UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATICˇKI FAKULTET Marijan M. Markovic´ NEJEDNAKOSTI IZOPERIMETRIJSKOG TIPA U PROSTORIMA ANALITICˇKIH FUNKCIJA doktorska disertacija Beograd, 2013 UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Marijan M. Markovi NEJEDNAKOSTI IZOPERIMETRIJSKOG TIPA U PROSTORIMA ANALITIQKIH FUNKCIJA doktorska disertacija Beograd, 2013 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF MATHEMATICS Marijan M. Markovic´ ISOPERIMETRIC TYPE INEQUALITIES IN SPACES OF ANALYTIC FUNCTIONS Doctoral Dissertation Belgrade, 2013 Komisija: ———————————————————————————– (prof. dr Miodrag Mateljevic´, redovni profesor – mentor) ———————————————————————————– (prof. dr Miroljub Jevtic´, redovni profesor) ———————————————————————————– (prof. dr David Kalaj, redovni profesor, PMF, Univerzitet Crne Gore) ———————————————————————————– (prof. dr Milosˇ Arsenovic´, vanredni profesor) ———————————————————————————– (prof. dr Vesna Manojlovic´, docent, FON, Univerzitet u Beogradu) ———————————————————— (datum odbrane) Iskoristio bih priliku i zahvalio se profesorima Miodragu Mateljevic´u i Davidu Kalaju za veliki broj diskusija o temama koje se pojavljuju u radu i znacˇajnu podrsˇku. Zahval- nost dugujem porodici na razumevanju i Ministarstvu nauke Crne Gore zbog finansijske podrsˇke. Beograd, mart 2013. Marijan Markovic´ Naslov. Nejednakosti izoperimetrijskog tipa u prostorima analiticˇkih funkcija Rezime. Rad se sastoji od tri glave. Prva glava sadrzˇi dobro poznate cˇinjenice o Hardi- jevim klasama harmonijskih, analiticˇkih i logaritamsko subharmonijskih funkcija u disku i njihove primene. Zatim kratko govorimo o harmonijskim i minimalnim povrsˇima i klasicˇnoj izoperimetrijskoj nejednakosti, kao i o rezultatima koji su povezani sa ovom ne- jednakosˇc´u. Jedan od najelegantnijih nacˇina da se ustanovi izoperimetrijska nejednakost je preko Karlemanove nejednakosti za analiticˇke funkcije u disku. U drugoj glavi prezen- tujemo rezultate nasˇeg skorijeg rada [29] koji se odnose na harmonijska preslikavanja diska na proizvoljnu Jordanovu povrsˇ. U ovoj glavi su klasicˇni rezultati Karateodoria i Smirnova za konformna preslikavanja razmotreni za prethodni tip preslikavanja. Na kraju glave prethodne rezultate primenjujemo u cilju dokaza izoperimetrijske nejednakosti za Jordanove harmonijske povrsˇi omedjene rektificijabilnom krivom. U trec´oj, prema [35], izvodimo dokaz jedne nejednakosti izoperimetrijskog tipa, slicˇne Karlemanovoj, za anal- iticˇke funkcije visˇe promenjivih. Prva verzija ove nejednakosti je za analiticˇke funkcije u proizvoljnoj Reinhardtovoj oblasti, a druga se odnosi na funkcije koje pripadaju Hardije- vim prostorima na polidisku. Kljucˇne recˇi. Izoperimetrijska nejednakosti, Hardijevi prostori, Bergmanovi prostori, harmonijska preslikavanja. Naucˇna oblast. Matematika. Uzˇa naucˇna oblast. Kompleksna analiza. UDK broj. 517.547 (043.3) Title. Isoperimetric Type Inequalities in Spaces of Analytic Functions Abstract. This work consists of three chapters. The first one contains some well known facts about Hardy classes of harmonic, analytic, and logarithmically subharmonic func- tions in the unit disk, as well as their applications. Then we briefly talk about the har- monic and minimal surfaces, the classical isoperimetric inequality, and the more recent results related to this inequality. One of the most elegant way to establish the isoperimet- ric inequality is via Carleman’s inequality for analytic functions in disks. In the second chapter we present the results from our recent work [29] for harmonic mappings of a disc onto a Jordan surface. In this chapter we establish the versions of classical theorems of Carathe´odory and Smirnov for mappings of the previous type. At the end of the head we apply these results to prove the isoperimetric inequality for Jordan harmonic surfaces bounded by rectifiable curves. In the third chapter, according to the author paper [35], we prove an inequality of the isoperimetric type, similar to Carleman’s, for functions of sev- eral variables. The first version of this inequality is for analytic functions in a Reinhardt domain. The second one concerns the functions that belong to Hardy spaces in polydiscs. Key words. The Isoperimetric Inequality, Hardy Spaces, Bergman spaces, harmonic mappings. Science area. Mathematics, Complex Analysis. UDC number. 517.547 (043.3) Sadrzˇaj 1 Uvod 1 1.1 Hardijeve klase i njihove primene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Harmonijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Klase harmonijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Subharmonijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Klase analiticˇkih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Primene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.6 Karakteristika analiticˇkih Hardijevih klasa . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.7 Kanonska faktorizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.8 Klase subharmonijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.9 Klase analiticˇkih funkcija u oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Povrsˇi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 Regularne povrsˇi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2 Izotermna parametrizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Harmonijske i minimalne povrsˇi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3 Izoperimetrijska nejednakost i povezani rezultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Izoperimetrijska nejednakosti i klase analiticˇkih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 Izoperimetrijska nejednakost i minimalne povrsˇi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Izoperimetrijska nejednakost i log. subharm. funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Prilog teoriji harmonijskih preslikavanja 28 2.1 Harmonijska preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Verzije klasicˇih rezultata za harmonijska preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.1 Reprezentacija harmonijskih preslikavanja . . . . . . . . . . . . 29 v SADRZˇAJ vi 2.2.2 Verzija teoreme Karateodori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Verzija teoreme Smirnova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Izoperimetrijska nejednakost i harmonijske povrsˇi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 Jordanove harmonijske povrsˇi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Izoperimetrijska nejednakost za Jordanove harmonijske povsˇi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 Analiticˇka izoperimetrijska nejednakost 41 3.1 Pozadina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Karlemanova nejednakost i teorija reproduktivnih jezgara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Reproduktivna jezgara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.2 Prostori analiticˇkih funkcija u kompletnoj Reinhardtovoj oblasti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.3 Karlemanova nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Osobine funkcija u polidisku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.1 Teoreme o faktorizaciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2 Iterirane granicˇne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4 Novi oblik Karlemanove nejednakosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.1 Generalizovane Hardijeve klase na polidisku . . . . . . . . . . . 57 3.4.2 Glavna teorema i nejednakost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.3 Nekompletan dokaz teoreme 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.4 Dokaz teoreme 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.5 Karlemanova nejednakost i klase Smirnova . . . . . . . . . . . . 72 Literatura 77 Glava 1 Uvod Ovo poglavlje zapocˇinjemo sa poznatim tvrdjenjima o reprezentaciji harmonijskih funkcija. Posle dolazi kratka diskusija o subharmonijskim funkcijama. Obe teme su od fundamentalnog znacˇaja za teoriju Hardijevih klasa analiticˇkih funkcija u jedinicˇnom disku; navodimo zatim neke bitne primene ove teorije (teorema Smirnova za konformna preslikavanja). Potom uvodimo Hardijeve klase (logaritamsko) subharmonijskih funkcija, koje igraju vazˇu ulogu u trec´em poglavlju. U drugom odeljku navodimo cˇinjenice vezane za povrsˇi smesˇete u Rn i precizirac´emo pojam harmonijske povrsˇi. Na kraju je recˇ o klasicˇnoj izoperimetrijskoj nejednakosti i novijim povezanim rezultatima. 1.1 Hardijeve klase i njihove primene 1.1.1 Harmonijske funkcije Posledica Grinove teoreme je Grinov identitet:∫ D (u4v − v4u) dA = ∫ Γ ( u ∂v ∂n − v ∂u ∂n ) ds; (1.1) ovde je D unutasˇnjost glatke krive Γ, ds oznacˇava element duzˇine Γ, dA je Lebegova mera, ∂/∂n ima znacˇenje izvoda u pravcu spoljne normale, a realno vrednosne funkcije u i v poseduju neprekidne izvode do drugog reda u D (u, v ∈ C2(D)). Ukoliko je funkcija u harmonijska u D, odnosno ako se 4u ponisˇtava u ovoj oblasti, uzimajuc´i za v konstantnu funkciju u identitetu (1.1), neposredno nalazimo da se fluks za u ponisˇtava, odnosno ∫ Γ ∂u ∂n ds = 0. (1.2) 1 GLAVA 1. UVOD 2 Iz (1.2) sledi da harmonijska funkcija u otvorenom skupu D poseduje svojstvo srednje vrednost – vredi u(z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 u(z + reiθ)dθ (1.3) za sve z ∈ D i pogodne radijuse r = r(z) > 0. Visˇe od toga, ovo svojstvo karakterisˇe harmonijske funkcije: neprekidna funkcija koja ima svojstvo srednje vrednosti mora biti harmonijska. Iz svojstva srednje vrednosti relativno brzo se dolazi do principa maksi- muma – harmonijska funkcija u oblasti D (oblast je otvoren i povezan skup) ne mozˇe dostizati ni lokalni maksimum ni lokalni minimum u D, osim ako nije recˇ o funkciji koja je jednaka realnoj konstanti u celom domenu. Dakle, ako je funkcija harmonijska u ogranicˇenoj oblasti D i neprekidna u D, maksimum i minimum se dostizˇu na granici ∂D. Dirihleov problem se sastoji u tome da se odredi funkcija harmonijska u zadatoj oblastiD, neprekidna uD, koja se poklapa sa zadatom neprekidnom funkcijom na granici ∂D. Jedinstvenost resˇenja za ogranicˇene oblasti sledi iz principa maksimuma. Medjutim, egzistenciju resˇenja nije uvek lako utvrditi. Ukoliko je granica ∂D dovoljno dobra, el- egantan dokaz se mozˇe izvesti posredstvom familije subharmonijskih funkcija u D koje su na granici ∂D odozgo omedjene zadatom funkcijom; recˇ je o cˇuvenom Peronovom metodu [1]. Resˇenje Dirihleovog problema uvek postoji ako je D Jordanova oblast. Medjutim, do ovog zakljucˇka mozˇe se doc´i indirektno korisˇc´enjem osobina harmonijskih funkcija. Pre svega, doboro je poznato da je realno vrednosna funkcija harmonijska u prosto povezanoj oblasti ako i samo ako je realan deo funkcije analiticˇke u istoj oblasti. Odavde sledi da konformna preslikavanja cˇuvaju harmonijske funkcije – ako je f konformno preslikavs- nje oblasti D∗ na D, tada je u ◦ f harmonijska funkcija u D∗, ako je u harmonijska u D. Imajuc´i u vidu Rimanovu teoremu o konformnim preslikavanjima i Karateodorijevu teorema o ekstenziji, Dirihleov problem za Jordanove oblasti je dovoljno razmotriti za jedinicˇni disk. Kada je zadata oblast disk, Dirihleov problem mozˇe se resˇiti eksplicitno. Uzmi-mo u razmatranje jedinicˇni disk U = {z ∈ C : |z| < 1}. Neka je funkcija ϕ neprekidna u segmentu [0, 2pi] i neka je pri tome ϕ(0) = ϕ(2pi). Puasonova ekstenzija (ili Puasonov integral) za ϕ je u(z) = P[ϕ](z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)ϕ(t)dt, z = reiθ, (1.4) gde je P (r, θ) = 1− r2 1− 2r cos θ + r2 , 0 ≤ r < 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi Puasonovo jezgro. GLAVA 1. UVOD 3 Buduc´i da konformna preslikavanja cˇuvaju harmonijske funkcije, relacija (1.4) se za ϕ(t) = u(eit) mozˇe izvesti iz (1.3) za funkciju u(z) harmonijsku u disku |z| < 1 i neprekidnu u zatvorenom disku |z| ≤ 1. Drugim recˇima, funkcija u(z) harmonijska u |z| < 1 i neprekidna u |z| ≤ 1 se mozˇe rekonstruisati iz svoje granicˇne funkcije ϕ(t) = u(eit) prema (1.4). Obrnuto, u(z) zadata Puasonovim integralom (1.4) je harmonijska u disku |z| < 1 i neprekidna u |z| ≤ 1, pri tome je u(eit) = ϕ(t). Dakle, u(z) je resˇenje Dirihleovog problema za jedinicˇni disk. U dokazu ove cˇinjenice, izmedju ostalih, bitnu ulogu igraju naredna svojstva Puasonovog integrala: P (r, θ) > 0, P (r, θ) = P (r,−θ) i 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, t)dt = 1, 0 ≤ r < 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi. Pretpostavimo sada da funkcija ϕ(t) koja figurisˇe u (1.4) ima prekid prve vrste u θ. Dakle, neka u tacˇki θ leva i desna granicˇna vrednost ϕ(θ−) i ϕ(θ+) postoje, ali je ϕ(θ−) 6= ϕ(θ+). Neka je josˇ ϕ(t) ∈ L1. Tada je u(z) = P[ϕ](z), harmonijska u disku |z| < 1 i poseduje radijalnu granicˇnu vrednost lim r→1− u(reiθ) = 1 2 (ϕ(θ−) + ϕ(θ+)). Opsˇtije, kada se tacˇka z unutar jedinicˇnog diska priblizˇava eiθ duzˇ luka koji se zavrsˇava u ovoj tacˇki zahvatajuc´i sa jedinicˇnom kruzˇnicom ugao α (0 < α < pi), mozˇe se pokazati da u(z) tezˇi odgovarajuc´em usrednjenju α pi ϕ(θ−) + ( 1− α pi ) ϕ(θ+). Uopsˇtavajuc´i dalje (1.4), dolazimo do Puason–Stiltjesovog integrala. Funkcija koja ima formu u(z) = PS[µ](z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dµ(t), (1.5) gde je µ(t) ogranicˇene varijacije u [0, 2pi], je takodje harmonijska u disku |z| < 1. Posebno, za µ(t) = ∫ t 0 ϕ(t)dt, gde je ϕ(t) ∈ L1 i ϕ(0) = ϕ(2pi), imamo PS[µ] = P[ϕ]. Slicˇna tvrdjenja koja smo ranije naveli o granicˇnom ponasˇanu mogu se pokazati i za GLAVA 1. UVOD 4 klasu integrala (1.5). Simetricˇni izvod µ(t) u tacˇki θ je Dµ(θ) = lim t→0 µ(θ + t)− µ(θ − t) 2t . Teorema 1.1. Neka je u(z) harmonijska funkcija u disku |z| < 1 zadata Puason–Stiltje- sovim integralom (1.5), pri cˇemu je µ(t) ogranicˇene varijacije. Ako simetricˇni izvod Dµ(θ) postoji u tacˇki θ, tada postoji i radijalna granicˇna vrednost lim r→1− u(reiθ) i jednaka je Dµ(θ). Zapravo, moguc´e je ustanoviti da u(z) tezˇi ka Dµ(θ) duzˇ proizvoljnog luka u je- dinicˇnom disku koji se zavrsˇava u eiθ i koji ne tangira jedinicˇnu kruzˇnicu u ovoj tacˇki. 