UNIVERZITET U BEOGRADU GRAðEVINSKI FAKULTET mr Boško B. Furtula, dipl.grañ.inž GRANIČNA STANJA ARMIRANOBETONSKIH MONTAŽNIH DVOPOJASNIH NOSAČA OD BETONA VISOKIH ČVRSTOĆA -Doktorska disertacija - (rad ima 162 lista) Beograd, 2013. godine Mentori: Prof. dr Mirko Aćić, dipl.grañ.inž. Redovni profesor Grañevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu Prof. dr Mihajlo ðurñević, dipl.grañ.inž. Vanredni profesor Grañevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu Datum odbrane : ____________________ ZAHVALNOST Zahvaljujem mentorima prof. dr Mirku Aćiću, dipl. grañ. inž., i prof. dr. Mihajlu ðurñeviću, dipl. grañ. inž. na korisnim savetima, uputstvima i bezrezervnoj pomoći i podršci u svim fazama izrade disertacije. Osim kao profesionalnu, ovu pomoć sam doživljavao i kao prijateljsku, što mi je pričinjavalo posebnu čast. U pripremi i realizaciji eksperimentalnog dela istraživanja, imao sam svesrdnu pomoć kolega sa Grañevinskog fakulteta u Podgorici, gde je ceo eksperiment i realizovan, pa koristim ovu priliku da se na tome zahvalim tadašnjem dekanu prof.dr Dušku Lučiću, prodekanu prof.dr Milošu Kneževiću i rukovodiocu laboratorije prof.dr Radmiru Zejaku. Takoñe, se zahvaljujem Grañevinskom fakultetu u Podgorici i preduzeću “Nexan” iz Nikšića na materijalnoj i tehničkoj podršci u toku izrade eksperimentalnog dela disertacije. Zahvalnost upućujem i Draganu Čaliću, Dimitriju ðuroviću i Zoranu Aleksiću koji su mi pružili direktnu pomoć pri postavljanju i očitavanju mernih mesta. Zahvalnost dugujem i Visokoj poslovno tehničkoj školi iz Užica na učešću u finansiranju dela eksperimenta. Takoñe, koristim priliku da se zahvalim prof. dr Živojinu Praščeviću na podršci i korisnim savetima. Posebnu zahvalnost dugujem preminulom prof.dr. Miloradu Ivkoviću sa kojim sam sarañivao na projektovanju i izvoñenju dvopojasnih konstrukcijskih sistema i koji me je uveo u projektovanje tih sistema. Autor S A D R Ž A J 1. UVOD …………………….........................................................................…… 1 2. BETONI VISOKE ČVRSTOĆE ………………… ............................................5 3. PRIMENA BETONA VISOKIH ĆVRSTOĆA U SVETU………………… 22 4. RAZVOJ I PRIMENA DVOPOJASNIH KONSTRUKCIJSKIH SISTEMA………………………………… ....................................................... 31 5. EKSPERIMENTALNA ISTRAŽIVANJA DVOPOJASNIH KROVNIH NOSAČA……………………………………..… …………………………… 45 5.1. Karakteristike modela i šeme opterećenja…… .................................................. 45 5.2. Merenja deformacija nosača…………………………………………………… .51 5.2.1.Opšte deformacije……………………………………………………… ...........51 5.2.2. Lokalne deformacije………………………………………… ..........................51 5.2.3. Raspored mernih mesta………………………………………..........................52 5.3. Materijali………………………………………………………….......................54 5.3.1. Mehaničke karakteristike armature………………............................................54 5.3.2. Karakteristike komponenti betonske mešsvine…………………......................55 5.4. Izrada dvopojasnih nosača…………………………………………… ............... 61 5.5. Program eksperimentalnih istraživanja dvopojasnih nosača………………… . 67 5.5.1. Merenja na nosačima A i B pod opterećenjem……………………………… . 68 5.5.2. Rezultati ispitivanja kontrolnih betonskih tela…………………….. ............... 68 5.6. Oprema za ispitivanje i merna tehnika…………………………......................... 69 5.6.1. Način nanošenja opterećenja do loma……………………............................... 69 5.6.2. Oprema za ispitivanje kontrolnih betonskih tela……………… ...................... 69 5.6.3. Merna tehnika…………………………………………………. ...................... 72 5.6.4. Ostala merenja………………………………………………….. .................... 72 5.6.5. Tok eksperimenta………………………………………………...................... 73 5.6.6.Rezultati ispitivanja…………………………………………….. .................... 76 6. ANALIZA TEORIJSKIH REZULTATA PONAŠANJA DVOPOJASNIH SISTEMA……………………………………........................................................83 6.1. Analiza statičkih utucaja………………………………………….......................83 6.2. Analiza granične nosivosti ……………………………………….......................85 6.3. Analiza stanja napona ………… ......................................................................... 86 6.4. Deformacije dvopojasnog krovnog nosača…………………………………… 96 6.5. Analiza graničnog stanja dvopojasnih nosača. Kontinualno rešenje ............... 100 6.5.1. Diferencijalne jednačine sistema………………………….. … .................. 100 6.6. Numerički postupak…………………………… .............................................. 102 6.6.1. Diferencijalne jednačine kretanja................................................................... 103 6.6.2. Integracija diferencijalnih jednačina kretanja ................................................ 104 6.6.3. Sopstvene kružne učestanosti i sopstveni vektori sistema………….......... 105 6.6.4. Numerička analiza modela primenom MKE.................................................. 107 6.6.5. Pojednostavljeni način proračuna………………………………… .............. 111 7. ODREðIVANJE FAKTORA GRANIČNOG OPTEREĆENJA PRIMENOM LINEARNOG PROGRAMIRANJA.......................................114 8. UPOREDNA ANALIZA……………………………….................................... 141 9. ZAKLJUČAK………………………………………………………................. 151 10. FOTODOKUMENTACIJA……………………………………………… ..... 154 11. LITERATURA………………………………………………………….. ....... 164 GRANIČNA STANJA ARMIRANOBETONSKIH MONTAŽNIH DVOPOJASNIH NOSAČA OD BETONA VISOKE ČVRSTOĆE ABSTRAKT U ovoj disertaciji izvršena je teorijska i eksperimentalna analiza linijskog montažnog armiranobetonskog nosača sa čeličnim zetegama. Da bi se potvrdile teorijske postavke proračuna, unapredila tehnologija grañenja i omogućilo praćenje ponašanja ovih sistema u svim naponsko-deformacijskim stanjima, izvršena su eksperimantalna istraživanja sa betonom visoke čvrstoće na pritisak. Eksperimentalno su ispitivana i analizirana dva nosača (modela) “A“ i “B“, raspona 20.00 m u prirodnoj veličini koji su izrañeni od betona visokih čvrstoća od 75 MPa i 78 MPa, respektivno. U uvodnom delu je navedeno da ovakvi nosači u velikoj meri zadovoljavaju zahteve savremene tehnologije grañenja u koje spadaju: znatna redukcija sopstvene težine, brza i laka montaža i izbegavanje potreba za betoniranjem na licu mesta. Pored toga, ispunjeni su svi zahtevi u pogledu stabilnosti, funkcionalnosti i trajnosti ovakvih nosača. Kratkotrajno statičko opterećenje, nanošeno je u sedam faza, a osma faza je izvršena tako što je nosač izložen udaru u sleme pod punim opterećenjem sedme faze slobodnim padom tega od 5.00 kN sa visine 6.00m. U poglavlju 2 je prikazan pregled najznčajnijih svojstava betona visoke čvrstoće, metode projektovanja betonske mešavine, pregled radnih dijagrama betona u pojedinim zemljama i njihovo poreñenje sa odgovarajućim analizama. U poglavlju 3 dat je pregled najznačajnijih objekata od betona visoke čvrstoće koji su realizovani u svetu sa osnovnim karakteristikama i recepture za beton na nekim objektima. Pregled primene dvopojasnih sistema, uglavnom u našoj zemlji, prikazan je u poglavlju 4. Ovi konstrukcijski sistemi su nastali i unapreñeni na Grañevinskom fakultetu u Beogradu, što je rezultiralo njihovom velikom primenom u našoj zemlji. Dat je pregled realizovanih objekata sa karakterističnim detaljima autora sa ovog fakulteta i nekih detalja koje je autor disertacije realizovao, sam ili u saradnji sa njima. Peto poglavlje daje opis eksperimentalnih istraživanja: pripremu, izradu probnih mešavina, pravljenje modela u prirodnoj veličini i nanošenje opterećenja sa merenjima opštih i lokalnih deformacija nakon svake faze opterećenja. U šestom poglavlju daje se teorijska analiza ovih dvopojasnih sistema. Izložena je analiza stanja napona i deformacija, zatim analiza graničnih stanja ovih sistema u obliku integro-diferencijalnih jednačina. Ukratko je prikazan jedan metod dvojice kiniskeh autora, koji predstavlja uprošćenje metoda koji su predložili naši autori Ivković, Perišić, Aćić i Pakvor. Izvršena je teorijska analiza ponašanja nosača usled dejstva udara i razvijen je poseban računarski program na bazi konačnih elemenata i uporeñeni mereni i teorijski rezultati koji se dobro slažu. U sedmom poglavlju prikazuje se metodologija odreñivanja faktora graničnog opterećenja koje nosač dovodi u stanje granične ravnoteže za aplicirano i jednako podeljeno opterećenje na gornjem pojasu. Primenjeni postupak odreñivanja faktora graničnog opterećenja i mehanizma loma je zasnovan na dualitetu statičkih i kinematičkih veličina, i primenom linearnog programiranja odreñene karakteristične statičke i kinematičke veličine i formulisani zaključci. Za ova opterećenja je izvršena analiza ponašanja sistema prema teoriji I i II reda za elastično ponašanje nosača. U osmom poglavlju je izvršena završna uporedna analiza, tj. poreñenje teorijskih i eksprimentalnih rezultata i konstatovano njihovo dobro slaganje. Ključne reči: beton visoke čvrstoće, dvopojasni konstruktivni sistemi, faktor opterećenja, granična ravnoteža. LIMIT STATES OF REINFORCED HIGH STRENGTH CONCRETE PREFABRICATED TWO-CHORD STRUCTURES SUMMARRY In this PhD thesis is carried out theoretical and experimental analysis of linear, prefabricated reinforced concrete structures with a lower steel chord. To confirm the theoretical calculations, improve construction technology and to enable monitoring of the behavior of these systems in all stress-strain states was carried out an experimental research with concrete of high compressive strength. Two girders (models) “A” and “B” are investigated experimentally in life- size, made of high strengths concrete with a compressive strength 75 MPa and 78 MPa. In the introductory chapter states that these structures largely meet the requirements of modern construction technology which include: significant reduction of its own weight, quick and easy assemblage, avoiding the need for concreting on site, and in addition met all the requirements in terms of stability, functionality and durability of these structural systems. The short-term static load was applied in seven stages, and in the eights stage the ridge of the loaded structure was exposed to the impact of the weight free fall 5.00 kN from a height 6.00 m. In Chapter 2 is given an overview of the most important features of high-strength concrete, methods of concrete admixture design, review of operating diagrams for concrete in certain countries and their comparison with the corresponding analysis. In Chapter 3 is given an overview of the most important buildings constructed of high strength concrete that have been realized in the world with the basic characteristics and admixtures of concrete on some of these buildings. Through Chapter 4 provides an overview of application of two-chord structural systems, mainly in our country. These systems are created and developed in Faculty of Civil Engineering, University of Belgrade, which led to their wide application in our country. The review of the executed projects and characteristic details designed by authors from this faculty and some of the details that the author has realized, either alone or in collaboration with them, is presented. The fifth chapter mostly describes experimental research, preparation, making of test mixtures, creating a life-size models, applying loads with measurements of general and local deformation after each load stage. The sixth chapter gives a theoretical analysis of the two-chord structures. Provides a stress and strain analysis, and then the limit state analysis of the system in the form of integro- differential equations. One method, given by two Chinese authors, that represents simplification of the method for analysis of these systems, proposed earlier by Ivkovic, Perišić, Aćić and Pakvor, is shortly explained. The seventh chapter presents a methodology for determining the factor of limit load that leads the structural system into a state of limit equilibrium for the applied load and equally distributed load all along upper chord. Procedure for determining the factor of limit load and mechanism of collapse is based on the duality of characteristic static and kinematic quantities. Appling Linear programming these quantities are determined successfully and corresponding conclusion are formulated. For all mentioned loadings, an analysis for elastic behaviour of investigated structures according to the theory of the first and second order is carried out. A comparative analysis, i.e. comparison of theoretical and experimental results, is performed in Chapter 8, and good agreement is found between these results. Keywords: high strength concrete, two-chord structures, load factor, limit equilibrium – 1 – 1. UVOD U poslednjih dvadeset i pet godina primena i razvoj betona visokih čvrstoća je doživela u svetu veliku ekspanziju. U početku je ta primena bila samo na objekte sa posebnim zahtevima, a ubrzano se prelazi i na ostale, uobičajene grañevine. Postizanje čvrstoće betona od 100 MPa i više ne predstavlja teškoće, i spravljanje betona ovih čvrstoća sve više se širi po raznim gradilištima kod nas i u svetu. Beton je u upotrebi preko 9000 godina. Pod iz toga doba u Yiftah EL u Izraelu ima čvrstoću na pritisak od 35 do 40 MPa. Beton visokih čvrstoća je upotrebljavan za posebne namene skoro ceo vek. Plovila od betona izgrañena devedesetih godina prošlog veka u Engleskoj imaju čvrstoću na pritisak betona od 75 do 120 MPa. U SAD se kod gradnje visokih objekata upotrebljavao beton čvrstoće na pritisak oko 60 MPa, a kasnije je čvrstoća betona na pritisak bila 70 MPa, da bi krajem prošlog veka počela primena betona čvrstoće na pritisak preko 100 MPa. Naziv beton visokih čvrstoća ( High Strength Concrete – HSC ) upotrebljava se za betone koji imaju čvrstoću na pritisak veću od odreñene vrednosti koja se vremenom povećavala. U početku je to bilo preko 30MPa, a danas je u većini zemalja, pa i kod nas 60MPa i više. Beton visokih čvrstoća ima veliku čvrstoću na pritisak, ali ima i ostale mehaničke osobine koje doprinose većoj trajnosti i većoj otpornosti na sve agresivnije uticaje okoline. Povećanje primene ovih betona je ne samo zbog velike čvrstoće na pritisak, već i zbog dobre zaštite armature, povećane otpornosti na mraz i habanje, što sve doprinosi većoj trajnosti betonskih konstrukcija. Takoñe, lakša ugradljivost i smanjena sopstevna težina konstruktivnih elemenata doprinosi proširenju primene ovih betona. Zbog poboljšanih osobina ovih betona u odnosu na tzv. normalne betone, u Francuskoj se ovi betoni zovu još betoni visokih sposobnosti ( High Performance Concrete – HPC ). Svedoci smo činjenice da su objekti od običnog betona u jako lošem stanju zbog brojnih uticaja okoline, iako se dugo smatrao večitim materijalom, pa je pravi odgovor upotreba betona visokih čvrstoća. Visoka čvrstoća betona omogućuje smanjenje dimenzija nosača, što dovodi do smanjenja sopstvene težine konstrukcije, smanjenja inercijalnih sila pri dejstvu zemljotresa, a takoñe, omogućava povećanje raspona konstrukcija. Dobijanje većih ranih čvrstoća sa smanjenjem sopstvene težine otvara nove mogućnosti u montažnoj gradnji, naročito industrijskih objekata. Većina nacionalnih propisa za beton daje najveću čvrstoću na pritisak od 50 do 60 MPa, a kod nas je 60MPa. Ovo znatno usporava primenu betona visokih čvrstoća. Istovremeno, neke zemlje kao što su: Nemačka, Holandija, Norveška i Finska u nacionalnim propisima daju najveću vrednost i preko 100MPa. U SAD-u i Kanadi nema ograničenja čvrstoće na pritisak betona. Prema našem Pravilniku za beton i armirani beton iz 1987. godine, koji i danas važi, najveća vrednost čvrstoće na pritisak betona je 60 MPa. Prema EC-2, najveća čvrstoća na pritisak betonaske kocke stranice 15cm je 105MPa. Proračuni u stanju granične nosivosti i graničnim stanjima upotrebljivosti armirano betonskih konstrukcijakod nas su razvijeni na betonima sa čvrtoćom pri pritisku manjom od 60 MPa. – 2 – Težnja grañevinskih konstruktera je usmerena na razvoj i praktičnu primenu konstrukcijskih sistema, kojima se, uz primenu postojećih i novih materijala, omogućava proširenje polja primene odgovarajućih konstrukcija po rasponu, nameni objekta ili drugim kriterijumima vrednovanja projekta. Uz primenu postojećih ili novih tehnologija grañenja kojima se olakšava izvoñenje, skraćuje vreme izgradnje, olakšava eksploatacija i održavanje uz druge prednosti, moguće je ostvarenje nedostignutih dometa.Takoñe, izboru optimalnog rešenja konstrukcije prethodi i analiza sa tehničkog i ekonomskog stanovišta. Profesor Milorad Ivković, kao i profesori Mirko Aćić, Života Peišić i Aleksandar Pakvor su sa svojim saradnicima osmislili, projektovali i u praksu uveli novi dvopojasni konstrukcijski sistem. To je, ustvari, konstrukcijski spregnuti sistem, sa čeličnim elementima van betonskog dela preseka. Ovakvi sistemi, kao prefabrikovani krovni nosači, uspešno su primenjeni na većem broju industrijskih, javnih i drugih objekata. Izvedeno je preko dva i po miliona kvadratnih metara površine krovnih konstrukcija ovog tipa. Primena ovih nosača je u uzlaznoj liniji, jer su u praksi pokazali znatna preimućstva u odnosu na armiranobetonske i prethodno napregnute pune i rešetkaste nosače. Danas se i u mostogradnji, posebno pri sanaciji, izvode prethodno napregnute konstrukcije sa kablovima izvan armiranobetonskog preseka, tj. bez spoja kablova sa betonom betonskog preseka. Uopšte, kod dvopojasnih sistema, gornji pojas je izložen relativno velikim silama pritiska i malim momentima savijanja, a donji pojas, koji je na odstojanju od gornjeg pojasa i sa njim spojen preko pritisnutih vesrtikala – razupirača je izložen velikim silama zatezanja. Slika 1 - Izgled jednog dvopojasnog nosača [5] Na slici 1 prikazano je jedno rešenje dvopojasnog armiranobetonskog nosača raspona 20.00m kod koga donji pojas čini 8RΦ22.[5] Savremena tehnologija grañenja zahteva od konstruktera projektovanje konstrukcija sa manjom sopstvenom težinom, lakom i brzom montažom, prefabrikacijom svih elemenata i skraćenje ukupnog vremena grañenja. Istovremeno, zahteva se da budu ispunjeni i uslovi stabilnosti, funkcionalnosti i trajnosti svih elemenata konstrukcije. – 3 – Linijski, montažni, armiranobetonski dvopojasni nosači su ustvari, nosači sa zategom, projektovani kao elementi krovne konstrukcije, ispunjavaju u velikoj meri navedene uslove. Kod ovih nosača je izvršena značajna redukcija sopstvene težine, pa su samim tim omogućeni lakši transport i montaža. Nosači su sastavljeni od montažnih delova koi se meñusobno spajaju u celinu visokovrednim ili običnim zavrtnjevima. Donji pojas se postavlja van betonskog dela preseka nosača i izvodi od običnog čelika ili od kablova za prethodno naprezanje ukoliko se radi o većim rasponima (l ≥ 35.00m). U ovoj disertaciji izvršena je teorijska i eksperimentalna analiza armiranobetonskog montažnog dvopojasnog nosača raspona 20.00m, sa gornjim pojasom od betona visoke čvrstoće i donjim zategnutim pojasom od običnog čelika. Teorijska analiza obuhvata analizu statičkih uticaja u elementu, analizu stanja napona i deformacija u presecima, analizu graničnog stanja, deformacija i prslina. Ovaj eksperiment treba da potvrdi teorijske postavke proračuna, da ocenu spojeva i veza i omogući praćenje ovih nosača u svim naponsko-deformacijskim stanjima koji su od interesa za teoriju i praksu. Takoñe, analiziraće se prednosti upotrebe betona visokih čvrstoća u ovakvim sistemima s obzirom na smanjenje težine nosača, manje dimenzije preseka, lakšu montažu i transport, veće raspone kao i značajno povećanje trajnosti ovih konstrukcija u odnosu na konstrukcije sa običnim betonima. Izvršena je i dinamička analiza ovog sistema i eksperiment sa udarom tega od 5.00kN, slobodnim padom sa visine od 6.0.m u sleme nosača. Treba da se vidi kako beton visoke čvrstoće, pravilnim izborom preseka, dobrim konstruisanjem veza i detalja utiče na sigurnost, stabilnost i trajnost ovih nosača. Izvšeno je analiziranje nosača konačnim elementima, i to zategnutog donjeg pojasa grednim elementima, a gornjeg pritisnutog pojasa 3D izoparametarskim elementima. Urañen je softver za analizu dvopojasnih nosača korišćenjem MKE koji obuhvata i dinamičku analizu. Pri tome, moguće je u pojedinim trenucima vremena- intervalima pratiti ponašanje ovog nosača pri dinamičkim dejstvima. Softver je razvijen u institutu “ BIOIRC ” u Kragujevcu. Cilj eksperimentalne analize je praćenje ponašanja nosača u eksploataciji i u fazi loma nosača kao i poreñenje merenih uticaja u nosaču sa računski dobijenim uticajima. Vršeno je merenje dilatacija u karakterističnim presecima gornjeg i donjeg pojasa, merenje ugiba duž nosača i snimana pojava i stanje prslina na gornjem pojasu i završna pojava loma nosača. Analizom uticaja dobijen je koeficijent sigurnosti od loma 2.012, zatim vrednosti sile u donjem pojasu, veličine ugiba, slika prslina, završna figura loma. Eksperimenti su u celosti izvršeni u laboratoriji Grañevinskog fakulteta u Podgorici u leto i jesen 2008.godine. Tu su urañene i probne mešavine za beton visokih čvrstoća, kompletiran nosač, i postavljen na oslonce gde je i opremljen za ispitivanje. Uvodni deo disertacije sadrži ocenu da ovakvi nosači u velikoj meri zadovoljavaju zahteve savremene tehnologije grañenja. Konstatuje se da ovakvi nosači ispunjavaju sve zahteve u pogledu stabilnosti, funkcionalnosti i trajnosti. Drugo poglavlje prikazuje najznačajnija svojstva betona visoke čvrstoće, metode projektovanja betonske mešavine, pregled radnih dijagrama betona u pojedinim zemljama i njihovo poreñenje sa odgovarajućim analizama. – 4 – Treće poglavlje daje pregled najznačajnijih objekata od betona visoke čvrstoće koji su realizovani u svetu sa osnovnim karakteristikama i recepture za beton na nekim objektima. Pregled primene dvopojasnih sistema, uglavnom u našoj zemlji, prikazan je u poglavlju 4. Ovi konstrukcijski sistemi su nastali i unapreñeni na Grañevinskom fakultetu u Beogradu, što je rezultiralo njihovom velikom primenom u našoj zemlji. Dat je pregled realizovanih objekata sa karakterističnim detaljima autora sa ovog fakulteta i nekih detalja koje je autor disertacije realizovao, sam ili u saradnji sa njima. Peto poglavlje daje opis eksperimentalnih istraživanja: pripremu, izradu probnih mešavina, pravljenje modela u prirodnoj veličini i nanošenje opterećenja sa merenjima opštih i lokalnih deformacija nakon svake faze opterećenja. U šestom poglavlju daje se teorijska analiza ovih dvopojasnih sistema. Izložena je analiza stanja napona i deformacija, zatim analiza graničnih stanja ovih sistema u obliku integro- diferencijalnih jednačina. Prikazan je uprošćeni postupak dvojice kiniskeh autora, koji predstavlja uprošćenje metoda koji su predložili naši autori Ivković, Perišić, Aćić i Pakvor. Izvršena je teorijska analiza ponašanja nosača usled dejstva udara i razvijen je poseban računarski program na bazi konačnih elemenata i uporeñeni mereni i teorijski rezultati koji se dobro slažu. U sedmom poglavlju prikazuje se metodologija odreñivanja faktora graničnog opterećenja koje nosač dovodi u stanje granične ravnoteže za aplicirano i jednako podeljeno opterećenje na gornjem pojasu. Primenjeni postupak odreñivanja faktora graničnog opterećenja i mehanizma loma je zasnovan na dualitetu statičkih i kinematičkih veličina, i primenom linearnog programiranja odreñene karakteristične statičke i kinematičke veličine i formulisani zaključci. Za ova opterećenja je izvršena analiza ponašanja sistema prema teoriji I i II reda za elastično ponašanje nosača. U osmom poglavlju je izvršena završna uporedna analiza, tj. poreñenje teorijskih i eksprimentalnih rezultata i konstatovano njihovo dobro slaganje. – 5 – 2. BETONI VISOKE ČVRSTOĆE 2.1. UVOD Zahvaljujući vrlo intenzivnom razvoju tehnologije betona, stalno je rastao nivo mehaničkih čvrstoća, pa se danas u dobro organizovanim i opremljenim pogonima može dobiti beton čije čvrstoće na pritisak nakon 28 dana premašuju 100 MPa. Istraživači na polju tehnologije betona dali su doprinos stalnoj težnji grañevinskog konstruktera za osvajanjem novih materijala znatno boljih mehaničkih i drugih karakteristika. Tako je nastao beton znatno većih mehaničkih karakteristika u odnosu na svojstva primenjivanog betona-običnog betona [9]. Polovinom dvadesetog veka čvrstoća betona na pritisak se kretala od 30-40 MPa, pa su krajem prošlog veka dostignute vrednosti od 60 MPa. Porastu mehaničkih karakteristika betona postupkom uobičajene proizvodnje, značajno su doprinele kvalitetne komponente materijala koje ulaze u sastav betonske mešavine, naročito pojava novih vrsta aditiva. Pod pojmom beton visoke čvrstoće podrazumeva se beton koji ima čvrstoću na pritisak veću od odreñene vrednosti dobijene uobičajenim postupkom proizvodnje. Ova granica se vremenom menjala. Obično, s obzirom na čvrstoću na pritisak, betone delimo na obične – normalne betone, betone visoke čvrstoće ( High strength concrete ), betone vrlo visoke čvrstoće ( Ultra High strength concrete ) i specijalne betone, tabela 2.1. Tabela 2.1. Podela betona prema čvrstoći na pritisak Betoni normalne čvrstoće 20-60 MPa Betoni visoke čvrstoće 60-100 MPa Betoni vrlo visoke čvrstoće 100-150 MPa Specijalni betoni (betoni ultravisoke čvrstoće) >150 MPa Najčešća definicija betona visokih čvrstoća je prema American Concrete Institute, da je to beton takvih posebnih osobina koji se može dobiti uobičajenim postupcima proizvodnje, ugradnje i nege betona [35]. Prema nekim autorima beton visoke čvrstoće je beton sa vodocementnim faktorom ≤ 0.40 [10]. – 6 – Prema Evrokodu 2 betoni su svrstani u klase (tabela 2.2), gde se beton do klase C55/60 smatra običnim, a iznad te klase su betoni visoke čvrstoće. Tabela 2.2. Podela betona na klase čvrstoća prema Evrokodu 2 Klase čvrstoća betona Analitički izraz/objašnjenje fck (MPa) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 fck, cube (MPa) 15 20 25 30 37 45 50 55 60 67 75 85 95 105 fcm (MPa) 20 24 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98 fcm = fck +8 (MPa) fctm (MPa) 1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 fctm =0,30 x fck 2/3≤ C50/60 fctm =2,12ln(1+(fcm/10)) > C50/60 fctk, 0.05 (MPa) 1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1 3,2 3,4 3,5 fctk, 0.05 = 0,7 x fctm 5 % fractile fctk, 0.95 (MPa) 2,0 2,5 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 6,0 6,3 6,6 fctk, 0.95= 1 ,3 x fctm 95 % fractile fcm (MPa) 27 29 30 31 33 34 35 36 37 38 39 41 42 44 Ecm = 22 [(fcm /10]0.3 (fcm u MPa) εc1 (‰) 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,25 2,3 2,4 2,45 2,5 2,6 2,7 2,8 2,8 Videti sliku 3.2 εc1 (‰)= 0,7 fcm 031 < 2.8 εcu1 (‰) 3,5 3,2 3,0 2,8 2,8 2,8 Videti sliku 3.2 za fck ≥ 50 Mpa εcu1(‰)= 2.8 + 27[(98-fcm) /100]4 εc2 (‰) 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Videti sliku 3.3 Za fck ≥ 50 Mpa εc2(‰)=2,0+0,085(fck-50)0.53 εcu2 (‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 Videti sliku 3.3 za fck ≥ 50 Mpa εcu2(‰)=2,6+35[(90-fck)/100]4 n 2,0 1,75 1,6 1,45 1,4 1,4 za fck≥ 50 Mpa n=1,4+23,4[(90-fck)/100]4 εc3 (‰) 1,75 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3 Videti sliku 3.4 za fck≥ 50 Mpa εcu3(‰)=1,75+0,55[(fck-50)/40] εcu3 (‰) 3,5 3,1 2,9 2,7 2,6 2,6 Videti sliku 3.4 za fck≥ 50 Mpa εcu3(‰)=2,6+35[(90-fck)/100]4 Betoni visoke čvrstoće imaju i druge, poboljšane osobine kao što su trajnost i otpornost na agresivne uticaje sredine. Visoka trajnost ovih betona, dobra zaštita armature, dobra ugradljivost betona, dobra otpornost na habanje i dejstvo mraza, često su razlog više za primenu ovih betona, a ne samo čvrstoća betona na pritisak. Zato se ovi betoni u Francuskoj zovu betoni visokih svojstava ( High Performance Concrete ). Običan beton se dugo smatrao večitim materijalom, ali smo svedoci da su mnogi objekti izgrañeni običnim betonom u veoma lošem stanju, pa se postavlja pitanje opravdanosti njihove primene u agresivnim sredinama. Kao materijal koji može uspešno odgovoriti zahtevima – 7 – nosivosti, trajnosti, funkcionalnosti i ekonomičnosti nameće se beton visoke čvrstoće. S početkom razmatranja trajnosti konstrukcija, počinje i primena betona visokih čvrstoća, kao doprinos većoj trajnosti, naročito ako se gradi u agresivnim sredinama. Zapažena je primena betona visoke čvrstoće za razne objekte. Kod tunelskih konstrukcija je prednost primene ovih betona zbog izraženih prednosti pri izradi torkret betona. Poznat je tunel Frasdorf sewage (Bavarija) od betona visoke čvrstoće sa silikatnom prašinom [9]. Zatim, prednost primene ovih betona je kod stubova visokih objekata, naftnih platformi u Norveškoj, mostova velikih raspona i mnogih drugih objekata. Primena betona visokih čvrstoća ogleda se u njegovoj ekonomičnosti, smanjenju dimenzija poprečnog preseka, što dovodi do smanjenja sopstvene težine. Ovo ima za posledicu bržu gradnju, dobijanje vitkih konstrukcija, mogućnost savladavanja velikih raspona, veću otpornost na agresivne uticaje sredine i manje deformisanje u toku vremena, zbog redukcije tečenja kod ovih betona. [60] Još uvek ne postoje evropske norme ili preporuke za betone visoke čvrstoće i betone visokih performansi. U Americi je izvršena podela prema kategorijama u odnosu na mehanička svojstva betona i uslove trajnosti. Takva podela je prikazana u tabeli 2.3 [35]. Tabela 2.3. Podela betona visokih čvrstoća prema Federal Higway Administration (SAD) [35] Svojstvo Merna jedinica Metoda ispitivanja Podela betona visokih čvrstoća prema kategorijama 1 2 3 Otpornost na delovanje ciklusa smrzavanja i odmrzavanja % - odnos dinamičkih modula elastičnosti nakon 300 ciklusa i na početku ispitivanja ASTM C 66 AASHTO 70% ≤ E300/E0< 80% 80% ≤ E300/E0< 90% 90% ≤ E300/E0 Otpornost na delovanje ciklusa mraza i soli za odmrzavanje (SR) Vizuelno oštećenje nakon 50 ciklusa ASTM C 672 3,0 ≥ SR > 2,0 2,0 ≥ SR > 1,0 1,0 ≥ SR ≥ 0,0 Otpornost na abraziju (AR) mm – meri se dubina oštećenja ASTM C 944 2,0 >AR ≥ 1,0 1,0 > AR ≥ 0,5 0.,5 > AR Otpornost jona hlora (CP) Coulomb AASHTO T 227 ASTM C 1202 2.500 ≥ CP > 1.500 1.500 ≥ CP > 500 500 ≥ CP Otpornost na alkalno-silikatnu reakciju (ASR) % - ekspanzije nakon 56 dana ASTM C 141 0,20 ≥ ASR > 0,15 0,15 ≥ ASR > 0,10 0,10≥ASR Otpornost na sulfate (SR) % - ekspanzija ASTM C 1202 SR ≤ 0,10 nakon 6 meseci SR ≤ 0,10 nakon 12 meseci SR ≤ 0,10 nakon 18 meseci Konzistencija (SL- sleganje, SF – rasprostiranje) mm AASHTO T 119 ASTM C 143 SL > 190 SF > 500 500 ≤ SF ≤ 600 600 < SF Čvrstoća na pritisak (fc) MPa AASHTO T 22 ASTM C 39 55 ≤ fc < 69 69 ≤ fc < 97 97 < fc Modul elastičnosti (E) GPa ASTM C 469 34 ≤ Ec < 41 ≤ Ec < 48 < Ec – 8 – 41 48 Skupljanje (S) % AASHTO T 160 ASTM C 157 800 > S ≥ 600 600 > S ≥ 400 400 > S Puzanje (C) % / MPa ASTM C 512 75 ≥ C > 55 55 ≥ C > 30 30 ≥ C 2.2. KOMPONENTE BETONSKE MEŠAVINE Pri izboru komponenata za beton visoke čvrstoće potrebna je veća pažnja nego pri spravljanju betona obične čvrstoće. Komponente betona su cement, agregat, voda, hemijski i mineralni dodaci. Prve tri komponente su obavezne, a hemijski i mineralni dodaci se razlikuju u zavisnosti od osobina koje želimo postići. Razlika u odnosu na obične betone je što kod betona visoke čvrstoće obavezno imamo superplastifikator. Posebno je važno utvrditi meñusobnu usaglašenost izmeñu cementa, hemijskih i mineralnih dodataka. Ovo se, uglavnom, proverava probnim mešavinama. Može se reći da betoni visoke čvrstoće zahtevaju veću količinu cementa (≥ 400kg/m3) i manji vodocementni faktor. U pogledu granulometrijskog sastava postoji dobra sličnost sa običnim betonom, ali sa većim učešćem sitnijih frakcija agregata. Kada su u