Докторс Е Кандида мр Де *Natural Ga ка дисертац ФИКАС ПРИР т:  јан Брк s Distribution a УН РУДАР ија:  НОСТ  ОДНО ић, дип nd Domestic Usa ИВЕРЗИ СКО‐ГЕО ДИСТР Г ГАСА  л. инж. Беогр ge Efficiency (п   ТЕТ У БЕ ЛОШКИ ИБУЦИ У ДОМ    рударс   ад, 20     ревод наслова ОГРАДУ  ФАКУЛ   ЈЕ И КО АЋИН тва  09.   дисертације на ТЕТ  РИШЋ СТВИМ  енглески)  ЕЊА  А*      мр Дејан Бркић, дипл. инж. рударства  Докторска дисертација:  „Ефикасност дистрибуције и коришћења природног гаса у домаћинствима“  Универзитет у Београду, Рударско‐геолошки факултет, Београд        Израду докторске дисертације финансијски подржало Министарство за науку и технолошки развој  Републике Србије на основу уговора о стипендирању доктораната бр. 45 од 08.06.2006. године.                                      Одлуком научно‐наставног већа Рударско‐геолошког факултета Универзитета у Београду бр. 1/35  од 31.01.2006. године сходно члану 142. став 1 Статута Рударско‐геолошког факултета  Универзитета у Београду одобрена израда докторске дисертације.    Одлуком Стручног већа за рударске и геолошке науке Универзитета у Београду 04 бр. 14/I од  19.04.2006. године сходно члану 123. Став 4. и члана 128. Закона о високом образовању  („Службени гласник РС, бр 76/05“), члана 124. став 1. тачка 3. Статута Универзитета у Београду –  пречишћен текст („Гласник Универзитета у Београду“, број 128/05) и чланова 8.‐15. Правилника о  стручним већима Универзитета у Београду ‐ пречишћен текст („Гласник Универзитета у Београду“,  број 124/05), а на захтев Рударско‐геолошког факултета Универзитета у Београду бр. 1/46 од  03.02.2006. године дата сагласност на предлог теме докторске дисертације.      © Дејан Бркић, забрањено умножавање целине или ма ког дела ове дисертације без писмене  сагласности аутора  Nat A di   ural G Dej ssertati as Dis an Brkić on subm U Facul B tribut Eff /in , MSc in itted fo sc niversit ty of M elgrade   ion an iciency  Serbian/ by   Petrole   r the de iences y of Bel ining an , Serbia,   d Do   um Eng gree of grade, d Geolo  2009. mestic ineering  PhD in  gy     Usag   technica e  l            Ментор:  Др Тома Танасковић, дипл. инж. рударства  Редовни професор Рударско‐геолошког факултета Универзитета у Београду      Чланови комисије за оцену и одбрану докторске дисертације:          1. Др Тома Танасковић, дипл. инж. рударства  Редовни професор Рударско‐геолошког факултета Универзитета у Београду      2. Др Веселин Баталовић, дипл. инж. рударства  Редовни професор Рударско‐геолошког факултета Универзитета у Београду      3. Др Душан Даниловић, дипл. инж. рударства  Ванредни професор Рударско‐геолошког факултета Универзитета у Београду      4. Др Мирољуб Аџић, дипл. инж. машинства  Редовни професор Машинског факултета Универзитета у Београду        Одлуком научно‐наставног већа Рударско‐геолошког факултета Универзитета у Београду бр. 1/210  од 27.10.2009. године сходно члану 175. став 4 Статута Рударско‐геолошког факултета  Универзитета у Београду формирана је Комисија за оцену и одбрану предметне докторске  дисертације у горе наведеном саставу.    i    РЕДГОВОР   Аутор  се  током  четири  године  рада  на  овој  дисертацији  посветио  првенствено  проблему  протока  природног  гаса  кроз  цевоводе.  Посебан  научни  допринос  ове  дисертације  је  постигнут  на  пољу  оптимизације  гасних  дистрибутивних  мрежа  прстенастог  типа1.  Проблем  оптималног  начина  коришћења  природног  гаса  за  потребе  подмиривања  грејних  потреба  становништва  у  градским  условима  је  такође  решаван2,3. Ипак  главни део доктората се бави унапређењем самог  система  за дистрибуцију  гаса.  Да  би  се  правилно  приступило  решавању  овога  проблема  било  је  нужно  проучити  сам  феномен  протока  природног  гаса  кроз  цевоводе.  Овај  део  дисертације  обрађује  одређена  поглавља  хидраулике,  даје  приказ  одређених  проблема  у  новом  светлу.  Даје  се  врло  једноставнан  и  оригиналан  поступак  за  решавање  Колбрукове  једначине  (Colebrook,  1937)4;  односно једначине Колбрука и Вајта (Colebrook‐White, 1939)5 које су дате у имплицитном облику  у  односу  на  коефицијент  трења.  Колбрукова  једначина  и  једначина  Колбрука  и  Вајта  су  синоними, те  је свеједно који се израз користи и у овој дисертацији се оба израза равномерно  помињу,  без  разлике.  Развијена  је  и  експлицитна  апроксимација  ове  једначине  уз  примену  трансцендентне  Ламберт W  функције.  Даје  се  такође  препорука  коју  једначину  протока  од  расположивих  у  бројној  литератури  применити  сходно  условима  храпавости  унутрашње  површи  цеви  и  брзине  којом  природни  гас  протиче  кроз  цевовод,  било  да  је  челични  или  од  пластичног материјала (ПВЦ). Иако су најзначајнија истраживања у овој области обављена још  крајем 19. и почетком 20. века (Reynolds, 1883)6, (Blasius, 1908)7, (Blasius, 1913)8, (Nikuradse, 1932)9,  (Nikuradse, 1933)10, (Moody, 1944)11, (Renouard, 1952)12, итд, још се може дати значајан допринос  у  систематизацији  постојећих  једначина  и  одабиру  најпогодније  за  услове  струјања  гаса  у  цевоводу  имајући  у  виду  да  у  нашој  домаћој  литератури  постоји  доста  недоумица  по  том  питању  (видети  докторску  дисертацију  Борислава  С.  Лилића  са  грађевинског  факултета  из  1956.  године13).  У  најважнијем  делу  доктората  дају  се  нове  методе  за  оптимизацију  гасних  дистрибутивних мрежа са прстеновима. Прва истраживања из ове области хидраулике врше  се тек  у  четвртој деценији 20.  века,  уз  важну напомену да  се  у  главним радовима у  светској  научној  литератури  из  ове  области  разматрају  првенствено  водоводни  системи.  Истина,  у  градској гасоводној мрежи прстенастог типа, падови притисака су релативно мали тако да се                                                               1 Brkić, D. 2009. An Improvement of Hardy Cross Method Applied on Looped Spatial Natural Gas Distribution Networks.  doi:10.1016/j.apenergy.2008.10.005 Applied Energy 86 (7‐8) 1290‐1300 (на енглеском)  2 Brkić, D. 2009. Serbian gas sector in the spotlight of oil and gas agreement with Russia. Energy Policy 37 (5) 1925‐1938  doi:10.1016/j.enpol.2009.01.031 (на енглеском)  3 Brkić, D. 2008. Transportation: Serbian, Russian pipeline accord enhances European gas security. Oil & Gas Journal 106 (48) 52‐54 (на  енглеском)  4 Colebrook, CF, White, CM. 1937. Experiments with fluid friction in roughened pipes. Proceedings of the Royal Society of London Series A  Mathematical and Physical Sciences 161 (906) 367‐381 (на енглеском)  5 Colebrook, CF. 1939. Turbulent flow in pipes with particular reference to the transition region between the smooth and rough pipe laws.  Journal of the Institution of Civil Engineers (London) 11 (4) 133‐156 (на енглеском)  6 Reynolds, O. 1883. An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or  sinuous and of the law of resistance in parallel channels. Philosophical Transactions of the Royal Society A 174 935‐982. (на енглеском)  7 Blasius, H. 1908. Grenzschichten in Flüssigkeiten mit kleiner Reibung (The boundary layers in fluids with little friction, English translation in  Technical Memorandum 1256; NACA, Washington 1950) (на енглеском и немачком)  8 Blasius, H. 1913. Das Ähnlichkeitsgesetz bei Reibungsvorgängen in Flüssigkeiten. Forschungs‐Arbeit des Ingenieur‐Wesens 131 (на немачком)  9 Nikuradse, J. 1932. Gesetzmässigkeit der turbulenten Strömung in glatten Röhren. Ver Dtsch Ing‐Forschungsh 356 (на немачком)  10 Nikuradse, J. 1933. Strömungsgezetze in rauchen Rohren (Laws of fluid in rough pipes, English translation in Technical Memorandum 1292;  NACA, Washington 1950) (на енглеском и немачком)  11 Moody, LF. 1944. Friction factors for pipe flow. Transactions of ASME 66 (8) 671‐684 (на енглеском)  12 Renouard, P. 1952. Nouvelle méthode pour le calcul des réseaux maillés de conduites de gaz. Communication au Congrès du Graz. (на  француском)  13 Лилић, БС. 1958. Расподела протока у хидрауличким мрежама. Докторска дисертација одбрањена на Грађевинском факултету  Универзитета у Београду 25. јуна 1956. (доступна и у виду истоимене монографске публикације, Београд 1958 у издању Универзитета у  Београду) (на српском)  П  ii    гас  може  посматрати  као  течност,  тј.  као  нестишљив  флуид  (некомпресибилан),  нпр.  као  вода или нафта; сличан проблем се јавља и при протоку ваздуха кроз вентилационе системе у  зградама (Aynsley, 1997)14, односно у рудницима (Лилић и Кузмановић, 1993)15. Пионир у области  прорачуна прстенастих мрежа је Харди Крос  (Hardy Cross) који је 1936. објавио први рад из ове  области хидраулике на енглеском говорном подручју (Cross, 1936)16. Руски научници из тога доба  Андријашев  (1932)17  и  Лобачев  (1934)18  такође  дају  своје  доприносе.  Даља  унапређења  су  објављена тек у радовима из шездесетих и седамдесетих година 20.  века у којима су описане  методе  развијене  још  увек  првенствено  за  водоводне  и  делимично  канализационе  системе.  У  овој  дисертацији  су  презентовани  неки  нови  методи  развијени  током  четворогодишњег  истраживања или су прилагођени већ постојећи који се у свом изворном облику већ користе за  водоводе.  Ово  прилагођавање  се  огледа  првенствено  у  томе што  је  сваки  постојећи  метод  преведен у матричну форму. Прорачуни су урађени у програму MS Excel. У нашим предузећима се  данас  углавном  користе  готови  програмски  пакети  за  прорачун  прстенастог  типа  мрежа.  Обично  се  у  пројектима  наводи  да  је  проблем  решен  методом  Харди  Кроса  без  детаљнијих  објашњења поступка прорачуна. Наиме сви методи који се користе за прстенасте мреже се у  домаћој  литератури  поистовећују  са  именом  Харди  Кроса.  У  докторату  се  даје  нов  приступ  решавању проблема који за резултат има оптимизују пречника цеви у мрежи. Овакав инверзан  приступ  основном  проблему  је  до  сада  ретко  примењиван  у  пракси,  посебно  врло  ретко  у  домаћој.  Решење  инверзног  проблема  може  се  сматрати  изузетно  важним  доприносом  унапређењу метода прорачуна чиме се уводи оптимизација на овом пољу. У нашој литератури,  у  уџбеницима  хидраулике  и  механике  флуида  практично  се  нигде  не  посвећује  пажња  прорачунима  прстенастих  гасних  мрежа,  док  за  водоводне  постоји  ограничена  литература.  Трећи и не мање важан део доктората се тиче коришћења природног гаса у домаћинствима.  Ову тему је аутор већ обрађивао у својој магистарској тези (Бркић, 2005)19 као и монографији  која је тим поводом издата (Бркић, 2006)20, с тиме да се овде дају и варијанте са различитим  ефикасностима  кућног  гасног  котла.  У  овом  делу  су  поређене  инвестиције  у  гасну  дистрибутивну  и  топловодну  дистрибутивну  мрежу  за  различите  типове  урбаних  насеља,  узимајући случај да се домаћинсва у оба случаја греју применом радијаторског грејања.    Све гасоводне мреже које су обрађене у докторату раде са улазним притиском гаса од 4·105 Ра  abs.    Свако  поглавље  дисертације  је  покривено  са  најмање  по  једним  радом  категорије  М2121,22,  М2223, М2324,25,26,27 или М2528 који су реферисани у Science Citation Index Expanded (SCI) а у складу са                                                               14 Aynsley, RM. 1997. A resistance approach to analysis of natural ventilation airflow networks. Journal of Wind Engineering and Industrial  Aerodynamics 67‐68 711‐719 (на енглеском)  15 Лилић, Н, Кузмановић, Д. 1993. Математичко моделирање рудничких вентилационих мрежа. Рударско геолошки факултет  Универзитета у Београду, Београд, ISBN 86‐80887‐14‐5 (на српском)  16 Cross, H. 1936. Analysis of flow in networks of conduits or conductors. Engineering Experimental Station University of Urbana 286 3–29 (на  енглеском) ‐ Занимљиво је да је овај рад и његов једини рад из ове области (ужа област интересовања Харди Кроса су биле  грађевинске конструкције)  17 Андријашев, ММ. 1932. Прорачун водоводних мрежа. Москва (на руском) – Харди Крос метода је на руском говорном подручју  позната као метода М.М. Андријашева с тим да је ова метода донекле модификована о чему ће бити више речи у самој дисертацији  18 Латишенков, АМ, Лобачев, ВГ. 1945. Хидраулика. Москва‐Лењинград (на руском); постоји превод на српском: Марковић, Б.‐ преводилац; Хидраулика. 1950. Београд /Научна књига (на српском)  19 Бркић, Д. 2005. Одређивање граничних параметара употребе природног гаса у Београду. Магистарски рад Рударско‐геолошки  факултет, Београд (на српском)  20 Бркић, Д. 2006. Природни гас као гориво за грејање. Задужбина Андрејевић библиотека Academia, Београд, ISBN 86‐7244‐562‐7 (на  српском)  21 Brkić, D, Tanasković, TI. 2008. Systematic approach to natural gas usage for domestic heating in urban areas. Energy 33 (12) 1738‐1753  doi:10.1016/j.energy.2008.08.009 (на енглеском)  iii    критеријумима  дефинисаним  у  „Правилнику  о  поступку  и  начину  вредновања,  и  квантитативном  исказивању  научноистраживачких  резултата  истраживача“29.  Овиме  је  извршена  верификација  резултата  које  доноси  дисертација  у  складу  са  највишим  критеријумима који се користе данас у светској науци укључујући најстрожу научну рецензију.  Ауторов фактор научне утицајности закључно са 17.11.2009 износи М=81,5.    Свака  референца  наведена  у  дисертацији  даје  се  у  пуном  облику  на  крају  текста  у  виду  абецедног  списка  литературе  (не  азбучног  иако  је  рад  писан  ћириличним  писмом,  из  разлога  што  је  већина  референци  са  енглеског  говорног  подручја).  Коришћен  је  Харвардски  стил  навођења изворне литературе, тј. у загради се уз презиме на латиничном писму даје и година  објављивања цитираног рада. Уколико аутор има два или више радова објављених исте године  уз годину се додаје мало латинично слово а, за други рад објављен исте године од истих аутора  додаје  мало  латинично  слово  b  и  тако  редом  наредна  слова  абецеде.  Имена  аутора  који  су  цитирани  рад  објавили  на  српском  језику  дају  се  у  тексту  ћириличним  писмом  док  се  имена  аутора  који  су  цитирани  рад  објавили  на  страном  језику  наводе  у  тексту  транскрибована  ћириличним писмом. За радове цитиране у тексту а писане на страним језицима обавезно је у  загради дато име аутора у оригиналу заједно са годином објављивања рада. Уколико има више  од  два  аутора,  цитира  се  само  први  аутор  с  тим  да  додаје  сентенца  et  al  на  латинском  у  значењу и остали, док се на крају дисертације наводе имена свих аутора без изузетка.    Аутор се унапред извињава за све неугодности које грешке које сигурно постоје у дисертацији  могу да направе читаоцу. Где год се аутор позива на литерарне наводе, није згорег проверити  тражени а цитирани податак у оригиналном тексту.    Сажетак се поред српског  језика, којим  је и писана ова дисертација и који  је уједно и ауторов  матерњи  језик,  упоредо даје на  енглеском  језику  (Abstract),  који аутор доста добро познаје,  а  ако  не,  познаје  га  бар  у  толикој  мери  да  на  овом  језику  (енглеском)  може  да  објављује  резултате својих истраживања у врхунским светским научним часописима.     У прилогу дисертације се даје одређени број нумеричких примера.    Аутор  је  током  рада  на  овој  дисертацији  био  стипендиста  Министарства  за  науку  и  технолошки  развој  Републике  Србије.  Без  ове  подршке тешко  да  би  дисертација  могла  бити  завршена, посебно имајући у виду обим истраживања који је урађен. Аутор има задовољство да  се  захвали  Министарству  за  науку  и  технолошки  развој  Републике  Србије  на  дугогодишњем  финансирању кроз магистарску и докторску стипендију.                                                                                                                                                                                                     22 Brkić, D. 2009. Serbian gas sector in the spotlight of oil and gas agreement with Russia. Energy Policy 37 (5) 1925‐1938  doi:10.1016/j.enpol.2009.01.031 (на енглеском)  23 Brkić, D. 2009. An improvement of hardy cross method applied on looped spatial natural gas distribution networks. Applied Energy 86 (7‐8)  1290‐1300 doi:10.1016/j.apenergy.2008.10.005 (на енглеском)  24 Brkić, D. 2008. Transportation: Serbian, Russian pipeline accord enhances European gas security. Oil & Gas Journal 106 (48) 52‐54 (на  енглеском)  25 Brkić, D. 2009. Solution of the implicit Colebrook‐White equation using Excel. Hydrocarbon Processing /in press/ (на енглеском)  26 Brkić, D. 2009. New reformulation of Colebrook‐White equation for flow friction based on Lambert‐W function. Hydrocarbon Processing /in  press/ (на енглеском)  27 Brkić, D. 2009. Gas distribution network hydraulic problem from practice, Petroleum Science and Technology /in press/ (на енглеском)  28 Brkić, D. 2009. Comments on "Settling velocities of particulate systems 15: Velocities in turbulent Newtonian flows", International Journal of  Mineral Processing 92 (3‐4) 201‐202 doi: 10.1016/j.minpro.2009.03.010 (на енглеском)  29 Службени гласник РС, број 38/2008 од 21 марта 2008. (на српском)  iv    Мајци Софији и сестри Катарини аутор дугује највећу захвалност на породичној подршци без  које  би  бављење  једним тако  захтевним  послом  као  што  је  научно‐истраживачки  рад  било  тешко замисливо.    Аутор  је  захвалан  ментору  Томи  Танасковићу  на  дугогодишњој  коректној  сарадњи  и  конструктивним сусгестијама у циљу побољшања квалитета дисертације.    Штампање коначне верзије доктората завршено 17.11.2009. године.      Аутор  У Београду,   новембра 2009.      v    САДРЖАЈ:  ЕФИКАСНОСТ ДИСТРИБУЦИЈЕ И КОРИШЋЕЊА ПРИРОДНОГ ГАСА У ДОМАЋИНСТВИМА  (Natural Gas Distribution and Domestic Usage Efficiency)      A. Увод ...................................................................................................................................................... ‐ 1 ‐  Б. Отпори протоку гаса у цевима ........................................................................................................... ‐ 3 ‐  Б.1. Ламинарни режим ....................................................................................................................... ‐ 9 ‐  Б.2. Хидраулички ‘гладак’ режим .................................................................................................... ‐ 10 ‐  Б.3. Потпуно турбулентан режим ..................................................................................................... ‐ 15 ‐  Б.4. Делимично турбулентан режим ............................................................................................... ‐ 16 ‐  Б.5. Експлицитне апроксимације Колбрукове једначине .............................................................. ‐ 20 ‐  Б.5.1 Модијева апроксимација .................................................................................................... ‐ 21 ‐  Б.5.2 Вудова апроксимација ......................................................................................................... ‐ 21 ‐  Б.5.3 Екова апроксимација ........................................................................................................... ‐ 21 ‐  Б.5.4 Јанова апроксимација .......................................................................................................... ‐ 22 ‐  Б.5.5 Сваме‐Јанова апроксимација .............................................................................................. ‐ 22 ‐  Б.5.6 Черчилова апроксимација ................................................................................................... ‐ 22 ‐  Б.5.7 Ченова апроксимација ......................................................................................................... ‐ 22 ‐  Б.5.8 Роундова апроксимација ..................................................................................................... ‐ 23 ‐  Б.5.9 Барова апроксимација ......................................................................................................... ‐ 23 ‐  Б.5.10 Зигранг‐Силвестрова апроксимација ............................................................................... ‐ 23 ‐  Б.5.11 Хааландова апроксимација ............................................................................................... ‐ 23 ‐  Б.5.12 Сергидесова апроксимација ............................................................................................. ‐ 24 ‐  Б.5.13 Манадилијева апроксимација .......................................................................................... ‐ 24 ‐  Б.5.14 Апроксимација Ромеа, Роја и Монзона ........................................................................... ‐ 24 ‐  Б.5.15 Сонад‐Годарева апроксимација ....................................................................................... ‐ 24 ‐  Б.5.16 Рао‐Кумарева апроксимација ........................................................................................... ‐ 25 ‐  Б.5.17 Апроксимација аутора ‐ Бркићева апроксимација ......................................................... ‐ 25 ‐  Б.6. Ламберт W функција у хидраулици .......................................................................................... ‐ 26 ‐  Б.6.1 О Ламберт W функцији уопште ........................................................................................... ‐ 27 ‐  Б.6.2 Приближно решавање Ламберт W функције .................................................................... ‐ 27 ‐  vi    Б.6.3 Егзактна математичка трансформација Прандтлове једначине у експлицитан облик  помоћу Ламберт W функције ....................................................................................................... ‐ 29 ‐  Б.6.4 Егзактна математичка трансформација Колбрукове једначине у експлицитан облик  помоћу Ламберт W функције ....................................................................................................... ‐ 31 ‐  Б.7. Решавање имплицитно задатих израза помоћу MS Excel‐a (ver. 2007) ............................. ‐ 32 ‐  Б.8. Падови притиска у цевоводима ........................................................................................... ‐ 36 ‐  Б.9. Реноарова једначина прилагођена за гасоводне системе ................................................. ‐ 39 ‐  Б.10. Завршне напомене о протоку флуида кроз цевоводе ...................................................... ‐ 42 ‐  Б.11. Литературне напомене о протоку флуида кроз цевоводе ............................................... ‐ 45 ‐  В. Дистрибуција гаса цевоводима; прорачун стационарне расподеле протока у задатој мрежи ‐ 49 ‐  В.1. Харди Крос метод (Single contour adjustment method) ....................................................... ‐ 51 ‐  В.1.1 Одабир алгебарског знака за поправни проток ................................................................ ‐ 59 ‐  В.1.2 О просторности мрежа за дистрибуцију флуида .............................................................. ‐ 61 ‐  В.1.3. Модификовани Харди Крос метод (Simultaneous contour equation solution) ................ ‐ 67 ‐  В.1.4. Варијације Харди Крос метода; метод М.М. Андријашева ............................................. ‐ 76 ‐  В.2. Метод чворова (The Node Method) ...................................................................................... ‐ 78 ‐  В.3. Обједињени метод чворова и петљи (The Node‐Loop Method) ......................................... ‐ 82 ‐  Г. Дистрибуција гаса цевоводима, проблем оптимизације пречника цеви при константним  протоцима ............................................................................................................................................ ‐ 103 ‐  Д. Примери из праксе; реалне гасоводне мреже прстенастог типа ............................................... ‐ 123 ‐  Ђ. Литературне напомене у вези са пројектовањем гасоводих мрежа ......................................... ‐ 135 ‐  E. Избор оптималног система грејања на природни гас на основу урбанистичких параметара . ‐ 139 ‐  Ж. Закључци ......................................................................................................................................... ‐ 179 ‐  Литература ........................................................................................................................................... ‐ 184 ‐  Сажетак ................................................................................................................................................ ‐ 202 ‐  Abstract ................................................................................................................................................. ‐ 207 ‐  Прилог .................................................................................................................................................. ‐ 211 ‐          vii    Коришћене ознаке:    I‐Електрична струја (А)  U‐Електрични напон (V)  r, R‐Електрични отпор (Ω)  p‐Притисак (Ра)  λ‐Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора (‐)  f‐Фанингов коефицијент хидрауличког отпора (‐)  L‐Дужина цеви (m)  D‐Пречник цеви (m)  ρ‐Густина флуида (kg/m3)  v, υ‐Брзина (m/s)  Q‐Проток (m3/s)  τ‐Напон смицања (Ра)  Re‐Рејнолдсов број (‐)  ν, μ‐Кинематски вискозитет (m2/s)  η‐Динамички вискозитет (Pa·s)  A‐Блазијусов коефицијент (‐)  A‐Помоћна промењива у ј‐ни (36)  A‐Помоћна промењива у ј‐ни (87)  B‐Блазијусов експонент (‐)  α‐Прандтлов коефицијент у ј‐ни (93) (‐)  β‐Прандтлов експонент у ј‐ни (93) (‐)  B‐Помоћна промењива у ј‐ни (36)  B‐Помоћна промењива у ј‐ни (87)  B*‐Помоћна промењива у ј‐ни (53)  С‐Помоћна промењива у ј‐ни (87)  D‐Помоћна промењива у ј‐ни (87)  M‐Молекулска маса гаса (kg/mol)  z‐Фактор компресибилитета гаса (‐)  Ф(Re)‐Помоћна функција у ј‐ни (53)  α‐Помоћна промењива у ј‐ни (36)  ψ‐Помоћна промењива у ј‐ни (39) и (49)  Ѕ‐Помоћна промењива у ј‐ни (52) и (54)  θ‐Помоћна промењива у ј‐ни (43)  ε‐Храпавост унутрапњости цеви (m)  R‐Полупречник цеви (m)  R‐Хидраулички отпор  x‐Аргумент Ламберт‐W функције  y‐Помоћни, „померени“ аргумент Бојдове Ламберт‐W функције  W‐Ламберт‐W функција  ω‐Помоћна, „померена“ Бојдова Ламберт‐W функција   =Помоћна Бојдова функција  Ω‐Помоћна Бојдова функција  а‐Помоћна променљива дефинисана у тексту  b‐Помоћна променљива дефинисана у тексту  Ф‐Помоћна променљива дефинисана ј‐ном (71)  О‐Помоћна променљива дефинисана ј‐ном (81)  viii    Коришћене ознаке (наставак са претходне стране):  H‐Висина (m)  T‐Температура (К)  Δ‐Харди Кросова поправка протока (m3/s)  Δ‐Поправка у методи чворова (Ра код водовода, Ра2 код гасовода)  Δ‐Коначна промена величине  F(Q)‐Функција протока (код водовода пад притиска, а код гасовода разлика квадрата притиска  на улазу и излазу из цеви)  F(D)‐  Функција  пречника  (код  водовода  пад  притиска,  а  код  гасовода  разлика  квадрата  притиска на улазу и излазу из цеви)  С,  2xp ~∆ ‐ разлика квадрата притиска на улазу и излазу из цеви x  Г‐трошкови гасоводног система (€)  МРС‐трошкови мерно регулационе станице (€)  РС‐трошкови регулационе станице (€)  ГМ‐трошкови гасоводне мреже (€)  МС‐трошкови мерног сета (€)  КК‐трошкови гасног кућног котлића (€)  ОГ‐трошкови одржавања гасовода (€)  Т‐трошкови топлификационог система (€)  ТМ‐трошкови топловодне мреже (€)  РТ‐трошкови размењивача топлоте (€)  НТ‐трошкови за изградњу нове топлане (€)  ОТ‐трошкови одржавања топлификационог система (€)  НСВ‐нето садашња вредност трошкова (€)  dr‐дисконтна стопа (%)  у‐број зграда на основном урбанистичком сегменту (‐)  t‐време (године)    Константе:  π‐Лудолфов број (=3,1415)  g‐Убрзање силе земљине теже (9,81 m/s2)  R‐Универзална гасна константа (=8,31441 J/(mol·K))    Ближе одређење ознака (subscript):  1‐Односи се на почетни притисак  2‐ Односи се на крајњи притисак  u‐Унутрашњи  L‐Ламинарни (хидраулички режим)  n‐Нестабилни (хидраулички режим)  g‐Глатки (хидраулички режим)  t‐Турбулентни (хидраулички режим)  dt‐Делимично турбулентни (хидраулички режим)  sr‐Средњи  st‐Стандардни  r‐Релативни  vaz‐Ваздух  101:, 105:, 102:, 106: ‐ једначине из www.bre.co.uk/sap2005, у докторату (229‐232)    ix            Фауна Чилеа    Alicanto  је  ноћна  птица  која  се  храни  златним  или  сребрним жилама.  Врста  која  се  храни златом може се препознати по златном  светлу које јој зрачи из крила када их рашири у  трку  (јер  не  може  да  лети);    Alicanto  који  се  храни сребром препознаје се, као што се може  и очекивати, по сребрном светлу.  Разлог што птица не може да лети није у  крилима,  која  су  потпуно  нормална,  већ  у  металној храни која јој оптерећује гушу. Кад је  гладна,  креће  се  врло брзо;  наждерана,  једва  је кадра пузати.  Истраживачи  или  рударски  инжењери  верују  да  ће  се  обогатити  само  ако  буду  те  среће да их води  Alicanto, зато што их та птица  може  навести  на  откриће  скривене  руде.  Упркос  томе,  истраживач  мора  бити  врло  опрезан,  јер  ако  птица  посумња  да  је  неко  прати, пригуши светло и нестане у мраку. Исто  тако,  изненада  може  променити  смер  и  намамити прогонитеље у понор.      "Manual de zoología fantástica"   de Jorge Luis Borges y   Margarita Guerrero        x                                                  Κύριε ἐλέησον     A . У во д  ‐ 1 ‐    A. Увод    Дисертација  се  првенствено  бави  развојем  ефикасније  методе  за  прорачун  гасоводних  мрежа прстенастог типа. Развијени метод, као и досада постојећи методи се могу поред  прорачуна  гасоводних  мрежа  прстенастог  типа  користити  и  за  прорачун  водоводних  мрежа истог  типа,  као  и  за  прорачун  вентилационих мрежа  како  у  рудницима,  тако  и  у  стамбеним зградама.    У  првом  поглављу  доктората  се  врши  одабир  најпогодније  релације  за  прорачун  Дарсијевог коефицијента хидрауличког отпора. За гасоводне мреже се у данашње време  највише  користе  пластичне  полиетиленске  цеви  које  су  практично  глатке,  тако  да  је  хидраулички режим који влада у њима тзв. хидраулички гладак. За овај режим када  је у  питању проток гаса је најпогоднија Реноарова једначина. Она је посебно погодна зато што  за  њену  примену  не  мора  експлицитно  да  се  израчунава  Дарсијев  коефицијент  хидрауличког  отпора.  Реноарова  једначина  за  природни  гас  је  развијена  1952.  године.  Када  су водоводи у питању најчешће  је  заступљен делимично  турбулентан режим,  а  од  формула  које  се  користе  за  рачунање  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  користи се имплицитна Колбрукова једначина из 1939. године. Ова једначина се користи  и  када  је  у  питању  прорачун  протока  нафте  или  гаса  са  тиме  да  се  према  препоруци  Америчког института за гас – AGA, уместо коефицијента 2,51 користи 2,825.  Једначина  је  имплицитна пошто се Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора појављује са обе стране  знака једнакости. Ово је трансцендентна емпиријска једначина која је добијена на основу  експеримената Колбрука и Вајта из 1937. године. Трансцендентна значи да не може да се  изрази у коначном облику преко елементарних алгебарских функција,  тако да она може  да  се  реши  само  приближно  и  то  методом  покушаја  и  пробе,  или  што  је  чешћи  случај  неком  од  нумеричких  итеративних  метода.  Последњих  пар  година  се  појавило  пар  чланака у иностраним научним публикацијама који се баве трансформацијом Колбрукове  јеначине у експлицитан облик користећи Ламберт W функцију (Goudar‐Sonnad 2003, 2007,  2008, 2009; Sonnad‐Goudar 2004, 2005, 2006, 2007, More 2006; Nandakumar 2007; Clamond  2009). Све досад доступне трансформације имају ману да за веће вредности Рејнолдсовог  броја  и  релативне  храпавости,  поједини  чланови  постају  толико  велики  да  не  могу  да  стану  у  регистар  рачунара.  Користећи  основу  Колбрукову  идеју  на  основу  које  је  и  развијена истоимена једначина 1939. године, као и идеју према којој се користи Ламберт  W  функција  за  трансформисање  имплицитно  задатих  релација  у  експлицитан  облик,  у  дисертацији  се  даје  трансормисани  облик  Колбрукове  једначине  уз  помоћ  Ламберт W  функције који је примењив за исти опсег Рејнолдсовог броја и релативних храпавости без  ограничења у односу на оригиналну  једначину  (2009c,d,e). Даје  се и даља процедура за  налажење  приближног  решења  овако  трансформисане  једначине.  Ламберт W  функција  поседује  одређена  својства  која  могу  бити  корисна  тако  да  је  и  трансформисана  Колбрукова једначина занимљива за даља истраживања.     ‐ 2 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Аутор  је  у  потпуности  био  ослоњен  на  иностране  научне  и  стручне  часописе  за  које  је  приступ у електронском облику обезбедило Министарство за науку и технолошки развој  Србије,  преко  КОБСОН‐а,  тј.  Конзорцијума  Библиотека  Србије  за  Обједињену  Набавку.  Аутор  је поред постојећих метода,  у првом реду оригиналне методе Харди Кроса,  као и  модификоване  методе  Харди  Кроса,  које  је  детаљно  проучио  и  прилагодио,  развио  и  сопствену  методу.  Мреже  се  уобичајено  прорачунавају  оригиналном  методом  Харди  Кроса која сада има само историјски значај, затим модификованом методом Харди Кроса,  методом  Лобачева  која  је  у  суштини  Харди  Кросова  метода,  са  тиме  да  је  сличну  али  нешто  сложенију  методу  развио  истовремено  развио  поменути  совјетски  аутор.  У  доба  СССР  се  најчешће  користила  тзв.  метода  М.М.Андријашева  која  је  нешто  другачија  од  оригиналне методе Харди Кроса, тј. Лобачева, с тиме да је компликованија али уз добитак  у брзини конвергенције који је несразмеран компликованости методе. Популарна је и тзв.  метода чворова која има нешто другачији приступ у односу на све остале методе, пошто је  само  код  ње  увек  задовољен  услов  по  другом  Кирхофовом  закону,  док  се  први  уравнотежава у итеративном поступку. Код свих осталих метода је обрнут случај. Пошто је  проблем протока флуида кроз цеви нелинеаран, за разлику од протока електричне струје  кроз проводнике, проблем није тако једноставан али извесне паралеле могу да се повуку.  Пошто до скоро нису били широко доступни рачунари који су могли да раде са великим  матрицама  које  су  потребне  за  све методе  које  су  брзоконвергентне,  покушавало  се  са  успостављањем електричних модела који описују проток флуида кроз цевоводну мрежу.  Овај проблем није једноставно решив пошто свака промена протока повлачи са собом и  промену  хидрауличког  отпора.  Ови  модели  су  у  данашње  време  потпуно  превазиђени.  Они су били популарни од педесетих па до почетка седамдесетих година двадесетог века.  На  ову  тему  је  у  то  време  урађена  и  једна  врло  успела  докторска  дисертација  на  Грађевинском факултету Универзитета у Београду (1956) која је за то време дала значајан  допринос на пољу прорачуна прстенастих мрежа (Лилић 1958).     У  дисертацији  се  дају  строга  алгебарска  правила  за  сабирање  поправних  протока  добијених  било  применом  оригиналне  или  модификоване  Харди  Крос  методе.  Направљен  је  и  корак  даље  тиме  што  је  развијена  обједињена  метода  чворова  и  прстенова  при  чему  се  поправка  уопште  и  не  добија  као  резултат,  већ  се  у  свакој  итерацији  добија  сам  проток  чиме  је  избегнута  потреба  за  било  каквим  алгебарским  правилима. Обједињена метода чворова и прстенова није нешто потпуно ново. Она  је у  различитим облицима већ позната у литератури, али је овде доста прилагођена, уосталом  као  и  остале  приказане  методе.  Аутор  ове  дисертације  се  нада  да  ће  рударским  инжењерима бити од користи бројни примери проблема који су решени у дисертацији те  да ће одређени методи ући у инжењерску праксу прорачуна гасоводних мрежа.     Последњи  део  доктората  се  бави  ефикасним  искоришћењем  гаса  у  складу  са  урбанистичким параметрима. Аутор ове дисертације се широко бавио овим проблемом у  својој  магистарској  тези  из  2005.  године  (Бркић  2005d,  Бркић  2006).  Овде  се  дају  само  неке  основне  поставке  и  неки  нови  закључци  који  су  изведени  из  тог  врло  опсежног  истраживања (Brkić‐Tanasković 2008).        Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 3 ‐    Б. Отпори протоку гаса у цевима    Ако  је пад притиска између две  тачке  у цеви еквивалентан напону  у  електричном колу,  тада  је  проток  флуида  еквивалентан  електричној  струји,  а  хидраулички  отпор  еквивалентан електричном отпору. За разлику од електричног отпора који  је независтан  од вредности напона и струје у колу, хидраулички отпор зависи од много параметара као  што  су  вискозитет  флуида,  брзина  протока,  пречник  цеви,  храпавости  унутрашње  површине  цеви,  температура,  густина  итд.  Релације  које  се  примењују  за  прорачун  хидрауличких  отпора  за  различите  услове  су  истражене  и  приказане  у  овом  делу  дисертације. У електричним колима отпор R протоку струје I при напону U је константан и  даје се добро познатим омовим законом (1):  R UI =                        (1)  У  хидрауличким  системима  величина  аналогна  електричном  отпору  R  је  хидраулички  отпор λ који даје Дарси; односно Фанинг f, где је λ=4·f (Darcy 1857, Fanning 1877). Протоку  у  цевима Q  одговара  струја  I  у  електричним  колима,  а  разлици  притисака  Δp  (односно  разлици  квадрата  притиска  на  улазу  и  излазу  из  цеви  када  су  у  питању  гасоводи  2p~∆ )  одговара  напон  U,  тј.  разлика  електричних  потенцијала.  Међутим,  коефицијент  који  представља хидраулички отпор није константна величина за дату цев, већ поред пречника  D и храпавости ε (која је својство саме цеви) зависи и од својстава флуида (вискозности и  густине  флуида),  aли  и  од  брзине  протока  флуида.  Поред  тога  у  појединим  режимима  ефективни утицај храпавости може да буде умањен из разлога што флуид формира танак  слој уз сам унутрашњи зид који у неку руку има, могло би се грубо рећи подмазујућу улогу  (тзв. гранични слој; Слика 1). Дакле, релација која описује проток флуида у цевима дата од  стране Дарсија и Вајсбаха (Weisbach 1845) даје се у следећем облику (2):  2D Lpp 2 u 21 υρ⋅⋅λ=−                     (2)  Релација  (2)  се  назива  Дарси‐Вајсбах  једначином,  у  част  Анрија  Дарсија,  француског  инжењера из XIX века, и  Јулијуса Вајсбаха, немачког рударског инжењера и научника из  истог доба. Вајсбах је први предложио увођење бездимензионог коефицијента отпора λ ,  док је Дарси извео низ тестова са протоком воде у цевима. Релација (2) се може дати и у  нешто погоднијем облику у коме уместо брзине флуида фигурише проток (3):  ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=− 2 2 5 u 21 Q8 D Lpp                   (3)  Претходне једначине морају да узму у обзир и поједине законе термодинамике у случају  протока гасовитог флуида.   ‐ 4 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Рејнолдс је као што је опште познато увео критеријум на основу кога се одређује режим  протока  у  цевоводу,  где  се  узима  да  је  испод  2100‐2300  режим  у  цевоводу  сигурно  ламинаран,  а  изнад  највероватније  турбулентан  (Reynolds  1883a;  1883b,  1894,  1895).  Рејнолдсов број се одређује на основу следеће једначине (4):  η ρ⋅⋅υ=µ ⋅υ= uu DDRe                      (4)    Слика 1. Различити хидраулички режими који се могу јавити у храпавим цевима  Сам Дарсијев фактор  λ  се  понекад назива и Модијевим фактором.  Понегде  се  назива и  Дарси‐Вајсбаховим фактором,  с  тим  да  је  у  овој  дисертацији  усвојено  да  је  сам  фактор  отпора λ, Дарсијев, а сама једначина у којој исти фигурише (1) и (2), Дарси‐Вајсбахова.    Јасно дефинисане  границе између одређених хидрауличких режима протока не постоје,  али  се  могу  оријентационо  дати.  Граница  између  ламинарног  режима  и  нестабилног  режима  је  нагде  око  вредности  Рејнолдсовог  броја  Re=2320.  Нестабилан  хидраулички  режим  постоји  у  опсегу  од  Re=2320  до  4000.  Од  Re=4000  па  до  линије  одређене  једначином (5) егзистира тзв. прелазни турбулентан режим.  D200 Re1 ε⋅=λ (5)  Уколико је релативна храпавост изузетно мала или уопште не постоји у оквиру прелазно  турбулентног  режима  постоји  тзв.  хидраулички  ‘гладак’  режим.  Према  Абдолахију  и  сарадницима  (Abdolahi  et  al  2007)  хидраулички  ‘гладак’  режим  влада  изнад  Re=4000  а  испод криве одређене једначином (6):   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 5 ‐    16 D Re u <λ⋅⋅ε (6)  Прелазни турбулентан режим је одређен према једначини (7):  200 D Re16 u <λ⋅⋅ε< (7)  И наравно, потпуно турбулентан режим је изнад криве (8) у Модијевом дијаграму (Слика  2, испрекидана линија).  200 D Re u >λ⋅⋅ε (8)  Треба нагласити да су границе режима у раду Абдолахија и сарадника дате за Фанингов  коефицијент хидрауличког отпора  f, док су овде у дисертацији дате за Дарсијев λ. У овоj  дисертацији  биће  приказане  релације  којима  се  одређује  коефицијент  хидрауличког  отпора по Дарсију, тј. λ. У Америци се више користи коефицијент хидрауличког отпора по  Фанингу  f  који се разликује по томе што се до њега изворно дошло на другачији начин,  али  суштинска  разлика  не  постоји,  осим  да  је  коефицијент  по  Дарсију  бројчано  четири  пута већи од Фанинговог. Забуна може настати јер у стручној литератури не постоји опште  прихваћено  облежавање,  нпр.  као  овде  λ  када  је  у  питању  коефицијент  хидрауличког  отпора по Дарсију,  односно  f  по Фанингу,  већ поједини аутори произвољно узимају ове  ознаке.  Поједине  струке  такође  чешће  користе Фанингов  коефицијент што  је  у  суштини  само  ствар  навике  и  устаљене  инжењерске  праксе.  Исто  тако  поједини  аутори  понегде  користе  пречник  цеви,  а  понегде  полупречник,  што може  да  унесе  забуну  (Brkić  2009b;  Concha 2008; Chen 1979, 1980; Schorle et al 1980; Rao‐Kumar 2007), а што је опет последица  саме дефиниције Дарсијевог, односно Фанинговог фактора хидрауличког отпора, односно  од дефиниције самих  једначина по којима се затим рачуна пад притиска; видети Дарси‐ Вајсбахове једначине (1) и (2) у којима фигурише Дарсијев коефицијент λ. Дарсијев фактор  се теоријски дефинише као (9):   2 8 υ⋅ρ τ⋅=λ                       (9)  Наравно  релација  (9)  има  само  теоријски  значај  пошто  напон  смицања  τ  није  лако  одедити  а  још  мање  у  пракси  измерити.  Зато  се  дају  бројне  релације  за  различите  хидрауличке режиме које ће у даљем тексту бити и објашњене.    Коефицијенти отпора се често дају у облику 1/ λ , односно 1/ f , који представљају тзв.  пропусност цевовода (1/ λ  =0,5·1/ f ). Неке од релација су дате у имплицитном облику,  што  је некад представљало проблем, али данас су такви проблеми превазиђени и такве  релације могу бити решене користећи најпростије софтверске алате који су данас широко  доступни, као нпр. Microsoft Excel 2007 (Enterprise edition) о чему ће у даљем тексту бити  више речи (Brkić 2009a); поглавље Б.7.    ‐ 6 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Никурадсе  је  још  током 1932.  и 1933.  године извршио  систематска  испитивања протока  флуида  кроз  цеви.  Он  је  цеви  обрађивао  песком  са  унутрашње  стране  да  би  испитао  утицаје  различитих  величина  релативних  храпавости  (ε/Du)  на  величину  коефицијента  хидрауличког  отпора  (Nikuradse  1932;  1933).  У  овој  дисертацији  су  зависности  на  дијаграмима  најчешће  дате  у  облику  у  којем  је  и  Никурадсе  изворно  средио  своје  податке;  тј.  log(100·λ)=f(logRe),  односно  у  нешто  мало  измењеном  облику,  тј.  log(1000·λ)=f(logRe) како би се избегло да на ординати буду вредности мање од јединице.  Рад Никурадсеа се директно наставља на рад Блазиуса 1913. године у коме су обрађивани  отпори  при  протоку  флуида  кроз  глатке  и  храпаве  цеви  (Blasius  1913).  Прандтл  (Prandtl  1935) је увео у употребу горе поменуту пропусност цевовода 1/ λ , коју је обично стављао  у функцију Re· λ , а не самог Рејнолдсовог броја Re.     За потребе графичког одређивања коефицијента хидрауличког отпора струјању флуида у  цевоводима  најприхватљивији  је Модијев  дијаграм  приказан  на  слици  2  (Moody  1944).  Због  раширености  овог  дијаграма  често  се  Дарсијев  коефицијент  назива  и  Модијевим  коефицијентом.  Моди  је  поред  дијаграма  касније  предложио  и  формулу  по  којој  се  израчунава  хидраулички  коефицијент  отпора  о  чему ће  касније бити  више речи  (Moody  1947); поглавље Б.5.1.  Слика 2. Модијев дијаграм  Дијаграм  хидрауличких  отпора  (Слика  2  и  3)  је  нацртао  прво  Роуз  1942.  године  и  презентовао на другој  конференцији  хидрауличара  у Ајови,  али  са  координатним осама  израженим  преко  Прандтлових  параметара;  1/ λ   =f(Rе· λ )  и  са  помоћном  скалом   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 7 ‐    λ=f(Rе), а све на основу добро познате  једначине коју  је Колбрук објавио 1937.  године у  сарадњи  са  Вајтом  и  релације  коју  је  касније  самостално  модификовао  1939.  године  (Rouse  1943;  1976,  Colebrook‐White  1937,  Colebrook  1939).  Касније  је  Моди,  професор  хидраулике са Универзитета Принстон детаљно преуредио поменути дијаграм у облик као  што  је приказан на слици 2  (Moody 1944). Дијаграм са слике 2 може послужити за грубо  очитавање  коефицијената  хидрауличких  отпора.  На  њему  се  разликују  пет  области:  ламинарна  област,  прелазна  или  нестабилна  област,  област  протока  у  хидраулички  ’глатким’  цевима,  делимично  турбулентна  област  и  потпуно  турбулентна  област.  Ради  поређења се даје и Роузов дијаграм (Слика 3).  Слика 3. Роузов дијаграм  Поредећи Модијев и Роузов дијаграм може се закључити да постоји велика сличност. На  Роузовом дијаграму постоје помоћне осе које одговарају осама на Модијевом дијаграму.  Уобичајен назив за овакве типове дијаграма у данашње време је Модијев дијагарам, док  се  само  у  неким  деловима  Аустралије  користи  израз  Роузов  дијаграм  (Rouse  1987).  Хронолошки  гледано,  резултате  у  облику  поменутих  дијаграма  је  први  средио  Роуз  и  представио на конференцији хидрауличара у Ајови на којој  је учествовао и Моди који  је  био у публици док је Роуз презентовао свој рад. После излагања Моди се обратио Роузу са  сугестијом да преуреди дијаграм тако да главне и једине осе буду у облику λ=f(Rе) како би  дијаграм заживео у широкој инжењерској пракси. Међутим, Роуз који је био присталица  Прандтлове  нотације  је  то  сматрао  кораком  уназад  и  није  прихватио  сугестију  да  то  и  учини.  Нешто  касније  је  Моди  самостално  објавио  дијаграм  са  измењеним  осама  и  објавио  рад  у  престижном  часопису  Удружења  машинских  инжењера  Америке;  ‐ 8 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Transactions of ASME (Moody 1944). Да ли зато што је часопис престижног удружења био  доступнији инжењерској  јавности од конференцијског саопштења или из других разлога,  главно овакав  тип дијаграма  се  уобичајено данас  назива Модијевим дијаграмом  како  у  свету, тако и у Србији. Истина, уз Модијев рад су приложени и коментари, а међу њима се  налази  и  коментар  Роуза  који  је  приложио  свој  дијаграм  тако  да  су  се  оба  дијаграма  нашла у истом броју часописа (Модијев дијаграм на страни 672, а Роузов на страни 681) и  оба су стога била подједнако доступна  јавности  (Moody 1944). Треба нагласити да Моди  наглашава да  је  највећи допринос  без  кога  не би  ни било ових дијаграма дао Колбрук,  који нажалост није могао да приложи свој коментар Модијевог рада јер је био те 1944. у  рату као мајор британске војске (Moody 1944).    Трећи начин представљања података је дао Никурадсе (Nikuradse 1932; 1933). Овај начин  је погодан због  тога што су релације Блазијусовог  типа валидне  за хидраулички  ‘гладак‘  режим  праве  линије  у  овако  одабраном  координатном  систему.  Хидраулички  ‘гладак‘  режим се и најчешће јавља при протоку гаса кроз полиетиленске цеве што је и најчешћи  случај и што је и од највећег значаја за тему која се обрађује у овом докторату (Слика 4).    Слика 4. Подаци сређени према осама слично као у раду Никурадсеа  Дијаграми који су сређени по Никурадсеoвој идеји се не дају у циљу графичког очитавања  података,  већ  за  представљање  односа  између  појединих  релација  по  којима  се  израчунава Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора λ. У дисертацији ће овај облик и  бити коришћен како је већ речено, али са нешто измењеном ординатом која је у облику  log(1000·λ)  из  разлога  на  бројне  вредности  за  λ  буду  >1,  док  би  применом  оригиналне  Никурасеове нотације  log(1000·λ)  билe 0<λ<1.  Апсциса  се даје  у  облику  log(Re).  Типичан  Никурадсеов дијаграм се даје на слици 5 (Nikuradse 1932; 1933).   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 9 ‐       Слика 5. Типичан Никурадсеов дијаграм   Б.1. Ламинарни режим    Ламинарни режим протока се јавља до вредности Рејнолдсовог броја око 2100 (или 2320).  Изнад  ове  вредности  може  постојати  ламинаран  режим  али  је  у  том  случају  врло  нестабилан,  тако  да  и  најмањи  поремећај  доводи  до  појаве  турбуленције.  Ламинарни  режим  одликују  паралелне  струјнице  које  чине  ток  флуида  (Слика  1).  У  ламинарном  режиму хидраулички коефицијент се рачуна по једначини Хаген‐Поасејла (10):  Re 64 L =λ                        (10)  Треба  имати  на  уму  да  се  до  претходне  једначине  у  ствари  дошло  извођењем  из  једначине Хагена и Поазејла (Hagen 1839, Poiseuille 1841), док се за саму једначину (10) не  може тачно историјски утврдити ко  ју  је први увео у употребу. Пошто ламинарни режим  није  чест  у  гасоводним  мрежама  на  овоме  проблему  се  неће  дуже  задржавати  у  овој  дисертацији.  Неки  аутори  (http://gidravl.narod.ru/gidrosopr.html)  уместо  коефицијента  64  дају  вредност  75  у  једначини  (10).  Једначина  (10)  је  представљена  правом  линијом  у  Никурадсеовом  прилагођеном  координатном  систему  log(1000·λ)=f(logRe)  jer  je  log(1000∙λ)=log64000‐logRe (Слика 6). Једначина (10) је такође права линија и у Модијевом  (Слика 2).     Слика 6. Положај ламинарног и нестабилног режима у Никурадсеовом дијаграму  ‐ 10 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      После  ламинарног  режима  се  са  повећањем  Рејнолдсовог  броја,  а  пре  турбулентног  режима  јавља  уска  нестабилна  прелазна  област;  шрафирана  област  у  Модијевом  дијаграму (Слика 2). Ову област треба избегавати у техничким системима, те су и релације  које је описују ретке (Обровић‐Шашић 1996, Шашић 1990). Зајчек даје релацију (11):  3 n Re0025.0 ⋅=λ                     (11)  Ламинарни и нестабилни режим су графички представљени на слици 6.    Б.2. Хидраулички ‘гладак’ режим    После  нестабилног  прелазног  режима  настаје  делимично  турбулентан  режим  у  коме  коефицијент хидрауличког отпора зависи како од вредности Реjнолдсовог броја, тако и од  величине  релативне  храпавости;  λtd=f(Re;  ε/Du).  Посебан  случај  овог  режима  је  проток  у  хидраулички  глатким  цевима,  где  је  у  одсуству  храпавости  коефцијент  хидрауличког  отпора само у функцији Рејнолдсовог броја; λg=f(Re). Овај режим у данашње време добија  све  више  на  значају  пошто  су  полиетиленске  (ПВЦ)  цеви  које  се  и  највише  користе  за  изградњу  дистибутивних  гасовода  у  градовима  практично  глатке.  Сукхарев  са  сарадницима  даје вредности апсолутне храпавости код полиетиленских цеви у износу од  ε=0,002·10‐2 m,  док  за челичне цеви даје у износу од ε=0,01·10‐2 m  (Sukharev et al 2005). При  турбулентном  протоку  у  глатким  цевима,  хидраулички  губици  зависе  само  од  Рејнолдсовог броја λg=f(Re). Ово  је област  тзв. парцијалног или делимично турбулентног  режима за глатке цеви где су фактори отпора дати у тзв. Блазијусовом облику (12) праве  линије у прилагођеном координатном систему log(1000·λ)=f(logRe); (Слика 7).  B g ReA −⋅=λ                       (12)  Бројни  аутори  препоручују  Блазијусов  облик  једначине  (12)  за  одређивање  Дарсијевог  хидрауличког  отпора  посебно  у  случају  протока  гаса  кроз  пластичне  цеви  (von  Bernuth  1990).    Према линијама на слици 7, које представљају релације које се примењују за делимично  турбулентан режим за  ’глатке’ цеви (хидраулички  ’гладак’ режим) може се закључити да  се  најмањи  падови  притисака  добијају  применом  Панхандле  Б,  а  највећи  падови  применом Ходановичеве једначине под условом да су сви остали параметри исти (Табела  1).  Панхандле  Б  релација  (позната  још  и  као модификована  Панхандлова  једначина)  се  користи  за  цевоводе  великог  пречника,  те  је  и  логично  да  је  вредност  коефицијента  хидрауличког отпора нешто мања јер  је сразмерно мања количина флуида у контакту са  зидом цеви. Уколико постоје стварна мерења потребно је одабрати ону једначину која је у  најбољој корелацији са датом ситуацијом, и  затим такву  једначину применити касније у  сличним условима.   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 11 ‐      Слика 7. Различити облици једначина у Блазијусовом облику које дају поједини  аутори за хидраулички ‘гладак’ режим Експонент B u jедначини (12) може се одредити на основу тзв. power‐law модела (Табела  1).  Може  се  приметити  да  је  нпр.  по  1/10  power‐law  моделу  устројена  Реноарова  једначина (Renouard 1952), по 1/9 power‐law моделу IGT једначина, 1/7 power‐law моделу  Блазијусова  једначина  (Abdolahi et al 2007).  Једначине које су устројене по истом power‐ law  моделу  представљају  међусобно  паралелне  праве  у  прилагођеном  Никурадсеовом  координатном систему какав је приказан на слици 8.  Табела 1. Једначине за прорачун Дарсијевог коефицијента отпора у области хидраулички  ’глатког’ режима на  основу једначина Блазијусовог типа (12)  Једначина λg=A·Re‐B   Коефицијент A  Експонент B  Реноарова  0,172  0,18  Милерова  0,3564  0,26  Блазијусова  0,3164  0,25  Панхандлова A  0,08475  0,1461  Панхандлова B (модификована Панхандлова)   0,00147  0,03932  IGT (Institute of Gas Technology)  0,18086  0,19726  Товлерова и Поупова  0,09458  0,15174  Мокхатабова  0,02  0,185  Ходановичева  0,22  0,185         Слика 8. Графички приказ једначина Блазијусовог типа по power‐law моделу  ‐ 12 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Неке од једначина које се дају на основу Блазијусовог модела (12) и на основу нумеричких  вредности датих у табели 1 су познате у нешто другачијем облику, и то; Блазијусова (13):  25.0 4g Re3164,0 Re 3164,0 −⋅==λ                   (13)  Панхандлова A (14):  ( ) 1461,0207305,0g Re08475,0Re87,6 4 −⋅=⋅=λ                 (14)  Панхандлова B; модификована Панхандлова или нова Панхандлова (15):  ( ) 03932,0201961,0g Re00147,0Re49,16 4 −⋅=⋅=λ               (15)  IGT (Institute of Gas Technology) (16):  ( ) 2,021,0g Re1874,0Re619,4 4 −⋅=⋅=λ                 (16)  Прандтлова  једначина  (17)  је  једна  од  значајних  формула  које  важе  за  режим  хидраулички ‘глатког’ протока. На основу ње су развијене бројне друге једначине и она уз  једначине Блазијусовог типа спада међу најзначајније једначине у хидраулици. Позната је  и као НПК; Никурадсе‐Прандтл‐Карман једначина за хидрaулички ‘гладак’ режим (Goudar‐ Sonnad 2003).  ( ) 8,0Relog21 g g −λ⋅⋅=λ                   (17)  Прандтлову  једначину  (17)  је  у  својој  нотацији  дао  Колбрук  (18),  тако  да  је  овај  облик  познат и као Колбруков израз Прандтлове једначине:  ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ⋅⋅−=λ gg 1 Re 51,2log21                   (18)  Прандлова  једначина  је добијена на основу експерименталних података које  је  спровео  Никурадсе.  Никурадсе  је  током  1932.  и  1933.  године  спровео  низ  експеримената  са  протоком флуида кроз цеви различите  храпавости. Наиме он  је обрађивао цеви песком  различитих  гранулација  чиме  је  добио  цеви  различите  храпавости,  од  скоро  глатких  до  врло храпавих. У литератури са енглеског говорног подручја за равномерно храпаве цеви  попут  оних  из  Никурадсеовог  експеримента  се  користи  израз  ‘uniform  sand  roughness’.  Храпавост која настане после дугогодишње употребе у пракси обично одговара некој од  цеви  из  Никурадсеовог  експеримента  тако  да  се  за  такву  храпавост  употребљава  израз  ‘equivalent sand roughness’.     Када  је  реч  о  Прандтловој  једначини,  односно  о  свим  једначинама  које  припадају  тзв.  Прадтловом  моделу  једначина  треба  напоменути  да  оне  на  имплицитан  начин  дају  зависност Дарсијевог хидрауличког фактора отпора λg пошто се исти појављује и са леве и   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 13 ‐    са  десне  стране  знака  једнакости.  Овај  проблем  се  може  у  данашње  време  врло  лако  разрешити коришћењем рачунара и стандардних програмских пакета као што је нпр. MS  Excel  2007  (Enterprise  edition).  Начин  решавања  оваквих  једначина  ће  бити  нешто  детаљније продискутован у даљем тексту (Brkić 2009а); поглавље Б.7.    Када  се  говори о Прандтловој  једначини  често  се  помиње и модификована Прандтлова  једначина  (19).  Наиме  оригиналну  Прандтлову  једначину  (14)  је  својевремено  модификовао Амерички институт за гас ‐ AGA (American Gas Institute):  ( ) 9.0Relog21 g g −λ⋅⋅=λ                   (19)  Једначина  Америчког  института  за  гас  (AGA)  се  даје  у  више  облика  (20).  За  овај  облик  Прандтлове  једначине  коју  је  модификовао  Амерички  институт  за  гас  (20),  често  се  користи  и  израз,  Колбруков  облик  или  Колбрук‐Вајтова  интерпретација  AGA  релације.  Треба напоменути да  је модификација Америчког института за  гас развијена за  гасовите  флуида на основу радова Колбрука и Вајта и у складу са њиховом основном идејом.   ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λ⋅⋅−=λ gg 1 Re 825,2log21                   (20)  На  Универзитету  Принстон  постоји  позната  лабораторија  са  врло  моћним  експерименталним  постојењем  (Zagarola‐Smiths  1998, McKeon  et  al  2004a,  b,  2005).  На  основу  лабораторијских  мерења  више  пута  је  модификована  изворна  Прандтлова  једначина; Загарола (21):  ( ) 331,0Relog884,11 g g −λ⋅⋅=λ                 (21)  Мек Кеон и остали (McKeon et al 2004b) (22):  ( ) 537,0Relog930,11 g g −λ⋅⋅=λ                 (22)  Фарсхад и остали (Farshad et al 2001) (23):  ( ) 3577,0Relog889,11 g g −λ⋅⋅=λ                 (23)  За  хидраулички  ’гладак’  режим  су  дате  бројне  једначине  које  не  припадају  ниједном  специфичном типу или делимично припадају;   Женероова (24):  6,0 2 Re log6,11 g g +λ⋅=λ                   (24)      ‐ 14 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Лисова (25) (Corfield et al 1974):  35,0 g35,0 35,0 g Re612,00072,0 153,0Re0018,0 Re25,01 −⋅+=λ⇒+⋅ ⋅=λ           (25)  Никурадсеова (26):  237,0g Re 221,00032,0 +=λ                     (26)  Херманова (27):  3,0g Re 936,00054,0 +=λ                     (27)  Вајтова (28):  ( ) 5,2g Relog 02,1=λ                       (28)  Конакова (Nekrasov 1969) (29):  ( )( )2g 5,1Relog81,1 1 −⋅=λ                    (29)  Неке од претходних једначина се графички приказују на слици 9. За разлику од једначина  Блазијусовог  типа,  једначине  које  су  представљене  на  слици  9  не  дају  праве  линије  у  Никурадсеовом  прилагођеном  координатном  систему  (осим  једначине  Реноара  која  је  Блазијусовог типа и која је дата на слици 9 само ради поређења).     Слика 9. Различити облици једначина за хидраулички ‘гладак’ режим по Прандтловом моделу или не припадају  ниједном специфичном типу или само делимично припадају неком од типова /једначина Реноара је  Блазијусовог типа и овде је дата само ради упоређења/ У Србији преовладава став у стручним круговима да су полиетиленске цеви мање склоне  корозији или да чак уопште и нису корозивне. Шведска студија коју  је урадио Нилсон са  сарадницима извештава напротив о великој корозивности која је се јављала осамдесетих  година у пластичним цевима које су коришћене за топловодне системе (Nilsson et al 2008).  Данас  се  сматра  да  је  ова  повећана  корозивност  била  последица  недостатка  ‘oxygen  diffusion barrier’, како се на енглеском у оригиналном тексту наводи. Исти извор наводи да   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 15 ‐    се  у  Данској  пластичне  цеви  за  топловоде  доста  користе  и  да  су  се  добро  показале.  Међутим, и за ове нове врсте пластичних цеви, Нилсон са сарадницима наводи да су по  корозивности  скоро  једнаке  челичним,  чиме  се  несумњиво  даје  предност  челичним  цевима када је реч о корозивности бар што се тиче наведене студије. Није познато да ли  су се у Србији вршила слична истраживања када су у питању гасоводи. Обично се наводи  без упуштања у детаље да полиетиленске цеви нису уопште корозивне, а посебно не ако  се  пореде  са  челичним.  У  случају  Србије  истраживања  би  могла  да  се  ураде  само  за  гасоводе,  пошто  се  пластичне  цеви  у  топловодним  системима  у  Србији  готово  и  не  користе.  Ипак,  као  посебан  проблем  се  јавља  како  ова  корозивност  утиче  на  храпавост  цеви. Исти се проблем се може дискутовати када је у питању абразивност.    Б.3. Потпуно турбулентан режим    Пажљиви читалац би логички могао да постави питање зашто се после поглавља у којем је  излагана материја везана за хидраулички  ’гладак’ режим прелази на дискусију везану за  потпуно  турбулентан  режим  који  се  тиче  протока  у  храпавим  цевима  чиме  се  прескаче  разматрање делимично турбулентног режима који се по логици ствари налази између два  претходно поменута режима. Одговор лежи у томе да  је делимично турбулентан режим  својеврсна комбинација хидраулички ’глатког’ режима и потпуно турбулентног режима, те  се  делимично  турбулентан  режим  не  може  ваљано  објаснити  без  предхотно  изнетих  појединости везаних за потпуно турбулентно струјање у храпавим цевима.    При  високим  вредностима  Рејнолдсовог  броја,  односно  боље  речено  под  условима  дефинисаним једначином (8), отпор више не зависи од самог Рејнолдсовог броја Re већ је  само  у  функцији  релативне  храпавости  (ε/Du),  тј.  отпор  постаје  константан  за  задату  релативну  храпавост  без  обзира  на  промену  Рејнолдсовог  броја.  Овај  случај  одговара  хоризонталним правама на слици 10.     Слика 10. Положај правих добијених коришћењем фон Карманове и Шифринсонове релације за  различите вредности релативних храпавости цеви За  ову  област  потпуне  турбуленције  у  западној  литератури  се  највише  користи  фон  Карманов образац (von Kármán 1930), односно НПК образац; Никурадсе‐Прандтл‐Карман  (30):  ‐ 16 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε⋅−=λ ut D log214,11                    (30)  Овај  образац  је  преуредио  Колбрук,  тако  да  је  позната  његова  верзија  и  у  тзв.  Колбруковом облику (31):  ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε ⋅⋅=λ u t D7,3 log21                     (31)  Основни  облик  фон  Кармановог,  тј.  НПК  обрасца  се  даје  и  у  облику  када  се  уместо  пречника  користи  полупречник  (Moody  1944, Chen  1980,  Schorle et  al  1980, Brkić  2009b,  Schlichting 1979)(32):  ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε⋅−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε⋅⋅−=λ Rlog214,1D 2log274,11 ut               (32)  Фон Карманов образац (26) је верификован на основу Никурадсеових експеримената, и у  неким изворима се још назива и НПК обрасцем (Никурадсе‐Прандтл‐Карман).    У руској литератури се за област потпуне турбуленције користи израз по Шифринсону (33):  4 1 u t D 111,0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε=λ                     (33)  Шифринсонов  образац  даје  скоро  идентичне  резулатате  као  и фон  Карманов  образац  у  условима ниских  вредности релативних  храпавости  у  цевима  (Nekrasov 1969).  За  високе  вредности релативних храпавости фон Карманов образац  је рестриктивнији,  тј. његовом  употребом  се  добијају  нешто  веће  вредности  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  у  поређењу  са  Шифринсоновим  обрасцем,  а  за  исте  вредности  релативне  храпавости.    Б.4. Делимично турбулентан режим    Повећањем  вредности  Рејнолдсовог  броја  при  протоку  гаса  кроз  храпаве  цеви  утицај  храпавости  почиње  све  више  да  се  испољава.  При  турбулентном  режиму  протока  у  храпавим  цевима  при  нижим  вредностима  Рејнолдсовог  броја,  хидраулички  губици  зависе  како  од  Рејнолдсовог  броја  Re  тако  и  од  утицаја  релативне  храпавости  ε/Du;  тј.  λdt=f(Re,  ε/Du).  Физичко  постојање  овога  ефекта  се  може  објаснити  постојањем  танког  слоја  флуида  уз  сам  зид  цеви  који  се  креће  ламинарно  или  се  уопште  не  креће  док  се  главни фронт течности у средини цеви креће турбулентно (Слика 1). Отуда и назив за овај  режим  делимично  или  парцијално  турбулентан  режим  струјања  у  храпавим  цевима.  Повећањем вредности Рејнолдсовог броја, овај танак слој ламинарног струјања постепено  нестаје, тако да се развија потпуно турбулентан проток за цео профил флуида који тече.     Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 17 ‐    Образац  Алтшуља  (34)  из  руске,  и  Колбрука  (односно  Колбрука  и  Вајта)  из  западне  литературе  (35)  описују  проток  у  овој  области  тзв.  делимично  или  парцијално  турбулентног режима (Nekrasov 1969).  4 1 u 4 1 u dt Re 68 D 11,0 Re 100 D 46,11,0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ε⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ε⋅⋅=λ                 (34)  Коришћење  Алтшуљове  једначине  (34)  не  само  да  је  била  устаљена  пракса  у  Русији  за  време СССР‐а, него је то била и законска обавеза. Сукхарев са сарадницима извештава да  употреба  Алтшуљове  једначине  више  није  обавезујућа  по  најновијим  руским  нормама,  али да се исто тако не уводи обавезна употреба било које друге  једначине,  те се самим  тим и даље најчешће по устаљеној пракси користи Алтшуљова  једначина  (Sukharev et al  2005).  Образац  Алтшуља  (34)  показује  добру  корелацију  са  Колбруковом  (35)  само  при  мањим вредностима релативних храпавости у цевима (упоредити слике 11‐13).  ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε+λ⋅⋅−=λ udtdt D71,3Re 51,2log21                 (35)  У пракси западних земаља за област делимично турбулентног режима протока се највише  користи образац Колбрука  (35). У литератури се као синоним често употребљава и појам  образац Колбрука и Вајта. Наиме Колбрук и Вајт су 1937. године објавили пионирски рад  на  основу  кога  је  конституисана  поменута  једначина,  док  је  сам  Колбрук  1939.  даље  разрадио исту материју у свом самосталном раду (Colebrook‐White 1937, Colebrook 1939).    На  сликама  11‐13  се  поред  графичког  приказа  вредности  добијених  Колбруковом  и  Алтшуљовом  једначином дају  и  неке  апроксимативне  релације Колбрукове  једначине о  којима ће се у даљем тексту дисертације детаљно говорити (поглавље Б.5).     Слика 11. Поређење Алтшуљове и Колбрукове једначине (уз приказане резултате добијене применом  експлицитних апроксимација Колбрукове једначине); веома изражена релативна храпавост цеви Може  се  приметити  да  је  образац  Алтшуља  (34)  дат  у  експлицитном  облику,  док  је  Колбруков образац (35) дат у имплицитном облику јер се члан λdt појављује и са леве и са  десне  стране  знака  једнакости. Исти  је  случај и  код Прандтлове релације  (17)  као и код  Колбрукове  интерпретације  Прандтлове  релације  (18)  које  се  користи  за  прорачун  ‐ 18 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Дарсијевог фактора хидрауличког отпора у хидраулички  ‘глатком’ режиму, о чему  је већ  било  речи.  Ова  имплицитност  Колбрукове  једначине  са  гледишта  траженог  Дарсијевог  фактора  хидрауличког  отпора  је  и  довела  до  тога  да  се  у  литератури  појаве  бројне  апроксимације  Колбукове  једначине  које  су  наравно  у  експлицитном  облику.  Пре  разматрања  ових  апроксимација,  размотриће  се  сама  суштина  Колбрукове  једначине.  У  Колбруковој интерпретацији Прандтлове једначине (18) коефицијент 2,51 се у појединим  случајевима  замењује  коефицијентом 2,825  као што  је  предходно био  случај  и  код AGA  једначине  (20).  Исто  се  примењује  и  код  Колбрукове  једначине  (35).  Заменом  коефицијента 2,51  коефицијентом 2,825  постиже  се боља  корелација  експерименталних  података  са  рачунским  подацима  при  већим  вредностима  Рејнолдсовог  броја  (модификована Колбрукова једначина) (Coelho‐Pinho 2007).    Слика 12. Поређење Алтшуљове и Колбрукове једначине (уз приказане резултате добијене применом  експлицитних апроксимација Колбрукове једначине); средње изражена релативна храпавост цеви      Слика 13. Поређење Алтшуљове и Колбрукове једначине (уз приказане резултате добијене применом  експлицитних апроксимација Колбрукове једначине); слабо изражена релативна храпавост цеви За  случај  делимично  турбулентног  режима,  у  делу  дијаграма  где  се  грана  линија  која  представља коефицијент хидрауличког отпора за глатке цеви и затим дели на више линија  које одговарају различитим релативним храпавостима, Колбрук је предложио сажимање  Прандтлове  једначине  (17‐20)  за  хидраулички  ‘гладак’  режим протока и фон Карманове  (30‐32) за потпуно турбулентан режим протока у храпавим цевима. Треба приметити да је   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 19 ‐    и Алтшуљова једначина (34) истог облика и да је и она састављена из два дела на основу  сличне идеје.    Колбруковом  једначином  (35)  се  омогућава  успостављање  глатког  прелаза  између  хидраулички  ‘глатког’  режима  и  потпуног  турбулентног  режима  (Слика  14).  Као  што  је  претходно  објашњено  Колбрукова  једначина  се  састоји  из  два  дела,  и  то  део  А  који  је  сличан Прандтловој једначини за хидраулички  ‘гладак’ режим и део B који је сличан фон  Кармановој, тј. НПК релацији за потпуно турбулентан режим (36):  ( )BAlog2B1log2 D71.3Re 51.2log21 dtudtdt +⋅−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +λ⋅α⋅−=⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε+λ⋅⋅−=λ        (36)     Слика 14. Колбрукова једначина омогућава глатки прелаз између хидраулички глатког режима  и потпуно турбулентног режима Треба  напоменути  да  по  правилима  логаритмовања  збир  логаритама  није  једнак  логаритму  збира,  тј.  log(A+B)≠log(A)+log(B).  Из  овога  не  треба  извући  закључак  да  су  Колбрук и Вајт направили математичку грешку (37):  ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε+λ⋅⋅−≠⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε⋅−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ⋅⋅− udt10udt D71.3Re 51.2log2 D71.3 log2 Re 51.2log2         (37)  Уосталом, као што се види са слике 14, циљ није ни био да се обједине Прандтлова и фон  Карманова  једначина у  једну,  већ да се направи  глатки прелаз који и одговара стварној  промени  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  каква  се  и  јавља  у  реалним  хидрауличким  системима  када  је  у  питању  делимични  турбулентан  режим.  Наиме,  проблем може да  се постави као инверзан,  тако да  је подједнако математички нетачно  раставити Колбрукову једначину на Прандтлову и фон Карманову. Треба узети у обзир да  су  Колбрук  и  Вајт  дошли  до  своје  једначине  после  низа  експеримената,  тј.  да  нису  спроводили само математичке прорачуне. Претходно је у дисертацији већ речено да су до  својих резултата Прандтл и фон Карман дошли на основу експеримената које  је спровео  Никурадсе, тако да се може закључити да су све три релације емпиријске природе.  ‐ 20 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Слика 15. Колбрукове једначине у области хидраулички ‘глатког’ режима  У  данашње  време  се  једначине  Прандтла  и  фон  Кармана  сматра  граничним  случајем  Колбрукове  једначине,  тако да се Колбрукова  једначина може користити за све режиме  протока  осим  ламинарног  (Слика  15).  Черчилова  експлицитна  једначина  (43)  нпр.  апроксимира Колбрукову једначину у подручју свих режима које ова покрива али важи и  за ламинарни и нестабилни режим протока (Слике 11‐13).    Б.5. Експлицитне апроксимације Колбрукове једначине    Део А  у  Колбруковој  једначини  (36)  је  дат  у  имплицитном облику  у  односу на Дарсијев  фактор  хидрауличког  отпора.  Нажалост  до  данас  није  пронађен  егзактан  математички  начин  да  се  фактор  хидрауличког  отпора  λdt  експлицитно  изрази  без  апроксимација.  Тачније  речено,  ово може  да  се  превазиђе  увођењем  тзв.  Ламберт W  функције,  али  уз  ограду  да  она  сама  даље  није  решива  на  егзактан  начин  тј.  без  увођења  одређених  апроксимација. О  трансформацији Колбрукове  једначине уз помоћ Ламберт W функције  ће бити још речи у овој дисертацији (поглавље Б.6.4).    До  скора  је  било  незамисливо  тешко  само  решавање  Колбрукове  функције  као  такве  имајући у виду њен имплицитан облик. Још седамдесетих година двадесетог века, тј. пре  неких тридесет година ручни калкулатори су били ретки, а и они постојећи нису могли да  послуже за нешто много више од простог сабирања, одузимања, множења и дељења уз  још по неку сложенију математичку операцију или функцију. У таквој ситуацији је искуство  инжењера  који  рачуна  било  од  пресудне  важности. Морало  је  да  се  направи  неколико  проба  да  би  се  добио  приближно  тачан  резулат.  Значи,  главни  начин  решавања  је  био  методом пробних покушаја. Нешто савршеније су биле нумеричке итеративне методе које  су  стајале  на  расплогању  и  које  су  са  више  вероватноће  осигуравале  конвергенцију  ка  приближном  решењу  у  односу  на методу  пробе  и  покушаја.  У  таквим  условима  бројни  аутори дају  своје  апроксимације имплицитне Колбрукове  једначине  (Слике 11‐13).  Неке  од  апроксимација  су  врло  компликоване  са  пуно  коефицијената  и  експонената,  али  тачније, док су друге простије али мање тачне. Неке од апроксимација имају дефинисан  опсег у којима апроксимирају Колбрукову једначину са одређеном тачношћу док ван тог  опсега имају мању тачност  (Слика 16). У даљем тексту се дају познате апроксимације по   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 21 ‐    редоследу  објављивања,  од  најстарије  Модијеве  из  1947.  године  (Moody  1947)  до  најновије Рао и Кумарове из 2007. године (Rao‐Kumar 2007)a. У овој дисертацији је такође  развијена  једна  нова  апроксимација  Колбрукове  једначине  (54).  Поређења  различитих  апроксимација  су  дата до детаља  у  раду  Јилдрима  (Yıldırım 2009)  као  и  у  раду  Грегори‐ Фогараси (Gregory‐Fogarasi 1985).    