q » a , Univerzitet u Beograclu M a š i n s k i f a k u 1 t e t u B e o g r a d u doktorska disertacija PRILOG DINAMIĆKOJ ANALIZI VIŠESLOJNIH ANIZOTROPNIH PLOČA Lela Vuković Beograd 1991. yHHBEPBMTETCKA EHBJIHOTEKA m m m w - w t M A ' d P ' S f # Mentor : doc. dr Zoran Bojanić Mašinski fakultet - Beograd Clanovi kom isije: prof. dr Tomislav Dragović Mašinski fakultet - Beograd prof. dr Ilija Krivošić Mašinski fakultet - Beograd prof. dr Velimir Simonović Mašinski fakultet - Beograd doc. dr Zlatko Petrovic Mašinski fakultet - Beograd D atum odbrane : D atum promocije : P R IL O G D IN A M IČ K O J A N A L IZ I V IŠ E S L O JN IH A N IZ O T R O P N IH P L O Č A Razm atraujem nelinearne ploče višeg reda istaknute su velike prednosti ovakve analize za višeslojne anizotropne strukture t.ipa ploče. Rešenja pomeranja ukazuju na prednosti analize višeg reda, jer do- bijena pomeranja opisuju kretanje ploče kao deformabilnog tela. Nelinearnim kinematskim relacijarna odredjene su deformacije i na osnovu linearnih konstitutivnih veza naponi. Naponi sa uvedenim ”me- djuslojevima" otvaraju mogućnost potpunijeg poznavanja naponskog stanja u višeslojnom lam inatu. Posmatrano je slobodno oscilovanje ploče i kretanje ploče pod dejstvom transverzalne harmonijske pri- nude. Za uspostavljen režim oscilovanja odredjene su sve karakteristike neophodne za dimenzionisanje struk tu ra ovog tipa. Konstrukcija višeslojnih anizotropnih struktura zahteva analiziranje velikog broja projektnih promen- Ijivih. Broj uslova, sa stanovišta teorije elastičnosti, iz kojili se odredjuju promenljive u klasičnom projektovanju, nije dovoljan. Način da se problem ograniči je formiranje dodatnih uslova. Uvodje- njem m etoda optimalnog projektovanja za zahtev minimalne mase izvedene su konstrukcije lam inata sa uslovima maksimalne nosivosti i nezavisno sa uslovima koji ograničavaju dinamičke karakteristike. R.ešavanjem problema ovim metodama, dobijene su optimalne projektne veličine lam inata. K lju č n e re č i : višeslojna anizotropna ploča. nelinearna teorija ploča višeg reda, "medjuslojevi" u lam inatu, slobodno oscilovanje višeslojne ploče, prinudno oscilovanje višeslojne ploče, projektne promenljive, optimalno projektovanje višeslojne strukture M U L T IL A Y E R E D A N IS O T R O P IC P L A T E D Y N A M IC A N A L Y S E S Nonii near higher order theory of piate are accepted to describe the advantage of this theory for multi- layered anisotropic structures. Displacement Solutions, as for three-dimensional body, are determ inate via higher order theory. W ith nonlinear kinematics relations the strains are solved and the stresses with linear constitutive relations. Stacking sequence with iuterface has spacial purpose in delamina- tion identification, because it gives more informations abont stress field in laminate. f ree vibrations and forced transversal st.eady state oscillations w ithout damping for annular piate are presented with displacements, strains and stresses which are prescribed as function of time. Amplitude stresses are very im portant for structure failure improvements. Multilayered anisotropic structure design requires the analysis of many design variables. Number of classica! contributions for the failure hypothesis in the theory of elasticity aren t sufficient. I h e problem is how to form some more contributions. 1 he optimal design method is included for required minimum mass with restrains for both failure criteria and for some dynamic behaviours. The Solutions with these methods are optimal design values for tlia t laminate. K ey w o rd s : multilayered anisotropic piate, nonlinear higher order piate theory, iuterface in lam inate, undam ped free vibration of multilayered piate, transversa! forced vibration of multilayered piate, design variables, opt imal m ultilayered struet ure design S A D R Ž A J 1. Uvod 2. Jednačine kretanja deformabilnog tela . . . . 3. Jednačine kretanja ploče ....................................... 3.1 CJeometrija ploče ........................................... 3.2 Nelinearna teorija ploča višeg reda . . . . 3.3 K onstitutivne relacije - slojić. sloj. laminat 3.J, Jednačine kretanja ....................................... 4. Prosto oslonjena pravougaona ploča opterećena konstantnim transverzalnim pritiskom . . . . 4.1 Rešenje jediiačina kretanja - poineranje 4.2 Deformacije i naponi u lam inatu . . . . 5. Slobodno oscilovanje prosto oslonjene ploče . . 6. Prinudno oscilovanje prosto oslonjene ploče . . 7. Dimenzionisanje prosto oslonjene ])loče . . . , 1.1 Formiranje Lagranžove funkcije i ograničenja u smislu maksimalne nosivosti . . . . 1.2 Formiranje Lagranžove funkcije i ograničenja dinamičkih karakteristika ..................... 8. Zaključak ............................................................ 9. L iteratura ............................................................ P r i 1 o g ............................................................ st.r. 3 7 11 11 12 14 18 25 25 34 38 43 47 48 51 53 60 - 2 - 1. U V O D U projektovanju lakih konstrukcija, posebno vazcluhoplovnili struktura, delormabilno telo obiika ploče zauzinia posebno mesto. Jedan je od osnovnili teorijskili modela šiioko primeujen u savi'emenoj inženjerskoj praksi. Razm atranje elem enata lakih s tiuk tiua od anizotropnog m aterijala pod transverzalnim dinamičkim opterećenjem u savremenim istraživanjim a zahteva povratak osnovnim modelima i njikovom rešavanju. Prva rešenja vezana za ovu oblast su razm atranje savijanja ploče i javljaju se u pr- voj polovini prošlog veka. Pomeranje prosto oslonjene četvorougaone ploče pod kon- stantnim transverzalnim opterećenjem po celoj ploči, pretpostavljeno je kao dvostruki beskonaean red. Prezentirao ga je L. NAVIER 1820. godine. Savijanje kružne ploče pod transver zalnim opterećenjem rešio je POISSON 1829. godine. Upotreba varijacionog pristupa resavanju problema teorije ploča može se vezati za drugu polovinu XIX veka. Formiranje jednačina kretanja i uočavanje uslova na granicam a ploče u deformacionoj potencijalnoj energiji ploče javlja se u radovima KlRCHHOFF-a 1877. godine. Njegovi savremenici lord KELVIN i P. G. TAIT objavljuju 1883. god. rad u kome razm atraju konkretne uslove na granicama analiziranjem sila, m om enata, pom eranja i rotacija. Ovakav pristup se može sm atrati početkom savremene teorije ploča, koja se do tada isključivo tretirala u okvirima teoiije elastičnosti. Pretpost av 1 janjem odredjenih veza pomeranja i deformacija, tj. kinematskili relacija, postavljane su hipoteze i iz njih su razvijane različite teorije ploča. Ovoxn prob- lemu poseban doprinos dao je von KARMAN 1910. god. On je predlagao relativno poredjenje veličina članova u kinematskim relacijama i poredjenje veličina članova sa nulom na osnovu geometrijskih pretpostavki o ponašanju ploče. Ovini načinoin se razdvaja teorija ploča na linearim i nelinearnu teoriju. Jednačine ravnoteže izotropne pravougaone ploče sa velikim ugibima u ovom smislu izveo je IF HENCKY 1930. god. iz potencijalne energije ploče. Kinematske relacije nelinearne teorije u poredjenju sa kinem atskim relacijama linearne teorije obično se geometrijski in terpretiraju poredje- njem veličine ugiba ploče sa debljinom ploče. Vrlo alirmisana hipoteza KIRCHHOFF- LOVE, koja je zasnovana na analogi j i sa teorijom savijanja grecla, razm atrana sa - 3 - stanovišta vou KARMAN-a, pripada nelinearnoj teoriji ploča i danas je široko prim enjena u proračunima tankozidnih struktura. U ovom perioclu nije razm atran uticaj detormacija transverzalnog smicanja, a to se može objasniti upotrebom izoti'opuih niaterijala u koiistrukcijaina toga doba. U potieba višeslojnih niaterijala za noseće elemente struk tu ra sledećili generacija uslovila je uvo- djenje smičućili unutrašnjili sila u razm atranje u periodu 1945.-1950. godine. U tom periodu transverzalno smicanje ploče razm atra se analogno ponašanju poprečnog pre- seka greda uvodjenjem faktora neravnoinernog strecliing"-a po poprečnom preseku i ova teorija poznata je kao teorija prvog reda. E. REISSNER 1945. god. uvodi ovaj l’aktor k = a MINDLIN 1951. god. k = ~ . Treba. naglasiti da rešenja ovili ploča prvog reda nisu zadovoljavala uslove na granicama graničnili površi ploče. Ovo nije bila posebna prepreka da se rešenja ove teorije prvog reda i do danas koristc u iiiženjciskoj piinu ni. U poslednje dve decenije u istraživaiijima struktura posebau akcenat je na pi iiiieiii anizotropnih niaterijala. Posebno se insistira na zahtevim a visoke nosivosti uz što veću uštedu u masi strukture. Zbog toga se pojavljuje dodatni specifičan zadatak projek- tovanja m aterijala od osnovnili anizotropnih tehnoloških celina. Ideja projektovanja takvih strukt ura uzrokovala je dalji razvoj teorije ploča. Pretpostavlja se da su rešenja. l)omeratija pronienljiva po debljini ploće i traži se ujihova što tačnija raspodela u celoj ploči. Problemi u kojima su pomeranja ovako pretpostavljena, pripadaju teoriji ploča višeg reda. Aualitička rešenja teorije višeg reda u linearnoj teoriji ploča prikazana su radoviuia J.N. REDDY-ja u periodu oko 1984. godine, odakle je i razvijen "uovi konačni eleinent“ sa uključenim transverzahiim smicanjem. U svojoj početnoj postavci olor- mljen je sa osrednjenim silania po debljini jrloče, što se svodilo na postavku teorije pi vog reda. Ubrzo se razvija i teorija višeg reda lielinearne ploče i A. BHIMARADDI objavljuje svoju doktorsku tezu u kojoj rešava. ovakvu prosto oslonjenu ploču sa opterećenjem u ravni ploče. Sve ove teorije razvijene su u oblasti IIOOK-ovog ponašanja materijala., ili sa lineam ini konstitutivnim relacijama. Analiza kretanja i odredjivanje diuamiekili karakteris! ika ploče datiraju sa kraja prošlog veka, tj. pojavom “THE THEORY OF SOUND AND VIBRATION“ 1877. godine od lord REYLEIGH-ja. Inače, pojam sopstvene frekvencije i modova oscilovanja poznat je iz antičkog doba, ali m atem atički model se formira tek u periodu "energetskog“ pristupa razm atranju kretanja, YT. RITZ rešava 1909. godine oscilovanje linearne izotropne - 4 - ploče sa slobodnim ivicam a, a tek 1950. gocl. D. YOUNG proširuje ovo rešenje i na druge uslove oslanjanja. Ovde treba istaći da \V. RITZ zasniva svoje rešenje na primeni varijacionih m etoda, ali kao aproksim acije rešenja. Varijacione metocle su do tada. korišćene za izvodjenje jednačina problema, a od tada se razvijaju posebni m atem atički koncepti kao što su linearna nezavisnost. ortogonalnost, linearne i bilinearne lorme fuukcija. B.G. GALERKIN 1933. god. generalizuje RITZ-ov m etod uvodjenjem težinskih l'unkcija. Od tada ove m etode ulaze u sva rešenja problem a teorije ploča i ljuski. Odredjivanje sopstvenih frekvencija anizotropnih višeslojnih ploča može se vezati za sedamdesete godine. M oraju se istaći radovi sa The Ohio S tate University, J.M. WHITNEY i A.W. LEISSA u okviru Air Force M aterials Laboratory, VVright-Patterson AFB. Sopstvene frekvencije su dobijene za heterogene anizotropiie pravougaone ploče u okviru linearne teorije "tankih" ploča. Pod ’'tankom “ pločoin u smislu von KAHMAN- a podrazum evaju se ploče gde su veze pomeranje-deformacija po KIRCHHOFt- LO\ E hipotezi. Razm atranje prinudnog oscilovanja sistema sa jednim i više stepeni slobode vezano je za dvadesete godine ovog veka. Rešenje oscilovanja izotropne plote, kao sistenia sa beskonačno stepeni slobode. pod dejstvom prinude da tira iz 1932. god. od . FLUGGE-a. R azm atrana je kružna uklještena ploča. Razvojem lakih legura otvara se velika mogućnost za razvoj letelica. čime ova oblast doživljava nagli i obimau razvoj, naročito iza II svetskog rata. Ovim istraživanjim a utem eljeua je nova naučna disci­ plina acrodasličnost. Opterećenja su kontiiiualna, promenljiva po intenzitetu i po vre- menu, pa se dalje formiraju posebni modeli i njiliova rešenja. Razvojem numeričkili metoda, posebno metode konačnih elem enata i njene prim ene u clinamičkim analizama, u poslednje vreme, istraživanja se vraća ju osnovnim modelima. Razlog je usavršavanje osnovnih ”elem enata“ i traženje rešenja sa sklopovima ”super-elemenata.“. 