УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ    МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ                  Немања Д. Зорић      ДИНАМИЧКО ПОНАШАЊЕ ПАМЕТНИХ  ТАНКОЗИДНИХ КОМПОЗИТНИХ СТРУКТУРА      Докторска дисертација                            Београд, 2013.  UNIVERSITY OF BELGRADE    FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING                  Nemanja D. Zorić      DYNAMIC BEHAVIOR OF SMART                  THIN‐WALLED COMPOSITE STRUCTURES      Doctoral Dissertation                            Belgrade, 2013  ПОДАЦИ О МЕНТОРУ И ЧЛАНОВИМА КОМИСИЈЕ Ментор: др Зоран Митровић, редовни професор Универзитет у Београду, Машински факултет Коментор: др Александар Симоновић, ванредни професор Универзитет у Београду, Машински факултет Чланови комисије: др Михаило Лазаревић, редовни професор Универзитет у Београду, Машински факултет др Никола Младеновић, редовни професор Универзитет у Београду, Машински факултет др Срђан Русов, редовни професор Универзитет у Београду, Саобраћајни факултет Датум одбране: ____________ 2013. Динамичко понашање паметних танкозидних композитних структура Резиме Ова докторска дисертација бави се оптимизацијом и активним пригушењем вибрација паметних танкозидних композитних структура помоћу пиезоелектричних актуатора и сензора. Развијен је математички модел плочасте композитне структуре са интегрисаним актуаторима и сензорима. Проблем је дефинисан методом коначних елемената базиране на теорији смицања трећег реда. Конститутивне једначине и веза између померања и деформација су линеарне. У даљем раду, представљен је проблем одређивања оптималних величина, положаја и оријентација актуатор – сензор парова, а затим су дефинисане функција циља и ограничења. Такође, извршена је синтеза методе коначних елемената и оптимизације ројем честица и применом дефинисаних критеријума оптимизације, извршена је оптимизација величине, положаја и оријентације пет актуатор-сензор парова на квадратним укљештеним композитним плочама са следећим конфигурацијама слојева: (90°/0°/90°/0°)S, (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) и (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°). Актуатори и сензори, који се разматрају у овој дисертацији, једнаких су димензија, исто су оријентисани и налазе се на супротним странама плоче: актуатор на горњој страни, а сензор на доњој страни плоче. Ради превазилажења проблема приликом синтезе конвенционалних управљачких алгоритама који се јављају услед стохастичне природе вибрација, представљен је оптимизовани самоподешавајући фази-логички управљачки систем. Главна идеја овог управљачког система је праћење амплитуде и самоподешавање улазних скалирајућих фактора на основу амплитуде. Функције припадности су параметризоване, а оптимална комбинација параметара нађена је помоћу оптимизације ројем честица на основу дефинисаних критеријума оптимизације. Разматрана су два принципа закључивања: Мамдани принцип закључивања и Такаги-Сугено-Канг принцип закључивања нултог реда. Нумерички примери су дати за композитну конзолу и композитну укљештену плочу за слободне и принудне вибрације. За конзолу разматрана је једно-улазно- једно-излазна („Single input – single output“, „SISO“) конфигурација, а за плочу више-улазно-више-излазна („Multiple inputs – multiple outputs“, „MIMO“) конфигурација. Извршено је поређење перформанси приликом употребе различитих принципа фази закључивања, као и поређење оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система са линеарно-квадратним регулатором. Кључне речи: паметне танкозидне композитне структуре, пиезоелектрични актуатори, активно пригушење вибрација, метода коначних елемената, модална анализа, оптимизација ројем честица, фази-логичко управљање, мамдани принцип закључивања, Такаги-Сугено-Канг принцип закључивања нултог реда Научна област: Машинство Ужа научна област: Механика УДК: 534.28:66.017/.018:53:082.73(043.3) Dynamic behavior of smart thin-walled composite structures Abstract This doctoral dissertation deals with optimization and active vibration suppression of smart thin-walled composite structures by using piezoelectric actuators and sensors. Mathematical model of plate composite structure with integrated actuators and sensors is developed. The problem is formulated using the finite element method based on the third order shear deformation theory. Constitutive equations and the strain - displacement relations are linear. In further work, the problem of determination of optimal sizes, positions and orientations of actuator – sensor pairs are presented and, after that, objective functions and constraints are defined. Also, the integration of finite element method and particle swarm optimization is performed and using defined optimization criteria, the optimization of sizes, positions and orientations of five actuator – sensor pairs on square cantilever composite is performed. The cantilever composite plates have following orientation of layers: (90°/0°/90°/0°)S, (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) и (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°). Actuators and sensors considered in dissertation are collocated. In order to overcome problems during conventional control algorithm synthesis which occur due to vibration’s stochastic nature, the optimized self-tuning fuzzy logic controller is presented. The main idea of proposed controller is amplitude monitoring and self-tuning of input scaling factors based on amplitude. Membership functions are parameterized and optimal combination of parameters are found by using the particle swarm optimization method based on previously defined optimization criteria. Two inference methods are considered: the Mamdani and zero-order Takagi-Sugeno-Kang inference methods. Numerical studies are provided for composite cantilever beam and composite cantilever plate for both free and forced vibrations. Single-input single-output (SISO) configuration is considered for the cantilever beam and multiple-input multiple-output (MIMO) configuration is considered for cantilever plate. Comparisons of control performances for these two types of inference methods as well as optimized self-tuning fuzzy logic controller with linear quadratic regulator are performed. Key words: smart thin-walled composite structures, piezoelectric actuators, active vibration reduction, finite element method, modal analysis, particle swarm optimization, fuzzy logic control, Mamdani inference methods, zero-order Takagi-Sugeno-Kang inference method Scientific discipline: Mechanical engineering Scientific subdiscipline: Mechanics UDC: 534.28:66.017/.018:53:082.73(043.3) Номенклатура ea , eb Половина дужине и ширине елемента ia , ib Дужина и ширина актуатор-сензор (А-С) пара minia , maxia Минимална и максимална дужина i-тог А-С пара iA , iB , iC Лингвистичке вредности фази променљивих [ ]A Матрица система minib , maxib Минимална и максимална ширина i-тог А-С пара [ ]B Матрица улаза [ ]Bˆ Матрица поремећаја [ ]C Матрица крутости изражена у локалном координатном систему слоја [ ]C Матрица крутости изражена у глобалном координатном систему плоче [ ]dC Матрица структуралног пригушења [ ]SC Матрица излаза са сензора { }d Улазни вектор поремећаја { }D Вектор диелектричних помераја E , EC Грешка и извод грешке по времену у фази скупу [ ]e Матрица пиезоелектричних константи изражена у локалном координатном систему плоче [ ]e Матрица пиезоелектричних константи изражена у глобалном координатном систему плоче { }E Вектор електричног поља { }mF Вектор спољашњих механичких сила { }eFm Вектор чворних спољашњих механичких сила gbest Најбољи глобални положај честице 12G , 13G , 23G Модул смицања материјала слоја h Специфична енталпија пиезоелектричног слоја plh Укупна дебљина плоче на месту посматраног попречног пресека H Електрична енталпија eJ Индекс перформанси actK Излазни скалирајући фактор iKact Максимални напон којим се може оптеретити i-ти актуатор dK Скалирајући фактор помераја vK Скалирајући фактор брзине [ ]k Матрица диелектричних константи изражена у локалном координатном систему плоче [ ]k Матрица диелектричних константи изражена у глобалном координатном систему плоче [ ]AeK , [ ]SeK Глобалне диелектричне матрице крутости актуатора и сензора [ ]eKe Елементарна диелектрична матрица крутости [ ]mK Глобална еластична матрица крутости [ ]emK Елементарна еластична матрица крутости [ ]eKme Елементарна пиезоелектрична матрицу крутости lbest Најбољи локални положај честице [ ]uL Матрица диференцијалних оператора [ ]M Глобална матрица маса [ ]eM Елементарна матрица маса Pn Број пиезоелектричних слојева у једном елементу POPn Број популације код оптимизације ројем честица ACTN Број актуатора CN Број модова којима се управља 0 jN Интерполационе Лагранжеве функције jN , x jN , y jN Интерполационе Хермитске функције RN Број фази правила [ ]uN Матрица интерполационих константи [ ]O Матрица осмотривости 1rand , 2rand Случајни бројеви код оптимизације ројем честица ir Параметри правила закључивања код Такаги-Сугено-Канг (ТСК) принципа нултог реда [ ]S Матрица управљивости 1t Време потребно за формирање глобалне еластичне матрице крутости и глобане матрице маса 2t Време потребно за формирање глобалне пиезоелектричне матрице крутости актуатора и сензора 3t Време потребно за формирање глобалне диелектричне матрице крутости актуатора и сензора 4t Време потребно за одређивање модалне матрице и сопствених фреквенција Рејли-Риц апроксимативном методом за првих 6 модова осциловања T Кинетичка енергија U Излаз из фази скупа dU Дисипативна функција u Излаз из фази-логичког управљања { }u Вектор помераја тачака попречног пресека { }u& Вектор брзина одговарајућих тачака плоче { }eu Вектор механичких чворних помераја { }gu Вектор помераја тачака који припадају средњој равни ( )wvu ,, Вектор механичких помераја у правцима ( )zyx ,, ( )000 ,, wvu Mеханички помераји тачака на средњој површи W Рад извршен од стране спољашњих сила eW Рад извршен од стране спољашњих електричних сила mW Рад извршен од стране спољашњих механичких сила [ ]w Матрица излазних тежинских фактора [ ]CW Грамијанова матрица управљивости [ ]OW Грамијанова матрица осмотривости ix , iy Положај центра А/С пара у односу на координатни систем плоче { }X Вектор стања 1Y , 2Y Јангов модули еластичности материјала слоја { }SY Вектор излаза са сензора iα , iβ Параметри функција припадности улаза iγ Параметри функција припадности излаза код Мамдани принципа закључивања ε Толеранцију прекривености површине { }ε Вектор деформација { }gε Вектор генералисаних деформација ( )kζ Локална координата k-тог слоја iζ Коефицијент пригушења i-тог мода η 2L норма вектора модалног померања { }η Вектор модалних координата Θ Угао између локалног координатног система слоја и глобалног координатног система плоче iΘ Оријентација А-С пара [ ]Λ Модална матрица пригушења 12ν , 21ν Пуасонов коефицијенти материјала слоја ξ , η Осе локалног координатног система елемента ρ Густина слоја { }σ Вектор напона ( )kϕ Електрични потенцијал k-тог слоја ( )k Topϕ , ( )kBotϕ Електрични потенцијали на горњој и доњој површини k-тог слоја { }eϕ Вектор електричних потенцијала у једном елементу ( )kφ Напон између површина k-тог слоја { }Aφ , { }Sφ Напони који се јављају на актуатору и сензору услед пиезоелектричног ефекта { }AAφ Спољни напон на актуатору xψ Ротација попречног пресека плоче око осе x yψ Ротација попречног пресека плоче око осе y [ ]Ψ Модалнa матрицa [ ]2ω Матрица квадрата сопствених фреквенција Садржај 1 Увод 1 1.1 Основне напомене.......................................................................... 1 1.2 Пиезоелектрични материјали као актуатори и сензори........ 3 1.3 Предмет истраживања и организација дисертације............... 5 2 Преглед литературе 10 2.1 Теорија пиезоелектричних материјала и њихова употреба у паметним структурама............................................................... 10 2.2 Моделовање танкозидних структура......................................... 10 2.3 Оптимизација величине и/или положаја пиезоелектричних актуатора и сензора..................................... 12 2.4 Управљачки системи..................................................................... 13 3 Математичко моделовање паметних танкозиндих композитних плоча 18 3.1 Увод................................................................................................... 18 3.2 Кинематске једначине плоче....................................................... 19 3.3 Конститутивне једначине............................................................. 24 3.4 Варијациона формулација........................................................... 28 3.5 Дискретизација методом коначних елемената......................... 28 3.5.1 Дискретизација механичких помераја и деформација............. 29 3.5.2 Дискретизација електричног поља............................................. 32 3.5.3 Дискретизација кинетичке енергије........................................... 33 3.5.4 Дискретизација рада извршеног од стране спољашњих сила.. 33 3.5.5 Дискретизација дисипативне функције...................................... 35 3.5.6 Спрегнуте једначине кретања..................................................... 35 3.6 Једначине кретања у модалним координатама....................... 36 3.7 Једначине кретања у простору стања........................................ 36 3.8 Основни модови осциловања танкозидних композитних плоча................................................................................................. 37 4 Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор-сензор парова 42 4.1 Увод................................................................................................... 42 4.2 Управљивост и осмотривост........................................................ 43 4.3 Циљна функција и ограничења................................................... 45 4.4 Дискретизација плоче помоћу коначних елемената............... 46 4.5 Утицај оријентације актуаторског слоја на управљивост.... 51 4.5.1 Композитна плоча – оријентација (90°/0°/90°/0°)S................... 52 4.5.2 Композитна плоча – оријентација (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°)......................................................... 55 4.5.3 Композитна плоча – оријентација (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°)........................................... 59 4.6 Оптимизација ројем честица....................................................... 63 4.7 Оптимизација величине и положаја пиезоелектричних актуатор-сензор парова: нумерички део................................... 64 4.7.1 Оријентација (90°/0°/90°/0°)S...................................................... 65 4.7.2 Оријентација (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°)................................. 70 4.7.3 Оријентација (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°).................... 73 4.8 Закључак.......................................................................................... 75 5 Фази-логичко управљање 77 5.1 Увод................................................................................................... 77 5.2 Дефинисање фази-логичког управљачког система.............................................................................................. 77 5.2.1 Фазификација................................................................................ 78 5.2.2 Дефинисање фази правила и принципа закључивања.............. 79 5.3 Самоподешавајући фази-логичко управљачки систем.......... 84 5.4 Критеријуми оптимизације.......................................................... 88 6 Активно пригушење вибрација композитне конзоле 91 6.1 Увод................................................................................................... 91 6.2 Активно пригушење слободних вибрација............................... 92 6.3 Активно пригушење принудних вибрација.............................. 113 6.3.1 Периодично оптерећење на слободном крају конзоле са фреквенцијом 20rad/s................................................................... 113 6.3.2 Периодично оптерећење на слободном крају конзоле на резонантној фреквенцији............................................................. 125 6.3.3 Периодично оптерећење са изненадним ударним импулсима..................................................................................... 130 6.4 Закључак.......................................................................................... 134 7 Активно пригушење вибрација композитне плоче 135 7.1 Увод................................................................................................... 135 7.2 Активно пригушење слободних вибрација............................... 135 7.3 Активно пригушење принудних вибрација.............................. 144 7.3.1 Фреквенција принудног оптерећења 20rad/s............................. 144 7.3.2 Фреквенција принудног оптерећења 150rad/s........................... 160 7.3.3 Комбиновано оптерећење............................................................ 168 7.3.4 Принудно оптерећење са изненадним ударима........................ 168 7.4 Закључак.......................................................................................... 170 8 Закључак 171 8.1 Резултати истраживања................................................................ 171 8.2 Научни доприноси дисертације................................................... 173 8.3 Препоруке за будући рад............................................................... 174 Литература 176 Биографија 188 Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 1 Глава 1 Увод 1.1 Основне напомене Композитни материјали имају широку примену у разним областима, као што су ваздухопловство, свемирска, аутомобилска индустрија, војна индустрија, роботика, медицинско инжењерство, спортска опрема… Танкозидне композитне структуре састоје се од неколико различито оријентисаних слојева пројектованих тако да заједно дају жељене структуралне особине, као што су крутост, густина, затезна чврстоћа, отпорност на спољашње хемијске утицаје... Пројектоване структуралне особине зависе од врсте материјала слојева, дебљине и оријентације слојева. Услед спољашњих утицаја, може доћи до вибрација структура. Нежељене вибрације могу довести до смањења перформанси саме структуре, смањења радног века структуре и ломова. Постоји више приступа за пригушење вибрација, од којих су два основна: пасивно и активно. Код пасивног пригушења вибрација, употребљавају се пасивни пригушивачи или материјали са израженом високом вискоеластичношћу. Главна идеја овог приступа је у томе да нема довођења енергије у систем. Мана овог приступа је та што долази до повећања масе структуре, а ефикасна је само код модова високих фреквенција, док код модова нижих фреквенција није погодан, а управо ти нижи модови су најкритичнији јер могу имати веће амплитуде. Код активног приступа, актуатори и сензори се интегришу у структуру, а сигнал са сензора одлази у рачунар, где се према задатом управљачком алгоритму, шаљу сигнали на актуатор. Структура са Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 2 интегрисаним актуаторима и сензорима и системом управљања назива се паметна или интелигентна струкутра. Следећи приступ је активно/пасивни хибридни приступ. Код овог приступа, слично као код активног приступа, интегришу се актуатори и сензори, али не постоји управљачки систем. До пригушења вибрација долази услед међусобног повезивања отпорника, калема и константног извора напона у систем. Постоји и комбиновани приступ, где се комбинују активно пригушење и пасивно пригушење. Као актуатори, код паметних структура, у општем случају, могу се користити пиезоелектрични материјали, легуре са ефектом памћења облика, диелектрични еластомери, електрореолошки флуиди, магнетореолошки материјали. За пригушење вибрација танкозидних композитних структура најчешће се употребљавају пиезоелектрични материјали због мале масе, ниске цене, једноставности употребе и могућности примене на широки опсег фреквенција. Перформансе паметних структура зависе, како од положаја и величина актуатора и сензора, тако и од изабраног управљачког система. Стога, три главне фазе у конструисању паметних структура су: одабир концепције, избор оптималних величина и положаја актуатора и сензора и синтеза управљачког система. За оптимизацију положаја и/или величина актуатора и сензора најчешће се користе, због комплексности проблема, хеуристичне методе оптимизације, као што су генетски алгоритам („Genetic Algorithm“, „GA”), оптимизација помоћу роја честица („Particle Swarm Optimization“, „PSO”), симулација каљењем („Simulated Annealing“, „SA”). Од управљачких система могу се користити разни алгоритми, почевши од класичних управљачких система као што су директна пропорционална повратна спрега („Direct proportional feedback“), повратна спрега по брзини („Constant gain velocity feedback“), оптималних, као што су Линеарно- квадратни регулатор („Linear-quadratic regulator“, „LQR”) и Линеарно-квадратни Гаузијан („Linear-quadratic Gaussian“, „LQG”), адаптивних, робусних па све до управљачких алгоритама базираних на методама фази-логике и неуронских мрежа. Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 3 1.2 Пиезоелектрични материјали као актуатори и сензори Пиезоелектрицитет је својство одређених врста кристалних материјала која се јавља када на њих делује механичка сила. Услед деформације која се јавља под дејством силе, ови материјали генеришу наелектрисања на својим површинама. Овај ефекат се назива директни пиезоелектрични ефекат. Са друге стране, ако се ови материјали изложе дејству електричног поља, долази до њихове деформације. Ова појава назива се инверзни пиезоелектрични ефекат. Пиезоелектрични ефекат су открили Пјер и Пол Кири 1880. године. Због наведених способности, пиезоелектрични материјали могу се користити као сензори и актуатори. Ако се пиезоелектрични материјал интегрише у структуру, може се измерити деформација структуре помоћу напона који се јавља између површина захваљујући директном пиезоелектричним ефекту. Са друге стране, ако се на пиезоелектрични материјал делује електричним пољем, услед његове деформације доћи ће до деформације базичне структуре. Пиезоелектрични ефекат у природним кристалима је слаб, тако да се у многим савременим применама користи поливинилиден флуорид („PVDF“), полукристални полимер и олово-цирконат-титанат („PZT“), пиезоелектрични керамички материјал. Олово-цирконат-титанат има веће пиезоелектричне коефицијенте у односу на поливинилиден флуорид, тако да може произвести веће силе и деформације, што га чини подесним за актуатор, а такође се може користити и као сензор. Са друге стране, олово-цирконат-титанат је крући у односу на поливинилиден флуорид, има већу масу и цену. Поливинилиден флуорид има одличне сензорске карактеристике, па се најчешће користе као сензор. Код танкозидних структура користе се актуатори и сензори у облику плоче мале дебљине (до 1mm). Оса поларизације најчешће је управна на површину актуатора и сензора, а дејством електричног поља по дебљини, долази до деформације у равни актуатора. Са друге стране, деформацијом сензора у његовој равни, индукује се електрично поље дуж дебљине. Због тога, горња и доња страна пиезоелектричног актуатора су обложене електродама. На слици 1.1 приказан је Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 4 један такав актуатор, односно сензор, чији је произвођач америчка компанија „Piezo System INC.“ Слика 1.1. Пиезоелектрични актуатори и сензори произвођача „Piezo System INC.“. Влакна од олово-цирконат-титаната могу се сместити у полимерну матрицу, чиме се добија влакнасто-ојачани актуатор, односно сензор. Предност ових актуатора је у томе што имају мању масу и крутост, а такође дефомација је доминантна само у правцу пружања влакана. Примери ових актуатора (сензора) дати су на слици 1.2 (произвођач „Mide“) и на слици 1.3 (произвођач „Smart Material“). Сензори се добијају тако што се танак филм поливинилиден флуорида смести измећу две електроде. На слици 1.4 приказан је сензор од поливинилиден флуорида произвођача „Measurement specialties“. Слика 1.2. Влакнасто-ојачани пиезоелектрични актуатор (сензор) произвођача „Mide“ Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 5 Слика 1.3. Влакнасто-ојачани пиезоелектрични актуатор (сензор) произвођача „Smart Material“ Слика 1.4. Сензор од поливинилиден флуорида произвођача „Measurement specialties“ 1.3 Предмет истраживања и организација дисертације Полазећи од чињенице да су најважнији кораци приликом конструисања паметне структуре одабир величине и положаја актуатора и сензора и управљачког алгоритма, предмет истраживања ове докторске дисертације је активно пригушење вибрација паметних танкозидних композитних структура, почевши од оптимизације величине, положаја и оријентација актуатор-сензор парова, па до развијања и оптимизације управљачког алгоритма. Имајући у виду специфичну проблематику структуралне анализе композитних структура ваздухоплова [1], у оквиру ове дисертације разматрана је проблематика везана за типичне елементе танкозидних структура: ламиниране композитне греде правоугаоног попречног пресека и ламиниране композитне плоче. Први корак је развијање математичког модела композитне струкутре са интегрисаним пиезоелектричним актуаторима и сензорима, као и дефинисање Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 6 проблема помоћу методе коначних елемената како би се извршила оптимизација димензија, положаја и оријентације актуатор-сензор парова. Актуатори и сензори, који се разматрају у овој дисертацији, једнаких су димензија, исто су оријентисани и налазе се на супротним странама плоче: актуатор на горњој страни, а сензор на доњој страни плоче. Са обзиром да особине композитних структура зависе од конфигурација слојева, потребно је испитати утицај оријентације и положаја (на горњој или доњој страни плоче) актуатора на управљивост вибрација танкозидних композитних плоча за различите конфигурације оријентација слојева. Да би се повећале перформансе у погледу активног пригушења вибрација, величине, положаје и оријентације пиезоелектричних актуатора потребно је оптимизовати. Због тога је потребно развити алгоритам за оптимизацију величине, положаја и оријентације актуатор- сензор парова са аспекта ефикаснијег пригушења вибрација који је базиран на синтези оптимизације ројем честица и методе коначних елемената. С обзиром на проблеме који се јављају приликом синтезе конвенционалних управљачких алгоритама због стохастичне природе вибрација, следећи предмет истраживања је развој управљачког алгоритма базираног на фази-логичком управљању како би се ови проблеми превазишли. Потребно је извршити поређење перформанси различитих принципа закључивања (Мамдани и Такаги-Сугено- Канг принцип нултог реда), као и поређење перфоманси добијених применом линеарно-квадратног регулатора за различите случајеве вибрација. Ова докторска дисертација је организована на следећи начин: Глава 2: Преглед литературе У овој глави извршен је преглед литературе везане за паметне танкозидне структуре и активно управљање вибрацијама применом пиезоелектричних актуатора и сензора. Глава је подељена на четири поглавља, где је наведена литература која разматра теорију пиезоелектричних материјала и њихову употребу у паметним структурама, моделовање паметних танкозидних композитних структура, оптимизацију величине и / или положаја пиезоелектричних актуатора и сензора и управљачке системе. Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 7 Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча У овој глави извршено је математичко моделовање танкозидних композитних плоча са интегрисаним актуаторима и сензорима помоћу теорије смицања трећег реда. Добијене једначине кретања су дискретизоване помоћу методе коначних елемената, да би се, затим, трансформисале у модални простор и простор стања. Помоћу добијених дискретизованих једначина одређене су фреквенције и приказани су првих шест модова осциловања за три случаја конфигурације слојева ((90°/0°/90°/0°)S, (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°), (45°/- 45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°)) код укљештених композитних квадратних плоча. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор-сензор парова У овој глави описани су управљивост и осмотривост вибрација и представљени су циљна функција и ограничења која се тичу наведене оптимизације. Показан је утицај оријентације и положаја актуаторских слојева на управљивост вибрација наведених композитних плоча. У том случају је узето да актуаторски слој прекрива целу површину плоче, сензорски слој је постављен на супротној страни од актуаторског. Положај актуаторског слоја је дефинисан у смислу да ли се налази на горњој или доњој страни плоче. Након тога извршена је синтеза методе коначних елемената и оптимизације ројем честица. Применом дефинисаних критеријума оптимизације, извршена је оптимизација величине, положаја и оријентације пет актуатор-сензор парова. Глава 5: Фази-логичко управљање У овој глави представљена је идеја фази-логичког управљања, дефинисане су улазне и излазне величине за случај активног пригушења вибрација, приказани су Мамдани и Такаги-Сугено-Канг принцип закључивања и извршена је параметризација функција припадности и правила закључивања. Након тога Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 8 представљен је самоподешавајући фази-логички управљачки систем који је развијен у оквиру ове дисертације, који има за циљ превазилажење проблема који се јављају услед стохастичне природе вибрација. Такође, представљен је начин одређивања параметара функција припадности и правила закључивања помоћу оптимизације ројем честица. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле У овој глави спроведена је нумеричка студија, где су испитане перформансе оптимизаованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система. приказаног у глави 5, са аспекта активног пригушења вибрација. Као модел, узета је симетрична композитна конзола са оријентацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S. Разматрана је тзв. једно-улазно-једно-излазна („SISO“) конфигурација, тј. за пригушење вибрација коришћен је један актуатор (који је том приликом смештен у корену конзоле), а сматрало се да се током вибрација јавља само први мод осциловања. Извршено је поређење перформанси оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система, фази- логичког управљачког система без подешавања скалирајућих фактора, линеарно- квадратног регулатора, као и поређење Мамдани и Такаги-Сугено-Канг принципа закључивања код оптимизаованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система. Поређење је извршено за различита оптерећења, као и за случајеве слободних и принудних вибрација. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче У овој глави спроведено је нумеричко испитивање као и у глави 6, али овог пута на укљештеној композитној плочи са оријентацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S и конфигурацијом пиезоелектричних актуатор-сензор парова добијеним оптимизацијом у глави 4 за више-улазно-више-излазну („MIMO“) конфигурацију. Глава 1: Увод ______________________________________________________________________ 9 Глава 8: Закључак У овој глави сумарно су приказани резултати истраживања и научни доприноси дисертације. Такође, дате су неке препоруке за будућа истраживања из ове области. Глава 2: Преглед литературе ______________________________________________________________________ 10 Глава 2 Преглед литературе 2.1 Теорија пиезоелектричних материјала и њихова употреба у паметним структрама У књизи [2] приказане је линеарна теорија пиезоелектричних танкозидних плоча и љуски, а у књизи [3] приказане су и линеарна и нелинеарна теорија пиезоелектричних материјала. Прва анализа примене пиезоелектричних материјала за пригушење вибрација приказана је у раду [4]. Употреба пиезоелектричних материјала у различитим концептима паметних структура приказана је у литератури [5 - 9]. 2.2 Моделовање танкозидних композитних структура Да би се дошло до коначних једначина кретања који описују структуру са интегрисаним пиезоелектричним сензорима и актуаторима, структуру је потребно математички моделовати, где се уводе одређене претпоставке о напонима и деформацијама. Добијене једначине могу се, у специјалним случајевима решити аналитички, али се због комплексности проблема, све чешће решавају нумеричким методама, као што је метода коначних елемената. Постоји неколико техника моделовања паметних структура, а најраспрострањеније су тродимензионална (3-Д) теорија, теорија еквивалентног једнослојног модела и теорија дискретних слојева. Наведене теорије могу се применити на греде, плоче и љуске, како у линеарној анализи, тако и у нелинеарној анализи вибрација. Глава 2: Преглед литературе ______________________________________________________________________ 11 3-Д теорија најчешће се користи за моделовање структура, а такође је применљива и на танкозидне композитне структуре. Ова теорија употребљена је за моделовање паметних структура, у радовима [10 - 17]. 3-Д теорија пружа најтачније решење зато што нема потребе за увођењем претпоставки о напонима и деформацијама, али добијене једначине је немогуће решити аналитички и мора се прибећи нумеричким методама, као што је метода коначних елемената. Дискретизацијом добијених једначина применом методе коначних елемената, добија се велики број генералисаних променљивих, што знатно отежава прорачун. Теорија еквивалентног једнослојног модела користи се за моделовање танкозидних композитних структура, а базирана је на дводимензионалној теорији. Дводимензионална тероја је изведена из тродимензионалне, тако што се, искључиво у случају танкозидних структура, уведе претпоставка равног стања напона, тј. занемари се нормални напон у правцу дебљине, чиме се једначине кретања знатно поједностављују. Теорија еквивалентног једнослојног модела подразумева да се користи исто поље померања за све слојеве танкозидне композитне структуре. Најједноставније теорије еквивалентног једнослојног модела су класична ламинатна теорија („Classical laminated plate theory“, „CLPT“) и теорија смицања првог реда („First-order shear deformation theory“, „FSDT“). Класична ламинатна теорија за линеарну анализу вибрација паметне композитне плоче употребљена је у раду [18], а за линеарну анализу вибрације плоче и греде у раду [19]. Ову теорију су за анализу нелинеарних вибрација паметне композитне греде користили су истраживачи у радовима [20, 21]. У радовима [22 - 26] коришћена је теорија смицања првог реда за анализу линеарних вибрација греда, плоча и љуски, док су нелинеарни модели разматрани у радовима [27-30]. Ове две теорије адекватно описују кинематику деформација већине танкозидних композитних структура. Међутим, за тачније описивање расподеле интерламинарних напона потребно је користити теорије вишег реда. Теорија смицања трећег реда („Third-order deformation theory“, „TSDT“) представљена је у раду [31], где је за извођење једначина кретања композитних структура, базираних на овој теорији, употребљен принцип виртуелних померања. Теорија смицања трећег реда боље описује кретање тачака попречних пресека у односу на Глава 2: Преглед литературе ______________________________________________________________________ 12 претходне две теорије, а самим тим и боље представља интерламинарне напоне. Ову теорију, било за греде, плоче или љуске, било за линеарне или нелинеарне случајеве, разматрали су истраживачи у радовима [32 - 45]. Теорија дискретних слојева је развијена под претпоставком да постоји само C0 континуитет поља помераја дуж дебљине, тј. компоненте помераја дуж дебљине су непрекидне, али први извод може да има прекид и то на граници између два слоја. Теорија дискретних слојева пружа много тачнију апроксимацију од теорије еквивалентног једнослојног модела јер представља компромис између теорије еквивалентног једнослојног модела и 3-Д теорије. Код ове теорије сваки слој поседује своје променљиве, тако да велики броја слојева отежава прорачун, али опет, за моделовање користи се мање променљивих него код 3-Д теорије. За моделовање сваког слоја посебно, могу се користити класична теорија или теорије првог и вишег реда. Теорија дискретних слојева разматрана је у литератури [46 – 53]. 2.3 Оптимизација величине и/или положаја пиезоелектричних актуатора и сензора Приликом одређивања оптималног положаја и / или величине пиезоелектричних актуатора могу се разграничити два приступа. Код првог приступа, оптималне величине се одређују независно од управљачког система, а други приступ се састоји од комбинације оптимизације положаја и / или величине сензора и актуатора и параметара управљачког система. Опширан преглед критеријума оптимизације дат је у [54], а у [55] приказан је преглед проблема оптимизације паметних структура до 2001. године. Што се тиче првог приступа, као меру ефикасности актуатора код активног пригушења вибрација може се користити индекс управљивости који је представљен у [56]. Што је овај индекс већи, то је актуатор ефикаснији и биће мања сила потребна за пригушење вибрација. У литератури [57, 58] овај индекс је употребљен за одређивање оптималног положаја неколико актуатора на композитним плочама и љускама користећи генетски алгоритам. Аутори у радовима [59, 60] извршили су оптимизацију положаја и величине пиезоелектричних актуатора са циљем повећања овог индекса уз што мању Глава 2: Преглед литературе ______________________________________________________________________ 13 промену сопствених фреквенција ротирајућих алуминијумских греда. Грамијанове матрице за оптимално постављање пиезоелектричних актуатора и сензора први пут су употребљени у [61]. Касније, ове матрице користе се у радовима [62 – 64], где је извршена оптимизација положаја актуатора и / или сензора применом генетског алгоритма. У [45], Грамијанове матрице су коришћене за оптимизацију димензија и положаја актуатор-сензор парова на композитним гредама применом оптимизације ројем честица и фази вишециљне оптимизације. Аутори у раду [65] поредили су добијене резултате у случајевима индекса управљивости и грамијанових матрица. У раду [66] приказано је постављање актуаторa уз максимизацију модалног електромеханичког спрезања, а [67] представља оптимално постављање актуатора на основу карактеристика амплитуда. Истраживачи у својим радовима [68 – 72] користе H2 норму за оптимално постављање пиезоелектричних сензора и актуатора. Аутори радова [73 - 75] користе квадратну тежинску функцију која узима у обзир енергију управљања за оптимално постављање актуатора. Методa максимизације дисипативне енергије током управљања за оптимално постављање и / или димензионисање актуатора употребљена је у [76 – 78]. У радовима [74 – 76, 78] оптимизација је извршена помоћу генетског алгоритма. Истовремена синтеза H∞ управљања и оптимизација положаја сензора и актуатора приказана је у [79]. Просторна H2 норма преносне матрице је употребљена као оптимизациони индекс у раду [80]. 2.4 Управљачки системи Прегледи управљачких система који су коришћени за контролу вибрација паметних структура приказани су у [81, 82]. Управљачки системи се могу поделити на конвенционалне, робусне и адаптивне и управљачке системе базиране на неуронским мрежама и фази логици. Од конвенционалних управљачких система, како за управљање линеарним тако и нелинеарним вибрацијама, најчешће се користи повратна спрега по брзини [19, 22, 27, 32, 35, 38, 76 - 78, 83 - 91]. Овај управљачки систем је једноставан, не захтева рачунар, али сензори и актуатори морају бити на истом месту на структури да би управљање било стабилно. Линеарно-квадратне регулаторе Глава 2: Преглед литературе ______________________________________________________________________ 14 („LQR“ и „LQG“ повратне спреге по стању) за пригушење вибрација анализирали су истраживачи у радовима [45, 49, 57, 58, 92 - 97]. Код овог управљачког система, актуатори и сензори не морају бити на истом месту на структури, али све величине стања морају бити познате. Тиме се намеће још један проблем, а то је синтеза опсервера стања. Као опсервери стања најчешће се користи Калманов филтер и Луенбергеров опсервер. У [49] извршено је поређење потребне енергије за пригушење вибрација за различите типове слагања композитних слојева композитне конзоле. Поређење повратне спреге по брзини и линеарно-квадратног регулатора за пригушење вибрација танкозидних композитних структура у облику греде и плоче извршено је у [52, 53]. Aутори ових радова дошли су до закључка да код антисиметричних композита, због истезно-савојне спреге, у случају примене повратне спреге по брзини, актуатори и сензори морају бити на истом месту на структури да би управљање било стабилно. Линеарно квадратни регулатор се показао бољим у односу на повратну спрегу по брзини са становишта смањења амплитуде вибрација и времена смирења. У радовима [74, 75] извршено је поређење директне пропорционалне спреге, повратне спреге по брзини и линеарно-квадратног регулатора за алуминијумску плочу, односно греду. Ови аутори су дошли до закључка да је директна пропорционална спрега неупотребљива за пригушење вибрација, а да линеарно-кваратни регулатор показује боље перформансе у односу на повратну спрегу по брзини. Истраживачи у раду [24] поредили су повратну спрегу по брзини, љапуновљеву повратну спрегу и линеарно-квадратни регулатор. У раду [20] коришћено је пропорционално-диференцијално управљање, а у [98] пропорционално- диференцијалног-интегрално управљање. Повратна спрегу по померању и убрзању, за пригушење флатера греде у суперсоничном струјном пољу, употребљена је у [99]. Аутори рада [100] вршили експериментално поређење позитивне повратне спреге по позицији, пропорционално-интегрално- диференцијалног управљања, линеарно-квадратног регулатора и нелинеарног управљања, као и хибридну верзију сваког од наведених управљачких система добијених имплементацијом „Bang-bang“ алгоритма управљања за пригушење вибрација алуминијумске конзоле. Експериментом је утврђено да долази до Глава 2: Преглед литературе ______________________________________________________________________ 15 знатног смањења потребне енергије уколико се имплементира „Bang-bang“ алгоритам. Услед стохастичне природе вибрација, промена особина структуре током експлоатације као и буке са сензора услед спољашњих утицаја, претходни управљачки системи нису се показали применљивим у реалним апликацијама. Због тога неки истраживачи прибегавају робусним и адаптивним управљачким системима. H∞ робусно управљање представљено је у [101] за активно пригушење вибрација алуминијумског панела. H∞ децентрализовано робусно управљање коришћено је за активно пригушење вибрација композитног панела [72], као и за активно пригушење вибрација соларног панела [102]. У [103] упоређено је H2 робусно управљање и пропорционално-диференцијално управљање за активно пригушење нелинеарних вибрација и смањење термалних деформација композитних љуски. Аутори су дошли до закључка да H2 робусно управљање даје боље резултате у погледу активног пригушења вибрација, али није погодан за смањивање статичких деформација изазваних топлотним дилатацијама. Управљање у клизном режиму употребљено је за активно пригушење нелинеарних вибрација ротирајуће греде [104] и за активно пригушење вибрација камере беспилотне летелице [105]. Адаптивно управљање за активно пригушење вибрација танкозидних структура употребљено је у [63, 106]. Због динамичке комплексности флексибилних структура, данас се све чешће употребљавају управљачки системи базирани на фази логици и неуронским мрежама. У раду [107] извршено је истраживање моделовања и управљачких система базираних на фази логици и неуронским мрежама на примеру алуминијумске плоче. Самоорганизујуће фази-логичко управљање приказано је у [108] где је, такође, извршен експеримент са челичном конзолом. У раду [109] представљено је декомпоновано паралелено фази-логичко управљање вибрацијама плоче. Идеја овог управљања је та што се велики систем разложи на мање паралелне системе, чиме се смањује број фази правила. У овом раду је такође приказан експеримент. Активно пригушење вибрација употребом адаптивних мрежа и хиерархијског фази-логичког управљања приказано је у раду [110]. У раду [111] експериментално је представљено резонантно фази-логичко Глава 2: Преглед литературе ______________________________________________________________________ 16 управљање које је упоређено са пропорционално-диференцијалним управљањем. Истраживачи су у раду [112] експериментално истраживали примену фази- логичког управљања за активно пригушење вибрација композитне конзоле са два актуатор-сензор пара. Експеримент је извршен за принудне вибрације греде изазване периодичном побудом константне фреквенције и за слободне вибрације које настају деловањем ударног импулса. Резултати су показали робусне карактеристике фази-логичког управљања. Модално фази-логичко управљање вибрација челичне плоче приказано је у [113]. Приликом синтезе фази-логичког управљачког система, један од главних проблема је одређивање параметара везаних за функције припадности улаза и излаза. У радовима [114-116] функције припадности оптимизоване су применом оптимизације ројем честица. Оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање приказано је у [117], где су функције припадности оптимизоване применом оптимизације ројем честица, а улазни скалирајући фактори мењају се током активног пригушења вибрација. Поређење фази-логичког управљања и пропорционално-интегрално- диференцијалног управљања представљено је у [118], где се дошло до закључка да фази-логичко управљање има боље перформасе у односу на пропорционално- интегрално-диференцијално управљање. У раду [119] експериментално је представљена комбинација фази-логичког и пропорционално-интегралног управљања за пригушење вибрација флексибилног манипулатора. Сама идеја ове комбинације је да је у присуству вибрација великих амплитуда активно фази- логичко управљање, а када се амплитуде спусте испод одређене границе, искључује се фази-логичко, а активира се пропорционално-интегрално управљање. Такође, у овом раду су испитани и утицаји различитих функција припадности на активно пригушење вибрација. Неуро-адаптивно управање вибрација композитне греде приказано је у [120]. Експериментално је истраживана промена сопствених фреквенција греде и карактеристике неуро- адаптивног управљања у случају деламинације слојева. У раду [121] представљено је самоадаптивно управљање вибрацијама композитне греде. Хибридни систем се састоји од динамичке дијагоналне рекурентне неуронске мреже и адаптивне неуронске мреже са простирањем унапред. У раду [122] експериментално је, на примеру “L” конзоле, истражено адаптивно управљање Глава 2: Преглед литературе ______________________________________________________________________ 17 применом неуронских мрежа, где се трениране неуронске мреже користе за промену одређених параметара алгоритма управљања и опсервера. Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 18 Глава 3 Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча 3.1 Увод У овој глави биће дефинисане динамичке једначине кретања композитне плоче са интегрисаним пиезоелектричном деловима на горњој и доњој површини. Танкозидна композитна плоча моделована је уз помоћ еквивалентног једнослојног модела. Кинематске једначине изводе се на основу теорије смицања трећег реда. Ова теорија је базирана на истим претпоставкама као и класична теорија и теорије првог реда, осим за претпоставку да попречни пресек после деформације остаје права линија. Код теорије смицања трећег реда претпоставља се да је попречни пресек после деформације крива трећег степена. Везе између померања и деформација су линеарне. Полазећи од специфичне енталпије, динамичке једначине изводе се на основу Хамилтоновог принципа. Употребом методе коначних елемената, једначине се дисктретизују, тако да се од система са бесконачно много степени слободе, добија систем са коначним бројем степени слободе. Даље, добијене динамичке једначине се преводе у простор модалних координата, а затим у форму једначина стања. Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 19 3.2 Кинематске једначине плочe На слици 3.1 приказана је композитна плоча са интегрисаним пиезоелектричним деловима на горњој и доњој површини. За еластичне и пиезоелектричне слојеве уводи се претпоставка да су танки, тако да се може применити равно стање напона. Координатни систем постављен је тако да се раван x - y поклапа са средњом површи плоче, а оса z је дефинисана правилом десне руке. Слика 3.1. Композитна плоча са пиезоелектричним деловима на горњој и доњој површини Поље померања плоче, према теорији смицања трећег реда [31, 123], може се изразити на следећи начин: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )txwtzxw y w z h txztxvtzyxv x w z h txztxutzyxu yy xx ,,, 3 4,,,,, 3 4,,,,, 0 03 2 pl 0 03 2 pl 0 = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+−+= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+−+= ψψ ψψ (3.1) где је t време, а ( )wvu ,, су механички помераји тачака попречног пресека у (x, y, z) правцима, ( )000 ,, wvu су механички помераји тачака на средњој површи, xψ и yψ су ротације попречног пресека око оса x и y а plh је укупна дебљина плоче на месту посматраног попречног пресека. Једначина (3.1) може се записати у матричној форми на следећи начин: Пиезоелектрични делови Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 20 { } [ ]{ }gu uAu = , (3.2) где { } ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = w v u u (3.3) представља вектор механичког помераја тачака попречног пресека, { } ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = y x w v u u φ φ 0 0 0 g (3.4) представља вектор помераја тачака које припадају средњој равни, а матрица [ ]uA је представљена на следећи начин: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −∂ ∂− −∂ ∂− = 00100 3 40 3 410 0 3 4 3 401 3 2 pl 3 2 pl 3 2 pl 3 2 pl u zh z y z h z h z x z h A . (3.5) Попречни пресек плоче пре и после деформације приказан је на слици 3.2. Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 21 Слика 3.2. Попречни пресек плоче пре и после деформације Деформације попречног пресека дуж осе z дате су следећим изразом: ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 3 3 3 3 3 3 2 pl 2 2 2 2 2 2 2 pl 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 3 4 3 1 xy xz yz yy xx xy xz yz yy xx xy xz yz yy xx xy xz yz yy xx xy xz yz yy xx z h z h z γ γ γ ε ε γ γ γ ε ε γ γ γ ε ε γ γ γ ε ε γ γ γ ε ε , (3.6) где се генералисане деформације попречног пресека дуж осе z могу приказати преко следећих релација: Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 22 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂∂ ∂ = ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ x v y u x w y w y v x u x y xy xz yz yy xx 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 φ φ γ γ γ ε ε , (3.7) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ xy y x yx y x xy xz yz yy xx φφ φ φ γ γ γ ε ε 0 0 1 1 1 1 1 , (3.8) ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂+ ∂ ∂+= ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 x w y w x y xy xz yz yy xx φ φ γ γ γ ε ε , (3.9) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ ∂ ∂+∂ ∂ = ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ yx w xy y w y x w x yx y x xy xz yz yy xx 0 2 2 0 2 2 0 2 3 3 3 3 3 2 0 0 φφ φ φ γ γ γ ε ε . (3.10) Једначина (3.6) може се записати у матричној форми, на следећи начин: { } [ ]{ }gεε εH= (3.11) где { }ε представља вектор деформација, матрица [ ]εH је дата следећим изразом: Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 23 [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = 3 2 pl 2 2 pl 2 2 pl 3 2 pl 3 2 pl 3 400000010000 000 3 1000001000 0000 3 100000100 0 3 40000000010 00 3 4000000001 z h z z h z h z h z z h z Hε , (3.12) а { } ( )T3332211100000 xyyyxxxzyzxyyyxxxyxzyzyyxxg γεεγγγεεγγγεεε = (3.13 ) представља вектор генералисаних деформација. Такође, и једначине (3.7-3.10) могу се груписати и записати у једноставнијем матричном облику: { } [ ]{ }gug uL=ε , (3.14) где [ ]uL представља матрицу диференцијалних оператора која је дефинисана на следећи начин: Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 24 [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = xyyx yy xx x y xy y x xy x y y x L 2 2 2 2 2 u 200 000 000 0100 1000 000 0000 0000 000 0100 1000 0000 0000 (3.15) 3.3 Конститутивне једначине Специфична енталпија пиезоелектричног слоја може се представити на следећи начин [7]: { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ }EkEEeCh TTT 2 1 2 1 −−= εεε , (3.16) где је [ ]C матрица крутости, [ ]e је матрица пиезоелектричних константи, { }E је вектор електричног поља и [ ]k је матрица диелектричних константи. Матрице крутости, пиезоелектричних и диелектричних константи изражене су у односу на координатни систем плоче. Специфична енталпија еластичног слоја добија се тако Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 25 што се пиезоелектричне и диелектричне константе изједначе са нулом. Конститутивна једначина за k-ти слој добија се на следећи начин: { }( ) ( ){ }( ) [ ]( ) { }( ) [ ]( ) { }( ) { }( ) ( ){ }( ) [ ]( ) { }( ) [ ]( ) { }( )kkkkk k k kkk k k k Eke E hD EeCh +=∂ ∂−= −=∂ ∂= ε εεσ Tk , (3.17) при чему { }( )kσ представља вектор напона, а { }D вектор диелектричног помераја. Једначине (3.17) записане у развијеном облику постају: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k z y x k k xy xz yz y x kk xy xz yz y x E E E e ee ee e e QCC CC CC CCC CCC ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ 36 2515 2414 32 31 662616 5545 4544 262212 161211 00 0 0 00 00 00 000 000 00 00 γ γ γ ε ε τ τ τ σ σ (3.18) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k z y x k k xy xz yz y x kk z y x E E E k kk kk eee ee ee D D D ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 33 2212 1211 363231 2524 1514 00 0 0 00 000 000 γ γ γ ε ε (3.19) Узимајући у обзир да је електрично поље унидирекционо, тј. електрично поље дуж оса x и y је занемарено ( 0yx == EE ), конститутивна једначина за k-ти слој може се записати у следећем облику: Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 26 ( ) ( ) ( )k xy xz yz yy xx kk xy xz yz yy xx Ekeee eCCC CC CC eCQC eCCC D ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− − − − = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ 333363231 36662616 5545 4544 32262212 31161211 3 00 00 0000 0000 00 00 γ γ γ ε ε σ σ σ σ σ . (3.20) Везе између физичких карактеристика слојева изражених у локалном координатном систему слоја (1,2,3) и глобалном координатном систему плоче ( )zyx ,, су следеће: -коефицијенти крутости ( ) Θ+ΘΘ++Θ= 42222661241111 sincossin22cos CCCCC , (3.21) ( ) ( )Θ+Θ+ΘΘ−+= 44122266221112 cossincossin4 CCCCC , (3.22) ( ) Θ+ΘΘ++Θ= 42222661241122 coscossin22sin CCCCC , (3.23) ( ) ( ) ΘΘ+−+ΘΘ−−= cossin2cossin2 3662212366121116 CCCCCCC , (3.24) ( ) ( ) ΘΘ+−+ΘΘ−−= 3662212366121126 cossin2cossin2 CCCCCCC , (3.25) ( ) ( )Θ+Θ+ΘΘ−−+= 4466226612221166 cossincossin22 CCCCCC , (3.26) Θ+Θ= 25524444 sincos CCC , (3.27) ( ) ΘΘ−= sincos445545 CCC , (3.28) Θ+Θ= 24425555 sincos CCC (3.29) Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 27 -пиезоелектричне константе Θ+Θ= 23223131 sincos eee , (3.30) Θ+Θ= 23223132 cossin eee , (3.31) ( ) ΘΘ−= cossin323136 eee , (3.32) -диелектричне константе 3333 kk = . (3.33) Θ је угао између локалног координатног система слоја и глобалног координатног система плоче (слика 3.3). Слика 3.3. Угао измећу локалног координатног система слоја и глобалног координатног система плоче Величине 31e и 32e представљају чланове матрице пиезоелектричних константи изражене у локалном координатном систему слоја. Чланови матрице крутости могу се изразити помоћу инжењерских константи материјала слоја, тако да су коефицијенти крутости појединачног изражени у локалном коодинатном систему: 2112 1 11 1 νν−= YQ , 2112 212 12 1 νν ν −= YQ , 2112 2 22 1 νν−= YQ , 2344 GQ = , 1355 GQ = , 1266 GQ = (3.34) где је iY одговарајући Јангов модул еластичности материјала слоја, ijν одговарајући Пуасонов коефицијент, а ijG одговарајући модул смицања. x Θ 1 Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 28 3.4 Варијациона формулација Једначине кретања плоче могу се извести помоћу Хамилтоновог принципа: ( ) 0dδδδ2 1 d =+−−∫ t t tWUHT δ (3.35) где су 1t и 2t два произвољна временска тренутка, Tδ је варијација кинетичке енергије плоче, Hδ је варијација електричне енталпије, dUδ је варијација дисипативне функције, а Wδ је варијација рада извршеног од стране спољашњих сила. Према једначини (3.16), варијација електричне енталпије може се изразити на следећи начин: e V HHHHVhH δδδδdδδ emmem −−−== ∫ , (3.36) где је: { } [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ]{ } { } [ ]{ } .dδδ dδδ dδδ dδδ T e T em TT me T m ∫ ∫ ∫ ∫ = = = = V V V V VEkEH VeEH VEeH VCH ε ε εε . (3.37) Варијација кинетичке енергије је: { } { }∫= V VuuT dδδ T &&ρ , (3.38) где { }u& представља вектор брзина одговарајућих тачака плоче, а ρ је густина слоја. 