) c´emo oznacˇavati sa B(x, r, t). Definicija 2.2.7. Neka je (X,M, ∗) fazi metricˇki prostor. Funkcija f : X → X neprekidna je u tacˇki x0 ∈ X ako i samo ako za svaki niz {xn}n∈N takav da xn → x0 kada n→∞ vazˇi da f(xn)→ f(x0) kada n→∞. 20 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI Namec´e se pitanje neprekidnosti fazi metrike po prve dve koordinate. Nepre- kidnost zavisi od toga koju od navedenih definicija fazi metricˇkog prostora raz- matramo. Prvenstveno zavisi od toga da li je fazi metrika neprekidna ili samo neprekidna sa leve strane funkcija po trec´oj koordinati. Odgovor na ovo pitanje daju naredne tri leme. Lema 2.2.2. Neka je (X,M, ∗) fazi metricˇki prostor, u smislu Definicije 2.2.3. ili Definicije 2.2.4. i neka je lim n→∞ xn = x i lim n→∞ yn = y. Tada za svako t > 0 vazˇi da je M(x, y, t−) ≤ lim inf n→∞ M(xn, yn, t) ≤ lim sup n→∞ M(xn, yn, t) ≤M(x, y, t+). Dokaz. Za proizvoljno, dovoljno malo ε > 0 iz (Fm-4k) (ili (Fm-4v)) sledi da vazˇe sledec´e nejednakosti: M(xn, yn, t) ≥M ( xn, x, ε 2 ) ∗M(x, y, t− ε) ∗M ( y, yn, ε 2 ) , M(x, y, t+ ε) ≥M ( x, xn, ε 2 ) ∗M(xn, yn, t) ∗M ( yn, y, ε 2 ) . Uzimajuc´i u prvoj od prethodnih nejednakosti lim inf a u drugoj lim sup kada n→∞ dobijamo da je M(x, y, t− ε) ≤ lim inf n→∞ M(xn, yn, t) ≤ lim sup n→∞ M(xn, yn, t) ≤M(x, y, t+ ε). Pusˇtajuc´i da ε→ 0 sledi tvrd¯enje leme.  Lema 2.2.3. Neka je (X,M, ∗) fazi metricˇki prostor, u smislu Definicije 2.2.4. i neka je lim n→∞ xn = x i lim n→∞ yn = y. Tada za svako fiksirano t > 0 vazˇi da je lim n→∞ M(xn, yn, t) = M(x, y, t), odnosno funkcija M(x, y, t) je neprekidna za svako fiksirano t > 0. Dokaz. Tvrd¯enje leme sledi iz prethodne leme i cˇinjenice da je funkcija M(x, y, ·) neprekidna po trec´oj koordinati ako se posmatra fazi metricˇki prostor u smislu Definicije 2.2.4.  Lema 2.2.4. Neka je (X,M, ∗) fazi metricˇki prostor, u smislu Definicije 2.2.3. i neka je lim n→∞ xn = x i lim n→∞ yn = y. Tada za proizvoljno fiksirano t > 0 vazˇi da je lim inf n→∞ M(xn, yn, t) = M(x, y, t), 21 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI odnosno funkcija M(x, y, t) je donje semi-neprekidna funkcija za svako fiksirano t > 0. Dokaz. Neka je ε > 0 proizvoljno. Dokazac´emo da vazˇi sledec´a kvantifikatorska formula (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N) n ≥ n0 ⇒M(xn, yn, t) > M(x, y, t)− ε; odakle c´e slediti tvrd¯enje leme. Neka je t > 0 fiksirano i ε > 0 dovoljno mali proizvoljan broj. Kako je M(x, y, ·) neprekidna sa leve strane u tacˇki t, tada postoji ξ (0 < 2ξ < t) tako da je M(x, y, t)−M(x, y, t− 2ξ) < ε 3 . Oznacˇimo M(x, y, t − 2ξ) := a. Kako je t-norma ∗ neprekidna funkcija i vazˇi da je a ∗ 1 = a tada postoji s (0 < s < 1) tako da vazˇi a ∗ s > a− ε 3 i ( a− ε 3 ) ∗ s > a− 2ε 3 . Kako nizovi xn i yn konvergiraju ka x i y redom tada postoji n0 ∈ N tako da je za svako n ≥ n0 ispunjeno M(x, xn, ξ) > s i M(y, yn, ξ) > s. Na osnovu trougaone nejednakosti i cˇinjenice da je fazi metrika neopadajuc´a funkcija imamo da je za svako n ≥ n0 ispunjeno M(xn, yn, t) ≥M(xn, y, t− ξ) ∗M(y, yn, ξ) ≥ (M(x, y, t− 2ξ) ∗M(x, xn, ξ)) ∗M(y, yn, ξ) ≥ (a ∗ s) ∗ s ≥ (a− ε 3 ) ∗ s ≥ a− 2ε 3 > M(x, y, t)− ε.  Postoje dva koncepta kompletnosti na fazi metricˇkim i intuicionisticˇkim fazi i L -fazi metricˇkim prostorima, koje c´emo definisati u narednim poglavljima. U narednom delu teksta c´emo definisati ove koncepte kompletnosti i ukazati na njihove med¯usobne razlike na strukturi fazi metricˇkih prostora. Definicija 2.2.8. [37] Za niz {xn} u fazi metricˇkom prostoru (X,M, ∗) kazˇemo da je G-Cauchyev ako je lim n→∞ M(xn+p, xn, t) = 1, za svako t > 0 i svako p ∈ N. Fazi 22 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI metricˇki prostor nazivamo G-kompletnim ako svaki G-Cauchyev niz tog prostora konvergira ka nekoj tacˇki tog prostora. Definicija 2.2.9. [34] Za niz {xn} u fazi metricˇkom prostoru (X,M, ∗) kazˇemo da je Cauchyev ako za svako ε > 0 i svako t > 0 postoji n0 ∈ N tako da je M(xn, xm, t) > 1− ε za sve n,m ≥ n0. Fazi metricˇki prostor nazivamo kompletnim ako svaki Cauchyev niz tog prostora konvergira ka nekoj tacˇki tog prostora. Prethodne dve definicije su ekvivalentne u slucˇaju kada je skup X nad kojim definiˇsemo fazi metriku najviˇse prebrojiv ili kada granicˇna vrednost iz Defnicije 2.2.8. postoji uniformno po p ∈ N, ([78, 83]). U suprotnom ove dve definicije nisu ekvivalentne. Naime, posˇto je svaki Cauchyev niz i G-Cauchyev, ukoliko je pros- tor G-kompletan sledi da je i kompletan. Dakle, da bi prostor bio G-kompletan zahteva se da sˇira klasa nizova bude konvergentna. Da obrnuto ne vazˇi pokazuje sledec´i primer. Primer 2.2.3. Neka je M(x, y, t) fazi metrika indukovana standardnom metrikom δ(x, y) = |x− y| na skupu svih realnih brojeva R, tj. M(x, y, t) = t t+ |x− y| za svako x, y ∈ R i svako t > 0 i neka je t-norma a ∗ b = min{a, b}. Lako se pokazuje da je prostor (R,M, ∗) kompletan. Sa druge strane uocˇimo niz xn = 1+ 1 2 + 1 3 +...+ 1 n , za koji znamo da nije konvergentan. Vazˇi da je za svako fiksirano p ∈ N ispunjeno da M(xn, xn+p, t) = t t+ |xn+p − xn| = t t+ n+p∑ i=n+1 1 i −→ 1, za svako t > 0 kada n→∞. Zakljucˇujemo da je ovaj niz G-Cauchyev, odakle sledi da R nije G-kompletan, posˇto posmatrani niz ne konvergira. M. Grabiec je u radu [37] dodao sledec´i uslov aksiomatici fazi metricˇkih pro- stora. (2.1) lim t→∞ M(x, y, t) = 1 za sve x, y ∈ X. Rezultati relevantni za teoriju fiksne tacˇke preslikavanja definisanih na fazi metri- cˇkim prostorima ukljucˇuju prethodni uslov u aksiomatiku fazi metricˇkih prostora 23 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI ([8, 37, 73, 77]). Uvod¯enje ovakve aksiome je sasvim opravdano, s obzirom na tumacˇenje vrednosti M(x, y, t). Zaista, kako M(x, y, t) predstavlja stepen bliskosti tacˇaka x i y, tacˇke x i y c´e se nalaziti na rastojanju manjem od t, za dovoljno veliko rastojanje t. 2.3 L -fazi i intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori Jin Han Park je 2004. godine definisao intuicionisticˇke fazi metricˇke pros- tore u radu [60]. Park je uveo Hausdorffovu topologiju tih prostora i dokazao nekoliko klasicˇnih teorema nelinearne funkcionalne analize na ovoj novoj strukturi. Takod¯e, Park definiˇse pojam ogranicˇenog skupa, mada u formi slabe ogranicˇenosti, definiˇse fazi dijametar opadajuc´e familije skupova i daje skupovnu karakterizaciju kompletnosti intuicionisticˇkih fazi metricˇkih prostora. Intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori predstavljaju uopsˇtenje fazi metricˇkih pros- tora u smislu Definicije 2.2.4. Osim sˇto se dvema tacˇkama x i y iz skupa X u odnosu na t > 0 dodeljuje fazi metrika M(x, y, t) koja odred¯uje njihov stepen bliskosti, do- deljuje im se i stepen udaljenosti u odnosu na t, zadat funkcijom N(x, y, t). Pri tom, u teoriji fazi metricˇkih prostora podrazumeva se da stepen udaljenosti N(x, y, t) uvek ima vrednost 1 −M(x, y, t). Intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori dopusˇtaju da stepen udaljenosti ne odgovara stepenu bliskosti x i y. B. Schweizer i A. Sklar su u radu [69], pored t-norme definisali i t-konormu na [0, 1]. Definicija 2.3.1. [69] Binarna operacija ♦ : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] je neprekidna t-konorma ako ♦ ispunjava sledec´e uslove: (a1) ♦ je komutativna i asocijativna; (b1) ♦ je neprekidna; (c1) a♦ 0 = a za svako a ∈ [0, 1]; (d1) a♦ b ≤ c♦ d za a ≤ c i b ≤ d, i a, b, c, d ∈ [0, 1]. Primeri t-konormi su a♦ b = max{a, b} i a♦ b = min{1, a+ b}. 24 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI Koristec´i rezultate Atanassova ([4]), Jin Han Park ([60]) je dao definiciju intuicionisticˇkih fazi metricˇkih prostora kojom nadgrad¯uje strukturu fazi metricˇkih prostora, u smislu Definicije 2.2.4. Definicija 2.3.2. [60] Petorka (X,M,N, ∗,♦) se naziva Intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor ako je X proizvoljan skup, ∗ neprekidna t-norma, ♦ neprekidna t-konorma i M,N fazi skupovi na X2 × (0,∞) koji, za sve x, y, z ∈ X, s, t > 0, ispunjavaju sledec´e uslove (IFm-1) M(x, y, t) +N(x, y, t) ≤ 1; (IFm-2) M(x, y, t) > 0; (IFm-3) M(x, y, t) = 1 ako i samo ako je x = y; (IFm-4) M(x, y, t) = M(y, x, t); (IFm-5) M(x, y, t) ∗M(y, z, s) ≤M(x, z, t+ s); (IFm-6) M(x, y, ·) : (0,∞)→ (0, 1] je neprekidna; (IFm-7) N(x, y, t) > 0; (IFm-8) N(x, y, t) = 0 ako i samo ako je x = y; (IFm-9) N(x, y, t) = N(y, x, t); (IFm-10) N(x, y, t)♦N(y, z, s) ≥ N(x, z, t+ s); (IFm-11) N(x, y, ·) : (0,∞)→ (0, 1] je neprekidna. Par (M,N) nazivamo intuicionisticˇkom fazi metrikom na skupuX. FunkcijeM(x, y, t) i N(x, y, t) oznacˇavaju stepen bliskosti i stepen udaljenosti tacˇaka x i y u odnosu na t, respektivno. R. Saadati, S. Sedghi i N. Shobe 2006. godine u radu [67] dali su mod- ifikovanu definiciju intuicionisticˇkih fazi metricˇkih prostora kojom su objedinili za- pis funkcija M(x, y, t) i N(x, y, t), koristec´i neprekidni t-reprezent i notaciju L -fazi metricˇkih prostora. L -fazi metricˇke prostore definisali su 2006. godineR. Saadati, A. Razani i H. Adibi u [66]. Definicija 2.3.3. [66] Neka je L = (L,≤L) kompletna mrezˇa i U neprazan skup koji c´emo zvati univerzumom. L -fazi skup A na U je preslikavanje A : U → L. Za svako u ∈ U vrednost A (u) pretstavlja stepen (u L) do kog u ispunjava A . 25 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI Definiˇsemo 0L = inf L i 1L = supL. Definicija t-norme mozˇe se direktno uopsˇtiti na mrezˇu (L,≤L). Definicija 2.3.4. [66] Trougaona norma T na L je preslikavanje T : (L)2 → L koje ispunjava sledec´e uslove za svako a, b, c, a1, b1 ∈ L: (i) T (a, 1L ) = a, (ii) T (a, b) = T (b, a), (iii) T (a,T (b, c)) = T (T (a, b), c), (iv) a ≤L a1 i b ≤L b1 ⇒ T (a, b) ≤L T (a1, b1). Definiˇsemo trougaonu normu T kao (n + 1)-arnu operaciju, n ∈ N, rekurzivno sa T 1 = T i T n(x1, . . . , xn+1) = T ( T n−1(x1, . . . , xn−1), xn+1 ) , za n ≥ 2 i x1, . . . , xn+1 ∈ L. Definicija 2.3.5. [66] Trojku (X,M ,T ) gde je X proizvoljan (neprazan) skup, T neprekidna trougaona norma na L i M je L -fazi skup na X2× (0,∞) koji, za sve x, y, z ∈ X i t, s ∈ (0,∞), ispunjvaju sledec´e uslove : (LF-1) M (x, y, t) >L 0L ; (LF-2) M (x, y, t) = 1L za svako t > 0 ako i samo ako x = y; (LF-3) M (x, y, t) = M (y, x, t); (LF-4) T (M (x, y, t),M (y, z, s)) ≤L M (x, z, t+ s); (LF-5) M (x, y, ·) : (0,∞)→ L je neprekidna, nazivamo L -fazi metricˇkim prostorom, a funkciju M nazivamo L -fazi metrikom. Definicija 2.3.6. [66] Negacija na L je svaka opadajuc´a funkcija N : L → L koja ispunjava uslove N (0L ) = 1L i N (1L ) = 0L . Ako je N (N (x)) = x, za sve x ∈ L, tada N nazivamo involutivnom negacijom. Negacija Ns na ([0, 1],≤) definisana sa Ns(x) = 1 − x za svako x ∈ [0, 1], naziva se standardnom negacijom na ([0, 1],≤). Definicija 2.3.7. [66] Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor. Za proizvoljno 26 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI t > 0 definiˇsemo otvorenu kuglu B(x, r, t) sa centrom u x ∈ X poluprecˇnika r ∈ L \ {0L , 1L } sa B(x, r, t) = {y ∈ X : M (x, y, t) >L N (r)}. Podskup A ⊆ X nazivamo otvorenim ukoliko za svako x ∈ A postoji t > 0 i r ∈ L \ {0L , 1L } tako da je B(x, r, t) ⊆ A. Tada je familija τM svih otvorenih pod- skupova od X topologija indukovana L -fazi metrikom M . Nije tesˇko uocˇiti da primeri koji ilustruju fazi metricˇke prostore ilustruju i L - fazi metricˇke prostore. Takod¯e, analogne leme koje odgovaraju lemama 2.2.1. i 2.2.3. vazˇe i na ovim prostorima, pri cˇemu definicije konvergencije, Cauchyevih nizova i kompletnosti dobijamo zamenom u odgovarajuc´im definicijama funkcije M sa M i izraza 1− ε sa negacijom N (ε). Definicija 2.3.8. [66] Kazˇemo da niz {xn}n∈N konvergira ka x ∈ X u L -fazi metricˇkom prostoru (X,M ,T ) ako M (xn, x, t) → 1L kad god n → ∞ za svako t > 0. Za niz {xn}n∈N u L -fazi metricˇkom prostoru (X,M ,T ) kazˇemo da je Cauchy- ev niz ako za svako ε ∈ L \ {0L , 1L } i t > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako m ≥ n ≥ n0 (n ≥ m ≥ n0) vazˇi da je M (xm, xn, t) >L N (ε). L -fazi metricˇki prostor se naziva kompletnim ako svaki Cauchyev niz u njemu konvergira. Jasno je da definicija konvergencije i Cauchyevih nizova zavisi od izbora ne- gacije N . Stoga je potrebno naglasiti da pretpostavljamo da je prostor (X,M ,T ) kompletan u odnosu na negaciju N . Dalje u radu c´emo razmatrati L -fazi metricˇke prostore koji ispunjavaju uslov (2.2) M (x, y, 0) = 0L za x 6= y. Lema 2.3.1. U L -fazi metricˇkom prostoru X, M (x, y, ·) je neopadajuc´a funkcija 27 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI za svako x, y ∈ X u (L,≤L). Lema 2.3.2. Ako je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor i neka je limn→∞ xn = x, limn→∞ yn = y, tada je lim n→∞ M (xn, yn, t) = M (x, y, t). Dokaz. Imamo da je M (x, y, t+ ε) ≥L T 2(M (x, xn, ε 2 ),M (xn, yn, t),M (y, yn, ε 2 )) M (xn, yn, t) ≥L T 2(M (x, xn, ε 2 ),M (x, y, t− ε),M (y, yn, ε 2 )) Uzimajuc´i limes kad n→∞ dobijamo M (x, y, t− ε) ≤L lim n→∞ M (xn, yn, t) ≤L M (x, y, t+ ε). Posˇto je M (x, y, ·) neprekidna po trec´oj koordinati, sledi tvrd¯enje.  Topologija L -fazi metricˇkih prostora je Hausdorffova. U ovoj topologiji funkcija f je neprekidna u x0 ∈ X ako i samo ako za svaki niz xn → x0 vazˇi f(xn)→ f(x0). Definicija 2.3.9. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor i A ⊆ X. Zatvorenje skupa A je najmanji zatvoreni skup koji sadrzˇi A, u oznaci A. Definicija 2.3.10. [26] Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor. Kazˇemo da kolekcija {Fn}n∈N ima L -fazi dijametar nula ako za svako r ∈ L \ {0L , 1L } i svako t > 0 postoji n0 ∈ N takvo da M (x, y, t) >L N (r) za svako x, y ∈ Fn0 . Teorema 2.3.1. Ako je L -fazi metricˇki prostor (X,M ,T ) kompletan u odnosu na negaciju N tada svaki opadajuc´i niz {Fn}n∈N nepraznih zatvorenih skupova sa L -fazi dijametrom nula ima neprazan presek. Pri tom element x ∈ ⋂ n∈N Fn je jedinstven. Dokaz. Neka je (X,M ,T ) kompletan u odnosu na negaciju N i {Fn}n∈N kolekcija opadajc´ih nepraznih zatvorenih skupova sa L -fazi dijametrom nula. Neka je xn ∈ Fn proizvoljno za svako n ∈ N. Pokazac´emo da je niz {xn} Cauchyjev. Neka su 28 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI r ∈ L \ {0L , 1L } i t > 0 proizvoljni. Kako {Fn} ima L -fazi dijametar nula, sledi da postoji n0 ∈ N tako da je M (x, y, t) >L N (r) za svako x, y ∈ X. Posˇto su Fn opadajuc´i skupovi, sledi da je M (xn, xm, t) >L N (r) za svako n,m ≥ n0. Dakle, niz {xn} je Cauchyjev. Iz kompletnosti prostora sledi da xn → x za neko x ∈ X. Stoga je x ∈ Fn za svako n, pa i x ∈ ⋂ n∈N Fn. Pokazˇimo da je element x ∈ ⋂ n∈N Fn jedinstven. Pretpostavimo da postoji josˇ jedan element y ∈ ⋂ n∈N Fn. Kako {Fn} ima L -fazi dijametar nula, to za proizvoljno r ∈ L \ {0L , 1L } i t > 0 vazˇi M (x, y, t) >L N (r). Kada r → 0L imamo da M (x, y, t) = 1L , tj. x = y.  Lema 2.3.3. [14] Neka su skup L∗ i operacija ≤L∗ definisani sa L∗ = {(x1, x2) : (x1, x2) ∈ [0, 1] 2 i x1 + x2 ≤ 1} i (x1, x2) ≤L∗ (y1, y2) ako i samo ako je x1 ≤ y1 i x2 ≥ y2 za svako (x1, x2), (y1, y2) ∈ L∗. Tada je (L∗,≤L∗) kompletna mrezˇa. Definicija 2.3.11. [4] Intuicionisticˇki fazi skup Aζ,η na univerzumu U je objekat Aζ,η = {(ζA (u), ηA (u)) : u ∈ U}, gde, za svako u ∈ U, ζA (u), ηA (u) ∈ [0, 1] nazi- vamo stepen pripadnosti i stepen ne-pripadnosti, respektivno, u intuicionisticˇkom fazi metricˇkom skupu Aζ,η, i ispunjavaju ζA (u) + ηA (u) ≤ 1. G. Deschrijver i ostali su u [14, 15] definisali t-reprezent na kompletnoj mrezˇi L∗. Definicija 2.3.12. [14, 15] Trougaonu normu T na L∗ nazivamo t-reprezentom ako postoje t-norma ∗ i t-konorma ♦ na [0, 1] takve da je T (x, y) = (x1 ∗ y1, x2♦ y2) za svako x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ L ∗. Definicija 2.3.13. [66] Neka suM,N : X2×(0,∞)→ [0, 1] fazi skupovi takvi da je M(x, y, t)+N(x, y, t) ≤ 1 za svako x, y ∈ X i svako t > 0. Trojka (X,MM,N ,T ) gde jeX proizvoljan (neprazan) skup, T neprekidan t-reprezent i MM,N : X 2×(0,∞)→ L∗ intuicionisticˇki fazi skup koji, za sve x, y, z ∈ X i t, s ∈ (0,∞), ispunjvaju sledec´e uslove : (I F-1) MM,N(x, y, t) >L∗ 0L∗ ; 29 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI (I F-2) MM,N(x, y, t) = 1L∗ za svako t > 0 ako i samo ako x = y; (I F-3) MM,N(x, y, t) = MM,N(y, x, t); (I F-4) T (MM,N(x, y, t),MM,N(y, z, s)) ≤L∗ MM,N (x, z, t+ s); (I F-5) MM,N(x, y, ·) : (0,∞)→ L ∗ je neprekidna, nazivamo intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorom, a funkciju MM,N nazivamo intuicionisticˇkom fazi metrikom. Intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori predstavljaju specijalan slucˇajL -fazi metricˇkih prostora kada je L = (L∗,≤L∗) na X 2 × (0,∞) i trougaona norma T t-reprezent. Pri tome je MM,N = (M(x, y, t), N(x, y, t)), 0L∗ = (0, 1) i 1L∗ = (1, 0), a ne- gacija N (r) = (Ns(r), r). Topologiju na intuicionisticˇkim fazi metricˇkom prostorima uvodimo pomoc´u otvorenih kugli BM,N(x, r, t) sa centrom u x ∈ X poluprecˇnika r ∈ (0, 1) za proizvoljno t > 0 definisanih sa BM,N(x, r, t) = {y ∈ X : MM,N (x, y, t) >L∗ (Ns(r), r)}. Podskup A ⊆ X nazivamo otvorenim ukoliko za svako x ∈ A postoji t > 0 i r ∈ (0, 1)} tako da je BM,N (x, r, t) ⊆ A. Tada je familija τM,N svih otvorenih podskupova od X topologija indukovana intuicionisticˇkom fazi metrikom M . Uko- liko ne postoji moguc´nost zabune, otvorenu kuglu BM,N(x, r, t) c´emo oznacˇavati sa B(x, r, t). Dalje u radu c´emo koristiti modifikovanu definiciju intuicionisticˇkih fazi me- tricˇkih prostora. V. Gregori, S. Romaguera i P. Veereamani su u [39] pokazali da je topologija intuicionisticˇkih fazi metricˇkih prostora τM,N ekvivalentna topologiji fazi metricˇkih prostora τM . Stav 2.3.1. [39] Neka je (X,MM,N ,T ) intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor. Tada je za svako x ∈ X, za svako r ∈ (0, 1) i za sve t > 0 vazˇi da je BM(x, r, t) = BM,N(x, r, t). Dokaz. Iz definicija otvorenih kugli trivijalno sledi da jeBM,N(x, r, t) ⊆ BM(x, r, t). Obrnuto, pretpostavimo da y ∈ BM(x, r, t). Tada je M(x, y, t) > 1 − r, pa iz uslova Definicije 2.3.13. da je M(x, y, t) + N(x, y, t) ≤ 1 za svako x, y ∈ X i svako 30 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI t > 0 sledi da vazˇi 1 ≥M(x, y, t) +N(x, y, t) > 1− r +N(x, y, t), tj. vazˇi da je N(x, y, t) < r, i stoga je y ∈ BM,N(x, r, t).  