11 ovom raclu analizirana je višeslojna anizotropna ploča nelinearnom teorijom višeg reda pod dejstvom transverzalne harmonijske prinude. R azm atranje je podeljeno po glavama, tako da se odredjene tem atske celiae tre tiraju u svakoj od njih. U diugoj glavi prikazan je opšti metod form iranja jcdnačina kretanja čvrstog tela, kao tela sa beskonačno stepeni slobode. Korišćen je HAMILTON -ov princip i dat je način uvodjeiija konstitutivnih relacija i graničnih uslova u potencijalnu energiju čvrstog tela. Razm a­ tranje je u ovom radu ograničeno na tela sa linearnim vezam a napon - delormacija, pa j(> i funkcija napona korišćena u ovoj glavi linearna. Uvedeui uslovi ua granicama pii tre tiran ju čvrstog tela poštovani su u daljem radu bez posebuog naglašavanja, tako što je razm atranje ograničeno na vezaiia tela. Iz iznetog postupka sledi i obini primene varijacionog računa i sve potrebne m atem atičke translormacije koje se u daljem ladu koriste. U trećoj glavi formirane su jednačine kretanja ploče sa potpuno određjenim gianičnim uslovima. zadržavajući se na Dekartovom koordinatnom sistemu. U četvrtoj glavi izve- dena su analitička rešenja. tj. pom eranja ploče pod transverzalnim opterećenjem i problem je tre tiran kao petoparam etarski. Testiran je uticaj pojedinih kiutosti ploče na rešenja i tako dobijena rešenja poredjena su sa već poznatim. 1 oied toga, laz- m atrana su i nepotpuna rešenja ploče, tj. troparam etarski problem. Dobijeno je i analitičko rešenje za simetrično složen lam inat, a rešenja su poredjena sa rešenjima iz metode konačnih elem enata. U petoj glavi izvedene su sopstvene frekvencije i takodje poredjene sa poznatim rešenjima prosto oslonjenih ploča. U šestoj glavi tretiia.no je oscilovanje pod dejstvom liarmonijske prinude. Za odredjeni intenzitet i liek\enciju prinudnog dejstva, dobijene su deformacije i naponi u ploči. Na primeru je ilustrovana promena deiormacija i napona u jednoj tački ploče na izabranom intervalli za usvo- jen režim oscilovanja. U sedmoj gla\ i. uvodjenjem uslova ekstrem um a prikazana je moguenost konstrukcije o\-e ploće, tj. odredjivanje usvojenih projektnih promenlji- vih. Postavljena su ograničenja maksimalne nosivosti, nadjena rešenja i ograničenja dinamičkih karakteristika i nadjena rešenja. Na kraju rada dati su literatura i prilog sa razvijenim programima. Ovom prilikom želim da zahvalim svojim najbližim kolegama Vazduhoplovnotehničkog instituta, u Žarkovu na velikoj podršci. pomoći i razumevanju. Posebnu zahvalnost na stručnoj podršci i korisnim savetima dugujem mentoru Z. Bojaniću, docentu Mašinskog fakultetu u Beogradu, moje matiene škole. A U T O R 2. J E D N A Č IN E K R E T A N JA D E F O R M A B IL N O G TELA Posm atrajm o deformabilno telo proizvoljaog oblika zapremine I ograničeno kontuinom površi S. Neka je telo pocl dejstvom spoljnili sila, koje se u opštem slučaju mogu podeliti na one koje deluju po jedinici zapremine tela V' i na one koje deluju po konturi S i taj deo površi i ’ označimo S2- Pored toga. smatraće se da se svi procesi odvijaju bez gubitaka, ili da su adijabatski, čime je razm atranje ograničeno na probleme idealnih sistema. Jediiačiue kretanja deformabilnog tela odrediće se prinienom Hamiltonovog piincipa za neprekidne sisteme. 12 «*>1 L di = 0, b gtle je L Lagranžova fuukcija, koja je jednaka razlici kiuetičke i totaliie poteiu ijaliie energije tela, tj. L = /v - II. Totalna poteiicijalna energija tela II je zbir deformacione energije V i potencijalne energije spoljnih sila U\. Hamiltonov princip se može sada prikazati u obliku ^2 ' J 6[A' - (U + Ui)}dt = 0. (2 .D a Deformaciona energija iziažena tunkcijoin gustine delormacione energije A je U = jA(u* )clY za / = 1, ...3 (2.2) i' gde su u’j pom eranja pri delormaciji tela i », komponente pom eranja (tt, t>, te), a V zapremina elastičnog tela. Funkcija gustine deformacione energije A je € , , A = j (Tij(Sij)dSij za i. j = 1, -, 6 0 ako su •• 8 • pii čeinu se varirana trajektorija razlikuje od aktuelne a intervalli [/1 osim u početnom trenutku /1 i krajnjem 12. Prem a tome, uvedene varijacije tnn zadovoljavaju uslove i) tu i(xiJi) = 2) = 0 za svako x,- i ii) diii = 0 za svako t na domenu S1 , pi i čeniu se podrazumeva da u početnom trenutku /1 pom eranja ii,- ne postoje, pa su i u* = ai u posm atranom intervalu. Uočava se da su domeni Si i 62 poddomeni domenu S i to takvi da je zadovoljen identitet Si = S - S 2. Uslovi i) na. domenu Si su geometrijski granični uslovi, a uslovi koji su uvedeni u (2.3) na domenu S 2 su mehanički granični uslovi. Variranjem energija odredjenih izrazima (2.2),(2.3),(2.4) , Hamiltonov princip se može prikazati na sledeći naćin Oiii d « I n d i fntid\ ’ + / d( l/j, f> U, )(l\ (‘2.7) Da bi se iz uslova (2.7) odredile jednačine kretanja. potrebno je uvest.i konstitutivne relatije i kinematske relacije. Konstitutivne relacije naponi - defonnacije su °i = CUD’ ( 2 .8 ) gde su Cij elastične konstante, ili drugačijom notacijom npr. Crxx = C ‘l l 5 ;r;r + C ' l2-i/y + ( 13- ( + ( 15-J-- + ( IG^ry (Tyy = d'l2 r^.r + C22syy + CW.-.- + C24^y- + • • • (T-~ = ( '\zSrr + t + ■ • • (T.ry = Cl6?.,..r + C 2$Syy + CW.*J + ('46-y; + + C ^ S r y i kinematske relacije deformacije-pomeranja su ej = /(« ;) za. / = 1 ...... 3 j = 1 (2.9) - 9 - Zamenom uslova (2.8) i (2.9) u (2.7), Hamiltonov princip za deformabilno telo i uvedene uslove i) i ii) može se prikazati u konačnoni obliku 12 .. /.J [J I (TijfeijdV - J f ibuidV - J USuidS\dt = 0. ( 2 . 10). (i v G iupisanjem članova izraza (2.10) uz 6«, i njihovim izjednačavanjem sa nulom uz uslove na ,s'i, formirane su jednačine kietanja defomiabilnog tela. Ovako formirane jednačiue kretanja izvedeue su za probleme kod kojili su sva pomeraiija takva da opisuju kietanjc posniatranog tela usled elastičnog deformisanja. - 10 - 3. JE D N A Č IN E K R E T A N JA P L O Č E U prethodnom poglavlju prikazan je postupak odrecljivanja jednačina kretanja čvistog tela zapremine V' ograničenog konturnom površi S. Da bi se prešlo 11a analizu ani- zotropne višeslojne ploče, uvešće se odredjene pretpostavke i ograničenja. Ova diskusija biće podeljena po sledećim poglavljima: ■L1 Gcomctrija pločc 5.2 Nelineavna tcorija ploča višeg reda 3.3 Konsliiutivne relacije - slojić.sloj.laminai 3..f Jednačine kretanja. 3.1 Geometrija pločt O o m e tr ija ploče. kao čvrstog tela. odredjena je sredujom ravni i?, konturnom ivicom G ravni R i gornjom i donjom površi G : c = h / ‘2 i D : z = - h / 2 (sl.3 .1 .1). Ograničavajući se na analizu f . I* V = Rx f<-h/2 h/2 ) ! t.ankih ploča proizvoljne debljine /?, razm atranje će se vezati za srednju ravan R. 3.2 Nelincarna teorija ploča višcg reda U pretlioclnoj glavi 2. uvedena su pomeranja ili u,v,w i izdiskutovano je uvodjenje kinem atskih relacija radi izvodjenja jednačina kretanja čvrstog tela. Kinematski uslovi za tankii ploču izvešće se iz opštili relacija delonnacija i pomeranja. Sm atraju ti cla. su deformacije sanio male veličine u smislu konstitutivnih relacija, komponente cletorma- cija su f du I r . du , . d v , * , dw ~.VX — e.OX -yy + j« i> + + i i 0 ,+ 0 ,+ 0 ’] ()W l r , d l l ~ , dc 'dz -y dz dv dw du du dv dv dw dw ' ~ dz + dy + dy dz + dy dz + dy dz (3.2.1) du dz dw + —--- hdx du du dv dv dw dw dx dz dx dz dx dz cxy du dv du du dv dv ~ dy dx dx dy dx dy dw dw dx dy Na osnovu geometrijskih karakteristika, koje su uvedene u poglavlju 3.L mogu se us- posta.viti odrecljeiie relacije izmedju veličina pojedinih članova u izrazima (3.2.1). Sma- traće se cla su dw du dv dx d x ' dx dw dv du dy d y ' dy dw dw dw dz < < dx ' dy pa su i proizvodi relativno malih relicina zanemarljivi dudu d v d v dw dw dy dz ' dy dz ' dy dz d u d u d v d v dw dw dx dz ' dx dz ’ dx dz dud u d v d v dw dw dx d y ' dx d y ' dx dy (3.2.2) t iz [6] i [8] razm atranje von Karnian - 12 - Ako se u izraze (3.2.1) uveclu relacije (3.2.2), veze deformacija i pom eranja mogu se prikazati du 1 , Ow, ' " = t o + 2 { t e ) cyy l , c)u = ^ + 2 ( Oy dw dy Ow ~-r: = TJ--- t VT"ch (>x du Ov Oy ^ Ox Ov €y: = 7h + du (3.2.3) Ove cleformacije nisu dobijene aproksimacijom pomoću redova, već analizom uzajamnili veličina nagiba i rotacija za uvedene geometrijske karakteristike, pri prelasku sa analize čvrstog tela na telo oblika ploče. Na osnovu toga sledi da će ova analiza biti nelineaina. Opredeljujući se za analizu ploča višeg reda [37]. u izraze za pretpostavljena pomeranja uvode se i članovi koji zavise od ;, pa se pomeranja u opštem slučaju mogu predstaviti kao funkcije dwp dxu(x, y, z, /) = uo(x,y, t ) + £u\ (x, y , t ) i’(.r, y, t) = v0(x, y, l ) + ^i’i(x, y , t ) — z dw , Oy (3.2.4) w(x, y, z , t ) = w0(x, y , i ) g d e je € = = (l- |j& > - Uvodjenjem nezavisnih funkcija «o.wi.ro. *’i i «'o analiza se svodi xra petodimenzioni problem, gde će se veličine koje eksplicitno zavise od r javljati kao param etarske u izrazima za pomeranja i cleformacije. Ako se izrazi (3.2.4) uvedu u (3.2.3), konačni oblik kinem atskih relacija je du o du i d2wp 1 , Owq . 7 ) 7 + ^7 ) 7 ~ : ćb-2 2 dx _ dvo _ 0~t(’o l , d»'o ~ £yy ~ ~dy + S dy ~ ~~ dy2 ‘2 1 Oy ’ -V = 0 ’i g d e je r = ^ s,.. = r » i (3.2.5) ~.rt/ d»o ćb’o . ći»i d i'i , a'o Owq Owq Hy + ~dx Oy + dx * dxdy Ox dy ' - 13 - S obzirom da su komponente deformacija izvedene iz pretpostavljenih fuukcija pomera- nja , treba liaglasiti da su samim tim zadovoljeni i uslovi kompatibilnosti deformacija. U daljem radii koristiće se oznake za pisanje deformacija ey, pri čemu se podrazumeva da su to komponente vektora detonnacije s ^ r i ^ y y * £ r y i odiedjene su iziazima (3.2.o). 3.3 Konslitutivne relacije - slojić.sloj.laminal U prethodnom poglavlju 3.2 uspostavljene su relacije izmedju pom eranja i deformacija za proizvoljnu ploču. Elastične karakteristike. pomocu kojih se uspostavljaju lelacije izmedju napona i deformacija. ili konstitutivne relacije, izdiskutovace se uvodjenjem odredjenih pretpostavki. Smatraće se da posm atrana ploča sledi Hukov zakon, što podrazumeva da su komponente napona linearne lunkcije kom ponenata deformacija. Pored toga, ploča se sm atra diskretno liomogenom, sastavljenom od slojeva razlicitih elastičnili osobina. Slojevi su formirani slaganjem slojića istih elastičnili osobina (sl. 3 .3 .1 ). Usvojiće se da su slojići ortotropni, što znači da kroz svaku tačku slojića prolaze tri medjusobno normalne ravni elastične simetrije. - 14 - U teoriji kompozitnih niaterijala slojići sa ovakviin kaiakteristikam a nazivaju se unidi- rekcioni. Na osnovu uvedenih pretpostavki m atrica elastičnih konstanti za slojić u kooiclinatnoin sistemu (1,2) sa (sl. 3.3.2) svocli se na / Q u Q 12 U u 0 0 \ Q 12 Q-12 0 0 0 u u 0 0 0 Q 44 0 0 Qr, 5 0 V Qfji5 / ali se u konstitutivnim relacijama — O 1 ^1 ') s i J17 > — d i j - (3.3.2) Članovi m atrice elastičnih konstanti izraženi inženjerskim konstantam a mogu se prikazati kao Q u — E 1 Q44 — (1 — //12^21 -r 23 Q 22 — En Q55 = <-»13 1 — U\nVn\ Ql2 — 121 nEn Qi36 ~ '^ ’ 12 1 — V\lVn\ - 15 - 11Z dopunske veze F-jvn = Eiu21. Uočava se da se za delinisanje ortotropnog slojiea mora poznavati šest inženjerskili konstanti. U slučaju da je slojić izotiopan, m atiica elasticnih konstanti je ista kao i za ortotropan, a članovi m atrice elasticnih konstanti su p Q n = = Q 11 = Q n O ss = G Q i :< = \~~„i Oss = G i potrebno je poznavati dve inženjerske konstante. E 2(1 + v) sl. 3.3.3 Poi-ed ovili elasticnih karakteristika slojiea i njegove debljine t, ostale unutrašnje karak- teristike pripadaju mikromehaničkim osobinama. U ovoj analizi koriste se sanio uve- dene makromehaničke osobine. Sve usvojene elastične karakteristike odredjene su u koordinatnom sistemu (1.2) i treba ili prevesti u koordinatni sistem ploče (x.y) (sl. 3.3.2). Nakon transform acija konstitu- tivnili relacija iz sistem a (1.2) u sistem (x.y). izrazi (3.3.2) mogu se prikazati kao Cj = Qijzj 1(5 gcle se Qij može razdvojiti na Qjj i Qjj. Transformacija Qjj u Qjj data je u [10], a veza izmedju Qf. i Qf. j e _ / Q,),| cos2 0 + (?r>r> sin2 0 Q44 cos 0 snifl — Q5r, ros 0 sili 0 \ ~ ^ Q44 cos 0 siu 0 — Q55 cos 0 sili 0 Q44 sin" 0 + <^ 55 cos2 0 ) dok za izotropne slojiće važi QtJ - Qij. Pošto su do sada potpuno odredjene sve karak- teristike slojića, niože se pristupiti njihovom slaganju u slojeve. Broj slojića u jednom sloju je a(ifc), pri čemu je k redni broj sloja (sl. 3.3.1). U jednom sloju ugao orijentacije svih slojića je isti 0{k). Slojevi različitih orijentacija slažu se u lam inat ukupne debljine h. kao na (sl. 3.3.3 a) ). Na (sl. 3.3.3 b) ) prikazano je proizvoljno sla.ga.11je slojeva, ali sa postavljenim izotropnim ’medjusiojeviina.