UNIVERZITET U BEOGRADU MAŠINSKI FAKULTET Nebojša J. Dimitrijevi DINAMIKA ANALIZA POSEBNIH KLASA SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM doktorska disertacija Beograd, 2012 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING Nebojša J. Dimitrijevi DYNAMICAL ANALYSIS OF PARTICULAR CLASS OF TIME–DELAY CONTROL SYSTEMS Doctoral Dissertation Belgrade, 2012 Komisija za pregled i odbranu: Mentor: Dr Dragutin Debeljkovi, redovni profesor Univerzitet u Beogradu, Mašinski fakultet lanovi Komisije: Dr Sreten Stojanovi, vanredni profesor Univerzitet u Nišu, Tehnološki fakultet u Leskovcu Dr Mihailo Lazarevi, redovni profesor Univerzitet u Beogradu, Mašinski fakultet Datum odbrane: Mojoj erki Mini i supruzi Oliveri Dinamika analiza posebnih klasa sistema sa istim vremenskim kašnjenjem Apstrakt U disertaciji su razmatrani problemi dinamike analize posebnih klasa sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Prošireni su osnovni rezultati na polju ljapunovske stabilnosti linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Data je Ljapunov–Krasovski metoda za vremenski diskretne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem. Prezentovani su potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti, zavisne od isto vremenskog kašnjenja, linearnih, vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Dati su dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti, nezavisne od isto vremenskog kašnjenja, klase linearnih, perturbovanih sistema sa višestrukim vremenskim kašnjenjem. Prezentovani su dovoljni uslovi D–stabilnosti klase linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Dati su dovoljni uslovi eksponencijalne stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i perturbacijama. Prezentovani su potrebni i dovoljni uslovi kvadratne stabilnosti linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju i neodreenostima. Potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, velikih, linearnih, vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, su dati. Prouena je stabilnost velikih, intervalnih, vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Izvedeni su novi dovoljni kriterijumi, zavisni i nezavisni od isto vremenskog kašnjenja, stabilnosti na konanom vremenskom intervalu i atraktivne praktine stabilnosti linearnih, vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, kao i odgovarajui rezultati koji se tiu problema praktine nestabilnosti. Istražen je problema stabilnosti na konanom vremenskom intervalu za klasu linearnih, vremenski diskretnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem. Numeriki primeri su dati da demonstriraju primenu prezentovanih metoda. Kljune rei: Stabilnost na konanom vremenskom intervalu, atraktivna praktina stabilnost, D–stabilnost, eksponencijalna stabilnost, kvadratna stabilnost, vremenski diskretni i kontinualni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem, veliki sistemi, intervalni sistemi, sistemi sa vremenski promenljivim kašnjenjem Nauna oblast: Mašinstvo Uža nauna oblast: Automatsko upravljanje Dynamical analysis of particular class of time–delay control systems Abstract In this paper, the problems of dynamical analysis of particular class of time–delay control systems are considered. Some of the basic results in the area of Lyapunov stability of linear, discrete time–delay systems are extended. A Lyapunov–Krasovskii method for discrete time–delay systems is gived. Necessary and sufficient conditions for delay–dependent asymptotic stability of linear, continuous and discrete time–delay systems is offered. Sufficient conditions, independent of delay, for asymptotic stability of a particular class of linear perturbed time–delay systems with multiple delays are gived. New sufficient conditions for the D–stability of a particular class of linear, discrete time–delay systems are established. Sufficient conditions for the exponential stability of discrete time–delay systems with perturbations are gived. Necessary and sufficient conditions for quadratic stability of uncertain linear discrete systems with state delay are presented. New necessary and sufficient conditions for delay–dependent asymptotic stability of a particular class of large–scale, linear, continuous and discrete time–delay systems are established. The stability of continuous and discrete large–scale time–delay interval systems are considered. A new sufficient delay–dependant and delay–independent criteria for the finite time stability and attractive practical stability of linear continuous and discrete time–delay systems has been derived, as well as corresponding results concerning instability problems. Finite–time stability problem has been investigated for a class of linear discrete time–varying delay systems. Numerical examples are given to demonstrate the application of the proposed methods. Key words: Finite time stability, attractive practical stability, D–stability, exponential stability, quadratic stability, discrete and continuous time–delay systems, large–scale systems, interval systems, systems with time–varying delay Scientific discipline: Mechanical engineering Scientific subdiscipline: Automatic control engineering Predgovor Ve više od pola veka sistemi sa kašnjenjem privlae pažnju naune i strune javnosti širom sveta. Njihovo prisustvo u svim granama nauke i tehnike više je nego evidentno i u tom smislu brojni nauni radovi i obimna publicistika delatnost u punoj meri su iskazali interes koji je za njih bio pokazan. U matematikom smislu, ova klasa sistema opisana je obinim diferencijalnim jednainama sa pomerenim argumentom, što uslovljava itav niz dodatnih poteškoa pri njihovom rešavanju. S druge strane, kao sistemi beskonane dimenzije, njihovo prouavanje u kompleksnom domenu uslovljeno je suoavanjem sa transcedentnim prenosnim funkcijama, što u izvesnim sluajevima zahteva radikalnu preformulaciju postojeih kriterijuma i metoda razvijenih za obine linearne sisteme, a ponekada i formiranje sasvim novih prilaza i postupaka za razrešavanje postavljenih zadataka kako klasine, tako i moderne teorije automatskog upravljanja. Nešto jednostavniji nivo matematikog aparata neophodan je u dinamikoj analizi vremenski diskretnih sistema sa kašnjenjem, ali odsustvo eksponencijalnog karaktera odziva ove klase sistema i nekih drugih osobina, bez obzira na injenicu da je njihov prostor stanja konane dimenzije, onemoguava primenu itavog niza efikasnih rešenja i prilaza koji se mogu primeniti u prvom sluaju. Materija ovde prezentovana, nastavlja, razvija i izlaže potojee doprinose na polju stabilnosti i robusne stabilnosti, prvenstveno vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem prisutnim samo u stanju sistema, protežui se i na nove klase sistema koje u tom smislu obuhvataju vremenski kontinualne, kompozitne, velike i intervalne sisteme, a i sisteme sa promenljivim vremenskim kašnjenjem. Znaajan i evidentan doprinos ove doktorske disertacije leži u injenici da je ovde data šira rekapitulacija svetski poznatih rezultata širokog spektra naunika i strunjaka. Imajui u vidu da u nekim praktinim prilikama nije uvek od interesa razmatrati stabilnost sistema u smislu Ljapunova, ve je od posebne važnosti utvrditi granice do kojih dosežu trajektorije sistema pri njegovom kretanju u integralnom prostoru stanja razvijen je itav spektar koncepata tzv. neljapunovske stabilnosti, koji prvenstveno obuhvata stabilnost na konanom vremenskom intervalu, praktinu stabilnost, krajnju stabilnost i tehniku stabilnost. Dobro je poznato da sistem može da bude stabilan, pa ak i asimptotski stabilan, ali praktino neupotrebljiv zbog neprihvatljivih pokazatelja kvaliteta prelaznog procesa. Zbog toga je od posebnog znaaja razmatrati stabilnost sistema u odnosu na zadate skupove dozvoljenih i poetnih stanja u faznom prostoru, koji su po pravili a priori definisani za dati problem. Šta više, imajui u vidu veoma stroge i oprene zahteve koji se danas nameu kvalitetu dinamikog ponašanja realnih sistema, od posebnog je interesa razmatrati njihovo ponašanje na konanom vremenskom intervalu. Osobine granica do kojih dosežu rešenja sistema su veoma važne sa inženjerske take gledišta. Uzimajui u obzir ovu injenicu, uvedene su mnogobrojne definicije takozvane tehnike i praktine stabilnosti. Prema tome, analiza ovih partikularnih graninih osobina rešenja je važan korak, koji prethodi projektovanju upravljakih signala, kada se razmatra koncept stabilnosti na konanom vremenskom intervalu ili praktine stabilnosti. Sa velikim zadovoljstvom autor izražava duboku zahvalnost mentoru Dr Dragutinu Lj. Debeljkoviu, profesoru Mašinskog fakulteta Unviverziteta u Beogradu, za ideje za realizaciju doktorske disertacije i za niz sugestija koje su u velikoj meri doprinele i uticale na njen kvalitet. Neosporna je i injenica da je veliki deo ove doktorske disertacije bio inspirisan naunim doprinosima Dr Sretena B. Stojanovia, vanrednog profesora, i Dr Dragutina Lj. Debeljkovia, redovnog profesora, objavljenim tokom poslednjih desetak godina, kao i zajednikom naunom monografijom u kojoj je uestvovao i autor ove doktorske disertacije, pa im tim povodom autor duguje veliku zahvalnost. Dr Mihailu Lazareviu, profesoru Mašinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu, autor duguje zahvalnost na korisnim sugestijama tokom izrade doktorske disertacije. Beograd, april, 2012. Nebojša J. Dimitrijevi Sadržaj i SADRŽAJ I OPŠTA RAZMATRANJA ........................................................................... 1 1. UVODNA RAZMATRANJA .......................................................................... 1 II OPŠTA PITANJA DINAMIKE VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM .......................................... 5 2. VREMENSKI DISKRETNI SISTEMI SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM .............................................. 5 2.1 Preliminarna razmatranja ......................................................................... 5 2.2 Priroda i osobenosti fenomena kašnjenja u prenosu signala u fizikim procesima .................................................... 6 2.3 Klasifikacija sistema sa kašnjenjem .......................................................... 8 2.4 Mogunosti rešavanja diferencnih jednaina sa pomerenim argumentom ....................................................................... 9 2.5 Mogunosti analize vremenski diskretnih sistema sa kašnjenjem ....... 14 2.5.1 Uvod . ................................................................................................ 14 2.5.2 Vremenski domen ............................................................................ 15 2.5.3 Prostor stanja .................................................................................... 17 2.5.4 Kompleksni domen .......................................................................... 20 2.5.5 Frekventni domen ............................................................................. 22 2.6 Metode analize diskretnih sistema sa kašnjenjem ................................. 22 2.6.1 Uvod ................................................................................................. 22 2.6.2 Odreivanje kretanja vremenski diskretnih sistema u vremenskom domenu ..................... 23 2.6.3 Odreivanje kretanja vremenski diskretnih sistema sa kašnjenjem u prostoru stanja ........ 24 Sadržaj ii III HRONOLOŠKI PREGLED POSTIGNUTIH REZULTATA NA POLJU IZUAVANJA LJAPUNOVSKE STABILNOSTI VREMENSKI DISKRETNIH I KONTINUALNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ........................................ 29 3. HRONOLOŠKI PREGLED BAZINIH REZULTATA ........................... 29 3.1 Opšta pitanja teorije stabilnosti sistema ................................................. 29 3.1.1 Uvodna razmatranja ......................................................................... 29 3.1.2 Stabilnost sistema ............................................................................. 30 3.1.3 Pregled nekih bazinih koncepata stabilnosti ................................... 34 3.2 Pregled rezultata ....................................................................................... 42 IV REKAPITULACIJA NEKIH OSNOVNIH REZULTATA NA POLJU PROUAVANJA LJAPUNOVSKE STABILNOSTI VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ..................... 53 4. REKAPITULACIJA OSNOVNIH REZULTATA ...................................... 53 V STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM: KRITERIJUMI KOJI NE UZIMAJU U OBZIR IZNOS ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA ...................................... 59 5. ASIMPTOTSKA STABILNOST VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ............................................ 59 Sadržaj iii 6. STABILNOST SISTEMA ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x U SMISLU LJAPUNOVA............................................................................... 77 7. STABILNOST LINEARNIH DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM: PRILAZ LJAPUNOV–KRASOVSKI ........................................................... 84 VI STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM: KRITERIJUMI KOJI UZIMAJU U OBZIR IZNOS ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA ...................................... 89 8. POTREBNI I DOVOLJNI USLOVI ASIMPTOTSKE STABILNOSTI ZAVISNI OD IZNOSA ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA .................................................... 89 VII STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA PERTURBOVANIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ................... 104 9. STABILNOST PERTURBOVANIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM .......................................... 104 10. STABILNOST PERTURBOVANIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA VIŠESTRUKIM ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ............. 114 10.1 Analiza D–stabilnosti sistema sa višestukim istim vremenskim kašnjenjem ..................................... 114 10.2 Stabilnost sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i nelinearnim perturbacijama ................................................................ 118 Sadržaj iv 11. EKSPONENCIJALNA STABILNOST PERTURBOVANIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA VIŠESTRUKIM ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ............. 122 12. KVADRATNA STABILNOST LINEARNIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM I NEODREENOSTIMA: PRILAZ SA POZICIJA LINEARNIH MATRINIH NEJEDNAKOSTI ................... 127 VIII STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA VELIKIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ..................... 134 13. STABILNOST VELIKIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM . ...................... 134 IX STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA VELIKIH VREMENSKI KONTINUALNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ................... 142 14. STABILNOST VELIKIH VREMENSKI KONTINUALNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ....................... 142 X STABILNOST VELIKIH INTERVALNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ................... 149 15. STABILNOST VELIKIH INTERVALNIH VREMENSKI KONTINUALNIH I DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ....................... 149 Sadržaj v XI NOVI REZULTATI ...................................................................................... 156 16. PRILAZ STABILNOSTI SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM U SMISLU NELJAPUNOVA: KRITERIJUMI NEZAVISNI I ZAVISNI OD ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA .............................................. 156 16.1 Uvod ........................................................................................................ 156 16.2 Hronološki pregled prethodnih rezultata i motivacija ....................... 157 16.3 Oznake i preliminarna razmatranja .................................................... 160 16.4 Prethodni rezultati ................................................................................. 161 16.5 Glavni rezultati ...................................................................................... 164 17. STABILNOST NA KONANOM VREMENSKOM INTERVALU I PRAKTINA STABILNOST LINEARNIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ....................... 171 17.1 Opis sistema i preliminarni rezultati ................................................... 171 17.2 Prethodni rezultati ................................................................................. 174 17.3 Glavni rezultati ...................................................................................... 175 18. TEORIJA STABILNOSTI SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM U SMISLU NELJAPUNOVA: PRILAZI NEZAVISNI I ZAVISNI OD ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA .......................... 184 18.1 Preliminarna razmatranja i prethodni rezultati ................................ 184 18.2 Glavni rezultati ...................................................................................... 185 Sadržaj vi 19. STABILNOST NA KONANOM VREMENSKOM INTERVALU LINEARNIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM ....................... 196 19.1 Uvodna razmatranja ............................................................................. 196 19.2 Prethodni rezultati ................................................................................. 198 19.3 Glavni rezultati ...................................................................................... 199 20. NELJAPUNOVSKA STABILNOST LINEARNIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM: LMI PRILAZ ................................................................................................ 206 20.1 Uvodna razmatranja ............................................................................. 206 20.2 Glavni rezultati ...................................................................................... 208 21. STABILNOST ZAVISNA OD ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA VREMENSKI PROMENLJIVIM KAŠNJENJEM: PRILAZ DEKOMPOZICIJE KAŠNJENJA ............................................. 215 21.1 Uvod ........................................................................................................ 215 21.2 Glavni rezultati ...................................................................................... 218 22. STABILNOST NA KONANOM VREMENSKOM INTERVALU VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA VREMENSKI PROMENLJIVIM KAŠNJENJEM ............................ 229 22.1 Uvod ........................................................................................................ 229 22.2 Formulacija problema i preliminarna razmatranja .......................... 232 22.3 Glavni rezultati ...................................................................................... 234 22.4 Rezultati i diskusija ............................................................................... 240 Sadržaj vii XII ZAKLJUAK ............................................................................................ 246 XIII LITERATURA .......................................................................................... 250 XIV PRILOZI..................................................................................................... 285 PRILOG A – Oznake ......................................................................................... 285 Nomenklatura I Opšta razmatranja II Opšta pitanja dinamike vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem III Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti vremenski diskretnih i kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem IV Rekapitulacija nekih osnovnih rezultata na polju prouavanja ljapunovske stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem V Stabilnost u smislu Ljapunova vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem: kriterijumi koji ne uzimaju u obzir iznos isto vremenskog kašnjenja VI Stabilnost u smislu Ljapunova vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem: kriterijumi koji uzimaju u obzir iznos isto vremenskog kašnjenja VII Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem VIII Stabilnost u smislu Ljapunova velikih vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem IX Stabilnost u smislu Ljapunova velikih vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem X Stabilnost velikih intervalnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem XI Novi rezultati XII Zakljuak XIII Literatura XIV Prilozi Biografija Izjava o autorstvu Izjava o istovetnosti štampane i elektronske verzije doktorskog rada Izjava o korišenju Opšta razmatranja 1 I OPŠTA RAZMATRANJA 1. UVODNA RAZMATRANJA U ovoj doktorskoj disertaciji razmatraju se dve posebne klase linearnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem prisutnim u stanju sistema, kao i njihovo dinamiko ponašanje kako na beskonanom tako i na konanom vremenskom intervalu. U tom smislu prouavaju se sistemi sa konstantnim i vremenski promenljivim kašnjenjem. Naime, ve od sedamdesetih godina dvadesetog veka, sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem privlae veliku pažnju naune i strune javnosti. Njihova pojava u robotici, dugakim hidraulinim, pneumatskim i elektrinim vodovima, dinamici letelica i velikim sistemima, podstakla je brojne naunike da se njima intenzivno bave. Prisustvo isto vremenskog kašnjenja, bez obzira da li je ono prisutno u upravljanju i/ili u stanju može da proizvede neželjene prelazne karakteristike pa ak i nestabilnost. Poslednje pomenuti sluaj veoma je est kada su u pitanju sistemi automatskog upravljanja sa povratnom spregom. Zbog toga je ovaj problem naišao na veliko interesovanje kod mnogih istraživaa. U opštem sluaju razmtranje problema koji ukljuuje i isto vremensko kašnjenje povlai daleko složeniju matematiku analizu. Ovde razmatrana klasa sistema, opisana je u matematikom smislu u vidu sistema diferencnih jednaina, sa pomerenim argumentom, poseduje itav niz dodatnih specifinosti i osobina koje se ne susreu kod standardnih kontinualnih sistema automatskog upravljanja i opisana je u prostoru stanja sledeim matematikim modelom: ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x , i sa odgovarajuom funkcijom poetnih uslova, gde je sa h oznaeno isto vremensko kašnjenje u stanju. Opšta razmatranja 2 U postojeim kriterijumima stabilnosti klase sistema sa istim vremenskim kašnjenja dominiraju dva prilaza. Jedan koji u kriterijume ne unosi iznos isto vremenskog kašnjenja i drugi koji to ini. U prvom sluaju veoma esto se dobijaju, na izgled, veoma lepe relacije koje su obino iskazane u vidu isto algebarskih jednaina ili nejednaina ali je manjkavost evidentna jer se ne sagledava iznos i uticaj isto vremenskog kašnjenja na stabilnost sistema. ak i danas postoji samo manji broj radova koje su se bavili ljapunovskom stabilnošu posebnih klasa vremenski diskretnih sistema sa vremenski istim i promenljivim kašnjenjem, prisutnim samo u stanju sistema. Prvi ozbiljni rezultati o stabilnosti sistema sa kašnjenjem su dati u radu Mori et al. (1982). Nešto više svetla u ovu problematiku uneli su brojni radovi, Stojanovi, Debeljkovi (2004–2009) iako je ostalo još mnogo otvorenih pitanja kada se recimo govori o robusnosti. Ova klasa sistema, pored niza specifinosti, dodatno je optereena injenicom da je u vektoru stanja prisutno i isto vremensko kašnjenje, koje ovu klasu sistema uvrstava u sisteme konane dimenzije, što složenoj problematici daje mogunost nešto jednostavnijeg matematikog tretmana u odnosu na odgovarajue probleme koji se javlju kod analogne klase kontinualnih sistema sa kašnjenjem. U tom smislu pomenuti rezultati su se bavili samo stabilnošu ove klase sistema u smislu Ljapunova što drugim reima može da se veže za izuavanje osobina njihove stabilnosti u asimptotskom smislu ili na beskonanom vremenskom intervalu. Pored uvek interesantnog istraživanja osobina stabilnosti ove klase sistema, koje se javlja u relevantnoj literaturi, poev negde tek od 2000. god., ne manji znaaj se poklanja ispitivanjima kojima se može proceniti njihova robusnost u uslovima njihovog normalnog funkcionisanja a u prisustvu strukturnih ili nestrukturnih neizvesnosti prouzrokovanih nedovoljnom preciznošu matematikog modeliranja, otkazu pojednih komponenti ili neprestanim delovanjem unutrašnjih i/ili spoljašnjih perturbacija. U sferi ispitivanja stabilnosti, akcenat je još uvek na istraživanjima vezanim za ljapunovsku stabilnost, dok se nešto manji broj radova bavi takozvanom neljapunovskom (tehnikom) stabilnošu što podrazumeva naješe koncepte stabilnosti na konanom vremenskom intervalu i/ili praktine stabilnosti. Opšta razmatranja 3 U praksi je esto od posebnog interesa, ne samo ispitivati stabilnost sistema po Ljapunovu, ve je od daleko veeg znaaja utvrditi da li trajektorije sistema pri njegovom kretanju u prostoru stanja dosežu ili ostaju unutar ranije propisanih granica. Sistem može da bude stabilan u smislu Ljapunova a potpuno neupotrebljiv sa stanovišta njegovih pokazatelja prelaznog procesa. Tu se u prvom redu misli na nedozvoljeni preskok ili neprihvatljivo dugo vreme smirenja. Zbog toga je sasvim opravdano kretanje sistema posmatrati unutar unapred propisanih granica koje se mogu usvojiti u obliku hiper–cilindara u prostoru stanja koji mogu biti shvaeni kao skupovi dozvoljenih stanja u kojima se sistem može zadesiti. Isti ti skupovi mogu biti stacionarni ili vremenski promenljivi i potrebno je da budu unapred definisani. Mimo toga, od posebnog je interesa da se i dinamiko ponašanje sistema posmatra na konanom vremenskom intervalu. Granice do kojih dostiže odziv sistema bilo u slobodnom bilo u prinudnom radnom režimu predstavlja veoma znaajan problem sa inženjersko–tehnike take gledišta. Uvažavajui ovu injenicu pojavio se veliki broj definicija praktine stabilnosti i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu. Grubo govorei, ove definicije se baziraju na unapred odreenim granicama dozvoljenih poetnih stanja sistema kao i na dozvoljenim granicama u kojima se oekuje kretanje razmatranog sistema. U inženjerskim primenama ova injenica dobija posebno na težini, a nekada postaje i krucijalna kada se, na primer, radi o procenama kretanja sistema u prostoru stanja i neophodnosti uvoenja adekvatnog upravljanja. Samim tim, izuavanje koncepta praktine stabilnosti i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu predstavlja poseban izazov za svakog istraživaa, posebno kod sistema sa kašnjenjem gde se svi ovakvi problemi izuzetno usložnjavaju. Imajui u vidu iznete injenice, prirodno je ovaj koncept proširiti i na ovu klasu sistema, što je i prvi put uraeno u radu Debeljkovi, Aleksendri (2003), ali tu postoji još itav niz otvorenih pitanja koje treba istražiti i dati konane rezultate. S druge strane, imajui u vidu da ova klasa sistema sadrži i isto vremensko kašnjenje, u literaturi se izdvajaju dva osnovna pristupa ovoj problematici kada su u pitanju odgovarajui kriterijumi koji u formi ili potrebnih i dovoljnih ili samo dovoljnih uslova iskazuju osobinu stabilnosti. Opšta razmatranja 4 Naime, prva grupa kriterijuma u svoje konane uslove ukljuuje iznos isto vremeskog kašnjenja, tako da osobina stabilnosti razmatranog sistema zavisi kako od sistemskih matrica tako i od isto vremenskog kašnjenja. Druga grupa kriterijuma ne uzima u obzir iznos isto vremenskog kašnjenja i sa tog stanovišta bliža je inženjerskoj praksi, imajui u vidu da su ti kriterijumi obino dati u vidu samo dovoljnih uslova, algebarskog tipa. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 5 II OPŠTA PITANJA DINAMIKE VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 2. VREMENSKI DISKRETNI SISTEMI SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 1 2.1 Preliminarna razmatranja Iako vremenska kašnjenja u diskretnim sistemima ne stvaraju kvalitativno nov problem, ona su, iz nekoliko razloga zanimljiva. Podsetimo se da kada se traži numeriko rešenje za bilo koji problem u upravljanju koji ukljuuje razlomljene diferencijalne jednaine, pre ili kasnije emo naii na model konanih dimenzija koji je naješe predstavljen u vidu diferencne jednaine. U primeni, izražena je tendencija da se problemi upravljanja postavljaju pomou diskretnih jednaina od samog poetka što se javlja iz dva razloga. Prvo, u mnogim procesima, vrednosti promenljivih procesa su bitne samo u odreenim, diskretnim trenucima (raunari, relejni i digitalni ureaji, konani automati). Drugo, diskretni vremenski modeli se preporuuju inženjeru svojom jednostavnošu, sa nadom da e se izbei složena matematika. Ovo je uglavnom pogrešno jer se uvode nove i komplikovane aproksimacije. 1 Debeljkovi et al. (2004.a). Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 6 Ipak, ne može se porei da diferencne šeme korišene u teoriji upravljanja imaju opštiji pristup, tj. one se ne odnose na posebne tipove sistema opisanih obinim, parcijalnim ili funkcionalnim diferencijalnim jednainama. Zato diskretne jednaine nude jedinstveni pristup veini problema upravljanja. 2.2 Priroda i osobenosti fenomena kašnjenja u prenosu signala u fizikim procesima Sistemi sa kašnjenjem su sistemi u kojima postoji vremensko kašnjenje izmeu ulaza ili upravljanja i ispoljavanja efekata tih dejstava na sistem. Ona su ili posledica kašnjenja svojstvenih komponentama sistema ili namernog uvoenja kašnjenja radi lakšeg upravljanja sistemom. Kašnjenja su esta u elektronskim, mehanikim, biološkim i hemijskim sistemima. Odgovaraju vremenu potrebnom za prenos signala (seizmiki talasi, hormoni u krvotoku, fluidi u hemijskom procesu) ili vremenu potrebnom za obradu signala (analiza TV slike pomou robota, sraunavanje izlaza digitalnim upravljakim algoritmom ili izvoenje analize hemijskog sastava nekog jedinjenja). Uticaj fenomena kašnjenja je veoma bitan za pravilno kvalitativno i kvantitativno opisivanje razliitih procesa. Tipini vidovi kašnjenja kod kontinualnih sistema su: transportno, tehnološko i informaciono kašnjenje. Transportno kašnjenje obino se javlja u procesima prenosa materije, energije ili signala sa jednog mesta na drugo. Tipian predstavnik ove grupe objekata sa kašnjenjem je transporter za ugalj. Transportno kašnjenje susreemo i u termoenergetici, gde ono predstavlja vreme neophodno da mazut ili gas iz odgovarajuih rezervoara stigne u ložište parnog kotla, i tako dalje. Tehnološko kašnjenje susree se u hemijsko–tehnološkim procesima, kao na primer u proizvodnji sumporne kiseline, proizvodnji stakla i u razliitim difuzionim procesima. Konkretno, recimo kod mešanja dve tenosti razliitih koncentracija, vreme potrebno da se postigne izjednaena koncentracija mešavine, takoe predstavlja tehnološko kašnjenje. Vreme od upaljenja nekog goriva do postizanja punog plamena spada takoe u ovu grupu kašnjenja. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 7 Informaciono kašnjenje obino se javlja kada se merenje neke veliine i njena dalja obrada ne odvijaju na istom mestu, što je esto uslovljeno tehnološkim i/ili eksploatacionim uslovima. Kao tipian primer navodi se merenje debljine trake u valjaoninom stanu koja se ne obavlja neposredno jer se dava debljine ne može, iz konstruktivnih razloga, nalaziti u samom zevu izmeu valjaka, ve na nekom rastojanju iza njega. Slina pojava prisutna je i kod magnetofona, imajui u vidu evidentno rastojanje izmeu glave za snimanje i glave za reprodukciju. Osim fenomena kašnjenja, sistemi koji su predmet ovog rada imaju još jednu važnu osobinu–diskretan prenos signala. Ako se vremenski diskretan prenos signala javlja bar u jednoj prenosnoj liniji sistema, to znai da je sistem definisan samo u odreenim, diskretnim trenucima vremena. Izuavanje diskretnih sistema ima opravdanje u njihovoj velikoj praktinoj primeni. Vremenska diskretizacija signala omoguava postizanje vee tanosti u prenosu signala nego u sluaju kontinualnog prenosa. Cifarski raunari imaju niz prednosti nad analognim raunarima i prenosnim organima. Cifarski raunari mogu da obrade veliki broj podataka za kratko vreme. Na osnovu dobijenih podataka, a u skladu sa odgovarajuim algoritmom, oni mogu da donose brze i pravilne odluke, da ostvaruju pravilna upravljaka dejstva. Cifarski raunari su prilagodljivi promeni algoritma upravljanja. Vrlo znaajna prednost vremenske diskretizacije signala sa stanovišta tehnike realizacije i ekonomskog efekta je mogunost korišenja jednog kanala veze za prenos veeg broja razliitih signala, što je važno naroito pri transportu signala na vee daljine. Vremenski diskretni sistemi su pouzdaniji u radu nego analogni sistemi, kompaktniji su i manjih su gabarita. Prouavanje diskretnih sistema je dovelo do posebnog, novog i originalnog prilaza prouavanju sistema uopšte, a posebno sistema automatskog upravljanja. Na primer, veliki broj sistema automatskog upravljanja, u kojima postoji vremenska diskretizacija signala, su hibridni jer je upravljani proces vremenski kontinualan. Pogodno je prouavati dinamika ponašanja ovih sistema samo u trenucima odabiranja. Tada se oni posmatraju kao diskretni sistemi. U sluaju pojave kašnjenja prilikom prenosa signala, ovi sistemi postaju diskretni sistemi sa kašnjenjem i osnovna su tema ovih razmatranja. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 8 2.3 Klasifikacija sistema sa kašnjenjem Podela sistema sa kašnjenjem data je u tabeli 2.1. Matematiko predstavljanje vremenski diskretnih sistema sa kašnjenjem iskazuje se odgovarajuim sistemom diferencnih jednaina sa pomerenim argumentom. Vremenski kontinualni sistemi, opisani diferencijalnim jednainama, imaju promenljive definisane u svim vremenskim trenucima na tipinom polu–otvorenom intervalu [ )0 ,t ∞ . Diskretni sistemi su sa druge strane definisani samo u diskretnim vremenskim trenucima. Oni se opisuju diferencnim jednainama. Hibridni sistemi (ili mešoviti sistemi) su delom kontinualni, a delom diskretni. Opisani su diferencijalno–diferencnim jednainama. Imajui u vidu sve prethodno reeno, valja istai da e se sva rešenja postavljenih zadataka a prema prirodi problema tražiti u klasi linearnih, vremenski diskretnih, stacionarnih i nestacionarnih, deterministikih sistema sa usredsreenim parametrima, a sa konstantnim istim vremenskim kašnjenjem iskazanim u vidu iskljuivo pozitivnih celih brojeva. Tabela 2.1 Podela sistema sa kašnjenjem Prema formalnom matematikom opisu Prema osobinama Prema obliku kašnjenja Sistemi sa prethoenjem Deterministiki Stohastiki Konstantno kašnjenje Sistemi neutralnog tipa Sa usredsreenim parametrima Sa raspodeljenim parametrima Vremenski promenljivo kašnjenje Sistemi sa kašnjenjem Kontinualni Diskretni Nelinearna funkcija stanja Prema lokaciji u SAU Linearni Nelinearni Prema prirodi kašnjenja O Stacionarni Nestacionarni Transportno kašnjenje US Jednostruko prenosni Višestruko prenosni Tehnološko kašnjenje SAU Statiki Dinamiki Informaciono kašnjenje Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 9 2.4 Mogunosti rešavanja diferencnih jednaina sa pomerenim argumentom Razmatra se sistem oblika: ( ) ( ) 0 0 01 , , , , 1, 2,k kk k k k k k+ = = + +x f x u  , (2.1) gde je ( ) nk ∈x  zavisna promenljiva (trenutno stanje), a upravljanje ( )ku uzima vrednosti iz skupa m , ( )⋅f je u opštem sluaju nelinearna funkcija, tako da: ( ){ } ( ){ } , 0, , , 0, , k i k i k h i N k d i N = − = = − = x x u u   , (2.2) gde su ih i id nenegativni celi brojevi, koji zadovoljavaju: 0 10 Nh h h= < < < i 0 10 Nd d d= < < < . Poetni uslovi su: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , 1 , , , 1 , 1 N N u N N k k k k h k h k k k k k d k d k ψ ψ = = − − + = = − − + − x u   , (2.3) gde su ψ i uψ date funkcije. Za dato upravljanje ( )ku , rešenje jed. (2.1) uz poetne uslove iz jed. (2.3) definisano je nizom ( ){ }0 0 0 0, , 1, , , 1,N Nk k k h k h k k= − − + +x   takvim da ( )kx zadovoljava jed. (2.3) za 0k k≤ i jed. (2.1) za 0k k> . Oito je da nisu potrebne posebne pretpostavke po funkciji ( ).,.f da bi rešenje postojalo i bilo jedinstveno. Takoe je lako proveriti da rešenje neprekidno zavisi od poetnog uslova ψ ako je ( ).,.f neprekidna po svom prvom argumentu za proizvoljno izabrana druga dva argumenta. Neprekidnost rešenja u odnosu na upravljanje ( )ku zahteva da funkcija ( ).,.f bude neprekidna i po svom drugom argumentu. Sa formalne take gledišta, jed. (2.1) je vremenski diskretna diferencna jednaina reda ( )1Nh + . Pretpostavka o skupu diskretnih vremenskih trenutaka oblika { }0 0, 1,k k +  nije ograniena s obzirom da se za bilo koji diskretni niz { }, 0,1,ik i =  i bilo koju funkciju { }: , 0, 1, kiF k i = →  može definisati ( ) ( )0 , 0,1,iF k i F k i+ = =  . Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 10 Jedna važna odlika sistema datog jed. (2.1) jeste da se uvoenjem novih zavisnih promenljivih on može pretvoriti u diferencni sistem prvog reda ili u sistem bez vremenskog kašnjenja po ( )kx . Da bi se ovo i formalno izrazilo, neka je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 1 1 2 2 3 , 1 1 1 1 , , , , , , , N k i N i k k k k N k k h h k k k k k k k k k k k d = = − + + = + = + = − x x x x x x x f x x x u u            . (2.4) Kod vremenski kontinualnih sistema eliminisanje kašnjenja nije mogue. Linearni diskretni modeli imaju sledei oblik: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 1 , , 1, 2, N i i i i i k A k k h B k k d k k k k k = + = − + − + = + +x x u f  , (2.5) gde su ( )iA k i ( )iB k , ( )n n× i ( )n m× matrice, sledstveno. Poetni uslovi i pretpostavke su kao i u jed. (2.1). Sa ( ), , , ,uψ ψ⋅x u f oznaie se rešenje jed. (2.5) koje odgovara poetnim uslovima datim jed. (2.3), sa ( ){ }0,k k k≥u upravljanje i slobodni lan sa ( )kf . Naredna formula varijacije konstanti važi za sistem dat jed. (2.5): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 0 1 , , , , , ( , ) , , N N p h d u u q q p q q k p p q k q p q k q p q k q p q k q ψ ψ ψ ψ = = = = + + = Φ − + Φ − + Φ + + Φ +     x u f u f , (2.6) gde je ( ),p qΦ odreeno sa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , 1, , , , , 0, N i i i p q A k p p h q q p p p I p q q p = Φ = + Φ − − ≤ Φ = Φ = >  , (2.7) i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 , , , , , , i i i i i o i q h p q i i o i q d p q i i o i d p q p q p h q A k q h p q p d q B k q d p q p d q B k q d ≤ ≤ + ≤ ≤ + ≤ − Φ = Φ − − + Φ = Φ − − + Φ = Φ + − +    . (2.8) Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 11 Jed. (2.6) se može proveriti direktnom zamenom u sistem jed. (2.5). Analogija sa kontinualnim sluajem može se još više produbiti. Dalje e biti razmatrani stacionarni diskretni sistemi oblika: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 0 1 , , 1, 2, N i i i i i k A k k h B k k d k k k k k = + = − + − + = + +x x u f  . (2.9) iA i iB su konstantne matrice odgovarajuih dimenzija. Prouie se eksponencijalna rešenja slobodnog sistema i homogenog dela jednaine: ( ) ( ) 0 0 0 1 , , 1, N i i i k A k h k k k = + = − = +x x  , (2.10) pri proizvoljnim poetnim uslovima. Neka je 0λ ≠ kompleksni broj, a c kompleksni nenula n –vektor. Jed. (2.10) ima eksponencijalno rešenje 0 0, , 1,k N Nk k h k hλ = − − +c  ako i samo ako je: ( )λ∆ =c 0 , (2.11) gde je: ( ) 1 0 N N i N h h h i i I Aλ λ λ+ − = ∆ = − . (2.12) Vektor c koji zadovoljava jed. (2.11) postoji ako i samo ako za karakteristinu jednainu važi: ( )det 0λ∆ = . (2.13) Determinanta ( )det λ∆ je polinom po λ na stepen ( )1Nn h + i naziva se karakteristinim polinomom sistema. Nule polinome se zovu karakteristinim nulama sistema iz jed. (2.9). Sve kompleksne nule su konjugovano–kompleksne (parne), s obzirom na injenicu da je matrica iA definisana nad poljem realnih brojeva. Ovde se treba podsetiti nekoliko elementarnih injenica iz teorije linearnih diferencijalnih jednaina. Neka je , 1,i i qλ =  , red svih utvrenih karakteristinih nula, svaka sa višestrukošu ip . Tada je ( ) 1 1 k i N i p n h = = + . Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 12 Za svako 0λ ≠ postoji tano ip linearno nezavisnih rešenja jed. (2.10) oblika ( ) kij iw k λ gde je ijw polinom reda manjeg od ip , koji uzima vrednosti iz n –dimenzionalnog kompleksnog prostora. Lako se proverava da ako je ( ) kij iw k λ rešenje, tada je njegov konjugovano– kompleksni par ( ) kij iw k λ takoe rešenje, a i ( )( )Re kij iw k λ i ( )( )Im kij iw k λ . Tako, ako je svako , 1, ,i i qλ =  razliito od nule može se obrazovati skup od ( )1Nn h + linearno nezavisnih rešenja jed. (2.10) za neodreene poetne uslove. Rešenje jed. (2.10) koje odgovara bilo kojoj poetnoj funkciji  može se konstruisati kao realna linearna kombinacija elemenata ovog skupa. Svakako, takvo realno rešenje može se dobiti i kao kompleksna linearna kombinacija ( )1Nn h + linearnih nezavisnih kompleksnih rešenja oblika ( ) kij iw k λ . Dalje, ako postoji koren karakteristine jednaine jednak nuli, može se samo rei da postoji trenutak ( )0, 1Nk k k n h∗ ∗ ≤ + + , takav da za k k ∗> bilo koje rešenje jed. (2.10) je linearna kombinacija rešenja ( ) kij iw k λ . Primer 2.1 Razmatra se jednostavan primer: ( ) ( )1 11 1 , 0, 1, 0 0 k k k + = − =    x x  . Ovde je 02, 1, 0, 1Nn h A N= = = = , ( ) ( )2 2 2 22 21 1 1 1det 1 00 0 λ λλ λ λ λ λ     − − − −∆ =  = − =        . Karakteristini polinom ( )2 2 1λ λ − ima tri razliita korena: 1 0λ = višestrukosti 2, 2 1λ = i 3 1λ = − višestrukosti 1. Sopstveni vektori koji odgovaraju 2λ , 3λ su: 2 3 1 1 , 0 0 v v = =   . Stoga se za dovoljno veliko k svako rešenje može izraziti u obliku: ( ) ( )1 2 1 0 kC Ck + − =  x , Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 13 gde su 1C i 2C realne konstante koje zavise od poetnih uslova. Jednostavnim izraunavanjem proverava se da li ova formula važi za svako 0k > i da li je: ( ) ( ) ( ) ( )( )1 1 2 1 21 0 0 1 12C ψ ψ ψ ψ= + + − + − , ( ) ( ) ( ) ( )( )2 1 2 1 21 0 0 1 12C ψ ψ ψ ψ= + − − − − . Analogno Laplasovoj transformaciji kod diskretnih sistema se koristi tzv. Z –transformacija. Neka je F funkcija koja preslikava { }0, 1, 2, n→  . Njena Z –transformacija, oznaena sa z F ili ˆF , funkcija je kompleksne promenljive definisane izrazom: ( ) ( ) 0 ˆ k k F z F k z ∞ − = = . (2.14) Pretpostavlja se da je niz sa desne strane konvergentan za z r> , gde je r pozitivan realan broj. Inverzna Z –transformacija od ˆF , oznaena sa 1 ˆz F− , može se nai na sledei nain. Neka je C krug sa centrom u koordinatnom poetku i prenikom dovoljno velikim da sadrži sve polove polinoma ˆF , pozitivno orijentisan. Tada iz jed. (2.14) sledi : ( ) ( )1 1 0 ˆ m m k kc c F z z dz F k z dz ∞ − − − = =  , (2.15) i: ( )( ) ( ) ( )1 11 ˆ2 m c z F m F m F z z dzjpi − − = =  . (2.16) Tako je, na osnovu Košijeve teoreme, ( )F m jednako sumi svih rezidijuma funkcije ( ) 1ˆ mz F z z −→ . Sada se primenjuje Z –transformacija na stacionarni sistem dat jed. (2.9) za 0 0k = pod pretpostavkom da su svi relevantni nizovi konvergentni u odreenom delu kompleksnog prostora. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 14 Sa ( )ˆ zX oznaie se Z –transformacija restrikcije [0, )|x ∞ , a sa ( )ˆ zU Z –transformacija od [0, )|u ∞ . Za svako 0,1,k =  množe se obe strane jed. (2.9) sa kz− . Sumiranje po k od nule do beskonanosti daje: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 0 0 1 ii ii N k hhk i i k i k N k dd k i i i k k z z k A z z k h B z z k d z k ∞ ∞ − − − − + = = = ∞ ∞ − − − − = = = + = − + − +       x x u f , (2.17) i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ i i i i i i i N k h k h i i u d h i k h N N h d i i i i z z z A z k B z k A z z B z z z − − − − − = = =− − − = = − = + + + +     X x   X U F . (2.18) Odatle je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11ˆ ˆ ˆ ˆz z z H z z z−= ∆ + +X P U F , (2.19) ( )1 0 i N h i i z z I A z− = ∆ = − , (2.20) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 ˆ 0 ,i i i N Nk h d i i u i i k h i z z A k B k z H z B z − − − − = =− = = + + =   P    . (2.21) Poredei jed. (2.20) sa jed. (2.12) vidi se da, ako nula nije koren, svi polovi ( )11 z−∆ jednaki su karakteristinim korenima sistema. Original rešenja dobija se iz jed. (2.16): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 111 ˆ ˆ ˆ2 k c k z z H z z z z dzjpi − − = ∆ + +x P U F . (2.22) 2.5 Mogunosti analize vremenski diskretnih sistema sa kašnjenjem 2.5.1 Uvod Diskretni sistemi su izuzetno rasprostranjeni u savremenoj tehnici. Vremenskom diskretizacijom signala postiže se niz prednosti u odnosu na kontinualan prenos: esto je mogua vea tanost prenosa signala, omoguava se implementacija digitalnih raunara i odgovarajuih upravljakih algoritama, ekonominije i efikasnije korišenje pojedinih instrumenata i energije u sistemu uopšte. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 15 2.5.2 Vremenski domen Ulogu izvoda kod diskretnih sistema preuzima diferenca, odnosno konana razlika. Kako se sistem posmatra na diskretnom vremenskom skupu odreenom periodom odabiranja, potrebno je definisati normalizovano diskretno vreme: tk T = , t ∈Κ , pri emu je Κ vremenski diskretan skup. Svakoj veliini ( )x t je pridružena funkcija f prema relaciji: ( ) ( )1f k x t T = , (2.23) odnosno: ( ) ( ) ( )1 1t t Tf f k x t T f f k T T T +    =  + = = +        . (2.24) Na ovaj nain diferenca ( )x tD može se dobiti samo u funkciji normalizovanog diskretnog vremena: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x t T x tx t f k f k f k T + − = = + − = ∆D . (2.25) Za proceduru koja e biti prikazana potrebno je definisati i operator pomeranja ( )℘ ⋅ , na sledei nain: ( ) ( )1k k℘ = +x x , (2.26) pri emu je ( )kx proizvoljna skalarna ili vektorska veliina. Tako se dalje dobija: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1k k k k k k∆ = + − =℘ − = ℘−x x x x x x , (2.27) odnosno za proizvoljnu diferencu j –tog reda: ( ) ( ) ( )1 jj k k∆ = ℘−x x , (2.28) ( ) ( )j k k j℘ = +x x . (2.29) Napominje se da se prethodna razmatranja odnose na diskretni sistem a ne na diskretizovani kontinualni sistem. Ovde se posmatra sistem koji je diskretan, tako da nema potrebe da se uvode produžavai signala (nultog ili prvog reda), jer se sistem posmatra samo na diskretnom vremenskom skupu. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 16 Takozvani hibridni sistemi nisu interesantni u svetlu problematike koja se tretira u ovoj disertaciji. Analogno postupku sa kvazi–polinomijalnim matricama, u radu Januševski (1978) je razvijen pristup za predstavljanje diskretnih sistema sa kašnjenjem, koji se u nastavku izlaže. Polazei od diferencne jednaine ponašanja i koristei specifinost diskretnih sistema sa kašnjenjem kod kojih su kašnjenja celobrojni umnošci normalizovanog vremena k , dobijaju se sledee relacije: ( ) ( )1k k℘ = +x x , (2.30) ( ) ( )1 1k k−℘ = −x x , (2.31) odnosno kašnjenje je u ovom sluaju izraženo preko istog operatora kojim se predstavlja i diferenca. Ova okolnost se obilato koristi pri analizi diskretnih sistema sa kašnjenjem jer matrice analogne prethodno uvedenim ( )L p i ( )G p nee biti kvazi–polinomijalne, ve polinomijalne, što e biti i kada se pree u kompleksni domen korišenjem Z –transformacije. Koristei jed. (2.9–2.10), kao polazni sistem, u radu Januševski (1978) posmatra se diskretna jednaina ponašanja tipa: ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,1,2,i uL k G k k℘ = ℘ =x x  , (2.32) uz poetne funkcije (koje se ovde svode na konani broj poetnih uslova): ( ) ( ), 0, 1, , ii x l k k k hψ= = − −x  , (2.33) ( ) , 0, 1, , uu x r k k dψ= = − −x  , (2.34) pri emu su matrice ( )L ℘ i ( )G ℘ odreene sa: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , i i l r h di i i i L L G G− − = = ℘ = ℘ ℘ ℘ = ℘ ℘  , (2.35) ( ) ( )0 0... , ...i i q i i i q iq qL L L G G G℘ = ℘ + + ℘ = ℘ + + , (2.36) a ista vremenska kašnjenja, po izlazu odnosno ulazu zadovoljavaju: 0 10 lh h h= < < < , (2.37) 0 10 rd d d= < < < , (2.38) i celobrojni su umnošci k . Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 17 U ovom sluaju q e biti stvarni red sistema i to konaan, kako e se kasnije pokazati u prostoru stanja ovih sistema. Pretpostavlja se da je period odabiranja fiksiran i da su kašnjenja celobrojni umnošci perioda odabiranja. Jednaine stanja i izlaza bie sline onima kod vremenski kontinualnog sistema, samo e se umesto prvog izvoda vektora stanja javiti pomeranje za jedan period odabiranja: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) 1 , , 1 , 2 , , , , , 1 , 2 , , k k k k k k N k k k k R + = − − − − − − x f x x x x u u u u    , (2.39) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( )) , , 1 , 2 , , , , , 1 , 2 , , i k k k k k k N k k k k R = − − − − − − x g x x x x u u u u    . (2.40) Treba primetiti da su jed. (2.39) i jed. (2.40) iste diferencne jednaine. Za stacionarni, linearni diskretni sistem sa kašnjenjem jednaine stanja i izlaza bie: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 N R i i i i k A k k A k k i B k k B k k i = = + = + − + + − x x x u u , (2.41) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 N R i i i i i k C k k C k k i D k k D k k i = = = + − + + − x x x u u . (2.42) Ako je sistem još i vremenski invarijantan, matrice nee zavisiti od k (tj. bie konstantne). Diskretni sistem sa kašnjenjem iji period odabiranja nije fiksiran ili ija kašnjenja nisu celobrojni umnošci perioda odabiranja, ne mogu se opisati istim diferencnim jednainama. Oni su opisani diferencno–diferencijalnim jednainama. Nasuprot vremenski kontinualnim sistemima sa kašnjenjem iji je prostor stanja beskonaan, prostor stanja diskretnih sistema sa kašnjenjem je konanih dimenzija. Razlog za to je injenica da vektor stanja diskretnog sistema, u svakom trenutku odabiranja, ima konaan broj elemenata, gde je svaki element funkcija odreena samo u datom trenutku odabiranja, a ne na nekom intervalu. 2.5.3 Prostor stanja Kod diskretnih sistema sa kašnjenjem, postupak izbora veliina stanja se sprovodi na potpuno analogni nain, kao kod vremenski kontinualnih sistema s tim što se koristi ranije pomenuta pogodnost da je kod diferencnih jednaina konana razlika izražena istim operatorom kao i kašnjenje. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 18 Ovaj ranije uvedeni operator pomeranja ℘ pokazuje i znaaj raznih ogranienja koja se uvode pri razmatranju diskretnih sistema sa kašnjenjem kod kojih je kašnjenje jednako celobrojnom umnošku normalizovanog trenutka k . U radu Januševski (1978) sproveden je postupak izbora veliina stanja polazei od diferencne vektorske jednaine ponašanja sistema u operatorskom obliku: ( ) ( ) ( ) ( )i uL k G k℘ = ℘x x , (2.43) za 0, 1, 2,k =  , uz poetne funkcije tipa: ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 1, , , 0, 1, , ii x l u xu r k k k h k k k d ψ ψ = = − − = = − − x x   , (2.44) pri emu su polinomijalne matrice po argumentu ℘ odreene sa: ( ) ( )0 0... , ...i i q i i i q iq qL L L G G G℘ = ℘ + + ℘ = ℘ + + , (2.45) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , i i l r h di i i i L L G G− − = = ℘ = ℘ ℘ ℘ = ℘ ℘  , (2.46) dok ista vremenska kašnjenja zadovoljavaju: 0 1 0 10 , 0l rh h h d d d= < < < = < < <  . (2.47) Jasno je da su elementi matrica G i L polinomi sa konstantnim koeficijentima. Ako se iskoristi relacija: ( ) ( ) ( ),ih p pi i ik h k p q+℘ − =℘ ∀ ≤x x , (2.48) postupak formiranja matematikog modela u prostoru stanja je identian kao za kontinualne sisteme sa kašnjenjem, Debeljkovi, Milinkovi (1999). Sprovoenjem procedure do kraja, dobija se diskretna vektorska jednaina stanja sistema sa kašnjenjem u obliku: ( ) ( ) ( ) 0 0 1 l r i i i u i i i k A k h B k d = = + = − + − x x x , (2.49) kao i jednaina izlaza sistema: ( ) ( )i k C k=x x , (2.50) uz poetne funkcije u obliku: ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , 0 l u u r k k h k k k d k ψ ψ = − ≤ ≤ = − ≤ ≤ x x . (2.51) Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 19 Neka su sada komponente novog vektora stanja odreene sledeim izrazima: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 ) 1 i l l l l i h h h h h k h k k k k k k k − − − − = + = + = + = x x x x x x x x  , (2.52) tako da je novi vektor stanja transformisanog sistema, dat sa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1, , ..., , ...,i l T T T T T eq h hk k k k k = x x x x x . (2.53) Slino se transformiše i vektor ulaza, meutim to u ovom sluaju nije od posebnog interesa. Pažnja e se zadržati na transformisanom vektoru stanja i pridruženoj mu matrici. Na ovaj nain povean je red sistema, ali je on i dalje konaan. Transformisani sistem se sada može predstaviti novom jednainom stanja i jednainom izlaza a sa novo definisanom matricom sistema. Ovde e se razmatrati sluaj kada nema kašnjenja po ulazu. Tada se matrice eqA i eqB svode na sledei oblik, s tim što e se nadalje najvee kašnjenje u diskretnim sistemima umesto sa l , kako stoji u originalnom radu Januševskog (1978), oznaavati sa N : 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 i N n eq n eq n A A A A B I A I B I                = =                              . (2.54) Posmatra se slobodni radni režim i matrica eqA . Ova kvadratna matrica ima dimenziju: ( )( 1)n N× + što odgovara redu novo formiranog diskretnog sistema bez kašnjenja. Procedura eliminisanja kašnjenja je svojstvena samo diskretnim sistemima i omoguava da se umesto sistema sa kašnjenjem analizira sistem bez kašnjenja. Cena koja se plaa za ovu pogodnost ogleda se u porastu dimenzionalnosti sistema, ali ona je uvek konana, a s obzirom da digitalni raunari danas gotovo trenutno vrše operacije sa matricama vrlo visokog reda, tako da je postupak sasvim prihvatljiv. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 20 Kako je ve pomenuto ranije, sama priroda diskretnih sistema omoguava ovakvu transformaciju. Funkcional (integral) koji se pojavljuje u rešenju vremenski kontinualnog sistema sa kašnjenjem kod vremenski diskretnih sistema je zamenjen sumom sa konanim brojem sabiraka. Poetna funkcija kod diskretnih sistema nije ništa drugo do konaan skup poetnih vrednosti. Dalje e se posmatrati uglavnom diskretni sistem sa kašnjenjem, dat vektorskom diferencnom jednainom stanja oblika: ( ) ( ) 0 1 N i i k A k i = + = −x x , (2.55) uz poetnu funkciju tipa: ( ) ( ) , 0, 1, ,i i i N= ∀ = − −x   . (2.56) U nekim daljim izlaganjima posebna pažnja e biti posveena i na sluaj kada postoji samo matrica 1A . 2.5.4 Kompleksni domen Kompleksni domen je možda najinteresantniji i najfunkcionalniji domen za predstavljanje diskretnih sistema sa kašnjenjem. Diskretne prenosne funkcije se mogu definisati kao kod sistema bez kašnjenja. Ove funkcije imaju konaan broj polova, odnosno karakteristini polinom je sa konanim brojem nula, koji odgovara dimenziji ekvivalentnog (proširenog) sistema bez kašnjenja. Z –transformacija, kao što je dobro poznato, vrši preslikavanje leve s –poluravni u kružnicu jedininog poluprenika sa centrom u koordinatnom poetku. Pokazalo se da je matematiki aparat neophodan za definisanje dovoljnih uslova stabilnosti diskretnih sistema sa kašnjenjem posebno efikasan kada se primenjuje u Z –ravni. Ovo se pre svega odnosi na kriterijum ljapunovske stabilnosti za vremenski diskretne sisteme sa kašnjenjem, kao i druge sline kriterijume. Direktnom primenom Z –transformacije na jed. (2.55), dobija se: ( ) 0 det N i i i f z z I z A− =   = −     . (2.57) Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 21 Ovde treba pomenuti i da ranije uvedena ekvivalentna matrica zadovoljava sledeu relaciju: ( ) ( )( )1 0 det det N i n i eqn N i f z z I z A z I A− × + =   = − = −     . (2.58) Ova relacija je i osnovni razlog uvoenja ekvivalentne matrice jer je to, po dimenziji, najmanja matrica koja sadrži sve potrebne informacije bitne za analizu diskretnog sistema sa kašnjenjem. Njen specifian oblik, pruža mogunosti dekompozicije karakteristinog polinoma koji se koristiti pri proveri rezultata ili u posebnim prilazima formulisanje kriterijuma stabilnosti u smislu Ljapunova i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu. Razmatra se stacionarni, vremenski diskretni sistem sa jednim kašnjenjem i periodom odabiranja l po stanju: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 01 ,k A k A k k l B k k k+ = + − + ≥x x x u , (2.59) ( ) ( ) ( )i k C k D k= +x x u . (2.60) Treba primetiti da je l ceo broj. Z –transformacija jed. (2.59–2.60) daje: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1ˆ ˆ ˆ ˆlz z z k A z A z z B z−− = + +X x X X U , (2.61) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆi z C z D z= +X X U . (2.62) Ako je poetno stanje nulto, tada je ( ) ( ) ( )ˆ ˆi z H z z=X U gde je: ( ) ( ) 10 1 lH z C z I A A z B D−−= − − + . (2.63) Važna razlika izmeu ( )H z u jed. (2.63) i analogne veliine ( )W s kod vremenski kontinualnih sistema sa kašnjenjem je to što je ( )H z racionalna funkcija kompleksno promenljive a ne transcendentna kao u ( )W s . Polovi sistema su definisani kao one kompleksne vrednosti z za koje diskretna prenosna funkcija ( )H z teži beskonanosti. Stoga, vrednosti z zadovoljavaju jednakost: ( )0 1det 0lz I A A z−− − = . (2.64) Jed. (2.64) ima konaan broj korenova. Ovo potvruje da je prostor stanja vremenski diskretnog sistema sa kašnjenjem konane dimenzije. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 22 2.5.5 Frekventni domen O predstavljanju diskretnog sistema sa kašnjenjem u frekventnom domenu može se više saznati u radu Gruji (1991). Ova razmatranja nisu ovde od posebnog interesa s obzirom na osnovne doprinose disertacije koji se, kao što e se kasnije pokazati, dobijaju iskljuivo u vremenskom i/ili kompleksnom domenu. 2.6 Metode analize diskretnih sistema sa kašnjenjem 2.6.1 Uvod Diskretni sistemi sa kašnjenjem, kako je ve pokazano, mogu se tretirati kao obini diskretni sistemi bez kašnjenja nakon transformacije stanja. Ipak, diskretni sistemi sa kašnjenjem, u svom izvornom obliku, su interesantni iz više razloga. Gotovo uvek kada se traži numeriko rešenje neke od funkcionalno–diferencijalnih jednaina koje se dobijaju pri analizi vremenski kontinualnih sistema sa kašnjenjem, u odreenom trenutku vrši se prelaz (aproksimacija) na sistem konane dimenzionalnosti, koji je upravo predstavljen diferencnim jednainama sa kašnjenjem. U teoriji automatskog upravljanja, štaviše, postoji tendencija da se problemi upravljanja od samog poetka formulišu preko diferencnih jednaina. U mnogim procesima vrednosti procesnih promenljivih (veliina stanja) bitne su samo u odreenim vremenskim trenucima (kada je u proces upravljanja ukljuen, na primer, konani automat ili digitalni raunar). Nije potrebno posebno apostrofirati pogodnosti koje pruža implementacija digitalnog raunara u upravljakom sistemu. Na kraju, upotreba diferencnih jednaina, samim tim i diskretnih upravljakih algoritama omoguava pristup jednom jako širokom spektru inženjerskih problema iz prakse. Svakako da treba obratiti pažnju pod kojim se uslovima vrši diskretizacija, kao i utvrditi odnos izmeu kašnjenja i uvedene periode odabiranja, Gruji (1991). Nadalje e se razmatranja zadržati iskljuivo na vremenski diskretnom sistemu kao takvom i on e, u svim razmatranjima, biti polazna taka i na koji e se primenjivati adekvatane metode i postupci. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 23 2.6.2 Odreivanje kretanja vremenski diskretnih sistema u vremenskom domenu Jednaina ponašanja diskretnog sistema sa kašnjenjem može biti data u sledeem obliku: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 l n i n i i i h i u k n k n k k k N k α α α α α − − − + + + − + + + − + + − = x x x x x x   . (2.65) Mogua su dva pristupa pri rešavanju kretanja sistema definisanog prethodnom diferencnom jednainom i oba dovode do željenih rezultata. Prvi je direktna primena Z –transformacije, a drugi se sastoji u primeni proširenog vektora stanja što je ve detaljno objašnjeno ranije. U tom sluaju dobija se obina diferencna jednaina povišenog reda, koja se može rešavati standardnim postupcima datim u radu. Gruji (1991). Primenom Z –transformacije na jed. (2.65), uz nulte poetne uslove može se pisati: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 ˆ ˆ ˆ ... ˆ ˆ ˆ ... l n n n i n i i N i h i u z z z z z z z z z z α α α α α − − − − − − + + + + + + = X X X X X X , (2.66) sreivanjem se dobija: ( ) ( ) 1 ˆ ˆ n i i i u i N z z zα − =−   =     X X , (2.67) odnosno vraanjem u diskretni vremenski domen: ( ) ( ) 1 1 ˆ n i i i u i N k Z z zα − − =−     =        x X , (2.68) što se dalje može rešavati na primer razvijanjem u red ili drugim metodama. Drugi pristup je promena tekue promenljive k , uvoenjem smene tako da se formalno eliminiše kašnjenje i podigne red diferencne jednaine. Nova promenljiva j se uvodi sa ( )j k N= − , odnosno ( )k j N= + , tako da se jed. (2.65) svodi na: ( ) ( ) ( )n i N i uj n N j j Nα α−+ + + + = +x x x . (2.69) Dalje se jed. (2.69) rešava poznatim metodama diskretne matematike. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 24 2.6.3 Odreivanje kretanja vremenski diskretnih sistema sa kašnjenjem u prostoru stanja Vremenski diskretni sistemi sa kašnjenjem se mogu analogno predstaviti u prostoru stanja, vektorskom diferencnom jednainom stanja, kako je ve pokazano: ( ) ( ) ( )01 Nk A k A k N+ = + −x x x , (2.70) i poetnom funkcijom u obliku: ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0, , 1 , ,k k k k N k N kψ= ∀ = − − +x  , (2.71) pri emu je oigledno dopušteno jedno proizvoljno veliko diskretno kašnjenje. Teorema 2.1 Rešenje jed. (2.70) može se predstaviti sumom: ( ) ( ) ( )0 0 0, , k j k N k k j j k k = − = Φ ∀ ≥x  , (2.72) pri emu diskretna fundamentalna matrica Φ zadovoljava: ( ) ( ) ( )0 01, , , ,Nk j A k j A k N j k kΦ + = Φ + Φ − ∀ ≥ , (2.73) ( ) ( ) [ ]0 0, , , ,k j I k j k j k N kδΦ = − ∀ ∈ − , (2.74) Malek–Zavarei, Jamshidi (1987), Januševski (1978). Najpogodniji oblik kretanja, koji e se nadalje stalno koristiti pokazae se na jednaini stanja diskretnog sistema sa kašnjenjem, za proizvoljan broj kašnjenja. Polazei od jednaine stanja i poetnih uslova sledeeg oblika: ( ) ( ) ( )0 1 1 N i i k A k A k i = + = + −x x x , (2.75) ( ) ( ), 0, 1, ,k k k Nψ= ∀ = − −x  , (2.76) u radu Januševski (1978) je prikazano rešenje jed. (2.75) u obliku sume: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 N i i k k k i A i = = Φ + Φ − −x x x . (2.77) Osobine ( )kΦ su sledee: ( ) ( ) 0 1 N i i k A k i = Φ + = Φ − , (2.78) ( )0 IΦ = . (2.79) Interesantno je sada uporediti rešenja vremenski kontinualnog i vremenski diskretnog sistema. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 25 Oigledno je da fundamentalne matrice imaju vrlo sline osobine, a kada se uzme u obzir da je sumiranje u diskretnom domenu pandan integraljenju u kontinualnom domenu, analogija je potpuna. Poznato je da je fundamentalna matrica vremenski kontinualnih sistema sa kašnjenjem oblika: ( ) 1 1 0 i k s i i t L s I A e τ − −− =    Φ = −        . (2.80) Ovakav izraz oigledno se ne može direktno rešiti zbog prisustva beskonanog broja korenova, koji potiu od transcedentnog lana ise τ− . Kod vremenski diskretnog sistema sa kašnjenjem situacija je potpuno drugaija. Primenom Z –transformacije na jed. (2.75) dobija se: ( ) 1 1 0 N i i i k Z z I z A − − − =    Φ = −        . (2.81) Ova relacija se oigledno može relativno lako rešiti, imajui u vidu konaan broj korenova. Dobija se karakteristini polinom po z stepena ( )1n N× + , kome odgovara isto toliko korenova. U radu Gorecki et al. (1989) ovaj polinom je dat sa: ( ) 1 0 N N N i i i I Aλ λ λ+ − = ∆ = + , (2.82) što dovodi do istog zakljuka kada se ima na umu da je polazna reprezentacija sistema sa kašnjenjem bila data u matrinom zapisu jed. (2.75) reda n . Sada se može uvesti jedna nova matrica eqA . Naziva se ekvivalentna matrica u oznaci eqA , a koja zadovoljava jedinu relaciju koja je bitna za povezivanje diskretnog sistema sa kašnjenjem sa njemu ekvivalentnom sistemu bez kašnjenja, ali poveane dimenzije. Zahtev koji ova matrica mora da zadovolji je taj da postoji Biunikova korespondencija njenih sopstvenih vrednosti i sopstvenih vrednosti, odnosno rešenja jed. (2.82). Ovo se može zapisati na sledei nain: ( )( ) 1 1 1 0 N i eq n in N i z I A z I z A − − − × + =   − = −     . (2.83) Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 26 Oigledno je da je ova matrica upravo ona matrica eqA proširenog sistema bez kašnjenja iz jed. (2.27) i da ona u sebi objedinjuje sve informacije potrebne i dovoljne da se, uz poznavanje poetne funkcije (uslova), odredi kretanje sistema. Može se zakljuiti da se na ovaj nain fundamentalna matrica vremenski diskretnog sistema sa kašnjenjem, a samim tim i kretanje, može uvek vrlo lako i brzo odrediti, ak i za sisteme višeg reda, ako se uzmu u obzir velike brzine matrinog prorauna koje danas imaju digitalni raunari. Takoe, ako se uzme u obzir injenica da se kašnjenje naješe javlja u samo jednoj matrici, odnosno ostale iA su nula–matrice, proraun kao i formulacija samog problema dodatno se uprošava. Samim tim mogue je ispitivati, relativno jednostavno, kako ljapunovsku (asimptotsku) stabilnost diskretnih sistema sa kašnjenjem, tako i stabilnost na konanom vremenskom intervalu. Literatura Aleksendri, M., Dinamika posebnih klasa kontinualnih i diskretnih sistema sa kašnjenjem na konanom i beskonanom vremenskom intervalu, Dipl. rad, Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 2002. Barnett, S., Matrices in Control Theory, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1971. Belhouari, A., E. Tissir, A. Hmamed, “Stability of Interval Matrix Polynomial in Continuous and Discrete Cases”, Systems & Control Letters, (18), (1992) 183–189. Bellman, R., K. L. Cooke, Differential–difference Equations, Academic Press, New York, 1963. Debeljkovi, D. Lj., Dinamika objekata i procesa, Mašinski fakultet, Beograd, 1989. Debeljkovi, D. Lj., Zbirka zadataka iz dinamike objekata i procesa, Mašinski fakultet, Beograd, 1990. Debeljkovi, D. Lj., Sistemi sa kašnjenjem, GIP Kultura, Begrad, 1994. Debeljkovi, D. Lj., T. M. Perunii, M. B. Jovanovi, S. A. Milinkovi, Parametarske metode analize i sinteze sistema sa kašnjenjem, GIP Kultura, Beograd, 1997. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 27 Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, Stabilnost sistema sa kašnjenjem na konanom vremenskom intervalu, GIP Kultura, Beograd, 1999. Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, S. B. Stojanovi, Stabilnost sistema sa kašnjenjem na konanom i beskonanom vremenskom intervalu, igoja štampa, Beograd, 2004.a. Desoer, C. A., M. Vidyasagar, Feedback Systems: Input–output Properties, Academic Press, New York, 1975. urovi, M., Robustnost stabilnosti nekih posebnih klasa sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, Mag. teza, Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 1999. El’sgol’ts, L. E., S. B. Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York, 1973. Gantmacher, F., The Theory of Matrices, Vol. 1 and Vol. 2., Chelsea, New York, 1959. Gu, K., Kharitonov, V. L., Chen, J., Stability of Time–delay Systems, Burkhauser, Boston, 2003. Goreckii, H., Analiz i sintez sistem upravlenia s zapazdivaniem, Mašinostroenie, Moskva, 1974. Goreckii, H., S. Fuksa, P. Grabowski, A. Korytowski, Analysis and Synthesis of Time Delay Systems, J. Wiley, New York, 1989. Gruji, Lj., Diskretni sistemi, Mašinski fakultet, Beograd, 1991. Halanay, A., Differential Equations–stability, Oscillations, Time Lags, Academic Press, New York, 1996. Januševskii, R. T., Upravlenie objektami s zapazdavaniem, Nauka, Moskva, 1978. Kamen, E. W., Introduction to Signals and Systems, MacMillan Publ. Company, New York, 1990. Koepcke, R. W., “On the Control of Linear Systems with Pure Time Delay”, Trans. ASME J. Basic Eng., (3), (1965) 74–80. Krasovskii, N. N., Nekatorii zadai teorii ustoiivosti dviženia, Nauka, Moskva, 1959. Kolmanovskii, V. B., V. R. Nosov, Ustoiivost i periodiiski režimi regulireumih sistem s posledeistviem, Nauka, Moskva, 1981. Opšta pitanja dinamike diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 28 Lakshmikantham, V., S Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol 1. Academic Press, New York, 1969. Lancaster, P., M. Tismenetsky, The Theory of Matrices, Academic Press, New York, 1985. Lazarevi, P. M., Sinteza Kalmanovog regulatora u sistemima automatskog upravljanja sa kašnjenjem, Mag. teza, Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 1993. Lazarevi, P. M., D. Lj. Debeljkovi, “Finite Time Stability Analysis of Linear Autonomous Fractional Order Systems with Delayed States”, Preprints 4th IFAC Workshop on Time Delay Systems, Rocquencourt, Paris (France), September, (2003). Malek–Zavarei, M., M. Jamshidi, Time–delay Systems, North–Holland, Amsterdam, 1987. Neff, H., Continuous and Discrete Linear Systems, Harper & Row Publishers, New York, 1984. Ogata, K., State Space Analysis of Control Systems, Prentice–Hall, New Jersey, 1967. Oguztoreli, M. M., Time Lag Control Systems, Academic Press, New York, 1966. Owens, D. H., Feedback and Multivariable Systems, Peter Peregrinus Ltd., 1978. Razvan, V., Absolutaja ustuivost avtomatieskih sistem s zapazdivaniem, Nauka, Moskva, 1983. Smith, O. J., Feedback Control Systems, McGraw–Hill, New York, 1958. Solodov, A. V., E. A. Solodova, Sistemi s peremenim zapazdivaniem, Nauka, Moskva, 1980. Tchetaev, N. G., Stability of Motion, Gosthizdat, Moscow, 1955. Višnji, N., Dinamika analiza linearnih diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, Dipl. rad, Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 2003. Yoshizawa, T., Stability Theory by Lyapunov’s Second Method, The Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1966. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 29 III HRONOLOŠKI PREGLED POSTIGNUTIH REZULTATA NA POLJU IZUAVANJA LJAPUNOVSKE STABILNOSTI VREMENSKI DISKRETNIH I KONTINUALNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 3. HRONOLOŠKI PREGLED BAZINIH REZULTATA 3.1 Opšta pitanja teorije stabilnosti sistema 3.1.1 Uvodna razmatranja U savremenoj teoriji upravljanja sistemima predloženi su i koriste se razliiti koncepti stabilnosti, kao na primer: ljapunovska, neljapunovska i tehnika stabilnost, stabilnost tipa “ogranieni ulaz–ogranieni izlaz”, i tako dalje, od kojih se, u prvom redu oekuje da odgovore na sledea suštinska pitanja: • O ijoj se stabilnosti radi? • Kako se definiše rastojanje izmeu posmatranih stanja, odnosno kretanja u odnosu na razmatrano stanje, ija se stabilnost ispituje? • Kako se definiše “bliskost” izmeu stanja, odnosno kretanja? • Pod kojim uslovima se zahteva tražena “bliskost”? • Na kom se vremenskom intervalu zahteva tražena “bliskost”? Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 30 U standardnom kontekstu ovih razmatranja, uvažavajui usvojenu klasu sistema, uobiajeno se prvo razjašnjavaju pitanja vezana za definiciju, postojanje, jedinstvenost i stabilnost ravnotežnog stanja sistema, a zatim se, shodno predloženom konceptu, daje definicija i odgovarajui uslov stabilnosti. Na taj nain, dolazi se do potrebne platforme i pozicija sa kojih je mogue efikasno analizirati dinamiko ponašanje razmatranog sistema sa željenog aspekta. Jasno je da se, korišenjem odgovarajuih kriterijuma, mogu dobiti odgovori po pitanju stabilnosti razmatranih sistema i bez rešavanja njihovih diferencijalnih jednaina kretanja, ime se postiže pun analitiki efekat. U tom smislu, preporuuju se klasina dela: Lyapunov (1956), Hahn (1963, 1967), Krasovskii (1963), Rouche et al. (1977), Gruji et al. (1984), Khalil (1980) i Yoshizava (1996). U nastavku e se izložiti deo razmatranja, u celosti preuzet iz rada Gruji (1970) koji na jedinstven, rigorozan i koncizan nain daje najcelovitiju podlogu za traženje odgovora po svim ranije postavljenim pitanjima. 3.1.2 Stabilnost sistema Problem ispitivanja stabilnosti je jedan od najosnovnijih i najvažnijih zadataka koji treba da se reši pri analizi i sintezi ponašanja svih, a posebno zatvorenih, sistema automatskog upravljanja. Stabilnost sistema izražava jednu od njegovih najbitnijih osobina i, najprostije reeno, ona iskazuje da li se razmatrani sistem odlikuje stalnošu odreene karakteristike svog ponašanja koje predstavlja rezultat njegovog kretanja i delovanja, pri emu pojam kretanja treba shvatiti u najširem smislu te rei, Gruji (1970). Kao što je poznato, postoji veoma veliki broj definicija stabilnosti, pri emu su one nastale ili nastaju kao rezultat razliitih praktino–tehnikih zadataka i težnji da se što dublje i preciznije iskaže ova znaajna osobina sistema. Za sveobuhvatno poimanje stabilnosti i kasnije proisteklih koncepata od suštinskog znaaja je razmatrati i uoiti sledea pitanja i pojmove, koji se ovde izvorno prenose iz rada Gruji (1970). Uoimo sistem koji se do nekog trenutka 0t t= kree na željeni (zahtevan) nain. Pretpostavlja se da je poznato željeno kretanje i nakon trenutka 0t t= , kako je to ilustrovano na slici 3.1. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 31 ℑž ℑp t > t0 t > t0 t = t0 Slika 3.1 Željeno i poremeeno kretanje Dalje se pretpostavlja da e se sistem kretati po trajektoriji zˆℑ i za 0t t∀ ≥ ukoliko njegov rad ne bude poremeen iz bilo kog razloga. U tom sluaju, njegovo kretanje naziva se neporemeenim. S druge strane, može se postaviti pitanje kako e se sistem kretati ako od trenutka 0t t= bude podvrgnut delovanju nekog neželjenog uticaja? Da li e stvarno kretanje, koje sada predstavlja poremeeno kretanje, prikazano trajektorijom pℑ , slika 3.1, biti dovoljno blizu željenog zˆℑ za 0t t∀ ≥ i da li e mu se vremenom približavati ili e se udaljavati od njega? Odstupanje stvarnog kretanja sistema od željenog ne mora da bude posledica neželjenog uticaja samo neke spoljne veliine. U trenutku 0t t= može da se promeni željeno kretanje zˆℑ i da odstupi od prvobitno željenog kretanja, odnosno trajektorije ˆ0zℑ za 0t t≥ . U graninom sluaju, može se pretpostaviti da se promena željenog kretanja odvija momentalno u trenutku 0t t= . Ako sistem nije podvrgnut nikakvim neželjenim i nepredvidljivim spoljašnjim uticajima, može se rei da u trenutku 0t t= postoji poetno odstupanje ( )0t∆ℑ stvarnog od željenog kretanja zˆℑ , slika 3.2. ℑž t > t0 t=t0 ∆ℑ(t0) ℑp ℑž0 ℑž =ℑž0 t > t0 t > t0 t < t0 Slika 3.2 Odstupanje stvarnog od željenog kretanja Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 32 Stvarno kretanje sistema i dalje karakteriše trajektorija pℑ , slika 3.2. Kretanju sistema, tj. njegovom stvarnom ponašanju, postavljaju se odreeni zahtevi. Priroda tih zahteva zavisi od potrebe rešavanja konkretnih zadataka. Može se, na primer, zahtevati da stvarno kretanje pℑ ne odstupa od željenog zˆℑ ni u jednom trenutku više nego što je dozvoljeno, im je to odstupanje posledica uticaja bilo poetnih odstupanja, bilo neželjenog dejstva nekih spoljašnjih veliina, a u okvirima njihovih prirodno dozvoljenih intenziteta. Ako se prethodno razmatranje interpretira u prostoru stanja, slika 3.3, jasno je da se stvarna trajektorija pℑ nalazi stalno u hipercilindru ( )HC , iju osu predstavlja željena trajektorija zˆℑ , a bazu hipersfera ( )HS sa centrom na zˆℑ u trenutku 0t t= , slika 3.3. Praistorija sistema t < t0 t > t0 t = t0 ℑp ℑž (HSα) (HS) (HC) Slika 3.3 Kretanje sistema unutar hipercilindra Ukoliko je poremeeno kretanje nastalo kao posledica delovanja nenultih poetnih uslova, oni treba da pripadaju hipersferi ( )HSα dozvoljenih poetnih stanja za koje e trajektorija pℑ sigurno, sve vreme, biti u hipercilindru ( )HC , Gruji (1970). Za dalja razmatranja, usvaja se da ponašanje sistema ne zavisi od njegove “praistorije”, što praktino znai da stanje sistema ( )tX u trenutku t , zavisi samo od poetnog stanja sistema ( )0 0= tX X , poetnog trenutka 0t i trenutka t . Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 33 Neka je stvarno ponašanje sistema opisano vektorskom diferencijalnom jednainom: ( ) ( )( )1 ,t t t=X X ϕ , (3.1) a željeno ponašanje sa : ( ) ( )( )1 ,ž žt t t=X X ϕ . (3.2) Na osnovu jed. (3.1) i jed. (3.2) dobija se vektorska diferencijalna jednaina ponašanja u odstupanjima kao: ( ) ( )( ),t t t=x x ϕ , (3.3) gde je: ( ) ( ) ( )žt t t= −x X X , (3.4) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1, , , , žt t t t t t t = − = X X X 0 0 ϕ ϕ ϕ ϕ . (3.5) Jasno je da jed. (3.1) opisuje stvarno kretanje ( )0 0, ,t tX X prikazano trajektorijom pℑ , slika 3.3, da jed. (3.2) opisuje neporemeeno kretanje ( )0 0, ,ž žt tX X kome odgovara trajektorija zˆℑ , slika 3.3, a da jed. (3.3) opisuje poremeeno kretanje. U poetnom trenutku 0t t= , važi: ( ) ( )0 0 0 0 0, žt t= =X X X X , (3.6) ( )0 0t=x x . (3.7) Za odstupanja se dobija, na osnovu jed. (3.4): ( ) ( )0 0, ,t t t=x x x . (3.8) Kada je zˆℑ geometrijsko mesto taaka u prostoru stanja, govori se o stabilnosti procesa. Ako se željena trajektorija zˆℑ degeneriše u taku zˆS , koja predstavlja odreeno stanje, govori se stabilnosti ravnotežnog stanja. Željeno stanje kretanja tada je stanje mirovanja, slika 3.4. Razmatranje stabilnosti kretanja (sistema, procesa) može se svesti na ispitivanje stabilnosti ravnotežnog položaja ako se za željenu trajektoriju zˆℑ veže pokretan koordinatni sistem. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 34 Tada se dobijaju jednaine poremeenog kretanja, jed. (3.3) do jed. (3.5), iz kojih se vidi da je željeno odstupanje ( )ž t =x 0 , što znai da se željeno stanje nalazi u koordinatnom poetku tog pokretnog koordinatnog sistema, Gruji (1970), pa se ispitivanje stabilnosti sistema svodi na ispitivanje stabilnosti ravnotežnog položaja njegovog poremeenog kretanja. Sž ∆ℑ(0) t > t0 ∆ℑ(t) ℑž Slika 3.4 Stabilnost ravnotežnog položaja Ovde razmatrana pitanja, uz jasno razgraniavanje pojmova poremeenog i neporemeenog kretanja sistema, kao i mogui odgovori na ranije postavljena pitanja, omoguila su i dalje omoguavaju da se predloži veliki broj definicija stabilnosti iz kojih proistiu i brojni koncepti ove znaajne osobine sistema. 3.1.3 Pregled nekih bazinih koncepata stabilnosti sistema U radu Gruji (1970) date su brojne definicije stabilnosti, primenljive kako na sisteme u slobodnom, tako i u prinudnom radnom režimu. Pored ve klasine ljapunovske definicije stabilnosti, spomenute su i navedene definicije stabilnosti u smislu Lagrange–a, totalne, apsolutne, orbitalne i hiperstabilnosti. Mimo toga, iznete su i definicije osobine privlaenja i asimptotske stabilnosti, kao i ravnomerne i globalne stabilnosti. Zbog potrebe poznavanja brzine kojom se poremeeno kretanje približava neporemeenom, spomenute su i date definicije eksponencijalne stabilnosti ravnotežnog stanja, kao i mogua rešenja razmatranih sistema. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 35 Priroda veine realnih sistema je takva da na njih deluju poremeaji iji su trenuci nastajanja i intenziteti, u opštem sluaju, nepoznati, što im s punim pravom daje sva obeležja stohastikih procesa. Jasno je da se stabilnost takvih sistema razmatra u prinudnom radnom režimu, a uobiajeno se takvi poremeaji tretiraju kao Markovljevi procesi. Samim tim, sve uvedene definicije stabilnosti moraju se iskazati na probabilistki nain, odnosno kroz odgovarajuu meru verovatnoe, što je takoe dato u ranije navedenoj referenci. I konano, razmatran je izvestan broj definicija koje se odnose na neke osobine stabilnosti stacionarnih skupova, Gruji (1970). Lako se uvia da se izvesni koncepti stabilnosti meusobno niti uslovljavaju, niti iskljuuju, što praktino znai da pozitivan zakljuak po jednom primenjenom konceptu ne znae afirmativan zakljuak po drugom, i obrnuto. Neka opšta pitanja teorije stabilnosti sistema u smislu Ljapunova Kapitalno delo A. M. Ljapunova nastalo je 1982. god. inspirisano idejom i delom A. Puankarea o kvalitativnoj analizi nelinearnih diferencijalnih jednaina drugog reda. Kroz svoju drugu metodu, Ljapunov je uspeo da odgovori i reši fundamentalno pitanje opšte teorije stabinosti. U tom smislu, dobijen je odgovor i rešenje zadatka ispitivanja stabilnosti neporemeenog kretanja, a bez rešavanja, odnosno integraljenja sistema nelinearnih diferencijalnih jednaina, koje opisuju dinamiku razmatranog sistema, odnosno bez pojedinanog odreivanja i prouavanja poremeenih kretanja za svako poetno stanje iz datog skupa stanja, Gruji (1974) i Gruji et al. (1984). U svojoj doktorskoj disertaciji, Ljapunov je utemeljio princip kvalitativne analize odnosa izmeu poremeenog (stvarnog) i neporemeenog (željenog) kretanja. Pri tome, on je posmatrao ponašanje odgovarajuih funkcija duž kretanja tih sistema. Te funkcije mogu da predstavljaju razliite oblike energije i/ili materijalnih tokova u sistemu, što jasno ukazuje na njihov pun fiziki smisao. Oslanjajui se dalje na pojam neprekidnosti funkcija, Ljapunov je uveo suštinsku definiciju stabilnosti neporemeenog kretanja u odnosu na neke funkcije, potinjene zahtevu ( )ε δ− bliskosti vrednosti tih funkcija, uzetih duž poremeenog i neporemeenog kretanja, Gruji et al. (1984). Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 36 S druge strane, neposredni odgovor i uvid u stabilnost sistema dobija se neposredno iz jednaina poremeenog kretanja, a na osnovu uvedenih funkcija odreenih po znaku. Pomou tih funkcija i njihovih totalnih izvoda, sraunatih saglasno jednainama poremeenog kretanja, osnovni zadatak ispitivanja stabilnosti neporemeenog kretanja svodi se na ispitivanje ponašanja funkcija odreenih po znaku duž kretanja sistema. Znak totalnog izvoda te funkcije proverava se u svim takama koje pripadaju okolini neporemeenog kretanja. Jasni zahtevi koje treba da ispunjava agregaciona funkcija i odreenost (znak) njenog totalnog izvoda sraunatog duž rešenja poremeenog kretanja, bili su dati u pomenutoj disertaciji za sluajeve: ravnomerne stabilnosti i ravnomerne asimptotske stabilnosti, kao i za nestabilnost neporemeenog kretanja. Iako sam Ljapunov nije tano odredio pojmove privlaenja i asimptotske stabilnosti, u odnosu na uvedene funkcije odreene po znaku ovi znaajni pojmovi javljaju se kasnije u radovima velikog broja naunika i nedvosmisleno i više nego oigledno su povezani sa idejama koje je predoio Ljapunov, Gruji et al. (1984). Neka opšta pitanja teorije praktine stabilnosti i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu U praktinim prilikama nije uvek od interesa razmatrati stabilnost sistema u smislu Ljapunova, ve je ponekad od posebne važnosti utvrditi granice do kojih dosežu trajektorije sistema pri njegovom kretanju u integralnom prostoru stanja. Sistem može da bude stabilan, pa ak i asimptotski stabilan, ali praktino neupotrebljiv zbog neprihvatljivih pokazatelja kvaliteta prelaznog procesa. Zbog toga je od posebnog znaaja razmatrati stabilnost sistema u odnosu na zadate skupove dozvoljenih i poetnih stanja u faznom prostoru, koji su po pravili a priori definisani za dati problem. S druge strane, imajui u vidu veoma stroge i oprene zahteve koji se danas nameu kvalitetu dinamikog ponašanja realnih sistema, od posebnog je interesa razmatrati njihovo ponašanje i na konanom vremenskom intervalu. Prethodna izlaganja valja potkrepiti nekim primerom iz prakse i u tom cilju razmatra se ponašanje jednog isto mehanikog sistema, prikazanog na slici 3.5, u dve svoje mogue fizike realizacije. Istovetna razmatranja i objašnjenja mogu se bez ikakvih poteškoa proširiti i na sve ostale sisteme drugaije fizike prirode. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 37 Sa stanovišta ljapunovske stabilnosti, ravnotežno stanje sistema sa slike 3.5.a je asimptotski stabilno. Za sva dovoljno mala poetna odstupanja, loptica e se vraati u svoj prvobitni ravnotežni položaj. Meutim, sa stanovišta praktine stabilnosti, ono je nestabilno jer je oigledno da e se za njegova pojedina stanja uzeta iz skupa poetnih stanja α , njegovo dalje kretanje odvijati u smislu napuštanja skupa dozvoljenih stanja β . a) b) Slika 3.5 Prikaz mehanikog sistema u dve mogue fizike realizacije U drugom sluaju, slika 3.5.b, za bilo koja mala odstupanja od ravnotežnog položaja, dalje kretanje sistema (loptice) e se stalno udaljavati od njegovog ravnotežnog položaja, tako da je ravnotežno stanje ovog sistema, u smislu Ljapunova nestabilno. Ako je skup dozvoljenih stanja β definisan kao na slici, oigledno je da je sistem, odnosno njegovo ravnotežno stanje, praktino stabilno za sva poetna stanja iz skupa poetnih stanja α , jer se kretanje sistema ne može udaljiti od prvobitnog ravnotežnog stanja više nego što su propisane (dozvoljene) granice skupa β . Sumarno reeno, sistem je praktino stabilan ako njegovo kretanje, koje je u poetnom trenutku nastalo ili usled promene poetnog stanja u skupu dozvoljenih poetnih stanja α , i/ili usled dejstva spoljašnjih, dozvoljenih uticaja ε , treba na posmatranom vremenskom intervalu da ostane u unapred zadatom skupu dozvoljenih stanja sistema β . Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 38 Grafika interpretacija kretanja u prostoru stanja ova dva sistema, ilustrovana je na slici 3.6, a vezano za njihova ponašanja na konanom vremenskom intervalu2, ( )0 0 = ,t t Tℑ + . x ( t ) t β α – β Τ t x ( t ) β α – β Τ a) b) Slika 3.6 Grafika interpretacija kretanja u prostoru stanja Iz prethodnog primera lako se uoava suštinska razlika koncepta praktine stabilnosti i stabilnosti u smislu Ljapunova, a koja se, vezano za pitanje skupova α , β i ε može sumarno izrei na sledei nain. U konceptu ljapunovske stabilnosti zahteva se postojanje skupova α i ε , uzetih u obliku hiperkugli u prostoru stanja, za svaki otvoreni skup β dozvoljenih stanja, koji garantuju da e ravnotežno stanje razmatranog sistema biti totalno stabilno. U konceptu praktine stabilnosti ovi skupovi α i ε , kao i skup β koji je zatvoren su proizvoljnog oblika i unapred poznati ili zadati, Gruji (1970). Pored toga, koncept praktine stabilnosti nema lokalni karakter, a koordinatni poetak ne mora da bude ravnotežno stanje sistema. Koncept praktine stabilnosti i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu poseduje izvesnu “relativnost”, što se odražava u injenici da su do sada izvedeni rezultati uvek iskazani dovoljnim uslovima ove vrste stabilnosti. 2 Koncept stabilnosti na konanom vremenskom intervalu samo je poseban sluaj koncepta praktine stabilnosti. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 39 To se može relativno lako objasniti injenicom da se pomenuti uslovi ne izražavaju samo relevantnim osobinama samog sistema, ve da se tu nalaze i podaci koji zavise od nametnutih ogrnienja kretanju sistema, kao i dužina vremenskog intervala na kome se ova osobina ispituje. Sasvim je jasno da jedan te isti sistem u odnosu na neki skup { }1 1, ,τ α β može biti praktino stabilan, a da se ta ista osobina ne može pokazati za neki drugi skup { }2 2, ,τ α β . Slini zakljuci mogu se izvesti ako se fiksiraju vrednosti ( ).α i ( ).β , a menja dužina vremenskog intervala ( ).T . Još neka znaajna pitanja ljapunovske teorije stabilnosti Izlaganja koja slede u celosti su preuzeta iz rada Khalil (1992). U savremenoj teoriji automatskog upravljanja, dinamika stvarnih, fizikih sistema opisuje se verodostojnim matematikim modelima, koji za nestacionarne, autonomne sisteme mogu da imaju uobiajeni oblik: ( ) ( ) ( )0 0, ,t t t= =x f x x x . (3.9) Da bi se odredilo ponašanje sistema, datog jed. (3.9), u budunosti, a na osnovu njegovog tekueg stanja u trenutku 0t , problem poetnih uslova mora da ima jedinstveno rešenje. Ovo pitanje postojanja i jedinstvenosti rešenja razrešava se i obezbeuje se nametanjem odreenih ogranienja desnoj strani jed. (3.9), odnosno funkciji ( ),tf x . Pokazuje se da kljunu ulogu u tome ima tzv. Lipschitz–ov uslov, koji treba da zadovolji funkcija ( ),tf x za sve vrednosti ( ),t x i ( ),t y u nekoj okolini ( )0 0,t x . Drugo pitanje, ne manjeg znaaja, je procena verodostojnosti modela sadržana u njegovoj neprekidnosti rešenja u odnosu na poetne uslove. Ono što se najmanje oekuje od matematikog modela jeste da proizvoljno male greške u podacima ne rezultiraju u pojavu velikih grešaka u rešenju koje se dobija na osnovu matematikog modela. Podaci koji odreuju problem poetnih uslova su poetno stanje 0x , poetni trenutak 0t i funkcija ( ),tf x . Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 40 Osobina neprekidnosti rešenja u odnosu na poetne uslove ( )0 0,t x i parametre funkcije ( ),tf x , takoe je od suštinskog znaaja pri iznalaženju rešenja sistema, datog jed. (3.9), i odreena je odgovarajuim rezultatom. Vratimo se sada pitanjima postojanja i jedinstvenosti rešenja. Za funkciju, koja zadovoljava jed. (3.10), kaže se da je Lipschitz–ova po x , a pozitivna konstanta L naziva se Lipschitz–ovom konstantom. Sada se može dati sledei rezultat. Teorema 3.1 Neka je funkcija ( ),tf x u delovima neprekidna i neka zadovoljava Lipschitz–ov uslov: ( ) ( ), ,t t L− ≤ −f x f y x y , (3.10) za: { } [ ]0 0 *, : , ,n t t tρ ρ∀ ∈ = ∈ − ≤ ∀ ∈x y x x x . (3.11) Tada, postoji neki realan, pozitivan broj 0δ > , takav da jednaina stanja sistema (3.9) sa pripadajuim poetnim uslovom, ima jedinstveno rešenje na vremenskom intervalu [ ]0 0,t t δ+ . Matematika teorija koja se bavi ovim pitanjima razlikuje lokalni i globalni Lipschitz–ov uslov, a što se vezuje za domen prostora stanja u kome taj uslov važi. Naime, poimo prvo od funkcije ( )f x , koja je lokalno Lipschitz–ova na domenu  , n⊂  , ako svaka taka u  ima okolinu 0 tako da ( )⋅f zadovoljava Lipschitz–ov uslov, dat jed. (3.10), za svaku taku iz 0 sa nekom Lipschitz–ovom konstantom 0L . Dalje, funkcija ( )⋅f je Lipschitz–ova na skupu  , ako zadovoljava jed. (3.10) za sve take iz  sa istom Lipschitz–ovom konstantom L . Funkcija ( )f x je globalno Lipschitz–ova ako je Lipschitz–ova na n . Istovetna terminologija koristi se kada je u pitanju i nestacionarna funkcija ( ),tf x . Tada se podrazumeva da se Lipschitz–ov uslov odnosi ravnomerno po t za sve trenutke t uzete sa razmatranog vremenskog intervala. Važno je napomenuti da je Lipschitz–ov uslov nametnut funkciji jai od zahteva za njenom neprekidnošu. S druge strane, taj zahtev je blaži od zahteva za neprekidnošu izvoda te funkcije, što je olieno u sledeem rezultatu. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 41 Lema 3.1 Neka je funkcija ( ),tf x neprekidna na [ ],a b × , za neki domen n⊂  . Ako ( )/∂ ∂f x postoji i neprekidan je na [ ],a b × , tada je ( )⋅f lokalno Lipschitz–ova po x na [ ],a b × . Lema 3.2 Neka je funkcija ( ),tf x neprekidna na [ ], na b × . Ako ( )/∂ ∂f x postoji i neprekidan je na [ ], na b × , tada je ( )⋅f globalno Lipschitz–ova po x na [ ], na b × ako i samo ako je ( )/∂ ∂f x ravnomerno ogranien na [ ], na b × . I konano, uvažavajui prethodne rezultate, navodi se sledei koji uspostavlja uslove postojanja jedinstvenog rešenja na vremenskom intervalu [ ]0 *,t t , gde *t može biti proizvoljno veliko. Teorema 3.2 Neka je ( ),tf x u delovima neprekidna po t i neka zadovoljava: ( ) ( ), ,t t L− ≤ −f x f y x y , (3.12) ( )0 0,t ≤℘f x , (3.13) za: [ ]0 *, , ,n t t t∀ ∈ ∀ ∈x y  . (3.14) Tada, sistem, dat jed. (3.9), sa pripadajuim poetnim uslovom ima jedinstveno rešenje ne vremenskom intervalu [ ]0 *,t t . Neprekidnost rešenja u odnosu na poetno stanje i parametre funkcije ( )⋅f može se dati sledeim rezultatima. Teorema 3.3 Neka je funkcija ( ),tf x u delovima neprekidna po t i Lipschitz–ova po x na [ ]0 *,t t × sa Lipschitz–ovom konstantom L , gde je n⊂  otvoren i povezan skup. Neka su ( )ty i ( )tq rešenja: ( ) ( ) ( )0 0, ,t t t= =y f y y y , (3.15) i: ( ) ( ) ( ) ( )0 0, , ,t t t t= + =q f q g q q q , (3.16) tako da ( ) ( ) [ ]0 *, , ,t t t t t∈ ∀ ∈y q  . Pretpostavlja se i da je: Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 42 ( ) ( ) [ ]0 *, , , ,t t t tη≤ ∀ ∈ ×g x x  , (3.17) za neko 0η > i neka je još: 0 0 γ− ≤y q . (3.18) Tada je: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) [ ]0 0 0 * 0exp exp 1 , , limxt t L t t L t t t t tL δηγ →− ≤ − + − − ∀ ∈y q . (3.19) Prethodna Teorema daje uslove neprekidnosti rešenja u odnosu na poetne uslove. 3.2 Pregled rezultata Interesovanje za dinamiko ponašanje sistema sa kašnjenjem okupira pažnju velikog broja autora ve više od pola veka. Meutim sa sigurnošu se može rei da je to interesovanje bilo u daleko veoj meri zastupljeno kada su u pitanju bili kontinualni a daleko manje kada je bila re o vremenski diskretnim sistemima sa kašnjenjem. Jedan od glavnih razloga za to je što diskretni sistemi sa kašnjenjem imaju konanu dimenziju, pa se kao takvi mogu iskazati preko odgovarajueg ekvivalentnog sistema bez kašnjenja. Red ovog sistema srazmeran je proizvodu vrednosti kašnjenja i reda matrica sistema. Pri velikim iznosima isto vremenskog kašnjenja, red ekvivalentnog sistema postaje izuzetno veliki, pa je to u prošlosti, stvaralo znatne matematike poteškoe. U tom smislu osnovni doprinosi autora išli su u pravcu da se ovaj problem prevazie analizirajui osobine vremenski diskretnog sistema sa kašnjenjem na polaznim matricama sistema i bez nužnih prevoenja istog na ekvivalentni sistem. Prvi znaajniji rad, koji se bavio problematikom ljapunovske stabilnosti ove klase sistema pojavio se tek 1982. godine, Mori et al.(1982.b). Meu prvim koji su izložili definicije, odredili kretanje diskretizovanog sistema i dali uslove njegove stabilnosti je rad Koepcke (1965). Iako se ne bavi problemom klasinih diskretnih sistema sa kašnjenjem, ve diskretnim nastalih diskretizacijom kontinualnih, rad Koepcke (1965) daje osnovu za odreivanje njihovog kretanja, definicije i teoreme stabilnosti iji su dokazi poslužili kao glavna inspiracija ovde, po prvi put iznesenih rezultata. Prilino opširna analiza kretanja diskretnog sistema sa kašnjenjem i optimizacija njihovog ponašanja data je u radu Januševskog (1978). Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 43 U radu Mori et al. (1982.b) dati su jednostavni dovoljni uslovi stabilnosti, ove klase sistema, zasnovani na korišenju normi matrica i njihovih funkcija. Izveden dovoljan uslov asimptotske stabilnosti, posebne klase ovih sistema, ne uzima u obzir iznos isto vremenskog kašnjenja ali pruža efikasan rezultat za testiranje ove važne osobine sistema. Mimo toga, konani rezultati ovog rada, bili su i snažan podsticaj za ovde iznete rezultate a posebno logine zakljuke koji se, na bazi istih, prirodno nameu. U radu Trinh, Aldeen (1995.a) razmatrana je asimptotska i D –stabilnost diskretnih sistema sa kašnjenjem i predloženi su dovoljni uslovi koji su manje konzervativni u odnosu na uslove u radu Mori et al. (1982.b). U lit. Debeljkovi et al. (2004.b, 2005) poboljšani su postojei rezultati koji se tiu asimptotske stabilnosti partikularne klase linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Ovi radovi proširuju jedan od osnovnih rezultata na polju ljapunovske (asimptotske) stabilnosti linearnih, vremenski invarijantnih, diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Rezultati su dati u formi samo dovoljnih uslova i predstavljaju poboljšanje postojeih rezultati koji se tiu asimptotske stabilnosti sistema opisanih vektorskom jednainom stanja u formi ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x . Izvedeni rezultati su manje konzervativni u odnosu na rezultate u postojeoj literaturi. Osnovni rezultati na polju ljapunovske (asimptotske) stabilnosti linearnih, vremenski invarijantnih, diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem su prošireni u lit. Stojanovi, Debeljkovi (2004.a, 2004.c, 2004.i, 2004.k). Rezultati su dati u formi samo dovoljnih uslova i predstavljaju generalizaciju nekih prethodnih rezultata ili potpuno nove rezultate. Za izvedene rezultate se lako može pokazati da su, u veini sluajeva, manje konzervativni u odnosu na rezultate u postojeoj literaturi. Potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, velikih, linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, su dati u lit. Stojanovi, Debeljkovi (2004.b, 2004.e). Pokazano je da asimptotska stabilnost ove klase sistema svodi na asimptotsku stabilnost odgovarajueg i–tog ekvivalentnog diskretnog sistema. Red ekvivalentnog sistema, je znatno niži u odnosu na red razmatranog velikog sistema. Potrebno je rešiti sistem matrinih jednaina ije rešenje uvek postoji. Korišenjem osobine da je razmatrani Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 44 veliki sistem konano dimenzionalan, izvedeni su potrebni i dovoljni uslovi stabilnosti, nezavisni od isto vremenskog kašnjenja, koji se zasnivaju na ekvivalentnoj matrici sistema, iji je red znatno vei od reda odgovarajueg ekvivalentnog sistema. Lit. Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h) prezentuje dovoljne uslove asimptotske stabilnosti, nezavisne od isto vremenskog kašnjenja, partikularne klase linearnih, perturbovanih sistema sa višestrukim vremenskim kašnjenjem. Prezentovani kriterijumi uvode mali broj pretpostavki i izraženi su jednostavnim matematikim formama. Osim toga njihova primena je efikasnija u odnosu na primene kriterijuma u postojeoj literaturi. Rad Stojanovi et al. (2004.f) daje dovoljne uslove D–stabilnosti partikularne klase linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Kriterijumi nezavisni od isto vremenskog kašnjenja su izvedeni pomou karakteristine jednaine. Dovoljan uslov stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i nelinearnim perturbacijama je dat u radu Stojanovi et al. (2004.g). Uslov, nezavisan od kašnjenja, je izveden korišenjem prilaza koji se zasniva na Ljapunovljevoj direktnoj metodi. U lit. Stojanovi, Debeljkovi (2004.j, 2005.d) dati su potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, velikih, linearnih, vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Dobijeni uslovi stabilnosti su izraženi pomou Ljapunovljeve matrine jednaine za obian (klasian), linearan, vremenski kontinualan sistem bez prisustva isto vremenskog kašnjenja, gde postoji nepoznata matrica dobijena rešavanjem odreenog sistema matrinih jednaina. Stabilnost velikih, intervalnih, vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem je razmatrana u lit. Stojanovi, Debeljkovi (2005.a, 2005.b). Dovoljni uslovi stabilnosti su prezentovani korišenjem Gersgorin–ove teoreme. Rad Stojanovi, Debeljkovi (2005.c) daje dovoljne uslove stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u formi ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x . Izvedeni su uslovi, nezavisni od kašnjenja, korišenjem prilaza koji se zasniva na Ljapunovljevoj direktnoj metodi. Prezentovani rezultati su manje konzervativni u odnosu na rezultate u postojeoj literaturi. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 45 U lit. Stojanovi, Debeljkovi (2006a, 2006.c) dati su dovoljni uslovi eksponencijalne stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i nelinearnim perturbacijama. Uslovi, zavisni od kašnjenja, su izvedeni korišenjem prilaza koji se zasniva na Ljapunovljevoj direktnoj metodi. Rad Stojanovi, Debeljkovi (2006.b) poboljšava postojee rezultati koji se tiu asimptotske stabilnosti partikularne klase linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. U tom smislu, ovaj rad daje dovoljan uslov asimptotske stabilnosti, nezavisan od isto vremenskog kašnjenja, sistema u formi ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x . Metodologija korišenja u ovom radu se zasniva na Ljapunovljevom prilazu. Potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti partikularne klase velikih, linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem su dati u lit. Stojanovi, Debeljkovi (2007.a, 2007.b, 2008.b). Uslovi zavisni od kašnjenja su izvedeni korišenjem Ljapunovljeve direktne metode i zasnivaju se na tanom rešenju partukularnog sistema matrinih jednaina. Lit. Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.b) daje potrebne i dovoljne uslove asimptotske stabilnosti, zavisne od isto vremenskog kašnjenja, linearnih, vremenski kontinualnih i vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Kriterijumi zavisni od isto vremenskog kašnjenja su izvedeni korišenjem Ljapunovljeve direktne metode i iskljuivo se zasnivaju na maksimalnim i dominantnim solventima partikularne matrine jednaine. Dobijeni uslovi stabilnosti nemaju konzervatizam. Rad Stojanovi, Debeljkovi (2008.c) prezentuje potrebne i dovoljne uslove kvadratne stabilnosti linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju i neodreenostima. Razmatrani sistem sadrži isto vremensko kašnjenje u stanju i vremenski promenljive parametarske neodreenosti, ograniene norme, koje se pojavljuju u svim matricama modela u prostoru stanja. Rezultati su dobijeni u vidu linearnih matrinih nejednakosti. U ovom radu su prošireni postojei rezultati kvadratne stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 46 Nova Ljapunov–Krasovski metoda za vremenski diskretne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem je data u radu Stojanovi, Debeljkovi (2009.a). Na osnovu metode, izvedeni su uslovi nezavisni od kašnjenja. U radovima Debeljkovi, Nestorovi, Buzurovi, Dimitrijevi (2010.a) i Debeljkovi, Buzurovi, Nestorovi, Stojanovi, Dimitrijevi, Aleksendri (2011.b) prezentovani su dovoljni uslovi praktine stabilnosti i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu linearnih, vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Klasa linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem je razmatrana u radovima Debeljkovi, Buzurovi, Dimitrijevi (2011.a) i Debeljkovi, Stojanovi, Dimitrijevi, Popov (2012.a), u kojima su izvedeni dovoljni uslovi praktine stabilnosti i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu razmatranih sistema, kao i uslovi praktine nestabilnosti. U radu Debeljkovi, Stojanovi, Dimitrijevi, Popov (2012.b) prezentovani su dovoljni uslovi stabilnosti, u vidu linearnih matrinih nejednakosti, pod kojima je linearan, vremenski diskretan sistema sa istim vremenskim kašnjenjem stabilan na konanom vremenskom intervalu. Uslovi stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, za klasu vremenski diskretnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem, izraženi u vidu linearnih matrinih nejednakosti, su izvedeni u radu Stojanovi, Debeljkovi, Dimitrijevi (2012.b) i definisan je novi Ljapunov–Krasovski funkcional, zavisan od intervala isto vremenskog kašnjenja, podelom intervala na dva nejednaka podintervala pomou podesivog parametra α . Problem stabilnosti na konanom vremenskom intervalu za klasu linearnih, vremenski diskretnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem je istražen u radu Stojanovi, Debeljkovi, Dimitrijevi (2012.a), u kome su na osnovu Ljapunovljevih funkcija i korišenjem odgovarajueg transformisanog modela originalnog sistema izvedeni dovoljni uslovi koji garantuju stabilnost na konanom vremenskom intervalu razmatrane klase sistema. Kriterijum stabilnosti je prezentovan u formi linearnih matrinih nejednakosti, koje su zavisne od minimalne i maksimalne granice isto vremenskog kašnjenja. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 47 Literatura Abgarijan, K. A., “Ustoiivost dviženia na konenom intervale” v knjigi Itogi nauki i tehniki, VINITI AN SSSR, Obšaja mehanika, Moskva, (1976) 43–124. Abdullin, R. Z., Yu. L. Anapoljskii, “K zadaam praktieskoj ustoiivosti” v kjigi Vektor–funkcii Ljapunova i ih postoenie, Nauka, Novosibirsk, (1980) 34–91. Barabashin, E. A, Lyapunov Functions, Nauka, Moscow, 1970. Debeljkovi, D. Lj., Stabilnost sistema automatskog upravljanja na konanom i beskonanom vremenskom intervalu, Mašinski fakultet, Beograd, 2009. Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, “A Short Note to the Lyapunov Stability of ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x ”, Proc. of CDCOC, Shenyang (China), August 22–24, (2004) CD–Rom. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, S. B. Stojanovi, M. B. Jovanovi, S. A. Milinkovi, “Discrete Time Delayed System Stability Theory in the Sense of Lyapunov: New Results”, Proc. ISIC 2004, Taipei (Taiwan), September 1–4, (2004.b) CD–Rom. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, S. B. Stojanovi, M. B. Jovanovi, S. A. Milinkovi, “Discrete Time Delayed System Stability Theory in the Sense of Lyapunov: New Results”, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, (Canada), Vol. 12, Series B: Numerical. Analysis, (2005) 433–442. Debeljkovi, D. Lj., T. Nestorovi, I. M. Buzurovi, N. J. Dimitrijevi, “A New Approach to the Stability of Time–Delay Systems in the Sense of Non– Lyapunov Delay–Independent and Delay–Dependent Criteria”, Proc. of 8th International Symposium on Intelligent Systems and Informatics, Subotica (Serbia), September 10–11, (2010.a), 213–218. Debeljkovi, D. Lj., I. M. Buzurovi, N. J. Dimitrijevi, “On Finite Time and Practical Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, 9th IEEE International Symposium on Intelligent Systems and Informatics (SISY), Subotica (Serbia), September 8–10, (2011.a) 119–124. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 48 Debeljkovi, D. Lj., I. M. Buzurovi, T. Nestorovi, S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, M. S. Aleksendri, “Time Delayed System Stability Theory in the sense of Non–Lyapunov Delay Independent and Delay Dependent Approach: New Results”, IEEE Multi–Conference on Systems and Control, No. 36, Denver, CO, (USA), September 28–30, (2011.b) 1410–1417. Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, D. Popov, “The Stability of Linear Discrete Time Delay Systems Over a Finite Time Interval: New Results”, The 10th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2012), Beijing (Chine), July 6–8, (2012.a), accepted. Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, D. Popov, “On Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems: LMIs Approach”, The 10th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2012), Beijing (Chine), July 6–8, (2012.b), accepted. Gaji, Z., M. Qureshi, Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control, Academic Press, San Diego (USA), 1995. Gruji, Lj. T., Automatic Control System Syntehesis of Rigid Body Motion though a Fluid, M. Sc. Thesis (in Serbian), Electrical Eng. Dept., University of Belgrade, Belgrade, October 1970. Gruji, Lj. T., Large–Scale Systems Stability, (in Serbian), Faculty of Mechanical Eng., Belgrade, 1974. Gruji, Lj. T., A. A. Martinjuk, M. Ribbens–Pavella, Stability of Large Scale Systems under Structural and Singular Disturbances, Naukova Dumka, Kiev, 1984. Hahn, W., Theory and Application of Lyapunov’s Direct Method, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1963. Hahn, W., Stability of Motion, Spinger–Verlag, Berlin, 1967. Januševskii, R. T., Upravlenie objektami s zapazdavaniem, Nauka, Moskva, 1978. Khalil, H. K., Nonlinear Systems, MacMillan Publ. Company, New York, 1990. Koepcke, R. W., “On the Control of Linear Systems with Pure Time Lag”, Trans. ASME J. Basic Eng., (3), (1965) 74–80. Krasovskii, N. N., Problems in the Theory of Stability of Motion, Stanford University Press, 1963. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 49 Lyapunov, A. M., General Problem of Stability of Motion, Moscow, Leningrad (USSR), Academy of Science, 1956. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–27 (4), (1982.b) 946–966. Rouche, N., P. Haberts, M. Laloy, Stability Theory by Lyapunov’s Direct Method, Spinger–Verlag, New–York, 1977. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delayed System”, 7th Biennial ASME Conference Engineering Systems Design and Analysis, ESDA 2004, Manchester (UK), July 19–22, (2004.a) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Large Scale Time Delay Autonomous System”, 7th Biennial ASME Conference Eng. Systems Design and Analysis, ESDA 2004, Manchester (UK), July 19–22, (2004.b) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.c) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On Stability of Perturbed Linear Discrete– Delay Systems with Multiple Delays”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.d) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Large Scale Time Delay Autonomous System”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.e) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, M. Lazi, V. Veljkovi, “D–stability Analysis of Time Delay Technological Systems with Multiple Time Delays”, Proc. CHISA 2004, Prague (Czech Republic), Avgust 28–31, (2004.f) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, M. Lazi, V. Veljkovi, “Stability of Time Delay Technological Systems with Nonlinear Perturbations”, Proc. CHISA 2004, Prague (Czech Republic), Avgust 28–31, (2004.g) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On Stability of Perturbed Linear Discrete– Delay Systems with Multiple Delays”, ICARCV 2004, Kunming (China), December 06–09, (2004.h) CD–Rom. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 50 Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, ICARCV 2004, Kunming (China), December 06–09, (2004.i) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Continuous Large Scale Time Delay Autonomous System”, Preprints 2nd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Oaxaca (Mexico), December 8–10, (2004.j) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Facta Universitatis, Vol. 2, No. 1, (2004.k) 25–48. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “The Sufficient Conditions for Stability of Continuous and Discrete Large–Scale Time Delay Interval Systems”, The fifth International Conference on Control and Automation, ICCA 05, Budapest (Hungary), June 26–29, (2005.a) 347–352. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “The Sufficient Conditions for Stability of Continuous and Discrete Large–Scale Time Delay Interval Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 1, No. 1, (2005.b) 61–74. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 1, No. 3–4, (2005.c) 413–420. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Continuous Large Scale Time Delay Autonomous Systems”, Asian Journal of Control, (Taiwan), Vol. 7., No. 4, (2005.d) 414–418. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Exponential Stability of Discrete Time Delay Systems with Nonlinear Perturbations”, 8th Biennial ASME Conference Eng Systems Design and Analysis, ESDA 2006, Torino (Italy), July 04–07, (2006), also in Proc. Asian Control Conference, Bali (Indonesia), July 18–21, (2006.a) 1–4. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Further Results on Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 2, No. 1, (2006.b) 117–123. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 51 Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Exponential Stability of Discrete Time Delay Systems with Nonlinear Perturbations”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 2, No. 3, (2006.c) 428–435. Stojanovi S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Stability of Large Scale Linear Discrete Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, Proc. The 5th Edition of IFAC Knowledge and Technology Transfer Conference Series on Automation for Buliding the Infrastructure in Developing Countries (DECOM 2007), Cesme–Izmir (Turkey), May 17–19, (2007.a) CD–Rom. Stojanovi S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Criteria for Stability of Large–Scale Linear Discrete Time–Delay Systems”, Proc. European Control Conference 2007 (ECC 2007), Kos (Greece), July 2–5, (2007.b) CD–Rom. Stojanovi S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Simple Stability Criteria of Linear Discrete Time Delay Systems: Lyapunov–Krasovskii Approach”, Proc. European Control Conference 2007 (ECC 2007), Kos (Greece), July 2–5, (2007.c). Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems” Proc. of 17th IFAC World Congress, Seoul (Korea), July 06–10, (2008.a) 2613–2618. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Stability of Linear Large Scale Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 4, No. 2, (2008.b) 241–250. Stojanovi, S. B, D. Lj. Debeljkovi, “Quadratic Stability and Stabilization of Uncertain Linear Discrete Time Systems with State Delay: A LMI Approach”, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, (Canada), Vol. 15, Series B: Applications and Algorithms, No. 2, (2008.c) 195–206. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Stability Criteria of Linear Discrete Time Delay Systems: Lyapunov–Krasovskii Approach”, Proc. ICIEA, Xian (China), May 25–27, (2009.a) 2497–2501. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Stability of Linear Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, (Canada), Series B: Applications and Algorithms. Vol. 16, No. 6, (2009.b) 887–900. Hronološki pregled postignutih rezultata na polju izuavanja ljapunovske stabilnosti 52 Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, N. Dimitrijevi, “Finite–Time Stability of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay”, Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly, (2012.a), DOI:10.2298/CICEQ120126026S. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, N. Dimitrijevi, “Delay–Dependent Stability of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay: Delay Decomposition Approach”, International Journal of Computers, Communications & Control, Vol. 7, No. 4, (2012.b) 242–250. Tchetaev, N. G., Stability of Motion, Gosthizdat, Moscow, 1955. Trinh, H., M. Aldeen, “D–Stability Analysis of Discrete–Delay Perturbed Systems”, International Journal of Control, 61 (2), (1995.a) 493–505. Valeev, G. K., G. S. Finin, The Construction of Lyapunov Functions, Naukova Dumka, Kiev, 1981. Yoshizawa, T., Stability Theory by Lyapunov’s Second Method, The Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1966. Rekapitulacija osnovnih rezultata na polju prouavanja ljapunovske stabilnosti diskr. sistema 53 IV REKAPITULACIJA NEKIH OSNOVNIH REZULTATA NA POLJU PROUAVANJA LJAPUNOVSKE STABILNOSTI VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 4. REKAPITULACIJA OSNOVNIH REZULTATA Izlaže se završni deo rada Koepcke (1965), koji je relevantan u svetlu problematike vremenski diskretnih sistema sa kašnjenjem. Diskretizacijom vremenski kontinualnog sistema, Koepcke (1965), dobija sistem jednaina u sledeoj formi: ( ) ( ) 0 1 Di i k A k i ∞ = + = −x x . (4.1) Definicija 4.1 Sistem opisan matrinom, diferencnom jednainom: ( ) ( )1 ,k k+ =x f x , (4.2) ima stabilno nulto ravnotežno stanje, r x=x 0 , ako za svaki pozitivni broj , 0ε ε > , postoji pozitivni broj ( ),kδ δ ε= i norma takva da ako je ( )k δ≤x to povlai ( )i ε≤x , za svako i k> . Ako δ ne zavisi od normalizovanog vremena k , tada je ravnotežno stanje sistema ravnomerno stabilno, Koepcke (1965). Definicija 4.2 Nulto ravnotežno stanje sistema, datog jed. (4.2), je asimptotski stabilno ako je ravnomerno stabilno i ako za bilo koji pozitivan broj M postoji broj ( )q M i norma takva da ispunjenje ( )k r≤x povlai ( )x p M≤ za svako p q> pri emu r ne zavisi od M ili ( )kx , Koepcke (1965). Rekapitulacija osnovnih rezultata na polju prouavanja ljapunovske stabilnosti diskr. sistema 54 Lema 4.1 Sistem, dat jed. (4.1) je ravnomerno stabilan ako je ispunjeno: 0 1Di i A ∞ = ≤ , (4.3) Koepcke (1965). Teorema 4.1 Ako za sistem, dat jed. (4.1), pri emu za bilo koju usvojenu normu postoje pozitivne konstantne µ i 1γ < takve da je ispunjeno: D i iA µ γ≤ , (4.4) važi i: . 1DiA const≤ < , (4.5) razmatrani sistem je ravnomerno asimptotski stabilan, Koepcke (1965). Prvi rezultat, kada su u pitanju dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa kašnjenjem, dat je u radu Mori et al. (1982.b). Tamo izloženi razultat spada u grupu kriterijuma koji ne uzima u obzir iznos isto vremenskog kašnjenja na stabilnost razmatranog sistema. Neka je linearni, autonomni, vremenski diskretni sistem sa kašnjenjem dat svojom vektorskom jednainom stanja: ( ) ( ) ( )01 Nk A k A k N+ = + −x x x , (4.6) uz poetne uslove u formi: ( ) ( ), 0, 1, ,j j j Nψ= = − −x  . (4.7) Jasno je da: ( ) 0, , ,n n nNk A A ×∈ ∈x   . (4.8) Oigledno je, da se u sistemu javlja samo jedno isto vremensko kašnjenje, tako da transformisani sistem, u ovom posebnom sluaju, izgleda ovako: ( ) ( )1eq eq eqk A k+ =x x , (4.9) ( ) ( ) ( ) ( )1 TT T Teq k k k k N = − − x x x x , (4.10) ( ) ( ) 0 1 1 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 N n N n Nn eq n n A A I A I I + × +       = ∈        . (4.11) Rekapitulacija osnovnih rezultata na polju prouavanja ljapunovske stabilnosti diskr. sistema 55 Potrebni i dovoljni uslovi svode se tako na ispitivanje diskretnog sistema bez kašnjenja, odnosno na jednostavnu proveru da li korenovi karakteristinog polinoma sistema: ( )( )1det 0eqn Nz I A+ − = , (4.12) leže unutar jedinine kružnice, u kompleksnoj z ravni. Teorema 4.2 Ako važi uslov: 01 NA A− > , (4.13) tada je sistem, dat jed. (4.6), asimptotski stabilan, Mori et al. (1982.b). Komentar 4.1 Naime, imajui u vidu kultni rad Mori et al. (1981) koji se bavi identinom problematikom, ali za vremenski kontinualne sisteme sa kašnjenjem, lako se uoava suštinska razlika u oba izvedena rezultata. Dok se u kontinualnoj verziji prosto imperativno namee potreba za postojanjem stabilne (Hurvicove) matrice 0A i praktino ne dozvoljava njeno nepostojanje, ovde je oigledno da njena egzistencija ak nije ni poželjna. Ovakav zakljuak je i logian jer 0A matrica kao nula matrica samo poboljšava rezervu stabilnosti razmatranog sistema imajui u vidu da su sve njene sopstvene vrednosti locirane u ishodištu kompleksne z ravni. Ukoliko se uslov Teoreme 4.2, dat jed. (4.13), napiše u pogodnijoj formi: 0 1NA A+ < , (4.14) lako se namee sledei zakljuak. Naime, što je sistem bez kašnjenja stabilniji, odnosno što je manji prvi sabirak, to sistem može da "izdrži" veu prisutnost kašnjenja, olienu u drugom sabirku. Postavlja se kao osnovno pitanje da li je mogue uopštiti ovaj rezultat na sisteme sa više nezavisnih kašnjenja. Teorema 4.3 Linearni, vremenski diskretni sistem sa kašnjenjem: ( ) ( ) ( )0 1 1 1 N i k A k A k i = + = + −x x x , (4.15) je asimptotski stabilan ako je ispunjen sledei uslov: 0 1 N i i A = < , (4.16) Debeljkovi, Aleksendri (2003.a). Rekapitulacija osnovnih rezultata na polju prouavanja ljapunovske stabilnosti diskr. sistema 56 Literatura Aleksendri, M., Dinamika posebnih klasa kontinualnih i diskretnih sistema sa kašnjenjem na konanom i beskonanom vremenskom intervalu, Dipl. rad, Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 2002. Aleksendri, M., D. Lj. Debeljkovi, “Finite Time Stability of Linear Discrete Time Delayed Systems“, Proc. HIPNEF 2002, Niš (Yu), October 2–5, (2002) 333–340. Amir–Moez, A., “Extreme Properties of a Hermitian Transformations and Singular Values of Sum and Product of Linear Transformations”, Duke Math J., 23, (1956) 463–476. Amemiya, T., “Delay–Independent Stability of High–order Systems”, Int. J. Control, 50 (1), (1989) 139–149. Baker, R. A., A. R. Bergen, “Lyapunov Stability and Lyapunov Functions of Infinite Dimensional Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–14 (4), (1969) 325–334. Belhouari, A., E. Tissir, A. Hmamed, “Stability of Interval Matrix Polynomial in Continuous and Discrete Cases“, Systems and Control Letters, (18), (1992) 183–189. Bourlés, J., “ α–Stability of Systems Governed by a Functional Differential Equation–Extension of Results Concerning Linear Delay Systems”, Int. J. Control, 45 (6), (1987) 2233–2234. Brierley, S. D., J. N. Chiasson, E. B. Lee, S. H. Zak, “On Stability Independent of Delay for Linear Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–27, (1982) 252–254. Chyung, D. H., “Discrete Optimal Systems with Time Delay“, IEEE Trans. Automat. Contr., (1967) 117–119. Chyung, D. H., “Discrete Systems with Delays in Control“, IEEE Trans. Automat. Contr., (1969) 196–197. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Stability in the Sense of Lyapunov of Linear Discrete Time Delayed Systems“, Proc. HIPNEF 2002, Niš (Yugoslavia), October 2–5, (2002) 325–332. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems“, Proc. ACC 03, Denver, Colorado (USA), June 4–6, (2003) 4450–4451. Rekapitulacija osnovnih rezultata na polju prouavanja ljapunovske stabilnosti diskr. sistema 57 Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, N. Yi–Yong, Q. L. Zhang, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems“, Proc. The Fourth Inter. Conference on Control and Automation, Montreal (Canada), June 9–12, (2003) 296–300. Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, “A Short Note to the Lyapunov Stability of ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x ”, Proc. of CDCOC, Shenyang (China), August 22–24, (2004). Dennis, J. E., J. F. Traub, R. P. Weber, “The Algebraic Theory of Matrix Polynomials,” SIAM J. Numer. Anal., 13 (6), (1976) 831–845. Dennis, J. E., J. F. Traub, R. P. Weber, “Algorithms for Solvents of Matrix Polynomials”, SIAM J. Numer. Anal., 15 (3), (1978) 523–533. urovi, K., Robusnost stabilnosti singularnih sistema, Magistarski rad, Mašinski fakultet, Beograd, 1996. Golub, G. H., C. F. Van Loan, Matrix Computations, Jons Hopkins University Press, Baltimore, 1996. Goreckii, H., S. Fuksa, P., P. Grabowski, A. Korytowski, Analysis and Synthesis of Time Delay Systems, J. Wiley, New York, 1989. Januševskii, R. T., Upravlenie objektami s zapazdavaniem, Nauka, Moskva, 1978. Kim, H., Numerical Methods for Solving a Quadratic Matrix Equation, Ph. D. University of Manchester, Faculty of science and engineering, 2000. Koepcke, R. W., “On the Control of Linear Systems with Pure Time Delay“, Trans. ASME J. Basic Eng, (3), (1965) 74–80. Lee, T. N., S. Diant, “Stability of Time Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–26 (4), (1981) 951–953. Malek–Zavarei, M., M. Jamshidi, Time Delay Systems, North–Holland, Amsterdam, 1987. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Simple Stability Criteria for Single and Composite Linear Systems with Time Delays”, Int. J. Control, 34 (6), (1981) 1175–1184. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems“, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–27 (4), (1982.b) 964–966. Rekapitulacija osnovnih rezultata na polju prouavanja ljapunovske stabilnosti diskr. sistema 58 Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delayed System”, 7th Biennial ASME Conference Engineering Systems Design and Analysis, ESDA 2004, Manchester (UK), July 19–22, (2004.a) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.c) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, ICARCV 2004, Kunming (China), December 06–09, (2004.i) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Facta Universitatis, Vol. 2, No. 1, (2004.k) 25–48. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 1, No. 3–4, (2005.c) 413–420. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Further Results on Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 2, No. 1, (2006.b) 117–123. Trinh, H., M. Aldeen, “D–Stability Analysis of Discrete Perturbed Systems”, Int. J. Control, 61 (2), (1995.a) 493–505. Trinh, H., M. Aldeen, “Robust Stability of Singularly Perturbed Discrete Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Cont., AC–40 (9), (1995.b) 1620–1623. Trinh, H., M. Alden, “A Memoryless State Observer for Discrete Time–Delay Systems,” IEEE Trans. Automat. Contr., AC–42 (9), (1997) 1572–1577. Wang, W. J., R. J. Wang, “New Stability Criteria for Linear Time–Delay Systems“, Control Theory and Advanced Technology, 10 (4), (1995) 1213–1222. Xu, S., J. Lam, C. Yang, “Quadratic Stability and Stabilization of Uncertain Linear Discrete–Time Systems with State Delay,” Systems Control Lett. 43, (2001) 77–84. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 59 V STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM: KRITERIJUMI KOJI NE UZIMAJU U OBZIR IZNOS ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA 5. ASIMPTOTSKA STABILNOST VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM Mnogobrojni radovi koji se tiu stabilnosti sistema sa istim vremenskim kašnjenjem su objavljeni, sa posebnim naglašavanjem na primenu Ljapunovljeve druge metode ili korišenje koncepta matrinih mera, Lee, Diant (1981), Mori et al. (1981), Mori (1985), Hmamed (1986.a, 1986.b), Lee et al. (1986), Alastruey, De La Sen (1996). Oigledno je da postoji više radova objavljenih na polju vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem nego na polju vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Sigurno je da jedan od osnovnih razloga leži u injenici da su vremenski diskretni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem konanih dimenzija, tako da se lako mogu formirati ekvivalentni sistemi znatno velikog reda, Mori et al. (1982.b), Maleu–Zavarei, Jamshidi (1987), Gorecki et al. (1989). Pod pretpostavkom da je matrica ekvivalentnog sistema poznata mogue je, korišenjem standardnih postupaka razvijenih za obine (klasine), linearne, vremenski diskretne sisteme, odrediti osobinu stabilnosti vremenski diskretnog sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Razmatrajui problem ispitivanja linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i njihove ljapunovske stabilnosti, potrebno je ukazati da ne postoje mnogo rezultata koji se bave ovim problemom. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 60 U radu Premier, Vacroux (1969) metoda ortogonalne projekcije je korišena za izvoenje jednaine za optimalno ocenjivanje stanja linearnog, vremenski promenljivog, diskretnog sistema sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem. Izveden je takoe Kalman–ov filter sa potrebnom rekurzivnom greškom i unakrsnom greškom matrine jednaine. Problem linearnog–kvadratnog praenja je razmatran, prvi put, u radu Pindyck (1972), za vremenski diskretne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem prisutnim u ulazima. U radu Mori et al. (1982.b), ovaj problem je prevazien prezentovanjem nekoliko kriterijuma stabilnosti, nezavisnih od isto vremenskog kašnjenja, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Meutim, ovi uslovi su konzervativniji i mogu se primeniti samo na sisteme bez perturbacija. Rad Trinh, Aldeen (1995.a) prezentuje dovoljne uslove robusnosti i D–stabilnosti perturbovanih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Može se pokazati da su ovi rezultati manje konzervativni u odnosu na rezultate u navedenoj literaturi, naroito u radu Mori et. al (1982.b). U nekim kasnijim radovima, razmatrana je analiza robusne stabilnosti sistema sa istim vremenskim kašnjenjem sa parametarskim neodreenostima. Za vremenski kontinualne sisteme, u smislu algebarske Riccati–eve jednaine i linearne matrine nejednakosti (linear matrix inequatity–LMI), dobijeni su dovoljni uslovi, Esfahani et al. (1998) i Su, Chu (1999). Za vremenski diskretne sisteme, istovetni rezultati su prezentovani u radu Verriest, Ivanov (1995). Oznaavanje. Neka je ( )⋅x norma nekog vektora (gde je 1,2,⋅ = ∞ ), a ( )⋅ je matrina norma tog vektora. Ovde e se koristiti oznake ( )1/ 22 Tx x x i ( ) ( )1/ 2 *max2 A Aλ⋅ = . Prethodno navedeni indeksi * i T oznaavaju konjugovano– transponovanu i transponovanu matricu, sledstveno. Apsolutna vrednost matrice A oznaena je sa A , dok ( )Aρ i ( )det A oznaavaju spektralni radijus i determinantu matrice A . M oznaava klasu realnih kvadratnih matrica sa nepozitivnim nedijagonalnim elementima i pozitivnim glavnim minorima. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 61 Linearni, autonomni, vremenski diskretni sistem sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem može se predstaviti diferencnom jednainom: ( ) ( ) ( )0 1 1 N j j j k A k A k h = + = + −x x x , (5.1) gde je: ( ) nk ∈x  vektor stanja, n njA ×∈ matrica odgovarajuih dimenzija i 0 1 20 Nh h h h= ≤ ≤ ≤ ≤ su celi brojevi koji predstavljaju ista vremenska kašnjenja sistema. Stav 5.1 Linearni, autonomni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (5.1), je asimptotski stabilan ako i samo ako sve nule njegovog karakteristinog polinoma leže unutar jedininog kruga. Sistem, dat jed. (5.1), može da se napiše na sledei nain: ( ) ( )ˆ ˆ1 eqk A k+ =x x , (5.2) gde je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1ˆ 1 ... NT n hT T T Nk k k k h + = − − ∈ x x x x  , (5.3) 0 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... 0 N Nh h n eq n n A A A A I A I I −         =         , (5.4) , , j 0 1 ˆ , 0,1, , 0, , j 0 1 j j i N j A i h , , , N A i h i h , , , N = = … = ∀ = … ≠ = … . (5.5) Neophodni i dovoljni uslovi za asimptotsku stabilnost sistema, datog jed. (5.1), su: ( )( )1det 0 , 1N eqn hz I A z+ − ≠ ≥ . (5.6) Lema 5.1 Za bilo koju Hermitsku matricu n nX ×∈ i bilo koji kompleksni vektor { }0n∈v  važi: ( ) ( ) * min max* XX Xλ λ≤ ≤v v v v , (5.7) tako da se donja i gornja granica ove nejednakosti mogu dostii ako sopstveni vektor v odgovara sopstvenoj vrednosti ( )min Xλ , ili ( )max Xλ , sledstveno. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 62 Lema 5.2 Za bilo koju kvadratnu matricu n nX ×∈ i za bilo koji kompleksni vektor { }/ 0n∈v  , polje vrednosti: * * Xv v v v , (5.8) uvek je u pravougaoniku u kompleksnoj ravni ije su etiri strane date sa: ( ) ( ), , , "min","max"i kH j K i kλ λ =  , (5.9) gde je: ( ) ( ) 21 1, , 12 2T TH X X K X X jj= + = − = − . (5.10) Matrina funkcija: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 , max i ki k d X H X K X H Kλ λ ρ ρ= + = + , (5.11) predstavlja najvee rastojanje u kompleksnoj ravni izmeu koordinatnog poetka i etiri take definisane jed. (5.9). Teorema 5.1 Sistem, dat jed. (5.1), je asimptotski stabilan ako je: 0 1 N j j A = < , (5.12) Stojanovi, Debeljkovi, (2004.a, 2004.c, 2004.i, 2004.k). Zakljuak 5.1 Ako je 1N = , uslov, dat nejed. (5.12), svodi se na uslov dat u radu Mori et al. (1982.b). Teorema 5.2 Sistem, dat jed. (5.1), je asimptotski stabilan ako je ispunjen sledei uslov: ( ) 0 1 N j j d A = < , (5.13) gde je matrina funkcija ( )d ⋅ data jed. (5.11), Stojanovi, Debeljkovi, (2004.a, 2004.c, 2004.i, 2004.k). Zakljuak 5.2 Ako je 1N = , uslov, dat nejed. (5.13), svodi se na uslov dat u radu Mori et al. (1982.b). Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 63 Teorema 5.3 Ako matrica D , definisana sa: 0 ˆ N n j j D I A = = − , (5.14) 0 0 1 ˆ N j ii ii j ik N j ik ik j d a d d a = =  = −  =   = −    , (5.15) pripada klasi matrica M , tada je sistem, dat jed. (5.1), asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi, (2004.a, 2004.c, 2004.i, 2004.k). Zakljuak 5.3 Iz osnovnog uslova Teoreme 5.3, za 1N = , sledi uslov dat u radu Mori et al. (1982.b). Lema 5.3 Matrica n nD ×∈ pripada klasi matrica M ako i samo ako: ( )0, ,n n nC r C D r I Cρ× +∃ ∈ ≥ ∃ ∈ > = −  . (5.16) Zakljuak 5.4 Ako se upotrebi norma, ( ) ( )•⋅ , ( ) 1,• = ∞ , u Teoremi 5.1, tada sledi: ( ) ( ) ( )0 0 0 0 1 N N N N j j j j j j j j A A A Aρ • • = = = = •   > = ≥ ≥         . (5.17) Ako se definiše: 0 0 N j j C A = = ≥ , (5.18) ( ) 0 1 N j j r A Cρ ρ =   = > =     , (5.19) 0 N n j j D I A = = − , (5.20) tada se iz Leme 5.3 može zakljuiti da matrica D pripada klasi matrica M . Ovo pokazuje da iz Teoreme 5.1 sledi Teorema 5.3 i da je uslov Teoreme 5.1 restriktivniji od uslova Teoreme 5.3 kada je ( ) ( ) 1⋅ = ⋅ ili ( ) ∞⋅ . Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 64 Teorema 5.4 Sistem, dat jed. (5.1), je asimptotski stabilan, ako je zadovoljen jedan od sledea dva uslova: ( ) 0 1 N j j Hρ = < , (5.21) 2 0 1 N j j H = < , (5.22) gde su matrice jH definisane sa: , 0,1, , 2 T j j j A A H j N+= =  , (5.23) Stojanovi, Debeljkovi (2004.a, 2004.c, 2004.i, 2004.k). Uslov, dat nejed. (5.22), sledi direktno iz nejed. (5.21) imajui u vidu da su matrice jH simetrine, tako da se može napisati: ( ) 2 , 0,1, ,j jH H j Nρ = =  . (5.24) Zakljuak 5.5 Na osnovu elementarnih algebarskih operacija važe sledei izrazi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 max max max max i i ii i i ii i A H j K H j K H j K H j K H K H K ρ ρ λ λ λ λ λ ρ ρ = + = + ≤ + ≤ + = + = + , (5.25) ( ) ( )2 2 22 21 12 2T TH H A A A A Aρ = = + ≤ + = . (5.26) Iz Bendixsons–ove nejednakosti: ( ) ( ) ( )min maxReH A Hλ λ λ≤ ≤ , (5.27.a) ( ) ( ) ( )min maxImK A Kλ λ λ≤ ≤ , (5.27.b) sledi: ( ) 2 2H KAλ λ λ≤ + , (5.28) ( ) ( ){ } ( ) ( )min maxmax , maxH iiH H H Hλ λ λ λ ρ= = = , (5.29) ( ) ( ){ } ( ) ( )min maxmax , maxK iiK K K Kλ λ λ λ ρ= = = , (5.30) i konano: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 , max maxˆ ˆi i ki i k A A H K H K d Aλ ρ ρ ρ λ λ= ≤ + = + = . (5.31) Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 65 Tako da iz jed. (5.26) i jed. (5.31) sledi: ( ) ( ) ( )2 2 2,H H d A H H Aρ ρ= ≤ ≤ ≤ . (5.32) Zakljuak 5.6 Nije teško dokazati, imajui u vidu jed. (5.55), da važi sledei izraz: ( ) ( ) 2 0 0 0 0 1, 1 N N N Nh h h h j j j j j j j j H d A H Aρ = = = = ≤ < ≤ <    , (5.33) tako da su uslovi dati Teoremom 5.1 i Teoremom 5.2 restriktivniji od onih datih Teoremom 5.4. Shodno dovoljnim uslovima, datim nejed. (5.21–5.22), može da se izvede sledei zakljuak: – laki su za korišenje s obzirom da se koriste samo norme matrica, – rešenja su manje restriktivna u odnosu na ona data nejed. (5.12) i nejed. (5.13), što predstavlja uopštenje uslova koje je dat u radu Mori et al. (1982.b). Lema 5.4 Neka je: ( ) ( ) 1nG z z I A −= − , (5.34) tada je: ( ) ( ) 0 , 1h k G z z G k L z ∞ − = ≤ = ≥ , (5.35) ( )G k je niz matrica impulsnog odziva od ( )G z pri emu je ( )0 0G = , Trinh, Aldeen (1995.a). Lema 5.5 Za bilo koju ( )n n× kvadratnu matricu X , važi sledee: ( ) ( )1 det 0nX I Xρ <  − ≠ , (5.36) Trinh, Aldeen (1995.a). Lema 5.6 Za bilo koje kvadratne matrice n nX ×∈ i n nY ×∈ , važi sledee: ( ) ( ) ( )X Y X X Yρ ρ ρ≤  ≤ ≤ . (5.37) Teorema 5.5 Sistem, dat jed. (5.1), je asimptotski stabilan, nezavisno od kašnjenja, ako su ispunjeni sledei uslovi: ( )0 1Aρ < , (5.38.a) 1 1 N j j L Aρ =   <     , (5.38.b) Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 66 gde je L definisano jed. (5.35), a ( )G k se dobija iz: ( ) ( )10 , 1, 2, ... , , 0 0kG k A k G−= = ∞ = , (5.39) Stojanovi, Debeljkovi, (2004.a, 2004.c, 2004.i, 2004.k). Zakljuak 5.7 Fundamentalna matrica sistema, datog jed. (5.1), bez isto vremenskog kašnjenja je: ( ) ( ) ( )10nz z I A z G z z−Φ = − = , (5.40) tako da je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 101 , 0 0kG z z z G k k A G− −= Φ  = Φ − = = . (5.41) Ako je 0A diskretno stabilna matrica, ( )0 1Aρ < , tada je beskonani niz: ( ) ( ) ( ) 10 0 0 0 1 0 0 kk n k k k j L G k G k A A I A ∞ ∞ ∞ ∞ − = = = = = = = ≤ = −    , (5.42) konvergentan, tako da se matrica L može direktno izraunati. Zakljuak 5.8 Uslovi dati nejed. (5.38) su manje restriktivni od uslova datih nejed. (5.12). Razlog leži u injenici da uslovi dati nejed. (5.38) uzimaju u obzir strukturu kašnjenja u matrici jA , dok uslov iz nejed. (5.12) uzima u obzir samo normu matrica. Primer 5.1 Razmatra se vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 21 1 2k A k A k A k+ = + − + −x x x x , gde su: 0 1 2 0,2 0,3 0,3 0 0,1 0,2 , , 0,1 0,15 0,2 0,1 0,15 0,1 A A Aγ     = = =      −      , a γ je parametar. Primenjujui Teoreme 5.1–5.5 dobijaju se uslovi asimptotske stabilnosti prikazani u tabeli 5.1. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 67 Tabela 5.1 Uslovi asimptotske stabilnosti Teorema 5.1 0 1 N j j A = < ( ) 1 : 0,5γ⋅ < ( ) 2 : 0,9673γ⋅ < ( ) : 0,6667γ ∞ ⋅ < Teorema 5.2 ( ) 0 1 N j j d A = < 1,1704γ < Teorema 5.3 0 ˆ N n j j D I A = = − je M –matrica 1,1055γ < Teorema 5.4 ( ) 0 1 N j j Hρ = < 2 0 1 N j j H = < 1,2719γ < Teorema 5.5 1 1 N j j L Aρ =   <     1,2440γ < Na osnovu rezultata prikazanih u tabeli 5.1, može da se zakljui sledee: – rezultati dobijeni Teoremom 5.4 su manje restriktivni od onih dobijenih primenom Teoreme 5.1 i Teoreme 5.2, što je i dokazano u Zakljuku 5.6, – s obzirom da se uslovi Teoreme 5.1 i Teoreme 5.2, u sluaju sistema sa samo jednim vremenskim kašnjenjem, svode na rezultate date u radu Mori et al. (1982.b), sledi da su uslovi Teoreme 5.4 manje restruktivni u odnosu na odgovarajue uslove date u radu Mori et al. (1982.b), – najbolji rezultat postiže se primenom Teoreme 5.4, pa zatim Teoremom 5.5, – uslov dat Teoremom 5.4 je vrlo jednostavan za praktinu primenu. Ako se usvoji vrednost 1,2719γ = , tada je spektralni radijus ekvivalentne matrice eqA sistema bez isto vremenskog kašnjenja ( ) 0,9823eqAρ = . S obzirom da je manji od jedan, rezultat iz tabele 5.1 garantuje asimptotsku stabilnost razmatranog sistema. Gornja granica za vrednost parametra γ iznosi 1,3746 i sistem je, za tu vrednost, granino stabilan. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 68 Linearni, autonomni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, prisutnim u stanju sistema, može se predstaviti vektorskom diferencnom jednainom stanja: ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x , (5.43) sa pridruženom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ) { }, , 1, ... , 0   h h= ∈ − − +x  (5.44) Jed. (5.43) se naziva homogenom ili jednainom stanja u slobodnom radnom režimu. ( ) nk ∈x  je vektor stanja, n nA ×∈ je konstantna matrica odgovarajuih dimenzija, a isto vremensko kašnjenje je izraženo celim brojevima 1,2,h =  . Neka je data skalarna funkcija : nV →  , tako da je ista ( )( )V tx ograniena za sve vrednosti svog argumenta x za koje je njegova norma x , takoe, ograniena. Lema 5.7 Za bilo koje dve matrice istih dimenzija F i G i za neku pozitivnu konstantu ε važi sledee: ( ) ( ) ( ) ( )11 1T T TF G F G F F G Gε ε −+ + ≤ + + + . (5.45) Teorema 5.6 Ako za bilo koju matricu 0TQ Q= > postoji matrica 0TP P= > takva da je ispunjena sledea matrina jednaina: ( ) ( )1min 0 0 min 1 11 1T TA P A A P A P Qε ε −+ + + − = − , (5.46) gde je: 1 2 min 0 2 A A ε = , (5.47) tada je sistem, dat jed. (5.43), asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi, (2005.c). Lema 5.8 Ako za bilo koju matricu 0TQ Q= > postoji matrica 0TP P= > koja je rešenje sledee Ljapunovljeve matrine jednaine: min 0 0 min1 TA PA P Qε ε − = − + , (5.48) gde je ( )( ) 1max 1 2 min max 0 0 2 AA A A σ ε σ = = i ako je zadovoljen sledei uslov: Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 69 ( ) 2 1 12 2 0 1 2 2 A A Aρ    < + −     , (5.49) tada je: i) matrica ( )Q P− pozitivno odreena, i ii) matrica: 0A diskretno stabilna, Stojanovi, Debeljkovi (2005.c). Primedba 5.1 Iz nejed.(5.49) sledi: ( ) ( ) 2 2 1 1 1 12 2 2 2 0 1 1 12 2 2 1 1 2 2 2 2 A A A A A A A t Aρ        + < + − + ≤ + +          .(5.50) Grafik funkcije ( )1 2t A je prikazan na slici 5.1. 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00 0.00 0.50 1.00 1.50 || A 1 ||2 t( || A 1 || 2 ) Slika 5.1 Grafik funkcije ( )1 2t A Sa grafika se vidi da je funkcija uvek rastua i vea ili jednaka jedinici, pa je: ( )( )( ) 1 2 0 1 2 inf sup 1 A A Aρ −+ = , (5.51) gde je: ( ) 0 1 lim 1 δ δ− → = − . S obzirom na nejednakost ( )0 0 2A Aρ ≤ , iz jed. (5.51) proizilazi sledee: ( )( ) 1 2 0 12 2 inf sup 1 A A A −+ = , (5.52) ( ) ( )( )0 1 0 12 2 2sup sup 1A A A Aρ+ ≥ + ≥ . (5.53) Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 70 Drugim reima, najmanji maksimalno dozvoljen zbir normi matrica 0A i 1A iznosi 1. Ovaj uslov je svakako bolji od uslova 0 12 2 1A A+ < , koji je prezentovan u radu Mori (1982.b). Posledica 5.1 Ako za bilo koju matricu 0TQ Q= > postoji matrica 0TP P= > koja je rešenje Ljapunovljeve matrine jednaine: min 0 0 min1 TA PA P Qε ε − = − + , (5.54) gde je ( )( ) 1max 1 2 min max 0 0 2 AA A A σ ε σ = = i ako je ispunjen sledei uslov: ( ) ( ) ( )( ) ( )minmax 0 max 1 max 0 max Q P A A A P λ σ σ σ λ − + < , (5.55) tada je sistem, dat jed. (5.43), asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2005.c). Posledica 5.2 Ako za bilo koju matricu 0TQ Q= > postoji matrica 0TP P= > , koja je rešenje sledee matrine jednaine: ( )min 0 0 min1 TA PA P Qε ε+ − = − , (5.56) gde je ( )( ) 1max 1 2 min max 0 0 2 AA A A σ ε σ = = i ako je ispunjen sledei uslov: ( ) ( ) ( )( ) ( )minmax 0 max 1 max 0 max Q A A A P λ σ σ σ λ+ < , (5.57) tada je sistem, dat jed. (5.43), asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2005.c). Teorema 5.7 Ako za bilo koju matricu 0TQ Q= > postoji matrica 0TP P= > , tako da je zadovoljena sledea matrina jednaina: 0 0 1 12 2 T TA PA A PA P Q+ − = − , (5.58) tada je sistem, dat jed. (5.43), asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi, (2006.b). Posledica 5.3 Sistem, dat jed. (5.43), je asimptotski stabilan, nezavisno od kašnjenja, ako je ispunjen sledei uslov: ( ) ( )( ) 2 min max 1 2 1/ 2 max 2 2 Q P A P λ σ σ − < , (5.59) Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 71 i ako za datu matricu 0TQ Q= > postoji matrica 0TP P= > kao rešenje sledee Ljapunovljeve matrine jednaine: 0 0 TA PA P Q− = − , (5.60) Stojanovi, Debeljkovi (2006.b). Posledica 5.4 Sistem, dat jed. (5.43), je asimptotski stabilan, nezavisno od kašnjenja, ako je ispunjen sledei uslov: ( ) ( )( ) 2 min max 1 2 1/ 2 max2 Q A P λ σ σ < , (5.61) i ako za datu matricu 0TQ Q= > postoji matrica 0TP P= > kao rešenje sledee Ljapunovljeve matrine jednaine: 0 02 TA PA P Q− = − , (5.62) Stojanovi, Debeljkovi (2006.b). Zakljuak 5.9 U prethodnim posledicama uslov iz jed. (5.58) je podeljen na dva dela. Prvi uslov, dat jed. (5.60) ili jed. (5.62), je eliminatoran i ako je on zadovoljen, drugi uslov, dat nejed. (5.59) ili nejed. (5.61), daje konaan zakljuak o asimptotskoj stabilnosti. Uslovi dati jed. (5.60) i jed. (5.62) su zadovoljeni ako i samo ako su 0A , odnosno 02A , diskretno stabilne matrice, sledstveno. Odavde sledi da je Posledica 5.4 restriktivnija od Posledice 5.3 u pogledu prvog uslova. Meutim, ovo je tano samo ako je: ( )01 12 i Aλ≤ < . (5.63) Neka je ispunjen sledei uslov: ( )0 12i Aλ < . (5.64) Sve sopstvene vrednosti matrice 0A ispunjavaju uslov dat nejed. (5.64). Sada se uzima da se u Posledici 5.3 i Posledici 5.4, pri ispitivanju stabilnosti koristi ista matrica Q . Tada iz 0 (2 )Q P Q< − ≤ sledi: ( ) ( ) ( )min max min2 2Q P Q P Qλ λ λ− ≤ − ≤ , (5.65) Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 72 to jest, može se rei da minimalna sopstvena vrednost matrice Q nikada nee biti manja od minimalne sopstvene vrednosti matrice ( )2Q P− . Kada je P Q= , trebalo bi koristiti znak iz nejed. (5.63). Ovo je mogue kada je 0A nula matrica. Sledi da su uslovi stabilnosti iz nejed. (5.61) i jed. (5.62), dati Posledicom 5.4, manje restriktivni u odnosu na uslove iz nejed. (5.59) i jed. (5.60), Posledice 5.3. S obzirom da iz Teoreme 5.7, uz dodatna ogranienja, slede Posledica 5.3 i Posledica 5.4, uslovi stabilnosti ove teoreme su manje restriktivni od uslova stabilnosti koji su iskazani preko Posledice 5.3 i Posledice 5.4. Primer 5.2 Razmatra se sledei vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem: ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = +℘ −x x x , 0 1 0,2 0,3 0,3 0 , 0,1 0,2 0,1 A A α     = =        , gde je ℘ podešljivi parametar, a skalarni parametar α uzima vrednosti – 0,15 i 0,50. Uslov asimptotske stabilnosti, nezavisan od kašnjenja, dobija se u funkciji od parametra ℘, predstavljen je u tabeli 5.2 i uporeen sa rezultatima datim u lit. Mori et al. (1982.b) i Trinh, Aldeen (1995.a). Tabela 5.2 Uslovi asimptotske stabilnosti α Kriterijum –0,15 + 0,50 Mori et al. (1982.b) 1,73℘ < 0,72℘ < Trinh, Aldeen (1995.a) 2,08℘ < 1,51℘ < Teorema 5.6 2,09℘ < 1,50℘ < Posledica 5.1 1,78℘ < 1,08℘ < Posledica 5.2 1,84℘ < 1,10℘ < Teorema 5.7 1,95℘ < 1,47℘ < Posledica 5.3 1,68℘ < 1,01℘ < Posledica 5.4 1,70℘ < 1,06℘ < Granica stabilnosti 2,11℘ < 1,52℘ < Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 73 Literatura Amir–Moez, A. “Extreme Properties of a Hermitian Transformations and Singular Values of Sum and Product of Linear Transformations”, Duke Math. J., 23, (1956) 463–476. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical and Finite–Time Stability of Time–Delay Systems”, Proc. ECC97, Brussels (Belgium), July 2–6, (1997.a) 307–311. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical Stability of Time–Delay Systems: New Results”, Proc. 2nd ASCC 97, Seoul (Korea), III, July 22–25, (1997.c) 543–546. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, S. Tomaševi, “On Practical Stability of Time Delay System under Perturbing Forces”, Proc. AMSE 97, Melbourne (Australia), October 29–31, (1997.d) 442–446. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On the Stability of Linear Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. CDC 97, San Diego, California (USA), December 21–23, (1997.e) 2771–2772. Debeljkovi, D. Lj., . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A Jaci, “Further Results on Non–Lyapunov Stability of Time Delay Systems”, Proc. MELECON 98, Tel–Aviv (Israel), Vol. 1, May 18–20, (1998.a) 509–512. Debeljkovi, D. Lj., . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Non–Lyapunov Stability Analysis of Linear Time Delay Systems”, Preprints DYCOPS 5, 5th IFAC Symposium on Dynamics and Process Systems, Corfu (Greece), June 8–10, (1998.b) 549–553. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Finite Time Stability Analysis of Linear Time Delay Systems: Bellman–Gronwall Approach”, Preprints IFAC Workshop on linear time delay systems, Grenoble (France), July 6–7, (1998.c) 107–112. Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A. Jaci, . Koruga, “Finite Time Stability of Linear Discrete Descriptor Systems”, Preprints 5th IFAC Symposium on Low Cost Automation, Shenyang (China), TS13, September 8–10, (1998.d) 1–5. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 74 Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A. Jaci, . Koruga, “Further Results on Non–Lyapunov Stability of Time Delay Systems”, Preprints 5th IFAC Symposium on Low Cost Automation, Shenyang (China), TS13, September 8–10, (1998.e) 6–10. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Further Results on the Stability of Linear Non–autonomous Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. APCCM, Guilin (China), July 9–12, (2000) D.9. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Proc. ACC 03, Denver (Colorado), FM05, June 4–6, (2003.a) 4450–4451. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, N. Y. Yong, Q. L. Zhang, “Lyapunov and Non–Lyapunov of Linear Discrete Time Systems with Delayed State”, Proc. ICCA 2003, Montreal (Canada), (2003.b) 296–301. Esfahani, S. H., S. O. R. Moheimani, I. R. Petersen, “LMI Approach Suboptimal Quadratic Guaranteed Cost Control for Uncertain Time–Delay Systems”, IEE Proc. Control Theory Appl., 145, (1998) 491–498. Gorecki, H., S. Fuksa, P. Grabovski, A. Korytowski, Analysis and Synthesis of Time Delay Systems, John Wiley & Sons, Warszawa, 1989. Hmamed, A., “On the Stability of Time Delay Systems: New Results”, Int. J. Control, 43 (1), (1986.a) 321–324. Hmamed, A., “Stability Conditions of Delay–Differential Systems”, Int. J. Control, 43 (2), (1986.b) 455–463. Januševskii, R. T. Upravlenie objektami s zapazdavanijem, Nauka, Moskva, 1978. Koepcke, R. W., “On the Control of Linear Systems with Pure Time Delay”, Trans. ASME J. Basic Eng., 3 (1965) 74–80. Lazarevi, M. P., D. Lj. Debeljkovi, Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, “Finite Time Stability of Time Delay Systems”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, Vol. 17, No. 3, (1999) 101–109. Lee, H. C., T. H. S. Li, F. C. Kung, “D–Stability Analysis for Discrete Systems with a Time Delay”, Systems and Control Letters, 19, (1992) 213–219. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 75 Maleu–Zavarei, M., M. Jamshidi, Time–delay Systems, North–Holland Systems and Control Series, Vol. 9, Amsterdam, 1987. Meyer, C. D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 2001. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–27 (4), (1982.b) 946–966. Nenadi, Z. Lj., D. Lj. Debeljkovi, S. A. Milinkovi, “On Practical Stability of Time Delay Systems”, Proc. AACC, Alberquerque, New Mexico (USA), June 4–6, (1997) 3235–3236. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delayed System”, 7th Biennial ASME Conference Engineering Systems Design and Analysis, ESDA 2004, Manchester (UK), July 19–22, (2004.a) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.c) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, ICARCV 2004, Kunming (China), December 06–09, (2004.i) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Facta Universitatis, Vol. 2, No. 1, (2004.k) 25–48. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 1, No. 3–4, (2005.c) 413–420. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Further Results on Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 2, No. 1, (2006.b) 117–123. Su, H., J. Chu, “Robust H Control for Linear Time–Varying Uncertain Time– Delay Systems via Dynamic Output Feedback”, Internat. J. Systems Sci., 30, (1999) 1093–1107. Trinh, H., M. Aldeen, “D–Stability Analysis of Discrete–Delay Perturbed Systems”, Int. J. Control, 61 (2), (1995.a) 493–505. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 76 Trinh, H., M. Aldeen, “Robust Stability of Singularly Perturbed Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–40 (9), (1995.b) 1620–1623. Trinh, H., M. Aldeen, “A Memoryless State Observer for Discrete Time–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–42 (11), (1997.b) 1572–1577. Verriest, E. I., A. F. Ivanov, “Robust Stability of Delay–Difference Equations”, Proceedings of the 34th IEEE Conference Decision and Control, New Orleans, LA, (1995) 386–391. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 77 6. STABILNOST SISTEMA ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x U SMISLU LJAPUNOVA U ovoj glavi razmatra se asimptotska stabilnost partikularne klase vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Bie prezentovani dovoljni uslovi, u formi kriterijuma, nezavisnih od isto vremenskog kašnjenja. Ovi rezultati su analogni rezultatu izvedenom u radu Tissir, Hmamed (1996) za vremenski kontinualne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem, a manje su konzervativni u odnosu na uslov prezentovan u radu Jaci et al. (2004). U literaturi koja obrauje stabilnost sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, esto se koristi matrina mera. Matrina mera µ za bilo koju matricu n nA ×∈ je definisana na sledei nain: ( ) 0 || || 1lim I AA ε εµ ε ∆ → + − = . (6.1) Oznaavanje. Za realne simetrine matrice F i G , oznaka F G≥ (sledstveno, )F G> znai da je matrica ( )F G− pozitivno poluodreena (sledstveno, pozitivno odreena). Ako su obe matrice F i G poluodreene, tada je i matrica ( )F G+ poluodreena, i ako je jedna od ovih matrica pozitivno odreena, tada je i matrica ( )F G+ pozitivno odreena. Ako je matrica F pozitivno odreena, tada je i matrica 1 2F pozitivno odreena. Linearni, autonomni, višestruko prenosni, vremenski diskretni sistem sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem može se predstaviti vektorskom diferencnom jednainom stanja: ( ) ( ) ( )0 1 1 N j j j k A k A k h = + = + −x x x , (6.2) gde su: ( ) nk ∈x  vektor stanja, n njA ×∈ matrice, a 0 1 20 Nh h h h= ≤ ≤ ≤ ≤ su celi brojevi koji predstavljaju ista vremenska kašnjenja u sistemu. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 78 Kao specijalan sluaj razmatra se linearni, autonomni, višestruko prenosni, diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem u formi: ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x . (6.3) Jednaina (6.3) se naziva homogenom ili jednainom stanja u slobodnom radnom režimu. ( )kx je vektor stanja, 0A i 1A su konstantne matrice odgovarajuih dimenzija. Pretpostavlja se da jed. (6.2) zadovoljava uslove glatkosti tako da njena rešenja uvek postoje, i jedinstvena su i neprekidna u odnosu na k i poetne uslove, i ograniena su za sve ograniene vrednosti njihovih argumenata. U cilju poreenja rezultata, vremenski kontinualni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem u prostoru stanja je predstavljen sa: ( ) ( ) ( )0 1t A t A t τ= + −x x x , (6.4) gde je ( ) nt ∈x  vektor stanja, 0A i 1A su ( )n n× realne matrice. Vremenski kontinualni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem Teorema 6.1 Sistem, dat jed. (6.4), je asimptotski stabilan ako je ispunjen sledei uslov: ( )0 1 0A Aµ + < , (6.5) Mori et al. (1982.b). Teorema 6.2 Sistem, dat jed. (6.4), je asimptotski stabilan, nezavisno od isto vremenskog kašnjenja, ako je ispunjen sledei uslov: ( ) ( ) 1 2 1 2 min 1 max Q A Q P σ σ − < , (6.6) gde je matrica P rešenje Ljapunovljeve matrine jednaine: 2TA P P A Q+ = − , (6.7) gde su ( )minσ ⋅ i ( )maxσ ⋅ minimalna i maksimalna singularna vrednost matrice ( )⋅ , Tissir, Hmamed (1996). Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 79 Vremenski diskretni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem Teorema 6.3 Sistem, dat jed. (6.3), je asimptotski stabilan ako je ispunjen sledei uslov: 0 1 1A A+ < , (6.8) Mori et al. (1982.b). Teorema 6.4 Sistem, dat jed. (6.2), je asimptotski stabilan ako je zadovoljen sledei uslov: 0 1 N i i A = < , (6.9) Debeljkovi, Aleksendri (2003). Teorema 6.5 Sistem, dat jed. (6.3), je asimptotski stabilan, nezavisno od isto vremenskog kašnjenja, ako je ispunjen sledei uslov: ( )12 1 2 min 1 max 0 T Q A Q A P σ σ − −      < , (6.10) gde je pozitivno odreena matrica P rešenje diskretne Ljapunovljeve matrine jednaine: ( )0 0 1 12T TA PA P Q A PA− = − + , (6.11) gde su ( )minσ ⋅ i ( )maxσ ⋅ minimalna i maksimalna singularna vrednost matrice ( )⋅ , Debeljkovi, Stojanovi (2004). Teorema 6.6 Pretpostavlja se da je matrica ( )1 1TQ A PA− regularna. Tada je sistem, dat jed. (6.3), asimptotski stabilan, nezavisno od isto vremenskog kašnjenja, ako je: ( )( ) ( ) 1/ 2 min 1 1 1 1/ 2 max 0 T T Q A PA A Q A P σ σ − − − < , (6.12) gde je matrica P rešenje diskretne Ljapunovljeve matrine jednaine: 0 0 2 TA PA P Q− = − , (6.13) gde su ( )minσ ⋅ i ( )maxσ ⋅ minimalna i maksimalna singularna vrednost matrice ( )⋅ , Debeljkovi et al. (2004.b, 2005). Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 80 Teorema 6.7 Sistem, dat jed. (6.3), je asimptotski stabilan, nezavisno od isto vremenskog kašnjenja, ako je: 1 2 min 1 1 2 max 2 2 Q A P σ σ      <       , (6.14) gde je matrica P rešenje diskretne Ljapunovljeve matrine jednaine: 0 02 TA PA P Q− = − , (6.15) gde su minσ i maxσ minimalna i maksimalna singularna vrednost matrice, Debeljkovi et al. (2004.a). Literatura Amir–Moez, A. R., “Extreme Properties of Eigenvalues of Hermitian Transformations and Singular Value of the Sum and Product of Linear Transformation”, Duke Math. Journal, 23, (1956) 463–467. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical and Finite–Time Stability of Time–Delay Systems”, Proc. ECC97, Brussels (Belgium), July 2–6, (1997.a) 307–311. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical Stability of Time–Delay Systems: New Results”, Proc. 2nd ASCC 97, Seoul (Korea), III, July 22–25, (1997.c) 543–546. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, S. Tomaševi, “On Practical Stability of Time Delay System under Perturbing Forces”, Proc. AMSE 97, Melbourne (Australia), October 29–31, (1997.d) 442–446. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On the Stability of Linear Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. CDC 97, San Diego, California (USA), December 21–23, (1997.e) 2771–2772. Debeljkovi, D. Lj., . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A Jaci, “Further Results on Non–Lyapunov Stability of Time Delay Systems”, Proc. MELECON 98, Tel–Aviv (Israel), Vol. 1, May 18–20, (1998.a) 509–512. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 81 Debeljkovi, D. Lj., . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Non–Lyapunov Stability Analysis of Linear Time Delay Systems”, Preprints DYCOPS 5, 5th IFAC Symposium on Dynamics and Process Systems, Corfu (Greece), June 8–10, (1998.b) 549–553. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Finite Time Stability Analysis of Linear Time Delay Systems: Bellman–Gronwall Approach”, Preprints IFAC Workshop on linear time delay systems, Grenoble (France), July 6–7, (1998.c) 107–112. Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A. Jaci, . Koruga, “Finite Time Stability of Linear Discrete Descriptor Systems”, Preprints 5th IFAC Symposium on Low Cost Automation, Shenyang (China), TS13, September 8–10, (1998.d) 1–5. Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A. Jaci, . Koruga, “Further Results on Non–Lyapunov Stability of Time Delay Systems”, Preprints 5th IFAC Symposium on Low Cost Automation, Shenyang (China), TS13, September 8–10, (1998.e) 6–10. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Further Results on the Stability of Linear Non–autonomous Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. APCCM, Guilin (China), July 9–12, (2000) D.9. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Proc. ACC 03, Denver (Colorado), FM05, June 4–6, (2003.a) 4450–4451. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, N. Y. Yong, Q. L. Zhang, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Systems with Delayed State”, Proc. ICCA 2003, Montreal (Canada), (2003.b) 296–301. Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, “A Short Note to the Lyapunov Stability of ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x ”, Proc. of CDCOC, Shenyang (China), August 22–24, (2004) CD–Rom. Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, S. B. Stojanovi, Stabilnost sistema sa kašnjenjem na konanom i beskonanom vremenskom intervalu, igoja štampa, Beograd, 2004.a. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 82 Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, S. B. Stojanovi, M. B. Jovanovi, S. A. Milinkovi, “Discrete Time Delayed System Stability Theory in the Sense of Lyapunov: New Results”, Proc. ISIC 2004, Taipei (Taiwan), September 1–4, (2004.b) CD–Rom. Jaci, Lj. A., D. Lj. Debeljkovi, S. B. Stojanovi, M. B. Jovanovi, S. A. Milinkovi, “Further Results On Asymptotic Stability of ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x ”, HIPNEF 2004, Vrnjaka Banja, 2004. Januševskii, R. T., Upravlenie objektami s zapazdavanijem, Nauka, Moskva, 1978. Koepcke, R. W., “On the Control of Linear Systems with Pure Time Delay”, Trans. ASME J. Basic Eng., (3), (1965) 74–80. Lazarevi, M. P., D. Lj. Debeljkovi, Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, “Finite Time Stability of Time Delay Systems”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, Vol. 17, No.3, (1999) 101–109. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Simple Stability Criteria for Single and Composite Linear Systems with Time Delays”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–27 (4), (1981) 1175–1184. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–27 (4), (1982.b) 946–966. Nenadi, Z. Lj., D. Lj. Debeljkovi, S. A. Milinkovi, “On Practical Stability of Time Delay Systems”, Proc. AACC 97, Alberquerque, New Mexico (USA), June 4–6, (1997) 3235–3236. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delayed System”, 7th Biennial ASME Conference Engineering Systems Design and Analysis, ESDA 2004, Manchester (UK), July 19–22, (2004.a) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On Stability of Perturbed Linear Discrete– Delay Systems with Multiple Delays”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.d) CD–Rom. Tissir, E., A. Hmamed, “Further Results on Stability of ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x “, Automatica, Vol. 32, No. 12, (1996) 1723–1726. Trinh, H., M. Aldeen , “D–Stability Analysis of Discrete–Delay Perturbed Systems”, Int. J. Control, 61 (2), (1995.a) 493–505. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 83 Trinh, H., M. Aldeen, “Robust Stability of Singularly Perturbed Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–40 (9), (1995.b) 1620–1623. Trinh, H., M. Aldeen, “A Memoryless State Observer for Discrete Time–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–42 (11), (1997.b) 1572–1577. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 84 7. STABILNOST LINEARNIH DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM: PRILAZ LJAPUNOV–KRASOVSKI Tokom nekoliko poslednjih godina, znaajna pažnja je poklonjena problemu analize stabilnosti sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. S obzirom da su veina fizikih sistema vremenski kontinualni, normalno je da su teorije analize stabilnosti uglavnom razvijene za vremenski kontinualne sisteme. Uprkos znaajnosti pomenutog, manje pažnje se poklanja vremenski diskretnim sistemima sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem, lit. Mori et al. (1985), Kapila, Haddad (1998), Song et al. (1999), Mahmoud (2000.a, 2000.b), Lee, Kwon (2002), Fridman, Shaked (2003. 2005.a, 2005.b). Glavni razlog leži u injenici da se diferencne jednaine sa poznatim višestrukim istim vremenskim kašnjenjem mogu pretvoriti u sistem sa kašnjenjem velikog reda primenom prilaza proširenja. Meutim, za sisteme sa velikim iznosom vremenskog kašnjenja, ovo vodi do sistema velike dimenzije. Osim toga, za sisteme sa nepoznatim istim vremenskim kašnjenjem šema proširenja nije primenljiva. U ovoj glavi prezentovae se uslovi stabilnosti, nezavisni od isto vremenskog kašnjenja, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju. Ovi uslovi su izvedeni korišenjem nove Ljapunov–Krasovski metode za vremenski diskretne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem. Linearni, autonomni, višestruko prenosni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem prisutnim u stanju sistema, može se predstaviti vektorskom diferencnom jednainom stanja: ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x , (7.1) sa pridruženom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ) { }, , 1, ... , 0   h h= ∈ − − + ∆x   , (7.2) gde je: ( ) nk ∈x  vektor stanja, n nA ×∈ konstantna matrica odgovarajuih dimenzija, a h +∈ nepoznato isto vremensko kašnjenje. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 85 ( ) ( ) ( ){ }, 1 , ,k x k h x k h x k− − +x   , k +∈ , je vektor stanja, ( ), n∆  –prostor kontinualnih funkcija oznaava diskretan interval ∆ na n i ( )supDφ φ ∈∆ =   , ( ) : nφ ∆   norma elementa φ u  . Dalje je, { }: ,Dφ φ= ∈ < ∈ ⊂      . Za poetno stanje, pretpostavlja se sledei uslov: D ∞∈  . (7.3) Oigledno, ( ) ( ):k k kθ θ θ∆ → + ∈x x x  i ( ) ( ),k k=x x  . Definicija 7.1 Ravnotežno stanje 0=x sistema, datog jed. (7.1), je globalno asimptotski stabilno ako za bilo koju poetnu funkciju ( )θ koja zadovoljava: ( )θ ∞∈  , (7.4) važi: ( )lim , 0 k k →∞ →x  . (7.5) Teorema 7.1 Ako postoje pozitivni brojevi α i β i kontinualna funkcija :V →  tako da je: ( ) ( )20 , 0, 0 0k k kDV Vα< ≤ ∀ ≠ =x x x , (7.6) ( ) ( ) ( ) ( ) 21k k kV V V kβ+∆ − ≤ −x x x x , (7.7) k∀ ∈x  koje zadovoljava jed. (7.1), rešenje 0=x jednaina (7.1–7.2) je globalno asimptotski stabilno, Stojanovi, Debeljkovi (2009.a). Definicija 7.2 Vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (7.1), je globalno asimptotski stabilan ako i samo ako je njegovo rešenje 0=x globalno asimptotski stabilno. Lema 7.1 Za bilo koje dve matrice F i G dimenzije ( )n m× i za bilo koju kvadratnu matricu 0TP P= > dimenzije n , važi sledee: ( ) ( ) ( ) ( )11 1T T TF G P F G F P F G PGε ε −+ + ≤ + + + , (7.8) gde je ε pozitivna konstanta. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 86 Teorema 7.2 Ako za bilo koju matricu 0TQ Q= > postoji matrica 0TP P= > tako da je ispunjena sledea matrina jednaina: 1 02 2 0 0 1 1 0 12 2 1 1T T A A A PA A PA P Q A A      + + + − = −         , (7.9) tada je, sistem, dat jed. (7.1), za 0 2 0A ≠ i 1 2 0A ≠ , asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2009.a). Teorema 7.3 Vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (7.1), je asimptotski stabilan ako postoje matrice 0P > i 0Q > tako da važi sledea linearna matrina nejednakost: 0 1 0 * 0 * * T T Q P A P Q A P P  −   − <    −  , (7.10) Stojanovi, Debeljkovi (2009.a). Primer 7.1 Razmatra se vremenski diskretni sistema sa istim vremenskim kašnjenjem: ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x , 0 1 0,2 0,3 0,3 0 , 0,1 0,2 0,1 A A a     = =℘        , gde je ℘ podešljiv parametar a skalarni parametar a ima sledee vrednosti: – 0,15 i 0,50. Uslovi asimptotske stabilnosti, nezavisni od kašnjenja, su dobijeni u funkciji parametra ℘ i predstavljeni su u tabeli 7.1. Za 2Q I= , Teorema 7.3 daje rezultate koji odgovaraju granici stabilnosti, dok Teorema 7.2 daje rezultate koji su veoma blizu granici stabilnosti. Prema tome, izvedeni rezultati su sasvim precizni. Tabela 7.1 Uslovi stabilnosti Parametar a Kriterijum – 0,15 + 0,50 Teorema 7.2 2,09℘ < 1,50℘ < Teorema 7.3 2,11℘ < 1,51℘ < Granica stabilnosti 2,11℘ = 1,51℘ = Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 87 Literatura Amir–Moez, A., “Extreme Properties of a Hermitian Transformations and Singular Values of Sum and Product of Linear Transformations”, Duke Math. J., Vol. 23, (1956) 463–476. Boyd, S., L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, “Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory”, SIAM, Philadelphia, PA, 1994. Chen, J., H. A. Latchman, “Asymptotic Stability Independent of Delays: Simple Necessary and Sufficient Conditions”, Proceedings of American Control Conference, Baltimore (USA), (1994) 1027–1031. Chen, J., G. Gu, C. N. Nett, “A New Method for Computing Delay Margins for Stability of Linear Delay Systems”, Proceedings of 33rd IEEE Conference on Decision and Control, Lake Buena Vista, Florida (USA), (1994) 433–437. Chiasson, J., “A Method for Computing the Interval of Delay Values for Which a Differential–Delay System is Stable”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 33, (1988) 1176–1178. Fridman, E., U. Shaked, “An LMI Approach to Stability of Discrete Delay Systems”, Proceedings of European Control Conference, Cambridge, (2003). Fridman, E., U. Shaked, “Delay–Dependent H Control of Uncertain Discrete Delay Systems”, European Journal of Control, Vol. 11, (2005.a) 29–37. Fridman, E., U. Shaked, “Stability and Guaranteed Cost Control of Uncertain Discrete Delay Systems”, Int. J. Control, Vol. 78, No. 4, (2005.b) 235–246 Fu, M., H. Li, S. I. Niculescu, “Robust Stability and Stabilization of Time–Delay Systems via Integral Quadratic Constraint Approach”, Stability and Control of Time–Delay Systems (L. Dugard, E. Verriest, Eds.), Springer–Verlag, London, (1998) 101–116. Goubet–Bartholomeus, A., M. Dambrine, J. P. Richard, “Stability of Perturbed Systems with Time–Varying Delay”, Systems and Control Letters, Vol. 31, (1997) 155–163. Kapila, V., W. M. Haddad, “Memoryless H ∞ Controllers for Discrete–Time Systems with Time Delay”, Automatica, 34 (9), (1998) 1141–1144. Kim, J. H., E. T. Jeung, H. B. Park, “Robust Control for Parameter Uncertain Delay Systems in State and Control Input”, Automatica, 32 (9), (1996) 1337–1339. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema nezavisna od isto vrem. kašnjenja 88 Mahmoud, M. S., “Robust H ∞ Control of Discrete Systems with Uncertain Parameters and Unknown Delays”, Automatica, Vol. 36, (2000.a) 627–635. Mahmoud, M. S., “Linear Parameter–Varying Discrete Time–Delay Systems: Stability and 12–Gain Controllers”, Int. J. Control, Vol. 73, No. 6, (2000.b) 481–494. Meyer, C. D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 2001. Mori, T., “Criteria for Asymptotic Stability of Linear Time Delay Systems”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 30, (1985) 158–160. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara. “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., 27, No. 4, (1982.b) 946–966. Niculescu, S., C. E. De Souza, J. Dion, L. Dugard, “Robust Stability and Stabilization of Uncertain Linear Systems with State Delay: Single Delay Case”, IFAC Symp. Robust Control Design, Rio de Janeiro (Brazil), (1994). Song, S., J. Kim, C. Yim, H. Kim, “ H ∞ Control of Discrete–Time Linear Systems with Time–Varying Delays in State”, Automatica, Vol. 35, (1999) 1587–1591. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Stability Criteria of Linear Discrete Time Delay Systems: Lyapunov–Krasovskii Approach”, Proc. ICIEA, Xian (China), May 25–27, (2009.a) 2497–2501. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 89 VI STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM: KRITERIJUMI KOJI UZIMAJU U OBZIR IZNOS ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA 8. POTREBNI I DOVOLJNI USLOVI ASIMPTOTSKE STABILNOSTI ZAVISNI OD IZNOSA ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA Veina uslova stabilnosti vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, su dovoljni uslovi, nezavisni od isto vremenskog kašnjenja. Samo mail broj radova daje potrebne i dovoljne uslove, lit. Lee, Diant (1981), Boutayeb, Darouach (2001), Xu et al. (2001.b), Stojanovi, Debeljkovi (2005.d, 2008.a, 2008.c), Stojanovi (2006), koji su zavisni od isto vremenskog kašnjenja i uopšteno ti uslovi su manje konzervativni u odnosu na uslove nezavisne od isto vremenskog kašnjenja. Osnovna inspiracija u ovoj glavi se zasniva na radu Lee, Diant (1981) koji izuava problem potrebnih i dovoljnih uslova stabilnosti linearnih, vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Suprotno pomenutom radu, u ovoj glavi se razmatraju linearni, vremenski diskretni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem i prezentovae se potrebni i dovoljni uslovi stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja. Najpre e se razmatrati uslovi stabilnosti vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 90 U radu Lee, Diant (1981) postoje greške u formulisanju odreenih teorema za vremenski kontinualne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem, tako da se u ovoj glavi daje tana formulacija u vidu potrebnih i dovoljnih uslova stabilnosti, zavisnih od isto vremenskog kašnjenja. Izvedeni rezultati e biti prošireni na vremenski diskretne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem. Vremenski kontinualni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem U ovom odeljku prezentuju se rezultati iz rada Lee, Diant (1981). Pokazae se da postoje greške u formulisanju odreenih teorema i dae se njihova korekcija. Razmatra se klasa vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem opisana sledeom jednainom: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 , , 0t A t A t t t tτ τ= + − = − ≤ postoji matrica * 0P P= > , tako da je: ( )( ) ( )( )0 00 0 TP A T A T P Q+ + + = − , (8.2) gde je ( )T t kontinualna i diferencijabilna matrina funkcija koja zadovoljava: ( ) ( )( ) ( ) ( )0 10 , 0 , 0, A T T t t T A T t t τ τ τ  + ≤ ≤ = =  >  , (8.3) tada je sistem, dat jed. (8.1), asimptotski stabilan, Lee, Diant (1981). U radu Lee, Diant (1981) istaknuto je da je klju u uspešnom formulisanju Ljapunovljeve funkcije koja odgovara sistemu, datom jed. (8.1), postojanje najmanje jednog rešenje ( )T t jed. (8.3) sa graninim uslovom ( ) 1T Aτ = . Drugim reima, zahteva se da nelinearna algebarska matrina jednaina: ( )( ) ( )0 0 10A Te T Aτ+ = , (8.4) ima najmanje jedno rešenje za ( )0T . Zakljuak 8.1 Ako se uvede nova matrica: ( )1 0R A T+ (8.5) tada uslov, dat jed. (8.2), postaje: *P R R P Q+ = − , (8.6) Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 91 što predstavlja dobro poznatu Ljapunovljevu jednainu za sistem bez prisustva isto vremenskog kašnjenja. Ovaj uslov e biti ispunjen ako i samo ako je R stabilna matrica, to jest ako važi: ( )Re 0i Rλ < . (8.7) TΩ i RΩ oznaavaju skupove svih rešenja jed. (8.4) po ( )0T i jed. (8.6) po R , sledstveno, Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Zakljuak 8.2 Jednaina (8.4), izražena preko matrice R , se može napisati u drugaijoj formi na sledei nain: 0 1 0 RR A e Aτ−− − = , (8.8) odakle sledi: ( )0 1det 0RR A e Aτ−− − = . (8.9) Zamenjujui matricu R skalarnom promenljivom s u jed. (8.9), karakteristina jednaina sistema, datog jed. (8.1), se dobija kao: ( ) ( )0 1det 0sf s s I A e Aτ−= − − = . (8.10) Oznaimo sa: ( ){ }| 0s f sΣ = , (8.11) skup svih karakteristinih korena sistema, datog jed. (8.1). Na osnovu Teoreme 8.1, asimptotska stabilnost sistema može se odrediti poznavanjem samo jednog ali bilo kog rešenja partikularne, nelinearne matrine jednaine. Meutim, korišenjem sledeih primera pokazae se da je prethodna teorema netana zato što ne uzima u obzir sva mogua rešenja jed. (8.2), Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Primer 8.1 Razmatra se sistem u formi: ( ) ( ) ( )0 1 1t A t A t= + −x x x . (8.12) Ispituje se stabilnost sistema, datog jed. (8.12), za 11 2A e−= − . Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 92 Za ovaj primer lako se pokazuje da jed. (8.4) ima beskonaan broj rešenja, koja se, korišenjem Lambert–ove funkcije3 ( )kW ⋅ , mogu izraziti na sledei nain: ( ) ( )20 2 , 0, 1, 2,kkT W e k−= − = ± ± . Za 0, 1, 1 i 2k = − − , rešenja po matrici ( )0 kT jed. (8.12) su: 0,40637− , 2− , 3,40710 7,42371j− ± sledstveno. Druga rešenja (za 3, 4,k = ± ± ) imaju realni deo manji od 3,40710− . Za 1k = − sledi: ( ) ( )( ) ( )1 1 1Re Re 0 Re 1 2 1 0i i iR A Tλ λ λ− −= + = − = − < , prema tome za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > , tako da je zadovoljena jed. (8.2). Prema tome, u radu Lee, Diant (1981) dat je netaan zakljuak da je sistem, dat jed. (8.12), asimptotski stabilan. Sa druge strane, za 0k = sledi: ( ) ( )( ) ( )0 1 0Re Re 0 Re 1 0,40637 0,593624 0i i iR A Tλ λ λ= + = − = > , prema tome, za bilo koju matricu * 0Q Q= > ne postoji matrica * 0P P= > , tako da je zadovoljena jed. (8.2). Sledi da sistem, dat jed. (8.12), nije asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Zbog potrebe za korekcijom rezultata, prezentuju se nove formulacije Teoreme 8.1. Teorema 8.2 Pretpostavlja se da postoji (postoje) rešenje (rešenja) ( )0 TT ∈Ω jed. (8.4). Tada je sistem, dat jed. (8.1), asimptotski stabilan ako i samo ako važi jedan od sledea dva uslova: i) za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > tako da važi jed. (8.2) za sva rešenja ( )0 TT ∈Ω jed. (8.4), ii) uslov, dat nejed. (8.7), važi za sva rešenja ( )1 0 RR A T= + ∈Ω jed. (8.8), Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.b). 3 Lambert–ova funkcija ( ) ,kW k⋅ ∈ je definisana kao inverzna funkcija od ww we→ . Ako jednaina wwe z= ima beskonaan broj rešenja w za svaku (nenultu) vrednost od z , ( )kW ⋅ ima beskonaan broj grana k . Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 93 Zakljuak 8.3 Iskaz Teoreme 8.2 zahteva da je uslov, dat jed. (8.2), ispunjen za sva rešenja ( )0 TT ∈Ω jed. (8.4). Drugim reima, zahteva se da uslov, dat nejed. (8.7), važi za sva rešenja R jed. (8.8) (posebno za maxR R= , gde je matrica m RR ∈Ω maksimalni solvent jed. (8.8) koji sadrži sopstvenu vrednost sa maksimalnim realnim delom ): Re max Rem m s sλ λ ∈Σ ∈Σ = . Prema tome, iz nejed. (8.7) sledi uslov ( )Re 0i mRλ < , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Na osnovu Zakljuka 8.3, mogue je preformulisati Teoremu 8.2 na sledei nain. Teorema 8.3 Pretpostavlja se da postoji maksimalni solvent mR jed. (8.8). Tada je sistem, dat jed. (8.1), asimptotski stabilan ako i samo ako važi jedan od sledea dva ekvivalentna uslova: i) za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > tako da važi jed. (8.6) za rešenje mR R= jed. (8.8), ii) ( )mRe 0i Rλ < , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.b). Teorema 8.3, slino Teoremi 8.2, koristi samo jedno rešenje jed. (8.8) (maksimalni solvent) ako ono postoji. U sledeem odeljku proširuju se rezultati Teoreme 8.2 i Teoreme 8.3 na vremenski diskretne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem. Izveše se kriterijumi, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, korišenjem Ljapunovljeve direktne metode, a koji se iskljuivo zasnivaju na maksimalnim i dominantnim solventima partikularne, polinomne matrine jednaine. Vremenski diskretni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem Linearni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, može se predstaviti vektorskom diferencnom jednainom stanja: ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x , (8.13) sa pridruženom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ) { }, , 1, ... , 0   h h= ∈ − − +x  . (8.14) Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 94 Jednaina (8.13) se naziva homogenom ili jednainom stanja u slobodnom radnom režimu. ( ) nk ∈x  je vektor stanja, 0 1, n nA A ×∈ su konstantne matrice odgovarajuih dimenzija, a isto vremensko kašnjenje je izraženo celim brojevima h∈ +  . Sistem, dat jed. (8.13), može se iskazati sledeim modelom bez isto vremenskog kašnjenja: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 , ( 1)ˆ 1 0 0 0 0 0 eq eq eq T T T N eq n N N eq n k A k N n h k k h k h k I A I A A × + = = × +  = − − + ∈  = ∈  x x x x x x          , (8.15) Gorecki et al. (1989), Malek–Zavarei, Jamshidi (1987), Mori et al. (1982.b). Sistem, dat jed. (8.15), naziva se uveani sistem a eqA matrica uveanog sistema. Karakteristini polinom sistema, datog jed. (8.13), je: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 det ,ˆ n h j j j j h h n f M a a M I A A λ λ λ λ λ λ + = + = = ∈ = − −   . (8.16) Oznaimo sa: ( ){ } ( )| 0ˆ eqf Aλ λ λΩ = = = , (8.17) skup svih karakteristinih korena sistema, datog jed. (8.1). Broj ovih korenova je ( )1n h + . Koren mλ skupa Ω sa maksimalnim modulom: ( ): maxm m eqAλ λ λ∈Ω = , (8.18) se naziva maksimalni koren (sopstvena vrednost). Ako se skalarna promenljiva λ u karakteristinom polinomu zameni matricom n nX ×∈ , dobijaju se sledea dva matrina polinoma: ( ) 1 0 1h hM X X A X A+= − − , (8.19) ( ) 1 0 1h hF X X X A A+= − − . (8.20) Oigledno je da je ( ) ( )F Mλ λ= . Za matrini polinom ( )M X , matrica eqA proširenog sistema predstavlja blok matricu pratilju, Dennis et al. (1976). Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 95 Matrica n nS ×∈ je desni solvent matrinog polinoma ( )M X ako je: ( ) 0M S = , (8.21) Dennis et al. (1976). Ako je: ( ) 0F R = , (8.22) tada je n nR ×∈ levi solvent matrinog polinoma ( )M X , Dennis et al. (1976). Oznaka S se koristi za oznaavanje desnog solventa, a R za oznaavanje levog solventa matrinog polinoma ( )M X . U prezentovanom radu veina rezultata se zasniva na levim solvenatima matrinog polinoma ( )M X . Nasuprot tome, u postojeoj literaturi se uglavnom izuavaju desni solventi matrinog polinoma ( )M X . Pomenuto razilaženje se može prevazii sledeom lemom. Lema 8.1 Konjugovano transponovana vrednost levog solventa matrinog polinoma ( )M X je, istovremeno, desni solvent sledeeg matrinog polinoma: ( ) 1 0 1h T h TTM X X A X A+= − − , (8.23) Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Zakljuak 8.4 Na osnovu Leme 8.1, sve karakteristike levih solvenata matrinog polinoma ( )M X mogu se dobiti analizom konjugovano transponovane vrednosti desnih solvenata matrinog polinoma ( )TM X , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Prezentovana faktorizacija matrice ( )M λ služi za bolje razumevanje veze izmeu sopstvenih vrednosti levih i desnih solvenata i korenova sistema. Lema 8.2 Matrica ( )M λ se može predstaviti u faktorizovanom obliku na sledei nain: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 1 h h h i i n n i h h h i i n n i M I S A S I S I R I R R A λ λ λ λ λ λ λ − − = − − = = + − −  = − + −    , (8.24) Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 96 Zakljuak 8.5 Iz jed. (8.16) i jed. (8.24) sledi da je ( ) ( ) 0f S f R= = , to jest, karakteristini polinom ( )f λ je anhilirajui polinom za desne i leve solvente matrinog polinoma ( )M X . Prema tome, važi ( )Sλ ⊂ Ω i ( )Rλ ⊂ Ω , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Sopstvene vrednosti i sopstveni vektori matrice imaju presudan uticaje na postojanje, brojnost i karakterizaciju solvenata matrine jednaine (8.21), Dennis et al. (1976), Pereira (2003). Definicija 8.1 ( )M λ je matrini polinom po λ . Ako iλ ∈ tako da je ( )( )det 0iM λ = , tada je iλ latentni koren ili sopstvena vrednost matrinog polinoma ( )M λ . Ako nenulti vektor ni ∈v  tako da je: ( ) 0i iM λ =v , (8.25) tada je iv (desni) latentni vektor ili (desni) sopstveni vektor matrinog polinoma ( )M λ , koji odgovara sopstvenoj vrednosti iλ , Dennis et al. (1976), Pereira (2003). Sopstvene vrednosti matrice ( )M λ se podudaraju sa karakteristinim korenima sistema, to jest sopstvenim vrednostima njegove blok matrice pratilje eqA , Dennis et al. (1976). Njihov broj je ( )1n h + . S obzirom da važi ( ) ( )* *TF Mλ λ= , nije teško pokazati da matrice ( )M λ i ( )TM λ imaju isti spektar. U lit. Dennis et al. (1976, 1978), Lancaster, Tismenetsky (1985), Kim ( 2000), Pereira (2003), su izvedeni dovoljni uslovi postojanja, brojnosti i karakterizacije desnih solvenata matrinog polinoma ( )M X . Pokazano je da broj solvenata može biti nula, konaan ili beskonaan. Za ispitivanje stabilnosti sistema, datog jed. (8.13), upotrebljivi su samo maksimalni solventi, iji spektar sadrži maksimalnu sopstvena vrednost mλ . Specijalan sluaj maksimalnog solventa je dominantni solvent, Dennis et al. (1978), Kim (2000), koji se, za razliku od maksimalnog solventa, može izraunati na jednostavan nain. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 97 Definicija 8.2 Svaki solvent mS matrinog polinoma ( )M X , iji spektar ( )mSσ sadrži maksimalnu sopstvenu vrednost mλ skupa Ω je maksimalni solvent. Definicija 8.3 Matrica A dominira matricom B ako su sve sopstvene vrednosti matrice A vee, po apsolutnoj vrednosti, u odnosu na sopstvene vrednosti matrice B . U posebnom sluaju, ako solvent 1S matrinog polinoma ( )M X dominira solventima 2 , , lS S , tada je 1S dominantni solvent (potrebno je uoiti da dominantni solvent ne može biti singularan), Dennis et al. (1978), Kim (2000). Zakljuak 8.6 Broj maksimalnih solvenata može biti vei od jedan. Dominantni solvent je istovremeno maksimalni solvent, Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Dominantni solvent 1S matrinog polinoma ( )M X , pod odreenim uslovima može se odrediti pomou Traub–ove, Dennis et al. (1978), i Bernoulli–eve iteracije, Dennis et al. (1978), Kim (2000). Uslovi stabilnosti U nastavku se daje poboljšanje postojeih dovoljnih uslova koje se odnose na nesingularnost blok Vandermonde–ove matrice i postojanje dominantnog solventa. Sledea lema daje dovoljan uslov regularnosti blok Vandermonde–ove matrice i ima slabiju hipotezu u odnosu na Teorema 6.1 datu u radu Dennis et al. (1976). Ova lema predstavlja generalizaciju odgovarajuih rezultata prezentovanih u radu Kim (2000). Lema 8.3 Ako su 1 1, , hS S + solventi matrinog polinoma ( )M X , gde je ( ) ( )1 1hS Sσ σ +∩ ∩ = ∅ , tada je matrica ( )1 1, , hV S S + nesingularna. U radu Dennis et al. (1978) pokazano je sledeom lemom da je uslov nesingularnosti matrice ( )2 1, , hV S S + suvišan, s obzirom da sledi direktno iz nesingularnosti matrice ( )1 1, , hV S S + . Lema 8.4 Ako je blok Vandermonde–ova matrica ( )1 1, , hV S S + nesingularna, tada je matrica ( )2 1, , hV S S + takoe nesingularna. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 98 Kombinovanjem Leme 8.3 i Leme 8.4 mogu se modifikovati postojei uslovi konvergencije Traub–ovog i Bernoulli–evog algoritma prezentovanih u radu Dennis et al. (1978). Ovi uslovi imaju slabiju hipotezu u odnosu na uslove date u radu Dennis et al. (1978). Lema 8.5 Ako je ( )M X matrini polinom stepena ( )1h + tako da: i) ima solvente 1 1, , hS S + , ii) 1S je dominantni solvent, iii) ( ) ( )1 1hS Sσ σ +∩ ∩ = ∅ , tada Traub–ov i Bernoulli–ev algoritam konvergiraju, Dennis et al. (1978). Istovetno definiciji desnih solvenata mS i 1S matrinog polinoma ( )M X , mogu se definisati maksimalni levi solvent, mR , i dominantni levi solvent, 1R , matrinog polinoma ( )M X . Levi solventi matrinog polinoma ( )M X se više koriste u teoremama koje slede. Pomou Leme 8.1, oni se mogu odrediti pomou odgovarajuih desnih solvenata matrinog polinoma ( )TM X . U opštem sluaju, sve što je pomenuto o postojanju, brojnosti i karakterizaciji desnih solvenata matrinog polinoma ( )M X , važi i za desne solvente matrinog polinoma ( )TM X , kao i za leve solvente matrinog polinoma ( )M X . Potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti linearnog, vremenski diskretnog sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, datog jed. (8.13), su kao što sledi, Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Teorema 8.4 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni levi solvent matrinog polinoma ( )M X i sa mR se oznaava jedan od njih. Tada je linearni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (8.13), asimptotski stabilan ako i samo ako za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji Hermitska matrica * 0P P= > tako da: * m mR P R P Q− = − , (8.26) Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.b). Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 99 Posledica 8.1 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni solvent matrinog polinoma ( )M X i sa mR se oznaava jedan od njih. Tada je sistem, dat jed. (8.13), asimptotski stabilan ako i samo ako ( ) 1mRρ < , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.b). Zakljuak 8.7 Posledica 8.1 se može dokazati na sledei nain. Iz Zakljuka 8.5 sledi ( ) ( )eqR Aσ λ⊂ Ω = a na osnovu osobina maksimalnog solventa mR sledi ( ) ( )m eqR Aρ ρ= . Prema tome, ako je maksimalni solvent diskretno stabilan tada je eqA diskretno stabilna matrica i obratno, Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Posledica 8.2 Pretpostavlja se da postoji dominantni levi solvent 1R matrinog polinoma ( )M X . Tada je sistem, dat jed. (8.13), asimptotski stabilan ako i samo ako ( )1 1Rρ < , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.b). Zakljuak 8.8 U sluaju kada se dominantni solvent 1R može izvesti pomou Traub–ovog ili Bernoulli–evog algoritma, Posledica 8.2 predstavlja prilino jednostavnu metodu. Ako pomenuti algoritmi ne konvergiraju, ali postoji najmanje jedan maksimalni solvent mR , tada bi trebalo da se koristi Posledica 8.1. Maksimalni solventi se mogu nai, na primer, korišenjem koncepta sopstvenih parova, Pereira (2003). Ako ne postoji maksimalni solvent mR , tada se prezentovani potrebni i dovoljni uslovi nemogu koristiti za ispitivanje stabilnosti sistema, Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Zakljuak 8.9 U sistemima sa velikim iznosom isto vremenskog kašnjenja važi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1dim dim dim dim 1m i eqR R A n A n h= = = = + . (8.27) Na primer, ako je isto vremensko kašnjenje 100h = , i red matrice sistema je 2n = , tada je: 2 21, mR R ×∈ i 202 202eqA ×∈ . Za ispitivanje stabilnosti pomou sopstvene vrednosti matrice eqA , potrebno je odrediti 202 sopstvene vrednosti, što nije numeriki jednostavno. Sa druge strane, ako se dominantni solvent može izraunati pomou Traub–ovog ili Bernoulli–evog algoritma, Posledica 8.2 zahteva relativno mali broj sabiranja, oduzimanja, množenja i inverzija matrice formata ( )2 2× . Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 100 Prema tome, u sluaju sistema sa velikim iznosom isto vremenskog kašnjenja, primenjujui Posledicu 8.2, oekuje se manji broj izraunavanja u poreenju sa uobiajenim postupcima ispitivanja stabilnosti pomou sopstvene vrednosti matrice pratilje eqA , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Primer 8.2 Razmatra se linearni, vremenski diskretni sistem, dat jed. (8.1), sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju: 0 1 0,1 0,3 0,3 0,4 , , 1 0,1 0,15 0,2 0,25 A A h = = = −   . Primenjujui koncept sopstvenih parova, Pereira (2003), levi solventi iR matrinog polinoma ( )M X se izraunavaju pomou desnih solvenata iS matrinog polinoma ( )TM X : * * 1 1 2 2 * * 3 3 4 4 * * 5 5 6 6 3,548 4,759 1,812 2,490 , 2,408 3,391 1,171 1,604 0,453 0,576 0,402 0,620 , 0,342 0,326 0,388 0,287 0,345 0,502 0,386 0,417 , 0,191 0,394 0,16 R S R S R S R S R S R S − = = = = − − −   = = = =   − − − − = = = = − − −  7 0,443 −  . Solventi 1R , 3R i 4R su maksimalni solventi, s obzirom da sadrže sopstvenu vrednost 0,838mλ = ∈Ω . Usvajajui 1mR R= i 2Q I= u Ljapunovljevoj jednaini (8.26) sledi 0P > i prema tome razmatrani sistem je asimptotski stabilan. Istovetno, ako se usvoji maksimalni solvent 2mR R= , na osnovu Posledice 8.1 sledi ( ) 0,838 1mRρ = < i prema tome razmatrani sistem je asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Primer 8.3 Razmatra se linearni, vremenski diskretni sistem, dat jed. (8.1), sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju: 0 1 0 1 1 1 , , 1 0 0 0 0 A A h − = = =   . Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 101 Levi solventi iR matrinog polinoma ( )M X su: 1 2 3 1 0 1 2 1 0 , , 1 1 0 0 0 0 R R R − − = = = − −    . S obzirom da ( ) { }1 1, 1Rλ = − , ( ) { }2 1, 0Rλ = − i ( ) { }3 1, 0Rλ = ne postoji dominantni solvent, ali sva tri solventa su maksimalni solventi. Sa obzirom da je ( ) 1iRρ = , 1 3i≤ ≤ , na osnovu Posledice 8.1, sledi da sistem nije asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Primer 8.4 Razmatra se linearni, vremenski diskretni sistem, dat jed. (8.1), sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju: 0 1 7 /10 1/ 2 1/ 75 1/3 , 1/ 2 17 /10 1/3 49 / 75 A A − = = − −   . Za 1h = , postoje dva leva solventa matrine polinomne jednaine (8.22) ( )2 0 1 0R R A A− − = : 1 2 19/30 1/ 6 1/15 1/3 , 1/ 6 29 /30 1/3 11/15 R R − − = =   . S obzirom da ( )1 4 4,5 5Rλ  =    , ( )2 2 2 , 5 5 Rλ  =     , dominantni solvent je 1R . Nakon ( )4 3+ iteracija Traub–ovog algoritma i 17 iteracija Bernoulli–evog algoritma, dominantni solvent se može nai sa tanošu 410− . S obzirom da je ( )1 4 15Rρ = < , na osnovu Posledice 8.2, sledi da je razmatrani sistem asimptotski stabilan. Za 20h = , primenjujui Bernoulli–ev ili Traub–ov algoritam za izraunavanje dominantnog solventa 1R matrine polinomne jednaine (8.22) ( )21 20 0 1 0R R A A− − = , dobija se: 1 0,6034 0,5868 0,5868 1,7769 R = −  . S obzirom da je ( )1 1,1902 1Rρ = > na osnovu Posledice 8.1, sledi da sistem nije asimptotski stabilan. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 102 Proverava se: { } 40 2 40 40max max 0 2 2 2 2 1 0 1,1902 10 ... 0 eq I A A Aλ λ × × × × = = >  , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Primer 8.5 Razmatra se linearni, vremenski diskretni sistem, dat jed. (8.1), sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju: 0 1 17 / 6 11/ 6 5/3 17 /12 , , 1 1/3 2 /3 2 /3 5/12 A A h − − = = = −   . Sopstvene vrednosti matrica ( )M X su date sa { }0,5, 0,5, 0,5, 2 = Ω . Postoji samo jedan solvent matrine polinomne jednaine (8.22): 12 / 7 1/ 7 4/ 7 16 / 7 R = −  , gde je ( ) { }0,5, 0,5Rλ = . Može se pokazati da ne postoji dominantni i maksimalni solvent jednaine (8.22), tako da se prezentovani uslovi stabilnosti ne mogu primeniti. Ako se zanemari pretpostavka o postojanju maksimalnog solventa mR , primenjujui Posledicu 8.1, na osnovu ( ) 0,5 1Rρ = < , dobie se pogrešan zakljuak da je sistem asimptotski stabilan. Meutim, sistem je nestabilan s obzirom da ima karakteristini koren 2 1mλ = > , Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Literatura Boutayeb, M., M. Darouach, “Observers for Discrete–Time Systems with Multiple Delays”, IEEE Trans. Automat. Contr., 46 (5), (2001) 746–750. Dennis, J. E., J. F. Traub, R. P. Weber, “The Algebraic Theory of Matrix Polynomials”, SIAM J. Numer. Anal., 13 (6), (1976) 831–845. Dennis, J. E., J. F. Traub, R. P. Weber, “Algorithms for Solvents of Matrix Polynomials”, SIAM J. Numer. Anal., 15 (3), (1978) 523–533. Gantmacher, F., The Theory of Matrices, I, Chelsea, New York, 1960. Gorecki, H., S. Fuksa, P. Grabovski, A. Korytowski, Analysis and Synthesis of Time Delay Systems, John Wiley & Sons, Warszawa, 1989. Stabilnost u smislu Ljapunova diskretnih sistema zavisna od isto vrem. kašnjenja 103 Kim, H., Numerical Methods for Solving a Quadratic Matrix Equation, Ph. D. dissertation, University of Manchester, Faculty of Science and Engineering, 2000. Lancaster, P., M. Tismenetsky, The Theory of Matrices, 2nd Edition, Academic press, New York, 1985. Lee, T. N., S. Diant, “Stability of Time–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., 26 (4), (1981) 951–953. Malek–Zavarei, M., M. Jamshidi, Time–delay Systems, North–Holland Systems and Control Series, Vol. 9, Amsterdam, (1987). Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., 27 (4), (1982.b) 946–966. Pereira, E., “On Solvents of Matrix Polynomials”, Applied numerical mathematics, 47, (2003) 197–208. Stojanovi, S. B., Analysis of Dynamic Behavior of Discrete Time–delay Systems on Finite and Infinite Time Interval, Ph. D. Thesis, University of Belgrade, Serbia, 2006. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems” Proc. of 17th IFAC World Congress, Seoul (Korea), July 06–10, (2008.a) 2613–2618. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Stability of Linear Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, (Canada), Series B: Applications and Algorithms, Vol. 16, No.6, (2009.b) 887–900. Trinh, H., M. Aldeen, “A Memoryless State Observer for Discrete Time–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., 42 (11), (1997.b) 1572–1577. Xu, S., J. Lam, C. Yang, “Quadratic Stability and Stabilization of Uncertain Linear Discrete–Time Systems with State Delay”, Systems Control Lett., 43, (2001.b) 77–84. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 104 VII STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA PERTURBOVANIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 9. STABILNOST PERTURBOVANIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM Greške koje se ine prilikom modelovanja sistema esto puta dovode do znatnog odstupanja stvarnog od željenog ponašanja objekta u sistemu automatskog upravljanja. Na grešku modelovanja njaeše utiu varijacije u samom sistemu, nastale kao posledica promene radnih uslova i slino. Svi faktori koji dovode do greške modelovanja se mogu obuhvatiti pojmom perturbacije parametara modela i u zavisnosti od naina njihovog tretmana postoji više teorijskih pristupa problemu odreivanja njihovog uticaja na ponašanje sistema (teorija osetljivosti, stohastiki tretman, pouzdanost, adaptibilnost, robusnost i tako talje). Jedan od najznaajnijih tretmana u proceni valjanosti modelovanja sistema jeste robusnost sistema, koja se definiše u odnosu na neko njegovo izabrano svojstvo. Robusnost sistema u smislu odreenog svojstva ∂ u odnosu na dati skup ∆ je njegova sposobnost da održi to svojstvo na oznaenom skupu ∆ . To znai da se teorija robusnosti može primeniti na razne osobine sistema, bitne za njegovo ispravno funkcionisanje i kvalitetno dinamiko ponašanje, kao što je stabilnost, upravljivost, osmotrivost, adaptibilnost i tako dalje. Dakle, teorija robusnosti bavi se problemom ouvanja odreenih osobina sistema u prisustvu velikih perturbacija u njegovom modelu, kao i analizom mogunosti kompenzacija razlika izmeu matematikog modela i realnog objekta. Robusnost odreene osobine sistema se mora garantovati sa sigurnošu, a ne sa nekom verovatnoom, kao što je to sluaj kod stohastikog tretmana. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 105 Robusnost stabilnosti (robusna stabilnost) predstavlja sposobnost sistema da ouva stabilnost ak i u prisustvu raznih perturbacija parametara. Shodno datom tipu perturbacije (jake, slabe, strukturne, nestrukturne, …), postoje razliite metode za procenu robusne stabilnosti. Što se tie sistema sa kašnjenjem, perturbacije za ovu klasu sistema se mogu iskazati na dva naina: a) pomou vremenskih promena matrica sistema, koje mogu biti strukturno ograniene (po svim parametrima modela ponaosob) ili ograniene po intenzitetu (normi), i b) kao vremenske promene u kašnjenju sistema (intervalne promene). Mogua je razmatrati istovremeno uticaj oba pomenuta tipa perturbacije. Analiza robusne stabilnosti perturbovanih, vremenski diskretnih sistema je istraživana u sledeoj lit. Kolla (1989), Rachid (1989, 1990), Yaz (1989), Chou (1991), Niu (1992), Lee (1992), Horng (1993) i Yedavalli (1993). U lit. Jury (1974) i Bishop (1975) prezentovano je nekoliko metoda za ispitivanje stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem sa neparametarskim perturbacijama. Dok su ove metode dosta lake za korišenje u sluaju malog iznosa isto vremenskog kašnjenja, poteškoe nastaju kada se poveava iznos isto vremenskog kašnjenja. Glavni razlog leži u injenici da se, u ovim metodama, broj sopstvenih vrednosti sistema poveava srazmerno n puta kašnjenju, gde je n red sistema. U radu Mori et al. (1982.b), ovaj problem je prevazien prezentovanjem nekoliko kriterijuma stabilnosti, nezavisnih od isto vremenskog kašnjenja, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Ovi kriterijumi su izraženi jednostavnim formama u smislu parametara postrojenja. Meutim, ovi dovoljni uslovi su konzervativniji i mogu se primeniti na sisteme bez perturbacija. Rad Trinh, Aldeen (1995.a) prezentuje dovoljne uslove D –stabilnosti perturbovanih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Pokazano je da su ovi rezultati manje restriktivni u odnosu na rezultate u postojeoj literaturi. U poslednje vreme, problemi robusne stabilnosti linearnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem privlae znaajnu pažnju i izuavaju se u velikoj meri. U lit. Mohmoud, Shen et al. (1991) i Al–Muthairi (1994), prezentovani su kriterijumi robusne stabilnosti, nezavisni od isto vremenskog kašnjenja. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 106 Sa druge strane, u lit. Su, Huang (1992) i Niculescu et al. (1994) su razvijeni kriterijumi robusne stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, korišenjem rešenja algebarske Riccati–eve jednaine ili Ljapunovljeve jednaine da bi se smanjio konzervatizam rezultata, nezavisnih od isto vremenskog kašnjenja. U radu Li, De Souza (1997) prezentovani su kriterijumi robusne stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem i neodreenostima pomoi LMI (linearnih matrinih nejednakosti) i ovi rezultati su manje konzervativni u odnosu na druge rezultate. U ovoj glavi razmatra se asimptotska stabilnost linearnih, perturbovanih sistema sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem. Prezentovae se nekoliko kriterijuma, koji su nezavisni od isto vremenskog kašnjenja. Prvi kriterijum se zasniva na analizi vremenski promenljive perturbovane matrice ekvivalentnog sistema. Drugi kriterijum se zasniva na formalnoj dekompoziciji matrice na realan i imagionaran deo, korišenjem principa poreenja, Mori et al. (1981). Kriterijum prezentovan u radu Trinh, Aldeen (1995.a), e se generalizovati i koristiti kao trei uslov stabilnosti. Koristie se za poreenje sa drugim kriterijuma prezentovanim u ovoj glavi, da bi se ocenila efikasnost prezentovanih rezultata. Prethodno pomenuti kriterijum se zasniva na direktnoj primeni predloženog postupka na karakteristini polinom uporednog sistema. U tom smislu potrebno je uoiti da je njegov izraz prilino jednostavan i pogodan za praktinu upotrebu. Oznaavanje.  i  oznaavaju skup realnih i kompleksnih brojeva, sledstveno. Imaginarna jedinica je oznaena sa j , to jest, 2j −1 a α oznaava apsolutnu vrednost skalara α . Neka je ( )⋅x norma nekog vektora (gde je 1,2, ,⋅ = ∞ ), a ( )⋅ je matrina norma tog vektora. Ovde e se koristiti oznake ( )1/ 22 ˆ T=x x x i ( ) ( )1/ 2 *max2 A Aλ⋅ = . ( )iλ ⋅ oznaava sopstvenu vrednost matrice ( )⋅ , a ( )Re iλ ⋅ i ( )Im iλ ⋅ su realni i imagionarni delovi, sledstveno. Prethodno navedeni indeksi * i T oznaavaju konjugovano–transponovanu i transponovanu matricu, sledstveno. Apsolutna vrednost matrice A oznaena je sa A , dok ( )Aρ oznaava spektralni radijus matrice A . Matrica A je nenegativna kada važi da je 0ija ≥ i to se oznaava sa 0A ≥ . Uopšteno, A B≥ znai da je ij ija b≥ . Istovetno, matrica A je pozitivna kada je 0ija > i to se oznaava sa 0A > . Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 107 Razmatra se linearni, perturbovani, vremenski diskretni sistem sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 N j j j k A k k A k k h = + = + −x x x , (9.1) gde su 0 1 20 Nh h h h= ≤ ≤ ≤ ≤ celi brojevi koji predstavljaju ista vremenska kašnjenja sistema. Perturbovane matrice, zavisne od vremena, ( ) n njA k ×∈ , 0,1,2,j N=  su nepoznate, ali su poznata maksimalna odstupanja njihovih elemenata ( )max j jil ilk a k α≤ . U poreenju sa radom Trinh, Aldeen (1995.a), gde je samo osnovna matrica ( )1A k vremenski promenljiva, pretpostavlja se da su sve matrice ( )jA k , 0 1j≤ ≤ , vremenski promenljive. Ako se definišu matrice , 0,1,2,...,jU j N= na sledei nain: ( ) , max , , 0 1, j ilj j j j j il il il j ili l j u u U u α α α α ≤ ≤ =  , (9.2) tada je: ( ) , 0,1,2,..., ,j j jA k U j N kα≤ = ∀ . (9.3) Lema 9.1 Neka je: ( ) ( ) 1nG z z I A −− , (9.4) tada je: ( ) ( ) 0 0 , 1h k k k G z z G k A L z ∞ ∞ − = = ≤ = ≥   , (9.5) ( )G k je niz matrica impulsnog odziva od ( )G z pri emu je ( )0 0G = , Trinh, Aldeen (1995.a). Lema 9.2 Za bilo koju ( )n n× kvadratnu matricu X , važi sledee: ( ) ( )1 det 0nX I Xρ <  − ≠ , (9.6) Trinh, Aldeen (1995.a). Lema 9.3 Za bilo koje kvadratne matrice n nX ×∈ i n nY ×∈ , važi sledee: ( ) ( ) ( )X Y X X Yρ ρ ρ≤  ≤ ≤ , (9.7) Meyer (2001). Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 108 Lema 9.4 Linearni, vremenski invarijantni, diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem: ( ) ( ) ( )0 1 1 N j j j k A k A k h = + = + −x x x , (9.8) je asimptotski stabilan ako su ispunjeni sledei uslovi: ( ) ( )0 0 1 0 1 1, 1, N N k j j k j A L A L G k Aρ ρ ∞ = = = < < = =     , (9.9) Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Lema 9.5 Linearni, vremenski invarijantni, diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (9.8), je asimptotski stabilan ako je ispunjen sledei uslov: ( ) ( ) 0 11, , 0 2 N T j j j j j H H A A j Nρ = < = + ≤ ≤ , (9.10) Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Lema 9.6 Linearni, vremenski invarijantni, diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (9.8), je asimptotski stabilan ako je ispunjen sledei uslov: 0 1 N j j A = < . (9.11) Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Teorema 9.1 Sistem, dat jed. (9.1), je asimptotski stabilan ako je: ( )ˆ 1eqAρ < , (9.12) gde je: 0 0 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 0 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 0 N N N Nh h h h n eq n n U U U U I A I I α α α α − − =           , (9.13) ˆ ˆ , , 0,1,..., ˆ ˆ , 0 0, , 0,1,..., j j j i i N j U i h j N U i h i h j N α α  = = = ≤ ≤ ≠ = , (9.14) Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 109 Teorema 9.2 Sistem, dat jed. (9.1), je asimptotski stabilan ako je ispunjen jedan od sledeih uslova: ( ) ( ) 0 11, 2 N T j j j j j j H H U Uα ρ = < = + , (9.15) 0 1 N j j j Uα = < , (9.16) Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Zakljuak 9.1 Imajui u vidu da je: ( ) ( )2 2 22 21 12 2T Tj j j j j j jH H U U U U Uρ = = + ≤ + = , (9.17) sledi da je uslov dat nejed. (9.16) restriktivniji od uslova datog nejed. (9.15) za normu 2⋅ , Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Teorema 9.3 Sistem, dat jed. (9.1), je asimptotski stabilan ako su ispunjeni sledei uslovi: ( )0 0 0 1 1, 1 N j j j U L Uα ρ ρ α = < <   , (9.18) ( ) ( ) 10 0 0 0 0 0 k n k L U I Uα α ∞ − = = = − , (9.19) Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Zakljuak 9.2 Fundamentalna matrica linearnog, vremenski diskretnog sistema bez prisustva isto vremenskog kašnjenja, sa 0 0Uα kao matricom sistema, je: ( ) ( ) ( )10 0 0nz z z I U zG zα −Φ = − = , (9.20) tada je: ( ) ( )10G z z z−= Φ , (9.21) tako da je: ( ) ( ) ( ) ( )10 0 0 01 , 0 0kG k k U Gα −= Φ − = = . (9.22) S obzirom da je: ( ) ( )0 0 0 0 1U Uρ α α ρ= < , (9.23) tada je beskonani niz: ( ) ( ) ( )1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 k k n k k k L G k U U I Uα α α ∞ ∞ ∞ − − = = = = = = = −   , (9.24) Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 110 konvergentan, tako da se matrica 0L može direktno izraunati na sledei nain: ( ) 10 0 0nL I Uα −= − , (9.25) Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Teorema 9.4 Ako je: 0 1 N j j j Uρ α = <   , (9.26) tada je sistem, dat jed. (9.1), asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Primer 9.1 Razmatra se stabilnost linearnog, perturbovanog, vremenski diskretnog sistema sa istim vremenskim kašnjenjem opisanog sa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 21 1 2k A k k A k A k k+ = + − + −x x x x , gde su: ( )0 0 0 0 0 0,2 0,3 2 / 3 1 max 0,3 0,1 0,15 1/ 3 1/ 2 2 / 3 1 0,3, 1/ 3 1/ 2 k A k U U α α ≤ = =    = =  , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 0,3 0 1 0 max 0,3 0, 2 0,1 2 / 3 1/ 3 1 0 0,3 , , 0 2 / 3 1/ 3 k A k U U γ γ α γ α γ γ γ ≤ = =    = = >  , ( )2 2 2 2 2 0,1 0, 2 1/ 2 1 max 0, 2 0,15 0,1 3/ 4 1/ 2 1/ 2 1 0,2, 3 / 4 1/ 2 k A k U U α α ≤ = =    = =  . Korišenjem Teorema 9.1–9.3 za 1γ = ispitana je stabilnost sistema. Osim toga naena je gornja granica parametra bγ , koja garantuje da je razmatrani sistem stabilan. Rezultati su prikazani u tabeli 9.1. Lako se uoava da je za 1γ = razmatrani sistem asimptotski stabilan. Takoe, oigledno je da se uslov, dat nejed. (9.16), Teoreme 9.2 ne može koristiti za ispitivanje stabilnosti sistema. Ovaj uslov predstavlja generalizaciju rezultata prikazanih u radu Mori et al. (1982.b), za klasu linearnih, perturbovanih, vremenski Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 111 diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, i potvruje injenicu da je prilino konzervativan. Tabela 9.1 Vrednosti kriterijuma i parametara Kriterijum Vrednost kriterijuma za 1γ = Vrednost parametra bγ Teorema 9.1 (nejed. (9.12)) 0,9817 1,1055 Teorema 9.2 (nejed. (9.15)) 0,9930 1,0206 Teorema 9.2 (nejed. (9.16)) 1,0462 0,8734 Teorema 9.3 (nejed. (9.18) 0,9453 1,1055 S obzirom na rezultate prikazane u tabeli 9.1, oigledno je da se najbolji rezultati mogu postii korišenjem Teoreme 9.3. Imajui u vidu naenu gornju granicu parametra bγ , s obzirom da njena vrednost definiše granicu stabilnosti, Teorema 9.1, Teorema 9.3 i Teorema 9.4 daju identine rezultate i zakljuke. Objašnjenje leži u injenici da je maksimalna sopstvena vrednost ekvivalentne matrice ˆeqA za bγ γ= , u našem sluaju, jednaka 1mλ = . Na osnovu uslova ( )( )ˆ 1eq bAρ γ = , Teorema 9.1 se koristi za odreivanje parametra bγ , to jest, iz uslova ( )( )ˆdet 0eq bI A γ− = , dobija se: ( )( ) ( )( ) ( )( ) 11 12 2 2 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 ˆdet det 0 0 0 0 0 det det 0 det 0 eq g b b D D U I A I I I I U U U I I U U U α γ α α γ α α α γ α − − =  = − − −  = − − − = , ( ) ( ) 11 0 0 1 1 2 2 12 1 1 2 2 b b D I U U U D U U α α γ α α γ α = − − − = − − , što je identino uslovu: ( )( )0 0 1 1 2 2 1bU U Uρ α α γ α+ + = . Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 112 Teorema 9.4 takoe služi za odreivanje parametra bγ . Iz uslova: ( )( )0 0 1 1 2 2det 0bI U U Uα α γ α− − − = , ako je ispunjen uslov ( )0 1Uρ < , sledi: ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 0 0 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 1 2 2 det det det 0 b b I U U U I U I I U U U U α α γ α α α γ α− − − − = − ⋅ − − + + = . Prethodni uslov je ekvivalentan sledeem uslovu: ( ) ( ) ( )( ) 0 1 0 0 0 1 1 2 2 0 1b I U I U U U U ρ ρ α γ α α− − < − + + = , što je osnovni uslov Teoreme 9.3. Ovo pokazuje da su rezultati prezentovani u Teoremi 9.1, Teoremi 9.3 i Teoremi 9.4 ekvivalentni, Stojanovi, Debeljkovi (2004.d, 2004.h). Literatura Bishop, A. B., Introduction to Discrete Linear Controls–Theory and Application, Academic Press, New York, 1975. Chou, J. H., “Robustness of Pole–Assignment in Specified Circular Region for Linear Perturbed Systems”, Systems Control Lett., Vol. 16, (1991) 41–44. Horng, H. Y., J. H. Chou, I. R. Horng, “Robustness of Eigenvalue Clustering in Various Regions of the Complex Plane for Perturbed Systems”, International Journal of Control, 57, (1993) 1469–1484. Jury, E. I., Inners and Stability of Dynamics Systems, Wiley, New York, 1974. Kolla, S. R., R. K. Yedavalli, J. B. Farison, “Robust Stability Bounds on Time– Varying Perturbations for State–Space Models of Linear Discrete–Time Systems”, International Journal of Control, 50, (1989) 51–159. Lee, C. H., T. H. S. Li, F. C. Kung, “ D –Stability Analysis for Discrete Systems with a Time Delay”, Systems and Control Letters, 19, (1992) 213–219. Li, X., C. E. De Souza, “Delay–Dependent Robust Stability and Stabilization of Uncertain Linear Delay Systems: A Linear Matrix Inequality Approach”, IEEE Trans. Automat. Control, 42, (1997) 1144–1148. Meyer, C. D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 2001. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 113 Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Simple Stability Criteria for Single and Composite Linear Systems with Time Delay”, International Journal of Control, 34 (6), (1981) 1175–1184. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Transactions on Automatic Control., AC–27 (4), (1982.b) 946–966. Niculescu, S. I., C. E. De Souza, J. M. Dion, L. Dugrad, “Robust Stability and Stabilization of Uncertain Linear Systems with State Delay: Single Delay Case (I)”, Proc. IFAC Symp. Robust Control Design, Rio de Janerio (Brazil), September, (1994). Niu, X., J. A. De Abreu–Garcia, E. Yaz, “Improved Bounds for Linear Discrete– Time Systems with Structured Perturbations”, IEEE Transactions on Automatic Control, 37, (1992) 1170–1173. Rachid, A., “Robustness of Discrete Systems under Structured Uncertainties”, International Journal of Control, 50, (1989) 1563–1566. Rachid, A., “Robustness of Pole Assignment in a Specified Region for Perturbed Systems”, International Journal of Systems Science, 21, (1990) 579–585. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On Stability of Perturbed Linear Discrete– Delay Systems with Multiple Delays”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.d) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On Stability of Perturbed Linear Discrete–Delay Systems with Multiple Delays”, ICARCV 2004, Kunming (China), December 06–09, (2004.h) CD–Rom. Su, T. J., C. G. Huang, “Robust Stability of Delay Dependence for Linear Uncertain Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, 37, (1992) 1656–1159. Trinh, H., M. Aldeen, “ D –Stability Analysis of Discrete–Delay Perturbed Systems”, International Journal of Control, 61 (2), (1995.a) 493–505. Yaz, E., X. Niu, “Stability Robustness of Linear Discrete–Time Systems in the Presence of Uncertainty”, International Journal of Control, 50, (1989) 173–182. Yedavalli, R. K., “Robust Root Clustering for Linear Uncertain Systems Using Generalized Lyapunov Theory”, Automatica, 29, (1993) 237–240. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 114 10. STABILNOST PERTURBOVANIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA VIŠESTRUKIM ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 10.1 Analiza D–stabilnosti sistema sa višestukim istim vremenskim kašnjenjem U analizi dinamikih sistema, esto se susreu parametarske neodreenosti koje potiu zbog grešaka identifikacije, varijacija radnih taaka, i tako dalje. Zbog toga je problem analize robusne stabilnosti sistema sa parametarskim neodreenostima naišao na veliko interesovanje kod mnogih istraživaa i više znaajnih rezultata koji se tiu ove problematike su objavljeni u lit. Yedavalli (1989), Chou (1990) i Wei, Zeng (1995). Poznato je da je položaj svih karakteristinih korenova važan pokazatelj dinamikih performansi linearnih sistema automatskog upravljanja. U praksi, svi karakteristini korenovi se ne mogu podesiti u fiksnim položajima ali se mogu locirati unutar neke ograniene oblasti zbog neizbežnih parametarskih perturbacija. Jedna takva specifina oblast za vremenski diskretne sisteme je disk ( ),D rα sa centrom u ( ),0α i radijusom r , gde je 1rα + < . Podešavanje svih polova sistema unutar specifinog diska ( ),D rα naziva se problem D –razmeštanja polova. U poslednje vreme, problem D –stabilnosti koji garantuje da su svi karakteristini korenovi sistema automatskog upravljanja locirani unutar specifinog diska u kompleksnoj ravni postaje interesantno podruje istraživanja pomenutih sistema, lit. Lee, Lee (1986), Furukawa, Kim (1987), Vicino (1989), Chou (1991) i Chou et al. (1992). Zbog izraunavanja podataka, fizikih osobina elemenata sistema i prenosa signala, isto vremensko kašnjenje je prisutno ne samo u fizikim, industrijskim i hemijskim sistemima ve takoe i u politikim i ekonomskim sistemima, i tako dalje. S obzirom da se broj polova sistema u zatvorenom kolu dejstva poveava usled isto vremenskog kašnjenja, uvoenje isto vremenskog kašnjenja ini problem D –razmeštanja polova komplikovanijim. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 115 Problem D –stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem je razmatran u lit. Lee et al. (1992), Su, Shyr (1994), Trinh, Aldeen (1995.a) i Hsiao (1998), a za vremenski kontinualne sisteme u radu Lee (1995). U ovoj glavi, razmatraju se linearni, perturbovani, vremenski diskretni sistemi sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem. Prezentovae se dovoljan kriterijum za sopstvene vrednosti perturbovanih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, koje su locirane u specifinom disku. Razmatraju se i strukturne i nestrukturne perturbacije. Bie prezentovan dovoljan uslov za ispitivanje D –stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, kao i dovoljan uslov koje garantuje da sve sopstvene vrednosti vremenski diskretnog sistema sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem i nestrukturnim perturbacijama leže unutar kružnog diska ( ),D rα i dae se generalizacija dovoljnog uslova ( ),D rα –stabilnosti vremenski diskretnog sistema sa strukturnim perturbacijama prezentovanog u radu Trinh, Aldeen (1995.a). Linearni, autonomni, višestruko prenosni, perturbovani, vremenski diskretni sistem sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem može se predstaviti vektorskom diferencnom jednainom: ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 , 0 N j j j N j k A A k h h h h = + = + ∆ − = < < <x x  , (10.1) sa pridruženom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ) { }, , 1, ... , 0   h h= ∈ − − +x  , (10.2) gde je: ( ) nk ∈x  vektor stanja, n njA ×∈ konstantna matrica, a ista vremenska kašnjenja su izražena celim brojevima +jh ∈  . n n jA ×∆ ∈ , 0 j N≤ ≤ su matrice koje predstavljaju perturbacije u sistemu. Razmatraju se nestrukturne i strukturne perturbacije definisane na sledei nain: j jA a +∆ ≤ ∈ , (10.3) n n j jA R × +∆ ≤ ∈ , (10.4) sledstveno. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 116 Lema 10.1 Neka je: ( ) ( ) 1nG z z I A −= − , (10.5) tada je: ( ) ( ) 0 , 1h k G z z G k L z ∞ − = ≤ = ≥ , (10.6) gde je ( )G k niz matrica impulsnog odziva od ( )G z , Trinh, Aldeen (1995.a). Lema 10.2 Za bilo koju ( )n n× matricu X , važi sledee: ( ) ( )1 det 0nX I Xρ <  − ≠ , (10.7) Trinh, Aldeen (1995.a). U sluaju kada ne postoje perturbacije u sistemu, datom jed. (10.1), to jest 0jA∆ = , stabilnost razmatranog sistema se može iskazati sledeom lemom. Teorema 10.1 Sve sopstvene vrednosti sistema bez perturbacija, datog jed. (10.1), su unutar diska ( ),D rα ako je zadovoljen sledei uslov: ( ) 0 , min ,j N h j j A r rδ δ δ α α− = < = − + , (10.8) Stojanovi et al. (2004.f). D robusna stabilnost vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem U sluaju sistema, datog jed. (10.1), sa nestrukturnim perturbacijama, definisanim nejed. (10.3), ( ),D rα stabilnost sistema se može iskazati sledeom teoremom. Teorema 10.2 Sve sopstvene vrednosti perturbovanog sistema, datog jed. (10.1), sa perturbacijama, definisanim nejed. (10.3), su unutar diska ( ),D rα ako je zadovoljen sledei uslov: ( ) 0 0 , min ,j j N N h h j j j j A a r rδ δ δ δ α α− − = = < − = − +  , (10.9) Stojanovi et al. (2004.f). Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 117 Zakljuak 10.1 U sluaju kada ne postoje perturbacije u sistemu, datom jed. (10.1), to jest 0jA∆ = , važi 0ja = . Odavde sledi da je Teorema 10.1 posledica Teoreme 10.2, Stojanovi et al. (2004.f). U sluaju sistema, datog jed. (10.1), sa strukturnim perturbacijama, definisanim nejed. (10.4), ( ),D rα stabilnost sistema se može iskazati sledeom teoremom. Teorema 10.3 Pretpostavlja se da su sve sopstvene vrednosti matrice 0A unutar diska ( ),D rα . Sve sopstvene vrednosti perturbovanog, vremenski diskretnog sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, datog jed. (10.1), sa perturbacijama, definisanim nejed. (10.4), su unutar diska ( ),D rα ako je zadovoljen sledei uslov: ( ), 0 1 j N h r j j j H R A R rαρ δ − = + + <    , (10.10) ( )min ,r rδ α α= − + , (10.11) 1 0 0 , 0 k n n r n k A I A IH I r r α α α − ∞ = − − = = −    , (10.12) Stojanovi et al. (2004.f). Primer 10.1 Razmatra se perturbovani, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (10.1), sa jednim vremenskim kašnjenjem u stanju, gde je: 0 1 0,1 0,1 0,02 0 , 0 0,05 0,01 0,015 A A = = −   . Neka je ( ) ( ), 0,3, 0,6D r Dα = i pretpostavlja se da su nestrukturne parametarske perturbacije 0A∆ i 1A∆ ograniene normom, sledstveno, 0 0A a≤ i 1 1A a≤ . Konstante 0a i 1a su nepoznate pozitivne konstante koje se ocenjuju tako da je razmatrani sistem ( )0,3, 0,6D stabilan. Korišenjem uslova, datog nejed. (10.9), dobija se: 1 1 0 1 0 1A A a aδ δ δ− −+ < − − , tada je: 0 10,1532 0,3 0,3a a< − − , Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 118 prema tome: 0 1 10 0,1468 3 a a+ < , Stojanovi et al. (2004.f). Primer 10.2 Razmatra se vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (10.1), sa jednim vremenskim kašnjenjem u stanju, gde je: 0 1 0,54 0,05 0,02 0 , 0 0,5 0,01 0,015 A A = = −   . Neka je ( ) ( ), 0,3, 0,6D r Dα = i pretpostavlja se da su strukturne parametarske perturbacije 0A∆ i 1A∆ ograniene normom, sledstveno, 0 2 1 20,1 , 0,05A I A I∆ ≤ ∆ ≤ . Korišenjem uslova, datog nejed. (10.10), dobija se: ( )0,3, 0,6 2 1 2100,1 0,05 0,63H I A Iρ + + <   , 0,3, 0,6 1,667 0,208 0 1,5 H =  , tada je: ( ) 0,5909 0,6ρ ⋅ = < . Prema tome, razmatrani sistem je ( )0,3, 0,6D stabilan, Stojanovi et al. (2004.f). 10.2 Stabilnost sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i nelinearnim perturbacijama U radu Tsao (1994) prezentovana su dva dovoljna uslova asimptotske stabilnosti nelinearnih, vremenski varijantnih, diskretnih sistema. U ovoj glavi izvršie se generalizacija rezultata prezentovanog u radu Mori et al. (1982.b) za sluaj nelinearnih, vremenski varijantnih sistema. Razmatra se asimptotska stabilnost partikularne klase vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i nelinearnim perturbacijama. Prezentovae se dovoljan uslov, u formi kriterijuma nezavisnog od isto vremenskog kašnjenja. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 119 Linearni, autonomni, višestruko prenosni, perturbovani, vremenski diskretni sistem sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem može se predstaviti vektorskom diferencnom jednainom: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 1 1 , 0 , N M j j j j j j j N k A A k h k h k h h h M N = = + = + ∆ − + − = < < < ≤  x x f x  , (10.13) sa pridruženom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ) { }, , 1, ... , 0N Nh hθ θ θ= ∈ − − +x  , (10.14) gde je: ( ) nk ∈x  vektor stanja, n njA ×∈ konstantna matrica, a ista vremenska kašnjenja sistema su izražena celim brojevima +jh ∈  . Vektor ( ), : n nj ⋅ ⋅ ×f    je nelinearna perturbacija koja zadovoljava uslov: ( )( ) ( )2, ,j j j j jk h k b k h b +− ≤ − ∈f x x  . (10.15) Lema 10.3 Thebyshev–ljeva nejednakost važi za bilo koji realni vektor iv : 1 1 1 T m m m T i i i i i i i m = = = ≤     v v v v . (10.16) Lema 10.4 Za bilo koje matrice W , F , G i Z istih dimenzija ( )m n× , ako je: W F G Z= + + , (10.17) tada za bilo koju pozitivnu kvadratnu matricu 0TP P= > dimenzije n i pozitivne konstante 1ε , 2ε i 3ε važi da je: ( ) ( ) ( )1 1 11 3 2 1 3 21 1 1T T T TW PW X P X Y PY Z P Zε ε ε ε ε ε− − −≤ + + + + + + + + . (10.18) Teorema 10.4 Sistem, dat jed. (10.13), je asimptotski stabilan ako je: ( ) 1 1 2 2 2 0 1 0 1 1 N M T j j j j j A N A A M b = = + + + <    , (10.19) Stojanovi et al. (2004.g). Primer 10.3 Razmatra se vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 1 2 1 21 1 2 , 2 ,k A k A k A k k k k k+ = + − + − + + −x x x x f x f x , gde je: Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 120 0 1 2 0,1 0,1 0,2 0 0,1 0,2 , , 0,1 0,15 0,2 0,1 0,05 0,1 A A A = = = −    , ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 2, 0,01 , 2 , 0,01 2k k k k k k≤ − ≤ −f x x f x x . Primenjujui Teoremu 10.4 sledi: ( )0 1 1 2 22 3 0,01 0,01 0,9282 1T TA A A A A+ + + + = < . Prema tome, razmatrani sistem je asimptotski stabilan, Stojanovi et al. (2004.g). U sluaju kada sistem, dat jed. (10.13), ne sadrži nelinearne perturbacije ( ) ( )( )1 2, , 0⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =f f , dobija se: 0 1 1 2 22 0,6833 T TA A A A A+ + = . Ovaj uslov je manje konzervativan u odnosu na uslov: 0 1 2 0,7272 1A A A+ + = < , prezentovan u radu Mori et al. (1982.b). Literatura Chou, J. H., “Stability Robustness of Linear State Space Models with Structured Perturbations”, Systems Control Lett., 15, (1990) 207–210. Chou, J. H., “Robustness of Pole–Assignment in Specified Circular Region for Linear Perturbed Systems”, Systems Control Lett., Vol. 16, (1991) 41–44. Chou, J. H., S. J. Ho, I. R. Horng, “Robustness of Disk–Stability for Perturbed Large–Scale Systems”, Automatica, Vol. 28, (1992) 1063–1066. Furukawa, K., S. B. Kim, “Pole–Assignment in a Specified Disk”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 32, (1987) 423–427. Gorecki, H., S. Fuksa, P. Grabovski, A. Korytowski, Analysis and Synthesis of Time Delay Systems, John Wiley & Sons, Warszawa, 1989. Hsiao, F. H., “ D –Stability Analysis for Discrete Uncertain Time–Delay Systems”, Appl. Math. Lett., 11 No 2, (1998) 109–114. Koepcke, R. W. “On the Control of Linear Systems with Pure Time Delay”, Trans. ASME J. Basic Eng., 3, (1965) 74–80. Lancaster, P., M. Tismenetsky, The Theory of Matrices, 2nd Edition, Academic press, New York, 1985. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 121 Lee, C., “ D –Stability of Continuous Time–Delay Systems Subjected to a Class of Highly Structured Perturbations”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 40, (1995) 1803–1807. Lee, C.H., T. H. S. Li, F. C. Kung, “ D –Stability Analysis for Discrete Systems with a Time Delay”, Systems Control Lett., 19, (1992) 213–219. Lee, T. T., S. H. Lee, “Discrete Optimal Control with Eigenvalues Assigned Inside a Circular Region”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 31, (1986) 958–962. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., 27, No. 4, (1982.b) 946–966. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, M. Lazi, V. Veljkovi, “ D –stability Analysis of Time Delay Technological Systems with Multiple Time Delays”, Proc. CHISA 2004, Prague (Czech Republic), Avgust 28–31, (2004.f) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, M. Lazi, V. Veljkovi, “Stability of Time Delay Technological Systems with Nonlinear Perturbations”, Proc. CHISA 2004, Prague (Czech Republic), Avgust 28–31, (2004.g) CD–Rom. Su, T. J., W. J. Shyr, “Robust D –Stability for Linear Uncertain Discrete Time– Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., 39, (1994) 425–428. Trinh, H., M. Aldeen, “ D –Stability Analysis of Discrete–Delay Perturbed Systems”, Internat. J. Control, Vol. 61, No. 2, (1995.a) 493–505. Tsao, T. C., “Simple Stability Criteria for Nonlinear Time–Varying Discrete Systems”, Syst. Contr. Lett., Vol. 22, (1994) 223–225. Vicino, A., “Robustness of Pole Location in Perturbed Systems”, Automatica, Vol. 25, (1989) 109–113. Wei, K., R. K. Yedavalli, “Robust Stabilizability for Linear Systems with Both Parameter Variation and Unstructured Uncertainty”, IEEE Trans. Automat. Control, 34, (1989) 149–156. Zeng, X. J., “Robust Stability for Linear Discrete–Time Systems with Structured Perturbations”, Internat. J. Control, 61, (1995) 739–748. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 122 11. EKSPONENCIJALNA STABILNOST PERTURBOVANIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA VIŠESTRUKIM ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM Poznato je da su stabilnost i robusnost osnovni zahtevi koji se postavljaju za sisteme automatskog upravljanja. U praksi, da bi se zadovoljile tehnike performanse i da bi sistem imao dobre prelazne karakteristike, sistemi automatskog upravljanja se esto projektuju da imaju rezervu stabilnosti. Ako sistem automatskog upravljanja ima rezervu stabilnost α , tada je on eksponencijalno stabilan. Nekoliko rezultata koji se bave problemom eksponencijalne stabilnosti je prezentovano u lit. Gruji, Šiljak (1974), Mori et al. (1982.a), Bourles et al. (1990) i Hmamed (1991.a. 1991.b). U industrijskim procesima, ista vremenska kašnjenja se esto prisutna prilikom prenosa informacija ili materijala izmeu razliitih delova sistema. Hemijski procesi, duge transmisione linije, telekomunikacioni sistemi i elektrane su tipini primeri sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. S obzirom da prisustvo isto vremenskog kašnjenja esto prouzrokuje znaajno pogoršanje stabilnosti i performansi sistema, znaajna pažnja je posveena problemima upravljanja sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Problem ispitivanja eksponencijalne stabilnosti sistema sa istim vremenskim kašnjenjem je komplikovaniji od ispitivanja eksponencijalne stabilnosti sistema bez prisustva isto vremenskog kašnjenja i/ili neodreenosti. U lit. Gruji, Šiljak (1974), Mori et al. (1982.a) i Hmamed (1991.a. 1991.b) razmatrani su problemi ispitivanja rezerve stabilnosti vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Proverom uslova stabilnosti i ponovnim izraunavanjem, može se oceniti rezerva stabilnosti linearnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Meutim, u radu Hsien, Lee (1995) razmatran je isti problem za vremenski diskretne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem Glavni razlog je injenica da se takvi sistemi mogu transformisati u proširene sisteme bez prisustva isto vremenskog kašnjenja. Ovo proširenje sistema, meutim, nije odgovarajue za sisteme sa nepoznatim, višestrukim istim vremenskim kašnjenjem ili za sisteme sa vremenski promenljivim kašnjenjima. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 123 U ovoj glavi e se razmatrati eksponencijalna stabilnost vremenski diskretnih sistema sa neodreenostima. Korišenjem Ljapunovljeve teoreme stabilnosti, dobie se kriterijum koji e garantovati eksponencijalnu stabilnost vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima. Prezentovae se dovoljan uslov, u formi kriterijuma zavisnog od isto vremenskog kašnjenja. Takoe, proširuju se rezultati dati u lit. Mori et al. (1982.b) i Tsao (1994). Linearni, autonomni, višestruko prenosni, perturbovani, vremenski diskretni sistem sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem može se predstaviti vektorskom diferencnom jednainom: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 1 , , 0 N M j j j j j j j k A A k h k h k M N h = = + = + ∆ − + − ≤ =  x x f x , (11.1) sa pridruženom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ) { }, , 1, ... , 0 , maxN N N iih h h hθ θ θ= ∈ − − + =x  , (11.2) gde je: ( ) nk ∈x  vektor stanja, n njA ×∈ konstantna matrica, a ista vremenska kašnjenja sistema su izražena celim brojevima +jh ∈  . M i N su dati celi brojevi. Vektor ( ) +, : n nj ⋅ ⋅ ×f    je nelinearna perturbacija koja zadovoljava uslov: ( )( ) ( )2, ,j j j j jk h k b k h b +− ≤ − ∈f x x  . (11.3) Lema 11.1 Thebyshev–ljeva nejednakost, Lee, Radovi (1987), važi za bilo koji realni vektor iv : 1 1 1 T m m m T i i i i i i i m = = = ≤     v v v v . (11.4) Lema 11.2 Za bilo koje matrice W , F , G i Z istih dimenzija ( )m n× , ako je: W F G Z= + + , (11.5) tada za bilo koju pozitivnu kvadratnu matricu 0TP P= > dimenzije n i pozitivne konstante 1ε , 2ε i 3ε važi da je: ( ) ( ) ( )1 1 11 3 2 1 3 21 1 1T T T TW PW X P X Y PY Z P Zε ε ε ε ε ε− − −≤ + + + + + + + + . (11.6) Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 124 Definicija 11.1 Sistem, dat jed. (11.1), ima rezervu stabilnosti α (eksponencijalno je stabilan), gde je 1α > realan, pozitivan skalar, ako se stanje sistema, datog jed. (11.1), može predstaviti u sledeem obliku: ( ) ( )kk kα −=x p , (11.7) a sistem odreen stanjem ( )kp je globalno asimptotski stabilan. U tom sluaju, parametar α se naziva brzina konvergencije (videti rad Sun, Hsieh (1996) za sluaj vremenski kontinualnih sistema). Teorema 11.1 Sistem, dat jed. (11.1), je asimptotski stabilan ako je: ( ) 1 1 2 2 2 0 1 0 1 1 N M T j j j j j A N A A M b = = + + + <    , (11.8) Stojanovi et al. (2004.g). Teorema 11.2 Sistem, dat jed. (11.1), je eksponencijalno stabilan ako je: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 20 1 0 1 1j j N Mh hT j j j j j A N A A M bα α α+ + = = + + + <  , (11.9) gde je α rezerva stabilnosti, Stojanovi, Debeljkovi (2006.a, 2006.c). Primer 11.1 Razmatra se vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem: ( ) ( ) ( )( )2 1 0 0 1 ,j j j j j j k A k h k h k = = + = − + − x x f x , gde je: 0 1 2 0,1 0,1 0,2 0 0,1 0,2 , , 0,1 0,15 0,2 0,1 0,05 0,1 A A A = = = −    , ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 1 1 1 1 2, 0,1 , , 0,1 , 1, 2k k k k h k k h h h≤ − ≤ − = =f x x f x x . Primenjujui Teoremu 11.1 sledi: ( )2 20 1 1 2 22 2 0,1 0,1 0,8833 1T TA A A A A+ + + + = < . Prema tome, razmatrani sistem sa poznatim, višestrukim istim vremenskim kašnjenjem je asimptotski stabilan. U sluaju kada sistem, dat jed. (11.1), ne sadrži nelinearne perturbacije ( ) ( )( )0 2, , 0⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =f f , dobija se: Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 125 0 1 1 2 22 0,6833 T TA A A A A+ + = . Ovaj uslov je manje konzervativan u odnosu na uslov: 0 1 2 0,7272 1A A A+ + = < , prezentovan u radu Mori et al. (1982.b). Primenjujui rezultate Teoreme 11.2 za data ista vremenska kašnjenja sledi da je rezerva stabilnosti: 1,0385α = . Takoe, sledi da polovi razmatranog vremenski diskretnog sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, sa prisutnim datim perturbacijama, leže unutar kruga, sa centrom u koordinatnom poetku u z ravni, iji je radijus 1 1,0385 0,9629r = = , Stojanovi, Debeljkovi (2006.a, 2006.c). Literatura Bourles, H., Y. Joannic, O. Mercier, “P–Stability and Robustness: Discrete–Time Case”, Int. J. Contr., Vol. 52, (1990) 1217–1239. Gruji, Lj. T., D. D. Šiljak, “Exponential Stability of Large–Scale Discrete Systems”, Int. J. Contr., Vol. 19, (1974) 481–491. Hmamed, A., “Further Results On the Robust Stability of Uncertain Time–Delay Systems”, Int. J. Syst. Sci., Vol. 22, (1991.a) 605–614. Hmamed, A., “Further Results on the Delay–Independent Asymptotic Stability of Linear Systems”, Int. J. Syst. Sci., Vol. 22, (1991.b) 1127–1132. Hsien, T. L., C. H. Lee, “Exponential Stability of Discrete Time Uncertain Systems with Time–Varying Delay”, Journal of the Franklin Institute, Vol. 332–B, No. 4, (1995) 479–489. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “On an Estimate of the Decay Rate for Stable Linear Delay Systems”, Int. J. Contr., Vol. 36, (1982.a) 95–97. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., 27, No. 4, (1982.b) 946–966. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Exponential Stability of Discrete Time Delay Systems with Nonlinear Perturbations”, 8th Biennial ASME Conference Eng Systems Design and Analysis, ESDA 2006, Torino (Italy), July 04–07, (2006), also in Proc. Asian Control Conference, Bali (Indonesia), July 18–21, (2006.a) 1–4. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 126 Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Exponential Stability of Discrete Time Delay Systems with Nonlinear Perturbations”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 2, No. 3, (2006.c) 428–435. Sun, Y. J., J. G. Hsieh, Y.C. Hsieh, “Exponential Stability Criterion for Uncertain Retarded Systems with Multiple Time–Varying Delays”, Journal of mathematical analysis and applications, 201, (1996) 430–446. Tsao, T. C., “Simple Stability Criteria for Nonlinear Time–Varying Discrete Systems”, Syst. Contr. Lett., Vol. 22, (1994) 223–225. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 127 12. KVADRATNA STABILNOST LINEARNIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM I NEODREENOSTIMA: PRILAZ SA POZICIJA LINEARNIH MATRINIH NEJEDNAKOSTI Analiza robusne stabilnosti sistema sa parametarskim neodreenostima su problemi koji pobuuju interesovanje mnogih istraživaa, lit. Chou (1990), Zeng (1995) i Bo et al. (2004). Tokom poslednjih decenija, znaajna pažnja je poklonjena problemu analize stabilnosti sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. U skladu sa naprednom teorijom robusnog upravljanja, za sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima, prezentovano je više metoda robusne stabilnosti u lit. Li, De Souza (1997), Su et al. (2003), Xia, Jia (2003), Wu et al. (2004) i Yue, Han (2005). Manje pažnje je poklonjeno odgovarajuim rezultatima za vremenski diskretne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem, koji su razmatrani u lit. Verriest, Ivanov (1995), Kapila, Haddad (1998), Song et al. (1999), Mahmoud (2000.a), Shi et al. (2000) i Fridman, Shaked (2005). Glavni razlog je injenica da se takvi sistemi mogu transformisati u proširene sisteme bez prisustva isto vremenskog kašnjenja. Ovo proširenje sistema, meutim, nije odgovarajue za sisteme sa nepoznatim, višestrukim istim vremenskim kašnjenjem ili za sisteme sa vremenski promenljivim kašnjenjima. Jedan od najpopularniji nain da se reši problem analize robusne stabilnosti je prilaz koji se zasniva na konceptu kvadratne stabilnosti, rad Xu et al. (2001.b) bez prisustva isto vremenskog kašnjenja i lit. Moheimani, Petersen (1997), Esfahani et al. (1998) i Su, Chu (1999) sa prisutnim isto vremenskim kašnjenjem. Kvadratna stabilnost znai da postoji Ljapunovljeva funkcija koja garantuje stabilnost sistema sa neodreenostima. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 128 U radu Xu et al. (2001.b) prezentovani su uslovi kvadratne stabilnosti linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju i neodreenostima u smislu nelinearnih matrinih nejednakosti, koje se nemogu efikasno numeriki rešiti. U ovoj glavi, ova poteškoa se prevazilazi prezentovanjem novih uslova kvadratne stabilnosti u smislu linearnih matrinih nejednakosti (LMI) koje se mogu rešiti uspešno korišenjem izvedenih algoritama konveksne optimizacije, Boyd et al. (1994). Takoe se razmatra analiza kvadratne stabilnosti linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju i neodreenostima. Razmatrani sistem sadrži isto vremensko kašnjenje u stanju i parametarske neodreenosti. Pretpostavlja se da su parametarske neodreenosti vremenski promenljive i ograniene norme. Razmatra se klasa linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju i neodreenostima: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 1 11k A A k k A A k k h B B k k+ = + ∆ + + ∆ − + + ∆x x x u , (12.1) gde je: ( ) nk ∈x  vektor stanja, ( ) mk ∈u  vektor upravljanja i h je pozitivan ceo broj. 0A , 1A i B su poznate realne konstantne matrice, ( )0A k∆ , ( )1A k∆ i ( )B k∆ su vremenski promenljive parametarske neodreenosti za koje se pretpostavlja da su u formi: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )0 10 1 A A BA k A k B k M F k N N N∆ ∆ ∆ = , (12.2) gde su M , 0A N , 1A N i BN konstantne matrice, a ( ) i jF k ×∈ je matrica neodreenosti koja zadovoljava uslov: ( ) ( )TF k F k I≤ . (12.3) Neodreenosti ( )0A k∆ , ( )1A k∆ i ( )B k∆ su dozvoljene ako važe i jed (12.2) i nejed. (12.3). U ovoj glavi, koriste se sledee definicije kvadratne stabilnosti sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima, datog jed. (12.1–12.3). Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 129 Definicija 12.1 Vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima, dat jed. (12.1–12.3), je kvadratno stabilan ako postoje matrice 0P > , 0Q > i skalar 0ε > tako da, za sve dozvoljene neodreenosti ( )0A k∆ i ( )1A k∆ , sistem, dat jed. (12.1), u slobodnom radnom režimu ( )( )0k ≡u , zadovoljava: ( ) ( ) ( ) 2ˆ1V k V k V k ε∆ = + − ≤ − x , (12.4) za sve parove ( ) 2ˆ, n∈ ×x k   , gde je: ( ) ( ) ( )ˆ TT Tk k k h = − x x x , (12.5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1kT T j k h V k k P k j Q j − = − = + x x x x . (12.6) U ovoj glavi prezentovae se potrebni i dovoljni uslove kvadratne stabilnosti za vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima, dat jed. (12.1–12.3). Teorema 12.1 Vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima, dat jed. (12.1–12.3), je kvadratno stabilan ako i samo ako postoje matrice 0P > i 0Q > i skalar 0δ > tako da važi sledei LMI uslov: 0 1 0 1 0 0 * 0 0* * 0 * * * 0 * * * * T T A T T A Q P A P N Q A P N P P M I I δ δ δ δ − − < − − −  , (12.7) Stojanovi, Debeljkovi (2008.c). Teorema 12.2 Vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima, dat jed. (12.1–12.3), je kvadratno stabilan ako i samo ako postoje matrice 0L > i 0W > i skalar 0e > tako da važi sledei LMI uslov: 0 1 0 1 0 * 0 * * 0 * * * T T A T T A T W L L A L N W L A L N L e M M e I − − < − + −  , (12.8) Stojanovi, Debeljkovi (2008.c). Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 130 Napomena 12.1 Lako se pokazuje da se Teorema 12.1 podudara sa Teoremom 1 u radu Xu et al. (2001.b). Naime, iz: 0 1 0 1 1 0 * 0 * * 0 * * * T T A T T A T Q P A P N Q A P N P P M M P I δ δ δ δ − − − < − + −  . (12.9) sledi: ( )01 0 1 0 1 1 1 0 * 0 0 * * 0 TT A T T A A A T NQ P A P Q A P N N N P P M M P δ δ δ δ δ δ − − − − + < − +   , (12.10) 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 * T T T T A A A AQ P N N A A N N A Aδ δ− − − + + Γ + Γ < −Γ  , (12.11) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 1 0 T T A A T T T T T A A A A S Q P N N A A N N A A N N A A δ δ δ − − − − − + + Γ + + Γ Γ + Γ <  , (12.12) gde je: 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 00, 0, 0 T T T A Ae P M M Q N N A Aδ δ δ− − − −> Γ − > Γ − − Γ >   . (12.13) Uslovi dati nejed. (12.12–12.13) su takoe izvedeni u radu Xu et al. (2001.b), ali na komplikovaniji nain. Potrebno je uoiti da uslovi dati nejed (12.12–12.13) nisu u formi LMI, tako da je postupak ispitivanja prilino komplikovan. U radu Xu et al. (2001.b) ovaj problem je delimino rešen, na osnovu sledeeg algoritma: 1. Usvajaju se proizvoljne vrednosti za varijable P , Q i δ . 