pitanju aditivi, obavezno se dodaju superplastifikatori ili/i razni drugi dodaci u zavisnosti od osobina koje želimo postići. Osobine cementa kao što su klasa čvrstoće, hemijski i mineralni sastav i finoća mliva ukazuju na pogodnost primene ovog cementa za izradu betona visoke čvrstoće. Kao mineraloški dodatak najviše je u upotrebi silicijumska prašina ( SiO2 ). Ovaj materijal sadrži 85-98% silicijum dioksida i najfinija zrna prečnika manjeg od 0.1µm. Silicijumska prašina je vrlo aktivna, tako da 1kg silicijumske prašine zamenjuje 3-4kg cementa pri čemu se čvrstoća betona ne menja. Beton se posmatra kao trofazni sistem koji čini cementni kamen, agregat i tranzitna zona ( inter-face ) izmeñu agregata i cementnog kamena. Slom betona je uvek po najslabijoj od ove tri faze. Da bi se dobila veća čvrstoća betona na pritisak potrebno je da svaka od ovih faza bude što kvalitetnija i homogenija. Treba težiti što boljoj vezi cementa i agregata koja se obično smatra najslabijim mestom u betonu. Boljom vezom cementnog kamena i agregata može se dogoditi da najslabije mesto u betonskom kompozitu bude agregat, pa tada treba ugraditi kvalitetan i čist agregat. U zavisnosti od osobina koje želimo postići kod betona visoke čvrstoće i visokih performansi zavisi i izbor komponenti, posebno cementa i tipa superplastifikatora. Prethodno treba dokazati meñusobnu usaglašenost ove dve komponente. U odnosu na obične betone, kod betona visoke čvrstoće treba ići sa cementima veće finoće mliva, što je nepovoljno sa stanovišta reologije. Upotreba mineralnih dodataka betonu je opravdana ako se dobijaju bolje osobine svežeg i očvrslog betona i ako su ekonomski i ekološki prihvatljivi. Sa superplastifikatorima postižemo bolju ugradljivost betona uz istu ili manju količine vode. Poželjno je upotrebljavati superplastifikatore novije generacije, jer su stariji rzvijeni pre upotrebe betona visoke vrstoće. Pojedine vrste suprplastifikatora za isti cement nemaju istu efikasnost. Ako hoćemo veće trajne čvrstoće, potrebna je veća količina superplastifikatora i najmanja količina vode. Za bolju ugradljivost betona treba najveća količina vode sa kojom postižemo zahtevanu čvrstoću, a količinu superplastifikatora odreñujemo kako bismo dobili potrebnu ugradljivost betona. Uglavnom se upotrebljavaju superplastifikatori u tečnom stanju zbog lakše dozaže i razgradljivosti. – 9 – Pored silikatne prašine upotrebljava se leteći pepeo i zgura. Leteći pepeo se obično upotrebljava u iznosu oko 15% od težine cementa za betone čvrstoće na pritisak do 100 MPa. Zgura se dozira od 10-30% od težine cementa uz kombinaciju sa 10% SiO2. Zgura i leteći pepeo zamenjuju jedan deo ukupne količine cementa. Agregat kao komponenta sa najvećim učešćem u sastavu betona, značajno utiče svojim karakteristikama na osobine betona. Izborom agregata kod betona visoke čvrstoće značajno se utiče na krajnje čvrstoće betona. Agregat na osobine očvrslog betona utiče svojim poreklom (prirodni, rečni, drobljeni), oblikom, teksturom, granulometrijskim sastavom, mineraloškim sastavom i fizičko-mehaničkim karakteristikama. Mnogobrojnim istraživanjima došlo se do saznanja da se, primenom drobljenog agregata, postižu bolji rezultati u pogledu dostizanja visoke čvrstoće betona. Veće čvrstoće na pritisak se dobijaju sa drobljenim agregatom za 30-40% u odnosu na ostale agregate [62]. Dobrom granulometrijskom sastavu agregata mora se posvetiti posebna pažnja, naročito odnosu krupnog i sitnijeg agregata. Za veće čvrstoće na pritisak značajan je izbor krupnog agregata. Kod većeg učešća krupnijeg zrna agregata smanjuje se količina cementnog kamena, a dolazi i do povećanja poroznosti i heterogenosti na kontaktu cementnog kamena i agregata. Za spravljanje betona visoke čvrstoće jednako su dobri agregati od krečnjaka, dolomita ili granita, ukoliko je dobar granulometrijski sastav, oblik i tekstura zrna [12]. Sa povećanjem čvrstoće na pritisak, povećava se i krtost betona. Prema istraživanjima nekih istraživača se vidi da, sa porastom čvrstoće na pritisak do karakteristične čvrstoće 70-80 MPa raste i duktilnost [80a]. Uzorci gde je dostignuta karakteristična čvrstoća veća od 70-80 MPa pokazali su smanjenu duktilnost. Mnogi propisi kao američki ( ACI-propisi ) obezbeñuju duktilnost ograničenjem koeficijenta armiranja zategnutom armaturom, a Evrokod 2 ograničava visinu pritisnutog dela betona za različite klase betona. Kod elemenata napregnutih na savijanje, pritisnuta armatura pojačava pritisnutu zonu betona, odnosno omogućava da se zatežuća armatura plastično deformiše pre sloma betona. Problem krtosti betona može se ublažiti i mikroarmiranjem vlaknima. Za povećanje duktilnosti, čvrstoće na savijanje i sigurnosti na pojavu prslina betona visokih čvrstoća, upotrebljavaju se čelična vlakna, a za povećanje otpornosti na požar polimerna vlakna. U upotrebi je više metoda za projektovanje betonske mešavine betona visoke čvrstoće, ali je najčešće u primeni metoda razvijena na univerzitetu u Sherbrookeu u Kanadi i prikazana je na slici 2.1. – 10 – Slika 2.1. Dijagram toka za projektovanje mešavine betona visoke čvrstoće prema metodi razvijenoj u Kanadi [10 ] Za projektovanje mešavine betona visoke čvrstoće postoji više metoda. U SAD se koristi metoda koju je predložio ACI-jev tehnički odbor 363, a u Francuskoj se upotrebljava De Larradova metoda. Od metoda koje su u upotrebi, značajna je metoda prema Mehti i Aitcinu [61]. 2.3. OSOBINE SVEŽEG BETONA VISOKE ČVRSTOĆE Kao i kod običnog betona i ovde se proveravaju osobine betona: temperatura, gustina, konzistencija i sadržaj uvučenog vazduha. Poželjno je ovu kontrolu vršiti na fabrici betona i na gradilištu, neposredno pre ugrañivanja. Ovom kontrolom betona u svežem stanju stvaraju se dobri uslovi za kvalitet betona nakon očvršćavanja. Reologija sveže betonske mase betona visoke čvrstoće je specifična i uopšte se može reći da je dostizanje zadovoljavajućih reoloških osobina sveže betonske mase za beton visoke čvrstoće, pitanje njegove izrade. Gustina ovih betona je veća nego kod običnih betona zbog veće količine cementa, a manje vode. Što je manja količina uvučenog vazduha lakše je postići čvrstoću na pritisak ovih betona. Količina uvučenog vazduha za nearmirani beton visoke čvrstoće je 1-3%. Tako je za vodocementni faktor veći od 0.30 količina uvučenog vazduha 1-1.5%, a za vodocementni faktor manji od 0.30 uvučenog vazduha ima 1.5-2% [10]. Merenje konzistencije se vrši kao i kod običnih betona. Kada se radi o mikroarmiranom betonu najčešće se konzistencija ispituje rasprostiranjem. U slučaju samozbijajućih betona sa sleganjem većim od 25cm, konzistencija se ispituje posebnim metodama za samozbijajuće betone. Pri merenju, temperatura sveže betonske mase treba da bude 15-20 ˚C, a praktično je prihvatljivo od 10-25˚C. Na sledećoj slici 2.2. prikazan je dijagram razvoja temperature za tri uzorka sa betonom čvrstoće 35, 90 i 120 MPa. – 11 – Slika 2.2. Razvoj temperature u težištu uzorka od betona normalne i visoke čvrstoće [10] Prethodni dijagram razvoja temperature prikazuje rezultate Aiticina i saradnika [10]. Ispitana su tri uzorka- stuba dimenzija 1x1x2m od betona čvrstoće 35, 90 i 120 MPa. Količine cementa su bile 355, 470 i 540 kg/m3, vodocementni faktor 0.45, 0.31 i 0.25. Na slici se vidi da uzorak čvrstoće 35 MPa ima najveća rana, a uzorak čvrstoće 120 MPa najmanja rana temperaturna naprezanja [10, 70], a ipak, se maksimalna temperatura razvija u uzorku čvrstoće 120MPa, a najmanja u uzorku čvrstoće 35MPa. Iz ovih eksperimenata se zaključilo da prirast temperature unutar elementa ne zavisi od ukupne količine veziva-cementa, već od količine veziva koje završi proces hidratacije, zatim vrste cementa, početne temperature, temperature okoline i oblika i dimenzija konstruktivnog elementa. 2.4. OSOBINE OČVRSLOG BETONA VISOKE ČVRSTOĆE 2.4.1. MEHANIČKE I REOLOŠKE OSOBINE BETONA VISOKE ČVRSTOĆE Kod betona visoke čvrstoće se podrazumeva i očekuje da pored visoke čvrstoće na pritisak ima i ostale povećane i kvalitetnije karakteristike u odnosu na obične betone. Neke osobine su posebno značajne, jer prave razliku u mehaničkim osobinama običnog i betona visokih čvrstoća i performansi. Mehaničke osobine agregata kod običnih betona nemaju veliki uticaj na mehaničke osobine betona, jer one kod običnog betona, uglavnom, zavise od vodocementnog faktora i čvrstoće cementnog kamena koji je završio hidrataciju, odnosno od njegove veze s agregatom. Zahvaljujući ovome, kod običnih betona je jednostavnije doći do odnosa čvrstoće betona na pritisak i ostalih mehaničkih osobina. U slučaju betona visokih čvrstoća i performansi u zavisnosti od komponenata koje ulaze u sastav betona, veza cementnog kamena i agregata nije uvek najslabije mesto, pa veza/odnos izmeñu čvrstoće betona na pritisak i ostalih mehaničkih osobina nije ista kao kod običnih betona. Poznato je da npr. kod ubrzanog očvršćavanja običnog betona, sa zaparivanjem, dobijamo veće rane čvrstoće koje su manje nakon 28 dana nego kod betona sa normalnim očvršćavanjem. Kod betona visokih čvrstoća ovo nije slučaj. Za ove betone je veoma značajna nega betona u prva 24 sata (više nego kod običnih betona). Pomanjakanje nege kod tih betona u prva 24 sata može dovesti do smanjenja čvrstoće na pritisak očvrslog betona. U sledećoj tabeli 2.4. i na slici 2.3. – 12 – daju se vrednosti čvrstoće na pritisak nakon 28 dana u zavisnosti od vodocementnog faktora i količine vode. Tabela 2.4. Zavisnost visoke čvrstoće betona na pritisak i vodocementnog faktora [10 ] Vodocementni faktor Raspon čvrstoće na pritisak (MPa) 0,40 - 0,35 50 -75 0,35 - 0,30 75 – 100 0,30 - 0,25 100- 125 0,25 -0,20 > 125 Slika 2.3. Zavisnost čvrstoće na pritisak betona visoke ćvrstoće od vodocementnog faktora i količine vode [10] Beton visoke čvrstoće je homogeniji materijal od običnog betona, ima veći modul elastičnosti, pri čemu je brzina rasta čvrstoće na pritisak veća od brzine rasta modula elastičnosti. Radni dijagram ovih betona je približno linearan, skoro do čvrstoće na pritisak. Zato kod vitkih elemenata od ovih betona, izloženih velikim naponima dolazi i do velikih deformacija. Na slici 2.4. je dat dijagram σc – εc pri opterećenju na pritisak za razne betone. Slika 2.4. Zavisnost napon – deformacija pri opterećenju na pritisak za različite čvrstoće betona [70] – 13 – Ima predloga da se zbog malog odnosa w/c ovih betona, njihova čvrstoća na pritisak ispituje nakon 56 i/ili 90 dana umesto 28, kao kod običnih betona. Zbog mogućnosti uporeñenja i čvrstoća na pritisak betona visokih čvrstoća se ispituje nakon 28 dana. Mnogi empirijski obrasci dati za obične betone ne važe za betone visokih čvrstoća. Tako, kod betona visoke čvrstoće za istu vrednost čvrstoće na pritisak, vrednost čvrstoće na savijanje i čvrstoće na zatezanje pri cepanju mnogo više se menjaju nego kod običnih betona. Često se koriste sledeći izrazi za odnos čvrstoće na pritisak fc i čvrstoće na zatezanje pri savijanju fs : fs = 0.94 · fc ½ [MPa] (2.1) fs = 0.23 + 0.12 fc -2.18 · 10-4 fc2 [MPa] (2.2) Veza čvrstoće betona na zatezanje pri cepanju fsp i čvrstoće na pritisak fc betona visokih čvrstoća je: fsp = 0.273 · fc⅔ [MPa] (2.3) fsp = 0.59 · fc0.55 [MPa] (2.4) Za betone visokih čvrstoća, sa različitim agregatom, utvrñeno je da se moduli elastičnosti menjaju za iste odnose vrednosti čvrstoće betona na pritisak [10]. Na slici 2.5. se daju dijagrami na osnovu kojih se iz poznate čvrstoće na pritisak i modula elastičnosti krupnog agregata može proceniti modul elastičnosti betona visoke čvrstoće. Slika 2.5. Zavisnost modula elastičnosti betona visoke čvrstoće od čvrstoće na pritisak betona visoke čvrstoće i modula elastičnosti krupnog agregata [10] – 14 – Veza modula elastičnosti i čvrstoće na pritisak za betone visoke čvrstoće je: Ec = 10 · [MPa] (2.5) Ec = 5 · [MPa] (2.6) f c - Poissonov koeficijent za betone visoke čvrstoće je, uglavnom, isti kao i za obične betone [10, 70]. Za dobijanje krive napon – dilatacija upotrebljavaju se razni uprošćeni izrazi u obliku parabole drugog reda i prave ili pravougaonika. Postoje težnje da se ovi dijagrami prilagode za betone visoke čvrstoće, a ima i novih predloga za proračun elemenata od betona visoke čvrstoće. Tako su opšti izraz koji je predložio Popovics 1973.god., kasnije 1987.god. dopunili Thorenfeldt, Tomaszewicz i Jensen za betone visokih čvrstoća vezu napon-dilatacija u obliku: ( )nkcuccu c ck c n n f εεε εσ /1+− ⋅= (2.7) Koeficijente „ k “ i „ n “ dali su Collins, Porasz i Mitchell [19] k = 1.00 za εc / εcu 1.00 k = 0.67 + fck / 0.62 za εc / εcu 1.00, fck u N/mm2 n = 0.80 + fck / 17, fck u N/mm2 Kada je poznat početni modul elastičnosti, dilatacija betona koja odgovara čvrstoći fck, može se izračunati iz izraza: 1− ⋅= n n E f c ck cuε (2.8) Ovi autori predlažu i izraz za modul elastičnosti za betone visoke čvrstoće: 69003320 +⋅= ckc fE [fck u N/mm2] (2.9) gde je fck čvrstoća betona betonske kocke stranice 15cm. ACI-ja [11] za dijagram napon – dilatacija predlažu pravougaonik ili krivolinijski dijagram ( slika 2.6. ) za čvrstoće cilindra 15/30cm do 50 MPa. Koeficijent ima vrednost 0.85, a koeficijent redukcije visine prema izrazu: 85,0 9,6 05,005,165,0 1 ≤⋅−=≤ ck fβ (2.10) Za čvrstoće betonskog cilindra preko 55 MPa predlaže se dijagram u obliku pravougaonika sa vrednošću i 1 = 0.65. – 15 – Slika 2.6. Predlog ACI-ja za radni dijagram betona visoke čvrstoće [11] Evrokod 2 [27] za dijagram napon – dilatacija predlaže parabolu drugog reda plus pravougaonik ili samo pravougaonik (obični betoni) za čvrstoće na pritisak do 60 MPa ( slika 2.7.). Slika 2.7. Predlog EC2 i CEB/FIP za radni dijagram betona [27] Vrednost koeficijenta = 0.85 važi za sve oblike pritisnutog dela preseka osim za preseke kod kojih se širina smanjuje prema pritisnutij ivici ( trougao ) kada je = 0.80. Kod betona visoke čvrstoće prema CEB/FIP Bulletinu od 1990.god. se, kao radni dijagram predlaže parabola plus prava pri čemu je: = 0.6 + 10/fck 0.85 U slučaju kada je radni dijagram u obliku pravougaonika do neutralne linije, koeficijent se menja od 0.782 za čvrstoće do 20 MPa do 0.578 za čvrstoće do 80MPa. Način dimenzionisanja armiranobetonskih preseka po teoriji graničnih stanja ( granična stanja nosivosti ) uglavnom je jednak za betone visokih čvrstoća i obične betone. Na narednim slikama prikazani su oblici radnog dijagrama betona preuzetih iz pravilnika zemalja koje u svojim pravilnicima imaju obuhvaćene i betone visokih čvrstoća. – 16 – Slika 2.8. Izgled radnog dijagrama betona prema CEB-FIP MC“90[20] Najmanja klasa betona prema ovom predlogu je C12, a najveća C80. Slika 2.9. Izgled radnog dijagrama betona prema Norveškom pravilniku NS 3473 (1992) Prema norveškim propisima najveća vrednost karakteristične čvrstoće betona pri pritisku je 105MPa. Za čvrstoće do 55MPa koristi se dijagram parabola + prava, a za čvrstoće do 85MPa dati su izrazi za modul elastičnosti i deformacije εco i εcu, a za veće čvrstoće odreñivanje ovih vrdnosti se utvrñuje eksperimentalno. Slika 2.10. Izgled radnog dijagrama betona prema ACI 318-89 (SAD)[13] – 17 – Prema ACI nije ograničena najveća vrednost čvrstoće betona na pritisak. Vrednost koeficijenta β je 0.85 za betone čvrstoće fcc≤ 27.60MPa, a najmanja vrednost ovog koeficijenta je 0.65. Ovaj koeficijent se smanjuje sa povećanjem čvrstoće betona pri pritisku, zbog toga što je dijagram napon – dilatacija za betone visokih čvrstoća bliži trouglu, nego pravougaoniku. Slika 2.11. Izgled radnog dijagrama prema Holandskom pravilniku Najveća čvrstoća na pritisak prema Holandskom pravilniku je 105MPa. Računska čvrstoća se računa po posebnom obrascu. Slika 2.12. Izgled dijagrama napon-dilatacija prema DIN-u 1045-1 (1996.) Prema DIN-u 1045-1 najveća klasa čvrstoće betona pri pritisku nakon 28 dana je C100/115. Zavisnost izmeñu napona i dilatacija je data po posebnim izrazima. – 18 – Slika 2.13. Izgled radnog dijagrama σc- εc prema PBAB 87, DIN 1045 i EC 2 Dijagram napon –dilatacija za beton čvrstoće do 60MPa dat je na slici 2.13. Sastoji se od parabole drugog stepena do dilatacije od 2‰ i pravca izmeñu dilatacija od 2‰ do 3.5‰. Skupljanje betona visokih čvrstoća, kao deformacije nezavisne od opterećenja, sastoji se od skupljanja betona usled temperaturnih promena, skupljanja od isušenja i autogenog skupljanja. Kod ovih betona ukupno skupljanje je manje nego kod običnih betona, što se vidi na slici 2.14. Slika 2.14. Zavisnost ukupnog skupljanja betona i w/c faktora [10] Sam mehanizam skupljanja kod ovih betona je drugačiji u odnosu na obične betone. Betoni visoke čvrstoće imaju manje kapilarnih pora, meñusobno nepovezanih, a količina vode je nedovoljna za hidrataciju, pa je dominantno autogeno skupljanje. Ovo skupljanje je posledica manje zapremine produkata hidratacije od zapremine elemenata koji ulaze u proces hidratacije, a veće je kod betona sa nižim vodocementnim faktorom, što se vidi na slici 2.15 [10]. – 19 – Slika 2.15. Odnos autogenog skupljanja i w/c faktora pri starosti betona od 24 stata [10] Autogeno skupljanje počinje odmah nakon otpočinjanja procesa hidratacije. Ispitivanja su pokazala da je ovaj oblik skupljanja naročito izražen ako u sastav betona ulazi silikatna prašina i vrlo fini cementi. Smanjenje autogenog skupljanja se postiže dobrom negom i/ili upotrebom aditiva koji smanjuju skupljanje. Sa negom betona treba početi odmah, nakon 3-5 sati i treba da traje što duže. Tečenje betona visokih čvrstoća je manje nego kod običnih betona, slika 2.16. Slika 2.16. Dijagram poreñenja koeficijenta tečenja-puzanja za razne napone [70] Ista saznanja u pogledu tečenja koja važe za obične betone, važe i za betone visokih čvrstoća. Ovi betoni imaju veću krutost, odnosno modul elastičnosti, pa im je veća i čvrstoća na zamor usled cikličnog opterećenja [61]. Poroznost je takoñe, manja u odnosu na obične betone , – 20 – a manje su kapilarna i ukupna poroznost. Pore su meñusobo nepovezane, a to u velikoj meri doprinosi većoj trajnosti ovih betona. [61] Ima saznanja da se korozija armature od uticaja hlorida i okolne sredine može značajno usporiti povećanjem zaštitnog sloja betona do armature i upotrebom betona visokih performansi- svojstava. Otpornost na dejstvo mraza je veća u odnosu na obične betone. Dosadašnja iskustva u primeni ovih betona ( preko 30 godina ) za izgradnju naftnih platformi u Severnom moru, mostova u Kanadi, Portugaliji, Nemačkoj i objekata u Japanu i Australiji, pokazuju da ovaj beton ima dobre osobine u pogledu trajnosti objekata. Kod betona visoke čvrstoće (visokih performansi) je zbog manjeg vodocementnog faktora, homogenije strukture i upotrebe silikatne prašine, manja je kapilarna i ukupna poroznost. Naročito je poboljšana veza cementnog kamena i agregata. Cement koji nije hidratisao, u povoljnim uslovima okolne sredine (vlaga) će naknadno hidratisati i tako uticati na zatvaranje mikroprslina i manjih širina prslina (apk ≤ 0.20mm) Proizvodnja betona visokih čvrstoća je skuplja od proizvodnje običnog betona. Očekivati je da zbog toga uvek više u upotrebi bude običan beton. Meñutim, zbog svojih izuzetnih svojstava postoje objekti koje je ekonomski opravdano graditi betonom visokih čvrstoća. Takvi objekti su naftne platforme, neboderi, mostovi, razni konstrukcijski elementi inženjerskih objekata, gde je potrebna povećana otpornost na štetno dejstvo okolne sredine, objekti gde se želi postići što veća trajnost i savladati veliki rasponi. Kod betona visokih čvrstoća gustina (zapreminska masa) nešto je veća od gustine običnih betona, pa se kod njih dobijaju visoke vrednosti odnosa gustina čvrstoća =ρ , što ima veliki značaj za primenu ovog betona kao konstrukcionog materijala [60]. U tabeli 2.5. prikazani su prosečni odnosi čvrstoće i gustine za beton visoke čvrstoće, a paralelno s tim prikazane su vrednosti za jedan običan beton i jedan konstrukcioni čelik srednjih mehaničkih čvrstoća. Tabela 2.5. Prosečni odnosi čvrstoće i gustine za BVČ, jedan običan beton i konstrukcioni čelik[60] Vrsta materijala Čvrstoća pri pri- tisku βp (MPa) Zapreminska masa γ (kg /m3) ρ = βp / γ (m2 / sec2) Običan beton (OB) 40 2400 16.700 Običan beton visokog kvaliteta (OBVK) 80 2500 32.000 Beton sa silikatnom prašinom (BSP) 120 2600 46.200 Autoklavan beton sa silikatnom prašinom (ABSP) 200 2800 71.400 Konstrukcioni čelik (KČ) 400 7850 51.000 – 21 – Slika 2.17. Pregled visine stubova koji bi se izveli od materijala iz tabele 2.5.[60] Na slici 2.17. daje se pregled visine stubova pravougaonog poprečnog preseka koji bi se mogli izvesti od materijala iz tabele 2.5, a da su izloženi delovanju samo sopstvene težine sa iskorišćenim graničnim naponima pritiska. Sa slike 2.17. se vidi da su odnosi za konstrukcioni čelik i beton visoke čvrstoće sa dodatkom SiO2 skoro istog reda veličine. Ovo znači da su u pogledu konstrukcionih karakteristika ova dva materijala skoro izjednačena. S obzirom na značajna istraživanja u svetu, može se reći da je primena betona visokih čvrstoća i performansi (svojstava) konkurentna i opravdana. Konstrukcije od ovog materijala mogu se projektovati i zadovoljiti sve uslove nosivosti, sigurnosti, trajnosti i funkcionalnosti, pa i racionalnosti. – 22 – 3. PRIMENA BETONA VISOKIH ČVRSTOĆA U SVETU U ovom delu disertacije daje se kraći pregled primene betona visokih čvrstoća u svetu. Jedna od prvih primena betona visokih čvrstoća bila je kod izgradnje naftnih platformi. Tako, npr. pri eksploataciji nafte u Severnom moru ( Norveška ), izmeñu 1955-1960 god. naglo se proširila primena ovog betona, ne samo kod gradnje naftnih plaformi, već i kod gradnje mostova većih raspona kao i drugih značajnijih objekata. Kao materijal nametnuo se beton visoke čvrstoće. Primenu betona visokih čvrstoća sve više počinju da prate i eksperimentalna istraživanja, kako bi se na bazi tih istraživanja doneli nacionalni propisi. ( Norveška, NS 3479 iz 1989.god. ) U dosadašnjem periodu od ovog betona izgrañen je znatan broj nafnih platformi, a stroge zahteve u pogledu trajnosti koje mora da ispuni materijal za gradnju naftnih platformi, može da ispuni samo beton visoke čvrstoće. Svi ovi objekti su izloženi agresivnom uticaju morske vode, jakom udaru visokih talasa, uticaju vetra, niskim temperaturama i potresima. Zahtevi za dobru obradljivost i izuzetnu trajnost betona za ove objekte su vrlo visoki. Uobičajena čvrstoća betona ostvarena na ovim objektima je 65-75 MPa. Prosečna potrošnja cementa za ove betone je 420kg/m3 a vodocementni faktor 0.38. Takoñe, počelo se sa skromnom primenom i lakog betona visoke čvrstoće. Most Sandhornya u Norveškoj je meñu prvim mostovima izgrañenim od lakog betona visoke čvrstoće. Most je grañen od 1988- 1989. godine. Ukupna dužina mosta je 374 m, a sastoji se od tri raspona dužina 110-154-110 m. Sika 3.1. Most Sandhornya u Norveškoj [96] – 23 – U Norveškoj je sagrañen i most Salhus krajem 1993. godine. Nosači i kolovozna ploča izgrañeni su od lakog betona visoke čvrstoće sa zapreminskom težinom od 1900 kg/m3. Ostvarene čvrstoće na pritisak lakog betona su bile oko 70 MPa, dok je modul elastičnosti lakog betona bio 20 GPa. Sika 3.2. Most Salhus u Norveškoj[96] Takoñe, i most Varodd je izgrañen krajem 1994. godine. Ukupna dužina mosta je 660 m a sastoji se od pojedinačnih raspona dužine 120 – 260 - 200 - 80 m. Beton visoke čvrstoće je odabran iz dva razloga. Prvi razlog je smanjenje količine betona i armature, a drugi razlog je bio dobra zaštita armature u ovakvom betonu. Sika 3.3. Most Varodd u Norveškoj [96] – 24 – BfG zgrada, Frankfurt na Majni, Nemačka U Nemačkoj je pri gradnji BfG zgrade, Frankfurt na Majni, prvi put upotrebljen beton visoke čvrstoće. Zgrada je visoka 186 m i ima 47 nadzemnih i 4 podzemne etaže. Za deo objekta, stubove i deo zida upotrebljen je beton čvrstoće pri pritisku od 85MPa, a ostali delovi objekta u višim etažama rañeni su sa običnim betonima. Objekat je sagrañen 1992. god. Sika 3.4. Zgrada u Nemačkoj od betoa visoke čvrstoće[91], [92] U Francuskoj se umesto betona visokih čvrstoća upotrebljava naziv beton visokih svojstava (High Perfomance Concrete- HPC), jer se ne uzima u obzir samo visoka čvrstoća betona već i ostale poboljšane osobine ovog materijala. U početku upotrebe betona visokih čvrstoća u Francuskoj (1984-1988 ) kao osnovni razlozi za primenu su bili njegova trajnost, visoka otpornost na uticaj morske vode i otpornost na niske temperature, zatim visoke rane čvrstoće betona. Most Ile de Ré je grañen u periodu od 1986-1988. god. Dužine je oko 3000m sa rasponima od 110m. Projektom predviñena klasa betona je bila 35MPa, dok je ostvarena bila 60MPa. Ovde su postignute rane čvrstoće betona od 15MPa pri starosti od 10 sati, što je omogućilo znatno bržu gradnju, naročito montažnih elemenata, a značajan razlog za primenu veće čvrstoće betona je i dobra otpornost na morsku vodu. – 25 – Sika 3.5. Most Ile de Ré u Francuskoj [95] Viseći most Normandie, sa kosim zategama, ima glavni raspon od 856 m i drugi je po rasponu most na svetu. Ukupna dužina mosta je 2141 m. Širina koovozne ploče je 21.20 m. Postignuta marka betona na pritisak je MB60MPa. Slika 3.6. Most Normandie u Francuskoj [95] U Danskoj je 1998. god. došlo do primene betona visokih čvrstoća pri izgradnji dva železnička tunela ispod mora kao i dva mosta za ostvarivanje veze izmeñu Danske i skandinavskih zemalja (most i tunel Veliki Belt (Great Belt)). Glavni razlog primene betona visokih čvrstoća kod ovih impozantnih objekata leži u trajnosti ovog betona i dobroj zaštiti od hemijskog delovanja morske vode. Projektovana čvrstoća betona na pritisak za pojedine delove mostova i tunela bila je 65MPa. U cilju smanjenja mikroprslina u betonu projektom je zahtevano da razlika temperature pri hidrataciji cementa u odnosu na temperaturu sredine ne bude veća od 20° C. – 26 – Sika 3.7. Most i tunel Veliki Belt (Great Belt), u Danskoj [91], [92] U Belgiji je upotrebljen beton visoke čvrstoće pri izgradnji garaže od 24 sprata. Beton visoke čvrstoće upotrebljen je kod izrade prefabrikovanih stubova, a projektovana je MB80. Ova čvrstoća je postignuta sa 450 kg/m3 cementa, 45 kg/m3 silicijumske prašine, superplastifikatora 12.8 l/m3, peska 790 kg/m3 i šljunka 1080 kg/m3. Kao glavni razlozi upotrebe ovakvog betona navedeni su smanjenje poprečnog preseka stubova, smanjenje količine armature, brzina gradnje kao i jeftinija gradnja. Objekat je završen 1992.god. U SAD i Kanadi oko 1965.god. upotrebljavan je beton sa čvrstoćom na pritisak od 60 do 75 MPa za razne vojne grañevine. Količina upotrebljenog cementa je oko 650 kg/m3 , a vodocementni faktori su bili niski. Rañeno je bez aditiva. Zbog velike količine cementa pri očvršćavanju betona razvijala se velika temperatura, koja je uslovila posebne mere nege mladog betona. Danas je u upotrebi i beton sa čvrstoćama pri pritisku do 140MPa. Veća visoka čvrstoća betona, najviše se upotrebljava kod izgradnje visokih zgrada, mostova, robnih kuća, garaža, naftnih platformi i sl. U narednim tabelama daje se kraći prikaz objekata izgrañenih od betona visoke čvrstoće sa recepturama za pojedine objekte. Tabela 3.1.- Prikaz objekata izgrañenih od betona visoke čvrstoće [91], [93] Čvrstoća Grañevina Mesto Godina [MPa] Primedbe Helmsley Palace Hotel New York 1978 55.2 68 spratova Trump Tower New York 55.2 68 spratova City Center Project Minneapolis 1981 55.2 52 sprata Collins Place Melbourne 55.2 44 sprata 499 Park Avenue New York 58.6 27 spratova – 27 – Royal Bank Plaza Toronto 1975 60.7 110 MPa za godinu dana, 43 sprata Richmond-Adelaid Centre Toronto 1978 60.7 33 sprata 300 West Monroe Chicago 1973 62.1 Midcontinetal Plaza Chicago 1972 62.1 50 spratova Frontier Towers Chicago 1973 62.1 55 spratova Water Tower Place Chicago 1975 62.1 h=262 m, 75 spratova, 69000 m3 lakog betona River Plaza Chicago 1976 62.1 56 spratova, 75.8 MPa Mercantile Exchange Chicago 1982 62.1 40 spratova 96.5 MPa Columbia Center Seattle 1984 65.5 76 spratova Interfirst Plaza Dallas 1983 69.0 73 sprata Dain Bosworth Tower Minneapolis 96.5 47 spratova Scotia Plaza Tower Toronto 1988 70.0 68 spratova BCE Place Toronto 1991 70.0 52000 m3 Jack Davies Building Victoria 1993 70.0 300 m3 Paine Plaza Chicago 1976 75.8 Concordia University 1990 85.0 Bay-Adelaide Building Toronto 1989 85.0 20000 m3 900 North Michigan Garage Chicago 1986 96.5 Concordia University Canada 1990 100.0 Upotrebljene recepture (po m3) i ostvarene čvrstoće betona za neke grañevine: Tabela 3.2.- Neke recepture za betone visoke čvrstoće [91], [93] Water Tower Place, Chicago 1975. La Laurentienne Building, Montreal 1984. Scotia Plaza Toronto 1987. Two Union Square, Seattle 1988. voda (kg) 195 135 145 130 cement (kg) 505 500 315 513 leteći pepeo (kg) 60 zgura (kg) 137 silicijumska prašina (kg) 30 36 43 krupni agregat (kg) 1030 1100 1130 1080 sitni agregat (kg) 630 700 745 685 plastifikator (1) 0.975 9.0 usporivač (1) 1.8 superplastifikator (1) 14 5.9 15.7 vodocementni faktor 0.35 0.27 0.31 0.25 fc' 28 dana (Mpa) 65 93 83 119 fc' 91 dan (Mpa) 79 107 93 145 – 28 – U Tajlandu toranj Baiyoke-2 Tower ( Bangkok) ima 90 etaža i sagrañen je 1993. godine. Pumpani beton visoke čvrstoće ugrañen je u ploče i stubove jezgra tornja. Čvrstoća betona do 65 etaže bila je 60MPa, a za ostali deo je 50 MPa. Slika 3.8. Toranj Baiyoke-2 Tower Bangkok u Tajlandu [91], [92] – 29 – Zgrada u Maleziji sa visinom od 450m je meñu najvećim u svetu. Niži delovi objekta su projektovani od betona čvrstoće od 80MPa, a viši delovi sa čvrstoćom od 60MPa i 40MPa. Količina upotrebljenog cementa je 520kg/ m3, vodocementni faktor 0.27 uz superplastifikator i silicijumsku prašinu. Modul elastičnosti je 35.5 GPa, a temperatura svežeg betona nije bila veća od 35 °C, pri čemu je sleganje svežeg betona oko 20 cm zbog ugradnje betonskim pumpama. Slika 3.9. Zgrada u Maleziji [93] U Japanu, na Univerzitetu u Tokiju dobijen je beton MB102 već 1940 godine. Ova čvrstoća je postignuta sa mešavinom za obični beton, ali sa vodocementnim faktorom 0.22 i primenom pritiska od 10 MPa za vreme prvog dana očvršćavanja betona. Danas se u Japanu upotrebljava beton visokih čvrstoća najčešće u montažnim elementima koji se proizvode u fabričkim halama, u neposrednoj blizini fabrika betona i kasnije montiraju na gradilištima. Čvrstoće betona od 60 do 70 MPa se dobijaju od mešavina kao za običan beton, ali sa posebnim merama ugradnje i tretmanom svežeg betona i niskim vodocementnim faktorom. U poslednje vreme beton visokih čvrstoća dobija se uz upotrebu superplastifikatora i silicijumske prašine. Most Aomori je viseći most s rasponom od 240 m i stubovima visine 82.00 m, a postignuta čvrstoća na pritisak je 60 MPa. Vodocemntni faktor ugrañenog betona je 0.35, a količina cementa se kretala u količini od 386 - 400 kg/m3 betona. – 30 – Slika 3.10. Most Aomori [94] – 31 – 4. RAZVOJ I PRIMENA DVOPOJASNIH KONSTRUKCIJSKIH SISTEMA Prva primena dvopojasnih konstrukcijskih sistema sa gornjim pojasom od običnog armiranog betona i zategom, takoñe, od armiranog betona realizovana je na objektu robnih kuća “Beograd“ u periodu od 1983-1984.god. Autori sistema ovih konstrukcija profesori: M. Ivković, M. Aćić, Ž. Perišić i A. Pakvor su nakon ove realizacije primenili ih na velikom broju industrijskih, sportskih, skladišnih i drugih objekata. Jedan deo objekata je radilo preduzeće “Jablanica“ iz Valjeva koje je uspešno realizovalo više hiljada kvadratnih metara koristeći ove sisteme za krovne konstrukcije raspona do 30.00m. Primena ovih sistema se naglo širila i izgañeni su mnogi objektu u Beogradu, Pančevu, Valjevu, Užicu, Tuzli, Arilju, Požegi i mnogim drugim mestima. Sa povećanjem primene ovih sistema, radilo se na unapreñenju koncepcije ovih konstrukcija, postupku proračuna, tehnologiji grañenja ovih vrlo lakih i vitkih konstrukcijskih sistema od armiranog i prethodno napregnutog betona. Za donji pojas-zategu se obično koriste čelični profili, armatura ili kablovi za prethodno naprezanje sa betonom ili bez njega. Ovi sistemi sve više pokazuju svoje prednosti, naročito za prefabrikovane betonske elemente, kako linijske tako i površinske. Na slici 4.1 daju se osnovni podaci o ovim sistemima za manje i srednje raspone koje su autori ovog sistema koristili kod mnogih objekata.