У данашње време када су рачунари присутни у скоро свакој кући и када су и стандардни  програми  врло  моћни,  употреба  ових  апроксимација  се  може  сматрати  застарелом,  и  стога  превазиђеном  и  непотребном.  Грешке  у  раду  са  апроксимацијама  се  врло  често  јављају  било  због  грешака  у  коефицијентима  или  због  коришћења  ван  опсега.  У  овој  дисертацији  ће  бити  показан  оригиналан  начин  како  се  може  врло  тачно  израчунати  вредност  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  уз  помоћ  стандардног  програмског пакета MS Excel 2007 (Enterprise edition) (Brkić 2009a). Прегледни чланци који  дају  различите  експлицитне  апроксимације  Колбрукове  релације  су  такође  доступни  (Abdolahi et al 2007, Concha 2008, Ouyang‐Aziz 1996, Rao‐Kumar 2007, Goudar‐Sonnad 2007;  2008; 2009, Romeo et al 2002).  Б.5.1 Модијева апроксимација  Модијева  апроксимација  (38)  (Moody  1947)  важи  за  вредности  Рејнолдсовог  броја  Re  у  опсегу од 4000 до 108 и опсегу релативне храпавости ε/Du од 0 до 0,01;   ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ε⋅⋅+⋅=λ 3 1 6 u 4 dt Re 10 D 10210,0055                 (38)  Б.5.2 Вудова апроксимација  Вудова апроксимација (39) (Wood 1966) важи за вредности Рејнолдсовог броја Re веће од  10000 и за вредности релативне храпавости у опсегу 10‐5< ε/Du <0,04;   Ψ−⋅⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε⋅+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε⋅=λ Re D 88 D 532,0 D 094,0 44,0 uu 225,0 u dt            (39)  134,0 uD 62,1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε⋅=Ψ Б.5.3 Екова апроксимација  Екова апроксимација  (40) (Eck 1973) се даје без посебно назначеног опсега у коме важи,  тако да се вероватно сматра да добро покрива цео опсег који покрива и сама Колбрукова  једначина:  ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅ ε⋅−=λ Re 15 D715,3 log21 udt                  (40)                                                               a Видети у прилогу пример 1 и 3 у којима се рачуна Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора користећи различите  апроксимације Колбрукове једначине за једну вредност Рејнолдсовог броја и релативне храпавости  ‐ 22 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Б.5.4 Јанова апроксимација  Јанова апроксимација (41) (Jain 1976) се даје за вредности Рејнолдсовог броја Re у опсегу  од 5000 до 107 и опсегу релативне храпавости ε/Du од 0,00004 до 0,05;   ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +ε⋅−=λ 9,0udt Re 25,21 D log214,11                 (41)  Б.5.5 Сваме‐Јанова апроксимација  Сваме‐Јановаb  апроксимација  (42)  (Swamee‐Jain 1976)  се даје  за вредности Рејнолдсовог  броја Re у опсегу од 5000 до 107 и опсегу релативне храпавости ε/Du од 0,00004 до 0,05;   2 9,0 u dt Re 74,5 D7,3 log 25,0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅ ε =λ                   (42)  Б.5.6 Черчилова апроксимација  Черчилова  релација  (43)  (Churchill  1977)  покрива  са  добром  тачношћу  цео  опсег  као  и  Колбрукова једначина, али и ламинарни као и нестабилни режим протока.   ( ) 12 1 5,1 21 12 dt 1 Re 88 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ Θ+Θ+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅=λ                 (43)   16 u 9,01 D 27,0 Re 7 1ln457,2 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅=Θ 16 2 Re 37530⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=Θ У  раду  Ромеа  са  сарадницима,  наводи  се  слична  апроксимација  по  Черчилу  и  Усагију  у  којој  се  уместо  декадног  користи  природан  логаритам.  У  раду  Абдолахија  са  сарадницима  (Abdolahi  et al 2007),  наводи  се  нешто  другачији  израз за Θ1 уз како се тврди исти резултат:  16 u 9,0 1 D 27,0 Re 7ln457,2 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ε⋅+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅=Θ Б.5.7 Ченова апроксимација  Ченова  апроксимација  (44)  (Chen  1979)  се  даје  за  вредности  Рејнолдсовог  броја  Re  у  опсегу од 4000 до 4·108 и опсегу релативне храпавости ε/Du од 0,0000005 до 0,05;                                                                b У раду Раа и Кумара је изостављен коефицијент 3,7 из Сваме‐Јанове једначине због претпоставља се штампарске  грешке (Rao‐Kumar 2007)   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 23 ‐    ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε⋅−⋅ ε⋅−=λ 8981,0 1098,1 uudt Re 8506,5 D8257,2 1log Re 0452,5 D7065,3 log0,21          (44)  Не  постоји  посебно  објашњење  зашто  се  у  појединим  апроксимацијама  дају  исти  коефицијенти  са  нешто  промењеним  вредностима  на  другој  или  трећој  децимали,  као  нпр.  3,7065  или  3,707  уместо  3,71.  Разлог  може  бити  да  се  са  нешто  другачијим  коефицијентом  боље  покривају  експериментални  подаци  или  је  све  то  само  последица  пуког  заокруживања  коефицијената  из  рада  Колбрука  и  Вајта  које  су  различити  аутори  различито  заокруживали  (Schorle  et  al  1980).  Чен  у  свом  раду  користи  ознаку  fD  за  Дарсијев коефицијент (Chen 1980).  Б.5.8 Роундова апроксимација  Роундова апроксимација (45) (Round 1980) се даје без посебно назначеног опсега у коме  важи:   ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ +ε⋅⋅−=λ Re 5,6 D 27,0log8,11 udt                   (45)  Б.5.9 Барова апроксимација  Барова апроксимација (46) (Barr 1981) се даје без посебно назначеног опсега у коме важи,  тако да се вероватно сматра да добро покрива цео опсег који покрива и сама Колбрукова  једначина;   ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε⋅+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ +⋅ ε⋅−=λ 7,0 u 52,0udt D29 Re1Re 7 Relog518,4 D7,3 log21             (46)   Б.5.10 Зигранг‐Силвестрова апроксимација  Зигранг‐Силвестрова  апроксимација  (47)  (Zigrang‐Sylvester  1982)  се  даје  за  вредности  Рејнолдсовог броја Re у опсегу од 4000 до 108 и опсегу релативне храпавости ε/Du од 10‐6  до 5·10‐2   ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅ ε−⋅ ε⋅−=λ Re 13 D7,3 log Re 02,5 D7,3 log21 uudt             (47)  Б.5.11 Хааландова апроксимација  Хааландова  апроксимација  (48)  (Haaland 1983)  се  даје  без  посебно  назначеног  опсега  у  коме важи, тако да се вероватно сматра да добро покрива цео опсег који покрива и сама  Колбрукова једначина:  ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε⋅−=λ Re 9,6 D7,3 log8,11 11,1 udt                 (48)   ‐ 24 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Б.5.12 Сергидесова апроксимација  Сергидесова релација (49) (Serghides 1984) се даје без посебно назначеног опсега у коме  важи,  тако  да  се  вероватно  сматра  да  добро  покрива  цео  опсег  који  покрива  и  сама  Колбрукова једначина:   ( ) 2 123 2 12 1dt 2 − ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ Ψ+Ψ−Ψ Ψ−Ψ−Ψ=λ                   (49)   ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +⋅ ε⋅−=Ψ Re 12 D7,3 log2 u 1   ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Ψ⋅+⋅ ε⋅−=Ψ Re 51,2 D7,3 log2 1 u 2   ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ Ψ⋅+⋅ ε⋅−=Ψ Re 51,2 D7,3 log2 2 u 3   Б.5.13 Манадилијева апроксимација  Манадилијева апроксимација (50) (Manadilli 1997) се даје за вредности Рејнолдсовог броја  Re у опсегу од 5235 до 108 и за све вредности релативне храпавости;   ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⋅ ε⋅−=λ Re 82,96 Re 95 D7,3 log21 983,0 udt               (50)  Б.5.14 Апроксимација Ромеа, Роја и Монзона  Апроксимација  Ромеа,  Роја  и  Монзона  (51)  (Romeo  et  al  2002)  се  даје  за  вредности  Рејнолдсовог броја Re у опсегу од 3000 до 1,5·108 и опсегу релативне храпавости ε/Du од 0  до 5·10‐2;   ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε−⋅ ε−⋅ ε⋅−=λ 9345,09924,0 uuudt Re815,208 3326,5 D7918,7 log Re 567,4 D827,3 log Re 0272,5 D7065,3 log21   (51)  Б.5.15 Сонад‐Годарева апроксимација  Сонад‐Годарева  апроксимација  (52)  (Sonnad‐Goudar  2006)  се  даје  за  вредности  Рејнолдсовог броја Re од 4000 до 107 и опсегу релативне храпавости ε/Du од 10‐6 до 5·10‐2;  ( ) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅⋅=λ +1S/Sdt S Re4587,0ln8686,01                   (52)  ( )Re4587,0ln D Re124,0S u ⋅+ε⋅⋅=  Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 25 ‐    Б.5.16 Рао‐Кумарева апроксимација  Рао и Кумар (Rao‐Kumar 2007) су користили полупречник, а не пречник како је уобичајено  (53).  Члан  Φ(Rе)  најчешће  може  занемарити.  Рао  и  Кумар  не  дају  посебан  опсег  валидности своје једначине (Concha 2008, Brkić 2009b).  ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ε⋅=λ *dt B /rlog21                     (53)  ( )Re Re Re135,0444,0B* Φ⋅⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅+= ( ) 2 5,6 Reln33,0 e55,01Re ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛− ⋅−=Φ   Б.5.17 Апроксимација аутора ‐ Бркићева апроксимација  Бркићева апроксимација (54) је развијена у овом докторату користећи такође у докторату  развијену трансформисану Колбрукову  једначину помоћу Ламберт W функције  (82 и 85),  као и приближно решење Ламберт W функције које предлажу Бари и сарадници (Barry et  al 2000) (63):  ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε+⋅⋅−≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε+⋅ ⋅⋅−≈λ in10in10dt D71,3Re S18,2log2 D71,310lnRe S02,5log21         (54)  ( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+ ⋅⋅ ≈ Re1,11ln Re1,1ln816,1 RelnS        Слика 16. Графички приказ неких експлицитних апросимација Колбрукове једначине ‐ 26 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Б.6. Ламберт W функција у хидраулици    Јохан  Хајнрих  Ламберт  (Johann  Heinrich  Lambert;  1728‐1777)  је  показивао  широк  истраживачки интерес (Gray 1978, Hayes 2005). Иако је био самоуки син кројача, у зрелом  добу  је  дао  фундаменталне  доприносе  у  теорији  бројева,  геометрији,  статистици,  астрономији,  метеорологији,  хигрометрији,  пирометрији,  оптици,  космологији  и  философији.  Ламберт  је  први  доказао  ирационалност  Лудолфовог  броја  π.  Увео  је  обележавања хиперболичких функција каква се и данас користе.    Сама  Ламберт  W  функција  није  алгебарска.  Ламберт  W  функција  је  имплицитна  трансцедентна  функција  која  је  дефинисана  само  преко  елементарних  функција  (54).  Међутим  она  не  може  да  се  изрази  преко  других  алгебарских  функција  у  коначном  облику.    Имплицитан облик Колбрукове једначине може да се трансформише у експлицитан облик  без било каквих упрошћења или апроксимација у експлицитан облик уз помоћ Ламберт W  функције.  Дакле  ова  трансформација  је  изведена  егзактним  математичким  поступком.  Нажалост, данас  још увек не постоји егзактан начин да се израчуна нумеричка вредност  Ламберт  W  функције  за  дати  нумерички  аргумент  без  неких  апроксимација.  Ако  у  будућности математичари пронађу овај начин то ће бити и тачно решење овде приказане  егзактно трансформисане Колбрукове  једначине у експлицитан облик уз помоћ Ламберт  W  функције  (81,  82  и  85).  За  претпоставити  је  да  ово  решење  неће  бити  ни  просто  ни  кратко  и  да  ће  стога  имати  само  теоријски  значај  или  што  је  вероватније  биће  искоришћено  као  процедура  за  рачунарске  програме  (Clamond  2009)  или  ће  бити  уграђено као функција у напредније ручне калкулаторе.    Ламберт W функција се данас користи у различитим пољима науке и технике као што су  кретање  подземних  вода,  проблем  падобранског  скока,  демографске  студије,  колапс  звезда, итд (Corless et al 1996, Barry et al 1993; 2000; 2002). Ламберт W функција је скорије  време  почела  да  се  користи  и  у  хидраулици  (Goudar‐Sonnad  2003,  Sonnad‐Goudar  2004;  2005;  2007).  У  радовима  Сонада  и  Годара  се  користи  Ламберт  W  функција  за  трансормацију  експлицитних  једначина  у  хидрaулици,  али  сам  поступак  за  приближно  решавање Ламберт W функције није показан до детаља. Мор (More 2006) даје детаљнију  процедуру  по  којој  може  да  се  нађе  ово  решење.  Нандакумар  (Nandakumar  2007)  даје  програмски код за приближно решавање Ламберт W функције као додатак уз разматрани  хидраулички проблем. Треба напоменути да су модули за приближно решавање Ламберт  W функције доступни у оквиру специјализованих математичких пакета као што су Maple  или Mathematica.  Начин  за  изналажење  приближног  решења  које  се  односи  на  реалну  грану Ламберт W функције је до детаља приказано у радовима Бојда (Boyd 1998) и Барија  (Barry et al 2000; 2002) са сарaдницима. Да не би дошло до забуне треба напоменути да  Бојд  у  своме раду природни Неперов логаритам означава  са  log  (требало би да  стоји  ln  или loge) што је иначе уобичајена ознака за декадни Бригсов логаритам. У даљем тесту ове  дисертације  ће  се  објаснити  поједини  поступци  за  приближно  решавање  Ламберт  W   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 27 ‐    функције.  Детаљније  о  Ламберт  W  функцији  се  може  сазнати  из  радова  Корлеса  са  сарадницима (Corless et al 1996) и Рајта (Wright 1959). Видети и Бркић (Brkić 2009c,d,e).  Б.6.1 О Ламберт W функцији уопште    Ламберт  W  функцију  је  први  формулисао  Ламберт  1758,  док  је  Ојлер  наредне  две  деценије детаљно испитивао њене особине. Ламберт W функција се дефинише као (55):  ( ) ( ) xexW xW =⋅                     (55)  За  реалне  вредности  аргумента  x,  функција  има две  гране,  и  то: W0‐главну  грану  и W‐1‐ негативну грану (Слика 17).     Слика 17. Реалне гране Ламберт W функције Негативна грана је у опсегу W−1≥‐1, док се главна грана обично дели на два опсега, тј. на  доњи део главне гране ‐1≤ −0W ≤0 и на горњи део главне гране  +0W ≥0. У овој дисертацији  ће се користитити само  горњи део  главне  гране  +0W Ламберт W функције. Домен  главне  гране Ламберт W функције је W0∈ [‐1,+∞) за x∈ [‐1/e,+ ∞). Део који ће бити обрађен у овој  дисертацији има домен  +0W ∈ [0,+ ∞) за x∈ [0,+ ∞). Њено аналитичко решење се дефинише  као (56):  ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ = Oln xln xln xlnW                     (56)  Б.6.2 Приближно решавање Ламберт W функције    По  Бојду  (Boyd  1998)  је  најбоље  дефинисати  помоћну  функцију  у  циљу  добијања  приближног решења Ламберт W функције (57):  1W1W −ω=⇔+=ω                   (57)  ‐ 28 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      За овако ‘померену’ функцију треба трансформисати и њен аргумент (58):  ( )1y367,0 71.2 1y e 1yxx2,711ex1y 1 1 −⋅=−≈−=⇔⋅+≈⋅+=         (58)  Затим се Ламберт W функција може изразити у трансформисаном облику (59):  ( ) 1ye1 −=⋅−ω ω                     (59)  Приближно решење овако трансформисане функције по Бојду је (60):  ( ) ( )( ){ } ( )( ) ( )( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − ⋅⋅+−+=ω 10lnln10ln y2tanh10ylnln10yln 5,0 0            (60)  У претходној једначини (60) тангенс хиперболикус се дефинише као tanh(ξ)=(eξ‐e‐ξ)/(eξ+e‐ξ).  Ово  решење  по  Бојду  за  ω0  има  на  домену  y∈[0,+∞)  максималну  грешку  од  15,4%  у  поређењу са формалним решењем (56). Побољшано решење је такође доступно (61).   { }Ω+ω=ϖ 100                     (61)  ( ) ( ) 10 e 5 7yln 2 5 7yln 40 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −⋅−⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − =Ω Побољшано решење по Бојду (61) има максималну грешку од 4,7%.    Када  се  ово  побољшано  решење  (61)  узме  као  улазни  параметар  за  Њутн‐Рапсонов  итеративни  поступак  (62),  релативна  грешка  се  већ  после  четврте  итерације  смањује  испод 10‐12 на целом домену (Boyd 1998).  ( ) ( ) ( ) i 1y i i1i ie1 ω −−ω−ω=ω −⋅ω− +                   (62)  Ова  грешка  није  равномерно  распоређена  по  целом  домену  такозване  ‘померене’  функције  ω(y)  (Слика  18).  Треба  имати  на  уму  да  се  процењена  вредност  грешке  приказане  на  слици  18  не  односи  на  саму  Ламберт  W  функцију,  већ  само  на  тзв.  ‘померену’  тј.  помоћну  Бојдову  функцију  ω(y),  тако  да  процене  дате  на  слици  имају  ограничену важност имајући у виду да се у ствари важна процена грешке функције W(x).    Бари  са  сарадницима  (Barry  et  al  2000;  2002)  даје  нешто  другачији  израз  за  рачунање  приближне вредности Ламберт W функције (63):  ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅+ ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ ⋅=+ 5 x121ln x 5 12ln5 x6lnxW0                 (63)     Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 29 ‐     Слика 18. Процена вредности грешке при употреби помоћне померене функције која се користи за  одређивање приближне вредности Ламберт W функције  Претходно приказано решење (63) по Барију и сарадницима прави највећу могућу грешку  од 23% за x>1. Овако процењена грешка се односи на саму Ламберт W функцију, тј. W(x).  Овако  релативна  грешка  се  јавља  само  на  уским  сегментима  домена  функције  док  је  реално у највећем броју случајева знатно мања (упоредити понашање релативне грешке  на домену  ‘померене’  Бојдове функције на  слици 18).  Бари и  сарадници нуде и  тачније  али  знатно  сложеније  решење  о  коме  овде  неће  бити  речи.  Овде  приказан  метод  за  приближно  решавање  Ламберт  W  функције  по  Барију  и  сарадницима  (63)  је  далеко  простији у односу на овде приказану Бојдову методу, али је и у неким случајевима доста  мање  тачан.  На  решењу  које  дају  Бари  и  сарадници  (Barry  et  al  2000;  2002)  се  заснива  апроксимација Колбрукове једначине приказана у овом докторату (54) (Поглавље Б.5.17).    Поступци који важе налажење приближног нумеричког решења за остале делове реалне  гране Ламберт W функције који немају примену у нашем случају, неће се ни разматратиc.  Б.6.3 Егзактна математичка трансформација Прандтлове једначине у експлицитан облик помоћу  Ламберт W функције    Сличну  трансформацију Прандтлове  једначине  у  експлицитан  облик  помоћу Ламберт W  функције дају Годар и Сонад (Goudar‐Sonnad 2003).    У  овој  дисертацији  је  већ  претходно  приказана  Прандлова,  тј.  НПК  једначина  за  хидраулички  ‘гладак’  режим  (17).  Ова  једначина  је  дата  у  имплицитном  облику  са  гледишта  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора,  те  се  стога  може  применити  Ламберт W функција за њену егзактну математичку трансформацију у експлицитан облик.     У једначину (17) се могу увести следеће трансформације (64):                                                               c Видети у прилогу примере 2‐6  који су у вези са прорачуном хидрауличких отпора помоћу Ламберт W функције  ‐ 30 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      8,0 Re 1log21 gg −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ⋅⋅−=λ                   (64)  Односно (65):  ( ) 8,0Re 1ln 10ln 21 gg −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ⋅−=λ                 (65)  Уводећи смене: a=2/ln(10) и b=0,8; Прандтлова једначина може да се напише као (66):  b Re 1lna1 gg −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ⋅−=λ                 (66)  Даљи поступак трансформације се приказује детаљно (67‐75): b1ln Re 1lna1 gg −⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=λ                 (67) b1lna Re 1lna1 gg −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−=λ                 (68) ( ) bRelna1lna1 gg −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ+λ                   (69) ga 1 λ⋅=Φ                       (70) ( ) ( ) bRelnaalnaa −=Φ+Φ                   (71) ( ) a b a Relnln −⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=Φ+Φ                     (72) ( ) ( )[ ] ( )xlnxWlnxW =+                     (73) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡=Φ − abexp a ReW                     (74) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡⋅=λ − abe a ReWa1 g                     (75)  Коначно се добија егзактно трансформисана Прандтлова једначина у експлицитан облик  без било каквих апроксимација изражена преко Ламберт W функције (76). [ ]Re0,458338W0,8685891 g ⋅⋅=λ                 (76)  Колбруков облик Прандтлове једначине (18) о коме се такође дискутовало у претходном  тексту се такође може трансфомисати користећи Ламберт W функцију. Пошто је поступак   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 31 ‐    трансформације сличан претходно показаном (65‐76), исти ће бити дат у нешто скраћеном  облику (77‐79):  ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅−=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ λ⋅+λ Re 51,2lna1lna1 gg                 (77) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅−=⋅Φ⋅+⋅Φ Re 51,2lnaalnaa                    (78) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅⋅=λ⇒⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅=Φ a51,2 ReWa1 a51,2 ReW g                 (79) Коначно Колбруков израз Прандтлове  једначине трансормисан у експлицитан облик без  било каквих апроксимација изражен преко Ламберт W функције се даје као (80):  [ ]Re0,458682W0,8685891 g ⋅⋅=λ                 (80)  Б.6.4 Егзактна математичка трансформација Колбрукове једначине у експлицитан облик помоћу  Ламберт W функције    Мор  (More 2006)  даје  један  од могућих  облика Кобрукове  једначине  трансформисане  у  експлицитан облик на математички егзактан начин помоћу Ламберт W функције (81):  ( ) 2 2 1 43 2 2 1 32 OO O 3 dt O OOWO 1 O O OO eWO 1 32 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −⋅ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅⋅ =λ ⋅             (81)  u 1 D71,3 O ⋅ ε= Re 51,2O 2 = ( ) 0,86858910ln 2O3 ≈= 32 OO O 4 OO eO 32 1 ⋅= ⋅                         Извођење  претходне  једначине  (81)  је  доступно  у  литератури  (More  2006),  те  се  у  овој  дисертацији  неће  посебно  приказивати.  У  дисертацији  се  даје  један  другачији  облик  трансформисане Колбрукове једначине помоћу Ламберт W функције (82):  ( ) ( ) ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ε+⋅−=λ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅− u 02,5 10lnReW 10ln 1 dt D71,3 10log21               (82)  ‐ 32 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Трансформисани облик Колбрукове  једначине  (82)  је добијен на основу трансформација  Прандтлове  једначине  у  Колбруковом  облику  која  важи  за  ‘хидраулички’  гладак  режим  (18 и 79). На основу претходног разматрања се добија (83):  ( ) ( ) ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λ⋅⋅−=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅ ⋅=λ gg 1 Re 51,2log2 2,512 10lnReW 10ln 21              (83)  Односно, посредно се може закључити (84):  ( ) ⎟⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ λ⋅⋅−=⋅ ⋅ g 1 Re 51,2log2 10 2,512 10lnRe                   (84)  Из претходног се директно изводи релација (82). Релација (85) је еквивалентна једначини  (82):   ( ) ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ε+⋅ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅⋅ ⋅−=λ udt D71,310lnRe 02,5 10lnReW02,5 log21               (85)  Претходна  једначина  се  добија  заменом  члана  dtλ у  Колбруковој  једначини  еквивалентом истога члана узетим из једначине (79) који се може записати као (86):  ( ) ( )⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅=λ 02,5 10lnRe 10ln 2 11 g                   (86)  Б.7. Решавање имплицитно задатих израза помоћу MS Excel‐a (ver. 2007)    Претходно  приказани  начини  за  налажење  решења  за  имплицитно  задату  Колбрукову  једначину  (35)  су  релативно  компликовани.  Примена  претходно  приказаних  апроксимација  (38‐54)  у  старту  уноси  извесну  грешку  у  прорачун.  Егзактна математичка  трансформација Колбрукове једначине (35) уз помоћ Ламберт W функције (81, 82 и 85) не  уноси било какву врсту грешке у старту, али сама Ламберт W функција не може да се реши  на  егзактно математички начин.  Самим налажењем приближног  решења  за Ламберт W  функцију, уноси се исти износ грешке и у решење Кобрукове једначине у коме фигурише  Ламберт W функција (81, 82 и 85). Пошто свака апроксимација (38‐54) уноси неку грешку у  прорачун а имајући у виду да су неке од апроксимација веома комплексне чиме се само  повећава  могућност  да  се  поред  основне  грешке  коју  уноси  апроксимација,  у  крајњи  резулат унесе и рачунска грешка услед непажње, коришћење апроксимација Колбрукове  једначина је сувишно у данашње време када су компјутери широко доступни. Коришћење  апроксимативних  облика  који  су  експлицитно  дати  до  скора  је  имало  веома  великог  значаја пошто чак ни ручни калкулатори нису били широко доступни све до осамдесетих  година двадесетог века. У двадесетпрвом веку када су рачунари широко доступни и када  се  познавање  коришћења  основних  програмских  пакета  убраја  у  основну  писменост  становништва,  коришћење  рачунара  међу  професионалним  инжењерима  је  обавезно.  Данас  су доступни многи  ускоспецијализовани програмски пакети који покривају  готово  све  области  инжењерства.  Многи  су  доста  скупи,  али  је  за  решавање  некад  тешко   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 33 ‐    решивих проблема довољан и  основни  софтвер  је доступан  готово на  сваком рачунару.  Једна  од  таквих  софтвера  је  и MS Office  који  није  бесплатан  али  је  стандардан  и  лако  доступан.  Слични  софтверски  алати  који  су  потпуно  бесплатни  се  такође  могу  лако  пронаћи и употребити за исту сврху. У оквиру MS Office  је стандардно доступан пакет за  решавање математичких формула и табеларна прорачунавања MS Excel. Овај програмски  пакет може послужити за израчунавање приближне вредности Колбрукове једначине (31)  са  врло  великом  тачношћу.  Сва  наредна  објашњења  се  односе  на МS  Excel  ver.  2007  (Enterprise edition). Koлбрукова једначина (35) се састоји из два дела како је то већ раније  и напоменуто (36), односно из два сабирка А и B који сачињавају аргумент логаритамске  функције у Колбруковој  једначини  (35). Део А  је дат у имплицитном облику са гледишта  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  и  односи  се  пре  свега  на  проток  који  највише  одговара  условима  хидраулички  ‘глатког’  режима,  док  други  део  B  није  дат  у  имплицитном  облику  и  одговара  првенствено  потпуно  турбулентном  протоку.  Ова  два  сегмента А и B (37) обједињена у Колбрукову једначину покривају прелазни режим веома  добро,  као  што  је  већ  раније  и  описано.  Имплицитно  задате  једначине  морају  да  се  решавају  методом  ‘пробе  и  поправке’  при  чему  особа  која  врши  прорачун  мора  да  поседује доста велико искуство. Начин  ‘пробе и поправке’ где се поправка процењује на  основу искуства  је најстарији и најмање ефикасан метод решавања имплицитно задатих  једначина.  Далеко  ефикаснији  начин  је  применом  нумеричких  метода  решавања  код  којих  се  крајњи  резулат  добија  итеративним  поступком  за  неку  унапред  задату  претпостављену вредност која се применом нумеричке процедуре све више приближава  тачном  решењу.  Meтода  решавања  коришћење  МS  Excel‐а  се  може  сматрати  неком  врстом нумеричке методе. Предност  је што Колбрукова  једначина има и део B који није  имплицитан и који  је увек различит од нуле  (B≠0) па се самим тим он аутоматски узима  као почетна вредност за итеративни поступак, док се део А узима као једнак нули  (А=0).  Уколико би се и део B узео са вредношћу нула, то би значило да је релативна храпавост у  таквој  цеви  једнака  нули,  односно  да  је  режим  сигурно  хидраулички  ‘гладак’  те  је  последично боље користити или Прандтлову (НПК)  једначину (17) или неку од једначина  Блазијусовог  типа  (12);  видети  табелу  1.  Прандтлова  једначина  (17)  је  такође  дата  у  имплицитном облику када је у питању Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора, и стога  је такође нужно потребно да се она решава итеративним путем,  с  тим да  је коришћење  МS  Excel‐а  нешто  компликованије  у  овом  случају  у  односу  на  случај  са  решавањем  Кобрукове  једначина  самим  тим  што  се  мора  самостално  претпоставити  нека  почетна  вредност Дарсијеве хидрауличке пропусности која директно улази у прорачун.    Просечна грешка која се уноси у коначни резултат прорачуна коришћењем апроксимација  Колбрукове  једначине  је у просеку мања од 1%. Слична  грешка се уноси и приближним  решавањем  егзактно  матемачки  трансформисане  Колбрукове  једначине  у  експлицитан  облик  коришћењем  Ламберт  W  функције  (81,  82  и  85)..  Закључак  би  био  да  су  све  експлицитне апроксимације Колбрукове функције доста тачне, али не у подједнакој мери  за  цео  опсег  Рејнолдсовог  броја  Re  који  покрива  сама  Колбрукова  једначина  (35),  тј.  грешка није равномерно диспергована по целом опсегу.     ‐ 34 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Коначно, да би се решила Колбрукова  једначина  (35)  уз помоћ MS Excel‐a  потребно  је у  самом  програму  извршити  одређена  подешавања.  У  горњем  левом  углу  програмског  прозора MS  Excel‐a  2007  постоји  тзв.  главно  дугме  тј.  ‘Office  button’  (Слика  19)  које  је  потребно притиснути, а затим са дна падајућег прозора који се отвори треба притиснути  дугме ‘Excel options’, тј. ‘Опције Excel‐a’:     Слика 19. Главно дугме тј. ‘Office button’ у оквиру MS Excel‐a 2007  У  оквиру  ‘Excel  options’  потребно  је  даље  отворити  прозор  за  подешавања  формула  ‘Formulas’  и  штиклирати  опцију  која  омогућава  увођење  такозваних  циркуларних  референци тј. ‘Enable iterative calculation’ (Слика 20). Овиме се дозвољава да функција као  аргумент користи своју вредност израчунату у претходном кораку, односно да се функција  позива на поље MS Excel‐a у које је она сама унета.     Слика 20. Прозор за подешавање формула, тј. ‘Formulas’ у MS Excel‐у 2007  На примеру датом на слици 21, резултати итеративног поступка за решавање Колбрукове  једначине  помоћу  МS  Excel‐а  је  упоређено  са  решењем  на  основу  Хааландове  експлицитне апроксимације (48). Процењена грешка се даје у последњој колони приказа  на слици 21 и табели 6. Резултати приказани илустративно на слици 21 дају се у табели 2.   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 35 ‐        Табела 2. Резултати решавања имплицитно задате Колбрукове једначине помоћу МS Excel‐а (уз слику 21)  A:  logRe  B: Re  C:  ε/Du  D: Имплицитно задата  Колбрукова једначина  F: Haaland  G: грешка  [(D‐F)/D]%  3,0  1000,0  1/500  3,959392229024170  3,863749872706350  2,42  3,1  1258,9  1/500  4,116245743048770  4,037076528054730  1,92  3,2  1584,9  1/500  4,272527204357220  4,208755486018040  1,49  3,3  1995,3  1/500  4,427824473637190  4,378404305912820  1,12  3,4  2511,9  1/500  4,581668990520960  4,545564859010140  0,79  3,5  3162,3  1/500  4,733529273813930  4,709695149620750  0,50  3,6  3981,1  1/500  4,882806210471860  4,870163833140490  0,26  3,7  5011,9  1/500  5,028831436818390  5,026249534289510  0,05  3,8  6309,6  1/500  5,170870442913050  5,177147539407240  ‐0,12  3,9  7943,3  1/500  5,308132242540010  5,321986604288930  ‐0,26  4,0  10000,0  1/500  5,439787394605120  5,459858181029910  ‐0,37  4,1  12589,3  1/500  5,564995649337340  5,589859017544130  ‐0,45  4,2  15848,9  1/500  5,682943357854120  5,711145679582280  ‐0,50  4,3  19952,6  1/500  5,792888983207580  5,822996333376040  ‐0,52  4,4  25118,9  1/500  5,894212792953540  5,924871898577950  ‐0,52  4,5  31622,8  1/500  5,986464638332630  6,016466668009610  ‐0,50  4,6  39810,7  1/500  6,069402437544720  6,097738885578400  ‐0,47  4,7  50118,7  1/500  6,143014360221950  6,168915027764690  ‐0,42  4,8  63095,7  1/500  6,207520080896330  6,230466884063680  ‐0,37  4,9  79432,8  1/500  6,263350372687010  6,283066197040860  ‐0,31  5,0  100000,0  1/500  6,311108569875530  6,327525662442440  ‐0,26  5,1  125892,5  1/500  6,351520647985350  6,364736369704990  ‐0,21  5,2  158489,3  1/500  6,385381915318730  6,395610385550410  ‐0,16  5,3  199526,2  1/500  6,413507492570350  6,421034187162370  ‐0,12  5,4  251188,6  1/500  6,436691538824810  6,441835324390160  ‐0,08  5,5  316227,8  1/500  6,455677526305080  6,458761987559450  ‐0,05  5,6  398107,2  1/500  6,471139576270720  6,472473484434050  ‐0,02  5,7  501187,2  1/500  6,483673354749570  6,483538939962950  0,00  5,8  630957,3  1/500  6,493794324404510  6,492441548156040  0,02  5,9  794328,2  1/500  6,501941069650310  6,499586110712100  0,04  6,0  1000000,0  1/500  6,508481703488310  6,505308142142850  0,05  A: A1 log Re; A2=3.0; A3=A2+0.1  B: B1 Re; B2=POWER(10,A2)  C: C1 ε/D; C2=1/500;  D: D1 results; D2=‐2*LOG10((C2/3.7)+((2.51/B2)*D2))  E: E1 verification; E2=‐2*LOG10((C2/3.7)+((2.51/B2)*D2));   F: F1 Haaland; F2=‐1.8*LOG10(POWER((1/3.7)*C2,1.11)+6.9/B2)  G: G1 % error; G2=((D2‐F2)/D2)*100    ‐ 36 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Максималан дозвољен број итерација је 32767, а тачност 0,0000001. Наравно ако се врше  обимнији  прорачуни  треба  реално  проценити  тачност  која  је  задовољавајућа  како  се  програм не би преоптеретио што се може десити када су стотине једначина спрегнуте, а  све се траже за максималном тачношћу уз највећи могући дозвољени број итерација. Сви  претходни  и  будући  примери  по  којима  је  решавана  Колбрукова  једначина,  а  да  није  експлицитно  наведен  метод  решавања,  решени  су  помоћу  МS  Excel‐а.  Један  активан  прозор MS  Excel‐a  у  коме  се  врши  прорачун  имплицитно  задате  Колбрукове  једначине  даје се на слици 21:     Слика 21. Прозор MS Excel‐a у коме се врши прорачун имплицитно задате Колбрукове једначине  Б.8. Падови притиска у цевоводима    Пад  притиска  у  једној  цеви  се  може  израчунати  на  основу  већ  приказаног  Дарси‐ Вајсбаховог  обрасца  (2)  тј.  (3).  Поред  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  λ  потербно  је  знати  пречник цеви,  дужину цеви,  густину флуида  који  протиче и  количину  протока (тј. брзину којом флуид протиче). Ако је у питању гасовити флуид, за разлику од  течног, потребно је увести одређене термодинамичке законитости (87):  0DCBAgdHd 2D dLdp 2 u =+++=+υυ+υλ+ρ               (87)  У једначини (87) члан А се односи на енергију која је последица притиска у гасоводу, члан  B се односи на хидрауличке губитке услед трења, C на губитке кинетичке енергије и D на  висинске разлике, односно на коте на којима се налазе крајеви гасовода између којих се  рачуна пад притискаd.    Општа једначина за пад притиска у гасоводу се изводи на основу једначине (87), с тим да  се  за проблеме обрађене  у овој дисертацији може узети да  су  чланови C  и D  једнаки 0                                                               d Видети у прилогу примере 7‐13 у вези падова притисака у цевоводима   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 37 ‐    (C=0  и  D=0).  Члан  C  који  се  односи  на  промену  кинетичке  енергије  у  цевоводу  се  занемарује  пошто  се може  сматрати да  је брзина протока  у  гасоводу непроменљива на  посматраном  сегменту,  а  из  разлога  што  се  проток  гаса  у  условима  градских  гасних  дистрибутивних мрежа може посматрати као проток нестишљивог флуида. Наиме падови  притиска  су  тако мали,  а инерцијске  силе  слабе да  се  врло добри резултати добијају  уз  претпоставку нестишљивости  гаса. Наравно,  не може  се прорачун какав  се примењује  у  случају протока воде или нафте кроз цеви дословно применити и на проток гаса. Члан D се  такође  може  занемарити  пошто  ће  се  сви  случајеви  протока  разматрани  у  овој  дисертацији  посматрати  у  хоризонталној  равни.  Уколико  се  укаже  потреба  за  прорачун  протока кроз нагнуте или вертикалне цеви, прорачун се може врло лако прилагодити и за  ове  случајеве  применом  у  литератури  доступних  поступака  о  којима  овде  неће  бити  посебних напомена.    Да би се лакше извршило интеграљење једначине (87) између две генеричке тачке 1 и 2,  потребно  је обе стране ове  једначине помножити густином гаса ρ,  с тим да се производ  ρ·V сматра у даљем току прорачуна константом (88):  ( ) 0'B'A 2D dLdp 2 u =+=υ⋅ρλ+ρ                  (88)  Где  су  чланови  А’  и  B’  у  ствари  чланови  А  и  B  из  једначине  (87)  само  у  нешто  трансформисаном облику. Сама густина гаса даље може да се изрази као (89):  TRz Mp ⋅⋅ ⋅=ρ                       (89)  Где  је М молекулска маса  гаса  у  kg/mol,  z  је  бездимензиони  фактор  компресибилитета  гаса, R је универзална гасна константа (8,31441 J·mol‐1·K‐1) док је Т температура гаса у К.   На основу претходног, може се спровести интеграција члана А’ (90):  2 pp TRz Mpdp TRz Mdp TRz Mpdp 2 2 2 1 srsr 2 1srsr 2 1 2 1 − ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⋅=ρ ∫∫ ∫           (90)  Где се просечна температура дефинише као:  2 TTT 21sr +=   Док се просечан притисак дефинише на нешто сложенији начин:   ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ + ⋅−+= 21 21 21sr pp pppp 3 2p   Просечан  комресибилитет  гаса  се  може  одредити  из  у  нафтној  индустрији  доста  коришћеног Кацовог (Katz) дијаграма (Hall‐Iglesias Silva 2007).  Слично се може извршити и интеграција члана B’ (91):  ‐ 38 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      25 u 2 st 2 st u 22 1 2 u D QL8 D2 L 2D dL π⋅ ⋅ρ⋅λ⋅∆⋅=⋅ λ⋅υ⋅∆=υλ∫               (91)  Сабирајући једначине (90) и (91) добија се једначина (92):  λ⋅⋅ρ⋅ −⋅ ⋅ ⋅⋅π= 5 u srsrr 2 2 2 1 st stst st D zTL pp p Tz 1629 R1000Q             (92)  Коељо  и Пинхо  (Coelho‐Pinho 2007)  су  претходну  једначину  прилагодили  дирeктан  унос  коефицијената  из  једначина  по  Блазијусовом  моделу  (12)  које  важе  за  хидраулички  ‘гладак’  режим али  у  облику  трансформисаном из  кога  се  не  рачуна директно Дарсијев  коефицијент  хидрауличког  отпора  већ  Дарсијев  коефицијент  хидрауличке  пропусности  који одговара тзв. Прандтловом стандардном обележавању (видети табелу 1) (93‐94):  β− β−β− β− β− β β− β− β− β− ⋅ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⋅ρ⋅ − η ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅α⋅π= 15,2u 1 5,0 srsr 21 r 2 2 2 1 st st 11 1 1 5,0 1 1 st DzTL pp p T1 2 1 116 R1000Q     (93)  2 B ReA1ReA 5.0 g B g ⋅=λ⇒⋅=λ −−                 (94)  Односно  α=А‐0.5  и  β=B/2.  Тако  нпр.  за  Реноарову  једначину  која  важи  за  хидраулички  ‘гладак’  режим  даје  се  вредност  одговарајућег  коефицијента  и  експонента  из  табеле  1;  коефицијент А=0,172 а експонент B=0,18, односно да се закључити да је α=2,411 и β=0,09.  Када се одговарајуће вредности коефицијената замене у  једначину  (93), добија се израз  (95):  09,01 09,05,2 u 09.01 5,0 09,021 r 2 2 2 1 09,01 09,0 09,01 1 09,01 09,05,0 09,01 1 st D 115,288L pp 101325 15,2881 2 1 116 8,314411000411,2Q − −− ⋅− −− − − − ⋅ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⋅ρ⋅ − η ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅π=   (95)  Односно количина протока кроз цев по Реноаровој једначини за гасовити флуид се може  израчунати на основу једначине (96) која се добија сређивањем једначине (95).   82,1 82,4 u 82,1 1 srsr 82,0 r 2 2 2 1 0989,0st DzTL pp 101325 15,2884415,26Q ⋅ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⋅ρ⋅ − η=           (96)  За Панхандлову  једначину А  која  важи  за  хидраулички  ‘гладак’  режим даје  се  вредност  одговарајућег коефицијента и експонента из табеле 1; коефицијент А=0,08475 а експонент  B=0,1461,  односно  да  се  закључити  да  је  α=3,435  и  β=0,07305.  Када  се  одговарајуће  вредности коефицијената замене у једначину (93), добија се израз (97):  6182,2 u 5394,0 avravr 8539,0 r 2 2 2 1 0788,0st DzTL pp 101325 15,288297,40Q ⋅ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⋅ρ⋅ − η=           (97)   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 39 ‐    Слично  се  може  урадити  и  за  остале  једначине  Блазијусовог  типа  (Табела  1).  Такође,  у  случају постојања ламинарног хидрауличког режима протока, Хаген‐Поазејлова једначина  (10) се може написати као (98):  5,0 L Re125,01 ⋅=λ                     (98)  Односно уносећи вредности за α=0,125 и β=0,5 у једначину (93), добија се (99):  4 u srsr 2 2 2 1 2st DzTL pp 101325 15,2880122718,0Q ⋅⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⋅ − η=               (99)  У многим случајевима  је згодније користити претходно приказану релацију  (92) пошто у  њу директно може да се укључи Дарсијев фактор хидрауличке пропусности.    Тако  у  случају  прорачуна  пада  притиска  у  цевоводу  када  се  Дарсијев  коефицијент  хидрауличког отпора рачуна преко Колбрукове једначине (35) важи израз (100):  ⋅⋅⋅ρ⋅ −⋅ ⋅ ⋅⋅⋅π ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε+λ⋅⋅−= srsrr 2 2 2 1 st stst 5 u udt st zTL pp p Tz 1629 DR1000 D71,3Re 51,2log2Q   (100)  Односно  најбоље  је  прво  израчунати  вредност  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличке  пропусности по Колбруку  (35),  па  тако израчунату вредност уврстити у релацију  (92)  као  бројну вредност (101), чиме се претходни израз упрошћава:  ⋅⋅⋅ρ⋅ −⋅ ⋅ ⋅⋅⋅π λ= srsrr 2 2 2 1 st stst 5 u dt st zTL pp p Tz 1629 DR10001Q   (101)  У случају коришћења Алтшуљове релације (34) важи израз (102):  srsrr 2 2 2 1 st stst 5 u8 1 u st zTL pp p Tz 11,01629 DR1000 Re 68 D Q ⋅⋅ρ⋅ −⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅π ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +ε= −   (102)  На начин сличан овде приказаном се генеришу и једначине за пад притиска у гасоводима  које важе и за потпуно турбулентан режим. У случају потпуно турбулентног хидрауличког  режима могуће  је  уместо фон Краманове  једначине  користити Колбрукову  једначину  за  делимично  турбулентан режим,  а  уместо Шифринсонове, Алтшуљову  једначину чиме се  не униси грешка у прорачун имајући у виду да је фон Карманова једначина (30) гранични  случај Колбрукове (35), а Шифринсонова (33) гранични случај Алтшуљове једначине (34).  Б.9. Реноарова једначина прилагођена за гасоводне системе    Једна  од  најчешће  коришћених  једначина  које  се  користе  приликом  прорачуна  параметара протока гаса у градским дистрибутивним мрежама ниског и средњег притиска  је Реноарова једначина (103) (Renouard 1952):  ‐ 40 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      18,0 g Re172,0 −⋅=λ   (103)  Ова једначина припада једначинама Блазијусовог типа које важе за хидраулички ‘гладак’  режим и посебно је погодна када су цеви кроз које протиче гас од полиетилена што је у  последње  време  најчешће  и  случај.  Ове  цеви  су  као  што  је  раније  већ  наглашено,  практично  глатке.  Реноарова  једначина  се  може  написати  и  у  облику  у  коме  је  експлицитно изражен Дарсијев коефицијент хидрауличке пропусности (104):  09,0 g Re4412,21 ⋅=λ   (104)  Претходно је већ дата Реноарова једначина прилагођена за проток гаса (96). По Коељу и  Пинху (Coelho‐Pinho 2007), она даје најбоље резултате када је Рејнолдсов број Re<4·106. За  веће  вредности  Рејнолдсовог  броја,  Реноар  препоручује  нешто  другачије  коефицијенте  (105):  10,0Re1822,21 ⋅=λ   (105)  Овиме  се  добија  за  око  9%  већи  Дарсијев  коефицијент  пропусности  у  односу  на  уобичајену Реноарову једначину  (104). Реноар такође даје и једначину која се односи на  унутрашње гасне инсталације (106):  2,0Re21,0 −⋅=λ   (106)  Ова  једначина  (106)  важи  у  случајевима  када  је  Re<104.  Применом  једначине  (106)  добијају  се  више  вредности  Дарсијевог  фактора  хидрауличког  отпора  у  односу  на  добијене применом једначине (103).    У  једначини  (96)  се  према  Реноару може  узети  да  је  вредност  динамчког  коефицијента  вискозности  константа,  η=1,0757·10‐5  Pa·s.  Претпоставка  је  такође  и  да  је  средња  температура  у  гасоводу  једнака  стандардној  температури,  тј.  Т=288,15  К,  као  и  да  је  средњи фактор компресибилитета Z=1. На овај начин преправљена  једначина  (96)  гласи  (107):  82,1 82,4 u 82,1 1 82,0 r 2 2 2 1 st D L pp010367,0Q ⋅ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ρ⋅ −=   (107)  Ова једначина се често даје у техничкој литератури у много познатијем облику (108):  82,4 u 82,0 r 82,1 st2 2 2 1 D LQ4088 pp ρ⋅⋅⋅=−   (108)  Или у још познатијем облику (109):  82,4 u r 82,1 st2 2 2 1 D LQ4810 pp ρ⋅⋅⋅=−   (109)   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 41 ‐    Реноар  наводи  да  се  узима  да  је  константан  како  динамички  η,  тако  и  кинематички  вискозитет  гаса  ν  природног  гаса,  и  то  η=1,0757·10‐5  Pa·s,  а  ν=1,2·10‐5  m2/s.  Пошто  се  кинематички вискозитет дефинише преко динамичке вискозности и густине гаса као (110):  89,0 102,1 101,075 5- -5 =⋅ ⋅=ν η=ρ⇒ρ η=ν kg/m3   (110)  Следи да је и густина гаса константа, тј. гас се понаша слично течности, односно за мале  падове  притиска  какви  владају  у  градској  гасоводној  мрежи  средњег  притиска  (р=4·105  Ра), проток гаса се сматра некомпресибилним. Наравно ову претпоставку нестишљивости  не треба схватити буквално већ треба читаву ствар сагледати шире (Brkić 2009i). Једначина  (109)  се до  сада најбоље показала  када  треба прорачунати падове притиска  у  градским  гасоводним мрежама  средњег притиска  када  су оне изграђене од полиетиленских цеви  што најчешће и јесте случај. Ова  једначина  (109) ће се стога најчешће и користити у овој  дисертацији када се разматра проток гаса у гасоводној мрежи.    Уколико се дистрибуира гас другачије кинематске вискозности ν1, тада се једначина може  ради  веће  тачности  помножити  корекционим  фактором  (ν/ν1)0,18,  тј.  (1,2·10‐5/ν1)0,18.  Ова  корекција  нема  практични  утицај  те  се  овде  напомиње  чисто  као  академска  расправа.  Реноар је цео производ ρr(ν/ν1)0,18 назвао коригована густина гаса.     Да би се боље разумела математичка поједностављења које је Реноар спровео потребно  је поћи од дефиниције Рејнолдсовог броја (111):  ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ρ ρ⋅ν⋅π⋅ ⋅=ν⋅π⋅ ⋅=η ρ⋅⋅π⋅ ⋅ =η ρ⋅⋅υ= st u st u u2 uu D Q4 D Q4 D D Q4 D Re   (111)  Односно ако је притисак у мрежи око 4·105 Pa, тада је члан (ρ/ρst≈4/1), односно једначина  (111) постаје (112):  ν⋅π⋅=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ν⋅π⋅ ⋅=ν⋅π⋅ ⋅= u st u st u D Q 1 4D Q4 D Q4Re   (112)  Корекциони фактор (ν/ν1)0,18 сада може да се напише као (113):  ( ) ( ) 18,0 5 r 18,0 5 vaz,str 18,0 5 st 102,1 28,1 102,1102,1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅ ρ⋅η=⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⋅ ρ⋅ρη=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ρη −−−   (113)  На основу претходно изнетог може се проценити грешка која се уноси тако што се уместо  једначине (108) користи њен нешто простији облик (109), на основу (114):  ( ) ( )( ) ( ) 0,103541 28,1 1 2,1 0757,1 4088 48101 100757,1 4088 102,1 4810 pp pppp 18,018,0 18,05 82,0 r 18,0 18,0 5 st r )108( 2 2 2 1 )108( 2 2 2 1)109( 2 2 2 1 =−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=− ⋅ ρ⋅η⋅ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ρη⋅ρ⋅ =− −−− −   (114)  ‐ 42 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Односно  грешка  је  око  10%.  Реноар  је  радио  са  мањом  вискозности  гаса,  односно  са  ν=2,2·10‐5 m2/s  што  узрочно  претпоставља  и  нижу  вредност  за  густину  гаса  од  само  0,5  kg/m3. Што је нереално мало када је природни гас у питању. Са овако смањеном густином  гаса процењена грешка коју уноси примена једначине (109) уместо (108) пада на само 1%.  Реално треба поредити једначине (108) и (109) на основу (115):  ( ) ( )( ) 09,0128,1 84,0408848101 D LQ4088 D LQ4810 pp pppp 18,0 82,4 u 82,0 r 82,1 st 82,4 u r 82,1 st )108( 2 2 2 1 )108( 2 2 2 1)109( 2 2 2 1 =−⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=−ρ⋅⋅⋅ ρ⋅⋅⋅ =− −−−       (115)  На крају треба напоменути да постоји и Реноарова једначина која се примењује у случају  протока гаса у дистрибутивним мрежама под врло ниским притиском какав је био случај  градског гаса који се практично више не користи (116):  82,1 82,4 82,1 1 u82,0 r 21 st DL pp614,8Q ⋅⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ρ⋅ −⋅=   (116)  Б.10. Завршне напомене о протоку флуида кроз цевоводе    Све претходно приказане релације у раду су корелисане са Модијевим дијаграмом (Слика  2). Међутим пре настанка овог дијаграма, истраживачи су само наслућивали како се мења  коефицијент хидрауличког отпора у зависности од неких параметара који  још нису били  довољно  истражени.  Тако  нпр.  Рикс  (Gas  Engineers  Handbook  1974)  даје  коефицијент  хидрауличког отпора као константу (117):  36,71 =λ   (117)  Пол  још  1851.  године  (Gas  Engineers  Handbook  1974,  Schroeder  2002)  даје  релацију  за  одређивање коефицијента хидрауличког отпора који зависи од пречника цеви (Табела 3):  Табела 3. Вредност коефицијента прпусности гасовода, односно  коефицијента хидрауличког отпора према Полу  Називни пречник цевиа  1/ λ   λ  ¾”‐1”  4,78  1,641 1 ¼”‐1 ½”  5,255  1,559 2”  5,735  1,483 3”  6,215  1,413 4”  6,45  1,381 a1”=0,0254 m            Шпицглас  1912.  године  даје  једначину  (118)  за  прорачун  дистрибутивних  мрежа  гаса  ниског притиска  какве  су биле мреже којима  се дистрибуирао  тзв.  градски  гас,  односно  гас добијен из угља (Gas Engineers Handbook 1974, Schroeder 2002):  u u D1811,1 D10,9361 11 5,881 ⋅+⋅+ =λ   (118)   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 43 ‐    У  овој  једначини  је  коефицијент  хидрауличког отпора  у функцији  пречника цеви  (што  је  пречник већи, коефицијент хидрауличког отпора (119) је мањи и обрнуто, односно што је  пречник већи, коефицијент пропусности 1/ λ  је већи.  5,88 D1811,1 D10,9361 11 u u ⋅+⋅+=λ   (119)  Шпицгласова  једначина  је  за  своје  доба била изузетна,  упркос  томе што  постоје  опсези  где  при  константној  храпавости  (која  се  и  не  узима  у  обзир  у  конкретној  релацији)  са  повећањем пречника цеви расте и коефицијент хидрауличког отпора, што суштински није  тачно.  Вероватно  ове  области  нису  биле  занимљиве  за  гасоводе  тог  доба  (претежно  градски гас ниског притиска).    Нешто боља релација  је Вејмутова исто из 1912.  године  (Schroeder 2002). Ова  једначина  (120)  и  (121)  је  такође  само  у  функцији  пречника  цеви,  док  се  храпавост,  као  и  режим  струјања занемарују.   6 1 uD3196,10 1 ⋅=λ   (120)  3 1 uD 0094,0=λ   (121)  Ова  једначина  не  показује  нелогичности  попут  претходно  приказане  Шпицгласове  једначине.  Уз  одређена  прилагођења  ова  једначина  је  примењива  и  данас,  и  из  аутору  непознатог разлога ова једначина је незаобилазна у нафташкој пракси у Србији иако се на  основу  ње  не  може  закључити  који  је  режим  у  цевоводу.  Једначина  се  примењује  углавном за транспорт нафте, тј. течног флуида, а не гаса.     Дају  се  још  две  сличне  једначине  Унвина  (122)  и  (123)  и  Олифанта  (124),  које  такође  стављају  коефицијент  хидрауличког  отпора  само  у  зависности  од  пречника  цеви  (Gas  Engineers Handbook 1974).  uD 0,042851 75,561 + =λ   (122) 75,56 D 0,042851 u + =λ   (123)  uD3584,15,6 1 ⋅+=λ   (124)  Следећа релација  (125) коју даје Фриче узима у обзир и Рејнолдсов број, што  је искорак  напред (Gas Engineers Handbook 1974):  ( ) 071,0uDRe3390,31 ⋅=λ   (125)  ‐ 44 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Изузимајући  за  тренутак  разматрање  саме  тачности  добијених  бројчаних  вредности  резултата  на  основу  релација  (118‐125)  и  њихове  практичне  употребљивости,  сваки  пажљивији  читалац  ће  одмах  приметити  суштинску  физичку  нетачност  ових  релација.  Наиме, имајући у виду да  је коефицијент хидрауличког отпора неименовани број, а да у  свакој  од  ових  једначина  (118‐125)  фигурише  пречник  који  је  изражен  у  метрима  (па  дигнут  на  неки  експонент)  поставља  се  логичког  питање  где  се  он  губи  пошто  нема  са  чиме  да  се  скрати.  Велика  је  вероватноћа  да  се  одговор  на  ово  питање  крије  у  коефицијентима  који  фигуришу  у  овим  једначинама,  тј.  проблем  се  тиче  конверзионих  фактора.  У  таквој  ситуацији,  чак  и  једначина  Рикса  (117)  и  Пола  (Табела  7)  изгледа  прихаватљивије. Тако, нпр. за транспорт нафте је чак и на први поглед и у овом случају без  детаљне анализе, далеко прихватљивија релација Ланжа (126) (Шашић 1990) у поређењу  са Вејмутовом (120) и (121):  Re 7,102,0 ⋅=λ   (126)  Рихтер даје за челичне цеви релацију (127) у којој фигуришу вискозитет гаса и проток:  125,0148,0 Q249,0 ⋅µ⋅=λ (127)  Рихтерова једначина (127), као и једначина (128) се односе на проток гаса кроз унутрашње  инсталације  у  зградама.  Гајић  и  Исаков  за  бакарне  цеви  дају  релацију  (128)  сличну  Рихтеровој (Прстојевић еt al 2005):  7 148,0 Q 249,0 µ⋅=λ (128)  На овоме месту аутор ове дисертације се не би усудио да даје мишљење да ли једначине  у оваквом облику представљају побољшање, пошто се у своме истраживачком раду није  бавио разматрањем протока гаса у унутрашњим инсталацијама у зградама.    Основни  минимални  предуслов  за  сваку  савремену  релацију  којом  се  прорачунава  коефицијент хидрауличког отпора је да је у корелацији са Модијевим дијаграмом (Слика  2).  Односно  боље  речено,  у  свакој  савременој  једначини  коефицијент  хидрауличког  отпора  мора  бити  у  функцији  Рејнолдсовог  броја  и  релативне  храпавости  у  случају  делимично  турбулентног  режима,  односно  само  Рејнолдсовог  броја  за  ламинарни  и  хидраулички ‘гладак’ турбулентан режим, тј. само релативне храпавости у случају потпуно  турбулентног режима. Знајући вредности ових параметара, може се увек одредити који је  режим протока у цевоводу. Познат проток у цевоводу треба да служи за прорачун брзине,  на  основу  познатог  пречника.  Даље,  овако  прорачуната  брзина  служи  за  прорачун  Рејнолдсовог  броја  (уз  познат  кинематски  вискозитет,  односно  уз  познат  динамички  вискозитет  и  густину  гаса),  или  јасније  речено  не  треба  стављати  нпр.  сам  проток  у  релацију  за  прорачун  коефицијента  хидрауличког  отпора  јер  се  тиме  прикривају  важни  подаци који касније могу бити од важности за даља разматрања.    Одређивање  хидрауличког  коефицијента  отпора  није  сам  себи  циљ,  већ  служи  за  прорачун падова притисака, односно за прорачун протока гаса у цевоводу. Једначине које  служе  за  то  треба  да  буду  уређене  тако  да  у  њима  фигуришу  релевантне  физичке  величине изражене у SI јединицама без умножака (конверзионих фатора у оквиру самог SI   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 45 ‐    система;  нпр.  пречници  цеви  у m  а  не  у mm,  дужине  цеви  у m  а  не  у  km)  како  је  и  приказано у претходној глави.    Напори истраживача у данашње време не треба да буду усмерени у правцу преуређења  Колбрукове  једначине  (31)  у  експлицитан  облик  пошто  се  она  може  у  данашње  време  врло лако решити у свом изворном имплицитном облику  . Приступ Озгера и Јилдрима је  посебно занимљив, пошто они користе неуро‐фази приступ за одређивање коефицијента  хидрауличког отпора (Özger‐Yıldırım 2009, Yıldırım‐Özger 2009).    Неке сличности водоводних система са гасоводима се може проучати из бројних чланака  доступних у литератури  (Liou 1998, Travis‐Mays 2007, Valiantzas 2005, Yıldırım‐Özger 2009,  Boulos 2006, Martorano 2006, Moghazi 1998, Pioge 2007, Scobey 1966).    Неке  сличности  са  водоводним  и  гасоводним  мрежама  прстенастог  типа  показују  и  вентилациони  системи  у  зградама  и  рудницима.  Међутим  у  овој  дисертацији  се  овај  проблем неће детаљније разматрати. Добри примери за рудничке вентилационе системе  се могу наћи у књизи Лилића и Кузмановића (1993) а за вентилационе системе у зградама  у раду Аинслеја (Aynsley 1997) и Мек Ферсона (McPherson ?).    Б.11. Литературне напомене о протоку флуида кроз цевоводе    Бројна литература  је  консултована и  коришћена при писању овог поглавља дисертације  (поглавље  Б).  Аутор  је  пошао  од  чињенице  да  би  текст  био  изузетно  пренатрпан  литературним наводима да се увек позивало на коришћену литературу у тексту. Дакле, у  самом  тексту  је  наведена  само  основна  литература,  с  тиме  да  се  на  овом  месту  даје  детаљан осврт на коришћену литературу. Из руске литературе када су у питању једначине  које покривају разне режиме је корићена књига на енглеском језику аутора Некрасова из  1969  под  називом  ‘Hidraulics  for  Aeronautical  Engineers’  (Nekrasov  1969).  Коришћени  су  материјали  са  сајта  http://gidravl.narod.ru/gidrosopr.html  где  су  изложена  предавања  од  којих је посебно занимљива лекција 4 под називом ‘Гидравлические сопротивления’. Рад  Абдолахија и сарадника даје границе између хидрауличких режима  (Abdolahi et al 2007),  исто као и рад Модија (Moody 1944), односно Ђулијанија (Gulyani 1999). У раду Ђулијанија  се  даје  и  приказ  различитих  једначина  за  различите  хидрауличке  режиме.  У  раду  Абдолахија и сарадника се дају и конкретне једначине за поједине режиме укључујући и  апроксимације Колбрукове  једначине  (31). Такође се дају појашњења око примене ових  једначина у  гасоводима.  Рад Афзала  (Afzal 2007)  и Афзала и  сарадника  (Afzal et al 2007)  може  послужити  да  се  стекне  добар  увид  у  једначине  тзв.  power  law  модела  који  се  користи  при  хидраулички  ‘глатком’  режиму  протока  (Koutsoyiannis  2008),  укључујући  и  разлике које се јављају између протока у цевима и тзв. отвореног тока какав влада у нпр.  рекама.  Сличан  приказ  дају  и  Ђорђевић  и  сарадници  (Djordjević  et  al  2004).  Извесни  проблеми  везани  за  разлику  између  Дарсијевог  и  Фанинговог  коефицијента,  као  и  у  примени  пречника,  односно  полупречника  су  такође  дискутовани  у  литератури  (Chen  1979,  Chen  1980, Moody  1944,  Concha  2008,  Brkić  2009b,  Rao‐Kumar  2007).  Рад  Алена  и  сарадника  даје  нови  приступ  у  проучавању  протицања  флуида  кроз  цеви  како  у  ‐ 46 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      хидраулички  ‘глатким’  тако  и  у  храпавим  цевима  (Allen  et  al  2007).  Бројни  су  радови  у  часописима Краљевског друштва из Лондона (Royal Society) који се баве овом темом. Још  је  Рејнолдс  1883  објавио  свој  рад  у  којем  је  дефинисао  појам  Рејнолдсовог  броја  у  часопису Psilosophical Transactions of the Royal Society, Series A: Mathematical, Physical and  Engineering  Sciences  (Reynolds  1883b).  Исте  године  је  пре  овога  рада  објавио  његову  скраћену верзију у часопису Proceedings of the Royal Society (Reynolds 1883a). Корисни су  били и  радови  Рејнолдса  из 1894.  и 1895.  (Reynolds 1894, 1895).  Видети и  рад  Екхардта  објављен  поводом  125  година  Рејнолдсовог  рада  (Eckhardt  2009).  Екхард  даје  у  својим  радовима занимљиве приказе о  томе како проток у цеви постаје  турбулентан  (Eckhardt‐ Schneider 2008, Eckhardt 2008). Сличан приказ се даје и у раду Робинсона (Robinson 1983).  Рад  Калида  и  Лијанг‐Бијаоа  даје  упрошћену  једначину  која  се  користи  за  предвиђање  пада  притиска  у  цевоводу,  односно  за  предвиђање  количине  протока  (Khalid‐Liang‐Biao  1995).  Сличан приступ има и Дуранд у  свом раду  (Durand 1997). Баренблат и  сарадници  дају нови приказ експерименталних података који се тичу турбулентног протока флуида у  цевима (Barenblatt et al 1997). Бари у своме раду даје један нови приказ апроксимативног  рачунања  имплицитно  задатих  релација  везаних  за  проблем  протока флуида  кроз  цеви  (Barry  2008).  Сличан  је  и  рад  Бузелија  (Buzzelli  2008).  Поред  већ  наведених  примена  Ламберт  W  функције,  Бари  са  сарадницима  помоћу  ове  функције  ефикасно  решава  проблем инфилтрације воде у земљиште (Barry et al 1993), као и Парланге са сарадницима  (Parlange et al 2002). Сличан приступ се може применити и приликом описивања кретања  нафте, воде и гаса кроз порозну средину лежишта (Ewing et al 1999). Корисно је погледати  и  рад  Барија  и  сарадника  (Barry  et  al  1999).  Каилол  у  своме  раду  даје  приказ  примене  Ламберт W функције на решавање проблема из области класичне статистичке механике  (Caillol 2003). Наравно што се  тиче решавања саме Ламберт W функције најкориснији су  били већ раније поменути радови Бојда  (Boyd 1998),  као Барија и сарадника  (Barry et al  2000, 2002). О самој Ламберт W функцији корисни су радови Корлеса (Corless et al 1996) и  Рајта (Wright 1959). Неке посебности везане за проток флуида кроз цеви великог пречника  се  дају  у  раду  Бомбарделија  и  Гарсије  (Bombardelli‐García  2003).  Радови  Брауна  дају  одличан  приказ  историјског  прегледа  настанка  Дарси‐Вајсбахове  једаначине  (Brown  2002a, b). Калзета даје оригиналан начин одређивања коефицијента хидрауличког отпора  на основу Хајзенбергове хипотезе о којој се неће дискутовати у овој дисертацији (Calzetta  2009).  Одређене  везе  између  коефицијента  хидрауличког  отпора  и  топлотних  ефеката  везаних за зидове цеви дају се у раду Цејлана и Келбалијева (Ceylan‐Kelbaliyev 2003). Рад  на  сличну  тему  су  објавили  и  Черчил  и  Зајић  (Churchill‐Zajić  2002),  Колин  и  сарадници  (Colin  2005),  Госелин  (Gosselin  2006),  Ке  и  Ти  (Ke‐Ti  2000),  Корниенко  (Kornienko  1995).  Черчил је поред приказане апроксимације Колбрукове функције дао значајне доприносе  на пољу протока флуида кроз цеви (Churchill 2000). Кордеро у своме раду даје побољшане  једначине за одређивање Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког отпора  (Cordero 2008).  Занимљив приказа протока не‐Њутновског флуида даје  се  у раду ел‐Емама и  сарадника  (El‐Emam  et  al  2003).  Ел‐Емам  и  сарадници  дају  и  практичан  начин  за  одређивање  коефицијента  хидрауличког  отпора  протока  гаса  на  конкретном  примеру  једног  гасног  поља  из  Египта  (El‐Emam 1997).  Герстен  и  сарадници дају  у  свом раду  нову формулу  за  прорачун коефицијента хидрауличке пропусности за цевоводе на гасним пољима (Gersten  et al 2000), кao и Товлер и Поуп  (Towler‐Pope 1994). Мокхатаб даје нови начин прорачун   Б.  О тп ор и  пр от ок у  га са  у  ц ев им а  ‐ 47 ‐    хидрауличког  коефицијента  отпора  при  протоку  гаса  (Mokhatab  2002a),  као  и  за  случај  гасокондензатних система (Mokhatab 2002b). Рaд Јанга се бави проценом пада притиска у  вертиланим  експлоатационим  цевоводима  (Yang  1995).  Фарсхад  и  сарадници  дају  нови  метод  за  мерење  саме  храпавости  цеви  као  и  начин  моделирања  (Farshad  et  al  2001).  Овом  темом  се  бави  и  врло  користан  рад  Слетфјердинга  и  сарадника  (Sletfjerding  et  al  1998). Тејлор и сарадници коментаришу како је схватан утицај храпавости на хидраулички  режим у прошлости и дају своје коментаре како предвиђају да ће се проблем посматрати  у будућности (Taylor et al 2006). Приказ динамичког понашања гаса у гасоводима високог  притиска  даје  се  у  раду  Гатоа  и  Енрикеса  (Gato‐Henriques  2005),  с  тим  да  се  у  овој  дисертацији проучавање протока гаса даје само за релативно ниске притиске, тј. за 4·105  Ра.  У  раду  Хагера  се  даје  занимљива  дискусија  у  вези  Манингове  једначине  која  се  примењује  за  проток  воде  (Hager  2006).  Хактанир  и  Ардичоглу  се  у  свом  раду  баве  моделирањем  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  (Haktanır‐Ardıçlıoğlu  2004).  Нови  начин  сагледавања  утицаја  релативне  храпавости  на  коефицијент  хидрауличког  отпора дају Хервиг и сарадници  (Herwig et al 2008), Мек Кеон и сарадници  (McKeon et al  2004a, b, 2005), Робертсон и сарадници  (Robertson et al 1968), Шпригс  (Spriggs 1973a, b),  Загарола и Смитс (Zagarola‐Smiths 1998), као и Шоклинг и сарадници (Shockling et al 2006).  Изгуердо  са  сарадницима  даје  модел  у  којем  се  испитује  утицај  цеви  на  понашање  водоводног  система  у  различитим  условима  (Izquierdo  et  al  2008).  Киди  је  у  свом  раду  проучавао  Колбрукову  једначину  (Keady  1998).  Кентиш  је  проучавао  утицај  корозије  на  храпавост  цеви  (Kentish  2007).  Промене  у  протоку  услед  различитих  врста  храпавости  изучавају у свом раду Шан и сарадници (Shan et al 1998). Квак и сарадници идентификују  рачунске  проблеме  везане  за  проток  вискозног  некомпресибилног  флуида  (Kwak  et  al  2005).  Ла  Барбера  даје  поређење  техничких  система  за  протоком  флуида  у  организму  животиња  (LaBarbera  1990).  Губитке  енергије  у  цевоводним  системима  проучавали  су  Лахиоуел и Хадад (Lahiouel‐Haddad 2002) као и Лахиоуел и сарадници (Lahiouel et al 2005).  Лангеландсвијк  са  сарадницима  разматра  посебности  хидрауличких  отпора  у  челичним  цевима (Langelandsvik et al 2008), док Сукхарев са сарадницима (Sukharev et al 2005), као и  фон Бернут (von Bernuth 1990) разматрају исти проблем за полиетиленске цеви. Малин у  својим  радовима  даје  приказ  протока  Бингхамовог  пластичног  флуида  у  цевима  (Malin  1997a,  b).  Јо  и  Синг  дају  у  свом  раду  два  практична  метода  за  прорачун  хидрауличког  коефицијента  отпора  у  цевима  које  су  заступљене  на  тржишту  (Yoo‐Singh  2005).  Сличан  приступ је и у раду Сабланија и сарадника али уз примену неуронских мрежа (Sablani et al  2003).  Неуро‐фази  математички  модел  за  праћење  параметара  протока  природног  гаса  даје  се  у  раду  Олунлоја  и  сарадника  (Olunloyo  et  al  2004).  Неуронску  мрежу  за  неитеративно  одређивање  коефицијента  користе  Шаја  и  Саблани  у  свом  раду  (Shayya‐ Sablani  1998).  Јухонг  и  Вехинг  користе  неуронску  мрежу  да  предвиде  коефицијент  хидрауличког  отпора  у  случају  протока  флуида  у  отвореним  токовима  (Yuhong‐Wenxin  2009).  Ојанг  и  Азиз  разматрају  стационарни  режим  протока  гаса  у  цевима  (Ouyang‐Aziz  1996).  Изузетан  приказ  расположивих  једначина  за  различите  хидрауличке  режиме  се  даје у раду Шредера (Schroeder 2002). Неке детаље о Модијевом дијаграму видети у раду  Верме  (Verma  2008).  Јен  даје  занимљив  рад  о  хидрауличким  отпорима  у  отвореним  токовима (Yen 2002).    ‐ 48 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      На  крају  никако  не  треба  закључити  да  је  питање  одређивања  отпора  трења  приликом  протока  флуида  довољно  решена  ствар.  Бројна  истраживања  се  и  даље  спроводе  (Zagarola et al 1997, Cipra 1996).     В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 49 ‐    В. Дистрибуција гаса цевоводима; прорачун стационарне расподеле  протока у задатој мрежи     Гас  се  најчешће  у  урбаним  условима  домаћинствима  дистрибуира  путем  градске  дистрибутивне мреже. Ова мрежа је обично прстенастог типа. Данас се у домаћинствима,  као  и  у  топланама  користи  првенствено  природни  гас  који  је  по  свом  саставу  углавном  метан.  Међутим  некада  се  у  градским  условима,  а  посебно  за  осветљење  користио  на  вештачки начин добијен  гас из угља. Поступком  гасификације  угља у  градским  гасарама  кроз процес непотпуног сагоревања угља углавном се добијао угљенмоноксид. Овакав гас  се називао градским гасом, а уколико је процес вођен тако да се у саставу гаса добије и  нешто већи проценат водоника,  такав  гас  је био познат и као водени  гас. Ови вештачки  добијени  гасови  су  данас  само  од  историјског  значаја.  Гасоводи  за  дистрибуцију  гасова  добијених из угља су радили на знатно нижим притисцима него данашњи дистрибутивни  гасоводи  којима  се  дистрибуира  природни  гас.  Ова  чињеница  је  важна  пошто  је  при  оваквом,  много  мањем  радном  притиску  потребан  знатно  већи  пречник  цеви  да  би  се  пропустила иста количина гаса. При преласку са градског гаса на природни гас јавио се и  проблем са  горионицима пошто није иста  топлотна моћ те две врсте  гаса,  односно није  исти Вобеов број. Поред овога градски гас самим тим што је добијен из угља садржи више  смоластих  материја  које  су  склоне  таложењу  по  унутрашњим  зидовима  цеви.  При  преласку  на  природни  гас  јавио  се  такође  проблем  у  заптивању  код  ових  доста  старих  система  јер  је  временом  природни  гас  испирао  смолу  са  спојева  цеви.  Ипак  је  давно  прошло  врема  када  се  дистрибуирао  градски  гас  тако  да  су  данашњи  системи  обично  новијег датума, тј. изграђени су баш за дистрибуцију природног гаса. Гасна дистрибутивна  мрежа  природног  гаса  ради  на  притиску  од  око  4·105  Ра  abs.  и  изграђена  је  од  полиетиленских цеви. Као што је већ претходно било речено, овакве цеви су саме по себи  практично глатке, те је проток гаса у њима првенствено у хидраулички  ‘глатком’ режиму.  Из  раније  изнете  дискусије  најповољнија  једначина  која  ће  се  користити  је  упрошћена  Реноарова једначина за проток гаса (109).    Веома слична концепција као код  гасоводних мрежа прстенастог  типа се примењује и у  водоводним системима. За разлику од гасовода који користе само енергију притиска који  се  редукује  у  гасној  мерно‐регулационој  станици  (МРС)  на  4·105  Ра  abs,  у  водоводном  систему  се  користи  пумпе  за  пумпање  воде  кроз  систем.  У  гасоводној  дистрибутивној  мрежи  се  гас  услед  релативно  малог  пада  притиска  може  третирати  као  нестишљив  флуид,  тј.  као  вода.  Наравно  ово  не  треба  схватити  дословно,  пошто  се  неке  чињенице  које  се  тичу  пририодног  гаса  као  гасовитог  флуида  морају  узети  у  обзир  што  се  већ  примењује  коришћењем  упрошћене  Реноарове  једначине  прилагођене  за  проток  гаса  (109). Уколико се у неким примерима у даљем тексту буде обрађивао водоводни систем  ради  поређења  са  гасоводним,  тада  ће  се  вршити  упоређивање  само  падова  притиска  узроковано хидрауличким отпорима, док се неће вршити прорачун потребне енергије за  пумпање  воде.  Пошто  је  вода  течни  флуид,  у  водоводу  влада  углавном  прелазни  турбулентан  режим  па  ће  се  користити  Колбрукова  једначина  (35)  за  одређивање  ‐ 50 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора,  као  и  Дарси‐Вајсбахова  формула  (3)  за  одређивање пада притиска при протоку течног флуида.    Најстарији и практично први метод за прорачун протока флуида у дистрибутивној мрежи  прстенастог типа је дао амерички инжењер Харди Крос (Hardy Cross; 1885‐1959).    Слика 22. Насловна страна свеске бр. 286 Билтена Универзитета Илиноис у којој  је Харди Крос објавио свој пионирски рад о мрежама прстенастог типа  Харди  Крос  је  био  грађевински  инжењер,  предавао  је  на  Универзитету  Браун  (Brown),  Универзитету  Илиноиса  (Illinois),  а  каријеру  је  завршио  на  месту  шефа  грађевинског  одсека  Универзитета  Јејл  (Yale).  Једно  време  је  радио  и  у  грађевинским  предузећима.  Познат  је  по  развоју  првог  ефикасног  метода  прорачуна  статички  неодређених  грађевинских  конструкција  од  пренапрегнутог  бетонаe  (Cross  1930,  1932).  Статички  неодређене  конструкције  су  биле  основна  област  интересовања  Харди  Кроса,  тако  да  колико год да је чувен по развоју првог употребљивог метода за прорачун протока флуида  кроз цевоводне прстенасте мреже, можда  је  још познатији по првом ефикасном методу  који  је  омогућавао  прорачун  статички  неодређених  носача  од  пренапрегнутог  бетона.  Метод прорачуна расподеле протока флуида у цеводној мрежи са прстеновима је једини  рад Харди Кроса из ове области као што и сам Харди Крос напомиње у овом раду (Cross  1936)  објављеном  13.  новембра  1936.  године  у  Билтену  инжењерске  експерименталне  станице Универзитета у Илиноису бр. 286, 34(22) под називом „Анализа протока мрежама  водова или проводника“ (Слика 22). Треба напоменути да су се отприлике у исто време са  овим пионирским радом Харди Кроса појавили и радови совјетских аутора В.Г. Лобачева и                                                               e Сличан метод је нешто пре развио Чалишев, избеглица из новостворене Совјетске Русије, али га је објавио на  српском што је прошло релативно незапажено (Чaлишев 1922, 1923)   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 51 ‐    А.А. Андријашева. У западној литератури, као и у Србији овај први употребљив метод за  прорачун  расподела  протока  у  цеводним  прстенастим  мрежама  се  уобичајено  назива  Харди Крос метода или  понекад Кросова метода.  Име  Харди Кроса  је  толико  везано  за  прорачун  прстенастих  мрежа  да  се  данас  свака  метода  која  служи  истој  сврси  као  и  оригинална  метода  назива  именом  Харди  Кроса.  У  Русији  се  овакве  методе  називају  методом А.А. Андријашева, а понегде и методом В.Г. Лобачева. Совјетска, а сада и руска  стручна  литература  прави  разлику  између  методе  Лобачева  која  одговара  суштински  методи Харди Кроса и методе Андријашева у томе што појам прстена и контуре у методи  Андријашева  нису  синоними  док  код  методе  Лобачева,  односно  Харди  Кроса  јесу,  а  о  чему ће касније бити више речи у овој дисертацији (поглавље В.1.4.; видети и слику 35).  В.1. Харди Крос метод (Single contour adjustment method)    Харди Крос метод  је нумерички метод у коме се решење проблема добија итеративним  поступком. Као што је већ речено, развио га је амерички инжењер Харди Крос. Све методе  које ће се обрађивати у овој дисертацији подразумевају да су инерцијске силе мале, тј. не  мења се густина флуида који протиче. Примењују се принпици одржања масе и енергије,  односно важе први и други Кирхофов закон слично као и кад су у питању електрична кола  (Слике 23 и 24).       Слика 23. Први Кирхофов закон за  цевоводне системе      Слика 24. Други Кирхофов закон за цевоводне системе  Први  Кирхофов  закон  суштински  одговара  закону  одражања  масе,  док  други  одговара  закону  одржања  енергије.  Слични  проблеми  се  код  електичних  кола  могу  решити  неитеративним поступком због тога што је електрични отпор константан за дато коло, тј.  не  зависи  од  вредности  струје  или  напона,  односно  боље  речено  са  променом  било  напона  или  струје  електрични  отпор  остаје  непромењен.  Код  цевоводних  система  хидраулички  отпор  зависи  од  количине  протока,  односно  од  притисака,  односно  боље  речено,  као  што  је  већ  пре  објашњено  он  је  у  функцији  релативне  храпавости  и  Рејнолдсовог  броја.  Релативна  храпавост  је  константна  за  одређену  цев  док  Рејнолдсов  број  зависи  од  брзине  протока,  односно  од  самог  протока,  који  је  опет  завистан  од  разлике  притисака,  како  је  уосталом  већ  раније  дискутовано.  Први  Кирхофов  закон  за  цевоводне  системе  гласи:  алгебраски  збир  количина  флуида  који  уђе  и  изађе  у  једном  чвору једнак је нули, док други Кирхофов закон гласи: алгебарски збир падова притисака  (код  гаса  разлике  квадрата  притиска  на  улазу  и  излазу)  за  сваку  затворену  контуру  коју  формирају цеви једнак је нули. Под чвором се подразумева место спајања две или више  ‐ 52 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      цеви  док  се  под  контуром  подразумева  систем  цеви  који  затвара  пун  круг.  