2. Proveravaju se uslovi dati nejed. (12.12–12.13). Ako ovi uslovi nisu ispunjeni, ide se na korak 1, a ako su ispunjeni sistem, dat jed. (12.1–12.3), je kvadratno stabilan. Ako razmatrani sistem nije kvadratno stabilan, ovaj proces se stalno ponavlja. U ovoj glavi, LMI uslovi dati nejed. (12.7) i nejed. (12.8) se svode na izvodljiv problem, Boyd et al. (1994), koji se može uspešno rešiti korišenjem izvedenih algoritama konveksne optimizacije, Stojanovi, Debeljkovi (2008.c). Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 131 Primer 12.1 Razmatra se linearni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju i parametarskim neodreenostima, dati jed. (12.1–12.3), u slobodnom radnom režimu sa sledeim parametrima: 0 1 0,5 0,4 0,3 0,1 0,3 , , 0,2 0,6 0,1 0,1 0,1 A A M − − = = = − −    , ( ) ( )0 10,15 0,1 , 0,2 0,1 , 2A AN N h= = = , Xu et al. (2001.b), (Primer 1). Radi poreenja rezultata, prvo se ispituje stabilnost razmatranog sistema korišenjem uslova datih nejed. (12.12) i nejed. (12.13) izvedenih u radu Xu et al. (2001.b) i zatim korišenjem LMI uslova datih nejed. (12.7) i nejed. (12.8) dobijenih u ovoj glavi. Uslovi dati nejed. (12.12) i nejed (12.13), Xu et al. (2001.b), (Teorema 1). Usvaja se: 0,7385 0,0882 1,1486 0,0065 , , 2,8430 0,0882 2,4882 0,0065 1,2895 P Q δ− = = = −   . Korišenjem uslova datih nejed. (12.12) i nejed. (12.13) iz rada Xu et al. (2001.b) sledi: ( ) { }1 20,7483 0,1912 , 0, 0, 0,102, 0,791 00,1912 0,0588S S Sλ − = Γ > Γ > = −  Γ > = < −  . Prema tome, na osnovu nejed. (12.12) i nejed. (12.13) sledi da je razmatrani sistem kvadratno stabilan. LMI uslovi. Za prethodni sistem, LMI uslovi dati nejed. (12.7) i nejed. (12.8) su izvodljivi i dobija se: Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 132 2,7385 0,0882 1,1486 0,0065 , , 2,843 0,0882 4,4882 0,0065 1,2895 P Q δ− = = = −   , 231,524 12,297 98,998 7,472 , , 145,45 12,297 161,692 7,472 47,645 L W e − − = = = − −   . Iz Teoreme 12.1 ili Teoreme 12.2, sledi da je sistem kvadratno stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2008.c). Literatura Bo, Y., Z. Qing–Ling, C. Yue–Peng, “Robust Quadratic Stability and Stabilization with Integrity for Uncertain Discrete Singular Systems”, Facta Universitatis, Series Mechanical Engineering, 2, (2004) 25–34. Boyd, S., L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM, Philadelphia, PA, 1994. Chou, J. H., “Stability Robustness of Linear State Space Models with Structured Perturbations”, Systems Control Lett., 15, (1990) 207–210. Esfahani, S. H., S. O. R. Moheimani, I. R. Petersen, “LMI Approach Suboptimal Quadratic Guaranteed Cost Control for Uncertain Time–Delay Systems”, IEE Proc. Control Theory A, 145, (1998) 491–498. Fridman, E., U. Shaked, “Delay–Dependent H Control of Uncertain Discrete Delay Systems”, European Journal of Control, 11, (2005.a) 29–37. Kapila, V., W. Haddad, “Memoryless H Controllers for Discrete–Time Systems with Time Delay”, Automatica, 34, (1998) 1141–1144. Li, X., C. De Souza, “Delay–Dependent Robust Stability and Stabilization of Uncertain Linear Delay Systems: A Linear Matrix Inequality Approach”, IEEE Trans. on Automat. Control, 42, (1997) 1144–1148. Mahmoud, M. S., “Robust H Control of Discrete Systems with Uncertain Parameters and Unknown Delays”, Automatica, 36, (2000.a) 627–635. Moheimani, S. O. R., I. R. Petersen, “Optimal Quadratic Guaranteed Cost Control of a Class of Uncertain Time–Delay Systems”, IEE Proc. Control Theory A, 144, (1997) 183–188. Stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 133 Shi, P., R. K. Agarwal, E. K. Boukas, S. P. Shue, “Robust H State Feedback Control of Discrete Time–Delay Linear Systems with Norm–Bounded Uncertainty”, Internat. J. Systems Sci., 31, (2000) 409–415. Song, S., J. Kim, C. Yim, H. Kim, “H Control of Discrete–Time Linear Systems with Time–Varying Delays in State”, Automatica, 35, (1999) 1587–1591. Su, H., J. Chu, “Robust H Control for Linear Time–Varying Uncertain Time– Delay Systems via Dynamic Output Feedback”, Internat. J. Systems Sci., 30, (1999) 1093–1107. Stojanovi, S. B, D. Lj. Debeljkovi, “Quadratic Stability and Stabilization of Uncertain Linear Discrete Time Systems with State Delay: A LMI Approach”, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, (Canada), Vol. 15, Series B: Applications and Algorithms, No. 2, (2008.c) 195–206. Su, N. J., H. Y. Su, J. Chu, “Delay–Dependent Robust H Control for Uncertain Time–Delay Systems”, IEE Proc.Control Theory Appl., Vol. 150, No. 5 (2003) 489–492. Verriest, E. I., A. F. Ivanov, “Robust Stability of Delay–Difference Equations”, Proc. IEEEE Conf. on Dec. and Control, New Orleans, LA, (1995) 386–391. Wu, M., Y. He, J. H. She, G. P. Liu, “Delay–Dependent Criteria for Robust Stability of Time–Varying Delay Systems”, Automatica, 4, (2004) 1435–1439. Xia, Y., Y. Jia, “Robust Control of State Delayed Systems with Polytrophic Type Uncertainties via Parameter–Dependent Lyapunov Functionals”, Systems Control Lett., 50, (2003) 183–193. Xu, S., J. Lam, C. Yang, “Quadratic Stability and Stabilization of Uncertain Linear Discrete–Time Systems with State Delay”, Systems Control Lett., 43, (2001.b) 77–84. Yue, D., Q. L. Han, “Delayed Feedback Control of Uncertain Systems with Time– Varying Input Delay”, Automatica, 41, (2005) 233–240. Zeng, X. J., “Robust Stability for Linear Discrete–Time Systems with Structured Perturbations”, Internat. J. Control, 61, (1995) 739–748. Stabilnost u smislu Ljapunova velikih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 134 VIII STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA VELIKIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 13. STABILNOST VELIKIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM Oslanjajui se na dostupne izvore, prvenstveno na lit. Gruji (1972, 1974), lako se uoava da se pravi interes za prouavanje velikih, vremenski diskretnih sistema pojavio znatno kasnije u odnosu na kontinualne. Tako, u prvom radu posveenom ovoj klasi sistema, Araki et al. (1971), prouava se jedna veoma uska klasa velikih, nelinearnih, nestacionarnih sistema. U radu Gruji, Šiljak (1972.a) odreeni su dovoljni uslovi stabilnosti jedne šire klase velikih, vremenski diskretnih sistema. Ljapunovsku stabilnost kako vremenski kontinualnih tako i vremenski diskretnih velikih sistema, prvi su razmatrali Lee, Radovi (1987, 1988). U nastavku se razmatra odgovarajua problematika vezana za ispitivanje pomenutog koncepta stabilnosti velikih, vremenski diskretnih sistema. Razmatra se linearni, vremenski diskretni, veliki, autonomni sistem sastavljen od N meusobno povezanih podsistema iS . U dinamikom smislu svaki podsistem iS opisan je svojom vektorskom diferencnom jednainom stanja: ( ) ( ) ( ) 1 S : 1 N i i i i ij j ij j k A k A k h = + = + −x x x , (13.1.a) i pridruženom funkcijom poetnih stanja: Stabilnost u smislu Ljapunova velikih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 135 ( ) ( ) { }, , 1 , , 0 , 1i ii i m mh h i Nθ θ θ= ∈ − − + ≤ ≤x   . (13.1.b) ( ) ini k ∈x  je vektor stanja, i in niA ×∈ oznaava matricu sistema a i jn nijA ×∈ predstavljaju matrice veza izmeu i –tog i j –tog podsistema. Konstantno isto vremensko kašnjenje ijh uzima vrednost iz skupa pozitivnih celih brojeva max im jij h h= . Neka je data skalarna funkcija : nV →  , tako da je ista ( )( )V kx ograniena za sve vrednosti svog argumenta x za koje je njegova norma x , takoe, ograniena. Posmatra se, prvo, sistem, dat jed. (13.1), sastavljen od dva podsistema, 2N = . Teorema 13.1 Neka je dat sledei sistem matrinih jednaina: 11 211 1 1 11 1 1 1 1 11 1 21 0 m m m mh h h h h hR R A R A R S A+ − −− − − = , (13.2) 22 122 2 2 21 1 1 2 1 22 1 12 0 m m m mh h h h h hR S R S A R S A R A+ − −− − − = , (13.3) pri emu su 1A , 2A , 11A , 12A , 21A i 22A matrice sitema, datog jed. (13.1), za 2N = , a sa ( )in je oznaena dimenzionalnost podsistema, Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). Ukoliko postoji rešenje sistema matrinih jednaina (13.2–13.3) po nepoznatim matricama 1 11 n nR ×∈ i 1 2n nS ×∈ tada sopstvene vrednosti matrice 1R pripadaju skupu korena karakteristine jednaine sistema, datog jed. (13.1), za 2N = . Teorema 13.2 Neka je dat sledei sistem matrinih jednaina: 22 122 2 2 21 2 2 2 2 22 2 12 0 m mm m h h h hh hR R A R A R S A− −+ − − − = , (13.4) 211 111 1 11 2 2 1 2 11 2 21 0 m m mmh h h hh hR S R S A R S A R A+ −−− − − = , (13.5) pri emu su 1A , 2A , 11A , 12A , 21A i 22A matrice sitema, datog jed. (13.1), za 2N = , a sa ( )in je oznaena dimenzionalnost podsistema. Ukoliko postoji rešenje sistema matrinih jednaina (13.4–13.5) po nepoznatim matricama 2 22 n nR ×∈ i 2 1n nS ×∈ tada sopstvene vrednosti matrice 2R pripadaju skupu korena karakteristine jednaine sistema, datog jed. (13.1), za 2N = , Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). Stabilnost u smislu Ljapunova velikih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 136 Posledica 13.1 Ako je sistem, dat jed. (13.1), asimptotski stabilan tada su matrice 1R i 2R , definisane jed. (13.2–13.3) i jed. (13.4–13.5), sledstveno, diskretno stabilne, Stojanovi, Debeljkovi (2004.b) Definicija 13.1 Matrice 1R , odnosno 2R , koje zadovoljavaju sistem matrinih jednaina (13.2–13.3), odnosno jed. (13.4–13.5), sledstveno, nazivamo solventima ovih sistema matrinih jednaina, Stojanovi, Debeljkovi (2004.b) Definicija 13.2 Koren karakteristine jednaine sistema, datog jed. (13.1), mλ ⊂  sa maksimalnim modulom ( )( )max max Am iiλ λ= Σ = , naziva se maksimalni koren (sopstvena vrednost) sistema, datog jed. (13.1) , Stojanovi, Debeljkovi (2004.b) Definicija 13.3 Svaki solvent mR sistema matrinih jed. (13.2–13.3), odnosno jed. (13.4–13.5), iji spektar sadrži maksimalnu sopstvenu vrednost mλ sistema, datog jed. (13.1), naziva se maksimalni solvent, Stojanovi, Debeljkovi (2004.b) Teorema 13.3 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni solvent sistema matrinih jed. (13.2–13.3) i sa 1mR se oznaava jedan od njih. Tada je sistem, dat jed. (13.1), za 2N = , asimptotski stabilan ako i samo ako za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > kao rešenje sledee diskretne Ljapunovljeve jednaine: 1 1m mR P R P Q∗ − = − , (13.6) Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). Teorema 13.4 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni solvent sistema matrinih jed. (13.4–13.5) i sa 2mR se oznaava jedan od njih. Tada je sistem, dat jed. (13.1), za 2N = , asimptotski stabilan ako i samo ako za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > kao rešenje sledee diskretne Ljapunovljeve jednaine: 2 2m mR P R P R ∗ − = − , (13.7) Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). Stabilnost u smislu Ljapunova velikih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 137 Iz predhodnog izlaganja sledi da je za ispitivanje asimptotske stabilnosti sistema, datog jed. (13.1), sasvim svejedno da li se koristi matrica 1mR ili 2mR . U vezi toga uvodi se sledea definicija. Definicija 13.4 Vremenski diskretni sistem: ( ) ( )1 imk R k+ =x x , (13.8) gde je matrica i mR maksimalni solvent sistema matrinih jed. (13.2–13.3) za 1i = , odnosno maksimalni solvent sistema matrinih jed. (13.4–13.5) za 2i = , naziva se i –ti diskretni, ekvivalentni sistem koji odgovara diskretnom, velikom sistemu sa kašnjenjem, datom jed. (13.1). Matrica i mR naziva se matricom i –tog diskretnog, ekvivalentnog sistema, Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). Dakle, i –ti diskretni, ekvivalentni sistem se može iskoristiti za ispitivanje stabilnosti odgovarajueg diskretnog, velikog sistema sa kašnjenjem, što je u numerikom smislu mnogo jednostavniji problem. Zakljuak 13.1 U veini sluajeva, ukoliko se dati veliki, linearni, vremenski diskretni sistem sastoji od N podsistema, mogue mu je pridružiti N odgovarajuih diskretnih, ekvivalentih sistema. Svaki od njih se, sasvim ravnopravno, može iskoristiti za ispitivanje stabilnosti polaznog velikog sistema. Jedini uslov je da postoji bar jedan maksimalni solvent kao rešenje odgovarajueg sistema matrinih jed. (13.2–13.3), ili jed. (13.4–13.5), Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). Zakljuak 13.2 Matrine jed. (13.6) i jed. (13.7) su u formi Ljapunovljevih matrinih jednaina ispisanih za obine sisteme bez kašnjenja, kao da je u pitanju sistem, dat jed. (13.8). Matrica i mR sadrži neohodne informacije u odnosu na potrebne osobine i strukturu organizovanosti razmatranog velikog, diskretnog sistema. Prema tome, ispitivanje stabilnosti velikog, diskretnog sistema može se svesti na proveru ove znaajne osobine na diskretnom, ekvivalentom sistemu. Dimenzija sistema, datog jed. (13.1), iznosi ( ) ( )( )1 21 21 1m mn h n h+ + + (videti Teoremu 13.7). Nasuprot tome, dimenzija i –tog diskretnog, ekvivalentnog sistema iznosi samo in , pa je oigledna razlika u redovima ova dva sistema. Stabilnost u smislu Ljapunova velikih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 138 Zbog toga je predložena metoda ispitivanja stabilnosti sistema, datog jed. (13.1), u prednosti nad tradicionalnom procedurom ispitivanja stabilnosti pomou sopstvenih vrednosti matrice ekvivalentnog sistema (videti Teoremu 13.7). U postojeoj literaturi ne postoje adekvatne numerike metode za direktno izraunavanje maksimalnih solvenata sistema matrinih jed. (13.2–13.3) ili jed. (13.4–13.5). Do pojedinanog rešenja pomenutih jednaina može se doi primenom minimizacionih metoda, koje zahtevaju poetno pogaanje. Pri tome konvergencija ovih rešenja direktno zavisi od poetnog pogaanja. Maksimalni solvent se dobija izdvajanjem bilo kog solventa, iz ovako dobijenog skupa rešenja pomenutih sistema matrinih jednaina, koji sadrži maksimalnu sopstvenu vrednost mλ . Nedostatak ove metode zasniva se na injenici da maksimalni solvent uopšte ne mora da egzistira. U tom sluaju predložena metoda se ne može iskoristiti za ispitivanje stabilnosti sistema, datog jed. (13.4), Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). U nastavku se razmatra veliki, vremenski diskretni sistem sa kašnjenjem, dat jed. (13.1), sainjen od N podsistema. Teorema 13.5 Neka je dat sledei sistem matrinih jednaina: 1 0, , , 1m m m jii i i i N h h h h n n i i i j ji i n j R S R S A R S A S S I i N+ − × =1 − − = ∈ = ≤ ≤  , (13.9) za dato , 1 N≤ ≤ , pri emu su iA i jiA , 1 i N≤ ≤ , 1 j N≤ ≤ , matrice sistema, datog jed. (13.1), in redovi podsistema i ijh kašnjenje u sistemu. Ukoliko za dato , 1 N≤ ≤ , postoji rešenje sistema matrinih jednaina (13.9), po nepoznatim matricama n nR ×∈  i iS , 1 i N≤ ≤ , i ≠ , tada važi ( ) NRσ ⊂  , gde je N skup svih korena karakteristine jednaine sistema, datog jed. (13.1), Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). Teorema 13.6 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni solvent sistema matrinih jednaina (13.9) za dato , 1 N≤ ≤ i neka nR oznaava jedan od njih. Tada je sistem, dat jed. (13.1), asimptotski stabilan ako i samo ako za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > kao rešenje sledee Ljapunovljeve matrine jednaine: Stabilnost u smislu Ljapunova velikih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 139 m mR P R P Q∗ − = − , (13.10) Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). U nastavku sledi potreban i dovoljan uslov asimptotske stabilnosti sistema, datog jed. (13.1), iskazan preko stabilnosti sistema bez kašnjenja, pomou takozvane ekvivalentne matrice eqA . Naime, sledea teorema bazira se na injenici da diskretni sistem sa kašnjenjem pripada klasi konano dimenzionalnih sistema. Red ovih sistema je vrlo visok i zavisi od kašnjenja. Teorema 13.7 Sistem, dat jed. (13.1), je asimptotski stabilan ako i samo ako je ispunjen sledei uslov: ( ) 1eqAρ < , (13.11) gde je matrica eqA definisana na sledei nain: ( ) 1 , ( 1), maxe e i i N N N eq ij e i m m jiji A A N n h h h× = = ∈ = + = , (13.12) ( ) ( )1 1 1 ... ... 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 i i m i mi i i i ii i ii n n h n h neqii n h A A I IA I + × + + ↓ ↓ = ∈                 , (13.13) ( ) ( )1 1 1 ... 1 0 0 0 0 0 0 0 0 i m j mi j ij ij n h n h eqij h A A + × + + ↓ ↓ = ∈              , (13.14) pri emu su iA i ijA , 1 i N≤ ≤ , 1 j N≤ ≤ , matrice sistema, datog jed. (13.1), Stojanovi, Debeljkovi (2004.b). Stabilnost u smislu Ljapunova velikih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 140 Literatura Araki, M., K. Ando, B. Kondo, “Stability of Sampled–Data Composite Systems with Many Nonlinearities”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–16 (1), (1969) 22–27. Gruji, Lj. T., Large–Scale Sysems Stability, (in Serbian), Faculty of Mechanical Eng., Belgrade, 1974. Gruji, Lj. T., D. D. Šiljak, “On Stability of Discrete Composite Systems”, Proc. Princeton Conf. On Information Science and Systems, Priceton, March, (1972.b) 23–24. Gruji, Lj. T., D. D. Šiljak, “Stability of Large–Scale Systems with Stable and Unstable Systems” Proc. JACC Conference, California (USA), (1972.a). Kalman, R. E., J. E. Bertram, “Control System Analysis and Design via the ‘Second Method’ of Lyapunov, I – Continuous Time Systems”, Trans. AMSE J. Basic Eng., 82, June, (1960.a) 371–393. Kalman, R. E., J. E. Bertram, “Control System Analysis and Design via the ‘Second Method’ of Lyapunov, II – Discrete Time Systems”, Trans. AMSE J. Basic Eng., 82, June, (1960.b) 394–400. Lee, T. N., U. L. Radovi, “General Decentralized Stabilization of Large–Scale Linear Continuous and Continuous Time–Delay Systems,” Int. J. Contr., Vol. 46, No. 6, (1987) 2127–2140. Lee, T. N., U. L. Radovi, “Decentralized Stabilization of Linear Continuous and Continuous Time–Delay Systems with Delays in Interconnections,” IEEE Trans. Automat. Control, Vol. AC–33, (1988) 757–761. Mori, T., N, Fukuma, M. Kuwahara, “On an Estimate of the Decay Rate for Stable Linear Delay Systems”, Int. J. Control, 36 (1), (1982.a) 95–97. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Large Scale Time Delay Autonomous System”, 7th Biennial ASME Conference Eng. Systems Design and Analysis, ESDA 2004, Manchester (UK), July 19–22, (2004.b) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Large Scale Time Delay Autonomous System”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.e) CD–Rom. Stabilnost u smislu Ljapunova velikih diskretnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 141 Stojanovi S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Stability of Large Scale Linear Discrete Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, Proc. The 5th Edition of IFAC Knowledge and Technology Transfer Conference Series on Automation for Buliding the Infrastructure in Developing Countries (DECOM 2007), Cesme–Izmir (Turkey), May 17–19, (2007.a) CD–Rom. Stojanovi S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Criteria for Stability of Large–Scale Linear Discrete Time–Delay Systems”, Proc. European Control Conference (ECC), Kos (Greece), July 2–5, (2007.b) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Stability of Linear Large Scale Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 4, No. 2, (2008.b) 241–250. Stabilnost u smislu Ljapunova velikih kontinualnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 142 IX STABILNOST U SMISLU LJAPUNOVA VELIKIH VREMENSKI KONTINUALNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 14. STABILNOST VELIKIH VREMENSKI KONTINUALNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM Prema dostupnim saznanjima autora, prvi rad koji se bavio ljapunovskom stabilnošu velikih, vremenski kontinualnih sistema, je rad Bailey–a (1966), gde je razmatrana pomenuta klasa sistema sa eksponencijalno stabilnim podsistemima, da bi se ova problematika u radu Gruji, Šiljak (1972.a) bila proširena i na sisteme sa eksponencijalno nestabilnim podsistemima. U hronološkom redu mogu se navesti i znaajni doprinosi koji su dati u lit. Michel (1970.b), Thomson (1970) i Šiljak (1971), barem kada je re o vremenski kontinualnim sistemima. Analizirajui dalje veliko interesovanje autora na ovom polju, može se sa sigurnošu rei, da je na ovim prostorima izuzetne rezultate i doprinose na ovom polju dao Gruji (1972, 1974) u svojoj doktorskoj disertaciji i u brojnim, kasnije publikovanim radovima, koji su pobrojani u monografiji Gruji et al. (1984) koja, po oceni autora ove disertacije, sigurno predstavlja najvei domet u ljapunovskoj stabilnosti najrazliitijih klasa vremenski kontinualnih, velikih sistema. Proširenje koncepta stabilnosti u smislu Ljapunova na klasu linearnih, vremenski kontinualnih, velikih sistema sa kašnjenjem dato je u lit. Lee, Radovi (1987, 1988), Wang et al. (1995) i Wang, Mau (1997). Razmatra se linearni, vremenski kontinualni, veliki, autonomni sistem sastavljen od N meusobno povezanih podsistema Si . Stabilnost u smislu Ljapunova velikih kontinualnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 143 U dinamikom smislu svaki podsistem Si opisan je svojom vektorskom diferencijalnom jednainom stanja: ( ) ( ) ( ) 1 S : N i i i i ij j ij j t A t A t τ = = + −x x x , (14.1) i pridruženom funkcijom poetnih stanja: ( ) ( ) { }, , 0 , 1ii i m i Nθ θ θ τ= ∈ − ≤ ≤x ϕ , (14.2) gde je ( ) ini t ∈x  vektor stanja podsistema, i in niA ×∈ oznaavaju matrice podsistema a i j n n ijA × ∈ reprezentuju matrice uspostavljenih veza izmeu i –tog i j –tog podsistema. Sa ijτ ozaeno je isto vremensko kašnjenje, dok je maxim jijτ τ= . Neka je data skalarna funkcija : nV →  , tako da je ista ( )( )V tx ograniena za sve vrednosti svog argumenta x za koje je njegova norma x , takoe, ograniena. Izlažu se rezultati, u osnovi, dati u radu Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Razmatra se, prvo, veliki sistem koji se sastoji samo od dva podsistema, tj. 2N = . Teorema 14.1 Neka je dat sledei sistem matrinih jednaina: 1 11 1 21 1 1 11 21 0 R RR A e A e S Aτ τ− −− − − = , (14.3) 1 21 1 22 1 2 12 22 0 R RR S S A e A e S Aτ τ− −− − − = , (14.4) pri emu su: 1A , 2A , 11A , 12A , 21A i 22A matrice sitema, datog jed. (14.1), za 2N = , ( )in red podsistema i ijτ vremensko kašnjenje sistema. Ukoliko postoji rešenje sistema matrinih jednaina (14.3–14.4) po nepoznatim matricama 1 11 n nR ×∈ i 1 2n nS ×∈ , tada sopstvene vrednosti matrice 1R pripadaju skupu korena karakteristine jednaine sistema, datog jed. (14.1), za 2N = , Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Teorema 14.2 Neka je dat sledei sistem matrinih jednaina: 2 12 2 22 2 2 12 22 0 R RR A e S A e Aτ τ− −− − − = , (14.5) 2 11 2 21 2 1 11 21 0 R RR S S A e A e Aτ τ− −− − − = , (14.6) Stabilnost u smislu Ljapunova velikih kontinualnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 144 gde su: 1A , 2A , 11A , 12A , 21A i 22A matrice sitema, datog jed. (14.1), za 2N = , ( )in red podsistema i ijτ vremensko kašnjenje sistema. Ukoliko postoji rešenje sistema matrinih jednaina (14.5–14.6) po nepoznatim matricama 2 22 n nR ×∈ i 2 1n nS ×∈ , tada sopstvene vrednosti matrice 2R pripadaju skupu korena karakteristine jednaine sistema, datog jed. (14.1), za 2N = , Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Posledica 14.1 Ako je sistem, dat jed. (14.1), asimptotski stabilan, tada su matrice 1R i 2R , definisane jed. (14.3–14.4) i jed. (14.5–14.6), stabilne (Hurvicove) matrice, sledstveno, Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Definicija 14.1 Matrica 1R ( )2R naziva se solvent sistema matrinih jednaina (14.3–14.4) (jed. (14.5–14.6)). Definicija 14.2 Svaki koren karakteristine jednaine mλ sistema, datog jed. (14.1), koji zadovoljava sledei uslov: { }{ }: , Re max Re :m m m ms s s s sλ = ∈Σ = ∈Σ , (14.7) naziva se maksimalni koren (maksimalna sopstvena vrednost) sistema, datog jed.(14.1). Valja uoiti da je mλ u stvari koren karakteristine jednaine ( ) ( ) 0 det , ,ˆ jj j j g s G s S a s a ∞ = = = ∈  , sa najveim realnim delom. Definicija 14.3 Svaki solvent 1mR ( )2mR sistema matrinih jednaina (14.3–14.4) (jed. (14.5–14.6)), iji spektar sadrži najveu sopstvenu vrednost mλ sistema, datog jed. (14.1), naziva se maksimalni solvent datog sistema matrinih jednaina. Teorema 14.3 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni solvent sistema matrinih jednaina (14.3–14.4) i oznaava se sa 1mR . Tada je sistem, dat jed. (14.1), za 2N = , asimptotski stabilan ako i samo ako za proizvoljno izabranu matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > kao rešenje sledee Ljapunovljeve matrine jednaine: * 1 1m mR P P R Q+ = − , (14.8) Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Stabilnost u smislu Ljapunova velikih kontinualnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 145 Teorema 14.4 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni solvent sistema matrinih jednaina (14.5–14.6) i oznaava se sa 2mR . Tada je sistem, dat jed. (14.1), za 2N = , asimptotski stabilan ako i samo ako za proizvoljno izabranu matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > kao rešenje sledee Ljapunovljeve matrine jednaine: * 2 2m mR P P R Q+ = − , (14.9) Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Iz prethodno reenog i pokazanog nedvosmisleno sledi zakljuak, da nema razlike u testiranju asimptotske stabilnosti razmatranog sistema bilo da se, tom prilikom, koristi matrica 1mR ili matrica 2mR . S tim ciljem i da bi se još pojasnili neki detalji uvodi se sledea definicija. Definicija 14.4 Vremenski kontinualni, linearni sistem: ( ) ( )i mt R t=x x , (14.10) gde je matrica i mR definisana jed. (14.3–14.4) za 1i = i jed. (14.5–14.6) za 2i = , sledstveno, naziva se i –ti kontinualni, ekvivalentni sistem za kontinualni, veliki sistem sa kašnjenjem. Matrica i mR naziva se matricom i –tog kontinualnog, ekvivalentnog sistema. Oznaka za i –ti kontinualni, ekvivalentni sistem podrazumeva da se kontinualni, ekvivalentni sistem bez kašnjenja može pridružiti odgovarajuem kontinualnom, linearnom, velikom sistemu sa kašnjenjem, ranije datog jed. (14.1), Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Zakljuak 14.1 Matrine jed. (14.8) i jed. (14.9) date su u formi koje odgovaraju Ljapunovljevim matrinim jednainama za obine, vremenski kontinualne sisteme (bez kašnjenja), jed. (14.10). U tom smislu matrica i mR sadrži informaciju o odgovarajuem vremenski kontinualnom, velikom sistemu i njegovoj strukturi, Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Zakljuak 14.2 Primenjujui Teoremu 14.3 i Teoremu 14.4, ispitivanje stabilnosti sistema, datog jed. (14.1), svodi se na ispitivanje stabilnosti odgovarajueg i –tog ekvivalentnog, kontinualnog sistema koji je ustvari obian (klasian), linearni, vremenski kontinualni sistem bez prisustva isto vremenskog kašnjenja. Stabilnost u smislu Ljapunova velikih kontinualnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 146 Dimenzija sistema, datog jed. (14.1), je beskonana, dok je dimenzija i –tog ekvivalentnog, kontinualnog sistema konana i iznosi in , Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Zakljuak 14.3 Za ispitivanje stabilnost sistema, datog jed. (14.1), Teorema 14.3 i Teorema 14.4 su meusobno u potpunosti jednake. Prema tome, može se zakljuiti da ne postoji razlika u ispitivanju asimptotske stabilnosti razmatranog sistema bilo da se koristi matrica 1mR ili 2mR . Jedini uslov je da postoji najmanje jedna od ovih matrica kao rešenje odgovarajueg sistema matrinih jednaina. U suprotnom, nemogue je primeniti ove teoreme, Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Zakljuak 14.4. Prezentovani kriterijumi stabilnosti su izraženi u formi potrebnih i dovoljnih uslova i kao takvi nemaju konzervatizam kao postojei dovoljni kriterijumi stabilnosti, Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Zakljuak 14.5 Prema dostupnim saznanjima, u postojeoj literaturi, ne postoje adekvatne numerike metode za direktno izraunavanje maksimalnih solvenata 1mR ili 2mR sistema matrinih jednaina (14.3–14.4) ili (14.5–14.6), sledstveno. Umesto toga, korišenjem razliitih poetnih vrednosti solvenata iR , prvo se odreuje što je mogue širi skup rešenja sistema matrinih jednaina (14.3–14.4) ili (14.5–14.6) primenjujui, na primer, metodu minimizacije koja se zasniva na nelinearnom algoritamu najmanjih kvadrata. Poetne vrednosti solvenata direktno utiu na konvergenciju rešenja. Konano, iz tako dobijenog skupa rešenja, maksimalni solvent se dobija izolovanjem solventa ije sopstvene vrednosti odgovaraju korenu karakteristine jednaine sistema, datog jed. (14.1), sa najveim realnim delom, Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). U nastavku se razmatra vremenski kontinualni, veliki sistem sa kašnjenjem, dat jed. (14.1), sastavljen od N podsistema. Teorema 14.5 Neka je dat sledei sistem matrinih jednaina: 0, , , 1l ji l i l N R n n l i i i j ji i l n j R S S A e S A S S I i Nτ− × =1 − − = ∈ = ≤ ≤  , (14.11) Stabilnost u smislu Ljapunova velikih kontinualnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 147 za dato l , 1 l N≤ ≤ , gde su iA i jiA , 1 i N≤ ≤ , 1 j N≤ ≤ matrice sistema, datog jed. (14.1). jiτ je vremensko kašnjenje posmatranog sistema. Ukoliko postoji solvent sistema matrinih jednaina (14.11) po nepoznatim matricama l ln nlR × ∈ i iS , 1 i N≤ ≤ , i l≠ , tada sopstvene vrednosti matrice lR pripadaju skupu korena karakteristine jednaine sistema, datog jed. (14.1), Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Teorema 14.6 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni solvent sistema matrinih jednaina (14.11) za dato l , 1 l N≤ ≤ i neka l mR oznaava jedan od njih. Tada je linearni, vremenski kontinualni, veliki sistem, dat jed. (14.1), asimptotski stabilan ako i samo ako za proizvoljno izabranu matricu * 0Q Q= > postoji matrica * 0P P= > kao rešenje sledee Ljapunovljeve matrine jednaine: * l n l nR P R P Q− = − , (14.12) Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Zakljuak 14.6 Neka od N sistema matrinih jednaina, koji su definisani jed. (14.11), njih M N≤ daju kao rešenje maksimalne solvente. Tada je velikom, linearnom, vremenski kontinualnom sistemu, datom jed. (14.1), mogue pridružiti M odgovarajuih ekvivalentnih, kontinualnih sistema koji se, meusobno potpuno ravnopravno, mogu iskoristiti za ispitivanje stabilnosti polaznog velikog sistema, Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). Literatura Bailey, F. N., “The Aplication of Lyapunov’s Second Method to Interconnected Systems”, SIAM J. Control, Ser. A., Vol. 3, No. 3, (1966) 443–462. Gruji, Lj. T., Large–Scale Systems Stability, Ph. D. Thesis (in Serbian), Mechanical Eng. Dept., University of Belgrade, Belgrade, May, 1972. Gruji, Lj. T., Stabilnost velikih sistema, Mašinski fakultet, Beograd, 1974. Gruji, Lj. T., D. D. Šiljak, “Stability of Large–Scale Systems with Stable and Unstable Systems”, Proc. JACC Conference, California (USA), (1972.a). Gruji, Lj. T., A. A. Martinjuk, M. Ribbens–Pavella, Stability of Large Scale Systems under Structural and Singular Disturbances, Naukova Dumka, Kiev, 1984. Stabilnost u smislu Ljapunova velikih kontinualnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 148 Hale, J. K, Theory of Functional Differential Equations, Springer, New York, 1977. Lee, T. N., U. L. Radovi, “General Decentralized Stabilization of Large–Scale Linear Continuous and Continuous Time–Delay Systems”, Int. J. Contr., Vol. 46, No. 6, (1987) 2127–2140. Lee, T. N., U. L. Radovi, “Decentralized Stabilization of Linear Continuous and Continuous Time–Delay Systems with Delays in Interconnections”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. AC–33, (1988) 757–761. Michel, A. N., “Quantitive Analysis of Simple and Interconnected Systems: Stability, Boundedness and Trajectory Behavior”, IEEE Trans. Circuit Theory, CT–17, (3), (1970.b) 292–301. Mori, T., N, Fukuma, M. Kuwahara, “On an Estimate of the Decay Rate for Stable Linear Delay Systems”, Int. J. Control, 36 (1), (1982.a) 95–97. Sandell, R. N., et al., “Survey of Decentralized Control Methods for Large Scale Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. AC–23, (1978) 108–128. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Continuous Large Scale Time Delay Autonomous System”, Preprints 2nd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Oaxaca (Mexico), December 8–10, (2004.j) CD–Rom. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Continuous Large Scale Time Delay Autonomous Systems”, Asian Journal of Control (Taiwan), Vol. 7, No. 4, (2005.d) 414–418. Šiljak, D. D., “On Large–Scale System Stability”, Proc. The Ninth Annual Alerton Conf. on Citcuit and System Theory, Monticello, Illinois, October 6–8, (1971). Thompson, W. E., “Exponential Stability of Interconnected Systems”, IEEE Trans., AC–15, No. 4, (1970) 504–506. Wang, W. J., R. J. Wang, C. S. Chen, “Stabilization, Estimation and Robustness for Continuous Large Scale Systems with Delays”, Contr. Theory Advan. Technol., Vol. 10, No. 4, (1995) 1717–1736. Wang, W. J., G. L. Mau, “Stabilization and Estimation for Perturbed Continuous Time–Delay Large–Scale Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–42, No. 9, (1997) 1277–1282. Stabilnost velikih intervalnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 149 X STABILNOST VELIKIH INTERVALNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM 15. STABILNOST VELIKIH INTERVALNIH VREMENSKI KONTINUALNIH I DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM Tokom poslednjih godina, izuavanje sistema sa istim vremenskim kašnjenjem privlai znaajnu pažnju s obzirom da je isto vremensko kašnjenje esto izvor nestabilnosti i postoji u razliitim industrijskim, biološkim i privrednim sistemima usled konane brzine obrade informacija. Intervalni sistemi, sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem su ekstenzivno izuavani tokom poslednjih godina u lit. Bialas (1983), Daoyi (1985), Yedavalli (1986), Jiang (1987), Petkovski (1988), Soh, Evans (1988), Soh (1991), Wang, Lin (1991) i Chen (1992), a sistemi bez prisustva isto vremenskih kašnjenja u lit. Ozturk (1988), Wang, Lin (1991), Lee, Hsien (1997.b), Sun (1997). Glavni razlog ne leži samo u teoretskom interesovanju ve zbog toga što su intervalni sistemu moan alat za analizu robusnosti sistema, lit. Su, Huang (1992), Niculescu et al. (1994), Li, De Souza (1997), Lee, Lee (1999), Huang, Zhou (2000), Han, Gu (2001), Kim (2001) i Xu et al. (2001.b). Prema dostupnim saznanjima, postoji mali broj raziltata koji se tiu analize stabilnosti velikih, intervalnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. U to smislu, na osnovu rezultata iz rada Lee, Hsien (1997.b), prezentovae se dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti velikih, intervalnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem korišenjem Gersgorin–ove teoreme. Razmatraju se vremenski kontinualni i diskretni sistemi. Stabilnost velikih intervalnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 150 Razmatra se linearni, kompozitni sistem definisan sa dva meusobno povezana podsistema 1S i 2S sa isto vremenskim kašnjenjima: i) u sluaju vremenski kontinualnog sistema: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 11 1 11 12 2 12 2 2 2 2 22 2 22 21 1 21 : : S t A t A t A t S t A t A t A t τ τ τ τ = + − + − = + − + − x x x x x x x x   , (15.1) ii) u sluaju vremenski diskretnog sistema: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 11 1 11 12 2 12 2 2 2 2 22 2 22 21 1 21 : 1 : 1 S k A k A k h A k h S k A k A k h A k h + = + − + − + = + − + − x x x x x x x x , (15.2) gde, u oba modela, ( ) ini t ∈x  predstavlja stanje podsistema iS , i in niA ×∈ i i jn nijA × ∈ , 1 2i≤ ≤ , 1 2j≤ ≤ , su intervalne matrice, a ijτ +∈ i 0ijh > , koja ne moraju biti celi brojevi, oznaava kašnjenja u meuvezama. Pretpostavlja se da elementi ( )kija i ( )rsija matrica kA i r sA , imaju sledee osobine: , 1 2, 1 2, 1 2 k rsk k rs rs ij ijij ij ij ija a a a a a k r s ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ , (15.3) gde su kija , kija , rs ija i rs ija poznate konstante. Lema 15.1 (Gersgorin–ova teorema) Svaka sopstvena vrednost λ matrice ( ) n nijM m ×= ∈ zadovoljava najmanje jedan od uslova: 1 , 1 n ii ij j j i m m i nλ = ≠ − ≤ ≤ ≤ . (15.4) Lema 15.2 (Gersgorin–ova teorema) Svaka sopstvena vrednost λ matrice ( ) n nijM m ×= ∈ zadovoljava najmanje jedan od uslova: 1 , 1 n ii ji j j i m m i nλ = ≠ − ≤ ≤ ≤ . (15.5) Definiše se: ( ) { }, 1 2, , max | |, | | ,k k kn nk k k k k kijij ii ii ij ijG g k g a g a a i j×= ∈ ≤ ≤ = = ≠ , (15.6) ( ) { }, 1 2, 1 2, max | |, | |r sn n rsrs rs rs rsijij ij ijG g r s g a a×= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ = , (15.7) ( ) { }E , 1 2, max | |, | |k k kn nk k k kijij ij ije k e a a×= ∈ ≤ ≤ = . (15.8) Stabilnost velikih intervalnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 151 U ovoj glavi, korišenjem Leme 15.1 i Leme 15.2, prezentovae se kriterijumi stabilnosti vremenski kontinualnih i diskretnih sistema, sledstveno. Veliki intervalni vremenski kontinualni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem Teorema 15.1 Ako važe sledei uslovi: { }min , 0r cS S < , (15.9) { } { }1 2 1 2max , , max ,r r r c c cS S S S S S= = , (15.10) ( )1 2 1 1 1 11 12 1 1 1 max n n r ij ij iji n j j S g g g ≤ ≤ = =    = + +       , (15.11) ( )2 1 2 2 2 22 21 1 1 1 max n n r ij ij iji n j j S g g g ≤ ≤ = =    = + +       , (15.12) ( )1 2 1 1 1 11 21 1 1 1 max n n c ji ji jii n j j S g g g ≤ ≤ = =    = + +       , (15.13) ( )2 1 2 2 2 22 12 1 1 1 max n n c ji ji jii n j j S g g g ≤ ≤ = =    = + +       , (15.14) tada je sistem, dat jed. (15.1), asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2005.a, 2005.b). Veliki intervalni vremenski diskretni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem Teorema 15.2 Ako važe sledei uslovi: { }min , 1r cR R < , (15.15) { } { }1 2 1 2max , , max ,r r r c c cR R R R R R= = , (15.16) ( )1 2 1 1 1 11 12 1 1 1 max n n r ij ij iji n j j R e g g ≤ ≤ = =    = + +       , (15.17) ( )2 1 2 2 2 22 21 1 1 1 max n n r ij ij iji n j j R e g g ≤ ≤ = =    = + +       , (15.18) ( )1 2 1 1 1 11 21 1 1 1 max n n c ji ji jii n j j R e g g ≤ ≤ = =    = + +       , (15.19) Stabilnost velikih intervalnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 152 ( )2 1 2 2 2 22 12 1 1 1 max n n c ji ji jii n j j R e g g ≤ ≤ = =    = + +       , (15.20) tada je sistem, dat jed. (15.2), asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2005.a, 2005.b). Primer 15.1 Razmatra se veliki, intervalni, vremenski kontinualni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (15.1), gde je: 1 1 1 11 0 0 7 0 0 0 12 0 0 9 0 0 0 9 0 0 6 A A A − − = − ≤ ≤ − = − −   , 11 11 11 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 A A A − − = − ≤ ≤ = − −   , 12 12 12 0,5 0 1 0 0 0,5 0 0 0 1 0 1 A A A − = − ≤ ≤ =   , 2 2 2 9 0 8 0 0 7 0 5 A A A − − = ≤ ≤ = − −   , 21 21 21 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 A A A − = ≤ ≤ = −   , 22 22 22 0,5 0 0 1 0 1 0 1 A A A − = ≤ ≤ =   . Korišenjem jed. (15.6) i jed. (15.7), dobija se: 1 11 7 0 0 1 0 1 0 9 0 , 0 1 0 0 0 6 0 0 2 G G − = − = −   , 12 2 1 0 8 0 0 0,5 , 0 5 0 1 G G − = = −   , 21 221 0 1 0,5 1 , 0 0 1 0 1 G G = =   . Korišenjem kriterijuma datih jed. (15.9–15.14) dobija se: { }min , 3 0r cS S = − < . Stabilnost velikih intervalnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 153 Prema tome, razmatrani sistem je asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2005.a, 2005.b). Primer 15.2 Razmatra se veliki, intervalni, vremenski diskretni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (15.2), gde je: 1 1 1 0,55 0 0 0,35 0 0 0 0,6 0 0 0,45 0 0 0 0,45 0 0 0,3 A A A − − = − ≤ ≤ − = − −   , 11 11 11 0,1 0 0,1 0,1 0 0 0 0,1 0 0 0 0 0 0 0,2 0 0 0,1 A A A − − = − ≤ ≤ = − −   , 12 12 12 0,05 0 0,1 0 0 0,05 0 0 0 0,1 0 0,1 A A A − = − ≤ ≤ =   , 2 2 2 0,45 0 0,4 0 0 0,35 0 0,25 A A A − − = ≤ ≤ = − −   , 21 21 21 0,1 0 0 0 0 0,1 0 0 0,1 0 0 0 A A A − = ≤ ≤ = −   , 22 22 22 0,05 0 0 0,1 0 0,1 0 0,1 A A A − = ≤ ≤ =   . Korišenjem jed. (15.7) i jed. (15.8) dobija se: 1 2 0,55 0 0 0,45 0 0 0,6 0 , 0 0,35 0 0 0,45 E E = =   , 11 12 0,1 0 0,1 0,1 0 0 0,1 0 , 0 0,05 0 0 0,2 0 0,1 G G = =   , 21 220,1 0 0,1 0,05 0,1 , 0 0 0,1 0 0,1 G G = =   . Korišenjem kriterijuma datih jed. (15.15–15.20) dobija se: { }min , 0,85 1r cR R = < . Prema tome, razmatrani sistem je asimptotski stabilan, Stojanovi, Debeljkovi (2005.a, 2005.b). Stabilnost velikih intervalnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 154 Literatura Bialas, S., “A Necessary and Sufficient Condition for the Stability of Interval Matrices”, Int. J. Control, Vol. 37, (1983) 717–722. Chen, J., “Sufficient Conditions on Stability of Interval Matrices: Connections and New Results”, IEEE Trans. Automat. Control, 37, (1992) 541–544. Daoyi, X., “Simple Criteria for Stability of Interval Matrices”, Int. J. Control, 41, (1985) 289–295. Han, Q. L., K. Gu, “On Robust Stability of Time–Delay Systems with Norm–Bounded Uncertainty”, IEEE Trans. Automat. Control, 46, (2001) 1426–1431. Huang, Y. P., K. Zhou, “Robust Stability of Uncertain Time–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, 45, (2000) 2169–2173. Jiang, G. L., “Sufficient Condition for the Asymptotic Stability of Interval Matrices”, Int. J. Control, Vol. 46, (1987) 1803–1810. Kim, J., “Delay and Its Time–Derivative Dependent Robust Stability of Time– Delayed Linear Systems with Uncertainty”, IEEE Trans. Automat. Control, 46, (2001) 789–792. Lee, C. H., T. L. Hsien, “New Sufficient Conditions for the Stability of Continuous and Discrete Time–Delay Interval Systems”, J. Franklin Inst., Vol. 334B, No 2, (1997.b) 233–240. Lee, B., J. G. Lee, “Robust Stability and Stabilization of Linear Delayed Systems with Structured Uncertainty”, Automatica, 35, (1999) 1149–1154. Li, X., C. E. De Souza, “Delay–Dependent Robust Stability and Stabilization of Uncertain Linear Delay Systems: A Linear Matrix Inequality Approach”, IEEE Trans. Automat. Control, 42, (1997) 1144–1148. Niculescu, S. I., C. E. De Souza, J. M. Dion, L. Dugrad, “Robust Stability and Stabilization of Uncertain Linear Systems with State Delay: Single Delay Case (I)”, Proc. IFAC Symp. Robust Control Design, Rio de Janerio (Brazil), September, (1994). Ozturk, N., “Stability Intervals for Delay Systems”, Proceedings of the 27th Conference on Decision and Control, Vol. 3, (1988) 2215–2216. Petkovski, J., “Stability Analysis of Interval Matrices: Improved Bounds”, Int. J. Control, Vol. 48, (1988) 2265–2273. Stabilnost velikih intervalnih sistema sa istim vrem. kašnjenjem 155 Soh, B., “Stability Margins of Continuous Time Interval Systems”, Int. J. Systems Sci., Vol. 22, (1991) 1113–1119. Soh, Y. C., R. J. Evans, “Stability Analysis of Interval Matrices–Continuous and Discrete Systems”, Int. J. Control, Vol. 47, (1988) 25–32. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “The Sufficient Conditions for Stability of Continuous and Discrete Large–Scale Time Delay Interval Systems”, The fifth International Conference on Control and Automation, ICCA 05, Budapest (Hungary), June 26–29, (2005.a) 347–352. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “The Sufficient Conditions for Stability of Continuous and Discrete Large–Scale Time Delay Interval Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 1, No. 1, (2005.b) 61–74. Su, T. J., C. G. Huang, “Robust Stability of Delay Dependence for Linear Uncertain Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, 37, (1992) 1656–1159. Sun, Y. J., “Sufficient Conditions for the Stability of Interval Systems with Multiple Time–Varying Delays”, Journal of mathematical analysis and applications, 207, (1997) 29–44. Wang, S. S., W. G. Lin, “A New Approach to the Stability Analysis of Interval Systems”, Control Theory and Advanced Technology, 7, (1991) 271–284. Xu, S., J. Lam, C. Yang, “Quadratic Stability and Stabilization of Uncertain Linear Discrete–Time Systems with State Delay”, Systems & Control Letters, 43, (2001.b) 77–84. Yedavalli, R. K., “Stability Analysis of Interval Matrices: Another Sufficient Condition”, Int. J. Control, Vol. 43, (1986) 767–772. Novi rezultati 156 XI NOVI REZULTATI 16. PRILAZ STABILNOSTI SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM U SMISLU NELJAPUNOVA: KRITERIJUMI NEZAVISNI I ZAVISNI OD ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA 16.1 Uvod Problem ispitivanja sistema sa istim vremenskim kašnjenjem je podruje koje se istražuje godinama. isto vremensko kašnjenje je veoma esto prisutno u razliitim tehnikim sistemima, kao što su elektrine, pneumatske i hidrauline mreže, dugake transmisione linije, i tako dalje. Postojanje isto vremenskog kašnjenja, bilo da je ono prisutno u upravljanju ili/i stanju, može prouzrokovati neželjene prelazne odzive sistema, ili ak nestabilnost. Kao posledica, problem analize stabilnosti ove klase sistema je jedno od glavnih polja istraživanja za mnoge istraživae. U opštem sluaju, uvoenje faktora isto vremenskog kašnjenja ini analizu komplikovanijom. Kada se uopšteno razmatraju sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem, u postojeim kriterijumima stabilnosti, primenjena su uglavnim dva prilaza. Naime, prvi prilaz je da se dobije uslov stabilnosti koji ne ukljuuje informaciju o isto vremenskom kašnjenju, a drugi prilaz je metoda koja uzima u obzir kašnjenje. Prvi prilaz se esto naziva kriterijum nezavisan od isto vremenskog kašnjenja i generalno obezbeuje jednostavne algebarske uslove. U tom smislu pitanje njihove stabilnosti zaslužuje veliku pažnju. Novi rezultati 157 U praktinim prilikama nije uvek od interesa razmatrati stabilnost sistema u smislu Ljapunova, ve je, ponekad, od posebne važnosti utvrditi granice do kojih dosežu trajektorije sistema pri njegovom kretanju u prostoru stanja. Sistem može da bude stabilan u klasinom smislu, ali praktino neupotrebljiv zbog neželjenih vrednosti pokazatelja kvaliteta prelaznog procesa. Zbog toga je od posebnog znaaja da se stabilnost sistema razmatra u odnosu na zadate pod–skupove u prostoru stanja, koji su a priori definisani za dati problem. Pored toga, imajui u vidu veoma stroge i oprene zahteve koji se danas nameu kvalitetu dinamikog ponašanja realnih sistema, od posebnog je interesa razmatrati njihovo ponašanje samo na konanom vremenskom intervalu. Pomenute osobine ogranienosti odziva sistema, to jest rešenja sistema, su veoma važne sa inženjerske take gledišta. Uzimajui u obzir ovu injenicu, uvedene su mnogobrojne definicije takozvane tehnike i praktine stabilnosti. Grubo govorei, ove definicije se baziraju na predefinisanju granica perturbacija poetnih uslova i dozvoljenih perturbacija odziva sistema. U inženjerskim primenama upravljakih sistema, ova injenica postaje veoma važna i ponekad krucijalna, u cilju karakterizacije unapred, na kvantitativan nain, moguih odstupanja odziva sistema. Prema tome, analiza ovih partikularnih graninih osobina rešenja je važan korak, koji prethodi projektovanju upravljakih signala, kada se razmatra koncept stabilnosti na konanom vremenskom intervalu ili praktine stabilnosti. Na osnovu rezultata koji se tiu praktine stabilnosti iz lit. La Salle, Lefschetz (1961) i Weiss, Infante (1965, 1967), uvode se razliite kategorije stabilnosti na konanom vremenskom intervalu, za vremenski kontinualne sisteme i kostantan skup graninih trajektorija. Dalji razvoj ovih rezultata je ostvaren zahvaljujui mnogim drugim autorima. 16.2 Hronološki pregled prethodnih rezultata i motivacija U kratkom prikazu, koji sledi, upoznaemo se samo sa rezultatima postignutim za vremenski kontinualne, linearne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem na polju neljapunovske stabilnosti. Novi rezultati 158 Praktina stabilnost i stabilnost na konanom vremenskom intervalu sistema sa istim vremenskim kašnjenjem U kontekstu stabilnosti na konanom vremenskom intervalu ili praktine stabilnosti partikularne klase nelinearnih, singularnih, perturbovanih, višestrukih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, razliiti rezultatu su, po prvi put, dobijeni u radu Feng, Hunsarg (1996). Definicije iz ovog rada su veoma sline definicijama u lit. Weiss, Infante (1965, 1967), oigledno prilagoene sistemima sa istim vremenskim kašnjenjem. Potrebno je napomenuti da se ove definicije znaajni razlikuju od definicija prezentovanih u ovoj glavi. U kontekstu stabilnosti na konanom vremenskom intervalu i praktine stabilnosti linearnih, vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, razliiti rezultatu su, po prvi put, dobijeni u lit. Debeljkovi et al. (1997.a, 1997.e) i Nenadi et al. (1997). U lit. Debeljkovi et al. (1997.a) i Nenadi et al. (1997) prošireni su neki osnovni rezultati na podruju stabilnosti na konanom vremenskom intervalu i praktine stabilnosti partikularne klase linearnih, vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Izvedeni su dovoljni uslovi stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, izraženi u vidu fundamentalne matrice sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Osim toga, u sluaju kada je mogue uspostaviti odgovarajuu vezu izmeu fundamentalnih matrica linearnog sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i sistema bez prisustva isto vremenskog kašnjenja, prezentovani rezultati omoguuju efikasne procedure za ispitivanje praktine stabilnosti kao i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Prilaz matrinih mera je, po prvi put, primenjen u lit. Debeljkovi et al. (1997.e, 1998.c) za analizu praktine stabilnosti i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu linearnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Na osnovu Coppel–ove nejednakosti i uvoenjem prilaza matrinih mera dobijeni su veoma jednostavni dovoljni uslovi praktine stabilnosti i stabilnosti na konanom vremenskom intervalu, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, bez potrebe za izraunavanjem fundamentalne matrice sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. U radu Nenadi et al. (1997) ovaj problem je rešen za sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem u prinudnom radnom režimu. Novi rezultati 159 Prilaz, koji se zasniva na dobro poznatoj Bellman–Gronwall–ovoj lemi, je primenjen u radu Debeljkovi et al. (1998.c) kako bi se dobili efikasniji, dovoljni uslovi, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, za ispitivanje stabilnosti na konanom vremenskom intervalu i praktine stabilnosti vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju. Pregled svih prethodnih rezultata i doprinosa je prezentovana u radu Debeljkovi et al. (1999.b) sa opštim komentarima i blago modifikovanim Bellman– Gronwall–ovim prilazom. U radu Debeljkovi et al. (2000.a), modifikovan Bellman–Gronwall–ov princip, je proširen na partikularnu klasu vremenski kontinualnih neautonomnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem na konanom vremenskom intervalu. U ovoj glavi prezentovae se dva potpuno razliita prilaza razmatranom problemu i nastavlja se ispitivanje na uobiajen nain. Naime, prvi rezultat je izražen direktno preko sopstvenih vrednosti osnovnih matrica sistema 0A i 1A , koje se prirodno pojavljuju u modelu sistema, i izbegava se potreba za uvoenjem bilo koje kanonine forme, ili transformacije u iskazu teoreme. U drugom sluaju teorija geometrijske koezinstencije vodi do prirodne klase pozitivno odreenih kvadratnih normi na potprostoru koji sadrži sva rešenja. Ova injenica omoguava razvoj ljapunovske i neljapunovske teorije stabilnosti ak i za vremenski kontinualne, linearne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem u smislu da je osobina atraktivnosti ekvivalentna postojanju simetrinih, pozitivno odreenih rešenja opšte forme Ljapunovljeve matrine jednaine koja ukljuuje uslov koji se odnosi na ogranienost rešenja. Prva metoda se zasniva na klasinom prilazu koji se uglavnom koristi za izvoenje dovoljnih uslova stabilnosti na konanom vremenskom intervalu, nezavisnih od isto vremenskog kašnjenja. Takoe se prezentuje nova definicija, koja se zasniva na osobini atraktivnosti rešenja sistema, koja se može tretirati analogno kvazi–kontraktivnoj stabilnosti, Weiss, Infante (1965, 1967). Osim toga, izveše se dovoljan uslov, zavisan od isto vremenskog kašnjenja, koji garantuje da e razmatrani sistem biti praktino stabilan sa osobinom atraktivnosti njegovih rešenja, koji se može tretirati kao novi koncept takozvane neljapunovske stabilnosti. Novi rezultati 160 16.3 Oznake i preliminarna razmatranja  Realan vektorski prostor  Kompleksan vektorski prostor I 4 Jedinina matrica ( ) n nijF f ×= ∈ Realna matrica TF Transpozicija matrice F 0F > Pozitivno odreena matrica 0F ≥ Pozitivno polu–odreena matrica ( )Fλ Sopstvena vrednost matrice F ( )max TF F Fλ= Euklidska norma matrice F U opštem sluaju, upravljaki sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem se mogu opisati kao: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , , , , 0 , 0 t t t t t t t t t τ τ = − ≥ = − ≤ ≤ x f x x u x  ϕ , (16.1) gde je ( ) nt ∈x  vektor stanja, ( ) mt ∈u  je vektor upravljanja, [ ]( )C C , 0 , nτ∈ = − ϕ je prihvatljiva funkcija poetnih stanja, [ ]( )C C , 0 , nτ= −  je Banach–ov prostor vremenski kontinualnih funkcija koje preslikavaju vremenski interval [ ], 0τ− u n sa topologijom uniformne konvergencije. Vektorska funkcija zadovoljava: ( ) : n n m nℑ× × × →f     , (16.2) i pretpostavlja se da je dovoljno glatka da obezbedi postojanje i jedinstvenost rešenja na vremenskom intervalu: ( )0 0,t t Tℑ = + ∈    , (16.3) kao i neprekidnu zavisnost rešenja oznaenog sa ( )0 0, ,t tx x u odnosu na t i poetne podatke. 4 Videti Prilog A Novi rezultati 161 Veliina T može biti ili pozitivan realan broj ili simbol +∞ , tako da se stabilnost na konanom vremenskom intervalu i praktina stabilnost mogu istovremeno tretirati, sledstveno. U opštem sluaju, za autonomni sistem se ne zahteva da: ( ), ,t ≡f 0 0 0 , (16.4) što znai da nije neophodno da koordinatni poetak prostora stanja bude ravnotežno stanje. n oznaava prostor stanja sistema, datog jed. (16.1), a ( )⋅ oznaava Euklidsku normu. Neka : nV ℑ× →  , tako da je funkcija ( )( ),V t tx ograniena za t∀ ∈ ℑ , ( )t∀x za koje je ( )tx takoe ograniena. Definiše se Ojlerov izvod funkcije ( )( ),V t tx duž trajektorije sistema, datog jed. (16.1), na sledei nain: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ),, , TV t tV t t gradV t t t ∂  = +  ∂ x x x f . (16.5) 16.4 Prethodni rezultati Razmatra se linearni, vremenski kontinualni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju, opisan sa: ( ) ( ) ( )0 1t A t A t τ= + −x x x , (16.6.a) sa poznatom vektorskom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ), 0t t tτ= − ≤ ≤xx ϕ , (16.6.b) gde su 0A i 1A konstantne matrice odgovarajuih dimenzija. Definicija 16.1. Sistem, dat jed. (16.6), je stabilan u odnosu na { }, , , ,Tα β τ− x , α β≤ ako za bilo koju trajektoriju ( )tx uslov 0 α , Debeljkovi et al. (1997.a, 1997.e), Nenadi et al. (1997), videti sliku 16.1. Slika 16.1 Grafika ilustracija Definicije 16.3 Uslovi stabilnosti zavisni od isto vremenskog kašnjenja Teorema 16.1 Sistem, dat jed. (16.6.a), sa poetnom funkcijom, datom jed. (16.6.b), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na { }, , ,Tα β τ , ako i samo ako je zadovoljen sledei uslov: Novi rezultati 163 ( ) [ ]2 1 2 / , 0, 1 t t T A β α τ Φ < ∀ ∈ + , (16.7) gde je ( )⋅ Euklidska norma matrice a ( )tΦ je fundamentalna matrica sistema, datog jed. (16.1), Debeljkovi et al. (1997.a), Nenadi et al. (1997). Kada je 0τ = ili 1 0A = , problem se svodi na sluaj obinog, linearnog sistema, Angelo (1970). Teorema 16.2 Sistem, dat jed. (16.6.a), sa poetnom funkcijom, datom jed. (16.6.b), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na { }, , ,Tα β τ ako i samo ako je zadovoljen sledei uslov: ( ) [ ]2 0 1 2 / , 0, 1 || || A t e t T A µ β α τ < ∀ ∈ + , (16.8) gde ( )⋅ oznaava Euklidsku normu, Debeljkovi et al. (1997.e). Uslovi stabilnosti nezavisni od isto vremenskog kašnjenja Rezultati koji e biti prezentovani u nastavku omoguavaju da se ispita stabilnost na konanom vremenskom intervalu razmatranog autonomnog sistema, to jest sistema datog jed. (16.6.a) i jed. (16.6.b), bez nalaženja fundamentalne matrice ili odgovarajue matrine mere. Izraz dat jed. (16.6) se može prepisati u njegovoj opštoj formi na sledei nain: ( ) ( ) ( ) [ ] 0 0 , 0 x x t ϑ ϑ τ ϑ ϑ τ + = − ≤ ≤ ∈ − x C ϕ ϕ , (16.9) gde je 0t poetni trenutak posmatranja sistema, datog jed. (16.6), a [ ], 0τ−C je Banach–ov prostor vremenski kontinualnih funkcija na vremenskom intervalu dužine τ , koji preslikava vremenski interval ( ),t tτ−   u n sa normom definisanom na sledei nain: ( ) 0 max τ ϑ ϑ − ≤ ≤ = C ϕ ϕ . (16.10) Novi rezultati 164 Pretpostavlja se da su prisutni uobiajeni uslovi glatkosti tako da ne postoje poteškoe po pitanjima postojanja, jedinstvenosti i neprekidnosti rešenja u odnosu na poetne podatke. Osim toga može se napisati: ( ) ( )0t ϑ ϑ+ = xx ϕ , (16.11) kao i: ( ) ( )( )0 0 ,t t ϑ= xx f ϕ . (16.12) Teorema 16.3 Sistem, dat jed. (16.6.a), sa poetnom funkcijom, datom jed. (16.6.b), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na { }, , Tα β , ako je zadovoljen sledei uslov: ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]0 max2 20 max1 , 0,t tt t e t Tσ βσ α − ⋅+ − ⋅ < ∀ ∈ , (16.13) ( )maxσ ⋅ je maksimalna singularna vrednost matrice ( )⋅ , to jest: ( ) ( ) ( )max max 0 max 1A Aσ σ σ⋅ = + , (16.14) Debeljkovi et al. (1998.c). U sluaju kada je u Teoremi 16.3: 1 0A = , (16.15) to jest 1A je nula matrica, dobija se rezultat slian rezultatu prezentovanom u radu Angelo (1974). 