“ sa Q44 i Qr,5 , dovoljno tankim da ne utiču na veličinu elastičnih konstanti lam inata. Savremena istraživauja loma koinpozitnih m aterijala ukazuju da se posebna pažnja u projektovanju koinpozitnih struk tura mora posvetiti analizi interlam inarnih napoiia. Težnja ka visokonosecim strukturam a što nianje mase zaliteva. najrazličitija slaganja lam inata. Elastične i lomne karakteristike jednog slojića za definisane mikromehaiiičke osobine, sm atraju se poznatim. U lam inatu se verifikuje nosivost slojića, uključujući i napone transverzalnog smicanja. M edjutim, uočavanje pojave loma izmedju slojeva u eksperim entim a [31,32,35] ukazuje da proracun laminata sa slaganjem kao na sl.(3.3-3. a) ) ne obuhvata razm atranje ove pojave. Zbog toga, uveden je ' niedjusloj “ sa poseb- nim elastičnim karakteristikama. Iz radova [31,35] zaključuje se da to mogu biti osobine smole, ali i da zavise od uglova orijentacije sloja prethodnika 0(k — 1) i sloja sledbenika 0{k). Uticaj ovili osobina izdiskutovaee se u poglavlju 7.1. K onstitutivna relacija za proizvoljno složeni lam inat je / a , , . \ ( C n C 12 0 u C\e, \ ( Zrr \ Vyy (- 1 2 C 22 u 0 Cia eyy 17 y- — 0 0 ( 44 U 45 0 i h’o = u’o + ^l(’o (3.4.1) pri cemu (3.2.5) su uvedene varijaeije zadovoljavaju uslove i) i ii) iz 2.. Varijacije deform acija d , . 0 = ^r-fiuo + Ojl■ ax Se d du’o cht’o d. —— — $U>0 ax dr ax ax. „ , .. , 0 ,, dw0 , dii’o 0 ' yy = — 6r0 + ~d-y 9 y bw° d d Ct>ui (3.4.2) d d d diro d«’o d te™ = T“^(,o +Š7r-<’«i - 7Ty dy di/ di/ d.r dj' dj/ ter0+ d , c) ' d d ti’o d ti’o 0 + TT^,:0 -4- ^t;—^ l’l — -^(-Tr- + ~Tt— T T ^ Odx dx dx dy dy dx S obzirom da se u ovom radu razmatra ploča na koju deluje sarno transveizalno opterećenje po celoj površini, relacija (2.1) se m ože prikazati kao 12 r j [ J + Q ~ j ~ ^ u i ) d Y ]dt = o (3.4.3) 11 v gde su 6iii kom ponente uvedenih varijacija pom eranja (3.4.1), a de.j kom ponente vari- ranili deform acija (3.4.2). Uvodjenje varijacija pomeranja. i variranih deform acija u (3.4.3) prikazaee se po delovim a radi boljeg uvida u postupak izvodjenja 3.3. . a) Variranje potencijalne energije 3.. {.b) Variranje kinetičke energije - 18 - S.la) Uvodjenjem relacija (3.3.3) i (3.4.2) u deo (3.4.3) koji predstavlja totaluu potencijahiu energiju dolazi se do t J ((Trr&e.r.r + ^y y ^yy + ^yU^y: + ) + Cl6(f«#«’0 + ZS„6V! - ZSrrH ) + = % ?*w0 + ?** ^ W 0) + CvsUyyivo + ^yy^'i ~ ^ y y U ^ ) + + £ « r ^ u’o) + + ^.ry^l’1 - 1^ U’0 + £>y ^ * « ’o) ] + Cl2(fr.r^c0 + - ;£>,*( ^ «’0 + ?rr «’«) + C'22(fyy (^'o +e?yy^Ci - ^ ) + 6 W0 + Syy ^ 6 Wu) + Cn6(e,y6vo + & r96v 1 - + -T § f $«’0 + f r y ^ f ^ « ’o) + C'i6(£W*wo + ^ « ^ '1 - ;e « r* (^ ) + - ^ ^ “'0 + e" ^ ^ « !o) + CnG(Syy6uo + &yy6ui ~ !,,0 + * W0 ) + Cee(?*•!,*«0 + tryblii - - S x y H ^ ) + + £ * y l» t>wo) ]~ - { Cu ( ^ u o + ^ ^ « i + ( ^ + C ,2( ^ » o + « ^ w i + ( = ^ + C i « ( ^ w o + € ^ « i + ( - - ^ + ci6(V#uo+€fi5r/5ui + (:^ + C26(% ‘ # « 0 + € ^ « l + ( - S ^ + C e e ( ^ « o + sc + (- + (C'45£y- + C'55£.rr)£ ^ul + Ut rr dx 0u'n dx + f.rr% 75a )|,' t,'o) + Ut yxj dx d w i-, fj.r + CHxy dx dwn dx + £ r y ^ ) U l ' o ) + dS.rr Oy dun dx 2£jul <>y 0 w o dx + dtxy uy du’ o dx + £ry )*«’(>)- | za liuearne ploče u [11] i [19] (3.4.5) (3.4.6) - 19 - ('■ii (^ 6 v0 + £ ^ + (- 0 + € ^ « > 1 + (r C2fi( ^ 6 ! - o + Ć ^ * > ’i +(* t 'c6 ( "Ifi* A t’0 + £ A <’l + (* 92£.r.r + d»'ody2 #y tfy d2‘-vu + 9cuu fllt'nt)y2 0y tfy 03t ,ri + Og ,v u 0 »' nilyJ <>y <>y 91! , , + at.r.r a«'nOrOy fr.r oy 02 n » + flg y y it' ndrdy O.r " V * + l^,rytli-Oy a.r ay + 0‘ tCn'**■ 9ya )Au>o) + + 02«'ncyy 8y2 )At(’0) + + + F , „ .fen-~ J ,r dxdy )A«’o) + + 0JWnw yy d.rdy )Au’o) + + c Qjwjl iij-dy )(! }dV Sledeći uobičajen postupak u teoriji ploča, potrebno je definisati unutrasnje sile i mo­ lliente u smislu gornjeg izraza. Unutrasnje sile su h/2 h/2 h/2r = / cr.r.r f/-, J Ayy = / ayy^z ' i Aby = / - - .r ^ ^ fj 2 x 3 (3.4.7) (3.4.8) Uvodjenjem (3.3.3) i (3.2.5) na način (3.4.8) i podrazunievajući da su deformacije u lami- natu neprekidne, unutrašnje sile su npr. /i/2 V" = /A j-j- — / ^ .r.yd l -h / 2 1 r'k= Y l C>j J ei k=i Jtk~1 dz i inegraljenjem po c prem a (sl. 3.3.3) ^ r r — ^ ^ li [ ( -yi k = 1 1 / C*r2 \i 1 , *> 2 \ [~k - '1+1) + 2 1 -»* I Ui ~ ;*+l' \ -.' ya / .1 _ ~4 -t '•t+1' 3/j 2 mogu se prikazati za / = 1.2,6 A'V.r = A i ( * ) + Bu(*x ) - -j^Du(*2) Nyy = Anj(*) + Boi(* l ) — JT,Dii{*n) N-ry = di5i(*) + A i ( * l ) - 7 3 A i i (*2)- (3.4.9) - 20 - Unutrašuji momenti uvešće se kao npr. r.",- = / Z**'J-h/2 f l>/2 W'/2 4 = / zr- /1/2 4 ..3 (- — q p /i/2 *> fc/ /-/ , ( * 2 ) _4_ /j2 £ 3,4 +2 ) 4 4 4/y- =(.444 — E4 4 )*’i + (^45 — 77£ 45)«! A/f; = (d45 — ^7 £45 ) *71 + (-455 r £ 55) A/', = ^ £ ,li(*) + ^ £ l i ( * l ) - ^-[£1,4*2) A /;v = ^ D 2,-(*) + p £ « ( n ) - p C / 2 , 4 * 2 ) 4 / '.y =jr, /£■>;(*) + 1 ) - ^ jć 'i5 ,(*2 ) 4/ " r =(B\j - j^Du )(*) + (Eu — ^ E u H * i ) - ( ~ F U - ^ G « ) ( * a ) 1 4 4 16 M"„ =(B2i- ^£>2,)(*) + (£ 2 i- ^ £ 2 i) (* l) - (^ £ 2 i-^ G 2 i) (* 2 ) (3.4.10) yy M'Jy = ( f l 6i - A D fi,•)(*) + (£ , 4 16 8, - j ^Fei){*i ) - ( ^ £ 5,- - ^4 £ ,; ,) (+ 2 ) (*) = gde su s obzirom na (3.4.8) / ^ + \ / ( * i ) = I (* 2 ) = llvedene veličine d (j> fly , A j, £,j- £ j 1 Gij su krutosti lam inata i definisaće se na osnovu diskusije u poglavlju 4.4 i sa (sl. 3.3.1) i (sl.3.3.3). d.r ^ 2 d.r dvp I d w 0 dy 2 % fttin 1 Ofn 1 fltt'n dw() \ dy Čr O.r 0y Uu 1 dr0v\ fy J. iitlL+ ,2;r '0 = £ < $ ( - ' * - : k = l n Eu = £ < ? & (= * - ; *3+ i I-+1) b ,j — y^«! + < (A/.ry — i y (Myy - A/yy)]6(’i + r d + [dx 0a/ „ 1 &r dA/.ry ) + f ((>y dMyy OM.ry c)y dx )]^«’0 + r V fhln dtCn d . Owq Ow0■ ( ~ ^ .r .r H— rr~ d j ’ c)y “ A .,.y ) -f- " + —— A dx •TJ/J mogu se definisati i transverzalne sile Q.r dw r( t l I r.r dAI j y 0 »’CI . . ' " %, : --------- )- 2—-r—^ + -W-rNrr + Aj<9.r <7.r 0Myy 1 . P.U,. < ) . v dy dw0 + 2 " * + ~7^ 7 hyy + A'rj/- dicp d.V ’ ~ 9r d.v pa su uslovi na granici duž stranica pravougaone ploče za x = 0,a i y = 0,6 ir * = 0,a : A>,. m0; Nry, r0; M"r , « 1 ; A/"y, t’i; (2,, M’0; Mxr, y = 0,6 : Nxy, «0; A'yy, i'0; A/yy, i'i; A/'y. «i; Gy.«-’o; A/yy, • (3.4.13) - 22 - 3.J, b) Uvodjenjem varijacija pomeranja u,v ,w u deo (3.4.3) koji se odaosi na kinetičku energiju, varirana kinetička eneigija može se prikazati kao d rdu [— fnt + d i 1 di dv_ di 6v + —^-6w]diclV— d3u . d3t' (3.4.14) pri čemu je prvi integral u gonijem izrazu = 0 na grani cam a fi i 12 , što sledi direktno iz H am iltonovog principa. Ako se relacije (3.2.4) prikažu u razdvojenom obliku po ; 1 f ( z) i diferenciraju po vremenu biće d-u d-u0 d2«! d3u'0 4 :3 d-u ! W ~ dt- + ~ di3 dxdt 3 3 h- dt2 d2t’ _d~vo d - t’i d3«’o 4 :3 d2t'i (3.4.15) dr- ~ di3 + ' dr- dydt '1 3 /i2 d/2 d2 u’ d2 t('o ~dW = d/2 i ako se uvedu u relacije (3.4.14) uzim ajući u obzir (3.4.1), varirana kinetička eneig ija je potpuno odredjena preko varijacija pomeranja. Sve varijacije su sinhrone, a posebno će se prodiskutovat i i članovi na kojima sn uvedene granice n p i. /, d/2 d.c ,/r d.r d/2 d.rdt- gde se podrazum eva da važe relacije na osnovu osobina veza r = 0,« d2» df2 = 0 i t/ = 0,6 ćAr di2 rf a /f, ,/v 0. dJ » dxdt- bwdVdt (3.4.16) Integracijom po r, uvode se specifične m ase za diskretno anizotropne lam inate 11 Pl = P-, = i A wv* ' II S it z u k=l z l-=l fcs=l 1=1 Pa = 1 " 1 V - 7 (3.4.17 Iz razm atranja u glavi 2. o uslovim a i) i ii) i uslovu u t, varirana kinetička eneig ija m ože se prikazati po razdvojeuim varijacijama kom ponenata glavnih koordinata, Uvo- djenjem (3.4.17) u (3.4.14) sledi - 23 - 6K i rp dl U" , p , °1U1 _ ” 1 Qt2 + f9/2 fodf2 1 p ^ " l u I Š P4 ~W~](,U0+ 1 r)2iin 4 d2(ii +^ - £ p< ) y +(ft- ^ )(i F a3 ^ ) + (S P6~ P P5> l ^ Ul+ 16 d2 «i dxdi2 /l4 +[p i-^ F + /2( W2 flydf2 ' £ P« ^ * + + [(P2 - ^ P 4 ) ^ ? + (F 3 - > 5 ) ( ^ !’1 f d r 7. d2B„ , r, , + t e [ f t^ + Ps(“ /l2 Ć)3M’0 a/2 d3«’o, 16 % ^ ) + ( /,4Ph d r _ d* r0 , + dj;[P2i ^ + P3( ^ 2 fl2*-! _ ± p 5^ } + dxdi2 ' h2 di'2 1 d3 (IV dt- dydi :) ± P r ^ l } +h2 * dt2 J + + Pi~p-]bu'o}dxdy. dC- (3.4.18) G rupisanjem članova varirane potencijalne energije 3..) a) i varirane k in etk k e energije b) uz 6«o, «Bi, *i-o, «n i «B-o iz relacija (3.4.12) i (3.4.18) i izjeđnačavanjem tili članova sa nuloni, jednačine kretanja višeslojne anizotropne ploče su 6»o : tft’o : >^«1 : či’i : 6 u'o : d;V,, , dAVy _ p d2» 0 d2 »1. _ ,P ll'n d.r + d(/ 1 di- 2 d i2 d.rd/2 dA; dA'„_n/ + =Pl da- dy d2r0 d/2 + P2( - d2i’i d3«’o di’- L P h2i4 d/2 1 p , ? -1dgd/2; /i'2 dr- (3.4.19) dM'jx dx d M ^ dy - Mr; = (P2 1 P X " °i p Pa) d t2 + (P3 -- > 5)( d2« ! d<2 1(3 4 d2». + ( I Pn IPn ) d t2 d2 r idM" dM" i d2('0 + (P3 - 4 D „ dx , yy dy - M y. = (P2 ----- p \ — ~h'~ dt2 - , / 5 ) ( dt2 d2M, dxdi2 dydd2 )+ + (^P « 4 d2t>i /k p^ d.r' + 2 -d2M.*y dxdy + eH1M. + ? ^ N rr + 2d^ N dy dx d2 i(’0Ar„„ + p(x,y, i )ry + dy2 "yy dx ~ d/2 + 31 dt2 4 p ^ ’M , p ^ w o / P ^ P P ] + P1 d/2 • d3 ic0 4 d V d f^ d^ro djbu _ d3u>0 ftrdf* > h2 > d p ]+ dy Ps di2 + 3( di2 dydi2 D obijene jednačine kretanja (3.4.19) izvedene su za višeslojnu anizotropnu ploču, ili kao za čvrsto telo sa pet param etara kretanja. K retanje ploče potpuno je odredjeno ovim jednacinam a, uz uslove (3.4.13) i (3.4.16) na ivicam a plote. 4. P R O S T O O S L O N JE N A P R A V O U G A O N A P L O Č A O P T E R E Ć E N A K O N S T A N T - N IM T R A N S V E R Z A L N IM P R IT IS K O M Rešavanje jednačina kretanja (3.4.19) pripacla problemima rešavanja sistem a parcijalnih diferencijalnih jediiačina. U problemima teorije ploča rešenja se traže numeričnim m etodam a. N ajrasprostranjenija je metoda. konačnih elem enata, koja je i dobila ime po rešavanju problema čvrstih tela diskretizacijom na elemente, a danas je i pot prino usvojena n inženjerskoj primeni. U ovom radu, s obzirom na razm atranje nelinearne ploče višeg reda, reserija će se naci "analitićkim m etodam a“ i biće poredjena sa rešenjima klasične ploče, da bi se utvrdile prednosti ove ploče i njene osobine. Pod "analitičkim m etodam a“ podrazumeva se postupak u kome se pretpostavljaju tunkcije rešenja u obliku beskonačnih iedova, pa se rešavaujem odredjenih koeficijenata nalaze pomeranja. Ovakav piistup odgovara pristupu rešavanju konaenim elementima metodom pomeranja, uz uključivanje inter- polacionih polinoma [11,19]. .{.1 Rešenja jednačina krelanja - POMERANJA U ovoj gla.vi razm atranje je ograničeno na traženje rešenja za ploču pod transverzalm m konstantnim pritiskom p = /w m - Ograničavajući se na simetrične lam inate, iz lelacija (3.4.11) sledi da sn Bjj.Dij = U. pa se izrazi (3.4.9) 1 (3.4.IU) mogu prikazati Mr, = Ei,(*i) - ~Fu(*?) 'XX = Au(*) 4 ‘yy = d 2i(*) Myy — E'>i(*\ ) - J^F'2i(*2) 4 ' rj — Adit*) 4 /.r.r = Efji ( * 1 )1 ~ * *2^ • 'V - ' i r nepromenjeni iU"r = (Ei,- - ^E n)(* i) - (^ E ii ~ I^G u )(*2) Myy = (En - l) - ( j ^ F 2i - 2) M"y = (Em - ^ F m ) ( * i ) ~(^r,Fe,i - ^ G m ) ( * a)- (4.1.1) (4.1.2) - 25 - Postupak ”analitičkog“ rešavanja prvo će se ograničiti na specijalno ortotropne višestojne lam inate, što podrazumeva dalje pojeđnostavljenje izraza u relacijama (3.4.11), tj. ,416, j426,E 1«,£26,F i6,F26,Gie,6'ae = 0. M edjutim, zbog pokušaja nalaženja ”analitičkog“ rešenja i za opšte simetrične lam inate ovo razm atranje će se podeliti na 4.1.1 Laminnt - specijalno ortotropan 4.1.2 Laminat - simetričan. 