Прстен  или  петља  је  најкраћи  затворени  систем  цеви  тако  да  се  једна  контура  може  састојати  од  елемената који припадају само  једној али и могу бити и од елемената од две или више  петљи (Слика 25).    Слика 25. Разлика између петље тј. прстена и контуре у цевоводној мрежи  Док се код Харди Крос методе и већине метода узима да је контура састоји само од једног  јединог  прстена,  код  методе М.М.  Андријашева  се  уобичајено  контура  састоји  из  више  прстенова а  само изузетно од  једног. О методи М.М. Андријашева ће бити више речи у  даљем тексту (поглавље В.1.4.; видети и слику 35).    Пошто  је  проток  флуида  кроз  цеви  нелинеаран  проблем  мораће  да  се  решава  итеративним путем, за разлику од линеарног проблема протока струје кроз проводнике.  На почетку итеративног процеса мора бити задовољен само услов по првом Кирхофовом  закону  док  ће  задовољење  услова  по  другом  Кирхофовом  закону  бити  показатељ да  је  проблем решен.    Слика 26. Гасоводна дистрибутивна мрежа са једном петљом Да би  се решио проблем по Харди Крос методи потребно  је да у  свакој итерацији буде  задовољен први Кирхофов закон тако да  једначина чворова за мрежу са  једном петљом  са слике 26 за почетну дистрибуцију протока по гранама гласи (129):  I442 343 231 121 4 3 2 1 0NQQ 0NQQ 0NQQ 0NQQ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =++− =−− =−− =−+−                   (129)  Једначина (129) је једначина чворова за прву расподелу протока, тј. она је улазна за прву  итерацију. Наравно ова једначина чворова се током итеративног поступка мења али тако   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 53 ‐    да  увек  стриктно  задовољава  први  Кирхофов  закон.  На  крају  прорачунаf  ова  једначина  гласи (130):  VII442 343 231 121 4 3 2 1 0NQQ 0NQQ 0NQQ 0NQQ ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ =+−− =−+− =−+ =−+−                   (130)  Улази и излази гаса по самим чворовима мреже (гледајући ка споља, тј. N на слици 26) су  непроменљиви  током  прорачуна  и  бира  се  тако  да  буде  задовољена  максимална  потрошња  која  може  да  се  јави  и  која  се  назива  пројектованом  или  пројектном  потрошњом. Пречник и дужина цеви су такође непроменљиве током прорачуна. Мења се  једино дистрибуција флуида по цевима која се тражи као резултат прорачуна. Ипак, може  се  поставити  питање  да  ли  систем  једначина  (129)  може  да  буде  решен  неком  од  математемичких метода које се примењују уобичајено за решавање система алгебарских  једначина. Овде ће се размотрити решење Крамеровим правиломg (131):    500QQ 100QQ 200QQ 200QQ 42 43 31 21 −=+− =− =− =+−                     (131)  Уколико постоји решење претходног система  (131) оно је уједно и решење за расподелу  протока  гаса  кроз  цевоводни  систем  са  слике  26.  Детерминанта  овога  система  се може  написати као (132):  0 1010 1100 0101 0011 D = − − − − =                   (132)  Док су детерминанте непознатих, или тзв. детерминанте уз непознату (133):  400 500010 100100 200101 200011 150010 110000 020001 020011 105000 111000 012001 002001 101500 110100 010200 001200 DQ −= −− − − = −− − − = − − − − = −− − −=   (133)  Пошто  је  детерминанта  система  једнака  нули  (D=0),  a  детерминанте  непознатих  су  међусобно једнаке (DQ=‐400) и различите од нуле, то значи систем има бесконачно много  решења. Ово  значи да  постоји  бесконачно много  расподела  протока флуида  по цевима  које  ће  задовољити  први  Кирхофов  закон,  али  је  само  једна  која  задовољава  и  други  Кирхофов закон. Такође значи да се прва претпостављена расподела протока по цевима  може одабрати на бесконачно много начина.                                                               f Видети у прилогу пример 14    g Следећи систем једначина одговара систему једначина (129), и то тако да су константни излази гаса из мреже и  један улаз замењени бројном вредношћу (може бити нпр у m3/h)  ‐ 54 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Једначина петљи за цевовод са слике 27 за иницијалну расподелу протока гласи (134):  ( ) I 82,4 4 4 82,1 4 82,4 3 3 82,1 3 82,4 2 2 82,1 2 82,4 1 1 82,1 1 rI 2 4 2 3 2 2 2 1I D LQ D LQ D LQ D LQ 4810p~p~p~p~QF ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅ρ⋅=∆+∆+∆+∆=   (134)  За  ову  иницијалну  расподелу  протока  није  задовољен  други  Кирхофов  закон  у  општем  случају.  Међутим,  за  коначну  расподелу  протока  он  је  задовољен  са  приближном  тачношћу која се унапред одабира те се може написати (135):  ( ) 0 D LQ D LQ D LQ D LQ 4810p~p~p~p~QF VII 82,4 4 4 82,1 4 82,4 3 3 82,1 3 82,4 2 2 82,1 2 82,4 1 1 82,1 1 rVII 2 4 2 3 2 2 2 1VII ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅−⋅−⋅+⋅⋅ρ⋅=∆−∆−∆+∆=   (135)  Римски индекси код тзв. стреличасте заграде означавају редни број итерације. Тако да се  извод по протоку функције петље (135) у првој итерацији даје као (136):  ( ) I 82,4 4 4 82,0 4 82,4 3 3 82,0 3 82,4 2 2 82,0 2 82,4 1 1 82,0 1 r I D LQ D LQ D LQ D LQ 481082,1 Q QF ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅ρ⋅⋅=∂ ∂       (136)  Итд,  по  истом  принципу  за  сваку  наредну  итерацију,  док  се  поправни  проток  у  првој  итерацији рачуна као (137):  ( ) ( ) I I Q QF QF ∂ ∂=∆                     (137)  И тако редом у свакој следећој итерацији. Када се задовољи услов по другом Кирхофовом  закону,  тада и  поправни проток  тежи нули  (∆→0). Добијени поправни проток  се додаје  алгебарски протоку за све цеви али са супротним знаком, као што је уосталом приказано у  табели 8, тј. нпр. проток у појединој цеви у другој итерацији се рачуна помоћу протока из  прве итерације и поправног протока (138):  IIII QQ ∆+=                     (138)  Где знак + у једначини (138) треба схватити као алгебарско сабирањеh.     Код водоводних мрежа нема никаквих промена у писању услова по првом Кирхофовом  закону. За водовoдне мреже које се прорачунавају Колбруковом једначином (35) како би  се  добио  Дарсијев  коефицијент  хидрауличког  отпора  потребан  за  Дарси‐Вајсбахову  једначину (3) која служи за одређивање пада притиска у цеви, једначина петље за случај  водоводне  мреже  са  једним  прстеном  (услов  по  другом  Кирхофовом  закону)  која  је  приказана на слици 27 гласи (139):  I 5 4 2 444 5 3 2 333 5 2 2 222 5 1 2 111 2I4321 D QL D QL D QL D QL8pppp ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ⋅π ρ⋅=∆+∆+∆+∆     (139)                                                               h У прилогу видети примере 15 и 16    В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 55 ‐    Ова једначина (139) важи за претпостављене иницијалне протоке и не задовољава услов  по другом Кирхофовом закону.  Једначина  (140)  приказује  стање после девете итерације  када прорачунати протоци по гранама мреже приближно задовољавају услов по другом  Кирхофовом закону:  0 D QL D QL D QL D QL8pppp IX 5 4 2 444 5 3 2 333 5 2 2 222 5 1 2 111 2IX4321 ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ⋅π ρ⋅=∆−∆−∆+∆   (140)  Једначине  чворова  се  конституишу  исто  као  и  код  гасоводне  мреже  као  што  је  већ  напоменуто  тако  да  се  овде  неће  посебно  објашњавати  (услов  по  првом  Кирхофовом  закону). Први извод иницијалне једначине петље по протоку (140) где се проток посматра  као променљива гласи (141):  ( ) I 5 4 444 5 3 333 5 2 222 5 1 111 2 I D QL D QL D QL D QL16 Q QF ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ⋅π ρ⋅=∂ ∂         (141)  При чему се затим даље рачуна поправни проток исто као и код гасоводне мреже (137‐8).    За гасоводну мрежу приказану на слици 27 која се састоји од три петље прорачун протока  по гранама је нешто сложенији.    Слика 27. Гасоводна дистрибутивна мрежа са три петље  Као што је већ раније објашњено за сваку контуру понаособ може да се добије поправни  проток.  Прва  расподела  протока  је  одабрана  тако  да  буде  задовољен  први  Кирхофов  закон  за  сваки  чвор.  Ова  иницијална  дистрибуција  протока  може  бити  изабрана  на  бесконачно много  начина. Међутим,  само  једна  од њих  задовољава  и  услов  по  другом  Кирхофовом закону за све петље. Управо се ова расподела овде и израчунава  (рачуница  се даје  у  табели 4). Проблем су цеви које  су  заједничке  за две  контуре,  односно  за две  петље. У случају са слике 27, цев 4 је заједничка за петље I и II, цев 7 за петље I и III, док је  цев  5  за  петље  II  и  III.  Ове  цеви  заједничке  за  две  петље  примају  поправне  протоке  истовремено из прорачуна за сваку од две петље понаособ, које се алгебарски сабирају на  основу посебних правила дефинисаних у овом докторату (поглавље В.1.1).     ‐ 56 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Табела 4. Решење гасоводне дистрибутивне мреже са три петље према оригиналној Харди Крос методи (Слика 27)    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 1 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s)  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,19444  ‐1264933339,23 6505371458,90 +0,13268    ‐0,06177 4  0,1234  200  +0,02778 +20357137,09 732856935,22 +0,13268  +0,09722 m   +0,25767 7  0,1234  300  ‐0,30556  ‐2399620963,36 7853304971,00 +0,13268  +0,00881‡  ‐0,16407         Σ ‐3644197165,50 15091533365,12           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,13268   II  1  0,1234  200  +0,27778 +1344982709,52 4841937754,28 ‐0,09722   +0,18056 2  0,1586  100  ‐0,27778  ‐200615476,37 722215714,94 ‐0,09722   ‐0,37500 4  0,1234  200  ‐0,02778  ‐20357137,09 732856935,22 ‐0,09722 ‐0,13268±  ‐0,25767 5  0,1762  100  +0,02778 +1828425,70 65823325,31 ‐0,09722 +0,00881 m   ‐0,06063         Σ 1125838521,76 6362833729,74           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) 0,09722   III  5  0,1762  100  ‐0,02778  ‐1828425,70 65823325,31 ‐0,00881 +0,09722‡  +0,06063 6  0,0968  200  +0,02778 +65604940,93 2361777873,51 ‐0,00881   +0,01897 7  0,1234  300  +0,30556 +2399620963,36 7853304971,00 ‐0,00881 ‐0,13268=  +0,16407 8  0,1098  450  ‐0,16667  ‐2096864105,78 12581184634,65 ‐0,00881   ‐0,17548         Σ 366533372,81 22862090804,47           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) 0,00881     Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 2 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s)  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,06177  ‐156904917,94 2540271135,77 ‐0,01128   ‐0,07305 4  0,1234  200  +0,25767 +1173109335,72 4552672205,36 ‐0,01128 ‐0,05572=  +0,19067 7  0,1234  300  ‐0,16407  ‐773797561,89 4716290188,53 ‐0,01128 ‐0,04154±  ‐0,21689         Σ 242406855,89 11809233529,66           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) 0,01128   II  1  0,1234  200  +0,18056 +614087396,29 3401051347,17 +0,05572    +0,23628 2  0,1586  100  ‐0,37500  ‐346390930,28 923715434,58 +0,05572    ‐0,31927 4  0,1234  200  ‐0,25767  ‐1173109335,72 4552672205,36 +0,05572  +0,01128‡  ‐0,19067 5  0,1762  100  ‐0,06063  ‐7569671,91 124844298,01 +0,05572  ‐0,04154±  ‐0,04645         Σ ‐912982541,63 9002283285,12           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,05572   III  5  0,1762  100  +0,06063 +7569671,91 124844298,01 +0,04154  ‐0,05572=  +0,04645 6  0,0968  200  +0,01897 +32767180,23 1727426294,85 +0,04154    +0,06051 7  0,1234  300  +0,16407 +773797561,89 4716290188,53 +0,04154  +0,01128 m   +0,21689 8  0,1098  450  ‐0,17548  ‐2302927589,41 13123914813,86 +0,04154    ‐0,13394         Σ ‐1488793175,37 19692475595,25           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,04154     Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 3 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s)  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,07305  ‐212911909,40 2914784422,95 +0,03637    ‐0,03668 4  0,1234  200  +0,19067 +678130226,18 3556511145,55 +0,03637  +0,00383 m   +0,23087 7  0,1234  300  ‐0,21689  ‐1285951161,56 5929122581,94 +0,03637  +0,00399‡  ‐0,17653         Σ ‐820732844,77 12400418150,44           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,03637   II  1  0,1234  200  +0,23628 +1001912310,20 4240331299,62 ‐0,00383   +0,23245 2  0,1586  100  ‐0,31927  ‐258471411,70 809559990,78 ‐0,00383   ‐0,32310 4  0,1234  200  ‐0,19067  ‐678130226,18 3556511145,55 ‐0,00383 ‐0,03637±  ‐0,23087 5  0,1762  100  ‐0,04645  ‐4660638,28 100338760,90 ‐0,00383 +0,00399‡  ‐0,04628         Σ 60650034,04 8706741196,84           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) 0,00383   III  5  0,1762  100  +0,04645 +4660638,28 100338760,90 ‐0,00399 +0,00383 m   +0,04628 6  0,0968  200  +0,06051 +270590087,41 4471941032,34 ‐0,00399   +0,05652 7  0,1234  300  +0,21689 +1285951161,56 5929122581,94 ‐0,00399 ‐0,03637=  +0,17653 8  0,1098  450  ‐0,13394  ‐1408506432,12 10516262826,32 ‐0,00399   ‐0,13793         Σ 152695455,12 21017665201,50           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) 0,00399      В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 57 ‐      Табела 4. Наставак (итерације 4, 5, 6)    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 4 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s)  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,03668  ‐60773343,58 1656869107,42 ‐0,00080   ‐0,03747 4  0,1234  200  +0,23087 +960512382,41 4160472778,57 ‐0,00080 ‐0,01523=  +0,21484 7  0,1234  300  ‐0,17653  ‐884069258,04 5008051992,38 ‐0,00080 ‐0,00979±  ‐0,18711         Σ 15669780,78 10825393878,37           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) 0,00080   II  1  0,1234  200  +0,23245 +972571072,16 4183925405,33 +0,01523    +0,24768 2  0,1586  100  ‐0,32310  ‐264138399,28 817509435,96 +0,01523    ‐0,30787 4  0,1234  200  ‐0,23087  ‐960512382,41 4160472778,57 +0,01523  +0,00080‡  ‐0,21484 5  0,1762  100  ‐0,04628  ‐4630657,49 100047435,64 +0,01523  ‐0,00979±  ‐0,04084         Σ ‐256710367,02 9261955055,50           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,01523   III  5  0,1762  100  +0,04628 +4630657,49 100047435,64 +0,00979  ‐0,01523=  +0,04084 6  0,0968  200  +0,05652 +238983305,00 4228550138,79 +0,00979    +0,06630 7  0,1234  300  +0,17653 +884069258,04 5008051992,38 +0,00979  +0,00080 m   +0,18711 8  0,1098  450  ‐0,13793  ‐1485840083,73 10772590274,43 +0,00979    ‐0,12814         Σ ‐358156863,20 20109239841,23           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,00979     Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 5 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s)  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,03747 ‐63192958,92 1686271573,58 +0,01029    ‐0,02718 4  0,1234  200  +0,21484 +842643381,13 3922155646,44 +0,01029  +0,00020 m   +0,22534 7  0,1234  300  ‐0,18711 ‐982876489,47 5252908146,02 +0,01029  +0,00018‡  ‐0,17664         Σ ‐203426067,26 10861335366,04           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,01029   II  1  0,1234  200  +0,24768 +1091638328,38 4407398651,96 ‐0,00020   +0,24748 2  0,1586  100  ‐0,30787  ‐241918905,01 785776481,38 ‐0,00020   ‐0,30807 4  0,1234  200  ‐0,21484  ‐842643381,13 3922155646,44 ‐0,00020 ‐0,01029±  ‐0,22534 5  0,1762  100  ‐0,04084  ‐3687712,68 90292799,06 ‐0,00020 +0,00018‡  ‐0,04087         Σ 3388329,57 9205623578,83           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) 0,00020   III  5  0,1762  100  +0,04084 +3687712,68 90292799,06 ‐0,00018 +0,00020 m   +0,04087 6  0,0968  200  +0,06630 +319589919,79 4820169591,41 ‐0,00018   +0,06612 7  0,1234  300  +0,18711 +982876489,47 5252908146,02 ‐0,00018 ‐0,01029=  +0,17664 8  0,1098  450  ‐0,12814  ‐1299579776,88 10141730707,20 ‐0,00018   ‐0,12832         Σ 6574345,05 20305101243,68           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) 0,00018     Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 6 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s)  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0.02718  ‐35230008,44 1295978861,40 +0,00007    ‐0,02712 4  0,1234  200  +0.22534 +919042145,53 4078559103,21 +0,00007  ‐0,00440=  +0,22100 7  0,1234  300  ‐0.17664  ‐885095711,68 5010670934,37 +0,00007  ‐0,00263±  ‐0,17920         Σ ‐1283574,59 10385208898,99           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,00007   II  1  0,1234  200  +0.24748 +1090016632,75 4404447492,23 +0,00440    +0,25188 2  0,1586  100  ‐0.30807  ‐242208204,99 786199712,38 +0,00440    ‐0,30368 4  0,1234  200  ‐0.22534  ‐919042145,53 4078559103,21 +0,00440  ‐0,00007±  ‐0,22100 5  0,1762  100  ‐0.04087  ‐3691713,06 90336916,50 +0,00440  ‐0,00263±  ‐0,03910         Σ ‐74925430,83 9359543224,33           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0,00440   III  5  0,1762  100  +0.04087 +3691713,06 90336916,50 +0,00263  ‐0,00440=  +0,03910 6  0,0968  200  +0.06612 +318030972,08 4809561766,64 +0,00263    +0,06875 7  0,1234  300  +0.17664 +885095711,68 5010670934,37 +0,00263  ‐0,00007=  +0,17920 8  0,1098  450  ‐0.12832  ‐1302865315,09 10153274719,11 +0,00263    ‐0,12569         Σ ‐96046918.27 20063844336.63           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐0.00263     ‐ 58 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Итерације између 7‐47 се изостављају у табели 4.    Табела 4. Наставак (итерације 48, 49, 50)    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 48 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0.02278 ‐25542360.07 1121186629.92 +1.03466·10‐14  4  0,1234  200  +0.22340 +904783952.67 4049927854.60 +1.03466·10‐14  ‐3.12233·10‐14= 7  0,1234  300  ‐0.17599 ‐879241592.60 4995711995.46 +1.03466·10‐14  ‐1.81163·10‐14±         Σ ‐0.00019145 10166826479.98           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐1.03466·10‐14   II  1  0,1234  200  +0.25381 +1141290908.84 4496616611.17 +3.12233·10‐14    2  0,1586  100  ‐0.30174 ‐233226923.30 772928441.67 +3.12233·10‐14    4  0,1234  200  ‐0.22340 ‐904783952.68 4049927854.60 +3.12233·10‐14  ‐1.03466·10‐14± 5  0,1762  100  ‐0.03829 ‐3280032.86 85650452.99 +3.12233·10‐14  ‐1.81163·10‐14±         Σ ‐0.00053445 9405123360.43           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐3.12233·10‐14   III  5  0,1762  100  +0.03829 +3280032.86 85650452.99 +1.81163·10‐14  ‐3.12233·10‐14= 6  0,0968  200  +0.06988 +351705304.19 5032673991.08 +1.81163·10‐14    7  0,1234  300  +0.17599 +879241592.61 4995711995.46 +1.81163·10‐14  ‐1.03466·10‐14= 8  0,1098  450  ‐0.12456 ‐1234226929.66 9908688954.50 +1.81163·10‐14            Σ ‐0.000660181 20022725394.03           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐1.81163·10‐14     Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 49 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0.02278 ‐25542360.07 1121186629.92 +2.13439·10‐14    4  0,1234  200  +0.22341 +904783952.68 4049927854.60 +2.13439·10‐14  ‐4.68147·10‐15= 7  0,1234  300  ‐0.17600 ‐879241592.61 4995711995.46 +2.13439·10‐14  ‐2.72823·10‐15±         Σ ‐0.00039494 10166826479.98           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐2.13439·10‐14   II  1  0,1234  200  +0.25381 +1141290908.84 4496616611.17 +4.68147·10‐15    2  0,1586  100  ‐0.30174 ‐233226923.30 772928441.67 +4.68147·10‐15    4  0,1234  200  ‐0.22341 ‐904783952.68 4049927854.60 +4.68147·10‐15  ‐2.13439·10‐14± 5  0,1762  100  ‐0.03830 ‐3280032.86 85650452.99 +4.68147·10‐15  ‐2.72823·10‐15±         Σ ‐0.00008013 9405123360.43           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐4.68147·10‐15   III  5  0,1762  100  +0.03830 +3280032.86 85650452.99 +2.72823·10‐15  ‐4.68147·10‐15= 6  0,0968  200  +0.06988 +351705304.19 5032673991.08 +2.72823·10‐15    7  0,1234  300  +0.17600 +879241592.61 4995711995.46 +2.72823·10‐15  ‐2.13439·10‐14= 8  0,1098  450  ‐0.12456 ‐1234226929.66 9908688954.50 +2.72823·10‐15            Σ ‐0.00009942 20022725394.03           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐2.72823·10‐15     Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 50 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|/1,82 ∆1 (m3/s)  ∆2 (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0.02278 ‐25542360.07 1121186629.92 +3.17614·10‐15    4  0,1234  200  +0.22341 +904783952.68 4049927854.60 +3.17614·10‐15  ‐9.21125·10‐15= 7  0,1234  300  ‐0.17600 ‐879241592.61 4995711995.46 +3.17614·10‐15  ‐5.31907·10‐15±         Σ ‐0.00005877 10166826479.98           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐3.17614·10‐15   II  1  0,1234  200  +0.25381 +1141290908.84 4496616611.17 +9.21125·10‐15    2  0,1586  100  ‐0.30174 ‐233226923.30 772928441.67 +9.21125·10‐15    4  0,1234  200  ‐0.22341 ‐904783952.68 4049927854.60 +9.21125·10‐15  ‐3.17614·10‐15± 5  0,1762  100  ‐0.03830 ‐3280032.86 85650452.99 +9.21125·10‐15  ‐5.31907·10‐15±         Σ ‐0.00015767 9405123360.43           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐9.21125·10‐15   III  5  0,1762  100  +0.03830 +3280032.86 85650452.99 +5.31907·10‐15  ‐9.21125·10‐15= 6  0,0968  200  +0.06988 +351705304.19 5032673991.08 +5.31907·10‐15    7  0,1234  300  +0.17600 +879241592.61 4995711995.46 +5.31907·10‐15  ‐3.17614·10‐15= 8  0,1098  450  ‐0.12456 ‐1234226929.66 9908688954.50 +5.31907·10‐15            Σ ‐0.00019383 20022725394.03           Δ=F(Q)/(1,82·|F’(Q)|) ‐5.31907·10‐15    В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 59 ‐    Гасоводна  мрежа  са  слике  27  није  ни  приближно  компликована  колико  дистрибутивне  мреже  у  градовима  могу  да  буду,  али  се  ни  после  шест  итерација  не  назире  крајње  решење. Мрежа се може сматрати уравнотеженом тек негде после педесете итерације, са  дистрибуцијом протока: Q1=913,72 m3/h, Q2=1086,28 m3/h, Q3=82,01 m3/h, Q4=804,27 m3/h,  Q5=‐137,86 m3/h, Q6=251,58 m3/h, Q7=633,60 m3/h, Q8=448,42 m3/h.  Знак  минус  (‐)  испред  бројчане вредности крајњег протока у цеви 5 значи да је смер протока у овој цеви обрнут  од првобитно претпостављеногi.  В.1.1 Одабир алгебарског знака за поправни проток    Треба напоменути да  су правила  за поправке протока потпуно истоветна  за оригинални  Харди Крос метод, модификовани Харди Крос метод, све варијанте метода В.Г. Лобачева  и М.М.  Андријашева. Истоветна  правила  важе и  за методу  чворова,  са  тиме да  то онда  нису  поправке  протока  већ  падова  притисака  код  водоводних мрежа,  односно  разлика  квадрата притисака на улазу и излазу из цеви код гасоводних мрежа.     Поправни проток за сваку контуру понаособ се може израчунати према  једначини  (137).  Овај  поправни  проток  се  алгебарски  додаје  са  супротним  знаком  на  проток  који  је  претходно  израчунат  у  претходној  итерацији.  За  сваку  контуру  понаособ  се  рачуна  поправни проток (137), с тим да цеви које су заједничке за две или више контура примају  две или више поправки протока истовремено. На почетку прорачуна се зна колико флуида  улази у мрежу, односно колико излази из мреже и то све сведено на чворове мреже. Прва  расподела протока по цевима се бира  тако да буде задовољен први Кирхофов  закон  за  чворове, док се итеративним поступком по Харди Кросу рачуна расподела протока за коју  ће бити задовољен и други Кирхофов закон (осим код методе чворова где је случај обрнут  што ће бити објашњено у поглављу В.2). Када је једна цев заједничка за две контуре она  прима поправни проток прорачунат за прву контуру којој припада и то тако да се на овај  поправни проток додаје  вредност  протока  кроз дату  цев  али  са  супротним  знаком.  Сам  знак протока у цеви зависи од претпостављеног смера обилажења контуре.     Поправни проток из суседне контуре се додаје на основу одређених правила, за које ће се  ради  лакшег  објашњења  дефинисати  појмови  као  нпр.  ‘доњи’  знак  и  ‘горњи’  знак.  Алгебарски знак за  сабирање поправног протока вишег реда  треба  да буде супротан од  доњег знака када је горњи знак исти као знак испред протока кроз дату цев у посматраној  итерацији,  односно  треба  да  буде  иста  као  доњи  знак  када  је  горњи  знак  супротан  од  знака испред протока кроз дату цев у посматраној итерацији.  Знак испред протока кроз  дату  цев  у  посматраној  итерацији  зависи  од  прве  претпостављене  расподеле  протока  и  замишљеног  смера  обиласка  контуре.  Наравно  у  каснијим  итерацијама  се  први  претпостављени смер протока у појединим цевима може и променити. Дакле уколико се  смер обиласка контуре и претпостављени смер протока флуида кроз цев поклопе, тада је  знак испред протока позитиван  (+), а у супротном  је  (‐).  Горњи знак плус  (+)  значи да се  смер протока у датој цеви поклапа са замишљеним смером обиласка суседне контуре, а                                                               i У прилогу се иста мрежа прорачунава као да је водоводна; пример 17  ‐ 60 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      ако не горњи знак је минус (‐). Доњи знак је алгебарски знак који стоји уз корекцију у оној  контури за коју је она првобитно била израчуната. Уколико се позитивни знак (+) замисли  као логичка јединица (1) а Буловој алгебри, а негативан знак (‐) као логичка нула (0), тада  се на основу таблица истинитости (Табела 5) могу констриусати виртуелна логичка кола за  одабир знака поправног протока из суседне контуре (Слика 5).    Табела 5. Комбинације за одабир алгебарског знака поправке из суседне контуре  Испред протокаa Q  Знакови иза поправке из суседне  контуреб  Изабрани  алгебарски знак  A Горњи знакв G  Доњи знакг D  0 (‐)  0 (‐)  0 (‐)  1 (+)  0 (‐)  0 (‐)  1 (+)  0 (‐)  0 (‐)  1 (+)  0 (‐)  0 (‐)  0 (‐)  1 (+)  1 (+)  1 (+)  1 (+)  0 (‐)  0 (‐)  0 (‐)  1 (+)  0 (‐)  1 (+)  1 (+)  1 (+)  1 (+)  0 (‐)  1 (+)  1 (+)  1 (+)  1 (+)  0 (‐)  a‐ Означава да ли се одабрани смер обиласка контуре поклапа са смером протока кроз цев   б‐ Корекција из контуре са којима посматрана контура дели заједничке цеви  в‐ Узима се у односу на одабрани смер обиласка суседне контуре и цеви која је заједничка  г‐ Узима се алгебарски знак поправке протока у контури са којом се дели заједничка цев      Слика 28. Могућа виртуелна логичка кола за одабир алгебарског знака поправке из суседне  контуре    Наравно да логичка кола приказана на слици 28 стварно не постоје, већ их треба схватити  као  добар  приказ  како  фунционишу  правила  за  одабир  алгебарског  знака  за  поправни   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 61 ‐    проток  из  суседне  контуре.  Да  би  се  схватила  комплексност  проблема  који може  да  се  јави  размотриће  се  случај  једне  просторне  цевоводне  мреже  за  дистрибуцију  гаса.  Наравно  оваква  мрежа  се  ретко  среће,  али  када  су  у  питању  вентилациони  системи  у  рудницима или у зградама, овакав тип мреже је уобичајен. Да се не би бавили отпорима  који се јављају у вентилационим мрежама што је ван теме ове дисертације, обрадићемо  овакав тип мреже као да је гасоводна мрежа.  В.1.2 О просторности мрежа за дистрибуцију флуида    Уобичајена  пракса  је  да  се  водоводна  или  гасоводна  мрежа  у  градовима  поставља  у  једној, приближно хоризонталној равни. Вентилациона мрежа у рудницима и стамбеним  зградама  насупрот,  обично  није  у  једној  равни.  Још  је  Харди  Крос  у  раду  из  1936.  разматрао  између  осталог  проток  флуида  у  цевоводним  мрежама  које  су  дате  у  више  равни, односно које су просторне. Да би се боље схватило шта је просторна мрежа дају се  примери на слици 29.    Слика 29. О просторности цевоводних мрежа за дистрибуцију флуида  На слици 29 у примеру А) се даје случај коцке која је несумњиво просторно геометријско  тело.  Међутим  са  аспекта  прорачуна  прстенасте  мреже  коцка  се  може  представити  у  једној равни увођењем еквивалентних пречника и дужина цеви. Односно боље речено, за  прорачун  протока  у  прстенастој  мрежи  представљеној  на  слици  29  А)  ниједна  цев  није  заједничка за више од две контуре. Сличан  је случај и са коцком која има дијагоналу на  једној  од  својих  страница  како  је  и  дато  на  слици  29  Б).  Најзад  увођење  просторне  дијагонале  доводи  до  тога  да  бар  једна  цев  буде  заједничка  за  три  контуре  чиме  се  у  прорачун уводи још један додатни поправни проток, односно постоји цев у мрежи која у  ‐ 62 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      једној итерацији истовремено прима три корекције протока као што је случај са мрежом  приказаном на слици 29 В).    На  слици 30  даје  се  случај  једне  гасоводне мреже прстенастог  типа  која има просторни  карактер.     Слика 30. Просторна гасоводна прстенаста мрежа  Цевоводна мрежа приказана на слици 30 има просторни карактер пошто се цеви 6 и 15  укрштају  без  спајања.  За  решавање  овако  постављене  цевоводне  мреже  потребно  је  поставити  једначине  за  пет  контура.  Прве  четири  контуре  се  одабирају  тако  што  се  фиктивно уклони једна од укрштених цеви, нпр. 15. Затим се уобичајено одаберу контуре  као и  код  тзв.  раванске мреже.  После овога  се  одабира  још  једна додатна  контура  која  обухвата и цев 15. Наравно фиктивно се може уклонити цев 6, па се у том случају додатна  пета контура бира тако да обухвати и цев 6. Последица која произилази из просторности  овакве  мреже  је  та  да  је  цев  12  заједничка  за  три  контуре,  и  то  за  контуру  II,  IV  и  V.  Потрошње гаса по чворовима као и количина гаса која улази у мрежу дата је у табели 6, а  расподела  првих  иницијалних  протока  у  табели  7.  Прорачун  мреже  са  слике  30  по  оригиналној Харди Крос методи се за прве две итерације даје у табели 8. Протоци за прву  расподелу  протока  у  мрежи  могу  да  се  одабирају  произвољно  али  уз  ограничење  да   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 63 ‐    морају  да  задовоље  први  Кирхофов  закон  или  се  могу  одабирати  помоћу  формулеj,  наравно стриктно се придржавајући ограничења према првом Кирхофовом закону.     Табела 6. Потрошња гаса по чворовима мреже са слике 30 и 31  а Чвор  m3/h  m3/s  I  60  1/60  II  2100  7/12  III  170  17/360  IV  90  1/40  V  200  1/18  VI  2500  25/36  VII  300  1/12  VIII  170  17/360  IX  850  17/72  X  280  7/90  XI  280  7/90  Чвор    б Улаз гаса у мрежу I  ‐7000  ‐1  17/18  a константа у прорачуну   б улаз у мрежу мора бити једнак збиру потрошњи по чворовима    Taбeла 7. Први претпостављени распоред протока a  Цев   Мрежа са слике 30  Мрежа са слике 31    m3/s  m3/h  m3/s  m3/h  1  1/18  200  1/36  100   2  5/72  250  1/12  300   3  17/30  2040  47/180  940  4  23/36  2300  5/9  2000  5  7/90  280  1/120  30  6  1/72  50  31/180  620  7  1/120  30  7/72  350  8  7/180  140  1/20  180  9  41/360  410  7/60  420  10  13/360  130  7/36  700  11  1/18  200  4/9  1600  12  1/12  300  1/12  300  13  1/36  100  5/12  1500  14  13/18  2600  1  1/9  4000  15  7/18  1400  5/72  250  a мора бити одабран тако да први Кирхофов закон буде задовољен у свакој итерацији за сваки чвор                                                                 j Нпр. израчунати проток Q из формуле што је у данашње време сувишно када се прорачун не ради ручно применог  спороконвергентних метода (видети слику 34 на којој је показано да је разлика у броју потребних итерација  занемарљива у случају да се примени формула изкоје се рачуна проток на основу пречника да буде усклађен са првим  Кирхофовим законом или ако се прва расподела протока одабере произвољно али тако да буде усклађена са првим  Кирхофовим законом)  ‐ 64 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Прорачун у табели 8 се даје за прве две итерације за иницијални распоред протока дат на  слици  30.  Два  различита  иницијална  распореда  протока  се  дају  да  би  се  показало  да  коначан  распоред  протока  не  зависи  од  ових  иницијалних  протока,  већ  само  од  карактеристика цеви, тј. пречника, дужина и храпавости цеви и наравно од потрошње по  чворовима. Прорачун за случај иницијалних протока са слике 31 неће се приказивати да  се  не  би  оптерећивао  текст,  али  је  он  урађен  и  коначни  резултати,  тј.  коначан  распед  протока је исти (табела 9), што је и логично јер су мреже са слика 30 и 31 потпуно исте.    Табела 8. Прорачун мреже са слике 30 по оригиналној Харди Крос методи за прве две итерације (итерација 1)  *  **  Du (m)  L  (m)  Итерација 1  Q (m3/s)  аQ (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|/1,82  бПоправни протоци Δ 1 (m3/s)  2 (m3/s)  3 (m3/s)  I  1  0.4064  100  +1/18   114959  2069265  +35/123  …  …  +251/738  2  0.3048  100  ‐5/72   ‐690438  9942302  +35/123  ‐6/619±  …  +91/443в 3  0.1524  100  ‐17/30   ‐889949040  1570498307  +35/123  +53/219‡  …  ‐31/773  4  0.3048  100  +23/36   39193885  61346951  +35/123  …  …  +193/209          ∑  ‐851330634  1643856824  123 35 164385682482,1 851330634 I −=⋅ −=∆          II  5  0.1524  100  +7/90   23969880  308184165  +6/619  …  …  +37/423  6  0.3048  200  ‐1/72   ‐73795  5313266  +6/619  +1/560‡  …  ‐1/415  11  0.1524  100  ‐1/18   ‐12993101  233875825  +6/619  ‐114/731Ŧ  …  ‐89/441  12  0.1524  100  ‐1/12   ‐27176838  326122050  +6/619  +53/219‡  ‐114/731Ŧ  +2/161в 2  0.3048  100  +5/72   690438  9942302  +6/619  ‐35/123=  …  ‐91/443в         ∑  ‐15583417  883437609  619 6 88343760982,1 15583417 II −=⋅ −=∆          III  7  0.1524  100  +1/120  411338  49360570  ‐1/560  …  ...  +4/611  8  0.1524  100  ‐7/180  ‐6788773  174568437  ‐1/560  …  ...  ‐29/713  9  0.3048  100  +41/360  1698792  14916225  ‐1/560  ‐114/731‡  ...  ‐31/707в 10  0.1524  100  +13/360  5932191  164276062  ‐1/560  ‐114/731‡  ...  ‐9/74в   6  0.3048  200  +1/72   73795  5313266  ‐1/560  ‐6/619=  ...  +1/415          ∑  1327344  408434560  560 1 40843456082,1 1327344 III =⋅=∆          IV  3  0.1524  100  +17/30   889949040  1570498307  ‐53/219  ‐35/123=  ...  +31/773  12  0.1524  100  +1/12   27176838  326122050  ‐53/219  ‐6/619=  +114/731Ŧ  ‐2/161в 13  0.1524  100  ‐1/36   ‐3679919  132477076  ‐53/219  …  ...  ‐242/897  14  0.4064  100  ‐13/18   ‐12243919  16953118  ‐53/219  …  ...  ‐647/671          ∑  901202040  2046050552  219 53 204605055282,1 901202040 IV =⋅=∆          V  15  0.1524  200  +7/18   897059511  2306724456  ‐114/731  …  ...  +157/674  9  0.3048  100  +41/360  1698792  14916225  ‐114/731  ‐1/560‡  ...  ‐31/707в 10  0.1524  100  +13/360  5932191  164276062  ‐114/731  ‐1/560‡  ...  ‐9/74в 11  0.1524  100  ‐1/18   ‐12993101  233875825  ‐114/731  +6/619=  ...  ‐89/441  12  0.1524  100  ‐1/12   ‐27176838  326122050  ‐114/731  +6/619=  +53/219‡  +2/161в         ∑  864520555  3045914618  731 114 30459146182,1 864520555 V =⋅=∆          Објашњења уз табелу 8:  *‐означава контуру,  **‐означава цев   а плус уколико се смер протока поклопи са замишљеним смером обиласка контуре  б Δ1 додаје се са супротним алгебарским знаком од прорачунатог, Δ2 и Δ3 се додају према правилима приказаним у  табели 5, односно према слици 28, в промена смера протока     В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 65 ‐    Табела 8. Наставак (итерација 2)  *  **  Du (m)  L (m)  Итерација 2  Q (m3/s)  аQ (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|/1,82  бПоправни протоци Δ  1 (m3/s)  2 (m3/s)  3 (m3/s)  I  1  0.4064  100  +251/738  +3109446  9142515  ‐15/104  ...  ...  +19/97   2  0.3048  100  +91/443d  +4969810  24193844  ‐15/104  ‐4/73=  ...  +5/782  3  0.1524  100  ‐31/773  ‐7179519  179025918  ‐15/104  ‐89/743±  ...  ‐59/194  4  0.3048  100  +193/209  +76628349  82981252  ‐15/104  ...  …  +60/77           ∑  +77528086  295343529  104 15 29534352982,1 77528086 I =⋅=∆          II  5  0.1524  100  +4/611  +29681838  339338041  +4/73  ...  ...  +34/239  6  0.3048  200  ‐29/713  ‐3048  1264179  +4/73  ‐27/539±  ...  +1/437в 11  0.1524  100  ‐31/707d  ‐135931274  673547932  +4/73  ‐13/392Ŧ  ...   ‐20/111  12  0.1524  100  ‐9/74d   +850253  68463750  +4/73  ‐89/743=  ‐13/392‡  ‐3/35d   2  0.3048  100  +1/415  ‐4969810  24193844  +4/73  +15/104‡  ...  ‐5/782          ∑  ‐110372041  1106807745  73 4 110680774582,1 110372041 II −=⋅ −=∆          III  7  0.1524  100  +4/611  +265211  40504396  +27/539  ...  ...  +29/512  8  0.1524  100  ‐29/713  ‐7366742  181114454  +27/539  ...  ...  +5/531в 9  0.3048  100  ‐31/707d  ‐299003  6819227  +27/539  ‐13/392 Ŧ  ...  ‐7/260  10  0.1524  100  ‐9/74d   ‐54081552  444658880  +27/539  ‐13/392 Ŧ  ...  ‐78/745  6  0.3048  200  +1/415  +3048  1264179  +27/539  ‐4/73=  ...  ‐1/437в          ∑  ‐61479037  674361136  539 27 67436113682,1 61479037 III −=⋅ −=∆          IV  3  0.1524  100  +31/773  +7179519  179025918  +89/743  +15/104 Ŧ  ...  +59/194  12  0.1524  100  ‐2/161d  ‐850253  68463750  +89/743  ‐4/73±  +13/392‡  +3/35в   13  0.1524  100  ‐242/897  ‐230553185  854570432  +89/743  ...  ...  ‐3/20   14  0.4064  100  ‐647/671  ‐20718132  21486648  +89/743  ...  ...  ‐38/45           ∑  ‐244942051  1123546748  743 89 112354674882,1 244942051 IV −=⋅ −=∆          V  15  0.1524  200  +157/674  +352954081  1515223735  ‐13/392  ...  ...  +177/886  9  0.3048  100  ‐31/707d  ‐299003  6819227  ‐13/392  +27/539=  ...  ‐7/260  10  0.1524  100  ‐9/74d  ‐54081552  444658880  ‐13/392  +27/539=  ...  ‐78/745  11  0.1524  100  ‐89/441  ‐135931274  673547932  ‐13/392  +4/73 =  ...  ‐20/111  12  0.1524  100  +2/161d  +850253  68463750  ‐13/392  +4/73 ±  ‐89/743=  ‐3/35в           ∑  +163492506  2708713524  392 13 270871352482,1 163492506 V =⋅=∆            Да  би  се  избегле  недоумице  око  алгебарског  сабирања  извршеног  у  табели  8,  дају  се  примери,   итерација 1:  контура I, цев 1: +1/18+35/123=+251/738  контура I, цев 2: ‐5/72+35/123‐6/619=+91/443 – промена смера протока  контура II, цев 12: ‐1/12+6/619++53/219‐‐114/731=+2/161 – промена смера протока  контура IV, цев 12: +1/12‐53/219‐6/619+114/731=‐2/161 – промена смера протока  итерација 2:  контура III, цев 10: ‐9/74+27/539‐13/392=‐78/745  контура I, цев 2: +91/443‐15/104‐4/73=+5/782  контура II, цев 12: +2/161+4/73‐89/743‐13/392=‐3/35 – промена смера протока  Провера првог Кирхофовог закона се врши у нпр. итерацији 2:  Чвор II, ‐7/12+193/209‐251/738=0, Чвор, ‐1/18‐2/161‐242/897‐89/441=0   ‐ 66 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација          Слика 31. Просторна гасоводна прстенаста мрежа са слике 33 само са различитим првим  иницијалним распоредом протока    Taбела 9. Крајње прорачунате вредности протока за мрежу са слика 30 и 31 (смерови обележени унутар цеви на  датим сликама)  Цев  Коначан проток аПровера брзине    Du (m)  m3/s  m3/h  m/s  1  0,4064  334/979  1228,19  0,66  2  0,3048  13/129  362,80  0,35  3  0,1524  82/539  547,68  2,08  4  0,3048  551/596  3328,19  3,17  5  0,1524  130/673  695,39  2,65  6  0,3048  1/71  50,73  0,05  7  0,1524  9/94  344,66  1,31  8  0,1524  18/371  174,66  0,66  9  0,3048  22/687  115,28  0,11  10  0,1524  28/255  395,28  1,50  11  0,1524  106/611  624,55  2,38  12  0,1524  17/235  260,43  0,99  13  0,1524  76/485  564,13  2,15  14  0,4064  223/262  3064,13  1,64  15  0,1524  7/45  560,05  2,13  а за притисак у мрежи 4·105 Pa abs.   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 67 ‐    У  овом примеру  су  намерно изабрани  велики  пречници цеви, што  показују  брзине  гаса  дате у табели 9, које би требало да имају вредности и преко 10 m/s. Овај проблем ће се у  даљем тексту разрешити оптимизацијом мреже (Пример 23 у прилогу).  В.1.3. Модификовани Харди Крос метод (Simultaneous contour equation solution)    Од  1936.  године  када  Харди  Крос  објавио  свој  рад  који  је  поставио  темеље  на  пољу  прорачуна  протока флуида  у  прстенастим мрежама морало  је  да  прође  преко  тридесет  година  до  појаве  унапређеног  метода.  Еп  и  Фовлер  (Epp‐Fowler  1970)  су  1970.  године  предложили знатно побољшану методу за чију примену је потребно увођење матричног  рачуна.  Основни  Харди  Крос  метод  (Cross  1936)  такође  може  бити  представљен  у  матричном облику.    Основни Харди Кросов метод из 1936. за гасоводну мрежу приказану на слици 27 може се  записати у матричној форми (142):     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆∂ −−∂ ∆∂ −−∂ ∆∂ −−∂ III II I III II I III 8765I II 5421I I 743I F F F x Q Q,Q,Q,QF 00 0 Q Q,Q,Q,QF 0 00 Q Q,Q,QF     (142)    Где  је  ΔI  поправни  проток  за  прву  контуру,  ΔII  поправни  проток  за  другу  контуру  и  ΔIII  поправни проток за трећу контуру. Резултати у првој и другој итерацији су за исте почетне  услове истоветни онима у табели 8.     Такође, основни Харди Кросов метод из 1936. за гасоводну мрежу приказану на слици 30  може бити записан у матричној форми (143):     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − − − 1m V 1m IV 1m III 1m II 1m I m V m IV m III m II m I V 1-m IV 1-m III 1-m II 1-m I 1-m F F F F F x ∆Q F 0000 0 ∆Q F 000 00 ∆Q F 00 000 ∆Q F 0 0000 ∆Q F V IV III II I           (143)    ‐ 68 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      У  претходном изразу  (m)  представља број итерације. Функција FI  за прву итерацију према  слици 30 (I се односи на контуру 1) се може написати као FI=Q1‐Q2‐Q3+Q4, а нпр. функција Fv  која одговара петој контури је Fv=Q9+Q10‐Q11‐Q12+Q15. Потпуно исти резултати се добијају као  и у случају када се не користи матрични рачун.    Мора се приметити да су матрице непогодне за тзв. ручне прорачуне тако да се матрични  рачун  уводи  тек  са  појавом  првих  озбиљнијих  рачунара.  Данас  се  врло  лако  може  оперисати  са  врло  великим  матрицама  у  стандардном  програму  MS  Excel  који  је  у  данашње  време  уобичајено  инсталиран  на  скоро  сваком  кућном  или  канцеларијском  рачунару.  Да  би  се  унела  матрица  у  MS  Excel  2007  (Enterprise  edition)  потребно  је  селектовати поља која треба да обухвати матрица, затим притиснути функцијски тастер F2  и затим заједно тастере CTRL+SHIFT+ENTER. На идентичан начин се добијају и матрице након  рачунских  операција.  Уколико  се  не  примени описани поступак  уместо целе матрице,  као  резултат  се  добија  само  први  члан  резултујуће матрице,  тј.  члан  који  се  налази  у  пресеку  прве  колоне и прве врсте матрице.  У  релацијама  (142  и 143)  се  примећује  да  су  у  првој  матрици,  тј.  матрици  извода  која  фигурише  у  оба  израза  сви  чланови  ван  главне  дијагонале  једнаки  нули.  У  модификованом  Харди  Крос  методу  при  којем  је  конвергенција  ка  равнотежном  стању  знатно  бржа  постоје  чланови  и  ван  главне  дијагонале који имају вредности различите од нулеk. Прва матрица, тј. матрица извода у  релацијама  (142  и  143)  је  квадратна,  тј.  има  исти  број  колона  и  врста.  Тако  се  нпр.  у  пресеку прве колоне и прве врсте уписује први извод функције прве контуре по протоку, у  другу извод функције друге контуре по протоку, итд. колико има контура. На основу овога  се  може  закључити  да  је  ова  матрица  симетрична  у  односу  на  главну  дијагоналу.  Код  модификованог  Харди  Крос  метода  ова  симетричност  је  такође  очувана.  Редови  у  матрици извода одговарају утицајима заједничких цеви које посматрана контура има са  другим контурама. Дакле, главну дијаголу чине чланови који чије су вредности исте као и  у оригиналном Харди Крос методу, тј. то су апсолутне вредности збирова извода функције  притиска за сваку цев у контури. Остали чланови су изводи функције притиска за сваку цев  из  суседних  контура  које  су  заједничке  са  предметном  контуром  узети  са  негативним  предзнаком  (ако  их  нема  онда  су  ти  чланови  једнаки  нули).  Матрица  извода  код  модификованог Харди Крос метода се уопштено може написати као (144):    ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∆∂ ∂− ∆∂ ∂−∂ ∂ =∇= OMM OMM LL LL 2 21II 1 21II 2 21I 1 21I ∆Q ,....,QQF Q ,....Q,QF Q ,...Q,QF ∆Q ,....,QQF QFQgradF         (144)    Модификовани Харди Крос метод има много бржу конвергенцију, у неким случајевима и  100  пута,  у  поређењу  са  оригиналним  Харди  Крос  методом.  Алгебарски  знак  испред                                                               k У прилогу дисертације, у примеру 18, даје се једна простија гасоводна мрежа на којој је вршено поређење  конвергенцијских особина оригиналног и модификованог Харди Крос метода   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 69 ‐    поправке протока добијене применом Харди Крос метода се одређује на исти начин као и  код  основног  Харди  Крос  метода  и  то  на  начин  који  је  и  описан  у  поглављу  В.1.1.  ове  дисертације.    Да би  се  успешно користио матрични рачун  за прорачун  гасоводних мрежа потребно  је  увести  елементе  теорије  графова  у  прорачун.  Математички  опис  просторне  мреже  са  слике 30 ће се обрадити као пример. Све контуре мреже се обилазе у смеру казаљке на  сату. Мрежа са слике 30 има X=15 грана, тј. цеви и Y=11 чворова. Мрежа са Y чворова има  Y‐1 независних чворова (у нашем случају 10), и X‐Y+1 независних контура (у нашем случају  5), што  је  уједно и  број  грана  у мрежи.  Један  чвор  се бира да  буде  референтни,  док  су  преостали независни. Број независних контура се утврђује тако што се сви чворови мреже  повежу поштујући предвиђену трасу цевовода и то тако да линија која их повезује нигде  не буде затворена. Ова линија се назива стаблом мреже и може бити одабрана на више  начина. У нашем примеру стабло чине нпр. цеви 13, 11, 10, 9, 15, 3, 4, 1, 5, 7. Остале цеви  су  гране мреже. Контура се  састоји од одређеног броја цеви које припадају  стаблу и од  једне гране.     Да  би  се  боље  схватио  концепт  одређивања  гасоводна  мрежа  ће  се  представити  графом  приказаним на слици 32 (на истој слици се дају и примери могућих стабала за  једну мању  гасоводну мрежу од 6 гранаl).   Слика 32. Стабло односно гране дистрибутивних мрежа (примери)  На слици 32 сложенија мрежа на десној страни има 5 независних контура пошто грана 6  прелази без спајања преко цеви 15 које припада стаблу.    Што  се  саме  прерасподеле  протока  тиче,  као  и  даљег  тога  прорачуна  нема  никакве  разлике  међу  цевима  које  су  фиктивно  одабране  да  буду  гране  мреже  и  оних  које  представљају тзв. стабло. Тако нпр. знатно већи проток може бити кроз цев која фиктивно  припада грани мреже него у оној која фиктивно припада стаблу мреже. Слична логика се  примењује и у минералогији када се одређује број страна и рогљева минерала (Ојлерова  теорема).                                                                l У прилогу, пример 19 видети математички опис ове простије мреже  ‐ 70 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      За мрежу са слике 32, може се за сваки чвор написати једначина одржања масе по првом  Кирхофовом закону (145):    nodes 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQQQ 0QQQQ 0QQQ outputXI11106 outputX109 outputIX1598 outputVIII87 outputVII765 outputVI1413 outputV131211 outputIV151232 outputIII521 outputII41 =−++− =−− =−+−− =−+ =−−+ =−+− =−++− =−−−+− =−−+ =−+− − − − − − − − − − −             (145)    Односно у матричном облику она гласи (146):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− − − − −−− − − − − − − − − − − − − outputXI outputX outputIX outputVIII outputVII outputVI outputV outputIV outputIII outputII 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q x 000011000100000 000001100000000 100000110000000 000000011000000 000000001110000 011000000000000 001110000000000 100100000000110 000000000010011 000000000001001      (146)    У  скупу  једначина  (145  и  146)  недостаје  једначина  за  први  чвор  који  је  изабран  да  буде  референтни. Овиме се не губи ниједна информација о мрежи, али се успоставља линеарна  независност међу редовима матрице чворова.     Све потребне информације о чворовима мреже су садржане како у једначини (145), тако и у  једначини  (146),  са  логичним  објашњењем  да  свака  цев  повезује  два  чвора,  чиме  се  недвосмислено зна да уколико је чвор на једном крају те цеви улазни за флуид, последично  је чвор на другој страни исте цеви излазни за флуид.    На пример, чвор XI може бити референтан, тако да се сад систем може написати као (147):   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 71 ‐    refnode node node node node node node node node node node 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQQQ XI X IX VIII VII VI V IV III II I outputXI11106 outputX109 outputIX1598 outputVIII87 outputVII765 outputVI1413 outputV131211 outputIV151232 outputIII521 outputII41 inputIoutputI1443 −⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ =−++− =−− =−+−− =−+ =−−+ =−+− =−++− =−−−+− =−−+ =−+− =+−−−− − − − − − − − − − − −−           (147)    Чвор  I  је  једини  улазни  чвор  у  мрежу  тако  да  он  има  и  улаз  (input). Матрична  једначина  еквивалентна једначини (147) се може написати у облику (148):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− − − − −−− − − −−− − − − − − − − − − −− outputX outputIX outputVIII outputVII outputVI outputV outputIV outputIII outputII inputIoutputI 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q x 000011000100000 000001100000000 100000110000000 000000001110000 011000000000000 001110000000000 100100000000110 000000000010011 000000000001001 010000000001100     (148)    У  матрици  (146  и  148)  редови  одговарају  чворовима,  а  колоне  цевима.  Уколико  цев  није  спојена  са  посматраним  чвором  на њеном месту  у  матрици  стоји  нула  (0),  а  уколико  цев  припада чвору и уколико флуид излази посредством те цеви из чвора тада на том месту стоји  јединица  са  негативним  предзнаком  (‐1),  док  уколико  цев  доводи  флуид  у  чвор  стоји  јединица са позитивним предзнаком (+1).    Једначине  чворова  су  истоветне  за  дату  мрежу  било  да  се  цевима  дистрибуира  вода,  природни гас или нпр. ваздух у вентилационим системима. Једначине чворова не фигуришу  у самом Харди Крос методу, било основном или модификованом, пошто се он заснива на  решавању једначина контура. Овде једначине чворова имају само контролну улогу и служе  за проверу да ли је увек задовољен услов по првом Кирхофовом закону за сваки чвор.    ‐ 72 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      За  сваку  контуру  се  слично  може  написати  једначина  одржања  енергије  према  другом  Кирхофовом закону (149):    contours F F F F F 0 D QL D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~p~ 0 D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~ 0 D QL D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~p~ 0 D QL D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~p~ 0 D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~ 5 4 3 2 1 82,4 15 82,1 1515 82,4 12 82,1 1212 82,4 11 82,1 1111 82,4 10 82,1 1010 82,4 9 82,1 99 r 2 15 2 12 2 11 2 10 2 9 82,4 14 82,1 1414 82,4 13 82,1 1313 82,4 12 82,1 1212 82,4 3 82,1 33 r 2 14 2 13 2 12 2 3 82,4 10 82,1 1010 82,4 9 82,1 99 82,4 8 82,1 88 82,4 7 82,1 77 82,4 6 82,1 66 r 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 82,4 12 82,1 1212 82,4 11 82,1 1111 82,4 6 82,1 66 82,4 5 82,1 55 82,4 2 82,1 22 r 2 12 2 11 2 6 2 5 2 2 82,4 4 82,1 44 82,4 3 82,1 33 82,4 2 82,1 22 82,4 1 82,1 11 r 2 4 2 3 2 2 2 1 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−⋅−⋅+⋅ρ⋅= =∆+∆−∆−∆+∆ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅−⋅−⋅+⋅ρ⋅= =∆−∆−∆+∆ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅+⋅−⋅−⋅ρ⋅= =∆+∆+∆−∆+∆ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−⋅−⋅+⋅ρ⋅= =∆+∆−∆−∆+∆ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−⋅−⋅ρ⋅= =∆+∆−∆−∆     (149)    Претходне једначине се могу написати у матричном облику као (150):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ≈ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− − −−− −− 0 0 0 0 0 p~ p~ p~ p~ x 100111100000000 011100000000100 000001111100000 000110000110010 000000000001111 2 15 2 3 2 2 2 1 M        (150)    Где  је  2i2u ppp~ −=∆ ,  односно  разлика  квадрата  улазног  и  излазног  притиска.  У  случају  дистрибуције  воде  уместо  гаса,  једначина  (149)  је  нешто другачија  и  то  само  са  гледишта  хидрауличких отпора (151) што је детаљно обрађивано у поглављу Б ове дисертације:    contours F F F F F 0 D QL D QL D QL D QL D QL8 ppppp 0 D QL D QL D QL D QL8 pppp 0 D QL D QL D QL D QL D QL8 ppppp 0 D QL D QL D QL D QL D QL8 ppppp 0 D QL D QL D QL D QL8 pppp V IV III II I 5 15 2 151515 5 12 2 121212 5 11 2 111111 5 10 2 101010 5 9 2 999 2 151211109 5 14 2 141414 5 13 2 131313 5 12 2 121212 5 3 2 333 2 1413123 5 10 2 101010 5 9 2 999 5 8 2 888 5 7 2 777 5 6 2 666 2 109876 5 12 2 121212 5 11 2 111111 5 6 2 666 5 5 2 555 5 2 2 222 2 1211652 5 3 2 333 5 3 2 333 5 2 2 222 5 1 2 111 2 4321 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ⋅π ρ⋅= =∆+∆−∆−∆+∆ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ⋅π ρ⋅= =∆−∆−∆+∆ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ⋅π ρ⋅= =∆+∆+∆−∆+∆ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ⋅π ρ⋅= =∆+∆−∆−∆+∆ ≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ⋅π ρ⋅= =∆+∆−∆−∆       (151)     В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 73 ‐    Слично  као  и  код  матрица  чворова,  код  матрица  контура  редови  одговарају  одређеној  контури, док колоне одговарају цевима. Овде је битан усвојени смер обиласка контуре, тако  да уколико се смер протока флуида у цеви поклопи са смером обиласка контуре на њеном  месту  стоји  јединица  са  позитивним предзаком  (+1)  и  обрнуто,  а  уколико цев не  припада  датој контури стоји нула (0). Изрази (149‐151) су једнаки нули тек на крају прорачуна када је  мрежа уравнотежена. Одговарајућа матрична  једначина  (150)  на  крају прорачуна даје  тзв.  колона матрицу са свим члановима којих има колико и независних контура мреже и који су  приближно једнаки нули са унапред задатом толеранцијом.     Прва  матрица  из  израза  (148),  односно  матрица  чворова,  матрично  помножена  са  транспонованом  матрицом  контура,  тј.  транспонованом  првом  матрицом  из  израза  (150)  даје  матрицу  чији  су  сви  чланови  нуле,  што  је  и  показатељ  да  не  постоји  грешка  у  математичком опису мреже.    Матрица контура, тј. петљи, прва матрица у изразу (150) као и редуковане матрице чворова,  тј  прве  матрице  у  изразима  (146  и  148),  се  не  користе  директно  приликом  прорачуна  модификованим  Харди  Крос  методом.  Описане  матричне  релације  приликом  прорачуна  Харди  Крос  методом  имају  контролну  улогу,  тј.  могу  се  користити  за  проверу  да  током  итеративног поступка не дође до грешке. Једначина (150) се може користити као критеријум  за прекид итеративног поступка.    За сам прорачун расподеле протока флуида према модификованом Харди Крос методу кроз  гране мреже приказане на слици 30, користи се следећи израз (152):    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − − − 1m V 1m IV 1m III 1m II 1m I m V m IV m III m II m I V 1-m IV 1-m III 1-m II 1-m I 1-m V 1-m IV 1-m III 1-m II 1-m I 1-m V 1-m IV 1-m III 1-m II 1-m I 1-m V 1-m IV 1-m III 1-m II 1-m I 1-m V 1-m IV 1-m III 1-m II 1-m I 1-m F F F F F x ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F VVVVV IVIVIVIVIV IIIIIIIIIIIIIII IIIIIIIIII IIIII       (152)    Чланови ван главне дијагонале у првој матрици у изразу (152) се односе на суседне цеви које  су граничне за две контуре (или више у просторним мрежама какву овде и разматрамо). Ова  матрица је увек симетрична у односу на главну дијагоналу, тј. важи (153):    ‐ 74 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ IV 1-m V 1-m II 1-m III 1-m I 1-m III 1-m I 1-m II 1-m ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F ∆Q F VIV IIIII IIII III M                     (153)    У конкретном примеру за мрежу са слике 30, овај израз се може написати као (154):    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − − − 1m V 1m IV 1m III 1m II 1m I m V m IV m III m II m I V 151211109V IV 12V III 109,V II 1211,V V 12IV IV 1413123IV II 12IV I 3IV V 109,III III 109876III II 6III V 1211,II IV 12II III 6II II 1211652II I 2II IV 3I II 2I I 4321I F F F F F x ∆Q Q,Q,Q,Q,QF ∆Q Q-F ∆Q QQF ∆Q QQF 0 ∆Q Q-F ∆Q Q,Q,Q,QF0 ∆Q Q-F ∆Q Q-F ∆Q QQF 0 ∆Q Q,Q,Q,Q,QF ∆Q Q-F0 ∆Q QQF ∆Q Q-F ∆Q Q-F ∆Q Q,Q,Q,Q,QF ∆Q Q-F 0 ∆Q Q-F0 ∆Q Q-F ∆Q Q,Q,Q,QF   (154)    где је (155):    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 151211109V 1413123IV 109876III 1211652II 4321I 1m V 1m IV 1m III 1m II 1m I Q,Q,Q,Q,QF Q,Q,Q,QF Q,Q,Q,Q,QF Q,Q,Q,Q,QF Q,Q,Q,QF F F F F F                 (155)    Односно у првој итерацији нумерички подаци за прву матрицу у нашем случају су (156):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ 3045914618179187940-1791922875599978750 179187940-20460505520326122050-1570498307- 17919228704084345605313266-0 559997875326122050-5313266-8834376099942302- 01570498307-09942302-1643856824 82.1         (156)    Модификовани  Харди  Крос  метод  показује  знатно  брже  конвергенционе  особине  од  основне  варијанте,  с  тиме  да  код  просторних  мрежа  нису  сви  чланови  ван  главне  дијагонале негативни. Ово  је отежавајућа чињеница  јер врло лако може да се погреши.  Тако  нпр.  позитивни  чланови  из  матрице  (156)  се  добијају  на  следећи  начин  (видети  Табелу 8;  итерација 1,  пошто  су  улазни  подаци  за  прву итерацију  исти  за  обе  варијанте  Харди Крос метода):  559997875 = 233875825 + 326122050 (односи се на цеви 11 и 12)  179192287 = 14916225 + 164276062 (односи се на цеви 9 и 10)   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 75 ‐    Разлог је што поједине цеви нису граничне само за две контуре, већ неке и за три као нпр.  цев 12. Исто тако истовремено се узима поправка у цевима 11 и 12 из контура 2 и 5, и у  цевима 9 и 10 из контура 3 и 5 које су истосмерно оријентисане и које се описују са истих  страна цеви.    Пошто  се  после  израчунавања  поправки  у  свакој  итерацији  за  сваку  контуру  понаособ  даљи поступак уопште не разликује у поређењу са основним Харди Кросовим методом, то  се  детаљан  прорачун  неће  приказивати  табеларно  (као  што  је  у  табели  8  урађено  за  основни Харди Крос метод). Поређење конвергенције се даје на сликама 33 и 34.    Слика 33. Поређење конвергенционих особина основног и модификованог Харди Крос метода за разматрану  просторну мрежу (поправни протоци)  ‐ 76 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Слика 34. Поређење конвергенционих особина основног и модификованог Харди Крос метода за разматрану  просторну мрежу (еквивалентни притисци, тј. псеудо‐падови притисака)  В.1.4. Варијације Харди Крос метода; метод М.М. Андријашева    Метод М.М. Андријашева представља у суштину  једну варијанту Харди Кросове методе.  Он  може  бити  у  основном  или  у  модификованом  облику,  исто  као  што  је  случај  и  код  Харди  Крос  метода.  Једина  разлика  између  Харди  Крос  метода  и  метода  М.М.  Андријашева је у томе што се код овог другог контура састоји од више петљи. Метод М.М.  Андријашева  и  то  варијанта  коју  овде  називамо  основном,  се  користио  веома  често  у  Русији за време Совјетске ере. Када се израчуна поправни проток, алгебарско сабирање се  врши као што је случај и код Харди Крос методе (дато у поглављу В.1.1).    За  гасоводну  мрежу  приказану  на  слици  35  ће  се  прорачунати  стационарни  распоред  протока  по  цевима  мреже  модификованом  методом  М.М.  Андријашева  (прорачунати  расподелу протока по цевима мреже за познате пречнике). Изабране контуре се дају на  слици 35 (доњи десни угао; римски бројеви са апострофима).    У случају методе М.М. Андријашева више цеви  је заједничко за више контура. Овиме се  донекле  може  очекивати  брже  уравнотежење  мреже  у  пракси.  Међутим  ово  најчешће  није случај. Метод је сложенији од Харди Кросовог, тако да се лакше може погрешити, а  не  убрзава  конвергенцију  у  итеративном  поступку.  Контура  I’  почиње  од  нпр.  чвора  I  преко цеви 4, 5. 6, 8, 3, контура II’ почиње од нпр. референтног чвора преко цеви 1, 6, 8, 7,  4, 2, и контура III’ почиње такође у референтном чвору и иде преко цеви 1, 5, 7, 3, 2.    В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 77 ‐    Слика 35. Шема гасоводне, односно водоводне мреже прилагођене за прорачун методом М.М. Андријашева   Прорачун се одвија преко једначине (157):    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆∂ −−−∂ ∆∂ −∂ ∆∂ −∂ ∆∂ −∂ ∆∂ −−−∂ ∆∂ −∂ ∆∂ −∂ ∆∂ −∂ ∆∂ −−−∂ − 'III 'II 'I 'III 'II 'I III 75321III II 721III I 53III III 721II II 876421II I 864II III 53I II 864I I 86543I F F F x Q Q,Q,Q,Q,QF Q Q,Q,QF Q Q,QF Q Q,Q,QF Q Q,Q,Q,Q,Q,QF Q Q,Q,QF Q Q,QF Q Q,Q,QF Q Q,Q,Q,Q,QF   (157)    Овде треба бити врло опрезан. Код метода М.М. Андријашева је прва матрица у претходној  једначини симетрична као и код модификованог Харди Крос метода. Међутим чланови ван  главне  дијагонале  нису  увек  негативни  (158)  што  је  увек  случај  када  се  модификованом  Харди  Крос  методом  прорачунава  распоред  протока  по  цевима  мреже  ако  је  у  питању  мрежа која је постављена у једној равни.    ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ .7404002518358643- .5768401492371894 .6884003277663792- x 836379348864166255733-31171997760 4166255733-8529497657432586239214 311719977603258623921444048956589 'III 'II 'I       (158)    На пример члан у првом реду и другој колони, односно у другом реду и првој колони се  рачуна на следећи начин: 25862392143=4298435730+22897756035‐1333799622.    У првој итерацији се на основу израза (158) добија вектор поправки:   [ΔI’, ΔII’, ΔIII’]T=[‐0.136692092, 0.09381301, ‐0.014444497]T    Детаљан прорачун за прву итерацију се даје у табели 10.      ‐ 78 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Taбела 10. Прорачун мреже са слике 35 по методи М.М. Андријашева    Итерација 1  Контура  цев  Q  F= 2221 pp −   F’= ( )( )( )Q Qpp 2 2 2 1 ∂ −∂   Δ1  Δ2  Q1  I’  6  +0,027  65604940 4298435730 +0,136 ‐0,093‡  +0,070  8  ‐0,166  ‐2096864105 22897756035 +0,136 ‐0,093 m   ‐0,123  3  ‐0,194  ‐1264933339 11839776055 +0,136 +0,014=  ‐0,043  4  +0,027  20357137 1333799622 +0,136 +0,093 m   +0,258  5  ‐0,027  ‐1828425 119798452 +0,136 ‐0,014 ±   +0,094      Σ  ‐3277663792 40489565894       II’  6  +0,027  65604940 4298435730 ‐0,093  +0,136 ±   +0,070  8  ‐0,166  ‐2096864105 22897756035 ‐0,093  +0,136=  ‐0,123  7  +0,305  2399620963 14293015047 ‐0,093  ‐0,014=  +0,197  4  ‐0,027  ‐20357137 1333799622 ‐0,093  ‐0,136 ±   ‐0,258  2  ‐0,277  ‐200615476 1314432601 ‐0,093  +0,014=  ‐0,357  1  +0,277  1344982709 8812326713 ‐0,093  +0,014 ±   +0,198      Σ  1492371894 52949765748       III’  1  +0,277  1344982709 8812326713 +0,014 ‐0,093‡  +0,198  5  +0,027  1828425 119798452,1 +0,014 ‐0,136=  ‐0,094  7  ‐0,305  ‐2399620963 14293015047 +0,014 +0,093‡  ‐0,197  3  ‐0,194  ‐1264933339 11839776055 +0,014 +0,136=  ‐0,043  2  ‐0,277  ‐200615476 1314432601 +0,014 ‐0,093 m   ‐0,357      Σ  ‐2518358643 36379348868       В.2. Метод чворова (The Node Method)    За методу чворова важе иста алгебарска правила за алгебарско сабирање поправки дата у  поглављу  В.1.1,  са  тиме  да  то  сада  нису  поправке  протока  већ  падова  притисака  код  водоводних мрежа, односно разлика квадрата притисака код гасоводних мрежа.     За разлику од свих осталих метода који  су обрађивани у дисертацији, метод чворова се  једини заснива на решењу једначина чворова. Сви остали методи описани у дисертацији  се заснивају на решењу једначина контура.    Метод  чворова  је  први  пут  у  инжењерску  праксу  уведен  1968.  године  (Shamir‐Howard  1968). Првобитна верзија овога метода је концептуално врло слична основном Харди Крос  методу из 1936. године. Овиме је практично начињен први корак ка развоју нових метода  за пројектовање цевоводних прстенастих мрежа. Идеја  је  слична Харди Кросовој  с  тиме  да  се  уместо  протока  по  цевима  претпостављају  падови  притисака  код  водоводних  мрежа,  односно  разлике  квадрата  притисака  код  гасоводних  мрежа.  Ови  алгебарски  збирови  падова  притисака  код  водоводних  мрежа,  односно  квадрата  разлике  падова   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 79 ‐    притисака код гасоводних мрежа морају да се одаберу тако да задовоље други Кирхофов  закон за сваку контуру. Даље се за разлику од Харди Кросове методе код које се налазе  поправке  протока,  у  случају  методе  чворова  налазе  поправке  падова  притисака,  тј.  разлике  квадрата  притисака  на  улазу  и  излазу  цеви  код  гасоводних  мрежа.  У  свакој  итерацији мора супротно од Харди Кросове методе да буде задовољен услов по другом  Кирхофовом закону,  док  услов по првом бива  задовољен  са  унапред задатом  тачношћу  тек  на  крају  прорачуна.  Да  би  прорачун  могао  да  отпочне,  након  претпоставки  падова  притисака,  тј.  разлике  квадрата  притисака  на  улазу  и  излазу  цеви,  потребно  је  полазне  једначине  које  су,  за  све  методе  досад  приказане  у  овој  дисертацији,  биле  у  облику  Δp=f(Q)  када  су  у  питању  водоводне  мреже,  односно  у  облику  ( ) ( )Qfpp 2221 =−∆   када  су  у  питању  гасоводи,  трансформисати  у  облик  Q=f(Δp),  тј.  у  ( )2221 ppfQ −= .  Односно  укратко  речено у свим једначинама треба експлицитно изразити проток Q. Тако нпр. за гасоводне  мреже Реноарова једначина гласи (159):    ( ) 82.1 1 r 82.4 in 2 2 2 1 L4810 DppQ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ρ⋅⋅ ⋅−=                   (159)    До  сада  се  Реноарова  једначина  уобичајено  користила  у  облику  (109).  Још  простије  је  трансформисати Дарси‐Вајсбахову  једначина  када  су  у  питању  водоводи  пошто  је  у њој  чисто квадратна зависност протока према паду притисака (160):    ( ) ρ⋅⋅λ⋅ π⋅⋅−= L8 DppQ 25 u21                    (160)    Претходна  једначина  је  у другачијем облику већ дата  (3).  У даљем поступку  се рачунају  поправке падова притисака, односно разлике квадрата притисака на улазу и излазу цеви  за сваки чвор (161):     ( ) ( )( ) ( )22212221 2 2 2 1 pp/ppQ ppfQ 'F F −∆∂−∂ −===∆                 (161)    У време кад је почео да се примењује метод чворова још није био уведен модификовани  Харди Крос метод. У овој дисертацији ће метод чворова бити прилагођен по принципима  модификованог Харди Крос метода чиме ће му се значајно убрзати конвергенција. Треба  приметити  да метод  чворова  показује  нешто  слабију  брзину  конвергенције  у  односу  на  све  досада  приказане  методе.  Међутим  пошто  се  код  свих  осталих  претпостављају  почетни протоци који се за сваку методу ради поређења бирају да буду исти, код метода  чворова  се бирају падови притисака,  односно разлика квадрата притисака на крају и на  почетку  цеви  тако  да  почетни  услови  нису  једнаки  што  значи  да  је  поређење  само  делимично могуће.  ‐ 80 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Већ познату гасоводну мрежу приказану на слици 36 потребно је режити модификованом  методом  чворова  тј.  потребно  је  прорачунати  расподелу  протока  по  цевима  мреже  за  познате пречнике.   Слика 36. Шема гасоводне мреже прилагођене за прорачун модификованом методом чворова Свакој  цеви  у  мрежи  са  слике  36  придружује  се  разлика  квадрата  притисака,  тако  да  њихов  алгебарски  збир  према  другом  Кирхофовом  закону  буде  једнак  нули.  Нпр.  за  контуру I разлика квадрата пада притиска у цеви 3 се претпоставља да је 0,25·1010 Ра2, за  цев  4  се  претпоставља  0,5·1010  Ра2  и  за  цев  7  да  је  0,75·1010  Ра2.  Ове  вредности  су  одабране тако да задовољавају услов по другом Кирхофовом закону, односно:  За контуру I: 0,75·1010‐0,5·1010‐0,25·1010=0  За контуру II: 0,5·1010‐0,5·1010‐0,25·1010+0,25·1010=0  За контуру III: 0,5·1010‐0,75·1010+0,75·1010‐0,5·1010=0    Даље се на основу ових претпоставки рачуна проток у цевима; нпр:    за цев 1:  ( ) s m3905,0 64,02004810 1234,01025.0 L4810 DppQ 382.1 1 82.41082.1 1 r 82.4 in 2 2 2 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅ ⋅⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ρ⋅⋅ ⋅−=   за цев 2:  ( ) s m1108,1 64,01004810 1586,01025.0 L4810 DppQ 382.1 1 82.41082.1 1 r 82.4 in 2 2 2 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅ ⋅⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ρ⋅⋅ ⋅−=   за цев 3:  ( ) s m2827,0 64,03604810 1234,01025.0 L4810 DppQ 382.1 1 82.41082.1 1 r 82.4 in 2 2 2 1 =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅ ⋅⋅=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ρ⋅⋅ ⋅−=   итд.    Овако израчунати протоци не  задовољавају  услов  за чворове према првом Кирхофовом  закону,  тако да  се  корекција  разлике  квадрата  притисака  рачуна  према  једначини  (161)  када је у питању основна замисао као и код основног Харди Крос метода. Кад је у питању  модификована верзија методе чворова,  тада се еквивалентно као и код модификованог  Харди Крос метода примењује матрична једначина (162):   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 81 ‐      ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ 60,44172250 52,28050310- 92,93023343 80,91216613- 20,76652605 p~ p~ p~ p~ p~ x 105.76114103.30-0102.46-0 103.30-103.54921102.36-00 0102.3608-103.40752104.18688-106.28- 102.46-0104.19-101.286106.21372- 00106.28-106.21-103.69087 5 4 3 2 1 111111 1110-10- 10-10-1111 111110-11 1111-10   (162)    Главна  дијагонала  одговара  чворовима  мреже,  с  тим  да  се  један  чвор  као  референтни  изоставља  из  прорачуна  како  би  се  обезбедила  линеарна  независност  између  редова  у  матрици.  Тако  да,  у  првој  матрици  у  изразу  (162),  члан  у  првом  реду  и  првој  колони  одговара  првом  чвору,  у  другом  реду  и  другој  колони  другом  чвору,  итд,  а  све  према  аналогији са модификованим Харди Крос методом.     Taбела 11. Прорачун мреже са слике 41 по модификованој методи чворова    Итеарција 1  Чвор  Цев  22 2 1 pp −   aF=Q  bF’  cΔp1  dΔp2  ( )12221 pp −   1  2  +0,25·1010  1,1108 2,44·10‐10  ‐3,61·109    ‐1,11·109 3  +0,25·1010  0,2827 6,21·10‐11  ‐3,61·109  ‐6,99·108=  ‐1,81·109 4  ‐0,50·1010  ‐0,5715 6,28·10‐11  ‐3,61·109  +9,70·109‡  1,09·109 Константан излаз, проток  ‐0,0555         Σ  0,7665 3,69·10‐10        2  3  ‐0,25·1010  ‐0,2827 6,21·10‐11  +6,99·108  +3,61·109‡  1,81·109 7  ‐0,75·1010  ‐0,5715 4,19·10‐11  +6,99·108  +9,70·109‡  2,90·109 8  ‐0,75·1010  ‐0,3357 2,46·10‐11  +6,99·108  +7,80·109‡  9,99·108 Константан улаз, проток  0,2777         Σ  ‐0,9121 1,28·10‐10        3  4  +0,50·1010  0,5715 6,28·10‐11  ‐9,70·109  +3,61·109 m   ‐1,09·109 5  +0,50·1010  2,1483 2,36·10‐10  ‐9,70·109  +7,52·108 m   ‐3,95·109 7  +0,75·1010  0,5715 4,19·10‐11  ‐9,70·109  ‐6,99·108=  ‐2,90·109 Константан излаз, проток  ‐0,3611             Σ  2,9302 3,40·10‐10        4  1  +0,25·1010  0,3905 8,58·10‐11  ‐7,52·108    1,75·109 5  ‐0,50·1010  ‐2,1483 2,36·10‐10  ‐7,52·108  +9,70·109‡  3,95·109 6  ‐0,50·1010  ‐0,3004 3,30·10‐11  ‐7,52·108  +7,80·109‡  2,05·109 Константан излаз, проток  ‐0,2222             Σ  ‐2,2805 3,54·10‐10        5  6  0,50·1010  0,3004 3,30·10‐11  ‐7,80·109  +7,52·108 m   ‐2,05·109 8  0,75·1010  0,3357 2,46·10‐11  ‐7,80·109  ‐6,99·108=  ‐9,99·108 Константан излаз, проток  ‐0,1944             Σ  0,4417 5,76·10‐11          ‐ 82 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Јасно је да се изостављањем чвора који је на слици 36 обележен као референтни ништа не  губи, цеви 1 и 2 које су спојене са референтним чвором, спојене су и са чворовима  IV и I  респективно, тако да се преко тих чворова добијају рачунски протоци кроз те цеви. Прва  матрица  у  изразу  (162)  је  симетрична  у  односу  на  главну  дијагоналу.  Остали  чланови  у  истој  колони  и  реду  представљају  чворове  који  су  директно  цевима  повезане  са  разматраним чвором. Тако нпр. чвор I је повезан са чворовима II и III, итд., до чвора V који  је повезан са чворовима II и IV.    За алгебарско сабирање поправки се примењују исти принципи као и код Харди Кросовог  метода,  док  се  код модификоване методе  чворова  поправке  рачунају  према матричној  једначини (163):    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − − − 1m V 1m IV 1m III 1m II 1m I m V m IV m III m II m I 5 86V 4 6V 2 8,VI 5 6IV 4 651IV 3 5IV 4 5III 3 756III 2 7III 1 3III 5 8,II 3 7II 2 873II 1 3II 3 3I 2 3I 1 431I F F F F F x ∆C Q,CF ∆C C-F 0 ∆C C-F 0 ∆C C-F ∆C C,C,CF ∆C C-F 00 0 ∆C C-F ∆C C,C,CF ∆Q Q-F ∆C C-F ∆C C-F 0 ∆C C-F ∆C C,C,CF ∆C C-F 00 ∆C C-F ∆C C-F C C,C,CF     (163)    Матрична једначина (163) се односи на мрежу са слике 36 где је са С обележена разлика  квадрата притисака на почетку и крају цеви. Прва матрица из израза (163) је симетрична у  односу на главну дијагоналу, и то тако да важи (164):    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂=∂ ∂ 5 6IV 4 6V 3 7II 2 7III 3 3I 1 3III 2 3I 1 3II ∆C C-F ∆C C-F ∆C C-F ∆C C-F ∆C C-F ∆C C-F ∆C C-F ∆C C-F M                     (164)    В.3. Обједињени метод чворова и петљи (The Node‐Loop Method)    Метод  чворова  и  петљи  су  први  у  праксу  пројектовања  водовода  увели  Вуд  и  Чарлс  (Wood‐Charles 1972). Вуд и Рејес су касније 1981.  године исти метод унапредили  (Wood‐ Rayes 1981). У овој дисертацији се износи нови метод који обједињује чворове и петље,  тако  да  су  наведени  радови  послужили  само  као  основна  идеја.  Све  методе  које  су  претходно  приказане  у  овој  дисертацији  се  суштински  своде  на  Харди  Кросову  методу  пошто  се  у  свакој  прво  израчунава  тзв.  поправка  која  се  затим  алгебарски  сабира  са  величином из претходне итерације на основу посебних правила која су такође развијена у   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 83 ‐    овој дисертацији  (поглавље В.1.1.). Поправка  се може односити на различите величине,  најчешће је то проток, или пречник када је у питању проблем оптимизације мреже који ће  бити  приказан  у  наредним  поглављима  (поглавље  Г),  док  је  код  методе  чворова  ова  величина  у  случају  гасоводних  мрежа  разлика  квадрата  притисака,  а  код  водоводних  разлика притисака. Из овога  се може извести  закључак да  је и метода чворова која  је  у  овој  дисертацији  објашњена  посебно  у  глави  В.2.  у  ствари  само  подваријанта  Харди  Кросове  методе.  Најзад,  метода  чворова  је  само  на  први  поглед  различита  од  Харди  Кросових метода, али свако ко концепцијски добро разуме Харди Кросову методу може  врло лако да овлада и методом чворова.    Обједињена метода чворова и петљи  је  конципирана  тако да  се као резултат не добија  поправка  тражене  величине,  већ  сама  та  величина.  На овај  начин  је  избегнута  примена  сложене  алгебарске  шеме  за  сабирање.  Метода  није  значајније  ефикаснија  што  се  потребног броја итерација  тиче од модификоване варијанте Харди Кросове методе,  али  није  ни  ништа  мање  ефикасна.  