[5] Slika 4.1. Dvopojasni nosači sa zategnutim pojasom- zategom od običnog čelika[5] Za raspone do 30.00m, kod ovih lakih prefabrikovanih sistema, po pravilu se kao zatega koristi običan čelik, a za veće raspone čelik za prethodno naprezanje. Kod oba slučaja moguće je ostavriti željeni stepen prethodnog naprezanja. Izbor poprečnog preseka gornjeg pojasa je različit i postoji velika sloboda u projektovanju. U cilju obezbeñenja stabilnosti ovih linijskih sistema, sprečavanja izvijanja u ravni upravnoj na ravan nosača, najčešće se rade, za veće raspone, dvojnog poprečnog preseka, sa dva ”obraza” koji su meñusobno povezani prečkama- dijafragmama. – 32 – Interesantna je primena ovih sistema kada se kablovi za prethodno naprezanje ( ili užad ) provlače kroz čeličnu cev kružnog ili kvadratnog preseka. Ova metalna cev služi za injektiranje kablova u cilju zaštite od korozije, a istovremeno preuzima deo (ili sve) uticaje od snega i vetra. Na ovaj način je urañena hala u Sevojnu ( M.Ivković, Ž.Praščević, B.Furtula) raspona 2x25.00m. Kod ovog objekta ( slika 4.2) je čelična cev kroz koju se provlače kablovi, bila “montažna” tako da se njeno fiksiranje vršilo nakon utezanja kablova i nanošenja kompletnog stalnog opterećenja. Čelična cev se onda fiksirala i služila ( tako i računata ) za prijem uticaja od snega i vetra. Ovo se pokazalo kao vrlo ekonomično rešenje. U istom sistemu urañena je i proizvodna hala u Užicu (RO “Cveta Dabić”) raspona 35.00m. Projektanti su bili M.Ivković, Ž.Praščević i B.Furtula. (Slika 4.3). Zatim je urañeno više projekata za poljoprivredne objekte raspona 25.0m u Tuzli, takoñe, u istom sistemu (M.Ivković, Ž.Praščević i B.Furtula). U Lunovom Selu kod Užica urañena je proizvodna hala raspona 30.00m od dvopojasnih sistema sa donjim pojasom od običnog čelika (B.Furtula) i više hladnjača u Požegi i okolini raspona 20.0m sa donjim pojasom- zategom od običnog čelika (B.Furtula). Kod svih ovih sistema, gornji pojas je bio udvojen, pravougaonog preseka mestimično spojen prečkama-dijafragmama. Na slici 4.4 se prkazuju neki od primenjenih sistema sa udvojenim gornjim pojasom. Slika 4.2. Dvopojasni nosači sa donjim pojasom u vidu zatege za halu u Sevojnu – 33 – PRESEK 1-1 Slika 4.3. Dvopojasni nosač sa donjim pojasom-zategom od užadi za halu “ Cveta Dabić” u Užicu Slika 4.4. Dvopojasni nosači sa čeličnom zategom i udvojenim gornjim pojasom[5] Kod većih raspona moraju se zadovoljiti i uslovi transporta, pa se ovi nosači mogu konstruisati iz dva ili više prefabrikovanih elemeata. Povezivanje ovih elementa je standardnim ili vv zavrtnjevima. To je jako pogodno, naročito god gradnje montažno-demontažnih objekata, kad su: privremeni objekti, vojni i razni drugi objekti. Na slici 4.5 se vidi jedan takav nosač, podužno spojen zavrtnjevima. – 34 – Slika 4.5. Dvopojasni nosači sa udvojenim gornjim pojasom, podužno spojeni[5] Velike su mogućnosti prefabrikacije ovakvih sistema, pa se oni mogu podužno i poprečno spajati, najčešće vv zavrtnjevima. Veze se ostvaruju suvim postupkom. Dimenzije pojedinih elemenata nosača se prilagoñavaju uslovima montaže i transporta. Na slikama od 4.7 do 4.17 vide se neke od mogućnosti montažnih veza i načina spajanja elemenata.[5][46][47] Slika 4.6. Podužni presek jednog glavnog nosača Sve prikazane veze na slikama 4.7 do 4.14, autor ove disertacije je više puta primenjivao u praksi. – 35 – PRESEK 1-1 Slika 4.7. Jedan način oslonačke veze-veza donjeg i gornjeg pojasa Slika 4.8. Veza gornjeg i donjeg pojasa PRESEK 1-1 Slika 4.9. Veza gornjeg i donjeg pojasa krovnog nosača – 36 – PRESEK 1-1 Slika 4.10. Primer montažne veze gornjeg pojasa i razupirača Slika 4.11. Drugi način montažne veze gornjeg pojasa i razupirača – 37 – PRESEK 1-1 Slika 4.12. Dvopojasni sistem-montažna veza u slemenu pomoću zavrtnjeva sposobna da primi M, N i T-sile Slika 4.13. Detalj veze donjeg pojasa i razupirača u čeliku dvopojasnog sistema-nosača – 38 – Slika 4.14. Jedan od načina oslonačke veze, gornjeg i donjeg pojasa Slika 4.15. Primeri oslonačkih montažnih spojeva elemenata dvopojasnih sistema [5],[46],[47] – 39 – Slika 4.16. Razni detalji spoja elemenata kod montažno-demontažne gradnje dvopojasnih sistema[5], [47] i, [46] Ovi nosači većeg raspona se najčešće rade sa montažnom vezom u slemenu i to tako da veza može prihvatiti momente savijanja, normalne i transverzalne sile. Meñutim, može se raditi i zglobna veza u slemenu, pri čemu ulogu zgloba preuzima čelični valjak, čelični cilindar napunjen betonom ili cilindar od betona visoke čvrstoće (slika 4.16). Značajna mogućnost primene dvopojasnih sistema je i za površinske nosače gde se u kombinacijama sa prefabrikacijom, sprezanjem betona različite starosti i sprezanjem sa lakim betonima mogu dobiti elegantne i ekonomične konstrukcije koje imaju i estetsku vrednost. Na slici 4.17 se vidi predlog krovne roštiljne konstrukcije oslonjene na četiri tačke u polju, a na slici 4.18 prefabrikovana armiranobetonska pečurkasta tavanica. Obe ove konstrukcije su elastično oslonjene na zategnute elemente u dva ortogonalna pravca [46],[46]. – 40 – Slika 4.17. Primer dvopojasne roštiljne konstrukcije[46],[47] Slika 4.18. Primer pečurkaste AB tavanice[46],[47] Kao primeri projektovanih i izvedenih konstrukcija u ovom sistemu koji imaju izuzetan značaj za teoriju i praksu armiranobetonskih i prethodno napregnutih konstrukcija navodi se projekat konstrukcije hangara na aerodromu “Nikola Tesla” (Surčin) u Beogradu.( slika 4.19.) – 41 – Slika 4.19. Nosač hangara JAT-a na aerodromu “Nikola Tesla”(Surčin) u Beogradu [34],[45],[90] Glavni prethodno napregnuti armiranobetonski nosači krova hangara su dvopojasni raspona 135.80m sa strelom od 9.70m. Gornji pritisnuti pojas je armiranobetonski konstantnog sandučastog preseka rañen od betona MB45. Donji pojas čine užad za prethodno naprezanje ( po tri kabla 11Ø15.2mm. Poligonalnu konfiguraciju kablova obezbeñuje sedam piramidalnih ”stolica“ od metalnih cevi. Zatezanjem kablova elastično se podupire gornji armiranobetonski pojas. S obzirom na specifičnosti konstrukcije glavnog nosača, programom ispitivanja obuhvaćena su merenja i opažanja u toku izvoñenja objekta , a zatim u periodu njegove eksploatacije. Vršeno je registrovanje relativnih i apsolutnih pomeranja glavnog nosača kao i merenje specifičnih deformacija na kablovima, čeličnim stolicama i armiranobetonskom nosaču. Postavljanje mernih mesta je izvršeno tako da se u toku prve faze odredi gubitak sile u kablovima koji je posledica utezanja drugih kablova. Kod ovih ispitivanja odstupanja merenih vrednosti od teorijskih su bila u granicama 4%. Poseban doprinos teoriji konstrukcija i tehnologiji gradnje, autori ovog sistema su ostavrili kod projektovanja Beogradske Arene. ( slika 4.20). – 42 – Slika 4.20. Nosač beogradske arene u Novom Beogradu Kao izuzetno originalan konstruktivni sistem, krovna konstrukcija je na kongresu za prednapregnuti beton – FIP 94 u Vašingtonu 1994. gde je bila predstavljena, izazvala veliko interesovanje najvećih svetskih eksperata za predhodno napregnute konstrukcije. Glavna krovna konstrukcija Arene je „roštilj“ sa tri podužna i četiri poprečna dvopojasna glavna nosača. Gornji pojas je od armiranog betona a donji od kablova za prednaprezanje, razmak izmeñu njih formira 11 obrnutih piramidalnih stolica sa devijatorima za ukrštanje kablova. Navedena konstrukcija do sada nije izvedena nigde u svetu i za takvo konstruktersko rešenje nije postojalo nikakvo grañevinsko iskustvo. Tehnologije grañenja koje se danas najčešće primenjuju za ovakve tipove objekata su tehnologije koje teže industrijalizaciji grañenja odnosno prefabrikaciji elemenata. U ovom slučaju rasponi glavnih krovnih nosača Arene u ortogonalnim pravcima su 132,7×102,7 m. Glavni nosači su lučni, blizni preseka 2x40/140 cm, sa strelom 12,00 m. Ukupna težina glavne krovne konstrukcije je 3200 t, a u glavne nosače je ugrañeno 1220 m3 betona, 275 t armature i 4100 kg čeličnih profila i flahova. Predhodno naprezanje je rañeno sa po 9 kablova u svakom nosaču sa po 11 užadi 15,8 mm. Kod oba objekta, Hangara i Arene, je pored doprinosa razvoju teorije konstrukcija dat izvanredan doprinos i tehnologiji grañenja ovakvih sistema. Glavni projektanti konstrukcije ovih objekata su autori ovih konstrukcijskih sistema: M.Ivković, M.Aćić, Ž.Perišić i A.Pakvor. Iz prakse autora dvopojasnih sistema konstrukcija i izvedenih objekata, kao i izvedenih objekata autora ove disertacije može se dati orijentacioni pregled utroška materijala za glavne AB nosače dvopojasnih sistema. Potrošnja osnovnih konstrukcionih materijala : betona 0.075m3/m2 površine objekta, RA400/500 je 12.00kg/m2, GA240/360 je 6.50kg/m3, a čelika 4.50kg/m3. Posebnu pažnju treba obratiti kod montaže dvopojasnih sistema, bilo da su sa zategom samo od običnog čelika, samo od kablova za prethodno naprezanje ili AB klasična ili prethodno napregnuta AB zatega. Zatega nosača ima malu aksijalnu krutost, pa pogrešno “hvatanje“ nosača u toku montaže može dovesti do unošenja sile pritiska u zategu, pri čemu nastupa njeno izvijanje, tj. umesto sile zatezanja u njoj se pojavljuje sila pritiska. (slika 4.21) – 43 – Slika 4.21. Pogrešno “hvatanje” nosača dovodi do izvijanja zatege Hvatište užadima za nosač u fazi montaže, mora biti tako odreñeno, da se u zatezi nikad ne pojavi sila pritiska. Jedan od načina “kačenja” nosača u fazi montaže prikazan je na slikama 4.22 do 4.24. Slika 4.22. Jedan od mogućih načina “hvatanja” nosača u fazi montaže – 44 – Slika 4.23. Način dizanja nosača u fazi montaže sa krutim profilom Slika 4.24. Dizanje nosača u fazi montaže sa hvatištem užadi na osloncima Značajne prednosti ovih konstrukcijskih sistema u pogledu lake montaže, jednostavne prefabrikacije, male težine, malog rada na licu mesta, na gradilištu, daju i manju cenu ovih konstrukcija. U odnosu na uobičajene sisteme konstrukcija, ovi sistemi su za preko 30% jevtiniji i ekonomski prihvatljiviji. Posebno, sve ove prednosti treba da doñu do punog izražaja upotrebom betona visoke čvrstoće u ovim konstrukcijskim sistemima. – 45 – 5. SOPSTVENA EKSPERIMENTALANA ISTRAŽIVANJA PONAŠANJA DVOPOJASNIH KROVNIH NOSAČA 5.1. KARAKTERISTIKE NOSAČA I FAZE OPTEREĆENJA Do ovih eksperimenata se došlo nakon havarije krovnih nosača raspona 20.00m preduzeća “Nexan“ iz Nikšića. Naime, trebalo je na osnovu eksperimenta na Grañevinskom fakultetu u Podgorici dati ocenu stabilnosti – nosivosti ovakvog dvopojasnog nosača od običnog-normalnog betona nakon sanacije. Izvršena je eksperimentalna analiza za nosač raspona 20.00m nakon sanacije i tu su dobijena dragocena iskustva za eksperimentalnu analizu ovakvog nosača od betona visoke čvrstoće. Modeli – nosači su bili u prirodnoj veličini, raspona 20.00m. Za eksperimentalnu analizu za ovu disertaciju, urañena su dva nosača-modela, model A i model B raspona po 20.00m, u svemu po geometriji i detaljima identični. Planovi oplate, detalji armiranja i karakteristični preseci prikazani su na slici 5.1 i slici 5.2. Slika 5.1. Plan armature gornjeg pojasa eksperimentalno ispitivanih nosača A i B – 46 – Slika 5.2. Plan oplate gornjeg AB pojasa ispitivanih dvopojasnih krovnih nosača Ispitivanje dvopojasnih nosča je obavljeno na platou ispred laboratorije Grañevinskog fakulteta u Podgorici. Nosači su postavljeni na armiranobetonske temelje visine h = 2.30 m, pa se tako od donjeg pojasa do platoa dobila visina od 1.45m. Apliciranje opterećenja je vršeno pomoću tegova "obešenih" o užad po gornjem pojasu nosača-modela. Užad i priveznice (omče na krajevima užadi za "hvatanje" tega) su proizvodnje UNIS-USHA-fabrika čeličnih užadi iz Višegrada. Razmak užadi za "kačenje" tegova je 2.50m, što odgovara razmaku rožnjača. Tegovi su cilindričnog oblika, prečnika 40cm i visine 50cm, težine 5.00kN, za ovu priliku pozajmljeni od železare iz Nikšića ( slika 5.3.) Slika 5.3. Izgled tegova za nanošenje opterećenja – 47 – Nanošenje tegova je vršeno uz pomoć viljuškara, a u pojedinim fazama autodizalicom. Opterećenje je nanošeno ravnomerno-simetrično, od oslonaca prema slemenu. U nedostatku tegova, a da bi se eksperiment priveo kraju, korišćene su kao opterećenje i četiri armiranobetonske ploče debljine 40cm, širine 80cm i dužine 400cm, po dve sa svake strane slemena u kombinaciji sa tegovima. Svaka armiranobetonska ploča je težine 35kN. Zadnja faza opterećenja je udar tegom od 5kN, slobodnim padom sa visine 6.00m u sleme, pod punim opterećenjem sedme faze opterećenja. U toku ispitivanja merenja su vršena za sledeće faze opterećenja: I – faza opterećenja – sopstvena težina, g=7.50kN/m Nosač je prethodno poduprt u slemenu i na mestu vertikala i tako očitano nulto stanje, pa onda uklonjeni pomoćni oslonci i očitavanje vršeno za sopstvenu težinu. Slika 5.4. Opterećenje I faze, sopstvena težina nosača II – faza opterećenja ( sopstvena težina + tegovi 2x5kN (obešeni o gornji pojas), na rastojanju 2.50m Ukupno: g +8x10.00 = g+80.00kN, slika 5.5. Slika 5.5. Opterećenje II faze III – faza opterećenja ( sopstvena težina + tegovi 4x5kN ( obešeni po gornjem pojasu ) Ukupno: g+8x20.0 = g+160.00kN – 48 – Slika 5.6. Opterećenje III faze IV - faza opterećenja ( sopstvena težina + tegovi 4x5kN ( obešeni po gornjem pojasu ) plus dve armiranobetonske ploče po 35kN Ukupno: g+160.00kN+8.80kN/m (ploča ) Slika 5.7. Opterećenje IV faze V - faza opterećenja (stanje eksploatacije) ( sopstvena težina + tegovi 4x5kN ( obešeni po gornjem pojasu ) plus dve armiranobetonske ploče po 35kN plus tegovi po ploči u dva reda 2x7x5kN Ukupno:g+160.00kN+2x8.80kN/m(ploča)+2x70.00kN (po ploči) Ovo opterećenje je uzeto kao opterećenje u stanju eksploatacije, jer najpribližnije odgovara stvarnom stanju u eksploataciji (nešto veće). – 49 – Slika 5.8. Opterećenje V faze VI - faza opterećenja ( sopstvena težina + tegovi 4x5kN ( obešeni po gornjem pojasu ) plus dve armiranobetonske ploče po 35kN plus tegovi po ploči u dva reda 2x7x5kN plus dve ab ploče po 35kN Ukupno: g+160.00kN+2x8.80kN/m(ploča)+2x70.00kN(po ploči)+2x8.80kN/m(ploča) Slika 5.9. Opterećenje VI faze VII - faza opterećenja ( sopstvena težina + tegovi 4x5kN ( obešeni po gornjem pojasu ) plus dve armiranobetonske ploče po 35kN, plus tegovi po ploči u dva reda 2x7x5kN, plus dve ab ploče po 35kN, plus tegovi po armiranobetonskoj ploči u dva reda 2x7x5kN Ukupno: g+160.00kN+2x8.80kN/m(ploča)+2x70.00kN(po ploči)+2x8.80kN/m(ploča)+ – 50 – +2x70.00kN(po ploči) Slika 5.10. Opterećenje VII faze VIII - faza opterećenja ( sopstvena težina + tegovi 4x5kN ( obešeni po gornjem pojasu ) plus dve armiranobetonske ploče po 35kN, plus tegovi po ploči u dva reda 2x7x5kN, plus dve ab ploče po 35kN, plus tegovi po armiranobetonskoj ploči u dva reda 2x7x5kN, plus udar tegom od 5kN slobodnim padom u sleme sa visine 6.00m Ukupno: g+160.00kN+2x8.80kN/m(ploča)+2x70.00kN(po ploči)+2x8.80kN/m(ploča)+ +2x70.00kN(po ploči) + udar tegom od 5.00kN – 51 – Slika 5.11. Opterećenje VIII faze 5.2. MERENJA DEFORMACIJA NOSAČA 5.2.1. OPŠTE DEFORMACIJE Broj i raspored mernih mesta (slika 5.2.1) je usvojen tako da se na osnovu rezultata merenja mogu pouzdano nacrtati liije deformacija modela A i modela B. Na osnovu toga je mereno: - pomeranja na mestu opterećenja, kačenja tegova ( Ui,A i Ui,B ) 5.2.2. LOKALNE DEFORMACIJE Za merenje lokalnih deformacija (dilatacija) u betonu korišćene je deformator PFENDER na bazi od 100 mm i podatkom od 10 x 10-6 mm/mm. Merenje lokalnih deformacija u zatezi vršeno je mernim trakama sa podatkom od 1 x 10-6 mm/mm. Za merenje lokalnih deformacija i odreñivanje napona broj i raspored mernih mesta je odreñen tako da se obuhvate karakteristični preseci betonskog dela nosača, zatega i vertikala- razupirača. U karakterističnim presecima, ovako izabranim, broj i raspored mernih mesta je odreñen po principu "opasivanja preseka". Na osnovu toga, merenja su vršena u sledećim opasanim presecima: - Na betonu gornjeg pojasa, u zoni "ulaska" zatege u beton, preseci IA(B)–IA(B) i IXA(B)– IXA(B) - U sredini izmeñu oslonca i vertikale (razupirača), preseci IIA(B)–IIA(B) i VIIIA(B)–VIIIA(B) - Iznad vertikala, razupirača, preseci IIIA(B)–IIIA(B) i VIIA(B)–VIIA(B) - U sredini izmeñu slemena i vertikale, razupirača, preseci IVA(B)–IVA(B) i VIA(B)–VIA(B) – 52 – - Na mestu sastava betonskih elemenata (sleme), preseci VA(B)–VA(B) Pri tome prvi indeks (indeks A), se odnosi na nosač A, a indeks u zagradi (indeks B) na nosač B. Pored merenja na gornjem pojasu- betonskom delu nosača, vršena su merenja na donjem pojasu i vertikalama, što je obuhvaćeno presecima: - Na kosom delu zatege, preseci XA(B) – XA(B) i XIIA(B) – XIIA(B), - Na horizontalnom delu zatege, preseci XIA(B) – XIA(B), - Na vertikalama-razupiračima, preseci XIIIA(B) – XIIIA(B) i XIVA(B) – XIVA(B), – 53 – 5.2.3. RASPORED MERNIH MESTA NA DVOPOJASNOM NOSAČU A i B Gornji pojas - Donji pojas - Vertikale Slika 5.2.3. Raspored mernih mesta Potpuno isti raspored mernih mesta je i na nosaču B. Nosači su u svemu identični samo je kod nosača A armiranobetonski gornji pojas od betona visoke čvrstoće 75MPa, a nosač B od 78MPa. – 54 – 5.3. MATERIJALI 5.3.1. MEHANIČKE KARAKTERISTIKE ARMATURE Za armiranje nosača kao glavna podužna armatura korišćena je rebrasta armatura RA 400/500, a za poprečnu armaturu - uzengije korišćena je glatka armatura GA 240/360. Upotrebljeni betonski čelik je uzet iz železare "Nikšić". Korišćeni su profili 8, 10,12 i 14mm. Osnovne karakteristike ove armature dobijene su iz železare "Nikšić", ali su ispitane i u laboratoriji Grañevinskog fakulteta u Podgorici. U tabeli 5.3.1.1. su prikazane osnovne mehaničke karakteristike korišćenih profila. Tabela 5.3.1.- Karakteristike upotrebljenog betonskog čelika RA 400/500 Φ (mm) Φ (mm) Es (GPa) σvs (MPa) σs (MPa) δm (%) 10 14 201 435 525 10.6 GA 240/360 Φ (mm) Es (Gpa) σvs (MPa) σs (MPa) δm (%) 6 206 265 380 24.6 Karakteristični radni dijagrami (σs - εs) korišćenog rebrastog betonskog čelika prikazani su na slici 5.3.1.1. Ovi dijagrami su dobijeni ispitivanjem na reprezentativnom statističkom uzorku respektujući metode teorije verovatnoće i matematičke statistike. Veličina statističkog uzorka jen=33, za odgovarajuću vrstu betonskog čelika. Slika 5.3.1. Dijagrami σa - εa rebraste armature a) Radni dijagram RA 400/500 b) Zapis RD na kidalici za RØ14mm – 55 – 5.3.2. KARAKTERISTIKE KOMPONENTI BETONSKE MEŠAVINE Za dobijanje betona visokih čvrstoća uglavnom postoje dva osnovna načina: 1. Uobičajenom (klasičnom) tehnologijom spravljanja betona gde se utiče na povećanje zbijenosti betona smanjivanjem sadržaja vode uz dodatak superplastifikatora u cilju poboljšanja ugradljivosti betona. Takoñe se primenjuju i posebni postupci za efikasno kompaktiranje betona u toku ugrañivanja. 2. Spravljanje betona uz primenu posebnih dodataka kao što je silikatna prašina (Silica Fume) kojom se pospešuje hidratizacija cementa i čiji posebni hemizmi daju doprinos visokim čvrstoćama. Takoñe, i kod ovog načina se utiče na povećanu kompaktnost betona Za izradu modela- nosača u ovom radu primenjen je prvi način za spravljanje betona visokih čvrstoća. Vodilo se računa da količina upotrebljenog cementa ne bude veća od 600 kg/m3, jer se tako povećava količina superplastifikatora, a veća količina cementa daje veće skupljanje i tečenje betona. Agregat za beton je korišćen iz reke Morače sa lokacije “Ponari” udaljene oko 12 km od Podgorice. Agregat je ispiran, drobljen i separisan u frakcije (0-4; 4 -8; i 8 -16 ) u fabrici betona. Za svaku frakciju agregata, pre proizvodnje betonske mešavine, uzimani su reprezentativni uzorci i vršena su standardna ispitivanja fizičko-mehaničkih karakteristika agregata. Granulometrijska kriva agregata ispitana je suvim prosejavanjem kroz seriju sita i prikazana na slici 5.3.2.1. Učešće pojedinih frakcija po težini je: - 0/4 mm 40% - 4/8 mm 33% - 8/16 mm 37% – 56 – Slika 5.3.2.1. Granulometrijska kriva agregata S obzirom da se nije raspolagalo sa tačnim recepturama za spravljanje betona, napravljene su probe sa različitim količinama cementa i različitim vodocemetnim faktorom. Rezultati ispitivanja čvrstoće na pritisak za različite mešavine betona prikazane su u tabeli 5.3.2.1. Tabela 5.3.2.1. Čvstoća betona na pritisak [MPa] količina cementa 350 kg/m3 betona w / c 0.550 0.485 0.452 1 17.25 20.65 25.12 7 45.80 48.96 50.14 M EŠ A V IN A I starost uzorka u danima 28 63.84 65.76 66.25 količina cementa 450 kg/m3 betona w / c 0.330 0.356 0.388 1 36.00 32.16 28.25 7 61.00 54.18 49.10 M EŠ A V IN A II starost uzorka u danima 28 80.35 75.25 71.10 količina cementa 550 kg/m3 betona w / c 0.315 0.355 0.348 1 41.00 36.40 30.12 7 65.60 60.15 56.42 M EŠ A V IN A III starost uzorka u danima 28 81.00 78.16 74.24 Iz ovih ispitivanja se vidi da vodocementni faktor ima veliki uticaj na rane čvrstoće betona, a kasnije je taj uticaj manji. Rezultati ovih ispitivanja prikazani su na sledećim dijagramima za različite količine cementa. – 57 – Slika 5.3.2.2. Zavisnost čvrstoće betona na pritisak od starosti betona pri količini cementa 350 kg/m3betona Slika 5.3.2.3. Zavisnost čvrstoće betona na pritisak od starosti betona pri količini cementa 450 kg/m3betona – 58 – Slika 5.3.2.4. Zavisnost čvrstoće betona na pritisak od starosti betona pri količini cementa 550 kg/m3betona Slika 5.3.2.5. Zavisnost čvrstoće betona od vodocementnog faktora pri količini cementa 350 kg/m3betona – 59 – Slika 5.3.2.6. Zavisnost čvrstoće betona pri pritisku od vodocementnog faktora pri količini cementa 450 kg/m3betona Slika 5.3.2.7. Zavisnost čvrstoće betona pri pritisku od vodocementnog faktora pri količini cementa 550 kg/m3betona – 60 – Rezultati ostalih karakteristika upotrijebljenog agregata prikazani su u tabeli 5.3.2.2. Cement koji je upotrijebljen za spravljanje betonske mešavine, za betoniranje eksperimentalnih modela, uzet je od proizvoñača cementa "Kosijerić", sa oznakom PC 55. Tabela 5.3.2.2. Karakteristike upotrebljenog rečnog agregata Frakcije agregata (mm) 0-4 4-8 8-16 Specifična masa (kg/m3) 2615 2665 2676 Zapreminska masa u rastresitom stanju (kg/m3) 1486 1426 1382 Zapreminska masa u zbijenom stanju (kg/m3) 1815 1620 1525 Upijanje vode (%) 0.87 0.20 0.20 Oblik zrna po Fery-u 0.38 Sadržaj slabih zrna nema Sadržaj grudvi gline nema Sadržaj lakih čestica nema Sadržaj organskih materija nema Habanje po Los Angeles-u 23.5 Drobljivost u cilindru 24.0 Sadržaj čestica ispod 0.09mm 7.80 1.25 0.20 Rezultati ispitivanja fizičko-mehaničkih karakteristika upotrebljenog cementa prikazani su u tabeli 5.3.2.3. Konačno, za spravljanje betona je dozirano 485 kg cementa po m3 betona sa vodocementnim faktorom W/C=0.35 za oba nosača. Tabela 5.3.2.3. Karakteristike upotrebljenog cementa Fizičko-mehaničke karakteristike Rezultati Voda za standardnu konzistenciju (%) 27.2 Početak vezivanja (minuta) 172 Kraj vezivanja (minuta) 410 Stalnost zapremine (da/ne) da Finoća mliva po Blaine-u (cm2/gr) 3200 Čvrstoća pri pritisku poslije 28 dana (MPa) 37.5 Čvrstoća na zatezanje pri savijanju poslije 28 dana (MPa) 7.4 Za spravljanje betonske mešavine za izvoñenje eksperimentalnih modela upotrebljena je voda za piće iz gradskog vodovoda, pa nije vršena hemijska analiza. – 61 – 5.4. IZRADA DVOPOJASNIH NOSAČA Beton za izradu nosača je spravljan u Fabrici betona “Cijevna-komerc” u Podgorici, koja je udaljena oko 3 km. Transport svežeg betona je obavljen automikserom do platoa ispred laboratorije na Grañevinskom fakultetu - Podgorica gde su betonirani elementi nosača i kontrolnih betonskih tela (slika 5.4.3.). Za zbijanje betona je korišćen pervibrator sa prečnikom igle od 50 mm. Svi elementi konstrukcije nosača kao i kontrolna tela izbetonirani su u jednom danu. Prethodno su izbetonirani oslonački elementi za postavljanje nosača u položaj za ispitivanje. Kontrolna tela su urañena u sledećim serijama: četiri kocke ivice 20 cm, četiri kocke ivice 15 cm, četiri cilindra 15/30 cm i šest prizmi 12/12/36 cm. Slika 5.4.1. Dispozicija oba nosača ispred laboratorije GF u Podgorici Slika 5.4.2. Oplata i armatura za jedan model-nosač – 62 – Sva prethodna i kontrolna tela su izbetonirana u standardnim čeličnim kalupima, a za ugrañivanje betona u kalupe korišćen je pervibrator sa prečnikom igle od 30 mm. Slika 5.4.3. Oprema i kontrolna tela u laboratoriji Betonska mešavina za izradu modela-nosača i prethodnih kontrolnih tela je projektovana sa istim karakteristikama u pogledu granulometrijskog sastava, vrste i količine cementa kao i vodocementnog faktora. Konzinstencija svežeg betona kontrolisana je na mestu ugrañivanja i konstatovana je plastična konzistencija sa sleganjem konusa 8 do 9 cm. Svaki od nosača- modela radi se iz dva dela, pa nakon očvršćavanja i postizanja zahtevane MB vrši se njegovo spajanje u slemenu zavrtnjevima i postavljanje donjeg pojasa-čelične zatege sa razupiračima. Ovo kompletiranje nosača vrši se na posebnim jarmovima na kojima se elementi za formiranje nosača geodetski doteruju u pravac, a jarmovima se obezbeñuje tačna geometrija nosača, nagib i položaj zatege. Ugrañivanje betona je izvršeno u pripremljenim kalupima od “blažujke” - oplate debljine d=20 mm (slika 5.4.2.). Oplata delova nosača je bila fiksirana za pod platoa i geodetski nivelisana kako bi se izbegao uticaj nepovoljne ekscentričnosti na nosačima. Inače, nosač je spoljno statički odreñen. – 63 – Slika 5.4.4. Izgled formiranog nosača na privremenim osloncima Nosači su montažni, spojeni u slemenu prednapregnutim vijcima 2x2M20, a ova veza je osposobljena i za prihvatanje momenata savijanja i normalnih i transverzalnih sila prema slici 5.4.5. Slika 5.4.5. Izgled veze nosača u slemenu Nakon ugrañivanja, beton je održavan 24 sata u uslovima visoke relativne vlažnosti i na temperaturi od oko 15 oC, nakon čega su modeli oslobañani od bočnih oplata. U narednih 7 dana – 64 – nastavljeno je negovanje izbetoniranih nosača, nakon čega je izvršeno njihovo "opremanje" mernim mestima. Nosači nakon spajanja AB elemenata u slemenu, zavrtnjevima i fiksiranjem zatege i vertikala formiraju jednu celinu. Ovo se obavlja preko privremenih oslonaca na kojima se vrši kompletiranje nosača. ( slika 5.4.6.) Slika 5.4.6. Izgled kompletnog nosača na privremenim osloncima nakon montaže elemenata nosača Nakon formiranja nosača na privremenim osloncima, oni se, autodizalicom, dižu i postavljaju na pripremljene betonske oslonce, prema slici 5.4.7. – 65 – Slika 5.4.7. Izgled nosača na betonskim osloncima pre merenja i nanošenja faza opterećenja Ovi betonski oslonci su visine 230cm, tako da od zatege do platoa imamo visinu 145cm. Prethodno je na ove oslonce postavljena metalna ploča za ravnomernije naleganje debljine 12mm. Betonski oslonci na koje naležu izbetonirani nosači dati sun a slici 5.4.9. Postavljanjem nosača na betonske oslonce Slika 5.4.9. Izgled oslonca za nosače pristupa se izradi potrebne radne skele i "opremanju" nosača mernom tehnikom (slika 5.4.10) – 66 – Slika 5.4.10. Opremanje nosača mernom tehnikom Kada se završilo sa opremanjem nosača mernom tehnikom, postavljaju se priveznice za kačenje tegova. Opterećenje nosača i kačenje tegova vršeno je pomoću autodizalice ( slika 5.4.11. ) Slika 5.4.11. Deo opterećenja na nosaču – 67 – 5.5. PROGRAM EKSPERIMENTALNIH ISTRAŽIVANJA DVOPOJASNIH NOSAČA Za svaki nosač-model ( model A i model B ) radi se program eksperimentalnih istraživanja koji sadrži dispoziciju modela, mernih mjesta i opterećenja, kao i način registrovanja mernih podataka i predstavlja poseban dokumenat programa. Osim toga, programom eksperimentalnih istraživanja obuhvaćeno je, takoñe: • Probno ispitivanje nosača od običnog betona – saniranog na mestu ulaska zatege u oslonački deo nosača. Ispitivanje realizovano u 2008. godini. Ovde se radi o ispitivanju nosača koji je saniran na delu ulaska zatege u oslonački deo. Naime, na jednom objektu je došlo do rušenja nosača zbog izvlačenja zetege iz osonačkog dela, pa je cela serija nosača sanirana (slika 5.5.1).Raspon ovog nosača je, takoñe, 20.00m Slika 5.5.1. Sanirani nosač u oslonačkom delu Cilj ovog eksperimenta je: − Istraživanje ponašanja saniranog nosača kako bi se mogla uspešno izvršiti sanacija velikog broja srušenih nosača pod teretom snega, − provera funkcionisanja dela opreme i merne tehnike za ispitivanje, − utvrñivanje karaktera i vrste loma na nosaču, − analiza mogućnosti realizacije ovakvog eksperimenta. Inače: • Ispitivanje je sprovedeno na dva modela u prirodnoj veličini, raspona 20.00m (model A i model B ) sa nanošenjem kratkotrajnog opterećenja do loma, pri starosti betona većoj od 35dana. Ispitivanje realizovano u 2008. godini. – 68 – • Ispitivanje serije standardnih kontrolnih betonskih tela (kocke, prizme, cilindri) pod dejstvom kratkotrajnog opterećenja za odreñivanje svih relevantnih naponsko- deformacijskih karakteristika betona. • Ispitivanje serije standardnih kontrolnih epruveta armature, koja će se koristiti u eksperimentu, za odreñivanje relevantnih naponsko-deformacijskih karakteristika armature. Oba nosača – modela ( model A i model B ) sa kratkotrajnim opterećenjem se ispituju na platou ispred laboratorije za materijale i konstrukcije Grañevinskog fakulteta u Podgorici. Sva kontrolna merenja na epruvetama od betona i armature obavljena su u istoj laboratoriji. 5.5.1. MERENJA NA NOSAČIMA A i B POD OPTEREĆENJIMA Za svaki nosač se vrše vrlo obimna merenja u toku procesa opterećivanja do loma: • Dilatacije u podužnoj armaturi nosača se mere mehaničkim deformetrom "Pfender" tačnosti 1/1000 mm i baze 100 mm, prema utvrñenoj šemi, • Dilatacije u betonu na utvrñenim mestima-presecima deformetrom “Pfender“ tačnosti 1/1000 mm i baze 100 mm, • Deformacija nosača (ugib) geodetskim instrumentom-preciznim nivelmanom. Merenja se vrše nakon nanošenja opterećenja u inkrementima, sve do loma, prema ranije utvrñenim fazama opterećenja. 