Dakle, fazi metricˇki i intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori imaju ista topolosˇka svojstva. C. Alaca i ostali su u radu [2] definisali intuicionisticˇke fazi metricˇke pros- tore u smislu promene dela aksioma. Ta promena odgovara definiciji fazi metricˇkih prostora koje su postavili I. Kramosil i J. Michalek ([46]). U ovoj definicji su aksiome (I F-1) i (IF-5) zamenjene redom aksiomama: (I F-1a) MM,N(x, y, 0) = 0L∗ ; (I F-5a) MM,N(x, y, ·) : (0,∞)→ L ∗ je neprekidna sleva. Uz to, C. Alaca, D. Turkoglu i C. Yildiz u radu [2] dodali su sledec´i uslov aksiomatici intuicionisticˇkih fazi metricˇkih prostora: (I F-6a) limt→∞ MM,N(x, y, t) = 1L∗ za svako x, y ∈ X. Takod¯e, Alaca i ostali razmatraju slabiju definiciju kompletnosti i Cauchyevih nizova. Njihov rezultat obuhvata sledec´u definiciju: Definicija 2.3.14. [2] Neka je (X,MM,N ,T ) kompletan intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor. Tada niz {xn} ∈ X nazivamo Cauchyevim nizom ako za svako t > 0 i p > 0 (p ∈ N), lim n→∞ MM,N(xn+p, xn, t) = 1. Ovu definiciju nazivac´emo definicjom intuicionisticˇkih fazi metricˇkih prostora u smislu Alace i ostalih. Primer 2.3.1. Svaki fazi metricˇki prostor (X,M, ∗) je i intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor oblika (X,MM,N ,T ) gde je T neprekidan t-reprezent sa pridruzˇenom t- normom ∗ i t-konormom ♦, tj. x♦ y = 1− ((1− x) ∗ (1− y)) za svako x, y ∈ X. Primer 2.3.2. [60] Neka je (X, d) metricˇki prostor. Neka je a ∗ b = min{a, b} i 31 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI a♦ b = max{a, b} za svako a, b ∈ [0, 1]. Neka je MM,N(x, y, t) = ( t t+ d(x, y) , d(x, y) t+ d(x, y) ) za svako x, y ∈ X i t > 0. Tada je (X,MM,N ,T ) intuicionisticˇki fazi metricˇki pros- tor indukovan metrikom d. Ocˇigledno je N(x, y, t) = 1−M(x, y, t). Dalje u radu c´emo razmatrati intuicionisticˇke fazi metricˇke prostore koji ispu- njavaju uslov (2.3) MM,N(x, y, 0) = 0L∗ za x 6= y. Primetimo da intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor iz Primera 2.2.2. ispunjava uslov (2.3). Definicija 2.3.15. [60] Za niz {xn} u intuicionisticˇkom fazi metricˇkom prostoru (X,MM,N ,T ) kazˇemo da konvergira ka tacˇki x ∈ X ako lim n→∞ MM,N(xn, x, t) = 1L∗ za svako t > 0. Definicija 2.3.16. [60] Niz {xn} u intuicionisticˇkom fazi metricˇkom prostoru (X,MM,N ,T ) se naziva Cauchyevim ako za svako ε ∈ (0, 1) i svako t > 0 postoji n0 ∈ N takvo da MM,N (xn, xm, t) >L∗ (Ns(ε), ε). (X,MM,N ,T ) se naziva komplet- nim ako je svaki Cauchyev niz konvergentan. U intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima vazˇe analogoni Leme 2.3.1., Leme 2.1.3. i Definicije 2.3.10., kada je M = MM,N intuicionisticˇka fazi metrika. Razmatrac´emo trougaonu normu T koja ispunjava sledec´i uslov: Za svako µ ∈ L \ {0L , 1L } mozˇemo nac´i λ ∈ L \ {0L , 1L } tako da vazˇi da je (2.4) T n−1(N (λ), . . .N (λ)) >L N (µ), za n ≥ 2, gde je N involutivna negacija na L . Uslov (2.4) nec´e biti obavezno ispunjen za proizvoljnu mrezˇu L . Navodimo primere t-normi i mrezˇa za koje je uslov (2.4) ispunjen. Primer 2.3.3. [66] Za neprekidnu t-normu T i za svaku involutivnu negaciju N na 32 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI ([0, 1],≤) ovaj uslov c´e biti ispunjen. Primer 2.3.4. [66] Uslov (2.4) je ispunjen za svaki neprekidni t-reprezent T i involutivnu negaciju N na (L∗,≤L∗). Dokaz. Kako je T t-reprezent, to postoje t-norma ∗ i t-konorma ♦ tako da je T (x, y) = (x1 ∗y1, x2♦ y2) za svako x, y ∈ L ∗. Iz neprekidnosti t-reprezenta T sledi da su ∗ i ♦ neprekidne. Neka je µ ∈ (0, 1) proizvoljno. Tada je x = (x1, x2) = N (µ) takod¯e element iz L∗ \ {0L∗ , 1L∗}, pa je x1 < 1. Kako su ∗ i ♦ neprekidne, sledi da postoji y1 ∈ (0, 1) tako da je y1 ∗ y1 > x1. Cˇak i u slucˇaju da je x2 = 0 imamo da vazˇi 0♦ 0 ≤ x2. Neka je y = (y1, 0), tada vazˇi T (y, y) = (y1 ∗ y1, 0♦ 0) >L∗ x. Za λ = N (y), iz involutivnosti negacije N , sledi uslov (2.4) za n = 2.  Napomena 2.3.1. Iz prethodnog primera sledi da svaki intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor ispunjava uslov (2.4). Naredna teorema i definicija koje je iskazao i dokazao Jin Han Park u [60] imaju vazˇnu ulogu u dokazu glavnih rezultata iskazanih na intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima. Definicija 2.3.17. [60] Neka je (X,MM,N ,T ) intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor. Kazˇemo da kolekcija {Fn}n∈N ima intuicionisticˇki fazi dijametar nula ako za svako r ∈ (0, 1) i svako t > 0 postoji n0 ∈ N takvo da MM,N(x, y, t) >L∗ (Ns(r), r) za svako x, y ∈ Fn0 . Teorema 2.3.2. [60] Intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor (X,MM,N ,T ) je kom- pletan ako i samo ako svaki opadajuc´i niz {Fn}n∈N nepraznih zatvorenih skupova sa intuicionisticˇkim fazi dijametrom nula ima neprazan presek. Pri tom element x ∈ ⋂ n∈N Fn je jedinstven. Dokaz. Najpre pretpostavimo da je ispunjen dati uslov. Pokazac´emo da je (X,MM,N ,T ) je kompletan. Neka je {xn} Cauchyjev niz u X. Neka je Bn = {xk : x ≥ n} i Fn = Bn, tada {Fn} ima intuicionisticˇki fazi dijametar nula. Zaista, za proizvoljno s ∈ (0, 1) i t > 0, iz Napomene 2.3.1. sledi da postoji r ∈ (0, 1) tako 33 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI da je T 2((Ns(r), r), (Ns(r), r), (Ns(r), r)) ≥L∗ (Ns(s), s). Kako je {xn} Cauchyjev niz, to postoji n0 ∈ N tako da je MM,N(xn, xm, t 3 ) >L∗ (Ns(r), r) za svako m,n ≥ n0. Stoga je MM,N(xn, xm, t 3 ) >L∗ (Ns(r), r) za svako x, y ∈ Bn0 . Neka je x, y ∈ Fn0 . Tada postoje nizovi {x ′ n} i {y ′ n} u Bn0 tako da x ′ n → x i y′n → y kad n → ∞. Sledi da x ′ n ∈ B(x, r, t 3 ) i y′n ∈ B(y, r, t 3 ) za dovoljno veliko n. Sada imamo da vazˇi MM,N (x, y, t) ≥L∗ T 2 ( MM,N(x, x ′ n, t 3 ),MM,N(x ′ n, y ′ n, t 3 ),MM,N(y ′ n, y, t 3 ) ) ≥L∗ T 2((Ns(r), r), (Ns(r), r), (Ns(r), r)) ≥L∗ (Ns(s), s), t.j. MM,N (x, y, t) >L∗ (Ns(s), s)) za svako x, y ∈ Fn0 . Dakle, {Fn} ima intu- icionisticˇki fazi dijametar nula pa prema uslovu teoreme sledi da je ⋂ n∈N Fn neprazan. Neka je x ∈ ⋂ n∈N Fn. Tada za svako r ∈ (0, 1) i t > 0 postoji n1 ∈ N tako da je MM,N(xn, x, t) >L∗ (Ns(r), r)) za svako n ≥ n1, pa MM,N(xn, x, t) → 1L za svako t > 0 kad n → ∞ odakle sledi da limn→∞ xn = x. Prema tome (X,MM,N ,T ) je kompletan. U obrnutom smeru dokaz je analogan dokazu Teoreme 2.3.1., kao i dokaz jedin- stvenosti elementa x ∈ ⋂ n∈N Fn.  Definiciju IF-ogranicˇenih skupova (u formi slabe ogranicˇenosti) na Intuicion- isticˇkim fazi metricˇkim prostorima uveo je Jin-Han Park [60]. Definicija 2.3.18. [60] Neka je (X,MM,N ,T ) intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor. Podskup A u X se naziva IF-ogranicˇenim skupom ako postoje t > 0 i r ∈ (0, 1) tako da MM,N(x, y, t) > (Ns(r), r) za svako x, y ∈ A. Ovde navodimo definiciju L F-ogranicˇenih skupova na L -fazi metricˇkim pros- torima. Definicija 2.3.19. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor. Podskup A od X se naziva LF-ogranicˇeni skup ako postoji t > 0 i r ∈ L \ {0L , 1L } tako da je M (x, y, t) >L N (r) za svako x, y ∈ A. Nije tesˇko uocˇiti da je podskup LF-ogranicˇenog skupa A takod¯e LF-ogranicˇen. 34 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI U radu [26] autor uvodi pojam LF-strogo ogranicˇenih skupova. Definicija 2.3.20. [26] Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor i A ⊆ X. L -fazi dijametar skupa A je definisan sa δA = sup t>0 inf x,y∈A sup ε< t M (x, y, ε). Ako je δA = 1L tada kazˇemo da je skup A LF-strogo ogranicˇen. Lema 2.3.4. [26] Skup A ⊆ X je L F-strogo ogranicˇen ako i samo ako za proizvoljnu negaciju N (λ) koja ispunjava uslov (2.4) i svako λ ∈ L \ {0L , 1L } postoji t > 0 tako da M (x, y, t) > N (λ) za svako x, y ∈ A. Dokaz. Neka je A ⊆ X LF-strogo ogranicˇen skup. Tvrd¯enje sledi trivijalno za proizvoljnu negaciju N (λ) ∈ [0L , 1L ], iz definicije inf i sup skupa. Obrnuto, neka za negaciju N (λ) i za svako λ ∈ L \ {0L , 1L } postoji t > 0 tako da je M (x, y, t) > N (λ) za svako x, y ∈ A. Kako je N (λ) negacija koja ispunjava uslov (2.4), tada za svako λ ∈ L \ {0L , 1L } postoji µ = N (λ) tako da N (µ) = λ. To znacˇi da je supµ∈L N (µ) = supλ∈L λ = 1L odakle sledi tvrd¯enje u ovom smeru.  Iz poslednje leme jasno se vidi da je podskup B LF-strogo ogranicˇenog skupa A takod¯e LF-strogo ogranicˇen. Primer 2.3.5. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor indukovan metrikom d na X, tj. M (x, y, t) = t t+d(x,y) , T (a, b) = min{a, b} sa standardnom negacijom N (r) = 1−r. A ⊆ X je metricˇki ogranicˇen ako i samo ako je LF-strogo ogranicˇen. Dokaz. Neka je A ⊆ X metricˇki ogranicˇen, tj. d(x, y) < k za neko k ∈ R i za svako x, y ∈ A. Neka je r ∈ (0, 1) proizvoljno. Tada za L -fazi metriku M vazˇi da je M (x, y, t) >L t t+k za svako x, y ∈ A. Iz t t+k > 1 − r sledi da mozˇemo odabrati t tako da bude ispunjeno t > k(1−r) r . Za takvo t vazˇic´e M (x, y, t) > 1 − r. To znacˇi da je A LF-strogo ogranicˇen. Obrnuto, ako je A LF-strogo ogranicˇen skup tada za proizvoljno r ∈ (0, 1) postoji t > 0 tako da M (x, y, t) = t t+d(x,y) > 1 − r vazˇi za svako x, y ∈ A. Iz ove nejednakosti sledi da je d(x, y) < rt 1−r za svako x, y ∈ A tj. 35 GLAVA 2. OSNOVNE DEFINICIJE I REZULTATI skup A je metricˇki ogranicˇen.  Koncept ogranicˇenih skupova u verovatnosnim metricˇkim prostorima je vrlo blizak konceptu ogranicˇenosti u intuicionisticˇkim i L -fazi metricˇkim prostorima. U verovatnosnim metricˇkim prostorima ogranicˇeni skupovi su definisani u skladu sa uslovom za L F-strogu ogranicˇenost u smislu Definicije 2.3.20. Ogranicˇenost u smislu Definicije 2.3.19. u verovatnosnim metricˇkim prostorima se naziva semi-ogranicˇenost. Ogranicˇenost skupova u smislu stroge ogranicˇenosti igra veoma vazˇnu ulogu u dokazu vec´ine teorema koje c´e biti iskazane i dokazane u nastavku rada, od strane autora, kako na L -fazi metricˇkim prostorima, tako i na verovatnosnim Mengerovim prostorima. Kako su Intuicionisticˇki fazi metricˇki prostori specijalan slucˇaj L -fazi metri- cˇkih prostora, dalje u radu c´emo davati iskaze i dokaze teorema o postojanju fiksne tacˇke za preslikavanja definisana na L -fazi metricˇkim prostorima. Direktna posled- ica ovih teorema bic´e iskazi odgovarajuc´ih teorema o postojanju fiksne tacˇke za preslikavanja definisana na intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima. 36 Glava 3 Fiksne tacˇke preslikavanja 3.1 Fiksne tacˇke preslikavanja definisanih na L - fazi metricˇkim prostorima U narednom delu teksta bic´e dokazan jedan od rezultata autora, koji se odnosi na zajednicˇku fiksnu tacˇku dva R-slabo komutativna preslikavanja definisanih naL -fazi metricˇkim prostorima. Koncept R-slabo komutativnih preslikavanja u metricˇkim prostorima je definisao R. P. Pant u radu ([58]). Teoreme o zajednicˇkoj fiksnoj tacˇki za R-slabo komutativna preslikavanja na prostorima sa nedeterministicˇkim rasto- janjem su iskazane i dokazane u radovima [13], [26], [82]. Definiˇsemo pojam R-slabo komutativnih preslikavanja definisanih na L -fazi metricˇkim prostorima. Definicija 3.1.1. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor i neka su f i g preslikavanja na skupu A ⊆ X. Preslikavanja f i g nazivamo R-slabo komutativnim ako postoji pozitivan realan broj R takav da je (3.1) M (f(g(x)), g(f(x)), Rt) ≥L M (f(x), g(x), t) za svako t > 0 i svako x ∈ A. Primetimo da je svaki par komutativnih preslikavanja i R-slabo komutativan, 37 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA dok obrnuto ne vazˇi. Sledec´i primer to ilustruje. Primer 3.1.1. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor indukovan metrikom d na X iz Primera 2.3.5. a) Preslikavanja f(x) = x2 i g(x) = nx− (n− 1) za n > 2 nisu komutativna, ali su R-slabo komutativna na skupu [0, n− 1]. Zaista, vazˇi da je |f(g(x))− g(f(x))| = n(n − 1)(x − 1)2, |f(x) − g(x)| = |x2 − nx + (n − 1)|. Kako je (x − 1)2 ≤ |x2 − nx+ (n− 1)| za svako x ∈ [0, n− 1], uzimajuc´i da je R = n(n− 1), dobijamo da je M (f(g(x)), g(f(x)), n(n− 1)t) ≥L M (f(x), g(x), t). b) Preslikavanja f(x) = x2 i g(x) = 2x − 1 su R-slabo komutativna za svako x ∈ R. Kako je |f(g(x))− g(f(x))| = 2(x− 1)2, |f(x)− g(x)| = (x− 1)2, uzimajuc´i R = 2 sledi tvrd¯enje. Pomenimo da preslikavanja iz a) i b) imaju jedinstvenu fiksnu tacˇku x = 1. Naredne dve leme imaju vazˇnu ulogu u dokazima teorema koje predstavljaju glavne rezultate ovog rada. Lema 3.1.1. Neka je ϕ : (0,∞) → (0,∞) neprekidna, neopadajuc´a funkcija koja ispunjava ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada, za svako t > 0 vazˇi da je lim n→∞ ϕn(t) = 0, gde ϕn(t) oznacˇava n-tu iteraciju od ϕ. Dokaz. Za proizvoljno t > 0, posˇto je ϕ(t) < t i ϕ je neopadajuc´a funkcija, indukcijom sledi ϕn(t) < ϕn−1(t) i ϕn(t) < t za svako n ∈ N. To znacˇi da je niz {ϕn(t)}n∈N monotono nerastuc´i. Posˇto je ogranicˇen, sledi da postoji c ≥ 0 tako da je limn→∞ ϕ n(t) = c. Tvrdimo da je c = 0. Pretpostavimo da je c > 0. Iz neprekidnosti ϕ imamo c = lim n→∞ ϕn+1(t) = lim n→∞ ϕ(ϕn(t)) = ϕ(c) < c, sˇto je kontradikcija.  Lema 3.1.2. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor koji ispunjava uslov (2.2). Neka je ϕ : (0,∞)→ (0,∞) neprekidna, neopadajuc´a funkcija koja ispunjava 38 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada vazˇi tvrd¯enje: Ako za x, y ∈ X vazˇi M (x, y, ϕ(t)) ≥L M (x, y, t) za svako t > 0 tada je x = y. Dokaz. Pretpostavimo da je M (x, y, ϕ(t)) ≥L M (x, y, t) i x 6= y. Iz ovog uslova, indukcijom sledi da je M (x, y, ϕn(t)) ≥L M (x, y, t). Uzimajuc´i limes kad n → ∞, dobijamo M (x, y, t) = 0L za svako t > 0, sˇto je kontradikcija sa (LF-2) tj. x = y.  Navodimo iskaz prethodne leme u terminologiji intuicionisticˇkih fazi metricˇkih prostora. Lema 3.1.3. Neka je (X,MM,N ,T ) intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor koji is- punjava uslov (2.3). Neka je ϕ : (0,∞)→ (0,∞) neprekidna, neopadajuc´a funkcija koja ispunjava ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada vazˇi tvrd¯enje: Ako za x, y ∈ X vazˇi MM,N (x, y, ϕ(t)) ≥L∗ MM,N(x, y, t) za svako t > 0 tada je x = y. Naredni rezultat autor je objavio u koautorskom radu [26]. Teorema 3.1.1. [26] Neka je (X,MM,N ,T ) kompletan intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor koji ispunjava uslov (2.3) i neka su f i g R-slabo komutativna preslikavanja iz X u X, g neprekidna funkcija, g(X) IF-strogo ogranicˇen skup i g(X) ⊆ f(X), tako da vazˇe uslovi (3.2) MM,N (g(x), g(y), ϕ(t)) ≥L∗ MM,N(f(x), f(y), t) za neku neprekidnu, neopadajuc´u funkciju ϕ : (0,∞) → (0,∞), koja ispunjava ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada f i g imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Ovde dajemo iskaz i dokaz prethodne teoreme na L -fazi metricˇkim prostorima, uz odred¯ene modifikacije koje su uslovljene strukturom prostora. Kako su intu- icionisticˇki fazi metricˇki prostori specijalan slucˇajL -fazi metricˇkih prostora, tvrd¯enje prethodne teoreme bic´e direktna posledica. Teorema 3.1.2. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor, koji je kompletan u odnosu na negaciju N koja ispunjava uslov (2.4), i ispunjava uslov (2.2) i neka su f i g R-slabo komutativna preslikavanja iz X u X, g neprekidna funkcija, g(X) 39 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA L F-strogo ogranicˇen skup i g(X) ⊆ f(X), tako da vazˇi uslov (3.3) M (g(x), g(y), ϕ(t)) ≥L M (f(x), f(y), t) za neku neprekidnu, neopadajuc´u funkciju ϕ : (0,∞) → (0,∞), koja ispunjava ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada f i g imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Dokaz. Neka je x0 ∈ X proizvoljna tacˇka. Kako je g(X) ⊆ f(X), to postoji x1 ∈ X tako da g(x0) = f(x1). Indukcijom, mozˇemo odabrati niz {xn} tako da je g(xn) = f(xn+1). Razmotrimo opadajuc´i niz nepraznih zatvorenih skupova definisanih sa Fn = {gxn, gxn+1, . . .