УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУ АРХИТЕКТОНСКИ ФАКУЛТЕТ Слободан Ж. Мишић Конструктивно – геометријско генерисање купола са конкавним полиедарским површима докторска дисертација Београд, 2012 UNIVERSITY OF BELGRADE FACULTY OF ARCHITECTURE Slobodan Ž. Mišić Constructive – geometric generating of cupolae with concave polyhedral surfaces Doctoral Dissertation Belgrade, 2012. МЕНТОР: Др Миодраг Несторовић редовни професор Архитектонског факултета Универзитета у Београду ЧЛАНОВИ КОМИСИЈЕ: Др Миодраг Несторовић редовни професор Универзитета у Београду - Архитектонски факултет Др Марија Обрадовић доцент Универзитета у Београду - Грађевински факултет Др Александар Чучаковић ванредни професор Универзитета у Београду - Грађевински факултет Др Бранислав Попконстантиновић ванредни професор Универзитета у Београду - Машински факултет Датум одбране докторске дисертације: ___________________ ИЗЈАВА ЗАХВАЛНОСТИ Захваљујем се свом ментору и члановима комисије на несебичној помоћи и подршци при изради дисертације. Посебно се захваљујем др Марији Обрадовић, чији је досадашњи рад на тему Конкавних купола био полазиште ове дисертације. КОНСТРУКТИВНО-ГЕОМЕТРИЈСКО ГЕНЕРИСАЊЕ КУПОЛА СА КОНКАВНИМ ПОЛИЕДАРСКИМ ПОВРШИМА Резиме Куполе са конкавним полиедарским површима изучавају се као геометријске форме и као структуре занимљиве за примену у архитектури и грађевинарству. Полиедри који следе начин генерисања куполa (Џонсонових тела), с тим што изостаје критеријум конвексности и што се у омотачу ових тела појављују два или више низoвa једнакостраничних троуглова, називају се Конкавне куполе (уз одредницу врсте). Врста куполe диктирана је бројем редова једнакостраничних троуглова у мрежи. Једнакостранични троуглови груписани су у просторне шестостранике, који поларним распоредом око централне осе полиедра, чине делтаедарски омотач. Над истом полигоналном основом постоји више различитих Конкавних купола једне врсте. У раду су дате геометријске конструкције и други графички поступци (3D моделовање) помоћу којих се могу приказати куполе из посматране групе, а који су омогућили проналажење међусобних релација параметара, димензија и елемената самог тела. Моделовање Конкавних купола четврте врсте омогућено је и израдом програма у софтверском пакету MATLAB. Систематизацијом особина Конкавних купола, одређен је максимални број представника сваке врсте и основни параметри Конкавних купола више врсте. На основу графичких конструкција, параметри тела могу бити одређени и аналитичким методама, применом итеративних нумеричких поступака. Приказане су и нове полиедарске структуре које настају варијацијама Конкавних бикупола поступцима жироротацијом, елонгацијом, жироелонгацијом и аугментацијом. Куполе су елонгиране и Конкавним антипризмама друге врсте, чији је поступак конструктивно геометријског генерисања детаљно елабориран. Успостављањем односа између теоријских поставки и њихових решења са конкретном архитектонском струком показано је да истраживање на посматраним полиедарским представницима има практичну примену. Кључне речи: полиедар, делтаедар, купола, полигон, омотач, конкаван, сфера CONSTRUCTIVE – GEOMETRIC GENERATING OF CUPOLAE WITH CONCAVE POLYHEDRAL SURFACES Summary Cupolae with concave polyhedral surfaces аrе studied as geometrical forms, and also as interesting structures for use in architecture and construction. Polyhedra which follow the method of generating geometric cupolae (Johnson’s solids), except for the convexity criterion and the fact that in the lateral surface of the solids two or more series of equilateral triangles appear, are named Concave Cupolae (with determined sort). The sort of the Cupola is dictated by the number of the rows of equilateral triangles in the plane net of the lateral surface. Equilateral triangles are grouped into spatial hexahedral elements which are polar arrayed around the central axis of polyhedron, making a deltahedral lateral surface of the polyhedron. Over the same polygonal base, there are more different Concave Cupolae of the same sort. In the thesis, the geometric constructions and other graphic procedures (such as 3D modeling) have been applied, by which we can present any Cupola from the observed group, and which have enabled finding the correlation of the parameters, dimensions and elements of the solids. Modeling of the Concave Cupolae of the fourth sort is enabled by programming in MATLAB software. By the systematization of Concave Cupolae properties, the maximum number of each sort’s representatives has been determined, as well as the basic parameters of the Concave Cupolae of the higher sorts. Based on these constructions, the parameters of the solids can be determined also by the analytical methods, using iterative numerical procedures. The new polyhedral structures have been presented, obtained by variations of concave bicupolae, using the procedures of gyrations, elongations, gyroelongations, and augmentations. The Concave Cupolae can be elongated also by Concave Antiprisms of second sort, which constructive geometric generating has been elaborated. We have established the relationship between theoretical assumptions and their practical solutions in architectural métier, thus the research shows that the observed polyhedral representatives have practical applications. Key words: polyhedron, cupola, deltahedron, polygon, lateral surface, concave, sphere Kључна документациона информација Тип документа: Монографска публикација Тип записа: Текстуални штампани материјал Врста рада (ВР): Докторска дисертација Аутор (АУ): Мр. Слободан Ж. Мишић, дипл.инж.арх. Ментор (МН): Др Миодраг Несторовић, ред.проф. Налов рада (НС): Конструктивно - геометријско генерисање купола са конкавним полиедарским површима Језик публикације (ЈП): Српски Земља публиковања (ЗП): Република Србија Година издавања (ГИ): 2012. Издавач (ИЗ): Ауторски репринт Место и адреса (МС): 11000 Београд, Булевар Краља Александра 73/II Физички опис рада (бр. погл./страна/ лит. навода/табела/слика/прилога): 15 / 217 / 70/ 2/ 108/ 12 Научна област (НО): Архитектура и урбанизам Научна дисциплина (ДИС): Геометрија архитектонске форме Предмет одредница/кључна реч (ПО): полиедар, делтаедар, купола, полигон, омотач, конкаван, сфера УДК: 515.1(043.3) Чува се (ЧУ): Библиотека Архитектонског факултета, 11000 Београд, Булевар Краља Александра 73/II Извод (ИЗ): Конкавне куполе су полиедри који следе начин генерисања куполa (Џонсонових тела), с тим што изостаје критеријум конвексности и што се у омотачу ових тела појављују два или више низа једнакостраничних троуглова. Датум прихватања теме (ДП): 30. септембар 2008. Key word documentation Document type (DT): Monographics publication Type of record (TR): Textual printed article Contains code (CC): Ph D Thesis Autor (AU): Mr Slobodan Ž. Mišić, M.Sc.Arch. Mentor (MN): Dr Miodrag Nestorović, Ph D. Title (TI): Constructive – geometric generating of cupolae with concave polyhedral surfaces Language of text (LT): Serbian Cantry of Publication (CP): Serbia Publication Year (PY): 2012. Publisher (PB): Autor’s reprint Publication Place (PL): 11000 Belgrade, Bulevar Kralja Aleksandra 73/II Phisical description (PD): 15 / 217 / 70/ 2/ 108/ 12 Scientific fields (SF): Architecture and Urbanism Scientific discipline (SD): Geometry of Architectural Form Subject/Key words (CX): polyhedron, cupola, deltahedron, polygon, lateral surface, concave, sphere UDC: 515.1(043.3) Holding data (HD): Library Faculty of Architecture , 11000 Belgrade, Bulevar Kralja Aleksandra 73/II Abstract (AB): Concave Cupolae are polyhedra which follow the method of generating geometric cupolae (Johnson´s solids), except for the convexity criterion which is omitted, and the fact that in the lateral surface of the solids appear two or more series of equilateral triangles. Accepted by Scientific Board on (ASB): 30th september 2008. ______________________________________________________________________ I ПОПИС КОРИШЋЕНИХ ОЗНАКА J3 – Триангуларна купола, Џонсонова тело J3 J4 – Квадратна купола, Џонсонова тело J4 J5 – Пентагонална купола, Џонсонова тело J5 n – број страница правилног полигона nmax – број страница полигона основе највеће Конкавне куполе у оквиру једне врсте Ω1 – основа Конкавне куполе, n-тострани правилни полигон; Ω2 – основа Конкавне куполе, 2n-тострани правилни полигон; а – страница једнакостраничног троугла у саставу мреже омотача Конкавне куполе r – полупречник описаног круга око n-тостраног правилног полигона основе Ω1 q – ортогонално растојање од центра до странице n-тостраног правилног полигона основе Ω1 A, B, C ... – темена Конкавне куполе h1, h2, h3 ... – висине темена Конкавне куполе, ортогонално одстојање од основе Ω2 k – оса Конкавне куполе, ортогонална на равни основа Ω 1 и Ω 2 α, β, γ, δ ... – вертикалне равни које пролазе теменима Конкавне куполе α, β, γ, δ ... – угловни параметри унутар Конкавне куполе α α , β β ... – равни трансформације M1(G; а) – лопта M1 са центром у тачки G и полупречником једнаким ивици а једнакостраничног троугла k1, k2, k3 ... – кругови пресека лопте и равни c1, c2, c3 ... – кругови пресека лопте и равни α ∩ M1(G; а) = k1 – пресек равни α и лопте M1 је круг k1 KK II – 8М – Конкавна купола друге врсте над осмоугаоном основом са већом висином (удубљено средишње теме просторног шестостраника) ______________________________________________________________________ II KK II – 8m – Конкавна купола друге врсте над осмоугаоном основом са мањом висином (испупчено средишње теме просторног шестостраника) KK IV-15Мm – Конкавна купола четврте врсте са петнаестоугаоном основом, удубљено теме О2 а испупчено теме О1. KK IV-15mm – Конкавна купола четврте врсте са петнаестоугаоном основом, испупчено теме О2 и испупчено теме О1. KK IV-15mM – Конкавна купола четврте врсте са петнаестоугаоном основом, испупчено теме О2 а удубљено теме О1. KK IV-15MM – Конкавна купола четврте врсте са петнаестоугаоном основом, удубљено теме О2 и удубљено теме О1. KА II–32m – Конкавна антипризма друге врсте над тридесетдвоугаоном основом, мања висина омотача AP-32 – Антипризма над тридесетдвоугаоном основом KР-8 – Конкавна пирамида над осмоугаоном основом; О1CQO2 – варијанта конструкције Конкавне куполе четврте врсте, усвојена мања висина темена CQO2 О1CQO*2 – варијанта конструкције Конкавне куполе четврте врсте, усвојена већа висина темена O2 О1CQ*O2 – варијанта конструкције Конкавне куполе четврте врсте, усвојена већа висина темена Q О1CQ*O*2 – варијанта конструкције Конкавне куполе четврте врсте, усвојена већа висина темена Q и O2 О1C*QO2 – варијанта конструкције Конкавне куполе четврте врсте, усвојена већа висина темена C О1C*QO*2 – варијанта конструкције Конкавне куполе четврте врсте, усвојена већа висина темена C и O2 О1C*Q*O2 – варијанта конструкције Конкавне куполе четврте врсте, усвојена већа висина темена C и Q О1C*Q*O*2 – варијанта конструкције Конкавне куполе четврте врсте, усвојена већа висина темена C, Q и O2 ______________________________________________________________________ III ПОПИС СЛИКА Сл. 1 – Коса пројекција Тороидног делтаедара друге врсте над осмоугаоном основом: а) цело тело б) језгро, [46], сл. 166, стр.287 ........................... 17 Сл. 2 – Кружне трансформације антипризматичних структура [22], сл. 13, стр.18 .............................................................................................. 19 Сл. 3 – Лобелови рамови, карактеристични представници групе C3 [35] ....... 21 Сл. 4 – Лобелови рамови, карактеристични представници групе C6 [35] ....... 22 Сл. 5 – Основни типови мреже генерисани пирамидом над квадратном основом [42], сл.13, стр.125 .................................................................................... 23 Сл. 6 – Ортогоналне пројекције и 3D модел Триангуларне куполе (Ј3) .......... 25 Сл. 7 – Ортогоналне пројекције и 3D модел Квадратне куполе (Ј4) ................ 25 Сл. 8 – Ортогоналне пројекције и 3D модел Пентагоналне куполе (Ј5) .......... 25 Сл. 9 – Елонгирана квадратна купола (Ј19) и жироелонгирана квадратна купола (Ј23) ............................................................................................... 26 Сл. 10 – Квадратна ортобикупола (Ј28) и квадратна жиробикупола (Ј29) ........ 26 Сл. 11 – Елонгирана квадратна жиробикупола (Ј37) и жироелонгирана квадратна бикупола (Ј45) ........................................................................ 27 Сл. 12 – Изглед мреже омотача Конкавне куполе друге врсте ............................ 30 Сл. 13 – Конкавна купола друге врсте са осмоугаоном основом: а) КК II-8m б) КК II-8М ......................................................................... 32 Сл. 14 – Конструкција 2n-тоугла, концентричног и са паровима паралелних страна n-тоуглу странице а ...................................................................... 36 Сл. 15 – Просторни модел конструкције положаја и висине темена D просторног шестостраника ABCDEFО1 Конкавне куполе четврте врсте ............... 38 Сл. 16 – Ортогоналне пројекције омотача Конкавне куполе друге врсте: а) КК II-8m б) КК II-8М .......................................................................... 39 Сл. 17 – Jединична ћелијa, просторни шестостраник ABCDEFG, која учествује у генерисању омотача Конкавне куполе друге врсте ............................... 40 ______________________________________________________________________ IV Сл. 18 – Конструкција положаја тачке Еn на равни δ, у зависности од претпостављеног почетног положаја централног темена Gn ................ 42 Сл. 19 – Апроксимација трајакторије темена Е кругом [46], сл. 97, стр. 181 ...... 43 Сл. 20 – Изглед мреже омотача Конкавне куполе треће врсте ............................ 45 Сл. 21 – Прва и друга ортогонална пројекција полиедарске површи омотача Конкавне куполе треће врсте ................................................................... 46 Сл. 22 – Јединична ћелија, просторни седмостраник ABCDEFGО Конкавне куполе треће врсте .................................................................................... 47 Сл. 23 – Конструкција висина темена седмостраника ABCDEFGО за усвојени положај темена О ...................................................................................... 48 Сл. 24 – Одређивање трајекторије темена Еn променом положаја темена Оn .... 50 Сл. 25 – Конструкција положаја и висина свих теменa јединичне ћелије Конкавне куполе треће врсте .................................................................................... 51 Сл. 26 – Конкавна купола треће врсте ................................................................... 52 Сл. 27 – Мрежа омотача KK IV-15 ........................................................................ 54 Сл. 28– Јединична ћелија KK IV – ортогоналнаа пројекција и 3D модел просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 ....................... 55 Сл. 29 – Конструкција висина темена шестостраника ABCDEFО1 за усвојени положај темена О1 ..................................................................................... 57 Сл. 30 – Конструкција висина и положаја темена шестостраника EDGHKLО2 и темена Q ............................................................................................... 59 Сл. 31 – Одређивање трајекторије темена D, добијене променом положаја темена О1, средишта шестостраника ABCDEFО1 .............................................. 61 Сл. 32 – Одређивање трајекторије темена H, добијене променом положаја темена О1, средишта шестостраника ABCDEFО1 ............................................... 62 Сл. 33 – Конструкција положаја и висина свих темена јединичне ћелије Конкавне куполе четврте врсте са петнаестоугаоном основом ............................. 63 Сл. 34 – KK IV-15Мм, а) ортогоналне пројекције омотача куполе, б) 3D модел куполе .................................................................................... 64 Сл. 35 – Одређивање трајекторије темена H, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена О2 .................................................... 66 ______________________________________________________________________ V Сл. 36 – Конструкција положаја и висина свих темена Конкавне куполе четврте врсте са већом висином темена О2 ......................................................... 67 Сл. 37 – KK IV-15mm а) ортогоналне пројекције омотача куполе, б) 3D модел куполе ......................................................................................................... 68 Сл. 38 – Конструкција положаја и висине темена H, условљених променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена Q ........................ 70 Сл. 39 – Трећа пројекција шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за четири унапред усвојена положаја темена О1, варијанта конструкције О1CQ*O2 ..................................................................................................... 71 Сл. 40 – Конструкција положаја и висине темена H, условљених променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена Q и O2 ............... 72 Сл. 41 – Трећа пројекција шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за три унапред усвојена положаја темена О1, варијанта конструкције О1CQ*O*2 .................................................................................................... 73 Сл. 42 – Конструкција трајекторије темена D, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C ......................................... 74 Сл. 43 – Конструкција положаја и висине темена H, условљених променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C ........................ 75 Сл. 44 – Трећа пројекција шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за три унапред усвојена положаја темена О1, варијанта конструкције О1C*QO2 ...................................................................................................... 76 Сл. 45 – Одређивање трајекторије темена D, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C ..................................................... 78 Сл. 46 – Одређивање трајекторије темена H, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C и О2 ............................................. 79 Сл. 47 – Конструкција положаја и висина свих темена Конкавне куполе четврте врсте са већом висином темена C и О2 .................................................... 80 Сл. 48 – KK IV-15mМ а) ортогоналне пројекције омотача куполе, б) 3D модел куполе ......................................................................................................... 81 Сл. 49 – Одређивање трајекторије темена H, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C и Q ............................................. 83 ______________________________________________________________________ VI Сл. 50 – Конструкција положаја и висина свих темена Конкавне куполе четврте врсте са већом висином темена C и Q ..................................................... 84 Сл. 51 – KK IV-15ММ а) ортогоналне пројекције омотача куполе, б) 3D модел куполе ......................................................................................................... 85 Сл. 52 – Конструкција положаја и висине темена H, условљених променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C и Q и O2 ......... 86 Сл. 53 – Трећа пројекција шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за три унапред усвојена положаја темена О1, варијанта конструкције О1C*Q*O*2 ................................................................................................... 87 Сл. 54 – Параметри за изналажење положаја и висине тачака просторног шестостраника ABCDEFО1 за KK IV–Mm ........................................... 90 Сл. 55 – Параметри за изналажење положаја и висине тачака просторног шестостраника EDGHKLО2 за KK IV-Мm ............................................ 91 Сл. 56 – Параметри за изналажење положаја и висине темена јединичне ћелије за KK IV-Мm ................................................................................................. 92 Сл. 57 – Параметри за изналажење положаја и висине темена C за KK IV-Мm 93 Сл. 58 – Параметри за изналажење положаја и висине темена D за KK IV-Мm 94 Сл. 59 – Параметри за изналажење положаја и висине темена Q и G за KK IV-Мm ................................................................................................. 96 Сл. 60 – Параметри за изналажење положаја и висине темена O2 за KK IV-Мm .................................................................................................. 98 Сл. 61 – Параметри за изналажење положаја и висине темена H за KK IV-Мm 99 Сл. 62 – Параметри за изналажење положаја и висине темена O2 за KK IV-mm ................................................................................................ 103 Сл. 63 – Параметри за изналажење положаја и висине темена H за KK IV-mm ................................................................................................ 104 Сл. 64 – Параметри за изналажење положаја и висине темена просторног шестостраника ABCDEFO1 за KK IV-mМ .......................................... 106 Сл. 65 – Параметри за изналажење положаја и висине темена просторног шестостраника EDGHKLО2 за KK IV-mМ ......................................... 107 Сл. 66 – Параметри за изналажење положаја и висине темена јединичне ћелије KK IV-mМ ............................................................................................... 108 ______________________________________________________________________ VII Сл. 67 – Параметри за изналажење положаја и висине темена C за KK IV-mМ ............................................................................................... 109 Сл. 68 – Параметри за изналажење положаја и висине темена D за KK IV-mМ ............................................................................................... 110 Сл. 69 – Параметри за изналажење положаја и висине темена O2 за KK IV-mМ ............................................................................................... 111 Сл. 70 – Параметри за изналажење положаја и висине темена H за KK IV-mМ ............................................................................................... 112 Сл. 71 – Параметри за изналажење положаја и висине темена Q и G за KK IV-ММ ............................................................................................... 114 Сл. 72 – Параметри за изналажење положаја и висине темена O2 за KK IV-ММ ............................................................................................... 116 Сл. 73 – Параметри за изналажење положаја и висине темена H за KK IV-ММ ............................................................................................... 117 Сл. 74 – Конкавне антипризме друге врсте: а) KA II-10M, б) KA II-10m ..... 122 Сл. 75 – Ортогоналне пројекције Kонкавне антипризме друге врсте: а) KA II-10M, б) KA II-10m ................................................................ 123 Сл. 76 – Јединична ћелија Конкавне антипризме друге врсте: а) KA II-10M, б) KA II-10m ................................................................ 124 Сл. 77 – Генеза трајакторије темена C и конструкција висине Конкавне антипризме друге врсте ......................................................................... 125 Сл. 78 – Прва пројекција трајакторије темена C ................................................. 126 Сл. 79 – а) Боемска купола (Bohemian Dome), б) Пресек сфере и Боемске Куполе ....................................................................................................... 127 Сл. 80 – Просторни модел трајакторије темена C ............................................... 127 Сл. 81 – Параметри и метрички односи унутар шестостраника ABCDEFG са удубљеним теменом G ............................................................................ 128 Сл. 82 – Параметри и метрички односи унутар шестостраника ABCDEFG са испупченим теменом G .......................................................................... 128 Сл. 83 – Формирање бикуполе: а) ортобикупола, б) жиробикупола (урађено по угледу на слику број 4 из рада [53]) ............................... 131 ______________________________________________________________________ VIII Сл. 84 – Елонгирана бикупола: а) елонгирана ортобикупола, б) елонгирана жиробикупола, в) жироелонгирана бикупола А, г) жироелонгирана бикупола Б, (урађено по угледу на слику број 5 из рада [53]) ............ 132 Сл. 85 – Елонгирана бикупола: а) конкаелонгирана ортобикупола тип А, б) конкаелонгирана жиробикупола тип А, в) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, г) конкаелонгирана жиробикупола тип Б (урађено по угледу на сл. бр. 6 [53]) .................................................... 133 Сл.86 – Варијације KK IV-15Mm: а) ортобикупола, б) жиробикупола, в) елонгирана ортобикупола, г) елонгирана жиробикупола, д) жироелонгирана бикупола тип А, ђ) жироелонгирана бикупола тип Б, е) конкаелонгирана ортобикупола тип А, ж) конкаелонгирана жиробикупола тип А, з) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, и) конкаелонгирана жиробикупола тип Б ............................................. 134 Сл.87 – Варијације KK IV-15mm: а) ортобикупола, б) жиробикупола, в) елонгирана ортобикупола, г) елонгирана жиробикупола, д) жироелонгирана бикупола тип А, ђ) жироелонгирана бикупола тип Б, е) конкаелонгирана ортобикупола тип А, ж) конкаелонгирана жиробикупола тип А, з) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, и) конкаелонгирана жиробикупола тип Б ............................................. 135 Сл.88 – Варијације KK IV-15mM: а) ортобикупола, б) жиробикупола, в) елонгирана ортобикупола, г) елонгирана жиробикупола, д) жироелонгирана бикупола тип А, ђ) жироелонгирана бикупола тип Б, е) конкаелонгирана ортобикупола тип А, ж) конкаелонгирана жиробикупола тип А, з) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, и) конкаелонгирана жиробикупола тип Б ............................................. 136 Сл.89 – Варијације KK IV-15MM: а) ортобикупола, б) жиробикупола, в) елонгирана ортобикупола, г) елонгирана жиробикупола, д) жироелонгирана бикупола тип А, ђ) жироелонгирана бикупола тип Б, е) конкаелонгирана ортобикупола тип А, ж) конкаелонгирана жиробикупола тип А, з) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, и) конкаелонгирана жиробикупола тип Б ............................................. 137 ______________________________________________________________________ IX Сл. 90 – Атлетски центар Универзитета у Синсинатију, 2001-2006............. http://www.tschumi.com/projects/7/ncinnati ............................................ 139 Сл. 91 – Кућа опере у Гуангџоу у Кини, Zaha Hadid Architects ........................ 140 http://ineedaguide.blogspot.com/2011/02/guangzhou-opera-house-by-zaha-hadid.html Сл. 92 – Примена просторних шестостраника на примеру „Акустичних облака“ извор: http://www.bouroullec.com/ и [68] .............................................. 141 Сл. 93 – Идејни пројекат Комплекса Универзијаде 2011 у Шенжену .............. 142 http://arquigrafia.arquitecturacritica.com.ar/2011/09/universiade-sports-center-gmp.html Сл. 94 – Комплекс спортских објеката Универзијаде 2011, Шенжен, Кина .... 143 http://www.gmp-architekten.com/projects/universiade-sports-center.html Сл. 95 – Вишенаменски стадион Универзијаде 2011, Шенжен, Кина .............. 143 http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=983902&page=6 Сл. 96 – Изглед конструкције фасадног платна стадиона Универзијаде 2011.... 144 http://www.gmp-architekten.com/projects/universiade-sports-center.html Сл. 97 – Кристална хала (Crystal Hall), Баку, Азербејџан .................................. 144 http://cache.artpeople.az/photos/large/h/q/k/hqkapbqz.jpg Сл. 98 – Детаљ фасаде зграде Кристалне хале, Баку, Азербејџан ..................... 145 http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=1460994&page=11 Сл. 99 – Ортогоналне пројекције композитног полиедра насталог спајањем: KK IV-16mm, KK II-8m и KP-8 ........................................................... 150 Сл. 100 – 3D модел композитног полиедра насталог спајањем: KK IV-16mm, KK II-8m и KP-8 ............................................................ 151 Сл. 101 – Ортогоналне пројекције композитног полиедра насталог спајањем: KА II -32m, KK IV-16mM, KА-16m, KK II-8m и KP-8 .................... 152 Сл. 102 – 3D модел композитног полиедра насталог спајањем: KА II -32m, KK IV-16mM, KА-16m, KK II-8m и KP-8 .................. 153 Сл. 103 – 3D модел композитног полиедра насталог спајањем: АP-32, KK IV-16mM, AP-16, KK II-8m и KP8 ................................. 153 Сл. 104 – Ортогоналне пројекције композитног полиедра насталог спајањем: АP-32, KK IV-16mM, AP-16, KK II-8m и KP-8 ................................ 154 Сл. 105 – a) Спајање подударних страна Зарубљене коцке и KK II-4М б) Параби- конкааугментована зарубљена коцка, извор [52], сл. 4 ....................... 159 ______________________________________________________________________ X Сл. 106 – а) Хекса- конкааугментована зарубљена коцка б) Хекса- конкааугментована зарубљена коцка са додатим четвоространим пирамидама, извор [52], сл. 5 ................................................................. 162 Сл. 107 – Пример кластер полиедра, настао спајањем 8 сложених полиедара: а) ортогонална пројекција, б) аксонометријски приказ,извор [52], сл. 6 и сл. 7 ................................................................................................ 162 Сл. 108 – Изглед објекта заснованог на геометрији Хекса- конкааугментоване зарубљене коцке ..................................................................................... 163 ПОПИС ТАБЕЛА Таб. 1 - Висине темена просторног седмостраника ABCDEFG Конкавне куполе треће врсте за усвојену величину странице а = 100 ............................. 51 Таб. 2 - Параметри Конкавне антипризме друге врсте за три изабране полигоналне основе и усвојену величину странице a=1 ..................... 130 ______________________________________________________________________ XI ПОПИС ПРИЛОГА Прилог. 1 – Нумерички параметри KK IV–11 .................................................. 172 Прилог. 2 – Нумерички параметри KK IV–12 .................................................. 175 Прилог. 3 – Нумерички параметри KK IV–13 .................................................. 178 Прилог. 4 – Нумерички параметри KK IV–14 .................................................. 181 Прилог. 5 – Нумерички параметри KK IV–15 .................................................. 184 Прилог. 6 – Нумерички параметри KK IV–16 .................................................. 187 Прилог. 7 – Нумерички параметри KK IV–17 .................................................. 190 Прилог. 8 – Нумерички параметри KK IV–18 .................................................. 193 Прилог. 9 – Нумерички параметри KK IV–19 .................................................. 196 Прилог. 10 – Нумерички параметри KK IV–20 .................................................. 199 Прилог. 11 – Нумерички параметри KK IV–21 .................................................. 202 Прилог. 12 – Листинг програма за генерисање омотача KK IV-Mm креираног у софтверском пакету MATLAB на основу алгоритма из поглавља број 9.1 ............................................................................ 205 ______________________________________________________________________ XII САДРЖАЈ Попис ознака .......................................... ................................................................. I Попис слика ............................................................................................................. III Попис табела ............................................................................................................ X Попис прилога ......................................................................................................... XI 1.0 Увод ...................................................................................................................... 1 1.1 Проблем и предмет истраживањa …......................................................... 1 1.2 Циљ истраживања …………………………………………….......……… 2 1.3 Задаци истраживања ……………………………………………………... 2 1.4 Полазне хипотезе ……................................................................................ 3 1.5 Научне методе истраживања ……………………………………………. 4 1.6 Приказ резултата по поглављима …......................................................… 5 2.0 Полиедарске структуре – преглед досадашњих истраживања ............... 16 2.1 Примарни извори ...................................................................................... 16 2.2 Секундарни извори – конкавне полиедарске структуре, композитни и кластер полиедри, делтаедарске структуре ........................................... 17 2.3 Терцијарни извори – конструктивни системи и примена полиедарских структура у архитектури ......................................................................... 23 3.0 Геометријско тело – купола ........................................................................... 24 4.0 Куполе са конкавним полиедарским површима ....................................... 29 5.0 Конструктивни поступци за графичко приказивање Конкавних купола ............................................................................................................... 33 5.1 Конструкција основе ................................................................................ 33 5.2 Конструкција 2n-тоугла, концентричног и са паровима паралелних страна n-тоуглу странице а ……………...........................................…. 36 5.3 Општи принцип конструкције положаја темена Конкавних купола 37 6.0 Конкавне куполе друге врсте ........................................................................ 39 7.0 Конкавне куполе треће врсте ........................................................................ 45 8.0 Конкавне куполе четврте врсте .................................................................... 54 ______________________________________________________________________ XIII 8.1 Конструктивно – геометријско генерисање Конкавне куполе четврте врсте са петнаестоугаоном основом ...................................................... 57 8.2 Генерисање KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1CQO*2 – већа висина темена О2 .......................................................... 65 8.3 Испитивање могућности генерисања KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1CQ*O2 – већа висина темена Q ….......... 69 8.4 Испитивање могућности генерисања KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1CQ*O*2 – већа висина темена Q и О2 ..... 71 8.5 Испитивање могућности генерисања KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1C*QO2 – већа висина темена C ............... 74 8.6 Генерисање KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1C*QO*2 – већа висина темена C и О2 .................................................. 77 8.7 Генерисање KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1C*Q*O2 – већа висина темена C и Q ................................................... 82 8.8 Испитивање могућности генерисања KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1C*Q*O*2 – већа висина темена C, Q и О2 85 9.0 Метрички односи и параметри унутар Конкавних купола четврте врсте ................................................................................................... 89 9.1 Метрички односи и параметри унутар KK IV генерисане варијантом конструктивног поступка О1CQO2 ........................................................ 89 9.2 Метрички односи и параметри унутар KK IV генерисане варијантом конструктивног поступка О1CQO*2 .................................................... 102 9.3 Метрички односи и параметри унутар KK IV генерисане варијантом конструктивног поступка О1C*QO*2 ................................................... 106 9.4 Метрички односи и параметри унутар KK IV генерисане варијантом конструктивног поступка О1C*Q*O2 ................................................... 114 10.0 Општи принцип настанка Конкавних купола виших врста ............... 119 10.1 Одређивање броја страница највећег полигона основе у оквиру једне врсте Конкавних купола ....................................................................... 119 10.2 Одређивање броја темена, ивица и страна Конкавне куполе више врсте ............................................................................................. 121 ______________________________________________________________________ XIV 11.0 Конкавне антипризме друге врсте над правилном полигоналном основом ......................................................................................................... 122 12.0 Групе полиедара које настају варијацијама Конкавних купола четврте врсте ................................................................................................. 131 13.0 Могућности примене Купола са конкавним полиедарским површима у архитектури ............................................................................................... 138 13.1 Примена просторних шестостраника у архитектури ......................... 138 13.2 Повезивање геометријског и архитектонског тумачења појма куполе ..................................................................................................... 146 13.2.1 Анализа геометријских елемената у генерисању куполе као архитектонске форме .................................................................... 146 13.2.2 Формирање просторних структура комбиновањем Конкавних купола, Конкавних антипризми и Конкавних пирамида .......... 150 13.3 Анализа погодности форме Купола са конкавним полиедарским површима за примену у архитектури .................................................. 155 13.4 Могућности и погодности извођења Купола са конкавним полиедарским површима применом различитих конструктивних система .................................................................................................... 157 14.0 Архитектонски облици настали аугментацијом униформних полиедара Конкавним куполама ................................................................................... 159 15.0 Закључак ........................................................................................................ 164 Литература .............................................................................................................. 166 Прилози ................................................................................................................... 172 Биографија .............................................................................................................. 214 ______________________________________________________________________ 1 1.0 УВОД 1.1 Проблем и предмет истраживања Предмет истраживања је конструктивно геометријска обрада полиедарске форме – Конкавне куполе. Појам геометријске куполе дат је у класификацији конвексних полиедара од стране Нормана Џонсона (N.W. Johnson) [32]. Kуполa je полиедар који се састоји од два правилна полигона: n-тоугаоника и 2n-тоугаоника у паралелним равнима, повезаних наизменичним низом правилних полигона. Појам Куполе је проширен и на конкавне полиедре и уведен је појам Конкавне куполе [48]. Истраживане су Конкавне куполе које би за полазни n- тоугаоник имале полигон код којег је n≥4, а чији би омотач чинили низови једнакостраничних троуглова формирајући при томе конкавни полиедар. Начин формирања ових купола заснива се на набирању мреже која образује траку, а пресавијањем исте добија се делтаедарски омотач. Набирањем омотача који се састоји од два низа једнакостраничних троуглова настају Конкавне куполе друге врсте, које могу имати полазне полигоне од n=4 до n=10. У случају Конкавне куполе друге врсте са троугаоном основом долази до дегенерације и услед компланарности страна, ово би тело заправо постало познати Архимедов трунковани тетраедар [46]. Конкавне куполе друге врсте имају два низа једнакостраничних троуглова у мрежи омотача, тако да је, за куполе код којих број ивица основе премашује 10, неопходно увести и трећи низ. То је неопходно јер растојање између ивица n-тоугаоника, за n≥11, премашује двоструку величину висине једнакостраничног троугла који учествује у формирању омотача куполе. На тај начин, уместо Конкавних купола друге врсте, настају куполе више врсте. Врста купола диктирана је бројем редова једнакостраничних троуглова у мрежи, тј. ширином траке омотача у функцији од висине једнакостраничног троугла омотача и дистанце између n-тостраног и 2n- тостраног полигона. Предмет истраживања је постојање Конкавних купола врсте веће од два, законитости њиховог настанка, као и број представника у њима. ______________________________________________________________________ 2 Такође, предмет истраживања су основни параметри ових тела и њихово геометријско тумачење, као и повезивање геометријског и архитектонског тумачења појма куполе. 1.2 Циљ истраживања Научни циљеви истраживања у дисертацији, били су следећи: 1. Да се укаже на могућност формирања фамилије нових геометријских тела – Конкавних купола. 2. Да се дају геометријске конструкције и други графички поступци (3D моделовање) помоћу којих би било могуће графички приказати било коју куполу из посматране групе, кроз проналажење међусобних релација параметара, димензија и елемената самог тела. 3. Да се истраже инваријанте у оквиру појединих врста купола и на тај начин изврши систематизација особина и синтеза метода у описивању Конкавних купола. 4. Да се презентују нове геометријске форме и надограде досадашња сазнања из сфере конструктивно геометријске обраде структура са конкавним полиедарским површима. 5. Да се омогући визуелно сагледавање нових просторних структура применом принципа и поступака Нацртне и Рачунарске геометрије и 3D графичког дизајна. 6. Да се успостави однос између теоријских поставки и њихових решења са конкретном архитектонском струком и покаже да истраживање на посматраним полиедарским представницима има практичну примену. 1.3 Задаци истраживања На основу дефинисаних циљева научног истраживања, у докторској дисертацији остварени су следећи задаци истраживања: 1. Синтезом досадашњих знања из области теорије полиедарских структура дошло се до формирања фамилије нових геометријских тела – ______________________________________________________________________ 3 Конкавних купола, које коришћењем правилних n-тоугаоника у својој мрежи, образују затворене просторне целине, са самосвојном геометријом и метричким односима. 2. Одређене су законитости које владају унутар сваке врсте Конкавних купола као геометријске форме. 3. Научним методама које користи Нацртна геометрија, дати су графички поступци и конструкције помоћу којих је могуће нацртати сваку од обрађених купола – традиционалним прибором за цртање или применом неког од графичких софтвера. 4. Успостављена је веза између појма куполе у геометрији и у архитектури. 5. Показано је да правилности које владају међу обрађеним куполама могу бити искоришћене не само у теорији већ и у архитектонској пракси. 6. Применом одговарајућег алгоритма креиран је програм за моделовање Конкавних купола четврте врсте у софтверском пакету MATLAB чиме је омогућено сагледавање и даље истраживање нових полиедарских структура. 1.4 Полазне хипотезе У току истраживања постављене су следеће радне хипотезе, које су у раду затим и доказане: Особина сваке куполе као геометријске форме је премошћавање основа габарита ослоњених на концикличним тачкама. Те основе се могу свести на правилне полигоне. Над странама тих полигона могу се развити различите форме затворених геометријских структура, од сегмената кривих површи до полиедарских. Посматрајући већину до сада систематизованих полиедарских група, полазећи од Платонових тела, преко Архимедових до Џонсонових тела и Стјуартових тороида, примећујемо поштовање одређених критеријума који се тичу геометријских правилности уочљивих на датим полиедрима. Осим конвексности (у случају Стјуартових полиедара – квазиконвексности), јављају се ______________________________________________________________________ 4 и следеће карактеристике: једнакоивичност, правилностраност (све стране су правилни полигони), раванска симетрија, недегенерисаност тј. да се по једној ивици секу само две стране, да не постоји компланарност суседних страна, да не постоје два коинцидентна темена, сагледљивост свих страна из спољашњег простора. Класичним геометријским прибором (шестаром и лењиром) неконструктибилни полигони, такође могу учествовати као основе будућих купола, које последично морају бити куполе са конкавним полиедарским површима. Полигон или полиедар је конвексан уколико свака дуж која спаја две тачке дате фигуре лежи у потпуности унутар ње. Полигон или полиедар је конкаван уколико постоје две суседне стране између којих је (диедрални) угао већи од 180о. Постоји група полиедара, који поштују начин генерисања куполе (Џонсонових тела) с тим што изостаје критеријум конвексности и што се у омотачу ових тела појављују два или више низова једнакостраничних троуглова. Због ових особина, куполе о којима је реч, назване су Конкавне куполе оне врсте, колико ће се низова једнакостраничних троуглова појавити у омотачу. Конструктивним поступцима Нацртне геометрије, као што су, ортогоналне пројекције, коса пројекција, трансформација, геометрија сфере, уз примену компјутерског графичког дизајна и 3D моделовања, као и неких елемената теорије кривих и површи, могуће је доћи до откривања нових, до сада неописиваних купола са полиедарском формом, а такође и до изналажења њихових димензија, метричких релација и параметара. 