1.1.2 Klase harmonijskih funkcija Realno vrednosna funkcija u(z) harmonijska u |z| < 1 pripada Hardijevoj klasi hp (0 < p ≤ ∞) ukoliko integralno usrednjene Mp(r, u) = { 1 2pi |u(reiθ)|pdθ }1/p (0 < p <∞); M∞(r, u) = sup θ∈[0,2pi] |u(reiθ)| ostaje ogranicˇeno pri r → 1−. Naprimer, jasno je da h∞ obuhvata ogranicˇene harmonijske funkcije, kao i da vredi hp ⊇ hp′ ako je 0 < p < p′ ≤ ∞. Isto tako, nije tesˇko proveriti da je hp linearan prostor. Naredna teorema o reprezentaciji igra veoma bitu ulogu. Teorema 1.2. Sledec´e tri klase funkcija u jedinicˇnom disku se poklapaju: 1. Puason–Stiltjesovi integli; 2. razlike pozitivnih harmonijskih funkcija; 3. h1. Dokaz koji se bazira na Helijevoj teoremi o izboru izveden je u [16]. Teoremu o izboru navodimo nizˇe, jer je recˇ o tvrdjenju koje c´e biti od koristi u narednoj glavi, takodje prilikom ustanovljenja jedne teoreme o reprezentaciji; dokaz se mozˇe videti, naprimer, u monografiji [40]. GLAVA 1. UVOD 5 Lema 1.1 (Helijeva teorema o izboru). Neka je {µn(t)} niz funkcija uniformno ogranicˇne varijacije u segmentu [a, b] koji je josˇ i uniformno ogranicˇen. Tada postoji podniz {µnk(t)} koji konvergira svuda u [a, b] ka µ(t) takodje ogranicˇene varijacije. Pri tome za svaku funkciju ϕ(t) neprekidu u [a, b] vredi lim k→∞ ∫ b a ϕ(t)dµnk(t) = ∫ b a ϕ(t)dµ(t). Teorema 1.2 pripada Risu. Funkcija µ(t) ogranicˇene variacije u [0, 2pi] koja odgo- vara u(z) ∈ h1 posredstvom Puason–Stiltjesovog integrala (1.5) je, u izvesnom smislu, jedinstvena. Posebno, svaka pozitivna harmonijska funkcija u jedinicˇnom disku se mozˇe predstaviti u formi Puason–Stieltjesovog integrala neke neopadajuc´e funkcije µ(t). Kako je funkcija ogranicˇene varijacije s.s. (skoro svuda) diferencijabilna, imamo vazˇnu posledicu: u(z) ∈ h1 poseduje radijalnu (i netangencijalnu) granicˇnu vrednost u s.s. tacˇkama jedinicˇne kruzˇnice; meru koju podrazumevamo na kruzˇnici T = {|z| = 1} je normalizovana mera dm(eiθ) = dθ/2pi. Kako postoji obostrano jednoznacˇna korespodencija izmedju klase {µ(ζ)} realnih Borelovih mera na jedinicˇnoj kruzˇnici i klase {µ(t)} normalizovanih funkcija ogranicˇene varijacije u [0, 2pi] (µ(t) je normalizovana u [0, 2pi] ako vredi µ(t) = µ(t+) za sve 0 ≤ t < 2pi), napomenimo da se Puason–Stiltjesov integal mozˇe predstaviti u formi PS[µ(t)](z) = P[µ(ζ)] = ∫ T P (z, ζ)dµ(ζ), |z| < 1, gde smo ozacˇili P (z, ζ) = P (r, θ − t), z = reiθ, ζ = eit. 1.1.3 Subharmonijske funkcije Subharmonijske funkcije smo pomenuli kod Peronovog metoda. Ovde c´emo prvo precizirati sam pojam. Odozgo poluneprekidna funkcija −∞ ≤ u(z) < +∞ u oblasti D, koja nije jednaka −∞ u celoj oblasti, je subharmonijska u D ako za svaku ogrnicˇenu oblast B koji se komaktno sadrzˇi u D (tj. B ⊆ D) i za svaku harmonijsku funkciju U(z) u B, neprekidnu u B, za koju je u(z) ≤ U(z) na granici ∂B, vredi u(z) ≤ U(z) u celoj oblasti B. Subharmonijske funkcije se mogu okarakterisati na ovaj nacˇin: neophodno i dovoljno da je odozgo poluneprekidna funkcija u(z) (koja nije jednaka −∞ svuda) bude subhar- monijska u D jeste da ze sve z0 ∈ D postoji ρ0 = ρ0(z0) > 0 tako da se disk |z−z0| < ρ0 GLAVA 1. UVOD 6 sadrzˇi u D i da je ispunjeno u(z0) ≤ 1 2pi ∫ 2pi 0 u(z0 + ρe iθ)dθ (1.6) za sve ρ < ρ0. Naprimer, ako je funkcija f(z) analiticˇka u oblasti D i ako je p > 0, tada je u(z) = |f(z)|p subharmonijska u D; ako je f(z) harmonijska u D i p ≥ 1, tada je |f(z)|p subhar- monijska u D. Neka je log+ x = { log x, ako je x ≥ 1, 0, ako je 0 < x < 1. Funkcija u(z) = log+ |f(z)| je subharmonijska, ako je f(z) analiticˇka. Teorema 1.3. Neka je funkcija u(z) subharmonijska u disku |z| < 1. Tada je m(r) = 1 2pi ∫ 2pi 0 u(reiθ)dθ. neopadajuc´a funkcije promenjive 0 ≤ r < 1. 1.1.4 Klase analiticˇkih funkcija Hardijeva klasa analiticˇkih funkcija Hp (0 < p ≤ ∞) mozˇe se uvesti na slicˇan nacˇin kao i klasa hp. Dakle, Hp sacˇinjavaju funkcije f(z) analiticˇke u disku |z| < 1 za koje integralno usrednjenje Mp(r, f) ostaje ogranicˇeno pri r → 1−. Mozˇe se lako ustanoviti: f ∈ Hp ako i samo ako 1. Kosˇi–Stiltjesov integral (1.9) je povezan sa Puason–Stiltjesovim integralom za istu funkciju µ(t) sledec´im identitetom: F (z)− F (1/z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dµ(t), (1.10) gde je z = reiθ, 0 ≤ r < 1. Mozˇe se pokazati F (z) ∈ Hp za sve 0 < p < 1. Zato prema teoremi 1.5, radijalna granicˇna vrednost lim r→1− F (reiθ) postoji s.s. Medjutim, kada r → 1−, desna strana relacije (1.10) tezˇi µ′(θ) s.s. (prema teoremi 1.1). Dakle, i spoljna granicˇna vrednost mora postojati s.s. Prema tome je lim r→1− F (reiθ)− lim r→1+ F (reiθ) = µ′(θ) s.s. Relacija (1.10) se mozˇe upotrebiti da se pokazˇe naredna Lema 1.2. Za kompleksno vrednosnu funkciju µ(t) ogranicˇene varijacije, sledec´i iskazi su ekvivalentni: 1. ∫ 2pi 0 eintdµ(t) = 0 za sve n = 0, 1, 2, . . . 2. Kosˇi–Stiltjesov integral F (z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 dµ(t) 1− e−itz se ponisˇtava u |z| > 1. GLAVA 1. UVOD 10 3. Puason–Stiltjesov integral f(z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dµ(t) je analiticˇka funkcija u |z| < 1. Oslanjajuc´i se na lemu, pokazac´emo Posledica 1.1. Funkcija f(z) analiticˇka u disku |z| < 1 je Kosˇi–Stiltjesov integral svoje granicˇne funkcije: f(z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 f(eit)dt 1− e−itz . gde je ϕ(t) ∈ L1, ako i samo ako je f ∈ H1. Pri tome je ϕ(t) = f(eit) s.s. Dokaz. Ranije smo ustanovili da se f ∈ H1 mozˇe predstaviti u formi Puason–Stiltjesovog integrala: f(z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)f(eit)dt, z = reiθ. Kako je na levoj strani funkcija analiticˇka u disku |z| < 1, na osnovu prethodne leme sledi da se Kosˇi–Stiltjesov integral F (z) za dµ(t) = f(t)dt ponisˇtava u oblasti |z| > 1. Tvrdjenje sada sledi na osnovu identiteta (1.10). Kako smo vec´ rekli, kompleksno vrednosna funkcija µ(t) ogranicˇene varijacije u [0, 2pi] je normalizovana ako vredi µ(θ) = µ(θ+) za sve 0 ≤ θ < 2pi, odnosno, ako je µ neprekidna sa desne strane u svim tacˇkama segmenta. Prethodni rezultati se mogu upotrebita da se ustanove neki biti rezultati u teoriji mere. Teorema 1.9 (F. i M. Ris). Neka je µ(t) normalizovana kompleksno vrednosna funkcija ogranicˇene varijacije u segmentu [0, 2pi], sa svojstvom∫ 2pi 0 eintdµ(t) = 0 za sve n = 1, 2, . . . Tada je µ(t) apsolutno neprekidna. Dokaz. Prema lemi 1.2 pretpostvaka u ovoj teoremi povlacˇi da je funkcija zadata Puason– Stiltjesovim integralom f(z) = PS[µ(t)](z) analiticˇka u |z| < 1. Dakle, f ∈ H1. Sledi da se f(z) mozˇe predstaviti u formi f(z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 f(r, θ − t)f(eit)dt, z = reiθ GLAVA 1. UVOD 11 (teorema 1.8). Kako je Puasonova reprezentacija jedinstvena, sledi dµ(t) = f(eit)dt. U opsˇtem slucˇaju, neprekidna funkcija ogranicˇene varijacije ne mora biti i apsolutno neprekidna. Poznat je primer Lebegove funkcije nad Kantorovim skupom koja je mono- tona, neprekidna i potpuno singularna. Za one funkcije koje su granicˇne analiticˇkih u disku, neprekidnost je ekvivalentna sa absolutnom neprekidnoshc´u. Zapravo, moguc´e je pokazati i jacˇe tvrdjenje: Teorema 1.10. Ako f(z) ∈ H1 i ako se f(eiθ) s.s. poklapa sa funkcijom ogranicˇe-ne varijacije, tada je f(z) neprekidna u |z| ≤ 1 i f(eiθ) je absolututno neprekidna. Klasa funkcija koja se upravo pojavila – analiticˇke funkcije sa apsolutnonepre-kidnom radijalnom granicˇnom funkcijom – mozˇe se okarakterisati jednostavnijim uslovom: f ′ ∈ H1. Izraz f ′(eiθ) ubuduc´e ima dva razlicˇita znacˇenja. Mozˇe oznacˇavati radijalnu granicˇnu vrednost f ′(z) ili izvod u odnosu na promenjivu θ radijalne granicˇne funkcije f(eiθ)); ako se izuzme faktor ieiθ, recˇ je o istom: Teorema 1.11. Funkcija f(z) analticˇka u |z| < 1 je neprekidna na |z| ≤ 1 i apsolut- noneprekidna na |z| = 1 ako i samo ako f ∈ H1. Ako f ′ ∈ H1, tada je d dθ f(eiθ) = ieiθ lim r→1− f ′(reiθ) s.s. (1.11) Tvrdjenja koja su upravo navedena mogu se iskoristiti da se izvedu neki dublji rezultati u teoriji konformnih preslikavanja. Jordanova kriva (prosta zatvorena kriva) Γ je slika neprekidne kompleksno vrednosne funkcije Γ(t) (0 ≤ t ≤ 2pi) za koju josˇ vredi Γ(0) = Γ(2pi) i Γ(t1) 6= Γ(t2) za sve 0 ≤ t1 < t2 ≤ 2pi. Kriva Γ je rektificijabina ako je Γ(t) ogranicˇene varijacije. Duzˇina L se tada definisˇe kao totalna varijacija funkcije Γ(t): L = sup n∑ k=1 |Γ(tk)− Γ(tk−1)|; supremum se uzima po svim moguc´im podelama 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 2pi segmenta [0, 2pi]. Lako se da utvrditi da L zaista zavisi samo od krive Γ, odnosno da je L invarijntno u odnosu na promenu parametrizacije. Ako je Γ(t) apsolutnoneprekidna, duzˇina dela luka GLAVA 1. UVOD 12 na Γ koji odgovara nekom segmentu a ≤ t ≤ b je data sa∫ b a |ϕ′(t)|dt; dokaz se mozˇe nac´i u monografiji [40]. Sledi da svaki skup E ⊆ [0, 2pi] merljiv u Lebe- govom smislu ima sliku na Γ koja je mere∫ E |ϕ′(t)|dt. Zaista, formula je ocˇito tacˇna za otvorene skupove E, i dakle za Gδ skupove (prebrojive preseke otvorenih skupove). Kako se proizvoljan merljiv skup E sadrzˇi u nekom Gδ skupu iste mere, formula vredi u opsˇtem slucˇaju. Neka je f(z) konformno preslikavanje |z| < 1 na unutrasˇnjost Jordanove krive Γ. Prema teoremi Karateodoria, f(z) poseduje jednoznacˇnu neprekidnu ekstenziju na |z| ≤ 1. Posebno, Γ(t) = f(eit) je parametrizacija krive Γ. Primenjujuc´i teoremu 1.10 i teoremu 1.11, dolazimo do narednog bitnog rezultata. Teorema 1.12 (Smirnov). Neka je f(z) konformno preslikavanje diska |z| < 1 na un- utrasˇnjost Jordanove krive Γ. Tada je Γ rektificijabilna ako i samo ako f ′ ∈ H1. Teorema je ”ocˇigledna” kada se posmatra geometrijski. Ona govori da su duzˇine Lr = r ∫ 2pi 0 |f ′(reiθ)|dθ slike kruzˇnice |z| = r ogrnanicˇene ako i samo ako granica ima konacˇnu duzˇinu. Ukoliko je granica rektificijabilna, radijalna granicˇna funkcija f ′(eiθ) postoji s.s. na granici jedinicˇnog diska, pri tome je f ′(eiθ) povezana za izvodom apsolutnoneprekidne granicˇne funkcije f(eiθ) i |f ′(eiθ)| je integrabilna. Merljiv skup E na jedinicˇnoj kruzˇnici se posredstvom f slika na podskup Γ koji ima meru∫ E |f ′(eiθ)|dθ. Obrnuto, podskup |z| = 1 ima meru jednaku nuli ako i samo ako njegova slika na Γ ima meru nula. Dakle, skupovim mere nula na odgovarajuc´im granicama se cˇuvaju priliom konformnog preslikavanja. Prethodni rezultati koji se ticˇu konformnih preslikavanja mogu se sumirati: Posledica 1.2. Neka je D prosto povezana oblast omedjena Jordanovom krivom Γ i neka je f(z) konformno preslikavanje diska |z| < 1 na D. Oznacˇimo sa Γ(θ) = f(eiθ) parametrizaciju krive Γ. GLAVA 1. UVOD 13 Sledec´i iskazi su ekvivalentnit: 1. Γ(θ) je apsolutnoneprekidna; 2. f ′ ∈ H1; 3. kriva Γ je rektificijabilna. Ako vredi neki od iskaza (1) – (3), tada je Γ′(θ) = ieiθf ′(eiθ) s.s. (1.12) Dakle, u okviru posledice 1.2, teorema Smirnova govori da je iskaz (2) ekvivalentan iskazu (3). Odredjenu verziju teoreme Smirnova i posledice 1.2 pokazac´emo u narednom poglavlju za harmonijska preslikavanja. 1.1.6 Karakteristika analiticˇkih Hardijevih klasa Kako smo vec´ naveli, ako je f(z) analiticˇka u oblasti D, tada je |f(z)|p subharmoni- jska u D. Ovo znacˇi da je za svaki disk koji se kompaktno sadrzˇi u D, |f(z)|p natkrivena harmonijskom funkcijom – Puasonovim integralom granicˇne funkcije na disku. Naravno, ne mora uvek postojati jedinstvena harmonijska funkcija koja natkriva |f(z)|p u celoj oblasti D. Uopsˇte, proizvoljna funkcija g(z) poseduje harmonijsku majorantu u D ako postoji funkcija U(z) harmonijska u D tako da vredi g(z) ≤ U(z) za sve z ∈ D. Ako je g odozgo poluneprekidna i ako poseduje harmonijsku majorantu, tada je ona ocˇito subhar- monijska u D; medjutim obrnuto nije na snazi. Naredna nejednakost je od koristi: log |f(reiθ)| ≤ 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t) log |f(eit)|dt, (1.13) za sve f ∈ Hp (0 < p ≤ ∞). Neka je sada f(z) analiticˇka funkcija u disku |z| < 1 i neka je U(z) harmonijska majorant za |f(z)|p. Prema teoremi o srednjoj vrednosti, nalazimo Mpp (r, f) ≤ U(0), 0 ≤ r < 1. Obrnuto, ako f ∈ Hp, prema nejednakosti (1.13) i Jensenovoj nejednakosti (za konveksnu GLAVA 1. UVOD 14 funkciju t 7→ exp{p · t}) sledi |f(z)|p = exp{p · log |f(z)|} ≤ exp { p · 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t) log |f(eit)|dt } ≤ 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)|f(eit)|pdt Dakle, |f(z)|p je natkrivena Puasonovim integralom U(z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)|f(eit)|pdt. Zaprvo, mozˇe se proveriti, da je U(z) najmanja harmonijska majoranta za |f(z)|p. Naime, neka je V (z) proizvoljna druga harmonijska majoranta za istu funkciju, tada je U(z) ≤ V (z), |z| < 1. Za sve 0 < ρ < 1 vredi U(z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)|f(eit)|pdt ≤ 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)V (ρeit)dt = V (ρz) Pusˇtajuc´i ρ→ 1−, nalazimo U(z) ≤ V (z). Na osnovu prethodnog, imamo narednu karakteristiku Hardijevih prostora: Analiticˇka funkcija f(z) u disku |z| < 1 pripada prostoru Hp (0 < p < ∞) ako i samo ako |f(z)|p poseduje harmonijsku majorantu u |z| < 1. Ako je U(z) najmanja harmonijska majoranta za |f |p, neposredno sledi ‖f‖p = U(0)1/p. 1.1.7 Kanonska faktorizacija Vratimo se Risovoj teoremi o faktorizaciji (teorema 1.6). Posredstvom ove teoreme dolazi se do kanonske faktorizacije. Neka f(z) 6≡ 0 pripada klasi Hp za izvesno 0 < p ≤ ∞. Prema teoremi 1.5, f(eiθ) ∈ Lp i log |f(eiθ)| ∈ L1. Razmotrimo narednu analiticˇku funkciju u jedinicˇnom disku F (z) = exp { 1 2pi ∫ 2pi 0 eit + z eit − z log |f(e iθ)|dt } (1.14) Neka je, prema teoremi1.6, f(z) = B(z)g(z); dakle g(z) 6= 0 za sve |z| < 1 i |g(eiθ)| = |f(eiθ)| s.s. Prema nejednakosti (1.13), |g(z)| ≤ |F (z)| za sve |z| < 1. Takodje, |g(eiθ)| = |F (eiθ)| s.s., prema posledici teoreme 1.1. Prema tome, ako je eiγ = g(0)/|g(0)|, funkcija S(z) = e−iγg(z)/F (z) je analiticˇka u jedinicˇnom disku i poseduje naredna svo- jstva 0 < |S(z)| ≤ 1, S(eiθ) = 1 s.s., S(0) > 0. GLAVA 1. UVOD 15 Ovo pokazuje da je − logS(z) pozitivna harmonijska funkcija koja se ponisˇtava s.s. u je- dinicˇnoj kruzˇnici. Prema Risovoj teoremi o reprezentaciji i prema teoremi 1.1,− logS(z) se mozˇe predstaviti u formi Puason–Stiltjesovog integrala izvesne neopadajuc´e funkcije µ(t), za koju josˇ vredi µ′(t) = 0 s.s. Kako je S(0) > 0, analiticˇka dopuna S(z) = exp { − ∫ 2pi 0 eit + z eit − z dµ(t) } . (1.15) Sve zajedno, imamo narednu faktorizaciju f(z) = eiγB(z)S(z)F (z). Navedimo terminologiju koja se koristi. Spoljna funkcija za klasu Hp je funkcija koja ima formu F (z) = eiγ exp { 1 2pi ∫ 2pi 0 eit + z eit − z logψ(t)dt } , gde je γ realan broj, ψ(t) ≥ 0, logψ(t) ∈ L1, i ψ(t) ∈ Lp. Dakle, funkcija koja se pojavljuje u (1.14) je spoljna za klasu Hp Unutrasˇnja funkcija je proizvoljna funkcija f(z) analiticˇka u |z| < 1, koja pose- duje naredne dve osobine |f(z)| ≤ 1 i |f(eiθ)| = 1 s.s. Primetimo da smo prethodno pokazali da se svaka unutrasˇnja funkcija mozˇe faktorisati u formi eiγB(z)S(z), gde je B(z) Blasˇkeov proizvod i gde je S(z) funkcija koja ima formu (1.15), µ(t) ogranicˇena neopadajuc´a singularna funkcija (tj. µ′(t) = 0 s.s.). Takva S(z) se naziva singularna unutrasˇnja funkcija. 