}, n ∈ N. Dokazac´emo da familija {Fn}n∈N ima L -fazi dijametar nula. U tom smislu, neka su r ∈ L \ {0L , 1L } i t > 0 proizvoljni. Iz Fk ⊆ g(X) sledi da je Fk LF-strogo ogranicˇen skup za svako k ∈ N, odakle sledi da postoji t0 > 0 tako da je (3.4) M (x, y, t0) >L N (r) za sve x, y ∈ Fk. Takod¯e, uocˇimo da iz lim n→∞ ϕn(t0) = 0 sledi da postoji m ∈ N za koje vazˇi ϕm(t0) < t.Neka su n = m+k i x, y ∈ Fn proizvoljni. Postoje nizovi {gxn(i)}, {gxn(j)} u Fn takvi da je lim i→∞ gxn(i) = x i lim j→∞ gxn(j) = y. Iz uslova (3.1) sledi da je M (gxn(i), gxn(j), ϕ(t)) ≥L M (fxn(i), fxn(j), t) = M (gxn(i)−1, gxn(j)−1, t). Indukcijom zakljucˇujemo da vazˇi naredna nejednakost: M (gxn(i), gxn(j), ϕ m(t)) ≥L M (gxn(i)−m, gxn(j)−m, t). Kako je ϕm(t0) < t i M (x, y, ·) je neopadajuc´a funkcija, iz prethodne nejednakosti sledi da je (3.5) M (gxn(i), gxn(j), t) ≥L M (gxn(i), gxn(j), ϕ m(t0)) ≥L M (gxn(i)−m, gxn(j)−m, t0). 40 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Kako su {gxn(i)−m}, {gxn(j)−m} nizovi u Fk, iz (3.4) sledi da je (3.6) M (gxn(i)−m, gxn(j)−m, t0) >L N (r) za svako i, j ∈ N. Konacˇno, iz (3.5) i (3.6) zakljucˇujemo da je M (gxn(i), gxn(j), t) >L N (r). Uzimajuc´i granicˇne vrednosti kada i, j → ∞ i primenjujuc´i Lemu 2.3.2., zakljucˇu- jemo da je M (x, y, t) >L N (r) za sve x, y ∈ Fn, odnosno da familija {Fn}n∈N ima L -fazi dijametar nula. Primenjujuc´i Teoremu 2.3.1. zakljucˇujemo da ova familija ima neprazan presek, koji se sastoji iz tacˇno jedne tacˇke z. Kako familija {Fn}n∈N ima L -fazi dijametar nula i z ∈ Fn za svako n ∈ N tada za svako r ∈ L \ {0L , 1L } i svako t > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vazˇi M (gxn, z, t) >L N (r). Iz poslednjeg sledi da za svako r ∈ L \ {0L , 1L } vazˇi lim n→∞ M (gxn, z, t) >L N (r). Uzimajuc´i limes kad r → 0L dobijamo da je lim n→∞ M (gxn, z, t) = 1L , odakle zakljucˇujemo da je lim n→∞ gxn = z. Iz definicije niza {fxn} sledi da je lim n→∞ fxn = z. Pokazˇimo da je z zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f i g. Iz uslova (3.1) imamo da vazˇi M (f(g(xn)), g(f(xn)), Rt) ≥L M (f(xn), g(xn), t) za svako t > 0. Pusˇtajuc´i da n→∞ dobijamo da M ( lim n→∞ f(g(xn)), g(z), Rt) ≥L M (z, z, t) = 1L , odakle sledi da je lim n→∞ f(g(xn)) = g(z). 41 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Iz nejednakosti M (g(xn), g(g(xn)), ϕ(t)) ≥L M (f(xn), f(g(xn)), t), pusˇtajuc´i da n→∞, dobijamo da M (z, g(z), ϕ(t)) ≥L M (z, g(z), t) vazˇi za svako t > 0. Primenjujuc´i Lemu 3.1.2., dobijamo da je g(z) = z. Kako je g(X) ⊆ f(X), postoji z1 ∈ X tako da f(z1) = g(z) = z. Iz uslova (3.3) sledi da vazˇi M (g(g(xn)), g(z1), ϕ(t)) ≥L M (f(g(xn)), f(z1), t). Pusˇtajuc´i da n→∞, dobijamo M (z, g(z1), ϕ(t)) ≥L M (z, z, t) = 1L za svako t odakle sledi da je g(z1) = z. Za proizvoljno t > 0 postoji t1 > 0 tako da je t = Rt1. Iz f(z1) = z, g(z1) = z dobijamo M (g(z), f(z), t) = M (g(z), f(z), Rt1) = M (g(f(z1)), f(g(z1)), Rt1) ≥L M (f(z1), g(z1), t1) = M (z, z, t1) = 1L odakle sledi da je f(z) = g(z) = z. Dokazˇimo da je z jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka. U tu svrhu pretpostavimo da postoji josˇ jedna zajednicˇka fiksna tacˇka, oznacˇimo je sa u. Iz uslova (3.3) sledi da je M (g(z), g(u), ϕ(t)) ≥L M (f(z), f(u), t) za svako t > 0. Stoga dobijamo da je M (z, u, ϕ(t)) ≥L M (z, u, t) za svako t > 0. Konacˇno, primenjujuc´i Lemu 3.1.2. sledi da je z = u.  Primer 3.1.2. [26] Neka je (X,M ,T ) kompletan L -fazi metricˇki prostor induko- van metrikom d(x, y) = |x−y| na skupu X = [0,+∞) ⊂ R, sa trougaonom normom T (a, b) = min{a, b} za svako a, b ∈ [0, 1], standardnom negacijom N (r) = 1− r i M (x, y, t) = t t+ d(x, y) 42 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA za svako x, y ∈ X i t > 0. Neka je f(x) = 2x, g(x) = x 1 + x , g(X) = [0, 1) ⊂ X = f(X) i ϕ(t) = { t/(1 + t), 0 < t ≤ 1 t/2, t ≥ 1 . Pokazac´emo da su svi uslovi Teoreme ispunjeni. Kako je g(f(x)) = 2x 1+2x i f(g(x)) = 2x 1+x zakljucˇujemo da preslikavanja f(x) i g(x) nisu komutativna, ali su R-slabo komutativna za R = 1, posˇto vazˇi: M (f(g(x)), g(f(x)), t) = t t+ 2x 2 (1+x)(1+2x) i M (f(x), g(x), t) = t t+ x+2x 2 1+x . Kako je 2x 2 (1+x)(1+2x) ≤ x+2x 2 1+x ispunjeno za svako x ≥ 0, dobijamo da je uslov (3.1) ispunjen. Dokazac´emo da je uslov (3.3) takod¯e ispunjen. U tom cilju, uocˇimo da je za sve x, y ∈ X ispunjeno 1 (1+x)(1+y) ≤ 1. Razmotrimo dve moguc´nosti. Ako je 0 < t ≤ 1 imamo da je 1 + t ≤ 2 odakle dobijamo da je M (g(x), g(y), t/(1 + t)) = t t+ (1 + t) |x−y| (1+x)(1+y) ≥ t t+ 2|x− y| = M (f(x), f(y), t). Ako je t ≥ 1 dobijamo da je M (g(x), g(y), t/2) = t t+ 2 |x−y| (1+x)(1+y) ≥ t t+ 2|x− y| = M (f(x), f(y), t). Iz poslednjih nejednakosti sledi da je uslov (3.3) ispunjen. Kako ϕ(t) ispunjava sve uslove teoreme zakljucˇujemo da f(x) i g(x) imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku i to je tacˇka x = 0. Uzimajuc´i u Teoremi 3.1.2. da je f = I identicˇko preslikavanje dobijamo rezul- tat koji predstavlja uopsˇtenje Teoreme Boyda i Wonga [7] na L -fazi metricˇke prostore. Teorema 3.1.3. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor koji je kompletan u odnosu na negaciju N i ispunjava uslov (2.2) i neka je g neprekidno preslikavanja 43 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA iz X u X, g(X) L F-strogo ogranicˇen skup, tako da vazˇi uslov (3.7) M (g(x), g(y), ϕ(t)) ≥L M (x, y, t) za neku neprekidnu, neopadajuc´u funkciju ϕ : (0,∞) → (0,∞), koja ispunjava ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada g ima jedinstvenu fiksnu tacˇku. Uzimajuc´i u Teoremi 3.1.1. da je f = I identicˇko preslikavanje i ϕ(t) = kt za neko k ∈ (0, 1), dobijamo sledec´i rezultat: Teorema 3.1.4. (Intuicionisticˇka fazi Banachova teorema) Neka je (X,MM,N ,T ) kompletan intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor koji ispunjava uslov (2.3). Neka je g neprekidno preslikavanje iz X u X, za koje je g(X) IF-strogo ogranicˇen skup i ispunjava uslove (3.8) MM,N (g(x), g(y), kt) ≥L∗ MM,N (x, y, t) za neko fiksirano k ∈ (0, 1). Tada g ima jedinstvenu fiksnu tacˇku. Pretpostavka prethodne teoreme da je g(X) IF-strogo ogranicˇen skup mozˇe se zameniti sledec´om: Postoji tacˇka x0 ∈ X takva da je orbita tacˇke x0 definisana sa O(x0, g) = {x0, gx0, g 2x0, . . .} IF-strogo ogranicˇen skup. Ovo tvrd¯enje sledi iz cˇinjenice da je polazni niz u dokazu Teoreme 3.1.1. za f = I niz Picardovih ite- racija definisan sa xn+1 = gxn. Alaca i ostali u radu [2] su dokazali intuicionisticˇku fazi Banachovu teoremu bez pretpostavke da je g(X) ili orbita O(x0, g) IF-strogo ogranicˇen skup. Razlog za ovu razliku jeste to sˇto su Alaca i ostali razmatrali definiciju intuicionisticˇkih fazi metricˇkih prostora u smislu Alace i ostalih koja pretpostavlja slabiju definiciju kompletnosti i Cauchyevih nizova, kao i uslov (IF-6a) koji obezbed¯uje IF-strogu ogranicˇenost celog prostora X. Primetimo da uslov (2.3) ima ulogu u dokazu teorema 3.1.1. i 3.1.4. samo u smislu zakljucˇaka Leme 3.1.3. Dokazac´emo da uslovi Leme 3.1.3. mogu biti zamen- jeni u glavnim rezultatima sa uslovom oznacˇenim sa (I F-6a), posˇto sledec´a lema vazˇi. Lema 3.1.4. Neka je (X,MM,N ,T ) intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor koji is- 44 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA punjava (I F-6a) i neka je ϕ : (0,∞) → (0,∞) neprekidna, neopadajuc´a funkcija koja ispunjava uslov ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada vazˇi zakljucˇak Leme 3.1.2. Dokaz. Kako je MM,N (x, y, ·) neprekidna i ogranicˇena, to postoji lim t→0+ MM,N(x, y, t) = c, gde je c ∈ L∗. Uzmimo MM,N(x, y, 0) := c. Jasno je da je MM,N (x, y, ·) neprekidna s desna u t = 0. Pretpostavimo da je MM,N(x, y, ϕ(t)) ≥L∗ MM,N(x, y, t) za svako t > 0. Posˇto je MM,N (x, y, ϕ(t)) ≤L∗ MM,N(x, y, t), primenjujuc´i indukciju dobijamo da vazˇi MM,N(x, y, ϕ n(t)) = MM,N(x, y, t) za svako t > 0. Uzimajuc´i limes kad n → ∞ imamo da je MM,N(x, y, t) = c za svako t > 0 i limt→∞ MM,N(x, y, t) = c. Iz (IF-6a) sledi da je c = 1L∗ tj. MM,N (x, y, t) = 1L∗ za svako t > 0. To znacˇi da je x = y.  R. Saadati i ostali u radu [66] dokazuju teoremu o zajednicˇkoj fiksnoj tacˇki za par komutativnih preslikavanja sa linearnim kontraktivnim uslovom na L -fazi metricˇkim prostorima. Ovaj rezultat prosˇiruje rezultat G. Jungcka dat u radu [30]. Dokazujuc´i glavni rezultat, oni su ispustili jednu pretpostavku koja obezbed¯uje egzis- tenciju elemenata koji u dokazu ucˇestvuju. U narednom delu teksta navodi se taj rezultat i ukazuje se na pretpostavku koja je ispusˇtena, a neophodna je u dokazu tvrd¯enja. Sledec´i uslov ima veoma vazˇnu ulogu u narednim rezultatima: (3.9) Ako je ispunjeno M (x, y, t) = C za svako t > 0 tada je C = 1L . Teorema 3.1.5. [66] Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor koji je kompletan u odnosu na negaciju N i ispunjava uslov (3.9) i neka su f, g : X → X preslikavanja koja ispunjavaju uslove (a) g(X) ⊆ f(X); (b) f je neprekidna; (c)M (g(x), g(y), kt) ≥L M (f(x), f(y), t) za svako x, y ∈ X i 0 < k < 1. Ako su f i g komutativna preslikavanja tada ona imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. U dokazu prethodne teoreme Saadati i ostali su razmatrali trougaonu normu 45 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA T koja ispunjava uslov (2.4)(oznacˇenu u [66] kao osobina (1.1)). Takod¯e, Saadati i ostali su koristili sledec´u lemu u dokazu Teoreme 3.1.5. Lema 3.1.5. [66] Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor. Definiˇsemo Eλ,M : X2 → R+ ∪ {0} pomoc´u (3.10) Eλ,M (x, y) = inf{t > 0 : M (x, y, t) >L N (λ)} za svako λ ∈ L \ {0L , 1L } i x, y ∈ X. Tada vazˇi (i) Ako T ispunjava (2.4), za proizvoljno µ ∈ L \ {0L , 1L } tada postoji λ ∈ L \ {0L , 1L } tako da Eµ,M (x1, xn) ≤ Eλ,M (x1, x2) + Eλ,M (x2, x3) + . . .+ Eλ,M (xn−1, xn) za svako x1, . . . , xn ∈ X, (ii) Niz {xn}n∈N je konvergentan u odnosu na L -fazi metriku M ako i samo ako Eλ,M (xn, x) → 0. Takod¯e, niz {xn}n∈N je Cauchy-jev u odnosu na L -fazi metriku M ako i samo ako je Cauchy-jev sa Eλ,M . Sledec´i primer pokazuje da postoji kompletan L -fazi metricˇki prostor u kome Eλ,M (x, y) ne mogu biti definisani, odnosno da njihovom rezultatu treba pridodati uslove koji obezbed¯uju postojanje skupova definisanih u prethodnoj lemi. Primer 3.1.3. Neka je X = [1, 2], T (a, b) = ab, i M (x, y, t) = { x y , x ≤ y y x , y ≤ x za svako x, y ∈ X i t > 0. Tada je (X,M ,T ) kompletan L -fazi metricˇki pros- tor. Uzmimo x = 3 2 , y = 8 5 . Tada je M (3 2 , 8 5 , t) = 15 16 , za svako t > 0. Za negaciju N (λ) = 1 − λ i λ = 1 17 imamo da je M (3 2 , 8 5 , t) = 15 16 < 1 − 1 17 za svako t > 0 tj. skup {t : M (3 2 , 8 5 , t) > 1− 1 17 } je prazan. Stoga, E 1 17 ,M ( 3 2 , 8 5 ) ne mozˇe biti definisano. Pokazac´emo da je glavni rezultat prema Saadatiju i ostalima dat u [66] posledica rezultata iskazanog i dokazanog u Teoremi 3.1.2. i ispravic´emo formulaciju njihove teoreme, s obzirom na prethodno dat komentar. Preciznije, iskazu njihove teoreme pridodac´emo jedan uslov koji obezbed¯uje postojanje vrednosti Eλ,M (x, y) definisane u jednakosti (3.10), koje imaju veoma vazˇnu ulogu u dokazu njihovog rezultata. Bez obzira na ispravku koja c´e biti predlozˇena, znacˇaj njihovog rezultata nije umanjen. Takod¯e, bic´e pokazano da je prosˇirenje njihove teoreme, koje c´e biti ovde prikazano, 46 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA susˇtinsko u odnosu na klasu preslikavanja koja imaju zajednicˇku fiksnu tacˇku, i bic´e ilustrovano jednim primerom. Napomena 3.1.1. Dokaz Teoreme 3.1.5. je baziran na uslovu da Eµ,M (fxn, fxm) → 0, prema tome Eµ,M (fxn, fxm) mora postojati za svakom,n ∈ N (posˇto u dokazu teoreme iterativni niz pocˇinje sa proizvoljnom tacˇkom) i za svako µ ∈ L \ {0L , 1L }. Iz Leme 2.3.4. sledi da ako ukljucˇimo uslov ”skup f(X) je LF-strogo ogranicˇen” u iskazu Teoreme 3.1.5., tada mozˇemo definisati Eλ,M (x, y) za svako λ ∈ L\{0L , 1L } i x, y ∈ X. Takod¯e, osobina da je limt→∞ M (x, y, t) = 1L za sve x, y ∈ X obezbed¯uje postojanje elemenata Eµ,M (x, y) za sve x, y ∈ X. Primetimo da uslov (IF-6a) ima svoj analogon u L -fazi metricˇkim prostorima: (LF-6a) lim t→∞ M (x, y, t) = 1L za svako x, y ∈ X. Takod¯e, vazˇi analogon Leme 3.1.4. u L -fazi metricˇkim prostorima. Napomena 3.1.2. Ocˇigledno, mozˇemo videti da uslov (3.9) igra ulogu u dokazu Teoreme 3.1.5. u smislu zakljucˇka Leme 3.1.2. (ili analogona Leme 3.1.4. u L -fazi metricˇkim prostorima). Prema tome, ovaj uslov mozˇemo zameniti sa (2.2) (ili (LF- 6a)). Napomena 3.1.3. Teorema 3.1.5. (i posledicˇno rezultat prema Jungcku ([30])) sa uslovom da je f(X) LF-strogo ogranicˇen (ili lim t→∞ M (x, y, t) = 1L vazˇi za svako x, y ∈ X) je posledica Teoreme 3.1.2. Dokaz. Kako je f(X) LF-strogo ogranicˇen i g(X) ⊆ f(X), to je i g(X) LF-strogo ogranicˇen. Iz neprekidnosti funkcije f sledi da je funkcija g neprekidna. Zaista, neka je xn → x. Kako je f neprekidna imamo da M (fxn, fx, t) → 1L za svako t > 0. Kako je M neopadajuc´a, iz uslova ϕ(t) < t i (3.3) sledi da M (gxn, gx, t) ≥L M (gxn, gx, ϕ(t)) ≥L M (fxn, fx, t)→ 1L odakle sledi da je g neprekidna funkcija. Kako su komutativna preslikavanja R-slabo komutativna, uzimajuc´i da je ϕ(t) = kt, k ∈ (0, 1) sledi tvrd¯enje napomene.  Na kraju, primetimo da nije potrebno da ukljucˇimo pretpostavku o ograni- cˇenosti u iskaze slicˇnih rezultata na metricˇkim prostorima. To mozˇemo videti u Jungckovom radu ([30]). Razlog za ovo je cˇinjenica da svaki metricˇki prostor mozˇe 47 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA biti posmatran kao L -fazi metricˇki prostor sa indukovanom L -fazi metrikom koja ispunjava uslov limt→∞ M (x, y, t) = 1L za sve x, y ∈ X, posˇto je M (x, y, t) = t t+d(x,y) . Navodimo jedan primer koji ilustruje da je rezultat dokazan u Teoremi 3.1.2. prosˇirenje rezultata dokazanog u Teoremi 3.1.5. Primer 3.1.4. Primetimo da za funkcije f(x) = 2x i g(x) = x 1+x , iz Primera 3.1.2. primenom Teoreme 3.1.5. ne mozˇemo zakljucˇiti da postoji zajednicˇka fiksna tacˇka. Postoje dva razloga za to. Prvi je da navedene funkcije nisu komutativne. Drugi je cˇinjenica da preslikavanja f(x) i g(x) ne ispunjavaju uslov (c) iz Teoreme 3.1.5., odnosno preslikavanja f(x) i g(x) ne ispunjavaju linearan kontraktivan uslov. Zaista, pretpostavimo da postoji konstanta k takva da je ispunjeno M (g(x), g(y), kt) ≥L M (f(x), f(y), t) za sve x, y ∈ X i t ≥ 0. Iz M (x, y, t) = t t+|x−y| sledi da je za sve x, y, t ≥ 0 ispunjeno da je kt kt+ | x 1+x − y 1+y | ≥ t t+ 2|x− y| ⇔ t t+ 1 k |x−y| (1+x)(1+y) ≥ t t+ 2|x− y| . Iz poslednjeg sledi da je k ≥ 2 (1 + x)(1 + y) za svako x, y ≥ 0 tj. k ≥ 2. 3.2 Konveksna struktura na L -fazi metricˇkim prostorima U ovom delu rada bavic´emo se pitanjem egzistencije fiksne tacˇke ukoliko pres- lakavanja ne ispunjavaju uslov kontraktivnog tipa. Naime, postavlja se pitanje kako se menjaju odgovarajuc´i rezultati ukoliko se uzme da je ϕ(t) = t. Pokazac´e se da je pojam konveksnosti znacˇajan za obezbed¯ivanje postojanja fiksne tacˇke preslikavanja neekspanzivnog tipa. W. Takahashi je u radu [79] definisao konveksnu i normalnu strukturu na metricˇkim prostorima. O. Hadzˇic´ 1988. godine u radu [21] uvela je pojam konvek- sne strukture i dokazala teoremu o fiksnoj tacˇki za neekspanzivna preslikavanja na verovatnosnim Mengerovim prostorima sa konveksnom strukturom. Nedavno je S. 48 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Jesˇic´ u [25] definisao konveksnu, striktno konveksnu i normalnu strukturu u intu- icionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima i dokazao teoremu o postojanju fiksne tacˇke za sˇiroku klasu neekspanzivnih preslikavanja u striktno konveksnim intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima. Motivisani navedenim radovima, u ovom delu rada uvodimo konveksnu, striktno konveksnu i normalnu strukturu u L -fazi metricˇke prostore i prosˇirujemo rezultat S. Jesˇic´a dokazanog u radu [25] za dva preslikavanja definisana na L -fazi metricˇkim prostorima sa striktnom konveksnom strukturom. Najpre uvedimo potrebne definicije i leme. Definicija 3.2.1. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor i r ∈ L \ {0L , 1L }, t > 0 i x ∈ X. Skup B[x, r, t] = {y ∈ X : M (x, y, t) ≥L N (r)} naziva se zatvorena kugla sa centrom u x poluprecˇnika r u odnosu na t. Definicija 3.2.2. Podskup K u L -fazi metricˇkom prostoru (X,M ,T ) nazivamo kompaktnim ako je naredno tvrd¯enje ispunjeno: K ⊆ ⋃ α∈Λ Uα =⇒ K ⊆ n⋃ i=1 Uαi za neko α1, . . . , αn ∈ Λ za svaku familiju {Uα : α ∈ Λ} otvorenih skupova Uα ⊂ X. Lema 3.2.1. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor i neka je K ⊆ X. Tada, K je kompaktan ako i samo ako za svaku familiju zatvorenih skupova {Fα}α∈Λ takvih da je Fα ⊆ K vazˇi da je ⋂ α∈Λ Fα = ∅ =⇒ n⋂ i=1 Fαi = ∅ za neko α1, . . . , αn ∈ Λ. Dokaz. Dokaz sledi iz Definicije 3.2.2. i De-Morganovih zakona.  Napomena 3.2.1. Kako je svaki L -fazi metricˇki prostor Hausdorffov topolosˇki prostor, iz kompaktnosti skupova sledi i njihova zatvorenost. Takod¯e, lako se pokazuje da je svaki zatvoren podskup kompaktnog skupa u L -fazi metricˇkom pros- toru kompaktan. J.H. Park je u radu [60] dokazao da je u intuicionisticˇkim fazi metricˇkim pros- 49 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA torima svaki kompaktan skup IF-ogranicˇen. Ovo tvrd¯enje c´e vazˇiti i na L -fazi metricˇkim prostorima sa trougaonom normom T koja ispunjava uslov (2.4). Teorema 3.2.1. Svaki kompaktan podskup A L -fazi metricˇkog prostora sa trougaonom normom T koja ispunjava uslov (2.4) je L F-ogranicˇen. Dokaz. Neka je A kompaktan podskup L -fazi metricˇkog prostora sa trougaonom normom T koja ispunjava uslov (2.4). Neka su t > 0 i r ∈ L \ {0L , 1L } proizvoljno odabrani. Posmatrajmo otvoren pokrivacˇ {B(x, r, t) : x ∈ A} skupa A. Kako je A kompaktan, postoje x1, x2, . . . , xn ∈ A tako da je A ⊆ ⋃n i=1B(x, r, t). Neka su x, y ∈ A. Tada postoje i, j ∈ {1, 2, . . . , n} takvi da x ∈ B(xi, r, t) i y ∈ B(xj, r, t), odnosno vazˇi da je M (x, xi, t) ≥L N (r) i M (y, xj, t) ≥L N (r). Oznacˇimo sa α = min{M (xi, xj, t) : i, j ∈ {1, 2, . . . , n}}. Tada je α > 0L . Iz uslova (2.4) sledi da vazˇi M (x, y, 3t) ≥L T 2(M (x, xi, t),M (xi, xj, t),M (xj, y, t)) ≥L T 2(N (r), α,N (r)) > N (s) za neko s ∈ L \ {0L , 1L }, odnosno skup A je LF-ogranicˇen.  Definiˇsimo uslov pod kojim je tacˇka dijametralna i uvodimo pojam konveksne strukture na L -fazi metricˇkim prostorima. Definicija 3.2.3. Tacˇka x ∈ A se naziva dijametralnom ako vazˇi da je inf y∈A sup ε< t M (x, y, ε) = δA(t) za svako t > 0. Definicija 3.2.4. L -fazi metricˇki prostor (X,M ,T ) poseduje konveksnu struk- turu ako postoji funkcija S : X×X× [0, 1]→ X, za koju je ispunjeno S(x, y, 0) = y, S(x, y, 1) = x i (3.11) M (S(x, y, λ), z, 2t) ≥L T ( M ( x, z, t λ ) ,M ( y, z, t 1− λ )) za svako x, y, z ∈ X, λ ∈ (0, 1) i t > 0. L -fazi metricˇki prostor (X,M ,T ) sa konveksnom strukturom naziva se konveksni L -fazi metricˇki prostor. 50 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA O. Hadzˇic´ je u radu [21] definisala konveksnu strukturu na verovatnosnimMen- gerovim prostorima u smislu prethodne definicije. Primer 3.2.1. [25] Svaki normiran linearni prostor (X, ‖ · ‖) mozˇe se posmatrati kao konveksni L -fazi metricˇki prostor indukovan normom ‖ · ‖ iz Primera 2.3.5. sa konveksnom strukturom S(x, y, λ) = λx+(1−λ)y. Kako je (X, d), d(x, y) = ‖x−y‖, metricˇki prostor, to je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor indukovan metrikom d. Pokazac´emo da nejednakost M (S(x, y, λ), z, 2t) ≥ T ( M (x, z, t λ ),M (y, z, t 1− λ ) ) vazˇi za svako λ ∈ (0, 1). Neka je t > 0 proizvoljno. Imamo da je M ( x, z, t λ ) = t t+ λ‖z − x‖ i M ( y, z, t 1− λ ) = t t+ (1− λ)‖z − y‖ . Takod¯e, T ( M ( x, z, t λ ) ,M ( y, z, t 1− λ )) = min { t t+ λ‖z − x‖ , t t+ (1− λ)‖z − y‖ } . Pretpostavimo da je t t+ λ‖z − x‖ = min { t t+ λ‖z − x‖ , t t+ (1− λ)‖z − y‖ } , dobijamo da je t t+ λ‖z − x‖ ≤ t t+ (1− λ)‖z − y‖ tj. (1− λ)‖z − y‖ ≤ λ‖z − x‖. Takod¯e, primetimo da je ‖z−(λx+(1−λ)y)‖ ≤ λ‖z−x‖+(1−λ)‖z−y‖. Konacˇno, imamo da vazˇe naredne nejednakosti: M (S(x, y, λ), z, 2t) = 2t 2t+ ‖z − (λx+ (1− λ)y)‖ ≥ 2t 2t+ λ‖z − x‖+ (1− λ)‖z − y‖ ≥ 2t 2t+ λ‖z − x‖+ λ‖z − x‖ = 2t 2t+ 2λ‖z − x‖ = t λ t λ + ‖z − x‖ 51 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA = M (x, z, t λ ) = T ( M (x, z, t λ ), 1 ) ≥ T ( M ( x, z, t λ ) ,M ( y, z, t 1− λ )) . U slucˇaju kada je t t+(1−λ)‖z−y‖ = min { t t+λ‖z−x‖ , t t+(1−λ)‖z−y‖ } dokaz je slicˇan. Iz poslednje nejednakosti sledi da je uslov (3.11) ispunjen. Za λ = 0 ili λ = 1 uslovi iz definicije 3.2.4. su trivijalno ispunjeni. Definicija 3.2.5. Neka je (X,M ,T ) konveksan L -fazi metricˇki prostor sa kon- veksnom strukturom S(x, y, λ). Podskup A ⊆ X se naziva konveksan skup ako za svako x, y ∈ A i λ ∈ (0, 1) sledi da je S(x, y, λ) ∈ A. Lema 3.2.2. Neka je (X,M ,T ) konveksan L -fazi metricˇki prostor i {Kα} za α ∈ ∆ familija konveksnih podskupova od X. Tada je presek K = ∩α∈∆Kα konveksan skup. Dokaz. Ako x, y ∈ K tada x, y ∈ Kα za svako α ∈ ∆. Sledi da S(x, y, λ) ∈ Kα za svako α ∈ ∆, tj. S(x, y, λ) ∈ K, sˇto znacˇi da je skup K konveksan.  Uvod¯enje konveksne strukture na L -fazi metricˇkim prostorima motivisano je narednom definicijom konveksnih struktura na metricˇkim prostorima koju je uveo W. Takahashi u radu [79]. Definicija 3.2.6. [79] Neka je (X, d) metricˇki prostor. Kazˇemo da metricˇki prostor poseduje Takahashievu konveksnu strukturu ako postoji funkcija W : X × X × [0, 1]→ X koja ispunjava uslov d(z,W (x, y, λ)) ≤ λd(z, x) + (1− λ)d(z, y), za svako x, y, z ∈ X i proizvoljno λ ∈ [0, 1]. Metricˇki prostor (X, d) sa Taka- hashievom konveksnom strukturom naziva se konveksan metricˇki prostor. Primer 3.2.2. Neka je (X, d) metricˇki prostor sa Takahashievom konveksnom strukturom W (x, y, λ). Uzimajuc´i da je S(x, y, λ) = W (x, y, λ) zakljucˇujemo da L - fazi metricˇki prostor (X,M ,T ) indukovan metrikom d iz Primera 2.3.5. poseduje konveksnu strukturu u smislu Definicije 3.2.4. Definicija 3.2.7. Konveksan L -fazi metricˇki prostor (X,M ,T ) sa konveksnom 52 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA strukturom S : X × X × [0, 1] → X naziva se striktno konveksnim ako je, za proizvoljno x, y ∈ X i λ ∈ (0, 1), element z = S(x, y, λ) jedinstveni element za koji je ispunjen uslov: (3.12) M ( x, y, t λ ) = M (z, y, t) i M ( x, y, t 1− λ ) = M (x, z, t) za svako t > 0. Lema 3.2.3. Neka je (X,M ,T ) konveksan L -fazi metricˇki prostor sa konveksnom strukturom S(x, y, λ). Neka za svako λ ∈ (0, 1), t > 0 i x, y, z ∈ X vazˇi (3.13) M (S(x, y, λ), z, t) >L min{M (z, x, t),M (z, y, t)}. Ako postoji z ∈ X tako da je (3.14) M (S(x, y, λ), z, t) = min{M (z, x, t),M (z, y, t)} ispunjeno za svako t > 0, tada S(x, y, λ) ∈ {x, y}. Dokaz. Pretpostavimo da je uslov (3.14) ispunjen za neko z ∈ X i za svako t > 0. Ako (3.13) vazˇi, sledi da je λ = 0 ili λ = 1, a odatle imamo da je S(x, y, 0) = y ili S(x, y, 1) = x, sˇto dokazuje tvrd¯enje leme.  Primer 3.2.3. Indukovani L -fazi metricˇki prostor (R2,M ,T ) iz Primera 2.3.5. gde je L -fazi metrika indukovana standardnom Euklidskom metrikom dE((x1, y1), (x2, y2)) = √ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 i konveksna struktura definisana sa S(x, y, λ) = λx + (1 − λ)y je striktno konveksan L -fazi metricˇki prostor koji ispunjava (3.13). Zaista, kako Euklidska metrika ispunjava dE(λx + (1 − λ)y, z) < max{dE(x, z), dE(y, z)} za svako λ ∈ (0, 1) sledi da (3.13) vazˇi. Lema 3.2.4. Neka je (X,M ,T ) striktno konveksan L -fazi metricˇki prostor sa konveksnom strukturom S(x, y, λ). Tada za proizvoljno x, y ∈ X, x 6= y postoji λ ∈ (0, 1) tako da S(x, y, λ) 6∈ {x, y}. Dokaz. Pretpostavimo da za svako λ ∈ [0, 1] vazˇi da je S(x, y, λ) ∈ {x, y}. Iz (3.12) sledi da je M (x, y, t) = 1L za svako t > 0 sˇto znacˇi da je x = y.  Definicija 3.2.8. L -fazi metricˇki prostor (X,M ,T ) poseduje normalnu strukturu ako za svaki zatvoreni, LF-ogranicˇeni i konveksan skup Y ⊂ X, koji se sastoji od 53 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA najmanje dve razlicˇite tacˇke, postoji nedijametralna tacˇka x ∈ Y , tj. postoji t0 > 0 tako da vazˇi: inf y∈A sup ε< t0 M (x, y, ε) >L δA(t0). Kompaktni i konveksni skupovi u konveksnom metricˇkom prostoru poseduju normalnu strukturu [79]. Definicija 3.2.9. Neka je (X,M ,T ) konveksan L -fazi metricˇki prostor i Y ⊆ X. Zatvoren konveksni omotacˇ skupa Y, u oznaci conv(Y ), je presek svih zatvorenih konveksnih skupova koji sadrzˇe Y. KakoX pripada familiji zatvorenih konveksnih skupova, jasno je da skup conv(Y ) postoji. Iz Leme 3.2.2. sledi da je ovaj presek konveksan skup. Takod¯e, ovaj presek je zatvoren kao presek zatvorenih skupova. 3.2.1 Fiksne tacˇke neekspanzivnog preslikavanja na konvek- snom L -fazi metricˇkom prostoru S. Jesˇic´ je u radu [25] definisao neekspanzivnih preslikavanja na intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima. Definicija 3.2.10. [25] Neka je (X,MM,N ,T ) intuicionisticˇki fazi metricˇki prostor i f preslikavanje iz X u X. Kazˇemo da je f neekspanzivno preslikavanje ako (3.15) MM,N (fx, fy, t) ≥L∗ MM,N(x, y, t) vazˇi za svako x, y ∈ X i t > 0. Pojmom neekspanzivnih preslikavanja na intuicionisticˇkim fazi metricˇkim pros- torima bavili su se i A. Razani u radu [63] i C´iric´, Jesˇic´ i Ume u radu [12]. Med¯utim, u oba rada pojam neekspanzivnih preslikavanja je strozˇe definisan. U radu [63] ne- jednakost u uslovu (3.15) je stroga nejednakost za koju se zahteva da je ispunjena za sve t > 0 i x 6= y. U radu [12] zahteva se da za proizvoljne x 6= y postoji t > 0 tako da je ispunjena stroga nejednakost u uslovu (3.15). Klasa neekspanzivnih preslika- vanja definisanih u Definiciji 3.2.10. obuhvata preslikavanja koja su neekspanzivna u smislu definicija datih u radovima [63] i [12]. Preslikavanje f(x) = −x definisano na intuicionisticˇkom fazi metricˇkom prostoru (R,MM,N ,T ) indukovanom metrikom 54 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA |x − y|, razmatranom u Primeru 2.3.2. ne ispunjava ni jednu od definicija koje su razmatrane u pomenutim radovima. Ipak, mozˇemo zakljucˇiti da preslikavanje f(x) ima jedinstvenu fiksnu tacˇku x = 0 i ispunjava uslov (3.15). Pratec´i rad S. Jesˇic´a ([25]), uvodimo pojam neekspanzivnih preslikavanja na L -fazi metricˇke prostore. Definicija 3.2.11. Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor i f preslikavanje iz X u X. Kazˇemo da je f neekspanzivno preslikavanje ako (3.16) M (fx, fy, t) ≥L M (x, y, t) vazˇi za svako x, y ∈ X i t > 0. Lema 3.2.5. Neka je (X,M ,T ) striktno konveksan L -fazi metricˇki prostor sa konveksnom strukturom S(x, y, λ) za koju vazˇi (3.13) i neka je K ⊆ X neprazan, konveksan i kompaktan podskup od X. Tada K poseduje normalnu strukturu. Dokaz. Pretpostavimo da K ne poseduje normalnu strukturu. Tada postoji zatvoren, LF-ogranicˇen i konveksan podskup Y ⊂ K, koji sadrzˇi najmanje dve razlicˇite tacˇke i ne sadrzˇi nedijametralnu tacˇku, tj. inf y∈Y sup ε< t M (x, y, ε) = δY (t) za svako x ∈ Y. Kako je X striktno konveksan i uslov (3.13) je ispunjen, tada tvrd¯enja Leme 3.2.3. i Leme 3.2.4. vazˇe. Neka su x1 i x2 proizvoljne tacˇke iz Y . Iz tvrd¯enja Leme 3.2.4. sledi da postoji λ0 ∈ (0, 1) tako da je S(x1, x2, λ0) 6∈ {x1, x2}. Kako je Y konveksan skup, sledi da je S(x1, x2, λ0) ∈ Y. Y je zatvoren podskup kompaktnog skupa K, pa je Y takod¯e kompaktan. Kako je δY (t) = infy∈Y supε 0 postoji x3 ∈ Y tako da supε min {M (x3, x1, t) ,M (x3, x2, t)} = min {supε δY (t), sˇto je kontradikcija.  Lema 3.2.6. Neka je (X,M ,T ) konveksan L -fazi metricˇki prostor sa konveksnom strukturom S(x, y, λ) za koju vazˇi (3.13). Tada su zatvorene lopte B[x, r, t] konveksni skupovi. Dokaz. Neka su a, b ∈ B[x, r, t] proizvoljne tacˇke. Odavde sledi da M (a, x, t) ≥L N (r) i M (b, r, t) ≥L N (r) za svako t > 0. Dokazac´emo da M (S(a, b, λ), x, t) ≥L N (r) za svako t > 0, tj. S(a, b, λ) ∈ B[x, r, t]. Zaista, za λ ∈ (0, 1), iz (3.13) imamo da vazˇi M (S(a, b, λ), x, t) >L min {M (a, x, t) ,M (b, x, t)} ≥L min {N (r),N (r)} = N (r) Za λ = 0 ili λ = 1 sledi da S(a, b, 0) = b i S(a, b, 1) = a pripadaju B[x, r, t].  Lema 3.2.7. [Zornova lema.] Neka je X neprazan parcijalno ured¯en skup u kome svaki lanac ima donje (gornje) ogranicˇenje. Tada X ima minimalni (maksimalni) element. Ovde dajemo iskaz i dokaz teoreme o postojanju zajednicˇke fiksne tacˇke dva preslikavanja definisanih na striktno konveksnim L -fazi metricˇkim prostorima. Teorema 3.2.2. Neka je (X,M ,T ) striktno konveksan L -fazi metricˇki prostor sa trougaonom normom T za koju vazˇi (2.4), sa konveksnom strukturom S(x, y, λ) za koju vazˇi (3.13) i neka je K ⊆ X neprazan, konveksan i kompaktan podskup od X. Naka su f i g preslikavanja iz K u K, g(K) ∩ f(K) ⊆ K, takvi da je za sve x, y ∈ K, x 6= y i svako t > 0 ispunjen uslov (3.18) M (f(x), g(y), t) ≥L M (x, y, t), Tada preslikavanja f i g imaju najmanje jednu zajednicˇku fiksnu tacˇku na K. Dokaz. Posmatrajmo familiju Υ svih nepraznih, zatvorenih, konveksnih skupova Kα ⊆ K takvih da je g(Kα)∩ f(Kα) ⊆ Kα. Ova familija je neprazna, posˇto K ⊆ Υ Zaista, K je zatvoren zato sˇto je K kompaktan skup u Hausdorffovom prostoru i vazˇi da je g(K) ∩ f(K) ⊆ K. Ako uvedemo ured¯enje ove familije inkluzijom, 56 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA tada je (Υ,⊆) parcijalno ured¯en skup. Neka je {Kα : α ∈ Λ} proizvoljan lanac ove familije. Tada je skup ∩α∈ΛKα neprazan, zatvoren, konveksan podskup od K, i donje je ogranicˇenje ovog lanca. Zaista, pretpostavimo da je ∩α∈ΛKα = ∅. Tada iz Leme 3.2.1. sledi da postoji konacˇna podfamilija Kα1 ⊇ . . . ⊇ Kαn lanca {Kα : α ∈ Λ} koja ima neprazan presek, sˇto nije moguc´e posˇto je ovaj presek Kαn 6= ∅. Iz Zornove leme 3.2.7. sledi da postoji minimalni element K0 familije Υ za koji vazˇi da je g(K0)∩ f(K0) ⊆ K0 Dokazac´emo da K0 sadrzˇi jednu tacˇku a kako je g ∩ f : K0 → K0, to c´e znacˇiti da f i g imaju zajednicˇku fiksnu tacˇku. Pretpostavimo da K0 sadrzˇi najmanje dve razlicˇite tacˇke. Iz Leme 3.2.5. sledi da K poseduje normalnu strukturu. Iz Teoreme 3.2.1. sledi da je K0 LF-ogranicˇen skup. Kako je K0 zatvoren i konveksan skup sledi da postoji nedijametralna tacˇka x0 ∈ K0, tj. postoji t0 > 0 tako da vazˇi (3.19) inf y∈K0 sup ε< t0 M (x0, y, ε) >L δK0(t0). Oznacˇimo sa N (ξ) := inf y∈K0 sup ε< t0 M (x0, y, ε). Oznacˇimo sa K1 zatvoreni konveksni omotacˇ skupa g(K0) ∩ f(K0). Kako je g(K0) ∩ f(K0) ⊆ K0, vazˇi da je K1 = conv(g(K0) ∩ f(K0)) = conv(g(K0) ∩ f(K0)) ⊆ conv(K0) = K0 = K0. Dakle K1 ⊆ K0 i sledi da je g(K1) ∩ f(K1) ⊆ g(K0) ∩ f(K0) ⊆ conv(g(K0) ∩ f(K0)) = K1, tj. g(K1) ∩ f(K1) ⊆ K1. To znacˇi da K1 ∈ Υ, a kako je K0 minimalni element imamo da je K1 = K0. Kako vazˇi (3.19), tj. N (ξ) >L δK0(t0), definiˇsimo skupove C := ( ⋂ y∈K0 B[y, ξ, t0] )⋂ K0 i C1 := ( ⋂ y∈g(K0)∩f(K0) B[y, ξ, t] )⋂ K0. Skup C je neprazan posˇto x0 ∈ C. Zaista, iz nejednakosti (3.19) sledi da M (x0, y, t0) ≥L N (ξ). Iz prethodnog zakljucˇujemo da x0 pripada B[y, ξ, t0] za svako y ∈ K0. Imamo da x0 pripada C. Pokazac´emo da je C = C1. Kako je g(K0) ∩ f(K0) ⊆ K0, vazˇi da je C1 ⊇ C. Neka je z ∈ C1. Dokazac´emo da z ∈ C. Kako je z ∈ C1, za proizvoljno y ∈ g(K0)∩f(K0) vazˇi da M (y, z, t0) ≥L N (ξ), tj. y ∈ B[z, ξ, t0]. Kako je y proizvoljna 57 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA tacˇka iz g(K0) ∩ f(K0), sledi da je g(K0) ∩ f(K0) ⊆ B[z, ξ, t0]. Kako je B[z, ξ, t0] zatvoren konveksan skup koji sadrzˇi g(K0) ∩ f(K0), zakljucˇujemo da K1 = conv(g(K0) ∩ f(K0)) ⊆ B[z, ξ, t0] vazˇi. Kako je K0 = K1 sledi da K0 ⊆ B[z, ξ, t0]. Iz prethodnog sledi da za svako y ∈ K0 vazˇi da z ∈ B[y, ξ, t0], sˇto znacˇi da je C1 ⊆ C, tj. C = C1. Pokazac´emo da je C ∈ Υ. Skup C je zatvoren kao presek zatvorenih skupova. Iz lema 3.2.2. i 3.2.6. sledi da je C konveksan skup. Dokazˇimo da g(C)∩ f(C) ⊆ C. Neka z ∈ C i y ∈ g(K0)∩f(K0). Tada postoje tacˇke x1, x2 ∈ K0 tako da je y = f(x1) i y = g(x2). Iz uslova (3.18) sledi da je M (f(z), y, t0) = M (f(z), g(x2), t0) ≥L M (z, x2, t0) ≥L N (ξ), sˇto znacˇi da f(z) ∈ C1, a kako je C1 = C, imamo da je f(C) ⊆ C. S druge strane imamo da vazˇi M (g(z), y, t0) = M (g(z), f(x1), t0) ≥L M (z, x1, t0) ≥L N (ξ). Ovo znacˇi da g(z) ∈ C1. Kako je z proizvoljna tacˇka iz C, imamo da je g(C) ⊆ C1 i kako je C1 = C, imamo da je g(C) ⊆ C. Dakle, imamo da je g(C) ∩ f(C) ⊆ C. Kako je C ⊆ K0 i K0 minimalni element familije Υ sledi da je C = K0. Dakle, imamo da je δC(t0) ≥L N (ξ) >L δK0(t0). Ovo je kontradikcija sa C = K0, tj. pretpostavka da K0 sadrzˇi najmanje dve razlicˇite tacˇke je pogresˇna, sˇto znacˇi da K0 sadrzˇi samo jednu tacˇku koja je zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f i g.  