1.5 Научне методе истраживања За истраживање у оквиру докторске дисертације, које се односи на конструктивно геометријску обраду купола са конкавним полиедарским површима, коришћене су следеће методе истраживања: Опште методе заснивају се на поступцима елементарне геометрије, где се коришћењем познатих ставова из Еуклидске геометрије изводе закључци који ______________________________________________________________________ 5 се тичу саме геометрије обрађиваних купола, метричких релација и међусобних односа параметара унутар сваке групе купола, а такође и за извођење општих закључака. Основне посебне научне методе заснивају се на поступцима Нацртне и Рачунарске геометрије, којима се врши транспоновање и интерпретација тродимензионалног простора кроз две димензије равни цртежа. Међу овим поступцима нарочито су коришћени: ортогонално паралелно пројектовање, коса пројекција, раванска трансформација, раванска симетрија, осна ротација, као и интерсекција кривих и површи, пре свега примењено на геометрију сферне површи. Презентација појмова извршена је коришћењем геометријских конструкција и 3D моделовања, а такође и применом аналитичких и итеративних метода, исказаних путем алгоритама. Специфичне научне методе коришћене у овом раду су методе комјутерске графике, као и неки елементи проблематике конструктивних система, кроз сугестије примене истих на предложене просторне полиедарске структуре. 1.6 Приказ резултата по поглављима Поглавље 2.0: Полиедарске структуре – преглед досадашњих истраживања У уводном поглављу дат је преглед досадашњих истраживања која су битно утицала на садржај, структуру или саму полазну идеју за генерисање Купола са конкавним полиедарским површима. Коришћени извори разврстани су у примарне, секундарне и терцијарне. Примарни извори су радови др Марије Обрадовић, а пре свега њена докторска дисертација [46]. Наглашено је да се проучавање Конкавних купола виших врста надовезује на истраживање Тороидних делтаедара прве и друге врсте. Тороидни делтаедри су тела самосвојне геометрије, аналогна торусној самопресечној површи, јако блиској самододирном торусу, нису настала дискретизацијом торуса, већ настају затварањем простора унутар полиедарске ______________________________________________________________________ 6 површи добијене савијањем и склапањем равне мреже једнакостраничних троуглова око правилних полигоналних базиса. Као секундарни извори наведени су радови више аутора који се се баве геометријским генерисањем нових полиедарских структура, визуелизацијом полиедарских површи применом новопројектованих софтвера, манипулацијом призматичних и антипризматичних облика у циљу генерисања полиедарских структура, пре свега за употребу у архитектури и грађевинарству. Дати су и извори који се баве формирањем композитних полиедарских струкура умножавањем, мењањем и комбиновањем основних полиедарских облика и њиховом могућом применом. Наведени су и радови који су истраживали конвексне полиедре и полиедарске структуре, неконвексне композитнe полиедрe настале аугментацијом униформних полиедара Џонсоновим куполама или ротондама, аугментације униформних полиедара, затим кластер-полиедре односно полиедарске аранжмане, и дали класификацију структура које за омотач имају површ састављену искључиво од једнакостраничних троуглова. У терцијарне изворе разврстани су радови из области конструктивних система и примене полиедарских структура у архитектури. Поглавље 3.0: Куполе као геометријска тела Цитирана је дефиниција геометријског тела – куполе, полиедра који се састоји од два правилна полигона: n-тоугаоника и 2n-тоугаоника у паралелним равнима, повезаних наизменичним низом правилних полигона. Дефиниција обухвата свега три позната полиедра, Џонсонова (Johnson N.W.) тела J3, J4 и J5. У Џонсоновој класификацији конвексних полиедара појављује се још 19 тела са називом купола у свом имену. Та тела су настала од купола J3, J4 и J5 поступцима: жироротацијом, елонгацијом, жироелонгацијом, аугментацијом. Дат је опис поменутих купола и начин њиховог генерисања. Џонсонове куполе су конвексни полиедри. Ако би смо говорили о куполама које би биле неконвексне, долазимо до једног недовољно обрађеног простора чије откривање је започето проучавањем Тороидних делтаедара. Конструктивни поступци за изналажење свих параметара мреже Тороидних ______________________________________________________________________ 7 делтаедара друге врсте представљали су основу за истраживање Купола са конкавним полиедарским површима. Поглавље 4.0: Куполе са конкавним полиедарским површима Полазна идеја је генерисање полиедра који би за основу укључивао све правилне полигоне, а који би испуњавао услове раванске симетрије, недегенерисаности и егзактне уклопљивости страна у конвергентну структуру - која затвара целовити простор, ограничавајући тело. Трагајући за оваквим решењем, појављује се читав низ сродних полиедара, који унеколико поштују начин генерисања куполе (Џонсонових тела), с тим што изостаје критеријум конвексности и што се у омотачу ових тела појављују два или више низова једнакостраничних троуглова (уместо наизменичних квадрата и једнакостраничних троуглова као код Џонсонових купола). Због ових особина, куполе о којима ће бити реч, назване су Куполе са конкавним полиедарским површима, односно Конкавне куполе. Извршена је систематизација особина Конкавних купола. Приказан је основни начин генерисања Конкавних купола савијањем раванске мреже која се састоји од n-тостраног и 2n-тостраног полигона (основа Куполе) и траке саставњене од низова једнакостраничних троуглова (омотач Куполе). Троуглови у овој мрежи распоређени су у таквом поретку да образују шестоугаонике, међусобно спојене везним троугловима. Број ових јединичних шестоугаоника одредиће и број n основе Ω1, која ће бити један од базиса будућег полиедра. Са супротне стране мреже број ивица је двоструко већи, укључујући и додате ивице везних троуглова, тако да оне дају број 2n, који ће одредити полигон основе Ω2, другог базиса полиедра. Врста куполе диктирана је бројем низова једнакостраничних троуглова у мрежи, тј. ширином траке омотача у функцији од умношка вредности висине једнакостраничног троугла. На тај начин добијамо Конкавне куполе друге врсте (два низа једнакостраничних троуглова у мрежи омотача куполе), Конкавне куполе треће врсте (три низа једнакостраничних троуглова у мрежи омотача куполе), Конкавне куполе четврте врсте (четри низа) итд. ______________________________________________________________________ 8 Поглавље 5.0: Конструктивни поступци за графичко приказивање Конкавних купола Конструктивни поступци за графичко приказивање Конкавних купола употребом ортогоналних пројекција уз коришћење посредних пројекцијских равни приказани су у петом поглављу. Да би се стекао јаснији увид у тродимензионални изглед тела, користи се 3D модел конструисан у АutoCAD-у, којим се даје пластичнији приказ саме посматране полиедарске површи. Користе се методе и конструктивни поступци Нацртне геометрије јер је циљ показати геометријско порекло Конкавних купола, а не само њихов изглед. У конструкцији Конкавних купола полази се од основе, правилног полигона око којег се формира делтаедарски омотач Конкавне куполе. Анализира се могућност конструкције правилних полигона коришћењем класичног прибора, односно за које вредности n је проблем конструкције n-тостраног полигона решив. Основа Конкавних купола налази се у хоризонталној равни, тако да се види у правој величини у првој ортогоналној пројекцији. Делтаедарски омотач Куполе пружа се од основе Ω1 до следеће хоризонталне равни у којој лежи основа Ω2, полигон који има двоструко више страна од основе Ω1. Полигони основа виђени у првој ортогоналној пројекцији су концентрични. Центри описаних (и уписаних) кругова око ових полигона су стопљени јер се налазе на вертикалној прави, оси Куполе. Јединична ћелија омотача Конкавних купола је просторни шестостраник којег чине шест једнакостраничних троуглова груписаних око заједничког темена. Положај и висине темена Конкавних купола конструисани су пресеком вертикалних равни у којима се налазе темена тела, и сфера чији је полупречник једнак страници градивног једнакостраничног троугла. Центар сфера је у суседним теменима просторног шестостраника. Поступцима трансформације, уз познавање основних параметара правилних полигона, добијамо растојања темена Куполе од одабраних равни основа, као и висине, дијаметре и разне друге метричке односе унутар самог тела. ______________________________________________________________________ 9 Поглавље 6.0: Конкавне куполе друге врсте Конкавне куполе друге врсте за полазни n-тоугаоник имају полигон код којег је 4≤n≤10, а омотач чине низови једнакостраничних троуглова, формирајући при томе неконвексни полиедар. Начин формирања овакве куполе заснива се на набирању мреже од два низа једнакостраничних троуглова који образују траку, чијим се пресавијањем добија делтаедарски омотач. За основе чији број темена премашује n=10, мора се потражити ново решење, јер ортогонално растојање од ивица основа (n-тоугаоника и 2n-тоугаоника) премашује двоструку вредност висине једнакостраничног троугла. Јединичну ћелију Куполе чини просторни шестостраник ABCDEFG сачињен од шест једнакостраничних троуглова формираних око заједничког темена, означеног као G. Постављени су полазни услови које овакав просторни хексаедар мора да испуњава, како би радијалним низањем њему идентичних ћелија око осе k (која пролази центрима основа Ω1 и Ω2 и ортогонална је на њих), могла бити затворена геометријска целина која би одговарала омотачу Конкавне куполе друге врсте. За различите полигоналне основе (4≤n≤10) просторни хексаедар ABCDEFG понаша се као механизам, чије ће тачке приликом свог кретања описивати криве. Дефинише се кретање овог механизма, уз поштовање полазних услова, односно одређује трајакторија коју описује теме Е (одн. D, због раванске симетрије) по равни δ која пролази теменом основе Ω1 и ортогонална је на ивицу АB. Конструкција положаја тачке Еn на равни δ, у зависности од претпостављеног почетног положаја централног темена Gn извршена је коришћењем пресека прамена лопти са центром у теменима просторног шестостраника ABCDEFG и вертикалних равни у којима се темена морају налазити по постављеним почетним условима. Трајакторија темена Е добија се спајањем свих итеративно добијених тачака (Е1 – Еn) у зависности од претпостављених почетних положаја централног темена (G1 – Gn). Графички добијено решење сведочи да се ради о затвореној кривој, која ће у пресеку са зрачно виђеном равни φ у којој се теме Е налази (вертикална раван основе Ω1), дати четри решења, по два са сваке стране усвојене равни основе Ω2 (дакле, за положај основе Ω1 са горње или доње стране дате ______________________________________________________________________ 10 основе Ω2), и то: два за случај удубљеног и два за случај испупченог централног темена G. Знајући висину куполе, проблем налажења осталих метричких односа и параметара постаје тривијалан, и решава се неким од класичних нацртно- геометријских поступака. Приказане су ортогоналне пројекције омотача, раванска мрежа и 3D модел Конкавне куполе друге врсте над осмоугаоном основом за случај удубљеног и испупченог централног темена G. Поглавље 7.0: Конкавне куполе треће врсте Испитивање Конкавних купола треће врсте започето је конструкцијом мреже омотача Куполе над једанаестоугаоном основом, која се састоји од троредне траке једнакостраничних троуглова, као и основних полигона: једанаестоугаоника и њему паралелног двадесетдвоугаоника. Приказана је јединична ћелија ABCDEFGО која учествује у грађи тела, а која је сачињена од седам једнакостраничних троуглова формираних око заједничког темена, означеног као теме О. Постављени су полазни услови како би радијалним низањем идентичних ћелија око осе k и њиховим спајањем додатним једнакостраничним троугловима у горњој и доњој зони добили затворену геометријску целину која одговара омотачу Конкавне куполе над једанаестоугаоном основом. Извршена је конструкција висина темена седмостраника ABCDEFGО за усвојени положај темена О коришћењем пресека лопти (са центром у теменима седмостраника ABCDEFGО полупречника једнаког страници а градивног једнакостраничног троугла) и вертикалних равни у којима се темена морају налазити по постављеним почетним условима. Поступак је више пута поновљен, да би се добила апроксимација трајакторије темена Е у зависности од положаја првобитно усвојеног темена О. Постављен је гранични услов – интервал у коме се мора налазити теме О да би конструкција довела до решења, односно да би јединична ћелија ABCDEFGО затворила простор омеђен основама Куполе. Пресеком трајекторије темена Е и вертикалне равни υ, на којој се очекује тражени положај темена Е, добијамо коначни положај и висину темена Е. Ретроградним конструктивним корацима, налазимо преостала темена O, C, D, E, F и G. ______________________________________________________________________ 11 Конкавне куполе треће врсте за премошћавање основа n>10, постоје само за један случај, n=11. Могу се генерисати и са мањим базисима, али за n≤10 већ постоје Конкавне куполе друге врсте. Закључено је, самим тим, као и због чињенице да у структури Конкавних купола треће врсте учествују просторни седмостраници, а не шестостраници, да Конкавне куполе треће врсте не чине фамилију полиедара, већ су издвојен случај. Приказане су конструкције генерисања трајакторије темена Е, ортогоналне пројекције омотача, раванска мрежа и 3D модел Конкавне куполе треће врсте. Поглавље 8.0: Конкавне куполе четврте врсте Конкавне куполе четврте врсте настају набирањем четвороструке траке једнакостраничних троуглова. Јединична ћелија која радијалним низањем око осе тела формира делатедарски омотач Куполе, састављена је од два просторна шестостраника ABCDEFO1 и DGHKLEO2. Просторни шестостраник ABCDEFО1 учествује у грађи доњег појаса куполе, ближе ободном 2n-тоугаонику. Сачињен је од шест једнакостраничних троуглова формираних око заједничког темена, означеног као теме О1. На јединичну ћелију доњег појаса, просторни шестостраник ABCDEFО1, наставља се шестостраник EDGHKLО2, а чине га такође шест једнакостраничних троуглова формираних око заједничког темена, означеног као теме О2. Постављени су почетни услови како би се радијалним низањем идентичних ћелија око осе k и њиховим спајањем додатним једнакостраничним троугловима у доњој зони, добила затворена геометријска целина. У зони горњег појаса идентичне ћелије делтаедарског омотача куполе спојене су просторним четворостраником, којег чине четири једнакостранична троугла груписана око заједничког темена Q. Конструктивно геометријско генерисање Куполе четврте врсте извршено је на примеру куполе над петнаестоугаоном основом. За усвојени почетни положај темена О1, пресеком лопти (са центром у теменима шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2, полупречника једнаког страници а градивног једнакостраничног троугла) и вертикалних равни у којима се темена морају налазити по постављеним почетним условима, одређен је положај свих ______________________________________________________________________ 12 темена. Понављањем конструктивног поступка добија се апроксимација трајакторије темена H у зависности од положаја првобитно усвојеног темена О1. Пресеком трајекторије темена H и вертикалне равни υ, добија се жељени положај и очитава висина темена H. Вертикална раван υ је условљена диктираним положајем тачке H као темена усвојеног полигона основе Куполе. Са познатим положајем темена H, ретроградним конструктивним корацима, налазимо преостала темена посматраних просторних јединичних склопова. У датом поступку за графичко одређивање темена просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 добијамо по два решења за положај темена C, Q и О2. За унапред одабрану висину темена О1 можемо изабрати једну од укупно осам могућих конструкција. Приказане су све конструкције и доказано је да четири као резултат формирају Конкавну куполу четврте врсте. Закључак је да се над истом полигоналном основом могу формирати четири Конкавне куполе четврте врсте: 1) са испупченим теменом О1 а удубљеним О2 (варијанта конструктивног поступка са изабраним мањим висинама за темена C, Q и О2); 2) са испупченим теменима О1 и О2 (варијанта конструктивног поступка са изабраном већом висином темена O2); 3) са удубљеним теменом О1 а испупченим О2 (варијанта конструктивног поступка са изабраним већим висинама за темена C и О2); 4) са удубљеним теменима О1 и О2 (варијанта конструктивног поступка са изабраним већим висинама за темена C и Q). Приказане су конструкције генерисања трајакторије темена Н, ортогоналне пројекције омотача, раванска мрежа и 3D модел за све четри могуће Конкавне куполе четврте врсте над петнаестоугаоном основом. Поглавље 9.0: Метрички односи и параметри унутар Конкавних купола четврте врсте Приликом генерисања Купола са конкавним полиедарским површима суочавамо се са геометријским и математичким неодређеностима које у многоме чине недоступним постављање употребљиве једначине која би својим решењима дала егзактне одговоре за изналажење метричких односа и параметара унутар Купола. Зато се приступило итеративним поступцима, који су, уз примену одговарајућег софтвера, дали резултате са високим степеном прецизности. ______________________________________________________________________ 13 Да би била могућа примена оваквих итеративних поступака у раду је дат одговарајући алгоритам за изналажење параметара Конкавних купола четврте врсте, а добијене нумеричке вредности параметара на основу алгоритма презентоване су у прилогу рада. Постављени алгоритам представља основу за креирање програма у софтверском пакету MATLAB за генерисање омотача Конкавних купола четврте врсте за све четири варијанте конструктивног поступка. Поглавље 10.0: Општи принципи настанка Конкавних купола виших врста Врста Конкавних купола диктирана је бројем редова једнакостраничних троуглова у мрежи, тј. ширином траке омотача у функцији од висине једнакостраничног троугла омотача и дистанце између n-тостраног и 2n-тостраног полигона. У раду је дата формула за израчунавање броја страница највећег могућег полигона основе за сваку врсту купола, а самим тим и одређивање броја представника сваке врсте. Применом дате формуле изведен је закључак да за сваку врсту можемо формирати Конкавне куполе (са парним бројем низова једнакостраничних троуглова у омотачу) над 11 различитих полигоналних основа а да се притом не преклапају са Куполама ниже врсте. Једини изузетак су Конкавне куполе друге врсте јер оне за полазни n-тоугаоник имају полигон код којег је 4≤n≤10. Дате су и формуле за директно изналажење броја темена, ивица и страна произвољне Конкавне куполе више врсте над n-тостраном полигоналном основом. Поглавље 11.0: Конкавне антипризме друге врсте над правилном полигоналном основом Конкавна антипризма друге врсте је полиедар чија се мрежа састоји од дворедне траке једнакостраничних троуглова а основа је било који правилни полигон. Савијањем и спајањем одговарајућих ивица добија се затворени, прстенасти фрагмент полиедарске површи, која се састоји од просторних шестостраних ћелија. Број јединичних ћелија, просторних шестостраника, одређен је бројем ивица основе. Просторни шестостраник чине шест ______________________________________________________________________ 14 једнакостраничних троуглова груписаних око заједничког темена G. Основа око које се формира конкавна антипризма друге врсте може бити било који правилни полигон. Над истом полигоналном основом формирају се две конкавне антипризме друге врсте, са унутрашњим или са спољашњим теменом G просторног шестостраника ABCDEFG. Постављени су полазни услови које овакав просторни хексаедар мора да испуњава. Конструкција положаја и висине темена просторног шестостраника ABCDEFG своди се на одређивање висине и положаја темена C (странице AB и DE налазе се у истој вертикалној равни, а CG и FG у истој хоризонталној равни). Трајакторија темена C за унапред изабран положај централног темена G добија се као пресек сфере и површи IV реда – Боемске куполе (Bohemian Dome). Пресек трајакторије темена C и вертикалне равни β у којој се теме C мора налазити по постављеним почетним условима добија се тражени положај темена C и G а самим тим и висина Конкавне антипризме друге врсте. Вертикална раван β два пута сече трајакторију што значи да за исту полигоналну основу добијамо две Конкавне антипризме: са унутрашњим и спољашњим теменом G. Приказане су ортогоналне пројекције и 3D модел Конкавне антипризме над десетоугаоном основом као и 3D модел генерисања трајакторије темена C. Осим Конструктивно-геометријског метода у решавању проблема налажења положаја и висине темена, приступило се и аналитичким методама. Постављањем одговарајућег алгоритма и применом итеративних нумеричких поступака добиле су се вредности тражених параметара Конкавне антипризме друге врсте. Поглавље 12.0: Групе полиедара које настају варијацијама Конкавних купола четврте врсте. Поштујући принципе објављених класификација конвексних полиедара приступило се анализи начина груписања полиедара који настају варијацијама Конкавних купола четврте врсте. Објашњен је поступак генерисања отобикуполе, жиробикуполе, елонгиране ортобикуполе, елонгиране жиробикуполе, жироелонгиране бикуполе типа А, жироелонгиране бикуполе типа Б, конкаелонгиране ортобикуполе типа А, конкаелонгиране жиробикуполе типа А, ______________________________________________________________________ 15 конкаелонгиране ортобикуполе типа Б, конкаелонгиране жиробикуполе типа Б. За наведене бикуполе приказани су 3D модели за све четири варијанте конструктивног поступка генерисања Конкавне куполе четврте врсте над истом полигоналном основом. Поглавље 13.0: Могућности примене Купола са конкавним полиедарским површима у архитектури Извршена је анализа примене просторних конкавних шестостраника, основне јединичне ћелије Конкавних купола, у досадашњој архитектонској пракси. Затим су разматране конкавне куполе као просторне структуре, при чему је указано на неке специфичности које их чине погодним за примену у архитектури. Посебна пажња је усмерена на формирање Купола са конкавним полиедарским површима комбиновањем више различитих врста Конкавних купола, Конкавних антипризми и Конкавних пирамида са циљем повезивања геометријског и архитектонског тумачења појма куполе. Предложене структуре приказане су ортогоналним пројекцијама и 3D моделима. Након извршене анализе погодности форме Конкавних купола за примену у архитектури дат је и предлог извођења Купола са конкавним полиедарским површима применом различитих конструктивних система. Поглавље 14.0: Архитектонски облици настали аугментацијом униформних полиедара Конкавним куполама Приказано је генерисање композитног полиедра насталог аугментацијом Архимедовог тела – Зарубљене коцке Конкавним куполама друге врсте над квадратном основом. На тај начин је добијена површ композитног полиедра која је састављена искључиво од једнакостраничних троуглова (са изузетком квадратних базиса куполе). Аугментацијом свих шест страна Зарубљене коцке настаје сложени композитни полиедар Хекса–конкаугментована зарубљена коцка, која је даље искоришћена за формирање кластера и полиедарских конгломерата. Додавањем, одузимањем или сечењем одређених делова ове структуре могу се добити најразличитији облици, интересантни за могућа разматрања примене у архитектонској пракси. ______________________________________________________________________ 16 2.0 ПОЛИЕДАРСКЕ СТРУКТУРЕ – ПРЕГЛЕД ДОСАДАШЊИХ ИСТРАЖИВАЊА Примена полиедарских структура присутна је у многим научним дисциплинама, али њихова употреба у архитектури и грађевинарству, у последње време, представља прави изазов како за математичаре тако и за инжењере – истраживаче. У овом уводном поглављу дат је преглед досадашњих истраживања која су битно утицала на садржај, структуру или саму полазну идеју за генерисање Купола са конкавним полиедарским површима. 2.1 Примарни извори Др Марија Обрадовић у својим радовима [47], [48], [49], [50], [51], [52], [53] и у докторској дисертацији “Konstruktivno geometrijska obrada toroidnih deltaedara sa pravilnom poligonalnom osnovom” [46] проучава Тороидне делтаедре са правилном полигоналном основом и Конкавне куполе друге врсте. Тороидни делтаедри чине полиедарску групу чији је омотач састављен од правилних полигона – једнакостраничних троуглова. Свако од ових тела има три карактеристична полигона у паралелним равнима, а то су две идентичне n- тостране основе и ободни полигон са бројем темена двоструко већим од броја темена основе. Сва посматрана тела затварају прстенаст тороидни простор, али са генусом једнаким нули, слично самододирном торусу. Тороидни делтаедри прве врсте настају аугментацијом омотача, а инкавацијом базиса Џонсонових купола. Тако настају тела тороидне форме, са двоструком централном тачком на оси тела. Она су аналогна самопресечном торусу, при чему нису настала дискретизацијом торуса. Тороидни делтаедри друге врсте су тела самосвојне геометрије. Ови полиедри не могу настати аугментацијом нити једног од познатих конвексних полиедара из наведених ______________________________________________________________________ 17 полиедарских група, самим тим што укључују и полигоне као што су хептагон и нонагон. a) б) Сл. 1 – Коса пројекција Тороидног делтаедара друге врсте над осмоугаоном основом: а) цело тело б) језгро, [46], сл. 166, стр.287 Омотач Конкавних купола друге врсте је половина спољашњег омотача Тороидних делтаедара, без унутрашњег језгра. Ове Конкавне куполе настају затварањем простора унутар полиедарске површи добијене савијањем и склапањем равне мреже једнакостраничних троуглова, формираних у два реда, око правилних полигоналних базиса. Настављају низ започет Конкавним куполама прве врсте, дајући решења и за полигоналне базисе n=6, n=7, n=8, n=9 и n=10. Настављање овог низа Конкавним куполама виших врста јесте тема овог рада. 2.2 Секундарни извори – конкавне полиедарске структуре, композитни и кластер полиедри, делтаедарске структуре У својим радовима [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], др Питер Хуиберс (Pieter Huybers) бавио се геометријским генерисањем нових полиедарских структура, њиховом могућом применом у инжењерској пракси, као и визуелизацијом полиедарских површи применом новопројектованих софтвера. Издваја се његов допринос на проучавању геометрије и софтверског формирања ______________________________________________________________________ 18 регуларних и полурегуларних полиедара и њихових дуала. Он проучава и полиедарске структуре чија се геометрија заснива на призми и антипризми. Заједничка особина ових полиедарских структура је да имају по два идентична паралелна, правилна полигона повезана затвореним прстеном квадрата или троуглова. Показао је да ове групе формирају бескрајне редове, пошто међусобно паралелни полигони могу имати било који број страна. Сл. 2 – Кружне трансформације антипризматичних структура [22] сл.13, стр.18 Наједноставнији структурни облици су призматични облици. Од свих полиедарских група, најједноставније се међусобно уклапају, због паралелности ивица и ортогоналности истих на базис. Омогућавају формирање структура у много варијанти. Структуре могу бити са правилним или деформисаним призмама, делови могу бити повезани у групе или послужити као елементи просторних оквира. Антипризматичне полиедарске структуре геометрија користи као основу за структурне апликације, у више или мање прилагођеном облику, чији спољашњи омотач поприма облик испресавијане (набране) цилиндричне површи. Посебан акценат је дат на манипулацији призматичних и антипризматичних облика у циљу генерисања структура пре свега за употребу у архитектури и ______________________________________________________________________ 19 грађевинарству. Тонон (Tonon O.L.) у свом раду [66] описује методе за измену општег облика антипризматичних површи а у раду [22] Питер Хуиберс акценат даје на кружне трансформације антипризматичних површи и пројекције антипризматичних површи на сферу (Сл. 2). Друга област интересовања др Питера Хуиберса је формирање композитних полиедарских струкура умножавањем, мењањем и комбиновањем основних полиедарских облика (регуларних и полурегуларних полиедара, њихових дуала, призми и антипризми). Свој рад Хуиберс базира на примени софтвера без детаљније геометријске анализе елемената структуре. Примењени алати за измену елемената структуре су: ротација око x,y,z-осе; транслација дуж x,y,z-осе; додатна ротација целине око x,y,z-осе; транслација целине дуж x,y,z-осе; увећање или компресија. Један од примењених образаца за формирање сложених полиедарских структура је и принцип „густог паковања“ (close pacк). Полиедри се пакују у различитим комбинацијама како би попунили простор у потпуности. Пример „густог паковања“ октаедара, кубоктаедара и зарубљених тетраедара, публикован је у раду [36]. За испитивање структурних перформанси предложене структуре аутори Марков и Габријел (Markov I.J., Gabriel J.F.) користили су тродимензионални компјутерски модел. Формирање композитних полиедарских струкура умножавањем, мењањем и комбиновањем основних полиедарских облика и њиховом могућом применом у пројектовању архитектонских облика публиковано је и у радовима [3], [7], [8], [9], [10], [34], [36], [59]. Конвексни полиедри и полиедарске структуре (Платонова и Архимедова тела, фамилија призми и антипризми, Џонсонова тела и варијације Џонсонових тела) су већ испитани [2], [4], [11], [12], [13], [14], [32], [57], [63], [67], [69]. У раду који следи разматрани су, уз остало, и сложени полиедри, настали комбинацијом Конкавних купола и других правилностраних конвексних тела, пре свега Архимедових уноформних полиедара. Да би се разјаснио појам сложеног полиедра, треба поменути да се неке дефиниције разликују у зависности од тога да ли је наведена проблематика била посматрана са математичке или са ______________________________________________________________________ 20 инжењерске стране. Математичари, као што је и Алексеј Викторович Тимофенко (Timofeenko A. V.) [62], [64], [65], строжи су у дефиницијама, између осталог и због усаглашавања теорија група, дискретне геометрије и топологије, док инжењери теорију прилагођавају практичним потребама, па самим тим и терминологију. Тимофенко у раду [63] објављује коначну листу свих конвексних правилних полиедара, и даје дефиницију композитних полиедара: Ако конвексни полиедар са правилним странама може бити подељен неком равни на два правилнострана полиедра, онда се за њега каже да је композитан. Из претходне дефиниције јасно је да се она односи само на конвексне полиедре, а Хуиберс [23], [24], и Емерих (David Georges Emmerich) [6] композитним полиедром називају и неконвексне полиедре који настају аугментацијом униформних полиедара Џонсоновим куполама или ротондама [32]. У даљем току овог рада следиће се дефиниција Хуиберса и Емериха. У радовима [32], [67], [69], обрађена је аугментација униформних полиедара са једним или више облика. Надоградња полиедра извршена је додавањем пирамида (P1, J1, J2), купола (J3, J4, J5) или пентагоналне ротонде (J6). Полиедарске структуре које настају на аналоган начин као и композитни полиедри, спајањем конгруентних страна, Харт (Hart G.W.) назива: кластер-полиедрима, густим паковањима (close-packs) или полиедарским аранжманима [15], [17], [18], [19]. Основна идеја је да се узме било који полиедар као база и његовим реплицирањем на теменима замишљеног већег полиедра формира се кластер, затим се може направити кластер кластера итд. Програм за генерисање фракталних форми кластера полиедара Харт је објавио у раду [16]. Класификацију структура које за омотач имају површ састављену искључиво од једнакостраничних троуглова урадио је Ален Лобел (Alain Lobel) у свом раду [35]. Обрађене структуре, Лобелови рамови (Lobel Frames) како их је сам назвао, разврстане су у девет група C3, C6, CSM, CUB, TRA, 3P, PNT, POT и HGR. ______________________________________________________________________ 21 Заједничко за све обрађене структуре је да представљају двоструко закривљене површи састављене од јединственог модула – једнакостраничног троугла. Диедрални угао површи усмерен је ка унутра или споља, структуре су конвексне (већи број приказаних) или конкавне. Не постоје два суседна штапа (ивице површи тј. странице једнакостраничног троугла) који представљају међусобну екстензију. Моделовање површи је извршено уз помоћ софтвера. Групе C3, C6 су отворене форме, цела структура се ослања на тачкасте (независне) носаче – карактеристична темена саме структуре. Преосталих седам група чине искључиво конвексне структуре које у потпуности затварају простор. Група C3 се даље дели на подгрупе RIVH и RIVF, а критеријум разврставања је да ли се штапови структуре пројектују на истом правцу у првој (RIVH) или другој ортогоналној пројекцији (RIVF). У оба случају стварни углови пројектованих штапова (ивица) варирају, те се тиме добијају различите форме (илустоване на Сл. 3) Сл. 3 – Лобелови рамови - карактеристични представници групе C3 [35] Група C6 се дели на подгрупе PLIO (конкавне структуре) и PLIN (конвексне), на RAYH и RAYF (критеријум поделе је да ли се радијус угла површи очитава у првој (RАYH) или другој ортогоналној пројекцији (RAYF), и као код групе C3 на подгрупе RIVH и RIVF. Карактеристични представници групе приказани су на Сл. 4. Лобелови рамови су структуре са делтаедарским омотачем, могу се развијати над полигоналним основама и могу се искористити ______________________________________________________________________ 22 као архитектонске куполе, што су заједничке особине са Куполама са конкавним полиедарским површима које су тема овог рада. Сл. 4 – Лобелови рамови - карактеристични представници групе C6 [35] ______________________________________________________________________ 23 2.3 Терцијарни извори - конструктивни системи и примена полиедарских структура у архитектури Др Миодраг Несторовић је у својим радовима [43], [45], а посебно у [42] приказао широки распон конструктивних система који још нису довољно заступљени у Србији и окружењу, упркос њиховој привлачности у савременој архитектури, у облику просторних трансформација, материјализације и технологије. Сл. 5 – Основни типови мреже генерисани пирамидом над квадратном основом [42] сл.13, стр.125 Основне особине свих анализираних просторних структура леже у њиховом геометријском облику (Архимедовим и Платоновим полиедрима, полиедарским структурама), који примењују правилност, симетрију, брзину монтаже и модуларност оригиналних матрица. Приказана решења и анализе баве се мултифункционалним просторним матрицама, које свој потенцијал чине веома важним и у архитектонском пројекту и у теорији конструкција. Разматра се развој полиедарских структура у контексту архитектонских облика и наглашава значај геометрије конструкција и њене могуће примене што је један од циљева истраживања и овог рада. ______________________________________________________________________ 24 3.0 ГЕОМЕТРИЈСКО ТЕЛО - КУПОЛА Када говоримо о куполама као геометријским телима треба знати да: - купола представља тело које за основу има правилан полигон, а које појасом троуглова и квадрата бива спојен са другом основом која је полигон са дупло већим бројем темена. - ротунда је тело које за основу такође има правилан полигон, који је појасом петоугаоника и троуглова спојен са другом основом - полигоном са дупло већим бројем темена. Под појмом куполе подразумева се полиедар који се састоји од два правилна полигона: n-тоугаоника и 2n-тоугаоника у паралелним равнима, повезаних наизменичним низом правилних полигона [32]. Ако би се односила искључиво на конвексна тела, дефиниција обухвата свега три позната полиедра, Џонсонова (N.W. Johnson) тела J3, J4 и J5, приказана на Сл. 6-8, код којих су правилни полигони у паралелним равнима (n-тоугаоник и 2n-тоугаоник) повезани наизменичним низом квадрата и једнакостраничних троуглова. Код Триангуларне куполе, (Џонсонова тело J3), у паралелним равнима су троугао и шестоугао, код Квадратне куполе (J4) квадрат и осмоугао, а код Пентагоналне куполе (J5) петоугао и десетоугао. У овом случају n- тоугаоници су од n=3 до n=5, при чему се дакле не одмиче од Декартовог принципа о дефициту угла за конвексна тела и геометрије Архимедових тела чији су ово фрагменти: J3 је половина Кубоктаедра (U7), J4 део Малог ромбикубоктаедра (U10), а J5 део Малог ромбикосидодекаедра (U27). У Џонсоновој класификацији конвексних полиедара [32] појављујe се још 19 тела са називом купола у свом имену. Та тела су настала варијацијама купола J3, J4 и J5, поступцима: жироротацијом, елонгацијом , жироелонгацијом и аугментацијом. ______________________________________________________________________ 25 Сл. 6 – Ортогоналне пројекције и 3D модел Триангуларне куполе (Ј3) Сл. 7 – Ортогоналне пројекције и 3D модел Квадратне куполе (Ј4) Сл. 8 – Ортогоналне пројекције и 3D модел Пентагоналне куполе (Ј5) Мрежа: 4 троугла Ивица : 15 3 квадрата Темена: 9 1 шестоугао Мрежа: 4 троугла Ивица : 20 5 квадрата Темена: 12 1 осмоугао Мрежа: 5 троугла Ивица : 20 5 квадрата Темена: 15 1 десетоугао 1 петоугао ______________________________________________________________________ 26 Елонгирана триангуларна купола (Ј18), елонгирана квадратна купола (Ј19) и елонгирана пентагонална купола (Ј20) настале су издуживањем купола Ј3, Ј4 и Ј5 појасом квадрата. Жироелонгирана триангуларна купола (Ј22), жироелонгирана квадратна купола (Ј23) и жироелонгирана пентагонална купола (Ј24) настале су издуживањем купола Ј3, Ј4 и Ј5 појасом једнакостраничних троуглова. Сл. 9 – Елонгирана квадратна купола (Ј19) и жироелонгирана квадратна купола (Ј23) Триангуларна ортобикупола (Ј27), квадратна ортобикупола (Ј28) и пентагонална ортобикупола (Ј30) настале су спајањем две куполе по заједничком шестоугаоном, осмоугаоном односно десетоугаоном базису. Квадратна жиробикупола (Ј29) настаје ротацијом једне од купола за угао 8 pi α = , пентагонална жиробикупола (Ј31) настаје ротацијом једне од купола за угао 10 pi α = . Оса ротације је ортогонална на раван основе и заједничког полигона.1 Сл. 10 – Квадратна ортобикупола (Ј28) и квадратна жиробикупола (Ј29) 1 Триангуларна жиробикупола је Архимедово тело – Кубоктаедар (U7). ______________________________________________________________________ 27 Елонгирана триангуларна ортобикупола (Ј35) и елонгирана пентагонална ортобикупола (Ј38) настају додавањем појаса квадрата између две куполе, тј. издуживањем триангуларне ортобикуполе (Ј27) односно пентагоналне ортобикуполе (Ј30).2 Елонгирана триангуларна жиробикупола (Ј36), елонгирана квадратна жиробикупола (Ј37) и елонгирана пентагонална жиробикупола (Ј39) настају додавањем појаса квадрата између две куполе у саставу одговарајућих жиробикупола. Сл. 11 – Елонгирана квадратна жиробикупола (Ј37) и жироелонгирана квадратна бикупола (Ј45) Жироелонгирана триангуларна бикупола (Ј44), жироелонгирана квадратна бикупола (Ј45) и жироелонгирана пентагонална бикупола (Ј46) настају додавањем појаса једнакостраничних троуглова између две куполе, тј. издуживањем триангуларне ортобикуполе (Ј27), квадратне ортобикуполе (Ј28) односно пентагоналне ортобикуполе (Ј30). При том једна од купола мора бити заротирана за угао n2 pi α = . Џонсонове куполе су конвексни полиедри. Конвексни полиедри су они чије стране припадају равнима које не секу унутрашњост самог тела, тако да истовремено формирају тело којем је свако теме испупчено ка спољашњем простору. У радовима [48], [49], [50], дошло се до захтева за увођењем нових термина који би обухватали и неконвексне куполе. При том, под појмом неконвексне убрајамо конкавне и квазиконкавне структуре. Конкавне структуре 2 Елонгирана квадратна ортобикупола је Архимедово тело – Ромбикубоктаедар (U10). ______________________________________________________________________ 28 недвосмислено поштују дефиницију: полигон или полиедар је конкаван уколико постоје две суседне стране између којих је (диедрални) угао већи од 180о, гледано из унутрашњег простора. Квазиконкавне структуре у своју геометрију укључују звездасте полигоне, чије ивице заправо заклапају угао мањи од pi, гледано из унутрашњег простора. У до сада познатим систематизацијама, као полиедар са геометријском структуром и законитостима најсроднијим куполи, појављује се куплоид, који за полигоне основа има управо звездасте, неконвексне полигоне (пентаграм, хексаграм...), тако да привидна конкавност његових страна настаје као последица њихове интерсекције. Међутим, у конкретном случају којим се овај рад бави, не ради се о таквој врсти тела, већ о конкавним телима код којих не постоји интерсекција страна мимо ивица посматраног тела, а чији су елементарни полигони, који учествују у грађи самог тела, правилни и конвексни. У докторској дисертацији [46] и раду [48] уводи се појам Конкавне куполе друге врсте, разматрајући могућност генерисања полиедра коришћењем половине мреже Тороидног делтаедра друге врсте. „...Спајањем две овакве куполе, могли би смо добити ортобикуполу или жиробикуполу. Ове бикуполе, поново, без база које не би биле једнакостранични троуглови, представљале би спољашњи омотач тороидног делтаедра друге врсте.