1.1.8 Klase subharmonijskih funkcija Na ovom mestu je pogodno da uvedemo Hardijeve klase logaritamsko subharmoni- jskih funkcija koje c´e kasinije igrati bitnu ulogu. Funkcija U(z) koja uzima nenegativne vrednosti je log. subharm. u oblasti D ako je U ≡ 0 ili ako je logU(z) subharmonijska u istoj oblasti. Mozˇe se lako proveriti da je suma ili proizvod log. subharm. funkcija takodje log. subharm. (pogledati i prvu lemu koja sledi). Slicˇno, Up je log. subharm. ako je to U , pri cˇemu je p proizvoljan pozitivan broj. Sledec´i [3, 4], koristic´emo oznaku PL za klasu svih neprekidnih log. subharm. funkcija u jedinicˇnom disku. Naredne dve leme se odnose na (logaritamsko) subharmonijske funkcije i bic´e kasnije od koristi. Dokazi se mogu videti, naprimer, u uvodnim delovima Ronkinove monografije [47]. Zapravo, imajuc´i u vidu narednu cˇinjenicu, dovoljno je obe leme razmotriti samo za subharmonijske funkcije: U(z) je log. subharm. ako i samo ako je eαx+βyU(z), z = x+iy GLAVA 1. UVOD 16 subharmonijska za svaki izbor realnih brojeva α i β. Lema 1.3 (videti [47]). Neka je Λ neprazan skup i {Uα(z), α ∈ Λ} familija (logaritam- sko) subharmonijskih funkcija u oblasti D. Tada je U(z) = sup α∈Λ Uα(z) takodje (logaritamsko) subharmonijska u D, ukoliko je odozgo poluneprekidna u istoj oblasti. Lema 1.4 (videti [47]). Neka je U(z, x) odozgo poluneprekidna uD×X , gde jeD oblast i X toplosˇki prostor. Pretpostavimo da je µ konacˇna mera na X . Tada je U(z) = ∫ X U(z, x)dµ(x) (logaritamsko) subharmonijska u D, ukoliko isto svojstvo poseduje Ux = U(x, · ) za s.s. (u odnosu na meru µ) x ∈ X . Za proizvoljno 0 < p ≤ ∞ neka je PLp podklasa PL koju sacˇinjavaju funkcije U ∈ PL za koje integralno usrednjenje Mp(U, r) ostaje ogranicˇeno prilikom r → 1−. Poznato je da U(z) ∈ PLp poseduje radijalnu (i netangencijalnu) granicˇnu vrednost u eiθ za s.s. θ. Granicˇnu funkciju obelezˇavamo sa U(eiθ). Pokazuje se logU(eiθ) ∈ L1 kao i U(eiθ) ∈ Lp. Isto tako, moguc´e je pokazati da vredi konvergenciju u srednjem, drugim recˇima na snazi je verzija teoreme 1.7 za klasu PLp, (0 < p <∞). Iako PLp (0 < p < ∞) nema strukturu linearnog prostora, uvodimo ”normu” na sledec´i nacˇin: ‖U‖p = lim r→1− Mp(U, r) = { 1 2pi ∫ 2pi 0 U(eiθ)pdθ }1/p (druga jednakost sledi iz konvergencije u srednjem). Klase PLp (0 < p ≤ ∞) su izucˇavane, naprimer, od strane Privalova [46]; naprimer, u radu [59] je primec´eno da neka svojstva analiticˇkih Hardjevih klasa vredi i za upravo uvedene Hardijeve klase logaritamsko subharmonijskih funkcija. Naredno jednostavno tvrdjenje bic´e kasnije od koristi. Lema 1.5. Za sve U(z) ∈ PLp (0 < p <∞) postoji F (z) ∈ Hp tako da vredi U(z) ≤ |F (z)|, |z| < 1 i |F (eiθ)| = U(eiθ) s.s. GLAVA 1. UVOD 17 Dokaz. Neka je U(z) ∈ PLp i bez umanjenja opsˇtosti pretpostavimo U 6≡ 0. Oznacˇimo ψ(t) = U(eit). Kako je tada logψ(t) ∈ L1 i ψ(t) ∈ Lp, uzmimo u obzir spolju funkciju F (z) = exp { 1 2pi ∫ 2pi 0 eit + z eit − z logψ(t)dt } . za klasu Hp. Jasno je da vredi |F (eiθ)| = ψ(θ) = U(eiθ) s.s. Kako je logU(z) subhar- monijska u disku |z| < 1, slicˇno kao i (1.13) , mozˇe se pokazati logU(z) ≤ 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t) logU(eit)dt = log |F (z)|, gde je z = reiθ. Dakle, U(z) ≤ |F (z)| za sve |z| < 1. 1.1.9 Klase analiticˇkih funkcija u oblasti U slucˇaju prosto povezane oblasti D sa najmanje dve tacˇke na granici, postoje dva ”prirodna” nacˇina da se uvedu klase analiticˇkih funkcija u tom domenu analogne Hardi- jevim klasama analiticˇkih funkcija u disku. Nevesc´emo obe definicije i dati neophodan i dovoljan uslov za podudaranje. Ne postoji bitna potesˇkoc´a kod definisanja klase H∞(D), svih ogranicˇenih analiticˇkih funkcija u D; recˇ je o linearnom prostoru sa normom ‖f‖ = sup z∈D |f(z)|. Ako je p pozitivan broj, pojavljuju se najmanje dve alternative. Mozˇemo zahtevati ograni- cˇenost familije integrala za |f |p duzˇ krivih koje u izvesnom smislu konvergiraju granici, ili mozˇemo zahtevati da |f |p poseduje harmonijsku majorantu. Poslednja definicija je daleko prostija. Analiticˇka funkcija f(z) u oblastiD pripada klasiHp(D) ako subharmonijska funkcija |f(z)|p poseduje harmonijsku majoranu u D. Norma se mozˇe uvesti na nacˇin: ‖f‖ = U(z0) 1/p, gde je z0 proizvoljna fiksirana tacˇka u D i U(z) najmanja harmonijska majo- ranta za |f(z)|p (u celoj oblasti). Lako je videti da je klasa Hp(D) konformno invari- jantna: ako f ∈ Hp(D) i ako je z = ϕ(w) konformno preslikavanje domena D∗ na D, tada je f ◦ϕ(w) ∈ Hp(D∗). Visˇe od toga, ako je norma u Hp(D∗) definisna posredstvom w0 = ϕ −1(z0), tada je f 7→ f ◦ ϕ izometricˇni izomorfizam. Funkcija f analiticˇka u D pripada kalsi Ep(D) (klasa Smirnova u oblasti D) ako postoji niz rektificijabilnih Jordanovih krivih Γ1, Γ2, . . . u D, koji konvergira granici domena u smislu da unutrasˇnjost Γn sadrzˇi svaki kompaktan podskup oblasti D pocˇevsˇi GLAVA 1. UVOD 18 od nekog indeksa, tako da je za sve n ispunjeno∫ Γn |f(z)||dz| ≤M <∞, gde je M konstanta. Na prvi pogled nije jasno ni da li se Ep(D) podudara sa Hp kada je D jedinicˇni disk. Ispostavlja se da je dovoljno uzeti u obzir krive Γn koje su nivo–krive proizvoljnog (ali istog) konformnog preslikavanja jedinicˇnog diska na oblast D. Ovo izmedju ostalog obezbedjuje dokaz da je klasa Ep(D) linearan prostor (sˇto iz same definicije nije jasno). Teorema 1.13 (Keldisˇ i Lavrentjev; videti [31]). Neka je ϕ(w) proizvoljno konformno preslikavanje diska |w| < 1 na D i neka je Γr kriva koja je slika kruzˇnice |w| = r posredstvom ϕ. Tada za svaku funkciju f ∈ Ep(D) vredi sup 0 0 u celoj oblasti D. (1.17) Uslov (1.17) govori da su tangentni vektori Xx, Xy linearno nezavisi za sve (x, y) ∈ D, odnosno matrica [ Xx Xy ] ima rang dva za sve (x, y) ∈ D. Preslikavanje X(x, y) se naziva parametrizaicja povrsˇi Σ2. Naravno, parametrizacija povrsˇi nije jedinstvena; svaka nova parametrizacija ima formu X ◦ φ, gde je φ difeomorfno preslikavanje oblasti D∗ na D. Prva fundementalna forma povrsˇi Σ2 je odredjena izrazom ds2 = Edx2 + 2Fdxdy +Gdy2; ovde E = 〈Xx, Xx〉 , F = 〈Xx, Xy〉 , G = 〈Xy, Xy〉 zadovoljavaju E > 0, F > 0 i EG− F 2 > 0 svuda u D. Uslov (1.17) se mozˇe zameniti sa √ EG− F 2 > 0. Gausova krivina K(x, y) povrsˇi Σ2 ⊆ R3 se obicˇno uvodi preko prve i druge fun- damentalne forme povrsˇi. Medjutim, za povrsˇi koje nisu smesˇtene u R3 druga funda- mentalna forma se ne definisˇe, jer ona zavisi od Gausove normale koja nije definisana na ocˇigledan nacˇin u Rn, n ≥ 4. Naredna relacija izrazˇava Gausovu krivinu dovoljno glatke regularne povrsˇi posredstvom koeficjenata prve fundamentalne forme K = (EG− F 2)−2 ∣∣∣∣∣∣∣ −1 2 Eyy + Fxy − 12Gxx 12Ex Fx − 12Ey Fy − 12Gx E F 1 2 Gy F G ∣∣∣∣∣∣∣ − (EG− F 2)−2 ∣∣∣∣∣∣∣ 0 1 2 Ey 1 2 Gx 1 2 Ey E F 1 2 Gx F G ∣∣∣∣∣∣∣ . (1.18) Odavde se vidi i alternativan nacˇin da se izrazi fundamentalna teorema Gausa (teorema Egregium) koja govori da Gausova krivina ne zavisi od toga da li je povrsˇ smesˇtena u R3 ili Rn, n ≥ 4. GLAVA 1. UVOD 21 1.2.2 Izotermna parametrizacija Ako je E = G i F = 0, tada parametrizacija X odredjuje izotermalne koordiante ili konformne koordinate na povrsˇi Σ2; kazˇemo josˇ da je X konformna parametrizacija povrsˇi Σ2. Veoma opsˇta teorema govori da bilo koja regularna povrsˇ sa glatkom parametri- zacijom (C1−glatkost) poseduje izotermnu parametrizaciju (u globalu). Ako je E = F = λ, tada se malo pre navedena formula za Gausovu krivinu znatno pojednostavljuje; naime, vredi K = 1 2λ3 (λ2x + λ 2 y − λ4λ). Sledi 4 log λ = λ4λ− (λ 2 x + λ 2 y) λ2 , odakle imamo vazˇnu formulu K = − 1 2λ 4 log λ. 1.2.3 Harmonijske i minimalne povrsˇi Harmonijska povrsˇ smesˇtenaRn je slika vektorsko vrednosne injektivne funkcijeX = (x1, . . . , xn) definisane u prosto povezanoj oblasti sa najmanje dve granicˇe tacˇke. Drugim recˇima, povrsˇ Σ2 je harmonijska povrsˇ ako postoji (neobavezno izotermna) parametrizacija cˇije su sve koordinate harmonijske funkcije. Kako je prosto povezana oblast sa najmanje dve tacˇke na granici konformno ekvivalenta jedinicˇnom disku, dovoljno je razmotriti slucˇaj jedinicˇnog diska kao parametarske oblasti. Harmonijska povrsˇ ne mora obavezno biti regularna, odnosno uslov (1.17) ne mora biti ispunjen, osim ako nije recˇ o ravnom slucˇaju tj. ako je xj ≡ 0 za sve j = 3, . . . , n (prema Levijevoj teoremi [32]). Dakle, harmonijska povrsˇ u smislu nasˇe definicije mozˇe imati tacˇke grananja, tj. tacˇke u kojima se izraz EG− F 2 ponisˇtava. Postoji nekoliko ekvivalentnih nacˇina da se uvede minimalna povrsˇ. Naprimer, do- voljno glatka povrsˇ smesˇtena u R3 je minimala ako je njena srednja krivina jednaka nuli; teorija minimalnih povrsˇi je, naprimer, izlozˇena u Osermanovoj knjizi [42]. Naredna dve teoreme su dobro poznate. Teorema 1.15 (Vajersˇtras; videti [6]). Povrsˇ zadata u izotermnim koordinatama je mini- malna ako i samo ako je harmonijska. Teorema 1.16 (videti [6]). Harmonijska povrsˇ je minimalna ako i samo ako je zadata u izotermnim koordinatama. GLAVA 1. UVOD 22 Svaka prosto povezana minimalna povrsˇ Σ2 poseduje Eneper–Vajersˇtrasovu parame- terizaciju: X(x, y) = (x1(x, y), . . . , xn(x, y)), (x, y) ∈ D za koju vredi xj(x, y) = 0. Bez gubljenja opsˇtosti, mozˇemo pretpostaviti 0 ∈ Dn za sve n. Tada je fn = r−1n (f ◦ gn) homeomorfizam zatvorenog jedinicˇnog diska na sebe. Neka je ϕn = fn|T. Postoji ϕ˜n tako da je ϕn(eit) = eiϕ˜n(t) i tako da je ϕ˜n (striktno) mono- tona funkcija i (F ◦ gn)|T = X ◦ (rnϕn). Prema Helijevoj teoremi o izboru (videti lemu 1.1), postoji konvergentan podniz {ϕ˜nk} niza {ϕ˜n}. Neka je ϕ˜ = limk→∞ ϕ˜nk i ϕ = limk→∞ ϕnk . Tada je ϕ˜ monotona i prema tom ogranicˇene varijacije. Dakle, r−1nk (X −1 ◦ F ◦ gnk)|T → ϕ. Sledi limk→∞(F ◦ gnk) = (X ◦ ϕ), jer je X−1 homeomor- fizam Σ 2 na U. Kako je Γ rektificijabilna kriva prema Sˇeferovoj teoremi [51], funkcija X je ogranicˇene varijacije na T. Dakle, kako je ϕ˜ monotona i prema tome ogranicˇene varijacije, sledi da je preslikavanje Φ = X ◦ϕ takodje ogranicˇene varijacije. Niz funkcija {Fk = (F ◦ gnk)|T} je niz neprekidnih i uniformo ogranicˇenih (sa ‖X‖∞) funkcija i pri tome su F ◦ gnm harmonijske. Prema Lebegovoj teoremi o dominantnoj konvergenciji, nalazimo limk→∞ F ◦ gnk = P[Fk] = P[X ◦ ϕ]. Sledi da je niz {gnm} konvergentan. Uvedimo oznaku g = limk→∞ gnk . Kako je g konformno preslikavanje jedninicˇnog diska na sebe, koje zadovoljava g(0) = 0 i g′(0) > 0, sledi g = Id. Dakle, F = P[Φ] (gde smo stavili Φ = X ◦ϕ). Konacˇno, kako je X neprekidno preslikavanje i funkcija ϕ˜ monotona, mozˇemo zakljucˇiti da je preslikavanje φ neprekidno izuzev u prebrojivo mnogo tacˇaka gde poseduje levu i desnu granicˇnu vrednost. 