3.5 Дискретизација методом коначних елемената Јединствено поље механичких помераја важи за све слојеве плоче, док се поље електричних помераја уводи за сваки слој посебно. Плоча је дискретизована са правоугаоним елементима са четири чвора. За интерполацију механичких помераја на средњој површи, 0u и 0v , користе се Лагранжеве линеарне интерполационе функције, а неконформне кубне Хермитове интерполационе Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 29 функције за интерполацију механичког помераја 0w . Како се на површинама пиезоелектричних делова налазе електроде, они се разматрају као еквипотенцијалне површине. Стога, један елемент има 28 механичких степени слободе и Pn електричних степени слободе, где Pn представља број пиезоелектричних слојева у једном елементу. Вектор механичких чворних променљивих код једног елемента је: { } 4,...,1 T 00 000e =⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂= j y w x w wvuu jy j x jj jjj ψψ , (3.39) а електрични потенцијали су { } ( ) ( ) ( ) ( )( )Te1e2e1e PP nne ϕϕϕϕϕ −= L . (3.40) 3.5.1 Дискретизација механичких помераја и деформација Генералисани механички помераји у једном елементу могу се интерполирати у зависности од чворних величина на следећи начин: ( ) ( )∑ = = 4 1 0 00 ,, ј j j yxNutxu , ( ) ( )∑ = = 4 1 0 ,, ј j j xx yxNtx φφ ( ) ( )∑ = = 4 1 0 00 ,, ј j j yxNvtxv , ( ) ( )∑ = = 4 1 0 ,, ј j j yy yxNtx φφ ( ) ∑ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂ ∂+= 4 1 00 00 , ј y je j x je j j j Nb y w Na x w Nwtxw (3.41) где су 0jN интерполационе Лагранжеве функције: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −+ ++ +− −− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ee ee ee ee N N N N ηξ ηξ ηξ ηξ 11 11 11 11 4 1 0 4 0 3 0 2 0 1 , (3.42) Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 30 а jN , x jN и y jN интерполационе Хермитске функције дефинисане на следећи начин: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −−−+−+ −−++++ −−+−+− −−−−−− = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 22 22 22 22 4 3 2 1 211 211 211 211 8 1 eeeeee eeeeee eeeeee eeeeee N N N N ηξηξηξ ηξηξηξ ηξηξηξ ηξηξηξ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +−− ++− −++ −−+ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 2 2 2 2 4 3 2 1 111 111 111 111 8 1 eee eee eee eee x x x x N N N N ξηξ ξηξ ξηξ ξηξ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −++ ++− +−− −−+ = ⎪⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎫ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ 2 2 2 2 4 3 2 1 111 111 111 111 8 1 eee eee eee eee y y y y N N N N ηξη ηξη ηξη ηξη . (3.43) У претходним једначинама eξ и eη представљају осе локалног координатног система елемента: e e a x=ξ , e e b y=η . (3.44) где су ea и eb половине дужине и ширине елемента. На слици 3.4 приказан је елемент са осама локалног координатног система и чворним величинама. Слика 3.4. Коначни елемент 1 4 2 3 ( )ee ba ,− ( )ee ba , ( )ee ba −− , ( )ee ba −, e ξ eη Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 31 Једначина (3.41) може се записати у једноставнијем матричном облику: { } [ ]{ }euNu ug = , (3.45) где је [ ]uN матрица интерполационих функција дата на следећи начин: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]4u3u2u1uu NNNNN = [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 u 000000 000000 0000 000000 000000 j j y je x jej j j j N N NbNaN N N N . (3.46) Заменом jедначине (3.40) у jедначину (3.14), може се добити следећа веза између генералисаних деформација и чворних механичких помераја: { } [ ]{ }euBug =ε , (3.47) где је [ ] [ ][ ]uu NLB ε= . (3.48) Заменом jедначине (3.47) у jедначину (3.11), добија се следећа једначина: { } [ ][ ]{ }euBH uεε = (3.49) која дефинише везу између вектора деформације и вектора чворних механичких величина. Заменом jедначине (3.49) у прву од једначина (3.37), може се добити: { } [ ]{ }eee uKuH mTm δδ = , (3.50) где [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]∫= V u TT u e m ddd zyxBHCHBK εε (3.51) представља елементарну еластичну матрицу крутости. Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 32 3.5.2 Дискретизација електричног поља За промену електричног потенцијала по дебљини k-тог слоја претпоставља се да је линеарна: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkkkk BotTop 2 1 2 1 ϕζϕζϕ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += (3.52) где ( )kζ представља локалну координату k-тог слоја која је дефинисана на следећи начин: ( ) k kk k k h zz h z 2 1−+−=ζ , (3.53) а ( )kTopϕ и ( )kBotϕ су електрични потенцијали на горњој и доњој површини k-тог слоја. Промена електричног поља по дебљини k-тог слоја може се добити на следећи начин: ( ) ( ) z E k k z ∂ ∂−= ϕ . (3.54) Према једначинама (3.52) и (3.53), електрично поље је: ( ) ( ) k k k z h E φ= , (3.55) где ( ) ( ) ( )kkk TopBot ϕϕφ −= , (3.56) представља напон између површина слоја. Узимајући у обзир једначину (3.55), која важи за један слој, може се написати вектор електричног поља свих слојева у једном елементу: { } [ ]{ }φφLEz = , (3.57) где је [ ] ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= = knk h L 1diag ,1 φ . (3.58) Заменом једначина (3.49) и (3.58) у другу и трећу једначину од једначина (3.37), могу се добити следећи изрази: Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 33 { } [ ]{ } { } [ ] { }ee e e e uKH KuH T me T em me T me δ δ φδ φδ = = (3.59) где [ ]eKme представља елементану пиезоелектричну матрицу крутости која има следећи облик: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫= V e zyxLeHBK dddTTTume φε . (3.60) Заменом једначине (3.57) у четврту од једначина (3.37), добија се следеће: { } [ ]{ }φφδ eKH eTeδ = , (3.61) где [ ]eKe представља елементарну диелектричну матрицу крутости која је дата изразом: [ ] [ ] [ ][ ]∫= V Te zyxLkLK ddde φφ . (3.62) 3.5.3 Дискретизација кинетичке енергије Заменом једначина (3.2) и (3.45) у једначину (3.38) и применом варијационог рачуна, добија се следећа једначина: { } [ ]{ }eee uMuT &&Tδδ −= , (3.63) где [ ] [ ] [ ] [ ][ ]∫= V TTe zyxNAANM ddduuuuρ (3.64) представља елементарну матрицу маса. 3.5.4 Дискретизација рада извршеног од стране спољашњих сила Укупан рад извршен од стране спољашњих сила (W ) једнак је збиру рада извршеног од стране спољашњих механичких сила ( mW ) и рада извршеног од стране спољашњих електричних сила ( eW ): em WWW += . (3.65) Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 34 Варијација рада извршеног од стране спољашњих механичких сила може се представити, у дискретизованој форми, на следећи начин: { } { }ee FuW mTm δδ = , (3.66) где { }eFm представља вектор чворних спољашњих механичких сила. Варијација рада извршеног од стране спољашњих електричних сила је: { } { }AATe φδδ QW −= , (3.67) где { }Q представља вектор наелектрисања пиезоелектричних слојева, а { }AAφ је спољни напон на актуатору. Чланови вектора наелектрисања су наелектрисања сваког слоја појединачно. Вектор наелектрисања се добија интеграљењем по површини електроде сваког актуатора, на следећи начин: { } { } { }∫∫ == S z S yxDQQ ddd . (3.68) Претходна једначина може се разложити, тако да се интеграли по сваком слоју, посебно: { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += ∫∫∫ − − − V k kkS k kS k zyxD h yxDyxDQ ddd1dddd 2 1 1 33 1 1 3 . (3.69) Из друге једначине (3.17), може се изразити електрични померај у функцији од електричног поља и уврстити у претходну једначину: { } ( ) ( ) [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ]{ }AeAT T 1 3 ddd ddd ddd1 φφφφ φ e V V z V k z k k KzyxLkL zyxEkL zyxEk h Q == == = ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ∫ ∫ ∫ − . (3.70) У претходној једначини { }Aφ представља напон индукован на актуатору услед пиезоелектричног ефекта. После варирања једначине (3.70), и заменом у једначину (3.69), добија се једначина за варијацију рада извршеног од стране спољашњих електричних сила: { } [ ] { }AAAeTAee φφδδ eKW −= . (3.71) Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 35 3.5.5 Дискретизација дисипативне функције Дискретизована форма дисипативне функције може се представити на следећи начин: { } [ ]{ }ee uCuU && dTd 2 1= , (3.72) односно, њена варијација је: { } [ ]{ }ee uCuU && STd δδ = , (3.73) где је [ ]dC матрица структуралног пригушења. 3.5.6 Спрегнуте једначине кретања Заменом добијених дискретизованих форми варијација кинетичке енергије (једначина (3.63)), варијација енталпија (једначине (3.50), (3.59) и (3.61)), варијација спољашњих радова (једначине (3.66) и (3.67)) и варијације дисипативне функције (једначина (3.73)) у једначину Хамилтоновог принципа (једначина (3.35), раздвајајући електричне потенцијале на сензорски и актуаторски део и формирајући глобалне матрице од елементарних матрица, могу се добити следеће спрегнуте једначине кретања у функцији чворних величина: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ] { } { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } ,0SSeTSme AAAeAAe T Ame mSSmeAAmemd =+ =+ =−−++ φ φφ φφ KuK KKuK FKKuKuCuM &&& (3.74) где [ ]M представља глобалну матрицу маса, [ ]mK је глобална еластична матрица крутости, [ ]AmeK и [ ]SmeK пиезоелектричне матрице крутости актуатора и сензора, респективно, [ ]AeK и [ ]SeK су глобалне диелектричне матрице крутости актуатора и сензора, респективно, { }Aφ и { }Sφ су напони који се јављају на актуатору и сензору услед пиезоелектричног ефекта а { }mF представља вектор спољашњих механичкких сила. Заменом одговарајућих напона ({ }Aφ и { }Sφ ) из последње две у прву једначину (3.74) може се добити следећа једначина: [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } [ ] { }AAAmem*d φKFuKuCuM +=++ &&& , (3.75) Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 36 где [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] TSme1SeSmeTAme1AeAmem* KKKKKKKK −− ++= , (3.76) представља спрегнуту матрицу крутости. 3.6 Једначине кретања у модалним координатама Због великог броја степени слободе, једначину (3.75) није практично користити. Због тога, добијени модел мора се апроксимирати, где се само првих неколико модова узимају у обзир. Вектор механичких помераја може се апроксимирати суперпозицијом првих r модова: { } [ ]{ }ηΨ≈u (3.77) где [ ]Ψ представља модалну матрицу а { }η је вектор модалних координата. Користећи једначину (3.77), једначина (3.75) може се трансформисати у модални простор: { } [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } [ ] [ ] { }AAAmeTmT2 φηωηη KF Ψ−Ψ=+Λ+ &&& (3.78) где [ ]2ω представља дијагоналну матрицу квадрата сопствених фреквенција, а [ ] ( )ii ri ωζ2diag ,,1K= =Λ (3.79) представља модалну матрицу пригушења, где је iζ је коефицијент пригушења i- тог мода. 3.7 Једначине кретања у простору стања Једначина (3.78) може се изразити у простору стања на следећи начин: { } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ }dBBXAX ˆAA ++= φ& , (3.80) где { } ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= η η &X , (3.81) представља вектор стања, Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 37 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Λ−− = 2 I0 ω A , (3.82) представља матрицу система, [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ− = ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Ame T 00 KB B , (3.83) је матрица улаза, и [ ] [ ] [ ] { }⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Ψ = m 0 ˆ F B T , (3.84) је матрица поремећаја, где су [ ]I и [ ]0 јединична и нула матрица, респективно, адекватно димензионисане. { }d је улазни поремећајни вектор. Једначина излаза сензора може се записати на следећи начин: { } [ ]{ }XCY SS = , (3.85) где [ ]SC представља матрицу излаза која зависи од модалне матрице и пиезоелектричне и деиелектричне матрице крутости сензора. 3.8 Основни модови осциловања танкозидних композитних плоча У овом поглављу биће одређени, на основу приказаног математичког модела методе коначних елемената, основни модови осциловања танкозидних композитих плоча. Плоче су на једном крају укљештене, а квадратног су облика, димензија 0.5x0.5m. Плоче се састоје од осам слојева графит-епоксија, дебљина сваког слоја је 0.25mm и биће анализирана три случаја оријентација: 1. Симетрично са специјално-ортотропним слојевима: (90°/0°/90°/0°)S 2. Антисиметрично са специјално-ортотропним слојевима: (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) 3. Антисиметрично са генерално-ортотропним слојевима: (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°). Особине графит-епоксија приказане су у табели 3.1. Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 38 Табела 3.1. Материјалне особине графит-епоксија Материјалне особине Графит-епоски Модул еластичности, ( )GPa1Y 174 Модул еластичности, ( )GPa2Y 10.3 Модул смицања, ( )GPa13G 7.17 Модул смицања, ( )GPa23G 6.21 Пуасонов коефицијент, 12ν 0.25 Густина, ( )3kg/mρ 1389.23 У табелама 3.2, 3.3 и 3.4 приказане су фреквенције осциловања и карактер првих 6 модова за симетричну плочу, плочу са антисиметрично постављеним специјално-ортотропним слојевима и плочу са антисиметрично постављеним генерално-ортотропним слојевима, респективно. На сликама 3.5, 3.6 и 3.7 приказани су првих 6 модова осциловања плоча са следећим конфигурацијама слојева: (90°/0°/90°/0°)S, (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) и (45°/-45°/45°/-45°/45°/- 45°/45°/-45°), респективно. Табела 3.2. Фреквенције и карактери првих 6 модова осциловања плоче са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S Мод осциловања 1 2 3 4 5 6 25 KE 8.63 14.554 54.157 63.055 81.247 114.967 Фрекв. (Hz) 50 KE 8.628 14.54 54.069 62.908 81.181 114.663 Карактер савојни увојни савојни увојни савојни савојни Табела 3.3. Фреквенције и карактери првих 6 модова осциловања плоче са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) Мод осциловања 1 2 3 4 5 6 25 KE 10.371 15.76 65.054 70.595 72.629 113.543 Фрекв. (Hz) 50 KE 10.369 15.747 64.949 70.531 72.474 113.226 Карактер савојни увојни савојни савојни увојни савојни Табела 3.4. Фреквенције и карактери првих 6 модова осциловања плоче са конфигурацијом слојева (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°) Мод осциловања 1 2 3 4 5 6 25 KE 7.027 25.873 41.322 69.854 84.968 126.623 Фрекв. (Hz) 50 KE 7.012 25.814 41.186 69.696 84.667 125.914 Карактер савојни увојни савојни савојни увојни савојни Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 39 Слика 3.5. Основни модови осциловања укљештене плоче са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S: (а) први мод, (б) други мод, (в) трећи мод, (г) четврти мод, (д) пети мод, (ђ) шести мод Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 40 Слика 3.6. Основни модови осциловања укљештене плоче са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°): (а) први мод, (б) други мод, (в) трећи мод, (г) четврти мод, (д) пети мод, (ђ) шести мод Глава 3: Математичко моделовање паметних танкозидних композитних плоча _____________________________________________________________________ 41 Слика 3.7. Основни модови осциловања укљештене плоче са конфигурацијом слојева (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°): (а) први мод, (б) други мод, (в) трећи мод, (г) четврти мод, (д) пети мод, (ђ) шести мод Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 42 Глава 4 Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор-сензор парова 4.1 Увод Ефикасност активног управљања вибрацијама одређена је положајима и величинама актуатора и сензора. Положаји и величине актуатора бирају се тако да, уз што мање уложене енергије, пригушење вибрација буде боље. Слично, да би се добиле боље информације о величинама стања са сензора, положаји и величине сензора бирају се тако да пружају што јачи излаз. Другим речима, ако се жели пригушити одређени мод, актуаторе и сензоре неопходно је димензионисати и сместити тако да се оствари што боља управљивост и осмотривост тог мода. Услед спољашњих утицаја, код вибрација структура, може се јавити један мод, а могу и неколоко модова истовремено, са чиме одређивање положаја и величина актуатора и сензора постаје комплексније. Да би се одредили оптимални положаји и величине актуатора и сензора, у овом раду употребљена је метода оптимизације која се назива „Particle swarm“ оптимизација („PSO”), или, у преводу, оптимизација ројем честица. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 43 4.2 Управљивост и осмотривост Управљивост је способност система да, уз помоћ актуатора, управља свим величинама стања датог система. Осмотривост се може дефинисати као способност система да се на основу излазног сигнала, са сензора, могу добити све неопходне информације за утврђивање свих величина стања система. Другим речима, линеарни систем, дефинисан једначином (3.80) је у потпуности управљив ако постоји вектор управљања који може превести систем из почетног стања ( ){ }0tX у неко коначно стање ( ){ }1tX унутар произвољног коначног времена 10 ttt ≤≤ . Систем је у потпности осмотрив ако се сваки вектор стања ( ){ }tX у сваком тренутку 10 ttt ≤≤ може утврдити на основу излаза са сензора { }SY . Провера управљивости система може се извршити провером ранга матрице управљивости [ ]S , која је дата на следећи начин: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]BABABABS n 12 −= K , (4.1) где су матрице [ ]A и [ ]B дефинисане у глави 3. Систем је у потпуности управљив ако матрица [ ]S има ранг n. На сличан начин се може дефинисати и матрица осмотривости: [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = −1 S 2 S S S nAC AC AC C O M , (4.2) где је систем осмотрив ако је ранг матрице осмотривости n. Матрица [ ]SC дефинисана је у глави 3. Наведени критеријуми за управљивост и осмотривост имају свој недостатак, а то је да они дају само информацију да ли је систем управљив или не, односно, осмотрив или не, тј. не пружају квантитативне информације о управљивости и осмотривости. Алтернативни приступ је употреба грамијана за одређивање особина система. Грамијани су ненегативне матрице које квантитативно изражавају управљивост и осмотривост, а при томе су лаке за рачунање и могу се применити Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 44 и на системе вишег реда. Грамијанове матрице управљивости и осмотривости могу се дефинисати на следећи начин [124]: ( )[ ] [ ]( )[ ][ ] [ ]( )∫= t TABBAtW 0 T C dexpexp τττ , ( )[ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )∫= t STST ACCAtW 0 O dexpexp τττ (4.3) Ако се Грамијанове матрице управљивости и осмотривости изразе у модалним координатама, тада оне постају дијагонално доминантне [124]: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = nnW W W W C 22C 11C C 00 00 00 L MOMM L L , (4.4) [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = nnW W W W O 22O 11O O 00 00 00 L MOMM L L , (4.5) где се сваки дијагонални члан може изразити у форми независно од времена: ( ) ( )TC 4 1 ii ii ii BBW ωζ= , { } { }iTi ii ii CCW ωζ4 1 O = , (4.6) где ( )iB представља i-ту врсту матрице улаза, а { }iSC представља i-ту колону матрице излаза. Вредност iiWC пружа информацију о енергији пренесеној са актуатора на структуру у случају редукције i-тог мода. Другим речима, већа вредност i-те сопствене вредности грамијанове матрице управљивости доводи до бољег управљања i-тим модом. Опет, ако је бар једна сопствена вредност мала, управљање одговарајућим модом ће бити теже и захтеваће више енергије. Са друге стране, ако је вредност i-те сопствене вредности грамијанове матрице осмотривости мала, тада i-ти мод неће бити довољно осмотрив. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 45 4.3 Циљна функција и ограничења У овом поглављу биће формулисан критеријум оптимизације за оптималне величине и положаје пиезоелектричних актуатор-сензор (А-С) парова. Њихови положаји и величине морају бити такви да пружају што већу управљивост и осмотривост за модове којима се управља. Како се актуатор-сензор парови налазе на истом месту, само са супротних страна плоче и истих су димензија, биће извршена само оптимизација на основу управљивости. У раду [61] представљен је индекс перформанси: [ ]( ) [ ]( )( ) ( )c2/1CCe dettrace NWWJ = , (4.7) где CN представља број модова којима се управља. Имајући у виду једначину (4.7), функција циља је: ( )emaximize JOBJ = . (4.8) На слици 4.1 приказана је плоча са i-тим актуатор-сензор паром. Слика 4.1. Композитна плоча са i-тим актуатор-сензор паром Величине којима је одређен i-ти актуатор-сензор пар су следеће: • ix , iy : положај центра А-С пара у односу на координатни систем плоче • ia , ib : дужна и ширина А-С пара • iΘ : оријентација А-С пара. Врсте ограничења које се намећу су следеће: b iy y xix a ia iE iA iB iD ib iΘ Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 46 1) ограничења у погледу димензије А-С пара: Pmaxminmaxmin ,,1,, Nibbbaaa iiii K=≤≤≤≤ , (4.9) где су minia и maxia минимална и максимална дужина i-тог А-С пара, а minib и maxib је њихова минимална и максимална ширина, док PN представља број А-С парова. 2) ограничења у погледу положаја А-С пара: PEDBAEDBA ,,1,,,,0,,,,0 Nibyyyyaxxxx iiiiiiii K=≤≤≤≤ , (4.10) 3) ограничења у погледу укупне површине коју прекривају А-С парови: ε≤ ∑ = ab ba PN i ii 1 , (4.11) где ε представља толеранцију прекривености површине, 4) последња ограничења су динамичка ограничења која не дозвољавају међусобна преклапања А-С парова. Узимајући у обзир ограничења, проблем оптимизације своди се на налажење параметара ix , iy , ia , ib , iΘ ( P,,1 Ni K= ), тако да функција циља: ⎩⎨ ⎧= нарушенаограничењасуако,0 нарушенанисуограничењаако,e e J J . (4.12) буде максимизирана. 4.4 Дискретизација плоче помоћу коначних елемената Приликом прорачуна, плоча је подељена на коначне елементе, као што је дефинисано у глави 3. Такође, биће коришћени и квадратни коначни елементи. Током оптимизације величине и облици коначних елемената неће бити мењани. На слици 4.2 приказана је плоча са i-тим актуатор-сензор паром подељена на коначне елементе. Број коначних елемената је 100 (свака стрница је подељена на 10 елемената). Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 47 Слика 4.2. Композитна плоча са i-тим актуатор-сензор паром подељена на 100 коначних елемената Са слике 4.2 јасно се види да, услед начина дефиниције математичког модела плоче, постоји проблем интеграције самог А-С пара у структуру коначних елемената. Наиме, ивице А-С пара секу коначне елементе. Овај проблем је решен на следећи начин: уколико се центар коначног елемента налази унутар или на граници контуре коју образује А-С пар, овај елемент припада А-С пару. Облик А- С пара након дискретизације је приказан на слици 4.3. Слика 4.3. Композитна плоча подељена на 100 коначних елемената са дискретизовани А-С паром Уколико се упореде слике 4.3 и 4.2, може се видети да постоје одступања у облицима А-С пара услед величине коначних елемената. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 48 Дискретизације за 1600 (40х40) коначних елемената приказане су на сликама 4.4 и 4.5. Слика 4.4. Композитна плоча са i-тим актуатор-сензор паром подељена на 1600 коначних елемената Слика 4.5. Композитна плоча подељена на 1600 коначних елемената са дискретизованим А-С паром Упоређивајући слике 4.5 и 4.4, може се закључити да је одступање у облику знатно мање него у претходном случају. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 49 Повећавањем броја коначних елемената, одступања у облицима недискретизованих и дискретизованих актуатор-сензор парова се смањују. Такође, овим повећањем повећава се и број степени слободе, тако да се повећава време формирање глобалне матрице од локалних матрица. Да би се имао увид колико је времена потребно за сваку тачку приликом решавања алгоритма оптимизације, анализирана су следећа времена: 1t - време потребно за формирање глобалне еластичне матрице крутости и глобане матрице маса, 2t - време потребно за формирање глобалне пиезоелектричне матрице крутости актуатора и сензора, 3t - време потребно за формирање глобалне диелектричне матрице крутости актуатора и сензора 4t - време потребно за одређивање модалне матрице и сопствених фреквенција Рејли-Риц апроксимативном методом за првих 6 модова осциловања. Анализа је вршена за плочу са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S, која је дефинисана у глави 3, а положаји актуатор-сензор парова су изабрани случајно. Узимани су у обзир следећи бројеви коначних елемената: 202, 302, 402, 502, 602, 702, 802, 902 и 1002 (свака страница плоче је једнако подељена тако да се добијају квадратни елементи). За сваки број коначних елемената је узето 5 случајно изабраних конфигурација актуатор-сензор парова и приказано је средње време. У табели 4.1 приказана су наведена времена у зависности од броја коначних елемената. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 50 Табела 4.1. Времена потребна за склапање локалних матрица у глобалне и одређивање модалне матрице и сопствених фреквенција Број КЕ ( )st1 ( )st2 ( )st3 ( )st4 ( )sti∑ 202 72.384 9.1 0.00544 0.228 81.717 302 75.412 9.118 0.0157 0.574 85.12 402 83.859 9.21 0.03 1.098 94.087 502 101.924 9.35 0.055 1.789 113.118 602 131.743 9.533 0.1 2.769 144.145 702 186.289 9.867 0.195 4.032 200.383 802 266.014 10.314 0.267 5.691 282.268 902 383.038 10.412 0.33 7.256 401.036 1002 556.237 11.81 0.712 10.528 579.287 Из табеле 4.1 може се видети да највише времена потроши за склапања глобалне матрице маса и глобалне еластичне матрице крутости, знатно више него за остале операције. На слици 4.6 графички је приказана зависност времена потребног за склапање глобалне матрице маса и глобалне еластичне матрице крутости од броја коначних елемената. Слика 4.6. Зависност времена потребног за формирање глобалне еластичне матрице крутости и глобане матрице маса од броја коначних елемената Са слике 4.6 може се видети да са порастом броја коначних елемената, време потребно за склапање глобалне матрице маса и глобалне еластичне матрице крутости расте експоненцијално. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 51 4.5 Утицај оријентације актуаторског слоја на управљивост Овде ће бити разматране композитне плоче различитих оријентација, чији су подаци приказани у потпоглављу 3.8. Како ће се користити композитни актуатор-сензор парови, важно је оценити утицај оријентације актуатора на управљивост. Анализираће се утицаји оријентација пиезоелектричних слојева на управљивост, при чему ће пиезоелектрични слој прекривати целу површину плоче. Влакна пиезоелектричних актуатора и сензора су направљена од PZT5A, а подаци о материјалу актуатора и сензора приказани су у табели 4.2. Разматра се случај када је актуатор на једној страни, а сензор на супротној страни плоче. На слици 4.7 приказана је плоча са обележеном оријентацијом пиезоелектричног слоја. Табела 4.2. Материјалне особине актуатора и сензора Материјалне особине PZT5A влакнасти композит Модул еластичности, ( )GPa1Y 30.2 Модул еластичности, ( )GPa2Y 14.9 Модул смицања, ( )GPa13G 5.13 Модул смицања, ( )GPa23G 5.13 Пуасонов коефицијент, 12ν 0.45 Густина, ( )3kg/mρ 4600 Пиезоелектрична константа, ( )231 C/me 9.41 Пиезоелектрична константа, ( )232 C/me 0.166 Диелектрична константа , ( )F/m33k 6.1x10-9 Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 52 Слика 4.7. Композитна плоча са означеном оријентацијом пиезоелектричног слоја За нумеричку анализу, коришћена је мрежа коначних елемената 25х25. 