UNIVERZITET U BEOGRADU
MASˇINSKI FAKULTET
Goran M. Lazovic´
PROJEKTOVANJE I ISPITIVANJE
STRUKTURA BAZA PODATAKA U
UPRAVLJANJU ODRZˇAVANJEM
VAZDUHOPLOVNIH SISTEMA
doktorska disertacija
Beograd, 2012
Mentor:
Dr Slobodan Radojevic´, vanredni profesor, Univerzitet u Beogradu, Masˇinski Fakultet
Komentor:
Dr Slobodan Stupar, redovni profesor, Univerzitet u Beogradu, Masˇinski Fakultet
Cˇlanovi komisije:
Dr Zlatko Petrovic´, redovni profesor, Univerzitet u Beogradu, Masˇinski Fakultet
Dr Ivan Arandelovic´, vanredni profesor, Univerzitet u Beogradu, Masˇinski Fakultet
Dr Milan Bozˇic´, vanredni profesor, Univerzitet u Beogradu, Matematicˇki Fakultet
Datum odbrane:
Projektovanje i ispitivanje struktura baza podataka u
upravljanju odrzˇavanjem vazduhoplovnih sistema
Rezime
Visoki zahtevi koji se postavljaju sistemu za odrzˇavanje vazduhoplova izmedu ostalog
zahtevaju temeljnu analizu postojec´e strategije odrzˇavanja i njeno znacˇajno unapredenje.
Savremeni sistemi odrzˇavanja obuhvataju i upravljanje odrzˇavanjem, tj. zasnovani su na
automatizovanoj podrsˇci odrzˇavanju primenom racˇunara (Computer Integrated Maintenance
Management). U osnovi automatizovane podrsˇke odrzˇavanju primenom racˇunara je model
podataka. Veoma je vazˇno da je model podataka dovoljno bogat da bi mogao, na relativno lak
nacˇin prihvatiti i u sebe ukljucˇiti razlicˇite koncepte realnog sistema zajedno sa svojim atribu-
tima i medusobnim vezama. Hijerarhijske strukture podataka (strukture podataka tipa stablo)
su posebno interesantne u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova i one su predmet istrazˇivanja u
ovom radu. Postavlja se sledec´i zahtev. Obezbediti takvu implementaciju hijerarhijske struk-
ture koja pruzˇa moguc´nost njene efikasne obrade. Rekurzija koja je u osnovi hijerarhijske
strukture podataka odnosno stabla koji je reprezent ovakve strukture podataka, mozˇe biti
problem u efikasnom upravljanju sistemom odrzˇavanja vazduhoplova. U radu su date nove
karakterizacije stabla, koje daju osnov za nerekurzivne modele hijerarhijske strukture poda-
taka.
U kontekstu ogranicˇenih resursa u sistemu za odrzˇavanje vazduhoplova posebno su intere-
santne optimalne strategije odrzˇavanja. Bitan segment sistema za upravljanje odrzˇavanjem je
planiranje odrzˇavanja. Jedan od osnovnih problema izmedu ostalog je neizvesnost dogadaja
koji znacˇajno uticˇu na samo planiranje. Recˇ je o dogadajima koji su po svojoj prirodi
slucˇajni. Posebno analizira se planiranje odrzˇavanja u slucˇaju kada skup aktivnosti ima
hijerarhijsku strukturu i pri tome je trajanje pojedinih aktivnosti iz datog skupa aktivno-
sti slucˇajna velicˇina. Pod pretpostavkom da aktivnost na viˇsem nivou hijerarhije ne mozˇe
zapocˇeti pre nego sˇto su zavrsˇene sve aktivnosti na nizˇem nivou hijerarhije i da su poznati
gubici koji nastaju u slucˇaju da se sa nekim aktivnostima kasni, odnosno da su poznati gu-
bici u slucˇaju da su neke aktivnosti preuranjene, potrebno je formirati optimalnu strategiju
aktiviranja aktivnosti iz datog skupa. U slucˇaju hijerarhije visine jedan problem se svodi na
poznati newsboy problem, ali je u opsˇtem slucˇaju isuviˇse komplikovan. U radu se predlazˇe
heuristicˇki pristup kojim se do resˇenja dolazi iterativnom primenom jednostavnog resˇenja
problema na dvononiovskoj hijerarhiji.
Vazduhoplovi su savremena saobrac´ajna sredstva vrhunske tehnologije sa velikim bro-
jem komponenti i kompleksnom strukturom. Pojedine komponente vazduhoplova se koriste
na razlicˇit nacˇin, trpe razlicˇita opterec´enja i odrzˇavaju po programu koji je njima najbolje
prilagoden. Jedan od nacˇina savladavanja slozˇenosti je takozvana hijerarhijska dekompozi-
cija. Slozˇeni koncept se na jednom nivou apstrakcije posmatra kao jedinstvena celina. Na
nizˇem nivou apstrakcije se posmatra kao koncept koji se sastoji od delova (komponenti).
Uzastopnom primenom opisanog postupka dobija se takozvana hijerarhijska sastavnica. Da-
kle jedan od bitnih koncepata u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova jeste sastavnica. Poseban
problem je obezbediti kvalitetan sadrzˇaj hijerarhijske strukture podataka, odnosno u sistemu
za upravljanje odrzˇavanjem vazduhoplova treba obezbediti kvalitetnu sastavnicu. U radu
je predlozˇena fleksibilna struktura sastavnica koja u velikoj meri podrzˇava njeno sadrzˇajno
rasˇirenje.
Kljucˇne recˇi: odrzˇavanje vazduhoplova, hijerarhijska struktura podataka, stablo, newsboy
problem, sastavnica
Naucˇna oblast: tehnicˇke nauke, masˇinstvo
Uzˇa naucˇna oblast: vazduhoplovstvo, racˇunarske nauke
UDK: 004.6:629.7(043.3)
Design and investigation of database structures
in aircraft maintenance management systems
Abstract
The high demands that are placed to aircraft maintenance systems among other things
require thorough analysis of existing maintenance strategy and its significant improvement.
Modern maintenance systems include the management of maintenance, i.e. they are based
on automated maintenance support by computer - Computer Integrated Maintenance Mana-
gement. The basic component in automated maintenance support account is data model. It
is important that the data model is rich enough to accept in a relatively easy way a variety
of real system concepts together with their attributes and interrelations. Hierarchical data
structure ( textit tree type data structure) are of special interest in the aircraft maintenance
systems, and they are the subject of this study. This raise the following request. Implement
hierarchical data structure which allows efficient processing. Recursion which is essential in
implementation of hierarchical data structure, i.e., of the tree, which is typical representative
of these data structures, can be a problem in efficient aircraft maintenance management. This
study gives a new characterizations of tree, which provide a basis for nonrecursive models of
hierarchical data structures.
In the context of limited resources in the aircraft maintenance systems, optimal mainte-
nance strategies are of special interest. An important segment of the maintenance manage-
ment system is maintenance planning. One of the major problems is uncertainty of events
which significantly affect maintenance planning. These events are random by its nature. In
particular, the planning of maintenance is analyzed in the case when the set of activities
has a hierarchical structure and duration, of each activity from a given set of activities, is
random value. Assuming that the activity at a higher level of hierarchy can not begin before
the completion of all activities at a lower level of hierarchy, and that losses incurred in the
case of delayed activities, i.e., losses incurred in the case of premature activity are known,
it is necessary to establish optimal activating strategy for each activity from given set of
activities. In the case of one level hierarchy, problem is reduced to the well known newsboy
problem, but it is too complicated in general. In this study, a heuristic approach is proposed
for the solution of general problem that is based on iterative application of the solution of a
simple two levels hierarchy problem.
Aircrafts are modern high-tech means of transport with a large number of components
and complex structure. Components of aircraft are used in different ways, they suffer different
loads and are maintained by the programs that are best suited for them. One way to overcome
this complexity is so-called hierarchical decomposition. Complex concept at one level of
abstraction is seen as unified. At the lower level of abstraction it is seen as a concept that
consists of parts (other components). Repeated application of described procedure gives
the so-called hierarchical bill of material. So one of the important concepts in the aircraft
maintenance systems is bill of material. A particular problem is to provide quality hierarchical
data structures to the aircraft maintenance management system, i.e., to provide quality bill
of material. This study proposes a flexible structure of the bill of material which greatly
supports disseminate its content.
Keywords: aircraft maintenance, hierarchical data structure, tree, newsboy problem, bill
of material
Scientific area: technical sciences, mechanical engineering
Scientific subarea: aeronautical engineering, computer science
UDC:004.6:629.7(043.3)
Sadrzˇaj
1 Uvod 6
2 Hijerarhijske strukture podataka 13
2.1 Uvodna razmatranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Stablo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Rekurzivna definicija stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Nerekurzivna definicija stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Modeli stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Model sa listom susedstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Model sa tranzitivnim zatvorenjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3 Efikasnost modela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4 Model sa izlistanim putanjama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.5 Model sa ugnjezˇdenim skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.6 Model sa ugnjezˇdenim intervalima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova 47
3.1 Uvodna razmatranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Newsboy model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Jedna linija sklapanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Viˇsestruka neodredenost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Simultani zahtev I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1 Stablo sklapanja sa viˇse nivoa I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Simultani zahtev II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 Stablo sklapanja sa viˇse nivoa II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4 Sastavnice 78
4.1 Uvodna razmatranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 Modularna sastavnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1 Redosled ugradnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.2 Neophodne kolicˇine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.3 Osobine modularne sastavnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Hijerarhijska sastavnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.1 Osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.2 O broju proizvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1
Sadrzˇaj
4.3.3 Generisanje hijerarhijske sastavnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5 Sistem odrzˇavanja vazduhoplova 97
5.1 Uvodna razmatranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Zahvat ima nadredeni i nema podredeni sklop . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.2 Zahvat ima nadredeni i podredeni sklop i pri tome su to isti sklopovi . 100
5.2.3 Zahvat ima nadredeni i podredeni sklop i to su razlicˇiti sklopovi . . . 101
5.2.4 Zahvat ima podredeni i nema nadredeni sklop . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.5 Algoritam druge hijerarhijske sastavnice . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Proracˇun vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.1 Osnovne pretpostavke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3.2 Odredivanje maksimalnog vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.3 Odredivanje vremena kompletiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3.4 Algoritam proracˇuna vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Zakljucˇak 115
Prilog A Newsboy problem 121
Prilog B HSII 125
2.1 HSII1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.2 HSII2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Prilog C Klasifikacija vremena u tehnologiji 130
2
Slike
2.1 Stablo sa najvazˇnijim elementima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Implementacija stabla sa slike (2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Pre-Order obilazak stabla sa slike (2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Skupovi predaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Izlistane putanje-Nizovi predaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Indeksiranje cˇvorova stabla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 Dewey-jeva decimalna notacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Ugnjezˇdeni skupovi-Skupovi potomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9 Skup potomaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 Selekcija intervala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.11 Binarni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Binarni model sa levom granicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.13 Binarni model insert - D ≤ X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.14 Binarni model insert - X < H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.15 Selekcija intervala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.16 Ternarni model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.17 Ternarni model sa levom granicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.18 Ternarni model - insert X < H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.19 Ternarni model - insert H < Y < I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.20 Ternarni model - insert I < Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1 Jedna linija sklapanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Stablo sklapanja visine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Grupno skladiˇstenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Grupno kasˇnjenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Grupno kasˇnjenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Grupno skladiˇstenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.7 Promena trosˇkova kasˇnjenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Jedna linija sklapanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.9 Stablo sklapanja visine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.10 Grupno skladiˇstenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.11 Promena trosˇkova skladiˇstenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.12 Jedna linija sklapanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3
Slike
4.1 Sastavnica radijatora hidraulike preuzeta iz proizvodnje. . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Modularna sastavnica radijatora datog tabelom (4.1) . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Modularna sastavnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4 Potpuna modularna sastavnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5 Hijerarhijska sastavnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Hijerarhijska sastavnica novog proizvoda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 Modularna sastavnica {〈4, 7, 1, 5〉, 〈4, 6, 2, 5〉}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.8 Modularna sastavnica {〈4, 9, 1, 5〉, 〈4, 6, 2, 5〉}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.9 Modularna sastavnica {〈1, 3, 1, 13〉, 〈1, 2, 2, 7〉, 〈1, 4, 3, 11〉}. . . . . . . . . . . . 90
4.10 Modularna sastavnica {〈3, 5, 1, 1〉, 〈3, 6, 2, 1〉}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.11 Modularna sastavnica {〈2, 4, 1, 1〉, 〈2, 5, 2, 2〉, 〈2, 8, 3, 3〉}. . . . . . . . . . . . . 91
4.12 Modularna sastavnica, hijerarhijske sastavnice sa slike (4.5) . . . . . . . . . . 92
4.13 Modularna sastavnica hijerarhijske sastavnice sa slike (4.6) . . . . . . . . . . 92
4.14 Modularne sastavnica podsklopova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1 Skup zahvata sa nadredenim sklopom i bez podredenih sklopova . . . . . . . 99
5.2 Redosled zahvata sa nadredenim sklopom i bez podredenih sklopova . . . . . 99
5.3 Skup zahvata sa nadredenim sklopom koji je istovremeno i podredeni sklop . 100
5.4 Skup zahvata sa nadredenim sklopom i podredenim sklopovima . . . . . . . . 101
C.1 Komponentna vremena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4
Tabele
2.1 Lista susedstva stabla sa slike (2.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Tranzitivno zatvorenje liste susedstva (2.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Uredenje na tranzitivnom zatvorenju (2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Spisak delova grejnog tela - radijatora hidraulike. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Sve modularne sastavnice radijatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4 Maksimalno vreme operacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5 Vreme kompletiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6 Vreme kompletiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.7 GBOM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8 GBOM-nivo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.9 GBOM-nivo 2a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.10 GBOM-nivo 2b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.11 GBOM-nivo 2c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.12 GBOM-nivo 2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.13 GBOM-nivo 1a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.14 GBOM-nivo 1b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.15 GBOM-nivo 1c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.16 GBOM-nivo 1d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1 Operacije nad sklopom I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2 Operacije nad sklopom II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3 Operacije nad sklopom III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5
Glava 1
Uvod
Vazduhoplovi su savremena saobrac´ajna sredstva vrhunske tehnologije sa velikim brojem
komponenti i kompleksnom strukturom, pa se svi radovi na odrzˇavanju moraju sistemati-
zovati. Pod odrzˇavanjem se podrazumevaju sve akcije cˇja je svrha zadrzˇavanje ili povratak
elementa sistema u stanje u kojem mozˇe izvoditi predvidenu funkciju. Ove akcije izmedu
ostalog ukljucˇuju detekciju otkaza, opravku i zamenu delova koji su doveli do otkaza.
Prema [15], od tridesetih godina prosˇlog veka razvoj odrzˇavanja se odvijao u tri faze:
I) Prva faza obuhvata period do II Svetskog rata u kome industrija nije bila visoko mehani-
zovana, tako da otkazi opreme nisu bili znacˇajni. U toj fazi nije davan poseban prioritet
prevenciji otkaza. U isto vreme oprema je bila predimenzionisana, vrlo pouzdana i bila
je laka za opravljanje tako da nije bilo potrebe za sistematskim odrzˇavanjem.
II) Druga faza je zapocˇela dramaticˇnim promenama u II Svetskom ratu, porastom zahteva
za razlicˇitim robama i naglim porastom mehanizacije, odn. sve brojnije i sve slozˇenije
masˇine izazivaju sve osˇtrije izrazˇene pojave otkaza. Rada se ideja da se otkazi mogu
sprecˇiti prevencijom i javlja se koncept preventivnog odrzˇavanja. U sˇezdesetim se ovaj
koncept ogleda u primeni preventivnog odrzˇavanja u fiksnim intervalima - odrzˇavanje
po unapred utvrdenom resursu, koji mozˇe biti:
− sati rada
− predeni kilometri
− ciklusi funkcionisanja
− motocˇasovi itd.
Trosˇkovi odrzˇavanja rastu rapidno u odnosu na ostale eksploatacione trosˇkove, sˇto do-
vodi do razvoja sistema planiranja i upravljanja odrzˇavanjem.
III) Trec´a faza pocˇinje sredinom sedamdesetih godina i okarakterisana je porastom ocˇekivanja
od odrzˇavanja i pojavom novih istrazˇivanja i novih tehnika odrzˇavanja. Dok se u pret-
hodnoj fazi, od odrzˇavanja ocˇekivalo da snizi trosˇkove, povec´a raspolozˇivost postrojenja
i produzˇi zˇivotni vek opreme, sada se od odrzˇavanja ocˇekuje da, pored ranijih ocˇekivanja,
ispuni i sledec´e zahteve:
6
Uvod
− povec´anje sigurnosti opreme kako za rukovaoce tom opremom, tako i za okolinu
− povec´anje pouzdanosti opreme
− povec´anje kvaliteta proizvoda
− povec´anje efektivnosti investicija u odrzˇavanje
Ovako visoki zahtevi koji se postavljaju sistemu za odrzˇavanje izmedu ostalog zahtevaju
temeljnu analizu postojec´e strategije odrzˇavanja i njeno znacˇajno unapredenje. Pre svega
razmotrimo postojec´u strategiju odrzˇavanja vazduhoplova. U pocˇetku se pretpostavljalo da
su resursi koji su na raspolaganju sistemu odrzˇavanja vazduhoplova neogranicˇeni. U danasˇnje
vreme to vec´ nije slucˇaj, ne samo da su resursi ogranicˇeni vec´ su i u pojedinim situacijama ne-
dostupni. Sve ovo je uticalo na razvoj strategija odrzˇavanja u kontekstu ogranicˇenih resursa.
Od interesa su strategije odrzˇavanja kojima se obezbeduje optimalna pouzdanost sistema uz
minimalne trosˇkove. Takve strategije odrzˇavanja zovemo optimalne strategije odrzˇavanja.
Sˇto se ticˇe aktivnosti koje se sprovode i vremenskih trenutaka kada se one sprovode [24],
postoje dve glavne kategorije u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova:
− Korektivno odrzˇavanje
− Preventivno odrzˇavanje
Pod korektivnim odrzˇavanjem (run to failure) se podrazumevaju aktivnosti koje se predu-
zimaju jedino u slucˇaju pojave otkaza, a cˇiji je cilj povratak u prvobitno stanje. U ovoj
kategoriji odrzˇavanja se polazi od pretpostavke da je efikasnije izvrsˇiti opravku odnosno za-
menu nekog elementa tek kada otkazˇe. Dakle strategija odrzˇavanja je ne diraj dok radi.
Ocˇigledne prednosti ovakvog pristupa su:
− minimalni trosˇkovi odrzˇavanja
− maksimalno iskoriˇsc´enje opreme (koristi se dok god funkcioniˇse)
Sa druge strane nedostaci su:
− nemoguc´nost planiranja odrzˇavanja imajuc´i u vidu neizvesnost trenutka otkaza
− pouzdanost sistema je dovedena u pitanje
Korektivno odrzˇavanje je i dalje dominantna strategija odrzˇavanja.
Preventivno odrzˇavanje ukljucˇuje aktivnosti odrzˇavanja koje se sprovode pre nego sˇto dode
do pojave otkaza, odnosno ove aktivnosti imaju zadatak da sprecˇe ili odlozˇe pojavu otkaza. U
klasicˇnom preventivnom odrzˇavanju preduzima se preventivna zamena ili opravka na osnovu
poznavanja prosecˇnog trajanja opreme. Polazna pretpostavka je da za svaki element si-
stema postoji pravi trenutak kada nad njim treba sprovesti odredene aktivnosti preventivnog
odrzˇavanja i da c´e se na ovaj nacˇin smanjiti ucˇestalost otkaza. Medutim ispostavilo se da
ovakav pristup ne umanjuje uvek ucˇestalost otkaza. Pokazalo se da je ovako koncipirano
preventivno odrzˇavanje pogodno samo za elemente sistema kod kojih ucˇestalost otkaza po-
seduje izvesnu pravilnost. S obzirom na ovu cˇinjenicu razlikovac´emo dve vrste preventivnog
7
Uvod
odrzˇavanja [24]. U prvom slucˇaju, preventivno odrzˇavanje se sprovodi, iskljucˇivo, na osnovu
informacija o pouzdanosti, tj. na osnovu raspodele vremena rada do pojave otkaza za posma-
trani sistem, odnosno njegov element. U drugom slucˇaju, posmatra se i prati neki pokazatelj,
tj. parametar koji reprezentuje stanje posmatranog sistema. Obe ove vrste preventivnog
odrzˇavanja mogu da se vezˇu za neki odredeni vremenski period ili za vremenski trenutak koji
se ne odreduje unapred, vec´ se tokom rada sistema podesˇava, tj. adaptira konstatovanom sta-
nju, odnosno informacijama o izabranim parametrima stanja koji se prikupljaju i analiziraju
Sa stanoviˇsta karaktera postupaka odrzˇavanja, preventivno odrzˇavanje mozˇe biti realizovano
kao:
− osnovno odrzˇavanje
− preventivne zamene
− odrzˇavanje prema stanju
U okvir osnovnog odrzˇavanja spadaju sve aktivnosti opsluzˇivanja, snabdevanja gorivom, ma-
zivom, podmazivanje, kao i osnovni pregledi stanja pojedinih elemenata sistema. Preventivna
zamena ukljucˇuje aktivnosti zamene ili opravke elemenata i to samo u slucˇaju ako se na taj
nacˇin, sasvim izvesno, doprinosi povec´anju pouzdanosti, odnosno ako se time neposredno
smanjuje verovatnoc´a pojave otkaza. Ideja kod odrzˇavanja prema stanju jeste preduzimati
zamenu u optimalno vreme na osnovu stvarnog stanja opreme. Stvarno stanje se utvrduje
dijagnosticˇkim pregledima, a da se prethodno ne mora vrsˇiti rastavljanje po principu otvori
i izmeri. Prednosti ovakvog pristupa odrzˇavanju su:
− jednostavnije planiranje odrzˇavanja
− obezbeduje se vec´a pouzdanost sistema
dok su nedostaci:
− povec´ani trosˇkovi odrzˇavanja
− manja iskoriˇsc´enost opreme (oprema ne mora biti raspolozˇiva u toku pojedinih aktiv-
nosti odrzˇavanja)
Savremeni sistemi odrzˇavanja obuhvataju i upravljanje odrzˇavanjem, tj. zasnovani su na
automatizovanoj podrsˇci odrzˇavanju primenom racˇunara (Computer Integrated Maintenance
Management). Dakle recˇ je o sistemu, pa c´emo u analizi sistema odrzˇavanja poc´i od pojma
sistema. Sistem se, najopsˇtije definiˇse kao skup objekata (entiteta) i njihovih medjusobnih
veza. Informacioni sistem je sistem u kome se veze izmedju objekata i veze sistema sa
okolinom ostvaruju razmenom informacija. Osnovu svakog informacionog sistema cˇini baza
podataka, koja se mozˇe definisati kao kolekcija medjusobno povezanih podataka koja modelira
(reprezentuje) objekte, veze objekata i atribute objekata posmatranog realnog sistema.
Na ovaj nacˇin informacioni sistem je model realnog sitema, a postupak projektovanja infor-
macionog sistema se svodi na neku vrstu modeliranja realnog sistema. Rezultat faze projek-
tovanja informacionog sistema su dva podmodela:
8
Uvod
− model podataka
− model procesa
Model podataka obuhvata reprezentaciju objekata realnog sistema, njihovih atributa i nji-
hovih medjusobnih veza. Dakle staticˇke karakteristike realnog sistema se opisuju modelom
podataka. Sa druge strane dinamika realnog sistema se opisuje modelom procesa. Ovde c´emo
se baviti samo modelom podataka.
Model podataka obuhvata reprezentaciju koncepata realnog sistema, njihovih atributa i nji-
hovih medjusobnih veza. Veoma je vazˇno da je model podataka dovoljno bogat da bi mogao,
na relativno lak nacˇin prihvatiti i u sebe ukljucˇiti razlicˇite koncepte realnog sistema zajedno
sa svojim atributima i medusobnim vezama. Ove zavisnosti se, u modelu podataka, mogu
predstaviti bilo strukturom podataka, bilo skupom ogranicˇenja na vrednosti podataka. Pored
toga, neophodno je definisati i skup operacija modela podataka, da bi se preko njih, u mode-
lima procesa, mogla opisati i dinamika realnog sistema. Dakle model podataka ukljucˇuje tri
osnovne komponente:
1) struktura podataka
2) ogranicˇenja
3) operacije
Kvalitet modela podataka se meri time u kojoj meri su obuhvac´eni koncepti realnog sistema
i jednostavnosˇc´u implementacije struktura podataka, ogranicˇenja i operacija na racˇunaru.
Strukture podataka se mogu klasifikovati uz pomoc´ viˇse kriterijuma. Jedan od kriterijuma
mozˇe biti karakteristika veze (relacije) medu podacima. U odnosu na ovaj kriterijum struk-
tura podataka mozˇe biti [Mogin]:
− linearna struktura podataka
− nelinearna struktura podataka
U slucˇaju linearne strukture podataka, skup podataka je linearno ureden. Drugim recˇima
skup podataka formira niz, odnosno svaki podatak (sem dva istaknuta, koje zovemo prvi
odnosno poslednji podatak) je povezan sa tacˇno dva podatka, koje zovemo prethodni odnosno
naredni podatak. Podatak za koga ne postoji prethodni je prvi podatak, a podatak za koga
ne postoji naredni je poslednji podatak. Strukture podataka u kojima skup podataka nije
linearno ureden zovemo nelinearne strukture podataka. Prema tome koliki je broj podataka
koji prethode datom podatku, odnosno koliki je broj podataka koji su naredni u u odnosu na
dati podatak, nelinearne strukture podataka dalje mogu biti:
− hijerarhijska struktura podataka
− mrezˇna struktura podataka
9
Uvod
Hijerarhijske strukture podataka ili (strukture tipa stablo) su takve strukture podataka u ko-
jima za svaki podatak (sem istaknutog podatka koga zovemo koren hijerarhije) postoji tacˇno
jedan podatak koji mu prethodi, pri tome mozˇe postojati nula ili viˇse podataka koji su u
odnosu na njega naredni podaci. U slucˇaju hijerarhijske strukture podataka umesto termina
prethodni odnosno naredni podatak koiste se termini nadredeni odnosno podredeni poda-
tak. Koren hijerarhije nema nadredeni podatak. Nelinearne strukture podataka koje nisu
hijerarhijske su mrezˇne strukture podataka. Hijerarhijske strukture podataka su posebno
interesantne u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova i one c´e biti predmet istrazˇivanja u ovom
radu. Vazduhoplov je sistem visoke slozˇenosti, pojedine komponente vazduhoplova koriste
na razlicˇit nacˇin, trpe razlicˇita opterec´enja i odrzˇavaju se po programu koji je njima najbolje
prilagoden. Jedan od nacˇina savladavanja pomenute slozˇenosti je takozvana hijerarhijska de-
kompozicija. Slozˇeni koncept se na jednom nivou apstrakcije posmatra kao jedinstvena celina.
Na nizˇem nivou apstrakcije se posmatra kao koncept koji se sastoji od delova (komponenti).
Uzastopnom primenom opisanog postupka dobija se takozvana hijerarhijska sastavnica. Da-
kle jedan od bitnih koncepata u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova jeste sastavnica. U si-
stemu odrzˇavanja se koriste termini sklop, podsklop nadsklop koji istovremeno oznacˇavaju
i uzajamni odnos u datoj hijerarhiji. Dakle u sistemu za upravljanje odrzˇavanjem imac´emo
sastavnice sklopova koje se dobijaju hijerarhijskom dekompozicijom elemenata sistema nad
kojima se izvode akcije odrzˇavanja.
Koliko je ovaj koncept vazˇan govori i cˇinjenica da su se prve hijerarhijske baze podataka
sˇezdesetih godina prosˇlog veka razvijene kako bi se direktno podrzˇale sastavnice u prizvod-
nim organizacijama. Dakle model podataka informacionog sistema koji bi bio podrsˇka sistemu
odrzˇavanja mora obezbediti efikasnu implementaciju hijerarhijske strukture podataka i ope-
racija nad hijerarhijskim strukturama podataka. Obicˇno se hijerarhijske strukture podataka
implementiraju rekurzivnim strukturama koje dalje namec´u obradu rekurzivnim procedu-
rama, a poznato je da rekurzivna resˇenja mogu znacˇajno degradirati performanse sistema.
Problemi vezani za implementaciju hijerarhijskih struktura podataka i neka resˇenja bic´e iz-
neta u Glavi 2.
U delu planiranja odrzˇavanja, jedan od osnovnih problema izmedu ostalog je neizvesnost
dogadaja koji znacˇajno uticˇu na efikasnost odrzˇavanja. Recˇ je o dogadajima koji su po svojoj
prirodi slucˇajni. Ovi slucˇajni dogadaji su pored ostalog vezani za:
− vremenski trenutak otkaza rezervnog dela
− vremenski trenutak zahteva za nekim delom
− vreme isporuke, odnosno vreme potrebno za sklapanje (pripremu) rezervnog dela
Posebno, podrazumevalo se da je vreme isporuke odnosno vreme potrebno za pripremu re-
zervnog dela nula (rezervni deo je neposredno dostupan), a to je pretpostavka neogranicˇenih
resursa sˇto je uglavnom redak slucˇaj. Kako mnogo faktora uticˇe na ovo vreme, ono po pra-
vilu uvek ima neko slucˇajano odstupanje. Za neke analize vreme isporuke odnosno vreme
sklapanja rezervnog dela se mozˇe ignorisati, ali u analizi kompletnog sitema odrzˇavanja ova
odstupanja bitno degradiraju performanse sistema. Pod vremenom isporuke (lead time) za
dati rezervni deo se podrazumeva:
10
Uvod
− vreme koje je potrebno da bi se rezervni deo dopremio iz nekog spoljnjeg izvora
− vreme koje je potrebno da bi se rezervni deo sklopio prema utvrdenoj proceduri skla-
panja
− vreme da bi se poluproizvod obradio do nivoa gotovog rezervnog dela
Na ovo vreme uticˇe mnosˇtvo faktora. Neki od faktora su
− problemi u transportu
− kvar na masˇinama
− problemi vezani za kvalitet
Ovi faktori su po svojoj prirodi slucˇajne velicˇine, pa je i ovo vreme isporuke po pravilu slu-
cajna velicˇina. Jedan od pristupa kojim se mozˇe umanjiti uticaj ovih slucˇajnih velicˇina je
skladiˇstenje gotovih rezervnih delova, odnosno odrzˇavanje zaliha gotovih rezervnih delova. U
slucˇaju da je ovaj nivo iznad odgovarajuc´eg javic´e se nepotrebni trosˇkovi skladiˇstenja. Sa
druge strane ako je nivo zaliha ispod odgovarajuc´eg nivoa javic´e se trosˇkovi kasˇnjenja. Cilj
je odrzˇavati nivo zaliha kojim se obezbeduju minimalni trosˇkovi skladiˇstenja sa jedne strane
a pri tome se garantuje visok nivo raspolozˇivosti gotovih delova kako bi se minimizovali
trosˇkovi kasˇnjenja. Za uspesˇno resˇavanje ovog problema neophodno je razviti odgovarajuc´e
matematicˇke modele koji c´e na odgovarajuc´i nacˇin tretirati neizvesnost pojedinih faktora
u sistemu odrzˇavanja. Posebno problem odredivanja nivoa zaliha rezervnih delova u kon-
tekstu slucˇajnog broja zahteva za rezervnim delovima je problem koji je najviˇse izucˇavan i
analiziran. Kako je narucˇivanje i prodaja dnevnih novina ilustrativna metafora za ovaj tip
problema, za probleme ovog tipa koristi se termin newsboy problem, a za odgovarajuc´i model
se koristi termin newsboy model . Newsboy problemi nisu samo problemi iz oblasti upravljanja
zalihama, oni se javljaju u svim situacijama kada treba izvrsˇiti ocenu neke slucˇajne promen-
ljive, a ta ocena je rezultat kompromisa izmedu gubitaka u slucˇaju da je vrednost slucˇajne
promenljive precenjena i gubitaka koji su posledica potcenjene vrednosti slucˇajne promen-
ljive. Posebno ovaj problem se mozˇe iskoristiti u situacijama kada treba odrediti optimalni
vremenski trenutak kada treba zapocˇeti neku aktivnost odrzˇavanja.
U planiranju odrzˇavanja cˇesta je sledec´a situacija. Neki skup aktivnosti odrzˇavanja ima
hijerarhijsku strukturu i pri tome je trajanje svake aktivnosti slucˇajna velicˇina. Pod pretpo-
stavkom da aktivnost na viˇsem nivou hijerarhije ne mozˇe zapocˇeti pre nego sˇto su zavrsˇene
sve aktivnosti na nizˇem nivou hijerarhije i da su poznati gubici koji nastaju u slucˇaju da se
sa nekim aktivnostima kasni, odnosno da su poznati gubici u slucˇaju da su neke aktivnosti
preuranjene, potrebno je formirati optimalnu strategiju aktiviranja aktivnosti iz datog skupa.
Upravo to c´e biti predmet istrazˇivanja u Glavi 3.
Primetili smo da je jedan od bitnih koncepata u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova sastav-
nica. Sastavnica je najprostije recˇeno, lista komponenti koji su sastavni delovi posmatranog
objekta. Pri tome se vodi racˇuna o vezama izmedu sastavnih komponenti. Sastavnica dakle
daje strukturu posmatranog objekta, josˇ viˇse sastavnica je opis hijerarhijske strukture tog
11
Uvod
objekta. Prema tome da li se sastavnica koristi u projektovanju, proizvodnji ili odrzˇavanju,
sastavnica mozˇe biti:
− inzˇenjerska sastavnica
− proizvodna sastavnica
− servisna sastavnica
i u tom smislu c´e biti prilagoden sadrzˇaj kojim c´e biti snabdevene. Posebno sastavnice koje
c´e se koristiti u sistemu odrzˇavanja c´e izmedu ostalog ukljucˇivati i sledec´e podatke:
− kolicˇina pojedinih podsklopova koja je neophodna za sklapanje finalnog sklopa
− vremena neophodna za ugradnju pojedinih podsklopova u procesu sklapanja finalnog
sklopa
− redosled ugradnje pojedinih podsklopova u procesu sklapanja finalnog sklopa
Kvalitetan sistem za upravljanje odrzˇavanjem vazduhoplova mora obezbediti sadrzˇajno kva-
litetne sastavnice i to c´e biti predmet istrazˇivanja u Glavama 4 i 5.
12
Glava 2
Hijerarhijske strukture podataka
2.1 Uvodna razmatranja
Pod strukturom podataka podrazumeva se skup medusobno povezanih podataka. Strukture
podataka se mogu klasifikovati na osnovu viˇse kriterijuma. Jedan od kriterijuma mozˇe biti ka-
rakteristika veze (relacije) medu podacima. U odnosu na ovaj kriterijum struktura podataka
mozˇe biti [14]:
− linearna struktura podataka
− nelinearna struktura podataka
U slucˇaju linearne strukture podataka, skup podataka je linearno ureden. Drugim recˇima
skup podataka formira niz, odnosno svaki podatak (sem dva istaknuta, koje zovemo prvi
odnosno poslednji podatak) je povezan sa tacˇno dva podatka, koje zovemo prethodni odnosno
naredni podatak. Podatak za koga ne postoji prethodni je prvi podatak, a podatak za koga
ne postoji naredni je poslednji podatak. Strukture podataka u kojima skup podataka nije
linearno ureden zovemo nelinearne strukture podataka. Prema tome koliki je broj podataka
koji prethode datom podatku, odnosno koliki je broj podataka koji su naredni u u odnosu na
dati, podatak nelinearne strukture podataka dalje mogu biti:
− hijerarhijska struktura podataka
− mrezˇna struktura podataka
Hijerarhijske strukture podataka ili (strukture podataka tipa stablo) su takve strukture po-
dataka u kojima za svaki podatak (sem istaknutog podatka koga zovemo koren hijerarhije)
postoji tacˇno jedan podatak koji mu prethodi, pri tome mozˇe postojati nula ili viˇse podataka
koji su u odnosu na njega naredni podaci. U slucˇaju hijerarhijske strukture podataka umesto
termina prethodni odnosno naredni podatak koiste se termini nadredeni odnosno podredeni
podatak. Koren hijerarhije nema nadredeni podatak. Nelinearne strukture podataka koje
nisu hijerarhijske su mrezˇne strukture podataka. U daljem tekstu cˇemo se detaljnije baviti
hijerarhijskom strukturom podataka odnosno strukturom podataka tipa stablo. Kao sˇto sam
naziv kazˇe u osnovi hijerarhijske strukture podataka je stablo.
13
Hijerarhijske strukture podataka Uvodna razmatranja
Engleski matematicˇar Kejli je 1857. godine uveo pojam stabla [27]. Koncept stabla je koriˇsc´en
i ranije, ali Kejli je bio prvi koji je iskoristio ovaj pojam u pisanom radu. Skoro u isto vreme
(oko 1859.) otkrivene su strukturne formule hemijskih jedinjenja. Kejli je nasˇao vezu izmedu
ova dva pojma (povezao je stabla i strukturne formule alkana - jedinjenja formule CnH2n+2)
i u radu O matematicˇkoj teoriji izomera iz 1874. godine je postavio kamen temeljac naucˇne
discipline Hemijske teorije grafova. Kejli je pokusˇao da pronade broj izomera In alkana
CnH2n+2, nije uspeo u tome, ali je dao nekoliko vazˇnih rezultata vezanih za prebrojavanje
stabala. Sa druge strane Fizicˇar Kirhof je resˇavajuc´i problem izracˇunavanja jacˇina elektricˇnih
struja u granama nekog elektricˇnog kola, dosˇao do znacˇajnih rezultata vezanih za stabla.
Sˇto se ticˇe racˇunarskih nauka, stablo takode ima veoma znacˇajnu ulogu, izmedu ostalog koristi
se na sledec´i nacˇin:
− algoritmi pretrage koriste stabla (binarno stablo pretrage) za uredivanje podataka
− kompajleri koriste stabla (stablo izraza) za reprezentaciju aritmeticˇkih izraza
− algoritmi za kompresiju podataka koriste stabla (stablo kodiranja)
− operativni sistemi koriste hijerarhijsku strukturu datotecˇnog sistema
U ovom radu stablo c´emo koristiti za reprezentaciju hijerarhijske strukture podataka. Iz
ocˇiglednih razloga (ogranicˇeni resursi) bavic´emo se samo konacˇnim stablima. Postavlja se
sledec´i zahtev. Obezbediti takvu implementaciju stabla koja pruzˇa moguc´nost efikasne obrade
hijerarhijske strukture podataka. Najcˇesˇc´e se hijerarhijske strukture podataka implementi-
raju rekurzivnim strukturama koje dalje namec´u rekurzivnu implementaciju operacija nad
ovim strukturama podataka. Rekurzivna resˇenja su sa jedne strane jednostavna i efektna, ali
sa druge strane mogu znacˇajno degradirati performanse sistema. U potrazi za alternativnim
resˇenjima bic´e neophodna detaljnija analiza samog pojma stabla. Ako se stablo uvede rekur-
zivnom definicijom sˇto je najcˇesˇc´i slucˇaj u racˇunarskim naukama, onda se prirodno namec´u
rekurzivna resˇenja kako implementacije tako i procedura za njihovu obradu. U teoriji skupova
se stablo uvodi kao klasa parcijalno uredenih skupova. Ako zanemarimo sˇta su elementi tih
skupova, problem se svodi na problem implementacije binarne relacije (parcijalnog uredenja),
a ovo se standardno resˇava takozvanom matricom susedstva. Za neka nova resˇenja problema
implementacije stabla, neophodne su neke nove karakterizacije konacˇnog stabla. Dalje se iz
izvedenih karakterizacija konacˇnog stabla mogu izvuc´i modeli implementacije stabla (hijerar-
hijske strukture podataka) [5] [7]
− model sa listom susedstva
− model sa izlistanim putanjama
− model sa ugnjezˇdenim skupovima
i njihovi varijeteti:
− model sa tranzitivnim zatvorenjem
− Dewey-jeva decimalna notacija
− model sa ugnjezˇdenim intervalima
14
Hijerarhijske strukture podataka Stablo
2.2 Stablo
2.2.1 Rekurzivna definicija stabla
Najcˇesˇc´e koriˇsc´ena definicija stabla je [11]:
Definicija 2.2.1. Stablo T je neprazan skup cˇvorova T takav da vazˇi:
a) postoji tacˇno jedan istaknuti cˇvor u T koga zovemo koren stabla T i oznacˇavamo sa
root (T );
b) preostali cˇvorovi su elementi disjunktnih skupova T1, T2, . . . , Tm, m ≥ 0 i svaki od ovih
skupova je stablo.