“ [46]. Приказан је и конструктивни поступак за изналажење свих параметара мреже Тороидних делтаедара друге врсте што је представљало основу за истраживање Купола са конкавним полиедарским површима. ______________________________________________________________________ 29 4.0 КУПОЛЕ СА КОНКАВНИМ ПОЛИЕДАРСКИМ ПОВРШИМА У до сада публикованој класификацији конвексних полиедара запажамо доследност у поштовању одређених геометријских правилности уочљивих на датим полиедрима. Заједничке геометријске карактеристике су: стране су правилни полигони, ивице међусобно једнаке, присутна је раванска симетрија, по једној ивици секу се само две стране тела, не постоји компланарност суседних страна, не постоје два коинцидентна темена, и све стране су сагледљиве из спољашњег простора. Анализирајући полиедре из до сада систематизованих полиедарских група (Платонова, Архимедова и Џонсонова тела) у радовима [46] и [48], уочава се чињеница да у њиховој геометрији не учествују полигони као што су седмоугао (хептагон) или деветоугао (нонагон). Разлог њихове ексклузивности је у томе што се дати полигони не могу конструисати класичним прибором, с обзиром на нерешивост проблема трисекције угла. Употребом савремених графичких софтвера проблем конструкције седмоугла и деветоугла постаје занемарљив, па се поставља питање генерисања фамилије полиедара који би укључивали све правине полигоне без изузетака. Полиедри из новоформиране фамилије морали би да поштују све горе наведене заједничке геометријске карактеристике полиедара. „Трагајући за оваквим решењем, појављује се читав низ сродних полиедара, који унеколико поштују начин генерисања купола (Џонсонових тела), с тим што изостаје критеријум конвексности и што се у омотачу ових тела појављују два или више низа једнакостраничних троуглова (уместо наизменичних квадрата и једнакостраничних троуглова). Због ових особина, куполе о којима ће бити реч, назване су Конкавне куполе“ [48]. Пре свега извршимо систематизацију особина Конкавних купола: 1. Конкавна купола је полиедар; 2. Омотач куполе је делтаедарска површ; ______________________________________________________________________ 30 3. По свакој ивици Куполе секу се (састају) две стране; 4. Стране Куполе не могу се међусобно продирати нити сећи, осим по ивицама; 5. Ивице се не секу међусобно, осим у теменима; 6. Равни којима припадају стране Куполе могу пролазити и унутрашњим простором – Купола је конкавна полиедарска површ; 7. Купола је формирана над правилним полигоналним основама Ω1 и Ω1; 8. Основа Ω1 је полазни n-тострани правилни полигон око којег се формира делтаедарски омотач Конкавне куполе; 9. Основа Ω2 је 2n-тострани правилни полигон, има два пута више темена од основе Ω1; 10. Основа Ω1 и основа Ω2 леже у паралелним равнима; 11. Купола има осу која је ортогонална на равни основа Ω1 и Ω2 ; 12. Свака страна је сагледљива из спољашњег простора – не постоје унутрашње стране; 13. Купола не може имати две суседне компланарне стране. Сл. 12 – Изглед мреже омотача Конкавнe куполe друге врсте ______________________________________________________________________ 31 На Сл. 12 дат је изглед мреже омотача Конкавне куполе друге врсте, која се састоји од дворедне траке једнакостраничних троуглова, образоване тако да се савијањем и лепљењем одговарајућих ивица мреже може добити затворени, прстенасти фрагмент полиедарске површи (Сл. 13). Троуглови у овој мрежи распоређени у таквом поретку да образују просторне шестостранике, међусобно спојене везним троугловима. Број ових јединичних ћелија биће одређен бројем n страна полигона основе Ω1, која ће бити један од базиса будућег полиедра. Са супротне стране мреже број ивица је двоструко већи, укључујући и додате ивице везних троуглова, тако да оне дају број 2n, број страна полигона основе Ω2, другог базиса полиедра. Да би смо могли да савијемо и склопимо овакву мрежу, а знајући да је шест једнакостраничних троуглова образованих око заједничког темена немогуће склопити у конвексну полиедарску темену фигуру (јер је дефицит угла у оваквом склопу једнак нули), долазимо до закључка да ће формирани фрагмент полиедарске површи из дате мреже – обавезно бити конкаван, тј. да ће овакав омотач имати темена која су удубљена унутар самог будућег тела. Једнакоивичност овакве структуре омогућава да се дати фрагмент може допунити правилним полигонима Ω1 и Ω2, чиме се затвара унутрашњи простор овакве полиедарске површи, а сама на овај начин формирана структура (која се може схватити и као површ која ограничава тело) поприма геометрију која следи морфолошку логику Џонсонових купола Ј3, Ј4 и Ј5, па је из овог разлога названа: Конкавна купола друге врсте [48]. Конкавне куполе друге врсте за полазни n- тоугаоник имају полигон код којег је 4≤n≤10, а омотач чине низови једнакостраничних троуглова, формирајући при томе конкавни полиедар. За основе чији број темена премашује n=10, мора се потражити ново решење, јер ортогонално растојање од ивица основа (n-тоугаоника и 2n-тоугаоника) премашује вредност двоструке висине једнакостраничног троугла. За формирање мреже омотача куполе над једанаестоугаоном основом, морамо увести још један низ једнакостраничних троуглова у мрежу омотача, за разлику од омотача Конкавних купола друге врсте. Тако добијамо мрежу омотача који се састоји од три реда једнакостраничних троуглова, па уводимо појам: Конкавне куполе треће врсте. Врста куполе диктирана је бројем редова ______________________________________________________________________ 32 једнакостраничних троуглова у мрежи, тј. ширином траке омотача у функцији од умношка вредности висине једнакостраничног троугла. а) б) Сл. 13 – Конкавна купола друге врсте са осмоугаоном основом: а) KK II-8m б) KK II-8М Ако изоловано посматрамо просторни шестостраник, јединичну ћелију у саству мреже било које Конкавне куполе (друге, четврте или виших врста) уочавамо да средишње, заједничко теме једнакостраничних троуглова у саставу просторног шестостраника може бити испупчено или удубљено (гледано из спољашњег простора). На тај начин и цео посматрани појас, дворедни низ једнакостраничних троуглова (код Конкавних купола друге врсте то је и цео омотач, а код Конкавних купола виших врста само фрагмент омотача) може имати мању висину (испупчено средишње теме просторног шестостраника), или већу висину (удубљено теме просторног шестостраника). На примеру Конкавних купола друге врсте (Сл. 13), куполу са осмоугаоном основом и мањом висином обележићемо са KK II-8m, а куполу са истом полигоналном основом и већом висином обележићемо са KK II-8М. Дати принцип обележавања усвајамо за све Конкавне куполе чији је поступак генерисања објашњен у поглављима која следе као и за Куполе са конкавним полиедарским површима које настају од њих. ______________________________________________________________________ 33 5.0 КОНСТРУКТИВНИ ПОСТУПЦИ ЗА ГРАФИЧКО ПРИКАЗИВАЊЕ КОНКАВНИХ КУПОЛА Конкавне куполе биће приказане коришћењем ортогоналних пројекција, познатих у Нацртној геометрији као „пар Монжових пројекција“, уз коришћење посредних пројекцијских равни. Такође, да би се стекао јаснији увид у тродимензионални изглед тела, користе се 3D модели тела конструисани у АutoCAD-у, којим ће се дати пластичнији приказ саме посматране полиедарске површи. Користе се методе и конструктивни поступци Нацртне геометрије јер је циљ показати геометријско порекло Конкавних купола, а не само њихов изглед. Сви параметри, односи величина, растојања, дијаметри и др. биће дати кроз одговарајуће конструкције, изводљиве класичним прибором или коришћењем графичких софтвера. Креирањем одговарајућих алгоритама и програма у софтверском пакету MATLAB извршиће се додатна контрола вредности добијених параметра и графичка презентација Конкавних купола четврте врсте. 5.1 Конструкција основе Да би се конструисала Конкавна купола најпре се мора поћи од одабране основе. Основа или база је израз којим се у геометрији обично означава страна тј. пљошт која представља ослонац, полазну, фундаменталну фигуру од које се даље креће у конструисање, генерисање или проучавање тела. Наравно, и у контексту Конкавних купола смисао се неће променити. Дакле, основа је правилни полигон који служи као полазна база око које се даље формира делтаедарски омотач. Странице полигона основе су ивице Куполе, али сама основа може бити било који правилни полигон, за разлику од троуглова који се појављују у омотачу и формирају делтаедарску површ. ______________________________________________________________________ 34 Основа је полазни правилни полигон око којег се формира делтаедарски омотач Конкавне куполе. Анализирајмо могућности конструкције правилних полигона коришћењем класичног прибора, односно за које вредности n је проблем конструкције n-тостраног полигона решив. Опште су познате конструкције за 3, 4 и 5, као и за n који би био производ ових бројева са позитивном вредношћу ма ког броја који је потенција броја 2, односно, за било које 2x, ако је x природан број. Вредности n од 3 до 20 које нису обухваћене овим правилом су 7, 9, 11, 13 и 19. Поставља се питање да ли су полигони за ове вредности n конструктибилни или нису. Гаусова теорема:3 Правилан полигон са n страница може да се конструише лењиром и шестаром ако и само ако је n=2k, k >1, или n=2kp1…ps, kP0, sP1, при чему су pi различити Фермаови прости бројеви. [54] Фермаов4 прост број је такав број за који важи: Fn= n22 +1 [5]. Ајнштајн (Albert Einstein) је доказао да постоји коначан број Фермаових бројева. Једини познати Фермаови прости бројеви су [46]: F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537 Дакле, шестаром и лењиром могуће је за 3≤n≤20 конструисати: троугао, квадрат, петоугао, шестоугао, осмоугао, десетоугао, дванаестоугао, петнаестоугао, седамнаестоугао и двадесетоугао. Испитајмо сада за које n је могуће конструисати правилне полигоне помоћу лењира, шестара и конусних пресека. У овом случају улогу Фермаових простих бројева преузимају тзв. Пјерпонтови5 прости бројеви. То су прости бројеви већи од 3 облика: 2u3v=1 3 Carl Friedrich Gauss, 1777 - 1855 4 Pierre de Fermat, 1601 – 1665 5 James Pierpont, 1866 – 1938 ______________________________________________________________________ 35 Првих двадесет је: 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593. Правилан полигон са n страница може да се конструише помоћу лењира, шестара и коника ако и само ако је n > 2 и облика n=2u3v, u,v≥0, или n=2u3vp1…ps, u,v≥0, s≥1, при чему су pi различити Пјерпонтови прости бројеви. [54] Конкавне куполе над правилном полигоналном основом која није на списку „конструктибилних“ нећемо одбацити. Чињеница да не постоји егзактна конструкција нпр. седмоугла, не потире чињеницу да седмоугао као правилан полигон постоји, па самим тим и сви остали елементи који би припадали Конкавној куполи над овом основом. Да би смо конструисали Конкавне куполе над основама које нису решиве класичним прибором, послужићемо се, у нацртногеометријској варијанти, приближним конструкцијама, док у варијанти коришћења цртачког софтера (у овом раду је коришћен АutoCAD) овај проблем не постоји. Кад говоримо о приближним конструкцијама неконструктибилних правилних полигона у току истраживања упознали смо се (а неке и користили) са читавим низом доступних и до сада публикованих конструкција [54]. За седмоугао: Архимедова конструкција седмоугла, Абул-Џудова6 конструкција, Ал- Алаива7 конструкција правилног седмоугла коришћењем хиперболе и параболе, Племељева8 конструкција, Хофманова9 конструкција седмоугла уметањем, Џонсонова10 конструкција, конструкција правилног деветоугла уметањем11, Абул- Џудова конструкција деветоугла. Приближна конструкција једанаестоугла као и било којег правилног n-тостраног полигона [58]. 6 Abul-Džud Muhamed ibn al-Leis, X-XI vek 7 Abu Sad al-Ala ibn Sahl, X-XI vek 8 Josip Plemelj, 1873-1967 9 Joseph Ehrenfried Hofmann, 1900-1973 10 David Johnson Leisk, 1906-1975 11 У арапским рукописима описана је конструкција трисекције угла и на њој заснована конструкција правилног деветоугла директним коришћењем уметања која се приписује синовима Мусе ибн Шакира (мухамеду, Ахмеди и ал-Хасану). Ова конструкција једноставна је модификација Архимедове конструкције трисекције угла. ______________________________________________________________________ 36 5.2 Конструкција 2n-тоугла, концентричног и са паровима паралелних страна n-тоуглу странице а Основа Конкавне куполе је правилан полигон, који служи као полазна база око које се даље формира делтаедар. Усвајамо да се основа (Ω1) налази у хоризонталној равни, тако да се види у правој величини у првој ортогоналној пројекцији. Претпоставимо да је дата основа горња од две, колико их има у свакој Куполи. Тада ће се бочне стране пружати од основе Ω1 до следеће хоризонталне равни у којој лежи полигон основе Ω2, који има двоструко више страна од основе Ω1. Полигони основа, виђени у првој ортогоналној пројекцији, су концентрични. Центри описаних (и уписаних) кругова око ових полигона су стопљени јер се налазе на вертикалној прави, оси Куполе. Сл. 14 – Конструкција 2n-тоугла, концентричног и са паровима паралелних страна n-тоуглу странице а Конструкција полигона од 2n, ако познајемо полигон од n страна позната је и приказана је на Сл. 14. Довољно је полупречник описаног круга око ______________________________________________________________________ 37 n-тостраног полигона пребацити на нормалу ивице из једног њеног темена. Добијена тачка М је теме новонасталог 2n-тостраног полигона, ако му је центар описаног круга заједнички са полазним, n-тостраним полигоном12. 5.3 Општи принцип конструкције положаја темена Конкавних купола Јединична ћелија омотача Конкавних купола је просторни шестостраник којег чини шест једнакостраничних троуглова груписаних око заједничког темена. Положај и висине темена Конкавних купола конструишемо пресеком вертикалних равни у којима се налазе темена, и сфера полупречника једнаког страници градивног једнакостраничног троугла. Центри сфера су у суседним теменима просторног шестостраника. На Сл. 15 приказана је ћелија Конкавне куполе четврте врсте која се састоји од два просторна шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2. Једнакостранични троуглови у шестостранику ABCDEFО1 груписани су око заједничког темена О1. У темену О1 постављамо лопту М1 полупречника једнаког страници а једнакостраничног троугла. Сва преостала темена A, B, C, D, E и F налазе се на лопти М1. Ако нам је познат положај темена C и О1, а желимо да одредимо положај темена D, конструишемо нову лопту М2 са центром у темену C. Раван β сече лопте М1 и М2 по круговима к1 и к2. Раван β је вертикална раван у којој се налази теме D. На пресеку кругова к1 и к2 налази се теме D. Пошто је у приказаном примеру на Сл. 15 раван β заједничка раван темена B и D, други пресек кругова к1 и к2 је теме B. Висина центра круга к1 једнака је висини центра лопте М1. Висина центра круга к2 једнака је висини центра лопте М2. 12 Доказ конструкције 2n-тоугла, концентричног и са паровима паралелних страна n-тоуглу странице а погледати у [46] страна 127. ______________________________________________________________________ 38 Сл. 15 – Просторни модел конструкције положаја и висине темена D просторног шестостраника ABCDEFО1 Конкавне куполе четврте врсте Поступцима трансформације, уз познавање основних параметара правилних полигона, налазимо растојања темена Конкавне куполе од одабраних равни основа и тако добијамо жељене висине, дијаметре и разне друге метричке односе унутар самог тела. Ове величине ће, затим, бити употребљене за конструкцију друге ортогоналне пројекције, 3D модела или било којег другог жељеног изгледа Конкавне куполе. ______________________________________________________________________ 39 6.0 КОНКАВНЕ КУПОЛЕ ДРУГЕ ВРСТЕ Конкавне куполе друге врсте (KK II) за полазни n-тоугаоник имају полигон код којег је 4≤n≤10, а омотач чине низови једнакостраничних троуглова, формирајући при томе конкавни полиедар.13 Већ је описан (у поглављу број 4.0) начин формирања овакве куполе, а заснива се на набирању мреже од два низа једнакостраничних троуглова који образују траку (Сл. 12), чијим се пресавијањем добија делтаедарски омотач (Сл. 16). а) б) Сл. 16 – Ортогоналне пројекције омотача Конкавне куполе друге врсте: а) KK II-8m б) KK II-8М Да би се јасније сагледала геометрија оваквог полиедра анализиран је један сегмент омотача тела који приказује јединичну ћелију ABCDEFG која 13 У случају Конкавне куполе друге врсте са троугаоном основом долази до дегенерације и услед компланарности страна, ово би тело заправо постало познати Архимедов трунковани тетраедар [46]. ______________________________________________________________________ 40 учествује у његовој грађи (Сл. 17), а која је сачињена од шест једнакостраничних троуглова формираних око заједничког темена, означеног као теме G. Радијалним низањем њему идентичних ћелија око осе k, добија се омотач Конкавне куполе друге врсте. Са циљем да се одреде параметри куполе у раду [48] су постављени претходни полазни услови које овакав просторни шестостраник мора да испуњава: Сл. 17 – Jединична ћелијa, просторни шестостраник ABCDEFG, која учествује у генерисању омотача Конкавне куполе друге врсте 1) Равни α и β одређене су осом k која спаја центроиде основа Ω1 и Ω2 и суседним теменима основе Ω1 (Е и D), тако да је угао између њих једнак 2π/n (при чему је n број темена основе Ω1). 2) Просторни шестостраник ABCDEFG је равански симетричан у односу на раван γ симетралну раван ивица AB и ED. 3) Теме F припада равни α, а теме C равни β. 4) Темена А и B припадају основи Ω2. 5) Просторни шестостраник ABCDEFG се креће око ивице АB која би била фиксирана оса. 6) Теме Е се креће по равни δ, паралелној равни симетрије γ. 7) Централно теме G просторног шестостраника је удубљено или испупчено, гледано из спољашњег простора. ______________________________________________________________________ 41 Као што је већ речено у поглављу број 4.0 у зависности од услова да је централно теме G просторног хексаедра удубљено или испупчено, гледано из спољашњег простора, добијамо и различите коначне висине куполе, што је на примеру Конкавне куполе друге врсте над осмоугаоном основом приказано на Сл. 16. Кретањем око фиксиране ивице АB просторни шестостраник ABCDEFG се понаша као механизам, а сва његова темена описују криве познате као клизне криве [61], криве вишег реда. Aко желимо да одредимо трајакторију коју описује теме Е (одн. D, због раванске симетрије) по равни δ која пролази теменом основе Ω1 и ортогонална је на ивицу АB = а, треба да дефинишемо кретање овог механизма, уз поштовање горе наведених услова. Полазећи од ових претпоставки, можемо итеративним путем потражити положаје тачке Еn на равни δ, у зависности од претпостављеног почетног положаја централног темена Gn коришћењем пресечних кругова лопти полупречника r=а са центрима у теменима просторног шестостраника А, Е, F и G, и равни α и γ. Теме Gn, које припада равни γ, усвајамо за центар лопте M1 полупречника r=а (Сл. 18). Ова лопта пролази теменима А, B, C, D и Е. У равни γγ трансформацијом добијамо висину hg тачке G. Пресек лопте M1(Gn , а) са равни α је круг k1 који ће се видети у правој величини у равни α. Центар тог круга је тачка Gnα, а полупречник очитавамо у првој пројекцији, у пресеку контурног, екваторског круга m1 лопте M1 и равни α, зрачно виђене као права. Пресек новодобијеног круга k1 и круга k2 даје нам положај тачке F. Круг k2 је пресек лопте M2(А, а) и равни α, на којој се налази тачка F. У равни α тако добијамо положај тачке Fnα и одмах очитавамо и њену висину – одстојање од равни основе Ω2. 1. α ∩ M1(Gn; а) = k1 Пресек равни α и лопте M1 (центар лопте је тачка Gn а полупречник је једнак ивици а једнакостраничног троугла), је круг k1. 2. α ∩ M2(А ; а) = k2 3. k1 ∩ k2 = Fnα ______________________________________________________________________ 42 У описаном конструктивном поступку добијамо по два решења за положај темена F, од чега једно од решења одговара варијанти за испупчено, а друго за удубљено теме G. Сл. 18 – Конструкција положаја тачке Еn на равни δ, у зависности од претпостављеног почетног положаја централног темена Gn Теме Е добијамо на пресеку лопти чији су центри тачке F и G и равни δ. 1. δ ∩ M1(Gn; а) = k3 2. δ ∩ M3(Fn ; a) = k4 3. k3 ∩ k4 = En Један од пресека кругова k3 и k4 је тачка En, а други пресек ће увек бити исти – поклапаће се са теменом A, јер теме А такође лежи на кругу k4, пресеку равни δ и лопте M3. Трајакторија темена Е добија се спајањем свих итеративно добијених тачака (Е1 – Еn) у зависности од претпостављених почетних положаја централног темена (G1 – Gn). На основу графички добијеног решења у раду [48] се изводи закључак да се ради о затвореној кривој, која ће у пресеку са зрачно виђеном равни φ у којој се теме Е налази, дати четири решења, по два са сваке стране усвојене равни основе Ω2 (дакле, за положај основе Ω1 са горње или доње стране ______________________________________________________________________ 43 дате основе Ω2), и то: два за случај удубљеног и два за случај испупченог централног темена G. Сл. 19 – Апроксимација трајакторије темена Е кругом, [46] сл. 97, стр. 181 Као што се може видети са слике Сл. 19, добијена крива наликује равној пројекцији Вивијанијеве криве, што би у општем случају била квартика, с тим да се у самопресечној (двострукој) тачки посматране трајакторије јавља двоструки шиљак (куспидална тачка), што ће свакако подићи ред ове криве. Др Марија Обрадовић у [46] даје потврде тезе да се ради о кривој осмог реда – октици и изводи закључак да: „за саму конструктивно - геометријску примену, можемо прибећи апроксимацији ове криве једноставнијом и оперативнијом кривом - кругом, која би дала графичко решење у границама прихватљиве грешке. Потребно је да се, уместо бројних итерација, изаберу три карактеристичне тачке, које би дале круг са најмањим одступањем од добијене фактичке криве трајакторије. На Сл. 19 дата је апроксимација добијене криве кругом, на којој се јасно може сагледати да круг у великој мери суперпонира криву у околини очекиваног решења, и да је стога овакав метод оправдан за графичку примену, поготову ако се користи класични цртачки прибор.“ ______________________________________________________________________ 44 Приказани конструктивни поступак даје решења за оба случаја, за испупчено и за удубљено централно теме G просторног шестостраника ABCDEFG, већ на основу само три одабране полазне тачке, при чему се, све три морају односити на исту варијанту централног темена G. Знајући висину куполе, проблем налажења осталих метричких односа и параметара постаје тривијалан, и решава се неким од класичних нацртно-геометријских поступака – трансформацијом и ротацијом. За сваку Конкавну куполу друге врсте над n-тостраном полигоналном основом важи да: - број темена израчунавамо формулом: V = 5n - број ивица израчунавамо формулом: Е = 12n - број страна израчунавамо формулом: F = 7n+2 Ако добијене вредности унесемо у Ојлерову формулу: V – E + F = 5n - 12n + 7n +2 = 2 (1) видимо да је Ојлеров број једнак броју 2, што је карактеристика свих полиедара. ______________________________________________________________________ 45 7.0 КОНКАВНЕ КУПОЛЕ ТРЕЋЕ ВРСТЕ Омотач Конкавне куполе треће врсте [37] састоји се од три реда једнакостраничних троуглова. Већ је описано да Конкавне куполе друге врсте имају полазне полигоне од n=4, до n=10 и да се за основе чији број темена премашује n=10, мора потражити ново решење, јер ортогонално растојање од ивица основа (n-тоугаоника и 2n-тоугаоника) премашује вредност а√3, двоструку висину једнакостраничног троугла. Сл. 20 – Изглед мреже омотача Конкавне куполе треће врсте Мрежа омотача Конкавне куполе треће врсте приказана је на Сл.20. Састоји се од троредне траке једнакостраничних троуглова, као и основних полигона: једанаестоугаоника и њему паралелног двадесетдвоугаоника. Из другог реда једнакостраничних троуглова избачен је сваки четврти троугао, а у трећем реду сукцесивно се смењују по два избачена и два троугла која су део мреже. У другом реду мора се извршити исецање мреже по једној ивици сваког трећег троугла који учествује у мрежи (на Сл. 20 означено испрекиданом линијом). У дати прорез умеће се по један троугао из трећег реда приликом формирања ______________________________________________________________________ 46 мреже.14 Савијањем и спајањем одговарајућих ивица добијамо затворени, прстенасти фрагмент полиедарске површи (Сл. 21). Сл. 21 – Прва и друга ортогонална пројекција полиедарске површи омотача Конкавне куполе треће врсте Основу Ω1, једанаестоугаоник, узимамо као базу за даљу конструкцију. Усвојимо да се она налази у хоризонталној равни, тако да се види у правој величини у првој ортогоналној пројекцији. Претпоставимо да је основа Ω1 изнад паралелне равни основе Ω2, полигона који има двоструко више страна – двадесетдвоугаоника. Основе виђене у првој ортогоналној пројекцији су концентричне, односно центри описаних (и уписаних) кругова око ових полигона биће виђени стопљено јер ће се налазити на вертикалној правој k која је у овом случају и оса тела. Да би се јасније сагледала геометрија Конкавне куполе треће врсте, погледајмо један сегмент омотача тела. На Сл. 22 приказана је јединична ћелија ABCDEFGО која учествује у грађи тела, а која је сачињена од седам једнакостраничних троуглова формираних око заједничког темена, означеног као 14 Примера ради: у прорез (57,45) умеће се троугао (45,57,23) ______________________________________________________________________ 47 теме О. Радијалним низањем идентичних ћелија око осе k и њиховим спајањем додатним једнакостраничним троугловима у горњој и доњој зони добијамо затворену геометријску целину - омотач Конкавне куполе треће врсте. Сл. 22 – Јединична ћелија, просторни седмостраник ABCDEFGО Конкавне куполе треће врсте Да би смо дефинисали жељене параметре тела неопходно је поставити полазне услове које овакав просторни седмостраник мора да испуњава: 1. Ивица AB припада хоризонталној равни двадесетдвоугла и ту раван усвајамо за основну хоризонталну раван. 2. Тачка Е припада једанаестоуглу и равни α. 3. Раван α је симетрална раван ивице AB и пролази осом k, која спаја центроиде основа – једанаестоугла и двадесетдвоугла. 4. Раван β је симетрална раван суседне ивице BX полигона основе Ω2, двадесетдвоугла, и такође пролази осом k. 5. Просторни седмостраник ABCDEFG је равански симетричан у односу на раван α. 6. Приликом одређивања висине тела просторни седмостраник ABCDEFG се креће око ивице AB која би била фиксирана оса ротације. 7. Раван трансформације αα паралелна је равни α, раван трансформације β β паралелна је равни β. ______________________________________________________________________ 48 Усвајамо (Сл. 23) почетни положај темена О, централног темена просторног седмостраника ABCDEFGО. Теме О лежи у равни α. У темену О налазиће се центар лопте М1 полупречника једнаког страници АB, односно страници а једнакостраничног троугла. На лопти М1 лежаће сва преостала темена овог просторног склопа – тачке А, B, C, D, E, F и G. Сл. 23– Конструкција висина темена седмостраника ABCDEFGО за усвојени положај темена О Теме О има висину h1, удаљење темена од основне равни полазног двадесетдвоугла. Висина темена О одређена је његовим положајем на равни α. Троугао ABO ротира око ивице АB по кругу c чији је полупречник једнак висини једнакостраничног троугла. Овај круг кретања тачке О у трансформацијској равни α α видимо у правој величини. Круг c можемо посматрати и као пресек лопте М2(B; a) и равни α. Раван β сече лопту М1 по кругу c1. Висина центра круга c1 једнака је висини усвојеног темена О – центра лопте. У трансформацијској равни ββ видимо ______________________________________________________________________ 49 праву величину и положај овог круга c1. На кругу c1 леже темена C и D, која се налазе истовремено и на лопти М1 и у равни β. У равни ββ цртамо круг c2, пресек лопте М2(B; a) и равни β . У пресеку овог круга c2 и круга c1 добијамо два решења могућег положаја темена C. Усвајамо једно од решења, према унапред постављеним условима. У темену C постављамо центар нове лопте M3 полупречника r=а. Пресек лопте М3(C; a) и равни β је круг c3. У пресеку круга c1 и c3 добијамо два могућа положаја темена D. Бирамо једно од решења које ће у даљем поступку дати реално решење за тражени проблем. То ће бити решење са висинском координатом која ће дозволити да је растојање а√3/2 повеже са очекиваним положајем горње ивице једанаестоугла. Сада, са центром у темену D, постављамо нову лопту M4, која ће сећи раван α по кругу c4, на којем се мора налазити преостало теме Е, чији положај истражујемо. У трансформацијској равни αα видимо праву величину круга c4. Висина центра круга c4, једнака је висини центра лопте M4 тј. тачке D коју смо одредили у трансформацијској равни ββ. Знамо да се теме Е мора налазити и на лопти M1 и на лопти M4. Пресек кругова c4 и c5, у трансформацијској равни αα, даће нам решење положаја тачке Е. Круг c5 је пресек лопте M1(О; a) и равни α. Поново се појављују два решења могућег положаја темена Е, од којих усвајамо једно, према унапред постављеним условима. Приказане кораке у конструкцији можемо, ради боље прегледности и лакше даље конструкције, записати у облику: 1. α ∩ M2(B; a) = c 2. β ∩ M1 (O; a) = c1 β ∩ M2 (B; a) = c2 , c1 ∩ c2 = C (два решења) 3. β ∩ M3 (C; a) = c3 c3 ∩ c1 = D (два решења) 4. α ∩ M4 (D; a) = c4 , α ∩ M1 (O; a) = c5 , c4 ∩ c5 = E (два решења) На Сл. 24 више пута понављамо поступак да би смо добили апроксимацију трајакторије темена Е у зависности од положаја првобитно усвојеног темена О. Поштујући полазне претпоставке теме О увек бирамо да припада равни α и да је изнад основне хоризонталне равни полазног двадесетдвоугла. Теме О мора бити на интервалу од О1 до О5 да би смо имали ______________________________________________________________________ 50 реално одређене тачке C и D које нас доводе до решења за тачку Е. Теме О1 је одређено из услова да пречник круга c1 буде једнак полупречнику лопте односно страници (а) градивног једнакостраничног троугла, да би смо успели да добијемо тачку D као пресек кругова c3 и c1. Теме О5 је одређено из услова да је максимално удаљење пројекције тачке О од странице АB заправо а√3/2, односно то је гранични случај кад се троугао АBО налази у основној хоризонталној равни двадесетдвоугла. Сл. 24 - Одређивање трајекторије темена Еn променом положаја темена Оn Пресеком трајекторије темена Е и вертикалне равни (υ), на којој се очекује тражени положај темена Е, добијамо коначни положај темена Е. На Сл. 25 овај пресек видимо у трансформацијској равни αα. Вертикална раван (υ) је условљена диктираним положајем тачке Е као темена усвојене основе - једанаестоугла. Са познатим положајем темена Е, ретроградним конструктивним корацима, налазимо преостала темена O, C и D. 1. α ∩ M5 (E; a) = c6, α ∩ M2 (B; a) = c , c ∩ c6 = O (два решења) 2. β ∩ M5 (E; a) = c7 β ∩ M6 (O; a) = c8 , c7 ∩ c8 = D (два решења) 3. β ∩ M2 (B; a) = c2 c2 ∩ c8 = C (два решења) ______________________________________________________________________ 51 Сл. 25 - Конструкција положаја и висина свих теменa јединичне ћелије Конкавне куполе треће врсте Као резултат конструкције за могући положај темена O, D и C појављују се по два решења. Усваја се оно решење које даје положај темена изнад основне хоризонталне равни двадесетдвоугла и које задовољава услов да теме седмостраника увек мора бити на лопти (полупречника r=a) из било ког суседног темена. Просторни седмостраник ABCDEFGO је равански симетричан у односу на раван α (тачке F и G симетричне су тачкама D и C). На овај начин пронашли смо сва темена чије су висине приказане у Таб.1, за усвојену величину странице а=100. Таб. 1 - Висине темена просторног седмостраника ABCDEFG Конкавне куполе треће врсте за усвојену величину странице а =100 AB = a O C, G D, F E 100 40.431 78.715 82.616 6.947 ______________________________________________________________________ 52 Поларним распоредом 11 оваквих ћелија за угао 2π, затварамо омотач и тиме потпуно дефинишемо Kонкавну куполу треће врсте са једанаестоугаоном основом (Сл. 26). Сл. 26 - Конкавна купола треће врсте Конкавна купола треће врсте има релативно малу висинску разлику између нивоа n-тоугаоника и 2n-тоугаоника али се она може издужити елонгацијом или жироелонгацијом, као и конкаелонгацијом – додавањем Конкавних антипризми, као у раду [53]. Поступак генерисања Конкавних антипризми објашњен је у даљем раду, у поглављу број 11.0 . Анализом резултата истраживања Конкавних купола треће врсте долазимо до питања да ли се оне могу развити и над основама већим од једанаестоугаоника. Односно да ли постоје куполе чије је ортогонално растојање од ивица основа (n-тоугаоника и 2n-тоугаоника) у оквиру вредности 2 3a a + тј. да је испоштовано:       ≥+ n a a a pi sin 2 2 3 ............................... (2) Већ код дванаестоугла (2) није задовољено, па изводимо закључак да Конкавне куполе треће врсте за премошћавање основа n >10, постоје само за један ______________________________________________________________________ 53 случај15, n=11. Будући да то не задовољава нашу потребу да решимо проблем Конкавних купола виших врста и не даје образац за генерисање нове фамилије полиедара, морамо да потражимо нова решења. Тражићемо решења која дају основу за формирање других, виших врста, са предвидљивим распоредом ћелија и бројем низова једнакостраничних троуглова, за одговарајући полазни базис. У описаном поступку генерисања трајакторије темена Еn променом положаја темена Оn за положај темена C, D и Е појављују се по два решења. Након детаљно извршене графичке анализе утврђено је да само за положај темена C, D и Е која су презентована у овом поглављу рада, трајакторија темена Еn пресеца вертикалну раван (υ), на којој се очекује тражени положај темена Е, као темена основе Ω1. Јединична ћелија омотача Конкавне куполе треће врсте са једанаестоугаоном основом је просторни седмостраник и по том критеријуму искаче из фамилије Конкавних купола које су тема овог рада. Из свега наведеног, могу се извући следећи закључци: - постоји само један тип Конкавне куполе треће врсте за n>10, са удубљеним средишњим теменом O просторног седмостраника; - конкавна купола са једанаестоугаоном основом је једини представник Конкавних купола треће врсте за n>10, па је из тог разлога сингуларитет, не даје правило за формирање своје сопствене фамилије Конкавник купола треће врсте; - омотач Конкавних купола виших врста мора бити генерисан умножавањем просторних шестостраника, састављених од шест једнакостраничних троуглова груписаних око заједничког темена. - Конкавне куполе виших врста су, дакле, увек парне врсте, будући да у саставу своје мреже имају просторни шестостраник којег чине два реда једнакостраничних троуглова. 15 Конкавне куполе треће врсте могу се генерисати и са мањим базисима од једанаестоугаоника, али за n≤10 већ постоје Конкавне куполе друге врсте. ______________________________________________________________________ 54 8.0 КОНКАВНЕ КУПОЛЕ ЧЕТВРТЕ ВРСТЕ Конкавне куполе четврте врсте (KK IV) настају набирањем четвороструке траке једнакостраничних троуглова [38]. Истраживање ових купола започето је израдом модела од папира који је био својеврсни експеримент, а у исто време и доказ да је Конкавну куполу овакве геометрије могуће конструисати. На Сл. 27 дата је мрежа омотача Конкавне куполе четврте врсте са петнаестоугаоном основом. Сл. 27 – Мрежа омотача KK IV-15 Мрежа KK IV-15 састоји се од омотача, четвороструке траке једнакостраничних троуглова и 15 засебних допунских ћелија, као и основних полигона: петнаестоугла и њему паралелног тридесетоугла. У мрежи куполе између поља просторних шестостраника неопходно је уметнути просторне четвоространике сачињене од четири једнакостранична троугла (обојени жутом бојом на Сл. 27). Други начин формирања раванске мреже омотача је да се она састоји од пуних низова једнакостраничних троуглова (уместо присутних празних поља означених бројевома од 1-16) а да се накнадно додају сегменти од два једнакостранична троугла. У даљем раду изабран је први начин формирања мреже да би се јасније уочио принцип генерисања омотача Конкавне куполе поларним распоредом јединичне ћелије. За разлику од KK II јединична ћелија Конкавних купола четврте врсте састоји се од два просторна шестостраника, а чине их (као и код KK II) по шест једнакостраничних троуглова груписаних око заједничког темена. ______________________________________________________________________ 55 Сл. 28 - Јединична ћелија KK IV – ортогоналнаа пројекција и 3D модел просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 Основу Ω1, петнаестоугаоник, узимамо као базу за даљу конструкцију. Усвојимо да се она налази у хоризонталној равни, тако да се види у правој величини у првој ортогоналној пројекцији. Претпоставимо да је основа Ω1 изнад паралелне равни основе Ω2, полигона који има двоструко више страна – тридесет. Основе виђене у првој ортогоналној пројекцији су концентричне, односно центри описаних (и уписаних) кругова око ових полигона биће виђени стопљено јер ће се налазити на вертикалној правој која је у овом случају и оса тела. На просторни шестостраник ABCDEFО1 који учествује у грађи доњег појаса омотача куполе (Сл. 28), ближе 2n-тоугаонику, наставља се шестостраник EDGHKLО2. Једнакостранични троуглови, који чине просторне шестостранике, груписани су око заједничког темена О1 у доњем појасу и око темена О2 у горњем појасу. Радијалним низањем идентичних ћелија око осе k и њиховим спајањем додатним једнакостраничним троугловима у доњој зони и просторним четвоространицима у горњој зони, добијамо затворену геометријску целину. Да би смо дефинисали жељене параметре тела, неопходно је поставити полазне услове које овакав просторни склоп мора да испуњава: ______________________________________________________________________ 56 1. Ивица AB припада хоризонталној равни тридесетоугла и ту раван усвајамо за основну хоризонталну раван. 2. Ивица ED паралелна је ивици AB и припада јединичним ћелијама и доњег и горњег појаса Kонкавне куполе. 3. Ивица HK припада хоризонталној равни петнаестоугла која се налази изнад основне равни. 4. Раван α је симетрална раван ивице AB и пролази осом k, која спаја центроиде основа – петнаестоугла и тридесетоугла. 5. Раван β паралелна је равни α и пролази теменима B, D и H. 6. Раван γ је симетрална раван суседне ивице BX основе Ω2, тридесетоугла, и такође пролази осом k. 7. У равани γ налазе се темена C, G, H и Q. Теме Q је заједничко теме једнакостраничних троуглова у састaву додатог просторног четвоространика и не припада просторним шестостраницима ABCDEFО1 и EDGHKLО2, 8. Просторни шестостраници ABCDEFО1 и EDGHKLО2 су равански симетрични у односу на раван α. 9. Приликом одређивања висине тела просторни шестостраници ABCDEFО1 и EDGHKLО2 крећу се око ивице AB која је фиксирана оса ротације. 8.1 Конструктивно - геометријско генерисање Конкавне куполе четврте врсте са петнаестоугаоном основом Усвојићемо величину ивице AB и почетни положај прве пројекције темена О1 као што је приказано на Сл. 29. Теме О1 лежи у равни α. У темену О1 налазиће се центар лопте М1 полупречника једнаког страници AB, односно страници а једнакостраничног троугла. На лопти М1 лежаће сва темена просторног шестостраника ABCDEFО1. Теме О1 има висину h1, удаљење темена од равни основе Ω2, полазног тридесетоугла. Висина темена О1 одређена је његовим положајем на равни α. Троугао ABО1 ротира око ивице AB по кругу чији је полупречник једнак висини ______________________________________________________________________ 57 једнакостраничног троугла. Овај круг кретања тачке О1 обележен је са к1 и у трансформацијској равни αα видимо га у правој величини. Раван γ сече лопту М1 по кругу c1. Висина центра круга c1 једнака је висини усвојеног темена О1 – центра лопте. У трансформацијској равни γ γ видимо праву величину и положај овог круга c1. На кругу c1 лежи теме C која се налази истовремено и на лопти М1 и у равни γ. Сл. 29 - Конструкција висина темена шестостраника ABCDEFО1 за усвојени положај темена О1 ______________________________________________________________________ 58 У равни γγ цртамо круг к2, полупречника једнаког висини једнакостраничног троугла странице а, који ће бити кружна трајакторија темена C које ротира око ивице BX. У пресеку овог круга к2 и круга c1 добијамо два решења могућег положаја темена C. Величину полупречника круга c1 узимамо из прве пројекције где се круг c1 види зрачно. Усвајамо решење које нам даје положај темена C са мањом висином.16 У темену C постављамо центар нове лопте М2 полупречника r=а. Раван β сече лопту М2 по кругу c3, а лопту М1 по кругу c2. У трансформацијској равни β β видимо праве величине кругова c3 и c2. Висина центра круга c2, тачка S, једнака је висини темена О1. Висина центра круга c3, тачка N, једнака је висини темена C. У једној тачки пресека кругова c3 и c2 добијамо положај темена D. У другој тачки пресека кругова c3 и c2 налази се пројекција темена B, што је и контрола целог поступка одређивања темена C и D. Да би смо одредили положај темена шестостраника EDGHKLО2, у темену D постављамо центар лопте М3 полупречника r=а (Сл. 30). На лопти М3 налазе се темена G, О2, Е, О1, C и теме Q. Раван γ сече лопу М3 по кругу c4 са центром у тачки P. У трансформацијској равни γγ видимо праву величину круга c4. Висина центра P једнака је висини темена D. Раван γ сече лопу М2 по кругу c5. Центар круга c5 је тачка C чију смо висину одредили. Пресек кругова c4 и c5, у трансформацијској равни γ γ , даће нам решење положаја темена Q. Поново се појављују два решења, а усвајамо решење које нам даје положај темена Q са мањом висином. У темену Q постављамо центар лопте М5, коју раван γ сече по кругу c6. На лопти М5 налазе се темена G, D, C. Темена G и C припадају и лопти М3 и лопти М5. У трансформацијској равни γγ у пресеку кругова c4 и c6 добијамо положај темена G. Други пресек кругова c4 и c6 је тачка C, што је и контрола целог поступка одређивања темена Q и G. Теме О2 налази се и на лопти М3 (центар у темену D) и на лопти М6 (центар у темену G). Раван α сече лопту М3 по кругу c8, а лопту М6 по кругу c9. Центар круга c9 је тачка V. Висина тачке V једнака је висини темена G. Центар круга c8 је тачка Т која се налази и на страници DE, па је њена висина једнака висини темена D. У трансформацијској равни αα виде се праве величине кругова 16 Генерисање Конкавне куполе четврте врсте са усвојеном варијантом конструкције за положај темена C, Q и О2 са већом висином обрађено је у поглављима 8.2 – 8.8. ______________________________________________________________________ 59 c8 и c9 у чијем пресеку се налази теме О2. Од два могућа решења усвајамо положај темена О2 са мањом висином. Сл. 30 - Конструкција висина темена шестостраника EDGHKLО2 и темена Q ______________________________________________________________________ 60 Теме H добијамо у пресеку лопте М7 (центар у темену О2) и лопте М6 (центар у темену G), односно у пресеку кругова c10 и c11. Други пресек кругова c10 и c11 је тачка D. На овај начин пронашли смо сва темена просторног склопа, али без задовољења услова да темена H и К припадају петнаестоуглу чији је центар описаног круга заједнички са центром описаног круга полазног тридесетоугла коме припада страница AB. Приказане кораке у конструкцији можемо, ради боље прегледности и лакше даље конструкције, записати у облику: 1. γ ∩ М1 (O1; а) = c1 , γ ∩ M (B; a) = k2 , c1 ∩ k2 = C (два решења) 2. β ∩ M2 (C; a) = c3 , β ∩ M1 (O1; a) = c2 , c3 ∩ c2 = D и теме B 3. γ ∩ M3 (D; a) = c4 , γ ∩ M2 (C; a) = c5 , c4 ∩ c5 = Q (два решења) 4. γ ∩ M5 (Q; a) = c6 , c4 ∩ c6 = G и теме C 5. α ∩ M6 (G; a) = c9 , α ∩ M3 (D; a) = c8 , c8 ∩ c9 = O2 (два решења) 6. β ∩ M7 (O2; a) = c10 , β ∩ M6 (G; a) = c11, c10 ∩ c11 = H и теме D Више пута понављамо поступак да би смо добили апроксимацију трајакторије темена H у зависности од положаја првобитно усвојеног темена О1 (Сл. 31 и Сл. 32). Поштујући полазне претпоставке, теме О1 увек бирамо да припада равни α и да је изнад основне хоризонталне равни полазног тридесетоугла. Пресеком трајекторије темена H и вертикалне равни (υ), Сл.33, на којој се очекује тражени положај темена H, добијамо коначни положај темена H. Вертикална раван (υ) је условљена диктираним положајем тачке H као темена усвојеног полигона основе Ω1 - петнаестоугла. Са познатим положајем темена H, ретроградним конструктивним корацима, налазимо преостала темена посматраних просторних јединичних склопова. 1. α ∩ М8(H; а) = c12 Пресек равни α и лопте М8, (центар лопте је тачка H а полупречник је једнак ивици а једнакостраничног троугла), је круг c12. У пресеку круга c12 и трајекторије темена О2 добијамо положај и висину темена О2. ______________________________________________________________________ 61 Сл. 31 - Одређивање трајекторије темена D, добијене променом положаја темена О1, средишта шестостраника ABCDEFО1 ______________________________________________________________________ 62 Сл. 32 - Одређивање трајекторије темена H, добијене променом положаја темена О1, средишта шестостраника ABCDEFО1 ______________________________________________________________________ 63 Сл. 33 - Конструкција положаја и висина свих темена јединичне ћелије Конкавне куполе четврте врсте са петнаестоугаоном основом ______________________________________________________________________ 64 2. γ ∩ M7 (O2; a) = c13 , γ ∩ M8 (H; a) = c14 , c13 ∩ c14 = G 3. β ∩ M9 (G; a) = c15 , β ∩ M7 (O2; a) = c16, c15 ∩ c16 = D и теме H 4. γ ∩ M10 (D; a) = c17 , γ ∩ M9 (G; a) = c18 , c17 ∩ c18 = Q Пресеком кругова c17 и c18 добијамо два решења за могући положај тачке Q. Бирамо оно које задовољава услов да се на лопти са центром у темену Q (r=a) морају налазити и темена C и G. 5. γ ∩ M11 (B; a) = c19 , c19 ∩ c17 = C 6. α ∩ M10 (D; a) = c20 α ∩ M11 (B; a) = c21, c20 ∩ c21 = O1 Пресеком кругова c20 и c21 добијамо два решења за могући положај тачке O1. Усвајамо оно решење које задовољава услов да се теме O1 мора налазити и на пресеку лоптe из темена C (r=a), односно и на кружница c22. Сл. 34 - KK IV-15Мм, а) ортогоналне пројекције омотача куполе, б) 3D модел куполе Просторни склоп два шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2, са заједничком ивицом DЕ, равански је симетричан у односу на раван α. На овај начин пронашли смо положај и висину свих темена јединичне ћелије KK IV. Применом описане варијанте конструктивног поступка О1CQO2, мања висина темена C, Q и O2, генерише се купола са удубљеним теменом О2, а испупченим a) б) ______________________________________________________________________ 65 теменом О1, и обележићемо је са KK IV-15Мm. Применом програма AutoCAD, нацртан је 3D модел куполе (Сл. 34). У датом поступку за графичко одређивање темена просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 добијамо по два решења за положај темена C, Q и О2. Имајући то у виду морамо испитати шта се дешава кад у приказаном конструктивном поступку применимо сваку од могућих опција. За унапред одабрану висину темена О1 можемо изабрати једну од укупно 8 могућих варијанти конструктивног поступка: 1) О1CQO2 2) О1CQO*2 (усвојена већа висина темена O2) 3) О1CQ*O2 (усвојена већа висина темена Q) 4) О1CQ*O*2 (усвојена већа висина темена Q и O2) 5) О1C*QO2 (усвојена већа висина темена C) 6) О1C*QO*2 (усвојена већа висина темена C и O2) 7) О1C*Q*O2 (усвојена већа висина темена C и Q) 8) О1C*Q*O*2 (усвојена већа висина темена C, Q и O2). Прва варијанта конструктивног поступка О1CQO2, са усвојеним мањим висинама за темена C, Q и O2 приказана је у овом поглављу. У поглављима који следе анализираћемо за све преостале варијанте конструктивног поступка кретање просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 и могућност формирања Конкавних купола четврте врсте. 