На  основу  целокупног  истраживања  спроведеног  за  потребе  ове  дисертације  као  и  консултација  бројне  литературе,  овде  развијена  обједињена метода чворова и петљи се показала као најбоља од свих метода за прорачун  прстенастих мрежаm.    У  досадшњем  тексту  су  се  више пута  помињале матрице  чворова и матрице  прстенова.  Оне су до сада првенствено имале контролну улогу,  тј.  одговарајуће  једначине у којима  оне егзистирају  су  се  користиле  за проверу да ли  је  у  свакој итерацији  задовољен први  Кирхофов  закон  код  метода  који  се  базирају  на  решењу  једначина  петљи  какве  су  све  методе  које  су  досад  приказане  осим  методе  чворова.  Код  метода  чворова  наведени  изрази  служе  за  проверу  првог  Кирхофовог  закона  који  мора  бити  задовољен  у  свакој  итерацији пошто је ова метода како јој и само име говори заснована на решењу једначина  чворова. У обједињеној методи чворова и прстенова ове матрице су обједињене у  једну  уз одређене модификације.    Као што  је већ речено, у случају цевоводне мреже прстенастог типа, две тзв.  тополошке  матрице  је  могуће  успоставити,  и  то,  матрицу  чворова  и  матрицу  прстенова.  Матрица  чворова  се  успоставља  на  основу  првог  Кирхофовог  закона,  док  се  матрица  прстенова  успоставља  на  основу  другог  Кирхофовог  закона.  Први  Кирхофов  закон  мора  бити  задовољен  у  свакој  итерацији,  док  други  бива  задовољен  тек  на  крају  итеративног  поступка  са  задовољавајућом  тачношћу  при  чиме  се  тек  тада  сматра  да  је  мрежа  уравнотежена  те  се  прорачун  прекида.  Изнета  претпоставка  важи  у  случају  прорачуна  мреже методама које су засноване на решавању једначина прстенова, док је код метода  заснованих  на  решавању  једначина  чворова  ситуацију  обрнута,  тј.  услов  по  другом  Кирхофовом закону мора бити задовољен у свакој итерацији а услов по првом тек на крају  прорачуна.                                                                 m У прилогу видети пример 20 у коме се даје поставка за прорачун стационалне расподеле протока гаса у једној  простијој мрежи  ‐ 84 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Овде  се  приказује  врло  ефикасан  метод  који  се  заснива  на  решавању  обједињене  матрице  чворова  и  прстенова.  Метод  спада  у  тзв.  методе  засноване  на  решавању  једначина прстенова, док се једначине чворова користе у самом прорачуну али само као  помоћне.     Обједињени  метод  чворова  и  петљи  доноси  значајна  побољашања  у  односу  на  данас  највише коришћени модификовани Харди Крос метод. Подсетимо да се Харди Крос метод  заснива на решавању једначина прстенова, док се једначине чворова уопште и не користе  у  самом  прорачуну.  Приликом  прорачуна мреже модификованим  Харди  Крос методом,  матрица  чворова има  само  контролну  улогу,  односно преко ње  се  проверава да  ли  је  у  свакој итерацији задовољен услов по првом Кирхифовом закону.     Подсетимо да  c∆  не представља пад притиска у цевоводу. Иако  је димензионо  једнак  паду притиска Δp (Pa), нумеричка вредност им се разликује. Вредност параметра  c∆  се  стога може назвати псеудо‐падом притиска и може се користити у прорачуну пошто се на  тај начин искориштава чињеница да кад  0c →∆  тада и Δc→0.    Да  би  се  одредио  притисак  у  чворовима  мреже,  треба  поћи  од  познатог  притиска  у  улазном  чвору  и  користити  вредности  протока  кроз  цеви мреже  који  се  добијају  након  завршетка  прорачуна.  Овде  ће  се  прорачунати  већ  добро  позната  гасна  дистрибутивна  мреже са три прстена се даје на слици 37.    Слика 37. Пример гасоводне дистрибутивне мреже  Први  задатак пројектанта  гасне дистрибутивне мреже  је да осмисли  трасе по  којима ће  ићи цеви и да чворовима мреже придружи највеће потрошње гаса (излазе из мреже) које  могу да се јаве. Такође треба одредити и један или више улазних чворова у мрежу (који се   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 85 ‐    у методу третирају као негативни излази). На основу тако дефинисаних улаза и излаза по  чворовима, треба одредити први иницијални распоред протока по цевима мреже тако да  буде задовољен први Кирхофов закон за сваки чвор. За овако одабране протоке по цеви,  други  Кирхофов  закон  у  највећем  броју  случајева  није  задовољен.  Да  би  се  и  он  задовољио  са  одређеном  тачношћу  али  тако  да  се  не  поремети  услов  по  првом  Кирхофовом  закону,  потребно  је  извршти  уравнотежење  мреже  које  се  овде  врши  користећи обједињену методу чворова и прстенова.    Граф  мреже  у  општем  случају  има  X  грана  (цеви)  и  Y  чворова.  У  нашем  примеру,  цевоводна мрежа има X=8  цеви и Y=6  чворова.  Граф  са Y  чворова  (у нашем примеру 6)  има Y‐1 независних чворова (у нашем примеру 5) и X‐Y+1 независних прстенова (у нашем  примеру 3). Стабло графа се састоји од било којих цеви које су одабране тако да пролазе  кроз  све  чворове мреже  (спајају их)  али  тако да не  затварају ниједну  контуру  (не праве  прстенове),  односно  тако  да  се  цеви  које  чине  стабло  графа  нигде  не  пресецају  међусобно.  Цеви  које  не  припадају  стаблу  су  гране  графа.  Број  грана  је X‐Y+1  (у  нашем  примеру  3),  односно  идентичан  је  броју  независних  контура  (прстенова)  мреже.  Број  независних прстенова мреже је идентичан броју грана графа. Независни прстен се састоји  из цеви које чине стабло и затвара се једном граном графа.    Као  што  је  већ  речено,  мрежа  из  нашег  примера  има  шест  чворова  од  којих  је  пет  линеарно  независних.  Један  чвор  се  може  изоставити  из  прорачуна  и  тако  да  тиме  ниједна  информација  о  мрежи  не  буде  изгубљена.  Матрица  са  укљученим  свим  чворовима мреже се назива проширеном матрицом чворова. Редови у матрици чворова у  коју су укључени сви чворови су линеарно зависни. Управо због тога се мора изоставити  било који ред ове матрице како би се успоставила линеарна независност између редова  матрице  чворова.  Ово  се  може  објаснити  врло  просто  пошто  у  мрежи  не  постоје  двосмерно  напајане деонице.  Нпр.  цев 6  се  налази  између  чворова  IV  и V.  Уколико  гас  пролази кроз чвор IV и улази у цев 6, без даље дискусије се изводи закључак да гас даље  иде ка чвору V и у њега улази. Значи ако се каже да је чвор IV излазни ка цеви 6, не мора  се експлицитно рећи да  је  чвор V  улазни  за исту цев пошто  се  то  свакако подразумева.  Први Кирхофов закон за све чворове мреже приказане на слици 1 се може записати сетом  једначина (165):    0QQQ~node 0QQQ~node 0QQQQ~node 0QQQQ~node 0QQQQ~node 0QQQQ~node 21VIVI 86VV 651IVIV 754IIIIII 873IIII 432II =−− =++− =−−+− =+++− =−−+ =−−+−                 (165)    Чвор VI се изоставља у складу са претходном дискусијом како би се обезбедила линеарна  независност редова у матрици чворова (166):  ‐ 86 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ++ −−+ +++ −−+ −−+ = 10100000 00110001 01011000 11000100 00001110 N             (166)    Први  Кирхофов  закон  који  је  суштински  представљен матрицом  чворова  [N]  мора  бити  задовољен у свакој итерацији пошто обједињена метода чворова и петљи припада групи  метода  код  којих  се  тражи  решење  једначина  петљи  како  је  већ  објашњено.  Други  Кирхофов  закон  за  полазне  претпостављене  протоке  се  може  представити  сетом  једначина (167):    III8765III II5421II I743I Ccccc~loop Ccccc~loop Cccc~loop =−++− =+−− =−+−               (167)    Суштина  другог  Кирхофовог  закона  такође  може  бити  представљена  матрицом  контура  (168):    [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −++− +−−+ −+− = 11110000 00011011 01001100 L             (168)    Други  Кирхофов  закон мора  бити  задовољен  са  унапред дефинисаном  тачношћу  тек  на  крају  прорачуна  (тј.  CI→0,  CII→0  и  CIII→0).  Обједињена  матрица  чворова  и  прстенова  се  добија  на  основу  матрице  чворова,  матрице  прстенова  и  првог  извода  по  протоку  функције притиска (169):    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅−⋅+⋅+⋅− ⋅+⋅−⋅−⋅+ ⋅−⋅+⋅− ++ −−+ +++ −−+ −−+ = ' 8 ' 7 ' 6 ' 5 ' 5 ' 4 ' 2 ' 1 ' 7 ' 4 ' 3 c1c1c1c10000 000c1c10c1c1 0c100c1c100 10100000 00110001 01011000 11000100 00001110 NL     (169)     В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 87 ‐    Првих пет редова обједињене матрице чворова и прстенова  [NL]  се добија директно из  матрице чворова  [N], док се остала три реда добијају од матрице прстенова [L] и то тако  што  се  сваки  члан  ове матрице  помножи одговарајућим првим изводом по  протоку  (c’)  функије притиска (у нашем случају то је Реноарова једначина).   Прва колона обједињене  матрице чворова и прстенова  [NL]  одговара цеви 1,  друга цеви 2,  итд,  све до последње  осме колоне која одговара цеви 8. Да би се добили непознати протоци по цевима мреже  на основу једначине (170), потребно је дефинисати и тзв. вектор матрицу која се налази са  десне стране једнакости у истој једначини.    [NL]x[Q]=[V]                       (170)    Матрица [V] се увек састоји од само једне колоне (171):    [ ] ( )( )( )⎥⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅−⋅+⋅+⋅−+− ⋅+⋅−⋅−⋅+− ⋅−⋅+⋅−+− − = ' 88 ' 77 ' 66 ' 55III ' 55 ' 44 ' 22 ' 11II ' 77 ' 44 ' 33I V IV III II I ccccccccC ccccccccC ccccccC Q Q Q Q Q V          (171)    Матрица [V] у случају нашег примера има 8 редова, односно онолико колико има цеви у  оквиру  прстенастог  дела  мреже.  Првих  пет  редова  представљају  константне  улазе,  односно излазе по чворовима, и то тако да се излази тј. чворне потрошње гаса узимају са  позитивним предзнаком, а улази са негативним. У нашој мрежи су чворови II и VI улазни,  али  се  чвор  VI  изоставља  из  прорачуна  из  истог  разлога  који  је  објашњен  приликом  успостављања матрице  чворова  [N].  Непозната матрица  протока  по  цевима  прстенастог  дела мреже се даље добија као (172):    [ ] [ ] [ ]VxNLinv Q Q Q Q Q Q Q Q Q 8 7 6 5 4 3 2 1 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =                   (172)  ‐ 88 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Уколико  се  приликом  прорачуна  појави  негативан  предзнак  (‐)  испред  било  ког  од  протока Q у оквиру матрице [Q], то значи да се променио смер протока кроз разматрану  цев у односу на смер у претходној итерацији (односно ако се негативан предзнак појави у  првој итерацији, то значи да се смер протока у тој конкретној цеви променио у односу на  први иницијални распоред протока  који  је  приказан на  слици 1).  Прорачун  се наставља  све  док  вредности  алгебарских  збирова  функција  протока  за  све  контуре  не  буду  приближно  једнаки  нули  са  унапред  договореном  толеранцијом  (тј.  да  CI→0,  CII→0  и  CIII→0), односно када се вредности чланова у матрици [Q] стабилишу око неке вредности.    Боулос и сарадници у својој књизи (Boulos et al 2006) дају приказ различитих метода који  се  користе  за  прорачун  водоводних  мрежа.  За  разлику  од  приступа  који  је  приказан  у  нашем чланку, Боулос и сарадници (Boulos et al 2006) уместо изостављања једног чвора из  прорачуна  како  би  се  осигурало  да  обједињена  матрица  чворова  и  контура  буде  квадратна [NL], уводе један додатни прстен, тзв. псеудо‐прстен. Да ви се увео овај псеудо‐ прстен морају постојати бар два чвора која су на истом притиску што практично значи да  таква  мрежа  мора  да  има  најмање  два  улазна  чвора.  Метјус  и  Келер  (Mathews‐Köhler  1995)  врше  прорачун  цевоводног  система  без  увођења  псеудо‐прстенова,  слично  као  у  овој дисертацији.    Главна предност обједињеног метода чворова и прстенова се не огледа у смањењу броја  итерација  потребног  да  се  прорачунају  протоци  за  које  је мрежа  у  равнотежном  стању.  Број  итерација  потребних  за  прорачун  је  уопштено  гледано  нешто  мањи  него  код  прорачуна модификованим Харди Крос методом. Ипак,  код модификованог  Харди Крос  метода се као резулат прорачуна  у свакој итерацији добијају поправке протока ΔQ,  а не  сами  протоци  Q.  Ове  поправке  протока  треба  затим  сабрати  помоћу  не  тако  простих  алгебарских  правила.  Применом  обједињеног  метода  чворова  и  петљи  као  резулат  прорачуна  се  добија  директно  проток Q  у  свакој  итерацији  уз  чак,  како  је  већ  речено,  извесно смањење броја потребних итерација у поређењу са Харди Крос методом који се  данас  узима  као  стандард  за  пројектовање  гасних  дистрибутивних  мрежа  прстенастог  типа (нарочито у пројектанским предузећима у Србији).    Наравно  уколико  код  појединих мрежа  дође  до  извесних  нелогичности  приликом  рада  или  прорачуна  треба  мрежу  прорачунавати  применом  више  различитих  метода  и  онда  тумачити разлике у резултатима ако постоје (Калуђерчић 2002).    У  дисертацији  се  често дају  поређења  гасоводних мрежа  са  водоводним мрежа.  За  већ  више пута разматрану мрежу  (Слика 38),  показаће  се прорачун расподеле стационарног  протока у првом случају да се дистрибуира природни гас,  а  затим и вода. Упоредиће се  добијени  резултати.  Пошто  је  мрежа  иста  мрежа  до  сада  прорачунавана  применом  оригиналне верзије Харди крос метода, модификоване верзије Харди Крос метода, затим  методом  М.М.  Андријашева,  модификованом  методом  чворова  и  сада  обједињеном  методом  чворова  и  прстенова,  упоредиће  се  брзина  конвергенције  ка  стационарном  стању протока гаса по цевима мреже за сваку од наведених метода.   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 89 ‐        Слика 38. Шема гасоводне мреже прилагођене за прорачун обједињеном методом чворова и петљи Почетни  изрази  у  којима  фигуришу  матрице  чворова  (173)  и  петљи  (174‐5)  се  могу  написати као:    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = = = = = = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = = = = = = = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −−− − 700/3600Q 800/3600Q 1300/3600Q -1000/3600Q 200/3600Q 166,0Q 305,0Q 027,0Q 277,0Q 027,0Q 194,0Q 277,0Q 277,0Q x 10100000 00110001 01011000 11000100 00001110 v IV III II I 8 7 6 5 4 3 2 1           (173)    Узимајући у обзир у ком облику  је написана друга матрица у изразу (174), овај израз важи  само за гасоводне мреже.     ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− 0 0 0 pp pp pp x 11110000 00011011 01001100 2 V 2 II 2 I 2 ref 2 IV 2 ref M             (174)  ‐ 90 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      У случају дистрибуције течних флуида горњи израз се може написати као (175):    ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− 0 0 0 pp pp pp x 11110000 00011011 01001100 VII Iref IVref M             (175)    Претходне три, односно суштински две, једна матрична једначина чворова која важи како за  гасоводне,  тако  и  за  водоводне  мреже,  и  матрична  једначина  петљи  (174)  која  важи  за  гасоводне мреже,  као и матрична  једначина петљи  (175)  која важи за водоводне мреже у  свим претходно приказаним методама служи за проверу тачности поступка. Логично је било  запитати се да ли оне могу бити употребљене и за сам прорачун. То се може урадити преко  матричне једначине (176) која важи за гасоводне мреже:    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− − 7300557365, 8923187587, 2988241676- 0,194 0,222 0,361 0,277- 0,055 Q Q Q Q Q Q Q Q x 52289775603-7142930150442984357301119798452,-0000 0001119798452,1333799622-01314432601-8812326713 071429301504-00133379962251183977605-00 10100000 00110001 01011000 11000100 00001110 8 7 6 5 4 3 2 1  (176)    Првих  пет  редова  у  првој  матрици  из  матричне  једначине  је  идентично  преписано  из  матрице  чворова,  тј.  из  прве  матрице  из  матричне  једначине  (173).  Остали  редови  су  из  матрице  петљи  у  којима  је  сваки  члан  помножен  са  првим  изводом  функције  притиска  одговарајуће  цеви  где  се  проток  посматра  као  променљива,  односно  када  су  у  питању  гасоводи боље речено разлике квадрата улазног и излазног притиска одговарајуће цеви. За  водоводне мрежу иста матрична једначина гласи (177):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− − 52070510,91 25040086,33 615928498,8- 0,194 0,222 0,361 0,277- 0,055 Q Q Q Q Q Q Q Q x 7106491089,-770157780,5216717415,32429677,455-0000 0002429677,45564978573,19-05879413,04-42622924,2 0770157780,5-0064978573,19254299272,1-00 10100000 00110001 01011000 11000100 00001110 8 7 6 5 4 3 2 1  (177)    Друга по реду матрица у матричним изразима  је  тзв.  вектор матрица непознатих протока.  Важно је напоменути да ово нису поправке протока које касније по посебним алгебарским  правилима  треба  додавати  на  протоке  који  су  били  актуелни  у  претходној  итерацији,  односно на првопретпостављене протоке по цевима уколико се ради о првој итерацији као  што је овде случај. Ово је и главно побољшање у односу на претходне методе и у овом делу  који  се  односи  на  прорачун  прстенастих мрежа,  ова  новина  се  може  сматрати  и  главним  научним доприносом у овом делу доктората.    Бројне вредности се у случају протока гаса узимају из табеле 12.   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 91 ‐    Табела 12. Решење гасоводне дистрибутивне мреже са три петље према обједињеној методи прстенова и чворова  (Слика 38)    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 1 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,19444 ‐1264933339,23 11839776055  ‐0,043307855 4  0,1234  200  +0,02778 +20357137,09 1333799622  +0,25828288 7  0,1234  300  ‐0,30556 ‐2399620963,36 14293015047  ‐0,197298048         Σ ‐3644197165,50     II  1  0,1234  200  +0,27778 +1344982709,52 8812326713  +0,198409265 2  0,1586  100  ‐0,27778 ‐200615476,37 1314432601  ‐0,357146291 4  0,1234  200  ‐0,02778 ‐20357137,09 1333799622  ‐0,25828288 5  0,1762  100  +0,02778 +1828425,70 119798452  ‐0,094469817         Σ 1125838521,76     III  5  0,1762  100  ‐0,02778 ‐1828425,70 119798452  +0,094469817 6  0,0968  200  +0,02778 +65604940,93 4298435730  +0,07065686 7  0,1234  300  +0,30556 +2399620963,36 14293015047  +0,197298048 8  0,1098  450  ‐0,16667 ‐2096864105,78 22897756035  ‐0,123787585         Σ 366533372,81       Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 2 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,043307855 ‐156904917,94 3455539181  ‐0,02252766 4  0,1234  200  +0,25828288 +1173109335,72 8301891430  +0,222632021 7  0,1234  300  ‐0,197298048 ‐773797561,89 9985057887  ‐0,176199255         Σ 242406855,89     II  1  0,1234  200  +0,198409265 +614087396,29 6687432899  +0,254840319 2  0,1586  100  ‐0,357146291 ‐346390930,28 1615251716  ‐0,300715237 4  0,1234  200  ‐0,25828288 ‐1173109335,72 8301891430  ‐0,222632021 5  0,1762  100  ‐0,094469817 ‐7569671,91 326858346  ‐0,037720164         Σ ‐912982541,63     III  5  0,1762  100  +0,094469817 +7569671,91 326858346  +0,037720164 6  0,0968  200  +0,07065686 +32767180,23 9242405949  +0,070338261 7  0,1234  300  +0,197298048 +773797561,89 9985057887  +0,176199255 8  0,1098  450  ‐0,123787585 ‐2302927589,41 17942054130  ‐0,124106183         Σ ‐1488793175,37       Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 3 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,02252766 ‐212911909,40 2021893800  ‐0,02278105 4  0,1234  200  +0,222632021 +678130226,18 7349884184  +0,223407512 7  0,1234  300  ‐0,176199255 ‐1285951161,56 9100667243  ‐0,175998895         Σ ‐820732844,77     II  1  0,1234  200  +0,254840319 +1001912310,20 8211046571  +0,253811437 2  0,1586  100  ‐0,300715237 ‐258471411,70 1402793769  ‐0,301744118 4  0,1234  200  ‐0,222632021 ‐678130226,18 7349884184  ‐0,223407512 5  0,1762  100  ‐0,037720164 ‐4660638,28 153960599  ‐0,038295296         Σ 60650034,04     III  5  0,1762  100  +0,037720164 +4660638,28 153960599  +0,038295296 6  0,0968  200  +0,070338261 +270590087,41 9208218646  +0,069884511 7  0,1234  300  +0,176199255 +1285951161,56 9100667243  +0,175998895 8  0,1098  450  ‐0,124106183 ‐1408506432,12 17979911651  ‐0,124559933         Σ 152695455,12     ‐ 92 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Последња матрица у матричним изразима (176‐7), у претходном примеру обележeна са [V],  се добија тако што се прва четири реда односе на потрошњу по чворовима, где су чворови 1,  3, 4 и 5 излазни, тако да се узимају са позитивним предзнаком, док је чвор 2 улазни тако да  се  узима  са  негативним  предзнаком.  Последња  три  реда  се  добијају  на  нешто  сложенији  начин, и то када је у питању гасоводна мрежа на следећи начин:    Шести ред (први ред после пет редова који се односе на чворове), односи се на петљу I;   ‐2988241676=  =3644197165,5+(‐0,194·11839776055+0,027·1333799622+(‐0,305)·14293015047)  Седми  ред  (други  ред  после  пет  редова  који  се  односе  на  чворове),  односи  се  на  петљу  II;  923187587,8=‐ 1125838521,7+  +(0,277·8812326713+(‐0,277·1314432601)+(‐0,027)·1333799622)+0,027·119798452)  Осми  ред  (трећи  ред  после  пет  редова  који  се  односе  на  чворове),  односи  се  на  петљу  III;  300557365,7=‐ 366533372,8+  +(‐0,027·119798452+0,027·4298435730+0,305·14293015047+(‐0,166·22897756035))    Односно у општим ознакама, како је већ и напомено претходно у оквиру општег разматрања  обједињеног метода чворова и петљи (178):    [ ] ( )( )( )⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅−⋅+⋅+⋅−+− ⋅+⋅−⋅−⋅++− ⋅−⋅+⋅−+− + + + − + = ' 88 ' 77 ' 66 ' 55III ' 55 ' 44 ' 22 ' 11II ' 77 ' 44 ' 33I /V/ /IV/ /III/ /II/ /I/ FQFQFQFQF FQFQFQFQF FQFQFQF Q Q Q Q Q V               (178)    За прве три итерације када је у питању гасоводна мрежа, резултујући вектори непознатих  протока гласе; за прву итерацију (179):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 50,12378758 80,19729804 60,07065686 740,09446981- 20,25828288 50,04330785 170,35714629 550,19840926 Q Q Q Q Q Q Q Q 8 7 6 5 4 3 2 1                     (179)    У претходној матрици је негативан предзнак само испред члана у петом реду, што значи да  се промени смер протока у цеви 5 у односу на претходну итерацију. То даље значи да треба  променити предзнак испред одговарајуће, тј. пете цеви у табели 12 у наредној итерацији.    За другу итерацију вектор непознатих протока гласи (180):     В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 93 ‐    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0,124106 0,176199 0,070338 0,03772 0,222632 0,022528 0,300715 0,25484 Q Q Q Q Q Q Q Q 8 7 6 5 4 3 2 1                       (180)    Пошто су предзнаци испред свих протока позитивни значи да се није мењао прорачунски  смер протоку у односу на прорачунате смерове из претходне итерације. За трећу итерацију  вектор непознатих протока гласи (181):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0,12456 0,175999 0,069885 0,038295 0,223408 0,022781 0,301744 0,253811 Q Q Q Q Q Q Q Q 8 7 6 5 4 3 2 1                       (181)    У  претходне  три  матрице  (179‐181)  се  бројчане  вредности  донекле  разликују  од  оних  у  табели 12 само због различитог заокруживања. Све вредности су из истог MS Excel фајла и  израчунате су на много децимала, само су овде презентоване са мање децимала како се не  би текст преоптеретио.    Крајњи резултати прорачуна се дају у табели 13, како за прорачун протока гаса кроз цеви,  тако и за прорачун воде кроз цеви.    Табела 13. Крајњи прорачунати протоци за мрежу са слике 38, у случају протока воде и гаса  Предзак минус значи да је крајњи прорачунати проток супротног смера од првобитно  претпостављеног и приказаног на слици 38, протоци су дати у (m3/h)  Цев  1  2  3  4  5  6  7  8  Вода  902,27  1097,73  94,86  802,87  ‐146,23  248,50  643,36  451,50  Гас  913,72  1086,28  82,01  804,27  ‐137,86  251,58  633,60  448,42    У  табели 12  прорачун  је вршен применом Реноарове  једначине прилагођене за природни  гас. У табели 14 прорачун је вршен преко Колбрук‐Вајтове једначине за прорачун Дарсијевог  коефицијента хидрауличког отпора, као и Дарси‐Вајсбахове формуле како је већ објашњено  и уобичајено рађено у овом докторату када су у питању водоводне мреже.  У осталоме се  прорачун који је спроведен обједињеном методом чворова и петљи ни у чему не разликује у  односу на прорачун гасоводних мрежа.    У случају прорачуна водоводне мреже ће се дати само табеларни приказ (Табела 14):    ‐ 94 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Табела 14. Решење водоводне дистрибутивне мреже са три петље према обједињеној методи прстенова и чворова  (Слика 38)    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 1 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,19444 ‐5279095,9 54299272,12  ‐0,052496097 4  0,1234  200  +0,02778 69146,84995 4978573,196  0,249784106 7  0,1234  300  ‐0,30556 ‐10718549,81 70157780,57  ‐0,204133702         Σ ‐15928498,859737     II  1  0,1234  200  +0,27778 5919850,583 42622924,2  0,197719798 2  0,1586  100  ‐0,27778 ‐816585,1439 5879413,036  ‐0,357835758 4  0,1234  200  ‐0,02778 ‐69146,84995 4978573,196  ‐0,249784106 5  0,1762  100  +0,02778 5967,742434 429677,4552  ‐0,092806697         Σ 5040086,332051     III  5  0,1762  100  ‐0,02778 ‐5967,742434 429677,4552  0,092806697 6  0,0968  200  +0,02778 232186,3239 16717415,32  0,068304272 7  0,1234  300  +0,30556 10718549,81 70157780,57  0,204133702 8  0,1098  450  ‐0,16667 ‐8874257,476 106491089,7  ‐0,126140172         Σ 2070510,915301       Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 2 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,052496097 ‐416023,6857 15849699,8  ‐0,027443402 4  0,1234  200  0,249784106 4800902,228 38440414,08  0,221717071 7  0,1234  300  ‐0,204133702 ‐4840373,04 47423556,13  ‐0,180151417         Σ ‐455494,497491     II  1  0,1234  200  0,197719798 3030676,207 30656274,61  0,250839527 2  0,1586  100  ‐0,357835758 ‐1342789,99 7505063,208  ‐0,304716028 4  0,1234  200  ‐0,249784106 ‐4800902,228 38440414,08  ‐0,221717071 5  0,1762  100  ‐0,092806697 ‐57430,28599 1237632,369  ‐0,040757377         Σ ‐‐3170446,297195     III  5  0,1762  100  0,092806697 57430,28599 1237632,369  0,040757377 6  0,0968  200  0,068304272 1312311,089 38425446,8  0,069374682 7  0,1234  300  0,204133702 4840373,04 47423556,13  0,180151417 8  0,1098  450  ‐0,126140172 ‐5136680,706 81444009,71  ‐0,125069762         Σ 1073433,708555       Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 3 Q (m3/s) F(Q) |F’(Q)|  Q (m3/s) I  3  0,1234  360  ‐0,027443402 ‐121663,4582 8866499,826  ‐0,026380586 4  0,1234  200  0,221717071 3796367,031 34245148,66  0,22299381 7  0,1234  300  ‐0,180151417 ‐3786876,498 42041040,35  ‐0,178747376         Σ ‐112172,925877     II  1  0,1234  200  0,250839527 4840968,682 38598132,73  0,250625603 2  0,1586  100  ‐0,304716028 ‐979159,6125 6426702,381  ‐0,304929952 4  0,1234  200  ‐0,221717071 ‐3796367,031 34245148,66  ‐0,22299381 5  0,1762  100  ‐0,040757377 ‐12164,00848 596898,492  ‐0,040630076         Σ 53278,030489     III  5  0,1762  100  0,040757377 12164,00848 596898,492  0,040630076 6  0,0968  200  0,069374682 1352612,652 38994417,3  0,069033457 7  0,1234  300  0,180151417 3786876,498 42041040,35  0,178747376 8  0,1098  450  ‐0,125069762 ‐5051679,146 80781782,12  ‐0,125410988         Σ 99974,013028      В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 95 ‐    На слици 39 се пореде све до сада обрађене методе у случају прорачуна мреже са слике  38.    Слика 39. Поређење брзине конвергенције свих обрађених метода за мрежу са слике 38  На  основу  слике  39  се  закључује  да  модификовани  метод  Харди  Кроса,  модификовани  метод  М.М.  Андријашева  и  обједињени  метод  чворова  и  петљи  имају  исту  брзину  конвергенције и то најбржу у поређењу са преостала два метода. Модификовани метод  чворова има најспорију конвергенцију, али се овде при доношењу било каквог закључка  мора бити обазрив пошто су почетни услови за прорачун по методи чворова концепцијски  потпуно различити у поређењу са свим осталим приказаним методама који су међусобно  потпуно упоредиви.    Обједињени  метод  чворова  и  прстенова  је  нарочито  погодан  за  прорачун  просторних  цевоводних мрежа. Потребно  је само идентификовати чворове и прстенове и затим цео  поступак наставити као и код раванских мрежа.    Овде  ће  се  извршити  прорачун  стационарне  расподеле  протока  по  гранама  просторне  гасоводне  мреже  која  је  већ  прорачунавана  у  овој  дисертацији  другим  расположивим  методама. Графички ће се упоредити добијени резултати са резултатима осталих метода  како би се упоредиле конвергенционе ососбине.     Да прорачун не би био монотон,  а и да би  се показало да избор референтног  чвора не  утиче на крајњи резултат, регерентни чвор  је промењен, и  то  је сада чвор XI.  Једначине  петљи су исте као и у претходном тексту. Да би се оне конституисале и објединиле у једну  матричну једначину, потребно је дефинисати тзв. функцију сваке цеви која се разликује за  гасоводне и водоводне мреже.     ‐ 96 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Слика 40. Просторна цевоводна мрежа  Функција цеви у случају гасовода се дефинише као (182):    82,4 82,1 r2 2 2 1g D QL4810ppF ⋅⋅ρ⋅=−=                 (182)    Претходна једначина (182) је у ствари Реноарова једначина за гасоводе у свом основном  облику  (која  се  усваја  на  основу  дискусије  изнете  у  претходном  тексту).  Пошто  се  овде  ради  о  класичном  проблему,  а  не  о  оптимизационом,  тј.  за  познату  мрежу  се  тражи  расподела  протока  кроз  цеви,  први  извод  се  тражи  у  односу  на  проток,  тј.  проток  је  променљива величина док су остале величине константе (183):    ( ) 82,4 u 82,0 rg g D QL481082,1 Q QF 'F ⋅⋅ρ⋅⋅=∂ ∂=                 (183)         В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 97 ‐    За гасоводе једначине петљи гласе (184):    oopsl F F F F F 0 D QL D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~p~ 0 D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~ 0 D QL D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~p~ 0 D QL D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~p~ 0 D QL D QL D QL D QL 4810 p~p~p~p~ V IV III II I 82,4 15 82,1 1515 82,4 12 82,1 1212 82,4 11 82,1 1111 82,4 10 82,1 1010 82,4 9 82,1 99 r 2 15 2 12 2 11 2 10 2 9 82,4 14 82,1 1414 82,4 13 82,1 1313 82,4 12 82,1 1212 82,4 3 82,1 33 r 2 14 2 13 2 12 2 3 82,4 10 82,1 1010 82,4 9 82,1 99 82,4 8 82,1 88 82,4 7 82,1 77 82,4 6 82,1 66 r 2 10 2 9 2 8 2 7 2 6 82,4 12 82,1 1212 82,4 11 82,1 1111 82,4 6 82,1 66 82,4 5 82,1 55 82,4 2 82,1 22 r 2 12 2 11 2 6 2 5 2 2 82,4 4 82,1 44 82,4 3 82,1 33 82,4 2 82,1 22 82,4 1 82,1 11 r 2 4 2 3 2 2 2 1 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−⋅−⋅+⋅ρ⋅= =∆+∆−∆−∆+∆ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅−⋅−⋅+⋅ρ⋅= =∆−∆−∆+∆ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅+⋅−⋅−⋅ρ⋅= =∆+∆+∆−∆+∆ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−⋅−⋅+⋅ρ⋅= =∆+∆−∆−∆+∆ =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+⋅−⋅−⋅ρ⋅= =∆+∆−∆−∆         (184)    Ова једначина се може записати и у матричној форми и тада гласи (185):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− − −−− −− 0 0 0 0 0 p~ p~ p~ p~ x 100111100000000 011100000000100 000001111100000 000110000110010 000000000001111 2 15 2 3 2 2 2 1 M         (185)    Једначине чворова имају исти облик и за водоводне и за гасоводне мреже (186):    refnode node node node node node node node node node node 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQQQ XI X IX VIII VII VI V IV III II I outputXI11106 outputX109 outputIX1598 outputVIII87 outputVII765 outputVI1413 outputV131211 outputIV151232 outputIII521 outputII41 inputIoutputI1443 −⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ =−++− =−− =−+−− =−+ =−−+ =−+− =−++− =−−−+− =−−+ =−+− =+−−−− − − − − − − − − − − −−           (186)    ‐ 98 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      У овом случају је чвор XI изабран да буде референтни, тако да се он у матричном облику  изоставља  чиме  се  не  губи  ниједна  информација  о мрежи  али  се  успоставља  линеарна  независност између редова матрице чворова (187):    ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− − − − −−− − − −−− − − − − − − − − − −− outputX outputIX outputVIII outputVII outputVI outputV outputIV outputIII outputII inputIoutputI 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q x 000011000100000 000001100000000 100000110000000 000000001110000 011000000000000 001110000000000 100100000000110 000000000010011 000000000001001 010000000001100     (187)    Проблем се даље решава обједињеном методом чворова и петљи (188):    [Q]=inv[NL]x[V]                      (188)    Обједињена матрица чворова и петљи [NL] гласи (189):    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅−⋅−⋅⋅ ⋅−⋅−⋅⋅ ⋅⋅⋅−⋅⋅ ⋅−⋅−⋅−⋅⋅ ⋅⋅−⋅−⋅ − − −− − − − −−− − − −−− = 15432 4321 43215 43215 4321 e100e1e1e1e100000000 0d1d1d100000000d100 00000c1c1c1c1c100000 000b1b10000b1b100b10 00000000000a1a1a1a1 000011000100000 000001100000000 100000110000000 000000001110000 011000000000000 001110000000000 100100000000110 000000000010011 000000000001001 010000000001100 NL   (189)    Матрица  [NL]  се  добија  сажимањем  матрице  чворова  [N]  и  матрице  петљи  [L],  где  су  одговарајуће матрице (190‐1):     В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 99 ‐    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− − − − −−− − − −−− = 000011000100000 000001100000000 100000110000000 000000001110000 011000000000000 001110000000000 100100000000110 000000000010011 000000000001001 010000000001100 N         (190)    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− − −−− −− = 100111100000000 011100000000100 000001111100000 000110000110010 000000000001111 L         (191)    Матрица петљи [L] се уноси у обједињену матрицу у коригованом облику, тј. сваки члан се  множи са одговарајућим изводом као што је већ раније напоменуто. Вредности ових првих  извода за прву итерацију се дају у табели 15.    Матрица [V] из матричне једначине (188) гласи (192):    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+− ⋅+⋅+⋅+⋅+− ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+− ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+− ⋅+⋅+⋅+⋅+− − = − − − − − − − − − −− )eEeEeEeEeE(E )dDdDdDdD(D )cCcCcCcCcC(C )bBbBbBbBbB(B )aAaAaAaA(A Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ V 5544332211 44332211 5544332211 5544332211 44332211 outputX outputIX outputVIII outputVII outputVI outputV outputIV outputIII outputII inputIoutputI             (192)    Бројчане вредности у табели 15 се односе на прву итерацију. Првих 5 итерација за гасоводну  мрежу се даје у табели 16.  ‐ 100 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Табела 15. Подаци за прорачун гасоводне мреже са слике 40 обједињеном методом петљи и чворова  Петља  Цев  D (m)  L (m)  aQ(m3/s)  *  Fg Fg’  I  1  0,4064  100  bA1=0,0556  +1  114959 a1=3766062   2  0,3048  100  A2=‐0,0694  ‐1  ‐690438 a2=18094990   3  0,1524  100  A3=‐0,5667  ‐1  ‐889949040 a3=2858306918   4  0,3048  100  A4=0,6389  +1  39193885 a4=111651451           Σ  A=‐851330634  II  5  0,1524  100  B1=0,0778  +1  23969880 b1=560895181   6  0,3048  200  B2=‐0,0139  ‐1  ‐73795 b2=9670144   11  0,1524  100  B3=‐0,0556  ‐1  ‐12993101 b3=425654001   12  0,1524  100  B4=‐0,0833  ‐1  ‐27176838 b4=593542132   2  0,3048  100  B5=0,0694  +1  690438 b5=18094990           Σ     B=‐15583417 III  7  0,1524  100  C1=0,0083  +1  411338 c1=89836237   8  0,1524  100  C2=‐0,0389  ‐1  ‐6788773 c2=317714556   9  0,3048  100  C3=0,1139  +1  1698792 c3=27147529   10  0,1524  100  C4=0,0361  +1  5932191 c4=298982433   6  0,3048  200  C5=0,0139  +1  73795 c5=9670144           Σ  C=1327344 IV  3  0,1524  100  D1=0,5667  +1  889949040 d1=2858306918   12  0,1524  100  D2=0,0833  +1  27176838 d2=593542132   13  0,1524  100  D3=‐0,0278  ‐1  ‐3679919 d3=241108279   14  0,4064  100  D4=‐0,7222  ‐1  ‐12243919 d4=30854675           Σ   D=901202040  V  15  0,1524  200  E1=0,3889  +1  897059511 e1=4198238510   9  0,3048  100  E2=0,1139  +1  1698792 e2=27147529   10  0,1524  100  E3=0,0361  +1  5932191 e3=298982433   11  0,1524  100  E4=‐0,0556  ‐1  ‐12993101 e4=425654001   12  0,1524  100  E5=‐0,0833  ‐1  ‐27176838 e5=593542132           Σ    E=864520555  *предзнак испред протока    Применом обједињеног метода чворова и петљи се добијају директно протоци чиме се  избегава  сложена  алгебарска  шема  за  сабирање  поправки  која  је  потребна  код  свих  осталих приказаних метода чиме се могућност грешке смањује на минимум. Такође се у  случају  просторних  мрежа  на  елегантан  начин  избегава  проблем  одабира  знака  за  чланове  који  су  ван  главне  дијагонале  у  тзв.  симетричној  матрици  извода.  Треба  подсетити  да  је  већ  објашњено  да  су  код  раванских  мрежа  када  се  разматра  класичан  проблем  (који  се  тиче  одређивања  протока  у  већ  датој мрежи),  у  симетричној матрици  извода  која  се  користи  у  модификованом  Харди  Крос  методи,  сви  чланови  ван  главне  дијагонале  негативни  док  су  они  на  главној  дијагонали  позитивни.  У  оптимизационом  проблему, када се задају фиксни протоци по гранама мреже при чему се траже пречници,  код раванских мрежа је обрнут случај, тј. чланови на главној дијагонали су негативни, док   В.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а;  п ро ра чу н  ст ац ио на рн е  ра сп од ел е  пр от ок а  у  за да то ј м ре ж и  ‐ 101 ‐    су сви остали позитивни. Што се тиче просторних мрежа, код њих су чланови на главној  дијагонали  такође  негативни  у  оптимизационом  проблему,  док  су  остали  чланови  углавном  позитивни,  али  постоје  и  изузеци,  тј.  неки  чланови  су  негативни.  Наредна  поглавља  ће  бити  посвећена  проблему  оптимизације  мрежа.  У  досадашњем  тексту  су  мреже посматране као већ дате, тј. било је потребно прорачунати расподелу протока по  цевима. На овај начин су брзине флуида у појединим цевима биле сувише мале а у неким  сувише велике.    Табела 16. Првих пет итерација за гасоводну мрежу са слике 45 према обједињеној методи чворова и прстенова Проток у m3/h  cБрзина гаса  Итерација   a0  1  2  3  4  b5  m/s  Цев 1  200  687,38  1172,23  1225,74  1228,19 1228,19  10,5  Цев 2  250  33,55  ‐307,01  360,38  362,80  362,80  5,5  Цев 3  2040  988,81  618,87  550,48  547,68  547,68  33,4  Цев 4  2300  2787,38  3272,23  3325,74  3328,19 3328,19  50,7  Цев 5  280  550,93  695,22  695,36  695,39  695,39  42,4  Цев 6  50  78,54  ‐60,99  50,63  50,73  50,73  0,8  Цев 7  30  329,48  334,23  344,74  344,66  344,66  21,0  Цев 8  140  ‐159,48  164,23  174,74  174,66  174,66  10,6  Цев 9  410  20,26  ‐121,61  115,19  115,28  115,28  1,8  Цев 10  130  ‐259,74  401,61  395,19  395,28  395,28  24,1  Цев 11  200  618,28  620,62  624,57  624,55  624,55  38,0  Цев 12  300  154,48  271,72  260,79  260,43  260,43  15,9  Цев 13  100  663,80  548,90  563,78  564,13  564,13  34,4  Цев 14  2600  3163,80  3048,90  3063,78  3064,13 3064,13  26,2  Цев 15  1400  710,78  564,16  560,07  560,05  560,05  34,1  aПрви претпостављени протоци по цеви усклађени са првим Кирхофовим законом  bВредности у итерацији 5 су исте као и у итерацији 4 тако да је критериум за прекид итеративног поступка  испуњен  cБрзина гаса (препоручена 10‐15 m/s); v=(4·p·Q)/(D2·π); где је p=pa/pn а Pa је апсолутни притисак гаса у цевоводу,  овде pa=400 000 Pa, а pn=нормални притисак ~100 000 Pa, p=400 000 Pa/100 000 Pa=4       Слика 41. Поређење брзине конвергенције за различите методе у случају  просторне цевоводне мреже приказане на слици 40 ‐ 102 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      На слици 41 се пореди основна Харди Крос метода, модификована Харди Крос метода и  обједињена метода чворова и петљи. Метода М.М. Андријашева која додатно усложњава  већ  ионако  сложен  проблем  овде  није  рађена  за  овај  пример.  Модификована  метода  чворова  може  да  се  примени  у  овом  случају  али  пошто  су  резултати  практично  неупоредиви због концепцијских разлика, то овде није рађено.       Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 103 ‐    Г. Дистрибуција гаса цевоводима, проблем оптимизације пречника цеви  при константним протоцима    У  тзв.  класично  постављеном  проблему  прорачуна  прстенастих  мрежа  за  дистрибуцију  флуида, проток се посматра као променљива док се све остале величине посматрају као  константе.  Боље  речено,  у  већ  постојећој  мрежи  која  постоји  са  конкретним  цевима,  прoрачунава се проток кроз те цеви, тј. кроз гране мреже. У оптимизационом проблему,  за фиксне протоке  који  се бирају  тако да  задовоље први Кирхофов  закон  за  сваки  чвор  мреже,  траже  се  пречници  цеви  који  се  сада  посматрају  као  константе.  Прорачунати  протоци у класичном проблему су највећи могући, тј. када сви потрошачи повлаче највеће  пројектне  количине  флуида.  У  оптимизационом  проблему  се  бирају  протоци  такође  за  пројектно  оптерећење  мреже,  с  тим  да  се  пречници  прорачунавају  тако  да  буде  оптимална брзина флуида унутар цеви.    Овде  се  узима  да  протиче  течни  флуид  кроз  цеви  да  не  би  долазило  до  забуне  око  усвојених  брзина  пошто  код  гасовитог  флуида,  као  што  је  већ  напоменуто,  постоје  две  вредности  протока,  тј.  она  сведена  на  нормалне  услове  и  она  за  вредност  притиска  у  цевоводу.  Проблем  је  општи,  пошто  гасоводи  по  препоруци  AGA,  као  што  је  већ  објашњено  могу  да  се  прорачунавају  применом  Колбрукове  једначине  (35)  са  тиме  да  коефицијент 2,51 буде замењен коефицијентом 2,825.    Прорачунати  расподелу  флуида  по  цевима  мреже  приказане  на  слици  42  применом  обједињене  методе  чворова  и  прстенова,  а  затим  извршити  оптимизацију  мреже  за  брзину  воде  1  m/s  применом  модификоване  методе  Харди  Кроса.  На  слици  42,  резервоари  за  воду  су  постављени  на  одређене  коте  и  испуњени  су  водом  чиме  се  природним  падом  остварује  притисак.  Овакав  приступ  проблему  постоји  у  пракси  пројектовања водовода, где је могуће да се притисак да уместо у Ра у еквивалентним m.  Овде ће се проблем надаље решавати тако што се притисци изражавају у Ра као и досад  пошто се ова дисертација бави првенствено гасоводима.    Слика 42. Цевоводна дистрибутивна мрежа   Проблем се састоји из два дела. Дата  је мрежа и потребно  је прорачунати протоке кроз  цеви. Ово је тзв. класичан проблем који је обрађиван у глави В овога доктората. Проблем  ће бити решен применом обједињене методе чворова која је развијена у овом докторату  ‐ 104 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      и  која  се  показала  као  најбоља.  Иако  је  овај  тип  проблема  већ  детаљно  објашњен  у  претходном  поглављу,  ова  мрежа  је  нова  па  није  згорег  поновити  поступак  како  би  се  отклониле  све  недоумице  ако  још  увек  постоје.  Решење  као  и  улазни  подаци  су  дати  у  табели 17:  Табела 17. Подаци и решења за класичан проблем за мрежу са слике 47  Број  цеви  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Проток (m3/h)  Брзина  (m/s) Претпостављени  Прорачунати  /1/  0,305  457,2  173,32  200,67  0,76  /2/  0,203  304,8  150  144,10  1,24  /3/  0,203  365,8  130  59,29  0,51  /4/  0,203  609,6  6,6  ‐37,23  0,32  /5/  0,203  853,4  100  31,27  0,27  /6/  0,203  335,3  0,28  ‐45,17  0,39  /7/  0,203  304,8  16,88  53,90  0,46  /8/  0,203  762,0  13,56  34,82  0,30  /9/  0,203  243,8  200  172,65  1,48  /10/  0,152  396,2  50  1,39  0,02  /11/  0,152  304,8  70  38,88  0,60  /12/  0,254  335,3  51,96  26,70  0,15  /13/  0,254  304,8  32,96  57,86  0,32  /14/  0,152  548,6  3,32  19,09  0,29  /15/  0,152  335,3  23,32  56,57  0,87  /16/  0,152  548,6  17,16  8,73  0,13  /17/  0,254  365,9  20  84,81  0,46  /18/  0,152  548,6  9  ‐14,28  0,22  /19/  0,152  396,2  10  ‐16,88  0,26    За сваки чвор мреже се може успоставити једначина по првом Кирхофовом закону (193).  Чвор 12 се бира да буде референтни.    .refnode node node node node node node node node node node node 0QQQQ 0QQQQQ 0QQQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQ 0QQQQ 0QQQQ 0QQQQ 0QQQ 0QQQ 0QQQ )12( )11( )10( )9( )8( )7( )6( )5( )4( )3( )2( )1( /19//18//13//12/ output)11(/17//16//12//11/ /15//14//11//10/ output)9(/10//9//8/ /14//8//7/ /16//7//6/ output)6(/18//6//5/ input)5(/13//5//4/ output)4(/19//4//3/ /17//3//2/ /15//2//1/ input)1(/9//1/ −⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ =+++− =−+++ =+−− =−−+− =++− =−+ =−−− =+−− =−−− =−− =−− =+−− − − − − − −             (193)    На основу једначине (193) се може успоставити редукована матрица чворова (194):   Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 105 ‐    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −− − − −− −− −− −− −− −− = 0011000110000000000 0000110011000000000 0000000001110000000 0000010000011000000 0001000000001100000 0100000000000110000 0000001000000011000 1000000000000001100 0010000000000000110 0000100000000000011 0000000000100000001 'N     (194)    На исти начин као и до сада се могу успоставити једначине петљи (195):    8}8{ 7}7{ 6}6{ 5}5{ 4}4{ 3}3{ 2}2{ 1}1{ 5 5 2 555 5 18 2 181818 5 13 2 131313 2 51813 5 13 2 131313 5 19 2 191919 5 4 2 444 2 13194 5 18 2 181818 5 16 2 161616 5 12 2 121212 5 6 2 666 2 1816126 5 19 2 191919 5 12 2 121212 5 17 2 171717 5 3 2 333 2 1912173 5 16 2 161616 5 7 2 777 5 14 2 141414 5 11 2 111111 2 1671411 5 17 2 171717 5 11 2 111111 5 15 2 151515 5 2 2 222 2 1711152 5 10 2 101010 5 14 2 141414 5 8 2 888 2 10148 5 15 2 151515 5 10 2 101010 5 9 2 999 5 1 2 111 2 151091 CLoop CLoop CLoop CLoop CLoop CLoop CLoop CLoop D QL D QL D QL8 ppp D QL D QL D QL8 ppp D QL D QL D QL D QL8 pppp D QL D QL D QL D QL8 pppp D QL D QL D QL D QL8 pppp D QL D QL D QL D QL8 pppp D QL D QL D QL8 ppp D QL D QL D QL D QL8 pppp = = = = = = = = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ⋅π ρ⋅= =∆−∆−∆ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅π ρ⋅= =∆−∆+∆− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅π ρ⋅= =∆+∆−∆+∆− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅π ρ⋅= =∆−∆−∆+∆− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅π ρ⋅= =∆+∆+∆+∆− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅π ρ⋅= =∆−∆+∆+∆− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ−⋅⋅λ⋅π ρ⋅= =∆−∆−∆ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅π ρ⋅= =∆−∆+∆+∆−       (195)    Ове једначине петљи (195) се могу написати у матричном облику (196):    ‐ 106 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− −−− − −− −− −− = 0100001000000010000 1000001000000001000 0101000100000100000 1010000100000000100 0001010010001000000 0001010010000000010 0000010001010000000 0000100001100000001 L       (196)    Пад притиска у свакој цеви се рачуна као и досад на основу Дарси‐Вајсбахове једначине, при  чему  се  њен  први  извод  у  класично  постављеном  проблему  тражи  тако  да  се  проток  посматра као променљива величина (197):    ( ) ( ) QR2 D QL16 Q QR Q D QL8 Q p'F 52 252 2 ⋅⋅=⋅π ⋅⋅λ⋅ρ⋅=∂ ⋅∂=∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅π ⋅⋅λ⋅ρ⋅∂ =∂ ∆∂=           (197)    Решење се добија на основу израза (198):    [Q]=inv[NL]x[V]                      (198)    Матрица  [Q]  је  матрица,  тј.  вектор  непознатих  протока,  док  се  матрица  [V]     добија  на  следећи начин (199):  [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+⋅∂ ∆∂+− − − = − − − − − − /18/ /18/ /18/ /13/ /13/ /13/ /5/ /5/ /5/ 8 /19/ /19/ /19/ /13/ /13/ /13/ /4/ /4/ /4/ 7 /18/ /18/ /18/ /16/ /16/ /16/ /12/ /12/ /12/ /6/ /6/ /6/ 6 /19/ /19/ /19/ /17/ /17/ /17/ /12/ /12/ /12/ /3/ /3/ /3/ 5 /16/ /16/ /16/ /14/ /14/ /14/ /11/ /11/ /11/ /7/ /7/ /7/ 4 /17/ /17/ /17/ /15/ /15/ /15/ /11/ /11/ /11/ /2/ /2/ /2/ 3 /14/ /14/ /14/ /10/ /10/ /10/ /8/ /8/ /8/ 2 /15/ /15/ /15/ /10/ /10/ /10/ /9/ /9/ /9/ /1/ /1/ /1/ 1 output)11( output)9( output)6( input)5( output)4( input)1( Q Q p Q Q p Q Q p C Q Q p Q Q p Q Q p C Q Q p Q Q p Q Q p Q Q p C Q Q p Q Q p Q Q p Q Q p C Q Q p Q Q p Q Q p Q Q p C Q Q p Q Q p Q Q p Q Q p C Q Q p Q Q p Q Q p C Q Q p Q Q p Q Q p Q Q p C Q 0 Q 0 0 Q Q Q 0 0 Q V           (199)  Где је [NL] обједињена матрица чворова и петљи (200):   Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 107 ‐          (200)  ‐ 108 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Као и досад, првих 11 редова обједињене матрице чворова и прстенова [NL] се узима из  матрице [N’], док се осталих осам редова узима из матрице петљи  [L], при чему је сваки  члан  помножен  првим  изводом  функције  цеви,  како  је  већ  претходно  и  објашњено.  У  претходне две матрице (199 и 200) први изводи тзв. функције цеви по протоку се другачије  облежавају, пошто нотација која се користи у (201) физички не би стала у (200):    ( ) ( ) ( ) /19/ /19/' /19/ /2/ /2/' /2/ /1/ /1/' /1/ Q pF Q pF Q pF ∂ ∆∂= ∂ ∆∂= ∂ ∆∂= M                     (201)    Прорачун је рађен у MS Excel‐у ver 2007 као и сви прорачуни урађени у овој дисертацији.  Слика екрана из MS Excel ver 2007 у којем се обрађује дати проблем се ради илустрације  даје на слици 43n:      Слика 43. Слика екрана из MS Excel ver 2007 у којем се обрађује дати класичан проблем са слике 42                                                                n У прилогу, пример 21 су приказани сви кораци у прорачуну преузети из МS Excel датотеке   Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 109 ‐    Како  је  у  свакој  контури  алгебарска  сума;  ΣR·Q2≈0  са  тачношћу  од  две  децимале,  дистрибутивна мрежа се сматра уравнотеженом.     Како се види из табеле 17, брзина протока је у свим цевима мреже осим једне мање од 1  m/s  што  значи  да  су  цеви  предимензионисане.  Због  тога  ће  се  приступити  проблему  оптимизације који ће овде бити урађен применом модификованог Харди Крос метода.    Пошто се овде третира флуид, брзина се рачуна по формули (202):    π⋅ ⋅=υ 2 uD Q4                       (202)    Иако  се  формула  (202)  чини  тривијалном,  она  је  узрок  грешака  при  пројектовању  гасоводних  мрежа.  Наиме  гас  је  по  својој  природи  компресибилан  (стишљив)  флуид,  и  брзина у многоме зависи од тога на ком притиску се одвија проток гаса. Овај притисак је у  гасоводној  мрежи  око  4·105  Ра  abs,  односно  3·105  Ра  манометарског,  односно  мереног  притиска  (натпритиска).  Грешка  настаје  у  томе  што  се  каже  уобичајено  да  су  падови  притиска у гасоводној мрежи тако мали да се он може посматрати као нестишљив флуид,  тј.  као  вода  или  нафта  (Brkić  2009i).  То  је  тачно,  међутим  треба  имати  у  виду  да  гас  претходно са вишег притиска експандује, и улази у гасоводну мрежу у којој влада 4·105 Ра  abs и даље у гасоводној мрежи минимално, тј. занемарљиво експандује при чему се може  правилно  рећи да  се  понаша  као  нестишљив флуид. Међутим  ако  се  каже да  је  проток  гаса 100 m3/h,  то  значи  да  је  то  количина  која  је  сведена  на  нормалне  или  стандардне  услове, а да је гас у мрежи компримован и да та иста количина коју потрошачи преузму за  један сат у мрежи има запремину од 25 m3/h. При прорачунима гасних мрежа не сме се  заборавити  да  гас  није  течност  и  да  је  утолико  само  условно  нестишљив.  У  Реноаровој  једначини  улази  проток  на  нормалним  условима,  док  у  једначини  (202)  конфигурише  проток на условима у мрежи. За сада се вратимо проблему оптимизације мреже са слике  42,  који  је  донекле  простији  у  односу  на  случај  гасоводне  мреже  из  горе  наведених  разлога.     Дакле,  у  проблему  оптимизације  дистрибутивних  мрежа  полази  се  од  исте  основне  једначине цеви као и код класичног проблема. То је у случају водоводних мрежа Дарси‐ Вајсбахова једначина, при чему се Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора на основу  Колбрукове  једначине,  а  у  случају  гасоводних мрежа  то  је  Реноарова  једначина.  Једина  разлика је у томе што се сада узима да је пречник променљива величина (203):    ( ) ( ) 6 u6 u 2 2 u 5 u 5 u 2 2 DR2 D QL40 D DR D D QL8 D p −− ⋅⋅=⋅π ⋅⋅λ⋅ρ⋅−=∂ ⋅∂=∂ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅π ⋅⋅λ⋅ρ⋅∂ =∂ ∆∂         (203)    Даље ће се оптимизација радити према модификованој Харди Крос методи (204):  ‐ 110 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } { }⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∆∂−∂ ∆∂− ∂ ∆∂−∂ ∂ ∂ ∆∂− ∂ ∆∂−∂ ∂ ∂ ∆∂−∂ ∆∂− ∂ ∆∂−∂ ∆∂−∂ ∂ ∂ ∆∂− ∂ ∆∂−∂ ∂ ∂ ∆∂−∂ ∆∂− ∂ ∆∂−∂ ∆∂−∂ ∂ ∂ ∆∂− ∂ ∆∂−∂ ∂ ∂ ∆∂− ∂ ∆∂−∂ ∆∂−∂ ∂ 8 7 6 5 4 3 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 8 8 8 13 8 18 7 13 7 7 7 19 6 18 6 6 6 12 6 16 5 19 5 12 5 5 3 17 4 16 4 4 4 11 4 14 3 17 3 11 3 3 3 10 2 14 2 2 2 10 1 15 1 10 1 1 C C C C C C C C D D D D D D D D x D )D(C D )D(p D )D(p00000 D )D(p D )D(C0 D )D(p0000 D )D(p0 D )D(C D )D(p D )D(p000 0 D )D(p D )D(p D )D(C0 D )D(p00 00 D )D(p0 D )D(C D )D(p D )D(p0 000 D )D(p D )D(p D )D(C0 D )D(p 0000 D )D(p0 D )D(C D )D(p 00000 D )D(p D )D(p D )D(C   (204)    Ознака С се у матричној једначини (204) односи на целе контуре, тако да је нпр. за контуру  1, први извод функције С по пречнику као промењивој величини (205):    ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( )( ) { } ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅⋅λ−⋅⋅λ+⋅⋅λ+⋅⋅λ−⋅π ρ⋅−= =∂ ∆−∆+∆+∆−∂=∂ ∂ 6 15 2 151515 6 10 2 101010 6 9 2 999 6 1 2 111 2 1 151510109911 1 1 D QL D QL D QL D QL40 D DpDpDpDp D DC          (205)    Остали  чланови  се  односе  на  цеви  које  су  заједничке  за  више  контура.  Прва  матрица,  тј.  матрица извода у матричној  једначини  (205)  је симетрична у односу на  главну дијагоналу,  тако да је нпр. (206):    { } { }2 10 1 10 D )D(p D )D(p ∂ ∆∂−=∂ ∆∂−                   (206)    Што уједно значи да је цев 10 у мрежи са слике 42 заједничка за контуре {1} и {2}. Пошто је  мрежа  раванска  сви  чланови  на  главној  дијагонали  су  негативни,  док  су  сви  чланови  ван  главне  дијагонале  позитивни  (када  су  бројне  вредности  у  питању;  слике  44  и  45).  Код  класичног  проблема  стање  је  обрнуто,  као  што  је  већ  објашњено.  У  случају  матричне  интерпретације  основног  Харди  Крос  метода  из  1936.  године  сви  чланови  ван  главне  дијагонале у матрици извода (222) су једнаки нули.    Слика 44. Матрица извода за оптимизациони проблем за мрежу са слике 42, бројчане вредности, итерација 1      Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 111 ‐      Слика 45. Матрица извода за оптимизациони проблем за мрежу са слике 42, бројчане вредности, итерација 2   Овде  се дају  такође  прикази  екрана на  којима  се  види прорачун,  са  тиме да  се  одабир  алгебарског знака поправки врши у скривеним слојевима у оквиру MS Excel датотекеo.    Поступак  је потпуно исти као и код примене модификоване Харди Крос методе кад  је у  питању  класичан  проблем  са  тиме  да  се  као  резултат  добија  не  поправка  протока,  већ  поправка пречника који се затим додаје на вредност пречника из претходне итерације на  основу истих алгебарских правила која су већ показана у поглављу В.1.1. Улазни подаци и  решења за оптимизациони проблем мреже са слике 42 се дају у табели 18:    Табела 18. Подаци и решења за оптимизациони проблем за мрежу са слике 42  Број  цеви  aПроток  (m3/h)  Дужина  (m)  Пречник (m)    Брзина (m/s)  bПочетни  cКрајњи    dПре  После          оптимизације  /1/  200,67  457,2  0,2664  0,2483    0,76  1,15  /2/  144,10  304,8  0,2257  0,2025    1,24  1,24  /3/  59,29  365,8  0,1448  0,1417    0,51  1,04  /4/  ‐37,23  609,6  0,1147  0,1125    0,32  1,04  /5/  31,27  853,4  0,1051  0,1043    0,27  1,02  /6/  ‐45,17  335,3  0,1263  0,1236    0,39  1,05  /7/  53,90  304,8  0,1380  0,1690    0,46  0,67  /8/  34,82  762,0  0,1109  0,1173    0,30  0,89  /9/  172,65  243,8  0,2471  0,2651    1,48  0,87  /10/  1,39  396,2  0,0221  0,0338    0,02  0,43  /11/  38,88  304,8  0,1172  0,1094    0,60  1,15  /12/  26,70  335,3  0,0971  0,0912    0,15  1,13  /13/  57,86  304,8  0,1430  0,1460    0,32  0,96  /14/  19,09  548,6  0,0821  0,1067    0,29  0,59  /15/  56,57  335,3  0,1414  0,1465    0,87  0,93  /16/  8,73  548,6  0,0555  0,0893    0,13  0,39  /17/  84,81  365,9  0,1731  0,1531    0,46  1,28  /18/  ‐14,28  548,6  0,0710  0,0746    0,22  0,91  /19/  ‐16,88  396,2  0,0772  0,0825    0,26  0,88  aОбрнут смер протока од оног приказаног на слици 42  bпрема (202) – наставак напомена уз табелу се даје на следећој страни                                                               o Видети у прилогу пример 22  ‐ 112 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак напомена уз табелу 18 са претходне стране cОво су крајњи прорачунати пречници, међутим такве цеви у стварности не постоје тако да се  морају одабрати цеви са стандардним пречницима и то тако да се бира први већи уколико је  брзина већа од 1 m/s односно први мањи ако је брзина испод 1 m/s. Након овога би се пореметили  протоци, што би захтевало класичан прорачун протока са тако одабраним стандардним  пречницима  dвредности из табеле 17; не постоји директна корелација између пречника у табели 17 и овде  прорачунатих (оптимизованих)    За  разлику  од  решења  класичног  проблема  које  је  јединствено,  код  проблема  оптимизације  постоји  бесконачно  много  решења.  Међутим  ако  се  претпостави  брзина  флуида за коју се мрежа оптимизује то решење је јединствено (у нашем случају та брзина  је  1 m/s  а  оптимизовани  пречници  су  дати  у  табели  18).  Као  што  се  види  из  табеле  прорачунска  брзина  је  када  се  све  цеви  узму  у  обзир  у  просеку  око  1  m/s.  Да  се  оптимизација вршила нпр. за брзину од 2 m/s, цеви би биле мањег пречника.    Сада  се  може  приступити  оптимизацији  гасоводне  мреже  приказане  на  слици  46.  На  улазима  у  мрежу  гас  је  под  притиском  од  4·105  Ра  abs.  Гасоводну  мрежу  треба  оптимизовати за брзину од 15 m/s применом модификоване Харди Крос методе. Дужина  свих цеви са слике 46 је 100m, осим цеви 1 чија је дужина 200m.      Слика 46. Пример гасоводне мреже Код тзв. класичног проблема мрежа се посматра као већ дата, тј. са унапред одређеним  пречницима, дужинама и храпавостима цеви, као и са унапред одређеним максималним  потрошњама  флуида  по  чворовима  мреже  (улази  флуида  у  мрежу  се  посматрају  као  негативна  потрошња),  док  се  прерасподела  протока  по  гранама  (цевима)  мреже  прорачунава.  Код  проблема  оптимизације,  унапред  је  позната  расподела  протока  по  гранама  цевоводне  мреже,  док  се  пречници  прорачунавају  у  итеративном  поступку.  У  случају  протока  гаса  кроз  полиетиленске  цеви  вредност  релативне  храпавости  се  занемарује јер је у овом случају режим протока уобичајено хидраулички ‘гладак’. У овом  раду  ће  се  посматрати  само  проблем  дистрибуције  гаса  као  сложенији  у  односу  на  проблем  дистрибуције  воде  из  тог  разлога  што  је  гас  компресибилан  флуид.  Наиме  у  типичној  градској  мрежи  за  дистрибуцију  гаса  притисак  је  отприлике  4·105  Pa  abs.,  што   Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 113 ‐    значи да иста маса гаса има четири пута мању запремину од запремине исте масе гаса на  нормалним  или  стандардним  условима.  Последица  овога  је  да  брзина  гаса  у  цевоводу  зависи од притиска који влада у истом (207):    pD Qp4 2 u st ⋅π⋅ ⋅⋅=υ                       (207)    Једначина (202) се примењује за нестишљив проток течног флуида, док се формула (207)  примењује за стишљив проток гасовитог флуида.    На основу једначине (207) лако се може изразити непознати пречник (208):    p Qp4D stu ⋅π⋅υ ⋅⋅=                     (208)    У  претходној  једначини  (208)  једина  непозната  величина  је  брзина  флуида  која  се  у  случају  протока  гаса  усваја  да  буде  мања  од  20  m/s,  док  се  за  мреже  којима  се  дистрибуира  течни  флуид  брзина  усваја  као  знатно  нижа  и  то  у  опсегу  0,75‐1,5  m/s.  Усвојиће  се  да  је  у  нашем  случају  брзина  струјања  гаса  кроз  цеви  15 m/s.  Израчунати  полазни пречници за пример са слике 46 се дају у табели 19:    Табела 19. Полазни (А) и коначни (Б) пречници (модификована Харди Крос метода)  Цев  Du (mm)  Цев  Du (mm)  (А)  (Б)  (А)  (Б)  1  42,05  45,86  6  24,28  23,94  2  64,24  60,43  7  54,29  52,75  3  42,05  45,86  8  38,39  39,93  4  34,34  32,07  9  48,56  48,90  5  48,56  52,03  10  29,74  28,53    Пречници  цеви  у  табели  19  су  добијене  за  p/pst=4.  Падови  притиска  за  гасне мреже  се  добијају на основу добро познате и у овој дисертацији много пута помињане Реноарове  једначине (209):    82,4 u 82,1 str2 1 2 2 D QL4810ppF ⋅⋅ρ⋅=−=                   (209)    Са  слике  46  може  се  закључити  да  је  за  сваки  чвор  мреже  задовољен  услов  по  првом  Кирхофовом  закону  који  мора  и  да  се  одржи  за  сваку  наредну  итерацију.  Међутим  за  пречнике дате у табели 19 под (А), други Кирхофов закон није задовољен, тако да се мора  приступити уравнотежењу мреже које се може извести на два начина, и то:  1. Класично, тако што се пречници цеви сматрају константама, а протоци по цевима  се прорачунавају погодном методом, или   ‐ 114 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      2. Оптимизацијом,  где  се  пречници  сматрају  променљивима  а  протоци по  гранама  мреже константама.    Слично  као и  код  класичног метода дефинисаће  се функције  контура  (210)  полазећи од  једначине (209) за мрежу са слике 46.    ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ++−−= −+−= +−+−= 10965III 10874II 54321I FFFFF FFFFF FFFFFF                   (210)    Функције  контура  (210)  су  написане  тако  што  је  свака  контура  описивана  у  смеру  супротном  од  кретања  казаљке  на  сату.  За  разлику  од  класичног  приступа,  за  методу  оптимизације пречника је потребно наћи изводе и то тако ако се пречници посматрају као  променљиве величине (211):    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂−=∂ ∂ ∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂=∂ ∂ u u10 u u9 u u6 u u5 u uIII u u10 u u8 u u7 u u4 u uII u u5 u u4 u u3 u u2 u u1 u uI D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF             (211)    На пример, за цев 1 први извод је (212):    ( ) 82,5 1 82,1 1r u u1 1 D QL 481082,4 D DF'F ⋅⋅ρ⋅⋅−=∂ ∂=                 (212)    Поправка пречника за прву контуру се према класичној Харди Крос методи рачуна, нпр. за  контуру I као (213):    ( ) ( )( ) u uI uI IuI D DF DFD ∂ ∂=∆=∆                     (213)    Пошто  ће  се  оптимизација  у  нашем  случају  вршити  унапређеном  Харди  Кросовом  методом  за  коју  је  потребно  увести  матрични  рачун,  прорачун  поправних  пречника  записати у матричном облику (214):    ( )( )[ ] [ ] ( )( )[ ]1iuiu1iu DFDxDF −− =∆∇                   (214)    У нашем случају матрица,  тј. вектор непознатих поправки протока се може записати као  (215):     Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 115 ‐    [ ] ( )( ) ( ) iuIII uII uI i u D D D D ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ =∆                     (215)    Вектор функција контура се даје у матричном облику као (216):    ( )( )[ ] ( )( ) ( ) 1iuIII uII uI 1i u DF DF DF DF − − ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =                    (216)    Матрица извода се у случају оригиналне Харди Крос методе даје као (217):    ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) 1iu uIII u uII u uI 1i u D DF 00 0 D DF 0 00 D DF DF − − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =∇               (217)    Бројач  i  се  односи  на  одређену  итерацију.  Разлика  између  оригиналне  и  унапређене  Харди Крос методе  је  у  томе што  се  код оригиналне методе  јављају  само 0  на местима  свих  чланова  ван  главне  дијагонале  у  матрици  извода  функција  контура  (218).  Код  модификоване Харди Крос методе ова празна поља се попуњавају на основу суседности  контура. Тако нпр. цев 4 је заједничка за контуре I и II, цев 10 за контуре II и III, док је цев 5  заједничка  за  контуре  I  и  III.  Тако  се  у  случају  унапређеног  Харди  Крос  метода  може  написати  матрица  извода  као  (218).  Матрица  извода  је  симетрична  у  односу  на  главну  дијагоналу. Тако се нпр. у пресеку прве колоне и другог реда, као и у пресеку првог реда и  друге  колоне  уписује  исти  члан,  односно  извод  функције  цеви  4  пошто  је  ова  цев  заједничка контуре I и II. Сви елементи ван главне дијагонале у матрици извода се узимају  са супротним предзнаком од оних на главној дијагонали.    ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1iu uIII u u10 u u5 u u10 u uII u u4 u u5 u u4 u uI 1i u D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF D DF DF − − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂−∂ ∂− ∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂ =∇               (218)    Након прорачуна матрице непознатих,  тј. матрице поправних протока, на пречник сваке  цеви у одређеној контури који  је прорачунат у претходној итерацији потребно  је додати  одговарајућу  поправку  за  припадајућу  контуру  са  негативним  предзнаком.  Тако  нпр.  поравни пречник ΔI се додаје са негативним предзнаком на пречнике свих цеви из прве  контуре, тј. на цеви 1, 2, 3, 4 и 5. Пречници цеви 1, 3 и 5 у првој итерацији се узимају као  позитивни јер се њихов смер поклапа са усвојеним смером обиласка контуре.    ‐ 116 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Цеви  заједничке  за  две  контуре морају  примити додатну  корекцију  пречника  на  основу  правила,  тако да алгебарско сабирање треба извршити на основу следећих правила која  су већ претходно објашњена и која гласе (поглавље В.1.1):  • Алгебарски  знак  за  поправку  Δ1  треба  узети  са  различитим  предзнаком  од  свог  знака, тј. потребно је сабрати када је знак – (минус), и обрнуто;  • Алгебарска операција за поправку Δ2 треба да буде супротна од њеног доњег знака  када  је  горњи  знак  исти  као  онај  уз  проток  срачунат  у  претходној  итерацији  (односно  у  првој  итерацији  знак  уз  претпостављен  иницијални  проток),  у  супротном је исти као доњи знак.    Горњи знак који се обично пише уз поправку пречника која потиче из суседне контуре (Δ2)  при прорачуну; + (плус) или – (минус), указује нам на начин обилажења суседне контуре у  односу  на  претпостављени  смер  протока.  Уколико  се  смер  претпостављеног  протока  поклопи са смером обилажења суседне контуре усваја се горњи знак + (плус), у супротном  –(минус).  Доњи  знак  се  преписује  из  прве  поправке  суседне  контуре  са  којом  постоји  заједничка цев. Корекција Δ1 се односи на припадајућу контуру, док се корекција Δ2 усваја  из контура којима припадају заједничке цеви  (видети табелу 5 за појмове горњи и доњи  знак).     Прорачун  се  зауставља  када  услов  по  другом  Кирхофовом  закону  буде  приближно  0  у  складу  са  унапред  претпостављеном  тачношћу.  У  литератури  се  често  први  Кирхофов  закон  назива  и  првим  законом  хидраулике,  а  други  Кирхофов  закон  другим  законом  хидраулике. Први закон суштински одговара принципу одржања масе, а други одржања  енергије. Прва итерација за овај прорачун се даје у табели 20:    Taбeлa 20. Пример прорачуна модификованом Харди Крос методом (прва итерација за мрежу са слике 46)    Цев  D (m)  F  F’  Корекција 1  Корекција 2  D (m)  I  1  +0,04205  +28746376456  ‐3294893153110  +0,003400943    +0,045453  2  ‐0,06424  ‐8718601136  ‐654209195465  +0,003400943    ‐0,060835  3  +0,04205  +14373188228  ‐1647446576555  +0,003400943    +0,045453  4  ‐0,03434  ‐18257737380  ‐2563013020964  +0,003400943  ‐0,001280657±  ‐0,032215  5  +0,04856  +12129398327  ‐1204004519864  +0,003400943  ‐0,000240858=  +0,051718    Σ  +28272624496  ‐9363566465958    ΔI(Du)=‐0,003400943; према ј‐ни (231)  II  4  +0,03434  +18257737380  ‐2563013020964  +0,001280657  ‐0,003400943=  +0,032215  7  ‐0,05429  ‐10633160046  ‐944052622692  +0,001280657    ‐0,053009  8  +0,03839  +16005529575  ‐2009642924520  +0,001280657    +0,039669  10  ‐0,02974  ‐21635194830  ‐3506986026540  +0,001280657  ‐0,000240858±  ‐0,028696    Σ  +1994912078  ‐9023694594716    ΔII(Du)=‐0,001280657; према ј‐ни (231)  III  5  ‐0,04856  ‐12129398327  ‐1204004519864  +0,000240858  ‐0,003400943±  ‐0,051718  6  ‐0,02428  ‐27482399807  ‐5455989273507  +0,000240858    ‐0,024038  9  +0,04856  +12129398327  ‐1204004519864  +0,000240858    +0,048799  10  +0,02974  +21635194830  ‐3506986026540  +0,000240858  ‐0,001280657=  +0,028696    Σ  ‐5847204976  ‐11370984339774    ΔIII(Du)=‐0,000240858; према ј‐ни (231)     Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 117 ‐    По  завршетку  прорачуна,  брзина  протока  флуида  неће  бити  она  за  коју  је  вршена  оптимизација, већ ће та брзина (у нашем случају 15 m/s), бити отприлике средња брзина  протока  у  мрежи.  У  неким  гранама  ће  бити  мања,  док  ће  у  некима  бити  већа  од  ове  ‘оптимизирајуће’ брзине, али се ниуједној цеви неће јавити превелико одступање (Табела  21). Наравно, крајњи резултати који се добију за пречнике неће одговарати стандардним  пречницима цеви, тако да је потребно усвојити први већи или мањи стандардни пречник.  Ово ће унеколико покварити расподелу протока по цевима тако да би било добро са овим  стандардним пречницима још једном прорачунати мрежу на класичан начин код кога се  протоци посматрају као променљиве.    За прорачун приказан у табели 20 су потребни протоци по цевима који су дати на слици  46,  док  је  потребна  дужина  цеви  дата  у  претходном  тексту.  Протоци  у  прорачуну  приказаном у  табели 20 морају  бити  у m3/s.  Коначне брзине протока  гаса  по цевима  су  дате у табели 21. Прорачун је вршен у десет итерација.    Taбeлa 21. Крајње брзине протока (модификована Харди Крос метода)  Цев  υ (m/s)  Цев  υ (m/s)  1  12,61 6  15,43  2  16,95 7  15,89  3  12,61 8  13,86  4  17,20 9  14,79  5  13,07 10  16,29    Оптимизација исте мреже (Слика 46) се може извршити и применом обједињене методе  чворова и прстенова. Извесна прилагођења потребна за прорачун се дају на слици 47.    Слика 47. Пример гасоводне мреже (примена обједињеног метода чворова и петљи у оптимизационом  проблему) ‐ 118 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Мрежа приказана на слици 47 је истоветна са мрежом са слике 46, са тиме да су на мрежи  47 додељени редни бројеви чворовима а исто тако су додате и фиктивне излазне цеви. Да  би  се  оптимизовала  мрежа  обједињеном  методом  чворова  и  прстенова,  потребно  је  излазне и улазне протоке који су константни, заменити фиктивним цевима са константним  пречницима.  Већ  је  раније  напоменуто  да  у  оптимизационом  проблему,  за  разлику  од  класичног,  решење  није  јединствено.  Иако  се  очекује  да  се  за  одређену  фиксну  оптимизирајућу  брзину  добије  истоветно  решење  применом  било  које методе,  то  овде  није случај. Обједињени метод чворова и петљи више “разбаца” решења око оптималне  брзине за разлику од модификованог Харди Крос метода. У поглављу В.3 ове дисертације  је  приказан  класичан  поступак  решавања  дистрибуционе мреже  обједињеном методом  чворова  и  петљи.  Овде  ће  се  тај  метод  прилагодити  за  решавање  оптимизационог  проблема.  Даље  решење  се  односи  на  мрежу  са  слике  47  за  коју  се  може  написати  проширена матрица чворова (219):    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− −− − − = 0011000000 0001001010 0000000011 1110000000 1000011000 0100100000 0000110100 0000000101 'N             (219)    Први  ред  проширене  матрице  чворова  (219)  се  односи  на  референтни  чвор  па  се  он  изоставља без икаквог губитка информација о матрици чиме се добија матрица чворова  (220):    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− −− − = 0011000000 0001001010 0000000011 1110000000 1000011000 0100100000 0000110100 N             (220)    На сличан начин се успоставља и матрица контура (221):    [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− = 1100110000 1011001000 0000011111 L               (221)    Даље се матрице чворова и контура могу објединити у  јединствену матрицу на следећи  начин (222):   Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 119 ‐    [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∆∂⋅∂ ∆∂⋅∂ ∆∂⋅−∂ ∆∂⋅− ∂ ∆∂⋅−∂ ∆∂⋅∂ ∆∂⋅−∂ ∆∂⋅ ∂ ∆∂⋅∂ ∆∂⋅−∂ ∆∂⋅∂ ∆∂⋅−∂ ∆∂⋅ −− −− −− −− − = /10/ /10/ 2 /9/ /9/ 2 /6/ /6/ 2 /5/ /5/ 2 /10/ /10/ 2 /8/ /8/ 2 /7/ /7/ 2 /4/ /4/ 2 /5/ /5/ 2 /4/ /4/ 2 /3/ /3/ 2 /2/ /2/ 2 /1/ /1/ 2 D p~1 D p~100 D p~1 D p~10000 D p~10 D p~1 D p~100 D p~1000 00000 D p~1 D p~1 D p~1 D p~1 D p~1 0011000000 0001001010 0000000011 1110000000 1000011000 0100100000 0000110100 NL   (222)    Док се матрица [V] може написати као (223):    [ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−+− ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−⋅∂ ∆∂−+− = − − − − /10/ /10/ /10/ 2 /9/ /9/ /9/ 2 /6/ /6/ /6/ 2 /5/ /5/ /5/ 2 3 /10/ /10/ /10/ 2 /8/ /8/ /8/ 2 /7/ /7/ /7/ 2 /4/ /4/ /4/ 2 2 /5/ /5/ /5/ 2 /4/ /4/ /4/ 2 /3/ /3/ /3/ 2 /2/ /2/ /2/ 2 /1/ /1/ /1/ 2 1 output6 input5 output3 input2 D D p~D D p~D D p~D D p~C D D p~D D p~D D p~D D p~C D D p~D D p~D D p~D D p~D D p~C )Q(D~ 0 )Q(D~ 0 )Q(D~ )Q(D~ 0 V   (223)    Где се обе матрице, и [NL] и [V] користе у изразу (224):    [Q]=inv[NL]x[V]                    (224)    За разлику од класичног проблема код кога су први чланови (онолико колико има чворова  умањено за један референтни чвор) потрошње по чворовима, или улази флуида уколико  имају  негативан  предзнак,  код  оптимизационог  проблема  то  место  заузимају  фиктивне  цеви, чији се пречник израчуна преко следеће формуле (225):    ( ) π⋅υ ⋅=− Q4)Q(D~ inputx                     (225)    Када је гас у питању, исто као што је и случај са водом, тј. течним флуидом у претходној  формули  не  постоји  корекција  запремине  у  односу  на  притисак.  Разлог  овоме  треба  тражити у  томе што ни ког класичног проблема овај улазно/излазни проток не узимамо  сведен на притисак у цевоводу, већ га узимамо на стандардним условима. У даљем току  прорачуна  све  је  истоветно  као  и  код  класичног  проблема.  Почетни,  као  и  прорачунати  пречници се дају у  табели 24,  с  тиме да се другачији пречници добијају за исте почетне  ‐ 120 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      услове применом модификоване Харди Крос методе (упоредити са резултатима у табели  21). Разлика у решењима потиче отуда што је обједињена метода чворова као метода која  има већи  тзв.  Корак прескочи нека од ближих,  а  самим  тим и оптималнијих решења  за  дату брзину. Нумеричке вредности за прве две итерације се дају у Табелама 22 и 23.    