16.5 Glavni rezultati Definicija 16.4 Sistem, dat jed. (16.6.a), sa poetnom funkcijom, datom jed. (16.6.b), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na { }, ,Tα β , ako i samo ako: ( ) 2 200 α= ∀ u v u u v v Novi rezultati 166 Korišenjem pretpostavke, date nejed. (16.16), jasno je da se nejed. (16.23) svodi na: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 max T T T T T d t t t A A A A I t dt t t φ λ < + + + < Π x x x x x x , (16.24) gde je matrica Π definisana jed. (16.18). Iz nejed. (16.24) dobija se: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )max T T d t t dt t t λ< Π x x x x , (16.25) ili: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )max0 0 Tt t T d t t d t t t λ< Π  x x x x , (16.26) i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )max0 0 tT Tt t eλ Π ⋅ koja je rešenje sledee matrine jednaine: 0 0 TA P P A Q+ = − , (16.31) i matrica 0TQ Q= > , i ako su zadovoljeni sledei uslovi: ( ) 11 1 221 min 1 1 max 0T TA Q A PA Q A Pσ σ −− −   < −   , (16.32) ( ) [ ]max , 0,te t Tλ β α Π ⋅ < ∀ ∈ , (16.33) gde je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1max max 1 1 : 1T T Tt PA P A P P t t P tλ λ φ−Π = + =x x x x , (16.34) Debeljkovi, Nestorovi, Buzurovi, Dimitrijevi (2010.a). Dokaz. Definiše se sledea funkcija: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tT T t V t t P t Q d τ ϑ ϑ ϑ − = + x x x x x . (16.35) Izvod funkcije ( )( ),V t tx duž trajektorija sistema je: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 , 2 t T T t T T T T T d dV t t t P t Q d dt dt t A P PA t t PA t t Q t t Q t τ ϑ ϑ ϑ τ τ τ − = + = + + − + + − − x x x x x x x x x x x x x  . (16.36) Iz jed. (16.36) može se zakljuiti da je: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 12T T T Td t P t t A P PA t t PA tdt τ= + + −x x x x x x , (16.37) ili: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 12 T T T T T d t P t t A P PA Q t dt t PA t t Q tτ = + + + − − x x x x x x x x . (16.38) Novi rezultati 168 Iz jed. (16.31) sledi: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )12T T Td t P t t Q t t PA tdt τ= − + −x x x x x x , (16.39) i korišenjem ranije pomenute nejednakosti, sa partikularnim izborom: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 20, 0, ,T T T T Pt t t P t t T t βΓ = > ∀ ∈ ∀ ∀ ∈x x , (16.41) pozitivno odreena kvadratna forma, dobija se: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2T T T T T d t P t t PA t dt t PA P A P t t P t τ τ τ− < − ≤ + − − x x x x x x x x . (16.42) Na osnovu pretpostavke, date nejed. (16.30), jasno je da se nejed. (16.42) svodi na: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )11 1T T Td t P t t PA P A P P tdt φ−< +x x x x , (16.43) ili: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )maxT Td t P t t P tdt λ< Πx x x x , (16.44) ili: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )max0 0 Tt t T d t P t d t t P t λ< Π  x x x x , (16.45) i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )max0 0 tT Tt P t P eλ Π ⋅ , koja je rešenje sledee matrine jednakosti: 0 02 TA PA P Q− = − , (17.21.c) gde je 0TQ Q= > , Debeljkovi, Buzurovi, Dimitrijevi (2011.a). Dokaz. Neka je Ljapunovljeva funkcija za razmatrani sistem: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1T TV k k P k k Q k= + − −x x x x x , (17.22) sa matricama 0TP P= > i 0TQ Q= > . Kao posledica, korišenjem jednaine kretanja (17.1.a), dobija se: ( )( ) ( )( ) ( )( )1V k V k V k∆ = + −x x x , (17.23) ili: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 T T T T T T T T T T V k k P k k P k k Q k k Q k k A PA Q P k k A PA k k Q A PA k ∆ = + + − + − − − = + − + − − − − − x x x x x x x x x x x x x x x . (17.24) Kao što je pokazano u lit. Debeljkovi et al. (1998.f, 1999.b), ako je: 0 02 TA PA P Q− = − , (17.25) gde je 0TP P= > i 0TQ Q= > , tada za: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1T TV k k P k k Q k= + − −x x x x x , (17.26) potonja razlika duž trajektorija sistema je: Novi rezultati 176 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 T T T T T T T T V k V k V k k A PA P Q k k A PA Q k k A PA k k A PA k ∆ = + − = − + + − − − + − + − x x x x x x x x x x x , (17.27) ili: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 2 1 1 ( 1) 1 1 T T T T T T T T T T T T V k k A PA P Q k k A PA Q k k A PA k k A PA k k A PA k k A PA k ∆ = − + + − − − + − + − − − − − x x x x x x x x x x x x x , (17.28) i uzimajui u obzir jed. (17.25), dobija se: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 1 0 1 0 1 1 2 1 1 1 T T T V k k A PA Q k A k A k P A k A k ∆ = − − − − − − − − x x x x x x x . (17.29) S obzirom da je matrica 0TP P= > , može se zakljuiti da je: ( )( ) ( )( ) ( )1 11 2 1T TV k k A PA Q k∆ < − − −x x x . (17.30) Kombinovanjem desnih strana jed. (17.24) i nejed. (17.30), sledi: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 T T T T T T T T k A PA Q P k k A PA k k Q A PA k k A PA Q k + − + − − − − − < − − − x x x x x x x x , (17.31) tako da: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 2 1 1 1 T T T T T T V k k A PA Q P k k A PA k k A PA k ∆ = + − + − < − − x x x x x x x . (17.32) Korišenjem dobro poznate nejednakosti6, sa partikularnim izborom: ( )1 112 TA PAΓ = , (17.33) dobija se: 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )12 , 0T T Tt t t t t t−≤ Γ + Γ Γ >u v u u v v Novi rezultati 177 ( )( ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 T T T T T T T T T k A PA Q P A PA A PA A PA k k A PA k k A PA k −    + − +   + − − < − − x x x x x x , (17.34) ili: ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 0 0 1 112 1 12T T T T Tk A PA Q P A PA k k A PA k+ − + < − −x x x x . (17.35) S obzirom da je: 0 02 0 TA PA Q P+ − = , (17.36) konano se dobija: ( ) ( ) ( )( ) ( )0 0 1 11 1 12T T T Tk A PA k k A PA k< − −x x x x , (17.37) ili: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 max 0 01 1 12 T T T Tk A PA k k A PA kλ< − −x x x x , (17.38) gde je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }max 1 1 0 0 0 0max : 2 , 1T T T T Tk A PA k A PA P Q k A PA kλ = − = − =x x x x . (17.39) S obzirom da je ovaj postupak nezavisan od k , može se napisati: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 max 0 011 1 2 T T T Tk A PA k k A PA kλ+ + . Sistem, dat jed. (17.1), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ){ }2, , ,Nα β ⋅ , α β< , ako postoji pozitivan, realan broj ℘, 1℘> , tako da: ( ) ( ) ( )2 2 21 , ,Nk k k k β− <℘ ∀ ∈ ∀ , (17.53) gde je I jedinina matrica, dobija se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 T T T T T T T T k k k A A k k A A I A A A A k k k − + + ≤ + − + − − x x x x x x x x , (17.54) i korišenjem slinog prilaza kao u radu Xu, Liu (1994), usvaja se da je: β℘= , (17.55) jasno je da se nejed. (17.54) svodi na: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 0 max 0 1 1 1 , , T T T T T k k k A I A A A I k A A k k β λ β − + + < − + < x x x x x x , (17.56) gde je: ( ) ( )( )1max 0 1 max 0 1 1 0, , T TA A A I A A A Iλ β λ β−= − + , (17.57) sa oiglednom osobinom da: ( ) ( )( )1max 0 1 max 0 1 1 0, , 0T TA A A I A A A Iλ β λ β−= − + ≥ , (17.58) kada je: ( )1 1 0TI A A− ≥ . (17.59) Sledei procedure iz predhodog odeljka, može se napisati: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )maxln 1 1 ln lnT Tk k k k λ+ + − . Sistem, dat jed. (17.1), je praktino nestabilan u odnosu na ( ){ }2, , ,Nα β ⋅ , α β< , ako postoji pozitivan, realan broj ℘, 1℘> , tako da: ( ) ( ) ( )2 2 21 , ,Nk k k k β− <℘ ∀ ∈ ∀ ∈ za koju je ispunjen sledei uslov: * min , k Nk βλ δ ∗ > ∈ , (17.64) Debeljkovi, Buzurovi, Dimitrijevi (2011.a). Dokaz. Neka je: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1T TV k k k k k= + − −x x x x x . (17.65) Tada primenjujui identini postupak kao u prethodnoj teoremi, dobija se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )minln 1 1 ln lnT Tk k k k λ+ + − >x x x x , (17.66) gde je: ( ) ( )( )1min 0 1 min 0 1 1 0, , T TA A A I A A A Iλ β λ β−= − + . (17.67) Ako se izvrši sumiranje ( )0 0 1k k j k + − = obe strane nejed. (17.66) za Nk∀ ∈ , dobija se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 min 0 0ln ln ln ,T k T Nk k k k k k kλ+ + > + ∀ ∈x x x x  . (17.68) Jasno je da za bilo koje 0x sledi: 20δ α< + > ⋅ > ⋅ > ∈ x x x x  . (17.69) Novi rezultati 182 Literatura Aleksendri, M., D, Lj. Debeljkovi, “Finite Time Stability of Linear Discrete Time Delayed Systems“, Proc. HIPNEF 2002, Niš (Yu), October 2–5, (2002) 333–340. Angelo, H., Linear Time Varying Systems, Allyn and Bacon, Boston, 1974. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical and Finite–Time Stability of Time–Delay Systems”, Proc. ECC 97, Brussels (Belgium), July 2–6, (1997.a) 307–311. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On the Stability of Linear Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. CDC 97, San Diego, California (USA), December 21–23, (1997.e) 2771–2772. Debeljkovi, D. Lj., . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. Jaci, “Further Results on Non–Lyapunov Stability of Linear Systems with Delayed State”, Proc. XII Brazilian Automatic Control Conference, IV, Uberlandia (Brasil), September 14–18, (1998.f) 1229–1233. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, “Finite Time Stability of Time Delay Systems”, IMA J. Math. Control and Information, 16, 3, (1999.b) 101–109. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Proc. ACC 2003, Denver, Colorado (USA), June 4–6, (2003) 4450–4451. Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, S. B. Stojanovi, Stability of Time Delay Systems over Finite and Infinite Time Interval, Cigoja press, Belgrade, 2004.a. Debeljkovi, D. Lj., I. M. Buzurovi, N. J. Dimitrijevi, “On Finite Time and Practical Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, 9th IEEE International Symposium on Intelligent Systems and Informatics (SISY), Subotica (Serbia), September 8–10, (2011.a) 119–124. Kalman, R. E., J. E. Bertram, “Control System Analysis and Design Via the Second Method of Lyapunov – Part II Discrete Time Systems”, Trans. of ASME, Ser. D, June, (1960.b) 394–400. Novi rezultati 183 Nenadi, Lj. Z., D. Lj. Debeljkovi, S. A. Milinkovi, “On Practical Stability of Time Delay Systems”, Proc IEEE ACC American Control Conference, Alberquerque, New Mexico (USA), June 4–6, (1997) 3235–3236. Weiss, L., E. F. Infante, “On the Stability of Systems Defined over Finite Time Interval”, Proc. National Acad. Science, 54 (1), (1965) 44–48. Weiss, L., E. F. Infante, “Finite Time Stability under Perturbing Forces on Product Spaces”, IEEE Trans. Automat. Cont., AC–12 (1), (1967) 54–59. Xu B., Liu Y., “Improved Razumikhin–Type Theorem and its Applications”, IEEE Trans. Automat. Control, AC– 39 (4), (1994) 839–845. Novi rezultati 184 18. TEORIJA STABILNOSTI SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM U SMISLU NELJAPUNOVA: PRILAZI NEZAVISNI I ZAVISNI OD ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA 18.1 Preliminarna razmatranja i prethodni rezultati Razmatra se linearni, vremenski kontinualni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju, opisan sa: ( ) ( ) ( )0 1t A t A t τ= + −x x x , (18.1.a) sa poznatom vektorskom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ), 0t t tτ= − ≤ ≤xx ϕ , (18.1.b) gde su 0A i 1A konstantne matrice odgovarajuih dimenzija. Uslovi stabilnosti zavisni od isto vremenskog kašnjenja Teorema 18.1 Autonomni sistem, dat jed. (18.1.a), sa poetnom funkcijom, datom jed. (18.1.b), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ){ }2 0, , , , 0T Aα β τ µ ≠ ako je zadovoljen sledei uslov: ( ) ( ) ( )( ) [ ]2 0 2 012 0 1 2 / , 0, 1 1 A t A e t T A A e µ µ τ β α µ −− < ∀ ∈ + ⋅ ⋅ − , (18.2) Debeljkovi et al. (1997.e). Teorema 18.2 Autonomni sistem, dat jed. (18.1.a), sa poetnom funkcijom, datom jed. (18.1.b), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ){ }0, , , , 0T Aα β τ µ = , ako je zadovoljen sledei uslov: [ ]1 21 || || / , 0,A t Tτ β α+ < ∀ ∈ , (18.3) Debeljkovi et al. (1999.b). Novi rezultati 185 18.2 Glavni rezultati Definicija 18.1 Sistem, dat jed. (18.1.a), sa poetnom funkcijom, datom jed. (18.1.b), je atraktivno praktino stabilan u odnosu na { }, ,Tα β , ako i samo ako: ( ) 2 200 PP α= , koja je rešenje sledee matrine jednaine: 0 0 TA P P A Q+ = − , (18.7) i matrica 0TQ Q= > , q je pozitivan, realan broj, 1q > , tako da: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ,0 2 sup 0, , P P P P t t q t t T t ϑ τ τ ϑ β ∈ − + ≤ + ≤ ∀ ∈ ∀ < x x x x , (18.8) i ako su zadovoljeni sledei uslovi: ( ) ( )1 12 211 min maxA Q Q Pσ σ −−< , (18.9) i: ( ) [ ]max , 0,te t Tλ β α Π ⋅ < ∀ ∈ , (18.10) gde je: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 2max max 1 1 : 1T T Tt PA P A P q P t t P tλ λ −Π = + =x x x x , (18.11) Debeljkovi, Buzurovi, Nestorovi, Stojanovi, Dimitrijevi, Aleksendri (2011.b). Dokaz. Definiše se sledea funkcija: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tT T t V t t P t Q d τ ϑ ϑ ϑ − = + x x x x x . (18.12) Novi rezultati 186 Izvod funkcije ( )( )V tx duž trajektorija sistema, se dobija kao: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 12 t T T t T T T T T d dV t t P t Q d dt dt t A P PA t t PA t t Q t t Q t τ ϑ ϑ ϑ τ τ τ − = + = + + − + − − − x x x x x x x x x x x x x  . (18.13) Iz jed. (18.13), oigledno je da je: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0 0 12T T T Td t P t t A P PA t t PA tdt τ= + + −x x x x x x , (18.14) ili: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 12 T T T T T d t P t t A P PA Q t dt t PA t t Q tτ = + + + − − x x x x x x x x . (18.15) Iz jed. (18.7), sledi: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )12T T Td t P t t Q t t PA tdt τ= − + −x x x x x x , (18.16) kao i, korišenjem ranije pomenute nejednakosti, sa partikularnim izborom: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 20, 0, ,T T T T Pt t t P t t T t βΓ = > ∀ ∈ ∀ ∀ ∈x x , (18.18) pozitivno odreena kvadratna forma, dobija se: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2T T T T T d t P t t PA t dt t PA P A P t t P t τ τ τ− < − ≤ + − − x x x x x x x x . (18.19) Na osnovu pretpostavke, date nejed. (18.8), jasno je da se nejed. (18.19) svodi na: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 21 1T T Td t P t t PA P A P q P tdt −< +x x x x , (18.20) ili korišenjem jed. (18.11), dobija se: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )maxT Td t P t t P tdt λ< Πx x x x , (18.21) ili: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )max T T d t P t dt t P t λ< Π x x x x , (18.22) Novi rezultati 187 ili: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )max0 0 Tt t T d t P t d t t P t λ< Π  x x x x , (18.23) i: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )max0 0 tT Tt P t P eλ Π ⋅ Hermitian matrica i ( ) ( ) [ ], , 0t tϑ ϑ ϑ τ= + ∈ −x x . Ako je: ( )( ) ( )( )*0 0 1 0 1 00 0P A P A P P Q+ + + = − , (18.28) ( ) ( )( ) ( )1 0 1 10 , 0P A P Pϑ ϑ ϑ τ= + ≤ ≤ , (18.29) gde je ( )1 1P Aτ = i * 0Q Q= > Hermitian matrica, tada: ( ) ( ), , 0t tdV Vdtτ τ= postoji matrica *0 0 0P P= > tako da važi jed. (18.28) za svako (sva) rešenje (rešenja) ( )1 0P , Stojanovi, Debeljkovi (2005.d) i Debeljkovi, Stojanovi (2008). Teorema 18.6 Pretpostavlja se da postoji (postoje) rešenje (rešenja) ( )1 0P jed. (18.31). Tada je sistem, dat jed. (18.1), asimptotski stabilan ako za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica *0 0 0P P= > tako da važi jed. (18.28) za sva rešenja ( )1 0P jed. (18.31). Teorema 18.7 Pretpostavlja se da postoji (postoje) rešenje (rešenja) ( )1 0P jed. (18.31). Ako je sistem, dat jed. (18.1), asimptotski stabilan, tada su sledei iskazi ekvivalentni: (i) Za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica *0 0 0P P= > tako da važi jed. (18.28) za sva rešenja ( )1 0P jed. (18.31). (ii) Uslov ( )( )0 1Re 0 0i A Pλ + < važi za sva rešenja ( )1 0P jed. (18.31), Stojanovi, Debeljkovi (2005.d) i Debeljkovi, Stojanovi (2008). Napomena 18.4 Teorema 18.5 daje dovoljan a Teorema 18.6 potreban uslov stabilnosti. Na osnovu prethodnih rezultata, u nastavku e se formulisati uslovi stabilnosti. Teorema 18.8 Pretpostavlja se da postoji (postoje) rešenje (rešenja) ( )1 0P jed. (18.31). Tada je sistem, dat jed. (18.1), asimptotski stabilan ako i samo ako važi bilo koji od sledea dva iskaza: (i) Za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica *0 0 0P P= > tako da važi jed. (18.28) za sva rešenja ( )1 0P jed. (18.31). (ii) Uslov ( )( )0 1Re 0 0i A Pλ + < važi za sva rešenja ( )1 0P jed. (18.31). Novi rezultati 191 Napomena 18.5 Iskazi Leme 18.2, Teoreme 18.6 i Teoreme 18.7 zahtevaju da su ispunjeni odgovarajui uslovi za bilo koje rešenje ( )1 0P jed. (18.31) ili rešenje R jed. (18.37). Ovi matrini uslovi su analogni sledeem poznatom skalarnom uslovu asimptotske stabilnosti. Sistem, dat jed. (18.1), je asimptotski stabilan ako i samo ako uslov Re 0s < važi za sva rešenja s jed. (18.39), Stojanovi, Debeljkovi (2005.d), Debeljkovi, Stojanovi (2008). Napomena 18.6 Iz prethodne teoreme, namee se sledee praktino pitanje: Kako se mogu numeriki izraunati sva mogua rešenja ( )1 0P jed. (18.31)? Ovaj problem ne može se direktno numeriki rešiti zato što broj rešenja ( )1 0P nije poznat unapred, i može biti veoma velik ili beskonaan, Stojanovi, Debeljkovi (2008.b). Meutim, da bi se efikasnije ispitala stabilnost sistema, pomenuti numeriki problem može se zameniti novim, numeriki jednostavnijim problemom koji glasi: a) jed. (18.37) se rešava umesto jed. (18.31), i b) izraunavanja se vrše za rešenje maxR jed. (18.37) iji spektar sadrži sopstvenu vrednost maxλ ∈Σ sa maksimalnim realnim delom. Korak b) u poslednjem problemu zahteva istraživanje novih numerikih algoritama za direktno izraunavanje matrice maxR iz nelinearne (eksponencijalne) matrine jednaine (18.37). Prema dostupnim saznanjima, takvi algoritmi nisu prezentovani u postojeoj literaturi. Danas se koriste postojei algoritmi koji se baziraju na razliitim standardnim metodama optimizacije i koji zahtevaju poetna pogaanja rešenja date jednaine. Na osnovu Napomene 18.5, mogue je reformulisati Teoremu 18.8 na sledei nain. Teorema 18.9 Pretpostavlja se da postoji rešenje maxR jed. (18.37). Tada je sistem, dat jed. (18.1), asimptotski stabilan ako i samo ako važi bilo koji od sledea dva ekvivalentna iskaza: Novi rezultati 192 (i) Za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica *0 0 0P P= > tako da važi jed. (18.35) za rešenje maxR . (ii) ( )maxRe 0i Rλ < . Teorema 18.10 Autonomni sistem, dat jed. (18.1.a), sa poetnom funkcijom, datom jed. (18.1.b), je atraktivno praktino stabilan u odnosu na ( ){ }2, , , PTα β ⋅ , α β< , ako postoji pozitivan, realan broj q , 1q > , tako da: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ,0 2 sup 0, , P P P P t t q t t T t ϑ τ τ ϑ β ∈ − + ≤ + < ∀ ∈ ∀ < x x x x , (18.41) i ako za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji matrica *0 0 0P P= > tako da važi jed. (18.35) za sva rešenja ( )1 0P jed. (18.31)7 i ako je zadovoljen sledei uslov: ( ) [ ]max , 0,te t Tλ β α ϒ ⋅ < ∀ ∈ , (18.42) gde je: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 2max max 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0: 1T T T Tt A P P A P A P A P q P t t P tλ λ −ϒ = + + + =x x x x , (18.43) Debeljkovi, Buzurovi, Nestorovi, Stojanovi, Dimitrijevi, Aleksendri (2011.b). Dokaz. Definiše se sledea funkcija: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 , T T T t T T V t P t t P P P t d d t P P t d t P d τ τ τ τ τ ν ν η η ν η η η η η η η = + − − + − + −     x x x x x x x x . (18.44) Izvod funkcije ( )( ),V t tx duž trajektorija sistema, se dobija kao8: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 , T tV t P t d Q t P t d τ τ τ η η η η η η   = + − − + −   x x x x x , (18.45) 7 Alternativno: Uslov ( )( )0 1Re 0 0i A Pλ + < važi za sva rešenja ( )1 0P jed. (18.55), Stojanovi, Debeljkovi (2005.d). 8 Pod uslovima Leme 18.2. Novi rezultati 193 i s obzirom da je ( )Q− negativno odreena i oigledno: ( ), 0tV τ , koja je rešenje sledee matrine jednaine: 0 02 TA PA P Q− = − , (19.4) gde je 0TQ Q= > i ako su zadovoljeni sledei uslovi: ( ) 11 1 221 min 1 1 max 0T TA Q A P A Q A Pσ σ −− −   < −   , (19.5) ( ) 1 2 max , k Nk βλ α < ∀ ∈ , (19.6) gde je: ( ) ( ) ( ){ ( ) ( ) }max 1 1 0 0max : 1T T T Tk A PA k k A PA kλ = =x x x x , (19.7) Debeljkovi (2011). Teorema 19.2 Pretpostavlja se da matrica 1A ispunjava uslov ( )1 1 0TI A A− > . Sistem, dat jed. (19.1), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ){ }2, , ,Nα β ⋅ , α β< , ako postoji pozitivan, realan broj p , 1p > , tako da: ( ) ( ) ( )2 2 221 , ,Nk p k k k β− < ∀ ∈ ∀ postoji Hermitska matrica * 0P P= > , tako da: * m mR P R P Q− = − , (19.21) Stojanovi, Debeljkovi (2008.a, 2009.a). Teorema 19.4 Pretpostavlja se da postoji najmanje jedan maksimalni solvent matrinog polinoma ( )M X i sa mR se oznaava jedan od njih. Tada je linearni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (19.1), sa 1det 0A ≠ , atraktivno praktino stabilan u odnosu na ( ){ }, , ,Nα β ⋅ , α β< , , Zα β +∈ , ako za bilo koju matricu * 0Q Q= > postoji Hermitian matrica * 0P P= > tako da: * m mR P R P Q− = − , (19.22) i ako je ispunjen sledei uslov: ( ) ( )1 , 0,1, ,1k k NA β α Φ < ∀ = +  , (19.23) Debeljkovi, Stojanovi, Dimitrijevi, Popov (2012.a). Dokaz. Prvi deo dokaza je više nego oigledan i direktno sledi iz injenice da je osobina atraktivnosti garantovana jed. (19.22). Rešenje jed. (19.1) se može izraziti pomou fundamentalne matrice na sledei nain: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 1k k k A= Φ + Φ −x x x . (19.24) U skladu sa osobinama norme, može se napisati: ( ) ( ) ( )11k k Aα≤ Φ +x , (19.25) gde se koristi prvi uslov Definicije 19.1. Da bi se dobio krajnji rezultat, koristi se nejed. (19.23), tako da je: Novi rezultati 203 ( ) ( )( ) 1 1 1 , 0,1, , 1 A k k N A β α β α + < < ∀ = + x  , (19.26) ime je teorema dokazana. Teorema 19.5 Pretpostavlja se da matrica 1A ispunjava uslov ( )1 1 0TI A A− > . Sistem, dat jed. (19.1), je praktino nestabilan u odnosu na ( ){ }2, , ,Nα β ⋅ , α β< , ako postoji pozitivan, realan broj ℘, 1℘> , tako da: ( ) ( ) ( )2 2 221 , ,Nk k k k β− <℘ ∀ ∈ ∀ ∈ za koju je ispunjen sledei uslov: * min , k Nk βλ δ ∗ > ∈ , (19.28) Debeljkovi, Stojanovi, Dimitrijevi, Popov (2012.a). Dokaz. Neka je: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1T TV k k k k k= + − −x x x x x . (19.29) Sledei klasine procedure, Debeljkovi (2011), dobija se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )minln 1 1 ln lnT Tk k k k λ+ + − >x x x x , (19.30) gde je: ( ) ( )( )1 2min min 0 1 1 1 1 0T T TA A I A A A A Iλ λ −= − +℘ . (19.31) Ako se izvrši sumiranje 0 0 1k k j k + − = obe strane nejed. (19.30) za Nk∀ ∈ , dobija se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 min min 0 0 ln ln ln ln , k k T j k k T N k k k k k k k λ λ + − = + + ≥ ≥ + ∀ ∈ ∏x x x x  . (19.32) Jasno je da za bilo koje 0x , sledi 20δ α< ℘ + > ⋅ > ⋅ > ∈ x x x x  . (19.33) Novi rezultati 204 Literatura Debeljkovi, D. Lj., (Editor), Time Delay Systems, I–Tech, ISBN 978–953–307– 559–4, Vienna (Austria), 2011. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical and Finite–Time Stability of Time–Delay Systems”, Proc. ECC 97, Brussels (Belgium), July, (1997.a) 307–311. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On the Stability of Linear Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. IEEE CDC 97, San Diego, California (USA), December, (1997.e) 2771–2772. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Finite Time Stability Analysis of Linear Time Delay Systems: Bellman–Gronwall Approach”, Proc. 1st IFAC Workshop on Linear Time Delay Systems, Grenoble (France), July, (1998.c) 171–175. Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, “Finite Time Stability of Time Delay Systems”, IMA J. Math. Control and Info., Vol. 16 (3), (1999.b) 101–109. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Lyapunov and Non–Lyapunov stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Proc. American Control Conference, Denver, Colorado (USA), June, (2003) 4450–4451. Debeljkovi, D. Lj., T. Nestorovi, I. M. Buzurovi, N. J. Dimitrijevi, “A New Approach to the Stability of Time–delay Systems in the Sense of non– Lyapunov Delay–Independent and Delay–Dependent Criteria”, Proc. of 8th IEEE International Symposium on Intelligent Systems and Informatics, Subotica (Serbia), September, (2010.a) 213–218. Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, “Further Results on the Stability of Linear Discrete Time Delay Systems over the Finite Time Interval: A Quite New Approach”, Scientific Science Review, Serbia, Vol. LX, No. 2, (2010.b) 49–60. Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, D. Popov, “The Stability of Linear Discrete Time Delay Systems Over a Finite Time Interval: New Results”, The 10th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2012), Beijing (Chine), July 6–8, (2012.a), accepted. Novi rezultati 205 Dennis, J., J. Traub, R. Weber, “The Algebraic Theory of Matrix Polynomials”, SIAM J. Numer. Anal., 13 (6), (1976) 831–845. Dennis, J., J. Traub, R. Weber, “Algorithms for Solvents of Matrix Polynomials”, SIAM J. Numer. Anal., 15 (3), (1978) 523–533. Fang, H., H. Hunsarg, “Stabilization of Nonlinear Singularly Perturbed Multiple Time Delay Systems by Dither”, Journal of Dynamic Systems, Measurements and Control, Vol. 118, March, (1996) 177–181. Hmamed, A., “On the Stability of Time delay Systems: New Result”, Int. J. Control, 43 (1), (1986.a) 321–324. Hmammed, A., “A Matrix Inequality”, Int. J. Control, 49, (1989) 363–365. Kim, H., Numerical Methods for Solving a Quadratic Matrix Equation, Ph. D. dissertation, University of Manchester, UK, Faculty of Science and Engineering, 2000. La Salle, S. Lefschet, Stability by Lyapunov’s Direct Method, Academic Press, New York, 1961. Lee, T., S. Diant, “Stability of Time Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–26 (4), (1981) 951–953. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–27 (4), (1982.b) 964–966. Nenadi, Z. Lj., D. Lj. Debeljkovi, S. A. Milinkovi, “On Practical Stability of Time Delay Systems”, Proc. IEEE American Control Conference, Albuquerque (USA), June, (1997) 3235–3235. Pereira, E., “On Solvents of Matrix Polynomials”, Applied numerical mathematics, 47, (2003) 197–208. Weiss, L., E. Infante, “On the Stability of Systems Defined over a Finite Time Interval”, Proc. National Acad. Sci., Vol. 54, (1965) 44–48. Weiss, L., E. Infante, “Finite Time Stability under Perturbing Forces and on Product Spaces”, IEEE Trans. Automat. Cont., Vol. 12, (1967) 54–59. Novi rezultati 206 20. NELJAPUNOVSKA STABILNOST LINEARNIH VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM: LMI PRILAZ 20.1 Uvodna razmatranja U poslednjih dvadesetak godina, linearne matrine nejednakosti (LMI) pokazale su se korisnim alatom za analizu i projektovanje upravljakih sistema. Zahvaljujui veoma brzom razvoju kompjuterske tehnike kao i pronalasku vrlo efikasnih algoritama za konveksnu optimizaciju, veliki broj kako postojeih tako i novih problema u teoriji upravljanja preveden je u obliku LMI, Boyd et al. (1994). S obzirom da LMI pripada klasi konveksnih optimizacionih problema, oni uvek poseduju globalno rešenje. U poslednje vreme, za potrebe rešavanja LMI problema, razvijeni su mnogobrojni efikasni algoritmi, poput „interior point“ metode, Boyd et al. (1994). Kao rezultat toga, brojni problemi, koji nisu imali analitiko ili rešenje u zatvorenom obliku, sada se veoma efikasno numeriki rešavaju pomou LMI. Drugim reima, ukoliko smo u stanju da redukujemo upravljaki problem na konveksni problem koji ukljuuje LMI, tada se dati problem može smatrati rešenim. Druga prednost LMI prilaza ogleda se u tome što on obezbeuje jedinstveni okvir za analizu i sintezu upravljakih sistema. Na primer, kada se jednom doe do LMI uslova stabilnosti sistema, onda se oni mogu iskoristiti i za rešavanja problema sinteze sistema sa razliitim upravljakim ciljevima, ogranienjima i strukturama regulatora. Rezultati koji razmatraju i ispituju problem analize neljapunovske stabilnosti linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem dati su u radu Debeljkovi, Aleksendri (2003), gde je problem razmatran prvi put. Novi rezultati 207 Ispitivanje stabilnosti sistema pomou diskretne fundamentalne matrice je veoma teško, tako da postoji potreba da se pronau efikasnije metode koje trebaju da se zasnivaju na jednostavnom izraunavanju sopstvenih vrednosti ili norme odgovarajuih matrica sistema, kao što je uraeno za vremenski kontinualne sisteme, ili da se primeni LMI prilaz. Razmatra se linearni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju opisan sa: ( ) ( ) ( )0 1 1 M j j j k A k A k h = + = + − x x x , (20.1.a) ( ) ( ) ( ){ }, , 1 , ,0N Nϑ ϑ ϑ= ∈ − − +x   , (20.1.b) gde je ( ) nk ∈x  , n njA ×∈ , 1, ,j M=  , jh , 1, ,j M=  , su celi brojevi koji predstavljaju ista vremenska kašnjenja sistema, { }1 2max , , , MN h h h=  i ( )⋅ je poznata vektorska funkcija poetnih uslova. Jednaina sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju može se prikazati na sledei nain: ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x , (20.2.a) sa poznatom vektorskom funkcijom poetnih uslova: ( ) ( ) { }, , 1, ... , 0h hϑ ϑ ϑ= ∈ − − +x  , (20.2.b) gde je ( ) nk ∈x  vektor stanja, 0A i 1A su konstantne matrice odgovarajuih dimenzija, h je ceo broj koji predstavlja isto vremensko kašnjenje sistema, a ( )⋅ je poznata vektorska funkcija poetnih uslova. Definicija 20.1 Linearni, vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (20.1.a), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ){ }2, , ,Nα β ⋅ , α β≤ , ako i samo ako za svaku trajektoriju ( )kx koja zadovoljava poetnu funkciju, datu jed. (20.1.b), tako da: ( ) 2 , 0, 1, 2, ,k k Nα< = − − −x  , (20.3) sledi: ( ) 2 , Nk kβ< ∈x  , (20.4) Debeljkovi, Aleksendri (2003). Novi rezultati 208 20.2 Glavni rezultati Definicija 20.2 Sistem, dat jed. (20.2), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na { }, , Nα β ako i samo ako: ( ) 2 , 1,0k kα< = −x , (20.5) povlai: ( ) 2 , Nk kβ< ∀ ∈x  . (20.6) Definicija 20.3 Sistem, dat jed. (20.2), je atraktivno praktino stabilan u odnosu na { }, , Nα β , ako i samo ako: ( ) 0 0 2 , 1,0TA PAk kα< = −x , (20.7) povlai: ( ) 0 0 2 ,T NA PA k kβ< ∀ ∈x  , (20.8) sa osobinom da: ( ) 0 0 2lim 0TA PAk k→∞ →x . (20.9) Definicija 20.4 Sistem, dat jed. (20.2), je praktino nestabilan u odnosu na ( ){ }2, , ,Nα β ⋅ , α β< , ako za: ( ) 2 , 1,0k kα< = −x , (20.10) postoji trenutak: * Nk k= ∈ , tako da je ispunjen sledei uslov: ( ) 2*k β≥x , (20.11) za neko * Nk k= ∈ . Definicija 20.5 Sistem, dat jed. (20.2), je atraktivno praktino nestabilan u odnosu na ( ){ }2, , ,Nα β ⋅ , α β< , ako za: ( ) 0 0 2 , 1,0TA PAk kα< = −x , (20.12) postoji trenutak: * Nk k= ∈ , tako da je ispunjen sledei uslov: Novi rezultati 209 ( ) 0 0 2 * TA PA k β≥x , (20.13) sa osobinom da: ( ) 0 0 2lim 0TA PAk k→∞ →x . (20.14) Teorema 20.1 Sistem: ( ) ( ) ( )0 11k A k A k h+ = + −x x x , (20.15) je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ){ }2, , ,Nα β ⋅ , α β< , ako postoji pozitivan skalar 0℘> i pozitivno odreene matrice P i Q tako da važe sledei uslovi: 0 0 0 1 1 0 1 1 0 T T T T A PA Q P P A PA A PA Q A PA  + + −℘ Ξ = <  − , (20.16) i: ( ) ( )( ) ( ) ( ) max max min min 1 ,k N P Q h k P P λ λ β λ λ α   ℘+ + < ∀ ∈   , (20.17) Debeljkovi, Stojanovi, Dimitrijevi, Popov (2012.b). Dokaz. Razmatra se sledea Ljapunovljeva agregaciona funkcija: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1kT T j k h V k k P k j Q j − = − = + x x x x x . (20.18) Tada, potonja razlika ( )( )V k∆ x duž trajektorija sistema, se dobija kao: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 2 T T T T T T T V k k A PA Q P k k A PA k h k h Q A PA k h k k ∆ = + − + − − − − − = Γ x x x x x x x   , (20.19) gde je: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 0 1 1 T T T T T T T k k k h A PA Q P A PA A PA Q A PA  = −   + + Γ=   −  x x . (20.20) Iz nejed. (20.16) i jed. (20.19), dobija se: Novi rezultati 210 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 0 0 0 0 T T T T T T T k T T j k h V k k k P k k P k k k k k k k P k k P k k P k j Q j V k − = − ∆ = Γ  −℘   = Ξ −  −℘  = Ξ −  = Ξ +℘ <℘ <℘ +℘ =℘ x           x x x x x x x x x , (20.21) s obzirom da je ( ) ( ) 0T k kΞ <  . Osim toga, oigledno je da je: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1V k V k V k V k∆ = + − <℘x x x x , (20.22) tako da: ( )( ) ( ) ( )( )1 1V k V k+ < ℘+x x . (20.23) Primenjujui iterativno nejed. (20.23), dobija se: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 3 1 1 1 2 1 3 1 0k V k V k V k V k V < ℘+ − < ℘+ − < ℘+ − < ℘+ x x x x x  . (20.24) Sa druge strane, dobija se: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 max max 0 0 0 0 0 T T j h T T j h V P j Q j P Q j jλ λ − =− − =− = + ≤ + x x x x x x x x x , (20.25) i sa pretpostavkom datom nejed. (20.3) dovodi do: ( )( ) ( ) ( )( )max max0V P h Qα λ λ< + ⋅x . (20.26) Oigledno je da je: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )minT TV k k P k P k kλ> ≥x x x x x . (20.27) Novi rezultati 211 Kombinovanjem nejed. (20.23), nejed. (20.26) i nejed. (20.27), lako se uoava da je: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) min max max 1 0 1 kT k P k k V k V P h Q λ α λ λ < < ℘+ < ℘+ + ⋅ x x x x , (20.28) ili: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) max max min min 1 kT P Q k k h P P λ λ α λ λ   < ℘+ +  x x . (20.29) Primenom uslova, datog nejed. (20.17), i prethodne nejednakosti dobija se: ( ) ( ) ,T Nk k kβ< ∀ ∈x x  . (20.30) Napomena 20.1 Potrebno je napomenuti da uslov u Teoremi 20.1 nije klasian LMI uslov u odnosu na ℘, P i Q . Meutim, lako se proverava da je uslov, dat nejed. (20.17), garantovan impozantnim uslovima: ( ) 1 2 3 1 2 3 2 2 3 3 0 1 0 0 0 Nk I P I Q I h h γ γ γ γ β γ α γ α γ α γ γ α γ − < < < <   − ℘+   − <   − , (20.31) za pozitivne skalare 1γ , 2γ i 3γ . Kada se jednom fiksira ℘, uslovi dati nejed. (20.16) i nejed. (20.17) se mogu preobratiti u LMI izvodljiv problem. U nastavku se prezentuje primer kako bi se pokazalo da je izvedena metoda efikasna u primeni. Primer 20.1 Razmatra se sledei vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju: ( ) ( ) ( )0,5 0 0,25 0,11 2 0,05 0,6 0,4 0,25 k k k   + = + −  x x x . (20.32) Potrebno je ispitati stabilnost na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ){ }2, , ,N α β ⋅ , sa partikularnim izborom: Novi rezultati 212 ( ) { }3 4 540, 290, , 2, 1, 0 3 3 3 T α β ϑ ϑ = = = ∈ − − − − −  . (20.33) Rešavanjem LMI, datog nejed. (20.16) i nejed. (20.31) za fiksirane vrednosti 0,065℘= i 2h = , dobijaju se sledea izvodljiva rešenja: 41,2862 0,0132 10 0,0132 0,5383 P −  = × − , (20.34) 33,6258 1,8416 10 1,8416 1,0343 Q  = × , (20.35) 3 4 3 1 2 35,3744 10 , 1,2891 10 , 4,5949 10γ γ γ= × = × = × , (20.36) za max 9 est N Nk k= = . Prema tome, sistem u slobodnom radnom režimu, dat jed. (20.32), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ){ }29,40,290, ⋅ . Slika 20.1 prikazuje promenu sa vremenom trajektorije stanja sistema, datog jed. (20.32), sa poetnim uslovom ( )ϑ , { }2, 1, 0ϑ ∈ − − . Može se primetiti da vrednosti varijabli stanja ( )ix k → ∞ , 1,2i = kada k → ∞ , ime je dokazano da sistem nije asimptotski stabilan. Promena sa vremenom norme trajektorije stanja je prikazana na slici 20.2 i slici 20.3. Može se videti da trenutak kada trajektorija napusta granicu 290β = je 182actualk = . Prema tome, pokazano je da su asimptotska stabilnost u smislu Ljapunova i stabilnost na konanom vremenskom intervalu nezavisni koncepti: sistem koji je stabilan na konanom vremenskom intervalu ne mora biti asimptotski stabilan. 0 10 20 30 40 50 60 -4 -2 0 2 4 6 k x 1(k ), x 2(k ) x1(k) x2(k) Slika 20.1 Trajektorija stanja sistema, datog jed. (20.32) sa poetnim uslovom ( )ϑ , { }2, 1, 0ϑ ∈ − − Novi rezultati 213 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 k x T (k )x( k) Slika 20.2 Detaljan prikaz norme trajektorije stanja sistema, datog jed. (20.32), sa poetnim uslovom ( )ϑ , { }2, 1, 0ϑ ∈ − − -10 10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 0 50 100 150 200 250 300 350 400 k x T (k )x( k) Slika 20.3 Opšti prikaz norme trajektorije stanja sistema, datog jed. (20.32), sa poetnim uslovom ( )ϑ , { }2, 1, 0ϑ ∈ − − Literatura Amato, F., M. Ariola, C. Cosentino, C. Abdallah, P. Dorato, “Necessary and Sufficient Conditions for Finite–Time Stability of Linear System”, Proc. of the 2003 American Control Conference, Denver, Colorado, (2003) 4452–4456. Boyd, S., L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM, Philadelphia, PA, 1994. Debeljkovi, D. Lj., “On Practical Stability of Discrete Time Control Systems”, Proc. 3rd International Conference on Control and Applications, Pretoria, South Africa, December, (2001) 197–201. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical and Finite–Time Stability of Time–Delay Systems,“ Proc. ECC 97, Brussels (Belgium), July, (1997.a) 307–311. Novi rezultati 214 Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On the Stability of Linear Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. CDC 97, San Diego, California (USA), December, (1997.e) 2771–2772. Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Lyapunov and Non–Lyapunov stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Proc. ACC 2003, Denver, Colorado (USA), June, (2003) 4450–4451. Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, D. Popov, “On Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems: LMIs Approach”, The 10th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2012), Beijing (Chine), July 6–8, (2012.b), accepted. Hmamed, A., “On the Stability of Time Delay Systems: New Results”, Int. J. Control, 43 (1), (1986.a) 321–324. Hmamed, A., “Stability Conditions of Delay–Differential Systems”, Int. J. Control, 43 (2), (1986.b) 455–463. Hmamed, A., “Further Results on the Delay–Independent Asymptotic Stability of Linear Systems”, Int. J. Systems Sci., 22 (6), (1991) 1127–1132. Lee, E., W. Lu, N. Wu, “A Lyapunov Theory for Linear Time Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–31 (3), (1986) 259–262. Lee, T., S. Diant, “Stability of Time Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–26, (4), (1981) 951–953. Mori, T., “Criteria for Asymptotic Stability of Linear Time Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–30, (1985) 158–161. Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Simple Stability Criteria for Single and Composite Linear Systems with Time Delays”, Int. J. Control, 34, (6), (1981) 1175–1184. Nenadi, Z. Lj., D. Lj. Debeljkovi, S. A. Milinkovi, “On Practical Stability of Time Delay Systems”, Proc. AACC (Annual American Control Conference), Alberquerque, New Mexico (USA), June, (1997) 3235–3236. Novi rezultati 215 21. STABILNOST ZAVISNA OD ISTO VREMENSKOG KAŠNJENJA VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA VREMENSKI PROMENLJIVIM KAŠNJENJEM: PRILAZ DEKOMPOZICIJE KAŠNJENJA 21.1 Uvod isto vremensko kašnjenje je esto prisutno u mnogim praktinim sistemima, kao što su industrijski, telekomunikacioni, privredni sistemi i tako dalje. S obzirom da je isto vremensko kašnjenje glavni izvor nestabilnosti i slabih performansi sistema, znaajna pažnja se poklanja problemu analize stabilnosti i sinteze regulatora vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u lit. Fridman (2001), Moon et al. (2001), Fridman, Shaked (2002.a, 2002.b), He et al. (2004), Yue, Han (2004), Wu et al. (2004), Xu, Lam (2005), Han, Yue (2007), Park, Ko (2007), Shustin, Fridman (2007), Yue et al. (2009), Zhang, Han (2009) i Zhu, Yang (2010). Nasuprot tome, manju pažnju privlae odgovarajui rezultati za vremenski diskretne sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, lit. Lee, Kwon (2002), Gao et al. (2004), Fridman, Shaked (2005.a, 2005.b), Jiang et al. (2005), Xu et al. (2005), Boukas (2006), Liu et al. (2006), Gao, Chen (2007), Chen, Fong (2008), Leite, Miranda (2008) i Yue et al. (2009). Glavni razlog je injenica da se takvi sistemi mogu transformisati u proširene sisteme bez prisustva isto vremenskog kašnjenja. Ovo proširenje sistema, meutim, nije odgovarajue za sisteme sa nepoznatim kašnjenjem i za sisteme sa vremenski promenljivim kašnjenjem koji su predmet analize u ovoj glavi. U poslednje vreme, vea pažnja je posveena problemu stabilnosti, zavisne od isto vremenskog kašnjenja, linearnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem, za sluaj vremenski kontinualnih sistema u lit. Fridman (2001), He et al. (2004), Yue, Han (2004), Wu et al. (2004), Xu, Lam (2005), Han, Yue (2007), Park, Ko (2007), Shustin, Fridman (2007), Zhang, Han (2009) i Zhu, Yang (2010), a za sluaj vremenski diskretnih sistema u lit. Gao et al. (2004), Fridman, Shaked (2005.b), Jiang et al. (2005), Boukas (2006), Liu et al. (2006), Gao, Chen (2007), Novi rezultati 216 Chen, Fong (2008), Leite, Miranda (2008) i Yue et al. (2009), i izvedeno je veliki broj kriterijuma stabilnosti, zavisnih od isto vremenskog kašnjenja. Kljuna taka za izvoenje kriterijuma stabilnosti, zavisnog od isto vremenskog kašnjenja, je izbor odgovarajueg Ljapunov–Krasovski funkcionala. Poznato je da je postojanje kompletnog kvadratnog Ljapunov–Krasovski funkcionala dovoljan i potreban uslov asimptotske stabilnosti sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Korišenjem kompletnog kvadratnog Ljapunov–Krasovski funkcionala, dobija se maksimalna dozvoljena gornja granica isto vremenskog kašnjenja koja je veoma blizu analitikoj granici isto vremenskog kašnjenja za stabilnost. Meutim, kompletni kvadratni Ljapunov–Krasovski funkcional vodi ka komplikovanom sistemu parcijalnih diferencijalnih jednaina, ime se dobijaju beskonano dimenzionalne linearne matrine nejednakosti (Linear Matrix Inequalities – LMI). Osim toga, da bi razvili jednostavniji kriterijum stabilnosti, mnogi autori su koristili specijalne forme Ljapunov–Krasovski funkcionala pre nego kompletnog kvadratnog Ljapunov–Krasovski funkcionala, što daje LMI konanog reda i smanjenu vrednost maksimalne dozvoljene gornje granice. U cilju smanjenja konzervatizma postojeih rezultata, prezentovane su nove metode analize, kao što su metoda transformacije deskriptivnog sistema, lit. Fridman (2001) i Fridman, Shaked (2002.a, 2002.b), metoda slobodno težinske matrice, lit. He et al. (2004), Yue, Han (2004) i Gao, Chen (2007), metoda matrine nejednakosti, lit. Moon et al. (2001), Han, Yue (2007) i Park, Ko (2007), i prilaz sa pozicija ulazno– izlaznih relacija, rad Shustin, Fridman (2007). Korišenjem ovih metoda, izvedeni su mnogi kriterijumi stabilnosti ispitivanjem promene Ljapunov–Krasovski funkcionala na celom intervalu isto vremenskog kašnjenja. Suprotno ovom prilazu, u lit. Yue et al. (2009) i Zhang, Han (2009), da bi se dobili manje konzervativni uslovi stabilnosti, interval promene isto vremenskog kašnjenja je podeljen na više jednakih podintervala i definisan je Ljapunov–Krasovski funkcional, zavisan od intervala isto vremenskog kašnjenja. Ispitivanjem Ljapunov–Krasovski funkcionala, zavisnog od promene intervala isto vremenskog kašnjenja, definisanog na podintervalima, izvedeni su novi kriterijumi stabilnosti, zavisni od isto vremenskog kašnjenja. Korisno je napomenuti da glavna razlika izmeu Ljapunov–Krasovski funkcionala i Ljapunov– Krasovski funkcionala zavisnog od intervala isto vremenskog kašnjenja leži u injenici da se u drugom sluaju uzimaju razliite težinske matrice na razliitim podintervalima. Novi rezultati 217 Prema tome, Ljapunov–Krasovski funkcional, zavisan od intervala isto vremenskog kašnjenja, kao što se oekuje, daje manje konzervativan kriterijum stabilnosti, zavisan od isto vremenskog kašnjenja. Na osnovu ideje iz rada Zhu, Yang (2010) u kome je interval promene isto vremenskog kašnjenja vremenski kontinualnih sistema podeljen na dva nejednaka podintervala, u ovoj glavi je razvijena nova metoda za analizu stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem. Interval promene isto vremenskog kašnjenja [ ], 1Mk h k− − Ljapunov–Krasovski funkcionala, zavisnog od intervala isto vremenskog kašnjenja, je podeljen na dva nejednaka podintervala: [ ], 1Mk h k α− − − i [ ], 1k kα− − , gde je 0 Mhα< < podesivi parametar. Novi Ljapunov–Krasovski funkcional, zavisan od intervala isto vremenskog kašnjenja, je definisan sa razliitim težinskim matricama na razliitim podintervalima. Metoda slobodno težinska matrice i metoda transformacije sistema se ne koriste da bi se izveo kriterijum zavisan od isto vremenskog kašnjenja. Pokazae se da je prezentovani uslov stabilnosti manje konzervativan u odnosu na postojee uslove iz lit. Lee, Kwon (2002), Gao et al. (2004), Fridman, Shaked (2005.a, 2005.b), Xu et al. (2005), Boukas (2006), Liu et al. (2006), Gao, Chen (2007), Chen, Fong (2008), Leite, Miranda (2008) i Yue et al. (2009), zbog injenice da ima manju vrednost maksimalne dozvoljene gornje granice. Izvedeni uslovi se mogu posmatrati kao proširenje metoda iz lit. Yue et al. (2009) i Zhang, Han (2009), u kojima je ceo opseg isto vremenskog kašnjenja podeljen na 2n ≥ jednaka podintervala. S obzirom da je broj podintervala u lit. Yue et al. (2009) i Zhang, Han (2009) vei od dva, prilaz dekompozicije je komplikovan i rezultujui uslovi stabilnosti su više konzervativni i teško ih je proveriti. Oznaavanje. n i + oznaavaju n –dimenzionalan Euklidski prostor i skup pozitivnih celih brojeva. Oznaka 0P > ( )0P ≥ znai da je matrica P realna, simetrina i pozitivno odreena (poluodreena). Za realne, simetrine matrice P i Q , oznaka P Q> ( )P Q≥ znai da je matrica P Q− pozitivno odreena (pozitivno poluodreena). I je jedinina matrica odgovarajue dimenzije. Gornji indeks T" " oznaava transpoziciju. U simetrinim blok matricama ili kompleksnim matrinim izrazima, koristi se zvezdica ( )* da bi predstavio lan proistekao iz simetrije. Ako dimenzije matrica nisu eksplicitno iskazane, pretpostavlja se da su kompatibilne za algebarske operacije. Novi rezultati 218 21.2 Glavni rezultati Razmatra se sledei sistem sa vremenski promenljivim kašnjenjem: ( ) ( ) ( )( )1k A k B k h k+ = + −x x x , (21.1) gde je ( ) nk ∈x  stanje u trenutku k , n nA ×∈ i n nB ×∈ su konstantne matrice, a ( )h k je pozitivan ceo broj koji predstavlja isto vremensko kašnjenje sistema za koje se pretpostavlja da je vremenski promenljivo i koji zadovoljava sledei uslov: ( )0 Mh k h≤ ≤ , (21.2) gde je Mh poznat, pozitivan i konaan ceo broj. U ovoj glavi e se izvesti dovoljan uslov, zavisan od isto vremenskog kašnjenja, koji garantuje stabilnost sistema, datog jed. (21.1), koji je manje konzervativan u odnosu na rezultate u postojeoj literaturi. Prvo e se prezentovati sledei rezultati, koji e se koristiti u dokazu glavnih rezultata. Lema 21.1 Neka je ( ) ( ) ( )1k k k= + −y x x . Za bilo koju matricu 0R > važi: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 m M Tk h m mT M m m k h M M T m M m M k h k hR R h h m R m k h k hR R k h k h R k h k h − − = − − −   −  − − ≤   − −−     = − − − − − − − x x y y x x x x x x , (21.3) Yue et al. (2009). Teorema 21.1 Za date skalare ( )0M Mh h > i ( )0 Mhα α< < , sistem, dat jed. (21.1–21.2), je asimptotski stabilan ako postoje matrice 0TP P= > , 0Ti iQ Q= ≥ i 0Ti iZ Z= ≥ , ( )1,2,3i = , tako da važi sledei LMI: 11 12 15 22 23 25 33 34 44 55 0 0 * 0 * * 0 0 * * * 0 * * * * Φ Φ Φ   Φ Φ Φ  Φ = Φ Φ <  Φ  Φ , (21.4) Novi rezultati 219 11 12 13 15 22 23 24 25 33 44 55 0 * * * 0 0 0 * * * 0 * * * * Ψ Ψ Ψ Ψ   Ψ Ψ Ψ Ψ  Ψ = Ψ <  Ψ  Ψ , (21.5) gde je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 3 1 3 12 1 3 15 1 22 3 1 3 23 1 25 1 33 1 2 1 2 34 2 44 2 2 55 1 11 11 12 13 1 3 15 2 22 3 1 1 , 1 12 , , 1 1 1 , 1 , 1 , , , 1 T TT T T M M M TT T A P A P Q Q Z Z A P B Z Z A I U B P B Q Z Z Z B U Q Q Z Z Z h h Q Z U h A P B Z Z A I U B P B Q h α α α α α α α α α Φ = − + + − + Φ = + + Φ = − Φ = − − + Φ = Φ = Φ = − + − − Φ = − − Φ = − − Φ = − − Ψ = Φ Ψ = Ψ = + Ψ = − Ψ = − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 23 2 3 24 2 25 2 33 1 2 1 3 2 3 44 2 2 55 2 1 1 2 3 2 1 2 3 12 , 1 , 1 1 1 , , M M T M M M M M M Z Z Z Z h Z B U h Q Q Z Z Z Z h Q Z U h U Z h Z Z U Z h Z h Z α α α α α α α α α α α + Ψ = + − − Ψ = Ψ = − Ψ = − + − + − + − Ψ = − − Ψ = − − = + − + = + − + Stojanovi, Debeljkovi, Dimitrijevi (2012.b). Dokaz. Definiše se Ljapunov–Krasovski funkcional, zavisan od intervala isto vremenskog kašnjenja, na sledei nain: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3V k V k V k V k= + + , (21.6) gde je: ( ) ( ) ( )1 TV k k P k= x x , (21.7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 3 M k k k T T T i k i k h i k h k V k i Q i i Q i i Q i α α − − − − = − = − = − = + + x x x x x x , (21.8) Novi rezultati 220 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 M k k k T T T i j k i i h j k i i h k j k i V k j Z j j Z j j Z j α α − − − − − − − =− = + =− = + =− = + = + + y y y y y y , (21.9) gde je 0TP P= > , 0Ti iQ Q= ≥ i 0Ti iZ Z= > , ( )1,2,3i = . Valja uoiti, da je interval isto vremenskog kašnjenja [ ], 1Mk h k− − u Ljapunov–Krasovski funkcionalu podeljen na dva nejednaka podintervala: [ ], 1Mk h k α− − − i [ ], 1k kα− − , gde je 0 Mhα< < podesivi parametar. Potonja razlika funkcije ( ) ( ) ( )1i i iV k V k V k∆ = + − , se dobija kao: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 T T T T T T V k k A P A P k k A P B k h k k h k B P B k h k ∆ = − + − + − − x x x x x x , (21.10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 1 2 2 3 3 T T T T M M T T V k k Q k k Q k k Q k k h Q k h k Q k k h k Q k h k α α α α ∆ = − − − + − − − − − + − − − x x x x x x x x x x x x , (21.11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 3 1 1 1 2 2 1 3 3 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 3 M M T T i T T i h T T i h k T T i T T M i h T T i h k T M V k k Z k k i Z k i k Z k k i Z k i k Z k k i Z k i k Z k k i Z k i h k Z k k i Z k i h k k Z k k i Z k i k Z h Z h k Z α α α α α α α α − =− − − =− − =− − =− − − =− − =− ∆ = − + + + − + + + − + + = − + + + − − + + + − + + = + − + y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 3 M k k k T T T m k m k h m k h k k m Z m m Z m m Z m α α − − − − = − = − = − − − − y y y y y y y (21.12) Poznato je iz nejed. (21.2) da je, za bilo koje k +∈ , ( ) [ ]0, 1h k α∈ − ili ( ) [ ], Mh k hα∈ . Definišu se dva skupa: ( ) [ ]{ }1 : 0, ,k h k kα +Ω = ∈ ∈ , (21.13) Novi rezultati 221 ( ) [ ]{ }2 : 1, ,Mk h k h kα +Ω = ∈ + ∈ . (21.14) U nastavku se razmatra promena funkcije ( )V k∆ za dva sluaja ( )1 2ik k∈Ω ∈Ω . Sluaj 1. Za 1k ∈Ω , to jest ( )0 h k α≤ ≤ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 1 k h kk k T T T m k m k m k h k m Z m m Z m m Z m α α − − − − = − = − = − = + y y y y y y , (21.15) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 3 1 2 3 1 1 1 1 3 2 ( ) M k h k T T M m k k k T T m k h k m k h V k k Z h Z h k Z k m Z m m Z Z m m Z m α α α α − − = − − − − = − = − ∆ = + − + − − + − y y y y y y y y . (21.16) S obzirom da je 1 3 0Z Z+ > , ( )h k α≤ i ( )h kα α− ≤ , korišenjem Leme 21.1, sledi: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) 1 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 1 2 1 k T m k h k T T T T m Z Z m k k h k Z Z k k h k h k k Z Z k k Z Z k h k k h k Z Z k h k α α α − = − − + ≤ − − − + − − ≤ − − + + − + − − − − y y x x x x x x x x x x , (21.17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 k h k T m k T T T T m Z m k h k k Z k h k k h k k h k Z k h k k h k Z k k Z k α α α α α α α α α α − − = − − ≤ − − − − − − − − ≤ − − − + − − + − − − y y x x x x x x x x x x , (21.18) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 M k T m k h T M M M T T M M M T M M M m Z m k k h Z k k h h k Z k k Z k h h h k h Z k h h α α α α α α α α α α − − = − − ≤ − − − − − − − − ≤ − − − + − − − − + − − − − y y x x x x x x x x x x . (21.19) Novi rezultati 222 Kombinovanjem jed. (21.10–21.19), dobija se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 11 1 12 1 22 1 23 33 34 44 ˆ 0 0 * 0 ˆ * * * * * T T T T TT T T T M V k k k A I U A I A I U B B U B k k k h k k k hα ∆ ≤ Φ  Φ + − − Φ + −  Φ + Φ Φ =  Φ Φ   Φ  = − − −     x x x x . (21.20) Oigledno, ( ) 0V k∆ < za 1k ∈Ω ako je ˆ 0Φ < . Korišenjem Schur–ovog komplementa, lako se uoava da važi ( ) 0V k∆ < ako je 0Φ < i ( ) [ ]0,h k α∈ . Sluaj 2. Slino, za 2k ∈Ω , to jest ( )1 Mh k hα + ≤ ≤ , korišenjem Schur–ovog komplementa, lako se uoava da važi ( ) 0V k∆ < ako je 0Ψ < . Iz prethodnog razmatranja, može se pokazati da je za sva k +∈ , ako važe nejed. (21.4–21.5), ( ) 0V k∆ < , ime je dokaz završen. Napomena 21.1 Teorema 21.1 prezentuje rezultat stabilnosti koji zavisi od maksimalne granice isto vremenskog kašnjenja Mh . Uslovi u Teoremi 21.1 su iskazani u vidu LMI, i prema tome mogu se lako proveriti korišenjem standardnog numerikog softvera. Napomena 21.2 Interval isto vremenskog kašnjenja [ ], 1Mk h k− − Ljapunov– Krasovski funkcionala, zavisnog od intervala isto vremenskog kašnjenja, je podeljen na dva nejednaka podintervala: [ ], 1Mk h k α− − − i [ ], 1k kα− − , gde je 0 Mhα< < podesiv parametar. Kao posledica, koriste se razliite težinske matrice u Ljapunovljevom funkcionalu na razliitim podintervalima a informacija o vremenskom kašnjenju u stanju ( )k α−x se može uzeti u razmatranje. Pored toga, korišenjem podintervala i Leme 21.1, vrednosti gornje granice lanova u ( )3V k∆ su tanije ocenjeni u odnosu na prethodne metode s obzirom da je gornja granica Mh isto vremenskog kašnjenja ( )h k na intervalu ( )0 Mh k h≤ ≤ zamenjena sa dve manje konzervativne gornje granice α i Mh na podintervalima ( )0 h k α≤ ≤ i ( ) Mh k hα < ≤ , sledstveno. Prema tome, metoda dekompozicije prezentovana u Teoremi 21.1 vodi ka smanjenju vrednosti maksimalne dozvoljene gornje granice. Novi rezultati 223 Algoritam za odreivanje parametra α ( )0 Mhα< < koji zadovoljava nejed. (21.4–21.5), tako da maksimalna dozvoljena gornja granica Mh ima maksimalnu vrednost, je izložen u nastavku. Algoritam 21.1 Korak 1. Usvaja se 0h = i 0α = . Korak 2. 1h h= + . Korak 3. 1α α= + . Korak 4. Ako su nejednakosti (21.4–21.5) izvodljive, tada je mα α= , 0α = , ide se na Korak 2, u suprotnom sluaju, ide se na Korak 5. Korak 5. Ako je 1hα = − , ide se na Korak 6, u suprotnom sluaju, ide se na Korak 3. Korak 6. Maksimalna vrednost isto vremenskog kašnjenje je 1Mh h= − a minimalna vrednost podesivog parametra α je mα . U nastavku se prezentuju dva primera. Dobijeni rezultati e se uporediti sa više rezultata iz postojeih kriterijuma. Primer 21.1 Razmatra se sistem, dat jed. (21.1), sa vremenski promenljivim kašnjenjem ( )h k koje zadovoljava uslov dat nejed. (21.2) i: { }0,8 0 0,1 0, , 0,91, 0,97 0 0,1 0,1 A B λλ −    = = ∈  − − . Sluaj 1 ( )0,91λ = . Ovaj sistem je razmatran u lit Lee. Kwon (2002) i Xu et al. (2005). U tabeli 21.1 je prikazana maksimalna dozvoljena gornja granica isto vremenskog kašnjenja dobijena iz Teoreme 21.1. Radi poreenja, rezultati iz lit. Lee, Kwon (2002) i Xu et al. (2005) su takoe prikazani u tabeli 21.1. Jasno je da je rezultat dobijen primenom Teorema 21.1 bolji u odnosu na rezultate iz lit. Lee, Kwon (2002) i Xu et al. (2005). Sluaj 2 ( )0,97λ = . Radi poreenja, rezultati iz literature Gao et al. (2004), Fridman, Shaked (2005.a, 2005.b) i Chen, Fong (2008) i rezultat Teoreme 21.1 su prikazani u tabeli 21.2. Jasno je da Teorema 21.1 daje bolje rezultate u odnosu na postojee kriterijume, zavisne od isto vremenskog kašnjenja. Novi rezultati 224 Tabela 21.1 Uporedni prikaz vrednosti maksimalnih dozvoljenih gornjih granica isto vremenskog kašnjenja dobijenih razliitim postojeim metodama za 0,91λ = Metoda Mh Lee, Kwon (2002) 41 Xu et al. (2005), Posledica 1 42 Teorema 21.1 46 za 19, ,30α =  Tabela 21.2 Uporedni prikaz vrednosti maksimalnih dozvoljenih gornjih granica isto vremenskog kašnjenja dobijenih razliitim postojeim metodama za 0,97λ = Metoda Mh Gao et al. (2004), Teorema 1 4 Fridman, Shaked (2005.b), Teorema 3 8 Fridman, Shaked (2005.a), Lema 2 8 Chen, Fong (2008), Teorema 1 10 Teorema 21.1 17 za 9,10,11α = Primer 21.2 Razmatra se sistem, dat jed (21.1), sa vremenski promenljivim kašnjenjem ( )h k koje zadovoljava uslov dat nejed. (21.2) i: Sluaj 1. Boukas (2006), Liu et al. (2006), Leite, Miranda (2008) : 0,6 0 0,1 0 , 0,35 0,7 0,2 0,1 A B   = =  . Sluaj 2. Gao et al. (2004), Liu et al. (2006), Gao, Chen (2007), Yue et al. (2009): 0,8 0 0,1 0 , 0,05 0,9 0,2 0,1 A B −    = =  − − . Za prethodne sisteme, LMI uslovi stabilnosti, nezavisni od isto vremenskog kašnjenja, Mahmood (2000.c): 0 0, 0, * 0 * * T T T T P Q A P P P Q Q Q B P P  − +  = > = > − <  − , su izvodljivi, na osnovu ega sledi da su oba sistema stabilna za ( )0 h k≤ < ∞ . Novi rezultati 225 Korišenjem postojeih kriterijumima, zavisnih od isto vremenskog kašnjenja, dobijaju se samo konane vrednosti maksimalne dozvoljene gornje granice, koja garantuje stabilnost datog sistema. Tabela 21.3 (sluaj 1) i tabela 21.4 (sluaj 2) prikazuju intervale isto vremenskog kašnjenja za razliite metode. Na osnovu Teoreme 21.1, dobijene su velike numerike vrednosti maksimalne dozvoljene gornje granice ( )Mh → ∞ . Prema tome, korišenjem Teoreme 21.1 dobijaju se bolji rezultati u odnosu na razultate iz lit. Gao et al. (2004), Boukas (2006), Liu et al. (2006), Gao, Chen (2007), Leite, Miranda (2008) i Yue et al. (2009). Tabela 21.3 Interval isto vremenskog kašnjenja za sluaj 1 Metoda Interval Boukas (2006), Teorema 3.1 ( )2 10h k≤ ≤ Liu et al. (2006), Teorema 1 i Teorema 2 ( )2 13h k≤ ≤ Leite, Miranda (2008), Teorema 3.2 ( )0 12h k≤ ≤ Chen, Fong (2008), Teorema 1 ( )2 15h k≤ ≤ Teorema 21.1 ( ) 210 10 10h k≤ ≤ ⋅ Tabela 21.4 Interval isto vremenskog kašnjenja za sluaj 2 Metoda Interval stabilnosti Gao et al. (2004), Teorema 1 ( )0 6h k≤ ≤ Liu et al. (2006), Teorema 2 ( )0 10h k≤ ≤ Gao, Chen (2007), Teorema 1 ( )0 12h k≤ ≤ Yue et al. (2009), Teorema 5 ( )2 19h k≤ ≤ Yue et al. (2009), Teorema 7 ( )2 20h k≤ ≤ Teorema 21.1 ( ) 80 9,61 10h k≤ ≤ ⋅ Novi rezultati 226 Literatura Boukas, E. K., “Discrete–Time Systems with Time–Varying Time Delay: Stability and Stabilizability”, Mathematical Problems in Engineering, (2006). Chen, K. F., I–K. Fong, “Stability of Discrete–Time Uncertain Systems With a Time–Varying State Delay”, Proc. IMechE, Part I: J. Systems and Control Engineering, 222, (2008) 493–500. Fridman, E., “New Lyapunov–Krasovskii Functionals for Stability of Linear Retarded and Neutral Type Systems”, Systems and Control Letters, 43, (2001) 309–319. Fridman, E., U. Shaked, “A Descriptor System Approach to H ∞ Control of Linear Time–Delay Systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, 47 (2), (2002.a) 253–270. Fridman, E., U. Shaked, “ H ∞ Control of Linear State Delay Descriptor Systems: An LMI Approach”, Linear Algebra and its Applications, 351–352, (2002.b) 271–302. Fridman, E., U. Shaked, “Delay–Dependent H ∞ Control of Uncertain Discrete Delay Systems”, European Journal of Control, 11, (2005.a) 29–37. Fridman, E., U. Shaked, “Stability and Guaranteed Cost Control Of Uncertain Discrete Delay Systems”, International Journal of Control, 78 (4), (2005.b) 235–246. Gao, H., T. Chen, “New Results on Stability of Discrete–Time Systems with Time– Varying State Delay”, IEEE Transactions on Automatic Control, 52, (2007) 328–334. Gao, H., J. Lam, Y. Wang, “Delay–Dependent Output–Feedback Stabilization of Discrete–Time Systems with Time–Varying State Delay”, IEE Proc. Control Theory Applications, 151 (6), (2004) 691–698. Han, Q. L., D. Yue, “Absolute Stability of Lur’e Systems with Time–Varying Delay”, IET Control Theory, 1 (3), (2007) 854–859. He, Y., M. Wu, J. H. She, G. P. Liu, “Parameter–Dependent Lyapunov Functional for Stability of Time–Delay Systems with Polytopic–Type Uncertainties”, IEEE Transactions on Automatic Control, 49, (2004) 828–832. Jiang, X., Q. L. Han, X. H. Yu, “Stability Criteria For Linear Discrete–Time Systems with Interval–Like Time–Varying Delay”, Proc. American Control Conference, New Orleans (USA), (2005) 2817–2822. Novi rezultati 227 Lee, Y. S., W. H. Kwon, “Delay–Dependent Robust Stabilization of Uncertain Discrete–Time State–Delayed Systems”, Proc. 15th IFAC World Congr., Barcelona (Spain), 15 (1), (2002). Leite, V., M. Miranda, “Robust Stabilization of Discrete–Time Systems with Time– Varying Delay: An LMI Approach”, Mathematical Problems in Engineering, Article ID 876509, (2008). Liu, X. G., R. R. Martin, M. Wu, M. L. Tang, “Delay–Dependent Robust Stabilization of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay”, IEE Proc. Control Theory and Applications, 153 (6), (2006) 689–702. Mahmood, M. S., Robust Control and Filtering for Time–Delay Systems, Marcel– Dekker, New York, 2000.c. Moon, Y. S., P. Park, W. H. Kwon, “Robust Stabilization of Uncertain Input– Delayed Systems Using Reduction Method”, Automatica, 37, (2001) 307–312. Park, P., J. W. Ko “Stability and Robust Stability for Systems with a Time–Varying Delay”, Automatica, 43, (2007) 1855–1858. Shustin, E., E. Fridman, “On Delay–Derivative–Dependent Stability of Systems with Fast–Varying Delays”, Automatica, 43, (2007) 1649–1655. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, N. Dimitrijevi, “Delay–Dependent Stability of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay: Delay Decomposition Approach”, International Journal of Computers, Communications & Control, Vol. 7, No. 4, (2012.b) 242–250. Wu, M., Y. He, J. H. She, G. P. Liu, “Delay–Dependent Criteria for Robust Stability of Time–Varying Delay Systems”, Automatica, 40, (2004) 1435–1439. Xu, S., J. Lam, “Improved Delay–dependent Stability Criteria for Time–Delay Systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, 50 (3), (2005) 384–387. Xu, S., J. Lam, Y. Zou, “Improved Conditions for Delay–Dependent Robust Stability and Stabilization of Uncertain Discrete Time–Delay Systems”, Asian Journal of Control, 7 (3), (2005) 344–348. Yue, D., Q. L. Han, “A Delay–Dependent Stability Criterion of Neutral Systems and its Application to a Partial Element Equivalent Circuit Model”, IEEE Transactions on Circuits and Systems–II, 51 (12), (2004) 685–689. Novi rezultati 228 Yue, D., E. Tian, Y. Zhang, “A Piecewise Analysis Method to Stability Analysis of Linear Continuous / Discrete Systems with Time–Varying Delay”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 19, (2009) 1493–1518. Zhang, X. M. Q. L. Han, “A Delay Decomposition to Delay–Dependent Stability for Linear Systems with Time–Varying Delays”, International Journal of robust and nonlinear control, 19, (2009) 1922–1930. Zhu, X. L., G. H. Yang, “New Results of Stability Analysis for Systems with Time–Varying Delay”, International Journal of robust and nonlinear control, 20, (2010) 596–606. Novi rezultati 229 22. STABILNOST NA KONANOM VREMENSKOM INTERVALU VREMENSKI DISKRETNIH SISTEMA SA VREMENSKI PROMENLJIVIM KAŠNJENJEM 22.1 Uvod Klasini koncepti stabilnosti (to jest ljapunovska stabilnost, BIBO stabilnost) razmatraju dinamiko ponašanje sistema na beskonanom vremenskom intervalu. Ovi koncepti zahtevaju da su promenljive sistema ograniene, pri emu vrednosti granica nisu propisane. Prema tome, klasini koncepti stabilnosti nisu prikladni za praktine primene, s obzirom da postoje sluajevi gde nisu prihvatljiva velika odstupanja veliina od njihovih nominalnih vrednosti pri njihovom kretanju u prostoru stanja. U tom smislu ini se da je opravdano da se definiše kao stabilan sistem ije kretanje, pri datim poetnim uslovima, ostaje unutar propisanih granica na fiksiranom vremenskom intervalu. Izraz praktina stabilnost je uveden za sisteme koji rade na beskonanom vremenskom intervalu sa propisanim granicama, u radu La Salle, Lefschetz (1961). Nešto ranije, u radovima Kamenkov (1953) i Lebedev (1954.a) koji su objavljeni u ruskoj literaturi, razmatrane su i propisane granice kao i konani vremenski intervali, pod nazivom stabilnost na konanom vremenskom intervalu. Prema tome, konceptu praktine stabilnosti i konceptu stabilnosti na konanom vremenskom intervalu je zajedniko da imaju specificirane granice, ali se razlikuju u veliini vremenskog intervala koji se razmatra. Mnogi rezultati su dobijeni za ovaj tip stabilnosti za vremenski kontinualne sisteme u lit. Kamenkov (1953), Lebedev (1954.a), Dorato (1961), La Salle, Lefschetz (1961), Weiss, Infante (1967), Angelo (1970), Amato et al. (2001, 2003, 2006), Moulay, Perruquetti (2006), Garcia et al. (2009), Ming, Shen (2009), Chen, Jiao (2010, 2011) i Zheng et al. (2011), i za vremenski diskretne sisteme u lit. Amato et al. (2004, 2005, 2008, 2010, 2011), Amato, Ariola (2005), Mastellone et al. (2005), Shen (2008), Ichihara, Katayama (2009.a, 2009.b) i Zhu et al. (2009). Novi rezultati 230 U skorije vreme, konceptu stabilnosti na konanom vremenskom intervalu je posveena pažnja u kontekstu teorije linearnih matrinih nejednakosti (Linear Matrix Inequality – LMI), koja omoguava pronalaženje manje konzervativnih uslova koji garantuju stabilnost na konanom vremenskom intervalu i stabilizaciju, lit. Amato et al. (2001, 2004, 2005, 2006, 2010, 2011), Amato, Ariola (2005), Ichihara, Katayama (2009.a, 2009.b) i Zhu et al. (2009). U postojeoj literaturi, stabilnost sistema na konanom vremenskom intervalu se može klasifikovati u sledee dve kategorije: a) (klasina) stabilnost na konanom vremenskom intervalu (pri datoj granici poetnog uslova, kretanje sistema ne prelazi propisanu granicu u toku specificiranog vremenskog intervala), lit. Amato et al. (2003, 2004, 2005, 2006, 2008, 2010), Amato, Ariola (2005), Mastellone et al. (2005) i Garcia et al. (2009), i b) atraktivna stabilnost na konanom vremenskom intervalu (kretanje sistema dostiže stacionarno stanje na konanom vremenskom intervalu), lit. Moulay, Perruquetti (2006), Chen, Jiao (2010, 2011) i Zheng et al. (2011). U ovoj glavi, razmatraju se samo problemi stabilnosti na konanom vremenskom intervalu. Osim toga, stabilnost na konanom vremenskom intervalu u prisustvu spoljašnjeg ulaza vodi ka konceptu ogranienosti na konanom vremenskom intervalu, lit. Amato et al. (2001, 2003, 2006), Amato, Ariola (2005), Ichihara, Katayama (2009.a, 2009.b) i Zhu et al. (2009), (sistem je ogranien na konanom vremenskom intervalu ako, za datu granicu poetnog uslova i karakterizaciju skupa dozvoljenih ulaza, promenljive stanja ostaju unutar propisanih granica za sve ulaze u skupu). isto vremensko kašnjenje se esto javlja u mnogim kontinualnim industrijskim sistemima (hemijski procesi, biološki sistemi, dinamika priraštaja, neuronske mreže, veliki sistemi, …). Pokazano je da je prisustvo isto vremenskog kašnjenja izvor nestabilnosti i loših performansi sistema upravljanja. Prema dostupnim saznanjima, malo je radova koji razmatraju stabilnost na konanom vremenskom intervalu i stabilizaciju vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Prethodni rezultati stabilnosti na konanom vremenskom intervalu sistema sa istim vremenskim kašnjenjem se mogu nai u lit. Debeljkovi et al. (1997.a, 2000.a) i Lazarevi et al. (1999). Novi rezultati 231 Metode u ovoj literaturi daju konzervativnije rezultate zato što se zasnivaju na majorizaciji odziva sistema korišenjem odreenih nejednakosti. U skorije vreme, na osnovu teorije linearnih matrinih nejednakosti, dobijeni su rezultati koji se tiu stabilnosti na konanom vremenskom intervalu u lit. Debeljkovi et al. (1997.a, 2000.a), Lazarevi et al. (1999), Jiang (2009), Gao et al. (2011), Liu, Shen (2011) i Shang et al. (2011), i ogranienosti na konanom vremenskom intervalu u lit. Shen et al. (2007), Wang et al. (2009, 2010), Lin et al. (2011) i Liu, Shen (2011), za partikularne klase sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. U lit. Shen et al. (2007), Jiang (2009) i Wang et al. (2009, 2010), se razmatra problem stabilnosti na konanom vremenskom intervalu, rad Jiang (2009), i ogranienost na konanom vremenskom intervalu, lit. Shen et al. (2007) i Wang et al. (2009, 2010), neuronskih mreža sa istim vremenskim kašnjenjem. U radovima Lin et al. (2011) i Liu, Shen (2011) prouavana je ogranienost na konanom vremenskom intervalu prikljunih linearnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem i spoljašnjim poremeajima. Radovi Gao et al. (2011) i Shang et al. (2011) istražuju problem upravljanja na konanom vremenskom intervalu za mrežne sisteme upravljanja sa vremenski promenljivim kašnjenjem. U radu Shang et al. (2011) uvedena je partikularna linearna transformacija da bi se originalan sistem sa istim vremenskim kašnjenjem pretvorio u sistem bez prisustva isto vremenskog kašnjenja. Atraktivna stabilnost na konanom vremenskom intervalu i stabilizacija nelinearnih diferencijalnih jednaina sa kašnjenjem su razvijeni u radu Moulay et al. (2008). Za razliku od vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, manje pažnje je posveeno vremenski diskretnim sistemima sa istim vremenskim kašnjenjem. Glavni razlog je injenica da se takvi sistemi mogu transformisati u proširene sisteme bez prisustva isto vremenskog kašnjenja. Ovo proširenje sistema, meutim, nije odgovarajue za sisteme sa nepoznatim istim vremenskim kašnjenjem i za sisteme sa vremenski promenljivim kašnjenjem koji su predmet analize u ovoj glavi. Prema dostupnim saznanjima, u literaturi ne postoje dostupni rezultati koji se tiu stabilnosti na konanom vremenskom intervalu i stabilizacije klase linearnih, vremenski diskretnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem. Novi rezultati 232 Cilj ove glave je prezentovanje novih dovoljnih uslova stabilnosti na konanom vremenskom intervalu razmatrane klase sistema. U tom smislu, polazi se od rezultata prezentovanih u radu Stojanovi, Debeljkovi (2011) koji se bavi asimptotskom stabilnošu vremenski diskretnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem. Da bi se rešio problem stabilnosti na konanom vremenskom intervalu koristi se Ljapunovljeva metoda. Dovoljni uslovi e biti izraženi u formi LMI koji je zavisan od minimalne i maksimalne granice isto vremenskog kašnjenja. Numeriki primeri e se koristiti da ilustruju primenljivost razvijenih rezultata. Razmatraju se dva sluaja: a) kada je sistem asimptotski stabilan, i b) kada je sistem nestabilan. Pokazae se, u oba sluaja, da su sistemi stabilni na konanom vremenskom intervalu. 22.2 Formulacija problema i preliminarna razmatranja Oznaavanje. n i + oznaavaju n –dimenzionalan Euklidski prostor i skup pozitivnih celih brojeva. Oznaka 0P > ( )0P ≥ znai da je matrica P realna, simetrina i pozitivno odreena (poluodreena). ( ) ( )min min ReP Pλ λ i ( ) ( )max max ReP Pλ λ oznaavaju minimalnu i maksimalnu sopstvenu vrednost simetrine matrice P . Za realne, simetrine matrice P i Q , oznaka P Q> ( )P Q≥ znai da je matrica P Q− pozitivno odreena (pozitivno poluodreena). I je jedinina matrica odgovarajue dimenzije. Gornji indeks T" " oznaava transpoziciju. U simetrinim blok matricama ili kompleksnim matrinim izrazima, koristi se zvezdica ( )* da bi predstavio lan proistekao iz simetrije. Ako dimenzije matrica nisu eksplicitno iskazane, pretpostavlja se da su kompatibilne za algebarske operacije. Razmatra se linearni, vremenski diskretni sistem sa vremenski promenljivim kašnjenjem u stanju: ( ) ( ) ( )( )1 dk A k A k h k+ = + −x x x , (22.1) sa funkcijom poetnih stanja: ( ) ( ) { }, , 1, ... , 0M Mh hθ θ θ= ∈ − − +x  , (22.2) koja zadovoljava: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) { }1 1 , , 1, ... , 1T M Mh hθ θ θ θ µ θ+ − + − < ∈ − − + −    , (22.3) Novi rezultati 233 gde je ( ) nk ∈x  stanje u trenutku k , n nA ×∈ i n ndA ×∈ su konstantne matrice. ( )h k je pozitivan ceo broj koji predstavlja vremenski promenljivo kašnjenje koje zadovoljava: ( )m Mh h k h≤ ≤ , (22.4) gde su mh i Mh konstantni, pozitivni celi brojevi koji predstavljaju minimalno i maksimalno isto vremensko kašnjenje, sledstveno. Pretpostavka o istom vremenskom kašnjenju ( )h k data nejed. (22.4) karakterizuje realnu situaciju u mnogim praktinim primenama. Tipian primer koji sadrži isto vremensko kašnjenje a koji se može karakterizovati nejed. (22.4) se može nai u mrežnim sistemima upravljanja, gde su ista vremenska kašnjenja uvedena usled mrežne transmisije (bilo iz senzora do kontrolera ili iz kontrolera do aktuatora) su zapravo vremenski promenljiva kašnjenja, i može se pretpostaviti da postoje minimalna i maksimalna granica isto vremenskog kašnjenja bez gubitka opštosti. U ovoj glavi se prouava stabilnost na konanom vremenskom intervalu klase sistema, datih jed. (22.1), sa vremenski promenljivim kašnjenjem. Cilj je da se razvije dovoljan uslov tako da je sistem, dat jed. (22.1), stabilan na konanom vremenskom intervalu za bilo koje ( )h k koje zadovoljava ( )m Mh h k h≤ ≤ . Najpre se uvodi sledea definicija stabilnosti na konanom vremenskom intervalu sistema sa istim vremenskom kašnjenjem, datog jed. (22.1). Definicija 22.1 Vremenski diskretni sistem sa istim vremenskim kašnjenjem, dat jed. (22.1), sa funkcijom poetnih stanja, datom jed. (22.2), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ), , Nα β , gde je 0 α β≤ < , ako: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) , 1, , 0 sup , [1, 2, , ] M M T T k h h k k k k k Nα β ∈ − − + <  < ∀ ∈  x x   . (22.5) Napomena 22.1 Asimptotska stabilnost u smislu Ljapunova i stabilnost na konanom vremenskom intervalu su nezavisni koncepti: sistem koji je stabilan na konanom vremenskom intervalu ne mora biti asimptotski stabilan, nasuprot tome, asimptotski stabilan sistem u smislu Ljapunova bi mogao biti stabilan na konanom vremenskom intervalu, ako njegovo kretanje prelazi propisane granice u toku prelaznih procesa. Novi rezultati 234 22.3 Glavni rezultati U ovom odeljku, uvodi se kriterijum stabilnosti na konanom vremenskom intervalu za sistem, dat jed. (22.1), korišenjem Ljapunovljeve metode kombinovane sa LMI tehnikom. Polazi se od rezultata prezentovanog u radu Stojanovi, Debeljkovi (2011), koji daje kriterijum asimptotske stabilnosti, zavisan od isto vremenskog kašnjenja, i izvodi se dovoljan uslov stabilnosti na konanom vremenskom intervalu. Teorema 22.1 Sistem, dat jed. (22.1), sa vremenski promenljivim kašnjenjem je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ), ,Tα β , α β< , ako postoje pozitivno odreene simetrine matrice P , Q , Z , pozitivni skalari 1θ , 2θ , 3θ , 4θ i skalar 1γ ≥ , tako da važi sledei LMI: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 0 0 1 T TT d d d M T T d d M d TT T M m d d A A P A A P A h A I Z Q A P A h A Z Z Z P P h h Q A P A A A A P Aγ  Γ + − −  ∗ − − Γ = <  ∗ ∗ −   ∗ ∗ ∗ − Γ = − + + − + + + + + , (22.6) 1 2 3 4 0 0 I P I Q I Z I θ θ θ θ < < < < < < , (22.7) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 2 3 4 2 3 4 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 1 2 N M M M m m M M h h h h h h h γ β θ α θ δ θ ε θ θ θ θ δ α ε µ −  −  ∗ − <  ∗ ∗ −   ∗ ∗ ∗ − = + − − − − − = − , (22.8) Stojanovi, Debeljkovi, Dimitrijevi (2012.a). Dokaz. Neka je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 d d m m m A m A m h m m A I m A m h m + − = + − − = − + −  x x x x x x x  , (22.9) i: Novi rezultati 235 ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 k m k h k k m k h k k h k k k k h k k m m k m − = − − = − − = − − − = − + − = − x x x x x x x x  . (22.10) Tada se sistem, dat jed. (22.1), može transformisati u: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 d k d m k h k k A k A k h k A k A k m − = − + = + −   = + −  x x x x x  , to jest: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 k d d m k h k k A A k A m − = − + = + − x x  . (22.11) Izborom diskretnog Ljapunov–Krasovski funkcionala na sledei nain, Stojanovi, Debeljkovi (2011): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 1 2 1 1 3 2 1 1 1 4 m M M T k T i k h k h k T j h i k j k T i h j k i V k V k V k V k V k V k k P k V k i Q i V k i Q i V k j Z j − = − − + − =− + = + − − − =− = + = + + + = = = = x x x x x x   , (22.12) gde su P , Q i Z pozitivno odreene matrice koje e biti izraunate. Potonja razlika ( ) ( )1V V k V k∆ = + − duž rešenje sistema, datog jed. (22.1), i transformisanog sistem, datog jed. (22.11), se dobija kao, Stojanovi, Debeljkovi (2011): ( ) ( ) ( )TV k k k∆ ≤ Ω  , (22.13) gde je: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 T k T T T m k h k k k k h k m − = −   = −     x x  , Novi rezultati 236 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 1 1 2 2 1 2 1 1 T T T d d M d d T T M d d d d M TT d M m M A A P A h A I Z A A P A Q h A Z A A P A Z h A P A A P h h Q h A I Z A I   Ω + + − −   Ω = ∗ − + −   ∗ ∗ − Ω = + − + − + + − − . (22.14) Neka je: ( ) ( ) ( )11 1 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 0 1 1 ˆ 2 2 1 2 1 T T T d d M d d T T M d d d d M P A A P A h A I Z A A P A Q h A Z A A P A Z h γ −   Γ Ω −     Γ + + − −   = ∗ − + −   ∗ ∗ −  , (22.15) gde je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 ˆ 1 1 1 1 TT d M m M TT d M m M A P A A P h h Q h A I Z A I P A P A A P h h Q h A I Z A I γ γ γ Γ = + − + − + + − − − − = + − + − + + − − ≥ . Ako je: ˆ 0Γ < , (22.16) tada je: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ˆ 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 T T T T T T P V k k k k k P k k k k P k k k P k V k γ γ γ γ γ   −    ∆ = Ω = Γ +      −   = Γ +   −   < = −  < − x           x x x , (22.17) Novi rezultati 237 to jest: ( )( ) ( )( )1V k V kγ< −x x . (22.18) Primenjujui iterativnu proceduru na nejed. (22.18), dobija se: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )21 2 0kV k V k V k Vγ γ γ< − = − = =x x x x . (22.19) Dalje je: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 max max 1 1 1 1 max max 2 1 0 0 0 0 0 m M M M m M M T T i h k h T T j h i j i h j i T T i h h T T j h i j i h j i V P i Q i i Q i j Z j P Q i i Q i i Z j j λ λ λ λ − =− − + − − − =− + = − =− = − =− − + − − − =− + = − =− = = + + + < + + + x x x x x x x   x x x x x x   , ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 max max max max 2 1 1 max max max max 1 11 max max max max 1 1 1 0 m M M M M M m mM M h i h j h i j i h j i h h M j h j hh h M j j j V P Q Q Z P Q h Q j Z j P Q h Q j j Z j λ α λ α λ α λ µ λ α λ α λ α λ µ λ α λ α λ α λ µ − + − − − − =− =− + = − =− = − = = −− = = = < + + + = + + +   = + + − + x , ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) max max max max 0 1 2 1 2 2 1 2 M M M m m M M V P Q h Q h h h h Z h h λ α λ α λ α λ µ < + + − − − − − + − x , (22.20) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )minT TV k k P k P k kλ> ≥x x x x x . (22.21) Na osnovu nejed. (22.19), nejed. (22.20) i nejed. (22.21), ako je ispunjen sledei uslov: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) max max max min 1 2 2 1 2 2 1 2 M M M m m N M M P Q h h h h h Z h h P λ α λ α λ µ γ λ β− + + − − − − − + − < , (22.22) dobija se: ( ) ( ) [ ], 1, 2, ,T k k k Nβ< ∀ ∈x x  , (22.23) to jest sistem, dat jed. (22.1), je stabilan na konanom vremenskom intervalu. Neka je: Novi rezultati 238 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 min 2 max 3 max 4 max0 , , , 1 2 2 1 2 2 , 1 2M M M m m M M P P Q Z h h h h h h h θ λ θ λ θ λ θ λ δ α ε µ < < > > > = + − − − − − = − . Tada iz nejed. (22.22) sledi: 1 2 3 4 1 2 3 4 , 0 , 0 0N I P I Q I Z Iθ θ θ θ γ β θ αθ δ θ ε θ− < < < < < < − + + + < . (22.24) Lako se proverava da su uslovi dati nejed. (22.24) garantovani nametanjem uslova datih nejed. (22.7–22.8). Iz nejed. (22.16), uvoenjem smene 2P P↔ , dobija se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 0 1 1 T T T d d M d d T T M d d d d M TT T d d T M m M A A P A h A I Z A A P A Q h A Z A A P A Z h P P A P A A A A P A h h Q h A I Z A I γ    Γ + + − −  Γ = ∗ − + − <   ∗ ∗ − Γ = − + + + + + + − + + − − . (22.25) Dalje je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 11 1 0 0 1 0 1 T T T d d M d d T T M d d d d M T T TT d d d M M d T T d d M d d M T T d d d T d d M A A P A h A I Z A A P A Q h A Z A A P A Z h A A P A A P A h A I Z A I h A I Z A Q A P A h A Z A Z h A A P A A P A Q A P A h    Γ + + − −   ∗ − + −   ∗ ∗ −     Γ + − − − −     = ∗ − − + ∗   ∗ ∗  ∗ ∗ −  Γ + − = ∗ − − ∗ ∗ − ( ) ( )( ) 1 1 0 0 0 T T d d M A I Z A Z Z Z A I Z A h Z −      −       − − − <      ,(22.26) gde je: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 1 T M T T d T d M m h A I Z A I P P A P A A A A P A h h Q γ Γ = Γ − − − = − + + + + + + − + . (22.27) Novi rezultati 239 Korišenjem Schur–ovih komplemenata, lako se pokazuje da je uslov dat nejed. (22.26) ekvivalentan uslovu: ( ) ( )11 1 00 1 T TT d d d T T d d d M M A A P A A P A A I Z Q A P A A Z Z h Z h  Γ + − −  ∗ − −  < ∗ ∗ −    ∗ ∗ ∗ − . (22.28) Uvoenjem smene Mh Z Z↔ , dobija se LMI dat nejed. (22.6). Napomena 22.2 Uslovi dati nejed. (22.6–22.8) su LMI uslovi, prema tome lako se proveravaju korišenjem standardnog numerikog softvera. Ovi uslovi zavise i od maksimalne i od minimalne granice isto vremenskog kašnjenja. Napomena 22.3 Iz Teoreme 22.1, za sluaj konstantnog isto vremenskog kašnjenja, M mh h h= = , dobija se sledei rezultat. Posledica 22.1 Sistem, dat jed. (22.1), pri emu je ( )h k h= , je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ), ,Tα β , α β< , ako postoje pozitivno odreene simetrine matrice P , Q , Z , pozitivni skalari 1θ , 2θ , 3θ , 4θ i skalar 1γ ≥ , tako da važi sledei LMI: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 0 0 T TT d d d T T d d d TT T d d A A P A A P A h A I Z Q A P A h A Z Z Z P P Q A P A A A A P Aγ  Γ + − −  ∗ − − Γ = <  ∗ ∗ −   ∗ ∗ ∗ − Γ = − + + + + + + , (22.29) 1 2 3 4 0 0 I P I Q I Z I θ θ θ θ < < < < < < , (22.30) ( ) 1 2 3 4 2 3 4 0 0 0 0 , 1 2 N h h h γ β θ α θ δ θ ε θ θ θ θ δ α ε µ −  −  ∗ − <  ∗ ∗ −   ∗ ∗ ∗ − = = − , (22.31) Stojanovi, Debeljkovi, Dimitrijevi (2012.a). Novi rezultati 240 Dokaz. Za M mh h h= = , uslovi dati nejed. (22.29–22.31) slede direktno iz uslova datih nejed. (22.6–22.8). 22.4 Rezultati i diskusija Primer 22.1 Razmatraju se sledei asimptotski stabilni, vremenski diskretni sistemi sa vremenski promenljivim kašnjenjem u stanju, Stojanovi, Debeljkovi (2011): ( ) ( ) ( )( )0,60 0,00 0,10 0,001 0,35 0,70 0,20 0,10k k k h k     + = + −  x x x . (22.32) (i) Izraunava se gornja granica vremenski promenljivog kašnjenja Mh korišenjem Teoreme 22.1, tako da je sistem, dat jed. (22.32), stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ) ( ), , 2,1, 50, 50Nα β = i sa partikularnim izborom 2mh = i: { } ( ) ( )( )6, 5, ... , 0 0 1 1 1 1 1 16 0 1 1 1 1 1 1 1θ∈ − −   = − =  − − − − − − −    . Oigledno je: ( ) ( ) { }2 2,1, 6, 5, ... , 0T θ θ α θ≤ < = ∈ − −  , ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) { }1 1 1 1,1, 6, 5, ... , 1Tθ θ θ θ µ θ+ − + − ≤ < = ∈ − − −    . Rešavanjem LMI, datog nejed. (22.6–22.8), za fiksiranu vrednost 1,0011γ = , dobija se sledee izvodljivo rešenje: ( ) 1 2 3 4 678,86 4,49 sup 6, 4,49 75,84 36,83 4,91 40,82 8,71 , 4,91 2,94 8,71 3,48 74,91 693,63 38,75 45,30 Mh P Q Z θ θ θ θ   = =      = =  = = = = . Oigledno je da važe sledee nejednakosti: ( ) { } ( ) { } ( ) { } 0 75,81, 678,90 0 2,24, 37,53 0 1,55, 42,75 i i i P Q Z λ λ λ < ∈ < ∈ < ∈ , Novi rezultati 241 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 min 2 max 3 max 4 max 74,91 75,81 693,63 678,90 =38,75 37,53 =45,30 42,75 P P Q Z θ λ θ λ θ λ θ λ = < = = > = > = > = . Prema tome, sistem, dat jed. (22.32), sa vremenski promenljivim kašnjenjem ( )2 6h k≤ ≤ je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( )2,1, 50, 50 . (ii) Ponavlja se ispitivanje stabilnosti na konanom vremenskom intervalu ali korišenjem Posledice 22.1 i izraunava se gornja granice konstantnog kašnjenja h tako da je sistem, dat jed. (22.32), stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( )2,1, 50, 50 i: { } ( ) ( )( )11, 10, ... , 0 11 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 θ∈ − − = −   =  − − − − − − − − − − − −    . Rešavanjem LMI, datog nejed. (22.29–22.31), za fiksirane vrednosti 1,0003γ = i 1,1µ = , dobija se sledee izvodljivo rešenje: ( ) 1 2 3 4 8169,80 70,62 sup 11, 70,62 842,62 559,15 67,41 169,93 34,75 , 67,41 53,70 34,75 16,46 840,05 8211,54 571,96 1 78,98 h P Q Z θ θ θ θ −  = =  −     = =  = = = = . Prema tome, sistem, dat jed. (22.32), sa konstantnim kašnjenjem 11h ≤ je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( )2,1, 50, 50 . Uporeivanjem ova dva rezultata može se zakljuiti sledee: a) Teorema 22.1 uzima u obzir promenljivost isto vremenskog kašnjenja, dok Posledica 22.1 to ne ini. Tako, kada se ispituje stabilnost na konanom vremenskom intervalu sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem, mora se koristiti Teorema 22.1. b) Usled postojanja isto vremenskog kašnjenja, primenom Posledice 22.1 dobijaju se vee vrednosti gornje granice isto vremenskog kašnjenja: ( ) ( )sup 11 6 sup Mh h= > = . Novi rezultati 242 Prema tome, kada se ispituje stabilnost sistema na konanom vremenskom intervalu sa konstantnim kašnjenjem, bolje je primeniti Posledicu 22.1. Primer 22.2 Razmatraju se sledei vremenski diskretni sistemi sa istim vremenskim kašnjenjem: ( ) ( ) ( )( )0,60 0,00 0,20 0,251 0,35 0,70 0,25 0,15k k k h k     + = + −  x x x . (22.33) a) Neka je ( ) 2h k = . Oigledno, sistem, dat jed. (22.33), nije asimptotski stabilan. Izraunava se gornja granica β , tako da je sistem, dat jed. (22.33), stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ) ( ), , 2,1, , 10Nα β β= i: { } ( ) ( ) ( )( )2, 1, 0 1 1 12 1 0 0 1 1θ∈ − − − − −  = − − =      . Oigledno je: ( ) ( ) { }2 2,1, 2, 1, 0T θ θ α θ≤ < = ∈ − −  , ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) { }1 1 1 1,1, 2, 1, 0Tθ θ θ θ µ θ+ − + − ≤ < = ∈ − −    . Korišenjem Posledice 22.1 za fiksiranu vrednost 1,7258γ = , dobija se sledee izvodljivo rešenje: 1 2 3 4 80539,40 8705,52 2425,04 8705,52 44064,95 27308,33 24437,48 26533,28 23870,36 , 24437,48 23245,63 23870,36 22094,39 42093,69 82510,68 49798,76 48287,20 P Q Z β θ θ θ θ −  = =  −     = =  = = = = . Prema tome, sistem, dat jed. (22.33), je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ) ( ), , 2,1, 2425,04, 10Nα β = , ali nije asimptotski stabilan (videti Napomenu 22.1). b) Neka je ( )1 2m Mh h k h= ≤ ≤ = i ( )0 2h = . Rešavanjem LMI, datog nejed. (22.6–22.8), za fiksirane vrednosti 2,227γ = , 7N = i: { } ( ) ( ) ( )( )2, 1, 0 1 1 12 1 0 0 1 1θ∈ − − − − −  = − − =      , dobija se sledee izvodljivo rešenje: Novi rezultati 243 1 2 3 4 1307,72 98,19 2082,9 98,19 902,12 434,04 377,52 347,69 308,53 , 377,52 361,30 308,53 280,75 879,59 1330,27 776,94 624,61 P Q Z β θ θ θ θ −  = =  −     = =  = = = = . Prema tome, sistem, dat jed. (22.33), sa vremenski promenljivim kašnjenjem ( )1 2h k≤ ≤ je stabilan na konanom vremenskom intervalu u odnosu na ( ) ( ), , 2,1, 2082,9, 7Nα β = . Literatura Amato, F., M. Ariola, IEEE Trans. Autom. Control, 50 (5), (2005) 724–729. Amato, F., M. Ariola, P. Dorato, Automatica, 37 (9), (2001) 1459–1463. Amato, F., M. Ariola, C. Cosentino, C. T. Abdallah, P. Dorato, Proc. American Control Conf., Denver, Colorado, June, (2003) 4452–4456. Amato, F., M. Carbone, M. Ariola, C. Cosentino, Proc. American Control Conf. Boston, Massachusetts, June 30–July 2, (2004) 1440–1444. Amato, F., M. Ariola, M. Carbone, C. Cosentino, Proc. 16th IFAC World Congress, Pague, July 2005. Amato, F., M. Ariola, P. Dorato, Automatica, 42, (2006) 337–342. Amato, F., R. Ambrosino, M. Ariola, F. Calabrese, Proc. American Control Conf., Seattle, Washington (USA), June 11–13, (2008) 1656–1660. Amato, F., M. Ariola, C. Cosentino, Automatica, 46, (2010) 919–924. Amato, F., R. Ambrosino, M. Ariola, G. De Tommasi, Proc. 18th IFAC World Congress, Milano (Italy), August 28–September 2, (2011) 156–160. Angelo, H. D., Linear Time–Varying Systems: Analysis and Synthesis, Allyn and Bacon, Boston, 1970. Chen, W. S., L. C. Jiao, Automatica, 46 (12), (2010) 2105–2108. Chen, W. S., L. C. Jiao, Automatica, 47 (7), (2011) 1544–1545. Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Proc. European Control Conf., Brussels (Belgium), July, (1997.a) 307–311. Novi rezultati 244 Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, Dj. Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Proc. American Control Conf., Chicago, Illinois (USA), June, (2000.a) 1450–1451. Dorato, P., IRE Internat. Conv. Rec. Part 4, New York, (1961) 83–87. Gao, F., Z. Yuan, F. Yuan, Adv. Inform. Sc. Serv. Sc., 3 (7), (2011) 1–9. Garcia, G., S. Tarbouriech, J. Bernussou, IEEE Trans. Autom. Control, 54, (2009) 364–369. Ichihara, H., H. Katayama, Proc. American Control Conf., St. Louis, Missouri (USA), June 10–12, (2009.a) 1171–1176. Ichihara, H., H. Katayama, Joint 48th IEEE Conf. on Decision and Control and 28th Chinese Control Conf., Shanghai (P. R. China), December 16–18, (2009.b) 3226–3231. Jiang, D., Proc. 6th International Symposium on Neural Networks on Advances in Neural Networks, Wuhan (China), May, (2009) 522–531. Kamenkov, G., J. Applied Math. and Mechanics, 17, (1953) 529–540. La Salle, J., S. Lefschetz, Stability by Liapunov’s Direct Method, Academic Press, New York, 1961. Lazarevi, M. P., D. Lj. Debeljkovi, Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, IMA J. Math. Control Inf., 17 (2), (1999) 101–109. Lebedev, A., J. Applied Math. and Mechanics, 18, (1954.a) 75–94. Lin, X., H. Du, S. Li, Appl. Math. Comput., 217, (2011) 5982–5993. Liu, H., Y. Shen, Intell. Control Autom., 2, (2011) 203–213. Mastellone, S., C. T. Abdallah, P. Dorato, Proc. American Control Conf., Portland, OR (USA), June 8–10, (2005) 1239–1244. Ming, Q., Y. Shen, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14, (2009) 1043–1049. Moulay, E., W. Perruquetti, J. Math. Anal. Appl., 323, (2006) 1430–1443. Moulay, E., M. Dambrine, N. Yeganefar, W. Perruquetti, Syst. Control Lett., 57, (2008) 561–566. Shang, Y., F. Gao, F. Yuan, Int. J. Advancem. Comput. Technol., 3 (3), (2011) 192–198. Shen, Y., Control Decis., 23, (2008) 107–109. Shen, Y., L. Zhu, Q. Guo, Proc. 4th international symposium on Neural Networks: Advances in Neural Networks, Nanjing (China), Jun, (2007) 904–909. Novi rezultati 245 Stojanovi, S. B., D. LJ. Debeljkovi, Chem. Ind. Chem. Eng. Q., 17 (4), (2011) 497−503. Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, N. Dimitrijevi, “Finite–Time Stability of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay”, Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly, (2012.a), DOI:10.2298/CICEQ120126026S. Wang, J., J. Jian, P. Yan, Proc. 6th International Symposium on Neural Networks on Advances in Neural Networks, Wuhan (China), May, (2009) 395–404. Wang, X., M. Jiang, C. Jiang, S. Li, Proc. 7th International Symposium on Neural Networks, Shanghai (China), June, (2010) 611–618. Weiss, L., E. Infante, IEEE Trans. Autom. Control, 12, (1967) 54–59. Zheng, Y. S., W. S. Chen, L. Wang, Int. J. Control, 84 (10), (2011) 1644–1652. Zhu, L., Y. Shen, C. Li, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14, (2009) 361–370. Zakljuak 246 XII ZAKLJUAK Prvo poglavlje ove disertacije bavi se opštim razmatranjima vezanim za klase sistema koja su predmet izuavanja. U drugom poglavlju disertacije razmatrana su opšta pitanja dinamike vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Iznete su osobenosti fenomena kašnjenja u prenosu signala u fizikim procesima i izvršena klasifikacija diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Razmatrane su mogunosti rešavanja diferencnih jednaina sa pomerenim argumentom. Date su mogunosti analize vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u vremenskom, kompleksnom i frekventnom domenu, kao i u prostoru stanja. Odreeno je kretanje vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u vremenskom domenu i u prostoru stanja. U treem i etvrtom poglavlju disertacije dat je hronološki pregled postignutih rezultata i rekapitulacija nekih osnovnih rezultata na polju prouavanja ljapunovske stabilnosti vremenski diskretnih i kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Stabilnost u smislu Ljapunova vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, u vidu kriterijuma koji ne uzimaju u obzir isto vremensko kašnjenje, je razmatrana u petom poglavlju disertacije. Prezentovani su kriterijumi za ispitivanje asimptotske stabilnosti linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Ovi rezultati su manje restriktivni u odnosu na rezultate u postojeoj literaturi. Prezentovan je rezultat analogan rezultatu datom u radu Tissir, Hmamed (1996), za vremenski kontinualne sisteme sa istim vremenskim kašnjenjem, koji obuhvata sve specifine osobine vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i koji je manje konzervativan u odnosu na rezultat prezentovan u radu Jaci et al. (2004). Na osnovu nove Ljapunov–Krasovski metode, prezentovani su dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti, nezavisne od isto vremenskog kašnjenja, linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Zakljuak 247 Stabilnost u smislu Ljapunova vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, u vidu kriterijuma koji uzimaju u obzir isto vremensko kašnjenje, je razmatrana u šestom poglavlju disertacije. Dati su potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti partikularne klase linearnih, vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Prezentovani su kriterijumi, zavisni od isto vremenskog kašnjenja, koji se iskljuivo zasnivaju na maksimalnim i dominantnim solventima partikularne matrine jednaine. U sluaju vremenski diskretnih sistema sa velikim iznosom isto vremenskog kašnjenja, pokazano je da, ako se dominantni solvent može izraunati pomou Traub–ovog ili Bernoulli–evog algoritma, oekuje se mali broja izraunavanja u poreenju sa uobiajenim postupcima koje se zasnivaju na sopstvenim vrednostima proširene matrice eqA . U sedmom poglavlju disertacije izuavana je stabilnost u smislu Ljapunova perturbovanih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Problem robusne asimptotske stabilnosti je razmatran za sluaj linearnih, perturbovanih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Osim dva rezultata, koji predstavljaju dalju generalizaciju nekih prethodnih rezultata iz lit. Mori et al. (1982.b) i Trinh, Aldeen (1995.a), prezentovan je rezultat u formi samo dovoljnog uslova. Generalizovani rezultati su se koristili kao osnova za uporeivanje rezultata. Prezentovani su dovoljni uslovi koji garantuju ( , )D rα robusnu stabilnost linearnih, perturbovanih, vremenski diskretnih sistema sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem. Razmatrane su i strukturne i nestrukturne parametarske perturbacije. Takoe je dat dovoljan uslov koji garantuje stabilnost linearnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i nelinearnim perturbacijama. Prezentovan je dovoljan uslov koji garantuje eksponencijalnu stabilnost linearnih, perturbovanih, vremenski diskretnih sistema sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem i nelinearnim perturbacijama. Izuavan je i problem analize kvadratne stabilnosti linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem u stanju i neodreenostima. Dati su potrebni i dovoljni uslovi, koji ne zavise od isto vremenskog kašnjenja, u smislu linearnih matrinih nejednakosti. Prezentovani rezultati predstavljaju proširenje rezultata kvadratne stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem i neodreenostima iz rada Xu et al. (2001.b). Zakljuak 248 Stabilnost u smislu Ljapunova velikih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem je razmatrana u osmom poglavlju disertacije. Dati su potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti partikularne klase velikih, linearnih, vremenski diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Kriterijumi zavisni od isto vremenskog kašnjenja se zasnivaju na tanom rešenju partukularnog sistema matrinih jednaina. Takoe je prezentovan potreban i dovoljan uslov stabilnosti, koji se zasniva na ekvivalentnoj matrici, a koji je nezavisan od isto vremenskog kašnjenja. Rezultati za velike, linearne, vremenski diskretne sisteme sa dva ista vremenska kašnjenja prošireni su na velike, linearne, vremenski diskretne sisteme sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem. U sluaju sistema sa velikim iznosom isto vremenskog kašnjenja i velikog broja podsistema N , primenjujui prezentovane rezultate, oekuje se manji broj izraunavanja u poreenju sa uobiajenim postupcima koji se zasnivaju na sopstvenim vrednostima matrice eqA proširenog sistema. Stabilnost u smislu Ljapunova velikih, vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem je razmatrana u devetom poglavlju disertacije. Prezentovani su potrebni i dovoljni uslovi asimptotske stabilnosti partikularne klase velikih, linearnih, vremenski kontinualnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Ovi uslovi stabilnosti nemaju konzervatizam, meutim, zahtevaju kompleksne numerike proraune. Ako se numeriko rešavanje pomenutog sistema pojednostavi, prezentovana metoda za ispitivanje stabilnosti sistema ima veliku praktinu važnost. Rezultati za velike, linearne, vremenski kontinualne sisteme sa dva vremenska kašnjenja prošireni su na velike, linearne, vremenski kontinualne sisteme sa višestrukim istim vremenskim kašnjenjem. U desetom poglavlju disertacije razmatrana je asimptotska stabilnost velikih, intervalnih, vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem. Prezentovano je nekoliko kriterijuma nezavisnih od isto vremenskog kašnjenja. U jedanaestom poglavlju disertacije prezentovani su novi rezultati. Izvedeni su novi dovoljni kriterijumi, zavisni i nezavisni od isto vremenskog kašnjenja, stabilnosti na konanom vremenskom intervalu i atraktivne praktine stabilnosti linearnih, vremenski kontinualnih i diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, kao i odgovarajui rezultati koji se tiu problema praktine nestabilnosti. Zakljuak 249 Uslovi garantuju atraktivnu praktinu stabilnost i stabilnost na konanom vremenskom intervalu unutar specificiranih vremenski invarijantnih skupova u prostoru stanja. Na iste klase sistema primenjen je i LMI prilaz koji daje manje restriktivne rezultate u poreenju sa drugim rezultatima, s obzirom da ne namee bilo kakva ogranienja matricama sistema. Najznaajniji doprinos disertacije je ispitivanje problema stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa vremenski promenljivim kašnjenjem. U cilju smanjivanja konzervativnosti kriterijuma stabilnosti vremenski diskretnih sistema sa promenljivim intervalnim kašnjenjem, u glavi 21, je izvršena dekompozicija intervala vremenskog kašnjenja diskretnog Ljapunov–Krasovski funkcionala na dva nejednaka podintervala. Veliine ovih podintervala su kontrolisane podesivim parametrom α , i na svakom od njih u diskretnom Ljapunov–Krasovski funkcionalu su izabrane razliite slobodne matrice, ije su optimalne vrednosti odreene rešavanjem odgovarajuih LMI. Zahvaljujui ovako izabranom diskretnom funkcionalu, kao i injenici da su korišene precizne metode za procenu gornje granice nekih unakrsnih lanova koji se pojavljuju u razlici ovog funkcionala, dobijeni su dovoljni uslovi stabilnosti koji su manje konzervativni u odnosu na postojee rezultate. U glavi 22 definisana je i razmatrana stabilnost na konanom vremenskom intervalu diskretnih sistema sa promenljivim intervalnim kašnjenjem. Pokazano je da se primenom funkcionala, koji je slian diskretnom Ljapunov–Krasovski funkcionalu, može uspostaviti uzrono–posledina veza izmeu gornje granice modula poetne funkcije dikretnog sistema sa kašnjenjem i gornje granice modula vektora stanja na konanom vremenskom intervalu. Dobijeni su potpuno novi rezultati u obliku LMI, koji se mogu jednostavno implementirati pomou odgovarajueg softvera (na primer Matlab). Literatura 250 XIII LITERATURA [1] Abdullin, R. Z., Yu. L. Anapoljskii, “K zadaam praktieskoj ustoiivosti” v kjigi Vektor–funkcii Ljapunova i ih postoenie, Nauka, Novosibirsk, (1980) 34–91. [2] Abgarijan, K. A., “Ustoiivost dviženia na konenom intervale”, v knjigi Itogi nauki i tehniki, VINITI AN SSSR, Obšaja mehanika, Moskva, (1976) 43–124. [3] Aleksendri, M., Dinamika posebnih klasa kontinualnih i diskretnih sistema sa kašnjenjem na konanom i beskonanom vremenskom intervalu, Dipl. rad, Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 2002. [4] Aleksendri, M., D, Lj. Debeljkovi, “Finite Time Stability of Linear Discrete Time Delayed Systems“, Proc. HIPNEF 2002, Niš (Yu), October 2–5, (2002) 333–340. [5] Amato, F., M. Ariola, IEEE Trans. Autom. Control, 50 (5), (2005) 724–729. [6] Amato, F., M. Ariola, P. Dorato, Automatica, 37 (9), (2001) 1459–1463. [7] Amato, F., M. Ariola, C. Cosentino, C. Abdallah, P. Dorato, “Necessary and Sufficient Conditions for Finite–Time Stability of Linear System”, Proc. of the 2003 American Control Conference, Denver, Colorado, (2003) 4452–4456. [8] Amato, F., M. Carbone, M. Ariola, C. Cosentino, Proc. American Control Conf., Boston, Massachusetts, June 30 – July 2, (2004) 1440–1444. [9] Amato, F., M. Ariola, M. Carbone, C. Cosentino, Proc. 16th IFAC World Congress, Pague, July, 2005. [10] Amato, F., M. Ariola, P. Dorato, Automatica, 42, (2006) 337–342. [11] Amato, F., R. Ambrosino, M. Ariola, F. Calabrese, Proc. American Control Conf., Seattle, Washington (USA), June 11–13, (2008) 1656–1660. [12] Amato, F., M. Ariola, C. Cosentino, Automatica, 46, (2010) 919–924. [13] Amato, F., R. Ambrosino, M. Ariola, G. De Tommasi, Proc. 18th IFAC World Congress, Milano (Italy), August 28 – September 2, (2011) 156–160. [14] Amemiya, T., “Delay–Independent Stability of High–Order Systems”, Int. J. Control, 50 (1), (1989) 139–149. Literatura 251 [15] Amir–Moez, A. R., “Extreme Properties of a Hermitian Transformations and Singular Values of Sum and Product of Linear Transformations”, Duke Math J., 23, (1956) 463–476. [16] Angelo, H. D., Linear Time–Varying Systems: Analysis and Synthesis, Allyn and Bacon, Boston, 1970. [17] Angelo, H., Linear Time Varying Systems, Allyn and Bacon, Boston, 1974. [18] Araki, M., K. Ando, B. Kondo, “Stability of Sampled–Data Composite Systems with Many Nonlinearities”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–16 (1), (1969) 22–27. [19] Bailey, F. N., “The Aplication of Lyapunov’s Second Method to Interconnected Systems”, SIAM J. Control, Ser. A., Vol. 3, No.3, (1966) 443–462. [20] Baji, V., “On Practical Stability Response of Homogenous Bilinear Systems”, Tehnika, 38 (1), (1982) 73–85. [21] Baji, V., “On Practical Stability of Discrete Homogenous Bilinear Systems”, Tehnika, 32 (1), (1983) 131–132. [22] Baji, V., D. Lj. Debeljkovi, Z. Gaji, B. Petrovi, “Weak Domain of Attraction and Existence of Solutions Convergent to the Origin of the Phase Space of Singular Linear Systems”, Publications of the Faculty of Electrical Eng. Belgrade, Automatic control, No. 1, (1992) 53–62. [23] Baker, R. A., A. R. Bergen, “Lyapunov Stability and Lyapunov Functions of Infinite Dimensional Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–14 (4), (1969) 325–334. [24] Barabashin, E. A., Lyapunov Functions, Nauka, Moscow, 1970. [25] Barrett, M. F., “Conservatism with Robustness Tests for Linear Feedback Control Systems”, Proc. Conf. Decision Control, (1981) 885–890. [26] Belhouari, A. E. Tissir, A. Hmamed, “Stability of Interval Matrix Polynomial in Continuous and Discrete Cases”, Systems and Control Letters, 18, (1992) 183–189. [27] Bellman, R., K. L. Cooke, Differential–Difference Equations, Academic Press, New York, 1963. [28] Bialas, S., “A Necessary and Sufficient Condition For the Stability of Interval Matrices”, Int. J. Control, Vol. 37, (1983) 717–722. Literatura 252 [29] Bishop, A. B., Introduction to Discrete Linear Controls–Theory and Application, Academic Press, New York, 1975. [30] Bo, Y., Z. Qing–Ling, C. Yue–Peng, “Robust Quadratic Stability and Stabilization with Integrity For Uncertain Discrete Singular Systems”, Facta Universitatis, Series Mechanical Engineering, 2, (2004) 25–34. [31] Boukas, E. K., “Discrete–Time Systems with Time–Varying Time Delay: Stability and Stabilizability”, Mathematical Problems in Engineering, Vol. 2006, Article ID 42489, (2006). [32] Bourles, H., Y. Joannic, O. Mercier, “P–Stability and Robustness: Discrete–Time Case”, Int. J. Contr., Vol. 52, (1990) 1217–1239. [33] Bourlés, J., “α–Stability of Systems Governed by a Functional Differential Equation–Extension of Results Concerning Linear Delay Systems”, Int. J. Control, 45 (6), (1987) 2233–2234. [34] Boutayeb, M., M. Darouach, “Observers for Discrete–Time Systems with Multiple Delays”, IEEE Trans. Automat. Contr., 46 (5), (2001) 746–750. [35] Boyd, S., L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan, Linear Matrix Inequalities in Systems and Control Theory, SIAM, Philadelphia, PA, 1994. [36] Brierley, S. D., J. N. Chiasson, E. B. Lee, S. H. Zak, “On Stability Independent of Delay for Linear Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–27, (1982) 252–254. [37] Cesari, L., Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations, Academic Press, New York, 1963. [38] Chen, H–G., Kuang, W. H., “Improved Quantitative Measures of Robustness for Multivariable Systems”, IEEE Trans. Autom. Contr., Vol. 39, No. 4, (1994) 807–810. [39] Chen, J., “Sufficient Conditions on Stability of Interval Matrices: Connections and New Results”, IEEE Trans. Automat. Control, 37, (1992) 541–544. [40] Chen, J., “On Computing the Maximal Delay Intervals for Stability of Linear Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–40 (6), (1995) 1087–1093. [41] Chen, J., H. A. Latchman, “Asymptotic Stability Independent of Delays: Simple Necessary and Sufficient Conditions”, Proceedings of American Control Conference, Baltimore (USA), (1994) 1027–1031. Literatura 253 [42] Chen, J., H. Latchman, “Frequency Sweeping Test for Stability Independent of Delay”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–40 (9), (1995) 1640–1645. [43] Chen, J., G. Gu, C. N. Nett, “A New Method For Computing Delay Margins for Stability of Linear Delay Systems”, Proceedings of 33rd IEEE Conference on Decision and Control, Lake Buena Vista, Florida (USA), (1994) 433–437. [44] Chen, J., D. Xu, B. Shafai, “On Sufficient Conditions for Stability Independent of Delay”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–40 (9), (1995.a) 1675–1680. [45] Chen, J., G. Gu., C. N. Nett, “A New method for Computing Delay Margins for Stability of Linear Delay Systems”, Systems and Control Letters, 26, (1995.b) 107–117. [46] Chen, K. F., I. K. Fong, “Stability of Discrete–Time Uncertain Systems with a Time–Varying State Delay”, Proc. IMechE, Vol. 222, Part I: J. Systems and Control Engineering, (2008) 493–500. [47] Chen, W. S., L. C. Jiao, Automatica, 46 (12), (2010) 2105–2108. [48] Chen, W. S., L. C. Jiao, Automatica, 47 (7), (2011) 1544–1545. [49] Cheng, C., Q. Zhao, “Reliable Control of Uncertain Delayed Systems with Integral Quadratic Constraints”, IEE Proc. Control Theory Appl., Vol. 151, No. 6, (2004). [50] Cheres, E. Z., J. Palmor, S. Gutman, “Quantitative Measures of Robustness for Systems Including Delayed Perturbations”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–34 (11), (1989) 1203–1204. [51] Chiasson, J., “A Method For Computing the Interval of Delay Values For Which a Differential–Delay System is Stable”, IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 33, (1988) 1176–1178. [52] Chou, J. H., “Stability Robustness of Linear State Space Models with Structured Perturbations”, Systems Control Lett., 15, (1990) 207–210. [53] Chou, J. H., “Robustness of Pole–Assignment in Specified Circular Region for Linear Perturbed Systems”, Systems Control Lett., Vol. 16, (1991) 41–44. [54] Chou, J. H., S. J. Ho, I. R. Horng, “Robustness of Disk–Stability For Perturbed Large–Scale Systems”, Automatica, Vol. 28, (1992) 1063–1066. [55] Chz–Han–Sy–In, “Stability of Motion on Finite–Time Interval”, P. M. M., 23, (1959) 230–238. Literatura 254 [56] Coppel, W. A., Stability and Asymptotic Behavior of Differential Equations, D. C. Heat and Comp., Boston, 1965. [57] Daoyi, X., “Simple Criteria For Stability of Interval Matrices”, Int. J. Control, 41, (1985) 289–295. [58] Debeljkovi, D. Lj., Synthesis of Discrete Automatic Control on Finite Time Interval (in Serbian), Ph. D. Thesis, Mechanical Eng. Dept., University of Belgrade, Belgrade, July, 1979. [59] Debeljkovi, D. Lj., “Praktina stabilnost sa vremenom smirenja vremenski diskretnih sistema”, Tehnika, (Yu), No. 10, (1979) 19–23. [60] Debeljkovi, D. Lj., “Praktina stabilnost sa vremenom smirenja vremenski diskretnih sistema u slobodnom i prinudnom radnom režimu”, Tehnika, (Yu), No. 1, (1980.a) 13–20. [61] Debeljkovi, D. Lj., “Prilog prouavanju praktine nestabilnosti vremenski diskretnih sistema”, Tehnika, (Yu), No. 2, (1980.b) 7–11. [62] Debeljkovi, D. Lj., “Further Results in Finite Time Stability”, Proc. MELECON 83, Athens (Greece), (1983) 475–478. [63] Debeljkovi, D. Lj., Dinamika objekata i procesa, Gra. knjiga, Beograd, 1989. [64] Debeljkovi, D. Lj., “Praktina stabilnost jedne klase vremenski diskretnih sistema”, Saopštenja MF, (Yu), No. 1, (1993) 37–42. [65] Debeljkovi, D. Lj., Sistemi sa kašnjenjem, GIP Kultura, Begrad, 1994. [66] Debeljkovi, D. Lj., “On Practical Stability of Discrete Time Control Systems”, Proc. 3rd International Conference on Control and Applications, Pretoria (South Africa), December, (2001) 197–201. [67] Debeljkovi, D. Lj., Stabilnost sistema automatskog upravljanja na konanom i beskonanom vremenskom intervalu, Mašinski fakultet, Beograd, 2009. [68] Debeljkovi, D. Lj., (Editor), Time Delay Systems, I–Tech, ISBN 978–953–307– 559–4, Vienna (Austria), 2011. [69] Debeljkovi, D. Lj., D. H. Owens, “On Practical Stability of Singular Systems”, Proc. Melecon Conf. 85, Madrid (Spain), October, (1985) 103–105. [70] Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Stability in the Sense of Lyapunov of Linear Discrete Time Delayed Systems“, Proc. HIPNEF 2002, Niš (Yugoslavia), October 2–5, (2002) 325–332. Literatura 255 [71] Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems“, Proc. ACC 03, Denver, Colorado (USA), June 4–6, (2003) 4450–4451. [72] Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, “A Short Note to the Lyapunov Stability of ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x ”, Proc. of CDCOC, Shenyang (China), August 22–24, (2004) CD–Rom. [73] Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, “Systems, Structure and Control” – Editor Petr Husek, Chapter: “Asymptotic Stability Analysis of Linear Time Delay Systems: Delay Dependent Approach”, I – Tech, Vienna, (2008) 29–60. [74] Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A. Jaci, Discrete Singular Control Systems, Gip Kultura, Belgrade, 1988. [75] Debeljkovi, D. Lj., V. Baji, Z. Gaji, B. Petrovi, “Boundedness and Existence of Solutions of Regular and Irregular Singular Systems”, Publications of the Faculty of Electrical Eng., Belgrade, Automatic control, No. 1, (1993) 69–78. [76] Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Application of Singular System Theory in Chemical Engineering: Analysis of Process Dynamics”, 12th International Congress of Chemical and Process Eng., CHISA 96, Prague (Czech Republic), Process Eng. Publ., ISBN 80–86059, August 25–30, 1996.a. [77] Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Continous Singular Control Systems, Gip Kultura, Belgrade, 1996.b. [78] Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical and Finite–Time Stability of Time–Delay Systems”, Proc. ECC 97, Brussels (Belgium), July 2–6, (1997.a) 307–311. [79] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, “Finite Time Stability for the Metal Strip Cold Rolling”, Proc. ASI: International Workshop on Automation in Steel Industry, Kyongju (Korea), July 16–18, (1997.b) 233–238. [80] Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On Practical Stability of Time–Delay Systems: New Results”, Proc. 2nd ASCC97, Seoul (Korea), July 22–25, III, (1997.c) 543–546. [81] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, S. Tomaševi, “On Practical Stability of Time Delay System Under Perturbing Forces”, Proc. AMSE 97, Melbourne (Australia), October 29–31, (1997.d) 442–446. Literatura 256 [82] Debeljkovi, D. Lj., Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “On the Stability of Linear Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. CDC97, San Diego, California (USA), December 21–23, (1997.e) 2771–2772. [83] Debeljkovi, D. Lj., T. M. Perunii, M. B. Jovanovi, S. A. Milinkovi, Parametarske metode analize i sinteze sistema sa kašnjenjem, GIP Kultura, Beograd, 1997.f. [84] Debeljkovi, D. Lj., . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A Jaci, “Further Results on Non–Lyapunov Stability of Time Delay Systems”, Proc. MELECON 98, Tel Aviv (Israel), Vol. 1, May 18–20, (1998.a) 509–512. [85] Debeljkovi, D. Lj., . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Non–Lyapunov Stability Analysis of Linear Time Delay Systems”, Preprints DYCOPS 5, 5th IFAC Symposium on Dynamics and Process Systems, Corfu (Greece), June 8–10, (1998.b) 549–553. [86] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Finite Time Stability Analysis of Linear Time Delay Systems: Bellman– Gronwall Approach”, Proc. 1st IFAC Workshop on Linear Time Delay Systems, Grenoble (France), July 6–7, (1998.c) 171–176. [87] Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A. Jaci, . Koruga, “Finite Time Stability of Linear Discrete Descriptor Systems”, Preprints 5th IFAC Symposium on Low Cost Automation, Shenyang (China), TS13, September 8–10, (1998.d) 1–5. [88] Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. A. Jaci, . Koruga, “Further Results on Non–Lyapunov Stability of Time Delay Systems”, Preprints 5th IFAC Symposium on Low Cost Automation, Shenyang (China), TS13, September 8–10, (1998.e) 6–10. [89] Debeljkovi, D. Lj., . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, Lj. Jaci, “Further Results on Non–Lyapunov Stability of Linear Systems with Delayed State”, Proc. XII Brazilian Automatic Control Conference, IV, Uberlandia (Brasil), September 14–18, (1998.f) 1229–1233. Literatura 257 [90] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Stabilnost neautonomnih sistema sa kašnjenjem na konanom vremenskom intervalu”, Zbornik radova HIPNEF 98, Beograd (Yugoslavia), Oktobar 28–30, (1998.g) 181–186. [91] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Further Results on the Stability of Linear Nonautonomous Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. ECC 99, Karlsruhe (Germany), August 31–September 3, (1999.a). [92] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, “Finite Time Stability of Time Delay Systems”, IMA J. Math. Control and Information, 16 (3), (1999.b) 101–111. [93] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Further Results on the Stability of Linear Non–autonomous Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. ACC 2000, Chicago, Illinois (USA), June 28–30, (2000.a) 1450–1451. [94] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, . Koruga, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Further Results on the Stability of Linear Nonautonomous Systems with Delayed State Defined over Finite Time Interval”, Proc. APCCM, Guilin (China), July 9–12, (2000.b). [95] Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, Y. Y. Nie, Q. L. Zhang, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Facta Universitatis, (YU), Series Mechanical Engineering, Vol. 1, No. 9, (2002) 1147–1160. [96] Debeljkovi, D. Lj., M. Aleksendri, N. Yi–Yong, Q. L. Zhang, “Lyapunov and Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems“, Proc. The Fourth Inter. Conference on Control and Automation, , Montreal (Canada), June 9–12, (2003) 296–300. [97] Debeljkovi, D. Lj., S. A. Milinkovi, S. B. Stojanovi, Stabilnost sistema sa kašnjenjem na konanom i beskonanom vremenskom intervalu, igoja štampa, Beograd, 2004.a. Literatura 258 [98] Debeljkovi, D. Lj., M. P. Lazarevi, S. B. Stojanovi, M. B. Jovanovi, S. A. Milinkovi, “Discrete Time Delayed System Stability Theory in the Sense of Lyapunov: New Results”, Proc. ISIC 2004, Taipei (Taiwan), September 1–4, (2004.b) CD–Rom. [99] Debeljkovi, D. Lj., T. Nestorovi, I. M. Buzurovi, N. J. Dimitrijevi, “A New Approach to the Stability of Time–Delay Systems in the Sense of Non– Lyapunov Delay–Independent and Delay–Dependent Criteria”, Proc. of 8th International Symposium on Intelligent Systems and Informatics, Subotica, (Serbia), September 10–11, (2010.a), 213 – 218. [100] Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, “Further Results on the Stability of Linear Discrete Time Delay Systems over the Finite Time Interval: A Quite New Approach”, Scientific Science Review, Serbia, Vol. LX, No. 2, (2010.b) 49–60. [101] Debeljkovi, D. Lj., I. M. Buzurovi, N. J. Dimitrijevi, “On Finite Time and Practical Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, 9th IEEE International Symposium on Intelligent Systems and Informatics (SISY), Subotica (Serbia), September 8–10, (2011.a) 119–124. [102] Debeljkovi, D. Lj., I. M. Buzurovi, T. Nestorovi, S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, M. S. Aleksendri, “Time Delayed System Stability Theory in the sense of Non–Lyapunov Delay Independent and Delay Dependent Approach: New Results”, IEEE Multi–Conference on Systems and Control, No. 36, Denver, CO (USA), September 28–30, (2011.b) 1410–1417. [103] Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, D. Popov, “The Stability of Linear Discrete Time Delay Systems Over a Finite Time Interval: New Results”, The 10th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2012), Beijing (Chine), July 6–8, (2012.a), accepted. [104] Debeljkovi, D. Lj., S. B. Stojanovi, N. J. Dimitrijevi, D. Popov, “On Non–Lyapunov Stability of Linear Discrete Time Delay Systems: LMIs Approach”, The 10th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2012), Beijing (Chine), July 6–8, (2012.b), accepted. Literatura 259 [105] Dennis, J. E., J. F. Traub, R. P. Weber, “The Algebraic Theory of Matrix Polynomials”, SIAM J. Numer. Anal., 13 (6), (1976) 831–845. [106] Dennis, J. E., J. F. Traub, R. P. Weber, “Algorithms for Solvents of Matrix Polynomials”, SIAM J. Numer. Anal., 15 (3), (1978) 523–533. [107] Desoer, C. A., M. Vidyasagar, Feedback Systems: Input–Output Properties, Academic Press, New York, 1975. [108] Dorato, P, “Short Time Stability of Linear Time–Varying Systems”, IRE Trans. on Automat Cont., (6), (1961) 83–87. [109] Driver, R. D., “Existence Theory for a Delay–Differential Systems”, Contr. Diff. Eqs., 1, (1961) 317–366. [110] Driver, R. D., “Existence and Stability of Solutions of Delay–Differential Systems”, Arch. Rational Mech. Anal., 10, (1962) 410–426. [111] urovi, K., Robusnost stabilnosti singularnih sistema, Magistarski rad, Mašinski fakultet u Beogradu, 1996. [112] El’sgol’ts, L. E., S. B. Norkin, Introduction to the Theory and Application of Differential Equations with Deviating Arguments, Academic Press, New York, 1973. [113] Esfahani, S. H., S. O. R. Moheimani, I. R. Petersen, “LMI Approach Suboptimal Quadratic Guaranteed Cost Control For Uncertain Time–Delay Systems”, IEE Proc. Control Theory Appl., 145, (1998) 491–498. [114] Feng, H., J. Hunsarg, “Stabilization of Nonlinear Singularly Perturbed Multiple Time Delay Systems by Dither”, Trans. ASME J. of Dynamic Systems, Measurement and Control, 118 (3), (1996) 177–181. [115] Fridman, E., “New Lyapunov–Krasovskii Functionals For Stability of Linear Retarded and Neutral Type Systems”, Systems and Control Letters, Vol. 43, (2001) 309–319. [116] Fridman, E., U. Shaked, “A Descriptor System Approach to H ∞ Control of Linear Time–Delay Systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 47, No. 2, (2002.a) 253–270. [117] Fridman, E., U. Shaked, “ H ∞ Control of Linear State Delay Descriptor Systems: An LMI Approach”, Linear Algebra and its Applications, 351–352, (2002.b) 271–302. Literatura 260 [118] Fridman, E., U. Shaked, “An LMI Approach to Stability of Discrete Delay Systems”, Proceedings of European Control Conference, Cambridge, (2003). [119] Fridman, E., U. Shaked, “Delay–Dependent H ∞ Control of Uncertain Discrete Delay Systems”, European Journal of Control, Vol. 11, (2005.a) 29–37. [120] Fridman, E., U. Shaked, “Stability and Guaranteed Cost Control of Uncertain Discrete Delay Systems”, Int. J. Control, Vol. 78, No. 4, (2005.b) 235–246. [121] Fu, M., H. Li, S. I. Niculescu, “Robust Stability and Stabilization of Time–Delay Systems via Integral Quadratic Constraint Approach”, Stability and Control of Time–Delay Systems, (L. Dugard, E. Verriest, Eds.), Springer–Verlag, London, (1998) 101–116. [122] Furukawa, K., S. B. Kim, “Pole–Assignment in a Specified Disk”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 32, (1987) 423–427. [123] Gaji, Z., M. Qureshi, Lyapunov Matrix Equation in System Stability and Control, Academic Press, San Diego, 1995. [124] Gantmacher, F., The Theory of Matrices, Vol. 1 and Vol. 2., Chelsea, New York, 1959. [125] Gao, H., J. Lam, Y. Wang, “Delay–Dependent Output–Feedback Stabilization of Discrete–Time Systems with Time–Varying State Delay”, IEE Proc. Control Theory Applications, Vol. 151, No. 6, (2004) 691–698. [126] Gao, H., T. Chen, “New Results on Stability of Discrete–Time Systems with Time–Varying State Delay”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 52, (2007) 328–334. [127] Gao, F., Z. Yuan, F. Yuan, Adv. Inform. Sc. Serv. Sc., 3 (7), (2011) 1–9. [128] Garrard, W. L., “Finite Time Stability in Control System Synthesis”, Proc. IFAC, Warsaw, (1969) 21–29. [129] Garcia, G., S. Tarbouriech, J. Bernussou, IEEE Trans. Autom. Control, 54, (2009) 364–369. [130] Golub, G. H., C. F. Van Loan, Matrix Computations, Jons Hopkins University Press, Baltimore, 1996. [131] Goreckii, H., S. Fuksa, P. Grabowski, A. Korytowski, Analysis and Synthesis of Time Delay Systems, J. Wiley, New York, 1989. Literatura 261 [132] Gosiewski, A., A. W. Olbrot, IEEE Trans. Automat.. Control, AC–25, (1980) 729–732. [133] Goubet–Bartholomeus, A., M. Dambrine, J. P. Richard, “Stability of Perturbed Systems with Time–Varying Delay”, Systems and Control Letters, Vol. 31, (1997) 155–163. [134] Grippo, L., F. Lampariello, “Practical Stability of Discrete–Time Systems”, J. Franklin Inst., 302 (3), (1976.a) 213–224. [135] Grippo, L., F. Lampariello, “Practical Stability of Large–Scale Systems”, Proc. IFAC Conf. Large–Scale Systems, Udine (Italy), (1976.b) 195–201. [136] Grippo, L., F. Lampariello, “Practical Stability of Large–Scale Discrete–Time Systems”, Int. J. Syst. Sci., 9 (11), (1978) 1235–1246. [137] Gruji, Lj. T., Automatic Control System Synthesis of Rigid Body Motion through A Fluid, M. Sc. Thesis (in Serbian), Electrical Eng. Dept., Univerity of Belgrade, Belgrade, October, 1970. [138] Gruji, Lj. T., “On Practical Stability”, 5th Aslomar Conf. on Circ. and Syst., (1971) 174–178. [139] Gruji, Lj. T., Large–scale Systems Stability, Ph. D. Thesis (in Serbian), Mechanical Eng. Dept., University of Belgrade, Belgrade, May, 1972. [140] Gruji, Lj. T., “On Practical Stability”, Int. J. Control, 17 (4), (1973.a) 881–887. [141] Gruji, Lj. T., “On Practical Stability of Automatic Control Systems”, Symp. Mechanical Eng. ‘1873–1973’, Belgrade, (1973.b) B.21–B.26. [142] Gruji, Lj. T., Large–scale Sysems Stability, (in Serbian), Faculty of Mechanical Eng., Belgrade, 1974. [143] Gruji, Lj. T., “Practical Stability with the Settling Time of Composite Systems”, Automatika, T. P. 9, (1975.a) 1–11. [144] Gruji, Lj. T., “Uniform Practical and Finite–Time Stability of Large–Scale Systems”, Int. J. Syst. Sci., 6 (2), (1975.b) 181–195. [145] Gruji, Lj. T., “Non–Lyapunov Stability Analysis of Large–Scale Systems on Time–Varying Sets”, Int. J. Control, 21 (3), (1975.c) 401–415. [146] Gruji, Lj. T., “Novel Development of Lyapunov Stability of Motion”, Int. J. Control, 22 (4), (1975.d) 525–549. Literatura 262 [147] Gruji, Lj. T., “On Stability Domain of Singularly Perturbed Systems”, Proc. ETAN, (1977.a) III.13–III.20. [148] Gruji, Lj. T., “On Practical Stability of Large–Scale Systems”, Proc. ETAN, (1977.b) III.301–III.307. [149] Gruji, Lj. T., “Finite–Time Nonlinear Adaptive Control”, AIAA Journal, 15 (3), (1977.c) 354–359. [150] Gruji, Lj. T., “Uniquely Bounded Sets and Nonlinear Systems”, Proc. 1978 IEEE Conf. Decision and Control, San Diego, (1979) 325–333. [151] Gruji, Lj. T., D. D. Šiljak, “Stability of Large–Scale Systems with Stable and Unstable Systems”, Proc. JACC Conference, California (USA), (1972.a). [152] Gruji, Lj. T., D. D. Šiljak, “On Stability of Discrete Composite Systems”, Proc. Princeton Conf. on Information Science and Systems, Priceton, March 23–24, (1972.b). [153] Gruji, Lj. T., D. D. Šiljak, “Exponential Stability of Large–Scale Discrete Systems”, Int. J. Contr., Vol. 19, (1974) 481–491. [154] Gruji, Lj. T., A. A. Martinjuk, M. Ribbens–Pavella, Stability of Large Scale Systems under Structural and Singular Disturbances, Naukova Dumka, Kiev, 1984. [155] Gu, G., E. B. Lee, “Stability Testing of Time Delay Systems”, Automatica, 25 (5), (1989) 777–780. [156] Gu, K., Kharitonov, V. L., Chen, J., Stability of Time–Delay Systems, Burkhauser, Boston, 2003. [157] Gunderson, R., “On Stability over a Finite Interval”, IEEE Trans. Automat. Cont., AC–12 (5), (1967) 634–635. [158] Gureckii, H., Analiz i sintez sistem upravlenia s zapazdivaniem, Mašinostroenie, Moskva, 1974. [159] Gurman, V. I., G. N. Konstatinov, “Ocenka množestov dostižimosti upravljaemih sistem”, v knjigi Dinamieskoe upravlenie, Nauka, Moskva, (1979) 72–73. [160] Hahn, W., Theory and Application of Lyapunov’s Direct Method, Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1963. [161] Hahn, W., Stability of Motion, Spinger–Verlag, Berlin, 1967. Literatura 263 [162] Halanay, A., Differential Equations–Stability, Oscillations, Time Lags, Academic Press, New York, 1996. [163] Halanay, A., V. Rasvan, Applications of Lyapunov Methods in Stability, Kluwer, Dordrecht (The Netherlands), 1993. [164] Hale, J. K, Functional Differential Equations, Springer, New York, 1971. [165] Hale, J. K, Theory of Functional Differential Equations, Springer, New York, 1977. [166] Han, Q. L., K. Gu, “On Robust Stability of Time–Delay Systems with Norm– Bounded Uncertainty”, IEEE Trans. Automat. Control, 46, (2001) 1426–1431. [167] Han, Q. L., D. Yue, “Absolute Stability of Lur’e Systems with Time–Varying Delay”, IET Control Theory, Vol. 1, (2007) 854–859. [168] He, Y., M. Wu, J. H. She, G. P. Liu, “Parameter–Dependent Lyapunov Functional For Stability of Time–Delay Systems with Polytopic–Type Uncertainties”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 49, (2004) 828–832. [169] Heinen, J. A., “Quantitative Stability of Discrete Systems”, Michigan Math. Journal, (17), (1970) 211–215. [170] Heinen, J. A., S. H. Wu, “Further Results Concerning Finite Time Stability”, IEEE Trans. Automat. Cont., AC–14 (2), (1969) 211–212. [171] Heinen, J. A., S. H. Wu, “Set Stability of Differential Equations”, Int. J. Syst. Sci., 1 (3), (1971) 269–277. [172] Hmamed, A., “On the Stability of Time Delay Systems: New Results”, Int. J. Control, 43 (1), (1986.a) 321–324. [173] Hmamed, A., “Stability Conditions of Delay–Differential Systems”, Int. J. Control, 43 (2), (1986.b) 455–463. [174] Hmamed, A., “A Matrix Inequality”, Int. J. Control, 49, (1989) 363–365. [175] Hmamed, A., “Further Results on the Delay–Independent Asyimptotic Stability of Linear Systems”, Int. J. Systems Sci., 22 (6), (1991) 1127–1132. [176] Hmamed, A., “Further Results on the Robust Stability of Uncertain Time–Delay Systems”, Int. J. Syst. Sci., Vol. 22, (1991.a) 605–614. [177] Hmamed, A., “Further Results on the Delay–Independent Asymptotic Stability of Linear Systems”, Int. J. Syst. Sci., Vol. 22, (1991.b) 1127–1132. Literatura 264 [178] Horng, H. Y., J. H. Chou, I. R. Horng, “Robustness of Eigenvalue Clustering in Various Regions of the Complex Plane For Perturbed Systems”, International Journal of Control, 57, (1993)1469–1484. [179] Hsiao, F. H., “D–Stability Analysis For Discrete Uncertain Time–Delay Systems”, Appl. Math. Lett., 11, No. 2, (1998) 109–114. [180] Hsien, T. L., C. H. Lee, “Exponential Stability of Discrete Time Uncertain Systems with Time–Varying Delay”, Journal of the Franklin Institute, Vol. 332–B, No. 4, (1995) 479–489. [181] Huang, Y. P., K. Zhou, “Robust Stability of Uncertain Time–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, 45, (2000) 2169–2173. [182] Huang, S., H. Shao, Z. Zhang, “Stability Analysis of Large–Scale System with Delays”, Systems & Control Letters, Vol. 25, (1995) 75–78. [183] Hurt, J., “Some Stability of Motion on Finite–Time Interval”, SIAM J. Num. Anal., 4 (4), (1967) 583–596. [184] Ichihara, H., H. Katayama, Proc. American Control Conf., St. Louis, Missouri (USA), June 10–12, (2009.a) 1171–1176. [185] Ichihara, H., H. Katayama, Joint 48th IEEE Conf. on Decision and Control and 28th Chinese Control Conf., Shanghai (P. R. China), December 16–18, (2009.b) 3226–3231. [186] Infante, E. F., W. B. Castelan, “A Lyapunov Functional for a Matrix Differential Equation”, J. Diff. Equat., 29 (3), (1978) 439–451. [187] Jaci, Lj. A., D. Lj. Debeljkovi, S. B. Stojanovi, M. B. Jovanovi, S. A. Milinkovi, “Further Results on Asymptotic Stability of ( ) ( ) ( )0 11 1k A k A k+ = + −x x x ”, HIPNEF 2004, Vrnjaka Banja, 2004. [188] Januševskii, R. T., Upravlenie objektami s zapazdavaniem, Nauka, Moskva, 1978. [189] Jiang, D., Proc. 6th International Symposium on Neural Networks on Advances in Neural Networks, Wuhan (China), May, (2009) 522–531. [190] Jiang, G. L., “Sufficient Condition For the Asymptotic Stability of Interval Matrices”, Int. J. Control, Vol. 46, (1987) 1803–1810. [191] Jiang, X., Q. L. Han, X. H. Yu, “Stability Criteria For Linear Discrete–Time Systems with Interval–Like Time–Varying Delay”, Proceedings of the American Control Conference, New Orleans (USA), (2005) 2817–2822. Literatura 265 [192] Johnson, G. W., “On Lyapunov Stability vs Bounded Input–Bounded Output”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–9, (1969) 178–179. [193] Jury, E. I., Inners and Stability of Dynamics Systems, Wiley, New York, 1974. [194] Kalman, R. E., J. E. Bertram, “Control System Analysis and Design via the ‘Second Method’ of Lyapunov, I–Continuous Time Systems”, Trans. AMSE J. Basic Eng., 82, June, (1960.a) 371–393. [195] Kalman, R. E., J. E. Bertram, “Control System Analysis and Design via the ‘Second Method’ of Lyapunov, II–Discrete Time Systems”, Trans. AMSE J. Basic Eng., 82, June, (1960.b) 394–400. [196] Kamen, E. W., “On the Relationship Between Zero Criteria for Two–variable Polynomials and Asymptotic Stability of Delay Differential Equations”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–25, (1980) 983–984. [197] Kamen, E. W., “Linear Systems with Commensurate Time Delays: Stability and Stabilization Independent of Delay”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–27, (1982) 367–375. [198] Kamen, E. W., “Correction to ‘Linear Systems with Commensurate Time Delays: Stability and Stabilization Independent of Delay’”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–28, (1983) 248–249. [199] Kamen, E. W., Introduction to Signals and Systems, MacMillan Publ. Company, New York, 1990. [200] Kamenkov, G. V., “On Stability of Motion on Finite–Time Interval”, P. M. M., 17, (1953) 529–540. [201] Kapila, V., W. M. Haddad, “Memoryless H ∞ Controllers For Discrete–Time Systems with Time Delay”, Automatica, 34 (9), (1998) 1141–1144. [202] Kayande, A. A., “A Theorem on a Contractive Stability”, SIAM J. Appl. Math., 21 (4), (1971) 601–604. [203] Kayande, A. A., J. S. Wong, “Finite Time Stability and Comparison Principles”, Proc. Cambridge Phil. Soc., (64), (1968) 749–756. [204] Khalil, H. K., Nonlinear Systems, Mac–Millan Publ. Company, New York, 1990. [205] Kim, J. H., Numerical Methods for Solving a Quadratic Matrix Equation, Ph. D. dissert., University of Manchester, Faculty of Science and Engineering, 2000. Literatura 266 [206] Kim, J. H., “Delay and Its Time–Derivative Dependent Robust Stability of Time– Delayed Linear Systems with Uncertainty”, IEEE Trans. Automat. Control, 46, (2001) 789–792. [207] Kim, J. H., E. T. Jeung, H. B. Park, “Robust Control For Parameter Uncertain Delay Systems in State and Control Input”, Automatica, 32(9), (1996) 1337–1339. [208] Koepcke, R. W., “On the Control of Linear Systems with Pure Time Lag”, Trans. ASME J. Basic Eng., (3), (1965) 74–80. [209] Kolla, S. R., J. B. Farison, “Analysis and Design of Controllers For Robust Stability of Interconnected Discrete Systems”, Proc. 1991 Amer. Contr. Conf., Boston, MA, (1991) 881–885. [210] Kolla, S. R., R. K. Yedavalli, J. B. Farison, “Robust Stability Bounds on Time– Varying Perturbations for State Space Models of Linear Discrete–Time Systems”, Int. J. Control, Vol. 50, No. 1, (1989) 151–159. [211] Kolmanovkii, V. B., V. R. Nosov, Ustoiivost i periodiiskii režimi reguliruemih sistem s posledeistviem, Nauka, Moskva, 1981. [212] Konstatinov, G. N., O vivode dostatonih uslova tehnieskoj ustouivosti s pozicii teorii upravljenia, v knjigi: Metod funkcii Ljapunova i ivo priloženia, Nauka, Novosibirsk, 1984. [213] Krasovskii, N. N., “O Primeni Vtorovo Metoda Ljapunova dla Uravnenia s Zapazdivaniem Vremeni”, Prikladnaja Matematika i Mehanika, XX, (1956.a) 315–327. [214] Krasovskii, N. N., “O Asimptotieskoi Ustoiivosti Sistem s Posledejstviem”, Prikladnaja Matematika i Mehanika, XX, (1956.b) 513–518. [215] Krasovskii, N. N., “On Periodical Solution of Differential Equations Involving a Time Lag”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 114, (1957) 252–255. [216] Krasovskii, N. N., Nekatorie zadai teorii ustoiivosti dviženia, Nauka, Moskva, 1959. [217] Krasovskii, N. N., Problems in the Theory of Stability of Motion, Stanford University Press, 1963. [218] Kuržanskii, A. B., “K Zadae o Upravlenia dla Sistem Diferencijalnih Uravnenia s Zapazdivaniem”, Prikladnaja Matematika i Mehanika, (6), (1966) 1121–1124. Literatura 267 [219] Kushner, H. J., “On the Stability of Process Defined by Stochastic Difference– Differential Equations”, J. Differential Equations, 5, (1968) 424–443. [220] Kwon, O. M., Ju H. Park, “Guaranteed Cost Control For Uncertain Large–Scale Systems with Time–Delays via Delayed Feedback”, Chaos, Solitons and Fractals, 27, (2006) 800–812. [221] La Salle, S. Lefschet, Stability by Lyapunov’s Direct Method, Academic Press, New York, 1961. [222] Lakshmikantham, V., S Leela, Differential and Integral Inequalities, Vol 1, Academic Press, New York, 1969. [223] Lam, L., L. Weiss, “Finite Time Stability with Respect to Time–Varying Sets”, J. Franklin Inst., 9, (1974) 415–421. [224] Lancaster, P., M. Tismenetsky, The Theory of Matrices, 2nd Edition, Academic press, New York, 1985. [225] Lashirer, A. M., C. Story, “Final–Stability with Applications”, J. Inst. Math. Appl., 9, (1972) 379–410. [226] Lazarevi, M. P., Sinteza Kalmanovog regulatora u sistemima automatskog upravljanja sa kašnjenjem, Mag. teza, Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 1993. [227] Lazarevi, M. P., D. Lj. Debeljkovi, “Finite Time Stability Analysis of Linear Autonomous Fractional Order Systems with Delayed State”, Preprints 4th IFAC Workshop on Time Delay Systems, Rocquencourt, Paris (France), September 10–12, (2003) CD–Rom. [228] Lazarevi, M. P., D. Lj. Debeljkovi, “Finite Time Stability Analysis of Linear Autonomous Fractional Order Systems with Delayed State”, Asian Journal of Control, Taiwan, Vol. 7., No. 4, (2005) 440 – 447. [229] Lazarevi, M. P., D. Lj. Debeljkovi, Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, “Finite Time Stability of Time Delay Systems”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, Vol. 17, No. 3, (1999) 101–109. [230] Lazarevi, M. P., D. Lj. Debeljkovi, Z. Lj. Nenadi, S. A. Milinkovi, “Finite Time Stability of Time Delay Systems”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, (17), (2000) 101–109. Literatura 268 [231] Lazarevi, M. P., D. Lj. Debeljkovi, D. Krsti, Optimalno upravljanje sistemima sa kašnjenjem u procesnoj industriji, Tehnološko–metalurški fakultet, Beograd, 2003. [232] Lebedev, A. A., “On the Problem of Stability of Motion on Finite–Time Interval”, P. M. M., 18, (1954.a) 75–94. [233] Lebedev, A. A., “On Stability of Motion on Prespecified–Time Interval”, P. M. M., 18, (1954.b) 139–148. [234] Lee, B., J. G. Lee, “Robust Stability and Stabilization of Linear Delayed Systems with Structured Uncertainty”, Automatica, 35, (1999) 1149–1154. [235] Lee, C. H, “D–Stability of Continuous Time–Delay Systems Subjected to a Class of Highly Structured Perturbations”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 40, (1995) 1803–1807. [236] Lee, C. H., T. L. Hsien, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete Uncertain Large–Scale Systems with Time Delays”, J. Franklin Inst., Vol. 334B, No. 1, (1997.a) 155–166. [237] Lee, C. H., T. L. Hsien, “New Sufficient Conditions For the Stability of Continuous and Discrete Time–Delay Interval Systems”, J. Franklin Inst., Vol. 334B, No. 2, (1997.b) 233–240. [238] Lee, C. H., T. H. S. Li, F. C. Kung, “D–Stability Analysis For Discrete Systems with a Time Delay”, Systems and Control Letters, 19, (1992) 213–219. [239] Lee, E. B., W. S. Lu, N. E. Wu, “A Lyapunov Theory for Linear Time Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–31 (3), (1986) 259–262. [240] Lee, T. N., S. Diant, “Stability of Time Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–26 (4), (1981) 951–953. [241] Lee, T. N., U. L. Radovi, “General Decentralized Stabilization of Large–Scale Linear Continuous and Discrete Time Delay Systems”, Int. J. Control, 46 (6), (1987) 2127–2140. [242] Lee, T. N., U. L. Radovi, “Decentralized Stabilization of Linear Continuous and Discrete Time Systems with Delays”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–33 (8), (1988) 757–761. [243] Lee, T. T., S. H. Lee, “Discrete Optimal Control with Eigenvalues Assigned Inside a Circular Region”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 31 (1986) 958–962. Literatura 269 [244] Lee, Y. S., W. H. Kwon, “Delay–Dependent Robust Stabilization of Uncertain Discrete–Time State–Delayed Systems”, Proceedings of the 15 IFAC Congress, Barcelona, (2002). [245] Lehtowski, N. A., D. Castanton, B. Levy, G. Stein, N. R. Sandell, N. Athans, “Robustness and Modelling Error Characterization”, IEEE Trans. Autom. Contr., Vol. AC–29, No. 3, (1984) 212–220. [246] Leite, V., M. Miranda, “Robust Stabilization of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay: An LMI Approach”, Mathematical Problems in Engineering, Vol. 2008, Article ID 876509, (2008). [247] Lewis, R. M., B. D. O. Anderson, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Independent Stability of Linear Autonomous Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–25, (1980) 735–739. [248] Li, X., C. De Souza, “Delay–Dependent Robust Stability and Stabilization of Uncertain Linear Delay Systems: A Linear Matrix Inequality Approach”, IEEE Trans. on Automat. Control, 42, (1997) 1144–1148. [249] Lin, X., H. Du, S. Li, Appl. Math. Comput., 217, (2011) 5982–5993. [250] Liu, H., Y. Shen, Intell. Control Autom., 2, (2011) 203–213. [251] Liu, X. G., R. R. Martin, M. Wu, M. L. Tang, “Delay–Dependent Robust Stabilization of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay”, IEE Proc. Control Theory and Applications, Vol. 153, No. 6, (2006) 689–702. [252] Lyapunov, A. M., General Problem of Stability of Motion, Moscow, Leningrad, USSR Academy of Science, 1956. [253] Mahmoud, M. S., “Robust H ∞ Control of Discrete Systems with Uncertain Parameters and Unknown Delays”, Automatica, Vol. 36, (2000.a) 627–635. [254] Mahmoud, M. S., “Linear Parameter–Varying Discrete Time–Delay Systems: Stability and 12–Gain Controllers”, Int. J. Control, Vol. 73, No. 6, (2000.b) 481–494. [255] Mahmoud, M. S., Robust Control and Filtering for Time–Delay Systems, Marcel–Dekker, New York, 2000.c. [256] Malek–Zavarei, M., M. Jamshidi, Time–Delay Systems, North–Holland, Amsterdam, 1987. Literatura 270 [257] Malkin, I. G., Theory of Stability of Motion, AEC Trans. Department of Commerce, (USA), 1958. [258] Marshall, J. E., Control of Time–Delay Systems, Peter Peregrinus, London, 1979. [259] Mastellone, S., C. T. Abdallah, P. Dorato, Proc. American Control Conf., Portland, OR (USA), June 8–10, (2005) 1239–1244. [260] Matrosov, V. M., “On the Theory of Stability of Motion”, P. M. M., 26, (1962) 992–1002. [261] Mehrotra, R. J., Lyapunov Analysis of Systems with Transport Lag, M. Tech. Disertation, Elec. Eng. Dept., Banaras Hindu Univ. Varanasi (India), 1977. [262] Meyer, C. D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, Philadelphia, 2001. [263] Michel, A. N., “On the Bounds of the Trajectories of Differential Systems”, Int. J. Control, 10 (5), (1969) 593–600. [264] Michel, A. N., “Stability, Transient Behavior and Trajectory Bounds of Interconnected Systems”, Int. J. Control, 11 (4), (1970.a) 703–715. [265] Michel, A. N., “Quantitative Analysis of Simple and Interconnected Systems: Stability, Boundedness and Trajectory Behavior”, IEEE Trans. Circuit Theory, CT–17 (3), (1970.b) 292–301. [266] Michel, A. N., “Stability and Trajectory Behavior of Composite Systems”, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS–22 (45), (1975) 305–312. [267] Michel, A. N., S. H. Wu, “Stability of Discrete Systems over a Finite Interval of Time”, Int. J. Control, 9 (6), (1969) 679–693. [268] Michel, A. N., D. W. Porter, “Practical Stability and Finite–Time Stability of Discontinuous Systems”, IEEE Trans. Circuit Theory, CT–19 (2), (1972) 123–129. [269] Ming, Q., Y. Shen, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14, (2009) 1043–1049. [270] Miškis, A. D., Lineinie diferencijalnie uravnenia s zapazdajušim argumentom, Nauka, Moskva, 1972. [271] Moheimani, S. O. R., I. R. Petersen, “Optimal Quadratic Guaranteed Cost Control of a Class of Uncertain Time–Delay Systems”, IEE Proc. Control Theory A, 144, (1997) 183–188. Literatura 271 [272] Moiseev, N. D., “Survey of Non–Lyapunov Stability Theory Development”, Aero–Space Eng. Ac. N. E. Žukovski, (1), (1948). [273] Moon, Y. S., P. Park, W. H. Kwon, “Robust Stabilization of Uncertain Input–Delayed Systems Using Reduction Method”, Automatica; Vol. 37, (2001) 307–312. [274] Mori, T., “Criteria for Asymptotic Stability of Linear Time Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–30, (1985) 158–161. [275] Mori, T., “Further Comments on ‘Comments on “On an Estimate of the Decay Rate for Stable Linear Delay Systems”’”, Int J. Control, 43 (5), (1986) 1613–1614. [276] Mori, T., H. Kokame, “Stability of ( ) ( ) ( )t A t B t τ= + −x x x ”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–34, (1989) 460–462. [277] Mori, T., N, Fukuma, M. Kuwahara, “Simple Stability Criteria for Single and Composite Linear Systems with Time Delays”, Int. J. Control, 34 (6), (1981) 1175–1184. [278] Mori, T., N, Fukuma, M. Kuwahara, “On an Estimate of the Decay Rate for Stable Linear Delay Systems”, Int. J. Control, 36 (1), (1982.a) 95–97. [279] Mori, T., N. Fukuma, M. Kuwahara, “Delay–Independent Stability Criteria for Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–27 (4) (1982.b) 946–966. [280] Moulay, E., W. Perruquetti, J. Math. Anal. Appl., 323, (2006) 1430–1443. [281] Moulay, E., M. Dambrine, N. Yeganefar, W. Perruquetti, Syst. Control Lett., 57, (2008) 561–566. [282] Mukaidani, H., “An LMI Approach to Decentralized Guaranteed Cost Control For a Class of Uncertain Nonlinear Large–Scale Delay Systems”, J. Math. Anal. Appl., 300, (2004) 17–29. [283] Müller, P. C., Stabilität und matrizen: matrizen–verfahren in der stabilitäts– theorie linearer dynamischer systeme, Springer, Berlin, 1977. [284] Nazaroff, G. J., “Stability and Stabilization of Linear Differential Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–18, (1973.a) 317–318. [285] Nazaroff, G. J., “Stability of Linear Stochastic Differential Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–18, (1973.b) 672–673. Literatura 272 [286] Nenadi, Z. Lj., Sinteza kontinualnog automatskog upravljanja na konanom vremenskom intervalu za objekte i procese sa kašnjenjem, Dipl. rad, Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 1995. [287] Nenadi, Z. Lj., D. Lj. Debeljkovi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Praktina stabilnost jedne klase sistema sa istim vremenskim kašnjenjem”, Zbornik radova HIPNEF ‘96, Vrnjaka Banja, Jun 5–7, (1996.a) 197–204. [288] Nenadi, Z. Lj., D. Lj. Debeljkovi, S. A. Milinkovi, M. B. Jovanovi, “Stabilnost na konanom vremenskom intervalu jedne klase sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, Tehnika–E, 45 (11–12), (1996.b) E1–E7. [289] Nenadi, Z. Lj., D. Lj. Debeljkovi, S. A. Milinkovi, “On Practical Stability of Time Delay Systems”, Proc. American Control Conference, Albuquerque, New Mexico (USA), June 4–6, (1997) 3235–3236. [290] Niculescu, S. I., C. E. De Souza, J. M. Dion, L. Dugrad, “Robust Stability and Stabilization of Uncertain Linear Systems with State Delay: Single Delay Case (I)”, Proc. IFAC Symp. Robust Control Design, Rio de Janerio (Brazil), September, (1994). [291] Niu, X., J. A. De Abreu–Garcia, E. Yaz, “Improved Bounds For Linear Discrete– Time Systems with Structured Perturbations”, IEEE Transactions on Automatic Control, 37, (1992) 1170–1173. [292] Novakovi, B., Regulacijski sistemi, Liber, Zagreb, 1985. [293] Novakovi B., Metode voenja tenhikih sistema, Školska knjiga, Zagreb, 1990. [294] Oguztoreli, M. M., Time Lag Control Systems, Academic Press, New York, 1966. [295] Ohta, Y., D. D. Šiljak, Journal Math. Anal. Applic., (1984) 581. [296] Owens, D. H., D. Lj. Debeljkovi, “Consistency and Lyapunov Stability of Linear Descriptor Systems: A Geometric Approach”, IMA Journal on Mathematical Control and Information, 2, (1985) 139–151. [297] Ozturk, N., “Stability Intervals For Delay Systems”, Proceedings of the 27th Conference on Decision and Control, Vol. 3, (1988) 2215–2216. [298] Park, J. H., “On Design of Dynamic Output Feedback Controller For GCS of Large–Scale Systems with Delays in Interconnections: LMI Optimization Approach”, Applied Mathematics and Computation, (2004.a). Literatura 273 [299] Park, J. H., “Robust Non–Fragile Guaranteed Cost Control of Uncertain Large– Scale Systems with Time–Delays in Subsystem Interconnections”, International Journal of Systems Science, Vol. 35, No. 4, (2004.b) 233–241. [300] Park, P., J. W. Ko, “Stability and Robust Stability For Systems with a Time–Varying Delay”, Automatica; Vol. 43, (2007) 1855–1858. [301] Patel, R. V., Toda, M., “Quantitive Measures of Robustness for Multivariable Systems”, Proc. Joint Contr. Conf., San Francisco, CA, (1980) TP8–A. [302] Pereira, E., “On Solvents of Matrix Polynomials”, Applied numerical mathematics, 47, (2003) 197–208. [303] Petkovski, J., “Stability Analysis of Interval Matrices: Improved Bounds”, Int. J. Control, Vol. 48, (1988) 2265–2273. [304] Portasik, J., H. D’Angelo, “Short–Time Stability of Forced Linear Time–Varying Systems”, Proc. Midwest Circuit Symposium, Midwest, May, (1968). [305] Pyatniskii, E. S., “On the Structural Stability of Single–Loop Control Systems in the Presence of Lag”, Automation and Remote Control, 23, (1962) 787–797. [306] Pyatniskii, E. S., “The Upper Bound on the Degree of Stability for Time–Lag Systems”, Automation and Remote Control, 24, (1963) 434–439. [307] Rachid, A., “Robustness of Discrete Systems under Structured Uncertainties”, International Journal of Control, 50, (1989) 1563–1566. [308] Rachid, A., “Robustness of Pole Assignment in a Specified Region For Perturbed Systems”, International Journal of Systems Science, 21, (1990) 579–585. [309] Razumihin, B. S., “O Ustoiivosti Sistem s Zapazdivaniem”, Prikladnaja Matematika i Mehanika, 20, (1956) 510–512. [310] Razumihin, B. S., “Stability in First Approximation of Systems with Lag”, Prikladnaja Matematika i Mehanika, 22, (1958) 155–166. [311] Razumihin, B. S., “The Application of Lyapunov’s Method to Problem in the Stability of Systems with Delay”, Automation and Remote Control, 21, (1960) 515–520. [312] Razumihin, B. S., “Metod Isledovania Ustoiivosti Sistem s Posledeistviem”, DAN SSSR, 167 (6), (1966) 1234–1237. [313] Razvan, V., Absolutnaja ustoiivost avtomatieskih sistem s zapazdivaniem, Nauka, Moskva, 1983. Literatura 274 [314] Repin, Ju. M., “Kvadratine Funkcionali Ljapunova dlja Sistem s Zapazdivaniem”, Prikladnaja Matematika i Mehanika, (3), (1965). [315] Rouche, N., P. Haberts, M. Laloy, Stability Theory by Lyapunov’s Direct Method, Spinger Verlag, New York, 1977. [316] Sampbell, S. L., Singular Systems of Differential Equation, Pitman, London, 1980. [317] Sandell, R. N., et al., “Survey of Decentralized Control Methods For Large Scale Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. AC–23, (1978) 108–128. [318] Sari, B., “On Fundamental Matrix of Linear Time–Invariant Time–Delayed Singular Systems”, SACTA, Vol. 4, No.1, (2001) 11–25. [319] Sari, B., “Coditions for Convergence of the Fundamental Matrix of Linear Time– Invariant Time–Delayed Singular Systems”, Int. J. of Math. and Math. Science, Vol. 31, No.8, (2002) 463–475. [320] Shanholt, G., “Set Stability for Difference Equations”, Int. J. Control, 10 (2), (1974) 309–314. [321] Shang, Y., F. Gao, F. Yuan, Int. J. Advancem. Comput. Technol., 3 (3), (2011) 192–198. [322] Shi, P., R. K. Agarwal, E. K. Boukas, S. P. Shue, “Robust H ∞ State Feedback Control of Discrete Time–Delay Linear Systems with Norm–Bounded Uncertainty”, Internat. J. Systems Sci., 31, (2000) 409–415. [323] Shen, Y., Control Decis., 23, (2008) 107–109. [324] Shen, Y., L. Zhu, Q. Guo, Proc. 4th international symposium on Neural Networks: Advances in Neural Networks, Nanjing (China), Jun, (2007) 904–909. [325] Shustin, E., E. Fridman, “On Delay–Derivative–Dependent Stability of Systems with Fast–Varying Delays”, Automatica, 43, (2007) 1649–1655. [326] Smith, O. J., Feedback Control Systems, McGraw–Hill, New York, 1958. [327] Soh, B., “Stability Margins of Continuous Time Interval Systems”, Int. J. Systems Sci., Vol. 22, (1991) 1113–1119. [328] Soh, Y. C., R. J. Evans, “Stability Analysis of Interval Matrices–Continuous and Discrete Systems”, Int. J. Control, Vol. 47, (1988) 25–32. [329] Solodov, A. V., E. A. Solodova, Sistemi s peremenim zapazdivaniem, Nauka, Moskva, 1980. Literatura 275 [330] Song, S., J. Kim, C. Yim, H. Kim, “ H ∞ Control of Discrete–Time Linear Systems with Time–Varying Delays in State”, Automatica, Vol. 35, (1999) 1587–1591. [331] Stojanovi, S. B., Analysis of Dynamic Behavior of Discrete Time–Delay Systems on Finite and Infinite Time Interval, Ph. D. Thesis, University of Belgrade, Serbia, 2006. [332] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delayed System”, 7th Biennial ASME Conference Engineering Systems Design and Analysis, ESDA 2004, Manchester (UK), July 19–22, (2004.a) CD–Rom. [333] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Large Scale Time Delay Autonomous System”, 7th Biennial ASME Conference Eng. Systems Design and Analysis, ESDA 2004, Manchester (UK), July 19–22, (2004.b) CD–Rom. [334] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.c) CD–Rom. [335] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On Stability of Perturbed Linear Discrete–Delay Systems with Multiple Delays”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.d) CD–Rom. [336] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Large Scale Time Delay Autonomous System”, CDIC 2004, Nanjing (China), August 18–20, (2004.e) CD–Rom. [337] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, M. Lazi, V. Veljkovi, “D–stability Analysis of Time Delay Technological Systems with Multiple Time Delays”, Proc. CHISA 2004, Prague (Czech Republic), Avgust 28–31, (2004.f) CD–Rom. [338] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, M. Lazi, V. Veljkovi, “Stability of Time Delay Technological Systems with Nonlinear Perturbations”, Proc. CHISA 2004, Prague (Czech Republic), Avgust 28–31, (2004.g) CD–Rom. [339] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On Stability of Perturbed Linear Discrete– Delay Systems with Multiple Delays”, ICARCV 2004, Kunming (China), December 06–09, (2004.h) CD–Rom. Literatura 276 [340] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, ICARCV 2004, Kunming (China), December 06–09, (2004.i) CD–Rom. [341] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Continuous Large Scale Time Delay Autonomous System”, Preprints 2nd IFAC Symposium on System, Structure and Control, Oaxaca (Mexico), December 8–10, (2004.j) CD–Rom. [342] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Systems”, Facta Universitatis, Vol. 2, No. 1, (2004.k) 25–48. [343] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “The Sufficient Conditions for Stability of Continuous and Discrete Large–Scale Time Delay Interval Systems”, The fifth International Conference on Control and Automation, ICCA 05, Budapest (Hungary), June 26–29, (2005.a) 347–352. [344] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “The Sufficient Conditions for Stability of Continuous and Discrete Large–Scale Time Delay Interval Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 1, No. 1, (2005.b) 61–74. [345] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “On the Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 1, No. 3–4, (2005.c) 413–420. [346] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Continuous Large Scale Time Delay Autonomous Systems”, Asian Journal of Control, (Taiwan), Vol. 7., No. 4, (2005.d) 414–418. [347] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Exponential Stability of Discrete Time Delay Systems with Nonlinear Perturbations”, 8th Biennial ASME Conference Eng Systems Design and Analysis, ESDA 2006, Torino (Italy), July 04–07, (2006), also in Proc. Asian Control Conference 2006, Bali (Indonesia), July 18–21, (2006.a) 1–4. Literatura 277 [348] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Further Results on Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 2, No. 1, (2006.b) 117–123. [349] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Exponential Stability of Discrete Time Delay Systems with Nonlinear Perturbations”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 2, No. 3, (2006.c) 428–435. [350] Stojanovi S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Stability of Large Scale Linear Discrete Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, Proc. The 5th Edition of IFAC Knowledge and Technology Transfer Conf. Series on Automation for Buliding the Infrastructure in Developing Countries (DECOM 2007), Cesme–Izmir (Turkey), May 17–19, (2007.a) CD–Rom. [351] Stojanovi S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Criteria for Stability of Large–Scale Linear Discrete Time–Delay Systems”, Proc. European Control Conference (ECC), Kos (Greece), July 2–5, (2007.b) CD–Rom. [352] Stojanovi S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Simple Stability Criteria of Linear Discrete Time Delay Systems: Lyapunov–Krasovskii Approach”, Proc. European Control Conference (ECC), Kos (Greece), July 2–5, (2007.c). [353] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Necessary and Sufficient Conditions for Delay–Dependent Asymptotic Stability of Linear Discrete Time Delay Autonomous Systems”, Proc. of 17th IFAC World Congress, Seoul (Korea), July 06–10, (2008.a) 2613–2618. [354] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Stability of Linear Large Scale Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, International Journal of Information & System Science, (Canada), Vol. 4, No. 2, (2008.b) 241–250. [355] Stojanovi, S. B, D. Lj. Debeljkovi, “Quadratic Stability and Stabilization of Uncertain Linear Discrete Time Systems with State Delay: A LMI Approach”, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, (Canada), Vol. 15, Series B: Applications and Algorithms, No. 2, (2008.c) 195–206. [356] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Stability Criteria of Linear Discrete Time Delay Systems: Lyapunov–Krasovskii Approach”, Proc. ICIEA, Xian (China), May 25–27, (2009.a) 2497–2501. Literatura 278 [357] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, “Delay–Dependent Stability of Linear Time Delay Systems: Necessary and Sufficient Conditions”, Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, (Canada), Series B: Applications and Algorithms, Vol. 16, No. 6, (2009.b) 887–900. [358] Stojanovi, S. B., D. LJ. Debeljkovi, Chem. Ind. Chem. Eng. Q., 17 (4), (2011) 497−503. [359] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, N. Dimitrijevi, “Finite–Time Stability of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay”, Chemical Industry & Chemical Engineering Quarterly, (2012.a), DOI:10.2298/CICEQ120126026S. [360] Stojanovi, S. B., D. Lj. Debeljkovi, N. Dimitrijevi, “Delay–Dependent Stability of Discrete–Time Systems with Time–Varying Delay: Delay Decomposition Approach”, International Journal of Computers, Communications & Control, Vol. 7, No. 4, (2012.b) 242–250. [361] Su, H., J. Chu, “Robust H ∞ Control For Linear Time–Varying Uncertain Time– Delay Systems via Dynamic Output Feedback”, Internat. J. Systems Sci., 30, (1999) 1093–1107. [362] Su, J. H., I. K. Fong, C. L. Tseng, “Stability Analysis of Linear Sytems with Time Delay”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–39 (6), (1994) 1341–1344. [363] Su, N. J., H. Y. Su, J. Chu, “Delay–Dependent Robust H Control For Uncertain Time–Delay Systems”, IEE Proc.Control Theory Appl., Vol. 150, No. 5 (2003) 489–492. [364] Su, T. J., C. G. Huang, “Robust Stability of Delay Dependence For Linear Uncertain Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, 37, (1992) 1656–1159. [365] Su, T. J., W. J. Shyr, “Robust D–Stability For Linear Uncertain Discrete Time– Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., 39, (1994) 425–428. [366] Suh, I. H., Z. A. Bien, “A Note on Stability of Large–Scale Systems with Delays”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–27, (1982) 258–259. [367] Sun, Y. J., “Sufficient Conditions for the Stability of Interval Systems with Multiple Time–Varying Delays”, Journal of mathematical analysis and applications, 207, (1997) 29–44. Literatura 279 [368] Sun, Y. J., J. G. Hsieh, Y. C. Hsieh, “Exponential Stability Criterion for Uncertain Retarded Systems with Multiple Time–Varying Delays”, Journal of mathematical analysis and applications, 201, (1996) 430–446. [369] Šiljak, D. D., “On Large–Scale System Stability”, Proc. the Ninth Annual Alerton Conf. on Citcuit and System Theory, Monticello, Illinois, October 6–8, (1971). [370] Šimanov, S. N., “O Neustoiivosti Dviženia Sistem s Zapazdivaniem po Vremeni”, Prikladnaja Matematika i Mehanika, 24, (1960) 55–63. [371] Tang, G. Y., C. Li, L. Sun, “Optimal Tracking Control For Large–Scale Interconnected Systems with Time–Delays”, Computers and Mathematics with Applications, (2007). [372] Tchetaev, N. G., Stability of Motion, Gosthizdat, Moscow, 1955. [373] Thompson, W. E., “Exponential Stability of Interconnected Systems”, IEEE Trans., AC–15, No. 4, (1970) 504–506. [374] Thowsen, A., “A Transformation for Stability Analysis of Linear Delay Systems”, Int. J. Syst. Sci., 13, (1982) 1371–1378. [375] Tissir, E., A. Hmamed, “Stability Tests of Interval Time Delay Systems”, Systems and Control Letters, 23, (1994) 263–270. [376] Tissir, E., A. Hmamed, “Further Results on Stability of ( ) ( ) ( )t A t B t τ= + −x x x ”, Automatica, 32 (12), (1996) 1723–1726. [377] Trinh, H., M. Aldeen, “D–Stability Analysis of Discrete–Delay Perturbed Systems”, International Journal of Control, 61 (2), (1995.a) 493–505. [378] Trinh, H., M. Aldeen, “Robust Stability of Singularly Perturbed Discrete–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Cont., AC–40 (9), (1995.b) 1620–1623. [379] Trinh, H., M. Aldeen, “On Robustness and Stabilization of Linear Systems with Delayed Nonlinear Perturbations”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 42, (1997.a) 1005–1007. [380] Trinh, H., M. Aldeen, “A Memoryless State Observer for Discrete Time–Delay Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–42 (11), (1997.b) 1572–1577. [381] Tsao, T. C., “Simple Stability Criteria For Nonlinear Time–Varying Discrete Systems”, Syst. Contr. Lett., Vol. 22, (1994) 223–225. [382] Valeev, G. K., G. S. Finin, The Construction of Lyapunov Functions, Naukova Dumka, Kiev, 1981. Literatura 280 [383] Verriest, E. I., A. F. Ivanov, “Robust Stability of Delay–Difference Equations”, Proceedings of the 34th IEEE Conference Decision and Control, New Orleans, LA, (1995) 386–391. [384] Vicino, A., “Robustness of Pole Location in Perturbed Systems”, Automatica, Vol. 25 (1989) 109–113. [385] Višnji, N., Dinamika analiza linearnih diskretnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem, Dipl. Rad., Katedra za automatsko upravljanje, Mašinski fakultet, Beograd, 2003. [386] Vitacco, W. R., A. N. Michel, “Qualitative Analysis of Interconnected Dynamical Systems with Algebraic Loops: Well–Posedness and Stability”, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS–24 (11), (1977) 625–636. [387] Walton, K., J. E. Marsall, “Direct Method for TDS Stability Analysis”, IEE Proc. Part D, 134 (2), (1987) 101–107. [388] Wang, J., J. Jian, P. Yan, Proc. 6th International Symposium on Neural Networks on Advances in Neural Networks, Wuhan (China), May, (2009) 395–404. [389] Wang, S. S., “Further Results on Stability of ( ) ( ) ( )t A t B t τ= + −x x x ”, Systems and Control Letters, 19, (1992) 165–168. [390] Wang, S. S., W. G. Lin, “A New Approach to the Stability Analysis of Interval Systems”, Control Theory and Advanced Technology, 7, (1991) 271–284. [391] Wang, W. J., G. L. Mau, “Stabilization and Estimation for Perturbed Continuous Time–Delay Large–Scale Systems”, IEEE Trans. Automat. Contr., AC–42, No. 9, (1997) 1277–1282. [392] Wang, W. J., R. J. Wang, C. S. Chen, “Stabilization, Estimation and Robustness For Continuous Large Scale Systems with Delays”, Contr. Theory Advan. Technol., Vol. 10, No. 4, (1995) 1717–1736. [393] Wang, X., M. Jiang, C. Jiang, S. Li, Proc. 7th International Symposium on Neural Networks, Shanghai (China), June, (2010) 611–618. [394] Watson, J., A. Stubberud, “Stability of Systems Operating in a Finite Time Interval”, IEEE Trans. Automat. Cont., AC–12, (1967) 116–120. [395] Wei, J., “General Solution and Observabilty of Singular Differential Systems with Time Delay”, Automatica, (2004). Literatura 281 [396] Wei, K., R. K. Yedavalli, “Robust Stabilizability For Linear Systems with Both Parameter Variation and Unstructured Uncertainty”, IEEE Trans. Automat. Control, 34, (1989) 149–156. [397] Weiss, L., “Converse Theorems for Finite Time Stability”, Proc 1st Asilomar Conf. on Circ. and Syst., (1967) 1006–1014, also in SIAM J. Appl Math, 16 (6), (1968) 1319–1324. [398] Weiss, L., “On Uniform and Uniform Finite Time Stability”, IEEE Trans. Automat. Cont., AC–14 (3), (1969) 313–314. [399] Weiss, L., “Controllability, Realization and Stability of Discrete–Time Systems”, SIAM J. Control, 10 (2), (1972) 230–251. [400] Weiss, L., E. F. Infante, “On the Stability of Systems Defined over a Finite Time Interval”, Proc. National Acad. Sci., 54, (1965) 44–48. [401] Weiss, L., E. F. Infante, “Finite Time Stability under Perturbing Forces and on Product Spaces”, IEEE Trans. Automat. Cont., AC–12, (1967) 54–59. [402] Weiss, L., J. S. Lee, “Finite Time Stability of Linear Discrete–Time Systems”, Avt. Telem., (12), (1971) 63–68. [403] Weiss, L., L. Lam, “Stability of Non–Linear Discrete–Time Systems”, Int. J. Control, 17 (3), (1973) 465–470. [404] Wu, M., Y. He, J. H. She, G. P. Liu, “Delay–Dependent Criteria For Robust Stability of Time–Varying Delay Systems”, Automatica, Vol. 40, (2004) 1435–1439. [405] Xia, Y., Y. Jia, “Robust Control of State Delayed Systems with Polytrophic Type Uncertainties via Parameter–Dependent Lyapunov Functionals”, Systems Control Lett., 50 (2003) 183–193. [406] Xu, B., “On Delay–Independent and Stability of Large–Scale Systems with Time Delays”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 40, (1995) 930–933. [407] Xu, B., Y. Liu, “An Improved Razumikhin–Type Theorem and its Applications”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–39 (4), (1994) 839–841. [408] Xu, S., C. Yang, “An Algebraic Approach to the Robust Stability Analysis and Robust Stabilization of Uncertain Singular Systems”, Int. J. System Science, Vol. 31, (2000.a) 55–61. Literatura 282 [409] Xu, S., C. Yang, “ H ∞ State Feedback Control for Discrete Singular Systems”, IEEE Trans. Automat. Control, AC–45 (6), (2000.b) 1405–1409. [410] Xu, S., J. Lam, “Improved Delay–Dependent Stability Criteria For Time–Delay Systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 50, No. 3, (2005) 384–387. [411] Xu, S., J. Lam, C. Yang, “Quadratic Stability and Stabilization of Uncertain Linear Discrete–Time Systems with State Delay”, Systems Control Lett., 43, (2001.b) 77–84. [412] Xu, S., P. Dooren, R. R. Stefan, J. Lam, “Robust Stability and Stabilization for Singular Systems with State Delay and Parameter Uncertainty”, IEEE Trans. Automat. Contr., Vol. 47, (2002) 1122–1126. [413] Xu, S., J. Lam, C. Yang, “Robust H ∞ Control for Discrete Singular Systems with State Delay and Parameter Uncertainly”, Journal of Dymanics Continous, Discrete and Impilsive Systems, (2003). [414] Xu, S., J. Lam, Y. Zou, “Improved Conditions For Delay–Dependent Robust Stability and Stabilization of Uncertain Discrete Time–Delay Systems”, Asian Journal of Control, Vol. 7, No. 3, (2005) 344–348. [415] Yang, T., “Comments on Delay–independent Stability Criteria for Discrete Uncertain Large–Scale Systems with Time Delays“, J. Franklin Inst., Vol. 335B, No. 6, (1998) 1087–1088. [416] Yasuda, K, K. Hirai, IEEE Trans. Autom. Contr., Vol. AC–24, (1979) 483–491. [417] Yaz, E., Niu, X., “Stability Robustness of Linear Discrete–Time Systems in the Presence of Uncertainty”, Int. J. Contr., 50, No. 1, (1989) 173–182. [418] Yedavalli, R. K., “Improved Measures of Stability Robustness for Linear State Space Models”, IEEE Trans. Autom. Contr., Vol. AC–30, No. 6, (1985) 577–579. [419] Yedavalli, R. K., “Stability Analysis of Interval Matrices: Another Sufficient Condition”, Int. J. Control, Vol. 43, (1986) 767–772. [420] Yedavalli, R. K., “Robust Root Clustering For Linear Uncertain Systems Using Generalized Lyapunov Theory”, Automatica, 29, (1993) 237–240. [421] Yedavalli, R. K., Liang, Z., “Reduced Conservatism in Stability Robustness Bounds by State Transformation”, IEEE Trans. Autom. Contr., Vol. AC–31, No. 9, (1986) 863–866. Literatura 283 [422] Yongru, G., S. Wang, Q. Li, Z. Cheng, J. Qain, “On Delay–Dependent Stability and Decay Estimate for Uncertain Systems with Time–Varying Delay”, Automatica, 34 (8), (1998) 1035–1039. [423] York, J. A., “Asymptotic Stability for One–Dimensional Differential Delay Equations”, J. Diff. Equations, 7, (1970) 189–202. [424] Yoshizawa, T., “Stability and Boundedness of Systems”, Arc. Rational Mach. Analysis, 6, (1960) 404–421. [425] Yoshizawa, T., Stability Theory by Lyapunov’s Second Method, The Mathematical Society of Japan, Tokyo, 1966. [426] Youla, D., “On the Stability of Linear Systems”, IEEE Trans. on Circuit Theory, CT–10, (1963) 276–279. [427] Yue, D., Q. L. Han, “A Delay–Dependent Stability Criterion of Neutral Systems and Its Application to a Partial Element Equivalent Circuit Model”, IEEE Transactions on Circuits and Systems–II, Vol. 51, No. 12, (2004) 685–689. [428] Yue, D., Q. L. Han, “Delayed Feedback Control of Uncertain Systems with Time– Varying Input Delay”, Automatica, 41, (2005) 233–240. [429] Yue, D., E. Tian, Y. Zhang, “A Piecewise Analysis Method to Stability Analysis of Linear Continuous/Discrete Systems with Time–Varying Delay”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 19, (2009) 1493–1518. [430] Zeng, X. J., “Robust Stability For Linear Discrete–Time Systems with Structured Perturbations”, Internat. J. Control, 61, (1995) 739–748. [431] Zhang, X. M., Q. L. Han, “A Delay Decomposition to Delay–Dependent Stability For Linear Systems with Time–Varying Delays”, International Journal of robust and nonlinear control, 19, (2009) 1922–1930. [432] Zheng, Y. S., W. S. Chen, L. Wang, Int. J. Control, 84 (10), (2011) 1644–1652. [433] Zhou, K., Khargonekar, P. P., “Stability Robustness Bounds for Linear State–Space Models with Structured Uncertainty”, IEEE Trans. Autom. Contr., Vol. AC–32, No. 7, (1987) 621–623. [434] Zhu, L., Y. Shen, C. Li, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 14, (2009) 361–370. Literatura 284 [435] Zhu, W., Z. Yi, “Integral Input–To–State Stability of Nonlinear Control Systems with Delays”, Chaos, Solitons and Fractals, (2006). [436] Zhu, X. L., G. H. Yang, “New Results of Stability For Systems with Time–Varying Delay”, International Journal of robust and nonlinear control, 20, (2010) 596–606. Prilozi 285 XIV PRILOZI PRILOG A – Oznake OSNOVNE OZNAKE ( )A ⋅ matrica sistema, objekta ili procesa, matrica A alternativna matrica sistema A metriki prostor a elementi matrice A , koeficijenti karakteristinog kvazipolinoma ( )a t funkcija B matrica upravljanja, matrica b elementi matrice upravljanja, koeficijent, konstanta b vektor upravljanja ( )b t funkcija C matrica, matrica izlaza, konstanta, dopuna skupu ( )⋅C skup vremenskih neprekidnih, diferencijabilnih funkcija c elementi matrice C , konstanta, koeficijent ( )c t funkcija D matrica direktne veze ulaza i izlaza, dijagonalna matrica   domen  skup d dijametar skupa  operator e elementi matrice E F matrica  matrica pratilja  skup  polje ( )F jω frekventna karakteristika f elementi matrice F , konstanta ( )⋅f vektorska funkcija ( )f s karakteristini polinom G matrica  skup Prilozi 286 g elementi matrice G ( )g t odskoni odziv, funkcija H pozitivno odreena matrica, Ermitte–ova matrica  skup h elementi matrice H , mala pozitivna veliina ( )h t odskona funkcija I jedinina matrica ( ),I t τ matrica impulsnih odziva ( )i t impulsni odziv j tekui indeks  diskretni vremenski interval k diskretni vremenski trenutak, konstanta, eksponent, tekui indeks L matrica, Lipschitz–ova konstanta  skup ( ) n ⋅  normirani vektorski prostor sa pridruženom normom l elementi matrice L , tekui indeks  neka dužina M matrica, pozitivno odreena matrica  skup, linearna višestrukost ( )M t funkcija m elementi matrice M , eksponent ( )m t funkcija N nilpotentna matrica ( ) nelinearnost, ceo pozitivan broj n red sistema, dimenzionalnost, tekui indeks P matrica, pozitivno odreena matrica, Ermitte–ova matrica  skup p elementi matrice P , operator, tekui indeks p vektor Q matrica, pozitivno odreena matrica  skup  domen q elementi matrice Q , prirodan broj, tekui indeks q vektor ( )q s polinom R matrica, pozitivno odreena matrica skup ( )Re realni deo od ( ) r elementi matrice R , tekui indeks ( )r s polinom S skup  skup, invarijantni skup Prilozi 287 s kompleksno promenljiva, element skupa ( ) T matrica, matrica transformacije, konaan vremenski interval skup t vreme U matrica skup  univerzalni skup ( )tu vektor upravljanja V matrica skup ( ),V Ljapunovljeva funkcija  prostor v vektor W matrica ( ),W Ljapunovljeva funkcija  prostor ( )W s matrica prenosnih funkcija  linearni vektorski prostor, skup ( )x t veliina stanja ( )tx vektor stanja ( )i tx vektor izlaza ( )ty vektor Z matrica  skup ( )tz vektor poremeaja α realan, pozitivan broj β realan, pozitivan broj Γ posebna osobina ( )tΓ funkcija γ realan pozitivan broj, realan broj, konstanta ( )tγ funkcija δ realan pozitivan broj ijδ Kronecker–ov simbol ( )tδ Dirac–ova funkcija ∆ najvee vremensko kašnjenje u sistemu, konana razlika ε realan pozitivan broj ζ stepen prigušenja ( )tξ skalarna funkcija ν realan pozitivan broj, promenljiva, tekui indeks θ isto vremensko kašnjenje, promenljiva, tekui indeks ( )ϑ skalarna funkcija, κ promenljiva, konstanta, tekui indeks ( )tκ skalarna funkcija Λ matrica ( )Λ maksimalna sopstvena vrednost matrice ( ) λ sopstvena vrednost matrice µ tekui indeks ( )µ matrina mera Prilozi 288 η promenljiva, tekui indeks ( )ρ spektralni radijus matrice ( ),ρ metrika datog prostora ρ realan pozitivan broj, konstanta ( )tρ skalarna funkcija Π simetrina, pozitivno odreena matrica pi Ludolof–ov broj ℘ parameter, konstanta  invarijantni skup Σ Banach–ov prostor σ realni deo kompleksnog broja ( )σ singularna vrednost matrice { }σ spektar sopstvenih vrednosti ℑ skup, kontinualni vremenski interval ( )⋅ℑ trajektorija τ isto vremensko kašnjenje ( )tϕ skalarna funkcija ( ) ( )tϕ poetna funkcija ( )ϕ ω fazno–frekventna karakteristika ( )tΦ fundamentalna matrica ( )sΦ rezolventna matrica ( )tφ funkcija { }Ω spektar sopstvenih vrednosti ω uestanost Prilozi 289 POSEBNE OZNAKE [ ] zatvoren interval ] [ otvoren interval ∧ i ∨ ili ∨ iskljuivo ili → preslikava  sledi ⇔ ako i samo ako ∀ za svako ∃ postoji ∃! postoji barem jedan ¬∃ ne postoji : koji ima osobinu ∋ tako da | tako da ∈ pripada ∉ ne pripada { } skup, sekvenca, niz ∪ unija skupa ∩ presek skupova ⊂ podskup \ razlika skupova ∆ simetrina razlika ~ ekvivalentni skupovi ( )∂ ⋅ granica skupa ( )⋅ otvoren skup ( )⋅ zatvoren skup ( )c⋅ komplement skup int unutrašnjost skupa ∅ prazan skup  po definiciji ∆ konana potonja razlika ∇ posebno znaenje, simbol • skalarni proizvod vektora × proizvod ∗ konvolucija  suma Π proizvod ⊗ Kronecker–ov proizvod ⊕ direktna suma ( )⋅ amplituda, apsolutna vrednost ( )⋅ norma grad gradijent det determinanta exp eksponent inf infinum max maksimum min minimum sup supremum ( )⋅  ( )⋅ dimenzionalni kompleksni vektorski prostor  skup svih kompleksnih brojeva ( )ℵ nulti prostor matrice ( ) ( )ℜ podruje vrednosti matrice ( )  skup svih realnih brojeva ( )⋅  ( )⋅ dimenzionalni realni vektorski prostor degree stepen polinoma ( )det determinanta matrice ( ) { }diag dijagonalna matrica { } ( )Ind indeks matrice ( ) ( )rang rang matrice ( ) ( )tr trag matrice ( ) { } Laplasova transformacija Prilozi 290 DONJI INDEKSI es estimirano, procenjeno i izlaz kr krajnje N krajnja vrednost 0 poetna vrednost p neka proizvoljna vrednost, poremeeno pc poetno r ravnotežno S skup sm vreme smirenja t vremensko u ulaz ž željeno * neka posebna vrednost GORNJI INDEKSI * konjugovano–kompleksna transponovana vrednost, neka posebna vrednost D+ gornji desni Dini–jev izvod D+ donji desni Dini–jev izvod T transpozicija un unutrašnjost skupa –1 inverzija ( )⋅. izvod po vremenu ( )k⋅ k–ti izvod po vremenu 291 Biografija Ime i prezime: Nebojša Dimitrijevi Datum roenja: 21.05.1973. Mesto roenja: Vranje, Srbija Porodino stanje: Oženjen, jedno dete Obrazovanje: 1980. – 1988. Osnovna škola “Radoje Domanovi” u Vranju 1988. – 1992. Gimnazija “Bora Stankovi” u Vranju 1992. – 1997. Studije na Mašinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu, smer Automatsko upravljanje, prosena ocena tokom studija 8,43 (osam i 43/100) 1998. Odbranio diplomski rad na Mašinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu na temu “Primena parametarskih metoda u analizi i sintezi dinamikog ponašanja sistema sa kašnjenjem na konanom vremenskom intervalu“, sa ocenom 10 (deset), kod profesora Dr. Dragutina Lj. Debeljkovia 1998. – 2000. Postdiplomske studije na Mašinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu, smer Automatsko upravljanje 2009. Odbranio magistarski rad na Mašinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu na temu “Dinamika analiza i stabilizacija vremenski kontinualnih linearnih singularnih sistema sa istim vremenskim kašnjenjem“, kod profesora Dr. Dragutina Lj. Debeljkovia 2010. – Podneo zahtev za izradu doktorske disertacije na Mašinskom fakultetu Univerziteta u Beogradu, smer Automatsko upravljanje Posao: 2000. – 2010. “Alfa Plam”, Vranje 2010. – Visoka škola primenjenih strukovnih studija, Vranje Prilog 1. Izjava o autorstvu Potpisani-a Nebojša Dimitrijevi broj indeksa Izjavljujem da je doktorska disertacija pod naslovom DINAMIKA ANALIZA POSEBNIH KLASA SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM • rezultat sopstvenog istraživakog rada, • da predložena disertacija u celini ni u delovima nije bila predložena za dobijanje bilo koje diplome prema studijskim programima drugih visokoškolskih ustanova, • da su rezultati korektno navedeni i • da nisam kršio/la autorska prava i koristio intelektualnu svojinu drugih lica. Potpis doktoranda U Beogradu, ___25.04.2012.____ Prilog 2. Izjava o istovetnosti štampane i elektronske verzije doktorskog rada Ime i prezime autora Nebojša Dimitrijevi Broj indeksa Studijski program Naslov rada DINAMIKA ANALIZA POSEBNIH KLASA SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM Mentor Dr Dragutin Debeljkovi, redovni profesor, Univerzitet u Beogradu, Mašinski fakultet Potpisani/a Nebojša Dimitrijevi Izjavljujem da je štampana verzija mog doktorskog rada istovetna elektronskoj verziji koju sam predao/la za objavljivanje na portalu Digitalnog repozitorijuma Univerziteta u Beogradu. Dozvoljavam da se objave moji lini podaci vezani za dobijanje akademskog zvanja doktora nauka, kao što su ime i prezime, godina i mesto roenja i datum odbrane rada. Ovi lini podaci mogu se objaviti na mrežnim stranicama digitalne biblioteke, u elektronskom katalogu i u publikacijama Univerziteta u Beogradu. Potpis doktoranda U Beogradu, _______25.04.2012._______ Prilog 3. Izjava o korišenju Ovlašujem Univerzitetsku biblioteku „Svetozar Markovi“ da u Digitalni repozitorijum Univerziteta u Beogradu unese moju doktorsku disertaciju pod naslovom: DINAMIKA ANALIZA POSEBNIH KLASA SISTEMA SA ISTIM VREMENSKIM KAŠNJENJEM koja je moje autorsko delo. Disertaciju sa svim prilozima predao/la sam u elektronskom formatu pogodnom za trajno arhiviranje. Moju doktorsku disertaciju pohranjenu u Digitalni repozitorijum Univerziteta u Beogradu mogu da koriste svi koji poštuju odredbe sadržane u odabranom tipu licence Kreativne zajednice (Creative Commons) za koju sam se odluio/la. 1. Autorstvo 2. Autorstvo - nekomercijalno 3. Autorstvo – nekomercijalno – bez prerade 4. Autorstvo – nekomercijalno – deliti pod istim uslovima 5. Autorstvo – bez prerade 6. Autorstvo – deliti pod istim uslovima (Molimo da zaokružite samo jednu od šest ponuenih licenci, kratak opis licenci dat je na poleini lista). Potpis doktoranda U Beogradu, _______25.04.2012._______ 1. Autorstvo - Dozvoljavate umnožavanje, distribuciju i javno saopštavanje dela, i prerade, ako se navede ime autora na nain odreen od strane autora ili davaoca licence, ak i u komercijalne svrhe. Ovo je najslobodnija od svih licenci. 2. Autorstvo – nekomercijalno. Dozvoljavate umnožavanje, distribuciju i javno saopštavanje dela, i prerade, ako se navede ime autora na nain odreen od strane autora ili davaoca licence. Ova licenca ne dozvoljava komercijalnu upotrebu dela. 3. Autorstvo - nekomercijalno – bez prerade. Dozvoljavate umnožavanje, distribuciju i javno saopštavanje dela, bez promena, preoblikovanja ili upotrebe dela u svom delu, ako se navede ime autora na nain odreen od strane autora ili davaoca licence. Ova licenca ne dozvoljava komercijalnu upotrebu dela. U odnosu na sve ostale licence, ovom licencom se ograniava najvei obim prava korišenja dela. 4. Autorstvo - nekomercijalno – deliti pod istim uslovima. Dozvoljavate umnožavanje, distribuciju i javno saopštavanje dela, i prerade, ako se navede ime autora na nain odreen od strane autora ili davaoca licence i ako se prerada distribuira pod istom ili slinom licencom. Ova licenca ne dozvoljava komercijalnu upotrebu dela i prerada. 5. Autorstvo – bez prerade. Dozvoljavate umnožavanje, distribuciju i javno saopštavanje dela, bez promena, preoblikovanja ili upotrebe dela u svom delu, ako se navede ime autora na nain odreen od strane autora ili davaoca licence. Ova licenca dozvoljava komercijalnu upotrebu dela. 6. Autorstvo - deliti pod istim uslovima. Dozvoljavate umnožavanje, distribuciju i javno saopštavanje dela, i prerade, ako se navede ime autora na nain odreen od strane autora ili davaoca licence i ako se prerada distribuira pod istom ili slinom licencom. Ova licenca dozvoljava komercijalnu upotrebu dela i prerada. Slina je softverskim licencama, odnosno licencama otvorenog koda.