8.2 Генерисање KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1CQO*2 – већа висина темена O2 У претходном поглављу детаљно је објашњена конструкција KK IV и назначено да се приликом конструкције темена O2 могу изабрати два положаја, са већом и мањом висином. Треба нагласити да изабрана висина темена O2 не утиче на трајакторију темена D, па се конструктивни поступак приказан на Сл. 31 из претходног поглавља, може усвојити као почетак конструкције. На Сл. 35 приказано је одређивање трајекторије темена H променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена O2. ______________________________________________________________________ 66 1. γ ∩ M3(D; a) = c4 , γ ∩ M4(C; a) = c5, c4 ∩ c5 = Q (усвајамо мању висину за Q) 2. γ ∩ M5(Q; a) = c6 , c4 ∩ c6 = G и теме C 3. α ∩ M6(G; a) = c9 , α ∩ M3(D; a) = c8 , c8∩c9 = O2 (усвајамо већу висину за O2) 4. β ∩ M7 (O2; a) = c10 , β ∩ M6 (G; a) = c11, c10 ∩ c11 = H и теме D Сл. 35 - Одређивање трајекторије темена H, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена О2 ______________________________________________________________________ 67 Сл. 36 - Конструкција положаја и висина свих темена Конкавне куполе четврте врсте са већом висином темена О2 ______________________________________________________________________ 68 Просторни шестотраници ABCDEFО1 и EDGHKLО2 својим кретањем око фиксиране странице AB прелазе преко вертикалне равни очекиваног положаја странице HK, Сл. 35, што значи да је формирање Конкавне куполе четврте врсте могуће, те да пресеком трајекторије темена H и вертикалне равни (υ), Сл. 36, добијамо коначни положај темена H. Применом описане варијанте конструктивног поступка О1CQO*2, већа висина темена O2, генерише се Конкавна купола четврте врсте са испупченим теменима О1 и О2, и обележићемо је са KK IV-15mm. На Сл. 37 приказане су ортогоналне пројекције омотача и 3D модел куполе, урађени применом програма AutoCAD. 1. α ∩ М8(H; а) = c12 , 2. γ ∩ M7 (O2; a) = c13 , γ ∩ M8 (H; a) = c14 , c13 ∩ c14 = G 3. β ∩ M9 (G; a) = c15 , β ∩ M7 (O2; a) = c16, c15 ∩ c16 = D 4. γ ∩ M10 (D; a) = c17 , γ ∩ M9 (G; a) = c18 , c17 ∩ c18 = Q 5. γ ∩ M11 (B; a) = c19 , c19 ∩ c17 = C 6. α ∩ M10 (D; a) = c20 α ∩ M11 (B; a) = c21, c20 ∩ c21 = O1 Сл. 37 - KK IV-15mm а) ортогоналне пројекције омотача куполе, б) 3D модел куполе a) б) ______________________________________________________________________ 69 8.3 Испитивање могућности генерисања KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1CQ*O2 Променом положаја средишњег темена О1 просторног шестостраника ABCDEFО1 мења се и положај горњег појаса јединичне ћелије, односно шестостраника EDGHKLО2. Приликом конструкције положаја и висине тачака јединичне ћелије можемо изабрати конструкцију са мањом висином темена Q (конструкција је дата у поглављу број 8.1) или са већом висином темена Q (Сл. 38). Треба нагласити да изабрано решење за висину темена Q не утиче на трајакторију темена D, те се конструктивни поступак приказан на Сл. 31 из поглавља број 8.1 може усвојити као почетак конструкције. На Сл. 38 приказана је конструкција положаја и висине темена H променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена Q. Из приказане конструкције (Сл. 38) закључујемо, да се приликом кретања шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 (за унапред усвојен положаја темена О1) темена H и K не досежу вертикалну раван (υ) која је условљена диктираним положајем тачке H као темена усвојеног полигона основе (петнаестоугла). Ради бољег сагледавања кретања просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2, на Сл. 39 је дата трећа пројекција јединичне ћелије за четири унапред изабрана положаја темена О1. Приликом кретања темена О1 од почетно усвојеног положаја (на Сл. 39 приказано црвеном бојом) шестостраник EDGHKLО2 се подиже и креће улево (супротно од вертикалне равни υ), да би за последња два положаја темена О1 шестостраник EDGHKLО2 кренуо удесно (ка вертикалној равни υ) али и почео да спушта ка основној хоризонталној равни. Такво „спуштање“ шестостраника EDGHKLО2 диктирано је померањем заједничке ивице DE у правцу супротном од вертикалне равни (υ). ______________________________________________________________________ 70 Сл. 38 - Конструкција положаја и висине темена H, условљених променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена Q ______________________________________________________________________ 71 Сл. 39 – Трећа пројекција шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за четири унапред усвојена положаја темена О1, варијанта конструкције О1CQ*O2 Закључак је да јединична ћелија састављена од просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 неће формирати Куполу четврте врсте ако применимо варијанту конструктивног поступка О1CQ*O2 јер трајакторија темена H не пресеца вертикалну раван (υ) која је условљена диктираним положајем тачке H као темена усвојеног полигона основе. 8.4 Испитивање могућности генерисања KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1CQ*O*2 У претходном поглављу закључили смо да није могуће формирати Куполу четврте врсте применом варијанте конструкције О1CQ*O2. Да ли ће формирање Куполе бити могуће усвајањем и веће висине темена O2 предмет је конструктивног поступка који следи. И овом приликом као почетак усвајамо конструктивни поступак изложен у поглављу број 8.1, Сл. 31, јер промена висина темена Q и O2 не утиче на положај и висину темана C и D. Конструкција положаја ______________________________________________________________________ 72 и висине темена H променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена Q и O2 приказана је на Сл. 40. Сл. 40 - Конструкција положаја и висине темена H, условљених променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена Q и O2 ______________________________________________________________________ 73 Сл. 41 – Трећа пројекција шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за три унапред усвојена положаја темена О1, варијанта конструкције О1CQ*O*2 Из приказане конструкције на Сл. 40 закључујемо, да се приликом кретања шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 (за унапред усвојен положаја темана О1) темена H и K не достижу вертикалну раван (υ) која је условљена диктираним положајем тачке H као темена усвојеног полигона основе (петнаестоугла). Ради бољег сагледавања кретања просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 на Сл. 41 је дата трећа пројекција јединичне ћелије за три унапред изабрана положаја темена О1. Приликом кретања темена О1 од почетног положаја (на Сл. 41 приказано црвеном бојом) шестостраник EDGHKLО2 се подиже и креће супротно од вертикалне равни (υ). Закључак је да јединична ћелија састављена од просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 неће формирати Конкавну куполу четврте врсте ако применимо варијанту конструктивног поступка О1CQ*O*2, већа висина темена Q и O2, јер трајакторија темена H не пресеца вертикалну раван (υ) која је условљена диктираним положајем тачке H као темена полигона основе. ______________________________________________________________________ 74 8.5 Испитивање могућности генерисања KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1C*QO2 Применом варијанте конструктивног поступка О1C*QO2, већа висина темена C, мења се и положај и висина тачака шестостраника ABCDEFО1. Конструкција трајакторије темена D, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C, приказана је на Сл. 42 (објашњење конструкције изложено је у поглављу број 8.1). Сл. 42 - Конструкција трајекторије темена D, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C ______________________________________________________________________ 75 Сл. 43 - Конструкција положаја и висине темена H, условљених променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C ______________________________________________________________________ 76 1. γ ∩ М1(O1; а) = c1 , γ ∩ M(B; a) = k2 , c1 ∩ k2 = C (усвајамо већу висину) 2. β ∩ M2(C; a) = c3 , β ∩ M1(O1; a) = c2 , c3 ∩ c2 = D и теме B Са познатим положајем и висином темена D приступамо конструкцији положаја и висине свих преосталих темена шестостраника EDGHKLО2 (Сл. 43). 1. γ ∩ M3(D; a) = c4 , γ ∩ M4(C; a) = c5, c4∩c5 = Q (усвајамо мању висину за Q) 2. γ ∩ M5 (Q; a) = c6 , c4 ∩ c6 = G и теме C 3. α ∩ M6(G; a) = c9 , α ∩ M3(D; a) = c8 , c8∩c9 = O2 (усвајамо мању висину за O2) 4. β ∩ M7 (O2; a) = c10 , β ∩ M6 (G; a) = c11, c10 ∩ c11 = H и теме D Сл. 44 – Трећа пројекција шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за три унапред усвојена положаја темена О1, варијанта конструкције О1C*QO2 Из приказане конструкције на Сл. 43 закључујемо, да се приликом кретања шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 (за унапред усвојен положаја темана О1) темена H и K не досежу вертикалну раван (υ) која је условљена диктираним положајем тачке H као темена полигона основе (петнаестоугла). Ради бољег сагледавања кретања просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 ______________________________________________________________________ 77 дата је на Сл. 44 трећа пројекција јединичне ћелије за три унапред изабрана положаја темена О1. Приликом кретања темена О1 од почетног положаја (на Сл. 44 приказано црвеном бојом) шестостраник EDGHKLО2 се подиже и креће супротно од вертикалне равни (υ). Закључак је да јединична ћелија састављена од просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 неће формирати Куполу четврте врсте ако применимо варијанту конструктивног поступка О1C*QO2 јер трајакторија темена H не пресеца вертикалну раван (υ) која је условљена диктираним положајем тачке H као темена усвојеног полигона основе. 8.6 Генерисање KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1C*QO*2 - већа висина темена C и O2 Генерисање Конкавних купола четврте врсте применом варијанте конструктивног поступка О1C*QO*2 започето је одређивањем положаја и висине темена просторног шестостраника ABCDEFО1 за четри унапред усвојена положаја средишњег темена О1. Конструкција трајакторије темена D, добијене променом положаја темена О1, (објашњење конструктивног поступка изложено је у поглављу број 8.1) приказана је на Сл. 45. 1. γ ∩ М1(O1; а) = c1 , γ ∩ M(B; a) = k2 , c1 ∩ k2 = C (усвајамо већу висину за C) 2. β ∩ M2 (C; a) = c3 , β ∩ M1 (O1; a) = c2 , c3 ∩ c2 = D и теме B Одређивање трајекторије темена H за усвојену већу висину темена C и О2 , приказано је на Сл. 46. 1. γ ∩ M3(D; a) = c4 , γ ∩ M4(C; a) = c5, c4 ∩ c5 = Q (усвајамо мању висину за Q) 2. γ ∩ M5(Q; a) = c6 , c4 ∩ c6 = G и теме C 3. α ∩ M6(G; a) = c9, α ∩ M3(D; a) = c8, c8 ∩ c9 = O2 (усвајамо већу висину за O2) 4. β ∩ M7(O2; a) = c10 , β ∩ M6(G; a) = c11, c10 ∩ c11 = H и теме D ______________________________________________________________________ 78 Сл. 45 - Одређивање трајекторије темена D, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C ______________________________________________________________________ 79 Сл. 46 - Одређивање трајекторије темена H, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C и О2 ______________________________________________________________________ 80 Сл. 47 - Конструкција положаја и висина свих темена Конкавне куполе четврте врсте са већом висином темена C и О2 ______________________________________________________________________ 81 Уочавамо да просторни шестотраници ABCDEFО1 и EDGHKLО2 својим кретањем око фиксиране странице AB прелазе преко вертикалне равни очекиваног положаја странице HK (Сл. 46). Формирање Куполе четврте врсте је могуће, те се пресеком трајекторије темена H и вертикалне равни (υ), Сл. 47, добија коначни положај темена H. Применом описане варијанте конструктивног поступка О1C*QO*2, већа висина темена C и O2, генерише се Конкавна купола четврте врсте са испупченим теменом О2 а удубљеним теменом О1, и обележићемо је са KK IV-15mМ. На Сл. 48 приказане су ортогоналне пројекције омотача Куполе и 3D модел куполе урађен применом програма AutoCAD. 1. α ∩ М8(H; а) = c12 2. γ ∩ M7 (O2; a) = c13 , γ ∩ M8 (H; a) = c14 , c13 ∩ c14 = G 3. β ∩ M9 (G; a) = c15 , β ∩ M7 (O2; a) = c16 , c15 ∩ c16 = D 4. γ ∩ M10 (D; a) = c17 , γ ∩ M9 (G; a) = c18 , c17 ∩ c18 = Q 5. γ ∩ M11 (B; a) = c19 , c19 ∩ c17 = C 6. α ∩ M10 (D; a) = c20 , α ∩ M11 (B; a) = c21 , c20 ∩ c21 = O1 а) б) Сл. 48 - КК IV-15mМ а) ортогоналне пројекције омотача куполе, б) 3D модел куполе ______________________________________________________________________ 82 8.7 Генерисање KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1C*Q*O2 - већа висина темена C и Q У претходном поглављу приказана je конструкција Конкавне куполе четврте врсте са већом висином темена C и О2, а на Сл. 45 дата је конструкција трајакторије темена D. Конструктивни поступак приказан на Сл. 45 усвајамо као почетак конструкције јер изабрана висина темена Q не утиче на трајакторију темена D (добијену променом положаја темена О1). Следи конструкција трајекторије темена H, за усвојену већу висину темена Q (Сл. 49). 1. γ ∩ M3(D; a) = c4 , γ ∩ M4(C; a) = c5 , c4 ∩ c5 = Q (усвајамо већу висину за Q) 2. γ ∩ M5(Q; a) = c6 , c4 ∩ c6 = G и теме C 3. α ∩ M6(G; a) = c9 , α ∩ M3(D; a) = c8 , c8∩c9 = O2 (усвајамо мању висину за O2) 4. β ∩ M7(O2; a) = c10 , β ∩ M6(G; a) = c11 , c10 ∩ c11 = H и теме D Уочавамо да просторни шестотраници ABCDEFО1 и EDGHKLО2 својим кретањем око фиксиране странице AB прелазе преко вертикалне равни очекиваног положаја странице HK (Сл. 49). Формирање Конкавне куполе четврте врсте је могуће, а пресеком трајекторије темена H и вертикалне равни (υ) (Сл. 50), добијамо коначни положај темена H. Применом описане варијанте конструктивног поступка О1C*Q*O2, већа висина темена C и Q, генерише се Конкавна купола четврте врсте са удубљеним теменима О2 и О1, и обележићемо је са КК IV-15ММ. Ортогоналне пројекције омотача и 3D модел куполе, урађени применом програма AutoCAD, приказани су на Сл. 51. 1. α ∩ М8(H; а) = c12 2. γ ∩ M7 (O2; a) = c13 , γ ∩ M8 (H; a) = c14 , c13 ∩ c14 = G 3. β ∩ M9 (G; a) = c15 , β ∩ M7 (O2; a) = c16 , c15 ∩ c16 = D 4. γ ∩ M10 (D; a) = c17 , γ ∩ M9 (G; a) = c18 , c17 ∩ c18 = Q 5. γ ∩ M11 (B; a) = c19 , c19 ∩ c17 = C 6. α ∩ M10 (D; a) = c20 , α ∩ M11 (B; a) = c21 , c20 ∩ c21 = O ______________________________________________________________________ 83 Сл. 49 - Одређивање трајекторије темена H, добијене променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C и Q ______________________________________________________________________ 84 Сл. 50 - Конструкција положаја и висина свих темена Конкавне куполе четврте врсте са већом висином темена C и Q ______________________________________________________________________ 85 а) б) Сл. 51 - KK IV-15ММ а) ортогоналне пројекције омотача куполе, б) 3D модел куполе 8.8 Испитивање могућности генерисања KK IV применом варијанте конструктивног поступка О1C*Q*O*2 Конструкција KK IV са већом висином темена C, Q и O2 започиње проналажењем трајакторије темена D (добијене променом положаја темена О1). Изабрана висина темена O2 не утиче на трајакторију темена D те се конструктивни поступак изложен на Сл. 45, поглавље број 8.6, може усвојити као почетак конструкције. На Сл. 52 приказано је одређивање трајекторије темена H променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C, Q и O2. Из приказане конструкције, Сл. 52, закључујемо да се приликом кретања шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 (за унапред усвојен положај темeна О1) темена H и K не досежу вертикалну раван (υ) која је условљена диктираним положајем тачке H као темена полигона основе. ______________________________________________________________________ 86 Сл. 52 - Конструкција положаја и висине темена H, условљених променом положаја темена О1, за усвојену већу висину темена C и Q и O2 ______________________________________________________________________ 87 1. γ ∩ M3(D; a) = c4 , γ ∩ M4(C; a) = c5, c4 ∩ c5 = Q (усвајамо већу висину за Q) 2. γ ∩ M5(Q; a) = c6 , c4 ∩ c6 = G и теме C 3. α ∩ M6(G; a) = c9 , α ∩ M3(D; a) = c8 , c8∩c9 = O2 (усвајамо већу висину за O2) 4. β ∩ M7(O2; a) = c10 , β ∩ M6(G; a) = c11, c10 ∩ c11 = H и теме D Ради бољег сагледавања кретања просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 дата је на Сл. 53 трећа пројекција јединичне ћелије за три унапред изабрана положаја темена О1. Приликом кретања темена О1 од почетног положаја (на Сл. 53 приказано црвеном бојом), шестостраник EDGHKLО2 се подиже и креће супротно од вертикалне равни (υ). Сл. 53 – Трећа пројекција шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за три унапред усвојена положаја темена О1, варијанта конструкције О1C*Q*O*2 Закључак је да јединична ћелија састављена од просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 неће формирати Конкавну куполу четврте врсте ако применимо варијанту конструктивног поступка О1C*Q*O*2 (већа висина темена C, Q и O2) јер трајакторија темена H не пресеца вертикалну раван (υ) која је условљена диктираним положајем тачке H као темена усвојеног полигона основе. ______________________________________________________________________ 88 У претходним поглављима извршено је истраживање кретања просторних шестостраника ABCDEFО1 и EDGHKLО2 за све могуће варијанте конструктивног поступка и изведен је закључак да постоје четири типа Конкавне куполе четврте врсте над истом полигоналном основом: KKIV-Mm, KK IV-mm, KK IV-mM, KK IV-МM. Број страна највећег могућег полигона основе Ω1 (за који је могуће формирати KK IV) је nmax = 21 (за доказ видети поглавље број 10.1). Применом креираног програма за моделовање омотача KK IV у софтверском пакету MATLAB17 истражен је најмањи могући број страна основе Ω1 који омогућава генерисање KK IV, а да тако формирани полиедар задржи све особине Конкавне куполе дефинисане у поглављу број 4.0. Закључак је да најмањи могући полигон зависи од типа куполе (односно од варијанте конструктивног поступка). 1. За KK IV-Mm (генерисана варијантом конструкције О1CQO2) код полигона основе Ω1 чији је број страна n≤10 стране омотача куполе се међусобно продиру, а за n=18, n=19, n=20 и n=21 стране омотача куполе продиру основу Ω2. 2. За KK IV-mm (генерисана варијантом конструкције О1CQO*2) код полигона основе Ω1 чији је број страна n≤7 стране куполе се међусобно продиру, а за n=20 и n=21 очекивана грешка након извршеног поступка итерације је већа од унапред постављене вредности ∆=1-10, за величину странице a=1. 3. За KK IV-mM (генерисана варијантом конструкције О1C*QO*2) код полигона основе Ω1 чији је број страна n≤9 као и за n=21 очекивана грешка након извршеног поступка итерације је већа од унапред постављене вредности ∆=1-10, за величину странице a=1. 4. За KK IV-МM (генерисана варијантом конструкције О1C*Q*O2) код полигона основе Ω1 чији је број страна n≤11, као и за n=20, n=21 очекивана грешка након извршеног поступка итерације је већа од унапред постављене вредности ∆=1-10, за величину странице a=1. У прилогу овог рада презентоване су вредности за све параметре Конкавних купола четврте врсте на основу постављеног алгоритма из поглавља број 9.0. 17 Поступак креирања програма за моделовање омотача Конкавних купола четврте врсте објашњен је у поглављу број 9.1, а листинг програма за KKIV-15Mm дат је у Прилогу број 12. ______________________________________________________________________ 89 9.0 МЕТРИЧКИ ОДНОСИ И ПАРАМЕТРИ УНУТАР КОНКАВНИХ КУПОЛА ЧЕТВРТЕ ВРСТЕ 9.1 Метрички односи и параметри унутар КК IV генерисане варијантом конструктивног поступка О1CQO2 Већ је речено (у поглављу број 3.0) да је полазна тачка за проучавање Конкавних купола друге врсте била половина мреже Тороидног делтаедра друге врсте над хексагоналном основом [46]. У поменутој дисертацији је дат алгоритам (стр. 331–334) чијим решавањем (применом итерација у Microsoft Excel-у) је омогућено израчунавање свих метричких односа и параметара за директно изналажење величина унутар Конкавних купола друге врсте. У описаном конструктивном поступку положај и висину темена Куполе четврте врсте добили смо на основу пресека равни и кривих вишег реда - трајакторија темена, добијених променом положаја средишњег темена О1 шестостраника ABCDEFО1. Постављање аналитичке једначине, која би својим решењима дала егзактне одговоре за изналажење метричких односа и параметара унутар Купола, захтева сложен алгебарски запис. Зато се и код Конкавних купола четврте врсте, као и на примеру Купола друге врсте, мора приступити итеративним поступцима, који се, уз примену компјутерских програма могу извести са високим степеном прецизности. Да би се овакви итеративни поступци применили потребно је поставити одговарајући алгоритам, чијим ће се решавањем омогућити налажење жељених параметара. Улазни параметри су: n - број темена основе а - дужина странице полигона основе ∆ - очекивана грешка након извршеног поступка итерације. Висина h1 (висина тачке О1) поступком итерације се нивелише (а самим тим и сви остали параметри) до очекиване грешке након извршеног поступка итерације. ______________________________________________________________________ 90 Сл. 54 – Параметри за изналажење положаја и висине тачака просторног шестостраника ABCDEFО1 за KK IV-Mm ______________________________________________________________________ 91 Сл. 55 – Параметри за изналажење положаја и висине тачака просторног шестостраника EDGHKLО2 за KK IV-Мm ______________________________________________________________________ 92 Сл. 56 – Параметри за изналажење положаја и висине темена јединичне ћелије за KK IV-Мm n pi α = …………....... (3)       == n a rHB pi sin 2'' …… (4)       ⋅== n rqH picos3 '' ….. (5)       = r q arcsinβ …………..(6) 2 1 2'' 4 3 haSB −= ……..(7) βpiϕ −= 2 ……….....(8) ( ) 4 ' 2 2 ''' 1 aSBBO += …............ (9) - из троугла B’1’3’ следи: βsin21 '' aB = ....…….. (10) ( ) 4 131 2 2 '''' aB −= …...........(11) - из троугла B’S’O1’ следи: '' 1 '' arcsin BO SB =σ …….….......(12) ϕσpiε −−= 2 .…….....…. (13) - из троугла B’4’О1’ следи: εcos3'4' ''1'' ⋅== BORB ..........(14) ______________________________________________________________________ 93 Сл. 57 – Параметри за изналажење положаја и висине темена C за KK IV-Мm 2 3aCB =γγ …......…...........(15) ( )2''21 3 RhRB +=γγ …...........(16) '''' SBqrOS −+= ..................(17) '''' 3 RqrOR −+= ……..........(18) ( ) ( )2''2''1''1 34 RBOO −= ….......(19) '' 1 '' 1 42 OaRO += …...........…....(20) ( )2''12''6 ROaR −= ……..…(21) - применом косинусне теореме у троуглу BγRγCγ: ( ) ( ) γγ γγ τ RBa RRBa ⋅ −+ = 34 6443 arccos 2 '' 22 .................................................. (22) - применом косинусне теореме у троуглу BγRγ7γ: ( ) ( ) γγ γγ τδ RBR hRBR ⋅⋅ −+ =+ '' 2 1 22 '' 32 3 arccos ................................................. (23) '''' 3cos 2 387 RaCR −== δγγ ................................................. (24) ( )2''''22 34 3 CRRah +−= ………………....................................… (25) - из троугла B’3’C’ следи: ( )2''''2'' 3 4 CRRaCB ++= .................................................................. (26) ''2 arccos CB a ⋅ =χ ................................................................. (27) - из троугла BβSβ9β следи: 3 2 arccos 1 a h =η ................................................................ (28) ______________________________________________________________________ 94 - из троугла B’C’O1’ следи: ( ) ( ) ( )χϕσpi −−−⋅⋅⋅−+= cos2 ''''12''2''1''1 CBBOCBBOCO .....…………… (29) '''''' 3 CRRqHC −−= …………....……………………………. (30) βsin'''' ⋅= CHMH …...……………....…………………….. (31) '''''' 109 SBMHrMS −−== ββ ………….……………......…………….. (32) - из троугла C’H’M’ следи: βcos'''' ⋅= HCMC ……………………………..……………(33) Сл. 58– Параметри за изналажење положаја и висине темена D за KK IV-Мm ( ) ( )2212'' hhMSMS −+=ββ .......................................................... (34) ( )2''2''12 MCaMDM +==ββ .......................................................... (35) ( ) ( ) ββββ ββββ λ DMMS aDMMS ⋅⋅ −+ = 2 4 3 arccos 2 22 ....................................................... (36) ______________________________________________________________________ 95 ββ ββ ι MS 109 arcsin= .................................................................................. (37) ιpiκ −= …….....................................................................……..... (38) λιpiν −+= 2 ……......................................................................……...... (39) λκpiµ −−= 2 …......................................................................………… (40) 23 sin hDMh +⋅= ν ββ ……............................................................... (41) ( ) ( )2232'' 1110 hhDMDM −−== ββββ ………………...……...……… (42) '''''' DMMHHD −= ……………………...……………....... (43) ( ) ( ) αcos2 ''''2''2'''' ⋅⋅⋅−+= HDHCHDHCDC ……………...……….. (44) σ piρ −= 2 ………...…...…………………………………. (45) '''''''' DMMSSBDB ++= ……………………...…………...…….. (46) ( ) ( ) ρcos2 ''''12''2''1''1 ⋅⋅⋅−+= DBBODBBODO ........................................ (47) - из троугла D’C’H’ следи: ( ) ( ) ( ) '''' 2 '' 2 '' 2 '' 2 arccos HCDC HDHCDC ⋅⋅ −+ =ω .................................................... (48) ωcos13 '''' ⋅= DCC ............................................................................... (49) - из троугла C’13’D’ следи: ( ) ( )2''2'''' 1313 CDCD −= ...................................................................... (50) ( )2''2'' 13513 DaQP −== γγ …................................................................. (51) γγγγγγ GPCPQP == γγβ QP C '' 1 13 arcsin= ..................................................................................... (52) ( ) ( )2 22 1 2 2 arccos γγ γγ γ QP aQP ⋅ −⋅ = ......................................................................... (53) ______________________________________________________________________ 96 Сл. 59 – Параметри за изналажење положаја и висине темена Q и G за KK IV-Мm 111 βγϕ −= ................................................................................ (54) 1sin14 ϕγγγγ ⋅= QPQ .................................................................... (55) ( ) ( )22 1414 γγγγγγ QQPP −= ......................................................... (56) γγ 1434 Phh −= ..................................................................... (57) γγσ QP a ⋅ = 2 arcsin21 ..................................................................... (58) 111 ϕσε += ............................................................................... (59) 2 1 1 σpi τ − = ................................................................................... (60) γγ γγ δ QP P 14 arcsin1 = ............................................................................. (61) 111 2 3 δτpiχ −−= ........................................................................... (62) 11 χpiη −= .................................................................................... (63) 1sin15 ηγγ ⋅= aQ ...................................................................... (64) ______________________________________________________________________ 97 1cos15 ηγγ ⋅= aG ................................................................... (65) γγ 1545 Ghh += .................................................................................... (66) γγγγ 151413 '' QQG += ...................................................................... (67) αsin 11 '' '' BH = ................................................................................. (68) '''''''''''''' 13133311 GCCRRHHG −−−−−= ............................................. (69) ( ) ( )2''2'''' 1313 DGGD += ..................................................................... (70) - из троугла D’13’G’ следи: '' '' 1 13 arcsin GD D =λ .............................................................................. (71) '' '' 1 13 arccos GD D =ι ................................................................................ (72) - из троугла D’G’H’ следи: ( ) ( ) ( ) '''' 2 '' 2 '' 2 '' 1 2 arccos HGGD HDHGGD ⋅⋅ −+ =κ ..................................... (73) 11 καpiν −−= ............................................................ (74) 1 '''' cos16 ν⋅= GDD ....................................................................... (75) '''''' 1616 DHDH −= ...................................................................... (76) 1 '''' sin16 ν⋅= GDG ........................................................................ (77) 2 317 '' aT = .............................................................................. (78) '''' 16 2 GaVG += ........................................................................ (79) ( )2''2''18 VGaV −= ............................................................................ (80) - из троугла Tα19αVα следи: ( ) ( )2352''16 hhDTV −+=αα ................................................................... (81) - из троугла TαO2αVα следи: ( ) ( ) ( ) '' 2 '' 2 '' 2 1 172 1817 arccos TTV VTTV ⋅⋅ −+ = αα αα µ ................................................... (82) ______________________________________________________________________ 98 ( ) ( ) ( ) '''' 22 '' 2 '' 1 18172 1817 arccos VT TVVT ⋅⋅ −+ = αα α ................................................... (83) Сл. 60 – Параметри за изналажење положаја и висине темена O2 за KK IV-Мm - из троугла Tα19αVα следи: ααρ TV D '' 1 16 arccos= ......................................................................... (84) 111 ρµϑ −= ............................................................................. (85) 11 2 ϑpiω −= ............................................................................. (86) 11 2 ω piψ −= ............................................................................. (87) - из троугла Tα20αO2α следи: 1 ''' 2 ' 2 sin1720 ω αα ⋅== TOTO ........................................................................ (88) 1 '' sin1720 ψαα ⋅= TT ........................................................................... (89) αα 2036 Thh −= ............................................................................... (90) ______________________________________________________________________ 99 ' 2 ''''' 2 16 OTDVO −= ......................................................................... (91) 2 32725 '' a= ................................................................................... (92) ( )2''2'' 161626 Ga −= .......................................................................... (93) Сл. 61 – Параметри за изналажење положаја и висине темена H за KK IV-Мm - из троугла Dβ24βZβ следи: '' ' 2 ' 1 2725 arcsin OT=ζ ........................................................................................ (94) '' 35 1 1626 arcsin hh −=ξ ........................................................................................ (95) 12 2 ζpiβ −= ............................................................................................ (96) 112 2 ζξpiσ −+= ....................................................................................... (97) ( ) ( ) 2''''2''2''' cos16262725227251626 σββ ⋅⋅⋅−+=NZ ........................... (98) ββδ NZ hh 65 2 arccos − = ................................................................................... (99) 22 2 δpiϕ −= ......................................................................................... (100) ______________________________________________________________________ 100 222 βϕpiη −−= ................................................................................ (101) 222 ησpiγ −−= ................................................................................. (102) 222 δγλ −= ..................................................................................... (103) 22 2 λpiκ −= ...................................................................................... (104) 2 '' sin162621 κββ ⋅=N .......................................................................... (105) ββ 2157 Nhh −= ................................................................................... (106) ( ) ( )2752'''''' 1626162 hhHV −−== ..................................................... (107) ( ) 4 2 2 ' 2 ''' 2 aOTDO += ....................................................................... (108) '''' 2 '' 2 22 VVOO += ........................................................................... (109) ( ) 4 2 2 2 '' 2 '' 2 aOHO += ......................................................................... (110) ( ) 2''2''2''2 162      ++= GaVOGO .................................................................. (111) '''''' QGGHQH += ............................................................. (112) '''''' QHCHQC −= .............................................................. (113) ( ) ( )2''2'''' 1313 DQQD += ............................................................ (114) ( )2''1211 BOha += ......................................................... (115) ( )2''222 CBha += ......................................................... (116) ( ) ( )2122''13 hhCOa −+= ......................................................... (117) ( ) ( )2132''14 hhDOa −+= ......................................................... (118) ( ) ( )2232''5 hhCDa −+= ........................................................ (119) ( ) ( )2362''26 hhDOa −+= ........................................................ (120) ( ) ( )2352''7 hhGDa −+= ........................................................ (121) ______________________________________________________________________ 101 ( ) ( )2562''28 hhGOa −+= ....................................................... (122) ( ) ( )2572''9 hhHGa −+= ................................................. (123) ( ) ( )2672''210 hhHOa −+= ................................................. (124) ( ) ( )2242''11 hhQCa −+= ...................................................... (125) ( ) ( )2342''12 hhQDa −+= ....................................................... (126) ( ) ( )2452''13 hhGQa −+= ....................................................... (127) aaaaaaaaaaaaaa ⋅−++++++++++++=∆ 13131211109876543211 (128) На основу итерацијом добијених параметара у софвтверском пакету МATLAB, креиран je програм за моделовање омотача KK IV.18 За свако теме одређене су цилиндричне координате, а вредности радијуса, угла и висине темена су: Теме F: '''' HCrFO += o F 0=β ( )2''''22 34 3 CRRah +−= Теме L: '''' GHrLO += o L 0=β γγ 1545 Ghh −= Теме K: rKO ='' o K 0=β ββ 2157 Nhh −= Теме E: ( )2''2'' 2 HDqaEO ++      = '' 2arcsin EO a n E −= piβ 23 sin hDMh +⋅= ν ββ Теме A: ( )2 2 '' 2 qraAO ++      = n A 2 piβ = 0=Ah Теме O1: '''1' SBqrOO −+= n O piβ =1 1h Теме B: ( )2 2 '' 2 qraBO ++      = n B 2 3piβ = 0=Bh 18 Програм за моделовање омотача KK IV у софтверском пакету MATLAB креиран је у сарадњи са др Гораном Лазовићем. ______________________________________________________________________ 102 Теме C: '''' HCrCO += n C piβ 2= ( )2''''22 34 3 CRRah +−= Теме D: ( )2''2'' 2 HDqaDO ++      = '' 2arcsin DO a n D += piβ 23 sin hDMh +⋅= νββ Теме O2: ''2 ' 2 ' 2OqOO += n O piβ =2 αα 2036 Thh −= Теме G: '''' HGrGO += n G piβ 2= γγ 1545 Ghh −= Теме Q: '''' QHrQO += n Q piβ 2= γγ 1434 Phh −= Теме H: rHO ='' n H piβ 2= ββ 2157 Nhh −= Свака наредна тачка са истом ознаком, удаљена је од претходне (нпр. D и D1) за угао n piβ 2= односно, колико износи прираштај угла у цилиндричној координати сваког темена. 19 9.2 Метрички односи и параметри унутар KK IV генерисане варијантом конструктивног поступка О1CQO*2 Варијантом конструктивног поступка О1CQO*2 користи се решење са већом висином за теме O2. Из тог разлога сви параметри куполе из поглавља 9.1 остају исти до формуле (80). Следи одређивање параметара висине темена O2. - из троугла Tα19αVα следи: ( ) ( )2352''16 hhDTV −+=αα ................................................................. (129) - из троугла TαO2αVα следи: 19 Листинг програма за генерисање омотача KK IV-Mm креираног у софтверском пакету MATLAB на основу алгоритма из Поглавља број 9.1 дат је као Прилог број 12 ______________________________________________________________________ 103 ( ) ( ) ( ) '' 2 '' 2 '' 2 1 172 1817 arccos TTV VTTV ⋅⋅ −+ = αα αα µ ................................................... (130) ( ) ( ) ( ) '''' 22 '' 2 '' 1 18172 1817 arccos VT TVVT ⋅⋅ −+ = αα α ................................................... (131) Сл. 62 – Параметри за изналажење положаја и висине темена O2 за KK IV-mm - из троугла Tα19αVα следи: αα ρ TV D '' 1 16 arccos= ....................................................................... (132) 111 µρψ += ........................................................................... (133) 11 2 ψpiω −= ........................................................................... (134) - из троугла Tα20αO2α следи: 1 '' 2 cos1720 ωαα ⋅= TO ...................................................................... (135) 1 ''' 2 ' sin1720 ωαα ⋅== TOTT ................................................................... (136) αα 236 20 Ohh += ............................................................................. (137) ______________________________________________________________________ 104 ' 2 ''''' 2 16 OTDVO −= ....................................................................... (138) 2 32725 '' a= ................................................................................. (139) ( )2''2'' 161626 Ga −= ........................................................................ (140) - из троугла Dβ24βZβ следи: ''1626== ββββ HNDN ''2725== ββββ HZZD '' 36 1 2725 arcsin hh −=ζ ...................................................................................... (141) '' 35 1 1626 arcsin hh −=ξ ...................................................................................... (142) 12 2 ζpiβ −= .......................................................................................... (143) 112 ξζσ −= ..................................................................................... (144) ( ) ( ) 2''''2''2''' cos16262725227251626 σββ ⋅⋅⋅−+=NZ ......................... (145) Сл. 63 – Параметри за изналажење положаја и висине темена H за KK IV-mm ______________________________________________________________________ 105 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'' 2 '' 2 '' 2 2 27252 16262725 arccos ⋅⋅ −+ = ββ ββ ϕ NZ NZ ………………......……… (146) 222 βϕη −= ................................................................................ (147) 22 2 ηpiγ −= ................................................................................. (148) 122 ξγδ += ............................................................................. (149) 222 δγpiλ −−= ............................................................................... (150) 22 2 λpiκ −= ...................................................................................... (151) 2 '' sin162622 κββ ⋅=N .......................................................................... (152) 2 '' cos162622 κββ ⋅=H ………............................................................ (153) ββ 2257 Hhh += ................................................................................... (154) Даље следе формуле од броја 107 до броја 128 из поглавља број 9.1. ______________________________________________________________________ 106 9.3 Метрички односи и параметри унутар KK IV генерисане варијантом конструктивног поступка О1C*QO*2 Сл. 64 – Параметри за изналажење положаја и висине темена просторног шестостраника ABCDEFO1 за KK IV-mМ ______________________________________________________________________ 107 Сл. 65 – Параметри за изналажење положаја и висине темена просторног шестостраника EDGHKLО2 за KK IV-mМ ______________________________________________________________________ 108 Сл. 66 – Параметри за изналажење положаја и висине темена јединичне ћелије KK IV-mМ Приликом генерисања Конкавне куполе четврте врсте настале варијантом конструктивног поступка О1C*QO*2 формуле од редног броја 3 до 21 из поглавља број 9.1 су почетне формуле у одређивању параметара. γγδ RB h1arcsin= .............................................................................. (155) δpiψ −= 2 ........................................................................................ (156) ψpiο −= 2 ........................................................................................ (157) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )γγγγ γγγγγγ ς BRCR CBRBCR ⋅⋅ −+ = 2 arccos 222 ..................................... (158) ______________________________________________________________________ 109 Сл. 67 – Параметри за изналажење положаја и висине темена C за KK IV-mМ οςι −= .................................................................................................. (159) ιγγγγ sin8 ⋅= CRC ..................................................................................... (160) γγ Chh 812 += ......................................................................................... (161) ( ) 222''3 hCBC −= γγ ..................................................................................... (162) - из троугла B’3’C’ следи: ( )2''2'' 3 4 CaCB += .......................................................................... (163) '' ''3 arcsin CB C =χ .......................................................................... (164) χpiγ −= 2 ......................................................................... (165) - из троугла B’C’O1’ следи: ( ) ( ) ( )γε +⋅⋅⋅−+= cos2 ''''12''2''1''1 CBBOCBBOCO .....……..........……... (166) ' ' ''' 3 CqHC −= …………....……………................…………. (167) ______________________________________________________________________ 110 βsin'''' ⋅= CHMH …...……………....………………..….. (168) βcos'''' ⋅= HCMC ………….……………......……....…… (169) ( ) ( )2''2'''' MCCBMB −= ………….……………......…….……... (170) '''''' MBSBMS −= ……....……....…………………………. (171) Сл. 68– Параметри за изналажење положаја и висине темена D за KK IV-mМ - из троугла BβSβ9β следи: 3 2 arccos 1 a h =η ............................................................... (172) ( )2''2''12 MCaMDM −==ββ ....................................................... (173) ( ) ( )2122'' hhMSMS −+=ββ ....................................................... (174) ( ) ( ) ( ) ββββ ββββββ λ MSDS DMSMDS ⋅⋅ −+ = 2 arccos 222 .................................................. (175) ηλpiµ −−= 22 …..................................................................………… (176) 2 piµν −= …….........................................................................……...... (177) ______________________________________________________________________ 111 ν pi κ −= 2 ……..................................................................……..... (178) κββββ sin11 '' ⋅== DSDSS ............................................................ (179) ( ) ( )22 1111 ββββββ SDSD −= ………………...……...…............…… (180) ββ Dhh 1113 += ....................................................................... (181) '''' 11 MSSDM += ββ ………………................................……..……… (182) '''''' DMMHHD −= …………………….....…………........ (183) ( ) ( )2''2'''' DMMCDC += ......................................................... (184) '''' HDrDB −= ……………………...……….....…….. (185) ( )2''2''1 4 DS aDO += .......................................................... (186) Даље следе формуле од броја 48 до броја 83 из поглавља број 9.1. Промена настаје кадa желимо да одредимо параметре за изналажење положаја и висине темена O2. Сл. 69 – Параметри за изналажење положаја и висине темена O2 за KK IV-mМ ______________________________________________________________________ 112 - из троугла Tα19αVα следи: ααρ TV D '' 1 16 arccos= ....................................................................... (187) 111 ρµϑ −= ........................................................................... (188) - из троугла Tα20αO2α следи: 1 '' 2 sin1720 ϑαα ⋅= TO ...................................................................... (189) 1 '' cos1720 ϑαα ⋅= TT ......................................................................... (190) αα 20236 Ohh += ............................................................................. (191) ' 2 ''''' 2 16 OTDVO −= ....................................................................... (192) 2 32725 '' a= ................................................................................. (193) ( )2''2'' 162616 Ga −= ........................................................................ (194) Сл. 70 – Параметри за изналажење положаја и висине темена H за KK IV-mМ ______________________________________________________________________ 113 - из троугла Dβ24βZβ следи: '' ' 2 ' 1 2725 arccos OT =ζ ...................................................................................... (195) 12 2 ζpiβ −= .......................................................................................... (196) ''2616== ββββ HNND '' 53 1 2616 arcsin hh −=ξ ...................................................................................... (197) 12 2 ξpiγ −= ........................................................................................... (198) 112 ζξσ += ............................................................................................ (199) ( ) ( ) 2''''2''2''' cos16262725227251626 σββ ⋅⋅⋅−+=NZ ......................... (200) ββη NZ VO ''2 2 arcsin= ............................................................................. (201) 22 2 ηpiδ −= ........................................................................................ (202) 122 ξδλ −= ..................................................................................... (203) 222 δλpiϕ −−= ................................................................................. (204) 2 '''' cos26161623 ϕββ ⋅== HN ..................................................................... (205) 2 '' sin261623 ϕββ ⋅=H .......................................................................... (206) ββ Hhh 2357 += ................................................................................... (207) Даље следе формуле од броја 107 до броја 128 из поглавља 9.1. ______________________________________________________________________ 114 9.4 Метрички односи и параметри унутар KK IV генерисане варијантом конструктивног поступка О1C*Q*O2 Варијантом конструктивног поступка О1C*Q*O2 користи се решење са већом висином за темена C и Q. Из тог разлога сви параметри куполе из поглавља 9.3 остају исти до формуле 186. Следи одређивање параметара висине темена Q. ( )2''2'' 13513 DaQP −== γγ …............................................................... (208) γγγγγγ GPCPQP == aCQGQ == γγγγ γγβ QP C '' 1 13 arcsin= ................................................................................... (209) ( ) ( )2 22 1 2 2 arccos γγ γγ γ QP aQP ⋅ −⋅ = ....................................................................... (210) Сл. 71 – Параметри за изналажење положаја и висине темена Q и G за KK IV-ММ ______________________________________________________________________ 115 111 22 3 βγpiσ −−= .................................................................. (211) 11 2 σ piη −= .................................................................. (212) 1sin15 σγγγγ ⋅= GPG ................................................................... (213) 1cos''1315 σγγγγ ⋅== GPGP ............................................................... (214) γγ 1535 Ghh += .................................................................. (215) ( )''1 5132arccos ⋅= aϕ ................................................................... (216) 11 2 βpiε −= ............................................................................. (217) 111 εϕτ += .................................................................................. (218) 1sin14 τ γγ ⋅= aQ ............................................................................ (219) 1 '' cos14 τγγ ⋅== aQCC .................................................................. (220) 1 '' cos51316 εγγ ⋅=C .................................................................. (221) γγ 1424 Qhh += .................................................................................. (222) γγγγγγ 141615'' CCPQG −+= .................................................................. (223) αsin 11 '' '' BH = ............................................................................... (224) '''''''''''' 13133311 GCCHHG −−−−= .......................................... (225) ( ) ( )2''2'''' 1313 DGGD += ................................................................... (226) - из троугла D’13’G’ следи: '' '' 1 13 arcsin GD D =λ ........................................................................... (227) '' '' 1 13 arccos GD D =ι .............................................................................. (228) - из троугла D’G’H’ следи: 11 λpiκ −= ............................................................................ (229) 11 καpiν −−= ........................................................... (230) 1 '''' cos16 ν⋅= GDD ..................................................................... (231) ______________________________________________________________________ 116 '''''' 1616 DHDH −= .................................................................... (232) 1 '''' sin16 ν⋅= GDG ...................................................................... (233) 2 317 '' aT = ............................................................................ (234) '''' 16 2 GaVG += ...................................................................... (235) ( )2''2''18 VGaV −= .......................................................................... (236) - из троугла Tα19αVα следи: ( ) ( )2352''16 hhDTV −+=αα ................................................................. (237) - из троугла TαO2αVα следи: ( ) ( ) ( ) '' 2 '' 2 '' 2 1 172 1817 arccos TTV VTTV ⋅⋅ −+ = αα αα µ ................................................. (238) ( ) ( ) ( ) '''' 22 '' 2 '' 1 18172 1817 arccos VT TVVT ⋅⋅ −+ = αα α ................................................. (239) Сл. 72 – Параметри за изналажење положаја и висине темена O2 за KK IV-ММ ______________________________________________________________________ 117 - из троугла Tα19αVα следи: αα ϑ TV D '' 1 16 arcsin= ....................................................................... (240) 11 2 ϑpiω −= ........................................................................... (241) 111 µωρ −= ........................................................................... (242) 111 ραψ −= ........................................................................... (243) - из троугла Vα20αO2α следи: 1 ''' 2 ' 2 cos1820 ψαα ⋅== VOVO ...................................................................... (244) 1 '' sin1820 ψαα ⋅= VV ......................................................................... (245) αα 2056 Vhh −= ............................................................................. (246) 1 '' cos19 ωαααα ⋅== VTTVT .................................................................... (247) 2 32725 '' a= ................................................................................. (248) ( )2''2'' 161626 Ga −= ........................................................................ (249) ' 2 '''' 2 ' OVVTOT += ........................................................................ (250) Сл. 73 – Параметри за изналажење положаја и висине темена H за KK IV-ММ ______________________________________________________________________ 118 - из троугла Dβ24βZβ следи: '' ' 2 ' 1 2725 arccos OT =ζ ...................................................................................... (251) - из троугла 21βNβDβ следи: '' 35 1 1626 arccos hh − =ξ ...................................................................................... (252) 12 2 ξpiγ −= .......................................................................................... (253) 122 ζγδ −= ..................................................................................... (254) - из троугла NβDβZβ следи: ( ) ( ) 2''''2''2''' cos16262725227251626 δββ ⋅⋅⋅−+=NZ ......................... (255) - из троугла 22βZβNβ следи: βββ NZ hh 65 2 arcsin − = ................................................................................. (256) 122 ςβλ −= ........................................................................................ (257) 222 λβpiϕ −−= ............................................................................... (258) 2 '''' 2 cos2725223 ϕββ ⋅== OZ .............................................................. (259) 2 '' sin272523 ϕββ ⋅=H .............................................................. (260) ββ 2367 Hhh += ................................................................................... (261) ( ) ( )2''2'''' 1616 GHHG −= ..................................................... (262) Даље следе формуле од броја 108 до броја 128 из поглавља број 9.1. ______________________________________________________________________ 119 10.0 ОПШТИ ПРИНЦИП НАСТАНКА КОНКАВНИХ КУПОЛА ВИШИХ ВРСТА 10.1 Одређивање броја страница највећег полигона основе у оквиру једне врсте Конкавних купола Набирањем омотача који се састоји од четри низа једнакостраничних троуглова, настају Конкавне куполе четврте врсте, описане у претходним поглављима. Куполе четврте врсте могу имати полазне полигоне до n=21. Конкавне куполе четврте врсте имају четири низа једнакостраничних троуглова у мрежи омотача, тако да је, за куполе код којих број ивица основе премашује 21, неопходно повећати број низова једнакостраничних троуглова у мрежи омотача. То је неопходно јер ортогонално растојање од ивица основа (n-тоугаоника и 2n- тоугаоника) премашује вредност 32a , четвороструку висину једнакостраничног троугла. На тај начин, уместо Конкавних купола четврте врсте, настају куполе: шесте, осме, десете и виших врста. Врста купола диктирана је бројем редова једнакостраничних троуглова у мрежи, тј. ширином траке омотача у функцији од висине једнакостраничног троугла омотача и дистанце између n-тостраног и 2n- тостраног полигона. Предмет истраживања је постојање опште формуле за израчунавање броја страница највећег могућег полигона основе за сваку врсту купола, а самим тим и одређивање броја представника сваке врсте. На Сл. 14 у поглављу број 5.2, ортогонално растојање од ивица основе (n-тоугаоника и 2n-тоугаоника) означили смо са r. У поглављу 9.1 формула број (4) даје нам вредност за r у функцији странице a једнакостраничног троугла и броја n ивица полигона основе. Са друге стране, ако желимо да одредимо највећег могућег представника у оквиру једне врсте купола, ортогонално растојање од ивица основе n-тоугаоника и 2n-тоугаоника мора бити једнака умношку висине ______________________________________________________________________ 120 једнакостраничног троугла странице а и броја низова троуглова у мрежи (броја који представља врсту куполе). Зато постављамо једнакост: 2 3 sin 2 ax n a =      pi (263) где x означава врсту куполе. Из наведене једнакости израчунавамо вредност за nmax, број страница полигона нaјвеће куполе у оквиру једне врсте. 3 1 arcsin max x n pi = (264) Ако за nmax усвојимо први мањи целобројни број који смо добили применом формуле, добијамо да је за: - Конкавне куполе друге врсте ........ nmax = 10 - Конкавне куполе четврте врсте ..... nmax = 21 - Конкавне куполе шесте врсте......... nmax = 32 - Конкавне куполе осме врсте .......... nmax = 43 - Конкавне куполе десете врсте ....... nmax = 54 итд. Анализом добијених вредности изводимо закључак, да за сваку врсту Конкавних купола можемо формирати омотач (са парним бројем низова једнакостраничних троуглова) над 11 додатних полигоналних основа у односу на Конкавне куполе ниже врсте. Једини изузетак су Конкавне куполе друге врсте јер, као што је то описано у поглављу број 6.0, Конкавне куполе друге врсте се могу генерисати над седам различитих полигоналних основа (4≤n≤10). Конкавне куполе друге врсте су изузетак и по томе што једино код њих не треба додавати троуглове у већ постојећу равну мрежу тела. ______________________________________________________________________ 121 10.2 Одређивање броја темена, ивица и страна Конкавне куполе више врсте У поглављу број 6.0 је дато да за сваку Конкавну куполу друге врсте над n-тостраном полигоналном основом важи да је: - број темена: V = 5n - број ивица: Е = 12n - број страна: F = 7n+2 За Конкавне куполе четврте врсте, над n-тостраном полигоналном основом важи да је: - број темена: V = 15n - број ивица: Е = 42n - број страна: F = 27n+2 Предмет истраживања у овом поглављу рада је постојање опште формуле за израчунавање броја темена, ивица и страна произвољне Конкавне куполе више врсте. Имајући у виду описани поступак генерисања Конкавних купола можемо изнети да за било коју Конкавну куполу више врсте, над n- тостраном полигоналном основом, важи: - број темена израчунавамо формулом: n xV ⋅= 2 5 (265) - број ивица израчунавамо формулом: n xE ⋅      −= 3 2 15 (266) - број страна израчунавамо формулом: ( ) 235 +⋅−= nxF (267) где x означава врсту куполе. Ако добијене вредности унесемо у Ојлерову формулу добијамо да је Ојлеров број једнак броју 2, што је карактеристика свих полиедара. ______________________________________________________________________ 122 11.0 КОНКАВНЕ АНТИПРИЗМЕ ДРУГЕ ВРСТЕ НАД ПРАВИЛНОМ ПОЛИГОНАЛНОМ ОСНОВОМ Конкавна антипризма друге врсте (KA II) је полиедар чија се мрежа састоји од дворедне траке једнакостраничних троуглова, а основа је правилни полигон (Сл. 74). Троуглови су распоређени у таквом поретку да образују просторне шестостранике, слично као код Конкавних купола друге врсте [46], [48], [50], и полиграматик антипризме [31]. Савијањем и спајањем одговарајућих ивица добија се затворени, прстенасти фрагмент полиедарске површи - омотач Конкавне антипризме друге врсте који се састоји од просторних шестостраних ћелија. Број јединичних ћелија, просторних шестостраника, одређен је бројем страна основе. Основа око које се формира конкавна антипризма друге врсте може бити било који правилни полигон. а) б) Сл. 74 - Конкавна антипризма друге врсте: а) KA II-10M, б) KA II-10m Знајући да је шест једнакостраничних троуглова образованих око заједничког темена немогуће склопити у конвексну полиедарску темену фигуру, долазимо до закључка да ће формирани фрагмент полиедарске површи, као и код омотача Конкавних купола, обавезно бити конкаван. Над истом полигоналном основом увек ће се појавити две конкавне антипризме друге врсте: ______________________________________________________________________ 123 а) KA II-M, са већом висином (удубљено централно теме G просторног шестостраника ABCDEFG); б) KK II-m, са мањом висином (испупчено централно теме G просторног шестостраника ABCDEFG). a) б) Сл. 75 - Ортогоналне пројекције Kонкавне антипризме друге врсте: а) KA II-10M, б) KA II-10m Један сегмент мреже Конкавне антипризме друге врсте, просторни шестостраник ABCDEFG приказан је на Сл. 76. Чини га шест једнакостраничних троуглова формираних око заједничког темена G. Да би смо могли да дефинишемо параметре овог тела, неопходно је да поставимо претходне полазне услове које овакав просторни шестостраник мора да испуњава, како би радијалним низањем њему идентичних ћелија око осе k, могла бити затворена геометријска целина – мрежа Конкавне антипризме друге врсте: ______________________________________________________________________ 124 Сл. 76 – Јединична ћелија Конкавне антипризме друге врсте: а) KA II-10M, б) KA II-10m - раван α је вертикална симетрална раван ивица AB и DE, теме G припада равни α; - вертикална раван β одређена је осом k и теменима B, C и D; - ивице AB и DE су хоризонталне и налазе се у истој вертикалној равни; - ивице CG и FG припадају истој хоризонталној равни која се налази на половини висине просторног шестостраника ABCDEFG. a) б) ______________________________________________________________________ 125 Да би смо одговорили на питање – како пронаћи висину антипризме, треба увидети да је проблем који се јавља вишег степена. Разлог лежи у томе што се просторни хексаедар ABCDEFG понаша као механизам, чије ћемо карактеристике испитати у даљем раду. Треба да дефинишемо кретање овог механизма, уз поштовање горе наведених услова. Тачка C просторног шестостраника ABCDEFG налази се на сфери полупречника r=a (ивици једнакостраничног троугла), са центром у темену G. Тачка C налази се и на сфери полупречника r=a, са центром у тачки B. Хоризонтална раван, чија висина је једнака висини тачке G, сече дате сфере по кружницама у чијем пресеку добијамо положај тачке C. Полазећи од ових претпоставки, можемо итеративним путем потражити положаје тачке Cn у зависности од претпостављеног почетног положаја централног темена Gn. На Сл.77 приказан је фрагмент тако генерисане трајакторије темена C. Из услова да теме C мора припадати и равни β добијамо тражени положај темена C и G, а самим тим и висину антипризме у трансформацијској равни ββ. Сл. 77 – Генеза трајакторије темена C и конструкција висине Конкавне антипризме друге врсте ______________________________________________________________________ 126 Сл. 78 - Прва пројекција трајакторије темена C Трајакторија темена C, од почетне висине х=0 (C1=А) до максималне висине (G6C6) приказана је на Сл. 78. Видимо да раван β два пута сече трајакторију што и одговара нашој претпоставци да за исту основу добијамо две антипризме: са удубљеним и испупченим теменом G. Када је теме G унутар простора антипризме, теме C је са спољашње стране и обрнуто. На Сл. 78 дата је прва пројекција трајакторије коју у простору добијамо као пресек сфере и површи IV реда – Боемске куполе (Bohemian Dome) што је приказано на Сл. 79. Сфера је полупречника r=а, са центром у тачки B. Бомеску куполу генеришу хоризонталне кружнице полупречника r=а, које се крећу по директриси – кружници, пресеку дате сфере и вертикалне равни α. Са просторног модела (Сл. 80) трајакторије ______________________________________________________________________ 127 темена C можемо директно очитати висину темена C, а самим тим знамо и висину целе антипризме. Сл. 79 – а) Боемска купола (Bohemian Dome), б) Пресек сфере и Боемске куполе Сл. 80 – Просторни модел трајакторије темена C Осим Конструктивно-геометријског метода у решавању проблема налажења висине Конкавне антипризме друге врсте, може се прибећи и аналитичким методама. Постављањем одговарајућег алгоритма и применом итеративних нумеричких поступака добијају се вредности тражених параметара са задовољавајуће малом грешком. a) б) ______________________________________________________________________ 128 Сл. 81 - Параметри и метрички односи унутар шестостраника ABCDEFG са удубљеним теменом G Сл. 82 - Параметри и метрички односи унутар шестостраника ABCDEFG са испупченим теменом G ______________________________________________________________________ 129 Уочена грешка је 0,0000004 за постављену величину странице а=1, што свакако представља занемарљиво малу грешку са становишта практичне употребе овог алгоритма у димензионисању архитектонско грађевинске структуре засноване на геометрији Конкавних антипризми друге врсте. Алгоритам, постављен према Сл. 81, за налажење параметара Конкавне антипризме са удубљеним теменом G, разликује се од алгоритма за антипризму са испупченим теменом G (Сл. 82) само у формулама брoj (273) и (275). Овај алгоритам важи за сваку основу, правилни полигон са бројем страница n. Дакле, на основу слика 81 и 82, можемо применити следећи алгоритам: n piϕ = .............................................................. (268) ϕsin2 '''' a rBKAK === .............................................................. (269) ϕcos'1' ⋅== rqK .............................................................. (270) 3 2 aGD =αα .............................................................. (271) 223 2 1 '1' habG −== ............................................................. (272) aDC =ββ ............................................................. (273) 224 2 1 '' hadBC −== ............................................................. (274) dreCK +=='' ............................................................. (275) dreCK −=='' - код шестостраника ABCDEFG са испупченим теменом G ϕsin''2 ⋅== efC ............................................................. (276) qfep −−== 22'2'1 ............................................................... (277) 22 '2'1 feqp −−== - код шестостраника ABCDEFG са испупченим теменом G ( ) 221'' fbpaCG ++== ............................................................ (278) 1aa −=∆ ........................................................... (279) ______________________________________________________________________ 130 У датом алгоритму улазне вредности су: n - број темена основе a - страница полигона основе ∆ - очекивана грешка након извршеног поступка итерације. У Таб. 2 дате су вредности параметара KA II за три изабране полигоналне основе добијене применом итерације на основу горе презентованог алгоритма. Таб. 2 - Параметри Конкавне антипризме друге врсте за три изабране полигоналне основе и усвојену величину странице a =1 KA -10M KA -10m KA -100M KA -100m KA -1000M KA -1000m N 10 10 100 100 1000 1000 h 1.67384928 1.572303 1.637834 1.627958 1.633486 1.6324988 r 1.618033989 1.618033989 15.9181126 15.9181126 159.1552049 159.1552049 q 1.538841769 1.538841769 15.91025798 15.91025798 159.1544195 159.1544195 b 0.222614346 0.363270999 0.281735598 0.295699489 0.287977207 0.289373318 m 3.34769856 3.144606 3.275668 3.255916 3.266972 3.2649976 d 0.547318141 0.618033833 0.573911968 0.5808943 0.577001622 0.577699677 e 2.165352129 1.000000155 16.49202457 15.3372183 159.7322065 158.5775052 f 0.669130607 0.309017042 0.518027011 0.481753669 0.501812701 0.498185106 p 0.520530484 0.587785104 0.573628777 0.580607664 0.576998775 0.577696826 ∆ 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 На основу приложене табеле видимо да са порастом броја страна полигона основе висина KА II-M опада, супротно од KА II-m где са порастом броја страна полигона основе висина антипризме расте. За сваку Конкавну антипризму друге врсте над n-тостраном полигоналном основом важи да: - број темена израчунавамо формулом: V = 4n - број ивица израчунавамо формулом: Е = 10n - број страна израчунавамо формулом: F = 6n+2 Ако добијене вредности унесемо у Ојлерову формулу (1) видимо да је Ојлеров број једнак броју 2, што је карактеристика свих полиедара. ______________________________________________________________________ 131 12.0 ГРУПЕ ПОЛИЕДАРА КОЈЕ НАСТАЈУ ВАРИЈАЦИЈАМА КОНКАВНИХ КУПОЛА ЧЕТВРТЕ ВРСТЕ Конкавне куполе четврте врсте за полазни n-тоугаоник имају полигон код којег је n≤21, а омотач чине низови једнакостраничних троуглова, формирајући при томе конкавни полиедар. Над истом полигоналном основом развијају се четири типа Конкавне куполе четврте врсте, које можемо добити варијантама конструктивног поступка: О1CQO2, О1CQO*2, О1C*QO*2 и О1C*Q*O2 што је детаљно описано у поглавњу број 8.0. У Џонсоновој класификацији конвексних полиедара [32] појављује се 19 тела насталих од купола J3, J4 и J5 поступцима: жироротацијом, елонгацијом (издуживањем), жироелонгацијом, аугментацијом (увећањем). Испитајмо начин генерисања полиедара који настају варијацијама Конкавних купола четврте врсте. У раду су коришћени исти принципи као и код [53], [62], [67], [69], [70], где је био циљ проширење списка правилних конвексних полиедара. Сл. 83 - Формирање бикуполе: а) ортобикупола, б) жиробикупола, (урађено по угледу на слику број 4 из рада [53]) n pi б) a) ______________________________________________________________________ 132 Ако придружимо две KK IV са истом полигоналном основом добијамо бикуполу (Сл. 83). Код oртобикупола раван заједничког 2n–тостраног полигона основе је и раван симетрије. Укупно, такав полиедар има n+1 равни симетрије (заједнички 2n–тострани полигон и по једна раван за сваку његову страну). Жиробикупола настаје ротацијом једне од купола за угао n pi α = . У овом раду увек ће се ротирати горња купола, односно купола изнад заједничког 2n– тостраног полигона. Оса ротације је ортогонална на раван основе и заједничког 2n – тостраног полигона. Елонгирана бикупола настаје додавањем прстена који повезује две половине основне бикуполе. Омотач прстена чине правилни полигони над одговарајућом базом (2n –тострани полигон заједничке основе Конкавних купола у саставу бикуполе). За овај прстен можемо користити 2n –тостране призме и 2n –тостране антипризме. Сл. 84 – Елонгирана бикупола: а) елонгирана ортобикупола, б) елонгирана жиробикупола, в) жироелонгирана бикупола А, г) жироелонгирана бикупола Б, (урађено по угледу на слику број 5 из рада [53]) У првом случају, бикупола је елонгирана за дужину ивице – стране полигона основе и добијамо елонгирану ортобикуполу (Сл. 84-а). Применом 2n – тостране антипризме добијамо жироелонгирану бикуполу и разликујемо две могуће конструкције: б) в) г) а) n pi n2 pi n2 3pi ______________________________________________________________________ 133 - горња купола у саставу бикуполе се рортира за угао n2 pi (Сл. 84-в) и - горња купола у саставу бикуполе се ротира за угао n2 3pi (Сл. 84-г). За обе конструкције оса ротације је ортогонална на раван основе и заједничког 2n –тостраног полигона. Елонгиране бикуполе могу настати и додавањем прстена Конкавних антипризми друге врсте чији омотач чини конкавна делтаедарска површ [53]. Генерисање Конкавних антипризми друге врсте описано је у поглављу број 11.0. Над истом полигоналном основом увек можемо конструисати две Конкавне антипризме друге врсте, KA II-M и KA II-m. Обе Конкавне антипризме можемо користити за елонгацију бикуполе те тако настаје: - конкаелонгирана ортобикупола тип А (Сл. 85-а) - конкаелонгирана жиробикупола тип А (Сл. 85-б) - конкаелонгирана ортобикупола тип Б (Сл. 85-в) - конкаелонгирана жиробикупола тип Б (Сл. 85-г) Сл. 85 - Елонгирана бикупола: а) конкаелонгирана ортобикупола тип А, б) конкаелонгирана жиробикупола тип А, в) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, г) конкаелонгирана жиробикупола тип Б, (урађено по угледу на сл. бр. 6 [53]) Полиедари који настају варијацијама (описаним у претходном излагању) Конкавних купола четврте врсте за свe четири варијанте конструктивног поступка (О1CQO2, О1CQO*2, О1C*QO*2 и О1C*Q*O2) приказани су на сликама Сл. 86 - Сл. 89. а) б) в) г) n pi n pi ______________________________________________________________________ 134 Сл. 86 – Варијације KK IV-15Mm: а) ортобикупола, б) жиробикупола, в) елонгирана ортобикупола, г) елонгирана жиробикупола, д) жироелонгирана бикупола тип А, ђ) жироелонгирана бикупола тип Б, е) конкаелонгирана ортобикупола тип А, ж) конкаелонгирана жиробикупола тип А, з) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, и) конкаелонгирана жиробикупола тип Б а) б) в) г) д) ђ) е) ж) з) и) ______________________________________________________________________ 135 Сл. 87 – Варијације KK IV-15mm: а) ортобикупола, б) жиробикупола, в) елонгирана ортобикупола, г) елонгирана жиробикупола, д) жироелонгирана бикупола тип А, ђ) жироелонгирана бикупола тип Б, е) конкаелонгирана ортобикупола тип А, ж) конкаелонгирана жиробикупола тип А, з) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, и) конкаелонгирана жиробикупола тип Б а) б) в) г) д) ђ) е) ж) з) и) ______________________________________________________________________ 136 Сл. 88 – Варијације KK IV-15mM: а) ортобикупола, б) жиробикупола, в) елонгирана ортобикупола, г) елонгирана жиробикупола, д) жироелонгирана бикупола тип А, ђ) жироелонгирана бикупола тип Б, е) конкаелонгирана ортобикупола тип А, ж) конкаелонгирана жиробикупола тип А, з) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, и) конкаелонгирана жиробикупола тип Б а) б) в) г) д) ђ) е) ж) з) и) ______________________________________________________________________ 137 Сл. 89 – Варијације KK IV-15MM: а) ортобикупола, б) жиробикупола, в) елонгирана ортобикупола, г) елонгирана жиробикупола, д) жироелонгирана бикупола тип А, ђ) жироелонгирана бикупола тип Б, е) конкаелонгирана ортобикупола тип А, ж) конкаелонгирана жиробикупола тип А, з) конкаелонгирана ортобикупола тип Б, и) конкаелонгирана жиробикупола тип Б а) б) в) г) д) ђ) е) ж) з) и) ______________________________________________________________________ 138 13.0 МОГУЋНОСТИ ПРИМЕНЕ КУПОЛА СА КОНКАВНИМ ПОЛИЕДАРСКИМ ПОВРШИМА У АРХИТЕКТУРИ У досадашњој анализи, овај рад се првенствено бавио природом форме Конкавних купола – конструктивно геометријским генерисањем Конкавних купола, начинима груписања њихових елемената и метричким односима и параметрима унутар склопа. Кад говоримо о функционалној анализи, утврдићемо формалне карактеристике Конкавне куполе као архитектонског објекта, са предлогом функција и садржајем унутрашњег простора. 13.1 Примена просторних шестостраника у архитектури Структурална ефикасност и архитектонски изглед грађевинских форми постаје све значајнија област инжењерства, посебно због све шире доступности рачунарских алатки. Реализација и веома сложених облика постаје доступна, што није било могуће постићи традиционалним средствима. Већина грађевинских објеката које данас срећемо, садрже у себи нешто од геометрије полиедарских структура, било да се ради о једноставним (призма, коцка) облицима или сложеним облицима просторних решетки, које користе геометрију Платонових тела [42]. Архитектонска употреба ових образаца и њихов утицај на наше окружење је од општег значаја. Они могу да дефинишу општи облик зграде, као и њену унутрашњу конфигурацију. Дизајн полиедарских структура који можемо уочити у различитим природним формама, нпр. молекула и кристала, извор је надахнућа за истраживање форми у дизајнирању различитих инжењерских структура. Ово је навело савремене инжењере да потраже облике изван уобичајених правоуглих образаца на које смо навикли и окрену се свету облика који укључује троугао, шестоугао и друге правилне (па и неправилне) полигоне. Архитекта Норман Фостер (Norman Foster) је на челу листе инжењера и архитеката који су у ______________________________________________________________________ 139 последњих двадесет година популаризовали овакав приступ архитектонској форми. Године 2001. Фостер и његов биро започели су рад на два значајна пројекта, у Лондону и Њујорку, где су оба промовисала јединствену дијамантску структуру која се простире стакленим фасадама. У Лондону то је небодер Swiss Re, а у Њујорку Hearst Tower, четворострани торањ који се сажима сваких седам спратова, а чију конструкцију карактеришу троугласти спољни подупирачи, уводећи на велика врата употребу дијагоналног конструктивног система. Од 2003. године, примена полиедарских површи приметна је у низу великих пројеката широм света. Пројекти архитектонског бироа OMA, Јавна библиотека у Сијетлу, САД; Прада продавница архитеката Херцога и Морона (Hercog & de Meuron) у Токију, Јапан; Сарагоса мост-павиљон (Zaragosa Bridge) у Шпанији и Кућа опере у Гуангџоу у Кини (Сл. 91), пројекти бироа Захе Хадид (Zaha Hadid Architects); зграда Кинеске националне телевизије CCTV у Пекингу; Кула у Калгарију (The Bow Tower), Канада; Либескиндова кула у Њујорку (Libeskind Freedom Tower), САД; Атлетски центар (Сл. 90) Универзитета у Синсинатију (Athletics Center, University of Cincinnati). Сл. 90 - Атлетски центар Универзитета у Синсинатију, 2001-2006n http://www.tschumi.com/projects/7/ncinnati Заједничка црта за све наведене објекте је примењени конструктивни систем - „диагрид“ (diagonal grid) структура. Укрштени елементи стварају интегралну мрежу преко површине објекта која се одупире сили ветра и тежини ______________________________________________________________________ 140 објекта. Присуство овог егзоскелета као последицу има смањење унутрашњих конструктивних елемената, присуство широких простора са великом флексибилношћу у организацији. Сл. 91 - Кућа опере у Гуангџоу у Кини, Zaha Hadid Architects http://ineedaguide.blogspot.com/2011/02/guangzhou-opera-house-by-zaha-hadid.html У неким ранијим истраживањима употребе полиедарских форми у градитељству, поменимо Фулера (Richard Buckminster Fuller) и Хуиберса (Pieter Huybers), углавном је првенство давано конвексним полиедарским формама, које су из више разлога природан избор за градитељске структуре: због своје стабилности, искористивости и рационалности (мањи однос површина- ______________________________________________________________________ 141 запремина). Уз све наведено, можемо се уверити да и конкавне полиедарске форме у новије време добијају све већи простор и примену у примерима употребе ових форми као архитектонски детаљ или као носиоц форме читаве структуре [20], [55], [56]. Сл. 92 - Примена просторних шестостраника на примеру „Акустичних облака“ извор: http://www.bouroullec.com/ и [68] На Сл. 92 видимо примену конкавних, просторних шестостраника као архитектонског детаља у екстеријеру и ентеријеру [68]. Просторни шестостраник је и основна ћелија у саставу већине Купола са конкавним полиедарским површима. Присутан је и у мрежи досад изведених диагрид система (Hearst Tower у Њујорку, небодер Swiss Re у Лондону, Кућа опере у Гуангџоу у Кини, Атлетски центар Универзитета у Синсинатију). Гледано чисто геометријски, шестоугао је природан редослед у мрежи сачињеној од троуглова. Притом, то је конструкција коју карактерише (ако изоставимо услов компланарности и једнакообразности ______________________________________________________________________ 142 саставних троуглова) могућност великог броја комбинација. Добар пример је и употреба просторних шестостраника у дизајну акустичних облака [68]. Поступак изграђивања простора на принципима и законима еколошког уважавања, заснива се на идеји да објекат није постављен на тле, већ из њега израста, а функција објекта се осигурава поштовањем и искоришћењем природних услова средине у којој се објекат налази. Пример синтезе објекта и непосредног окружења је и Комплекс спортских објеката Универзијаде 2011, Шенжен (Shenzhen), Кина. То су објекти који својом формом и структуром наглашавају употребу просторних шестостраника. Са друге стране, чињеница да су пројектовани у истом временском периоду (2006.г.) кад је и независно у Београду настала идеја о делтаедарском омотачу Конкавних купола [46], а у међувремену успешно реализовани, потврђује оправданост и актуелност проучавања Купола са конкавним полиедарским површима. Оригинална скица првобитне идеје аутора комплекса у Шенжену, да структура објекта прати линију побрђа у непосредном окружењу приказана је на Сл. 93. Сл. 93 – Идејни пројекат Комплекса Универзијаде 2011 у Шенжену http://arquigrafia.arquitecturacritica.com.ar/2011/09/universiade-sports-center-gmp.html Комплекс спортских објеката Универзијаде 2011 у Шенжену je пројекат Gerkan, Marg and Partner Architects (GMP Architekten), након освајања првог места на међународном конкурсу 2006.г. Све објекте комплекса карактерише „кристални“ облик, који је додатно наглашен ноћним осветљењем транспаретног фасадног платна. Вештачко језеро повезује стадион (капацитет 60.000 посеталаца) са кружном мултифукционалном халом (18.000) на северу и правоугаоном халом за пливачке спортове (3.000) на западу. ______________________________________________________________________ 143 Сл. 94 – Комплекс спортских објеката Универзијаде 2011, Шенжен, Кина, извор: http://www.gmp-architekten.com/projects/universiade-sports-center.html Сл. 95 – Вишенаменски стадион Универзијаде 2011, Shenzhen, Кина, извор: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=983902&page=6 ______________________________________________________________________ 144 Вишенаменски централни стадион је пројектован да задовољи све критеријуме међународних спортских догађаја. Укупан пречник крова је 310 метара по дужини и 290 метра по ширини. (Сл. 95). На структури фасадног платна уочавају се троугаона поља неједнаких страница на челичним носачима, конструктивно независним од самог објекта зграде (Сл. 96). Сл. 96 – Изглед конструкције фасадног платна стадиона Универзијаде 2011 извор: http://www.gmp-architekten.com/projects/universiade-sports-center.html Исти ауторски тим (GMP Architekten) реализовао је и Кристалну халу у Бакуу (Baku Crystal Hall) у Азербејџану. Сл. 97 – Кристална хала (Crystal Hall), Баку, Азербејџан http://cache.artpeople.az/photos/large/h/q/k/hqkapbqz.jpg ______________________________________________________________________ 145 Хала капацитета 25.000 гледалаца, је завршена за рекордних 8 месеци захваљујући чињеници да су три компоненте хале (модуларни стадион, кров и спољна фасада) дизајниране, конструисане и монтиране на лицу места паралелно. Сл. 98 – Детаљ фасаде Кристалне хале, Баку, Азербејџан http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=1460994&page=11 Хала је препознатљива по својој фасади (Сл. 98) која се заснива на структури конкавне површи, а чини је прозирна мембрана на челичној структури. У склопу мембране је и 45000 светлосних тела која доприносе вечерњем „кристалном“ сјају хале. Наведени примери су потврда да су форме блиске Конкавним куполама, не само изводљиве у грађевинском и архитектонском смислу, већ су и веома атрактивне. С обзиром на то да су описани објекти изграђени у претходне две године, за облике овакве геометрије се може са сигурношћу рећи и да су веома актуелни и ефектни. ______________________________________________________________________ 146 13.2 Повезивање геометријског и архитектонског тумачења појма куполе 13.2.1 Анализа геометријских елемената у генерисању куполе као архитектонске форме Куполе могу бити различитих форми. Веома често се формирају над кружним основама, али основе могу бити и елиптичне, полигоналне или сложене основе настале комбинацијом полигоналних и кривих линија. Куполе се изводе различитим материјалима, али се пре свега оне међусобно разликују по конструктивном систему. Конструктивни систем своје полазиште налази у геоеметрији елемената који ротацијом око централне осе генеришу куполу. Куполе линеарног принципа конструисања У свом развоју армирани бетон се заснивао на принципу линеарног конструисања. Често се користе лучни радијални носачи за формирање куполастих система у својству примарних носача. Овакви облици радијалних носача могу пратити геометрију лука било које познате криве, или пак коленасто угаоно изведени. Најчешће су лукови параболе, елипсе или геометрије кружног лука. Куполе ламелних система Класичан начин грађења засведених конструкција лучним радијалним носачима био је праћен великим трошковима. Резултат у истраживању економичнијих форми грађења засведених конструкција су ламелни конструктивни системи. Први објекти били су полуобличасти сводови, а грађени су од дрвених ламела. Ламеле су, у ствари, штапови одређених димензија који се могу погодно везивати у једну лучну целину. Ова врста монтажне градње брзо је нашла примену и у изградњи купола. Поред дрвета коришћен је и бетон, челик и алуминијум. Обликовање купола од префабрикованих ламелних система указује на стремљење ка изузетним просторним формама и све лакшим структурама. ______________________________________________________________________ 147 Закривљене површи – љуске Конструктивно обликовање које је довело до просторног преношења утицаја у конструкцији, допринело је великој редукцији сопствене тежине конструкције и правој револуцији у пресвођењу објеката великих распона [60]. Двоструко закривљене површи са позитивном Гаусовом кривином формираће конвексне куполе, као и ротационе површине са вертикалном или хоризонталном осом ротације, са меридијаном у облику кружног лука (сферна површина и површина облика ротационог параболоида и елипсоида). Префабрикација је узела маха код плитких сферних љуски или сферних калота а остали облици изводе се по правилу у монолитном бетону. Код објеката са основама које одступају од кружног или полигоналног облика (неправилни полигони или основе састављене од кружних лукова и полигона) појављују се куполе као део ротационе љуске, при чему се најрадије користи сферни облик. Елиптичне љускасте куполе – ротационе елипсоидне калоте већином веома плитког облика, користе се чешће од високих елипсоида или параболоида, који се употребљавају код зграда велике висине просторија при релативно малој кружној површини основе. Сферне калоте сечене вертикалним равнима, као и пресеци параболоида и елипсоида су најчешће извођени као армирано бетонске куполе великих површина. Куполе од просторних решетки Просторне решетке представљају природну допуну масивних конструкција, плоча и љуски. Њихова улога у савременим конструкцијама је слична улози равних решетки у традиционалним, где ове допуњују, или у датим случајевима замењују пуне носаче и пуне везаче. Облици просто и двојно закривљених просторних решетки погодних за објекте су: а) бачвасте конструкције од мреже штапова, б) куполе од мреже штапова, ц) конусне конструкције од мреже штапова и д) транслационе конструкције од мреже штапова. Геодезијске куполе састављене су од мреже кратких штапова међусобно повезаних у чворове, што формира основну просторну мрежу ______________________________________________________________________ 148 геометријских облика (троугао и шестоугао). Штапови геодезијске куполе леже на главним круговима (геодезијским линијама) лопте и формирају троуглове који се могу добити и тако што се крајње тачке ивица било ког правилног Платоновог полиедра пројектују из центра полиедра на сферу, описану око усвојеног полиедра [44]. Тенсегрити куполе Бакминстер Фулер је увео појам интегрално затегнута (тенсегрити) целина, који је дефинисао речима: „Систем интегрално затегнутих (тенсегрити) целина се успоставља узајамним дејством између дисконтинуалних компоненти изложених притиску и континуалних затегнутих компоненти, које заједно образују стабилан облик у простору“ [45]. Купола се може развити над сферном и полигоналном основом, а основни геометријски градивни елемент је низ притиснутих штапова у нагибу и више концентричних прстена од ужади. Пнеуматичне куполе и куполе од висећих конструкција Пнеуматичним се називају оне конструкције код којих разлике у притиску утичу на облик и стабилизацију. Пнеуматичне конструкције су напрегнуте на затезање, а њихов прототип је балон чији се меки омотач стабилизује притиском гаса и тиме оспособљава да прими не само притисак гаса већ и друга оптерећења. Геометријски корени пнеуматичних купола су надуване сферне структуре, полусфере и сферни одсечци. Плитке пнеуматичне куполе користе се за покривање великих површина, а полулоптасте куполе за грађевине са великом висином и за пројекте неземаљских објекта, јер су погодне за пријем великих разлика у притисцима. Трочетвртинске куполе су примењиване код радарских одашиљача. Као и код висећих конструкција, савремена архитетура све више посеже за слободним формама код обликовања пнеуматичних купола. Све горе наведени начини извођења купола као резултат нам дају један јединствени конвексан простор. Имајући у виду дефиницију конкавног полиедра поставља се питање: да ли се и у архитектонској пракси могу срести куполе са конкавним површима? Односно геометријски речено, да ли постоје куполе код којих можемо повући дуж која спаја две тачке дате куполе, а да она не лежи у потпуности унутар затвореног простора? ______________________________________________________________________ 149 Одговор на напред постављено питање је свакако позитиван. Конкавне куполе настају поларним распоредом делова (исечака) двоструко закривљених површи са негативном Гаусовом кривином (хиперболичког параболоида), транслаторних површи једноструке кривине (цилиндричних површи), ротационих површи (ротационог хиперболоида) и коноидних површи. Најчешће се комбиновањем делова датих површи и њиховим поларним распоредом око централне осе добијају разноврсне могућности за формирање конкавних купола. Примена ових купола је подстицана богаством облика, јер су њихове конструктивне и обликовне могућности многостране, те се објекти истичу лепотом, елеганцијом и смелошћу конструкције, а основа може да поприми врло различите облике. Конкавне куполе конструктивног система равних површина – набора, као и куполе од висећих конструкција саставни су део изведених архитектонских објеката. У духу напред реченог, можемо и Куполе генерисане од конкавних полиедарских површи које су тема овог рада, слободно разматрати и предложити за примену у архитектури и грађевинарству. Да би структуре које се ослањају на геометрију Конкавних купола затварале целовити простор, односно да би смо избегли постојање великих равних површина (које су заправо полигоналне основе сваке Конкавне куполе) приступамо спајању Конкавних купола, Конкавних антипризми и Конкавних пирамида20 у јединствену структуру. 