Taбeлa 22. Пример прорачуна обједињеном методом чворова и петљи (прва итерација за мрежу са слике 47)    Цев  L (m)  Q (m3/s)  D (m)  F  F’  υ (m/s)  I  1  200  +0,08333  +0,04205  +28746376456  ‐3294893153110  15  2  100  ‐0,19444  ‐0,06424  ‐8718601136  ‐654209195465  15  3  100  +0,08333  +0,04205  +14373188228  ‐1647446576555  15  4  100  ‐0,05556  ‐0,03434  ‐18257737380  ‐2563013020964  15  5  100  +0,11111  +0,04856  +12129398327  ‐1204004519864  15        Σ +28272624496      II  4  100  +0,05556  +0,03434  +18257737380  ‐2563013020964  15  7  100  ‐0,13889  ‐0,05429  ‐10633160046  ‐944052622692  15  8  100  +0,06944  +0,03839  +16005529575  ‐2009642924520  15  10  100  ‐0,04167  ‐0,02974  ‐21635194830  ‐3506986026540  15        Σ +1994912078      III  5  100  ‐0,11111  ‐0,04856  ‐12129398327  ‐1204004519864  15  6  100  ‐0,02778  ‐0,02428  ‐27482399807  ‐5455989273507  15  9  100  +0,11111  +0,04856  +12129398327  ‐1204004519864  15  10  100  +0,04167  +0,02974  +21635194830  ‐3506986026540  15    Σ ‐5847204976        Taбeлa 23. Пример прорачуна обједињеном методом чворова и петљи (друга итерација за мрежу са слике 47)    Цев  L (m)  Q (m3/s)  D (m)  F  F’  υ (m/s)  I  1  200  +0,08333  +0,04413  +22775609855  ‐2487427443773  13,62  2  100  ‐0,19444  ‐0,10942  ‐669104309.1  ‐29474443567  5,17  3  100  +0,08333  +0,04796  +7624695836  ‐766228359008  11,53  4  100  ‐0,05556  ‐0,03031  ‐33283696380  ‐5292246888168  19,24  5  100  +0,11111  +0,07425  +1566618904  ‐101704023773  6,42        Σ ‐1985876093      II  4  100  +0,05556  +0,03031  +33283696380  ‐5292246888168  19,24  7  100  ‐0,13889  ‐0,07911  ‐1732253459  ‐105547815519  7,06  8  100  +0,06944  +0,05387  +3124830914  ‐279568295809  7,62  10  100  ‐0,04167  ‐0,02842  ‐26901848311  ‐4562326073784  16,42        Σ +7774425524      III  5  100  ‐0,11111  ‐0,07425  ‐1566618904  ‐101704023773  6,42  6  100  ‐0,02778  ‐0,02628  ‐18753231989  ‐3439217179998  12,80  9  100  +0,11111  +0,08230  +953844553.6  ‐55865769855  5,22  10  100  +0,04167  +0,02842  +26901848311  ‐4562326073784  16,42    Σ ‐7535841971        Оптимизоване  брзине  добијене  модификованом  Харди  Крос  методом  (Табела  21)  и  обједињеном методом чворова и петљи (Табела 24) се разликују. Међутим мрежа је у оба  случаја  уравнотежена,  што  је  само  још  један  доказ  да  оптимизациони  метод  има   Г.  Д ис тр иб уц иј а  га са  ц ев ов од им а,  п ро бл ем  о пт им из ац иј е  пр еч ни ка  ц ев и  пр и  ко нс та нт ни м  п ро то ци м а  ‐ 121 ‐    бесконачно  много  решења,  односно  применом  одређеног  метода  за  одређену  претпостављену брзину решење постаје јединствено за дате услове.   За претпоставити је  да  се  обједињеном  методом  чворова  и  петљи  могу  добити  истоветна  решења  као  и  применом  модификоване  Харди  Крос  методе.  Различитост  решења  се  може  објаснити  тиме да  је већи  ‘корак’ обједињене методе чворова и петљи у односу на модификовану  Харди  Крос  методу,  тако  да  се  поједина  оптимална  решења  која  су  ближа  почетним  условима једноставно прескоче.     Табела 24. Полазни (А) и коначни (Б) пречници (обједињена метода чворова и петљи)  Цев  Du (mm)  (А)  (Б)  1  42,05  45,31  2  64,24  108,25  3  42,05  49,14  4  34,34  31,47  5  48,56  73,40  6  24,28  24,27  7  54,29  76,78  8  38,39  56,20  9  48,56  84,31  10  29,74  28,11    Коначне  брзине  које  одговарају  фиксираном  протоку  гаса  по  цевима  и  крајњим  пречницима из табеле 24 се дају у табели 25:    Taбeлa 25. Крајње брзине протока (обједињена метода чворова и петљи)  Цев  υ (m/s)  1  12,92 2  5,28 3  10,99 4  17,86 5  6,56 6  15,02 7  7,50  8  7,00  9  4,98  10  16,78    ‐ 122 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Обједињени метод чворова и петљи треба са повећаном опрезношћу користити када је у  питању  оптимизациони  проблемp.  Уколико  се  јави  потреба  за  оптимизацијом  цеви  у  мрежи боље је прорачун вршити модификованим Харди Крос методом.    Пречници  који  су  прорачунати  у  оптимизационом  поступку  нису  стандардни.  Зато  је  потребно  одабрати  први  већи  или  мањи  пречник,  и  то  тако  да  се  бира  мањи  пречник  уколико је прорачуната брзина већа од тзв. оптимизирајуће брзине и обрнуто, први већи  уколико  је прорачуната брзина мања од тзв. оптимизирајуће брзине која се користи као  параметар  у  прорачуну.  Ова  промена  пречника  одабиром  првом  стандардног  из  расположивог  сета  цеви  квари  равнотежу  по  другом  Кирхофовом  закону  тако  да  је  потребно  извршити  још  једну  рачуницу,  тј.  за  те  нове  пречнике  цеви,  сада  стандардне,  потребно  је  извршити  прорачун  стационарне расподеле  протока  по  цевима  прстенастог  дела гасоводне мреже.                                                                 p У прилогу, пример 23 се оптимизује просторна гасоводна мрежа која је више пута досад служила за објашњавања у  оквиру ове дисертације   Д . П ри м ер и  из  п ра кс е;  р еа лн е  га со во дн е  м ре ж е  пр ст ен ас то г т ип а  ‐ 123 ‐    Д. Примери из праксе; реалне гасоводне мреже прстенастог типа    На примеру симетричне мреже како по распореду цеви, тако и по потрошњи и улазима,  могу се идентификовати неки типични проблеми који могу да се јаве у раду мреже (Слика  48).     Слика 48. Пример просторне симетричне гасоводне мреже Мрежа је изабрана врло пажљиво како би се могући проблеми који могу да се  јаве што  јасније  испољили.  За  овако  постављену  мрежу  проток  кроз  цев  6  би  морао  да  буде  двосмеран  или  да  га  уопште  не  буде. Методе  које  су  у  овом  докторату  приказане,  као  уосталом  и  све  методе  које  обрађују  овај  проблем,  полазе  од  претпоставке  да  је  потрошња придружена чворовима,  тј. да  се  у  свим цевима флуид креће од  једног краја  цеви ка другом, са тиме да се током прорачуна смер може променити.    Међутим треба узети у обзир да се реални потрошачи налазе дуж цеви. Ово имплицира  да  би  потрошачи  дуж  цеви  остали  без  потребне  количине  гаса  (математичка  интерпретација  проблема).  Уколико  је мрежа  добро  конципирана,  то  се  неће  десити.  У  нашем  случају  протоци  у  мрежи  неће  при  највећем  оптерећењу  мреже  бити  једнаки  прорачунатим,  већ  ће  се  прерасподелити  и  то  тако  да  неке  од  грана  буду  двосмерно  напајане (Слика 49) (Калуђерчић 2002).  ‐ 124 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Потрошња по чворовима мреже са слике 48 се даје у табели 26.    Табела 26. Константна потрошња и улази по чворовима мреже са слике 48  Чвор  m3/h  m3/s  Чвор  m3/h  m3/s  I’  60  1/60   I’  ‐7000  ‐1  17/18  II’  2300  23/36   III’  185  37/720  IV’  90  1/40   V’  185  37/720  VI’  2300  23/36   VII’  290  29/360  VIII’  225  1/16   IX’  850  17/72   X’  225  1/16   XI’  290  29/360    Први иницијални, претпостављени протоци по гранама мреже се дају у табели 27.    Табела 27. Иницијални и крајњи прорачунати протоци по гранама мреже са слике 48    Иницијални проток  Прорачунати проток  Цев  D (m)  m3/s  m3/h  m3/s  m3/h  1’  0,1524  7/36  700  85/421  726,84  2’  0,1524  1/9  400  1/29   124,14  3’  0,1524  47/180  940  81/329  886,32  4’  0,3048  5/6  3000  639/760  3026,84  5’  0,1524  61/240  915  180/973  665,98  6’  0,3048  13/144  325  0  0  7’  0,1524  19/72  950  40/383  375,98  8’  0,3048  29/144  725  32/763  150,98  9’  0,3048  1/48  75  32/763  150,98  10’  0,1524  1/12  300  40/383  375,98  11’  0,1524  61/240  915  180/973  665,98  12’  0,1524  1/9  400  1/29   124,14  13’  0,1524  7/36  700  85/421  726,84  14’  0,3048  5/6  3000  639/760  3026,84  15’  0,1524  1/72  50  58/381  548,03     Д . П ри м ер и  из  п ра кс е;  р еа лн е  га со во дн е  м ре ж е  пр ст ен ас то г т ип а  ‐ 125 ‐      Слика 49. Идентификација проблема двосмерно напајаних деоница  Ово имплицира да су у симетричним мрежама најугроженији потрошачи који се налазе на  средини деоница, тј. грана мреже (Слика 50). У неким случајевима код прорачуна оваквих  мрежа  може  да  дође  до  дивергенције  метода,  или  што  је  чешћи  случај  мрежа  прорачунски може да дође у стање тзв. клацкалице, тј. да се у свакој итерацији мења смер  у  појединим  деоницама  и  тако  у  недоглед  (нити  конвергира  нити  дивергира).  У  овом  случају  треба  променити  топлогију  мреже,  а  уколико  то  није  могуће,  променити  метод  прорачуна. Ипак пошто је мрежа систем под притиском констататиција да у некој мрежи  нема  протока  не  значи  да  у  њој  нема  гаса  (гледа  се  математичка  а  не  физичка  интерпретација),  слично  као  и  у  суду  у  коме  се  налази  гас  под  притиском  (не  може  се  десити ако се макроскопски посматра стање гаса у суду да у једном делу суда има гаса а у  другом да нема).     Слика 50. Двосмерно напајане деонице ‐ 126 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Градски гасовод састоји се из напојног гасовода и градске гасне мреже. Напојни гасовод  назива  се  још  изворним  гасоводом  и  повезује  магистрални  гасовод  преко  регулационо  мерне  станице  са  градским  гасоводом.  Према  својој  функцији  могу  бити  транзитни  и  расподелни. Транзитни гасовод служи за транспорт гаса из једног дела града у други, док  разводни  и  расподелни  служе  за  снабдевање  потрошача.  Притисак  гаса  у  овим  гасним  системима  није  исти,  па  су  међусобно  повезани  преко  мерно‐регулационих  станица.  Стриктна подела на  гасоводе ниског,  средњег и високог притиска у  свету не постоји као  стандард када се посматрају притисци на основу којих се врши ова подела.    Гасоводи високог притиска од 12·105 Pa и више снабдевају гасну мрежу високог притиска  преко својих регулационих станица. Гасна мрежа високог притиска снабдева гасну мрежу  средњег притиска преко својих регулационих станица, док гасна мрежа средњег притиска  снабдева гасну мрежу ниског притиска преко регулационих пунктова. Наравно, многи од  ових међугасовода не морају да постоје.    Може  се  десити,  да  се  поједини  индустријски  потрошачи  снабдевају  директно  из  гасне  мреже  средњег  или  високог  притиска,  преко  својих  регулационих  станица,  које  морају  имати  посебно  обезбеђење  у  случају  квара  регулационог  система.  Исто  тако  и  велики  потрошаци  ниског  притиска  могу  се  снабдевати  гасом  из  мреже  средњег  или  високог  притиска, да не би обарали притисак гаса у мрежи ниског притиска, наравно преко својих  посебних регулационих станица и посебним обезбеђењем.    У  зависности  од  тога  да  ли  се  у  граду,  или  у  појединацним  насељима,  користи  гас  са  једним,  два  или  више  притисака,  градска  разделна  мрежа  може  се  поделити  у  четири  система и то на:    • Једностепени разделни систем снабдевања гасом. Напајање система може бити  преко једног, или висе регулационих пунктова.  • Двостепени разделни систем снабдевања гасом састоји се из система ниског  притиска и из система средњег, или високог притиска. Системи су међусобно  повезани преко регулационе станице. Напајање система врши се преко више  пунктова и користи се за градске мреже већих градова.  • Тростепени разделни систем снабдевања гасом састоји се из система ниског,  средњег и високог притиска. Систем високог притиска састоји се од кружног вода  који преко регулационих станица напаја систем средњег притиска, а овај преко  регулационих пунктова напаја систем ниског притиска. Употребљава се за градске  мреже великих градова.  • Четворостепени или вишестепени разделни систем снабдевања гасом састоји се из  кружног прстена високог притиска или више, који се поставља ван града и преко  својих главних  разводних и регулационих станица напаја гасну мрежу тростепеног  система. Код градова са великим променама потрошње гаса између кружних  прстенова.    У даљем тексту се даје неколико примера гасоводних мрежа из Србије.   Д . П ри м ер и  из  п ра кс е;  р еа лн е  га со во дн е  м ре ж е  пр ст ен ас то г т ип а  ‐ 127 ‐    Резултати  прорачуна  за  гасоводну  прстенасту  мрежу  приказану  на  слици  51  се  дају  у  табели 28. Мрежа је предвиђена за насеље Карабурма у Београду.    Слика 51. Пример гасоводне мреже из праксе‐Београд (резултати прорачуна се дају у  табели 28) ‐ 128 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Табела 28. Резултати прорачун мреже са слике 51‐Београд  Цев  Пречник  (mm)  Дужина  (m)  Проток Q (m3/h)        Брзина  (m/s) 1  A  Б  В  Г  1  147,2  8  2639,30  3003,38  2958,33  2958,33  2989,20  12,20  2  147,2  15  852,50  3014,52  2954,82  2954,82  3015,50  12,31  3  102,2  85  402,30  1526,19  1517,90  1517,90  1526,20  12,92  4  102,2  218  212,70  1336,59  1328,30  1328,30  1336,60  11,31  5  73,6  136  434,10  508,11  493,32  493,32  508,50  8,30  6  51,4  164  111,30  185,31  170,52  170,52  185,70  6,21  7  51,4  197  322,90  ‐154,94  ‐130,91  ‐130,91  ‐155,10  5,19  8  73,6  98  126,70  ‐507,59  ‐465,44  ‐465,44  ‐508,80  8,30  9  73,6  157  3000,00  837,98  897,68  897,68  837,00  13,66  10  73,6  242  2736,00  573,98  633,68  633,68  573,00  9,35  11  73,6  159  2589,60  427,58  487,28  487,28  426,60  6,96  12  73,6  7  2437,20  275,18  334,88  334,88  274,20  4,48  13  32,6  324  2000,00  42,61  52,40  52,40  41,80  3,48  14  73,6  169  2000,00  777,59  767,40  767,40  777,90  12,70  15  51,4  146  249,00  245,11  241,42  241,42  246,20  8,24  16  32,6  157  0,60  4,49  8,18  8,18  3,40  0,28  17  73,6  107  218,10  422,72  372,83  372,83  422,90  6,90  18  51,4  265  410,70  206,08  255,97  255,97  205,90  6,89  19  32,6  83  169,50  ‐35,12  14,77  14,77  35,30  2,94  20  102,2  265  303,80  1341,93  1290,53  1290,53  1342,90  11,37  21  73,6  109  1596,00  ‐566,02  ‐506,32  ‐506,32  ‐567,00  9,25  22  32,6  232  1000,00  ‐49,88  ‐56,37  ‐56,37  ‐49,50  4,12  23  73,6  161  640,00  ‐409,88  ‐416,37  ‐416,37  ‐409,50  6,68  24  73,6  140  476,80  ‐573,08  ‐579,57  ‐579,57  ‐572,70  9,35  25  73,6  36  548,00  ‐564,14  ‐497,95  ‐497,95  ‐565,50  9,23  26  73,6  94  798,00  ‐424,41  ‐434,60  ‐434,60  ‐424,10  6,92  27  73,6  172  455,90  ‐582,23  ‐530,83  ‐530,83  ‐583,30  9,52  28  102,2  263  625,40  1259,69  1217,54  1217,54  1261,20  10,68  29  102,2  88  0,50  1857,21  1825,24  1825,24  1858,10  15,73  30  51,4  98  484,00  ‐213,78  ‐210,89  ‐210,89  ‐198,40  6,64  31  51,4  105  469,60  ‐199,38  ‐196,49  ‐196,49  ‐184,00  6,16  32  32,6  8  71,20  199,02  201,91  201,91  ‐85,60  7,12  33  73,6  41  1644,10  425,58  419,08  419,08  424,80  6,93  34  32,6  63  171,20  ‐99,02  ‐101,91  ‐101,91  ‐114,40  9,52  35  51,4  89  1071,60  238,10  242,90  242,90  235,10  7,87  36  51,4  67  1564,10  345,58  339,08  339,08  344,80  11,54  37  51,4  6  1001,60  168,10  172,90  172,90  165,10  5,53  38  51,4  97  9,20  271,53  287,62  287,62  269,90  9,03  39  73,6  144  942,10  307,81  349,96  349,96  306,50  5,00  40  51,4  234  709,30  75,01  117,16  117,16  73,70  2,47  41  51,4  48  372,10  ‐262,19  ‐220,04  ‐220,04  ‐263,50  8,82  42  51,4  273  271,00  ‐132,83  ‐123,59  ‐123,59  ‐132,60  4,44  43  51,4  148  1176,50  279,87  305,94  305,94  280,20  9,38  44  73,6  155  1310,80  414,17  440,24  440,24  414,60  6,77   Д . П ри м ер и  из  п ра кс е;  р еа лн е  га со во дн е  м ре ж е  пр ст ен ас то г т ип а  ‐ 129 ‐    Табела 28. Наставак              45  73,6  32  516,40  715,61  752,96  752,96  717,40  11,71  46  51,4  215  900,00  ‐195,83  ‐207,13  ‐207,13  ‐197,20  6,60  47  73,6  188  1000,00  436,72  444,41  444,41  449,10  7,33  48  102,2  141  1730,00  1365,92  1410,97  1410,97  1380,10  11,68  49  102,2  110  610,50  2196,99  2162,13  2162,13  2182,50  18,48  1‐Почетна иницијална расподела протока,   А‐Обједињена метода чворова и петљи,   Б‐Модификована Харди Крос метода,   В‐Оригинална Харди Крос метода,   Г‐Према елаборату предузећа Енергогас, Београд (наводи се да је прорачун рађен према Харди Крос  итеративној методи и Кирхофовим законима, иницијални распоред протока није приказан)    Разлике у резултатима за поједине методе не  треба да буду збуњујући. Ово не умањује  вредност претходне напомене у тексту ове дисертације да је решење класичног проблема  за  дату  мрежу  јединствено,  односно  применом  сваке  од  метода  после  теоретски  бесконачног броја итерација би се у свакој од цеви добио исти прорачунски проток. Оно и  јесте  јединствено,  само  са  том  разликом  да  је  различита  тачност  при  којој  престаје  итеративни поступак у питању.    Резултати  прорачуна  за  гасоводну  прстенасту  мрежу  приказану  на  слици  52  се  дају  у  табели  29.  Мрежа  је  предвиђена  за  Крагујевац.  За  мрежу  у  Крагујевцу  је  прорачун  доступан из рада Манојловића и сарадника из 1994. године (Manojlović et al 1994).    Слика 52. Пример гасоводне мреже из праксе‐Крагујевац (резултати прорачуна се дају у табели 29) ‐ 130 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација          Табела 29. Резултати прорачун мреже са слике 52‐Крагујевац  Цев  Пречник  (mm)  Дужина  (m)  Проток Q (m3/h)        Брзина  (m/s) 1  A  Б  В  Г  1  220,4  84  1139,4  1035,2  1035,9  1086,9  1063,8  1,9  2  220,4  72  1200,0  1304,2  1303,5  1252,5  1275,7  2,4  3  198,2  170  810,1  914,3  913,6  862,6  885,8  2,1  4  109,8  206  166,7  270,9  270,3  219,3  242,4  2,0  5  198,2  224  1000,0  986,5  987,1  1040,0  1014,7  2,2  6  198,2  37  1029,2  964,1  965,0  1017,5  992,2  2,2  7  198,2  30  1038,0  933,9  934,5  985,5  962,4  2,1  8  176,2  35  450,0  543,0  544,2  564,7  567,1  1,5  9  176,2  64  418,8  511,8  513,0  533,5  535,9  1,5  10  158,6  34  387,6  480,6  481,8  502,3  504,7  1,7  11  158,6  119  300,0  433,2  434,5  451,0  454,4  1,5  12  158,6  154  288,3  421,5  422,8  439,3  442,7  1,5  13  44,0  639  64,9  21,0  21,4  20,8  23,6  1,0  14  35,2  268  152,3  ‐14,6  6,9  6,4  11,2  1,0  15  35,2  164  138,0  ‐9,5  ‐7,5  ‐7,8  ‐11,7  0,7  16  44,0  276  49,4  25,8  25,4  25,5  ‐27,4  1,2  17  27,4  363  64,2  0,6  0,5  ‐2,0  ‐1,8  0,1  18  123,4  175  454,1  ‐388,1  390,4  390,5  388,1  2,3  19  44,0  52  116,0  25,3  25,4  23,5  26,7  1,2  20  15,4  177  52,6  1,0  1,3  0,9  0,9  0,4  21  15,4  212  40,0  1,0  0,7  ‐0,8  1,4  0,4  22  109,8  161  486,7  289,5  288,9  319,4  294,0  2,1  23  123,4  108  500,2  262,8  262,2  296,7  270,1  1,5  24  55,4  194  75,9  35,8  35,6  39,6  35,6  1,0  25  96,8  135  100,0  149,4  147,8  170,1  151,3  1,4  26  27,4  215  50,0  2,9  2,7  3,1  2,5  0,3  27  141,0  155  576,8  388,9  386,5  443,4  398,0  1,7  28  158,6  34  769,6  610,6  608,1  613,8  589,6  2,1  29  158,6  155  749,4  543,3  540,6  546,7  521,9  1,9  30  123,4  86  626,0  376,8  376,6  382,3  351,1  2,2  31  96,8  115  100,0  143,2  140,6  141,0  144,5  1,4  32  35,2  75  48,2  19,1  18,0  18,3  19,8  1,4  33  55,4  70  5,0  77,3  75,8  75,9  77,9  2,2  34  96,8  102  102,6  212,9  196,9  197,1  184,3  2,0  35  96,8  52  115,7  196,9  179,8  180,3  169,0  1,9  36  35,2  104  76,6  14,8  12,4  12,1  14,7  1,1  37  96,8  101  157,2  176,6  157,2  157,3  148,6  1,7  38  96,8  86  500,0  140,5  156,3  161,8  146,4  1,3  39  96,8  37  400,0  102,2  120,5  126,3  108,3  1,0  40  96,8  30  399,3  276,4  297,4  297,6  299,5  2,6  41  96,8  278  22,7  197,5  200,3  194,6  214,6  1,9  42  96,8  115  100,0  227,7  230,2  225,0  244,4  2,1  43  123,4  199  200,0  367,8  367,2  318,8  341,7  2,1   Д . П ри м ер и  из  п ра кс е;  р еа лн е  га со во дн е  м ре ж е  пр ст ен ас то г т ип а  ‐ 131 ‐    Табела 29. Наставак  1‐Почетна иницијална расподела протока,   А‐Обједињена метода чворова и петљи,   Б‐Модификована Харди Крос метода,   В‐Оригинална Харди Крос метода,   Г‐Према чланку Манојловића, Арсеновића и Пајовића из 1994; иницијални распоред  протока није приказан (Manojlović et al 1994)    Прорачун модификованом методом Харди Кроса и оригиналном методом Харди Кроса се  добијају  исти  резултати,  са  том  разликом  што  за  постизање  исте  тачности  треба  пар  стотина  више  итерација  када  се  користи  оригинална  Харди  Крос метода  у  поређењу  са  модификованом.  Отуда  исти  резултати  у  табели  28,  колоне  Б  и  В,  док  су  табели  29  резултати у колонама Б и В различити управо зато што се није ишло на прорачун са више  стотина итерација када је у питању спороконвергентан оригинални Харди Крос метод.    У раду Манојловића и сарадника из 1994. године се добијају другачије брзине пошто они  нису узели у обзир да је гас у мрежи компримован на 4·105 Ра, тако да му је и запремина  четири пута мања.    Слика 53. Разлика између Реноаровог и Шифринсоновог коефицијента хидрауличког отпора за пример  гасоводне мреже Крагујевца   ‐ 132 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Манојловић и сарадници су користили Шифринсонову једначину за прорачун Дарсијевог  коефицијента хидрауличког отпораq. У концепцији која је усвојена у овоме докторату када  су у питању гасоводне мреже, прорачун се врши Реноаровом једначином прилагођеном  за  природни  гас.  Разлике  се  дају  сликовито  на  карактеристичном  дијаграму  који  је  приказан на слици 53.    У  литератури  се  често  констатује  да  се  природни  гас  у  условима  дистрибутивне  мреже  може посматрати као нестишљив флуид. Та констатација је тачна али уз ограду да гас ипак  није течност. Наиме гас се са стандардних услова притиска компримује на услове у мрежи  што имплицира да се његова запремина смањи неколико пута, затим се тек тако смањена  запремина  гаса  унутар  мреже  због  малих  падова  притиска  може  посматрати  као  нестишљив флуид. По изласку гаса из мреже од на стандардним условима поново заузме  неколико пута већу запремину.    На слици 54 се даје нешто мало другачија концепција мреже, али која се исто тако јавља у  пракси. Мрежа је предвиђена за Свилајнац. Резултати прорачуна се дају у табели 30.    Слика 54. Пример гасоводне мреже из праксе‐Свилајнац (резултати прорачуна се дају у табели 41)     Табела 30. Резултати прорачун мреже са слике 54‐Свилајнац  Цев  Пречник  (mm)  Дужина  (m)  Проток Q (m3/h)      Брзина  (m/s) 1  A  Б  В  1  250  300  1100  1052,05  1052,05  1052,84  1,5  2  250  230  1040  992,05  992,05  992,84  1,4  3  180  100  874  826,05  826,05  826,84  2,3  4  180  100  854  806,05  806,05  806,84  2,2  5  180  100  821  773,05  773,05  773,84  2,1                                                               q У књизи „Плинарски приручник“ од В. Стрелеца и сарадника у 6. издању, Табела 2.15 на 140 стр. погрешно стоји да је  Шифринсонова једначина за хидраулички глатке цеви што је бесмислено пошто уколико се у једначину унесе да је  вредност релативне храпавости једнака нули, тада и је и вредност Дарсијевог коефицијента хидрауличког отпора  такође једнака нули што она свакако није (Стрелец и остали 2003)   Д . П ри м ер и  из  п ра кс е;  р еа лн е  га со во дн е  м ре ж е  пр ст ен ас то г т ип а  ‐ 133 ‐    Табела 30. Наставак              6  180  75  791  743,05  743,05  743,84  2,0  7  160  255  722  674,05  674,05  674,84  2,3  8  160  215  666  618,05  618,05  618,84  2,1  9  160  70  621  573,05  573,05  573,84  2,0  10  160  200  498  450,05  450,05  450,84  1,6  11  160  55  473  425,05  425,05  425,84  1,5  12  125  60  440  392,05  392,05  392,84  2,2  13  125  115  412  364,05  364,05  364,84  2,1  14  125  30  342  294,05  294,05  294,84  1,7  15  110  295  242  194,05  194,05  194,84  1,4  16  90  65  203  155,05  155,05  155,84  1,7  17  90  575  178  130,05  130,05  130,84  1,4  18  63  170  353  16,58  16,58  17,44  0,4  19  63  50  323  ‐13,42  ‐13,42  ‐12,56  0,3  20  50  45  313  ‐23,42  ‐23,42  ‐22,56  0,8  21  50  125  296  ‐40,42  ‐40,42  ‐39,56  1,4  22  40  45  276  ‐60,42  ‐60,42  ‐59,56  3,3  23  63  165  264  ‐72,42  ‐72,42  ‐71,56  1,6  24  110  200  54  ‐282,42  ‐282,42  ‐281,56  2,1  25  125  85  6  342,42  342,42  341,56  1,9  26  160  145  141  477,42  477,42  476,56  1,6  27  160  60  242  578,42  578,42  577,56  2,0  28  50  55  9  ‐38,95  ‐38,95  ‐38,16  1,4  29  125  190  333  380,95  380,95  380,16  2,2  30  125  45  358  405,95  405,95  405,16  2,3  31  160  50  478  525,95  525,95  525,16  1,8  32  160  190  603  650,95  650,95  650,16  2,2  33  180  35  655  702,95  702,95  702,16  1,9  34  63  35  194  ‐94,46  ‐94,46  ‐94,40  2,1  35  50  25  232  ‐56,46  ‐56,46  ‐56,40  2,0  36  32  150  279  ‐9,46  ‐9,46  ‐9,40  0,8  37  50  155  316  27,54  27,54  27,60  1,0  38  50  35  336  47,54  47,54  47,60  1,7  39  63  140  371  82,54  82,54  82,60  1,8  40  90  230  421  132,54  132,54  132,60  1,4  41  90  225  484  195,54  195,54  195,60  2,1  42  110  175  529  240,54  240,54  240,60  1,8  43  110  425  589  300,54  300,54  300,60  2,2  44  125  50  631  342,54  342,54  342,60  1,9  45  160  90  877  588,54  588,54  588,60  2,0  46  160  125  962  673,54  673,54  673,60  2,3  47  250  25  755  1043,46  1043,46  1043,40  1,5  48  250  220  715  1003,46  1003,46  1003,40  1,4  49  180  120  466  754,46  754,46  754,40  2,1  50  160  80  341  629,46  629,46  629,40  2,2  51  160  210  276  564,46  564,46  564,40  1,9  ‐ 134 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Табела 30. Наставак  1‐Почетна иницијална расподела протока,  А‐Оригинална Харди Крос метода,  Б‐Модификована Харди Крос метода,  В‐коришћењем Вудове апроксимација Колбрукове једначине која је коришћена  према елаборату Рударско‐геолошког факултета из Београда (у оригиналној  студији улазни притисак је 0,5·105 Ра)    Мрежа  Свилајнца  је  концепцијски  другачија  од  мрежа  у  Крагујевцу  и  Карабурми  (Београд).     Вишестепени системи гасовода се нарочито користе у Русији. Код нас у градовима постоји  напојни вод који снадбева прстенасту гасоводну мрежу преко једног или више улаза. Ове  градске прстенасте мреже којима гас се доводи до потрошача раде на улазном притиску  од 4·105 Pa. Овај притисак  занемарљиво опада унутар мреже  тако да не постоји реална  могућност  да  поједини  удаљени  потрошачи  остану  без  гаса  због  превеликог  пада  притиска.  Некада  када  се  уместо  природног  гаса  дистрибуирао  градски  гас  добијен  из  угља  проблем  губитка  притиска  је  био  изражен  зато  што  су  те  мреже  радиле  на  врло  ниском  притиску.  Данас,  када  се  дистрибуира  природни  гас  овај  проблем  не  постоји,  пошто  се  стално  иде  на  редуковање  притиска  од  лежишта  до  потрошача  са  изузетком  компримовања  приликом  транспорта  врло  дугачким  гасоводима  односно  приликом  утискивања у гасно складиште, нарочито подземно.    У данашње време дистрибутивни гасоводи се граде од полиетиленских цеви које су доста  јефтиније у односу на челичне. Стога, пошто њихова цена не зависи много од пречника, не  треба  унутар  мреже  бирати  сувише  мале  цеви  које  би  узроковале  велике  падове  притисака.  Цена цевовода  је  у директној функцији масе.  Треба  увек  бирати нешто  веће  пречнике цеви  у  структури мреже  чиме би  се омогућила даља прикључења на мрежу  у  будућности. Приликом конципирања  једне  гасоводне дистрибутивне мреже потребно  је  предвидети 10‐15 прстенова најмање, а уколико има више мерно регулационих станица  преко којих се мрежа напаја 5‐8 прстенова по мерно‐регулационој станици.          Ђ.  Л ит ер ат ур не  н ап ом ен е  у  ве зи  с а  пр ој ек то ва њ ем  га со во ди х  м ре ж а  ‐ 135 ‐    Ђ. Литературне напомене у вези са пројектовањем гасоводих мрежа    Када год се говори о литератури у вези пројектовања гасоводних мрежа прстенастог типа,  као и уопштено свих цевоводних мрежа за дистрибуцију флуда, прстенастог типа, полазна  и  незаобилазна  литература  је  књижица  Харди  Кроса  из  1936.  године  која  је  од  скоро  доступна преко интернета у слободном приступу са сајта Универзитета у Урбани, Илиној  (Cross  1936).  Упоредо  је  и  Совјетски  аутор  Лобачев  тридесетих  година  XX  века  развио  сличан  метод  Харди  Кросовом  (Latišenkov‐Lobačev  1956).  У  Совјетској  Русији  је  посебно  била  популарна  модификација  метода  Лобачева  позната  под  називом  метод  М.М.Андријашева  (Andriyashev 1964). Дуго није било значајнијег напретка на овом пољу  све  до  1970.  године  када  су  Еп  и  Фовлер  побољшали  оригинални  Харди  Кросов  метод  увођењем матричног рачуна и побољшањем конвергенције метода на начин како је већ  описан у овој дисертацији (Epp‐Fowler 1970). Претходно су основну идеју Харди Кроса која  се заснива на решењу  једначина контура, модификовали Шамир и Ховард 1968.  године,  тако што су решавали једначине чворова (Shamir‐Howard 1968). Након тога су Вуд и Чарлс  радили на обједињавању система једначина контура и чворова и на њиховом коришћењу  приликом  решавања  проблема  дистрибуције  флуида  прстенастим  дистрибутивним  мрежама  прстенастог  типа  (Wood‐Charles 1972).  Касније  су  Вуд  и  Рејес  унапредили  овај  метод  (Wood‐Rayes  1981).  Хаман  и  Брамелер  (Haman‐Brameller  1971)  као  и  Тодини  и  Пилати (Todini‐Pilati 1987) су радили на методу који укључује истовремени прорачун како  протока,  тако  и  падова  притисака  у мрежи.  Ови методи  су  више погодни  за  водоводне  него за гасоводне мреже. Све поменуте методе су описане у књизи Булоаса и сарадника,  али  само за водоводне мреже  (Boulos et al 2006).  У овој  књизи  се користи превазиђена  Хазен‐Вилијамсова  једначина  за  прорачун  отпора  трења  при  протоку  воде  кроз  цеви.  Међутим  у  свему  осталом  то  је  једна  од  најбољих  стручних  књига  која  је  на  почетку  истраживања аутору ове дисертације пружила одличан увид у проблематику. Друга књига  је  Gas  Engineers  Handbook  (1974),  посебно  поглавље  “Distribution  design  for  increased  demand” (Corfield et al 1974). Ове две књиге се могу препоручити свакоме ко жели да се  бави  прстенастим  дистрибутивним  мрежама.  То  су  ретке  две  књиге  у  којима  се  заиста  осећа да аутори у потпуности владају проблемом, насупрот огромном броју књига после  чијег читања постоји утисак код читаоца да аутор није добро разумео проблем али да је  ипак осећао потребу да нешто напише и о овој теми пошто се књига коју пише или бави  темом природног гаса или водоводима. Значајни су и радови Тодинија и Пилатија (Todini‐ Pilati 1988) и Осиадаца (Osiadacz 1987).    Некада је било врло популарно да се проблем дистрибуције флуида у мрежи прстенастог  типа решава преко електричних модела мрежа  (Лилић 1958). Ови модели нису посебно  тачни  пошто  се  са  променом  протока  (у  моделу  еквивалент  електрична  струја)  мења  и  хидраулички  отпор  (у  моделу  еквивалент  електрични  отпор).  Развојем  моћних  итеративних  нумеричких  метода  коју  врло  лако  примењиве  за  рачунарске  програме,  електрични модели мрежа су дефинитивно пали у заборав.    Сам  аутор  ових  редова  је  објавио  доста  радова  из  ове  области  како  у  врхунским  иностраним  часописима  (Brkić  2009f),  тако  и  у  домаћим  часописима  (Бркић  2005a,b,c,  ‐ 136 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      2008a). Резултати су такође презентовани са успехом на више домаћих (Бркић‐Ђајић 2005;  Бркић‐Танасковић  2008,  2009;  Танасковић‐Бркић  2009)  и  страних  конференција  (Brkić  2008b,  2009g,h).  Неки  радови  су  донекле  дискутабилни  пошто  је  аутор  у  почетку  свог  истаживања наивно веровао да су једначине које се користе за одређивање отпора трења  при протоку гаса у цевима, а које су одомаћене у домаћој литератури и тачне. Касније се  увидом  у  инострану  литературу  испоставило  да  то  баш  и  није  увек  случај  (Coelho‐Pinho  2007). Из тог разлога се и приступило расветљавању овога проблема како је и приказано у  глави Б ове дисертације.    Од  књига  које  се  баве  нафтом  и  гасом,  а  које  су  писане  на  српском  језику,  аутор  ове  дисертације  је  пронашао  само  три  које  се  нешто  детаљније  баве  прорачуном  гасних  дистрибутивних  мрежа  прстенастог  типа.  Од  ових  књига  Харди  Крос  метод  се  у  свом  основном  облику  са  примером  прорачуна  дистрибутивног  гасовода  Ђурђевац‐Исток  IV  даје у књизи „Транспорт нафте и плина цјевоводима“ од Јосипа Вућковића у издању ИНА‐ Нафтаплин, Загреб  (Вучковић 1971). И у овој књизи се не даје детаљно објашњење како  изабрати  алгебарски  знак  при  сабирању  поправки  протока,  али  се  даје  табела  са  резултатима  прорачуна  тако  да  се  извесни  закључци  могу  извести  после  детаљног  изучавања  примера.  У  књизи  „Транспорт  сирове  нафте  и  гаса;  други  део‐транспорт“  од  Павла  Танасковића  у  издању  Нафтагас,  Нови  Сад  (Танасковић  1976),  даје  се  пример  прорачуна гасоводне мреже по методи М.М. Андријашева. На жалост ни после детаљног  проучавања примера приказаног у овој књизи тешко је схватити како се рачуна проток у  мрежи према приказаном методу. Из ове књиге је аутор уопште и сазнао да постоји метод  М.М. Андријашева  тако да  је  касније детаљније могао да проучи метод.  Утисак  је да  се  књига  Ј.  Вучковића  заснива  на  инжењерској  пракси  западних  земаља  док  је  књига  П.  Танасковића заснована пре свега на Совјетској инжењерској пракси. На крају у књизи Б.  Прстојевића, Н. Ђајића и В.  Вулетића  је дат одређен приказ модификованог Харди Крос  метода без примера  (Прстојевић et al 2005). Сличан приступ,  али са примером се даје у  раду  Крстића  из  1990.  године  (Крстић  1990).  Из  овога  примера  се  може  врло  добро  разумети  на  који  начин  се  успостављају  матрице  контура  и  чворова,  тј.  врло  добро  је  објашњен математички  опис  топологије  гасне мреже.  На  примеру  водоводне мреже  се  објашњава основни метод Харди Кроса у књизи „Транспорт флуида и чврстих материјала  цевима“ од Манета Шашића (Шашић 1990). Поред методе петљи, тј. Харди Крос методе, у  књизи „Рачунари у комуналној хидротехници“ се даје и приказ методе чворова, као и тзв.  „Q“ методе  која  представља полазни  основ  за  у  овој  дисертацији детаљно прилагођену  обједињену методу чворова и петљи (Радојковић et al 1989). Сличан приступ је и у књизи  од  Радојковића  и  Клема  (1989).  На  српском  говорном  подручју  је  значајна  још  и  књига  „Урбани  водоводни  системи“  од  М.  Јахића  који  обрађује  Харди  Крос  методу,  као  и  модификовану  Харди  Крос  методу,  са  тиме  да  ову  другу  назива  методом  петљи  (Јахић  1988). Обрађена је и метода чворова. У књизи се још обрађује и тзв. „Q“ метода која је у  овој дисертацији побољшана и која се назива обједињеном методом чворова и петљи. М.  Јахић (1988) доноси сасвим супротне закључке од оних донетих у овој дисертацији, и то:    „Рекло  би  се  да  ова  метода  (мисли  се  на  „Q“  методу,  примедба  Д.  Бркић),  у  поређењу са претходне двије (односи се на модификовану Харди Крос методу, тј. методу  петљи као и на методу чворова, примедба Д. Бркић) има само недостатке:   Ђ.  Л ит ер ат ур не  н ап ом ен е  у  ве зи  с а  пр ој ек то ва њ ем  га со во ди х  м ре ж а  ‐ 137 ‐    ‐То  је  највећи  систем  једначина,  а  при  томе не  поседује  оне добре особине  које  олакшавају  рачуницу  (симетричност,  околност  да  је  највећи  члан  већ  на  дијагонали).  ‐Прстенови  се морају идентификовати,  а и  смер  течења у њима, што  значи да  се  улазни подаци  теже припремају.  (Код методе чворова о прстеновима  се не води  рачуна,  а  код методе  прстенова  једначине  се  постављају  само  за њих,  а  не  и  за  чворове, као овдје).“ (са стр. 395; Јахић 1988).   Након тога се у књизи обрађује још и „LP“ метода о којој није дато више детаља.    Наиме  све  добре  особине  М.  Јахић  представља  као  мане.  Систем  једначина  код  обједињене  методе  чворова  и  прстенова  јесте  занемарљиво  већи  него  код  модификованог Харди Крос метода, али је има добру особину што се користи и матрица  чворова  и  матрица  контура  које  је  обе  лако  дефинисати.  Не  постоји  симетричност  која  пројектанту  и  не  служи  најчешће  за  проверу,  већ  се  грешка  уколико  је  има  при  постављању  проблема  аутоматски  преписује  на  члан  симетричан  у  односу  на  главну  дијагоналу. Даље што  је најважније,  код обједињене методе чворова и прстенова  се не  добијају  поправке  протока  које  треба  сабрати  са  протоцима  из  претходне  итерације  користећи  врло  компликовану  алгебарску  шему,  већ  директно  сами  протоци.  Цео  поступак код обједињене методе чворова и петљи је врло прегледан. Прстенови се узгред  да  буде  речено морају  идентификовати  код  свих метода  укључујући  и методу  чворова.  Код  методе  чворова  је  могуће  избећи  дефинисање  прстенова,  али  тада  се  повећава  могућност  грешке  јер  се  у  том  случају  не  врши  провера  услова  по  другом  Кирхофовом  закону  који  мора  бити  задовољен  у  свакој  итерацији.  Насупрот,  код  методе  петљи  се  морају поставити обавезно једначине контура, али се једначине чворова морају користити  за  проверу  услова  по  првом  Кирхофовом  закону  који  мора  бити  задовољен  у  свакој  итерацији.    На  српском  језику  је  доступан  превод  књиге  „Снабдевање  водом  становништва,  индустрије  и  пољопривреде“,  Совјетског  аутора Н.Н.  Абрамова  у  којој  су  на  примерима  приказани  методи  В.Г.  Лобачева  и  М.М.  Андријашева  у  поглављу  3.  које  носи  наслов  „Водоводне мреже и цевни водови“ (Абрамов 1974).    Од иностраних дисертација на сличну тему којом се бави и овај докторат, аутору је била  доступна дисертација Дејвида Џона Елиса из 2001. године са Универзитета у Аделаиди у  Аустралији  (Ellis  2001).  У  дисертацији  се  највећим  делом  испитују  конвергенционе  особине  већ  познатих  метода  под  различитим  условима.  Од  страних  књига  у  којој  су  приказани  скоро  сви  методи  који  се  користе  у  западној  инжењерској  пракси  аутору  је  била доступна књига “Fluid mechanics in water resources engineering” (Wen‐Hsiung Li 1983).    Од  радова  у  страним  часописима  се  у  последње  време  појављује  све  више  радова  у  којима  се  фази  логика  (Fuzzy)  појављује  у  вези  са  темом  пројектовања  гасоводних  и  водоводних мрежа  прстенастог  типа  (Branisavljevic‐Ivetic 2006, Bhave‐Gupta 2004, Gupta‐ Bhave 2007, Revelli‐Ridolfi 2002).    ‐ 138 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Сви  примери  урађени  за  потребе  ове  дисертације  су  урађени  у MS  Excel‐у.  Сличан  је  приступ и у раду Худлестона и сарадника (Huddleston et al 2004a).    Филион  и  Карнеј  (Filion‐Karney  2003)  у  свом  чланку  истражују  изворе  грешака  при  пројектовању у првом реду водоводних мрежа.    У раду на дисертацији  када  је  у  питању пројектовање  гасаних мрежа консултовани  су и  радови  Дан  Баиа  и  сарадника  (Dan  Bai  еt  al  2007),  Ормсбија  (Ormsbee  2006),  Валског  (Walski 2006), Рамалингана и сарадника  (Ramalingam еt al 2002), Худлестона и сарадника  (Huddleston  еt al 2004b), Лопеса  (Lopes 2004),  Тодинија  (Todini 2006), Осиадаца  (Osiadacz  1987,  1988),  Осиадаца  и  Рудовског  (Osiadacz‐Rudowski  1987),  Осиадаца  и  Пиенкосца  (Osiadacz‐Pienkosz 1987), Преторијуса и сарадника (Pretorius еt al 2008), Метјуса и Колера  (Mathews‐Kohler  1995),  Мек  Клура  и  Милера  (McClure‐Miller  1983),  Патанкара  (Patankar  1980),  Дејте  и  Мајамундара  (Datta‐Majumdar  1980),  Арсенеа  и  сарадника  (Arsene  еt  al  2004), Колинса и сарадника  (Collins еt al 1978), Колинса и Џонсона  (Collins‐Johnson 1975),  Геја  и Мидлетона  (Gay‐Middleton 1971),  Чиплункара  и  сарадника  (Chiplunkar et al 1990),  Гупте  и  сарадника  (Gupta  еt  al  1993),  Кеслера  и Шамира  (Kessler‐Shamir  1989),  Верме  и  сарадника  (Varma  еt al 1997), Ченовета и Крофорда  (Chenoweth‐Crawford 1974), Ајгера и  сарадника  (Eiger  еt  al  1994),  Баше  и  Касаба  (Basha‐Kassab  2007),  Тодинија  (Todini  2000),  Ахује и  сарадника  (Ahuja  еt al 1991),  Зекина и  сарадника  (Zecchin  еt al 2006),  Алтмана и  Булоаса (Altman‐Boulos 1995), Ванга и Хартмана (Wang‐Hartman 1967), Маха и Лина (Mah‐ Lin 1980) као и Маха и Шахама (1978).       E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 139 ‐    E. Избор оптималног система грејања на природни гас на основу  урбанистичких параметара    Природни  гас  може  бити  коришћен  за  задовољење  грејних  потреба  становништва  двојако, било директно, тј. увођењем природног гаса директно у станове у којима се онда  сагорева у кућним гасним котлићима (директна употреба природног гаса овде обележена  са  Г),  било  индиректно,  при  чему  се  природни  гас  сагорева  у  топлани  при  чему  се  топлотна  енергија  дистрибуира  домаћинствима  посредством  топловодне  мреже  (индиректна  употреба  природног  гаса  овде  обележена  са  Т).  Избор  одређеног  типа  система се може извести на основу просторног распореда зграда у насељу, броја зграда,  величине зграда, њиховог броја, квалитета изолације, итд. На основу ових карактеристика  може  се  извршити  прорачун  инвестиционих  и  експлоатационих  трошкова  оба  система  грејања  и  затим  се  може  извршити  поређење  за  свих  96  случајева  које  обухвата  истраживање  и  који  покривају  скоро  све  урбанистичке  ситуације  које  могу  да  се  јаве  у  оквиру једног насељеног места. Под овим се подразумева да је сваки тип реалног насеља  који  може  да  се  нађе  у  пракси  придружен  једној  од  тзв.  условних  урбанистичких  површина које се уводе као основна јединица на којој се дати проблем истражује у овом  докторату.  Главни  циљ  је  да  се  успостави  општи  модел  заснован  на  дефинисаним  и  прихваћеним критеријумима, а који доприноси координисаном развоју централизованих  система  грејања  који  раде  на  природни  гас  у  оквиру  урбаног  ткива  једног  града.  Структурна анализа сваког од два понуђена система се обавља са изразитим акцентом на  испитивању њихових  цевоводних  мрежа.  Овај  проблем  је  детаљно  разматран  у  чланку  Бркића и Танасковића  (Brkić‐Tanasković 2008)  где су резултати истраживања и изнети до  детаља, књизи „Природни гас као гориво за грејање“ (Бркић 2006), као и у више ауторских  и  коауторских  чланака  аутора  ове  дисертације  (Бркић  2007а,b;  2008;  Живковић‐Бркић  2005,  Танасковић et al 2004),  али и  у магистарском раду  аутора  ове дисертације  (Бркић  2005d).    Уколико  се планира  грејање на природни  гас  у оквиру  једног насеља,  одлука на начину  грејања се може донети између две супротстављене опције:  1. Индиректни систем (Т); природни гас сагорева у топлани а ослобођена топлотна  енергија се преноси до домаћинстава путем топловодне мреже.  2. Директан систем (Г); станови се греју на природни гас који до њих стиже преко  гасне дистрибутивне мреже и који сагорева у индивидуалном гасном котлићу  којим је опремљен сваки стан.    Иницијална одлука о избору грејања посредством једног од два гранична система грејања  на  природни  гас  се  заснива  у  првом  реду  на  броју  и  величини  зграда  у  оквиру  једног  насеља,  затим  величине  самог  насеља  и  на  основу  топлотне  изолације  зграда.  У  случајевима када се покажу као подједнако исплатива оба система грејања на гас могуће  је увести неки од хибридних система грејања, што се неће детаљно разматрати у оквиру  ове  дисертације.  Такви  системи могу  бити мале  локалне  топлане  на  гас,  котларнице  на  гас, итд. Нпр. економска анализа која се тиче ових мањих система на гас, затим анализа  ‐ 140 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      исплативости преласка ових система са других горива на природни гас а све на примеру  Литваније  је  доступно  у  литератури  (Dzenajaviciene  et  al  2007).  Системи  засновани  на  когенерацији  укључујући  и  локалне  котларнице,  као  и  системе  грејања  на  електричну  енергију  а  све  у  складу  са  урбанистичким  параметрима  дају  у  свом  раду  Густавсон  и  Карлсон  (Gustavsson‐Karlsson 2003). Њихова  анализа  укључује  цео  енергетски  систем  од  природних извора до  крајњег  корисника,  са  посебним освртом на примарну  енергетску  потрошњу, емисију приликом сагоревања и на трошкове. Они налазе да је систем грејања  на природни гас исплатљивији у сваком погледу у односу на нпр. систем грејања на дрва,  осим  када  је  у  питању  екологија.  У  будућности  се  предвиђа  знатно  већа  употреба  обновљивих  извора  енергије  или  чак  фосилних  горива  попут  нафте  и  природног  гаса  у  индустријским  процесима,  а  све  у  циљу  смањења  емисије  гасова  стаклене  баште  приликом сагоревања угља.     Циљ  модела  представљеног  у  овој  дисертацији  је  да  дефинише  односе  између  урбанистичких и енергетских карактеристика градских насеља и да на тај начин допринесе  најрационалнијем искоришћењу природног  гаса као необновљивог фосилног  горива. Да  би  се  ово  постигло  утврђиване  су  прво  потребе  за  енергијом  једног  домаћинства,  при  чему  је  сагледан  нпр.  случај  Канаде  са  економске  тачке  гледишта  (Douthitt  1989).  Разматрана  су  и  искуства  из  Грчке  (Papadopoulos  еt al 2008).  Чланак Динче и  сарадника  (Dinca  et  al  2007)  даје  приказ  оптималног  сценарија  за  грејање  на  узорку  од  око  100  хиљада  становника  у  Румунији,  при  чему  је  анализирано  седам  различитих  сценарија  грејања на природни гас. Сличан приступ као у овој дисертацији је дат у раду Густафсона и  Карлсона  (Gustafsson‐Karlsson 1990). Студија Торекова и сарадника  (Torekov et al 2007)  је  интересантна за ову дисертацију пошто се у њој разматра веза између квалитета топлотне  изолације  нових  зграда  и  избора  оптималног  система  грејања.  Према  овој  студији,  топловодни систем се препоручује само у урбаним зонама где је грејни конзум изразито  велики,  посебно  где  су  у  питању  високе  зграде.  Даље  су Лазарин и Норо  (Lazzarin‐Noro  2006)  вршили  анализу  система  за  грејање  на  гас  са  енергетске,  еколошке  и  економске  тачке гледишта. Правни аспект, као и аспект са гледишта различитих тарифних система се  даје  у  чланку  Гронхајта  и  Мортенсена  (Grohnheit‐Mortensen  2003).  Одређене  немачке  студије на тему којом се бави овај део дисертације су биле доступне, уз ограду да аутор  ових  редова  слабо  познаје  немачки  језик  (Roth  et  al  1980,  AGFW),  али  и  са  појединим  сопштењима  на  енглеском  језику  (Ter  Brugge  1984).  Највеће  достигнуће  ових  немачких  студија  је  идентификовање односа између  грејних  система,  структуре насеља и  урбаног  планирања на локалном нивоу. Ове студије анализирају до 10 типова изграђених урбаних  зона и то од густо насељених урбанизованих области до сеоских насеља.     Приликом  одабира  система  грејања,  у  многим  градовима  је  пракса  да  се  сваки  случај  посебно  разматра.  Избор  се  најчешће  врши  на  основу  расположивих  капацитета  у  гасоводима  односно  у  топланама,  а  врло  често  без  јасних  критеријума.  Предложени  модел  у  овој  дисертацији  може  бити  од  користи  просторним  планерима,  општинским  службама,  јавним  предузећима,  и  другима  као  први  корак  при  доношењу  одлуке  за  одабир одређеног система.      E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 141 ‐    Најпогоднија опција за подмиривање грејних потреба становништва у насељима је путем  централизованог  система.  Централизовани  ситем  снабдевања  топлотном  енергијом  из  топлана има бројне предности, као нпр. постиже се уштеда примарне енергије (у топлани  се  користе  савремени котлови при чему  је  сагоревање рационално  како  са енергетског,  тако и са еколошког гледишта, што значи да се постиже већи степен корисности приликом  трансформације  примарне  енергетске  сировине  у  топлотну  енергију),  расположива  је  потрошна  топла  вода  у  великом  броју  случајева  (чиме  се  избегава  трансформација  хемијске  енергије  у  топлотну,  па  затим  у  електричну,  и  напокон  поново  у  топлотну),  могуће  је  користити  и  горива  лошијег  квалитета,  приликом  несташице  основног  горива  најчешће  је  могуће  користити  резервну  врсту  горива,  постоји  централизовано  складиштење  потрошног  горива,  веће  су  уштеде  у  односу  на  транспорт  горива  какав  се  примењује приликом индивидуалног система грејања (штеди се гориво које се користи у  нпр.  камионском  транспорту  угља,  дрва или нпр.  боца  за  гас),  смањује  се могућност  од  пожара  пошто  се  сагоревање  врши  под  строго  контролисаним  условима,  постоји  професионална и добро организована противпожарна служба. Такође, грејање из топлана  има и бројне мане, као нпр. потребна је велика почетна инвестиција у изградњу топлане и  самог топловода, могућ је прекид грејања за велики број домаћинстава кад је најхладније  услед квара у топлани или на топловоду, грејање се често наплаћује по грејној површини а  не  на  основу  стварно  испоручене  топлотне  енергије.  Предности  за  домаћинства  која  користе  природни  гас  директно  посредством  гасне  дистрибутивне  мреже  су:  мерење  утрошка гаса се обавезно мери посебно за сваки стан што значи да висина рачуна зависи  директно  од  потрошње  (што  није  увек  случај  у  систему  топлификације),  гас  се  штеди  пошто се хемијска енергија претвара директно у топлотну што је посебно изражено ако је  ово  примењено  и  у  случају  кувања  и  припреме  потрошне  топле  воде,  нема  потребе  за  складишним простором у оквиру просторија које су на располагању домаћинству, штеди  се гориво које се користи у нпр. камионском транспорту угља, дрва или нпр. боца за гас у  случају  индивидуалног  грејања,  знатно  је  мања  инвестиција  потребна  за  изградњу  гасоводне  дистрибутивне  мреже  у  односу  на  топловодну,  мања  је  могућност  прекида  снабдевања  јер  се  гасоводна  мрежа  напаја  из  више  праваца  (прстенасте  мреже),  итд.  Мане директне употребе гаса су: повећана опасност од избијања пожара или експлозије  услед несавесног руковања или квара, могућност гушења услед цурења на инсталацијама  узрокованог разноразним разлозима, сагоревање се врши у самом стану или у помоћним  просторијама  уз  стан,  могућност  прекида  снадбевања  гасом  из  различитих  разлога  уз  немогућност преласка на алтернативно гориво, итд.    У  обе  разматране  опције  се  подразумева  исти  стандард  грејања  унутар  стана,  тј.  истa  радијаторска мрежа постоји  у оба  случаја  (Bojić‐Despotović 2007).  Главна намера које  се  жели  постићи  применом  овога  моделског  приступа  је  изнаћи  начин  за  дистрибуцију  топлотне енергије домаћинствима  тако да буду искоришћени постојећи капацитети који  су расположиви у оба  система на најрационалнији могући начин.  Тек  је  у другом плану  урбанистичко  планирање  нових  насеља  и  увођење  у  њих  једног  од  два  разматрана  система  грејања  на  основу  презентованог  модела.  Главни  циљ  модела  није  пуко  истраживање  оба  система  грејања  до  детаља,  већ  поређење  инвестиционих  и  експлоатационих трошкова у оба система узимајући у обзир њихове специфичне детаље.  ‐ 142 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Под  овиме  се  подразумевају  првенствено  цевоводи,  са  посебним  акцентом  на  кућни  гасни  котлић  када  се  разматра  гасни  дистрибуциони  систем,  односно  са  акцентом  на  размењивач  топлоте  и  инвестиције  у  нову  топлану  када  се  разматра  топловодни  ситем  при  чему  се  у  топлани  сагорева  природни  гас.  За  разлику  од  ове  студије,  у  оквиру  истраживања урађеног за потребе магистратуре аутора ове дисертације није се узимала  инвестиција у нову топлану или бар у нове капацитете у оквиру старе  (Бркић 2005d). На  ову  чињеницу  су  главне  примедбе  имали  рецензенти  приликом  презентовања  овог  модела у стручним часописима, те је ова мана и отклоњена (Brkić‐Tanasković 2008).     Типичан пут гаса од производних поља до потрошача се приказује на слици 55.  Слика 55. Типичан гасоводни систем од поља до потрошача  Сва  истраживања  су  обављена  у  оквиру  тзв.  „условне  грађевинске  површине“  која  се  у  овом  истраживању  уводи  као  посебан  појам.  Поређење  инвестиција  у  цевоводе  као  главних компоненти оба система  је  главни предмет истраживања. У детаљнијој анализи  грејања  у  оквиру  једног  града,  остале  врсте  горива  се  морају  укључити  као  могући  за  погон  једне  топлане,  док  се  у  другој  крајности  морају  узети  у  обзир  алтернативни  сценарији  које  треба  применити  у  случају  недостатка  гаса  чиме  се  потпуно  прекида  снабдевање потрошача који су повезани на гасовод (Brkić 2008c, 2009j).     Модел који се овде представља је развијен као алат за разрешавање неких неспоразума  који  се  могу  јавити  и  јављају  се  приликом  развоја  стратегије  усклађеног  грејања  на  природни гас у градовима Србије са урбанистичким параметрима. Иницијална студија  је  урађена  од  2003‐2006.  године  за  потребе  Министарства  за  науку  и  технолошки  развој  Србије. Све бројне вредности изнете у овој дисертацији се односе на стање у Србији,  са  тиме да ове вредности могу да се варирају пошто је заинтересованима доступан програм  написан  у MS  Excel‐у  и  који  се  може  наћи  као  електронски  додатак  уз  рад  „Systematic  approach  to natural gas usage  for domestic heating  in urban areas“  (Brkić‐Tanasković 2008).  Подешавањем параметара може се симулирати било која ситуација која се тиче цене гаса  или елемента оба система која важи било где у свету.     E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 143 ‐    Стратегија за грејање домаћинстава у градским срединама у Србији подразумева грејање  преко  топлана.  Ово  важи  још  од  времена  тзв.  „социјализма“.  Природни  гас  се  у  дистрибуцији  за широку  потрошњу  уводи  тек  у  скорије  време,  док  је  ова  пракса  нешто  заступљенија само у деловима Србије северно од Саве и Дунава који су до 1918.  године  били под аустроугарском. У слободном делу Србије током XIX века је преовладала опција  електрификације  градова. Треба напоменути да се и у делу Србије који  је у  то доба био  под окупацијом користио гас добијен из угља а не природни гас, што је уосталом и била  пракса свугде. Природни гас добија уопште у свету тек касније на важности. У делу Србије  који  је  био  слободан  гасификација  у  то  време  уопште није  била  заступљена,  тако  да  су  први модерни  гасоводи дистрибуирали природни гас. Ови  гасоводи су новијег датума и  још увек су у функцији. Данас у Београду ради 15  топлана, које користе гас или мазут за  свој рад. Од тога 83% топлана ради на гас. Оне троше око 265 милиона метара кубних гаса  годишње. Ова количина је отприлике равна годишњој производњи свих гасних поља која  се данас експлоатишу у Србији. Статистички подаци показују да је у Београду 38% станова  прикључено на топловод од 240 хиљада станова и 7500 канцеларија се греју на овај начин  (Jovanović et al 2009). Данас су пројекти увођења гасног дистрибутивног ситема а посебно  топловодног у урбано ткиво Београда од стратешке важности, пошто су они од изузетног  еколошког значаја пошто ће се њиховом реализацијом угасити бројне котларнице које су  радиле на угаљ а које су биле у самом центру града. Око 800 оваквих котларница је већ  угашено  у  Београду.  Преостале,  постојеће  котларнице  данас  првенствено  раде  на  природни гас, али су многе до скоро радиле на течно гориво а неке, чак и новије, као што  је  већ  поменуто,  а  које  су  изграђене  у  време  кризе  деведесетих  година  и  на  угаљ.  Предвиђа  се  гашење  свих  тих  котларница.  У  складу  са  новом  стратегијом  развоја  сви  даљински  системи  грејања ће да  користе природни  гас  као основно  гориво.  Као  главни  циљ  се  поставља  супституција  чврстих  горива  за  потребе  грејања  природним  гасом,  у  посебно се иде на то да електрична енергија не буде коришћена за грејање. Напоменимо  да је у доба „социјализма“ било периода када је баш промовисана електрична енергија за  подмиривање грејних потреба становништва, а било је и периода када се сматрало да ће  до краја двадесетог века у електроенергетском систему Србије бити неколико нуклеарних  електрана,  да  би  потом  завладала  несташица  електричне  енергије  и  рестрикције  током  осамдесетих  година  двадесетог  века  чији  основни  узроци  и  дан  данас  контроверзни.  У  Србији данас постоје 42 топлане, са укупним инсталираним капацитетом од 5,5 GW. Ипак  Србија  данас  нема  ни  довољно  гаса  из  сопствених  извора  за  погон  тих  топлана,  а  ни  средства  за  одржавање  топлана  до  скоро  нису  била  довољна.  Главна  карактеристика  топлана  у  Србији  је  слаба  ефикасност  у  сваком  погледу  а  посебно  услед  недовољног  одржавања  ионако  већ  застареле  опреме,  финансијске  исцрпљености,  и  посебно  недовољног  улагања у одржавање  топловодне мреже и подстаница.  Грејање  је  лоше,  а  постоји  потреба  за  новим  капацитетима,  који  би  по  плану  требало  да  раде  на  гас.  Пројектна  температура  за  Београд  је  ‐18оС,  тако  да  је  конзум  који  подмирују  многе  топлане  већи  од  капацитета.  Међутим  у  круговима  „енергетских  аналитичара“  влада  мишљење  да  може  да  се  прикључи  још  доста  потрошача  на  ове  већ  преоптерећене  топлане пошто се температура наводно врло ретко спушта до ‐18оС. Поставља се питање  зашто се онда пројектна температура не повећа ако је све то истина. По закону би требало  да  се  топлотна  енергија  наплаћује  по  потрошњи  а  не  по  квадратури  грејане  површине  ‐ 144 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      стана. Овај закон се не поштује. Такође је предвиђена испорука топлотне енергије од 24h  на данr, што се такође не поштује.    Србија нема довољне капацитете  за производњу  гаса са  сопствених  гасних поља  (Слика  56). Врх производње је достигнут пре десетак година са око 600 милиона метара кубних  годишње,  при  чему  је  од  тада  производња  у  сталном  паду  и  данас  износи  око  285  милиона метара кубних годишње.   Слика 56. Гасна и нафтна поља Србије  За сада је једини правац снабдевања природним гасом из правца Мађарске, тј. са севера.  Овај  гас  се  увози  из  Русије.  Гасовод  „Јужни  ток“  је  у  плану  (Слика  57).  Србије  увози  природни гас од 1979. године.    За  разматрање  урбанистичких  и  енергетских  карактеристика  урбаног  насеља  уводи  се  концепт тзв. хипотетичког, тј. условног насеља. Инвестициони трошкови су израчунати за  оба система у оквиру свих 96 условних насеља колико их модел обухвата. Систем грејања  на  природни  гас  за  који  су  инвестициони  трошкови  мањи  (укључујући  експлоатационе  трошкове и  трошкове одржавања у наредних 25  година)  у  зависности од урбанистичких  параметара  се  усваја  као  инвестиционо  и  трошковно  исплативији.  Овиме  се  ствара  директна веза између урбанистичих параметара и избора једног од два понуђена система  грејања на природни гас.     Увођењем  тзв.  условних  граничних  површина  у  модел  избегава  се  непотребно  пројектовање оба система грејања на природни гас у сваком конкретном случају, да би се  потом усвојио само један, исплативији систем за дате услове. Употреба овде дефинисаног                                                               r Ово наводно двадестчетворочасовно грејање је прерасло у неку врсту урбане легенде, пошто су становници који  нису прикључени на систем убеђени да је то и истина. Овакво грејање имају једино становници приградског насеља  Обреновац који су прикључени на термоелектрану „Никола Тесла“.   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 145 ‐    модела  знатно  олакшава  посао  градским  планерима.  Људи  са  већим  животним  стандардом  се  обично  не  руководе  економским  параметрима  када  доносе  избор  о  прикључењу на један од центализованих система грејања. Њихова одлука је заснована на  сопственим афинитетима, а често и на предрасудама (Santamouris et al 2007, Fankhauser‐  Tepic 2007).  Слика 57. Главни постојећи и планирани правци снабдевања Европе гасом из Русије и Блиског истока    Део  града  са  резиденцијалним  и  пословним  садржајима  представља  једну  „реалну  урбанистичку целину“. Она се може фиктивно поделити тако да свака од тако подељених  мањих  урбанистичких  целина  обухвати  зграде  сличне  величине  (тип  изграђености)  али  исто тако и са сличном бројем зграда по јединици површине (густина изграђености). Зоне  које  су  добијенем  овом  поделом  се  фиктивно  своде  на  површину  од  0,05  km2,  и  за  потребе нашег модела представљају основну ћелију на којој  се врши истраживање. Ови  најмањи сегменти се називају „основни грађевински, тј. основни урбанистички сегменти“.  Даље  се  реална  својства  која  поседује  део  насеља  могу  пресликати  на  овај  основни  хипотетички сегмент (Слика 58).    ‐ 146 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Слика 58. Реално стање на терену одговара одређеним типовима условних грађевинских целина, примери  различитог топлотног оптерећења за исту густину изграђености  Усваја  се  основна  урбанистичка  целина  површине  0,05  km2  правоугаоног  облика  димензија  160mx350m.  У  зависности  од  густине  изграђености  разликује  се  шест  различитих типова основних сегмената и то са 4, 8, 16, 32, 64 и 128   зграда по основном  сегменту (Слика 59).  Зграда Основни сегмент   Слика 59. Шест различитих типова основних урбанистичких сегмената коришћених у моделу Тзв., „истраживачки сегмент“ се састоји од десет тзв. „основних сегмената“. Истраживачки  сегмент  је  погоднији  са  проучавање  цевоводних  мрежа  у  оба  система  грејања.  Треба  приметити да на слици 59 нису уцртане  трасе цевовода, док на слици 60  која приказује  свих  шест  примера  истраживачког  сегмента  јесу.  Истраживачки  сегмент  се  састоји  од   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 147 ‐    десет  истих  основних  сегмената,  којима  се  додаје  и  одговарајућа  цевоводна  мрежа.  Овиме  је постигнуто да се скоро сваки тип реалног насеља може придружити  једном од  96  условних  урбанистичких насеља  колико их  постоји  у моделу.  Наиме,  сваком од шест  типова  основних  сегмената  одговара  осам  различитих  типова  топлотног  оптерећења,  тј.  зграде  унутар  сегмента  могу  бити  од  најмањих  породичних  кућа  до  великих  небодера  (градуираних у осам типова по броју станова унутар зграде). Даље свака зграда може бити  или  добро  или  лоше  изолована.  То  даје  управо  раније  поменутих  96  типова  условних  урбаних површина.    Слика 60. Шест различитих типова истраживачких урбанистичких сегмената  На  једном  истраживачком  сегменту,  односно  на  једној  условној  урбанистичкој  зони,   постоји само један тип зграда које су све са једним квалитетом изолације, тј. једнообразне  су (Слика 61).    ‐ 148 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација          Слика 61. Примери условних урбанистичких сегмената  Као  што  је  већ  напоменуто  у  зависности  од  различите  величине  зграда  на  истом  истраживачком  сегменту,  или  пак  од  исте  величине  зграда  које  су  ређе  или  гушће  распоређене  на  једном  истраживачком  сегменту  усвајамо  различита  топлотна  оптерећења  сегмента  којих  има  осам,  и  то:  10 MW/km2,  20 MW/km2,  30 MW/km2,  40  MW/km2, 50 MW/km2, 75 MW/km2, 100 MW/km2 и 125 MW/km2. Сматра се да овај опсег и  распоред унутар опсега могу добро да опишу све урбанистичко‐енергетске ситуације које  могу да се јаве унутар једног стварног насеља. Топлотна оптерећења зграда су проучавана  доста у литератури  (Stanislaw 1985, Hartshorn 1985, Mihalakakou et al 2002). Свака зграда  било које величине се састоји од одређеног броја условних станова од којих сваки има по  60 m2 (Табела 31). Условни стан је уједно и просечан стан гледано по његовој величини.    За  сваки  појединачни  условни  урбанистички  сегмент  могуће  је  поставити  цевоводну  мрежу  за  оба  система  грејања  на  гас.  Уколико  је  исти  распоред  објеката  на  условној  површини, а топлотно оптерећење различито, у том случају је и дужина трасе цевоводне  мреже иста само се разликују пречници цеви у структури цевовода. Један пример се даје у  табели 32.    На  основу  досадашњих  података  пошто  је  позната  мрежа  цевовода  и  пошто  су  димензионисани пратећи уређаји могуће је прорачунати инвестициона и експлоатациона  улагања за сваки појединачан случај. Овде су обахваћени и трошкови одржавања у оквиру  25 година колико је предвиђено да траје пројекат. Сумарни резултати се дају у табели 33.   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 149 ‐    Табела 31. Број просечних станова по згради за свих 96 случајева  Број зграда – N на основном сегменту    W/m2  Топлотно оптерећење MW∙km‐2  125  100  75  50  40  30  20  10  N=4  95a  274c  219 164 110 88 66 44  22  142b  181  145 109 72 58 43 29  14  N=8  95  137  110 82 55 44 33 22  11  142  90  72 54 36 29 22 14  7  N=16  95  69  55 41 27 22 16 11  5  142  45  36 27 18 14 11 7  4  N=32  95  34  27 21 14 11 8 5  3  142  23  18 14 9 7 5 4  2  N=64  95  17  14 10 7 5 4 3  1  142  11  9 7 5 4 3 2  1  N=128  95  9  7 5 3 3 2 1  1  142  6  5 3 2 2 1 1  0d  а‐добро изолован стан, b‐лоше изолован стан, c‐274 добро изолована стана по згради, 4 зграде на основном сегменту, d‐ мање од једног просечног стана по згради, тј зграда мања од 60 m2, 128 зграда, тј. малих кућица на основном сегменту    У табели 34 се даје детаљан пример како је прорачуната једна од вредности дата у табели  33.  На  слици  62  се  даје  заступљеност  кућних  гасних  котлића  по  класама  сезонске  ефикасности (SEDBUK).      Слика 62. Кућни гасни котлићи по класама сезонске ефикасности (апсолутна заступљеност); рачунато за  горњу топлотну моћ   ‐ 150 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Табела 32. Пример структуре пречника цеви за један пример од укупно 96 случајева       E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 151 ‐    Табела 33. Сумарни инвестициони трокови за 48 случајева обухваћених моделом по стану       авидети Табелу 34          ‐ 152 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Табела 34. Пример прорачуна дисконтованих трошкова          lједан од случајева из табеле 35       mједан од случајева из табеле 36      Разлика  иницијалних  трошкова  у  оба  система  се  даје  у  табели  35,  а  дисконтованих  у  табели 36.     E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 153 ‐    Табела 35. Разлика иницијалних трошкова у оба система          aT‐Г (видети ј‐ну 226 и 227, као и табелу 34)      Трошкови за гасоводни систем се рачунају на основу формуле (226):    Г ൌ МРСାРСାГМାМСାККାОГ У                   (226)    Где  су:  Г‐трошкови  гасоводног  система,  МРС‐трошкови  мерно  регулационе  станице,  РС‐трошкови  регулационе станице,  ГМ‐трошкови гасоводне мреже, МС‐трошкови мерног сета, КК‐трошкови гасног  кућног котлића и ОГ‐трошкови одржавања гасовода    Трошкови за систем топлификације се рачунају на основу формуле (227):    Т ൌ ТМାРТାНТାОТ У                     (227)    Где  су:  Т‐трошкови  топлификационог  система,  ТМ‐трошкови  топловодне  мреже,  РТ‐трошкови  размењивача  топлоте,  НТ‐трошкови  за  изградњу  нове  топлане,  ОТ‐трошкови  одржавања  топлификационог система      ‐ 154 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Табела 36. Разлика дисконтованих трошкова у оба системаа                            апрема ј‐ни 228                          bваријанта I‐цена кућног гасног котлића 500 € (видети табелу 35)                          cвредност дисконтне стопе                          dпример из табеле 34    НСВ ൌ ∑ ТିГሺଵାௗೝሻ೟ ௡ ௧ୀଵ                     (228)    На слици 61 су приказане све могуће дужине цевовода које постоје у моделу. Пречници у  структури цевовода зависе од топлотног оптерећења сваког од приказаних истраживачких  сегмената,  тј.  на  сваком  од  сегмената  може  постојати  осам  различитих  оптерећења.  Управо да би ови пречници били што реалнији увео се појам истраживачког сегмента који  је 10 пута већи од основног сегмента.    Уопштено  говорећи сличност између реалног насеља и условне урбанистичке површине  се успоставља преко следеће две величине:     E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 155 ‐    1. Број зграда на 0,05 km2, тј. 5 ha (Слика 59)  2. Топлотног  оптерећења,  тј.  потребне  грејне  снаге  која  је  потребна  за  загревање  станова у зградама које се налазе у разматраној зони од 0,05 km2, тј. 5 ha (Слика 58)    Топлотне потребе се процењују на 1,2 m3/h природног гаса по домаћинству, односно по  просечном тј. условном стану. Више о процени грејних потреба може се сазнати из чланка  Хеуиа‐Чуа и Тсаи‐Фенга  (Huei‐Chu‐Tsai‐Feng 2002). На ову тему је занимљива и докторска  дисертација  Муртоа  (Murto  1998).  Укратко,  на  основу  процењених  грејних  потреба  извлачи се закључак да просечан стан ако је добро изолован има топлотно оптерећење од  142  W/m2  у  случају  лошије  изолације,  односно  95  W/m2  у  случају  добре  изолације.  Топлотно оптерећење се даје у MW/km2, а не ни у MW/0,05 km2 нити у MW/0,5 km2, што је  суштински исто.     На основу модела условних урбанистичких површина, за свих 96 је спроведена економска  рачуница (Табеле 33 и 34). Замена делова система је предвиђена за наредних 25 година,  као и одржавање. У сваком од 96  случајева  је вршено поређење трошкова,  тако да онај  систем  од  два  са  мање  трошкова  има  предност  (Табела  35  и  36).  Пошто  се  трошкови  дисконтују на 25 година, већи трошкови имају и сразмерно веће оптерећење што је већа  дисконтна  стопа,  док  подједнако  повећање  или  смањење  трошкова  оба  система  има  линеаран ефекат (Слика 63).  Слика 63. Ефекти подједнаког оптерећење цене у оба система и дисконтне стопе  Сваки стан је у опцији гасификације опремљен кућним гасним котлићем. Са друге стране  сваком  стану  у  опцији  топлификације  одговара  удео  у  топлани  као  и  у  припадајућем  размењивачу топлоте. Такође сваком стану у опцији гасификације припада део трошкова  гасоводне мреже,  а  у  топлификацији  део  трошкова  топловодне мреже.  Топлифицирани  стан  је  оптерећен  и  електричном  енергијом  потребном  за  рад  пумпи.  Због  додатних  топлотних  губитака од  топлане до  стана,  сматра  се да  стан  који  је  топлифициран  троши  10% више природног гаса од гасифицираног.    Инвестиција  у  нову  топлану  се  процењује  на 80000 €/MW  ако  је  капацитет  топлане <50  MW),  на  65000  €/MW  за  топлане  капацитета  50–100  MW  и  52000  €/MW  за  топлане  капацитета 100–200 MW.  Гасни  котлић  има  различиту  цену  највише  на  основу  сезонске  ‐ 156 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      ефикасности.  Може  се  изабрати  знатно  ефикаснији  кондензациони  али  скупљи  котлић,  или мање ефикасан обичан котлић. Најзаступљенији на тржишту су најефикаснији котлићи  у  својој  групи  (Слика  62).  При  избору  котлића  треба  водити  рачуна  да  буде  добро  димензионисан да би задовољио грејне потребе простора (Слика 64).    Слика 64. Апсолутни број типова кучних гасних котлића на тржишту Велике Британије према класификацији  SEDBUK Просечан стан у нашем моделу има 60 m2, међутим према слици 64 се види да је могуће  изабрати врло различите гасне котлиће како по снази, а тако и по ефикасности (Слика 62).  У  наредним  разматрањима  више  ћемо  се  позабавити  расположивим  котлићима  на  тржишту  у Србији.    Узимајући  у  обзир  претпоставке  по  којима  ће  природни  гас  бити  фосилно  гориво  са  највећим учешћем у потрошњи примарних енергетских сировина у 21. веку, а имајући у  виду  његове  несумњиве  еколошке  предности  над  осталим  фосилним  горивима,  као  и  расположиве резерве, а узимајући у обзир све строжије захтеве за повећањем енергетске  ефикасности  уопште,  корисно  је  размотрити  како  се  пореди  енергетска  ефикасност  појединачних котлова на природни гас у домаћинствима и које су процењене уштеде при  већој ефикасности.   Као  јед енергетс произво бити пов енергетс степена  произво сваког  п тржишту податке      Ове озна   Котлови  тржишту   Сезонска да  се  www.bre of Dwell владе  В Governm EDITION) разматр горива.  енергетс на течна Бркић‐Та   База под нафтни  ноставан  н ке  ефикасн ђаче  и  они учене када ке  ефикасн сезонске  е ђач или уво оследњег  д   Велике  Бр за ову клас Клас ефикасн ке класа еф који се нал  Србије су т  ефикасно пореде  по .co.uk/sap2 ings;  SAP 20 елике  Бри ent’s  Stand  и у складу а захтеве еф Ова  дирек ке ефикасн  и/или гасо насковић 2 атака са се гас‐ТНГ  (eн ачин  при ости  означ   их  могу,  а  буде ступ ости  котло фикасности зник котло ана  у  мес итаније.  П ификацију  Табел а  ости                  или т или  икасности  азе у класи акође упор ст (SEDBUK  једини  м 005 ‐ The G 05  EDITION таније  за  ard  Assess  је са Европ икасности тива  је  у  ости у окв вита горива 007).  зонском е г.  LNG)  и  на казивања  ени  од  А  ли  не  мор ила на снаг ва.  Класе    за  подруч ва и које к ецу  и  која  роизвођачи нити да буд а 37. Класе еф Степен  ренутно чек су застарели се у пракси фикацији у едиви.  ‐ Seasonal E одели  кот overnment’ ,  додатак  вреднова ment  Proce ском дире  за нове кот усклађена  иру Европс  називне с фикасношћ   течна  гор ефикасност до  G  (Таб ају  користи у Европска  ефикасност је  Уједиње ао такве ул се  формир   и  увозни у класифик икасности (ww сезонске еф 90% и 86% ‐ 82% ‐ 78% ‐ 74% ‐ 70% ‐ испод ају на серти  али их још и  применљу  бази за Ве fficiency of лова  (за  s Standard A D).  Ова ме ње  енерге dure  for  E ктивом 92/ лове за топ са  SAVE ке Уније. Д наге од 4 kW у даје посе ива.  Посеб и  могу  с ела  37).  Оз ти.  Ове  кл директива  и  су  дате  ног  Краље азе у базу а  за  котло ци  нису  ду овани.  w.sedbuk.com) икасности (S  више   90%   86%   82%   78%   74%   70%  фикацију тес ма на тржи ју и у Србиј лику Брита  Domestic B детаљан  н ssessment тодологија  тске  ефика nergy  Ratin 42/EEC (OJ  лу воду ко програмом иректива р  до 400 kW бно податк но  се  дају  е  увести  наке  нису  асе  су  прив која се тич на  основу  вства  са  ко  података к ве  који  су жни  да  об   EDBUK)  та ефикасно шту  и за многе  нију, а који oilers in the ачин  про Procedure f је  прописа сности  у  g  of  Dwel L 167, 22.6. ји раде на г   који  се  т азматра ко  (Танасков е за котло подаци  за  симболи  к обавезујућ ремене  и  е обележав верификов јима  се  сло оја се ажу   заступљен авезно  дос сти  производе.  се налазе   UK) омогу рачуна  ви or Energy R на  процеду зградама  lings;  SAP 1992, p. 17) асовита и т иче  промо тлове који  ић‐Бркић 2 ве на  гас,  т котлове  ко E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 15   ласа  е  за  могу  ања  аних  жио  рира  и  на  таве    и на  ћава  дети  ating  ром  (The  2005   која  ечна  ције  раде  007,  ечни  ји  су  7 ‐  ‐ 158 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      тренутно  у  производњи,  а  посебно  за  котлове  који  се  више  не  производе  било  да  су  застарели или им је производња престала из било ког разлога.    