Primer stabla sa najvazˇnijim elementima dat je na slici (2.1).
A
B
E F
J
G
C D
H
K L
I
Koren stabla u cˇvoru A
Podstablo sa korenom u cˇvoru B
Preci cˇvora H
Cˇvor grane H
Potomci cˇvora H
1
Nivo cˇvora
2
List I
3
4
Slika 2.1: Stablo sa najvazˇnijim elementima
Stabla T1, T2, . . . , Tm zovemo podstablima korena stabla T . Iz definicije (2.2.1) sledi da je
svaki cˇvor koren nekog podstabla polaznog stabla T . Broj podstabala nekog cˇvora zovemo
stepen cˇvora. Cˇvor stepena nula zovemo terminalni cˇvor ili list , inacˇe je neterminalni cˇvor
ili cˇvor grane. Nivo cˇvora u stablu T se definiˇse na sledec´i nacˇin:
15
Hijerarhijske strukture podataka Stablo
Definicija 2.2.2. Neka je T stablo, tada:
a) root (T ) ima nivo jedan;
b) cˇvor koji nije koren stabla T ima nivo koji je za jedan vec´i od nivoa koga ima u podstablu
Tj , j ∈ {1, 2, . . . ,m} u kome se nalazi.

Visina stabla je maksimalni nivo na kome se neki cˇvor nalazi. Ako postoji uredenje podsta-
bala T1, T2, . . . , Tm, onda kazˇemo da je stablo T uredeno . Za korene podstabala T1, T2, . . . , Tm
kazˇemo da su potomci korena stabla T , odnosno koren stabla T je predak korena njegovih pod-
stabala T1, T2, . . . , Tm. Svaki cˇvor ima najviˇse jednog pretka, a nula ili viˇse potomaka. Stablo
T je binarno stablo, ako je svaki cˇvor koren najviˇse dva podstabla koje zovemo levo, odnosno
desno podstablo i oznacˇavamo sa left(T ), right(T ) respektivno. Sˇuma je skup (obicˇno ureden
skup) skup disjunktnih stabala. Svaka sˇuma stabala se na prirodan nacˇin mozˇe reprezentovati
binarnim stablom [11].
Definicija 2.2.3. Neka je F = (T1, T2, . . . , Tn) sˇuma stabala i neka su T11, T12, . . . , T1m
podstabla korena krajnjeg levog podstabla T1. Binarno stablo B(F) odredeno sa:
− ako je n = 0, B = ∅
− ako je n > 0,
· root(B(F)) = root(T1)
· left(B(F)) = B(T11, T12, . . . , T1m)
· right(B(F)) = B(T2, T3, . . . , Tn)
je binarno stablo koje odgovara sˇumi stabala F

Susˇtina navedene reprezentacije (2.2):
A
• /
B C D
• • / • • /
E F G H I
/ • • • / / • • / /
J K L
/ / / • / /
Slika 2.2: Implementacija stabla sa slike (2.1)
16
Hijerarhijske strukture podataka Stablo
je sledec´a:
− koren levog podstabla je krajnji levi potomak - first child
− koren desnog podstabla je sledec´i potomak nadredenog cˇvora - next sibling.
Rekurzivna definicija (2.2.1) prirodno namec´e kako implementaciju rekurzivnim strukturama
(2.1):
Algoritam 2.1 Rekurzivna struktura podataka
typedef type_of_data_in_the_node info_t;
struct node
{
info_t info;
struct node* first_child;
struct node* next_sibling;
};
typedef node *nodep;
tako i obradu rekurzivnim procedurama. Procedure za obilazˇenje cˇvorova stabla u odgova-
rajuc´em redosledu su posebno znacˇajne. Kako se radi o obradi rekurzivne strukture podataka,
odgovarajuc´a rekurzivna resˇenja su jednostavna i efektna. Jedna od standardnih procedura
za pre-order obilazˇenje stabla i njena rekurzivna verzija je sledec´eg oblika (2.2):
Algoritam 2.2 Rekurzivna obrada
preorder(nodep rt)
{
nodep temp
output(Info(rt))
temp = firstChild(rt)
while(temp is not NULL)
{
preorder(temp)
temp = nextSibling(temp)
}
}
U pre-order obilasku stabla [11], prvo se obilazi cˇvor, a zatim njegovi potomci od krajnjeg
levog do krajnjeg desnog. U slucˇaju stabla sa slike (2.1), rezultat pre-order obilaska je (2.3).
Rekurzivnost strukture podataka i procedura za njihovu obradu ne moraju biti direktno
podrzˇani modelom podataka u kome se ove strukture i pripadajuc´e procedure implementiraju.
17
Hijerarhijske strukture podataka Stablo
A
B
E F
J
G
C D
H
K L
I
ABEFJGCDHKLI
Slika 2.3: Pre-Order obilazak stabla sa slike (2.1)
Nivo ozbiljnosti ovog ogranicˇenja, josˇ je vec´i ako se zna da rekurzivna resˇenja mogu znacˇajno
degradirati performanse sistema. Sva ova ogranicˇenja opravdavaju istrazˇivanja modela koja
proisticˇu iz nerekurzivnih karakterizacija stabla.
2.2.2 Nerekurzivna definicija stabla
Stablo je skup cˇvorova na kome je definisana binarna relacija predak. Kako je relacija predak
relacija poretka, poc´i c´emo od parcijalno uredenih skupova [13].
Definicija 2.2.4. Neka je ≤ relacija poretka na skupu P. Ureden par (P,≤) zovemo parcijalno
ureden skup.

Standardni primeri parcijalno uredenih skupova su:
− (P (T ) ,⊆) gde je T proizvoljan skup, P (T ) partitivni skup skupa T i ⊆ relacija podskup.
Josˇ viˇse proizvoljna kolekcija X podskupova skupa T je parcijalno ureden skup ako se
uredi relacijom podskup (nadskup)
− proizvoljan skup recˇi nad datom azbukom A koji sadrzˇi praznu recˇ, je parcijalno ureden
skup ako se uredi relacijom prefiks (sufiks, infiks)
Uredenje ≤ na skupu P je linearno ili totalno uredenje ako pored uslova koji definiˇsu uredenje
ispunjava i uslov linearnosti:
p, q ∈ P ⇒ p ≤ q ∨ q ≤ p (2.1)
18
Hijerarhijske strukture podataka Stablo
U tom slucˇaju par (P,≤) se naziva linearno ureden skup, totalno ureden skup ili lanac.
To znacˇi da je parcijalno ureden skup linearno ureden ako su svaka dva njegova elementa
uporediva. Neka je (P,≤) parcijalno ureden skup, tada:
− za element p ∈ P kazˇemo da je minimalan ako je:
(¬∃q ∈ P ) q 6= p ∧ q ≤ p (2.2)
odnosno p je minimalan ako u P ne postoji strogo manji element od njega. Slicˇno se
uvodi maksimalni element parcijalno uredenog skupa.
− za element p ∈ P kazˇemo da je najmanji ako vazˇi:
q ∈ P ⇒ p ≤ q (2.3)
odnosno p je najmanji element u P ako je manji od svakog drugog elementa iz P . Slicˇno
se uvodi najvec´i element parcijalno uredenog skupa.
Ukoliko parcijalno ureden skup (P,≤) ima najmanji element tada je on jedinstven. Uredeni
skup mozˇe imati viˇse minimalnih elemenata i tada ne mozˇe imati najmanji element. Za
parcijalno ureden skup (P,≤) kazˇemo da je dobro ureden ako je linearno ureden i svaki njegov
neprazan podskup ima najmanji elemenat. Ocˇigledno je svaki konacˇan linearno ureden skup
dobro ureden. Sada mozˇemo dati sledec´u definiciju stabla [13]:
Definicija 2.2.5. Stablo T je parcijalno uredenje (T,≤) koje ima najmanji element i pri
tome je:
(∀x ∈ T ) ↑ (x) = {y ∈ T |y ≤ x} (2.4)
skup ↑ (x) dobro ureden relacijom ≤.

Od interesa su nam konacˇna stabla, odnosno konacˇni parcijalno uredeni skupovi T , sa naj-
manjim elementom takvim da je za svako x ∈ T , ↑ (x) linearno ureden skup odnosno lanac.
Najmanji element stabla je koren, a maksimalne elemente zovemo listovima. Visina stabla je
odredena najduzˇim lancem:
H = max
x∈T
{| ↑ (x)|} (2.5)
19
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
2.3 Modeli stabla
2.3.1 Model sa listom susedstva
Kako svaki cˇvor stabla sem korena ima jedinstvenog direktnog pretka (mozˇemo rec´i da je koren
predak samom sebi) onda na skupu cˇvorova stabla postoji preslikavanje (direktni predak) sa
tacˇno jednom fiksnom tacˇkom. Ova osobina namec´e prvu karakterizaciju stabla i data je
sledec´om teoremom:
Teorema 2.3.1. Konacˇan skup T na kome je definisana funkcija f : T → T sa osobinama:
a) postoji tacˇno jedna fiksna tacˇka r funkcije f ,
(∃1r ∈ T ) f (r) = r (2.6)
b) za svako n ∈ N
(¬∃x ∈ T )x 6= r ∧ fn (x) = x (2.7)
je konacˇno stablo.
Dokaz. Definiˇsimo relaciju ≤ na T na sledec´i nacˇin:
(x, y ∈ T ) y ≤ x⇔ (∃k ∈ N0) y = fk (x) (2.8)
pri cˇemu je f0 = IT identicˇko preslikavanje skupa T .
Ocˇigledno je ≤ relacija poretka. Neka je n ∈ N, oznacˇimo sa:
Fn (x) =
{
fk(x)|k ∈ N0 ∧ k < n
}
(2.9)
Kako je T konacˇan skup svakom x ∈ T mozˇemo pridruzˇiti:
nx = min {n ∈ N|fn(x) ∈ Fn (x)} (2.10)
Mora biti fnx (x) = r, jer u suprotnom
fnx (x) = u ∈ Fnx (x)⇒ fnx (x) = fk(x) (2.11)
za neko k < nx, odnosno
fnx−k (u) = fnx−k
(
fk (x)
)
= fk (x) = u (2.12)
sˇto je kontradikcija sa pretpostavkom o funkciji f , dakle fnx(x) = r odnosno r je najmanji
element. Ocˇigledno je:
↑ (x) = {y ∈ T |y ≤ x} =
{
fk (x) |k < nx
}
= Fnx (x) (2.13)
linearno ureden skup pri tome konacˇan, dakle dobro ureden skup.

20
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
Neka je (T,≤) konacˇno stablo sa korenom r, funkcija (direktni predak) f iz navedene karak-
terizacije konacˇnog stabla je:
f(x) =
r , x = rmax {y|y  x} , x 6= r (2.14)
Iz navedene karakterizacije stabla izvodi se i najcˇesˇc´e koriˇsc´eni model [5]. Za svaki cˇvor x
belezˇi se njegov jedinstveni direktni predak y = f(x), odnosno belezˇe se grane stabla. Kako
je koren stabla predak samom sebi, odnosno jedini cˇvor koji nema drugog pretka, sem samog
sebe, odgovarajuc´a grana se obicˇno izostavlja iz modela. Ovo je takozvani model sa listom
susedstva (adjacency list model) (2.1).
Tabela 2.1: Lista susedstva stabla sa slike (2.3)
cˇvor roditelj
B A
C A
D A
E B
F B
G B
H D
I D
J F
K H
L H
Ocˇigledno je da se u ovom modelu mogu efikasno:
− dodavati novi cˇvorovi - funkcija direktni predak je rasˇirenje postojec´e funkcije
− brisati cˇvorovi - funkcija direktni predak je suzˇenje postojec´e funkcije
Nedostatak ovog modela je neefikasno generisanje podstabla sa korenom u datom cˇvoru. Ne-
efikasnost je posledica cˇinjenice da se odnos predak/potomak ne mozˇe neposredno ustanoviti
u opsˇtem slucˇaju. Neposredno se mozˇe ustanoviti odnos izmedu cˇvora i njegovih direktnih
potomaka. U opsˇtem slucˇaju ovaj odnos se proverava na sledec´i nacˇin:
− cˇvor je potomak datog cˇvora ako je:
· njegov direktni potomak, ili je
· potomak njegovog direktnog potomka;
− cˇvor je predak datog cˇvora ako je:
· njegov direktni predak, ili je
· predak njegovog direktnog pretka.
21
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
i zato se ovaj model naziva rekurzivni model . Kako se odnos neposredno proverava samo
ako su cˇvorovi na uzastopnim nivoima stabla, odnos izmedu cˇvorova koji nisu na uzastopnim
nivoima se proverava izracˇunavanjem fk, k = 1, 2, . . ..
2.3.2 Model sa tranzitivnim zatvorenjem
Jedno poboljˇsanje modela sa listom susedstva se sastoji u sledec´em [Celko]. Umesto funkcije
direktni predak belezˇi se njeno refleksivno i tranzitivno zatvorenje. Problem tranzitivnog
zatvorenja je poseban problem koji se ovde nec´e detaljno obradivati. Na ovaj nacˇin se iz
funkcije direktni f predak reprodukuje kompletna relacija poretka ≤:
≤= ∪
k∈N0
fk (2.15)
gde je:
≤= {(y, x)|(x, y ∈ T )y ≤ x} (2.16)
fk =
{
(y, x)|(x, y ∈ T )y = fk(x)
}
(2.17)
U ovom modelu za svaki cˇvor x belezˇe se svi njegovi prethodnici y = fk (x) , k = 1, 2, ...,
odnosno belezˇi se niz grana od cˇvora do korena. Ovo je takozvani model sa tranzitivnim
zatvorenjem (transitive closure model) (2.2).
Tabela 2.2: Tranzitivno zatvorenje liste susedstva (2.1)
cˇvor predak
A A G A K A
B A G B K D
B B G G K H
C A H A K K
C C H D L A
D A H H L D
D D I A L H
E A I D L L
E B I I
E E J A
F A J B
F B J F
F F J J
Na ovaj nacˇin se efikasno mozˇe testirati odnos izmedu bilo koja dva cˇvora. Ako se sa svakim
zapisom (y, x) gde je y ≤ x odnosno y = fk (x) za neko k ∈ N, belezˇi i k, koje predstavlja
nivo cˇvora1 x u podstablu sa korenom u cˇvoru y, odnosno duzˇina jedinstvene putanje od
cˇvora x do cˇvora y, neposredno je dostupan i lanac prethodnika cˇvora x (2.3).
1Preciznije nivo cˇvora je k + 1
22
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
Tabela 2.3: Uredenje na tranzitivnom zatvorenju (2.2)
cˇvor predak nivo
A A 1 G A 3 K A 4
B A 2 G B 2 K D 3
B B 1 G G 1 K H 2
C A 2 H A 3 K K 1
C C 1 H D 2 L A 4
D A 2 H H 1 L D 3
D D 1 I A 3 L H 2
E A 3 I D 2 L L 1
E B 2 I I 1
E E 1 J A 4
F A 3 J B 3
F B 2 J F 2
F F 1 J J 1
Nedostatak ovog modela je sˇto za razliku od modela sa listom susedstva kojim se stablo sa
n cˇvorova reprezentuje sa n − 1 zapisa, broj zapisa u ovom modelu je reda n · h gde je h
prosecˇan nivo cˇvora u stablu. Pored ovog nedostatka ocˇigledni su problemi:
− dodavanja novog cˇvora
− brisanja postojec´eg cˇvora
2.3.3 Efikasnost modela
Razmotrimo sada (neformalno) pitanje efikasnosti modela implementacije stabla, pri cˇemu
c´emo efikasnost modela meriti efikasnosˇc´u standardnih procedura za njihovu obradu. Efika-
snost ispitivanja odnosa, odnosno izracˇunavanja vrednosti izraza y ≤ x na cˇvorovima stabla
(T,≤) je svakako posebno vazˇna. U modelu sa listom susedstva testiranje odnosa izmedu
cˇvorova se u opsˇtem slucˇaju svodi na rekurzivnu proveru postojanja niza zapisa:
(y, u1), (u1, u2), . . . (un−1, un), (un, x)
sˇto je ocˇigledno neefikasno. U modelu sa tranzitivnim zatvorenjem testiranje odnosa izmedu
cˇvorova se svodi na efikasniju proveru postojanja odgovarajuc´eg zapisa (y, x), ali je nedosta-
tak sˇto broj zapisa mozˇe ic´i do reda n2 u slucˇaju da je stablo sa n cˇvorova lanac (prostor
pretrage mozˇe biti znacˇajno veliki). Problem efikasnog izracˇunavanja vrednosti izraza y ≤ x
na cˇvorovima stabla (T,≤) se mozˇe resˇiti na sledec´i nacˇin. Uocˇi se neki parcijalno ureden
skup X, takav da se odnos izmedu njegovih elemenata mozˇe efikasno utvrditi. Elemente
skupa X c´emo zvati obelezˇja. Zatim se konstruiˇse izomorfizam ϕ skupa cˇvorova T datog
stabla na skup ϕ (T ) ⊆ X. Na ovaj nacˇin se slozˇena provera odnosa dva cˇvora x, y ∈ T svodi
na efikasnu proveru odnosa dva obelezˇja:
ϕ (x) , ϕ (y) ∈ f (T ) ⊆ X
23
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
U modelima koji slede nec´e biti potrebno da se belezˇe grane, niti putanje od cˇvora do korena
stabla kao sˇto je to bio slucˇaj u prethodna dva modela, vec´ c´e se samo belezˇiti obelezˇja
cˇvorova stabla. Na ovaj nacˇin c´e se u modelima koji slede efikasno:
− dodavati novi cˇvorovi
− brisati postojec´i cˇvorovi
Dakle stablo c´e uvek biti reprezentovano sa brojem zapisa koji je jednak broju cˇvorova stabla.
Posebno, svakom cˇvoru x ∈ T mozˇemo pridruzˇiti obelezˇje koje je skup njegovih predaka ↑ (x)
i umesto stabla (T,≤) posmatrac´emo strukturu (↑ T,≤↑) gde je:
↑ T = {↑ (x)|x ∈ T} , (2.18)
i pri tome je ≤↑ pogodno izabrana relacija na ↑ T tako da su (T,≤) i (↑ T,≤↑) izomorfne
strukture. U tom slucˇaju, odnos izmedu cˇvorova x, y ∈ T mozˇemo efikasno testirati na
pridruzˇenim obelezˇjima ↑ (x), ↑ (y) jer vazˇi:
y ≤ x⇔↑ (y) ≤↑↑ (x) (2.19)
Slicˇno, svakom cˇvoru x ∈ T mozˇemo pridruzˇiti obelezˇje koje je skup njegovih potomaka ↓ (x)
i umesto stabla (T,≤) mozˇemo posmatrati strukturu (↓ T,≤↓) gde je:
↓ T = {↓ (x)|x ∈ T} (2.20)
i pri tome je ≤↓ pogodno izabrana relacija na ↓ T tako da su (T,≤) i (↓ T,≤↓) izomorfne
strukture. U tom slucˇaju, odnos izmedu cˇvorova x, y ∈ T mozˇemo testirati na pridruzˇenim
obelezˇjima ↓ (x), ↓ (y) jer vazˇi:
y ≤ x⇔↓ (y) ≤↓↓ (x) (2.21)
Za efikasnu implementaciju predlozˇene metodologije neophodne su nam pogodnije karakteri-
zacije stabla.
2.3.4 Model sa izlistanim putanjama
Za karakterizaciju konacˇnog stabla koja sledi, neophodne su sledec´e definicije.
Definicija 2.3.1. Neka je T konacˇan skup i neka je C kolekcija podskupova od T . C je
⊆-hijerarhija na skupu T ako vazˇi:
a) T =
⋃ {C|C ∈ C} = ⋃ C
b) U, V ∈ C ⇒ U ∩ V ∈ C
c) U, V,W ∈ C ∧ U, V ⊆W ⇒ U ⊆ V ∨ V ⊆ U

24
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
Definicija 2.3.2. ⊆-hijerarhija C na skupu T je T⊆-hijerarhija na skupu T ako vazˇi:
a) za sve x, y ∈ T , x 6= y, postoji U ∈ C tako da tacˇno jedan od x, y pripada U
b) unija kolekcije elementa hijerarhije C je elemenat hijerarhije C akko je jednaka nekom
cˇlanu kolekcije

Definicija 2.3.3. ⊆-hijerarhija C na skupu T je povezana ⊆-hijerarhija na skupu T ako vazˇi:
− postoji istaknuti element r ∈ T takav da vazˇi U ∈ C ⇒ r ∈ U .

Sada mozˇemo dati sledec´u karakterizaciju konacˇnog stabla.
Teorema 2.3.2. Povezana T⊆-hijerarhija C na konacˇnom skupu T je konacˇno stablo.
Dokaz. Neka je C povezana T⊆-hijerarhija na konacˇnom skupu T . Primetimo da {r} mora
biti elemenat povezane T⊆-hijerarhije C, gde je r istaknuti element skupa T . Neka to nije
slucˇaj i neka je U ∈ C skup sa najmanjim brojem elemenata (ili jedan od njih). Kako je
C povezana ⊆-hijerarhija mora biti r ∈ U , odnosno U = {r, x1, x2, . . . , xk} , k ≥ 1. C je
T⊆-hijerarhija i r 6= x1 pa postoji V ∈ C takav da tacˇno jedan od r, x1 pripada V , to svakako
mora biti r jer je C povezana ⊆-hijerarhija dakle x1 /∈ V . Uocˇimo skup U ∩ V ∈ C koji je
pravi podskup skupa U , sˇto je suprotno pretpostavci o skupu U . Dakle {r} ∈ C.
Sada mozˇemo definisati funkciju (relaciju) direktni predak f : C → C na sledec´i nacˇin:
f(U) =
{r} U = {r}⋃ CU U 6= {r} (2.22)
gde je CU = {V ∈ C|V  U}.
Neka je U 6= {r} elemenat povezane T⊆-hijerarhije C na skupu T , pokazac´emo da mora biti
f(U) ( U . Kolekcija CU je neprazna jer {r} ∈ CU , dalje kako su svi elementi kolekcije CU
podskupovi od U ∈ C i pri tome je C konacˇna ⊆-hijerarhija, postoji V0 ∈ CU takav da za svako
V ∈ CU vazˇi Vi ⊆ V0, odnosno postoji V0 ∈ CU tako da vazˇi V0 =
⋃ CU = f(U). Kako V0 ∈ CU
zakljucˇujemo f(U) = V0 ( U .
Josˇ viˇse, neka je U 6= {r} elemenat povezane T⊆-hijerarhije C na skupu T tada vazˇi: fk(U) (
U za sve k ∈ N . Iz prethodnog mozˇemo zakljucˇiti da funkcija f ima tacˇno jednu fiksnu tacˇku
{r} i pri tome fk k = 2, 3, . . . nema drugih fiksnih tacˇaka sem tacˇke {r}, pa je na osnovu
teoreme (2.3.1) povezana T⊆-hijerarhija na konacˇnom skupu T stablo.

Funkcija f iz prethodne teoreme, definisana na povezanoj T⊆-hijerarhiji C na konacˇnom skupu
T , ima sledec´u osobinu. Neka su U, V ∈ C i k ∈ N0, tada vazˇi:
V = fk(U)⇔ V ⊆ U (2.23)
25
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
odnosno relacija podskup ⊆ na C je refleksivno i tranzitivno zatvorenje ovako definisane
funkcije (relacije) direktni predak f .
⊆= ∪
k∈N0
fk (2.24)
gde je:
⊆= {(V,U)|(U, V ∈ C)V ⊆ U} (2.25)
fk =
{
(V,U)|(V,U ∈ C)V = fk(U)
}
(2.26)
Drugim recˇima povezana T⊆-hijerarhija na konacˇnom skupu T je stablo ako se uredi relacijom
podskup.
Neka je (T,≤) konacˇno stablo, pokazˇimo da se mozˇe konstruisati povezana T⊆-hijerarhija C
na skupu T . Pre svega primetimo da c´e u ovoj karakterizaciji svakom cˇvoru x ∈ T odgovarati
skup njegovih predaka, odnosno skup cˇvorova kojima je on potomak. U tom smislu definiˇsimo
preslikavanje ↑: T → P (A) na sledec´i nacˇin:
↑ (x) = {z ∈ T |z ≤ x} (2.27)
gde je P (A) partitivni skup skupa cˇvorova T . Sada nije tesˇko pokazati sledec´i stav.
Teorema 2.3.3. Neka je (T,≤) konacˇno stablo. Kolekcija
C = {↑ (x)|x ∈ T} =↑ T (2.28)
je povezana T⊆-hijerarhija na skupu T .
Dokaz. Dokazˇimo prvo da je C ⊆-hijerarhija. Primetimo x ∈↑ (x) za sve x ∈ T pa je
T =
⋃ {↑ (x)|x ∈ T} = ⋃ C. Neka su U, V ∈ C, tada je U =↑ (x), V =↑ (y), za neke x, y ∈ T .
Kako je U ∩ V ⊆ U =↑ (x) i pri tome je ↑ (x) konacˇan linearno ureden skup pa postoji
z ∈ U ∩V takav da je on najvec´i element skupa U ∩V , odnosno vazˇi U ∩V =↑ (z) ∈ C. Neka
su dalje U, V,W ∈ C i neka vazˇi U, V ⊆ W tada je U =↑ (x), V =↑ (y),W =↑ (z), za neke
x, y, z ∈ T . Kako vazˇi x ∈ U =↑ (x), y ∈ V =↑ (y) i U =↑ (x), V =↑ (y) ⊆ W =↑ (z) bic´e
x, y ∈W =↑ (z) pri tom je ↑ (z) linearno ureden skup pa vazˇi bar jedan od uslova:
− y ≤ x odnosno V =↑ (y) ⊆ U =↑ (x),
− x ≤ y odnosno U =↑ (x) ⊆ V =↑ (y)
odnosno vazˇi U ⊆ V ∨ V ⊆ U . Dakle C = {↑ (x)|x ∈ T} je ⊆-hijerarhija.
Pokazˇimo dalje da je C povezana ⊆-hijerarhija. Neka je r koren stabla T , u tom slucˇaju za
svaki cˇvor x ∈ T vazˇi r ≤ x odnosno r ∈↑ (x) za sve x ∈ T . Kako je C = {↑ (x)|x ∈ T} sledi
da je C povezana ⊆-hijerarhija.
Dokazˇimo josˇ da je C T⊆-hijerarhija. Neka su x, y ∈ T i x 6= y, jasno x ∈↑ (x), odnosno
y ∈↑ (y). Neka je y ∈↑ (x), u protivnom ako y /∈↑ (x) skup U =↑ (x) razdvaja cˇvorove
26
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
x, y. U tom slucˇaju x /∈↑ (y) jer bi u suprotnom bilo x = y, pa skup U =↑ (y) razdvaja
c´vorove x, y. Dakle svaka dva razlicˇita cˇvora stabla T se mogu razdvojiti nekim skupom U iz
kolekcije C. Ostalo je da se dokazˇe da je unija kolekcije elemenata ⊆-hijerarhije C elemenat
⊆-hijerarhije C samo ako je jednaka nekom elementu kolekcije. Neka je {C1, C2, . . . , Ck}
kolekcija elemenata ⊆-hijerarhije C i k ∈ N , tada je Ci =↑ (xi) za neke xi ∈ T i = 1, 2, . . . , k.
Pretpostavimo
⋃
Ci =
⋃ ↑ (xi) ∈ C, odnosno neka postoji cˇvor x ∈ T takav da je ⋃Ci = ⋃ ↑
(xi) =↑ (x) ∈ C. Dokazˇimo da je ↑ (x) =↑ (xi) za neko i ∈ {1, 2, . . . , k}. Kako xi ∈↑ (xi)
sledi xi ∈
⋃ ↑ (xi) =↑ (x), odnosno xi ≤ x za sve i = 1, 2, . . . , k. Sa druge strane je
x ∈↑ (x) = ⋃ ↑ (xi) odnosno x ∈↑ (xi) za neko i ∈ {1, 2, . . . , k}, pa je x ≤ xi za neko
i ∈ {1, 2, . . . , k}, kako je pri tome xi ≤ x zakljucˇujemo da je x = xi odnosno ↑ (x) =↑ (xi) za
neko i ∈ {1, 2, . . . , k} sˇto je i trebalo dokazati.

Vazˇi i obrat, ako je C povezana T⊆-hijerarhija na konacˇnom skupu T tada se skup T mozˇe
urediti nekom relacijom ≤ tako da je (T,≤) stablo i svaki element kolekcije C je skup predaka
nekog cˇvora stabla T . Pre svega pokazˇimo da povezana T⊆-hijerarhija na konacˇnom skupu
T ima isti broj elemenata kao i konacˇan skup T .
Teorema 2.3.4. Neka je C povezana T⊆-hijerarhija na konacˇnom skupu T , tada postoji
bijekcija ↑: T → C
Dokaz. Problem je odrediti cˇvor x ∈ T koji odgovara elementu C ∈ C. Kako je T =⋃ {C|C ∈ C} = ⋃ C, za svaki cˇvor x ∈ T postoji U ∈ C tako da vazˇi x ∈ U , odnosno
svaki cˇvor je elemenat bar jednog podskupa skupa cˇvorova T iz kolekcije C. Neka je x ∈ T
oznacˇimo sa Cx kolekciju elemenata povezane T⊆-hijerarhije C koji sadrzˇe cˇvor x:
Cx = {U ∈ C|x ∈ U} (2.29)
Na osnovu prethodnog razmatranja Cx je neprazna kolekcija za sve x ∈ T . Sada mozˇemo
formirati skupove:
∩x =
⋂
{U ∈ C|x ∈ U} =
⋂
Cx (2.30)
Ocˇigledno x ∈ ∩x za sve x ∈ T . Kako je C ⊆-hijerarhija presek elemenata kolekcije C je
element kolekcije C, odnosno {∩x|x ∈ T} ⊆ C. Dakle za x ∈ T , ∩x je najmanji elemenat
kolekcije C koji sadrzˇi x, odnosno za x ∈ T i U ∈ C vazˇi:
x ∈ U ⇒ ∩x ⊆ U (2.31)
Pokazˇimo da je ovim povezana T⊆-hijerarhija C iscrpljena, odnosno C = {∩x|x ∈ T}. Pretpo-
stavimo suprotno, neka postoji C ∈ C i za svako x ∈ T , C 6= ∩x. Neka je C = {x1, x2, . . . , xk} ⊆
T i k ∈ N . Kako je xi ∈ C mora biti ∩xi ⊆ C za sve i = 1, 2, . . . , k odnosno
⋃∩xi ⊆ C.
Sa druge strane za svako xi ∈ C vazˇi xi ∈ ∩xi pa vazˇi C ⊆
⋃∩xi, dakle ⋃∩xi = C.
Kako je C T⊆-hijerarhija i pri tome je
⋃∩xi = C ∈ C mora biti ⋃∩xi = C = ∩xi za neko
i ∈ {1, 2, . . . , k} sˇto je suprotno pretpostavci, dakle C = {∩x|x ∈ T}.
27
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
Pokazˇimo josˇ da u C = {∩x|x ∈ T} nema istih, odnosno da razlicˇitim cˇvorovima x, y ∈ T
odgovaraju razlicˇiti ∩x,∩y ∈ C. Neka su x, y ∈ T i neka je x 6= y, pretpostavimo ∩x = ∩y ∈ C.
Kako x, y ∈ ∩x = ∩y i C je T⊆-hijerarhija, postoji C ∈ C tako da tacˇno jedan od x i y pripada
C. Neka x ∈ C i y /∈ C. U ovom slucˇaju iz x ∈ C sledi ∩x ⊆ C pa i y ∈ C sˇto je nemoguc´e,
dakle ∩x 6= ∩y. Konacˇno preslikavanje ↑: T → C definisano sa ↑ (x) = ∩x je dobro definisano
i pri tome je bijekcija.