2.2.2 Verzija teoreme Karateodori Naredna teorema je adaptacija odgovarajuc´eg rezultata za harmonijske funkcije. Teorema 2.2. Neka je F (z) = P[Φ(t)] harmonijska funkcija u jedinicˇnom disku, pri cˇemu je Φ(t) ∈ L1, Φ(0) = Φ(2pi) i neka za izvesno θ0 ∈ [0, 2pi] vredi lim θ↑θ0 Φ(θ) = A0 i lim θ↓θ0 Φ(θ) = B0. GLAVA 2. PRILOG TEORIJI HARMONIJSKIH PRESLIKAVANJA 31 Za λ ∈ [−1, 1], neka je Γλ(t) ⊆ U, 0 ≤ t < 1 luk koji se zavrsˇava u Γλ(1) = eiθ0 i koji formira ugao −piλ 2 sa jedinicˇnom kruzˇnicom u eiθ0 . Tada imamo lim t→1− F (Γλ(t)) = 1 2 (1− λ)A0 + 1 2 (1 + λ)B0. Naravno, ako je A0 = B0 = Φ(θ0) (drugim recˇima ako je Φ neprekidna u θ0), tada je dobro poznato da F poseduje neprekidnu ekstenziju na eiθ0 ∪ U. Ako je F definisana u jedinicˇnom disku U i ako je ζ ∈ T, skup tacˇaka nagomilavanja CU(F, ζ) se definisˇe na sledec´i nacˇin: ω ∈ CU(F, ζ) ako postji niz {zn} ⊆ U tako da je limn→∞ zn = ζ i limn→∞ F (zn) = α. Dobro je poznato da je za sve ζ i F skup CU(F, ζ) neprazan i zatvoren. Teorema 2.3 (videti [29]). Neka je Σ2 Jordanova povrsˇ sa granicom Γ. Neka je F (z) harmonijsko preslikavanje diska |z| < 1 na Σ2 koje se mozˇe predstaviti u formi F (z) = P[Φ](z), gde je Φ kao u teoremi 2.1. Tada imamo: 1. ako Γ ne sadrzˇi deo neke prave, tada F (z) poseduje neprekidnu ekstenziju na |z| = 1; 2. ako je t0 ∈ [0, 2pi] tacˇka prekida za Φ, tada postoje A0 = lim t↑t0 ϕ(t), B0 = lim t↓t0 ϕ(t) i CU(f, e it0) = [A0, B0] ⊆ Γ. Dokaz teoreme 2.3. Neka je θ0 ∈ [0, 2pi] proizvoljno odabrano. Postoje leva i desna granicˇna vrednost φ u tacˇki θ0. Neka je limθ↑θ0 f(e iθ) = A0 i limθ↓θ0 f(e iθ) = B0. Za R ≥ 0 i −1 ≤ λ ≤ 1 neka je zR = e iθ0(1−Re−iλpi2 ). Tada zR → eiθ0 ako R→ 0 i ugao izmedju poluprave ΓR = {zR : 0 ≤ R <∞} u R = 0 i tacˇke eiθ0 jednaks je −λpi/2. Imajuc´i u vidu teoremu 2.2, sledi lim R→0 f(zR) = 1 2 (1− λ)A0 + 1 2 (1 + λ)B0. Dakle, [A0, B0] ⊆ CU(f, eiθ0). Kako je f : U→ Σ2 homeomorfizam, imamoCU(f, eiθ0) ⊆ Γ. Dakle, [A0, B0] ⊆ Γ. Ako Γ ne sadrzˇi nijedan segmenent tada je A0 = B0, drugim recˇima ϕ je neprekidna u eiθ0 . Ovim je ustanovljeno (1). GLAVA 2. PRILOG TEORIJI HARMONIJSKIH PRESLIKAVANJA 32 Da pokazˇemo (2), pretpostavimo [A0, B0] 6⊆ CU(f, eiθ0). Tada postoji ω0 ∈ CU(f, eiθ0)\ [A0, B0]. Mozˇemo pretpostaviti da ω0, A0, B0 lezˇe na granici Γ u pozitivnom smeru i neka je C luk na Γ od ω0 do B0. Prema teoremi 2.2 mozˇemo odabrati Jordanov luk l u U takav da su granicˇne tacˇke za l eiθ1 i eiθ2 i tako da f |l ima neprekidnu ekstenziju na l i f(eiθ1) ∈ Γ \ C, f(eiθ2) lezˇi u unutrasˇnjosti luka od ω0 do A0. Neka je D Jordanov domen omedjen sa l i granicom jedinicˇnog diska koji sadrzˇi eiθ0 na granici. Prema teo- remi 2.2 i prema definiciji skupa CU(f, eiθ0), postoje dva niza {ζn} i {zn} u D tako da je ζn → eiθ0 , zn → eiθ0 , f(ζn)→ tacˇki ω1 ∈ [A0, B0], f(zn)→ ω0. Tada su obe tacˇke ω0 i ω1 na granici za f(D), sˇto je protivrecˇnost. Dakle, CU(f, eiθ0) ⊆ [A0, B0]. Prvi deo teoreme se mozˇe videti kao teorema Karateodori za harmonijska preslika- vanja jedinicˇnog diska na otvorenu Jordanovu povrsˇ omedjenu rektificijabilnom krivom. Teorema koju smo upravo pokalzali generalizuje glavni rezultat Hengartnera i Sˇobera [24], gde autori pokazuju istu teoremu ali za Jordanove oblasti u ravni. 2.2.3 Verzija teoreme Smirnova Da ustanovimo verziju teoreme Smirnova za harmonijska preslikvanja (teorema 2.4), bic´e nam potrebna naredna dva rezultata. Lema 2.1 (videti [29]). Neka je Σ2 Jordanova povrsˇ omedjena krivom Γ i pretpostavimo da je F (z) harmonijsko preslikavanje diska |z| < 1 na Σ2. Dalje, neka je Γr = F (|z| = r), 0 < r < 1 familija krivih na povrsˇi Σ2. Tada je niz duzˇina {|Γr|} rastuc´i u odnosu na r i pri tome je |Γr| ≤ |Γ|, (2.3) pri cˇemu podrazumevamo |Γ| =∞ ako kriva Γ nije rektificijabilna. Dokaz. Pretpostavic´emo da je Γ rektificijabilna. Postoji Φ(t) ogranicˇene varijacije tako da je F (z) = P[Φ(t)] (prema teoremi 2.1). Imajuc´i u vidu (2.2), upotrebom parcijalne integracije, sledi da se ∂θF (z) mozˇe napisati kao Puason–Stiltjesov integral za Φ(t): ∂θF (z) = 1 2pi ∫ 2pi 0 ∂θP (r, θ − t)Φ(t)dt = − 1 2pi ∫ 2pi 0 ∂tP (r, θ − t)Φ(t)dt = −(2pi)−1P (r, θ − t)Φ(t)∣∣2pi t=0 + 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dΦ(t) = 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dΦ(t) = PS[Φ(t)](z), pri cˇemu je z = reiθ. Oznacˇimo sa TΦ(t) = Vt0(Φ(t)) totalnu varijaciju funkcije Φ(t) u GLAVA 2. PRILOG TEORIJI HARMONIJSKIH PRESLIKAVANJA 33 segmentu [0, t] (0 ≤ t ≤ 2pi). Dalje imamo |∂θf(z)| ≤ 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dTΦ(t). Kako je 1 2pi ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dθ = 1, primenom Fubinijeve teoreme nalazimo |Γr| = ∫ 2pi 0 |∂θF (reiθ)|dθ = 1 2pi ∫ 2pi 0 dθ ∣∣∣∣∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dΦ(t) ∣∣∣∣ ≤ 1 2pi ∫ 2pi 0 dθ ∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dTΦ(t) = ∫ 2pi 0 1 2pi {∫ 2pi 0 P (r, θ − t)dθ } dTΦ(t) ≤ ∫ 2pi 0 dTΦ(t) ≤ V2pi0 (Φ(t)) ≤ |Γ|; zapravo, lako je proveriti da vredi V2pi0 (Φ(t)) = |Γ|. Medjutim, |Γ| 6= ∫ 2pi 0 |Φ′(t)|dt, jer u opsˇtem slucˇaju, Φ ne mora biti apsolutno neprekidna. Kako je ∂tF (z) (vektorsko vrednosna) harmonijska funkcija, sledi da je |∂tF | subhar- monijska funkcija u jedinicˇnom disku, prema tome |Γr| raste sa porastom r. Lema 2.2 (videti [29]). Neka je Σ2 Jordanova povrsˇ omedjena krivom Γ i neka je F (z) preslikavanje diska |z| < 1 na Σ2. Pretpostavimo da F (z) ima neprekidnu ekstenziju na |z| = 1, izuzev u najvisˇe prebrojivo mnogo tacˇaka {an}, pri cˇemu je skup tacˇaka nagomilavanja CU(F, an) segment. Dalje, pretpostavimo da su krive Γr, 0 < r < 1 definisane na nacˇin Γr = f(|z| = r) rektificijabilne. Tada je lim sup r→1 |Γr| ≥ |Γ|, pri cˇemu, ako Γ nije rektificijabilna, uzimao |Γ| =∞. Dokaz. Neka je d(x, y) = |x− y| euklidsko rastojanje izmedju tacˇaka x, y ∈ Rn i E = ⋃ k≥1 CU(f, ak). Neka je ε > 0 fiksirano i pretpostavimo da je Γ rektificijabilna (ako nije, dokaz je slicˇan). GLAVA 2. PRILOG TEORIJI HARMONIJSKIH PRESLIKAVANJA 34 Postoje ω0, ω1, . . . , ωn ∈ Γ tako da vredi n∑ j=0 d(ωj, ωj+1) > |Γ| − ε/2, gde smo stavili ωn+1 = ω0. Mozˇemo pretpostaviti, bez umanjena opsˇtosti, da se nijedna od njih ne sadrzˇi u E. Buduc´i da f poseduje neprekidnu ekstenziju na granicu povrsˇi Σ2 iskljucˇujuc´i seg- mente, mozˇemo nac´i tacˇke ζj ∈ T tako da je f(ζj) = ωj za sve j = 0, 1, . . . , n. Neka je ω′j = f(rζj) ∈ Γr. Rastojanje izmedju rζj i ζj je 1 − r za sve j. Kako je n fiksirano, postoji r dovoljno blisko 1 tako da vredi sn = n∑ j=0 d(ω′j, ωj) < ε/4. Primenjujuc´i nejednakost trougla nalazimo d(ωj, ωj+1) ≤ d(ωj, ω′j) + d(ω′j, ω′j+1) + d(ω′j+1, ωj+1). Sledi |Γr| ≥ n∑ j=0 d(ω′j, ω ′ j+1) ≥ n∑ j=0 d(ωj, ωj+1)− 2sn > |Γ| − ε. Kako ε mozˇemo birati proizvoljno, imamo lim sup r→1− |Γr| ≥ |Γ|. Teorema 2.4 (videti [29]). Neka je Σ2 Jordanova povrsˇ omedjena krivom Γ i neka je F (z) harmonijsko preslikavanje diska |z| < 1 na Σ2. Pretpostavimo da su Γr, 0 < r < 1 krive definisane na nacˇin Γr = F (|z| = r). Tada ∂tF ∈ h1 ako i samo ako je Γ rektificijabilna. U ovom okruzˇenju, |Γr| → |Γ| kada r → 1−. Dokaz teoreme 2.4. Ako je Γ rektificijabilna kriva, prema lemi 2.1 imamo |Γr| ≤ |Γ|, sˇto znacˇi ∫ 2pi 0 |∂tf(reit)|dt ≤ |Γ| <∞. Dakle, ∂tf ∈ h1. Obrnuto, ako ∂tf ∈ h1, tada postoji Φ(t) ogranicˇene varijacije tako da je ∂tF (z) = PS[Φ(t)], odnosno vektorsko vrednosnom Puason–Stiltjesovom integralu za Φ. Neka je U(z) = P[Φ(t)]. Tada je ∂tU(z) = ∂tF (z). Buduc´i da je harmonijski konjugovana GLAVA 2. PRILOG TEORIJI HARMONIJSKIH PRESLIKAVANJA 35 funkcija ∂tU(z) = ∂tF (z) jedinstvena, sledi r∂rU(z) = r∂rF (z). Prema tome, imamo ∂tU(z) = ∂tF (z) i ∂rU(z) = ∂rF (z). Dakle, postoji (vektorsko vrednosna) konstanta C koja zadovoljava F (z) = U(z) + C = P[Φ + C](z). Sada je prema teoremi 2.3, Ψ := Φ +C preslikava [0, 2pi] u Γ i sve pretpostavke leme 2.2 su zadovoljne. Prema ovoj lemi i lemi 2.1, |Γ| je konacˇno. Buduc´i da imamo harmonijsku parametrizaciju, |Γr| je rastuc´a po 0 < r < 1. Sledi limr→1− |Γr| ≤ |Γ| (prema lemi 2.1). Obrnutu nejednakost imamo prema drugoj lemi 2.2. Dakle, limr→1− |Γr| = |Γ|. Teorema Smirnova za konformna preslikavanja mozˇe se pokazati za odgovarajuc´u klasu analiticˇkih prelikavanja jedinicˇnog diska u Cn zahtevajuc´i da je slika diska razapeta rektificijabilnom Jordanovom konturom. Ovaj rezultat je ustanovljen od strane Globevnika i Stouta [21]. Teorema Smirnova se takodje mozˇe pokazati za klasu harmonijskihK−kvazi- konformnih preslikavanja i klasu (K,K ′)−kvazikonformnih harmonijskih preslikavanja [30, 43]. Mi smo pokazali veriziju teoreme Smirnova za harmonijska preslikavanja, koja, naravno, nisu uvek kvazikonformna i prema tome, u izvesnom smislu, nasˇe pretpostavke su optimalne. Primetimo da sledi: Posledica 2.1 (videti [29]). Neka je Σ2 Jordanova povrsˇ omedjena krivom Γ i F (z) har- monijsko preslikavanje diska |z| < 1 na Σ2. Ovi iskazi su medjusobno ekvivalentni: 1. postoji funkcija Φ(t), Φ(0) = Φ(2pi) ogranicˇene varijacije tako da vredi F (z) = P[Φ(t)](z); 2. ∂tF ∈ h1; 3. Γ je rektificijabilna. Ako vredi neki od prethodnih uslova, tada je |Γ| = V2pi0 (Φ(t)). Prethodna posledica se mozˇe uporediti sa posledicom 1.2. Parametrizacija krive Γ koju inducira preslikavanjeF nije uvek apsolutno neprekidno (ili cˇak neprekidna, naprimer ako Γ sadrzˇi segmente). Medjutim, ako je n = 2 i ako je pri tome F konformno preslika- vanje, tada ono indukuje na Γ apsolutno neprekidnu parametrizaciju krive Γ (posledica 1.2). Dakle, postoji razlika izmedju harmonijskih i konformnih preslikavanja u pogledu apsolutne neprekidnosti granicˇne fu-nkcije. GLAVA 2. PRILOG TEORIJI HARMONIJSKIH PRESLIKAVANJA 36 Visˇe od toga, ako je Σ2 minimalma povrsˇ omedjena rektificijabilnom krivom Γ, tada je parametrizacija krive Γ inducirana izotermnim koordinatama povrsˇi Σ2 takodje apsolutno neprekidna [55]. 2.3 Izoperimetrijska nejednakost i harmonijske povrsˇi 2.3.1 Jordanove harmonijske povrsˇi Jordanova povrsˇ Σ2 je Jordanova harmonijska povrsˇ ako postoji harmonijska parametri- zacija X : U 7→ Σ2. Primetimo da poslednje preslikavanje ne mora posedovati homeo- morfnu ekstenziju na U. Isto tako, ono ne mora biti regualrno preslikavanje. Za kon- traprimer videti [17] kao i sledec´i. Primer 2.1 (videti [17]). Neka je m > 2 ceo broj, 0 = θ0 < θ1 < · · · < θm+1 = 2pi i definisˇimo ϕ = m∑ j=0 θjχ[θj ,θj+1]. Tada je f = P[φ], φ(t) = eiϕ(t) harmonijsko preslikavanje (difeomorfizam) jedinicˇnog diska na Jordanovu oblast koju zatvaraju poligonlanle linije sa vrhovima u tacˇkama eiθj , j = 0, 1, 2, . . . ,m. Ovaj primer se mozˇe lako modifikovati do preslikavanja jedinicˇnog diska na harmonijsku povrsˇ Σ2, kako sledi. Neka je F (z) = (h(z), 0 i 0 < r < 1 uzmimo u obzir harmonijsko preslikavanje Xε,r(x, y) = (X(rx, ry), εx, εy), koje definisˇe regularnu harmonijsku parametrizaciju nove Jordanove harmonijske povrsˇi Σ2ε,r = Xε,r(U) (koja pri tome ima analiticˇku granicu). Kako je Gausova krivina za Σ2ε,r nepozitivna (lema 2.4), primenom klasicˇnog rezultata Bekenbaha i Radoa, nalazimo 4pi|Σ2ε,r| ≤ |Γε,r|2. (2.5) Pusˇtajuc´i prvo ε→ 0, potom r → 1, prema teoremi 2.4, dolazimo do (2.4). Dajemo i drugi dokaz ove teoreme pozivajuc´i se na glavni rezultat Besona [5] i nasˇu teoremu 2.4. Kako Xεr konvergira ka X i kako |Γ2ε,r| konvergira ka |Γ|, sledi da |Σ2ε,r| tezˇi |Σ2|; imajuc´i u vidu (2.5), nejednakost (2.4) sledi direktno. Primedba 2.1. Teorema 2.5 se mozˇe videti kao varijacija jedne od teorema koja pripada Sˇifmanu [53]. U cilju uspostavljanja klasicˇne izoperimetrijske nejednakosti za harmoni- jske povrsˇi, Sˇifman je za pretpostvaku uzeo da je harmonijska parametrizacija X home- omofizam tako da X|T ∈ BV. Nasˇ dokaz (videti teoremu 2.3) pokazuje da je ovaj uslov suvisˇan, ako razmatramo Jordanovu harmonijsku povrsˇ sa rektificijabilnom granicom. Primedba 2.2. U Kurantovoj monografiji (videti dokaz [13, Teorema 3.7]), koja je pub- likovana nekoliko godina posle citiranog Sˇifmanovog rada, pokazuje se da za povrsˇ sme- sˇtenu u R3 vredi naredna nejednakost 4|Σ2| ≤ |Γ|2, uz uslov Σ2 = X(U), gde je X harmonijska parametrizacija sa apsolutno neprekidnim granicˇnim vrednostima. Glava 3 Analiticˇka izoperimetrijska nejednakost za funkcije na polidisku Izlozˇic´emo prvo kratku pozadinu problema koji c´e nas zanimati u ovoj glavi. Ukratko, glavni objekti nasˇeg daljeg istrazˇivanja su generelizacije Karlemanove nejednakosti za analiticˇke funkcije visˇe promenjivih, kao i ekstremalni problemi koji su povezani sa tim nejednakostima. Na kraju, sledec´i [35], dolazimo do nove analiticˇke izoperimetrijske nejednakosti za funkcije na polidsiku. 3.1 Pozadina Polazimo od jednog rezlutata koji su ustanovili Mateljevic´ i Pavlovic´, kao i Burbea. Recˇ je o narednoj tacˇnoj nejednakosti m− 1 pi ∫ |z|<1 |f(z)|mp(1− |z|2)m−2dA(z) ≤ ‖f‖mpp ; (3.1) ovde je f ∈ Hp, p je pozitivan, dok je m ≥ 2 ceo broj. Ekstremalne funkcije su iste one koje se pojavljuju u posebnom slucˇaju m = 2 prethodne nejednakosti, kada imamo modernu varijantu Karlemanove. Interesantno je da postoji veza izmedju (3.1) i jednog Rudinovog problema, kako je to primec´eno od strane Mateljevic´a i Pavlovic´a [39]. Pristup Burbee [11] u otktivanju (3.1) je drugacˇiji i bio je motivisan drugim razlozima. Da bismo videli o cˇemu se radi, navesˇc´emo prvo definiciju Hardijevih klasa na polid- sku Un. Neka je dmn normalizovana Lebegova mera na torusu Tn. Za pozitivan broj p, Hardijeva klasa Hp(Un) obuhvata funkcije f(z) = f(z1, . . . , zn) analiticˇke u Un koje 41 GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 42 zadovoljavaju ‖f‖p = sup 0≤r<1 Mp(r, f) = sup 0≤r<1 {∫ Tn |f(rζ)|pdmn(ζ) }1/p <∞; klasa H∞(Un) se sastoji od svih ogranicˇenih funkcija analiticˇkih u jedinicˇnom polidisku. Za teoriju funkcija u polidisku upuc´ujemo na Rudinovu monografiju [48]. Za konkretne vrednosti n = 2 i p ∈ {1, 2}, Rudin [48, str. 53 i 69] je pokazao da, ako f ∈ Hp(Un), tada g(z) = f(z, . . . , z) pripada Bergmanovom prostoru Lpa. Na istom mestu je postavljen problem da se ovaj rezultat razmotri za druge vrednosti p i n. Kasnije, u [18] je pokazano sledec´e: neka je 0 < p ≤ p′ <∞ i n ≥ 2, tada∫ |z|<1 |g(z)|p′(1− |z|2)np′/p−2dA(z) <∞ za sve f ∈ Hp(Un). Zapravo, pokazano je mnogo visˇe. Oznacˇimo sa DnF (z) = F (z, . . . , z) dijagonalno preslikavanje; Dn prevodi analiticˇke funkcije u polidisku Un u analiticˇke funkcije u disku U. Za 0 < p < ∞, Dn je ogranicˇen linearan operator koji preslikava Hp(Un) u Lpa,n−2. Drugim recˇima, postoji konstanta C tako da za sve F ∈ Hp(Un) vredi ‖DnF‖pp,n−2 = n− 1 pi ∫ |z|<1 |(DnF )(z)|p(1− |z|2)n−2dA(z) ≤ C‖F‖pp. (3.2) Kako je pokazano u [25], Dn : Hp(Un) 7→ Lpa,n−2 je i sirjektivan operator za sve p ≥ 1. Rezultati koje smo naveli ponovo su dobijeni novim pristupom od strane Sˇapiroa [52]. Mateljevic´ i Pavlovic´ [39] su izveli (3.1) razmatrajuc´i Rudinov problem. Analizirajuc´i stepeni red funkcije analiticˇke u jedinicˇnom polidisku, uvideli su da je nejednakost (3.2) tacˇna za C = 1 i za paran ceo broj p ≥ 2. Dalje su primetili da ako se za f ∈ Hp postavi F (z) = F (z1, . . . , zn) = f(z1) · · · f(zn) u (3.2), dolazimo upravo do (3.1) za m = n i p = 2; F ∈ Hp(Un) se mozˇe