20 Конкавне пирамиде, коришћене у овом раду, су половине језгра Тороидних делтаедара друге врсте [46]. ______________________________________________________________________ 150 13.2.2 Формирање просторних структура комбиновањем Конкавних купола, Конкавних антипризми и Конкавних пирамида Композитни полиедар настао спајањем Конкавне куполе четврте врсте над шеснаестоугаоном основом (генерисане варијантом конструктивног поступка: О1CQO*2), Конкавне куполе друге врсте над осмоугаоном основом типа (m) и Конаквне пирамиде над осмоугаоном основом приказан је на Сл. 99 и Сл. 100. Сл. 99 – Ортогоналне пројекције композитног полиедра насталог спајањем: KK IV-16mm, KK II-8m и KP-8 ______________________________________________________________________ 151 Сл. 100 – 3D модел композитног полиедра насталог спајањем: KK IV-16mm, KK II-8m и KP-8 Композитни полиедар настао спајањем Конкавне антипризме над тридесетдвоугаоном основом типа (m), Конкавне куполе четврте врсте над шеснаестоугаоном основом (генерисане варијантом конструктивног поступка: О1C*QO*2), Конкавне антипризме над шеснаестоугаоном основом типа (m), Конкавне куполе друге врсте над осмоугаоном основом типа (m) и Конаквне пирамиде над осмоугаоном основом приказан је на Сл. 101 и Сл. 102. Композитни полиедар настао спајањем Aнтипризме над тридесетдвоугаоном основом, Конкавне куполе четврте врсте над шеснаестоугаоном основом (генерисане конструкцијом: О1C*QO*2), Антипризме над шеснаестоугаоном основом, Конкавне куполе друге врсте над осмоугаоном основом типа (m) и Конаквне пирамиде над осмоугаоном основом приказан је на Сл. 103 и Сл. 104. ______________________________________________________________________ 152 Сл. 101 – Ортогоналне пројекције композитног полиедра насталог спајањем: KА II -32m, KK IV-16mM, KА-16m, KK II-8m и KP-8 ______________________________________________________________________ 153 Сл. 102 – 3D модел композитног полиедра насталог спајањем: KА II -32m, KK IV-16mM, KА-16m, KK II-8m и KP-8 Сл. 103 – 3D модел композитног полиедра насталог спајањем: АP-32, KK IV-16mM, AP-16, KK II-8m и KP-8 ______________________________________________________________________ 154 Сл. 104 – Ортогоналне пројекције композитног полиедра насталог спајањем: АP-32, KK IV-16mM, AP-16, KK II-8m и KP-8 ______________________________________________________________________ 155 13.3 Анализа погодности форме Kупола са конкавним полиедарским површима за примену у архитектури Конкавне куполе својим обликом могу да прате не само правилне полигоналне основе, већ и кружне (у зависности од n страна основе). Полиедарске структуре настале елонгацијом и аугментацијом Конкавних купола могу се применити и као кровне конструкције или кровне површи. Међутим, у зависности од геометрије сваке појединачне куполе можемо разматрати форму Купола и као структуру целокупног објекта. Куполе са конкавним полиедарским површима су посебно погодне за грађевине које захтевају специфичне врсте природног осветљења унутрашњег простора, као што су изложбене хале, музеји, спортске дворане, акваријуми и сл. Површи куполе омогућавају различити смер продора светлости у унутрашњи простор и на тај начин поједини делови простора могу бити боље осветљени. Једноличну дифузну светлост можемо остварити помоћу рефлектујућих ламела на површима куполе или постављањем стаклених цеви у завршној равни, које ломе светлост у свим правцима. Ако тежимо еколошкој градњи, битна је и природна промена ваздуха у простору. Она зависи од односа простора према спољашњем свету као и од спољашњих услова. Али пре свега зависи од положаја отвора на фасадном платну и положаја унутрашњих преграда – зидова. Разматране куполе пружају пуну слободу пројектанту да осмисли простор без конструктивних препрека и тиме омогући природно проветравање преко отвора на више различитих страна куполе. За климатологију је важан интензитет сунчеве топлотне енергије на површину Земље, а за потребе пројектовања важна је и енергија на површинама прочеља објекта. Јужна вертикална фасада објекта прима зими више топлотне енергије него лети јер количина енергије зависи од угла упада сунчевих зрака. На Конкавним куполама нема вертикалних фасадних зидова. Равни су под различитим углом у односу на основну раван подлоге те је инсолација равномерније распоређена. Ако посматрамо куполе као засебне, самостојеће објекте, концентричност њихове структуре и постојање више равни симетрије омогућава равномернију осунчаност свих фасадних равни током дана и године. За ______________________________________________________________________ 156 ефекат инсолације у простору није меродаван само директни утицај сунчевог зрачења, јер сунце делује осим на сам простор и грађевину, такође и на околину зграде. Под утицајем Сунца загрева се подлога око објекта, земља, зеленило и атмосфера, па као топлота улази у унутрашњи простор. Различити углови фасадних равни Купола вештом пројектанту могу помоћи да ту индиректну инсолацију искористи за планско загревање или хлађење унутрашњег простора. Количина топлоте потребна за загревање објекта зависи од четри битна услова: 1.климатски услови дате локације, 2. величина објекта, 3. употребљени материјали за градњу и 4. облик и орјентација зграде. Величина објекта представља битан услов јер губитак топлоте по јединици запремине простора је мањи што је објекат већи. Губици топлоте су већи код објеката са већом, разуђеном, површином фасадног платна. Облик објекта утиче на енергетску самоодрживост у тој мери да можемо рећи да је најидеалнији облик заправо сфера, највећа запремина са најмањом површином фасадног платна. Имајући то у виду код Конкавних купола, пропорција површина-запремина је већа, што је брoj n (број страна полгона основе) већи [50]. Да би се ови утицаји смањили, потребно је користити квалитетније изолационе материјале и избегавати климатске зоне са изузетно високим варијацијама спољне температуре у односу на унутрашњу. Куполе са конкавним полиедарским површима које се базирају на Конкавним куполама виших врста дају више слободе у архитектонској организацији простора, јер су у стању да премосте веће распоне и да формирају простор који више наликује конвексном, иако се ради о конкавној површи. ______________________________________________________________________ 157 13.4 Могућности и погодности извођења Купола са конкавним полиедарским површима применом различитих конструктивних система Захваљујући подударности страна омотача Купола, могуће је серијском производњом префабрикованих елемената са лакоћом формирати структуре које следе геометрију ових полиедара. Сам делтаедарски омотач је могуће оформити монтирањем троугаоних панела, рамова, ојачаних плоча, коруба, y-профилних носача, или просторних тетраедарских решетака, које омогућавају премошћавање знатно већих распона. Имајући у виду све предности диагрид конструктивног система [1], [33], [39], [40], [41] он се намеће као природно решење за конструкцију објеката заснованих на геометрији Купола са конкавним полиедарским површима. Ефикасна расподела терета међу свим члановима структуре као последицу има да ова релативно нова структурна иновација дозвољава изградњу објекта (великих и малих) у форми која раније није била ни замислива. Понављање јединичних чланова мреже, уз максимизирање конструкцијске ефикасности, омогућава велики број структурних решења. Употреба диагрид конструктивног система за последицу има смањење конструкцијског материјала, чиме се смањује тежина и цена зграде, уз једнаку могућност преноса значајних вертикалних оптерећења. Међутим, сама мрежа није довољна да издржи хоризонтална оптерећења, те се могуће извијање спречава додавањем хоризонталних прстенова. Основна јединична ћелија Купола је просторни шестостраник сачињен од једнакостраничних троуглова. Ако рашчланимо све дијагоналне мреже постојећих објеката добићемо троугао и то не случајно. Троугао у конструкцији чини обекат крутим, ефикасним и у себи комбинује гравитацију и бочну носивост. У троуглу се налази структурална јачина дијагоналне мреже и њено порекло. Под условом да су његови спојеви довољно јаки троугао се не руши под притиском који се примењује у било којој тачки, пошто је свака страна подупрта суседним странама. Диагрид егзоскелет омогућава велике отворене области унутар објекта те тиме пружа већу флексибилност у организацији простора, а то је и основна ______________________________________________________________________ 158 карактеристика Конкавних купола. Купола је самоносива што су и показале извршене анализе на статичке и динамичке утицаје [50]. Досадшњи примери диагрид егзоскелета остварених у челику показали су могућност промене углова мреже при чему је омогућена већа променљивост форме објекта. Конкавне куполе су полиедарске структуре, те је самим тим број веза унутар конструкције тачно одређен а углови су у директној вези са бројем страница полигона основе. Унапред су познате све величине, па је и пројектовање чворова конструктивног система олакшано. Овим долазимо до питања комплексности дизајна и израде објеката у диагрид систему. Досадашња искуства су потврдила да је то један од недостатака система (обимна техничка документација, неопходност велике прецизности у изради елемената система, неопходно је време за конструкцију великог броја различитих елемената). Предност Купола са конкавним полиедарским површима је управо у томе да у себи садрже све добре особине диагрид структуре а захваљујући својој полиедарској форми (сви троуглови су једнакостранични, сви углови, висине и међусобне везе унапред познати) олакшано је пројектовање и конструкција. ______________________________________________________________________ 159 14.0 АРХИТЕКТОНСКИ ОБЛИЦИ НАСТАЛИ АУГМЕНТАЦИЈОМ УНИФОРМНИХ ПОЛИЕДАРА КОНКАВНИМ КУПОЛАМА Да би се нека од полиедарских структура искористила у архитектури, тежи се за формама које имају јединствен унутрашњи простор, односно за полиедрима без самопресечних страна. Као централни простор погоднији су, из овог разлога, конвексни полиедри. Такође, пожељно је у некој мери поштовати ортогоналну матрицу, као познату и ергономичну. Из тог разлога, у раду [52] полази се од Архимедовог тела – Зарубљене коцке (U9), као основе која ће се аугментацијама превести у сложени полиедар. За аугментације користи се Конкавна купола друге врсте над квадратном основом (KK II-4М), не само због заједничке осмоугаоне стране, већ и због уклапања триангуларног омотача ове куполе са троугаоним странама Зарубљене коцке. Тако се добија композитни полиедар састављен готово искључиво од једнакостраничних троуглова (са изузетком квадратних базиса куполе). Сл. 105 - a) Спајање подударних страна Зарубљене коцке и KK II-4М, б) Параби-конкааугментована зарубљена коцка, извор [52], сл. 4 а) б) ______________________________________________________________________ 160 Спајањем подударних осмоугаоних страна U9 и KK II-4М, настаје композитни полиедар, Конка-аугментована зарубљена коцка [52], што је и приказано на Сл. 105-а. Ако се дода још једна KK II-4М на супротну (паралелну) страну истог Архимедовог тела, добија се Параби-конкааугментована зарубљена коцка (Сл. 105-б). По угледу на [62], [67] [69], [70] жиро-конкааугментована зарубњена коцка настаје ротацијом једног од два присутна полиедра за угао 4 pi α = . Оса ротације је ортогонална на раван заједничке осмоугаоне основе. Сл. 106 – а) Хекса- конкааугментована зарубљена коцка, б) Хекса- конкааугментована зарубљена коцка са додатим четвоространим пирамидама, извор [52], сл. 5 Још једна варијанта моделовања полиедарске структуре од U9 и KK II- 4М дата је на Сл. 106-а. Приказан је композитни полиедар Хекса– конкаугментована зарубљена коцка, а од Параби-конкааугментоване зарубљене коцке разликује се по томе што су сада додате и четири нове KK II-4М на бочне стране Зарубљене коцке. Додавањем четвоространих пирамида на квадратне базисе KK II-4М у саставу Хекса–конкаугментоване зарубљене коцке добијамо сложени композитни полиедар чији је омотач састављен искључиво од једнакостраничних троуглова (Сл. 106-б). Овакви сложени полиедри, могу се даље спајати у кластере и формирати полиедарске конгломерате. „Полиедарске структуре које настају умножавањем композитних полиедара, обично се називају: полиедарски кластери, полиедарски конгломерати, а) б) ______________________________________________________________________ 161 или полиедарски аранжман“ [15]. Пример таквог спајања дат је на Сл. 107. Осам сложених полиедара (Хекса–конкаугментоване зарубљене коцке) спојено је својим квадратним странама у ортогоналну диспозицију. Овакав састав је вишеструко симетричан. Поседује три равни симетрије, док је такође и централно симетричан. Сл. 107 – Пример кластер полиедра, настао спајањем 8 сложених полиедара: а) ортогонална пројекција, б) аксонометријски приказ, извор [52], сл. 6 и сл. 7 У анализи архитектонских облика насталих аугментацијом Зарубљене коцке Конкавним куполама друге врсте размотрићемо пример кластера четири композитна полиедра Хекса–конкаугментоване зарубљене коцке (Сл. 108). Композитни полиедар Хекса–конкаугментована зарубљена коцка, употребљена као основна градивна јединица предложеног комплекса, ослања се на квадратни базис Куполе друге врсте која може имати улогу приземног главног простора – фоајеа. Средишњи простор представља U9, који се грана у четири додатне дворане – положене KK II-4М. Горња Конкавна купола друге врсте има улогу куполе у архитектонском смислу речи. С обзиром на то да се ова купола наткрива хоризонталном страном – квадратним базисом, овај полигон је могуће аугментовати четвоространом пирамидом која би, уз остале косе равни Куполе, преузела улогу усмеравања атмосферске воде. а) б) ______________________________________________________________________ 162 Сл. 108 – Изглед објекта заснованог на геометрији Хекса- конкааугментоване зарубљене коцке Ако усвојимо дужину странице једнакостраничног троугла у мрежи полиедра а=7.2m, структуру можемо поделити на приземље, три главна спрата, куполни ниво и четири међуспрата. Сутерен, као подземни ниво комплекса, је свакако обавезан, али је и независан од геометрије остатка зграде. У зони приземља (простор доње KK II-4М) омогућен је приступ главним комуникацијама, лифтовима и ескалаторима. Први спрат и сви међуспратови служе као додатни простор за смештај канцеларија и помоћних просторија. Други спрат користи централни простор U9 и налази се на нивоу њене осмоугаоне основе. Повезан је са положеним KK II-4М, које имају улогу бочних дворана, амфитеатра или гледалишта, а косе стране доњих површина користе се за нагнуте подне површи. Трећи спрат користи горњу половину U9 и положених KK II-4М. Ово је отворени простор без геометријских и конструктивних ограничења, а погодан је за различите вишенаменске садржаје и изложбене просторије. Куполни простор је највиши ниво грађевине, њен репрезентативни део, и у скалду са тим може имати функцију видиковца, ресторана, галерије, канцеларије управе, итд. Квадратне стране Хекса–конкаугментоване зарубљене коцке могу бити остављене као прозорски панели, или, поново аугментовани четвоространим пирамидама. На тај начин, фасада зграде би била сачињена од једнакостраничних ______________________________________________________________________ 163 троуглова, што игра значајну улогу у унификацији саставних елемената. Ово може бити веома битно, ако се ради о префабрикованим троугаоним елементима. Анализирани кластер четири композитна полиедра Хекса– конкаугментоване зарубљене коцке не представља композицију блиског паковања, па се у међупростору појављује откривен, слободан простор. Из угла примене у архитектури и урбаном планирању, овај отворени тракт може имати важну улогу у организацији урбаног амбијента, јер је погодан за смештај зелених површина, тргова и фонтана. Додавањем, одузимањем или сечењем одређених делова предложене структуре могу се добити најразличитији облици, интересантни за могућа разматрања примене у архитектури, пре свега за објекте чија би намена била довољно флексибилна и компатибилна са разуђеном и изломљеном формом полиедарског егзоскелета. При томе, пројектанти се морају водити идејом да форме које излазе из оквира ортогоналног система, на који смо искуствено навикли, одговарају садржајима чија функција дозвољава више слободе у организовању простора, а то су управо изложбени павиљони, галерије, музеји, као што се и можемо уверити кроз низ примера познатих изведених објеката у светској архитектонској пракси. ______________________________________________________________________ 164 15.0 ЗАКЉУЧАК По изношењу свих увида у претходним поглављима, постигнути циљеви истраживања су показали да су полазне хипотезе биле оправдане. Доказано је постојање фамилије нових геометријских тела, Конкавних купола, са самосвојном геометријом и метричким односима. Конкавне куполе су полиедри чији омотач чине низови једнакостраничних троуглова а основе су правилни полигони. Једнакостранични троуглови груписани су у просторне шестостранике, који, спојени везним троугловима, ротацијом око централне осе полиедра управне на раван основа, чине делтаедарски омотач. Врста купола диктирана је бројем редова једнакостраничних троуглова у мрежи, тј. ширином траке омотача у функцији од висине једнакостраничног троугла омотача и дистанце између n-тостраног и 2n-тостраног полигона. Анализом Конкавних купола треће врсте указано је да омотач Конкавних купола више врсте чине парни број низова једнакостраничних троуглова. Одређен је максимални број представника сваке врсте, и основни параметри - број темена, ивица и страна Купола више врсте. На примеру Конкавних купола друге, треће и четврте врсте дате су геометријске конструкције помоћу којих је графички приказан поступак генерисања Конкавних купола. Одређени су параметри тела посматрањем јединичне ћелије омотача, чијим задатим кретањем око почетно фиксиране ивице основе настаје трајакторија темена Конкавне куполе. Положај и висине темена одређене су пресеком вертикалних равни у којима се налазе темена и сфера полупречника једнаког страници градивног једнакостраничног троугла, са центром у суседним теменима. Доказано је да се за исту полигоналну основу могу генерисати четири различита типа Конкавне куполе четврте врсте. На основу графичких конструкција параметри тела су одређени и аналитичким методама применом итеративних нумеричких поступака. Приказивање нових полиедарских структура и потврда тачности свих претходно израчунатих параметара омогућено је израдом 3D модела у ______________________________________________________________________ 165 софтверском пакету AutoCAD, као и програма за генерисање Конкавних купола четврте врсте у софтверском пакету MATLAB. Применом поступака жироротације, елонгације, жироелонгације и аугментације је дат још један број варијација ових купола и настанак сложених полиедара заснованих на геометрији Конкавних купола. У поступку елонгације коришћене су и Конкавне антипризме друге врсте. Конкавне антипризме друге врсте чине бесконачну фамилију полиедара чија се мрежа састоји од дворедне траке једнакостраничних троуглова а основа је правилни полигон. У раду је приказана генеза трајакторије темена и конструкција висине Конкавне антипризме друге врсте. Као и код Конкавних купола, параметри тела су одређени конструктивно геометријским методама као и аналитичким методама применом итеративних нумеричких поступака. Израдом 3D модела Купола са конкавним полиедарским површима које су генерисане комбиновањем Конкавних купола, антипризми и конкавних пирамида дат је допринос у сагледавању нових, сложених тродимензионалних композиција заснованих на геометрији Конкавних купола. Показана је и могућност генерисања просторних структура насталих аугменатцијом униформних полиедара конкавним куполама. Презентоване су нове геометријске форме и тиме надоградила досадашња сазнања из сфере конструктивно геометријске обраде полиедарских структура. Омогућено је њихово визуелно сагледавање применом принципа и поступака Нацртне и Рачунарске геометрије и 3D графичког дизајна. Успостављен је однос између теоријских поставки и њихових решења са конкретном архитектонском струком и показано да истраживање на посматраним полиедарским представницима има практичну примену. На конструктивно геометријски начин је обрађен део једне, за архитекте веома инспиративне области - геометрије полиедара. ______________________________________________________________________ 166 ЛИТЕРАТУРА 1. Ali M.M., Moon K.S.: Structural developments in tall buildings: current trends and future prospects, Architectural Science Reveiw, Vol 50(3), pp 205-223, 2007 2. Coxeter H.S.M. / Longuet-Higgins M.S.: and J.C.P. Miller, Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society, Ser. A, 246, pp. 401-449, 1953. 3. Critchlow K.: Order in Space: A design Source Book, Thames & Hudson, 2000. 4. Cromwell P.: Polyhedra, Cambridge University Press, 1999 5. Edwards H. M.: Fermat's Last Theorem, Scientific American, October 1978. 6. Emmerich D.G. Composite polyhedra (Polyedres composites) – Topologie Strucutrale vol 13, 1986. 7. Gabriel J.F.: Beyond the cube: the architecture of space frames and polyhedra, New York: John Wiley and Sons, Inc., Publishers, 1997 8. Gabriel J.F.: Polyhedra in architecture. In: Topping BHV, editor. Proc. of the Int. Conf. on the Design and Construction of Non-Conventional Structures, vol. 1. Edinburgh: Civil-Comp Press, 1987:139–47. 9. Gabriel J.F.: Clusters of polyhedra in architecture. Int J Space Structures 1997;11(1/2):97–101. 10. Gabriel J.F.: Are space frames habitable? In: Gabriel JF, editor, Beyond the cube, the architecture of space frames and polyhedra, chapter 16. New York: John Wiley and Sons, Inc., Publishers, 1997:385–408 11. Gettys T.: Notes on Spherical and Convex Polyhedral Geometry, Combinatorial geometry page, http://www.merrimack.edu/~thull/combgeom/combgeom.html 12. Grunbaum B., Johnson N.W.: The faces of regular-faced polyhedron, J. London Math. Soc., 40 (1965), 577-586. 13. Grunbaum B.: Are your polyhedra the same as my polyhedra?, Discrete and Computational Geometry: The Goodman-Pollack Festschrift. B. Aronov, S. Basu, J. Pach, and Sharir, M., eds. Springer, New York 2003, pp. 461 – 488. ______________________________________________________________________ 167 14. Gurin A. M., Zalgaller V. A.: On the history of the study of convex polyhedra with regular faces and faces composed of regular ones, American Mathematical Society, Translations, Series 2, Vol. 228, 2009, pg. 169-229. 15. Hart G.: Polyhedral Clusters, http://www.georgehart.com/rp/polyhedra- clusters/Polyhedra-Clusters.html 16. Hart G.: "Procedural Generation of Sculptural Forms," in Proceedings of Bridges 2008, pp. 209-218. 17. Hart G.: Slide-Together' Geometric Paper Constructions, in Teachers for Bridges, 2004 Workshop Book, Mara Alagic and Reza Sarhangi eds., pp. 31-42. Workshop activity presented at Bridges 2004 Conference. 18. Hart G.: Encyclopedia of polyhedra, http://www.georgehart.com/virtual- polyhedra/vp.html 1996-2000. 19. Hart G.: Polyhedral Clusters, http://www.georgehart.com/rp/polyhedra- clusters/Polyhedra-Clusters.html 20. Hirata A.: Bloomberg Pavilion Project Domes Magazine, Italy, 2011. http://www.domusweb.it/en/architecture/bloomberg-pavilion-project 21. Holden A.: Shapes, spaces and symmetry, Columbia university Press, New York, USA, 1971 22. Huybers P.: Prism based structural forms, Engineering Structures 23 (2001) 12–21 23. Huybers P.: Polyhedroids, An Anthology of Structural Morphology, pp. 49-62. 24. Huybers P.: The Morphology of building Structures, Engineering Structures 23, 2001, pp. 12-21.) 25. Huybers P.: The formation of polyhedra by the rotation of polygons. 4th Int. Conference on Space Structures, Guildford, 6-10 September, 1993, p. 1097-1108 26. Huybers, P., Form generation of polyhedric building shapes, Int. Journal of Space Structures, Special issue on Morphology and Architecture, Vol. 11, Nos 1&2, November, 1996, p.173-181. 27. Huybers, P., Van der Ende G.: Star-polyhedra, International Symposium of IASS on ‘Shell and Spatial Structures: Design, Construction, Performance & Economics’, Singapore, 10-14 November, 1997, Vol. 1, p. 325-334. ______________________________________________________________________ 168 28. Huybers P.: The visualisation of spatial structures with computer techniques, Fourth International Conference on Computational Structures Technology, 18-21 August 1998, Edinburgh, Scotland. p.B1-B14. 29. Huybers P.: The formation of the reciprocal polyhedra by rotation, LSA’98 Conference on ‘Lightweight Structures in Architecture, Engineering and Construction’, 5-9 November, 1998, Sydney, Australië, p. 1019-1028. 30. Huybers P .: Nested polyhedra, 14th SMG Newsletter of the IASS Working Group No 15, the Structural Morphology Group, 2007 31. Huybers P. Antiprism Based Structural forms, Engineering structures 23 (2001) pg. 12-21. 32. Johnson N.W. : Convex Polyhedra with Regular Faces, Canadian Journal of mathematics, 18, division of University of Toronto Press, Toronto, Canada, 1966. 33. Kim Y.J., Kim M.H., Jung I.Y., Ju Y. K., Kim S.D.: Experimental investigation of the cyclic behavior of nodes in diagrid structures, Engineering Structures Vol. 33, pp 2134-2144 (2011) 34. Lehane S.: Model Modules. Building, Toronto 1996;46(5):30–1. 35. Lobel A.: Forms and Structures generated by indentical elements, http://www.equilatere.net/index.php 36. Markov I.J., Gabriel J.F.: Spatial and Structural Aspects of Polyhedra, Engineering Structures 23, 2001, pp. 4-11. 37. Mišić S., Obradović M.: Concave cupola with hendecagonal base, Proceedings of 1st International Scientific Conference MoNGeometrija 2008, Vrnjačka Banja, ISBN 978-86-80295-83-1 38. Mišić S., Obradović M.: Forming the cupolae with concave polihedral surfaces by corrugating a fourfold strip of equilateral triangles, Proceedings of 2nd International Scientific Conference MoNGeometrija, 2010., Beograd. 39. Moon K., Connor J. J., Fernandez J. E.: Diagrid Structural Sistems for Tall Buildings: Characteistics and Methodology for Preliminary Desing, The Structural Desing of Tall and Special Buildings, Vol. 16.2, pp 205-230 (2007) ______________________________________________________________________ 169 40. Moon K.: Diagrid Structures for Complex-Shaped Tall Buildings, The Twelfth East Asia-Pacific conference on Structural Engineering and Construction, Procedia Engineering Vol. 14, pp 1343-1350 (2011) 41. Moon K.: Optimal Grid Geometry of Diagrid Structures for Tall Buildings, Architectural Science Review, Vol. 51.3, pp 239-251 (2008) 42. Nestorović M., Mišković V.: Napredni razvoj prostornih struktura u domenu 3D transformacije. SAJ - Serbian Architectural Journal 2011;3(2):116-139 43. Nestorović, M.: Analysis of the properties of integrally tensioned tensegrity domes, Fourth International Conference on Space Structures, University of Surrey, Guildford, U.K., 1993. 44. Nestorović M., Čučaković A., Jović B.: Geometry of Geodesic Structure, Applied Geometry and Graphics, The Interdepartmental Collection of Proceedings 2009 Kiev, ISUE No 82, 28.september – 2. October 2009., Crimea, Sudak, Ukraina, p.132-136 45. Nestorović, M.: Integralno zategnuti (tensegriti) konstruktivni sistemi sa bezmomentnim konturama, doktorska disertacija, Arhitektonski fakultet Univerziteta u Beogradu, 1989. 46. Obradovic M.: “Konstruktivno geometrijska obrada toroidnih deltaedara sa pravilnom poligonalnom osnovom” doktorska disertacija, Arhitektonski fakultet Univerziteta u Beogradu, 2006. 47. Obradović M.: Istraživanje geometrijskih pravilnosti šesdesetostranog toroidnog deltaedra, XXII Jugoslovensko savetovanje za nacrtnu geometriju i inženjersku grafiku MonGEometrija 2004, Zbornik radova, Beograd, 2004, str. 133-145. 48. Obradovic M., Misic S.: Concave Regular Faced Cupolae of Second Sort, 13th ICGG, Proceedings of International Conference on Geometry and Graphic, on CD, July 2008, Dresden, Germany. 49. Obradović M., Mišić S.: Transposing the concave cupolae of secon sort into tridimensional spatial structures – space frames, Proceedings of 1st International Scientific Conference MoNGeometrija 2008, Vrnjačka Banja, ISBN 978-86-80295- 83-1 50. Obradovic M., Misic S., Popkonstantinovic B., Petrovic M.: Possibilities of Deltahedral Concave Cupola Form Application in Architecture, Buletinul ______________________________________________________________________ 170 Institutului Politehnic din Iaşi, Publicat de Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iaşi, Tomul LVII (LXI), Fasc. 3, 2011, Romania, pg. 123-140. 51. Obradovic M., Popkonstantinovic B., Misic S.: The Concave Antiprisms of Second Sort with Regular Polygonal Bases, 3-rd International Scientific Conference Mongeometrija, 2012., Proceedings pp 133-144, Novi Sad. 52. Obradović M., Mišić S., Petrović M.: Investigating composite polyhedral forms obtained by combining concave cupolae of second sort with archimedean solids, 3- rd International Scientific Conference Mongeometrija 2012, Proceedings pp. 109- 124 Novi Sad. 53. Obradović M.: A group of polyhedra arised as variations of concave bicupolae of second sort, 3-rd International Scientific Conference Mongeometrija 2012, Proceedings pp. 95-108 Novi Sad. 54. Paunić ð.: Pravilni poligoni, Društvo matematičara Srbije, Sveska 46, Beograd, 55. Pearce P.: Structure in Nature as a Strategy for Design, The MIT Press, 1980., 56. Pearce P.: Curved space System, 1980. http://www.wright20.com/auctions/view/F5AR/F9AW/216/LA/none/TOP/0 57. Pugh A.: Further Convex Polyhedra with Regular faces, Ch.3 in Polyhedra: A Visual Approach,Berkeley, CA: University of california Press, pp. 28-35, 1976. 58. Robin Hu, Constructing a Heptagon, Nexus Network Journal / Architecture and Mathematics, Vol.3. Summer 2001. 59. Rosson B.T., Maller A., Faller R.K.: Structural performance of clustered rhombic dodecahedral buildings. In: Parke GAR, Howard CM, editors. Space structures, vol. 2. London: Thomas Telford Services Ltd, 1993:1109–17. 60. Rühle H.: Räumliche dachtragwerke konstruktion und ausführung, VEB Verlag für Bauwesen Berlin, 1969. 61. Savelov A. A.: Ravninske krivulje, Moderna matematika, Skolska knjiga, Zagreb 1979., str. 214-240 62. Timofeenko A. V.: The non-Platonic and non-Archimedean noncomposite polyhedra, Journal of Mathematical Sciences, Vol. 162, No 5. 2009. ______________________________________________________________________ 171 63. Timofeenko A.V.: Junction of noncomposite polyhedra, St. Petersburg Math. J. Vol. 21 (2010), No. 3, pages: 483-512. 64. Timofeenko A.V.: Convex Regular-Faced Polyhedra Indecomposable by any Plane to Regular-Faced Polyhedra, Siberian Advances in Mathematics, 2009, Vol. 19, No. 4, pp. 287–300. 65. Timofeenko A.V.: Convex Polyhedra with Parquet Faces, Doklady Mathematics, 2009, Vol. 80, No. 2, pp. 720–723. 66. Tonon O.L.: Geometry of the spatial folded forms. 4th Conference on Space Structures, 5–10 September, 1993, Guildford, England, pp. 2042–2052. 67. Tupelo- Schneck R.: Convex regular-faced polyhedra with conditional edges, http://tupelo-schneck.org/polyhedra/ 68. Wallner G., Gruber F.: Interactive Modeling and Subdivision of Flexible Equilateral Triangular Mechanisms, KoG. 15, 2011. pp. 50-56. 69. Waterman S.: Convex hulls having regular diamonds, 2006. http://watermanpolyhedron.com/dsolids.html 70. Weisstein E. W .: "Johnson Solid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html ______________________________________________________________________ 172 Прилог. 1 – Нумерички параметри KK IV–11 KK IV-11Mm KK IV-11mm KK IV-11mM KK IV-11MM n = 11 n = 11 n = 11 n = 11 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.489163 h1 = 0.488308 h1 = 0.865936 h1 = 0.649519 α = 0.28559933 α = 0.28559933 α = 0.28559933 α = 0.28559933 B'H' =r 1.77473277 B'H' =r 1.77473277 B'H' =r 1.77473277 B'H' =r 1.77473277 3'H' =q 1.70284362 3'H' =q 1.70284362 3'H' =q 1.70284362 3'H' =q 1.70284362 β = 1.28519699 β = 1.28519699 β = 1.28519699 β = 1.28519699 B'S' = 0.7146464 B'S' = 0.71523095 B'S' = 0.01242642 B'S' = 0.57282196 φ = 0.28559933 φ = 0.28559933 φ = 0.28559933 φ = 0.28559933 O1'B' = 0.87219234 O1'B' = 0.87267137 O1'B' = 0.50015439 O1'B' = 0.76034532 B'1' = 0.52110856 B'1' = 0.52110856 B'1' = 0.52110856 B'1' = 0.52110856 1'3' = 0.14681325 1'3' = 0.14681325 1'3' = 0.14681325 1'3' = 0.14681325 σ = 0.96030751 σ = 0.96069151 σ = 0.02484773 σ = 0.85317309 ε = 0.32488949 ε = 0.32450548 ε = 1.26034927 ε = 0.43202391 B'4' = 0.82656447 B'4' = 0.82712535 B'4' = 0.15278934 B'4' = 0.69048493 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.9604631 BγRγ = 0.96051082 BγRγ = 0.87931233 BγRγ = 0.94796858 O1'O' = 2.76292999 O1'O' = 2.76234543 O1'O' = 3.46514996 O1'O' = 2.90475442 R'O' = 2.65101191 R'O' = 2.65045103 R'O' = 3.32478704 R'O' = 2.78709146 O1'4 = 0.27840733 O1'4 = 0.27824264 O1'4 = 0.47624556 O1'4 = 0.31836389 O1'R' = 0.77840733 O1'R' = 0.77824264 O1'R' = 0.97624556 O1'R' = 0.81836389 R'6' = 0.62775953 R'6' = 0.62796369 R'6' = 0.21666704 R'6' = 0.57470039 τ = 0.69434684 τ = 0.69456118 τ = 0.24845942 τ = 0.63859231 δ + τ = 0.53437027 δ + τ = 0.53330672 δ = 1.39614982 δ = 0.75483623 ψ = 0.17464651 ψ = 0.8159601 o = 1.39614982 o = 0.75483623 ф = 1.38567745 ф = 1.11570573 ι = -0.0104724 ι = 0.3608695 8γCγ = -0.002269 8γCγ = 0.20291974 R'C' = 0.02840267 R'C' = 0.0276648 h2 = 0.863667 h2 = 0.852439 h2 = 0.137954 h2 = 0.139046 3'C' = 0.06386582 3'C' = 0.15280089 B'C' = 0.9904387 B'C' = 0.99028592 B'C' = 0.50406234 B'C' = 0.52282704 χ = 1.04161501 χ = 1.04152479 χ = 0.1270437 χ = 0.29658809 η = 0.97056076 η = 0.97175682 γ = 1.44375263 γ = 1.27420824 O1'C' = 0.77892534 O1'C' = 0.7787342 O1'C' = 0.98028709 O1'C' = 0.97919537 C'H' = 0.84787648 C'H' = 0.84805347 C'H' = 1.6389778 C'H' = 1.55004273 H'M' = 0.81353152 H'M' = 0.81370134 H'M' = 1.57258768 H'M' = 1.48725511 S'M' = 0.24655485 S'M' = 0.24580047 C'M' = 0.46175341 C'M' = 0.4366975 C'M' = 0.23887441 C'M' = 0.23892427 B'M' = 0.20214508 B'M' = 0.28747766 SβMβ = 0.42911235 SβMβ = 0.42708522 S'M' = -0.1897187 S'M' = 0.2853443 MβDβ = 0.97105047 MβDβ = 0.9710382 M'12'= 0.88700834 M'12'= 0.89960841 λ = 1.10126695 λ = 1.10123098 SβMβ = 0.18973223 SβMβ = 0.35013967 ι = 0.61207799 ι = 0.61325242 η = 0.01434929 η = 0.72273425 κ = 2.52951466 κ = 2.52834023 λ = 1.5731865 λ = 1.46622546 ν = 1.08160737 ν = 1.08281777 µ = 3.12246301 µ = 2.62800013 µ = 2.65240369 µ = 2.6536141 ν = 1.55166669 ν = 1.05720381 κ = 0.01912964 κ = 0.51359252 S'D'= 0.01656574 S'D'= 0.42548646 11βDβ 0.86586695 11βDβ 0.75429522 h3 = 0.995114 h3 = 0.996747 h3 = 1.731803 h3 = 1.403814 ______________________________________________________________________ 173 KK IV-11Mm KK IV-11mm KK IV-11mM KK IV-11MM M'D' = 0.45630645 M'D' = 0.45526285 M'D' = -0.1731529 M'D' = 0.71083076 D'H'= 0.35722508 D'H'= 0.35843849 D'H'= 1.7457406 D'H'= 0.77642435 C'D' = 0.51505005 C'D' = 0.51414888 C'D' = 0.49315124 C'D' = 0.8342572 ρ = 0.61048882 ρ = 0.61010482 B'D' = 1.41750769 B'D' = 1.41629428 B'D' = 0.02899217 B'D' = 0.99830842 O1'D' = 0.86256246 O1'D' = 0.86109801 O1'D' = 0.50027435 O1'D' = 0.6565354 ω = 0.19666758 ω = 0.19769488 ω = 1.64395891 ω = 0.26530347 C'13' = 0.50512153 C'13' = 0.50413426 C'13' = -0.036048 C'13' = 0.80506902 D'13' = 0.10064193 D'13' = 0.10098379 D'13' = 0.49183196 D'13' = 0.21874402 13'5' = 0.99492271 13'5' = 0.99488807 13'5' = 0.87069014 13'5' = 0.97578228 β1 = 0.53251217 β1 = 0.53138123 β1 = -0.0414135 β1 = 0.97029042 γ1 = 1.05309525 γ1 = 1.05313573 γ1 = 1.22339285 γ1 = 1.07597634 φ1 = 0.52058307 φ1 = 0.52175449 φ1 = 1.26480637 σ1 = 1.59014588 Qγ 14γ = 0.49486068 Qγ 14γ = 0.49585416 Qγ 14γ = 0.83024589 η1 = 1.55144677 Pγ 14γ = 0.86312462 Pγ 14γ = 0.8625143 Pγ 14γ = 0.26228434 G γ 15γ = 0.97559962 h4 = 0.131989 h4 = 0.134233 h4 = 1.469519 13'G'= -0.0188798 σ1 = 1.05309525 σ1 = 1.05313573 σ1 = 1.22339285 h5 = 2.379414 ε1 = 1.57367832 ε1 = 1.57489022 ε1 = 2.48819922 φ1 = 1.03280816 τ1 = 1.0442487 τ1 = 1.04422846 τ1 = 0.9590999 ε1 = 0.60050591 δ1 = 1.05021325 δ1 = 1.04904183 δ1 = 0.30598995 τ1 = 1.63331407 χ1 = 2.61792702 χ1 = 2.61911868 χ1 = 3.44729912 Qγ 14γ = 0.9980464 η1 = 0.52366563 η1 = 0.52247397 η1 = -0.3057065 C'Q'= -0.062477 Q'G' = 0.5000579 Q'G' = 0.49902557 Q'G' = -0.300967 Cγ 16γ = 0.80506902 Gγ 15γ = 0.86599197 Gγ 15γ = 0.86658726 Gγ 15γ = 0.95363457 h5 = 0.997981 h5 = 1.00082 h5 = 2.423153 h4 = 1.850485 G'13' = 0.99491858 G'13' = 0.99487973 G'13' = 0.52927893 G'Q' = 0.84866627 H'1' = 1.84965687 H'1' = 1.84965687 H'1' = 1.84965687 H'1' = 1.84965687 G'H' = -0.6521636 G'H' = -0.6509605 D'G' = 0.99999589 D'G' = 0.99999171 D'G' = 0.7225198 D'G' = 0.21955726 λ1 = 0.10081303 λ1 = 0.10115706 λ1 = 0.74874182 λ1 = 1.48469978 ι1 = 1.4699833 ι1 = 1.46963927 ι1 = 0.82205451 ι1 = 0.08609655 κ1 = 3.04077963 κ1 = 3.04043559 κ1 = 2.39285083 κ1 = 1.65689288 ν1 = -0.1847863 ν1 = -0.1844423 ν1 = 0.46314249 ν1 = 1.19910044 D'16' = 0.9829715 D'16' = 0.98303054 D'16' = 0.64640449 D'16' = 0.07974233 H'16' = -0.6257464 H'16' = -0.624592 H'16' = 0.69668202 G'16' = -0.1837357 G'16' = -0.1833968 G'16' = 0.32279421 G'16' = 0.2045643 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.31626427 G'V' = 0.31660323 G'V' = 0.82279421 G'V' = 0.7045643 V'18' = 0.94867113 V'18' = 0.94855806 V'18' = 0.56833942 V'18' = 0.70964015 VαTα = 0.98297568 VαTα = 0.98303897 VαTα = 0.94646918 VαTα = 0.97885313 µ1 = 1.0707885 µ1 = 1.07059682 µ1 = 0.63189411 µ1 = 0.78061633 α1 = 1.14162915 α1 = 1.14180148 α1 = 1.38979428 α1 = 1.3280585 ρ1 = 0.00291702 ρ1 = 0.00414324 ρ1 = 0.81898342 υ1 = 0.08155543 υ1 = 1.06787147 υ1 = -0.1870893 ω1 = 1.48924089 ω1 = 0.50292485 ψ1 = 1.07474006 ρ1 = 0.70862456 ψ1 = 1.06787147 ω1 = 0.49605627 ψ1 = 0.61943393 20αO2α= 0.41741583 20αO2α= 0.7616403 20αO2α= -0.1610805 Vα20α = 0.41199888 T'O2'= 0.75879116 T'O2'= 0.4121942 T'O2'= 0.85091307 V'O2'= 0.57779414 h6 = 0.236323 h6 = 1.758387 h6 = 1.570723 h6 = 1.967415 ______________________________________________________________________ 174 KK IV-11Mm KK IV-11mm KK IV-11mM KK IV-11MM O2'V' = 0.56555567 O2'V' = 0.57083633 O2'V' = -0.2045086 T'V'= 0.07974233 25'27' = 0.8660254 25'27' = 0.8660254 25'27' = 0.8660254 25'27' = 0.8660254 26'16' = 0.98297568 26'16' = 0.98303897 26'16' = 0.94646918 26'16' = 0.97885313 ζ1 = 0.50292485 ζ1 = 1.07474006 ζ1 = 0.18708931 T'O2'= 0.65753647 ξ1 = 0.00291702 ξ1 = 0.00414324 ξ1 = -0.8189834 ζ1 = 0.70862456 β2 = 1.06787147 β2 = 0.49605627 β2 = 1.38370701 ξ1 = 0.08155543 σ2 = 1.0707885 σ2 = 1.07059682 γ2 = 2.38977975 γ2 = 1.48924089 ZβNβ = 0.94867113 ZβNβ = 0.94855806 σ2 = -0.6318941 δ2 = 0.78061633 δ2 = 0.6387043 φ2 = 1.14180148 ZβNβ = 0.56833942 ZβNβ = 0.70964015 φ2 = 0.93209203 η2 = 0.64574521 η2 = -0.3680914 β2 = 0.61943393 η2 = 1.14162915 γ2 = 0.92505111 δ2 = 1.93888769 γ2 = 0.92917501 δ2 = 0.92919435 λ2 = 2.75787111 λ2 = 1.3280585 λ2 = 0.29047071 λ2 = 1.28734719 φ2 = -1.5551661 φ2 = 1.19410022 κ2 = 1.28032562 κ2 = 0.28344914 16'H'= 0.01479289 O2'2'= 0.31856765 Nβ 21β = 0.94179801 H β 22β = 0.94381231 23 β Hβ = -0.9463536 23 β Hβ = 0.80530407 h7 = 0.056183 h7 = 1.944632 h7 = 1.4768 h7 = 2.772719 V'2' = 0.28152743 V'2' = 0.27492534 G'H' = 0.32313299 G'H' = 0.72609393 O2'D' = 0.651334 O2'D' = 0.64800005 O2'D' = 0.52530652 O2'D' = 0.82604734 O2'2' = 0.84708309 O2'2' = 0.84576167 O2'2' = -0.1897157 O2'H' = 0.98364107 O2'H' = 0.98250334 O2'H' = 0.53478224 O2'H' = 0.592862 O2'G' = 0.64797863 O2'G' = 0.65275702 O2'G' = 0.84782903 O2'G' = 0.91118435 H'Q' = -0.1521057 H'Q' = -0.1519349 H'Q' = 0.02216603 H'Q' = 1.5747602 C'Q' = 0.99998221 C'Q' = 0.99998842 C'Q' = 1.61681177 C'Q' = -0.0247175 D'Q' = 0.50499098 D'Q' = 0.50603268 D'Q' = 0.96499063 D'Q' = 0.89469832 ∆ = 4.06E-10 ∆ = -8.17E-11 ∆ = 2.2E-08 ∆ = -0.175874 O'O1'= 2.76292999 O'O1'= 2.76234543 O'O1'= 3.46514996 O'O1'= 2.90475442 O'B' = 3.51333709 O'B' = 3.51333709 O'B' = 3.51333709 O'B' = 3.51333709 O'C' = 2.62260925 O'C' = 2.62278623 O'C' = 3.41371057 O'C' = 3.3247755 O'D' = 2.11987807 O'D' = 2.12105727 O'D' = 3.48464247 O'D' = 2.52918359 O'O2' = 2.54992671 O'O2' = 2.54860529 O'O2' = 1.51312793 O'O2' = 2.02141127 O'G' = 1.12256914 O'G' = 1.12377225 O'G' = 2.09786576 O'G' = 2.50082669 O'Q' = 1.62262703 O'Q' = 1.62279782 O'Q' = 1.79689879 O'Q' = 3.34949296 O'H' = 1.77473277 O'H' = 1.77473277 O'H' = 1.77473277 O'H' = 1.77473277 ______________________________________________________________________ 175 Прилог. 2 – Нумерички параметри KK IV–12 KK IV-12Mm KK IV-12mm KK IV-12mM KK IV-12MM n = 12 n = 12 n = 12 n = 12 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.574525 h1 = 0.479908 h1 = 0.865804 h1 = 0.776132 α = 0.26179939 α = 0.26179939 α = 0.26179939 α = 0.26179939 B'H' = r 1.93185165 B'H' = r 1.93185165 B'H' = r 1.93185165 B'H' = r 1.93185165 3'H' = q 1.8660254 3'H' = q 1.8660254 3'H' = q 1.8660254 3'H' = q 1.8660254 β = 1.30899694 β = 1.30899694 β = 1.30899694 β = 1.30899694 B'S' = 0.64801349 B'S' = 0.72089387 B'S' = 0.01960038 B'S' = 0.38421266 φ = 0.26179939 φ = 0.26179939 φ = 0.26179939 φ = 0.26179939 O1'B' = 0.81848731 O1'B' = 0.87731863 O1'B' = 0.50038403 O1'B' = 0.63057067 B'1' = 0.51763809 B'1' = 0.51763809 B'1' = 0.51763809 B'1' = 0.51763809 1'3' = 0.1339746 1'3' = 0.1339746 1'3' = 0.1339746 1'3' = 0.1339746 σ = 0.9136209 σ = 0.96438982 σ = 0.03918069 σ = 0.6551894 ε = 0.39537604 ε = 0.34460712 ε = 1.26981625 ε = 0.65380754 B'4' = 0.75534249 B'4' = 0.82573953 B'4' = 0.14834203 B'4' = 0.50053045 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.94901043 BγRγ = 0.95506953 BγRγ = 0.87841971 BγRγ = 0.92353201 O1'O' = 3.14986357 O1'O' = 3.07698318 O1'O' = 3.77827668 O1'O' = 3.4136644 R'O' = 3.04253457 R'O' = 2.97213752 R'O' = 3.64953503 R'O' = 3.2973466 O1'4 = 0.31524468 O1'4 = 0.29638185 O1'4 = 0.47788996 O1'4 = 0.38352136 O1'R' = 0.81524468 O1'R' = 0.79638185 O1'R' = 0.97788996 O1'R' = 0.88352136 R'6' = 0.57911666 R'6' = 0.60479414 R'6' = 0.20912011 R'6' = 0.46839087 τ = 0.64324022 τ = 0.67023227 τ = 0.23991499 τ = 0.52581588 δ + τ = 0.65025998 δ + τ = 0.52647088 δ = 1.40110943 δ = 0.99801195 ψ = 0.1696869 ψ = 0.57278438 o = 1.40110943 o = 0.99801195 ф = 1.39196191 ф = 1.18905282 ι = -0.0091475 ι = 0.19104087 8γCγ = -0.0019129 8γCγ = 0.0889385 R'C' = 0.11066158 R'C' = 0.03135205 h2 = 0.863891 h2 = 0.86507 h2 = 0.006079 h2 = 0.124073 3'C' = 0.06076933 3'C' = 0.04066096 B'C' = 0.99998152 B'C' = 0.99227314 B'C' = 0.50367937 B'C' = 0.50165059 χ = 1.04718688 χ = 1.04269584 χ = 0.12094547 χ = 0.08114336 η = 0.84543765 η = 0.98345432 γ = 1.44985086 γ = 1.48965297 O1'C' = 0.82272102 O1'C' = 0.79699875 O1'C' = 0.98180332 O1'C' = 0.99603712 C'H' = 1.00002134 C'H' = 1.00893382 C'H' = 1.80525607 C'H' = 1.82536444 H'M' = 0.96594644 H'M' = 0.97455523 H'M' = 1.74374346 H'M' = 1.76316666 S'M' = 0.31789173 S'M' = 0.23640255 C'M' = 0.46723465 C'M' = 0.47243908 C'M' = 0.25882457 C'M' = 0.26113129 B'M' = 0.18810819 B'M' = 0.16868499 SβMβ = 0.65129508 SβMβ = 0.42720631 S'M' = -0.1685078 S'M' = 0.21552767 MβDβ = 0.96592435 MβDβ = 0.96530329 M'12'= 0.88413335 M'12'= 0.88136333 λ = 1.06718808 λ = 1.11328211 SβMβ = 0.16851867 SβMβ = 0.23315709 ι = 0.50990199 ι = 0.58640304 η = 0.0226345 η = 0.45966797 κ = 2.63169066 κ = 2.55518961 λ = 1.5820793 λ = 1.5024961 ν = 1.01351024 ν = 1.04391726 µ = 3.09639221 µ = 2.81852513 µ = 2.58430657 µ = 2.61471359 ν = 1.52559589 ν = 1.2477288 κ = 0.04520044 κ = 0.32306752 S'D'= 0.0391314 S'D'= 0.27494304 11βDβ 0.86514087 11βDβ 0.82122246 h3 = 0.825853 h3 = 0.958462 h3 = 1.730944 h3 = 1.597354 ______________________________________________________________________ 176 KK IV-12Mm KK IV-12mm KK IV-12mM KK IV-12MM M'D' = 0.51086277 M'D' = 0.48539129 M'D' = -0.1293764 M'D' = 0.49047071 D'H'= 0.45508367 D'H'= 0.48916394 D'H'= 1.87311988 D'H'= 1.27269595 C'D' = 0.57268746 C'D' = 0.55117534 C'D' = 0.48481592 C'D' = 0.68099941 ρ = 0.65717543 ρ = 0.6064065 B'D' = 1.47676799 B'D' = 1.44268772 B'D' = 0.05873178 B'D' = 0.6591557 O1'D' = 0.96790186 O1'D' = 0.87805828 O1'D' = 0.50152893 O1'D' = 0.57060816 ω = 0.20714774 ω = 0.23176937 ω = 1.57912699 ω = 0.50487478 C'13' = 0.56044427 C'13' = 0.53643774 C'13' = -0.0040388 C'13' = 0.59603455 D'13' = 0.11778432 D'13' = 0.12660494 D'13' = 0.4847991 D'13' = 0.32939795 13'5' = 0.9930392 13'5' = 0.99195322 13'5' = 0.87462554 13'5' = 0.94419118 β1 = 0.59967324 β1 = 0.57137524 β1 = -0.0046178 β1 = 0.68318279 γ1 = 1.05530103 γ1 = 1.05657728 γ1 = 1.21708745 γ1 = 1.11614887 φ1 = 0.45562779 φ1 = 0.48520204 φ1 = 1.22170521 σ1 = 1.79690844 Qγ 14γ = 0.43696321 Qγ 14γ = 0.46263418 Qγ 14γ = 0.82187161 η1 = 1.34468421 Pγ 14γ = 0.89173427 Pγ 14γ = 0.87746271 Pγ 14γ = 0.29916032 G γ 15γ = 0.92015716 h4 = -0.065881 h4 = 0.080999 h4 = 1.431784 13'G'= -0.2116785 σ1 = 1.05530103 σ1 = 1.05657728 σ1 = 1.21708745 h5 = 2.517511 ε1 = 1.51092882 ε1 = 1.54177933 ε1 = 2.43879266 φ1 = 1.01272189 τ1 = 1.04314581 τ1 = 1.04250769 τ1 = 0.9622526 ε1 = 0.88761353 δ1 = 1.11516854 δ1 = 1.08559428 δ1 = 0.34909112 τ1 = 1.90033542 χ1 = 2.55407463 χ1 = 2.58428701 χ1 = 3.40104526 Qγ 14γ = 0.9461916 η1 = 0.58751802 η1 = 0.55730564 η1 = -0.2594526 C'Q'= -0.323607 Q'G' = 0.55429693 Q'G' = 0.52890146 Q'G' = -0.2565515 Cγ 16γ = 0.59603455 Gγ 15γ = 0.83231899 Gγ 15γ = 0.84868324 Gγ 15γ = 0.96653056 h5 = 0.766438 h5 = 0.929683 h5 = 2.398315 h4 = 1.811262 G'13' = 0.99126015 G'13' = 0.99153564 G'13' = 0.56532009 G'Q' = 0.707963 H'1' = 2 H'1' = 2 H'1' = 2 H'1' = 2 G'H' = -0.5516831 G'H' = -0.5190396 D'G' = 0.99823335 D'G' = 0.99958579 D'G' = 0.7447261 D'G' = 0.39154924 λ1 = 0.11826829 λ1 = 0.12699852 λ1 = 0.70886996 λ1 = 0.99962494 ι1 = 1.45252804 ι1 = 1.44379781 ι1 = 0.86192637 ι1 = 0.57117139 κ1 = 3.02332436 κ1 = 3.01459414 κ1 = 2.4327227 κ1 = 2.14196771 ν1 = -0.1435311 ν1 = -0.1348009 ν1 = 0.44707057 ν1 = 0.73782555 D'16' = 0.9879686 D'16' = 0.99051766 D'16' = 0.67153251 D'16' = 0.28972021 H'16' = -0.5328849 H'16' = -0.5013537 H'16' = 0.98297575 G'16' = -0.1427861 G'16' = -0.1343373 G'16' = 0.32196436 G'16' = 0.26338756 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.35721391 G'V' = 0.36566268 G'V' = 0.82196436 G'V' = 0.76338756 V'18' = 0.9340226 V'18' = 0.93074745 V'18' = 0.56953892 V'18' = 0.64594074 VαTα = 0.98975357 VαTα = 0.99093566 VαTα = 0.94675179 VαTα = 0.9646901 µ1 = 1.04715567 µ1 = 1.04215305 µ1 = 0.63315755 µ1 = 0.71343935 α1 = 1.16219374 α1 = 1.16637739 α1 = 1.38932449 α1 = 1.35769991 ρ1 = 0.06006648 ρ1 = 0.02904681 ρ1 = 0.78228945 υ1 = 0.30503299 υ1 = 0.98708919 υ1 = -0.1491319 ω1 = 1.26576334 ω1 = 0.58370714 ψ1 = 1.07119985 ρ1 = 0.55232399 ψ1 = 0.98708919 ω1 = 0.49959648 ψ1 = 0.80537592 20αO2α= 0.47728483 20αO2α= 0.76017627 20αO2α= -0.1286738 Vα20α = 0.46578215 T'O2'= 0.72263351 T'O2'= 0.41488798 T'O2'= 0.8564129 V'O2'= 0.44753372 h6 = 0.10322 h6 = 1.718638 h6 = 1.602271 h6 = 2.051729 ______________________________________________________________________ 177 KK IV-12Mm KK IV-12mm KK IV-12mM KK IV-12MM O2'V' = 0.51068377 O2'V' = 0.57562968 O2'V' = -0.1848804 T'V'= 0.28972021 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.98975357 26'16'= 0.99093566 26'16'= 0.94675179 26'16'= 0.9646901 ζ1 = 0.58370714 ζ1 = 1.07119985 ζ1 = 0.1491319 T'O2'= 0.73725392 ξ1 = -0.0600665 ξ1 = -0.0290468 ξ1 = -0.7822895 ζ1 = 0.55232399 β2 = 0.98708919 β2 = 0.49959648 β2 = 1.42166442 ξ1 = 0.30503299 σ2 = 0.9270227 σ2 = 1.10024666 γ2 = 2.35308578 γ2 = 1.26576334 ZβNβ = 0.83705218 ZβNβ = 0.9766272 σ2 = -0.6331575 δ2 = 0.71343935 δ2 = 0.65618414 φ2 = 1.1299195 ZβNβ = 0.56953892 ZβNβ = 0.64594074 φ2 = 0.91461218 η2 = 0.63032302 η2 = -0.3306037 β2 = 0.80537592 η2 = 1.23989128 γ2 = 0.9404733 δ2 = 1.90140006 γ2 = 0.97467867 δ2 = 0.9114265 λ2 = 2.68368951 λ2 = 1.35769991 λ2 = 0.31849453 λ2 = 1.28969285 φ2 = -1.4434969 φ2 = 0.97851683 κ2 = 1.2523018 κ2 = 0.28110347 16'H'= 0.12019569 O2'2'= 0.48346189 Nβ21β= 0.9399768 Hβ22β= 0.95204134 23βHβ= -0.939091 23βHβ= 0.71851555 h7 = -0.173539 h7 = 1.881724 h7 = 1.459224 h7 = 2.770245 V'2' = 0.30992862 V'2' = 0.27490139 G'H' = 0.34366853 G'H' = 1.01765138 O2'D' = 0.69123137 O2'D' = 0.64971689 O2'D' = 0.51629154 O2'D' = 0.8908105 O2'2' = 0.82061239 O2'2' = 0.85053106 O2'2' = -0.0646847 O2'H' = 0.96093949 O2'H' = 0.98661192 O2'H' = 0.50416675 O2'H' = 0.69551089 O2'G' = 0.62321721 O2'G' = 0.68195214 O2'G' = 0.84249995 O2'G' = 0.88489942 H'Q' = 0.00261385 H'Q' = 0.0098619 H'Q' = 0.08711701 H'Q' = 1.72561438 C'Q' = 0.99740748 C'Q' = 0.99907192 C'Q' = 1.71813906 C'Q' = 0.09975007 D'Q' = 0.45255938 D'Q' = 0.47964486 D'Q' = 0.95420286 D'Q' = 0.97685389 ∆ = -8.65E-10 ∆ = 3.83E-11 ∆ = -3.96E-08 ∆ = -6.67E-11 O'O1'= 3.14986357 O'O1'= 3.07698318 O'O1'= 3.77827668 O'O1'= 3.4136644 O'B' = 3.83064879 O'B' = 3.83064879 O'B' = 3.83064879 O'B' = 3.83064879 O'C' = 2.93187299 O'C' = 2.94078547 O'C' = 3.73710773 O'C' = 3.7572161 O'D' = 2.37435198 O'D' = 2.40767872 O'D' = 3.77242726 O'D' = 3.17829699 O'O2' = 2.6866378 O'O2' = 2.71655647 O'O2' = 1.80134071 O'O2' = 2.34948729 O'G' = 1.38016857 O'G' = 1.41281209 O'G' = 2.27552018 O'G' = 2.94950303 O'Q' = 1.93446551 O'Q' = 1.94171355 O'Q' = 2.01896866 O'Q' = 3.65746603 O'H' = 1.93185165 O'H' = 1.93185165 O'H' = 1.93185165 O'H' = 1.93185165 ______________________________________________________________________ 178 Прилог. 