Uzimajuc´i u Teoremi 3.2.2. da je g = f dobijamo da je f neekspanzivno preslika- vanje definisano na kompaktnom skupu L -fazi metricˇkog prostora, te vazˇi naredna teorema. Teorema 3.2.3. Neka je (X,M ,T ) striktno konveksan L -fazi metricˇki prostor sa konveksnom strukturom S(x, y, λ) za koju vazˇi (3.13) i neka je K ⊆ X neprazan, konveksan i kompaktan podskup od X. Neka je f neekspanzivno preslikavanje iz K u K. Tada f ima najmanje jednu fiksnu tacˇku na K. Ovde dajemo iskaz teoreme koja predstavlja direktnu posledicu Teoreme 3.2.3. na intuicionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima, koju je dokazao S. Jesˇic´ u radu [25]. Teorema 3.2.4. [25] Neka je (X,M,N, ∗,♦) striktno konveksan intuicionisticˇki 58 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA fazi metricˇki prostor sa konveksnom strukturom S(x, y, λ), koji ispunjava uslov MM,N(S(x, y, λ), z, t) >L∗ min{MM,N(z, x, t),MM,N (z, y, t)}. Neka je K ⊆ X neprazan, konveksan i kompaktan podskup od X. Tada svako neek- spanzivno preslikavanje f : K → K ima bar jednu fiksnu tacˇku na skupu K. 3.3 Fiksna tacˇka preslikavanja na Verovatnosnim Mengerovim prostorima sa nelinearnim kvazi-kontraktivnim uslovom Motivacija za ovaj deo rada dosˇla je iz rada [11] u kome je Lj. C´iric´ uveo linearan kvazi-kontraktivan uslov na verovatnosne Mengerove prostore i dokazao teoremu o fiksnoj tacˇki za preslikavanje f koje ispunjava takav linearan kvazi-kontraktivan uslov, definisano na f -orbitalno kompletnim verovatnosnim Mengerovim prostorima sa neprekidnom t-normom T koja ispunjava uslov T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1]. Znacˇajan broj autora bavio se postojanjem fiksne tacˇke za preslikavanja koja ispun- javaju linearan kvazi-kontraktivni uslov na metricˇkim i verovatnosnim metricˇkim prostorima ([10, 33, 61]). Khan, Swaleh i Sessa u radu [43] uvode koncept funkcija alternirajuc´ih rasto- janja, koje menjaju rastojanje izmed¯u dve tacˇke u metricˇkim prostorima. Objavljeno je nekoliko radova koji su se bavili postojanjem fiksne tacˇke preslikavanja definisanih na metricˇkim prostorima koja ispunjavaju uslove koji obuhvataju funkcije alterni- rajuc´ih rastojanja ([56, 68]). Nedavno su B.S. Choudhury i K. Das u [9] uveli pojam funkcija alterni- rajuc´ih rastojanja na verovatnosnim Mengerovim prostorima i dokazali su teoremu o postojanju fiksne tacˇke preslikavanja definisanog na verovatnosnim Mengerovim prostorima sa t-normom minimum, koja ispunjavaju nelinearan kontraktivni uslov koji obuhvata ovakve funkcije. D. Mihet¸ je u radu [52] prosˇirio rezultat iz rada [9] na verovatnosne Mengerove prostore sa neprekidnom t-normom i t-normom tipa Hadzˇic´. 59 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA U ovom delu rada uvodimo nelinearan uslov kvazi-kontraktivnog tipa koji obuh- vata funkcije alternirajuc´ih rastojanja za preslikavanja definisana na verovatnos- nim Mengerovim prostorima sa neprekidnom t-normom T koja ispunjava uslov T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1], i dokazujemo teoremu o postojanju fiksne tacˇke za preslikavanja koje ispunjavaju takav nelinearan kvazi-kontraktivan uslov. Rezul- tate prikazane u ovom delu rada autor je objavio u radu [5]. Definicija 3.3.1. [43] Funkcija h : [0,∞) → [0,∞) je funkcija alternirajuc´eg rastojanja ako vazˇi: (i) h je monotono rastuc´a i neprekidna funkcja i (ii) h(t) = 0 ako i samo ako t = 0. Choudhury i Das su u radu [9] 2008. godine prosˇirili ovaj koncept na verovat- nosne Mengerove prostore. Definicija 3.3.2. [9] Funkcija φ : [0,∞) → [0,∞) se naziva Φ-funkcija ako su ispunjeni naredni uslovi: (i) φ(t) = 0 ako i samo ako t = 0 ; (ii) φ je strogo rastuc´a i φ(t)→∞ kad t→∞ ; (iii) φ je neprekidna s leve strane na (0,∞); (iv) φ je neprekidna u 0. Klasu svih Φ-funkcija c´emo oznacˇavati sa Φ. Primer 3.3.1. [52] Svaka funkcija alternirajuc´eg rastojanja h koja ispunjava uslov limt→∞ h(t) = ∞ generiˇse Φ-funkciju φ sa φ(0) = 0 i φ(t) = sup{s : h(s) < t} za t > 0. Naredna lema imac´e vazˇnu ulogu u dokazu teoreme koja je glavni rezultat ovog dela rada. Lema 3.3.1. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom sleva t-normom T. Neka je φ : [0,∞) → [0,∞) Φ-funkcija. Tada vazˇi naredno tvrd¯enje: Ako za x, y ∈ X, 0 < c < 1, vazˇi Fx,y(φ(t)) ≥ Fx,y(φ(t/c)) za svako t > 0 60 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA tada je x = y. Dokaz. Iz cˇinjenice da je φ strogo rastuc´a, a kako je 0 < c < 1, indukcijom dobijamo da je Fx,y(φ(t)) ≥ Fx,y(φ(t/c)) ≥ · · · ≥ Fx,y(φ(t/c n)). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ imamo da je Fx,y(φ(t)) ≥ 1, tj. x = y.  Lema 3.3.2. Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor sa neprekid- nom t-norm T koja isunjava uslov T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1]. Tada za sve x, y, z ∈ X i svako t > 0 vazˇi (3.20) Fx,y(2t) ≥ min{Fx,z(t), Fy,z(t)}. Dokaz. Za svaku t-normu T koja ispunjava uslov T (a, a) ≥ a, za svako a, b ∈ [0, 1] vazˇi da je T (a, b) ≥ T (min{a, b},min{a, b}) ≥ min{a, b}. Iz prethodnog, osobine (V- 3) i cˇinjenice da je T neopadajuc´a funkcija zakljucˇujemo da za sve x, y, z ∈ X i za svako t > 0 vazˇi Fx,y(2t) ≥ min{Fx,z(t), Fy,z(t)}.  Teorema 3.3.1. [5] Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom t-normom T koja ispunjava uslov T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1]. Neka je φ Φ-funkcija i f preslikavanje iz X u X tako da za sve x, y ∈ X, svako t > 0 i neko 0 < c < 1 vazˇi uslov (3.21) Ffx,fy(φ(t)) ≥ min {Fx,y(φ(t/c)), Fx,fx(φ(t/c)), Fy,fy(φ(t/c)) Fx,fy(2φ(t/c)), Fy,fx(2φ(t/c))} . Tada f ima jedinstvenu fiksnu tacˇku u X. Dokaz. Najpre primetimo da za sve x, y ∈ X, svako t > 0 i neko 0 < c < 1, iz osobine t-norme, Leme 3.3.2. i uslova (3.21) sledi da vazˇe naredne nejednakosti. Ffx,fy(φ(t)) ≥ min {Fx,y(φ(t/c)), Fx,fx(φ(t/c)), Fy,fy(φ(t/c)), Fx,fy(2φ(t/c)), Fy,fx(2φ(t/c))} ≥ min {Fx,y(φ(t/c)), Fx,fx(φ(t/c)), Fy,fy(φ(t/c)), T (Fx,fx(φ(t/c)), Ffx,fy(φ(t/c))), T (Fy,fy(φ(t/c)), Ffy,fx(φ(t/c)))} 61 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA ≥ min {Fx,y(φ(t/c)), Fx,fx(φ(t/c)), Fy,fy(φ(t/c)), min{Fx,fx(φ(t/c)), Ffx,fy(φ(t/c))},min{Fy,fy(φ(t/c)), Ffy,fx(φ(t/c))}} Iz prethodnog sledi da vazˇi (3.22) Ffx,fy(φ(t)) ≥ min{Fx,y(φ(t/c)), Fx,fx(φ(t/c)), Fy,fy(φ(t/c)), Ffx,fy(φ(t/c))} za sve x, y ∈ X, svako t > 0 i neko 0 < c < 1. Dokazac´emo da vazˇi (3.23) Ffx,fy(φ(t)) ≥ min{Fx,y(φ(t/c)), Fx,fx(φ(t/c)), Fy,fy(φ(t/c))} za sve x, y ∈ X, svako t > 0 i neko 0 < c < 1. Ako pretpostavimo da je element Ffx,fy(φ(t/c)) minimum skupa sa desne strane nejednakosti (3.22), tada vazˇi da je Ffx,fy(φ(t)) ≥ Ffx,fy(φ(t/c)). Iz Leme 3.3.1. sledi da je fx = fy, tj. Ffx,fy(t) = 1 za svako t > 0, pa nejednakost (3.23) trivijalno vazˇi. Ako pretpostavimo da element Ffx,fy(φ(t/c)) nije minimum skupa sa desne strane nejednakosti (3.22), tada unutar skupu ostaju preostala tri elementa, tj. vazˇi nejednakost (3.23). Neka je x0 ∈ X proizvoljna tacˇka. Definiˇsimo niz xn = fxn−1. Pokazac´emo da je {xn} Cauchyev niz. Neka su t > 0, ε ∈ (0, 1) i 0 < c < 1 prozvoljno fiksirani. Iz osobina (i) i (iv) Φ-funkcija sledi da postoji r > 0 tako da je t > φ(r). Tada za n ∈ N imamo da vazˇi: Fxn,xn+1(t) ≥ Fxn,xn+1(φ(r)) = Ffxn−1,fxn(φ(r)) ≥ min{Fxn−1,xn(φ(r/c)), Fxn−1,fxn−1(φ(r/c)), Fxn,fxn(φ(r/c))} ≥ min{Fxn−1,xn(φ(r/c)), Fxn,xn+1(φ(r/c))}. Pokazac´emo da vazˇi da je (3.24) Fxn,xn+1(φ(r)) ≥ Fxn−1,xn(φ(r/c)). Ako pretpostavimo da je Fxn,xn+1(φ(r/c)) minimum skupa sa desne strane ne- jednakosti (3.24), tada iz Leme 3.3.1. sledi da je Fxn,xn+1(φ(r)) = 1 i prethodna nejednakost trivijalno vazˇi. 62 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Ako pretpostavimo da element Fxn,xn+1(φ(r/c)) nije minimum skupa sa desne strane nejednakosti (3.24), tada je minimum element Fxn−1,xn(φ(r/c)), te vazˇi ne- jednakost (3.24) Kako je φ strogo rastuc´a, imamo da vazˇi: Fxn,xn+1(t) ≥ Fxn−1,xn(φ(r/c) ≥ · · · ≥ Fx0,x1(φ(r/c n)), tj. (3.25) Fxn,xn+1(t) ≥ Fx0,x1(φ(r/c n)) za proizvoljno n ∈ N. Neka je m,n ∈ N, mozˇemo pretpostaviti da je m ≥ n bez umanjenja opsˇtosti. Primenjujuc´i Lemu 3.3.2., indukcijom dobijamo da je Fxn,xm((m− n)t) ≥ min{Fxn,xn+1(t), . . . Fxm−1,xm(t)}. Iz prethodnog i (3.25) dobijamo da je Fxn,xm((m− n)t) ≥ min{Fx0,x1(φ(r/c n)), . . . , Fx0,x1(φ(r/c m−1)). Iz cˇinjenice da je Fx0,x1 neopadajuc´a i da je Φ-funkcija strogo rastuc´a, minimum desne strane nejednakosti je Fx0,x1(φ(r/c n)), tj. Fxn,xm((m− n)t) ≥ Fx0,x1(φ(r/c n)). Kako je φ strogo rastuc´a i lim inf n→∞ φ(t) =∞, postoji n0 ∈ N tako da je Fx0,x1(φ(r/c n)) > 1− ε, za svako n ≥ n0. Iz prethodnog sledi da za svako m ≥ n ≥ n0 vazˇi (3.26) Fxn,xm((m− n)t) ≥ 1− ε. Kako su t > 0 i ε ∈ (0, 1) proizvoljni, imamo da je {xn} Cauchyev niz u kompletnom verovatnosnom Mengerovom prostoru, pa postoji tacˇka z ∈ X takva da je z = lim n→∞ xn. Pokazac´emo da je z fiksna tacˇka preslikavanja f. Iz osobina t-norme T i Φ-funkcije φ imamo da za sve x, y ∈ X, 0 < c < 1 i svako t > 0 postoji r > 0 za koje vazˇi t > φ(r) i Ffz,z(t) ≥ T (Ffz,xn(φ(r)), Fxn,z(t− φ(r))) ≥ min{Ffz,xn(φ(r)), Fxn,z(t− φ(r))}. 63 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Kako je z = lim n→∞ xn, za proizvoljno ε ∈ (0, 1) postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vazˇi Fxn,z(t− φ(r)) > 1− ε. Otuda sledi da je Ffz,z(t) ≥ min{Ffz,xn(φ(r)), 1− ε}. Kako je ε ∈ (0, 1) proizvoljno, imamo da je Ffz,z(t) ≥ Ffz,xn(φ(r)). Iz definicije niza {xn}, (3.22) i (3.26) imamo da vazˇi Ffz,z(t) ≥ Ffz,xn(φ(r)) = Ffz,fxn−1(φ(r)) ≥ min{Fz,xn−1(φ(r/c)), Fz,fz(φ(r/c)), Fxn−1,fxn−1(φ(r/c))} = min{Fz,xn−1(φ(r/c)), Fz,fz(φ(r/c)), Fxn−1,xn(φ(r/c))} ≥ min{1− ε, Fz,fz(φ(r/c)), 1− ε}. Kako je ε ∈ (0, 1) proizvoljno, imamo da vazˇi: Ffz,xn(φ(r)) ≥ Fz,fz(φ(r/c)). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ dobijamo da je Ffz,z(φ(r)) ≥ Fz,fz(φ(r/c)), i primenjujuc´i Lemu 3.3.1. imamo da je z = fz, tj. z je fiksna tacˇka preslikavanja f . Dokazˇimo da je z jedinstvena fiksna tacˇka od f . Neka je y ∈ X druga fiksna tacˇka od f , tj. f(y) = y. Za svako t > 0 postoji r > 0 tako da je t > φ(r) i iz (3.22) sledi da za 0 < c < 1 vazˇi Fz,y(t) ≥ Fz,y(φ(r)) = Ffz,fy(φ(r)) ≥ min{Fz,y(φ(r/c)), Fz,fz(φ(r/c)), Fy,fy(φ(r/c))} = min{Fz,y(φ(r/c)), Fz,z(φ(r/c)), Fy,y(φ(r/c))} = min{Fz,y(φ(r/c)), 1, 1} = Fz,y(φ(r/c)). 64 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Primenjujuc´i Lemu 3.3.1. dobijamo da je y = z, tj. z je jedinstvena fiksna tacˇka preslikavanja f.  Kao posledicu dobijamo naredni rezultat koji su dokazali Choudhury i Das u radu [9]. Posledica 3.3.1. [9] Neka je (X,F , TM) kompletan verovatnosni Mengerov pros- tor sa neprekidnom t-normom TM datom sa TM(a, b) = min{a, b} i neka je f neprekidno preslikavanje iz X u X tako da za svako x, y ∈ X, i svako t > 0 vazˇi uslov (3.27) Ffx,fy(φ(t)) ≥ Fx,y(φ(t/c)) gde je φ Φ-funkcija i 0 < c < 1. Tada f ima jedinstvenu fiksnu tacˇku. Dokaz. Jasno je da t-norma TM ispunjava uslov T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1]. Iz uslova (3.27) sledi da za sve x, y ∈ X, 0 < c < 1 i svako t > 0 vazˇi Ffx,fy(φ(t)) ≥ Fx,y(φ(t/c)) ≥ min {Fx,y(φ(t/c)), Fx,fx(φ(t/c)), Fy,fy(φ(t/c)), Fx,fy(2φ(t/c)), Fy,fx(2φ(t/c))} . Stoga zakljucˇujemo da su svi uslovi Teoreme 3.3.1. ispunjeni.  Primer 3.3.2. Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor in- dukovan metrikom d(x, y) = |x − y| na X = [0, 1] ⊂ R iz Primera 2.1.2.. Neka je φ(t) = t za svako t > 0, c = 1 2 i f(x) =   x 4 , x ∈ [ 0, 1 2 ) ∪ ( 1 2 , 1 ] 0, x = 1 2 . Primetimo da je φ Φ-funkcija. Dokazac´emo da je uslov (3.21) Teoreme 3.3.1. ispun- jen. Razmatrac´emo tri moguc´nosti. Ako je x, y ∈ [ 0, 1 2 ) ∪ ( 1 2 , 1 ] imamo da je Ffx,fy(φ(t)) = ε0 ( t− ∣∣∣x 4 − y 4 ∣∣∣) = ε0(4t− |x− y|) ≥ ε0(2t− |x− y|) = Fx,y(φ(2t)), pa je uslov (3.21) ispunjen. 65 GLAVA 3. FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Ako je x ∈ [ 0, 1 2 ) ∪ ( 1 2 , 1 ] i y = 1 2 imamo da je Ffx,fy(φ(t)) = ε0 ( t− ∣∣∣x 4 − 0 ∣∣∣) = ε0(4t− x) ≥ ε0(4t− 1) = ε0 ( 2t− ∣∣∣∣12 − 0 ∣∣∣∣ ) = ε0(2t− |y − fy|) = Fy,fy(φ(2t)), pa je uslov (3.21) takod¯e, ispunjen. Ako je x = y = 1 2 imamo da je Ffx,fy(φ(t)) = ε0(t− |0− 0|) = ε0 ( 2t− ∣∣∣∣12 − 12 ∣∣∣∣ ) = Fx,y(φ(2t)), pa je uslov (3.21) ispunjen i u ovo slucˇaju. Iz prethodnog zakljucˇujemo da je uslov (3.21) Teoreme 3.3.1. ispunjen, pa funkcija f(x) ima jedinstvenu fiksnu tacˇku. Lako se uocˇava da je ova tacˇka x = 0. Primetimo da za funkciju f(x) Posledica 3.3.1. nije odlucˇiva za slucˇaj kada je x ∈ [ 0, 1 2 ) ∪ ( 1 2 , 1 ] i y = 1 2 . Na osnovu prethodnog primera mozˇemo da zakljucˇimo da je rezultat prikazan u Teoremi 3.3.1. prosˇirenje rezultata prikazanog u Posledici 3.3.1. 66 Glava 4 Zajednicˇke fiksne tacˇke preslikavanja 4.1 Zajednicˇke fiksne tacˇke preslikavanja definisanih na verovatnosnim Mengerovim prostorima U ovom delu rada dokazac´emo teoremu o postojanju zajednicˇke fiksne tacˇke familije R-slabo komutativnih preslikavanja koja ispunjavaju nelinearan kontrak- tivni uslov na verovatnosnim Mengerovim prostorima. Takod¯e, pokazac´emo da su dva rezultata koja su dokazali O’Regan i Saadati u radu [57] posledica teoreme koja je glavni rezultat ovog dela rada. Rezultate prikazane u ovom delu rada autor je objavio u koautorskom radu [28]. Najpre dajemo definiciju R-slabo komutativnih preslikavanja u verovatnosnim Mengerovim prostorima. Definicija 4.1.1. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor i neka su f i g preslikavanja na skupu A ⊆ X. Preslikavanja f i g nazivamo R-slabo komutativnim ako postoji pozitivan realan broj R takav da je (4.1) Ff(g(x)),g(f(x))(Rt) ≥ Ff(x),g(x)(t) 67 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA za svako t > 0 i svako x ∈ A. Lema 4.1.1. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom sleva t-normom T. Neka je ϕ : (0,∞) → (0,∞) neprekidna, neopadajuc´a funkcija koja ispunjava ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada vazˇi naredno tvrd¯enje: Ako za x, y ∈ X vazˇi Fx,y(ϕ(t)) ≥ Fx,y(t) za svako t > 0 tada je x = y. Dokaz. Pretpostavimo da je Fx,y(ϕ(t)) ≥ Fx,y(t) i x 6= y. Iz ovog uslova, induk- cijom sledi da je Fx,y(ϕ n(t)) ≥ Fx,y(t). Uzimajuc´i lim inf kad n → ∞, dobijamo Fx,y(t) = 0 za svako t > 0, sˇto je kontradikcija sa (V-1) tj. x = y.  Teorema 4.1.1. [28] Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosnosni Mengerov pros- tor sa neprekidnom t-normom T. Neka su {gn}n∈N i f preslikavanja iz X u X, f neprekidna funkcija, gn(X) ⊆ f(X) za svako n ∈ N i neka su sva preslikavanja gn R-slabo komutativna sa f. Neka je ϕi,j : [0,+∞) → [0,+∞) familija preslikavanja takva da je za svaka dva preslikavanja gi i gj ispunjen uslov (4.2) F g mi i (x),g mj j (y) (ϕi,j(t)) ≥ Ff(x),f(y)(t) za neko mi ∈ N, za svako x, y ∈ X i svako t > 0, gde g mi i predstavlja mi-tu iteraciju funkcije gi. Neka je ϕ : [0,+∞) → [0,+∞) neopadajuc´a neprekidna funkcija takva da je ϕi,j(t) < ϕ(t) < t za sve i, j ∈ N i za svako t > 0. Ako postoji tacˇka u0 ∈ X i n0 ∈ N takva da je skup (4.3) S = {g mn0 n0 (un0−1), g mn0+1 n0+1 (un0), . . .}, gde je f(ui) = g mi i (ui−1), verovatnosno ogranicˇen, tada sva preslikavanja {g mi i }i∈N i f imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku u X. Takod¯e, a) ako je preslikavanje f neekspanzivno, tj. Ffx,fy(t) ≥ Fx,y(t) za svako t > 0 i za sve x, y ∈ X, tada jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja gmii i f je i jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f, gi i g mi i za svako i ∈ N; b) ako je mi = 1 za svako i ∈ N, tada pretpostavka da je f neekspanzivno preslikavanja nije potrebna, tj. tada sva preslikavanja f i {gi}i∈N imaju jedinstvanu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Dokaz. Najpre primetimo da su sva preslikavanja gmii neprekidna. Ova cˇinjenica sledi iz (4.2) i neprekidnosti funkcije f. Zaista, pretpostavimo da yn → y. Kako je f 68 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA neprekidna, sledi da f(yn) → f(y) tj. Ff(yn),f(y)(t) → 1 kad n → ∞. Primenjujuc´i (4.2) dobijamo da je Fgmii (yn),g mi i (y) (t) ≥ Fgmii (yn),g mi i (y) (ϕi,i(t)) ≥ Ff(yn),f(y)(t) → 1, tj. gmii je neprekidno preslikavanja za svako i ∈ N. Neka je x0 ∈ X proizvoljna tacˇka. Kako je gn(X) ⊆ f(X) za svako n ∈ N, sledi da postoji tacˇka x1 ∈ X takva da je g m1 1 (x0) = f(x1). Indukcijom mozˇemo odabrati niz {xn} tako da je g mn n (xn−1) = f(xn). Razmotrimo tacˇku u0 ∈ X i n0 ∈ N za koje znamo da je skup S = {g mn0 n0 (un0−1), g mn0+1 n0+1 (un0), . . .}, gde je f(ui) = g mi i (ui−1), verovatnosno ogranicˇen. Takod¯e, razmotrimo niz umetnutih nepraznih zatvorenih skupova definisanih sa Fn = {gmnn (un−1), g mn+1 n+1 (un), . . .} ( = {f(un), f(un+1), . . .