proveriti primenom Fubinijeve teoreme. Nejednakost (3.1), kao i njena tacˇnost, za ostale vrednosti p sada sledi prema Risovoj teoremi o faktorizaciji. U [11], koji se uglavnom bazira na njegovom ranijem radu [9], Burbea je pimetio da je moguc´e izvesti (3.1), uz malo napora, iz njegovih ranijih rezultata. Interesantno je pomenuti da je incijalni Burbein motiv za radove koji su se pojavili pocˇetkom osamdesetih GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 43 bio da se ustanovi visˇedimenzionalna verzija nejednakosti q − 1 pi ∫ |z|<1 | exp f(z)|2(1− |z|2)q−2dA(z) ≤ exp { 1 qpi ∫ |z|<1 |f ′(z)|2dA(z) } , gde je q > 1 realan broj i f(z) funkcija analiticˇka u disku |z| < 1 sa konacˇnim Dirih- leovim integralom koja josˇ zadovoljava f(0) = 0. Jednakost vredi ako i samo ako je f(z) moguc´e izraziti u formi f(z) = q log 1 1− zw za izvesno |w| < 1. Upuc´ujemo na rad Saitoa [50], gde se nejednakost pojavljuje prvi put. Medjutim, Saitov dokaz njegove nejednakosti (tacˇnije, dela koji se odnosi na jednakost) je bio krajnje slozˇen; Burbein dokaz [9] je jednostavniji, u ovom radu je pokazana gen- eralizacija i resˇen je odgovarajuc´i ekstremalni problem za visˇedimenzionalne Dirihleove prostore. Dakle, nejednakost (3.1) i ekstremalne funkcije mogu se videti kao posledica narednog tvrdjenja. Teorema 3.1 (videti [11]). Neka je m ≥ 2 ceo broj i fj(z) ∈ Hpj (0 < pj < ∞) za sve j = 1, 2, . . . ,m. Tada m∏ j=1 |fj|pj ∈ L1m−2 i ∫ |z|<1 { m∏ j=1 |fj(z)|pj } dam−2(z) ≤ m∏ j=1 ‖fj‖pjpj . Jednakost vredi ako i samo ako je ili ∏m j=1 fj ≡ 0 ili ako svaka od funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) ima formu fj(z) = cjKw(z) 2/pj za izvesno (zajednicˇko) |w| < 1 i cj 6= 0; ovde K(z, w) = (1 − zw)−1 ima ulogu Kosˇi– Segovog jezgra. Slucˇaj u teoremi 3.1: ”pj = 2 za sve j = 1, 2, . . . ,m”, koji c´emo zvati Hilbertov, mozˇe se izvesti iz dosta opsˇteg razmatranja koje ukljucˇuje teoriju reproduktivnih jezgara. Ovo je razlog zbog kojeg se u formulaciji teoreme pojavljuje Kosˇi–Segovo jezgro. Metod prezentujemo u narednom odeljku i to je kljucˇni momenat u dokazu teoreme 3.1; teorema se potom pokazuje na nacˇin koji je uobicˇajen, primenom Risove teoreme o faktorizaciji – pristup koji je takodje upotrebio Burbea [11]. Kasnije, u cˇetvrtom odeljku, prezentujemo pristup koji ne koristi faktorizaciju, uspostavljajuc´i nejednakost u teoremi 3.1 za funkcije koje pripadaju Hardijevoj klasi subharmonijskih funkcija PL1. GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 44 Od interesa je primetiti da je teorema 3.1, zapravo, ekvivalentna sa nejednakosˇc´u (3.1) uzeta sa odgovarajuc´im tvrdjenjem za jednakost. Ovo je primec´emo i ukazano nam od strane profesora Pavlovic´a. Naime, neka je fj (j = 1, 2, . . . ,m) kao u teoremi. Kako smo vec´ rekli, dovoljno je razmotriti Hilbertov slucˇaj i mozˇemo josˇ pretpostaviti da se fj(z) (j = 1, 2, . . . ,m) ne ponisˇtava nigde u disku. Neka je g(z) = (f1(z)f2(z) · · · fm(z))1/m, pri cˇemu uzimamo neku granu korene funkcije. Primenom Holderove nejednakosti, nalaz- imo ‖g‖m2 = ‖gm‖2/m = ∥∥∥∥∥ m∏ j=1 fj ∥∥∥∥∥ 2/m ≤ m∏ j=1 ‖fj‖2 <∞. Dakle, g ∈ H2. Primenom (3.1) za p = 2 i f = g, potom poslednje nejednakosti, sledi ∫ |z|<1 { m∏ j=1 |fj(z)|2 } dam−2(z) = ∫ |z|<1 |g(z)|2mdam−2(z) ≤ ‖g‖2m2 ≤ m∏ j=1 ‖fj‖22. Ako se jednakost dostizˇe na svakom mestu u gornjem nizu, tada se iz druge relacije mozˇe zakljucˇiti da je to slucˇaj ako i samo ako je ili g ≡ 0 ili g(z) = λ(1 − zw)−1 = λKw(z) za |w| < 1 i nenultu konstantu λ, prema delu koji govori o jednakosti u (3.1). Ukoliko je g ≡ 0, jasno je da mora biti fj ≡ 0 za isvesno 1 ≤ j ≤ m. Imajuc´i u vidu slucˇaj jednakosti u Holderovoj nejednakosti, povezanost izmedju g i fj (j = 1, 2, . . . ,m) i cˇinjenicu: ako su ϕ(z) i ψ(z) analiticˇke funkcije disku |z| < 1 i ako je |ϕ(z)| = |ψ(z)| za sve |z| < 1, tada je ϕ = αψ za izvesnu konstantu |α| = 1, neposredno sledi da jednakost vredi na trec´em mestu ako i samo ako je fj(z) = cjKw(z) za sve j = 1, 2, . . . ,m, pri cˇemu je cj nenulta konstanta. Dakle, ovim smo izveli teoremu 3.1 iz (3.1) i odgovarajuc´eg tvrdjenja za jednakost. Prema samoj definiciji Bergmanovih prostora, (3.1) je moguc´e predstaviti u formi ‖f‖mp,m−2 ≤ ‖f‖p, f ∈ Hp. (3.3) Iz (3.3) sledi Hp ⊆ Lmpa,m−2. (3.4) Visˇe od toga, sledi da je norma inkluzivnog operatora jednaka jedinici, buduc´i da je ne- jednakost (3.3) tacˇna. Inkluzija koja je nadjena nije iznenadjenje i ona sledi iz Djurenove generalizacije GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 45 poznate Karlesonove teoreme [15, 16]. Informativno, neka je 0 < p ≤ p′ < ∞ i µ konacˇna (pozitivna) mera na disku |z| < 1. Tada postoji konstanta C = C(µ) tako da vredi {∫ |z|<1 |f(z)|p′dµ(z) }1/p′ ≤ C‖f‖p, f ∈ Hp ako i samo ako je µ p′/p−Karlesonova mera. Ako je p = p′, imamo Karlesonovu teoremu. Mozˇe se proveriti da je dam−2 m−Karlesonova za sve m ≥ 2 i potom sledi (3.4). Med- jutim, ovo razmatranje je veoma opsˇteg karaktera i nije od pomoc´i u nalazˇenju norme inkluzivnog operatora (ili sˇto je isto, tacˇne izoperimetrijske konstante) i ekstremalnih funkcija. Ovo poglavlje sadrzˇi josˇ tri odeljka. Drugi odeljak je posvec´en prenosˇenju Hilber- tovog slucˇaja Karlemanove nejednakosti u veoma opsˇtem kontekstu. Pokazujemo verz- iju za funkcije analiticˇke u proizvoljnoj kompletnoj Reinhardtovoj oblasti u Cn. Sledec´i Burbein pristup [9], ovde pokazujemo nesˇto opsˇtiju formu i dajemo jednostavniji dokaz. Burbea je upoterebio ovu formu nejednakosti zajedno sa jednim njenim analogom (videti takodje citiran radi) za izvodjene ineresnatnih nejednakosti izmedju funkcija koje pri- padaju raznim prostorima analiticˇkih funkcija sa Hilbertovom strukturom (izmedju ostlog, Saitove nejednakosti). Posebno, jedna primena dovodi do nejednakosti izoperimetrijskog tipa za funkcije koje pripadaju H2(Un). U cˇetvrtom odeljku nasˇ cilj je pokazati novu formu i to za funkcije koje pripadaju Hp(Un); takodje, cilj je odrediti sve ekstremalne funkcije za novu formu izoperimetrijske nejednakosti. Buduc´i da ne postoji direktan ana- log Risove teoreme o faktorizaciji za Hardijeve prostore na polidisku, ovaj problem je nesˇto tezˇi. 3.2 Karlemanova nejednakost i teorija reproduktivnih jezgara Izlozˇic´emo prvo osnovne teorije reproduktivnih jezgara sledic´i Aronsajzov rad [2], gde je teorija dobila svoje uporisˇte. Nama je ona potrebna radi odredjenih prelimi- narnih rezultata. Posle toga pokazujemo Karlemanovu nejednakosti u formi nejednakosti izmedju analiticˇkih funkcija u proizvoljnoj kompletnoj Reinhahdtovoj oblasti. 3.2.1 Reproduktivna jezgara Neka jeH Hilbertov prostor koji se sastoji od kompleksno vrednosnih funkcija defin- isanih u nekom nepraznom skupu X . Oznacˇimo sa 〈f, g〉 , f, g ∈ H unutrasˇnji proizvod i neka je ‖f‖ = 〈f, f〉1/2 norma na H generisana skalarnim proizvodom. K(x, y) : GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 46 X ×X 7→ C je reproduktivno jezgro zaH ako vredi: 1. za sve z ∈ X, Kz(w) = K(z, w), kao funkcija promenjive w, pripadaH; 2. svojstvo reproduktivnost; za sve z ∈ X i sve f ∈ H, f(z) = 〈f,Kz〉 . (3.5) Primenom (3.5) za Kz i w, nalazimo Kz(w) = 〈Kz, Kw〉 , z, w ∈ X. Prema prvom svojstvu, imamo K(z, w) = 〈Kz, Kw〉 za sve z, w ∈ X . Prema prethodnoj relaciji, za sve z ∈ X sledi ‖Kz‖ = 〈Kz, Kz〉1/2 = K(z, z)1/2. (3.6) Hilbertov prostor H koji se sastoji od funkcija definisanih u nepraznom skupu X naziva se Hilbertov prostor sa reproduktivnim jezgrom (HPRJ), ako postoji reproduktivno jezgeroK zaH. Hilbertov prostor sa reproduktivnim jezgromK oznacˇavamo saHK(X). Korespodentnu normu sa ‖ · ‖K (ili ‖ · ‖HK ) i unutrasˇni proizvod sa 〈·, ·〉K (ili eventualno 〈·, ·〉HK , ako je to potrebno radi jasnoc´e). Ukoliko Hilbertov prostorH funkcija na skupu X dopusˇta reproduktivno jezgro, tada je ono jedinstveno. Naime, neka je K(z, w) reproduktivno jezgro za H i neka isto vredi za K ′(z, w). Tada, za sve z ∈ X , primenom drugog svojstva za K i K ′, nalazimo ‖Kz −K ′z‖2 = 〈Kz −K ′z, Kz −K ′z〉 = 〈Kz −K ′z, Kz〉 − 〈Kz −K ′z, K ′z〉 = (Kz −K ′z)(z)− (Kz −K ′z)(z) = 0 Dakle, Kz = K ′z (Kz(y) = K ′ z(w) za sve w ∈ X). Ovo znacˇi K(z, w) = K ′(z, w) za sve z, w ∈ X . Pokazuje se naredna fundamentalna cˇinjenica: Teorema 3.2. Hilbertov prostor H funkcija definisanih na X , poseduje reproduktivno GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 47 jezgro K (odnosnoH je HPRJ) ako i samo ako je funkcional evaluacije H 3 f 7→ f(z) ogranicˇen linearan funkcional za sve z ∈ X). Neka je X proizvoljan skup i neka je K : X×X → C jezgro na X (tj. neka poseduje svojstva 1. i 2.). Jezgro K se naziva pozitivno definitno jezgro ako za proizviljan konacˇan skup tacˇaka {y1, , . . . , yn} ⊆ X i kompleksne brojeve ε1, . . . , εn vredi n∑ i, j=1 εiεjK(yi, yj) ≥ 0. Josˇ se kazˇe da je K pozitivno definitivna matrica u smislu Mura. U teoriji reproduktvnih jezgrara pokazuju se naredna dva tvrdjenja. Teorema 3.3. Reproduktivno jezgro K za HPRJ HK je pozitivno definitivna matrica (u smislu Mura). Vredi i obrnuto, za proizvoljno pozitivno definitno jezgroK : X×X 7→ C, postoji jedinstven HPRJ HK koji se sastoji od funkcija na X , cˇije je reproduktvno jezgro upravo K. Teorema 3.4. HPRJ HK(D) se sastoji od analiticˇkih funkcija u oblasti D ako i samo ako je jezgro K je seskvi analiticˇko i lokalno ogranicˇeno u D. 3.2.2 Prostori analiticˇkih funkcija u kompletnoj Reinhardtovoj oblasti OblastD ⊆ Cn se naziva kompletna Reinhardtova oblast ako z ∈ D povlacˇi z ·w ∈ D za sve w ∈ Un; koristimo oznaku · za sledec´u operaciju na Cn: z · w = (z1w1, , . . . , znwn), gde je w = (w1, . . . , wn). konjugovan vektor sa w; ovde su z = (z1, . . . , zn) i w = (w1, . . . , wn) koordinatne reprezentacije za z i w u standardnoj bazi prostora Cn (posmatran kao vektorski pros- tor nad poljem C). Iz same definicije sledi da je kompletna Reinhardtova oblast zvezdast skup koji sadrzˇi 0 ∈ Cn. Jedno od dobro poznatih tvrdjenja u teoriji analiticˇkih funkcija visˇe promenjivih jeste da se funkcija f analiticˇka u takvom domenu D mozˇe predstaviti u GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 48 formi stepenog reda f(z) = ∑ α aαz α, z ∈ D. (3.7) Pri tome podrazumevamo da je konvergencija uniforma (i absolutna) na kompaktnim pod- skupovima D. Dakle, prostor svih analiticˇkih funkcija u oblasti D, koji oznacˇavamo sa H(D), mozˇe se videti kao zatvorenje (u lokalno uniformnoj topologiji D) linearnog pros- tora koji je generaisan skupom {zα : α ∈ Zn+}. Za koeficjente stepenog reda (3.7) vredi aα = aα(f) = ∂αf(0) α! , α ∈ Zn+. Do kraja ovog odeljka, ozanaka D bic´e rezervisana za Reinhardtov domen. Uvedimo dve klase analiticˇkih funkcija u D, P(D) i P∞(D) ⊆ P(D). Klasa P(D) se sastoji od svih φ cˇiji stepeni red φ(z) = ∑ α∈Zn+ cαz α, z ∈ D, ispunjava uslov cα > 0 za sve α ∈ Zn+. Podklasu P∞(D) definisˇemo zahtevom: φ ∈ P(D) pripada P∞(D) ako je φ(ζ · ζ) =∞ za sve z ∈ ∂D. Funkciji φ ∈ P(D) pridruzˇimo Kφ(z, w) = φ(z · w), z, w ∈ D. Lako se proverava daKφ(z, w) zadovoljava pretpostavke teoreme 3.3 i teoreme 3.4. Sledi da postoji jedinstven HPRJ za koje je Kφ reprodkutivno jezgro. Visˇe od toga, kako je Kφ, prema teoremi 3.4, sledi da je prostor HKφ sastvaljen od analiticˇkih funkcija u oblasti D. Sledec´a lema blizˇe opisuje prostorHKφ , generisan jezgrom Kφ. Lema 3.1. Neka φ ∈ P(D). ProstorHKφ se poklapa sa Hilberovim prostorom Hφ = {f ∈ H(D) : ‖f‖φ <∞}; ovde smo za f ∈ H(D), cˇiji je stepeni red f(z) = ∑ aαzα, z ∈ D, oznacˇili ‖f‖2φ = ∑ α∈Zn+ c−1α |aα|2, (3.8) GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 49 normu generisanu unutrasˇnjim proizvodom 〈f, g〉φ = ∑ α∈Zn+ c−1α aαbα, (3.9) pri cˇemu je g(z) = ∑ α∈Zn+ bαz α, z ∈ D. Zapravo, unutrasˇnji proizvod (i korespodentna norma) zaHKφ iHφ su isti. Dokaz. Lako se proverava da je Hφ Hilbertov prostor sa unutrasˇnjim proizvodom (3.9). Proverimo da je H Hilbertov prostor sa reproduktivnim jezgrom; za sve ζ ∈ D i f ∈ Hφ nalazimo f(ζ) = ∑ α∈Zn+ aαζ α = ∑ α∈Zn+ c−1α (aαcαζ α) = 〈 f, φ( · ζ)〉 φ . Dakle, |f(ζ)| ≤ φ(ζ · ζ)1/2‖f‖φ (ζ ∈ D, φ ∈ Hφ); primenili smo Kosˇi–Sˇvarcovu nejednakosti i ‖φ( · ζ)‖φ = φ(ζ · ζ)1/2. Ovo pokazuje da je funkcional evaluacije ogranicˇen na Hφ. Sledi da Hφ poseduje reproduktivno jezgro. Kako se reproduktivna jezgra poklapaju, Kφ = φ( · ζ), sledi poklapanje i dva Hilbertova prostora. 