4.5.1 Композитна плоча – оријентација (90°/0°/90°/0°)S Код плоче са оваквом конфигурацијом слојева, сензорски слој је постављен на доњој страни, а актуаторски на горњој страни. Оба слоја су симетрично оријентисана у односу на средњу површ. Због симетричности матичне структуре, није разматран случај када је актуатор на доњој страни. Угао оријентације пиезоелектричних слојева вариран је у опсегу [-90° 90°]. На слици 4.8 приказана је зависност дијагоналних чланова Грамијанове матрице управљивости за првих шест модова осциловања од угла оријентације актуаторског слоја. Слика 4.9 представља зависност индекса перформанси од оријентације актуаторског слоја. Са слике 4.10 може се видети да су, услед симетрије слојева плоче, дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и индекс перформанси једнаки за супротне углове оријентације ( AΘ+ и AΘ− ). Ако се упореди слика 4.8 са сликом 3.5, јасно се види да се максимална управљивост за одређени мод остварује када се влакна актуаторског слоја усмере у смеру деформације плоче која се јавља код одговарајућег мода. За први и трећи мод (оба су савојна), максимална управљивост је за угао 0°, јер је то правац пружања деформације за те модове, док за угао 90° управљивост не постоји јер због оријентације пиезоелектричног актуатора не долази до деформације његових влакана. x y z AΘ Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 53 Насупрот томе, максимална управљивост код петог и шестог мода остварена је за угао 90°, док је за угао 0° управљивост знатно мања. Што се тиче торзионих модова (други и четврти), управљивост не постоји за углове 0° и 90°. Код другог мода, максимална управљивост је остварена за угао ±45°, а код четвртог мода за угао ±35°. Разлог непостојања управљивости код одрећених оријентација за торзионе модове дат је у раду [76]. Наиме, уколико модална линија представља симетралу пиезоелектричног актуатора, тада је управљивост тог актуатора једнака нули. Због дефиниције индекса перформанси, његова вредност је 0 за углове 0° и 90°, а максималну вредност има за углове ±40° (слика 4.9). (а) (б) Слика 4.8. (наставља се...) Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 54 (в) (г) (д) Слика 4.8. (наставља се...) Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 55 (ђ) Слика 4.8. Зависност дијагоналних чланова Грамијанове матрице управљивости за првих шест модова осциловања од угла оријентације актуаторског слоја укљештене плоче са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S: (а) први мод, (б) други мод, (в) трећи мод, (г) четврти мод, (д) пети мод, (ђ) шести мод Слика 4.9. Зависност индекса перформанси од угла оријентације актуаторског слоја укљештене плоче са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S 4.5.2 Композитна плоча – оријентација (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) Код плоче са оваквом конфигурацијом слојева, анализирани су случајеви када је актуатор на горњој и када је актуатор на доњој страни плоче. Актуаторски и сензорски слој су, као и у претходном случају, симетрично постављени један у односу на други. Угао оријентације пиезоелектричних слојева вариран је у опсегу [-90° 90°]. На слици 4.10 приказана је зависност дијагоналних чланова Грамијанове матрице управљивости за првих шест модова осциловања од угла Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 56 оријентације актуаторског слоја. Слика 4.11 представља зависност индекса перформанси од оријентације актуаторског слоја. На основу слика 4.12 и 3.6, може се донети закључак исти као и у претходном случају, тј., да се максимална управљивост остварује када се влакна актуаторског слоја усмере у смеру деформације плоче која се јавља код одговарајућег мода. Са слике 4.10 и 4.11 може се видети да су дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и индекс перформанси једнаки за супротне углове оријентације ( AΘ+ и AΘ− ). За разлику од претходног случаја, услед антисиметричности, постоји знатна разлика у зависности да ли се актуатор поставља на горњој или на доњој страни плоче. Код првог и другог мода, управљивост је знатно већа уколико се актуатор постави на доњу страну плоче (максимална вредност је за 0°), а код четвртог, петог и шестог мода, управљивост је знатно већа уколико се актуатор постави на доњу страну плоче. Максимална вредност за четврти мод остварује се за оријентацију -70°, а за пети и шести за угао од 90°. Код другог мода, управљивост је незнатно већа ако се актуаторски слој постави на доњу страну, а максимум се остварује за угао оријентације -45°. Другим речима, код овог типа оријентације слојева већа управљивост се остварује са оне стране где влакна актуаторског слоја заклапају већи угао са влакнима суседног слоја. Разлог што се ово дешава је у томе да, услед антисиметричности, долази то тзв. савојно-истезног ефекта. Услед деформације савијања или увијања долази до истезања (или сабијања) плоче, тако да је апсолутна вредност деформација већа са једне стране плоче, што доводи до несиметричне управљивости. Што се тиче индекса перформанси, његова вредност је 0 за углове 0° и 90° (слика 4.11). За углове између -35° и 35° индекс перформанси је већи када је актуатор на доњој страни. За остале углове оријентације индекс перформанси има веће вредности када је актуатор на горњој страни плоче. Највећа вредност се постиже за углове ±40° и то када је актуатор на горњој страни плоче. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 57 (а) (б) (в) Слика 4.10. (наставља се...) Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 58 (г) (д) (ђ) Слика 4.10. Зависност дијагоналних чланова Грамијанове матрице управљивости за првих шест модова осциловања од угла оријентације актуаторског слоја укљештене плоче са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°): (а) први мод, (б) други мод, (в) трећи мод, (г) четврти мод, (д) пети мод, (ђ) шести мод Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 59 Слика 4.11. Зависност индекса перформанси од угла оријентације актуаторског слоја укљештене плоче са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) 4.5.3 Композитна плоча – оријентација (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°) Код плоче са оваквом конфигурацијом слојева, анализирани су случајеви када је актуатор на горњој и када је актуатор на доњој страни плоче. Актуаторски и сензорски слојеви су, као и у претходна два случаја, симетрично постављени један у односу на други. Угао оријентације пиезоелектричних слојева вариран је у опсегу [-90° 90°]. На слици 4.12 приказана је зависност дијагоналних чланова Грамијанове матрице управљивости за првих шест модова осциловања од угла оријентације актуаторског слоја. Слика 4.13 представља зависност индекса перформанси у од оријентације актуаторског слоја. Упоређујући слике 4.12 и 3.7, може се донети исти закључак као и у претходна два случаја, тј., да се максимална управљивост остварује када се влакна актуаторског слоја усмере у смеру деформације плоче која се јавља код одговарајућег мода. Са слике 4.12 може се видети да, за разлику од претходна два случаја, дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и индекс перформанси нису једнаки за супротне углове оријентације ( AΘ+ и AΘ− ). Ово је најизраженије код увојних модова (други и пети), док је код савојних модова ова појава много мање изражена. Боља управљивост се добија када је оријентација актуаторског слоја супротна од оријентације слоја са којим је актуаторски слој у Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 60 додиру. Разлог због чега долази до овога је управо савојно-истезни ефекат описан у претходном случају. Уколико се анализира место постављања актуаторског слоја (на горњој или доњој страни), може се видети да су управљивости једнаке за супротне углове (управљивост у случају када је актуаторски слој на горњој страни под углом AΘ+ једнака је управљивости у случају када је актуаторски слој на доњој страни под углом AΘ− , и обрнуто). Са слике 4.13 може се видети да индекс перформанси има највећу вредност за угао 25° у случају када се актуатор налази на горњој страни и за угао -25° у случају када се актуатор налази на доњој страни плоче. (а) (б) Слика 4.12. (наставља се...) Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 61 (в) (г) (д) Слика 4.12. (наставља се...) Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 62 (ђ) Слика 4.12. Зависност дијагоналних чланова Грамијанове матрице управљивости за првих шест модова осциловања од угла оријентације актуаторског слоја укљештене плоче са конфигурацијом слојева (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°): (а) први мод, (б) други мод, (в) трећи мод, (г) четврти мод, (д) пети мод, (ђ) шести мод Слика 4.13. Зависност индекса перформанси од угла оријентације актуаторског слоја укљештене плоче са конфигурацијом слојева (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°) Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 63 4.6 Оптимизација ројем честица Инспирација за оптимизацију ројем честица нађена је у друштвеном понашању јата риба, ројева инсеката и јата птица. Представљена је у раду [126]. Сама идеја оптимизационе методе је да је свака честица представљена координатама које представљају потенцијално решење оптимизационог проблема. За дату i-ту честицу, њена позиција је представљена вектором ( ) ( )midiiii ppppp LL21= , где свака координата представља параметар који се оптимизује, а m представља број тих параметара. На тренутни положај сваке честице утиче три фактора: брзина - ( ) ( )midiiii vvvvv LL21= , најбољи положај икада постигнут те честице (најбољи локални положај), који је дефинисан најбољом вредности фунцкије циља те честице, и најбољи положај достигнут од свих честица (најбољи глобални положај), који је одређен најбољом вредности функције циља у свим претходним итерацијама. Почетна популација честица се случајно одабере, а положај сваке честице се мења на следећи начин: ( ) ( )kiddkididkidkid pgbestrandcplbestrandcvv −+−+=+ 22111 χ , (4.13) 11 ++ += kidkidkid vpp , mdni ,,1,,1 POP KK == (4.14) где χ представља фактор инерције, 1c је когнитивни фактор, 2c је социјални фактор, 1rand and 2rand су случајни бројеви између 0 и 1, индекс k означава број итерације, POPn је број популације, а lbest и gbest су најбољи локални и глобални положај честице. У овом раду, сваки актуатор је одређен величинама ix , iy , ia , ib , iΘ , које су дефинисане у потпоглављу 4.3. Према томе, координате i-те честице у k-тој итерацији могу се записати у следећем облику: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ Θ Θ = k iN k iN k iN k iN k iN k i k i k i k i k i k i PPPPP bayx bayx p MMMMM 11111 . (4.15) Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 64 4.7 Оптимизација величине и положаја пиезоелектричних актуатор-сензор парова: нумерички део У реалним случајевима није изводљиво прекривање целе структуре једним актуаторским, односно сензорским слојем из два разлога. Први разлог је повећање масе структуре и промена њених динамичких особина. Други разлог је то што онда постоји само један актуатор, што значи да у случају отказа тог актуатора, структура више неће бити активна. Из наведених разлога, на структуру се поставља већи број мањих актуатора. У овом делу показује се оптимизација величине, положаја и оријентације актуатор-сензор парова на композитним плочама на основу критеријума дефинисаним у претходним поглављима. Разматраће се пригушење првих 6 модова осциловања. Произвољно је узето 5 актуатор-сензор парова. Актуатори и сензори су истих димензија и оријентација, а постављени су на истом положају само са супторних страна плоче, тако да се оптимизује само актуатор на основу критеријума представљеног у поглављу 4.3. Са слика 3.5 – 3.7 јасно се вида да се за поједине модове осциливања максимална управљивост постиже када је актуатор оријентисан под углом од 0°, а за неке модове осциловања када је актуатор оријентисан под углом од 90°. Да би се смањио број параметара који се оптимизује, а у складу са претходном констатацијом, положаји три актуатора су фиксирана, и то: прва два актуатора су једнаких димензија, смештена су у корену плоче, на ивицама, и оријентисани су под углом од 0°. Трећи актуатор је смештен на средину слободног краја плоче и оријентисан је под углом од 90° (слика 4.14). Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 65 Слика 4.14. Параметри актуатора који се оптимизују Подаци о плочама дати су у поглављу 3.7, а подаци о материјалу пиезоелектричних актуатора и сензора дати су у табели 4.1. Оптимизација је извршена за сва три начина слагања слојева. Што се тиче параметара оптимизације ројем честица, у раду [45] показано је да се најбоља конвергенција добија када су когнитивни и социјални фактор једнаки: 5.121 == cc , тако да ће се ове вредности користити у оптимизацији. Инерцијални фактор ( χ ) ће бити линеарно мењан од 1 до 0.5 током итерација. Број случајно генерисаних честица је 100, а број итерација је 100. 4.7.1 Оријентација (90°/0°/90°/0°)S Код ове плоче, актуатори су постављени на горњој површини, а сензори на доњој. Разматрана су три случаја покривености површина: 12% и 15%. Код покривености 12%, поред стандардних параметара којих треба одредити оптимизацијом, разматран је случај где су димензије актуатора непроменљиве са циљем да се испита како ови параметри утичу на циљну функцију и управљивост. У том случају, дужина једног актуатор-сензор пара је 100mm, а ширина је 60mm. У табели 4.3 и на сликама 4.15, 4.16 и 4.17 приказане су положаји и димензије 1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p 8p 9p 10p 11p 12p 13p 14p 1p 2p Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 66 актуатор-сензор парова добијени оптимизацијом. Слика 4.18 приказује конвергенцију функције циља за сва три случаја покривености површина. Слика 4.15. Димензије и положаји актуатор-сензор парова на плочи добијени оптимизацијом за покривеност површине 15% Слика 4.16. Димензије и положаји актуатор-сензор парова на плочи добијени оптимизацијом за покривеност површине 12% Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 67 Слика 4.17. Положаји актуатор-сензор парова на плочи са фиксним димензијама добијени оптимизацијом за покривеност површине 12% Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 68 Табела 4.3. Положаји и димензије актуатор-сензор парова добијене оптимизацијом 15% 12% 12% константне димензије )(1 mmp 96 80 100* )(2 mmp 72 80 60* )(3 mmp 145 143 100* )(4 mmp 80 56 60* )(5 mmp 246 416 356 )(6 mmp 92 146 252 )(7 mmp 93 78 100* )(8 mmp 65 54 60* )(9 op -34 -45 -67 )(10 mmp 385 291 423 )(11 mmp 393 300 365 )(12 mmp 99 86 100* )(13 mmp 60 53 60* )(14 op 45 -42 48 * Димензије су фиксне Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 69 Слика 4.18. Конвергенција функције циља У табели 4.4 приказани су дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и функција циља. Табела 4.4. Дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и функција циља 15% 12% 12% константне димензије ( )311C 10−×W 0.0148 0.0119 0.0108 ( )322C 10−×W 0.0392 0.03 0.03 ( )333C 10−×W 0.0517 0.0476 0.0311 ( )344C 10−×W 0.1137 0.0958 0.0875 ( )355C 10−×W 0.1977 0.1172 0.0976 ( )366C 10−×W 0.1884 0.1521 0.1209 ( )610−×eJ 5.1 3.3858 2.5806 Из табеле 4.4 може се видети да се са повећањем површине дела плоче коју покривају актуатори повећава управљивост сваког мода осциловања, као и то да Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 70 оптимизација само положаја, са унапред одређеним димензијама актуатор-сензор парова смањује управљивост сваког мода. Постављање актуатор-сензор парова такође, у случају када нема активног пригушења вибрација, утиче на сопствене фреквенције структуре, и у табели 4.5 приказане су сопствене фреквенције првих 6 модова осциловања плоче пре и после постављања актуатор-сензор парова. Табела 4.5. Сопствене фреквенције плоче пре и после постављања актуатор- сензор парова Мод Без А-С парова 15% 12% 12% константне димензије 1 8.628 8.505 8.538 8.494 2 14.54 15.198 15.266 15.191 3 54.069 53.454 53.849 53.94 4 62.908 65.079 65.411 65.18 5 81.181 81.203 80.852 80.814 6 114.663 114.655 114.944 115.068 4.7.2 Оријентација (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) Како су прва два актуатора оријантисана под углом од 0°, биће постављена на доњу страну јер, према слици 4.10, за оријентацију од 0° већа управљивост се постиже када је актуатор на доњој страни. Трећи актуатор је на горњој страни. Што се тиче четвртог и петог актуатора, уколико је оријентација између -30° и 30°, налазиће се на доњој страни, а у осталим случајевима на горњој. На слици 4.19 и у табели 4.6 приказане су димензије, положаји и оријентације актуатор – сензор парова добијене оптимизацијом. Како је оријентација четвртог актуатора 27° он се налази на доњој површини, а пети актуатор је на горњој површини јер му је оријентација 41°. Слика 4.20 приказује конвергенцију функције циља. Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 71 У табели 4.7 приказани су дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и функција циља, а у табели 4.8 сопствене фреквенције првих 6 модова осциловања плоче пре и после интеграције актуатор-сензор парова. Слика 4.19. Димензије и положаји актуатор-сензор и добијени оптимизацијом за плочу са конфигурацијом слојева (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) Табела 4.6. Положаји и димензије актуатор-сензор парова добијене оптимизацијом )(1 mmp )(2 mmp )(3 mmp )(4 mmp )(5 mmp )(6 mmp )(7 mmp 108 80 142 72 296 150 79 )(8 mmp )(9 op )(10 mmp )(11 mmp )(12 mmp )(13 mmp )(14 op 68 -27 142 368 75 56 41 Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 72 Слика 4.20. Конвергенција функције циља Табела 4.7. Дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и функција циља ( )311C 10−×W ( )322C 10−×W ( )333C 10−×W ( )344C 10−×W ( )355C 10−×W ( )366C 10−×W ( )610−×eJ 0.024 0.0508 0.08 0.121 0.1228 0.1744 5.955 Табела 4.8. Сопствене фреквенције плоче пре и после постављања актуатор- сензор парова Мод 1 2 3 4 5 6 Без А-С парова 10.369 15.747 64.949 70.531 72.474 113.226 Са А-С паровима 10.325 16.603 63.606 71.541 73.936 112.737 Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 73 4.7.3 Оријентација (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°) Прва три актуатора постављена су на горњој страни, а за четврти и пети, уколико је њихова оријентација негативна, налазиће се на доњој страни, а уколико је 0° или позитивна налазиће се на доњој страни. На слици 4.21 и у табели 4.9 приказане су димензије, положаји и оријентације актуатор – сензор парова добијене оптимизацијом. Како су оријентације четвртог и петог актуатора 0°, они се налазе на горњој страни плоче. Слика 4.22 приказује конвергенцију функције циља. У табели 4.10 приказани су дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и функција циља, а у табели 4.11 сопствене фреквенције првих 6 модова осциловања плоче пре и после интеграције актуатор-сензор парова. Слика 4.21. Димензије и положаји актуатор-сензор и добијени оптимизацијом за плочу са конфигурацијом слојева (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°) Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 74 Табела 4.9. Положаји и димензије актуатор-сензор парова добијене оптимизацијом )(1 mmp )(2 mmp )(3 mmp )(4 mmp )(5 mmp )(6 mmp )(7 mmp 88 80 128 56 207 83 130 )(8 mmp )(9 op )(10 mmp )(11 mmp )(12 mmp )(13 mmp )(14 op 64 0 371 375 124 63 0 Слика 4.22. Конвергенција функције циља Табела 4.10. Дијагонални чланови Грамијанове матрице управљивости и функција циља ( )311C 10−×W ( )322C 10−×W ( )333C 10−×W ( )344C 10−×W ( )355C 10−×W ( )366C 10−×W ( )610−×eJ 0.0198 0.0356 0.1438 0.0773 0.1323 0.2639 6.04 Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 75 Табела 4.11. Сопствене фреквенције плоче пре и после уградње актуатор-сензор парова Мод 1 2 3 4 5 6 Без А-С парова 7.012 25.814 41.186 69.696 84.667 125.914 Са А-С паровима 7.094 26.405 42.323 70.374 85.711 127.589 4.8 Закључак У овој глави дефинисани су критеријуми оптимизације величине, положаја и оријентације пиезоелектричних актуатора базираних на Грамијановим матрицама управљивости. Испитан је утицај оријентације актуаторског слоја на управљивост првих шест модова осциловања за правоуганоу укљештену плочу за три случаја конфигурације слојева: (90°/0°/90°/0°)S, (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) и (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°). Показало се да се максимална управљивост за одређени мод остварује када се влакна актуаторског слоја усмере у смеру деформације плоче која се јавља код одговарајућег мода. Код антисиметричних слагања слојева показало се да управљивост такође зависи и од тога да ли се актуаторски слој налази на горњој или доњој страни плоче. Разлог што се ово дешава је у томе да, услед антисиметричности, долази то тзв. савојно-истезног ефекта. Услед деформације савијања или увијања долази до истезања (или сабијања) плоче, тако да је апсолутна вредност деформација већа са једне стране плоче, што доводи до несиметричне управљивости. Већа управљивост постиже се када се актуаторски слој налази са оне стране плоче где влакна актуаторског слоја заклапају већи угао са влакнима суседног слоја плоче. У даљем раду, извршена је синтеза методе коначних елемената и оптимизације ројем честица и применом дефинисаних критеријума оптимизације, извршена је оптимизација величине, положаја и оријентације пет актуатор-сензор парова. Код плоче са оријентацијом (90°/0°/90°/0°)S испитан је утицај ограничења покривености површи плоча актуаторима, као и случај када су димензије актуатор-сензор парова непроменљиве током оптимизације. У случају непроменљивих димензија добијају Глава 4: Оптимизација величине, положаја и оријентација пиезоелектричних актуатор – сензор парова ______________________________________________________________________ 76 се мање управљивости за све модове осциловања. Како после уградње актуатор- сензор парова долази до промене сопствених фреквенција плоче, ова промена је табeларно приказана за сваку конфигурацију слагања слојева плоче. Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 77 Глава 5 Фази-логичко управљање 5.1 Увод У разним инжењерским и научним областима инжењери и истраживачи сусрећу се са величинама и параметрима које карактерише неизвесност, непрецизност и вишезначност. Самим тим, приликом математичког моделирања одређеног проблема са параметрима који су недовољно дефинисани, субјективно процењени, неопходно је користити математичке методе које на задовољавајући начин третирају неодређеност, неизвесност или субјективност [127]. Најпогоднији математички апарат за третирање неодређености, неизвесности и субјективности је теорија фази („Fuzzy“) скупова. Ову теорију је представио Лотфи Задех [128] и од тада се примењује у разним областима. У инжењерским областима, теорија фази скупова најчешће се користи за управљање и оптимизацију. 5.2 Дефинисање фази-логичког управљачког система Идеја фази-логичког управљања је у коришћењу лингвистичких наредби као основе за управљање. Употребом лингвистичких променљивих и „АКО- ОНДА“ правила, фази-логичко управљање се може синтетисати као било које конвенционално управљање. Синтеза фази-логичког управљачког система обухвата следеће кораке: Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 78 • фазификација • дефинисање фази правила и принципа закључивања • дефазификација 5.2.1 Фазификација Прва фаза у синтези фази-логичког управљачког система је одабир илазних и излазних величина. Често се као улазне величине користе грешка и прираштај грешке. У овом истраживању, улази су модално померање (η ), и први извод модалног померања по времену – модална брзина (η& ). Улазне величине у фази-логички управљачки систем су конкретни подаци прикупљени са сензора или естиматора стања. Ови подаци се преводе у фази променљиве кроз процес фазификације. Улази су дефинисани у фази простору као лингвистичке променљиве: NB (negative big – негативно велико), NS (negative small – негативно мало), ZE (zero - нула), PS (positive small – позитивно мало) and PB (positive big – позитивно велико). Домен фази улаза улазних величина је у опсегу [-1 1], тако да улази морају бити скалирани на начин да најмања вредност буде -1, а највећа вредност 1. Скалирање улаза и излаза се може извршити на следећи начин: ηdKE = , η&vKEC = (5.1) где E и EC представљају грешку и извод грешке по времену у фази скупу, а dK и vK представљају скалирајуће факторе помераја и брзине, респективно. Следећа фаза је дефинисање функција припадности. У овом раду, трапезоидне функције припадности употребљене су за “NB” и “PB” фази променљиве, а троугаоне функције припадности за “NS”, “ZE” и “PB” фази променљиве. Функције припадности су параметризоване параметрима који ће се добити оптимизацијом. Параметризоване функције припадности су приказане на слици 5.1. Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 79 Слика 5.1. Параметризоване функције припадности улаза 5.2.2 Дефинисање фази правила и принципа закључивања Следећи део код дефинисања фази-логичког управљачког система је дефинисање фази правила и принципа закључивања. Ова правила су обично базирана на одређеном искуству онога ко дизајнира управљачки систем и могу се представити помоћу “АКО-ОНДА” правила. Два највише коришћена принципа закључивања су Мамдани и Такаги-Сугено-Канг (ТСК) принцип закључивања [129]. Мамдани принцип закључивања Према Мамднијевом принципу закључивања, i-то правило закључивања се може записати на следећи начин: R,1,јеондајеијеако: NiCUBECAER iii i K= (5.2) где су iA , iB и iC лингвистичке вредности фази променљивих, а RN представља број фази правила. Према изразу (5.2) и узимајући у обзор број фази лингвистичких променљивих за сваку улазну величину, може се закључити да је број фази правила 25. Ова правила су приказана у табели 5.1. Функције припадности излаза су такође параметризоване на исти начин као улаз, и приказани су на слици 5.2. Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 80 Табела 5.1. Правила закључивања за фази-логички управљачки систем базиран на Мамданијевом принципу закључивања EC NB NS ZE PS PB NB PB PB PB PS PS NS PS PS PS ZE ZE ZE PS PS ZE NS NS PS ZE ZE NS NS NS E PB NS NS NB NB NB Слика 5.2. Параметризоване функције припадности излаза На пример, правило приказано другом врстом и другом колоном и Табели 5.1 чита се на следећи начин: „Ако E је „NS“ и ако EC је „NS“ онда U је „PS““. Мамдани правило закључивања је графички представљено на слици 5.3. Слика 5.3. Графички приказ Мамданијевог принципа закључивања Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 81 Резултат фази закључивања мора се трансформисати у нумеричку излазну вредности кроз процес који се зове дефазификација, да би се могао применити за управљање. Овај процес се може описати на најједноставнији начин: ( )Uu defuzz= (5.3) где u представља излаз фази-логичког управљања. Постоји много метода дефазификације, али је најраспрострањенији метод центра површи (или тежишта), где је излазна нумеричка величина положај тежишта површи која је настала унијом α -пресека функција припадности излазне величине после фази закључивања. Овај начин дефазификације је дат следећом једначином: ( ) ( )∫ ∫= dUU UdUU u µ µ (5.4) и представљен је на слици 5.4. Слика 5.4. Метод центра површина Како је излазна величина u у границама [-1 1], она се мора скалирати да би се добио напон којим се дејствује на актуатор: uK actAA =φ (5.5) где actK представља илазни скалирајући фактор, који је једнак максималном дозовљеном напону којим се може дејствовати на актуатор, а да не дође до деполаризације. ( )Uµ U u Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 82 Такаги-Сугено-Канг (ТСК) принцип закључивања Правило фази закључивања код овог принципа закључивања се може представити на следећи начин: ( )ECEfUBECAER iii ,онда је ијеако: = . (5.6) Обично ( )ECEf , представља полином улазних величина. На пример, прво и друго фази правило може се написати на следећи начин: 111111 1 ондајеијеако: rECqEpUBECAER ++= 222222 2 ондајеијеако: rECqEpUBECAER ++= (5.7) Ако се ip и iq поставе да буду 0, онда се овај принцип зове ТСК нултог реда, и онда се своди на одређивање параметара ir . Дефазификација за овај принцип закључивања може се представити на следећи начин: ∑ ∑ = == R R N i i N i iiU u 1 1 λ λ (5.8) где је: ( ) ( )( ) BAkBjAi NkNjECE KK ,1,,1,,min === µµλ (5.9) Такаги-Сугено-Канг принцип закључивања је графички представљено на слици 5.5. Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 83 Слика 5.5. Графички приказ ТСК принципа закључивања У овој дисертацији ће се узети у обзир ТСК принцип закључивања нултог реда. У циљу очувања симетричности излаза, број параметара ir ће се редуковати са 25 на 13, и овај принцип закључивања може се представити табеларно у табели 5.2 Табела 5.2. Правила закључивања за фази-логички управљачки систем базиран на ТСК принципу закључивања нултог реда EC NB NS ZE PS PB NB 1r 2r 3r 4r 5r NS 6r 7r 8r 9r 10r ZE 11r 12r 13r 12r− 11r− PS 10r− 9r− 8r− 7r− 6r− E PB 5r− 4r− 3r− 2r− 1r− Напон управљања може се израчунати према једначини (5.5). Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 84 5.3 Самоподешавајући фази-логичко управљачки систем Као што је речено у претходном поглављу, домени улазних величина су у опсегу [-1 1]. Због тога се скалирајући фактори dK и vK морају одабрати на такав начин да трансформишу величине са сензора, тако да оне на улазу у фази- логички управљачки систем буду у опсегу [-1 1]. Према томе, скалирајући фактори модалног помераја и модалне брзине могу се израчунати на следећи начин: max d 1 η=K , maxv 1 η&=K , (5.10) где maxη и maxη& представљају амплитуде модалног помераја и модалне брзине. Ампитуде су променљиве током времена, и такође, услед спољашњих поремећаја може доћи до непредвидивих пораста. Због тога, одређивање ових фактора је компликовано, а и кад се одреде, одржавање на константној вредности може смањити перформансе управљачког система [130]. У раду [131] представљено је самоподешавање ових параметара током времена употребом опсервера максимума за „PID“ тип фази-логичког управљачког система. Опсервер максимума, представљен од стране поменутих аутора, прати излазни сигнал и мери локални максимум. Овај приступ адаптиран је за проблем активног пригушења вибрација, тако да је опсервер максимума подешен да, уместо излазну величину, прати улазне величине фази-логичког урављачког система. Поред тога, опсервер максумума такође прати повећање амплитуде. Представљени опсервер максимума прати улаз и рачуна прираштај улазне величине. Узимајући у обзир k- то време одабира, тренутни и претходни прираштај модалног помераја су: ( ) ( ) ( )1−−=∆ kkk ηηη , ( ) ( ) ( )211 −−−=−∆ kkk ηηη (5.11) и скалирајући фактор помераја рачуна се у регулатору параметара на следећи начин: Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 85 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − −>>−∆⋅∆ ≤−∆⋅∆− = аслучајевимдругиму ,1 1 1и01,1 01, 1 1 d d d kK kK kkk k kk k kK ηηηη ηηη , (5.12) За скалирање фактора брзине користи се иста процедура као и за фактор померања. На слици 5.6 илустративно је приказано подешавање фактора скалирања. Слика 5.6. Подешавање скалирајућег фактора помераја помоћу опсервера максимума Према слици 5.6(а), када је ( ) 01 >−∆ kη и ( ) 0<∆ kη следи да је ( ) ( ) 01 <⋅− kk ηη ), па према једначини (5.12) скалирајући фактор се подешава према тој једначини. Са друге стране, када се узме у обзир (k+1)-то време одабира, очигледно је да је ( ) 01 <+∆ kη , па одатле следи ( ) ( ) 01 >⋅− kk ηη , тако да, према једачини (5.12), скалирајући фактор помераја не мења своју тренутну вредност. Током експолатације, структура може бити изложена различитим поремећајима, што може довести до изненадног пораста амчлитуде. У том случају, скалирајући фактори морају се подесити. Ово је дато у другом реду једначине (5.12) и илустровано је на слици 5.6(б). Према слици 5.6(б), може се видети да је ( ) 01 >−∆ kη и ( ) 0>∆ kη , па је њихов производ позитиван, али апсолутна вредност модалног помераја у тренутном k-том времену одабира је већа него Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 86 апсолутна вредност претходног максимума ( ( )2−kη ). У том случају, скалирајући фактор помераја мора се подесити да би улаз у фази-логички управљачки систем био опсегу [-1 1]. У случају пригушења једног мода осциловања помоћу једног актуатор- сензор пара (једно-улазно-једно-излазна конфигурација), блок дијаграм самоподешавајућег фази-логичког управљачког система је приказан на слици 5.7. Слика 5.7. Блок дијаграм самоподешавајућег фази-логичког управљачког система – једно-улазно-једно-излазна конфигурација У општем случају, код вибрација структуре јављају се спрегнути модови осциловања. Ти модови су најнижи модови (1., 2., 3.,...), тј., који одговарају најнижим фреквенцијама. Због тога, систем је декомпонован у мање паралелне подсистеме који се називају модални управљачки подсистеми. Сигнал са сензора долази у естиматор стања где се одређују величине стања (модално померање и модална брзина), одакле се сигнал сваког мода усмерава ка одређеном модалном управљачком подсистему: први модални управљачки подсистем узима 1η и 1η& као улазне величине, други модални управљачки подиситем узима 2η и 2η& као улазне величине, итд. Заправо, сваки овај подсистем може се представити блок дијаграмом, као на слици 5.7, тј, има свој опсервер максимума, подешавач параметара и функције припадности који су независни од других подсистема. Такође, сваки подсистем има свој локални излаз, тако да се управљачки сигнал може представити на следећи начин: dK vK η η& Е ЕC AAφ Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 87 { } [ ]{ }uwu = (5.13) где [ ]w представља матрицу излазних тежинских фактора, таквих да важи: ACT 1 ,,1,1 Njw CN i ij K==∑ = (5.14) где ACTN представља број актуатора. Управљачки напони на актуаторима добијају се на следећи начин: ACTactAA ,,1, NiuK iii K==φ (5.15) где iKact представља максимални напон којим се може оптеретити i-ти актуатор. Оваква конфигурација назива се више-улазно-више-излазна конфигурација. Блок дијаграм оваквог система приказан је на слици 5.8. Слика 5.8. Блок дијаграм самоподешавајућег фази-логичког управљачког система; више-улазно-више-излазна конфигурација Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 88 5.4 Критеријуми оптимизације После дефинисања фази правила, принципа закључивања и облика функција припадности улаза и излаза, потребно је у потпуности одредити ове функције припадности. Као што је дефинисано у претходном поглављу, функције припадности су параметризоване, па се њихово одређивање своди на одређивање тих параметара. У овом истраживању, ови параметри биће добијени оптимизацијом, а циљ овог поглавља је да дефинише критеријуме оптимизације у циљу добијања оптималних комбинација параметара са аспекта пригушења вибрација. Код проблема оптимизације, слободне и принудне вибрације посматране су посебно, тј. због специфичности природе ових вибрација, дефинисане су посебне функције циља за сваки случај. Што се тиче слободних вибрација, модално померање произвољног мода приказано је на слици 5.9. Такође, на тој слици је су означене прва ( 1maxη ) и друга ( 2maxη ) амплитуда. Слика 5.9. Модално померање произвољног мода осциловања код слободних вибрација У циљу повећања перформанси разматраног управљачког система за активно пригушење слободних вибрација, функција циља може се написати на следећи начин: η t 1maxη 2maxη Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 89 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ == 2max 1max 1maximize η η JOBJ . (5.16) Код случаја са више модова осциловања, оптимизација се врши за сваки мод посебно, тј. узима се у обзир само тај мод и на тај начин се добијају параметри за тај подсистем (модални контролер). Код принудних вибрација, претходно дефинисану функцију циља није погодно користити зато што због дејства принудне силе, није могуће у потпуности пригушити вибрације. На слици 5.10 приказана су модална померања под дејством принудне силе, у првом случају када нема управљања, а у другом случају постоји активно пригушење вибрација. Да би се повећала ефикасност активног пригушења вибрација, потребно је што више смањити површину коју график на слици 5.10 образује са осом t. Да би се то постигло, може се дефинисати функција циља на следећи начин: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ == η 1maximize 2JOBJ , (5.17) где η представља 2L норму вектора модалног померања. Слика 5.10. Модално померање произвољног мода осциловања код принудних вибрација η t Са управљањем Без управљања Глава 5: Фази-логичко управљање ______________________________________________________________________ 90 У случају фази-логичког управљачког система базираног на Мамданијевом принципу закључивања, проблем оптимизације се своди на налажење параметара 1α , 2α , 1β , 2β , 1γ и 2γ . Ограничења код овог типа закључивања су: 121212 ,, 2,110,10,10 γγββαα γβα <<< =≤<≤<≤< iiii . (5.18) За разлику од Мамданијевог принципа закључивања, где је потребно наћи само 6 параметара, код ТСК нултог реда принципа закључивања потребно је наћи 17 параметара. У циљу смањења броја параметара, урађено је следеће: 2/12 αα = и 2/12 ββ = . На овај начин број параметара са 17 је смањен на 15. Код овог типа закључивања, ограничења су: 13,1,10 10,10 11 K=≤≤ ≤<≤< iri βα . (5.19) Уколико се у процес оптимизације укључе ограничења, тада функције циља постају: ⎩⎨ ⎧= нарушенаограничењасуако0, нарушенанисуограничењаако,1 1 J J . (5.20) за Мамдани принцип закључивања, и ⎩⎨ ⎧= нарушенаограничењасуако0, нарушенанисуограничењаако,2 2 J J . (5.21) за ТСК нултог реда принцип закључивања. Овај проблем оптимизацје решава се помоћу оптимизације ројем честица дефинисане у поглављу 4.6, где наведени параметри функција припадности представљају коодинате честица. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 91 Глава 6 Активно пригушење вибрација композитне конзоле 6.1 Увод У овој глави биће истражене перформансе оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система, приказаног у глави 5, за активно пригушење вибрација танкозидне композитне конзоле. Разматрана конзола је симетрична, са осам специјално-ортотропним слојевима распоређеном под следећом оријентацијом: (90°/0°/90°/0°)S. Дебљина сваког слоја је 0.25mm, а материјал је графит-епокси. Пиезоелектрични сензори и актуатори су направљени од PZT5A, влакнастог композита, дебљине 0.2mm, а разматра се само случај када су актуатор и сензор једнаких димензија. Дужина актуатор-сензор пара је 100mm, и постаљени су у корену конзоле. Дужина конзоле је 0.5m, a ширина је 0.25m. Разматрана конзола приказана је на слици 6.1. Слика 6.1. Конзола разматрана у нумеричкој студији Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 92 Материјалне особине композита и актуатора дате су у табелама 3.1 и 4.2. Што се тиче вибрација, биће анализиране слободне вибрације, које су изазване почетним статичким отклоном или ударним импулсом, принудне вибрације узроковане периодичним оптерећењем и принудне вибрације узроковане периодичним оптерећењем са неочекиваним ударним импулсом. У овом случају, биће разматрана само једно-улазно-једно-излазна („SISO“) конфигурација, тј. један актуатор-сензор пар и претпоставиће се да се услед спољашњих утицаја јавља само први мод осциловања. Сопствена фреквенција првог мода осциловања наведене конзоле је 62.703rad/s, односно 9.98Hz. Оптимизација управљачких система ће бити извршена према критеријумима дефинисаним у глави 5. У циљу илустровања супериорности предложеног управљачког система, резултати добијени помоћу оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система биће упоређени са оптимизованим фази-логичким управљачким системом са константим скалирајућим факторима и линеарно- квадратним регулатором. Такође, извршиће се поређење Мамданијевог и ТСК принципа закључивања. Што се тиче оптимизације ројем честица, когнитивни и социјални фактори имају вредности 5.121 == cc . Тежински фактор инерције линеарно се мења током итерације у границама од 1 до 0.5. Број иницијалне популације честица је 300, а број итерација је 200. За сваки проблем урађено је пет оптимизација са различитим иницијалним популацијама, а за даље разматрање узети су само резулати са најбољим вредностима функција циља. 6.2 Активно пригушење слободних вибрација Активно пригушење слободних вибрација композитне конзоле ће бити анализирано за вибрације које су настале услед следећих почетних услова: 1. почетни статички угиб слободног краја конзоле од 20 mm, 2. ударни импулс од 10N трајању од 0.1ms, 3. ударни импулс од 50N трајању од 0.1ms, 4. случај када је слободном крају конзоле саопштена почетна брзина од 0.5m/s. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 93 У случају првог почетног услова, конзола је оптерећена континуалним оптерећењем, управно на осу, на свом слободном крају тако да је статички угиб слободног краја једнак 20mm. Код другог и трећег почетног услова, на слободан крај конзоле дејствује ударни импулс од 10N; односно 50N, у трајању од 0.1ms. Након престанка дејства импулса, почиње активно пригушење вибрација. Код четвртог почетног услова, слободном крају конзоле саопштена је почетна брзина 0.5m/s, након чијег дејства почиње активно пригушење вибрација. Разлог разматрања различитих почетних услова је исптивање како ти почетни услови утичу на коначне резултате оптимизације. Резултати активног пригушења вибрација уз помоћ оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система биће упоређени са резултатима добијеним уз помоћ оптимизованог фази-логичког управљачког система са константним факторима. Такође, биће извршено поређење Мамданијевог и ТСК принципа закључивања и линеарно-квадратног регулатора. Како се скалирајући фактори подешавају тек након почетка активног пригушења вибрација, односно након наиласка на прву амплитуду, потребно је усвојити неке почетне вредности ових фактора. У овом случају, за почетне вредности скалирајућих фактора узете су следеће величине: 10000d =K , 10v =K . Након извршене оптимизације самоподешавајучег фази-логичког управљачког система базираног на Мамданијевом принципу закључивања за сва четири почетна услова, резултати оптимизације (оптимизовани параметри, вредности функције циља и максимални напон на актуатору) приказани су у табели 6.1. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 94 Табела 6.1. Оптимизовани параметри iα , iβ , iγ , функција циља и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања Почетни услов ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 α α ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 β β ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 γ γ Функција циља Максимални напон на актуатору (V) 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.0707 181 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 3.052 188.73 3 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.156 188.73 4 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.187 181.163 Уколико се упореде резултати добијени оптимизацијом, приказани у табели 6.1, може се закључити да су за све разматране различите почетне услове, резултати оптимизације исти. Другим речима, резултати оптимизације не зависе од избора почетних услова. То значи да је за оптимизацију функција припадности довољно узети у обзир само један произвољно изабрани почетни услов, а као резултат ће се добити оптимизоване функције припадности које су оптималне и за било које друге почетне услове. На слици 6.2 приказане су површи фази правила оптимизованих функција припадности, представљених у табели 6.1. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 95 Слика 6.2. Површи фази-правила за Мамдани принцип закључивања Слика 6.3 представља померање слободног краја конзоле, где је упоређен случај са активним пригушењем применом оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљања и случаја где нема активног пригушења вибрација. На слици 6.4 приказана је промена скалирајућег фактора помераја и брзине током активног пригушења вибрација у случају првог почетног услова. (а) Слика 6.3. (наставља се...) Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 96 (б) (в) Слика 6.3. (наставља се...) Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 97 (г) Слика 6.3. Померање слободног краја конзоле; поређење оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљања базираног на Мамданијевом принципу закључивања и случаја када нема активног пригушења: (а) 1. почетни услов, (б) 2. почетни услов, (в) 3. почетни услов, (г) 4. почетни услов (а) Слика 6.4. (наставља се...) Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 98 (б) Слика 6.4. Промена скалирајућих фактора: (а) помераја, (б) брзине Како су почетне вредности скалирајућих фактора, коришћене за оптимизацију функција припадности, 10000d =K , 10v =K , следећи задатак је испитивање како различите вредности ових почетних фактора утичу на перформансе представљеног управљачког система. Другим речима, функције припадности оптимизоване за једне вредности почетних скалирајућих фактора употребљене су за активно пригушење вибрација, при чему се користе друге почетне вредности скалирајућих фактора. Према томе, испитан је утицај за следеће факторе: 1000d =K , 10v =K ; 10000d =K , 100v =K и 0d =K , 0v =K , а при томе се коришћене функције припадности чији су параметри приказани у табели 6.1. Померање слободног краја конзоле за те различите почетне вредности су приказане на слици 6.5. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 99 (а) (б) Слика 6.5. (наставља се...) Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 100 (в) (г) Слика 6.5. Померање слободног краја конзоле за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања; поређење утицаја различитих почетних вредности скалирајућих фактора: (а) 1. почетни услов, (б) 2. почетни услов, (в) 3. почетни услов, (г) 4. почетни услов Посматрајући слику 6.5, може се закључити да промена почетних вредности скалирајућих фактора има веома мали утицај на перформансе управљачког система. То значи, да иако су у процесу оптимизације коришћене једне почетне вредности скалирајућих фактора, током даље експлоатације могу се користити друге вредности, а перформансе се неће значајно променити. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 101 Наредни задатак је упоређивање оптимизованог самоподешавајућег фази- логичког управљачког система са оптимизованим фази-логичким управљачким системом са константним факторима базираних на Мамданијевом принципу закључивања. Разматрана су три случаја са различитим константним вредностима скалирајућих фактора: 10000d =K , 10v =K ; 1000d =K , 10v =K и 10000d =K , 100v =K , и за сваки случај и за све почетне услове извршена је оптимизација. Резултати оптимизације приказани су у табели 6.2. Слика 6.6 приказије поређење оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система са оптимизованим фази-логичким управљачким системом са константним скалирајућим факторима. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 102 Табела 6.2. Оптимизовани параметри iα , iβ , iγ , функција циља и максимнални напон на актуатору за фази-логичко управљање са константним скалирајућим факторима базирано на Мамданијевом принципу закључивања Почетни услов dK vK ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 α α ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 β β ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 γ γ Функција циља Максимални напон на актуатору (V) 10000 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 447.0 85.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 078.0 909.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 081.0 092.0 1.0392 110 1000 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 929.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 116.0 737.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 961.0 968.0 1.052 198 1 10000 100 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 085.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 346.0 737.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 078.0 079.0 1.0401 108 10000 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 550.0 653.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 051.0 889.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 876.0 943.0 1.552 191.54 1000 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 605.0 0610 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 050.0 119.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 304.0 1 3.307 91.29 2 10000 100 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 998.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 292.0 897.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 419.0 996.0 2.135 162.57 10000 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 251.0 265.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 098.0 517.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 065.0 069.0 1.085 108 1000 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 863.0 928.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 058.0 682.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 978.0 991.0 1.156 131.5 3 10000 100 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 153.0 557.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 461.0 842.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 050.0 053.0 1.088 106 10000 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 160.0 764.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 111.0 734.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 050.0 058.0 1.104 106 1000 10 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 998.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 117.0 897.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 814.0 998.0 1.208 120.753 4 10000 100 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 185.0 280.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 948.0 992.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 077.0 082.0 1.104 108.8 Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 103 (а) (б) Слика 6.6. (наставља се...) Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 104 (в) (г) Слика 6.6. Померање слободног краја конзоле; поређење оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система са оптимизованим фази- логичким управљачким системом са константним скалирајућим факторима: (а) 1. почетни услов, (б) 2. почетни услов, (в) 3. почетни услов, (г) 4. почетни услов Са слике 6.6 може се видети да је самоподешавајуће фази-логичко управљање супериорније у погледу активног пригушења вибрација у односу на фази-логичко управљање са константим скалирајућим факторима. Код неких случајева, амплитуда се смањи до неке вредности, али ју је даље немогуће пригушити (трећи и четврти почетни услов, скалирајући фактори 10000d =K , 10v =K и 10000d =K , 100v =K ). Овај недостатак конвенционалних фази- Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 105 логичких управљачких система приказан је у раду [119]. Ако се упореде резултати у табелама 6.1 и 6.2, може се видети да је код појединих случајева оптимизованог фази-логичког управљачког система са константим скалирајућим факторима функција циља већа него код самоподешавајућег. Али, ипак, самоподешавајући је ефикаснији у погледу активног пригушења вибрација од онога са константним факторима управо због подешавања скалирајућих фактора у реалном времену. Што се тиче ТСК принципа закључивања нултог реда, добијени резултати оптимизације (параметри функција припадности, функција циља и максимални напон на актуатору) за самоподешавајући управљачки систем приказани су у табели 6.3. У табелама 6.4 – 6.7 приказана су правила закључивања добијена оптимизацијом за сваки почетни услов. За почетне вредности скалирајућих фактора узете су исте вредности као за Мамдани закључивање: 10000d =K , 10v =K . Табела 6.3. Оптимизовани параметри 1α , 1β , функција циља и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда Почетни услов 1 α 1β Функција циља Максимални напон на актуатору (V) 1 1 0.16 1.135 199 2 1 0.16 ∞ 199 3 1 0.16 1.316 200 4 1 0.16 1.421 200 Табела 6.4.Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда за први почетни услов EC NB NS ZE PS PB NB 1 1 0.992 0.259 0.183 NS 0.979 0.221 0.22 -0.247 -0.519 ZE 0.953 0.282 0 -0.282 -0.953 PS 0.519 0.247 -0.22 -0.221 -0.979 E PB -0.183 -0.259 -0.992 -1 -1 Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 106 Табела 6.5.Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда за други почетни услов EC NB NS ZE PS PB NB 1 1 0.992 0.259 0.183 NS 0.979 0.221 0.22 -0.247 -0.519 ZE 0.953 0.282 0 -0.282 -0.953 PS 0.519 0.247 -0.22 -0.221 -0.979 E PB -0.183 -0.259 -0.992 -1 -1 Табела 6.6.Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда за трећи почетни услов EC NB NS ZE PS PB NB 1 1 0.992 0.259 0.183 NS 0.979 0.221 0.22 -0.247 -0.519 ZE 0.953 0.282 0 -0.282 -0.953 PS 0.519 0.247 -0.22 -0.221 -0.979 E PB -0.183 -0.259 -0.992 -1 -1 Табела 6.7. Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда за четврти почетни услов EC NB NS ZE PS PB NB 1 1 0.992 0.259 0.183 NS 0.979 0.221 0.22 -0.247 -0.519 ZE 0.953 0.282 0 -0.282 -0.953 PS 0.519 0.247 -0.22 -0.221 -0.979 E PB -0.183 -0.259 -0.992 -1 -1 Ако се упореде резултати добијени у табелама 6.3 – 6.7 може се видети да су, као и код Мамданијевог принципа закључивања, за све разматране различите почетне услове, резултати оптимизације исти. На слици 6.7 приказане су површи фази правила оптимизованих функција припадности за самоподешавајући фази- логички управљачки систем базиран на ТСК принципу закључивања нултог реда. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 107 Слика 6.7. Површи фази-правила за ТСК принцип закључивања нултог реда Што се тиче линерно-квадратног регулатора, тежинске матрице [Q] и [R], као и максимални напон који се јавља на актуатору, за сваки почетни услов, приказани су у табели 6.8. Ове матрице су биране методом покушаја, тако да максимални напон на актуатоу не прелази 200 V. Табела 6.8. Тежинске матрице [Q] и [R] и максимални напон на актуатору код линеарно-квадратног регулатора Почетни услов [Q] [R] Максимални напон на актуатору (V) 1 107[I]2x2 3 185.61 2 109[I]2x2 3 200 3 107[I]2x2 1 169.33 4 108[I]2x2 5 198.128 Поређење перформанси самоподешавајућег фази-логичког управљачког система базираног на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања нултог реда и линеарно-квадратног регулатора приказано је на слици 6.8, где је приказано померање слободног краја конзоле за сваки почетни услов. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 108 (а) (б) Слика 6.8. (наставља се...) Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 109 (в) (г) Слика 6.8. Померање слободног краја конзоле; поређење самоподешавајућег фази-логичког управљачког система базираног на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања нултог реда и линеарно-квадратног регулатора: (а) 1. почетни услов, (б) 2. почетни услов, (в) 3. почетни услов, (г) 4. почетни услов Са слике 6.8 може се закључити да је оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда супериорније у односу на остава два остала два управљачка система. После њега следи оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања, а линеарно-квадратни регулатор показује Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 110 најлошије перформансе. Са друге стране, код ТСК принципа закључивања јавља се највећи максимални напон. Слика 6.9 приказује промену скалирајућег фактора помераја и брзине током активног пригушења вибрација у случају првог почетног услова за ТСК принцип закључивања. На слици 6.10 приказани су напони који се јављају на актуатору током активног пригушења вибрација. (а) (б) Слика 6.9. Промена скалирајућих фактора за ТСК принцип закључивања нултог реда у случају првог почетног услова: (а) помераја, (б) брзине Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 111 (а) (б) Слика 6.10. (наставља се...) Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 112 (в) (г) Слика 6.10. Напон на актуатору; поређење самоподешавајућег фази-логичког управљачког система базираног на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања нултог реда и линеарно-квадратног регулатора: (а) 1. почетни услов, (б) 2. почетни услов, (в) 3. почетни услов, (г) 4. почетни услов Са слике 6.10 може се уочити да је облик напона код линеарно-квадратног регулатора у облику синусоиде што није случај код самоподешавајућег фази- логичког управљања, а разлог томе је нелинеарни карактер фази-логичких управљачких система. Код линеарно-квадратног регулатора амплитуда напона се смањује, а код фази-управљачких система амплитуда је константна све док не дође до тоталног пригушења вибрација због подешавања скалирајућих фактора. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 113 6.3 Активно пригушење принудних вибрација Активно пригушење принудних вибрација биће анализирано за следеће случајеве спољашњег оптерећења: 1. кружна фреквенција 20rad/s 2. резонантна фреквенција првог мода осциловања 3. периодично оптерећње са изненадним ударима Спољашње периодично оптерећење делује на слободни крај конзоле. Као и за слободне вибрације, и код принудних вибрација резултати ће бити упоређени са резултатима добијеним уз помоћ оптимизованог фази-логичког управљачког система са константним скалирајућим факторима. Такође, биће извршено поређење Мамданијевог и ТСК принципа закључивања нултог реда и линеарно- квадратног регулатора. 6.3.1 Периодично оптерећење на слободном крају конзоле са фреквенцијом 20rad/s У овом случају, конзола је оптерећена периодичним оптерећењем 0.04sin(20t) [N] које делује на њен слободни крај. За иницијалне вредности скалирајућих фактора узете су следеће величине: 10000d =K , 10v =K . Оптимизација је спроведена према критеријумима који су представљени у глави 5. За Мамданијев принцип закључивања, на основу неколико примера, нађено је да се најбољи резултати постижу када су троугаоне функције припадности улаза и излаза симетричне, тј. ,2/,2/,2/ 121212 γγββαα === . (6.1) тако да ће се оптимизацијом налазити само параметри 1α , 1β , 1γ . У табели 6.9 приказани су оптимизовани параметри 1α , 1β , 1γ , функција циља (L2 норма) и максимални напон који се јавља на актуатору за самоподешавајуће фази-логички управљачки систем базиран на Мамданијевом принципу закључивања. L2 норма Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 114 се рачуна за првих 1s активног пригушења вибрација. Слика 6.11 представља површи фази правила оптимизованих функција припадности, представљених у табели 6.9. Табела 6.9. Оптимизовани параметри 1α , 1β , 1γ , L2 норма и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање базираног на Мамданијевом принципу закључивања за периодично оптерећење 0.04sin(20t) [N] 1α 1β 1γ L2 норма Максимални напон на актуатору (V) 053.0 977.0 1 1.207·10-4 168 Слика 6.11. Површи фази-правила за Мамдани принцип закључивања Слика 6.12(а) представља померање слободног краја конзоле за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања. На слици 6.12(б) извршено је поређење померања слободног краја конзоле за случајеве када има и када нема активног управљања. На слици 6.13 приказана је промена скалирајућег фактора помераја и брзине током активног пригушења вибрација у случају првог почетног услова. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 115 (а) (б) Слика 6.12. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N]: (а) за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања, (б) поређење са случајем када нема активног пригушења вибрација Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 116 (а) (б) Слика 6.13. Промена скалирајућих фактора: (а) помераја, (б) брзине Следеће што је урађено је испитивање како различите почетне вредности скалирајућих фактора утичу на перформансе представљеног управљачког система. Испитан је утицај за следеће почетне вредности скалирајућих фактора: 1000d =K , 10v =K ; 10000d =K , 100v =K и 0d =K , 0v =K , а при томе су коришћене функције припадности чији су параметри приказани у табели 6.9. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 117 Померања слободног краја конзоле за те различите почетне вредности приказана су на слици 6.14. Слика 6.14. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N] за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања: поређење утицаја различитих почетних вредности скалирајућих фактора Са слике 6.14 може се закључити да различите почетне вредности скалирајућих фактора имају утицај на активно пригушење вибрација у првих 0.2s. После тога, ови фактори се подесе и перформансе после не зависе од почетних вредности фактора. Наредни задатак је упоређивање оптимизованог самоподешавајућег фази- логичког управљачког система са оптимизованим фази-логичким управљачким системом са константним факторима базираних на Мамданијевом принципу закључивања. Разматрана су три случаја са различитим вредностима скалирајућих фактора: 10000d =K , 10v =K ; 1000d =K , 10v =K и 10000d =K , 100v =K Резултати оптимизације приказани су у табели 6.10. Поређење оптимизиваног самоподешавајућег и оптимизованих фази логичких управљачких система са константим факторима приказано је на слици 6.15, где је илустровано померање слободног краја конзоле за сваки случај. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 118 Табела 6.10. Оптимизовани параметри 1α , 1β , 1γ , L2 норма и максимнални напон на актуатору за фази-логичко управљање са константним факторима базирано на Мамданијевом принципу закључивања за периодично оптерећење на слободном крају конзоле 0.04sin(20t) [N] Почетна вредност dK Почетна вредност vK 1α 1β 1γ L2 норма Максимални напон на актуатору (V) 10000 10 050.0 255.0 989.0 5.2065·10-4 167.593 1000 10 050.0 299.0 1 0.003789 135.06 10000 100 050.0 847.0 986.0 5.1944·10-4 167.44 Слика 6.15. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N]; поређење самоподешавајућег фази-логичког управљања са фази-логичким управљањем са константним факторима базираних на Мамданијевом принципу закључивања Са слике 6.15 може се закључити да је, као и у случају слободних вибрација, самоподешавајуће фази-логичко управљање супериорније у погледу активног пригушења вибрација у односу на фази-логичко управљање са константим скалирајућим факторима. Што се тиче ТСК принципа закључивања нултог реда, добијени резултати оптимизације (параметри функција припадности, L2 норма и максимални напон на актуатору) за самоподешавајући управљачки систем су приказани у табели 6.11. У Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 119 табели 6.12 приказана су правила закључивања добијена оптимизацијом. За почетне вредности скалирајућих фактора узете су исте вредности као за Мамдани закључивање: 10000d =K , 10v =K . Слика 6.16 представља површи фази правила за ТСК принцип закључивања нултог реда, за оптимизоване параметре приказане у табелама 6.11 и 6.12. Табела 6.11. Оптимизовани параметри 1α , 1β , L2 норма и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање у случају ТСК принципа закључивања за периодично оптерећење 0.04sin(20t) [N] 1α 1β L2 норма Максимални напон на актуатору (V) 0.0528 0.0522 7.843·10-5 200 Табела 6.12.Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања за периодично оптерећење 0.04sin(20t) [N] EC NB NS ZE PS PB NB 1 0.933 0.908 0.702 0.574 NS 0.576 0.512 0.326 -0.092 -0.121 ZE 0.555 0.308 0 -0.308 -0.555 PS 0.121 0.092 -0.326 -0.512 -0.576 E PB -0.574 -0.702 -0.908 -0.933 -1 Слика 6.16. Површи фази-правила за ТСК принцип заљкључивања нултог реда Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 120 Поређење перформанси самоподешавајућег фази-логичког управљачког система за Мамдани и ТСК принцип закључивања приказано је на слици 6.17(а), где је приказано померање слободног краја конзоле. Такође, методом покушаја нађене су вредности матрица [Q] и [R] за линеарно-квадратни регулатор. Вредност ових матрица је: [Q]= 1011[I]2x2, [R]=0.5, а максимални напон који се јавља на актуатору је 181.2V. Поређење перформанси између линеарно- квадратног регулатора и самоподешавајућег фази-логичког управљања базираног на Мамданијевом принципу закључивања приказано је на слици 6.17(б). Напон на актуатору који се јавља током активног пригушења вибрација за сва три случаја приказан је на слици 6.18. (а) Слика 6.17. (наставља се...) Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 121 (б) Слика 6.17. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N]: (а) поређење оптимизованих самоподешавајућих фази-логичких управљачких система базираних на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања нултог реда, (б) поређење оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система базираног на Мамданијевом принципу закључивања и линеарно-квадратног регулатора Слика 6.18. Напон на актуатору у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N]: поређење оптимизованох самоподешавајућих фази-логичких управљачких система базираних на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања и линеарно-квадратног регулатора Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 122 Са слике 6.17(а) може се видети да оптимизовано самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда пружа боље перформансе у погледу активног пригушења вибрација у односу на Мамдани принцип закључивања. Ово се може закључити поређењем L2 норме за сваки принцип закључивања, приказане у табелама 6.9 и 6.11. Такође, из ових табела може се видети да је максимални напон код ТСК принципа закључивања нултог реда већи него код Мамданијевог принципа. Са слике 6.17(б) може се закључити да је оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања супериорније у односу на линеарно-квадратни регулатор. Следећа оптимизација је урађена за оптерећења 0.035sin(20t) и 0.045sin(20t). Циљ ове оптимизације је да се закључи како промена у амплитуди, при истој фреквенцији спољашњег оптерећења, утиче на резултате оптимизације. Као и у претходним случајевима, за почетне вредности скалирајућих фактора узете су следеће величине: 10000d =K , 10v =K . У табели 6.13 приказани су оптимизовани параметри функција припадности, L2 норма и максимални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања. За ТСК принцип закључивања нултог реда, оптимизовани параметри функција припадности, L2 норма и максимални напон на актуатору приказани су у табели 6.14. У табелама 6.15 и 6.16 приказана су правила закључивања добијена оптимизацијом за наведена оптерећења. Табела 6.13. Оптимизовани параметри 1α , 1β , 1γ , L2 норма и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање базораног на Мамданијевом принципу закључивања за периодична оптерећења 0.035sin(20t) [N] и 0.045sin(20t) [N] Оптерећење 1α 1β 1γ L2 норма Максимални напон на актуатору (V) 0.035sin(20t) 053.0 977.0 1 4.013·10-5 168 0.045sin(20t) 053.0 977.0 1 0.00183 168 Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 123 Табела 6.14. Оптимизовани параметри 1α , 1β , L2 норма и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање у случају ТСК принципа закључивања за периодично оптерећење 0.035sin(20t) [N] и 0.045sin(20t) [N] Оптерећење 1α 1β L2 норма Максимални напон на актуатору (V) 0.035sin(20t) 0.0528 0.0522 1.623·10-5 200 0.045sin(20t) 0.0528 0.0522 1.177·10-4 200 Табела 6.15.Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљањебазирано на ТСК принципу закључивања за периодично оптерећење 0.035sin(20t) [N] EC NB NS ZE PS PB NB 1 0.933 0.908 0.702 0.574 NS 0.576 0.512 0.326 -0.092 -0.121 ZE 0.555 0.308 0 -0.308 -0.555 PS 0.121 0.092 -0.326 -0.512 -0.576 E PB -0.574 -0.702 -0.908 -0.933 -1 Табела 6.16.Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљањебазирано на ТСК принципу закључивања за периодично оптерећење 0.045sin(20t) [N] EC NB NS ZE PS PB NB 1 0.933 0.908 0.702 0.574 NS 0.576 0.512 0.326 -0.092 -0.121 ZE 0.555 0.308 0 -0.308 -0.555 PS 0.121 0.092 -0.326 -0.512 -0.576 E PB -0.574 -0.702 -0.908 -0.933 -1 Упоређивајући податке у табелама 6.13 – 6.16 са подацима у табелама 6.9, 6.11 и 6.12, може се закључити да се за различите амплитуде спољашњег оптерећења, при истој фреквенцији, добијају исте вредности параметара функција припадности. Поређење Мамданијевог и ТСК принципа закључивања за оптерећења 0.035sin(20t) и 0.045sin(20t) [N] приказано је на слици 6.19, где је приказано померање слободног краја конзоле за ове случајеве. На основу слике 6.19, као и вредности L2 норми у табелама 6.13 и 6.14, може се закључити да је Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 124 оптимизовано самоподешавајуће фази логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда суперионије у погледу активног пригушења вибрација у односу на Мамдани принцип закључивања. (а) (б) Слика 6.19. Померање слободног краја конзоле; поређење оптимизованих самоподешавајућих фази-логичких управљачких система базираних на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања нултог реда: (а) 0.035sin(20t) [N], (б) 0.045sin(20t) [N] Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 125 6.3.2 Периодично оптерећење на слободном крају конзоле на резонантној фреквенцији Потребно је испитати перформансе управљачког система у случају када спољашње оптерећење има фреквенцију која је једнака фреквенцији првог мода конзоле (случај резонанције). Тако је овде узето у обзир оптерећење 0.04sin(62.703t) [N] које делује на слободном крају конзоле. За почетне вредности скалирајућих фактора узете су исте величине као и у претходним случајевима: 10000d =K , 10v =K . У табели 6.17 приказани су оптимизовани параметри 1α , 1β , 1γ , функција циља (L2 норма) и максимални напон који се јавља на актуатору за самоподешавајуће фази-логички управљачки систем базиран на Мамданијевом принципу закључивања. Слика 6.20(а) представља померање слободног краја конзоле за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања, а на слици 6.20(б) извршено је поређење померања слободног краја конзоле за случајеве када има и када нема активног управљања. Слика 6.21 приказује померање слободног краја конзоле за случај када управљање почиње од 0.5-те секунде. Поредећи оптимизоване параметре приказане у табели 6.17 са параметрима добијеним у претходним случајевима оптерећења, може се закључити да су добијени параметри идентични. Табела 6.17. Оптимизовани параметри 1α , 1β , 1γ , L2 норма и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање базираног на Мамданијевом принципу закључивања за периодично оптерећење 0.04sin(62.703t) [N] 1α 1β 1γ L2 норма Максимални напон на актуатору (V) 053.0 977.0 1 1.362·10-4 168 Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 126 (а) (б) Слика 6.20. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(62.703t) [N]: (а) за оптимизовано самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања, (б) поређење са случајем када нема активног пригушења вибрација Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 127 Слика 6.21. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(62.703t) [N] за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања: управљање почиње након 0.5-те секунде Што се тиче ТСК принципа закључивања нултог реда, добијени резултати оптимизације (параметри функција припадности, L2 норма и максимални напон на актуатору) за самоподешавајући управљачки систем су приказани у табели 6.18. У табели 6.19 приказана су правила закључивања добијена оптимизацијом. Почетне вредности за скалирајуће факторе су узети исто као за Мамдани закључивање: 10000d =K , 10v =K . Из табела 6.18 и 6.19 може се видети да су добијени параметри функција припадности и правила закључивања исти као и за случај анализиран за оптерећење фреквенције 20rad/s. Слика 6.22 представља поређење перформанси самоподешавајућег фази-логичког управљачког система за Мамдани и ТСК принцип закључивања, док је на слици 6.23 приказано померање слободног краја конзоле за случај када управљање почиње од 0.5-те секунде. Табела 6.18. Оптимизовани параметри 1α , 1β , L2 норма и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање у случају ТСК принципа закључивања за периодично оптерећење 0.04sin(62.703t) [N] 1α 1β L2 норма Максимални напон на актуатору (V) 0.0528 0.0522 9.517·10-5 200 Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 128 Табела 6.19.Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљањебазирано на ТСК принципу закључивања за периодично оптерећење 0.04sin(62.703t) [N] EC NB NS ZE PS PB NB 1 0.933 0.908 0.702 0.574 NS 0.576 0.512 0.326 -0.092 -0.121 ZE 0.555 0.308 0 -0.308 -0.555 PS 0.121 0.092 -0.326 -0.512 -0.576 E PB -0.574 -0.702 -0.908 -0.933 -1 Слика 6.22. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(62.703t) [N]: поређење самоподешавајућих фази-логичких управљачких система базираних на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања нултог реда Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 129 Слика 6.23. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(62.703t) [N] за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда: управљање почиње након 0.5-те секунде За случај линеарно-квадратног регулатора, методом покушаја нађене су следеће вредности тежинских матрица: [Q]= 1011[I]2x2, [R]=1. Максимални напон који се јавља на актуатору у случају ових тежинских матрица је 178.572V. Поређење перформанси између линеарно-квадратног регулатора и самоподешавајучег фази-логичког управљања базираног на Мамданијевом принципу закључивања приказано је на слици 6.24. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 130 Слика 6.24. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(62.703t) [N]: поређење самоподешавајућег фази-логичког управљачког система базираном на Мамданијевом принципу закључивања и „LQR“ оптималног управљања 6.3.3 Периодично оптерећење са изненадним ударним импулсима Овде је приказано испитивање робусности оптимизованих самоподешавајућих фази-логичких управљачких система под дејством периодичног оптерећења са неочекиваним поремећајем. За анализу су узета периодична оптерећења 0.04sin(20t) [N] и 0.04sin(62.703t) [N] и неочекивани удари у 0.5-тој секунди од 1N трајању од 1ms, односно 10N у трајању од 1ms. На слици 6.25 приказано је померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N] са неочекиваним ударом у 0.5s од 1N у трајању 1ms. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 131 (а) (б) Слика 6.25. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N] са неочекиваним ударом у 0.5s од 1N у трајању 1ms за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање: (а) Мамдани, (б) ТСК принцип закључивања нултог реда Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N] са неочекиваним ударом у 0.5s од 10N у трајању 1ms приказано је на слици 6.26. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 132 (а) (б) Слика 6.26. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(20t) [N] са неочекиваним ударом у 0.5s од 10N у трајању 1ms за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање: (а) Мамдани, (б) ТСК принцип закључивања нултог реда Што се тиче дејства оптерећења на резонантној фреквенцији са неочекиваним ударом од 10N у трајању 1ms у 0.5-тој секунди, померање слободног краја конзоле приказано је на слици 6.27. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 133 (а) (б) Слика 6.27. Померање слободног краја конзоле у случају дејства периодичног оптерећења 0.04sin(62.703t) [N] са неочекиваним ударом у 0.5s од 10N у трајању 1ms за оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање: (а) Мамдани, (б) ТСК принцип закључивања нултог реда Са слика 6.25 - 6.27, може се закључити самоподешавајуће фази-логичко управљање показује велики степен робусности према изненадним ударима. Глава 6: Активно пригушење вибрација композитне конзоле ______________________________________________________________________ 134 6.4 Закључак После нумеричког испитивања оптимизованог самоподешавајућег фази логичког управљачког система за слободне и принудне вибрације композитне конзоле може се закључити да резултати оптимизације не зависе од почетних услова оптерећења код слободних вибрација, као ни од принудне силе код принудних вибрација. Ово важи и за Мамдани и за ТСК принцип закључивања нултог реда. Другим речима, решење је робусно према карактеристикама оптерећења, што овај алгоритам чини корисним за структуре које су изложене различитим оптерећењима. Приликом оптимизације параметара функција припадности, довољно је произвољно изабрати оптерећење, а решење ће бити оптимално за остала оптерећења која се јављају током експлоатације. Наравно, при том треба водити рачуна да ли се јављају слободне или принудне вибрације. Промена почетних вредности скалирајућих фактора за оптимизовани самоподешавајући фази-логички управљачки систем не утиче на перформансе активног пригушења вибрација. Поређење оптимизованог самоподешавајућег са оптимизованим фази- логичким управљачким системом са константним факторима у случају Мамданијевог принципа закључивања показује да оптимизовани самоподешавајући управљачки систем има знатно боље перформансе у односу на онај са константним факторима. Поређење оптимизованог самоопдешавајућег фази-логичког управљачког система са линеарно-квадратним регулатором показује да се најбоље перформансе остварују за ТСК принцип закључивања нултог реда, затим следи Мамдани принцип закључивања, док најлошије перформансе показије линеарно-квадратни регулатор. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 135 Глава 7 Активно пригушење вибрација композитне плоче 7.1 Увод У глави 6 испитан је самоподешавајући фази-логички управљачки систем за активно пригушење вибрација композитне конзоле. У овој глави иста процедура биће спроведена на композитној плочи са оријентацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S. Конфигурација актуатор-сензор парова која је добијена оптимизацијом у глави 4, за покривеност површине 15%, биће употребљена у овој анализи. 7.2 Активно пригушење слободних вибрација Активно пригушење слободних вибрација плоче са оријентацијом слојева (90°/0°/90°/0°)S рађено је за ударни импулс од 300N у трајању од 0.1ms у слободан угао, тј тачку А, која је означена на слици 7.1. Разлог зашто је ова тачка узета као место на које делује оптерећење, а и касније ће бити посматрано њено померање за сваки мод осциловања, је тај што за сваки мод осциловања ова тачка има највећу амплитуду, што се може видети на слици 3.5. Такође, претпоставиће се да ће дејство ударног импулса у ову тачку изазвати свих шест модова осциловања. На тај начин, ова тачка верно приказује понашање структуре приликом вибрација. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 136 Слика 7.1. Дејство ударног импулса на плочу. Матрица улаза [ ]B за задату конфигурацију актуатор-сензор парова износи: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −−− −− −−−− = 7885.143202.478.235939.121649.11 5988.54935.57.29872.2715.2 2981.85562.63721.08344.119496.10 1112.19142.41983.20136.77102.7 7422.19786.10205.03.34777.3 1088.04108.00636.07864.17234.1 103B . (7.1) Врсте ове матрице одговарају модовима осциловања (прва врста првом моду, друга врста другом моду, итд.), а колоне одговарају актуаторима (прва колона првом актуатору, друга колона другом актуатору, итд.). Из матрице улаза може се закључити следеће о управљивости одговарајућих модова осциловања: 1. Први мод: највећа управљивост остварује се преко прва два актуатора. Иако су ова два актуатора постављена симетрично у односу на подужну осу плоче, ипак не дају једнаку управљивост јер симетрију нарушавају остали актуатор-сензор парови. Нешто мања управљивост се остварује преко четвртог актуатора, док је управљивост трећег актуатора скоро занемарљива. 2. Други мод: важи исто као и за први мод. 3. Трећи мод: важи исто као и за претходна два, само је управљивост преко трећег актуатора реда величине као код осталих актуатора. 4. Четврти мод: управљивост је максимална код прва два актуатора, али четврти и пети актуатор пружају такође добру управљивост. Импулс А Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 137 5. Пети мод: управљивост који пружају свих пет актуатора су истих редова величина, стим да четврти и пети актуатор пружају највећу управљивост. 6. Шести мод: највећа управљивост остварује се преко трећег актуатора, затим преко петог. Управљивост која се остварује преко прва два актуатора је нешто мања од управљивости преко трећег и петог актуатора, док је код четвртог актуатора најмања управљивост. Приликом избора матрице излазних тежинских фактора, за одговарајући мод осциловања више ће се користити они актуатори са којима се постижу највеће управљивости, али у складу са једначином (5.14). Имајући у виду матрицу излаза, дату једначином (7.1), изабрана је следећа матрица излазних тежинских фактора: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = 005.01.00 2.02.05.000 4.0002.00 08.001.00 4.0004.02.0 0002.08.0 w . (7.2) Да би упоредили резултате, оптимизација за сваки мод појединачно ће се вршити за излазне тежинске факторе изабране за пригушење свих 6 модова (једначина (7.2)) и за случај када су сви актуатори активни и раде под пуним оптерећењем за дати мод ( ( ) ( )11111=iw ). У табели 7.1 приказане су оптимизоване вредности параметара функција припадности и функција циља за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевом принципу закључивања за сваки мод осциловања и за две вредности излазних тежинских фактора за сваки мод. Табела 7.2 приказује оптимизоване параметре iα и функцију циља за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано ТСК принципу закључивања нултог реда. Уколико се међусобно упореде подаци у таблема 7.1 и 7.2 може се закључити да су оптимизовани параметри исти за сваки мод осциловања и за сваку комбинацију излазних тежинских фактора. Такође, поредећи ове резултате са резултатима у табелама 6.1 и 6.4, види се да су параметри код плоче исти као и код греде. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 138 Табела 7.1. Оптимизовани параметри iα , iβ , iγ , функција циља за самоподешавајуће фази-логичко управљање у случају Мамданијевог принципа закључивања Мод осц. ( )w ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 α α ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 β β ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 2 1 γ γ Функција циља (0.8 0.2 0 0 0) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.0964 1. (1 1 1 1 1) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.2706 (0.2 0.4 0 0 0.4) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.0488 2. (1 1 1 1 1) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.2126 (0 0.1 0 0.8 0) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.0428 3. (1 1 1 1 1) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.2374 (0 0.2 0 0 0.4) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.0246 4. (1 1 1 1 1) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.1604 (0 0 0.5 0.2 0.2) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.046 5. (1 1 1 1 1) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.1299 (0 0.1 0.5 0 0) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.0311 6. (1 1 1 1 1) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 991.0 1 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 278.0 384.0 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 812.0 1 1.139 Што се тиче правила закључивања код ТСК принципа закључивања, добијени параметри су, као и у претходном случају, исти и за сваки мод Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 139 осциловања и за сваку комбинацију излазних тежинских фактора, као и за греду (табела 6.4). Ови параметри су приказани у табели 7.3. Табела 7.2. Оптимизовани параметри 1α , 1β , функција циља и максимнални напон на актуатору за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда Мод осц. ( )w 1α 1β Функција циља (0.8 0.2 0 0 0) 1 0.16 1.1831 1. (1 1 1 1 1) 1 0.16 1.612 (0.2 0.4 0 0 0.4) 1 0.16 1.0862 2. (1 1 1 1 1) 1 0.16 1.4553 (0 0.1 0 0.8 0) 1 0.16 1.0759 3. (1 1 1 1 1) 1 0.16 1.5429 (0 0.2 0 0 0.4) 1 0.16 1.0407 4. (1 1 1 1 1) 1 0.16 1.3355 (0 0 0.5 0.2 0.2) 1 0.16 1.0799 5. (1 1 1 1 1) 1 0.16 1.2604 (0 0.1 0.5 0 0) 1 0.16 1.0495 6. (1 1 1 1 1) 1 0.16 1.2762 Табела 7.3. Правила закључивања за оптимизовани самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања EC NB NS ZE PS PB NB 1 1 0.992 0.259 0.183 NS 0.979 0.221 0.22 -0.247 -0.519 ZE 0.953 0.282 0 -0.282 -0.953 PS 0.519 0.247 -0.22 -0.221 -0.979 E PB -0.183 -0.259 -0.992 -1 -1 У циљу поређења оптимизованих самоподешавајућих фази-логичких управљачких система са линеарно-квадратним регулатором, за тежинске матрице узете су следеће вредности: [Q]= 106[I] 12x12, [R]= [I] 5x5. Максимални напони који Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 140 се јављају на актуаторима за време активног пригушења вибрација за сваки управљачки систем приказани су у табели 7.4. Табела 7.4. Максимални напони на актуаторима који се јављају током активног пригушења вибрација Мамдани ТСК LQR )(AA1max Vφ 188.735 200 157.225 )(AA2max Vφ 171.0978 196.848 146.261 )(AA3max Vφ 188.735 200 196.002 )(AA4max Vφ 188.735 200 149.404 )(AA5max Vφ 188.6334 200 91.3 На слици 7.2 приказано је померање тачке А за Мамдани и ТСК принцип закључивања, линеарно-квадратни регулатор и у случају када нема активног пригушења вибрација. На слици 7.3 приказана су померања тачке А која одговарају првом, другом, трећем, четвртом, петом и шестом моду осциловања за сваки анализирани управљачки систем. Слика 7.2. Померање тачке А плоче; поређење самоподешавајућег фази-логичког управљачког система базираног на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања нултог реда, линеарно-квадратног регулатора и случаја када нема активног пригушења вибрација Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 141 (а) (б) Слика 7.3. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 142 (в) (г) Слика 7.3. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 143 (д) (ђ) Слика 7.3. Померање тачке А плоче код слободних вибрација; поређење самоподешавајућих фази-логичких управљачких система базираних на Мамданијевом и ТСК принципу закључивања и, „LQR“ оптималног управљања: (а) први мод, (б) други мод, (в) трећи мод, (г) четврти мод, (д) пети мод, (ђ) шести мод Са слике 7.2 може се закључити да је најефикасније оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда, затим следи Мамдани принцип закључивања, а на крају је линеарно-квадратни регулатор. Са слике 7.3 може се видети да је линеарно- Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 144 квадратни регулатор ефикаснији у пригушењу виших модова осциловања (у овом случају четвртог, петог и шестог) у односу на фази-логичко управљање. 7.3 Активно пригушење принудних вибрација 7.3.1 Фреквенција принудног оптерећења 20rad/s На слици 7.4 приказана су померања тачке А и то укупно померање и померања која одговарају сваком моду посебно у случају када нема активног пригушења вибација. (а) Слика 7.4. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 145 (б) Слика 7.4. Померање тачке А плоче под дејством периодичниг оптерећења у случају када нема активног пригушења вибрација: (а) укупно померање и померања за први и други мод, (б) померања за трећи, четврти, пети и шести мод Уколико се упореде померања тачке А која одговарају појединим модовима, може се видети да су амплитуде за трећи, четврти, пети и шести мод и до 20 пута мање у односу на први и други мод. На основу тога, вршиће се активно пригушење само прва два мода. Приликом активног пригушења прва два мода, може доћи до појаве виших модова осциловања (тзв. резидуални модови). Такав случај ће се и овде разматрати. Да би се испитао утицај управљачког система на појаву резидуалних модова, сматраће се да ће се, током активног пригушења прва два мода, јавити наредна четири мода као резидуални (трећи, четврти, пети и шести). Ако се погледа матрица улаза (једначиина 7.1), видеће се да је се максимална управљивост за прва два мода постиже преко првог и другог актуатора, а нешто мања преко трећег актуатора. Због тога, испитаће се случајеви када за два и за три активна актуатора, као и утицај различитих излазних тежинских фактора на укупно померање, као и на померања која одговарају управљаним и резидуалним модовима. За Мамданијев принцип закључивања, на основу неколико примера, нађено је да се најбољи резултати постижу када су троугаоне функције припадности улаза и излаза симетричне, тј. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 146 ,2/,2/,2/ 121212 γγββαα === . (7.3) тако да ће се оптимизацијом налазити само параметри 1α , 1β , 1γ . У табели 7.5 приказани су оптимизовани параметри 1α , 1β , 1γ , функција циља за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на Мамданијевог принципа за оптерећење 0.1sin(20t) [N] за прва два мода осциловања у случају различитих комбинација излазних тежинских фактора. За израчунавање L2 норме узето је у обзир време од 1s. Табела 7.5. Оптимизовани параметри 1α , 1β , 1γ , функција циља за самоподешавајуће фази-логичко управљање у случају Мамданијевог принципа закључивања за амплитуду 0.1N [ ]w Мод осц. 1 α 1β 1γ L2 норма 1. 0.0512 0.2955 0.9961 187186.88 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 05.0001 05.0010 2. 0.058 0.8933 0.9432 398161.42 1. 0.0510 0.4654 0.9815 366990.25 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0103.03.0 0007.07.0 2. 0.0504 0.9983 0.9584 367158.18 1. 0.0501 0.1189 0.9555 236642.02 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 05.005.05.0 05.005.05.0 2. 0.0521 0.9147 0.8272 408682.73 На слици 7.5, приказана су померања тачке А за прву, другу и трећу комбинацију излазних тежинских фактора. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 147 (а) (б) Слика 7.5. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 148 (в) Слика 7.5. Померање тачке А плоче за оптерећење 0.1sin(20t) [N] за различите комбинације излазних тежинских фактора за Мамдани принцип закључивања: (а) прва комбинација, (а) друга комбинација, (а) трећа комбинација Ако се упореди слика 7.5(а) са сликом 7.4(а), може се видети да долази, не до пригушења, него чак до повећања амплитуде и до шест пута, што чини ову комбинацију излазних тежинских фактора неефикасном. Са слика 7.5(б) и 7.5(в) може се видети да друга и трећа комбинација излазних тежинских фактора пружа много боље перформансе, смањујући амплитуде и до 15 пута, где је друга комбинација нешто ефикаснија у односу на трећу. На слици 7.6 приказана су померања тачке А за сваки мод осциловања, и управљане и резидуалне модове, за другу и трећу комбинацију параметара. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 149 (а) (б) Слика 7.6. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 150 (в) (г) Слика 7.6. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 151 (д) (ђ) Слика 7.6. Померање тачке А плоче за оптерећење 0.1sin(20t) [N]: (а) први мод, (б) други мод, (в) трећи мод, (г) четврти мод, (д) пети мод, (ђ) шести мод Са слика 7.6(а) и 7.6(б), које приказују управљане модове, може се видети да је амплитуда ових модова смањена и до 1000 пута, где је друга комбинација излазних тежинских фактора нешто ефикаснија у односу на трећу. Са слика 7.6 (в)-(ђ), које приказују резидуалне модове, може се закључити да долази до повећања амплитуде резидуалних модова. То је најизраженије код трећег, петог и Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 152 шестог мода, док је код четвртог мода дошло до незнатног смањења амплитуде. За даљу анализу, узеће се друга комбинација излазних тежинских фактора. Иста процедура је спроведена и за ТСК принцип закључивања нултог реда, где је коришћена друга комбинација излазних тежинских фактора. У табели 7.6 приказани су оптимизовани параметри 1α и 1β и функција циља за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања за оптерећење 0.1sin(20t) [N]. Табела 7.7 приказује правила закључивања за ТСК принцип закључивања добијена оптимизацијом за први мод, а табела 7.8 за други мод осциловања. У циљу поређења оптимизованих самоподешавајућих фази-логичких управљачких система са линеарно-квадратним регулатором, узете су вредности матрица [Q]= 1011[I] 4x4, [R]= [I] 3x3. Табела 7.6. Оптимизовани параметри 1α и 1β и L2 норма за самоподешавајуће фази-логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања за оптерећење 0.1sin(20t) [N] [ ]w Мод осц. 1 α 1β Функција циља 1. 0.0503 0.2521 220381.25 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 0103.03.0 0007.07.0 2. 0.0503 0.1606 298122.28 Табела 7.7. Правила закључивања за оптимизовано самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда за први мод осциловања EC NB NS ZE PS PB NB 1 0.966 0.671 0.663 0.401 NS 0.695 0.672 0.357 0.153 -0.028 ZE 0.647 0.21 0 -0.21 -0.647 PS 0.028 -0.153 -0.357 -0.672 -0.695 E PB -0.401 -0.663 -0.671 -0.966 -1 Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 153 Табела 7.8. Правила закључивања за оптимизовано самоподешавајуће фази- логичко управљање базирано на ТСК принципу закључивања нултог реда за други мод осциловања. EC NB NS ZE PS PB NB 1 0.996 0.747 0.641 0.406 NS 0.7 0.547 0.338 0.193 -0.041 ZE 0.543 0.36 0 -0.36 -0.543 PS 0.041 -0.193 -0.338 -0.547 -0.7 E PB -0.406 -0.641 -0.747 -0.996 -1 На сликама 7.7 представљена су укупна померања тачке А, као и померања која одговарају првом и другом моду за оптерећење 0.1sin(20t) [N]. На сликама су поређени Мамдани и ТСК принцип закључивања (слике 7.7(а), (в) и (д) за укупно померање и померања која одговарају првом и другом моду респективно) и Мамдани принцип закључивања и линеарно-квадратни регулатор (слике 7.7(б), (г) и (ђ) за укупно померање и померања која одговарају првом и другом моду респективно). (а) Слика 7.7. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 154 (б) (в) Слика 7.7. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 155 (г) (д) Слика 7.7. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 156 (ђ) Слика 7.7. Померање тачке А плоче за оптерећење 0.1sin(20t) [N]: (а) укупно (поређење Мамдани и ТСК), (б) укупно (поређење Мамдани и LQR), (в) први мод (поређење Мамдани и ТСК), (г) први мод (поређење Мамдани и LQR), (д) други мод (поређење Мамдани и ТСК), (ђ) други мод (поређење Мамдани и LQR) Са слика 7.7(а) може се видети да Мамданијев и ТСК принцип закључивања даје приближно исте резултате. Што се тиче првог и другог мода, код ТСК принципа закључивања амплитуда је нешто мања него код Мамданијевог принципа. Са друге стране, са слика 7.7(б), (г) и (ђ) може се уочити да Мамдани принцип закључивања пружа боље перформансе у односу на линеарно-квадратни регулатор. На слици 7.8 приказана су померања тачке А која одговарају резидуалним модовима. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 157 (а) (б) Слика 7.8. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 158 (в) (г) Слика 7.8. Померање тачке А плоче које одговара резидуалним модовима за оптерећење 0.1sin(20t) [N]; поређење Мамданијевог и ТСК принципа закључивања и LQR оптималног управљања : (а) трећи мод, (б) четврти мод, (в) пети мод, (г) шести мод Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 159 Са слике 7.8 може се видети да код трећег и четвртог мода амплитуда већа у случају линеарно-квадратног регулатора, док је код петог и шестог мода амплитуда већа код активног пригушења вибрација помоћу фази-логичких управљачких система. Слика 7.9 приказује укупно померање тачке А за оптерећењa 0.2sin(20t) [N] и 0.3sin(20t) [N]. Са слике 7.9 може се закључити да са повећањем амплитуде, ТСК принцип закључивања показује боље особине у погледу пригушења вибрација и смањења амплитуда у односу на Мамдани принцип закључивања. (а) (б) Слика 7.9. Померање тачке А плоче: (а) оптерећење 0.2sin(20t) [N], (б) оптерећење 0.3sin(20t) [N] Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 160 7.3.2 Фреквенција принудног оптерећења 150rad/s На слици 7.10 приказана су померања тачке А и то укупно померање и померања која одговарају сваком моду посебно у случају када нема активног пригушења вибација за оптерећење 0.1sin(150t) [N]. (а) (б) Слика 7.10. Померање тачке А плоче под дејством периодичниг оптерећења 0.1sin(150t) [N] у случају када нема активног пригушења вибрација: (а) укупно померање и померања за први и други мод, (б) померања за трећи, четврти, пети и шести мод Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 161 Поређењем амплитуда прва два и последња четири мода може се закључити да, као и у претходном случају оптерећења, амплитуде последња четири мода су много мање него код прва два, тако да ће се само разматрати пригушење прва два мода, узимајући трећи, четврти, пети и шести мод као резидуалне модове. За излазне тежинске факторе узета је друга комбинација, а као резултати оптимизације добијају се потпуно исте функције припадности и правила закључивања као и у претходном случају (табела 7.6, 7.7 и 7.8). (а) Слика 7.11. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 162 (б) Слика 7.11. Померање тачке А плоче под дејством периодичниг оптерећења 0.1sin(150t) [N]: (а) поређење Мамдани и ТСК принципа закључивања и случаја када нема активног пригушења, (б) поређење Мамдани принципа закључивања за различите вредности иницијалних скалирајућих фактора На слици 7.11(а) приказано је померање тачке А за оптерећење 0.1sin(150t) [N], где су поређени Мамдани и ТСК принцип закључивања и случај када нема активног пригушења вибрација. Може се приметити да је, код оба принципа закључивања, амплитуда нешто већа на почетку и да се смањује до друге секунде, па је, након тога, приближно константна. На слици 7.11(б) приказано је померање тачке А за Мамдани принцип закључивања за различите вредности иницијалних скалирајућих фактора. Поред иницијалних скалирајућих фактора разматраних у претходном тексту ( 10000d =K , 10v =K ), извршено је поређење са скалирајућим факторима који имају већу вредност од претходних: 100000d =K и 1000v =K , из разлога да би се видело да ли већа вредност амплитуде у првих две секунде има везе са избором фактора. Са слике 7.11(б) може се видети да је за веће вредности иницијалних скалирајућих фактора амплитуда приближно константна. Из овога се може закључити да, у случају мањих вредности иницијалних скалирајућих фактора, управљачки алгоритам генерише мању силу на самом почетку, што има за резултат већу амплитуду. Када се ови фактори Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 163 подесе, амплитуда има мању вредност и приближно је константна. Даља анализа је вршена за факторе 10000d =K , 10v =K . Због високих фреквенција, истовремено приказивање резултата линеарно- квадратног регулатора на слици 7.11 (а) утицало би на видљивост, тако да је поређење самоподешавајућих фази-логичких управљачких система са линеарно- квадратним регулатором приказано на слици 7.12 између пете и шесте секунде. Са слике 7.12 може се закључити да је амплитуда вибрација код линеарно-квадратног већа у односу на фази управљања, што га чини мање ефикасним. Амплитуде код Мамдани и ТСК принципа закључивања су приближно једнаке. Слика 7.12. Померање тачке А плоче под дејством периодичниг оптерећења 0.1sin(150t) [N]: поређење Мамдани и ТСК принципа закључивања и линеарно- квадратним регулатором На слици 7.13 приказани су померања тачке А за прва два управљана мода. Такође, извршено је поређење Мамдани и ТСК принципа закључивања. Слика 7.13(а) приказује померање за први мод у првих 10 секунди. Опет, због мањих вредности иницијалних скалирајућих фактора, чији је утицај објашњен, у почетном тренутку амплитуда је много већа да би се, после подешавања фактора, смањила. Да би се јасно виделе амплитуде после подешавања, на слици 7.13(б) приказана су померања између 5-те и 5.5-те секунде, на којима се види да је Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 164 амплитуда код ТСК принципа закључивања нешто мања него код Мамданијевог принципа. Исто важи и за други мод (слика 7.13(в) и (г). На слици 7.14 приказана су померања тачке А која одговарају резидуалним модовма (трећем, четвртом, петом и шестом). (а) (б) Слика 7.13. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 165 (в) (г) Слика 7.13. Померање тачке А плоче под дејством периодичног оптерећења 0.1sin(150t) [N]: (а),(б) први мод, (в), (г) други мод Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 166 (а) (б) Слика 7.14. (наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 167 (в) (г) Слика 7.14. Померање тачке А плоче за резидуалне модове под дејством периодичниг оптерећења 0.1sin(150t) [N]: (а) трећи мод, (б) четврти мод, (в) пети мод (г) шести мод Са слике 7.14(а) и (г), на којима су приказана померања која одговарају трећем и шестом моду респективно, може се видети да су амплитуде код случајева где постоји активно пригушење око три пута веће него код случајева где нема активног управљања. Код четвртог и петог мода (слика 7.14(б), (в) респективно) амплитуде управљаних и неуправљаних вибрација су приближно једнаке. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 168 7.3.3 Комбиновано оптерећење У овом случају плоча је оптерећена у тачки А принудном силом 0.1sin(20t) [N[, а на супротном слободом углу силом 0.1sin(150t) [N]. На слици 7.15 приказано је померање тачке А, одакле се види да је оптимизовано самоподешавајуће фази-логичко управљање ефикасно и за ову врсту оптерећења. ТСК принцип закључивања нултог реда показује боље перформансе у односу на Мамдани принцип закључивања. Слика 7.15. Померање тачке А плоче у случају комбинованог оптерећења 7.3.4 Принудно оптерећење са изненадним ударима Као и код греда, и код плоча биће разматрана робусност оптимизованих самоподешавајућих фази-логичких управљачких система под дејством периодичног оптерећења са неочекиваним ударом. За анализу су узета периодична оптерећења из претходна три потпоглавља, а до неочекиваног удара, интензитета 1000N у трајању од 0.1ms, долази у 0.5-ој секунди у тачки А. На слици 7.16 приказано је померање тачке А. Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 169 (а) (б) Слика 7.16. (Наставља се...) Глава 7: Активно пригушење вибрација композитне плоче ______________________________________________________________________ 170 (в) Слика 7.16. Померање тачке А плоче у случају периодичног оптерећења са изненадним ударом од 1000N у трајању од 0.1ms у 0.5-ој секунди: (а) 0.1sin(20t) [N], (б) 0.1sin(150t) [N], (в) комбиновано оптерећење. Са слика 7.16 може се закључити самоподешавајуће фази-логичко управљање показује велики степен робусности према изненадним ударима. 7.4 Закључак После нумеричког испитивања оптимизованог самоподешавајућег фази- логичког управљачког система за слободне и принудне вибрације укљештене композитне плоче може се видети да се све оне особине које овакви управљачки системи пружају код греда, јављају и код пригушења вибрације плоче. Такође, поређење оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система са линеарно-квадратним регулатором показује да се најбоље перформансе остварују за ТСК принцип закључивања нултог реда, затим следи Мамдани принцип закључивања, док најлошије перформансе показује линеарно- квадратни регулатор. Глава 8: Закључак ______________________________________________________________________ 171 Глава 8 Закључак 8.1 Резултати истраживања У овој дисертацији истраживано је активно пригушење вибрација паметних танкозидних композитних структура, почевши од оптимизације величине, положаја и оријентација актуатор-сензор парова, па до развијања и оптимизације управљачког алгоритма. У следећим параграфима приказани су кратак преглед и резултати истраживања ове докторске дисертације: • Дефинисани су критеријуми оптимизације величине, положаја и оријентације пиезоелектричних актуатора базираних на Грамијановим матрицама управљивости. Испитан је утицај оријентације актуаторског слоја на управљивост првих шест модова осциловања за правоугаону укљештену плочу за три случаја конфигурације слојева: (90°/0°/90°/0°)S, (90°/0°/90°/0°/90°/0°/90°/0°) и (45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°). Показало се да се максимална управљивост за одређени мод остварује када се влакна актуаторског слоја усмере у смеру деформације плоче која се јавља код одговарајућег мода. Код антисиметричних слагања слојева показало се да управљивост такође зависи и од тога да ли се актуаторски слој налази на горњој или доњој страни плоче. Разлог што се ово дешава је у томе да, услед антисиметричности, долази то тзв. савојно-истезног ефекта. Услед деформације савијања или увијања долази до истезања (или сабијања) плоче, тако да је апсолутна вредност деформација већа са једне стране плоче, што доводи до несиметричне управљивости. Већа Глава 8: Закључак ______________________________________________________________________ 172 управљивост постиже се када се актуаторски слој налази са оне стране плоче са где влакна актуаторског слоја заклапају већи угао са влакнима суседног слоја плоче. У даљем раду, извршена је синтеза методе коначних елемената и оптимизације ројем честица и применом дефинисаних критеријума оптимизације, извршена је оптимизација величине, положаја и оријентације пет актуатор-сензор парова. Код плоче са оријентацијом (90°/0°/90°/0°)S испитан је утицај ограничења покривености површи плоча актуаторима, као и случај када су димензије актуатор-сензор парова непроменљиве током оптимизације. У случају непроменљивих димензија добијају се мање управљивости за све модове осциловања. Како после уградње актуатор-сензор парова долази до промене сопствених фреквенција плоче, ова промена је табеларно приказана за сваку конфигурацију слагања слојева плоче. • После нумеричког испитивања оптимизованог самоподешавајућег фази логичког управљачког система за слободне и принудне вибрације композитне конзоле може се закључити да резултати оптимизације не зависе од почетних услова оптерећења код слободних вибрација, као ни од принудне силе код принудних вибрација. Ово важи и за Мамдани и за ТСК принцип закључивања нултог реда. Другим речима, решење је робусно према карактеристикама оптерећења, што је логично за очекивати да овај алгоритам буде применљив за структуре које су изложене различитим оптерећењима. Приликом оптимизације параметара функција припадности, довољно је произвољно изабрати оптерећење, а решење ће бити оптимално за остала оптерећења која се јављају током експлоатације. Наравно, при том треба водити рачуна да ли се јављају слободне или принудне вибрације. Промена почетних вредности скалирајућих фактора за оптимизовани самоподешавајући фази-логички управљачки систем не утиче на перформансе активног пригушења вибрација. Поређење оптимизованог самоподешавајућег са оптимизованим фази-логичким управљачким системом са константним факторима у случају Мамданијевог принципа закључивања показује да оптимизовани самоподешавајући управљачки систем има знатно боље перформансе у односу на онај са Глава 8: Закључак ______________________________________________________________________ 173 константним факторима. Поређење оптимизованог самоопдешавајућег фази-логичког управљачког система са линеарно-квадратним регулатором показује да се најбоље перформансе остварују за ТСК принцип закључивања нултог реда, затим следи Мамдани принцип закључивања, док најлошије перформансе показује линеарно-квадратни регулатор. • После нумеричког испитивања оптимизованог самоподешавајућег фази- логичког управљачког система за слободне и принудне вибрације укљештене композитне плоче може се видети да се све оне особине које овакви управљачки системи пружају код греда, јављају и код пригушења вибрације плоче. Такође, поређење оптимизованог самооподешавајућег фази-логичког управљачког система са линеарно-квадратним регулатором показује да се најбоље перформансе остварују за ТСК принцип закључивања нултог реда, затим следи Мамдани принцип закључивања, док најлошије перформансе показије линеарно-квадратни регулатор. 8.2 Научни доприноси дисертације На основу остварених резултата истраживања и њихове упоредне анализе са расположивим досадашњим истраживањима, научни доприноси ове дисертације су следећи: • Досадашња истраживања оптимизације актуатора и сензора базирају се на оптималном постављању актуатора и сензора фиксних димензија и са већ унапред дефинисаном оријентацијом. Синтеза методе коначних елемената и оптимизације ројем честица, представљена у овој дисертацији, бави се, поред оптимизације положаја, оптимизацијом величина, оријентација и места постављања (на горњој или доњој страни плоче) актуатора и сензора. Како повећање броја параметара који се оптимизују доводи до бољих решења, примена алгоритма представљеног у овој дисертацији резултује да се за исту масу пиезоелектричних делова добија боља управљивост чиме се смањује пораст масе структуре и трошкови израде. Глава 8: Закључак ______________________________________________________________________ 174 • Ако се сагледају особине оптимизованог фази-логичког управљачког система развијеног у оквиру ове докторске дисертације, које су дате у претходном поглављу, може се закључити да овај управљачки систем представља оригинално решење за проблеме који су приказани у радовима [113] и [119], а који се јављају код класичних фази-логичких система везаних за пригушење вибрација са малим амплитудама. Такође, превазиђени су и проблеми одређивања параметара функција припадности и скалирајућих фактора. Због ових особина описани управљачки алгоритам може се применити за пригушење вибрација реалних структура и то у условима стохастичних спољашњих побуда које су узрок вибрација. 