Teorema 2.3.5. Neka je C povezana T⊆-hijerarhija na konacˇnom skupu T , tada postoji
uredenje ≤ skupa T tako da je (T,≤) stablo i svaki element kolekcije C je skup predaka nekog
cˇvora stabla T u odnosu na tako uvedeno uredenje ≤.
Dokaz. Preslikavanje ↑: T → C definisano sa:
↑ (x) = ∩x =
⋂
{U ∈ C|x ∈ U} =
⋂
Cx (2.32)
je bijekcija na osnovu prethodnog stava. Uredimo skup T na sledec´i nacˇin:
y ≤ x⇔ ∩y ⊆ ∩x (2.33)
Na ovaj nacˇin ↑ je izomorfizam struktura (T,≤) i (C,⊆), pa je struktura (T,≤) stablo, jer je
to slucˇaj sa strukturom (C,⊆). Dokazˇimo sada da je pri ovakvom uredenju cˇvorova stabla T ,
svaki elemenat povezane T⊆-hijerarhije C skup predaka nekog cˇvora x stabla T . Dovoljno je
dokazati da za x ∈ T vazˇi {y ∈ T |y ≤ x} = ∩x.
Neka je y ∈ {y ∈ T |y ≤ x}, odnosno neka je y ≤ x. S obzirom kako je uvedeno uredenje ≤
bic´e ∩y ⊆ ∩x. Kako je y ∈ ∩y mora biti y ∈ ∩x. Dakle {y ∈ T |y ≤ x} ⊆ ∩x. Dokazˇimo i
obrat ∩x ⊆ {y ∈ T |y ≤ x}. Pretpostavimo da je y ∈ ∩x tada je ∩x ∈ Cy pa mora biti ∩y ⊆ ∩x
odnosno s obzirom na definiciju relacije ≤ vazˇi y ≤ x odnosno y ∈ {y ∈ T |y ≤ x}. Dakle
↑ (x) = ∩x = {y ∈ T |y ≤ x}, sˇto je i trebalo dokazati.

Iz navedenog zakljucˇujemo da nema razlike izmedu konacˇnog stabla (T,≤) i povezane T⊆-
hijerarhije C na skupu T , odnosno to su izomorfne strukture. Dakle umesto stabla (T,≤)
mozˇemo posmatrati povezanu T⊆-hijerarhiju C na skupu T , pri tome se odnos izmedu cˇvorova
stabla (T,≤) preslikava na odnos izmedu elemenata kolekcije C na sledec´i nacˇin:
y ≤ x⇔↑ (y) ⊆↑ (x) (2.34)
gde su x, y ∈ T , ↑ (x), ↑ (y) ∈ C odgovarajuc´i elementi struktura (T,≤) i (C,⊆). U ovom
modelu cˇvor x ∈ T se reprezentuje skupom cˇvorova ↑ (x) kojima je on potomak, odnosno
skupom predaka (2.4).
28
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
A
{A}
B
{A,B}
E
{A,B,E}
F
{A,B, F}
J
{A,B, F, J}
G
{A,B,G}
C
{A,C}
D
{A,D}
H
{A,D,H}
K
{A,D,H,K}
L
{A,D,H,L}
I
{A,D, I}
Slika 2.4: Skupovi predaka
Dakle za obelezˇje cˇvora x ∈ T uzimamo skup njegovih predaka ↑ (x). Kako je skup predaka
dobro ureden, obelezˇje cˇvora x c´e biti niz cˇvorova na jedinstvenoj putanji od korena r stabla
T do cˇvora x:
<↑ (x) > = < r, c1, c2, . . . , ck, x >
= {{r}, {r, c1}, . . . {r, c1, . . . , ck, x}}
gde su c1, c2, . . . , ck ∈ T cˇvorovi na jedinstvenoj putanji od korena stabla r do cˇvora x. Nije
tesˇko pokazati da vazˇi:
<↑ (y) >⊆<↑ (x) >⇔<↑ (y) > ≤p <↑ (x) > (2.35)
gde je ≤p relacija prefiks na skupu nizova {<↑ (x) > |x ∈ T}. Ovo je takozvani model sa
izlistanim putanjama (path enumeration model) (2.5).
29
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
A
< A >
B
< A,B >
E
< A,B,E >
F
< A,B, F >
J
< A,B, F, J >
G< A,B,G >
C
< A,C >
D
< A,D >
H
< A,D,H >
K
< A,D,H,K >
L
< A,D,H,L >
I
< A,D, I >
Slika 2.5: Izlistane putanje-Nizovi predaka
Predlozˇeni model stabla se dalje mozˇe uprostiti ako svaki cˇvor indeksiramo vrednostima iz
skupa prirodnih brojeva N . Ovo indeksiranje cˇvorova se mozˇe izvrsˇiti na sledec´i nacˇin:
1) Koren stabla ima indeks 1
2) Potomci indeksiranog cˇvora se indeksiraju vrednostima 1, 2, . . . ,m; m ∈ N
Pri tome se pogodnim indeksiranjem potomaka mozˇe postic´i zˇeljeno uredenje stabla, kao na
slici (2.6).
A
1
B
1
E
1
F
2
J
1
G
3
C
2
D
3
H
1
K
1
L
2
I
2
Slika 2.6: Indeksiranje cˇvorova stabla
30
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
Sada svakom cˇvoru stabla x ∈ T , mozˇemo na jednoznacˇan nacˇin pridruzˇiti niz
< pathx >=< 1, i1, i2, . . . , ik > cˇiji su elementi indeksi cˇvorova na jedinstvenoj putanji od
korena stabla do datog cˇvora x. Ovo pridruzˇivanje se mozˇe izrsˇiti na sledec´i nacˇin:
1) Korenu r stabla T se pridruzˇuje niz indeksa < pathr >=< 1 > duzˇine 1
2) Neka je cˇvoru x pridruzˇen niz indeksa < pathx >. Potomku cˇvora x se indeksom i ∈
{1, 2, . . . ,m}, pridruzˇuje se niz < pathx, i >.
Oznacˇimo sa T ∗ skup nizova indeksa pridruzˇenih cˇvorovima stabla T :
T ∗ = {x∗|x ∈ T} = {< pathx > |x ∈ T}
Neka su x, y ∈ T , ocˇigledno vazˇi:
y ≤ x⇔ y∗ ≤p x∗ (2.36)
gde je ≤p relacija prefiks na skupu nizova indeksa T ∗, odnosno (T,≤) i (T ∗,≤p) su izomorfne
strukture.
Ako za obelezˇje cˇvora umesto niza indeksa < pathx >=< 1, i1, i2, . . . , ik >, uzmemo odgova-
rajuc´u recˇ pathx = 1.i1. . . . .ik nad azbukom A = {0, 1, . . . , 9, .} relacija ≤p postaje relacija
prefiks na skupu recˇi nad azbukom A (2.7).
A
1
B
1.1
E
1.1.1
F
1.1.2
J
1.1.2.1
G
1.1.3
C
1.2
D
1.3
H
1.3.1
K
1.3.1.1
L
1.3.1.2
I
1.3.2
Slika 2.7: Dewey-jeva decimalna notacija
Ovo je takozvana Dewey-jeva decimalna notacija [11]. Primetimo da se u ovom modelu
za zadani cˇvor mozˇe neposredno zakljucˇiti koji su njegovi preci. Na primer preci cˇvora sa
obelezˇjem 1.3.1.2 su cˇvorovi sa obelezˇjima redom 1.3.1, 1.3 i 1.
31
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
2.3.5 Model sa ugnjezˇdenim skupovima
U prethodnoj karakterizaciji stabla cˇvoru stabla je odgovarao skup njegovih prethodnika.
Kolekcija skupova prethodnika se ureduje relacijom podskup ⊆. U karakterizaciji koja sledi,
cˇvoru stabla c´e odgovarati skup potomaka, a odgovarajuc´a kolekcija skupova potomaka se
ureduje relacijom nadskup ⊇. Pre svega uvedimo sledec´e definicije.
Definicija 2.3.4. Neka je T konacˇan skup i neka je C kolekcija podskupova od T . C je
⊇-hijerarhija na skupu T ako vazˇi:
a) T ∈ C
b) za sve U, V ∈ C i U 6= V vazˇi tacˇno jedan od uslova U ⊂ V ∨ V ⊂ U ∨ U ∩ V = ∅.

Definicija 2.3.5. ⊇-hijerarhija C na skupu T je T⊇-hijerarhija na skupu T ako vazˇi:
a) za sve x, y ∈ T , x 6= y, postoji U ∈ C tako da tacˇno jedan od x, y pripada U
b) unija kolekcije elementa hijerarhije C je elemenat hijerarhije C akko je jednaka nekom
cˇlanu kolekcije

Definicija 2.3.6. ⊇-hijerarhija C na skupu T je povezana ⊇-hijerarhija na skupu T ako vazˇi:
− postoji element r ∈ T takav da je jedini element U hijerarhije C takav da r ∈ U , polazni
skup T .

Sada mozˇemo dati sledec´u karakterizaciju konacˇnog stabla.
Teorema 2.3.6. Povezana T⊇-hijerarhija C na konacˇnom skupu T je konacˇno stablo.
Dokaz. Neka je C povezana T⊇-hijerarhija na konacˇnom skupu T . Primetimo da prazan
skup ∅ ne mozˇe biti elemenat ⊇-hijerarhije C, jer u protivnom ∅, T ∈ C i ∅ 6= T 3 r i pri tome
vazˇi ∅ ⊂ T ∧ ∅ ∩ T = ∅, pa C ne mozˇe biti ⊇-hijerarhija.
Definiˇsimo funkciju (relaciju) direktni predak f : C → C na sledec´i nacˇin:
f(U) =
T U = T⋂ CU U 6= T (2.37)
gde je CU = {V ∈ C|U  V }.
Neka je U 6= T elemenat povezane T⊇-hijerarhije C na skupu T , pokazac´emo da mora biti
U ( f(U). Kolekcija CU je neprazna jer T ∈ CU , dalje kako svi elementi kolekcije CU imaju
neprazan presek i pri tome je C konacˇna ⊇-hijerarhija, postoji V0 ∈ CU takav da za svako
V ∈ CU vazˇi V0 ⊆ V , odnosno postoji V0 ∈ CU takvo da vazˇi V0 =
⋂ CU = f(U). Kako
32
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
V0 ∈ CU zakljucˇujemo U ( V0 = f(U). Josˇ viˇse, neka je U 6= T elemenat povezane T⊇-
hijerarhije C na skupu T tada vazˇi U ( fk(U) za sve k ∈ N . Iz prethodnog mozˇemo zakljucˇiti
da funkcija f ima tacˇno jednu fiksnu tacˇku T i pri tome fk k = 2, 3, . . . nema drugih fiksnih
tacˇaka sem tacˇke T , pa je povezana T⊇-hijerarhija na konacˇnom skupu T stablo.

Funkcija f iz prethodne teoreme, na povezanoj T⊇-hijerarhiji C na konacˇnom skupu T , ima
sledec´u osobinu. Neka su U, V ∈ C, tada vazˇi: i k ∈ N0
V = fk(U)⇔ V ⊇ U (2.38)
odnosno relacija nadskup ⊇ na C je refleksivno i tranzitivno zatvorenje ovako definisane
funkcije (relacije) direktni predak f .
⊇= ∪
k∈N0
fk (2.39)
gde je:
⊇= {(V,U)|(U, V ∈ C)V ⊇ U} (2.40)
fk =
{
(V,U)|(V,U ∈ C)V = fk(U)
}
(2.41)
Drugim recˇima povezana T⊇-hijerarhija na konacˇnom skupu T je stablo ako se uredi relacijom
nadskup.
Neka je (T,≤) konacˇno stablo, pokazˇimo da se mozˇe konstruisati povezana T⊇-hijerarhija C
na skupu T . Pre svega primetimo da u ovoj karakterizaciji svakom cˇvoru x ∈ T odgovara
skup njegovih potomaka, odnosno skup cˇvorova kojima je on predak. U tom smislu definiˇsimo
preslikavanje ↓: T → P (A) na sledec´i nacˇin:
↓ (x) = {z ∈ T |x ≤ z} (2.42)
gde je P (A) partitivni skup skupa cˇvorova T . Sada nije tesˇko pokazati sledec´i stav.
Teorema 2.3.7. Neka je (T,≤) konacˇno stablo. Kolekcija C = {↓ (x)|x ∈ T} =↓ T , je
povezana T⊇-hijerarhija na skupu T .
Dokaz. Primetimo x ∈↓ (x) za sve x ∈ T . Pokazˇimo prvo da je C ⊇-hijerarhija na T .
Neka je r koren stabla T , ocˇigledno ↓ (r) = T ∈ C. Neka su U, V ∈ C i U 6= V , tada je
U =↓ (x), V =↓ (y), za neke x, y ∈ T . Mora biti x 6= y, jer bi u suprotnom vazˇilo ↓ (x) =↓ (y)
odnosno U = V sˇto je suprotno pretpostavci U 6= V . Neka je U =↓ (x) ∩ V =↓ (y) 6= ∅,
odnosno neka postoji z ∈ T tako da z ∈ U =↓ (x) ∧ z ∈ V =↓ (y), odnosno cˇvorovi x, y su
preci cˇvora z, dakle x, y ∈↑ (z). (T,≤) je stablo pa je skup predaka ↑ (z) dobro ureden pa vazˇi
tacˇno jedan od uslova:
− y  x odnosno V =↓ (y) ) U =↓ (x)
33
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
− x  y odnosno U =↓ (x) ) V =↓ (y)
odnosno vazˇi tacˇno jedan od uslova U ∩ V = ∅ ∨ U ⊂ V ∨ V ⊂ U . Dakle C = {↑ (x)|x ∈ T}
je ⊇-hijerarhija. Ocˇigledno da je to povezana ⊇-hijerarhija jer koren r stabla T je potomak
jedino sebe samog, odnosno vazˇi r ∈↓ (x)⇔ r ∈↓ (r) = T .
Dokazˇimo josˇ da je C T⊇-hijerarhija. Neka su x, y ∈ T i x 6= y, jasno x ∈↓ (x), odnosno y ∈↓
(y). Neka je y ∈↓ (x), u protivnom ako y /∈↓ (x) skup U =↓ (x) razdvaja cˇvorove x, y. U tom
slucˇaju x /∈↓ (y) jer bi u suprotnom bilo x = y, pa skup U =↓ (y) razdvaja c´vorove x, y. Dakle
svaka dva razlicˇita cˇvora stabla T se mogu razdvojiti nekim skupom U iz kolekcije C. Dokazˇimo
josˇ da je unija kolekcije elemenata ⊇-hijerarhije C elemenat hijerarhije C samo ako je jednaka
nekom elementu kolekcije. Neka je {C1, C2, . . . , Ck} kolekcija elemenata ⊇-hijerarhije C i
k ∈ N , tada je Ci =↓ (xi) za neke xi ∈ T i = 1, 2, . . . , k. Pretpostavimo
⋃
Ci =
⋃ ↓ (xi) ∈ C,
odnosno neka postoji cˇvor x ∈ T takav da je ⋃Ci = ⋃ ↓ (xi) =↓ (x) ∈ C. Dokazˇimo da je
↓ (x) =↓ (xi) za neko i ∈ {1, 2, . . . , k}. Iz xi ∈↓ (xi) sledi xi ∈
⋃ ↓ (xi) =↓ (x), odnosno
x ≤ xi za sve i = 1, 2, . . . , k. Sa druge strane je x ∈↓ (x) =
⋃ ↓ (xi) odnosno x ∈↓ (xi)
za neko i ∈ {1, 2, . . . , k}, pa je xi ≤ x za neko i ∈ {1, 2, . . . , k}, kako je pri tome x ≤ xi
zakljucˇujemo da je x = xi odnosno ↓ (x) =↓ (xi) za neko i ∈ {1, 2, . . . , k} sˇto je i trebalo
dokazati.

Vazˇi i obrat, ako je C povezana T⊇-hijerarhija na konacˇnom skupu T tada se skup T mozˇe
urediti nekom relacijom≤ tako da je (T,≤) stablo i svaki element kolekcije C je skup potomaka
nekog cˇvora stabla T . Pre svega pokazˇimo da povezana T⊇-hijerarhija na konacˇnom skupu
T ima isti broj elemenata kao i konacˇan skup T .
Teorema 2.3.8. Neka je C povezana T⊇-hijerarhija na konacˇnom skupu T , tada postoji
bijekcija ↓: T → C
Dokaz. Problem je odrediti cˇvor x ∈ T koji odgovara elementu C ∈ C. Kako je C povezana
⊇-hijerarhija, postoji istaknuti element r ∈ T , koji c´emo pridruzˇiti elementu T ∈ C. Neka
je x ∈ T i x 6= r proizvoljan cˇvor. Kako je C T⊇-hijerarhija postoji U ∈ C tako da tacˇno
jedan od x i r pripada U , ocˇigledno je da je jedina moguc´nost da x ∈ U . Dakle za svaki cˇvor
x ∈ T postoji U ∈ C tako da vazˇi x ∈ U , odnosno svaki cˇvor je elemenat bar jednog podskupa
skupa cˇvorova T iz kolekcije C. Neka je x ∈ T oznacˇimo sa Cx kolekciju elemenata povezane
T⊇-hijerarhije C koji sadrzˇe cˇvor x:
Cx = {U ∈ C|x ∈ U} (2.43)
Na osnovu prethodnog razmatranja Cx je neprazna kolekcija za sve x ∈ T . Sada mozˇemo
formirati skupove:
∩x =
⋂
{U ∈ C|x ∈ U} =
⋂
Cx (2.44)
Ocˇigledno x ∈ ∩x. Kako skupovi iz kolekcije Cx = {U ∈ C|x ∈ U} imaju neprazan presek i
pri tome je C konacˇna ⊇-hijerarhija postoji U0 ∈ Cx tako da je ∩x =
⋂ Cx = U0 ∈ C. Dakle
34
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
za sve x ∈ T ∩x je elemenat kolekcije C, odnosno {∩x|x ∈ T} ⊆ C. Posebno ∩x je najmanji
elemenat kolekcije C koji sadrzˇi x, odnosno za x ∈ T i U ∈ C vazˇi:
x ∈ U ⇒ ∩x ⊆ U (2.45)
Pokazˇimo da je ovim povezana T⊇-hijerarhija C iscrpljena, odnosno C = {∩x|x ∈ T}. Pretpo-
stavimo suprotno, neka postoji C ∈ C i za svako x ∈ T , C 6= ∩x. Neka je C = {x1, x2, . . . , xk} ⊆
T i k ∈ N . Kako je xi ∈ C mora biti ∩xi ⊆ C za sve i = 1, 2, . . . , k odnosno
⋃∩xi ⊆ C.
Sa druge strane za svako xi ∈ C vazˇi xi ∈ ∩xi pa vazˇi C ⊆
⋃∩xi, dakle ⋃∩xi = C.
Kako je C T⊇-hijerarhija i pri tome je
⋃∩xi = C ∈ C mora biti ⋃∩xi = C = ∩xi za neko
i ∈ {1, 2, . . . , k} sˇto je suprotno pretpostavci, dakle C = {∩x|x ∈ T}.
Pokazˇimo josˇ da u C = {Cx|x ∈ T} nema istih, odnosno da razlicˇitim cˇvorovima x, y ∈ T
odgovaraju razlicˇiti ∩x,∩y ∈ C. Neka su x, y ∈ T i neka je x 6= y, pretpostavimo ∩x = ∩y ∈ C.
Kako x, y ∈ ∩x = ∩y i C je T⊇-hijerarhija, postoji C ∈ C tako da tacˇno jedan od x i y pripada
C. Neka x ∈ C i y /∈ C. U ovom slucˇaju iz x ∈ C sledi ∩x ⊆ C pa i y ∈ C sˇto je suprotno
pretpostavci, dakle ∩x 6= ∩y. Dakle preslikavanje ↓: T → C definisano sa ↓ (x) = ∩x je dobro
definisano i pri tome je bijekcija.

Teorema 2.3.9. Neka je C povezana T⊇-hijerarhija na konacˇnom skupu T , tada postoji
uredenje ≤ skupa T tako da je (T,≤) stablo i svaki element kolekcije C je skup potomaka
nekog cˇvora stabla T u odnosu na tako uvedeno uredenje ≤.
Dokaz. Preslikavanje ↓: T → C definisano sa:
↓ (x) = ∩x =
⋂
{U ∈ C|x ∈ U} =
⋂
Cx (2.46)
je bijekcija na osnovu prethodnog stava. Uredimo skup T na sledec´i nacˇin:
y ≤ x⇔ ∩y ⊇ ∩x (2.47)
Na ovaj nacˇin ↓ je izomorfizam struktura (T,≤) i (C,⊇), pa je struktura (T,≤) stablo, jer je
to slucˇaj sa strukturom (C,⊇). Dokazˇimo sada da je pri ovakvom uredenju cˇvorova stabla T ,
svaki elemenat povezane T⊇-hijerarhije C skup potomaka nekog cˇvora x stabla T . Dovoljno je
dokazati da za x ∈ T vazˇi {y ∈ T |x ≤ y} = ∩x.
Neka je y ∈ {y ∈ T |x ≤ y}, odnosno neka je x ≤ y. S obzirom kako je uvedeno uredenje
≤ bic´e ∩x ⊇ ∩y. Kako je y ∈ ∩y mora biti y ∈ ∩x. Dakle ↓ (x) ⊆ ∩x. Dokazˇimo i obrat
∩x ⊆ {y ∈ T |x ≤ y}. Pretpostavimo da je y ∈ ∩x, tada je ∩x ∈ Cy pa mora biti ∩y ⊆ ∩x
odnosno s obzirom na definiciju relacije ≤ vazˇi x ≤ y dakle y ∈ {y ∈ T |x ≤ y}. Dakle
↓ (x) = ∩x = {y ∈ T |x ≤ y}, sˇto je i trebalo dokazati.