На  следећим  дијаграмима  приказани  су  подаци  ефикасности  за  поједине  произвођаче  котлова са посебно означеним котловима који су присутни под истим трговачким именом  и на тржишту Србије (Слике 65 до 69).    Слика 65. Класификација котлића фирме Ferroli     Слика 66. Класификација котлића фирме Vaillant   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 159 ‐        Слика 67. Класификација котлића фирме Fonderie Sime     Слика 68. Класификација котлића фирме Wolf      ‐ 160 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Слика 69. Класификација котлића фирме Viessmann  Податке за моделе који се тренутно производе обезбеђује произвођач, који има право да  изврши увид у прорачунате податке пре објављивања. Наведена срачуната ефикасност је  базирана  на  тест  резултатима  које  су  доставили  произвођачи  и  које  је  одобрило  независно  Нотификационо  тело  (акредитовано  за  тестирање  котлова  по  европским  стандардима). Подаци за застареле моделе се не подвргавају провери по истим високим  стандардима.    База података о котловима се мења, односно ажурира подацима о новим котловима као и  извесним изменама код  већ  унетих модела ако  се  за  то  укаже потреба,  и  то  тако да  се  након ових измена не може вршити увид у старо стање база.    Приказан степен ефикасности котлова зависи од тачности мерења улазних података. Ипак  ове мале разлике степена ефикасности добијеног на основу ових података су практично  занемариве  тако  да  се  могу  користити  за  поређење  одређених  модела  котлова.  Статистичке  анализе  су  показале  да  уколико  два  котла  имају  ефикасност  срачунату  по  SEDBUK методологији за три процентна поена различиту тада котао са већом вредношћу  срачунате ефикасности је и у стварности ефикаснији са сигурношћу од 95%.    Подаци се могу приказати и збирно са нове котлове – brand new (Слика 70) и котлове који  се више не производе или су застарели (Слика 71).     E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 161 ‐      Слика 70. Котлови који су у производњи – brand new     Слика 71. Котлови за које је престала производња На основу датих дијаграма и података од преко 2000 котлова из базе може се закључити  да већина кондензационих котлова носи ознаку енергетске класе А, да у класи B и C, има  врло мало котлова, док је већина некондензационих котлова у класи D уколико се ради о  котловима који се  још увек производе или у нижим класама за котлове који се више не  производе или су застарели.    ‐ 162 ‐ Де   Уколико се  више добијам ефикаса ондносн На осно Governm EDITION) новчано сезонско најмање     Процењ од типа  уштеде,  котлова  налази у   јан Бркић, Д  узмемо за   не  произв о  уштеде  у н  застарел о у класи ак Слика ву цене  гор ent’s  Stand   могуће  је  м  износу  ( г  степена   процењен Таб ени годишњ објекта. Раз како  енерг пошто се о  класи D (Сл окторска ди  поређење  оди  или  к   гориву  на и  котао  с туелних ко  72. Уштеде го ива дате у ard  Assess извршити  у  овом  слу ефикасност ом сезонск ела 38. Уштед класа            и трошков матрајући  етске  тако  ни налазе у ика 62).   сертација  најефикасн оји  је  заста   годишњем а  најефика тлова ова у рива при замен с   Табели 12 ment  Proce процену  го чају  у  Бри и.  Уштеде ом ефикасн е заменом најм SEDBUK  91,5%  89,9%  85,8%  81,8%  77,9%  73,5%  68,4%  65,0%  55,0%  и за гориво различите т и  економс  енергетско   ији   котао  рео,  и  пор   нивоу  до снијим  ко штеда је ид и мање ефика воје групе    у оквиру S dure  for  E дишњих  тр танским  Ф   на  гориву ошћу од 55 ање ефикасно уштеда I II 109  142  105  138  97  127  88  116  79  103  68  89  53  69  42  56  0  0   графички с ипове котл ке  могу  по ј класи А, д који је  још едимо  ост   39,76%  ук тлом  који  е до 22,62% сног котла нај AP 2005, w nergy  Ratin ошкова  го унтама)  у   које  се  п % бољим к г котла неким  £/годишње III IV 147  168  142  162  132  150  120  136  106  122  92  105  71  81  57  66  0  0  у приказан ова може с стићи  кори ок се већи  увек и наје але  из  при олико  зам се  више   (Слика 72   ефиксанијим и ww.bre.co.u g  of  Dwel рива,  тј.  пр зависности остижу  зам отлом дате  ефикаснијим    V 238  229  212  193  172  148  115  92  0  и на слици  е закључит шћењем  к на осталих фикаснији падајуће  г енимо  најм не  произв ).  з  k/sap2005  lings;  SAP иродног  га   од  вредн еном  котл  у табели 38 73 у зависн и да се нај ондензаци  типова кот  који  рупе  ање  оди,  (The  2005  са  у  ости  а  са  .  ости  веће  оних  лова   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 163 ‐      Слика 73. Годишњи трошкови горива у новчаном износу   На тржишту Србије се могу наћи практично модели котлова из обе групе, како они који се  још  увек  производе  тако  и  застарели,  односно  котлови  за  које  је  из  било  ког  разлога  престала производња.    Сама методологија  којом  се  прорачунава  сезонска  ефикасност  кућних  гасних  котлова  је  прописана процедуром владе Велике Британије за вредновање енергетске ефикасности у  зградама. Ова методологија је у складу са Европском директивом 92/42/EEC која разматра  захтеве ефикасности за нове котлове за топлу воду који раде на гасовита и течна горива.  Овако  прорачуната  сезонска  ефикасност  је  релевантан  параметар  за  поређење  различитих модела котлова.    За  прорачун  сезонске  ефикасности  кућних  котлова  на  гас,  односно  појединих  модела  котлова, потребно је имати познат податак o степену искоришћења за доњу топлотну моћ  при  пуном  оптерећењу  Efull  и  при  30%  оптерећења  Epart,  као  и  тип  котлова.  Европска  директива  92/42/EEC  прописује  стандардне  вредности  ових  улазних  вредности  ефикасности  за  прорачун  у  зависности  од  снаге  и  типа  котлова  као  и  тачну  дефиницију  одређеног  типа  котла.  На  основу  ових  улазних  података може  се  приступити  прорачуну  сезонске ефикасности по методи прописаној по SAP 2005 и тако добити податак који се у  пракси показао као најбољи за поређење различитих типова котлова.    Ради  боље  информисаности  тржишта  и  заштите  купаца,  као  и  здраве  конкуренције,  у  Великој  Британији  се  податак  о  сезонској  ефикасности,  енг.  SEDBUK  објављује  јавно  уз  ‐ 164 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      сагласност  произвођача,  односно  његовог  заступника  на  основу  чега  поједини  модел  котла  може  да  уђе  у  базу  података,  а  након  верификације  улазних  података  од  стране  овлашћене  лабораторије може и да добије ознаку  класе  енергетске  ефикасности,  као  и  додатну  ознаку  (Слика  74)  ‐  Energy  Saving  Recommended  (коју  додељује  непрофитна  oрганизација  The  Energy  Saving  (www.energysavingtrust.org.uk)  коју  је  основала  Влада  Велике  Британије  уз  учешће  приватног  сектора  после  Самита  у  Рио  де  Жанеиру  1992.  године. Ова организација промовише штедњу енергије са два главна циља, да допринесе  одрживом коришћењу енергије и да се смањи емисија угљендиоксида ‐ CO2, и у том циљу  додатно информише потрошаче.  Слика 74. Додатна ознака Energy Saving Recommended  Eвропска  директива  92/42/EEC  тиче  се  ефикасности  котлова  за  топлу  воду  који  раде  на  течна  или  гасовита  горива.  Директива  прописује  у  члану  5.  степене  ефикасности  које  котлови морају задовољити и под којим условима,  а који су улазни подаци за прорачун  сезонске ефикасности (Табела 39):    Табела 39. Захтевана ефикасност котлова по директиви 92/42/EEC  Тип котла  при називној снази  котла (%)  при делимичном оптерећењу  котла (%)  Стандардни котлови  ≥84+2log (Pn)  ≥80+3log (Pn)  Нискотемпературни котлови (*)  ≥87,5+1,5log (Pn)  ≥87,5+1,5log (Pn)  Гасокондензациони котлови  ≥91+log (Pn)  ≥97+log (Pn)  * укључујући и гасокондензационе котлове на течно гориво    У Табели 39, Pn је снага дата у kW и може бити у опсегу од 4‐400 kW.     Такође  директива  прописује  шта  се  под  којим  типом  котлова  тачно  подразумева,  нпр.  нискотемпературни,  кондензациони  котао,  итд.  Просечна  температура  воде  у  котлу  за  стандардне услове под којима се одређују степени ефикасности у табели 39. је при пуној  снази 70oC, а при делимичној снази за стандардне котлове ≥50oC,  за нискотемпературне  40oC, док је за кондензационе котлове битна улазна температура воде која мора бити 30oC  да би се постигао кондензациони ефекат.    Као  што  је  већ  напоменуто  као  улазни  подаци  за  прорачун  сезонске  ефикасности  потребни су подаци o степену искоришћења за доњу топлотну моћ при пуном оптерећењу  Еfull и при 30% оптерећења Epart, као и тип котла. Највеће вредности степена ефикасности  за  кондензационе  котлове  при  пуном  оптерећењу  могу  бити  101,0%,  а  при  30%  оптерећења  107,0%,  док  код  некондензациних  котлова  највеће  вредности  при  пуном  оптерећењу могу  бити  92,0%,  а  при  30%  оптерећења  91,0%.  Степене  искоришћења  при  пуном Еfull и делимичном оптерећењу Epart који служе као улазни податак и који не могу  прећи наведене вредности  треба превести на  горњу  топлотну моћ и  то  тако што  се оне   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 165 ‐    множе коефицијентом 0,901 за гасне котлове, са 0,921 за котлове на течни нафни гас – ТНГ  (енг. LNG) (видети у SAP 2005 табелу D2.2).    У  даљем  току  прорачуна  потребно  је  одредити  тип  котла  у  складу  са  одељком  D1  и  табелом D2.3  у  SAP  2005,  а  затим  на  основу  овога  изабрати  одговарајућу  једначину  за  прорачун сезонске ефикасности из табеле D2.4, нпр. за on/off гасни котао (on/off regular),  било  кондензациони  или  не,  важи  једначина 101  (229),  а  за  исти  такав  са  резервоаром  (on/off  storage  combination)  једначина  105  (230)  по  SAP  2005,  док  за  подесиве  било  кондензационe  или  не,  ако  немају  резервоар  (modulating  regular)  важи  једначина  102  (231), а ако имају резервоар (modulating storage combination) ј‐на 106 (232), итд:    101: E=0,5∙(Efull+Epart)–2,5–4                  (229)   105: E=0,5∙(Efull+Epart)–2,8+(0,209·b·L·Vcs)–4p              (230)  102: E=0,5∙(Efull+Epart)–2,0–4p                  (231)  106: E=0,5∙(Efull+Epart)–1,7+(0,209·b·L·Vcs)–4p              (232)    Котлови покривени једначинама 101 (229) и 102 (231) служе за обезбеђење грејања, а не  и  потрошне  топле  воде  у  општем  случају  (енг.  regular),  док  су  котлови  покривени  једначинама 105 (230) и 106 (232) тзв. комби котлови, тј. обезбеђују топлу воду за грејање  као и потрошну топлу воду и имају интерни резервоар од најмање 15 а највише 70 литара,  а  уколико  је  резервоар  већи  од 70  литара  тада  грејни  круг  не  сме да  се  напаја  из  овог  резервоара,  а ако се напаја не потпада у ову класу котлова,  већ се сезонска ефикасност  рачуна по другачијој једначини (Слика 75).    Уколико у табели D2.3 у SAP 2005 не постоји број једначине која се бира из табеле D2.4 у  SAP 2005, односно ако стоји ознака – X, прорачун се не може наставити.    За гасне котлове и за котлове на ТНГ, параметар p у једначинама 105 (230), 102 (231), 106  (232)  је уколико немају пилот пламен тада  је p=0,  а уколико имају стални пилот пламен  тада је p=1.    Параметар  b=0,  уколико  нису  укључени  губици  из  резервоара  код  котлова  са  резервоаром,  односно  уколико  није  био  прикључен  резервоар  током  тестирања,  у  супротном b=1.    Уколико постоји резервоар запремине Vcs у dm3, тада се параметар L рачуна као L=0,0945– 0,0055·t, ако је t<10mm, односно као L=0,394/t, ако је t≥10mm, где је t дебљина изолације  у mm.    Добијен  резултат,  односно  Сезонску  ефикасност  E  треба  дати  заокружену  на  једну  децималу (енг. Seasonal Efficiency = [x] %), уз обавезно навођење Нотификационог тела за  тестирање котлова акредитованог од стране националне службе ЕУ (енг. The Notified Body  accredited for the testing of boilers by an EU national accreditation service) које потврђује да  су  улазни  подаци,  метод  прорачуна  и  сам  прорачун  спроведени  у  складу  са  Европском  ‐ 166 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      директивом  о  ефикасности  котлова.  У  Великој  Британији  скраћеница  за  Сезонску  ефикасност котлова је SEDBUK (eнг. Seasonal Efficiency of Domestic Boilers in the UK).    Efull-net, Epart-net, тип котла p=1 Постоји ли резервоар? b=1 Да ли је резервоар био прикључен приликом тестирања? b=0 Efull, gross=0,901 x Efull,net, Epart, gross=0,901 x Epart,net Да ли је дебљина изолације резервоара t<10mm? L=0,0945-0,0055·tL=0,394/t Провера типа котла на основу табеле D2.3, a затим избор ј-не табели у D2.4 Да ли се на основу табеле D2.3 може одабрати једначина у табели D2.4? Прорачун немогућ Сезонска ефикасност = [x]% не не не не Запремина резервоара Vcs Да ли постоји пилот пламен? p=0 не   Слика 75. Приказ прорачуна Сезонске ефикасности (net се  односи на доњу, а gross на горњу топлотну моћ)   На  основу  горе  описаног  поступка  у  Великој  Британији  се  формира  база  података,  тзв.  “Плавa  књигa  котлова“  у  којој  се налазе подаци  за преко 2000  кућних  гасних  котлова,  а  која је доступна и преко интернета преко www.sedbuk.com (Слике 76 и 77):     Слика 76.    Да би се а тек по  горе  опи последњ 2007. год старе ко је и дета   Слик   Преглед ефикасн     1 Glow gas : c modu   2 Glow gas : c modu   3 Pott gas : r modu Приказ базе по  котао наш сертифика сани  начи ег дана у м ине. Посеб тлове, одно љно претра SAP seas Efficiency Certified  Power: mo Main type Mounting Condensin Burner co Elec. powe Store volu Store loss Store tem Insulation а 77. Детаљни но,  преко  ости на сли worm: Ul ombi : cond lating (24.3 worm: Ul ombi : cond lating (24.3 erton: Prom egular : con lating (15.24 датака за прв ао у бази п цији улазни н може  да  есецу. При но се дају  сно за оне  живање ба onal efficien category: S dulating 24 : Combi: Floor, g  ntrol: 180W r firing: Var me: 120 : Excluded perature: 62 type: Closes  подаци за најб 2000  котл ци 78.  trapower 1 ensing : flo - 24.3 kW)  trapower 1 ensing : flo - 24.3 kW)  ax SL : 15 densing : w - 15.24 kW a 3 најефикасн директно са  отребна је  х података добије  озн мери са сл подаци за к за које је п зе по парам cy: 91.5%  EDBUK Estimate o .3 - 24.3kW iable t to Polyure оље рангиран ww ова  из  ба 70 SXI : or mounted 00 SXI : or mounted all mounted )  a котла која се сајта www.sed сагласност   и прорачу аку  класе  ике 76 и 77 отлове кој рестала про етрима.  Efficien SAP eq f Annual Fu Fuel: G Exposu Flue: R Ignition Elec po Store ty Store h Insulati thane Foam  котао по SEDB w.sedbuk.com зе  SEDBUK  још увек прои buk.com  произвођач на сезонске ефикасност  су дати из и се још уве изводња и cy band:   uation used el Cost AS re: Indoor oom-sealed : No Perma wer not firin pe: Second eat loss: on thickness UK‐у (Detail) –   је  упоређ SAP season efficiency 91 SAP season efficiency 91 SAP season efficiency 91 зводе (31.03.20 а или њего  ефикасно и.  База  се   базе ажур к производ з било ког р   : 106  :Fan  nent Pilot Li g: 15W ary : 50 преузето дире ено  на  о al .5%  al .5%  al .3%    07. год) – преу вог заступн сти (SEDBU ажурира  св иране 31. м е, а посебн азлога. Мо ght ктно са сајта  снову  сезо E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 16   зето  ика,  K) на  аког  арта  о за  гуће  нске  7 ‐  ‐ 168 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Слика 78. Приказ SEDBUK за преко 2000 котлова   За  сваки  котао  је  дата  процена  годишњих  трошкова  за  гориво.  За  котао  који  је  најефикаснији у бази ови подаци су дати на слици 79.      Слика 79. Процењени годишњи трошкови за гориво за котао са највећим SEDBUK‐oм (31.03.2007. год) – преузето  директно са сајта www.sedbuk.com   Сезонска ефикасност кућних гасних котлова  је ефикасан параметар на основу кога може  да  се  изврши  њихово  рангирање.  Чињеница  да  је  ово  рангирање  доступно  широкој  јавности  доприноси  како  бољој  информисаности  купаца  шта  купују,  тако  и  развијању  здраве конкуренције на тржишту. Сваком произвођачу је стало да му производ буде што  боље  пласиран  на  овој  листи.  Овиме  се  произвођачи  постичу  да  иновирају  свој  производни  програм  што  доприноси  побољшању  енергетске  ефикасности  уопште,  а   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 169 ‐    самим тиме и уштеди на гориву у апсолутном износу, што као индиректан ефекат има и  еколошке предности.    Посебно је значајно да се на овај начин котлови класификују на основу стандардизоване  методологије  прорачуна  са  прописаним  и  верификованим  улазним  подацима,  са  прописаном излазном формом, као и на основу принципа добровољности.    Када се разматра ефикасност гасног котла у топлани, у овоме докторату није рађена тако  детаљна  анализа  као  када  су  у  питању  кућни  гасни  котлићи.  Међутим  узима  се  да  је  ефикасност  котла  у  топлани  отприлике  иста  као  и  ефикасност  просечног  кућног  гасног  котлића из базе SEDEBUK. На основу овога се узима да је за просечан стан, тј. условни стан  у  моделу,  за  задовољење  грејних  потреба  потребно  857  m3  природног  гаса.  За  обезбеђење  исте  количине  у  стану  коришћењем  топловодног  система  се  узима  да  је  потребна количина гаса око 10% већа, пошто постоје губици топлотне енергије од топлане  до  стана.  Вондарчек  и  сарадници  такође  у  свом  чланку  анализирају  потребну  количину  гаса (Vondraček et al 2008). Годишња потрошња електричне енергије сведена на просечан  стан који  је топлифициран износи 250 kWh, и она се користи првенствено на покретање  пумпи.    Пошто  се  моделском  приступу  показало  да  се  трошкови  у  оба  система  разликују  врло  мало, и то нпр. само 5 €, и то за период трајања пројекта од 26 година, уводи се појам тзв.  „сиве  зоне“  трошкова  у  којој  су  оба  система  подједнако  исплатива.  Исто  тако  за  једно  фиксно  топлотно  оптерећење,  у  зависности  од  густине  изграђености  насеља може  бити  исплативији топловод, тј. гасовод. Исти је случај ако се узме фиксна густина изграђености,  а варира топлотно оптерећење (Слика 80).  Слика 80. Идентификација карактеристичних случајева у моделском дијаграму    ‐ 170 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Уколико се поједино насеље налази даље од граничне линије у моделском дијаграму, то  значи да је одлука о избору одређеног система грејања утемељенија. Промена цена или  односа  цена  гаса  у  сваком  од  два  разматрана  система,  као  и  цене њихових  елемената,  доводи до померања границе унутар моделског дијаграма. На пример границу може да  помери  административна  одлука  да  се  цена  гаса  коју  користе  нпр.  топлана  субвенционише  у  односу  на  цену  гаса  који  се  дистрибуира  гасоводним  системом  за  употребу у домаћинствима. Наравно, граница се у том случају помера само за предузеће  које је власник топлане и које остварује профит у случају да се не субвенционише и цена  по  којој  домаћинства  плаћају  топлотну  енергију.  Нпр.  масовно  увођење  пластичних  полиетиленских цеви у изградњу гасовода, фаворизује овај систем у односу на време када  су се у оба система, како у гасоводном тако и у топловодном користиле челичне, тј. знатно  скупље цеви.  У  детаљнијој  анализи  се може  узети  и  цена  утицаја  појединог  система  на  локалном или глобалном нивоу (Braniš et al 2007).    Након  спроведене  детаљне  техно‐економске  анализе  могуће  је  одредити  који  од  два  система  је исплативији за дате урбанистичке параметре. Међутим добијени закључци су  валидни  само  уколико  постоје  довољни  капацитети  у  том  конкретном  систему  који  се  показао  као исплативији. Нпр.  уколико  се покаже да  је  топловодни  ситем повољнији  за  одређено  насеље,  може  се  десити  да  се  накнадном  анализом  испостави  да  не  постоје  довољни капацитети у топлани при чему није предвиђено проширење њених капацитета  из разноразних разлога. Такође, може постојати приоритет за прикључење других насеља  на  топловод,  нпр.  прво  оних  ближих  топлани,  итд.  У  таквој  ситуацији,  логично  је  прикључити  предметно  насеље  на  гасовод,  уколико  се  топлотно  оптерећење  насеља  и  густина  изграђености  у  моделском  дијаграму  не  налазе  далеко  од  граничне  линије.  Уколико се налазе далеко од граничне линије, као нпр. уколико се у насељу налазе високе  зграде које су уз то грађене без великог међусобног растојања, тада је могуће разматрати  хибридно решење, као нпр. изградњу котларнице на гас у оквиру самога насеља. Овиме  се преузимају све добре особине топлификације али и гасификације које постоје за случај  датог насеља.     У  моделу  који  је  приказан,  својства  стварне  урбане  површине,  као  што  су  број  зграда,  величина зграда, њихов просторни распоред, квалитет изолације итд. су главни утицајни  фактори  за  доношење  одлуке  о  систему  грејања  на  гас.  Ово  наравно  важи  ако  су  оба  система грејања на гас расположиви унутар једног насеља. Моделски дијаграм може бити  дат и  у  тродимензионалном облику при чему  се пореде  трошкови за  све  ситуације које  могу да се јаве (Слика 81).    У  Београду  нпр.  становници  који  остварују  одређен  вид  социјалне  помоћи  добијају  субвенцију  и  до  50%  за  цену  грејања  које  се  оствару  даљинским  системом  из  топлана.  Највећи попуст,  тј. 50% умањену цену плаћају и све породице које имају најмање једног  члана  који  је  учествовао  у  ратовима  који  су  се  водили  на  територији  бивше  Југославије  током деведесетих година двадесетог века. Поред тога сви корисници грејања из топлана  имају попуст од 5% уколико на време плате рачун. Тако да они који имају највеће попусте  уз на време плаћен рачун имају чак 55% попуста на цену грејања. Овакве попусте нпр. не   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 171 ‐    уживају  домаћинства  која  су  директно  прикључена  на  гасоводни  систем.  Овиме  се  директо ремети моделска равнотежа у случају Београда. Наравно, у моделу се узима исти  стандард становања приликом коришћења оба система грејања. То је само донекле тачно  пошто  грејање из  топлана често није  задовољавајуће, док  са друге  стране квалитет  гаса  који се дистрибуира такође није увек задовољавајући посебно имајући у виду да домаћи  гас није истог квалитета као и увозни руски гас.    Слика 81. Поређење трошкова гасног и топлификационог система  Насеље Карабурма у Београду  је коришћено за проверу модела. У насељу Карабурма  је  постоје расположиви капацитети у оба система, како у гасоводном, тако и у топловодном.  Пошто  у  оквиру  насеља  постоје  зоне  са  различитим  урбанистичким  карактеристикама,  ‐ 172 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      тако да је у оквиру сваке зоне обухваћен исти тип зграда са истом густином изграђености  (Слика 82). За сваку од зона може се израчунати топлотно оптерећење зоне које се своди  на  јединицу  површине,  и  исто  тако  се  и  број  зграда  своди  на  површину  основног  урбанистичког сегмента. Такође све зграде су различитог квалитета изолације. Зграде са  добрим  и  лошим  квалитетом  изолације  су  међусобно  измешане  тако  да  се  у  сваком  случају рачуна топлотно оптерећење зграда за оба случаја, тј. сматра се да су све зграде  унутар једне зоне добро изоловане, а у другом случају да су лоше изоловане (Слика 82).  Слика 82. Пример примене моделског дијаграма за случај насеља Карабурма у Београду  На  сличну  тему  увођења  одређених  система  се  баве  бројни  радови  од  којих  је  назначајније  поменути  чланке  Густафсона  и  Бојића  (Gustafsson‐Bojić  1997),  Торциа  и  сарадника  (Torchio  et  al  2008),  Осебарда  и  сарадника  (Ossebaard  et  al  2008),  Ајдиналп‐ Коксала  и  Исмет‐Угурсала  (Aydinalp‐Koksal‐Ismet  Ugursal  2008),  Реидхава  и  Вернера  (Reidhav‐Werner  2008),  Форсауес‐Нилсона  и  сардника  (Forsaeus‐Nilsson  et  al  2008),  Jовановића и  сарадника  (Jovanović et al 2009),  Страхана и Фарела  (Strachan‐Farrell 2006),  Хаберла и сарадника (Haberl et al 1998), итд.    Област која на моделском дијаграму припада гасоводном систему када је у питању лоша  изолација,  а  топлификационом  систему  када  је  у  питању  добра  изолација  (Слика  83)  представља тзв.  сиву зону у којој  су  трошкови топлификације и  гасификације скоро исти  (Слика 82). Мала  промена  нагиба  граничне  линије  (Слика 83)  потиче  отуда што  постоји  извесна промена пречника у структури цевовода када су у питању потпуно исти случајеви  који се разликују само у квалитету изолације (Слика 84).     E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 173 ‐      Слика 83. Моделски дијаграми за различите квалитет изолације      Слика 84. Један од случајева где се види како су за исту дужину цевовода потребни различити пречници када су  сви остали параметри исти осим квалитета изолације зграда Стварна урбана површина обележена бројем 8 у оквиру насеља Карабурма (Слика 82) се  састоји  од  малих  индивидуалних  кућа  које  у  просеку  садрже  по  један  просечан  стан.  Моделска анализа показује да је ове куће најбоље прикључити на гасификациони систем  било да су добро или лоше топлотно изоловане. У оквиру насеља само ова зона показује  ‐ 174 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      изразиту  исплативост  увођење  гаса  за  коришћење  директно  у  становима  у  односу  на  топлификацију.  Напротив,  зона  3  такође  у  оквиру  насеља  показује  изразиту  предност  топлификације.  У  оквиру  ове  зоне  су  школа,  обданиште,  тржни  центар,  месна  канцеларија,  итд,  тј.  на  врло малој  површини  се налазе  зграде  које имају  велику  грејну  површину. Свака од тих зграда се рачуна као еквивалент стамбене зграде од 20 или више  станова. У свим осталим зонама један од два понуђена система је инвестиционо скупљи  за  не  више  од  200  €  по  просечном  стану  што  се  не  може  узети  као  пресудно  при  доношењу  одлуке  о  избору  конкретног  система.  Неке  илустрације  о  томе  како  утиче  промена цене појединих елемената грејног система на померање граничне линије се дају  на  слици  85.  Приказан  је  утицај  промене  цене  гаса  и  промене  цене  гасног  котлића  на  померање граничне линије. Треба напоменути да уколико постоје значајне површине које  нису изграђене или које су покривене пољопривредним земљиштем, закључке о одабиру  система грејања који су овде донети треба прихватити са више опреза.  Слика 85. Утицај појединих утицајних фактора на померање граничне линије исплативости топлификационог  и гасификационог система Треба приметити да цевоводи имају пресудну улогу у доношењу одлуке о избору система  грејања у овом моделском приступу.  За  сваку од шест приказаних  густина изграђености  (Слика 62) постоји различита дужина цевовода. Међутим када се посматра свака од ових  густина изграђености посебно у случају различитог топлотног оптерећења иста је дужина  цевовода  у  сваком  случају  са  тиме  да  се  пречници  у  саставу  тог  цевовода  разликују.  Уколико је топлотно оптерећење поједине зоне веће тада су потребни и већи пречници да  би пропустили под истим условима већу количину гаса или топле воде. Такође уколико је  изолација слабија веће су грејне потребе стана како би се остварили исти услови у стану  као  и  у  случају  добре  изолације,  тако  да  су  опет  теоретски  потребни  већи  пречници  уколико  су  сви  други  параметри  исти.  Тако  нпр.  дужина  цевовода  има  већи  утицај  на  избор  система  у  сеоским  условима  у  поређењу  са  пречником  цеви,  док  је  у  градским  условима обрнуто, већи утицај на одабир система имају пречници цеви него сама дужина  цевовода.  На  пример  у  нашим  условима  се  сматра  да  је  потпуно  неисплативо  увођење  топлификације  у  сеоске  средине,  што  показује  и  овде  презентован  модел.  Међутим  најновија Шведска  истраживања показују  да  то  није  увек  случај,  већ да  под одређеним   E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 175 ‐    условима и топлификација у слабо насељеним областима може бити исплатива (Reidhav‐ Werner 2008, Forsaeus et al 2008). Да би ова  топлификација била исплатива према овим  шведским студијама,  годишња потрошња топлотне енергије мора бити већа од 50 GJ по  кући, док топлотно оптерећење по дужини цеви мора бити најмање 2 GJ/m. Ово је могуће  постићи зато што држава фаворизује овај облик грејања разним погодностима у односу на  систем  коришћења  природног  гаса,  течног  горива  или  електричне  енергије  за  подмиривање грејних потреба. Предност топлификације у слабо насељеним областима у  државама где не постоји фаворизовање система даљинског грејања из топлана давањем  различитих државних субвенција није могуће остварити.     Граница исплативости система приказана у овом докторату је за садашње цене елемената  система грејања и цене гаса у Србији. Ова граница се помера, тако да је у модел могуће  унети и друге ценеs.     У  данашње  време  један  град  се  може  сматрати  одрживим  ако  се  у  њему  успостави  равнотежа  између  економског  и  социо‐културалног  развоја  са  једне  стране  и  заштите  животне средине са друге стране при чему становништво мора узети активну улогу. Када  се  користи  једна  врста  енергента  у  различитим  системима  грејања,  при  чему  је  у  овом  случају  то  природни  гас,  обично  је  утицај  на  загађење  природне  средине  врло  мали.  Значајне разлике у примени топлификационог система се не могу јавити када се посматра  шири  регион  али  унутар  самог  насеља  разлике  могу  бити  значајне.  Директна  употреба  природног  гаса  у  самом  домаћинству  узрокује  да  највећу  штету  од  локалног  загађења  трпи  сам  потрошач  грејања.  За  разлику  од  овога,  у  топлификационом  систему  је  извор  загађења  концентрисан  у  једној  тачки  тако  да  штету  трпи  шира  друштвена  заједница  равномерно било да се греје преко те топлане или не. Укратко речено, код топлификације  емисија штетних гасова је тачкаста али је имисија штетних гасова захватила већи простор,  док  је  код  гасификационог  система  емисија  хомогена  али  се  загађење  мање  више  задржава  на  простору  насеља  у  коме  је  емисија  настала,  тј.  имисија  је  знатно  ужа.  Уопштено гледано, већи потрошач гаса је и већи загађивач. Треба ипак напоменути да је  природни  гас  најприхватљивије  фосилно  гориво  са  аспекта  очувања  животне  средине  пошто  се његовим сагоревањем испушта убедљиво најмања количина штетних  гасова и  честица по  јединици ослобођене  топлоте. Природни  гас  сагорева практично без чврстог  остатка  и  са  најмањом  количином  ослобођеног  CO2  у  поређењу  са  свим  осталим  горивима,  тако да  природни  гас  ослобађа  сагоревањем  само  56 kg/GJ  овога  гаса што  је  посебно  важно  имајући  у  виду  закључке  Кјото  протокола  (Haberl et  al 1998, Cowie et  al  2007, Karlssona‐Gustavsson 2003, Holmgren‐Amiri 2007). Тореков и сарадници (Torekov et al  2007) налазе да се при грејању преко система топлификације у просеку ослободи 78–93  kg/MWh  CO2,  0,1  kg/MWh  NOx,  0,06  kg/MWh  SO2.  У  случају  гасоводног  система  са                                                               s MS Excel датотека у којој је могуће ово урадити и пратити како се помера граница је доступна уз рад  “Systematic approach to natural gas usage for domestic heating in urban areas” који је објављен у водећем  иностраном часопису “Energy” (Brkić‐Tanasković 2008) из области енергетике и горива и коме се може  приступити преко академске интернет мреже и система обједињене електронске набавке часописа  КОБСОН, пошто је преко овог сервиса академска заједница Србије прeтплаћена na поменути часопис који  у електронском облику излази у оквиру електронске базе Science Direct издавачке куће Elsevier  ‐ 176 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      индивидуалним пећима ослободи се 205 kg/MWh CO2, 0,07 kg/MWh NOx, 0,001 kg/MWh  SO2.  Код  грејања  на  природни  гас  ослободи  се  559  kg/MWh  CO2,  88  kg/MWh NOx  и  44  kg/MWh  SO2.  У  поређењу  са  електричном  енергијом  сваки  испоручени  MWh  у  виду  природног  гаса  је  јефтинији  за  око  61%  (Karlssona‐Gustavsson  2003).  На  основу  овога  и  сличних  разматрања  се  може  проценити  и  цена  која  се  плаћа  за  загађење  животне  средине  у  новчаном  износу.  Нпр.  Јанг  и  сарадници  (Yang et al 2008)  у  свом  чланку  дају  резултате  проучавања  два  различита  централизована  система  грејања  на  животну  средину у случају Канаде.    Главна предност која се остварују приликом инсталирања гасног дистрибутивног система  или  топлификационог  система  који  ради  на  природни  гас  није  у  њиховој  међусобној  разлици у односу на различите урбанистичке параметре већ у супституцији далеко скупље  електричне енергије која би се у том случају, а нарочито у великим зградама користила за  подмиривање грејних потреба (Слика 86).    Слика 86. Потрошња електричне енергије у несељу Карабурма  Коришћење  електричне  енергије  као  најквалитетнијег  облика  енргије  за  подмиривање  грејних  потреба  становништва  се  сматра  најмање  рационалним  коришћењем  овог  племенитог  вида  енергије.  И  са  еколошког  гледишта  грејање  на  електричну  енергију  је  најскупљи  облик  грејања  (Ford  2008,  Jednak  et  al  2009,  Morais‐Marangon  Lima  2007,  Bodansky 1984).     У  данашње  време,  дискусуја  у  вези  увођења  топлификационих  система  није  ретка  у  научној и стручној литератури  (Lund et al 1999, de Almeida et al 2004, Knutsson et al 2006,  Dotzauer  2003,  Sundberg‐Karlsson  2000,  Gustavsson  2004а,b,  Benonysson  et  al  1995,  Gebremedhin‐Moshfegh 2004, Barelli et al 2006, Larsen et al 2001).     E.  И зб ор  о пт им ал но г с ис те м а  гр еј ањ а  на  п ри ро дн и  га с  на  о сн ов у  ур ба ни ст ич ки х  па ра м ет ар а  ‐ 177 ‐    Алгоритам за избор система грејања на гас према презентованом моделу се даје на слици  87.    Слика 87. Алгоритам за избор система грејања на гас према презентованом моделу    ‐ 178 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Годишње повећање утрошка примарне енергије се процењује на 3% годишње на светском  нивоу.  Упоредо  са  том  чињеницом,  треба  да  недавно  повећање  цене  природног  гаса  доводи  неминовно  до  преиспитивања  начина  грејања  који  су  се  до  сада  користили  у  Европи.  Наравно  економија  није  једина  која  условљава  преиспитивање  одрживости  досадашњих начина грејања. У том погледу све већу улогу игра и екологија. Највећи део  енергије  се данас  троши на кување,  грејање,  осветљење и превоз роба и путника.  Сама  економска исплативост грејања директно на природни гас зависи од много фактора тако  да закључци који се донесу на основу овде презентираног модела не морају увек да буду  и  у  потпуности  валидни  (Bouvy‐Klaus  2007,  Ѕöderman‐Pettersson  2006).  Разматрајући  данашње  топлификационе  системе,  они  су  често  мање  енергетски  ефикасни  од  савремених  система  за  грејање  на  природни  гас  унутар  самих  домаћинстава  помоћу  кућних  гасних  котлића  (овде  се  посебно  мисли  на  ефикасне  али  и  инвестиционе  доста  скупље кондензационе котлиће) (Rosa‐Tosato 1990, Lazzarin‐Schibuola 1986, Agrell‐Bogetoft  2005).  У  моделском  приступу  у  овој  дисертацији  је  узет  као  референтан  обичан,  тј.  просечан гасни котлић, међутим као улазни податак се може унети и цена било ког другог  гасног котлића као и његова процењена потрошња за просечан стан на годишњем нивоу.  Просечан котлић је узет као што је већ речено из базе SEDBUK. Ефикасност гасног котлића  и  топлане  је  у  овом  моделу  изједначена.  Типична  ефикасност  топлане  на  гас  се  може  проценити и на основу чланка Лазарина и Нора (Lazzarin‐Noro 2006), тако да се коришћени  податак уклапа у границе које се дају у литератури.       Ж . З ак љ уч ци   ‐ 179 ‐    Ж. Закључци    У поглављу Б ове докторске дисертације су детаљно истражени хидраулички отпори који  се јављају приликом протока природног гаса кроз цевоводеt. Поред хидрауличких отпора  који  се  јављају  приликом  протока  природног  гаса,  истраживањем  су  обухваћени  и  хидраулички отпори који се јављају и приликом протока течних флуида као што су вода и  нафта,  или  и  отпори  који  се  јављају  унутар  вентилационих  мрежа  какве  постоје  у  рудницима  и  зградама.  За  проблем  истраживан  у  дисертацији  је  посебно  интересантан  тзв. хидраулички „глатким“ режим протока који се јавља при протоку природног гаса кроз  полиетиленске  цеви  и  прелазни,  тј.  „делимично“  турбулентни  режим  који  се  јавља  приликом  протока  гаса  кроз  челичне  цеви,  али  исто  тако  и  приликом  протока  течних  флуида.  Посебно  је  проучавана  Реноарова  једначина  за  проток  гаса,  као  и  Колбрукова  једначина  за  одређивање  коефицијента  хидрауличког  отпора  при  протоку  флуида.  Реноарова  једначина  је  данас  незаобилазна  када  треба  одредити  пад  притиска  или  проток  у  полиетиленским  цевима  кроз  које  протиче  природни  гас.  Досада  се  ова  једначина у домаћој пракси користила у различитим облицима,  зависно од примењеног  система  јединица,  тако  да  се  осећала  потреба  прилагођења  Реноарове  једначине  Међународном  систему  јединица  (SI),  што  је  у  дисертацији  урађено  и  испоштовано  у  прорачунима.  Код Колбрукове једначине, проблем је нешто другачији имајући у виду да  је ова  једначина имплицитна у односу на коефицијент хидрауличког отпора. Колбрукова  емпиријска  релација  је  представљена  транцедентном  једначином,  односно  једначином  која  не  може  бити  изражена  преко  алгебарских  функција  у  коначном  облику.  Дакле  Колбрукова  једначина  може  бити  решена  само  са  приближном  тачношћу  и  то  у  итеративном поступку, као и преко апроксимативних формула коју су предложили бројни  аутори. Међутим, Колбрукова једначина може бити трансформисана у експлицитан облик  егзактно  без  било  каквих  апроксимација  преко  Ламберт  W‐функције.    Ламберт  W‐ функција је такође трансцендентна и не може се решити егзактно, већ као и Колбрукова  једначина  само  приближно.  У  научној  литератури  се  могу  наћи  делимично  успеле  трансформације  Колбрукове  релације  у  експлицитан  облик  применом  Ламберт  W‐ функције.  Ове  трансформације  су  делимично  успешне  само  из  разлога  што  бројне  вредности за одређене чланове овако трансформисане једначине постају сувише велике  или  мале  за  велике  вредности  релативне  храпавости  и  Рејнолдсовог  броја  да  би  биле  записане  чак  и  у  регистре  данашњих  врло  моћних  рачунара.  Егзактно  математички  трансформисана  Колбрукова  једначина  у  експлицитан  облик,  која  је  развијена  у  овом                                                               t Објављени резултати из ове области у часописима реферерисаним на SCI листи су следећи:  ‐Dejan Brkić: Solution of the implicit Colebrook‐White equation using Excel, Hydrocarbon Processing /на  енглеском језику, прихваћен, у штампи/ (ISSN 0018‐8190) (М23 – 3)  ‐Dejan Brkić: New reformulation of Colebrook‐White equation for flow friction based on Lambert‐W function,  Hydrocarbon Processing /на енглеском језику, прихваћен, у штампи/ (ISSN 0018‐8190) (М23 – 3)  ‐Dejan Brkić: Gas Distribution Network Hydraulic Problem from Practice, Petroleum Science and Technology /на  енглеском језику, прихваћен, у штампи/ (Print ISSN: 1091‐6466 Online ISSN: 1532‐2459) (М23 – 3)  ‐Dejan Brkić: Comments on "Settling velocities of particulate systems 15: Velocities in turbulent Newtonian flows",  International Journal of Mineral Processing 92 (3‐4) pp. 201‐202 (2009) doi: 10.1016/j.minpro.2009.03.010 /на  енглеском језику/ (ISSN 0301‐7516) (М25 – 1,5)  ‐ 180 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      докторату,  преко Ламберт W‐функције,  нема било каква ограничења у односу на полазну  имплицитну  Колбрукову  једначину  када  су  у  питању  вредности  релативне  храпавости  и  Рејнолдсовог броја. Пошто као што је већ речено не постоји начин да Ламберт W‐функција  буде егзактно решена у докторату  је развијена апроксимација Колбрукове  једначине на  основу  приближних  решења  Ламберт W‐функције  које  нуде  поједини  аутори.  Егзактно  трансформисана  имплицитна  Колбрукова  једначина  у  експлицитан  облик  помоћу  Ламберт W‐функције  може  бити  лако  приближно  решена  уз  помоћ  специјализованих  математичких  рачунарских  програма  где  је  ова  функција  позната  под  именом  W,  ProductLog или сл.  Проблем протока гаса кроз цеви је нелинеаран пошто хидраулички отпор зависи од самог  протока  гаса.  Код  електричних  кола,  отпорност  у  колу  је  стална,  односно  не  зависи  од  јачине струје која протиче кроз коло. Уколико би се успостављала аналогија протока гаса  кроз  цеви  или  уопштеније  аналогија  хидрауличких  цевоводних  мрежа  са  електричним  колима, тада је најбоље хидрауличке мреже упоредити са електричним мрежама у којима  су  отпорници  замењени  диодама.  Отпорност  диоде  зависи  од  струје  која  протиче  кроз  диоду.  Проблем  протока  течног  флуида  кроз  цеви  је  такође  нелинеаран,  тако  да  се  и  водоводи прстенастог типа морају прорачунавати итеративно.  Поглавље В се бави методама за пројектовање гасоводних мрежа прстенастог типаu. Због  зависности  хидрауличког  отпора  од  самог  протока,  хидрауличке  мреже  су  нелинеарни  системи и  стога  се морају прорачунавати итеративним поступком.  Поред добро познате  Харди Крос методе и њених модификованих варијанти у пракси пројектовања гасоводних  система нису превише заступљене друге побољшане методe  како у Србији  тако и  свету.  Све методе за прорачун цевоводних мрежа прстенастог типа су развијене првенствено за  пројектовање водоводних или вентилационих система а тек накнадно су прилагођене за  гасоводе. У данашње време просечан инжењер добро познаје расположиве програмске  пакетиме који постоје на тржишту и који су специјализовани за пројектовање гасоводних  мрежа прстенастог типа. У пракси инжењери првенствено препознају шта треба унети као  улазни сет параметара за прорачун, као и шта се добија као излазни сет параметара који  се касније интерпретира и анализира. Сама метода прорачуна гасоводних мрежа је данас  стављена у други план пошто  је она саставни део програмског пакета за пројектовање и  као таква релативно незанимљива просечном инжењеру. У докторату је извршен одабир  најбоље  методе  за  пројектовање  гасоводних  мрежа  прстенастог  типа.  Резулатати  овог  дела доктората врло лако могу бити преточени у врло ефикасан програмски пакет. Поред  детаљне анализе оригиналне верзије Харди Крос метода даје се и његова интерпретација  у  матричној  форми.  Увођењем  матричне  форме  Харди  Крос  метод  је  побољшан  попуњавањем празних места која постоје  у  главној матрици када  се посматра матрична  интерпретација  оригиналне  верзије  Харди  Крос метода.  На  овај  начин  је  конвергенција  оригиналног  метода  повећана  у  просеку  за  преко  десет  пута.  Иако  се  ово  побољшање                                                               u Објављени резултати из ове области у часописима реферерисаним на SCI листи су следећи:  ‐Dejan Brkić: An improvement of Hardy Cross method applied on looped spatial natural gas distribution networks,  Applied Energy 86 (7‐8) pp. 1290‐1300 (2009) doi: 10.1016/j.apenergy.2008.10.005 /на енглеском језику/ (ISSN  0306‐2619) (М22 – 5)   Ж . З ак љ уч ци   ‐ 181 ‐    примењује  већ  у  водоводним  системима  до  данас  је  заживело  у  недовољној  мери  у  пројектовању  гасоводних  мрежа.  Ово  побољшање  је  дефинитивно  и  успешно  прилагођено  за  пројектовање  гасоводних  мрежа.  Прилагођење  је  опште,  пошто  је  развијено за просторне или тзв. вишедимензионе мреже какве су вентилационе мреже.  Дата су детаљна правила за прорачун просторних мрежа која се директно могу применити  и  на  раванске  мреже.  Као што  је  познато,  било  да  се  прорачун  протока  кроз  цеви  већ  постојеће  мреже  врши  оригиналним  Харди  Крос  методом  или  његовом  побољшаном  варијантом,  као  резулат  прорачуна  у  свакој  појединачној  итерацији  се  добија  не  сам  проток  који  служи  као  улазни податак  за  следећу итерацију,  већ  тзв.  поправка протока.  Израчунату  поправку  протока  треба  у  зависности  од  бројних  параметара  мреже,  како  стварних тако и у прорачуну претпостављених, алгебарски додати на проток прорачунат у  претходној  итерацији.  У  докторату  је  успешно  разрешен  овај  проблем  дефинисањем  тачних  и  прецизних  алгебарских  правила  која  служе  овој  сврси.  Алгебарска  правила  су  описана  елементима Булове  алгебре на  основу  којих  су  конструисана фиктивна  логичка  кола која управо служе за одабир знака поправног протока. Даљи искорак  је направљен  тиме што се матрица чворова и матрица петљи уводи у сам метод. Матрица чворова код  свих  варијанти  Харди  Крос  метода,  односно  боље  речено  код  свих  методи  које  су  засноване  на  решавању  једначина  петљи,  служи  само  за  проверу  тачности  прорачуна.  Овако  уведене  матрице  служе  за  сам  прорачун,  а  сам  метод  се  сада  може  назвати  обједињеним  методом  чворова  и  петљи.  Главна  предност  овог  метода  је  што  се  као  резултат прорачуна у свакој итерацији добија сам проток а не његова поправка чиме се  избегава  примена  сложених  правила  за  одабир  алгебарског  знака.  Применом  овога  метода се постиже боља конвергенција чак и у поређењу са модификованим Харди Крос  методом који се до сада посматрао као еталон за прихватљивост брзине конвергенције. У  уобичајеном  приступу  који  се  користи  при  прорачуну  хидрауличких  мрежа  каква  је  и  гасоводна мрежа, обично се претпоставља прва расподела флуида која мора да задовољи  први Кирхофов закон. Овај закон мора увек, у свакој итерацији бити задовољен, док други  мора  бити  задовољен  са  одређеном  тачношћу  на  крају  прорачуна.  У  докторату  се  разрешава  и  обрнут  случај,  односно  даје  се  метод  чворова  код  кога  услов  по  другом  Кирхофовом  закону  мора  бити  задовољен  у  свакој  итерацији,  а  услов  по  првом  Кирхофовом закону на крају прорачуна. Метода чворова, и то њена побољшана варијанта  чије  је  побољшање  урађено  по  аналогији  са  побољшаном  Харди  Кросовом  методом  показује  уопштено  спорију  конвергенцију  од  метода  прстенова.  У  методе  прстенова  се  убрајају како оригинална Харди Крос метода, тако и побољшана, односно модификована  Харди Крос метода, али и обједињена метода чворова и прстенова. Аналогно претходном  следећи логичан корак је успостављање тзв. обједињене методе прстенова и чворова која  би припадала методи чворова и која би била еквивалент обједињене методе чворова и  прстенова  која  као  што  је  речено  припада  тзв.  групи  метода  петљи.  Поред  класичног  проблема  код  кога  се  у  задатој  мрежи  прорачунавају  протоци  по  гранама  мреже,  у  дисертацији  се  успешно  уводи  и  решење  оптимизационог  проблема,  тиме  што  за  фиксиране  протоке  врши  прорачун  оптималног  пречника  цеви,  који  се  заснива  на  тзв.  „оптимизирајућој“ брзини која се као појам уводи у докторату.  ‐ 182 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      У оквиру овога дела који се даје у поглављу В успешно се разрешава питање излажења  оптималних  параметара  за  употребу  природног  гаса  у  циљу  задовољавања  грејних  потреба домаћинстава у урбаним условима становањаv. Као што је познато, природни гас  за  потребе  грејања  може  да  се  користи  применом  два  типа  централизованих  система,  односно  путем  дистрибуције  самог  гаса  домаћинствима  посредством  цевоводног  дистрибуционог  система,  тј.  директно  или  снабдевањем  топлане  гасом  при  чему  се  испоручује  топлотна  енергија  домаћинствима,  тј.  применом  индиректног  система.  У  докторату  се  анализирају  различите  опције  грајања  у  оквиру  самог  стана  применом  директног  система  грејања  на  гас  при  чему  су  анализиране  опције  са  различитим  типовима гасних котлића уз посебан осврт на примену кондензационе технике. Анализа  која  се  у  докторату  спроводи  показује  да  топлификациони  систем  има  предност  у  насељима са малом густином изграђености, али са великим зградама (подразумева се да  топлана ради на гас), као и да систем дистрибуције гаса за домаћинства има предност  у  насељима  са  великом  густином  изграђености  али  са  малим  зградама  (индивидуалним  кућама).  Главни  резултати  овога  дела  доктората,  су  важећи  за  одређене  економске  полазне величине које су биле актуелне у тренутку анализе:  • уколико је просечна изграђеност насеља око 4 зграде на 5 хектара (0,05 km2)  топлификациони систем има предност над системом за дистрибуцију природног  гаса уколико у зградама има више од 29 просечних, тј. условних станова од 60 m2,  односно у случају да је грејна површина већа од 1740 m2, односно уколико је  дужина цевовода (тј. гасовода или топловода) испод 8 m сведено на просечан стан.  • уколико је просечна изграђеност насеља око 8 зграда на 5 хектара (0,05 km2)  топлификациони систем има предност над системом за дистрибуцију природног  гаса уколико у зградама има више од 22 просечних, тј. условних станова од 60 m2,  односно у случају да је грејна површина већа од 1320 m2, односно уколико је  дужина цевовода (тј. гасовода или топловода) испод 7,6 m сведено на просечан  стан.  • уколико је просечна изграђеност насеља око 16 зграда на 5 хектара (0,05 km2)  топлификациони систем има предност над системом за дистрибуцију природног  гаса уколико у зградама има више од 18 просечних, тј. условних станова од 60 m2,  односно у случају да је грејна површина већа од 1080 m2, односно уколико је  дужина цевовода (тј. гасовода или топловода) испод 7 m сведено на просечан стан.  • уколико је просечна изграђеност насеља око 32 зграде на 5 хектара (0,05 km2)  топлификациони систем има предност над системом за дистрибуцију природног  гаса уколико у зградама има више од 15 просечних, тј. условних станова од 60 m2,                                                               v Објављени резултати из ове области у часописима реферерисаним на SCI листи су следећи:  ‐Dejan Brkić, Toma Tanasković: Systematic approach to natural gas usage for domestic heating in urban areas,  Energy 33 (12) pp. 1738‐1753 (2008) doi: 10.1016/j.energy.2008.08.009 /на енглеском језику/ (ISSN 0360‐5442)  (М21 – 8)  ‐Dejan Brkić: Serbian gas sector in the spotlight of oil and gas agreement with Russia, Energy Policy 37 (5) pp. 1925‐ 1938 (2009) doi: 10.1016/j.enpol.2009.01.031 /на енглеском језику/ (ISSN 0301‐4215) (М21 – 8)  ‐Dejan Brkić: Transportation: Serbian, Russian pipeline accord enhances European gas security, Oil & Gas Journal  106 (48) pp. 52‐54 (2008) /на енглеском језику/ (ISSN 0030‐1388) (М23 – 3)   Ж . З ак љ уч ци   ‐ 183 ‐    односно у случају да је грејна површина већа од 900 m2, односно уколико је  дужина цевовода (тј. гасовода или топловода) испод 6,4 m сведено на просечан  стан.  • уколико је просечна изграђеност насеља око 64 зграде на 5 хектара (0,05 km2)  топлификациони систем има предност над системом за дистрибуцију природног  гаса уколико у зградама има више од 12 просечних, тј. условних станова од 60 m2,  односно у случају да је грејна површина већа од 720 m2, односно уколико је  дужина цевовода (тј. гасовода или топловода) испод 5,8 m сведено на просечан  стан.  • уколико је просечна изграђеност насеља око 128 зграда тада систем за  дистрибуцију гаса домаћинствима има увек предност.        ‐ 184 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Литература    1. Абрамов, Н.Н. 1974. Снабдевање водом становништва, индустрије и  пољопривреде. Грађевинска књига, Београд. (на српском)  2. Abdolahi, F., Mesbah, A., Boozarjomehry, R.B., Svrcek, W.Y. 2007. The effect of major  parameters on simulation results of gas pipelines. International Journal of Mechanical  Sciences 49(8), 989–1000. (на енглеском)  3. Afzal, N. 2007. Friction factor directly from transitional roughness in a turbulent pipe  flow. Journal of Fluids Engineering, Transactions of the ASME 129(10), 1255‐1267. (на  енглеском)  4. Afzal, N., Seena, A., Bushra, A. 2007. Power law velocity profile in fully developed  turbulent pipe and channel flows. Journal of Hydraulic Engineering ASCE 133(9), 1080‐ 1086. (на енглеском)  5. Agrell, J., Bogetoft, P. 2005. Economic and environmental efficiency of district heating  plants. Energy Policy 33(10), 1351–1362. (на енглеском)  6. AGFW‐Arbeitsgemeinschaft Fernwärme. Pluralistische Wärmeversorgung‐Zeithorizont  2005, 2020 (Vorstudie, Hauptstudie). See also: www.agfw.de/86.0.html (на немачком)  7. Ahuja, R.K., Magnanti, Thomas, L., Orlin, J.B., 1991. Some recent advances in network  flows. SIAM Review 33(2), 175–219. (на енглеском)  8. Arsene, C.T.C., Bargiela, A., Al‐Dabass, D. 2004. Modelling and simulation of water  systems based on loop equations. International journal of simulation: Systems, science &  technology 5(1‐2), 61–72. (на енглеском)  9. Allen, J.J., Shockling, M.A., Kunkel, G.J., Smits, A.J. 2007. Turbulent flow in smooth and  rough pipes. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical  and Engineering Sciences 365(1852), 699‐714. (на енглеском)  10. Altman, T., Boulos, P.F., 1995. Convergence of Newton method nonlinear network  analysis. Mathematical and Computer Modelling 21(4), 35–41. (на енглеском)  11. Andriyashev, M.M. 1964. Hydraulics calculation of water distribution networks.  Stroizdat, Moscow (на руском)  12. Aydinalp‐Koksal, M., Ismet Ugursal, V. 2008. Comparison of neural network, conditional  demand analysis, and engineering approaches for modeling end‐use energy  consumption in the residential sector. Applied Energy 85(4), 271–296. (на енглеском)  13. Aynsley, R.M. 1997. A resistance approach to analysis of natural ventilation airflow  networks. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics 67‐68, 711‐719 (на  енглеском)  14. Aziz, Khalid, Ouyang, Liang‐Biao. 1995. Simplified equation predicts gas flow rate,  pressure drop. Oil and Gas Journal 93(19), 70‐71. (на енглеском)  15. Barenblatt, G.I., Chorin, A.J., Prostokishin, V.M. 1997. Scaling laws for fully developed  turbulent flow in pipes. Applied Mechanics Reviews 50(7), 413‐429. (на енглеском)  16. Barelli, L., Bidini, G., Pinchi, E.M. 2006. Implementation of a cogenerative district  heating: optimization of a simulation model for the thermal power demand. Energy &  Buildings 38(12), 1434–1442. (на енглеском)   Ли те ра ту ра   ‐ 185 ‐    17. Barr, D.I.H. 1981. Solutions of the Colebrook‐White function for resistance to uniform  turbulent flow. Proceedings of the Institution of Civil Engineers 71(2), 529–536. (на  енглеском)  18. Barry, D.A., Parlange, J.‐Y., Crapper, M. 1999. Approximations for the Hantush M  function. Journal of Hydrology 221(1‐2), 91‐96. (на енглеском)  19. Barry, D.A., Parlange, J.‐Y., Li, L., Prommer, H., Cunningham, C.J., Stagnitti, F. 2000.  Analytical approximations for real values of the Lambert W‐function. Mathematics and  Computers in Simulation 53(1‐2), 95‐103. (на енглеском)  20. Barry, D.A., Parlange, J.‐Y., Li, L., Prommer, H., Cunningham, C.J., Stagnitti, F. 2002.  Erratum: Analytical approximations for real values of the Lambert W‐function  (Mathematics and Computers in Simulation (2000) 53 (95‐103): S0378475400001725).  Mathematics and Computers in Simulation 59(6), 543. (на енглеском)  21. Barry, D.A., Parlange, J.‐Y., Sander, G.C., Sivaplan, M. 1993. A class of exact solutions for  Richards’ equation. Journal of Hydrology 142(1‐4), 29‐46. (на енглеском)  22. Barry, J.D. 2008. Eliminate iteration from flow problems. Chemical Engineering Progress  104(3), 36‐41. (на енглеском)  23. Basha, H.A., Kassab, B.G. 1996. Analysis of water distribution systems using a  perturbation method. Applied Mathematical Modelling 20(4), 290–297. (на енглеском)  24. Benonysson, A., Bohm, B., Ravn, H.F. 1995. Operational optimization in a district heating  system. Energy Conversion & Management 36(5), 297–314. (на енглеском)  25. Bhave, P.R., Gupta, R. 2004. Optimal design of water distribution networks for fuzzy  demands. Civil Engineering and Environmental Systems 21(4), 229‐245. (на енглеском)  26. Blasius, H. 1913. Das Ähnlichkeitsgesetz bei Reibungsvorgängen in Flüssigkeiten.  Forschungs‐Arbeit des Ingenieur‐Wesens 131. (на немачком)  27. Bodansky, D. 1984. Electricity and natural gas use for residential space heating: U.S.  experience, 1976–1980. Energy 9(4), 303–313. (на енглеском)  28. Bojić, M., Despotović, M., 2007. Influence of duration of thermal comfort provision on  heating behavior buildings. Energy Convers Manage 48(8), 2416–2423. (на енглеском)  29. Bombardelli, F.A., Garcia, M.H. 2003. Hydraulic design of large‐diameter pipes. Journal  of Hydraulic Engineering 129(11), 839‐846. (на енглеском)  30. Boulos, P.F., Lansey, K.E., Karney, B.W. 2006. Comprehensive water distribution systems  analysis handbook for engineers and planners. MWH Soft Inc, Hardback. (на енглеском)  31. Bouvy, C., Klaus, L. 2007. Multicriterial optimisation of communal energy supply  concepts. Energy Conversion & Management 48(11), 2827–2835. (на енглеском)  32. Boyd, J.P. 1998. Global approximations to the principal real‐valued branch of the  Lambert W‐function. Applied Mathematics Letters 11(6), 27‐31. (на енглеском)  33. Braniš, M., Domasova, M., Rezačova, P. 2007. Particulate air pollution in a small  settlement: the effect of local heating. Applied Geochemistry 22(6), 1255–1264. (на  енглеском)  34. Branisavljevic, N., Ivetic, M. 2006. Fuzzy approach in the uncertainty analysis of the  water distribution network of Becej. Civil Engineering and Environmental Systems 23(3),  221‐236. (на енглеском)  ‐ 186 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      35. Бркић, Д. 2005а. Дијагностиковање проблема насталих при прорачуну  прстенасте гасне дистрибутивне мреже ниског притиска. Техничка  дијагностика 4(2), 11‐16. (на српском)  36. Бркић, Д. 2005b. Пројектовање посебне класе гасних дистрибутивних мрежа.  Истраживања и пројектовања за привреду ИИПП, 9, 49‐56. (на српском)  37. Бркић, Д. 2005c. Критеријуми за прекид итеративног поступка при прорачуну  гасне дистрибутивне мрежe са прстеновима. Техничка дијагностика 4(3‐4), 71‐75.  (на српском)  38. Бркић, Д. 2005d. Одређивање граничних параметара употребе природног гаса у  Београду. Рударско‐геолошки факултет, Магистарски рад, Београд.  39. Бркић, Д., Ђајић, Н. 2005. Повећање тачности при прорачуну гасне  дистрибутивне мреже Харди‐Крос методом. XXXII Sym‐Op‐Is стр: 187‐190. (на  српском)  40. Бркић, Д., 2006. Природни гас као гориво за грејање. Задужбина Андрејевић,  Београд. (на српском)  41. Бркић, Д. 2007а. Варијанте индиректне и директне употребе природног гаса за  грејање станова. Техничка дијагностика 6(3), 41‐48. (на српском)  42. Бркић, Д. 2007b. Провера модела условних површина грејања на гас у насељима.  Техничка дијагностика 6(4), 39‐44. (на српском)  43. Бркић, Д., Танасковић, Т. 2007.  Поређење гасних котлова у домаћинствима на  основу сезонске ефикасности. XXXIV Sym‐Op‐Is стр: 167‐170. (на српском)  44. Brkić, D. 2008. Natural gas heating in Serbian settlements according to urbanity  parameters. FACTA UNIVERSITATIS Series: Architecture and Civil Engineering 6 (1), 139‐ 153. (на енглеском)  45. Brkić, D., Tanasković, T., 2008. Systematic approach to natural gas usage for domestic  heating in urban areas. Energy 1738‐1753. (на енглеском)  46. Бркић, Д., Танасковић, Т. 2008. Унапређење методе контура прилагођене за  прорачун гасних дистрибутивних мрежа. XXXV Sym‐Op‐Is стр: 97‐100. (на српском)  47. Бркић, Д. 2008а. Прилог пројектовања гасних дистрибуционих мрежа.  Истраживања и пројектовања за привреду‐ИИПП 22, 7‐18. (на српском)  48. Brkić, D. 2008b. Nonlinear‐programming offers way to optimize looped pipeline network  analysis – one improved method. Nonlinear Systems and Optimization Techniques,  научни скуп у организацији ЦАНУ, Будва, /in press/ (на енглеском)  49. Brkić, D. 2008c. Transportation: Serbian, Russian pipeline accord enhances European gas  security. Oil & Gas Journal 106 (48) 52‐54. (на енглеском)  50. Brkić, D. 2009a. Solution of the implicit Colebrook‐White equation using Excel.  Hydrocarbon Processing /in press/ (на енглеском)  51. Brkić, D. 2009b. Comments on "Settling velocities of particulate systems 15: Velocities in  turbulent Newtonian flows". International Journal of Mineral Processing 92(3‐4) 201‐202  (на енглеском)  52. Brkić, D. 2009c. New reformulation of Colebrook‐White equation for flow friction based  on Lambert‐W function. Hydrocarbon Processing /in press/ (на енглеском)  53. Бркић, Д. 2009d. Примена Ламберт‐W функције за прорачун отпора трења у  цевима. Водопривреда /in press/ (на српском)   Ли те ра ту ра   ‐ 187 ‐    54. Brkić, D. 2009e. Lambert W function in hydraulics problems. MICOM (2009) Ohrid,  MASSEE International Congress on Mathematics, Organized by Mathematical Society of  South‐Eastern Europe and Union of Mathematicians of Macedonia, 16–20 September  /in press/ (на енглеском)  55. Brkić, D. 2009f. An improvement of Hardy Cross method applied on looped spatial  natural gas distribution networks. Applied Energy 86(7‐8), 1290‐1300. (на енглеском)  56. Brkić, D. 2009g. Similarities and Differences in Optimization of Water‐ and Gas‐  Distribution Pipeline Networks, Dubrovnik Conference on Sustainable Development of  Energy, Water and Environment Systems (2009) научни скуп у организацији UNESCO  (United Nation Education, Science and Culture Organization) и TWAS (Third World  Academy of Science), Дубровник, Хрватска, 29. септембар‐4. октобар 2009,  уредници: Звонимир Гузовић, Невен Дуић, Марко Бан (ISBN 978‐953‐6313‐98‐3, CIP  catalogue for this book is available from the National and University Library in Zagreb  under 715548, Book of Abstracts ISBN 978‐953‐6313‐97‐6, a CIP catalogue for this book  is available from the National and University Library in Zagreb under 715546) (на  енглеском)  57. Brkić, D. 2009h. Gas distribution network topology problem, MICOM (2009) Ohrid,  MASSEE International Congress on Mathematics, Organized by Mathematical Society of  South‐Eastern Europe and Union of Mathematicians of Macedonia, 16–20 September  /in press/ (на енглеском)  58. Brkić, D. 2009i. Gas distribution network hydraulic problem from practice, Petroleum  Science and Technology /in press/ (на енглеском)  59. Brkić, D. 2009. Serbian gas sector in the spotlight of oil and gas agreement with Russia.  Energy Policy 37 (5) 1925‐1938. (на енглеском)  60. Бркић, Д., Танасковић, Т. 2009. Прорачун расподеле протока у прстенастој  цевоводној мрежи обједињенoм методом чворова и прстенова. XXXVI Sym‐Op‐Is  /in press/ (на српском)  61. Brown, G.O. 2002a. Henry Darcy and the making of a law. Water Resources Research  38(7), 111‐1112. (на енглеском)  62. Brown, G.O. 2002b. The history of the Darcy‐Weisbach equation for pipe flow resistance.  Proceedings of the Environmental and Water Resources History 34‐43. /available in  open access/ (на енглеском)  63. Buzzelli, D. 2008. Calculating friction in one step. Machine Design 80(12), 54‐55. (на  енглеском)  64. Caillol, J.M. 2003. Some applications of the Lambert W function to classical statistical  mechanics. Journal of Physics A: Mathematical and General 36(42), 10431–10442. (на  енглеском)  65. Calzetta, E. 2009. Friction factor for turbulent flow in rough pipes from Heisenberg’s  closure hypothesis. http://arxiv.org/abs/0901.0255v1 (на енглеском)  66. Ceylan, K., Kelbaliyev, G. 2003. The roughness effects on friction and heat transfer in the  fully developed turbulent flow in pipes. Applied Thermal Engineering 23(5), 557‐570. (на  енглеском)  67. Chen, N.H. 1979. An explicit equation for friction factor in pipe. Industrial and  Engineering Chemistry Fundamentals 18(3), 296–297. (на енглеском)  ‐ 188 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      68. Chen, N.H. 1980. Comments on “An explicit equation for friction factor in pipes”.  Industrial and Engineering Chemistry Fundamentals 19(2), 229–230. (на енглеском)  69. Chenoweth, H., Crawford, C. 1974. Pipe network analysis. Journal of American Water  Works Association 66, 55–8. (на енглеском)  70. Churchill, S.W. 1977. Friction‐factor equation spans all fluid flow regimes. Chemical  Engineering 84(24), 91–92. (на енглеском)  71. Churchill, S.W. 2000. The art of correlation. Industrial and Engineering Chemistry  Research 39(6), 1850‐1877. (на енглеском)  72. Churchill, S.W., Zajic, S.C. 2002. Prediction of fully developed turbulent convection with  minimal explicit empiricism. AIChE Journal 48(5), 927‐940. (на енглеском)  73. Chiplunkar, A.V., Mehndiratta, S.L., Khanna, P. 1990. Analysis of looped water  distribution networks. Environmental Software 5(4), 202–6. (на енглеском)   74. Cipra, B. 1996. A new theory of turbulence causes a stir among experts. Science  272(5264), 951. (на енглеском)  75. Clamond, D. 2009. Efficient resolution of the Colebrook equation. Industrial and  Engineering Chemistry Research 48(7), 3665–3671. (на енглеском)  76. Coelho, P.M., Pinho, C. 2007. Considerations about equations for steady state flow in  natural gas pipelines. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and  Engineering 29(3), 262‐273. (на енглеском)  77. Colebrook, C.F, White, C.M. 1937. Experiments with fluid friction in roughened pipes.  Proceedings of the Royal Society A161(906), 367‐381. (на енглеском)  78. Colebrook, C.F. 1939. Turbulent flow in pipes with particular reference to the transition  region between the smooth and rough pipe laws. Journal of the Institution of Civil  Engineers (London), 11(4), 133‐156. (на енглеском)  79. Colin, E., Etienne, S., Pelletier, D., Borggaard, J. 2005. Application of a sensitivity  equation method to turbulent flows with heat transfer. International Journal of Thermal  Sciences 44(11), 1024‐1038. (на енглеском)  80. Collins, M., Cooper, L., Helgason, R., Kenningtonf, J., Leblanc, L. 1978. Solving the pipe  network analysis problem using optimization techniques. Management Science  24(7):747–760. (на енглеском)  81. Collins, A.G., Johnson, R.L., 1975. Finite‐element method for water distribution networks.  Journal of American Water Works Association 67(7), 385–389. (на енглеском)  82. Concha F., 2008. Settling velocities of particulate systems 15: Velocities in turbulent  Newtonian flows. International Journal of Mineral Processing 88(3‐4), 89‐93. (на  енглеском)  83. Cordero, G.O. 2008. An improved experimental correlation for Darcy friction factor.  Hydrocarbon Processing 87(7), 97‐99. (на енглеском)  84. Corfield, G., Hunt, B.E., Ott, R.J., Binder, G.P., Vandaveer, F.E. 1974. Distribution design  for increased demand. In: Segeler, CG. editor. Gas Еngineers Handbook. New York:  Industrial Press; 63–83 [chapter 9]. (на енглеском)  85. Corless, R.M., Gonnet, G.H., Hare, D.E.G., Jeffrey, D.J., Knuth, D.E. 1996. On the Lambert  W function. Advances in Computational Mathematics 5(4), 329‐359. (на енглеском)  86. Cross, H. 1930. Analysis of continuous frames by distributing fixed moments.  Proceedings of the ASCE 57, 919–928. (на енглеском)   Ли те ра ту ра   ‐ 189 ‐    87. Cross, H. 1932. Analysis of continuous frames by distributing fixed moments.  Transactions of the ASCE 96, 1–10. (на енглеском)  88. Cross, H. 1936. Analysis of flow in networks of conduits or conductors. University of  Illinois Engineering Experimental Station Bulletin 286, 34(22), 3–29. (на енглеском)  89. Cowie, A.L., Kirschbaumb, M.U.F., Ward, M. 2007. Options for including all lands in a  future greenhouse gas accounting framework. Environmental Science & Policy 10(4),  306–321. (на енглеском)  90. Dan Bai, Pei‐Jun Yang, Li‐Xun Song. 2007. Optimal design method of looped water  distribution network. Systems Engineering ‐ Theory & Practice (English version of  Chinese journal) 27(7), 137–143. (на енглеском)  91. Datta, A.B., Majumdar, A.K. 1980. Flow distribution in parallel and reverse flow  manifolds. International Journal of Heat and Fluid Flow 2(4), 253–262. (на енглеском)  92. Darcy, H. 1857. Recherches expérimentales relatives au mouvement de l'eau dans les  tuyaux. Mallet‐Bachelier, Paris. (на француском)  93. deAlmeida, A.T., Lopes, A.C., Carvalho, A., Mariano, J., Jahn, A., Broege, M. 2004.  Examining the potential of natural gas demand‐side measures to benefit customers, the  distribution utility, and the environment: two case studies from Europe. Energy 29(7),  979–1000. (на енглеском)  94. Dinca, C., Badea, A., Rousseaux, P., Apostol, T. 2007. A multi‐criteria approach to  evaluate the natural gas energy systems. Energy Policy 35(11), 5754–5765. (на  енглеском)  95. Djordjević, S., Prodanović, D., Walters, G.A. 2004. Simulation of transcritical flow in  pipe/channel networks. Journal of Hydraulic Engineering ASCE 130(12), 1167‐1178. (на  енглеском)  96. Douthitt, R.A. 1989. An economic analysis of the demand for residential space heating  fuel in Canada. Energy 14(4), 187–197. (на енглеском)  97. Dotzauer, E. Experiences in mid‐term planning of district heating systems. Energy 28(15),  1545–1555. (на енглеском)  98. Durand, A.A. 1997. Simple rule can be used to calculate friction loss in piping. Oil and Gas  Journal 95(21), 77‐78. (на енглеском)  99. Dzenajaviciene, E.F.,Kveselis, V.,McNaught, C., Tamonis, M. 2007. Economic analysis of  the renovation of small‐scale district heating systems—4 Lithuanian case studies.   Energy Policy 35(4), 2569–2578. (на енглеском)  100. Eck, B. 1973. Technische Stromungslehre. New York, New York: Springer. (на енглеском)  101. Eckhardt, B. 2008. Turbulence transition in pipe flow: Some open questions. Nonlinearity  21(1), T1‐T11. (на енглеском)  102. Eckhardt, B. 2009. Introduction. Turbulence transition in pipe flow: 125th anniversary of  the publication of Reynolds' paper. Philosophical Transactions of the Royal Society A:  Mathematical, Physical and Engineering Sciences 367(1888), 449‐455. (на енглеском)  103. Eckhardt, B., Schneider, T.M. 2008. How does flow in a pipe become turbulent?  European Physical Journal B 64(3‐4), 457‐462. (на енглеском)  104. Eiger, G.U., Shamir, U., Ben‐Tal, A. 1994. Optimal design of water distribution networks.  Water Resource Research 30(9), 2637–2646. (на енглеском)  ‐ 190 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      105. El‐Emam, N., Gad, F.K., Nafey, A.S., Zoghaib, N. 1997. New friction factor derived from  study of Egyptian gas‐field pipeline. Oil and Gas Journal 95(45), 72‐74+76. (на  енглеском)  106. El‐Emam, N., Kamel, A.H., El‐Shafei, M., El‐Batrawy, A.M. 2003. New equation calculates  friction factor for turbulent flow of non‐Newtonian fluids. Oil and Gas Journal 101(36),  74‐83. (на енглеском)  107. Ellis, J.D. 2001. The behavior of pipe network analysis solution techniques. Thesis (Ph.D.),  University of Adelaide, dept. of Civil and Environmental Engineering. (на енглеском)  108. Epp, R., Fowler, A.G. 1970. Efficient code for steady flows in networks. Journal of  Hydraulic Division of American Society of Civil Engineers 96(1), 43–56. (на енглеском)  109. Ewing, R.E., Wang, J., Weekes, S.L. 1999. On the simulation of multicomponent gas flow  in porous media. Applied Numerical Mathematics 31(4), 405‐427. (на енглеском)  110. Fanning, J.T. 1877. A practical treatise on water‐supply engineering. Van Nostrand, New  York. (на енглеском)  111. Fankhauser, С., Tepic, С. 2007. Can poor consumers pay for energy and water? An  affordability analysis for transition countries. Energy policy 35(2), 1038–1049. (на  енглеском)  112. Farshad, F., Rieke, H., Garber, J. 2001. New developments in surface roughness  measurements, characterization, and modelling fluid flow in pipe. Journal of Petroleum  Science and Engineering 29(2), 139–150. (на енглеском)  113. Filion, Y.R., Karney B.W. 2003. Sources of error in network modeling: A question of  perspective. Journal of American Water Works Association 95(2), 119‐130. (на  енглеском)  114. Ford, A. 2008. Simulation scenarios for rapid reduction in carbon dioxide еmissions in the  western electricity system. Energy Policy 36(1), 443–455. (на енглеском)  115. Forsaeus Nilsson, S., Reidhav, C., Lygnerud, K., Werner, S. 2008. Sparse district‐heating  in Sweden. Applied Energy 85(7), 555–564. (на енглеском)  116. Gas Engineers Handbook. 1974. New York: Industrial Press; Segeler, CG. editor (на  енглеском)  117. Gato, L.M.C., Henriques, J.C.C. 2005. Dynamic behaviour of high‐pressure natural‐gas  flow in pipelines. International Journal of Heat and Fluid Flow 26(5), 817‐825. (на  енглеском)  118. Gay, B., Middleton, P. 1971. The solution of pipe network problems. Chemical  Engineering Science 26(1),109–123. (на енглеском)  119. Gebremedhin, A., Moshfegh, B. 2004. Modelling and optimization of district heating and  industrial energy system—an approach to alocally deregulated heat market.  International Journal of Energy Research 28(5), 411–422. (на енглеском)  120. Gersten, K., Papenfuss, H.‐D., Kurschat, T., Genillon, P., Fernández Pérez, F., Revell, N.  2000. New transmission‐factor formula proposed for gas pipelines. Oil and Gas Journal  98(7), 58‐62. (на енглеском)  121. Gosselin, L. 2006. Fitting the flow regime in the internal structure of heat transfer  systems. International Communications in Heat and Mass Transfer 33(1), 30‐38. (на  енглеском)   Ли те ра ту ра   ‐ 191 ‐    122. Goudar, C.T., Sonnad, J.R. 2003. Explicit friction factor correlation for turbulent flow in  smooth pipes. Industrial and Engineering Chemistry Research 42(12), 2878‐2880. (на  енглеском)  123. Goudar, C.T., Sonnad, J.R. 2007. Explicit friction factor correlation for turbulent flow in  rough pipe. Hydrocarbon Processing 86(4), 103‐105. (на енглеском)  124. Goudar, C.T., Sonnad, J.R. 2008. Comparison of the iterative approximations of the  Colebrook‐White equation. Hydrocarbon Processing 87(8), 79‐83. (на енглеском)  125. Goudar, C.T., Sonnad, J.R. 2009. Explicit friction factor correlations for turbulent fluid  flow in noncircular ducts and polymeric fluids. Hydrocarbon Processing 88(5), 75‐79. (на  енглеском)  126. Gray, J.J., 1978. Johann Heinrich Lambert, mathematician and scientist, 1728 – 1777.  Historia Mathematica 5 (1), 13‐41. (на енглеском)  127. Gregory, G.A., Fogarasi, M., 1985. Alternate to standard friction factor equation. Oil &  Gas Journal 83 (13), 120‐127. (на енглеском)  128. Grohnheit, P.E., Mortensen, B.O.G. 2003. Competition in the market for space heating.  