3.2.3 Karlemanova nejednakost Dolazimo do glavnog dela ovog odeljka. Recˇ je o teoremi 3.6 koja uspostavlja tacˇnu nejednakost izmedju funkcija koje pripadaju razlicˇitim HPRJ analiticˇkih funkcija u proi- zvoljnoj Reinhardtovoj oblasti. Teoremu pokazujemo oslanjajuc´i se na prethodno izlozˇeno i primenom Karlemanove ideje [12]. Susˇtina se nalazi u narednom rezultatu, koji je pogodniji za poredjenje sa originalnom Karlemanovom nejednakosˇc´u. Primetimo prvo da φ, ψ ∈ P(D)(P∞(D)) povlacˇi φψ ∈ P(D)(P∞(D)). Prema ovoj primedbi i lemi 3.1 imamo Teorema 3.5 (videti [9, 10, 11]). Neka je D Reinhardtova oblast, φ, ψ ∈ P(D) i f ∈ Hφ, g ∈ Hψ. Tada fg ∈ Hφψ i ‖fg‖φψ ≤ ‖f‖φ‖g‖ψ. Jednakost se dostizˇe ako i samo ako je ili fg ≡ 0 (odnosno f ≡ 0 ili g ≡ 0) ili f i g imaju formu f = C1K w φ , g = C2K w ψ GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 50 za isvesno (zajednicˇko) w ∈ Cn koje zadovoljava φ(w · w), ψ(w · w) < ∞ i nenulte konstante C1, C2; ovde su Kφ(z, w) = φ(z · w) i Kψ(z, w) = ψ(z · w) reproduktivna jezgra zaHφ iHψ, respektivno. Ako pored gornjih pretpostvaki imamo φ ∈ P∞(D) ili ψ ∈ P∞(D), tada se uslov za w mozˇe zameniti jednostavnijim: w ∈ D. Naredna jednostavana lema bic´e od koristi prilikom nasˇeg dokaza teoreme 3.5. Lema 3.2. Neka je C 6= 0 konstanta i {λγ : γ ∈ Zn+} niz kompeksnih brojeva koji zadovoljava λα+β = Cλαλβ za sve α, β ∈ Zn+. Tada niz ima formu λγ = C −1wγ, γ ∈ Zn+, gde je w ∈ Cn. Dokaz. Neka je γ = (γ1, . . . , γj, . . . , γn) ∈ Zn+. Ako postoji 1 ≤ j ≤ n tako da vredi γj 6= 0, tada je λγ = λγ−ej(Cλej). Imajuc´i u vidu ovu relaciju, indukcijom po |γ|, neposredno se mozˇe proveriti da vredi λγ = λ0 n∏ j=1 w γj j = λ0w γ, pri cˇemu smo uveli oznaku wj = Cλej (za sve j = 1, 2, . . . , n) i w = (w1, . . . , wn). Kako je λ0 = Cλ20, sledi λ0 = 0 ili λ0 = C −1. U oba slucˇaja dolazimo do reprezentacije niza {λγ} kao u lemi. Dokaz teoreme 3.5. Ako je φ(z) = ∑ α∈Zn+ cαz α i ψ(z) = ∑ β∈Zn+ dβz β, tada je stepeni red proizvoda φψ: φ(z)ψ(z) = ∑ γ∈Zn+ Mγz γ, z ∈ D, GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 51 gde je Mγ = ∑ α+β=γ cαdβ, γ ∈ Zn+. Napomenimo da se sumiranje odnosi na sve parove (α, β) ∈ Zn+×Zn+ koji zadovoljavaju α + β = γ. Slicˇno, ako je f(z) = ∑ α∈Zn+ aαz α i g(z) = ∑ β∈Zn+ bβz β, tada vredi f(z)g(z) = ∑ γ∈Zn+ Aγz γ, z ∈ D, gde je Aγ = ∑ α+β=γ aαbβ, γ ∈ Zn+. Prema tome ‖f‖2φ = ∑ α∈Zn+ c−1α |aα|2, ‖g‖2ψ = ∑ β∈Zn+ d−1β |bβ|2 i ‖fg‖2φψ = ∑ γ∈Zn+ M−1γ |Aγ|2. Sada se vidi da je tvrdjenje ove teoreme (dakle, nejednakost ‖fg‖φψ ≤ ‖f‖φ‖g‖ψ i deo koji se odnosi na ekstremalne funkcije) ekivalento sa narednim koje se ticˇe iskljucˇivo koeficjenata u razalaganju svih funkcija: Vredi ∑ γ∈Zn+ M−1γ |Aγ|2 ≤ ∑ α∈Zn+ c−1α |aα|2  ∑ β∈Zn+ d−1β |bβ|2  (3.10) sa jednakosˇc´u ako i samo ako je zadovoljen neki od sledec´a dva nezavisna uslova: 1. aα = 0 za sve α ∈ Zn+ ili bβ = 0 za sve β ∈ Zn+ (imajuc´i u vidu stepene razvoje za f i g, ovaj iskaz je ekvivalentan sa f ≡ 0 ili g ≡ 0); 2. aα = C1cαwα, α ∈ Zn+ i bβ = C2dβwβ, β ∈ Zn+, gde je w ∈ Cn i C1, C2 nenulte konstante (drugim recˇima, f = C1Kwφ i g = C2K w ψ ). GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 52 Pokazˇimo (3.10). Prema Kosˇi–Sˇvarcovoj nejednakosti, nalazimo |Aγ|2 = ∣∣∣∣∣ ∑ α+β=γ aαbβ ∣∣∣∣∣ 2 = ∣∣∣∣∣ ∑ α+β=γ aαbβ (cαdβ)1/2 (cαdβ) 1/2 ∣∣∣∣∣ 2 ≤ { ∑ α+β=γ |aα|2 cα |bβ|2 dβ }{ ∑ α+β=γ cαdβ } = { ∑ α+β=γ |aα|2 cα |bβ|2 dβ } Mγ za sve γ ∈ Zn+. Dakle, M−1γ |Aγ|2 ≤ ∑ α+β=γ c−1α |aα|2 d−1β |bβ|2. (3.11) Sumirajuc´i (3.11) po svim γ ∈ Zn+, dobijamo (3.10); naime, ∑ γ∈Zn+ M−1γ |Aγ|2 ≤ ∑ γ∈Zn+ ∑ α+β=γ |aα|2 cα |bβ|2 dβ = ∑ α∈Zn+ c−1α |aα|2  ∑ β∈Zn+ d−1β |bβ|2  , sto potvrdjuje nejednakost. Ostatak ovog dokaza je posvec´en ispitivanju jednakosti,odnosno nalazˇenju ekstremal- nih funkcija. Prvo primetimo da ako je 0 ≤ Aγ ≤ Bγ za sve γ ∈ Zn+, tada je ∑ γ Aγ ≤∑ γ Bγ; ako pri tome postoji γ0 tako da je ispunjeno Aγ0 < Bγ0 , tada vredi striktna nejed- nakost ∑ γ Aγ < ∑ γ Bγ . Dakle, jednakost vredi u (3.10) ako i samo ako jednakosti vredi u (3.11) za sve γ ∈ Zn+. Ovo je ekvivalentno postojanju λγ ∈ C, γ ∈ Zn+ tako da vredi aαbβ = λγcαdβ (3.12) za sve parove (α, β) ∈ Zn+ × Zn+ koji zadovoljavaju α + β = γ. Uzmimo β = 0 i γ = α, potom α = 0 i γ = β u (3.12). Nalazimo aαb0 = λαcαd0, α ∈ Zn+ i a0bβ = λβc0dβ, β ∈ Zn+. (3.13) Razmotric´emo u nastavku dva nezavisna slucˇaja a0b0 = 0 i a0b0 6= 0. Ako je a0b0 = 0, tada iz (3.13) imamo λγ = 0 za sve γ ∈ Zn+. Naprimer, neka je a0 = 0. Ako je bβ = 0 za sve β, tada vredi prvi iskaz. Ako postoji bβ0 6= 0, u (3.12) uzmimo β = β0, nalazimo aαbβ0 = 0, α ∈ Zn+ i dakle aα = 0 za sve α ∈ Zn+. Dakle, GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 53 nalazimo da prvi iskaz vredi takodje. Neka je sada a0 6= 0 i b0 6= 0. Prema (3.13), aα = (b −1 0 d0)λαcα, α ∈ Zn+, i bβ = (a−10 c0)λβdβ, β ∈ Zn+. Prethodne dve relacije zamenimo u (3.12); nalazimo λα+β = Cλαλβ, α, β ∈ Zn+, gde smo oznacˇili C = (a−10 c0b −1 0 d0). Prema lemi 3.2 imamo λγ = C −1wγ, γ ∈ Zn+ za izvesno w ∈ Cn. Dalje je aα = C1cαw α, α ∈ Zn+, i bβ = C2dβwβ, β ∈ Zn+, pri cˇemu je C1 = a0c −1 0 6= 0, C2 = b0d−10 6= 0. Ovim je pokazan drugi iskaz. Konacˇno, ako φ ∈ P∞ ili ψ ∈ P∞, tada w ∈ D. Naime, ako su f i g ekstremalne funkcije za nejednakost, tada ‖f‖2φ = |C1|2φ(w · w), ‖f‖2ψ = |C2|2ψ(w · w) (ponovimo, ‖Kwφ ‖φ = φ(w ·w)1/2, ‖Kwψ ‖ψ = ψ(w ·w)1/2). Kako je oblast konvergencije za φ(w · w) i ψ(w · w) tacˇno D, sledi w ∈ D. Sluzˇec´i se teoremom 3.5 i indukcijim, dolazimo do glavnog rezultata: Teorema 3.6 (videti [9, 10, 11]). Neka je m ≥ 2 ceo broj i D Reinhardtova oblast. Neka φj ∈ P(D) i fj ∈ Hφj za sve j = 1, 2, . . . ,m. Tada m∏ j=1 fj ∈ Hφ1φ2···φm i ∥∥∥∥∥ m∏ j=1 fj ∥∥∥∥∥ φ1φ2···φm ≤ m∏ j=1 ‖fj‖φj . Jednakost se dostizˇe ako i samo je ili ∏m j=1 fj ≡ 0 ili svaka funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 54 ima formu fj = CjK w φj za izvesno w ∈ Cn, φj(w · w) <∞ za sve j = 1, 2, . . . ,m i nenultu konstanutu Cj . Ako postoji 1 ≤ j ≤ m tako da φj ∈ P∞(D), tada je prethodni uslov za w moguc´e zameniti sa: w ∈ D. Kao direktnu posledicu teoreme 3.6 imamo: Neka φ ∈ P(D) i f ∈ Hφ, tada fm ∈ Hφm i ‖fm‖φm ≤ ‖f‖mφ , pri tome jednakost vredi ako i samo ako je f do na multiplikativni faktor jednaka restri- hovanom reproduktivnom jezgru Kwφ za izvesno w ∈ Cn koje zadovoljava φ(w ·w) <∞; posebno, ako φ ∈ P∞(D), tada se uslov za w mozˇe zameniti sa w ∈ D. Prethodna teorema je formulisana u Burbeinom radu [11]. Poseban slucˇaj dokaza se mozˇe videti u njegovim ranijim radovima [9, 10]. Mi smo donekle pojednostavili dokaz iz [9] uz primedbu da je u susˇtini isti dokaz primenjiv, uz odredjene korekcije, za analiticˇke funkcije u proizvoljnoj Reinhardtovoj oblasti (ne samo za jedinicˇnu loptu i ceo prostor Cn, kako je razmatrano u [9]). 3.3 Osobine funkcija u polidisku Da bismo nastavili potrebno nam je da navedemo neke cˇinjenice koje pripadaju teoriji funkcija u polidisku. Ovaj odeljak je posvec´en tom cilju. Citirac´emo jednu teoremu o faktorizaciji i teoremu Kalderon–Zigmunda o iteriranim granicˇnim vrednostim. Sledimo, uglavnom, Rudinovu monografiju [48] i rad [14]. Ako je funkcija f(z) odredjena u polidisku Un i ako je 0 ≤ r < 1, r−dilatacija f je fr(z) = f(rz1, . . . , rzn), z = (z1, . . . , zn) ∈ Un. Klasa Nevanline N(Un) se sastoji od svih funkcija f(z) analiticˇkih u Un za koje vredi sup 0≤r<1 ∫ Tn log+ |fr(ζ)|dmn(ζ) <∞. f ∈ N(Un) pripada N∗(Un) ako je familija {log |fr| : 0 ≤ r < 1} uniformno integrabilna. GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 55 Neka je φ(t) strogo konveksna. Funkcija f(z) analiticˇka u polidisku Un pripada klasi Hφ(Un), ukoliko je sup 0≤r<1 ∫ Tn φ(log+ |fr(ζ)|)dmn(ζ) <∞. Mozˇe se pokazati da je prethodni uslov ekvivalentan zahtevu da φ(log+ |f(z)|) poseduje n−harmonijsku majorantu u Un; napomenimo, neprekidna funkcija u(z) = u(z1, . . . , zn) u polidisku Un je n−harmonijska ako je harmonijska u odnosu na svaku promenjivu zj (j = 1, . . . , n) ponaosob. Slicˇno se definisˇe n−subharmonijska funkcija u polidisku. Ako je φ(t) = exp{p · t}, tada imamo ranije uvedene Hardijeve klase na polidisku. Klasa N∗(Un) je unija svih klasa Hφ(Un) [48]. Za f ∈ N(Un) neka je f ∗(ζ) = lim r→1− f(rζ1, . . . , rζn) za s.s. ζ ∈ Tn (videti [48]). Tada je f ∗(ζ) merljiva na torusu Tn i pri tome je log+ |f ∗(ζ)| ∈ L1(Tn). 3.3.1 Teoreme o faktorizaciji Ogranicˇena funkcija g(z) analiticˇka u polidiskuUn je unutrasˇnja ako granicˇna funkcija g∗(ζ) zadovoljava |g∗(ζ)| = 1 za s.s. ζ ∈ Tn. Unutrasˇnja funkcija g u Un je pogodna ako je U [g] ≡ 0; ovde U [g] oznacˇava najmanju n−harmonijsku majorantu za log |g| u polidisku Un. Kako je log |g∗| = 0 s.s. na Tn ako je g unutrasˇnja, onda je ona pogodna unutrasˇnja ako jednakost vredi u prethodnoj nejednakosti. Sledi da je unutrasˇnja funkcija g pogodna ako i samo ako je U [g(z)](0) ≡ 0. U disku U svaka unutrasˇnja funkcija g(z) ima formu g(z) = B(z)S(z), gde je B Blasˇkeov proizvod i gde je S(z) = exp { − ∫ 2pi 0 eit + z eit − zdµ(t) } , |z| < 1 singularna funkcija (pri tome je µ neopadajuc´a i singularna). Kako je U [B] ≡ 0 i U [S] = −PS[dµ], pogodna unutrasˇnja funkcija u disku U je Blasˇkeov proizvod. Svakoj funkciji f ∈ Hp pripada Blasˇkeov proizvod B za koji h = f/B ne poseduje nule u U, h ∈ Hp(U) i pri tome je ‖h‖p = ‖f‖p. Ako se Hp zameni sa Hp(Un), n > 1, mozˇe se ocˇekivati da ulogu Blasˇkeovih proizvoda preuzimaju pogodne unutrasˇnje funkcije. Ovo je tacˇno ali uz odgovarajuc´a ogranicˇenja: analog vredi samo za one f ∈ Hp(Un) za koje je najmanja n−harmonijska majoranta U [f ] (za log |f |) realan deo neke analiticˇke funkcije, tj. U [f ] ∈ RP(Un). Precizirajmo, ako su f1 i f2 analiticˇke funkcije u polidisku Un, iskaz: ”f1 i f2 imaju GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 56 iste nule” znacˇi: f2 = hf1, gde je h analiticˇka u Un i ne ponisˇtava se nigde u Un”. Naredne dve teoreme, koje dovode do faktorizacije slicˇne Risovoj, mogu se nac´i u Rudi- novoj monografiji. Teorema 3.7 (videti [48]). Neka f ∈ N(Un), neka je g pogodna unutrasˇnja funkcija, h analiticˇka u Un i f = gh. Tada h ∈ N(Un). Pri tome vredi: 1. ako f ∈ N∗(Un), tada h ∈ N∗(Un); 2. ako f ∈ Hp(Un) (0 < p <∞), tada h ∈ Hp(Un) i ‖h‖p = ‖f‖p. Teorema 3.8 (videti [48]). Neka f ∈ N(Un). Vredi: 1. ako U [f ] ne pripada RP(Un), tada ne postoji pogodna unutrasˇnja funkcija koja ima iste nula kao i f ; 2. ako U [f ] ∈ RP(Un), tada takva funkcija postoji (jedinstvena do na nenulti multip- likativni faktor). 3.3.2 Iterirane granicˇne vrednosti Pretpostavimo f ∈ N(Un) i ζ1 ∈ T i neka je fζ1(z2, . . . , zn) = lim r→1− f(rζ1, z2, . . . , zn), ukoliko je recˇ o analiticˇkoj funkciji u polidisku Un−1. Zigmund [60] je pokazao: za f ∈ N(Un) i s.s. ζ1 ∈ T, fζ1 ∈ N(Un−1). Prema tome, za ζ1 ∈ T koje zadovoljava prethodni uslov, mozˇemo razmotriti funkciju fζ1ζ2(z3, . . . , zn) = lim r→1− fζ1(rζ2, z3, . . . , zn) ∈ N(Un−2), za s.s. ζ2 ∈ T. Nastavljajuc´i ovaj proces dolazimo do iterirane granicˇne vrednosti fζ1...ζn = lim r→1− fζ1...ζn−1(rζn). Davis [14] je pokazano da za f ∈ N∗(Un) iterirana granicˇna vrednost fζ1...ζn postoji za s.s. (ζ1, . . . , ζn) ∈ Tn i da je nezavisna od poretka iteracije. Zapravo, iterirana i radijalna granicˇna vrednost f ∗ζ1...ζn = f ∗(ζ1, . . . , ζn) su s.s. jednake. Slicˇna teorema vredi i za Hφ (kao posledica). Zigmund [60] je pre pokazao prethodno, ali za uzˇu klasu Nn−1(Un) od N∗(Un). Potom su Kalderon i Zigmund postvili problem da se Nn−1(Un) zameniti sa klasom Nevanline N(Un). Ovaj problem je kasnije resˇen u pozitivnom smislu. GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 57 Ukoliko f(z) = f(z1, . . . , zn) ∈ N(Un) (Hφ(Un)) i 1 ≤ k ≤ n − 1 ceo broj, tada fzn−k+1...zn = f(·, . . . , ·, zn−k+1, . . . , zn) ∈ N(Un−k) (Hφ(Un−k)). Ovo se mozˇe najjednostavnije pokazati upotrebom n−harmonijske majorante za moduo funkcija koje pripadaju klasi N(Un) (Hφ(Un)). Nama c´e u narednom odeljku biti potrebna sledec´a posledica cˇiji dokaz sledi neposre- dno iz navedenih rezultata. Posledica 3.1. Neka f(z) = f(z1, . . . , zn) ∈ Hp(Un) (0 < p ≤ ∞). Tada za ceo broj 1 ≤ k ≤ n− 1 i medjusobno razlicˇite cele brojeve {j1, . . . , jk} ⊆ {1, . . . , n} imamo 1. fzj1 ...zjk ∈ Hp(Un−k) za sve (zj1 , . . . , zjk) ∈ Uk; 2. fζj1 ...ζjk ∈ Hp(Un−k) za s.s. (ζj1 , . . . , ζjk) ∈ Tk. Posebno, iterirana granicˇna funkcija fζj1 ...ζjk se poistovec´uje sa radijalnom (netangen- cijalnom) granicˇnom funkcijom f ∗ζj1 ...ζjk za s.s. (ζj1 , . . . , ζjk) ∈ T k. Sledi da funkcija fζj1 ...ζjk ne zavisi od poretka po kojem se vrsˇe iteracije, zato se mozˇe pretpostaviti ured- jenje 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n. 3.4 Novi oblik Karlemanove nejednakosti Vratimo se Karlmanovoj nejednakosti u opsˇtoj formi koju smo uspostavili u drugom odeljku ove glave. Teorema 3.6 je rezultat sa interesantnim primenam do koji se dolazi birajuc´i za φj (j = 1, 2, . . . ,m) konkretne funkcije koje pripadaju klasi P(D) (ili even- tualtno uzˇoj klasi P∞(D)). Buduc´i da je ovde nasˇe interesovanje iskljucˇivo na funkcije analiticˇke u polidisku, mi c´emo izvesti samo jednu primenu. Recˇ je o nizˇe formulisanoj posledici 3.2 za generalizovane Hardijeve klase na polidisku. Cilj ovog odeljka je pokazati nov oblik Karlemanove nejednakosti i to za funkcije koje pripadaju Hardijevim klasama koji nemaju obavezno Hilbertovu strukturu. Za primene teoreme 3.6 na razlicˇite HPRJ analiticˇkih funkcija, kao sˇto su, naprimer, generalizovani Fisˇerovi prostori, upuc´ujemo na radove Burbee. 