4.1.1 Laminat - specijalno ortotropan Jednačine kretanja (3.4.19) mogu se piikazati uvodjenjem (4.1.1) i (4.1.2) uz konstitutivne relacije za specijaluu ortotropiju, u ovom obliku 6u0 fii’o d2 u„ . d2 u0 , d2 (’o dwodhro dw0 d2wp A n + W 66 M ~ y ( 12 dx d x > A n + dx y2 . Ow0 d2 w0 _+ TJ rr- (J412 + ,466) = 9 oy oxOy r)~ iin d2vn , d2 i’n , Ou'o d2 w0 . . , , du’o d 2 w0 1 ^ 0 , , + .4») + ^ + -rgrA« + « 7 ^ + ■<«> + ^ '4“ + chi'o d 2 ivo + -77— -rp r »422 - 9 oy c)y- j (' 8 16 4 4 + + £"(56 - ^2 £136 + j^ k ’ee) " *' 1 (-455 - - vl(^48 - d3u'° ,p ± F \ 93 Wo dx3 ( En h2 Fn dxd2y (£ 12 — ^ £ 1 2 + 2 (£ ee — , ,£ 6 6 ) ) — 0h (^12 - p £ l2 + j^O’l2 + £66 - ^£66 + (£*66 -^ 664" + ^ j G 66) + (£22 - ^ £ 2 2 + 2) - a 1 ( .4 4 5 y)2 £ 45) !’l ( d 44 /,2 ^ 44^ ~ ^F y <*> - P ' ” + 2(£- - - 9 ? (£22 - = U £«’o (£ (i 1 a*3t (£ ii P F u ) + Š ^ ( 2 ( F '56 /I2 F'56) + £ l2 /£ Fl2) + dx2d y (El 2 d3c\ — £12 + 2 ( £ 66 - £66)) + (£22 y;2 £ 22) cr lCg dx4 211 2 d4 »’p dx2dy‘ (4.1.1.1) (£12 + 2 £r, 13)_ d1 u’o £'22 P — 6 - 26 - Ako se rešenja sistema (3.4.19) pret post ave u obliku t i/0 = a J cos n sin /i + o2/ ' sin 2o + «3/ ” sin 2o cos 2/4 m = 04/ sin o cos /i -f «5/ ' sin '2/4 + (ief~ cos 2u sin 2/4 [i0 = a - f cos o sin /4 + f ls /“ sin 2o + «9/ ' sin 2a cos 2/4 (4.1.1.2) [>! = a 10/ sin o cos /4 + « n / 2 sin 2/4 + « 12/ ' sin 2a cos 2/4 «’o = / sino s in /4 gcle su o = ^ i /4 = iip i gde su n i 6 dužine stranica ploče, a. m,n = 1,2,3,- rešenje sistema se svodi na odredjivanje nepoznatih koeficijenata «1.....o12. Pored toga., sm atraće se da pretpostavljena pomeranja zadovoljavaju uslove (3.4.13). Uslovi (3.4.16) se nece razm atrati n ovoin poglavlju, jer su > «’o uvedeni samo kao f (x,y) . Ako se preko relacije (4.1 .1 .2) izraze deformacije (3.2.5) i sa (4.1.2) i (4.1.3) uveclu u (4.1 .1 .1 ) dolazi se do sistem a algebarskih jednačina giupisanjem uz 6u0,6v0,6uu 61-1 1 6w0, pa. po svakom od ovih i uz trigonometrijske članove cos o sin /4,sin 2o ,sin o cos /4,sin 2,/4, sin" o ,cos2 /4 itd. Koeficijenti « i,...,o i2 i / odredice se iz sistem a jed n ad n a clobijenih giupisanjem uz <*>no, «‘»eoA»i 1 6t>i. Ako se uveclu sledeća označavanja za pojedine članove u sistemu algebarskih jednačina ( E n - ^ F u ) = Q11 (E 12 - j ^ F 12) = Q 12 g (£22 — j F^-m ) = Q 22 g (E iis ~~ 86) = Qg6 (4.1.1.3) An + .4 ,3 1 3.8 ' — A 1 — — [Au + (.4i2 + 2.4,3,3 )«'] — 1 1 16 a — t [(-4i2 + 2.4,3s) + A22s*] = 4 2 s (.4 1 2 + .4 ,5 ,3 ) — AA .4 6,5 + .422s ' = A3 —(Q11 + 2Q,3,3S“ -f Qi2s' ) — 4 41 a — (Q i-) + ‘2Qnr, + Q22s~ ) — 4 4 2 I) rešenja tako formiranog sistema su: | iz [38] 27 « ! = « 4 = 0 1 7T . 4^1 o 2 n a _ ( _ _ s - 1) lb a .‘h i Or, i) i ;r ,412 i 1(5 b ^ .422 s2 06 =(V2A'i - Vi A's )/(A'3A'i - A-2) «3 = 4' i/A i — (A 2/A i )f/(3 (4.1.1.4) «8 =«11 = 0 aio =(1 4"2A A'i — 1 i 1A A 2) / (A A3A A’i — AA’j) 07 = 1 1 1 / A A 1 - (A A 2/ A A 1 )o10 lz relacija dobijenih grupisanjem uz Sw0 odrecljuje se i koeficijent, tj. am plituda f u smislu jednaeina (4.1.1.1) 3 f ^ [ ( Q n + (Q 12 + 2 Q 66)®2 )07 + ( (Q12 + 2Q 66)* + <5 22«3 ) « in - - - ( E n + 2 ( E V 2 + ‘2E66) s - + EQnsi )]+p/ {sm a sin i3) = 0. Radi jednostavnijeg pisanja uvode se i relacije l ’i = Q u + (Q 12 + 2Q66)s2 V2 = (Q 12 + 2Q66)« + Q22S3 la = En + 2(EU + 2Eee)*J + £ 22*4 VF = —V3 — a-\\ — «icb2- a U gornjim izrazima « i 6 su stranice ploče, a s = a/b je odnos stranica ploće. Oslaujajući se na Navijeovo rešenje [2], koiist a iit 11 i transverzalni pritisak ce se uvesti kao /> = p0 sino sm /i gae je po — ^ gde je t’i = 0 ' pomeranja dobijena (dement ima tipa tanka Ijuska , što je prikazano na slici 4.1 .1 . la)ib). Testiranje je uradjeno programom u Prilogu P .l. * OTUR O U0,u0=0 A u8,v0,u1, v1=0 □ MKE ■ tanka ljuska y z =0 srednjo rauan p 1 oce a) slaganje (98,0,98,0,90) ta) slaganje (0,98,0,90,0) sl. 4.1 .1 .1 Pomeranja su prikazana u karakterističnim tačkama, tako da se može zaključiti da se pom eranja u i v rnogu dobiti samo NTVR i njenom prvom aproksimacijom, tj. kada su m0< eo = 0. Poklapanje ili razlike u veličini pomeranja w dobijene N iV R i tankom ljuskom” su posledica slaganja. ali pomeranja dobijena zanemarivanjem u o, t’o, tivek daju manja pom eranja w. Zbog toga se ovakvi modeli ploča i nazivaju tanka plora . Velieine pom eranja poredjene su samo za srednju ravan. - 29 - Poređ prikazanih porecljenja, prikazaće se i poredjenje veličma ponierauja i neUuearne analize višeg reda u zavisnosti ocl pojediaih krutosti. Na slici -4.1.1. za l azličito slaganje specijalno ortotropnog laminata. biće izvršeno poredjenje pomeranja. da bi se odredio udeo pojedinih krutosti u ovoj metodi. Korišće primer kao i na (sl. 4.1.1.1). Testovi su uradjeni programom iz Priloga P.l. ll V W □ A O □ A O □ A O 6E-5 6 E- 5 7E-5 -0.36 -0.36 -0.40 13.63 13.63 13.91 ! 2E-4 2E-4 2E-4 -0.78 -0.78 -0.84 13.63 13.63 13.91 | 4E-4 4E-4 4E-4 -1.20 -1.20 -1.26 13.63 13.63 13.91 ! 5E-4 5E-4 j 5E-4 -1.41 -1.41 -1.47 13.63 13.63 13.91 1. 6E-4 6E-4 6E-4 -1.62 -1.62 -1.68 13.63 13.63 13.91 TE-4 TE-4 7E-4 -2.03 -2.03 -2.10 13.63 13.63— 13.91 SE-4 9E-4 i 9E-4 -2.46 -2.46 -2.53 13.63 13.63 13.91 tačka 32 ploče st. 4 .1,1.2 a ) u V W □ A O □ A 0 □ A O l.E-4 l.E-4 1 E-4 +0.17 +0.17 4-0.15 6.16 6.16 6.61 2.E-5 2.E-5 2.E-5 - 0.01 - 0.01 - 0 05 6.16 6.16 6.61 5.E-5 5.E-5 6.E-5 -0.20 -0.20 -0.24 6.16 6'16 6.61 1 9.E-5 9.E-5 1 E-4 -0.30 -0,30 -0.33 6.16 6.16 6.611--- ---- i l .E-4 1 E-4 L.E-4 -0.40 -0.40 7 0.4 3 6.16 6.16 6.61 1------- 1 2.E-4 2.E-4 2.E-4 -0.60 -0.60 -0.62 6.16 6.16 6.61 3.E-4 3 E-4 3.E-4 -0.75 -0.75 -0.82 6.10 6.16> 6.61 [ ok v iru 2 a )i 1)). veličina li je ist i tačka 32 ploče sl. 4 .1 .1.2 b) Pregledom velićina pomeranja po debljiui ploće u taćki 32. može se zakljuciti da su rezultati dobijeni sa svim ćlanovima krutosti NTVR i rezulatati dobijeni bez člauuva bez uočeae razlike. Pomeranja dobijena za G U, F U = 0 su veća. bez obzira na slaganje laminata. Prema tome. rešenja dobijena na ovaj način mogu se sm atrati kvalitativno zadovoljavajućim. a o veličinama tili rešenja može se diskutovati. U . 2 Lamiuat - siinetričan Na osnovu poredjenja veličina pomeranja sa sl.(4.1 . 1 .2 ). pomeranja dobijena zauemari- vanjem krutosti G,j i F u su bliska onima sa udelom svih krutosti. Zbog toga. može se potražiti i rešenje za opšte simetrićne laminate. Iz jednaćina kretanja (3.4.19). relacija (3.4.11) i uz uslov da su krutosti zane- marene. jednaćine kretanja simetrićnog laminata su duo : p 2u„ . , d-«n , 4bfo , dJ r„V—--77 -1 [ 1 + .. ^‘>16 ~T . o ■ •-» O /J.r- (tr(/.i/ c)y- o.i c)wn()~wo dit’o 0 u.o f, , d.u-od UQ . ,I --- :-----— ,4n + —— 7; z.Uifi— '4i*5+c).c p.i- d.r djfdy 4r t/- dw„d-u-„ , , du'o d-u'o, , , e>u-o^ .2«-o 4 dy d.r2 <+/-./// dt/- 31 (’H'ci : A u + ~ r (-‘lis + .4o«) + Aw + ^TV d ea + T r ^ *An + TT# d 22+d.r (hr dX2 dxdy Oy- + ^ + * . ) -f $ * £ ? * * + &r ćfcr2 dw0 d 2 w0 W j ^ A” + dx dxdy du'p d-u'o dy dxdy dx y2 « . . dir0 Ć>2u’0 , _ n2^26 + —----7TT- j -2 ~ Uf/J/ 0,1/- Č »1 » .(£ * « . - •<») + 2E'« + 0 £“ + - * • > + 1 ? E ,,+ + ^ % (£l2 + zr,5,5) + a 7 20 ^ “'"■Eii - ^ ^ - ( E i a + Eaa)-dx3 dxd2y d3 w0 d2xdy 3E i6 d3 iv o dy3 ^26 = 0 6t>i : 6 tt'. “ l( ^ ^55 - ^ 55) + ^ ll + 2£16 + ay2 ^ 66 + /,2 E45 ^ 45 } + " " £l6 +<9x,: ć)2ri ć)(!i r ćP wq j-, + d^dy { E l 2 + £nfl) + W ~ ~ d ^ En d3 u'o dxd-y (Ei o + Et}$)- d3K'O d’-xdy d3 u i 3 E l( d3 w o dy3 E'ie, — 0 d3 d ^ En + *dx2dy U1 E \(5 + r f (£~12 + 2£6g) + -t -t -^26 + x r £ i e + dxdy2 dy3 dx3 d3vi d3v\ „ d3t'i + „ (£*12 + 2£'(3g) + 3 „ — £-2<3 + “ ” 4"22 + dx 2 dy d4 w u d x2 dy2 dxdy2 dy3 [ ^ E „ + f)4 U'o c)4u'o (2jE7i2 + 4£’66) + 4 :2 “ 'rEia + 4 n^ E26 +dx3dy dxdy3 d4 u\ ~ d ¥ -£^22] + p — 0 Koristeći isti postupak rešavanja ovog sistema parcijalnih cliferencijalnih jednačina kao i u prethodnoj tački 4.1.1. nepoznati koeficijenti + 2“ * * » e.Tt =£*«7/ cos a sin /4 sy . = s*« io / sin o cos/4 (4.2.1) 0.32 1.33 -0.22 sl. 4.2.1 - 34 - a u ovoj analizi uzeće se u obzir samo prvi člaii, tj. m,n = 1. Za piikazane test primere u poglavlju 4.1 na (sl. 4.1.1.1) i (sl. 4.1.2.1) u izabranim tačkama na ploči, prikazaće se i deformacije dobijene ovom analizoin, na osnovu realizovanog program a u Prilogu P.2. Deformacije sii piikazane po debljini ploče na (sl. 4.2.1). Deformacije su neprekidne po debljini ploče, a prikazane su samo na osnovu dobijenili podataka u taekama na mestu dodira slojeva, gornjoj površi i donjoj površi ploče. Pomoću 1 i 11 taeaka izvršena je aproksimacija promene delormacija krivama drugog i trećeg reda. Na taj način nioguće je prikazati stvarne promene deformacija po debljini lam inata h neprekidnim krivama. Da bi se odredili liaponi prema relacijama (3.3.3). a na osnovu veza (3.4.7) i (3.4.1U), neće se vršiti sum iranje kao za (3 .4.1 1 ), već se pristupa odredjivanju napona u svakom sloju pojedinačno. Ovakav postupak je uobičajen u teoriji višeslojnih ploča [16,5,10.14]. Za ploču ovog tipa naponi u jednom sloju k- su ayy J - [č?]fc(*) + ~Ar[Q]a(*i ) - g j^[Q]k(*2), a-'-y / k ( Qa\ Q \ ( £y: VQ45 Q55 ) V -1-' (4.2.2) gde su (*).(*i) i (*2) odredjeni izrazima (3.4.8). Na (sl. 3.3.3) prikazana su slaganja lami­ n a ta bez "m edjuslojeva“ i sa ''m edjuslojevim a“. Za odredjivanje napona u lam inatu, s obzirom na ova dva tipa slaganja, razm atranje će se podeliti 11a 4.2.1 Laminat - bez "medjuslojeva “ 4.2.2 Lamina! - sa ”medjuslojevima 4.2.1 Laminat - bez "meiljuslojeva “ Za prikazana slaganja na. (sl. 4.1.1 a)) u tački 33 i 31 odredjeni su naponi u lam inatu prema izrazima (4.2.2) po slojevima i ovo je rea.lizova.no programom u Prilogu P.3. Naponi su odredjeni u taekam a :k i -jt+i ua mestu dodira suseclnih slojeva i pravom je interpolirana promena u jednom sloju. U taeki dodira dva susedna sloja postoji napon za sloj k i sloj k+ 1. Dobijeni naponi po debljini lam inata u svakom sloju prikazani su na (sl. 4.2.2). - 35 - Napoui su prikazani u karakterističnim tačkama x ,y ploče. Tačke su izabraue tako cla su date najveće vreduosti liapona i lijiliova promeiia po debljini h 0 90 90 0 I s l aganj e tacka 33 tacko 22 s i g n a y y s i gma_xy tacko 31 5 igma_yz sl. 4.2.2 4.2.2 Laminat - sa ” inedjuslojevima “ Na (sl. 3.3.3 b) prikazano je slaganje sa "medjuslojem". Debljina "m edjusloja" je At gde je A << 1 i u poredjenju sa debljinom slojića t je At << t . Da bi se odredili napoui u ” medj usio ju “, m oraju se poznavati inženjerske konstante ''m edjusloja“. Usvojiće se da su njegove karakteristike izotropne, što je prodiskutovano u poglavlju 3.3. Uvedene su inženjerske konstante E 1 2 /E - 4, G/G 1 3 = 2, E 1 1 /E 22 — 10i G1 2 /G 1 3 — 2 i G13 — G23? ®to isto važi i za prim er na (sl. 4.2.2). Uz ove karakteristike, preostaje da se analizira veličina A. Posm atrajući veličine kiu- tosti lanii nat a .4(j, Eih Fy i G'y bez ” medj usio jeva“ i poredeci ili sa velicmama krutosti sa " medj usio jeviina “, ne bi trebalo da postoje razlike. Na ovaj način eliminiše se uticaj krutosti "m edjusloja" na krutost lam inata i vodeći se ovim kriterijum om , nu- meričkim testiranjem usvojen je A = 0.01 (Prilog P.3). Na ovaj način direktno se utiče na ponašanje lam inata na dodirnim površima dva susedna sloja. Uvodeći "m edjusioj" sa odredjenim osobinama i sm atrajući da je "medj usio j “ površ beskonačno male debljme At, lanii nat se liiože realnije liiodelirati i tačuije cliiiieiizionisati. Veličine napona odredjuju se na gornjoj i clonjoj površi sloja i "medjusloja*4, pa se linearnom aproksimacijom prikazuju veličine napona po debljini sloja i m edjusloja . tacka 33 tacko 22 tocka 31 0 90 90 0 s laganje sigma_yy 3 i gmo_xy signa_yz sl. 4.2.3 Naponi dobijeni ovim postupkom, sa uvedenim “medjuslojevima44, a za vec korisćene test priinere na (sl.4.1.1.1), piikazani su- na (sl. 4.2.3) za taćku 33 i 31. Pri dimenzi- onisanju viseslojnih struktura potrebno je proveravati naponsko stanje u svakoj tački. Provera napona u slojevima se vrši po odredjenim liipotezam a loma [9], ali takav pristup zadovoljava sa stanovišta anizotropnosti m aterijala. Višeslojni m aterijali zahtevaju i dopunske provere, radi odredjivanja u ticaja slaganja. Izloženim pristupom , a u skladu sa istraživanjima u oblasti mehanike loma [35], mogu se izvršiti i piovere naponskog stan ja izmedju slojeva. - 37 - 5. S L O B O D N O O S C IL O V A N JE P R O S T O O S L O N J E N E P R A V O U G A O N E P L O C E Jednačine kretanja višeslojne anizotropne ploče (3.4.19), uz uslove na granicania (3.4.13) i (3.4.16), mogu se analizirati u smislu odnosa veli či na izvocla funkcija pomeiaiija, us- vajajući da su d~ua d2a i d2 eo d~i’i ~ W ' ~ W ' W ' di2 ’ i cla se članovi d3 ico d3iv o d4w0 dxdC-' dyOi’2' 0xn-dt2' mogu zanem ariti. U [26] je dat pregled sopstvenili frekveucijaza izotropne pravougaone ploče, različitog tipa. Prikazane su publikovane vrednosti sopstvenili frekvencija