5.5.2. REZULTATI ISPITIVANJA KONTROLNIH BETONSKIH TELA Eksperimentalna istraživanja prati serija standardnih kontrolnih uzoraka za utvrñivanje mehaničkih karakteristika ugrañenog betona i armature, koji se izrañuju pri betoniranju svakog od nosača A i B. Ispitivanja na betonu su vršena u vreme ispitivanja ovih nosača. Ispitivanja su obuhvatila: beton: • čvrstoća betona pri pritisku • čvrstoća betona na zatezanje pri savijanju • modul elastičnosti betona • radni dijagram betona armatura: • karakteristična granica razvlačenja • karakteristična čvrstoća pri zatezanju • modul elastičnosti • radni dijagram čelika Ova ispitivanja su urañena po posebnom programu koji je utvrñen pre početka betoniranja modela i kontrolnih betonskih tela. Ovaj program istraživanja je u potpunosti realizovan. – 69 – 5.6. OPREMA ZA ISPITIVANJE I MERNA TEHNIKA 5.6.1. NAČIN NANOŠENJA OPTEREĆENJA DO LOMA Za ispitivanje nosača pod dejstvom opterećenja urañeni su metalni jarmovi koji prate geometriju nosača i na njih se nanose dizalicom elementi, koji se nakon doterivanja u tačan geometrijski oblik spajaju u jednu celinu. Spajanje se vrši zavrtnjevima u slemenu, a nakon toga se vrši fiksiranje zatege i vertikala-razupirača. Kad se izvršilo kompletiranje nosača, dizalicom se nosač premešta na mesto za ispitivanje i apliciranje opterećenja. Mesto za nanošenje opterećenja po pojedinim fazama je konstruisano od drvene skele sa mogućnošću nesmetanog nanošenja tegova i mogućnosti sigurnog pristupa svim mernim mestima. Slika 5.6.1.1. Izgled nosača spremnog za nanošenje opterećenja Skela je data radi zadržavanja nosača u slučaju krtog iznenadnog loma i radi lakšeg pristupa mernim mestima na nosaču. Ona je niža od donje ivice gornjeg pojasa 10-tak cm. 5.6.2. OPREMA ZA ISPITIVANJE KONTROLNIH BETONSKIH TELA Za odreñivanje mehaničkih karakteristika na kontrolnim betonskim telima (čvrstoća pri pritisku, čvrstoća na zatezanje pri savijanju, radni dijagram betona, modul elastičnosti) korišćena je hidraulična presa nosivosti 250 tona (slika 5.6.2.1.). – 70 – Slika 5.6.2.1. Hidraulična presa i kidalica u laboratoriji Za odreñivanje mehaničkih karakteristika na kontrolnim uzorcima armature (granica velikih izduženja, granica kidanja, radni dijagram čelika, modul elastičnosti) korišćena je laboratorijska kidalica kapaciteta 100 tona (slika 5.6.2.1.). Karakteristične vrednosti i radni dijagram čelika RA400/500, koji su dobijeni ispitivanjem kontrolnih uzoraka, prikazana je na slici 5.3.1.1. Najvažnije karakteristike betona dobijene statističkom obradom rezultata ispitivanja na kontrolnim betonskim telima prikazani su u tabeli 5.6.2.1. Tabela 5.6.2.1. Vrednosti dobijene na kontrolnim betonskim telim, dobijene pri starosti betona od 28 dana MEŠAVINA BETONA I II III Čvrstoća betona pri pritisku fb (MPa) 65.18 75.57 78.12 Čvrstoća betona na zatezanje pri savijanju fbzs (MPa) 4.96 5.15 5.45 Modul elastičnosti betona Eb (GPa) 37.68 39.21 40.56 Poison-ov koeficijenat pri σ/fb=0.5 ν 0.195 0.210 0.220 Modul elastičnosti betona ispitivan je na betonskim prizmama 12 x 12 x 36 cm. Zavisnost napona i deformacija je prava linija za opterećenje koje ne prelazi 50% opterećenja loma, pa važi linearna teorija tečenja. Na slici 5.6.2.2. dat je uporedni pregled zavisnosti modula elastičnostui i čvrstoće betona prema PBAB, EC2, ACI i rezultatima ispitivanja. Ova ispitivanja su sprovedena pri jednakoj starosti betona, koja je iznosila 28 dana. a ) b ) – 71 – Slika 5.6.2.2. Zavisnost modula elastičnosti i čvrstoće betona pri pritisku Na sledećoj slici 5.6.2.3 daje se radni dijagram betona za čvrstoću betona na pritisak od 75MPa u trenutku ispitivanja nosača A i B, pri starosti betona od 35 dana.ε Slika 5.6.2.3.Radni dijagram betona RDB (σb-εb), zatim σb-εpop i Poassion-ov koeficijent ν Računska čvrstoća betona pri pritisku zavisi od karakteristične čvrstoće betona. Usled razlike čvrstoće betona u nosačima i kontrolnim telima, zbog uslova okoline, načina ugradnje – 72 – betona, načina opterećenja i drugo vrši se smanjenje čvrstoće betona sa karakteristične na računsku čvrstoću betona. 5.6.3. MERNA TEHNIKA Merenje dilatacija u betonu i podužnoj armaturi obavljena su mehaničkim deformetrima tipa “Pfender”, sa tačnošću čitanja od 1/1000 mm i bazom od 100 mm. Ova merna mjesta su ravnomjerno rasporeñena po nosaču-modelu. Merna mesta na armaturi su postavljena indirektno preko navarenih “izvoda” koji “prodiru” kroz zaštitni sloj betona. Pri tome su ovi “izvodi” (delovi glatke armature prečnika 8mm) odvojeni od okolnog betona navlačenjem gumenih prstenova koji se nakon očvršćavanja betona uklanjaju. Za fiksiranje mernih mesta na površini betona i armaturnih izvoda korišćen je specijalni dvokomponentni lepak proizvoñača “Hotinger” iz Nemačke. Merenje ugiba vršeno je preciznim nivelmanskim instrumentom. Na zidovima susedne laboratorije ugrañeni su i reperi za registrovanje ovih pomeranja. Prethodno su na nosaču ugrañeni metalni držači za letvu koja se na njih postavljala prilikom očitavanja ugiba za svaku fazu opterećenja Osnovna šema i raspored mernih mesta na podužnoj armature gornjeg pojasa, zatezi, vertikalama i površini betona prikazani su na slici 5.6.3.2. Slika 5.6.3.1. Izgled mernih mesta na betonu i zatezi 5.6.4. OSTALA MERENJA Na nosačima je pored merenja dilatacija i ugiba merena i širina prslina. Registrovanje pojave i širine prslina vršeno je na modelima u inkrementima za svaku fazu opterećanja. Merenje širine prslina vršeno je lupom sa tačnošću od 0.025 mm. – 73 – 5.6.5. TOK EKSPERIMENTA Nosači se nakon opremanja mernom tehnikom postavljaju na oslonce za ispitivanje, koji su za ovu svrhu posebno izbetonirani. Završetkom opremanja nosača i postavljanjem užadi sa specijalnim priveznicama za "kačenje" tereta, izvršen je detaljan pregled nosača, kao i kontrola veza i spojeva elemenata na nosaču i izvršeno prvo "nulto" očitavanje dilatacija i ugiba nosača. Slika 5.6.5.1. Izgled nosača bez opterećenja (samo sopstvena težina) Inače, redosled nanošenja opterećenja i očitavanja instrumenata bio je: 1.Merenje i očitavanje na svim mernim mestima, za sopstvenu težinu nosača. U toku čitanja instrumenata temperatura vazduha je iznosila 26˚C. 2. Nanošenje opterećenja II faze i čitanje na svim mernim mestima. U toku čitanja temperatura vazduha je iznosila t = 25˚C ( pregled nosača ) – 74 – 3. Nanošenje opterećenja III faze i čitanje na svim mernim mestima. U toku čitanja temperatura vazduha je iznosila t = 27˚C ( pregled nosača ) 4. Nanošenje opterećenja IV faze i čitanje na svim mernim mestima. U toku čitanja temperatura vazduha je iznosila t = 24˚C Ukupno opterećenje ove faze je g + 160.00kN + 8.80kN/m ( ploča ) Kod ovog opterećenja uočena je prva prslina 5. Nanošenje opterećenja V faze i čitanje na svim mernim mestima sa detaljnim pregledom konstrukcije. U toku čitanja temperatura vazduha je iznosila t = 26˚C 6. Nanošenje opterećenja VI faze i očitavanje na svim mernim mestima sa detaljnim pregledom konstrukcije, montažnih veza, stanja geometrije nosača. U toku čitanja temperatura vazduha je iznosila t = 26˚C 7. Nanošenje opterećenja VII faze i očitavanje na svim mernim mestima.U toku čitanja temperatura vazduha je iznosila t = 26˚C. Izvršen detaljan pregled konstrukcije i registrovanje uočenih prslina. 8. Nanošenje opterećenja VIII faze i očitavanje na svim mernim mestima. U toku čitanja temperatura vazduha je iznosila t = 27˚C Inače, ispitivanje jednog nosača trajalo je četiri dana, pri praktično konstantnoj temperaturi vazduha od 24 do 27 ˚C. Kompletiranje jednog nosača (slika 5.4.7.) i postavljanje na mesto za ispitivanje trajalo je jedan dan - 10 sati, a nanošenje opterećenja do loma trajalo je narednih četiri dana uzimajući u obzir pomeranje dizalice i viljuškara kao i skučen prostor za rad ovih mašina. Ipak, može se smatrati da je aplicirano opterećenje kratkotrajnog karaktera. Brzina nanošenja opterećenja po inkrementu-fazi, je iznosila 60min. Merenja su počela da se vrše oko 15 minuta nakon nanošenja opterećenja zbog eventualnog stabilizovanja deformacija. Mesto i položaj ispitivanja oba nosača su prikazani na slici 5.6.5.2. – 75 – Slika 5.6.5.2. Izgled nosača A i B ispred laboratorije GF u Podgorici Nosači A i B su istovremeno betonirani, pa sui m i kontrolna betonska tela ista.Prvo je ispitivan nosač A, pa odmah za njim nosač B, jer nije bilo dovoljno tegova za nanošenje opterećenja istovremeno na oba nosača. Vremenski razmak izmeñu ispitivanja nosača je osam dana. Zbog toga što su nosači ispitivani pri starosti od 35 dana, nije uziman u obzir prirast čvrstoće betona na pritisak nakon 28 dana. Svi podaci su direktno unošeni u računar, pa su se u toku eksperimenta mogle pratiti relevantne zavisnosti u vidu dijagrama na monitoru. Na slici 5.6.5.3. se vidi deo opterećenog nosača kao i način "kačenja" tegova. Slika 5.6.5.3. Izgled nosača u toku ispitivanja pri III fazi opterećenja – 76 – 5.6.6. REZULTATI MERENJA NOSAČA A Gornji pojas - Donji pojas - Vertikale Slika 5.6.6.1. Raspored mernih mesta – 77 – Tabela 5.6.6.1.- Vrednosti merenih dilatacija za pojedine nivoe opterećenja [ε]x 10-6mm/mm ŠEMA OPTEREĆENJA N O S A Č P R E S E C I M E R N O M E S T O I II III IV V VI VII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0205 213 217 223 231 238 245 2 0222 211 213 221 228 234 244 3 0208 209 215 214 232 224 228 I A -I A 4 0228 210 216 215 231 226 230 1 0600 125 186 194 232 268 310 2 - 0472 - 0965 - 136 - 0576 0114 0488 0948 3 0595 126 184 196 234 270 312 4 - 0474 - 0964 - 138 - 0573 0116 0490 0950 5 0610 124 185 195 236 274 314 6 - 0479 - 0966 - 134 - 0576 0115 0492 0950 7 0615 122 187 197 238 272 316 II A -I IA 8 - 0479 - 0962 - 136 - 0578 0118 0494 0952 1 0512 0866 120 138 185 202 248 2 - 0230 - 0128 - 0785 0285 0761 0931 151 3 0510 0862 122 136 184 205 250 4 - 0226 - 0126 - 0787 0287 0763 0934 153 5 0506 0864 124 138 188 207 252 6 - 0232 - 0124 - 0790 0288 0766 0936 153 7 0508 0868 122 140 186 210 254 II IA -I II A 8 - 0224 - 0122 - 0789 0290 0764 0939 155 1 0628 128 210 335 538 722 986 2 - 0582 - 116 - 215 - 438 - 795 -1300 -1890 3 0626 126 212 338 536 725 988 4 - 0580 - 114 - 213 - 440 - 795 -1320 -1.920 5 0632 124 214 338 538 727 930 6 - 0584 - 116 - 216 - 440 - 798 -1340 -1.940 7 0634 126 212 340 540 729 992 "A " IV A -I V A 8 - 0586 - 118 - 218 - 441 - 800 -1330 -1.930 – 78 – ŠEMA OPTEREĆENJA N O S A Č P R E S E C I M E R N O M E S T O I II III IV V VI VII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 - 00710 0290 0800 144 261 320 441 2 0408 0486 0250 0825 - 0286 - 0528 - 102 3 - 00715 0292 0810 146 263 322 443 4 0406 0488 0230 0850 - 0284 - 0530 - 104 00708 0294 0845 146 265 324 445 6 0406 0490 0250 0840 - 0288 - 0532 - 106 7 - 00712 0292 0840 148 268 245 447 V A -V A 8 0408 0488 0240 0870 - 0286 - 0534 - 105 1 0638 129 208 332 536 720 982 2 - 0581 - 115 - 214 - 437 - 788 - 1290 - 1892 3 0628 131 210 334 537 724 984 4 - 0582 - 113 - 216 - 435 - 786 - 1305 - 1894 5 0630 128 212 336 535 726 986 6 - 0583 - 117 - 217 - 439 - 790 - 1300 - 1895 7 0632 127 215 339 538 725 989 V IA -V IA 8 - 0584 - 119 - 214 - 440 - 792 - 1310 - 1897 1 0510 0862 121 136 182 210 249 2 - 0231 - 0126 - 0785 0283 0760 0932 151 3 0511 0860 124 134 184 212 246 4 - 0234 - 0124 - 0788 0286 0762 0934 155 5 0507 0859 125 137 185 214 250 6 - 0235 - 0127 - 0791 0284 0764 935 154 7 0509 0862 127 135 187 216 254 V II A -V II A 8 - 0228 - 0129 - 0790 0289 0766 937 155 1 0598 121 184 193 231 231 305 2 - 0471 - 0961 - 134 - 0574 0113 0487 0946 3 0600 124 186 195 233 233 309 4 - 0475 - 0963 - 136 - 0571 0115 0485 0950 5 0605 123 185 192 235 235 312 6 -0478 - 0965 - 133 - 0572 0114 0484 0952 7 0608 125 183 194 237 237 316 V II IA -V II IA 8 - 0480 - 0964 - 135 - 0575 0116 0488 0954 1 0210 294 298 303 312 318 327 2 0216 284 287 293 301 307 316 3 0213 267 266 267 267 268 269 "A " IX A - I X A 4 0214 277 278 278 279 281 279 – 79 – [ε]x 10-6mm/mm Slika 5.6.6.2 –Dijagram merenih i računskih dilatacija za radno opterećenje (V faza) i granično stanje nosivosti (VII) u preseku IVA-IVA σ [MPa] Slika 5.6.6.3 – Dijagram merenih i računskih napona za računsko opterećenje (V faza) i granično stanje nosivosti (VII) u preseku IVA-IVA – 80 – 5.6.7 NAPONI U ZATEZI-DONJI POJAS NOSAČA ( kosi deo)PRI RADNOM OPTEREĆENJU-V FAZA OPTEREĆENJA Daju se dijagrami merenih napona u donjem pojasu-zatezi za presek na kosom delu zatege. Takoñe, daju se naponi i sila u donjem pojasu od udara tega u sleme nosača, slobodnim padom sa 6.00m visine. Merenja vršena odmah nakon udara tega i 30 minuta nakon udara tega. A = 34 cm2 E = 2.1 · 104 2 cm kN 2 21 ∆+∆ =∆sr ; p = 1 · 10 -6 mm/mm ε = p · sr∆ σ = E · ε = 2.10 · 104 · 1 · 10-6 · sr∆ σ = 0.021 · sr∆ 2 cm kN Sila u zatezi: ZM = A · σsr = 34.0 · 18.86 = 641.24 kN Slika 5.6.7.1- Dijagram normalnih napona u donjem pojasu- zatezi za eksploataciono opterećenje (V faza) - mereni – 81 – VII – ŠEMA OPTEREĆENJA-GRANIČNO STANJE NOSIVOSTI NOSAČA "A" Sila u zatezi: ZM = A · σsr = 34.0 · 33.00 = 1122,00 kN Slika 5.6.7.2- Dijagram normalnih napona u zatezi (kosi deo) za granično stanje nosivisti (VII)-mereni NAPONI U ZATEZI ODMAH NAKON UDARA TEGA Sila u zatezi: ZM = A · σsr = 34.0 · 39.14 = 1330,76 kN Slika 5.6.7.3- Dijagram normalnih napona u zatezi odmah nakon udara tega-mereno – 82 – NAPONI U ZATEZI 30 min NAKON UDARA TEGA Sila u zatezi: ZM = 34.0 · 33.41 = 1136.00 kN Slika 5.6.7.4- Dijgram normalnih napona u zatezi 30 min nakon udara tega-mereno – 83 – 6. ANALIZA TEORIJSKIH REZULTATA PONAŠANJA DVOPOJASNIH SISTEMA 6.1. ANALIZA STATIČKIH UTICAJA Izvršena je teorijska analiza pona[anja dvopojasnog, i istovetnog kao u sprovedenom eksperimentu nosača raspona L=20.00m za razne nivoe opterećenja, za nosač "A" i " B". Analiza je izvršena u programu SAP 2000. Oba nosača su računata za iste šeme opterećenja. postoji neznatna razlika u postignutoj čvrstoći betona. Nosači su ispitivani pri starosti od 35 dana, jedan nosač je sa betonom od MB75MPa, a drugi sa MB78MPa. U tabeli 6.1. daje se pregled statičkih uticaja oba nosača, za pojedine faze opterećenja. Tabela 6.1. - Pregled statičkih uticaja za oba nosača M N Z V ugibi M N Z V ugibi N o sa č Fa ze o pt er eć en ja Pr es ek [kNm] Gornji pojas [kN] Gornji pojas [kN] Donji pojas [kN] Vertikale [mm] N o sa č [kNm] Gornji pojas [kN] Gornji pojas [kN] Donji pojas [kN] Vertikale [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 I - I 0,00 - - - 0,00 0,00 - - - 0,00 II - II 14,00 95,91 - - 5,70 13,90 95,10 - - 5,75 III - III 11,48 96,91 - - 9,10 11,70 95,77 - - 9,22 IV - IV 14,82 95,00 - - 10,40 13,88 94,12 - - 10,35 V - V -8,67 94,00 - - 10,30 -8,92 93,05 - - 10,38 X - X - - 95,24 - - - - 94,10 - - I f az a o pt er eć en ja XIII - XIII - - - 15,83 - - - - 12,77 - I - I 0,00 - - - 0,00 0,00 - - - 0,00 II - II 28,83 198,92 - - 8,70 28,10 197,86 - - 8,85 III - III 18,26 201,92 - - 14,20 17,98 201,12 - - 14,38 IV - IV 30,58 198,62 - - 16,70 29,45 197,36 - - 16,65 V - V -4,00 196,70 - - 16,80 -3,50 196,05 - - 16,90 X - X - - 199,34 - - - - 198,87 - - I I f az a o pt er eć en ja XIII - XIII - - - 31,08 - - - - 30,78 - I - I 0,00 - - - 0,00 0,00 - - - 0,00 II - II 43,00 302,31 - - 11,70 42,10 303,25 - - 11,74 III - III 25,05 306,84 - - 19,20 23,16 306,10 - - 19,28 IV - IV 49,63 302,48 - - 23,10 47,28 301,96 - - 23,15 V - V 12,48 298,24 - - 23,40 11,97 297,88 - - 23,51 X - X - - 303,45 - - - - 303,91 - - N o sa č „ A „ II I f az a o pt er eć en ja XIII - XIII - - - 48,43 - N o sa č „ B „ - - - 48,00 - – 84 – M N Z V ugibi M N Z V ugibi N o sa č Fa ze o pt er eć en ja Pr es ek [kNm] Gornji pojas [kN] Gornji pojas [kN] Donji pojas [kN] Vertikale [mm] N o sa č [kNm] Gornji pojas [kN] Gornji pojas [kN] Donji pojas [kN] Vertikale [mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 I - I 0,00 - - - 0,00 0,00 - - - 0,00 II - II 43,30 414,62 - - 14,20 42,12 414,10 - - 14,24 III - III 23,38 424,08 - - 24,30 21,26 423,96 - - 24,40 IV - IV 79,43 419,61 - - 30,40 78,87 418,77 - - 30,48 V - V 26,40 410,18 - - 31,30 25,89 409,66 - - 31,35 X - X - - 416,20 - - - - 415,98 - - IV fa za o pt er eć en ja XIII - XIII - - - 67,49 - - - - 66,87 - I - I 0,00 - - - 0,00 0,00 - - - 0,00 II - II 42,59 637,00 - - 19,00 40,12 636,80 - - 19,20 III - III 22,94 656,04 - - 34,10 23,12 658,25 - - 34,18 IV - IV 125,42 643,51 - - 44,70 137,96 643,88 - - 44,62 V - V 54,33 631,61 - - 46,60 53,85 632,48 - - 46,54 X - X - - 639,46 - - - - 637,39 - - V fa za o pt er eć en ja XIII - XIII - - - 105,24 - - - - 104,96 - I - I 0,00 - - - 0,00 0,00 - - - 0,00 II - II 42,23 752,55 - - 21,40 40,18 754,60 - - 21,52 III - III 23,24 747,80 - - 39,10 28,16 - - 39,35 IV - IV 168,22 757,95 - - 51,90 169,50 758,38 - - 51,82 V - V 68,26 743,56 - - 54,40 70,33 756,43 - - 54,58 X - X - - 752,21 - - - - 754,28 - - V I f az a o pt er eć en ja XIII - XIII - - - 124,30 - - - 124,87 - I - I 0,00 - - - 0,00 0,00 - - - 0,00 II - II 41,52 974,94 - - 26,10 43,75 975,00 - - 26,25 III - III 19,00 1005,12 - - 49,90 20,00 1014,15 - - 48,96 IV - IV 230.25 1095,88 - - 66,40 235,00 1008,20 - - 66,54 V - V 96,18 965,00 - - 70,10 98,16 971,00 - - 70,48 X - X - - 975,47 - - - - 978,21 - - N o sa č „ A „ V II fa za o pt er eć en ja XIII - XIII - - - 162,05 - N o sa č „ B „ - - 164,48 - – 85 – 6.2. ANALIZA GRANIČNE NOSIVOSTI Kao radno, eksploataciono opterećenje usvojeno je projektovano opterećenje po šemi opterećenja V. Najveći uticaji u nosaču za radno opterećenje su u gornjem pojasu, u preseku IV-IV: M= 125,42 kNm N= 643.51 kNm Z= 639.40 kNm Sa koeficijentima sigurnosti γ = γM = γN =1.80, uticaji M, N i Z usled radnog opterećenja (faza opterećenja V ) ne prekoračuju nosivost preseka prema teoriji loma. mu = 1175.044030 1042.1258.1 2 2 2 = ⋅⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ Bfdb Mγ nu= 2413.044030 51.6438.1 = ⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅ Bfdb Nγ Slika 6.2.1. -.Usvojen poprečni presek gornjeg pojasa – 86 – 6.3. ANALIZA STANJA NAPONA U prorаčunu se daje analiza stanja napona u preseku IV-IV za stanje eksploatacije i VII fazu opterećenja, a za ostale faze opterećenja rezultati su prikazani u tabeli 6.3.1. V – FAZA OPTEREĆENJA - PRESEK IV - IV M = 125.42 kNm ; N = 643.51 kN e = N M = 51.643 125.42 = 19.48 cm ea1 = 20 + 19.48 - 3.50 = 35.98 cm ea2 = 19.48 - ( 20- 3.50) = 2.98 cm A = 3·       −1ea1 h = 3·       −1 50.36 35.98 = -0.0427 B = 6· 5.38·       ⋅+⋅ 56.0 50.36 98.256.0 50.36 35.98 ·10-2 = 0.193 C = - 6· 5.38·       ⋅⋅+⋅ 096.056.0 50.36 98.256.0 50.36 35.98 ·10-2 = -0.179 s 3 - 0.0427s2 + 0.193s - 0.179= 0 ; s = 0.462 JIIb =       − 3 462.01 2 462.0 2 = 0.09028 aM = 125.42 + 643.51       − 035.0 2 40.0 = 231.59 kNm bσ = ( ) ( )096.01096.0462.01056.038.509028.0 462.0 50.3630 1059.231 22 2 −⋅−⋅⋅⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ − − = – 87 – bσ = 2.67 2cm kN = 26.7 MPa 1aσ = s s b − ⋅ 1µσ = 5.38 · 2.67 · 462.0 462.01− = 16.73 2cm kN 2aσ = s s b 2αµσ −⋅ = 5.38 · 3.06 · 62 425.0 096.0462.0 − = 11.38 2cm kN bε = b b E σ = 31090.3 67.2 ⋅ = 0.685 ‰ 1aε = h a E 1σ = 31021 73.16 ⋅ = 0.797 ‰; 2aε = h a E 2σ = 31021 38.11 ⋅ = 0.542 ‰ VII ŠEMA OPTEREĆENJA - PRESEK IV - IV M = 230.25 kNm ; N = 1000 kN – 88 – e = N M = 1000 230.5 = 23 cm ea1 = 23 + 20 - 3.50 = 39.5 cm ea1 = 23 - 20 + 3.50 = 6.50 cm A = 3·       −1 50.36 39.50 = 0.246; B = 6· 5.38·       ⋅+⋅ 56.0 50.36 50.656.0 50.36 39.50 ·10-2 = 0.228 C = - 6· 5.38·       ⋅⋅+⋅ 096.056.0 50.36 50.656.0 50.36 39.50 ·10-2 = -0.198 s 3 + 0.246s2 + 0.2285s - 0.195 = 0 ; s = 0.403 JIIb =       − 3 0.4031 2 0.4032 = 0.0703 aM = 230 + 1000       − 035.0 2 40.0 = 395.25 kNm bσ = ( ) ( )096.01096.00.4031056.038.50703.0 0.403 50.3630 1025.395 22 2 −⋅−⋅⋅⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ − − = 5.07 2cm kN 1aσ = s s b − ⋅ 1µσ = 5.38 · 5.07· 0.403 0.4031− = 40.41 2cm kN 2aσ = s s b 2αµσ −⋅ = 5.38 · 5.07· 0.403 096.00.403 − = 20.78 2cm kN bε = b b E σ = 31090.3 07.5 ⋅ = 1.30 ‰ 1aε = h a E 1σ = 31021 41.40 ⋅ = 1.92 ‰; 2aε = h a E 2σ = 31021 78.20 ⋅ = 0.989 ‰ – 89 – Tabela 6.3.1– Analiza stanja napona po preseku za šeme opterećenja n o sa č Še m a o pt er eć en ja pr es ek Vrednosti napona i dilatacija II - II II I - II I No sa č “ A” I Še m a o pt er eć en ja IV - IV – 90 – n o sa č Še m a o pt er eć pr es ek Vrednosti napona i dilatacija I Še m a o pt er eć en ja V - V II - II II I - II I No sa č “ A” II Še m a o pt er eć en ja IV - IV – 91 – n o sa č Še m a o pt er eć en ja pr es ek Vrednosti napona i dilatacija II Še m a o pt er eć en ja V - V II - II II I - II I No sa č “ A” II I Še m a o pt er eć en ja IV - IV – 92 – n o sa č Še m a o pt er eć en ja pr es ek Vrednosti napona i dilatacija II I Še m a o pt er eć en ja V - V II - II II I - II I No sa č “ A” IV Še m a o pt er eć en ja IV - IV – 93 – n o sa č Še m a o pt er eć en ja pr es ek Vrednosti napona i dilatacija IV Še m a o pt er eć en ja V - V II - II II I - II I No sa č “ A” V Še m a o pt er eć en ja IV - IV – 94 – n o sa č Še m a o pt er eć en ja pr es ek Vrednosti napona i dilatacija V Še m a o pt er eć en ja V - V II - II II I - II I No sa č “ A” VI Še m a o pt er eć en ja IV - IV – 95 – n o sa č Še m a o pt er eć en ja pr es ek Vrednosti napona i dilatacija VI Še m a o pt er eć en ja V - V II - II II I- II I No sa č “ A” VI I Še m a o pt er eć en ja IV - IV – 96 – n o sa č Še m a o pt er eć en ja pr es ek Vrednosti napona i dilatacija No sa č “ A” VI I Še m a o pt er eć en ja V - V 6.4. DEFORMACIJE DVOPOJASNOG KROVNOG NOSAČA 6.4.1. GRANIČNO STANJE PRSLINA PRESEK IV-IV – eksploataciono opterećenje – V šema opterećenja * Geometrijske karakteristike preseka a1= a2= 3.50 cm * Rastojanje izmeñu prslina M= 125.42kNm, N= 643.51kN lps = efZ1, 21 Ø 0 Ø 10 2 µ ⋅⋅+      +⋅ kkea – 97 – a0 + 0.1·eØ = 2.8 + 0.1·8.0 = 3.60 cm Aa1 = 4 · 1.54 = 6.16 cm2 hbZ, ef = 3.50 + 7.50 · 1.40 = 14.0 cm AbZ, ef = 30.0 · 14.0 = 420 cm2 420 16.6 ,1 =efZµ = 1.467 ‰ lps = 2 · 3.60 + 0.40 · 0.125 210467.1 40.1 − ⋅ = 11.97 cm e = 51.643 41.125 = 19.48 cm ; ea1 = 19.48 + 2 40 - 3.50 = 35.98 cm Mpr = 193.83 · 0.195 = 37.79 kNm 200.316.6 83.193 16.650.369.0 98.3583.193 cm kN ap =− ⋅⋅ ⋅ =σ 296.9 cm kN a =σ apk mm093.096.9 00.35.01 1021 96.997.117.1 2 3 =               ⋅−⋅ ⋅ ⋅⋅= kNN pr 83.193 40.030.0 6195.0 40.030.0 1 10311.0 2 4 = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅− = – 98 – 6.4.2. ANALIZA GRANIČNOG STANJA UGIBA a) homogen presek ( )∫ ∫= ααθ ddMJE xbb b) presek sa prslinama ( )∫ ∫= xefb ddMJE ααυ Tabela 6.4.2.1 - Vrednosti računskih ugiba v (cm) za pojedine šeme opterećenja po presecima presek I II III IV V VI VII VIII IX šema opterećenja I 0.00 0.57 0.91 1.04 1.03 1.04 0.91 0.57 0.00 šema opterećenja II 0.00 0.87 1.42 1.67 1.68 1.67 1.42 0.87 0.00 šema opterećenja III 0.00 1.17 1.92 2.31 2.34 2.31 1.92 1.17 0.00 šema opterećenja IV 0.00 1.42 2.43 3.04 3.13 3.04 2.43 1.42 0.00 šema opterećenja V 0.00 1.9 3.41 4.47 4.66 4.47 3.41 1.9 0.00 šema opterećenja VI 0.00 2.14 3.91 5.19 5.44 5.19 3.91 2.14 0.00 šema opterećenja VII 0.00 2.61 4.89 6.64 7.01 6.64 4.89 2.61 0.00 – 99 – Tabela 6.4.2.2 – Merene vrednosti ugiba v (cm) za pojedine šeme opterećenja po presecima presek I II III IV V VI VII VIII IX šema opterećenja I 0.00 0.52 0.86 1.00 0.99 0.98 0.88 0.51 0.00 šema opterećenja II 0.00 0.81 1.39 1.62 1.65 1.60 1.40 0.83 0.00 šema opterećenja III 0.00 1.12 1.88 2.27 2.30 2.29 1.90 1.14 0.00 šema opterećenja IV 0.00 1.40 2.38 3.00 3.09 2.98 2.40 1.39 0.00 šema opterećenja V 0.00 1.85 33.40 4.52 4.69 4.54 3.43 1.87 0.00 šema opterećenja VI 0.00 2.09 3.89 5.12 5.39 5.15 3.87 2.12 0.00 šema opterećenja VII 0.00 2.56 4.91 6.66 7.15 6.68 4.90 2.58 0.00 – 100 – 6.5. ANALIZA GRANIČNIH STANJA DVOPOJASNIH NOSAČA KONTINUALNO REŠENJE Kod proračuna dvopojasnih sistema uglavnom, postoje dva aktuelna pristupa proračunu. Jedan pristup je preko integracije osnovnih diferencijalnih jednačina – kontinualno rešenje, čisto numerički postupak i jedno uprošćeno, za praksu dovoljno tačno, rešenje. 6.5.1. DIFERENCIJALNE JEDNAČINE SISTEMA Pretpostavlja se da je veza izmeñu pojaseva nosača takva da obezbeñuje jednaka pomeranja u vertikalnom i horizontalnom pravcu. Oba pojasa imaju pored aksijalne krutosti i krutost na savijanje, u proračun se uvode i efekti skupljanja i tečenja ( reološki efekti ) kada je u pitanju beton. Na sl.6.5.1. prikazan je jedan diferencijalni elemenat dvopojasnog sistema sa oznakama fizičkih i geometrijskih veličina, spoljnim dejstvima i unutrašnjim silama [43]. Slika 6.5.1. Diferencijalni elemenat dvopojasnog sistema [43] Veza izmeñu napona i deformacija uzeta je obliku Valtera-ine integralne jednačine II vrste. Takoñe je razrañen i jedan prostiji postupak koji koristi algebarske veze napona i deformacija, Trost-Bažantov postupak (AAEMM) koji je pogodniji za praktične proračune. Jednačina (6.5.1) daje vezu izmeñu napona fc(τ) i deformacije εc(t) u obliku integralne jednačine, a jednačina (6.5.2) algebarsku vezu napona i deformacija [16] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttdE f tK E f t tsh t c c c c c θαεττ τ τ τ τ ε τ +++= ∫ , (6.5.1) – 101 – ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) tc cc t c c tshc bE ftf a E f ttt τ τ τ τθαεε −+=−− (6.5.2) gde su : εsh(t) - skupljanje betona αt - termički koeficijent θt - termičko polje kao funkcija vremena Ec(τ) - modul elastičnosti betona at = 1 + φt , bt = 1 + χt φ(t) φt - koeficijent tečenja χt - koeficijent starenja K(t,τ) - jezgro integralne jednačine druge vrste Uz pretpostavku wyy += 011 ; wyy += 0 22 , a pod uslovom da za krivinu važi ( ) ( ) ( )( ) ( )txIE tM dx txwd txk c , ,, , 2 2 τ α −== (6.5.3) i da je I(x,t) = I(x,τ), jednačine ravnoteže uz uzimanje u obzir relacija (6.5.1), (6.5.2) i (6.5.3), daju ( ) ( ) ( ) 0212211 2 0 2 2 22 0 1 2 12 2 212 2 2 2 1 2 =+++ +++−−+ xpxp dx dsq dx dsq dx ydH dx ydH dx wdHH dx Md dx Md (6.5.4) ili u obliku integro – diferencijalne jednačine ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,, 2 2 2 2 2 14 4 4 4 =−−++ ∫ xdx txwdKKdtR dx wd dx txwd t ϕττ τ (6.5.5) gde su 21 12 1 RR HK + = ; 21 22 2 RR HK + = ; 111 IER = ; 222 IER = ; ( ) ( ) ( )xpxp dx dsq dx dsq dx yd dx yd x 21 2 2 1 12 0 2 2 2 0 1 2 +++++=ϕ Kod algebarske veze napon – deformacija dobijamo uslov ravnoteže ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,1 4 4 2 2 2 14 4 4 4 =−++ − − x dx txwdKK dx wd b ba dx txwd b ttt tt t ϕτα (6.5.6) Ako je τ=t , 0=tϕ , jednačine (6.5.5 ) i (6.5.6) daju bikvadratnu diferencijalnu jednačinu sa kvazikonstantnim koeficijentima oblika. ( ) ( ) ( ) ( ) 0,, 2 4 2 2 2 14 4 =−++ x dx txwdKK dx txwd tt ϕ (6.5.7) – 102 – Jednačina (6.5.7) predstavlja trenutno elastično rešenje. Integro – deformacijska jednačina (6.5.5) i diferencijalne jednačine (6.5.6) i (6.5.7) sa odgovarajućim graničnim uslovima daju mogućnost odreñivanja pomeranja w(α,t) kao funkcije parametara horizontalnih sila H1 i H2 u poprečnom preseku pojaseva, slika 6.5.1. Za komletno odreñivanje stanja napona i deformacija neophodno je postaviti još dva uslova , u ovom slučaju to su promene dužine pojaseva nakon dejstva spoljašnjih sila, a ta dva uslova su dovoljna za odreñivanje sila H1 i H2. Ako je, L iii LL =∆+ 00 koristeći ranije date uslove wyy += 011 i wyy += 022 , tada kompletni uslovi dužine, dobijaju oblik ( ) ( ) ( ) 0, 2 1,23 , 2 0 0 0 0 =    −− −       + ∫ ∫∫ dxdx txdwdx dx txdw dx dy EA lLdtKHH l l i ii i t ii τ ττ (6.5.8) gde je Ai –površina poprečnog preseka pojaseva i = 1,2 a l – horizontalno rastojanje oslonaca sistema. 6.6. NUMERIČKI POSTUPAK Ovaj postupak se odnosi na diskretizovane sisteme, sastavljene od pravih konačnih elemenata- štapova kojima se aproksimira geometrijska konfiguracija konstrukcije. U ovom slučaju konstrukcija se predstavlja kao skup konačnog broja pravih štapova koji se u čvorovima, uslovima kompatibilnosti, povezuju. Problem se formuliše u vidu velikog broja nelinearnih algebarskih jednačina. Metoda deformacije se ovde uzima za analizu konstrukcija u ravni i u prostoru. Na Grañevinskom fakultetu u Beogradu razvijen je kompjuterski program sa kompletim algoritmima za proračunavanje štapa u ravni i u prostoru, rešena dinamička stanja konstrukcija, kao i stabilnost odgovarajućih konstrukcija [76]. Program je više puta korišćen, a i autor ovog rada ga je u nekoliko navrata ranije koristio. U ovoj doktorskoj disertaciji, za dvopojasni sistem sa gornjim pojasom od betona visoke čvrstoće – dvodelnim poprečnim presekom, mestimično spojenim prečkama i donjim pojasom u vidu zatege od čeličnih profila urañen je softver za statičku i dinamičku analizu samo ovog tipa nosača datih u ovom radu. Konstrukcija je modelirana pomoću MKE korišćenjem grednih elemenata za zategu, a 3D izoparametarskih konačnih elemenata za gornji pojas. Izoparametarski elementi predstavljaju opšti i mnogo primenjivan koncept u MKE. Način sračunavanja osnovnih karakteristika izoparametarskih elemenata, matrice krutosti i vektora opterećenja u čvorovima sličan je kao i za klasične elemente. Ovaj 3D izoparametarski konačni elemenat koristi se za modeliranje trodimenzionalnih tela opšteg oblika-3D kontinuma. Obično elemenat ima više čvorova, uobičajeno 8 do 21 i ima šest površi koje ograničavaju elemenat. [15], [54], [81]. – 103 – Konstitutivna matrica elastičnosti C odgovara 3D uslovima, a vektor napona σ ima šest komponenti, u skladu sa redosledom komponenti deformacije e . Matrica krutosti elementa K ima dimenzije 3N x 3N, tj. dV V N3x66x66Nx3 T N3Nx3 ∫= BCBK (6.6.1) a vektor sila u čvorovima uF ima 3Ν komponenti, 1Nx3N3Nx3 V 1x66Nx3 T 1Nx3 u dV UKBF == ∫ σ (6.6.2) Integracija po zapremini elementa vrši se numerički. Postupak iyvoñenja matrice krutosti izoparametarskog grednog elementa sa promenljivim brojem cvorova detaljno je opisan u literaturi [15], [54], [81]. Ona se može izvesti i direktnim metodom. Ova metoda podrazumeva korišćenje diferencijalnih jednačina koje opisuju deformisanje nosača i uslova ravnoteže kako bi se povezale generalisane sile i pomeranja u čvorovima, a ove relacije predstavljaju matricu krutosti konačnog elementa [54]. U softveru koji je sastavni deo ove disertacije (eksperimenta ) korišćen je navedeni način formulisanja matrice krutosti. Prethodno definisana matrica krutosti i jednačine ravnoteže odgovaraju statičkim uslovima. 6.6.1. DIFERENCIJALNE JEDNAČINE KRETANJA Softverom je osim statičke obuhvaćena i dinamička analiza dvopojasnog sistema. U odnosu na statičku analizu gde su spoljašnji uticaji i sve naponsko-deformacijske veličine nezavisne od vremena, u dinamičkoj analizi spoljašnji uticaji su funkcije od vremena. Pretpostavlja se da su vremenski uticaji (skupljanje i tečenje betona) mali i zanemarljivi. Obuhvaćeno je delovanje sila na sistem koje se menjaju u toku vremena, pa pomeranja pojedinih tačaka zavise od vremena. Takoñe, uzete su u obzir i inercijalne karakteristike nosača pri izračunavanju kretanja. U slučaju dinamičkog opterećenja postavljaju se diferencijalne jednačine kretanja čijom integracijom nalazimo pomeranja, brzinu i ubrzanje pojedinih tačaka konstrukcije. Diferencijalne jednačine kretanja mogu se izvesti korišćenjem Lagranžeovih jednačina II vrste ili primenom Dalamberovog principa prema literaturi Kojić ( 1991 ), Kojić i dr. ( 1988 ) i Bathe (1982 ). Ovde je diferencijalna jednačina kretanja kontinuma, podeljenog na konačne elemente, prema sl.4 izvedena korišćenjem principa virtualnog rada, ( )tFKUUM =+&& (6.6.1) Gde je M - matrica masa konačnog elementa, koja se definiše izrazom ∫ρ= V T dVHHM (6.6.2) Vektor ( )tF predstavlja spoljašnje sile koje deluju u čvorovima konačnog elementa, a obuhvata površinske, zapreminske i koncentrisane sile, u opštem slučaju zavisne od vremena. – 104 – Često se u konstrukcijama (materijalima) javljaju sile otpora (disipacije) koje su proporcionalne brzinama kretanja tačaka. Uzimanjem u obzir ovih sila, prema [15] i [54] kao dopunske zapreminske sile, dobijamo jednačinu kretanja konačnog elementa ( )tFKUUBUM =++ &&& (6.6.3) gde je sa B označena matrica prigušenja, ∫= V T dVb HHB (6.6.4) Matrica prigušenja B i matrica masa M , imaju iste dimenzije kao i matrica krutosti elementa K , pa se primenjuje isti postupak za rasporeñivanje članova svih matrica, pri formiranju matrice masa i matrice prigušenja konstrukcije. Poznato je izvoñenje matrice krutosti i interpolacija za pomeranje pravog štapa sa dva čvora. 