8.3 Препоруке за будући рад Препоруке за будући рад су следеће: • Синтеза методе коначних елемената и оптимизације ројем честица може се применити и на реалне танкозидне структуре као што су нпр. крило авиона, лопатица ротора хеликоптера, лопатица ветротурбине или манипулатор робота. У овим случајевима треба имати у виду да, због геометрије, коначни елементи нису међусобно једнаки. Због тога је погодно извршити синтезу оптимизације ројем честица са неким комерцијалним софтвером за анализу коначним елементима. • У овој дисертацији извршена је анализа за линеарне конститутивне моделе. Наредна истраживања могу обухватити и нелинеарне конститутивне моделе. • Код оптимизованог самоподешавајућег фази-логичког управљачког система узете су у обзир троугаоне и трапезоидне функције припадности. Неко наредно истраживање може обухватити испитивање утицаја различитих облика функција припадности на перформансе управљачког система. • У овој дисертацији оптимизовани самоподешавајући фази-логички управљачки систем представљен је на примерима греде и плоче. Неки Глава 8: Закључак ______________________________________________________________________ 175 будући рад може се бавити експерименталним истраживањима на пригушењу вибрација реалних структура. Литература ______________________________________________________________________ 176 Литература [1] Kassapoglou C.: Design and Analysis of Composite Structures With Applications to Aerospace Structures, John Wiley & Sons, United Kingdom, 2010. [2] Rogacheva, N. N.: The theory of piezoelectric shells and plates, CRC Press, Boca Raton, 1993. [3] Yang, J.: An introduction to the theory of piezoelectricity, Springer, Boston, 2005. [4] Bailey T., Hubbard, J. E.: Distributed piezoelectric-polymer active vibration control of a cantilever beam, AIAA Journal of Guidance control and Dynamics, Vol. 8, No. 5, pp. 605-611, 1985. [5] Петровић, Н. Б.: Интелигентни пиезоактуатори, Машински факултет, Београд, 2003. [6] Moheimani, S. O. R., Fleming, A. J.: Piezoelectric transducers for vibration control and damping, Springer-Verlag, London, 2006. [7] Ballas. R. G.: Piezoelectric multilayer beam bending actuators: static and dynamic behavior and aspects of sensor integration, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2007. [8] Brockmann, T. H.: Theory of adaptive fiber composites: from piezoelectric material behavior to dynamic of rotating structures, Springer, Berlin, 2009. [9] Jalili, P.: Piezoelectric-based vibration control: from macro to micro/nano scale systems, Springer, New York, 2010. [10] Vel, S., Batra, R.: Three-dimensional analytical solution for hybrid multilayered piezoelectric plates, Journal of Applied Mechanics, Vol. 67, No. 3, pp. 558-567, 2000. Литература ______________________________________________________________________ 177 [11] Ooato, Y., Yanigawa, Y.: Three-dimensional transient piezothermoelasticity in functionally graded rectangular plate bonded to a piezoelectric plate, International Journal of Solids and Structures, Vol. 37, No. 32, pp. 4377-4401, 2000. [12] Kashtalyan, M.: Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates, European Journal of Mechanics A/Solids, Vol. 23, No. 5, pp. 853-864, 2004. [13] Nie, G. J., Zhong, Z.: Semi-analytical solution for three-dimensional vibration of functionally graded circular plates, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 196, No. 49-52, pp. 4901-4910, 2007. [14] Liu, W., Zhong, Z.: Three-Dimensional Analysis of Simply Supported Functionally Graded Plate with Arbitrary Distributed Elastic Modulus, Tsinghua Science & Technology, Vol. 14, No. 2, pp. 58-63, 2009. [15] Malekzadeh, P.: Three-dimensional free vibration analysis of thick functionally graded plates on elastic foundations, Composite Structures, Vol. 89, No. 3, pp. 367-373, 2009. [16] Xu, Y., Zhou, D.: Three-dimensional elasticity solution of functionally graded rectangular plates with variable thickness, Composite Structures,Vol. 91, No. 1, pp. 56-65, 2009. [17] Wang, Y., Xu, R., Ding, H.: Three-dimensional solution of axisymmetric bending of functionally graded circular plates, Composite Structures, Vol. 92, No. 7, pp. 1683-1693, 2010. [18] Kim, T. W., Kim, J. H.: Optimal distribution of an active layer for transient vibration control of a flexible plate, Smart Materials and Structures, Vol. 14, No. 5, pp. 904-916, 2005. [19] He, X. Q., Ng, T. Y., Sivashanker, T., Liew, K. M.: Active control of FGM plates with integrated piezoelectric sensors and actuators, International Journal of Solids and Structures, Vol. 38, No. 9, pp. 1641-1655, 2001. [20] Belouettar, S., Azrar, L., Daya, E. M., Laptev, V., Potier-Ferry, M.: Active control of nonlinear vibration of sandwich piezoelectric beams: A simplified approach, Computers and Structures, Vol. 86, No. 3-5, pp. 386-397, 2008. [21] Jayakumar, K., Yadav, D., Rao, B. N.: Nonlinear free vibration analysis of simply supported piezo-laminated plates with random actuation electric potential difference and material properties, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 14, No. 4, pp. 1646-1663, 2009. Литература ______________________________________________________________________ 178 [22] Wang, S. Y., Quek, S. T., Ang, K. K.: Vibration control of smart piezoelectric composite plates, Smart Materials and Structures, Vol. 10, No. 4, pp. 637-644, 2001. [23] Chakraborty, A., Gopalakrishnan, S., Reddy, J. N.: A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials, International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 45, No. 3, pp. 519-539, 2003. [24] Narayanan, S., Balamurugan, V.: Finite element modelling of piezolaminated smart structures for active vibration control with distributed sensors and actuator, Journal of Sound and Vibration, Vol. 262, No. 3, pp. 529-562, 2003. [25] Ray, M. C., Sachade, H. M.: Finite element analysis of smart functionally graded plates, International Journal of Solids and Structures, Vol. 43, No. 18-19, pp. 5468-5484, 2006. [26] Roy, T., Manikandan, P., Chakraborty, D.: Improved shell finite element for piezothermoelastic analysis of smart fiber reinforced composite structures, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 46, No. 9, pp. 710-720, 2010. [27] Gao, J. X, Shen, Y. P.: Active control of geometrically nonlinear transient vibration of composite plates with piezoelectric actuators, Journal of Sound and Vibration, Vol. 264, No. 4, pp. 911-928, 2003. [28] Kusculuoglu, Z. K., Royston, J. T.: Nonlinear modeling of composite plates with piezoceramic layers using finite element analysis”, Journal of Sound and Vibration, Vol. 315, pp. 911-926, 2008. [29] Panda, S., Ray, M. C.: Nonlinear finite element analysis of functionally graded plates integrated with patches of piezoelectric fiber reinforced composite, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 44, No. 8, pp. 493-504, 2008. [30] Mahato, P. K, Maiti, D. K.: Aeroelastic analysis of smart composite structures in hygro-thermal environment, Composite Structures, Vol. 92, No. 4, pp. 1027- 1038., 2010. [31] Reddy, J. N.: A simple higher-order theory for laminated composite plates, Journal of Applied Mechanics, Vol. 51, No. 4, pp. 745-752, 1984. [32] Peng, X. Q., Lam, K. Y., Liu, G. R.: “Active vibration control of composite beams with piezoelectrics: A finite element model with third order theory, Journal of Sound and Vibration, Vol. 209, No. 4, pp. 635-650, 1998. [33] Shi, G., Lam, K. Y.: Finite element vibration analysis of composite beams based on higher-order beam theory, Journal of Sound and Vibration, Vol. 219, No. 4, pp. 707-721, 1999. Литература ______________________________________________________________________ 179 [34] Tabiei, A., Tanov, R.: A nonlinear higher order shear deformation shell element for dynamic explicit analysis: Part I. Formulation and finite element equations, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 36, No. 1, pp. 17-37, 2000. [35] Lee, S. J.: Nonlinear Analysis of Smart Composite Plate and Shell Strcutures, PhD thesis, Texas A&M University, College Station, Texas, United States, 2004. [36] Thornburgh, R. P., Chattopadhyay, A., Ghoshal, A.: Transient vibration of smart structures using a coupled piezoelectric-mechanical theory, Journal of Sound and Vibration, Vol. 274, No. 1-2, pp. 53-72, 2004. [37] Moita, J. M. S., Soares, C. M. M., Soares, C. M. M.: Active control of forced vibrations in adaptive structures using a higher order model, Composite Structures, Vol. 71, No. 3-4, pp. 349-355, 2005. [38] Lee, S. J., Reddy, J. N., Rostam-Abadi, F.: Nonlinear finite element analysis of laminated composite shells with actuating layers, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 43, No. 1, pp. 1-21, 2006. [39] Jiang, J. P., Li, D. X.: A new finite element model for piezothermoelastic composite beam, Journal of Sound and Vibration, Vol. 306, No. 3-5, pp. 849- 864, 2007. [40] Matsunaga, H.: Free vibration and stability of functionally graded shallow shells according to a 2D higher-order deformation theory, Composite Structures, Vol. 84, No. 2, pp. 132-146, 2008. [41] Dash, P., Singh, B. N.: Nonlinear free vibration of piezoelectric laminated composite plate, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 45, No. 10, pp. 686-694, 2009. [42] Yiqi, M., Yiming, F.: Nonlinear dynamic response and active vibration control for piezoelectric functionally graded plate, Journal of Sound and Vibrations, Vol. 329, No, 11, pp. 2015-2028, 2010. [43] Godoy, T. C., Trindade, M. A.: Modeling and analysis of laminate composite plates with embedded active–passive piezoelectric networks, Journal of Sound and Vibration, Vol. 330, No. 2, pp. 194-216, 2011. [44] Zorić, N. D., Simonović, A. M., Mitrović, Z. S., Stupar, S. N.: Multi-objective fuzzy optimization of sizing and location of piezoelectric actuators and sensors, FME Transactions, Vol. 40, No. 1, pp. 1-9, 2012. [45] Zorić, N. D., Simonović, A. M., Mitrović, Z. S., Stupar, S. N.: Optimal vibration control of smart composite beams with optimal size and location of piezoelectric sensing and actuation, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 24, No. 4, pp. 499-526, 2013. Литература ______________________________________________________________________ 180 [46] Kassenge, S. K.: Layerwise Theory for Discretely Stiffened Laminated Cylindrical Shells, PhD thesis, Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia, United States, 1992. [47] Cho, M., Oh., J.: Higher order zig-zag theory for fully coupled thermo-electric– mechanical smart composite plates, International Journal of Solids and Structures, Vol. 41, No. 5-6, pp. 1331-1356, 2004. [48] Oh, I. K., Lee, I.: Supersonic flutter suppression of piezolaminated cylindrical panels based on multifield layerwise theory, Journal of Sound and Vibration, Vol. 291, No. 3-5, pp. 1186-1201, 2006. [49] Zabihollah, A., Sedagahti, R., Ganesan, R., Active vibration suppression of smart laminated beams using layerwise theory and an optimal control strategy, Smart Materials and Structures, Vol. 16, No. 6, pp. 2190-2201, 2007. [50] Kapuria, S., Kulkarni, S. D.: An efficient quadrilateral element based on improved zigzag theory for dynamic analysis of hybrid plates with electroded piezoelectric actuators and sensors, Journal of Sound and Vibration, Vol. 315, No. 1-2, pp. 118-145, 2008. [51] Balamurugan, V., Narayanan, S.: Multilayer Higher Order Piezolaminated Smart Composite Shell Finite Element and its Application to Active Vibration Control, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 20, No. 4 pp. 435-441, 2009. [52] Kapuria, S., Yasin, M. Y.: Active vibration control of piezoelectric laminated beams with electroded actuators and sensors using an efficient finite element involving an electric node, Smart Materials and Structures, Vol. 19: 045019, 2010. [53] Kapuria, S., Yasin, M. Y.: Active vibration suppression of multilayered plates integrated with piezoelectric fiber reinforced composites using an efficient finite element model, Journal of Sound and Vibration, Vol. 329, pp. 3247-3265, 2010. [54] Gupta, V., Sharma, M., Thakur, T.: Optimization Criteria for Optimal Placement of Piezoelectric Sensors and Actuators on a Smart Structure: A Technical Review, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 21, No. 12, pp. 1227-1243, 2010. [55] Frecker, M. I.: Recent Advances in Optimization of Smart Structures and Actuators, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol.14, No. 4- 5, pp. 207-216, 2003. [56] Wang, Q., Wang, C. M.: A controllability index for optimal design of piezoelectric actuators in vibration control of beam structures”, Journal of Sound and Vibrations, Vol. 242, No.3, pp. 507-518, 2001. Литература ______________________________________________________________________ 181 [57] Roy, T., Chakraborty, D.: Genetic algorithm based optimal control of smart composite shell structures under mechanical loading and thermal gradient, Smart Materials and Structures, Vol. 18, No. 11, pp. 1-12, 2009. [58] Roy, T., Chakraborty, D.: Optimal vibration control of smart fiber reinforced composite shell structures using improved genetic algorithm, Journal of Sound and Vibration, Vol. 319, No. 1-2, pp. 15-40, 2009. [59] Dhuri, K. D., Seshu, P.: Piezo actuator placement and sizing for good control effectiveness and minimal change in original system dynamics, Smart materials and Structures, Vol. 15, No. 6, pp. 1661-1672, 2006. [60] Dhuri, K. D., Seshu, P.: Multi-objective optimization of piezo actuator placement and sizing using genetic algorithm, Journal of Sound and Vibration, Vol. 323, No. 3-5, pp. 495-514, 2009. [61] Hac, A., Liu, L.: Sensor and Actuator Location in Motion Control of Flexible Structures, Journal of Sound and Vibration, Vol. 167, No. 2, pp. 239-261, 1993. [62] Jha, A. K., Inman, D. J.: Optimal Sizes and Placements of Piezoelectric Actuators and Sensors for an Inflated Torus, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 14, No. 9, pp. 563-576, 2003. [63] Peng, F., Ng, A., Hu, Y. R.: Actuator Placement Optimization and Adaptive Vibration Control of Plate Smart Structures, Journal of Intelligent Material Systems and Structures”, Vol. 16, No. 3, pp. 263-271, 2005. [64] Bruant, I., Gallimard, L., Nikoukar, S.: Optimal piezoelectric actuator and sensor location for active vibration control, using genetic algorithm, Journal of Sound and Vibration, Vol. 329, No. 10, pp. 1615-1635, 2010. [65] Bruant, I., Proslier, L.: Optimal Location of Actuators and Sensors in Active Vibration Control, Journal of Intelligent Material Systems and Structures , Vol. 16, No. 3, pp. 197-206, 2005. [66] Bourisli, R. I., Al-Ajmi, M. A.: Optimization of Smart Beams for Maximum Modal Electromechanical Coupling Using Genetic Algorithms, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 21, No. 9, pp. 907-914, 2010. [67] Mehrabian, A. R., Yousefi-Koma, A.: A novel technique for optimal placement of piezoelectric actuators on smart structures, Journal of the Franklin Institute, Vol. 348, No 1, pp. 12-23, 2011. [68] Gawronski, W.: Simultaneous placement of actuators and sensors, Proceedings of the 18 th International Modal Analysis Conference, 07-10.02.2000, San Antonio, USA, pp. 1474-1478. Литература ______________________________________________________________________ 182 [69] Halim. D., Moheimani, S. O. R.: An optimization approach to optimal placement of collocated piezoelectric actuators and sensors on a thin plate, Mechatronics, Vol. 13, No. 1, pp. 27-47, 2003. [70] Dhuri, K. D., Seshu, P.: Favorable locations for piezo actuators in plates with good control effectiveness and minimal change in system dynamic, Smart Material and Structures, Vol. 16, No. 6, pp. 2526-2542, 2007. [71] Qiu, Z., Zhang, X., Wu, H., Zhang, H.: Optimal placement and active vibration control for piezoelectric smart flexible cantilever plate, Journal of Sound and Vibration, Vol. 301, No. 3-5, pp. 521-543, 2007. [72] Jiang, J. P., Li, D. X.: Optimal placement and decentralized robust vibration control for spacecraft smart solar panel structures, Smart Materials and Structures, Vol. 19, No. 8, 085020, 2010. [73] Bruant, I., Coffignal, G., Lene, F., Verge, M.: A methodology for determination of piezoelectric actuator and sensor location on beam structures, Journal of Sound and Vibration, Vol. 243, No. 5, pp. 861-882, 2001. [74] Kumar, K, R., Narayanan, S.: The optimal location of piezoelectric actuators and sensors for vibration control of plates, Smart Materials and Structures, Vol. 16, No. 6, pp. 2680-2691 , 2007. [75] Kumar, K, R., Narayanan, S.: Active vibration control of beams with optimal placement of piezoelectric sensor/actuator pairs, Smart Materials and Structures, Vol. 17, No. 5, pp. 055008 (1-15), 2008. [76] Jin, Z., Yang, Y., Soh, C. K.: Application of fuzzy GA for optimal vibration control of smart cylindrical shells, Smart Materials and Structures, Vol. 14, No. 6, pp. 1250-1264, 2005. [77] Yang, Y., Jin, Z., Soh, C. K.: Integrated optimal design of vibration control system for smart beams using genetic algorithms, Journal of Sound and Vibration, Vol. 282, No. 3-5, pp. 1293-1307, 2005. [78] Wang, S. Y., Tai, K., Quek, S. T.: Topology optimization of piezoelectric sensors/actuators for torsional vibration control of composite plates, Smart Materials and Structures, Vol. 15, No. 2, pp. 253-269, 2006. [79] Hiramoto, K., Doki, H., Obinata, G.: Optimal sensor/actuator placement for active vibration control using explicit solution of algebraic riccati equation, Journal of Sound and Vibration, Vol. 229, No. 5, pp. 1057-1075, 2000. [80] Liu, W., Hou, Z., Demetriou, M. A.: A computational scheme for the optimal sensor/actuator placement of flexible structures using spatial H2 measures, International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 20, No.4, pp. 881-895, 2006. Литература ______________________________________________________________________ 183 [81] Alkhatib, R., Golnaraghi, M. F.: Active Structural Vibration Control: A Review, The Shock and Vibration Digest, Vol. 35, No. 5, pp. 367-383, 2003. [82] Fisco, N. R, Adeli, H.: Smart structures: Part II — Hybrid control systems and control strategies, Scientia Iranica A, Vol. 18, No. 3, pp. 285-295, 2011. [83] Quek, S. T., Wang., S. Y., Ang, K. K.: Active control of geometrically nonlinear vibrations of functionally graded laminated composite plates using piezoelectric fiber reinforced composites, Journal of Sound and Vibration, Vol. 325, No. 1-2, pp. 186-205, 2009. [84] Moita, J. M. S., Correira, F. V. M., Martins, P. G., Soares, C. M. M., Soares, C.A. M.: Optimal design in vibration control of adaptive structures using a simulated annealing algorithm, Composite Structures, Vol. 75, No. 1-4, pp. 79- 87, 2006. [85] Gatti, G., Brennan, M. J., Gardonio, P.: Active damping of a beam using a physically collocated accelerometer and piezoelectric patch actuator, Journal of Sound and Vibration, Vol. 303, No. 3-5, pp. 798-813, 2007. [86] Choi, S. C., Park, J. S., Kim, J. H.: Vibration control of pre-twisted rotating composite thin-walled beams with piezoelectric fiber composites, Journal of Sound and Vibration, Vol. 300, No. 1-2, pp. 176-196, 2007. [87] Tanaka, N., Sanada, T.: Modal control of a rectangular plate using smart sensors and smart actuators, Smart Materials and Structures, Vol. 16, No. 1, pp. 36-46, 2007. [88] Moita, J. M. S., Martins, P. G., Soares, C. M. M., Soares, C.A. M.: Optimal dynamic control of laminated adaptive structures using Optimal dynamic control of laminated adaptive structures using a higher order model and a genetic algorithm, Computers and Structures, Vol. 86, pp. 198-206, 2008. [89] Panda, S., Ray, M. C.: Active control of geometrically nonlinear vibrations of functionally graded laminated composite plates using piezoelectric fiber reinforced composites, Journal of Sound and Vibration, Vol. 325, No. 1-2, pp. 186-205, 2009. [90] Tian, Y. P., Fu, Y. M., Wang, Y.: Nonlinear dynamic response of piezoelectric elasto-plastic laminated plates with damage, Composite Structures, Vol. 88, No. 2, pp. 169-178, 2009. [91] Malgaca, L.: Integration of active vibration control methods with finite element models of smart laminated composite structures, Composite Structures, Vol. 92, No. 7, pp. 1651-1663, 2010. [92] Bruant, I., Coffignal, G., Lene, F., Verge, M.: Active control of beam structures with piezoelectric actuators and sensors: modeling and simulation, Smart Materials and Structures, Vol. 10, No. 2, pp. 404-408, 2001. Литература ______________________________________________________________________ 184 [93] Ang, K. K., Wang, S. Y., Quek, S. T.: Weighted energy linear quadratic regulator vibration control of piezoelectric composite plates, Smart Materials and Structures, Vol. 11, No. 1, pp. 98-106, 2002. [94] Gabbert, U., Nestorović Trajkov Т., Köppe, H.: Modelling, control and simulation of piezoelectric smart structures using finite element method and optimal LQ control, Automatic Control and Robotics, Vol. 3, No. 12, pp. 417– 430, 2002. [95] Xu, S. X., Koko, T. S.: Finite element analysis and design ofactively controlled piezoelectric smart structures, Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 40, No. 3, pp. 241-262, 2004. [96] Gabbert, U., Nestorović Trajkov Т., Köppe, H.: Controller design and implementation for active vibration suppression of a piezoelectric smart shell structure, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, Vol. 43, No. 3, pp. 487-500, 2005. [97] Roy, T., Chakraborty, D.: GA-LQR Based Optimal Vibration Control of Smart FRP Composite Structures with Bonded PZT Patches, Journal of Reinforced Plastics and Composites, Vol. 28, No. 11, pp. 1383-1404, 2009. [98] Karagülle, H., Malgaca , L., Öktem, H. F.: Analysis of active vibration control in smart structures by ANSYS, Smart Materials and Structures, Vol. 13, No. 4, pp. 661-667, 2004. [99] Li, F. M., Chen, Z. B., Cao, D. Q.: Improving the Aeroelastic Flutter Characteristics of Supersonic Beams Using Piezoelectric Material, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 22, No. 7, pp. 615-629, 2011. [100] Wang, Y., Inman, D. J.: Comparison of Control Laws for Vibration Suppression Based on Energy Consumption, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 22, No. 8, pp. 795-809, 2011. [101] Chang, W., Gopinathan, S. V., Varadan, V. V., Varadan, V. K.: Design of Robust Vibration Controller for a Smart Panel Using Finite Element Model, Journal of Vibration and Acoustics, Vol. 124, No. 2, pp. 265-276, 2002. [102] Jiang, J. P., Li, D. X.: Decentralized Robust Vibration Control of Smart Structures with Parameter Uncertainties, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 22, No. 2, pp. 137-147, 2011. [103] Fakhari, V., Ohadi, A.: Nonlinear vibration control of functionally graded plate with piezoelectric layers in thermal environment, Journal of Vibration and Control , Vol. 17. No. 3, pp. 449-469, 2011. [104] Xue, X., Tang, J.: Vibration Control of Nonlinear Rotating Beam Using Piezoelectric Actuator and Sliding Mode Approach, Journal of Vibration and Control, Vol. 14, No. 6, pp. 885–908, 2008. Литература ______________________________________________________________________ 185 [105] Oh, J. S., Han, Y. M., Choi, S. B.: Vibration control of a camera mount system for an unmanned aerial vehicle using piezostack actuators, Smart Materials and Structures, Vol. 20, No. 8, pp. 085020 (1-13), 2011. [106] Nestorović Trajkov, T., Köppe, H., Gabbert, G.: Direct model reference adaptive control (MRAC) design and simulation for the vibration suppression of piezoelectric smart structures, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Vol. 13, No. 9, pp. 1896-1909, 2008. [107] Darus, I. Z. M., Tokhi, M. O.: Soft computing-based active vibration control of a flexible structure, Engineering Applications of Artificial Intelligence, Vol. 18, No 1, pp. 93-114, 2005. [108] Abreu, G. L. C. M., Ribeiro, J. F.: A self-organizing fuzzy logic controller for the active control of flexible structures using piezoelectric actuators, Applied Soft Computing, Vol. 1, No. 4, pp. 271-283, 2002. [109] Lin, J.: An active vibration absorber of smart panel by using a decomposed parallel fuzzy control structure, Engineering Applications of Artificial Intelligence, Vol.18, No. 8, pp. 985-998, 2005. [110] Lin, J.: A vibration absorber of smart structures using adaptive networks in hierarchical fuzzy control, Journal of Sound and Vibration, Vol. 287, No. 4-5, pp. 683-705, 2005. [111] Lin, J., Liu, W. Z.: Experimental evaluation of a piezoelectric vibration absorber using a simplified fuzzy controller in a cantilever beam, Journal of Sound and Vibration, Vol. 296, No. 3, pp. 567-582, 2006. [112] Nasser, H., Kiefer-Kamal, E. H., Hua, H., Belouettar, S., Barkanov, E.: Active vibration damping of composite structures using a nonlinear fuzzy controller, Composite Structures, Vol. 94, No. 4, pp. 1385-1390, 2012. [113] Sharma, M., Singh, S. P, Sachdeva, B. L: Modal control of a plate using a fuzzy logic Controller, Smart Materials and Structures, Vol. 16, No. 4, pp. 1331-1341, 2007. [114] Marinaki, M., Marinakis, Y., Stavroulakis, G. E.: Fuzzy control optimized by PSO for vibration suppression of beams, Control Engineering Practice, Vol. 18, No. 6, pp. 618-629, 2010. [115] Marinaki, M., Marinakis, Y., Stavroulakis, G. E.: Fuzzy control optimized by a Multi-Objective Particle Swarm Optimization algorithm for vibration suppression of smart structures, Structural and multidisciplinary optimization, Vol. 43, No. 1, pp. 29-42, 2011. Литература ______________________________________________________________________ 186 [116] Зорић Н., Митровић З., Симоновић А., Постељник З.: Оптимална контрола вибрација композитног еластичног пеизоелектричног манипулатора применом фази-логичког управљања, 38. Јупитер конференција, 34. NU/ROBOTI/FTS симпозијум (ISBN 978-86-7083-757-7), pp. 3.165-3.170, Машински факултет, Београд, 2012. [117] Zorić, N., Simonović, A., Mitrović, Z., Stupar, S.: Active vibration control of smart composite beams using PSO-optimized self-tuning fuzzy logic controller, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, Vol. 51, No. 2, 2013. [118] Shirazi, A., H., N., Owji, H. R., Rafeeyan, M: Active Vibration Control of an FGM Rectangular Plate using Fuzzy Logic Controllers, Procedia Engineering, Vol. 14, pp. 3019-3026, 2011. [119] Wei, J. J., Qiu, Z. C., Han, J. D., Wang, Y. C.: Experimental Comparison Research on Active Vibration Control for Flexible Piezoelectric Manipulator Using Fuzzy Controller, Journal of Intelligent & Robotic Systems, Vol. 59, No. 1, pp. 31-56, 2010. [120] Youn, S. H., Han, J. H., Lee, I.: Neuro-adaptive vibration control of composite beams aubject to sudden delamination, Journal of Sound and Vibrations, Vol. 238, No. 2, pp. 215-231, 2000. [121] Valoora, M. T., Chandrashekhara, K., Agarwal, S.: Self-adaptive vibration control of smart composite beams using recurrent neural architecture, International Journal of Solids and Structures, Vol. 38, No. 44-45, pp. 7857- 7874, 2001. [122] Kumar, R., Singh, S. P., Chandrawat, H. N.: MIMO adaptive vibration control of smart structures with quickly varying parameters: Neural networks vs classical control approach, Journal of Sound and Vibration, Vol. 37, No. 3-5, pp. 639-661, 2007. [123] Reddy, J. N.: Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis, Second edition, CRC Press, Boca Raton, 2004. [124] Gawronski, W. K: Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures, Springer-Verlag, New York, 2004. [125] Kailath, T.: Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1980. [126] Kennedy, J. and Eberhart, R.: Particle swarm optimization, Proceedings of the IEEE International Conference on Neural Networks, Vol. 4, 27.11-01.12.1995, Perth, Australia, pp. 1942-1948. [127] Teodorović, D., Kikuchi, S.: Fuzzy skupovi i primene u saobraćaju, Saobraćajni fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1994. Литература ______________________________________________________________________ 187 [128] Zadeh, L. A.: Fuzzy sets, Information and Control, Vol. 8, pp., 338-353, 1965. [129] Lee, K. H.: First Course on Fuzzy Theory and Application, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005. [130] Wilson, C. M. D.: Fuzzy Control of Magnetorheological Dampers for Vibration Reduction of Seismically Excited Structures, PhD thesis, Florida State University, Tallahassee, United States, 2005. [131] Qiao, W. Z., Mizumoto, M.: PID type fuzzy controller and parameters adaptive method, Fuzzy Sets and Systems, Vol. 78, No. 1, pp. 23-35, 1996. Биографија ______________________________________________________________________ 188 Биографија Име и презиме: Немања Зорић Датум рођења: 08. 10. 1983. Место рођења: Книн, Хрватска 1990.-1995.: Основна школа у Книну 1995.-1998.: Основна школа у Перлезу 1998.-2002.: Зрењанинска гимназија, Зрењанин 2002.-2007.: Универзитет у Београду, Машински факултет, одсек за ваздухопловство, просек 9.71 Школовање: 2007.-2013.: Докторске студије на Машинском факултету Универзитета у Београду 2007.-2010.: Истраживач приправник на Катедри за ваздухопловство на Машинском факултету Универзитета у Београду 2010: Редован војни рок Кретање у послу: 2010.- Асистент на Катедри за механику на Машинском факултету Универзитета у Београду Референце: [1] Zorić, N. D., Simonović, A. M., Mitrović, Z. S., Stupar, S. N.: Optimal vibration control of smart composite beams with optimal size and location of piezoelectric sensing and actuation, Journal of Intelligent Material Systems and Structures, Vol. 24, No. 4, pp. 499-526, 2013. [2] Zorić, N., Simonović, A., Mitrović, Z., Stupar, S.: Active vibration control of smart composite beams using PSO-optimized self-tuning fuzzy logic controller, Journal of Theoretical and Applied Mechanics, Vol. 51, No. 2, 2013. [3] Zorić, N. D., Simonović, A. M., Mitrović, Z. S., Stupar, S. N.: Multi-objective fuzzy optimization of sizing and location of piezoelectric actuators and sensors, FME Transactions, Vol. 40, No. 1, pp. 1-9, 2012. [4] Zorić, N. D., Lazarević, M. P., Simonović, A. M..: Multi-Body Kinematics and Dynamics in Terms of Quaternions: Langrange Formulation in Covariant Form- Rodriguez Approach , FME Transactions, Vol. 38, No. 1, pp. 19-28, 2010. [5] Zorić N., Mitrović Z., Simonović A., Stupar S., A PIC32 based active vibration control of smart composite beams, The 29th Danubia-Adria-Symposium on Advances in Experimental Mechanics, 26th-29th September 2012, Belgrade, Serbia (ISBN 978-86-7083-762-1), pp. 194-197.