od 1921.god. do 1987.godine, koje su odredjene uzimanjem u obzir ovili člauova (5.1.1). U dosadašnjim dinaniičkim analizama anizotropnih ploča linearnom teorijom, zanemaieui su članovi (5.1.1). Ovo se poštovalo i pii traženju sopstvenili frekvencija razm atrane nelinearne ploče višeg reda. Jednačine kretanja su na osnovu uvedenili pretpostavki << d-wpdt2 d4 u’o dy-df (5.1.1) f>U 0 ■ fii’o '■ 6 u i : ćt-t : 6w0 : d. r + dy dNry + d^yydx dy dM'Jr- + d-K ,dydx °M ." - + d% A/,. = 0 dy UL - M„. = o d2M dx2 Oxdy d2M„ dy2 rr , d-M.ry <■' ‘"yy _ p ~r z o o. ' M..2 ~ 1 d1 w0 dt2 (5.1.2) Pretpostavljajući rešenja funkcija ponieranja kao i (4.1.1.2), pod uslovom da je anipli- tuda /(.r, y, 1) ponieranja «•„ za slučaj liarinonijskog oscilovanja data izrazom / = /uf'"0'. gde su m. n = 1,... brojevi polutalasa po pravcima x i y ploče, mogu se ochediti i nepoz- nati koeficijenti funkcija ponieranja. Veličine ovili koeficijenata, s obzirom na lešenja izvedena u glavi 4., prikazane su izrazima (4.1.1.5) za specijalno ortotropne i simetrićne lam inate. - 38 - U razm atranju sloboclnog oscilovanja ćvrstih tela uopšte, cilj je oclrecljivanje sop- stvenih frekvencija. Iz pretpostavljenih rešenja sledi da je broj sopstvenik frekvencija beskonacan, za uvedene m i n. Uvedeue veličine Vi, t 2, V3 i \ F u glavi 4. su sada V 1 = Q u i n 3 4- ( Q 1 2 + 2 Q 6 s )« m n ‘ I-, = (Q 12 4- ‘2Q<>c,)siu2n 4- Q22S3»3 (5.t .3) V3 = Eu m4 4- 2(£’i2 + 2F 66).rm3ir -f E^s4n4 V F = — V'3 — a-\ 1 — «iot 2-a Sopstvene frekvencije razm atrane višeslojne ploče su i funkcije su veličiua w, n — 1,2,.... kvekvencije ovakve ploče nianje su od fiekveiicija dobijenih teorijom klasičnih ploča, što se može uočiti iz relacija (5.1.3) na osnovu veličine VF. Ovakav zaključak je veoma važan, pre svega za razm atranje nosivosti u prisustvu prinude. Prinudno oscilovanje biee razm atrano posebno u glavi 6.. gde će se dalje analizirati nalažeuje dinamičkog laktora pojačanja na osnovu ovde odredjene najniže sopstvene frekvencije. Da bi se stekao uvicl u veličine ovako dobijenih sopstvenih frekvencija ploče, biće prikazane dobijene uporedne veličine za različite oblike ploče, slaganje, debljine slo- jeva i broj slojeva. t Poredjenje veličina sopstvenih frekvencija izvršiće se za sledeće primere programom iz Priloga P.4.: 5.a - kvaclratna ploča istog slaganja NTVR (nelinearna teorija višeg reda) i Kirchhoff-ova ploča (sl. 5.1.a) 5.b - pravougaona ploča istog slaganja N I V R i Kirchhoff-ova ploča (sl. o .l.b ) 5.c - pravougaona ploča različitog slaganja N IV H (sl. 5.1.c) 5.d - pravougaona ploča istog slaganja različitih debljina slojeva (sl. o.l.c) 5.e - pravougaona ploča istog slaganja različitog broj a slojeva (sl. o .l.e), pri rem u su sopstvene frekvencije date po modovima, od prvog do petnaestog, za odgovarajuće brojeve polutalasa m, n duž x i y ose. - 39 - f iz [10],[15],[20],[21],[22],[23] i [24] sl. 5 .1 .a) A 100 V m u J q n t v f i u/'Kirc. i 1 H 0.4315E+03 0.247SE+04 i 2 2 1 0.943SE+03 0.537GE+04 i i 1 2 0.1418E+04 0.8073E+04 j 4 22 0.1740E+04 0.9001E+04 5 3» 0.1919E+04 0.1089E+05 6 3 2 0.2519E+04 0.1430E+05 7 1.3 0.3112E+04 0.1767E+05 8 4 i 0.3315E+04 0.1878E+05 9 23 0.3351E+04 0.1902E+05 10 4 = . 0.3793E+04 0.21 50E+05 11 3 3 0.3927E+04 0.2228E+05 12 4 3 0.4 90 8 E+04 0.2817E+05 1 13 Si 0.5121-E+04 0.2899E+Q6 i 14 i 4 0.5 4 04 E+04 0.3114E+05 15 S2 0.5528E+04 0.3131E+05 sl. 5.1 .b ) A 100 V n» a d »v«» N TV Fi w^Kirc i 1 11 0.3B23E+03 0.2854E+04 2 2 1 0.4335E+U3 0.36U1E+04 3 31 0.6289E+03 0.5057E+04 ! -i 4 1 0.9483E+03 0.7602E+04 5 1 2 0.1369E+04 0.1101E+05 6 Si 0.1383E+04 0.1107E+05 ! 7 22 0.1420E+04 0.U42E+05 ; 8 3 2 0.1535E+04 0.1233E+05 9 4 = 0.1744E+04 0.1400E+05 i 10 6 1 0.1926E+04 0.1540E+05 11 S2 0.2072E+04 0.1661E+05 : 12 6 2 0.2525E+04 0.2023E+05 !3 1 3 0.3070E+04 0.2463E+05 ! 14 2 3 0.3114E+04 0.249SE+05 ! 15i------- 33 0.3203E+04 0.2569E+05 40 - sl. o.L.c) 90 0 90 0 90 slaganje za ran TTTT i Is;> ::: f~+ ' £ M>>>ivljj II M slaganje za mln'1 m o d mn <» i » i •+ [ \ T V F t i L t 1 1 0 .3 5 23 E + 0 3 0 . 2 3 5 7 E + 0 3 2 2 1 31 ' 0 . 4 3 3 5 E + 0 3 0 .4 3 6 2 E + 03 3 3 1 l 3 ' 0 . 6 2 89 E + 0 3 0 .8 2 7 3 E + 0 3 4 4 i 34 0 . 9 4 8 3 E + 0 3 0 . S 4 0 0 E + U3 5 12 2 2 0 .1 3 6 9 E + 0 4 0 .9 4 76 E + 0 3 6 5‘ 3 3 0 .1 3 8 3 E + 04 0 .1 2 4 3 E + 0 4 7 32 4 ‘ 0 .1 4 20 E + 04 0 . 1 4 2 8 E + 0 4 8 -t» 4 3 0 .1 5 3 5 E + 0 4 0 . 1 7 5 0 E + 0 4 9 4 3 1 3 0 . 1 7 4 4 E + 04 0 . 1 8 3 1 E + 0 4 1 0 •5 i 3 3 Q .1 9 2 6 E + 0 4 0 .1 9 2 2 E + 04 1 1 «. 3 33 0 . 2 0 7 2 E + 0 4 0 2 1 3 G E + 0 4 12 62 31 0 .2 5 2 5 E + 04 0 . 2 1 9 1 E + 04 13 «3 s 3 0 .3 0 70 E + 04 0 .2 4 6 2 E + 04 14 3 3 ■43 0 . 3 1 1 4 E + 0 4 0 . 2 5 2 7 E + 04 1 5 33 <:> 1 0 . 3 2 0 3 E + 0 4 0 .3 1 2 6 E + 0 4 sl. o.l.d) 90 I a L 98 0 UH f s m 90 h 0 0 90 je za mn |X X t Q0 |*imk 5 I s i lagan slaganjE za m1n1 m o d m n ' » i » 1 -c' N T V R + 1 N T V R 1 t i i i 0 . 3 5 2 3 E + 0 3 0 .4 3 1 2 E + 0 3 2 21 21 0 .4 3 3 5 E + 0 3 0 . L 2 0 1 E + 0 4 3 , , 12 io.6 2 8 9 E + 0 3 0 . 1 2 0 5 E + 0 4 4 4 1 0.9 4 8 3 E + 03 0 . 1 7 3 8 E + U4 5 13 u 0 . 1 3 6 9 E + 0 4 0 . 2 5 7 9 E + 0 4 6 j l 1 3 0 . 1 3 8 3 E + 0 4 0 . 2 5 8 5 E + 0 4 7 2 3 + 2 0 . 1 4 2 0 E + 04 0 . 2 9 5 8 E + 0 4 8 3 3 3 3 0 . 1 5 3 5 E + 04 0 . 2 9 6 2 E + 0 4 9 ■4 3 3 3 0 . 1 7 4 4 E + 0 4 0 . 3 9 2 1 . E + 0 4 1 0 61 4 1 0 . 1 9 2 6 E + 0 4 0 . 4 5 2 7 E + 0 4 1 1 *»3 14 0.2 0 7 2 E + 0 '4 0 , 4 5 3 5 E + 0 4 1 2 62 4 3 0.2 52 5 E + 04 0 4 8 2 9 E + 04 1 3 t 3 3 4 0 . 3 0 7 0 E + 0 4 0 . 4 8 3 6 E + 0 4 1 4 2.3 43 0 . 3 1 1 4 E + 0 4 0 .5 5 8 3 E + 04 1 5 34 0 .3 2 O 3 E + O 4 0 . 5 5 8 7 E + 04 - 41 - sl. 5.1.e) 90 o 90 0 90 0 90 0 90 0 90 slaganje za mn slaganje za m1n1 <- 280 m od nui ,VTt 'R +1 ,VTVR 1 1 1 ( 5 .4 2 1 T E + 0 3 0 .4 70 < VE+ 0 3 2 3 1 31 0 .5 <56 2 E + 0 3 . 0 5 0 5 7 E + 03 3 .31 31 0 . Q 0 7 2 E + 0 3 0 . 7 T 7 S E + 0 3 4 4 » 4 1 0 . 1 4 4 3 E + 0 4 0 . 1 1 3 0 E + 0 4 5 13 S 1 0 . 1 6 1 9 E + 0 4 O .K 5 1 5 E + 0 4 6 33 1 3 0 . 1 T 0 3 E + 0 4 0 . 1 8 7 0 E + 0 4 7 33 33 0 . 1 9 0 4 E + 0 4 0 .1 9 3 0 E + 04 8 Sl 33 0 . 2 1 5 7 E + 0 4 0 .2 U 5 8 E + 0 4 9 43 «1 0 . 2 2 S 0 E + 0 4 0 . 2 2 2 6 E + 0 4 10 53 43 0 . 2 8 5 9 E + 0 4 0 . 2 2 S 6 E + 0 4 11 61 3 0 . 3 0 4 2 E + 0 4 0.2 <539 E + 0 4 12 1 3 «ia 0 . 3 6 2 S E + 0 4 D .3 1 3 2 E + 0 4 13 «ia ‘ 3 0 . 3 6 4 2 E + 0 4 0 4 2 0 4 E + 0 4 14 33 a 3 U . 3 6 9 6 E + 0 4 0 4 2 5 8 E + 0 4 15 4.S 0 . 3 8 4 2 E + 0 4 0 .4 3 0 I E + 0 4 Na osnovu prikazanih uporednih veličina frekvencija sa sl. 5.1.a) za kvadratau i sl. 5.1.b ) za pravougaonu ploču uoćava se da su Irekvencije dobijene N T \ R niže od onili koje su dobijene klasičnom teorijom. za iste oblike oscilovanja i dobijene iste odgo- varajuće niodove. Na sl. 5.1.c) prikazane su dobijene sopstvene frekvencije za isti broj slojeva. iste debljine ploče, ali za različito slaganje. Dobijeni su razlidti oblici oscilo- vanja i veličine sopstvenih frekvencija. Na sl. 5.1.d) prikazane su sopstvene frevencije ploče iste debljine. istog broj a slojeva. istih uglova orijentacije. ali razlid tih debljina slojeva. Oblici oscilovanja se razlikuju i treba uoćiti razliku u rastu velidna sopstvenih frekvencija. Na sl. 5.1.e) prikazane su velidne frekvencija za plodi iste debljine. ra- zlidtog broj a slojeva, a može se red istog slaganja, s obzirom da je laminat simet ličan. Oblici oscilovanja u prva četiri moda. se ne razlikuju. a i velidne frekvencija su dosta bliske. Svi ovi zaključci su veoma bitni u dinamičkoj analizi. s obzirom na \eliki bioj paia- metara koji utiču na veličine sopstvenih frekvencija, što je pokazano ovim primerima. Pored toga, analiza pojave "buckling"-a ploča direktno se može vezati za ove karak- teristike. pa će se i vreclnosti kritičnih sila za ploču NTVR znatno razlikovati od omh koje se dobijaju klasičnom teorijom. 42 C. P R I N U D N O O S C IL O V A N J E P R O S T O O S L O N J E N E P R A V O U G A O N E P L O Č E Jeclnaeine kretanja višeslojne anizotropne ploče (3.4.19) izveclene su iz Hamiltonovog principa, poclrazumevajući da je ploča pod dejstvoin sila koje im aju potencijal. U ovoj glavi razm atraee se rešenje funkcija pomeranja « 0, «i, i’o, t>i i w u prisustvu konzerva- tivne harmonijske prinude />. koja se može prikazati p(x, y, t ) = pQ(x, y)e'u1. (6.1) 11 analizi prinudnog oscilovanja posm atra se prelazni proces i proces uspostavljenog režima priinidnog oscilovanja. Pretpostavljajući da je najniža sopstvena lrekvencija wo posm atrane ploče veća ocl frevencije prinude w, ali da frekvencija prinude nije mala veličina, tj. f u>o ^ uv' i «u > u.1 ali nije u>o >> ^ partikularno rešenje funkcija pomeranja (4.1.1.5) se može pretpostaviti u istom obliku, ali tako da je am plituda funkcija pomeranja fP(x.y,t) = fmn{*',y)eiu" pri čemu funkcija w0(x,y) zaclovoljava jednacine sloboclnog oscilovanja (5.1.2). Opre- deljujuci se za oscilovanje u oblasti uspostavljenog režima prinudnog oscilovanja "steacly s ta te “, jeclnaeine prinudnog oscilovanja su 6 u0 ■ fii’o ■ 6 u i : 6vi : fiw : dN. dNr dx + dy 0Nxy +dx dy + W ydx dy t)M", dM",■ry + yy)x d 2M ,, ' dx- dy - Mr- = 6 My: = 0 ., M.ry Oxdy d y ’ + p ( x , y J ) = Pi d -w 0 dt2 ( 6 . 1) f razmatranje prelaznog i ustaljenog režima [15] Sleđeći postupak u [3], gdc jc izvccl y ) = ^ * d,„,) K’inn m ,n oo Po(x i y) = ^ P>nnwmn m,n Am„ = P,nn/(Q^;„„( 1 - 1 ) ) gde je »i,» = 1, wmn Ogianičavajući se na simetrične oblike oscilovanja, što je prirodno pretpostaviti za uvedenu prinudu i uspostavljcn režim oscilovaiija, am plituda fp može sc piikazat i U,'J uz ograničenje m,n = 1,3,5,... sl. 6.1 Deformacije £xx, eyy i sxy - 44 - Slecleći postupak rešavanja u glavi 4. oclredjuju se funkcije pom eranja u zavisnosti ocl pa dalje deformacije i naponi. Ovaj postupak je realizovan programom u Prilogu P.5 i na usvojenom prim eru lam inata složenog prema (sl. 5.1.a)), za dimenzije pravougaone ploče iz prethodnih prim era i pod dejstvom prinude p0 = 1 i frekvencije u = 20U, prikazaiie su promene deforinacija na (sl. 6.1) za tačku ploče (x,y) 33 sa (sl. 4.1.1.1) i z = h j2. Naponi za istu tačku prikazani su na (sl. 6.2). Proniene deformacija i napona u prikazanom intervalli promenljive t su za period oscilovanja koji odgovara frekvenciji prinude tv, što sledi iz iznete analize ustaljenog režima oscilovanja. Deformacije i naponi za višeslojne ploče su višedimenzione m at­ rice i prikazivanje rezultata predstavlja poseban problem. Zbog toga je uobičajeno ove veličine prikazivati grafički, uz pomoć podataka odredjenili u izabranim tačkama. Prikazane krive, koje predstavljaju harmonijske promene deformacija i napona, clo- bijene su linearnom aproksimacijom izmedju tačaka izabranog koraka t na intervalli jednog perioda. U strukturam a. koje se tre tira ju u okviru aeroelastičnosti, veliki praktični problemi se - 45 - javljaju i pri odredjivanju karakteristika primule. Običiio se paraiiietii piiuude pio- cenjuju iz eksperim enata ili empirijskim putem , ograničavanjem 11a moguće oblasti veličina prinude. Pored aerodiiiainičkih opterećenja, 11a letelicama se javljaju i drugi tipovi promenljivih opterećenja, koji ua pojedinim zonama deluju u kombinaciji sa aei'odiuainičkim opterećenjima. Takve zone je veonia teško dimenzionisati bez dopun- skili dinamičkih aualiza, S truktuie u tim zonama obično pripadaju tipu tankozidnih s tiuk tu ra , pa je neophodno poznavauje naponskog stanja i pri dejstvu promenljivog opterećenja, s obziiom 11a ujihove kriterijum e dimenzionisanja. Najveće (am plitudne) veličine pomeranja, deformacija i napona. su veće od ouili za statičko opterećenje. Zavisno od veličine faktora dinamičkog pojačaiija uvecavaju se pom eranja, a slede i promene deformacija i liapoiia. Poznavaiijem kaiakteiistika p ii­ uude, ovim načiuom se omogućava tačan uvid u naponsko stanje. Posebna pažnja se mora posvetiti analizi am plitudnili veličiua, naročito u pritisnutim zonama. - 46 - 7. D IM E N Z IO N IS A N .1 E P R O S T O O S L O N J E N E P L O Č E I’ prethodnom gla.va.ma 4.. 