6.6.2. INTEGRACIJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA KRETANJA Sistemi jednačina (6.6.2) i (6.6.3) koji opisuju kretanje materijalnog sistema predstavljaju sisteme običnih diferencijalnih jednačina drugog reda. Ukoliko se radi o linearnoj analizi, koeficijenti matrica MK, i B su konstantni, dok u nelinearnoj analizi koeficijenti mogu biti funkcije nepoznatih pomeranja, brzina ili ubrzanja [15],[54],[81]. Za rešavanje sistema jednačina (6.6.2) i (6.6.3) postoji veći broj klasičnih metoda koje podrazumevaju odreñivanje analitičkih zavisnosti pomeranja, brzina i ubrzanja od vremena. Klasične metode nisu pogodne za sisteme jednačina kakve srećemo u MKE u dinamici konstrukcija, gde se javljaju sistemi diferencijalnih jednačina vrlo visokog reda stepeni slobode kretanja. Mnogo veću primenu u MKE imaju približne numeričke metode direktne integracije sistema diferencijalnih jednačina, koje, umesto analitičkih rešenja, za bilo koji trenutak vremena t , daju rešenje u pojedinim diskretnim trenucima vremena tn,,t2,t,0 ∆∆∆ K . Ukupan period vremena T , u kome nas interesuje rešenje sistema diferencijalnih jednačina, podeli se na n intervala nTt =∆ . Postupak se sastoji u tome što se, na osnovu poznatog rešenja, u trenutku t na početku intervala t∆ , traži rešenje u trenutku tt ∆+ , na kraju koraka. Pritom se uvode pretpostavke za promenu pomeranja, brzine i ubrzanja unutar intervala t∆ . Izbor vremenskog koraka t∆ je vezan za željenu tačnost rešenja a manje za stabilnost, pošto se kod ovih metoda može postići bezuslovna stabilnost. Ovde je korišćena Njumarkova metoda implicitne direktne integracije koja se najčešće koristi pri integraciji sistema diferencijalnih jednačina, Kojić (1991). – 105 – 6.6.3. SOPSTVENE KRUŽNE UČESTANOSTI I SOPSTVENI VEKTORI SISTEMA U cilju sagledavanja što tačnijeg ponašanja konstrukcije izložene dinamičkim silama neophodno je poznavanje sopstvenih kružnih učestanosti (frekvencija) i sopstvenih oblika oscilovanja. Sistem bez prigušenja i dejstva spoljašnjih sila, odnosno, homogeni sistem običnih diferencijalnih jednačina drugog reda, može da se napiše u obliku 0KUUM =+&& (6.6.5) Rešenje dobijenog sistema jednačina, obzirom na osobine trigonometrijskih funkcija, možemo da predstavimo u sledećem obliku )tsin( α+ω= UU (6.6.6) gde U predstavlja vektor amplituda, ω kružnu učestanost slobodnih oscilacija sistema, a α je fazno ugaono pomeranje. Dvostrukim diferenciranjem izraza (6.6.6) i zamenom u (6.6.5) dobijamo sledeći homogeni sistem od n algebarskih jednačina po nepoznatim amplitudama U . 0)( 2 =ω− UMK (6.6.7) Da bi homogeni sistem (6.6.7) imao netrivijalno rešenje, potrebno je da determinanta sistema bude jednaka nuli, odnosno da je 0det)(p 22 =ω−=ω MK (6.6.8) Jednačina (6.6.8) predstavlja polinom reda 2n po ω odnosno reda n po 2ω=λ , i u literaturi je poznata kao karakteristična jednačina sistema. Rešavanjem jednačine (6.6.8) po ω odnosno 2ω , dobijamo sopstvene učestanosti sistema 2iω , kojih u opštem slučaju ima n, i reñamo ih po rastućem redu; 222 n21 ... ω<<ω<ω . Pošto u opštem slučaju, u zatvorenom obliku možemo da rešimo jednačinu (6.6.8) do trećeg reda za sistem n-tog reda je neophodno primeniti numeričke postupke za odreñivanje korena 2 ii ω=λ , kao što je pokazano u literaturi Bathe (1982). Za svaku kružnu učestanost 2iω iz sistema jednačina (6.6.7) možemo da odredimo sopstveni vektor iU , pa kažemo da 2iω i iU predstavljaju sopstveni par. Obzirom da se radi o homogenom sistemu algebarskih jednačina, to iz sistema (6.6.7) ne možemo da odredimo apsolutne vrednosti amplituda već samo njihove odnose na taj način što jednu od jednačina izostavljamo iz sistema. Vrednosti amplituda u vektoru iU normiramo tako što usvajamo da je jedna amplituda jednaka jedinici ili da je norma vektora iU jednaka jedinici, kao što je uobičajeno u literaturi Kojić (1988), Bathe (1982). Članovi sopstvenog vektora iU ustvari predstavljaju odnose amplituda pomeranja pojedinih masa u slučaju kada sve mase osciluju sa istom kružnom učestanošću iω . – 106 – Ako definišemo vektor sila iF , proporcionalan sopstvenom vektoru iU na sledeći način, i 2 ii UMF ω= (6.6.9) onda jednačinu (6.6.5) možemo da napišemo u obliku ii FKU = (6.6.10) Iz poslednje jednačine sledi da ako je vektor sila dat sa (6.6.9) onda je rešenje sistema (6.6.10) takoñe sopstveni vektor iU , što se često koristi u numeričkim postupcima. Sopstveni vektori imaju bitnu osobinu ortogonalnosti u odnosu na matricu masa i matricu krutosti koja može matrično da se prikaže sledećim relacijama ijj T i δ=UMU (6.6.9) i ij 2 ij T i δω=UKU (6.6.10) Na ponašanje konstrukcija dominantan uticaj imaju najniže sospstvene učestanosti pa se, u praktičnoj primeni MKE, odreñuje samo nekoliko kružnih učestanosti, a za velike sisteme i nekoliko stotina sopstvenih učestanosti. Razvijen je veći broj numeričkih postupaka i kompjuterskih programa za rešavanje problema sopstvenih vrednosti kao što su: Jakobijeva metoda, Stodola, iterativna metoda na potprostoru sopstvenih vektora (subspace iteration method), Lančos (Lanczos) metod i dr. Ovaj problem u ovom radu je rešen programom PAK prema metodologiji izloženoj u knjizi Bathe (1982). – 107 – 6.6.4. NUMERIČKA ANALIZA MODELA PRIMENOM MKE Numerička analiza dvopojasnih sistema primenom MKE je urañena korišćenjem programskog paketa PAK-S, koji je nastao u ukviru dugogodišnjeg istraživanja u Centru za naučna istraživanja SANU i u Istraživačko-razvojnom centru za bioinženjering BioIRC u Kragujevcu. Za potrebe generisanja modela i analize dobijenih rezultata, u IR centru BioIRC je razvijen interfejs softver prikazan na slici 6.6.4.1 Slika 6.6.4.1. Grafički inerfejs softver za pre- i post-procesiranje rezultata dobijenih u programskom paketu PAK-S koji rešava deformisanje solida primenom metode konačnih elemenata. U interfejs softveru (slika 6.6.4.1) vrši se parametarsko generisanje modela (pre-procesiranje), pri čemu je omogućeno korišćenje različitih geometrija modela i zadavanje različitih vrsta opterećenja. Parametri geometrije konstrukcije i mreže konačnih elemenata, korišćeni pri generisanju numeričkog modela su prikazani na slici 6.6.4.2. – 108 – Tipovi konačnih elemenata. Za armiranobetonski gornji pojas dvopojasnog nosača se koristi izoparametarski 3D konačni element, dok se za donji pojas-čeličnu zategu koristi konačni element grede nedeformabilnog preseka, prema (Kojic et al. 1996, 2008). Ovde treba napomenuti da se kosi deo zatege, modeliran pomoću grednog elementa, vezuje za središni čvor betonske konstrukcije koji se nalazi na rastojanju koje je jednako 1/3 rastojanja izmeñu tačaka A i C (slika 6.6.4.2, levo). Slika 6.6.4.2. Parametri geometrije (levo) i mreže konačnih elemenata (desno) korišćeni u grafičkom interfejs softveru, za generisanje numeričkog modela. Tipovi opterećenja. U numeričkom modelu je moguće koristiti dva tipa opterećenja koja deluju na konstrukciju: koncentrisana i kontinualna opterećenja. Koncentrisano opterećenje se definiše preko tri parametra: Ly – rastojanje od koordinatnog početka (u pravcu ose y) na kome deluje sila, Fy – komponenta sile u pravcu ose y, i Fz – komponenta sile u pravcu ose z. Pri generisanju MKE modela ova sila se primenjuje na čvorove konačnih elemenata koji su najbliži rastojanju Ly, pri čemu se sila rasporeñuje na sve čvorove gornje strane modela koji su na rastojanju Ly . Kontinuualno opterećenje se definiše pomoću sledećih parametara: L1 – početna tačka, mereno od koordinatnog početka, kontinualnog opterećenja (u pravcu ose y), L2 – krajnja tačka kontinualnog opterećenja (u pravcu ose y), Pz – vrednost kontinualnog opterećenja koje deluje na jedinicu površine. Pri generisanju MKE modela kontinualno opterećenje se predstavlja kao površinski pritisak koji deluje na gornje stranice svih konačnih elemenata koji su sa gornje strane modela i nalaze se izmeñu rastojanja L1 i L2. Materijali. Usvojeno je da i beton i čelik imaju linearno elastične materijalne karakteristike, tako da je u MKE analizi korišćen linearno elastičan materijalni model. U grafičkom interfejsu se posebno definišu materijalni parametri betona i čelika, pri čemu je svaki materijal definisan preko tri parametra: Jangovog modula elastičnosti, Poasonovog koeficijenta (koeficijent smicanja) i gustine materijala. Tip donjeg pojasa-zatege. Grafički interfejs obezbeñuje korišćenje sledećih podtipova U profila: 2x U8, 2x U10, 2x U12, 2x U14, 2x U16, 2x U18, 2x U20, 2x U22 i 2x U24, pri čemu je svaki od profila odreñen sledećim podacima: A –površina poprečnog preseka, Iy –centralni moment inercije za lokalnu osu y, Iz – centralni moment inercije za lokalnu osu z, Wy –polarni moment inercije za lokalnu osu y, Wz – polarni moment inercije za lokalnu osu z. – 109 – Udar. Udar se definiše preko tri parametra: dužina na kojoj deluje udar (od L1do L2), m – masa tela koje pada na konstrukciju, i H – visina sa koje telo pada (visina je predstavljena u odnosu na tačku udara). Pri generisanju MKE modela uticaj udara se predstavlja zadavanjem početnih brzina u svim čvorovima gornjih strana konačnih elemenata, koji se nalaze izmeñu rastojanja L1 i L2. Početna brzina se izračunava preko: 2zV gH= − (6.6.4.1) gde je g - ubrzanje usled gravitacije, a H - visina sa koje telo pada. Uticaj mase tela koje pada se ravnomerno prenosi na konačne elemente sa gornje strane konstrukcije koji su u zoni izmeñu L1 i L2, na način da se uvodi novi materijalni model za te elemente. Novi materijalni model ima sve iste karakteristike osim gustine, koja se računa prema sledećem obrascu: /imp con impm Vρ ρ= + (6.6.4.2) gde je: conρ - gustina betona, m - masa tela koje pada na konstrukciju, a impV - ukupna zapremina konačnih elemenata koji se nalaze na gornjoj strani konstrukcije izmeñu L1 i L2. Sopstvena težina. U numeričkoj analizi je moguće uključiti sopstvenu težinu konstrukcije. Sopstvena težina se definiše tako što se prilikom numeričke integracije jednačine konačnog elementa, u svakoj Gausovoj tački dodaje sila usled gravitacije koja je jednaka: gF g Vρ∆ = ⋅ ⋅ ∆ (6.6.4.3) gde je: ρ - gustina, g - ubrzanje usled gravitacije, a V∆ - zapremina koja odgovara Gausovoj tački. Tip analize. U numeričkom modelu je omogućeno korišćenje statičkog i dinamičkog proračuna. U okviru dinamičke analize moguće je pratiti deformacije grede u toku vremenskog perioda. Treba napomenuti da je koncept udara moguće koristiti samo u okviru dinamičke analize. Ograničenja modela. Pretpostavka numeričkog modela grede je da je oslonac označen dužinom a sa slike 6.6.4.2. ograničen u pogledu pomeranja i rotacija u sva tri koordinatna pravca. Usvojeno je i da je središna linija poprečnog preseka nosača ograničena po pomeranju u pravcu ose H, a isto važi i za sve čvorove grednih elemenata. U cilju odreñivanja otpora oslonaca pomoću programa PAK-S, umesto ograničenja čvorova na osloncu a grede, u tim čvorovima se zadaju pomeranja koja su jednaka nuli u pravcu osa Y i Z. – 110 – Proračun i analiza rezultata. Kada je izvršeno definisanje ulaznog modela, u grafičkom interfejsu se pokreće opcija Calculate (slika 6.6.4.1) usled čega se generiše ulazni *.dat fajl i pokreće proračun u programu PAK-S. Po završetku proračuna vrši se automatsko učitavanje i prikaz rezultata u grafičkom interfejsu (post-procesiranje). Osim polja pomeranja moguće je prikazati raznovrsne rezultate kao što su na primer naponi i deformacije u konačnim elementima konstrukcije (slika 6.6.4.3). Slika 6.6.4.3. Polje napona (levo) i polje doformacija (desno) za osnovni primer grafičkog interfejs softvera. – 111 – 6.6.5. POJEDNOSTAVLJENI METOD ZA ANALIZU DVOPOJASNIH SISTEMA Dvopojasnu konstrukciju koju čini gornji pojas od armiranog betona i donji pojas od čelika ili čelika za prednaprezanje možmo i jednostavnije proračunati jednom iterativnom metodom. Posmatrajmo jedan dvopojasni sistem prema sl.6.6.5.1. Slika 6.6.5.1. Šema dvopojasnog nosača 6.6.5.1. DVOPOJASNI NOSAČI Sa podupiračima ( vertikalama ) postižemo željenu konfiguraciju sistema. Krak unutrašnjih sila dvopojasnog sistema je znatno veći nego kod klasičnih konstrukcija sa istim rasponima, betonski deo preseka je znatno smanjen, pa je i težina konstrukcije znatno manja, posebno ako je upotrebljen beton visoke čvrstoće. Analiza ovih sistema je zasnovana na teoriji II reda, što zahteva rešenje kompleksnih integro – diferencijlnih jednačina IV reda, a ovaj uprošćen metod je pogodan za praktičnu primenu i zasnovan je na teoriji grañevinske mehanike. Kod ovih sistema gornji pojas je izložen momentima savijanja i aksijalnoj sili, a donji pojas samo aksijalnoj sili zatezanja sa najčešće zanemarljivom krutošću na savijanje. Razupore – podupirači obezbeñuju konfiguraciju sistema i izloženi su aksijalnoj sili pritiska. Ako posmatramo gornji pojas odvojeno od konstrukcije nosača i ako donji pojas i vertikale (podupirači) deluju kao spoljnje sile na gornji pojas, analiza konstrukcije se uprošćava, pa se posmatra samo gornji pojas kao što je prikazano na slici 6.6.5.1 [55] Slika 6.6.5.2. Uprošćeni model proračuna dvopojasne konstrukcije – 112 – Na slici se vidi, da ako su poznata opterećenja, sila prednaprezanja i konfiguracija konstrukcije, unutrašnje sile u gornjem pojasu se mogu lako sračunati. Na primer, unutrašnje sile u poprečnom preseku u sredini nosača ( 2 l ) iznose :       +−+= θθ sin 2 cos 48 0 1 2 lHNlPqlM (6.6.5.1) 10 sin PNV −= θ (6.6.5.2) θcos0NN = (6.6.5.3) gde su M, V i N moment savijanja, transverzalna i normalna sila u gornjem pojasu nosača.. Iz poznate relacije EJ M = ρ 1 ; ρ – poluprečnik krivine, sa odgovarajućim uprošćenjima dolazimo do diferencijalne jednačine elastične linije EJ M dx yd =2 2 (6.6.5.4) Za konstrukciju prikazanu na slici 6.6.5.1. jednačine momenata duž raspona iznose: ( )θθ sincos 22 2 xhNqxxqlM xx o +−−= ; 4 0 lx ≤≤ (6.6.5.5) ( )θθ sincos 422 1 2 xhNlxPqxxqlM xx o +−     −+−= ; 24 l x l ≤≤ (6.6.5.6) gde se sa hx obeležava rast gornjeg pojasa duž raspona ( )Hhx ,0∈ Jednačina elastične linije dobija se integracijom jednačine momenta. Na primer, ako gornji pojas nije zakrivljen već prava greda, jednačina elastičnih linija dobija se integracijom diferencijalne jednačine, pa će biti : 21 30 34 6 sin 1224 CXCxNqlxqxy +++−= θ ; 4 0 lx ≤≤ (6.6.5.7) 43 2 1 3 130 34 866 sin 1224 CXClxPxPxNqlxqxy +++⋅−+−= θ ; 24 l x l ≤≤ (6.6.5.8) gde su sa C1, C2, C3 i C4 integracione komponente koje se dobijaju iz graničnih uslova 20 32 1 1 8 sin 2432 lNqllPC θ−+= ; 02 =C (6.6.5.9) 20 3 3 8 sin 24 lNqlC θ−= ; 384 3 1 4 lPC = (6.6.5.10) – 113 – Ovde će se ugib konstrukcije dobiti prilično veliki zbog male krutosti gornjeg pojasa što će usloviti veliko izduženje donjeg pojasa. Izduženje u zatezi nije uzeto u obzir u prethodnom proračunu, pa bi se pojavile veće greške u rezultatima proračuna. U cilju dopbijanja veće preciznosti postupiti po sledećem iterativnom metodu proračuna: 1. Jednačina Mx se računa saglasno spoljašnjem opterećenju i sa početnom silom prednaprezanja No 2. Jednačina elastične linije računa na osnovu jednačine momenta Mx 3. Izduženje i povećanje prednaprezanja ∆N zatege se računa u skladu sa poznatom jednačinom elastične linije y 4. Ako povećanje prednaprezanja ∆N ne daje dovoljnu preciznost – tačnost, onda korake 1-3 treba ponoviti sa No ' = No +∆N/2 sve dok se ne postigne zadovoljavajuća tačnost. – 114 – 7. ODREðIVANJE FAKTORA GRANIČNOG OPTEREĆENJA PRIMENOM LINEARNOG PROGRAMIRANJA 7.1. UVOD U ovom poglavlju se prikazuje metodologija odreñivanja faktora graničnog opterećenja koje ravni nosač dovodi u stanje granične ravnoteže. Stanje granične ravnoteže je moguće ravnotežno stanje konstrukcijskog sistema kada još uvek postoji ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila u sistemu pri kojem su iscrpljeni kapaciteti nosivosti u njegovim kritičnim presecima. Daljim povećanjem koeficijenta-faktora sa kojim se množi spoljašnje opterećenje formiraju se plastični zglobovi u kritičnim presecima, koji su izloženi momentima savijanja, odnosno velika izduženja ili gnječenja u ovim presecima koji su izloženi zatezanju ili pritisku. Sistem prelazi u kinematički lanac ili mehanizam, na kojem je dalje nemoguće održavati ravnotežu spoljašnjih i unutrašnjih sila. To je, dakle, stanje destrukcije sitema u kojem on ne može dalje vršiti svoju funkciju. U analizama konstrukcijskih sistema, kao što je poznato u praksi, se opterećenja odreñuju u skladu sa tehničkim propisima (stalna, pokretna, povremena, opterećenja od vetra, snega, uticaja seizmičkih sila i dr.) koja se množe sa odgovarajućim koeficijentima da bi se dobilo merodavno proračunsko opterećenje u graničnom, odnosno, limitnom stanju. U teoriji konstrukcija, pri proračunima konstrukcijskih sistema i njihovih elemenata nastoji se da se što realnije uzmu u obzir reološka stanja materijala (elastičnost, elastoplastičnost, plastičnost, kao i dugotrajni uticaji u koje spadaju viskoelastičnost, tečenje (puzanje) i skupljanje, odnosno bubrenje). Prva potpunija teorijska i eksperimentalna istraživanja ponašanja elemenata betonskih konstrukcija u oblasti granične ravnoteže u nas je izvršio M. Ivković (1962). On je predložio osnovne postavke (teoreme) i razvio matematičke procedure za odreñivanje tzv. statičkih i kinematičkih polja i njima odgovarajućih opterećenja koja odreñuju stanja sistema u oblasti granične ravnoteže. Takoñe je definisao uslove plastičnosti betona za složena naponska stanja. Ova istraživanja su kasnije eksperimentalno i teorijski nastavili i dalje razvili njegovi saradnici i sledbenici M. Aćić (1968, 1987), R. Vukotić ( 1968, 1987), S. Marinković (2001), R. Zejak (2003) i dr. Za odreñivanje koeficijenta-faktora graničnog opterećenja u teoriji linijskih nosača primenjuju se dva karakteristična postupka. Prvi postupak se zasniva na varijacionom računu i formulisanju odgovarajućih funkcionala, koji za elastične sisteme predstavljaju odgovarajući elastični ili plastični potencijal, odnosno disipaciju energije u zavisnosti od ponašanja materijala. U oblasti plastičnog ponašanja materijala utvrñuju se prethodno karakteristični ili kritični preseci u kojima može doći do iscrpljenja kapaciteta nosivosti preseka i formiranja odgovarajućih plastičnih zglobova. Na ovaj način se formira, u zavisnosti od strukture sistema, veći broj mogućih mehanizama loma, za koje se definiše plastični potencijal, odnosno dispacija energije u funkciji od faktora graničnog stanja (faktora loma). Merodavan je onaj mehanizam loma za koji je ova disipacija najmanja. Drugi postupak je zasnovan na dualitetu izmeñu statičkih i kinematičkih veličina. Statičko rešenje problema se zasniva na ravnoteži spoljašnjih i unutrašnjih sila u izabranim kararakterističnim presecima. Za kinematičko rešenje se koriste uslovi kompatibilnosti izmeñu unetih diskontinuiteta u sistemu prilikom konstruisanja mehanizama loma i generalisanih deformacija (obrtanja). Za konačno rešenje problema koriste se metode matematičkog programiranja (linearnog ili nelinearnog), tako što se za statičku formulaciju problema, za funkcija cilja, uzima da traženi faktor opterećenja ima maksimalnu, a za kinematičku formulaciju da disipacija energije, koja predstavlja zbir proizvoda unutrašnjih sila (momenata savijanja ili normalnih sila) i odgovarajućih generalisanih pomeranja (obrtanja ili izduženja, odnosno skraćenja), ima minimalnu vrednost. Na taj način se formulišu dva – 115 – dualna problema matematičkog programiranja čijim se rešavanjem dobijaju odgovarajuća rešenja statičkog i kinematičkog problema. Uslovi ravnoteže u statičkom problemu predstavljaju uslove ograničenja prvog problema matematičkog programiranja, a uslovi kompatibilnosti za kinematičko rešenje predstavljaju uslove ograničenja dualnog problema matematičkog programiranja. Koristeći teoriju dualiteta u matemtičkom programiranju, iz rešenja statičkog problema, veoma se lako dobijaju rešenja dinamičkog problema i obratno. Ako se pretpostavi da se materijal u oblasti stanja granične ravnoteže ponaša kao idealno plastičan i zanemare prethodne elastične ili elastoplastične deformacije, onda se problem rešava primenom linearnog programiranja sa linearnim funkcijama cilja i linearnim uslovima ograničenja. Ako se uzima u obzir prethodne elastično ponašanje materijala, a u oblasti granične ravnoteže on smatra da je idealno plastičan, onda se problem rešava primenom kvadratnog programiranja sa kvadratnom funkcijom cilja i linearnim uslovima ograničenja. Za nelinearne veze izmeñu napona i deformacija, što prestavlja teorijski i numerički znatno složeniji problem, mnogi autori su formulisali odgovarajuća teorijska rešenja i razvili odgovarajuće kompjuterske programe. A. Charnes i H. J. Greenberg su 1951. god. za rešetkaste sisteme uspostavili ekvivalenciju izmeñu primarnog i dualnog problema linearnog programiranja i „statičkih“ i „kinematičkih“ principa plastičnog kolapsa, koji su definisali M. R. Horne (Horn) 1950. god. i H. J. Greenberg, W. Prager i D. C. Drucker (1952). Proširenje ove teorije na okvirne nosače sa elementima izloženim savijanju su izvršili A. Charnes, C. E. Lemke i O. C. Zienkiewicz 1959. god. Problemi optimalnog dimenzionisanja konstrukcijskih sistema primenom metoda linearnog i nelinearnog programiranja su matematički formulisali i rešavali, kako navode: D. Lloyd Smith i Ž. Praščević (1990), J. Heyman (1951), W. Prager (1953), J. D. Foulkels (1954), R. Livsley (1956), C. Massonet i R. Save (1956), G. Mayer (1969), J. Munro i D. Lloyd Smith (1972,1974, 1978) i drugi autori. Odreñivanje mehanizama loma i faktora graničnog opterećenja za elastoplastično ponašanje materijala, primenjujući kvadratno programiranje, razmatrali su D. Lloyd Smith i J. Munro (1978), J. A.Teixeira de Feritas nand D. Lloyd Smith i drugi autori. Rešenja raznosvrsnih problema analize konstrukcijskih sistema primenom metoda matematičkog programiranja data su sa neophodnim teorijskim osnovama u dve obimne publikacije čiji su editori bili M. Z. Cohn i G. Mayer (1979) i D. Lloyd Smith (1990). Ovde će biti prikazan postupak odreñivanja faktora graničnog opterećenja i mehanizma loma koristeči dualitet statičkih i kinematičkih veličina primenom linearnog programiranja, koji će bti primenjeni na ispitivane dvopojasne nosače. Numerički rezultati dobijeni primenom ove teorijske metodologije biti će uporeñeni sa merenim eksperimentalnim rezultatima i formulisani odgovarajući zaključci. Treba istaći, da koliko je autoru poznato, u veoma bogatoj literaturi iz ove oblasti nema mnogo radova u kojima su uporeñivani eksperimentalni sa teorijskim rezultatima dobijeni ovim putem. Ovde treba istaći eksperimentalno istraživanje ponašanja dvopojasnih armiranobetonskoh sistema sa čeličnim elementima van glavnog betonskog preseka (donji pojas nosača), koje su vršili M. Aćić i D. Ostojić 1984. god. u okviru naučno-istraživačkog projekta „Teorijsko i eksperimentalno istraživanje aktuelnih problema armiranobetonskih, prethodno napregnutih i spregnutih konstrukcija“ koji je realizovan pod rukovodstvom M. Ivkovića na Grañevinskom fakultetu u Beogradu. Rezultati ovih interesantnih i korisnih istraživanja su prikazani u radu M. Aćića i D. Ostojića (1986). – 116 – 7.2. PROBLEM LINEARNOG PROGRAMIRANJA (Linearni program) Ovde će biti ukratko prikazane formulacije problema linearnog programiranja i neki najvažniji stavovi bez posebnih dokazivanja, koji se mogu naći u veoma bogatoj domaćoj i svetskoj literaturi o linearnom programiranju (videti na primer knjigu Ž. Praščević, N. Praščević (2009)). Primarni problem linearnog programiranja ili primarni program se definiše kao nalaženje minimalne vrednost linearne forme (funkcionala), koja se nayiva funkcija cilja ∑ = = n j jj xcz 1 ,min (7.2.1) uz ispunjavanje uslova ograničenja ∑ = =≥=≤ n j jijij njxmibxa 1 .,...,2,1,0;,...2,1, (7.2.2) Ovaj problem se može pisati i u vektorsko-matričnoj formi ,min xcTz = (7.2.1-a) ., 0xbAx ≥≤ (7.2.2–a) Elementi vektora x su xj, vektora c su cj, vektora b su bi, matrica A ima elemente aij (i=1,2,..., n; j=1,2,...,m). Gornji indeks T označava da su vektor ili matrica pisani u transponovanoj formi. Uslovi ograničenja (7.2.2) u Euklidovom vektorskom prostoru realnih brojeva Rn definišu skup dopustivih rešenja problema nxD R⊂ , tako da svaka tačka čiji je vektor položaja x koja zadovoljava ove uslove predstavlja dopustivo ili moguće rešenje problema. Zadatak linearnog programitranja je da se izmeñu svih tih tačaka pronañe ona tačka (ili one tačke, ako rešenje nije jednoznačno) za koje funkcija cilja z ima maksimalnu vrednost. Vektor položaja te tačke obeležava se ovde sa x*, a njegove komponente sa xj* (j=1,2,...,n). Za rešavanje ovog problema koristi se poseban metod koji je prvi predložio 1947. god. američki matematičar G. Dantzig, koji je on nazvao Simplex metod, za koji postoji više različitih varijanti i veliki broj kompjuterskih programa. Ako se svakom od ograničenja (7.2.2) pridruži nova promenljiva yi (i=1,2,...,m) i formira nova funkcija cilja w za koju treba naći minimum ∑ = = m i ii ybw 1 ,min (7.2.3) sa novim uslovima ograničenja ∑ = =≥=≥ n i ijiji miynjcya 1 ,...,2,1,0;,...,2,1, (7.2.4) dobija se novi problem koji se naziva dualni problem linarnog programiranja ili dualni program u odnosu na primaarni problem (7.2.1) i (7.2.2). Dualni problem se može formulisati u vektorsko-matričnoj formi ,min ybTw = (7.2.3-a) ., 0ycyA ≥≥T (7.2.4-a) – 117 – Skup tačaka Dy čiji je vektor položaja y u Euklidovom prostoru Rm )( my RD ⊂ , predstavlja moguća rešenja dualnog problema. Izmeñu svih tih tačaka traži se ona tačka ili one tačke za koje funkcija cilja w ima minimalnu vrednost. Vektor položaja te tačke obeležava se ovde sa y*, a njegove komponente sa yi* (i=1,2,...,m). U teoriji linearnog programiranja, koja se bazira na linearnoj algebri, postoji nekoliko važnih teorema koje se odnose na primarni i dualni problem linearnog programiranja, koje će ovde biti izložene bez dokazivanja, a koje će biti neophodne za teorijsku formulaciju ponašanja konstrukcijskih sistema u oblasti idealne plastičnosti. 1. Za bilo koja moguća rešenja primarnog problema xD∈x i dualnog problema yD∈y , koja ne moraju biti optmalna, važi da su funkcije cilja )()( yx wz ≤ , odnosno )()( yybxcx wz TT =≤= (7.2.5) 2. Ako su x* i y * moguća rešenja primarnog i dualnog problema respektivno za koje važi )()( **** yybxcx wz TT === (7.2.6) onda je x* optimalno rešenje primarnog problema sa maksimalnom vrednošću funkcije cilja z, a y* optimalno rešenje dualnog problema sa minimalnom vrednošću funkcije cilja w .min)(,max)( ** wwzz == yx (7.2.7) 3. Ako primarni problem ima optimalno rešenje x* , onda dualni problem ima optimalno rešenje y*, i obratno, čije su vrednosti funkcija cilja max z = min w. (7.2.8) 4. Za optimalna rešenja primarnog x* i dualnog problema y* važe uslovi komplementarnosti ;,...,2,1,0 1 *** mixaby n j jijii ==        −∑ = .,...,2,1,0 1 *** njyacx m i ijijj ==      −∑ = (7.2.9) ili .)(,)( *** 0cyAx0Axby =−=− TTT (7.2.9-a) 5. Ako u primarnom problemu promenljive xj (j=1,2,...,n) nemaju ograničenja u znaku i mogu biti veće, manje ili jednake nuli, onda ograničenja u dualnom problemu čine sistem jednačina ∑ = =≥== n i ijiji miynjcya 1 ,...,2,1,0;,...,2,1, (7.2.10) ili pisano kraće ATy = c. (7.2.10-a) 6. Važi i obrnut stav, ako dualne promenljive yi (i=1,2,...,m) neaju ograničenja u znaku, onda ograničenja u primarnom problem čine sistem jednačina ∑ = =≥== n j jijij njxmibxa 1 .,...,2,1,0;,...2,1, (7.2.11) ili pisano kraće Ax = b. (7.2.11-a) – 118 – Ovakvi slučajevi se pojavljuju analizi konstrukcijskih sistema uz primenu linearnog programiranja, gde su, kako će to biti pokazano, nepoznate veličine unutrašnje sile u presecima koje nemaju ograničenja u znaku. 7.3. OSNOVNE TEOREME Metode elasto-plastične analize okvirnih konstrukcija, kako navode Charnes, Lemke i Zienkiewicz (1959), se baziraju na tri teoreme ili principa koje su formulisali Horne (1952) i Greenber i Prager (1952), koji se ovde navode bez dokazivanja. Dokazi ovih teorema mogu se naći u bogatoj literaturi iz teorije plastičnosti. 1. Ako za dati okvirni sistem i skup proporcinalnih opterećenja intenziteta Ps, koji se može izraziti i nekim faktorom opterećenja γ, postoji raspodela momenata savijanja koja je statički moguća (t. j. koja zadovoljava uslove statičke ravnoteže) i ni u jednom preseku moment savijanja po veličini ne prevazilazi plastični moment (moment nosivosti ili kapacitet) tog preska, onda je opterećenje Ps, odnosno faktor opterećenja γs , manje ili jednako od opterećenja loma (kolapsa) sistema Pc , odnosno faktotra loma γc cs PP ≤ , odnosno cs γγ ≤ . (7.3.1) 2. Ako je pretpostavljen mogući mehanizam loma za zadati okvirni sistem i nañen odgovarajući intenzitet opterećenja Pk, odnosno faktor opterećenja γk, onda je to opterećenje veće ili jednako od opterećenja loma (kolapsa) sistema Pc, odnosno faktora loma γc , t.j. ck PP ≥ , odnosno ck γγ ≥ . (7.3.2) 3. Ako za neki zadati okvirni sistem može biti nañen intenzitet opterećenja P, odnosno faktor loma γ i za koji je moguća pojava mehanizma loma i kojem odgovara statički dopustiva i sigurana raspodela momenata savijanja, onda će odgovarajuće opterećenje P biti jednako opterećenju loma (kolapsa) sistema t.j. ,cPP = odnosno .ck γγ = (7.3.3) Ove teoreme se nazivaju statička, kinematička i teorema jedinstvenosti. Teoreme 1 i 2 na izgled su meñusobno nezavisne, dok je teorema 3 njihova posledica. Ni jedna od ovih teorema ne implicira niti dokazuje postojanje opterećenja loma (kolapsa) sistema, mada je iz fizikalnih razloga on verovatno moguć. Pošto su statička i kinematička teorema direktna posledica jedna drugoj (zbog treće teoreme), tako da tvrdnja o važenju jedne implicira zadovoljavanje druge. To znači, da postoji veza izmeñu teorema 1 i 2, koja se dokazuje primenom linearnog programiranja, odnosno teorijom dualiteta primarnog i dualnog problema linearnog programiranja. Nejednačine (12) i (13) se mogu pisati u obliku kcs PPP ≤≤ , odnosno .kcs γγγ ≤≤ (7.3.4) 7.4. GENERALISANE SILE I DEFORMACIJE ELEMENATA LINIJSKOG SISTEMA Deo proizvoljne male dužine ∆x isčen iz nekog elementa linijskog sistema prikazan je na slici 1. Momenti savijanja Mi i normalne sile Ni, kao rezultante unutrašnjih napona u presecima, izazivaju obrtanja iθ i dilatacije (izduženja ili skraćenja) duž ose nosača εi. Uticaj transferzalnih sila Ti se ne uzima u obzir. U čeličnim elementima analiziranog dvopojasnog sistema koji pripadaju donjem pojasu i verikalnim elementima uticaj momenata savijanja se – 119 – zanemaruje, tako da su oni zategnuti (donji pojas) ili pritisnuti (vertikalni elementi). Armiranobetonski elementi gornjeg pojasa su izloženi momentima savijanja i normalnim silama pritiska usled dejstva spoljašnjeg opterećenja. Pozitivni znaci momenata i normalnih sila su prikazani na slici 1. U daljim izlaganjima će se momenti savijanja i normalne sile nazivati generalisane unutrašnje sile u nekom preseku i označavati sa Ri, a uglovi obrtanja kao generalisane deformacije i obeležavati sa iθ . Mi Mi θi ∆x Ni Ni ∆x εi Slika1. Unutrašnje sile i deformacije 7.5. OSNOVNE PRETPOSTAVKE I REOLOŠKI MODELI U analizi konstrukcijskog sistema u oblasti graničnih stanja se polazi od sledećih pretpostavki: 1. Materijal od kojeg je sistem sačinjen tretira se u stanju granične ravnoteže kao idealno plastičan; 2. Važi Bernoulli-eva hipoteza o ravnosti poprečnih preseka posle izvršene deformacije; 3. Primenjuje se princip superpozicije uticaja opterećenja; 4. Istorija (redosled) opterećenja nije značajna za ponašanje sistema u oblasti granične ravnoteže. Reološki model idealno plastičnog materijala poznat je kao Saint Venant-ovo telo (StV) prikazan je na slici 2-a, i sastoji se od prizmatičnog tela koje se nalazi na hrapavoj podlozi sa odgovarajućim koeficijentom trenja. Na ovo telo deluje sila F i ono je nepokretno sve dok sila ne postane dovoljno velika da može da savlada silu otpora trenja F*. Posle toga prizmatično telo se ravnomerno pomera u smeru dejstva sile F bez njenog daljeg povećanja. Idealno plastično telo se ponaša kao kruto nedeformabilno telo dok stanje napona ne dostigne uslov plastičnosti, a zatim pod dejstvom napona se ostvaruje plastično tečenje materijala. StV StV H F F a) Idealno plastično telo b) Elasto-plastično telo StV TP H F c) Kvazi-elasto- plastično telo Slika 2. Reološki modeli – 120 – Dijagram generalisane sile Ri (momenta savijanja ili normalne sile) i generalisanog pomerenja (ugla obrtanja preseka ili dilatacije, tj. izduženja ili skraćenja) linijskog elementa konstrukcijskog sistema za idealno plastično ponašanje materijala prikazan je na slici 3. Ri Ri*+ Kinematička faza -Φi *+ Statička faza Ri θ i - θ i + -Φi *- Ri*- Kinematička faza Slika 3. Idealno plastično telo Vrednosti +*iR i −* iR označavaju plastične kapacitete generalisanih sila u posmatranom preseku i, tako da za generalisanu silu Ri važi +− ≤≤− ** iii RRR ; i = 1,2, ..., m; (7.5.1) gde je m broj izabranih karakterističnih preseka u konstrukcijskom sistemu. G. Maier (1969) je uveo plastične potencijale preseka +Φi i −Φi , koji predstavljaju razlike ,0* ≤−=Φ ++ iii RR ;0 * ≤−−=Φ −− iii RR i = 1,2, ..., np. (7.5.2) Ako je 0=Φ+i onda je iscpljen kapacitet preseka i u odnosu na generalisanu silu Ri sa pozitivnim predznakom, a ako je ,0=Φ−i onda je iscpljen kapacitet preseka i u odnosu na generalisanu silu Ri sa negativnim predznakom. Ako su plastični potencijali u preseku 0<Φ+i ili 0<Φ−i , onda su prema (7.5.2), −+ −≠≠ ** ili iiii RRRR , pa se materijal u tome preseku ponaša kao nedeformabilan, tako da je generalisana deformacija u tom preseku 0=+iθ , odnosno .0=−iθ Na osnovu toga se može pisati da su proizvodi plastičnih potencijala i generalisanih deformacija jednaki nuli, tj. 0=Φ ++ ii θ i ;0=Φ −− ii θ i = 1,2,...,np. (7.5.3) Komponente +− ** ,, iii RRR (i=1,2,..., np) formiraju vektore generalisanih sila R i plastičnih kapaciteta R*+ i R*- karakterističnih preseka konstrukcijskog sistema. Isto tako, komponente generalisanih deformacija +iθ i −iθ formiraju vektore generalisanih deformacija karakterističnih preseka sistema +θ i −θ , tako da se izrazi (7.5.1), (7.5.2) i (7.5.3) mogu pisati u vektorskom obliku – 121 – , ** RRR ≤≤− − (7.5.1-a) , * 0RRΦ ≤−= ++ .