Iz navedenog zakljucˇujemo da nema razlike izmedu konacˇnog stabla (T,≤) i povezane T⊇-
hijerarhije C na skupu T , odnosno to su izomorfne strukture. Dakle umesto stabla (T,≤)
35
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
mozˇemo posmatrati povezanu T⊇-hijerarhiju C na skupu T , pri tome se odnos izmedu cˇvorova
stabla (T,≤) preslikava na odnos izmedu elemenata kolekcije C na sledec´i nacˇin:
y ≤ x⇔↓ (y) ⊇↓ (x) (2.48)
gde su x, y ∈ T , ↓ (x), ↓ (y) ∈ C odgovarajuc´i elementi struktura (T,≤) i (C,⊇). U ovom
modelu cˇvor x ∈ T se reprezentuje skupom cˇvorova ↓ (x) kojima je on predak, odnosno
cˇvorovima podstabla kojima je on koren. Ovo je takozvani model sa ugnjezˇdenim skupovima
(nested sets model) (2.8).
A
{A,B,C,D,E, F,G,H, I, J,K,L}
B
{B,E, F,G, J}
E
{E}
F
{F, J}
J
{J}
G
{G}
C
{C}
D
{D,H, I,K,L}
H
{H,K,L}
K
{K}
L
{L}
I
{I}
Slika 2.8: Ugnjezˇdeni skupovi-Skupovi potomaka
Dakle za obelezˇje cˇvora x ∈ T uzimamo skup njegovih potomaka ↓ (x). Cilj je opisati skup
↓ (x) u kompaktnoj formi. Za razliku od modela sa izlistanim putanjama, obelezˇje cˇvora u
ovom slucˇaju skup potomaka, nije u opsˇtem slucˇaju dobro ureden. Kompaktnu formu skupa
potomaka mozˇemo obezbediti ako na pogodan nacˇin indeksiramo cˇvorove stabla, a to se mozˇe
postic´i ako su cˇvorovi svakog podstabla indeksirani uzastopnim prirodnim brojevima. U tom
slucˇaju je obelezˇje cˇvora skup indeksa njegovih potomaka:
↓ (x) = {i, i+ 1, . . . , i+ k} (2.49)
Kako se radi o uzastopnim indeksima, skup ↓ (x) c´e biti interval prirodnih brojeva [i, i+k], pri
cˇemu je i indeks samog cˇvora x, i+k je indeks njegovog poslednjeg indeksiranog potomaka, a
k je broj njegovih potomaka. Dakle obelezˇje cˇvora x ∈ T je ureden par (leftx, rightx) koji cˇine
leva i, odnosno desna i + k granica intervala prirodnih brojeva. Ovakvom reprezentacijom
stabla neposredno se proverava da li je dati cˇvor x predak cˇvora y na sledec´i nacˇin:
36
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
y ≤ x ⇔ ↓ (y) ⊇↓ (x)
⇔ [lefty, righty] ⊇ [leftx, rightx]
⇔ lefty ≤ leftx ∧ rightx ≤ righty
iskoristimo li osobinu ⊇-hijerarhije na T , imac´emo:
y ≤ x⇔ lefty ≤ leftx ≤ righty (2.50)
ili simetricˇno:
y ≤ x⇔ lefty ≤ rightx ≤ righty (2.51)
Postavlja se pitanje kako resˇiti problem indeksiranja cˇvorova stabla koje bi imalo navedenu
osobinu. Primetimo sledec´e, prvo se indeksira cˇvor, a zatim njegovi potomci. Ako zanemarimo
indeksiranje, onda se problem resˇava tako sˇto prvo obilazimo cˇvor, a zatim njegove potomke
[5]. Ovo je tacˇno pre-order obilazak stabla (2.2). Dakle cˇvorovima stabla se mogu pridruzˇiti
obelezˇja, odnosno leva i desna granica tako sˇto se stablo obilazi na pre-order nacin. Prvo
se obilazi cˇvor pa njegova podstabla i to od krajnjeg levog do krajnjeg desnog podstabla.
Vrednosti za granice (indeksi cˇvorova) su uzastopni prirodni brojevi 1, 2, . . .. Leva granica
(indeks samog cˇvora) se formira u prvom prolazu kroz cˇvor i njena vrednost je sledec´a vrednost
indeksa. Desna granica (indeks poslednjeg indeksiranog potomka) se formira pri povratku u
cˇvor i njena vrednost je tekuc´a vrednost indeksa (poslednji iskoriˇsc´eni indeks) (2.9).
A1 12
B2 6
E3 3 F4 5
J5 5
G6 6
C7 7 D8 12
H9 11
K10 10 L11 11
I12 12
Slika 2.9: Skup potomaka
Za razliku od modela sa izlistanim putanjama, u ovom modelu se za zadati cˇvor ne mozˇe
37
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
neposredno zakljucˇiti koji su njegovi preci, ali se sa druge strane mozˇe neposredno odrediti
broj potomaka datog cˇvora.
2.3.6 Model sa ugnjezˇdenim intervalima
U modelu sa ugnjezˇdenim skupovima svakom cˇvoru se pridruzˇuje obelezˇje koje je skup nje-
govih potomaka. Pogodnom numeracijom cˇvorova stabla, to mozˇe biti interval prirodnih
brojeva. Osnovni problem je nemoguc´nost efikasnog umetanja novih cˇvorova jer interval pri-
rodnih brojeva nije dovoljno gust, pa se svakako mora vrsˇiti ponovna numeracija cˇvorova
da bi se napravio prostor za novi cˇvor. Ako umesto intervala prirodnih brojeva uzmemo
interval racionalnih (realnih) brojeva problem umetanja cˇvorova c´e biti resˇen. U zavisnosti
od toga koji se podinterval intervala pridruzˇenog nadredenom cˇvoru dodeljuje podredenom
cˇvoru dobic´emo razlicˇite tipove modela sa ugnjezˇdenim intervalima.
Binarni model sa ugnjezˇdenim intervalima
Jedan tip modela sa ugnjezˇdenim intervalima mozˇe biti sledec´i [7]. Pridruzˇimo korenu stabla
neki interval, bez gubitka opsˇtosti to mozˇe biti interval (0, 1) i to je na pocˇetku slobodni
interval korena. Dalje se svakom potomku pridruzˇuje leva polovina slobodnog intervala. Na
primer, prvom potomku korena se pridruzˇuje interval
(
0,
1
2
)
i nakon ovog pridruzˇivanja
slobodan interval korena je interval
(
1
2
, 1
)
. Sledec´em potomku se na isti nacˇin pridruzˇuje
leva polovina novog slobodnog intervala
(
1
2
, 1
)
, a to je interval
(
1
2
,
1
2
+
1
22
)
=
(
1
2
,
3
4
)
(2.10):
A0 1
B C D0
1
2
3
4
7
8
E F G H0
1
4
3
8
7
16
3
4
13
16
27
32
Slika 2.10: Selekcija intervala
Uopsˇte neka je cˇvoru stabla pridruzˇen interal (l, r), to je na pocˇetku i slobodan interval
tog cˇvora. Potomku cˇvora se dodeljuje leva polovina njegovog slobodnog intervala, odnosno
interval (l,
l + r
2
). Novi slobodni interval uocˇenog cˇvora je desna polovina polaznog intervala
(l, r), odnosno interval (
l + r
2
, r). Ovo je takozvani binarni model sa ugnjezˇdenim intervalima
38
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
(2.11):
A
(0, 1)
B
(
0,
1
2
)
E
(
0,
1
4
)
F
(
1
4
,
3
8
)
J
(
1
4
,
5
16
)
G
(
3
8
,
7
16
)
C
(
1
2
,
3
4
)
D
(
3
4
,
7
8
)
H
(
3
4
,
13
16
)
K
(
3
4
,
25
32
)
L
(
25
32
,
51
64
)
I
(
13
16
,
27
32
)
Slika 2.11: Binarni model
Problem kod ovog modela je sˇto obelezˇja (imenioci granica intervala) eksponencijalno rastu.
Ovo se mozˇe resˇiti na sledec´i nacin. Primetimo da je duzˇina intervala koji se pridruzˇuje cˇvoru
drveta jednaka
1
2k
k ∈ N , ako iskoristimo binarni zapis leve odnosno desne granice intervala,
intervali koji se pridruzˇuju cˇvorovima drveta (sem korena kome je pridruzˇen interval (0, 1) su
sledec´eg oblika:
(0.a1a2 . . . ak−1, 0.a1a2 . . . ak−11), ai ∈ {0, 1} (2.52)
Ocˇigledno je interval pridruzˇen cˇvoru u potpunosti odreden svojom desnom granicom. Dakle
dovoljno je za obelezˇje cˇvora uzeti desnu granicu pridruzˇenog intervala. Obelezˇje korena
c´e biti 1, a ostalih cˇvorova zapis oblika 0.a1a2. . . ak−11. Zapis desne granice pridruzˇenog
intervala dalje mozemo shvatiti kao recˇ nad binarnom azbukom A2 = {0, 1} koja se zavrsˇava
slovom 1. Ocˇigledno mozˇemo izbaciti zavrsˇno slovo 1 i dobic´emo skup obelezˇja koji cˇine
prazna recˇ (obelezˇje korena) i recˇi binarne azbuke koje pocˇinju slovom 0 (obelezˇja cˇvorova
koji nisu koren), ovo su prakticˇno zapisi levih granica pridruzˇenih intervala (2.12).
39
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
A
B
0
E
00
F
001
J
0010
G
0011
C
01
D
011
H
0110
K
01100
L
011001
I
01101
Slika 2.12: Binarni model sa levom granicom
Primetimo da obelezˇje cˇvora pri sledec´oj interpretaciji:
· 0 - spusti se na nivo ispod krajnjom levom granom
· 1 - predi na sledec´i cˇvor na istom nivou.
predstavlja putanju od korena do datog cˇvora. Na primer, cˇvoru L je pridruzˇen interval(
25
32
,
51
64
)
, zapis desne granice je sledec´a recˇ 0110011 nad binarnom azbukom A2:
51
64
=
0
20
+
1
21
+
1
22
+
0
23
+
0
24
+
1
25
+
1
26
Ako izbacimo zavrsˇno slovo 1 dobic´emo obelezˇje (binarni zapis leve granice) 011001 cˇvora L
koje se dalje interpretira na sledec´i nacˇin:
· 0 - spusti se na nivo ispod krajnjom levom granom (cˇvor B)
· 1 - predi na sledec´i cˇvor na istom nivou (cˇvor C)
· 1 - predi na sledec´i cˇvor na istom nivou (cˇvor D)
· 0 - spusti se na nivo ispod krajnjom levom granom (cˇvor H)
· 0 - spusti se na nivo ispod krajnjom levom granom (cˇvor K)
· 1 - predi na sledec´i cˇvor na istom nivou (cˇvor L)
Primetimo sledec´e, duzˇina poodrecˇi koja pocˇinje slovom 0 (prelazak na nizˇi nivo) do sledec´eg
slova 0 predstavlja indeks cˇvora na tekuc´em nivou u modelu sa izlistanim putanjama. Dakle,
ako izvrsˇimo opisanu transformaciju obelezˇja cˇvora, dobic´emo:
· 011 - trec´i cˇvor na prvom nivou (1.3)
40
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
· 0 - prvi cˇvor na drugom nivou (1.3.1)
· 01 - drugi cˇvor na trec´em nivou (1.3.1.2)
sˇto je obelezˇje cˇvora u modelu sa izlistanim putanjama, odnosno Dewey-jeva decimalna no-
tacija. Slicˇno kao u modelu sa izlistanim putanjama i u ovom modelu je problem sˇto se ne
mozˇe efikasno umetati cˇvor, odnosno novi cˇvor se na isti nacˇin kao i u modelu sa izlistanim
putanjama dodaje uvek na kraj postojec´eg niza potomaka na datom nivou. Na primer, novi
potomak X cˇvora D ide na kraj postojec´e liste potomaka H, I (2.13)
A
B
0
E
00
F
001
J
0010
G
0011
C
01
D
011
H
0110
K
01100
L
011001
I
01101
X
011011
Slika 2.13: Binarni model insert - D ≤ X
Problem umetanja cˇvorova je posledica toga sˇto susedni potomci imaju zajednicˇku granicu
tako da se novi cˇvor ne mozˇe efikasno umetati, a da se pri tome postigne zˇeljeno uredenje
potomaka. Ovo se izmedu ostalog mozˇe resˇiti na neki od sledec´a dva nacˇina:
1) preoznacˇavanjem odgoarajuc´ih cˇvorova stabla. Na primer, dodajmo cˇvor X koji c´e biti
potomak cˇvora D, tako da se postigne sledec´e uredenje X < H < I potomaka cˇvora
D. Cˇvorovi u podstablima sa korenom u H i I c´e biti preoznacˇeni, odnosno dobic´e nova
obelezˇja (2.14)
41
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
A
B
0
E
00
F
001
J
0010
G
0011
C
01
D
011
X
0110
H
01101
K
011010
L
0110101
I
011011
Slika 2.14: Binarni model insert - X < H
2) samo pridruzˇivanje podintervala se vrsˇi tako da uvek ostaje slobodan levi odnosno desni
podinterval, pa je uvek moguc´e umetati cˇvor levo ili desno od postojec´eg, odnosno moguc´e
je postic´i zˇeljeno uredenje potomaka. Ovo se mozˇe postic´i ako se sakom novom cˇvoru
dodeljuje neki srednji deo slobodnog intervala nadredenog cˇvora.
Ocˇigledno je prvo resˇenje neefikasno jer se u proseku zahteva azˇuriranje obelezˇja na polovini
cˇvorova stabla. Razmotric´emo dakle drugo resˇenje problema umetanja cˇvorova.
Ternarni model sa ugnjezˇdenim intervalima
Ovaj tip modela sa ugjnezˇdenim intervalima mozˇemo definisati na sledec´i nacin. Slicˇno kao
sˇto je to uradeno u prethodnom modelu, korenu stabla se pridruzˇuje interval (0, 1) i to je na
pocˇetku jedini slobodni interval korena. Dalje se svakom potomku datog cˇvora pridruzˇuje
srednja trec´ina nekog njegovog slobodnog intervala. Na primer, prvom potomku korena pri-
druzˇujemo interval
(
2 · 0 + 1
3
,
0 + 2 · 1
3
)
=
(
1
3
,
2
3
)
, Drugi potomak korena mozˇemo smestiti
levo od prvog potomka i tada biramo podinterval levog slobodnog intervala
(
0,
1
3
)
ili ga
mozˇemo smestiti desno kada biramo podinterval desnog slobodnog intervala
(
2
3
, 1
)
(2.15).
42
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
A0 1
B C
1
3
2
3
7
9
8
9
25
27
26
27
E
4
9
5
9
16
27
17
27
22
27
Slika 2.15: Selekcija intervala
Uopsˇte neka je cˇvoru stabla pridruzˇen interal (l, r), to je na pocˇetku i jedini slobodni interval
tog cˇvora. Potomku cˇvora se pridruzˇuje podinterval nekog njegovog slobodnog intervala i to
na sledec´i nacˇin. Bira se slobodni interval datog cˇvora, neka je to interval (l, r). Potomku
datog cˇvora se dodeljuje interval ((2l + r)/3, (l + 2r)/3), odnosno srednja trec´ina izabranog
slobodnog intervala. Na ovaj nacˇin ostaju dva slobodna intervala:
− levi podinterval: (l, (2l + r)/3)
− desni podinterval: ((l + 2r)/3, r)
za nove potomke datog cˇvora. Ocˇigledno se umetanje cˇvorova mozˇe izvesti tako da se postigne
zˇeljeno uredenje potomaka, nezavisno od redosleda smesˇtanja cˇvorova. Ovo je takozvani
ternarni model sa ugnjezˇdenim intervalima (2.16).
A
(0, 1)
B
(
1
3
,
2
3
)
E
(
4
9
,
5
9
)
F
(
16
27
,
17
27
)
J
(
49
81
,
50
81
)
G
(
52
81
,
53
81
)
C
(
7
9
,
8
9
)
D
(
25
27
,
26
27
)
H
(
76
81
,
77
81
)
K
(
229
243
,
230
243
)
L
(
691
729
,
692
729
)
I
(
232
243
,
233
243
)
Slika 2.16: Ternarni model
43
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
Slicˇno kao i u prethodnom modelu, problem je sˇto obelezˇja (imenioci granica intervala) ekspo-
nencijalno rastu. Po ugledu na resˇenje u slucˇaju binarnog modela sa ugnjezˇdenim intervalima,
ovde c´emo koristiti ternarni zapis granica intervala. Primetimo da su uzimajuc´i u obzir nacˇin
formiranja podintervala, leva odnosno desna granica jedinstvene. Isto tako, duzˇina intervala
koji se pridruzˇuje nekom cˇvoru stabla jednaka je
1
3k
k ∈ N . Nije tesˇko pokazati da je ternarni
zapis intervala koji se pridruzˇuju cˇvorovima stabla sledec´eg oblika:
(0.a1a2 . . . ak−11, 0.a1a2 . . . ak−12), ai ∈ {0, 1, 2} (2.53)
Ocˇigledno je interval jedinstveno odreden svojom levom (desnom) granicom. Dakle dovoljno
je za obelezˇje cˇvora uzeti samo na primer, levu granicu i to njen ternarni zapis. Obelezˇje
korena c´e biti 0, a ostalih cˇvorova zapis oblika 0.a1a2 . . . ak−11. Slicˇno kao sˇto je to uradeno
u prethodnom modelu, zapis leve granice intervala mozemo shvatiti kao recˇ nad ternarnom
azbukom A3 = {0, 1, 2} koja pocˇinje slovom 0, a ako je duzˇine vec´e od 1 onda se mora
zavrsˇavati slovom 1. Ocˇigledno mozˇemo izbaciti pocˇetno slovo 0 i dobic´emo skup obelezˇja
koji cˇine prazna recˇ (obelezˇje korena) i recˇi ternarne azbuke koje se zavrsˇavaju slovom 1
(obelezˇja cˇvorova koji nisu koren). Slova u recˇi koja je obelezˇje cˇvora opisuju izbor intervala
koji se pridruzˇuje datom cˇvoru i to na sledec´i nacˇin:
· 0 - tekuc´i interval je levi podinterval tekuc´eg intervala
· 1 - izbor srednjeg podintervala tekuc´eg intervala (ide se na sledec´i nivo)
· 2 - tekuc´i interval je desni podinterval tekuc´eg intervala
polazec´i od intervala (0, 1) koji je pridruzˇen korenu stabla (2.17).
A
B
1
E
11
F
121
J
1211
G
1221
C
21
D
221
H
2211
K
22111
L
221121
I
22121
Slika 2.17: Ternarni model sa levom granicom
44
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
Nije tesˇko pokazati da za cˇvorove stabla x i y sa obelezˇjima leftx i lefty u ovom modelu vazˇi:
x ≤ y ⇔ leftx ≤p lefty (2.54)
gde je ≤p relacija prefiks na uocˇenom skupu obelezˇja. Na primer, cˇvoru L je pridruzˇen interval(
691
729
,
692
729
)
, pa je zapis leve granice bez vodec´e 0:
691
729
=
2
31
+
2
32
+
1
33
+
1
34
+
2
35
+
1
36
recˇ 221121 nad ternarnom azbukom A3 i to je obelezˇje cˇvora L. Prethodnici cˇvora L su
cˇvorovi sa obelezˇjem koje je prefiks obelezˇja cˇvora L i zavrsˇavaju se slovom 1:
· 2211 - cˇvor H
· 221 - cˇvor D
· ε - cˇvor A (koren stabla)
gde je ε prazna recˇ.
U ovom modelu se za razliku od binarnog modela sa ugnjezˇdenim intervalima, odnosno
modela sa izlistanim putanjama mozˇe efikasno umetati cˇvor, a da se pri tome postigne zˇeljeno
uredenje potomaka datog cˇvora. Na primer, dodajmo cˇvorove X, Y , Z koji su potomci
cˇvora D tako da se postigne sledec´e uredenje X < H < Y < I < Z potomaka cˇvora D.
Odgovarajuc´a obelezˇja su:
X - 221+01 na cˇvoru D biramo levi podinterval 0 (cˇvoru H je pridruzˇen srednji podinterval),
a zatim se spusˇtamo na sledec´i nivo 1 (2.18)
A
B
1
E
11
F
121
J
1211
G
1221
C
21
D
221
X
22101
H
2211
K
22111
L
221121
I
22121
Slika 2.18: Ternarni model - insert X < H
45
Hijerarhijske strukture podataka Modeli stabla
Y - 221+201 na cˇvoru D biramo desni podinterval 2 (cˇvoru H je pridruzˇen srednji podin-
terval), sredina desnog podintervala je cˇvor I zato dalje biramo levi podinterval 0 i na
kraju se spusˇtamo na sledec´i nivo 1 (2.19)
A
B
1
E
11
F
121
J
1211
G
1221
C
21
D
221
H
2211
K
22111
L
221121
Y
221201
I
22121
Slika 2.19: Ternarni model - insert H < Y < I
Z - 221+221 na cˇvoru D biramo desni podinterval 2 (cˇvoru H je pridruzˇen srednji podinter-
val), sredina desnog podintervala je cˇvor I zato dalje biramo desni podinterval 2 i na
kraju se spusˇtamo na sledec´i nivo 1 (2.20)
A
B
1
E
11
F
121
J
1211
G
1221
C
21
D
221
H
2211
K
22111
L
221121
I
22121
Z
221221
Slika 2.20: Ternarni model - insert I < Z
46
Glava 3
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova
3.1 Uvodna razmatranja
U delu planiranja odrzˇavanja, jedan od osnovnih problema izmedu ostalog je neizvesnost
dogadaja koji znacˇajno uticˇu na efikasnost odrzˇavanja. Recˇ je o dogadajima koji su po svojoj
prirodi slucˇajni. Ovi slucˇajni dogadaji su pored ostalog vezani za:
− vremenski trenutak otkaza rezervnog dela
− vremenski trenutak zahteva za nekim delom
− vreme isporuke, odnosno vreme potrebno za sklapanje (pripremu) rezervnog dela
Posebno, podrazumevalo se da je vreme isporuke odnosno vreme potrebno za pripremu re-
zervnog dela nula (rezervni deo je neposredno dostupan), a to je pretpostavka neogranicˇenih
resursa sˇto je uglavnom redak slucˇaj. Kako mnogo faktora uticˇe na ovo vreme, ono po pra-
vilu uvek ima neko slucˇajano odstupanje. Za neke analize vreme isporuke odnosno vreme
sklapanja rezervnog dela se mozˇe ignorisati, ali u analizi kompletnog sitema odrzˇavanja ova
odstupanja bitno degradiraju performanse sistema. Pod vremenom isporuke (lead time) za
dati rezervni deo podrazumeva se:
− vreme koje je potrebno da bi se rezervni deo dopremio iz nekog spoljnjeg izvora
− vreme koje je potrebno da bi se rezervni deo sklopio prema utvrdenoj proceduri skla-
panja
− vreme da bi se poluproizvod obradio do nivoa gotovog rezervnog dela
Na ovo vreme uticˇe mnosˇtvo faktora. Neki od faktora su:
− problemi u transportu
− kvar na masˇinama
− problemi vezani za kvalitet
47
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Uvodna razmatranja
Ovi faktori su po svojoj prirodi slucˇajne velicˇine, pa je i ovo vreme isporuke po pravilu
slucˇajna velicˇina. Jedan od pristupa kojim se mozˇe umanjiti uticaj ovih slucˇajnih velicˇina
je skladiˇstenje gotovih rezervnih delova, odnosno odrzˇavanje zaliha gotovih rezervnih delova.
U slucˇaju da je ovaj nivo iznad odgovarajuc´eg javic´e se nepotrebni trosˇkovi skladiˇstenja. Sa
druge strane ako je nivo zaliha ispod odgovarajuc´eg nivoa javic´e se trosˇkovi kasˇnjenja. Cilj
je odrzˇavati nivo zaliha kojim se obezbeduju minimalni trosˇkovi skladiˇstenja sa jedne strane
a pri tome se garantuje visok nivo raspolozˇivosti gotovih delova kako bi se minimizovali
trosˇkovi kasˇnjenja. Za uspesˇno resˇavanje ovog problema neophodno je razviti odgovarajuc´e
matematicˇke modele koji c´e na odgovarajuc´i nacˇin tretirati neizvesnost pojedinih faktora u
sistemu odrzˇavanja. Posebno problem odredivanja nivoa zaliha rezervnih delova u kontekstu
slucˇajnog broja zahteva za rezervnim delovima je problem koji je najviˇse izucˇavan i analiziran.
Kako je narucˇivanje i prodaja dnevnih novina ilustrativna metafora za ovaj tip problema, za
probleme ovog tipa koristi se termin newsboy problem, a za odgovarajuc´i model se koristi
termin newsboy model [28]. Newsboy problemi nisu samo problemi iz oblasti upravljanja
zalihama, oni se javljaju u svim situacijama kada treba izvrsˇiti ocenu neke slucˇajne promen-
ljive, a ta ocena je rezultat kompromisa izmedu gubitaka u slucˇaju da je vrednost slucˇajne
promenljive precenjena i gubitaka koji su posledica potcenjene vrednosti slucˇajne promen-
ljive. Posebno ovaj problem se mozˇe iskoristiti u situacijama kada treba odrediti optimalni
vremenski trenutak kada treba zapocˇeti neku aktivnost odrzˇavanja.
U planiranju odrzˇavanja cˇesta je sledec´a situacija. Neki skup aktivnosti odrzˇavanja ima
hijerarhijsku strukturu i pri tome je trajanje svake aktivnosti slucˇajna velicˇina. Pod pretpo-
stavkom da aktivnost na viˇsem nivou hijerarhije ne mozˇe zapocˇeti pre nego sˇto su zavrsˇene
sve aktivnosti na nizˇem nivou hijerarhije i da su poznati gubici koji nastaju u slucˇaju da se
sa nekim aktivnostima kasni, odnosno da su poznati gubici u slucˇaju da su neke aktivnosti
preuranjene, potrebno je formirati optimalnu strategiju aktiviranja aktivnosti iz datog skupa.
Bez gubitka opsˇtosti mozˇemo pretpostaviti da su te aktivnosti vezane za proces sklapanja
(pripreme) rezervnog dela koji je opisan odgovarajuc´im stablom sklapanja. Dakle u kontekstu
sklapanja rezervnih delova problem je sledec´i. Zahteva se da neki finalni sklop (rezervni deo)
bude sklopljen (raspolozˇiv) u datom vremenskom trenutku. Neka su aktivnosti sklapanja
(pripreme) datog finalnog sklopa opisane stablom sklapanja. Vreme potrebno za sklapanje
svakog od podsklopova je slucˇajna velicˇina. Sklapanje nadsklopa ne mozˇe zapocˇeti pre nego
sˇto su svi podsklopovi raspolozˇivi. U slucˇaju da je neki podsklop sklopljen ranije javic´e se
trosˇkovi skladiˇstenja. Ako je finalni sklop sklopljen pre utvrdenog roka javic´e se trosˇkovi
skladiˇstenja, slicˇno ako je sklapanje finalnog sklopa zavrsˇeno nakon utvrdenog roka javic´e
se trosˇkovi kasˇnjenja. Potrebno je odrediti optimalne vremenske trenutke aktiviranja faza
sklapanja pojedinih podsklopova tako da se sklapanje finalnog sklopa zavrsˇi uz minimalne
trosˇkove.
Problem o kome je recˇ je u susˇtini isuviˇse komplikovan u opsˇtem slucˇaju, kada je proces
sklapanja opisan stablom sklapanja proizvoljnog nivoa. Problem se znacˇajno uprosˇc´ava ako
se resˇenje problema za stablo visine jedan iterativno primeni na podstblima datog stabla
sklapanja proizvoljnog nivoa. Na ovaj nacˇin se resˇenje jednostavnijeg problema na stablu
visine jedan mozˇe na odgovarajuc´i nacˇin produzˇiti na stabla sklapanja proizvoljne visine.
48
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Uvodna razmatranja
Primeri takvih istrazˇivanja su [30], koji obradjuje slicˇan problem u sistemu sklapanja sa dva
odnosno tri nivoa, pri tome je glavna potesˇkoc´a u ovom modelu predstavljanje funkcije cilja u
konacˇnom obliku za sisteme sklapanja nivoa vec´eg od tri. U [8], je razvijena rekurzivna sˇema
za efikasno izracˇunavanje funkcije cilja u sistemima sklapanja proizvoljnog nivoa. Primeri
radova koji analiziraju slicˇne probleme za jednostepene odnosno dvostepne sisteme su [6], [10]
i [29]. Slicˇno resˇenje koje se sastoji u iterativnoj primeni resˇenja jednostavnijeg problema se
mozˇe nac´i u [2].
49
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Newsboy model
3.2 Newsboy model
U sistemima za odrzˇavanje vazduhoplova newsboy model se mozˇe direktno koristiti u slucˇajevima
kada treba proceniti vremena isporuke odnosno vremena sklapanja rezervnih delova. Neka
je poznat vremenski trenutak t0 kad je neophodno da rezervni deo bude raspolozˇiv i neka
je slucˇajna promenljiva L vreme isporuke (lead time) rezervnog dela, odnosno vreme koje je
potrebno da bi se sklopio zahtevani rezervni deo. U daljem tekstu c´emo podrazumevati da se
rezervni delovi sklapaju, odnosno slucˇajna promenljiva L predstavlja vreme neophodno da bi
se sklopio neki rezervni deo i bio raspolozˇiv za ugradnju. Prirodno je pretpostaviti da je vreme
sklapanja L nenegativna ogranicˇena slucˇajna promenljiva. Potrebno je odrediti vremenski
trenutak t∗0 kada treba zapocˇeti proces sklapanja rezervnog dela. Neka je vremenski trenutak
t∗0 odreden na neki nacˇin, slucˇajna promenljiva t∗0 + L predstavlja vremenski trenutak kada
je rezervni deo raspolozˇiv. Neka su pri tom poznati jedinicˇni trosˇkovi:
− h skladiˇstenja rezervnog dela u slucˇaju da je realizovano vreme sklapanja takvo da
je vremenski trenutak u kome je rezervni deo raspolozˇiv nastupio pre utvrdenog roka
(holding cost)
− b kasˇnjenja u slucˇaju da je realizovano vreme sklapanja takvo da je vremenski trenutak
u kome je rezervni deo raspolozˇiv nastupio nakon utvrdenog roka (backlogging cost)
Pretpostavimo da su trosˇkovi skladiˇstenja odnosno kasˇnjenja proporcionalni odstupanju pro-
cene od realizovane vrednosti, odnosno pretpostavimo da su ovi trosˇkovi proporcinalni vre-
menu cˇekanja na ugradnju odnosno vremenu kasˇnjenja ugradnje. Funkcija ukupnih trosˇkova
C je u ovom slucˇaju jednaka:
C = C(t∗0, t0, L)
= h · (t0 − (t∗0 + L))+ + b · ((t∗0 + L)− t0)+ (3.1)
= h · ((t0 − t∗0)− L)+ + b · (L− (t0 − t∗0))+
Oznacˇimo sa τ0 = t0 − t∗0, tada je:
C = C(τ0, L) = h · (τ0 − L)+ + b · (L− τ0)+ (3.2)
Ovaj model daje ukupne trosˇkove koji su rezultat procene slucˇajne promenljive L vrednosˇc´u
τ0 = t0 − t∗0, sˇto je standardni newsboy model cˇije je resˇenje:
F (τ∗) =
b
b+ h
(3.3)
odnosno:
τ∗ = F−1
(
b
b+ h
)
(3.4)
50
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Newsboy model
gde je F funkcija raspodele slucˇajne promenljive L. Optimalni vremenski trenutak, kada
treba zapocˇeti sklapanje rezervnog dela je:
t∗0 = t0 − F−1
(
b
b+ h
)
(3.5)
3.2.1 Jedna linija sklapanja
Neka se proces sklapanja sastoji iz n > 1 faza koje se sekvencijalno izvrsˇavaju i neka je recˇ
samo o jednoj liniji sklapanja. Pretpostavimo pri tom da nema skladiˇstenja izmedu pojedinih
faza sklapanja, odnosno sa zavrsˇetkom jedne faze aktivira se sledec´a faza sklapanja (3.1).
Slika 3.1: Jedna linija sklapanja
Neka je Li, i = 1, 2, . . . , n niz slucˇajnih promenljivih koje predstavljaju vremena trajanja i-te
faze respektivno, tada je ukupno vreme sklapanja slucˇajna promenljiva:
L =
n∑
i=1
Li (3.6)
Resˇenje ovog problema je dato sa:
t∗0 = t0 − F−1L
(
b
b+ h
)
(3.7)
gde je FL funkcija raspodele slucˇajne promenljive (3.6). Problem odredivanja raspodele sume
slucˇajnih promenljivih je u opsˇtem slucˇaju slozˇen, ali se mozˇe uprostiti ako uvedemo dodatne
pretpostavke o nizu slucˇajnih promenljivih Li, i = 1, 2, . . . , n. Pretpostavimo da vazˇi:
F−1∑
i
Li
=
∑
i
F−1Li (3.8)
sˇto odgovara linearnosti i aditivnosti vremena u procesu odrzˇavanja. Uslov (3.8) vazˇi ako
51
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Newsboy model
postoji slucˇajna promenljiva X takva da je:
Li = αiX,αi ∈ R, i = 1, 2, . . . , n (3.9)
i u tom slucˇaju resˇenje problema linijskog procesa sklapanja je dato sa:
t∗0 = t0 −
n∑
i=1
F−1Li
(
b
b+ h
)
(3.10)
Pod odredenim uslovima raspodela slucˇajne promenljive (3.6) mozˇe se odrediti koriˇsc´enjem
Centralne Granicˇne Teoreme [1].
3.2.2 Viˇsestruka neodredenost
Neka je poznat vek trajanja datog rezervnog dela i neka je to slucˇajna promenljiva X i neka
je ocˇekivani vek trajanja rezervnog dela E(X). To znacˇi da c´e u nekom trenutku biti neop-
hodna zamena datog rezervnog dela, odnosno dati rezervni deo mora biti raspolozˇiv u nekom
vremenskom trenutku. Ekonomski je neopravdano istovremeno sa ugradnjom rezervnog dela,
obezbediti jedan ili viˇse primeraka koji bi se skladiˇstili do trenutka otkaza ugradenog dela
kada treba izvrsˇiti zamenu. Ako belezˇimo trenutak ugradnje tu rezervnog dela tada slucˇajna
promenljiva T = tu + X predstavlja trenutak otkaza ugradenog rezervnog dela, odnosno
trenutak kada rezervni deo mora biti raspolozˇiv. Jedna od procena trenutka otkaza je:
t0 = E(T ) = tu + E(X) (3.11)
Ako iskoristimo klasicˇan newsboy problem dobic´emo funkciju ukupnih trosˇkova C:
C = C(t∗0, t0, L) = h · (t0 − (t∗0 + L))+ + b · ((t∗0 + L)− t0)+ (3.12)
Potrebno je odrediti optimalni vremenski trenutak t∗0 kada treba zapocˇeti proces sklapanja
datog rezervnog dela. Ako dozvolimo da utvrdeni rok t0 mozˇe biti slucˇajna promenljiva doc´i
c´emo do jednog uopsˇtenja klasicˇnog newsboy modela. Dakle neka je i utvrdeni rok slucˇajna
promenljiva T , funkcija ukupnih trosˇkova C postaje:
C = C(t∗0, T, L)
= h · (T − (t∗0 + L))+ + b · ((t∗0 + L)− T )+ (3.13)
Neka je t0 = E(T )
C = C(t∗0, T, L)
= h · (t0 + (T − t0)− (t∗0 + L))+ + b · ((t∗0 + L)− (t0 + (T − t0)))+ (3.14)
= h · ((t0 − t∗0)− (L− (T − t0)))+ + b · ((L− (T − t0))− (t0 − t∗0))+
Oznacˇimo sa τ0 = t0 − t∗0 i ∆ = T − t0, tada je funkcija ukupnih trosˇkova:
52
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Newsboy model
C = C(τ0,∆, L)
= C(τ0, L−∆) (3.15)
= h · (τ0 − (L−∆))+ + b · ((L−∆)− τ0)+
sˇto je klasicˇan newsboy model . Njegovo resˇavanje se svodi na odredivanje raspodele slucˇajne
promenljive L−∆. Kako postoji veza izmedu gustina raspodela razlike nezavisnih slucˇajnih
promenljivih [1]:
fL−∆(t) =
+∞∫
−∞
fL(t+ x)f∆(x)dx (3.16)
mozˇe se odrediti funkcija raspodele FL−∆ razlike nezavisnih slucˇajnih promenljivih L−∆
FL−∆(t) =
+∞∫
−∞
FL(t+ x)f∆(x)dx (3.17)
dalje se optimalna vrednost:
t∗0 = t0 − F−1L−∆
(
b
b+ h
)
(3.18)
mozˇe odrediti numericˇkim metodama.
53
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
3.3 Simultani zahtev I
Razmotrimo sada opsˇtiji problem kada n > 1 rezervnih delova treba simultano obezbediti u
datom vremenskom trenutku. Neka je proces sklapanja rezervnog dela opisan stablom visine
dva (3.2).
R0
R1 R2 Ri. . . . . . Rn
Slika 3.2: Stablo sklapanja visine 2
Kako u ovoj situaciji rezervni deo ima neku strukturu u daljem tekstu c´emo za rezervni deo
u zavisnosti od uloge u uocˇenoj strukturi koristiti termine sklop, podsklop ili nadsklop. Neka
je t0 vremenski trenutak kada finalni sklop mora biti raspolozˇiv. Neka je vreme sklapanja
finalnog sklopa modelirano slucˇajnom promenljivom L sa funkcijom raspodele F i neka su
dalje h i b, trosˇkovi skladiˇstenja odnosno kasˇnjenja finalnog sklopa. Ovo je klasicˇan newsboy
problem i njegovim resˇavanjem se dobija vremenski trenutak t∗0 kada treba zapocˇeti sklapa-
nje finalnog sklopa. Ako pretpostavimo da proces sklapanja nadsklopa mozˇe zapocˇeti tek
nakon sˇto su svi podsklopovi raspolozˇivi, vremenski trenutak t∗0 je simultani rok do koga
svi podsklopovi finalnog sklopa moraju biti raspolozˇivi. Neka je sklapanje i-tog podsklopa
zapocˇeto u trenutku ti, i = 1, 2, . . . , n, a vreme potrebno za sklapanje i-tog podsklopa nepre-
kidna slucˇajna promenljiva Li, i = 1, 2, . . . , n, sa funkcijom raspodele Fi i funkcijom gustine
fi. Vremenski trenutak kada je i-ti podsklop sklopljen je Ti = ti + Li, i = 1, 2, . . . , n, a
faza sklapanja podsklopova je zavrsˇena u trenutku kada je i poslednji podsklop sklopljen,
odnosno u trenutku Tz = max
i
{Ti}. Kako bi obezbedili da se proces sklapanja zavrsˇava u
konacˇnom vremenu, pretpostavic´emo da su vremena sklapanja Li, i = 1, 2, . . . , n nenegativne
ogranicˇene slucˇajne promenljive. U konacˇnom trenutku Tz svi podsklopovi su raspolozˇivi i
mozˇe zapocˇeti faza sklapanja nadsklopa, posebno ako je i-ti podsklop sklopljen u trenutku
Ti < Tz, i = 1, 2, . . . , n, on se svakako mora skladiˇstiti do trenutka Tz. Pretpostavic´emo da
su jedinicˇni trosˇkovi skladiˇstenja i-tog podsklopa jednaki hi i da su proporcionalni periodu
skladiˇstenja (Tz − Ti), i = 1, 2, . . . , n. Dakle svaki podsklop se od trenutka Ti kada je sklo-
pljen, do trenutka Tz kada su svi podsklopovi sklopljeni, pojedinacˇno skladiˇsti i odgovarajuc´e
trosˇkove skladiˇstenja hi(Tz −Ti), i = 1, 2, . . . , n c´emo zvati pojedinacˇni trosˇkovi skladiˇstenja.
Zbog prirode procesa sklapanja pojedinacˇni trosˇkovi kasˇnjenja ne figuriˇsu u ovom modelu,
odnosno ne postoji podsklop cˇije je sklapanje zavrsˇeno nakon trenutka Tz kada je moguc´e
zapocˇeti sklapanje nadsklopa. Faza sklapanja podsklopova je modelirana grupnom karakte-
ristikom Tz = max
i
{Ti}, pa u zavisnosti od odnosa ove velicˇine i predvidenog roka t∗0 javic´e
se grupni trosˇkovi:
− Tz < t∗0 - podsklopovi su sklopljeni pre predvidenog roka t∗0. Odgovarajuc´e trosˇkove
54
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
c´emo zvati grupni trosˇkovi skladiˇstenja. Slicˇno kao kod pojedinacˇnih trosˇkova skladiˇstenja,
pretpostavimo da su jedinicˇni trosˇkovi grupnog skladiˇstenja jednaki hˆ i neka su propor-
cionalni vremenu grupnog skladiˇstenja (t∗0 − Tz) (3.3).
− Tz > t∗0 - podsklopovi su sklopljeni nakon predvidenog roka t∗0. Odgovarajuc´e trosˇkove
c´emo zvati grupni trosˇkovi kasˇnjenja. Neka su jedinicˇni trosˇkovi grupnog kasˇnjenja
jednaki bˆ i neka su proporcionalni vremenu grupnog kasˇnjenja (Tz − t∗0) (3.4).
Slika 3.3: Grupno skladiˇstenje
Iz ove analize izvodi se funkcija ukupnih trosˇkova:
C = C(t1, . . . , tn, t
∗
0, L1, . . . , Ln)
= hˆ(t∗0 − Tz)+ +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) + bˆ(Tz − t∗0)+ (3.19)
Uzimajuc´i u obzir cˇinjenicu da su trosˇkovi kasˇnjenja samo grupni trosˇkovi kasˇnjenja, u daljem
tekstu c´emo koristiti termin trosˇkovi kasˇnjenja podrazumevajuc´i grupne trosˇkove kasˇnjenja.
Slicˇno koristic´emo termin trosˇkovi koji mozˇe u zavisnosti od konteksta podrazumevati je-
dinicˇne trosˇkove. Problem je sledec´i odrediti vremenske trenutke ti, i = 1, 2, . . . , n, kada
treba zapocˇeti proces sklapanja i-tog podsklopa kako bi, kada su svi podsklopovi sklopljeni u
trenutku Tz, ocˇekivani ukupni trosˇkovi koji su posledica odstupanja od predvidenog roka t
∗
0
bili minimalni. Kako bi obezbedili da nasˇ problem ima jedinstveno resˇenje uvodic´emo neop-
55
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
Slika 3.4: Grupno kasˇnjenje
hodne pretpostavke koje c´e obezbediti konveksnost funkcije [3] ocˇekivanih ukupnih trosˇkova,
a time i jedinstvenost resˇenja.
Primetimo da funkcija ukupnih trosˇkova izmedju ostalih ukljucˇuje i parametre jedinicˇnih
trosˇkova i to:
− jedinicˇne trosˇkove pojedinacˇnog skladiˇstenja podsklopova hi, i = 1, 2, . . . , n
− jedinicˇne trosˇkove grupnog skladiˇstenja hˆ
− jedinicˇne trosˇkove grupnog kasˇnjenja bˆ.
Prirodno je pretpostaviti da su poznati samo jedinicˇni trosˇkovi pojedinacˇnog skladiˇstenja
podsklopova, a da su parametri grupnih trosˇkova hˆ i bˆ funkcije jedinicˇnih trosˇkova h i b
na nadsklopu (u ovom slucˇaju radi se o finalnom sklopu). Opravdano je pretpostaviti da
c´e kasˇnjenje za vremenski period (Tz − t∗0)+ na podsklopovima proizvesti isto kasˇnjenje na
nadsklopu odnosno, trosˇkovi kasˇnjenja na podsklopovima proizvode iste trosˇkove kasˇnjenja
na nadredjenom sklopu. Dakle, opravdano je pretpostaviti:
bˆ(Tz − t∗0)+ = b(Tz − t∗0)+
odnosno jedinicˇni trosˇkovi kasˇnjenja bˆ na neposrednim podsklopovima finalnog sklopa su
jednaki jedinicˇnim trosˇkovima kasˇnjenja b finalnog sklopa (3.5) odnosno:
bˆ = bˆ(L1, . . . , Ln, b) = b
56
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
Slika 3.5: Grupno kasˇnjenje
Sa ovim pretpostavkama funkcija ukupnih trosˇkova na nivou neposrednih podsklopova final-
nog sklopa je:
C = C(t1, τ2, . . . , tn, t
∗
0, L1, . . . , Ln)
= hˆ(t∗0 − Tz)+ +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) + b(Tz − t∗0)+ (3.20)
Ostaje da na neki nacˇin definiˇsemo jedinicˇne trosˇkove grupnog skladiˇstenja:
hˆ = hˆ(h1, h2, . . . , hn, L1, . . . , Ln, h)
na nivou neposrednih podsklopova finalnog sklopa. Pretpostavimo da se proces sklapanja
izvodi na sledec´i nacˇin, sklopljeni podsklopovi se uvek skladiˇste do predvidenog roka t∗0, bez
obzira sˇto je sklapanje svih podsklopova zavrsˇeno pre predvidenog roka t∗0. Drugim recˇima
nema trosˇkova grupnog skladiˇstenja, sva skladiˇstenja su pojedinacˇnog tipa tj. svaki sklopljeni
podsklop se skladiˇsti do predvidenog roka t∗0 sa svojim jedinicˇnim trosˇkovima hi (3.6). Dakle
pretpostavimo sledec´e:
hˆ(t∗0 − Tz)+ =
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − Tz)+ (3.21)
57
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
odnosno:
hˆ = hˆ(h1, h2, . . . , hn, L1, . . . , Ln, h) =
n∑
i=1
hi (3.22)
Slika 3.6: Grupno skladiˇstenje
Funkcija ukupnih trosˇkova C = C(t1, t2, . . . , tn, t
∗
0, L1, . . . , Ln) je u ovom slucˇaju:
C =
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − Tz)+ +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) + b(Tz − t∗0)+
=
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − Tz) +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) +
(
b+
n∑
i=1
hi
)
(Tz − t∗0)+ (3.23)
=
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − Ti) +
(
b+
n∑
i=1
hi
)
(Tz − t∗0)+
Kako je Ti = ti + Li, odnosno Tz = max
i
{Ti}, dobijamo:
C =
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − ti − Li) +
(
b+
n∑
i=1
hi
)(
max
i
{ti + Li − t∗0}
)+
(3.24)
Uvedimo sledec´u oznaku τi = t
∗
0 − ti, i = 1, 2, . . . , n i imac´emo:
58
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
C = C(τ1, τ2, . . . , τn, L1, . . . , Ln)
=
n∑
i=1
hi(τi − Li) +
(
b+
n∑
i=1
hi
)(
max
i
{Li − τi}
)+
(3.25)
Ocˇekivani ukupni trosˇkovi Z = E(C) = Z(τ1, τ2, . . . , τn) su:
Z =
n∑
i=1
hi(τi − E(Li)) +
(
b+
n∑
i=1
hi
)
E
(
(max
i
{Li − τi})+
)
(3.26)
Iz ove forme funkcije Z se direktno mozˇe utvrditi egzistencija globalnog minimuma odnosno
vazˇi sledec´i stav:
Teorema 3.3.1. Funkcija ocˇekivanih trosˇkova Z = E(C) = Z(τ1, τ2, . . . , τn) data sa (3.26)
ima globalni minimum u konacˇnoj tacˇki (τ∗1 , τ∗2 , . . . , τ∗n).
Dokaz. Pokazˇimo prvo da je funkcija ukupnih trosˇkova Z data sa (3.26) konveksna funkcija
svojih argumenata τ1, τ2, . . . , τn. Prvi sabirak:
n∑
i=1
hi (τi − E(Li)) (3.27)
je linearna dakle konveksna funkcija argumenata τ1, τ2, . . . , τn, dok konveksnost drugog sa-
birka: (
b+
n∑
i=1
hi
)
E
(
(max
i
{Li − τi}
)+
) (3.28)
sledi iz iz monotonosti i linearnosti ocˇekivanja i konveksnosti maksimuma konveksnih funk-
cija. Dakle data funkcija ukupnih trosˇkova Z je konveksna funkcija kao zbir konveksnih
funkcija. Sa druge strane mozˇemo zakljucˇiti sledec´e:
• τi → +∞⇒ Z ∼ hiτi → +∞
•
τi → −∞⇒ Z ∼ hiτi − τi
(
b+
n∑
i=1
hi
)
= −τi
(
b+
(
n∑
i=1
hi
)
− hi
)
= −τi
b+ n∑
j 6=i
hj
→ +∞
odnosno:
limτi→±∞Z = +∞ (3.29)
Navedene osobine konveksne funkcije ocˇekivanih trosˇkova obezbeduju egzistenciju lokalnog mi-
nimuma u konacˇnoj tacˇki (τ∗1 , τ∗2 , . . . , τ∗n), koji c´e biti i globalni minimum [2] [9] [26].
59
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I