5. i 6. prezentirane su karakteristike ploče dobijene neli- nearnom teorijom viseg reda (NTVR). Priloženi su mnogi primeri iz kojih se uoeava kompleksnost problema projektovanja višeslojnih anizotropnih ploča. U ovoj glavi formirace se veza izmedju dobijenih karakteristika ovom metodom i karakteristika no- sivosti analiziraujem uvedenih konstitutivnih relacija. Pored toga, prisustvo prinude u konstrukcijama sa promenljivim opterećenjima, nameće razmišljanje o mogućnosti dos- tizanja odredjenih dinamickih karakteristika ploče pogodnim dimenzionisanjem. Pri postavljanju zahteva maksimaliie nosivosti koristiće se lomni napon, pri čemu posebnu pažnju treba posvetiti maksimalnoj nosivosti na clelaminaciju. Sve lomne karakteristike m aterijala uopšte, rezultat su velikog broja eksperiinenata. Za odredjivanje lonniih karakteristika. anizotropnih m aterijala, eksperimenti su bazirani na uniaksijalnom stanju napona. Tako izmerene karakteristike, uz pomoć hipoteza loma, koriste se za. proveni maksimaliie nosivosti za siaki sloj posebno. U savremenim istraživanjima mehanike loma velika pažnja se poklanja delaminaciji. U [30,31,32,33] iznet.i su mehanizmi ovakvog loma, pri čeniu je uočeno da se ona, kod višeslojnih lam inata, prvo javlja izmedju slojeva. Pored toga, zavisi od položaja medjusloja po koordinati ; lam inata ( sl. 3.3.3 ), od orijentacije susednili sloje\-a 0,- i (?i+i i od mehaničkili karakteristika ' m edjusloja'1. Nelinearna teorija viseg reda daje mogućnost razmatranja. napona transverzalnog smi- canja po debljini laminata. u svakom sloju. Time je jedan deo ovog problema rešen. M edjutim , uticaj slaganja s obzirom na flj i 0<+i ovakvim analizama se ne može pokazati. Zbog toga, u glavi 3. uveden je izotropan "m edjusloj", tako da se u njemu poznaje re- alno st.anje napona, koji se direktno poredi sa lomnim naponom delaminacije. Naponi transverzalnog smicanja najveći su po ivicama ploče, pa će se na tim mestima uvoditi i ograničenja u smislu maksimalnog napona delaminacije. Dimenzionisanjem višeslojne anizotropne ploče, za usvojene dimenzije stranica a i b pod odredjenim transverzalnim opterećenjem, sm atraće se odredjivanje potrebnog broja. slojeva a, brojeva slojića u jednom sloju «i- i orijentacije slojeva 0j-. D postupku klasičnog dimenzionisanja pretpostave se ove veličine, pa se vrši njiliova provera, ili se uspostavljanjem odredjenih relacija na osnovu praktičnog iskustva nalaze 47 - odgovarajuća rešenja. U projektovanju novili višeslojnili konstiukcija, mampuliše se velikim brojem promenljivih. Zbog toga je uobičajeno da se odredjen broj promenljivih eliminiše a priori i broj promenljivih svede 11a razuiimu liieru. Jedau od načina da se dimenzioniše ovakva ploča je da se postave odredjeni uslovi ekstrem alnosti, pa da rešenja. tako postavljenog problema budu tražene projektne promenljive. 7.1 Formiranje Lagranžove funkcije sa ograničenjima nosivosti Ukupna debljina višeslojne anizotropne ploče može se prikazati kao h = N l (7.1.1) pri čemu je t debljina slojića i predstavlja tehnološku konstantu , a A" = X > A- = 1 (7.1.2) za n ukupan broj slojeva u lam inatu i broj slojića u jednom sloju. Zahtev koji će se ovde postaviti je (N = T , Qk) (7.1.3) . A‘ = l mi n i predstavlja zahtev minimalne mase ploče [4‘2,43j. Potrebno je formirati i uslove pod kojima će se minimizirati (7.1.3). Pretpostavljajući da u svakom sloju postoji ravansko stanje napona, a prem a onome čime se raspolaže iz poglavlja 4.2, tj. naponim a ,p k < 1 ili A - 1 = 0 (7.1.4) su A y , ;, i S lomui liaponi u sloju h dobijeni za x, y pravce lam inata, 5 5 5 5 5 5 5 5 5 <*6 3 5 5 4 3 5 5 5 «7 4 1 2 4 5 3 2 2 4*8 1 1 0 1 1 1 1 1 U min 26 24 38 28 ‘ 28 28 26 26 Iz prikazanih rezultata dobijeuo je nmi„ = 24 i debljina. ploče je 246 Rešenje se pojavljuje za različita slaganja i dalja analiza je lieophodna. Ona se može sprovesti pregledom rezervnili faktora slojeva i postavljenih ograuičenja. Može se dozvoliti proračunski lom liekiin slojevima, pa se celokupna analiza ponavlja sa izmenjenim karakteristikama krutosti celog lam inata. Ova ideja je tre tirana u [32], ali za lam inate sa većim brojem slojeva, bez uticaja promene krutosti. - 50 - 7.2 Formiranje Lagranžove funkcije sa ograničtnjima dinamičkih karakterisiika Postavljen zalitev (7.1.3) minimiziraće se za uslov u»n < SI ili u>n — S2 < 0, (7.2.1) gde je wn najniža soptvena frekvencija, ili frekvencija. prvog mocla oscilovanja. Uslov da sopstvene frekvencije za dva susedna moda oscilovanja nisu bliske veličine, može se prikazati > R ili _ R > u. (7.2.2) Wraod=i+l Wmodasj + l Ovakvi uslovi su cesti u praksi i postavljaju se za strukture pod dejstvom prinude, a razdvajaju sopstvene frekvencije, pri cenni se pretpostavlja da se frekvencija spoljnih opterećenja poznaju. U razm atranje će se uzeti gornji uslovi kao uslovi tipa jednakosti. Lagranžova funkcija za neki n broj slojeva može se predstaviti na sledeći način C„ = N + \Au>l t - n ) + M Umo-d^ - - R ) . (7-2.3) Uslovi ekstrem uina Lagranžove funkcije su 9C„ daj 0 (>£, i dOj koji sa uvedenim ograničenjima tipa jednakosti 0, Wll_ f i = 0 i u;morf=i- - R = 0 (7.2.4) ^mod=i + l form iraju clovoljan broj algebarskih jednačina za odredjivanje rešenja projektnili pro- menljivih ak i 0t . Ove jednačine su nelinearne i rešavanje ovakvog sistema diskuto- va.no je u [43]. Postupak traženja optim alnih vreclnosti projektnili promenljivih niože se sprovesti i numeričkim metodam a, zaclovoljavanjem uslova (7.2.4) u predvidjenom konačnom rasponu projektnili promenljivih. U ovom slučaju postoji niogućnost uvo- djenja. uslova tipa nejednakosti uz odgovarajući smer traženja rešenja. Kao ilustracija ove m etode biće prikazano rešenje projektnili promenljivih q* i Qk za različite brojeve slojeva simetričnog lam inata, Izneti postupak realizovan je programom u Prilogu P.6. Na istom prim eru kao i u tackama 7.1.a) i J.l.b) za n = 4 sloja i n = 8 slojeva, rešenja će se prikazati tabelam a. K arakteristike ploče su iste kao i za. testove u 7.1. a traženi uslovi SU 0 > 190. i W,nod=l/Wmod=2 > 2.0. - 51 - 7.2. n) Veličine o k i Ok za n = 4 sloja slayan je 0,80, 90,0, 30,15, 15,30, 15,60, 30,60, 45,-45, -45,45, o 1 3 9 7 8 4 3 3 3 O o 15 7 14 15 15 15 15 15 <>8 15 7 14 15 15 15 15 15 o ,4 3 9 i 8 4 3 3 3 ^miti 3(3 32 42 4(3 38 36 36 36 7.2. b) Veličine a k i 0k za n = 8 slojeva slayan je 0,80/, 90,0/, 30,15/, 15,30/, 15,60/, 30,60/, 45,-45/, -45,45/, - 4 - - - 4 3 3 a 2 - 3 - - - 5 5 5 n 3 - 5 - - - 5 5 5 O4 - 5 - - - 5 5 5 <>5 - 5 - - - 5 5 5 n 6 - 5 - - - 5 5 5 07 - 3 - - - 5 5 5 0 8 - 4 - - - 4 3 3 H-min - 34 - - - 38 36 36 Iz prikazanih rešenja se vicli da za odredjene kombinacije uglova orijentacije 0k slojeva u razm atranom intervalli o*. nema rešenja za postavljene uslove. Ovo znači i da se odredjene osobine ne mogu dostići usvajanjem veličina jedne vrste, a promenom veličina druge vrste. Ovakve analize pripadaju problemima optimalnog projektovanja i ovde je razm atran zalitev minimalne mase. M edjntim, primenom meloda optimizacije ne m oraju se sanio donositi zaključci o dostignutoj masi ili ispunjenom postavljenom zahtevu, već one mogu poslužiti za odredjivanje pojedinih osobina. S obzirom da su kod višeslojnih m ater i j ala karakteristike krutosti zavisne od velikog broja veličina, mnoge osobine se unapred ne mogu predvideti. Zbog toga je pogodno koristiti metode optimizacije u samom projektovanju ovili m aterijala. nam etanjem uslova koje zahteva eksploatacija te strukture. - 52 - 8. Z A K L J U Č A K Razvoj teorije ploća uslovljen je razvojem i primenom višeslojnih anizotropnihm ateri- jala za noseće elemente strukture, posebno u savremenim vazduhoplovnim strukturam a. Prednost ovih m aterijala oglecla se u mogućnosti dostizanja. traženih osobina, visoke aosivosti i "dobrili" diaam ičkih karakteristika. Dragim rečinra, postoji mogućaost konstrukcije željeaog m aterijala. U savrenieaim vazduhoplovnim konstrukcijama takvi m aterijali se posebao prim eajuja za projektovaaje zoaa sa promealjivim opterećeajim a, gde spadaju uzgoaske površine i aopšte opstrujavaae površiae (spoljašnje i unutrašnje obloge uvodaika, naročito sekcije kombiaovaaili opterećeaja gde se javljaju i različiti promenljivi unutrašnji nadpritisci, apr. zoae iategralnih rezervoara i td .). Prim am ljiva upotreba ovakvih m aterijala donela je i maoge teškoće projektaatu . Klasičai metodi provera aosivosti zasaovaai aa osobiaama izotropaih m aterijala aisu davali zadovoljavajuće rezultate. Cesto sa u strukturam a uočavaae aeregularaosti, a oae se aisu mogle otkloaiti pogodaijim koastruktivaim rešeajima, jer se aisu mogli predvideti mehaaizmi pojave tih aeregularaosti. Zbog toga, pristupilo se tražeaju aovili teorijskih modela ploča, da bi se opisalo što realaije napoasko staaje u svakoj tački |)loče. Broj pozaatih rešeaja u klasičaoj teoriji za ploče od izotropnog m aterijala je ograničea na odredjeau klasu problema. Traženje rešeaja za anizotropnu višeslojau ploču nelinearnom teorijom višeg reda je veliki korak u razvoju teorije ploča. Uvo- djeaje varijacioaili m etoda u postupak rešavanja otvara aove mogućaosti, pa se ovim pristupom i dolazi do rešeaja u savremeaim aaalizam a ploča prvog i višeg reda. Di- m eazioaisaaje s truk tu ra pod dejstvoai promealjivih opterećeaja zaliteva posm atraaje k retaaja ploče kao deformabilaog tela, tj. razm atraaje aiodela deformabilaih tela u području elastodiaamike. U dragoj glavi razm atraao je dei’oraiabilao telo za koje sa odredjeai graaičai uslovi u smislu spoljaih sila i za koje su postavljena ograaičeaja pomeraaja. Jedaačiae kretaaja sa izvedeae prim eaom Ilamiltoa-ovog priacipa. Ograaičeaja pom eraaja su uvedeaa kao geometrijski uslovi. Poštovaaje uvedeaih početaih uslova svodi razm atraaje aa kretanje vezaaog deformabilaog tela. Pored toga, razm atraaje je ograaičeao aa tela koja pri deformisanju poštuju generalisaai Hukov zakoa, tj. na tela za koja važe linearne konstitutivne relacije. - 53 - II trećoj glavi aualiza je geometrijski ograničeua aa telo oblika ploče. Uveclena su pretpostavljena rešenja pomeranja u vidu kombinacije pet funkcija pom eranja i 11a taj način problem kretanja tela sa beskonaeno stepeni slobocle razm atran je kao petopara- metarski problem. Ivinematske relacije su zadržane lielinearne. K onstitutivne relacije su formirane 11a osnovu elem entarne telinološke celine slojića, a njihovim proizvoljnim slaganjem formirane su konstitutivne relacije višeslojuog anizotropnog m aterijala ploče - lam inata, Sprovedene su i neophodne ravanske traiisfonnacije iz koorclinatnog sis- t.eina slojića u koordinatni sistem lam inata, Postupak slaganja je izveden 11a dva načina, uobičajenim redjanjem slojića istog ugla orijentacije u slojeve i slojeva u lam inat, ali tako što je za drugi način uveden beskonačno tanak ’mecljusloj ’ izotropnih karak- teristika izmeclju slojeva. Ovako postavljen m edjusloj’ daje mogućnost odredjiva- nja napona transverzalnog smicanja u dodim im površima. slojeva. Uvodjenjem kiue- m atskih i konstitutivnih relacija i variranjem potencijalne i kinetičke energije ploče, izvedene su jednačiiie kretaiija. Pored toga, lonnirani su i svi potrebni uslovi aa giaai- cama i ivicania ploče, zadržavajući se u Dekartovom koordiaataom sistemu. II četvrtoj glavi pristupilo se tražeaju rešeaja jedaačiaa kretaaja. Rešeaje je traženo za pravougaoau prosto osloajeau pločn opterećeau koastaataiai traasverzalaim pri- tiskom. R azm atraaje se ograuičava saaio aa simetrične lam inate, čime se uvocle izvesaa uprošćeaja jedaačiaa kretaaja, Prvo se pristupa tražeaju rešeaja za. specijalao orto- tropae lam iaate. Fuakcije pom eraaja se pretpostavljaju u obliku liaeam ih kombiaacija dvostrukih beskonačnili redova, Rešeaja se nalaze odredjivanjem dvaaaest nezavisaih koeficijeaata i amplitude. Da bi se moglo suditi o kvalitetu ovako dobijeaih rešeaja izvršeai sa odredjeai testovi. Fonairaa je prograai kojim se sračunavaju pom eraaja u odredjeaim tačkama ploče za zadato opterećenje, slagaaje i debljiau slojića. Po­ m eraaja su račuaata za izvedeaa rešeaja aeliaearaom teorijom višeg reda (N 1 V R ), za rešenja gde su pomeranja aproksimirana sa tri fuakcije pom eraaja i za ploču koja aem a " s trec h ix ig O v a k o dobijeaa rešeaja pomeraaja poredjena su sa rešeajima dolxi- jeaim koaačaim elem eatim a tipa "tanka ljuska” . Poredjeaja su prikazaaa u izabraaim tačkam a u