3.4.1 Generalizovane Hardijeve klase na polidisku Neka je q proizvoljan i n nenegativan ceo broj. Tada je rastuc´i faktorijel (q)n = { q(q + 1) · · · (q + n− 1), ako je n > 1, 1, ako je n = 0. GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 58 Pogodno je prethodnu definiciju prosˇiriti: za q = (q1, . . . , qn) ∈ Cn i α = (α1, . . . , αn) ∈ Zn+ neka je (q)α = n∏ j=1 (qj)αj . Za q = (q1, . . . , qn) > 0 (napomenimo da ovo znacˇi: qj > 0 za sve j = 1, . . . , n) uzmimo u obzir narednu funkciju φq(z) = n∏ j=1 (1− zj)−qj , z = (z1, . . . , zn) ∈ Un Lako se proverava aα(φq) = (q)α α! , α ∈ Zn+; ponovimo da je aα : H(D) 7→ C funkcional koji daje α−koeficjenat u stepenom razvoju f ∈ H(D), pri tome je D proizvoljna Reinhardtova oblast u Cn. Odavde imamo φq ∈ P∞(Un). q−Hardijev prostor na polidiskuUn je HPRJ koji je generisan posredstvomKφq(z, w); recˇ je prostoru HKφq , odnosno Hφq , prema oznakama iz drugog odeljka. Ovaj prostor u nastavku obelezˇavamo jednostavno sa Hq(Un). Odgovarajuc´u normu ‖ · ‖Kφq (odnosno ‖ · ‖φq ) i repreoduktivno jezgro Kφq oznacˇavamo sa ‖ · ‖q i Kq, respektivno. Dakle, Kq(z, w) = φq(z · w) = n∏ j=1 (1− zjwj)−qj za z = (z1, . . . , zn), w = (w1, . . . , wn) ∈ Un. Eksplicitno, norma je odredjena izrazom ‖f‖2q = ∑ α∈Zn+ α! (q)α |aα|2, f(z) = ∑ α∈Zn+ aαz α ∈ H(Un). Pod familijom generalizovanih Hardijevih prostora na polidisku podrazumevamo famil- iju svih q−Hardijevih prostora (q > 0). Normalizovanu tezˇinsku meru na polidisku uvodim na sledec´i nacˇin Za q = (q1, . . . , qn) > 1 (sˇto znacˇi qj > 1 za sve j = 1, . . . , n) neka je daq−2 = daq1−2 × · · · × daqn−2. Za q = 1 pogodno je uvesti da−1 = dmn. Primetimo da se za q ≥ (1, . . . , 1), zbog lema 3.1 i Parsevalove teoreme, kvadrat GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 59 norme ‖ · ‖q i skalarni proizvod 〈·, ·〉q mogu izraziti integralnom reprezentacijom ‖f‖2q = ∫ |f |2daq−2, 〈f, g〉q = ∫ fgdaq−2, f, g ∈ Hq(Un). (3.14) U (3.14) podrazumevamo integraciju u odnosu naUn, ako je q > 1, i u odnosu na jedinicˇni torus Tn, ako je q = 1. U zadnjem slucˇaju objekat integracije su radijalne granicˇne funkcije. Zbog istovetnosti reproduktivnog jezgra, teoreme 3.3, teoreme 3.4 i leme 3.1, sledi da je H1(Un) Hardijev prostor H2(Un) i da je Hq(Un), q > 1 je tezˇinski Bergmanov prostor L2a,q−2(Un). Za 0 < q < 1 generalizovana Hardijeva kalsa Hq(Un) je poznata pod nazivom Bergman–Selbergova. Teorema 3.6, koju smo pokazali u drugom odeljku, ima narednu reformulaciju za generalizovane Hardijeve klase na polidisku. Posledica 3.2 (videti [10, 11]). Neka je qj > 0 i fj ∈ Hqj(Un) za sve j = 1, 2, . . . ,m. Ozancˇimo q = ∑m j=1 qj . Tada je m∏ j=1 fj ∈ Hq(Un) i ∥∥∥∥∥ m∏ j=1 fj ∥∥∥∥∥ q ≤ n∏ j=1 ‖fj‖qj , pri cˇemu jednakost vredi ako i samo ako je ili ∏m j=1 fj ≡ 0 ili svaka funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) ima formu fj = CjK w qj za izvesno (zajednicˇko) w ∈ Un i Cj 6= 0. Dokaz. Dovoljno je da primetimo da je ∏m j=1 φqj = φq. Dakle, ‖ · ‖φq1φq2 ···φqm = ‖ · ‖φq . Primenom teoreme 3.6 dolazimo do konkretne nejednakosti u ovoj posledici. Kako svaka od funkcija φj (j = 1, 2, . . . ,m) pripada klasi P∞(Un), sledi w ∈ Un. GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 60 3.4.2 Glavna teorema i nejednakost Pre formulacije nasˇeg glavnog rezultata u ovom odeljku, recˇ je o teoremi 3.9, usvojic´emo dogovor koji se ticˇe oznaka: (q, . . . , q) ∈ Rn obelezˇavamo kratko sa q; iz konteksta c´e biti jasno da li se radi o vektoru ili o broju. Slicˇno, (tezˇinski) Bergamnov pros- tor Lpa,(q,...,q)(U n), korespodentnu meru da(q,...,q) i normu ‖ · ‖p,(q,...,q) obelezˇavamo sa Lpa,q(Un), daq i ‖ · ‖p,q, respektivno. Imajuc´i u vidu ove oznake, pokazav´emo u nastavku visˇedimenzionalnu varijantu Karlemanove nejednakosti: Teorema 3.9 (videti [35]). Neka je m ≥ 2 ceo i fj(z) ∈ Hpj(Un) (0 < pj < ∞) za sve j = 1, 2, . . . ,m. Tada m∏ j=1 |fj|pj ∈ L1m−2(Un) i ∫ Un { m∏ j=1 |fj(z)|pj } dam−2(z) ≤ m∏ j=1 ‖fj‖pjpj . Jednakost vredi ako i samo ako je ili ∏m j=1 fj ≡ 0 ili ako svaka funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) ima formu fj(z) = cjKw(z) 2/pj za izvesno (zajednicˇko) w ∈ Un i nenultu konstantu cj; ovde K(z, w) ima ulogu Kosˇi– Segovog jezgra za polidisk Un. Naredna posledica sledi direktno iz teoreme 3.9. Posledica 3.3 (videti [35]). Neka je p pozitivan broj i fj ∈ Hp(Un) za sve j = 1, 2, . . . ,m. Tada m∏ j=1 fj ∈ Lpa,m−2(Un) i ∥∥∥∥∥ m∏ j=1 fj ∥∥∥∥∥ p,m−2 ≤ m∏ j=1 ‖fj‖p. Jednakost vredi ako i samo ako je ili ∏m j=1 fj ≡ 0 ili ako je svaka funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) nenulti multiplikativni faktor restihovanog jezgra K2/pw za izvesno w ∈ Un. Primedba 3.1. Prema posledici 3.3, polilinearan operator Π odredjen na sledec´i nacˇin Π(f1, f2, . . . , fm) = f1f2 · · · fm je dobro definisan kao operator m−tostrukog proizvoda Hp(Un) u Lpa,m−2(Un), nepreki- dan je i ima nornu jednaku jedinici. Ovo se mozˇe videti kao jednostavna reformulacija GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 61 tacˇne nejednakosti koja se pojavljuje u posledici 3.3. Primedba 3.2. Neka je sada f ∈ Hp(Un) i u posledici 3.3 uzmimo fj = f za sve j = 1, 2, . . . ,m. Nalazimo f ∈ Lmpa,m−2(Un) i ‖f‖mp,m−2 ≤ ‖f‖p. Dakle, Hp(Un) ⊆ Lmpa,m−2(Un) (3.15) i pri tome je norma inkluzivnog operatora jednaka jedinici. Ovde josˇ dajemo dokaz Hilbertovog dela teoreme 3.9; opvsti slucˇaj dokazujemo nizˇe. Dokaz Hilbertovog dela teoreme 3.9. Ovde se nasˇa teorema svodi na to da se pokazˇe posledica 3.3 za p = 2. Medjutum, ovaj deo teoreme je vec´ pokazan; potrebno je samo detaljnije pogledati posledicu 3.2. Dakle, pretpostavimo fj ∈ H2(Un) za sve j = 1, 2, . . . ,m. U posledici 3.2 uzmimo qj = 1 za sve j = 1, 2, . . . ,m. Kako je fj ∈ H2(Un) = H1(Un), prvo sledi m∏ j=1 fj ∈ Hm(Un) = L2a,m−2(Un). Prema istoj posledici, imamo nejednakost∥∥∥∥∥ m∏ j=1 fj ∥∥∥∥∥ 2,m−2 = ∥∥∥∥∥ m∏ j=1 fj ∥∥∥∥∥ (m,...,m) ≤ n∏ j=1 ‖fj‖(1,...,1) = n∏ j=1 ‖fj‖2. Jednakost vredi ako i samo ako je ili ∏m j=1 fj ≡ 0 ili svaka funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) ima formu fj = cjK w 1 za izvesno w ∈ Un i cj 6= 0. Kako je K1(z, w) = n∏ j=1 (1− zjwj)−1, sledi da je K1(z, w) Kosˇi–Segovo jezgro, koje obelezˇavamo sa K(z, w). 3.4.3 Nekompletan dokaz teoreme 3.9 Skicirac´emo ovde jednostavan ali nekompletan dokaz teoreme 3.9 baziran na teore- mama 3.7 i 3.8. Ovaj dokaz, motivisan standardnim pristupom; iako nekompletan za GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 62 n > 1, on dovodi do dokaza nasˇe teoreme za n = 1, odnosno teoreme 3.1. Dakle, pretpostavimo fj ∈ Hpj(Un) i bez gubitka opsˇtosti, neka je fj 6≡ 0 za sve j = 1, 2, . . . ,m. Uvedimo dodatnu pretpostavku: svaka funkcija log |fj| (j = 1, 2, . . . ,m) poseduje n−harmonijsku majorantu koja pripada RP(Un). Neka je fj = gjhj , gde je gj pogodna unutrasˇnja funkcija u polidisku Un sa istim nulama kao fj; recimo da uzimamo |gj| ≡ 1, ako fj ne poseduje nule. Kako se hj ne ponisˇtava nigde uUn, moguc´e je izdvojiti odredjenu granu h˜j(z) = hj(z)pj/2. Buduc´i da je modul unutransˇne funkcije ≤ 1 svuda u polidisku Un, imamo |fj(z)| ≤ |hj(z)|, z ∈ Un. (3.16) Kako je |gj(ζ)| = 1 za s.s. ζ ∈ Tn, sledi |hj(ζ)| = |fj(ζ)| za s.s. ζ ∈ Tn. Dakle, ‖h˜j‖22 = ‖fj‖pjpj , (3.17) odakle imamo h˜j ∈ H2(Un). Prema (3.16), imamo m∏ j=1 |fj(z)|pj ≤ m∏ j=1 |h˜j(z)|2. Dakle, ∫ Un { m∏ j=1 |fj(z)|pj } dam−2(z) ≤ ∫ Un { m∏ j=1 |h˜j(z)|2 } dam−2(z). (3.18) Uzmimo h˜j (j = 1, 2, . . . ,m) u pokazanom Hilbertovom slucˇaju nasˇe teoreme. Prvo sledi m∏ j=1 h˜j ∈ L2a,m−2(Un). Ovo znacˇi da su oba integrala u (3.18) konacˇna; sledi m∏ j=1 |fj|pj ∈ L1m−2(Un). Dalje imamo ∫ Un { m∏ j=1 |h˜j(z)|2 } dam−2(z) = ∥∥∥∥∥ m∏ j=1 h˜j ∥∥∥∥∥ 2 2,m−2 ≤ m∏ j=1 ‖h˜j‖22, (3.19) GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 63 takodje prema Hilbertovom slucˇaju nasˇe teoreme. Imajuc´i u vidu (3.17), nejednakost u teoremi sada sledi prema (3.18) i (3.19). Razmotrimo sada ekstemalne funkcije. Ako se jednakost dostizˇe, tada jednakost mora vredeti u (3.18) i (3.19). Buduc´i da su ekstremalne funkcije u Hilbertovom slucˇaju odred- jene, sledi da jednakost vredi u (3.19) ako i samo ako je h˜j = c˜jKw za izvesno w ∈ U i c˜j 6= 0 za sve j = 1, 2, . . . ,m. Dakle, jednakost vredi u (3.18) ako i samo ako je |gj| ≡ 1 za sve j. Ovo znacˇi fj = cjK2/pjw , gde je cj nova nenulta konstante (za sve j = 1, 2, . . . ,m). Ovim je nasˇ prvi dokaz kompletiran. 3.4.4 Dokaz teoreme 3.9 Za kompletan dokaz teoreme 3.9, koji nameravamo da izlozˇimo u nastavku, bic´e nam potrebna dva pomoc´na rezultata koji su mozˇda od samostalnog interesa. Recˇ je o narednoj teoremi, koja uspostavlja izoperimetrijsku nejednakosti za logaritamsko subharmonijske funkcije Hardijeve klase PL1, i teoremi 3.11. Teorema 3.10 (videti [35]). Neka je m ≥ 2 ceo broj i Uj(z) ∈ PL1 za sve j = 1, 2, . . . ,m. Tada m∏ j=1 Uj(z) ∈ L1m−2 i ∫ |z|<1 { m∏ j=1 Uj(z) } dam−2(z) ≤ m∏ j=1 ‖Uj‖1. Jednakost vredi ako i samo ako ili postoji 1 ≤ j ≤ m tako da je Uj ≡ 0 ili svaka funkcija Uj (j = 1, 2, . . . ,m) ima formu Uj(z) = λj|Kw(z)|2 za izvesno |w| < 1 i λj > 0; ovde je K(z, w) = (1− zw)−1 Kosˇi–Segovo jezgro. Dokaz. Bez umanjenja opsˇtosti, preptostvaic´emo dodatno da je Uj 6≡ 0 za sve j = 1, 2, . . . ,m. Ovo tvrdjenje izvesˇc´emo kao posledicu teoreme 3.1 (u vezi sa ovim, pogle- dati prvu primedbu posle ovog dokaza). Prema lemi 1.5, postoji (spoljna) funkcija fj(z) za klasu H1 tako da vredi Uj(z) ≤ |fj(z)|, |z| < 1 (3.20) GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 64 i Uj(e iθ) = |fj(eiθ)| s.s. (3.21) U teoremi 3.1 uzmimo gornje funkcije fj (j = 1, 2, . . . ,m). Primenom nejednakosti (3.20) i na kraju (3.21), nalazimo ∫ |z|<1 { m∏ j=1 Uj(z) } dam−2(z) ≤ ∫ |z|<1 { m∏ j=1 |fj(z)| } dam−2(z) ≤ m∏ j=1 ‖fj‖1 = m∏ j=1 ‖Uj‖1, (3.22) cˇime je nejednakost u teoremi pokazana. Kako je fj 6≡ 0 (j = 1, 2, . . . ,m), jednakost vredi na drugom mestu (3.22), imajuc´i u vidu deo teoreme 3.1 koji se odnosi na jednakost, ako i samo ako svaka funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) ima formu fj = cjK2w za izvesno |w| < 1 i nenultu konstantu cj . U ovom slucˇaju |fj| se ne ponisˇtava nigde u jedinicˇnom disku. Sada, prema (3.20), sledi da jednakost vredi na prvom mestu (3.22) ako i samo ako je uj = |fj| za sve j = 1, 2, . . . ,m (buduc´i da su sve funkcije neprekidne). Sve zajedno, jednakost se dostizˇe na oba mesta (3.22) istovremeno ako i samo ako je Uj = |fj| = λj|Kw|2 za sve j = 1, 2, . . . ,m; uveli smo oznaku λj = |cj| > 0. Primedba 3.3. Primetimo prvo narednu cˇinjenicu. Za pozitivan broj p vredi U ∈ PLp ⇔ Up ∈ PL1 ⇔ Up/2 ∈ PL2. (3.23) Naravno, (3.23) nije tako jednostavno izraziti ako umesto Hardijeve klase PLp figurisˇe klasa Hp. Neka je U ∈ PLp i postavimo Uj = Up (j = 1, 2, . . . ,m) u teoremi 3.10. Imajuc´i u vidu (3.23), nalazimo m− 1 pi ∫ |z|<1 U(z)mp(1− |z|2)m−2dA(z) ≤ ‖U‖mpp . (3.24) Jednakost vredi u (3.24) ako i samo ako je U(z) = λ|Kw(z)|2/p = λ|1− zw|2/p GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 65 za |w| < 1 i λ ≥ 0. Kako je {U = |f | : f ∈ Hp} ⊆ PLp, nejednakost (3.24) se mozˇe videti kao uopsˇtenje (3.1). Iz istog razloga teorema 3.10 mozˇe se uzeti kao uopsˇtenje teoreme 3.1, jer se i ekstremalne funkcije koje se pojavljuju u teoremi 3.1 mogu odrediti iz korespodentnog dela teoreme 3.10. Primetimo josˇ da se teorema 3.10 mozˇe ustanoviti primenom samo Hilbertov dela teo- reme 3.1; taj dokaz bi bio priblizˇno iste duzˇine kao i dokaz koji smo naveli, medjutim ovaj pristup ne koristi Risovu teoremu o faktorizaciji za Hardijeve klase analiticˇkih funkcija u jedinicˇnom disku. Primedba 3.4. Imajuc´i u vidu Huberove rezultate [26], od interesa je da se uspostvi nejednakost izoperimetrijskog tipa i za superharmonijske funkcije. Neka je D oblasti i U ∈ C2(D) superharmonijska funkcija u D koja svuda uzima pozitivne vrednosti. Neposredno se nalazi 4 logU−1(z) = −4U(z) U(z) + |∇U(z)|2 U2(z) ≥ 0, z ∈ D. Sledi da je U−1 logaritamsko subharmonijska u oblasti D. Dakle, vredi: Neka je U dovoljno glatka, pozitivna i superharmonijska funkcija u disku U i neka U−1 ∈ PLp. Tada imamo narednu striktnu nejednakost izoperimetrijskog tipa: m− 1 pi ∫ |z|<1 U(z)−mp(1− |z|2)m−2dA(z) ≤ ‖U−1‖mpp . gde je m ≥ 2 ceo broj. Teorema 3.11. Za f(z) = f(z1, . . . , zn) ∈ Hp(Un) i 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, gde je 1 ≤ k < n ceo broj, funkcija U(zj1 , . . . , zjk) = ‖fzj1 ...zjk‖pp je dobro definisana u polidisku Uk. Visˇe od toga, U ∈ PL1(Uk) i norma funkcije U je data izrazom ‖U‖1 = ‖f‖pp. U dokazu ove teoreme upotrebic´emo nekoliko rezultata koji slede. Lema 3.3 (videti [56]). Neka je p pozitivan broj. Za sve z ∈ Un vredi naredna (optimalna) ocena modula |F (z)|p ≤ 1 (1− |z1|2) · · · (1− |zn|2)‖F‖p, GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 66 gde je F (z) = F (z1, . . . , zn) ∈ Hp(Un). Jednakost se dostizˇe ako i samo ako je F (z) = λKw(z) 2/p, gde je w ∈ Un i λ proizvoljna konstanta. Lema 3.3 mozˇe se nac´i u radu [56] za Bergmanove prostore u jedinicˇnoj lopti prostora Cn. Medjutim, isti pristup je od koristi u dokazu prethodnog rezultata. Lema 3.4. Neka je D oblast, (X,µ) merljiv prostor i neka je funkcija F (z, w) odredjena u D × X tako da je Fz ∈ L1(X,µ) za sve z ∈ D i Fw ∈ C(D) za s.s. w ∈ X . Ako za svaki kompaktan skup K ⊆ D postoji G ∈ L1(X,µ) koja je natkivajuc´a za familiju {Fz : z ∈ K}, tada je z 7→ ∫ X F (z, w)dµ(w) neprekidna u D. Dokaz prethodne leme sledi neposredno iz Lebegove teoreme o dominantnoj konver- genciji. Napomenimo da ako je (X,µ) merljiv prostor i Λ neprazan skup indeksa, tada kazˇemo da je G natkrivajuc´a za familiju {Gα : α ∈ Λ} realno vrednosnih merljivih funkcija u X ako je Gα(x) ≤ G(x) za s.s. x ∈ X i sve α ∈ Λ. Dokaz teoreme 3.11. Samo radi jednostavnijeg zapisa, pretpostavic´emo j1 = n− k + 1 i prema tome jk = n. Imajuc´i u vidu prvi deo posledice 3.1, vrednost funkcije U(zn−k+1, . . . , zn) = ‖fzn−k+1...zn‖pp = ∫ Tn−k |f ∗zn−k+1...zn(ζ1, . . . , ζn−k)|pdmn−k(ζ1, . . . , ζn−k) = ∫ Tn−k |f ∗ζ1...ζn−k(zn−k+1, . . . , zn)|pdmn−k(ζ1, . . . , ζn−k) je konacˇna za sve (zn−k+1, . . . , zn) ∈ Uk. Neka je z′ = (z1, . . . , zn−k) i z′′ = (zn−k+1, . . . , zn); slicˇno tome, uvedimo oznake ζ ′ = (ζ1, . . . , ζn−k) i ζ ′′ = (ζn−k+1, . . . , ζn). Za sve 0 ≤ r < 1 neka je U˜r(z ′′) = ∫ Tk |frζ′(z′′)|pdmk(ζ ′), z′′ ∈ Uk. Primetimo da U˜r nije r−dilatacija funkcije U . GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 67 Imajuc´i u vidu lemu 1.4, funkcija U˜r je k−logaritamsko subharmonijska u polidisku Uk, jer isto vredi za Uk 3 z′′ 7→ |frζ′(z′′)|p, za sve ζ ′ = (ζ1, . . . , ζn−k) ∈ Tn−k i 0 ≤ r < 1. Konvergencija U˜r(z ′′)→ U(z′′), r → 1− je neopadajuc´a u odnosu na r, ako je z′′ = (zn−k+1, . . . , zn) ∈ Uk fiksirano, jer je U˜r(z ′′) = Mpp (fz′′ , r) i fz′′ ∈ Hp(Un−k). Sledi U(z′′) = sup 0≤r<1 U˜r(z ′′) za sve z′′ = (zn−k+1, . . . , zn) ∈ Uk. Dakle, prema lemi 1.3, da ustanovimo da je funkcija U neprekidna k−logaritamsko subharmonijska u polidisku Uk, odnosno, da pripada klasi PL(Uk), ostaje da se pokazˇe da je U neprekidna u istoj oblasti. Da ustanovimo neprekidnost, primenic´emo lemu 3.4. Neka jeK proizvoljan kompak- tan podskup polidiska Uk. Potrebno je nac´i natkrivajuc´u funkciju za familiju {|f ∗z′′(ζ ′)|p : z′′ = (zn−k+1, . . . , zn) ∈ K, ζ ′ = (ζ1, . . . , ζn−k) ∈ Tn−k} . Postoji konstanta C = C(K) tako da vredi 1 (1− |zn−k+1|2) · · · (1− |zn|2) ≤ C (3.25) za sve z′′ = (zn−k+1, . . . , zn) ∈ K. Kako je f ∗ζ1...ζn−k ∈ Hp(Uk) za s.s. (ζ1, . . . , ζn−k) ∈ Tn−k (videti drugi deo posledice 3.1), prema lemi 3.3, nalazimo |f ∗ζ1...