Razvijmo dalje funkciju ocˇekivanih trosˇkova. Pre svega neophodno je odrediti funkciju ras-
podele slucˇajne promenljive D+:
D+ =
(
max
i
{Li − τi}
)+
= max
{
max
i
{Li − τi} , 0
}
(3.30)
Neka je t > 0, funkcija raspodele FD+ slucˇajne promenljive D
+ je:
FD+(t) = P (D
+ < t) = P
(
max
{
max
i
{Li − τi} , 0
}
< t
)
= P
(
max
i
{Li − τi} < t
)
(3.31)
= P
(⋂
i
(Li − τi < t)
)
=
∏
i
P (Li < t+ τi) =
∏
i
Fi(t+ τi)
Ocˇekivanje E(D+) slucˇajne promenljive D+ se mozˇe odrediti kao ocˇekivanje nenegativne
slucˇajne promenljive [1]:
E(D+) =
+∞∫
0
P (D+ ≥ t)dt =
+∞∫
0
(
1− P (D+ < t)) dt
=
+∞∫
0
(1− FD+(t)) dt =
+∞∫
0
(
1−
∏
i
Fi(t+ τi)
)
dt (3.32)
Sada mozˇemo dati funkciju ocˇekivanih ukupnih trosˇkova u razvijenom obliku:
Z(τ1, τ2, . . . , τn) =
n∑
i=1
hi(τi − E(Li)) +
(
b+
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
(
1−
∏
i
Fi(t+ τi)
)
dt (3.33)
Stacionarna tacˇka funkcije Z je resˇenje sledec´eg sistema jednacˇina:
∂Z
∂τi
= hi +
(
b+
n∑
i=1
hi
)
∂
∂τi
+∞∫
0
(
1−
∏
i
Fi(t+ τi)
)
dt
 = 0, i = 1, 2, .., n (3.34)
dalje pretpostavimo uslove o funkcijama raspodele Fi, i = 1, 2, . . . , n tako da parcijalni izvod
i integral komutiraju [25] i dobic´emo:
60
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
∂Z
∂τi
= hi +
(
b+
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
∂
∂τi
(
1−
∏
i
Fi(t+ τi)
)
dt = 0, i = 1, 2, .., n
∂Z
∂τi
= hi −
(
b+
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
fi(t+ τi)
∏
j 6=i
Fj(t+ τj)dt = 0, i = 1, 2, .., n (3.35)
Konacˇno stacionarne tacˇke su resˇenja sledec´eg sistema nelinearnih jednacˇina:
+∞∫
0
fi(t+ τi)
∏
j
Fj(t+ τj)dt =
hi
b+
n∑
i=1
hi
, i = 1, 2, .., n (3.36)
Dobijeni sistem jednacˇina se mozˇe resˇiti numericˇkim metodama i neka su τ∗1 , τ∗2 , . . . , τ∗n, ove
vrednosti. Na ovaj nacˇin su odredeni optimalni vremenski trenuci t∗i = t
∗
0 − τi, i = 1, . . . , n,
kada treba zapocˇeti sklapanje i-tog podsklopa tako da su ocˇekivani ukupni troskovi minimalni.
Primer 3.3.1. Primetimo sledec´e, neka je n = 1 tada se stacionarna tacˇka, odnosno opti-
malno resˇenje τ∗1 dobija kao resˇenje jednacˇine:
+∞∫
0
f1(t+ τ1)dt =
h1
b+ h1
(3.37)
kako je:
+∞∫
0
f1(t+ τ1)dt =
+∞∫
τ1
f1(u)du = 1− F1(τ1), gornja jednacˇina postaje:
1− F1(τ1) = h1
b+ h1
F1(τ1) = 1− h1
b+ h1
=
b
b+ h1
(3.38)
i njeno resˇenje je:
τ∗1 = F
−1
1
(
b
b+ h1
)
(3.39)
sˇto je resˇenje klasicˇnog newsboy problema na nivou podsklopa. Ovaj rezultat je ocˇekivan jer
je pretpostavljeno sledec´e:
− lokalno skladiˇstenje podsklopa sa jedinicˇnim trosˇkovima h1
− kasˇnjenje na nivou podsklopa c´e se reprodukovati na finalnom sklopu, dakle jedinicˇni
trosˇkovi kasˇnjenja na nivou podsklopa su b
3.3.1 Stablo sklapanja sa viˇse nivoa I
Neka je proces sklapanja rezervnog dela opisan stablom visine vec´e od dva. Na opisani
nacˇin mi mozemo odrediti kriticˇna vremena t∗1, τ∗2 , . . . , t∗n na nivou neposrednih podsklopova
61
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
finalnog sklopa. Uocˇimo podstablo visine dva cˇiji je koren jedan od neposrednih podsklopova
finalnog sklopa, neka je to i-ti (1 ≤ i ≤ n) podsklop. Formirajmo funkciju ukupnih trosˇkova
(3.23) koji odgovaraju uocˇenom podstablu sklapanja:
Ci =
∑
j
(hi)j (t
∗
i − (Ti)j) +
bˆi +∑
j
(hi)j
 ((Ti)z − t∗i )+ (3.40)
gde su:
− t∗i - utvrdeni rok za simultanu raspolozˇivost podsklopova i-tog podsklopa
− (Ti)j - trenutak raspolozˇivosti pojedinih podsklopova i-tog podsklopa
− (Ti)z - simultana raspolozˇivost podsklopova i-tog podsklopa
− (hi)j - jedinicˇni trosˇkovi skladiˇstenja pojedinih podsklopova i-tog podsklopa
− bˆi - grupni trosˇkovi kasˇnjenja i-tog podsklopa
Da bismo navedni postupak sproveli na ovom stablu sklapanja, neophodno je proceniti je-
dinicˇne trosˇkove kasˇnjenja bˆi i-tog (1 ≤ i ≤ n) podsklopa koji je u korenu ovog podstabla.
Jedno resˇenje je da se izvrsˇi raspodela trosˇkova kasˇnjenja bˆ nadsklopa u ovom slucˇaju finalnog
sklopa bˆ = b, na trosˇkove kasˇnjenja njegovih neposrednih podsklopova. Analizirajmo trosˇkove
kasˇnjenja nadsklopa:
B = bˆ(Tz − t∗0)+ (3.41)
Svaki od podsklopova ima svoj udeo Bi = bˆi(Tz−t∗0)+ u ukupnim trosˇkovima kasˇnjenja. Odre-
dimo trosˇkove kasˇnjenja i-tog podsklopa bˆi. Neka se sklapanje i-tog (1 ≤ i ≤ n) podsklopa
pokrene u nekom trenutku ti + ∆ti za proizvoljno mali vremenski period ∆ti. Pretpostavimo
Tz ≥ t∗0 (u suprotnom nema trosˇkova kasˇnjenja niti ikakve promene za dovoljno malo ∆ti).
U situaciji kao na slici (3.7) promena trosˇkova kasˇnjenja je:
∆iB = ∆ti
bˆ; Ti = Tz0; Ti < Tz (3.42)
pa za jedinicˇne trosˇkove kasˇnjenja bˆi i-tog (1 ≤ i ≤ n) podsklopa mozˇemo uzeti ocˇekivanje
slucˇajne promenljive
∆iB
∆ti
, odnosno bˆi = E
(
∆iB
∆ti
)
= bˆP (Ti = Tz).
Primer 3.3.2. Primetimo sledec´e, u slucˇaju da nadsklop ima tacˇno jedan podsklop, tj.
n = 1, kako je T1 = Tz bic´e:
bˆ1 = bˆ · 1 = bˆ (3.43)
sˇto je i logicˇno, jer u slucˇaju jedne linije sklapanja kasˇnjenje u podfazi sklapanja rezultuje
istim kasˇnjenjem u zavrsˇnoj fazi sklapanja, pa su i jedinicˇni trosˇkovi kasˇnjenja u podfazama
sklapanja jednaki jedinicˇnim trosˇkovima kasˇnjenja u zavrsˇnoj fazi sklapanja. Josˇ viˇse, neka se
62
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
Slika 3.7: Promena trosˇkova kasˇnjenja
kasni sa sklapanjem svakog od podsklopova za neki vremenski period ∆t. Ocˇigledno sa jedne
strane kasnic´e se sa sklapanjem nadsklopa za isti vremenski period ∆t odnosno trosˇkovi
kasˇnjenja c´e se uvec´ati za iznos bˆ∆t, sa druge strane predlozˇeni model ukljucˇuje uvec´anje
trosˇkova kasˇnjenja svakog podsklopa za iznos bˆi∆t = bˆP (Ti = Tz) koji su u zbiru jednaki
ocˇekivanom uvec´anju bˆ∆t:
∑
i
bˆi∆t =
∑
i
bˆP (Ti = Tz)∆t = bˆ∆t
∑
i
P (Ti = Tz) = bˆ∆t (3.44)
Drugim recˇima predlozˇeni model trosˇkova kasnjenja lokalno tretira trosˇkove kasˇnjenja koji se
mogu pojaviti u narednoj fazi procesa sklapanja, a koji u toj fazi ne mogu biti tretirani. Na
ovaj nacˇin smo pokazali da predlozˇeni model na adekvatan nacˇin pokriva navedeni granicˇni
slucˇaj.
Konacˇno, jedinicˇni trosˇkovi kasˇnjenja bˆi i-tog (1 ≤ i ≤ n) podsklopa su:
63
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
bˆi = E
(
∆iB
∆ti
)
= bˆP (Ti = Tz)
= bˆP (Ti = Tz) = bˆP
(
Ti = max {Tj}
j
)
= bˆP
⋂
j 6=i
(Ti > Tj)

= bˆ
∏
j 6=i
P (Ti > Tj)
 = bˆ
∏
j 6=i
P (t∗i + Li > t
∗
j + Lj)
 (3.45)
= bˆ
∏
j 6=i
P (Lj − Li < t∗i − t∗j )
 = bˆ
∏
j 6=i
FLj−Li(t
∗
i − t∗j )

gde je FLj−Li funkcija raspodele slucˇajne promenljive Lj − Li. Neka su poznati trosˇkovi
kasˇnjenja svakog pojedinacˇnog podsklopa bˆi, sada mozˇemo formulisati problem odredjivanja
kriticˇnih vremenskih trenutaka na svakom od podsklopova datog finalnog sklopa odnosno
produzˇiti resˇenje problema odredjivanja kriticˇnih vremenskih trenutaka na procese sklapanja
opisanim podstablima korena polaznog stabla sklapanja.
Na ovaj nacˇin mozˇemo formulisati rekurzivnu proceduru proracˇuna vremena za proces skla-
panja rezervnog dela koji se opisuje stablom sklapanja proizvoljne visine. Neka svaki cˇvor
stabla sklapanja, koji predstavlja podsklop finalnog rezervnog dela, ima kao karakteristike je-
dinicˇne trosˇkove skladiˇstenja h, jedinicˇne trosˇkove kasˇnjenja b, optimalni vremenski trenutak
t∗ kada treba zapocˇeti sklapanje pridruzˇenog podsklopa i neprekidnu slucˇajnu promenljivu L
1, koja predstavlja vreme sklapanja pridruzˇenog podsklopa. Jasno je da su jedinicˇni trosˇkovi
kasˇnjenja poznati samo za finalni rezervni deo, odnosno postoje samo u korenu stabla sklapa-
nja. Problem je sledec´i, za zadani kriticˇni vremenski trenutak t do kog rezervni deo mora biti
sklopljen, odrediti optimalne vremenske trenutke t∗svakog od podsklopova finalnog rezervnog
dela, kada treba zapocˇeti njegovo sklapanje. Optimalni vremenski trenutak t∗, koji odgovara
finalnom rezervnom delu odnosno, korenu stabla sklapanja se odredjuje resˇavanjem klasicˇnog
newsboy problema, a to je prakticˇno kriticˇni vremenski trenutak za simultanu raspolozˇivost
njegovih direktnih podsklopova. Dakle mozˇemo pretpostaviti da stablo sklapanja rezervnog
dela u korenu ima postavljene izmedu ostalih sledec´e velicˇine: optimalni vremenski trenutak
t∗ i jedinicˇne trosˇkove kasˇnjenja b. Koren ovakvog stabla sklapanja je ulazni parametar za
rekurzivnu proceduru koja resˇava problem odredjivanja optimalnih vremenskih trenutaka za
stablo sklapanja proizvoljne visine. Koraci pomenute rekurzivne procedure su:
− Ako je dati podsklop koren nekog podstabla sklapanja visine jedan, odnosno ako pod-
sklop nema svojih podsklopova procedura je zavrsˇena.
− Za dati podsklop koji je koren nekog podstabla sklapanja, koristec´i izmedu ostalog
optimalni vremenski trenutak t∗ i jedinicˇne trosˇkove kasˇnjenja bˆ, resˇavanjem sistema
jednacˇina (3.36) odredjuju se optimalni vremenski trenuci t∗1, . . . , t∗n koji odgovaraju nje-
govim direktnim podsklopovima. Slicˇno koristec´i jednacˇine (3.45) odredjuju se jedinicˇni
trosˇkovi kasˇnjenja bˆ1, . . . , bˆn koji odgovaraju njegovim direktnim podsklopovima.
1Dovoljno je cˇvoru pridruzˇiti funkciju raspodele F odnosno gustine f slucˇajne promenljive L
64
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev I
− Rekurzivno se izvrsˇava procedura na svakom direktnom podsklopu.
Rekurzivnost se mozˇe na jednostavan nacˇin izbec´i. Stablo sklapanja se prolazi po nivoima
pocˇevsˇi od korena.
Primer 3.3.3. Razmotrimo problem proracˇuna vremena u slucˇaju da postoji samo jedna
linija sklapanja, odnosno svako podstablo sklapanja ima tacˇno jednu granu, u predlozˇenom
modelu n = 1. Ovaj process se opisuje stablom koje je lanac. Neka je recˇ o lancu duzˇine
m > 1 (3.8).
Slika 3.8: Jedna linija sklapanja
Primetili smo da se u slucˇaju jedne linije sklapanja trosˇkovi kasˇnjenja sa finalnog sklopa
prenose na podsklopove, odnosno bˆi = bˆ = b, i = 0, 1, 2, . . . ,m − 1. U pojedinim fazama
sklapanja i = 0, 1, . . . ,m− 1 ukupni trosˇkovi su:
Ci = hi(ti − Ti)+ + b(Ti − t∗0)+
a ovo je klasicˇan newsboy model, cˇije je resˇenje ti+1 = t
∗
i = ti − F−1i
(
b
b+ hi
)
. Konacˇno
resˇenje je:
tm = tm−1 − F−1m−1
(
b
b+ hm−1
)
= tm−2 − F−1m−2
(
b
b+ hm−2
)
− F−1m−1
(
b
b+ hm−1
)
= . . .
= t0 −
m−1∑
i=0
F−1i
(
b
b+ hi
)
65
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
3.4 Simultani zahtev II
Neka je proces sklapanja rezervnog dela opisan stablom visine dva (3.9).
R0
R1 R2 Ri. . . . . . Rn
Slika 3.9: Stablo sklapanja visine 2
Za dati vremenski trenutak t0 kada finalni rezervni deo treba da bude sklopljen, treba odrediti
optimalni vremenski trenutak t∗0, kada treba zapocˇeti proces sklapanja rezervnog dela. Neka
su poznati jedinicˇni trosˇkovi skladiˇstenja h, jedinicˇni trosˇkovi kasˇnjenja b i funkcija raspodele
F slucˇajne promenljive L koja predstavlja vreme sklapanja rezervnog dela. Ovo je klasicˇan
newsboy problem i optimalni vremenski trenutak se odreduje na sledec´i nacˇin:
t∗0 = t0 − F−1
(
b
b+ h
)
(3.46)
Da bi se proces sklapanja odvijao po optimalnoj putanji, ocˇigledno svi podsklopovi rezervnog
dela moraju biti raspolozˇivi u vremenskom trenutku t∗0. Na ovaj nacˇin dolazimo do problema
simultane raspolozˇivosti. Vreme sklapanja i-tog i = 1, 2, . . . , n podsklopa je neprekidna
slucˇajna promenljiva Li. Od trenutka kada je podsklop sklopljen do trenutka kada se zapocˇinje
sklapanje nadsklopa, podsklop se skladiˇsti. Jedinicˇni trosˇkovi skladiˇstenja i-tog podsklopa
su hi. Treba odrediti optimalne vremenske trenutke t
∗
1, . . . , t
∗
n, kada treba zapocˇeti proces
sklapanja svakog pojedinacˇog podsklopa. Pretpostavimo da sklapanje nadsklopa ne mozˇe
zapocˇeti pre nego sˇto su svi podsklopovi sklopljeni. Funkcija ukupnih trosˇkova je (3.20):
C = C(t1, . . . , tn, t
∗
0, L1, . . . , Ln)
= hˆ(t∗0 − Tz)+ +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) + b(Tz − t∗0)+ (3.47)
gde su sa hˆ oznacˇeni jedinicˇni trosˇkovi grupnog skladiˇstenja. U prethodnoj analizi (3.3) pret-
postavili smo da se podsklopovi pored toga sˇto se skladiˇste do trenutka Tz kada mozˇe zapocˇeti
faza sklapanja nadsklopa, pojedinacˇno skladiste do predvidenog roka t∗0 ako je sklapanje svih
podsklopova zavrsˇeno pre utvrdenog roka odnosno, hˆ =
n∑
i=1
hi za Tz < t
∗
0. Uzimajuc´i ove
pretpostavke u obzir funkcija ukupnih trosˇkova je:
66
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
C =
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − Tz)+ +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) + b(Tz − t∗0)+
=
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − Ti) +
(
b+
n∑
i=1
hi
)
(Tz − t∗0)+ (3.48)
Pretpostavimo sada drugu krajnost, nema nepotrebnog skladiˇstenja, odnosno u trenutku Tz
kada su svi podsklopovi raspolozˇivi zapocˇinje sklapanje nadsklopa (3.10):
Slika 3.10: Grupno skladiˇstenje
Postavlja se pitanje kako ovu situaciju ugraditi u funkciju ukupnih trosˇkova. Kako sklapanje
nadsklopa zapocˇinje pre predvidenog roka (Tz < t
∗
0) opravdana je pretpostavka da c´e nadsklop
biti sklopljen pre utvrdenog roka, odnosno prevremeno aktiviranje faze sklapanja nadsklopa
c´e proizvesti trosˇkove skladiˇstenja nadsklopa h(t∗0 − Tz). Dakle pretpostavimo:
hˆ(t∗0 − Tz) = h(t∗0 − Tz) (3.49)
odnosno jedinicˇni trosˇkovi grupnog skladiˇstenja hˆ na neposrednim podsklopovima finalnog
sklopa su jednaki jedinicˇnim trosˇkovima skladiˇstenja h finalnog sklopa:
hˆ = hˆ(h1, h2, . . . , hn, L1, . . . , Ln, h) = h (3.50)
Pretpostavimo josˇ da su sumarni troskovi skladiˇstenja podsklopova vec´i od trosˇkova skladiˇstenja
67
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
nadsklopa odnosno:
n∑
i=1
hi ≥ h (3.51)
Dakle uz ove pretpostavke funkcija ukupnih troskova je:
C = h(t∗0 − Tz)+ +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) + b(Tz − t∗0)+ (3.52)
Transformiˇsimo gornji izraz u pogodniji oblik, iz koga c´e se dobiti oblik funkcije ocˇekivanih
trosˇkova iz koga se relativno lako mozˇe utvrditi njena konveksnost [3] i ustanoviti egzistencija
njenog globalnog minimuma:
C = h(t∗0 − Tz) +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) + (b+ h)(Tz − t∗0)+
= h(t∗0 − Tz) +
n∑
i=1
hi ((Tz − t∗0)− (Ti − t∗0)) + (b+ h)(Tz − t∗0)+
=
(
n∑
i=1
hi − h
)
(Tz − t∗0)−
n∑
i=1
hi(Ti − t∗0) + (b+ h)(Tz − t∗0)+ (3.53)
=
(
n∑
i=1
hi − h
)
(Tz − t∗0) +
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − Ti) + (b+ h)(Tz − t∗0)+
kako je Ti = ti + Li, odnosno Tz = max
i
{Ti}, dobijamo:
C =
(
n∑
i=1
hi − h
)(
max
i
{ti + Li − t∗0}
)
+
n∑
i=1
hi(t
∗
0 − ti − Li)
+(b+ h)
(
max
i
{ti + Li − t∗0}
)+
(3.54)
na kraju, oznacˇimo τi = t
∗
0 − ti, i = 1, 2, . . . , n, pa je funkcija ukupnih trosˇkova:
C = C(τ1, τ2, . . . , τn, L1, . . . , Ln)
=
(
n∑
i=1
hi − h
)
max
i
{Li − τi}+
n∑
i=1
hi(τi − Li) (3.55)
+(b+ h)
(
max
i
{Li − τi}
)+
68
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
Ocˇekivani ukupni trosˇkovi Z = E(C) = Z(τ1, τ2, . . . , τn) su:
Z =
(
n∑
i=1
hi − h
)
E
(
max
i
{Li − τi}
)
+
n∑
i=1
hi (τi − E(Li))
+ (b+ h)E
(
(max
i
{Li − τi})+
) (3.56)
Na isti nacˇin kao sˇto je to vec´ uradeno u prethodnoj analizi (3.3.1) mozˇemo zakljucˇiti da
funkcija ocˇekivanih ukupnih trosˇkova Z ima globalni minimum u konacˇnoj tacˇki.
Teorema 3.4.1. Funkcija ocˇekivanih ukupnih trosˇkova Z = E(C) = Z(τ1, τ2, . . . , τn) data
sa (3.56) ima globalni minimum u konacˇnoj tacˇki (τ∗1 , τ∗2 , . . . , τ∗n).
Dokaz. Pokazˇimo prvo da je funkcija ukupnih trosˇkova Z data sa (3.56) konveksna funkcija
svojih argumenata τ1, τ2, . . . , τn. Drugi sabirak
n∑
i=1
hi (τi − E(Li)) (3.57)
je linearna dakle konveksna funkcija argumenata τ1, τ2, . . . , τn dok konveksnost prvog odnosno
trec´eg sabirka:
(
n∑
i=1
hi − h
)
E
(
max
i
{Li − τi}
)
(3.58)
(b+ h)E
(
(max
i
{Li − τi})+
)
(3.59)
sledi iz iz monotonosti i linearnosti ocˇekivanja i konveksnosti maksimuma konveksnih funk-
cija. Dakle data funkcija ukupnih trosˇkova Z je konveksna funkcija kao zbir konveksnih
funkcija. Sa druge strane mozˇemo zakljucˇiti sledec´e:
• τi → +∞⇒ Z ∼ hiτi → +∞
•
τi → −∞⇒ Z ∼ −τi
(
n∑
i=1
hi − h
)
+ hiτi − τi(b+ h)
= −τi
(
b+
(
n∑
i=1
hi
)
− hi
)
= −τi
b+ n∑
j 6=i
hj
→ +∞
odnosno:
limτi→±∞Z = +∞
Navedene osobine konveksne funkcije ocˇekivanih trosˇkova obezbeduju egzistenciju lokalnog mi-
nimuma u konacˇnoj tacˇki (τ∗1 , τ∗2 , . . . , τ∗n), koji c´e biti i globalni minimum [2] [9] [26].
69
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II

Razvijmo dalje funkciju ocˇekivanih trosˇkova. Pre svega neophodno je odrediti funkciju ras-
podele slucˇajne promenljive:
D = max
i
{Li − τi} (3.60)
odnosno:
D+ = max
{
max
i
{Li − τi} , 0
}
(3.61)
Kako je za odredivanje ocˇekivanja nenegativne slucˇajne promenljive dovoljno poznavanje
njene funkcije raspodele [1], iskoristimo osobinu D = D+ −D− i imac´emo:
Z =
(
n∑
i=1
hi − h
)
E(D) +
n∑
i=1
hi (τi − E(Li)) + (b+ h)E(D+)
=
(
n∑
i=1
hi − h
)
E(D+ −D−) +
n∑
i=1
hi (τi − E(Li)) + (b+ h)E(D+) (3.62)
=
(
h−
n∑
i=1
hi
)
E(D−) +
n∑
i=1
hi (τi − E(Li)) +
(
b+
n∑
i=1
hi
)
E(D+)
Analogno kao sˇto je to uradeno za slucˇajnu promenljivu D+ nadimo ocˇekivanje slucˇajne pro-
menljive D− = (max
i
{Li − τi})− = max
{
−max
i
{Li − τi} , 0
}
. Kako se radi o nenegativnoj
slucˇajnoj promenljivoj dovoljno je odrediti P (D− ≥ t). Neka je t > 0, imac´emo:
P (D− ≥ t) = P (max
{
−max
i
{Li − τi} , 0
}
≥ t) = P
(
−max
i
{Li − τi} ≥ t
)
= P
(
max
i
{Li − τi} ≤ −t
)
= P
(⋂
i
(Li − τi ≤ −t)
)
(3.63)
=
∏
i
P (Li ≤ τi − t) =
∏
i
Fi(τi − t)
pa je ocˇekivanje nenegativne slucˇajne promenljive D−:
E(D−) =
+∞∫
0
P (D− ≥ t)dt =
+∞∫
0
∏
i
Fi(τi − t)dt (3.64)
Sada funkcija ocˇekivanih ukupnih trosˇkova Z, ima oblik:
70
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
Z =
(
h−
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
∏
i
Fi(τi − t)dt+
n∑
i=1
hi (τi − E(Li))
+
(
b+
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
(
1−
∏
i
Fi(t+ τi)
)
dt (3.65)
Stacionarna tacˇka funkcije Z, je resˇenje sledec´eg sistema jednacˇina:
∂Z
∂τi
=
(
h−
n∑
i=1
hi
)
∂
∂τi
+∞∫
0
∏
i
Fi(τi − t)dt
+ hi
+
(
b+
n∑
i=1
hi
)
∂
∂τi
+∞∫
0
(
1−
∏
i
Fi(t+ τi)
)
dt
 = 0, i = 1, 2, .., n (3.66)
dalje pretpostavimo uslove o funkcijama raspodele Fi, i = 1, 2, . . . , n tako da parcijalni izvod
i integral komutiraju [25] i dobic´emo:
∂Z
∂τi
=
(
h−
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
∂
∂τi
∏
i
Fi(τi − t)dt
+ hi
+
(
b+
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
∂
∂τi
(
1−
∏
i
Fi(t+ τi)
)
dt
 = 0, i = 1, 2, .., n
=
(
h−
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
fi(τi − t)
∏
j 6=i
Fj(τj − t)dt
+ hi
−
(
b+
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
fi(t+ τi)
∏
j 6=i
Fj(t+ τj)dt
 = 0, i = 1, 2, .., n
Konacˇno stacionarne tacˇke su resˇenja sledec´eg sistema nelinearnih jednacˇina:
hi =
(
−h+
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
fi(τi − t)
∏
j 6=i
Fj(τj − t)dt

+
(
b+
n∑
i=1
hi
)+∞∫
0
fi(t+ τi)
∏
j 6=i
Fj(t+ τj)dt
 , i = 1, 2, .., n (3.67)
Dobijeni sistem jednacˇina se mozˇe resˇiti numericˇkim metodama i neka su τ∗1 , τ∗2 , . . . , τ∗n, ove
vrednosti. Na ovaj nacˇin su odredeni optimalni vremenski trenuci t∗i = t
∗
0 − τi, i = 1, . . . , n,
kada treba zapocˇeti sklapanje i-tog podsklopa tako da su ocˇekivani ukupni troskovi minimalni.
71
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
Primer 3.4.1. Primetimo sledec´e, neka je n = 1 tada se stacionarna tacˇka, odnosno opti-
malno resˇenje τ∗1 dobija kao resˇenje jednacˇine:
(−h+ h1)
+∞∫
0
f1(τ1 − t)dt+ (b+ h1)
+∞∫
0
f1(t+ τ1)dt = h1 (3.68)
kako je:
+∞∫
0
f(τ − t)dt =
τ∫
−∞
f(u)du =
τ∫
−∞
f(u)du = F (τ)
odnosno:
+∞∫
0
f(t+ τ)dt =
+∞∫
τ
f(u)du = 1− F (τ)
gornja jednacˇina postaje:
(−h+ h1)F1(τ1) + (b+ h1)(1− F1(τ1)) = h1 (3.69)
−hF1(τ1) + b+ h1 − bF1(τ1) = h1 (3.70)
F1(τ1) =
b
b+ h
(3.71)
i njeno resˇenje je:
τ∗1 = F
−1
1
(
b
b+ h
)
(3.72)
sˇto je resˇenje klasicˇnog newsboy problema na nivou podsklopa. Ovo je ocˇekivan rezultat jer
su pretpostavke da c´e se dinamika sklapanja podsklopa preslikati na zavrsˇnu fazu pa su svi
trosˇkovi preuzeti sa finalnog sklopa. Dakle predlozˇeni model je uopsˇtenje newsboy modela za
slucˇaj da postoji jedna linija sklapanja rezervnog dela.
3.4.1 Stablo sklapanja sa viˇse nivoa II
Neka je proces sklapanja rezervnog dela opisan stablom visine vec´e od dva. Na opisani nacˇin
mi mozˇemo odrediti kriticˇna vremena t∗1, . . . , t∗n na nivou neposrednih podsklopova finalnog
sklopa. Uocˇimo podstablo visine dva cˇiji je koren jedan od neposrednih podsklopova finalnog
sklopa, neka je to i-ti (1 ≤ i ≤ n) podsklop. Formirajmo funkciju ukupnih trosˇkova (3.54)
koji odgovaraju uocˇenom podstablu sklapanja:
Ci =
∑
j
(hi)j − hˆi
 ((Ti)z − t∗i ) +∑
j
(hi)j (t
∗
i − (Ti)j)
+(bˆi + hˆi) ((Ti)z − t∗i )+ (3.73)
72
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
gde su:
− t∗i - utvrdeni rok za simultanu raspolozˇivost podsklopova i-tog podsklopa
− (Ti)j - trenutak raspolozˇivosti pojedinih podsklopova i-tog podsklopa
− (Ti)z - simultana raspolozˇivost podsklopova i-tog podsklopa
− (hi)j - jedinicˇni trosˇkovi skladiˇstenja pojedinih podsklopova i-tog podsklopa
− hˆi - grupni trosˇkovi skladiˇstenja i-tog podsklopa
− bˆi - grupni trosˇkovi kasˇnjenja i-tog podsklopa
Da bismo navedni postupak sproveli na ovom stablu sklapanja neophodno je proceniti je-
dinicˇne trosˇkove grupnog skladiˇstenja hˆi, odnosno jedinicˇne trosˇkove kasˇnjenja bˆi i-tog (1 ≤
i ≤ n) podsklopa koji je u korenu ovog podstabla. Procenu jedinicˇnih troskova kasˇnjenja
i-tog podsklopa smo vec´ ustanovili (3.45):
bˆi = bˆ
∏
j 6=i
FLj−Li(t
∗
i − t∗j )

gde su sa bˆ = b oznacˇeni jedinicˇni trosˇkovi kasˇnjenja nadsklopa koji je u ovom slucˇaju finalni
sklop. Na slicˇan nacˇin kao sˇto je to izvedeno sa jedinicˇnim trosˇkovima kasˇnjenja bˆi, mozˇemo
proceniti i jedinicˇne trosˇkove grupnog skladiˇstenja hˆi za podsklopove i-tog (1 ≤ i ≤ n)
podsklopa. Dakle jedno resˇenje je da se izvrsˇi raspodela troskova grupnog skladiˇstenja hˆ =
h podsklopova finalnog sklopa, na trosˇkove grupnog skladiˇstenja za podsklopove njegovih
neposrednih podsklopova. Analizirajmo trosˇkove skladiˇstenja:
H = hˆ(t∗0 − Tz)+ +
n∑
i=1
hi(Tz − Ti) (3.74)
Svaki od podsklopova ima svoj udeo u ukupnim trosˇkovima skladiˇstenja koji pored trosˇkova
pojedinacˇnog skladiˇstenja Hi = hi(Tz−Ti) ukljucˇuje i trosˇkove vezane za grupno skladiˇstenje
Hˆ = hˆ(t∗0 − Tz)+. Ukupnost ovih trosˇkova cˇini trosˇkove grupnog skladiˇstenja hˆi podsklopova
i-tog podsklopa. Neka se sklapanje i-tog (1 ≤ i ≤ n) podsklopa pokrene u nekom prethodnom
trenutku ti −∆ti, gde je ∆ti proizvoljno mali vremenski period. Pretpostavimo Tz ≤ t∗0 (u
suprotnom nema trosˇkova skladiˇstenja niti ikakve promene za dovoljno malo ∆ti) (3.11):
U situaciji kao na slici (3.11) promena trosˇkova skladiˇstenja je:
∆iH = ∆ti