* 0RRΦ ≤−−= −− (7.5.2-a) ,0θΦ =++ .0θΦ =−− (7.5.3-a) Uslovi (7.5.2), odnosno (7.5.2-a) su uslovi plastičnog tečenja. Ri Ri*+ Elastično ponašanje θi - θi + Ri*- Kinematička Statička Kinematička faza faza faza Slika 4. Elasto plastično i kvazi elasto plastično telo Model elasto-plastičnog tela koji je sastavljen od idealno elastičnog Sen Venant-ovog tela (StV) i elastičnog Hooke-ovog (Hukovog) tela H, koji su redno povezani, prikazan je na slici 2-b. Pod dejstvom sile F odmah počinje da se izdužuje elastična opruga, koja predstavlja Hook-ovo telo. Kada sila F dostigne vrednost F*, odnosno kada se savlada sila trenja izmeñu prizme i podloge, prizma počinje da se kreće i na taj način se ostvaruju plastične deformacije modela. Posle prestanka dejstva sile F, elastične deformacije su u potpunosti povratne, jer opruga zauzima svoj prvobitni položaj, dok su plastične deformacije u potpunosti nepovratne jer prizma ne može zbog uticaja trenja da zauzme svoj prvobitni položaj. Dijagram generalisane sile Ri (momenta savijanja ili normalne sile) i generalisanog pomerenja (ugla obrtanja preseka ili dilatacije, tj. izduženja ili skraćenja) linijskog elementa konstrukcijskog sistema za elasto-plastično ponašanje materijala prikazan je na slici 4. Elastično ponašanje je prikazano isprekidanom kosom linijom, dok su horizontalnim linijama prikazane plastične deformacije. Ovakav reološki model se veoma često koristi u teoriji i proračunima konstrukcija za prikaz ponašanja materijala. Nešto složeniji reološki model tzv. kvazi elasto-plastičnog tela prikazan je na slici 2-c. On se sastoji od Sent Venant-ovog tela (StV), Toroja-Paez –ovog (Toroha-Paec) modela kvazielastičnog tela. Toroja-Paezov reološki model se sastoji od elastične spirale (TP) umetnute u metalni cilindar i elastične opruge (H). Elastična spirala je u dodiru sa unutrašnjošću metalnog cilindra, tako da postoji trenje izmeñu nje i cilindra, koje otežava njeno kretanje kroz cilindar. Toroja-Paecov model opisuje kvazi-elastične deformacije, koje su delimično povratne, jer se jedan deo energije utroši na savladjivanje trenja izmeñu opruge i cilindra. Dijagram generalisane sile Ri (momenta savijanja ili normalne sile) i generalisanog pomerenja (ugla obrtanja preseka ili dilatacije, tj. izduženja ili skraćenja) linijskog elementa konstrukcijskog sistema za kvazi elasto-plastično ponašanje materijala prikazan je punim linijama na slici 4. Kvazi elastično ponašanje materijala je izraženo krivom linijom, – 122 – generalisana deformacija iθ – generalisana sila Ri. Ovaj reološki model se, takoñe, veoma često koristi u teoriji konstrukcija, naročito armiranobetonskih. On je primenjen za konstitutivnu vezu izmeñu dilatacije ε napona pritiska σ u betonu za dimenzionisanje armirano betonskih nosača i analizu armiranobetonskih konstrukcija. Prema našem Pravilniku o tehničkim merama i uslovima za beton i armirani beton, kao i prema Evropskim normama za armiranobetonske konstrukcije, preložena je parabolična zavisnost napona σ od dilatacije ε za 002.00 ≤≤ ε i plastična deformacija pri naponu plastičnog tečenja koji je jednak čvrstoći normne betonske prizme pσ za ,0035.0002.0 ≤≤ ε kako je to prikazano na slici 5. σ σp ε 0.002 0.0035 Slika 5. Dijagram σ - ε za beton Kvazi elasto-plastičnim reološkim modelom se realnije opisuje ponašanje betona nego elasto-plastičnim modelom. Sa slike 4 se može zaključiti da se u statičkoj fazi materijal u konstrukcijskom sistemu ponaša kvazi elastično, a u nekim kritičnim presecima naponi dostižu granicu plastičnosti, odnosno iscrpljuje se kapacitet nosivosti preseka, i sistem se nalazi u stanju granične ravnoteže. 7.6. ODREðIVANJE FAKTORA GRANIČNOG OPTEREĆENJA (LOMA) I MEHANIZMA LOMA LINIJSKOG KONSTRUKCIJSKOG SISTEMA Razmatra se neki linijski konsrukcijski sistem, koji je prikazan na sl. 6a, koji je α puta statički neodreñen uz pretpostavku da materijalu odgovara Saint Venant-ov reološki model prikazan na sl. 2a, kao i da važe ostale pretpostavke navedene na početku prethodnog odeljka. U sistemu se bira m karakterističnih ili kritičnih preseka u kojima može doći do iscrpljenja nosivosti preseka, odnosno pojave plastičnih zglobova. Sistem se prvo analizira za statički moguće ravnotežno stanje (statička faza), a zatim za stanje kada se formira mehanizam loma (kinematička faza). Sistem se tretira kao orijentisan graf (kako je to prikazano na sl. 4), da bi se mogli odrediti pozitivni smerovi unutrašnjih sila Ni, Ti i Mi i ugla obrtanja iθ u preseku i (i=1,2,...,m). – 123 – p Ti Mi g Ni θi G1 3 4 5 2 6 x2 1 7 x1 x3 Slika 6. Konstrukcijski i osnovni sistem 7.6.1 STATIČKI MOGUĆE GRANIČNO RAVNOTEŽNO STANJE. Za odreñivanje ovog ravnotežnog stanja primenjuje se metoda koja je slična metodi sila u teoriji elastičnih linijskih sistema i koja se u engleskoj literaturi (Lloyd Smith and Munro, 1978) naziva mesh method (metoda mreže). Formira se "osnovni" statički sistem, tako što se za α prekobrojnih nepoznatih statičkih veličina u nekim od kritičnih preseka isključuju odgovarajuće veze i umeću nove veze (zglobovi ili drugi diskontinuiteti) i umesto njih se uključuje α parova nepoznatih sila, koje mogu biti momenti savijanja, normalne ili transverzalne sile i koje se obeležavaju sa αxxx ,...,, 21 . Za jedinične veličine ovih sila ),...,2,1(1 α== ixi se svakom od kritičnih preseka j = 1,2,...,m odreñuju karakteristične ili merodavne unutrašnje sile bij (i=1,2,...,α; j=1,2,...,m ), koje formiraju matricu B. Ako je u nekom preseku j merodavan momenat Mj , onda je ijij Mb = , ako je merodavna normalna sila sila Nj, onda je ijij Nb = , gde su ijij NM i momenat savijanja, odnosno normalna sila u preseku j usled dejstva jedinične sile xj =1. Za poznato stalno podeljeno opterećenje g, odnosno koncentrisane sile Gk (k=1,2,...,r) i promenljivo podeljeno opterećenje p i promenljive koncentrisane sile Pl (l=1,2,...,s) na isti način se odreñuju merodavne unutrašnje sile u kritičnim presecima i (i=1,2,...,m) koje se ovde obeležavaju sa pigi bb i stalno za za promenljivo opterećenje. Primenjujući princip superpozicije uticaja, koji važi u statičkoj fazi ponašanja sistema, merodavni moment savijanja ili merodavna normalna sila u preseku i (i=1,2,...,m), koji se ovde obeležavaju sa Ri su .,...,2,1, 1 ∑ = =++= α γ j p i g ijiji mibbxbR (7.6.1) Koeficijent γ predstavlja faktor graničnog stanja, odnosno loma sistema, sa kojim se množi promenljivo opterećenje da bi sistem došao u još uvek moguće statičko stanje granične ravnoteže, zbog dostizanja kapaciteta nosivosti, odnosno plastifikacije u odeñenom broju preseka. To je stanje izmeñu statičke i kinematičke faze sistema, ali se sistem održava u ravnotežnom stanju i sa takoreći minimalnim povećanjem povremenog opterćenja sistem prelazi u mehanizam (kinematički lanac), odnosno dolazi do njegovog kolapsa. Da bi sistem – 124 – došao u ovo stanje neophodno je da minimalan broj kritičnih preseka nk u kojima dolazi do dostizanja kapaciteta nosivosti preseka bude nk = α+1. (7.6.2) Prema tome, što je veća statička neodreñenost sistema to je potrebno da se pojavi plastifikacija u većem broju kritičnih poprečnih preseka, a samim tim je veći i faktor graničnog stanja sistema i negova nosivost za zadato opterećenje. Statički odreñeni sitemi imaju statičku neodreñenost α = 0, pa je dovoljno da se plastifikuje samo jedan od kritičnih preseka i da sistem doñe u stanje granične ravnoteže. Zbog toga je njihova otpornost u ovom pogledu zatno manja od otpornosti višestruko statatički neodreñenih sistema. Kapacitet nosivosti sistema u nekom kritičnom preseku i (i=1,2,...,m) zavisi od veličine sila u tom preseku, koje predstavljaju rezultante napona, Mi, Ni i Ti i njihovih smerova. Stoga se za svaki izabrani kritični presek i sračunavaju prema veličinama mogućih kritičnih sila u preseku dve vrednosti kapaciteta nosivosti preseka, koje se ovde obeležavaju sa −+ ii RR ** i , za koje važi .,...,2,1;0,0 ** miRR ii =≥≥ −+ (7.6.3) U statičkoj fazi ponašanja sistema vrednosti merodavne sile Ri u svakom preseku i moraju se nalaziti u sledećim intervalima ;,...,2,1, ** miRRR iii =≤≤− +− (7.6.4) Ili kada se uzme u obzir izraz (7.6.1), dobija se .,...,2,1, 1 ** ∑ = +− =≤++≤− α γ j i p i g ijiji miRbbxbR (7.6.5) Ovaj sistem nejednačina se posle sreñivanja može pisati u sledećoj formi: ∑ = + −≤+ α γ 1 * , j g ii p ijij bRbxb ∑ = − +≤−− α γ 1 * , j g ii p ijij bRbxb i=1,2,...,m. (7.6.6) Da bi se problem rešio treba, prema prvoj osnovnoj teoremi i nejednačini (7.3.1) odrediti maksimalnu vrednost faktora graničnog opterećenja sa kojim treba pomnožiti promenljivo opterećenje da bi sistem došao u statičko stanje granične ravnoteže, i da merodavne sile u Ri presecima i =1,2,...,m po svojim vrednostima ne prevaziñu kapacitete nosivosti, tj. da ostanu u intervalima (7.6.4). Treba, dakle, odrediti maksimalnu vrednost funkcije cilja z z=max γ (7.6.7) Na ovaj način je rešavanje problema odreñivanja faktora graničnog opterećenja γ i odgovarajućih nepoznatih sila xi (i=1,2,...,α) formulisano kao rešavanje zadatka linearnog programiranja (LP), koje je ukratko opisano u odeljku 1 ovog poglavlja, sa funkcijom cilja (7.6.7) i uslovima ograničenja (7.6.6). Ova funkcija cilja i uslovi ograničenja mogu se pisati kraće u vektorsko-matričnoj formi [ ]γ+= x0Tz max (7.6.8) sa uslovima ograničenja . * *         + − ≤              −− − + g g p p bR bRx bB bB γ (7.6.9) gde su vektori pisani u transponovanoj formi, koja je označena sa T u gornjem indeksu – 125 – [ ]αxxxT ,...,, 21=x , [ ]0,0,.....0T =0 [ ],,...,, 21, gmggTg bbb=b [ ],,...,, 21, pmppTp bbb=b (7.6.10) [ ]++++ = mT RRR ,...,, 21,*R , [ ]−−−− = mT RRR ,...,, 21,*R . Matrica B je tipa [m×α] i sadrži, kako je već rečeno, elemente bij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,α). Pošto nepoznate promenljive xi nemaju ograničenja u znaku, a kompjuterski programi koji se koriste za rešavanje zadataka linearnog programiranja prema simpleks algoritmu su razvijeni za nenegativne vrednosti ),...,2,1(0 α=≥ jx j , to se ove promjenljive izražavaju kao razlike dveju nenegativnih promenljivih .,...,2,1;0;0,0; α==≥≥−= −+−+−+ jxxxxxxx jjjjjj j (7.6.11) Uslovi ograničenja (7.6.6) sada imaju formu ∑ = +−+ −≤+− α γ 1 * ,)( j g ii p ijjij bRbxxb ∑ = −− +≤−−− α γ 1 * ,)( j g ii p ijjij bRbxxb i=1,2,...,m;(7.6.12) ili pisano u vektorsko-matričnoj formi sa funkcijom cilja [ ]γ+−= −+ x0x0 TTz max (7.6.13) i uslovima ograničenja . * *         + − ≤                   −− − − + − + g g p p bR bR x x bBB bBB γ (7.6.14) Kada se primenom simpleks metode, odnosno odgovarajućeg računarskog programa, odrede nepoznate veličine ),...,2,1(,0 i0 α=≥≥ −+ jxx jj i koeficijent graničnog stanja (loma) sistema γ=γc sračunavaju se prema formuli (7.6.11) tražene nepoznate sile ),,...,2,1( α=jx j a zatim prema izrazu (7.6.1) merodavne unutrašnje sile u kritičnim presecima sistema u statičkom stanju granične ravnoteže. 7.6.2. KINEMATIČKO MOGUĆE STANJE GRANIČNE RAVNOTEŽE U teoriji plastičnosti zbog plastifikacije materijala u odgovarajućem broju kritičnih preseka nastaju plastični zglobovi usled momenata savijanja, velika izduženja, odnosno skraćenja zbog normalnih sila. Ovakvi plastični zglobovi, koji je prikazani na slici 7 (D. Lloyd Smith, 1972) razlikuju se od klasičnih zgobova, koji se nalaze u sistemu kao njegovi sastavni elementi, što oni mogu prenositi u preseku i moment savijanja pune plastičnosti Mi* (N. Hajdin, 1975). Klasični zglobovi, kako je to poznato iz statike konstrukcija, ne mogu ni u jednoj fazi opterećenja moment savijanja Mi. – 126 – θi 0iθ ≥ vj 0jv ≥ Kritični Plastični Umetnuti presek i zglob zglob Slika 7. Plastični zglob i umetnuti (fiktivni) zglob Kada se u kritičnim presecima konstrukcijskog sistema pojavi dovoljan broj plastičnih zglobova, sistem prelazi u granično kinematičko stanje, odnosno mehanizam, koji ustvari odgovara kolapsu, tj. lomu sistema. Broj plastičnih zglobova, odnosno plastifikovanih kritičnih preseka r koji prevode konstrukcijski sistem u mehanizam je r = α + 1, gde je α statička neodreñenost konstrukcijskog sistema. Broj mogućih mehanizama nm koji se mogu formirati u α puta statički neodreñenom konstrukcijskom sistemu je (Lloyd Smith, Prascevic, 1990) !)!( ! rrm m r m nm − =      = (7.6.15) Za svaki od ovih mehanizama (k) se odreñuju odgovarajuća pomeranja i obrtanja preseka i zatim primenjuje ekstremalni princip, tako što se za mala pomeranja mehanizama loma sračunavaju radovi spoljašnjih sila We(γk) i radovi unutrašnjih sila Wu(γk) absorbovanih u plastičnim zglobovima, odnosno izduženjima ili skraćenjima sistema, zavisno od toga da li je u kritičnom preseku merodavan momenat ili normalna sila. U stanju granične ravnoteže ti radovi su jednaki ).()( cuce WW γγ = (7.6.16) Ovde je γk faktor opterećenja bilo kojeg od razmatranih mehanizama, a γc faktor opterećenja loma (kolapsa) sistema. Prema Drugoj osnovnoj graničnoj teoremi i nejednačini (7.3.2) je ck γγ ≥ . Zbog toga, za merodovni mehanizam loma treba uzeti onaj mehanizam za koji faktor opterecenja γk ima najmanju vrednost, tj. .min kc γγ = (7.6.17) Pošto je broj mehanizama za složenije sisteme sa većim brojem kritičnih preseka računat prema formuli (7.7.1) veliki, za dobijanje stvarnog mehanizma se vrši kombinovanje tzv. osnovnih ili nezavisnih mehanizama loma. Oni se dobijaju tako što se u izabranom osnovnom sistemu u nekom od izabranih kritičnih preseka pretpostavi da se pojavila plastifikacija, odnosno da je u njemu nastao plastičan zglob ili plastično izduženje ili skraćenje zavisno od merodavne unutrašnje sile. Broj osnovnih mehanizama je nom = m – α. (7.6.18) – 127 – Na slici 8 prikazan je osnovni sistem tri puta statički neodreñenog okvira sa slike 6 sa dijagramom momenata savijanja jM usled dejstva momenta xj =1 u preseku j, dok je na slici 9 prikazan osnovni mehanizam ovog sistema koji nastaje zbog plastifikacije materijala odnosno pojave plastičnog zgloba u preseku i i obrtanja preseka za jedinični ugao θi = 1. θi =1 ijij Mb = i i ji ij ijM bβ = = j j 1.00 xj =1 Slika 8. Osnovni sistem Slika 9. Osnovni mehanizam Prema principu virtualnih pomeranja je jijiij xM βθ = ijM je moment savijanja u preseku i zbog dejstva koncentrisanog momenta xj=1 u preseku j , dok je βji obrtanje preseka j izazvano jediničnim obrtanjem preseka θi =1. Pošto su xj=1 i θi =1, dobija se s obzirom da je ijM ranije označeno kao bij , tj. ( ijM =bij) .,...,2,1;,...,2,1, αβ === jmibijji (7.6.19) Generalisano pomeranje vj u preseku j osnovnog mehanizma u kojem su fiktivno uključeni diskontinuiteti u vidu zglobova, da bi se dobio osnovni statički sistem, može se na mehanizmu izraziti pomoću obrtanja u plastificiranim presecima θi i obrtanja u umetnutim zglobovima βji pomoću sledeće formule ∑ ∑ = = === m i m i iijijij jbv 1 1 .,...2,1; αθθβ Pošto diskontinuiteti vj ustvari ne postoje, onda su vj=0 (j=1,2,...α), pa ove jednačine imaju formu 1 0; 1,2,..., . m ij i i b j = θ = = α∑ (7.6.20) Ako na sistem deluje neka sila Pi koja u kritičnim presecima osnovnog sistema izaziva momente savijanja piM ili normalne sile piN , u zavisnosti od toga šta je u tom preseku merodavno, koje su ovde obeležene sa ,pib i ako je iδ pomeranje preseka i u mehanizmu u smeru dejstva sile Pi , a θi generalisano obrtanje ovog preseka, onda je zbog jednakosti radova spoljašnjih i unutrašnjih sila na odgovarajućim pomeranjima i p iii bP θδ = . – 128 – Kada se uzmu u obzir sve spoljašnje sile koje deluju na sistem koje zajedno izazivaju unutrašnje sile u presecima ),...,2,1( mib pi = , onda će biti radovi svih spoljašnjih i unutrašnjih sila u mehanizmu biti jednaki, tj. ∑∑ = ==∆ m i i p iii bP 1 θδ . Pošto se za plastične mehanizme ne mogu jednoznačno odrediti pomeranja i obrtanja preseka, kao što je to slučaj u teoriji elastičnih konstrukcijskih sistema, to je faktor ∆ neodreñen, pa se njegova vrednost može uzeti ,1=∆ tako da ova jednačina postaje ∑ = = m i i p ib 1 .1θ (7.6.21) Pošto generalisana obrtanja kritičnih preseka nemaju ograničenja u predznaku i mogu biti pozitivna, negativna ili jednaka nuli, to se ona mogu izraziti kao razlike nenegativnih veličina ;,...,2,1;0;0; miiiiii =≥≥−= −+−+ θθθθθ (7.6.22) za koje važe uslovi komplementarnosti .,...,2,1;0 miii == −+θθ (7.6.23) Kada se izrazi za iθ uvrste u jednačine (7.6.20) i (7.6.21), one postaju ∑ ∑ = = + ==− m i m i iijiij jbb 1 1 .,...2,1;0 αθθ (7.6.24) ∑ ∑ = = −+ =− m i m i i p ii p i bb 1 1 .1θθ (7.6.25) Ove jednačine se mogu pisati u vektorsko-matričnoj formi       =                 − − − + 1 0 θ θ bb BB TT TT . (7.6.26) Disipicaja energije D u mehanizmu sistema k do koje dolazi usled dejstva spoljašnjih sila Pi koje su izazvale dostizanje kapaciteta nosivosti −+ ** ili ii RR u kritičnim presecima, uzimajući uticaj sila od stalnog opterećenja Gl je prema izrazima (7.6.1) i (7.6.6) ∑ ∑ = = −−++ ++−= m i m i i g iii g iik bRbRD 1 1 ** )()( θθ Od svih mogućih mehanizama u sistemu merodavan je onaj mehanizam za koji je disipacija energije najmanja, tj. za koji funkcija cilja       ++−== ∑ ∑ = = −+++ m i m i i g iii g iik bRbRDw 1 1 * )()(minmin θθ (7.6.27) ili u vektorskoj formi [ ]−−++ ++−= θbRθbR )()(min ** ggw , (7.6.28) gde su vektori [ ]++++ = mθθθ ,...,, 21θ i [ ]++++ = mθθθ ,...,, 21θ . (7.6.29) – 129 – Funkcija cilja (7.6.27) sa uslovima ograničenja (7.6.20) i (7.6.21) čini linearni program za odreñivanje generalisanih obrtanja usled plastifikacije materijala u kritičnim presecima merodavnog mehanizma loma. Uslovi ograničenja i funkcija cilja su prikazani u vektorsko-matričnoj formi (7.6.26) i (7.6.28). Rešavanjem ovog dualnog pograma dobijaju se uglovi obrtanja -i i θθ +i , zatim prema izrazu (7.6.22) generalisana obrtanja (rezultante deformacija) ).,...,2,1( mii =θ 7.7. STATIČKO-KINEMATIČKI DUALITET Ako se ovaj linearni program uporedi sa linearnim programom u statičkoj fazi sa funkcijom cilja (7.6.13) i uslovima ograničenja (7.6.14), može se odmah zaključiti prema stavovima iz prvog odeljka, da je linearni program za kinematičku fazu dualni program linearnog (primarnog) programa za statičku fazu. Matrica ograničenja u dualnom linearnom programu za kinematičku fazu formira se transponovanjem matrice ograničenja primarnog linearnog programa za prvu fazu. Vektor funkcije cilja u primarnom pogramu jednak je vektoru slobodnih članova u ograničenjima u dualnom programu. Fizikalna priroda nepoznatih je različita u primarnom i dualnom programu. U primarnom programu (statička faza) nepoznate su sile x1,x2,...,xα na mestima gde su ukinuti neki oslonci i uvedeni diskontinuiteti da bi se dobio statički odreñen sistem, a u dualnom programu su nepoznata generalisana obrtanja θ1,θ2,...,θm u kritičnim presecima. Ovim se izražava statičko-kinematički dualitet statičkih i kinematičkih veličina. Uslovi ograničenja u primarnom programu (7.6.6), odnosno (7.6.9), predstavljaju uslove ravnoteže, dok uslovi (7.6.20) u dualnom programu predstavljaju uslove kinematičke kompatibilnosti pomeranja i deformacija. Iako u teorijskim formulacijama statička i kinematička faza plastične analize konstruktivnog sistema se formulišu nezavisno na različitim principima, algebarske formulacije su povezane preko statičko kinematičkog dualiteta izmeñu spoljašnjih xj i unutrašnjih sila Ri u statičkoj fazi i zadatih pomeranja na mestima uklonjenih sila veze vj i uglova obrtanja θi u izabranim presecima. Postupci konstruisanja mehanizama konstrukcijskih sistema i odreñivanje opterećenja odnosno faktora loma su opisani u svetskoj i domaćoj literaturi (P. G. Hodge, 1959, M. Ivković, 1962, N. Hajdin, 1975, M. Aćić, 1968, 1978 i drugi autori). Postupak konstruisanja mehanizama složenih sistema i odreñivanje relevantnih parametara koji se odnose na generalisana pomeranja mehanizma sistema i dalje sračunavanje radova spoljašnjih i unutrašnjih sila i parametara loma je često složeno i podložno mogućim greškama. J. Munro i D. Lloyd Smith (1972), D. Lloyd Smith (1972) su polazeći od statičko-kinematičkog dualiteta, koji postoji izmeñu statičkih veličina koje predstavljaju spoljašnje i unutrašnje sile i kinematičkih veličina koje predstavljaju generalisana pomeranja, formulisali rešavanje ovog problema kao primarni i dualni zadatak linearnog programiranja. Rešavanjem primarnog problema se, kako je već pokazano, u statičkoj fazi odreñuju opterećenje loma i unutrašnje sile u fazi granične ravnoteže, dok se rešavanjem odgovarajućeg dualnog problema linearnog programiranja odreñuju generalisana pomeranja, bez potrebe da se posebno konstruiše veći broj mehanizama sistema. Na osnovu dobijenih generalisanih pomeranja dobija se merodavni mehanizam loma koji zadovoljava uslov (7.6.13). Ovaj postupak je prikazan, takoñe u radovima (D. Lloyd Smith i Ž. Praščević, 1990 i Ž. Praščević, i N. Praščević, 2009). Kompjuterski programi za linearno programiranje su pisani tako da daju rešenja i primarnog i dualnog linearnog programa, ovde je korišćen program za rešenje primarnog i dualnog problema koji su razvili Ž. Praščević i N. Praščević. Konačne formulacije odreñivanja faktora opterećenja za statičku fazu i mehanizma loma za dinamičku fazu u stanju granične ravnoteže date su u vektorsko-matričnoj formi u sledećoj tabeli: – 130 – Statička faza Kinematička faza Primarni linearni program Dualni linearni program [ ]γ+= x0Tz max . [ ]−−++ ++−= θbRθbR )()(min ** ggw ,         + − ≤              −− − + g g p p bR bRx bB bB * * γ ,       =                 − − − + 1 0 θ θ bb BB TT TT , (7.7.1) ,),,( 0x ≤=≥ γ >0. .,0,, −+−+−+ −==≥≥ θθθθθ0θ0θ max z = min w 7.8. ANALIZA PONAŠANJA DVOPOJASNOG SISTEMA Na slici 10 je prikazana statička šema ispitivanog dvopojasnog montažnog sistema, koji je detaljno opisan u prethodnim odeljcima. Gornji pojas je urañen od armiranog betona, a donji od čeličnih U profila. 1.50 0.80 5.00 10.00 5.00 Slika 10. Dvopojasni krovni konstrukcijski sistem Pošto su nosač i opterećenje simetričani u odnosu na vertikalnu osu (simetrični u svim fazama), u daljoj analizi, radi skraćenja proračuna razmatraće se, kako je to uobičajeno u statici konstrukcija, polovina nosača sa odgovarajućim vezama, koja je prikazana na slici 11. Posmatrana polovina nosača je povezana sa osloncima i njegovom drugom polovinom vezama prikazanim na slici 11, tako da se nosač u sljemenu (presek 6) može pomerati vertikalno i primati moment savijanja. Na levom osloncu (pored preseka 1 i 2) nosač se može pomerati samo horizontalno i ne može primati momente savijanja. Elastičnom analizom ovog sistema sa krutim spojevima čeličnih profila (zategnuti elementi donjeg pojasa i vertikalni elementi) pokazalo se da su za sva opterećenja dominantne normalne sile zatezanja, a momenti savijanja veoma mali u odnosu na momente savijanja u armiranobetonskim elementima gornjeg pojasa koji imaju znatno veću krutost. Zbog toga su pretpostavljene zglobne veze na krajevima čeličnih elemenata. – 131 – 6 5 3 4 1 2 9 7 10 8 11 12 Slika 11. Levi deo dvopojasnog sistema sa označenim kritičnim presecima Na posmatranoj polovini nosača izabrano je 12 karakterističnih preseka, koji su označeni punim krugovima. Pošto su u armiranobetonskom delu nosača (gornji pojas) značajni momenti savijanja i normalne sile, to su kapaciteti nošenja Ri*+ i Ri*- u presecima i (i =1,2,...,6) toga dela nosaača računati kao za ekscentrično pritisnute armiranobetonske preseke uzimajući u obzir moment savijanja Mi i normalnu silu Ni. Kapaciteti nosivosti preseka i (i=7,8,..,12) čeličnih elememenata računati su prema normalnoj sili Ni, pošto je momenat savijanja, kako je već rečeno, zanemarljiv. Vrednosti ovih kapaciteta su sračunate u odeljku 6.3 ovog rada. U presecima armiranobetonskih elemenata koji se pod dejstvom opterećenja plastifikuju, pojavljuju se uglovi obrtanja θi , dok u karakterističnim presecima čeličnih elemenata nastaju plastična izduženja εpl, koja će biti obeležavana u skladu sa matematičkim formulacijama problema (7.6.30), sa θ i= εpl. 7.8.1 STATIČKA FAZA PRORAČUNA 7.8.1.1. Izbor osnovnog sistema Dvopojasni nosač prikazan na slici 10, odnosno njegov levi deo prikazan na slici 11, je jedanput unutrašnje statički neodreñen. Isključivanjem elementa sa presecima (11)-(12), sistem postaje statički odreñen, kako je to prikazano na slici 12. Umesto isključenog štapa, kao što je to poznato iz metode sila, ukljčuju se sile biakcije x1 = 1. Ove sile izazivaju u karakterističnim presecima sistema normalne sile iN i momente savijanja iM (i = 1,2,...,12). Na osnovu ovih veličina i u zavisnosti da li je u kritičnom preseku merodavan moment savijanja ili normalna sila, birane su vrednosti bi1 (i = 1,2,...,12). Ove vrednosti su elementi matrice B, koja se u ovom slučaju kada je samo jedna nepoznata statička veličina x1, sastoji iz vektora b1. Sve ove veličine ovih sila prikazane su u tabeli 1. 7.8.1.2. Unutrašnje sile u presecima osnovnog sistema zbog opterećenja G i g Opterećenje dvopojasnog nosača je vršeno u sedam faza. Način nanošenja opterećenja i ispitivanja nosača je opisan u petom poglavlju disertacije. Opterećenje prve faze se odnosi na sopstvenu težinu nosača g = 7.50 kN/m’. U drugoj fazi opterećenja su pored stalne težine naneti tegovi obešeni po gornjem pojasu od po 5.0 kN, a u trećoj fazi opterećenja su dodati tegovi od još 5.0 kN. Konačno računsko opterećenje od sopstvene težine g i težine tegova iznosi G: g = 7.50 kN/m' i G = 10,00 + 10.00 = 20.00 kN. – 132 – 6 5 3 4 1 2 9 7 10 8 11 x1=1 12 Slika 12. Osnovni sistem leve polovine nosača γp G g G 6 G 5 G 3 4 2 9 1 7 10 8 11 x1=1 12 Slika 13. Opterećenje na levoj polovini nosača Uticaji ovog opterećenja su označeni sa gornjim indeksom g. U sledećim fazama ispitivanja ovo se opterećenje nije menjalo, pa su za njega odreñivani momenti Mig i normalne sile Nig u karakterističnim presecima osnovnog sistema i u zavisnosti da li je u kritičnom preseku merodavan momenat ili normalna sila, birane vrednosti big (i =1,2,…,12), koji su elementi vektora bg. Sve ove vrednosti su prikazane u tabeli 1. U četvrtoj fazi opterećenja su na delu gornjeg pojasa dodavane po dve armiranobetonske ploče kao opterećenje p = 9.00 kN/m’. Uticaji ovog opterećenja su označeni sa gornjim indeksom p. Za ovo opterećenje, kao bazično promenljivo opterećenje sračunate su normalne sile Nip i momenti savijanja Mip u kritičnim presecima i (i = 1,2,…,12), a zatim izabrane vrednosti bip, koje su elemeti vektora bp. Sve ove vrednosti su date u tabeli 1. U sledećim fazama je ovo opterećenje povećavano i iznosilo je 26.50 kN/m u petoj fazi, 35.30 kN/m u šestoj fazi i 53.0 kN/m u sedmoj fazi. Meñutim, ni pod ovim opterećenjem nije došlo to loma nosača, pa je u osmoj fazi, pored opterećenja iz sedme faze, izvršeno udar tegom (slobodni pad) od 5.00 kN u sleme nosača sa visine od 6.00 m. Pošto je opterećenje p bilo promenljivo, to se ono množi sa faktorom loma γ, koji treba odrediti, kao i odgovarajuću silu zatezanja u elementu donjeg pojasa (11) i (12). – 133 – Tabela 1. Merodavne veličine u kritičnim presecima osnovnog sistema. Krit Od sile x1=1 Od opter. G i g Od opter p=9kN/m Pres iN iM bi1 Ni g Mig big Nip Mip bip Ri*+=Ri* - i kN kNm kN kNm kN kNm 1 -0.97 0 0 -23.07 0 0 -5.40 0 0 0 2 -0.97 -0.78 -0.78 -20.27 369.81 369.81 -5.40 91.29 91.29 230.25 3 -0.99 -1.55 -1.55 -14.50 642.39 642.39 -5.40 182.55 182.55 230.25 4 -0.99 -1.55 -1.55 -11.18 642.39 642.39 -5.40 182.55 182.55 230.25 5 -0.99 -1.93 -1.93 -8.38 811.80 811.80 -2.70 255.49 255.49 230.25 6 -0.99 -2.30 -2.30 -0.36 874.79 874.79 0 273.71 273.71 230.25 7 1.012 0 1.01 0.11 0 0 0 0 0 1360.0 8 1.012 0 1.01 0.11 0 0 0 0 0 1360.0 9 -0.16 0 -0.16 2.40 0 0 0 0 0 1360.0 10 -0.16 0 -0.16 2.00 0 0 0 0 0 1360.0 11 1.00 0 1.00 0 0 0 0 0 0 1360.0 12 1.00 0 1.00 0 0 0 0 0 0 1360.0 7.8.1.3. Odreñivanje nepoznate sile x1, faktora loma γ, momenata savijanja i normalnih sila u stanju granične ravnoteže dvopojasnih nosača Sile x1 i faktor loma γ u odnosu na promenljivo opterećenje p, odreñuju se, kako je to već rečeno, rešavanjem primarnog linearnog programa (7.7.1). Prema podacima iz tabele 1, u ovom programu su matrice i vektori pisani u tranponovanoj formi: BT = b1T = [0, -0.78, -1.55, -1.55, -1.93, -2.30, 1.012, 1.012, -0.16, -0.16, 1.00, 1.00], bg,T = [0, 369.81, 642.39, 642.39, 811.80, 874.79, 0, 0, 0, 0, 0, 0], bp,T = [0, 91.29, 182.55, 182.55, 255.49, 273.71, 0, 0, 0, 0, 0, 0], R*+ = R*- =[0, 230.25, 230.25, 230.25, 230.25, 230.25, 1360, 1360, 1360, 1360, 1360,1360], c = [ 0, 1], x = [x1]. Primenom kompjuterskog programa zasnovanog na Dantzigovoj simplex metodi dobijeni su rezultati: Sila u elementu (11) – (12) je x1 = 1343.75 kN, faktor loma γ = 7.875. Ovako sračunato optrećenje loma je ploma = γp = 7.875×9.00 = 70.875 kN/m’ ploma = 1.34pmax, gde je pmax = 53.00 kN/m'. Ispitivani nosači, kako je već rečeno, se nisu polomili u VII fazi opterecćenja, koje dalje nije bilo moguće povećavati. Unutrašnje sile u kritičnim presecima ispitivanog dvopojasnog nosača za računsko statičko opterećenje loma, koje u ispitivanju nije dostignuto, su date u tabeli 2. U ovoj tabeli su date i razlike i∆ izmeñu kapaciteta nosivosti Ri * preseka i apsolutne vrednosti merodavne sile Ri preseku i (i = 1,2,...12), koja je u presecima gornjeg pojasa moment savijanja Mi, a u presecima ostalih elemenata sistema normalna sila Ni), tj. Ova razlika predstavlja rezervu nosivosti nosača u tom preseku. i∆ = Ri * - |Ri| , i =1,2,...,m. (7.8.1) Ove vrednosti sa suprotnim predznakom predstavljaju Mayerove plastične potencijale u preseku i, koji su izraženi jednačinom (7.5.2) i∆ = - iΦ i = 1,2,…,m. (7.8.2) – 134 – U preseku i u kojem je došlo do plastifikacije materijala je i∆ = 0. Pored ovih značajnih podataka, u tabeli 2 su, radi uporeñenja, prikazane vrednosti normalnih sila i momenata savijanja u kritičnim presecima prema teoriji elastičnosti pod dejstvom celokupnog opterećenja od koncentrisanih sila G i jednako podeljenih opterećenja g i ploma= 70.875 kN/m’. Tabela 2. Unutrašnje sile za stanje granične ravnoteže, elastično rešenje i rezerve kapaciteta Kritič. Norm. Sila Monent Merod.vr. Kapacitet Rezerva Elastično rešenje Presek Ni Mi Ri Ri* i∆ Ni e Mie I kN kNm kNm(kN) kNm(kN) kNm(kN) kN kNm 1 -1369.0 0 0 230.25 230.250 -1356.0 2 -1366.2 40.56 40.56 230.25 189.69 -1353.1 48.350 3 -1387.4 -2.91 -2.91 230.25 227.38 -1347.3 -1.280 4 -1384.0 -2.91 -2.91 230.25 227.38 -1380.0 -1.280 5 -1360.0 230.25 230.25 230.25 0.000 -1353.8 268.830 6 -1330.7 -60.48 -60.48 230.25 169.77 -1323.8 -19.820 7 1360.0 0 1360.0 1360.0 0 1358.0 0 8 1360.0 0 1360.0 1360.0 0 1358.0 0 9 -212.6 0 -212.6 1360.0 1147.4 -226.0 0 10 -213.0 0 -213.0 1360.0 1147.0 -226.0 0 11 1343.8 0 1343.8 1360.0 16.2 1338.6 0 12 1343.8 0 1343.8 1360.0 16.2 1338.6 0 Iz rezultata prikazanih u tabeli 2 može se konstatovati sledeće: 1. Pod opterećenjem koje dovodi ovaj konstrukcijski sistem u stanje granične ravnoteže, došlo je do plastifikacije u kritičnom preseku (5) gornjeg pojasa sistema i presecima (7) i (8) donjeg pojasa. U tim presecima su iscrpljeni kapaciteti nosivosti preseka R5*. R7*. i R8*. 