3 – Нумерички параметри KK IV–13 KK IV-13Mm KK IV-13mm KK IV-13mM KK IV-13MM n = 13 n = 13 n = 13 n = 13 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.864501 h1 = 0.471573 h1 = 0.836259 h1 = 0.609572 α = 0.24166097 α = 0.24166097 α = 0.24166097 α = 0.24166097 B'H' = r 2.08929073 B'H' = r 2.08929073 B'H' = r 2.08929073 B'H' = r 2.08929073 3'H' = q 2.02857974 3'H' = q 2.02857974 3'H' = q 2.02857974 3'H' = q 2.02857974 β = 1.32913535 β = 1.32913535 β = 1.32913535 β = 1.32913535 B'S' = 0.05135584 B'S' = 0.72637386 B'S' = 0.22510278 B'S' = 0.61515987 φ = 0.24166097 φ = 0.24166097 φ = 0.24166097 φ = 0.24166097 O1'B' = 0.5026305 O1'B' = 0.88182707 O1'B' = 0.54833499 O1'B' = 0.79273052 B'1' = 0.51496392 B'1' = 0.51496392 B'1' = 0.51496392 B'1' = 0.51496392 1'3' = 0.12323893 1'3' = 0.12323893 1'3' = 0.12323893 1'3' = 0.12323893 σ = 0.10235277 σ = 0.96793151 σ = 0.42302486 σ = 0.888301 ε = 1.22678259 ε = 0.36120385 ε = 0.90611049 ε = 0.44083436 B'4' = 0.16952137 B'4' = 0.82492459 B'4' = 0.33821954 B'4' = 0.71694228 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.88096542 BγRγ = 0.95020082 BγRγ = 0.90206496 BγRγ = 0.94105502 O1'O' = 4.06651463 O1'O' = 3.39149661 O1'O' = 3.89276769 O1'O' = 3.5027106 R'O' = 3.94834911 R'O' = 3.29294589 R'O' = 3.77965094 R'O' = 3.4009282 O1'4 = 0.47318065 O1'4 = 0.31163826 O1'4 = 0.43160029 O1'4 = 0.33825351 O1'R' = 0.97318065 O1'R' = 0.81163826 O1'R' = 0.93160029 O1'R' = 0.83825351 R'6' = 0.23004222 R'6' = 0.58416036 R'6' = 0.3634844 R'6' = 0.5452807 τ = 0.26357416 τ = 0.64854616 τ = 0.41212996 τ = 0.6075711 δ + τ = 1.37716175 δ + τ = 0.51931738 δ = 1.18646511 δ = 0.70463277 ψ = 0.38433122 ψ = 0.86616355 o = 1.18646511 o = 0.70463277 ф = 1.26752578 ф = 1.13533291 ι = 0.08106067 ι = 0.43070014 8γCγ = 0.02943203 8γCγ = 0.22765856 R'C' = 0.21278144 R'C' = 0.03387952 h2 = 0.865691 h2 = 0.837231 h2 = 0.777074 h2 = 0.111604 3'C' = 0.02407131 3'C' = 0.22146007 B'C' = 0.6294088 B'C' = 0.99375274 B'C' = 0.50057909 B'C' = 0.54684967 χ = 0.65278337 χ = 1.0435642 χ = 0.04810549 χ = 0.41695073 η = 0.05933543 η = 0.99497305 γ = 1.52269084 γ = 1.1538456 O1'C' = 0.99617093 O1'C' = 0.81234506 O1'C' = 0.983142 O1'C' = 0.97374102 C'H' = 1.64627693 C'H' = 1.16977563 C'H' = 2.00450843 C'H' = 1.80711968 H'M' = 1.59843911 H'M' = 1.13578407 H'M' = 1.94626106 H'M' = 1.75460806 S'M' = 0.43949578 S'M' = 0.2271328 C'M' = 0.47971027 C'M' = 0.43247205 C'M' = 0.39397986 C'M' = 0.27994563 B'M' = 0.14302968 B'M' = 0.33468267 SβMβ = 0.44810715 SβMβ = 0.42563694 S'M' = 0.08207311 S'M' = 0.2804772 MβDβ = 0.91911907 MβDβ = 0.96001586 M'12'= 0.87742695 M'12'= 0.90164734 λ = 1.20378001 λ = 1.12442477 SβMβ = 0.08719082 SβMβ = 0.36124214 ι = 1.374434 ι = 0.56288743 η = 0.26294588 η = 0.78996045 κ = 1.76715865 κ = 2.57870522 λ = 1.65217275 λ = 1.46266008 ν = 1.74145032 ν = 1.00925898 µ = 2.71589393 µ = 2.56790469 µ = 3.31224664 µ = 2.58005531 ν = 1.1450976 ν = 0.99710837 κ = 0.42569873 κ = 0.57368796 S'D'= 0.35763147 S'D'= 0.4700208 11βDβ 0.78873299 11βDβ 0.72737916 h3 = 1.682842 h3 = 0.924198 h3 = 1.624992 h3 = 1.336951 ______________________________________________________________________ 179 KK IV-13Mm KK IV-13mm KK IV-13mM KK IV-13MM M'D' = 0.15609112 M'D' = 0.51119701 M'D' = 0.43970457 M'D' = 0.750498 D'H'= 1.44234799 D'H'= 0.62458706 D'H'= 1.50655648 D'H'= 1.00411006 C'D' = 0.42377419 C'D' = 0.58283097 C'D' = 0.65073962 C'D' = 0.86618666 ρ = 1.46844356 ρ = 0.60286482 B'D' = 0.64694274 B'D' = 1.46470367 B'D' = 0.58273425 B'D' = 1.08518067 O1'D' = 0.77763986 O1'D' = 0.89170113 O1'D' = 0.61473593 O1'D' = 0.68623578 ω = 0.95191724 ω = 0.25935905 ω = 0.58722188 ω = 0.28110978 C'13' = 0.24584095 C'13' = 0.56333793 C'13' = 0.54172974 C'13' = 0.83218723 D'13' = 0.34517647 D'13' = 0.14947347 D'13' = 0.36054257 D'13' = 0.24029927 13'5' = 0.9385378 13'5' = 0.98876574 13'5' = 0.93274276 13'5' = 0.97069885 β1 = 0.26503223 β1 = 0.60618765 β1 = 0.61970154 β1 = 1.03001618 γ1 = 1.12367845 γ1 = 1.06034218 γ1 = 1.13151035 γ1 = 1.08223185 φ1 = 0.85864622 φ1 = 0.45415453 φ1 = 0.51180882 σ1 = 1.5179091 Qγ 14γ = 0.71043427 Qγ 14γ = 0.4337742 Qγ 14γ = 0.45681551 η1 = 1.62368355 Pγ 14γ = 0.61329956 Pγ 14γ = 0.88853679 Pγ 14γ = 0.81322116 G γ 15γ = 0.96934162 h4 = 1.069543 h4 = 0.035661 h4 = 0.811771 13'G'= 0.05131364 σ1 = 1.12367845 σ1 = 1.06034218 σ1 = 1.13151035 h5 = 2.306293 ε1 = 1.98232467 ε1 = 1.51449671 ε1 = 1.64331917 φ1 = 1.0296804 τ1 = 1.0089571 τ1 = 1.04062524 τ1 = 1.00504115 ε1 = 0.54078015 δ1 = 0.71215011 δ1 = 1.1166418 δ1 = 1.05898751 τ1 = 1.57046055 χ1 = 2.99128177 χ1 = 2.55512195 χ1 = 2.64836032 Qγ 14γ = 0.99999994 η1 = 0.15031088 η1 = 0.5864707 η1 = 0.49323233 C'Q'= 0.00033578 Q'G' = 0.14974552 Q'G' = 0.55342493 Q'G' = 0.47347542 Cγ 16γ = 0.83218723 Gγ 15γ = 0.98872457 Gγ 15γ = 0.83289906 Gγ 15γ = 0.88080703 h5 = 2.058267 h5 = 0.86856 h5 = 1.692578 h4 = 1.837231 G'13' = 0.86017979 G'13' = 0.98719913 G'13' = 0.93029093 G'Q' = 0.88316509 H'1' = 2.15181867 H'1' = 2.15181867 H'1' = 2.15181867 H'1' = 2.15181867 G'H' = 0.54025619 G'H' = -0.3807614 D'G' = 0.92685277 D'G' = 0.99845102 D'G' = 0.99771346 D'G' = 0.24571697 λ1 = 0.38161287 λ1 = 0.15027027 λ1 = 0.36973553 λ1 = 1.36041554 ι1 = 1.18918346 ι1 = 1.42052606 ι1 = 1.20106079 ι1 = 0.21038079 κ1 = 2.75997979 κ1 = 2.99132239 κ1 = 2.77185712 κ1 = 1.78117711 ν1 = 0.13995189 ν1 = -0.0913907 ν1 = 0.12807456 ν1 = 1.11875457 D'16' = 0.91779066 D'16' = 0.99428426 D'16' = 0.98954185 D'16' = 0.10732994 H'16' = 0.52455733 H'16' = -0.3696972 H'16' = 0.89678012 G'16' = 0.12929177 G'16' = -0.0911222 G'16' = 0.12743266 G'16' = 0.22103645 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.62929177 G'V' = 0.40887782 G'V' = 0.62743266 G'V' = 0.72103645 V'18' = 0.77716914 V'18' = 0.91258913 V'18' = 0.77867083 V'18' = 0.69289714 VαTα = 0.99160659 VαTα = 0.99583972 VαTα = 0.99184722 VαTα = 0.97526555 µ1 = 0.8532796 µ1 = 1.01580839 µ1 = 0.85492645 µ1 = 0.76288582 α1 = 1.29179576 α1 = 1.18750614 α1 = 1.29091422 α1 = 1.33620672 ρ1 = 0.38828623 ρ1 = 0.05589927 ρ1 = 0.06819426 υ1 = 0.11027538 υ1 = 0.46499337 υ1 = 0.78673219 ω1 = 1.46052094 ω1 = 1.10580296 ψ1 = 1.07170766 ρ1 = 0.69763513 ψ1 = 0.46499337 ω1 = 0.49908867 ψ1 = 0.63857159 20αO2α= 0.77407476 20αO2α= 0.76038686 20αO2α= 0.61318881 Vα20α = 0.41300072 T'O2'= 0.3883404 T'O2'= 0.4145019 T'O2'= 0.61155497 V'O2'= 0.55636036 h6 = 1.294502 h6 = 1.684584 h6 = 2.238181 h6 = 1.893292 ______________________________________________________________________ 180 KK IV-13Mm KK IV-13mm KK IV-13mM KK IV-13MM O2'V' = 0.1437159 O2'V' = 0.57978236 O2'V' = 0.37798688 T'V'= 0.10732994 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.99160659 26'16'= 0.99583972 26'16'= 0.99184722 26'16'= 0.97526555 ζ1 = 1.10580296 ζ1 = 1.07170766 ζ1 = 0.78673219 T'O2'= 0.66369029 ξ1 = 0.38828623 ξ1 = -0.0558993 ξ1 = -0.0681943 ζ1 = 0.69763513 β2 = 0.46499337 β2 = 0.49908867 β2 = 0.78406414 ξ1 = 0.11027538 σ2 = 0.8532796 σ2 = 1.12760693 γ2 = 1.63899059 γ2 = 1.46052094 ZβNβ= 0.77716914 ZβNβ= 1.00102133 σ2 = 0.71853793 δ2 = 0.76288582 δ2 = 0.1859928 φ2 = 1.11682438 ZβNβ= 0.66374441 ZβNβ= 0.69289714 φ2 = 1.38480353 η2 = 0.61773571 η2 = 0.60586892 β2 = 0.63857159 η2 = 1.29179576 γ2 = 0.95306062 δ2 = 0.96492741 γ2 = 0.9965173 δ2 = 0.89716135 λ2 = 1.03312167 λ2 = 1.33620672 λ2 = 0.8105245 λ2 = 1.29137068 φ2 = 1.14354358 φ2 = 1.16681435 κ2 = 0.76027183 κ2 = 0.27942564 16'H'= 0.41099379 O2'2'= 0.34041977 Nβ21β= 0.6833344 Hβ22β= 0.95721509 23βHβ= 0.90268766 23βHβ= 0.79631299 h7 = 1.374933 h7 = 1.825775 h7 = 2.595265 h7 = 2.689605 V'2' = 0.71856645 V'2' = 0.27465619 G'H' = 0.43029639 G'H' = 0.92361881 O2'D' = 0.921516 O2'D' = 0.64947042 O2'D' = 0.79120195 O2'D' = 0.83095415 O2'2' = 0.86228235 O2'2' = 0.85443855 O2'2' = 0.78898067 O2'H' = 0.99676018 O2'H' = 0.98998244 O2'H' = 0.934072 O2'H' = 0.6048848 O2'G' = 0.64549391 O2'G' = 0.70945659 O2'G' = 0.73249288 O2'G' = 0.9107307 H'Q' = 0.69000171 H'Q' = 0.17266349 H'Q' = 0.90377181 H'Q' = 1.8067839 C'Q' = 0.95627522 C'Q' = 0.99711213 C'Q' = 1.10073662 C'Q' = 0.00033578 D'Q' = 0.78985039 D'Q' = 0.45880538 D'Q' = 0.58195477 D'Q' = 0.86586406 ∆ = -3.41E-09 ∆ = -6.53E-11 ∆ = 8.69E-10 ∆ = -1.44E-10 O'O1'= 4.06651463 O'O1'= 3.39149661 O'O1'= 3.89276769 O'O1'= 3.5027106 O'B' = 4.14811491 O'B' = 4.14811491 O'B' = 4.14811491 O'B' = 4.14811491 O'C' = 3.73556766 O'C' = 3.25906636 O'C' = 4.09379916 O'C' = 3.89641041 O'D' = 3.50675624 O'D' = 2.69986927 O'D' = 3.57032045 O'D' = 3.07363099 O'O2' = 2.89086209 O'O2' = 2.8830183 O'O2' = 2.81756041 O'O2' = 2.36899951 O'G' = 2.62954693 O'G' = 1.7085293 O'G' = 2.51958712 O'G' = 3.01290954 O'Q' = 2.77929245 O'Q' = 2.26195423 O'Q' = 2.99306254 O'Q' = 3.89607464 O'H' = 2.08929073 O'H' = 2.08929073 O'H' = 2.08929073 O'H' = 2.08929073 ______________________________________________________________________ 181 Прилог. 4 – Нумерички параметри KK IV–14 KK IV-14Mm KK IV-14mm KK IV-14mM KK IV-14MM n = 14 n = 14 n = 14 n = 14 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.855496 h1 = 0.732597 h1 = 0.742601 h1 = 0.569353 α = 0.22439948 α = 0.22439948 α = 0.22439948 α = 0.22439948 B'H' = r 2.2469796 B'H' = r 2.2469796 B'H' = r 2.2469796 B'H' = r 2.2469796 3'H' = q 2.19064313 3'H' = q 2.19064313 3'H' = q 2.19064313 3'H' = q 2.19064313 β = 1.34639685 β = 1.34639685 β = 1.34639685 β = 1.34639685 B'S' = 0.13463318 B'S' = 0.46184636 B'S' = 0.44558247 B'S' = 0.65256204 φ = 0.22439948 φ = 0.22439948 φ = 0.22439948 φ = 0.22439948 O1'B' = 0.51780894 O1'B' = 0.68066296 O1'B' = 0.66973408 O1'B' = 0.82209319 B'1' = 0.51285843 B'1' = 0.51285843 B'1' = 0.51285843 B'1' = 0.51285843 1'3' = 0.11412174 1'3' = 0.11412174 1'3' = 0.11412174 1'3' = 0.11412174 σ = 0.26302793 σ = 0.74575187 σ = 0.72791235 σ = 0.91700085 ε = 1.08336893 ε = 0.60064498 ε = 0.6184845 ε = 0.429396 B'4' = 0.24251812 B'4' = 0.56152738 B'4' = 0.54567125 B'4' = 0.74746141 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.88920692 BγRγ = 0.92304438 BγRγ = 0.92152774 BγRγ = 0.93960702 O1'O' = 4.30298955 O1'O' = 3.97577638 O1'O' = 3.99204027 O1'O' = 3.7850607 R'O' = 4.19510462 R'O' = 3.87609536 R'O' = 3.89195148 R'O' = 3.69016133 O1'4 = 0.45750525 O1'4 = 0.38469347 O1'4 = 0.38831253 O1'4 = 0.34225524 O1'R' = 0.95750525 O1'R' = 0.88469347 O1'R' = 0.88831253 O1'R' = 0.84225524 R'6' = 0.28841583 R'6' = 0.46617321 R'6' = 0.45923943 R'6' = 0.53907894 τ = 0.32908376 τ = 0.52344001 τ = 0.51600438 τ = 0.60101653 δ + τ = 1.29456135 δ + τ = 0.91682546 δ = 0.93708738 δ = 0.65095697 ψ = 0.63370895 ψ = 0.91983935 o = 0.93708738 o = 0.65095697 ф = 1.19566962 ф = 1.13953764 ι = 0.25858224 ι = 0.48858067 8γCγ = 0.1174322 8γCγ = 0.25302915 R'C' = 0.2502713 R'C' = 0.23834811 h2 = 0.860033 h2 = 0.822382 h2 = 0.712151 h2 = 0.331963 3'C' = 0.10169994 3'C' = 0.27145473 B'C' = 0.70202664 B'C' = 0.94329253 B'C' = 0.51023806 B'C' = 0.56893556 χ = 0.77813534 χ = 1.01212705 χ = 0.20066252 χ = 0.49738313 η = 0.15609412 η = 0.56249003 γ = 1.37013381 γ = 1.0734132 O1'C' = 0.98967269 O1'C' = 0.91623816 O1'C' = 0.9930809 O1'C' = 0.96745866 C'H' = 1.69785372 C'H' = 1.39076765 C'H' = 2.0889432 C'H' = 1.9191884 H'M' = 1.65528498 H'M' = 1.3558982 H'M' = 2.03656903 H'M' = 1.87107034 S'M' = 0.45706144 S'M' = 0.42923504 C'M' = 0.46483359 C'M' = 0.4270596 C'M' = 0.37780799 C'M' = 0.30947492 B'M' = 0.21041057 B'M' = 0.37590926 SβMβ = 0.47901266 SβMβ = 0.58715446 S'M' = 0.2351719 S'M' = 0.27665277 MβDβ = 0.92588397 MβDβ = 0.95090761 M'12'= 0.88539806 M'12'= 0.90422348 λ = 1.18143079 λ = 1.10755876 SβMβ = 0.26286145 SβMβ = 0.374914 ι = 1.26688744 ι = 0.81984899 η = 0.54044115 η = 0.85339047 κ = 1.87470522 κ = 2.32174366 λ = 1.49347963 λ = 1.45823392 ν = 1.65625297 ν = 1.28308656 µ = 2.75578489 µ = 2.513327 µ = 3.2270493 µ = 2.85388289 ν = 1.18498857 ν = 0.94253068 κ = 0.38580776 κ = 0.62826565 S'D'= 0.32589198 S'D'= 0.50899991 11βDβ 0.80236801 11βDβ 0.70065619 h3 = 1.634656 h3 = 1.243784 h3 = 1.544969 h3 = 1.270009 ______________________________________________________________________ 182 KK IV-14Mm KK IV-14mm KK IV-14mM KK IV-14MM M'D' = 0.07902667 M'D' = 0.26982657 M'D' = 0.56106387 M'D' = 0.78565268 D'H'= 1.57625831 D'H'= 1.08607163 D'H'= 1.47550516 D'H'= 1.08541766 C'D' = 0.38598458 C'D' = 0.41058629 C'D' = 0.72860342 C'D' = 0.89422035 ρ = 1.3077684 ρ = 0.82504446 B'D' = 0.6707213 B'D' = 1.16090797 B'D' = 0.77147445 B'D' = 1.16156195 O1'D' = 0.73306921 O1'D' = 0.8594691 O1'D' = 0.59682961 O1'D' = 0.71349906 ω = 1.14019828 ω = 0.62933377 ω = 0.46747128 ω = 0.273496 C'13' = 0.1611155 C'13' = 0.3319261 C'13' = 0.65043204 C'13' = 0.86098443 D'13' = 0.35075047 D'13' = 0.24167367 D'13' = 0.32833079 D'13' = 0.24152815 13'5' = 0.93646896 13'5' = 0.97035758 13'5' = 0.94456281 13'5' = 0.97039381 β1 = 0.172906 β1 = 0.34911439 β1 = 0.75956551 β1 = 1.09135463 γ1 = 1.12646112 γ1 = 1.08265458 γ1 = 1.11565769 γ1 = 1.08260968 φ1 = 0.95355511 φ1 = 0.73354019 φ1 = 0.35609218 σ1 = 1.45581499 Qγ 14γ = 0.76367012 Qγ 14γ = 0.64965781 Qγ 14γ = 0.32928804 η1 = 1.68577767 Pγ 14γ = 0.54201665 Pγ 14γ = 0.72079024 Pγ 14γ = 0.88530689 G γ 15γ = 0.96398623 h4 = 1.092639 h4 = 0.522994 h4 = 0.659662 13'G'= 0.11133149 σ1 = 1.12646112 σ1 = 1.08265458 σ1 = 1.11565769 h5 = 2.233995 ε1 = 2.08001623 ε1 = 1.81619477 ε1 = 1.47174987 φ1 = 1.02949149 τ1 = 1.00756577 τ1 = 1.02946904 τ1 = 1.01296748 ε1 = 0.4794417 δ1 = 0.61724121 δ1 = 0.83725614 δ1 = 1.21470415 τ1 = 1.50893318 χ1 = 3.087582 χ1 = 2.84566381 χ1 = 2.48471735 Qγ 14γ = 0.99808709 η1 = 0.05401065 η1 = 0.29592885 η1 = 0.6568753 C'Q'= 0.06182369 Q'G' = 0.0539844 Q'G' = 0.29162845 Q'G' = 0.61064538 Cγ 16γ = 0.86098443 Gγ 15γ = 0.99854178 Gγ 15γ = 0.95653168 Gγ 15γ = 0.79190418 h5 = 2.091181 h5 = 1.479526 h5 = 1.451566 h4 = 1.820469 G'13' = 0.81765452 G'13' = 0.94128625 G'13' = 0.93993342 G'Q' = 0.91049223 H'1' = 2.30476487 H'1' = 2.30476487 H'1' = 2.30476487 H'1' = 2.30476487 G'H' = 0.7190837 G'H' = 0.1175553 D'G' = 0.88971052 D'G' = 0.97181581 D'G' = 0.99562841 D'G' = 0.26595215 λ1 = 0.40522971 λ1 = 0.25131988 λ1 = 0.33606249 λ1 = 1.13887689 ι1 = 1.16556661 ι1 = 1.31947645 ι1 = 1.23473383 ι1 = 0.43191943 κ1 = 2.73636294 κ1 = 2.89027277 κ1 = 2.80553016 κ1 = 2.00271576 ν1 = 0.18083024 ν1 = 0.0269204 ν1 = 0.11166302 ν1 = 0.91447742 D'16' = 0.87520354 D'16' = 0.97146369 D'16' = 0.9894278 D'16' = 0.16228525 H'16' = 0.70105477 H'16' = 0.11460794 H'16' = 0.92313241 G'16' = 0.16001118 G'16' = 0.02615851 G'16' = 0.11094398 G'16' = 0.21069895 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.66001118 G'V' = 0.52615851 G'V' = 0.61094398 G'V' = 0.71069895 V'18' = 0.75125578 V'18' = 0.85038651 V'18' = 0.79167383 V'18' = 0.70349627 VαTα = 0.9871152 VαTα = 0.99965781 VαTα = 0.99382666 VαTα = 0.977551 µ1 = 0.82511189 µ1 = 0.93644434 µ1 = 0.86926519 µ1 = 0.7741014 α1 = 1.30644205 α1 = 1.24326801 α1 = 1.28311461 α1 = 1.33108149 ρ1 = 0.48079494 ρ1 = 0.23806447 ρ1 = 0.0941218 υ1 = 0.16678422 υ1 = 0.34431694 υ1 = 0.77514339 ω1 = 1.40401211 ω1 = 1.22647938 ψ1 = 1.17450881 ρ1 = 0.62991071 ψ1 = 0.34431694 ω1 = 0.39628752 ψ1 = 0.70117078 20αO2α= 0.81519512 20αO2α= 0.79890874 20αO2α= 0.60606061 Vα20α = 0.45383439 T'O2'= 0.29233016 T'O2'= 0.33428255 T'O2'= 0.61861987 V'O2'= 0.53753265 h6 = 1.342326 h6 = 2.042693 h6 = 2.15103 h6 = 1.780161 ______________________________________________________________________ 183 KK IV-14Mm KK IV-14mm KK IV-14mM KK IV-14MM O2'V'= 0.06000842 O2'V' = 0.63718114 O2'V' = 0.37080793 T'V'= 0.16228525 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.9871152 26'16'= 0.99965781 26'16'= 0.99382666 26'16'= 0.977551 ζ1 = 1.22647938 ζ1 = 1.17450881 ζ1 = 0.77514339 T'O2'= 0.6998179 ξ1 = 0.48079494 ξ1 = 0.23806447 ξ1 = 0.0941218 ζ1 = 0.62991071 β2 = 0.34431694 β2 = 0.39628752 β2 = 0.79565294 ξ1 = 0.16678422 σ2 = 0.82511189 σ2 = 0.93644434 γ2 = 1.47667452 γ2 = 1.40401211 ZβNβ= 0.75125578 ZβNβ= 0.85038651 σ2 = 0.86926519 δ2 = 0.7741014 δ2 = 0.07996267 φ2 = 1.24326801 ZβNβ= 0.79167383 ZβNβ= 0.70349627 φ2 = 1.49083366 η2 = 0.84698049 η2 = 0.48746167 β2 = 0.70117078 η2 = 1.30644205 γ2 = 0.72381584 δ2 = 1.08333465 γ2 = 1.01003871 δ2 = 0.96188031 λ2 = 0.98921285 λ2 = 1.33108149 λ2 = 0.93007605 λ2 = 1.45589651 φ2 = 1.06904515 φ2 = 1.10934038 κ2 = 0.64072028 κ2 = 0.11489982 16'H'= 0.47799246 O2'2'= 0.38559975 Nβ21β= 0.59007084 Hβ22β= 0.99306634 23βHβ= 0.87132924 23βHβ= 0.77544363 h7 = 1.50111 h7 = 2.472592 h7 = 2.322896 h7 = 2.555605 V'2' = 0.7913361 V'2' = 0.11460794 G'H' = 0.49069885 G'H' = 0.94687248 O2'D' = 0.95631746 O2'D' = 0.60145226 O2'D' = 0.78569043 O2'D' = 0.86008435 O2'2' = 0.85134452 O2'2' = 0.75178908 O2'2' = 0.84880039 O2'H' = 0.98731327 O2'H' = 0.90287697 O2'H' = 0.98512035 O2'H' = 0.6314168 O2'G' = 0.66273355 O2'G' = 0.8263429 O2'G' = 0.71466851 O2'G' = 0.89108605 H'Q' = 0.7730681 H'Q' = 0.40918374 H'Q' = 1.10134423 H'Q' = 1.85736471 C'Q' = 0.92478562 C'Q' = 0.98158391 C'Q' = 0.98759897 C'Q' = 0.06182369 D'Q' = 0.84036775 D'Q' = 0.69315325 D'Q' = 0.46500722 D'Q' = 0.83486151 ∆ = -2.06E-09 ∆ = -8.5E-11 ∆ = -5.61E-11 ∆ = 1.21E-11 O'O1'= 4.30298955 O'O1'= 3.97577638 O'O1'= 3.99204027 O'O1'= 3.7850607 O'B' = 4.46570214 O'B' = 4.46570214 O'B' = 4.46570214 O'B' = 4.46570214 O'C' = 3.94483332 O'C' = 3.63774725 O'C' = 4.3359228 O'C' = 4.166168 O'D' = 3.79994032 O'D' = 3.31464322 O'D' = 3.70008693 O'D' = 3.31399673 O'O2' = 3.04198766 O'O2' = 2.94243221 O'O2' = 3.03944353 O'O2' = 2.57624289 O'G' = 2.9660633 O'G' = 2.3645349 O'G' = 2.73767846 O'G' = 3.19385208 O'Q' = 3.0200477 O'Q' = 2.65616335 O'Q' = 3.34832383 O'Q' = 4.10434431 O'H' = 2.2469796 O'H' = 2.2469796 O'H' = 2.2469796 O'H' = 2.2469796 ______________________________________________________________________ 184 Прилог. 5 – Нумерички параметри KK IV–15 KK IV-15Mm KK IV-15mm KK IV-15mM KK IV-15MM n = 15 n = 15 n = 15 n = 15 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.831547 h1 = 0.700008 h1 = 0.719924 h1 = 0.524497 α = 0.20943951 α = 0.20943951 α = 0.20943951 α = 0.20943951 B'H' = r 2.40486717 B'H' = r 2.40486717 B'H' = r 2.40486717 B'H' = r 2.40486717 3'H' = q 2.35231505 3'H' = q 2.35231505 3'H' = q 2.35231505 3'H' = q 2.35231505 β = 1.36135682 β = 1.36135682 β = 1.36135682 β = 1.36135682 B'S' = 0.24192778 B'S' = 0.50989086 B'S' = 0.48136218 B'S' = 0.68913168 φ = 0.20943951 φ = 0.20943951 φ = 0.20943951 φ = 0.20943951 O1'B' = 0.55545391 O1'B' = 0.71413492 O1'B' = 0.69405299 O1'B' = 0.85141204 B'1' = 0.5111703 B'1' = 0.5111703 B'1' = 0.5111703 B'1' = 0.5111703 1'3' = 0.10627828 1'3' = 0.10627828 1'3' = 0.10627828 1'3' = 0.10627828 σ = 0.45064884 σ = 0.79519184 σ = 0.76640866 σ = 0.94312723 ε = 0.91070797 ε = 0.56616498 ε = 0.59494816 ε = 0.41822958 B'4' = 0.34059692 B'4' = 0.60270437 B'4' = 0.57479911 B'4' = 0.77802834 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.89859736 BγRγ = 0.92372283 BγRγ = 0.92124072 BγRγ = 0.93830999 O1'O' = 4.51525445 O1'O' = 4.24729137 O1'O' = 4.27582005 O1'O' = 4.06805055 R'O' = 4.4165853 R'O' = 4.15447786 R'O' = 4.18238312 R'O' = 3.97915388 O1'4 = 0.43877419 O1'4 = 0.38306153 O1'4 = 0.38899298 O1'4 = 0.34579527 O1'R' = 0.93877419 O1'R' = 0.88306153 O1'R' = 0.88899298 O1'R' = 0.84579527 R'6' = 0.34453306 R'6' = 0.46925722 R'6' = 0.45792083 R'6' = 0.5335076 τ = 0.39129809 τ = 0.52674374 τ = 0.5145891 τ = 0.5951231 δ + τ = 1.18204658 δ + τ = 0.85995288 δ = 0.89702171 δ = 0.59315631 ψ = 0.67377462 ψ = 0.97764002 o = 0.89702171 o = 0.59315631 ф = 1.19662678 ф = 1.14333462 ι = 0.29960507 ι = 0.55017831 8γCγ = 0.13515208 8γCγ = 0.27893871 R'C' = 0.26849037 R'C' = 0.21568754 h2 = 0.855076 h2 = 0.803436 h2 = 0.61564 h2 = 0.283257 3'C' = 0.13727722 3'C' = 0.32324976 B'C' = 0.78802749 B'C' = 0.95904396 B'C' = 0.51850268 B'C' = 0.59539097 χ = 0.88344053 χ = 1.02236115 χ = 0.26795192 χ = 0.57391049 η = 0.2831214 η = 0.62953783 γ = 1.3028444 γ = 0.99688584 O1'C' = 0.97641387 O1'C' = 0.90902078 O1'C' = 0.99082487 O1'C' = 0.96030891 C'H' = 1.74322776 C'H' = 1.53392315 C'H' = 2.21503784 C'H' = 2.0290653 H'M' = 1.70513405 H'M' = 1.50040325 H'M' = 2.16663395 H'M' = 1.98472535 S'M' = 0.45780534 S'M' = 0.39457306 C'M' = 0.46053226 C'M' = 0.4218664 C'M' = 0.36243743 C'M' = 0.31892056 B'M' = 0.23823322 B'M' = 0.42014182 SβMβ = 0.50616369 SβMβ = 0.57390689 S'M' = 0.24312895 S'M' = 0.26898986 MβDβ = 0.93200811 MβDβ = 0.94778145 M'12'= 0.88764297 M'12'= 0.90665801 λ = 1.16223589 λ = 1.1162281 SβMβ = 0.27816861 SβMβ = 0.38750787 ι = 1.13011453 ι = 0.75806973 η = 0.58936007 η = 0.92022964 κ = 2.01147813 κ = 2.38352292 λ = 1.48878754 λ = 1.45412006 ν = 1.53867496 ν = 1.21263796 µ = 2.71625016 µ = 2.45471554 µ = 3.10947129 µ = 2.78343429 ν = 1.14545383 ν = 0.88391922 κ = 0.42534249 κ = 0.68687711 S'D'= 0.35735047 S'D'= 0.54916885 11βDβ 0.78886034 11βDβ 0.6696369 h3 = 1.547167 h3 = 1.170896 h3 = 1.508784 h3 = 1.194134 ______________________________________________________________________ 185 KK IV-15Mm KK IV-15mm KK IV-15mM KK IV-15MM M'D' = 0.02993223 M'D' = 0.33224484 M'D' = 0.60047943 M'D' = 0.81815871 D'H'= 1.67520183 D'H'= 1.16815841 D'H'= 1.56615452 D'H'= 1.16656665 C'D' = 0.36367132 C'D' = 0.46053985 C'D' = 0.75674666 C'D' = 0.92051883 ρ = 1.12014748 ρ = 0.77560449 B'D' = 0.72966534 B'D' = 1.23670877 B'D' = 0.83871265 B'D' = 1.23830053 O1'D' = 0.69848975 O1'D' = 0.88219287 O1'D' = 0.6145725 O1'D' = 0.74268865 ω = 1.2789579 ω = 0.55549929 ω = 0.44481594 ω = 0.26663302 C'13' = 0.10463311 C'13' = 0.39129181 C'13' = 0.68310755 C'13' = 0.88799093 D'13' = 0.34829404 D'13' = 0.24287379 D'13' = 0.32562183 D'13' = 0.24254284 13'5' = 0.93738533 13'5' = 0.9700579 13'5' = 0.94550009 13'5' = 0.9701407 β1 = 0.11185541 β1 = 0.41519628 β1 = 0.80738664 β1 = 1.15630627 γ1 = 1.12522675 γ1 = 1.08302609 γ1 = 1.11442091 γ1 = 1.08292342 φ1 = 1.01337134 φ1 = 0.66782981 φ1 = 0.30703427 σ1 = 1.39023588 Qγ 14γ = 0.79548404 Qγ 14γ = 0.60074083 Qγ 14γ = 0.28576127 η1 = 1.75135677 Pγ 14γ = 0.49587942 Pγ 14γ = 0.76165791 Pγ 14γ = 0.90128293 G γ 15γ = 0.95436931 h4 = 1.051288 h4 = 0.409238 h4 = 0.607501 13'G'= 0.17421877 σ1 = 1.12522675 σ1 = 1.08302609 σ1 = 1.11442091 h5 = 2.148504 ε1 = 2.13859808 ε1 = 1.75085589 ε1 = 1.42145518 φ1 = 1.02933462 τ1 = 1.00818295 τ1 = 1.02928328 τ1 = 1.01358587 ε1 = 0.41449006 δ1 = 0.55742499 δ1 = 0.90296652 δ1 = 1.26376206 τ1 = 1.44382468 χ1 = 3.14678104 χ1 = 2.78013918 χ1 = 2.43504105 Qγ 14γ = 0.99194992 η1 = -0.0051884 η1 = 0.36145348 η1 = 0.7065516 C'Q'= 0.12663075 Q'G' = -0.0051884 Q'G' = 0.35363417 Q'G' = 0.64921477 Cγ 16γ = 0.88799093 Gγ 15γ = 0.99998654 Gγ 15γ = 0.93538381 Gγ 15γ = 0.76060515 h5 = 2.051275 h5 = 1.344622 h5 = 1.368106 h4 = 1.795386 G'13' = 0.79029568 G'13' = 0.954375 G'13' = 0.93497603 G'Q' = 0.93557895 H'1' = 2.45859334 H'1' = 2.45859334 H'1' = 2.45859334 H'1' = 2.45859334 G'H' = 0.84829897 G'H' = 0.18825635 D'G' = 0.86364113 D'G' = 0.98479405 D'G' = 0.99005543 D'G' = 0.29862889 λ1 = 0.41510456 λ1 = 0.24919504 λ1 = 0.33513062 λ1 = 0.9478931 ι1 = 1.15569177 ι1 = 1.32160129 ι1 = 1.2356657 ι1 = 0.62290323 κ1 = 2.72648809 κ1 = 2.89239762 κ1 = 2.80646203 κ1 = 2.19369956 ν1 = 0.20566505 ν1 = 0.03975553 ν1 = 0.12569111 ν1 = 0.73845359 D'16' = 0.84544023 D'16' = 0.98401591 D'16' = 0.98224515 D'16' = 0.22083917 H'16' = 0.8297616 H'16' = 0.18414249 H'16' = 0.94572748 G'16' = 0.17637127 G'16' = 0.0391407 G'16' = 0.12411377 G'16' = 0.20102058 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.67637127 G'V' = 0.5391407 G'V' = 0.62411377 G'V' = 0.70102058 V'18' = 0.73656086 V'18' = 0.84221572 V'18' = 0.78133348 V'18' = 0.71314104 VαTα = 0.98432371 VαTα = 0.99923371 VαTα = 0.99226799 VαTα = 0.97958702 µ1 = 0.80931442 µ1 = 0.92678481 µ1 = 0.85785093 µ1 = 0.7843337 α1 = 1.3143186 α1 = 1.24936459 α1 = 1.28934165 α1 = 1.32631812 ρ1 = 0.53766927 ρ1 = 0.17474713 ρ1 = 0.14225327 υ1 = 0.22739576 υ1 = 0.27164516 υ1 = 0.71559766 ω1 = 1.34340057 ω1 = 1.29915117 ψ1 = 1.10153194 ρ1 = 0.55906687 ψ1 = 0.27164516 ω1 = 0.46926438 ψ1 = 0.76725125 20αO2α= 0.83426893 20αO2α= 0.77240909 20αO2α= 0.56817206 Vα20α = 0.49503345 T'O2'= 0.23236902 T'O2'= 0.39164294 T'O2'= 0.65359047 V'O2'= 0.51333422 h6 = 1.314798 h6 = 1.943305 h6 = 2.076956 h6 = 1.65347 ______________________________________________________________________ 186 KK IV-15Mm KK IV-15mm KK IV-15mM KK IV-15MM O2'V' = 0.0111713 O2'V' = 0.59237298 O2'V' = 0.32865468 T'V'= 0.22083917 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.98432371 26'16'= 0.99923371 26'16'= 0.99226799 26'16'= 0.97958702 ζ1 = 1.29915117 ζ1 = 1.10153194 ζ1 = 0.71559766 T'O2'= 0.73417339 ξ1 = 0.53766927 ξ1 = 0.17474713 ξ1 = 0.14225327 ζ1 = 0.55906687 β2 = 0.27164516 β2 = 0.46926438 β2 = 0.85519867 ξ1 = 0.22739576 σ2 = 0.80931442 σ2 = 0.92678481 γ2 = 1.42854306 γ2 = 1.34340057 ZβNβ= 0.73656086 ZβNβ= 0.84221572 σ2 = 0.85785093 δ2 = 0.7843337 δ2 = 0.01516743 φ2 = 1.24936459 ZβNβ= 0.78133348 ZβNβ= 0.71314104 φ2 = 1.5556289 η2 = 0.78010021 η2 = 0.43414298 β2 = 0.76725125 η2 = 1.3143186 γ2 = 0.79069612 δ2 = 1.13665335 γ2 = 1.01795963 δ2 = 0.96544325 λ2 = 0.99440008 λ2 = 1.32631812 λ2 = 1.00279221 λ2 = 1.38545329 φ2 = 1.01053923 φ2 = 1.04802328 κ2 = 0.56800412 κ2 = 0.18534304 16'H'= 0.52729519 O2'2'= 0.43239326 Nβ21β= 0.52951757 Hβ22β= 0.98211993 23βHβ= 0.84056859 23βHβ= 0.7503573 h7 = 1.521757 h7 = 2.326742 h7 = 2.208675 h7 = 2.403827 V'2' = 0.8297616 V'2' = 0.18414249 G'H' = 0.54170513 G'H' = 0.96685559 O2'D' = 0.9726277 O2'D' = 0.63512533 O2'D' = 0.7568484 O2'D' = 0.88826267 O2'2' = 0.84093291 O2'2' = 0.77651547 O2'2' = 0.85594987 O2'H' = 0.97834971 O2'H' = 0.92356715 O2'H' = 0.99128713 O2'H' = 0.66103247 O2'G' = 0.67646352 O2'G' = 0.80098591 O2'G' = 0.70535941 O2'G' = 0.86887391 H'Q' = 0.84311061 H'Q' = 0.54189051 H'Q' = 1.19091989 H'Q' = 1.90243454 C'Q' = 0.90011716 C'Q' = 0.99203264 C'Q' = 1.02411795 C'Q' = 0.12663075 D'Q' = 0.86839139 D'Q' = 0.64797934 D'Q' = 0.43323098 D'Q' = 0.79905967 ∆ = -1.5E-09 ∆ = 2.44E-11 ∆ = 3.48E-11 ∆ = 2.87E-12 O'O1'= 4.51525445 O'O1'= 4.24729137 O'O1'= 4.27582005 O'O1'= 4.06805055 O'B' = 4.78338612 O'B' = 4.78338612 O'B' = 4.78338612 O'B' = 4.78338612 O'C' = 4.14809494 O'C' = 3.93879032 O'C' = 4.61990501 O'C' = 4.43393247 O'D' = 4.0584347 O'D' = 3.55580278 O'D' = 3.95024098 O'D' = 3.55422684 O'O2' = 3.19324796 O'O2' = 3.12883052 O'O2' = 3.20826492 O'O2' = 2.78470831 O'G' = 3.25316614 O'G' = 2.59312352 O'G' = 2.9465723 O'G' = 3.37172276 O'Q' = 3.24797778 O'Q' = 2.94675768 O'Q' = 3.59578707 O'Q' = 4.30730172 O'H' = 2.40486717 O'H' = 2.40486717 O'H' = 2.40486717 O'H' = 2.40486717 ______________________________________________________________________ 187 Прилог. 6 – Нумерички параметри KK IV–16 KK IV-16Mm KK IV-16mm KK IV-16mM KK IV-16MM n = 16 n = 16 n = 16 n = 16 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.797515 h1 = 0.661795 h1 = 0.694847 h1 = 0.474054 α = 0.19634954 α = 0.19634954 α = 0.19634954 α = 0.19634954 B'H' = r 2.56291545 B'H' = r 2.56291545 B'H' = r 2.56291545 B'H' = r 2.56291545 3'H' = q 2.51366975 3'H' = q 2.51366975 3'H' = q 2.51366975 3'H' = q 2.51366975 β = 1.37444679 β = 1.37444679 β = 1.37444679 β = 1.37444679 B'S' = 0.33759483 B'S' = 0.55859418 B'S' = 0.51690196 B'S' = 0.72475675 φ = 0.19634954 φ = 0.19634954 φ = 0.19634954 φ = 0.19634954 O1'B' = 0.60329948 O1'B' = 0.74968491 O1'B' = 0.71915759 O1'B' = 0.88049551 B'1' = 0.50979558 B'1' = 0.50979558 B'1' = 0.50979558 B'1' = 0.50979558 1'3' = 0.09945618 1'3' = 0.09945618 1'3' = 0.09945618 1'3' = 0.09945618 σ = 0.59387995 σ = 0.84069268 σ = 0.80201767 σ = 0.96689015 ε = 0.78056684 ε = 0.5337541 ε = 0.57242912 ε = 0.40755664 B'4' = 0.4286532 B'4' = 0.64540611 B'4' = 0.604515 B'4' = 0.80837591 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.90541333 BγRγ = 0.92440337 BγRγ = 0.92100529 BγRγ = 0.93712287 O1'O' = 4.73899037 O1'O' = 4.51799101 O1'O' = 4.55968323 O1'O' = 4.35182845 R'O' = 4.64793199 R'O' = 4.43117908 R'O' = 4.4720702 R'O' = 4.26820928 O1'4 = 0.42453116 O1'4 = 0.38141632 O1'4 = 0.38955007 O1'4 = 0.34899961 O1'R' = 0.92453116 O1'R' = 0.88141632 O1'R' = 0.88955007 O1'R' = 0.84899961 R'6' = 0.38110647 R'6' = 0.47234021 R'6' = 0.45683769 R'6' = 0.52839347 τ = 0.43141859 τ = 0.53004425 τ = 0.51342624 τ = 0.58970883 δ + τ = 1.07761134 δ + τ = 0.79793484 δ = 0.85480677 δ = 0.53038052 ψ = 0.71598956 ψ = 1.04041581 o = 0.85480677 o = 0.53038052 ф = 1.19741373 ф = 1.14683628 ι = 0.34260696 ι = 0.61645577 8γCγ = 0.15347174 8γCγ = 0.30548907 R'C' = 0.262766 R'C' = 0.18972937 h2 = 0.848319 h2 = 0.779544 h2 = 0.521478 h2 = 0.229235 3'C' = 0.17422777 3'C' = 0.37724242 B'C' = 0.85326462 B'C' = 0.97337109 B'C' = 0.5294859 B'C' = 0.62634802 χ = 0.94470162 χ = 1.03132939 χ = 0.33529824 χ = 0.64636523 η = 0.40043713 η = 0.70103507 γ = 1.23549808 γ = 0.92443109 O1'C' = 0.96114714 O1'C' = 0.90160522 O1'C' = 0.98815304 O1'C' = 0.95219558 C'H' = 1.82225055 C'H' = 1.67853426 C'H' = 2.33944198 C'H' = 2.13642733 H'M' = 1.78723652 H'M' = 1.64628169 H'M' = 2.29449026 H'M' = 2.09537647 S'M' = 0.4380841 S'M' = 0.35803957 C'M' = 0.45640249 C'M' = 0.41679629 C'M' = 0.35550345 C'M' = 0.32746579 B'M' = 0.26842519 B'M' = 0.46753897 SβMβ = 0.51779712 SβMβ = 0.56151613 S'M' = 0.24847677 S'M' = 0.25721777 MβDβ = 0.93467497 MβDβ = 0.94486304 M'12'= 0.88977344 M'12'= 0.90899992 λ = 1.15414083 λ = 1.12443581 SβMβ = 0.29205184 SβMβ = 0.39935517 ι = 1.00853841 ι = 0.69141787 η = 0.63959055 η = 0.99155285 κ = 2.13305424 κ = 2.45017479 λ = 1.48450239 λ = 1.45021623 ν = 1.42519391 ν = 1.13777839 µ = 2.67458996 µ = 2.3912 µ = 2.99599024 µ = 2.70857471 ν = 1.10379364 ν = 0.82040367 κ = 0.46700269 κ = 0.75039265 S'D'= 0.38989498 S'D'= 0.59056525 11βDβ 0.7732929 11βDβ 0.63342931 h3 = 1.446263 h3 = 1.086891 h3 = 1.46814 h3 = 1.107484 ______________________________________________________________________ 188 KK IV-16Mm KK IV-16mm KK IV-16mM KK IV-16MM M'D' = 0.13561058 M'D' = 0.39647597 M'D' = 0.63837176 M'D' = 0.84778302 D'H'= 1.65162593 D'H'= 1.24980573 D'H'= 1.6561185 D'H'= 1.24759346 C'D' = 0.38049038 C'D' = 0.51422469 C'D' = 0.7847431 C'D' = 0.94469847 ρ = 0.97691638 ρ = 0.73010365 B'D' = 0.91128952 B'D' = 1.31310972 B'D' = 0.90679695 B'D' = 1.31532199 O1'D' = 0.76100302 O1'D' = 0.90514844 O1'D' = 0.63404897 O1'D' = 0.77380056 ω = 1.01002403 ω = 0.4940102 ω = 0.42433822 ω = 0.26058037 C'13' = 0.20236015 C'13' = 0.4527432 C'13' = 0.71514533 C'13' = 0.91280603 D'13' = 0.32221623 D'13' = 0.243825 D'13' = 0.32309269 D'13' = 0.24339341 13'5' = 0.9466661 13'5' = 0.96981925 13'5' = 0.94636732 13'5' = 0.96992765 β1 = 0.21542318 β1 = 0.4857057 β1 = 0.85668284 β1 = 1.22589062 γ1 = 1.11288641 γ1 = 1.08332213 γ1 = 1.11327918 γ1 = 1.08318763 φ1 = 0.89746323 φ1 = 0.59761643 φ1 = 0.25659634 σ1 = 1.3201231 Qγ 14γ = 0.74005386 Qγ 14γ = 0.54569171 Qγ 14γ = 0.24017838 η1 = 1.82146955 Pγ 14γ = 0.59033633 Pγ 14γ = 0.80172934 Pγ 14γ = 0.91538268 G γ 15γ = 0.93961319 h4 = 0.855927 h4 = 0.285161 h4 = 0.552757 13'G'= 0.24059656 σ1 = 1.11288641 σ1 = 1.08332213 σ1 = 1.11327918 h5 = 2.047097 ε1 = 2.01034964 ε1 = 1.68093855 ε1 = 1.36987551 φ1 = 1.02920251 τ1 = 1.01435312 τ1 = 1.02913526 τ1 = 1.01415674 ε1 = 0.34490571 δ1 = 0.6733331 δ1 = 0.9731799 δ1 = 1.31419999 τ1 = 1.37410822 χ1 = 3.02470276 χ1 = 2.71007381 χ1 = 2.38403225 Qγ 14γ = 0.98071917 η1 = 0.11688989 η1 = 0.43151884 η1 = 0.7575604 C'Q'= 0.19542237 Q'G' = 0.11662389 Q'G' = 0.41825089 Q'G' = 0.68715109 Cγ 16γ = 0.91280603 Gγ 15γ = 0.99317615 Gγ 15γ = 0.90833154 Gγ 15γ = 0.72651454 h5 = 1.849103 h5 = 1.193493 h5 = 1.279272 h4 = 1.760263 G'13' = 0.85667775 G'13' = 0.9639426 G'13' = 0.92732947 G'Q' = 0.95798022 H'1' = 2.61312593 H'1' = 2.61312593 H'1' = 2.61312593 H'1' = 2.61312593 G'H' = 0.76321265 G'H' = 0.26184846 D'G' = 0.91527049 D'G' = 0.99430175 D'G' = 0.98200246 D'G' = 0.34223831 λ1 = 0.35975488 λ1 = 0.24774903 λ1 = 0.3352594 λ1 = 0.79117682 ι1 = 1.21104144 ι1 = 1.3230473 ι1 = 1.23553693 ι1 = 0.7796195 κ1 = 2.78183777 κ1 = 2.89384363 κ1 = 2.80633325 κ1 = 2.35041583 ν1 = 0.16340534 ν1 = 0.05139949 ν1 = 0.13890986 ν1 = 0.59482728 D'16' = 0.9030782 D'16' = 0.99298861 D'16' = 0.97254335 D'16' = 0.28345727 H'16' = 0.74854773 H'16' = 0.25681711 H'16' = 0.96413619 G'16' = 0.1488954 G'16' = 0.0510841 G'16' = 0.13597155 G'16' = 0.19177861 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.6488954 G'V' = 0.5510841 G'V' = 0.63597155 G'V' = 0.69177861 V'18' = 0.76087762 V'18' = 0.83444971 V'18' = 0.7717125 V'18' = 0.72210965 VαTα = 0.98885295 VαTα = 0.99869436 VαTα = 0.99071274 VαTα = 0.98143821 µ1 = 0.83551959 µ1 = 0.91771434 µ1 = 0.84731005 µ1 = 0.7938754 α1 = 1.30112311 α1 = 1.25497008 α1 = 1.29496717 α1 = 1.32179824 ρ1 = 0.41958438 ρ1 = 0.10694532 ρ1 = 0.19181269 υ1 = 0.29299226 υ1 = 0.4159352 υ1 = 0.65549736 ω1 = 1.27780407 ω1 = 1.15486112 ψ1 = 1.02465966 ρ1 = 0.48392867 ψ1 = 0.4159352 ω1 = 0.54613667 ψ1 = 0.83786957 20αO2α= 0.79218709 20αO2α= 0.74005116 20αO2α= 0.5278889 Vα20α = 0.53668594 T'O2'= 0.34991373 T'O2'= 0.44980472 T'O2'= 0.68653719 V'O2'= 0.48312582 h6 = 1.096349 h6 = 1.826942 h6 = 1.996029 h6 = 1.510411 ______________________________________________________________________ 189 KK IV-16Mm KK IV-16mm KK IV-16mM KK IV-16MM O2'V' = 0.11089111 O2'V' = 0.54318389 O2'V' = 0.28600616 T'V'= 0.28345727 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.98885295 26'16'= 0.99869436 26'16'= 0.99071274 26'16'= 0.98143821 ζ1 = 1.15486112 ζ1 = 1.02465966 ζ1 = 0.65549736 T'O2'= 0.76658309 ξ1 = 0.41958438 ξ1 = 0.10694532 ξ1 = 0.19181269 ζ1 = 0.48392867 β2 = 0.4159352 β2 = 0.54613667 β2 = 0.91529896 ξ1 = 0.29299226 σ2 = 0.83551959 σ2 = 0.91771434 γ2 = 1.37898364 γ2 = 1.27780407 ZβNβ= 0.76087762 ZβNβ= 0.83444971 σ2 = 0.84731005 δ2 = 0.7938754 δ2 = 0.14626199 φ2 = 1.25497008 ZβNβ= 0.7717125 ZβNβ= 0.72210965 φ2 = 1.42453434 η2 = 0.70883341 η2 = 0.3796682 β2 = 0.83786957 η2 = 1.30112311 γ2 = 0.86196292 δ2 = 1.19112812 γ2 = 1.00494995 δ2 = 0.96890824 λ2 = 0.99931543 λ2 = 1.32179824 λ2 = 0.85868796 λ2 = 1.3107215 φ2 = 0.9511491 φ2 = 0.98192485 κ2 = 0.71210836 κ2 = 0.26007483 16'H'= 0.57535446 O2'2'= 0.48101037 Nβ21β= 0.64614739 Hβ22β= 0.965109 23βHβ= 0.80652278 23βHβ= 0.72015903 h7 = 1.202955 h7 = 2.158602 h7 = 2.085795 h7 = 2.23057 V'2' = 0.74854773 V'2' = 0.25681711 G'H' = 0.59120302 G'H' = 0.98302473 O2'D' = 0.93678193 O2'D' = 0.67255058 O2'D' = 0.72709469 O2'D' = 0.91523201 O2'2' = 0.85943884 O2'2' = 0.80000101 O2'2' = 0.86136062 O2'H' = 0.99430133 O2'H' = 0.94339897 O2'H' = 0.99596291 O2'H' = 0.69380903 O2'G' = 0.65830242 O2'G' = 0.77378448 O2'G' = 0.69732298 O2'G' = 0.84378208 H'Q' = 0.87983654 H'Q' = 0.68009935 H'Q' = 1.27835411 H'Q' = 1.94100496 C'Q' = 0.94241401 C'Q' = 0.99843491 C'Q' = 1.06108787 C'Q' = 0.19542237 D'Q' = 0.80715737 D'Q' = 0.59768727 D'Q' = 0.40258482 D'Q' = 0.75754846 ∆ = 8.87E-10 ∆ = -1.24E-10 ∆ = -2.67E-10 ∆ = 1.17E-10 O'O1'= 4.73899037 O'O1'= 4.51799101 O'O1'= 4.55968323 O'O1'= 4.35182845 O'B' = 5.10114862 O'B' = 5.10114862 O'B' = 5.10114862 O'B' = 5.10114862 O'C' = 4.385166 O'C' = 4.24144971 O'C' = 4.90235743 O'C' = 4.69934277 O'D' = 4.19519822 O'D' = 3.79654417 O'D' = 4.1996588 O'D' = 3.79435118 O'O2' = 3.37310859 O'O2' = 3.31367075 O'O2' = 3.37503036 O'O2' = 2.99468011 O'G' = 3.3261281 O'G' = 2.82476391 O'G' = 3.15411847 O'G' = 3.54594018 O'Q' = 3.44275199 O'Q' = 3.2430148 O'Q' = 3.84126956 O'Q' = 4.5039204 O'H' = 2.56291545 O'H' = 2.56291545 O'H' = 2.56291545 O'H' = 2.56291545 ______________________________________________________________________ 190 Прилог. 7 – Нумерички параметри KK IV–17 KK IV-17Mm KK IV-17mm KK IV-17mM KK IV-17MM n = 17 n = 17 n = 17 n = 17 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.726692 h1 = 0.114194 h1 = 0.667142 h1 = 0.416584 α = 0.18479957 α = 0.18479957 α = 0.18479957 α = 0.18479957 B'H' = r 2.72109558 B'H' = r 2.72109558 B'H' = r 2.72109558 B'H' = r 2.72109558 3'H' = q 2.67476375 3'H' = q 2.67476375 3'H' = q 2.67476375 3'H' = q 2.67476375 β = 1.38599676 β = 1.38599676 β = 1.38599676 β = 1.38599676 B'S' = 0.47108288 B'S' = 0.85846353 B'S' = 0.55219712 B'S' = 0.7592482 φ = 0.18479957 φ = 0.18479957 φ = 0.18479957 φ = 0.18479957 O1'B' = 0.68696367 O1'B' = 0.99345842 O1'B' = 0.74493064 O1'B' = 0.90909726 B'1' = 0.50866092 B'1' = 0.50866092 B'1' = 0.50866092 B'1' = 0.50866092 1'3' = 0.0934662 1'3' = 0.0934662 1'3' = 0.0934662 1'3' = 0.0934662 σ = 0.75562874 σ = 1.04339171 σ = 0.83496527 σ = 0.98843669 ε = 0.63036802 ε = 0.34260505 ε = 0.55103149 ε = 0.39756007 B'4' = 0.55493656 B'4' = 0.93572131 B'4' = 0.63466968 B'4' = 0.83819531 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.91434977 BγRγ = 0.94266365 BγRγ = 0.92080613 BγRγ = 0.93600938 O1'O' = 4.92477645 O1'O' = 4.5373958 O1'O' = 4.84366221 O1'O' = 4.63661113 R'O' = 4.84092277 R'O' = 4.46013802 R'O' = 4.76118965 R'O' = 4.55766402 O1'4 = 0.4049253 O1'4 = 0.33374429 O1'4 = 0.39002059 O1'4 = 0.35197506 O1'R' = 0.9049253 O1'R' = 0.83374429 O1'R' = 0.89002059 O1'R' = 0.85197506 R'6' = 0.42557045 R'6' = 0.55215076 R'6' = 0.45592032 R'6' = 0.52358237 τ = 0.47973848 τ = 0.61482532 τ = 0.51244115 τ = 0.58461132 δ + τ = 0.9186177 δ + τ = 0.12143846 δ = 0.81033688 δ = 0.46124556 ψ = 0.76045945 ψ = 1.10955077 o = 0.81033688 o = 0.46124556 ф = 1.19808073 ф = 1.1501446 ι = 0.38774385 ι = 0.68889904 8γCγ = 0.1723838 8γCγ = 0.33283486 R'C' = 0.2290143 R'C' = -0.1729834 h2 = 0.839526 h2 = 0.749419 h2 = 0.367996 h2 = 0.41016 3'C' = 0.21259484 3'C' = 0.43401781 B'C' = 0.92982737 B'C' = 0.91201376 B'C' = 0.54331995 B'C' = 0.66209626 χ = 1.00304892 χ = 0.99054117 χ = 0.4020313 χ = 0.71487193 η = 0.5751488 η = 1.43855079 γ = 1.16876503 γ = 0.85592439 O1'C' = 0.93345452 O1'C' = 0.85150033 O1'C' = 0.98502986 O1'C' = 0.94298513 C'H' = 1.8908129 C'H' = 1.91202586 C'H' = 2.46216891 C'H' = 2.24074594 H'M' = 1.85861821 H'M' = 1.87946999 H'M' = 2.42024581 H'M' = 2.20259298 S'M' = 0.39139448 S'M' = -0.0168379 C'M' = 0.45242235 C'M' = 0.41173599 C'M' = 0.34743596 C'M' = 0.35133383 B'M' = 0.30084977 B'M' = 0.51850259 SβMβ = 0.53089763 SβMβ = 0.29644373 S'M' = 0.25134735 S'M' = 0.2407456 MβDβ = 0.93770371 MβDβ = 0.93625025 M'12'= 0.8918038 M'12'= 0.91130318 λ = 1.14511973 λ = 1.17415655 SβMβ = 0.30478134 SβMβ = 0.41077669 ι = 0.82896362 ι = -0.0568304 η = 0.6914078 η = 1.06896748 κ = 2.31262903 κ = 3.19842301 λ = 1.48054706 λ = 1.44642005 ν = 1.25464022 ν = 0.33980942 µ = 2.63068339 µ = 2.32137772 µ = 2.82543654 µ = 1.91060575 ν = 1.05988706 ν = 0.75058139 κ = 0.51090927 κ = 0.82021493 S'D'= 0.42346096 S'D'= 0.63331784 11βDβ 0.75543419 11βDβ 0.59068479 h3 = 1.259225 h3 = 0.722219 h3 = 1.422576 h3 = 1.007269 ______________________________________________________________________ 191 KK IV-17Mm KK IV-17mm KK IV-17mM KK IV-17MM M'D' = 0.29154661 M'D' = 0.88271378 M'D' = 0.67480832 M'D' = 0.87406344 D'H'= 1.5670716 D'H'= 0.9967562 D'H'= 1.74543749 D'H'= 1.32852954 C'D' = 0.45355393 C'D' = 0.95006267 C'D' = 0.812436 C'D' = 0.96618498 ρ = 0.81516759 ρ = 0.52740462 B'D' = 1.15402397 B'D' = 1.72433937 B'D' = 0.97565809 B'D' = 1.39256603 O1'D' = 0.8464092 O1'D' = 0.99987048 O1'D' = 0.65522453 O1'D' = 0.8069024 ω = 0.68784272 ω = 0.19399492 ω = 0.40581474 ω = 0.25542886 C'13' = 0.35042366 C'13' = 0.93224133 C'13' = 0.74645081 C'13' = 0.93483714 D'13' = 0.28794865 D'13' = 0.18315347 D'13' = 0.3207233 D'13' = 0.24411666 13'5' = 0.95764585 13'5' = 0.98308433 13'5' = 0.94717293 13'5' = 0.96974587 β1 = 0.3746233 β1 = 1.24777964 β1 = 0.90768844 β1 = 1.3016648 γ1 = 1.09865475 γ1 = 1.06712381 γ1 = 1.1122208 γ1 = 1.08341318 φ1 = 0.72403145 φ1 = -0.1806558 φ1 = 0.20453237 σ1 = 1.24389782 Qγ 14γ = 0.63435435 Qγ 14γ = -0.1766355 Qγ 14γ = 0.19237963 η1 = 1.89769483 Pγ 14γ = 0.7174121 Pγ 14γ = 0.96708569 Pγ 14γ = 0.92743013 G γ 15γ = 0.91839085 h4 = 0.541813 h4 = -0.244867 h4 = 0.495146 13'G'= 0.31139251 σ1 = 1.09865475 σ1 = 1.06712381 σ1 = 1.1122208 h5 = 1.92566 ε1 = 1.8226862 ε1 = 0.88646798 ε1 = 1.31675317 φ1 = 1.02908974 τ1 = 1.02146895 τ1 = 1.03723442 τ1 = 1.01468593 ε1 = 0.26913153 δ1 = 0.84676487 δ1 = 1.3901405 δ1 = 1.36626396 τ1 = 1.29822126 χ1 = 2.84415515 χ1 = 2.28501406 χ1 = 2.33143909 Qγ 14γ = 0.96308085 η1 = 0.2974375 η1 = 0.85657859 η1 = 0.81015356 C'Q'= 0.26921232 Q'G' = 0.29307119 Q'G' = 0.75560588 Q'G' = 0.72439305 Cγ 16γ = 0.93483714 Gγ 15γ = 0.95609062 Gγ 15γ = 0.65502653 Gγ 15γ = 0.6893872 h5 = 1.497903 h5 = 0.41016 h5 = 1.184533 h4 = 1.7125 G'13' = 0.92742554 G'13' = 0.57897043 G'13' = 0.91677267 G'Q' = 0.97701732 H'1' = 2.76822995 H'1' = 2.76822995 H'1' = 2.76822995 H'1' = 2.76822995 G'H' = 0.61296369 G'H' = 0.40081411 D'G' = 0.97109864 D'G' = 0.60724949 D'G' = 0.97125463 D'G' = 0.39567441 λ1 = 0.30104507 λ1 = 0.30638249 λ1 = 0.33653183 λ1 = 0.66487846 ι1 = 1.26975126 ι1 = 1.26441384 ι1 = 1.2342645 ι1 = 0.90591786 κ1 = 2.84054758 κ1 = 2.83521017 κ1 = 2.80506082 κ1 = 2.47671419 ν1 = 0.1162455 ν1 = 0.12158292 ν1 = 0.15173226 ν1 = 0.48007889 D'16' = 0.96454479 D'16' = 0.60276672 D'16' = 0.96009563 D'16' = 0.35094678 H'16' = 0.60252682 H'16' = 0.39398949 H'16' = 0.97758277 G'16' = 0.11263178 G'16' = 0.0736494 G'16' = 0.14680584 G'16' = 0.18274189 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.61263178 G'V' = 0.5736494 G'V' = 0.64680584 G'V' = 0.68274189 V'18' = 0.79036846 V'18' = 0.81910095 V'18' = 0.76265471 V'18' = 0.73065964 VαTα = 0.9936368 VαTα = 0.67875521 VαTα = 0.98916533 VαTα = 0.98316092 µ1 = 0.86781899 µ1 = 1.09376983 µ1 = 0.83744802 µ1 = 0.80299937 α1 = 1.28391157 α1 = 0.82736531 α1 = 1.30012587 α1 = 1.31740339 ρ1 = 0.24257909 ρ1 = 0.47771606 ρ1 = 0.24303578 υ1 = 0.3650089 υ1 = 0.6252399 υ1 = 0.59441224 ω1 = 1.20578742 ω1 = 0.94555643 ψ1 = 1.57148589 ρ1 = 0.40278805 ψ1 = 0.6252399 ω1 = -0.0006896 ψ1 = 0.91461534 20αO2α= 0.70219308 20αO2α= 0.8660252 20αO2α= 0.4849932 Vα20α = 0.57892207 T'O2'= 0.50687757 T'O2'= -0.0005972 T'O2'= 0.71748282 V'O2'= 0.44577208 h6 = 0.752347 h6 = 1.588244 h6 = 1.907569 h6 = 1.346738 ______________________________________________________________________ 192 KK IV-17Mm KK IV-17mm KK IV-17mM KK IV-17MM O2'V' = 0.2623517 O2'V' = 0.60336389 O2'V' = 0.2426128 T'V'= 0.35094678 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.9936368 26'16'= 0.9972842 26'16'= 0.98916533 26'16'= 0.98316092 ζ1 = 0.94555643 ζ1 = 1.57010677 ζ1 = 0.59441224 T'O2'= 0.79671886 ξ1 = 0.24257909 ξ1 = -0.3182542 ξ1 = 0.24303578 ζ1 = 0.40278805 β2 = 0.6252399 β2 = 0.00068956 β2 = 0.97638409 ξ1 = 0.3650089 σ2 = 0.86781899 σ2 = 1.88836101 γ2 = 1.32776055 γ2 = 1.20578742 ZβNβ= 0.79036846 ZβNβ= 1.51127319 σ2 = 0.83744802 δ2 = 0.80299937 δ2 = 0.33835515 φ2 = 0.67756913 ZβNβ= 0.76265471 ZβNβ= 0.73065964 φ2 = 1.23244118 η2 = 0.67687957 η2 = 0.32374178 β2 = 0.91461534 η2 = 1.28391157 γ2 = 0.89391676 δ2 = 1.24705455 γ2 = 0.98986209 δ2 = 0.57566251 λ2 = 1.00401877 λ2 = 1.31740339 λ2 = 0.65150694 λ2 = 1.67201339 φ2 = 0.89051934 φ2 = 0.90957392 κ2 = 0.91928939 κ2 = -0.1012171 16'H'= 0.62219328 O2'2'= 0.53181068 Nβ21β= 0.79011108 Hβ22β= 0.99218002 23βHβ= 0.76897566 23βHβ= 0.68350376 h7 = 0.707792 h7 = 1.40234 h7 = 1.953509 h7 = 2.030241 V'2' = 0.60252682 V'2' = -0.1007699 G'H' = 0.63927805 G'H' = 0.9945163 O2'D' = 0.86201805 O2'D' = 0.50000036 O2'D' = 0.6965762 O2'D' = 0.94061732 O2'2' = 0.86487852 O2'2' = 0.50259398 O2'2' = 0.86480608 O2'H' = 0.99900693 O2'H' = 0.70894338 O2'H' = 0.99894422 O2'H' = 0.72994699 O2'G' = 0.66644288 O2'G' = 0.83253926 O2'G' = 0.69081022 O2'G' = 0.81538288 H'Q' = 0.90603488 H'Q' = 1.15641998 H'Q' = 1.3636711 H'Q' = 1.97153362 C'Q' = 0.98477802 C'Q' = 0.75560588 C'Q' = 1.09849781 C'Q' = 0.26921232 D'Q' = 0.69664903 D'Q' = 0.25445093 D'Q' = 0.37399646 D'Q' = 0.70897767 ∆ = 7.72E-11 ∆ = 1.41E-12 ∆ = 2.17E-10 ∆ = 6.77E-11 O'O1'= 4.92477645 O'O1'= 4.5373958 O'O1'= 4.84366221 O'O1'= 4.63661113 O'B' = 5.41897572 O'B' = 5.41897572 O'B' = 5.41897572 O'B' = 5.41897572 O'C' = 4.61190847 O'C' = 4.63312144 O'C' = 5.18326449 O'C' = 4.96184152 O'D' = 4.27120208 O'D' = 3.70540939 O'D' = 4.44839061 O'D' = 4.03439676 O'O2' = 3.53964227 O'O2' = 3.17735774 O'O2' = 3.53956983 O'O2' = 3.20657444 O'G' = 3.33405926 O'G' = 3.12190968 O'G' = 3.36037363 O'G' = 3.71561187 O'Q' = 3.62713045 O'Q' = 3.87751556 O'Q' = 4.08476667 O'Q' = 4.6926292 O'H' = 2.72109558 O'H' = 2.72109558 O'H' = 2.72109558 O'H' = 2.72109558 ______________________________________________________________________ 193 Прилог. 