ζn−k(zn−k+1, . . . , zn)|p ≤ ‖f ∗ζ1...ζn−k‖pp (1− |zn−k+1|2) · · · (1− |zn|2) , (3.26) za sve (zn−k+1, . . . , zn) ∈ Uk. Ocena rasta (3.26) dovodi do natkrivajuc´e funkcije. Neka je G(ζ1, . . . , ζn−k) = C‖f ∗ζ1...ζn−k‖pp = C ∫ Tn |f ∗ζ1...ζn−k(ζn−k+1, . . . , ζn)|pdmk(ζn−k+1, . . . , ζn) definisana za s.s. na torusu Tn−k. Funkcija G je integrabilna, jer je prema Fubinijevoj GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 68 teoremi i teoremi 3.1:∫ Tn−k G(ζ1, . . . , ζn−k) = C ∫ Tn |f ∗(ζ1, . . . , ζn)|pdmn(ζ1, . . . , ζn) = C‖f‖pp <∞. Prema ocenama (3.26) i (3.25), sledi |f ∗zn−k+1...zn(ζ1, . . . , ζn−k)|p ≤ G(ζ1, . . . , ζn−k), za s.s. (ζ1, . . . , ζn−k) ∈ Tn−k i sve (zn−k+1, . . . , zn) ∈ K. Kako je funkcija |f ∗ζ′(z′′)|p neprekidna (za s.s. ζ ′ = (ζ1, . . . , ζn−k) ∈ Tn−k, kao moduo analitic¸ke funkcije, prema teoremi 3.1), na osnovu leme 3.4 sledi da je funkcija U(zn−k+1, . . . , zn) = ∫ Tn−k |f ∗zn−k+1...zn(ζ1, . . . , ζn−k)|pdmn−k(ζ1, . . . , ζn−k) takodje neprekidna u polidisku Uk. Da bismo zavrsˇili dokaz ove leme, potrebno je josˇ da pokazˇemo U ∈ PL1(Uk) i ‖U‖1 = ‖f‖pp. Pre svega, za sve 0 ≤ r < 1 vredi M1(U, r) = ∫ Tk ‖frζ′′‖pp dmk(ζ ′′) = ∫ Tk {∫ Tn−k |f ∗rζ′′(ζ ′)|pdmn−k(ζ ′) } dmk(ζ ′′) = ∫ Tn−k {∫ Tk |f ∗rζ′′(ζ ′)|pdmk(ζ ′′) } dmn−k(ζ ′) = ∫ Tn−k Mpp (f ∗ ζ′ , r) dmn−k(ζ ′) ≤ ∫ Tn−k ‖f ∗ζ′‖pp dmn−k(ζ ′) = ‖f‖pp <∞. Sledi ‖U‖1 = sup 0≤r<1 M1(U, r) ≤ ‖f‖pp. Dakle, U ∈ PL1(Uk). Da bismo pokazali obrnutu nejednakost, treba samo primeniti lemu Fatua. Kako je U ∈ PL1, radijlna granicˇna vrednost U(ζ ′′) postoji u s.s. tacˇkama ζ ′′ = (ζn−k+1, . . . , ζn) ∈ Tk i pri tome imamo U(ζn−k+1, . . . , ζn) = lim r→1− U(rζn−k+1, . . . , rζn) = lim r→1− ‖f(rζn−k+1)...(rζn)‖pp ≥ ‖f ∗ζn−k+1...ζn‖pp. Sada nalazimo ‖U‖1 = ∫ Tk U(ζ ′′) dmk(ζ ′′) ≥ ∫ Tk ‖f ∗ζ′′‖pp dmk(ζ ′′) = ‖f‖pp. GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 69 cˇime je dokaz leme zavrsˇen. Sledi dokaz teoreme 3.9 u opsˇtem slucˇaju. Kako c´e se iz samog dokaza videti, ko- ristic´emo vec´ ustanovljen Hilbertov slucˇaj nasˇe teoreme prilikom dokaza drugog dela tvrdjenja koji se ticˇe ekstremalnih funkcija. Dokaz teoreme 3.9. Primenic´emo indukciju po dimenziji n. Za n = 1 nasˇa teorema se reducira na teoremu 3.1. Pretpostavimo sada da teorema vredi za n− 1. Pokazac´emo da vredi i za n. Neka je fj(z) = fj(z′, zn) ∈ Hpj(Un) za sve j = 1, 2, . . .m; napomenimo da smo uveli oznaku z′ = (z1, . . . , zn−1). Kako je f znj ∈ Hpj(Un−1) za proizvoljno |zn| < 1, primenom induktivne hipoteze nalazimo∫ Un−1 { m∏ j=1 |f znj (z′)|pj } dam−2(z′) ≤ m∏ j=1 ‖f znj ‖pjpj . (3.27) Prema teoremi 3.11, neka je funkcija Uj ∈ PL1 odredjena na sledec´i nacˇin Uj(zn) = ‖f znj ‖pjpj . (3.28) Primenom logaritamsko subharmaonijske verzije Burbeine nejednakosti, odnosno teo- reme 3.10, nalazimo ∫ |zn|<1 { m∏ j=1 Uj(zn) } dam−2(zn) ≤ m∏ j=1 ‖Uj‖1. (3.29) Prema istoj lemi, ‖Uj‖1 = ‖fj‖pjpj (3.30) (za sve j = 1, 2, . . . ,m). Kako je dam−2(z) = dam−2(z′) × dam−2(zn), primenom Fubinijeve teoreme, potom (3.27) i (3.29), i konacˇno prethodne jednakosti, dolazimo do ∫ Un { m∏ j=1 |fj(z)|pj } dam−2(z) = ∫ |zn|<1 {∫ Un−1 { m∏ j=1 |f znj (z′)|pj } dam−2(z′) } dam−2(zn) ≤ ∫ |zn|<1 { m∏ j=1 Uj(zn) } dam−2(zn) ≤ m∏ j=1 ‖Uj‖1 = m∏ j=1 ‖fj‖pjpj , (3.31) GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 70 sˇto potvrdjuje glavnu nejednakost. Imajuc´i u teoremu 3.10, lako je utvrditi da prethodna nejednakost ostaje na snazi ako imamoUj ∈ PL1(Un) umesto fj ∈ H1(Un) (za sve j = 1, 2, . . . ,m) sa PL1(Un)−norma- ma odgovarajuc´ih funkcija na desnoj strani. Ovo je bitno primetiti zbog nastavka dokaza koji se ticˇe ekstremalnih funkcija. Naime, da bi ustanovili samu nejednakost dovoljno je uzeti u obzir dilatacije Uj(rz), 0 ≤ r < 1 i potom pustiti r → 1−; za dilatacije funkcija Uj (j = 1, 2, . . . ,m) mozˇe se utvrditi glavna nejednakost na slicˇan nacˇin kako je to urad- jeno gore za analiticˇke funkcije (zapravo, jednostavnije, jer su u ovom slucˇaju u pitanju ogranicˇene funkcije). Dakle, drugi deo ovog dokaza je posvec´en ekstemalnim funkcijama. Medjutim, napravi- c´emo digresiju i pokazati da je funkcija F (zn) = ∫ Un−1 { m∏ j=1 |f znj (z′)|pj } dam−2(z′) (koja se pojavljuje na pocˇetku ovog dokaza kao podintegralni izraz u (3.27)) neprekidna u svim tacˇkama |zn| < 1. Imajuc´i u vidu lemu 3.4, dovoljno je da ustanovimo da za proizvoljan kompaktan podskup K diska U postoji funkcija G(z′) ∈ L1m−2(Un−1) domi- nantna za familiju { F˜zn(z ′) = m∏ j=1 |f znj (z′)|pj : zn ∈ K } . Da ovo ustanovimo, neka je C = C(K) konstanta izabrana tako da vredi 1 1− |zn|2 ≤ C, zn ∈ K. Kako je f z′j ∈ Hpj za z′ ∈ Un−1, prema lemi 3.3, imamo ocenu |f z′j (zn)|pj ≤ 1 1− |zn|2‖f z′ j ‖pjpj , |zn| < 1. Prema tome, za zn ∈ K vredi F˜zn(z ′) = m∏ j=1 |fj(z′, zn)|pj ≤ Cm m∏ j=1 U˜j(z ′), z′ ∈ Un−1, gde smo oznacˇili U˜j(z ′) = ‖f z′j ‖pjpj , z′ ∈ Un−1 GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 71 (za sve j = 1, 2, . . . ,m). Dakle, F˜zn(z ′) ≤ G(z′), za G(z′) = Cm m∏ j=1 U˜j(z ′), z′ ∈ Un−1. Ostaje da se pokazˇe G ∈ L1m−2(Un−1). Kako je U˜j ∈ PL1(Un−1) za sve j = 1, 2, . . . ,m, prema glavnoj nejednakosti za klasu PL1(Un−1), nalazimo∫ Un−1 G(z′)dam−2(z′) ≤ Cm ∫ Un−1 { m∏ j=1 U˜j(z ′) } dam−2(z′) ≤ Cm m∏ j=1 ‖U˜j‖1 <∞. Predjimo sada ne drugi deo teoreme koji se ticˇe ekstremalnih funkcija. Radi jasnoc´e, u nastavku pisˇemo Kn za Kosˇi–Segovo jezgro za polidisk Un. Jednakost se dostizˇe u glavnoj nejednakosti ako i samo ako jednakost vredi na oba mesta u (3.31). Ako postoji 1 ≤ j ≤ m tako da je fj ≡ 0, tada je jednakost ocˇito ispunjena na svakom mestu. U nastavku uzimamo da to nije slucˇaj i pokazac´emo, prvo, da ako jednakost vredi, tada se nijeda funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) ne ponisˇtava u jedinicˇnom polidisku. Na kraju, da bismo izveli ekstemalne funkcije, iskoristitic´emo da su nam vec´ poznate ekstemalne funkcije u Hilbertovom slucˇaju nasˇe teoreme. Prema (3.28) imamo Uj 6≡ 0 za sve j = 1, 2, . . . ,m. Dakle, jednakost vredi na drugom mestu u (3.31) ako i samo ako postoji λj > 0 i (zajednicˇko) |w′′| < 1 tako da je Uj(zn) = λj|K1(zn, w′′)|2 za sve j = 1, 2, . . . ,m (videti kada vredi jednakost u teoremi 3.10). Ovo znacˇi da se nijedna od funkcija Uj ne ponisˇtava nigde u jedinicˇnom disku. Primetimo sada da se prva nejdnakost u (3.31) mozˇe napisati u sledec´oj formi ∫ |zn|<1 F (zn)dam−2(zn) ≤ ∫ |zn|<1 { m∏ j=1 Uj(zn) } dam−2(zn). Kako su funkcije F (zn) i ∏m j=1 Uj(zn) neprekidne za sve |zn| < 1, jednakost se pojavljuje GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 72 u prethodnoj nejednakosti ako i samo ako je F (zn) = m∏ j=1 Uj(zn) za sve |zn| < 1. Ovo znacˇi da jednakost vredi u (3.27) takodje za sve |zn| < 1, sˇto je moguc´e (imajuc´i sada u vidu slucˇaj jednakosti u indukcijskoj hipotezi) ako i samo ako je f znj (z ′) = cj(zn)Kn−1(z′, w′(zn))2/pj za sve j = 1, 2, . . . ,m; ovde je w′(zn) ∈ Un−1 i cj(zn) 6= 0. Naime, kako se Uj(zn) ne ponisˇtava nigde u jedinicˇnom disku, nije moguc´e da postoje 1 ≤ j ≤ m i |zn| < 1 tako da je f znj ≡ 0 (videti (3.28)). Dakle, ako jednakost vredi u glavnoj nejednakosti (i ako je pri tome fj 6≡ 0 za sve j = 1, 2, . . . ,m), tada se fj (j = 1, 2, . . . ,m) ne ponisˇtava nigde u polidisku Un. Sledi da je moguc´e izdvojiti granu fpj/2j ∈ H2(Un). Pozivajuc´i se na deo tvrdjenja koji se odnosi na jednakost u Hilbervom slucˇaju nasˇe teoreme i to za fpj/2j , j = 1, 2, . . . ,m, nalazimo da jednakost vredi ako i samo ako svaka funkcija fj (j = 1, 2, . . . ,m) ima formu fpj/2j (z) = c˜jKw(z), odnosno, fj(z) = cjKw(z) 2/pj za izvesno w ∈ Un i konstane c˜j 6= 0, cj = c˜2/pjj 6= 0. Ovim je pokazan deo tvrdjenja teoreme 3.9 koji se odnosi na jednakost. 3.4.5 Karlemanova nejednakost i klase Smirnova Polidisk je proizvod D1 × · · · ×Dn ⊆ Cn, gde je Dj (j = 1, . . . , n) prosto povezana oblast sa najmanje dve tacˇke na granici. Mi c´emo pretpostviti da je svaka oblast Dj omedjena kriviom Γj koja je u najmanju ruku rektificijablina. Granica polidiska D u smislu Sˇilova je Γ = Γ1 × · · · × Γn. Proizvod ovog tipa nazivamo polikriva. KlasaHp(D1×· · ·×Dn) se definisˇe kako sledi. Analiticˇka funkcija f uD1×· · ·×Dn pripada Hp(D1×· · ·×Dn) ako |f |p (n−subharmonijska u Un) poseduje n−harmonijsku majorantu u oblasti D. Lako se pokazuje da je Hp(D) bi–analiticˇko invarijantan. Niz {Γj = Γj1×· · ·×Γjn ⊆ D1×· · ·×Dn} konvergira ka granici Sˇilova polidiskaD1× · · · × Dn ako se svaki kompaktan podskup D se sadrzˇi u unutrasˇnjosti Sˇilova polikrivih pocˇevsˇi od nekog indeksa. Analiticˇka funkcija f u D pripada klasi Smirnova Ep(D) ako postoji niz rektificijabilnih polikrivih Γj u D koji konvergira ka granici i konstanta M GLAVA 3. ANALITICˇKA IZOPERIMETRIJSKA NEJEDNAKOST 73 tako da vredi ∫ Γj1×···×Γjn |f(z1, . . . , zn)|p|dz1 . . . |dzn| ≤M <∞. Ovde je bitno da istaknemo da je do na permutaciju koordianta z1, . . . , zn, svako bi– analiticˇko preslikavanje Φ(z) : Un 7→ D = D1 × · · · ×Dn odredjeno konformnim pres- likavanjima ϕj : U 7→ Dj, (j = 1, . . . , n) u smislu Φ(z) = (ϕ1(z1), . . . , ϕn(zn)), z = (z1, . . . , zn) ∈ Un; videti [48, Teorema 7.3.3]. Zbog ovog tvrdjenja, kao i za n = 1 vredi: Teorema 3.12. Neka je Φ : Un → D1 × · · · × Dn bi–analiticˇko preslikvanje i neka je Γr, 0 < r < 1 nivo–polikriva za Φ, odnosno Γr = Φ(|w| = r). Tada za f ∈ Ep(D1 × · · · ×Dn) vredi sup 0KV1BaYKor pa,o,a , • Aa npeAnO>KeHa AV1CepTa~V1ja y ~enV1HV1 HV1 y AenosV1Ma HV1je 6V1na npeAno>KeHa 3a A06V1jal-be 6V1no Koje AV1nnoMe npeMa CTYAV1JCKV1M nporpaMV1Ma APYrV1x BV1COKOWKOnCKV1X ycTaHOBa, • Aa cy pe3ynTaTV1 KopeKTHO HaBeAeHV1 V1 • Aa HV1CaM KpWV10/na ayTOpCKa npasa V1 KOpV1CTV10 V1HTeneKTyanHy CBOjV1HY APYrV1X nV1~a. noTnlf1C AOKTOpaHAa Y 5eorpaAy, _0_,_8_~_:2_o_-1_3_p_ np1.1110r 2. ll13jaBa 0 lr1CTOBeTHOCTir1 WTaMnaHe lr1 eJleKTpOHCKe Bep31r1je .QOKTOpCKOr pa.Qa 5poj~HAeKca ____________________________________________________ __ CTYA~jcK~ nporpaM 7/eieo ?(ai{'?_CWtA /U-;30 uer4..M.e '"U< F~ 5_ Ko "l ~ (..(._,~ ;r[ ' Hacnos paAa v..pO( ~o f>~AM.~ a Jta .. /ltA ~'< 2. Ji.u x ¢>¢:1 H K; ~ ~~ MeHTop upo cp .. ff.P /'tu_o&-pa. 1 ~a0e A:Je tu J; l!13jaBJbyjeM Aa je WTaMnaHa B8p3~ja MOr AOKTOpCKOr paAa ~CTOB8THa eneKTpOHCKOj sep3~j~ Kojy caM npeAao/na 3a o6jasJb~BaH:>e Ha nopTany .Q1.1r1.1Tai1HOr peno31.1TOpllljyMa YHIIIBep3111TeTa y 6eorpaAY· .Qo3BOJbasaM Aa ce o6jase Moj~ nw-lH~ noAa~~ se3aH~ 3a A06~jaH:>e aKaAeMcKor 3Balt>a AOKTOpa HayKa , KaO WTO cy ~Me ~ npe3~Me , rOA~Ha ~ M8CTO pof)elt>a ~ AaTyM OA6paHe paAa. Os~ n~YH~ noAa~~ Mory ce o6jas~T~ Ha Mpe>KH~M cTpaH~~aMa A~r~TanHe 6~6n~oTeKe , y eneKTpOHCKOM KaTanory ~ y ny6n~Ka~~jaMa YH~sep3~TeTa y 5eorpaAy. noTniiiC AOKTOpaHAa Y 5eorpaAy, __ ( _ .. _3_·_ 2Y> __ I ) ___ _ np~nor 3. ~3jasa o Kop~wliel-by OsnawliyjeM YHII1Bep3111TeTcKy 61116n111oTeKy ,CseTo3ap MapKOBIIlli" ga y .Q111r111TanH111 peno3111TOp111jyM YHII1sep3111TeTa y 5eorpagy yHece Mojy goKTopcKy g111cepTat4111jy nog HacnosoM: KOJa Je Moje ayTopcKo gena . .Q111cepTat4111jy ca CBII1M np111n03111Ma npe,o,ao/na caM y eneKTpOHCKOM cpopMaTy noro,o,HOM 3a TpajHo apx111s111pal-be . Mojy goKTopcKy g111cepTat4111jy noxpal-beHy y .Q111r111TanH111 peno3111TOp111jyM YHII1Bep3111TeTa y 5eorpagy Mary ga KoplllcTe cs111 KOjll1 nowTyjy o,o,peg6e cagp>KaHe y oga6paHoM Tll1ny n111t4eHt4e KpeaTII1BHe 3ajegH111t4e (Creative Commons) 3a Kojy caM ce ognyLJII1o/na . 0 AyTopCTBO 2. AyTopcTso - HeKoMept4111janHo 3. AyTopcTBO - HeKoMept4111janHo - 6e3 npepage 4 . AyTopcTso- HeKoMept4111janHo - genii1TII1 nog 111CTII1M ycnoBII1Ma 5. AyTopcTso - 6e3 npepage 6. AyTopcTso - gen111TII1 nog 111CTII1M ycnos111Ma (Monii1MO ga 330Kpy>KII1T8 caMO jegHy OA W8CT noHyf)eHII1X n111t4eHL4II1 , KpaTaK Onii1C n111t4eHt4111 gaT je Ha nonef]111HII1 nll1cTa). Y 5eorpagy, _(;_'_~ _o_,.._ t_o_1_!J ___ _ 1. Ayropcrso - .Qo3BOJbasare YMHO>Kasatbe, Ali1CTplll6y~!lljy !II jasHo c3onwraB3tbe p,ena, !II npepap,e, aKo ce Hasep,e !liMe ayropa H3 HaYV1H op,pef)eH op, crpaHe 3yropa vtnV1 p,asaoL\a n!ll~eHL\e , Y31< !II y KOMepL\llljanHe cspxe. Oso je H3jcno6op,HV1ja op, CBV1X n!IIL\eH~ll1 . 2. Ayropcrso - HeKoMepL\!IIjanHo. Ao3BOJbasare YMHO>Kasatbe , A!IICTp!116y~llljy V1 jasHo caonwrasatbe p,ena, !II npepap,e, aKo ce Hasep,e li1Me ayropa Ha HaY!IIH op,pef]eH op, crpaHe ayropa !llnlll gasao~a nli1L\8HL\e. Osa nli1Lt8HL\a He go3BOJbasa tKasatbe , g!llcTpll16yL\!IIjy 111 jasHo caonwrasatbe gena, 6e3 npoMeHa, npeo6n!IIKOBatba !lln!ll ynorpe6e gena y csoM geny, aKo ce Hasege li1Me ayropa H3 H34lllH ogpef)eH og crpaHe ayropa 111nV1 gas30L\a nVJ~eH~e. Osa nli1L\8HL\3 He go3BOJbasa KOMepL\vtjanHy ynorpe6y gena. Y ogHocy H3 cse ocrane nl!l~eHL\e , osoM llliiL\eH~OM ce orpaH!I143Ba H3jseli!ll o6111M npasa IKasatbe. g!llcTpli16YL\!IIjy !II jasHo c3onwTasatbe gena. ll1 npepage, aKo ce Hasege lllMe ayropa Ha HaYlllH ogpef)eH og cTpaHe ayTopa Vtnlll ,o,asao~a nli1L\8HL\e ll1 aKo ce npepaga A!IICTpll16yll1pa nog lllCTOM l!lnlll cnw-tHOM Jli!IL\eHL\OM. Osa Il!I1L\eHwa He go3BOJb3B3 KOM8PL\lll]3nHy ynorpe6y gena ll1 npepa,o,3. 5. Ayropcrso - 6e3 npepap,e. Ao3BOJbasaTe yMHO>K3Batbe, p,lllcTp!116y~!lljy ll1 j3BHO caonwrasal-be gena, 6e3 npoMeHa, npeo6n!IIKOBatba llllllll ynorpe6e gena y csoM ,o,eny, aKo ce HaBeAe 111Me ayropa Ha HaY!IIH ogpef)eH OA crpaHe ayropa !1111!11 Aasaowa nlllL\eHL\8. Osa JllllL\eHL\3 A03BOJbasa KOMepL\llljanHy ynorpe6y p,ena. 6. Ayropcrso - p,en!IITlll nog lllCTlllM ycnoBVtMa. Ao3BOJbaBaTe YMHO>Kasatbe, AlllCTp!116y~llljy !II jaBHO caonwrasatbe gena, ll1 npepaAe, aKo ce HaBeAe lllMe ayrop3 H3 H3YIIlH ogpef)eH og crp3He ayropa !IIIllll gasaOL\3 nli!L\eHL\e !11 aKo ce npepa,o,a glllcTpll16y!llpa nop, !llCTOM !lln!ll CillllYHOM Jl!llL\8HL\OM . Osa Il!IIL\8HL\a go3BOJbasa KOMepL\!Ilj3nHy ynoTpe6y gena ll1 npepap,a. Cn!llYHa je cocprsepcK!IIM n!ll~eHL\aMa . OgHOCHO nlllL\eHL\aMa OTBOpeHOr KOga .