2. U preseku (5) gornjeg pojasa, u kojem deluju moment savijanja M5 i velika normalna sila N5, dolazi do plastičnog obrtanja preseka, dok se elemenat donjeg pojasa na čijim se krajevima nalaze preseci (7) i (8) plastično izdužuje, jer u njemu deluje velika normalna sila N7-8 zanemarljivi momenti savijanja. 3. Da bi se dostiglo stanje granične ravnoteže, pored dejstva koncentrisanih sila G i jednako podeljenog opterećenja g, nosač treba opteretiti sa velikim jednako podeljenim promenljivim opterećenjem ploma = 70.875 kN/m’, odnosno velikim faktorom loma γ=7.875, kojim treba pomnožiti polazno jednako podeljeno opterećenje p = 9.00 kN/m’. 4. Nosač se nije polomio pod ovako nanošenim statičkim opterećenjem VII faze, jer ono iz praktičnih razloga njegovog nanošenja i ispitivanja nije moglo biti veće od 53.00 kN/m’, koliko je postugnuto u ovoj fazi opterećivanja, što iznosi 75% od opterećenja loma. 5. Kada se uporede rezultati analize nosača po teoriji elastičnosti i teoriji graničnih stanja za teorijsko opterećenje loma, može se uočiti da su normalne sile sračunate po jednoj i drugoj teoriji skoro jednake (maksimalno relativno odstupanje iznosi 0.44%). Ta odstupanja u momentima savijanja u armiranobetonskim presecima gornjeg pojasa su znatno veća. U kritičnom preseku (5) relativno odstupanje iznosi 14.35%, tako da je moment savijanja sračunat po teoriji elastičnosti iznosi M5e = 1.17M5 sračunatog po teoriji graničnih stanja. Ovo je savim logično, kada je nosivost donjeg pojasa napravljenog od čeličnih profila velika. Kada zbog povećanja opterećenja doñe do plastifikacije u kritičnom preseku (5), taj presek ne može dalje da prenosi dodatno – 135 – opterećenje, jer se u njemu formirao plastični zglob. Daljim povećanjem opterećenja dolazi do preraspodele napona u nosaču, tako što se povećavaju naponi u čeličnim elementima donjeg pojasa, sve dok ne se ne dostigne granica velikih izduženja u čeliku elementa (7)-(8). Pošto je sistem jedanput statički neodreñen, to je dovoljno da se formiraju u sistemu dva plastična zgloba, odnosno jedan plastični zglob i jedno plastično izduženje elementa sistema, pa da sistem doñe u stanje granične ravnoteže. U teoriji elastičnosti nema takvih ograničenja, sa povećanjem opterećenja povećavaju se srazmerno deformacije i unutrašnje sile u sistemu. 6. Na osnovu ove analize može se konstatovati da ovakvi, jedanput statički neodreñeni sistemi imaju mnogo manje «rezerve» ili kapaciteta prenošenja opterećenja u odnosu na višestruko statički neodreñene sisteme. Kod višestruko statički neodreñenih sistema treba da se formira kritičan broj od α+1 plastičnih zglobova ili plastifikacija preseka (α je statička neodreñenost), da bi sistem došao u stanje granične ravnoteže i počeo da se formira mehanizam loma sistema. Prilikom formiranja prvog plastičnog zgloba, pri daljem opterećivanju dolazi do preraspodele unutrašnjih sila u kritičnim presecima, jer u preseku u kojem je došlo do formiranja ovog zgloba, povećavaju se plastične deformmacije, dok se unutrašnje sile ne mogu povećavati, a plastični zglob se formira u drugom kritičnom preseku i proces nastavlja dok se ne formira kritičan broj plastičnih zglobova. Zbog ovoga višestruko statički neodreñeni sistemi imaju veću otpornost, odnosno «žilavost» na dejstvo spoljašnjih sila i uticaja. 7.8.1.4 Uporeñenje normalnih sila u donjem pojasu sračunatih iz merenih dilatacija i sila sračunatih po teoriji elastičnosti i plastičnosti Pored ove analize, izvršena je još i elastična analiza po teoriji prvog i drugog reda, koristeći računarski program koji je ranije razvio Ž. Praščević (1979). Razlike u dobijenim rezultatima po ove dve teorije su neznatne i zanemarljive i veće su za veće faze opterećenja. Tako da za maksimalne apsolutne vrednosti momenata savijanja u kritičnom preseku (5) za VII fazu iznose 3.6%, za VI fazu 2.7%, za VI fazu 1.9%, za IV fazu 0.7%, a za ostale faze manje od 0.1%. Razlike u maksimalnim vrednostima normalnih sila u preseku 1 su jos manje i iznose za VII fazu 0.35%, za VI fazu 0.17%, a za ostale faze opterećenja manje od 0.12%. Nešto veće vrednosti se dobijaju po teoriji drugog reda. Normalne sile 7 8 eN − u elementu donjeg pojasa (7)-(8) dobijene analizom po teoriji elastičnosti su uporeñene sa silama sračunatim na osnovu rezultata merenja 7 8mN − i prikazane za faze V, VII i za uticaj opterećenja loma (faza VIII) u tabeli 3. Tabela 3. Uporeñenje merenih i računatih normalnih sila u elementu (7)-(8) Faza opter. 7 8 eN − 7 8 e − ε 7 8 plN − 7 8 pl − ε 7 8 mN − 7 8 pl − ε 7 8 7 8 m e N N − − 7 8 7 8 m pl N N − − - kN % kN % kN % - - V 747.30 0.1047 - - 766.70 0.1038 1.026 - VII 1100.00 0.1541 - - 1122.00 0.1571 1.020 - VIII 1367.53 0.1915 1360.00 0.1904 1330.00 0.1864 0.973 0.978 Iz rezultata, prikazanih u ovoj tabeli, može se konstatovati sledeće: 1. Razlike izmeñu veličina normalnih sila sračunatih na osnovu merenja i prema teoriji elastičnosti i plastičnosti su veoma male i iznose od 2 do 2.6 %. – 136 – 2. U fazama I do VI sistem se ponaša kao elastičan sistem. 3. U fazi VII elementi donjeg pojasa se još uvek ponašaju elastično, dok se u gornjem pojasu u preku 5 pojavljuje plastičan zglob, ali sistem još nije prešao u mehanizam. 4. Teorijski sistem počinje da prelazi u mehanizam zbog početka pojave velikih izduzenja u čeličnom elementu (7)-(8) pod opterećenjem ploma = 70.875 kN. 5. Pošto opterećenje nije dalje moglo da se povećava, apliciran je udar na sistem koji je izazvao velika izduzenja u pomenutom elementu. Sila u ovom elementu sračunata na osnovu merenih dilatacija je veoma bliska sili koja je sračunata po teoriji loma i teoriji elastičnosti. 7.8.1.5 Analiza za ukupno jednako podeljeno opterećenje u periodu eksploatacije Radi potpunijeg sagledavanja nosivosti i upotrebljivosti dvopojasnih nosača, izvršena je analiza na osnovu teorije plastičnosti za sopstvenu težinu nosača g = 7.50 kN/m’ i jednako podeljeno opterećenje na svim elementima gornjeg pojasa p = 22.30 kN/m’, koje potiče od rožnjača pokrivača, snega i vetra. Ovde su u osnovnom sistemu, kao i u prethodnom slučaju elementi matrice B BT = b1T = [0, -0.78, -1.55, -1.55, -1.93, -2.30, 1.012, 1.012, -0.16, -0.16, 1.00, 1.00], Faktor loma se računa za ukupno opterećenje q = 7.50 + 22.30 = 29.80 kN/m’, tako da su merodavne veličine u kritičnim presecima od oba ova opterećenja bq,T = [0, 635.42, 1089.1, 1089.1 1361.0 1451.8, 0 0 0 0 0 0], bp,T = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], R*+ = R*- =[0, 41.52, 19.0, 19.0, 230.25, 96.18, 1360, 1360, 1360, 1360, 1360,1360], c = [ 0, 1], x = [x1]. Primenom kompjuterskog programa zasnovanog na Dantzigovoj simpleks metodi dobijeni su rezultati: Sila u elementu (11) – (12) je x1 = 1343.9 kN, faktor loma γ = 2.012. Ovako sračunato optrećenje loma je qloma = γq = 2.012×29.80 = 59.958 kN/m’ Pošto je faktor loma za ukupno opterećenje γ >1.80, to u skladu sa važećim propisima, ispitivani nosači imaju zadovoljavajući faktor sigurnosti, koji je za 12% veći od minimalnog propisanog faktora koji iznosi 1.80. Normalne sile Ni i momenti savijanja Mi usled dejstva opterećenja koje je izazvalo lom sistema, kao i rezerve kapaciteta nošenja i∆ u kritičnim presecima koje su izračunate ovim postupkom po teoriji plastičnosti, date u tabeli 4. U ovoj tabeli su prikazane veličine normalnih sila Nie i momenata savijanja Mie sračunate prema teoriji elastičnosti za opterećenje qloma = 59.958 kN/m’. Iz dobijenih rezultata može se konstatovati sledeće: 1. Pod opterećenjem koje dovodi ovaj konstrukcijski sistem u stanje granične ravnoteže, došlo je do plastifikacije u kritičnom preseku (2) gornjeg pojasa sistema i presecima (7) i (8) donjeg pojasa. U tim presecima su iscrpljeni kapaciteti nosivosti preseka R2*. R7*. i R8*. 2. I za ovaj slučaj opterećenja razlika izmeñu normalnih sila sračunatih prema teoriji plastičnosti Ni i teoriji elastičnosti Nie , za opterećenje koje izaziva lom sistema qloma je mala i najviše 2.5% u preseku (3). Razlike izmeñu momenata savijanja u kritičnim presecima su znatno veće i iznose u preseku (5) 65%, dok su u ostalim presecima manje i iznose ispod 10%. Uglavno se po teoriji elastičnosti dobijaju veće apsolutne vrednosti normalnih sila i momenata savijanja u kritičnim presecima. – 137 – Tabela 4. Unutrašnje sile za stanje granične ravnoteže, elastično rešenje i rezerve kapaciteta Kritič. Norm. Sila Monent Merod.vr. Kapacitet Rezerva Elastično Rešenje Presek Ni Mi Ri Ri* i∆ Ni e Mie I kN kNm kNm(kN) kNm(kN) kNm(kN) kN kNm 1 -1393.4 0 0 230.25 230.250 -1428.8 0 2 -1370.9 230.25 230.25 230.25 0.00 -1396.5 250.84 3 -1375.3 108.28 108.28 230.25 121.97 -1374.1 125.02 4 -1370.8 108.28 108.28 230.25 121.97 -1406.8 125.02 5 -1352.8 104.67 104.67 230.25 125.58 -1384.5 173.49 6 -1330.3 -169.87 -169.87 230.25 60.38 -1362.1 -154.69 7 1360.0 0 1360.00 1360.0 0.00 1394.9 0 8 1360.0 0 1360.00 1360.0 0.00 1394.9 0 9 -215.0 0 -215.00 1360.0 1145.00 -220.4 0 10 -215.0 0 -215.00 1360.0 1145.00 -220.4 0 11 1343.9 0 1343.90 1360.0 16.10 1377.3 0 12 1343.9 0 1343.90 1360.0 16.10 1377.3 0 3. Normalne sile Niq i momenti savijanja Miq u kritičnim presecima i (i=1,2,...,12) za ukupno računsko opterećenje q = 29.80 kN/m’ sračunate prema izrazima Niq = Nie/γ i Miq = Mie/γ iznose u kritičnim presecima (2) i (7): N2q = 1370.9/2.012 = 681.36 kN, M2q = 250.84/2.012 = 124.67 kNm, N7q = 1394.9/2.012 = 693.29 kN, M7q = 0 kNm. Pošto su najveće vrednosti normalnih sila Niq i momenata savijanja Miq dva ili više puta manje od kapaciteta nošenja Ri* sračunatih prema teoriji plastičnosti, to je opravdano, kako se to radi u praksi, odrediti unutrašnje sile u presecima prema teoriji elastičnosti. Zatim treba, koristeći ovde izloženu proceduru, odrediti faktor loma celokupnog sistema i preseke u kojima je došlo do pojave plastifikacije. 7.8.2 KINEMATIČKA FAZA PRORAČUNA DVOPOJASNIH SISTEMA Parametari mehanizma loma θi+ i θi- (i =1,2,...,12), koji predstavljaju elemente vekora θ + i θ-, odgovarajućeg mehanizma loma nosača u kinematičkoj fazi odreñuju se rešavanjem dualnog problema (7.7.1) za poznate vrednosti vektora i matrica iz primarnog problema primenom kompjuterskog programa zasnovanog na simpleks metodi. Ta rešenja su: θ + = [0 0 0 0 0.00389 0 0.00789 0 0 0 0 0], θ - = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0], tako da je vektor plastične deformacije (obrtanja i izduženja) prema izrazu (7.6.22) θ = θ + - θ - = [0 0 0 0 0.00389 0 0 0 0 0 0 0]. Plastično obrtanje preseka (5) iznosi θ5 = 0.00789 i izduženje elementa donjeg pojasa (7) – (8) iznosi θ7 = εpl,7 = 0.00789. U ovim presecima su merodavni momenat savijanja M5 = R5*+ = 230.25 kNm i normalna sila N7 = R7* = 1360 kN. Pošto su kapaciteti nosivosti elemenata u ovim presecima u potpunosti iscrpljeni, to su prema (7.8.1) rezerve nosivosti ∆5 = ∆7 = 0. Dobijene vrednosti parametara mehanizma loma, koji u ovom slučaju predstavljaju obrtanje preseka ili izduženje elementa zbog plastičnog tečenja materijala treba shvatiti u relativnim odnosima u odnosu na neku izabranu referentnu vrednost θr = 1. U proračunima po teoriji elastičnosti, kao što je poznato, sračunate vrednosti deformacija sistema su precizne – 138 – vrednosti u odnosu na ulazne podatke koji se odnose na opterećenje i parametre svojstava materijala. Za parametre mehanizma loma θi i rezervi nosivosti ∆i u kritičnom preseku i važe, s obzirom na izraze (7.5.3) i (7.8.2) uslovi komplementarnosti ovih veličina ∆i θi = 0, i = 1,2,...,m. (7.8.3) Ovi uslovi su posledica uslova komplementarnosti primarnih statičkih veličina xi koje predstavljaju nepoznate statičke veličine i od kojih zavisi rezerva nosivosti Di, i dualnih kinematičkih veličina θi, koje izražavaju plastične deformacije nosača u posmatranom preseku i. Ako je u preseku i plastična defotmacija θi različita od nule, onda je iscrpljena nosivost preseka, pa je rezerva nosivosti ∆i, tj. Mayerov plastični potencijal Φi, jednaka nuli. Ako je u preseku i plastična deformacija θi jednaka 0, onda nije došlo do plastifikacije preseka i nije iscpljen kapacitet njegove nosivosti, pa je rezerva nosivosti ∆i različita od nule. Uslovi komplementarnosti primarnih i dualnih promenljivih, koji su izraženi jednačinama (7.2.9) ili (7.2.9-a) povezuju statičko i kinematičko rešenje, koja nisu zbog toga meñusobno nezavisna, iako se ona formulišu odvojeno jedno od drugoga. 6 5 3 4 Obtanje θ5 1 2 9 Plast. zglob 7 10 Plast. izduž θ7= εpl 8 11 12 Slika 14. Mehanizam loma leve polovine dvopojasnog nosača Za drugi slučaj jednako podeljenog opterećenja q = 29.8 kN/m, na svim elementima gornjeg pojasa rešavanjem odgovarajućeg dualnog problema linearnog programiranja, dobijen je vektor parametara loma (obrtanja i izduženja) u presecima u kojima je došlo do plastifikacije θ + = [0 0.00157 0 0 0 0 0.00121 0 0 0 0 0], θ - = [0 0.00157 0 0 0 0 0.00121 0 0 0 0 0], tako da je vektor plastične deformacije (obrtanja i izduženja) prema izrazu (7.6.22) θ = θ + - θ - = [0 0.00157 0 0 0.00121 0 0 0 0 0 0 0]. Plastično obrtanje preseka (5) iznosi θ2 = 0.00157 i izduženje elementa donjeg pojasa (7) – (8) iznosi θ7 = εpl,7 = 0.00121. U ovim presecima su merodavni momenat savijanja M2 = R2*+ = 230.25 kNm i normalna sila N7 = R7* = 1360 kN. 7.9. KONSTATACIJE Na osnovu izvršenih istraživanja, merenja, teorijskih analiza i uporeñivanja rezultata dobijenih eksperimentalnim i teorijskim postupcima može se zaključiti sledeće: 1. Prikazani postupak koji je zasnovan na teoriji linearnog programiranja i za odreñivanje faktora loma i mehanizma loma konstrukcijskog sistema kao celine sastavljenih od linijskih elemenata je veoma efikasan i ima prednosti nad postupcima u kojima se – 139 – konstruiše više mogućih mehanizama loma sistema i izjednačavanjem radova spoljašnjih i unutrašnjih sila na tim mehanizmima odreñuje opterećenje ili faktor opterećenja loma i merodavni mehanizam loma. 2. Pored uobičajenih analiza i proračuna sistema na bazi teorije elastičnosti, treba primenjivati i ovaj postupak za odreñivanje faktora loma sistema u celini i odgovarajućih mehanizama loma za njegova zadata opterećenja. 3. Koristeći statičko-kinematički dualitet generalisanih sila i generalisanih pomeranja, opterećenje, odnosno faktor loma za stanje granične ravnoteže sistema, dobija se rešavanjem primarnog problema, a generalisana pomeranja zbog plastifikacije u kritičnim presecima, koja odgovaraju merodavnom mehanizmu loma, se dobijaju rešavanjem odgovarajućeg dualnog problema linearnog programiranja. 4. Pošto rešavanje ova dva problema matematički i programski predstavlja jednu celinu, to odreñivanje ovih parametara stanja granične ravnoteže predstavlja, takoñe, jednu celinu. 5. Uporeñujući veličine unutrašnjih sila i pomeranja u izabranim kritičnim presecima sistema dobijenih za elastično ponašanje sistema sa veličinama ovih sila dobijenih na osnovu merenja na ispitivanim nosačima, došlo se do zaključka da su se čelični elementi donjeg pojasa sistema ponašali elastično u svih VII faza opterećenja. Razlike izmeñu veličina normalnih sile sračunatih na osnovu merenja i prema teoriji elastičnosti su veoma male i iznose od 2 do 2.6 %. 6. U fazama I do VI sistem se ponaša kao elastičan sistem. U fazi opterećenja VII došlo je do plastifikacije sistema u presecima (5) armiranobetonskih elemenata gornjeg pojasa, ali ne i do pojave mehanizma loma, jer su se čelični elementi donjeg pojasa ponašali elastično. 7. Pod opterećenjem koje dovodi ovaj konstrukcijski sistem u stanje granične ravnoteže, došlo je do plastifikacije u kritičnom preseku (5) gornjeg pojasa sistema i presecima (7) i (8) donjeg pojasa. U tim presecima su iscrpljeni kapaciteti nosivosti preseka R5*. R7*. i R8*. 8. U stanju granične ravnoteže u preseku (5) gornjeg pojasa, u kojem deluju moment savijanja M5 i velika normalna sila N5, dolazi do plastičnog obrtanja preseka, dok se čelični elemenat donjeg pojasa na čijim se krajevima nalaze preseci (7) i (8) plastično izdužuje, jer u njemu deluje velika normalna sila N7-8 zatezanja i zanemarljivi momenti savijanja. 9. Da bi se teorijski dostiglo stanje granične ravnoteže, pored dejstva koncentrisanih sila G i jednako podeljenog opterećenja g, nosač treba opteretiti sa velikim jednako podeljenim promenljivim opterećenjem ploma = 70.875 kN/m’, odnosno velikim faktorom loma γ=7.875, kojim treba pomnožiti polazno jednako podeljeno opterećenje p = 9.00 kN/m’. 10. Merena sila u donjem pojasu, koja je nastala pod dejstvom udara tega od 5 kN (VIII faza) i koja je izazvala mehanizam loma sistema, je za samo 2% manja od sile loma pod opterećem loma ploma = 70.875 kN/m’, koje je sračunato primenom ovog postupka na bazi linearnog pogramiranja. 11. Iz uporeñivanja rezultati analize nosača po teoriji elastičnosti i teoriji graničnih stanja za teorijsko opterećenje loma, može se uočiti da su normalne sile sračunate po jednoj i drugoj teoriji skoro jednake (maksimalno relativno odstupanje iznosi 0.44%). Ta odstupanja u momentima savijanja u armiranobetonskim presecima gornjeg pojasu su znatno veća. U kritičnom preseku (5) relativno odstupanje iznosi 14.35%, tako da je moment savijanja sračunat po teoriji elastičnosti iznosi M5e = 1.17M5 sračunatog po teoriji graničnih stanja. – 140 – 12. Ovakvi jedanput unutrašnje statički neodreñeni sistemi imaju manju «rezervu» ili kapacitet prenošenja opterećenja u odnosu na višestruko statički neodreñene sisteme. Kod višestruko statički neodreñenih sistema treba da se formira kritičan broj od α+1 plastičnih zglobova ili plastifikacija preseka (α je statička neodreñenost), da bi sistem došao u stanje granične ravnoteže i počeo da se formira mehanizam loma sistema. 13. Sistem je analiziran i za ukupno jednako podeljeno stalno opterećenje od sopstvene težine nosača, rožnjača, krovnog pokrivača, snega i vetra ukupnog intenziteta q = 29.80 kN/m, Nosači nisu eksperimentalno ispitivani na ovu vrstu opterećenja. 14. Pod ovim ukupnim opterećenjem koje bi dovelo ovaj konstrukcijski sistem u stanje granične ravnoteže, došlo bi do plastifikacije u kritičnom preseku (2) gornjeg pojasa sistema i presecima (7) i (8) donjeg pojasa. 15. Faktor loma za ovo opterećenje je γ = 2.012, pri maksimalnoj sili velikih izduženja u kosim elementima donjeg pojasa 1360 kN. 16. I za ovaj slučaj opterećenja razlika izmeñu normalnih sila sračunatih prema teoriji plastičnosti Ni i teoriji elastičnosti Nie , za opterećenje koje izaziva lom sistema qloma je mala i najviše 2.5% u preseku (3). Razlike izmeñu momenata savijanja u kritičnim presecima su znatno veće i iznose u preseku (5) 65%, dok su u ostalim presecima manje i iznose ispod 10%. Uglavnom se po teoriji elastičnosti dobijaju veće apsolutne vrednosti normalnih sila i momenata savijanja. 17. Iz rezultata uporedne statičke analize na bazi teorije elastičnosti po teoriji prvog i drugog reda može se zaključiti da su razlike u momentima savijanja, normalnim silama i pomeranjima u presecima sistema veoma male. Nešto veće, ali ne mnogo značajne, dobijaju se razlike u nekim presecima za veća opterećenja u fazi VII, odnosno za opterećenja koja bi izazvala lom sistema. 18. Parametri kinematičkog mehanizma loma i njegov oblik dobijen teorijskim putem rešavanjem dualnog problema linearnog programiranja odgovaraju ostvarenom mehanizmu loma prilikom ispitivanja ovih dvopojasnih nosača. 19. Ispitivani dvopojasni nosači imaju visok faktor loma, odnosno koeficijent sigurnosti, kako za opterećenja sa kojima su ispitivani, tako i za jednako podeljeno opterećenje, koji je veći od minimalnog, propisanog koeficijenta. – 141 – 8. UPOREDNA ANALIZA TEORIJSKIH I EKSPERIMENTALNO DOBIJENIH REZULTATA O PONAŠANJU DVOPOJASNIH NOSAČA Iz rezultata eksperimentalne i teorijske analize, se vidi da do loma preseka dolazi u gornjem pojasu, i to po armaturi. Naime, kvalitet zatege je relativno visok, od čelika S355 sa dopuštenim naponom od 265Mpa. U nivou opterećenja VII (faza VII), dostiže se granica razvlačenja po armaturi gornjeg pojasa. Do ovog stanja dolazi u preseku IV-IV ( VI- VI ), odnosno u preseku 5 prema analizi u sedmom poglavlju disertacije. Znači, da za ovako odabrane materijale, sa betonom MB75MPa u gornjem AB pojasu i donjim pojasom-zategom od čelika S355, prag tečenja neće biti dostignut u donjem pojasu, već u gornjem, betonskom delu nosača. Zbog relativno visokog kvaliteta betona, čvrstoća betona nije dostignuta, a granica razvlačenja rebraste armature je dostignuta. Računski i mereni rezultati se dobro slažu, a dalje nanošenje opterećenja nije bilo moguće zbog opasnosti od nekontrolisanog pada nosača i oštećenja merne tehnike. Dostignuta dilatacija čelika za armiranje je 1.92‰, što prakrično predstavlja granicu razvlačenja. Napon u betonu je u graničnom stanju je σb=45.30MPa, a dilatacija εb=1.33‰, dok je dostignuti napon u armaturi σa1=404.10MPa ( RA 400/500 ). Mehanizam loma nije dostignut.( objašnjeno u poglavlju 7). Ovo navodi na zaključak, da se kod ovih sistema sa visokim kvalitetom betona u gornjem pojasu i donjim pojasom od kvalitetnog, jakog čelika zatege, treba dati veći procenat armiranja gornjeg pojasa, da bi se i beton gornjeg pojasa i čelik zatege bolje iskoristili kao konstrukcioni materijali; mogli bi prihvatiti znatno veće opterećenje , a samim tim dostići znatno veći koeficijent sigurnosti, odnosno faktor loma. Granično stanje nosivosti kod dvopojasnih nosača može nastati na više načina. Kada će biti dostignut lom, odnosno kada će biti dostignuti uslovi granične ravnoteže zavisi od više faktora. Najviše utiče konfiguracija sistema, način delovanja i veličina spoljnih sila. Uopšte, kod ovih sistema, granično stanje nosivosti može biti dostignuto u gornjem ili donjem pojasu, ili u oba istovremeno. Kod dvopojasnih nosača sa zategom od običnog čelika, prag tečenja u donjem pojasu-zatezi se može lako definisati. U slučaju zatege od visokovrednog čelika, za uslov loma treba unapred odrediti neku uslovnu granicu koja je u zavisnosti od veličine deformacija konstrukcije. Kada se stanje loma očekuje u gornjem pojasu, ili je simultani lom, za simetrično opterećenje, dolazi do formiranja dva simetrično postavljena zgloba. Kod nesimetričnog opterećenja dolazi do formiranja samo jednog zgloba [5],[46]. Ako doñe do formiranja plastičnog zgloba u gornjem pojasu koji može preneti normalnu silu, a donji zategnuti pojas nije dostigao prag tecenja, nema mehanizma loma. Konstrukcija i u ovom slučaju može da prima dopunsko opterećenje, i to sve do dostizanja velikih izduženja u donjem pojasu (dostizanja praga tečenja ). U ovom slučaju je veoma bitno da su plastični zglobovi u gornjem pojasu tako armirani da su sposobni da prime i prenesu normalne sile pritiska. – 142 – Na slici 8.1 prikazani su slučajevi dostizanja stanja loma za jedan dvopojasni linijski sistem. Slika 8.1. Moguća mesta formiranja plastičnih zglobova[46] Ovaj sistem konstrukcije može preći u mehanizam kada se formira kritičan broj plastičnih zglobova, a da u donjem pojasu nije dostignut uslov loma. Kada doñe do velikih izduženja u donjem pojasu, ili se dostigne neka unapred definisana uslovna vrednost ( bez obzira na način nastajanja plastičnih zglobova), konstrukcija prelazi u mehanizam, tj. stanje loma. Računski model za odreñivanje graničnog opterećenja ili graničnog stanja loma koji se najviše koristi je elastoplastičan ili plastično krut model, kod betonskih elemenata ili uslov tečenja za čelične elemente. Pri ovoj analizi obično se koriste metode “ Lmit analyse “ (poglavlje 7). Iz poreñenja teorijskih i eksperimentalnih rezultata se vidi da se oni dobro slažu, uz minimalne razlike. Oba nosača daju rezultate sa neznatnim razlikama i lom u istom preseku, po podužno zategnutoj armaturi gornjeg AB pojasa. Razlike izmeñu računskih i merenih vrednosti ugiba su male, a nastale su zbog toga što su ugibi računati po metodi Bransona sa efektivnom krutošću isprskalog preseka duž čitavog raspona. Ovakav način je na strani sigurnosti. Isto tako, i kvalitet betona nije ujednačen po svim presecima. Dijagram ugiba ( slika 8.2 ) pokazuje da se merene vrednosti ugiba i računske vrednosti ugiba neznatno razlikuju za više nivoe opterećenja i za radno opterećenje. – 143 – Slika 8.2. Dijagram ugiba za radno-eksploataciono opterećenje (V faza opterećenja)-nosač A Za granično opterećenje dijagram ugiba (slika 8.3) pokazuje da su razlike izmeñu merenih vrednosti ugiba i računskih vrednosti neznatne. Slika 8.3 –Dijagram ugiba za granično stanje (VII nivo opterećenja) -nosač A – 144 – Slika 8.4 – Dijagram opterećenje – ugib za preseke II-II, III-III, IV-IV i V-V za razne faze opterećenja Pojava prvih prslina je registrovana pri opterećenju koje je iznosilo oko 1/3 eksploatacionog opterećenja u zoni najvećih momenata ( presek IV-IV ili preseku 5 po analizi u poglavlju 7). Za nivo eksploatacionog opterećenja prsline su fino rasporeñene i nisu prelazile širinu od 0.10mm. U graničnom stanju ( faza opterećenja VII) prsline nisu prelazile vrednost od 0.50mm. Prsline su registrovane u srednjem delu nosača u zoni najvećih momenata, a na delu od oslonca do vertikala su bile neznatne i skoro da nisu prelazile zonu zaštitnog sloja. Najveće su na rastojanju ~ 2.50m od slemena, levo i desno. Slika 8.5 - Šematski prikaz prslina u zoni najvećih momenata Dijagram promene sile u zatezi (slika 8.6) pokazuje manje razlike izmeñu merenih vrednosti sile u zatezi i računskih vrednosti za sve faze opterćenja. Te razlike se kreću od 2% do 5.5%. – 145 – Slika 8.6 - Dijagram promene sile u zetezi za razne nivoe opterećenja (računska i merena vrednost) Na osnovu rezultata eksperimenta došlo se do zaključka da se nosači ponašaju praktično elastično za projektovano eksploataciono opterećenje. Kod nivoa opterećenja većih od eksploatacionog iz uporedne analize se vidi da su razlike izmeñu računskih i merenih vrednosti i dalje male. Na slici 8.7 i 8.8 se vide dijagrami dilatacija za radno opterećenje i granično stanje nosivosti– računske i merene vrednosti. PRESEK IV - IV Slika 8.7 – Uporedni dijagram računskih i merenih napona i dilatacija za radno opterećenje – 146 – (V faza opterećenja) PRESEK IV - IV Slika 8.8 – Uporedni dijagram računskih i merenih napona i dilatacija za granično stanje nosivosti (VII faza opterećenja) Montažni spojevi i veze na montažnim nosačima su se ponašali kvazielastično za sve faze apliciranog opterećenja. Montažna veza u slemenu je izvedena sa vijcima prema slici 8.9. Izvršeno je pritezanje vijaka na vrednost 20% dopuštene sile zatezanja. Oprema za merenje utezanja na vijcima je postavljena, ali se greškom nije moglo vršiti očitavanje dilatacija. Meñutim, s obzirom da za sve faze opterećenja u području slemena nije bilo nikakvih prslina, navodi na zaključak o kvazielastičnom ponašanju veze. Slika 8.9. – Montažna veza u slemenu nosača α = 8.53˚ , cos α = 0.988 Mmer = 115.12 kNm Nmer = 1065.98 kN z = 31.93cm=48.359.0 ⋅ Nmer · cos α = 1065.98 · 0.988 = 1053.19 kN Z=             −−⋅ 5 2 48.4019.10531012.115 93.31 1 2 = 142.14 kN Usvojeni neobrañeni vijci 2 x 2M20 ......... 8.8 – 147 – As = 2.45 cm 2 Zσ = 45.22 14.142 ⋅ = 29.00 2cm kN Nosač B je ispitivan nakon završenog ispitivanja nosača A zbog nedostatka tegova. Pošto je nosač A ispitivan pri starosti betona od 35 dana i njegovo ispitivanje trajalo desetak dana, to je nosač B ipitivan pri starosti od 45 dana. Proračun prirasta čvrstoće pri pritisku nakon 28 dana nije vršen, jer se radilo o malom prirastu čvrstoće. Na sledećim slikama se daju uporedne vrednosti ugiba za nosač B, za eksploaataciono opterećenje (V faza) i za granično stanje (VII faza). Takoñe, daje se dijagram promene sile u zatezi za razne faze opterećenja. Isto tako, dati su dijagrami napona i dilatacija za presek IV-IV, za eksploataciono opterećenje i za granično stanje. Ispitivanje nosača B pokazuje da u istom preseku dolazi do dostizanja graničnog stanja, ali su naponi u betonu i zategnutoj podužnoj armature manji nego za nosač B.To je posledica nešto veće čvrstoće betona pri pritisku (MB78), a i neznatnog prirasta čvrstoće pri pritisku. Nosač B nije ispitivan na udar, jer je procena bila da zavareni spoj na zatezi nije u kavalitetu kao kod nosača A, pa bi moglo doći do iznenadnog prekida zatege i nekontrolisanog pada nosača.Ipak, može se reći da se rezultati ispitivanja oba nosača dobro slažu. Slika 8.10. Dijagram ugiba za radno-eksploataciono opterećenje (V faza opterećenja)-nosač B – 148 – Slika 8.11 –Dijagram ugiba za granično stanje (VII nivo opterećenja)-nosač B – 149 – Slika 8.12 - Dijagram promene sile u zetezi za razne nivoe opterećenja (računska i merena vrednost) -nosač B PRESEK IV - IV Slika 8.13 – Uporedni dijagram računskih i merenih napona i dilatacija za radno opterećenje (V faza opterećenja) -nosač B PRESEK IV - IV Slika 8.14 – Uporedni dijagram računskih i merenih napona i dilatacija za granično stanje nosivosti (VII faza opterećenja) -nosač B Pokazalo se da proračun po teoriji "I" reda daje za praksu sasvim zadovoljavajuće rezultate. Uticaj vremenskih deformacija ( skupljanje i tečenje ) dvopojasnih sistema nije od većeg značaja, naročito kod montažne gradnje, koja se sa ovim sistemima u većini slučajeva i primenjuje. Merenjem je ustanovljeno da je dostignuta granica razvlačenja u armaturi u preseku IV- IV, od 403.20 MPa, a dostignuti napon u betonu svega 45.30MPa na odstojanju 7.50m od oslonca i odgovara računskom položaju maksimalnog momenta savijanja. Po svom karakteru, lom nosača spada u grupu lomova po armaturi, dakle duktilan lom. – 150 – Uopšte, eksperimentalni rezultati pokazuju da beton visokih čvrstoća ima svoje specifičnosti i da bi naš novi pravilnik za betonske konstrukcije trebao sadržati i odredbe za beton visokih čvrstoća. Tako bi se uklonila velika prepreka proširenju upotrebe betona visokih čvrstoća – 151 – 9. ZAKLJUČCI Na osnovu dobijenih eksperimentalnih rezultata i teorijske analize u prethodnim poglavljima, dat je i kritički osvrt na dobijene rezultate. Iz analize svih tih rezultata mogu se dati sledeći zaključci: 1. Merenja opštih i specifičnih deformacija na oba nosača vršena su u istim presecima po istom redosledu, istom mernom tehnikom, pod istim uslovima i sa istom ekipom za ispitivanje. Opterećeje je bilo kratkotrajno za oba nosača i nanošeno u istim inkrementima za oba nosača, a pri starosti betona većoj od 35 dana. Postignuta čvrstoća betona na pritisak je 75MPa (nosač A) i 78Mpa (nosač B) pri starosti betona od 28 dana.. 2. Rezultati eksperimentalnog ispitivanja ovih nosača pokazali su dobro slaganje sa teorijski dobijenim rezultatima, u svim fazama opterećenja, uključujući i granično stanje loma. 3. Kod dvopojasnih nosača raspona do 25.00m, sa donjim pojasom-zategom od običnog čelika, (obični U profili) naponi i deformacije sračunati po teoriji prvog i drugog reda neznatno se razlikuju. Kod upotrebe kablova za prednaprezanje u donjem pojasu i pri smanjenoj krutosti gornjeg, pritisnutog pojasa, neophodna je primena teorije drugog reda [6],[43]. 