sredajoj ravni ploče. K oastatovaao je da su pom eraaja w dobijeaa NTVR blizu rešeaja MKE. S obzirom da su testovi radjeai aa "taakim " pločama, aisu uočene zaa tae razlike izmeclju pom eraaja NTVR i pom eraaja koja su dobijeaa kacla je rešeaje pretpostavljeao sa tri fuakcije pomeraaja, Pom eraaja u i v dobijeaa su NTVR i njenom prvom aproksimacijom, ali se aa osaovu ovili testova ae mogu cliskutovati dobijeae vredaosti ovili pomeranja, 54 Nelinearnom teorijom višeg reda uključem su i dodatm koeficijenti k iutosti ploče. Pošto su to veličine višeg retla. ocl onili u klasičnoj teoriji, istim programom je ispitau i udeo pojedinih krutosti na. dobijena rešenja. ponieranja. Ovim testovim a je konstatovano da se rešenja dobijena zanemarivanjem krutosti G'p ne razlikuju od kompletnih rešenja. Pored toga, uočeno je i da se rešenja dobijena. zanemarivanjem krutosti G,j i f ) j , bez obzira na izvesna odstupanja, takodje mogu sm atrati prihvatljivim. Na osno\u ovog zaključka otvorena je mogućnost za traženje "analitičkog’ resenja i za simetrične lami- nate. Na osnovu izvedenih rešenja formirau je program kojim su odredjena pomeranja za simetrićne lam inate. Dobijena pomeranja w u izabranim tačkam a ploče poredjena su sa pom eranjim a dobijenini elenrentom tanka ljiska i zaključeno je da se ovako dobijena rešenja mogu sm atrati zadovoljavajućim. U ovoj glavi su odredjene i de- formacije poštovanjem kineniatskili veza, a sračunate veličine defoimacija, iz lealizo- vanog programa, prikazane su za konkretan lam inat. Odredjivanje liapona tie tiiano je 11a dva liačina, tj. za slaganje lam inata bez medjuslojeva' i sa medjuslojevima . Ukljućivanje "niedjuslojeva" otvara mogućnost odredjivanja napona u njima, što je od posebnog značaja u razm atranju uaponskog stanja lam inata po ivicama struk tu ia oblika ploče. U petoj gla.vi razm atrano je slobodno oscilovanje prosto oslonjene ploče. l'oim iiane su jednačine kretanja iz opštih jednačina kretanja. Pretpostavljena su harmonijska rešenja i odredjene su sopstvene frekvencije. Programskim testiranjem odredjene su frekvencije za laininat iste debljine, ali sa različitim param etrim a slaganja. Testovi su uradjeni za specijalno ortotropan lam inat. Uočeno je da se najniža sopstvena frekven- cija razlikuje od najniže frekvencije dobijene klasičuom teorijom i da je uvek manja. Ovakav zaključak je veoma bitan za analizu kretanja u prisustvu prinude i posebno za analizu pojave 'buckling ’-a prosto oslonjenih višeslojnih ploča. tj šestoj glavi razm atrano je kretanje prosto oslonjene ploče u prisustvu harmonijske prinude. Formirane su jednaćine kretanja ploče koja je pod dejstvom transveizalnog opterećenja. Razm atrano je stanje uspostavljenog režima oscilovanja ili steacly state . Ograničavanjem na odredjenu oblast mogućih veličina faktora dinamičkog pojačanja, nadjena su rešenja pomeranja.. lz ovako odredjenih pomeranja odredjene su deformacije i naponi. Programskom realizacijom ovog postupka sračunate su deformacije i naponi u lam inatu. Zbog obimnosti podataka iz ove analize, promene cleformacija i napona po vremenu prikazane su za jeclnu tačku lam inata. Dobijene amplituclne viednosti deformacija i napona su veće od onili pri statičkom opterećenju. U seclmoj glavi pristupilo se konstrukciji višeslojne anizotropne ploee primenom uslova ekstrem alnosti. Zahtevana je minimalna masa ploče pod uslovom da su dimenzije ploee poznate. Tako je problem sveden na zahtev miiiimalne debljiue ploee. Uslovi su za ovaj problem ekstrem alnosti postavljeni u smislu ograničavanja maksimalnili napona i u smislu ograničavanja dinamičkih karakteristika ploee. Problemi sa ovako postav- ljenim uslovima odvojeno su posmatrani. Rešenja su odredjena liumerickim putem i za odredjene uvedene uslove prikazana su u radii tabelam a. Zbog velikog broja pro- jektnili promenljili koje se mogu tre tira ti u ovoj analizi, traženje rešenja. je ograničeno na odredjivanje samo broja slojića u jednom sloju, tj. u svim slojevima lam inata. Uslovi kojima. su uvedena dinamička ogranicenja u rešavanju problema ekstremalnosti nisu dali rešenja za izabrane uglove orijentacije. Ovakvim testovima je pokazano da se pri konstrukciji anizotropnih višeslojnih ploča neke karakteristike ne mogu dostici pos- m atranjem samo veličina jedne vrste, već da se problem mora rešavati kompleksnijim aiializama. Jedan od načina je i uvocljenje uslova ekstremalnosti, kao dodatnili uslova, pri konstrukciji višeslojnili anizotropnih nosaća. U analizi realnih struktura. nelinearnom teorijom višeg reda m oraju se dobro poznavati uslovi pod kojima su izvedena rešenja u ovom raclu. Modeliranje realnih lam inata u nosače tipa ploče. naroćito opštili simetričnih lam inata, zahteva ispitivanja kojima se mora ustanoviti da li se izvedena rešenja mogu prim eniti i sa kakvim ograničenjima. U dinamičkoj analizi istraživanja se mogu nastaviti razm atranjem prelaznog režima oscilovanja u istim podruejim a oclnosa frekvencije prinucle i sopstvene frekvencije. Raz- m atranje ovog stanja. u fazi climenzionisanja u okolini loma može uvesti odredjena ogranicenja, jer se do stanja uspostavljenog režima oscilovanja mogu javiti i veća ani- plitudna opterećenja. Korišćenje uslova ekstremalnosti u konstrukciji višeslojnih nosača predstavlja pose- ban doprinos u smislu uvodjenja dodatnili relacija, neoplioclnih za odredjivanje velikog broja projektnih promenljivih. Usloi i u ovakvim metoclama mogu se postaviti prema projektnim karakteristikam a, ali tako da se u cilju dostizanja postavljenog zahteva mogu dozvoliti i neki otkazi u strukturi. Pored toga, uslovi kojima se ograničavaju dinamičke karakteristike obično nisu saglasne sa postavljenim zahtevom, tako da je i pri resavanju ovaki ih problema ispravno uključivati metode optimalnog projektovanja. - 56 - 9. U T E R A T U R A 1. S. G'. Lekhnitski, Tlieory ol Elasticity of an Anisotropic Body, Englisli Transla- tion, Mir Publishers, 1981. 2. ,S'.P. Timoshenko. S. Woinowski - Krieger, Tlieory of Plates and Shells, McGraw- 11 ili, Second Edit ion 3. V. Novacki, Dinamika elastičnih sistema, Gradjevinska knjiga, Beograd 1966. 4. J. N. Redcly, Energy and Variational Methods in Applied Mechanics, ISBN 0- 471-89673-X. 1984. 5. J. E. Ashton. J. M. W hitney, Tlieory of Laminated Plates, Standard Book N° 87762-006-7, 1970. 6. A. E. H. Love, A Treatise on the M athematica! Tlieory of Elasticity, Eourth Edi- tion, Cambridge 1952. 7. C.A.AM CAPU YM Q H , TEOPUO AHUZOTPOdmiX ttJlACTllH, HA VKA’MOCKBA 1967 . 8. V. V . Novozhilov, Fonndations of the Nonlinear Tlieory of Elasticity. Graylock Press 1953. 9. J. J. B a n a u , Calcul de Structures en M ateriaux Composites, Ecole Nationale Superieure de PAeronautique et de PEspace 1983. 10. II. M. .Jones, Mechanics of Composite M aterials, ISBN 0-7-032790-4 11. K. Washiziu Variational Methods in Elasticity and Plasticity, ISBN 0-08-026723-8 12. J. IV. S. Rayleigh , The Tlieory of Sound, vol I First Edition 1877.,New York 1945. 13. C. Y. Chia, Nonlinear analysis of plates, McGraw-Hill Book Co., New York 1980. 14. J. S. Halpin, Prim er of Composite M aterials. Analysis, ISBN -87762-349X 1984. 15. S. P. Timoshenko, Vibrations of Plates and Shells, McGraww-Hill 1976. 16. E. Reissner. V. Stavsky, Bending and Streching of Certain Types of Heteroge- neous /Eolotropic Elastic Plates, Journal of Applied Mechanics, Sep. 1961. 17. J. M. Whitney. A. IV. Leissa, Analysis of Heterogeneous Anisotropic Plates, Jour­ nal of Applied Mechanics, June 1969. 18. A. IV. Leissa, Buckling of Composite Plates, Composite Structures 1983(51-56) 19. J. N. R eddy , A Refined Nonlinear Tlieory of Plates with Transverse Shear Delor- m ation, J. Solid Structures, vol 20,1984. pp 881-896 20. K. M. Liew .K .Y. Lam. A Rayleigh-Ritz Approach to Transverse Vibratiori of - 57 - Isotropic and Anisotropic Trapezoidal Plates Using Ortogonal P late Functions, J. Solid Structures, vol. 27,1988. pp 189-203 21. S. L. Lau. Y.K . C'heuug. S .Y . Wu, Nonliuear V ibration of Tliin Elastic Plates, P art I,II, Journal of Applied Mechanics, vol 51 1984. 22. A. Blrimaraddi, Nonlinear Vibration of In -Plane Loaded, Imperfect, Ortotropic Plates Using the Perturbation Techinique, J. Solid Structures, vol 25 1989. pp 563-575 23. B. BaliarJou, A.IV. Leissa, V ibration and Buckling of Generally Laminated Com­ posite P lates witli A rbitrary Edge Condition, vol 29 1986. 24. H. Hguyen , G.L. Ostiguy , Effect of Boundary Conclitions on the Dynamic Insta- bility and Non-Linear Responce of Rectangular Plates, part I,II Journal of Sound and Vibration, 133(3) 1989. 25. S. F. Ng , Y. Araar, Free Vibration and Buckling Analysis of Clamped Rectan­ gular Plates of Variable Thickness by the Galerkin Method, Journal of Sound and V ibration 135(2) 1989. 20. G. N. Weisensel. N atural Frequency Information for Circular and Annular Plates, Journal of Sound and Vibration 133(1) 1989. 27. V. Birman, L. Librescu, Supersonic F lu tter of Sliear Deformable Laminated Com­ posite Flat Panels, Journal of Sound and Vibration 139(2), 1990. 28. J. M. W hitney , The Effects of Boundary Conclitions on the Responce of Lami­ nated Composites, J. Composite M aterials, vol 4 1970. 29. P. Crosta. M. Farioli, M. M attaini, V. Wagner, Mechanica! Modelling and Non Destructive Inspection of Composite ” Fatigue ’ and "Static" Damages 13. Euro- pean Rotocraft Forum, Aries - France 1987. 30. S. Birgev. A. Moslionov. S. Kenig, Failure mechanisms of graphite-fabric epoxy composites subjectecl to flexural loading, Composites vol 20, Number 2, Maxell 1989. 31. Ve Lin, Characterization of delamination resistance in composite laminates, Com­ posites vol 20, Number 3, May 1989. 32. C. L. Chow , X. J. X ian , Fracture Behavior of Carbon/Epoxy Composites witli Darnage Considerat ion, Journal of Reinforced Plastics and Composites vol 8 1989. 33. S.S Wang, Edge Delamination in Angle-Ply Composite Laminates, AIAA Journal vol 22, Feb. 1984. 34. C. B ert, P. Francis, Composite Materia! Mechanics: Structura! Mechanics, AIAA 58 - .Journal vol 12, Number 9, Sep. 1974. 35. D. II. Morris. H. T. Iialin. Fracture Resistance Characterization of Graphit.e/Epoxy Composites, Composite M aterials. Testing and Design Fourtli Coulerence ASTM STP 017, American Society for Testing and M aterials 1977. 30. M.B. Snell, Strenght and elastic responce of symmetric angly-ply cfrp, Compos­ ites .July 1978. 37. A. Bhimaraddi, Static and Transient Responce ot Rectangular Flates, 1 liin- VValled Structures 5. 1987. pp 125-148 38. A. Bhhnaraddi, Nonlinear Flexural Vibration of Rectangular Flates Subjected to In-Plane Forces Using a New Shear Delormation Ilieory, Thin-YYallecl Structures 5, 1987. pp 809-327 39. A.D. Dimarogous. The Origins Of Vibration Theory, Journal of Sound and Vi­ bration 1990. (140) pp 181-189 40. jIV.J. Pagano. Stress Fields in Composite Laminat.es, AFM L-TR-7-114 41. L.M. Vuković. Analitička konstrukcija regulatira leta, Magistarski rad, Mašinski fakultet Beograd, 1984. 42. L.M. \ ’uković. Konstrukcija višeslojnili kompozitnih ploča, JDM C'l-10 1988. 43. L.M. Vuković, Konstrukcija dinamički opterećene višeslojne ploče, JDM Cl-29, 1990. - 59 - P R I L O G P R IL O G P .l st.rana 1 VAX FORTRAN V5.5-98 PROGRAM pomeranja c definisanje REAL, PARAMETAR,CHARACTER itd . c S - odnos stranica ploca c a - duza stranica ploce c b - kraca stranica ploce c T - debljina s lo jica (tehnolosa const.) c NN - ukupan broj s lo jica u lamiatu c ALFA(K) - broj s lo jica u K - tom sloju c TETA(K) - ugao izmedu sistema (x,y) i ( l,2 )j-s lo ja c A ij - clanovi matrice istezuce krutosti c E ij ,F i j ,G ij - clanovi matrice savojne krutosti c Q ij - clanovi matrice Q ij sloja u (1,2) j c QQ11(K) - clanovi matrice Q ij nad = f(teta(k)) c Q11PR - clanovi matrice Q ij - interface c ucitavanje podataka c E1,E2 - moduli e lasticnosti s lo jica u (1,2) c Q12,G23,G31 - moduli smicanja s lo jica u (1,2) c NI12,NI23,NI31 - Poasonovi koe fic ijen ti s lo jica u (1,2) c EEE,NI - moduo e lasticnosti "medjusloja" i P.koef. c G12PR,G23PR,G31PR - moduli k lizanja "medjusloja" c GGK,GK - interval t l, t2 i korak READ(1 ,'(1 5 ) ')N READ(1,' (5E15.5)’ )E1,E2,G12,NI12,NI21 READ(1,' (2E15.5)' )G31,G23 READ(1, ' (5E15.5) ' )EEE ,NI ,G12PR,G23PR,G3tlPR READ(1 , '(5E15.5)')T ,AVEL,BVEL,QO,0 READ(1 ,'(5E15.5 ) ')shear,xi,xp,yi,yp READ(1 , '(E15.5)' )delm DO 1=1,N READd, ’ (2I5,E15.5) ' ) ALFA( I ) ,TETA( I ) TETA(I) = ( 4 . *DATAN( 1 .DO )/180 . ) *TETA( I ) ENDDO READ(*,' (F10.0)' )GGK READ(*,' (F10.0)' )GK MMM=GGK/GK c odredivanje clanova Qij NI = 1. - NI12*NI21 Q ll = EI / NI Q12 = (NI12 * E2)/NI Q22 = E2 / NI Q66 = G12 Q44 = G23 Q55 = G31 c odredjivanje clanova Q ij - "medjusloj" Qijpr DO K=1,2 DO 1=1,6 DO J=1,6 Q(I,J ,K)=0. ENDDO ENDDO ENDDO Q(1,1,1) = EEE / (1. - NII‘ NII) Q(1,2,1) = NII*EEE / (1. - NII*NII) Q(2,1,1) = Q(1,2,1) Q(2,2,1) = Q(1,1,1) Q(4,4,2) = G23PR Q(5,5,2) = G31PR Q(6,6,1) = G12PR P R IL O G P .l st rana c odredjivanje koeficijenata krutosti u sistemu (x,y) DO K«1,N S - SIN (TETA(K) ) C = COS (TETA(K)) SS = S*S CC = C*C SSSS=SS‘ SS CCCC=CC*CC sc = s*c sccc= s*cc*c csss= c*ss*s scsc=ss*cc DO 1=1,6 DO J - l ,6 QQ(I,J,K) =0. QQQ(I,J,K)=0. ENDDO ENDDO QQ(1,1,K) = Q11*CCCC +2.