hˆ−∑
j 6=i
hj ; Ti = Tz
hi; Ti < Tz
(3.75)
Ocˇekivani jedinicˇni trosˇkovi skladiˇstenja E
(
∆iH
∆ti
)
su:
E
(
∆iH
∆ti
)
=
hˆ−∑
j 6=i
hj
P (Ti = Tz) + hiP (Ti < Tz) (3.76)
73
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
Slika 3.11: Promena trosˇkova skladiˇstenja
prvi sabirak odgovara ucˇesˇc´u u jedinicˇnim trosˇkovima grupnog skladiˇstenja hˆ, a drugi odgo-
vara jedinicˇnim trosˇkovima pojedinacˇnog skladiˇstenja i-tog podsklopa. Dakle opravdano je
pretpostaviti:
hˆi =
hˆ−∑
j 6=i
hj
P (Ti = Tz) + hiP (Ti < Tz)
=
hˆ−∑
j
hj
P (Ti = Tz) + hi
Primer 3.4.2. Primetimo sledec´e, u slucˇaju da nadsklop ima tacˇno jedan podsklop, tj.
n = 1, kako je T1 = Tz bic´e:
hˆ1 =
(
hˆ− h1
)
· 1 + h1 = hˆ (3.77)
odnosno u slucˇaju jedne linije sklapanja trosˇkovi skladiˇstenja se spusˇtaju niz lanac sklapa-
nja. Slicˇno, ako pretpostavimo hˆ =
∑
i
hi, odnosno ako pretpostavimo da se podsklopovi
pojedinacˇno skladiˇste do predvidenog roka t∗0 (3.3), imac´emo:
hˆi =
hˆ−∑
j
hj
P (Ti = Tz) + hi = 0 · P (Ti = Tz) + hi = hi (3.78)
odnosno grupni trosˇkovi skladiˇstenja za podsklopove i-tog podsklopa su jedinicˇni trosˇkovi
74
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
skladiˇstenja i-tog podsklopa. Pretpostavimo dalje, da je sklapanje svakog od podsklopova
zavrsˇeno ranije odnosno neka je zavrsˇeno u trenutku Ti−∆t, u tom slucˇaju c´e sklapanje nad-
sklopa pocˇeti u vremenskom trenutku Tz−∆t, sˇto c´e proizvesti promenu trosˇkova skladiˇstenja
nadsklopa za iznos hˆ∆t. Pokazac´emo da su ovi trosˇkovi obuhvac´eni modelom na nivou pod-
sklopova:
∑
i
∆iH =
∑
i
hˆ−∑
j
hj
P (Ti = Tz) + hi
∆t
=
hˆ−∑
j
hj
∑
i
P (Ti = Tz) +
∑
i
hi
∆t
=
hˆ−∑
j
hj
 · 1 +∑
i
hi
∆t
= hˆ∆t
Drugim recˇima predlozˇeni model lokalno tretira trosˇkove koji se mogu pojaviti u narednoj
fazi procesa sklapanja, a koji u toj fazi ne mogu biti tretirani. Na ovaj nacˇin smo pokazali
da predlozˇeni model na adekvatan nacˇin pokriva navedene granicˇne slucˇajeve.
Analogno kako je to uradeno za jedinicˇne trosˇkove kasˇnjenja na nivou podsklopova, jedinicˇni
trosˇkovi grupnog skladiˇstenja hˆi podsklopova i-tog posklopa su:
hˆi =
hˆ−∑
j
hj
∏
j 6=i
FLj−Li(t
∗
i − t∗j ) + hi (3.79)
Neka su poznati grupni trosˇkovi skladiˇstenja odnosno trosˇkovi kasˇnjenja svakog pojedinacˇnog
podsklopa, sada mozemo formulisati proceduru proracˇuna vremena na svakom od podsklo-
pova datog rezervnog dela. Odgovarajuc´a funkcija trosˇkova za podsklopove i-tog podsklopa
je:
Ci =
∑
j
(hi)j − hˆi
 ((Ti)z − t∗i ) +∑
j
(hi)j(t
∗
i − (Ti)j)
+(bˆi + hˆi)((Ti)z − t∗i )+ (3.80)
dok su ocˇekivani ukupni trosˇkovi Zi = E(Ci) na i-tom podsklopu:
Zi =
∑
j
(hi)j − hˆi
E ((Ti)z − t∗i ) +∑
j
(hi)j(t
∗
i − E(Ti)j)
+(bˆi + hˆi)E(((Ti)z − t∗i )+) (3.81)
Da bi predlozˇeni iterativni postupak konvergirao, neophodno je pokazati da je Zi konvek-
75
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
sna funkcija [3], odnosno dovoljno je dokazati da je
∑
j
(hi)j ≥ hˆi. Ispunjenost navedenog
uslova direktno sledi iz pretpostavke da trosˇkovi skladiˇstenja nadsklopa nisu vec´i od trosˇkova
skladiˇstenja posklopova hˆ = h ≤∑
i
hi, odnosno hi ≤
∑
j
(hi)j :
hˆi =
hˆ−∑
j
hj
P (Ti = Tz) + hi
≤
∑
i
hj −
∑
j
hj
P (Ti = Tz) + hi
= hi ≤
∑
j
(hi)j
Na ovaj nacˇin mozˇemo produzˇiti resˇenje problema proracˇuna vremena na procese sklapanja
rezervnog dela koji se opisuju stablom proizvoljne visine. Procedura kojom bi se resˇavao
ovaj problem je identicˇna navedenoj proceduri za proracˇun vremena kada se podsklopovi
skladiˇste do utvrdenog roka (3.3.1), s tom razlikom sˇto se pored izracˇunavanja jedinicˇnih
trosˇkova kasˇnjenja podsklopa izracˇunavaju i jedinicˇni grupni troskovi skladiˇstenja podsklopa
jednacˇinama (3.79). Jasno optimalna resˇenja se dobijaju resˇavanjem sistema jednacˇina (3.67).
Primer 3.4.3. Razmotrimo problem proracˇuna vremena u slucˇaju da postoji samo jedna
linija sklapanja, odnosno svako podstablo sklapanja ima tacˇno jednu granu, u predlozˇenom
modelu n = 1. Ovaj process se opisuje stablom koje je lanac. Neka je recˇ o lancu duzˇine
m > 1 (3.12)
Slika 3.12: Jedna linija sklapanja
Primetili smo da se u slucˇaju jedne linije sklapanja trosˇkovi sa finalnog sklopa prenose na
podsklopove, odnosno hˆi = hˆ = h i bˆi = bˆ = b, i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. U pojedinim fazama
sklapanja i = 0, 1, . . . , n− 1 ukupni trosˇkovi su:
76
Planiranje odrzˇavanja vazduhoplova Simultani zahtev II
Ci = h(ti − Ti)+ + b(Ti − t∗0)+
a ovo je klasicˇan newsboy model , cˇije je resˇenje ti+1 = t
∗
i = ti − F−1i
(
b
b+ h
)
. Konacˇno
resˇenje je:
tm = tm−1 − F−1m−1
(
b
b+ h
)
= tm−2 − F−1m−2
(
b
b+ h
)
− F−1m−1
(
b
b+ h
)
= . . .
= t0 −
m−1∑
i=0
F−1i
(
b
b+ h
)
77
Glava 4
Sastavnice
4.1 Uvodna razmatranja
Vazduhoplovi su savremena saobrac´ajna sredstva vrhunske tehnologije sa velikim brojem
komponenti i kompleksnom strukturom. Pojedine komponente vazduhoplova se koriste na
razlicˇit nacˇin, trpe razlicˇita opterec´enja i odrzˇavaju se po programu koji je njima najbolje
prilagoden. Jedan od nacˇina savladavanja slozˇenosti je takozvana hijerarhijska dekompozi-
cija. Slozˇeni koncept se na jednom nivou apstrakcije posmatra kao jedinstvena celina. Na
nizˇem nivou apstrakcije se posmatra kao koncept koji se sastoji od delova (komponenti). Uza-
stopnom primenom opisanog postupka dobija se takozvana hijerarhijska sastavnica. Dakle
jedan od bitnih koncepata u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova jeste sastavnica. Sastavnica
je najprostije recˇeno [4], lista komponenti koji su sastavni delovi posmatranog objekta. Pri
tome se vodi racˇuna o vezama izmedu sastavnih komponenti, pa je u osnovi sastavnice hi-
jerarhijska struktura podataka. Bez gubitka opsˇtosti, u daljem tekstu c´emo pod sastavni-
com podrazumevati fizicˇku strukturu posmatranog objekta, pa c´emo koristiti termine sklop,
podsklop, nadsklop koji istovremeno oznacˇavaju i uzajamni odnos komponenata hijerarhije.
Dakle podrazumevac´emo sastavnice sklopova koje se dobijaju hijerarhijskom dekompozicijom
vazduhoplova, nad kojima se izvode aktivnosti odrzˇavanja. Dalje c´emo podrazumevati da su
aktivnosti odrzˇavanja zapravo aktivnosti ugradnje podsklopova u nadredeni sklop. U praksi
se koriste dve vrste sastavnica:
− modularna
− hijerarhijska
Modularna sastavnica daje strukturu i veze elemanata samo u okviru jednog modula - sklopa.
Pri tome nije vazˇna struktura samih podsklopova. Hijerarhijska sastavnica daje kompletnu
strukturu odredenog sklopa ukljucˇujucˇi i hijerarhiju strukture svih podsklopva. Bez obzira
na vrstu i klasu sastavnica, projektovanje i funkcionalna upotreba sastavnica zasniva se na
hijerarhijskoj strukturi podataka odnosno na strukturi podataka tipa stablo. Svaka sastav-
nica se mozˇe bijektivno preslikati na stablo. Cˇvor stabla mozˇe imati podredene i nadredene
cˇvorove. Elementi sklopa, u inzˇenjerskom smislu odgovaraju podredenim cˇvorovima. Ele-
menti se ugraduju u sklop - koji je predstavljen nadredenim cˇvorom.
78
Sastavnice Uvodna razmatranja
− Koren stabla ima samo podredene cˇvorove i on odgovara slozˇenom sklopu
− Listovi nemaju podredene cˇvorove i odgovaraju materijalima ili slozˇenim sklopovima
koji nisu ukljucˇeni u sistem odrzˇavanja
U nastavku glave koristic´emo stvarnu sastavnicu posebnog podsklopa kojim se odrzˇava kon-
stantna temperatura hidraulicˇne tecˇnosti u vazduhoplovima. Ovaj podsklop ima sledec´e
elemente:
Tabela 4.1: Spisak delova grejnog tela - radijatora hidraulike.
ident naziv
00001 grejno telo
00002 posuda gornja I
00003 posuda gornja II
00004 posuda donja
00005 blok sac´a
00006 nosacˇ natpisne plocˇe
00007 natpisna plocˇa
00008 lim posude gornje
00009 cev
00010 lim posude donje
00011 cevni zid
Hijerarhijska sastavnica sklopa datog u tabeli (4.1), dobijena na osnovu tehnicˇkog crtezˇa ima
sledec´i oblik (4.1):
00001
00002
00008 00009
00003
00009 00010
00004 00005
00011
00006 00007
Slika 4.1: Sastavnica radijatora hidraulike preuzeta iz proizvodnje.
Baza podataka koja je u osnovi informacionog sistema za podrsˇku odrzˇavanja vazduhoplova
izmedu ostalog ukljucˇuje tabelu sklopova, podsklopova elemenata i materijala koja zajedno
sa tabelom skladiˇsta cˇini osnovu skladiˇsnog poslovanja. Ne ulazec´i u problematiku skladiˇsta,
izlozˇic´emo strukturu pomenutih tabela:
79
Sastavnice Uvodna razmatranja
sifra ::= 〈CHAR, 3,FORMAT :999〉
naziv ::= 〈CHAR, 40〉
skladiste ::= 〈sifra, naziv, ∗〉
skladista := {skladiste : PRIMARY KEY IS sifra} (4.1)
Odgovarajuc´a tabela sklopova, podsklopova, elemenata i materijala c´e biti tabela artikala i
imac´e sledec´u strukturu:
ident ::= 〈CHAR, 5,FORMAT :99999,AUTONUMBER〉
skladiste ::= skladista.sifra
naziv ::= 〈CHAR, 40〉
sifra ::= 〈CHAR, 12〉
artikal ::= 〈ident, skladiste, naziv, sifra, ∗〉
artikli := {artikal : PRIMARY KEY IS ident} (4.2)
Posebno komponenetama podsklopa (4.1) odgovara niz zapisa tabele artikli (4.2) sledec´eg
oblika:
P00001 =

〈00001, ., grejno telo, .〉, 〈00002, .,posuda gornja I, .〉,
〈00003, .,posuda gornja II, .〉, 〈00004, .,posuda donja, .〉,
〈00005, .,blok sac´a, .〉, 〈00006, .,nosacˇ natpisne plocˇe, .〉,
〈00007, .,natpisna plocˇa, .〉, 〈00008, ., lim posude gornje, .〉,
〈00009, ., cev, .〉, 〈00010, ., lim posude donje, .〉,
〈00011, ., cevni zid, .〉