District heating as the infrastructure for competition among fuels and technologies.  Energy Policy 31(9), 817–826. (на енглеском)  129. Gulyani, B.B. 1999. Simple equations for pipe flow analysis. Hydrocarbon Processing  78(8), 67‐70. (на енглеском)  130. Gupta, R., Bhave, P.R. 2007. Fuzzy parameters in pipe network analysis. Civil Engineering  and Environmental Systems 24(1), 33‐54. (на енглеском)  131. Gupta, I., Bassin, J.K., Gupta, A., Khanna, P. 1993. Optimization of water distribution  system. Environmental Software 8(2), 101–13. (на енглеском)  132. Gustafsson, S.I., Karlsson, B.G. 1990. Natural gas in optimized bivalent heating systems.  Energy 15(11), 993–999. (на енглеском)  133. Gustafsson, S.I.,Bojić, M. 1997. Optimal heating‐system retrofits in residential buildings.  Energy 22(9), 867–874. (на енглеском)  134. Gustavsson, L. 1994. District heating systems and energy conservation—part I. Energy  19(1), 81–91. (на енглеском)  135. Gustavsson, L. 1994. District heating systems and energy conservation—part II. Energy  19(1), 93–102. (на енглеском)  136. Gustavsson, L., Karlsson, A. 2003. Heating detached houses in urban areas. Energy 28(8),  851–875. (на енглеском)  137. Haaland, S.E. 1983. Simple and explicit formulas for friction factor in turbulent pipe flow.  Journal of Fluids Engineering Transactions of the American Society of Mechanical  Engineers 105(1), 89‐90. (на енглеском)  138. Haberl, H., Adensam, H., Geissler, S. 1998. Optimal climate protection strategies for  space heating; the case of Austria. Energy Policy 26(15), 1125–1135. (на енглеском)  139. Hagen, G. 1839. Über die Bewegung des Wassers in engen zylindrischen Röhren. Pogg.  Ann., 46, 423‐442. (на немачком)  140. Hager, W.H. 2006. Discussion of "Explicit solutions of the Manning equation for partially  filled circular pipes". Canadian Journal of Civil Engineering 33(3), 347‐348. (на  енглеском)  ‐ 192 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      141. Haktanır, T., Ardıçlıoğlu, M. 2004. Numerical modeling of Darcy–Weisbach friction factor  and branching pipes problem. Advances in Engineering Software 35(12), 773–779. (на  енглеском)  142. Hartshorn, J.E. 1985. Introduction: natural gas development begins at home. Energy  10(2), 111–118. (на енглеском)  143. Hall, K.R., Iglesias‐Silva, G.A. 2007. Improved equations for the Standing‐Katz tables.  Hydrocarbon Processing 86(4), 107‐110. (на енглеском)  144. Haman, Y.M., Brameller, A. 1971. Hybrid method for the solution of piping networks.  Proc. IEE. 113, 1607‐1612. (на енглеском)  145. Hayes, B., 2005. Why w? American Scientist 93 (2), 104‐108. (на енглеском)  146. Herwig, H., Gloss, D., Wenterodt, T. 2008. A new approach to understanding and  modelling the influence of wall roughness on friction factors for pipe and channel flows.  Journal of Fluid Mechanics 613, 35‐53. (на енглеском)  147. Holmgren, K., Amiri, S. 2007. Internalising external costs of electricity and heat  production in a municipal energy system. Energy Policy 35(10), 5242–5253. (на  енглеском)  148. Huddleston, D.H., Alarcon, V.J., Chen, W. 2004a. Water distribution network analysis  using Excel. Journal of Hydraulic Engineering ASCE 10(1), 1033‐1035. (на енглеском)  149. Huddleston, D.H., Alarcon, V.J., Chen, W. 2004b. A spreadsheet replacement for Hardy‐ Cross piping system analysis in undergraduate hydraulics. Proceedings of the 2004  World Water and 23 Environmetal Resources Congress: Critical Transitions in Water and  Environmetal Resources Management 3108‐3115. (на енглеском)  150. Huei‐Chu, L., Tsai‐Feng, C. 2002. Space‐heating and water‐heating energy demands of  the aged in the US. Energy Economics 24(3), 267–284. (на енглеском)  151. Izquierdo, J., Montalvo, I., Pérez, R., Herrera, M. 2008. Sensitivity analysis to assess the  relative importance of pipes in water distribution networks. Mathematical and Computer  Modelling 48(1‐2), 268‐278. (на енглеском)  152. Јахић, М. 1988. Урбани водоводни системи. Удружење за технологију воде,  Београд. (на српском)  153. Jain, A.K. 1976. Accurate explicit equation for friction factor. ASCE Hydraulic Division  Journal 102(HY5), 674–677. (на енглеском)  154. Jednak, S., Kragulj, D., Bulajić, M., Pittman, R. 2009. Electricity reform in Serbia. Utilities  Policy 17 (1), 125‐133 (на енглеском)  155. Jovanović, M., Afgan, N., Radovanović, P., Stevanović, V., 2009. Sustainable development  of the Belgrade energy system. Energy 34(5), 532–539. (на енглеском)  156. Ke, S.L., Ti, H.C. 2000. Transient analysis of isothermal gas flow in pipeline network.  Chemical Engineering Journal 76(2), 169‐177. (на енглеском)  157. Калуђерчић, П. 2002. Проблем двострано напајаних дионица у дистрибутивној  гасној мрежи. Гас 7(2–3), 48–51. (на српском)  158. Karlssona, A., Gustavsson, L. 2003. External costs and taxes in heat supply systems.  Energy Policy 31(14), 1541–1560. (на енглеском)  159. Keady, G. 1998. Colebrook‐White formula for pipe flows. Journal of Hydraulic  Engineering ASCE 124(1), 96‐97. (на енглеском)   Ли те ра ту ра   ‐ 193 ‐    160. Kentish, P. 2007. Stress corrosion cracking of gas pipelines ‐ Effect of surface roughness,  orientations and flattening. Corrosion Science 49(6), 2521‐2533. (на енглеском)  161. Kessler, A., Shamir, U. 1989. Analysis of the linear programming gradient method for  optimal design of water supply networks. Water Resources Research 25(7), 1469–80. (на  енглеском)  162. Knutsson, D., Sahlin, J., Werner, S., Ekvall, T., Ahlgren, E.O. 2006. HEATSPOT—a  simulation tool for national district heating analyses. Energy 31(2–3), 278–293. (на  енглеском)  163. Kornienko, Y.N. 1995. Generalized integral forms for friction, heat and mass transfer  coefficients. International Journal of Heat and Mass Transfer 38(16), 3103‐3108. (на  енглеском)  164. Koutsoyiannis, D. 2008. A power‐law approximation of the turbulent flow friction factor  useful for the design and simulation of urban water networks. Urban Water Journal 5(2),  107‐115. (на енглеском)  165. Крстић,М. 1990. Алгоритми за израчунавање стационарне расподеле протока и  притисака у дистрибутивним гасоводним мрежама. Нафта 41(6), 265‐274. (на  српском)  166. Kwak, D., Kiris, C., Kim, C.S. 2005. Computational challenges of viscous incompressible  flows. Computers and Fluids 34(3), 283‐299. (на енглеском)  167. LaBarbera, M. 1990. Principles of design of fluid transport systems in zoology. Science  249(4972), 992‐1000. (на енглеском)  168. Lahiouel, Y., Haddad, A. 2002. Evaluation of energy losses in pipes. Proceedings of the  6th Saudi Engineering Conference KFUPM, Dhahran, 5: 577‐589. /available in open  access/ (на енглеском)  169. Lahiouel, Y., Haddad, A., Chaoui, K. 2005. Evaluation of head losses in fluid  transportation networks. Sciences & Technologie B 23, 89‐94. /available in open access/  (на енглеском)  170. Larsen, H.V., Paisson, H., Bohm, B., Ravn, H.F. 2001. Aggregated dynamic simulation  model of districtheating networks. Energy Conversion & Management 43(8), 995–1019.  (на енглеском)  171. Langelandsvik, L.I., Kunkel, G.J., Smits, A.J. 2008. Flow in a commercial steel pipe. Journal  of Fluid Mechanics 595, 323‐339. (на енглеском)  172. Latišenkov, A.M., Lobačev, V.G. 1956. Hydraulics. Moscow, Gosstroizdat (на руском);  постоји превод на српском: Марковић, Б.‐преводилац; Хидраулика. 1950. Београд  /Научна књига  173. Lazzarin, R., Noro, M. 2006. Local or district heating by natural gas: which is better from  energetic, environmental and economic point of views? Applied Thermal Engineering  26(2–3), 244–250. (на енглеском)  174. Lazzarin, R.M., Schibuola, L. 1986. Performance analysis of heating plants equipped with  condensing boilers. Journal of Heat Recovery Systems 6(4), 269–276. (на енглеском)  175. Lopes, A.M.G. 2004. Implementation of the Hardy‐Cross method for the solution of  piping networks. Computer Applications in Engineering Education 12(2), 117‐125. (на  енглеском)  ‐ 194 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      176. Li, Wen‐Hsiung, 1983. Fluid mechanics in water resources engineering. Allyn and Bacon,  Newton, Massachusetts. (на енглеском)  177. Liou, C.P. 1998. Limitation and proper use of the Hazen‐Williams equation. Journal of  Hydraulic Engineering ASCE 124(9), 951‐954. (на енглеском)  178. Лилић, Б.С. 1958. Расподела протока у хидрауличким мрежама. Универзитет у  Београду, Београд. (на српском)  179. Лилић, Н., Кузмановић, Д. 1993. Математичко моделирање рудничких  вентилационих мрежа. Рударско геолошки факултет Универзитета у Београду,  Београд. (на српском)  180. Lund, H., Hvelplund, H., Kass, I., Dukalskis, E., Blumberga, D. 1999. District heating and  market economy in Latvia. Energy 24(7), 549–559. (на енглеском)  181. Mah, R.S.H., Shacham, M. 1978. Pipeline network design and synthesis. Advances in  Chemical Engineering 10, 125‐209. (на енглеском)  182. Mah, R.S.H., Lin, T.D. 1980. Comparison of modified Newton’s methods. Computers and  Chemical Engineering 4(2), 75‐78. (на енглеском)  183. Malin, M.R. 1997a. The turbulent flow of Bingham plastic fluids in smooth circular tubes.  International Communications in Heat and Mass Transfer 24(6), 793‐804. (на  енглеском)  184. Malin, M.R. 1997b. Turbulent pipe flow of power‐law fluids. International  Communications in Heat and Mass Transfer 24(7), 977‐988. (на енглеском)  185. Manadilli, G. 1997. Replace implicit equations with signomial functions. Chemical  Engineering 104(8), 129–130. (на енглеском)  186. Manojlović, V., Arsenović, M., Pajović, V. 1994. Optimized design of a gas‐distribution  pipeline network. Applied Energy, 48(3), 217–224. (на енглеском)  187. Martorano, S. 2006. Calculating friction loss: Darcy‐Weisbach formula vs. Hazen‐ Williams. www.vikongcorp.com (на енглеском)  188. Mathews, E.H., Kohler, P.A.J. 1995. A numerical optimization procedure for complex pipe  and duct network design. International Journal of Numerical Methods for Heat & Fluid  Flow 5(5),445‐457. (на енглеском)  189. McClure, D.C., Miller, T. 1983. Linear‐programming offers way to optimize pipeline  analysis. Oil and Gas Journal 81(29), 135–138. (на енглеском)  190. McKeon, B.J., Li, J., Jiang, W., Morrison, J.F., Smits, A.J. 2004a. Further observations on  the mean velocity distribution in fully developed pipe flow. Journal of Fluid Mechanics  501, 135‐147. (на енглеском)  191. McKeon, B.J., Swanson, C.J., Zagarola, M.V., Donnelly, R.J., Smits, A.J. 2004b. Friction  factors for smooth pipe flow. Journal of Fluid Mechanics 511, 41‐44. (на енглеском)  192. McKeon, B.J., Zagarola, M.V., Smits, A.J. 2005. A new friction factor relationship for fully  developed pipe flow. Journal of Fluid Mechanics 538, 429‐443. (на енглеском)  193. McPherson, M.J., ?. Chapter 7. Ventilation Network Analysis.  www.mvsengineering.com/chapter7.pdf (на енглеском)  194. Mihalakakou, G., Santamouris, M., Tsagrassoulis, A. 2002. On the energy consumption in  residential buildings. Energy & Buildings 34(7), 727–736. (на енглеском)  195. Moghazi, H.D.M. 1998. Estimating Hazen‐Wiliams coeficient for polyethilene pipes.  Journal of Transportational Engineering 124(2) 197‐199. (на енглеском)   Ли те ра ту ра   ‐ 195 ‐    196. Mokhatab, S. 2002a. New approximation of friction factor developed for general gas‐ flow equation. Oil and Gas Journal 100(26), 62‐63. (на енглеском)  197. Mokhatab, S. 2002b. Correlation predicts pressure drop in gas‐condensate pipelines. Oil  and Gas Journal 100(4), 66‐68. (на енглеском)  198. Moody, L.F. 1944. Friction factors for pipe flow. Transactions of ASME, 66(8), 671‐684.  (на енглеском)  199. Moody, L.F. 1947. An approximate formula for pipe friction factors. Transactions of  ASME, 69(12), 1005–1011. (на енглеском)  200. Morais, M.S., Marangon Lima, J.W. 2007. Combined natural gas and electricity network  pricing.  Electric Power Systems Research 77(5–6), 712–719. (на енглеском)  201. More, A.A. 2006. Analytical solutions for the Colebrook and White equation and for  pressure drop in ideal gas flow in pipes. Chemical Engineering Science 61(16), 5515‐ 5519. (на енглеском)  202. Nandakumar, V. 2007. Analytical calculation of Fanning friction factor. Hydrocarbon  Processing 86(1), 97‐100. (на енглеском)  203. Nekrasov, B., 1969. Hydraulics. Mir, Moscow. (на енглеском)  204. Nikuradse, J. 1932. Laws of turbulent flow in smooth pipes. VDI, Forchungsheft English  translation NACA TTF‐10 (на енглеском)  205. Nikuradse, J. 1933. Laws of flow in rough pipes. VDI Forschungsheft 361. In translation,  NACA TM 1292, 1950. (на енглеском)  206. Nilsson, S.F., Reidhav, C., Lygnerud, K., Werner, S. 2008. Sparse district‐heating in  Sweden. Applied Energy 85(7), 555–564. (на енглеском)  207. Обровић, Б., Шашић, М. 1996. Хидраулика. Научна књига: 4. издање, Београд (на  српском)  208. Ormsbee, L.E. 2006. The history of water distribution network analysis: The computer  age. 8th Annual Water Distribution Systems Analysis Symposium,  doi.10.1061/40941(247)3 (на енглеском)  209. Olunloyo, V.O.S., Ajofoyinbo, A.M., Badiru, A.B. 2004. Neurofuzzy mathematical model  for monitoring flow parameters of natural gas. Applied Mathematics and Computation  149(3), 747‐770. (на енглеском)  210. Osiadacz, A.J. 1987. Simulation and analysis of gas networks. E.&F.N. Spon, London. (на  енглеском)  211. Osiadacz, A.J. 1988. Comparison of numerical methods for steady‐state simulation of gas  networks. Civil Engineering Systems. 5(1), 25‐30. (на енглеском)  212. Osiadacz, A.J., Pienkosz, K. 1988. Methods of steady‐state simulation for gas networks.  International Journal of Systems Science 19(7), 1311‐1321. (на енглеском)  213. Osiadacz, A.J., Rudowski, K. 1987. Analysis of loop methods for simulating gas networks.  Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 65(3), 201‐213. (на  енглеском)  214. Ossebaard, M.E., van Wijk, A.J.M., van Wees, M.T. 1997. Heat supply in the Netherlands:  a systems analysis of costs, exergy efficiency, CO2 and NOx emissions. Energy 22(11),  1087–1098. (на енглеском)  215. Ouyang, L.‐B., Aziz, K. 1996. Steady‐state gas flow in pipes. Journal of Petroleum Science  and Engineering 14(3‐4), 137‐158. (на енглеском)  ‐ 196 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      216. Özger, M., Yıldırım, G. 2009. Determining turbulent flow friction coefficient using  adaptive neuro‐fuzzy computing technique. Advances in Engineering Software 40(4),  281‐287 (на енглеском)  217. Parlange, J.‐Y., Barry, D.A., Haverkamp, R. 2002. Explicit infiltration equations and the  Lambert W‐function. Advances in Water Resources 25(8‐12), 1119‐1124. (на енглеском)  218. Patankar, S.V. 1980. Numerical heat transfer and fluid flow. 1st ed. Hemisphere  Publishing Corp. Washington DC. (на енглеском)  219. Papadopoulos, A.M., Oxizidis, S., Papandritsas, G. 2008. Energy, economic and  environmental performance of heating systems in Greek buildings. Energy & Buildings  40(3),224–230. (на енглеском)  220. Pioge, P. 2007. Bernoulli’s Theorem and the Hazen‐Williams Equation: rapid  determination of diameter using the Hazen‐Williams Equation.  http://www.interaide.org/pratiques/pages/presente/present_english.htm (на  енглеском)  221. Poiseuille, J.L. 1841. Recherches expérimentales sur le mouvement des liquides dans les  tubes de très‐petits diamètres. Comptes Rendus, Académie des Sciences, Paris 12, 112.  (на француском)  222. Prandtl, L. 1935. The mechanics of viscous fluids. In: Durand WF, editor. Aerodynamic  theory, vol. III (Division G); 34–208. (на енглеском)  223. Pretorius, J.J., Malan, A.G., Visser, J.A. 2008. A flow network formulation for  compressible and incompressible flow. International Journal of Numerical Methods for  Heat & Fluid Flow 18(2),185‐201. (на енглеском)  224. Прстојевић, Б., Ђајић, Н., Вулетић, В. 2005. Дистрибуција природног гаса. Рударско‐ геолошки факултет, Београд. (на српском)  225. Радојковић, М., Обрадовић, Д., Максимовић, Ч., 1989. Рачунари у комуналној  хидротехници. Грађевинска књига, Београд. (на српском)  226. Радојковић, М., Клем, Н. 1989. Примена рачунара у хидраулици. Грађевинска  књига, Београд. (на српском)  227. Rao, A.R., Kumar, B. 2007. Friction factor for turbulent pipe flow. Preprint: Division of  Mechanical Science, Civil Engineering, Indian Institute of Science, Bangalore, India, ID  Code 9587, (from: http://eprints.iisc.ernet.in/9587/) (на енглеском)  228. Ramalingam, D., Lingireddy, S., Ormsbee, L.E. 2002. History of water distribution  network analysis: Over 100 years of progress. Proceedings of the Environmental and  Water Resources History 55‐67. (на енглеском)  229. Renouard, P. 1952. Nouvelle méthode pour le calcul des réseaux maillés de conduites de  gaz. Communication au Congrès du Graz. (на француском)  230. Reidhav, C., Werner, S. 2008. Profitability of sparse district heating. Applied Energy  85(9), 867–877. (на енглеском)  231. Revelli, R., Ridolfi, L. 2002. Fuzzy approach for analysis of pipe networks. Journal of  Hydraulic Engineering ASCE 128(1), 93‐101. (на енглеском)  232. Reynolds, О. 1883a. An experimental investigation of the circumstances which determine  whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in  parallel channels. Proceedings of the Royal Society of London, 35, 84‐99. (на енглеском)   Ли те ра ту ра   ‐ 197 ‐    233. Reynolds, О. 1883b. An experimental investigation of the circumstances which determine  whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of the law of resistance in  parallel channels. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 174, 935‐ 982. (на енглеском)  234. Reynolds, О. 1894. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the  determination of the criterion. Proceedings of the Royal Society of London, 56, 40‐45.  (на енглеском)  235. Reynolds, О. 1895. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the  determination of the criterion. Philosophical Transactions of the Royal Society of  London. A, 186, 123‐164. (на енглеском)  236. Robertson, J.M., Martin, J.D., Burkhart, T.H. 1968. Turbulent flow in rough pipes.  Industrial and Engineering Chemistry Fundamentals 7(2), 253‐265. (на енглеском)  237. Robinson, A.L. 1983. How does fluid flow become turbulent? Science, New Series  221(4606), 140‐143. (на енглеском)  238. Romeo, E., Royo, C., Monzon, A. 2002. Improved explicit equation for estimation of the  friction factor in rough and smooth pipes. Chemical Engineering Journal 86(3), 369–374.  (на енглеском)  239. Roth,U., Häubi, F., Albrecht, J. 1980. Interaction between urban infrastructure and  district heating system (Wechselwirkung enzwischen des Siedlungsstruktur und  Wärmeversorgungssystemen). Bonn: Bundesminister für Raumordnung, Bauwesen und  Städtebau (на немачком)  240. Rosa, L., Tosato, R. 1990. Experimental evaluation of seasonal efficiency of condensing  boilers. Energy & Buildings 14(3), 237–241. (на енглеском)  241. Round, G.F. 1980. An explicit approximation for the friction factor‐Reynolds number  relation for rough and smooth pipes. Canadian Journal of Chemical Engineering 58(1),  122–123. (на енглеском)  242. Rouse, H. 1943. Evaluation of boundary roughness. Proceedings Second Hydraulics  Conference, University of Iowa Studies in Engineering, Bulletin 27. (на енглеском)  243. Rouse, H. 1976. Hydraulics in the United States, 1776‐1976. Iowa Institute of Hydraulic  Research, University of Iowa, Iowa City. (на енглеском)  244. Rouse, H. 1987, Hydraulic’s latest golden age. in ‘Hydraulics and hydraulic research; A  hystorical review’, editor Garbrecht, G., Balkanema; Rotterdam, Boston, 307‐313. (на  енглеском)  245. Sablani, S.S., Shayya, W.H., Kacimov, A. 2003. Explicit calculation of the friction factor in  pipeline flow of Bingham plastic fluids: A neural network approach. Chemical  Engineering Science 58(1), 99‐106. (на енглеском)  246. Santamouris, M., Kapsis, K., Korres, D., Livada, I.,Pavlou, C. Assimakopoulos,M.N. 2007.  On the relation between the energy and social characteristics of the residential sector.  Energy & Buildings 39(8), 893–905. (на енглеском)  247. Schlichting, H. 1979. Boundary layer theory. 7th ed. New York, NY: McGraw‐Hill. (на  енглеском)  248. Schorle, B.J., Churchill, S.W., Shacham, M. 1980. Comments on “An explicit equation for  friction factor in pipes”. Industrial and Engineering Chemistry Fundamentals 19(2), 228– 229. (на енглеском)  ‐ 198 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      249. Schroeder, D.W. 2002. A tutorial on pipe flow equations.  http://www.psig.org/papers/2000/0112.pdf (на енглеском)  250. Scobey, F.C. 1966. The flow of water in commercially smooth pipes: Introducing a  general formula. Water Resourches Center Archive, University of California, Berkley. (на  енглеском)  251. Serghides, T.K. 1984. Estimate friction factor accurately. Chemical Engineering 91(5), 63– 64. (на енглеском)  252. Shamir, U., Howard, C.D.D., 1968. Water Distribution Systems Analysis. Journal of  Hydraulics Division of American Society of Civil Engineers 94, 219–234. (на енглеском)  253. Shan, H., Zhang, Z., Nieuwstadt, F.T.M. 1998. Direct numerical simulation of transition in  pipe flow under the influence of wall disturbances. International Journal of Heat and  Fluid Flow 19(4), 320‐325. (на енглеском)  254. Shayya, W.H., Sablani, S.S. 1998. An artificial neural network for non‐iterative calculation  of the friction factor in pipeline flow. Computers and Electronics in Agriculture 21(3),  219‐228. (на енглеском)  255. Shockling, M.A., Allen, J.J., Smits, A.J. 2006. Roughness effects in turbulent pipe flow.  Journal of Fluid Mechanics 564, 267‐285. (на енглеском)  256. Sletfjerding, E., Gudmundsson, J., Sjøen, K. 1998. Flow experiments with high pressure  natural gas in coated and plain pipes: comparison of transport capacity. PSIG 30th  annual meeting, Denver, Colorado http://www.psig.org/papers/1990/9808.pdf (на  енглеском)  257. Söderman, J., Pettersson, F. 2006. Structural and operational optimisation of distributed  energy systems. Applied Thermal Engineering 26(13), 1400–8. (на енглеском)  258. Sonnad, J.R., Goudar, C.T. 2004. Constraints for using Lambert W function‐based explicit  Colebrook‐White equation. Journal of Hydraulic Engineering ASCE 130(9), 929‐931. (на  енглеском)  259. Sonnad, J.R., Goudar, C.T. 2005. Explicit friction factor correlation for pipe flow analysis.  Hydrocarbon Processing 84(6), 103‐105. (на енглеском)  260. Sonnad, J.R., Goudar, C.T. 2006. Turbulent flow friction factor calculation using a  mathematically exact alternative to the Colebrook‐White equation. Journal of Hydraulic  Engineering ASCE 132(8), 863–867. (на енглеском)  261. Sonnad, J.R., Goudar, C.T. 2007. Explicit reformulation of the Colebrook‐White equation  for turbulent flow friction factor calculation. Industrial and Engineering Chemistry  Research 46(8), 2593‐2600. (на енглеском)  262. Spriggs, H.D. 1973. Comments on transition from laminar to turbulent flow. Industrial  and Engineering Chemistry 12(3), 286‐290. (на енглеском)  263. Spriggs, H.D. 1973. Erratum: Comments on transition from laminar to turbulent flow  (Industrial Engineering Chemistry Fundamentals (1973) 12 (286)). Industrial Eng  Chemistry Fundamentals 12(4), 493. (на енглеском)  264. Stanislaw, S. 1985. The measurement of demand for natural gas. Energy 10(2), 165–180.  (на енглеском)  265. Strachan, N., Farrell, A. 2006. Emissions from distributed vs. centralized generation: the  importance of system performance. Energy Policy 34(17), 2677–2689. (на енглеском)   Ли те ра ту ра   ‐ 199 ‐    266. Стрелец, В. 2003. Плинарски приручник. 6. издање, Енергетика маркетинг, Загреб.  (на српском)  267. Sukharev, M.G., Karasevich, A.M., Samoilov, R.V., Tverskoi, I.V. 2005. Investigation of the  hydraulic resistance in polyethylene pipelines. Journal of Engineering Physics and  Thermophysics 78(2), 350‐359. (на енглеском)  268. Sundberg, G., Karlsson, B.G. 2000. Interaction effects in optimising a municipal energy  system. Energy 25(9), 877–891. (на енглеском)  269. Swamee, P.K., Jain, A.K. 1976. Explicit equations for pipe flow problems. Journal of  Hydraulic Engineering ASCE 102(5), 657–664. (на енглеском)  270. Танасковић, П. 1976. Транспорт сирове нафте и гаса; други део‐транспорт.  Нафтагас, Нови Сад. (на српском)  271. Танасковић, Т., Ђајић, Н., Танасијевић, М., Бркић, Д.  2004. Анализа карактеристика  гасификације и топлификације на моделу условне грађевинске површине. XXXI  Sym‐Op‐Is 69‐72. (на српском)  272. Танасковић, Т., Бркић, Д. 2007. Сезонска ефикасност кућних гасних котлова, XXXIV  Sym‐Op‐Is 171‐174. (на српском)  273. Танасковић, Т., Бркић, Д. 2009. Оптимизација пречника цеви у прстенастој  цевоводној мрежи модификованом методом петљи. XXXVI Sym‐Op‐Is /in press/ (на  српском)  274. Taylor, J.B., Carrano, A.L., Kandlikar, S.G. 2006. Characterization of the effect of surface  roughness and texture on fluid flow‐past, present, and future. International Journal of  Thermal Sciences 45(10), 962‐968. (на енглеском)  275. Ter Brugge, R. 1984. Spatial structure in relation to energy production and consumption.  Tijdschrift voor Economischeen Sociale Geografie 75(3), 214–222. (на енглеском)  276. Todini, E. 2000. Looped water distribution networks design using a resilience index based  heuristic approach. Urban Water 2(2), 115–122. (на енглеском)  277. Todini, E. 2006. On the convergence properties of the different pipe network algorithms.  8th Annual Water Distribution Systems Analysis Symposium. doi.10.1061/40941(247)75  (на енглеском)  278. Todini, E., Pilati, S. 1987. A gradient method for the analysis of pipe networks.  International Conference on Computer Applications for Water Supply and Distribution,  Leicester Polytechnic, UK, September 8‐10. (на енглеском)  279. Todini, E., Pilati, S. 1988. A gradient method for the analysis of pipe networks. in: B.  Coulbeck, C.H. Orr (Eds), Computer applications in water supply, John Wiley & Sons  Research Studies Press; London, 1988. 1–20. (на енглеском)  280. Torchio, M.F.,Genon, G., Poggio, A., Poggio, M. 2008. Merging of energy and  environmental analyses for district heating systems. Energy 34 (3), 220‐227. (на  енглеском)  281. Torekov, M.S., Bahnsen, N., Qvale, B. 2007. The relative competitive positions of the  alternative means for domestic heating. Energy 32(5), 627–633. (на енглеском)  282. Towler, B.F., Pope, T.L. 1994. New equation for friction‐factor approximation developed.  Oil & Gas Journal 92(14), 55‐58. (на енглеском)  ‐ 200 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      283. Travis, Q.B., Mays, L.W. 2007. Relationship between Hazen–William and Colebrook– White roughness values. Journal of Hydraulic Engineering ASCE 133(11), 1270‐1273. (на  енглеском)  284. Valiantzas, J.D. 2005. Modified Hazen–Williams and Darcy–Weisbach equations for  friction and local head losses along irrigation laterals. Journal of Irrigation and Drainage  Engineering 131(4), 342‐350. (на енглеском)  285. Varma, K.V.K., Narasimhan, S., Bhallamudi, M., 1997. Optimal design of water  distribution systems using an NLP method. Journal of Environmental Engineering 123(4),  381–388. (на енглеском)  286. Verma, M.P. 2008. Moodychart: an activex component to calculate frictional factor for  fluid flow in pipelines. Proceedings, Thirty‐Third Workshop on Geothermal Reservoir  Engineering, Stanford University, Stanford, California, January 28‐30, 2008, SGP‐TR‐185.  (на енглеском)  287. von Bernuth, R.D. 1990. Simple and accurate friction loss equation for plastic pipe.  Journal of Irrigation and Drainage Engineering 116(2), 294‐298. (на енглеском)  288. von Kármán, T. 1930. Mechanische Aehnlichkeit und Turbulenz. Proc. Third International  Congress for Applied Mechanics, C. W. Oseen and W. Weibull eds., Stockholm. 1, 79‐93.  (на немачком)  289. Vondraček, J., Pelikan, E., Konar, O., Чermakova, J., Eben, K., Maly, M., Brabec, M. 2008.  A statistical model for the estimation of natural gas consumption. Applied Energy 85(5),  362–370. (на енглеском)  290. Weisbach, J. 1845. Lehrbuch der Ingenieur‐ und Maschinen‐Mechanik. Vol. 1.  Theoretische Mechanik, Vieweg und Sohn, Braunschweig. (на немачком)  291. Wood, D.J. 1966. An explicit friction factor relationship. Civil Engineering (New York).  36(12), 60–61. (на енглеском)  292. Вучковић, Ј. 1971. Транспорт нафте и плина цјевоводима. ИНА‐Нафтаплин, Загреб.  (на српском)  293. Wang, Y.‐J., Hartman, H.L. 1967. Computer solution of three‐dimensional mine  ventilation networks with multiple fans and natural ventilation. International Journal of  Rock Mechanics and Mining Sciences 4(2), 129‐154. (на енглеском)  294. Walski, T.M. 2006. Water distribution system analysis before digital computers. 8th  Annual Water Distribution Systems Analysis Symposium (на енглеском)  295. Wood, D.J., Charles, C.O.A., 1972. Hydraulic network analysis using linear theory. Journal  of Hydraulics Division of American Society of Civil Engineers 98(7), 1157–1170. (на  енглеском)  296. Wood, D.J., Rayes, A.G., 1981. Reliability of algorithms for pipe network analysis. Journal  of Hydraulics Division of American Society of Civil Engineers 107(10), 1145–1161. (на  енглеском)  297. Wright, E.M. 1959. Solution of the equation zez=a. Bulletin of the American  Mathematical Society 65(2), 89‐93. (на енглеском)  298. Yang,L., Zmeureanu, R., Rivard, H. 2008. Comparison of environmental impacts of two  residential heating systems. Building & Environment 43(6), 1072–1081. (на енглеском)  299. Yang, Yong S. 1995. Equation determines pressure drop in coiled tubing. Oil and Gas  Journal 93(49), 67‐68. (на енглеском)   Ли те ра ту ра   ‐ 201 ‐    300. Yen, B.C. 2002. Open channel flow resistance. Journal of Hydraulic Engineering ASCE  128(1), 20‐39. (на енглеском)  301. Yıldırım, G. 2009. Computer‐based analysis of explicit approximations to the implicit  Colebrook–White equation in turbulent flow friction factor calculation. Advances in  Engineering Software 40(11), 1183–1190. (на енглеском)  302. Yıldırım, G., Özger, M. 2009. Neuro‐fuzzy approach in estimating Hazen–Williams friction  coefficient for small‐diameter polyethylene pipes. Advances in Engineering Software 40  (на енглеском)  303. Yoo, D.H., Singh, V.P. 2005. Two methods for the computation of commercial pipe  friction factors. Journal of Hydraulic Engineering 131(8), 694‐704. (на енглеском)  304. Yuhong, Z., Wenxin, H. 2009. Application of artificial neural network to predict the  friction factor of open channel flow. Communications in Nonlinear Science and  Numerical Simulation 14(5), 2373‐2378. (на енглеском)  305. Zagarola, M.V., Perry, A.E., Smits, A.J., 1997. Log laws or power laws: The scaling in the  overlap region. Physics of Fluids 9 (7), 2094‐2100. (на енглеском)  306. Zagarola, M.V., Smits, A.J. 1998. Mean‐flow scaling of turbulent pipe flow. Journal of  Fluid Mechanics 373, 33‐79. (на енглеском)  307. Zecchin, A.C., Simpson, A.R., Maier, H.R., Leonard, M., Roberts, A.J., Berrisford, M.J.  2006. Application of two ant colony optimisation algorithms to water distribution system  optimisation. Mathematical and Computer Modelling 44(4‐5), 451–68. (на енглеском)  308. Zigrang, D.J., Sylvester, N.D. 1982. Explicit approximations to the solution of Colebrook’s  friction factor equation. American Institute of Chemical Engineers Journal 28(3), 514– 515. (на енглеском)  309. Живковић, М., Бркић, Д. 2005. Избор централизованог система снабдевања  енергијом демо насеља. XXXII Sym‐Op‐Is 175‐178. (на српском)  310. Чалишев, K. 1922. О допуштеним напрезањима решеткастих носача. Технички  лист удружења Југославенских инжењера и архитеката 4(1‐2), 1–6. (на српском)  311. Чалишев, K. 1923. Израчунавање вишеструко статички неодређених система  помоћу постепених апроксимација. Технички лист удружења Југославенских  инжењера и архитеката 5(17,18‐19,20,21), 125–127, 141–143, 151–154, 157–158. (на  српском)  312. Шашић, М. 1990. Транспорт флуида и чврстих материјала цевима. Научна књига,  Београд (на српском)    ‐ 202 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Сажетак    Хидрауличке  отпоре  у  цевоводу  кроз  који  протиче  природни  гас  или  ма  какав  други  флуид  могуће  је  одредити  на  основу  једначина  чији  резултати  зависе  од  Рејнолдсовог  броја  и/или  релативне  храпавости  цеви  а  које  се  дају  за  различите  хидрауличке  режиме;  од  ламинарног,  преко  делимично  турбулентног  (укључујући  и  тзв.  хидраулички  'гладак’  режим)  до  потпуно  турбулентног режима у изразито храпавим цевима. Коефицијент хидрауличког отпора зависи  од  величине  протока флуида,  особина флуида  и  особина  унутрашње  површине  цеви,  односно  све  набројано  се  може  узети  у  обзир  увођењем  два  бездимензиона  параметра:  Рејнолдсовог  броја и релативне храпавости. Апсолутна храпавост се усваја као 0.01·10‐2 m када су у питању  челичне цеви, односно као 0.002·10‐2 m за пластичне, тј. полиетиленске (ПВЦ) цеви. До скора су  се  истоветне  формуле  уобичајено  користиле  за  прорачуне  у  случају  протока  флуида  кроз  челичне и полиетиленске цеви. Ове формуле су се разликовале једино по нумеричкој вредности  коефицијента храпавости. Данас, полиетиленске цеви налазе све већу примену у системима за  снадбевање  гасом.  Полиетиленске  цеви  имају  бројне  предности  наспрам  челичних  цеви:  дуговечност (и преко 50 година), релативно малу цену коштања, широк опсег примене (погодне  за  повезивање  насеља,  за  цевоводе  унутар  градова,  уличне  цевоводе,  итд.),  као  и  малу  храпавост  унутрашње  површи  која  се  практично  не мења  протоком  времена.  Ове  цеви  нису  склоне  корозији  и,  стога,  не  захтевају  примену  електролитичке  заштите.  Очекује  се  да  ће  постепено  полиетиленске  цеви  истиснути  челичне  готово  у  свим  системима  који  раде  на  релативно  ниском  притиску.  Бројни  истраживачи  су  спровели  опсежне  лабораторијске  експерименте у циљу да се нађу оптималне вредности храпавости полиетиленских цеви које  би  се  користиле  за  прорачуне  једначином  Колбрука  и  Вајта,  а  самим  тим  би  се  одредиле  и  граничне  вредности  за  хидрауличке  отпоре  који  се  могу  јавити  у  полиетиленским  цевима.  Резулати  добијени  у  лабораторијама  се  донекле  разликују  од  оних  који  се  добијају  применом  једначине  Колбрука  и  Вајта.  Уместо  ове  једначине,  бројни  аутори  предлажу  једначине  у тзв.  Блазијусовом  облику  уз  измењене  бројне  вредности  коефицијента  и  експонента  у  односу  на  основну Блазијусову једначину. Фактор трења односно отпора се обично одређује из Модијевог  дијаграма.  У  хидраулички  'глатком'  режиму  који  је  типичан  за  проток  флуида  кроз  полиетиленске цеви, фактор отпора је функција само Рејнолдсовог броја док не зависи уопште  од  храпавости  цеви.  Овај  режим  се  јавља  при  ниским  вредностима  Рејнолдсовог  броја  и  при  ниским вредностима релативне  храпавости  где  се  сматра да  је  читава  храпава  унутрашња  површ  прекривена  непокретним  слојем  флуида  који  се  налази  уз  сам  зид  цеви  и  који  је  непокретан  (гранични  слој).  Реноарова  једначина  припада  групи  тзв.  једначина  Блазијусовог  типа  и  данас  се  практично  она  користи  скоро  увек  када  се  ради  о  протоку  гаса  кроз  полиетиленске цеви што је и најчешћи случаj код градских гасоводних дистрибутивних мрежа.  Фактор  хидрауличког  отпора  може  бити  у  имплицитном  облику  као  нпр.  што  је  случај  код  Колбрукове једначине. Колбрукова једначина се уобичајено користи код прорачуна протока кроз  челичне  цеви.  Колбрук  је  у  сарадњи  са  Вајтом  развио  тридесетих  година  двадесетог  века,  функцију  која  покрива  област  делимичног  турбулентног  протока  чиме  је  тзв.  'глатком’  кривом  премошћен  јаз  између  хидаулички  ‘глатког’  и  потпуно  развијеног  турбулентног  режима  протока  флуида.  Ова  формула  важи  за  прелазну  зоне  између  слабо  развијене  турбуленције  у  хидраулички  глатком  режиму  и  потпуно  развијене  турбуленције  у  храпавим  цевима,  али  исто тако  покрива  и  ове  граничне  случајеве.  Нажалост,  Колбрукова  једначина  је  имплицитна у погледу фактора отпора и стога је нужна употреба итеартивног поступка за  њено  решавање.  Препознајући  ову  тешкоћу,  неколико  аутора  је  предложило  експлиците  апроксимације ове функције. Наравно, ове апроксимације су нужно релативно компликоване и са   Са ж ет ак   ‐ 203 ‐    превише коефицијената и експонената. Инжењери уобичајено користе у својој пракси једну од  апроксимација док се труде да запамте само физичку суштину Колбрукове  једначине. Ипак, и  данас се Колбрукова  једначина доста користи у нафтној индустрији. Колбрукова  једначина се  може  преуредити  да  служи  за  прорачун  Дарсијевог  (тј.  Модијевог)  или  Фанинговог  фактора  отпора струјању флуида. Разлика између појмова Колбрукова једначина или једначина Колбрука  и Вајта или не постоји или је разлика само у појединим коефицијентима, тј. неки истраживачи  користе ову једначину у донекле модификованом облику са нешто измењеним коефицијентима.  За делимично турбулентан проток флуида кроз цеви који је од највећег практичног интереса,  једначина  Колбрука  и  Вајта  је  до  сада  највише  коришћена  једначина  за  прорачун  фактора  отпора.  Она  повезује фактор отпора  или  боље речено фактор пропусности  са  Рејнолдсовим  бројем  и  релативном  храпавошћу  цеви.  Такође,  основна  сврха  ове  једначине  није  у  самом  одређивању фактора  отпора,  већ  посредно  служи  за  одеђивање  количина  протока  у  цевима,  односно падова притисака у њима. Погодна релација која  служи овој  сврси,  а  за познат израз  којим  се  одређује фактор  отпора  или  за  познату  бројну  вредност  овога фактора  се такође  даје  у  дисертацији.  Све  једначине  се  дају  у  SI  систему  мера  (тј.  дужине  се  обавезно  дају  у  метрима,  не  у  милиметрима,  за  нпр.  пречнике  цеви,  односно  не  у  километрима  за  дужине  цеви). Као што је речено раније, фактор отпора протоку флуида у цевоводима може бити дат  у имплицитном облику као нпр. у Колбруковој једначини која мора бити решена итеративним  поступком пошто се непозната величина појављује и са леве и са десне стране  једначине. На  основу  Колбрукове  једначине,  многе  апроксимативне  једначине  у  експлицитном  облику  су  до  данас  развијене.  Употреба  ових  једначина  у  данашње  вереме  је  према  мишљењу  аутора  ове  дисертације, сувишна, пошто су оне по својој идеји у суштини застареле. Колбрукову једначину  у  свом  основном  имплицитном  облику  треба  користити  уместо  апроксимација,  где  год  је  потребно (за делимично турбулентан режим). Просечна грешка при коришћењу апроксимација  Колбрукове  једначине  је  у  просеку  мања  од  1%.  Треба  имати  у  виду  да  је  већина  ових  апроксимација  заснованих  на  имплицитној  једначини  Колбрука  и  Вајта  застарело  у  време  напредне рачунарске технологије  (MS Excel). Добар пример примене рачунарске технике у овој  области  је  у  примена  неуро‐фази  логике  за  одређивање  фактора  отпора  за  турбулентни  режим.  Ламберт W  функција  може  исто  тако  бити  коришћена  за  егзактну  математичку  трансформацију  једначине  Колбрука  и  Вајта  у  експлицитан  облик  без  било  каквих  апроксимација,  с  тим  да  се  тада  јавља  проблем  око  самог  решавања  Ламберт W  функције.  Једна  потпуно  нова  реформулација  Колбрукове  једначине  се  даје  у  овој  дисертацији.  Иначе  постоје различите једначине којима се одређују падови притисака услед трења у цевоводима,  нпр.  једначина  по  Дарси‐Вајсбаху,  Фанингу,  Чези‐Манингу,  Хазен‐Вилијамсу,  Скобију,  итд.  Ове  једначине  стављају  губитке  притиска  услед  трења  у  зависност  од  својстава  унутрашње  површине  зида  цеви  или  зида  канала  у  случају  отвореног тока течног  флуида  и  различитих  других  параметара  протока.  Дарсијев  фактор  трења  (познат  и  као  Модијев  фактор)  је  најзначајнији параметар једначине по Дарсију и Вајсбаху. Дарсијев фактор хидрауличког трења  дају  различити  аутори  за  различите  хидрауличке  режиме  протока  као  што  су:  ламинаран,  хидраулички  ‘гладак’  режим,  турбулентан,  итд.  Аутори  ових  Дарсијевих  фактора  су  нпр.  Реноар,  Блазијус, Моди,  Колбрук, Алтшуљ,  итд. Остале расположиве формулације,  за разлику  од  Дарси‐Вајсбахове  и  Фанингове,  као  што  су  нпр.  Чези‐Манингова,  Хазен‐Вилијамсова  и  Скобијева  су  развијене  само  за  случај  протока  воде,  односно  могу  се  применити  за  уз  модификације  за  проток  осталих  течних  флуида,  и  као  такве  не  могу  се  користити  за  прорачуне гасовода. Фактори отпора који улазе у ове једначине (изузетак су Дарси‐Вајсбахова и  Фанингова  једначина)  не  могу  се  рачунати  користећи  Колбрукову  или  Реноарову  једначину.  Хазен‐Вилијамсова  једначина  која  је  уведена  почетком  двадесетог  века,  и  која  се  користи  за  прорачун  губитака  у  водоводним  системима,  захтева  посебан  фактор  хидрауличког  отпора  ‐ 204 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      различит  од  Дарсијевог  или  Фанинговог.  На  жалост,  чак  и  у  случају  водовода  применом  ове  једначине  могу  настати  грешке  и  до  ±40%  када  се  користи  изван  ограниченог  и  донекле  дискутабилног  опсега  Рејнолдсовог  броја,  опсега  пречника  цеви  и  Хазен‐Вилијамсових  коефицијената. Не само што често даје нетачне резултате, једначина Хазена и Вилијамса има  и суштинске недостатке који потичу из саме њене дефиниције.    За разгранате мреже напајане из једног правца, више независних једначина је потребно да би се  цео систем описао, с тим да је свака од једначина независна и самим тим лако решива (систем  од  више  нпр.  Хазен‐Вилијамсових  једначина  у  случају  протока  воде  кроз  цевоводе,  или  Реноарових у случају протока гаса). У овом случају, код разгранатих мрежа, методе линераног  програмирања су довољне за оптимизацију, као са хидрауличког, тако и са економског аспекта.  Анализа најбоље трасе гасовода као и оптимизација применом методе коначних елемената се  може  спровести  за  разгранате  мреже.  За  хидрауличке  мреже  чије  цеви  граде  затворене  контуре, прстенове, много комплексније технике морају бити примењене. Бројни алгоритми су  развијени како би се осигурала конвергенција итеративног поступка који је нужно потребан за  решавање  и  оптимизацију  прстенастог  типа  мрежа.  Данас  је  Харди  Крос  метод  један  од  најзаступљенијих који се користе за прорачун прстенастих цевних мрежа. Харди Крос је резвио  нумеричку  процедуру  за  прорачун  протока  и  падова  притисака  у  прстенастој  мрежи.  Овај  метод  је  подједнако  коришћен  као  за  гасоводне  мреже,  тако  и  за  пројектовање  водоводних  мрежа  у  насељима.  Харди  Крос  метод  подразумева  равнотежу  између  притисака  и  сила  отпора протоку у случају стационарног и нестишљивог протока. Као последица, овај метод се  не  може  користити  у  случају  нестационарног  и  стишљивог  режима  протока  када  у  мрежи  постоје велики падови притисака као и када су инерцијалне силе знатне. Како оригинална, тако  и  побољшана  верзија  Харди  Крос  метода  су  методе  узастопних  корекција  у  итеративном  поступку,  с  тим  да  се  код  прве  варијанте  корекције  у  свакој  итерацији  рачунају  за  сваку  контуру  посебно,  док  се  код  друге  корекције  за  све  контуре  рачунају  истовремено  помоћу  Њутн‐Рапсоновог  нумеричког  матричног  метода.  Харди  Крос  метод  је  само  један  начин  за  решавање  тзв.  једначина  контура  у  мрежи.  Код  оригиналног  метода,  прво  се  током  једне  итерације  одређују  поправке  за  сваку  контуру  независно,  а  затим  се те  корекције  на  основу  посебних алгебарских правила додају претходним протоцима у цевима како би се добила нова  прерасподела  протока.  Овај  приступ  није  ефикасан  у  поређењу  са  побољшаним  Харди  Крос  методом  код  кога  се  цео  систем  једбначина,  тј.  цела  мрежа  посматра  као  јединствени  систем. Ово Побољшање су увели Еп и Фовлер, али су га тада разматрали само за водоводне  системе. Неки од метода које су развили руски аутори су врло слични оригиналном Харди Крос  методу. Истовремено када и Харди Крос, совјетски аутор В. Г. Лобачев развио је сличан метод  оригиналном Харди Кросовом методу. Метод М. М. Андријашева  је врло често био коришћен  током совјетске ере у Русији. Према овоме методу контура и петља  (прстен) нису синоними  (контура  по  правилу  обухвата  више  прстенова  тј.  петљи  а  само  изузетно  један  прстен).  Узимајући  једначину  прстенова  да  представе  закон  очување  енергије,  Вуд  и  Чарлс  су  развили  тзв. линеарни метод (метод усклађивања протока) чија је суштина у спајању једначина петљи  са  једначинама  чворова.  Касније  су  конвергенциона  својства  овога  метода  побољшали  Вуд  и  Рејес.  Код  модификованог  линеарног  метода  у  свакој  итерацији  се  као  крајњи  резултат  не  добија корекција протока као код обе варијанте Харди Крос метода већ сам проток. Шамир и  Ховард претходно решавају  једначине чворова Њутн‐Рапсоновим методом уместо уобичајено  једначина контура. Пошто се израчунају падови притисака у цевима по овој методи, налазе се  затим  и  протоци.  Резултат  прорачуна  према  свим  претходним  методама  су  посебно,  или  протоци  (или  притисци  код  методе  чворова).  Хаман  и  Брамелер  као  и  Тодини  и  Пилати  развијају методе којима се истовремено рачунају како протоци по цевима, тако и притисци по   Са ж ет ак   ‐ 205 ‐    чворовима мреже. Притом, овде се једначина за сваку цев конституише тако да обухвати како  проток тако и сам пад притиска у њој. Сходно томе и број једначина је већи него код осталих  метода,  али  је  предност  што  алгоритам  не  захтева  посебно  дефинисање  контура.  Даља  побољшања  уводи  Патанкар.  Он  развија  процедуру  тзв.  коначних  запремина  да  би  решио  Навије‐Стоксове једначине у структурираном координатном систему. Од изласка његовог рада  са оригиналном идејом 1972.  године појавило се мноштво побољшања. Дата и Мајамундар су  искористили овај алгоритам да развију метод за решавање цевоводних система са петљама.  Данас су примери прорачуна мрежа по Харди Крос методу доступни  у бројним приручницима.  Међутим,  детаљна  побољшања  ове  методе  су  рађена  само  за  водоводне  мреже.  Данас  су  доступне  и  методе  оптимизације  које  се  базирају  на  путањама  које  праве  мрави  у  природи  када  иду  у  потрагу  за  храном.  У  овој  докторској  дисертацији  се  постојеће  методе  трансформишу  у матрични  облик  и  преводе  у  облик  који  је  погоднији  за  дистрибуцију  гаса  у  односу  на  до  сада  познатије  облике  примењиване  за  водоводе.  Нови  метод  за  оптимизацију  пречника цеви у мрежи се развија.    Сматра се да  је природни гас најбоље решење као енергент за подмиривање грејних потреба  становништва у српским градовима. Стога  је потребно изнаћи најповољнији начин употребе  природног  гаса.  Природни  гас  се  може  користити  за  подмирење  грејних  потреба  становништва на два дијаметрално супростављена начина, и то директно, тако што би се  гас  директно  уводио  у  зграде путем дистрибутивног  система  за  снабдевање  гасом и  затим  сагоревао  у  гасном  котлу  којим  је  сваки  стан  опремљен  (гасни  дистрибутивни  систем),  или  индиректно,  тако што  би  се  градска топлана  снабдевала  гасом  а  даље  би  се  из ње  насеља  напајала топлотном енергијом  (даљински топловодни систем). Избор  једног од два понуђена  система може се направити на основу просторног распореда зграда у насељу, њиховог броја,  величине,  квалитета  изолације,  итд.  У  складу  са  овим  својствима,  могуће  је  направити  прорачун  инвестиционих  и  експлоатационих  трошкова  за  оба  система  а  за  затим  их  и  упоредити  што  се  и  чини  у  дисертацији  за  96  случајева  који  представљају  исто  толико  различитих типова насеља.  Скоро  сваки тип насеља који може да  се нађе у реалности може  бити представљен једним типом тзв. условне урбане целине која се као појам дефинише у овој  дисертацији.  Главни  циљ  који  се  постиже  у  овом  делу  дисртације  је  успостављање  општег  модела  на  основу  којег  се  може  остварити  координисани  развој  центализованог  грејног  система  на  природни  гас  који  се  усвајана  на  основу  унапред  дефинисаних  и  усвојених  критеријума.  Анализа  структуре  целокупног  система  је  дата  са  акцентом  на  њихове  цевоводне  мреже.  Ако  се  планира  увођење  грејања  на  гас  у  једно  насеље,  одлука  о  начину  грејања  се  доноси  између  две  успостављене  опције:  1.  Индиректан  систем;  природни  гас  се  сагорева  у топлани  а  насеља  се  снадбевају топлотном  енергијом  посредством топловодног  система  за  даљинско  грејање,  и 2.  Директног  система;  где  се  станови  греју  на  природни  гас  који се у станове доводи посредством градске гасоводне мреже и који се затим на лицу места у  самом стану сагорева у кућном гасном котлу чиме се обезбеђује топлотна енергија за грејање.  Почетна одлука се доноси на основу броја и величине зграда у насељу, величине насеља, као и од  топлотне  изолације  зграда.  У  граничним  случајевима,  ако  су  подједнако  прихватљиве  или  подједнако  неприхватљиве  обе  опције,  могуће  је  увођење  неке  врсте  хибридног  система  који  неће  бити  детаљније  разматран  у  овој  дисртацији.  Недавно  повећање  цене  гаса,  је  поново  довело  у  фокус  питање  подмиривања  грејних  потреба  домаћинстава  како  код  нас,  тако  и  у  свету.  Ипак,  економска  питања  не  би  смела  да  буду  једина  којим  би  државне  или  локалне  власти  требало  да  се  руководе  када  је  у  питању  преиспитивање  досадашњих  извора  снабдевања  или  начина  њиховог  коришћења.  Градови  су  садашње  време  највећи  потрошачи  енергије. Процењује се да је годишње повећање потрошње примарне енергије око 3%, с тим да  ‐ 206 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      се ова додатна енергија највећим делом троши за осветљење, кување, грејање, климатизацију  и  транспорт  роба  и  путника.  Значај  који  промене  у  облицима  коришћења  енергије,  увођење  напредних  технологија,  промене  животних  навика,  значајно  могу  да  допринесу  смањењу  потрошње  енергије.  Одрживи  енергетски  ресурси,  адекватна  дистрибуција  и  рационална  потрошња представљају циљеве који треба да се постигну и који се подразумевају под појмом  одрживи  развој.  Један  град  се  може  сматрати  одрживим,  уколико  се  у  њему  успостави  равнотежа између економског и социјално‐културолошког развоја са једне стране, и напретка  у  очувању  животне  средине  уз  активно  учешће  његових  становника.  Са  друге  стране,  економска  исплативост  оба  разматрана  система  за  грејање  природним  гасом  врло  много  зависе  од  разних  специфичних  околности.  Ако  је  предвиђено  увођење  једног  од  ова  два  поменута  система  у  насеља  у  којима  су  зграде  доста  просторно  удаљене,  дужина  цевовода  који  је  неопходно  потребан  да  се  ове  зграде  повежу  на  систем  биће  дакако  повећана.  У том  случају  ће  се  трошковима  тако  повећане  дужине  цевовода  делити  на  само  неколико  потрошача. Систем даљинског снабдевања топлотном енергијом је у неку руку доста скупљи,  а ако се пореде само цевоводи, он је скупљи зато што има доводни и одводни вод, што су цеви  челичне и што је потребна изолација. Као што је речено, директан систем дистрибуције гаса  је опонент систему даљинског грејања. Овде су димензије потребних цеви мање, изолација није  потребна,  цеви  су  пластичне,  тако  да  су  овде  издатци  доста  мањи.  Исто  је  потребно  нагласити  да  је  систем  даљинског  грејања  често  доста  мање  ефикасан  у  поређењу  са  модерним технологијама које се примењују у директним системима  грејања на природни гас.  Увођење кондензационих котлова за грејање на природни гас у поређењу са „традиционалним“  технологијама,  значајно  доприноси  уштедама  енергената.  У  овој  дисертацији  за  потребе  поређења  система  гасни  котао  за  кућну  употребу  се  бира  из  британске  базе  података  “Seasonal  Efficiency  of  Domestic  Boilers  in  United  Kingdom“.  Исто  тако  у  дисeртацији  се  дају  коментари о процени потребних количина природног гаса за потребе грејања у зависности од  различитих параметара.     A bs tr ac t  ‐ 207 ‐    Abstract    It  is possible, using the set of equation, to correlate the hydraulic friction factor with Reynolds number  and/or  relative pipe  roughness  for all  flow  regimes  from  laminar  through partially  (including  ‘smooth’  hydraulic regime) to fully turbulent flow of natural gas or other fluids.     The  friction  factor  is  related  to  fluid‐flow  rate,  fluid  properties  and  pipe  characteristics  through  two  dimensionless  groups:  Reynolds  number  and  relative  roughness.  Absolute  roughness  are  adopted  as  0.01·10‐2 m for steel pipes and 0.002·10‐2 m for polyethylene (PVC) pipes. To date, same formulas have  been used in technological calculations of steel and polyethylene pipelines. These formulas differed only  in the numerical values of the roughness coefficient. At present, polyethylene pipes are finding wider and  wider application  in gas‐supply distribution systems. Polyethylene pipes have a number of advantages  over  the  steel  pipes:  long  service  life  (as  long  as  50  years),  relatively  low  cost,  high  adaptability  (suitability  for  inter‐settlement,  inner‐town, and  street  service  lines), and  low  inner‐surface  roughness  that practically does not change with time. They are not prone to corrosion and, therefore, do not call for  electrolytic  protection.  Polyethylene  pipes  will  gradually  supplant  steel  pipes  in  pipeline  systems  operating at a  relatively  low pressure. Laboratory experiments were conducted and attempted  to  find  the optimum value of the roughness height of PVC pipes for the Colebrook–White equation and then the  value of the friction factor of PVC pipes. Their computation results were, however, quite different from  those  obtained  in  the  laboratory  when  using  the  Colebrook–White  equation.  Instead  Blasius  type  equation with minor modifications were  proposed.  The  friction  factor  is  typically  estimated  from  the  Moody diagram.  In  the hydraulically smooth  regime as  typical  for  flow  through PVC pipes,  the  friction  factor  is  a  function  of  Reynolds  number  only  and  the  resistance  to  flow  is  independent  of  relative  roughness. This regime  is restricted to small values of Reynolds number and relative pipe roughness  in  that the surface roughness are completely hidden in the laminar boundary layer. The Renouard equation  belongs to group of Blasius type and today is most used equation in distribution PVC pipeline networks in  urban areas. Friction factor can be  in  implicit form  in some of the relations such as e.g. Colebrook. The  Colebrook  relation  is  used  for  flow  through  steel  pipelines.  C.F.  Colebrook  in  collaboration with  C.M.  White  developed  in  1930’s  a  function which  gives  a  practical  form  of  transition  curve  in  a  partially  turbulent  region  of  turbulence  to  bridge  the  gap  between  hydraulically  smooth  and  fully  turbulent  regime. This formula is valid for the transition zone of incomplete turbulence in smooth and rough pipes.  Unfortunately the Colebrook formula is implicit in the friction factor and requires an iterative procedure  for solution. Recognizing this difficult, several authors have proposed explicit approximations. Of course,  these kinds of approximations are very complicated with too many coefficients and exponents. Engineers  usually use one of them and try to remember only physical essence of the Colebrook equation. However,  even today the Colebrook relation is widely used in the petroleum industry. The Colebrook relation can be  arranged  to  calculate  the  Darcy  (Moody)  or  the  Fanning  friction  factor.  The  difference  between  the  Colebrook and the Colebrook‐White equation are only in some coefficients i.e., many researchers adopt a  modification of the Colebrook‐White equation using the different constant. For turbulent flow  in rough  pipes which is of greater practical interest, the Colebrook–White equation is by far the most widely used  correlation to calculate friction factor. It relates the friction factor, or better to say transmission factor to  the Reynolds number and relative pipe roughness. Also, essential purpose  for determination of  friction  factor  is  in  its usage  for determination of pressure drops and discharges  in pipes during  the gas  flow.  Suitable relations  for pressure drops and discharges with known relation  for  friction  factor or  its value  accordingly will be shown. All relations are in SI units without multipliers (i.e. for distances in meters, not  in millimetres for i.e. diameters or in kilometres for lengths of pipes). As noticed before, friction factor in  pipes  can be  expressed  in  implicit  form  in  some of  the  relations  such  as  e.g. Colebrook  and must be  ‐ 208 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      solved by iteration because the unknown friction factor appears on both sides of the equation. Many less  or  more  accurate  explicit  approximations  for  these  equations  were  developed.  Usage  of  shown  approximation as obsolete  in approach and  in an opinion of  the author of  this dissertation cannot be  recommended.  The  implicit  Colebrook  relation  should  be  used  whenever  is  appropriate  (region  of  partially  turbulence).  The  average  error  of  almost  all  explicit  approximations  of  the  Colebrook‐White  relation is less than 1%. But most of these explicit relations created to solve the implicit Colebrook‐White  form have been made obsolete by advancing computing  technology  (MS Excel). Good example  for  the  era  of  computerization  is  usage  of  adaptive  neuro‐fuzzy  computing  technique  for  determination  of  turbulent  flow  friction  coefficient.  Lambert  W  function  can  also  be  used  for  exact  mathematical  transformation of Colebrook‐White function in explicit form with no approximations, but problem is then  in  solution  of  this  function.  Original  reformulation  of  the  Colebrook  relation  using  the  Lambert W  function  is shown  in  this dissertation. Various equations have been proposed  to determinate  the head  losses due  to  friction e.g. Darcy‐Weisbach, Fanning, Chezy‐Manning, Hazen‐Williams, Scobey  formulas,  etc.  These  equations  relate  the  friction  losses  to  physical  characteristics  of  the  pipe  or  the wall  of  a  channel  in  the  case of open  flow and  various  flow parameters.  The Darcy  friction  factor  (somewhere  known  as Moody  factor)  is  the main  parameter  of  the Darcy‐Weisbach  equation.  The  Darcy  friction  factor  is  recommended  after  different  authors  for  different  flow  regimes  such  as  laminar,  smooth,  turbulent, etc. Authors of these factors are e.g. Renourad, Blasius, Moody, Colebrook, Altshul, etc. Other  available formulations e.g. Chezy‐Manning, Hazen‐Williams and Scobey formulas are only for water, i.e.  for  liquid  flow and  these  factors  cannot be used  for gas pipeline  calculation.  Friction  factor  for  these  relations  (except Darcy‐Weisbach and  Fanning equation)  cannot be  calculated using  the Colebrook or  Renouard relation. Introduced in the early 1900s, the Hazen–Williams equation determines pipe friction  head  loss  for  water,  requiring  a  single  roughness  coefficient.  Unfortunately  even  for  water  it  may  produce errors as high as ±40% when applied outside a  limited and  somewhat  controversial  range of  Reynolds numbers, pipe diameters and coefficients. Not only  inaccurate the Hazen‐Williams equation  is  conceptually incorrect.    For  single  source, branching networks, only  the  reach equations need  to be  solved  (e.g. using Hazen– Williams for water or Renouard for natural gas). In this case, optimization by linear programming could  yield  the  best  alternative  network,  both  hydraulically  and  economically.  Critical  path  analysis  for  optimizing branched pipe networks and  implementation of  the  finite element method can be done  for  branched  networks.  For  looped  networks,  however,  techniques  that  are more  powerful  are  required.  Algorithms have been developed to ensure convergence of the iterative procedures. Today, Hardy Cross  method is very often used for calculation of gas distribution networks with loops of conduits. Hardy Cross  developed a numerical method for calculating flow and pressure distribution  in a  looped network. This  method also has been widely used  in modeling of waterworks with  ring‐like  structures of  conduits  in  municipalities. Hardy Cross method assumes equilibrium between pressure and friction forces  in steady  and  incompressible  flow. As a result,  it cannot be successfully used  in unsteady and compressible  flow  calculations with  large  pressure  drop where  inertia  force  is  important. Original  and  improved Hardy  Cross method,  are methods  of  successive  iterative  corrections,  but  for  the  first  one,  corrections  are  calculated  for  each  contour  separately, while  for  the  second one,  corrections  for all  contours  in  each  iteration  is  calculated  simultaneously  using  the  Newton–Raphson  numerical  procedure.  Hardy  Cross  method  is one approach  to  solve  the  loop equations. Original method  first determines  corrections  for  each  loop  independently  and  applies  this  correction  to  compute  new  flow  in  each  conduit.  It  is  not  efficient  compared  to  improved  Hardy  Cross  method  that  considers  entire  system  simultaneously.  Simultaneous  method  is  used  by  Epp  and  Fowler,  but  only  for  looped  waterworks  systems.  Some  methods developed by Russian authors are similar with original Hardy Cross method. Contemporary with  Hardy Cross, soviet author V.G. Lobachev was being developed very similar method compared to original   A bs tr ac t  ‐ 209 ‐    Hardy  Cross method. Andrijashev method was  very  often  being  used  in Russia  during  the  soviet  era.  According to this method, contour and loop are not synonyms (contours for calculations has to be chosen  to  include few  loops and only by exception one). Using the  loop equations to represent conservation of  energy, Wood and Charles developed  a  linear  theory  (flow  adjustment) method by  coupling  the  loop  equations with node equations. Convergence characteristics of linear theory are later improved by Wood  and  Rayes. Modified  linear  theory  solves  directly  for  the  conduits  flow  rates  rather  than  the  loop  equations  approach  of Hardy Cross method.  Shamir  and Howard  solved  node  equations  instead  loop  equations using the Newton–Raphson method. After the nodal heads are computed, they computed the  conduits  flow  rates. Previous methods solve  for  the conduits  flows or nodal heads separately  then use  conservation of energy to determine the other set of unknowns. Haman and Brameller, and, Todini and  Pilati  devised  a method  to  solve  for  flows  and  heads  simultaneously. Here,  each  conduit  equation  is  written  to  include,  both,  the  conduit  flows  and  nodal  heads.  In  addition,  although  the  number  of  equations  is  larger  than  the  other methods,  the  algorithm  does  not  require  defining  loops.  Further  procedure is developed by Patankar. He developed a finite volume procedure to solve for Navier–Stokes  equations  in a structured co‐ordinate system. Since the publication of the original paper  in 1972, there  have  been  several  developments  reported  to  improve  the  numerical  performance  of  the  original  algorithm. Datta  and Majumdar  used  this  solution  algorithm  to  develop  a  calculation  procedure  for  manifold flow systems. Today, examples of calculation of  looped natural gas distribution network after  original  Hardy  Cross method  can  be  found  in  handbooks.  But,  deeper  improvement  of  Hardy  Cross  method  is only  shown  in  case of  looped waterworks  systems. Very  interesting application of  two ant  colony optimisation algorithms  to water distribution system optimisation can be  found  in  literature.  In  this dissertation are transformed all available methods in matrix form, few are developed or rearranged  gas systems. New method for optimization of pipe diameters is developed.     Нatural gas  in Serbian towns will be  the most adequate  fuel. So rational way  for usage of natural gas  should be developed. Natural gas can be used for satisfying population needs for heating, either directly  by  bringing  the  gas  to  the  dwellings  through  the  gas  distribution  system  and  combusting  it  in  the  domestic boiler (gas distribution system), or indirectly by combusting the natural gas in the heating plant  and distributing  the heat energy  to  the dwellings  through  the district heating  system  (district heating  system).  The  selection  of  a  certain  type  of  heating  system  is made  according  to  the  disposition  of  buildings  in  the  area,  their  number,  size,  insulation  quality,  etc.  Based  on  these  characteristics,  calculations  of  investments  and  exploitation  costs  have  been made  for  both  heating  systems  and  a  comparison has been made for all of the 96 presented cases. Almost each type of real settlement can be  represented by one of  the types of  the conditional urban area which are  introduced  in the disertation.  The main  goal  of  this  part  of  disseratation  is  to  establish  a  general model  to  achieve  coordinated  development of centralized energy supply systems fueled by natural gas, based on defined and accepted  criteria. A structure analysis of centralized systems for energy supply has been done with accent on their  pipelines.  If  a  gas  based  system  in  a  settlement  is  planned,  the  decision  can  be  done  among  two  conflicted options: 1. Indirect system; natural gas  is being combusted  in a heating plant and household  heat  supply  is provided by a District Heating System, 2. Direct  system; dwellings are being heated by  natural gas brought  through a gas distribution  system and  then combusted  in domestic gas boilers  in  each dwelling,  individually. The  initial decision on choosing one of two systems  is based on the number  and  size  of  buildings  in  a  settlement,  the  size  of  the  settlement  itself  and  the  heating  insulation  of  buildings. In boundary cases, if it is possible to achieve both options it is also possible to introduce a sort  of hybrid system which  is not considered  in this dissertation. The  latest  increase  in gas prices turned all  eyes once again  to  the  space heating problem  in Europe. However, economic  concern  is not  the only  factor pushing the authorities to rethink about the suitability of the currently existing sources. Cities are  the biggest consumers of the country’s energy production. The  increase  in annual consumption of total  ‐ 210 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      primary energy is 3% and its largest part is used for lighting, cooking, heating, cooling, and transport of  freights  and  passengers.  The  importance  of  reducing  the  energy  consumption  level,  by  changing  the  forms  of  consumption  and  making  improvements  in  technology  and  lifestyle,  should  be  noted.  Sustainable  forms  of  energy  production,  distribution  and  usage  represent  the  goals  of  a  sustainable  development. A city  is considered to be sustainable  if  it establishes the balance between economic and  socio‐cultural  development,  on  one  side  and  the  progress  in  environmental  protection  with  active  participation of citizens. On the other side, the economics of the both gas systems very much depend on  the specific circumstances.  If  installed  in an area with only scattered buildings,  the  length of  the pipes  which are necessary to supply households will be higher, relative to the number of buildings. Installation  costs will be shared by fewer consumers. The distict heating system is the capital intensive; in particular  due to the distribution system of insulated pipes. The direct gas system is another form of energy which  is being distributed for domestic heating purposes. The dimensions of pipes are small compared to the  distict heating pipes and no  insulation  is needed,  thus  the distribution  system  is  less capital  intensive.  District heating  is often  less  efficient with  respect  to modern heating  technologies using natural gas.  Condensing boilers guarantee higher efficiencies with respect to the “traditional” district heating. In this  study,  a  noncondensing  boiler  with  average  efficiency  has  been  chosen  from  following  database:  “Seasonal Efficiency of Domestic Boilers in United Kingdom“. Also some comments on forecasting of gas  consumption will be discussed in this dissertation.       Пр ил ог   ‐ 211 ‐    Прилог    Пример 1:    Потребно  је  израчунати  Дарсијев  и  Фанингов  коефицијент  хидрауликог  отпора  у  области  делимично  турбулентног  режима  користећи  Колбрукову  једначину  и  поједине  апроксимације  исте  једначине  које  се  дају  даље  у  тексту,  за  вредност  Рејнолдсовог  броја  Re=3,97·105  и  за  вредност  релативне  храпавости  ε/Du=1,23·10 ‐3,  и  утврдити  релативну  грешку појединих апроксимација за дате услове. У табели се даје решење.    Табела: Вредности добијене Колбруковом релацијом и апроксимацијама за дати пример  за Re=3,97·105 и ε/Du=1,23·10 ‐3  брелативна  грешка % Једначина  Дарсијев фактор λdt аФанингов фактор fdt   Колбрукова (35)  0,021310371  0,005327593  ‐  вмодификована Колбрукова  0,021386953  0,005346738  0,3594  Сваме‐Јанова (42)  0,021441289  0,005360322  0,6143  Вудова (39)  0,022396374  0,005599094  5,0961  Сергидесова (49)  0,021310345  0,005327586  ‐0,0001  Модијева (38)  0,023422065  0,005855516  9,9092  Черчилова (43)  0,021434927  0,005358732  0,5845  Ченова (44)  0,021351770  0,005337942  0,1943  Зигранг‐Силвестрова (47)  0,021157082  0,005289270  ‐0,7193  Хааландова (48)  0,021269816  0,005317454  ‐0,1903  Манадилијева (50)  0,021463492  0,005365873  0,7185  Ромео и др. (51)  0,021299362  0,005324840  ‐0,0517  Барова (46)  0,020761994  0,005190499  ‐2,5733  Јанова (41)  0,021419142  0,005354786  0,5104  Екова (40)  0,021211013  0,005302753  ‐0,4662  Рао‐Кумарева (53)  0,020658518  0,005164630  ‐3,0589  Сонад‐Годарева (52)  0,021320217  0,005330054  0,0462  Бркић (54)  0.021360083  0.005340021  ‐0.2332  аfdt=λdt/4;  бу односу на Колбрукову; вконстанта 2,51 замењена константом 2,825    Графички приказ претходног примера се даје на следећој слици:      Слика: Графичка интерпретација претходно дефинисаног проблема  ‐ 212 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Пример 2:  За  вредност  Рејнолдсовог  броја  Re=105  израчунати  вредност  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  λg  користећи  Прадтлову  једначину  и  Колбрукову  интерпретацију  исте,  као  и  њихове  реформулисане  експлицитне  облике  изражене  преко  Ламберт W  функције  (у  овом  решењу  се  под  λ  подразумева  λg).  Користећи  експлицитну  реформулацију Прандтлове основне формуле преко Ламберт W функције (76) добија се  вредност  аргумента  Ламбертове  функције  x=45833,78;  а  затим  користећи  Бојдову  ‘померену’  функцију  (60)  добија  се  њена  вредност  ω0(y)=9,270471102  преко  њеног  аргумента  y=124590,1362  добијеног  на  основу  (58),  односно  користећи  побољшану  верзију  (61)  добија  се  0ϖ (y)=9,274092672.  Затим  се  примењује  Њутн‐Рапсонова  процедура  (62)  тако да се током пет итерација добијају резултати: ω1(y)=9,6423578844;  ω2(y)=9,5848972519;  ω3(y)=9,5829958994;  ω4(y)=9,5829939004;  ω5(y)=9,5829939004.  Примењујући  (57)  добија  се  приближна  вредност  Ламберт  W  функције  по  Бојду;  W(x)=8,5829939004 за вредност аргумeнта x=45833,78 како је већ пре наведено. Даље се  лако  може  израчунати  Дарсијев  коефицијент  хидрауличке  пропусности  1/λ0,5=7,455093778;  односно  сам  Дарсијев  коефицијент  хидрауличког  отпора  λ=0,017992594  који  се  на  крају  може  дати  у  облику  прилагођеном  за  приказивање  у  координатном  систему  са  прилагођеним  Никурадсеовим  осама,  log(1000·λ)=1,255093778.  Користећи  експлицитну  реформулацију  Прандтлове  формуле  преко Ламберт W  функције  у  Колбруковом  облику  (80)  и  примењујући  исти  поступак,  добија  се  log(1000·λ)=1,255025685.  Применом  простије  формуле  по  Барију  и  сарадницима  (63),  добија  се  log(1000·λ)=1,243269878  за  једначину  (76)  и  log(1000·λ)=  1,243202365 за  једначину  (80). Користећи MS Excel и полазну Прандтлову формулу  (17)  добија  се,  log(1000·λ)=1,255093473,  а  за  Колбрукову  интерпретацију  исте  (18),  сличан  резултат, тј. log(1000·λ)=1,25502538. Грешка добијена решењем Ламберт W функције по  Барију  и  сарадницима  је  процењена  на  око  2,5%  (уз  напомену  да  постоји  и  знатно  сложенији али тачнији начин рачунања по Барију и сарадницима), док  је Бојду далеко  испод  1%.  Случај  разматран  у  овом  примеру  је  на  горњој  граници  могућег  постојања  хидраулички ‘глатког’ режима протока, тако да се не би направила грешка ни када би се  користиле формуле које важе за делимично турбулентан режим протока.         