4. Kod dvopojasnih sistema nosača, predodreñenih da se izvode kao montažni, uticaji od skupljanja i tečenja betona su neznatni, jer je dobar deo skupljanja obavljen. Od uticaja tečenja betona, sila u zatezi se ne smanjuje kroz vreme, već dolazi do blagog povećanja. Sila u zatezi se usled tečenja i skupljanja ne smanjuje i praktično ne zavisi od vremena [7],[76]. 5. Dvopojasne sisteme nosača treba uvek projektovati tako da se granično stanje u nekom preseku dostigne iscrpljenjem granične nosivosti na zatezanje u zategnutoj armaturi gornjeg pritisnutog pojasa, pre nego doñe do plastifikacije u zatezi. Dostizanjem velikih izduženja u zatezi na samo jednom mestu, formira se mehanizam loma. 6. Konstrukcijske sisteme sa gornjim pojasom od betona visoke čvrstoće i donjim pojasom od čelika, najbolje je projektovati tako da se granično stanje loma uvek dostigne u gornjem pojasu po zategnutoj podužnoj armaturi, gde se može dozvoliti nastajanje jednog plastičnog zgloba armiranog da moze preneti i normalnu silu. Dostizanjem velikih izduženja u donjem pojasu na bilo kom mestu dolazi do nastajanja mehanizma i kolapsa konstrukcije. 7. Razlog za projektovanje jačeg donjeg pojasa (u čeliku) je taj što se na taj način dobija elastična konstrukcija. To se vidi iz dinamičke analize izvedene udarom tega u sleme nosača pod punim opterećenjem ( stanje granične ravnoteže ). Nakon udara tega, zatega je bila rlo blizu granici tečenja, ali se vrlo brzo "vratila" u elastično područje, a istovremeno zbog visoke čvrstoće betona u gornjem pojasu, nije došlo do drobljenja tj. krtog loma. 8. Nivo naprezanja u donjem pojasu treba odrediti u zavisnosti od čvrstoće betona na pritisak u gornjem pojasu i od količine armature u gornjem pojasu. Naime, što je veća čvrstoća na pritisak gornjeg pojasa i količina armature u njemu, potrebno je pravilno izbalansirati odnos napona u odnosu na zategu, i dati zategu tako da u njoj napon ne dostigne granicu razvlačenja. – 152 – 9. Upotrebom betona visoke čvrstoće u gornjem pojasu dvopojasnih konstrukcijskih sistema, a u cilju što većeg iskorišćenja čvrstoće na pritisak betona, nameće se potreba da se donji pojas projektuje od kablova za prednaprezanje. Pri ovom treba projektovati racionalne dimenzije betonskog preseka ( njihovu redukciju u odnosu na običan beton ) sa simetričnim armiranjem. Racionalna upotreba ovih sistema, sa redukovanim poprečnim presekom betona, u gornjem pojasu i prednaprezanjem donjeg pojasa je za raspone preko 30.00 (za veće raspone). Proračun bi trebalo sprovesti po teoriji drugog reda, iako je razlika u proračunima po teoriji prvog reda i teoriji drugog reda obično ispod 10%. 10. Konstrukcijskim sistemima sa gornjim pojasom od betona visoke čvrstoće i donjim zategnutim pojasom od običnog čelika, ili kablova za prethodno naprezanje, postiže se znatno smanjenje momenta savijanja u odnosu na uobičajene sisteme nosača i približno istog kraka unutrašnjih sila. Takoñe, postiže se znatna redukcija sopstvene težine, što se odražava na projektovanje ostalih elemenata konstrukcije, transport i montažu. Meñutim, ovi sistemi sa visokim čvrstoćama betona, dakle sa manjim poprečnim presecima gornjeg pojasa, postaju vrlo osetljivi na izvijanje. 11. Zbog smanjenje duktilnosti betona visoke čvrstoće treba svakako izbeći lom po betonu, već po zategnutoj podužnoj armaturi. To pravilo važi i za obične betone. Duktilnost betona se može povećati npr. mikroarmiranjem ili na neki drugi način. Ovo neznatno poskupljuje cenu betona, a inače, cena betona visoke čvrstoće je nešto veća od cene običnog betona. 12. Kod oblikovanja poprečnog preseka gornjeg pojasa postoji velika sloboda u projektovanju. Kako bi se obezbedila stabilnost ovakvih linijskih sistema za vreme transporta i montaže, obično se izvode udvojenog pravougaonog preseka (sandučasti preseci se izvode za vrlo velike raspone), na odreñenim mestima meñusobno povezani prečkama, na mestu oslanjanja rožnjača. Time se otklanja opasnost od izvijanja nosača u ravni upravnoj na ravan nosača. 13.Konstrukcijski sistemi sa gornjim pojasom od betona visoke čvrstoće sadrže u sebi sve prednosti u odnosu na običan beton kada su naponi u betonu u dovoljnoj meri iskorišćeni. U sopstvenom eksperimentu, u stanju eksploatacije (V faza opterećenja), u preseku sa najvećim momentom savijanja (presek IV-IV) izmeren je napon u betonu od 28.07MPa (računski 26.70MPa). U istom preseku u graničnom stanju nosivosti izmereni napon u betonu je 45.30MPa (računski 50.70MPa). Vidi se da bi naponi u betonu u stanju eksploatacije mogli biti veći, do oko 0.5fB. Znači, dimenzije gornjeg pojasa su mogle biti manje, a nosač lakši i jevtiniji. Primena betona visoke čvrstoće ima znatne prednosti; poprečni preseci gornjeg AB pojasa su manji, nosači su lakši i ekonomičniji. Meñutim, treba imati u vidu da je ovaj beton vrlo krt i treba projektovati nosače koji se dovode u granično stanje nosivosti otkazom zategnute podužne armature, a nikako po pritisnutom betonu. Dostizanje granične nosivosti po donjem zategnutom pojasu (zatezi) treba izbegavati, jer dolazi do velikog izduženja zatege, pa tako ubrzo ceo sistem nosača otkazuje. 14. Prikazani konstrukcioni sistem je vrlo efikasan i ekonomičan za primenu. Mala sopstvena težina, mala količina materijala, lak transport, brza i laka montaža, mogućnost demontaže (spajanje VV vijcima) daju znatne tehničke i ekonomske prednosti nad trenutno primenjivanim linijskim sistemima. Sam beton visoke čvrstoće je predodreñen za montažnu i polumontažnu gradnju pritisnutih, prethodno napregnutih i spregnutih nosača. – 153 – 15. Prikazani postupak koji je zasnovan na teoriji linearnog programiranja ( sedmo poglavlje) i za odreñivanje faktora loma i mehanizma loma konstrukcijskog sistema kao celine sastavljenih od linijskih elemenata je veoma efikasan i ima prednosti nad postupcima u kojima se konstruiše više mogućih mehanizama loma sistema i izjednačavanjem radova spoljašnjih i unutrašnjih sila na tim mehanizmima odreñuje opterećenje ili faktor opterećenja loma i merodavni mehanizam loma. 16.Uporeñujući veličine unutrašnjih sila i pomeranja u izabranim kritičnim presecima sistema dobijenih za elastično ponašanje sistema sa veličinama ovih sila dobijenih na osnovu merenja na ispitivanim nosačima, došlo se do zaključka da su se čelični elementi donjeg pojasa sistema ponašali elastično u svih VII faza opterećenja. Razlike izmeñu veličina normalnih sile sračunatih na osnovu merenja i prema teoriji elastičnosti su veoma male i iznose od 2 do 2.6 %. 17. U fazama I do VI sistem se ponaša kao elastičan sistem. U fazi opterećenja VII došlo je do plastifikacije sistema u presecima (5), odnosno IV-IV (presek 5 I IV-IV je isti presek), armiranobetonskih elemenata gornjeg pojasa, ali ne i do pojave mehanizma loma, jer su se čelični elementi donjeg pojasa ponašali elastično. 18.Iz uporeñivanja rezultata analize nosača po teoriji elastičnosti i teoriji graničnih stanja za teorijsko opterećenje loma, može se uočiti da su normalne sile sračunate po jednoj i drugoj teoriji skoro jednake (maksimalno relativno odstupanje iznosi 0.44%). Ta odstupanja u momentima savijanja u armiranobetonskim presecima gornjeg pojasu su znatno veća. U kritičnom preseku (5) (odnosno IV-IV), relativno odstupanje iznosi 14.35%, tako da je moment savijanja sračunat po teoriji elastičnosti iznosi M5e = 1.17M5 sračunatog po teoriji graničnih stanja. 19. Ovakvi jedanput unutrašnje statički neodreñeni sistemi imaju manju «rezervu» ili kapacitet prenošenja opterećenja u odnosu na višestruko statički neodreñene sisteme. Kod višestruko statički neodreñenih sistema treba da se formira kritičan broj od α+1 plastičnih zglobova ili plastifikacija preseka (α je statička neodreñenost), da bi sistem došao u stanje granične ravnoteže i počeo da se formira mehanizam loma sistema. 20. Parametri kinematičkog mehanizma loma i njegov oblik dobijen teorijskim putem rešavanjem dualnog problema linearnog programiranja odgovaraju ostvarenom mehanizmu loma prilikom ispitivanja ovih dvopojasnih nosača. 21. Dalja ispitivanja ovih konstrukcijskih sistema bi trebalo nastaviti sa betonima visoke i ultra visoke čvrstoće, a sa zategom od čelika za prethodno naprezanje. Očekivati je da će ovakvi konstrukcioni sistemi biti vrlo blizu po težini i čvrstoćama čeličnim konstrukcijama. – 154 – 10. FOTODOKUMENTACIJA Slika 10.1 – Mesto izvoñenja eksperimenta Slika 10.2 – Dispozicija nosača ispred laoboratorije Slika 10.3 – Nosač na privremenim osloncima – 155 – Slika 10.4 – Izgled nosača na betonskim osloncima Slika 10.5 – Treća faza opterećenja Slika 10.6 – Nanošenje opterećenja za četvrtu fazu – 156 – Slika 10.7 – Četvrta faza opterećenja Slika 10.8 – Nanošenje opterećenja za petu fazu Slika 10.9 – Nanošenje opterećenja – 157 – Slika 10.10 – Nanošenje opterećenja za šestu fazu Slika 10.11 – Nanošenje opterećenja za šestu fazu Slika 10.12 – Nanošenje opterećenja – 158 – Slika 10.13 – Raspored prslina duž nosača u zoni max momenta Slika 10.14 – Merno mesto na armaturi Slika 10.15 – Priprema nosača – 159 – Slika 10.16 – Deo opreme u laboratoriji Slika 10.17 – Merno mesto na zatezi Slika 10.18 – Izgled veze vertikale i gornjeg pojasa – 160 – Slika 10.19 – Otpuštanje tega Slika 10.20– Slobodan pad tega Slika 10.21 – Priprema za udar tega – 161 – Slika 10.22– Snimanje prslina Slika 10.23 – Sklanjanje nosača Slika 10.24 – Sklanjanje nosača – 162 – Slika 10.25 – Nosač u trećoj fazi opterećenja Slika 10.26 – Deo nosača sa pomoćnom skelom Slika 10.27 – Pogled na nosač odozgo – 163 – Slika 10.28 – Nosač spreman za nanošenje opterećenja Slika 10.29 – Izgled tegova obešenih o nosač – 164 – 10. LITERATURA [1] AĆIĆ, M., PAKVOR, A., PERIŠIĆ, Ž.: "Teorija armiranobetonskih i prethodno napregnutih konstrukcija", Grañevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, "Naučna knjiga", Beograd, 1986. [2] AĆIĆ MIRKO, "Primena teorije plastičnosti u betonskim konstrukcijama", "Izgradnja", Beograd, 1991., 7. str. [3] AĆIĆ MIRKO, “ Granična ravnoteža zidnih nosača od armiranog betona”, Univerzitet u Beogradu, Grañevinski fakultet, magistarska teza, Beograd, 1968. [4] AĆIĆ MIRKO, "Prilog rešenju problema graničnih stanja zidnih nosača od armiranog betona", Univerzitet u Beogradu, Grañevinski fakultet, doktorska disertacija, Beograd, 1978. [5] AĆIĆ MIRKO, "Savremene betonske konstrukcije", monografija posvećena sedamdesetogodišnjici života prof.dr Milorada Ivkovića, Grañevinski fakultet, Beograd, 1994. [6] AĆIĆ M., OSTOJIĆ D., “Eksperimentalno istraživanje ponašanja armiranobetonskih nosača sa zategom”, Simpozijum JUDIMK-e, Zbornik radova, treća kjiga, Portorož, 1986. [7] AĆIĆ M., NAJDANOVIĆ D., OSTOJIĆ D., “ Rešenje krovne konstrukcije za kompleks objekata “ UTVA “ Pančevo”, publikacija VIII kongresa SDGKJ, Cavtat, april 1987. [8] AĆIĆ, M.,ZEJAK, R., FURTULA,B., "Analiza graničnih stanja dvopojasnih AB nosača od betona visoke čvrstoće ", Drugi internacionalno stručni skup " Grañevinarstvo-nauka i praksa ", Žabljak 2008. [9] AĆIĆ, M., ULIĆEVIĆ, M., SINðIĆ-GREBOVIĆ, R.: “ Betoni visokih čvrstoća “, Monografija povodom 50 godina Grañevinskog fakulteta u Beogradu, 1999.god., str. 13- 32. [10] AITCIN, P.C., : “ High – Performance Concrete “, E FN SPON, London, 1998 [11] ACI Committee 318-95, Bulding Code Requirements for Structural Concrete, American Concrete Institute, Detroit, 1995 [12] AITCIN, P.C., and NEVILLE, A.: “ High-performance concrete demystified “, Concrete International, January 1993, pp 21-26 [13] ACI COMMITTEE 318, : Building Code Requirements for Reinforced Concrete (ACI 318-95) and Commentary ACI 318 R-95, American Concrete Institute, Detroit, 1995.,353pp. [14] BATHE K.J., " Finite Element Procedures in Engineering Analisys " Prentice-Hall, Englewood Cliffs,N.J. 1982. [15] BATHE K.J., "Finite Element Procedures ", Prentice Hall, New Jersey, 1996. [16] BETON I ARMIRANI BETON '87.: "Priručnik za primenu pravilnika o tehničkim normativima za beton i armirani beton-BAB '87", "Grañevinska knjiga", Beograd, 1991. – 165 – [17] CHARMERS, A., LEMKE, C. E., and ZIENKIEWICZ, O. C. „Virtual work, linear programming and plastic limit analysis“, Proc. Of the Royal Society of London, series A, Math. And. Phis. Sciences, Vol. 251, No 164, 1959, pp. 110-116. [18] COHN, M. Z. and MAIER, G. (editors), „Engineering Plasticity by Mathematical Programming“, Pergamon PressNew York, 1978. [19] COLLINS, M. P., MITCHELL, D., MAC GREGOR, J.G., : “ Structural Design Considerations for High-Strength Concrete “, Concrete Internacional, Vol.15, No.5, May 1993, 27-34 [20] CEB/FIP – "Model Code 1990",: First Draft ,Bulletin d'Information 195,196,198, Comite Euro-International du Beton, Mars-Septembre 1990. [21] CEB/FIP – "Structural Effects of Time-Dependent Behaviour of Concrete", CEB Bulletin d'Information No. 215, Laussane , March, 1983., 297 pp. [22] DAVID LLOYD S., PRAŠČEVIĆ Ž., “ Primena fuzzy matematičkog programiranja za rešavanje nekih problema analiz i optimizacije konstrukcijskih sistema” Časopis Izgradnja, Beograd [23] DAVID LLOYD S., PRAŠČEVIĆ Ž., " Optimal plastic design of reinforced concrete frames ", Savremene betonske konstrukcije, Beograd 1994. [24] DILGER W.H., "Methods of Structural Creep Analysis", Creep and Shrinkage in Concrete Structures, Chapter 9, Chichester, John Wiley&Sons, New York, 1982., 305-339 pp. [25] DUNICA,Š., KOLUNDŽIJA,B.: "Nelinearna analiza konstrukcija", Grañevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, "Naučna knjiga", 1986. [26] DIN 1045,:"Beton und stahlbeton bemessung und ausfuehrung", Deutsches Institutfur Normung, 1988. [27] EVROCOD 2, Proračun betonskih konstrukcija , deo 1-1: Opšta pravila i pravila za zgrade, Beograd 2006 [28] EVROKOD 2, "Proračun betonskih konstrukcija" (prevod sa engleskog), Grañevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd 1994., 348 str. [29] FRANC,G.: "Teorija armiranobetonskih konstrukcija", "Grañevinska knjiga", Beograd. [30] FURTULA,B., Analiza na napreznjata i deformacije na spregnuti armiranobetonski konstrukciji so elementi od lesnoagregatni betony", 7-mi meñunarodni simpozijum DGKM, Ohrid, 1997.7 [31] FURTULA, B., ARSOVIĆ, D., " Analiza smičuće sile na spoju prefabrikovanog nosača i lakoagregatne ploče sa uzimanjem u obzir dugotrajnih deformacija betona", Simpozijum, Ocena stanja, održavanje i sanacija grañevinskih objekata i naselja, Zlatibor 2005.god. [32] FURTULA,B., RADIVOJEVIĆ, S., " Damage and rehabilitation of the part of AB construction on the medical scool in Užice", [33] GILBERT R.I., "Time Effects in Concrete Structures", Elseiver Science Publishers B.V.., Amsterdam, 1988., 321 pp. [34] Grupa autora: ”HANGAR 2-JAT na aerodromu Beograd”, monografija SGITS, Beograd,maj 1986. – 166 – [35] HPC Technology Delivery Team: “ High Performance Concrete Structural Designer,s “, Guide, CD, 2005 [36] HAJDIN, N., "Proračun linijskih nosača prema stadijumu loma", Čelične konstrukcije- posebno izdanje, Izgradnja, 1974, str.3-13. [37] HODGE, P. G., Plastic Analysis of Structures, McGraw Hill, New York, 1959. [38] IVKOVIĆ M., RADOSAVLJEVIĆ Ž., PERIŠIĆ Ž., PAKVOR A., AĆIĆ M., "Aktuelni problemi teorije betonskih konstrukcija, II deo, Granična stanja upotrebljivosti, Grañevinski kalendar 1985., Beograd, 1985., 408 str. [38a] IVKOVIĆ,M., "Ponašanje betona u oblasti granične ravnoteže", Doktorska disertacija, Grañevinski fakultet, Beograd, 1962. [39] IVKOVIĆ,M., PRAŠČEVIĆ Ž.: "Problemi stabilnosti armiranobetonskih konstruk- cija", Simpozijum Saveza društava grañevinskih konstruktora Jugoslavije, Trogir, 1980. [40] IVKOVIĆ,M., RADOJIČIĆ,T., AĆIĆ,M.: "Granična stanja betonskih konstrukcija", Grañevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, "Naučna knjiga", Beograd, 1986. [41] IVKOVIĆ MILORAD, "Betonske konstrukcije II", Grañevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1981., 224 str. [42] IVKOVIĆ M., AĆIĆ M., PERIŠIĆ Ž. PAKVOR A., "Reološke osobine očvrslog betona", Seminar: Beton-svojstva i tehnologija, Aranñelovac 1984., 21 str. [43] IVKOVIĆ M.,PERIŠIĆ Ž., AĆIĆ M.,PAKVOR A., " Granična stanja prethodnonapregnutih betonskih nosača sa kablovima van poprečnog preseka", Mehanika, materijli i konstrukcije, SANU, Beograd 1975. [44] IVKOVIĆ M., RADOJIČIĆ T., "Reologija i opšta teorija loma betona", "Naučna knjiga", Beograd, 1987., 183 str. [45] IVKOVIĆ M., AĆIĆ M., PERIŠIĆ Ž., PAKVOR A., “ Concrete structures with steel elements outside the concrete section “, IABSE Congress, Vancuver, 1984. [46] IVKOVIĆ M., AĆIĆ M., PERIŠIĆ Ž., PAKVOR A., “ Konstrukcijski sistemi sa čeličnim elementima van betonskog dela preseka”, Prvi kongres DGKH, Plitvička jezera, 1984. [47] IVKOVIĆ M., AĆIĆ M., PERIŠIĆ Ž., PAKVOR A., “ Demountable concrete structures with steel elements outside the concrete srction “, International Symposium, Roterdam, 1985. [48] IVKOVIĆ M., PERIŠIĆ Ž., “ External prestressing in two-chord large span structural systems”, ACI Symposijum, Houston, 1988. [49] IVKOVIĆ M., PRAŠČEVIĆ Ž., “Analiza ravnih visećih konstrukcijskih sistema “, Simpozijum Teorija konstrukcija, Kopaonik 1993. [50] IVKOVIĆ M., PRAŠČEVIĆ Ž., KLEM N., “ Prilog analizi visećih krovova uz primenu elektronskog računara“, XIV kongres racionalne i primenjene mehanike, Portorož, 1978. [51] IVKOVIĆ M., PERIŠIĆ Ž., ðURðEVIĆ M., ALENDAR V., “ Neki problemi konstrukcijskih sistema velikih raspona sa kablovima van poprečnog preseka “Časopis Grañevinar br.40, Zagreb, 1988. [52] IVKOVIĆ M., RADOSAVLJEVIĆ Ž., PERIŠIĆ Ž., PAKVOR A., AĆIĆ M., "Aktuelni problemi teorije betonskih konstrukcija, II deo, Granična stanja upotrebljivosti, Grañevinski kalendar 1985., Beograd, 1985., 408 str. [53] IVKOVIĆ,M., RADOJIČIĆ,T., AĆIĆ,M.: "Granična stanja betonskih konstrukcija", Grañevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, "Naučna knjiga", Beograd, 1986. – 167 – [54] KOJIĆ M., " Metod konačnih elemenata I " Kragujevac 1998. [55] LIU HANG, LIU CHEN-GUANG,. "Siplified Method to Analyze Two-Chord Large Span External Prestressing Structural System", fib Symposium 1999, Prague [56] LLOYD SMITH, D., "Plastic Limith Analysis and Synthesis of Structures by Linear Programming", PhD Thesis, Imperial College, University of London, 1972. [57] LLOYD SMITH, D. I PRAŠČEVIĆ, Ž., „Limit analiza ravnih okvirnih sistema“, Izgradnja, 2, 1990, str. 5-14. [58] LLOYD SMITH, D. And MUNRO, J., On Uniqueness in the Elastoplastic Analysis of Frames“, Journ. of structural Mechanics, 6 (1), 1978, pp. 85-106. [59] LLOYD SMITH, D. (editor), „Mathematical Programming Methods in Structural Plasticity“, Springer Verlag, Wien- New York, 1990. [60] MURAVLJOV, M., JEVTIĆ, D.: “ Betoni vrlo visokih čvrstoća i neki aspekti njihove primene u prednapregnutim konstrukcijama“, III savetovanje o savremenim dostignućima u našem grañevinarstvu u oblasti prethodnonapregnutog betona i prednaprezanja, JDP; Beograd, 1985. [61] MEHTA, P.K., AITCIN, P.C.: “ Principles underlying production of high- performance concrete “, Cement, Concrete and Agregates, 12(2), Winter 1990, 70- 78 [62] MURAVLJOV, M., KOVAČEVIĆ, T.: “ Mogućnosti dobijanja betona visokih čvrstoća od rečnog i drobljenog agregata “, Monografija povodom 70 godina života M.Ivkovića, Grañevinski fakultet Beograd, 1995.god., str. 165-168 [63] MOLMAN H., “ Analisys of hanging roofs by the finite displacement method”, Polyteknisk Forlag, Lingby 1974. [64] MILAŠINOVIĆ D., IVANOV, D., FURTULA, B., BORKOVIĆ, A.,"Large displacement stability of columns using the harmonic coupled Finite-Strip Method ", The thirteenth Internacional conference on Civil structural and environmental engineering computing which will take place in chanih Crete, Greece, 2011. [65] MILAŠINOVIĆ D. DRAGAN, "The Finite Strip Method in Conputational Mechanics", Faculty of Civil Engineering Subotica, Novi Sad, Budapest, Belgrade, Subotica 1997., 414 pp. [66] MILAŠINOVIĆ D. DRAGAN, "Rheological-dynamical analogy: prediction of buckling curves of columns" International Journal of Solids and Structures 37, 2000, 3965-4004 pp. [67] MAIER, G., „Some Theoremes for Plastic Strain Rates snd Plastic Strains“, Journal de Mechanique, 8, No 1, pp 5-19, 1969. [68] MARINKOVIĆ, S., “ Granična nosivost pri probijanju montažnih prethodno napregnutih ploča u oblasti ivičnih stubova “, Univerzitet u Beogradu, Grañevinski fakultet, doktorska disertacija, Beograd, 2001. [69] MUNRO, J and LLOYD SMITH, D., "Linear Programming in Plastic Analysis and Synthesis", Proc. of Int. Symposium on Computer Aidede Design, University of Warwick, 1972. [70] NAWY, E.: „“ Fundamentals of high-performance concrete “, Second edition, John Wiley&Sons, Inc., New York, 2001 – 168 – [71] NILSON,A.H., WINTER,G.: "Design of Concrete Structures", McGraw-Hill, 1986. [72] OSTOJIĆ, D., AĆIĆ, M., FURTULA, B., ZEJAK, R., " Primer sanacije krovnih nosača industrijske hale " SGITS, Ocena stanja, održavanje i sanacija grañevinskih objekata i naselja, Savetovanje, Zlatibor 2007. [73] PBAB ‘87, "Priručnik sa prilozima za primenu pravilnika o tehničkim normativima za beton i armirani beton", Grañevinska knjiga, 1991., Knjiga I-770 str., Knjiga II 702 str. [74] PRELOG, E., " Metoda konačnih elementov ", Univerza v LJubljani, Ljubljana 1975. [75] PRAŠČEVIC ŽIVOJIN, " Operaciona istraživanja u grañevinarstvu", Grañevinski fakultet u Beogradu 1992. [76] PRAŠČEVIĆ ŽIVOJIN, " Analysis of Plane Reinforced Concrete Structures with Creep and Shrinkage Effects ", Savremene betonske konstrukcije, Beograd 1994. [76a] PRAŠČEVIĆ, Ž., "Nelinearna teorija armiranobetonskog štapa", Doktorska disertacija, Grañevinski fakultet, Beograd, 1979. [77] PERIŠIĆ ŽIVOTA, "Analiza uticaja tečenja i skupljanja u betonskim konstrukcijama sa prslinama primenom idealizovanog preseka sa korigovanim efektivnim modulom betona", "Naše grañevinarstvo" br.38, Beograd, 1984., 1165- 1170. str. [78] PRAŠČEVIĆ, Ž. PRAŠČEVIĆ, N., „Operaciona istraživanja u grañevinarstvu“, Čugura print, Beograd, 2009. [79] RADOJKOVIĆ MILAN, "Ispitivanje konstrukcija", Gra|evinski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd, 1979., 237 str. [80] RŽANICIN A. R., "Teorija puženja materijala", Grañevinska knjiga, Beograd, 1974., 358 str. [81] SEKULOVIĆ,M. "Metod konačnih elemenata", Grañevinski fakultet Univerziteta u Beogradu, "Grañevinska knjiga", Beograd, 1984., 592 str. [82] STEVANOVIĆ SRETEN, "Granična nosivost linijskih nosača – prilog rešenju problema", Grañevinski fakultet Univerziteta u Nišu, doktorska disertacija, Niš, decembar [83] TEIXEIRA De FERITAS, J. A. and LLOYD SMITH, D. „A general methodology for nonlinear structural analysis by mathematical programming“, Engineering Structures, 6, 1984., pp. 52-61. [84] VUKOTIĆ, R., “ Prilog rešenju graničnog stanja betonskih nosača napregnutih savijanjem i torzijom “, Univerzitet u Beogradu, Grañevinski fakultet, magistarska teza, Beograd 1968. [85] ZEJAK, R. : "Osnovne postavke za eksperimentalnu analizu koso savijanih vitkih AB stubova ", 10. kongres JDGK, Vrnjačka Banja, 8-10. jun 1998.g. R-11, str. 61- 66. [86] ZEJAK, R. : "Eksperimentalna analiza vitkih AB stubova sa kosim savijanjem", Simpozijum 2000, Vrnjačka Banja, 1-3. novembar 2000.g., str. 6. [87] ZEJAK R.: Eksperimentalna analiza vitkih AB stubova sa kosim savijanjem, Grañevinski fakultet Univerziteta Crne Gore, Istraživanja, Monografija, Podgorica 2000., str. 185-198. – 169 – [88] ZEJAK R.: Eksperimentalna analiza vitkih AB stubova sa pravougaonim presjekom, Meñunarodni simpozijum INDIS, Novi Sad 2000, str. 1-8. [88a] ZEJAK R., "Prilog analizi vitkih armiranobetonskih konstrukcija", Doktorska disertacija, Grañevinski fakultet, Beograd, 2003. [89] ZHEN,G., SHEN,D., DING,D.: "A Study on Slender Reinforced Lightweight Concrete Columns with Rectangular Section under Biaxially Eccentric Loads", International symposium on concrete engineering, Nanjing, 1991. [90] Grupa autora., "Sto godina nastave iz armiranog betona na Grañevinskom fakultetu" Univerziteta u Beogradu, Grañevinski fakultet, Beograd, 2012. [91] CEB Bulletin d'Information 222, November 1994 [92] G J. Walraven HIGH-STRENGTH CONCRETE: A STRUCTURAL MATERIAL FOR THE FUTURE [93] G. C. Hoff UTILIZATION OF HIGH STRENGTH CONCRETE IN NORTH AMERICA High Strength Concrete 1993, Symposium in Lillehammer, Norway, 27- 38. [94] S. Ikeda UTILISATION OF HIGH-STRENGTH CONCRETE IN JAPAN FIP notes 1993/4, 9-13. [95] CEB Bulletin d'Information 228, July 1995. HIGHPERFORMANCE CONCRETE [96] G. Köning, H. Bergner, R. Grimm, G. Simsch UTILISATION OF HIGH- STRENGTH CONCRETE IN EUROPE (PART 2) FIP notes 1994/1, 4-6. 12. BIOGRAFIJA AUTORA Mr Boško B. Furtula, dipl.grañ.inž. roñen je u Višegradu, Republika Srpska, gde je završio osnovnu školu “ Petar Kočić” i Grañevinsku tehničku školu u Sarajevu sa odličnim uspehom. Grañevinski fakultet u Sarajevu, odsek za konstrukcije je završio 1978.god. i odbranio diplomski rad iz Betonskih mostova. Stručni ispit je položio 1980.god. Poslediplomske studije, odsek Betonskih konstrukcija je upisao u Sarajevu, položio sve ispite odbranivši magistarski rad pod naslovom: “Sprezanje prethodno napregnutuh konstrukcija sa elementima lakoagregatnih betona” pod mentorstvom prof. dr Milorada Ivkovića 1991.god. Od diplomiranja 1978.god. radio je u Zavodu za urbanizam i projektovanje u Užicu na random mestu projektant konstrukcija, a kasnije odgovorni projektant konstrukcija. Kraće vreme radi u sektoru investicija i nadzora SIZ-a stanovanja u Užicu. Od 1984.god. do 1990.god. radi u GP “Zlatibor”, uglavnom na poslovima projektovanja raznih sistema konstrukcija. U tom periodu projektovani su značajni objekti u Užicu, Tuzli, N. Sadu, Beogradu, Baru, Podgorici i mnogim drugim mestima gde je izvoñač radova bio GP “Zlatibor”. Uglavnom, su to bili stambeni objekti, industrijski objekti i poljoprivredni objekti, kao i manji i srednji objekti mostogradnje. Od 1990. god do danas radi kao Viši predavač na Visokoj poslovno-tehničkoj školi u Užicu gde izvodi nastavu iz predmeta: Betonske konstrukcije, Betonski mostovi, Spregnute konstrukcije i Tehnologija grañenja. Kao projektant je projektovao ili učestvovao u projektovanju na preko 50 značajnijih objekata, bio vršilac tehničke kontrole (revizije) na više destina projekata i vodio stručni nadzor na mnogim objektima. Objavio je preko deset radova koji su saopšteni na domaćim i meñunarodnim konferencijama i štampani u zbornicima radova sa tih konferencija. Član je Inženjerske komore Srbije, Društva grañevinskih konstruktera Srbije I Društva za ispitivanje materijala I konstrukcija Srbije. Služi se ruskim i engleskim jezikom. Oženjen je, otac troje dece. Živi i radi u Užicu. Прилог 1. Изјава о ауторству Потписани-a мр Бошко Фуртула, дипл.грађ.инж.________ број индекса _______________________________ Изјављујем да је докторска дисертација под насловом ГРАНИЧНА СТАЊА АРМИРАНОБЕТОНСКИХ МОНТАЖНИХ ДВОПОЈАСНИХ НОСАЧА ОД БЕТОНА ВИСОКИХ ЧВРСТОЋА • резултат сопственог истраживачког рада, • да предложена дисертација у целини ни у деловима није била предложена за добијање било које дипломе према студијским програмима других високошколских установа, • да су резултати коректно наведени и • да нисам кршио/ла ауторска права и користио интелектуалну својину других лица. Потпис докторанда У Београду, _________________ _________________________ Прилог 2. Изјава o истоветности штампане и електронске верзије докторског рада Име и презиме аутора ________ мр Бошко Фуртула, дипл.грађ.инж.____________ Број индекса _________________________________________________________ Студијски програм ____________________________________________________ Наслов рада __ГРАНИЧНА СТАЊА АРМИРАНОБЕТОНСКИХ MOНТАЖНИХ ДВОПОЈАСНИХ НОСАЧА ОД БЕТОНА ВИСОКИХ ЧВРСТОЋА Ментор Проф.др Мирко Аћић, дипл.грађ.инж и Проф.др Михајло Ђурђевић, дипл.грађ.инж Потписани/а ____ мр Бошко Фуртула, дипл.грађ.инж.___________ Изјављујем да је штампана верзија мог докторског рада истоветна електронској верзији коју сам предао/ла за објављивање на порталу Дигиталног репозиторијума Универзитета у Београду. Дозвољавам да се објаве моји лични подаци везани за добијање академског звања доктора наука, као што су име и презиме, година и место рођења и датум одбране рада. Ови лични подаци могу се објавити на мрежним страницама дигиталне библиотеке, у електронском каталогу и у публикацијама Универзитета у Београду. Потпис докторанда У Београду, ________________________ _________________________ Прилог 3. Изјава о коришћењу Овлашћујем Универзитетску библиотеку „Светозар Марковић“ да у Дигитални репозиторијум Универзитета у Београду унесе моју докторску дисертацију под насловом: ГРАНИЧНА СТАЊА АРМИРАНОБЕТОНСКИХ МОНТАЖНИХ ДВОПОЈАСНИХ НОСАЧА ОД БЕТОНА ВИСОКИХ ЧВРСТОЋА која је моје ауторско дело. Дисертацију са свим прилозима предао/ла сам у електронском формату погодном за трајно архивирање. Моју докторску дисертацију похрањену у Дигитални репозиторијум Универзитета у Београду могу да користе сви који поштују одредбе садржане у одабраном типу лиценце Креативне заједнице (Creative Commons) за коју сам се одлучио/ла. 1. Ауторство 2. Ауторство - некомерцијално 3. Ауторство – некомерцијално – без прераде 4. Ауторство – некомерцијално – делити под истим условима 5. Ауторство – без прераде 6. Ауторство – делити под истим условима (Молимо да заокружите само једну од шест понуђених лиценци, кратак опис лиценци дат је на полеђини листа). Потпис докторанда У Београду, ________________________ ____________________ 1. Ауторство - Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце, чак и у комерцијалне сврхе. Ово је најслободнија од свих лиценци. 2. Ауторство – некомерцијално. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела. 3. Ауторство - некомерцијално – без прераде. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, без промена, преобликовања или употребе дела у свом делу, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела. У односу на све остале лиценце, овом лиценцом се ограничава највећи обим права коришћења дела. 4. Ауторство - некомерцијално – делити под истим условима. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се прерада дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца не дозвољава комерцијалну употребу дела и прерада. 5. Ауторство – без прераде. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, без промена, преобликовања или употребе дела у свом делу, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце. Ова лиценца дозвољава комерцијалну употребу дела. 6. Ауторство - делити под истим условима. Дозвољавате умножавање, дистрибуцију и јавно саопштавање дела, и прераде, ако се наведе име аутора на начин одређен од стране аутора или даваоца лиценце и ако се прерада дистрибуира под истом или сличном лиценцом. Ова лиценца дозвољава комерцијалну употребу дела и прерада. Слична је софтверским лиценцама, односно лиценцама отвореног кода.