(4.3)
Sastavnicu (4.1) c´emo dobiti tek nakon sˇto skup komponenata uocˇenog podsklopa (4.1) ure-
dimo na odgovarajuc´i nacˇin. Predmet daljeg istrazˇivanja c´e biti c´e biti modeliranje struktura
podataka koje c´e podrzˇati hijerarhijsko uredenje skupa podataka, a samim tim obezbediti
podrsˇku konceptu sastavnica. U nastavku ove glave podrazumevac´emo postojanje tabele
artikli sa datom strukturom (4.2).
80
Sastavnice Modularna sastavnica
4.2 Modularna sastavnica
Modularna sastavnica daje veze elemanata samo u okviru jednog modula, izmedu jednog
nadredenog i viˇse podredenih elemenata. Posmatrajmo sastavnicu sa slike (4.2), koja je
dobijena iz hijerarhijske sastavnice (4.1).
00001
00002 00003 00004 00005 00006 00007
Slika 4.2: Modularna sastavnica radijatora datog tabelom (4.1)
Modularna sastavnica korena stabla najcˇesˇc´e definiˇse nacˇin sklapanja slozˇenog sklopa, sˇto
se mozˇe pronac´i u tehnicˇkoj dokumentaciji. Nadredeni element, u ovom slucˇaju sam koren
00001, ima skup podredenih sklopova:
{00002, 00003, 00004, 00005, 00006, 00007}
Modularna sastavnica sa slike (4.2), mozˇe se modelirati strukturom podataka:
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
grana ::= 〈ident nad, ident pod〉
podstablo := {grana : PRIMARY KEY IS ident nad+ ident pod} (4.4)
Struktura grane u tabeli (4.4), mozˇe sadrzˇati i detalje kojima se blizˇe odreduje priroda veze
izmedu nadredenih i podredenih, sˇto c´e kasnije i biti slucˇaj. Priroda veza c´e biti ustanovljena
analizom modularne sastavnice sa sledec´e slike:
1
3 2 4
Slika 4.3: Modularna sastavnica
Na slici (4.3), prikazan je neki sklop 1 koji se sastoji od tri podsklopa 3, 2, 4. Sklop 1 naziva se
nadredeni dok se podsklopovi 3, 2, 4, nazivaju podredeni. Svako stablo se sastoji od cˇvorova i
grana. Cˇvorovima odgovaraju sklopovi i podsklopovi, dok grane opisuju njihovu medusobnu
81
Sastavnice Modularna sastavnica
povezanost. Cˇvorovi su povezani granama i na slici (4.3), se mozˇe uocˇiti da su grane obrnuto
orijentisane. Pocˇetak grane je na sklopu, dok je kraj grane na odgovarajuc´em podsklopu.
Razlog ovakvog povezivanja je posledica same prirode inzˇenjerske analize problema, jer se
uvek posmatra sklop i analizira od cˇega se on sastoji, a ne obrnuto. Veze podsklopova sa
odgovarajuc´im sklopom, odnosno grane stabla izmedu ostalog mogu ukljucˇivati:
− redosled ugradnje pojedinih podsklopova u procesu sklapanja finalnog sklopa
− kolicˇine pojedinih podsklopova koje su neophodne za sklapanje finalnog sklopa
− vremena neophodna za ugradnju pojedinih podsklopova u procesu sklapanja finalnog
sklopa
Redosled ugradnje podsklopova je obicˇno dat tehnicˇkim crtezˇom i pri tome uredenje podsklo-
pova na samom crtezˇu daje nedvosmislenu informaciju o redosledu ugradnje. Pored uredenja
podsklopova tehnicˇki crtezˇ mozˇe sadrzˇati i informacije o neophodnim kolicˇinama pojedinih
podsklopova.
4.2.1 Redosled ugradnje
Redosled ugradnje podsklopova se obicˇno zadaje graficˇkim prikazom sklopa i njegovih pod-
sklopova. Analizirajuc´i cˇvorove sa slike (4.3), sledi da se prvo ugraduje podsklop 3 u sklop
1, zatim podsklop 2 i na kraju se podsklop 4 ugraduje u sklop 1. Na ovaj nacˇin je definisano
uredenje podsklopova odnosno na skupu cˇvorova je definisana relacija parcijalnog uredenja
(redosled ugradnje). Iz prethodnog sledi da se skup cˇvorova stabla viˇsestruko ureduje. Pored
uredenja nadredeni-podredeni sklop imamo i uredenje tipa ugraduje se pre-posle sklopa. Pre
svega oznacˇimo sa A skup cˇvorova koje razmatramo. U slucˇaju slike (4.3), skup A jednak je:
A = {1, 2, 4, 3} (4.5)
Na skupu A uvedimo relaciju:
GBOM ⊆ A2 (4.6)
koja je opisnog tipa1. Ova relacija je sa racˇunarskog glediˇsta jako vazˇna, jer se na osnovu nje
definiˇse struktura podataka kojom se modelira stablo sa slike (4.3). Struktura podataka ima
slicˇan oblik kao (4.4):
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
grana ::= 〈ident nad, ident pod〉
GBOM := {grana : PRIMARY KEY IS ident nad+ ident pod} (4.7)
1Ekspertsko znanje inzˇenjera koji odreduju koji je nadredeni, a koji je podredeni cˇvor i ne postoji analiticˇki-
matematicˇki izraz za ovu relaciju.
82
Sastavnice Modularna sastavnica
Ako se (4.6) primeni na (4.5) da bi se opisala slika (4.3), dobija se:
GBOM (A) = {〈1, 3〉, 〈1, 2〉, 〈1, 4〉} (4.8)
Dobijeni skup grana nije konzistentan u odnosu na redosled ugradnje podsklopova u sklop,
jer:
GBOM (A) = {〈1, 3〉, 〈1, 2〉, 〈1, 4〉}
= {〈1, 2〉, 〈1, 3〉, 〈1, 4〉}
...
Struktura podataka (4.4) u literaturi se naziva Generic Bill of Material - genericˇka sastavnica
i oznacˇava sa GBOM . Ova struktura podataka je osnov za stvaranje svih drugih sastavnica,
jer se njenom modifikacijom - dodefinisanjem i uvodenjem novih operacija jednostavno dobi-
jaju slozˇeniji modeli drugih sastavnica. Genericˇka sastavnica prvenstveno treba da omoguc´i
prikazivanje viˇse verzija sklopova, a zatim i viˇse verzija proizvoda. Prethodni primer, poka-
zuje osnovni nedostatak genericˇke sastavnice u primeni, ne ukljucˇuje uredenje podsklopova.
Ovaj nedostatk genericˇke sastavnice se resˇava prosˇirivanjem odgovarajuc´e strukture podataka
GBOM na sledec´i nacˇin:
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
redosled ::= 〈NUMBER, 5〉
grana ::= 〈ident nad, ident pod, redosled〉
EBOM := {grana : PRIMARY KEY IS ident nad+ ident pod} (4.9)
Primenom EBOM na (4.5) dobija se:
EBOM (A) = {〈1, 3, 1〉, 〈1, 2, 2〉, 〈1, 4, 3〉} (4.10)
sˇto je potpuno, u smislu prenosa informacija, preslikalo stablo sa slike (4.3). Struktura po-
dataka EBOM se u literaturi naziva Engineering Bill of Material - inzˇenjerska sastavnica,
i predstavlja prvi primer izmene genericˇke sastavnice. Izmena je, samo na prvi pogled jed-
nostavna, ali ona donosi moguc´nost potpunog preslikavanja dvonivovskog stabla kojim je
predstavljen odnos sklop-podsklop, odnosno prirodno definisan redosled ugradnje podsklo-
pova da bi se dobio sklop.
4.2.2 Neophodne kolicˇine
Sastavnica data slikom (4.3), u stvarnoj upotrebi ima sledec´i oblik:
Velicˇine na granama su neophodne kolicˇine odgovarajuc´ih podsklopova za dobijanje jednog
sklopa. Ne ulazec´i u vrstu jedinice mere inzˇenjerska sastavnica data sa (4.9), jednostavnom
83
Sastavnice Modularna sastavnica
1
3 2 4
713 11
Slika 4.4: Potpuna modularna sastavnica
izmenom na nivou definicije strukture podataka, podrzˇava belezˇenje kolicˇina i ima sledec´i
oblik:
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
redosled ::= 〈NUMBER, 5〉
kolicina ::= 〈NUMBER, 13.4〉
grana ::= 〈ident nad, ident pod, redosled, kolicina〉
EBOM − T := {grana : PRIMARY KEY IS ident nad+ ident pod} (4.11)
Konacˇno, primenom EBOM-T na (4.5), stablo dato slikom (4.4), preslikava se u skup:
EBOM− T (A) = {〈1, 3, 1, 13〉, 〈1, 2, 2, 7〉, 〈1, 4, 3, 11〉} (4.12)
Navedene GBOM, EBOM i EBOM-T sastavnice se razlikuju u odnosu na kvalitet podataka
- informacija kojim su snabdevene. Kvalitet informacija odreduje njihovu upotrebljivost i
oblast primene. U teorijskim analizama jednostavnije je raditi sa GBOM jer se postizˇe mak-
simalna usredsredenost na problem koji se resˇava. Sadrzˇajno kvalitetnija EBOM omoguc´ava
povezivanje teorijskih dostignuc´a sa stvarnim problemima. Pojedini autori zato strukturu
(4.11) opisuju na sledec´i nacˇin:
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
redosled ::= 〈NUMBER, 5〉
lista ::= 〈∗〉
grana ::= 〈ident nad, ident pod, redosled, lista〉
EBOM := {grana : PRIMARY KEY IS ident nad+ ident pod} (4.13)
pri cˇemu se podrazumeva da c´e stvarni problemi biti na odgovarajuc´i nacˇin resˇavani. Ne sma-
njujuc´i opsˇtost, u nastavku pod pojmom inzˇenjerske sastavnice - EBOM podrazumevac´emo
strukturu (4.13).
84
Sastavnice Modularna sastavnica
4.2.3 Osobine modularne sastavnice
Posle analiza datih u prethodnim delovima ovog teksta mozˇemo zakljucˇiti da modularna
sastavnica ima sledec´e osobine:
− poseduje samo jedan nadredeni cˇvor, koji odgovara slozˇenom sklopu
− poseduje jedan ili viˇse podredenih cˇvorova, kojima odgovaraju neposredni podsklopovi
sklopa u nadredenom cˇoru
Iz prethodnog sledi da je modularna sastavnica dvonivovska sastavnica modelirana granama
stabla na dva uzastopna nivoa, pa se cˇesto u literaturi umesto termina modularna sastavnica
koristi termin dvonivovska sastavnica. Samo stablo je opisano strukturom podataka (4.13).
Potpuno je jasno da se nadredeni cˇvora ne sme nac´i u spisku podredenih cˇvorova. Ovo
ogranicˇenje nije direktno podrzˇano navedenom strukturom podataka (4.13), vec´ se mora
programski kontrolisati. Takode, postavlja se pitanje mozˇe li jedan isti sklop imati dve
razlicˇite modularne sastavnice? Ovo znacˇajno pitanje za inzˇenjere se resˇava na poseban
nacˇin.
85
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
4.3 Hijerarhijska sastavnica
Na slici (4.1) data je jedna stvarna hijerarhijska sastavnica. U literaturi se skoro iskljucˇivo
razmatra prva hijerarhijska sastavnica i najcˇesˇc´e se koristi za dobijanje spiska neophodnih
kolicˇina materijala ili podsklopova za dobijanje gotovog proizvoda. U susˇtini je to izvesˇtaj iz
baze podatka. Da bi dobili pomenuti izvesˇtaj pored podataka organizovanih u tabelama baze
podataka neophodno je razviti i algoritme koji c´e na odgovarajuc´i nacˇin obraditi postojec´e
podatke. Pre svega analizirajmo sledec´u sastavnicu:
1
3
5 6
2
4
7 6
5 8
4
7 6
713 11
21 31 1 55
5 5
1
Nivo
2
3
4
Slika 4.5: Hijerarhijska sastavnica
Ocˇigledno hijerarhihjska sastavnica ima strukturu stabla i prirodno je da se koristi stablo
kao struktura za modeliranje hijerarhijske sastavnice. Mozˇe se primetiti da je i nivo u hi-
jerarhiji komponenta hijerarhijske sastavnice. Ovo je posledica kako organizacije tehnicˇke
dokumetacije sa jedne strane, tako i cˇinjenice da je hijerarhijska sastavnica kompozicija mo-
dularnih sastavnica. Tradicionalno inzˇenjerski pristup, u formiranju hijerarhijske sastavnice,
podrazumevao je:
− izostavljanje graficˇke predstave sastavnice, 2
− koriˇsc´enje tehnicˇke dokumentacije uredene prema hijerarhijskoj sastavnici, da bi se
odredile kolicˇine potrebnog materijala.
Racˇunari su doneli promenu u nacˇinu razmiˇsljanja inzˇenjera i nacˇinu koriˇsc´enja hijerahijske
sastavnice. U potpunosti je promenjen tradicionalni inzˇenjerski pristup, pocˇev od vizuelizacije
proizvoda, do izvodenja razlicˇitih proracˇuna. Personalizacija proizvoda, velika produktivnost
i veliki broj verzija proizvoda se mozˇe podrzˇati odgovarajuc´om upotrebom hijerarhijske sa-
stavnice.
2Ovo je razumljivo, prirodno je da se za slozˇene proizvode i ne mozˇe nacrtati sastavnica
86
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
4.3.1 Osnovni pojmovi
Stablo sa slike (4.5) sastavljeno je od viˇse modularnih sastavnica, koje se pojavljuju na
razlicˇitim pozicijama u stablu. Cˇvorovi skupa:
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} (4.14)
prirodno se razvrstavaju po nivoima ugradnje, gde se na nivou 0 nalazi koren. Koren stabla
je cˇvor koji ima samo izlazne grane. Na slici (4.5) je to cˇvor 1 i on predstavlja gotov proizvod
koji se sastoji od podsklopova.
root(B) = 〈1〉 (4.15)
Na ostalim nivoima se nalaze podsklopovi koji su uredeni po nivoima tako da je jednostavno
planirati proizvodnju. Cˇvorovi sa slike (4.5) razvrstavaju se na sledec´i nacˇin:
level(B, 0) = 〈1〉
level(B, 1) = 〈3, 2, 4〉
level(B, 2) = 〈5, 6, 4, 5, 8, 7, 6〉
level(B, 3) = 〈7, 6〉 (4.16)
U stablu hijerarhijske sastavnice postoje listovi koji odgovaraju neophodnim materijalima ili
posebnim sklopovima koji iz nekih razloga nisu podvrgnuti strukturnoj dekompoziciji. Listovi
stabla su cˇvorovi koji imaju samo ulazne grane. Hijerarhijska sastavnica sa slike (4.5) ima
sledec´e listove:
leaf (B) = 〈5, 6, 7, 8〉 (4.17)
Na ovaj nacˇin za dati skup cˇvorova:
NODE := {spisak cˇvorova} (4.18)
definiˇsu se sledec´e funkcije:
root(NODE) := {cˇvor}
level(NODE, nivo) := {∗} (4.19)
leaf(NODE) := {∗}
Dalje primetimo da se hijerarhijska sastavnica opisuje konacˇnim stablom. Sve putanje od
korena do listova stabla se sastoje od konacˇnog broja grana. Ove cˇinjenice su posebno vazˇne
u programiranju i projektovanju hijerarhijskih sastavnica. Hijerarhijska sastavnica se posebno
koristi kao podrsˇka resˇaanju sledec´ih problema:
87
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
− pronadi sve puteve od listova do korena i izracˇunaj potrebne kolicˇine
− pronadi sve korene podstabala u kojima list mozˇe da ucˇestvuje
i oni se uspesˇno resˇavaju uz pomoc´ racˇunara. U zavisnosti od prirode samog proizoda cˇija se
struktura opisuje hijerarhijskom sastavnicom razlikovac´emo dva tipa hijerarhijskih sastavnica
koji c´e dalje odredivati nacˇin njenog formiranja:
− staticˇka
− dinamicˇka
Priroda gotovog proizvoda cˇija je struktura opisana hijerarhijskom sastavnicom, odreduje i
prirodu hijerarhijske sastavnice [20]. Ako se posmatra slika (4.5), kojom je data jednostavna
hijerarhijska sastavnica, namec´e se pitanje kako se ona formira?
− Od korena ka listovima - odozgo na dole
− Od listova ka korenu - odozdo na gore
Analizom koja sledi mozˇemo zakljucˇiti sledec´e. Ukoliko se radi o malom broju proizvoda,
odnosno o proizvodu koji se prakticˇno ne menja odgovarajuc´a hijerarhijska sastavnica je
staticˇka i formira se od korena ka listovima odnosno koristi se pristup odozgo na dole. U
slucˇaju velikog broja proizvoda, odnosno ukoliko se prizvod cˇesto menja odgovarajuc´a hije-
rarhijska sastavnica je dinamicˇka i formira se od listova ka korenu, odnosno koristi se pristup
odozdo na gore.
4.3.2 O broju proizvoda
Pod brojem proizvoda podrazumevac´emo broj verzija istog proizvoda. Proizvodi u kojima je
ugradena vrhunska tehnologija, tehnicˇki su izuzetno slozˇeni i spadaju u proizvode koji imaju
staticˇku sastavnicu. Tipicˇan primer su avioni i bilo sˇta sˇto je povezano sa vojnom industri-
jom. Staticˇka sastavnica, bez obzira kako je napravljena, je nepromenljiva u bilo kom svom
delu, ili ako se menja, struktura joj ostaje nepromenjena. Sa druge strane proizvodi metal-
ske industrije, poput automobila, mogu se tretirati na oba nacˇina i kao proizvodi sa malim
brojem verzija i kao proizvodi sa velikim brojem verzija. Veliki broj verzija imaju proizvodi
metalske industrije koji imaju karakteristiku proizvoda masovne potrosˇnje. Proizvodacˇi su
prinudeni da izbacuju “nove proizvode”, i to ne retko ozbiljno menja osnovnu verziju pro-
izvoda. Pokazalo se da ja tada pogodno imati sastavnicu za osnovni prozvod, verziju 0, a
potom neprekidnim izmenama dobijati “nove” proizvode. Neophodno je analizirati kako broj
proizvoda uticˇe na projektovanje sastavnica i na njihovu prirodu.
Proizvodi sa malim brojem verzija
Hijerarhijska sastavnica za proizvode sa malim brojem verzija najcˇesˇc´e se unosi kao jedin-
stveni skup podataka i nad njima se tako i radi. Da bi ilustrovali ovu cˇinjenicu, skup podataka
kojim se modelira hijerarhijska sastavnica sa slike (4.5) ima sledec´i izgled:
88
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
nivo ::= 〈NUMBER, 5〉
redosled ::= 〈NUMBER, 5〉
kolicina ::= 〈NUMBER, 13.4〉
grana ::= 〈ident nad, ident pod, nivo, redosled, kolicina〉
EBOM −H := {grana} (4.20)
Struktura podataka data sa (4.20) mozˇe jednostavno da prati slaganje tehnicˇke dokumenta-
cije, u kom god obliku da je. Staticˇnost strukture je ocˇigledna, jer je jednostavnije iskopirati
celokupnu sastavnicu za novi proizod nego dodati, oduzeti ili izmeniti odredenu komponentu
u sastavnici.
Proizvodi sa velikim brojem verzija
Proizvodi sa velikim brojem verzija imaju jedinstvenu hijerarhijsku sastavnicu, ona se cˇesto
naziva GBOM bez opasnosti mesˇanja pojmova. Jednostavno se pretpostavlja da postoji sa-
stavnica koja opisuje viˇse proizvoda iste klase. Verzije proizvoda se dobijaju malim izmenama
postojec´e hijerarhijske sastavnice. Cˇesto se kazˇe da je polazna hijerarhijska sastavnica, sa-
stavnica verzije 0 ili sastavnica prototipa. Da bi ovo objasnili navedimo jedan primer koji c´e
karakterisati proizvode sa velikim brojem verzija. Iskoristimo zato hijerarhijsku sastavnicu
sa slike (4.5) koja c´e nam posluzˇiti kao sastavnica verzije 0.
1
3
5 6
2
4
9 6
5 8
4
9 6
713 11
21 31 1 55
5 5
1
Nivo
2
3
4
Slika 4.6: Hijerarhijska sastavnica novog proizvoda.
Razlika izmedu sastavnica sa slike (4.5) i (4.6) je u modularnoj sastavnici:
koja je zamenjena sa:
Ovo je dovoljno da se dobije nova verzija istog proizvoda. Dobijena hijerarhijska sastavnica
89
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
4
7 6
5 5
Slika 4.7: Modularna sastavnica {〈4, 7, 1, 5〉, 〈4, 6, 2, 5〉}.
4
9 6
5 5
Slika 4.8: Modularna sastavnica {〈4, 9, 1, 5〉, 〈4, 6, 2, 5〉}.
sa slike (4.6) je istovetna hijerarhijskoj sastavnici (4.5) uz izmenu odredene modularne sa-
stavnice. Pokazalo se da je najjednostavnije uocˇiti zajednicˇke modularne sastavnice od kojih
su obe sastavljene, i posebno istac´i razlike. Dakle hijerarhijska sastavnica sa slike (4.6) i hi-
jerarhijska sastavnica sa slike (4.5) sastoje se od sledec´ih zajednicˇkih modularnih sastavnica:
1
3 2 4
713 11
Slika 4.9: Modularna sastavnica {〈1, 3, 1, 13〉, 〈1, 2, 2, 7〉, 〈1, 4, 3, 11〉}.
dok se razlikuju u modularnim sastavnicama:
Priroda hijerarhijske sastavnice
Ako se analizira prethodna sekcija jednostavno se mozˇe uocˇiti da je hijerarhijska sastavnica
sa slike (4.5) jednaka:
EBOM−H (Slika (4.5)) := {
{〈1, 3, 1, 13〉, 〈1, 2, 2, 7〉, 〈1, 4, 3, 11〉},
{〈3, 5, 1, 1〉, 〈3, 6, 2, 1〉},
{〈2, 4, 1, 1〉, 〈2, 5, 2, 2〉, 〈2, 8, 3, 3〉},
{〈4, 7, 1, 5〉, 〈4, 6, 2, 5〉}
}
90
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
3
5 6
1 1
Slika 4.10: Modularna sastavnica {〈3, 5, 1, 1〉, 〈3, 6, 2, 1〉}.
2
4 5 8
12 3
Slika 4.11: Modularna sastavnica {〈2, 4, 1, 1〉, 〈2, 5, 2, 2〉, 〈2, 8, 3, 3〉}.
dok je hijerarhijska sastavnica sa slike (4.6) jednaka:
EBOM−H (Slika (4.6)) := {
{〈1, 3, 1, 13〉, 〈1, 2, 2, 7〉, 〈1, 4, 3, 11〉},
{〈3, 5, 1, 1〉, 〈3, 6, 2, 1〉},
{〈2, 4, 1, 1〉, 〈2, 5, 2, 2〉, 〈2, 8, 3, 3〉},
{〈4, 9, 1, 5〉, 〈4, 6, 2, 5〉}
}
odakle sledi da je:
EBOM−H (Slika (4.5)) ∩ EBOM−H (Slika (4.6))
:= {
{〈1, 3, 1, 13〉, 〈1, 2, 2, 7〉, 〈1, 4, 3, 11〉},
{〈3, 5, 1, 1〉, 〈3, 6, 2, 1〉},
{〈2, 4, 1, 1〉, 〈2, 5, 2, 2〉, 〈2, 8, 3, 3〉},
{〈4, 6, 2, 5〉}
}
Prirodno je dakle klasu proizvoda opisati minimalnim skupom modularnih sastavnica koje su
elementi hijerarhijske sastavnice sakog proizvoda iz date klase proizoda. Modularne sastav-
nice su dakle gradivni blokovi za hijerarhijsku sastavnicu. Dinamika hijerarhijskih sastavnica
se ostvaruje posebnim izborom modularnih sastavnica. Takode, ukoliko su formirane modu-
larne sastavnice jednostavno je formirati konkretnu hijerarhijsku sastavnicu, pri tome ni veliki
91
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
4
7 6
5 5
Slika 4.12: Modularna sastavnica, hijerarhijske sastavnice sa slike (4.5)
4
9 6
5 5
Slika 4.13: Modularna sastavnica hijerarhijske sastavnice sa slike (4.6)
broj proizvoda ne predstavlja problem. Pre svega neophodno je prosˇiriti EBOM strukturu
podataka (4.13) na sledec´i nacˇin:
ident nad ::= artikli.ident
verzija ::= 〈CHAR, 3〉
ident pod ::= artikli.ident
redosled ::= 〈NUMBER, 5〉
lista ::= 〈∗〉
grana ::= 〈ident nad, verzija, ident pod, redosled, lista〉
EBOM −H := {grana} (4.21)
Atribut verzija mozˇe imati posebnu vrednost null koja oznacˇava pripadnost verziji 0 datog
proizvoda. Tradicionlano, vrednost null specificira situaciju ne postojanja vrednosti. Na ovaj
nacˇin se uocˇena problematika izneta u prethodnom poglavlju, vezana za sastavnice proizvoda
sa viˇse verzija (4.5) i (4.6) jednostavno resˇava podatkom verzija. Da bi to pokazali pogledajmo
kako sada izgleda hijerarhijska sastavnica sa slike (4.5):
EBOM (Slika(4.5)) := {
{〈1, , 3, 1, 13〉, 〈1, , 2, 2, 7〉, 〈1, , 4, 3, 11〉},
{〈3, , 5, 1, 1〉, 〈3, , 6, 2, 1〉},
{〈2, , 4, 1, 1〉, 〈2, , 5, 2, 2〉, 〈2, , 8, 3, 3〉},
{〈4, , 7, 1, 5〉, 〈4, , 6, 2, 5〉}
}
92
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
i ona je ocˇigledno hijerarhijska sastavnica verzije 0, dok hijerarhijska sastavnica sa slike (4.6)
ima oblik:
EBOM (Slika(4.6)) := {
{〈1, , 3, 1, 13〉, 〈1, , 2, 2, 7〉, 〈1, , 4, 3, 11〉},
{〈3, , 5, 1, 1〉, 〈3, , 6, 2, 1〉},
{〈2, , 4, 1, 1〉, 〈2, , 5, 2, 2〉, 〈2, , 8, 3, 3〉},
{〈4, 1, 9, 1, 5〉, 〈4, , 6, 2, 5〉}
}
jer su to u susˇtini dva razlicˇita proizvoda, proizvod 1 verzije 0 i proizvod 1 verzije 1.
4.3.3 Generisanje hijerarhijske sastavnice
Hijerarhijska sastavnica predstavljena na slici (4.1) daje kompletnu strukturu razradenu po
hijerarhiji nivoa ugradnje podsklopova u konacˇni sklop. Primetimo da jedan podsklop mozˇe
ulaziti viˇse puta u strukturu konacˇnog sklopa na istim ili razlicˇitim nivoima. U susˇtini
hijerahijska sastavnica na slici (4.1) sastavljena je od dvonivovskih - modularnih sastavnica.
Jednu njenu modularnu sastavnicu smo vec´ pokazali na slici (4.2). Na sledec´oj slici se nalaze
sve modularne sastavnice koje su neophodne i nalaze se u tabeli (4.1):
00001
00002 00003 00004 00005 00006 00007
00002
00008 00009
00003
00009 00010
00005
00011
Slika 4.14: Modularne sastavnica podsklopova
Podsklop 9 se dva puta ugradjuje prema slici (4.1), ali je vazˇno uocˇiti da se kao skup podataka
pojavljuje samo jednom. U stvarnosti se ove modularne sastavnice zadaju tabelom:
93
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
Tabela 4.2: Sve modularne sastavnice radijatora
ident nad ident pod red
00001 00002 1
00001 00003 2
00001 00004 3
00001 00005 4
00001 00006 5
00001 00007 6
00002 00008 1
00002 00009 2
00003 00009 1
00003 00010 2
00005 00011 1
Formiranje hijerarhijske sastavnice se sastoji u povezivanju odgovarajuc´ih modularnih stav-
nica, uz neprekidnu kontrolu sˇta su listovi, nadredeni i podredeni elementi. Da bi tabelu (4.2)
preslikali u tabelu baze podataka, neophodno je promeniti strukturu podataka (4.4). Prva
izmena se sastoji u uvodenju redosleda kojim se ureduju podredeni elementi (4.22).
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
redosled ::= 〈NUMERIC, 5〉
grana ::= 〈ident nad, ident pod, redosled〉
podstablo := {grana : PRIMARY KEY IS nadredjeni+ podredjeni} (4.22)
Na ovaj nacˇin se modelira redosled ugradnje podsklopova u nadredeni sklop. Navedimo
primer kojim se definiˇsu modularne sastavnice sa slike (4.14):
podstablo = {
〈00001, 00002, 1〉, 〈00001, 00003, 2〉,
〈00001, 00004, 3〉, 〈00001, 00005, 4〉,
〈00001, 00006, 5〉, 〈00001, 00007, 6〉, (4.23)
〈00002, 00008, 1〉, 〈00002, 00009, 2〉,
〈00003, 00009, 1〉, 〈00003, 00010, 2〉,
〈00005, 00011, 1〉
}
94
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
Druga karakteristika hijerarhijske sastavnice je sˇto se broj nivoa - “dubina” hijerarhijske
sastavnice u strukturi podataka ne mozˇe elementarno uvesti. Broj nivoa, odnosno dubina se
odreduje u toku formiranja hijerarhijske sastavnice.
Opsˇti algoritam formiranja hijerarhijske sastavnice
Algoritmi za formiranje hijerarhijske sastavnice mogu biti:
− rekurzivni
− nerekurzivni
pri cˇemu je vazˇno istac´i da su ovi drugi izvedeni iz prvih, tako sˇto je rekurzija na neki od
standardnih nacˇina eliminisana, na primer simulacijom rekurzije koriˇsc´enjem steka [22] [23].
Ulazna velicˇina je koren podstabla koji odgovara sklopu za koji treba generisati hijerarhijsku
sastavnicu. Prikazani algoritam je genericˇkog tipa i generesˇe GBOM sastavnicu [19].
Algoritam 4.1 Rekurzivno generisanje GBOM-a
void napravi_gbom( c_ident, n_nivo )
{
local sledeci;
if ( !dbseek( podstablo, c_ident ) ) {
dbappend( gbom , n_nivo, c_ident, "00000" );
return;
}
else {
while( !dbeof( podstablo ) && podstablo.ident_nad == c_ident ) {
sledeci = dbnext( podstablo );
dbappend( gbom , n_nivo, c_ident, podstablo.ident_pod );
napravi_gbom( podstablo.ident_pod, n_nivo+1 );
dbgoto( podstablo, sledeci )
};
};
return;
}
Rekurzivna procedura napravi gbom selektuje cˇvorove stabla hijerarhijske sastavnice po
takozvanim “krajnje levim granama”. Rezulat se smesˇta u tabelu cˇija je struktura:
95
Sastavnice Hijerarhijska sastavnica
nivo ::= 〈NUMERIC, 5〉
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
grana ::= 〈nivo, ident nad, ident pod〉
gbom := {grana} (4.24)
Navedena tabela se koristi kao spremiˇste za ispis rezultata algoritma. Na primer, ako se
algoritam primeni na skup modularnih sastavnica (4.23), sadrzˇaj pomenute tabele c´e biti:
gbom = {
〈1, 00001, 00002〉
〈2, 00002, 00008〉, 〈3, 00008, 00000〉,
〈2, 00002, 00009〉, 〈3, 00009, 00000〉,
〈1, 00001, 00003〉, 〈2, 00003, 00009〉,
〈3, 00009, 00000〉, 〈2, 00003, 00010〉,
〈3, 00010, 00000〉, 〈1, 00001, 00004〉,
〈2, 00004, 00000〉, 〈1, 00001, 00005〉,
〈2, 00005, 00011〉, 〈3, 00011, 00000〉,
〈1, 00001, 00006〉, 〈2, 00006, 00000〉,
〈1, 00001, 00007〉, 〈2, 00007, 00000〉
}
96
Glava 5
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova
5.1 Uvodna razmatranja
Podaci o sastavnici proizvoda i tehnologiji izrade predstavljaju osnovu za upravljanje siste-
mom odrzˇavanja [16]. Njihova tacˇnost, dobra priprema i moguc´nost upravljanja nastalim
promenama su neophodni za efikasno funkcionisanje ostalih sistema, pa samim tim i sistema
odrzˇavanja. Najjednostavniji nacˇin za pocˇetno planiranje odrzˇavanja sastoji se u preuzima-
nju sastavnice iz tehnicˇke pripreme i iz proizvodnje. Sledec´i korak je prilagoditi ih zahtevima
sistema za odrzˇavanje. Najcˇesˇc´e aktivnosti u sistemu za odrzˇavanje vazduhoplova su zapravo
aktivnosti sklapanja (pripreme) rezervnog dela i njegova ugradnja u objekat koji je pred-
met odrzˇavanja (vazduhoplov), pa je jedan od glavnih izvora podataka, na osnovu kojih se
projektuje i realizuje sistem za upraljanje odrzˇavanjem, konstruktivno-tehnolosˇka dokumen-
tacija. Pored tehnolosˇkih postupaka (pregleda operacija, operacionih listi) i konstrukcionih
crtezˇa, sastavnica proizvoda je posebno znacˇajna. Sastavnica gotovih proizvoda pored struk-
ture samog proizvoda daje i postupak ugradnje komponenti u gotov proizvod. Samim tim,
ona je osnova za definisanje postupka odrzˇavanja odredenog proizvoda. Utvrdjeni redosled
ugradnje podsklopova cˇini osnovu za planiranje odrzˇavanja, odnosno redosled sklapanja (pri-
preme) pojedinih komponenti u samom ciklusu odrzˇavanja. Sa druge strane, tehnologija daje
spisak operacija sa tacˇno definisanim redosledom i standardnim vremenima po operacijama,
sˇto cˇini osnov za planiranje kapaciteta, pa se ovo mozˇe iskoristiti kako za uredivanje niza ak-
tivnosti odrzˇavanja tako i za procenu vremena trajanja pojedinih aktivnosti odrzˇavanja. Na
ovaj nacˇin se mozˇe efikasno planirati skup aktivnosti odrzˇavanja, odnosno mozˇe se govoriti o
optimalnom planiranju odrzˇavanja [18] [12].
U prethodnoj Glavi je predlozˇena fleksibilna struktura sastavnice, dakle postoji osnov za
njeno sadrzˇajno rasˇirenje. Sledec´i korak je modeliranje aktivnosti sklapanja odnosno ugrad-
nje podsklopova u nadredeni sklop, rezultat pomenutog modeliranja c´e biti dodatni sadrzˇaj
takozvane druge hijerarhijske sastavnice. Sam postupak ugradnje (tehnologija ugradnje) se
uobicˇajenom tehnikom dekompozicije, rasˇcˇlanjuje na niz elementarnih zahvata koji se zatim
modeliraju u strukturi druge hijerarhijske sastavnice.
97
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice
5.2 Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice
Druga hijerarhijska sastavnica je sastavnica kojom se definiˇse tehnologija odrzˇavanja pro-
izvoda [21]. Da bi pojednostavili projektovanje podrazumeva se da postoje odgovarajuc´e
strukture podataka u kojima se belezˇe informacije o prolazu u odredenom zahvatu odredene
operacije. Izmedu ostalog podrazumevac´emo postojanje evidencije zahvata, odnosno tabele
sa sledec´om strukturom:
ident ::= 〈CHAR, 5,FORMAT : 99999,AUTONUMBER〉
sifra ::= 〈CHAR, 15〉
naziv ::= 〈CHAR, 40〉
zahvat ::= 〈ident, sifra, naziv, ∗〉
operacije := {zahvat : PRIMARY KEY IS ident} (5.1)
U zavisnosti od strukture grane u modularnoj (dvonivovskoj) sastavnici koja definiˇse kontekst
u kome se zahvat izvodi, razlikuju se cˇetiri tipa zahvata u odrzˇavanju. Ova klasifikacija je
izvedena prema tome sˇta su krajevi grane kojoj je zahvat pridruzˇen:
− zahvat ima nadredeni i nema podredeni sklop
− zahvat ima nadredeni i podredeni sklop i pri tome su to isti sklopovi
− zahvat ima nadredeni i podredeni sklop i to su razlicˇiti sklopovi
− zahvat ima podredeni i nema nadredeni sklop
Zahvati se vezuju za tehnolosˇki postupak i imaju svoj redosled i ostale atribute. Redosled
je bitan jer u susˇtini on sa vrstom zahvata i odreduje tehnolosˇki postupak. U nastavku
ove glave dac´emo prikaz sva cˇetri tipa zahvata i njihove veze sa modularnim sastavnicama.
Pre svega definisac´emo modularne sastavnice koje u granama nose informacije o operacijama
- zahvatima. Tabela tehnologija u kojoj se belezˇe ove modularne sastavnice, ima sledec´u
strukturu:
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
ident ::= operacije.ident
redosled ::= 〈NUMERIC, 5〉
zahvat ::= 〈ident nad, ident pod, ident, redosled, ∗〉
tehnologija := {zahvat : PRIMARY KEY IS ident nad+ ident pod+ redosled} (5.2)
Pokazalo se da je vrlo vazˇno analizirati klase zahvata jer direktno uticˇu na nacˇin konstruisanja
algoritma formiranja druge sastavnice. U nastavku ove glave daju se predstavnici pojedinih
tipova zahvata i odgovarajuc´i primeri.
98
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice
5.2.1 Zahvat ima nadredeni i nema podredeni sklop
Na sledec´oj slici prikazan je skup zahvata koji imaju nadredeni sklop i pri tome nemaju
podredene sklopove.
00011
00010 00011 00033 00021 00031 00032 00022 00033
Slika 5.1: Skup zahvata sa nadredenim sklopom i bez podredenih sklopova
Na slici (5.1) ocˇigledna je veza sa modularnom sastavnicom, ali nije istaknut redosled zahvata
koji je izuzetno bitan jer taj redosled cˇini tehnologiju. Na sledec´oj slici se posebno isticˇe
redosled zahvata:
00011
00010
00011
00033
00021
00031
00032
00022
00033
Slika 5.2: Redosled zahvata sa nadredenim sklopom i bez podredenih sklopova
U slucˇaju zahvata sa slike (5.2), podskup Pnad1→pod0 tabele (5.2) je:
99
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice
Pnad1→pod0 = {
〈00011, 00000, 00010, 1〉, 〈00011, 00000, 00011, 2〉,
〈00011, 00000, 00033, 3〉, 〈00011, 00000, 00021, 4〉,
〈00011, 00000, 00031, 5〉, 〈00011, 00000, 00032, 6〉,
〈00011, 00000, 00022, 7〉, 〈00011, 00000, 00033, 8〉
}
gde je nepostojanje sklopa oznacˇeno identifikacionom sˇifrom 00000.
5.2.2 Zahvat ima nadredeni i podredeni sklop i pri tome su to isti sklopovi
Postoje sklopovi u odrzˇavanju koji zahtevaju niz pripremnih radnji pre nego sˇto se zapocˇne
njihova ugradnja odnosno apliciranje u sklop. Jedan dobar primer je avio motor koji zahteva
niz zahvata nad samim motorom pre nego sˇto dode do prvih zahvata njegove ugradnje. Na
slici koja sledi je prikazan takav sklop koji zahteva izvrsˇavanje niza zahvata u definisanom
redosledu da bi se dalje ugradio u sklop.
00005
00001 00023 00024 00025 00036 00027 00028 00029 00030 00033
Slika 5.3: Skup zahvata sa nadredenim sklopom koji je istovremeno i podredeni sklop
U slucˇaju zahvata sa slike (5.3), podskup Pnad1→pod1 tabele (5.2) je:
Pnad1→pod1 = {
〈00005, 00005, 00001, 1〉, 〈00005, 00005, 00023, 2〉,
〈00005, 00005, 00024, 3〉, 〈00005, 00005, 00025, 4〉,
〈00005, 00005, 00026, 5〉, 〈00005, 00005, 00027, 6〉,
〈00005, 00005, 00028, 7〉, 〈00005, 00005, 00029, 8〉,
〈00005, 00005, 00030, 9〉, 〈00005, 00005, 00033, 10〉
}
Ovakvi zahvati narusˇavaju strukturu stabla (pojavljuju se ciklusi) kojim je sastavnica defi-
nisana. Algoritam za generisanje druge hijerarhijske sastavnice mora na odgovarajuc´i nacˇin
tretirati ovu situaciju.
100
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice
5.2.3 Zahvat ima nadredeni i podredeni sklop i to su razlicˇiti sklopovi
Pokazalo se u razlicˇitim fazama odrzˇavanja da pokusˇaj ugradnje jednog podsklopa izaziva niz
provera i aktivnosti - zahvata na razlicˇitim podsistemima - podsklopovima. Svi ovi zahvati se
posebno kontroliˇsu jer obezbeduju dobro funkcionisanje sklopa. Na sledec´oj slici je prikazan
primer takvog zahvata:
00002
00011
00011
00033
00012
00013
00033
00014
00015
00033
00017
00018
00033
00008
00033
00033
00033
00033
00009
Slika 5.4: Skup zahvata sa nadredenim sklopom i podredenim sklopovima
U slucˇaju zahvata sa slike (5.4), podskup Pnad1→pod2 tabele (5.2) je:
Pnad1→pod2 = {
〈00002, 00008, 00010, 1〉, 〈00002, 00008, 00011, 2〉,
〈00002, 00008, 00033, 3〉, 〈00002, 00008, 00012, 4〉,
〈00002, 00008, 00013, 5〉, 〈00002, 00008, 00033, 6〉,
〈00002, 00008, 00014, 7〉, 〈00002, 00008, 00015, 8〉,
〈00002, 00008, 00016, 9〉, 〈00002, 00008, 00033, 10〉,
〈00002, 00008, 00017, 11〉, 〈00002, 00008, 00018, 12〉,
〈00002, 00008, 00033, 13〉,
〈00002, 00009, 00019, 1〉, 〈00002, 00009, 00033, 2〉,
〈00002, 00009, 00020, 3〉, 〈00002, 00009, 00033, 4〉
}
101
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice
Ovaj slucˇaj je posebno slozˇen i predstavlja problem u projektovanju tehnologije odrzˇavanja.
5.2.4 Zahvat ima podredeni i nema nadredeni sklop
Zahvat nad korenom hijerarhije je najcˇesˇc´e ovog tipa. Ovaj tip zahvata nije posebno zanimljiv
za analizu.
5.2.5 Algoritam druge hijerarhijske sastavnice
Rekurzija se prirodno namec´e jer je to u osnovi i strukture podataka (5.2) i osnovnog algoritma
za formiranje hijerarhijske sastavnice. Algoritam za generisanje druge hijerarhijske sastanice
se mozˇe dobiti razradom osnovnog algoritma (4.1) koja na odgovarajuc´i nacˇin tretira situacije
opisane u prethodnoj analizi zahvata (5.1).
102
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice
Algoritam 5.1 Rekurzivno generisanje druge sastavnice
void napravi_tbom( c_ident, n_nivo )
{
local sledeci, c_ident_pod;
if ( !dbseek( tehnologija, c_ident ) ) {
dbappend( tbom , n_nivo, c_ident, "00000",
tehnologija.ident, tehnologija.red );
return;
}
while( !dbeof( tehnologija ) && tehnologija.ident_nad == c_ident )
{
c_ident_pod = tehnologija.ident_pod;
if ( c_ident_pod == c_ident )
{
while( !dbeof( tehnologija ) && tehnologija.ident_nad == c_ident
&& tehnologija.ident_pod == c_ident )
{
dbappend( tbom , n_nivo, c_ident, c_ident,
tehnologija.ident, tehnologija.redosled );
dbskip( tbom );
}
}
if ( c_ident_pod == "00000" )
{
while( !dbeof( tehnologija ) && tehnologija.ident_nad == c_ident_pom
&& tehnologija.ident_pod == "00000" )
{
dbappend( tbom , n_nivo, c_ident, "00000",
tehnologija.ident, tehnologija.redosled );
dbskip( tbom );
}
}
sledeci = dbnext( tehnologija );
dbappend( tbom , n_nivo, c_ident, tehnologija.ident_pod,
tehnologija.ident, tehnologija.redosled );
napravi_tbom( tehnologija.ident, n_nivo+1 );
dbgoto( tehnologija, sledeci );
}
return;
}
103
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Projektovanje algoritma za generisanje druge sastavnice
Rezulat rada ovog algoritma se smesˇta u tabelu koja ima sledec´u strukturu:
nivo ::= 〈NUMERIC, 5〉
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
ident ::= operacije.ident
redosled ::= 〈NUMERIC, 5〉
zahvat ::= 〈nivo, ident nad, ident pod, ident, redosled〉
TBOM := {zahvat} (5.3)
U Dodatku B dat je primer obrade podataka opisanim algoritmom, ulazni podaci su dati
u (2.1), a rezltat obrade je dat u (2.2)
104
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
5.3 Proracˇun vremena
5.3.1 Osnovne pretpostavke
Neophodno je pre svega prosˇiriti strukturu tabele operacije (5.1) tako da ukljucˇuje podatak
o vremenu trajanja operacije [17]. To se mozˇe izvesti na sledec´i nacˇin (5.4):
ident ::= 〈CHAR, 5,FORMAT : 99999,AUTONUMBER〉
sifra ::= 〈CHAR, 15〉
naziv ::= 〈CHAR, 40〉
vreme ::= 〈NUMERIC, 10.4〉
zahvat ::= 〈ident, sifra, naziv, opis, vreme, ∗〉
operacije := {zahvat : PRIMARY KEY IS ident} (5.4)
Slicˇno prosˇirimo i strukturu tabele tehnologija (5.2) i imac´emo (5.5):
ident nad ::= artikli.ident
ident pod ::= artikli.ident
ident ::= operacije.ident
redosled ::= 〈NUMERIC, 5〉
napomena ::= 〈CHAR, 40〉
vremeprip ::= 〈NUMERIC, 10.4〉
vremeizr ::= 〈NUMERIC, 10.4〉
zahvat ::= 〈ident nad, ident pod, ident, redosled, napomena, vremeprip, vremeizr, ∗〉
tehnologija := {zahvat : PRIMARY KEY IS ident nad+ ident pod+ redosled} (5.5)
gde je:
vremeprip pomoc´no masˇinsko vreme
vremeizr tehnolosˇko masˇinsko vreme
Ova vremena su detaljno objasˇnjena u Dodatku C. U nastavku pretpostavimo da u tabeli
tehnologija postoje sledec´i zapisi (5.1):
Zapisi (5.1) su karakteristicˇni za sklopove koji nemaju podredene, ali se nad njima moraju
izvesti odredene operacije. Zapisi (5.2) su karakteristicˇni za sklopove koji se nalaze visoko u
sastavnicama i nad njima se moraju izvesti odredene operacije tako da su u pogledu zahvata
sami sebi podsklopovi.
Konacˇno zapisi (5.3) opisuju nizove zahvata koji se odnose na sklop koji ima dva podredena
sklopa.
105
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
5.3.2 Odredivanje maksimalnog vremena
Prvi korak je odredivanje maksimalnog vremena trajanja pojedine operacije:
maxvreme = vremeprip+ vremeizr
Maksimalna vremena pojedinih operacija se mogu dobiti jednostavnim upitom, u slucˇaju
operacija datih u (5.1) rezultat je sledec´i (5.4):
ident n ident p operacija redosled vremeprip vremeizr maxvr
00011 - 00010 1 20 0.20 20.20
00011 - 00011 2 20 0.20 20.20
00011 - 00033 3 - - 0
00011 - 00021 4 30 0.60 30.60
00011 - 00031 5 - - 0
00011 - 00032 6 30 0.05 30.05
00011 - 00022 7 30 1.20 31.20
00011 - 00033 8 - - 0
Tabela 5.4: Maksimalno vreme operacije
5.3.3 Odredivanje vremena kompletiranja
Neka je maksimalno vreme operacije odredeno na prethodno opisani nacˇin, vreme kompleti-
ranja niza operacija se mozˇe odrediti na sledec´i nacˇin:
vremenorm =
∑
maxvreme
U slucˇaju (5.4), nakon grupisanja na nivou sklopa imac´emo (5.5):
Tabela 5.5: Vreme kompletiranja
ident n ident p vremenorm
00011 - 132.25
sˇto je dovoljno za dobijanje neophodnog izvesˇtaja. Dakle mozˇemo pretpostaviti postojanje
niza zapisa oblika (5.6):
106
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
Tabela 5.6: Vreme kompletiranja
ident n ident p vremenorm
00001 00001 256.00
00002 00002 47.60
00002 00008 252.20
00002 00009 61.00
00003 00003 47.60
00003 00009 71.20
00003 00010 242.00
00004 - 170.10
00005 00005 316.50
00011 - 132.25
5.3.4 Algoritam proracˇuna vremena
Iskoristimo prvu hijerarhijsku sastavnicu datu u (4.25), odnosno pretpostavimo postojanje
zapisa (5.7):
Tabela 5.7: GBOM
nivo ident n ident p
1 00001 00002
2 00002 00008
3 00008 -
2 00002 00009
3 00009 -
1 00001 00003
2 00003 00009
3 00009 -
2 00003 00010
3 00010 -
1 00001 00004
2 00004 -
1 00001 00005
2 00005 00011
3 00011 -
1 00001 00006
2 00006 -
1 00001 00007
2 00007 -
107
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
Na osnovu rezultata iz (5.6) proracˇun vremena se mozˇe dobiti na sledec´i nacˇin:
Prvi korak Terminalnim cvorovima se dodeljuju odgovarajuc´a vremena koja se preuzimaju
iz (5.6), rezultat ove obrade je (5.8):
Tabela 5.8: GBOM-nivo 3
nivo ident n ident p vreme
1 00001 00002
2 00002 00008
3 00008 - 0.00
2 00002 00009
3 00009 - 0.00
1 00001 00003
2 00003 00009
3 00009 - 0.00
2 00003 00010
3 00010 - 0.00
1 00001 00004
2 00004 - 170.10
1 00001 00005
2 00005 00011
3 00011 - 132.25
1 00001 00006
2 00006 - 0.00
1 00001 00007
2 00007 - 0.00
Drugi korak Iterativno se vremena izracˇunavaju na viˇsim nivoima, tako sˇto se svakoj grani
na datom nivou pridruzˇi zbir vremena sa same grane iz (5.6) i vremena pridruzˇenog
podsklopu na datoj grani. U navedenom primeru dobic´emo (5.9):
108
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
Tabela 5.9: GBOM-nivo 2a
nivo ident n ident p vreme
1 00001 00002
2 00002 00008 252.20+0.00
2 00002 00009 61.00+0.00
1 00001 00003
2 00003 00009 71.20+0.00
2 00003 00010 242.00+0.00
1 00001 00004
2 00004 - 170.10
1 00001 00005
2 00005 00011 0.00+132.25
1 00001 00006
2 00006 - 0.00
1 00001 00007
2 00007 - 0.00
Zatim se odreduje vreme koje odgovara nadredenom sklopu na datom nivou i ono je
jednako maksimalnom od svih vremena koja odgovaraju granama u kojima je dati sklop
nadredeni, odnosno (5.10):
Tabela 5.10: GBOM-nivo 2b
nivo ident n ident p vreme
1 00001 00002
2 00002 - max{252.20, 61.00}
1 00001 00003
2 00003 - max{71.20, 242.00}
1 00001 00004
2 00004 - max{170.10}
1 00001 00005
2 00005 - max{132.25}
1 00001 00006
2 00006 - max{0.00}
1 00001 00007
2 00007 - max{0.00}
Jedan korak iteracije se zavrsˇava tako sˇto se odgovarajuc´e vreme koje odgovara sklopu
na datom nivou uvec´ava za vreme koje odgovara operaciji u kojoj je dati sklop isto-
vremeno i nadredeni i podredeni, a sadrzˇano je u (5.6). U datom primeru imac´emo
109
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
(5.11):
Tabela 5.11: GBOM-nivo 2c
nivo ident n ident p vreme
1 00001 00002
2 00002 - 252.20+47.60
1 00001 00003
2 00003 - 242.00+47.60
1 00001 00004
2 00004 - 170.10+ 0.00
1 00001 00005
2 00005 - 132.25+316.50
1 00001 00006
2 00006 - 0.00+ 0.00
1 00001 00007
2 00007 - 0.00+ 0.00
Dakle posle jedne iteracije dobic´emo raspodelu vremena na drugom nivou (5.12):
Tabela 5.12: GBOM-nivo 2d
nivo ident n ident p vreme
1 00001 00002
2 00002 - 299.80
1 00001 00003
2 00003 - 289.60
1 00001 00004
2 00004 - 170.10
1 00001 00005
2 00005 - 448.75
1 00001 00006
2 00006 - 0.00
1 00001 00007
2 00007 - 0.00
Sledec´a iteracija daje proracˇun vremena na prvom nivou, odnosno maksimalno vreme skla-
panja finalnog sklopa 00001. Tok obrade dat je sledec´im tabelama (5.13), (5.14) i (5.15):
110
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
Tabela 5.13: GBOM-nivo 1a
nivo ident n ident p vreme
1 00001 00002 299.80+0.00
1 00001 00003 289.60+0.00
1 00001 00004 170.10+0.00
1 00001 00005 448.75+0.00
1 00001 00006 0.00+0.00
1 00001 00007 0.00+0.00
Tabela 5.14: GBOM-nivo 1b
nivo ident n ident p vreme
1 00001 - max{299.80, 289.60, 170.10, 448.75, 0.00, 0.00}
Tabela 5.15: GBOM-nivo 1c
nivo ident n ident p vreme
1 00001 - 448.75+256.00
Konacˇno dobijamo (5.16):
Tabela 5.16: GBOM-nivo 1d
nivo ident n ident p vreme
1 00001 - 704.75
111
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
T
ab
el
a
5.
1:
O
p
er
ac
ij
e
n
ad
sk
lo
p
om
I
id
e
n
t
n
id
e
n
t
p
o
p
e
ra
c
ij
a
re
d
o
sl
e
d
n
a
p
o
m
e
n
a
v
re
m
e
p
ri
p
v
re
m
e
iz
r
00
01
1
-
00
01
0
1
S
ecˇ
en
je
2
0
0
.2
0
00
01
1
-
00
01
1
2
P
om
o
c´n
ik
p
ri
se
cˇe
n
ju
2
0
0
.2
0
00
01
1
-
00
03
3
3
K
on
tr
ol
a
se
cˇe
n
ja
-
-
00
01
1
-
00
02
1
4
Is
ec
an
je
u
gl
ov
a
3
0
0
.6
0
00
01
1
-
00
03
1
5
R
eg
la
zˇa
al
at
a
-
-
00
01
1
-
00
03
2
6
P
ro
b
ij
an
je
3
0
0
.0
5
00
01
1
-
00
02
2
7
S
av
ij
an
je
3
0
1
.2
0
00
01
1
-
00
03
3
8
K
on
tr
ol
a
iz
ra
d
e
ko
m
ad
a
-
-
112
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
T
ab
el
a
5.
2:
O
p
er
ac
ij
e
n
ad
sk
lo
p
om
II
id
e
n
t
n
id
e
n
t
p
o
p
e
ra
c
ij
a
re
d
o
sl
e
d
n
a
p
o
m
e
n
a
v
re
m
e
p
ri
p
v
re
m
e
iz
r
00
00
5
00
00
5
00
00
1
1
H
em
ij
sk
a
ob
ra
d
a
3
0
1
00
00
5
00
00
5
00
02
3
2
Iz
ra
d
a
la
m
el
a
3
0
3
.5
00
00
5
00
00
5
00
02
4
3
Iz
ra
d
a
ce
v
cˇi
ca
9
0
3
00
00
5
00
00
5
00
02
5
4
S
as
ta
v
lj
an
je
sa
c´a
3
0
1
8
00
00
5
00
00
5
00
02
6
5
P
ecˇ
en
je
sa
c´a
-
-
00
00
5
00
00
5
00
02
7
6
U
gr
ad
n
ja
ce
v
n
ih
zi
d
ov
a
3
0
8
00
00
5
00
00
5
00
02
8
7
K
ap
il
ar
n
o
le
m
lj
en
je
ce
v
n
ih
zi
d
ov
a
3
0
5
00
00
5
00
00
5
00
02
9
8
P
ra
n
je
b
lo
ka
sa
c´a
-
-
00
00
5
00
00
5
00
03
0
9
Is
p
it
iv
an
je
b
lo
ka
sa
c´a
3
0
8
00
00
5
00
00
5
00
03
3
10
K
on
tr
ol
a
u
iz
ra
d
i
b
lo
ka
sa
c´a
-
-
113
Sistem odrzˇavanja vazduhoplova Proracˇun vremena
T
ab
el
a
5.
3:
O
p
er
ac
ij
e
n
ad
sk
lo
p
om
II
I
id
e
n
t
n
id
e
n
t
p
o
p
e
ra
c
ij
a
re
d
o
sl
e
d
n
a
p
o
m
e
n
a
v
re
m
e
p
ri
p
v
re
m
e
iz
r
00
00
2
00
00
8
00
01
0
1
S
ecˇ
en
je
2
0
0
.2
0
00
00
2
00
00
8
00
01
1
2
P
om
o
c´n
ik
p
ri
se
cˇe
n
ju
2
0
0
.2
0
00
00
2
00
00
8
00
03
3
3
K
on
tr
ol
a
se
cˇe
n
ja
-
-
00
00
2
00
00
8
00
01
2
4
Is
ec
an
je
3
0
0
.8
0
00
00
2
00
00
8
00
01
3
5
O
p
se
ca
n
je
3
0
3
00
00
2
00
00
8
00
03
3
6
K
on
tr
ol
a
op
se
ca
n
ja
-
-
00
00
2
00
00
8
00
01
4
7
S
av
ij
an
je
3
0
1
.5
00
00
2
00
00
8
00
01
5
8
S
av
ij
an
je
i
d
ot
er
iv
an
je
3
0
4
00
00
2
00
00
8
00
01
6
9
Z
av
ar
iv
an
je
1
5
4
00
00
2
00
00
8
00
03
3
10
K
on
tr
ol
a
d
ot
er
iv
an
ja
i
za
va
ri
va
n
ja
-
-
00
00
2
00
00
8
00
01
7
11
F
re
zo
va
n
je
3
0
1
.5
0
00
00
2
00
00
8
00
01
8
12
P
er
tl
ov
an
je
3
0
2
00
00
2
00
00
8
00
03
3
13
K
on
tr
ol
a
iz
ra
d
e
ko
m
ad
a
-
-
00
00
2
00
00
9
00
01
9
1
S
ecˇ
en
je
ce
v
i
3
0
0
.5
0
00
00
2
00
00
9
00
03
3
2
K
on
tr
ol
a
se
cˇe
n
ja
-
-
00
00
2
00
00
9
00
02
0
3
S
ik
n
ov
an
je
3
0
0
.5
0
00
00
2
00
00
9
00
03
3
4
K
on
tr
ol
a
iz
ra
d
e
ko
m
ad
a
-
-
114
Glava 6
Zakljucˇak
Analizom kako prakticˇnih resˇenja, tako i teorijskih istrazˇivanja u sistemu odrzˇavanja va-
zduhoplova, mozˇe se zakljucˇiti da ima prostora za znacˇajnija unapredenja u ovoj oblasti.
Savremeni sistemi odrzˇavanja obuhvataju i upravljanje odrzˇavanjem, preciznije zasnovani su
na automatizovanoj podrsˇci odrzˇavanju primenom racˇunara (Computer Integrated Mainte-
nance Management). Samim tim jedan od vazˇnih zahteva je obezbediti model podataka koji
je dovoljno bogat da bi mogao, na relativno lak nacˇin prihvatiti i u sebe ukljucˇiti razlicˇite
koncepte realnog sistema zajedno sa svojim atributima i medusobnim vezama. Hijerarhij-
ske strukture podataka (strukture podataka tipa stablo) su posebno interesantne u sistemu
odrzˇavanja vazduhoplova i one su predmet istrazˇivanja u Glavi 2. Rekurzivnost koja je u
osnovi hijerarhijske strukture podataka odnosno stabla koji je reprezent ovakve strukture
podataka, mozˇe biti problem u efikasnom upravljanju sistemom odrzˇavanja vazduhoplova. U
Glavi 2 su date nove karakterizacije stabla, koje daju osnov za nerekurzivne modele hijerar-
hijske strukture podataka:
− model sa izlistanim putanjama
− model sa ugnjezˇdenim skupovima
− model sa ugnjezˇdenim intervalima
Teoreme (2.3.2) i (2.3.3) odnosno (2.3.6) i (2.3.7) daju vezu izmedu proizvoljne hijerarhij-
ske strukture i hijerarhijske strukture uredene relacijom podskup odnosno nadskup. Drugim
recˇima svako stablo je izomorfno stablu koje je uredeno relacijom podskup odnosno nadskup.
Pogodnim indeksiranjem cˇorova stabla u skupu prirodnih brojeva, relacijama podskup, od-
nosno nadskup c´e odgovarati uobicˇajeno leksikografsko uredenje nizova prirodnih brojeva
(model sa izlistanim putanjama), odnosno uobicˇajeno uredenje intervala prirodnih brojeva
(model sa ugnjezˇdenim skupovima). Na ovaj nacˇin se pojedine operacije nad hijerarhijskom
strukturom podataka mogu efikasno implementirati. Slabosti pomenuta dva modela se mogu
otkloniti, ako se cˇvorovi stabla indeksiraju u skupu intervala realnih brojeva. Posebno model
sa ugnjezˇdenim intervalima otklanja neke od uocˇenih slabosti. U ovoj klasi modela analizi-
rana su dva tipa:
− binarni model sa ugnjezˇdenim intervalima
115
Zakljucˇak
− ternarni model sa ugnjezˇdenim intervalima
Analizom slabosti binarnog modela sa ugnjezˇdenim intervalima, koji ne podrzˇava direktno
operaciju umetanja cˇvora, predlozˇen je ternarni model sa ugnjezˇdenim intervalima koji po-
menutu operaciju direktno podrzˇava.
U kontekstu ogranicˇenih resursa u sistemu za odrzˇavanje vazduhoplova posebno su intere-
santne optimalne strategije odrzˇavanja. Bitan segment sistema za upravljanje odrzˇavanjem je
planiranje odrzˇavanja. Jedan od osnovnih problema izmedu ostalog je neizvesnost dogadaja
koji znacˇajno uticˇu na samo planiranje. Recˇ je o dogadajima koji su po svojoj prirodi slucˇajni.
Ovi slucˇajni dogadaji su pored ostalog vezani za:
− vremenski trenutak otkaza rezervnog dela
− vremenski trenutak zahteva za nekim delom
− vreme isporuke, odnosno vreme potrebno za sklapanje (pripremu) rezervnog dela
Planiranje odrzˇavanja u kontekstu slucˇajnih faktora je predmet istrazˇivanja u Glavi 3. Po-
sebno analizira se planiranje odrzˇavanja u slucˇaju kada skup aktivnosti ima hijerarhijsku
strukturu i pri tome je trajanje pojedinih aktivnosti iz datog skupa aktivnosti slucˇajna
velicˇina. Pod pretpostavkom da aktivnost na viˇsem nivou hijerarhije ne mozˇe zapocˇeti pre
nego sˇto su zavrsˇene sve aktivnosti na nizˇem nivou hijerarhije i da su poznati gubici koji
nastaju u slucˇaju da se sa nekim aktivnostima kasni, odnosno da su poznati gubici u slucˇaju
da su neke aktivnosti preuranjene, potrebno je formirati optimalnu strategiju aktiviranja ak-
tivnosti iz datog skupa. Bez gubitka opsˇtosti pretpostavljeno je da su aktivnosti iz skupa
aktivnosti zapravo aktivnosti sklapanja (pripreme) rezervnog dela. Pod ovim pretpostavkama
funkcija koju treba optimizoati je funkcija ocˇekivanih trosˇkova i ona ukljucˇuje trosˇkove:
− skladiˇstenja u slucˇaju da je aktivnost sklapanja zavrsˇena pre utvrdenog roka
− kasˇnjenja u slucˇaju da je aktivnost sklapanja zavrsˇena nakon utrdenog roka
U prvom delu Glave 3 problem planiranja aktivnosti u slucˇaju jedne linije sklapanja je
resˇen svodenjem na poznati newsboy problem. Zatim je dato resˇenje problema viˇsestruke
neodredenosti na jednoj grani hijerarhije, kada su i trajanje aktivnosti sklapanja i utvrdeni
rok slucˇajne velicˇine. Sˇto se ticˇe problema sklapanja (pripreme) rezervnog dela u opsˇtem
slucˇaju, kada se radi o hijerarhiji sa proizvoljnim brojem nivoa, on je isuviˇse komplikovan
da bi se postavila funkcija ocˇekianih trosˇkova. U slucˇaju hijerarhije koja se opisuje stablom
visine jedan, predlozˇena su dva modela:
− simultani zahtev I
− simultani zahtev II
Za svaki od modela je formirana funkcija ocˇekivanih trosˇkova i dokazana njena konvek-
snost (Teorema (3.3.1) i Teorema (3.4.1)) cˇime se odredivanje optimalnog resˇenja svodi na
odredivanje lokalnog minimuma funkcije ocˇekianih trosˇkova. Dalje je pokazano kako se resˇenje
problema na stablu sklapanja rezervnog dela visine dva, mozˇe produzˇiti na stablo sklapanja
116
Zakljucˇak
proizvoljne visine. Ovo produzˇenje se svodi na iterativnu primenu resˇenja na stablu sklapanja
visine dva. Na kraju su date procedure koje (obradom odgovarajuc´e hijerarhijske strukture
podataka) daju optimalna vremena aktiviranja pojedinih aktivnosti sklapanja. Jasno je da
se navedeni rezultati mogu primeniti na planiranje proizvoljnog skupa aktivnosti koji ima
hijerarhijsku strukturu.
Vazduhoplovi su savremena saobrac´ajna sredstva vrhunske tehnologije sa velikim brojem
komponenti i kompleksnom strukturom. Pojedine komponente vazduhoplova se koriste na
razlicˇit nacˇin, trpe razlicˇita opterec´enja i odrzˇavaju se po programu koji je njima najbolje
prilagoden. Jedan od nacˇina savladavanja slozˇenosti je takozvana hijerarhijska dekompozi-
cija. Slozˇeni koncept se na jednom nivou apstrakcije posmatra kao jedinstvena celina. Na
nizˇem nivou apstrakcije se posmatra kao koncept koji se sastoji od delova (komponenti). Uza-
stopnom primenom opisanog postupka dobija se takozvana hijerarhijska sastavnica. Dakle
jedan od bitnih koncepata u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova jeste sastavnica. Sastavnica je
najprostije recˇeno, lista komponenti koji su sastavni delovi posmatranog objekta. Pri tome se
vodi racˇuna o vezama izmedu sastavnih komponenti, pa je u osnovi sastavnice hijerarhijska
struktura podataka. Sastavnica kao hijerarhijska struktura podataka u sistemu odrzˇavanja
vazduhoplova je predmet istrazˇivanja u Glavi 4. U Glavi 2 su analizirani neki modeli hije-
rarhijske strukture podataka. U analizi modela sva pazˇnja je bila skoncentrisana na jedan
aspekt modela, konkretno analizirana je efikasnost obrade hijerarhijske strukture podataka u
datom modelu. Drugi problem je obezbediti kvalitetan sadrzˇaj hijerarhijske strukture poda-
taka, odnosno u sistemu za upravljanje odrzˇavanjem vazduhoplova treba obezbediti kvalitetnu
sastavnicu. Sastavnice predstavljaju posebnu vrstu stabla i u susˇtini su hijerarhijske struk-
ture podataka koje su osnov za modeliranje problema iz prethodnih poglavlja, samim tim su
posebno interesantne u sistemu za odrzˇavanje vazduhoplova. U Glavi 4 daje se metodicˇki pri-
stup resˇavanju problema generisanja sadrzˇajno kvalitetne sastavnice. Pre svega neophodno
je sistematizovati podatke koji bi bili podrsˇka kreiranju sastavnice. Pomenuta sistematizacija
podataka je izvedena navodenjem opisa viˇse struktura podataka, cˇije se postojanje dalje pod-
razumeva jer obezbeduju sadrzˇaj kojim c´e se sastavnice snabdeti. Dalje se daje opis strukture
sastavnice koji odreduje sadrzˇaj same sastavnice. Pri tome se razlikuju dva tipa sastavnica:
− modularna
− hijerarhijska
i oba tipa su detaljno obradeni. Predlozˇena struktura sastavnica je fleksibilna i ta fleksibilnost
se ogleda u tome sˇto se mozˇe elementarno prosˇiriti i na taj nacˇin obezbediti dodatni sadrzˇaj.
U slucˇaju modularnih sastavnica dat je primer kako se mozˇe modelirati uredenje potomaka
cˇvora stabla, koje se dalje u sistemu odrzˇavanja vazduhoplova mozˇe interpretirati kao redosled
ugradnje delova ili josˇ viˇse kao redosled izvodenja aktivnosti odrzˇavanja. Slicˇno dat je primer
kako se mozˇe modelirati viˇsestruka podredenost pojedinih cˇvorova stabla koja se dalje u
sistemu odrzˇavanja mozˇe interpretirati kao neophodna kolicˇina pojedinih podsklopova za
sklapanje nadredenog sklopa. Kako su modularne sastanice gradivni blokovi hijerarhijske
sastavnice, fleksibilnost strukture modularne sastavnice se prenosi na hijerarhijsku sastavnicu.
Na kraju Glave 4 uvodi se pojam genericˇke sastavnice, a zatim se daje odgovarajuc´a procedura
za generisanje hijerarhijske sastavnice.
117
Zakljucˇak
Imajuc´i za osnov fleksibilnu strukturu sastavnice, u Glavi 5 se uvodi pojam druge hijerar-
hijske sastavnice. Druga hijerarhijska sastavnica je sadrzˇajno rasˇirenje hijerarhijske sastav-
nice uvedene u Glavi 4. Posebno druga hijerarhijska sastavnica obezbeduje sadrzˇaj kojim
se opisuje postupak simultane ugradnje podsklopova u nadredeni sklop o cˇemu je bilo recˇi u
Glavi 3, s tom razlikom sˇto je u Glavi 3 ova problematika istrazˇivana sa aspekta optimizacije
trosˇkova. Sam postupak ugradnje se uobicˇajenom tehnikom dekompozicije, rasˇcˇlanjuje na
niz zahvata koji se zatim modeliraju u strukturi druge hijerarhijske sastavnice. Zahvati blizˇe
odreduju prirodu veze izmedu nadredenog i podredenog sklopa. Nakon sˇto je izvedena studija
slucˇaja koji se koriste u praksi, prepoznata su cˇetri tipa zahvata prema tome sˇta su krajevi
veze izmedu nadredenog i podredenog sklopa:
− zahvat ima nadredeni i nema podredeni sklop
− zahvat ima nadredeni i podredeni sklop i pri tome su to isti sklopovi
− zahvat ima nadredeni i podredeni sklop i to su razlicˇiti sklopovi
− zahvat ima podredeni i nema nadredeni sklop
Zatim je data odgovarajuc´a procedura za generisanje druge hijerarhijske sastavnice, koja na
odgovarajuc´i nacˇin tretira prepoznate tipove zahvata. Na kraju je dat algoritam za proracˇun
neophodnih vremena u postupku simaultane ugradnje na viˇse nivoa.
U daljem radu svakako bi se iˇslo na softversku implementaciju predlozˇenih modela stabla.
Ocigledno je da se predlozˇenim modelima hijerarhijska struktura podataka mozˇe implemen-
tirati linearnom strukturom podataka kojima su pridruzˇena odgoarajuc´a obelezˇja. Kom-
plikovan hijerarhijski odnos izmedu elemenata strukture se prenosi na elementaran odnos
izmedu obelezˇja elemenata linearne strukture. Sˇto se ticˇe odrzˇavanja vazduhoplova potrebno
je testirati predlozˇene modele planiranja odrzˇavanja. Pre svega neophodno je obezbediti od-
govarajuc´e raspodele vremena trajanja pojedinih aktivnosti odrzˇavanja, a to se mozˇe izvesti
nekim od standardnih metoda statisticˇke obrade podataka.
118
Literatura
[1] I. Arandjelovic´, Z. Mitrovic´, and V. Stojanovic´. Verovatnoc´a i Statistika. Zavod za
udzˇbenike, Beograd, 2011.
[2] Sven Axsater. Planning order releases for an assembly system with random operation
times. OR Spectrum, Vol. 27(2-3):459–470, 2005.
[3] S. Boyd and L. Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 7th
edition, 2009.
[4] Franjo Cecelja. Manufacturing Information and Data SystemsM. Penton Press, London,
2002.
[5] Joe Celko. Joe Celko’s Trees and hierarchies in SQL for smarties. Morgan-Kaufmann,
2004.
[6] Fangruo Chen. Market segmentation, advanced demand information, and supply chain
performance. Manufacturing & Service Operations Management, Vol. 3(1):53–67, 2001.
[7] Vadim Tropashko Oracle Corp. Nested intervals tree encoding in sql. SIGMOD Record,
Vol. 34(2):47–52, 2005.
[8] Mohsen Elhafsi. Optimal leadtimes planning in serial production systems with earliness
and tardiness costs. IIE Transactions, Vol. 34(3):233–243, 2002.
[9] W. Hopp and M. Spearman. Setting safety leadtimes for purchased components in
assembly systems. IIE Transactions, Vol. 25(2):1–11, 1993.
[10] F. Karaesmen, J.A. Buzacott, and Y. Dallery. Integrating advance order information in
make-to-stock production systems. IIE Transactions, Vol. 34(8):649–662, 2002.
[11] Donald E. Knuth. The Art of Computer Programming, volume 1. Addison-Wesley,
Reading, 1969.
[12] Cˇ. Mitrovic´, D. Bekric´, N. Petrovic´, and S. Radojevic´. Relevantnost ljudskih faktora
u vazduhoplovstvu. XXXII Naucˇno - strucˇni skup Odrzˇavanje masˇina i opreme, pages
209–220, 2007.
[13] I. Moerdijk and J. Oosten. Sets, Models and Proofs. Utrecht University, 2006.
[14] Pavle Mogin. Strukture podataka i organizacija datoteka. Racˇunarski fakultet, Beograd,
2008.
119
Literatura Literatura
[15] John Moubray. Reliability Centred Maintenance RCM. Butterworth-Heinnemann Ltd.,
Oxford, 2nd edition, 1997.
[16] S. Radojevic´, Cˇ. Mitrovic´, and M. Arandelovic´. Priprema sastavnica u odrzˇavanju.
XXXIII Naucˇno – strucˇni skup Odrzˇavanje masˇina i opreme, 2008.
[17] S. Radojevic´, Cˇ. Mitrovic´, M. Arandelovic´, and N. Dondur. Maksimalno vreme
odrzˇavanja aviona dobijeno sastavnicom. XXXIII Naucˇno – strucˇni skup Odrzˇavanje
masˇina i opreme, 2008.
[18] S. Radojevic´, Cˇ. Mitrovic´, M. Lecˇic´, and N. Dondur. Edukacija korisnika za koriˇsc´enje
ebom case alata. 33. JUPITER konferencija, 26. CIM u strategiji tehnolosˇkog razvoja
industrije prerade metala, Zbornik radova, Vol. 1.
[19] S. Radojevic´ and Z.A. Veljkovic´. Rekurzivni algoritam za stvaranje prve hijerarhijske
sastavnice. 28. JUPITER konferencija, 30. simpozijum Upravljanje proizvodnjom u in-
dustriji prerade metala, Zbornik radova, Vol. 4.
[20] S. Radojevic´ and Z.A. Veljkovic´. Osnovne pretpostavke za stvaranje meta-jezika formi-
ranja sastavnica. SIE 98, pages 231–234, 1998.
[21] S. Radojevic´, Z.A. Veljkovic´, and B. Milinkovic´ Katalinic´. Tehnolosˇka sastavnica u
planiranju proizvodnje. Drugi skup privrednika i naucˇnika, Beograd, 2004.
[22] Slobodan Radojevic´. Formiranje sastavnica gotovih proizvoda simuliranom rekurzijom i
pokazivacˇima u relacionim bazama podataka. Zbornik radova Masˇinskog Fakulteta, pages
40–43, 1991.
[23] Slobodan Radojevic´. Algoritam za formiranje sastavnica gotovih proizvoda u relacioniim
bazama podataka. Tehnika – Organizacija, pages 46–50, 1994.
[24] Bosˇko Rasˇuo. Vazduhoplovnotehnicko obezbedenje. Vojna akademija, Beograd, 2003.
[25] Walter Rudin. Principles of mathematical analysis. McGraw-Hill, Inc., 3rd edition, 1976.
[26] J.S. Song, C.A. Yano, and P. Lerssrisuriya. Contract assembly: Dealing with combined
supply lead time and demand quantity uncertainty. Manufacturing & Service Operations
Management 2, Vol. 2(3):287–296, 2000.
[27] D. Stevanovic´, M. C´iric´, S. Simic´, and V. Baltic´. Discrete Mathematics – Fundamentals
of Combinatorics and Graph Theory. Mathematical Society of Serbia, Beograd, 2007.
[28] William J. Stevenson. Operations Management. McGraw-Hill/Irwin, 10th edition, 2009.
[29] O. Tang and R.W. Grubbstrom. The detailed coordination problem in a two-level assem-
bly system with stochastic lead times. International Journal of Production Economics,
Vol. 81-82(1):415–429, 2003.
[30] Candace A. Yano. Stochastic leadtimes in two-level assembly systems. IIE Transactions,
Vol. 19(4):371–378, 1987.
120
Prilog A
Newsboy problem
Problem je sledec´i, potrebno je oceniti broj primeraka dnevnih novina koje treba narucˇiti
imajuc´i u vidu da je potrazˇnja slucˇajna promenljiva i da na kraju dana neprodate novine
gube vrednost . Neka je nabavna cena 10din., a prodajna 20din. i neka se za povrac´aj
neprodatog primerka novina dobija 5din. Ocˇigledno je da je resˇenje po kome je broj primeraka
koje treba narucˇiti jednak srednjoj vrednosti broja prodatih primeraka na dnevnom nivou
neodgovarajuc´e. Ovaj zakljucˇak se mozˇe izvesti iz sledec´e analize:
− viˇsak primerka novina koji je neporodat, proizvodi gubitak od
10din− 5din = 5din
− manjak primerka novina koji je mogao biti prodat, proizvodi gubitak od
20din− 10din = 10din
Dakle gubitak je vec´i ako se ne narucˇi dovoljan broj primeraka nego ako se narucˇi viˇse prime-
raka nego sˇto je neophodno. U slucˇaju da se narucˇuje srednja vrednost broja dnevno prodatih
primeraka, sa istom frekvencijom c´e se desˇavati situacije kada nema dovoljno primeraka i si-
tuacije kada ima viˇsak primeraka. Heuristicˇka analiza nalazˇe da frekvenciju situacije kada
nema dovoljno primeraka treba smanjiti u korist ove druge, odnosno treba narucˇivati viˇse
od srednje vrednosti broja dnevno prodatih primeraka. Ovo je primer newsboy problema u
kome se dati proizvod narucˇuje na pocˇetku izvesnog perioda i mozˇe se koristiti samo u toku
tog perioda, a njegovim resˇavanjem se dobija optimalni nivo zaliha. Pretpostavimo da su
poznate sledec´e cene kosˇtanja co, cu > 0:
− co : cena kosˇtanja po jedinici proizvoda u slucaju pozitivnog nivoa zaliha na kraju
perioda u kome je proizvod upotrebljiv (overage cost)
− cu : cena kosˇtanja nezadovoljenog zahteva, odnosno cena kosˇtanja po jedinici proizvoda
u slucaju negativnog nivoa zaliha na kraju perioda u kome je proizvod upotrebljiv
(underage cost)
Dalje c´emo pretpostaviti da je broj zahteva D u toku uocˇenog perioda slucˇajna promenljiva.
Upravljajuc´i parameter q je broj jedinica proizvoda koji se narucˇuje na pocˇetku perioda. Cilj
121
Newsboy problem
je odrediti vrednost parametra q koji minimizira ocˇekivane ukupne trosˇkove na kraju peri-
oda. Definiˇsimo sa C(q,D) funkciju ukupnih trosˇkova koji su posledica pozitivnog odnosno
negativnog nivoa zaliha na kraju perioda:
C(q,D) = co ·max {q −D, 0}+ cu ·max {D − q, 0} (A.1)
Ako uvedemo sledec´e oznake:
x+ = max {x, 0} (A.2)
x− = max {−x, 0} = (−x)+ (A.3)
imac´emo:
C(q,D) = co · (q −D)+ + cu · (D − q)+ (A.4)
Kako vazˇi:
x+ = max {x, 0} = x+ max {x− x, 0− x} = x+ max {0,−x}
= x+ x− = x+ (−x)+ (A.5)
dobijamo:
C(q,D) = co ·
(
(q −D) + (D − q)+)+ cu · (D − q)+
= co · (q −D) + (cu + co) · (D − q)+ (A.6)
pa su ocˇekivani trosˇkovi jednaki:
Z(q) = E(C(q,D)) = co · (q − E(D)) + (cu + co) · E((D − q)+) (A.7)
Teorema A.1. Neka je broj zahteva D u toku uocˇenog perioda diskretna slucˇajna promenljiva
sa funkcijom raspodele F (d) = P (D < d), tada je optimalno resˇenje problema (A.7) dato sa:
F (q∗) ≤ cu
cu + co
≤ F (q∗ + 1) (A.8)
Dokaz. Neka je broj zahteva D u toku uocˇenog perioda diskretna slucˇajna promenljiva sa
funkcijom raspodele F (d) = P (D) < d), tada je funkcija ocˇekivanih ukupnih trosˇkova:
122
Newsboy problem
Z(q) = co · (q − E(D) + (cu + co) ·
∑
i≥1
P ((D − q)+ ≥ i)
= co · (q − E(D) + (cu + co) ·
∑
i≥1
P (D ≥ q + i)
= co · (q − E(D) + (cu + co) ·
∑
j≥q+1
P (D ≥ j)
= co · (q − E(D) + (cu + co) · (E(D)−
q∑
j=1
P (D ≥ j))
= coq + cuE(D)− (cu + co) ·
q∑
j=1
(1− F (j))
= coq + cuE(D)− (cu + co)q + (cu + co) ·
q∑
j=1
F (j)
= cu(E(D)− q) + (cu + co) ·
q∑
j=1
F (j)
a njen prirasˇtaj je:
∆Z(q) = Z(q + 1)− Z(q)
= cu · (E(D)− (q + 1)) + (cu + co) ·
q+1∑
j=1
F (j)
−
cu · (E(D)− q) + (cu + co) · q∑
j=1
F (j)