Пр ил ог   ‐ 213 ‐      Пример 3:    За вредност Рејнолдсовог броја Re=105 и вредност релативне храпавости унутрашњег зида  цеви  ε/Du=1/60,  израчунати  вредност  Дарсијевог  коефицијента  хидрауличког  отпора  λdt  користећи  Колбрукову  једначину  (35)  као  и  њен  реформулисан  експлицитан  облик  изражен преко Ламберт W функције (82). Добијене резултате упоредити са расположивим  експлицитним апроксимативним формулама Колбрукове једначине. Резултати прорачуна  се дају у табелама:    Табела: Процена грешке у резултатима решења примера  за Re=105 и ε/Du=1/60  арелативна  грешка % Једначина  Дарсијев фактор λdt  Колбрукова (35)  0,045800558  ‐  бмодификована Колбрукова  0,045854602  ‐0,097006  Сваме‐Јанова (42)  0,046081644  0,397648  Вудова (39)  0,046551873  1,422132  Сергидесова (49)  0,045845166  ‐0,117564  Модијева (38)  0,044012468  ‐4,110446  Черчилова (43)  0,046057969  0,346068  Ченова (44)  0,045834884  ‐0,139966  Зигранг‐Силвестрова (47)  0,045892270  ‐0,014939  Хааландова (48)  0,045919405  0,044179  Манадилијева (50)  0,046102402  0,442873  Ромео са сарадницима (51)  0,045817411  ‐0,178034  Барова (46)  0,045439785  ‐1,000764  Јанова (41)  0,046010946  0,243619  Екова (40)  0,045898947  ‐0,000392  Рао‐Кумарева (53)  0,045393923  ‐1,100683  Сонад‐Годарева (52)  0,045852835  ‐0,100856  Бркић (54)  0.045981062  ‐0.394108  Бојдово (57‐62)  0,045800558  0,000000  Бари са сарадницима (63)  0,042908683  ‐6,314058  Формално (56)  0,045800558  0,000000  ау односу на Колбрукову; бконстанта 2,51 замењена константом 2,825            ‐ 214 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Наставак примера 3:     за Re=105 и ε/Du=1/60  по Бојду (Boyd 1998)  ‐  x  1,42·1094  (58)   y  3,84688·1094  (60)   ω0(y) 212,4067293  (61)   ( )y0ϖ   212,4067293  (62)   ω1(y) 212,4367826238  (62)   ω2(y) 212,4363379269  (62)   ω3(y) 212,4363378275  (62)   ω4(y) 212,4363378275  (62)   ω5(y) 212,4363378275  (57)   W(x) 211,4363378275  (82)  λdt 0,045800558   ‐  log(1000·λdt) 1,660870766  по Барију и сарадницима (Barry et al 2000; 2002)  ‐  x  1,42·1094  (63)  W(x)  211,6146641  (82)  λdt 0,042908683  ‐  log(1000·λdt) 1.63254519  формално решење Ламберт W функције  (56)  W(x)  211,4363378  (82)  λdt 0,045800558  ‐  log(1000·λdt) 1,660870766  користећи MS Excel (Brkić 2009a)  (35)  dt/1 λ 4,672664687  ‐  λdt 0,045800558  ‐  log(1000·λdt) 1,660870766             Пр ил ог   ‐ 215 ‐      Пример 4:  За вредност Рејнолдсовог броја Re=3,97·105 и за вредност релативне храпавости у случају 1: ε/Du=1,23·10 ‐3,  а  у  случају  2:  ε/Du=1/60,  решити  Колбрукову  једначину  која  је  трансформисана  у  експлицитан  облик  помоћу  Ламберт W  функције  (82),  користећи  приказане  расположиве  методе  за  приближно  решавање  Ламберт W функције и проценити грешку.  Табела: Процена грешке у резултатима решења једначине (82)  Метод решавања   Дарсијев фактор λdt    релативна грешка %  Случај 1  Случај 2    Случај 1  Случај 2  Бојдово (57‐62)  0,045800558  ‐    0.000000  ‐  Бари са сарадницима (63)  0,042908683  ‐    ‐4.189157  ‐  Формално (56)  0,045800558  ‐    0.000000  ‐    Табела Решење примера  по Бојду (Boyd 1998)  Случај 1  Случај 2  ‐  x  3,02·1031  нерешиво  (58) y  8,19·10 31  ‐  (60) ω0(y) 69,18696415  ‐  (61)   ( )y0ϖ   69,18696415  ‐  (62) ω1(y) 69,2607021617  ‐  (62) ω2(y) 69,2606981100  ‐  (62) ω3(y) 69,2606981100  ‐  (62) ω4(y) 69,2606981100  ‐  (62) ω5(y) 69,2606981100  ‐  (57) W(x) 68,2606981100  ‐  (82)  λdt 0,02129766 ‐  ‐  log(1000· λdt) 1.328331889  ‐  по Барију и сарадницима (Barry et al 2000; 2002)    ‐  x  3,02·1031  нерешиво  (63)  W(x)  68,43131836  ‐  (82)  λdt   0,020405467  ‐  ‐  log(1000· λdt) 1,309746549  ‐  формално решење Ламберт W функције    (56)  x  3,02·1031  нерешиво  (82)  W(x)  68,26069811  ‐  ‐  λdt   0,02129766  ‐  (56)  log(1000· λdt) 1,328331889  ‐  користећи MS Excel (Brkić 2009a)    (35)  dt/1 λ 6,852263506  4,689336784  ‐  λdt   0,02129766  0,045475465  ‐  log(1000· λdt) 1,328331889  1,657777151    Приликом  решавања  случаја  2  у  овоме  примеру,  показало  се  да  је  производ  чланова  О1  и  О2  који  је  потребан за израчунавање члана О4 који представља аргумент x Ламберт W функције, исувише мали да би  био израчунат.    ‐ 216 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Пример 5:    За  вредност  Рејнолдсовог  броја  Re=105  и  вредност  релативне  храпавости  унутрашњег  зида  цеви  ε/Du=1/60,  решити  Колбрукову  једначину  (82)  која  је  трансформисана  у  експлицитан  облик  помоћу  Ламберт W функције, користећи приказане расположиве методе за приближно решавање Ламберт W  функције и проценити грешку.     Табела: Решење примера  за Re=105 и ε/Du=1/60  по Бојду (Boyd 1998)  ‐  x  45868,22894  (58)   y  124683,7732  (60)   ω0(y) 9,271158295  (61)   ( )y0ϖ   9,27477615  (62) ω1(y) 9,6430259939  (62) ω2(y) 9,5855698257  (62) ω3(y) 9,5836687879  (62) ω4(y) 9,5836667896  (62) ω5(y) 9,5836667896  (57) W(x) 8,5836667896  (82)  λdt 0,046057731 ‐  log(1000· λdt) 1,66330254  по Барију и сарадницима (Barry et al 2000; 2002)  ‐  x  45868,22894  (63)  W(x)  8,70130738  (82)  λdt 0,045981445  ‐  log(1000· λdt) 1,662582612  формално решење Ламберт W функције  (56)  x  45868,22894  (82)  W(x)  8,583669807  ‐  λdt 0,046057729  (56)  log(1000· λdt) 1,66330252  користећи MS Excel (Brkić 2009a)  (35)  dt/1 λ 4,672664687  ‐  λdt 0,045800558  ‐  log(1000· λdt) 1,660870766    Решење  по  Барију  и  сарадницима  овде  показује  знатно  мању  процењену  грешку,  тј.  0,394%  док  Бојдово и формално решење дају  грешку од 0,561%  чиме се показује да се  грешка по целом опсегу  врло неправилно диспергује када је у питању приближно решавање Ламберт W функције. Формално  решење  (56)  и  решење  по  Бојду  дају  истоветну  вредност  процењене  грешке.  Мања  вредност  аргумента  x  Ламберт W  функције  који  се  добија  према  у  оригинално  трансормисаним  облицима  Колбрукове  једначине, а који су приказани у овој дисертацији  (82 и 85) дају знатно мање вредности  грешке када се користи метод прорачуна по Барију и сарадницима.           Пр ил ог   ‐ 217 ‐      Пример 6:  За  вредност  Рејнолдсовог  броја  Re=3,97·105  и  за  вредност  релативне  храпавости  у  случају  1:  ε/Du=1,23·10 ‐3,  а  у  случају  2:  ε/Du=1/60,  решити  Колбрукову  једначину  која  је  трансформисана  у  експлицитан облик помоћу Ламберт W функције (82), користећи приказане расположиве методе за  приближно решавање Ламберт W функције и проценити грешку.    Табела: Решење  по Бојду (Boyd 1998)  Случај 1  Случај 2  ‐  x  182096,8689  182096,8689  (58)   y  494991,6098  494991,6098  (60)   ω0(y)   10,53876433  10,53876433  (61)   ( )y0ϖ   10,53923455  10,53923455  (62) ω1(y) 10,8776487172  10,8776487172  (62) ω2(y) 10,8285130093  10,8285130093  (62) ω3(y) 10,8271465805  10,8271465805  (62) ω4(y) 10,8271455597  10,8271455597  (62) ω5(y) 10,8271455597  10,8271455597  (57) W(x) 9,8271455597  9,8271455597  (82)  λdt 0,021449641 0,045565955  ‐  log(1000· λdt) 1,33142003  1,658640478  по Барију и сарадницима (Barry et al 2000; 2002)    ‐  x  182096,8689  182096,8689  (63)  W(x)  9,950528288  9,950528288  (82)  λdt   0,021360515  0,045542667  ‐  log(1000· λdt) 1,329611716  1,658418457  формално решење Ламберт W функције (51)    (56)  x  182096,8689  182096,8689  (82)  W(x)  9,827146994  9,827146994  ‐  λdt   0,02144964  0,045565955  (56)  log(1000· λdt) 1,331420008  1,658640475  користећи MS Excel (Brkić 2009a)    (35)  dt/1 λ 6,852263506  4,689336784  ‐  λdt   0,02129766  0,045475465  ‐  log(1000· λdt) 1,328331889  1,657777151    Треба  приметити  да  је  истоветан  случај  2  у  оквиру  примера  4  био  нерешив.  Овде  приказане  трансформације Колбукове једначине уз помоћ Ламберт W функције (82 и 85) су стога супериорније  у односу на облик доступан у литератури (81).     Табела. Процена грешке у резултатима решења једначине (82)  Метод решавања   Дарсијев фактор λdt    релативна грешка %  Случај 1  Случај 2    Случај 1  Случај 2  MS Excel (Brkić 2009a)  0,021297660  0,045475465    ‐  ‐  Бојдово (57‐62)  0,021449641  0,045565955    0,7136  0,1989  Бари са сарадницима (63)  0,021360515  0,045542667    0,2951  0,1477  Формално (56)  0,021449640  0,045565955    0,7136  0,1989    Као што се види, метод Барија и сарадника се у овом случају показао као знатно бољи.    ‐ 218 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Пример 7:  Израчунати пад притиска у цевоводу ако је дужина цевовода 1000 m, пречник цевовода 0,225 m, динамички вискозитет  гаса који се транспортује η=1,0758·10‐5 Pa и густина гаса ρ=0,84 kg/m3, а густина ваздуха 1,28 kg/m3. Проток гаса је 2000  m3/h  на  стандардним  условима.  Претпоставља  се  да  је  апсолутни  притисак  гаса  на  почетку  цевовода  р=4·105  Ра.  Користити Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора по Реноару и по Панхандлу А. Средња температура у цевоводу је  288,15 К а средњи фактор компресибилитета гаса Zsr=1.     Брзина гаса у цевоводу се може израчунати по једначини:  s m53,3 4000001415,3225,0 3600 20001013254 pD Qp4 22 u st =⋅⋅ ⋅⋅ =⋅π⋅ ⋅⋅=υ     На основу Реноарове једначине за проток гаса (91) може сe добити:   82,1 1 2 2 2 1 203993,093 pp0,00448643 3600 2000 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⋅=   Односно:    292 2 2 1 Pa101,31pp ⋅=−  На основу Панхандлове А једначине за проток гаса, добија се:  5394,02 2 2 1 8201100,945 pp0,00568275 3600 2000 ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −⋅=       Односно:  282 2 2 1 Pa1084,9pp ⋅=−     Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=398768 Pa, односно пад притиска Δp=1231,89 Pa.    Добијени резултати се слажу са закључцима који су донети на основу слике 7, тј. применом Панхандле А једначином се  добијају мањи падови притисака у цевоводу у односу на рестриктивнију Реноарову једначину.    Уместо  претходних  једначина  прилагођених  за  проток  гаса  применимо  Блазијусову  једначину  за  Реноарове  коефицијенте како би израчунали Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора, односно Дарси‐Вајсбахову једначину:  023586,062180,63172,0Re172,0 0,1818,0g =⋅=⋅=λ −−   ( ) Pa72,859584,0 3600 20008 225,0 1000023353,0Q8 D Lpp 2 2 52 2 5 u g21 =⋅π ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ ⋅⋅=ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=−   Односно за истоветан случај користећи Панхандлову А једначину:  0168961,062180,6308475,0Re08475,0 -0,14611461,0g =⋅=⋅=λ −   ( ) Pa41,615784,0 3600 20008 225,0 10000168961,0Q8 D Lpp 2 2 52 2 5 u g21 =⋅π ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ ⋅⋅=ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=−        Пр ил ог   ‐ 219 ‐    Пример 8:  Дата  је  дужина  цевовода  1000  m,  пречник  цевовода  0,225  m,  динамички  вискозитет  гаса  који  се  транспортује  η=1,0758·10‐5 Pa и густина гаса ρ=0,84 kg/m3, а густина ваздуха 1,28 kg/m3. Проток гаса је 2000 m3/h. Претпоставља се да  је  апсолутни  притисак  гаса  у  цевоводу  око  р=4·105  Ра.  Израчунати  падове  притиска  по  Колбруковој  и  по  Алтшуљовој  једначини  у  датој  цеви  ако  се  узме  да  је  цев  челична  са  процењеном  средњом  вредношћу  апсолутне  храпавости  ε=0,01·10‐2 m.     Вредност  Рејнолдсовог  броја  је  иста  као  што  је  дато  у  решењу  примера  5,  тј.  Re=62180,63.  Режим  протока  услед  постојања храпавости ε није више хидраулички  ‘гладак’,  већ  је делимично парцијалан турбулентни режим. Релативна  храпавост  је  ε/Du=0,01·10 ‐2/0,225=0,0004444,  а  Дарсијем  коефицијент  хидрауличке  пропусности  се  помоћу MS  Excel‐a  израчунава у вредности 6,838134682, односно Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора износи λdt=0,021385761.  ⋅ ⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⋅ −⋅ ⋅ ⋅⋅⋅⋅= 115,288 29,1 84,01000 pp 101325 15,2881 1629 225,08,3144110001415,3 26,83813468 3600 2000 22 2 1 5   Односно;  292 2 2 1 Pa1051,1pp ⋅=−    Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=398108 Pa, односно пад притиска Δp=1891 Pa.    Уколико се користи Алтшуљева једначина за проток гаса (100) добија се следећи резултат:  115,288 29,1 84,01000 pp 101325 15,2881 11,01629 225,08,3144110001415,3 65705,39 68000444,0 3600 2000 22 2 1 58 1 ⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⋅ −⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ += −   Односно;  292 2 2 1 Pa1054,1pp ⋅=−     Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=398070 Pa, односно пад притиска Δp=1929 Pa.    Пошто се ради о малим вредностима храпавости добијени падови притиска по Алтшуљовој и Колбруковој једначини су  скоро  идентични,  али  ако  би  се  разматрао  случај  где  је  релативна  храпавост  већа,  тада  би  и  падови  притисака  по  Колбруковој једначини били приметније већи.          ‐ 220 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Пример 9:  Дата  је  дужина  цевовода  1000  m,  пречник  цевовода  0,225  m,  динамички  вискозитет  гаса  који  се  транспортује  η=1,0758·10‐5 Pa и густина гаса ρ=0,84 kg/m3, а густина ваздуха 1,28 kg/m3. Претпоставља се да је апсолутни притисак гаса  у цевоводу око р=4·105  Ра.  Уз повећану релативну  храпавост цеви која  се  сада процењује на  ε/Du=1/60  и  за  смањену  количину  протока  у  цевоводу  која  је  сада  500  m3/h  на  стандардним  условима,  израчунати  пад  притиска  у  датом  цевоводу користећи Колбрукову и Алтшуљову једначину.     Брзина гаса у цевоводу се може израчунати по једначини:   s m88,0 4000001415,3225,0 3600 5001013204 pD Qp4 22 u st =⋅⋅ ⋅⋅ =⋅π⋅ ⋅⋅=υ   Вредност Рејнолдсовог броја за дате податке је Re=15541,15. Дарсијев коефицијент хидрауличке пропусности се помоћу  MS  Excel‐a  према  Колбруковој  једначини  израчунава  у  вредности  4,563137756,  односно  Дарсијев  коефицијент  хидрауличког отпора износи λdt=0,048025605.    ⋅ ⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⋅ −⋅ ⋅ ⋅⋅⋅= 115,288 29,1 84,01000 pp 101325 15,2881 1629 225,0 8,3144110001415,3 64,56313775 3600 500 22 2 1 5   292 2 2 1 Pa10398,3pp ⋅=−     Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=395729 Pa, односно пад притиска Δp=4270 Pa.    Уколико се користи Алтшуљева једначина за проток гаса (100) добија се следећи резултат:    115,288 29,1 84,01000 pp 101325 15,2881 11,01629 225,0 8,3144110001415,3 15541,15 68 60 1 3600 500 22 2 1 58 1 ⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⋅ −⋅ ⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ += −   292 2 2 1 Pa1096,2pp ⋅=−     Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=396282 Pa, односно пад притиска Δp=3717 Pa.          Пр ил ог   ‐ 221 ‐    Пример 10:  Израчунати Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора у цевоводу ако је дужина цевовода 1000 m, пречник цевовода  0,225 m, релативна храпавост ε/Du=0,04, динамички вискозитет гаса који се транспортује η=1,0758·10 ‐5 Pa и густина гаса  ρ=0,84 kg/m3, а густина ваздуха 1,28 kg/m3. Проток гаса  је 2000 m3/h. Претпоставља се да  је апсолутни притисак гаса у  цевоводу око р=4·105 Ра. Користити обрасце по Колбруку и по фон Карману.     Брзина  гаса  у  цевоводу  се  може  израчунати  у  вредности  од  3,53 m/s,  a  затим  и  Рејнолдсов  број  у  вредности  од  Re=62180,63.  Услед  присутне  велике  релативне  храпавости  процењено  је  да  је  режим  протока  потпуно  турбулентан  (видети  Модијев  дијаграм  на  слици  2  за  дате  вредности  Рејнолдсовог  броја  и  релативне  храпавости).  Дарсијем  коефицијент  хидрауличке  пропусности  се  помоћу MS  Excel‐a  израчунава  у  вредности  3,921966445,  односно  Дарсијев  коефицијент хидрауличког отпора износи λdt=0,065011809 када се користи Колбрукова једначина. Дарсијев коефицијент  хидрауличке  пропусности  који  се  добија  помоћу  фон  Карманове  једначине  износи  3,934627837,  односно  Дарсијев  коефицијент  хидрауличког  отпора  износи  λt=  0,064594074.  Релативно  је  добро  слагање  у  вредностима  Дарсијевог  фактора хидрауличког отпора тако да се може закључити да би и прорачунати падови притиска били врло слични.      Пример 11:  Израчунати  пад  притиска  у  цевоводу  користећи  Реноарову  једначину  за  гасоводе,  ако  је  дужина  цевовода  1000 m,  пречник цевовода 0,225 m, динамички вискозитет гаса који се транспортује η=1,0758·10‐5 Pa и густина гаса ρ=0,84 kg/m3,  а густина ваздуха 1,28 kg/m3. Проток гаса  је 2000 m3/h. Претпоставља се да је апсолутни притисак гаса у цевоводу око  р=4·105 Ра. Средња температура у цевоводу је 288,15 К а средњи фактор компресибилитета гаса Zavr=1.     Брзина протицања гаса  је 3,53 m/s, као и Рејнолдсов број Re=62180,63. На основу Реноарове једначине за проток гаса  пад притиска у цевоводу износи ∆p=1231,89 Pa. Надаље, користећи једначину, добија се:   29 82,4 82,082,1 82,4 u 82,0 r 82,1 st2 2 2 1 Pa1031,1225,0 28,1 84,01000 3600 20004088 D LQ4088pp ⋅= ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⋅⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ =ρ⋅⋅⋅=−   Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=398359 Pa, односно пад притиска ∆p=1640 Pa.   Примењујући једначину добија се:  29 482,4 u r 82,1 st2 2 2 1 Pa1043,110485321,4 65625,010003430868,04810 D LQ4810pp ⋅=⋅ ⋅⋅⋅=ρ⋅⋅⋅=− −      Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=398208 Pa, односно пад притиска ∆p=1791 Pa.   Процентуална разлика између резулата је око 9%.          ‐ 222 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Пример 12:  Израчунати пад притиска користећи Реноарову  једначину за проток гаса, њене упрошћене варијанте, као и користећи  Шифронсонову  једначину прилагођену за проток  гаса. Након  тога одредити који хидраулички режим протока влада у  цевоводу  и  прокоментарисати  добијене  резултате.  Проток  у  цеви  пречника  0,044 m,  дужине  276 m,  је  27,41 m3/h.  Израчунати  брзину  протока  у  цеви  ако  је  апсолутна  храпавост  цеви  процењена  на  εu=0,000007 m.  Параметре  који  недостају узети са уобичајеним вредностима. Просечан притисак у цевоводу је 4·105 Pa abs.   На основу Реноарове једначине за проток гаса, добија се:   ( ) 2882,1 82,4 82,1 1 82,0 2 2 2 1 0989,05 Pa1084,3044,0 115,288 28,1 84,0276 pp 101325 15,288 100757,1 4415,26 3600 41,27 ⋅=⋅ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⋅ − ⋅ = −   Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=399519 Pa, односно пад притиска ∆p=480 Pa.   28 82,4 82,082,1 82,4 u 82,0 r 82,1 st2 2 2 1 Pa1085,3044,0 28,1 84,0276 3600 41,274088 D LQ4088pp ⋅= ⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛⋅⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ =ρ⋅⋅⋅=−   Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=399518 Pa, односно пад притиска ∆p=481 Pa.   28 82,4 82,1 82,4 u r 82,1 st2 2 2 1 Pa1019,4044,0 28,1 84,0276 3600 41,274810 D LQ4810pp ⋅= ⋅⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ =ρ⋅⋅⋅=−   Ако се узме да је p1=4·10 5 Pa, тада је p2=399475 Pa, односно пад притиска ∆p=524 Pa.   Према Шифринсоновој формули, вредност Дарсијевог коефицијента хидрауличког отпора се добија као: 0124662,0 044,0 0,000007111,0 D 111,0 4 1 4 1 u t =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ε=λ   А затим користећи Дарси‐Вајсбахову формулу (3), даље се добија:  Pa49,82389,03600 41,278 044,0 3760124662,0Q8 D Lpp 2 2 52 2 5 u 21 =⋅π ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⋅ ⋅⋅=ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=− Брзина гаса у цеви се процењује као:  s m26,1 4000001415,3044,0 3600 41,271013204 pD Qp4 22 u st =⋅⋅ ⋅⋅ =⋅π⋅ ⋅⋅=υ   Тако  да  је  Рејнолдсов  број  Re=4357,76,  што  је  уз  малу  вредност  релативне  храпавости  далеко  од  области  потпуне  турбуленције. Резултати добијени коришћењем Реноарове формуле за гасовите флуиде дају задовољавајуће резултате  падова притисака.         Пр ил ог   ‐ 223 ‐    Пример 13:  Израчунати количину флуида коју може да пропусти цев пречника 123,4 mm, дужине 175 m, апсолутне храпавости  0,002·10‐2 m ако је пад притиска 10 kPa. Прорачун извршити у складу са Реноаровим једначинама за течни, односно  гасовити флуид. Проценити брзину флуида у цевоводу. Гас је у цевоводу на притиску од 4·105 Pa abs. Густина флуида је  0,84 kg/m3, динамичка вискозност 1,0757·10‐5 Pa·ѕ.     Релативна храпавост се рачуна као:  4 2 u 1062,1 1234,0 10002,0 D −− ⋅=⋅=ε   При чему се проток течног флуида рачуна на основу Дарси‐Вајсбахове једначине:  ( ) ρ⋅⋅λ⋅ π⋅⋅−= L8 DppQ 25 u21 Пошто је у претходној једначини непозната вредност Дарсијевог коефицијента отпора проблем нема јединствено  решење, с тим да се од бесконачно много решења бира оно за најпогоднију брзину за коју се цевовод прорачунава.  Овде ће се претпоставити да је брзина протока течности око 2 m/s. На основу ове брзине се рачуна Рејнолдсов број као:  28,19272 100757,1 84,01234,02DRe 5 u =⋅ ⋅⋅=η ρ⋅⋅υ= −   Дарсијев коефицијент се према Реноару рачуна као:  02912,028,19272172,0Re172,0 18,018,0g =⋅=⋅=λ −−   Реноарова једначина може да се користи пошто је испуњен услов пошто за дате услове у цевоводу влада хидраулички  ‘гладак’ режим. Сходно претходном, на основу Дарси‐Вајсбахове једначине се добија проток течности кроз цев у m3/s:   ( ) 287,0 84,017502912,08 1415,31234,010000 L8 DppQ 2525 u21 =⋅⋅⋅ ⋅⋅=ρ⋅⋅λ⋅ π⋅⋅−= Односно 1033,81 m3/h, тј. брзина течности се процењује на 24,01 m/s. Наравно овако велике брзине су неодрживе у  стварном систему. Када је у питању гасовити флуид примењује се упрошћена Реноарова једначина, која се уз  претпоставку да је p1=4·10 5 Pa:  ( ) ( ) ( ) 7527,0 28,1 84,01754810 1234,0109,3104 L4810 DppQ 82,1 1 82,42525 82,1 1 r 82,4 u 2 2 2 1 st = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅ ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅−⋅ =⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ρ⋅⋅ ⋅−=   Односно 2709,72 m3/h, тј. брзина је 15,73 m/s за гасовити флуид имајући у виду да је притисак гаса у цеви 4·105 Pa abs, те  је Q=Qst/4. Закључак је да се добијају различите вредности у случају протока гаса и течности. Прорачун протока течности  је донекле нереалано приказан у овом случају пошто су узете вредности за вискозитет и густину као код природног гаса.  Пример је дат да би се показало да се претпоставка о нестишљивости гаса у дистрибутивној мрежи мора узети са  одговарајућим ограничењима.          ‐ 224 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Пример 14:  Да би се приступило решавању прстенастих мрежа, корисно је као увод у проблем размотрити проток флуида кроз једну  цев. Потребно је одредити проток воде кроз цев пречника 0,2204 m, дужине 84 m ако је претпостављена брзина протока  воде кроз цев 2 m/s. Кинематски вискозитет воде је 1,0037·10−6 m2/s, густина воде је 1000 kg/m3 а храпавост цеви је дата  као 0,00026 m. Пад притиска у цеви је 100 Pa.    Проблем је у овом случају једнозначно одређен, има јединствено решење те се може решити неитеративним путем.  Вредност Рејнолдсовог броја се даје као:   05,439175 100037,1 2204,02DRe 6 u =⋅ ⋅=ν ⋅υ= −   Користећи Колбрукову једначину (31), добија се вредност Дарсијевог коефицијента хидрауличког отпора:  0,021042 2204,071,3 00026,0 05,439175 51,2log21 dt dtdt =λ⇒⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅+λ⋅⋅−=λ Те се из Дарси‐Вајсбахове једначине може директно израчунати вредност протока у m3/s као:  ( ) 32525u21 10024.6 100084021042,08 1415,32204,0100 L8 DppQ −⋅=⋅⋅⋅ ⋅⋅=ρ⋅⋅λ⋅ π⋅⋅−= тј. проток је 21,68 m3/h, а брзина је 0,1579 m/s.     Међутим користећи принципе Харди Крос метода потребно је прво насумично претпоставити проток. Овај проток треба  да задовољи само услов да колико флуида уђе у цев, исто толико мора да изађе, с тим да густина флуида, тј. у овом  случају воде остане константна. Претпоставиће се да је проток 360 m3/h, односно 0,1 m3/s. За решење проблема  потребно је узети Дарси‐Вајсбахову једначину као функцију у којој се проток третира као променљива док су сви остали  чланови константе, те затим одредити њен извод:  ( ) 54,275481000 1415,32204,0 1,0884021042,0Q8 D LpQF 25 2 2 2 5 u =⋅⋅ ⋅⋅⋅=ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=∆=   Први извод претходне функције је: ( ) 8,5509701000 1415,32204,0 1,01684021042,0Q16 D L Q p 2525 u =⋅⋅ ⋅⋅⋅=ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=∂ ∆∂   По Харди Крос методи, поправни проток ∆ се добија као:    ( )( ) 05,081,550970 54,27548 Q p QF == ∂ ∆∂=∆   Проток после прве итерације се добија као:  05,005,01,0QQ1 =−=∆−=   Уколико пад притиска није приближно 100 Pa како је израчунато на уобичајени начин прелази се на другу итерацију по  Харди Крос методи.  ( ) 13,68871000 1415,32204,0 05001,0884021042,0Q8 D LpQF 25 2 2 2 1 5 u 1 =⋅⋅ ⋅⋅⋅=ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=∆=   Пошто је 6887,13 Pa различито од 100 Pa, итеративни поступак се наставља, тако да је: ( ) 4,2754851000 1415,32204,0 05001,01684021042,0Q16 D L Q p 2525 u =⋅⋅ ⋅⋅⋅=ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=∂ ∆∂   Па је поправни проток Δ у другој итерацији у m3/s: ( )( ) 025,04,275485 13,6887 Q p QF =−= ∂ ∆∂=∆     Пр ил ог   ‐ 225 ‐    Наставак примера 14:  Те је проток кроз дату цев након друге итерације у m3/s:  025,0025,005,0QQ 12 =−=∆−=   што одговара паду притиска од 1721,78 Pa, даље је на крају треће 0,0125 m3/s што одговара паду притиска од 430,44 Pa,  затим на крају четврте 0,00625 m3/s што одговара паду притиска од 107,61 Pa, што приближно одговара тачном решењу  те се итеративни поступак прекида. Харди Крос методологија успешно решава проблем конвергенције као тачном  решењу што ће се у даљем тексту и показати. Харди Крос метод служи за прорачун протока у затвореној цевној контури,  што је у другом делу овог проблема само карикирано јер се суштински претпоставило да се крај цеви надовезује на њен  почетак чинећи бесконачну петљу, односно торус у коме се вода врти бесконачно у круг. Исти закључци се могу донети  и за проток природног гаса који се неће разматрати на овако баналном примеру једне хипотетичке цеви чији су почетак  и крај спојени тако да формирају торус, тј. затворени систем.          ‐ 226 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Пример 15:  Израчунати расподелу протока  гаса по цевима мреже приказане на слици за максималну потрошњу по чворовима  мреже односно  за  улазе  у мрежу  као на датој  слици.  Пречници и дужине цеви  се дају  у  табели.  Вредности првих  претпостављених протока се дају на слици, као и у табели. Релативна густина гаса је 0,64, док је улазни притисак гаса  4·105 Ра.     Слика. Гасоводна дистрибутивна мрежа са једном петљом    Табела. Решење гасоводне дистрибутивне мреже са једном петљом према оригиналној Харди Крос методи  (Слика)  Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 1  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,138888889  267508687,7  3505433843,8  0,091499521  2  0,1586  80  0,194444444  89446134,5  837215818,8  0,147055076  3  0,0554  100  0,083333333  3806257069,1  83128654388,6  0,035943965  4  0,1234  85  0,055555556  32584341,4  1067463023,4  0,008166187        Σ  4195796232,6  88538767074,6          ∆=F(Q)/|F’(Q)|  0,047389368    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 2  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,091499521  125159922,4  2489532808,5  0,069238341  2  0,1586  80  0,147055076  53798148,9  665822857,6  0,124793896  3  0,0554  100  0,035943965  823848349,3  41715041455,1  0,013682785  4  0,1234  85  0,008166187  994214,5  221580813,7  ‐0,014094993        Σ  1003800635,1  45091977934,9          ∆=F(Q)/|F’(Q)|  0,02226118    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 3  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,069238341  75355323,8  1980791103,6  0,05756048  2  0,1586  80  0,124793896  39904840,8  581974057,7  0,113116036  3  0,0554  100  0,013682785  142051423,5  18894807405,8  0,002004924  4  0,1234  85  ‐0,014094993  ‐2684744,3  346664582,0  ‐0,025772853        Σ  254626843,8  21804237149,1          ∆=F(Q)/|F’(Q)|  0,011677861    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 4  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,05756048  53840546,0  1702379717,5  0,045139453  2  0,1586  80  0,113116036  33370882,8  536926584,8  0,100695008  3  0,0554  100  0,002004924  4309495,0  3912008151,0  ‐0,010416103  4  0,1234  85  ‐0,025772853  ‐8052313,2  568629707,8  ‐0,038193881        Σ  83468610,7  6719944161,0          ∆=F(Q)/|F’(Q)|  0,012421027     Пр ил ог   ‐ 227 ‐              Наставак примера 15:        Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 5  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,045139453  34591984,6  1394731401,8  0,047465262  2  0,1586  80  0,100695008  27004003,1  488080655,7  0,103020818  3  0,0554  100  ‐0,010416103  ‐86463251,2  15107676874,1  ‐0,008090294  4  0,1234  85  ‐0,038193881  ‐16475310,1  785075093,9  ‐0,035868071        Σ  ‐41342573,6  17775564025,5          ∆=F(Q)/|F’(Q)|  ‐0,002325809    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 6  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,047465262  37904183,1  1453391601,1  0,047680914  2  0,1586  80  0,103020818  28149921,0  497305860,2  0,10323647  3  0,0554  100  ‐0,008090294  ‐54588727,7  12280331238,0  ‐0,007874641  4  0,1234  85  ‐0,035868071  ‐14695132,7  745653180,2  ‐0,035652419        Σ  ‐3229756,3  14976681879,5          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  ‐0,000215652    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 7  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,047680914  38218194,0  1458804095,4  0,047682866  2  0,1586  80  0,10323647  28257258,2  498159323,4  0,103238422  3  0,0554  100  ‐0,007874641  ‐51969435,0  12011261109,5  ‐0,007872689  4  0,1234  85  ‐0,035652419  ‐14534727,3  741975005,6  ‐0,035650467        Σ  ‐28710,1  14710199533,9          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  ‐0,0000019517    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 8  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,047682866  38221041,2  1458853059,9  0,047682866  2  0,1586  80  0,103238422  28258230,5  498167046,0  0,103238422  3  0,0554  100  ‐0,007872689  ‐51945994,8  12008819942,7  ‐0,007872689  4  0,1234  85  ‐0,035650467  ‐14533279,3  741941698,8  ‐0,035650467        Σ  ‐2,4  14707781747,3          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  ‐0.00000000016      Функција  разлике  квадрата  притисака  F(Q)  се  добија  према  упрошћеновој  Реноаровој  једначини  за  проток  гаса.  Поправни  проток ∆  се  алгебарски  сабира  са  супротним  знаком,  од  добијеног  формулом ∆=F(Q)/|F’(Q)|.  Добијени  протоци  су  након  7  итерација:  Q1=171,65 m 3/h,  Q2=371,65 m 3/h,  Q3=‐28,34 m 3/h  и  Q4=‐128,34 m 3/h.  Након  седме  итерације разлика квадрата почетног и крајњег притиска је само ‐2,4 Pa, Чиме је задовољен и други Кирхофов закон,  те  се мрежа  сматра  уравнотеженом.  Након  седме  итерације  се  добија  да  је  поправни  проток  само  ‐1,6·10‐10 m3/s,  односно ‐5,78·10‐7 m3/h, тако да се мрежа сматра уравнотеженом и по овом критеријуму.            ‐ 228 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Пример 16:  Израчунати  расподелу  протока  воде  по  цевима  мреже  приказане  на  слици  за  максималну  потрошњу  по  чворовима  мреже односно за улазе у мрежу (улази су у ствари потрошње са негативним предзнаком) као на датој слици. Пречници  и дужине цеви се дају у табели 10. Вредности првих претпостављених протока се дају такође на слици, као и у табели.  Кинематски вискозитет воде је 1,0037·10−6 m2/s, густина воде је 1000 kg/m3 а храпавост цеви је дата као 0,00026 m.     Слика. Водоводна дистрибутивна мрежа са једном петљом    Да  би  се  израчунао  пад  притиска  у  водоводним  цевима  потребно  је  одредити  Дарсијев  коефицијент  хидрауличког  отпора  по  Колбруковој  формули.  Поступак  се  даје  у  табели  само  за  прву  итерацију,  док  се  за  остале  итерације  не  приказује.     Табела. Прорачун Дарсијевог коефицијента хидрауличког отпора при иницијалном протоку за мрежу са слике  Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 1  Q (m3/s)  υ (m/s)  Re  λ (31)  1  0,1098  75  0,138888889  14,67  1604616,9  0,024594061  2  0,1586  80  0,194444444  9,84  1555244,1  0,022353721  3  0,0554  100  0,083333333  34,57  1908161,7  0,029823041  4  0,1234  85  0,055555556  4,65  571108,4  0,024043512    Табела. Решење водоводне дистрибутивне мреже са једном петљом према оригиналној Харди Крос методи  Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 1  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,138888889  1807195,181  26023610,6  0,096054964  2  0,1586  80  0,194444444  546141,5547  5617455,991  0,151610519  3  0,0554  100  0,083333333  32168503,18  772044076,4  0,040499408  4  0,1234  85  0,055555556  178684,2443  6432632,796  0,01272163        Σ  34700524,16  810117775,8          ∆=F(Q)/|F’(Q)|  0,042833925    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 2  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,096054964  865997,5955  18031292,95  0,073996307  2  0,1586  80  0,151610519  332604,0752  4387612,109  0,129551863  3  0,0554  100  0,040499408  7612227,253  375917950  0,018440752  4  0,1234  85  0,01272163  9746,380071  1532253,297  ‐0,009337026        Σ  8820575,304  399869108,4          ∆=F(Q)/|F’(Q)|  0,022058656    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 3  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,073996307  514838,8763  13915258,62  0,061723343  2  0,1586  80  0,129551863  243184,4071  3754240,223  0,117278899  3  0,0554  100  0,018440752  1585111,081  171913933,5  0,006167788  4  0,1234  85  ‐0,009337026  ‐4514,823981  967079,6556  ‐0,02160999        Σ  2338619,541  190550512          ∆=F(Q)/|F’(Q)|  0,012272964     Пр ил ог   ‐ 229 ‐    Наставак примера 16:      Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 4  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,061723343  358769,776  11625092,1  0,052321222  2  0,1586  80  0,117278899  199481,6313  3401833,288  0,107876777  3  0,0554  100  0,006167788  180055,1791  58385658,73  ‐0,003234334  4  0,1234  85  ‐0,02160999  ‐25704,97322  2378989,841  ‐0,031012112        Σ  712601,6131  75791573,96          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  0,009402122    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 5  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,050709681  258219,6279  9870550,421  0,045019864  2  0,1586  80  0,106265237  168927,0292  3131851,612  0,100575419  3  0,0554  100  ‐0,004845874  ‐45949,38959  28413509,6  ‐0,010535692  4  0,1234  85  ‐0,032623652  ‐53577,0016  3455230,785  ‐0,03831347        Σ  327620,2659  44871142,42          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  0,007301358    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 6  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,045019864  191513,5046  8507955,755  0,047252877  2  0,1586  80  0,100575419  146950,0883  2922186,936  0,102808432  3  0,0554  100  ‐0,010535692  ‐505772,4422  96011245,06  ‐0,008302679  4  0,1234  85  ‐0,03831347  ‐82189,61513  4290377,045  ‐0,036080457        Σ  ‐249498,4645  111731764,8          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  ‐0,002233013    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 7  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,047252877  210858,7512  8924694,804  0,047485495  2  0,1586  80  0,102808432  153508,9484  2986310,465  0,103041051  3  0,0554  100  ‐0,008302679  ‐312813,213  75352356,83  ‐0,00807006  4  0,1234  85  ‐0,036080457  ‐72792,19512  4034992,999  ‐0,035847838        Σ  ‐21237,70851  91298355,1          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  ‐0,000232619    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 8  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,047485495  212927,5031  8968107,062  0,047486418  2  0,1586  80  0,103041051  154200,4352  2992990,343  0,103041973  3  0,0554  100  ‐0,00807006  ‐295364,1596  73199989,2  ‐0,008069138  4  0,1234  85  ‐0,035847838  ‐71846,01357  4008387,542  ‐0,035846916        Σ  ‐82,23484909  89169474,14          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  ‐0,000000922    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 9  Q (m3/s)  ∆p=F(Q)  |F’(Q)|  Q (m3/s)  1  0,1098  75  0,047486418  212935,7249  8968279,173  0,04748641  2  0,1586  80  0,103041973  154203,1797  2993016,826  0,103041966  3  0,0554  100  ‐0,008069138  ‐295295,9776  73191455,87  ‐0,008069145  4  0,1234  85  ‐0,035846916  ‐71842,27468  4008282,062  ‐0,035846923        Σ  0,652304438  89161033,93          Δ=F(Q)/|F’(Q)|  0,000000007          ‐ 230 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 16:  Добијени протоци су након 9 итерација: Q1=170,95 m 3/h, Q2=370,95 m 3/h, Q3=‐29,05 m 3/h и Q4=‐129,05 m 3/h. Након девете  итерације алгебарски збир падова притисака је само 0,65 Pa, чиме је задовољен и други Кирхофов закон, те се мрежа  сматра уравнотеженом. Након седме итерације се добија да је поправни проток само 7,32·10‐9 m3/s, односно 2,63·10‐5  m3/h, тако да се мрежа сматра уравнотеженом и по овом критеријуму.   Пример 17:  За водоводну мрежу приказану на слици, која се састоји од три петље израчунати дистрибуцију протока по гранама.    Слика. Водоводна дистрибутивна мрежа са три петље    Као што је већ раније објашњено за сваку контуру понаособ може да се добије поправни проток. Проблем су цеви које  су заједничке за две контуре, односно за две петље. У случају са слике, цев 4 је заједничка за петље I и II, цев 7 за петље  I  и  III,  док  је  цев  5  за  петље  II  и  III.  Ове  цеви  заједничке  за  две  петље  примају  поправне  протоке  истовремено  из  прорачуна за сваку од две петље понаособ, које се алгебарски сабирају на основу посебних правила (поглавље В.1.1.).    Табела. Решење водоводне дистрибутивне мреже са три петље према оригиналној Харди Крос методи    Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 1  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|/2  ∆1 (m 3/s)  ∆2 (m 3/s)  Q (m3/s)  I  3  0,1234  360  ‐0,19444  ‐5279095,90  27149636,06  +0,12306    ‐0,07138  4  0,1234  200  +0,02778  69146,85  2489286,60  +0,12306  +0,09349 m   +0,24433  7  0,1234  300  ‐0,30556  ‐10718549,81  35078890,29  +0,12306  +0,01068‡  ‐0,17181          Σ  ‐15928498,86  64717812,94                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,12306        II  1  0,1234  200  +0,27778  5919850,58  21311462,10  ‐0,09349    +0,18429  2  0,1586  100  ‐0,27778  ‐816585,14  2939706,52  ‐0,09349    ‐0,37127  4  0,1234  200  ‐0,02778  ‐69146,85  2489286,60  ‐0,09349  ‐0,12306±  ‐0,24433  5  0,1762  100  +0,02778  5967,74  214838,73  ‐0,09349  +0,01068 m   ‐0,05503          Σ  5040086,33  26955293,94                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  +0,09349        III  5  0,1762  100  ‐0,02778  ‐5967,74  214838,73  ‐0,01068  +0,09349‡  +0,05503  6  0,0968  200  +0,02778  232186,32  8358707,66  ‐0,01068    +0,01709  7  0,1234  300  +0,30556  10718549,81  35078890,29  ‐0,01068  ‐0,12306=  +0,17181  8  0,1098  450  ‐0,16667  ‐8874257,48  53245544,85  ‐0,01068    ‐0,17735          Σ  2070510,92  96897981,53                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  +0,01068         Пр ил ог   ‐ 231 ‐    Наставак примера 17:                        Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 2  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|/2  ∆1 (m 3/s)  ∆2 (m 3/s)  Q (m3/s)  I  3  0,1234  360  ‐0,07138  ‐750378,77  10511968,27  ‐0,00400    ‐0,07538  4  0,1234  200  +0,24433  +4596449,25  18812565,87  ‐0,00400  ‐0,04573=  +0,19459  7  0,1234  300  ‐0,17181  ‐3450640,31  20083999,34  ‐0,00400  ‐0,03920±  ‐0,21501          Σ  395430,17  49408533,49                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  +0,00400        II  1  0,1234  200  +0,18429  +2639603,39  14323247,91  +0,04573    +0,23002  2  0,1586  100  ‐0,37127  ‐1443784,67  3888798,88  +0,04573    ‐0,32553  4  0,1234  200  ‐0,24433  ‐4596449,25  18812565,87  +0,04573  +0,00400‡  ‐0,19459  5  0,1762  100  ‐0,05503  ‐21346,51  387921,00  +0,04573  ‐0,03920±  ‐0,04850          Σ  ‐3421977,04  37412533,67                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,04573        III  5  0,1762  100  +0,05503  +21346,51  387921,00  +0,03920  ‐0,04573=  +0,04850  6  0,0968  200  +0,01709  +92718,55  5424102,88  +0,03920    +0,05629  7  0,1234  300  +0,17181  +3450640,31  20083999,34  +0,03920  0,00400 m   +0,21501  8  0,1098  450  ‐0,17735  ‐10028129,53  56544084,21  +0,03920    ‐0,13815          Σ  ‐6463424,15  82440107,43                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,03920          Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 3  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|/2  ∆1 (m 3/s)  ∆2 (m 3/s)  Q (m3/s)  I  3  0,1234  360  ‐0,07538  ‐833575,09  11057584,27  +0,03188    ‐0,04351  4  0,1234  200  +0,19459  +2937264,02  15094319,19  +0,03188  +0,00017 m   +0,22664  7  0,1234  300  ‐0,21501  ‐5360704,68  24932027,89  +0,03188  +0,00082‡  ‐0,18231          Σ  ‐3257015,75  51083931,34                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,03188        II  1  0,1234  200  +0,23002  +4081332,46  17743297,74  ‐0,00017    +0,22985  2  0,1586  100  ‐0,32553  ‐1114865,26  3424722,51  ‐0,00017    ‐0,32570  4  0,1234  200  ‐0,19459  ‐2937264,02  15094319,19  ‐0,00017  ‐0,03188±  ‐0,22664  5  0,1762  100  ‐0,04850  ‐16837,73  347200,56  ‐0,00017  +0,00082‡  ‐0,04785          Σ  +12365,46  36609540,01                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  +0,00017        III  5  0,1762  100  +0,04850  +16837,73  347200,56  ‐0,00082  +0,00017 m   +0,04785  6  0,0968  200  +0,05629  +901625,93  16016226,16  ‐0,00082    +0,05548  7  0,1234  300  +0,21501  +5360704,68  24932027,89  ‐0,00082  ‐0,03188=  +0,18231  8  0,1098  450  ‐0,13815  ‐6138778,62  44435631,16  ‐0,00082    ‐0,13897          Σ  +140389,72  85731085,77                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  +0,00082                        ‐ 232 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 17:                Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 4  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|/2  ∆1 (m 3/s)  ∆2 (m 3/s)  Q (m3/s)  I  3  0,1234  360  ‐0,04351  ‐290756,78  6683164,41  +0,00224    ‐0,04127  4  0,1234  200  +0,22664  +3964131,07  17490720,72  +0,00224  ‐0,01309=  +0,21578  7  0,1234  300  ‐0,18231  ‐3876633,97  21263391,69  +0,00224  ‐0,00878±  ‐0,18885          Σ  ‐203259,68  45437276,82                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,00224        II  1  0,1234  200  +0,22985  +4075434,50  17730674,76  +0,01309    +0,24295  2  0,1586  100  ‐0,32570  ‐1116002,00  3426436,86  +0,01309    ‐0,31261  4  0,1234  200  ‐0,22664  ‐3964131,07  17490720,72  +0,01309  ‐0,00224‡  ‐0,21578  5  0,1762  100  ‐0,04785  ‐16417,30  343129,53  +0,01309  ‐0,00878±  ‐0,04353          Σ  ‐1021115,87  38990961,88                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,01309        III  5  0,1762  100  +0,04785  +16417,30  343129,53  +0,00878  ‐0,01309=  +0,04353  6  0,0968  200  +0,05548  +876402,01  15797929,70  +0,00878    +0,06425  7  0,1234  300  +0,18231  +3876633,97  21263391,69  +0,00878  ‐0,00224=  +0,18885  8  0,1098  450  ‐0,13897  ‐6210334,06  44688727,43  +0,00878    ‐0,13019          Σ  ‐1440880,78  82093178,35                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,00878          Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 5  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|/2  ∆1 (m 3/s)  ∆2 (m 3/s)  Q (m3/s)  I  3  0,1234  360  ‐0,04127  ‐262996,94  6372725,05  +0,00908    ‐0,03219  4  0,1234  200  +0,21578  +3599077,06  16679042,45  +0,00908  ‐0,00124=  +0,22362  7  0,1234  300  ‐0,18885  ‐4154291,08  21997354,86  +0,00908  ‐0,00080±  ‐0,18057          Σ  ‐818210,96  45049122,36                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,00908        II  1  0,1234  200  +0,24295  +4545352,90  18709278,35  +0,00124    +0,24419  2  0,1586  100  ‐0,31261  ‐1029578,08  3293500,05  +0,00124    ‐0,31136  4  0,1234  200  ‐0,21578  ‐3599077,06  16679042,45  +0,00124  ‐0,00908±  ‐0,22362  5  0,1762  100  ‐0,04353  ‐13753,53  315974,10  +0,00124  ‐0,00080±  ‐0,04308          Σ  ‐97055,76  38997794,95                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,00124        III  5  0,1762  100  +0,04353  +13753,53  315974,10  +0,00080  ‐0,00124=  +0,04308  6  0,0968  200  +0,06425  +1165209,43  18135093,22  +0,00080    +0,06505  7  0,1234  300  +0,18885  +4154291,08  21997354,86  +0,00080  ‐0,00908=  +0,18057  8  0,1098  450  ‐0,13019  ‐5464898,78  41975427,76  +0,00080    ‐0,12939          Σ  ‐131644,73  82423849,95                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,00080                                     Пр ил ог   ‐ 233 ‐      Наставак примера 17:                  Цев  Пречник  (m)  Дужина  (m)  Итерација 6  Q (m3/s)  F(Q)  |F’(Q)|/2  ∆1 (m 3/s)  ∆2 (m 3/s)  Q (m3/s)  I  3  0,1234  360  ‐0,03219  ‐164276,15  5103672,76  +0,00124    ‐0,03095  4  0,1234  200  +0,22362  +3860806,10  17264927,13  +0,00124  ‐0,00384=  +0,22102  7  0,1234  300  ‐0,18057  ‐3804217,60  21067666,00  +0,00124  ‐0,00238±  ‐0,18171          Σ  ‐107687,64  43436265,89                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,00124        II  1  0,1234  200  +0,24419  +4591340,93  18802265,73  +0,00384    +0,24803  2  0,1586  100  ‐0,31136  ‐1021545,65  3280865,09  +0,00384    ‐0,30753  4  0,1234  200  ‐0,22362  ‐3860806,10  17264927,13  +0,00384  ‐0,00124±  ‐0,22102  5  0,1762  100  ‐0,04308  ‐13491,42  313159,71  +0,00384  ‐0,00238±  ‐0,04163          Σ  ‐304502,25  39661217,66                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,00384        III  5  0,1762  100  +0,04308  +13491,42  313159,71  +0,00238  ‐0,00384=  +0,04163  6  0,0968  200  +0,06505  +1193510,00  18347516,33  +0,00238    +0,06743  7  0,1234  300  +0,18057  +3804217,60  21067666,00  +0,00238  ‐0,00124=  +0,18171  8  0,1098  450  ‐0,12939  ‐5399421,74  41728460,51  +0,00238    ‐0,12701          Σ  ‐388202,72  81456802,55                Δ=F(Q)/(2·|F’(Q)|)  ‐0,00238          Слично  као  и  у  претходном  примеру  у  коме  је  обрађена  гасна  дистрибутивна  мрежа  исте  топологије  и  са  истим  пречницима цеви,  ни  водоводна мрежа после шесте  итерације  по  основном Харди Крос методу,  није  ни  приближно  уравнотежена. Слично као на примеру гасоводне мреже, водоводна мрежа се може сматрати уравнотеженом тек негде  после педесете итерације,  са дистрибуцијом протока: Q1=902,27 m 3/h, Q2=1097,73m 3/h, Q3=94,86m 3/h, Q4=802,87 m 3/h,  Q5=‐146,23m 3/h, Q6=248,50 m 3/h, Q7=643,36 m 3/h, Q8=451,50 m 3/h. Последње  три итерације  се овде не приказују  као у  случају  прорачуна  гасоводне мреже.  Знак минус  (‐)  испред бројчане  вредности  крајњег  протока  у  цеви 5  значи да  је  смер протока у овој цеви обрнут од првобитно претпостављеног.                    ‐ 234 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Пример 18:  За просту мрежу са слике упоредити брзину конвергенције користећи основни Харди Крос метод као и модификовани  Харди Крос метод.    Слика. Гасна прстенаста дистрибутивна мрежа      Ако се све контуре описују у истом смеру, а нема цеви које се укрштају, сви чланови ван главне дијагонале у матрици  градијената су са негативним предзнаком. Чланови на главној дијагонали су увек позитивни. Поступак се даље одвија  итеративно као у случају оригиналног Харди Крос метода.    ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅− ⋅⋅−⋅+⋅+⋅⋅= = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∆∂ ∂− ∆∂ ∂−∂ ∂ =∇= − −−−−− −−−− 1m 1n 66 1n 55 1n 44 1n 22 1n 22 1n 22 1n 22 1n 22 1n 11 2 6542II 1 2II 2 2I 1 321I QRQRQRQRnQRn QRnQRQRQRn ∆Q ,Q,Q,QQF Q QF Q QF ∆Q ,Q,QQF QFQgradF       У  једначини  се  у  члановима  ван  главне дијагонале  појављује  као  аргумент  само  проток  кроз  цев  2  пошто  је  ова  цев  једина заједничка за више контура (у овом случају за једине две контуре).    У даљем тексту се не дају резултати детаљног нумеричког прорачуна у виду табела за дати проблем када се има у виду  проста мрежа са слике, већ се решење даје илистративно на дијаграмима приказаним на следећој слици.    Слика. Понашање прорачунатог пада притиска и поправке протока по итерацијама рачунато према оригиналном и  модификованом Харди Крос методу за мрежу – контура I           Пр ил ог   ‐ 235 ‐    Пример 19:  Извршити математички опис мреже приказане на слици.     Слика. Гасна прстенаста дистрибутивна мрежа        Са слике се види да мрежа има две независне контуре, тј. петље (када се дефинише стабло, остају још две гране, што  значи на основу теорије графова која је већ изнета у претходној дискусији у оквиру ове дисертације значи да мрежа има  две независне контуре).    Основне  претпоставке  које  морају  бити  задовољене  по  Харди‐Крос  методи  је  да  алгебарски  збир  протока  по  чвору,  рачунајући и потрошњу гаса сведену на чвор буде  једнак нули  (први Кирхофов закон) –  једначина континуитета, и да  укупан збир разлике квадрата притиска на почетку и крају цеви (односно падова пртисака у случају водоводних мрежа)  по контурама на крају прорачуна мора тежити нули (други Кирхофов закон) – једначина одржања енергије.  ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− − − − − outputV outputIV outputIII outputII 6 5 4 3 2 1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q x 110000 001011 011000 100110             Чвор 1 се произвољно узима као референтан.    ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡≈ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−− − 0 0 p~ p~ p~ p~ p~ p~ x 111010 000111 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1                 За случај водоводних мрежа:  ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡≈ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−− − 0 0 p p p p p p x 111010 000111 6 5 4 3 2 1           ‐ 236 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 19:    Тако да једна од могућих редукованих матрица чворова може да се запише као:    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− = 110000 001011 011000 100110 N                 Док матрица независних контура која је јединствена гласи:    [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−− −= 111010 000111 L         Ако су претходне једначине добро написане тада важи:  ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−− − ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− 00 00 00 00 111010 000111 x 110000 001011 011000 100110 T     Цела матрица чворова чласи:  [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − −− −− = 110000 001011 011000 100110 000101 *N     Редукована матрица чворова [N] која има линеарно независне редове се добија изостављањем било ког реда матрице [N*].    Матрични изрази у развијеном облику се дају у Табели.    Taбела. Значење матричних једначина у развијеном облику  Први Кирхофов закон  Улазни чвор: Qinput=Q1+Q3      ‐Чвор I  ‐Чвор II  ‐Чвор III  ‐Чвор IV  Qoutput I+Q2+Q6=Q3  Qoutput II+Q5=Q4  Qoutput III+Q4=Q1+Q2  Qoutput IV=Q6+Q5  Други Кирхофов закон – гасоводна мрежа    ‐Контура (Петља) I   ‐Контура (Петља) II  2 1 2 3 2 2 p ~p~p~ ∆=∆+∆   26252422 p~p~p~p~ ∆=∆+∆+∆    Други Кирхофов закон – водоводна мрежа  ‐Контура (Петља) I   ‐Контура (Петља) II  Δp2+Δp3=Δp1  Δp2+Δp4+Δp5=Δp6               Пр ил ог   ‐ 237 ‐    Пример 20:  Прорачунати мрежу приказану на слици обједињеном метом чворова и прстенова. Проблем се поставља као класичан,  тј. мрежа је задата а прорачунава се расподела протока по цевима мреже.    Слика. Цевовoдна мрежа за дистрибуцију флуида прстенастог типа    Почетна матрица контура као и матрица чворова је истоветна за дату мрежу било да се користи за дистрибуцију гаса или  воде. На слици чвор I је само спој цеви 2, 3 и 6 и стога није ни улазни ни излазни. Матрица чворова [N’] одговара првом  Кирхофовом закону, а матрица контура [L] другом Кирхофовом закону. Иницијална матрица чворова за мрежу са слике  се може написати као:    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − − −− = 000101 110000 001011 011000 100110 'N           У претходно приказаној матрици [N’] колоне одговарају цевима, а редови чворовима, тако да нпр. за први чвор почетни  протоци  у цевима 2  и 6  су  усмерени од  тог  чвора,  док  је  почетни проток  кроз цев 3  усмерен  ка  чвору  I.  За  чвор  I  су  повезане само цеви 2, 3 и 6.  Зато у првом реду у колони 2 и 6  стоје  јединице са негативним предзнаком,  у колони 3  јединица са позитивним предзнаком, док на осталим местима стоје нуле. Истом логиком су формирани и остали редови  у  матрици  чворова.  Матрица  чворова  [N’]  је  линеарно  зависна,  тако  да  се  може  назвати  и  проширеном  матрицом  чворова. Да би се уклонила линеарна зависност између редова матрице [N’] потребно је изоставити било који ред дате  матрице чиме се суштински не губи ниједна информација о самој мрежи:    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− − − = 000101 110000 001011 011000 N                   Код матрице контура [L] овакав проблем не постоји, тако да се одмах може написати:    [ ] ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −−− −= 111010 000111 L             Такође као и код матрице чворова, колоне одговарају цевима, а редови контурама. Нпр. контуру 1 за мрежу са слике 1  чине цеви 1, 2 и 3. На осталим местима у првом реду матрице  [L]  стоје нуле; управо зато што те цеви и не припадају  првој контури. Усвајајући да је одабрани смер обиласка контуре у смеру обрнутом од окретања казаљке на сату то се  први иницијални протоци у цевима 2 и 3  поклапају  са овако одабраним смером, док се у цеви 1 не поклапа.  Стога у  првом реду матрице [L] у колони 2 и 3 стоје јединице са позитивним предзнаком, а у колони 1 са негативним.  ‐ 238 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 20:    Разлика квадрата притисака на почетку и крају цеви у случају протока природног гаса се уобичајено прорачунава  коришћењем једначине Реноара:  82,4 u 82,1 str2 1 2 2 D QL4810ppF ⋅⋅ρ⋅=−=   Када је проток воде у питању користи се уобичајено Дарси‐Вајсбахова једначина којом се одређује пад притиска у цеви:    ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=−= 2 2 5 u 21 Q8 D LppF     Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора се у случају протока воде рачуна према формули Колбрука и Вајта:    ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⋅ ε+λ⋅⋅−=λ D71,3Re 51,2log21     И за случај протока воде као и гаса функција контура за мрежу са слике се може написати као:    ⎭⎬ ⎫ +−−−= ++−= 6542II 321I FFFFF FFFF     У претодној једначини римски бројеви се односе на контуре, а арапски на цеви. У функцији контура се у нашем случају  само протоци посматрају као промењиве, а пошто се они и траже, потребно је наћи прве изводе функција контура:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂−∂ ∂−=∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂−=∂ ∂ Q QF Q QF Q QF Q QF Q QF Q QF Q QF Q QF Q QF 6542II 321I     За проток кроз нпр. цев 1 у случају природног гаса овај извод је:    ( ) 82,4 1 82,0 1r1 1 D QL 481082,1 Q QF'F ⋅⋅ρ⋅⋅=∂ ∂=     Док се у случају протока воде он даје као:    ( ) ρ⋅π ⋅⋅⋅λ=∂ ∂= 25 u 1 1 Q16 D L Q QF'F     где се Дарсијев коефицијент хидрауличког отпора λ рачуна као што је већ речено према.    Матрица протока [Q] који се траже у прорачуну у који су улазни подаци у свакој итерацији, односно који су уједно и  коначан резултат који се добија након последње итерације, добија се из матричне једначине:    [NL]x[Q]=[V]    Односно:    [Q]=inv[NL]x [V]    Пр ил ог   ‐ 239 ‐    Наставак примера 20:    Матрица  [NL]  је  обједињујућа  матрица  чворова  и  контура,  где  се  првих  n‐1  редова  преписује  директно  из  матрице  чворова, док се остали редови добијају из матрице контура, уз корекцију да се у делу матрице који се односи на контуре  мреже сваки члан који одговара одређеној цеви множи са изводом F’ који одговара тој цеви:    [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅⋅−⋅−⋅− ⋅⋅⋅− −− − − = ' 6 ' 5 ' 4 ' 2 ' 3 ' 2 ' 1 F1F1F10F10 000F1F1F1 000101 110000 001011 011000 NL     У претходној дискусији је n број чворова.    У матрици [V] првих n‐1 редова се односи на потрошњу по чворовима која је непроменљива у прорачуну. Први чвор који  смо претходно одредили да буде референтни чвор се изоставља из матрице  [V]. Матрица  [V] има само  једну колону.  Остали редови ове једноколонске матрице се добијају преко функција појединих цеви, односно преко функција контура  као и преко протока прорачунатих у претходној итерацији, односно преко улазних протока у посматраној итерацији:    [ ] ( )( )⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ⋅+⋅−⋅−⋅−+− ⋅+⋅+⋅−+− − + + − = ' 66 ' 55 ' 44 ' 22II ' 33 ' 22 ' 11I /V/ /IV/ /III/ /II/ FQFQFQFQF FQFQFQF Q Q Q Q V     Ознака  /  /  између  које  стоји  римски  број  се  односи  на  чвор.  Уколико  је  предзнак  негативан  то  значи  да  је  тај  чвор  улазни,  односно да  је  у  суми већа количина флуида  који  улази  у мрежу од оног  који излази  уколико  је  чвор  улазно‐ излазни. У матрици [V] која је овде приказана чворови II и V су улазни, док су чворови III и IV излазни.    У овом проблему се даје прорачун расподеле протока флуида кроз цевоводну мрежу, при чему се дужине и пречници  цеви, као и потрошња узимају као константе у прорачуну. Улази флуида у мрежу се посматрају као негативна потрошња,  Предност над другим методама као што је нпр. модификована Харди Кросова је у томе што се као резултат прорачуна  добијају директно протоци флуида по цевима а не поправке протока са којима је релативно тешко манипулисати.                    ‐ 240 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Пример 21:  Надаље се уместо табела дају слике прорачуна првих 9 итерација како би прорачун могао  да се прати              Итерација 1    Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 1), пример  прорачуна водовода                     Пр ил ог   ‐ 241 ‐      Наставак примера 21:      Итерација 2      Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 2), пример  прорачуна водовода                                    ‐ 242 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Наставак примера 21:      Итерација 3    Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 3), пример  прорачуна водовода                                         Пр ил ог   ‐ 243 ‐      Наставак примера 21:      Итерација 4    Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 4), пример  прорачуна водовода                                        ‐ 244 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Наставак примера 21:      Итерација 5    Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 5), пример  прорачуна водовода                                         Пр ил ог   ‐ 245 ‐      Наставак примера 21:      Итерација 6    Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 6), пример  прорачуна водовода                                        ‐ 246 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Наставак примера 21:      Итерација 7    Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 7), пример  прорачуна водовода                                         Пр ил ог   ‐ 247 ‐      Наставак примера 21:      Итерација 8    Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 8), пример  прорачуна водовода                                        ‐ 248 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Наставак примера 21:      Итерација 9    Слика. Решење класичног проблема са слике 42 обједињеном методом чворова и прстенова (итерација 9), пример  прорачуна водовода                               Пр ил ог   ‐ 249 ‐    Пример 22:    Итерација 1    Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 1)                                                  ‐ 250 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 22:      Итерација 2      Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 2)                                       Пр ил ог   ‐ 251 ‐    Наставак примера 22:    Итерација 3      Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 3)                                                    ‐ 252 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 22:    Итерација 4    Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 4)                                         Пр ил ог   ‐ 253 ‐    Наставак примера 22:    Итерација 5      Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 5)                                                    ‐ 254 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 22:    Итерација 6      Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 6)                                         Пр ил ог   ‐ 255 ‐    Наставак примера 22:    Итерација 7      Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 7)                                                  ‐ 256 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 22:    Итерација 8    Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 8)                                       Пр ил ог   ‐ 257 ‐    Наставак примера 22:    Итерација 9    Слика. Решење оптимизационог проблема са слике 42 модификованом Харди Крос методом (итерација 9)                    ‐ 258 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Пример 23:  Извршити оптимизацију пречника у просторној гасоводној мрежи каква је већ обрађивана, а  која  се  овде  поново  даје  на  слици,  за  оптимизациону  брзину  од  15  m/s.  У  претходним  разматрањима исте мреже су намерно дати исувише велики пречници. Улазни притисак гаса  је 4·105 Pa abs.      Слика. Пример просторне гасоводне мреже – оптимизациони проблем  Taбeлa. Оптимизовани пречници и крајње брзине протока за гасоводну мрежу са слике  (модификована Харди Крос  метода)  Цев  D (mm)  υ (m/s)  Цев  D (mm)  υ (m/s)  Цев  D (mm)  υ (m/s)  1  95,29  11,96  6  23,38  8,21  11 60,74  14,97 2  50,83  12,41  7  44,61  15,32  12 45,51  11,12 3  52,88  17,32  8  31,62  15,45  13 51,40  18,88 4  150,27  13,03  9  32,21  9,82  14 128,13  16,50 5  69,64  12,68  10  54,41  11,80  15 51,78  18,47        Пр ил ог   ‐ 259 ‐    Наставак примера 23:    Итерација 1    Табела. Прорачун мреже са слике по модификованој Харди Крос методи се и то за првих пет итерација (итерација 1)  *  **  Q (m/s)  L (m)  Итерација 1 а Du (m)  F(D)  |F’(D)|/(‐4,82)  бПоправке пречника Δ 1 (m)  2 (m)  3 (m)  I  1  0.34116  100  +0.08509  +5866228598  68944208981  +0.008113506  ‐  ‐  2  0.10078  100  +0.04624  +12045426810  260471573894  +0.008113506  ‐0.003880942=  ‐  3  0.15213  100  ‐0.05682  ‐9447036727  166266376407  +0.008113506  ‐0.004616219±  ‐  4  0.92450  100  +0.14007  +3257789693  23258983022  +0.008113506  ‐  ‐          ∑  +11722408374  518941142304    II  5  0.19316  100  +0.06402  +8205606712  128164548112  +0.003880942  ‐  ‐  6  0.01409  200  +0.01729  +76906771504  4447506716875  +0.003880942  ‐0.000927932=  ‐  11  0.17349  100  ‐0.06068  ‐8742571995  144087293667  +0.003880942  ‐0.004839216 m   ‐  12  0.07234  100  ‐0.03918  ‐14647820114  373855131820  +0.003880942  ‐0.004616219±  ‐0.004839216 m   2  0.10078  100  ‐0.04624  ‐12045426810  260471573894  +0.003880942  ‐0.004616219±  ‐          ∑  +49676559296  5354085264368    III  7  0.09574  100  +0.04507  +12415442427  275445664411  +0.000927932  ‐  ‐  8  0.04852  100  +0.03209  +18540679974  577823962992  +0.000927932  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.02607  ‐23691170194  908819144474  +0.000927932  ‐0.004839216 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.04827  ‐11451193122  237229669519  +0.000927932  ‐0.004839216±  ‐  6  0.01409  200  ‐0.01729  ‐76906771504  4447506716875  +0.000927932  ‐0.003880942±  ‐          ∑  ‐81093012419  6446825158270    IV  3  0.15213  100  +0.05682  +9447036727  166266376407  +0.004616219  ‐0.008113506=  ‐  12  0.07234  100  +0.03918  +14647820114  373855131820  +0.004616219  ‐0.003880942=  +0.004839216 m   13  0.15670  100  ‐0.05767  ‐9283511284  160988384923  +0.004616219  ‐  ‐  14  0.85115  100  ‐0.13439  ‐3420618983  25452059775  +0.004616219  ‐  ‐          ∑  +11390726575  726561952924    V  15  0.15557  200  +0.05746  +18646631658  324531867819  ‐0.004839216  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.02607  ‐23691170194  908819144474  ‐0.004839216  +0.000927932=  ‐  10  0.10980  100  ‐0.04827  ‐11451193122  237229669519  ‐0.004839216  +0.000927932=  ‐  11  0.17349  100  ‐0.06068  ‐8742571995  144087293667  ‐0.004839216  +0.003880942=  ‐  12  0.07234  100  ‐0.03918  ‐14647820114  373855131820  ‐0.004839216  +0.003880942=  ‐0.004616219±          ∑  ‐39886123768  1988523107300            ‐ 260 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 23:    Итерација 2    Табела. Наставак (итерација 2)  *  **  Q (m/s)  L (m)  Итерација 2 а Du (m)  F(D)  |F’(D)|/(‐4,82)  бПоправке пречника Δ 1 (m)  2 (m)  3 (m)  I  1  0.34116  100  +0.09320  +3781836527  40577597320  +0.001722536  ‐  ‐  2  0.10078  100  +0.05048  +7897671245  156460007164  +0.001722536  ‐0.001008987=  ‐  3  0.15213  100  ‐0.05332  ‐12831508872  240644649043  +0.001722536  ‐0.001449028±  ‐  4  0.92450  100  +0.14818  +2483406607  16759461902  +0.001722536  ‐  ‐            +1331405507  454441715429    II  5  0.19316  100  +0.06790  +6179001982  90994881938  +0.001008987  ‐  ‐  6  0.01409  200  +0.02025  +35968951462  1776672762703  +0.001008987  +0.001230265 m   ‐  11  0.17349  100  ‐0.06163  ‐8106571599  131528024312  +0.001008987  ‐0.000631727 m   ‐  12  0.07234  100  ‐0.04475  ‐7714612216  172374450123  +0.001008987  ‐0.001449028±  ‐0.000631727 m   2  0.10078  100  ‐0.05048  ‐7897671245  156460007164  +0.001008987  ‐0.001722536±  ‐            +18429098385  2328030126240    III  7  0.09574  100  +0.04600  +11253959129  244640920267  ‐0.001230265  ‐  ‐  8  0.04852  100  +0.03302  +16160244696  489481804664  ‐0.001230265  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.02998  ‐12076695041  402833602636  ‐0.001230265  ‐0.000631727 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.05218  ‐7866033468  150742921638  ‐0.001230265  ‐0.000631727 m   ‐  6  0.01409  200  ‐0.02025  ‐35968951462  1776672762703  ‐0.001230265  ‐0.001008987±  ‐            ‐28497476146  3064372011907    IV  3  0.15213  100  +0.05332  +12831508872  240644649043  +0.001449028  ‐0.001722536=  ‐  12  0.07234  100  +0.04475  +7714612216  172374450123  +0.001449028  ‐0.001008987=  +0.000631727 m   13  0.15670  100  ‐0.05305  ‐13879434894  261631765359  +0.001449028  ‐  ‐  14  0.85115  100  ‐0.12978  ‐4048272506  31193739452  +0.001449028  ‐  ‐            +2618413688  705844603977    V  15  0.15557  200  +0.05262  +28495379307  541554019534  ‐0.000631727  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.02998  ‐12076695041  402833602636  ‐0.000631727  ‐0.001230265 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.05218  ‐7866033468  150742921638  ‐0.000631727  ‐0.001230265 m   ‐  11  0.17349  100  ‐0.06163  ‐8106571599  131528024312  ‐0.000631727  +0.001008987=  ‐  12  0.07234  100  ‐0.04475  ‐7714612216  172374450123  ‐0.000631727  +0.001008987=  ‐0.001449028±            ‐7268533017  1399033018243       Пр ил ог   ‐ 261 ‐    Наставак примера 23:    Итерација 3    Табела. Наставак (итерација 3)  *  **  Q (m/s)  L (m)  Итерација 3 а Du (m)  F(D)  |F’(D)|/(‐4,82)  бПоправке пречника Δ 1 (m)  2 (m)  3 (m)  I  1  0.34116  100  +0.09492  +3462320903  36475183373  +0.000336669  ‐  ‐  2  0.10078  100  +0.05119  +7381001226  144186086101  +0.000336669  ‐0.000669531=  ‐  3  0.15213  100  ‐0.05305  ‐13153543970  247956030333  +0.000336669  ‐0.000181595±  ‐  4  0.92450  100  +0.14990  +2348844555  15669210136  +0.000336669  ‐  ‐            +38622714  444286509944    II  5  0.19316  100  +0.06891  +5754971837  83509561832  +0.000669531  ‐  ‐  6  0.01409  200  +0.02248  +21693347679  964818957518  +0.000669531  +0.000149988 m   ‐  11  0.17349  100  ‐0.06126  ‐8350061496  136312986008  +0.000669531  ‐0.000196089 m   ‐  12  0.07234  100  ‐0.04583  ‐6882967605  150195474576  +0.000669531  ‐0.000181595±  ‐0.000196089 m   2  0.10078  100  ‐0.05119  ‐7381001226  144186086101  +0.000669531  ‐0.000336669±  ‐            +4834289190  1479023066035    III  7  0.09574  100  +0.04477  +12824789745  286448681144  ‐0.000149988  ‐  ‐  8  0.04852  100  +0.03178  +19406301860  610554040885  ‐0.000149988  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.03184  ‐9032601248  283675146378  ‐0.000149988  ‐0.000196089 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.05404  ‐6642977465  122918471717  ‐0.000149988  ‐0.000196089 m   ‐  6  0.01409  200  ‐0.02248  ‐21693347679  964818957518  ‐0.000149988  ‐0.000669531±  ‐            ‐5137834787  2268415297641    IV  3  0.15213  100  +0.05305  +13153543970  247956030333  +0.000181595  ‐0.000336669=  ‐  12  0.07234  100  +0.04583  +6882967605  150195474576  +0.000181595  ‐0.000669531=  +0.000196089 m   13  0.15670  100  ‐0.05160  ‐15861523577  307391041445  +0.000181595  ‐  ‐  14  0.85115  100  ‐0.12833  ‐4273401822  33300271862  +0.000181595  ‐  ‐            ‐98413824  738842818216    V  15  0.15557  200  +0.05199  +30203591289  580993935034  ‐0.000196089  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.03184  ‐9032601248  283675146378  ‐0.000196089  ‐0.000149988 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.05404  ‐6642977465  122918471717  ‐0.000196089  ‐0.000149988 m   ‐  11  0.17349  100  ‐0.06126  ‐8350061496  136312986008  ‐0.000196089  +0.000669531=  ‐  12  0.07234  100  ‐0.04583  ‐6882967605  150195474576  ‐0.000196089  +0.000669531=  ‐0.000181595±            ‐705016524  1274096013712            ‐ 262 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација      Наставак примера 23:    Итерација 4    Табела. Наставак (итерација 4)  *  **  Q (m/s)  L  (m)  Итерација 4 а Du (m)  F(D)  |F’(D)|/(‐4,82)  бПоправке пречника Δ 1 (m)  2 (m)  3 (m)  I  1  0.34116  100  +0.09526  +3403736940  35731276682  +0.000032647  ‐  ‐  2  0.10078  100  +0.05086  +7616775135  149765705056  +0.000032647  ‐0.000057701=  ‐  3  0.15213  100  ‐0.05289  ‐13340467850  252217015198  +0.000032647  ‐0.000021414±  ‐  4  0.92450  100  0.15024  +2323582737  15465952345  +0.000032647  ‐  ‐            +3626961  453179949281    II  5  0.19316  100  +0.06958  +5492928910  78940154393  +0.000057701  ‐  ‐  6  0.01409  200  +0.02330  +18255205369  783354399910  +0.000057701  +0.00001453 m   ‐  11  0.17349  100  ‐0.06078  ‐8668247407  142609509909  +0.000057701  ‐0.000010292 m   ‐  12  0.07234  100  ‐0.04553  ‐7098220813  155885338528  +0.000057701  ‐0.000021414±  ‐0.000010292 m   2  0.10078  100  ‐0.05086  ‐7616775135  149765705056  +0.000057701  ‐0.000032647±  ‐            +364890924  1310555107796    III  7  0.09574  100  +0.04462  +13033910484  292098057047  ‐0.000014530  ‐  ‐  8  0.04852  100  +0.03163  +19853825274  627595409132  ‐0.000014530  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.03219  ‐8574008958  266377530589  ‐0.000014530  ‐0.000010292 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.05439  ‐6441703904  118435780826  ‐0.000014530  ‐0.000010292 m   ‐  6  0.01409  200  ‐0.02330  ‐18255205369  783354399910  ‐0.000014530  ‐0.000057701±  ‐            ‐383182473  2087861177504    IV  3  0.15213  100  +0.05289  +13340467850  252217015198  +0.000021414  ‐0.000032647=  ‐  12  0.07234  100  +0.04553  +7098220813  155885338528  +0.000021414  ‐0.000057701=  +0.000010292 m   13  0.15670  100  ‐0.05142  ‐16133357036  313763295750  +0.000021414  ‐  ‐  14  0.85115  100  ‐0.12815  ‐4302669580  33575851630  +0.000021414  ‐  ‐            +2662048  755441501107    V  15  0.15557  200  +0.05179  +30758796530  593914035315  ‐0.000010292  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.03219  ‐8574008958  266377530589  ‐0.000010292  ‐0.000014530 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.05439  ‐6441703904  118435780826  ‐0.000010292  ‐0.000014530 m   ‐  11  0.17349  100  ‐0.06078  ‐8668247407  142609509909  ‐0.000010292  +0.000057701=  ‐  12  0.07234  100  ‐0.04553  ‐7098220813  155885338528  ‐0.000010292  +0.000057701=  ‐0.000021414±            ‐23384552  1277222195168           Пр ил ог   ‐ 263 ‐    Наставак примера 23:    Итерација 5    Табела. Наставак (итерација 5)  *  **  Q (m/s)  L  (m)  Итерација 5 а Du (m)  F(D)  |F’(D)|/(‐4,82)  бПоправке пречника Δ 1 (m)  2 (m)  3 (m)  I  1  0.34116  100  +0.09529  +3398119866  35660089094  +0.000000213  ‐  ‐  2  0.10078  100  +0.05083  +7634886947  150195821589  +0.000000213  +0.000000383=  ‐  3  0.15213  100  ‐0.05288  ‐13354132710  252528997937  +0.000000213  +0.000000135±  ‐  4  0.92450  100  +0.15027  +2321150551  15446406968  +0.000000213  ‐  ‐            +24653  453831315589    II  5  0.19316  100  +0.06964  +5471026866  78560249650  +0.000000383  ‐  ‐  6  0.01409  200  +0.02338  +17984917926  769371308197  +0.000000383  +0.000000089 m   ‐  11  0.17349  100  ‐0.06074  ‐8700909476  143258602099  +0.000000383  +0.000000076 m   ‐  12  0.07234  100  ‐0.04551  ‐7117785316  156404287427  +0.000000383  +0.000000135±  ‐0.000000076 m   2  0.10078  100  ‐0.05083  ‐7634886947  150195821589  +0.000000383  +0.000000213±  ‐            +2363053  1297790268962    III  7  0.09574  100  +0.04461  +13054387174  292652249190  ‐0.000000089  ‐  ‐  8  0.04852  100  +0.03162  +19897838164  629275726035  ‐0.000000089  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.03221  ‐8542209647  265185081010  ‐0.000000089  +0.000000076 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.05441  ‐6427552468  118121686875  ‐0.000000089  +0.000000076 m   ‐  6  0.01409  200  ‐0.02338  ‐17984917926  769371308197  ‐0.000000089  +0.000000383±  ‐            ‐2454704  2074606051308    IV  3  0.15213  100  +0.05288  +13354132710  252528997937  +0.000000135  +0.000000213=  ‐  12  0.07234  100  +0.04551  +7117785316  156404287427  +0.000000135  +0.000000383=  +0.000000076 m   13  0.15670  100  ‐0.05140  ‐16165781277  314524872451  +0.000000135  ‐  ‐  14  0.85115  100  ‐0.12813  ‐4306136784  33608524006  +0.000000135  ‐  ‐            ‐36  757066681821    V  15  0.15557  200  +0.05178  +30788277170  594601436506  ‐0.000000076  ‐  ‐  9  0.03202  100  ‐0.03221  ‐8542209647  265185081010  ‐0.000000076  +0.000000089 m   ‐  10  0.10980  100  ‐0.05441  ‐6427552468  118121686875  ‐0.000000076  +0.000000089 m   ‐  11  0.17349  100  ‐0.06074  ‐8700909476  143258602099  ‐0.000000076  +0.000000383=  ‐  12  0.07234  100  ‐0.04551  ‐7117785316  156404287427  ‐0.000000076  +0.000000383=  ‐0.000000135±            ‐179738  1277571093917              ‐ 264 ‐ Дејан Бркић, Докторска дисертација        Наставак примера 23:    Објашњења уз табелу  *‐означава контуру,  **‐означава цев   а плус уколико се смер протока поклопи са замишљеним смером обиласка контуре  б Δ1 додаје се са супротним алгебарским знаком од прорачунатог, Δ2 и Δ3 се додају према правилима  приказаним у табели 5  в промена смера протока             Пр ил ог   265