*(Q12+2.*Q66)*SCSC + Q22*SSSS QQ(1,2,K) « (Q11+Q22-4.*Q66)*SCSC + Q12*(SSSS+CCCC) QQ(2,2,K) = Q11*SSSS + 2.*(Q12+2.*Q66)‘ SCSC + Q22*CCCC QQ(1,6,K) = + AA(1,6,1) = AA(2,2,1) + AA(2,6,1) = AP*(AA(4,4,2)-EED(4,4,2)) = AP*(AA(4,5,2)-EED(4,5,2)) = AP*(AA(5,5,2)-EED(5,5,2)) » EE(1,6,1) - EE(2,6,1) AA12/AA11 AY1 = A2CONST*(AA(l,l,l)+AA(l,6,l)+S*S*(AA(l,2,l)+2.*AA(6,6,l)+3.*AA(2,6,l) ) ) AY2 = A5CONST* (S*S*(AA( 2,2,1 )+AA(2,6,1) )+AA( 1,2,1 )+2.*AA( 2,6,1 )+3.*AA(1,6,1)) AAA6 = (AY2*AX1-AX3*AY1)/(AX4*AX1-AX3*AX2) AAA3 = (AY1/AX1) —(AX2/AX1) *AAA6 AXX1 = EA55+P11+S*S*P66+2.*S*E16 AXX2 * EA45+S*(P12+P66)+E16+S*S*E26 AXX3 - EA44+P66+S*S*P22+2.*S*E26 AYY1 = (1./AP1)*(PQ11+S*S*(PQ12+2.*PQ66))+(1./AP2)*(S*S*E26+3.*E16) AYY2 = (1 ./AP2 ) * (PQ12+2 . *PQ66+S*S*PQ22 ).+ (1 ./API) * (E16+3 . *S*S*E26 ) AAA10 = (AYY2*AXX1-AYY1*AXX2)/(AXX3*AXX1-AXX2*AXX2) AAA7 = (AYY1/AXX1) —(AXX2/AXX1) *AAA10 c Koeficijent amplitude w — f — VI = PQ11 + S*S*(PQ12+2.*PQ66) V2 = S*(PQ12+2.*PQ66) + PQ22*S*S*S V3 - E11+2.*(E12+2.*E66)*S*S+E22*(S**4) VF = (l./APl)*V3 - AAA7*V1 - AAA10*V2 FCONST » (16.*AVEL**3)/(3.14**5) FW1 - (FCONST/VF)*Q0 c Amplita f pod dajstvom promanljivog optaracanja za OLAM odradjano u prilog - P.5 c Funkcije pomeranja uo,vo ,u l,vl,wo c X(X) Y(I) ulaz - koordinate tacaka ploce DO 1=1,3 DO J=1,3 X = AVEL*X1(I ) Y = BVEL*Y1(J ) AL = X/AP1 BE = Y/AP2 SAL = SIN(AL) SBE = SIN(BE) CAL = COS(AL) CBE = COS(BE) SAL2 = SIN ( 2 . *AL) CAL2 = COS ( 2 . *AL) SBE2 = SIN(2.*BE) CBE2 = COS(2.*BE) U01 = FWW*(AAA2*SAL2+AAA3*SAL2*CBE2) V01 = FWW*(AAA5*SBE2+AAA6*CAL2*SBE2) U11(I,J) = FW* AAA7 * CAL* SBE V11(I,J) = FW*AAA10*SAL*CBE P R IL O G P .l straiia 5 WOX = ( FWO/AP1 ) *CAL*SBE WOY = ( FWO/AP2 ) *SAL*CBE U01X = 2 . * ( FWW/AP1) *CAL2 * (AAA2+AAA3 *CBE2 ) U11X •= -AAA7*(FW/AP1)*SAL*SBE vraxx - —( FW/AP1/AP1) *SAL*SBE V01Y - 2.*(FWW/AP2)*CBE2*(AAA5+AAA6*CAL2) VI1Y - -AAA10*(FW/AP2)*SAL*SBE WOYY = -(FW/AP2/AP2)*SAL*SBE UOIY - —2 . *AAA3 * ( FWW/AP2 ) *SAL2 *SBE2 V01X = - 2 .*AAA6 *(FWW/AP1 )*SAL2 *SBE2 U11Y " AAA7 *(FW/A P2 )*CAL*CBE V11X - AAA1 0 * ( FW/AP1 ) *CAL*CBE VTOXY = ( FW/AP1/ A P 2 ) *CAL*CBE DO K=1 , 2 *N- 1 SKSI = (4./H/H)*ZZ(K)*ZZ(K)*T*T DKSI(K) = SKSI*(ZZ(K)*T/3.) c 1. Pomeranja UO = U01+ZZ(K)*T*(Ull(I ,J )—WOX*COS(0*TT))—DKSI(K)*U ll(I , J ) VO = V01+ZZ(K)*T*(Vll(I ,J)-WOY*COS(0*TT))—DKSI(K)*V11(I , J ) WO ■ FW*SAL*SBE ENDDO ENDDO ENDDO ENNDO c 2. Pomeranja za U01,V01*0 c 3. Pomeranja za U01,V01,U11,V11«0 c Izlaz U0,V0,W0 P R IL O G P.2 straua 1 PROGRAM deformacije c - iz PROGRAMa pomeranja koriste se sve izracunate velic ine c i zadrzavaju se u istim petljama EXXO(I ,J ) EXX01(I , J ) EXX02(I,J) U0XX+(l./2. )*WOX*WOX*COS(2.*0*TT) U11X-W0XX U11X EYY0(I,J) EYY01(I ,J ) EYY02{I ,J ) V01Y+(1./2.)*W0Y*W0Y*COS(2.*0*TT) V11Y-W0YY V11Y EXYO(I , J ) EXY01(I , J) EXYO2{I ,J) U01Y+V0XX+W0X*W0Y*COS ( 2 . *0*TT) UXXY+VXXX—2.*W0XY UXXY+VXXX DO K=X,2*N-X c Deformacija exx EXXX = Z Z(K)*T * EXXO X(I ,J) EXX2 = -DKSI(K)*EXX02(I,J) EXX(I ,J ,K,MM_X) - EXXO{I ,J )+EXXX+EXX2 c Deformacija eyy EYY1 - ZZ(K)*T*EYYOX(I,J) EYY2 - -DKSI(K)*EYY02(I,J) EYY(I,J,K,MM_X) - EYYO(I ,J )+EYY1+EYY2 c Deformacija exy EXYl = ZZ(K)*T*EXYOX(I,J) EXY2 = -DKSI(K)*EXY02(I,J) EXY(I,J,K,MM_X) = EXY0(I,J)+EXYX+EXY2 c Deformacija exz,eyz ZSKSI(K) = X. - SKSI EXZ(X,J,K,MM_X) = ZSKSI(K)*UXX(I,J) EYZ(I,J,K,MM_X) = ZSKSI(K)*VXX(I ,J) c XzXaz c Prikazivanje deformacija u vidu l is te sracunatih velic ina c je nepregiedno, pa se uvodi grafika. P R IL O G P.3 strana 1 PROGRAM naponi c c c - iz PROGRAMa deformacije koriste se vec sracunate velic ine transforraacije matrice deformacija DO 1=1,6 DO M=1,3 DO Ml-1,3 E0(1,I,M,M1) =0. I epsilon!*) E01(1,I,M,M1)»0. I epsilon(*1) E02(1,I,M,M1)=0. 1 epsilon)*2) E0T(1,1,M,M1 )=0. ENDDO ENDDO ENDDO DO M=l,3 DO Ml=l,3 EO (1,1 ,M,M1 )=EXX0 (M,M1) EO (1,2 ,M,M1 )=EYY0 (M,M1) E 0 (1,6 , M, MI) =EXY0 (M, MI) E01(1,1,M,M1)=EXX01(M,M1) EOI (1,2 ,M,M1 )=EYY01 (M,M1) EOI (1,6 ,M,M1 )=EXY01 (M,M1) E02(1,1,M,M1)»EXX02(M,M1) E02 (1,2 ,M,M1 )=EYY02 (M,M1) E02 (1,6 ,M,M1 )=EXY02 (M,M1) E0T(1,4,M,M1)=V11(M,M1) E0T(1,5,M,M1)=UU(M,M1) ENDDO ENDDO Naponi u k_tom sloju DO M=1,3 DO Ml=l,3 DO J=l,6 DO K=l,2*N-2 DO L=l,2 SIGMA0(MM_1,J,K,L,M,M1)=0. SIGMA1(MM_1,J,K,L,M,M1)=0. SIGMA2(KM_1,J,K,L,M,M1)=0. SIGMAT(MM_1,J,K,L,M,M1)=0. SIGMA(MM_1,J,K,L,M,M1) =0. ENDDO ENDDO ENDDO ENDDO ENDDO DO M=1,3 DO Ml=l,3 DO K=1 ,N—1,2 DO L=1,2 DO J=l,6 DO 1=1,6 KK=K+L—1 KKK=( K+l) /2 SIGMA0(MM_1,J,K,L,M,M1)=SIGMA0(MM_1,J,K,L,M,M1) + * QQ(J,I,KKK)*E0(1,I,M,M1) SIGMA1(MM_1,J,K,L,M,M1)=SIGMA1(MM_1,J,K,L,M,M1) + * ZZ(KK)*T*QQ(J,I,KKK)*E01(1,I,M,M1) SIGMA2 (MM_1, J , K, L , M, MI) =S IGMA2 (MM_1, J , K, L , M, MI) * -DKSI(KK)*QQ(J,I,KKK)*E02(1,I,M,M1) SIGMAT(MM_l,J,K,L,M,m)=SIGMAT(MM_l,J,K,L,M,m) + * ZSKSI) KK) *QQQ( J, I , KKK) *E0T( 1,1 ,M,Ml) ENDDO SIGMA(MM_1,J,K,L,M,M1) =SIGMA(MM_1, J, K, L,M,Ml)+ SIGMAO (MM_1, J, * SIGMA1(MM_1,J,K,L,M,M1)+SIGHA2(MM_1,J, ENDDO ENDDO ENDDO ,L,M,M1) + ,L,M,M1) P R IL O G P.3 s i n u m 2 c c c DO K=N ,2 * N -2 , 2 DO L = l ,2 DO J = 1 ,6 DO 1= 1 , 6 KK=K+D-1 KKK»(K+2 ) / 2 SIGMA0 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 )»SIGMA0 (MM 1 , J , K , L,M,M1 ) + * Q Q ( J , I , K K K ) * E 0 ( 1 , I , M , M 1 ) S 1GMA1 (MM_1 , J , K , L , M, M I ) »SIGMA1 (MMJL, J , K , L , M, M I ) + * Z Z (K K )* T * Q Q ( J , I ,K K K )* E 0 1 ( 1 , 1 ,M,M1 ) SIGMA2 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 )»SIGMA2 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) * -D K S I ( K K ) * Q Q ( J , I , K K K ) * E 0 2 ( 1 , I , M , M 1 ) SIGMAT(MM_1 , J , K , L , M , M 1 )=SIGMAT(MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) + * Z S K S I (K K ) * Q Q Q (J , I ,K K K )* E 0T ( 1 , I , M , M 1 ) ENDDO SIGMA(MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) =SIGMA(MM_1 , J , K , L,M,M1 (+SIGMA0 (MM_1 , J , K, L,M,M1 ) + * SIGMA1 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 )+SIGMA2 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) ENDDO ENDDO ENDDO DO K=2 , N - 1 ,2 DO L = l ,2 DO J = 1 ,6 DO 1= 1 ,6 KK-K+L-1 SIGMA0 (MM 1 , J , K , L , M , M 1 )=SIGMA0 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) + * Q ( J , I , 1 )* E 0 ( 1 , I , M , M 1 ) SIGMA1 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 )«SIGMA1 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) + * Z Z ( K K ) * T * Q ( J , I , 1 )* E 0 1 ( 1 , I , M , M 1 ) SIGMM(MM_1 , J , K , L , M , M 1 )=SIGMA2 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) * - D K S I ( K K ) * Q ( J , I , 1 ) * E 0 2 ( 1 ,X,M,M1 ) SIGMAT (MM_1 , J , K, L , M, M I ) = SIGMAT (MM_1 , J , K , L , M, M I ) + ‘ Z S K S I ( K K ) * Q ( J , I , 2 )* E 0T ( 1 , I , M , M 1 ) ENDDO SIGMA(MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) =SIGMA(MM_1 , J , K ,L ,M ,M 1 )+SIGMA0 (MM_1 , J , K, L,M,M1 ) + * SIGMA1 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 )+SIGMA2 (MH_1 , J , K , L , M , M 1 ) ENDDO ENDDO ENDDO DO K = N + l ,2 * N -2 ,2 DO L = l ,2 DO J = 1 ,6 DO 1= 1 ,6 KK=K+L- 1 SIGMA0 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 )=SIGMA0 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) + * Q ( J , I , 1 ) * E 0 ( 1 ,X,M,M1 ) SIGMA1 (MM 1 , J , K , L , M , M 1 )=SIGMA1 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) + * Z Z ( K K ) * T * Q ( J , I , 1 ) * E 0 1 ( 1 , I , M , M 1 ) SIGMA2 (MM 1 , J , K , L , M , M 1 )=SIGMA2 (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) * - D K S I ( K K ) * Q ( J , I , 1 )* E 0 2 ( 1 , I , M , M 1 ) SIGMAT(MM_1 , J , K , L , M , M 1 )=SIGMAT(MM_1 , J , K , L,M,M1 ) + * ZSKSI(KK)*Q(J ,I ,2)*E0T(1,1,M,M1) ENDDO SIGMA(MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) =SIGMA(MM_1 , J , K , L , M , M 1 J+SIGMAO (MM_1 , J , K , L , M , M 1 ) + * S IG H A l( M M _ l , J ,K ,L ,M ,M l)+ S IG M A 2 ( m _ l , J , K , L , M , M l ) ENDDO ENDDO ENDDO ENDDO ENDDO I z l a z P r i k a z i v a n j e n a p o n a u l i s t i j e n e p r e g l e d n o , p a s e r e z u l t a t i p r i k a z u j u z a t a c k u p l o c e ( x , y ) p o z - k o o r d i n a t i l a m i n a t a g r a f i c k i . P R IL O G P.3 strana 3 c UVODJENJE "MEDJUSLOJA" d a b i s e e l i m i n i s a o u t i c a l " m e d j u s l o j a " , t e s t i r a n o bu v e l i c i n e c c l a n o v a m a t r . k r u t o s t i s a i b e z " m e d j u s l o j a " . c p o r e d i t i v e l i c i n e A i j , E i j , F i j i G i j c a ) ------ b e z " m e d j u s l o j e v a " ------ DO K=1 ,N ZZ ( K)*=—NN/ 2 . I F ( K .GT. 1 ) THEN DO J = 1 , K/ 2 Z Z (K )= Z Z (K )+ A L F A (J ) ENDDO ENDIF DO J = 1 ,N- 1 Z Z ( N + J ) = - Z Z ( N - J ) ENDDO c b ) ------ s a " m e d j u s l o j e v i m a " ------ DO K=1 ,N Z Z (K )= - N N / 2 . I F ( K .GT . 1 ) THEN DO J = l , K / 2 ZZ(K) - ZZ(K) + A L F A (J) ENDDO Z Z ( K)« Z Z ( K )+LAMBDA*JMOD( K , 2 ) ENDIF ENDDO DO J = 1 ,N- 1 Z Z ( N + J ) = - Z Z ( N - J ) ENDDO DO L = l ,6 DO M = l ,6 A A ( L ,M ,1 ) = 0 . A A (L ,M ,2 ) = 0 . E E ( L , M , 1 ) = 0 . E E ( L , M , 2 ) = 0 . , G G (L ,M )=0 . F F ( L , M ) = 0 . DO K = l , N / 2 KK=2 *K—1 A A (L ,M , l )« A A ( L ,M , l )+ A C O N S T * Q Q (L ,M ,K ) * (Z Z (K K )-Z Z (K K + l ) ) A A (L ,M ,2 ) - A A ( L , M ,2 )+ A C O N ST *Q Q Q (L ,M ,K )* (Z Z (K K )-Z Z (K K + l)) E E ( L ,M , l ) - E E ( L , M , l ) + E C O N * Q Q ( L ,M , K ) * ( Z Z ( K K ) * * 3- Z Z ( K K + l ) * * 3 ) E E ( L , M , 2 ) - E E ( L , M , 2 )+ ECO N*Q Q Q (L ,M ,K )*(ZZ (K K )*»3- Z Z ( K K + l ) * * 3 ) F F (L ,M ) -F F (L ,M ) + F C O N * Q Q (L ,M ,K )* (Z Z (K K )* * 5- Z Z ( K K + l ) * * 5 ) GG(L,M )«GG(L,M)+GCON*QQ(L,M ,K )* ( Z Z (K K )* *7—Z Z ( KK+1 ) * * 7 ) ENDDO DO K=2 , N - 1 ,2 A A (L ,M ,l )= A A (L ,M , l )+ A C O N S T * Q ( L ,M , 1 ) * ( ZZ (K ) - Z Z ( K + l ) ) A A ( L , M ,2 )= A A (L ,M ,2 )+ACONST* Q (L ,M , 2 ) * ( ZZ (K ) - Z Z ( K + l ) ) E E ( L , M , l ) = E E ( L , M , l ) + E C O N * Q ( L , M , l ) * ( Z Z ( K ) * * 3- Z Z ( K + l ) * * 3 ) E E ( L , M , 2 ) = E E ( L , M ,2 )+ ECON*Q(L,M,2 ) * ( Z Z ( K ) * * 3- Z Z ( K + l ) * * 3 ) F F ( L , M ) = F F ( L , M ) + FCON*Q( L , M , 1 ) * ( Z Z ( K )* *5- Z Z ( K + l ) * * 5 ) GG(L ,M )=G G (L ,M )+ GCON»Q( L , M , 1 ) * ( Z Z ( K ) * *7- Z Z ( K + l ) * * 7 ) ENDDO ENDDO ENDDO c U s k l a d j i v a n j e d i m e n z i j a k o e f i c i j e n a t a k r u t o s t i DO 1 =1 , 6 DO » = 1 ,6 FF D(L ,M ) = ( 8 . / H / H ) * F F ( L , M ) GGD(L,M) = ( 1 6 . / ( H * * 4 ) )*GG(L ,M ) E E D (L ,M ,2 )= ( 4 . / ( H * H ) ) * E E ( L , M , 2 ) ENDDO ENDDO c i z l a z A i j , E i j , F i j , G i j c p o r e d j e n j e m d o b i j e n i h v e l i c i n a o d r e d j e n o j e l a m b d a = 0 . O l t P R IL O G P.4 strana 1 PROGRAM s l o b o s c c u P . l resene su amplitude na osnovu prvog clana m=l,n=l c koefic ijen t amplitude w — f— VI = PQ11 + S*S*(PQ12+2.*PQ66) V2 = S*(PQ12+2.*PQ66) + PQ22*S*S*S V3 = E11+2.*(E12+2.*E66)*S*S+E22*(S**4) VF « ( l . / A P l ) * V 3 - AAA7 *V1 - AAA1 0 *V2 FCONST = ( 1 6 . *AVEL**3 ) / ( 3 . 1 4 * * 5 ) FW1 m ( FCONST/VF) *Q0 c r e s e n j a u p o t p u n o m o b l l k u s u DO M=1 ,6 DO Nl=l,6 VR1(M,N1)«=0 VR2 (M,N1)=0 VR3(M,N1)=0 ENDDO ENDDO DO M=1 ,6 DO N l = l ,6 VR1 (M,N1 ) = P Q l l* M **3 + S * S *