= −cu + (cu + co) · F (q + 1)
q∗ je optimalno resˇenje ako je: ∆Z(q∗ − 1) ≤ 0 i ∆Z(q∗) ≥ 0, odnosno:
−cu + (cu + co)F (q∗) ≤ 0
−cu + (cu + co)F (q∗ + 1) ≥ 0
pa je optimalno resˇenje dato sa:
F (q∗) ≤ cu
cu + co
≤ F (q∗ + 1)

Teorema A.2. Neka je D neprekidna slucˇajna promenljiva sa gustinom raspodele f i funk-
cijom raspodele F , tada je optimalno resˇenje problema (A.7) dato sa:
q∗ = F−1
(
cu
cu+co
)
(A.9)
123
Newsboy problem
Dokaz. Neka je broj zahteva D u toku uocˇenog perioda neprekidna slucˇajna promenljiva sa
gustinom raspodele f i funkcijom raspodele F , tada su ocˇekivani ukupni trosˇkovi:
Z(q) = co · (q − E(D)) + (cu + co) ·
∞∫
0
P (D − q ≥ x) dx
= co · (q − E(D)) + (cu + co) ·
∞∫
0
(1− P (D < x+ q))dx
= co · (q − E(D)) + (cu + co) ·
∞∫
0
(1− F (x+ q))dx
= co · (q − E(D)) + (cu + co) ·
∞∫
q
(1− F (x))dx
Stacionarna tacˇka funkcije ocˇekivanih trosˇkova je resˇenje sledec´e jednacˇine:
dZ(q)
dq
= 0
co − (cu + co) ·
∞∫
q
f(x)dx = 0
co − (cu + co)(1− F (q)) = 0
−cu + (cu + co)F (q) = 0
F (q) =
cu
cu + co
Kako je:
d2Z(q)
dq2
= (cu + co)f(q) ≥ 0
funkcija ocˇekivanih ukupnih trosˇkova je konveksna. Neka je pri tome F strogo rastuc´a funk-
cija, tada je jedinstveno optimalno resˇenje dato sa:
q∗ = F−1
(
cu
cu+co
)

Newsboy model se mozˇe koristiti u svim situacijama kada treba izvrsˇiti procenu neke slucˇajne
velicˇine, a ta procena je rezultat kompromisa izmedu gubitaka u slucˇaju da je vrednost
slucˇajne promenljive precenjena i gubitaka koji su posledica potcenjene vrednosti slucˇajne
promenljive.
124
Prilog B
HSII
2.1 HSII1
P = {
〈00001, 00001, 00001, 1〉,
〈00001, 00001, 00002, 2〉,
〈00001, 00001, 00003, 3〉,
〈00001, 00001, 00004, 4〉,
〈00001, 00001, 00005, 5〉,
〈00001, 00001, 00006, 6〉,
〈00001, 00001, 00007, 7〉,
〈00001, 00001, 00008, 8〉,
〈00001, 00001, 00033, 9〉,
〈00002, 00002, 00001, 1〉,
〈00002, 00002, 00009, 2〉,
〈00002, 00002, 00033, 3〉,
〈00002, 00008, 00010, 1〉,
〈00002, 00008, 00011, 2〉,
〈00002, 00008, 00033, 3〉,
〈00002, 00008, 00012, 4〉,
〈00002, 00008, 00013, 5〉,
〈00002, 00008, 00033, 6〉,
〈00002, 00008, 00014, 7〉,
〈00002, 00008, 00015, 8〉,
〈00002, 00008, 00016, 9〉,
〈00002, 00008, 00033, 10〉,
125
HSII HSII1
〈00002, 00008, 00017, 11〉,
〈00002, 00008, 00018, 12〉,
〈00002, 00008, 00033, 13〉,
〈00002, 00009, 00019, 1〉,
〈00002, 00009, 00033, 2〉,
〈00002, 00009, 00020, 3〉,
〈00002, 00009, 00033, 4〉,
〈00003, 00003, 00001, 1〉,
〈00003, 00003, 00009, 2〉,
〈00003, 00003, 00033, 3〉,
〈00003, 00009, 00019, 1〉,
〈00003, 00009, 00033, 2〉,
〈00003, 00009, 00020, 3〉,
〈00003, 00009, 00033, 4〉,
〈00003, 00010, 00010, 1〉,
〈00003, 00010, 00011, 2〉,
〈00003, 00010, 00033, 3〉,
〈00003, 00010, 00012, 4〉,
〈00003, 00010, 00013, 5〉,
〈00003, 00010, 00033, 6〉,
〈00003, 00010, 00014, 7〉,
〈00003, 00010, 00015, 8〉,
〈00003, 00010, 00016, 9〉,
〈00003, 00010, 00033, 10〉,
〈00003, 00010, 00017, 11〉,
〈00003, 00010, 00018, 12〉,
〈00003, 00010, 00033, 13〉,
〈00004, 00000, 00010, 1〉,
〈00004, 00000, 00011, 2〉,
〈00004, 00000, 00033, 3〉,
〈00004, 00000, 00021, 4〉,
〈00004, 00000, 00022, 5〉,
〈00004, 00000, 00015, 6〉,
〈00004, 00000, 00016, 7〉,
〈00004, 00000, 00033, 8〉,
〈00005, 00005, 00001, 1〉,
126
HSII HSII2
〈00005, 00005, 00023, 2〉,
〈00005, 00005, 00024, 3〉,
〈00005, 00005, 00025, 4〉,
〈00005, 00005, 00026, 5〉,
〈00005, 00005, 00027, 6〉,
〈00005, 00005, 00028, 7〉,
〈00005, 00005, 00029, 8〉,
〈00005, 00005, 00030, 9〉,
〈00005, 00005, 00033, 10〉,
〈00011, 00000, 00010, 1〉,
〈00011, 00000, 00011, 2〉,
〈00011, 00000, 00033, 3〉,
〈00011, 00000, 00021, 4〉,
〈00011, 00000, 00031, 5〉,
〈00011, 00000, 00032, 6〉,
〈00011, 00000, 00022, 7〉,
〈00011, 00000, 00033, 8〉
}
2.2 HSII2
P = {
〈0, 00001, 00001, 00001, 1〉,
〈0, 00001, 00001, 00002, 2〉,
〈0, 00001, 00001, 00003, 3〉,
〈0, 00001, 00001, 00004, 4〉,
〈0, 00001, 00001, 00005, 5〉,
〈0, 00001, 00001, 00007, 7〉,
〈0, 00001, 00001, 00008, 8〉,
〈0, 00001, 00001, 00033, 9〉,
〈1, 00002, 00002, 00001, 1〉,
〈1, 00002, 00002, 00009, 2〉,
〈1, 00002, 00002, 00033, 3〉,
〈2, 00002, 00008, 00010, 1〉,
127
HSII HSII2
〈2, 00002, 00008, 00011, 2〉,
〈2, 00002, 00008, 00033, 3〉,
〈2, 00002, 00008, 00012, 4〉,
〈2, 00002, 00008, 00013, 5〉,
〈2, 00002, 00008, 00033, 6〉,
〈2, 00002, 00008, 00014, 7〉,
〈2, 00002, 00008, 00015, 8〉,
〈2, 00002, 00008, 00016, 9〉,
〈2, 00002, 00008, 00033, 10〉,
〈2, 00002, 00008, 00017, 11〉,
〈2, 00002, 00008, 00018, 12〉,
〈2, 00002, 00008, 00033, 13〉,
〈2, 00002, 00009, 00019, 1〉,
〈2, 00002, 00009, 00033, 2〉,
〈2, 00002, 00009, 00020, 3〉,
〈2, 00002, 00009, 00033, 4〉,
〈1, 00003, 00003, 00001, 1〉,
〈1, 00003, 00003, 00009, 2〉,
〈1, 00003, 00003, 00033, 3〉,
〈2, 00003, 00009, 00019, 1〉,
〈2, 00003, 00009, 00033, 2〉,
〈2, 00003, 00009, 00020, 3〉,
〈2, 00003, 00009, 00033, 4〉,
〈2, 00003, 00010, 00010, 1〉,
〈2, 00003, 00010, 00011, 2〉,
〈2, 00003, 00010, 00033, 3〉,
〈2, 00003, 00010, 00012, 4〉,
〈2, 00003, 00010, 00013, 5〉,
〈2, 00003, 00010, 00033, 6〉,
〈2, 00003, 00010, 00014, 7〉,
〈2, 00003, 00010, 00015, 8〉,
〈2, 00003, 00010, 00016, 9〉,
〈2, 00003, 00010, 00033, 10〉,
〈2, 00003, 00010, 00017, 11〉,
〈2, 00003, 00010, 00018, 12〉,
〈2, 00003, 00010, 00033, 13〉,
128
HSII HSII2
〈1, 00004, 00000, 00010, 1〉,
〈1, 00004, 00000, 00011, 2〉,
〈1, 00004, 00000, 00033, 3〉,
〈1, 00004, 00000, 00021, 4〉,
〈1, 00004, 00000, 00022, 5〉,
〈1, 00004, 00000, 00015, 6〉,
〈1, 00004, 00000, 00016, 7〉,
〈1, 00004, 00000, 00033, 8〉,
〈1, 00005, 00005, 00001, 1〉,
〈1, 00005, 00005, 00023, 2〉,
〈1, 00005, 00005, 00024, 3〉,
〈1, 00005, 00005, 00025, 4〉,
〈1, 00005, 00005, 00026, 5〉,
〈1, 00005, 00005, 00027, 6〉,
〈1, 00005, 00005, 00028, 7〉,
〈1, 00005, 00005, 00029, 8〉,
〈1, 00005, 00005, 00030, 9〉,
〈1, 00005, 00005, 00033, 10〉,
〈3, 00011, 00000, 00010, 1〉,
〈3, 00011, 00000, 00011, 2〉,
〈3, 00011, 00000, 00033, 3〉,
〈3, 00011, 00000, 00021, 4〉,
〈3, 00011, 00000, 00031, 5〉,
〈3, 00011, 00000, 00032, 6〉,
〈3, 00011, 00000, 00022, 7〉,
〈3, 00011, 00000, 00033, 8〉
}
129
Prilog C
Klasifikacija vremena u tehnologiji
Nacˇelno objasˇnjenje postupka dobijanja normalnog vremena, zahteva rasˇcˇlanjavanje opracije
na zahvate i njihovu klasifikaciju. Karakter zahvata nije uvek isti, nisu sve radnje usmerene
na promenu oblika radnog predmeta ili izmene strukture i slicˇno, ali su one isto tako sastavni
deo zadate operacije ili preduslov za njeno odvijanje. Ovo je posebno izrazˇeno u postupcima
odrzˇavanja jer niz zahvata ima posebnu klasifikaciju.
Normalno vreme za
jednu operaciju
Pripremno zavrsˇno
vreme Tpz
Vreme po komadu
Tk
Vreme izrade Tiz
Tehnolosˇko vreme Tt
Tehnolosˇko vreme
masˇinsko Ttm
Tehnolosˇko vreme
rucˇno Ttr
Pomoc´no vreme Tp
Pomoc´no vreme
masˇinsko Tpm
Pomoc´no vreme
rucˇno Tpr
Dopunsko vreme Td
Slika C.1: Komponentna vremena
Na slici (C.1), dat je graficˇki prikaz strukture komponentnih vremena potrebnih za izvrsˇenje
jedne operacije. Kolicˇina normalnog vremena izrade izracˇunava se po sledec´em obrascu:
T =
Tpz
N
+ Tiz + Td (C.1)
gde je:
Tpz ukupno potrebno pripremno zavrsˇno vreme za izradu izvesnog broja komada, a obuhvata:
130
Klasifikacija vremena u tehnologiji
− prijem naloga za rad sa dokumentacijom i proucˇavanje zadataka
− pripremu alata
− pripremu ostalih elemenata potrebnih za rad
− predaju gotovih komada kontroli
− raspremanje radnog mesta posle zavrsˇenog rada
N broj istih komada koji se izraduju jedan za drugim bez prekida - broj komada u seriji
Tiz vreme predvideno za radnje u vezi sa promenom oblika radnog predmeta i racˇuna se po
formuli (C.2)
Td dopunsko vreme predvideno za:
− odmor radnika
− fiziolosˇke potrebe
− opsluzˇivanje masˇine, koje je predvideno da obavlja sam radnik
Vreme Tiz je kolicˇina vremena vezana za promenu radnog predmeta i racˇuna se:
Tiz = Tt + Tp (C.2)
gde je:
Tt tehnolosˇko vreme izrade predvideno za promenu oblika radnog predmeta, izmenu strukture
materijala, postizanje novih osobina spajanjem viˇse delova u celinu, montazˇa i racˇuna
se po formuli (C.3)
Tp pomoc´no vreme predvideno za:
− uzimanje komada koje treba obradivati
− osposobljavanje alata za pocˇetak obrade
− ukljucˇivanje radnog dela masˇine
− kontrolu u toku rada
− skidanje i odlaganje komada po zavrsˇenoj obradi
i racˇuna se po formuli (C.4)
Vreme montazˇe se racˇuna po formuli:
Tt = Ttm + Ttr + Ttk (C.3)
gde je:
Ttm tehnolosˇko vreme izrade predvideno za masˇinski rad u vremenskim jedinicama
Ttr tehnolosˇko vreme izrade predvideno za rucˇni rad u vremenskim jedinicama
131
Klasifikacija vremena u tehnologiji
Ttk tehnolosˇko vreme izrade kombinovano, masˇinski rad i rucˇni rad u vremenskim jedinicama
Pomoc´no vreme se racˇuna po formuli:
Tp = Tpm + Tpr + Tpk (C.4)
gde je:
Tpm pomoc´no vreme izrade predvideno za masˇinski rad u vremenskim jedinicama
Tpr pomoc´no vreme izrade predvideno za rucˇni rad u vremenskim jedinicama
Tpk pomoc´no vreme izrade kombinovano, masˇinski rad i rucˇni rad u vremenskim jedinicama
Proracˇunom se dobijaju vremena Ttm i Tpm, dok se ostala vremena dobijaju snimanjem
proizvodnje ili na osnovu standardizovanih podataka dobijenih viˇsestrukim ispitivanjima u
laboratorijama. Obrazac za normalno vreme izrade u razvijenom obliku je:
T =
Tpz
N
+ Ttm + Ttr + Ttk + Tpm + Tpr + Tpk + Td (C.5)
i sve mozˇe biti izrazˇeno u razlicˇitim vremenskim jedinicama.
132
Biografija
Goran Lazovic´, diplomirani matematicˇar roden je 28.01.1964. godine u Priˇstini. Zavrsˇio je
osnovnu 1978 i srednju sˇkolu 1982. godine u Smederevu. Iste godine upisao je Matematicˇki
fakultet u Beogradu, odsek za Racˇunarstvo i informatiku. Diplomirao je 01.07.1988. go-
dine sa srednjom ocenom 9.42. Poslediplomske studije je upisao sˇkolske 1989/90. godine na
istom smeru Matematicˇkog fakulteta u Beogradu. Magistarsku tezu pod nazivom “Prilog
fazi-modalnim logicˇkim strukturama i njihovim softverskim implementacijama” odbranio je
05.10.1995. godine na Matematicˇkom fakultetu u Beogradu. Na Masˇinskom fakultetu u Beo-
gradu radi od 01.09.1990. godine u zvanju asistenta pripravnika. U zvanje asistenta izabran
je 1996. godine i reizabran 2000, 2004, 2008. i 2011. godine. Od dolaska na Masˇinski fa-
kultet do danas, Goran Lazovic´, diplomirani matematicˇar, uspesˇno je drzˇao vezˇbe iz sledec´ih
predmeta: Matematika 1, Matematika 2, Matematika 3, Programiranje, Nacrtna geome-
trija, Racˇunarski alati, Numericˇke metode, Bioautomatika, C/C++, Objektno orijentisana
paradigma, Projektovanje baza podataka, Projektovanje inzˇenjerskog softvera na Masˇinskom
fakultetu u Beogradu, odnosno Matematika 1, Matematika 2, Matematika 3 i Matematika 4
na Vojno tehnicˇkoj akademiji. Govori engleski jezik i sluzˇi se ruskim jezikom. Otac je petoro
dece Lazara (1996), Nikole (1997), Ksenije (2000), Anastasije (2002) i Sofije (2006).
133