8 – Нумерички параметри KK IV–18 KK IV-18Mm KK IV-18mm KK IV-18mM KK IV-18MM n = 18 n = 18 n = 18 n = 18 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.581036 h1 = 0.101154 h1 = 0.636494 h1 = 0.349711 α = 0.17453293 α = 0.17453293 α = 0.17453293 α = 0.17453293 B'H' = r 2.87938524 B'H' = r 2.87938524 B'H' = r 2.87938524 B'H' = r 2.87938524 3'H' = q 2.83564091 3'H' = q 2.83564091 3'H' = q 2.83564091 3'H' = q 2.83564091 β = 1.3962634 β = 1.3962634 β = 1.3962634 β = 1.3962634 B'S' = 0.64218195 B'S' = 0.86009757 B'S' = 0.5872614 B'S' = 0.79227642 φ = 0.17453293 φ = 0.17453293 φ = 0.17453293 φ = 0.17453293 O1'B' = 0.81387816 O1'B' = 0.99487076 O1'B' = 0.77128202 O1'B' = 0.93685747 B'1' = 0.50771331 B'1' = 0.50771331 B'1' = 0.50771331 B'1' = 0.50771331 1'3' = 0.08816349 1'3' = 0.08816349 1'3' = 0.08816349 1'3' = 0.08816349 σ = 0.90924383 σ = 1.04421835 σ = 0.86548448 σ = 1.00782761 ε = 0.48701957 ε = 0.35204506 ε = 0.53077892 ε = 0.38843579 B'4' = 0.71924985 B'4' = 0.93385484 B'4' = 0.66516367 B'4' = 0.86706405 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.9246203 BγRγ = 0.93931733 BγRγ = 0.92063389 BγRγ = 0.93493216 O1'O' = 5.0728442 O1'O' = 4.85492859 O1'O' = 5.12776475 O1'O' = 4.92274973 R'O' = 4.9957763 R'O' = 4.78117131 R'O' = 5.04986249 R'O' = 4.8479621 O1'4 = 0.38089015 O1'4 = 0.3430495 O1'4 = 0.390427 O1'4 = 0.35482652 O1'R' = 0.88089015 O1'R' = 0.8430495 O1'R' = 0.890427 O1'R' = 0.85482652 R'6' = 0.47332076 R'6' = 0.53783598 R'6' = 0.45512608 R'6' = 0.51891389 τ = 0.53109355 τ = 0.59970213 τ = 0.51158811 τ = 0.57966104 δ + τ = 0.67950047 δ + τ = 0.10789833 δ = 0.76337587 δ = 0.38337226 ψ = 0.80742045 ψ = 1.18742407 o = 0.76337587 o = 0.38337226 ф = 1.19865858 ф = 1.15336788 ι = 0.43528271 ι = 0.76999562 8γCγ = 0.19191154 8γCγ = 0.36123261 R'C' = 0.1372561 R'C' = -0.1704686 h2 = 0.828405 h2 = 0.710944 h2 = 0.128053 h2 = 0.408952 3'C' = 0.2524777 3'C' = 0.49452865 B'C' = 0.99176734 B'C' = 0.91255606 B'C' = 0.56012944 B'C' = 0.7032486 χ = 1.0423983 χ = 0.99093069 χ = 0.46760406 χ = 0.77989677 η = 0.83534473 η = 1.45372625 γ = 1.10319226 γ = 0.79089956 O1'C' = 0.89151932 O1'C' = 0.86011162 O1'C' = 0.98141223 O1'C' = 0.93247574 C'H' = 1.97913495 C'H' = 2.07225466 C'H' = 2.58316321 C'H' = 2.34111226 H'M' = 1.94906745 H'M' = 2.04077246 H'M' = 2.54391916 H'M' = 2.3055455 S'M' = 0.28813585 S'M' = -0.0214848 C'M' = 0.44856158 C'M' = 0.40652988 C'M' = 0.34367318 C'M' = 0.35984325 B'M' = 0.33546608 B'M' = 0.57383974 SβMβ = 0.53685712 SβMβ = 0.30854633 S'M' = 0.25179531 S'M' = 0.21843668 MβDβ = 0.93908932 MβDβ = 0.93301277 M'12'= 0.89375193 M'12'= 0.91363749 λ = 1.14104963 λ = 1.18676408 SβMβ = 0.31659267 SβMβ = 0.42214166 ι = 0.56653144 ι = -0.0696887 η = 0.74518944 η = 1.15511649 κ = 2.57506122 κ = 3.21128132 λ = 1.47685318 λ = 1.44260932 ν = 0.99627813 ν = 0.31434358 µ = 2.5842895 µ = 2.24285017 µ = 2.56707446 µ = 1.88513991 ν = 1.01349317 ν = 0.67205385 κ = 0.55730315 κ = 0.89874248 S'D'= 0.45804028 S'D'= 0.67770351 11βDβ 0.73498238 11βDβ 0.53918268 h3 = 0.916375 h3 = 0.697432 h3 = 1.371476 h3 = 0.888894 ______________________________________________________________________ 194 KK IV-18Mm KK IV-18mm KK IV-18mM KK IV-18MM M'D' = 0.51032969 M'D' = 0.88729472 M'D' = 0.70983559 M'D' = 0.89614019 D'H'= 1.43873776 D'H'= 1.15347774 D'H'= 1.83408357 D'H'= 1.40940532 C'D' = 0.61526225 C'D' = 0.95748582 C'D' = 0.83968688 C'D' = 0.98403952 ρ = 0.66155249 ρ = 0.52657798 B'D' = 1.44064748 B'D' = 1.7259075 B'D' = 1.04530167 B'D' = 1.46997992 O1'D' = 0.94209724 O1'D' = 0.99981341 O1'D' = 0.6780862 O1'D' = 0.84218884 ω = 0.41813989 ω = 0.2107496 ω = 0.38902939 ω = 0.25134838 C'13' = 0.56225485 C'13' = 0.93630085 C'13' = 0.77694349 C'13' = 0.95311898 D'13' = 0.24983419 D'13' = 0.20029931 D'13' = 0.31848527 D'13' = 0.24474066 13'5' = 0.96828863 13'5' = 0.97973475 13'5' = 0.94792781 13'5' = 0.96958858 β1 = 0.61954974 β1 = 1.27191909 β1 = 0.96075277 β1 = 1.38621853 γ1 = 1.0852249 γ1 = 1.07116535 γ1 = 1.11123103 γ1 = 1.08360843 φ1 = 0.46567516 φ1 = -0.2007537 φ1 = 0.15047826 σ1 = 1.1589536 Qγ 14γ = 0.43478693 Qγ 14γ = -0.1953669 Qγ 14γ = 0.14210482 η1 = 1.98263905 Pγ 14γ = 0.86518391 Pγ 14γ = 0.9600583 Pγ 14γ = 0.93721575 G γ 15γ = 0.88851617 h4 = 0.051191 h4 = -0.262626 h4 = 0.43426 13'G'= 0.388125 σ1 = 1.0852249 σ1 = 1.07116535 σ1 = 1.11123103 h5 = 1.77741 ε1 = 1.55090006 ε1 = 0.87041161 ε1 = 1.26170929 φ1 = 1.02899211 τ1 = 1.02818388 τ1 = 1.03521365 τ1 = 1.01518081 ε1 = 0.1845778 δ1 = 1.10512117 δ1 = 1.37004259 δ1 = 1.42031806 τ1 = 1.21356991 χ1 = 2.57908393 χ1 = 2.30713274 χ1 = 2.27689011 Qγ 14γ = 0.93687029 η1 = 0.56250872 η1 = 0.83445991 η1 = 0.86470255 C'Q'= 0.34967709 Q'G' = 0.53331005 Q'G' = 0.74093391 Q'G' = 0.76090229 Cγ 16γ = 0.95311898 Gγ 15γ = 0.84591985 Gγ 15γ = 0.67157795 Gγ 15γ = 0.64886648 h5 = 0.897111 h5 = 0.408952 h5 = 1.083127 h4 = 1.647814 G'13' = 0.96809699 G'13' = 0.54556697 G'13' = 0.90300711 G'Q' = 0.99156689 H'1' = 2.9238044 H'1' = 2.9238044 H'1' = 2.9238044 H'1' = 2.9238044 G'H' = 0.44878312 G'H' = 0.59038685 D'G' = 0.99981443 D'G' = 0.58117392 D'G' = 0.9575253 D'G' = 0.4588453 λ1 = 0.2525569 λ1 = 0.35186173 λ1 = 0.33907288 λ1 = 0.56259594 ι1 = 1.31823943 ι1 = 1.2189346 ι1 = 1.23172345 ι1 = 1.00820038 κ1 = 2.88903575 κ1 = 2.78973093 κ1 = 2.80251977 κ1 = 2.57899671 ν1 = 0.07802398 ν1 = 0.1773288 ν1 = 0.16453996 ν1 = 0.38806302 D'16' = 0.99677267 D'16' = 0.57206019 D'16' = 0.94459278 D'16' = 0.42472728 H'16' = 0.44196509 H'16' = 0.58141755 H'16' = 0.98467804 G'16' = 0.07793037 G'16' = 0.1025196 G'16' = 0.15684122 G'16' = 0.1736253 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.57793037 G'V' = 0.6025196 G'V' = 0.65684122 G'V' = 0.6736253 V'18' = 0.81608608 V'18' = 0.79810409 V'18' = 0.75402892 V'18' = 0.73907303 VαTα = 0.9969588 VαTα = 0.64068227 VαTα = 0.98762383 VαTα = 0.98481179 µ1 = 0.89663565 µ1 = 1.07951637 µ1 = 0.82810592 µ1 = 0.81200751 α1 = 1.26757259 α1 = 0.78639772 α1 = 1.30492273 α1 = 1.31299215 ρ1 = 0.01932403 ρ1 = 0.46706831 ρ1 = 0.29627825 υ1 = 0.44590838 υ1 = 0.87731162 υ1 = 0.53182766 ω1 = 1.12488794 ω1 = 0.69348471 ψ1 = 1.54658468 ρ1 = 0.31288043 ψ1 = 0.87731162 ω1 = 0.02421165 ψ1 = 1.00011172 20αO2α= 0.55358152 20αO2α= 0.86577158 20αO2α= 0.43916964 Vα20α = 0.62195312 T'O2'= 0.66599362 T'O2'= 0.02096585 T'O2'= 0.74641143 V'O2'= 0.39925338 h6 = 0.250382 h6 = 1.563204 h6 = 1.810646 h6 = 1.155457 ______________________________________________________________________ 195 KK IV-18Mm KK IV-18mm KK IV-18mM KK IV-18MM O2'V' = 0.44319115 O2'V' = 0.55109433 O2'V' = 0.19818135 T'V'= 0.42472728 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.9969588 26'16'= 0.99473098 26'16'= 0.98762383 26'16'= 0.98481179 ζ1 = 0.69348471 ζ1 = 1.54658468 ζ1 = 0.53182766 T'O2'= 0.82398067 ξ1 = -0.019324 ξ1 = -0.2942356 ξ1 = 0.29627825 ζ1 = 0.31288043 β2 = 0.87731162 β2 = 0.02421165 β2 = 1.03896866 ξ1 = 0.44590838 σ2 = 0.85798759 σ2 = 1.8408203 γ2 = 1.27451807 γ2 = 1.12488794 ZβNβ= 0.78401372 ZβNβ= 1.48293213 σ2 = 0.82810592 δ2 = 0.81200751 δ2 = 0.60077864 φ2 = 0.70296198 ZβNβ= 0.75402892 ZβNβ= 0.73907303 φ2 = 0.97001769 η2 = 0.67875033 η2 = 0.26595406 β2 = 1.00011172 η2 = 1.29426334 γ2 = 0.892046 δ2 = 1.30484226 γ2 = 0.98934172 δ2 = 0.59781037 λ2 = 1.00856401 λ2 = 1.31299215 λ2 = 0.38856308 λ2 = 1.65173628 φ2 = 0.82818638 φ2 = 0.82848879 κ2 = 1.18223325 κ2 = -0.08094 16'H'= 0.66784405 O2'2'= 0.58542465 Nβ21β= 0.92263992 Hβ22β= 0.99147438 23βHβ= 0.72758859 23βHβ= 0.63818334 h7 = -0.025529 h7 = 1.400426 h7 = 1.810715 h7 = 1.79364 V'2' = 0.37770682 V'2' = -0.0804256 G'H' = 0.68601374 G'H' = 0.99986828 O2'D' = 0.74595744 O2'D' = 0.50043937 O2'D' = 0.66548476 O2'D' = 0.96381748 O2'2' = 0.82089797 O2'2' = 0.47066874 O2'2' = 0.8660254 O2'H' = 0.96118337 O2'H' = 0.68667974 O2'H' = 1 O2'H' = 0.76988442 O2'G' = 0.7283007 O2'G' = 0.81653832 O2'G' = 0.68608763 O2'G' = 0.78305448 H'Q' = 0.98209317 H'Q' = 1.33132076 H'Q' = 1.44691603 H'Q' = 1.99143517 C'Q' = 0.99704179 C'Q' = 0.74093391 C'Q' = 1.13624719 C'Q' = 0.34967709 D'Q' = 0.50145468 D'Q' = 0.27980002 D'Q' = 0.34875012 D'Q' = 0.65118361 ∆ = 1.73E-10 ∆ = -2.56E-10 ∆ = 2.11E-10 ∆ = 6.63E-11 O'O1'= 5.0728442 O'O1'= 4.85492859 O'O1'= 5.12776475 O'O1'= 4.92274973 O'B' = 5.73685662 O'B' = 5.73685662 O'B' = 5.73685662 O'B' = 5.73685662 O'C' = 4.85852019 O'C' = 4.95163991 O'C' = 5.46254845 O'C' = 5.2204975 O'D' = 4.30352333 O'D' = 4.02033177 O'D' = 4.69641637 O'D' = 4.27439089 O'O2' = 3.65653888 O'O2' = 3.30630965 O'O2' = 3.70166631 O'O2' = 3.42106556 O'G' = 3.32816836 O'G' = 3.46977209 O'G' = 3.56539898 O'G' = 3.87925352 O'Q' = 3.86147841 O'Q' = 4.210706 O'Q' = 4.32630127 O'Q' = 4.87082041 O'H' = 2.87938524 O'H' = 2.87938524 O'H' = 2.87938524 O'H' = 2.87938524 ______________________________________________________________________ 196 Прилог. 9 – Нумерички параметри KK IV–19 KK IV-19Mm KK IV-19mm KK IV-19mM KK IV-19MM n = 19 n = 19 n = 19 n = 19 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.550844 h1 = 0.074741 h1 = 0.602441 h1 = 0.268959 α = 0.16534698 α = 0.16534698 α = 0.16534698 α = 0.16534698 B'H' = r 3.03776691 B'H' = r 3.03776691 B'H' = r 3.03776691 B'H' = r 3.03776691 3'H' = q 2.99633573 3'H' = q 2.99633573 3'H' = q 2.99633573 3'H' = q 2.99633573 β = 1.40544935 β = 1.40544935 β = 1.40544935 β = 1.40544935 B'S' = 0.66825937 B'S' = 0.8627942 B'S' = 0.62214544 B'S' = 0.8232016 φ = 0.16534698 φ = 0.16534698 φ = 0.16534698 φ = 0.16534698 O1'B' = 0.83460805 O1'B' = 0.997203 O1'B' = 0.79816349 O1'B' = 0.96315154 B'1' = 0.50691364 B'1' = 0.50691364 B'1' = 0.50691364 B'1' = 0.50691364 1'3' = 0.08343524 1'3' = 0.08343524 1'3' = 0.08343524 1'3' = 0.08343524 σ = 0.92844022 σ = 1.04557742 σ = 0.89382122 σ = 1.02496464 ε = 0.47700913 ε = 0.35987193 ε = 0.51162813 ε = 0.38048471 B'4' = 0.74144248 B'4' = 0.9333241 B'4' = 0.69595748 B'4' = 0.8942715 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.92367005 BγRγ = 0.93631194 BγRγ = 0.92048458 BγRγ = 0.93384187 O1'O' = 5.36584327 O1'O' = 5.17130844 O1'O' = 5.4119572 O1'O' = 5.21090104 R'O' = 5.29266016 R'O' = 5.10077854 R'O' = 5.33814516 R'O' = 5.13983114 O1'4 = 0.38318877 O1'4 = 0.35116939 O1'4 = 0.39077888 O1'4 = 0.35768612 O1'R' = 0.88318877 O1'R' = 0.85116939 O1'R' = 0.89077888 O1'R' = 0.85768612 R'6' = 0.46901769 R'6' = 0.5248911 R'6' = 0.454437 R'6' = 0.51417363 τ = 0.52648722 τ = 0.58599836 τ = 0.51084791 τ = 0.57463062 δ + τ = 0.63896476 δ + τ = 0.0799096 δ = 0.71349776 δ = 0.29215208 ψ = 0.85729857 ψ = 1.27864425 o = 0.71349776 o = 0.29215208 ф = 1.1991602 ф = 1.15665377 ι = 0.48566244 ι = 0.86450169 8γCγ = 0.2121286 8γCγ = 0.39116887 R'C' = 0.11911057 R'C' = -0.1758574 h2 = 0.81457 h2 = 0.660128 h2 = 0.097203 h2 = 0.419814 3'C' = 0.29406888 3'C' = 0.5605629 B'C' = 0.99526456 B'C' = 0.90760994 B'C' = 0.58006595 B'C' = 0.75115296 χ = 1.04444835 χ = 0.98735713 χ = 0.53165161 χ = 0.8424407 η = 0.88141466 η = 1.4843857 γ = 1.03914472 γ = 0.72835563 O1'C' = 0.89118446 O1'C' = 0.86914623 O1'C' = 0.97724176 O1'C' = 0.92031892 C'H' = 2.13578268 C'H' = 2.23886903 C'H' = 2.70226684 C'H' = 2.43577283 H'M' = 2.10665339 H'M' = 2.20833377 H'M' = 2.66541145 H'M' = 2.40255206 S'M' = 0.26285415 S'M' = -0.0333611 C'M' = 0.4447785 C'M' = 0.40091503 C'M' = 0.35153828 C'M' = 0.36850573 B'M' = 0.37235546 B'M' = 0.63521485 SβMβ = 0.52429244 SβMβ = 0.34668267 S'M' = 0.24978998 S'M' = 0.18798676 MβDβ = 0.93617351 MβDβ = 0.92962548 M'12'= 0.8956406 M'12'= 0.91611524 λ = 1.14965546 λ = 1.19862233 SβMβ = 0.32770959 SβMβ = 0.43399551 ι = 0.52515861 ι = -0.0963785 η = 0.80148754 η = 1.25500635 κ = 2.61643404 κ = 3.23797118 λ = 1.4733544 λ = 1.43859749 ν = 0.94629948 ν = 0.27579547 µ = 2.53498897 µ = 2.15098398 µ = 2.51709581 µ = 1.84659179 ν = 0.96419264 ν = 0.58018765 κ = 0.60660369 κ = 0.99060867 S'D'= 0.49370409 S'D'= 0.72430883 11βDβ 0.71151688 11βDβ 0.47473858 h3 = 0.856681 h3 = 0.672963 h3 = 1.313958 h3 = 0.743698 ______________________________________________________________________ 197 KK IV-19Mm KK IV-19mm KK IV-19mM KK IV-19MM M'D' = 0.5473705 M'D' = 0.89449389 M'D' = 0.74349407 M'D' = 0.91229559 D'H'= 1.55928289 D'H'= 1.31383988 D'H'= 1.92191738 D'H'= 1.49025648 C'D' = 0.65053334 C'D' = 0.96742741 C'D' = 0.8663783 C'D' = 0.99650193 ρ = 0.64235611 ρ = 0.52521891 B'D' = 1.47848402 B'D' = 1.72392703 B'D' = 1.11584953 B'D' = 1.54751043 O1'D' = 0.95208402 O1'D' = 0.99576591 O1'D' = 0.702669 O1'D' = 0.88012686 ω = 0.40554729 ω = 0.22543661 ω = 0.3737681 ω = 0.2487052 C'13' = 0.59776638 C'13' = 0.94294821 C'13' = 0.80656192 C'13' = 0.96584151 D'13' = 0.25664953 D'13' = 0.21625094 D'13' = 0.3163372 D'13' = 0.24528815 13'5' = 0.96650454 13'5' = 0.97633782 13'5' = 0.94864681 13'5' = 0.96945022 β1 = 0.66681039 β1 = 1.30851577 β1 = 1.01640992 β1 = 1.48448601 γ1 = 1.08745178 γ1 = 1.07529736 γ1 = 1.11029004 γ1 = 1.08378023 φ1 = 0.42064139 φ1 = -0.2332184 φ1 = 0.09388012 σ1 = 1.0603425 Qγ 14γ = 0.39466828 Qγ 14γ = -0.2256414 Qγ 14γ = 0.08892832 η1 = 2.08125015 Pγ 14γ = 0.88225165 Pγ 14γ = 0.94990604 Pγ 14γ = 0.94446944 G γ 15γ = 0.84586749 h4 = -0.025571 h4 = -0.276943 h4 = 0.369488 13'G'= 0.47364746 σ1 = 1.08745178 σ1 = 1.07529736 σ1 = 1.11029004 h5 = 1.589565 ε1 = 1.50809318 ε1 = 0.84207896 ε1 = 1.20417016 φ1 = 1.02890621 τ1 = 1.02707043 τ1 = 1.03314765 τ1 = 1.01565131 ε1 = 0.08631032 δ1 = 1.15015493 δ1 = 1.33757792 δ1 = 1.47691621 τ1 = 1.11521653 χ1 = 2.53516361 χ1 = 2.34166341 χ1 = 2.21982147 Qγ 14γ = 0.89800608 η1 = 0.60642904 η1 = 0.79992924 η1 = 0.92177118 C'Q'= 0.43998305 Q'G' = 0.56993688 Q'G' = 0.71730679 Q'G' = 0.79667339 Cγ 16γ = 0.96584151 Gγ 15γ = 0.82168847 Gγ 15γ = 0.69675747 Gγ 15γ = 0.60441005 h5 = 0.796118 h5 = 0.419814 h5 = 0.973898 h4 = 1.558134 G'13' = 0.96460516 G'13' = 0.49166537 G'13' = 0.88560171 G'Q' = 0.99950592 H'1' = 3.07977097 H'1' = 3.07977097 H'1' = 3.07977097 H'1' = 3.07977097 G'H' = 0.57341114 G'H' = 0.80425545 D'G' = 0.99816437 D'G' = 0.53712131 D'G' = 0.94040396 D'G' = 0.5333931 λ1 = 0.26004238 λ1 = 0.41436744 λ1 = 0.34307489 λ1 = 0.47784177 ι1 = 1.31075395 ι1 = 1.15642889 ι1 = 1.22772143 ι1 = 1.09295456 κ1 = 2.88155027 κ1 = 2.72722522 κ1 = 2.79851776 κ1 = 2.66375089 ν1 = 0.0946954 ν1 = 0.24902045 ν1 = 0.17772791 ν1 = 0.31249478 D'16' = 0.99369233 D'16' = 0.52055343 D'16' = 0.92559065 D'16' = 0.50756063 H'16' = 0.56559056 H'16' = 0.79328645 H'16' = 0.98269585 G'16' = 0.09438037 G'16' = 0.1323761 G'16' = 0.16625753 G'16' = 0.16398293 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.59438037 G'V' = 0.6323761 G'V' = 0.66625753 G'V' = 0.66398293 V'18' = 0.80418404 V'18' = 0.77466152 V'18' = 0.74572174 V'18' = 0.74774773 VαTα = 0.99553621 VαTα = 0.57884373 VαTα = 0.98608237 VαTα = 0.98646318 µ1 = 0.88320992 µ1 = 1.06590954 µ1 = 0.81914971 µ1 = 0.82133053 α1 = 1.2753073 α1 = 0.71284688 α1 = 1.30944211 α1 = 1.30834866 ρ1 = 0.06087231 ρ1 = 0.45263301 ρ1 = 0.35208858 υ1 = 0.54045439 υ1 = 0.82233761 υ1 = 0.46706112 ω1 = 1.03034194 ω1 = 0.74845872 ψ1 = 1.51854254 ρ1 = 0.20901141 ψ1 = 0.82233761 ω1 = 0.05225378 ψ1 = 1.09933725 20αO2α= 0.58933913 20αO2α= 0.86484335 20αO2α= 0.38994017 Vα20α = 0.66617334 T'O2'= 0.63457024 T'O2'= 0.04523251 T'O2'= 0.77327011 V'O2'= 0.33961705 h6 = 0.222111 h6 = 1.537806 h6 = 1.703898 h6 = 0.923392 ______________________________________________________________________ 198 KK IV-19Mm KK IV-19mm KK IV-19mM KK IV-19MM O2'V' = 0.4043532 O2'V' = 0.47532091 O2'V' = 0.15232054 T'V'= 0.50756063 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.99553621 26'16'= 0.99119956 26'16'= 0.98608237 26'16'= 0.98646318 ζ1 = 0.74845872 ζ1 = 1.51854254 ζ1 = 0.46706112 T'O2'= 0.84717768 ξ1 = -0.0608723 ξ1 = -0.2582574 ξ1 = 0.35208858 ζ1 = 0.20901141 β2 = 0.82233761 β2 = 0.05225378 β2 = 1.1037352 ξ1 = 0.54045439 σ2 = 0.7614653 σ2 = 1.77679998 γ2 = 1.21870775 γ2 = 1.03034194 ZβNβ= 0.70212935 ZβNβ= 1.44348506 σ2 = 0.81914971 δ2 = 0.82133053 δ2 = 0.61369923 φ2 = 0.73711187 ZβNβ= 0.74572174 ZβNβ= 0.74774773 φ2 = 0.9570971 η2 = 0.68485808 η2 = 0.20570691 β2 = 1.09933725 η2 = 1.36215794 γ2 = 0.88593824 δ2 = 1.36508942 γ2 = 1.01796941 δ2 = 0.6276808 λ2 = 1.01300084 λ2 = 1.30834866 λ2 = 0.40427019 λ2 = 1.62797361 φ2 = 0.7635024 φ2 = 0.73390674 κ2 = 1.16652614 κ2 = -0.0571773 16'H'= 0.71236434 O2'2'= 0.6430788 Nβ21β= 0.91528575 Hβ22β= 0.98957977 23βHβ= 0.68183245 23βHβ= 0.58004281 h7 = -0.119168 h7 = 1.409394 h7 = 1.655731 h7 = 1.503435 V'2' = 0.39159206 V'2' = -0.0566432 G'H' = 0.73150838 G'H' = 0.99628386 O2'D' = 0.7728652 O2'D' = 0.50204181 O2'D' = 0.63407676 O2'D' = 0.98372253 O2'2' = 0.79594526 O2'2' = 0.41867769 O2'2' = 0.86468487 O2'H' = 0.93996216 O2'H' = 0.6521434 O2'H' = 0.99883929 O2'H' = 0.81458599 O2'G' = 0.71888075 O2'G' = 0.79109386 O2'G' = 0.68344761 O2'G' = 0.74579694 H'Q' = 1.14334802 H'Q' = 1.52156224 H'Q' = 1.52818177 H'Q' = 1.99578978 C'Q' = 0.99243466 C'Q' = 0.71730679 C'Q' = 1.17408507 C'Q' = 0.43998305 D'Q' = 0.47077811 D'Q' = 0.31253563 D'Q' = 0.32859926 D'Q' = 0.58025288 ∆ = -3.81E-10 ∆ = 5.51E-11 ∆ = -1.28E-10 ∆ = 1.74E-11 O'O1'= 5.36584327 O'O1'= 5.17130844 O'O1'= 5.4119572 O'O1'= 5.21090104 O'B' = 6.05478279 O'B' = 6.05478279 O'B' = 6.05478279 O'B' = 6.05478279 O'C' = 5.17354959 O'C' = 5.27663594 O'C' = 5.74003375 O'C' = 5.47353974 O'D' = 4.58297512 O'D' = 4.33907983 O'D' = 4.9436033 O'D' = 4.51436702 O'O2' = 3.79228099 O'O2' = 3.41501342 O'O2' = 3.8610206 O'O2' = 3.63941453 O'G' = 3.61117805 O'G' = 3.84202236 O'G' = 3.76927529 O'G' = 4.03405077 O'Q' = 4.18111493 O'Q' = 4.55932915 O'Q' = 4.56594868 O'Q' = 5.03355669 O'H' = 3.03776691 O'H' = 3.03776691 O'H' = 3.03776691 O'H' = 3.03776691 ______________________________________________________________________ 199 Прилог. 10 – Нумерички параметри KK IV–20 KK IV-20Mm KK IV-20mm KK IV-20mM KK IV-20MM n = 20 n = 20 n = 20 n = 20 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.510574 h1 = 0.054127 h1 = 0.564262 h1 = 0.216506 α = 0.15707963 α = 0.15707963 α = 0.15707963 α = 0.15707963 B'H' = r 3.19622661 B'H' = r 3.19622661 B'H' = r 3.19622661 B'H' = r 3.19622661 3'H' = q 3.15687576 3'H' = q 3.15687576 3'H' = q 3.15687576 3'H' = q 3.15687576 β = 1.41371669 β = 1.41371669 β = 1.41371669 β = 1.41371669 B'S' = 0.69950973 B'S' = 0.86433229 B'S' = 0.65696932 B'S' = 0.83852549 φ = 0.15707963 φ = 0.15707963 φ = 0.15707963 φ = 0.15707963 O1'B' = 0.85983362 O1'B' = 0.99853408 O1'B' = 0.82559596 O1'B' = 0.97628121 B'1' = 0.50623256 B'1' = 0.50623256 B'1' = 0.50623256 B'1' = 0.50623256 1'3' = 0.07919222 1'3' = 0.07919222 1'3' = 0.07919222 1'3' = 0.07919222 σ = 0.95021542 σ = 1.04634975 σ = 0.92024763 σ = 1.03311307 ε = 0.46350127 ε = 0.36736694 ε = 0.49346906 ε = 0.38060362 B'4' = 0.76911484 B'4' = 0.93190816 B'4' = 0.72709817 B'4' = 0.90641908 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.92315967 BγRγ = 0.93347871 BγRγ = 0.92036029 BγRγ = 0.93191768 O1'O' = 5.65359264 O1'O' = 5.48877008 O1'O' = 5.69613305 O1'O' = 5.51457688 R'O' = 5.58398753 R'O' = 5.42119421 R'O' = 5.6260042 R'O' = 5.44668328 O1'4 = 0.38441674 O1'4 = 0.35863281 O1'4 = 0.39107153 O1'4 = 0.36266988 O1'R' = 0.88441674 O1'R' = 0.85863281 O1'R' = 0.89107153 O1'R' = 0.86266988 R'6' = 0.46669801 R'6' = 0.51259116 R'6' = 0.4538629 R'6' = 0.50576741 τ = 0.52400235 τ = 0.57295036 τ = 0.51023113 τ = 0.56569951 δ + τ = 0.58604776 δ + τ = 0.05801628 δ = 0.65996334 δ = 0.23446584 ψ = 0.91083299 ψ = 1.33633049 o = 0.65996334 o = 0.23446584 ф = 1.19957831 ф = 1.16251302 ι = 0.53961498 ι = 0.92804718 8γCγ = 0.23319735 8γCγ = 0.404842 R'C' = 0.09524416 R'C' = -0.1781844 h2 = 0.797459 h2 = 0.621348 h2 = 0.053698 h2 = 0.426498 3'C' = 0.3377262 3'C' = 0.60326298 B'C' = 0.9985572 B'C' = 0.9044885 B'C' = 0.60337301 B'C' = 0.78353444 χ = 1.04636314 χ = 0.98507739 χ = 0.59406039 χ = 0.87872406 η = 0.94028178 η = 1.50825557 γ = 0.97673593 γ = 0.69207227 O1'C' = 0.88953045 O1'C' = 0.87692645 O1'C' = 0.97242943 O1'C' = 0.91438665 C'H' = 2.29251676 C'H' = 2.40315204 C'H' = 2.81914956 C'H' = 2.55361278 H'M' = 2.26429207 H'M' = 2.37356525 H'M' = 2.78444115 H'M' = 2.52217357 S'M' = 0.23242481 S'M' = -0.0416709 C'M' = 0.44101215 C'M' = 0.39947305 C'M' = 0.35862863 C'M' = 0.3759358 B'M' = 0.41178546 B'M' = 0.67405304 SβMβ = 0.51259816 SβMβ = 0.3746958 S'M' = 0.24518385 S'M' = 0.16447245 MβDβ = 0.93348032 MβDβ = 0.92664571 M'12'= 0.89750113 M'12'= 0.91674494 λ = 1.15774877 λ = 1.20395145 SβMβ = 0.33837276 SβMβ = 0.43697624 ι = 0.4706043 ι = -0.1114432 η = 0.86116605 η = 1.31811607 κ = 2.67098835 κ = 3.25303588 λ = 1.4699773 λ = 1.4375825 ν = 0.88365185 ν = 0.25540165 µ = 2.48206465 µ = 2.08990424 µ = 2.45444818 µ = 1.82619798 ν = 0.91126833 ν = 0.51910791 κ = 0.659528 κ = 1.05168841 S'D'= 0.53065179 S'D'= 0.75193703 11βDβ 0.68440389 11βDβ 0.4296402 h3 = 0.775335 h3 = 0.6606 h3 = 1.248666 h3 = 0.646147 ______________________________________________________________________ 200 KK IV-20Mm KK IV-20mm KK IV-20mM KK IV-20MM M'D' = 0.5921367 M'D' = 0.89658709 M'D' = 0.77583564 M'D' = 0.91640948 D'H'= 1.67215538 D'H'= 1.47697816 D'H'= 2.00860551 D'H'= 1.60576409 C'D' = 0.69227188 C'D' = 0.97221198 C'D' = 0.89241956 C'D' = 0.99969248 ρ = 0.6205809 ρ = 0.52444657 B'D' = 1.52407123 B'D' = 1.71924845 B'D' = 1.1876211 B'D' = 1.59046252 O1'D' = 0.96431409 O1'D' = 0.99039469 O1'D' = 0.72910309 O1'D' = 0.90300016 ω = 0.38748521 ω = 0.23995017 ω = 0.3598069 ω = 0.25399638 C'13' = 0.64094839 C'13' = 0.94435793 C'13' = 0.83527332 C'13' = 0.96761831 D'13' = 0.26158273 D'13' = 0.23105029 D'13' = 0.31421513 D'13' = 0.25119685 13'5' = 0.96518106 13'5' = 0.97294181 13'5' = 0.94935181 13'5' = 0.96793602 β1 = 0.7262501 β1 = 1.32779917 β1 = 1.07551575 β1 = 1.54517386 γ1 = 1.08911003 γ1 = 1.07946223 γ1 = 1.10936903 γ1 = 1.08566425 φ1 = 0.36285992 φ1 = -0.2483369 φ1 = 0.03385328 σ1 = 0.99588661 Qγ 14γ = 0.34259042 Qγ 14γ = -0.2391416 Qγ 14γ = 0.03213254 η1 = 2.14570604 Pγ 14γ = 0.9023338 Pγ 14γ = 0.94309442 Pγ 14γ = 0.94880786 G γ 15γ = 0.81233198 h4 = -0.126999 h4 = -0.282494 h4 = 0.299858 13'G'= 0.52632394 σ1 = 1.08911003 σ1 = 1.07946223 σ1 = 1.10936903 h5 = 1.458479 ε1 = 1.45196995 ε1 = 0.83112529 ε1 = 1.14322232 φ1 = 1.0279642 τ1 = 1.02624131 τ1 = 1.03106521 τ1 = 1.01611181 ε1 = 0.02562247 δ1 = 1.2079364 δ1 = 1.32245939 δ1 = 1.53694304 τ1 = 1.05358667 χ1 = 2.47821126 χ1 = 2.35886438 χ1 = 2.15933413 Qγ 14γ = 0.86920226 η1 = 0.66338139 η1 = 0.78272827 η1 = 0.98225853 C'Q'= 0.49445669 Q'G' = 0.61578461 Q'G' = 0.70521636 Q'G' = 0.8317533 Cγ 16γ = 0.96761831 Gγ 15γ = 0.78791453 Gγ 15γ = 0.70899216 Gγ 15γ = 0.55514543 h5 = 0.660916 h5 = 0.426498 h5 = 0.855003 h4 = 1.490551 G'13' = 0.95837503 G'13' = 0.4660748 G'13' = 0.86388584 G'Q' = 0.99948556 H'1' = 3.23606798 H'1' = 3.23606798 H'1' = 3.23606798 H'1' = 3.23606798 G'H' = 0.69319334 G'H' = 0.99271931 D'G' = 0.99343255 D'G' = 0.52020184 D'G' = 0.91925507 D'G' = 0.58319529 λ1 = 0.26645378 λ1 = 0.46023099 λ1 = 0.3488475 λ1 = 0.44529607 ι1 = 1.30434255 ι1 = 1.11056533 ι1 = 1.22194883 ι1 = 1.12550026 κ1 = 2.87513888 κ1 = 2.68136166 κ1 = 2.79274516 κ1 = 2.69629659 ν1 = 0.10937414 ν1 = 0.30315136 ν1 = 0.19176787 ν1 = 0.28821643 D'16' = 0.9874964 D'16' = 0.49648087 D'16' = 0.90240405 D'16' = 0.55913987 H'16' = 0.68465898 H'16' = 0.98049729 H'16' = 1.04662422 G'16' = 0.10843933 G'16' = 0.15529551 G'16' = 0.1752051 G'16' = 0.16576899 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.60843933 G'V' = 0.65529551 G'V' = 0.6752051 G'V' = 0.66576899 V'18' = 0.79360039 V'18' = 0.75537262 V'18' = 0.73763004 V'18' = 0.74615793 VαTα = 0.99410307 VαTα = 0.54890539 VαTα = 0.98453196 VαTα = 0.98616461 µ1 = 0.87140253 µ1 = 1.04069563 µ1 = 0.81046024 µ1 = 0.81961905 α1 = 1.28193247 α1 = 0.67761614 α1 = 1.31375504 α1 = 1.30920716 ρ1 = 0.11535364 ρ1 = 0.44060777 ρ1 = 0.41135023 υ1 = 0.6028402 υ1 = 0.75604889 υ1 = 0.39911001 ω1 = 0.96795612 ω1 = 0.81474744 ψ1 = 1.4813034 ρ1 = 0.14833708 ψ1 = 0.75604889 ω1 = 0.08949293 ψ1 = 1.16087009 20αO2α= 0.63007882 20αO2α= 0.86255973 20αO2α= 0.33653613 Vα20α = 0.68433891 T'O2'= 0.59413861 T'O2'= 0.07739974 T'O2'= 0.79796205 V'O2'= 0.29737503 h6 = 0.181197 h6 = 1.52316 h6 = 1.585202 h6 = 0.77414 ______________________________________________________________________ 201 KK IV-20Mm KK IV-20mm KK IV-20mM KK IV-20MM O2'V' = 0.35741758 O2'V' = 0.41908114 O2'V' = 0.104442 T'V'= 0.55913987 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16'= 0.99410307 26'16'= 0.98786806 26'16'= 0.98453196 26'16'= 0.98616461 ζ1 = 0.81474744 ζ1 = 1.4813034 ζ1 = 0.39911001 T'O2'= 0.8565149 ξ1 = -0.1153536 ξ1 = -0.2392533 ξ1 = 0.41135023 ζ1 = 0.14833708 β2 = 0.75604889 β2 = 0.08949293 β2 = 1.17168632 ξ1 = 0.6028402 σ2 = 0.64069524 σ2 = 1.72055669 γ2 = 1.1594461 γ2 = 0.96795612 ZβNβ= 0.59822903 ZβNβ= 1.40754117 σ2 = 0.81046024 δ2 = 0.81961905 δ2 = 0.64032918 φ2 = 0.76700748 ZβNβ= 0.73763004 ZβNβ= 0.74615793 φ2 = 0.93046715 η2 = 0.67751455 η2 = 0.14206873 β2 = 1.16087009 η2 = 1.45507662 γ2 = 0.89328178 δ2 = 1.4287276 γ2 = 1.04582079 δ2 = 0.65402849 λ2 = 1.01737737 λ2 = 1.30920716 λ2 = 0.40549161 λ2 = 1.59428239 φ2 = 0.69548768 φ2 = 0.6715154 κ2 = 1.16530471 κ2 = -0.0234861 16'H'= 0.75586585 O2'2'= 0.67799373 Nβ21β= 0.91348984 Hβ22β= 0.98759562 23βHβ= 0.63084863 23βHβ= 0.53881769 h7 = -0.252574 h7 = 1.414094 h7 = 1.485852 h7 = 1.312957 V'2' = 0.39214439 V'2' = -0.023199 G'H' = 0.77590593 G'H' = 1.05967053 O2'D' = 0.80436268 O2'D' = 0.50595525 O2'D' = 0.6027077 O2'D' = 0.99177506 O2'2' = 0.74956197 O2'2' = 0.39588214 O2'2' = 0.86030785 O2'H' = 0.90102339 O2'H' = 0.63774812 O2'H' = 0.99505256 O2'H' = 0.8424224 O2'G' = 0.70565271 O2'G' = 0.77784395 O2'G' = 0.68323499 O2'G' = 0.72916408 H'Q' = 1.30897795 H'Q' = 1.69793567 H'Q' = 1.60765923 H'Q' = 2.05915608 C'Q' = 0.98353881 C'Q' = 0.70521636 C'Q' = 1.21149033 C'Q' = 0.49445669 D'Q' = 0.43103796 D'Q' = 0.33252507 D'Q' = 0.31585384 D'Q' = 0.53570679 ∆ = -8.14E-10 ∆ = 0.076311 ∆ = -7.48E-11 ∆ = 0.069616 O'O1'= 5.65359264 O'O1'= 5.48877008 O'O1'= 5.69613305 O'O1'= 5.51457688 O'B' = 6.37274742 O'B' = 6.37274742 O'B' = 6.37274742 O'B' = 6.37274742 O'C' = 5.48874337 O'C' = 5.59937865 O'C' = 6.01537617 O'C' = 5.74983939 O'D' = 4.85484724 O'D' = 4.66075124 O'D' = 5.18962394 O'D' = 4.78881387 O'O2' = 3.90643773 O'O2' = 3.5527579 O'O2' = 4.0171836 O'O2' = 3.83486948 O'G' = 3.88941995 O'G' = 4.18894592 O'G' = 3.97213254 O'G' = 4.25589714 O'Q' = 4.50520456 O'Q' = 4.89416228 O'Q' = 4.80388584 O'Q' = 5.25538269 O'H' = 3.19622661 O'H' = 3.19622661 O'H' = 3.19622661 O'H' = 3.19622661 ______________________________________________________________________ 202 Прилог. 11 – Нумерички параметри KK IV–21 KK IV-21Mm KK IV-21mm KK IV-21mM KK IV-21MM n = 21 n = 21 n = 21 n = 21 a = 1 a = 1 a = 1 a = 1 h1 = 0.44708 h1 = 0.054127 h1 = 0.433013 h1 = 0.216506 α = 0.14959965 α = 0.14959965 α = 0.14959965 α = 0.14959965 B'H' = r 3.35475307 B'H' = r 3.35475307 B'H' = r 3.35475307 B'H' = r 3.35475307 3'H' = q 3.31728325 3'H' = q 3.31728325 3'H' = q 3.31728325 3'H' = q 3.31728325 β = 1.42119668 β = 1.42119668 β = 1.42119668 β = 1.42119668 B'S' = 0.74170062 B'S' = 0.86433229 B'S' = 0.75 B'S' = 0.83852549 φ = 0.14959965 φ = 0.14959965 φ = 0.14959965 φ = 0.14959965 O1'B' = 0.89449416 O1'B' = 0.99853408 O1'B' = 0.90138782 O1'B' = 0.97628121 B'1' = 0.50564767 B'1' = 0.50564767 B'1' = 0.50564767 B'1' = 0.50564767 1'3' = 0.07536287 1'3' = 0.07536287 1'3' = 0.07536287 1'3' = 0.07536287 σ = 0.97764703 σ = 1.04634975 σ = 0.98279372 σ = 1.03311307 ε = 0.44354965 ε = 0.37484692 ε = 0.43840295 ε = 0.3880836 B'4' = 0.80793757 B'4' = 0.92919955 B'4' = 0.81614425 B'4' = 0.90368099 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγCγ = 0.8660254 BγRγ = 0.92338687 BγRγ = 0.93077467 BγRγ = 0.92390013 BγRγ = 0.92925472 O1'O' = 5.9303357 O1'O' = 5.80770403 O1'O' = 5.92203632 O1'O' = 5.83351083 R'O' = 5.86409875 R'O' = 5.74283677 R'O' = 5.85589207 R'O' = 5.76835533 O1'4 = 0.38387067 O1'4 = 0.36559337 O1'4 = 0.38263371 O1'4 = 0.36943967 O1'R' = 0.88387067 O1'R' = 0.86559337 O1'R' = 0.88263371 O1'R' = 0.86943967 R'6' = 0.46773137 R'6' = 0.50074756 R'6' = 0.47006141 R'6' = 0.49403912 τ = 0.52510945 τ = 0.56035971 τ = 0.52760487 τ = 0.55321586 δ + τ = 0.50541853 δ + τ = 0.05818502 δ = 0.48779491 δ = 0.23515039 ψ = 1.08300141 ψ = 1.33564594 o = 0.48779491 o = 0.23515039 ф = 1.18784993 ф = 1.17075581 ι = 0.70005501 ι = 0.93560542 8γCγ = 0.30284165 8γCγ = 0.39768096 R'C' = 0.05791995 R'C' = -0.1700955 h2 = 0.735854 h2 = 0.614187 h2 = 0.017052 h2 = 0.416846 3'C' = 0.45663812 3'C' = 0.61055216 B'C' = 0.99985461 B'C' = 0.9089769 B'C' = 0.67713985 B'C' = 0.78916028 χ = 1.0471136 χ = 0.98834948 χ = 0.74010181 χ = 0.88461831 η = 1.02833786 η = 1.50825557 γ = 0.83069452 γ = 0.68617802 O1'C' = 0.88576638 O1'C' = 0.88214758 O1'C' = 0.95304089 O1'C' = 0.91752376 C'H' = 2.45142573 C'H' = 2.55817918 C'H' = 2.86064513 C'H' = 2.70673109 H'M' = 2.42404533 H'M' = 2.52960643 H'M' = 2.82869409 H'M' = 2.67649914 S'M' = 0.18900712 S'M' = -0.0391857 C'M' = 0.42635703 C'M' = 0.40341733 C'M' = 0.36536605 C'M' = 0.38127682 B'M' = 0.52605898 B'M' = 0.67825393 SβMβ = 0.4697315 SβMβ = 0.36483044 S'M' = 0.22394102 S'M' = 0.16027156 MβDβ = 0.93086393 MβDβ = 0.92446092 M'12'= 0.90455496 M'12'= 0.91501609 λ = 1.17500842 λ = 1.21062979 SβMβ = 0.37664658 SβMβ = 0.42876231 ι = 0.41410711 ι = -0.1076154 η = 1.04719755 η = 1.31811607 κ = 2.72748555 κ = 3.24920809 λ = 1.45767009 λ = 1.44037342 ν = 0.80989501 ν = 0.25255109 µ = 2.32064757 µ = 2.0843224 µ = 2.38069134 µ = 1.82334742 ν = 0.74985124 ν = 0.51352608 κ = 0.82094508 κ = 1.05727025 S'D'= 0.63374895 S'D'= 0.75432349 11βDβ 0.59022222 11βDβ 0.42543634 h3 = 0.691197 h3 = 0.647846 h3 = 1.023235 h3 = 0.641943 ______________________________________________________________________ 203 KK IV-21Mm KK IV-21mm KK IV-21mM KK IV-21MM M'D' = 0.6419 M'D' = 0.89513528 M'D' = 0.85768997 M'D' = 0.91459504 D'H'= 1.78214533 D'H'= 1.63447115 D'H'= 1.97100412 D'H'= 1.76190409 C'D' = 0.73859864 C'D' = 0.97295384 C'D' = 0.95781648 C'D' = 0.99961475 ρ = 0.5931493 ρ = 0.52444657 B'D' = 1.57260774 B'D' = 1.72028192 B'D' = 1.38374895 B'D' = 1.59284898 O1'D' = 0.96974566 O1'D' = 0.99128692 O1'D' = 0.80724082 O1'D' = 0.90498835 ω = 0.36786081 ω = 0.25306966 ω = 0.31172466 ω = 0.26581879 C'13' = 0.68918549 C'13' = 0.94196372 C'13' = 0.9116555 C'13' = 0.96450601 D'13' = 0.26561498 D'13' = 0.24360528 D'13' = 0.29376292 D'13' = 0.26259818 13'5' = 0.96407919 13'5' = 0.96987446 13'5' = 0.95587831 13'5' = 0.96490528 β1 = 0.79642957 β1 = 1.33031024 β1 = 1.26542688 β1 = 1.54202749 γ1 = 1.09049471 γ1 = 1.08325362 γ1 = 1.10091953 γ1 = 1.08945624 φ1 = 0.29406514 φ1 = -0.2470566 φ1 = -0.1645073 σ1 = 0.99144902 Qγ 14γ = 0.27943377 Qγ 14γ = -0.2371838 Qγ 14γ = -0.1565407 η1 = 2.15014364 Pγ 14γ = 0.92269467 Pγ 14γ = 0.94042561 Pγ 14γ = 0.94297315 G γ 15γ = 0.80745219 h4 = -0.231498 h4 = -0.292579 h4 = 0.080262 13'G'= 0.52826428 σ1 = 1.09049471 σ1 = 1.08325362 σ1 = 1.10091953 h5 = 1.449395 ε1 = 1.38455985 ε1 = 0.836197 ε1 = 0.93641218 φ1 = 1.02606821 τ1 = 1.02554897 τ1 = 1.02916952 τ1 = 1.02033656 ε1 = 0.02876884 δ1 = 1.27673119 δ1 = 1.32373971 δ1 = 1.40628898 τ1 = 1.05483705 χ1 = 2.41010882 χ1 = 2.35947975 χ1 = 2.28576344 Qγ 14γ = 0.86981984 η1 = 0.73148383 η1 = 0.7821129 η1 = 0.85582921 C'Q'= 0.49336947 Q'G' = 0.66797461 Q'G' = 0.70477994 Q'G' = 0.7551148 Cγ 16γ = 0.96450601 Gγ 15γ = 0.74418406 Gγ 15γ = 0.70942599 Gγ 15γ = 0.65559258 h5 = 0.512687 h5 = 0.416846 h5 = 0.735854 h4 = 1.484007 G'13' = 0.94740838 G'13' = 0.46759616 G'13' = 0.5985741 G'Q' = 0.99940082 H'1' = 3.39264612 H'1' = 3.39264612 H'1' = 3.39264612 H'1' = 3.39264612 G'H' = 0.81483186 G'H' = 1.1486193 D'G' = 0.98393799 D'G' = 0.52724729 D'G' = 0.66677403 D'G' = 0.58993301 λ1 = 0.27334207 λ1 = 0.48028541 λ1 = 0.45623734 λ1 = 0.46132189 ι1 = 1.29745425 ι1 = 1.09051092 ι1 = 1.11455899 ι1 = 1.10947444 κ1 = 2.86825058 κ1 = 2.66130724 κ1 = 2.68535532 κ1 = 2.68027077 ν1 = 0.12374242 ν1 = 0.33068576 ν1 = 0.30663769 ν1 = 0.31172224 D'16' = 0.97641447 D'16' = 0.49868098 D'16' = 0.63567161 D'16' = 0.56150224 H'16' = 0.80573086 H'16' = 1.13579017 H'16' = 1.20040186 G'16' = 0.12144439 G'16' = 0.17119282 G'16' = 0.20126899 G'16' = 0.18093147 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 17'T' = 0.8660254 G'V' = 0.62144439 G'V' = 0.67119282 G'V' = 0.70126899 G'V' = 0.68093147 V'18' = 0.78345828 V'18' = 0.7412828 V'18' = 0.71289677 V'18' = 0.73234714 VαTα = 0.99259824 VαTα = 0.54958488 VαTα = 0.6976145 VαTα = 0.98349571 µ1 = 0.86018884 µ1 = 1.0146324 µ1 = 0.92370899 µ1 = 0.80480366 α1 = 1.28807785 α1 = 0.68111359 α1 = 0.89584901 α1 = 1.31652566 ρ1 = 0.18082558 ρ1 = 0.43379414 ρ1 = 0.42459033 υ1 = 0.60763202 υ1 = 0.67936326 υ1 = 0.49911866 ω1 = 0.9631643 ω1 = 0.89143307 ψ1 = 1.44842654 ρ1 = 0.15836064 ψ1 = 0.67936326 ω1 = 0.12236979 ψ1 = 1.15816502 20αO2α= 0.67374433 20αO2α= 0.8595494 20αO2α= 0.41452471 Vα20α = 0.67088036 T'O2'= 0.54412184 T'O2'= 0.10571106 T'O2'= 0.76037442 V'O2'= 0.29368671 h6 = 0.147075 h6 = 1.507396 h6 = 1.43776 h6 = 0.778515 ______________________________________________________________________ 204 KK IV-21Mm KK IV-21mm KK IV-21mM KK IV-21MM O2'V' = 0.30267014 O2'V' = 0.39296992 O2'V' = -0.1247028 T'V'= 0.56150224 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 25'27'= 0.8660254 26'16' = 0.99259824 26'16'= 0.98523754 26'16'= 0.97953601 26'16'= 0.98349571 ζ1 = 0.89143307 ζ1 = 1.44842654 ζ1 = 0.49911866 T'O2'= 0.85518895 ξ1 = -0.1808256 ξ1 = -0.2366639 ξ1 = 0.29776509 ζ1 = 0.15836064 β2 = 0.67936326 β2 = 0.12236979 β2 = 1.07167767 ξ1 = 0.60763202 σ2 = 0.49853768 σ2 = 1.68509044 γ2 = 1.27303124 γ2 = 0.9631643 ZβNβ= 0.47463753 ZβNβ= 1.38394705 σ2 = 0.79688375 δ2 = 0.80480366 δ2 = 0.69149166 φ2 = 0.78561385 ZβNβ= 0.72364837 ZβNβ= 0.73234714 φ2 = 0.87930467 η2 = 0.66324406 η2 = -0.1731896 β2 = 1.15816502 η2 = 1.58292473 γ2 = 0.90755226 δ2 = 1.74398597 γ2 = 1.06013025 δ2 = 0.67088836 λ2 = 1.44622088 λ2 = 1.31652566 λ2 = 0.36863858 λ2 = 1.56315203 φ2 = -0.0486142 φ2 = 0.66690198 κ2 = 1.20215774 κ2 = 0.0076443 16'H'= 0.97837875 O2'2'= 0.6804723 Nβ21β= 0.92591429 H β22β = 0.98520876 23βHβ= -0.0476006 23βHβ= 0.5356841 h7 = -0.413228 h7 = 1.402055 h7 = 0.688254 h7 = 1.314199 V'2' = 0.35767862 V'2' = 0.00753138 G'H' = 0.99886645 G'H' = 1.21396079 O2'D' = 0.83900621 O2'D' = 0.51105267 O2'D' = 0.64948498 O2'D' = 0.99063017 O2'2' = 0.66034876 O2'2' = 0.4005013 O2'2' = 0.85367594 O2'H' = 0.82828768 O2'H' = 0.6406257 O2'H' = 0.98932432 O2'H' = 0.84441847 O2'G' = 0.69123248 O2'G' = 0.77776935 O2'G' = 0.71227031 O2'G' = 0.74156561 H'Q' = 1.48280647 H'Q' = 1.85339924 H'Q' = 1.75398125 H'Q' = 2.21336161 C'Q' = 0.96861926 C'Q' = 0.70477994 C'Q' = 1.10666388 C'Q' = 0.49336947 D'Q' = 0.38553151 D'Q' = 0.33999953 D'Q' = 0.33286881 D'Q' = 0.53937689 ∆ = -2.11E-11 ∆ = 0.186904 ∆ = 0.024016 ∆ = 0.221466 O'O1'= 5.9303357 O'O1'= 5.80770403 O'O1'= 5.92203632 O'O1'= 5.83351083 O'B' = 6.690745 O'B' = 6.690745 O'B' = 6.690745 O'B' = 6.690745 O'C' = 5.8061788 O'C' = 5.91293225 O'C' = 6.2153982 O'C' = 6.06148416 O'D' = 5.1238825 O'D' = 4.97693396 O'D' = 5.31187192 O'D' = 5.10373824 O'O2' = 3.97763201 O'O2' = 3.71778455 O'O2' = 4.17095919 O'O2' = 3.99775555 O'G' = 4.16958493 O'G' = 4.50337237 O'G' = 4.35361952 O'G' = 4.56871386 O'Q' = 4.83755954 O'Q' = 5.20815231 O'Q' = 5.10873432 O'Q' = 5.56811468 O'H' = 3.35475307 O'H' = 3.35475307 O'H' = 3.35475307 O'H' = 3.35475307 ______________________________________________________________________ 205 Прилог. 12 – Листинг програма за генерисање омотача KK IV-Mm креираног у софтверском пакету MATLAB на основу алгоритма из Поглавља број 9.1 function [ h1, delta, T, X, Y, Z, tri ] = kupola( a, n, eps ) C1=n; C2=a; d=0; l=a*sqrt(3)/2; while 1 C3=(l+d)/2; C4=C2*sqrt(3)/2; C5=pi/C1; C6=(C2/2)*1/(sin(pi/C1)); C7=C6*cos(C5); C8=asin(C7/C6); C9=sqrt((3/4*C2*C2)-(C3*C3)); C10=pi/2-C5; C11=pi/2-C10; C12=sqrt(C6*C6-C2*C2/4); C13=sqrt(C9*C9+C2*C2/4); C14=C2/(2*sin(C8)); C15=sqrt(C14*C14-C2*C2/4); C16=asin(C9/C13); C17=pi/2-C16-C11; C18=C13*cos(C17); ______________________________________________________________________ 206 % C19=C2*sqrt(3)/2; C20=sqrt(C3*C3+C18*C18); C21=C6+C7-C9; % C22=C6+C12-C18; C23=sqrt(C13*C13-C18*C18); C24=C2/2+C23; C25=sqrt(C2*C2-C24*C24); C26=acos(((C2*C2*3/4)+C20*C20-C25*C25)/(C2*sqrt(3)*C20)); C27=acos((C18*C18+C20*C20-C3*C3)/(2*C18*C20)); C28=C27-C26; C29=C2*sqrt(3)/2*cos(C28)-C18; C30=sqrt(C4*C4-(C18+C29)*(C18+C29)); C31=sqrt((C2*C2)/4+((C18+C29)*(C18+C29))); C32=acos(C2/(2*C31)); % C33=acos((2*C3)/(C2*sqrt(3))); C34=sqrt((C13*C13)+(C31*C31)-(2*C13*C31*cos(pi-C16-C11-C32))); C35=C12-C18-C29; C36=C35*sin(C8); C37=C6-C36-C9; C38=C35*cos(C8); C39=sqrt((C37*C37)+(C3-C30)*(C3-C30)); C40=sqrt(C2*C2-C38*C38); C41=acos((C39*C39+C40*C40-C4*C4)/(2*C39*C40)); C42=asin(C37/C39); % C43=pi-C42; C44=pi/2+C42-C41; % C45=2*pi-C43-C41; C46=C40*sin(C44)+C30; C47=sqrt(C40*C40-(C46-C30)*(C46-C30)); ______________________________________________________________________ 207 C48=C36-C47; C49=sqrt(C35*C35+C48*C48-2*C35*C48*cos(C5)); C50=pi/2-C16; % C51=C9+C37+C47; C52=sqrt(C13*C13+(C9+C37+C47)*(C9+C37+C47)- 2*C13*(C9+C37+C47)*cos(C50)); C53=acos((C49*C49+C35*C35-C48*C48)/(2*C49*C35)); C54=C49*cos(C53); C55=sqrt(C49*C49-C54*C54); C56=sqrt(C2*C2-C55*C55); C57=asin(C54/C56); C58=acos((2*C56*C56-C2*C2)/(2*C56*C56)); C59=C58-C57; C60=C56*sin(C59); C61=sqrt(C56*C56-C60*C60); C62=C46-C61; C63=C9+C37+C47; C64=C6-C63; C65=2*asin(C2/(2*C56)); % C66=C65+C59; C67=(pi-C65)/2; C68=asin(C61/C56); C69=3*pi/2-C67-C68; C70=pi-C69; C71=C2*sin(C70); C72=C2*cos(C70); C73=C62+C72; C74=C60+C71; C75=C14/sin(C5); ______________________________________________________________________ 208 C76=C75-C15-C18-C29-C54-C74; C77=sqrt(C74*C74+C55*C55); % C78=asin(C55/C77); % C79=acos(C55/C77); C80=acos((C77*C77+C76*C76-C64*C64)/(2*C77*C76)); C81=pi-C5-C80; C82=C77*cos(C81); % C83=C64-C82; C84=C77*sin(C81); C85=C4; C86=C2/2+C84; C87=sqrt(C2*C2-C86*C86); C88=sqrt(C82*C82+(C73-C46)*(C73-C46)); C89=acos((C88*C88+C85*C85-C87*C87)/(2*C88*C85)); % C90=acos((C85*C85+C87*C87-C88*C88)/(2*C85*C87)); C91=acos(C82/C88); C92=C89-C91; C93=pi/2-C92; C94=pi/2-C93; C95=C85*sin(C93); C96=C85*sin(C94); C97=C46-C96; C98=C82-C95; C99=C4; C100=sqrt(C2*C2-C84*C84); C101=asin(C95/C99); C102=asin((C73-C46)/C100); C103=pi/2-C101; C104=pi/2+C102-C101; ______________________________________________________________________ 209 C105=sqrt(C100*C100+C99*C99-2*C100*C99*cos(C104)); C106=acos((C73-C97)/C105); C107=pi/2-C106; C108=pi-C107-C103; C109=pi-C104-C108; C110=C109-C106; C111=pi/2-C110; C112=C100*sin(C111); C113=C73-C112; C114=sqrt(C100*C100-(C73-C113)*(C73-C113)); C115=sqrt(C95*C95+(C2/2)*(C2/2)); C116=C114+C98; C117=sqrt(C116*C116+(C2/2)*(C2/2)); C118=sqrt(C98*C98+(C2/2+C84)*(C2/2+C84)); C119=C76+C71; C120=C35-C119; C121=sqrt(C60*C60+C55*C55); C122=sqrt(C3*C3+C13*C13); C123=sqrt(C30*C30+C31*C31); C124=sqrt(C34*C34+(C30-C3)*(C30-C3)); C125=sqrt(C52*C52+(C46-C3)*(C46-C3)); C126=sqrt(C49*C49+(C46-C30)*(C46-C30)); C127=sqrt(C115*C115+(C97-C46)*(C97-C46)); C128=sqrt(C77*C77+(C73-C46)*(C73-C46)); C129=sqrt(C118*C118+(C97-C73)*(C97-C73)); C130=sqrt(C76*C76+(C113-C73)*(C113-C73)); C131=sqrt(C117*C117+(C113-C97)*(C113-C97)); C132=sqrt(C120*C120+(C62-C30)*(C62-C30)); C133=sqrt(C121*C121+(C62-C46)*(C62-C46)); ______________________________________________________________________ 210 C134=sqrt(C71*C71+(C73-C62)*(C73-C62)); C135=C122+C123+C124+C125+C126+C127+C128+C129+C130+C131+C132+C133 +C134-13*C2; delta=abs(C135); if delta <= eps break; end if C135>0 l=C3; else d=C3; end %input(': '); end h1=C3; fprintf('\nh1=%12.10f\ndelta=%e\n\n', h1, delta); input('Press any key to continue .... '); F(:, 1)=[C6+C35; 0; C30 ]; L(:, 1)=[C6+C76; 0; C73 ]; K(:, 1)=[C6; 0; C113]; C141=sqrt((C2/2)*(C2/2)+(C7+C48)*(C7+C48)); E(:, 1)=[C141; pi/C1-asin(C2/2/C141); C46]; C143=sqrt((C2/2)*(C2/2)+(C6+C7)*(C6+C7)); A(:, 1)=[C143; pi/2/C1; 0]; O1(:, 1)=[C21; pi/C1; C3]; ______________________________________________________________________ 211 B(:, 1)=[C143; 3*pi/2/C1; 0]; C(:, 1)=[C6+C35; 2*pi/C1; C30]; D(:, 1)=[C141; pi/C1+asin(C2/2/C141); C46]; O2(:, 1)=[C7+C116; pi/C1; C97]; G(:, 1)=[C6+C76; 2*pi/C1; C73]; Q(:, 1)=[C6+C119; 2*pi/C1; C62]; H(:, 1)=[C6; 2*pi/C1; C113]; Tcil=[A(:, 1), B(:, 1), C(:, 1), D(:, 1), E(:, 1), F(:, 1), O1(:, 1), G(:, 1), H(:, 1), K(:, 1), L(:, 1), O2(:, 1), Q(:, 1)]; T=Tcil; tri=[ 1 2 7; 2 3 7; 3 4 7; 4 5 7; 5 6 7; 6 1 7; 5 4 12; 4 8 12; 8 9 12; 9 10 12; 10 11 12; 11 5 12; 3 13 4; 13 8 4]; for i=1:C1 A(:, i+1)= A(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; B(:, i+1)= B(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; C(:, i+1)= C(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; D(:, i+1)= D(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; E(:, i+1)= E(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; ______________________________________________________________________ 212 F(:, i+1)= F(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; O1(:, i+1)=O1(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; G(:, i+1)= G(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; H(:, i+1)= H(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; K(:, i+1)= K(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; L(:, i+1)= L(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; O2(:, i+1)=O2(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; Q(:, i+1)= Q(:, i) + [0; 2*pi/C1; 0]; Tcil=[Tcil, A(:, i), B(:, i), C(:, i), D(:, i), E(:, i), F(:, i), O1(:, i), G(:, i), H(:, i), K(:, i), L(:, i), O2(:, i), Q(:, i)]; tri=[tri; 13*(i-1)+13 13*(i-1)+ 3 13*i+5; 13*(i-1)+ 8 13*(i-1)+13 13*i+5; 13*(i-1)+ 3 13*(i-1)+ 2 13*i+1; 13*i+1 13*i+2 13*i+7; 13*i+2 13*i+3 13*i+7; 13*i+3 13*i+4 13*i+7; 13*i+4 13*i+5 13*i+7; 13*i+5 13*i+6 13*i+7; 13*i+6 13*i+1 13*i+7; 13*i+5 13*i+4 13*i+12; 13*i+4 13*i+8 13*i+12; 13*i+8 13*i+9 13*i+12; 13*i+9 13*i+10 13*i+12; 13*i+10 13*i+11 13*i+12; 13*i+11 13*i+5 13*i+12; 13*i+3 13*i+13 13*i+4; 13*i+13 13*i+8 13*i+4]; end ______________________________________________________________________ 213 tri=[tri; 13*i+13 13*i+ 3 5; 13*i+ 8 13*i+13 5; 13*i+ 3 13*i+ 2 1]; X=Tcil(1, :).*cos(Tcil(2, :)); Y=Tcil(1, :).*sin(Tcil(2, :)); Z=Tcil(3, :); trisurf(tri, X, Y, Z, ’facecolor’ , ’interp’) ; axis equal ; end ______________________________________________________________________ 214 БИОГРАФИЈА Мр Слободан Ж. Мишић рођен је 19.01.1967. године у Пироту где је и завршио основну и средњу школу као носилац Вукове дипломе. Архитектонски факултет Универзитета у Београду уписао је 1985. године. Од августа 1985.г. до октобра 1986. г. налази се на одслужењу војног рока. Године 1993. дипломирао је на Архитектонском факултету Универзитета у Београду са просечном оценом током студија 8,55 и оценом 10 на дипломском раду. Последипломске студије из Нацртне геометрије уписао је 1995.г. на Архитектонском факултету Универзитета у Београду. Магистарску тезу под насловом „Синтеза поступака пресликавања два перспективно колинеарна простора за конструисање рељефне перспективе“ одбранио је 10.01.2005.г. Од школске 1996.-1997.г. запослен је на Грађевинском факултету Универзитета у Београду као асистент приправник на предмету Нацртна геометрија. Школске 2001.-2002.г. ради као хонорарни сарадник на Војно- техничкој Академији у Београду на предметима Нацртна геометрија и Техничко цртање. По завршетку последипломских студија и одбрањене магистарске тезе, дана 21.04.2005.г. изабран је у звање асистента Грађевинског факултета Универзитета у Београду где и данас ради на предметима Нацртна геометрија и Рачунарска геометрија. Ангажован је у извођењу дела наставе на Архитектонском факултету Универзитета у Београду на предметима Геометрија облика I и Геометрија облика II школске 2007.-2008.г., 2008.-2009.г. и 2009.-2010.г. Током 1993.г. и 1994.г. радио је као пројектант приправник у предузећу Mimico у Београду. Године 1996. положио је стручни испит прописан за дипломираног инжењера архитектуре. До данас је учествовао или био самостални аутор већег броја пројеката из области архитектуре и ентеријера. Носилац је лиценце Инжењерске коморе Србије 300 Ј39310 и 400 Ф24810. Решењем Министарства правде Републике Србије уписан је у регистар судских вештака, област архитектура, од 06.07.2011.г. У оквиру стручних и наставних активности користи софтверске пакете AutoCAD, ArhiCAD, као и друге програме применљиве у Рачунарској геометрији. Члан је Инжењерске коморе Србије и Српског удружења за геометрију и графику. ______________________________________________________________________ 215 ______________________________________________________________________ 216 ______________________________________________________________________ 217