} ) , n ≥ n0. Dokazac´emo da familija {Fn}n≥n0 ima verovatnosni dijametar nula. U tom smislu, neka su r ∈ (0, 1) i t > 0 proizvoljni. Neka je k ∈ N i k ≥ n0. Iz Fk ⊆ S sledi da je Fk verovatnosno ogranicˇen skup, tj. postoji t0 > 0 tako da vazˇi (4.4) Fx,y(t0) > 1− r za svako x, y ∈ Fk. Primenjujuc´i Lemu 3.1.1. sledi da postoji l ∈ N tako da vazˇi ϕl(t0) < t. Neka je n = l + k i x, y ∈ Fn proizvoljno. Tada postoje nizovi { g mn(i) n(i) (un(i)−1) } ,{ g mn(j) n(j) (un(j)−1) } u Fn (n(i), n(j) ≥ n, i, j ∈ N) tako da je lim i→∞ g mn(i) n(i) (un(i)−1) = x i lim j→∞ g mn(j) n(j) (un(j)−1) = y. Primenjujuc´i (4.2) dobijamo F g mn(i) n(i) (un(i)−1),g mn(j) n(j) (un(j)−1) (ϕ(t)) ≥ Ff(un(i)−1),f(un(j)−1)(t) = F g mn(i)−1 n(i)−1 (un(i)−2),g mn(j)−1 n(j)−1 (un(j)−2) (t). Indukcijom zakljucˇujemo da vazˇi naredna nejednakost. F g mn(i) n(i) (un(i)−1),g mn(j) n(j) (un(j)−1) (ϕl(t)) ≥ F g mn(i)−l n(i)−l (un(i)−l−1),g mn(j)−l n(j)−l (un(j)−l−1) (t). Kako je ϕl(t0) < t i funkcija Fx,y(·) je neopadajuc´a, iz prethodnog sledi da je 69 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA (4.5) F g mn(i) n(i) (un(i)−1),g mn(j) n(j) (un(j)−1) (t) ≥ F g mn(i) n(i) (un(i)−1),g mn(j) n(j) (un(j)−1) (ϕl(t0)) ≥ F g mn(i)−l n(i)−l (un(i)−l−1),g mn(j)−l n(j)−l (un(j)−l−1) (t0). Kako su {g mn(i)−l n(i)−l (un(i)−l−1)}, {g mn(j)−l n(j)−l (un(j)−l−1)} nizovi u Fk iz (4.4) i (4.5) sledi da, za svako i, j ∈ N, vazˇi F g mn(i) n(i) (un(i)−1),g mn(j) n(j) (un(j)−1) (t) > 1− r. Uzimajuc´i lim inf kad i, j →∞, i primenjujuc´i Lemu 2.1.3. dobijamo da je Fx,y(t) > 1− r za svako x, y ∈ Fn tj. familija {Fn}n≥n0 ima verovatnosni dijametar nula. Primenjujuc´i Lemu 2.1.5. i Teoremu 2.1.1. zakljucˇujemo da ova familija ima neprazan presek koji se sastoji od ta’cˇno jedno tacˇke z. Kako familija {Fn}n≥n0 ima verovatnosni dijametar nula i z ∈ Fn za svako n ≥ n0 tada za svako r ∈ (0, 1) i svako t > 0 postoji k0 ≥ n0 tako da za svako n ≥ k0 vazˇi Fgmnn (un−1),z(t) > 1− r. Iz prethodnog sledi da za svako r ∈ (0, 1) vazˇi lim inf n→∞ Fgmnn (un−1),z(t) > 1− r. Uzimajuc´i limes kad r → 0 dobijamo da vazˇi lim inf n→∞ Fgmnn (un−1),z(t) = 1 tj. lim n→∞ gmnn (un−1) = z. Iz definicije {f(un)} imamo da je lim n→∞ f(un) = z. Iz (4.2) i cˇinjenice da je Fx,y(·) neopadajuc´a za svako x, y ∈ X i ϕi,j ≤ ϕ sledi da za svako t > 0 i proizvoljno i ∈ N, vazˇi Fgmii (un),g mn n (un−1) (ϕ(t)) ≥ Fgmii (un),g mn n (un−1) (ϕi,n(t)) ≥ Ff(un),f(un−1)(t). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞, kako je gmii (i ∈ N) neprekidna, imamo da je F lim n→∞ g mi i (un),z (ϕ(t)) ≥ Fz,z(t) = 1, odakle sledi da za svako i ∈ N vazˇi (4.6) lim n→∞ gmii (un) = z. 70 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Kako su f i gmii R-slabo komutativne, imamo da vazˇi Ff(gmii (un)),g mi i (f(un)) (t) ≥ Ff(un),gmii (un) ( t R ) . Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ iz (4.6) i prethodne nejednakosti sledi da vazˇi Ff(z),gmii (z)(t) ≥ Fz,z ( t R ) = 1 tj. za svako i ∈ N ispunjeno je (4.7) gmii (z) = f(z). Dokazac´emo da je f(z) = z. Iz (4.2) sledi da je Fgmii (f(un)),g mi i (un) (ϕ(t)) ≥ Fgmii (f(un)),g mi i (un) (ϕi,i(t)) ≥ Ff(f(un)),f(un)(t). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ imamo da vazˇi Ff(z),z(ϕ(t)) ≥ Ff(z),z(t). Primenjujuc´i Lemu 4.1.1. dobijamo da je f(z) = z, tj. z je fiksna tacˇka preslikavanja f. Iz (4.7) sledi da je gmii (z) = z tj. z je zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f i gmii za svako i ∈ N. Pokazac´emo da je z jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f i gmii za svako i ∈ N. Neka je y druga zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f i gmii za svako i ∈ N. Za svako t > 0 imamo da vazˇi Fz,y(ϕ(t)) = Fgmii (z),g mi i (y) (ϕ(t)) ≥ Fgmii (z),g mi i (y) (ϕi,i(t)) ≥ Ff(z),f(y)(t) = Fz,y(t). Primenjujuc´i Lemu 4.1.1. dobijamo da je z = y, tj. preslikavanja f i gmii , za svako i ∈ N, imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. a) Pretpostavimo sada da je funkcija f neekspanzivna, tj. Ffx,fy(t) ≥ Fx,y(t) za svako t > 0 i sve x, y ∈ X. Primetimo da je gi(z) = gi(g mi i (z)) = g mi i (gi(z)). 71 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Dokazac´emo da je gi(z) = z. Iz (4.2) i neekspanzivnost funkcije f sledi da je Fgi(z),z(ϕ(t)) = Fgmii (gi(z)),g mi i (z) (ϕ(t)) ≥ Fgmii (gi(z)),g mi i (z) (ϕi,i(t)) ≥ Ff(gi(z)),f(z)(t) ≥ Fgi(z),z(t). Primenjujuc´i Lemu 4.1.1. dobijamo da je gi(z) = z, tj. z je zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f, gmii i gi za svako i ∈ N. Pokazˇimo sada da je z jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja {gmii }i∈N, {gi}i∈N i f. Dovoljno je da pokazˇemo da je z jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka pres- likavanja f i gi za svako i ∈ N. Neka je y druga zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f i gi za svako i ∈ N. Za svako t > 0 imamo da vazˇi Fz,y(ϕ(t)) = Fgi(z),gi(y)(ϕ(t)) = Fgmii (gi(z)),g mi i (gi(y)) (ϕ(t)) ≥ Fgmii (gi(z)),g mi i (gi(y)) (ϕi,i(t)) ≥ Ff(gi(z)),f(gi(y))(t) = Fz,y(t). Primenjujuc´i Lemu 4.1.1. dobijamo da je z = y jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f i gi za svako i ∈ N, a vec´ smo pokazali da je z jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja f i gmii , za svako i ∈ N. b) Za mi = 1 za svako i ∈ N imamo da je g mi i = gi. Tada ovo tvrd¯enje sledi direktno iz prvog dela Teoreme. Primetimo, da bismo dokazali da preslikavanja {gmii }i∈N i f imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku nismo koristili pretpostavku da je f neekspanzivna funkcija.  O’Regan i Saadati su 2008. godine u radu [28] dokazali dve teoreme o pos- tojanju zajednicˇke fiksne tacˇke preslikavanja na verovatnosnim Mengerovim pros- torima koja ispunjavaju nelineani kontraktivni uslov. Pokazac´emo da su ova dva tvrd¯enja posledica Teoreme 4.1.1. Lema 4.1.2. [22] Neka funkcija φ ispunjava uslov (φ) φ : [0,+∞)→ [0,+∞) je neopadajuc´a i ∑∞ n=1 φ n(t) <∞ za svako t > 0, gde φn(t) oznacˇava n-tu iteraciju funkcije φ(t). 72 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Tada je φ(t) < t za svako t > 0. Posledica 4.1.1. [57] Neka je {An} niz preslikavanja Ai u kompletnom verovatnos- nom Mengerovom prostoru (X,F , T ) sa neprekidnom t-normom T na isti prostor, tako da je za svaka dva preslikavanja Ai, Aj uspunjen uslov FAmi (x),Amj (y)(φi,j(t)) ≥ Fx,y(t) za neko m i x, y ∈ X, za svako t > 0; ovde su φi,j : [0,+∞) → [0,+∞) funkcije takve da je φi,j(t) ≤ φ(t) za i, j = 1, 2, . . . i t > 0 i funkcija φ : [0,+∞)→ [0,+∞) je ”na”, strogo rastuc´a i ispunjava uslov (φ). Takod¯e, pretpostavimo da postoji x0 ∈ X tako da je (4.8) EF (x0, A m 1 x0) = sup{Eγ,F (x0, A m 1 x0) : γ ∈ (0, 1)} <∞, gde je Eγ,F (x, y) = inf{t > 0 : Fx,y(t) > 1 − γ}. Tada niz preslikavanja {An} ima jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku u X. Dokaz. Kako su sve strogo rastuc´e i ”na” funkcije neprekidne, uzimajuc´i da je ϕ = φ iz Leme 4.1.2. vidimo da su svi uslovi Teoreme 4.1.1. za preslikavanje ϕ ispun- jeni. Takod¯e, uzimajuc´i da je f = id identicˇko preslikavanje koje je neekspanzivno, imamo da su gmi (za mi = m za svako i ∈ N) R-slabo komutativni sa f, posˇto su komutativni sa f i sva komutativna preslikavanja su i R-slabo komutativna. Josˇ ostaje da pokazˇemo da je skup S verovatnosno ogranicˇen. Uzimajuc´i da je gi = Ai, i u0 = x0, iz (4.8) sledi da postoji t0 > 0 tako da je (4.9) Fgm1 (u0),u0(t0) > 1− µ for all µ ∈ (0, 1). Dokazac´emo da je uslov Leme 2.1.4. ispunjen, tj. da za proizvoljno λ0 ∈ (0, 1) postoji t0 > 0 tako da je (4.10) Fp,q(t0) > 1− λ0 for all p, q ∈ S. Neka je λ0 ∈ (0, 1) proizvoljno. Iz (4.2) i (4.9) sledi da vazˇe naredne nejednakosti: Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2)(t0) ≥ Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2)(ϕ(t0)) ≥ Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2)(ϕi,i−1(t0)) ≥ Fui−1,ui−2(t0) 73 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA = Fgmi−1(ui−2),gmi−2(ui−3)(t0) ≥ . . . ≥ Fgm2 (u1),gm1 (u0)(t0) ≥ Fgm2 (u1),gm1 (u0)(ϕ(t0)) ≥ Fgm2 (u1),gm1 (u0)(ϕ2,1(t0)) ≥ Fgm1 (u0),u0(t0) > 1− µ, za svako µ ∈ (0, 1). Pokazali smo da za t0 iz (4.9) i za svako µ ∈ (0, 1) vazˇi (4.11) Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2)(t0) > 1− µ. Pretpostavimo sada da je i > j bez umanjenja opsˇtosti. Za proizvoljno µ ∈ (0, 1) i proizvoljno i ∈ N, iz (4.11), a kako je funkcija raspodele Fp,q neprekidna sleva, postoji ε > 0 tako da je Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2)(t0 − ε) ≥ 1− µ. Kako funkcija ϕ ispunjava uslov (φ), iz Leme 4.1.2. sledi da postoji n0 ∈ N tako da za svako i > j ≥ n0 vazˇi ∑i−1 k=j ϕ k(t0) < ∑∞ k=j ϕ k(t0) < ε. Sledi da (4.12) Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2) ( t0 − i−1∑ k=j ϕk(t0) ) ≥ Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2)(t0 − ε) ≥ 1− µ vazˇi za svako i > j ≥ n0 i svako µ ∈ (0, 1). Dokazˇimo da vazˇi Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2)(ϕ i−1(t0)) ≥ Fu0,u1(t0). Zaista, iz (4.2) sledi da naredne nejednakosti vazˇe za svako t > 0 : Fgm1 (u0),gm2 (u1)(ϕ(t)) ≥ Fgm1 (u0),gm2 (u1)(ϕ1,2(t)) ≥ Fu0,u1(t) i Fgm2 (u1),gm3 (u2)(ϕ 2(t)) ≥ Fgm2 (u1),gm3 (u2)(ϕ2,3(ϕ(t))) ≥ Fu1,u2(ϕ(t)) ≥ Fu0,u1(t). Indukcijom dobijamo da vazˇi Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2)(ϕ i−1(t)) ≥ Fu0,gm1 (u0)(t) za svako t > 0. Iz prethodne nejednakosti, (4.9) i (4.12) sledi da naredne nejednakosti vazˇe za svako i > j ≥ n0 i svako µ ∈ (0, 1) : Fgmi (ui−1),gmj (uj−1)(t0) ≥ T ( Fgmi (ui−1),gmi−1(ui−2) ( ϕi−1(t0) ) , Fgmi−1(ui−2),gmj (uj−1) ( t0 − ϕ i−1(t0) )) 74 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA ≥ T 2 ( Fu0,gm1 (u0)(t0), Fgmi−1(ui−2),gmi−2(ui−3) ( ϕi−2(t0) ) , Fgmi−2(ui−3),gmj (uj−1) ( t0 − ϕ i−1(t0)− ϕ i−2(t0) )) ≥ . . . ≥ T i−j ( 1− µ, . . . , 1− µ, Fgmj−1(uj−2),gmj (uj−1) ( t0 − i−1∑ k=j ϕk(t0) )) ≥ T i−j ( 1− µ, . . . , 1− µ, Fgmj−1(uj−2),gmj (uj−1) (t0 − ε) ) ≥ T i−j (1− µ, . . . , 1− µ) . Dokazali smo da za t0 iz (4.9), za svako µ ∈ (0, 1) i svako i, j ∈ N, i > j ≥ n0 vazˇi (4.13) Fgmi (ui−1),gmj (uj−1)(t0) ≥ T i−j (1− µ, . . . , 1− µ) . Zbog neprekidnosti t-norme T sledi da za prozvoljno λ0 ∈ (0, 1) i proizvoljno n = i− j ∈ N postoji µ ∈ (0, 1) tako da vazˇi T n(1− µ, . . . , 1− µ︸ ︷︷ ︸ n+1 ) > 1− λ0. Konacˇno, kako nejednakost (4.13) vazˇi za svako µ ∈ (0, 1) imamo da vazˇi Fgmi (ui−1),gmj (uj−1)(t0) > 1− λ0. Dakle, dokazali smo da je uslov Leme 2.1.4. ispunjen, tj. skup S je verovatnosno ogranicˇen.  Posledica 4.1.2. [57] Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom t-normom T i neka su f, g : X → X preslikavanja koja ispunjavaju uslove: (a) g(X) ⊆ f(X); (b) f je neprekidna; (c) Fg(x),g(y)(φ(t)) ≥ Ff(x),f(y)(t) za svako x, y ∈ X gde je funkcija φ : [0,+∞)→ [0,+∞)”na”, strogo rastuc´a, i ispunjava uslov (φ). Uz to, pretpostavimo da postoji tacˇka x0 ∈ X za koju je ispunjeno (4.14) EF (f(x0), g(x0)) = sup{Eγ,F (f(x0), g(x0)) : γ ∈ (0, 1)} <∞. 75 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Tada preslikavanja f i g imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku ukoliko f i g komutiraju. Dokaz. Uzmimo u Teoremi 4.1.1. da jemi = 1, gi = g, ϕ = ϕi,j = φ za svako i, j ∈ N i u0 = x0. Kao u prethodnoj posledici zakljucˇujemoda su svi uslovi Teoreme 4.1.1. ispunjeni. Ostaje da pokazˇemo da je skup definisan u (4.3) verovatnosno ogranicˇen. U ovom slucˇaju skup S = {g(u0), g(u1), . . . , g(un), . . .} = {f(u1), f(u2), . . .}. Iz (4.14) sledi da postoji t0 > 0 tako da vazˇi Ff(u0),f(u1)(t0) > 1− λ za svako λ ∈ (0, 1) i nastavljamo dokaz kao u dokazu prethodne posledice.  Primer 4.1.1. [28] Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor indukovan metrikom d(x, y) = |x− y| na X = [0,+∞) ⊂ R datom u Primeru 2.1.2. Neka je f(x) = 2x, gn(x) = x n+ x , gn(X) = [0, 1) ⊂ X = f(X) i ϕn,k(t) = ϕ(t) = { t/(1 + t), 0 < t ≤ 1, t/2, t ≥ 1. Dokazac´emo da su za mi = 1 (i ∈ N) svi uslovi Teoreme 4.1.1. ispunjeni. Kako je gn(f(x)) = 2x n+2x i f(gn(x)) = 2x n+x zakljucˇujemo da funkcije f(x) i gn(x) nisu komutativne, vec´ su R-slabo komutativne za R = 1. Zaista, kako je 2x 2 (n+x)(n+2x) ≤ 2nx+2x 2−x n+x za svako n ∈ N i svako x ≥ 0 imamo da je Ff(gn(x)),gn(f(x))(t) = ε0 ( t− 2x2 (n+ x)(n+ 2x) ) ≥ ε0 ( t− 2nx+ 2x2 − x n+ x ) = Ff(x),gn(x)(t) tj. za R = 1 uslov (4.1) je ispunjen. Pokazac´emo da je uslov (4.2) takod¯e ispunjen. Primetimo da je kx−ny (n+x)(k+y) ≤ |x− y|, za svako n, k ∈ N i x, y ≥ 0. Razmotric´emo dve moguc´nosti. Ako je 0 < t ≤ 1 iz 1 + t ≤ 2 imamo da vazˇi Fgn(x),gk(y) ( t 1 + t ) = ε0 ( t 1 + t − kx− ny (n+ x)(k + y) ) 76 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA ≥ ε0 ( t 2 − |x− y| ) = ε0 (t− 2|x− y|) = Ff(x),f(y)(t). Ako je t ≥ 1 imamo da vazˇi Fgn(x),gk(y) ( t 2 ) = ε0 ( t 2 − kx− ny (n+ x)(k + y) ) ≥ ε0 ( t 2 − |x− y| ) = ε0 (t− 2|x− y|) = Ff(x),f(y)(t). Kako ϕn,k = ϕ ispunjava sve uslove Teoreme 4.1.1. imamo da preslikavanja f(x) i gn(x), n ∈ N imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Jasno je da je ova tacˇka x = 0. Razmotrimo josˇ jednu, direktnu, posledicu Teoreme 4.1.1. Posledica 4.1.3. Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom t-normom T i neka su f i g R-slabo komutativna preslikavanja iz X u X, f neprekidna funkcija, g(X) verovatnosno ogranicˇen skup i g(X) ⊆ f(X), tako da je ispunjen uslov (4.15) Fg(x),g(y)(ϕ(t)) ≥ Ff(x),f(y)(t) za neku neprekidnu, neopadajuc´u funkciju ϕ : (0,∞) → (0,∞), za koju vazˇi da je ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada f i g imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Dokaz. Uzmimo u Teoremi 4.1.1. da je mi = 1, g = gn i ϕi,j = ϕ za svako i, j, n ∈ N. Iz verovatnosne ogranicˇenosti g(X) sledi da je skup S iz (4.3) verovatnosno ogranicˇen za svako u0 ∈ X. Dakle, ispunjeni su svi uslovi Teoreme 4.1.1.  Tvrd¯enje Teoreme 3.1.1. koja je objavljena u koautorskom radu [26] na intu- icionisticˇkim fazi metricˇkim prostorima, iskazac´emo na verovatnosnim Mengerovim prostorima. Dokaz narednog tvrd¯enja je slicˇan dokazu Teoreme 3.1.2. uz izvesne modifikacije odred¯ene strukturom verovatnosnih Mengerovih prostora. Teorema 4.1.2. Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom t-normom T i neka su f i g R-slabo komutativna preslikavanja iz X u X, g neprekidna funkcija, g(X) verovatnosno ogranicˇen skup i g(X) ⊆ f(X), tako da je ispunjen uslov (4.16) Fg(x),g(y)(ϕ(t)) ≥ Ff(x),f(y)(t) 77 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA za neku neprekidnu, neopadajuc´u funkciju ϕ : (0,∞)→ (0,∞), za koju vazˇi ϕ(t) < t za svako t > 0. Tada f i g imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Napomena 4.1.1. Tvrd¯enje Posledice 4.1.3. Teoreme 4.1.1. takod¯e mozˇemo dobiti i kao posledicu Teoreme 4.1.2. Naime, iz neprekidnosti funkcije f i uslova (4.15) sledi neprekidnost funkcije g. Primer 4.1.2. Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor induko- van metrikom d(x, y) = |x− y| na X = [0,+∞) ⊂ R dat u Primeru 2.1.2. Jasno je da funkcije f(x) = 2x, g(x) = g1(x) = x 1+x i ϕ(t) iz Primera 4.1.1. ispunjavaju sve uslove Teoreme 4.1.2. 4.2 Zajednicˇke fiksne tacˇke cˇetiri preslikavanja na verovatnosnim Mengerovim prostorima Koncept kompatibilnih preslikavanja na metricˇkim prostorima, koji uopsˇtava komutativnost, uveo je G. Jungck 1986. godine u radu [31]. Na verovatnosnim Mengerovim prostorima ovaj koncept je preneo S.N. Mishra 1991. godine u radu [53]. B. Singh i S. Jain 2005. godine u radu [76] uvode klasu slabo kompatibil- nih preslikavanja na verovatnosnim Mengerovim prostorima, koja je sˇira od klase kompatibilnih preslikavanja. Definicija 4.2.1. [53] Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor i S i R preslikavanja iz X u X. Kazˇemo da su preslikavanja S i R kompatibilna ako je (4.17) lim inf n→∞ FSRxn,RSxn(t) = 1 za svako t > 0, ispunjeno za svaki niz (xn)n∈N u X za koji vazˇi: lim n→∞ Sxn = lim n→∞ Rxn = z ∈ X. Definicija 4.2.2. [76] Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor i S i R preslikavanja iz X u X. Kazˇemo da su preslikavanja S i R slabo kompatiblna ako je ispunjeno SRz = RSz kad god je z ∈ X takvo da je Sz = Rz. Jasno je da je klasa kompatibilnih preslikavanja sˇira od klase komutativnih pres- likavanja. Zaista, svaki par komutativnih preslikavanja je takod¯e kompatibilan, dok 78 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA obrnuto nije tacˇno. Takod¯e, vazˇi i naredno tvrd¯enje. Lema 4.2.1. [76] Svaki par kompatibilnih preslikavanja na verovatnosnom Menger- ovom prostoru (X,F , T ) je slabo kompatibilan. Dokaz. Pretpostavimo da su preslikavanja S i R kompatibilna na X. Neka je Sz = Rz, za neko z ∈ X. Razmotrimo konstantan niz {zn}n∈N = z. Vazˇi da je lim n→∞ Szn = Sz i lim n→∞ Rzn = Rz. Kako su S i R kompatibilna preslikavanja imamo da vazˇi FSRz,RSz(t) = 1 za svako t > 0, odnosno SRz = RSz, sˇto znacˇi da su preslikavanja S i R slabo kompatibilna.  Da obrnuto ne vazˇi pokazuje naredni primer. Primer 4.2.1. [76] Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor indukovan metrikom d(x, y) = |x− y| na X = [0, 2] iz Primera 2.1.2. Neka su Ax = { 2− x, 0 ≤ x < 1 2, 1 ≤ x ≤ 2 , Sx = { x, 0 ≤ x < 1 2, 1 ≤ x ≤ 2 Za niz xn = 1 − 1 n imamo da je lim inf n→∞ FAxn,1(t) = H(t) = 1. Dakle, lim n→∞ Axn = 1. Na slicˇan nacˇin dobijamo da je lim n→∞ Sxn = 1. Takod¯e, imamo da vazˇi lim inf n→∞ FASxn,SAxn(t) = H(t − 1) 6= 1, za svako t > 0, te preslikavanja A i S nisu kompatibilna. S druge strane, skup tacˇaka koincidencije je [1, 2], tj. za svako x ∈ [1, 2] imamo da je Ax = Sx = 2 i ASX = A(2) = 2 = S(2) = SAx. Dakle, preslikavanja A i S su slabo kompatibilna. Napomena 4.2.1. Neka su S i R kompatibilna preslikavanja na verovatnosnom Mengerovom prostoru (X,F , T ). Tada vazˇi: Ako za neko z ∈ X vazˇi Sz = Rz tada SRz = RSz. Dokaz. Ovo sledi direktno iz Definicije 4.2.1. uzimajuc´i da je xn = z za svako n ∈ N za neku tacˇku z ∈ X.  Lema 4.2.2. Neka je (X,F , T ) verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom t-normom T . Neka su S i R kompatibilna preslikavanja na X i neka Sxn i Rxn konvergiraju ka nekoj tacˇki z ∈ X za niz {xn}n∈N u X. Ako je S neprekidno pres- 79 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA likavanje, tada je lim n→∞ RSxn = Sz. Dokaz. Neka su µ ∈ (0, 1) i t > 0 proizvoljni. Kako je T neprekidna t-norma, za svako µ ∈ (0, 1) postoji λ ∈ (0, 1) tako da vazˇi da je T (1− λ, 1− λ) > 1− µ. Kako su S i R kompatibilni, dobijamo sa vazˇi FRSxn,SRxn ( t 2 ) > 1−λ. Takod¯e, Sxn i Rxn konvergiraju ka z, te je FRxn,z ( t 2 ) > 1−λ i FSxn,z ( t 2 ) > 1−λ. Iz neprekidnosti preslikavanja S sledi da vazˇi FRSxn,Sz(t) ≥ T ( FRSxn,SRxn ( t 2 ) , FSRxn,Sz ( t 2 )) ≥ T (1− λ, 1− λ) > 1− µ. Uzimajuc´i da µ→ 0 dobijamo da je lim n→∞ FRSxn,Sz(t) = 1, tj. lim n→∞ RSxn = Sz.  Naredna teorema o zajednicˇkoj fiksnoj tacˇki za kompatibilna preslikavanja sa nelinearnim kontraktivnim uslovom na L -fazi metricˇkim prostorima dokazana je od strane autora u koautorskom radu objavljenom 2009. godine. Teorema 4.2.1. [27] Neka je (X,M ,T ) L -fazi metricˇki prostor kompletan u odnosu na negaciju N koji ispunjava (2.2) sa neprekidnom trougaonom normom T . Neka su A,B, S i R preslikavanja iz X u X takva da su A(X) i B(X) L F- strogo ogranicˇeni skupovi i neka su ispunjeni uslovi: (a) A(X) ⊆ R(X), B(X) ⊆ S(X), (b) Jedno od preslikavanja A,B, S i R je neprekidno, (c) Par {A, S} je kompatibilan i par {B,R} je slabo kompatibilan, (d) Postoji neprekidna, neopadajuc´a funkcija ϕ : (0,∞) → (0,∞), koja ispunjava ϕ(t) < t za svako t > 0 i (4.18) M (Ax,By, ϕ(t)) ≥L M (Sx,Ry, t), za svako t > 0 i x, y ∈ X. 80 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Tada A,B, S i R imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Ovde c´e biti iskazano i dokazano analogno tvrd¯enje postojanju zajednicˇke fik- sne tacˇke za dva para kompatibilnih preslikavanja sa nelinearnim kontraktivnim uslovom na verovatnosnim Mengerovim prostorima. Dokaz prethodne teoreme je slicˇan dokazu narednog tvrd¯enja sa odgovarajuc´im modifikacijama koje zahteva struktura L -fazi metricˇkih prostora. Teorema 4.2.2. Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor sa neprekidnom t-normom T . Neka su A,B, S i R preslikavanja iz X u X takva da su A(X) i B(X) verovatnosno ogranicˇeni skupovi i neka su ispunjeni uslovi: (a) A(X) ⊆ R(X), B(X) ⊆ S(X), (b) Jedno od preslikavanja A,B, S i R je neprekidno, (c) Par {A, S} je kompatibilan i par {B,R} je slabo kompatibilan, (d) Postoji neprekidna, neopadajuc´a funkcija ϕ : (0,∞) → (0,∞), za koju vazˇi ϕ(t) < t za svako t > 0 i (4.19) FAx,By(ϕ(t)) ≥ FSx,Ry(t), za svako t > 0 i x, y ∈ X. Tada A,B, S i R imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Dokaz. Neka je x0 ∈ X proizvoljna tacˇka. Iz (a) sledi da postoji x1 ∈ X tako da je A(x0) = R(x1) i za ovakvu tacˇku x1 postoji x2 ∈ X tako da je B(x1) = S(x2). Indukcijom mozˇemo da konstruiˇsemo niz {zn}n∈N na sledec´i nacˇin: (4.20) { z2n−1 = Rx2n−1 = Ax2n−2 z2n = Sx2n = Bx2n−1 Posmatrajmo niz nepraznih, zatvorenih, umetnutih skupova definisanih sa Fn = {zn, zn+1, . . .}, n ∈ N. Pokazac´emo da familija {Fn}n∈N ima verovatnosni fazi dijametar nula. U tom smislu, neka su µ ∈ (0, 1) i t > 0 proizvoljni. Iz Fk ⊆ A(X) ∪ B(X) sledi da je Fk verovatnosno ogranicˇen skup za proizvoljno k ∈ N. To znacˇi da postoji t0 > 0 tako da je (4.21) Fx,y(t0) > 1− µ za svako x, y ∈ Fk. 81 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Iz limn→∞ ϕ n(t0) = 0 sledi da postojim ∈ N tako da je ϕ m(t0) < t. Neka je n = m+k i neka su x, y ∈ Fn proizvoljni. Postoje nizovi {zn(i)}, {zn(j)} iz Fn (n(i), n(j) ≥ n i, j ∈ N) tako da je limi→∞ zn(i) = x i limj→∞ zn(j) = y. I slucˇaj. Pretpostavimo da je n(i) ∈ 2N − 1 i n(j) ∈ 2N ili obrnuto za dovoljno velike i, j ∈ N tj. zn(i) = Axn(i)−1 i zn(j) = Bxn(j)−1. Iz (4.19) imamo da je Fzn(i),zn(j)(ϕ(t)) = FAxn(i)−1,Bxn(j)−1(ϕ(t)) ≥ FSxn(i)−1,Rxn(j)−1(t) = FAxn(i)−2,Bxn(j)−2(t) = Fzn(i)−1,zn(j)−1(t). Dakle, indukcijom imamo da je (4.22) Fzn(i),zn(j)(ϕ m(t)) ≥ Fzn(i)−m,zn(j)−m(t). Kako je ϕm(t0) < t i Fx,y(·) je neopadajuc´a funkcija, iz poslednjih nejednakosti sledi da je Fzn(i),zn(j)(t) ≥ Fzn(i),zn(j)(ϕ m(t0)) ≥ Fzn(i)−m,zn(j)−m(t0). Kako su {zn(i)−m}, {zn(j)−m} nizovi iz Fk, iz (4.21) sledi da je (4.23) Fzn(i)−m,zn(j)−m(t0) > 1− µ za svako i, j ∈ N, odnosno, vazˇi (4.24) Fzn(i),zn(j)(t) ≥ 1− µ, za n(i) ∈ 2N− 1, n(j) ∈ 2N, ili obrnuto. II slucˇaj. Neka su oba n(i) i n(j) iz skupa 2N − 1 i neka je n(l) ≥ n proizvoljan prirodan broj i n(l) ∈ 2N. Kako je t-norme T neprekidna, to postoji λ ∈ (0, 1) tako da je (4.25) T (1− λ, 1− λ) > 1− µ. Tada iz (4.24) sledi da vazˇi FAxn(j)−1,Bxn(l)−1(t) > 1− λ. Kako je funkcija raspodele neprekidna sleva, postoji ε > 0 tako da vazˇi FAxn(j)−1,Bxn(l)−1(t− ε) ≥ 1− λ. 82 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Iz limn→∞ ϕ n(t0) = 0 sledi da postoji m0 ∈ N tako da je ϕ m0(t0) < ε. Neka je n1 = max{m,m0}. Tada vazˇi FAxn(j)−1,Bxn(l)−1(t− ϕ n1(t0)) ≥ FAxn(j)−1,Bxn(l)−1(t− ε). Takod¯e, iz (4.24), ϕn1(t0) ≤ t i zbog cˇinjenice da je Fx,y(·) neopadajuc´a funkcija sledi da vazˇi FAxn(i)−1,Bxn(l)−1(t) ≥ FAxn(i)−1,Bxn(l)−1(ϕ n1(t0)) ≥ 1− λ. Iz prethodnog i iz (4.25) zakljucˇujemo da vazˇi Fzn(i),zn(j)(t) = FAxn(i)−1,Axn(j)−1(t) ≥ T ( FAxn(i)−1,Bxn(l)−1(ϕ n1(t0)), FAxn(j)−1,Bxn(l)−1(t− ϕ n1(t0)) ) ≥ T (1− λ, 1− λ) > 1− µ, odnosno, vazˇi (4.26) Fzn(i),zn(j)(t) ≥ 1− µ, za n(i), n(j) ∈ 2N− 1. Analogno dokazujemo nejednakost (4.26) u slucˇaju kada n(i), n(j) ∈ 2N. Konacˇno, iz (4.24) i (4.26) zakljucˇujemo da je ispunjeno Fzn(i),zn(j)(t) ≥ 1− µ za svako i, j ∈ N. Uzimajuc´i lim inf kad i, j →∞, i primenjujuc´i Lemu 2.1.3. dobi- jamo da je Fx,y(t) > 1− µ za svako x, y ∈ Fn tj. familija {Fn}n∈N ima verovatnosni dijametar nula. Primenjujuc´i Teoremu 2.1.1. zakljucˇujemo da ova familija ima neprazan presek, koji se sastoji od tacˇno jedne tacˇke z. Posˇto familija {Fn}n∈N ima verovatnosni dijametar nula i z ∈ Fn za svako n ∈ N tada za svako µ ∈ (0, 1) i svako t > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 vazˇi da je Fzn,z(t) > 1−µ. Odavde sledi da za svako µ ∈ (0, 1) vazˇi lim inf n→∞ Fzn,z(t) > 1− µ. Uzimajuc´i µ→ 0 dobijamo da je lim inf n→∞ Fzn,z(t) = 1 83 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA tj. limn→∞ zn = z. Iz definicije nizova {Ax2n−2}, {Sx2n}, {Bx2n−1} i {R2n−1} sledi da svaki od ovih nizova konvergira ka z. Dokazˇimo da je z zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja A,B, S i R. U tu svrhu pretpostavimo da je S neprekidna. Tada vazˇi da je lim n→∞ SSx2n = Sz. Iz kompatibil- nosti para {A, S} i Leme 4.2.2. sledi da je lim n→∞ ASx2n = Sz. Koristec´i uslov (4.19) dobijamo da vazˇi sledec´a nejednakost: FASx2n,Bx2n−1(ϕ(t)) ≥ FSSx2n,Rx2n−1(t). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ dobijamo FSz,z(ϕ(t)) ≥ FSz,z(t). Iz Leme 4.1.1. sledi da je Sz = z. Koristec´i uslov (4.19) ponovo dobijamo da je FAz,Bx2n−1(ϕ(t)) ≥ FSz,Rx2n−1(t) i uzimajuc´i lim inf kad n→∞ imamo FAz,z(ϕ(t)) ≥ FSz,z(t) = Fz,z(t) = 1, odnosno Az = z. Kako je A(X) ⊆ R(X), to postoji tacˇka u ∈ X takva da je z = Az = Ru i vazˇi Fz,Bu(ϕ(t)) = FAz,Bu(ϕ(t)) ≥ FSz,Ru(t) = Fz,z(t) = 1, sˇto znacˇi da je Bu = z. Iz slabe kompatibilnosti para {B,R} sledi da je Rz = RBu = BRu = Bz. Takod¯e, iz (4.19) sledi da je FAx2n,Bz(ϕ(t)) ≥ FSx2n,Rz(t). Uzimajuc´i lim inf kad n → ∞ i primenjujuc´i Lemu 4.1.1., dobijamo da je Bz = z. Stoga, z je zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja A,B, S i R. Ako je R neprekidna funkcija tada je dokaz analogan prethodnom. Sada pretpostavimo da je A neprekidna funkcija. Tada vazˇi FAAx2n,Az(t) > 1−µ. Iz kompatibilnosti {A, S} i Leme 4.2.2. sledi da je FSAx2n,Az(t) > 1 − µ. Koristec´i uslov (4.19) imamo da je FAAx2n,Bx2n−1(ϕ(t)) ≥ FSAx2n,Rx2n−1(t). 84 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ dobijamo da je FAz,z(ϕ(t)) ≥ FAz,z(t). Primenjujuc´i Lemu 4.1.1. dobijamo da je Az = z. Kako je A(X) ⊆ R(X), to postoji tacˇka v ∈ X takva da je z = Az = Rv. Iz FAz,Bv(ϕ(t)) sledi da vazˇi FAAx2n,Bv(ϕ(t)) ≥ FSAx2n,Rv(t). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ dobijamo Fz,Bv(ϕ(t)) = FAz,Bv(ϕ(t)) ≥ FAz,Rv(t) = Fz,z(t) = 1, sˇto znacˇi da je z = Bv. Kako su {B,R} slabo kompatibilni, dobijamo da je Rz = RBv = BRv = Bz. Takod¯e, koristec´i (4.19) dobijamo da je FAx2n,Bz(ϕ(t)) ≥ FSx2n,Rz(t). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ dobijamo Fz,Bz(ϕ(t) ≥ Fz,Rz(t) = Fz,Bz(t), odnosno, z = Bz = Rz. Kako je B(X) ⊆ S(X), to postoji tacˇka w ∈ X takva da je z = Bz = Sw. Iz (4.19) dobijamo FAw,z(ϕ(t)) = FAw,Bz(ϕ(t)) ≥ FSw,Rz(t) = FSw,Bz(t) = Fz,z(t) = 1, sˇto znacˇi da je Aw = z. Posˇto su {A, S} kompatibilni i z = Aw = Sw, iz Napomene 4.2.1. imamo da je Az = ASw = SAw = Sz. Stoga, z je zajednicˇka fiksna tacˇka za preslikavanja A,B, S i R. Ako je B neprekidna funkcija tada je dokaz analogan prethodnom. Pokazˇimo da je z jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka. U tom cilju pretpostavimo da postoji josˇ jedna zajednicˇka fiksna tacˇka y. Iz (4.19) sledi da je Fz,y(ϕ(t)) = FAz,By(ϕ(t)) ≥ FSz,Ry(t) = Fz,y(t). Konacˇno, iz Leme 4.1.1. sledi da je z = y.  Primer 4.2.2. Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor in- dukovan metrikom d(x, y) = |x − y| na X = [0,+∞) ⊂ R dat u primeru 2.1.2., tj. Fx,y(t) = H(t− |x− y|). Neka je Ax = x 1 + x , Sx = 2x, 85 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Bx = { x 1+x , x ∈ [0, 1] 0, x > 1 , Tx = { 2x, x ∈ [0, 1] 0, x > 1 i ϕ(t) = { t/(1 + t), t ∈ (0, 1] t/2, t ≥ 1 . Pokazac´emo da su ispunjeni svi uslovi Teoreme 4.2.2. Najpre primetimo da jeA(X) = [0, 1) ⊂ [0, 2] = R(X) i B(X) = [0, 1 2 ) ⊂ [0,+∞) = S(X). Skupovi A(X) i B(X) su metricˇki ogranicˇeni, pa su i verovatnosno ogranicˇeni kao podskupovi verovatnosnog Mengerovog prostora. Kako je ASx = 2x 1+2x i SAx = 2x 1+x zakljucˇujemo da A i S nisu komutativni. Pokazac´emo da su A i S kompatibilna preslikavanja. Primetimo da vazˇi FASx,SAx(t) = ε0 ( t− 2x2 (1 + 2x)(1 + x) ) i FAx,Sx(t) = ε0 ( t− 2x2 + x 1 + x ) Kako 2x 2 (1+x)(1+2x) ≤ x+2x 2 1+x vazˇi za svako x ≥ 0 imamo da je FASx,SAx(t) ≥ FSx,Ax(t) za sve x, t ≥ 0. Za niz {xn} u [0,+∞) takav da je lim n→∞ Axn = lim n→∞ Sxn = z, iz prethodne nejednakosti sledi da je lim inf n→∞ FASxn,SAxn(t) = 1. Pokazˇimo sada da su preslikavanja B i R slabo kompatibilna. Ako je Bz = Rz tada je z = 0 ili z > 1. U slucˇaju da je z = 0 imamo da je RB(0) = BR(0) = 0. S druge strane, ako je z > 1 tada je RB(z) = R(0) = 0 i BR(z) = B(0) = 0, tj. uslov RBz = BRz iz Definicije 4.2.2. je ispunjen. Dokazˇimo sada da je ispunjen i uslov (4.19). Primetimo da za sve x, y ∈ X vazˇi da je 1 (1+x)(1+y) ≤ 1. Razmotric´emo dva slucˇaja. I slucˇaj. Neka je 0 < t ≤ 1 i primetimo da je 1 + t ≤ 2. a) Za x, y ∈ [0, 1] imamo da je FAx,By(ϕ(t)) = H ( t 1 + t − |x− y| (1 + x)(1 + y) ) ≥ H ( t 2 − |x− y| ) ≥ H(t− 2|x− y|) = FSx,Ry(t). 86 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA b) Za x > 1 i y > 1 imamo da je FAx,By(ϕ(t)) = H ( t 1 + t − x (1 + x) ) ≥ H ( t 2 − x ) ≥ H(t− 2x) = FSx,Ry(t). c) Ako je x ∈ [0, 1] i y > 1 dokaz se svodi na slucˇaj pod b). Ako je x > 1 i y ∈ [0, 1] dokaz se svodi na slucˇaj pod a). II slucˇaj. Neka je t ≥ 1. d) Za x, y ∈ [0, 1] imamo da je FAx,By(ϕ(t)) = H ( t 2 − |x− y| (1 + x)(1 + y) ) ≥ H ( t 2 − |x− y| ) ≥ H(t− 2|x− y|) = FSx,Ry(t). e) Za x > 1 i y > 1 imamo da je FAx,By(ϕ(t)) = H ( t 2 − x (1 + x) ) ≥ H ( t 2 − x ) ≥ H(t− 2x) = FSx,Ry(t). f) Ako je x ∈ [0, 1] i y > 1 dokaz se svodi na slucˇja pod e). Ako je x > 1 i y ∈ [0, 1] dokaz se svodi na slucˇaj pod d). Iz prethodnog zakljucˇujemo da je uslov (4.19) ispunjen. Kako ϕ(t) ispunjava sve uslove Teoreme 4.2.2. imamo da sva cˇetiri preslikavanja imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Nije tesˇko videti da je to tacˇka x = 0. Dokazac´emo teoremu o postojanju fiksne tacˇke za dva para kompatibilnih pres- likavanja sa nelinearnim kontraktivnim uslovom koji obuhvata Φ-funkcije na verovat- nosnim Mengerovim prostorima sa t-normom min. Ovaj rezultat je samostalni rad autora objavljen u [6]. Teorema 4.2.3. [6] Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov pros- tor sa neprekidnom t-norm T koja isunjava uslov T (a, a) ≥ a za svako a ∈ [0, 1], neka su A,B, S i R preslikavanja iz X u X i postoji x0 ∈ X tako da su orbite 87 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA O(A, x0) = {A nx0, n ∈ N ∪ {0}} i O(B, x0) = {B nx0, n ∈ N ∪ {0}} verovatnosno ogranicˇeni skupovi. Neka su ispunjeni naredni uslovi: (a) A(X) ⊆ R(X), B(X) ⊆ S(X), (b) Jedno od preslikavanja A i S je neprekidno, (c) Par {A, S} je kompatibilan, {B,R} je slabo kompatibilan, (d) Postoji Φ-funkcija φ takva da je ispunjeno (4.27) FAx,By(φ(t)) ≥ FSx,Ry(φ(t/c)), za svako t > 0 i x, y ∈ X, i za neko c ∈ (0, 1). Tada preslikavanja A,B, S i R imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Dokaz. Iz (a) sledi da za svako x0 postoji x1 ∈ X tako da je A(x0) = R(x1) i za takvu tacˇku x1 postoji x2 ∈ X tako da je B(x1) = S(x2). Indukcijom mozˇemo konstruisati niz {zn}n∈N (4.28) { z2n−1 = Rx2n−1 = Ax2n−2 z2n = Sx2n = Bx2n−1 . Razmotrimo niz umetnutih, nepraznih, zatvorenih skupova definisanih sa Fn = {zn, zn+1, . . .}, n ∈ N. Dokazac´emo da familija {Fn}n∈N ima verovatnosni dijametar nula. Neka su λ ∈ (0, 1) i t > 0 proizvoljni. Iz Fk ⊆ O(A, x0) ∪ O(B, x0), sledi da je Fk verovatnosno ogranicˇen skup za proizvoljno k ∈ N. Neka su x, y ∈ Fk proizvoljni. Tada postoje nizovi {zn(i)}, {zn(j)} u Fk (n(i), n(j) ≥ n, i, j ∈ N) takvi da je lim i→∞ zn(i) = x i lim j→∞ zn(j) = y. I slucˇaj. Pretpostavimo da je n(i) ∈ 2N − 1 i n(j) ∈ 2N ili obrnuto, za dovoljno velike i, j ∈ N, tj. zn(i) = Axn(i)−1 i zn(j) = Bxn(j)−1. Kako je φ(0) = 0 i φ je neprekidna u 0, postoji r > 0 tako da je t > φ(r) > 0. Iz (4.27) i cˇinjenice da je F neopadajuc´a sledi da vazˇi Fzn(i),zn(j)(t) = FAxn(i)−1,Bxn(j)−1(t) ≥ FAxn(i)−1,Bxn(j)−1(φ(r)) ≥ FSxn(i)−1,Rxn(j)−1(φ(r/c)) = FAxn(j)−2,Bxn(i)−2(φ(r/c)) = Fzn(i)−1,zn(j)−1(φ(r/c)). 88 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Indukcijom, za m ∈ N, (m ≤ n(i),m ≤ n(j)) dobijamo da vazˇi Fzn(i),zn(j)(t) ≥ Fzn(i)−m,zn(j)−m(φ(r/c m)). Kako su {zn(i)−m}, {zn(j)−m} nizovi u Fk imamo da Fzn(i)−m,zn(j)−m(φ(r/c m)) ≥ δFk(φ(r/c m)) vazˇi. Kako je Fk verovatnosno ogranicˇen i φ je Φ-funkcija, pusˇtajuc´i da m → ∞ dobijamo Fzn(i),zn(j)(t) ≥ δFk(φ(r/c m))→ 1. Sledi da je (4.29) Fzn(i),zn(j)(t) > 1− λ, za n(i) ∈ 2N− 1, n(j) ∈ 2N, ili obrnuto. II slucˇaj. Pretpostavimo da su i n(i) i n(j) iz skupa 2N−1 i neka je n(l) ≥ k, n(l) ∈ N proizvoljan takav da je n(l) ∈ 2N. Analogno I slucˇaju, zamenjujuc´i t sa t 2 , mozˇemo pokazati da vazˇi FAxn(j)−1,Bxn(l)−1 (t/2) > 1− λ i FAxn(i)−1,Bxn(l)−1 (t/2) > 1− λ. Iz Leme 3.3.2. i prethodnog zakljucˇujemo da Fzn(i),zn(j)(t) = FAxn(i)−1,Axn(j)−1(t) ≥ min { FAxn(i)−1,Bxn(l)−1 (t/2) , FAxn(j)−1,Bxn(l)−1 (t/2) } ≥ min{1− λ, 1− λ} = 1− λ vazˇi, tj. (4.30) Fzn(i),zn(j)(t) ≥ 1− λ, for n(i), n(j) ∈ 2N− 1. Slicˇno mozˇemo da pokazˇemo da (4.30) vazˇi za n(i), n(j) ∈ 2N. Konacˇno, iz (4.29) i (4.30) zakljucˇujemo da Fzn(i),zn(j)(t) ≥ 1− λ vazˇi za svako i, j ∈ N. Uzimajuc´i lim inf kada i, j → ∞ i primenjujuc´i Lemu 2.1.3. imamo da je Fx,y(t) > 1−λ za sve x, y ∈ Fk. Iz Leme 2.1.5. sledi da familija skupova {Fn}n∈N ima verovatnosni dijametar nula. 89 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Primenjujuc´i Teoremu 2.1.1. zakljucˇujemo da ova familija ima neprazan presek koji se sastoji iz tacˇno jedne tacˇke z. Kako familija {Fn}n∈N ima verovatnosni di- jametar nula i z ∈ Fn za svako n ∈ N, tada za svako λ ∈ (0, 1) i za svako t > 0 postoji n0 ∈ N tako da za svako n ≥ n0 imamo da je Fzn,z(t) > 1 − λ. Odavde sledi da za svako λ ∈ (0, 1) vazˇi da je lim inf n→∞ Fzn,z(t) > 1 − λ. Uzimajuc´i da λ → 0 dobijamo da vazˇi lim inf n→∞ Fzn,z(t) = 1 tj. lim n→∞ zn = z. Iz definicije nizova {Ax2n−2}, {Sx2n}, {Bx2n−1} i {R2n−1} sledi da svaki od ovih nizova konvergira ka z. Pokazac´emo da je z zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja A,B, S i R. Najpre pretpostavimo da je S neprekidna funkcija. Tada imamo da je lim n→∞ SSx2n = Sz. Iz kompatibilnosti para {A, S} i iz Leme 4.2.2. sledi da je lim n→∞ ASx2n = Sz. Iz osobina funkcije φ sledi da postoji r > 0 takvo da je t > φ(r) > 0. Iz uslova (4.27) dobijamo da vazˇe naredne nejednakosti: FASx2n,Bx2n−1(t) ≥ FASx2n,Bx2n−1(φ(r)) ≥ FSSx2n,Rx2n−1(φ(r/c)). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ imamo da vazˇi FSz,z(φ(r)) ≥ FSz,z(φ(r/c)). Iz Leme 3.3.1. sledi da je Sz = z. Primenjujuc´i ponovo uslov (4.27) dobijamo da vazˇi FAz,Bx2n−1(t) ≥ FAz,Bx2n−1(φ(r)) ≥ FSz,Rx2n−1(φ(r/c)) i uzimajuc´i lim inf kad n→∞ dobijamo FAz,z(t) ≥ FSz,z(φ(r/c)) = Fz,z(φ(r/c)) = 1. Ovo znacˇi da je Az = z. Kako je A(X) ⊆ R(X), postoji tacˇka u ∈ X takva da je z = Az = Ru i imamo da je Fz,Bu(t) ≥ Fz,Bu(φ(r)) = FAz,Bu(φ(r)) ≥ FSz,Ru(φ(r/c)) = Fz,z(φ(r/c)) = 1, sˇto znacˇi da je Bu = z. Iz slabe kompatibilnosti para {B,R} sledi da je Rz = RBu = BRu = Bz. Takod¯e, iz (4.27) sledi da vazˇi FAx2n,Bz(t) ≥ FAx2n,Bz(φ(r)) ≥ FSx2n,Rz(φ(r/c)). 90 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Uzimajuc´i lim inf kada n → ∞ i iz Leme 3.3.1. imamo da je Bz = z. Dakle, z je zajednicˇka fiksna tacˇka preslikavanja A,B, S i R. Pretpostavimo sada da je A neprekidno preslikavanja. Tada imamo da vazˇi lim n→∞ AAx2n = Az. Iz kompatibilnosti para {A, S} i Leme 4.2.2. sledi da vazˇi da je lim n→∞ SAx2n = Az. Iz uslova (4.27) dobijamo da je FAAx2n,Bx2n−1(t) ≥ FAAx2n,Bx2n−1(φ(r)) ≥ FSAx2n,Rx2n−1(φ(r/c)). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ dobijamo da vazˇi FAz,z(φ(r)) ≥ FAz,z(φ(r/c)). Iz Leme 3.3.1. sledi da je Az = z. Kako je A(X) ⊆ R(X), postoji tacˇka v ∈ X takva da je z = Az = Rv. Iz (4.27) imamo da je FAAx2n,Bv(t) ≥ FAAx2n,Bv(φ(r)) ≥ FSAx2n,Rv(φ(r/c)). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ imamo da je FAz,Bv(t) ≥ FAz,Rv(φ(r/c)) = Fz,z(φ(r/c)) = 1, sˇto znazˇi da je z = Bv. Kako je par {B,R} slabo kompatibilan imamo da je Rz = RBv = BRv = Bz. Takod¯e, koristec´i uslov (4.27) dobijamo FAx2n,Bz(t) ≥ FAx2n,Bz(φ(r)) ≥ FSx2n,Rz(φ(r/c)). Uzimajuc´i lim inf kad n→∞ imamo da vazˇi Fz,Bz(φ(r)) ≥ Fz,Rz(φ(r/c)) = Fz,Bz(φ(r/c)). Ovo znacˇi da je z = Bz = Rz. Kako je B(X) ⊆ S(X), postoji tacˇka w ∈ X takva da je z = Bz = Sw. Iz (4.27) sledi da je FAw,z(t) ≥ FAw,z(φ(r)) = FAw,Bzφ(r)) ≥ FSw,Rz(φ(r/c)) = Fz,z(φ(r/c)) = 1, tj. Aw = z. Kakoje par {A, S} kompatibilan i z = Aw = Sw, iz Napomene 4.2.1. imamo da je Az = ASw = SAw = Sz. Dakle, z je zajednicˇka fiksna takˇa preslikavanja A,B, S i R. Dokazˇimo da je z jedinstvena zajednicˇka fiksna tacˇka. Pretpostavimo da postoji druga zajednicˇka fiksna tacˇka y. Iz uslova (4.27) sledi da vazˇi Fz,y(t) ≥ Fz,y(φ(r)) = FAz,By(φ(r)) ≥ FSz,Ry(φ(r/c)) = Fz,y(φ(r/c)). 91 GLAVA 4. ZAJEDNICˇKE FIKSNE TACˇKE PRESLIKAVANJA Konacˇno, iz Leme 3.3.1. sledi da je z = y.  Primer 4.2.3. Neka je (X,F , T ) kompletan verovatnosni Mengerov prostor in- dukovan metrikom d(x, y) = |x − y| na X = [0,+∞) ⊂ R i preslikavanja A,B, S i R preslikavanja data u Primeru dat u primeru 4.2.2. Neka je φ(t) = t, t > 0, c = 1 2 . Primetimo da je φ Φ-funkcija. Kako smo u Primeru 4.2.2. vec´ pokazali da su preslikavanja A i S kompatibilna, a B i R slabo kompatibilna, ostaje josˇ da pokazˇemo da je ispunjen uslov (4.27). Primetimo da je za sve x, y ∈ X ispunjeno da je 1 (1+x)(1+y) ≤ 1. a) Ako je x, y ∈ [0, 1] imamo da vazˇi FAx,By(t) = H ( t− |x− y| (1 + x)(1 + y) ) ≥ H(2t− 2|x− y|) = FSx,Ry(2t). b) Ako je x > 1 i y > 1 imamo da vazˇi FAx,By(t) = H ( t− x 1 + x ) ≥ H(2t− 2x) = FSx,Ry(2t). c) Ako je x ∈ [0, 1] i y > 1 dokaz se svodi na slucˇaj pod b). Ako je x > 1 i y ∈ [0, 1] dokaz se svodi na slucˇaj pod a). Iz prethodnog zakljucˇujemo da je uslov (4.27) ispunjen. Na osnovu Teoreme 4.2.3. imamo da sva cˇetiri preslikavanja imaju jedinstvenu zajednicˇku fiksnu tacˇku. Nije tesˇko videti da je to tacˇka x = 0. 92 Glava 5 Literatura [1] H. Adibi, Y.J. Cho, D. ORegan, R. Saadati, Common fixed point theorems in L-fuzzy metric spaces. Appl Math Comput 182 (2006) 820-828. [2] C. Alaca, D. Turkoglu i C. Yildiz, Fixed points in intuitionistic fuzzy metric spaces, Chaos, Solitons & Fractals 29 (2006) 1073-1078. [3] M. Arsenovic´, M. Dostanic´ i D. Jocic´, Teorija mere, funkcionalna analiza, teorija operatora, 1. izd. Beograd, Matematicˇki fakultet Univerziteta, 1998, Studio plus, VI, 325 str. [4] K. Atanassov, Intuitionistic fuzzy sets, Fuzzy Sets Syst. 20 (1986) 87-96. [5] N.A. Babacˇev, Fixed point theorem on probabilistic metric spaces with non- linear generalized contractive type condition, Appl. Anal. Discrete Math., u sˇtampi. [6] N.A. Babacˇev, Common fixed point theorem for four mappings defined on Menger PM-spaces with nonlinear contractive type condition, Novi Sad Jour- nal of Mathematics, u sˇtampi. [7] D. W. Boyd i J. S. W. Wong, On nonlinear contractions, Proc. Amer. Math. Soc. 20 (1969) 458–464. [8] Y.J. Cho, H.K. Pathak, S.M. Kang i J.S.Jung, Common fixed points of com- patible maps of type (β) on fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 93 (1998) 99–111. 93 GLAVA 5. LITERATURA [9] B.S. Choudhury i K. Das, A new contraction principle in Menger spaces, Acta Mathematica Sinica 24 (2008) 1379–1386. [10] L.B. C´iric´, A generalization of Banach’s contraction principle, Proc. Amer. Math. Soc. 45 (1974) 267–273. [11] L.B. C´iric´, On fixed point of generalized contractions on probabilistic metric spaces, Publ. Inst. 18(32) (1975) 71–78. [12] L. B. C´iric´, S. N. Jesˇic´ i J. S. Ume, The existence theorems for fixed and periodic points of nonexpansive mappings in intuitionistic fuzzy metric spaces, Chaos, Solitons & Fractals , 37 (2008) 781–791. [13] L.B. C´iric´, M.M. Milovanovic´-Arandjelovic´, Common fixed point theorem for R-weak commuting mappings in Menger spaces, J Indian Acad Math 22 (2000) 199–210. [14] G. Deschrijver i E.E. Kerre, On the relationship between some extensions of fuzzy set theory, Fuzzy Sets Syst. 133 (2003) 227–235. [15] G. Deschrijver, C. Cornelis i E.E. Kerre, On the representation of intuitionistic fuzzy t-norms and t-conorms, IEEE Trans Fuzzy Syst 12 (2004) 45–61. [16] Egbert R.J., Products and quotients of probabilistic metric spaces, Pacific Journal of Mathematics 24 (1968) 437–55. [17] M. Fre´chet, Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendiconti Circolo Mat. Palermo 22 (1906) 1–74. [18] G. Iovane, Wave guiding and mirroring effects in stochastic self-similar and Cantorian E-infinity universe, Chaos, Solitons & Fractals 23 (2005) 691–700. [19] O. Hadzˇic´, Fixed point theory in probabilistic metric spaces, Serbian Academy of Science and Arts, Branch in Novi Sad, University of Novi Sad, Institute of Mathematics 1995 129 strana. [20] O. Hadzˇic´, Fixed point theory in topological vector spaces, University of Novi Sad, Instutute of Mathematics, (1984), 337 strana. 94 GLAVA 5. LITERATURA [21] O. Hadzˇic´, Common fixed point theorems in probabilistic metric spaces with a convex structure, Zb. rad. Prirod.-Mat.Fak., ser. Mat. 18(1988) 165–178. [22] O. Hadzˇic´, E. Pap, Fixed Point Theory in PM Spaces, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2001. [23] S. N. Jesˇic´, A common fixed point on transversal probabilistic spaces, Math. Moravica 6 (2002), 71–76. [24] S. N. Jesˇic´, Transverzalni prostori i fiksne tacke, doktorska disertacija, 103 str, Matematicki fakultet Beograd (2006). [25] S. N. Jesˇic´, Convex structure, normal structure and a fixed point theorem in intuitionistic fuzzy metric spaces, Chaos, Solitons & Fractals 41 (2009) 292–301. [26] S. N. Jesˇic´, N. A. Babacˇev, Common fixed point theorems in intuitionistic fuzzy metric spaces and L -fuzzy metric spaces with nonlinear contractive condition, Chaos, Solitons & Fractals , 37 (2008) 675–687. [27] S.N. Jesˇic´, N.A. Babacˇev, D. O’Regan, R.M. Nikolic´, Common fixed point theorems for four mappings defined on L -fuzzy metric spaces with nonlinear contractive type condition, Fixed Point Theory , 10 (2009), 259–274. [28] S. N. Jesˇic´, D. O’Regan, N. A. Babacˇev, A Common Fixed Point Theorem for R-weakly commuting mappings in Probabilistic Spaces with Nonlinear Con- tractive Conditions, Appl. Math. Comput. 201 (2008) 272–281. [29] S. N. Jesˇic´, M. R. Taskovic´, N. A. Babacˇev, Transversal spaces and fixed point theorems, Applicable Analysis and Discrete Mathematics 1 (2007) 340–352. [30] G. Jungck, Commuting maps and fixed points, Am. Math. Mon. 83 (1976) 261–263. [31] G. Jungck, Compatible mappings and common fixed points, Internat. J. Math. & Math. Sci. 9 (1986) 771–779. [32] G. Jungck, Compatible mappings and common fixed points (2), Internat. J. Math. & Math. Sci. 11 (1988) 285–288. 95 GLAVA 5. LITERATURA [33] Lj. Gajic´, V. Rakocˇevic´, Pair of non self mappings and common fixed points, Appl. Math. Comput. 187 (2007) 999–1006. [34] A. George i P. Veeramani, On some results in fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 64 (1994) 395–399. [35] A. George i P. Veeramani, On some analysis for fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 90 (1997) 365–368. [36] J. Goguen, L -fuzzy sets, Jour. Math. Anal. Appl. 18 (1967) 145–174. [37] M. Grabiec, Fixed points in fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 27 (1988) 385–389. [38] V. Gregori i S. Romaguera, Some properties of fuzzy metric spaces. Fuzzy Sets Syst. 115 (2000) 485–489. [39] V. Gregori, S. Romaguera i P. Veereamani, A note on intuitionistic fuzzy metric spaces. Chaos, Solitons & Fractals 28 (2006) 902–905. [40] V. Gregori i A. Sapena, On fixed point theorems in fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 125 (2002) 245–253. [41] A.A. Ivanov, Isledovanii po topologii-II, Zapiski naucˇnih seminarov lomi, Lenjingrad, 66 (1976). [42] O. Kaleva and S. Seikkala, On fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 12 (1984) 215–229. [43] M.S. Khan, M. Swaleh, S. Sessa, Fixed point theorems by altering distances between the points, Bull. Austral. Math. Soc. 30 (1984) 1–9. [44] Y. Kijima i W. Takahashi, A fixed point theorem for nonexpansive mappings in metric spaces, Kodai Math. Sem. Rep. 21(1969) 326–330. [45] W. A. Kirk, A fixed point theorem for mappings which do not increase dis- tances, Amer. Math. Monthly 72(1965) 1004–1006. [46] I. Kramosil i J. Michalek, Fuzzy metric and statistical metrical spaces, Kyber- netica 11 (1975) 326–334. 96 GLAVA 5. LITERATURA [47] I. B. Lackovic´, Teorija realnih konveksnih funkcija, Monografije Univer. u Beogradu, Elektrotehnicˇki fakultet, Beograd, 2007. [48] Z. Lucˇic´, Geometrija – euklidska i hiperbolicˇka, 2. izd. Beograd, Total Design i Matematicˇki fakultet, 1997, VII, 312 strana. [49] M. Mateljevic´, Holomorphic fixed point theorem on Riemannian surfaces, Math. Balk. (New series) 12 (1-2) (1998) 1–4. [50] R.D. Mauldin i C. Williams, Random recursive constructions, T.A.M.S 295 (1986) 325–346. [51] K. Menger, Statistical metrics, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 28 (1942) 535– 537. [52] D. Mihet¸, Altering distances in probabilistic Menger spaces, Nonlinear Anal- ysis 71 (2009) 2734–2738. [53] S. N. Mishra, Common fixed points of compatibile mappings in PM-spaces, Math. Japon. 36 (1991) 283–289. [54] S. N. Mishra, N. Sharma, S. L. Singh, Common fixed points of maps on fuzzy metric spaces, Internat. J. Math. Math. Sci. 17 (1994) 253–258. [55] A. Mohamad, Fixed-point theorems in intuitionistic fuzzy metric spaces, Chaos, Solitons & Fractals 34 (2007) 1689–1695. [56] S.V.R. Naidu, Some fixed point theorems in Metric Spaces by altering dis- tances, Czech. Math. J. 53 (2003) 205-212. [57] O’Regan D., Saadati R., Nonlinear contraction theorems in probabilistic spaces Appl. Math. Comput. 195 (2008) 86–93. [58] R. P. Pant, Common Fixed Points of Noncommuting Mappings, Jour. Math. Anal. Appl. 188 (1994) 436–440. [59] R. P. Pant and V. Pant, Common Fixed Points under Strict Contractive Con- ditions, Jour. Math. Anal. Appl. 248 (2000) 327–332. [60] J. H. Park, Intuitionistic fuzzy metric spaces, Chaos, Solitons & Fractals 22 (2004) 1039-1046. 97 GLAVA 5. LITERATURA [61] V. Rakocˇevic´, Quasi contraction nonself mappingss on Banach spaces and common fixed point theorems, Publ. Math. Debrecen 58 (3) (2001) 451–460. [62] E. Rakotch, A note on contractive mappings, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962) 459–465. [63] A. Razani, Existence of fixed point for the nonexpansive mapping of intuition- istic fuzzy metric spaces, Chaos, Solitions & Fractals 30 (2006) 367–373. [64] R. Saadati, Note to the paper ”Fixed points in intuitionistic fuzzy metric spaces” and its generalization to L -fuzzy metric spaces, Chaos, Solitions & Fractals 35 (2008) 176–180. [65] R. Saadati, On the L -fuzzy topological spaces, Chaos, Solitions & Fractals 37 (2008) 1419–1426. [66] R. Saadati, A. Razani i H. Adibi, A common fixed point theorem in L -fuzzy metric spaces, Chaos, Solitions & Fractals 33 (2007) 358–363. [67] R. Saadati, S. Sedghi i N. Shobe, Modified intuitionistic fuzzy metric spaces and some fixed point theorems, Chaos, Solitons & Fractals 38 (2008) 36–47. [68] K.P.R. Sastry, G.V.R. Babu, Some fixed point theorems by altering distances between the points, Ind. J. Pure. Appl. Math 30 (1999) 641-647. [69] B. Schweizer i A. Sklar, Statistical metric spaces, Pacific J. Math. 10 (1960) 415–417. [70] B. Schweizer, A. Sklar, E. Thorp, The metrization of statistical metric spaces, Pacific J. Math. 10 (1960) 673–675. [71] V.M. Sehgal i A.T. Bharucha-Reid, Fixed points of contraction mappings in PM-spaces, Math. System Theory 6 (1972) 97–102. [72] S. Sessa, On a weak comutativity condition of mappings in fixed point consid- erations, Publ. Inst. Math. (Beograd) 27 (46) (1982) 149–153. [73] S. Sharma, Common fixed point in fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 127 (2002) 345–352. 98 GLAVA 5. LITERATURA [74] H. Sherwood, Complete probabilistic metric spaces, Z. Wahrsch. Verw. Gebi- ete 20 (1971) 117–128. [75] B.G. Sidharth, The new cosmos, Chaos, Solitons & Fractals 18 (2003) 197201. [76] B. Singh i S. Jain, A fixed point theorem in Menger space through weak compatibility, J. Math. Anal. Appl. 301 (2005) 439-448. [77] Bijendra Singh i M.S. Chauhan, Common fixed points of compatible maps in fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 115 (2000) 471–475. [78] G. Song, Comments on ”A common fixed point theorem in a fuzzy metric space”, Fuzzy Sets Syst. 135 (2003) 409–413. [79] W. Takahashi, A convexity in metric space and nonexpansive mappings, I Kodai Math. Sem. Rep. 22 (1970) 142–149. [80] Y. Tanaka, Spacetime symmetry violation, configuration mixing model and E-infinity theory, Chaos, Solitons & Fractals , (2007) doi:10.1016/j.chaos.2007.05.001 [81] M. R. Taskovic´, Transversal spaces, Math. Moravica 2 (1998), 133–142. [82] R. Vasuki, Common fixed points for R-weakly commuting maps in fuzzy metric spaces, Indian J. Pure Appl. Math. 30 (1999) 419–423. [83] R. Vasuki i P. Veeramani, Fixed point theorems and Cauchy sequences in fuzzy metric spaces, Fuzzy Sets Syst. 135 (2003) 314–334. [84] L. A. Zadeh, Fuzzy sets, Inform. and Control 89 (1965) 338–353. 99 Biografija kandidata Mr Natasˇa Babacˇev rod¯ena je 12.02.1978. godine u Beogradu. Osnovnu sˇkolu je zavrsˇila 1992. godine u Beogradu, a 1996. godine III Beogradsku Gimnaziju, prirodno-matematicˇki smer. Diplomirala je januara 2004. godine, na Matematicˇkom fakultetu, smer Numericˇka matematika i optimizacija. Tokom studija ucˇestvovala je u radu Letnje akademije septembra 2001. godine u Petrovcu u okviru kursa ”Numericˇke metode u inzˇenjerstvu” odrzˇanom u organi- zaciji Univerziteta Erlangen - Nirnberg, Nemacˇka i Pakta za stabilnost Jugoistocˇne Evrope. Od maja do jula 2002. godine boravila je na Univerzitetu u Sˇtudgartu u grupi profesora H.J. Bungartz-a radec´i na problemima paralelnog programiranja numericˇkih simulacija u dinamici fluida. Oktobra 2004. godine upisala je poslediplomske studije na Elektrotehnicˇkom fakultetu u Beogradu, smer Matematicˇke metode u elektrotehnici i racˇunarstvu. Magistarski rad ”Nelinearna preslikavanja na fazi strukturama i prostiranja u bes- konacˇno ε okruzˇenju” odbranila je 9. aprila 2008. godine, pod mentorskim rukovod- stvom dr Siniˇse Jesˇic´a. Oktobra 2006. godine upisala je doktorske studije na Matematicˇkom fakultetu, smer Analiza. Od marta 2005. godine radi na Katedri za primenjenu matematiku Elektro- tehnicˇkog fakulteta u Beogradu. Februara 2006. godine izabrana je u zvanje asistenta-pripravnika, decembra 2008. u zvanje asistenta, pri istoj katedri. Na Elektrotehnicˇkom fakulteta drzˇi vezˇbe iz predmeta: Matematika 3, Matematika 4, Matematika 5, Numericˇka analiza i diskretna matematika, Praktikum iz racˇunarskih alata u matematici, Matematika 2 i Praktikum iz matematike 1A. U koautorstvu je objavila u med¯unarodnim cˇasopisima jedan rad u kategoriji M21, dva rada u kategoriji M22 i jedan u domac´em cˇasopisu. Objavila je jedan samostalan autorski rad u med¯unarodnom cˇasopisu iz kategorije M22 i jedan u domac´em cˇasopisu. Ucˇestvovala je na devet konferencija, sedam med¯unarodnih i dve domac´e, i neprekidno, od 2005. godine ucˇestvuje na naucˇno-istrazˇivacˇkim pro- jektima Ministarstva prosvete i nauke Republike Srbije.